Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Во втором издании «Задачника-практикума по электродинамике» общее число задач доведено до 400. Значительно дополнены такие разделы сборника, как «Излучение электромагнитных волн», «Основы электронной теории» и «Специальная теория относительности». Устранены некоторые погрешности, имевшиеся в первом издании задачника.
При решении всех задач использована Международная система единиц СИ.
В настоящее время еще нет ни одного отечественного учебника по курсу теории электромагнитного поля, написанного с применением указанной системы единиц. Можно указать лишь переводную книгу А. Зоммерфельда «Электродинамика», ИЛ, Москва, 1958, в которой Международная система единиц СИ принята в качестве основной. Чтобы облегчить положение студента-заочника, в начале каждого параграфа приведены наиболее важные формулы теории. Кроме того, в приложениях 2 и 3 указаны правила перевода обозначений физических величин из абсолютной системы единиц в Международную систему СИ и соотношения между основными и некоторыми производными единицами обеих систем
Во втором издании сборника принята раздельная нумерация задач, снабженных решениями, и задач, предназначенных для самостоятельной работы студента-заочника (эти задачи отмечены звездочкой).
Выражаю искреннюю признательность всем товарищам, приславшим свои замечания по содержанию и оформлению первого издания сборника.
И. Жирнов.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Сборник содержит задачи по теории электромагнитного поля (макроскопической электродинамике, электронной теории и специальной теории относительности), подобранные с таким расчетом, чтобы обратить внимание студента-заочника на узловые вопросы теории и дать ему возможность приобрести необходимые практические навыки по расчету электромагнитных полей. Около половины всех помещенных в сборнике задач снабжено подробными решениями, в которых автор стремился как можно полнее отразить вопросы методики решения задач по этому важнейшему и, на наш взгляд, наиболее трудно усваиваемому разделу курса теоретической физики.
Предполагается, что студенты-заочники знакомы с математическим аппаратом теории - электромагнитного поля (векторным анали-
зом) в объеме, предусмотренном книгой А. С Компанейца «Теоретическая физика», Гостехиздат, 1957, стр. 85—96, или книгой В. И Левина «Методы математической физики», Учпедгиз, 1956.
В качестве основных руководств по теории электромагнитного поля читателю рекомендуются следующие книги:
И. Е. Т а м м. Основы теории электричества. М., Гостехиздат, 1958.
Ю. Б. Р у м е р, М. С. Рывкин. Теория относительности. М., Учпедгиз, 1960
А. С. Комп а неец. Теоретическая физика, М., Гостехиздат, 1957.
При работе над задачником-практикумом студент-заочник параллельно должен изучать теоретическую часть курса, пользуясь указанными выше пособиями. Все необходимые ссылки на другую учебную литературу приводятся в текстах решений задач по мере надобности, причем число учебных пособий, на которые делаются ссылки, доведено до минимума Задачи и упражнения, снабженные подробными решениями, должны быть тщательно рассмотрены перед тем, как приступить к самостоятельному решению задач и упражнений по соответствующей теме.
Все задачи, помещенные в задачнике-практикуме, должны быть решены студентом в межсессионный период. Вместо контрольных работ по курсу «Теория электромагнитного поля» студент-заочник получит от кафедры за месяц до начала очередной сессии номера нескольких задач из настоящего задачника-практикума, решения которых он должен выслать в деканат в пятидневный срок. Непредставление в указанный срок решений этих задач будет рассматриваться как невыполнение контрольной работы.
Кафедра физики МГЗПИ (Москва, Верхне-Радищевская ул., д. 18) обращается к кафедрам физики педагогических институтов и ко всем студентам-заочникам с просьбой присылать свои отзывы, пожелания и замечания по содержанию настоящего задачника-практикума.
Кафедра физики МГЗПИ
ГЛАВА I
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
§ 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Основные уравнения постоянного электрического поля в вакууме имеют вид:
(1)(2)(1)(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
В системе СИ
rot £ — О, div 5= А е0
где е0— диэлектрическая проницаемость вакуума
(е0 = 8,854-10-12 ф/м\
В абсолютнойсистеме
rot £= О,div £ = ^,ео
где в0— диэлектрическаяпроницаемость вакуума(*0 = 1).
Поскольку напряженность электрического поля Е — безвихревой вектор, то ее можно выразить через скалярный потенциал ф
Е = — grad ф, (3) определяемый из уравнения Пуассона:
В системе СИА ср = — wВ системе СИА ср = — wе0е0В абсолютнойсистемеД ф = — 4лр. (4)В абсолютнойсистемеД ф = — 4лр. (4)
В системе СИА ср = — w
В системе СИА ср = — w
е0
е0
В абсолютнойсистеме
Д ф = — 4лр. (4)
В абсолютнойсистеме
Д ф = — 4лр. (4)
Общее решение уравнения Пуассона (4):
В системе СИВ абсолютной
системе
(5)(5)1 Г р^у4ле0 J г е
(5)
(5)
Потенциал электростатического поляПотенциал электростатического поляВ системе СИеW = ",4лвогВ системе СИеW = ",4лвогВВточечного заряда:абсолютнойсистеметочечного заряда:абсолютнойсистемееФ = -еФ = -(6)(6)Теорема Гаусса:В системе СИТеорема Гаусса:В системе СИВВабсолютнсистемеабсолютнсистемеО йО й'О'ОИЛИИЛИ
Потенциал электростатического поля
Потенциал электростатического поля
В системе СИе
W = ",
4лвог
В системе СИе
W = ",
4лвог
В
В
точечного заряда:абсолютнойсистеме
точечного заряда:абсолютнойсистеме
е
Ф = -
е
Ф = -
(6)
(6)
Теорема Гаусса:
В системе СИ
Теорема Гаусса:
В системе СИ
В
В
абсолютнсистеме
абсолютнсистеме
О й
О й
'О
'О
ИЛИ
ИЛИ
D dS= е,
причем вектор электрической индукцииD = г^Е.причем вектор электрической индукцииD = г^Е.причем вектор электрической индукциипричем вектор электрической индукцииD = Е.D = Е.(8)(8)
причем вектор электрической индукции
D = г^Е.
причем вектор электрической индукции
D = г^Е.
причем вектор электрической индукции
причем вектор электрической индукции
D = Е.
D = Е.
(8)
(8)
Скачок нормальной составляющей вектора Ё;Скачок нормальной составляющей вектора Ё;В системе СИВ системе СИВВр р _ JL %Плотность электрического по верхности проводии к а:В системе СИр р _ JL %Плотность электрического по верхности проводии к а:В системе СИабсолютной системеЕ2п — Еи = 4ла. (9)абсолютной системеЕ2п — Еи = 4ла. (9)заряда,заряда,ВВиндуцированного наиндуцированного наО = 80 (£„) SО = 80 (£„) Sабсолютной системе" = ^№А (Ю)абсолютной системе" = ^№А (Ю)илиилио =о =SSИЛИо = -^) • (П)4ля/ИЛИо = -^) • (П)4ля/
Скачок нормальной составляющей вектора Ё;
Скачок нормальной составляющей вектора Ё;
В системе СИ
В системе СИ
В
В
р р _ JL %
Плотность электрического по верхности проводии к а:
В системе СИ
р р _ JL %
Плотность электрического по верхности проводии к а:
В системе СИ
абсолютной системе
Е2п — Еи = 4ла. (9)
абсолютной системе
Е2п — Еи = 4ла. (9)
заряда,
заряда,
В
В
индуцированного на
индуцированного на
О = 80 (£„) S
О = 80 (£„) S
абсолютной системе
" = ^№А (Ю)
абсолютной системе
" = ^№А (Ю)
или
или
о =
о =
S
S
ИЛИ
о = -^) • (П)4ля/
ИЛИ
о = -^) • (П)4ля/
а) Метод, основанный на использовании принципа суперпозиции полей
Вычислить потенциал и напряженность электростатического поля внутри и вне проводящей сферы радиуса а, по поверхности которой равномерно распределен заряд е.
Решение
Согласно принципу суперпозиции полей электростатическое поле произвольной системы зарядов может быть определено путем суммирования кулоновых полей точечных зарядов. На этом основании потенциал электростатического поля, создаваемого в точке Р (рис. 1), равномерно заряженной по поверхности сферой, может быть записан в виде
1 Cdeср = I,
4ле0 J7?(1)
где de — заряд, приходящийся на элементарную сферическую полоску с площадью dS = 2л я2-sin a-da, а интегри
рование производится по всей поверхности сферы. Зарядке в силу его бесконечной малости можно считать точечным и сосредоточенным в точке А.
Подставляя в выражение (1)
de = a dS
и
Р — V г^ -j- a2 — 2ar cos a,
находим:
л
—(a + r — ]/r2 + a2 —2ar)-—(a + r — ]/r2 + a2 —2ar)-aa2 P sin a d a
—(a + r — ]/r2 + a2 —2ar)-
—(a + r — ]/r2 + a2 —2ar)-
Ф — — \ ——-■ ™*
2e0J j/ r2 + a2 — 2ar cos a о
В случае, когда точка Р лежит вне сферы (г > а),
У г2 + аа — 2аг — г — а и
<ре = — = -— (для г>а\ еог 4ле0г
Если точка наблюдения находится внутри сферы (г<а), то
j/r2 + а2 — 2аг = а — г
и
Ф/Ф/даеодаео—— (для г<а) 4ле0а—— (для г<а) 4ле0а
Ф/
Ф/
да
ео
да
ео
—— (для г<а) 4ле0а
—— (для г<а) 4ле0а
На бесконечно тонкой квадратной пластинке (со стороной, равной 2а) равномерно распределен заряд q. Определить поле пластинки на перпендикуляре, проходящем через ее центр. Написать приближенные формулы для расчета напряженности поля пластинки на малых расстояниях от центра (г < а) с точностью до членов порядка | — I и на
\ а /больших расстояниях (г > а) — с точностью до членов по-/ л \4
рядка — включительно.
Решение
Используя цилиндрическую систему координат г, а, г (рис. 2) и применяя принцип суперпозиции полей, находим для потенциала в точке А следующее выражение:
л _ а4 ~cos а2оС л Г*г dr
Ф = — \ da —== =ле01J Vг2+ г2
оо
л
= — — + —( l/^TZZZ da- (1)2е0 ле0 J Гcos2a
О
В формуле (1) интегрирование ведется по одной восьмой части поверхности пластинки. Из рисунка 2 видно, что верхним пределом интегрирования по г является уравнение прямой ВС, которое в полярных координатах имеет вид:
cos a *
Очевидно также, что потенциал в точке Л зависит только от г; поэтому вектор напряженности в этой точке направлен вдоль оси г и численно равен: л
Е = — ^ = — — — ffz2 +—2 da (2) dz 2е0 ле0 J \ cos2 а/
(при дифференцировании по г мы воспользовались правилом дифференцирования определенных интегралов по параметру).
Если точка наблюдения А находится на малых (по сравнению с размерами пластинки) расстояниях от ее центра, т. е. если г < а, то в разложении подынтегрального выра- z2 cos2 а жения (2) в ряд по степеням малого отношения а2 мы можем ограничиться первыми двумя членами, приняв
Подставляя (3) в (2) и выполняя интегрирование по а, получим:
Е = -2— (1 — У^2 2 _|_ 5 К2 2з\ ^г у /^
2е0 ла бла3 ) VV 7
£^_—4 леог2£^_—4 леог2(г > а).(г > а).Аналогично поступаем и при вычислении поля на больших расстояниях (г > а) от центра пластинки. Оно оказывается равным:
£^_—
4 леог2
£^_—
4 леог2
(г > а).
(г > а).
(5)
Полученные формулы (4—5) показывают, что поле равномерно заряженной, но конечной пластинки можно отождествлять с полем бесконечной равномерно заряженной плоскости лишь на малых расстояниях от нее. С другой стороны, поле конечной заряженной пластинки на больших расстояниях оказывается эквивалентным полю точечного заряда, чего нельзя сказать о поле бесконечной заряженной плоскости, так как ее поле всюду однородно.
Определить поле бесконечно тонкого кольца радиуса а, вдоль которого равномерно распределен заряд q.
Решение
Введем сферическую систему координат, совместив начало отсчета с центром кольца и направив полярную ось вдоль перпендикуляра к плоскости кольца (рис. 3). Тогда
4ле0 j (АР)2ла4ле0 j (АР)2ла(1)(1)
4ле0 j (АР)2ла
4ле0 j (АР)2ла
(1)
(1)
причем, имея в виду независимость вычисляемого поля от угла ф, мы выбрали точку наблюдения в плоскости XOY. Рассматривая рисунок 3, легко показать, что
АР = Vtf -V — 2ar sin 0 cos ф.(2)
В интеграле, который мы получаем после подстановки (2) в О),
2л
_ _ q С^Ф
8л2е0 J )^а2 + г2 — 2аг sin 6 cos ф о
заменим переменную ф по формуле ф = л + 2а. Тогда
л
"2
_ д Гda
^2л2е0 J К^2 + г2 + 2аг sin 0 — 4ar sin О sin2a’
о
илиилиФр = —-— (а2 + г2 + 2arsin 0) 2 X (п),(3)2л3е0Фр = —-— (а2 + г2 + 2arsin 0) 2 X (п),(3)2л3е0
или
или
Фр = —-— (а2 + г2 + 2arsin 0) 2 X (п),(3)
2л3е0
Фр = —-— (а2 + г2 + 2arsin 0) 2 X (п),(3)
2л3е0
где
есть полный эллиптический интеграл первого рода модуля
п = 2 1/ a'sine
V аа 4- ra + 2ar sin в"
Функция К (п) протабулирована (см., например, И. Н. Б ронштей н, К. А. Семендяев. Справочник по математике. М., Гостехиздат, 1953, стр. 79).
На достаточно больших расстояниях от кольца потенциал (3) можно с достаточной степенью точности представить в виде:
Ф? = Т^4леогФ? = Т^4леог1 —-тт(1 — 3cos2 0)1 —-тт(1 — 3cos2 0)(4)(4)
Ф? = Т^
4леог
Ф? = Т^
4леог
1 —-тт(1 — 3cos2 0)
1 —-тт(1 — 3cos2 0)
(4)
(4)
Внутри некоторого объема V' непрерывным образом распределен заряд е с объемной плотностью р= р (r'z). Показать, что если, выбрав начало координат где-нибудь внутри объема V', соединить его с точкой наблюдения Р (рис. 4)
и полученную прямую принять за ось г, то потенциал элект-
/ 1 .з
рического поля на оси г с точностью до членов порядка — )
\ г / включительно может быть представлен в виде:
14л80214л802
1
4л802
1
4л802
где
«о=f р (о =е. °i=[^ р( о ^=р.
а2 = ^ <3z' ~ГЛр (г = Q
V'
(р и Q — дипольный и квадрупольный моменты пространственно распределенного заряда).
Решение
4ле0ф =4ле0ф =Потенциал поля в точке Р (рис. 4) записываем в виде:
4ле0ф =
4ле0ф =
(1)
где интегрирование распространяется на всю область V', внутри которой распределен объемный заряд. Далее, непосредственно из рисунка 4 находим:
R.— zk — ri и Ri = z2 + (g)2 — ^z^^Ti),
откуда
(2)(2)1 = 1 (1 2kri p I 2.
(2)
(2)
Ri z \ зг2 /
Раскладывая (2) в ряд по степеням— и ограничиваясь г
в этом разложении лишь членами первого, второго и третьего порядка, получим:
гг221 3(fc ri)1 3(fc ri)г2г2
г
г
2
2
1 3(fc ri)
1 3(fc ri)
г2
г2
или окончательно+ у?+ z;7)или окончательно+ у?+ z;7)(после подстановки п = х\ i +(после подстановки п = х\ i +
или окончательно
+ у?+ z;7)
или окончательно
+ у?+ z;7)
(после подстановки п = х\ i +
(после подстановки п = х\ i +
(3)(3)
(3)
(3)
Подставляя (3) в (1), находим:
4ле0ф = у J Р (И ^' + "^ [ Р (Нг'^' +
+ т-7 Ww^-r'W, £ 2 J
или
4ле0ф^-+4 + 4-
Опыты показывают, что атомные ядра в состоянии равновесия не обладают дипольным моментом, но зато имеют отличный от нуля квадрупольный момент. С этим фактом согласуется представление об атомном ядре, как об эллипсоиде вращения, по объему которого равномерно распределен заряд Ze (Z—порядковый номер атома). Вычислить квадрупольный момент и электростатическое поле ядра.
Решение
По определению (см. задачу 4), дипольный момент ядра равен:
+^ Уг 22
р = р 2dV = р С dx dy j 2 dz.
v—ь yv zt
Из уравнения поверхности ядра (т. е. поверхности эллип-
Х^ ■ I V2 22\
соида вращения —^—|—~= И имеем:
г^^+^/^-^-у2.(1)
О
Отсюда легко видеть, что
I 2-d2 = О,
и поэтому дипольный момент эллипсоидального ядра оказывается равным нулю.
Квадрупольный момент ядра равен:
Q = lpf(3z2—г2) dV,
2 J
V или
Q = —р j dx \ dy ^ (22а —- х2 — у2) dz.(2)
—b ух гг
Здесь пределы интегрирования по г определяются выражением (1), а пределы интегрирования по у легко найти из уравнения окружности
Х2+ у2= 62, лежащей в сечении поверхности ядра координатной плоскостью XOY. Вычислив затем стоящий в (2) тройной интеграл, получим:
Q = — рлаб2 (а2 — 62),(3)
15
4
откуда (замечая, что —лаЬ4= V, где V — объем эллипсоида вращения, и pV = Ze) окончательно находим:
Q = l(a»-^)Ze.(4)
О
Такова величина квадрупольного момента у атомного ядра, имеющего форму эллипсоида вращения.
Запишем теперь потенциал электростатического поля, создаваемого эллипсоидальным атомным ядром в точке, лежащей на его оси симметрии. С точностью до членов, пропорциональных Ч^ включительно, указанный потенциал равен:
Ze , (а2 — 62) Ze...
Ф —р д:—(5)
т 4ле0Я 20 ле0/?3v '
где R — расстояние от центра ядра до точки наблюдения.
Выражение (5) показывает, что поле эллипсоидального ядра существенным образом отличается от полясферичес-
•Ze гх
кого ядра, потенциал которого равен. Это отличие тем
4 Л80/?
значительнее, чем больше у ядра квадрупольный момент. Особенно велики указанные отклонения вблизи ядра, где второе слагаемое в (5) может быть достаточно велико даже в том случае, если квадрупольный момент ядра близок к нулю. В то же время на больших расстояниях отклонения поля вытянутого ядра от поля сферического ядра незначительны и ими можно пренебречь.
Определить поле на больших расстояниях от системы из двух бесконечных и параллельных нитей, равномерно заряженных разноименными зарядами.
Решение
Прежде всего отметим, что так как нити бесконечны, то создаваемое ими поле не может зависеть от координаты г (рис. 5). Действительно, проведя через точку Р прямую MN, параллельную нитям, можно утверждать, что во всех точках прямой MN поле одинаково. Это следует из очевидного факта: если через любую точку прямой MN провести плоскость, перпендикулярную к нитям, то последняя по причине бесконечности нитей разделит их на две бесконечно большие половины.
В силу указанной симметрии поля в качестве точки наблюдения удобнее всего взять точку Р, лежащую в плоскости XOY. Тогда на основании принципа суперпозиции потенциал, создаваемый нитями в точке Р, можно записать в виде:
-{- ОС—|— оо
,X f dz X С dz
(1)
где X—заряд, приходящийся на единицу длины каждой нити. Далее, очевидно, потенциал (1) можно переписать в виде:
4ле0ф = 2Х Н
Uо
откуда, производя интегрирование по 2, находим:
4леоф = 2Х(1пг2— InrJ.(2)
Полученное для потенциала выражение (2)— это точное его значение, справедливое на любых расстояниях от системы нитей. Однако нас сейчас интересует приближенная форма потенциала (2), справедливая лишь на больших расстояниях от системы, или, другими словами, первый член разложения (2) в ряд по степеням малого отношения -~ (на
больших расстояниях L < г).
Для того чтобы разложить потенциал (2) в ряд, предварительно необходимо преобразовать его так, чтобы в него явно входили г и L. Из рисунка 5 видно, что
- - . L -- L
б = Н—; г» — г ,
г 222
откуда _> -> 1-> 1
/1 , L2 . LrW. „/1 . L2 LrW
+ 4” + ^Г r- = T+V”") ■ 131
Подставляя выражения (3) в формулу (2), находим:
4ле0ф = X [In (1 + а) — In (1 + Р) 1,(4)
где
. Lra L2L г
а =; р .
4 г2 г24г2г2
Раскладывая затем логарифмические функции, стоящие в (4), в ряд соответственно по степеням а и Р и ограничиваясь в полученных разложениях лишь первыми членами, получаем:
4ле0ф =4ле0ф =2XLrг* ’2XLrг* ’
4ле0ф =
4ле0ф =
2XLrг* ’
2XLrг* ’
(5)(5)откуда, обозначив XL=P (дипольный момент, приходящийся на единицу длины двойной нити), окончательно имеем:
(5)
(5)
4ле0ф = -у
По виду своему полученное выражение напоминает потенциал обычного диполя. На этом основании систему двух бесконечных, параллельных и равномерно заряженных разноименными зарядами нитей часто называют двумерной дипольной системой зарядов.
Исходя из уравнения
Е = —grad ср
и пользуясь при вычислении градиента от выражения (5) известными соотношениями векторного анализа (см. приложение 1, формулы 21, 22,28 и 33), легко показать, что вектор напряженности двумерного дипольного поля равен:
,£4(р7)72Р
4ле0£ = —— .
0 г4г^
Найти уравнение силовых линий поля двух параллельных и бесконечных нитей, заряженных электричеством так, что на единицу длины каждой из них приходятся соответственно заряды +Х и —X.
Решение
Определение силовых линий поля, как известно, дается системой обыкновенных дифференциальных уравнений:
Е = к dr(1)
или
Exdy — Eydx; Exdz = Ezdx.
В случае рассматриваемого нами плоского поля система (1) сводится к одному уравнению:
Exdy = Eydx.(2)
Чтобы найти интересующие нас Ех и Еу, обратимся к выражению (2) предыдущей задачи, дающему точное значение потенциала поля для рассматриваемой системы зарядов. Исходя из определения Е = —grad <р и пользуясь формулой (22) приложения 1, находим:
g _ X /^ ^2ле0 VIr^J'
Обозначим L = 2а, так что точки А и В (рис. 5) будут соответственно иметь координаты (0, —а) и (0, а). Тогда
г 1= xi + (у + аЯ; 7г= xi + (у — а)7 и
е=еЛ=^7< Еу = е7=^_(х=_у2 + й=). (3)
neorVi 'леогИ
Дифференциальное уравнение силовых линий (2) после подстановки найденных значений Ех и Еу принимает вид:
[х2— (у2— а2) ] • dx + 2xydy = 0.(4)
Приступая к интегрированию полученного уравнения, введем новую переменную у2— а2= а2, после чего уравнение (4) приводится к однородному уравнению:
(х2—u2)dx + 2xu du = 0,
в котором переменные легко разделяются при помощи хорошо известной подстановки и = хА Так мы приходим к уравнению:
dx , Zt dt _ q
" ' 14-/2 “ ’
интегрируя которое получаем:
х (1 + /2) = 2С.
Возвращаясь, наконец, к старым переменным, мы находим уравнение силовых линий поля:
(X - С)2+ У2= а2+ с2.(5)
В уравнении (5) С — произвольный параметр, варьируя который можно получить бесконечное множество силовых линий (рис. 6).
Задачи дл я с амо сто ятельно г орешения
1*. Вычислить, пользуясь принципом суперпозиции, электростатическое поле равномерно заряженного по объему шара радиуса а.
2*. Заряд q равномерно распределен по поверхности шарового сегмента радиуса R, видимого из центра кривизны под углом 2d (рис. 7). Определить напряженность поля в центре кривизны сегмента.
3*. Точка Р находится на расстоянии а от равномерно заряженной бесконечной плоскости. Показать, что половина полной напряженности поля ^-j в точке Р обусловле-
на зарядами, находящимися на расстоянии а < г < 2а от точки Р, а другая половина—всеми остальными зарядами.
4*. На бесконечно тонкой круглой пластинке (радиуса а) равномерно распределен заряд q. Определить напряженность и потенциал поля на перпендикуляре к плоскости пластинки, проходящем через ее центр. Показать также, что полученные формулы переходят в формулы для поля бесконечной равномерно заряженной плоскости при г -^0 и в фор-
мулы для поля точечного заряда, если г > а (г —расстояние Р от центра пластинки до точки наблюдения).
5*. Тонкое плоское кольцо, внутренний и внешний радиусы которого соответственно равны а и Ь, заряжено электричеством с плотностью а. Определить поле на перпендикуляре к плоскости кольца, проведенном через его центр.
мерно распределенмерно распределен6*. Вдоль бесконечно тонкого кольца радиуса а равно- заряд q. Определить напряженность
мерно распределен
мерно распределен
поля на перпендикуляре к плоскости кольца, проходящем через его центр.
7*. Определить потенциал и напряженность электрического поля диполя на больших расстояниях от него.
8*. Показать, что в сферической системе координат R, 0, а с центром в середине диполя и полярной осью, параллельной р, составляющие вектора Е равны:
Er-Er-—-— cos 0;Ее = —-— sin 0;Еа = 0.
Er-
Er-
2ле0/?34ле07?3
9*. Определить на больших расстояниях потенциал линейного квадруполя, у которого крайние заряды — q отстоят от центрального +2^ на расстоянии а (рис. 8).
10*. Показать, что на больших расстояниях поле кольцевого заряда — q радиуса b и концентрического, копла- нарного с ним другого кольцевого заряда + 7 радиуса с совпадает с полем линейного квадруполя, рассмотренного в предыдущей задаче, если положить
а = 1 У^ — с1.
2
11*. Допустим, что ядра 71Lu176 и 53J127 (число, написанное внизу слева от химического символа атома, обозначает порядковый номер Z, а число, написанное вверху справа,— массовое число А, или вес ядра в атомных единицах) представляют собой эллипсоиды вращения, полученные при деформации сферы радиуса R = 1,2-10”15 А1/з м без изменения ее объема.
Вычислить отношение аксиальной полуоси а к экваториальной полуоси Ь, если известны квадрупольные моменты ядер (в к • м^У 5,6 • 10~47 и —4 • 10~48 (соответственно для ядер Lu и J).
12*. Получить уравнение силовых линий электростатического поля диполя на больших расстояниях от него в плоскости XOY (ось у совпадает с направлением вектора дипольного момента р).
б) Расчет электрических полей при помощи теоремы Гаусса
Заряд q находится в точке А (а, 0, 0). Найти величину отрицательного заряда Q, который следует поместить в точку В (—а, 0, 0)для того, чтобы поток вектора напряженности, проходящий справа налево сквозь круг х=0, у2+ г2= а2, был равен N.
Решение
По определению, поток вектора Е равен:
N = ^ Etndf+^E2ndf,SSN = ^ Etndf+^E2ndf,SS(1)(1)
N = ^ Etndf+^E2ndf,SS
N = ^ Etndf+^E2ndf,SS
(1)
(1)
где S — площадь круга. Из рисунка 9 видно, что
и
или, так как
г4 cosa = r2cosa = а и r^ r^ (a2+ у3)1/»,
Etn = -55- (a* + y2)-3's IJn = -^- (a2 + yV3k (2) 4ле04ле0
Подставляя выражение (2) в формулу (1), записывая элемент площади круга в виде df= 2nydy и интегрируя, находим:
Ц = Ч+^ [ ^ ■ = (, + ®
-1.0 J (/тг+Я*1».
откуда
Q = -q + 2sM2 + V2Y
Вычислить напряженность электростатического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости.
Решение
При решении электростатических задач с помощью теоремы Гаусса
S0
необходимо прежде всего рациональным образом выбрать замкнутую поверхность, по которой в (1) ведется интегрирование. При ее выборе следует руководствоваться следующими правилами: 1) выбираемая поверхность должна обязательно проходить через точку наблюдения; 2) выбирать замкнутую поверхность S с учетом всех свойств симметрии задачи. Следует заметить, что успешное применение теоремы Гаусса к решению электростатических задач возможно лишь в том случае, если задача вообще, обладает какими-либо свойствами симметрии.
В рассматриваемом примере очевидно, что все точки плоскости, проведенной через точку А параллельно заряженной плоскости (рис. 10), по отношению к последней совершенно равноправны, что является следствием бесконеч-
но больших размеров заряженной плоскости. То же самое надо сказать и о всех точках плоскости, проведенной параллельно заряженной плоскости через точку В, симметричную точке Л. Из указанных свойств симметрии поля следует, что вектор Е перпендикулярен к заряженной плоскости и направлен в обе стороны от нее.
Чтобы определить напряженность поля в точке Л, проводим круговой цилиндр, перпендикулярный к заряженной плоскости, причем одно его основание должно проходить
через точку Л, а другое—через точку В. Тогда поток вектора Е через боковую поверхность цилиндра оказывается равным нулю, так как вектор Е скользит по боковой поверхности, а поток вектора Е через всю замкнутую поверхность цилиндра будет равен:
N Edf = ESt + ES^ = 2ES.
С другой стороны, по теореме Гаусса N = —, где е0
aS = е — заряд, находящийся внутри замкнутой поверхности цилиндра. Следовательно,
Е = —.
2е0
Потенциал поля определяем из уравнения
dx
Его решение имеет вид:
<р — х + С,2е0 т ’
или
Ф = Фо — Л х-
2е0
где ср0— потенциал поля на самой заряженной плоскости.
Поверхность бесконечного кругового цилиндра (радиуса а) равномерно заряжена электричеством так, что на единицу его длины приходится заряд X. Определить напряженность поля внутри и вне цилиндра.
Решение
Вследствие симметрии поля вектор Е параллелен г (цилиндр считается заряженным положительным зарядом) и является функцией от г. Находим поток вектора Е через замкнутую поверхность цилиндра с высотой, равной 1, и радиусом г. В силу того что Е параллелен г, поток вектора Е через оба основания цилиндра равен нулю. Поэтому применение к указанному цилиндру теоремы Гаусса дает:
2лгЕе = Ме0 для г "> а,
2лг Et =0 для г <„а, откуда находим:
Е. = 0 и Ес = —— г.
12леог=
Нормальная составляющая вектора Ё при прохождении через заряженную поверхность цилиндра испытывает скачок, равный
£ £ __= JL,
1п 2леоа е0 •
Внутри бесконечного равномерно заряженного по объему цилиндра с радиусом а имеется бесконечная цилиндрическая полость радиуса 6, причем ее ось отстоит от оси цилиндра на расстоянии h. Определить поле внутри полости.
Решение
Применим к решению данной задачи весьма простой прием, основанный на принципе суперпозиции полей. Будем считать, что полость внутри цилиндра (рис. 11) одновременно заряжена и положительным электричеством с объемной плотностью +р и отрицательным — с объемной плотностью
—р, так что в целом по
лость оказывается элект-
ронейтральной. Такое представление дает возможность рассматривать поле внутри полости как сумму двух полей: пол я, возбуждаемого сплошным положительно заряженным цилиндром радиуса а, и поля, возбуждаемого отр ица- тельно заряженным цилиндром радиуса Ь.
Поле, создаваемое в точке А полости положительно заряженным цилиндром, как показывается в задаче 14*, равно:
или
EW=-P-X; Е<+) = _Р_у(1)
2е0 у 28о
а поле, возбуждаемое в той же точке отрицательно заряженным цилиндром радиуса Ь, равно:
или £(-) =£(-) = _ _L у'.(2)
Складывая поля (1) и (2), получаем:
Е = -2- (% — х'У, Е = — (у — у').(3)
*2е0 v ' у 2е0 v ^ '' '
Из рисунка 11 видно, что
х = х' + h и у = у'.(4)
Подставляя, наконец, (4) в (3), находим окончательно:
£, = -^ и £v = 0.
2е0 у
Таким образом, поле внутри полости оказывается однородным и параллельным прямой, соединяющей ось цилиндра с ссью полости.
Положительный заряд +е равномерно распределен по объему шара радиуса а. Внутри этого «роя» положительных зарядов находится отрицательный точечный заряд —е (электрон), — такова самая первая модель атома водорода, предложенная Дж. Томсоном.
Определить силу, действующую на электрон со стороны электростатического поля объемно распределенного положительного заряда +е, как функцию расстояния электрона от центра атома. Какое движение совершает электрон под действием этой силы? Определить радиус атома Томсона, считая известными массу электрона, его заряд и длину электромагнитной волны (X = 500 игр,), излучаемой атомом.
Решение
Для определения напряженности поля, возбуждаемого объемно распределенным положительным зарядом +е в точке, где находится электрон (рис. 12), проводим сферу радиуса г. Вектор Е вследствие равномерного распределения заряда +е по объему атома параллелен радиус-вектору электрона г. Поэтому применение теоремы Гаусса к . сфере радиуса г дает
/4лг2 • Е =* Л
/е0а3
откуда
/ / / \ \£ =;г-
/ / г \4ле0а3
i /Ч)।Сила, действующая на электрон
У^0/ / со стороны объемно распределен-
\ \^ У у ного положительного заряда + е, Xравна
F = — еЕ =—г.
Рис. 124ле0а3
Движение электрона внутри атома определяется уравнением:
г + о)2 г = 0;г + о)2 г = 0;2е2ок = ,4л80та32е2ок = ,4л80та3
г + о)2 г = 0;
г + о)2 г = 0;
2е2
ок = ,
4л80та3
2е2
ок = ,
4л80та3
решением которого являются гармонические колебанияг = r0 cos (о)о/ + а)
с периодом Т = 2л/о)о. Длина электромагнитной волны, испускаемой атомом, равна:
X = 2лс i/5^5(
откуда для радиуса атома Томсона находим выражение:
a=_L^y/3-(1>
2л \2е0тс2/
Подстановка в (1) числовых значений: Х = 5- 10 ~7 е - 1,601 • 10'19 к. е0 = 8,854 • 10*12 ф/м, m - 9,107 X X Ю'81 кг и с = 3 • 108 мкек дает:
а = 2,6 • 10'10 м.
Задачи для самостоятельного решения
13*. Бесконечная пластинка толщиной 2а равномерно заряжена электричеством с объемной плотностью р. Выбрав начало координат на плоскости, равноудаленной от обеих поверхностей пластинки, и направив ось х по перпендикуляру к пластинке, определить, используя теорему Гаусса, напряженность поля внутри и вне пластинки.
14*. То же для бесконечного кругового цилиндра, равномерно заряженного электричеством с объемной плотностью р.
15*. В начале координат находится точечный заряд +^, вокруг которого в пространстве распределен отрицательный заряд — q с объемной плотностью
аа? е”атр = — — • .
4л г
Вычислить напряженность и потенциал электростатического поля, возбуждаемого такой системой зарядов.
16*. Внутри равномерно заряженного по объему шара (радиуса R) имеется сферическая полость радиуса а, при-
чем ее центр отстоит на расстоянии d от центра шара. Определить поле внутри полости (систему координат выбрать так, как показано на рису не 13).
17*. Внутри бесконечной плоскопараллельной пластинки, рассматриваемой в задаче 13*, имеется полость в форме: а) бесконечного цилиндра (радиуса R), ось которого параллельна плоскости, делящей пластинку пополам, и
Рис. 13
отстоит от нее на расстоянии И; б) сферы радиуса R, центр которой отстоит на расстоянии h от указанной выше плоскости.
Выбрав систему координат так, как показано на рисунке 14, определить поле внутри каждой полости.
в) Интегрирование уравнений Лапласа и Пуассона
Вычислить потенциал электростатического поля, создаваемого шаром радиуса R, по объему которого равномерно распределен заряд е.
Решение
Вводим сферическую систему координат г, 6 иа, приняв за начало отсчета центр шара. Уравнение Пуассона, определяющее потенциал поля, принимает вид:
1 2 /г2 дф_\г2 dr \ дг )1 2 /г2 дф_\г2 dr \ дг )—1— _1 /sin0.^ j 4-— ^ =
1 2 /г2 дф_\г2 dr \ дг )
1 2 /г2 дф_\г2 dr \ дг )
(1)(1)г2 sin 0 5 0 \50 / г2 sin2 0 да2
(1)
(1)
= — - Р (Г),ео
где
п м(Р = const ПРИ ' < 7?,
'10 при г >7?.
Вследствие сферически симметричного распределения зарядов потенциал ф зависит только от расстояния г и не зависит от углов 0 и а, т. е. <р=<р (г). Поэтому уравнение (1) значительно упрощается, принимая вид:
(2)(3)(4)(2)(3)(4)1 d / у dtpAр ,г»,
(2)
(3)
(4)
(2)
(3)
(4)
г2 — = — —, (г < К) г2 dr\ dr ) е0
£ / г2 £М = 0^ ^
dr \ dr )’ v / г
Интегрируя уравнения (2) и (3), находим:
(Оу А г)
tr
Постоянные А, В, С и D в выражениях (4) должны быть определены из следующих граничных условий:
потенциал <р; должен оставаться конечным при г -> 0;
отсюда непосредственно следует, что А = 0;
q>e 0 при г оо, откуда D = 0;
потенциал электростатического поля является непрерывной функцией координат, поэтому необходимо, чтобы Ф/(Я) = ф^);
нормальная составляющая вектора Е не должна испытывать скачка при прохождении через поверхность шара, т. е. Еи = Ееп при г = R, так как поверхностная плотность заряда ст на поверхности шара равна нулю (см.: И. Е. Тамм. Основы теории электричества, ГТТИ, 1949, § 4, п. 2); легко видеть, что последнее условие эквивалентно требованию:
Из последних двух условий находим:
С = — -Н- R3 и В = -Е- R2.
Зе02е0
Искомые потенциалы окончательно записываются в виде:
(5)(5)
(5)
(5)
откуда при помощи уравнения Е = — grad ф находим напряженность поля. Она оказывается равной:
Ei = —Ц г4ле0Р3Ei = —Ц г4ле0Р3при r< R,при r< R,Е = —-— ге 4пгог3Е = —-— ге 4пгог3при гпри г>R.>R.
Ei = —Ц г4ле0Р3
Ei = —Ц г4ле0Р3
при r< R,
при r< R,
Е = —-— г
е 4пгог3
Е = —-— г
е 4пгог3
при г
при г
>R.
>R.
Решить задачу 14* путем интегрирования уравнений Лапласа и Пуассона в цилиндрических координатах.
Решение
Вводим систему цилиндрических координат г, 9 и z с осью Z, совпадающей с осью цилиндра, и записываем уравнение Пуассона в виде:
++1^Ф +^Ф = _1р(г),(1)
дг2 г дг г2 502 5 г2е0
где
n м — / Р = const при г < а, '10при г > а.
Далее очевидно, что в силу бесконечности линейных размеров цилиндра его поле симметрично относительно любой плоскости, перпендикулярной к оси цилиндра, откуда следует, что потенциал ср не зависит от г. Ввиду того что цилиндр круговой, а заряд распределен равномерно по объему цилиндра, потенциал поля не может зависеть и от угла 9. В силу указанных свойств симметрии поля уравнение (1) принимает вид:
1 A/r^A =(г<а)(2)
г dr \ dr ] е0
ИIL^A^q V>a\(3)
dr\ dr )’ V '
Интегрируя уравнения (2) и (3), находим:
>, = -^■/ + £.14' + ^,(4)
Фе = С3 1пГ + С4>
откуда напряженности поля
£ — —. р 51 и Е — ^^ — 5?1 dr 2е0 г е dr г
Для того чтобы напряженность Ei оставалась конечной при г 0, следует положить Ci = 0, так как в противном случае Et -> — оо (при г -> 0) и, следовательно, обращалась бы в бесконечность и энергия поля
Г = f Pdu,
J
т. е. имело бы место нарушение закона сохранения энергии.
Удовлетворить требованию сре -> 0 при г -> оо (как это оказалось возможным в задаче с шаром) нельзя, так как с этой целью следовало бы положить С3 = 0 и, следовательно, считать Ее ™ 0 (при любых г > а), но это не соответствует действительности. Поэтому мы будем считать С3 ^ 0. Это не может нас смущать, так как обращение в бесконечность потенциала ср^ при г оо само по себе не представляет никакой опасности для закона сохранения
энергии, так как при этом Ее -> 0. Известно, что физический смысл имеет не потенциал ф, а напряженность поля Е или разность потенциалов. Логарифмическая расходимость потенциала на больших расстояниях — характерная особенность полей, обладающих осевой симметрией.
Наконец, из (4) видно, что ф2 -> С2 при г -> 0. Поэтому положим С2 = Фо> где ф0 — потенциал поля на оси цилиндра. После всех сделанных выше замечаний потенциалы (4) принимают вид:
ф; = — 7" г2 4- ф0; фг = С3 1ПГ + С4,(5)
где постоянные С3 и С4 подлежат определению из следующих граничных условий:
Фг (я) = Фе (О) U №= №),
\ dr ) r=a \ dr )r=ia представляющих собой требование непрерывности потенциала и нормальной составляющей вектора Е на поверхности цилиндра; указанным условиям можно удовлетворить, положив
С =L а? и С. = ф0 + — а2 In аа2.
2е04™2е04е0
Окончательно находим:
Ф, = Фо—-р г2-
4е0
Фе=Фо — ^1 1 + 2 In —\
4е0 \а)
Определить поле вне проводящего незаряженного шара (радиуса R), находящегося во внешнем однородном электрическом поле £0. Какова величина дипольного момента шара? Как распределяется на его поверхности индуцированный заряд?
Решение
Вводим сферическую систему координат с началом в центре шара и полярной осью х, направленной вдоль внешнего поля £0 (рис. 15). Тогда потенциал в точке, находящейся вне шара, можно записать в виде:
Ф = Фо + Ф1>
где ф0—потенциал внешнего поля (ф0 = — Еох + С), а ф л — изменение потенциала, вызываемое проводящим шаром, так что
ф = — EqX + фл + С.(1)
Потенциал фл необходимо определить так, чтобы он удовлетворял следующим трем условиям:
ф, является решением уравнения Лапласа Дф4 = 0;
ф 1 -► 0 при г -> оо , что равносильно требованию:
Ф -> (— Еох -> С) при г оо
(на больших расстояниях от шара внешнее поле не подвергается изменениям);
фл = ЕоХ при г = R-, это условие равносильно требованию постоянства потенциала (1) на поверхности проводящего шара.
Ввиду симметрии шара потенциал фл может зависеть лишь от одного постоянного вектора Ео, так как потенциал Фл пропорционален плотности зарядов, наведенных на поверхности шара, а последняя пропорциональна величине поля Ео; с другой стороны, потенциал фл во всех точках сферы, проходящей через точку наблюдения и концентричной поверхности шара, одинаков. Можно показать, что единственным таким решением уравнения Лапласа, обращающимся на бесконечности в нуль, является
/ 1 \ F г
Фл = —а^д/у- = «^,(2)
где а — произвольная постоянная, подлежащая определению из третьего граничного условия.
Выражению (2) можно дать простое физическое толкование. Известно, что при внесении проводящего шара во внешнее поле в нем происходит перераспределение свободных зарядов: на одной половине его поверхности наводятся положительные заряды, а на другой — отрицательные, так что по отношению к внешнему пространству шар в целом ведет себя как некоторый электрический диполь. По
тенциал диполя равен . Отсюда следует, что ди
польный момент проводящего шара, находящегося во внешнем однородном поле Ее, равен:
Р = 4ле0 • аЕ0.(3)
Для определения а записываем граничное условие (3):
— cos 0 = E0R cos О,
откуда
a = R3(4)
и
P = 4ne0R3E0.(5)
Подставляя выражения (2) и (4) в (1), находим для искомого потенциала
Ф = —£orcos0fl —-) + С.(6)
Распределение зарядов на поверхности шара дается выражением:
° = — ео (^)= Зе0£0cos ®-(7)
\ or )r==R
Нетрудно показать, что полный заряд шара е — j odf = 0.
Неограниченная плоскость с выступом в виде полусферы радиуса а представляет собой границу бесконечного проводника. Найти распределение заряда на его поверхности.
у=0у=0Рис. 16Рис. 16(2)(2)
у=0
у=0
Рис. 16
Рис. 16
(2)
(2)
Решение
Чтобы найти распределение зарядов на поверхности данного проводника, необходимо написать подходящий потенциал, для которого поверхность проводника была бы эквипотенциальной поверхностью. Таким потенциалом в рассматриваемом случае служит потенциал, найденный в предыдущей задаче:
Ф = const -х(1— —) + С. (1) \
Действительно, по отношению к потенциалу (1) неограниченная плоскость х = 0 с выступом в виде полусферы ра
диуса г = а является эквипотенциальной поверхностью, на которой ф = С. Поэтому указанная поверхность может быть и поверхностью проводника, а потенциал (1) определяет электростатическое поле вне проводника (приведенные выше рассуждения основаны на теореме об однозначности и единственности решения элект-
ростатических задач, с ко
торой читатель может познакомиться по книге И. Е. Тамма, § 13, или по книге А. А. Власова «Макроскопическая электродинамика», ГТТИ, 1955, стр. 81—84).
Распределение зарядов на плоской части поверхности
проводника дается выражением:
ЗаохвЗаохв° — ео Г"\дг )г=а° — ео Г"\дг )г=а(3)(3)(мы положили const = — о0/е0, где о0 — плотность зарядов вдали от выступа); на поверхности полусферы
Заохв
Заохв
° — ео Г"
\дг )г=а
° — ео Г"
\дг )г=а
(3)
(3)
Найти распределение потенциала внутри пол у бесконечной прямоугольной коробки (рис. 16), вертикальная стенка которой имеет потенциал V, а горизонтальные стенки —- потенциал, равный нулю.
Решение
Математическая формулировка задачи: проинтегрировать уравнение Лапласа
№р + д2ф = ()(1)
дх2 ду2' '
при следующих граничных условиях:
(ф (0, у) = V,
(2)
Ф (х, 0) = 0,
(3)
Ф (х, Ь) = 0,
Ф
Ф 0 при х -
>■ ОО.
(5)
Интегрировать уравнение (1) будем по методу разделения переменных (метод Фурье; см.: В. И. Левин. Методы математической физики. М., Учпедгиз, 1956, стр. 84), т. е. будем искать ф (х, у) в виде:
(6)(6)ф (х, у) = V Х„ (X) ¥„ (у).
(6)
(6)
п=0
Подстановка ф„ (х, у) = Хг(х) Уп(у) в уравнение (1) дает возможность разделить в нем переменные х и у; в результате приходим к уравнению:
1 ^Хп_ =1 d2Yn
Х„ dx2 ~Yn dy2 '
Приравнивая полученные отношения произвольной постоянной к4, получаем систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений:
^ _ к4Хп = О,dx2п
^Lo. + уу = о.dy*п
Их общее решение имеет вид:
Х„(х) = С^е-^ + С^; ¥п (у) = a„cos ку + 6„sin ку.
Однако в силу* граничного условия (5) мы должны оставить в Х„(х) лишь первое частное решение, так как в противном случае нельзя было бы удовлетворить условию (5). С учетом сказанного решение (6) можно переписать в следующем виде:
ф (X, У) = 2 е“** М» C0S ^ + ®П sin ^У)-(6*)
№0
Запишем также граничные условия (2) — (4):
ф(°. У)= 5 (Лп cos ^у + Bnsin£y) = V, (2*) п=0
Ф (х, 0)= 2 Л„е-^ = 0,(3*)
п=0
Ф (х, 6) = 2 е-кх Ип cos kb + Вп sin kb') = 0.(4*)
п=0
Из выражения (3*) непосредственно следует, что
Л„ = 0.(7)
Легко видеть, далее, что выражение (4*) будет иметь место лишь в том случае, если sin kb = 0, откуда
где S — целое число.
С учетом значений (7) и (8) решение задачи (6*) и неиспользованное граничное условие (2*) можно переписать:
~ х s
ф(х, у)= 2 Впе ь sin-^y(9)
п=оо
И
Ф(0, у)= 2 B„sin^y = V.(10)
л=0b
С другой стороны, разложение V (у) = V в ряд Фурье имеет вид:
У = 2P,sin^y,5=0V
где ь
Р$^ - f Vsin—y-dy.
0
Вычисления показывают, что
4V4Vр, = (2л 4- 1)л’р, = (2л 4- 1)л’когда S = 2л + 1,когда S = 2л + 1,
4V
4V
р, = (2л 4- 1)л’
р, = (2л 4- 1)л’
когда S = 2л + 1,
когда S = 2л + 1,
0, когда S = 2/г,
и, следовательно,
(2л+ 1) л6 У"(2л+ 1) л6 У"(И)(И)V 417•
(2л+ 1) л
6 У"
(2л+ 1) л
6 У"
(И)
(И)
7 । SHI
$П + 1)л n—Q
Сравнивая" выражения (11) и (10), находим:
В •47
л (2п + 1)л *
ОО(2/1+1) Л ^
/\ 4V V 1. (2п + 1)лЬ
ф (у у) = — Уsin v!—- у • е.
л (2rt + 1)b У
/1—0
Для представления решения в конечном виде воспользуемся разложением:
00- (2/1 + 1) х
arc tg (++ = 2 ^ —•■ sin (2n + 1) у (х > 0), \ sh х)2n + 1
/1=0
лу sin —ьлхsh —bлу sin —ьлхsh —bоткуда окончательно находим:
лу sin —
ь
лх
sh —
b
лу sin —
ь
лх
sh —
b
оу
ф (X, у) = — arc tg
Л
Заряженный проводящий клин со сторонами 9= а и 9 = — а пересекается под прямым углом с заряженной проводящей плоскостью z = 0. Вычислить электростатический потенциал в области —а < 9 <а; 2 > 0.
Решение
Искомый потенциал записываем в виде:
Ф = U (г, 9, 2) + фо,
где ф0 — потенциал на поверхности проводника, a U (г, 9, 2)— функция, характеризующая распределение потенциала внутри полубесконечного проводящего клина. Она является решением уравнения Лапласа (в цилиндрических координатах)
дЧ/ . 1 dU , 1 d^U , dW п — = V дг^ г дг г2 502 5г2
и удовлетворяет следующим граничным условиям:
U (г, -а, г) = U (г,а, г) - U (г, 0, 0) - 0.(3)
Решение уравнения (2) будем искать в виде:
и (Г, 0,2) = / (г) . R (г) . Y (0).(4)
Подстановка (4) в (2) приводит нас к новому уравнению:
IP^^^Ul «U+l^ = o, (5) г2 \R dr \ dr )¥ д^Ч f dz$х
в котором можно разделить переменные.
Следует заметить, что в силу линейности исходного уравнения (2) интересующие нас функции / (?) и R (г) имеют вид полиномов от ? или г. Известно также, что решение уравнения (2) должно быть справедливым во всей рассматриваемой нами области (—а < 0 < а, г>0), в том числе и на больших расстояниях от плоскости (? -»- со ) и ребра клина (г -* оо ). Отсюда следует, что в полиномах / (?) и R(r) надо сохранить лишь члены с наименьшими положительными степенями ? и г. Так, с точностью до постоянной можно положить
Г (г) = ?.(6)
Тогда в остающемся от (5) уравнении
LA/r«) + l"_0(7)
R dr\ dr) Y d^v 1
легко разделить переменные г и 0. Для этого в уравнении (7) первое слагаемое приравняем т2, а второе — т2, после чего для определения функций R (г) и Y (0) получаем два весьма простых уравнения:
— + m*Y = 0.(9)
Интересующие нас решения уравнений (8) и (9) имеют вид:
R (г) = г™(10)
и
Y (0) = A cos т 0 + В sin /п0.(11)
Подстановка (6), (10) и (11) в (1) дает:
ср = г • гт (Л cos т 0 + В sin т &) + <р0.(12)
Из граничных условий (3), которые принимают теперь вид:
ггт (Л cos та — В sin та) = ггт (Л cos та-\-В sin. та) = О (последнее условие в (3) удовлетворяется тождественно), считая А + 0, находим:
т = - и В = 0.(13)
2аv
Для т, как указывалось выше, выбрано наименьшее возможное значение. Подстановка (13) в (12) приводит к окончательному ответу на вопрос задачи:
л
Ф = Azr cos -—h ф0.
Задачи для самостоятельногорешения
18*. Решить задачу 1 путем интегрирования уравнения Лапласа в сферических координатах.
19*. В статистической модели атома (модель Томаса — Ферми), справедливой для атомов с большими порядковыми номерами Z, принимается, что атомные электроны образуют вокруг ядра непрерывное электронное облако, плотность которого является функцией расстояния от ядра. Она приближенно может быть записана в виде:
где А определяется из условия нормировки
— Ze = ^ pdv,
а параметр а выбирается так, чтобы полная энергия атома Е = ТА-Щ + U
складывающаяся из кинетической энергии электронов Т, энергии электростатического взаимодействия электронов с ядром U J и энергии взаимодействия электронов между собой U 2, была минимальной.
Считая параметр а известным, вычислить потенциал электростатического поля, возбуждаемого электронным облаком на расстоянии г от центра ядра.
20*. Определить поле вне бесконечного проводящего цилиндра радиуса R, находящегося в однородном поперечном поле Ео. Определить также дипольный момент единицы длины цилиндра и распределение зарядов на его поверхности.
21*. Найти распределение зарядов на поверхности проводника, граница которого представляет собой неограниченную плоскость с выступом в виде бесконечного полуцилиндра радиуса а.
22*. То же для бесконечного проводника, границей которого является неограниченная плоскость с вмятиной: а) в виде полусферы радиуса а; б) в виде бесконечного полуцилиндра того же радиуса.
23*. Показать, что функции
д /1 \. а« /1\
Ф1 = °Г ” и Ф2 = 6 — - ,
ох \ г /дх2\г J
где а и b — постоянные, служат решениями уравнения Лапласа Дф = 0. При каком расположении точечных зарядов вблизи начала координат создаются на больших рас
стояниях потенциалы ф t и ф2?
24*. Показать, что в пространстве, в котором отсутствуют заряды, потенциал электростатического поля не может принимать ни максимальных, ни минимальных значений.
25*. Найти потенциал электростатического поля внутри вытянутой короб1 ки прямоугольного сечения, две противоположные
грани которой находятсяРис. 17
при потенциале V, а две другие заземлены (рис. 17).
26*. Даны три заряженные ортогональные проводящие поверхности: клин со сторонами 0 =а и 0= —а, плоскость Z = 0 и цилиндр г = а. Определить электростатический потенциал в области —а < 6 <а, Z >0 и г > а.
27*. Найти распределение потенциала в пространстве между двумя проводящими бесконечными полуцилиндра-
ми, один из которых поддерживается при потенциале <р0, а другой — при нулевом потенциале (в месте стыка полуцилиндры разделены бесконечно тонким изолирующим слоем).
г) Метод электрических изображений
Точечный заряд + е находится на расстоянии а от плоской поверхности бесконечного проводника, занимающего все левое полупространство. Определить поле вне проводника. Найти также поверхностную плотность отрицательных зарядов, индуцированных на поверхности проводника.
Решение
Электростатическое поле точечного заряда в присутствии незаряженного проводника является суммой двух различных по своей природе полей: собственного поля точечного заряда и поля, создаваемого зарядами, индуцированными на поверхности проводника. Однако непосредственное применение к расчету интересующего нас поля принципа суперпозиции ни к чему нс приводит, — нам неизвестен характер распределения индуцированных зарядов.
На помощь приходит уже упоминавшаяся нами в задаче 16 теорема об однозначности и единственности решения задач электростатики. Практический смысл этой очень важной теоремы состоит в следующем: формально решение той или иной электростатической задачи очень часто можно угадывать, основываясь на тех или иных интуитивных соображениях; и если затем окажется, что построенное таким образом решение будет удовлетворять всей совокупности физических требований, предъявляемых к искомому решению, то на основании теоремы об однозначности и единственности решения электростатических задач можно будет утверждать, что это «угаданное» решение не только правильное, но и единственное решение рассматриваемой задачи.
Таким образом, указанная теорема для целого ряда задач электростатики позволяет обосновать сугубо специальные методы решения. Метод изображений является одним из таких методов. Постараемся изложить основные идеи этого метода на примере рассмотрения данной задачи.
Итак, мы будем пытаться «угадать» решение нашей задачи. Но прежде чем начать такое угадывание, необходимо 42
сформулировать все физические условия, которым должно удовлетворять искомое решение. Эти требования сводятся к следующему:
искомое решение всюду должно удовлетворять уравнению Лапласа Аф^О (за исключением лишь той точки, где находится сам точечный заряд + е; потенциал в этой точке обращается в бесконечность за счет обращения в бесконечность собственного поля заряда);
Рис. 18Рис. 18ф = 0 на поверхности проводника, так как поверхность Проводника совпадает с одной из эквипотенциальных поверхностей искомого решения (потенциал проводника для простоты принимаем равным нулю);
Рис. 18
Рис. 18
ф -> 0 при г -> оо (не следуетзабывать,что
представление о бесконечномпроводникеяв
от проводника до точечного на больших расстояниях по-от проводника до точечного на больших расстояниях по-ляется физической идеализацией, на самом деле в задаче имеется, конечно, в виду конечный кусок проводника, размеры которого, однако, велики по сравнению с расстоянием заряда; если это учесть, то
от проводника до точечного на больших расстояниях по-
от проводника до точечного на больших расстояниях по-
верхностный заряд проводника следует, очевидно, считать точечным).
Нетрудно теперь видеть, что всем указанным условиям удовлетворяет потенциал
4л80 ф = е,(1)
/
где смысл ff и г 2 ясен из рисунка 18. Формально потенциал (1) получен в результате замены всех индуцированных на поверхности проводника зарядов одним точечным зарядом — е, расположенным в точке Л', представляющей собой зеркальное изображение точки Л (где находится заряд + е) в плоской границе проводника. В такой замене истинных поверхностных зарядов фиктивными точечными зарядами, которые вместе с данными зарядами создавали бы такое поле, для которого поверхность проводника слу-
жила бы одной из его эквипотенциальных поверхностей, и состоит основная идея излагаемого метода.
11114ле0 ф = е4ле0 ф = еЧтобы определить распределение зарядов на поверхности проводника, введем цилиндрическую систему координат (так, как это показано на рисунке 18) и перепишем потенциал (1) в виде:
11
11
4ле0 ф = е
4ле0 ф = е
V ^ + (г — а)2 У> + (г + а)2
откуда, пользуясь формулой
а =—,2л£3а =—,2л£3где /? = (а2 + г2)2 *где /? = (а2 + г2)2 *Рис. 19Рис. 19физических требований,физических требований,
а =—,
2л£3
а =—,
2л£3
где /? = (а2 + г2)2 *
где /? = (а2 + г2)2 *
Рис. 19
Рис. 19
физических требований,
физических требований,
находим:
То же для бесконечной прямой равномерно заряженной нити, параллельной плоской границе проводника
и отстоящей от нее на расстоянии а.
Решение
Вводим декартову систему координат так, как это указано на рисунке 19 (ось г параллельна заряженной нити и перпендикулярна к плоскости чертежа). В силу бесконечных размеров нити и проводника искомое поле, очевидно, одинаково во всех плоскостях, параллельных плоскости чертежа, другими словами, искомое поле нс зависит от координаты г. Поэтому совокупность которые мы должны предъявить
к искомому решению, сводится к следующему:
искомый потенциал всюду удовлетворяет двумерному уравнению Лапласа
i^ , ^ = 0,д/2 д^ 1
ф = 0 на поверхности проводника, т. е. при л = О потенциал проводника принимается равным нулю. Требовать, чтобы как и в предыдущей задаче ф -> 0 при г со, очевидно, бессмысленно, так как потенциал нити логарифмически расходится на бесконечности.
Сформулированным выше условиям удовлетворяет потенциал
(1)(1)Ф = _3_1пГ1 + ^-1пгг,2ле0 2ле0
(1)
(1)
который служит искомым решением задачи. Формально потенциал (1) получается в результате замены индуцированных поверхностных зарядов фиктивной, равномерно заряженной отрицательным электричеством, бесконечной нитью, параллельной данной нити и являющейся ее зеркальным изображением в граничной плоскости проводника.
При определении распределения индуцированных зарядов будем пользоваться формулой о = е0-(£„)л> где (Е„)л — нормальная составляющая вектора напряженности в какой-нибудь точке Л на поверхности проводника. Из формулы (1) находим:
.(2).(2)X ( Г1 — ^ И (f ) =^А^
.(2)
.(2)
2ле0 vl Г1 )" А 2ле0 _ г1л
Подстановка в формулу (2) значений для rtA = ггд, (г ^дп) и (ГгА^)» легко определяемых при помощи рисунка 19, дает:
(3)(3)Х(а-|-.у)2л (а2 + >2)
(3)
(3)
Решение
Поверхность проводника совпадает с эквипотенциальной поверхностью потенциала
(1)(1)е /11,11
(1)
(1)
4ле0 Vtг2 г3г.
который и является искомым решением задачи. При его написании поверхностный заряд проводника заменен тройкой фиктивных точечных зарядов, помещенных в точках А, В и С координатной плоскости XOY (рис. 20).
Рис. 20Рис. 20
Рис. 20
Рис. 20
Сила, с которой заданный точечный заряд + е притягивается к проводнику, равна:
F =е-16 л 80 aWF =е-16 л 80 aWе216 л еог§ °’е216 л еог§ °’
F =е-
16 л 80 aW
F =е-
16 л 80 aW
е2
16 л еог§ °’
е2
16 л еог§ °’
где г0 — радиус-вектор заданного точечного заряда. Далее, воспользовавшись тем, что
г2 = К* + а)2 + (У — Ь? + z2]2,
г3 = [(х + а)2 + (у + W + г2]2 ’
г. - [(х - а)2 + (у + by + г2]2 ’
перепишем потенциал (1) в виде:
Ф = ТЛ-{[(^~«)2 + (У-^+ ^ 2-
4Л6д
-[(х + а)2 + (у-&)2 + г2]“ +
Ч-Кх + аГ + СУ + ^ + г2]"-
_[(х-а)а + (у + 6)2 + г2ГЧ Отсюда по формулам
\О_у/у=0\ОХ/х=0
определяем распределения зарядов на стенках проводника, совпадающих с координатными плоскостями XOZ и ZOY. Нетрудно видеть, что
eb
^хо. = ~ ~ {[(х - а)2 + г2 + Ь2] 2 - 2Л
_[(х + а)2 + г2 + бТЬ И
_ 3_
°№ = -^ {[(у-^ + г2 + а2] 2-
_ 3,- [(у + 6)2 + г2 + о2] 2}.
Заряд, распределенный на равен:Заряд, распределенный на равен:ОО ООО Оповерхности XOZ проводника,3_[(х — а)2 + г2 + 62]2поверхности XOZ проводника,3_[(х — а)2 + г2 + 62]2
Заряд, распределенный на равен:
Заряд, распределенный на равен:
ОО О
ОО О
поверхности XOZ проводника,
3_
[(х — а)2 + г2 + 62]2
поверхности XOZ проводника,
3_
[(х — а)2 + г2 + 62]2
11 j j2е . а
?- dxdz =arctg —.
fл b
[(х + а)2 4- г2 + 62]2 J
Аналогично вычисляется заряд, распределенный на поверхности YOZ. Он равен:
2е * b
е2=arctg
л а
Очевидно также, что полный заряд, индуцированный на поверхности проводника, равен —е.
На некотором расстоянии друг от друга находятся два точечных заряда et и — е2. Определить поверхность, на которой потенциал
4ле0 \пг2 /
равен нулю.
Решение
Допустим, что искомой поверхностью является поверхность, изображенная на рисунке 21. Выясним, что должна представлять собой эта поверхность.
Для этого на продолжении прямой, соединяющей заданные заряды, за отрицательным зарядом — е2 выбираем полюс О полярной системы координат. Обозначим Oet = pi и Ое2 = р2. Тогда
г? = /?а + pl — 2р iR cos 0 и r2 = R1 + р* —2p2Rcos 0. Чтобы в любой точке искомой поверхности <р = О, необходимо, чтобы
=^2^2
ИЛИ
R2
-2— + рх — 2R cos ®
Л = & . ft
е2 Ра Я2*
2~ + Ра - 2R COS0
Ра
Отсюда непосредственно видно, что если начало координат выбрать так, чтобы
ft =
Рг
то искомой поверхностью будет являться сфера радиусаR = V PiPa = const.
Другими словами, искомой поверхностью является сфера, центр которой делит отрезок прямой, соединяющей заданные заряды, извне в отношении Квадратов зарядов.
В эвакуированной сферической камере (с радиусом, равным 10 см) с заземленными проводящими стерками в некоторый момент времени на расстоянии г = 6 см от ее центра образовался ион водорода, не обладающий в момент образования начальной скоростью. Через какой промежуток времени ион достигнет стенки камеры?
Решение
Ион движется вдоль оси х (рис. 22) под действием силы притяжения к заряду-изображению — et, движущемуся
навстречу иону. Эта сила, как было показано в задаче 22, равна:
ре^ах
4ле0 (а2 — х2)2 *
где х — координата движущегося иона.
Дифференциальное уравнение движения иона имеет, следовательно, вид:
(1)(1)/п ~ — е^охdi 4ле0 (а2 — х2)2
(1)
(1)
Уравнение (1) должно быть проинтегрировано при следующих начальных условиях: при t = 0, х0 = г и у0 — 0.
Умножая обе части уравнения (1) на скорость у и интегрируя полученное уравнение
иX
С Д — е2д С х dx
J \ 2~ 4ле0 J (а» -х^ ’
Ог
находим: mu2 е2а / 11 \
28л80\а2—х2 а2—г2/
откуда
dx/ а/ х2 — г2
- = у = И/ г (2)
diV 4л80/и (а2 — г2) \ я2 — х2 /
Интегрируя еще раз уравнение (2), находим величину интересующего нас отрезка времени:
Уа1
1 --4ле0т (а2 — г2) Г /х2 — г2е N aJ \а2 — х2
Стоящий в (3) определенный интеграл с помощью подстановки
а2 — х2 , о
х2 - г26 Y
преобразуется так:
(
лл,\
Г2\
J Ft4^ ~ J /Ь3^^ d ф I = а№) - Е^,
Оо
где К (п) и Е (п) — полные эллиптические интегралы первого и второго рода модуля
„,=0,8.
а
В результате полученное нами выражение (3) принимает вид:
т = Г^т^а^ {К (0,8) — Е(0,8)}.(4)
Подстановка в (4) числовых значений ео> ^^ е, К (0,8) и Е (0,8) дает
т = 4,88 • 10-2 сек.
Точечный заряд + е находится на расстоянии а от центра заземленной проводящей сферы радиуса R. Опре-
делить потенциал точечного заряда с учетом искажения, вызываемого отрицательными зарядами, индуцированными на поверхности сферы. Найти также силу, с которой заряд притягивается к сфере.
Решение
Будем искать решение задач в виде:ф =М
4ле0 \ г, га /
В потенциале (1) отрицательный заряд, распределенный по поверхности сферы, заменен некоторым фиктивным точечным зарядом — е/, последний помещен нами в точку Л,. лежащую на прямой, соединяющей заданный заряд
с центром сферы (рис. 23). Чтобы быть решением задачи, потенциал (1) должен обращаться в нуль на поверхности сферы. Указанное условие будет удовлетворено, если так же, как и в задаче 22, положить
£- = - и ab = R\е^ b
откуда
-Ц(2)
гхаг^)
Сила взаимодействия заряда и проводящей заземленной сферы равна:
Ре%^
4ле0 (а2 — /?2)2*
Какой минимальный положительный заряд следует поместить на сферу в условиях предыдущей задачи для того, чтобы поверхностная плотность зарядов на ней была всюду положительной?
Решение
Чтобы ответить на интересующий нас вопрос, необходимо найти распределение отрицательных зарядов, наведенных на сфере.
Представив полученный в предыдущей задаче потенциал (2) в виде
Г_ L
ф = —?— (г2 ^. аа _ 2ar cos 0) 2 —
4ле0 l
R / 2 , R42/Я»е а\-г'
г 4—cos 2а \ а2 а/
и воспользовавшись формулой
находим:
О = — е-^^1 [о« + #2 _ 2aRcos0] Г.
4л/?
Из полученного выражения видно, что максимальная плотность отрицательных зарядов, индуцированных на поверхности сферы, равна:
СтахСтахe(a + R)4л/? (а — /?)2*e(a + R)4л/? (а — /?)2*
Стах
Стах
e(a + R)
4л/? (а — /?)2*
e(a + R)
4л/? (а — /?)2*
Но это есть в то же время и минимальная плотность положительного заряда, который следует поместить на сферу для того, чтобы всюду на ней плотность зарядов была положительной. Отсюда искомый заряд равен:
<7 = 4л/?21 crma J =
eR (а + R)
(а-R)» 1
Точечный заряд е находится на расстоянии а от центра изолированной и незаряженной проводящей сферы радиуса R. Определить поле вне сферы и силу, с которой заряд притягивается к сфере.
Решение
Как известно, при внесении изолированной проводящей сферы в поле точечного заряда на ее поверхности наводятся в равных количествах положительные и отрицательные заряды. Заменим их фиктивными точечными зарядами е’ и — е' и запишем искомый нами потенциал в виде:
Указанный потенциал и будет являться решением задачи, если подобрать в нем величину и положения фиктивных зарядов так, чтобы удовлетворялись следующие очевидные требования:
при заземлении сферы (т. е. при отбрасывании последнего слагаемого) потенциал (1) должен переходить в известное нам решение задачи о заземленной сфере (см. задачу 24);
ф (/?) = const, т. е. поверхность сферы должна совпадать с одной из эквипотенциальных поверхностей потенциала (1).
Нетрудно видеть, что указанным условиям можно удовлетворить, положив е' = eRia и разместив заряды е' и — е' так, как это показано на рисунке 24, после чего искомое нами решение принимает вид:
или в сферических координатах
Г—L
Ф = —— (г2 + а2 — 2аг cos 0) 2 —
4ле0 [
— ~ (^ + ^ — ~ cos®Г7 + -I(2)
а \ а2 а / аг А
Сила притяжения точечного заряда к изолированной, незаряженной сфере определяется выражением:
р е2/?32а2 — R2
4ле0а3 (а2 — R2)2"
Бесконечная прямая заряженная нить (с зарядом + X на единицу длины) параллельна бесконечному заземленному проводящему цилиндру (радиуса R) и отстоит на расстоянии h от его оси. Определить: 1) поле вне цилинд
ра; 2) плотность зарядов, индуцированных на поверхности цилиндра, и 3) силу (на единицу длины), с которой нить притягивается к цилиндру.
Решение
В плоскости, перпендикулярной к нити и цилиндру, введем полярную систему координат с началом на оси цилиндра и полярной осью, проходящей через ось цилиндра и нить (рис. 25). Индуцированный на поверхности цилиндра отрицательный заряд заменим равномерно заряженной (с зарядом — X j на единицу длины) фиктивной нитью, проходящей через точку В, и запишем искомый потенциал в виде:
4ле0 ф = — 2Х1ПГ! + 2X,ln г2 + С, или
4ле0 ф = — X In (г2 + /г2 — 2rh cos 0) +
+ X! In (г2 + а2 — 2ar cos 0) + С.
Постоянные а, Х^и С следует подобрать так, чтобы удовлетворялось граничное условие ср (7?) = 0. Последнее, как нетрудно проверить, имеет место лишь в том случае, если в потенциале (1) положить
Х. = Х; д = - и С = Мп- = 2Х1п — haR *
Окончательно искомый потенциал принимает вид:
Ф =— In (г24-А2—2/7zcos©)+ —^—In+ ™ —
4ле04ле0 \№
Распределение зарядов на поверхности цилиндра определяется формулой:
°0 \дг/г«=^2л/? (А2 + ^2 — 2hR cos 0) *
Сила, действующая на единицу длины заряженной нити, параллельна прямой АО и равна:
F - ХЕА,
где Ед— напряженность поля фиктивной нити в точке А, через которую проходит заданная нить. Для определения Еа запишем потенциал поля, создаваемого в точке А фиктивной нитью,
<рл = In (А — а) + const,2ле0
откуда
£
с^ФлXX
Д — — Л= — ——————— ”= —— ————■-
dh2ле0 (/1—а)2ле0 (АВ)
после чего искомая сила оказывается равной
гX2X2/l
г =—
2ле0 (ДВ) 2ле0 (Л2 — R2) *
Задачи для самостоятельногорешения
28*. Проводником занято все пространство, за исклю
чением первого октанта; в точке (а, а, а) находится заряд е.
Рис. 26Рис. 26Определить силу, с которой заряд притягивается к проводнику.
Рис. 26
Рис. 26
29*. Доказать, что для системы, состоящей из проводника (образующего двугранный угол а) и точечного заряда (рис. 26), метод изображений применим лишь в том случае, если л
ппа = —, где п — целое число.
п
п
30*. В условиях задачи 26
определить поверхностную плот
ность зарядов, наведенных точечным зарядом на изолированной, незаряженной сфере.
31*. Какова величина силы взаимодействия между металлическим шаром радиуса R с зарядом q и малым пробным телом с зарядом е, находящимся на расстоянии а от центра шара?
Показать, что заряженный проводящий шар и проб
ное тело при некоторых условиях могут притягиваться и в том случае, если даже их заряды q и е имеют одинаковый знак.
32*. Два одинаковых точечных заряда помещены на расстоянии 2а друг от друга. Показать, что помещенная посередине между ними заземленная проводящая сфера полностью уничтожает их взаимное отталкивание, если радиус сферы выбрать приблизительно равным ^.
33*. Пусть r0 — радиус-вектор, проведенный из центра проводящей сферы (радиуса а) в точку, где находится точечный заряд 9.
Какой заряд следует поместить на сферу для того, чтобы сила, действующая на заряд q в однородном поле Ей) совпадающем по направлению с радиусом-вектором г0, в присутствии заряженной сферы обратилась в нуль?
34*. Бесконечная прямая и равномерно заряженная нить параллельна по отношению к бесконечно длинному, изолированному и равномерно заряженному проводящему цилиндру и отстоит на расстоянии h от его оси. Определить потенциал поля вне цилиндра, распределение индуцированных зарядов на его поверхности и силу (отнесенную к единице длины), с которой нить притягивается к цилиндру.
35*. То же для системы, находящейся в однородном поперечном электрическом поле Ео и состоящей из бесконечной равномерно заряженной нити и параллельного ей, изолированного и равномерно заряженного проводящего цилиндра. Поле Ео по направлению совпадает с прямой, соединяющей точки пересечения плоскостью чертежа оси цилиндра и нити.
§2. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ЕМКОСТЬ ПРОВОДНИКОВ И КОНДЕНСАТОРОВ. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ
НА ЗАРЯДЫ И ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Энергия электростатического поля в вакууме вычисляется по одной из следующих двух формул:
В системе СИВ системе СИВ абсолютной системеВ абсолютной системе
В системе СИ
В системе СИ
В абсолютной системе
В абсолютной системе
S
(2)(2)Ц7=±С£Ш8л J
(2)
(2)
Плотность энергии электрического поля в вакууме:
В системе СИВ системе СИВ абсолютнойсистемеВ абсолютнойсистеме
В системе СИ
В системе СИ
В абсолютнойсистеме
В абсолютнойсистеме
w = -- е^Е2.2 0w = -- е^Е2.2 0£2£28л*8л*(3)(3)
w = -- е^Е2.
2 0
w = -- е^Е2.
2 0
£2
£2
8л*
8л*
(3)
(3)
Сила взаимодействия точечных зарядов (закон Кулона):
В системе СИр ^1^24 ле0г2*В системе СИр ^1^24 ле0г2*В абсолютнойсистемер ^1^2Г2 •В абсолютнойсистемер ^1^2Г2 •
В системе СИ
р ^1^2
4 ле0г2*
В системе СИ
р ^1^2
4 ле0г2*
В абсолютнойсистеме
р ^1^2
Г2 •
В абсолютнойсистеме
р ^1^2
Г2 •
На 1 м2 поверхности проводника со стороны электрического поля действует сила, направленная по внешней нормали к его поверхности:
а22е0’а22е0’В системе СИ В абсолютной системе
а2
2е0’
а2
2е0’
/ = 2ло2,(5)
где о — плотность заряда на поверхности проводника.
По объему шара (радиуса а) равномерно распределен заряд е. Определить собственную энергию электростатического поля, возбуждаемого шаром.
Решение
Собственную энергию электростатического поля в отсутствии в нем диэлектриков можно вычислить, пользуясь формулой:
Jptpdv + " J o^dS(1)
УS
(где у — объем той части пространства, где имеются объемно распределенные заряды, т. е. где р + 0, и S — поверхности, на которых имеются поверхностно распределенные заряды а =£ 0), либо формулой:
W=le0^Eadv,(2)
где интегрирование распространяется на всю бесконечную область пространства, занимаемого электрическим полем.
Применяя к расчету электрической энергии заряженного шара формулу (1), заметим, что в рассматриваемом случае всюду а = 0, а р #= 0 лишь внутри шара, где
(см. задачу 13). Поэтому
(3)
шара
Так как подынтегральное выражение в (3) не зависит от углов 0 и а, элемент объема можно выбрать в виде do = = 4nr2dr. Подстановка dv в формулу (3) и интегрирование по г в пределах от 0 до а дают:
а
W = ^ Ua»_Zl\rMrе0 J \3 /15е0
о
Подставляя сюда величину объемной плотности зарядов, получаем:
(4) 2Олеоя
Покажем теперь, как пользоваться формулой (2). Прежде всего ее следует переписать в виде:
W == 1 е0 j Jf? dv + J El du),(5)
где Ej и Ee — напряженности поля соответственно внутри и вне шара; они, как это было показано в задаче 13, равны:
' 4ле0а3 е 4ле0г2-
Подставляя в (5) также du = 4л г2 dr и выполняя интегрирование, находим
Считая, что заряды протонов равномерно распределены по объему ядра, представляющего собой шар радиуса R, подсчитать энергию электростатического взаимодействия протонов в ядре атома с порядковым номером Z.
Решение
В ядре атома с порядковым номером Z имеется
,2 Z(Z—1)
пар взаимодействующих между собой протонов. Поэтому .для определения энергии взаимодействия всех протонов в ядре достаточно вычислить энергию взаимодействия какой-либо одной пары протонов и полученный результат умножить на число взаимодействующих пар.
Известно, что энергия взаимодействия точечных зарядов равна:
где ф; — потенциал, создаваемый всеми зарядами (кроме е^ в той точке, где находится заряд ez. В случае двух зарядов
Uo = (?1ф1,
где Ф1 — потенциал, создаваемый зарядом е2 в точке, занимаемой зарядом ev Если оба заряда распределены непрерывно по некоторому объему, то вышеприведенную формулу следует переписать в виде:
(1)(1)Uo = Р1Ф^,‘
(1)
(1)
где pi — объемная плотность распределения одного из взаимодействующих протонов, а ф — потенциал, создаваемый вторым протоном. Интегрирование в (1) следует провести по всему объёму ядра.
Потенциал ф, согласно задаче 13, равен:
(2)
где
Подстановка (2) в формулу (1) и интегрирование по объему ядра дает:
откуда полная энергия электростатического взаимодействия всех протонов в ядре оказывается равной:
[/_ 3Z(Z— 1)^
2Олео R'
Вычислить энергию и емкость сферического конденсатора.
Решение
Чтобы зарядить конденсатор, его присоединяют к источнику постоянного тока, который и «перекачивает» заряды с одной его обкладки на другую, тратя на это определенное количество энергии. Возникающее в результате электрическое поле конденсатора обладает энергией, равной работе, совершенной источником тока.
Чтобы перенести с одной обкладки конденсатора на другую бесконечно малый заряд de, источник тока совершает работу, равную dA = de (<р2 — <Pi), где (фг * <Pi) — разность потенциалов на обкладках конденсатора. По определению емкости, <р2 — <pi = — и поэтому dA = — , откуда энергия конденсатора
W = A= — Lde = —.(1)
С J2Gv
о
С другой стороны, энергию конденсатора мо^жно вычислить по формуле:
W = 1 е0 J ЕЧи.(2)
В сферическом конденсаторе все поле сосредоточено между его обкладками. Напряженность этого поля равна:
Е =-. Подставляя в (2) напряженность поля Е, эле-
4яеога
мент объема do = АлгМг и выполняя интегрирование по г в пределах от R t до R 2, где R 4 и R 2 — соответственно радиусы внутренней и внешней обкладок конденсатора, находим:
8ле0 J г2 бяво^^з *
Ri
Сравнивая формулы (2) и (3), находим следующее выражение для емкости сферического конденсатора:
С=4ле0--^_.(4)
Для системы двух бесконечно длинных и параллельных цилиндрических проводников (произвольного сечения), имеющих заряды ±5, известен потенциал ф (х, у), который на поверхностях проводников принимает постоянные значения ф t и ф 2 и всюду в пространстве между ними удовлетворяет уравнению Лапласа. Какова взаимная емкость (на единицу длины) указанной системы проводников?
Решение
Полная электрическая энергия, приходящаяся на единицу длины рассматриваемой системы проводников, равна:
= 1" ( [ °ltPldS + f агФ2^$),S1S2
где интегрирование производится по боковым поверхностям Si и S2 цилиндров единичной длины. Ввиду того что цилиндры несут равные по абсолютной величине заряды
(»2 = — <^1),
Подставляя сюда
о2 = — е0 и dS = dL,
\дп/ s2
где dL — элемент длины кривой L 2, лежащей в сечении одного из цилиндров, находим:
2д дп
С другой стороны, рассматривая данную систему проводников как конденсатор, ее полную электрическую энергию можно записать в виде:
^=у(<Р1-<Р2)2С(2)
Сравнивая (1) и (2), находим величину взаимной емкости рассматриваемой системы проводников
С =С =8рФ1—Ф28рФ1—Ф2^2^2
С =
С =
8р
Ф1—Ф2
8р
Ф1—Ф2
^2
^2
Определить взаимную емкость единицы длины двойной проводки, т. е. системы из двух бесконечных и параллельных проводящих цилиндров радиуса а с осями, отстоящими друг от друга на расстоянии h> а.
Решение
Поле, возбуждаемое цилиндрами (равномерно заряженными разноименными зарядами), заменяем полем двух фиктивных равномерно заряженных нитей, несущих за
ряд ±Х (на единицу длины) и проходящих через точки А и А' (рис. 27), с потенциалом
(1)(1)ср = —• —— In — + const.
(1)
(1)
2ле0 г2
Положение точек А и А' на линии ОО' надо подобрать так, чтобы поверхности цилиндров совпадали с эквипотенциальными поверхностями, для этого необходимо найти такое 6, при котором отношение ~ было бы постоян- ным на поверхности обоих цилиндров.
Для любой точки на поверхности цилиндра / можно записать:
а2
Д г»Д г»h — b — 2а cos 0хh — b — 2а cos 0х— + b — 2а cos 0х b
Д г»
Д г»
h — b — 2а cos 0х
h — b — 2а cos 0х
аналогично, в любой точке на поверхности цилиндра 2
11
? (3)? (3)гх — / й—- 6 \ 2 Г о2/ (А — ^) + А — 2а cos 02
? (3)
? (3)
r2 \ b /a2jb-\-b—2а cos 02
Чтобы отношения (2) и (3) оставались постоянными на поверхностях цилиндров, надо положить:
^_h — b = — +6,ь
откудаоткудаb (h — b) = а2b (h — b) = а2
откуда
откуда
b (h — b) = а2
b (h — b) = а2
(в выражении (4) взят лишь один знак минус; это следует из того, что b = 0, если а = О, т. е. если двухпроводная линия будет состоять из двух бесконечно тонких нитей).
Потенциалы цилиндров оказываются равными
X , 6 .,X 6 .,
Ф>. =In —k const И ф« = — In —h const,
2л в0 а2л 8g а
откуда для емкости единицы длины двухпроводной линии находим:
1 _ Фа—Ф1С X1 _ Фа—Ф1С X4Я<5>4Я<5>1I 1 61 1 Л
1 _ Фа—Ф1
С X
1 _ Фа—Ф1
С X
4Я<5>
4Я<5>
или— = — In -= — In—
Сле0аЛ8О 2а
Из общего выражения (5) для случая, когда h ^ а, нетрудно получить приближенную формулу:
(6)(6)Сг Л8П In—
(6)
(6)
Записать энергию системы заряженных проводников через их потенциалы, коэффициенты емкости и коэффициенты электростатической индукции.
Решение
Полную энергию системы заряженных проводников можно представить в виде:
(1)
(2)(2)где et и ф, — заряд и потенциал f-ro проводника (см.: И. Е. Т а м м, стр. 83). Учтем, что заряды и потенциалы проводников нельзя задавать одновременно произвольным образом, так как между ними существует некоторая зависимость. При установлении вида этой зависимости необходимо учитывать, что все уравнения электростатики линейные, а поэтому связь между зарядами и потенциалами проводников также должна быть линейной. Она имеет вид:
(2)
(2)
к
Совокупность величин Clk, входящих в (2) и имеющих размерность емкости, образует квадратную матрицу
/Сц С12 С13 . * е * \
Г I ^21 ^22 ^23 • • • • I/qs
диагональные элементы Czz которой называют коэффициентами емкости, а С/к — коэффициентами электростатической индукции.
Можно также указать формулу, связывающую потенциалы проводников с их зарядами; она имеет вид:
<Р< = 5 ек»(4)
К
где коэффициенты Си образуют матрицу С-1, обратную матрице С, т. е.
СС-1 = Е,(5)
где Е — единичная матрица, имеющая вид:
10 0,. . .
(6)(6)0 10.. . .
(6)
(6)
0 0 1....
Укажем также известное из курса линейной алгебры правило умножения матриц:
AiK=’£BijCJfe.(7)
Подстановка выражений (2) и (4) в формулу полной энергии заряженных проводников (1) дает:
| £ £ CiK№ = 7 S еА. (8) I кI к
при этом следует помнить, что коэффициенты С1к и Сй* обладают следующим свойством:
CiK = Ск1 и С^ = Cut •(9)
Два проводника с емкостями С| и С2 помещены на расстоянии г друг от друга, большом по сравнению с их собственными размерами. Определить коэффициенты Си.
Решение
Допустим, что заряжен только проводник /, т. е. ej^O, а е2 = 0. Тогда ф1 = —; с другой стороны, согласно соот- Сх
ношению (4) предыдущей задачи <р х = ехС^'+сгС^1. Сравнивая эти два выражения для фо найдем:
О проводнике 2 можно сказать, что он находится в поле, возбуждаемом проводником /, и так как расстояние между проводниками достаточно велико, проводники можно за- менять точечными зарядами и считать, что ф2 = О другой стороны, ф2 = вхСй* + е2С22*. Отсюда видно, что
12 4яеог'
Допуская аналогично, что заряженным является проводник 2, a et = 0, можно показать, что
, 1
= ^(3)
Итак, матрица С-1 рассматриваемой системы проводников имеет вид:
(4)(4)
(4)
(4)
Чтобы найти элементы С1К матрицы С, воспользуемся равенством (5) предыдущей задачи. Оно принимает в данном случае вид:
/ 2_.1 \
\С12 С22/ I 11 I \0 1/\ 4леог ’ С2 /\С12 С22/ I 11 I \0 1/\ 4леог ’ С2 /или (после перемножения матриц, стоящих в левой части)или (после перемножения матриц, стоящих в левой части)(Сц Са\ С/ 4леог ] = /1 ох
\С12 С22/ I 11 I \0 1/
\ 4леог ’ С2 /
\С12 С22/ I 11 I \0 1/
\ 4леог ’ С2 /
или (после перемножения матриц, стоящих в левой части)
или (после перемножения матриц, стоящих в левой части)
Приравнивая между собой матричные элементы матриц, стоящих в левой и правой частях равенства (5а), получаем систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов CiK:
Ci 4леог
^11| ^12 Q
4ле0г Са
^12 ।^22___ Q
Ci 4леог
^12। ^22|
4Л8дГ С2
откуда находим:
Cu=Ct 1
CjC2 \ 16л2еог2 / ^1С2
С12
г — Г
,^22 — u2 I 1
^1^2
16л2еог2
4леог
^1^216л2е8г2
Так как емкости Ci и С2 проводников определяются их линейными размерами, а линейные размеры проводни
членов порядкачленов порядкавключительно можно представить ввключительно можно представить вг2г2ков малы по сравнению с расстоянием между ними, то —< 1, и поэтому формулы (6) с точностью до 16л2еог2
членов порядка
членов порядка
включительно можно представить в
включительно можно представить в
г2
г2
следующей приближенной форме:
СА \16л2еог2 /СА \16л2еог2 /^1^2\16л28ог2 /^1^2\16л28ог2 /С]С24ле0г *С]С24ле0г *С ~ и12 =С ~ и12 =(6а)(6а)
СА \
16л2еог2 /
СА \
16л2еог2 /
^1^2\
16л28ог2 /
^1^2\
16л28ог2 /
С]С2
4ле0г *
С]С2
4ле0г *
С ~ и12 =
С ~ и12 =
(6а)
(6а)
Определить период гармонических колебаний жесткого диполя с моментом р = eL во внешнем однородном и постоянном поле Ео, считая, что с каждым из зарядов + е и — е связана масса т.
Решение
При включении внешнего поворачивается вдоль поля.У 1При включении внешнего поворачивается вдоль поля.У 1Рис. 28Рис. 28электрического поля диполь Однако в силу инертности диполя (с каждым из зарядов связана масса т) он начинает совершать около направления поля (рис. 28) колебания. Будем пренебрегать силами радиационного трения (силы, учитывающие наличие излучения электромагнитной энергии ускоренно движущимися зарядами диполя) и будем считать колебания диполя малыми. Тогда в разложении03sin О = 0 — — + . ..электрического поля диполь Однако в силу инертности диполя (с каждым из зарядов связана масса т) он начинает совершать около направления поля (рис. 28) колебания. Будем пренебрегать силами радиационного трения (силы, учитывающие наличие излучения электромагнитной энергии ускоренно движущимися зарядами диполя) и будем считать колебания диполя малыми. Тогда в разложении03sin О = 0 — — + . ..
При включении внешнего поворачивается вдоль поля.
У 1
При включении внешнего поворачивается вдоль поля.
У 1
Рис. 28
Рис. 28
электрического поля диполь Однако в силу инертности диполя (с каждым из зарядов связана масса т) он начинает совершать около направления поля (рис. 28) колебания. Будем пренебрегать силами радиационного трения (силы, учитывающие наличие излучения электромагнитной энергии ускоренно движущимися зарядами диполя) и будем считать колебания диполя малыми. Тогда в разложении
03
sin О = 0 — — + . ..
электрического поля диполь Однако в силу инертности диполя (с каждым из зарядов связана масса т) он начинает совершать около направления поля (рис. 28) колебания. Будем пренебрегать силами радиационного трения (силы, учитывающие наличие излучения электромагнитной энергии ускоренно движущимися зарядами диполя) и будем считать колебания диполя малыми. Тогда в разложении
03
sin О = 0 — — + . ..
можно ограничиться только одним первым членом, т. е. принять
(1)(1)sin 0^9.
(1)
(1)
Составим для колеблющегося диполя функцию Лагранжа L = Т — U. В силу того что m j = m 2 = tn и и, = v2 = у, кинетическая энергия диполя оказывается равной
Т = mu2 = m(r2 + г2©2),или, так как рассматриваемый диполь — жесткий, т. е.
г = — = const,
2
Т = ^@2.
4
Потенциальная энергия диполя во внешнем поле Ео
U — — рЕ0 cos 0 = — еаЕ0 cos 0 и, следовательно,
L = — 0 + еаЕ0 cos 0
4
Уравнение движения диполя имеет вид:
d dL dL qdt 66 50 *
которое с учетом выражения (1) можно переписать в виде:
0 4.. 0 = О,
та
откуда период малых колебаний диполя
т == 2л 1/^
со г 2еЕ0*
Висящий на трубке мыльный пузырь при открытой трубке стягивается под влиянием поверхностного натяжения (а = 0,05 дж/м2У Можно ли путем сильного заряжения пузыря предохранить его от полного сжатия? При этом следует иметь в виду ограниченную диэлектрическую прочность воздуха, равную 2 000 000 в/м. Если да, то при каком диаметре останется мыльный пузырь?
Решение
Путем заряжения пузыря силы поверхностного натяжения мыльной пленки можно уравновесить силами электростатического отталкивания зарядов, нанесенных на по-
верхность пузыря. Эти силы (отнесенные к 1 ;и2 пленки) соответственно равны (в н!м^ ~ и ^Е1, где d — диаметр пузыря. При равновесии
Однако заряжаться пузырь может до такого Е, при котором не возникает опасность пробоя диэлектрика (воздуха), окружающего пузырь. Таким значением Е для воздуха является 2 000 000 в!м. Из условия равновесия сил находим:
d = — = 1,13 см.е05а
Проводящая сфера радиуса а, помещенная в однородное электрическое поле Ео, рассечена на две половины плоскостью, перпендикулярной к направлению линий поля. С какой силой отталкиваются полусферы?
Решение
Рассмотрим положительно заряженную полусферу (рис. 29). На каждый 1 jh2 ее поверхности со стороны внешнего поля Ео действует сила
а2
гдегде2вд
где
где
а = 3e0E0cos 0
(см. задачу 15). Сила, действующая на всю полусферу, параллельна внешнему полю и равна:
Fx = J / cos 0 dS.
Подставляя сюда dS = аЧа sin0d0 и интегрируя, находим:
л
2л Т
Fx = — еоа2Ео С da С cos3 0 sin 0 d© = — ле0 a? Eq.
2 J4
о о
Рис. 30Рис. 304лее I г33(р7) (Р^)]4лее I г33(р7) (Р^)]
Рис. 30
Рис. 30
4лее I г3
3(р7) (Р^)]
4лее I г3
3(р7) (Р^)]
На вторую полусферу, заряженную отрицательно, со стороны поля действует равная, но противоположно направленная сила.
Определить энергию притяжения электрического диполя с моментом Р (Рх, Ру) к плоской границе бесконечного проводника.
Решение
электрическийэлектрическийНа рисунке 30 изображены заданный
электрический
электрический
диполь Р и его изображение в плоской границе проводника — диполь Pv Энергия взаимодействия диполя Р с проводником равна энергии взаимодействия диполей Р и Pv Последнюю можно рассматривать как энергию диполя Р во внешнем поле Е^ возбуждаемом диполем- изображением Pv т. е.
U= — Р Ev Подставляя сюда Et из задачи 7*’ получим:
где г — радиус-вектор, соединяющий середины диполей (рис. 30). Подставляя в- (1)
Р = Р^ + Ру/; Pt = PJ — РуТ и 7= 2x1,
U =U =2Р2, + Ру32лев^2Р2, + Ру32лев^где х — координата точки А (середина диполя Р), находим:
U =
U =
2Р2, + Ру32лев^
2Р2, + Ру32лев^
Задачи для самостоятельногорешения
36*. Согласно одной из гипотез о строении электрона его заряд q считается распределенным в пространстве с объемной плотностью
р(г) = — т4- • - ехР—•
4лг$ г \ гй)
так что весь его заряд практически оказывается сосредоточенным внутри сферы радиуса г0 («протяженный» электрон). Найти собственную электростатическую энергию такого электрона.
37*. Определить электрическую энергию шара (радиуса а), по поверхности которого равномерно распределен заряд е. Объяснить, исходя из соображений сохранения энергии, почему равновесному распределению зарядов в проводящем шаре соответствует равномерное распределение по поверхности, а не какое-либо другое распределение.
38*. Вычислить электростатическую энергию электрона в поле ядра атома, представляющего собой шар радиуса R, по объему которого равномерно распределен заряд Ze.
39*. Вычислить энергию электростатического взаимодействия электронов в атоме, описываемом статистической моделью Томаса — Ферми (см. задачу 19*).
40*. Написать потенциальную энергию электрона в поле однократно ионизированного атома Томаса — Ферми с порядковым номером Z.
41*. Вычислить энергию и емкость плоского и цилиндрического конденсаторов.
42*. Проводник заряжается от электрофорной машины путем повторяющихся подсоединений к пластине, которая после каждого подсоединения проводника снова заряжается электрофорной машиной до заряда q. Определить величину конечного заряда на проводнике, если известно, что после первой операции присоединения проводника к пластине его заряд оказался равным е.
43*. Замкнутый мыльный пузырь с радиусом Зсм заряжается электрофорной машиной до 27 000 в, благодаря чему его радиус увеличивается до 4 см. Определить коэффициент поверхностного натяжения пленки мыльного раствора.
44*. К конденсатору, состоящему из двух параллельных пластин площадью 80 см2 каждая и удаленных друг от друга на расстояние 5 мм, приложена разность потенциалов в 300 в, поддерживаемая постоянной при помощи батареи. Определите энергию в единице объема этого поля.
Пусть между обкладками конденсатора введена очень маленькая капелька масла, имеющая заряд 32 • 10~19 к. Подсчитайте силу, действующую со стороны поля на эту капельку.
45*. Абсолютный электрометр Томсона состоит из плоского конденсатора, нижняя обкладка К которого заземлена (рис. 31), а верхняя обкладка образована легкой
Рис. 31 пластинкой L, подвешенной к коромыслу чувствительных весов, и неподвижным защитным кольцом М, отстоящимна расстоянии / см от обкладки К. Площадь пластинки L и защитного кольца М — по S см2; площадь обкладки К — 2S см2.
Между защитным кольцом и подвижной пластинкой L имеется очень узкий зазор. Поэтому если пластинку L и кольцо М зарядить до одного и того же потенциала, то рассеяние электрического поля будет заметно лишь у внешних краев кольца, а под пластинкой L поле будет однородным.
В незаряженном состоянии пластинка L .находится в плоскости защитного кольца. Возникающее при зарядке пластинки L и кольца М до некоторого измеряемого потенциала ф электростатическое притяжение между пластинками L и К уравновешивают гирьками на другой чашке весов так, чтобы пластинка L снова оказалась в плоскости защитного кольца М.
Чему равен измеряемый потенциал ф (в вольтах), если вес гирек на чашке N оказался равным Р П
46*. Выразить взаимную емкость системы двух проводников, заряженных равными по абсолютной величине, но противоположными по знаку зарядами, через их коэффициенты емкости и электростатической индукции.
47*. Пусть имеется несколько изолированных проводников, положение которых задано и нс меняется со временем. Пусть собственные емкости каких-нибудь двух проводников из этой системы равны Ci и С2, а их взаимная емкость равна Ci2. Доказать, что если эти проводники соединить тонкой проволокой, то емкость объединенного проводника окажется равной Ci + С2 + Ci2.
48*. Определить силы, действующие на диполь во внешнем электростатическом поле Е, и момент этих сил, исходя из выражения для потенциальной энергии диполя во внешнем электрическом поле U = — рЕ.
49*. Какова величина поверхностной плотности зарядов на поверхности Земли в том месте, где падение потенциала составляет 250 в/м. Какова сила, действующая
здесь на 1 л2 земной поверхности со стороны электрического поля?
50*. Заряженный проводящий шар (радиуса а) разрезан на две половины. Определить силу, с которой оба полушария отталкиваются друг от друга.
51*. То же для бесконечного проводящего цилиндра, находящегося в однородном поперечном поле £0 и рассеченного на две половины плоскостью, перпендикулярной к линиям поля.
52*. Точечный электрический диполь Р находится на расстоянии h от центра заземленной проводящей сферы радиуса а и ориентирован так, как это показано на рисунке 32. С какой силой диполь притягивается к сфере, если из ее центра он виден под небольшим углом 2а? Изменится ли полученный результат, если сферу изолировать?
§ 3. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ
Основные уравнения постоянного электрического поля в диэлектриках имеют вид:
В систем-е СИ В абсолютной системе
rot Е = 0,rot Е = 0,(1)
div D = р,div D = 4лр, (2)
откуда
Е = — grad ф,(3)
где ф — скалярный потенциал электростатического поля, определяемый из уравнения Пуассона:
В системе СИВ системе СИВ абсолютнойВ абсолютной
В системе СИ
В системе СИ
В абсолютной
В абсолютной
Дф =Дф =Р еР есистеме8системе8(4)(4)
Дф =
Дф =
Р е
Р е
системе
8
системе
8
(4)
(4)
Общее решение уравнения Пуассона:
В системе СИ
if РД 4ле J г
В абсолютнойсистеме^J^ (5)
В формулах (4) и (5) g — абсолютная диэлектрическая проницаемость диэлектрика (g > е0), определяемая из соотношения:
D = е1 (6)
Из соотношения (6) видно, что в системе СИ вектора D и Е имеют разные размерности: вектор D имеет размерность [кАм2], а вектор Е — размерность [в/лд], в то время как в абсолютной системе единиц оба вектора имеют одинаковую размерность.
Помимо абсолютной диэлектрической проницаемости, удобно ввести понятие об относительной (безразмерной) диэлектрической проницаемости
К-
(7)
Потенциал электростатического поля, возбуждаемого в диэлектрике только его связанными зарядами:
В системе СИ В абсолютной
системе С рСВЯЗ. dv 1”
С сусвяз. dS
(8)
Объемная и поверхностная плотности связанных зарядов диэлектрика соответственно равны (в обеих системах единиц):_
Рсвяз. = — div Р(9)
И
асвяз. — Р In Р^(1®)
где Р — вектор поляризации диэлектрика.
Полный потенциал электрического поля при наличии диэлектрика:
В системе СИ
Ф
1/ С (р + рсвяз.) dV
4ле0 U г
(о -(- Освяз.) dS
В абсолютной системе
(р 4“ Рсвяз.) dV
(а 4~ сусвяз.) dS
Из формул (11) и (12) вытекает следующее определение вектора электрической индукции D.
В системе СИ В абсолютной -*-*->системе
О = е0£ + Л_ __
D = E-\-4nP.(13)
Как известно, для широкого класса диэлектриков (см.: И. Е. Т а м м, § 21) имеет место следующее соотношение: Р = аЕ, где а — поляризуемость диэлектрика, связанная с диэлектрической проницаемостью соотношением:
В системе СИ В абсолютной системе
а = в0(К-1),а = ^>(14)
причем в системе СИ поляризуемость а имеет размерность [фАи], а в абсолютной системе единиц поляризуемость а — безразмерная величина.
Электростатическая теорема Гаусса для электрического поля при наличии в нем диэлектриков формулируется следующим образом:
В системе СИ В абсолютной системе
(j) DdS = е.^) DdS = 4ле. (15)
Граничные условия для электрического поля при наличии диэлектриков:
В системе СИ В абсолютной системе
D^n — Dm = or, °2п — Dm = 4ла, (16)
Eat " E^.E^ — Eu.(17)
Плотность энергии электрического поля в диэлектриках:
В системе СИ В абсолютной
системе
w = -ED.ED. (18)
28лк
В абсолютной системе1 a v £2(19)7=e-^LV^.(20)оЛрасстояние между обклад-В абсолютной системе1 a v £2(19)7=e-^LV^.(20)оЛрасстояние между обклад-Объемная плотность пондеромоторных сил, действующих на диэлектрики со стороны электростатического поля: В системе СИ
В абсолютной системе
1 a v £2(19)
7=e-^LV^.(20)
оЛ
расстояние между обклад-
В абсолютной системе
1 a v £2(19)
7=e-^LV^.(20)
оЛ
расстояние между обклад-
f = — a v £2 '2 v
ИЛИ
f = U0(/<-l)vE2.
В плоский конденсатор,
ками которого равно d, вдвигаются пластинки из одного и того же диэлектрика с относительной проницаемостью К, но разных толщин. Конденсатор соединен с источником напряжения, который поддерживает на его обкладках постоянную разность потенциалов V.
Как меняется емкость конденсаторов в зависимости от толщины х вдвигаемой пластинки?
В какой зависимости от толщины пластинки находится напряженность электрического поля в диэлектрическом (£ i) и воздушном (£ 2) слоях?
Каковы напряженности поля в обоих слоях, если конденсатор сначала отделяется от источника напряжения и только после этого в конденсатор вдвигается диэлектрическая пластинка?
Решение
Плоский конденсатор с вдвинутой в него диэлектрической пластинкой можно рассматривать как систему двух последовательно соединенных конденсаторов. Так как емкость конденсатора с диэлектрическим слоем
р 8qKS
а конденсатора с воздушным слоем
то их общая емкость
Q 8qKS
Напряженности электрического поля в диэлектрическом и воздушном слоях соответственно равны:
£1= Ki и £ -
где V = Vi + У г- Количество электричества на обкладках конденсатора
q = CV = CiVt = С2У2.
Отсюда можно написать следующие два уравнения для определения У, и У2:
СУ = С,У, и СУ = С2У2,
VViKVv,
или —;—— =,
х + (d — х) Кхх + (d — х) К d — х
откуда
Е = vЕ = KV
x + (d — х)К ’2 x + (d — х)К
До отключения источника напряжения на обкладках конденсатора находится заряд
q = СУ = ^^, так что а = - = —.dS d
Если, отключив батарею, вдвинуть в конденсатор диэлектрическую пластинку, то напряженности поля в воздушном и диэлектрическом слоях будут равны Е'3 = — и Е/, причем на поверхности раздела слоев должно выполняться условие
е; = ле;
(равенство нормальных составляющих вектора электрической индукции). Поэтому
Ei = — и Е2 = К.
Kdd
Определить электрическое поле внутри и вне равномерно поляризованного диэлектрического шара (в отсутствии внешнего поля), нс прибегая к рассмотрению механизма поляризации вещества.
Решение
Потенциал электрического поля, возбуждаемого в диэлектрике его связанными зарядами, имеет вид:
1/ Г рСВЯЗ. dV . Г Освяз. dS \
Ф ~ 4ле0 U R J R )*VS
В рассматриваемом случае рСВЯз. = — div Р = 0, так как Р = const (шар равномерно поляризован), и поэтому
1 Г сгсвяз. dS
Ф “ J R '( )
где интегрирование должно быть проведено по всей поверхности шара.
Для того чтобы выполнить это интегрирование, поместим начало сферической системы координат (г, о-, ф) в центре шара; полярную ось направим из центра шара в точку наблюдения Л и плоскость векторов г и Р (вектор поляризации шара) примем за координатную плоскость XOZ (рис. 33), Тогда в точке В, лежащей на бесконечно малой площадке
dS = a2 since da d-^dS = a2 since da d-^(2)(2)
dS = a2 since da d-^
dS = a2 since da d-^
(2)
(2)
на расстоянии
R = /r2+ a2— 2ar cos a(3)
от точки наблюдения А, поверхностная плотность связанных зарядов оказывается равной
Освяз.= рп = P(sina0 Sina cos ip 4* cosa0cosa) (4) (для получения выражения (4) необходимо написать разложения векторов Р и п по осям декартовой системы координат и выполнить умножение Р п — Рп). После подстановки выражений (2) — (4) в (1) и интегрирования по углам ip и а находим:
аР ( 1 Г2]
Ф = cos ao I ^ L^ + «)3- (^ + a2- 2ar) 2 j -
— (г — a) — (r2+ a2— 2ar) 2^(5)
Полагая в (5)
J _ f r — а при r > a,(r2+ a2— 2ar) 2| a — r При r <;a,
получаем:
a3 P cos a01 n
Ф, = — и ro, = — P r cos a0,
3e0 r8 YZ 3eg°’
или
a3 (Pr1
иным элек-иным элек-и ф, = — (Рг\Зе0 г3 Tz Зе0 4
иным элек-
иным элек-
Аналогичные результаты могут быть получены и путем (см., например, книгу И. Е. Тамма «Основы тричества», § 24).
Определить вектор поляризации однородного диэлектрического шара, помещенного во внешнее однородное поле Ео. Найти также потенциалы поля внутри и вне диэлектрического шара.
Решение
Поле внутри и вне шара складывается из двух полей: внешнего однородного поля Ео и поля, возбуждаемого поверхностными связанными зарядами однородно поляри-
зованного диэлектрического шара, т. е. поля, рассчитанного в предыдущей задаче.
Введя сферическую систему координат с полярной осью, направленной вдоль внешнего поля Ео (рис. 34), мы можем записать потенциал суммарного поля в следующем виде:
ф< = —£ох + ^-^, (г > а),ф< =— Еох + А- (Рг), (г < а),Зв0
где <р0 = — Ео х — потенциал внешнего однородного поля.
Рис. 34Рис. 34Для того чтобы записанные выше потенциалы представляли собой решение задачи, необходимо, чтобы они удовлетворяли следующим двум условиям:
Рис. 34
Рис. 34
Ф/=Ф» при г=а и 2) Din= ~ Den при г = а, или
Нетрудно видеть, что первое условие выполняется автоматически: для этого достаточно переписать потенциалы фе и ф, в виде:
Ф, = — Eor cos© + °- '-™— Et coS0,
Ф/ =— Ео cos 0 + ^у~ Е* r cos ®
(при переписывании заменяем х и Рпо формуламх =r cos0, где cos 0 = cos (Ео, г), и Р = е0(К — 1) Et, где Et — напряженность поля внутри диэлектрика). Второе граничное условие принимает вид:
E6V-^Ei=KEg-K-^E1,
откуда
Потенциалы поля окончательно записываются в виде:
/ К—1 оз\
фе =— Е0Х 1— /г > fl)
Ф, =х, (г а).
К + 2 • v 7
Проводящая сфера радиуса а находится внутри концентрического с ней диэлектрического шара радиуса b с относительной проницаемостью К. Определить емкость проводящей сферы.
Решение
Пусть проводящая сфера заряжена до заряда е; тогда ее электрическая энергия будет равна:
U7 = ^ П —1 4 яг2 dr + -°) 4 nr2 dr =
2 J \ 4ле0Кг2 /2 J \ 4 ле0 г2 /
ab
= g2
8ле0 ab К ’
а ее емкость
С — — —4 яе° °^
Ж а(К—1) + * *
Левая часть пространства занята диэлектриком с проницаемостью (относительной) К ь а правая — диэлектриком с проницаемостью К2. Во второй среде на расстоянии а от плоской границы раздела двух сред находится точечный заряд +е.
Определить поле в обоих диэлектриках. Рассмотреть частный случай: в правом полупространстве — пустота (К2 = 1)- Сравнить искажение поля точечного заряда, вызываемое бесконечным диэлектриком Ki (с плоской границей), с тем искажением, которое наблюдалось бы, если в левом полупространстве находился проводник. При каком условии искажение поля точечного заряда диэлектриком К^ будет таким же, как и искажение от бесконечной проводящей стенки?
Решение
Применим к решению данной задачи метод изображе
ний. Допустим, что заряду +е соответствует по другую
сторону плоской границы раздела двух сред электрическое изображение—е' (рис. 35) и попробуем искать потенциал поля в среде Кг (в точке Р) в виде:
1
Рис. 35Рис. 354л80Л2г'/
Рис. 35
Рис. 35
Потенциал поля в среде К i (в точке Р') попытаемся представить в виде:
е" ф =
1 4ле0 Кхг
т. с. мы считаем поле в среде Ky таким, каким оно было бы, если все пространство было занято только одним диэлектриком с проницае
мостью ^1, а в точке А находился заряд +е?\
Покажем, что указанные допущения возможны, если распорядиться произвольными пока / и е" так, чтобы
удовлетворялись граничные условия:
Ф1 = ф2 И Dln= О2„
на поверхности раздела двух сред.
В какой-либо точке М, лежащей на поверхности раздела, указанные условия принимают вид:
1 / е е'К3 \ гмг'м1 / е е'К3 \ гмг'ме,гК\г ме,гК\г м4- ^м^—р-з (г'мп) = Д- (гм п) г мг мг м
1 / е е'
К3 \ гмг'м
1 / е е'
К3 \ гмг'м
е,гК\г м
е,гК\г м
или
к, le — е') = к2е" и е + е' = е".
Решая полученную систему уравнений, находим:
(1)(1)е = — е. ег=1— е,
(1)
(1)
^1 + ^2Л1 + /<2
после чего искомые потенциалы принимают вид:
еее /1е /1ф = ф = _1 2ле0 ^Kt + Яа) г Т2 4л80К2 VВ частном случае, при К^ 1ф = ф = _1 2ле0 ^Kt + Яа) г Т2 4л80К2 VВ частном случае, при К^ 1^ - Ка 1Kx-YK^r-^ - Ка 1Kx-YK^r-
е
е
е /1
е /1
ф = ф = _
1 2ле0 ^Kt + Яа) г Т2 4л80К2 V
В частном случае, при К^ 1
ф = ф = _
1 2ле0 ^Kt + Яа) г Т2 4л80К2 V
В частном случае, при К^ 1
^ - Ка 1
Kx-YK^r-
^ - Ка 1
Kx-YK^r-
mееКх~\ \
ф = ф — А
2л80(1+К1)г ’4ле0 V КхА-Хг*
Если заменить диэлектрик Кх проводником, то для определения потенциала ср2 в правом полупространстве необходимо поместить в точке А' точечный заряд —е (см. задачу 19). Следовательно, возмущающее действие, оказываемое на поле точечного заряда большим куском диэлектрика с плоской границей, в
_ 2
е Ki + 1 V Ki+U
раз меньше по сравнению с аналогичным действием куска проводника. Отсюда видно, что е' = е при К х-^ сю, т. е. в задачах электростатики формально можно рассматривать проводник как диэлектрик с бесконечно большой диэлектр и чес кой пр о ни цаемостью.
Вычислить силу, действующую на единицу длины бесконечной прямой и равномерно заряженной нити, параллельной плоской границе раздела двух диэлектрических сред и расположенной от нее на расстоянии d.
Решение
Решение вполне аналогично решению задачи 43, с той лишь разницей, что потенциалы поля в обеих средах теперь следует записывать в виде:
X" 1X 1 I X' t ,
Ф —In г, ф2 =In г НIn г ,
2ле0 Кх2ле0 К22л80 К2
где X, X', X"— заряды, приходящиеся на единицу длины нити и ее изображений, а г, г'— расстояния в плоскости, перпендикулярной к нитям. Для X', X" получаются те же выражения, что и в задаче 43 [формула (1)] для зарядов- изображений е и е".
Сила, действующая на единицу длины нити,
F = ХЕд,
где Еа — напряженность поля, возбуждаемого фиктивной нитью (с зарядом X') в точках, занимаемых реальной (заданной) нитью. Она, как легко видеть, равна (рис. 36):
ОтсюдаОтсюдаF = — XF = — X2. ( х' dr' \2ne0Ks2. ( х' dr' \2ne0KsIn г'In г'г' = 2d.г' = 2d.AnegK^Ki + K^d ‘AnegK^Ki + K^d ‘
Отсюда
Отсюда
F = — X
F = — X
2. ( х' dr' \2ne0Ks
2. ( х' dr' \2ne0Ks
In г'
In г'
г' = 2d.
г' = 2d.
AnegK^Ki + K^d ‘
AnegK^Ki + K^d ‘
Внутри бесконечной цилиндрической полости (радиуса а), вырезанной в протяженном диэлектрике, находится бесконечная прямая заряженная нить, параллельная
полости и отстоящая на расстоянии h от ее оси. Вычислить силу, действующую на единицу длины нити со стороны диэлектрика.
Решение
Применяя метод изображений, будем искать поле внутри полости как суммарное поле реальной заряженной нити (с зарядом +Х на единицу длины) и фиктивной нити (с зарядом —• X'), проходящей через точку В (рис. 37), находящуюся на расстоянии b = dMh от оси полости. Поле вне полости (в диэлектрике) будем искать в виде суперпозиции полей от двух фиктивных нитей с зарядами + X" и X — X" и проходящих соответственно через точки Л и О. На основании всего сказанного выше потенциалы поля можно записать в виде:
ф<ф<—— In г. 4—— lnr2, 2ле0 1 2ле0
ф<
ф<
ф |п гinr + Q
т 2ле0К 1 2ле0К
или в полярных координатах:
Ф, =— In (r*+ A2— 2r A cos 0) +
4ле0
। к' , / 2 , а* 2гаа
4In г 4cos 0),
4ле6 \ Ла /i
Ф# = — -—-—In (г24- А2— 2rA cos 0) —
Y 4ле0К V
(1)(1)_ J^Llnr4-C.
(1)
(1)
2ле0 К
Подберем теперь к', к", С так, чтобы удовлетворялись граничные условия:
ф/ (а) = ф« (а) и (-^\ dr
Первое из указанных условий принимает вид:
(X' — к') In (а2 + А2— 2аА cos 0) 4- 2к' In 5-= - ^ In (а2+ А2— 2аА cos 0) — 2^2lL In а
откуда видно, что непрерывность потенциала на поверхности полости будет обеспечена, если положить
С = 2Х In —к —- In а
h 1 К
и
К (X — X') = X".(2)
Второе граничное условие имеет вид:
/ а2\
2Х। а — — cos0 1
„ 2X(a-/icos0) ,\Zi/ 2(Х-Xzz)
02_l ^2— 2a/z cos 9а4 2а3а
41а2+ -— cos 6
/г2 h
2XZZ ^а — h cos 0)fl2^_ ^2— 2ah cos 0
илиилик 4- к' = к".к 4- к' = к".(3)(3)
или
или
к 4- к' = к".
к 4- к' = к".
(3)
(3)
Из уравнений (2) и (3) находим:
Сила, действующая на единицу длины заряженной нити со стороны диэлектрика, находящегося вне полости, оказывается равной:
[dr2 ' 2ле0 ln r2 / Jr2= (b - Л) 2ле0 (^ + 1) (a2— /i2) ' '
Точечный заряд q находится на расстоянии го от центра сферической полости (радиуса а*>г0\ вырезанной в бесконечно большом куске диэлектрика с относительной проницаемостью К. Определить силу, действующую на заряд со стороны полости.
Решение
Поле внутри полости будем искать в виде суммарного поля реального точечного заряда q, находящегося в точке Л (рис. 38), и фиктивного точечного заряда — q', находяще-
Рис. 38Рис. 38
Рис. 38
Рис. 38
гося в точке, лежащей на продолжении прямой О А на рас-
1ГТ
стоянии с? — — от центра полости. Потенциал, соответст
(1)(1)вующий указанному полю, записываем в виде:
(1)
(1)
4ле0 \7?х R.
где
Rt = ^ + Г2 _ 2r0 R cos @)2 и #2 = (Z?2+ 6a— 2bR cos 0)2 .
Воспользовавшись разложениями обратных расстояний — и 1
— в ряд по сферическим гармоникам (см.: В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. 3, ч. 2, 1950, стр. 490)
1 on
У р« (cos 0) при R < 'о.
1 М = о Г°
^"1 = Д гЗ(2)
>, ^йлрп (COS 0) при R> гй
п = 0
Г * гп + !2
X^^/^cos©) приЯ<->
м = 0
Г = ь 2<3)
X Т^ТГ^08©) при/?>;_, ' о х'о
перепишем потенциал (1) в следующем виде:
м = 0 \ 0
;^1 Ьтг-~Л"|р"<^е), v<,<R«A (1б) п = О х*
Запишем также потенциал поля, возбуждаемого внутри полости только одним фиктивным зарядом — q'1.
Ф/ *=— У --— ■ рп ^«(cos©).(4)
4ле0 “ а2п+2
п = 0
Поле вне полости будем искать в виде поля, которое создавал бы в однородной среде с относительной проницаемос-
тью Л фиктивный заряд 9", находящийся в точке, занимаемой в действительности реальным зарядом q. Соответствующий этому полю потенциал можно записать в виде:тью Л фиктивный заряд 9", находящийся в точке, занимаемой в действительности реальным зарядом q. Соответствующий этому полю потенциал можно записать в виде:ф =I 4n6oKRxф =I 4n6oKRx(5)(5)или1 V q" Rn ^Ъ-^Рп (cos 0), (7? < г0), . п = 0 0или1 V q" Rn ^Ъ-^Рп (cos 0), (7? < г0), . п = 0 0(5а)(5а)Ф« =Ф« =(56)(56)П = 0П = 0Для того чтобы потенциалы (1а, б) и (5а, б) были решением задачи о потенциале, необходимо подобрать q' и of так, чтобы на поверхности полости удовлетворялись граничные условияДля того чтобы потенциалы (1а, б) и (5а, б) были решением задачи о потенциале, необходимо подобрать q' и of так, чтобы на поверхности полости удовлетворялись граничные условияф/ (а) = ф,(а) и -х-ф/ (а) = ф,(а) и -х-(6)(6)\ ОК / R=a \ ОК /R—а(при записи граничных условий (6) потенциал ф, следует взять по формуле (16), а ф# — по формуле (56)]. Нетрудно показать, что граничные условия (6) будут удовлетворены, если положить£ = q — q'.rsКа\ ОК / R=a \ ОК /R—а(при записи граничных условий (6) потенциал ф, следует взять по формуле (16), а ф# — по формуле (56)]. Нетрудно показать, что граничные условия (6) будут удовлетворены, если положить£ = q — q'.rsКаии(п + 1) </' = (и + 1) q + nq' • ^ а(п + 1) </' = (и + 1) q + nq' • ^ аоткуда(2« + 1>Л!" + «<»+Dlr.» + S(»+Dоткуда(2« + 1>Л!" + «<»+Dlr.» + S(»+D(7)(7)Сила, действующая на заряд q со стороны полости, параллельна прямой АО и равна:Сила, действующая на заряд q со стороны полости, параллельна прямой АО и равна:F=—gl —I .R-rQ,= \dR J ( 0=0 /F=—gl —I .R-rQ,= \dR J ( 0=0 /(K-V^1(K-V^14лво^4лво^ул та (та + 1)2j п + К(п + 1)п** оул та (та + 1)2j п + К(п + 1)п** о
тью Л фиктивный заряд 9", находящийся в точке, занимаемой в действительности реальным зарядом q. Соответствующий этому полю потенциал можно записать в виде:
тью Л фиктивный заряд 9", находящийся в точке, занимаемой в действительности реальным зарядом q. Соответствующий этому полю потенциал можно записать в виде:
ф =I 4n6oKRx
ф =I 4n6oKRx
(5)
(5)
или
1 V q" Rn ^Ъ-^Рп (cos 0), (7? < г0), . п = 0 0
или
1 V q" Rn ^Ъ-^Рп (cos 0), (7? < г0), . п = 0 0
(5а)
(5а)
Ф« =
Ф« =
(56)
(56)
П = 0
П = 0
Для того чтобы потенциалы (1а, б) и (5а, б) были решением задачи о потенциале, необходимо подобрать q' и of так, чтобы на поверхности полости удовлетворялись граничные условия
Для того чтобы потенциалы (1а, б) и (5а, б) были решением задачи о потенциале, необходимо подобрать q' и of так, чтобы на поверхности полости удовлетворялись граничные условия
ф/ (а) = ф,(а) и -х-
ф/ (а) = ф,(а) и -х-
(6)
(6)
\ ОК / R=a \ ОК /R—а
(при записи граничных условий (6) потенциал ф, следует взять по формуле (16), а ф# — по формуле (56)]. Нетрудно показать, что граничные условия (6) будут удовлетворены, если положить
£ = q — q'.rs
Ка
\ ОК / R=a \ ОК /R—а
(при записи граничных условий (6) потенциал ф, следует взять по формуле (16), а ф# — по формуле (56)]. Нетрудно показать, что граничные условия (6) будут удовлетворены, если положить
£ = q — q'.rs
Ка
и
и
(п + 1) </' = (и + 1) q + nq' • ^ а
(п + 1) </' = (и + 1) q + nq' • ^ а
откуда
(2« + 1>Л
!" + «<»+Dlr.» + S(»+D
откуда
(2« + 1>Л
!" + «<»+Dlr.» + S(»+D
(7)
(7)
Сила, действующая на заряд q со стороны полости, параллельна прямой АО и равна:
Сила, действующая на заряд q со стороны полости, параллельна прямой АО и равна:
F=—gl —I .R-rQ,= \dR J ( 0=0 /
F=—gl —I .R-rQ,= \dR J ( 0=0 /
(K-V^1
(K-V^1
4лво^
4лво^
ул та (та + 1)
2j п + К(п + 1)
п** о
ул та (та + 1)
2j п + К(п + 1)
п** о
Экспериментальные методы измерения поляризуемости диэлектрических материалов (так же, как и измере-
ние диамагнитной и парамагнитной восприимчивости магнитных материалов) основаны на определении сил,
действующих на испытываемый образец в неоднородном электрическом поле. Схема одного из подобных методов представлена на рисунке 39.
Испытываемый образец в виде достаточно тонкого цилиндра предварительно уравновешивают на весах. Затем образец помещается в поле двух заряженных разноименными зарядами сфер и снова уравновешивается. Какова
поляризуемость диэлектрика, если заряд каждой сферы равен q, расстояние между центрами сфер — 2а, сечение образца — S, его длина — /, вес образца до внесения в поле — Р и вес образца в поле — Р t?
Решение
Известно (см: И. Е. Тамм. Основы теории электричества, §32), что на единицу объема диэлектрика со стороны электростатического поля действует сила
/ = -^grad£a.
Сила, действующая со стороны электростатического поля заряженных сфер на испытываемый диэлектрический образец, параллельна оси (см. рис. 39) и равна.
Fz = ^ J gradzE4y = ^ J ^dz = ^ [E\l) - E2(0)J.
С помощью рисунка 39 находим:
£(/) =£(/) =д2ле0г2д2ле0г2aq cos а =зaq cos а =з£(0) =£(0) =2ле0а2‘2ле0а2‘Следовательно,Следовательно,F — _а8а?д21Г Z8л2е2а6(а2 + /2);F — _а8а?д21Г Z8л2е2а6(а2 + /2);2ле0(а2 + /2) 22ле0(а2 + /2) 2(1)(1)
£(/) =
£(/) =
д2ле0г2
д2ле0г2
aq cos а =з
aq cos а =з
£(0) =
£(0) =
2ле0а2‘
2ле0а2‘
Следовательно,
Следовательно,
F — _
а8а?д2
1
Г Z
8л2е2
а6
(а2 + /2);
F — _
а8а?д2
1
Г Z
8л2е2
а6
(а2 + /2);
2ле0(а2 + /2) 2
2ле0(а2 + /2) 2
(1)
(1)
С другой стороны, Fz = -^-PY(2)
Сравнивая (1) и (2), находим поляризуемость диэлектрика;Сравнивая (1) и (2), находим поляризуемость диэлектрика;она равна:а —она равна:а —8л2^(Р1-Р)Г 18л2^(Р1-Р)Г 1Sa?q^Sa?q^а6а6^ + /2)3ф ? м.^ + /2)3ф ? м.
Сравнивая (1) и (2), находим поляризуемость диэлектрика;
Сравнивая (1) и (2), находим поляризуемость диэлектрика;
она равна:
а —
она равна:
а —
8л2^(Р1-Р)Г 1
8л2^(Р1-Р)Г 1
Sa?q^
Sa?q^
а6
а6
^ + /2)3ф ? м.
^ + /2)3ф ? м.
Определить изменение внутренней энергии теплоизолированного диэлектрика, находящегося между обкладками плоского конденсатора, при бесконечно малом изменении в диэлектрике поля, происходящем за счет увеличения заряда обкладок на бесконечно малую величину Де. Обкладки конденсатора поддерживаются при постоянной разности потенциалов. Изменением объема диэлектрика при изменении поля пренебречь.
Решение
Работа, которую надо произвести для того, чтобы увеличить заряд обкладки конденсатора на бесконечно малую величину Де, равна:
ДЛ = ф! Де.(1)
Это — механическая работа, производимая электрическим полем при переносе заряда Де из бесконечности на обкладку конденсатора.
Задача состоит в том, чтобы преобразовать ДЛ к виду, выраженному через характеристики поля в диэлектрике.
Пусть Dn — проекция вектора электрической индукции на нормаль к обкладке конденсатора, внешней поот-
ношению к диэлектрику; тогда очевидно, что поверхностная плотность заряда на обкладке равна — Dn, так что
e = —^DndS = —$D dS.(2)
s,s,
Отсюда, имея в виду, что потенциал <р i постоянен на всей обкладке конденсатора, можно записать:
Д Л = ф. Де = — ^tp^DdS = — (^ф^Р^,(3)
s,s.
где So — замкнутая поверхность, охватывающая весь конденсатор и проходящая внутри второй обкладки немного
выше границы раздела диэлектрика и этой обкладки (на рисунке 40 штриховой линией изображена проекция этой поверхности на плоскость, перпендикулярную к обкладкам конденсатора). Такой выбор поверхности So оправдан тем, что на плоскостях АС и BD' произведение "z\Dd5 = 0, так как дР_LdS, а на плоскости CD вектор дР = 0, так как все поле в конденсаторе сосредоточено между плоскостями АВ и C'D'. Применяя к уравнению (3) теорему Остроградского — Гаусса, находим:
ДЛ = — J div (ф, др)^, (4) где интегрирование производится по всему объему диэлектрика. Как поле D в начале процесса, так и измененное
поле AD ввиду отсутствия объемно распределенных зарядов удовлетворяют уравнению Максвелла divAD=0, поэтому
div (tiAd) = (pidivAD + AD grad ф4 = — EM) и, следовательно,
АД = J ЕЙ) dV.(5)
Но из термодинамики известно, что работа, произведенная над теплоизолированным телом, есть не что иное, как изменение внутренней энергии тела при постоянной энтропии (см.: В. Е. Микрюков. Курс термодинамики, Учпедгиз, 1956, стр. 92). Таким образом, искомое изменение внутренней энергии U диэлектрика равно:
(А^)е = ДА = J EADdV.
В общем случае (диэлектрик не теплоизолирован) изменение внутренней энергии (Д1/)о надо прибавить к изменению полной энергии тела, включающей в себя также тепловую энергию и энергию электростатического поля в вакууме; поэтому
^U= ТАа + J ЕЙ)<1У.(6)
Если воспользоваться определением свободной энергии F = U — Та, то
^F = — оДТ+ j EADdV, откуда видно, что
J E-M)dV = ^F)T
представляет собой изменение свободной энергии диэлектрика при изотермическом изменении электрического поля.
Обозначим через / свободную энергию единицы объема диэлектрика; тогда
(А/)т -Е-Й),
откуда для изотропного диэлектрика с линейной связью между векторами Е и D, т. е. D = еЕ, получим:
е1 - -
/ = /o(T)+i£a = fo(T) + i£D.
Полученное выражение показывает, что с точностью до некоторой (несущественной для задач электродинамики) функции температуры "^ED представляет собой свободную энергию диэлектрика. К тому же выводу можно прийти, рассматривая механизм поляризации диэлектриков (см.: И. Е. Тамм. Основы теории электричества, § 31).
Рис. 41Рис. 41Диэлектрическая плоскопараллельная пластинка помещена в однородное электрическое поле До. Сечение пластинки плоскостью чертежа таково (рис. 41), что размеры его длины значительно больше размеров ширины. Определить момент сил, действующих на пластинку со стороны внешнего электрического поля, а также указать положение устойчивого равновесия пластинки.
Рис. 41
Рис. 41
Решение
Отметим прежде всего, что равнодействующая пондеро- моторных сил, приложенных к пластинке со стороны поля,
F = I* f dV = 0.
V
Действительно, в силу однородности внешнего поляризующего поля и однородности самого диэлектрика, из которого изготовлена пластинка, можно считать, что электрическое поле внутри пластинки тоже будет однородным. Поэтому объемная плотность пондеромоторных сил
/ =^e0(A--l)grad£a
и их равнодействующая оказываются равными нулю. Однако момент указанных сил отличен от нуля, чем и вызывается вращение пластинки при включении внешнего поля.
Известно, что на электрический диполь, помещенный в однородное поле, действует пара сил с моментом, равным
Wo = Р ^о •
Отсюда, учитывая, что в силу однородности поля внутри пластинки все ее элементарные диполи (молекулы) ориентированы одинаково, мы можем сразу же написать момент сил, отнесенный к единице объема пластинки:
N =ед, объемаN =ед, объемаРЕ»РЕ»= е0(К-1) ЕЕ0 ,= е0(К-1) ЕЕ0 ,
N =
ед, объема
N =
ед, объема
РЕ»
РЕ»
= е0(К-1) ЕЕ0 ,
= е0(К-1) ЕЕ0 ,
где Р — вектор поляризации диэлектрика. Момент понде- ромоторных сил, действующих со стороны поля на всю пластинку, очевидно, будет равен:
(1)(1)N = VN „ „,ърмя = г»(К—1) ИМ •ед. объема и \ '/и
(1)
(1)
Задача, таким образом, сводится к определению напряженности поля Е внутри пластинки.
Введем декартову систему координат (рис. 41) и запишем условия непрерывности тангенциальной составляющей напряженности поля и нормальной составляющей вектора электрической индукции на поверхности пластинки:
Ех = Е» cos а; КЕу = Еа sin а,
откуда
(2)(2)Ео sin а
(2)
(2)
£ = £0cosa и £ =~
Момент сил, действующих на пластинку со стороны поля, оказывается равным:
iiк
i
i
N — e»(K — №*N — e»(K — №*sin а cos а ’тг- Л cos а sin аsin а cos а ’тг- Л cos а sin аОООО= М^ма.^.2К0= М^ма.^.2К0
N — e»(K — №*
N — e»(K — №*
sin а cos а ’тг- Л cos а sin а
sin а cos а ’тг- Л cos а sin а
О
О
О
О
= М^ма.^.
2К0
= М^ма.^.
2К0
Положениями равновесия пластинки являются положения, при которых угол а равен 90 или 0°. Согласно формуле (2) в первом случае напряженность поля внутри пласте
тинки Е = ~^, а ее электростатическая энергия
и 12 к 2Л
Во втором случае (а = 0°) напряженность поля внутри диэлектрика Е = Ео, а энергия электростатического поля в пластинке
№2= 8-^ V = К®^.
Из термодинамики известно, что состоянию устойчивого равновесия системы (для процессов, происходящих подобно вращению пластинки во внешнем электрическом поле при постоянных температуре Т и объеме V) соответствует минимум свободной энергии. В предыдущей задаче было показано, что при наличии в электростатическом поле диэлектриков W имеет смысл термодинамической свободной энергии. Поэтому устойчивым положением равновесия пластинки, очевидно, будет то положение, при котором пластинка перпендикулярна к направлению внешнего поля.
Диэлектрический шар (радиуса а), находящийся во внешнем однородном поле Ео, разрезан на две половины плоскостью, перпендикулярной к направлению поля. Определить силу притяжения между полушариями.
Решение
Объемные пондеромоторные силы, действующие со стороны электрического поля на произвольное материальное тело, могут быть сведены к силам натяжения, испытываемым поверхностью тела (И. Е. Тамм. Основы теории электричества, § 32—34). Если обозначить через Тп силу, действующую извне на единицу поверхности тела, внешняя нормаль к которой направлена по единичному вектору п, то равнодействующую всех натяжений, испытываемых поверхностью тела в электрическом поле, можно представить в виде:
F = ^T„dS,(1)
S
где
Тп=ЦкЕ^пЁ^ — ^Е'^—Р^)”}-(2)
В формуле (2) п — внешняя нормаль к поверхности тела, Е — напряженность поля на поверхности тела и
р — плотность тела. Для однородного диэлектрика (К = const)
Тп= е0К | Ё ( пЁ^ — ^ Е2п |.(3)
Обращаясь к стоящей перед нами задаче, можно утверждать, что сила притяжения между полушариями равна равнодействующей всех натяжений, испытываемых поверхностью каждого полушария в отдельности. Последняя на основании формул (1) и (3) может быть записана в виде: F = е^ J { Е, ^Ё^ - 1 Е^ | dS + е0К [ { Ёг (п^Ё^) —
SiS2
-^E2\yS,(4)
где S1 и S 2 — соответственно плоский и сферический участки поверхности полушария, Е^ — напряженность поля в щели между полушариями и Е^ — напряженность поля на сферическом участке поверхности полушария со стороны вакуума. Очевидно также, что ввиду симметрии полушарий сила (4) параллельна полярной оси Z, — систему координат выбираем так, чтобы направление оси Z совпадало с направлением внешнего поля Ео (рис. 42).
Известно, что внутри диэлектрического шара, находящегося во внешнем поле Ео, поле однородно и равно Et = ~—^— (СМе задачу 41). Из условия непрерывности нор- (^ + 2)
мальной составляющей вектора индукции на поверхности St находим*
- _ з^ -Е1~ ^ + 2 Ео;
поэтому натяжение, испытываемое плоским участком St поверхности полушария, оказывается равным:
(F^ = е0К j (- Е2 + 2 Е^ dS= —Ц^2а2Е02. (5)
Далее из условий непрерывности нормальной составляющей вектора D и тангенциальной составляющей вектора Е на поверхности S2 находим следующие значения для
составляющих электрического поля на сферическом участке поверхности полушария:
№ = -^£ocos 9 и (Е2)е = - ”Eosin 9,
откуда натяжение, испытываемое сферическим участком S2, оказывается равным:
f2 = ^^2)2 f ^ cos2 9 ~ sin3 9) nadS —
5г
sin 9 cos 9ее dS.
s,s,
s,
s,
Но, как указывалось выше, сила Е параллельна оси Z и поэтому
9g 2 Г р/ /ЧК
^Z = pT^Tw ] (№cos29 — sin29) cos n2, г dS—
$2
\ sin 9 cos 0 cos8»\ sin 9 cos 0 cos8»dSdS
\ sin 9 cos 0 cos
8»
\ sin 9 cos 0 cos
8»
dS
dS
Подставляя сюда
dS = 2na2sin0d9; cos|n2, z) = cos9; cos \eg, z) =—sin 0
и интегрируя по 0 в пределах от 0 дои интегрируя по 0 в пределах от 0 до2’2’находим:находим:
и интегрируя по 0 в пределах от 0 до
и интегрируя по 0 в пределах от 0 до
2’
2’
находим:
находим:
(^ “ Т^у (/<3 + 2К" ~ К) а^
Сила притяжения между полушариями оказывается равной:
F = (F^ +(F2)Z = — ™1№йК(К—^ аеЕй\\ 1/Z I v 2/Z4(^_|-2)20
Незаряженная проводящая сфера (весом Р) плавает в диэлектрической жидкости (с относительной проницаемостью К), погрузившись в нее на одну четверть своего объема.
До какого потенциала следует зарядить сферу для того, чтобы она плавала, будучи погруженной наполовину? Считать, что зависимость относительной диэлектрической проницаемости жидкости от ее плотности выражается формулой Клаузиуса — Мосотти:
К — 1К + 2К — 1К + 2= Лр,= Лр,
К — 1
К + 2
К — 1
К + 2
= Лр,
= Лр,
где Л — постоянная величина.
Решение
Условие плавания заряженной проводящей сферы имеет вид:
(1)(1)F^F^-P,
(1)
(1)
где F1 — сила электростатического натяжения слоя жидкого диэлектрика, прилегающего к заряженной сфере; она направлена вдоль оси х (рис. 43); F2— выталкивающая сила, равная ^ Vd, где V — объем сферы и d — удельный
вес жидкости, который нетрудно определить из условия плавания незаряженной сферы; он оказывается равным — ,
так что выталкивающая сила Рг в (1) оказывается равной 2Р. Учитывая это, условие плавания заряженной сферы (1) можно окончательно записать в виде:
Ft = P.
На единицу поверхности прилегающего к сфере слоя диэлектрика со стороны электрического поля заряженной сферы действует сила натяжения Тп. В рассматриваемом случае поле Е параллельно нормали п и поэтому из формулы (2) предыдущей задачи находим:
(2)(2)
(2)
(2)
Из формулы Клаузиуса — Мосотти, устанавливающей зависимость относительной диэлектрической проницаемости жидкости от ее плотности, находим:
р К= L+^V, откуда
1 — Ар
1 (оКА = 1+4Ар-2(Ар)».
др№ ’(1—Ар)2 ’
правую часть полученного выражения можно преобразовать, воспользовавшись той же самой формулой Клаузиуса — Мосотти. Окончательно получаем:
^(РК) = 1(№ + 4К-2).(3)
сро
Подстановка в (2) выражения (3) и Е = —, где а — ра- а диус сферы и<р — искомый потенциал, дает:
Tn=^^-V^K-^.(2а)
Вследствие симметрии сила натяжения поверхностного слоя диэлектрика оказывается направленной вдоль оси X и равной:
Ft =Ft =(4)(4)Тп cos (n, x^dS = — ле0<р2 ^К? + ^К — 2).
Ft =
Ft =
(4)
(4)
6
Как показывают уравнения (1а) и (4), заряженная проводящая сфера будет плавать в диэлектрической жидкости, погруженной в нее наполовину, лишь в том случае, если ее потенциал равен:
6Рле0 (№ + 4К - 2) '6Рле0 (№ + 4К - 2) '(5)(5)
6Р
ле0 (№ + 4К - 2) '
6Р
ле0 (№ + 4К - 2) '
(5)
(5)
Задачи для самостоятельногорешения
53*. Конденсатор образован двумя параллельными пластинками, находящимися на расстоянии h друг от друга. Одна из пластин имеет нулевой потенциал (заземлена). Пространство между пластинами заполнено диэлектриком, относительная проницаемость которого линейно возрастает от одной пластины к другой, т. е. К = ах + Ь, причем К = Ki на одной и К = К 2 на другой пластине. Найти емкость указанного конденсатора.
54*. Два конденсатора одинаковой емкости соединены последовательно и подключены к источнику напряжения в <р вольт. На какую величину изменится потенциал провода, соединяющего конденсаторы, если один из них заполнить диэлект
риком с относительной проницаемостью К?
55*. Определить емкость сферического конденсатора, пространство между обкладками которого заполнено двумя слоями диэлектриков с относительными проницаемос- тями Ki и К2- Расположение диэлектриков и все необходимые размеры указаны на рисунке 44.
56*. Показать, что внутри однородно поляризованного диэлектрического шара (в отсутствии внешнего поля) вектор электрической индукции связан с вектором напряженности поля соотношением:
D + 2е0£ = 0.
57*. Очень длинный тонкий стержень с относительной проницаемостью К помещен в однородное поле Ео параллельно силовым линиям поля. Каковы (по величине) напряженность и индукция поля внутри стержня?
58*. В протяженном диэлектрике имеется однородное поле Ео. Какова величина напряженности поля и электрической индукции в полости, имеющей форму: а) достаточно длинного тонкого цилиндра, ось которого параллельна линиям поля; б) тонкого диска, перпендикулярного к линиям поля; в) шара радиуса R.
59*. Однородная диэлектрическая оболочка, внешний и внутренний радиусы которой соответственно равны а и Ь, помещена в однородное поле Ей. Определить поле внутри оболочки.
60*. Найти величину вектора поляризации бесконечного цилиндра радиуса R (из материала с относительной проницаемостью К), находящегося в однородном поперечном поле Ед.
61*. Определить поле внутри бесконечной цилиндрической трубы из диэлектрика с относительной проницаемостью К, находящейся в однородном поперечном поле Ео.
62*. Точечный заряд в 0,5 к находится на расстоянии 1 м от большого куска вещества с плоской границей из: а) металла; б) стекла с относительной диэлектрической проницаемостью К = 7. Какова в обоих случаях сила, действующая на точечный заряд?
63*. В условиях задачи 43 определить поверхностную плотность связанных зарядов на границе раздела двух диэлектрических сред.
64*. Электрон, летящий первоначально в направлении оси X (рис. 45) со скоростью ий, должен пролететь в вакууме над плоской незаряженной поверхностью пластинки из диэлектрика. В начальный момент, когда электрон пролетает над краем пластинки, расстояние между ними
равно о. Показать, что под действием сил изображения электрон будет втянут в диэлектрик в точке В, если
2тл3е0 (Л + 1) и03'
(При решении задачи пренебречь краевым эффектом, т. е. считать пластинку достаточно большой.)
65*. Вычислить силу, действующую на единицу длины прямой и равномерно заряженной нити, параллельной бесконечному диэлектрическому цилиндру (радиуса о) и отстоящей от его оси на расстоянии h > а.
66*. Показать, что энергия электрического поля в диэлектрике равна сумме собственной энергии свободных зарядов и половины энергии взаимодействия свободных и связанных зарядов.
67*. Вычислить количество тепла, выделяющегося в единице объема диэлектрика в процессе его изотермической поляризации (при возрастании напряженности поля от О до Е), предполагая, что диэлектрическая проницаемость является функцией температуры, и пренебрегая изменением объема диэлектрика при его поляризации.
68*. Найти высоту поднятия уровня диэлектрической жидкости, втягиваемой в вертикальный плоский конденсатор, на обкладках которого поддерживается постоянная разность потенциалов.
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
Элемент Даниэля состоит из двух концентрических цилиндров — медного и цинкового (с радиусами а и b и высотой Л). Удельное сопротивление раствора медного купороса равно р. Каково внутреннее сопротивление элемента?
Решение
Первый способ. Сопротивление элемента входит в закон Ома (в интегральной форме):
/ = J^zlSl, (п R v '
где <р з — ф1 — разность потенциалов на электродах, а / — величина силы тока, текущего от одного электрода к другому. Величину тока и разность потенциалов в (1) можно определить независимо от интегрального закона Ома (1).
Действительно, поле в пространстве между электродами возбуждается лишь медным цилиндром, и оно, как это было показано в задаче 10, равно:
Воспользовавшись далее законом Ома в дифференциальной форме, можно определить сначала плотность тока, а затем и весь ток, протекающий через раствор:
(3)(3)1 = С Ids = f / dS = 1 С EdS = —.
(3)
(3)
J J Р J еор
Далее определяем разность потенциалов (фг —ф1), пользуясь уравнением
^ Ldr г
так как поле симметрично относительно углов 0 и координаты г. Подставляя сюда Е из (2) и интегрируя полученное уравнение, находим:
Фг Ф1Фг Ф1
Фг Ф1
Фг Ф1
И, наконец, из выражений (1), (3) и (4) находим внутреннее сопротивление элемента:
2лЛ а
Второй способ. Это чисто геометрический способ, основанный на использовании формулы сопротивления линейного проводника R = ^.
Проведем в пространстве между медным и цинковым электродами бесконечно тонкий цилиндрический слой с радиусом г и толщиной dr (см. рис. 46, 47). Ввиду того что
объем такого слоя электролита будет также бесконечно мал, мы можем рассматривать указанный выше цилиндрический слой электролита как плоскую пластинку с высотой h, шириной 2лг и длиной dr. Сопротивление такого «линейного» проводника, очевидно, определяется формулой:
(6)(6)dR= -р-. *;2л/1 г
(6)
(6)
Произведя в формуле (6) интегрирование по г в пределах от а до Ь, находим:
R = -2-In-.
2n/i а
В проводящую среду погружена система электродов, поддерживаемых при постоянных потенциалах <рг. С каждого электрода стекает ток /;. Определить полное количество джоулева тепла, выделяющегося в среде в 1 сек.
Решение
Искомое тепло Q определяется интегралом
Q = J jEdv = — J / уфйо = — у div (<р /) dv,взятым по объему среды (при этом мы воспользовалисьформулой (29) приложения 1 и уравнением непрерывно-сти, принимающим в случае постоянного тока вид div / == 0). Преобразуем полученный интеграл в интеграл поповерхности электродов и внешней границы среды, учиты-вая, что на поверхностях электродов <р = const = <рг,а на внешней границе среды /„= 0. В результате получим:
пп
Q = ^^ фь^ = ^У7'*
St
Определить распределение потенциала внутри проводящего шара, в который ток / втекает через один полюс и вытекает через противоположный полюс.
Решение
Вблизи полюсов О4 и О 2 (рис. 48) потенциал должен иметь вид:
так как указанные функции являются решениями уравнения Лапласа. Постоянную, входящую в (1), можно определить исходя из того, что интегралы
J VV1,2 ^1,2(2)
по бесконечно малым полусферам вокруг точек Ot и О2 должны быть равны ±/. Подставляя в (2)
const п
находим:находим:5Si= dSi 51 = 2л/?,2 sin 9 d9 • 51,#1^1
находим:
находим:
Л
2
/ = 2лХ • const ^ sin 9 dB = 2лХ • const,b
откуда
const =.
2лХ
Ф = Ф1 + ф2 + 1> ==~r)Ф = Ф1 + ф2 + 1> ==~r)(3)(3)Потенциал в какой-нибудь произвольной точке Р внутри шара будем искать в виде:
Ф = Ф1 + ф2 + 1> =
=~r)
Ф = Ф1 + ф2 + 1> =
=~r)
(3)
(3)
верхности шара; кроме того, оно должно удовлетворятьверхности шара; кроме того, оно должно удовлетворятьгде х|) — решение уравнения Лапласа, зависящее только от г и 0 и не имеющее особенностей как внутри, так и на по
верхности шара; кроме того, оно должно удовлетворять
верхности шара; кроме того, оно должно удовлетворять
граничному условию f—^= 0, которое, как нетрудно
\dr/r=a
показать, можно представить в виде:
/дф\ _ / Г J. _ J_ 1
\ дг) г =■ а4лХй I R^ R4 / г — о
или после подстановки разложений в ряд (справедливых для г < о):
1 1 1 +PJCOS9),
Уо2-|-г* — 2аг cos'© °
1 =—- — = 1 + У -£rpn(cos6),
У а2 + г2 + 2ar cos 0°^“^°
где Рп (cos 0) — полиномы Лежандра (см.: В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. 3, ч. 2, стр. 490),
дГ ' fsi QдГ ' fsi Q
дГ ' fsi Q
дГ ' fsi Q
=чЪ'^р^*О5б)-№
2яка‘
Решение ^ уравнения Лапласа, удовлетворяющее всем указанным требованиям, будем искать в виде:
i|> = V Д„глР„ (cos 9),(5)
откуда пДла”-1Рл(со5 9).(6)
П=1
Сравнивая (4) и (6), находим:
А = — . _[1пН*И
И” 4дХ па”+1
Ащ — О, Д2й+1 — 2яХа2й+2 ^77 •
Окончательное выражение для распределения потенциала внутри шара можно представить в виде:
Ф-—+ V~^,(=03 6)1.
т 2пХ1й, R,(2Ь + 1)аа6+а а* 1V J
к=0
Вершины квадрата А, В, С, D соединены между собой и с центром О однородной проволокой, сопротивление которой на единицу длины равно г. В сторону АВ включен гальванометр, а между вершиной С и центром О включена батарея элементов. Каким сопротивлением следует заменить проволоку ОВ, чтобы ток через гальванометр был равен нулю? (Сторона квадрата равна а.)
Решение
Заметим прежде всего, что (см. рис. 49)
Rbc = Rcd = Rad = Rab = or\ Roc = Rod = Roa = ^^ -
Rob = x,
Л + /7 = /2 Л + Л = кЛ + /7 = /2 Л + Л = кРис. 49Рис. 49
Л + /7 = /2 Л + Л = к
Л + /7 = /2 Л + Л = к
Рис. 49
Рис. 49
а затем запишем первый закон Кирхгофа для узлов О, А, В, С и D:
/1 + /6 = / 2 + /3 (для узла О),(1)
(для узла А\ (для узла В), (для узла С).
Нетрудно проверить, что аналогичное уравнение для узла D является линейной комбинацией первых четырех уравнений; поэтому мы его отбрасываем.
Запишем также второй закон Кирхгофа для замкнутых контуров ОВСО, OCDO, ОВАО, ODAO и ABCDA:
(5)
(6)
Теперь в уравнениях (1) — (9) надо положить /4 = 0; при этом находим, что
1 * 2 *
аг /
I U-^-V,(10)
\ ar j
r _ ( A2 К 2 x \ , I — I
*3 —— '2*
\ ar )
Подставим равенства (10) в уравнения (5) и (6); это дает
(1 + /2)аг=
^{/^^-(З + /2)Х=^-, откуда
х = аг (2 + 3 /2)-1.
К батарее, имеющей постоянную электродвижущую силу Е и внутреннее сопротивление ги подключены две параллельные ветви. Первая ветвь с полным сопротивлением R i содержит вольтметр, в котором имеется скачок потенциала такой величины, что протекающий через. него единичный ток совершает в единицу времени р единиц работы. Сопротивление второй ветви равно R2. Определить силу тока, проходящего через батерею.
Решение
Из обобщенной формы закона Ома
/ = X (Е+ Е0^
легко получить закон Ома для участка цепи в,виде
«2 = Ф1-Ф2 + СР
(см. по этому поводу § 38 книги И. Е. Тамма «Основы теории электричества»), откуда, разбивая замкнутую цепь на отдельные участки, можно записать закон Ома для замкнутой цепи в следующем виде:
2= v (Ф/ - Ф»)+2 зг.(1)
«Лi,k
Применим эту формулу к замкнутому контуру 1—2—3— 4—5—1 (рис. 50):
112^12 + 123^23 + 184^34 + ЛАз + Л1^51 = Ф2 Фз-
Полученное уравнение можно записать гораздо проще, если принять во внимание, что
Л2 = ^23 = ^34 =1>
4Лз = ^51 = ^2
И
^12 4" Ra3 + ^34 = R h^4б+ #51 = R 2- ПОЭТОМУ
11R 1 — / 2# 2 = ф 2 — Фз-Но <р2 — ф3 = — Р1 где Р—работа, совершаемая единич-
ным током, протекающим через вольтметр, в единицу времени (знак минус взят нами потому, что работа р совершается силами поля). Окончательно рассматриваемое нами уравнение запишется в виде:
I aRa — I iR 1 — Р-(2)
Применение закона Ома в форме (1) к замкнутому контуру 1—2—3—4—1 приводит к уравнению
1 ^R i + Irt = Е — р,
или после подстановки I = 11 + 12:
I^Rt + r^-V 1^ = Е-р.(3)
Умножая уравнение (2) на ги а уравнение (3) — на R2 и складывая полученные уравнения, находим:
(5 —р) Ra—pr,RtRa 4-ri (Ri 4~ Ra)
При помощи уравнения (2) или (3) находим затем и / 2. Величина тока, проходящего через батарею, оказывается равной
/ = № 4" #*) — pRa
R1R2 4" ri (Ri4* Ra)
Вывести закон нагревания постоянным током / цилиндрического провода с радиусом сечения г, длиной I и с постоянным удельным сопротивлением р в свободной атмосфере. Принять, что потери тепла проводником вследствие излучения в окружающую среду подчиняются за- 112
кону Ньютона, по которому эти потери прямо пропорциональны величине охлаждающейся поверхности проводника S, разности температур в проводника и окружающей среды и времени t, т. е. dq = kS • Qdt.
Решение
При нагревании проводника часть тепловой энергии теряется им вследствие излучения в окружающую его среду. Допустим, что указанные потери тепла проводником подчиняются закону Ньютона.
Напишем уравнение, показывающее, что тепло, выделенное током за время dt, тратится на повышение температуры провода и на потери, вследствие излучения в окружающую среду. Получим:
RP dt = mcd9 + kS • Mt, или
mc- + hS-9 = RP,(1)
di
где 0 —разность температур провода и окружающей среды. Общий интеграл уравнения (1) имеет вид:
_ м zе -Ки
Вспоминая, что 0 равно нулю при t = 0, находим:
откуда
9 = ^(1_е ™ ).
kS
Заменяя R, т и S их выражениями
R= —^—; т = пгЧЬ; S = 2лг/,
лг2
окончательно получаем:
Форма кривой, выражающей 0 как функцию от I, зависит только от коэффициента при t в показателе. Уместно отметить, что этот показатель зависит не только от радиуса провода и особых свойств вещества (удельной теплоемкости с и плотности 6), но и от состояния поверхности провода, характеризуемого коэффициентом теплопередачи к.
Температура проводника стремится к пределу
1 Мкг^
Этот предел пропорционален квадрату силы тока, обратно пропорционален коэффициенту теплопередачи и кубу радиуса. Он не зависит от удельной теплоемкости: в самом деле, понятно, что удельная темплоемкость играет роль только в период, пока температура провода не установилась.
Задачи для самостоятельного
ре шения
69*. Между обкладками сферического конденсатора находится проводящее вещество с электропроводностью о. Определить сопротивление проводника, находящегося между обкладками конденсатора.
70*. Два конденсатора, емкости которых соответственно равны Ci и С2 , соединяются последовательно и подключаются к батарее элементов, полюса которой по отношению к земле имеют потенциалы ф0 и — ф0. Провод, соединяющий обкладки конденсаторов, отведен к земле. Какое количество электричества пройдет через провод к к земле?
71*. Показать, что на поверхности раздела двух проводников линии тока (т. е. линии вектора /) испытывают преломление, причем
tg «1 : tg а2 = ^ : а2,
где а 1 — угол между линией тока в первой среде и нормалью к поверхности раздела, о^ — электропроводность первой среды, а а 2 и о2 — соответствующие величины для второй среды.
72*. Показать, что нормальная составляющая вектора электрической индукции на поверхности проводника оп- 114
ределяется уравнением Dn = о даже и в том случае, если по проводнику течет постоянный ток, и, напротив, векторное уравнение Ь = ап, справедливое для проводника, заряженного статически, в этом случае перестает быть справедливым.
73*. Цилиндрический сосуд наполнен жидкостью и имеет на концах два параллельных между собой кружка площадью S на расстоянии / друг от друга в качестве не- поляризующихся электродов. Вдоль цилиндрического сосуда течет ток /. Определить силу электростатического взаимодействия между электродами.
74*. Некоторый аппарат заземлен с помощью полусферического металлического электрода (с радиусом, равным 10 см); шар опущен в землю так, что большой круг его лежит на поверхности земли. Каково сопротивление заземления, если известно, что удельное сопротивление земли составляет 100 ом • м?
75*. Внутренность плоского конденсатора с расстоянием d между пластинами состоит из двух слоев веществ, которые имеют толщины di и d^ относительные диэлектрические проницаемости Kt и К 2 и удельные электропроводности Oi и а2, причем dt + d^ = d. К пластинам конденсатора приложено напряжение V. Какова поверхностная плотность свободных и связанных зарядов на поверхности раздела диэлектриков? Какова величина силы тока, протекающего через конденсатор? Какова величина напряженности и индукции поля в обоих слоях?
76*. В круглый цилиндр радиуса г и длины L, изготовленный из проводника с электропроводностью о, вставлены два электрода в виде тонких пластинок, края которых параллельны оси цилиндра. Оба электрода и ось цилиндра лежат в одной плоскости, причем расстояние между краем каждого из электродов и осью цилиндра а мало по сравнению с г. Определить (приближенно) величину сопротивления между электродами.
77*. Ток / подводится к полюсу тонкой проводящей сферической пленки радиуса а (с удельным поверхностным сопротивлением т) и отводится через противоположный полюс пленки. Найти распределение потенциала внутри пленки.
78*. На телеграфной линии возникло повреждение (рис. 51), вследствие которого в некотором месте между
линией и землей появилось сопротивление определенной величины R. Где должно находиться повреждение, чтобы на приемной станции телеграфной линии ток был наименьшим?
Рис. 51Рис. 5179*. Некоторый прибор должен работать от б-воль- товой аккумуляторной батареи. Батарея, хотя и имеет весьма малое сопротивление, не может давать нужный ток достаточно продолжительное время. Чтобы преодолеть это затруднение, генератор постоянного тока, э.д.с. которого колеблется от 100 до 120 в, соединяют последовательно с сопротивлением, подобранным так, что, когда генератор с последовательно подключенным сопротивлением
Рис. 51
Рис. 51
присоединяется параллельно батарее, последняя не дает тока при наибольшем значении э.д.с. генератора.
Какую часть тока будет давать батарея, когда э.д.с. генератора имеет наименьшее значение?
80*. N ламп накаливания, каждая из которых имеет сопротивление г, питаются от генератора с постоянной э. д. с., равной Е, и сопротивлением, равным R (включая и сопротивление проводки). Считая, что световой поток, излучаемый каждой лампой, пропорционален квадрату выделяемого тепла, показать, что для получения максимальной световой отдачи при заданном количестве горючего для двигателя следует соединять лампы в параллельные группы, каждая из которых содержит п ламп, где п — целое число, ближайшее к VNR/r
81*. Два конденсатора с емкостями Ct и С2 соединены параллельно (рис. 52), во-первых, гальванометром с сопротивлением R и двумя проводами с сопротивлениями R t и Ra; во-вторых, проводом АКБ, сопротивлением которого можно пренебречь. Точки К и F соединяются с полюсами батареи промежуточным проводом с весьма малым сопро-
тивлением, содержащим рубильник М. Собрав указанную цепь, ее замыкают рубильником.
Определить, пренебрегая наличием в цепи самоиндукции:
количество электричества, прошедшего через гальванометр;
мгновенные значения разности потенциалов на обкладках каждого конденсатора;
мгновенные значения токов в проводах OOt, F0 и FOv,
количество джоулева тепла, выделившегося в каждом проводе.
Показать также, что энергия, израсходованная батареей, делится поровну на джоулево тепло, выделяющееся в цепи, и на создание запаса электростатической энергии в конденсаторах.
82*. Какова длина вольфрамовой нити в лампе накаливания, если при 220 в лампа потребляет 50 вт, а диаметр нити составляет 25 лк? Удельное сопротивление вольфрама приближенно принять пропорциональным абсолютной температуре; при 291°К оно равняется 0,56 ■ 10-Зол1-л. Температура нити равна 2500°К.
83*. В медный, провод с поперечным сечением 1 мм2 поставлен предохранитель из серебряной проволоки диа-
метром 0,2 мм. Вычислить приближенно (пренебрегая теплоотдачей), сколько пройдет времени до момента, когда предохранитель переплавится, если при коротком замыкании идет ток силой 20 а; каково будет нагревание медного провода в этот момент? Теплоемкость серебра 0,23 дж/град, удельное сопротивление 0,016 • 10~6 ом • м, точка плавления лежит при 1234°К- Медь имеет теплоемкость 0,38 дж/град и удельное сопротивление 1,7 • 10-8 ом • м.
84*. Вычислить массу реостата на R ом для тока в 1а, изготовляемого из металла с удельным сопротивлением р и плотностью d, если допустима разность температур между проводом и окружающей средой в Т град. Из опыта известно, что провод из этого металла радиусом а под током /0 а нагревается на 0 град выше температуры окружающей среды (изменениями сопротивления и плотности с изменением температуры пренебречь).
85*. Цилиндрический провод изготавливается из куска металла с массой М. Определить, как зависит от длины провода I: а) количество джоулева тепла, выделяющегося в проводе за единицу времени; б) температура провода, если к его концам всякий раз прикладывать одну и ту же разность потенциалов U.
ГЛАВА II
ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
§ 1. МЕТОДЫ РАСЧЕТА МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
Уравнения Максвелла поля в вакууме имеют вид:
для постоянного магнитного
В системе СИ
В абсолютной системе
rot Н = j,
rot^=-/,(1)
с
div В = 0, где
В = р0Я,
div В = 0,(2)
В = Ро^.(3)
причем магнитная проницаемость вакуума принимается равной:
В системе СИ В абсолютной системе
ц0 = 4л10_’гм/.и.ц0 = 1. (4)
Отсюда размерности магнитной индукции В и напряженности магнитного поля Н в системе единиц СИ оказываются разными: магнитная индукция В имеет размерность 1вб/м21 = 1 тл, напряженность поля Н — [аЛм]. В абсолютной гауссовой системе единиц размерности векторов В и Н одинаковы.
Учитывая, что div В = 0, магнитную индукцию В можно выразить через векторный потенциал магнитного поля
В = rot А,(5)
определяемый из уравнения: В системе СИ
АД = — р0/.
В абсолютнойсистеме
с
(6)
Общее решение уравнения (6) имеет вид:
В системе СИ
а) для объемно распределенных токов д=^«Г/^,А = -
В абсолютной системе
t de
1 -.
(7)
для линейных токов
А = — (f) —.4л j гЗакон Био и Савара: В системе СИА = — (f) —.4л j гЗакон Био и Савара: В системе СИС J гС J г(8)(8)В абсолютносистемеВ абсолютносистемеййdB = -(А—4л f®dB = -(А—4л f®dH = — сdH = — сг»г»(9)(9)
А = — (f) —.
4л j г
Закон Био и Савара: В системе СИ
А = — (f) —.
4л j г
Закон Био и Савара: В системе СИ
С J г
С J г
(8)
(8)
В абсолютносистеме
В абсолютносистеме
й
й
dB = -(А—
4л f®
dB = -(А—
4л f®
dH = — с
dH = — с
г»
г»
(9)
(9)
Закон Эрстеда:В системе СИЗакон Эрстеда:В системе СИВ абсолютной системеВ абсолютной системе
Закон Эрстеда:
В системе СИ
Закон Эрстеда:
В системе СИ
В абсолютной системе
В абсолютной системе
L илиL илиJiASJiAS(Ю)(Ю)33
L или
L или
JiA
S
JiA
S
(Ю)
(Ю)
3
3
LLL
L
L
где под /z понимается алгебраическая сумма токов, i
пронизывающих площадку S, натянутую на контур интегрирования L.
При расчете магнитного поля в магнетиках в формулах (3), (6), (7), (8) и (9) вместо р0 следует писать р = р07(т, где р — абсолютная, а Кт — относительная магнитные проницаемости магнетика.
Расчет магнитных полей с помощью закона Био и Савара
Вычислить индукцию магнитного поля, возбуждаемого бесконечным прямым током, на расстоянии г от его оси.
Решение
По закону Био и Савара индукция магнитного поля линейного тока
у _ Но7 Т. [ ^>11
4л У №’V '
где dl — элемент тока, R — радиус-вектор, соединяющий
Рис. 53Рис. 53элемент тока с точкой наблюдения Р, а интегрирование ведется вдоль контура тока. Для прямолинейного тока вектор [d/, R], входящий в выражение (1), имеет одинаковое направление для всех элементов тока, так что вектор В оказывается направленным по касательной к окружности, проходящей через точку наблюдения Р (рис. 53), а его абсолютная величина
Рис. 53
Рис. 53
(2)(2)В = — С— I\dl, $11.4л J R I L JI
(2)
(2)
Подставляя сюда
R = г — г • к; R = V га + 2й , dl = dz • к
и
| [ dl, R ] | = 11 dl, г ] | = rdz
и интегрируя по г в пределах от — оо до + оо, получим:
(2а)(2а)Цр/г Р Дг ц0/г Г Дг4л J3 2л J3
(2а)
(2а)
(г2+г2)2° (г2 + г2)2
Интеграл, входящий в (2а), вычисляется следующим образом. Прежде всего, очевидно, что
f dz = 1 С dz — f гЧг •
J £ J угТ^Г J £ ’
(г2 + г2)2(г2 + г2) 2
применяя затем ко второму интегралу, стоящему в правой части этого равенства, правило интегрирования по частям, получим:
Дг(г2 + г2)2Дг(г2 + г2)2г/•2К^+?г/•2К^+?(3)(3)
Дг
(г2 + г2)2
Дг
(г2 + г2)2
г
/•2К^+?
г
/•2К^+?
(3)
(3)
Подстановка (3) в формулу (2а) приводит к окончательному результату:
В=^.(4)
2лг'
Ток 20а течет по бесконечно длинному проводу, согнутому под углом в 60°. Определить индукцию магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе угла на расстоянии 5 см от его вершины.
Решение
Индукция магнитного поля в точке Р (рис. 54) перпендикулярна к плоскости чертежа, причем В = В1-\- Вг, где В j — поле, возбуждаемое в точке Р током, текущим вдоль провода Л В, а В2 — поле, создаваемое в той же точке током, текущим вдоль провода ВС.
Аналогично предыдущей задаче
В. = В, = С- =(2 + /3),
12 4л JА 4ла К
-2° (г2 + ?2)2
Рис. 54Рис. 5400Применим к решению задачи закон Био и Савара:Применим к решению задачи закон Био и Савара:Рис. 55Рис. 55
Рис. 54
Рис. 54
0
0
Применим к решению задачи закон Био и Савара:
Применим к решению задачи закон Био и Савара:
Рис. 55
Рис. 55
где г0 = a cos 30° = ® ^ 3 и г = ^. Отсюда
В = 2В1=^-(2 + ]/3). (1) Подстановка в (1) числовых данных дает: В = 2,986-10-4 тл.
Линейный ток / циркулирует по окружности радиуса а. Вычислить индукцию магнитного поля в точке, лежащей на перпендикуляре к плоскости тока на расстоянии х от центра тока.
Решение
Из рисунка 55 видно, что магнитное поле, возбуждаемое в точке наблюдения Р двумя диаметрально противоположными элементами тока dl t и dl 2, равно:
dB = 2dB 4 cos Р, где
cosp = - =- и dBt = dL.
RL^R?
(a2 + x2) 2
Отсюда
dB= —^— d/з 1
2л (а24-№)2
Полную величину индукции магнитного поля в точке Р найдем, интегрируя последнее уравнение по полуокружности. Находим:
В =Pdl1 у
з I2з
2л (а2 4-х2)2 I(а2 4- х2)2
В частности, в центре кругового тока магнитная индукция будет равна:
В =
2а
Определить магнитное поле в центре шара радиуса R, равномерно покрытого очень большим числом N параллельных витков, толщина которых т такова, что Nt = 2R.
Решение
Рассмотрим виток АВ, находящийся на расстоянии х от центра шара (рис. 56). Радиус этого витка р= VR1—х2, а поле, возбуждаемое им в центре /—^ шара, равно:
/“""Грr Но^р2 Ро^ п2
/1
I о )2 (ра+х2)2
\у Полное поле в центре шара, очевид-
>^,^Х но, будет равным:
Сумму, входящую в (1), преобразуем в интеграл. Для этого умножим и разделим (1) на т:
В = PoL У 2^1 У 2Т
Считая т малым по сравнению с R, положим т = dx и заменим сумму интегралом:
+₽ +я+₽ +я
+₽ +я
+₽ +я
откуда
- 3R ‘
Провод образует плоскую спираль, уравнение которой в полярных координатах имеет вид: r= R<p (2лМ)-1, где N — число всех витков, a R — длина радиуса-вектора, проведенного из центра спирали к ее наружному концу. По спирали течет ток /. Определить аксиальную составляющую магнитной индукции вдоль оси спирали на расстоянии z от ее плоскости.
Решение
По закону Био и Савара индукция магнитного поля от элемента тока, текущего вдоль спирали, равна:
dB=dB=di, Rdi, RtoR»toR»
dB=
dB=
di, R
di, R
toR»
toR»
Если выбрать систему декартовых и цилиндрических координат так, как это показано на рисунке 57, то
\dl, R] =\dl, R] =Ijк
\dl, R] =
\dl, R] =
dxdy0
— r cos ф — r sin ф г
= zdx • i — г dy • j + (r cos ф dy — r sin ф dx) k, откуда для аксиальной составляющей магнитной индукции в точке Р находим следующее выражение:
(1)(1)dBz= j^-g (г cos ф dy—г sin ф dx),
(1)
(1)
входящие в (1) dx и dy можно найти из формул преобразования х = г cos ф и у = г sin ф, после чего выражение (1) принимает вид:
(1а)
(Z2 + г2) 2
Далее, из уравнения спирали, приводимого в тексте задачи, находим:
dф = — dr;
о _ poiV/ D 2 2/?о _ poiV/ D 2 2/?подстановка dф в уравнение (1а) и интегрирование полученного уравнения по г в пределах от 0 до Я приводят к окончательному результату:
о _ poiV/ D 2 2/?
о _ poiV/ D 2 2/?
In Я + v + z2 К "гV R1^ .
Найти уравнение силовых линий магнитного поля двух бесконечных прямых параллельных токов /, протекающих в противоположных направлениях (расстояние между токами принять равным 2а).
Решение
Выбираем систему декартовых координат так, как это показано на рисунке 58. Тогда магнитную индукцию в точке Р (для удобства выбранной в координатной плоскости ХОУ) можно записать в виде:
^у^а!^гхгг^^у^а!^гхгг^\^_2_Х2_ 2) В
^у^а!^гхгг^
^у^а!^гхгг^
Х М^Г^” У
откуда дифференциальное уравнение силовых линий Bydx— — B^dy = 0 принимает вид:
2xydx + (У2 — х1 — a2) dy = 0.(1)
Уравнение (1) заменой переменной по формуле х2 + + а2 = и2 приводится к однородному уравнению, интегрирование которого не представляет особой сложности. В результате интегрирования находим-
X2 + (у — С)2 = С2 — а2.
Картину силовых линий магнитного поля двух анти- параллельных токов воспроизводит, таким образом, однопараметрическое семейство окружностей с центрами, лежащими на оси Y (рис. 59). На том же рисунке изображено другое семейство окружностей (ортогональное к первому семейству) с центрами на оси X и проходящих через точки пересечения проводов с координатной плоскостью X0Y. Указанное семейство окружностей представляет собой картину силовых линий электростатического поля, которое возбуждалось бы в том случае, если провода зарядить статически равными, но разноименными зарядами. Нетрудно видеть, что в этом случае первое семейство окружностей представляло бы собой картину эквипотенциальных поверхностей электростатического поля.
Задачи дл я с амо сто ятельно г орешения
86*. Вычислить индукцию магнитного поля в центре тяжести равностороннего треугольника, по сторонам которого течет ток /.
87*. Вычислить магнитное поле в центре правильного многоугольника с п сторонами, вдоль которого циркулирует ток /.
88*. По бесконечному полому цилиндру параллельно его оси течет ток /, равномерно распределенный по его поверхности. Показать, не пользуясь законом Эрстеда, что магнитное поле в любой точке внутри цилиндра равно нулю.
89*. В контуре, изображенном на рисунке 60, ветви AN и ВМ расходятся радиально на бесконечность. Показать, что в центре круга магнитное поле равно нулю.
90*. На рисунке 61 представлена система из бесконечного прямолинейного тока, согнутого под прямым уг- 128
лом, и равного по силе кругового тока, для которого одна из ветвей прямолинейного тока является осью. Определить индукцию магнитного поля в точке Л, считая отрезок ЛО равным 2а.
91*. Вдоль контура ABCDA (рис. 62) циркулирует ток силой / — 10 а, причем R j = 10; R2 = 10/10 и АВ= = CD = 30 см. Определить магнитную индукцию в точке О.
Как изменится решение задачи, если дугу AD снять, а прямолинейные участки контура ВА и CD продолжить до бесконечности?
92*. Из провода диаметром а, по которому течет ток 7, изготовлена плоская спираль в N витков так, что витки касаются друг друга. Радиус спирали R. Определить ин-
12Э12Э5 Заказ 541
12Э
12Э
дукцию магнитного поля в точке, лежащей на оси спирали на расстоянии х от ее центра.
93*. Определить магнитное поле на оси кругового однослойного соленоида (радиуса а), имеющего длину / и N витков на единицу длины.
Рис. 63
94*. Ток / течет вдоль контура, имеющего форму эллипса, длина которого равна /, а площадь — S. Вычислить индукцию магнитного поля в центре эллипса.
95*. Найти уравнение силовых линий магнитного поля двух параллельных бесконечных прямых токов, текущих в одном и том же направлении. Расстояние между токами принять равным 2 а (рис. 63).
Расчет магнитных полей с помощью закона Эрстеда
Вдоль бесконечного цилиндрического проводника (радиуса а) течет постоянный ток /, равномерно распределенный по сечению проводника. Определить напряженность магнитного поля внутри и вне цилиндра.
Решение
Применение к расчету магнитных полей закона Эрстеда ^HdL=^ndS(1)
LS
во многом аналогично решению задач электростатики при помощи электростатической теоремы Гаусса. Важнейшим моментом при решении любой магнитостатической задачи
с помощью закона Эрстеда является рациональный выбор контура интегрирования L. Этот выбор должен быть произведен с учетом всех свойств симметрии поля, — и только в этом случае применение закона Эрстеда может оказаться полезным.
Начнем с вычисления поля вне цилиндрического провода (в точке Р на рис. 64).
Выбираем контур интегрирования L в законе Эрстеда (1) в виде окружности с центром О на оси цилиндра (ось Z), лежащей в координатной плоскости XOY (на рис. 64 изображена лишь часть контура L — дуга MPN). Введем цилиндрическую систему координат (г, ф, г). Тогда
Н = Нг- ег+ //ф • еф + Н^\ dt= dL • е^ и
^ М. = <£нф4Ь = H^fdL^ 2кг- //ф, LLL
так как во всех точках контура L составляющая поля //<р = const. Закон Эрстеда (1) можно теперь записать в виде:
2лг • Hq, = I,
откуда
2лг2лг(2)
2лг
2лг
Докажем, что Н2 = Нг = 0 и, следовательно, Н = Н^. Первое из указанных равенств — это следствие закона Био и Савара. Действительно,
Н2= ~~ f 7 R L dv = О,2 4л J Я3Н’
так как [ /, R]2 = 0 в силу того, что вектор / параллелен оси г. Для доказательства второго равенства ^Нг = 0) воспользуемся уравнением Максвелла divB = 0 или div Н = 0 (так как р0 — const), которое в цилиндрических координатах [см. приложение 1, формулу (12)] имеет вид:
г orГ дф 02
дН2 А дН<р А
или, так как —- = 0 и —- = 0, дгд$
^нг) = о. or
Его решение имеет вид:
причем оно справедливо как для поля вне цилиндра, так и для поля внутри его. Отсюда, в частности, при г 0 следовало бы Нг -^ оо. Однако последнее не может иметь места, так как это противоречило бы закону сохранения энергии (вместе с обращением в бесконечность Нг при г = = 0 обращалась бы в бесконечность и плотность энергии магнитного поля — p0#2)- Поэтому мы должны в формуле
(3) положить константу равной нулю.
Таким образом, напряженность магнитного поля вне цилиндра
нг= н^ = ^ , (г>а).
Она равна напряженности поля, которое создавал бы бесконечно тонкий прямой ток /, текущий вдоль оси цилиндра.
Для точки Pv находящейся внутри цилиндра, закон Эрстеда (1) принимает вид:
2лг Н№ = Iv (4)
где 1Y — ток, пересекающий площадку, ограниченную контуром интегрирования Lx (часть сечения проводника, отмеченная на рис. 64 двойной штриховкой); он равен:
Из уравнения (4) получаем:
Вычислить поле внутри достаточно длинной, тонкой цилиндрической катушки, на единицу длины которой приходится п витков проволоки с током /.
Решение
Из соображений симметрии следует, что поле как внутри, так и вне катушки параллельно ее оси и не зависит от координат г и ф (рис. 65), т. е. Н = Н (г). Далее, нетрудно видеть, что циркуляция вектора// вдоль контура ABCD, замыкающегося на бесконечности,
С = Н dL = о,
ABCD
так как площадка ABCD пересекается каждым витком тока два раза в противоположных направлениях и, следовательно, 5 о*
С другой стороны, циркуляция вектора Н вдоль конту pa A1BCD
с- не (г) - Не (оо) = о,
откуда, принимая Не (оо) = 0, находим: Не (г) = 0, т. е. поля вне катушки нет.
Циркуляция вектора Н вдоль контура CNMB§Hdt = H^NM) = Н/, 2Л= «/»CNMBI
откуда с помощью закона Эрстеда находим:HL - nl.
Рис. 65
На тор радиуса R (с круговым сечением радиуса а) намотано N витков проволоки, по которой течет ток /. Считая проволоку достаточно тонкой, определить напряженность магнитного поля указанного соленоида.
Решение
Введем цилиндрическую систему координат (рис. 66, 67) и запишем закон Эрстеда в виде
Li
где ^ Л — алгебраическая сумма токов, пересекающих поверхность, натянутую на контур интегрирования L. Под- 134
Н№Н№_ NI .2яг *_ NI .2яг *Рис. 66Рис. 66
Н№
Н№
_ NI .
2яг *
_ NI .
2яг *
Рис. 66
Рис. 66
ставляя сюда dL = dL • еф и Н = Нг • ег+ Нф . еф + Hz-k, получим (см. рис. 66):
а) для поля внутри соленоида (точка Р, контур интегрирования L)
§H?Tl = 2-г • Н№ = N1,
L
откуда
б) для поля вне соленоида (точка Р^ контур интегри рования L J
Докажем теперь, что Нег = Не2 = Н1г — Ни = 0. С этой целью будем рассматривать соленоид как тороидальную поверхность, обтекаемую поверхностными токами с плотностью
NI
I = —.
2лг
Магнитное поле, возбуждаемое такими токами, должно удовлетворять уравнениям |iodiv Я = 0 и rot Н = 0 и граничному условию
^, Не — Ht ] = к,где п — единичный вектор нормали к поверхности соле-ноида (рис. 67). Нетрудно проверить, что все три условиядействительно будут удовлетворены при сделанных намипредположениях о характере поля.
Таким образом,
Н,= Н№=^-и Не=0.(1)
Следует заметить, что полученное решение справедливо и для кольцеобразного соленоида с сечением произвольной формы.
В частном случае, когда а < R, поле внутри соленоида можно считать однородным и равным значению поля на осевой линии тора, т. е.
Задачи для самостоятельногорешения
96*. Какова величина циркуляции вектора Н вдоль трех указанных на рисунке 68 контуров интегрирования, если сила тока в каждом проводнике равна 5 а?
97*. Определить напряженность магнитного поля внутри и вне бесконечной цилиндрической трубы, вдоль которой течет ток /, равномерно распределенный по се сечению.
98*. То же для полого цилиндра кругового сечения, по поверхности которого течет равномерно распределенный ток /, параллельный его оси.
99*. Внутри бесконечного цилиндра радиуса а, вдоль которого течет ток /, равномерно распределенный по се- 136
Вынуть ток, неВынуть ток, неи ука-и ука-
Вынуть ток, не
Вынуть ток, не
и ука-
и ука-
чению проводника, имеется цилиндрическая бесконечная полость радиуса Ь, ось которой параллельна оси цилиндра и отстоит от нее на расстоянии d. Определить поле внутри полости.
100*. Имеется бесконечный прямолинейный соленоид
причемпричемрадиуса R, намотанный из провода диаметром d, d очень мало по сравнению с R.
причем
причем
из соленоида один ви- разрывая при этом его
обмотку, и определить напряжённость магнитного поля в центре вынутого витка. По обмотке соленоида течет ток /.
101*. На железное кольцо (с относительной магнитной проницаемостью Кт= 500) с радиусом R = 10 см и поперечным сечением а = 1,3 см намотано 600 витков тонкой проволоки.
Какова величина магнитного потока в кольце, если по обмотке течет ток в 1 а? Рассчитать с помощью формул (1) и (2) задачи 66. Сравнить полученные результаты
зать относительную ошибку, допускаемую при расчете магнитного потока при использовании приближенной фор* мулы (2) задачи 66 для напряженности магнитного поля внутри кольца.
102*. Железное кольцо предыдущей задачи имеет воздушный зазор шириной в 6 см, однако не настолько широкий, чтобы учитывать рассеяние силовых линий поля в зазоре. Как зависит магнитный поток от ширины зазора 6? Какова величина магнитного потока при следующих значениях ширины воздушного зазора: 6 = 0,1; 1 и 5 ммУ
Векторный и скалярный потенциалы магнитного поля.Магнитный момент тока
Рассчитать магнитное поле бесконечного прямого тока /, вычисляя сначала векторный потенциал А, а затем и индукцию поля по формуле В = rot Л. Найти уравнение силовых линий поля.
Решение
Рис. 69Рис. 69Из соображений симметрии ясно, что поле будет одинаковым во всех плоскостях, перпендикулярных к оси г (рис. 69); поэтому точку наблюдения Р удобнее всего выбрать в координатной плоскости XOY. По определению, векторный потенциал магнитного поля линейного тока
Рис. 69
Рис. 69
В рассматриваемом случае
Ах = Ау = °, а
л = ^ (——,4л Jyr»+z*
где L -> оо. В результате несложного интегрирования находим:
а"А-= йша+ггч^+у’)-^ w+л- in
Из полученного выражения (1) видно, что Л оо при L -> оо, но это не должно нас смущать, так как обращение в бесконечность векторного потенциала еще не представляет собой никакой опасности. Реальный физический смысл имеет не вектор Л, а индукция поля В, им определяются силы, действующие со стороны магнитного поля на движущиеся в нем заряды и проводники. Поэтому если при L оо индукция магнитного поля В стремится к конечному пределу, хотя при этом Л -^ ос, то все обстоит вполне благополучно.
Индукцию магнитного поля определяем по формуле В = rot Л, или в развернутом виде:
i j к
i j к
в =
111 дх ду дг
Но- дх ду
М ТМт
= —1/,
дудх
АхАу Az
0 0 л
откуда
Bt = — и В =— —,(2)
х дудх'
причем производные в формулах (2) должны быть взяты при L оо. Легко видеть, что
2я I [(£ + УТч7^7^ I ^УЗ^Н^Уь - ~*+>2j
2лг2
Аналогично: — = — ^^. Следовательно, дх 2лг2
х 2лг2 ’ у 2лг2 ’2л/
т. е. получен тот же самый результат, что и в задаче 58.
Произведенные вычисления показывают, что в векторном потенциале (1) следует сохранить лишь второе слагаемое; что же касается первого слагаемого, логарифмически расходящегося на нижнем и верхнем пределах интегрирования и несущественного при вычислении индукции поля, то его можно просто отбросить. Окончательно векторный потенциал бесконечного прямого тока принимает вид:
4=А=0, 4=-^ In г.(1а)
После подстановки значений Вх и В^ в дифференциальное уравнение силовых линий оно принимает вид: xdx + + ydy = 0, интегрируя которое находим: х2 + у2 = С2. Таким образом, силовые линии поля представляют собой (в сечении плоскостью ХОУ) семейство концентрических окружностей с центрами на оси тока.
Вычислить векторный потенциал и индукцию магнитного поля кругового (радиуса а) тока / на больших расстояниях от него, т. е. на расстояниях R ^ а.
Решение
По определению, векторный потенциал магнитного поля
di Ridi Ri(1)(1)линейного кругового тока
di Ri
di Ri
(1)
(1)
где L— контур тока. Из рисунка 70 видно, что R~ R— а и, следовательно,
2 „ 2Ri" R2 „ 2Ri" Rа^_ R^а^_ R^2a r\ 22a r\ 2/?3/?3
2 „ 2
Ri" R
2 „ 2
Ri" R
а^_ R^
а^_ R^
2a r\ 2
2a r\ 2
/?3
/?3
Так как а < R, то в полученном выражении можно ограничиться первыми двумя членами разложения в ряд, т. е. можно записать
Рис. 70Рис. 70Очевидно, далее, что ^Ш= = 0 и поэтомуОчевидно, далее, что ^Ш= = 0 и поэтомуА = JV /121 \ (Г dl +4л/? \2R1 )JА = JV /121 \ (Г dl +4л/? \2R1 )JRi R \2R2 R2 /
Рис. 70
Рис. 70
Очевидно, далее, что ^Ш= = 0 и поэтому
Очевидно, далее, что ^Ш= = 0 и поэтому
А = JV /121 \ (Г dl +
4л/? \2R1 )J
А = JV /121 \ (Г dl +
4л/? \2R1 )J
Подставляя это в формулу (1), находим:
L
Подставляя в (2)
dl — — dl • sin у • i + dl cos у • / = (— sin у • i + cos у • / jady, a = a^cosy • i + sin у • /) и R = xi + у/ + ?£> находим: 4r= —5^ ^(xcosysiny + ysin2y)dy = — ^- • y, b 2л
д М_/ f <x COS2 m -|_ у cos у sin y) d® = x и A = 0.
о Можно показать, векторо Можно показать, векторy 4л/?3 J4R1
о Можно показать, вектор
о Можно показать, вектор
что точно такие же составляющие имеет
где S = ла2 • к;где S = ла2 • к;Л=Л»1[8, ^],4л/?3 L -Iотсюда, вводя магнитный момент тока
где S = ла2 • к;
где S = ла2 • к;
ш.^ I • S, получаем окончательное выражение для вектор-
ного потенциала кругового тока на больших расстояниях от него:
(3)(3)^ _. Но. , 4л R3
(3)
(3)
Вычисление индукции магнитного поля:
— В — — rot А = [grad — , Гт, Л]]+ — rot Гт, ₽].
Но Но L R3 L JJ R3 1 J
Далее, на основании формул (5), (22) и (32) приложения 1 находим:
го,р] =
= (^v )т— R div m + m div R — (m\7 ^R.
Заметим, что дифференцирование в последнем выражении производится по координатам точки наблюдения Р, а так
как вектор m не зависит от них, то
[^V )m =0, divm=0, (mv)^ = m
и
rot[m, ^] = 2m.
В результате всех указанных преобразований для индукции магнитного поля кругового тока на больших расстояниях получаем следующее выражение:
(4)(4)Но j 3 ( mR) ЙtoR3 I R3
(4)
(4)
Формулы (3) и (4) показывают, что круговой ток набольших расстояниях ведет себя как магнитный диполь с моментом m = / • ла2.
Для точек наблюдения, лежащих на оси Z, радиус- вектор R = zk и поэтому векторный потенциал А = 0, а индукция магнитного поля
В=4^к.(5)
223
Сравнение с результатом задачи 60 показывает, что формула (5) оказывается справедливой лишь в том случае,
если z ^ а. Это лишний раз указывает на приближенный характер выражений (3) и (4).
Любопытно отмстить, что несмотря на то, что во всех точках на оси Z векторный потенциал Л = О, rot Л = В + + 0. Отсюда видно, что rot Л = 0 лишь в том случае, если Л = 0 во всех точках пространства; локальное же обращение векторного потенциала Л в нуль еще не означает, что и S = 0 (см. также следующую задачу).
Вычислить магнитное поле линейного кругового тока в произвольной точке наблюдения.
Решение
Поместим начало цилиндрической системы координат г, Ф, 2 в центре кругового тока, причем угол ф будем отсчитывать от плоскости, проходящей через ось z и точку наблюдения Р (произвольный выбор начала отсчета углов Ф оправдан независимостью поля от ф).
Заметим, что непосредственно из самого определения векторного потенциала
Я = Е^ (£4л j R[
следует Az = 0. Нетрудно также показать, что и Лг = 0. Действительно, рассмотрим два элемента тока dl^ и dl^ симметрично расположенные относительно плоскости, проходящей через ось г и точку Р. Они возбуждают в этой точке магнитные поля с потенциалами
dAt= dl. и Д = dL,4л/? t 14лй2 г
причем dAv = dA^ в силу того, что dlt = dl2 и R{ = RT Направления векторов dA t и dA^ показаны на рисунке 71, представляющем собой проекцию пространственного рисунка на плоскость кругового тока. Из рисунка 71 видно, что для каждой пары элементов тока, симметричных относительно плоскости XOZ, составляющая векторного потенциала вдоль единичного вектора еГ равна нулю, так что и в целом составляющая Аг = 0.
Рис. 71Рис. 71
Рис. 71
Рис. 71
Из того же рисунка видно, что составляющая векторного потенциала поля, возбуждаемого отдельным элементом тока dl, вдоль единичного вектора еф, равна dAp =-^-cos<pX
X dU так что в целом
л
Д М Д cos ? е dl }10/ Гa cos sp dср^ ^
4л j Ri 2л ^) уд2_|_ r2 22 — 2 arcos
Путем замены ф на новую переменную 6, определяемую по формуле ф = л + 29, выражение (1) можно привести к виду:_
Ар^Т/дГ^-^ад-^/г)],тем у г \2 /I
где лл
2.гх,2
К (n) = f d. Е(п) = (К 1 — n2sin21d9 —
J /1 -n2 sin2 0•'
полные эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода модуля п, определяемого соотношением:
(a + r)2 + z=‘
Для составляющих вектора магнитной индукции по формулам (15) приложения 1 находим:
^г 2лг К(а + г)2 + г2
В^7?Л^ =
1V
Вф — О,
2л /(а + г)2 + г2 .
(а — г)2 + г2 tz / \ । а2—г2—г2 К (м) + ——
(а — г)2+г2
£(п)
при этом мы воспользовались следующими соотношениями между полными эллиптическими интегралами К и Е:
п(1 — п2) — = Е — (1— п^К; п— = Е — К.dn' dn
Вычислить векторный потенциал магнитного поля тока, текущего вдоль бесконечного цилиндрического провода (радиуса а) и равномерно распределенного по его сечению.
Решение
Введем цилиндрическую систему координат так, чтобы ось г совпадала с осью цилиндра-провода. Нетрудно видеть, что единственной отличной от нуля компонентой векторного потенциала будет Аг, причем в силу симметрии поля Az = / (г).
Для определения Az используем уравнения Пуассона и Лапласа, принимающие в цилиндрических координатах (и с учетом симметрии поля) следующий вид:
г drг dr— М— М(1)(1)
г dr
г dr
— М
— М
(1)
(1)
0.0.(2)
0.
0.
Общие решения уравнений (1) и (2) можно представить в виде:
Aiz= — — «oj^+CJn г + С2,
Аег= С3 In г + С4.
По тем же соображениям, что и в задаче 14, принимаем С1 = 0 и С2 = л0, где Ао — векторный потенциал на оси провода. Постоянные С3 и С4 должны быть определены из граничных условий:
Aiz(d) = Aez^ и = (^\ dr / r=a \ dr ) г=а
(последнее условие равносильно требованию непрерывности тангенциальной составляющей вектора Н на поверхности цилиндра). Вычисления показывают, что
С3= —- i Void1 и С4= Д— -^ bja1^ — 2 In а),
после чего искомые потенциалы принимают вид:
(4)(4)Л/г=-Цг2+Ло, 12 4ла2
(4)
(4)
Aez= -Ml +2 In-') + Ло.4л \а )
В однородное магнитное поле Во вносится шар (радиуса а), изготовленный из материала с относительной магнитной проницаемостью Кт, благодаря чему однородное поле Во искажается. Определить магнитное поле внутри и вне шара. Найти также вектор намагничения (т. е. магнитный момент, приходящийся на единицу объема шара).
Решение
что равномер-что равномер-Первый способ. Исходя из того,
что равномер-
что равномер-
но намагниченный шар ведет себя по отношению к внешнему пространству как магнитный диполь с магнит-
ным моментом т, пока нам неизвестным (вернее, нам неизвестна величина век-
тора т; что же касается его направления, то очевидно, что он направлен так же, как и внешнее поле Во). Поле внутри шара также является однородным и параллельным внешнему полю Во, однако нам пока неизвестна его величина. Приведенные рассуждения дают нам право записать индукцию магнитного поля внутри и вне шара в следующем виде:
B^B^i,
— m ,— m ,(1)(1)В. = в/+
— m ,
— m ,
(1)
(1)
г4л/?3
при этом система сферических координат выбрана так, как это показано на рисунке 72.
Для определения m и Bz обратимся к граничным условиям
(^in)^^ — (Веп)я=а И (Н^д^а — (//et)R=a , (2) представляющим собой требования непрерывности нормальной составляющей вектора магнитной индукции и тангенциальной составляющей вектора напряженности. Нетрудно видеть, что
(Bin)R .a = Bt cos 0; (Ben)R =Q = Bo cos 0 + Я cos 0,
№)R = a=(^i£,<p ,= HJ1 еч> )=— #/Sin0=^-sin0.
Rm
(^=a=--sin0 + —-sin0,
поэтому граничные условия (2) принимают вид:
B.-^ + S " в* - М8"-^) откуда
5 = ЗК,п в и m = 4ла3 /Кт„тЦ в
Кт+2 °ц0 \Кт + 2)0
Вектор .намагничения
М = - = - (-^1 ^ Вv ц0 Um + 2 ' °
Таким образом, поле внутри и вне намагниченного шара определяется формулами:
Кт + 2
'в - о -1- дз ^ Кт + 2 у | ff2
Второй способ. В отсутствие источников, каковыми для магнитного поля являются токи, постоянное магнитное поле удовлетворяет уравнению rot Н = 0, показывающему, что магнитное поле в этом случае является потенциальным и поэтому вектор напряженности Н можно представить в виде:
Н = — grad гр, (3)
где функцию ф = ф (х, у, г) называют скалярным потенциалом магнитного поля. Подставляя (3) в уравнение div В = = 0, приходим в случае однородной неферромагнитной среды к уравнению Лапласа для скалярного потенциала магнитного поля
Аф - 0. (4)
Скалярный потенциал постоянного магнитного поля во многих отношениях аналогичен электростатическому потенциалу ср. Так, в частности, скалярный потенциал ф однородного магнитного поля по аналогии с электростатическим потенциалом <р однородного электрического поля имеет вид:
ф = — Нох — — H0R cos 0
(см. рис. 72); скалярный потенциал поля магнитного диполя на больших расстояниях имеет вид: ф= -~^ (легко проверить, что при этом
Н = — В = — grad tp= — I -^- ^-^ р08 V 4л/?3 I R1
Из сказанного следует, что решение данной задачи ничем не должно отличаться от решения задачи 15 о проводящем шаре, находящемся в однородном электрическом поле. Так же, как и в задаче 15, скалярный потенциал магнитного поля внутри и вне шара-магнетика, помещенного в однородном магнитном поле Яо, будем искать в виде: ф. = — //z7?cos0,
~ H0R cos 0 + ^7 cos 0,(5)
где пока неизвестные Нt и ш должны быть определены из следующих граничных условий:
^•(а) = ^(«) и кД8^\= (^,
\dR )R=a \ dR )R=a
которые эквивалентны граничным условиям (2).
Таков второй путь решения данной задачи.
Вычислить магнитный момент равномерно вращающегося с угловой скоростью (о заряженного шара, считая постоянными плотность заряда и плотность массы внутри шара.
Решение
Магнитный момент системы движущихся точечных зарядов
m = ^ S ei W
I
(см.: А. С. К о м п а н е е ц, Теоретическая физика, ГИТТЛ, 1957, стр. 129). В рассматриваемом случае заряд распределен равномерно по всему объему шара. Чтобы воспользоваться приведенной выше формулой для вычисления магнитного момента вращающегося шара, разбиваем шар на элементарные обьемы dx\ на каждый такой объем приходится элементарный заряд de, который можно считать точечным.
Элементарный магнитный момент, соответствующий вращающемуся заряду de, можно записать в виде:
dm =~ [г, v] de = ^р [г, u^dx,
где р — объемная плотность заряда шара. Отсюда магнитный момент всего шара оказывается равным:
Аналогично механический момент вращающегося шара можно записать в виде:
М = 6 J £ £q dx,(2)
где 6 — плотность вещества, из которого изготовлен шар. Сравнивая выражения (1) и (2) находим:
m = ^М2d
Подставляя сюда р = e!V и 6 = mJV (V — объем шара), находим:
Но механический момент (момент импульса) равномерно вращающегося шара М = Jto, где J — момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр. Можно показать, что </ = — та?, где а — ра-
диус шара (см.: А. А. Космодемьянский. Курс теоретической механики. М., Учпедгиз, 1949, стр. 270).
Таким образом, магнитный момент равномерно вращающегося заряженного шара оказывается равным:
ш ~ —еаЧь.
5
Задачи для самостоятельногорешения
103*. Определить векторный потенциал магнитного поля системы токов, представленной на рисунке 73, в точке Р (х, у, г).
104*. Вычислить векторный потенциал магнитного поля тока, циркулирующего вдоль проволочной рамки, имеющей форму квадрата со стороной, равной 2а. Систему координат выбрать так, как показано на рисунке 74.
105*. Вычислить векторный потенциал на большом расстоянии от системы двух бесконечных антипараллель- ных токов (расстояние между токами принять равным 2d).
106*. Показать, что векторный потенциал однородного магнитного поля может быть записан в виде:
л = 1[В, 7]. (1)
Написать составляющие векторного потенциала (1) в сферических и цилиндрических координатах (направление вектора В принять за полярную ось).
107*. Вычислить векторный потенциал равномерно и прямолинейно движущегося точечного заряда.
108*. Вычислить векторный потенциал тока, текущего вдоль бесконечной цилиндрической трубы (Ь < г < а) и распределенного равномерно по ее сечению.
109*. Показать, что индукция и напряженность магнитного поля внутри однородно намагниченного шара удовлетворяют равенству
Д- + 2p0/7z = 0.
ПО*. Решить задачу магнитостатики для однородной полой сферы из магнетика с относительной проницаемостью Кт. помещенной в однородное магнитное поле //0.
111*. Вычислить скалярный потенциал магнитного поля линейного кругового тока / (радиуса а) на его оси.
112*. То же для бесконечной цилиндрической трубы (а < г < Ь), изготовленной из материала с относительной магнитной проницаемостью Кт и помещенной в однородное поперечное поле //о.
113* . Магнитное поле Земли приближенно может быть представлено как поле магнитного диполя. Какова величина момента этого диполя, если за среднее значение горизонтальной составляющей вектора магнитной индукции на магнитной широте 45° принять 2,3 • 10'5тл?Во сколько раз индукция магнитного поля Земли на магнитном полюсе больше, чем на магнитном экваторе?
114*. Определить отношение магнитного момента к механическому моменту для системы, состоящей из двух частиц с зарядами е^ и е2 и массами тх и т2.
§ 2. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ. КОЭФФИЦИЕНТЫИНДУКЦИИ
Закон Ампера: сила, действующая на замкнутый контур с током со стороны внешнего магнитного поля, равна:
В системе СИ В абсолютной системе
Поток индукции магнитного поля, возбуждаемого током I!, через контур тока / 2:
В системе СИ В абсолютной системе
Ф12=Л^12>Л^12>(2)
с
где L12 —коэффициент взаимной индукции токов I v и /2, определяемый (в случае линейных токов) по формуле:
В системе СИ В абсолютнойсистемеl12=l21= ^ф^-^^-- М2=^= фф-^^-- (3)
U L» 1Lt Lt 12
Силовая функция тока во внешнем магнитном поле: В системе СИ В абсолютной системе
и = — 1Ф,и = --1Ф,(4)
С
где ф — магнитный поток внешнего магнитного поля через контур тока /.
Энергия магнитного поля, возбуждаемого постоянным током /:
илиилиВ системе СИВ системе СИWW= 7= 7W =W =В абсолютнойсистемеW=A-PLu(5)^ = ^АНи.(6)В абсолютнойсистемеW=A-PLu(5)^ = ^АНи.(6)
или
или
В системе СИ
В системе СИ
W
W
= 7
= 7
W =
W =
В абсолютнойсистеме
W=A-PLu(5)
^ = ^АНи.(6)
В абсолютнойсистеме
W=A-PLu(5)
^ = ^АНи.(6)
В системе СИ- 7 SВ системе СИ- 7 S
В системе СИ
- 7 S
В системе СИ
- 7 S
Формула (5) следующим образом обобщается для системы, состоящей из нескольких взаимодействующих между собой замкнутых токов:
В абсолютнойсистеме
W = — V I.LLH. (7)
2С2 «j 1 J ч х ’
Наконец, если известны индукция и напряженность магнитного поля во всем пространстве, то энергию магнитного поля можно вычислить, пользуясь формулой:
В системе СИ В абсолютной
системе
W = -^HBdv.W = —^HBdv. (8)
2 J8л J1 7
Рис. 75Рис. 75Определить силу, с которой бесконечный прямой ток / действует на прямоугольный контур ABCD, лежащий с ним в одной плоскости и несущий ток /, (рис. 75).
Рис. 75
Рис. 75
Решение
Первый способ. По закону Ампера, сила, с которой бесконечный прямой ток / взаимодействует со стороной DA прямоугольного контура (с током /,), параллельна прямой NM и равна
Л = Л П Г^,В1 | = f dl = -^l.
J 1L J 1 2лх J 2лх DD
Аналогично, сила взаимодействия тока / со стороной ВС прямоугольного контура антипараллельна прямой NM и равна:
G
F = JV(1 С ^/ =2л(х+^),] 2л (х+^)*в
Силы, с которыми ток 1 взаимодействует со сторонами АВ и CD, равны по абсолютной величине и противоположны по направлению; эти силы перпендикулярны к прямой MN и параллельны току /.
Суммарная сила, действующая со стороны тока / на прямоугольный контур с током I ь параллельна прямой NM (рамка с током 14 притягивается к бесконечному прямому току /) и равна:
р __ р р __ \х^аЫ1у
2 2лх (х + Ь) *
Второй способ. Известно, что энергия тока / ь внесенного в магнитное поле другого тока /, определяется так называемой силовой функцией
U = - / .Ф,
где Ф — магнитный поток поля, возбуждаемого током /, сквозь контур тока /4 (см.: И. Е. Т а м м, Основы теории электричества, § 50).
Сила, действующая на ток /4 со стороны тока /, равна:
F = — — =.(1)
дх 1 дх
Легко видеть, что
х-^Ь
Ф = С BdS= f ^-adx = ^
JJ 2пх2л x
x
дФ^аЫ
дх 2лх (х + 6)
дФ
Подставляя значение производной — в формулу (1), на- дх
ходим:
F = — УоаЬ1к
2лх (х + 6)
(знак минус указывает, что контур ABCD с током 14 притягивается током /).
Гальванометр представляет собой квадратную катушку со стороной а = 2 см, вращающуюся вокруг вертикальной оси; на катушке имеется 100 витков проволоки. Вертикальные стороны катушки находятся во внешнем магнитном поле В = 0,01 тл, которое по отношению к оси вращения является радиальным. Какова величина углового отклонения описанной системы при прохождении по катушке тока силой в 1 ма, если коэффициент кручения подвеса системы равен 9,81 • 10*8 н • м!рад^ Какому току соответствует отклонение зайчика на 1 см на шкале, находящейся на расстоянии 2 м от такого зеркального гальванометра?
Решение
В отлицие от осесимметричного электрического поля (картина силовых линий которого представлена на рис. 76, а), силовые линии осесимметричного магнитного поля
справа от некоторой плоскости MN, содержащей ось симметрии, расходятся от оси симметрии, а слева от плоскости — сходятся к ней (рис. 76, б). Этим объясняется возникновение пары сил, действующих на вертикальные стороны катушки (рис. 77). Момент пары сил равен (для катушки с одним витком)
М, = / ^ | [ г \dUB ] ] | = IBa1;
|М|МI \N бI \N бРис. 76Рис. 76и для катушки с п витками
|М
|М
I \N б
I \N б
Рис. 76
Рис. 76
N = 1Ва?п.
С другой стороны» при малых углах отклонения
N = ^ф, где к = 9,81 • 10*8 н • • м!рад. Приравнивая оба выражения для N, находим:
па21В
Подстановка даетПодстановка даетФ ^ 0,2336° на 1 ма.Ф ^ 0,2336° на 1 ма.в полученную формулу числовых данных
Подстановка дает
Подстановка дает
Ф ^ 0,2336° на 1 ма.
Ф ^ 0,2336° на 1 ма.
Если рассматриваемая система используется как зеркальный гальванометр, то величину тока, соответствующего отклонению зайчика на шкале на 1 см, можно подсчитать так. Пусть d — отклонение зайчика от нулевого положения, R — расстояние от гальванометра до шкалы
. d
и а — угол поворота гальванометра, тогда tg а ^ —, откуда
в силу того, что d < R,
a«tga«A =0,005 рад= 0,29°.
Следовательно, ток, соответствующий отклонению зайчика на 1 см, равен
Ц= — = 1,24 ма.Ф
Показать, что коэффициент взаимной индукции бесконечного прямого провода и копланарного с ним равностороннего проволочного треугольника равен:
т ИолУ 3т ИолУ 3(я 4- b) In ( 1 + — \ — а\ ь
т Ио
лУ 3
т Ио
лУ 3
где а — высота треугольника, b — расстояние от провода до ближайшей параллельной ему стороны треугольника (рис. 78)
I0'
РешениеРешение
Решение
Решение
Первый способ. Заметим, что сторона треугольни- 2а
ка равна—^-, а его вершины имеют координаты (см. V 3
рис. 78):
A (b,5^,-4-Y С (а + b, 0).
\ К з /\ t з /
По определению, коэффициент взаимной индукции двух токов
L, ^2L, ^2
L, ^2
L, ^2
где Li— контур прямого тока, а [2- контур тока, циркулирующего вдоль проволочною треугольника АВС.
Однако вычисление Л12 удобно провести в три этапа, положив:
^12 ~ (^12) л в -Ь (L^bc + (L^ca.(1)
Вычисление (Ь12)лв.
В этом случае dl^ = dyxdy2 и r2i2 = 62+ (у г— У и)2, так что
а
УТ+ L
Wab = Ь f ^2 [d^
где после вычисления интеграла следует положить L= со.
В интеграле
заменим переменную интегрирования по формуле^—уа=ы; тогда
+ LВ-\~У2L—ya
Г dyt Г duр Р du
JL Vb^y^y^j V b^u^ j У^Ч-и^
= — 2 In b + In [ L+y2+ K^2 + (L + y2)2 ] +ln[L —
-У2+W + (L-y2)2], поэтому
<L12)ab^Inft + G^я УЗ
где
G1=^ J ln[L+y2 + /&2 + (A + y2)2] db
a
<?2 = ^ J In [L - y2+ V^ + (L - y2)2] d^. a
VT
Интеграл Gt вычисляем по частям, полагая и = In [L + + У2 + К^Н^ТуЭ5] и dv = dy2, откуда и = у2 и
du = —■У2= 0, так как L = оо.
Поэтому
с1 =—1п(Гл + —+ 1/ь1 + (l+—^
4л / з U ^ з V V V з
Далее можно показать, что G = GP Таким образом,
(£12)лв(£12)лв(2)(2)
(£12)лв
(£12)лв
(2)
(2)
Вычисление (L12) вс.
В этом случае d^ dl2 — jdy^ i dx2+ j dy^ = dyx dy2 и r?2 = (У1—Уг)2+ %i- Из треугольника BCD следует, что
>2a + b — x2>2a + b — x2= tg30=—U,5 V з= tg30=—U,5 V з
>2
a + b — x2
>2
a + b — x2
= tg30=—U,
5 V з
= tg30=—U,
5 V з
откуда
x2 = a + b — V 3 y2 и ^12 = (и -J- b — V^ 3 y2)2 + (У1 У2)2•
После этого
04-L
н \ Ho C /Vai С^1
\Ь12)ВС — — \ «у2 \ ——z=z=z====^^
(a + b - К 3 j/2)2+ (a^2)2 кт
Вычисление двойного интеграла даст:
(L12)bc = In (а + 6)^L_ in bML.
2л V 32л V 32л V 3
—Е4= In / [ L ++4л V 31 V 3—Е4= In / [ L ++4л V 31 V 3
—Е4= In / [ L ++
4л V 31 V 3
—Е4= In / [ L ++
4л V 31 V 3
Вычисление (£12)сл.
Так же, как и в первых двух случаях,^ dZ2 ^dy! dy2, а ^12 = Va + Ь 4* V 3 У2)2 + (Vt — У2)2, откуда О +L
WCA = ^ f dy2 С -^•
_ L -L ^ (° + 6 +3 ^2)2 + ^1->-2)2
Вычисления показывают, что
Wca = ^^"^ In (а + 6)^5_ in 6Е4_2л ^ з2л V 32л К 3Eo5_1nj "L + _^_ +4л I 3 I I 3Wca = ^^"^ In (а + 6)^5_ in 6Е4_2л ^ з2л V 32л К 3Eo5_1nj "L + _^_ +4л I 3 I I 3Подстановка выражений (2) — (4) в формулу (1) дает:Подстановка выражений (2) — (4) в формулу (1) дает:
Wca = ^^"^ In (а + 6)^5_ in 6Е4_
2л ^ з2л V 32л К 3
Eo5_1nj "L + _^_ +
4л I 3 I I 3
Wca = ^^"^ In (а + 6)^5_ in 6Е4_
2л ^ з2л V 32л К 3
Eo5_1nj "L + _^_ +
4л I 3 I I 3
Подстановка выражений (2) — (4) в формулу (1) дает:
Подстановка выражений (2) — (4) в формулу (1) дает:
Второй способ. Другой способ расчета £12 основан на том, что поток магнитного поля, возбуждаемого
^12 —^12 —+ b) In+ b) In(8)(8)
^12 —
^12 —
+ b) In
+ b) In
(8)
(8)
одним каким-нибудь током, через площадку, ограниченную контуром другого тока,
Ф^^ ^ B^dS^(5)
s, как известно, может быть записан в виде:
^12 = 1 е ^12*(6)
Магнитный поток прямого тока через площадь треугольника АВС (т. е. через площадку, ограниченную контуром второго тока) а-^-b уг
ь У,
где У1= -Л= (х — а — 6) и у2 == (х — а —6) —
/зУз
уравнения прямых АС и ВС, в которые упираются своими концами бесконечно узкие (заштрихованные на рис. 79)
полоски, по которым в (7) ведется интегрирование. Произведя указанное в (7) интегрирование, получим:
откуда
Внутри бесконечной проводящей цилиндрической оболочки радиуса а^ находится коаксиальный с ней провод радиуса а2. По оболочке течет ток /, равномерно распределенный по ее поверхности; по проводу течет равный, но противоположно направленный ток, равномерно распределенный по сечению провода.
Определить энергию магнитного поля и самоиндукцию единицы длины указанного кабеля, считая его достаточно длинным.
Решение
Поле внутри оболочки (0 < г < а^ возбуждается лишь током, текущим по проводу, причем
H.= -L_ г, ф<г<агу,2л«2
^ = -^,(а2<г<а1).
Вне оболочки поля нет, так как токи, текущие по проводу и оболочке, вне кабеля возбуждают равные и противоположно направленные поля.
Собственная энергия магнитного поля кабеля может быть записана в виде:
W = 1 PLU.
2
С другой стороны, принимая относительную магнитную проницаемость провода Кт = 1:
■ 2лг dr + i Н^ ■ 2лг dr■ 2лг dr + i Н^ ■ 2лг dr
■ 2лг dr + i Н^ ■ 2лг dr
■ 2лг dr + i Н^ ■ 2лг dr
= ^( 1 + 4 ln-5ih.
16л \а2 /
Сравнивая оба выражения для энергии магнитного поля, находим:
Lu = М 1 + 41п-М /•8л \tz2 /
откуда для самоиндукции единицы длины кабеля
Lu* =1 + 41n-^-V
8л \^2 /
Определить самоиндукцию единицы длины бесконечной прямой двойной проводки, состоящей из двух параллельных проводов кругового сечения (радиуса а), по которым текут равные и противоположно направленные токи. Расстояние между осями проводов принять равным d.
Решение
При расчете £и* будем исходить из формул:
О)(2)О)(2)W=-FLU*
О)
(2)
О)
(2)
211
/ Adv,/ Adv,
/ Adv,
/ Adv,
где интегрирование производится по объему единицы длины двойной проводки.
Векторный потенциал А суммарного магнитного поля складывается из векторных потенциалов магнитных полей, возбуждаемых каждым током в отдельности, причем век
торный потенциал магнитного поля тока +7, текущего вдоль провода 1 (рис. 80), имеет вид (см. задачу 70):
А"- А1" - 0.
=прИГ'<“'(3)
Аег = Т2"— 1 — 2 In —при rt а,
х 4л \а / 1
где к — произвольная постоянная, подбираемая так, чтобы на границе провода Л(г* было непрерывно. Составляющая А^ векторного потенциала магнитного поля провода 2 получается из (3) путем замены rt на г2 и изменения знака у тока.
Подставляя (3) в формулу (2) и заменяя интегрирование по объему на интегрирование по сечениям проводов, находим:
J (4* + А^Ж- ^«> + Л^) dS2}, st se
где"
J( Л^ + А^ dS1 =SiJ( Л^ + А^ dS1 =Siа 2ла 2ло о21п — ) го о21п — ) га 2лПЬ>а 2лПЬ>d2+ г^— 2ггс1 cos ср!d2+ г^— 2ггс1 cos ср!о оо оа2а2
J( Л^ + А^ dS1 =
Si
J( Л^ + А^ dS1 =
Si
а 2л
а 2л
о о
21п — ) г
о о
21п — ) г
а 2л
ПЬ>
а 2л
ПЬ>
d2+ г^— 2ггс1 cos ср!
d2+ г^— 2ггс1 cos ср!
о о
о о
а2
а2
= — y.oa?I fl 4- 4 In — \8\а
!2 1 + 4 In
и, следовательно,
W = 1 /2. Ил /1 + 4 in(4)
2 4л \a)v ’
Сравнивая (1) и (4), находим:
£и*= Но ^1 +41п£\4л \а /
Бесконечный прямой ток / помещен внутри цилиндрической полости (радиуса а), вырезанной в бесконечно большом куске мягкого железа с относительной магнитной проницаемостью Кт, и смещен на расстояние b от оси полости. Какова сила, действующая со стороны полости на единицу длины прямого тока?
Решение
Введем цилиндрическую систему координат г, ф, г с осью г, совпадающей с осью полости, причем угол ф будем отсчитывать от плоскости, проходящей через ось г и ток / (рис. 81).
Применяя метод магнитных изображений, будем искать поле внутри полости (0 < г < а) как поле реального тока / и некоторого фиктивного линейного тока I ь параллельного току / и проходящего через точку В, положение которой определяется соотношением OB = h = al/b, т. е.
Аи= — InR—^k In^+ const.(1)
z 2n2л
Поле вне полости (а < г < оо) будем искать в виде поля тока I v текущего вдоль оси полости, и другого фиктив
ного линейного тока /2, текущего в том месте, где в действительности течет реальный ток /, т. е.
А=in г — Eoti. ln R + const(2)
причем
rot А{ = Bh a rot Ae =^ Be.
Подставляя в (1) и (2)
R = (r2+ № —2rb cosp)1/2 и Ri = fr2+ -^L cos p^1/2 получим:
A:,= — — In (r2 + 62— 2rb cos p) — In fr2+ -
12 4л v4л№
^tq^\
cos p 4- const,(la)
-b /
A„ = —V^nJx. j n f — v^mk. 1 n (r2 + b2— 2rb cos <p) + const. 2л4 л
,(2a)
В выражениях (la) и (2а) токи /t и /2 должны быть подобраны так, чтобы удовлетворялись граничные условия:
Щц)г=а = (Het\-=a , (В^гад = ^Ве^г==а , которые с помощью формул (15) приложения 1 могут быть представлены в следую щем виде:
\ 8г //-=аК mV 8г /г=с
\ 8<$ )г=а \ 8^ )г=а
Нетрудно видеть, что граничные условия в рассматриваемом случае имеют вид:
И + Л= ^mh.
откуда
Таким образом, магнитное поле внутри и вне полости определяется векторными потенциалами:
Ai2= — — In (г2 + 5а — 2rb cos <р) —
4л
(16)(26)т. е.(16)(26)т. е.ц0/ /— 1 \/ о . о42га2\ ,,
(16)
(26)
т. е.
(16)
(26)
т. е.
— С2- —HL| In ( Г2НCOS ф | + COnst,
4л \^m+l 1\№ Ь)
^^т!.— In (г2+ Ь2— 2rb cos <р) + const.
2л (^+1) V
Выпишем также поляризационный потенциал, векторный потенциал магнитного поля, возбуждаемого в полости молекулярными токами, циркулирующими в магнетике, окружающем полость:
lZ 4л ^ Km-V 1) \ ь» b т/ v 7 Силу притяжения реального тока / к полости можно рассматривать как,силу его взаимодействия с фиктивным током /t. Ее можно определить, исходя из закона Ампера:
Ё = /^Й^л],
где В*л — индукция магнитного поля, возбуждаемого молекулярными токами магнетика (или фиктивным током /1) в том месте, где течет реальный ток I. Пользуясь выражением (3) для векторного потенциала указанного поля и формулами (15) приложения 1, можно показать, что
№л=(в;„),=о, (в^=-^(-^)^-
Отсюда сила, действующая со стороны полости на единицу длины тока /, оказывается параллельной прямой ОА и равной:
f = l{dl- (В*)А= — .
J 1ф 2л \Кт+ 1 'а?-Ьг
Шар (радиуса а), изготовленный из магнетика с относительной магнитной проницаемостью Кт и находящийся во внешнем однородном поле Во, разрезан на две половины плоскостью, перпендикулярной к направлению поля. Определить силу взаимодействия между полушариями.
Решение
Так же, как ив электрическом поле, объемные механические силы, действующие на материальное тело со стороны магнитного поля, могут быть сведены к натяжениям, испытываемым поверхностью этого тела.
Силу взаимодействия между полушариями намагниченного шара, внесенного в однородное поле Во и разрезанного на две половины плоскостью, перпендикулярной к направлению линий поля, можно рассматривать как равнодействующую всех натяжений, испытываемых поверхностью каждого полушария в отдельности, т. е.
S
где Т„ — проекция тензора натяжений магнитного поля на внешнюю нормаль к поверхности тела.
При линейности связи В = р,оКтН и в отсутствии токов проводимости в среде (/ = 0) тензор натяжений магнитного поля может быть получен из тензора натяжений электрического поля путем замены е0К и Е на р0/<т и Н (см.: И. Е. Тамм. Основы теории электричества, § 83).
Обращаясь к задаче 50 (см. формулу (3), мы можем для однородного магнитного тела (/Cm = const) написать:
Т^Цн (ПН)-^Н^,
где п — единичный вектор внешней нормали к поверхности тела.
Все дальнейшие вычисления вполне аналогичны вычислениям, проделанным в задаче 50; поэтому мы их опускаем и приводим только окончательное выражение для силы взаимодействия между полушариями однородного магнитного шара (но не ферромагнитного!), помещенного в однородное поле Во:
р — ^Km Wm I)2 ^д 2
4ЦО (Кт+ 2)2° '
Задачи для самостоятельногорешения
115*. Определить силу, с которой бесконечный прямой ток / взаимодействует с круговым током I ь циркулирующим в осевой плоскости бесконечного прямого тока (рис. 82).
116*. Прямоугольный контур ABCD, рассматриваемый в задаче 73, повернут вокруг прямой AD на угол ф.
Определить момент сил,
Рис. 82 другому прямолинейномуРис. 82 другому прямолинейномустремящихся вернуть контур ABCD в равновесное положение.
Рис. 82 другому прямолинейному
Рис. 82 другому прямолинейному
117*. Провод протянут по окружности радиуса а всюду за исключением дуги с углом 2а, где онсле- дует вдоль хорды. Указанная проволочная петля подвешивается в точке, противоположной центру хорды, так что плоскость петли при этом оказывается перпендикулярной к проводу, проходящему через се
ллцентр. Токи в петле и проводе соответственно равны и /2.
л
л
Вычислить момент сил, действующих на петлю.
118*. Катушка гальванометра, состоящая из 600 вит
ков очень тонкой проволоки, намотанной на прямоугольный каркас (длиной 4 см и шириной 1 см), подвешена на
кварцевой нити в однородном магнитном поле, индукция которого равна 0,05 пи.
Каков момент сил, действующих на катушку гальванометра, в положении, перпендикулярном к полю, если по каждому витку течет ток, равный 10-8 а?
119*. Магнитная стрелка с моментом т=100а-л<2
плавает в горизонтальном положении на пробке в оке- 2 ане. Где она будет находиться в более устойчивом положении и где в ме- у нее устойчивом? Какова величина разности энергий стрелки в двух указанных положениях?
120*. Определить коэффициент взаимной индукции между бесконечным 7 прямым проводом и круговым проволочным контуром радиуса а, располо- О женным в осевой плоскости прямого провода (рис. 82).
121*. Вычислить коэффициент взаимной индук
ции между круговым токомРис. 83
радиуса R и бесконечным
прямым соленоидом кругового сечения (радиуса а), рас
положенным вдоль оси кругового тока и имеющим п вит
ков на единицу длины.
122*. Вычислить коэффициент взаимной индукции между тором любого сечения, содержащим п витков, и бесконечным прямым током, текущим вдоль оси тора. Провести до конца вычисление для трех систем, представленных на рисунке 83 (а, б, в).
123*. Вычислить коэффициент взаимной индукции для двух окружностей, которые расположены в параллельных плоскостях, имеют совпадающие оси и одна из них очень мала по сравнению с другой.
124*. То же для двух коаксиальных круговых токов, лежащих в одной плоскости.
125*. То же для двух соленоидов, намотанных на одном и том же сердечнике длины /.
126*. Исходя из выражения для плотности энергии магнитного поля, определить энергию системы проводников, несущих постоянные токи.
127*. Как можно вычислить работу, затрачиваемую при перемагничивании единицы объема стального сердечника?
128*. Вычислить энергию магнитного поля в прорезанном железном кольце, рассматриваемом в задаче 101*, и в воздушном зазоре, полную энергию магнитного поля и самоиндукцию кольца для трех указанных в задаче 101* значений ширины зазора. Найти также силу, с которой притягиваются полюса прорезанного железного кольца.
129*. Определить самоиндукцию тороидального соленоида, у которого радиус сечения мал по сравнению с радиусом тора.
130*. Вычислить самоиндукцию цилиндрического провода (с относительной магнитной проницаемостью Кт и радиусом г0), согнутого в тор радиуса R, причем r0 < R.
131*. Определить самоиндукцию единицы длины кабеля, оболочка которого представляет собой цилиндрическую трубу (г 2 < г < г^, а жила — цилиндрический провод радиуса а. При расчете считать, что оболочка и жила изготовлены из одного и того же материала.
132*. Как изменится самоиндукция двойной проводки, описанной в задаче 77, если в ней сплошные провода заменить цилиндрическими трубками (с радиусами а и Ь, а > Ь)?
133*. Бесконечный прямой ток силы / находится в вакууме и течет параллельно плоской поверхности однородного магнетика с относительной проницаемостью Кт.
С какой силой (рассчитанной на единицу длины) бесконечный прямой ток / притягивается к магнетику?
ГЛАВА III
ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
Сила, действующая на движущийся электрический заряд со стороны магнитного поля (сила Лоренца);
В системе СИВ абсолютной
системе
£=е(о, В].F = — [u, В].(1)
с
Закон электромагнитной индукции Фарадея:
В системе СИВ абсолютной
системе
дифференциальная форма
. с дВ. у \ дВ/т
rot £ =,rot Г =,(2)
dtс dt
интегральная форма
£ИНДАФ£ИНД 1_ АФ/^Х
~ dt ’— с At’ ' '
где Ф — магнитный поток, пронизывающий площадку, натянутую на замкнутый контур интегрирования.
Прямой провод длины и направления S движется со скоростью и в однородном магнитном поле В; его концы соединены посредством подвижных контактов с неподвижным проводником, который вместе с ним образует замкнутую цепь. Какова э.д.с. индукции в этой цепи?
Решение
На электрон, движущийся вдоль провода АВ (рис. 84) со скоростью и || 8, действует сила Лоренца:
F = е[ и^-и, В).
Другими словами, движущийся электрон подвержен воздействию электрического поля с напряженностью:
Ё = Fie = [ о 4-и, В].(1)
Согласно второму закону Кирхгофа, в результате воздействия электрического поля (1), эквивалентного магнитному полю В, в замкнутом контуре должен возникнуть ток /, величина которого определяется из соотношения: IR = фЁЗЁ = Еинд.
L
Рис. 84Рис. 85Рис. 84Рис. 85Следовательно, э. д. с. индукцииСледовательно, э. д. с. индукцииLLLL
Рис. 84Рис. 85
Рис. 84Рис. 85
Следовательно, э. д. с. индукции
Следовательно, э. д. с. индукции
LL
LL
так как вдоль всего замкнутого контура v || dL и поэтому всюду:
Окончательно выражение для э.д.с. индукции можно записать в виде:
£инд = [ и, В ] 8,
так как для всех элементов контура, кроме отрезка S, скорость и = О, магнитная индукция В постоянна на всем отрезке S.
В системе (рис. 85), образованной двумя параллельными рельсами и поперечным проводником АВ (длина которого равна /, а масса /п) и находящейся в однородном магнитном поле В, перпендикулярном к плоскости чертежа (и направленном за чертеж), желают установить при помощи подходящей э.д.с. постоянный ток /, направленный по стрелке. Считая сопротивление системы постоянным, определить: а) закон движения проводника АВ; б) электродвижущую силу Е как функцию времени. Проверить выполнение закона сохранения энергии.
Решение
Так как по предположению ток / поддерживается постоянным, то сила F = ВП, действующая на стержень АВ, также постоянна. Поэтому движение стержня будет равнопеременным с ускорением, равным ВШт. Если в начальный момент стержень был пущен со скоростью v0, то закон движения стержня выразится формулой (положительным направлением движения считается направление справа налево):
п = Уо+— t.
Э. д. с. индукции, возникающая при этом в стержне АВ, равна В1 и и по закону Ленца противоположна электродвижущей силе Е, включенной в цепь. На основании обобщенного закона Ома
IR = Е — Blu, откуда
E = IR-VBlU6-V—t\(2)
\ т )
Таков искомый закон изменения электродвижущей силы Е, как функции времени.
Чтобы проверить согласие с законом сохранения энергии, умножим обе части уравнения (2) на Idt:
EIdt = I4tdtA-BllU)^ — t\dt = FRdtA-FdS, (3)
\ т /
где dS — элемент пути стержня.
Левая часть уравнения (3) представляет собой энергию, доставляемую источником тока за время dt; первое слагаемое правой части — джоулево тепло, а второе слагаемое — прирост кинетической энергии стержня за время dt, или работу электродинамической силы F.
Если и0 отрицательно, т. е. если бы в начальный момент стержень имел скорость, противоположную той, которую он получает свободно под действием электродинамической силы F, то могло бы случиться, что электродвижущая сила Е была бы отрицательна, другими словами, источник тока мог бы стать потребителем тока. Если и0 отрицательно, т. е. движение стержня вначале направлено вправо, то такое направ-
, ВИ
ление его движения сохранится до момента t.=, потом
mv0
его скорость изменит знак и стержень будет двигаться влево (аналогично тяжелому телу, брошенному кверху, а затем падающему вниз).
Кольцо из медной проволоки с радиусом г= 10 см и поперечным сечением S = 1 Л4лг2 вращается в магнитном поле Земли вокруг вертикальной оси, совпадающей с диаметром кольца, делая 300 об!мин. Сколько джоулева тепла выделяется в кольце за 1 сек? Горизонтальную составляющую магнитной индукции поля Земли принять равной 2,3- 10-5т.
Решение
За 1 сек в кольце выделяется следующее количество джоулева тепла:
г
Q= ^(E"HKydt,(I)
о
где v — число оборотов кольца в сек, Т — время одного оборота. Основная задача, следовательно, состоит в отыскании £инд. Согласно задаче 80
£им=^[и, Ца1.(2)
Для того чтобы вычислить интеграл, входящий в формулу (2), обратимся к рисунку 86. На рисунке 86 точка А принадлежит вращающемуся кольцу. Система координат выбрана так, что у вектора индукции В магнитного поля Земли Вх = 0, Ву = В, Вг — В ь где В —горизонталь- 172
ная и В t— вертикальная составляющие магнитного поля Земли.
Пользуясь рисунком 86, находим:
{
их = —u sin со t, u^ = u cos rot; uz = 0, dLx = —dL sin <p cos tot, dL^ = — dL sin ф sin tot, (3) dLz = dL cos ф.
В формулах (3) надо положить u = tor со$ф и dL = rd<p.
Раскрывая смешанное произведение [и, В] dL по формуле (4) приложения 1, находим:
[ и, В \dL = — В, ш г2 sin у cos <р dtp — В ш r2sin tot ■ cos2p d<?,
2л2л
£инд= —В^г2 J sin ср cos ср dtp — В wr2sin wt ^ со82ф d^.об
Произведя здесь интегрирование по ф, окончательно находим:
Еинд= — штсг2 В sin wf.(4)
Знак минус у э.д.с. индукции показывает, что ток индукции направлен против вектора dL.
Подстановка выражения (4) в формулу (1) дает: т
лI sma wt dt.
R J
0
Стоящий здесь интеграл равен — ; подставляя сюда также
1
и v = — получим:
<о2л2г4Ва
27?.
n2лгр
или, так как R = = ——~,
4р'
Подстановка в формулу (5) числовых данных (р = = 1,7 • 10-8 ом • м) дает:
Q = 2,444 • Ю'9 вт.
Исходя из обобщенной формы закона Ома, показать, что плотность магнитной энергии внутри тороидального соленоида радиуса R (с круговым сечением радиуса г0 < R) с N витками тонкой проволоки, по которой течет переменный ток /, равна-^-р Н\ где р— магнитная проницаемость сердечника соленоида.
Решение
Запишем обобщенный закон Ома
IR = E^—N^,(1)
АФ
здесьскорость изменения магнитного потока, про- dt
низывающего какой-нибудь один виток соленоида. Умно
жая уравнение (1) на Idt, получаем:
/ Е"» dt = PRdt + NI ■ dФ.(2)
По формуле (2) задачи 66, справедливой при r0 < R
I = 2^ и dФ = w^dH.(3)
Пользуясь формулами (3), можно показать, что N1 • dФ = 2к R • яг2 . р Н dH = V • d(- р//2)
где V = 2nR • лго — объем кольца. После этого уравнение (2) принимает вид:
IE^dt = PRdt + Vd(liiH^.(2а)
Первое слагаемое в правой части уравнения (2а) представляет собой джоулево тепло, выделяемое во всех витках проволоки, а второе слагаемое — изменение магнитной энергии соленоида. Величина — ц № является, следовательно, 2 плотностью энергии магнитного поля.
Показать, что при изменении во времени радиального магнитного поля, у которого
Вх = Ву = 0; Bz = В (г, t), возникает вихревое электрическое поле, силовые линии которого представляют собой концентрические окружности с центрами, лежащими на оси магнитного поля.
Решение
Радиальные магнитные поля находят широкое применение при конструировании ускорителей заряженных элементарных частиц (например, при устройстве бетатрона); практически такие поля осуществляются при помощи специальных систем электромагнитов (см.: Э. В. Шпольский, Атомная физика, т. 2, ГИТТЛ, 1950, § 277).
Обратимся теперь к уравнению Максвелла:
roLE=-^,(1)
представляющему собой закон электромагнитной индукции Фарадея (в дифференциальной форме).
Если ввести цилиндрическую систему координат с осью Z, направленной вдоль оси магнитного поля, то уравнение (1) примет вид (см. формулу (15) приложения 1):
J_ дЕ2 дЕе q дЕт dEz qг д^ дг ’ дг дг ’
' — — (гЕе) — = — — — .(2)
г ar 'г ае> atv '
Полученной системе уравнений можно удовлетворить, положив: Ет = Ez = 0 и Ее = Ее (г, /) (такой вид решения системы (2) следует из соображений симметрии! Легко
видеть, что первые два уравнения системы (2) при этом удовлетворяются тождественно, а из последнего уравнения находим:
г 1 ( С дВ (г, h . , , ,А ) /о.
£e = 7|- J—+ (3) где /(/) — произвольная функция времени t.
Выражение (3) показывает, что в плоскости, перпендикулярной к оси магнитного поля, силовые линии вихревого электрического поля представляют систему концентрических окружностей с центрами, лежащими на оси магнитного поля.
Задачи для самостоятельногорешения
134*. Железнодорожные рельсы изолированы друг от друга и от земли и соединены через милливольтметр. Каково показание прибора, если по рельсам проходит поезд со скоростью 100 км№ Вертикальную составляющую вектора индукции магнитного поля Земли принять равной 1,5 х X 10~6 тл, а расстояние между рельсами — 1540 мм.
135*. Проводящий угол X0Y (рис. 87) помещен в однородное магнитное поле, перпендикулярное к его плоскости; проводник АВ, перпендикулярный к биссектрисе угла X0Y, движется равномерно со скоростью и0. Определить величину тока, наводимого в контуре АОВ, если все проводники обладают сопротивлением г ом на единицу длины.
136*. Стержень АВ перемещается, скользя по проводящей окружности радиуса R, находящейся в однородном магнитном поле, перпендикулярном к плоскости круга, с постоянной скороетью v0. В начальный момент стержень касается окружности, а во время движения остается параллельным самому себе. Определить э.д.с. индукции, наводимую в контуре, содержащем стержень и дугу окружности, находящуюся под ним.
137*. Определить полное количество электричества, протекающего по замкнутому линейному проводнику при изменении по какой-либо причине магнитного потока через его контур от одного постоянного значения Ф4 до другого Ф2.
138*. Решить задачу 81, полагая, что э.д.с. источника постоянна, а ток в цепи переменный.
139*. Как зависит сила тока в медном кольце, рассматриваемом в задаче 82, от угла поворота eat (рис. 86)? Определить величину вектора индукции магнитного поля, возбуждаемого этим током в центре кольца, как функцию eat. Найти величину и направление вектора индукции результирующего магнитного поля в центре кольца в зависимости от tot.
140*. Определить э.д.с. униполярной индукции, возникающей между полюсом и экватором однородно намагниченного шара (рис. 88) равномерно с угловой скоростью to вращающегося вокруг оси, совпадающей с направлением намагничения шара (полученный результат выразить через магнитный момент шара т).
141*. Две параллельные круглые пластинки (радиуса R), изготовленные из проводника, насажены на общую (непроводящую) ось на расстоянии а одна от другой и вращаются в противоположные стороны с постоянной угловой скоростью ® в однородном магнитном поле В, перпендикулярном к их плоскостям. Пренебрегая краевым эффектом, определить заряд полученного таким образом конденсатора и силу взаимодействия между его обкладками.
142*. Определить полный заряд, протекающий по тонкому проводящему кольцу при остановке его равномерного вращения (с угловой скоростью еа) вокруг оси, перпендикулярной к его плоскости.
143*. Какова сила тока, возникающего в сверхпроводящем круговом кольце при остановке его равномерного вращения вокруг оси, перпендикулярной к его плоскости?
Указания:
Использовать свойство сверхпроводящего кольца: при любом изменении внешнего магнитного поля или тока в кольце полный магнитный поток через кольцо остается постоянным и равным:
LH / + Ф, = const.
Самоиндукция тонкого сверхпроводящего кольца совпадает с внешней частью самоиндукции обычного, несверхпроводящего кольца (см. задачу 130*) и равна:
£и = цоа In - — 2 ,
где а — радиус кольца; b — радиус сечения.
КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Источник с постоянной электродвижущей силой Е соединяют с магнитоэлектрической машиной, способной вращаться без трения. Полное сопротивление и самоиндукция цепи тока соответственно равны R и L, а момент инерции якоря машины относительно оси вращения равен М. Известно, что в машине с постоянным возбуждением отношение между э.д.с. машины и угловой скоростью вращения ее якоря постоянно и равно отношению вращающего момента, действующего на якорь машины, к величине тока в цепи.
Решение
Пусть е — собственная э.д.с. машины, / — сила тока в цепи и М — — вращающий момент, действующий на якорь di
машины; тогда на основании сказанного в условии задачи о режиме работы машины можно записать:
Знак минус в (1) перед к показывает, что направление собственной э.д.с. машины противоположно тому действию, ко-
торым она наводится (закон Ленца). Из формулы (1) находим:
е=—ЫиМ-=Ы.(2)
dtv '
Далее, записываем закон сохранения энергии:
Eldt = PRat + Mtodto + Lidl.(3)
Выражение (3) показывает, что энергия Eldt, затраченная источником тока за время dt, частично расходуется на нагревание проводов цепи, частично идет на увеличение кинетической энергии машины и частично превращается в энергию магнитного поля тока.
Запишем- также обобщенный закон Ома:
IR = Е + £иид + е, или
IR = E — L- — к<й.(4)
dt
Исключая из уравнений (3) и (4) ток /, получаем следующее уравнение для определения угловой скорости якоря:
LЬ R— со = — •(5)
dt» di M M ’v '
а исключая <о,— уравнение для определения тока в цепи:
L — + R^L + ^Z = 0.(6)
dt» di MV '
Общее решение линейного неоднородного уравнения (5) имеет вид:
ю = ЛеГ1'+ВеГ8< + -,(7)
к
где
1 2L V Ш ML 2 2L V 4L» ML
В наиболее интересном случае, когда ^<о, 4L» ML ’ решение (7) можно переписать в виде:
го = ae~at sin (у/ + р) + —,(8)
где
а = — и у = 1/— —.
2L т V ML 4L*
Решение уравнения (6) с учетом условия (2) можно записать в виде:
/ = -^ е““' [у cos (у/ + Р) — a sin (у/ + Р)].(9)
К
В решениях (8) и (9) постоянные аир должны быть определены из следующих начальных условий: в момент включения источника тока, т. е. при t = О,
о = О и / = 0.(10)
Легко видеть, что условия (10) принимают вид:
. о ЕQ а Е
asinp=и acosp = —
кV &
откуда
"Н -sinp-irm. (11)
Окончательно решения (8) и (9) можно записать в виде:
I = — V- e~“'siny/(12)
ky Г L
И
ю = - [1e"a<sin (у/ + р)1.(13)
к L T^MLVI I r/j. v /
Угловая скорость якоря и величина тока в цепи колеблются с периодом
Т = 2л l/^fl — — V^.(14)
V № \4k*L/v ’
Выражение (14) показывает, что величина ^ играет роль емкости в цепи с конденсатором, самоиндукцией и сопротивлением (см. книгу И. Е. Тамма, § 89), а машина выполняет роль конденсатора. Это видно из того, что в рассматриваемой нами цепи происходят взаимные превращения энергии магнитного поля тока в кинетическую энергию вращения якоря машины. Однако наличие в цепи сопротивления делает этот процесс быстро затухающим.
Конденсатор с емкостью С присоединен параллельно катушке с сопротивлением R и самоиндукцией L при помощи проводников, обладающих сопротивлением г. Полученный контур включается в цепь с э.д.с., равной £0cos pt. Показать, что этот контур эквивалентен проводу без самоиндукции, если
R4 — - = рЧ£ (г»-1\с \ с)
Найти сопротивление указанного провода.
Решение
Пусть /4— ток в ветви с катушкой (рис. 89), /2 — ток в ветви с конденсатором и / — общий ток, протекающий через обе ветви, причем
1 = 1, + Ц. (1) Пусть общее сопротивление обеих ветвей равно R', оно будет также и сопротивлением эквивалентного провода, ко
(2)(2)торым при выполнении некоторого условия можно заменить обе ветви. Очевидно также, что
(2)
(2)
/ = —° cos pt.R'
Ток 1^ протекающий через катушку, определяется уравнением:
ItR-\- L^ = E0 cos pt.(3)
at
Нетрудно показать, что частное решение уравнения (3) имеет вид:
/ = —C0Sp/ ^ор£_ s|n р^^
1 R^ Р^^Я2+ р2£2 Р' 7
При определении тока /2 в ветви с конденсатором исходим из того, что падение напряжения на участке aAGBb rl2 = f Es dS,(5)
aAGBb где
J Es dS = ^ Es dS— f Es dS = Ectp -f- J EsdS. aAGBbaAGBbGabCaaCb
В случае квазистационарного тока последний интеграл можно положить равным той разности потенциалов (фа — ф6), которая существовала бы на обкладках конденсатора в статическом случае. Поэтому уравнение (5) можно переписать в виде:
г/,= £стр+ (ф«— ф»)
или, так как ECIp = Ео cospt и фа — ф6 =;
г/2 —-^ = Ео cospt.
Продифференцировав последнее уравнение по времени t, получим:
г^~77; =-pE»sxnpt at С at
или, так как dej dt " 2
[сила тока /2 равна убыли (или прибыли) заряда на одной из обкладок конденсатора]:
r^ +^ =—рЕа sin pt.(6)
Частное решение уравнения (6) имеет-вид:
, Ео гр^С4 ,ЕорС.,.-.
/2 = ——cos pt—sin pt.(7)
г 1 + r4p4C41 -J- r4p4C4
Запишем теперь первый закон Кирхгофа (1), используя (2) (4) и (7):
cos pt = еА —-1'j cos ptA-
R'° V?2 + P2^21 + r4p4C4 ) r
+ Eq SIH pt,
0 \/?2 + ргУ 1 + rVC4 ) p ‘
откуда, приравнивая коэффициенты при cos pt и sin pt,
находим:
’ —2 =0,(8)
R» + p^I?1 + г^рЧ?х
—+= 1(9)
. £2 + Р^1 + Г2р2С2£'
/?2 —/?2 —- = ргьс U — -),с \с)’- = ргьс U — -),с \с)’(10)(10)Из уравнения (8) находим условие, при выполнении которого рассматриваемую цепь с разветвлениями можно заменить эквивалентным проводом без самоиндукции
/?2 —
/?2 —
- = ргьс U — -),с \с)’
- = ргьс U — -),с \с)’
(10)
(10)
(П)(П)а из уравнения (9), учитывая условие (10), находим сопротивление указанного провода:
(П)
(П)
R + r^p^LG '
Определить частоты свободных электрических колебаний в системе из двух индуктивно связанных контуров, содержащих самоиндукции Lj и Л2 и емкости С^ и С,; сопротивлениями Rt и R2 пренебрегаем.
Решение
Известно (см., например, И. Е. Тамм, Основы теории электричества, §89), что свободные электрические колебания в контуре, содержащем самоиндукцию L, емкость С и сопротивление R, описываются уравнением
w + t' P'«".(1)
о
Это уравнение следующим образом обобщается на случай п индуктивно связанных контуров:
t
У (Lab d-!f + RJA ^ f Iadt\ = 0;. (a, b = 1, 2п)
ьо
(тем самым учитывается, что э.д.с. индукции в любом контуре возникает как в результате изменения собственного тока, так и благодаря изменению токов, циркулирующих во всех остальных контурах) или
t
где
S = П ПРИ а = b,аЬ |0 при a =/= b.
Для периодических токов (типа / = Ioe-t®1^ система дифференциальных уравнений (2) сводится к систейе алгебраических уравнений
2 ^ab^b = 0,(3)
где элементы матрицы Zab определяются формулой 20»=6a6(^+-^)-^Lc6.(4)
(Заметим, что диагональные матричные элементы
^аа= ^а 1 (toL0 ~7~'l
\ юСа /
называются импендансами контуров или их комплексными сопротивлениями.)
В рассматриваемом случае система однородных алгебраических уравнений (3) имеет вид (после умножения на — ]: ю /
(dc,-L1) 71 —L12Z2 = 0,
—+ (-L2V=0.(3а)
12 1\<оС22/ 2
Чтобы система (За) оказалась совместной, необходимо, чтобы был равен нулю ее определитель, т. е. чтобы
Lt\ (—L2t = Li2.
io2^ */ t®2^ 2У
Решая уравнение (5), находим частоты свободных электрических колебаний в связанных контурах:
По малому участку внутри однородного проводника в начальный момент распределен заряд с объемной плотностью ро (х, у, 2); предоставленный потом самому себе заряд стекает на поверхность проводника. Как будет при этом изменяться плотность заряда в указанном участке? Каково время релаксации процесса растекания заряда в проводнике?
Решение
Подставляя j = ХЕ (в такой форме закон Ома справедлив как для постоянных, так и для переменных токов) в уравнение непрерывности
div /4-^ = 0,j dtполучим:
div 5=——^.(1)
X dt' '
Из уравнения (1) и уравнения для источников электрического поля div £ = — получаем уравнение:
е0
интегрируя которое, находим:
Р = Ро(х, у, 2)-е е° .(3)
Выражение (3) показывает, что за время
т=^(4)
заряд в рассматриваемом участке проводника уменьшается в е раз. Время т и есть время релаксации процесса растекания заряда в проводнике.
Показать, что при релаксации зарядов в однородной проводящей среде ток смещения точно компенсирует ток проводимости, так что магнитное поле в процессе релаксации зарядов не создается.
Решение
Используя результат, полученный в задаче 88, плотность тока проводимости, очевидно, можно представить в виде:
"Т лX
/пров ~= ”^
Р4 Л80
е0 С Ро (х, J, Z) г ду
V
а плотность тока смещения в виде:
t __ дЕ 1см -%dt
g е° fdV
4ле0 J г3V
Следовательно, в процессе релаксации зарядов
rot Н = /пров + /см = 0*(1)
Учтем также, что и
div В = О или div Н= 0. (2)
Решением системы уравнений (1) и (2) является постоянное поле. Поэтому если до начала растекания зарядов никакого магнитного поля не было, то его также нс будет как во время релаксации зарядов, так и после прекращения указанного процесса.
90. Вдоль бесконечной проводящей полосы течет переменный синусоидальный ток высокой частоты. Найти распределение тока по сечению проводника и вычислить сопротивление куска проводника шириной 2а м и объемом 2алР.
Решение
В
металлах плотность тока смещения е
ЭЕ
0 dt
исчезающе
мала по сравнению с плотностью тока проводимости. По
этому при рассмотрении процессов, связанных с распределением и распространением электромагнитного поля в металлах, токами смещения можно пренебрегать. Нетрудно показать (исходя из уравнений Максвелла), что вектора ЕиН электромагнитного поля в металлах удовлетворяют уравнениям:
(1)
пп i д Н Н = ^ 37" 01
(2)
(см.: И. Е. Тамм. Основу теории электричества, § 90).
Обращаясь к решению задачи, введем систему декартовых координат так, как это указано на рисунке 90. Пусть переменный синусоидальный ток течет вдоль оси Z, причем/х = /у= 0,/г = / (х, 0= / СО • eZtiZ и, следовательно, Ех = Е, = 0, Ег = Xj(x) • е^.(3)
Подстановка (3) в (1) приводит к новому уравнению
(4)
dx^ где
Р2 = -Г цХсо.(5)
Рис. 90Рис. 90УТУТ
Рис. 90
Рис. 90
УТ
УТ
Общее решение уравнения (4) имеет, как известно, вид линейной комбинации двух частных решений типа екх, где Л—корень характеристического уравнения к?=2.1рй, т. е.
^1.2 = ±рр2< = ± (1 + Ор = ±«?; т = 0 — Ор-(6) Следовательно,
/ (х) = С^10 + Сге~^х = Л cos ух + В sin ух. (7)
Пусть плотность тока на обеих поверхностях полосы
К—а) = /(+<0 = /о;
тогда нетрудно показать, что в решении (7)
A cos ya = jo и В = 0.
Таким образом, распределение тока в проводнике определяется действительной частью выражения
i<x*<8>
cos ya ’
т. е.
j, (х, 0 =-Re (cos ух • cos y*a • eitot\
cos ya • cos y*a
Пользуясь формулами eu + e~il .t^e^-e1^
cos г =— и sin 2 = —^’,
22
находим:
: (x a _ ; fch P (x—°)cos P(x+«)+ ch p(x+a) cos p(x—a) cos ^^ ’ ^'°(cos 2pa + ch 2pa
। $h P (x—a) sin p (x+a)4- sh p (x + a) sin p (x —a) sjn Л ,g.
cos 2pa + ch 2paJ *
Переходя к определению сопротивления проводника, докажем одну очень важную для последующих вычислений теорему: «средний за период квадрат действительного тока (9) равен половине модуля комплексного тока (8), т. е.
i77txTop= X j (х, /) • р (х, /)».
Действительно, переписав (9) в виде:
/t (х, /) = /о {ф! (х) cos tot — <р2 (x)sin to/},
получим:
(/i(x,/)]2 =/S{t’cosW -bcplsin2®/—2<p1<p2sin©/cos®/}, откуда
(шог=7 /§(ф?+ф|).
С другой стороны, представив (8) в виде:
/ (Х, /) = /о [<Р1(х) + 1ф2(х)1 eim<, находим:
1 1 1*= /8(<Р?+ фг),что и доказывает сформулированную выше теорему.Полный «комплексный» ток, протекающий в некоторыймомент времени / через полоску шириной 2а и высотой,
равной единице (на рис. 90 указанная полоска заштрихована), равен:
1 = ^Нх, t)dX^^^eiat.
Jу cos уа
Средний за период квадрат действительного тока, протекающего через эту полоску, на основании доказанной теоремы будет равен:
72 = 1 jp = 2/osin Y^siny^ .
277* cos 7a • cos 7*0
Среднее за период тока количество джоулева тепла, выделяющегося в проводнике (в объеме параллелепипеда, основанием которого служит указанная выше полоска, а высота равна единице), равно:
Q = M tUli^S dxdl-
—а 0
2 4-е Т
= ^ J dx J (ф| cos2 mt + <р2 sin2©/— 2<р, ф2 sin tot cos mt) dt =
—a 0
.2 aa
= Y J^i + ^^ т Ji^* ^ ‘ i*^x’ ^dx =00
•2a
= C cos ^x , cos . дх
X cos ya • cos 7*a J
0
Интеграл, входящий в последнее выражение, берется путем двукратного интегрирования по частям. Вычисления показывают, что
С cos ух. cos у* X. dx =
J YYV2_(V^)2
0
и, следовательно,
q _ /0 (7 sin ya cos 7* a — y* sin y* a cos ya)^^
X [72 _ (7*)2] cos ya • cos y*a
Сопротивление участка проводника (с объемом, равным 2а см3) определяется формулой
/?„ = =- =—(у ctg у*а — у* ctg уа)
/f 2Х [у2 — (у*)3] v' г
ИЛИ
р _ Р. /sin 2pq —sh2pq\
® 2Х \ch 2pq — cos 2pq/ ’
откуда видно, что при достаточно большой частоте тока со-»-оо (и, следовательно, при р-> оо)
Rto-^x = apR0, где 7?0 = — сопротивление проводника при постоянном токе. Из уравнения (8) при со оо находим:
/(х, /)-> joe (а х) р cos со/.
Задачи для самостоятельногорешения
144*. Дроссель с коэффициентом самоиндукции L = 1 гн и сопротивлением R = 1 ом подключается в момент времени t = 0 к батарее с постоянной э.д.с. в V в. Определить, как будет изменяться ток в цепи. Сколько пройдет времени до момента, когда ток разовьется до 1 % к своему максимальному значению?
145*. Конденсатор емкости С, заряженный до заряда q^ замыкают на проводник с сопротивлением R и самоиндукцией L. Показать, что в любой момент в течение всего времени разрядки конденсатора сумма электростатической энергии конденсатора, энергии магнитного поля разрядного тока и энергии, выделяющейся в проводе в виде джоулева тепла, есть величина постоянная, и вычислить эту постоянную.
146*. Сопротивление 10 ом, катушка с самоиндукцией 0,5 гн и конденсатор емкостью 0,5 мкф присоединены последовательно к переменному, синусоидальному напряжению, эффективное значение которого — 220 в, а частота — 50 гц. Какова величина эффективного тока, каков сдвиг фазы тока относительно напряжения и какова величина эффективной и безваттной мощности тока?
147*. В постоянном однородном магнитном поле В равномерно (с угловой скоростью со) вращается замкнутый не-
деформирующийся плоский контур с площадью S, сопротивлением R и самоиндукцией L. Ось вращения контура перпендикулярна к направлению магнитного поля и лежит в плоскости контура; сторонние электродвижущие силы отсутствуют. Определить величину тока, индуцированного в контуре.
148*. Показать, что для трансформатора в случае, когда коэффициент связи & = -^- = 1, а сопротивлением R2 L^L^
вторичной обмотки можно пренебречь, отношения сил токов и э.д.с. в первичной и вторичной обмотках трансформатора приблизительно равны:
^20 ^10 10^20^2
где п^ и п2 — число витков в первичной и вторичной обмотках.
149*. Ток /sin со/, циркулирующий в катушке Л, индуцирует ток в катушке В. Найти среднюю по времени силу, стремящуюся увеличить любую обобщенную координату qa катушки В.
150*. Резонатор состоит из кольца (радиуса R = 5 см\ изготовленного из медной проволоки с диаметром 2г = \мм. В кольце сделан прорез и к обоим концам проволоки припаяны круглые, параллельные между собой, металлические пластинки (с диаметром а = 5 см\ которые в качестве обкладок плоского конденсатора представляют емкость цепи. Если такой резонатор находится в переменном электромагнитном поле, частота которого равна частоте собственных колебаний резонатора, то между пластинками будут проскакивать искры.
Каким должно быть расстояние й между пластинками, чтобы с помощью указанного резонатора можно было обнаружить электромагнитные колебания с длиной волны X = = 10 м?
151*. Показать, что при параллельном соединении элементов цепи переменного тока с комплексными сопротивлениями Zb Z2, . . . , Z„ их «комплексные» проводимости 111
—, —,..., — складываются.
Zi ’ z2 ’’ zn
152*. Определить собственную частоту электрических колебаний в цепи, состоящей из параллельно соединенных сопротивления R, емкости С и самоиндукции L.
153*. Найти время установления электростатического равновесия зарядов в меди, платине и висмуте (их удельные сопротивления соответственно равны 1,7 • 10-8; 10,7 • IO" и 120 • 10~8 ом • м).
154*. Полый шар (внутренний и внешний радиусы которого соответственно равны а и Ь) изготовлен из металла с электропроводностью X. В начальный момент t = 0 на внутренней поверхности шара равномерно распределен заряд q0. Вычислить выделяющееся при растекании этого заряда джоулево тепло и показать, что оно равно уменьшению электростатической энергии, происходящему вследствие растекания заряда.
155*. Вдоль коаксиального кабеля, рассматриваемого в задаче 76, течет синусоидальный ток высокой частоты <о. Указать предел, к которому будет стремиться (при<о-*®о) самоиндукция единицы длины кабеля.
§ 3. ПОЛНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Полная система уравнений Максвелла для переменного электромагнитного поля:
В системе СИ В абсолютной системе
rot£=—, rot£ —,(1)
atс at ’ v 1
хТл "*. , d D_ I u 4л t . 1 d D/nx
rot// = /+-=—,ГО1Я=-/ + -—,2)
otс c ot
divD = p,divD = 4лр,(3)
divS = 0.divB = 0.(4)
Плотность энергии электромагнитного поля:
(5)(5)
(5)
(5)
В абсолютнойсистеме
^ = 1 (ED+Ш
Плотность потока электромагнитной энергии (вектор Пойнтинга):
В системе СИВ абсолютной
системе
S = [Ob^1(6)
L J4л L * J
В системе СИg = epS.Связь векторов В и Е лами ф и Л:В системе СИВ = rot Л,Е=— gradф— — .В системе СИg = epS.Связь векторов В и Е лами ф и Л:В системе СИВ = rot Л,Е=— gradф— — .Плотность электромагнитного импульса:
В системе СИ
g = epS.
Связь векторов В и Е лами ф и Л:
В системе СИ
В = rot Л,
Е=— gradф— — .
В системе СИ
g = epS.
Связь векторов В и Е лами ф и Л:
В системе СИ
В = rot Л,
Е=— gradф— — .
В абсолютной системе 1=^5.(7)
с электромагнитными потенциа-
В абсолютнойсистеме
В = rot Д(8)
Д= — grad ф — 1(9)
С 01
Для однородных изотропных сред электромагнитные потенциалы ср и Л определяются из следующих уравнений Даламбера:
В системе СИВ абсолютной
системе дф_ф^»=_», дф_52»(Ю)
Y г дР вс2 дР е х '
. "I д2 Л "ЛА"1 ец дМ 4ли "Г ,,, ,
ДЛ— ей=—ц/, АЛ“-/,(11)
г дР р' *с2 дР с 1 х '
при условии, что потенциалы ф и Л калиброваны по Лоренцу, т. е.
divl + 8n^ = 0, div Л + ^ ^ = 0.(12)
dtс dtх ’
Уравнения (10) и (И) при р = / = 0 описывают свободные электромагнитные волны, распространяющиеся с фазовой скоростью:
1931937 Заказ 541
193
193
В системе СИ1У = — =/ер1— сВ системе СИ1У = — =/ер1— сВ абсолютнойсистеме
В системе СИ
1
У = — =
/ер
1— с
В системе СИ
1
У = — =
/ер
1— с
у =,(13)
К6!1 п
где с — скорость света в вакууме; п — показатель преломления, определяемый
В системе СИВ абсолютной
системе п-УКК^п-У^ (14)
причем, как это видно из уравнения (13), в системе единиц СИ имеет место следующее соотношение: еоро= —.
, Показать, что уравнение div D = р может быть по- ,7, Л . dD
лучено из уравнения rot п — / + -^- , закона сохранения заряда и дополнительного условия, которое требуется установить.
Решение
Пользуясь тождеством div rot Н = 0, из уравнения Максвелла
,7г "Г . dDrot// = / Ч
1 dt находим:
div / + div = Оdt
ИЛИ
div7+^(divD) = 0.(1)
Используя закон сохранения заряда div / + — = 0, урав- dt
некие (1) можно преобразовать к виду:
1 (divD — p) = 0,
откуда
divD = р + f (х, у, г).(2)
Чтобы отсюда получить уравнение div D = р, следует потребовать, чтобы в электрическом поле не было никаких других источников, кроме свободных зарядов (или чтобы div D = 0 в вакууме, где р= 0). Тогда Кх, у, г) =0, и уравнение (2) принимает вид: div D = р.
Показать, что в плоской электромагнитной волне, распространяющейся в однородной среде, векторы Е и Н взаимно перпендикулярны между собой и каждый из них перпендикулярен к направлению распространения волны. Показать также, что у плоской электромагнитной волны Keffl = ]/р|Я|.
Решение
У плоской электромагнитной волны, бегущей вдоль оси X,
Е = Е (х — yt); Н = Н (х — vf), (1) где у = —^ — скорость распространения волны.
Кер
Для того чтобы доказать перпендикулярность векторов Е и Н к направлению распространения волны, обратимся к уравнениям:
div Е = 0 и div Н = 0.
Учитывая выражения (1), эти уравнения, очевидно, можно представить в виде:
дЕ^^х — ир __ 0. дНх (х — у/) _ 0дх’ дх’
дЕх 4Еу д (х—и ЛdEy
или, так как —~ =— • —=^—
дх d^x — vt) дх d^x — ut) ’
^Х __ Q ^НХ Qd (x — vt) ’ d(x — иЦ
откуда Ex = const и Hx = const. Однако полученный результат противоречит действительности, так как электромагнитное поле волны должно быть переменным полем. Поэтому мы должны положить Ех = 0 и Нх = 0, но это
и доказывает перпендикулярность векторов Е и Н к направлению распространения плоской волны.
Выберем теперь ось Y так, чтобы Ну = Н, и обратимся к уравнению
rot£=-^.(2)
Так как
i j к
д д дdEz^. дЕу t дН ^дНу
дх ду дгдх дх dt di
О Еу Е2
уравнение (2) можно представить в виде системы двух уравнений:
dEzдНмдЕ» А
—£-= ц—^ и _Z = Одх dtдх
ИЛИ
dEzdH^dEv п
2 =—цу Г— и _ = О, d (х — vt)d(x — vt) d^x— vt)
откуда Ey = 0 и yr8|E| = pr[i|//|.
Перпендикулярно к поверхности проводника с электропроводностью X и магнитной проницаемостью р падает плоская электромагнитная волна частоты со. Пренебрегая токами смещения по сравнению с токами проводимости, определить, на какой глубине внутри проводника электромагнитное поле волны ослабевает в е раз (в — основание натуральных логарифмов).
Решение
Выбрав систему координат так, как это показано на рисунке 91, можно записать для электромагнитного поля плоской волны в вакууме:
Ех = Ez = О, Еу — Е^ • е1^, Нх = Ну = О, Hz = Я(х) • eltot. Электромагнитное поле в проводнике определяется уравнениями:
rot Н = ХЕ(1)
(2)(2)(токами смещения -^— в (1) мы пренебрегаем по сравнению с токами проводимости /),
(2)
(2)
rot Е=—ц.r at
Нетрудно видеть, что
initot dHrot H =— i e — , dxи, следовательно, уравнения (1) и (2) можно переписать в виде:— =— ХЕ,(3)dx(4)Продифференцировав уравнение (3) еще один раз по х иdE ,АХподставив — из (4), получим dxуравнение для определения амплитуды магнитного поля волны:initot dHrot H =— i e — , dxи, следовательно, уравнения (1) и (2) можно переписать в виде:— =— ХЕ,(3)dx(4)Продифференцировав уравнение (3) еще один раз по х иdE ,АХподставив — из (4), получим dxуравнение для определения амплитуды магнитного поля волны:rot Е = 1 elat — dxrot Е = 1 elat — dxВакуум q [ тТТТТТТТТТТТТТТТТТТ^Вакуум q [ тТТТТТТТТТТТТТТТТТТ^2,2,— -1ХиыН = 0.dx^ r— -1ХиыН = 0.dx^ r_упробойник_упробойникРис. 91Рис. 91(5)(5)
initot dH
rot H =— i e — , dx
и, следовательно, уравнения (1) и (2) можно переписать в виде:
— =— ХЕ,(3)
dx
(4)
Продифференцировав уравнение (3) еще один раз по х и
dE ,АХ
подставив — из (4), получим dx
уравнение для определения амплитуды магнитного поля волны:
initot dH
rot H =— i e — , dx
и, следовательно, уравнения (1) и (2) можно переписать в виде:
— =— ХЕ,(3)
dx
(4)
Продифференцировав уравнение (3) еще один раз по х и
dE ,АХ
подставив — из (4), получим dx
уравнение для определения амплитуды магнитного поля волны:
rot Е = 1 elat — dx
rot Е = 1 elat — dx
Вакуум q [ тТТТТТТТТТТТТТТТТТТ^
Вакуум q [ тТТТТТТТТТТТТТТТТТТ^
2,
2,
— -1ХиыН = 0.
dx^ r
— -1ХиыН = 0.
dx^ r
_у
пробойник
_у
пробойник
Рис. 91
Рис. 91
(5)
(5)
Тем же способом получается аналогичное уравнение для определения амплитуды электрического поля.
Корни характеристического уравнения /г2— йрсо =0, соответствующего уравнению (5), равны:
^1,2 = ± К^н® • .
Однако условию задачи удовлетворяет лишь второй корень к2 (корню к^ соответствует волна, амплитуда которой возрастает по мере продвижения в глубь проводника).
Таким образом, решения уравнений (3) и (4) мы должны записать в виде:
(6)(6)Е (х) = Е (0) • е r^ х cos "^^5? х,
(6)
(6)
В (х) = В (0) • е~ V"” х cos j/?^х,
где Е(0) и Я(0) — амплитуды напряженностей электрического и магнитного поля волны при х = 0, т. е. на поверхности проводника.
Выражения (6) показывают, что электромагнитная волна ослабляется в е раз на глубине
х = .
0 г Хцсо *
Сферический конденсатор, размеры и устройство которого показаны на рисунке 92, помещен в од нор од ное посто я н ное магнитное поле В^ параллельное оси Z, вокруг которой он может свободно вращаться. На обкладки покоящегося в начале кон
денсатора наносятся заряды е и —е. С какой угловой скоростью будет вращаться конденсатор после разрядки, если его момент инерции равен /? Процесс разрядки конденсатора считать происходящим без вмешательства
внешних сил.
Решение
^эл + ^мех = const,^эл + ^мех = const,О)О)Для замкнутой системы (конденсатор + окружающее его электромагнитное поле) имеет место закон сохранения момента импульса:
^эл + ^мех = const,
^эл + ^мех = const,
О)
О)
где Кэл — момент импульса электромагнитного поля, а Кмех — момент импульса конденсатора.
В начальный момент, когда конденсатор только что заряжен и покоится
^“Vo, а К^х = 0.
Наоборот, после разрядки конденсатора
^ = 0, а К^х = 1<»*0.
В силу закона сохранения (1)
л»-|к‘иЬ
I эл |
откуда угловая скорость вращения конденсатора после разрядки оказывается равной
1/пх
® = у ^эл •(2)
Задача, таким образом, сводится к вычислению момента импульса статического электромагнитного поля рассматриваемой системы в начальный момент времени, когда конденсатор покоился.
По определению (см.: И. Е. Тамм. Основы теории электричества, § 104), момент импульса электромагнитного поля равен:
JR 1И,(3)
где
g = еоНо S = е^ [£77О] = е0 R, Д](4)
— плотность электромагнитного импульса, а интегрирование в (3) ведется по всему объему, занимаемому электромагнитным полем.
Как известно, электрическое поле сферического конденсатора полностью сконцентрировано между его обкладками и равно:
Е =—^—4ле0г3Е =—^—4ле0г3г, (а < г <Ь),г, (а < г <Ь),откудаоткудае^ 4лг3е^ 4лг3(а<г<Ь). (5)
Е =—^—
4ле0г3
Е =—^—
4ле0г3
г, (а < г <Ь),
г, (а < г <Ь),
откуда
откуда
е
^ 4лг3
е
^ 4лг3
Введя сферическую систему координат с полярной осью, параллельной магнитному полю (рис. 93), находим:
6ф оо6ф ооегев
6ф о
о
6ф о
о
гО
Во cos 0 — Во sin 0 откуда видно, что силовые линии вектора g (а следовательно, и вектора Пойнтинга) — замкнутые окружности, перпендикулярные оси Z. Таким образом, в статическом электромагнитном поле энергия постоянно циркулирует по замкнутым линиям и поэтому не может излучаться.
Подстановка (6) в (3) дает:
^C^l®dV.(7)
эл4л J г
Спроецируем далее вектор К^ на ось Z и на направление, перпендикулярное к оси Z, получим:
(^а = _ ^ С dv<
V эл*24л J г
Д sin 0 • е7 (6) 4лг2>Д sin 0 • е7 (6) 4лг2>(К^\ = ^5р Сsin ® •cos ® ду
Д sin 0 • е7 (6) 4лг2>
Д sin 0 • е7 (6) 4лг2>
' элМ 4Л Jг'
Подставляя в (8) dV = r^dr • sin ©d©d^ и выполняя интегрирование по г, 0 и ф (по г в пределах от а до Ь\ по 0 — от 0 до л и по <р — от 0 до 2л), находим:
<Ск=м1О- = -**-ь1”а'>-
откуда
Ю = ^(62_О2Х(9)
причем конденсатор будет вращаться по часовой стрелке.
Плоская электромагнитная волна, у которой Е=Е,= Н — Н = 0; Е = 1/Ед Н = a sin 2лv (t—-V
падает при х = 0 на нормальную к оси X плоскую поверхность проводника, простирающегося вправо до бесконечности. Пренебрегая отражением, определить производимое электромагнитной волной световое давление.
Решение
Проводник, простирающийся вправо от координатной плоскости YOZ до бесконечности, при указанном выше допущении будет полностью поглощать электромагнитную энергию падающей на его поверхность световой волны — это классический пример абсолютно черной поверхности. Поэтому величина светового давления, оказываемого волной на поверхность проводника, будет равна:
Р = ~ (*^л=о)средн,
где (5ж=0)средН— среднее за период волны значение вектора Пойнтинга, взятое при х — 0. Нетрудно видеть, что
Sx=0 = 1Л — °2 s*n2 2Я^
Г 1^0 и, следовательно,
(5^о)средн = 1 j ]/^а2sin22л^-dt = 1 а\ откуда световое давление
р = — iZа2 = — е0а2.
2с V Цо 2
Плоскополяризованная электромагнитная волна падает на границу раздела двух прозрачных (р = ро) сред с
показателями преломления nt и п2. Электрический вектор волны параллелен плоскости раздела сред. Найти коэффициент прохождения света во вторую среду.
Решение
Обозначив через Ео, Et и Ёг напряженности электрического поля соответственно в падающей, отраженной и преломленной волнах, запишем закон сохранения энергии
Рис. 94 тавляемой указанной площадкеРис. 94 тавляемой указанной площадкеи граничное условие 1/ “ Е 2t.
Рис. 94 тавляемой указанной площадке
Рис. 94 тавляемой указанной площадке
Граничное условие Е it = E2h как показывает рисунок 94, можно записать в виде:
Ео + Et = Е2. (1)
Закон сохранения энергии требует, чтобы количество энергии, уносимой с единицы поверхности раздела сред отраженной волной, и энергии, проходящей во вторую среду из первой, было равно энергии, дос- падающей волной, т. е.
So cos <р = S1 cos ф + S2 cos ip,(2)
где S — вектор Пойнтинга. Подставляя в (2)
$о = е4 Eq*, S^ = J/"е4 Е\*, 32 = V"е2 Е^,
находим:
Vе4 (Ео — Е2^ cos ф = Vе2 EX cos ф,
откуда, используя закон преломления Vet sin ф= Vе2 simp, окончательно получаем:
£2 £2 __ ^ Ф £2
°1 tgip 2’
Решая систему уравнений (1) и (3), находим:
Е =— sin ^~^ Е Е = 2 sin ^ cosфЕ (4)1 sin (ф + Ф) °’2 sin (ф + ф) °*
Подставляя в (4) Ео= S^- , Et = -^ и Е2= -^ , нахо- /61/е,/в2
дим далее:
-^2Ф_/У sin(<p-M))(5)-^2Ф_/У sin(<p-M))(5)^ sin (ф — ^^ ц2 sin ф cos ф
-^2Ф_/У sin(<p-M))
(5)
-^2Ф_/У sin(<p-M))
(5)
1 sin (ф + ф) °’2sin (ф + ip)
С помощью выражений (4) и (5) находим следующие выражения для плотности потока энергии в отраженной и преломленной волне:
S^EJi^ ^-^ £
sin1 (ф+ S’)
о _ в н _ 2 sin ф cos ф • sin 2ф c
2 ~ 2 2 ~ sin’ (ф + ф) °’ откуда искомые коэффициенты отражения и прохождения оказываются равными:
r _ Si _ s*n2 (Ф ~ Ф) ^ _ 5? — ^ si*1 Ф cos Ф S1"n 2ф
<$о8ш’(ф + ф) ’” So зт2(ф + ф) ‘'
Плоский конденсатор состоит из двух параллельных слоев различных веществ. Первый слой толщиной d имеет диэлектрическую проницаемость е и электропроводность, равную нулю; для другого слоя толщиной kd диэлектрическая проницаемость е2= 0, а электропроводность Л имеет конечное значение. Показать, что в отношении распространения монохроматических плоских волн этот конденсатор ведет себя так, как если бы все пространство между его пластинами было заполнено однородной средой с диэлектрической проницаемостью
е* = е(1 +й) /l +/^Г\
Решение
Каждый слой веществ, находящихся между обкладками конденсатора, будем рассматривать как отдельные кон-
денсаторы с емкостями Ci и С2. Тогда емкость заданного конденсатора, рассматриваемого в качестве батареи двух последовательно соединенных конденсаторов, будет равна:
^i + С2
С другой стороны, рассматривая описанный выше конденсатор как плоский, между обкладками которого находится однородный диэлектрик с проницаемостью е*> можно записать:
(2)(3)(4)(2)(3)(4)Q 8*S
(2)
(3)
(4)
(2)
(3)
(4)
“ (1 + t^d • Из уравнений (1) и (2) находим:
£* = (1 + к) dC^(Ci + С2) Sгде
Чтобы найти С2, учтем, что в отношении распространения монохроматических плоских волн проводник с электропроводностью X и диэлектрической проницаемостью е ведет себя как диэлектрик с комплексной проницаемостью
е = еI.(5)
(0
Чтобы доказать последнее утверждение, посмотрим, какой вид принимает уравнение
гош = /+е^-(6)
для плоской монохроматической волны
д Е . ^f= tto Eq еdi0д Е . ^f= tto Eq еdi0Е = Eq (х) • el№t, Н= Hq (х) etot, распространяющейся в диэлектрике и в проводнике. Очевидно, что в диэлектрике плотность токов проводимости / = 0; кроме того, к О ltot к и rot Н— е rot Но и
д Е . ^f
= tto Eq е
di0
д Е . ^f
= tto Eq е
di0
и поэтому уравнение(6) принимает вид:
rot Нй = ieto Ео.
В проводнике / = кЕое , и поэтому уравнение (6) следует записывать в виде:
rot Но= (%+ ie со) Ео
или
rot Но= ito U — — I } £0,
откуда видно, что проводник с электропроводностью X и диэлектрической проницаемостью е в отношении процесса распространения плоских монохроматических волн ведет себя как идеальный диэлектрик с комплексной диэлектрической проницаемостью е', определяемой по формуле (5).
Очевидно, что проводящее вещество второго слоя рассматриваемого нами конденсатора ведет себя как диэлектрик с чисто мнимой проницаемостью
8 =I0)
(так как у вещества второго слоя е — 0). Поэтому
С, = ——(7)
2 ЫыМv
Подставляя выражения (4) и (7) в формулу (3), находим:
8* =8(1 + £) 1 +8* =8(1 + £) 1 +
8* =8(1 + £) 1 +
8* =8(1 + £) 1 +
00bbааРис. 95Рис. 95УУ
0
0
b
b
а
а
Рис. 95
Рис. 95
У
У
что и требовалось доказать.
Определить напряженности электрического и магнитного поля Е-ТМ. волны, бегущей вдоль волновода прямоугольного сечения (рис. 95) с идеально проводящими стенками. Найти также уравнения силовых линий электрического и магнитного поля в сечении X0Y волновода.
Решение
Неоднородные уравнения Даламбера
АЛ—8И1^ w’
Дф-е^ — 7(2)
для электромагнитных потенциалов Я и ф, калиброванных условием Лоренца
div^+ep^ = 0,(3)
at
допускают следующие два решения:
Л = |А ф=——divZ7e,(4)
018
где
П = f -^1(5)
J 4лгv
вектор Герца для излучающей системы с отличным от нуля вектором поляризации Р; при этом напряженности электрического и магнитного полей определяются соотношениями:
Е = — grad div П — р ^^-, Н= rot ^^;(6)
е s е а?at v
Л = р rot Пт, <р = 0,(?)
где
^=[^(8)
вектор Герца для излучающей системы с отличным от нуля вектором намагничения М; векторы Е и Н в этом случае определяются из соотношений:
Можно показать, что в первом случае система уравнений (1), (2), (3) сводится к уравнению
(10)
а во втором — к уравнению:
(11)
В случае отсутствия всяких источников электромагнитного поля (Р = М = 0) уравнения (10) и (11) принимают вид
ДЯ —ер^- = 0,(12)
где под П следует понимать и Пе и Пт. Поэтому уравнение (12) допускает одновременно оба указанных выше решения.
Электромагнитные волны типа (6), распространяющиеся вдоль волновода, принято называть волнами поперечно-магнитного типа (Д-ТЛ4), а волны типа (9) — волнами поперечно-электрического типа (Н-ТЕ).
Для монохроматической волны типа Е-ТМ с неизменным направлением вектора Герца П вдоль оси волновода можно написать:
П2 = ф (х, у) • е^"кг\ Пх = Пу = 0.(13)
Подстановка (13) в уравнение (12) приводит к новому уравнению для определения функции ф:
^ + ^ +~ W = °-(14)
Решение уравнения (14) должно удовлетворять граничному условию:
Et = 0 (на поверхности волновода), которое, как нетрудно показать, будет выполняться, если всюду на поверхности волновода
ф = 0.(15)
Решение уравнения (14), удовлетворяющее условию (15), имеет вид:
гр = По sin — х sin —у,(16)
а b
где n, m — целые числа, удовлетворяющие следующему дисперсионному соотношению:
ep.to =& +( — )+( — ) .(17)
\ а /\ о /
Таким образом,
П ГТ772 Л 41 «t^t fez)/ 1
112 = п0 sin — х sin — у • е .(io)
а b
Подстановка (18) в формулы (6) дает:
г- 1кПп пл пл . тл,, u<s>t—kzt
Е =° — cos — х- sin—у • ех ,
е а аb
Е =_ ^^sin™%. cos^ ^t-k* у е b аb
£ £orf^y+^yisin^x. sin —у- el^-k\ (19) е L\ a /\ b / J ab
и . n тл . nix, ~ mix. „n^—fez)
Hx = ItoFL — Sin — X- COS — у • e k \bab
u. n nix, ПТХ, . mix, . iltot—kz^
H =— 1юП0 — cos — x- sin— y- e{\
a ab
Подставляя Ex и Ey) взятые из (19), в дифференциальное уравнение силовых линий электрического поля E^dx = = Exdy и выполняя несложное интегрирование, находим уравнение силовых линий электрического поля Е-ТМ волны в сечении XOY волновода:
/ша\2
у = — arc cos Ct (cos — х j nb .(20)
пгл\ a /
Аналогичным образом получаем и уравнение силовых линий магнитного поля:
(21)(21)ь . / с2у = — arc sin /—
(21)
(21)
mix, Iпл
I sin — x
\a
99. Найти плотность поверхностного заряда и плотность поверхностного тока на стенках прямоугольного волновода (рис. 95), вдоль которого бежит волна Е-ТпМ частоты со.
Решение
Плотность поверхностного заряда, находящегося на стенках волновода, можно найти из граничного условия eEJs = о,
откуда
ст (х, 0, г) = е (Еу)у=0, а(х, b, z) =— е(Еу)у=6, (1) ст (0, у, г) = е (EJ^, о (а, у, г) = — е (E,V<r
Подставляя в формулы (1) значения составляющих Ех и Еу напряженности электрического поля волны из формул (19) предыдущей задачи (в них надо положить п = m. — 1, что соответствует волне Е-ТИЛ1), получим:
о (0, у, 2) = о(а, у, г)=-^^ sin — sin (со/— Аг); а 6
6 а6 ао(х, 0, г) = о(х, Ь, г) = ^^ sin —sin (со/— Аг). ^)
6 а
6 а
Плотность / поверхностного тока на стенках волновода определяется из граничного условия
Ht/s = i.
откуда
(3)(3)г (О, У, 2) = (//у)^0, Ца, у, z)=—(Hy)x=atЦх, 0, г)=—(ЯД=0, IVx, a, z) = (Нх\=ь.
(3)
(3)
Подстановка в (3) значений Нх и Н^ дает:
/(О, У, г) = /(а, у, г) =^^ sin —sin (со/ — Аг), а b
b аb а/(х, 0, г) = /(х, а, г)= ^^sin — sin (со/ — Аг). (4)
b а
b а
На рисунке 96 представлен вид силовых линий электрического и магнитного поля волны Е-Т^М, наглядно иллюстрирующий распределение поверхностного заряда и поверхностного тока на стенках волновода.
E-T^M; H-линииE-T^M; H-линии^wwu/^
E-T^M; H-линии
E-T^M; H-линии
Е" Т„ И; Е - линии
Рис. 96
Задачи для самостоятельногорешения
156*. Показать, что уравнение div В = О может быть
,д В
получено из уравнения rot £ =и дополнительного dt
условия, которое следует установить.
157*. Вывести из граничных условий закон преломления векторов Е и D, В и Н и / на границе раздела двух сред.
158*. Определить величину электродвижущей силы, наводимой в квадратной рамочной антенне (со стороной, равной 5 м) плоской электромагнитной волной с частотой Ю8 гц и амплитудой напряженности электрического поля, равной 50 мкв1м.
159*. Сравнить силы (FE и Fн), действующие на свободный электрон со стороны электрической и магнитной составляющей плоской световой волны
(v = 5 • 10й гц; Е0~3- Юв/м).
160*.Плоская электромагнитная волна задана векторным потенциалом
Л= ЛО^”175, ф= 0.
Найти напряженность электрического поля и индукцию магнитного поля волны.
161*. Написать однородное волновое уравнение в сферических координатах и исследовать смысл решений, зависящих только от г и L
162*. Энергия солнечной радиации, падающая в 1 мин на площадку земной поверхности в 1 м2, нормальную к лучу, составляет 9,2 • 104 дж. Вычислить средние квадратичные значения напряженности электрического и магнитного поля в солнечном свете.
163*. То же для 75-ваттной лампы накаливания на расстоянии 1 м в предположении, что только около 15% подводимой к ней энергии лампа отдает в виде лучеиспускания.
164*. Показать, что количество тепла, выделяющегося в цилиндрическом проводнике, вдоль оси которого течет постоянный ток /, равномерно распределенный по сечению проводника, точно соответствует потоку электромагнитной энергии, втекающей в проводник через его боковую поверхность.
165*. Рассчитать величину давления солнечных лучей на поверхность Земли в случае нормального падения при следующих предположениях: а) поверхность Земли абсолютно черная; б) поверхность Земли абсолютно зеркальная.
166*. Внутри поглощающего тела вектор Е световой волны создает ток с плотностью /, так что на единицу объема поглощающего тела со стороны магнитйой составляющей световой волны действует сила Лоренца F=Vh ^1-
Показать, что величина светового давления, полученная в задаче 95, равна интегралу от (/\)Средн. по объему столбика поглощающего вещества с поперечным сечением в 1 м2, т. е.
Р j (^х)средн * ^О
(под (береди, следует понимать среднее за период волны значение силы Лоренца).
167*. В воде (е = 81 е0, р = ро и X ^Ю-3^"1- м-1) распространяется плоская монохроматическая световая волна, частота которой может принимать значения: v ± = 10^ гц, v2= Ю8 гц и v3 = 1010 гц. В каком из трех указанных случаев вода может считаться проводником, полупроводником или диэлектриком? Условно можно считать, что если отношение плотности тока смещения к плотности тока проводимости больше 100, то среда — диэлектрик, а если это отношение меньше 0,01, то среда — проводник.
168*. Решить задачу 96 для случая, когда плоскости раздела двух сред параллелен магнитный вектор падающей, плоскополяризованной электромагнитной волны.
169*. Два самолета летят на расстоянии d друг от друга на высоте h над плоской поверхностью воды. С одного самолета на другой послан радиосигнал. Приемная и передающая антенны на самолетах представляют собой короткие металлические стержни длиной /, ориентированные вертикально. Считая h^l.d^lwX^l^ принимая диэлектрическую проницаемость воды равной е, найти отношение мощности сигнала, принятого после отражения от воды, к мощности прямого сигнала.
170*. Показать, что если относительная магнитная проницаемость проводника отлична от единицы, то коэффициент отражения света при нормальном падении равен:
г = ^п — ^)2 + х2
(п + KmY + х2 ’
где п — показатель преломления, ах — коэффициент затухания.
171*. Коэффициент отражения от поверхности меди при нормальном падении на нее монохроматического света, соответствующего желтой линии в спектре парообразного натрия (длина волны X = 5889, 96 Л), равен 0,74. Определить относительную диэлектрическую проницаемость меди, соответствующую частоте указанной линии натрия.
172*. В коаксиальном цилиндрическом кабеле пространство между жилой и оболочкой заполнено веществом с относительной диэлектрической проницаемостью К = = 5,76 (Кт= 1). Не учитывая дисперсии, найти скорость распространения электромагнитных волн в кабеле.
173*. Определить частоту стоячей электромагнитной волны в бесконечной призме квадратного сечения с идеально отражающими стенками, считая электрическое поле волны постоянным вдоль всей призмы (принять 8 " 8 0> р = р0 внутри призмы).
174*. Рассматривая тепловое равновесное излучение в кубической полости (с длиной ребра а), окруженной идеально проводящими стенками (X ->оо),как систему стоячих электромагнитных волн, вычислить число стоячих электромагнитных волн с частотами, содержащимися в интервале от v до v + d^.
175*. Получить уравнения
. 77 д2 П»
АП_— 8U, ——^ = — Ре г д/2
И
А/7 —=- М
т г д/2
для поляризационных потенциалов Пе и П^, исходя из неоднородных волновых уравнений Даламбера для электромагнитных потенциалов А и ср и из условия их калибровки (условия Лоренца).
176*. То же, что и в задаче 98, для волны поперечноэлектрического типа Н-ТЕ.
177*. То же, что и в задаче 99, для волны H-TVXE.
178*. Определить наибольшую критическую длину волны типа Н-ТЕ, бегущей вдоль бесконечно длинного волновода прямоугольного сечения (а = 2 см, b = 4 см).
179*. Выразить фазовую скорость волны, бегущей вдоль волновода прямоугольного сечения через критическую длину волны.
§ 4. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Электромагнитное поле переменного электрического диполя, находящегося в произвольной материальной среде, на больших расстояниях (или в так называемой волновой зоне) имеет вид сферической волны:
В системе СИ
о 1 Г и и И sin 0 ** /, г \Ее = У ^ Яа = —лр И — - »V е\ у )
Ег = Еа = Нг = Не = 0,(1а)
1
где у = (ер,) 2.
В абсолютной системе
Г 8С^Г \ У )
Ег = Еа = Нг = Не = 0,(16)
где v = с (е р,), откуда поток электромагнитной энергии
и интенсивность излучения переменного электрического диполя оказываются равными:
В системе СИ
j з_
= £еЯа=-Ц^^^. /=Ц^Й.(2а)
16л2г26 л
В абсолютной системе
L L
= гпЕеНа = е2^—^’ /е=2-т-№ (2б)
в частности, интенсивность излучения электродипольной системы, находящейся в вакууме:
Всистеме СИ В абсолютной системе
о
/=Л^-/=^2'(3)
ОЛвдС3Зс3
Электрический диполь с моментом р, лежащий в плоскости X0Y в начале координат, вращается вокруг оси Z с постоянной угловой скоростью и в произвольной материальной среде. В начальный момент диполь ориентирован вдоль оси X.
Определить поле диполя в волновой зоне, т. е. на расстояниях г > а, где а — длина диполя.
Решение
Введем вектор Герца П, при помощи которого напряженности магнитного и электрического полей осциллятора определяются по формулам:
(1)(1)Я = ^(гоШ)
(1)
(1)
(2)(2)f = — rot rot Пe
(2)
(2)
[см. задачу 98, формулы (6)]. Введем также сферическую систему координат с началом в центре диполя и полярной осью, направленной вдоль оси вращения диполя (рис. 97).
По определению, вектор Герца
Ф1 =Ф1 =*<0,и к = — = (ер,) со*<0,и к = — = (ер,) со2л волновое число.2л волновое число.(3)(За)(3)(За)
Ф1 =
Ф1 =
*<0,
и к = — = (ер,) со
*<0,
и к = — = (ер,) со
2л волновое число.
2л волновое число.
(3)
(За)
(3)
(За)
В рассматриваемом случае диполь, оставаясь все время в плоскости XOY, вращается вокруг оси Z, так что вектор р имеет компоненты:
рх — р cos со/, Ру — р sin со/, р2 = Ои, следовательно, вектор Герца принимает вид:П = 7 (фЛ + Фг7),4л
где
cos (со/ — fcr) sin (со/ — кг)
» Фг
Приступим теперь к вычислению rot П. Очевидно, что rot П = Я- {rot (ф! О + rot (ф2 /)} = 7- ( [grad фь ij + 4л4л
+ Ф1 rot i + [grad ф2,7] + ф2 rot 7}=
(4)(4).^[77] + -^ [77
(4)
(4)
4лг dr I J 4лг dr t .
при этом мы воспользовались тем, что р = const, grad Ф1(г) =
= ^ — и rot t = rot / = О (см. формулы (30) и (22) при- дг г
ложения 1). Нас интересуют составляющие вектора rot П в сферических координатах, т. е. rotr /7, rot© /7 и rota /7. Для этого, очевидно, следует найти [г i]г> [г i ]©и т. д.
Из рисунка 97 находим:
lr = cos a sin 0, ie = cos a cos 0, ia = — sin a,
jr = sin a sin 0, /© = sinacos0, /a = cosa.
Поэтому
^f^0^a
r00=
cos a sin 0 cos a cos 0 — sin a
= r sina ee + r cosa • cos 0 • ea, откуда
[ r i ], = 0, [ r i ]Q = r sina, [ г i ja= r cosa • cos 0. (5) Аналогично,
^^в^a
г00=
sin a sin© sin a cos 0 cosa
= — r cosa • ee + r sina cos Обу., откуда
['7]r=0, [77]e=—rcosa, [г7]a= rsinacos0. (6)
Из формул (4), (5) и (6) находим:
rot П = 0, rote/7 = — р (sina^ — cosa—
4л \ дгдг)
rota П = — P (cos a cos © — + sin a cos 0 ^^.
4л \drdr )
Подставляя в полученные выражения
у1 = — ^ [cos( tot — kr) — hr sin (tot — kr)],
^ =—^ [sin (mt — hr) + hr cos (co/ — Ar)], находим:
rotr П = О,(7а)
rote П = —— [hr cos (tot — hr — a) + sin (tot— hr — a)], (76) 4лг2
rota П = —2— [kr sin (tot —hr—a)—cos(«tf—Ar—a)]cos0. (7b) 4лг2
Отсюда по формуле (1) находим составляющие напряженности магнитного поля вращающегося диполя:
Нг = 0,(8а)
Не — [Ar sin (tot— Ar — a)— Cos (tot — kr — a)], (86)
4nr2
Ha = ^_E21® Ykr cos (tot—Ar— a)4-sin(<oZ — Ar — a)]. (8b) 4лг2
Несколько сложнее вычислить составляющие напряженности электрического поля. Прежде всего, пользуясь формулами (14) приложения 1, находим:
Ег =^— Ц- (sin 0 -rota П)— ^- (rote П) I,
8 г sin 0 (dOdaJ
Ее =5— (г sin 0- rota П),
е г sin 0 dr
Еа = 11(г.го1еП).er or
Подставляя сюда
^ (sin 0- rota П) = Р c°s 2- [Ar sin (tot — Ar — a —— cos (tot — kr — a)],
^ (rote П) = -E— [Ar sin (tot — Ar — a) — cos (tot — hr — a)].
дok2
— (г sin 0-го1а-П)=— — sin 0 cos 0 cos (tot — kr — a) +
dr4л
, p sin 0 cos 0, ,, x pfcsin 0 cos0 . , ,, x
4- “-cos(o)/—kr—a)— -sin (co/— kr — a),
4лг24лг
— (r-rot© /7)= — sin(co/ — kr — a)— sin (co/ — kr — a) — dr4л4лг2
— — cos (tot — kr—a),4лг
находим:
Er =— -^^y- (hr sin (tot—kr — a)— cos(oV — kr — a)], (9а)
Ее = P C0S™ \.(1?гг—l)cos(to/—kr—a)+^r-sin(toZ—kr—a)], (96)
Ea = —2—((кЧг—l)sin(oV—kr—a)—krcos(tot—kr—a)]. (9b) 4 л er3
В волновой зоне, т. е. на больших расстояниях от диполя, в формулах (8a, б, в) и (9 а, б, в) надо сохранить лишь члены, пропорциональные первой степени 1 /г; это приводит к следующим значениям составляющих поля вращающегося диполя в волновой зоне:
Ег = 0, Ее = cos (mt — kr — a) • cos 0.
4лг
Ea = ~^~ sin (co/ — kr — a)(10)
и
H — 0, He =— ptosin (co/— kr — a),
4лг
upro2 Vev- cos 0, ,, x
Ha = ~—-— COS (co/ — kr — a).(I I)
4лг
Определить полную среднюю интенсивность дипольного излучения вибратора Герца, дипольный момент которого изменяется со временем по закону: р= р0 cos со/.
Решение
Как показывает теория [см.: А. С. Компанеец. Теоретическая физика, ГИТТЛ, 1957, стр. 177, формула (19.28)1, полная энергия, излучаемая системой зарядов
в единицу времени по всем направлениям (в дипольном приближении), равна:
1
2
В рассматриваемом случае р = — а8р0 cosat и, следовательно,
dW ®4Ро , , = COS2 tot. dt 6леос3
Нам требуется вычислить среднюю интенсивность излучения. Для этого полученное выражение следует усреднить по периоду колебания вибратора, т. е. найти
2да =^м\dt / 6ле0с3гдет
cos2 со/ = — С cos2 со/ dt = — .
Г J2
о Отсюда
СО4 2II = Ро.
\ dt )1-2ле0с3
Полученное выражение показывает, что средняя интенсивность излучения вибратора прямо пропорциональна четвертой степени частоты колебаний дипольного момента вибратора.
Оценить, за какое время электрон, обращающийся в атоме водорода вокруг ядра по круговой орбите, упадет на ядро вследствие излучения электромагнитных волн.
Решение
Если W — полная энергия электрона, обращающегося dW
по круговой орбите, аколичество электромагнитной dt
энергии; излучаемой электроном за 1 сек, то искомое вре- dW
мя можно оценить, поделив W на, т. е.
dt
(1)
Полная энергия электрона, вращающегося вокруг ядра по круговой орбите,
е—
2 4ле0г ’
гдепотенциальная энергия электростатического
4ле0г
взаимодействия электрона с ядром. На электрон со сторо-
ны поля ядра действует сила, равная еЕ=. С дру- 4ле0г2
гой стороны, указанную силу можно записать в виде: еЕ = -^- (центростремительная сила). Отсюда:
г
— = -^—; т^ = -^— и №=—.(2)
г 4ле0г24тсе0г8ле0г
Центростремительное ускорение электрона
и2е2
а — — —,
г4лв0тг2
а интенсивность его электромагнитного излучения
2
dW 1 е^а? е6
dtблЕдС36ле0с396л3е§/п2с3г4
Подстановка выражений (2) и (3) в формулу (1) дает:
(4)(4)12л2Е(2}с3т2г3 3 г3 /4лв0тс2\2 згз
(4)
(4)
е44 с \ е2 /4сг^ ’
где го — классический радиус электрона (см. задачи 121 и 114). Нас интересует порядок т, т. е. показатель степени п в выражении т — 10"; поэтому мы отбросим в формуле (4) числовой коэффициент и подставим туда г — 10-10 м, г0 — 10-15 м и с ~ 108 м/сек. Это дает:
I — 10~8 сек.
Определить интенсивность электродипольного излучения системы двух заряженных частиц (с зарядами ei и е2 и массами пц и т^, взаимодействующих по закону Кулона.
Решение
Дипольный момент системы двух заряженных частиц равен:
где r^ и r2— радиусы-векторы частиц.
В механике показывается (см.: А. С. Компанеец. Теоретическая физика, ГИТТЛ, 1957, стр. 23), что движение системы двух частиц может быть разложено на движение системы как единого целого (определяемое движением ее центра инерции) и относительное движение частиц. Действительно, введем радиус-вектор центра инерции
тх + тй
и вектор г, соединяющий первую частицу со второй,
7 = 7,— 72(3)
и характеризующий относительное движение частиц.
Из (2) и (3) находим:
7,=/Г+ _!2$—7
(4) 72= r —7.
тх + т2
Движение системы зарядов как единого целого не представляет собой никакого интереса, так как оно не приводит к излучению. Действительно, система как целое движется равномерно и прямолинейно, т. е. R = 0. Поэтому движение системы зарядов как единого целого не вносит вклада в вектор р, а следовательно, и не вызывает излучения.
Учитывая это обстоятельство, поместим начало координат в центре инерции; тогда, полагая в формуле (4) R = 0, получим:
71=^_7, 7221-7,
/711 + ^2^1 + ^2
откуда
р _ ехт^ — g2/7i1
тх + ш2
ииррт1 + ^2т1 + ^2Г.Г.(5)(5)Ускорение относительного движения частиц определяется из дифференциального уравнения движения
и
и
р
р
т1 + ^2
т1 + ^2
Г.
Г.
(5)
(5)
pr = Г,
гдеоткудагдеоткуда^1^2 ^ ^ glg2
где
откуда
где
откуда
тх + т2mYm2тх + т2mYm2£1^24ле0г§£1^24ле0г§и интенсивность излученияи интенсивность излучения/ =/ =бледС3 96л3е^с3г4 \тх т2/бледС3 96л3е^с3г4 \тх т2/(6)(6)/Tii+mg4ле0г3
тх + т2mYm2
тх + т2mYm2
£1^2
4ле0г§
£1^2
4ле0г§
и интенсивность излучения
и интенсивность излучения
/ =
/ =
бледС3 96л3е^с3г4 \тх т2/
бледС3 96л3е^с3г4 \тх т2/
(6)
(6)
Определить полную среднюю интенсивность дипольного излучения электрона при его эллиптическом движении относительно протона в атоме водорода.
Решение
Полная интенсивность дипольного излучения двух взаимодействующих по закону Кулона зарядов была найдена в предыдущей задаче. Полная средняя интенсивность г
7=1 (/dtт J
о
с учетом формулы (6) предыдущей задачи может быть записана в виде:
у= еМ / eY. _£ ГЛп
96л38§с§т2) Т j г4*'
о
Для нахождения функции г = г (/) надо решить так называемую задачу Кеплера (см.: А. С. К о м п а н е е ц, Теоретическая физика, стр. 42), т. е. задачу о движении фиктивной частицы с приведенной массой ц = —-1-2— в кулоно-
/7Z1 + ^2
вом поле притяжения (/ = , где а = -^-г
г4ле0
В математическом отношении указанная задача сводится к нахождению решения следующей системы дифференциальных уравнений:
f Е = 1 и( г2+ г^ — -,
I 2 Y г
[ Af = p.r2<p,(2)
где первое уравнение представляет собой закон сохранения энергии системы частиц, а второе — закон сохранения момента импульса частиц относительно их центра инерции. Из второго уравнения системы (2)
Ф = — и dt = — (/ф,(3)
Е — — иг Н,2 г2 ц г2г ’Е — — иг Н,2 г2 ц г2г ’а подстановка ф в первое уравнение системы (2) приводит к уравнению
Е — — иг Н,
2 г2 ц г2г ’
Е — — иг Н,
2 г2 ц г2г ’
откуда
Приравнивая правые части уравнений (3) и (4), находим: м — -dr ^ф— Г
V 2^5--+-f
откудаоткуда
откуда
откуда
= arc cosР М2= arc cosР М2
= arc cos
Р М2
= arc cos
Р М2
Выбирая ф0 за начало отсчета углов, т. е. принимая ф0= О, и вводя новую переменную интегрирования х= —, получим:
М dx
V 2р,Е —- М2х2 + 2ар,х
откуда, возвращаясь к старой переменной г, находим:
ИЛИ
-^ = 1 + р cos ф,(5)
где
P=^hP = V1 + ™.(6)
цаг 1 р,а2
Уравнение (5) совпадает с уравнением эллипса лишь в том случае, если р < 1 (или £ < 0). Поэтому введем обозначение: £ = —где § > 0.
В интеграле, стоящем в правой части (1), выгодно от интегрирования по / перейти к интегрированию по ф. Это можно сделать, воспользовавшись формулой (3). Получаем:
Т2л
С dt _ р, С dq> Jr4 М J г2 оо
Далее, воспользовавшись (5), находим:
С dt^ _ п/3 26=М2 \/ух
J г4 16л2е§Л4б \ р,а2 / * о
В формуле (1) остается неизвестным только период Т эллиптического движения зарядов. Его можно найти, интегрируя уравнение (4). Указанное интегрирование приводит к выражению
t + const = —— I 2р,аг — Л42— 2р,<§»г2 —26»
J,26»
,х 21 — Г
а /\.а
arc sin=——— .
у v&) lA —тна2
При полном обороте электрона по орбите первое слагаемое в правой части уравнения (8) остается неизменным, а arc sin изменяется на 2л. Поэтому
(9)(9)Т = 2л
(9)
(9)
С помощью (7) и (9) полную среднюю интенсивность ди-^ польного излучения при эллиптическом движении двух зарядов, притягивающихся по закону Кулона, можно записать:
22 ф3384л4 е^с322 ф3384л4 е^с3*1"h*1"h5,3,
22 ф3384л4 е^с3
22 ф3384л4 е^с3
*1
"h
*1
"h
е^ V . И2 &2 /3 _ 3^01&^ (Ю)
Подставляя в (10)
et — е2 — е, mY = т^ т2 = 1837 т^
\k = mQ\k = mQ1837^/1837^/
\k = mQ
\k = mQ
1837^/
1837^/
где m0— масса покоя электрона, находим: з_
у_e8(26-m0)2 Г3 32л2eg6-М2"
768л4е^/и0с3Л15 _ т^
Такова полная средняя интенсивность дипольного излучения электрона при его эллиптическом движении относительно протона в атоме водорода.
В радиотехнике потери энергии какой-либо системой на излучение характеризуют волновым сопротивлением, определяемым из соотношения:
где /2— средний квадрат тока в системе.
Определить волновое сопротивление вибратора Герца.
Решение
Представим, что вибратор Герца состоит из двух заряженных шаров (с переменными зарядами е и —е, изменяющимися по закону е = eQ sin со /), находящихся на неизменном расстоянии L друг от друга. Тогда
р = е L = e^L sin со/ = р0 sin со/.
Сила тока в вибраторе у _ de
откуда
/£= L ^ = ^- (eL) = Р = top0costot,
PL? = р*о» 2cos2 tot = — p\ co2
02
И
p =(1)
2L2V ’
С другой стороны (см. задачу 101),
t dW \ = ш» 2
\ dt / ^ледС3 ^°"-
Подставляя (1) в (2), находим:
tdW\ 1 ttoLV , -p-\ dt J6ле0с \ c /’
откуда волновое сопротивление вибратора оказывается равным:
п 1/\2/ toL \2
Rm = — ол1 = 20 — ом.
6Л80С \ С J\ С /
Вычислить вектор Пойнтинга и построить полярную диаграмму направленности электродипольного излучения на больших расстояниях от линейной антенны (длины /), вдоль которой распределен ток в виде косинусоидальной стоячей волны
ж ж(О 21
I = /0 COS — • COS (О/,с
tolгде — = л.
с
Решение
В волновой зоне электромагнитное поле точечного электрического диполя имеет вид сферической волны:
Ра - I / Не н - ±о£н±. " L— 1/ —:р I 1
у е04лг г \ с
Е, = Е<р = Нг = Н6 = 0.(1)
Разобьем линейную антенну на элементарные квази- точечные диполи с длиной dZ (рис. 98). Каждый такой ди-
поль создает на большом расстоянии от антенны поле с компонентами
dEe = V— dH» = М^ Д р ( t — 1 ), (2) Г 804лг,-\ с )
где Др — величина дипольного момента отдельного ква- зиточечного элементарного диполя. Величину Др можно найти следующим образом: как было показано в предыдущей задаче,
откуда
Др (i — — ^ = L cos — cos ю f / — — ^ dZ\ с 1с \ с /
и
kp U — — ^ = — <о/п cos — sin со (i — — ) dZ. (3) \ c /c \ c j
Подставляя (3) в уравнение (2) и интегрируя его, находим:
+ 1
2
Ев = л/^ = -№ f s-^cos^sinto^-^.dZ=г е04л J г, с \ с j
2
, I. L rA
+ 7ко 11—
C sin 0/(oZ '°
=—0 cos — edZ* (4)
4л J ЦG
8*8*227
8*
8*
Так как наблюдение ведется на больших расстояниях от sin 0;
антенны, отношения L для различных квазиточечных диполей можно считать приблизительно одинаковыми и равными
sin 0,- sin 0
.(О)
Далее опустим из точки А перпендикуляр на прямую ОР и будем приближенно считать, что BP ^ rz; тогда
г0= OB + BP = Z cos 0 + rz, откуда
rz = г0 — Z cos 0.(6)
Подставляя (5) и (6) в формулу (4), получим:
г- .,№ /—-2I— COS 9
Де = 1 / —//ф = ^^ sin Ое[cos--г dZ
Г 804лг0J с
2
ИЛИ
Ее =
'О
Г^osin0./“
4лг0
(7)
((где
(
(
2
С cos — cosУ Z — cos dZt
J C L c j
2
£
2
(8)
£
2
toZ .
cos — sin Z •с
— cos 0 dZ. c
Интегралы (8) легко
вычисляются
и оказываются равными:
cos
к 2l
0)
sin2 0
, /<2 = 0.
(9)
4л< sin20\а среднее значение потока энергии4л< sin20\а среднее значение потока энергииРис. 99Рис. 99
4л< sin20\
а среднее значение потока энергии
4л< sin20\
а среднее значение потока энергии
Рис. 99
Рис. 99
Подстановка (9) в выражение (7) дает:
cos — cos 0
Ее =НФ А Ио = —~ • sin со /^ ,
о 2лг0 sin 0\ с /
Г "о
откуда для абсолютной величины вектора Пойнтинга получаем выражение:
COS2 — cos 0
S = E^H^ =L. sin2(o L _ M
Рис. 100
На рисунке 99 представлена полярная диаграмма направленности излучения антенны (на каждом луче, исходящем из середины антенны, откладывается соответствующее углу 0 значение среднего потока энергии 5средн в едини- Ро^о\ цах .
Задачи для самостоятельногорешения
180*. Доказать, что запаздывающие потенциалы
/ к^',У > г'> t')dV'
Ir-^-I
р кх',/, г', V) dV‘
где
а смысл векторов R и г' виден из рисунка 100, удовлетворяют условию калибровки Лоренца:
div А + ер. — = 0.
91
181*. Показать, исходя лишь из требования выполнения закона сохранения энергии, что для любой излучающей системы напряженности электрического и магнитного поля в волновой зоне обратно пропорциональны расстоянию от точки наблюдения до центра системы.
182*. Написать составляющие электромагнитного поля вибратора Герца в волновой зоне в декартовых координатах, выбрав за ось Z направление вектора pit— ).
\С )
183*. В некоторый момент времени на оси кольцевого заряда Q (радиуса а) на расстоянии h от его центра помещают электрон. Предоставленный затем самому себе электрон совершает колебания вдоль указанной оси. Найти среднюю за период колебания интенсивность дипольного излучения электрона. Затуханием колебаний вследствие излучения пренебречь.
184*. Во сколько раз средняя интенсивность излучения вращающегося диполя, описанного в задаче 100, больше интенсивности излучения вибратора Герца и почему? Как это можно наглядно объяснить?
185*, Определить полную интенсивность дипольного излучения электрона, движущегося по окружности в постоянном и однородном магнитном поле Вй с постоянной скоростью Vq-
186*. Трубка Кулиджа работает при разности потенциалов в 50 кв. Электроны, ударяющиеся о серебряный антикатод с максимальной кинетической энергией, полностью тормозятся в слое / = 10-7 м серебра. Предположив, что ускорение электрона при торможении постоянно, подсчитайте количество электромагнитной энергии, излучаемой отдельным электроном за 1 сек. Как долго продолжается процесс излучения электроном электромагнитных волн?
187*. Выразить среднюю интенсивность дипольного из
лучения упруго связанного электрона как функцию его полной энергии Е.
188*. Каково волновое сопротивление вращающегося электрического диполя, рассматриваемого в задаче 100?
189*. Частица с зарядом е и мас
сой т пролетает со скоростью и на расстоянии р (рис. 101) мимо другой, значительно более тяжелой заряженной частицы с зарядом eb которая при этом остается неподвижной. Пренебрегая искривлением траектории легкой частицы, вычислить теряемую ею на излучение энергию.
Рис. 102Рис. 102190*. Показать, что в волновой зоне поле переменного магнитного диполя с моментом m отличается от поля переменного электрического диполя с моментом р заменой Ев на —Е^, На на Н& и р на Кер т, т. е. в волновой зоне магнитного диполя
Рис. 102
Рис. 102
р Кepsin в4лгр Кepsin в4лгEr = Ее = Hr = Н а = 0,
р Кepsin в
4лг
р Кepsin в
4лг
Показать также, что интенсивность магнитнодипольного излучения
I — Р(8Р) Ш '6л
191*. Средняя интенсивность магнитнодипольного излучения рамочной антенны равна 256 вт. Найти длину волны, излучаемой антенной, если известно, что по ней
циркулирует синусоидальный переменный ток, максимальная величина которого достигает 10 а, а площадь антенны равна 90 м2.
192*. Объяснить, почему столкновение двух заряженных частиц с одинаковым отношением заряда к массе и взаимодействующих по закону Кулона не вызывает ни электродипольного, ни магнитнодипольного излучения?
193*. Указать зависимость интенсивности электродипольного и магнитнодипольного излучений системы зарядов, погруженной в однородную изотропную среду, от относительных проницаемостей К и К1П среды.
194*. То же, что и в задаче 106, для тока, распределенного вдоль антенны в виде синусоидальной стоячей волны
ж » . со/ .
/ = /0 sin— COS tot,с
где — = 2л. Построить, выбрав соответствующий масштаб, с "
диаграмму направленности излучения антенны (рис. 102).
ГЛАВА IV
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
§ 1. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
Электрон влетает в однородное магнитное поле В со скоростью у, направление которой образует угол а с направлением линий поля. Показать, что время, в течение которого электрон описывает один виток винтовой траектории, не зависит ни от скорости у, ни от угла а.
Решение
Введем декартову систему координат с осью Z, направленной вдоль поля В. Тогда Вх = Ву = 0 и Bz = В, а уравнение движения электрона в магнитном поле
т — = е у 6di [-1
можно будет представить в виде следующих трех скалярных уравнений:
mvx = evyB,
* mvy=—evxB,(1)
mv2 = 0.
Умножая первое из этих уравнений на их, второе — на уу и складывая почленно полученные в результате умножения уравнения, имеем:
т (vxvx + v/y) =0,
откуда
^х + у у — С^— Уи
(2)
Выражение (2) показывает, что проекция электрона на плоскость XOY движется по окружности с постоянной скоростью Vi=vsina. Радиус указанной окружности
D mu sin a
Третье уравнение системы (1) дает:
^ = С2 = Уп,(3)
где и н = v cos a — проекция скорости электрона на направление поля.
Таким образом, электрон одновременно участвует в двух движениях: равномерном вращательном движении по окружности радиуса R со скоростью и, и в равномерном поступательном движении вдоль оси г со скоростью уп; электрон, следовательно, описывает винтовую линию.
Введем угол ф, характеризующий поворот электрона относительно оси г. Нетрудно видеть, что
, у sin a,ф = 0)/= /,
откуда время, в течение которого электрон описывает один виток винтовой линии,
2л/?2л/п
т = =,
и sin aеВ
Оно действительно не зависит ни от скорости электрона у, ни от угла а, образуемого вектором скорости с направлением магнитного поля.
С катода плоского магнетрона (рис. 103) вылетают электроны с нулевой начальной скоростью. Определить: а) траекторию электрона; б) критическое значение напряженности магнитного поля, при котором траектории электронов касаются поверхности анода, а ток через магнетрон становится равным нулю.
Решение
Движение отдельного электрона в плоском магнетроне, изображенном на рисунке 103, определяется следующей системой дифференциальных уравнений:
z = 0; х = соу; у = —сох,(1)
где введено обозначение
со = — =т т *
Уравнения (1) должны быть проинтегрированы при следующих начальных условиях: при t = 0, х0= у0= г0= О и х0= у0= 20 = 0.
Очевидно, прежде всего, что 2 = 0. Второе уравнение системы (1) х = соу продифференцируем еще один раз по времени /ив полученное уравнение подставим у из треть
его уравнения; в результате для определения х находим уравнение:
*" . а 1 еЕсо
X + со2 X = ,
tn откуда
я . я ltot . я ~ttot , Е .
х — At + А^е + Л3е + ^ и
* я. я. я
у = i Аге— tA^e + А.
Начальные условия принимают вид:
Ai + А2 + А3 = 0, ito (Л 2 — Л3) + — = 0.
^А 2— Л3) + Л4 = 0, со (Л 2~Ь Лз) = 0.
Окончательно имеем:
Е
х = — (tot — sin со/),
(2)
(3)
Уравнения (2) и (3) — это параметрические уравнения циклоиды — кривой, описываемой какой-либо точкой ок-
ружности радиуса —, катящейся без скольжения вдоль
горизонтальной прямой (оси X). Циклоида касается ано
да, если
tokBk
где d — расстояние между катодом и анодом. Подставляя в выражение (4),
еВк п иtok = — и Е = —,тd
где U — разность потенциалов на катоде и аноде магнетрона, получим:
(5)(5)
(5)
(5)
Таково критическое значение напряженности магнитного поля, при котором прекращается прохождение тока через магнетрон.
В балансном методе определения отношения заряда электрона к его массе, схема которого указана на рисунке 104, между пластинами конденсатора прикладывалось напряжение в 2800 в, а напряженность однородного магнитного поля равнялась 652,53 а/м. При включении одного только магнитного поля отклонение электронного пучка на флуоресцирующем экране равнялось 2,4 см.
Определить отношение —, если известно, что в катод- т
ной трубке расстояние от анода до экрана / = 33 см, длина пластин конденсатора Ц^ 7,8 см, расстояние между пластинами d = 2,4 см. Пластины конденсатора примыкают непосредственно к аноду.
Решение
В балансном методе определения отношения заряда электрона к его массе оба поля — и электрическое и магнитное — вызывают отклонения электрона вдоль оси X: электрическое поле отклоняет частицу вверх, а магнитное — вниз. Путем подбора специального режима работы катодной трубки добиваются, чтобы при одновременно включенных полях пучок электронов не испытывал отклонения, а попадал в точку А на экране. Поэтому прежде всего, очевидно, следует выяснить, при каком условии отклонения электронного пучка электрическим и магнитным полями будут взаимно компенсировать друг друга.
С этой целью исследуем движение отдельного электрона пучка в одновременно включенных электрическом и магнитном полях. Дифференциальные уравнения движения электрона, очевидно, имеют в этом случае вид:
mr = еЕ+ Фо [ у^] или
(1)
■ У = о, (2)
. 2 = toL ' X, (3) где год = ^-^ — удвоенная частота Лармора (см.: И. Е. Тамм. Основы теории электричества, § 68). Уравнения
(1)—(3) должны быть проинтегрированы при начальных условиях: при / = О, х = у = г = 0, х = у = 0 и г = о0.
Решение уравнения (2) при указанных начальных условиях имеет вид: у ^ 0; движение электрона происходит в координатной плоскости XOZ. Далее поступаем следующим образом: продифференцируем (1) еще раз по времени / и в полученное уравнение подставим г из уравнения (3). Тем самым мы приходим к уравнению:
х + toLx = 0,
решение которого записывается в виде:
х = Ct+ a cos (mLt + а).(4)
Дифференцируя выражение (4) два раза по времени t и подставляя найденное х в уравнение (1), получаем следующее уравнение для определения г:
■ Е
г =Ь aa>L cos (toj + а).
Решение последнего уравнения имеет вид:
2 = —— + я sin (toL t + а) + С2.(5)
Используя указанные выше начальные условия, находим:
а = 0, й = — С, — (\ С2 = 0*
Таким образом, окончательно выражения (4) и (5) принимают вид:
sin to£ t.sin to£ t.(5а)(5а)х = -77— (п0^т; ^ (cos ®l < — 1),(4а)
sin to£ t.
sin to£ t.
(5а)
(5а)
_1_ I л —
Р,Я ML \ ° Ц0Н
Для того чтобы электрон не отклонялся полями и попадал в точку А на экране, необходимо, чтобы во все время движения его координата х равнялась нулю. Последнее возможно лишь в том случае, если в уравнении (4а)
_ Е
или так как Е = — , где U — разность потенциалов на обкладках конденсатора,
Такая скорость электронов пучка в момент их вступления в зону действия полей достигается наложением между катодом и анодом разности потенциалов ф, определяемой соотношением
После того как режим работы катодной трубки, определяемый условием (6), установлен, электрическое поле выключается и остается лишь магнитное поле. Измеряя наблюдаемое при этом отклонение электронного пучка вдоль оси X, можно определить частоту coL, а затем и отноше- е ние —.
Уравнения движения электрона в однородном магнитном поле, параллельном оси У, имеют вид:
х = —®Lz, у = 0, г = ®Lx [начальные условия — те же, что и для системы уравнений (1) — (3) ]. В результате интегрирования, аналогичного интегрированию, проведенному в первой части задачи,, находим:
х = ^ (costoLt — 1),
г = — sin to£ t.
Далее находим момент времени, когда электрон выходит из зоны действия магнитного поля; для этого, очевидно, мы должны положить г = lv Указанный момент времени
-Д— arc sin .
^Lи»
Определяем далее координаты точки выхода электрона из зоны действия магнитного поля (точка В на рис. 105) и составляющие его скорости в этой точке
Хв = ( V < - l\tot - u0 )• zb
Хв = — l^L, Zb = V yo — l\^L.
В формулах (7), однако, Уо)^/^ и поэтому можно записать приближенные значения хв и zB, незначительно отличающиеся от точных значений (7):
После выхода из зоны действия магнитного поля электрон продолжает двигаться по инерции вдоль прямой BD. Из рисунка 105 видно, что ВК = у0, КМ = I ttoL, ВС = = I — /1 и CD — хо— | хв |, где х0— смещение электронного пучка, указанное в условии задачи. В подобных треугольниках ВКМ и BCD:
вс _ вкCD — КМ
или
(/ /4): I х0(/ /4): I х02у02у0= и»)11®Ь ’= и»)11®Ь ’
(/ /4): I х0
(/ /4): I х0
2у0
2у0
= и»
)11®Ь ’
= и»
)11®Ь ’
откуда
,1(2/-/а
р0^/-у=1>8347-10П ^
что примерно на 4% больше значения 1,7592 • 1011, получаемого с помощью более совершенных методов.
ПО. В цилиндрический конденсатор (рис. 106) впускается слегка расходящийся пучок положительных ионов с массой т, зарядом е и скоростью, составляющей небольшой угол с касательной к центральной окружности АВ радиуса г0. Показать, что пучок снова будет сфокусирован в точке В, радиус-вектор которой составляет с радиусом-вектором О А угол -4т •
V 2
Решение
Функцию Лагранжа для отдельного иона можно записать в виде:
L = у tn (г2+г2^2) — ^ (г),
Рис. 106Рис. 106откуда находим уравнения дви
Рис. 106
Рис. 106
жения иона:
m (г —г^ = — е ^, mr" У ~ const
или
г- г^2 = -е^-,(И
тг'
r^rotoo,(2)
так как
— ^ = Е(г), Е(г) =— = —,
dr2л80гг
где Ео= и соо—частота, определяемая так, чтобы 2ле0г0
в начальный момент времени
еЕ0= mrou>o,(3)
«0=1/^-.(4)
г тг0
Введем параметр
характеризующий отклонение траектории рассматриваемого иона от окружности АВ, вдоль которой движется ион, имеющий начальную скорость, совпадающую по направлению с касательной к окружности АВ. Подставляя в уравнение (1) <р из уравнений (2) и заменяя г через х по формуле (5), получим:
"2 Л , х\—з еЕй{, , х\—
х — го^о 11 4“ — I —МН* I
\ г0 /т \ г0)
или с точностью до членов первого порядка по -^
•е2 , п 2еЕп , еЕп
х — Го^о 4- 3 o)q х =1х,
т тг0
откуда, учитывая (3), окончательно находим:
х + 2 co^x = 0.(6)
Решение уравнения (6), удовлетворяющее начальному условию: х = 0 при t = 0, имеет вид:
х = Xosin со 0 V2 L(7)
Параметр х обращается в нуль (не считая начального момента времени t = 0) при ^ = —^ , откуда иско- <о0У2 мый угол
7=^=-?- = 127° 17'.(8)
111. Длинный цилиндрический катод (радиуса а), по которому течет постоянный ток /, испускает электроны с ничтожно малой начальной скоростью. Под действием разности потенциалов V эти электроны приобретают ускорение по направлению к коаксиальному с катодом, цилиндрическому аноду радиуса Ь. Пренебрегая зависимостью массы электрона от скорости, определить то напряжение, при котором электроны перестают попадать на анод.
Решение
Функция Лагранжа для электрона, движущегося в электромагнитном поле, имеет вид (см. задачу 202*):
L = — то- + еср — eAo.
Вводя систему цилиндрических координат г, 0, г с осью г, направленной вдоль оси катода, и имея в виду, что в пространстве между катодом и анодом
V = Л< - In г 4-<p0; N =—(1)
а
Az = — ^lnr + Д(2)
(см. задачу 70), получим:
L —^tn(r2 + r282+ га) +e^lnr + е;Ро+^ zlnr — еА0*г
или, отбрасывая несущественные для функции Лагранжа члены еф0 и —еАог (см.: Л. Д. Л а н д а у, Е. М. Ли ф- ш и ц. Механика, § 3):
L = 1 т (г2 + г292 + г2) + ^ г In г + eN In г.(3)
Как показывает функция Лагранжа (3), для движущегося между катодом и айодом электрона имеют место следующие законы сохранения:
^ = mr^=Cv(4)
-^ = щг + ^1пг = С2,(5)
дг д в о г2
— eMlnr,(6)
где постоянные Сь С2 и Е должны быть определены из начальных условий: и0= 0, г0 = 0О = z0= 0 при г = а. Нетрудно видеть, что
Cf=0, C2=^lna. E = —eN.\na,
2 л
после чего уравнения (4) — (6) принимают вид:
ё =0,(4а)
i=3VlnLf(5а)
2лт а
— eN\na = -^ + i^—(ln—'\—eN\nr.(6а)
2 8лат \ а
22РешениеРешение0)£ =0)£ =ерН ет ’ерН ет ’№l = r’№l = r’
2
2
Решение
Решение
0)£ =
0)£ =
ерН ет ’
ерН ет ’
№l = r’
№l = r’
Уравнение (4а) показывает, что во все время движения составляющая вектора скорости электрона иф ^ г 0 =0, и поэтому его траектория оказывается полностью лежащей в плоскости, проходящей через ось катода (см. рис. 107). Из рисунка 107 следует также, что условием, при котором электроны перестают попадать на анод, является требование, чтобы г = 0 при г = Ь. Отсюда, подставляя в (6а)
г = Ь и г — 0, находим искомую разность потенциалов:
(7)(7)еИо/2 L ь У I In — а /.
(7)
(7)
Показать, что условием стабильности круговой электронной орбиты в бетатроне является равенство в любой момент времени напряженности магнитного поля на орбите половине средней (по площади всей орбиты) напряженности.
Рис. 10?Величина импульса электро
на, обращающегося в бетатроне по круговой орбите, определяется из удвоенной ларморовой частоты для свободного электрона, т. е.
откуда
Р = mv = ер HR,Р = mv = ер HR,(1)(1)
Р = mv = ер HR,
Р = mv = ер HR,
(1)
(1)
где Н — величина напряженности магнитного поля на орбите в произвольный момент времени L
Изменение импульса со временем определяется уравнением
dP dt ~
— еЕ
(2)
(силу Лоренца в правую часть уравнения (2) писать не следует, так как она не может изменить абсолютную величину импульса электрона).
Величину напряженности электрического поля на орбите Е можно вычислить из закона электромагнитной индукции Фарадея:
ииТак как в бетатроне магнитное поле обладает осевой симметрией, поэтому силовые линии вихревого электрического поля являются окружностями с центрами, лежащими на оси магнитного поля. Одна из силовых линий электрического поля с радиусом R и есть орбита электрона. Очевидно также, что напряженность электрического поля во всех точках орбиты одинакова и, кроме того, Е || dL. Отсюда <^EdL= ^RE
и
и
1 №
2л/? dt
Подставляя выражение (3) в уравнение (2), получаем:
dPdPе2л/?е2л/?ЙФ.ЙФ.
dP
dP
е
2л/?
е
2л/?
ЙФ.
ЙФ.
Интегрируя это уравнение при R = const от момента времени /0=^ 0 до некоторого произвольного момента /, получим:
(4)(4)Р"Р»=^ф-ф^-
(4)
(4)
Zltlx
Легко видеть, что Ф и Фо можно записать в виде: ф = y^R* • (/7)средн и Фо= y-vR^^H^средн,
где (//)Сре*н— среднее значение напряженности магнитного поля, вычисляемое для всей площади орбиты в произвольный момент времени t, а (//0)средн— среднее значение напряженности в начальный момент времени /0= 0.
Если в начальный момент времени /0= 0 положить
Ро = г^Фо=^(Яо)средн,(5)
/ЛгуZ
то из формулы (4) следует:
Р = ~ e^R (7/)средн.(6)
Сравнивая выражения (1) и (6), находим:
H=^H)tpe№.(7)
Это и есть искомое условие стабильности электронной орбиты. Легко видеть, что выбор начального условия (5) подчиняется условию стабильности орбиты (7), т. е. что и при /0= О
Hq= ~ (^о)средн.
Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле при наличии в нем различных возмущений (таких, как электрическое или гравитационное поле, небольшая пространственная неоднородность самого магнитного поля или его медленное изменение во времени) может быть представлено как вращение частицы вокруг некоторой движущейся точки. Мгновенный центр вращения принято называть ведущим центром, а движение ведущего центра в направлении, перпендикулярном к магнитному полю В, называют дрейфом частицы.
Определить скорость дрейфа частицы с зарядом е в однородном магнитном поле В при наличии перпендикулярного к нему постоянного электрического поля Е. Каким по величине должно быть Е, чтобы скорость дрейфа частицы в магнитном поле В = 0,1 тл не превышала скорости света?
Решение
Векторное уравнение движения заряженной частицы имеет вид:
относительно неподвижной системы отсчета
m—=е£ + е["о fl];(1)
diL J
относительно подвижной системы отсчета, связанной с ведущим центром
tn^=e\vB\(2)
При написании уравнения (2) учтено, что на движение частицы относительно ведущего центра действие электрического поля не сказывается.
Представляя скорость о частицы относительно неподвижной системы отсчета в виде:
У = У -|- Удрейфа,(3)
где Удрейфа — постоянная скорость дрейфа частицы, и подставляя (3) в (1), получаем:
m — = еЕ + е [ у В] + е [ Удрейфа, В\,
откуда
Е —[ ^дрейфа, ^\*(4)
Умножая (4) векторно на В, получаем:
[в в] + [s [ Удрейфа, в] ] = О или, раскрыв двойное векторное произведение,
[^ ^] + ^^Дрейфа Цв О дрейфа ) = 0;
откуда, учитывая, что В Удрейфа = 0 (дрейф частицы направлен вдоль поля Е. перпендикулярного полю В), находим скорость дрейфа
-_ VebA
^дрейфа#2
ИЛИ
^дрейфа" 7Г •(^)
о
Для того чтобы при движении частицы в магнитном поле В = ОД тл скорость дрейфа не превышала скорости света, необходимо, чтобы
В < 3 • 107 в!м.
Какую работу следует затратить на то, чтобы покоящийся вначале электрон разогнать до скорости и =
= 10е м/сек. Электрон рассматривать как шарик радиуса г0=2,8- 10-16 м, по поверхности которого равномерно распределен заряд е.
Решение
Если покоящийся вначале электрон разогнать до скорости у (малой по сравнению со скоростью света), то затраченная работа внешней силы пойдет не только на увеличение кинетической энергии электрона от 0 до то8, но и на создание магнитного поля, обладающего энергией W, т. е.
A =(1)
Чтобы вычислить энергию магнитного поля, надо прежде всего определить величину напряженности И магнитного поля, возбуждаемого движущимся электроном (при этом мы будем иметь в виду, что скорость электрона и < с).
Рассмотрим отрезок прямого провода длиной dl с током /. Согласно закону Био и Савара, этот отрезок возбуждает в некоторой точке, удаленной на расстояние г, магнитное поле с индукцией
dB = -^d/sin@.
4лг2
Выразим силу тока через плотность тока / и сечение провода S. Тогда Idl = jSdl = jdV. Известно также, что j = = пеи и, следовательно, Idl = еи • ndV, или, обозначая ndV = dN — число носителей тока в элементе длины провода, Idl = еи • dN. Напряженность магнитного поля, возбуждаемого отрезком провода, будет равна:
dH = dN- —sin®,
4nr2
откуда напряженность магнитного поля движущегося электрона
где 0 — угол между г и и, а г — радиус-вектор, проведенный из центра электрона-шарика в точку наблюдения (см. рис. 108).
Энергия магнитного поля движущегося электрона
w = Lp^HUv.
Вводя сферическую систему координат г, 0, ф с началом в центре движущегося электрона, записывая элемент объема в виде:
dV = г2 sin 0 d© d^ dr
и интегрируя по 0 и ф в обычных пределах и по г в пределах от г0 до оо (внутри движущегося заряженного шарика магнитное поле отсутствует), найдем:
ос л2л
=^L С^ СSin3@d9 Сd^ = ^^-.32л2 J г2 JJ т 12лг0
Го ОО
Таким образом, работа, произведенная внешними силами в процессе разгонки электрона,
A =lmv3+ .(2)
212лг0v л
Подставляя сюда числовые данные, находим: А = 3,093 • 10-19 дж = 1,93 эв,
где 1 эв — энергия, приобретаемая электроном под действием ускоряющего потенциала в 1 в (единица энергии, которой обычно пользуются в атомной и ядерной физике).
A = -v22A = -v22>2>20.0.Представим уравнение (2) в виде:
A = -v2
2
A = -v2
2
>2
>2
0.
0.
Полученное выражение показывает, что по сравнению с покоящимся электроном масса движущегося электрона увеличивается на величину
6 Л Г О
Задачи для самостоятельногорешения
195*. Определить траекторию частицы (с массой т и зарядом е), движущейся в переменном однородном электрическом поле Е = Е0со$ю1, если в начальный момент /=0 скорость частицы у = у0, а направление ее движения перпендикулярно силовым линиям поля (скорость частицы мала по сравнению со скоростью света с).
196*. Электрон, испущенный нитью накала, ускоряется по направлению к аноду разностью потенциалов в 300 в, приложенной между нитью и анодом. Определить кинетическую энергию и скорость электрона в тот момент, когда он достигает анода.
197*. Электрон влетает со скоростью у0 в однородное магнитное поле Во и движется перпендикулярно силовым линиям поля. Найти радиус кривизны траектории электрона и магнитный момент создаваемого им тока.
198*. Однократно заряженные ионы лития с атомными весами 6 и 7 испускаются подогретым анодом и ускоряются разностью потенциалов в 400 в, приложенной между анодом и катодом. Затем через отверстие в катоде они попадают в однородное магнитное поле, перпендикулярное к их скорости. Определить радиусы траекторий этих ионов, если индукция магнитного поля равна 0,08 тл.
199*. В трубке (см. задачу 109) при использовании только магнитного отклонения ускоряющий потенциал между анодом и катодом равнялся 32 500 в, а магнитное поле в 5,6 • 10-4 тл вызывало смещение электронного пучка на 2,1 см. Определить удельный заряд электрона.
200*. Объяснить, почему нельзя определить отно- е„
шение —, исследуя отклонение заряженной частицы т в двух скрещенных электрических или магнитных полях?
201*. Определить удельный заряд электрона из критического значения напряженности однородного магнитного поля в цилиндрическом магнетроне» Магнитное поле в таком магнетроне параллельно его оси, а размеры магнетрона указаны на рисунке 109,
Н =Н =но^\ 0<г<г0,^Н»^. г>гй.но^\ 0<г<г0,^Н»^. г>гй.
Н =
Н =
но^\ 0<г<г0,^Н»^. г>гй.
но^\ 0<г<г0,^Н»^. г>гй.
202*. Проверить справедливость представления функции Лагранжа для заряженной частицы, движущейся ц электромагнитном поле, в виде:
L = — mv2— е» + еА и,
2
где <р и Л — электромагнитные потенциалы.
203*. Написать функцию Гамильтона для заряженной частицы, движущейся в электромагнитном поле.
204*. При измерении масс на масс-спектрографе Астона по методу совпадений было замечено, что при неизменном магнитном поле однозарядные ионы азота 7М13+ и од
нозарядные ионы неизвестной массы фокусируются в одной точке при напряжениях на обкладках конденсатора 210 и 120 в соответственно. Найти массовое число неизвестного изотопа.
205*. Частота генератора переменного электрического поля в циклотроне v= ЮМгц, а максимальная разность потенциалов между его дуанта- ми Umax= 80 кв. В циклотроне ускоряются а-частицы. Определить: а) величи
ну напряженности магнитного поля, при котором имеет место синхронизм между последовательными прохождениями а-частицей пространства между дуантами и изменением электрического поля; б) энергию а-частицы после 25 полных ее оборотов в циклотроне; в) радиус траектории а-ча- стицы после п полных оборотов.
206*. При удалении от оси бетатрона к его периферии (в плоскости стационарной электронной орбиты) мгновенная напряженность магнитного поля убывает по закону:
Каким должно быть г0, чтобы радиус устойчивой электронной орбиты был равен а? Допустимо ли убывание магнитного поля по закону:
Н =H0(t),
\ г /
где п > 1? Если нет, то почему?
207*. Определить скорость дрейфа частицы (с зарядом е и массой т) в горизонтальном однородном магнитном поле В при наличии возмущения в виде однородного гравитационного поля.
208*. Вычислить электромагнитный импульс равномерно (со скоростью у, малой по сравнению со скоростью света) и прямолинейно движущегося электрона, заряд q которого распределен в пространстве с объемной плотностью
Г
д ег2_Р 4лГц г '
где г0— эффективный радиус электрона.
§ 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
Исходя из уравнения Максвелла для макрополя divD = р, где р — макроскопическая объемная плотность свободных зарядов, найти среднюю (по физически бесконечно малому объему) плотность связанных зарядов путем усреднения уравнения Лоренца
div С = Рмикро
для электрического микрополя. Найти также плотность тока поляризации.
Решение
Приступая к решению данной (а также и следующей) задачи, читатель должен хорошо разобраться в основах классической электронной теории Лоренца по следующим источникам:
И. Е. Тамм. Основы теории электричества. М., Гостехиздат, 1958, § 25, 26, 60—62 и 67;
А. С. К о м п а н е е ц. Теоретическая физика. М., Гостехиздат, 1957, стр. 134—139, обратив особое внимание на определение макроскопических значений физических величин и на способ их получения из микроскопических величин путем усреднения по физически бесконечно малому объему.
Обратимся теперь к решению поставленной выше задачи.
Прежде всего, усредняя по физически бесконечно малому объему уравнение Лоренца
div е = Рмикро
для электрического микрополя, получим:
div £ = - (р + р^),(1)
80
так как по определению макроскопическое значение напряженности электрического поля Е = е и, кроме того, рмикро = = р + рсвяз, рДС р — объемная плотность свободных зарядов и рсаяз — средняя плотность связанных зарядов, обязанных своим происхождением поляризации вещества.
Далее следует воспользоваться известной из макроскопической электродинамики связью вектора электрической индукции с вектором поляризации, т. е.
О = е0Е + Р.(2)
Подстановка выражения (2) в формулу (1) дает:
div О — div Р = р+^3, откуда, используя макроскопическое уравнение Максвелла div D = р, находим:
Рсвяз= div Р.(3)
Полный связанный заряд, находящийся внутри физически бесконечно малого объема,
е = j P^dV = — j div Р • dV
или, применяя теорему Остроградского — Гаусса
е = — ^ PdS.
где интегрирование производится по замкнутой поверхности, охватывающей физически бесконечно малый объем. Изменение величины связанного заряда в указанном объеме в единицу времени
— = —(g — .dS.(4)
dt J div '
С другой стороны, изменение связанного заряда в том же объеме в единицу времени можно также представить в виде:
"-(j) кляр-dS(5)
(необходимость знака минус перед интегралом в выражении (5) объясняется рис. ПО а, б).
Сравнивая правые части выражений (4) и (5), находим:
Г _ дР/поляр ^ •
При расчете электрического поля, действующего на отдельную молекулу в диэлектрике, вокруг рассматриваемой молекулы строят сферу, радиус которой велик по сравнению с расстояниями между молекулами, при этом указанная сфера не должна пересекать ни одной молекулы. Тогда поле Е*, действующее на молекулу, находящуюся в центре сферы, можно представить в виде суммы полей:
Ё = Ё0-\-Ё1-^-Ёа + Ё^
где Ео — электрическое поле внешних по отношению к диэлектрику источников; Е л — поле, обусловленное свягде Ео — электрическое поле внешних по отношению к диэлектрику источников; Е л — поле, обусловленное связанными зарядами, появившимися в результате поляризации на внешней поверхности диэлектрика: Е 2 — поле связанных зарядов, находящихся на внутренней поверхности сферической полости, и Е3 — поле всех молекул, находящихся внутри сферы. Поле Е2 впервые было вычислено Лоренцем; оно оказалось равным^- Р, где Р— вектор поля
где Ео — электрическое поле внешних по отношению к диэлектрику источников; Е л — поле, обусловленное свя
где Ео — электрическое поле внешних по отношению к диэлектрику источников; Е л — поле, обусловленное свя
ризации.
Однако полость внутри диэлектрика не обязательно выбирать в виде сферы: ее можно, например, выбрать в виде куба с гранями, соответственно нормальными и параллельными вектору поляризации. В этом случае плотность связанных зарядов на верхней и нижней гранях куба постоянна и равна ±Р, в
то время как на других гранях связанные заряды отсутствуют.
Вычислить величину по
ля Ё2 для кубической полости.
Решение
Из рисунка 111 видно, что поля, возбуждаемые в центре О кубической полости связанными зарядами элементарных площадок dSt и dS2, равны между собой и одинаково на-
Рис. 111Рис. 111правлены, поляправлены, полятак что величина напряженности их общего
Рис. 111
Рис. 111
правлены, поля
правлены, поля
dE'2= 2dEM =dE'2= 2dEM =PdS Р dx dy2ле0г2 2ns0 г2 ’
dE'2= 2dEM =
dE'2= 2dEM =
а составляющая этого поля вдоль оси Z (именно она нас и интересует) оказывается равной
лпj р>аР dx dy
dE» =s dE„ • cos a=^
222ле0 г3
или
dx dy(а2+х2+_у2)2dx dy(а2+х2+_у2)2(1)(1)«Г' оРdE2— —2ле0
dx dy
(а2+х2+_у2)2
dx dy
(а2+х2+_у2)2
(1)
(1)
Интегрируя уравнение (1) по х и у в пределах от —а до + а, находим:
а а
Е 2 = ^ Г dx [лео-
о о (а2+х2+ у2)2
Интеграл по у в (2) довольно просто вычисляется с по- мощью подстановки у = |/ а2 + х2 • tg <р; он оказывается равным
а
С 4у
а
(а2 + х2) /2а2+ х2
и, следовательно, выражение (2) принимает вид:
2а2Р Г*dx
е4 = —.
ле0 J (а2 + х2) у 2а2+ х2
Интеграл в (3) вычисляется с помощью подстановки Эйлера
V 2а2 + х2 = t — х.
Далее нетрудно показать, что
(' dx _ i ( Г 2t dt Г 2t • di 1
J (a2 + X2) v 2a2 + X2 2a2 (J Z2 + 21a J Z2 — 21a1 )
= -^ {In (Z2 4- 2Ш2) — In (Z2 — 2ш2)},
откуда в силу того, что
In (Z2 ± 2ш2)= 1 In у4 + 4а4) ± i аге tg ^
(см.: В. И. Смирнов. Курс высшей математики, т. III, ч. 2), получаем:
а
fdx1 / л 11\ л
\ = — /аге ter=_ I =
J (a2 + х^ /2а2+ х2 ^ \ 42 + /3 /6a2 *
Подстановка (4) в (3) приводит к искомому результату
(5)(5)£2 = — Л
(5)
(5)
2380*
т. е. к точно такому же значению поля Е 2, что и для сферической полости.
Определить диэлектрическую проницаемость эмульсии с малой объемной концентрацией С, зная диэлектрические проницаемости среды et и диспергированной фазы е2 (Л. Д. Л а нд а у и Е. М. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред, Физматгиз, 1957).
Решение
Метод усреднения микроскопических физических величин по физически малому объему (метод Лоренца) можно обобщать на случай мелкодисперсных систем (эмульсии, порошковые смеси и т. п.). Однако в этом случае усреднение физических величин должно проводиться по объему, достаточно большому по сравнению с размерами неоднородностей в диспергированной среде, а не по сравнению с размерами молекул среды.
Допустим, что Е и D — усредненные указанным способом напряженность и индукция электрического поля в эмульсии; тогда коэффициент пропорциональности между
D и Е можно назвать диэлектрической проницаемостью эмульсии, т. е.
D = есмеси * Е.(1)
Обратимся теперь к рассмотрению интеграла
^У(б-=,в) Д'.
где интегрирование производится по достаточно большому объему эмульсии. По определению средних значений физических величин в диспергированной системе
j Р ~ е^) dV = D — 6, Е = ^смеси — ej- Е. (2)
С другой стороны, в силу того, что вне частиц эмульсии
D = е^, интеграл (2) оказывается равным:
9 Заказ 541257
i J (о - 61e) dV = 1 f (Д - 8 Д) dv = Ы f Ег dV, (3) V2va
где E2 и D2 — напряженность и индукция электрического поля внутри частиц эмульсии, V2 — объем, занимаемый ими. Заметим также, что если N — число частиц эмульсии и Ио — объем, занимаемый отдельной частицей, то концентрация
(4)(4)V2== Wo V V *
(4)
(4)
В первом приближении, оказывающимся справедливым для эмульсий с малыми объемными концентрациями, частицы можно считать сферическими и находящимися во внешнем электрическом поле, равном среднему полю Е. Как известно, поле внутри однородного диэлектрического шара, находящегося во рнешнем электрическом поле, однородно и равно:
д=д=3*1 р е2+ 2s, L3*1 р е2+ 2s, L(5)(5)
д=
д=
3*1 р е2+ 2s, L
3*1 р е2+ 2s, L
(5)
(5)
(см. задачу 41; следует учесть, что во всех формулах задачи 41 принято 84 = е0, так как диэлектрический шар считался находящимся в вакууме). Подстановка (5) и (4) в выражение (3) дает:
Зб! (е2 — ejе2 + 28!Зб! (е2 — ejе2 + 28!
Зб! (е2 — ejе2 + 28!
Зб! (е2 — ejе2 + 28!
И, наконец, сравнивая выражения (2) и (6), находим диэлектрическую проницаемость эмульсии
есм " е1 + С •есм " е1 + С •38! (е2 — £jе2 + 28!38! (е2 — £jе2 + 28!(7)(7)
есм " е1 + С •
есм " е1 + С •
38! (е2 — £jе2 + 28!
38! (е2 — £jе2 + 28!
(7)
(7)
Определить электронную поляризуемость нейтрального атома, находящегося во внешнем однородном поле Ео. Найти величину коэффициента упругой связи электронов в атоме гелия, если из опыта известно, что его электронная поляризуемость аэл = 2,23 • 10~41 ф • м\
Решение
Полную поляризуемость атома или иона в общем случае можно представить состоящей из трех частей: электронной, ионной и ориентационной. Электронная часть поляризуемости атома обусловлена смещениями электронов в атоме относительно ядра, т. с. деформацией электронной оболочки атома. Ионная часть поляризуемости связана со смещениями одних заряженных ионов молекулы относительно других ее ионов. Ориентационная (или диполь
ная) поляризуемость возникает только в тех случаях, когда молекулы какого-либо вещества обладают готовыми электрическими дипольными моментами даже в отсутствии внешнего поля; ее возникновение связано с переориентацией дипольных моментов молекул при включении внешнего электрического поля.
Полная поляризуемость атома или молекулы зависит от частоты внешнего поля. На рисунке 112 схематически изображена частотная зависимость полной поляризуемости атома. Указанной зависимостью поляризуемости от частоты внешнего поля на практике пользуются для разделения полной поляризуемости на се составные части. Из рисунка 112 видно, что в оптической части спектра (между областью инфракрасных и областью ультрафиолетовых частот) полная поляризуемость совпадает с электронной
поляризуемостью и практически не зависит от частоты внешнего поля. Электронная поляризуемость в этом случае называется статической (2,23 • 10-41 ф - м2 — статическая электронная поляризуемость атома Не).
(1)(1)Покажем, что статическую электронную поляризуемость атома можно представить в виде:
(1)
(1)
^01
где соО/ и ^ — частота собственных колебаний и число электронов f-го сорта.
Действительно, пусть х — смешение электрона относительно ядра атома, вызываемое действием электрического поля. Тогда, чтобы электрон находился в равновесии, необходимо, чтобы
еЕ0 = кх — т^х, где соо = —. т
С другой стороны, если дипольный момент электрона, смещенного относительно ядра, равен р = ех, то
= 2
Объединив все электроны атома, имеющие одинаковый коэффициент упругой связи с ядром ki в группы и произведя суммирование выражений (2) по всем таким группам электронов, мы и приходим к формуле (1) для полной электронной поляризуемости нейтрального атома.
На самом деле, электронная поляризуемость атома зависит также и от частоты внешнего поля; согласно результатам задачи 216* она имеет вид:
^эл^эл7 N^т ^oi -о*) ’7 N^т ^oi -о*) ’
^эл
^эл
7 N^
т ^oi -о*) ’
7 N^
т ^oi -о*) ’
где а)— частота внешнего поля. Однако в оптической области спектра зависимость электронной поляризуемости широкого класса диэлектриков от частоты поля со несущественна и ею можно пренебречь.
В электронной оболочке атома гелия имеются дваоди- 2е2 наково связанных с ядром электрона; поэтому аэл — —> к откудак = — = 2,298 • 103 н/м.
аэл
У хлористого натрия показатель преломления п = = 1,5 и, следовательно, ХОпТ—2,25. В то же время значение статической диэлектрической проницаемости хлористого натрия равно 5,62. Различие в значениях статической и оптической диэлектрической проницаемости в случае ионных кристаллов, к каковым относится и кристаллический NaCl, приписывают ионной поляризуемости: при наложении внешнего однородного поля Ео в кристалле хлористого натрия увеличивается расстояние между ионами Na+ и СИ.
Определить величину той части диэлектрической проницаемости хлористого натрия, которая обусловлена ионной поляризацией молекул NaCl. Расчет произвести, используя следующие экспериментальные данные: собственная частота колебаний молекулы хлористого натрия а)0 = 3,2 • 1013 гц; объем, приходящийся в кристалле на одну молекулу, V = 4,485 • 10'29 м3.
Решение
При наложении внешнего однородного поля Ео на кристаллы хлористого натрия ионы Na+ в каждой молекуле смещаются из своих положений равновесия в направлении еЕ
поля на отрёзок х. = ——, а ионы С1~ смещаются в ЛМ»2
вЕ
противоположном направлении на расстояние х2 =$-
М2м02
(Л4! и М 2 — массы ионов Na+ и О-). Полное относительное смещение ионов будет равно:
Дополнительный дипольный момент, приходящийся на единицу объема диэлектрика и связанный со смещениями ионов, очевидно, будет равен:
др 6 (Х1 ха) __ £2£q / 1 jJ_\/|\
Vv
С другой стороны, из формулы Р = 80(/( — 1)Е, связывающей вектор поляризации с величиной поля в диэлектрике, находим:
(2)(2)А Р = е0Е АХ.
(2)
(2)
Как известно, поле Е внутри диэлектрика определяется не только внешним полем Ео, но и распределением связанных зарядов, и поэтому выражается через Ео сложным образом. Ограничиваясь лишь грубой оценкой приращения АЛ, обязанного своим происхождением ионной поляризации кристаллического NaCl, мы примем в формуле (2) Е ж £0; тогда из формул (1) и (2) следует, что
\к= —^ i— + —V(3)
Подстановка в формулу (3) числовых данных даст: АЛ = 2,70.
Это значение достаточно близко к значению 3,27, наблюдаемому экс пер име нтал ь но.
Найти относительную диэлектрическую проницаемость и показатель преломления среды, содержащей N свободных электронов на единицу объема в поле световой волны с частотой со. Такое представление о дисперсионных свойствах среды, как показывает опыт, справедливо для больших частот. Так, показатель преломления для рентгеновских лучей, как правило, лишь ничтожно мало отли- о чается от единицы: для кальцита, например, при X = 1,54А разность п — 1 = — 8,8 • 10-6.
Сколько при указанных условиях приходится свободных электронов на 1 м3 кальцита?
Решение
В задачах 118 и 119 рассматривался процесс поляризации вещества в постоянных электрических полях. В данной задаче рассматривается поляризация в переменном электрическом поле. Поэтому, прежде чем приступить к ее решению, читатель должен ознакомиться с вопросом о дисперсии электромагнитных волн по учебнику А. С. К о мп а н е й ц а (стр. 190—197, изд. 1955 г.) и только после этого приступить к разбору решения данной задачи.
При определении относительной диэлектрической проницаемости среды К будем исходить из того, что, по определению, вектор поляризации
Р = Np = Net.(1)
С другой стороны,
Р =^(K-V)E.(2)
В поле световой волны вектор напряженности электрического поля изменяется со временем по закону Е = Е^е1^, а движение свободного электрона определяется уравнением: тг = е£0- eitot.(3)
Решение уравнения (3) будем искать в виде г = r0 e,at где неизвестным является г0; его мы определим из условия обращения уравнения (3) в тождество при подстановке в него г = r^ettot. Имеем:
—- (o2mro = eEOlоткуда
mCD2mo)2
Подстановка вектора г в уравнение (1) даст:
Р=_^Е.(4)
Сравнивая (4) с (2), находим:
Е0/П0)2 и
п=ук = (\^LY/2~1(5)
\80т©а /2eomco2
Ne1 i
где, воспользовавшись тем, что по условию задачи<1, 8отсо2
мы произвели разложение в ряд, ограничившись двумя первыми членами этого разложения.
Переходим теперь к ответу на второй вопрос задачи.
Из выражения (5) находим:
N — 2ео/ио)а(1 — п) _ 8л2е0/ис2 (1 — я)~ е2 ~*
Подстановка сюда числовых данных дает:
N = 8,28 • 1027 электронов/м\
Под действием падающей на электрон плоской монохроматической световой волны последний становится источником вторичного излучения — происходит рассеяние света. Вычислить эффективный поперечник для рассеяния монохроматического света свободными электронами, определяемый как отношение средней интенсивности рассеянного излучения к среднему потоку энергии в падающей световой волне.
Решение
Уравнение движения электрона в поле световой волны имеет вид:
m г =■ е£0 cos со/ 4- е[ v Во] cos tot.
Однако вторым слагаемым в правой части этого уравнения можно пренебречь по сравнению с первым слагаемым, так как оно заведомо меньше первого слагаемого (см. задачу 160*). Поэтому уравнение движения электрона можно переписать в виде:
tnr = еЕ0 cos tot.
откуда
е Ёо ,г =9 COS tot.
т
Средняя интенсивность рассеянного излучения
в2/средн = -^3в2/средн = -^3гг22е^Е^ —, е^Е^9COS2 0)/ =26ле0т2с312л е^г2^е^Е^ —, е^Е^9COS2 0)/ =26ле0т2с312л е^г2^
в2
/средн = -^3
в2
/средн = -^3
г
г
2
2
е^Е^ —, е^Е^9COS2 0)/ =26ле0т2с312л е^г2^
е^Е^ —, е^Е^9COS2 0)/ =26ле0т2с312л е^г2^
Средняя за период волны величина вектора Пойнтинга в падающей световой волне
ScpeAH = V ^ Eq CO^tot = 1 у L- Е»,'Ног Но
а поэтому эффективный поперечник для рассеяния монохроматического света свободными электронами оказывается равным:
/соепн8л / е2 \28л 9
О = _£££Д» = — ИЛИ о = — го2,
«$средн ^ \4л8ц/ПС*1/3
где гй=так называемый классический радиус
4ле0/пс2
электрона.
Определить среднее за период изменение момента импульса электрона, обращающегося по эллиптической орбите вокруг ядра в атоме водорода.
Решение
Обратное воздействие излучения на излучающий электрон («лучистое трение») приводит к тому, что со временем изменяется и момент импульса электрона М = [гр]. Действительно, уравнение движения электрона с учетом силы лучистого трения имеет вид:
4л8ог3 6л80С3
Подставляя это выражение в
получаем:получаем:dM е2dt6л80с3dM е2dt6л80с3Г, ГГ, Г(1)(1)
получаем:
получаем:
dM е2
dt6л80с3
dM е2
dt6л80с3
Г, Г
Г, Г
(1)
(1)
Уравнение (1) необходимо усреднить по периоду невоз- мущенного силами лучистого трения эллиптического движения электрона. Заметим с этой целью, что
откуда
Для невозмущенного силами трения движения электрона в атоме водорода
4ле0тг3
и
г, г
е24ле0т
г3
ег М /Ц
4л80т2 \г3/Средн
так как
УИтУИт
УИ
т
УИ
т
г, г
при этом принимается, что за время одного оборота момент импульса электрона почти не изменяется.
среднсредне4М / 1 \24л28^2с3 V3/Средне4М / 1 \24л28^2с3 V3/Средн(3)(3)Далее, по определению среднегоТ J г3 ’ оДалее, по определению среднегоТ J г3 ’ оподставляя сюда dt = ^dcp, м Yподставляя сюда dt = ^dcp, м Y— (1 + 0 cos ср), р = 4ле( Р— (1 + 0 cos ср), р = 4ле( РМ2'О 2 'те2М2'О 2 'те2Р = Vj _ 32п?е^&№ ,^те4Р = Vj _ 32п?е^&№ ,^те4гр е22еетгр е22еет(см. задачу 104), находим:^="^т j(1 + Р cos ф)dq)=(см. задачу 104), находим:^="^т j(1 + Р cos ф)dq)=251^221251^221ои, следовательно, уравнение (3) окончательно принимает вид:ои, следовательно, уравнение (3) окончательно принимает вид:те4 /26» V- 24л2802с3Л42 \ т /те4 /26» V- 24л2802с3Л42 \ т /(4)(4)Таково среднее за период обращения электрона по орбите изменение его момента импульса.123. Вдоль однородной металлической пластинки (с шириной а и толщиной b) течет постоянный ток /. Пластинку снизу вверх пересекает постоянное однородное магнитное поле В. Определить возникающую при этом раз- 266Таково среднее за период обращения электрона по орбите изменение его момента импульса.123. Вдоль однородной металлической пластинки (с шириной а и толщиной b) течет постоянный ток /. Пластинку снизу вверх пересекает постоянное однородное магнитное поле В. Определить возникающую при этом раз- 266Подстановка (2) в (1) дает:
средн
средн
е4М / 1 \
24л28^2с3 V3/Средн
е4М / 1 \
24л28^2с3 V3/Средн
(3)
(3)
Далее, по определению среднего
Т J г3 ’ о
Далее, по определению среднего
Т J г3 ’ о
подставляя сюда dt = ^dcp, м Y
подставляя сюда dt = ^dcp, м Y
— (1 + 0 cos ср), р = 4ле( Р
— (1 + 0 cos ср), р = 4ле( Р
М2
'О 2 'те2
М2
'О 2 'те2
Р = Vj _ 32п?е^&№ ,
^те4
Р = Vj _ 32п?е^&№ ,
^те4
гр е22еет
гр е22еет
(см. задачу 104), находим:
^="^т j(1 + Р cos ф)dq)=
(см. задачу 104), находим:
^="^т j(1 + Р cos ф)dq)=
251^221
251^221
о
и, следовательно, уравнение (3) окончательно принимает вид:
о
и, следовательно, уравнение (3) окончательно принимает вид:
те4 /26» V- 24л2802с3Л42 \ т /
те4 /26» V- 24л2802с3Л42 \ т /
(4)
(4)
Таково среднее за период обращения электрона по орбите изменение его момента импульса.
123. Вдоль однородной металлической пластинки (с шириной а и толщиной b) течет постоянный ток /. Пластинку снизу вверх пересекает постоянное однородное магнитное поле В. Определить возникающую при этом раз- 266
Таково среднее за период обращения электрона по орбите изменение его момента импульса.
123. Вдоль однородной металлической пластинки (с шириной а и толщиной b) течет постоянный ток /. Пластинку снизу вверх пересекает постоянное однородное магнитное поле В. Определить возникающую при этом раз- 266
ность потенциалов на стенках пластинки, параллельных плоскости, содержащей векторы Ви] (эффект Холла).
Решение
На движущийся со скоростью и вдоль оси Y электрон со стороны магнитного поля действует сила Лоренца
F = eV v В] = еиВ • г;
поэтому на стенке 2 пластинки (рис. 113) будут накапливаться электроны, причем процесс накопления электро
нов на стенке 2 будет происходить до тех пор, пока возникшее между стенками 1 и 2 электростатическое поле Е не уравновесит силу Лоренца, т. е.
— еЕх = еиВ, откуда
Ф1 — Фз — аЕх — — vaB.(1)
Подставляя в формулу (1) скорость электрона и, определяемую из соотношений ] = — и j = env, получим:
ab
1В
Ф1 —ф2= т»
еп b
или
Ф1~ Ф2 = ^н-^>(2)
и
где
так называемая постоянная Холла. Для свободных электронов постоянная Холла отрицательна и имеет для большинства металлов величину порядка 10~10 м?!к. Однако для Be, Zn и Gd обнаружен знак постоянной Холла, обратный предсказываемому приведенной выше теорией; этот факт заставил исследователей предположить, что носителями тока в указанных металлах являются положительные заряды. Указанное явление объясняется в рамках зонной теории металлов, где наряду с проводимостью, обусловленной свободными электронами, рассматривается также проводимость, обусловленная положительно заряженными дырками. Эффект Холла наблюдается также и в полупроводниках (см.: А. Ф. Иоффе. Физика полупроводников. Изд. АН СССР, 1957).
Система состоит из заряженных частиц с одинаковым отношением —. Потенциальная энергия системы за- т
висит лишь от взаимного расположения частиц. На систему действует слабое однородное магнитное поле В.
Вычислить лагранжиан указанной системы частиц, пользуясь подвижной системой координат, вращающейся вокруг вектора В с угловой скоростью а)£ ларморовой прецессии. Показать, что с точностью до членов второго порядка малости по В лагранжиан системы не зависит от В, доказав тем самым, что действие слабого магнитного поля проявляется лишь в прецессии системы в целом относительно вектора В.
Решение
Лагранжиан рассматриваемой системы заряженных частиц относительно неподвижной системы координат можно представить в виде:
£ = 1 V nw? + е^ ^^ — U
iI
где ri} — расстояние между i-й и /-й частицами системы, или
L = 7 S ти' + f S [В rj ^ — иАги). (1)
так как векторный потенциал однородного магнитного поля в точке, где находится t-я частица, может быть записан в виде (см. задачу 106*)
д = 1 [b7j.
Пусть и. — скорость t-й частицы относительно подвижной системы координат, вращающейся вокруг вектора В с угловой скоростью о£; тогда, по теореме сложения скоростей,
«I - «l + [ ®L d = y'i — "^ VB rj, откуда
m4m
и лагранжиан системы частиц относительно подвижной системы коорди нат
ченное выражение в формулу Ланжевена для парамагнитной восприимчивости, сравнить полученный результат с выражением
V —2диам “ 6m П
для диамагнитной восприимчивости и показать, что в указанном классическом приближении полная магнитная восприимчивость вещества оказывается равной нулю.
Замечания. Прежде чем приступить к решению данной задачи, необходимо сделать следующие замечания, связанные с использованием Международной системы единиц СИ.
Во-первых, в Международной системе единиц СИ несколько изменяется по сравнению с абсолютной гауссовой
системой единиц определение
вектора намагничения
М:
В с
и стеме СИ
В аб
солютной с и сте
м е
или
В = ц0 (Н + М)
М = -В — Н, Ио
В = р0 (Н + 4лЛ4) м = - /- в — н\ 4л \р0)
(1)
где
где
|л0 4л • 10'7 гн/м р0 = 1
(см.: И. Е. Тамм. Основы теории электричества, § 63). Определение диа- и парамагнитной восприимчивости х при переходе от абсолютной системы единиц к системе СИ формально (но нс по существу!) нс изменяется; и в той и в другой системах единиц оно имеет вид:
(2)(2)М - х • Н,
(2)
(2)
откуда, имея в виду, что 5 = р.Н, находим:
В системеСИ В абсолютной системе
х = И—F4 н = И—Ио. ^ Ро 4лр0
Из формул (1) и (3) видно, что намагниченность М и магнитная восприимчивость х в системе СИ оказываются в 4л раз большими по сравнению с теми же величинами в абсолютной гауссовой системе единиц. Поэтому при срав-
нении теоретических значений М и х, выраженных в единицах системы СИ, с экспериментальными значениями, записанными в абсолютной гауссовой системе единиц, к последним следует добавлять множитель 4л.
Во-вторых, при выводе расчетных формул для диа- и парамагнитной восприимчивости [см.: И. Е. Тамм. Основы теории электричества, § 69 и 70, формулы (69.4) и (70.5)] следует учесть различную запись в двух рассматриваемых нами системах единиц выражений для магнитного момента m системы заряженных частиц, их энергии С/ во внешнем магнитном поле (в вакууме) и для частоты со^ ларморовой прецессии:
В системе СИ В абсолютной системе
m = 15 [^]-m = ^ 2 ei Vi "J- (4)
iI
U —— mB=—щтН,U=— mH, (5)
toL=— —e-^-° H,ZL =— H, (6)
2m 2m2mcv ’
после чего формулы (69.4) и (70.5) книги И. Е. Т а м м а, записанные в абсолютных единицах, принимают вид:
В системе СИ
^диам^диамо^2^26m 1о^2^26m 1(7)(7)
^диам
^диам
о^2^2
6m 1
о^2^2
6m 1
(7)
(7)
х = UpLm2/о\
^парам ”
В формулах (7) и (8) магнитная восприимчивость х [если под L понимать число атомов (или молекул) в 1 м3 вещества] — безразмерная величина. Умножая (7) и (8) на объем V одного килограмм-моля вещества и принимая во внимание, что LV = N (число Авогадро), получим молярные диа- и парамагнитные восприимчивости:
(9)(9)хг =-p^N72
(9)
(9)
Диам6mi ,
х'Мт»
парам*^ьт*
Решение
Прежде всего заметим, что если m — магнитный момент атома с номером Z, а т0 — магнитный момент отдельного электрона атома (связанный с его орбитальным движением), то
m2 = Z • т02.(1)
Магнитный момент отдельного электрона
где К — механический, орбитальный момент электрона.
Предполагая, что электрон в атоме движется, находясь все время на неизменном расстоянии rt от ядра, мы тем самым утверждаем, что он движется по поверхности сферы радиуса rL и, следовательно, имеет две степени свободы. Такой электрон можно назвать пространственным ротатором, движение которого можно представить себе в виде сложного вращательного движения, состоящего из двух вращений с частотами ^ и ш2, причем со1 I со2. Поэтому механический момент электрона-ротатора можно записать в виде:
/( =/t 0)4+/2 со2,(3)
где /1 и /2 —моменты инерции ротатора относительно двух указанных выше осей вращения. Кинетическая энергия ротатора
Вероятность того, что угловые скорости со1 и со2 отдельного электрона лежат в интервалах (со^ «! H-dto! )и (со2, (о2 + До2), согласно статистике Больцмана, равна:
dW = А ■ е• d®t dto2.(4)
Нормируя распределение вероятностей на единицу, получим:
+ 30 ЛМ12 + 00/2М22
' dW = А у r^dt^ j e”wdto4= 1.(5)
Каждый из двух интегралов, стоящих в (5), представляет собой так называемый интеграл Пуассона
(6)
(см.: В. Г. Л е в и ч. Введение в статистическую физику. М., Гостехиздат, 1954, приложение 1), так что выражение
(5) принимает вид:
2лкТ
* ГОТ
1,
откуда получаем нормированное распределение электронов по угловым скоростям:
_ Z>(D184-Z2(D22
dW=^-ed^.(4а>
Далее, пользуясь формулами (2), (3) и (4а), находим среднее значение квадрата магнитного момента отдельного электрона в атоме:
m20= С m^U7= -^ f (/2to2 + /^2) dW =
£11221.
йлпг^кТ
4-оо 1^хг 4~°® Z?co22
/2 j (о^-^^ j* е” dro2 4-
(7)
Стоящие в (7) интегралы типа
oAT^dto
вычисляются путем дифференцирования интеграла Пуассона (6) по параметру а. Действительно, дифференцируя (6) по а, находим:
+ “1 _ ~%
j xa<ra<‘ dx = j/" 1 а .
откудаоткуда
откуда
откуда
4-00 h^jr—
(8)(8)I co? e 2kr ат,= L— —, 0 = 1,2).
(8)
(8)
J (2 \ L ’ v '
Подстановка интегралов (6) и (8) в формулу (7) дает: -2=^(Л + /)
или, так как / t = /2 = тг/ (две главные оси вращения электрона-ротатора ничем одна от другой не отличаются),
—2e2kT —2
mo = П
ии0 2m 1
и
и
(9)(9)—г ~ —9Ze2kT
(9)
(9)
m2 = Z • m2 =r2
0 2m *
И, наконец, подставляя m2 в формулу Ланжевена, находим, что
(10)(10)_ p0Ze2L 2
(10)
(10)
ларам “ 6m г
Следовательно, полная магнитная восприимчивость вещества в указанном выше классическом приближении оказывается равной:
^ ^диам + ^парам ~ 0* 00
На самом деле вещество может быть или диамагнитным, или парамагнитным (если из рассмотрения исключить ферромагнитные вещества). Поэтому полученный нами результат (11) свидетельствует о непригодности чисто классических представлений для описания диа- и парамагнитных свойств реальных веществ. Последовательное описание указанных свойств вещества может быть построено лишь в рамках квантовой теории.
Бензол обладает заметной анизотропией молярной диамагнитной восприимчивости: при измерении в направлении, перпендикулярном к плоскости молекулы, восприимчивость оказывается большей, чем при ее измерении в направлении, лежащем в плоскости молекулы.
Вычислить анизотропию молярной диамагнитной восприимчивости бензола, считая ее возникновение обязанным тому, что в молекуле бензола 6 слабо связанных с
углеродными ядрами электронов (так называемые л-элек- троны) могут свободно перемещаться вдоль бензольного кольца (рис. 114). Расстояние от ядер углерода до оси молекулы, перпендикулярной к ее плоскости, принять равным /? = 1,39 А.
Решение
Как показывает элементарная теория диамагнитного эффекта (см.: И. Е. Т а м м, Основы теории электричества, §69), вклад, вносимый в диамагнитную восприимчивость отдельным прецессирующим вокруг направления внешнего магнитного поля Н электроном, /\ равен:/Z*J^\
4m\/
где г2 — среднее значение квадрата рас- рИс. 114 стояния электрона от оси вращения. Отсюда вклад, вносимый в анизотропию молярной диамагнитной восприимчивости отдельной молекулой бензола, должен быть в 6 раз больше вклада отдельного л-электрона (I), т. е.
— ^v!^(2)
2m
Если теперь умножить (2) на число Авагадро N, то мы и получим величину полной анизотропии молярной диамагнитной восприимчивости бензола
Ах' = х'— х’„ =^3
х 112m
где х'± и х^ — диамагнитные восприимчивости бензола, измеренные соответственно в направлении, перпендикулярном к плоскости молекулы, и направлении, лежащем в ее плоскости.
Принимая в (3) г2 ~ R\ находим:
Ах' = — 617,5 • 10'9 м3,моль.
Это значение достаточно хорошо согласуется с экспериментальным значением — 678,3 • 10 9 мкмоль.
Классический осциллятор в отсутствие поля колеблется с частотой й)0. Найти изменение частоты колебаний осциллятора при включении постоянного однородного магнитного поля В. Указать результат решения задачи для случая слабого магнитного поля.
Решение
Уравнение движения осциллятора, совершающего свободные гармонические колебания, как известно из механики, имеет вид:
7 + ^ = 0.
При включении постоянного магнитного поля уравнение движения осциллятора принимает иной вид:
7+ <0=7= -[у в].(1)
m L J
Введем систему декартовых координат, направив ось Z вдоль магнитного поля, так чтобы Вх = Ву = 0 и Bz = В. Тогда уравнение (1) можно представить в виде:
* + го^х = — у,(2)
т
у4-со2у= —-х,(3)
т
z + too г = 0.(4)
Решение уравнения (4) имеет вид: г = г0 cos (м0/ +а).
Для того чтобы проинтегрировать уравнения (2) и (3), умножим уравнение (3) на г и почленно сложим его с уравнением (2); в результате получим:
(х + iy) + (о2(х + ty) =— г- (х + iy ).т
Вводя новую переменную £ = % + ty, последнее уравнение можно переписать в виде:
^+2t-6)^ + ^ = 0,(5)
еВ ,,
где о)£ =абсолютная величина угловой скорости ларморовой прецессии.
Решение уравнения (5) будем искать в виде g = ew. Как нетрудно показать, подстановка £ в уравнение (5) приводит к следующему характеристическому уравнению:
СО2 + 2to£ ‘to — 0)2 = О,корни которого равны:
to! = —toL + Vtot + 0)2 И — 0)2 = toL + V^t + 0)2.
Решения уравнений (2) и (3) после несложных преобразований можно представить в виде:
(х = Л COS 0)t / + В COS |to2| /, |у = At sin o)f t + В i sin |m2| t.
Таким образом, осциллятор, как показывает решение уравнения (1), участвует одновременно в трех колебаниях с частотами.
«о, — ®t + /toZ + 0)2 И C0L + K®Z + ®о»(6)
так что в его спектре обнаруживаются три линии вместо одной, соответствующей частоте свободных колебаний. Явление, состоящее в возникновении двух смещенных линий в спектре гармонического осциллятора при включении однородного постоянного магнитного поля наряду с основной линией, соответствующей собственным свободным колебаниям осциллятора, известно в оптике под названием эффекта Зеемана.
В слабых магнитных полях ларморова частота ти как правило, мала по сравнению с частотой свободных колебаний осциллятора м0. Поэтому в выражениях (6) величиной о)2 можно пренебречь по сравнению с о)2. Отсюда при наличии слабого постоянного магнитного поля в спектре осциллятора будут наблюдаться линии, соответствующие частотам:
too, (“о — “J и (<о0 + to,).(7)
Задачи для самостоятельногорешения
209*. Исходя из уравнения Максвелла для макрополя , Л "Г . д D "Г
rot п = / Н, где / — плотность тока проводимости, и д!
зная определение векторов электрической и магнитной
индукции D и S, найти среднюю (по физически бесконечно малой площадке) плотность тока намагничения путем усреднения уравнения Лоренца
, 7 "Г , деГО1 И /микро ео ^ •
210*. Показать, что в неферромагнитной среде плотность тока намагничения пропорциональна сумме плотностей тока проводимости, тока поляризации и тока смещения в вакууме, т. е.
_ И - Но х -т х
/мол Цо V I /поляр “Г/см/•
211*. Атом водорода помещен в однородное электрическое поле, перпендикулярное к плоскости электронной орбиты. Показать, что его поляризуемость а = 4ле0а3, где а — радиус электронной орбиты.
212*. Для изготовления линз, предназначенных для проведения опытов с сантиметровыми электромагнитными волнами, был предложен искусственный диэлектрик, представляющий собой кубическую решетку из проводящих сфер радиуса а. Какой диэлектрической проницаемостью обладает такой диэлектрик, если на единицу его объема приходится N сфер? Решить задачу двумя способами: 1) используя данные задачи 15 о поляризуемости проводящей сферы внешним однородным полем; 2) рассматривая описанный выше диэлектрик в качестве мелкодисперсной системы и используя формулу (7) задачи 117 для диэлектрической проницаемости смеси.
213*. Вычислить дипольные моменты молекул полярных газов НС1 и НВг, молярные поляризуемости которых при Т1=300°К и Т2=1000°К соответственно равны: 3,22- 10"12 и 1,67- 10'12; 2,28- 10'12 и 1,39- 10'12 ф- мкмоль.
214*. Определить энергию взаимодействия двух диполь
ных молекул с моментами р А и р 2 с учетом теплового движения, препятствующего их взаимной ориентации.
215*. Пользуясь результатами задачи 120, рассмотреть влияние отрицательных значений 8 на распространение электромагнитных волн. Считая, что на каждый атом в кристаллическом натрии приходится один свободный электрон, найти критическую частоту, т. с. ту частоту, при которой К = 0. Плотность натрия р= 9,7 • 102 кг (м\
216*. Найти поляризуемости электрона, упруго связанного с ядром, в поле световой волны с частотой со: а) без учета сил лучистого трения; б) с учетом торможения электрона вследствие излучения.
217*. Определить эффективное сечение рассеяния линейно поляризованной световой волны электроном, упруго связанным с ядром: а) без учета сил лучистого трения; б) с учетом торможения электрона вследствие излучения.
218*. Торможение в веществе заряженных частиц, движущихся прямолинейно и равномерно и, следовательно, нс способных излучать (рассматриваются движения со скоростями, меньшими скорости света в веществе, при которых излучение Вавилова — Черенкова нс возникает), объясняется потерями энергии у таких частиц в результате их электродинамического взаимодействия с электронами вещества (ионизационные потери).
Пусть тяжелая заряженная частица с зарядом е^ пролетает со скоростью и на расстоянии а от электрона. Определить величину энергии, получаемой электроном и соответственно теряемой тяжелой частицей в результате их взаимодействия.
219*. По медному проводу течет постоянный ток с плотностью, равной 104 а,м2. Найти среднюю скорость упорядоченного движения электронов, считая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон. Какова при этом средняя длина свободного пробега электрона при комнатной температуре 300°К?
220*. Исходя из основных представлений классической электронной теории металлов, объяснить, почему разность потенциалов между непосредственно соприкасающимися металлами А и В равна разности потенциалов между теми же металлами, соединенными между собой металлическим проводом С.
221*. Две бесконечные металлические пластины, к которым приложена постоянная разность потенциалов V, помещены в вакуум. Отрицательно заряженная пластина (катод) накаляется, становясь источником свободных электронов, — между пластинами течет термоэлектронный ток. Определить зависимость плотности термоэлектронного тока от величины приложенной разности потенциалов.
222*. Показать, что если заданы концентрации электронов п_ и дырок ru, то постоянная Холла оказывается пропорциональной величине
п а^ — n+
е (п_а + п+)2 *
где а = отношение подвижностей электронов и дырок.
223*. В образце германия подвижности электронов и дырок соответственно равны 0,36 и 0,16 л^2 • в-1 • сек**1. Какая часть тока переносится дырками, если в этом образце эффект Холла нс наблюдается?
224*. Доказать теорему Лармора для электрона, обращающегося по круговой орбите вокруг ядра в атоме водорода, находящемся в однородном магнитном поле, перпендикулярном к плоскости электронной орбиты.
225*. Источник света помещен в магнитное поле напряженностью в 3 • 106 а/м. Вычислить ларморову частоту прецессии электронных орбит и определить длину волны, соответствующую этой частоте. •
226*. Экспериментальное значение молярной диамагнитной восприимчивости гелия равно — 1,9 • 10"*9 м31 моль. На каком расстоянии от ядра обращаются (в среднем) электроны в атоме гелия?
227*. Определить величину диамагнитного тока, возникающего в атоме с порядковым номером Z вследствие прецессии электронных орбит.
228*. Атом со сферически симметричным распределением электронов помещен в однородное магнитное поле Но. Показать, что добавочное магнитное поле вблизи ядра, обусловленное диамагнитными токами, равно:
ДЯ =— ^ф(О),Зтс1^ ”
где ф (0) — электростатический потенциал, создаваемый вблизи ядра атомными электронами. Оценить приближен-
ЬНгт
но величину — для атома с Z = 50, приняв, что все Но
электроны атома находятся на расстоянии
г =* —2—
Z яте1
от ядра, где h — постоянная Планка.
229*. Если принять за основу величину анизотропии молярной диамагнитной восприимчивости бензола (— 678,3 • 10~9 м31моль^ то анизотропию диамагнитных
свойств ароматических соединений, молекулы которых построены из бензольных колец, можно оценить с помощью следующего приема: изготовляется проволочная модель, имеющая форму, подобную структурной формуле молекулы, которую располагают в магнитном поле так, чтобы ее плоскость оказалась перпендикулярной к направлению поля. Магнитный момент такой модели пропорционален диамагнитной анизотропии.
Показать, что для молекулы нафталина (рис. 115) ин- uV6
дуцированныи л-электронныи ток составляет — тока,
циркулирующего в молекуле бензола, так что оцененная указанным образом анизотропия магнитного момента у нафталина будет в — раза больше, чем у бензола.
5
230*. Пользуясь законами Кирхгофа для разветвлен
ных контуров с током, показать, что анизотропия магнит- ного момента у антрацена в — раза больше, чем у бен
зола, применив для этой цели указанный в предыдущей задаче метод к молекуле антрацена, структурная формула которой изображена на рисунке 116.
231*. Найти первые два члена в разложении парамагнитной восприимчивости в ряд по степеням малого отно- шения —— .
кТ
232*. Парамагнитная соль содержит 1028 ионов/м3. Магнитный момент каждого иона равен 1 магнетону Бора
тв = — = 0,927 • 10-иа • м* 4лт
Вычислить, на сколько число ионов с магнитными моментами, параллельными магнитному полю, будет превышать число ионов, у которых магнитные моменты
антипараллельны полю, если величина напряженности поля составляет 8 • 105а/ж, а температура равна 300° К.
233*. Вычислить (для случая магнитного насыщения) магнитный момент 1 килограмм-моля парамагнитного газа, считая известной постоянную Кюри С.
234*. Между полюсами электромагнита помещена кальциевая дуга. Ес спектральная линия с длиной волны X = = 4226,7 А испытывает при этом нормальный эффект Зеемана. Определить разность длин волн смещенной и несмещенной линий, если поле между полюсами электромагнита однородно и равно 2 • 106 а/м.
ГЛАВА V
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
Система координат К' движется относительно системы К со скоростью v, направленной произвольным образом. Найти формулу преобразования радиуса-вектора г' какой-либо материальной точки в системе К' к радиусу- вектору г той же точки в системе К-
Решение
Если рассматривать проекции векторов гиг' на направление скорости системы отсчета /(', т. е.
г vr'v
и ии
и их проекции на направление, перпендикулярное к вектору скорости системы К', т. с. гх и г', то указанные величины можно рассматривать в качестве координат х и х'\ у и у' в обычной схеме движения системы К относительно системы ^, используемой при выводе преобразований Лоренца, когда система К движется относительно системы К так, как это показано на рисунке 117.
Полагая поэтому
Г X) , г' VX = И X =
X)V
и используя преобразование Лоренца х' =
находим:
г и
- -— ut
(1)(1)г'и и
(1)
(1)
и используя преобразования Ло.и используя преобразования Ло.у 1 Л и2
и используя преобразования Ло.
и используя преобразования Ло.
Считая Г] = у и г' = у' ренца, находим:
Последнее равенство представим в таком виде, чтобы в него входили векторы г и г'. Для этого обратимся к рисунку 118; так как и +гц = г, то
Г^ Г — Гц = Г
иа
и аналогично
и2
Так как векторы очевидно, можноТак как векторы очевидно, можнозаписать равенство самих векторов, т. е.записать равенство самих векторов, т. е.rf и г' параллельны между собой, то, вместо равенства модулей этих векторов
Так как векторы очевидно, можно
Так как векторы очевидно, можно
записать равенство самих векторов, т. е.
записать равенство самих векторов, т. е.
V2у2
(2а)
Далее, умножим равенство (1) на единичный вектор — ; это дает:
G' У ) У — Л У2 \~ ^/ ( г у ) у у2с2 / I У2G' У ) У — Л У2 \~ ^/ ( г у ) у у2с2 / I У2Складывая (1а) с (2а), получаем искомую формулу преобразования:Складывая (1а) с (2а), получаем искомую формулу преобразования:
G' У ) У — Л У2 \~ ^/ ( г у ) у у2с2 / I У2
G' У ) У — Л У2 \~ ^/ ( г у ) у у2с2 / I У2
Складывая (1а) с (2а), получаем искомую формулу преобразования:
Складывая (1а) с (2а), получаем искомую формулу преобразования:
л-мезон, образовавшийся во время столкновения космической частицы высокой энергии с ядром, обладает энергией в 5000 Мэв. Среднее время жизни л-мезона т в системе отсчета, в которй л-мезон покоится, равно 10"8сек. Определить время жизни т' мезона в лабораторной системе отсчета. Какой путь может пройти л-мезон с момента своего возникновения до распада? Массу л-мезона принять равной 276 электронным массам
Решение
Время жизни т' мезона в лабораторной системе
так кактак какЭнергияЭнергияпокоя л-мезонапокоя л-мезона
так как
так как
Энергия
Энергия
покоя л-мезона
покоя л-мезона
тпсй = 276 т6сй, или так как тесй = 0,5108 Мэв, то т^ = 141 Мэв. Отсюда
г' = — • 10-8 сек = 3,546 • 10“’ сек. 141
Путь, проходимый л-мезо ном с момента его возникновения до распада. Из формулы Эйнштейна
Е^тпсЦ\--\ 2\ с2 /
нетрудно определить скорость, с которой движется мезон:
Е^Е^
Е^
Е^
Считая движение мезона равномерным, находим:
S = vV = сS = vV = сЕ^Е^— = 106,3 м. тлс2— = 106,3 м. тлс2
S = vV = с
S = vV = с
Е^
Е^
— = 106,3 м. тлс2
— = 106,3 м. тлс2
Написать формулы преобразования Лоренца для составляющих вектора ускорения релятивистской частицы.
Решение
Исходим из закона сложения скоростей:
^ + V^ + V
^ + V
^ + V
и из определения составляющих вектора ускорения частицы dvdu
Wx = (в системе К) и ^ (в системе К') и т. д.
Дифференцируя первое из соотношений (1) по времени / системы К, находим:Дифференцируя первое из соотношений (1) по времени / системы К, находим:
Дифференцируя первое из соотношений (1) по времени / системы К, находим:
Дифференцируя первое из соотношений (1) по времени / системы К, находим:
Далее, продифференцируем одну из основных формул преобразования Лоренца
Находим:Находим:V^Л + у ^хV^Л + у ^хоткудаоткуда
Находим:
Находим:
V
^Л + у ^х
V
^Л + у ^х
откуда
откуда
Подставляя выражение (3) в формулу (2), окончательно находим:
Аналогичным образом поступаем и в двух других случаях (мы приводим лишь окончательные результаты, предоставляя возможность читателю проделать все необходимые выкладки самому):
Частица движется со скоростью у (/) относительно неподвижной системы отсчета К. Определить мгновенное значение а0 ускорения частицы в подвижной системе отсчета К', относительно которой ее скорость в некоторый момент времени /0' равна нулю, в случае, если: а) скорость и меняется только по направлению; б) и меняется только по величине.
'$7ж^а. uuaduaс2— и2dt(с2—и2)2di'$7ж^а. uuaduaс2— и2dt(с2—и2)2diоткуда 4откуда 4/Ч\W //Ч\W /++= «о dt' / J с4 *= «о dt' / J с4 *(2)(2)
'$7ж^а. uuadu
aс2— и2dt(с2—и2)2di
'$7ж^а. uuadu
aс2— и2dt(с2—и2)2di
откуда 4
откуда 4
/Ч\
W /
/Ч\
W /
+
+
= «о dt' / J с4 *
= «о dt' / J с4 *
(2)
(2)
Решение
Обратимся к рассмотрению составляющих четырехмерного вектора ускорения частицы (U7Z = —V
или
- icvdu
.(с2—и2)2dt
где !Fa — пространственные и F4 — временная составляющие 4-вектора ускорения (о 4-векторах см.: Ю. Б. Р ум е р, М. С. Р ы в к и н. Теория относительности. М., Учпедгиз, 1960).
Составляющие 4-вектора ускорения относительно системы отсчета К' в момент времени /0':
W"е=1^; г; -0,* с2 dt' 4
Величина (2) не изменяется при переходе от системы отсчета К' к любой другой инерциальной системе отсчета, являясь инвариантом преобразований Лоренца.
Составляющие 4-вектора ускорения частицы в системе отсчета /(: а) в случае, когда скорость и частицы меняется только по направлению,
W(W(11с2 — и2 dt ’с2 — и2 dt ’w4 = о,w4 = о,
W(
W(
1
1
с2 — и2 dt ’
с2 — и2 dt ’
w4 = о,
w4 = о,
4।2
V № = —•(3)
^*(C2—„2)2 | dtV '
откуда, сравнивая (3) с (2), находим:
с2
в случае, когда и меняется только по величине, подставляя в (1) va = v cos уа, где уа = (и, х^ ), и дифференцируя; считая направление скорости неизменным, находим:
^ cos у« ^ । JilSSU^. ^ — с2 cos Va ^a С2 у2 ^(с2 — у2)2 ^(с2—у2)2 ^ ’
геи du
4 ~ (С2 _ „2)2 5" ’откуда, учитывая cos2 уА + cos2 у2 -b cos2 у3 = 1,42
У ^ = —^ ^(5)
Ы I (С2_^)3 dtV ^
г=1
dt •dt •и, следовательно,
dt •
dt •
(6)
Частица с массой mv и скоростью и сталкивается с покоящейся частицей массы т2, причем обе частицы соединяются в одну сложную частицу. Определить массу М и скорость V этой сложной частицы.
Решение
Запишем законы сохранения энергии и количества движения:
Ef + £*2 = £ и pf + р2 = Р
или, так как
^i =т~=. > £а — т^2 (энергия покоя);
mt vМ Vmt vМ V
mt vМ V
mt vМ V
откуда после возведения обеих частей написанных выше уравнений в квадрат получим:откуда после возведения обеих частей написанных выше уравнений в квадрат получим:с2— и2с2— V2 ’т^ ^ М2 V2с2—и2с2—V2В результате почленного деления уравнения (2) нение (1) получаем:с2— и2с2— V2 ’т^ ^ М2 V2с2—и2с2—V2В результате почленного деления уравнения (2) нение (1) получаем:(1)(1)(2)(2)на урав-на урав-Р =Р =т\ и2VT^Y’Г 1 с2 /т\ и2VT^Y’Г 1 с2 /
откуда после возведения обеих частей написанных выше уравнений в квадрат получим:
откуда после возведения обеих частей написанных выше уравнений в квадрат получим:
с2— и2с2— V2 ’
т^ ^ М2 V2с2—и2с2—V2
В результате почленного деления уравнения (2) нение (1) получаем:
с2— и2с2— V2 ’
т^ ^ М2 V2с2—и2с2—V2
В результате почленного деления уравнения (2) нение (1) получаем:
(1)
(1)
(2)
(2)
на урав-
на урав-
Р =
Р =
т\ и2
VT^Y’
Г 1 с2 /
т\ и2
VT^Y’
Г 1 с2 /
откудаоткудаV=V=т^иY^lт^иY^l(3)(3)
откуда
откуда
V=
V=
т^и
Y^l
т^и
Y^l
(3)
(3)
Такова скорость образовавшейся после соединения частиц т 1 и т 2 сложной частицы.
Далее, из уравнения (1) находим:
"h+ т2 I/ i _ —
Мй = (с2 — V2) • -^C—L .
v7С2 — V2
Подставляя сюда скорость V по формуле (3), после ряда несложных преобразований получим:
м =м =
м =
м =
л-мезон с массой тл = 276 т, находящийся в состоянии покоя, распадается на р-мезон с массой тл = = 216 иг и нейтрино v с нулевой массой покоя. Определить кинетическую энергию р-мезона и нейтрино.
Решение
Используем законы сохранения энергии и импульса системы:
Р Ц + Р V = ОР Ц + Р V = О( тс^Е +дИЛИ Я =Р2( тс^Е +дИЛИ Я =Р2
Р Ц + Р V = О
Р Ц + Р V = О
( тс^Е +д
ИЛИ Я =Р2
( тс^Е +д
ИЛИ Я =Р2
Е2тем, что —- = Р2; + т2(? и ’с2 П 1 ПЕ2тем, что —- = Р2; + т2(? и ’с2 П 1 Ппринимает вид: Е^ — щ2с*= Е^,принимает вид: Е^ — щ2с*= Е^,
Е2
тем, что —- = Р2; + т2(? и ’с2 П 1 П
Е2
тем, что —- = Р2; + т2(? и ’с2 П 1 П
принимает вид: Е^ — щ2с*= Е^,
принимает вид: Е^ — щ2с*= Е^,
Далее, воспользуемся
Е2
22 = D2
С2 v
После этого уравнение (2) откуда
(3)(3)Е, -VE^-my.
(3)
(3)
Подстановка выражения (3) в уравнение (1) дает:
^ = Е -VVE1 — т?с\ откуда полная энергия р,-мезона
Е113,67 М3«
и его кинетическая энергия
Т=Е — т с2 == з 34 Мэв.
u и и2тя
Кинетическая энергия нейтрино совпадает с его полной энергией
Tv = £v = VE2 -tn^ = /7jT2V77 = 27>35 Мэв-
Согласно классическому определению фотон представляет собой частицу, не имеющую массы покоя, но обладающую импульсом — и энергией Av. При соударении с с
покоящимся электроном массы т0 фотон отклоняется на некоторый угол 0 и движется с новой энергией HV. Показать, что связь между изменением длины волны фотона и углом 0 определяется формулой:
V — X = 2 ■ —sin2 —.тос 2
Найти также кинетическую энергию, приобретаемую электроном после соударения.
Решение
Запишем законы сохранения энергии и импульса
системы:
hv + m0c2 = Av' +hv + m0c2 = Av' +(1)(2)(1)(2)
hv + m0c2 = Av' +
hv + m0c2 = Av' +
(1)
(2)
(1)
(2)
Последнее уравнение преобразуем, воспользовавшись тем, что по теореме косинусов из векторного треугольника (рис. 119)
Ч^ Zl2V2 , /l2 (v')22 vv' ~
=1—2А2 — cos 0,y2c2c2c2
C2
ИЛИ
(3)(3)—= №^ + A2(v')2 — 2A2vv' cos 0.
(3)
(3)
1 ——
c2
Перепишем теперь уравнение (1) в виде:
= Av — hV + /п0с2= Av — hV + /п0с2
= Av — hV + /п0с2
= Av — hV + /п0с2
и полученное уравнение возведем в квадрат
т^с4
— = №^ + K\V^-V m^-V ^К^т^ — 2/iv'm0c2 —
с2
(4)(4)— 2/i2vv'_
(4)
(4)
Из уравнения (4) вычтем уравнение (3); это дает: т^с4 = т^ + 2 /zm0c2 (v — —V ) — 2/i2vv' (1 — cos 6) или
m0c2 (v — v') = hvV (1 — — cos 9).(5)
Разделив уравнение (5) на
vv' и учтя, что — = X и — = %', получим: vV
0mQc (X' — %) = 2А • sin2 ~ ,
откуда
Л— X = 2 ■ sin2 —. тос 2
Кинетическая энергия электрона после соударения с фотоном будет согласно формуле (1) равна:
Т =т°с-— ■ — т^ = /i (v — v').
Частоту фотона V после соударения можно определить из уравнения (5). Она оказывается равной:
/МаС2
V = 2V.
0
тосй + 2/tv- sin2 ~
Отсюда кинетическая энергия электрона
0
2 (/tv)2 sin2 —
Т0 ’
tn0c2 + 2/tv sin2 —
Пользуясь формулой преобразования Лоренца для
энергии частицы, фекта Доплера.энергии частицы, фекта Доплера.получить релятивистскую формулу эф-
энергии частицы, фекта Доплера.
энергии частицы, фекта Доплера.
Решение
В собственнойВ собственнойкоординатной системе атом излучает
В собственной
В собственной
сс направлением движения атома (рис. 120).сс направлением движения атома (рис. 120).фотон с частотой V и импульсом — , составляющим угол ср'
с
с направлением движения атома (рис. 120).
с
с направлением движения атома (рис. 120).
VVАтомАтомРис. 120Рис. 120R% ^fiVomoHR% ^fiVomoHДля определения частоты v фотона в лабораторной (неподвижной) системе отсчета обратимся к формуле преобразования Лоренца для энергии [см.: А. С. К о м п а н е е ц. Теоретическая физика, 1957, стр. 205, формула (21, 18)]:
V
V
Атом
Атом
Рис. 120
Рис. 120
R% ^fiVomoH
R% ^fiVomoH
1.v2\—L
E = (^ + p;V)(l-L 2
лучим:лучим:Подставляя сюда Е = Av, Е' = hv' и рх' = — cosq/, по- с
лучим:
лучим:
VhV + hV — cos ф'
Av =
откуда после сокращения на h получаем искомую формулу: V
1 + — COS фv = v' .
Определить скорость той системы отсчета, в которой общий импульс системы из п частиц равен нулю.
Решение
Пусть pt — импульс 1-й частицы относительно неподвижной системы отсчета К, а Р = ^ Pi— их общий им-
пульс; и пусть ^'= ^ ^ — °бщий импульс системы частиц относительно подвижной системы отсчета К'. Выберем ось X вдоль вектора Р (и, следовательно, вдоль вектора Р'^ и воспользуемся формулой преобразования Лоренца для х-й составляющей вектора импульса (см. задачу 247*)
Подставляя сюда Рх = Р , Рх = ^pt и приравнивая полученное выражение нулю, находим:
откуда скорость системы отсчета К', относительно которой импульс системы частиц равен нулю, оказывается равной:
или
V = c».^-.(1)
i
Чтобы получить из выражения (1) нереллтивистскую формулу для скорости центра инерции
необходимо положить в (1): pi = т^ и Et = т^2.
Показать, что если учитывать релятивистский эффект зависимости массы от скорости, то движение электрона в поле ядра с зарядом Ze оказывается происходящим по эллипсу, медленно поворачивающемуся в своей плоскости (или по «розетке»).
Решение
При решении задачи мы нс будем учитывать движение самого ядра, считая ядро достаточно тяжелым, а его центр примем за полюс полярной системы координат (г, <р).
Исходим из законов сохранения энергии и момента пульса:
им-
Е = eV т?с^ + р2
а
v
Ze2а=4лв0 *
(1)
(2)
Так же как и в классической
механике
29 . М2
Р = Рг + ^>
где
т г
PrZZZZ
(3)
с*
Подстановка (3) в (1) дает:
'2С4,
откуда
Рг"
£2 тйс4
С2
а2
— 2ctg
г2с^г
(4)
С другой стороны, исключая время t из уравнений (2) находим:
и(3),
и
, Mdr
а,Ф =
г2Рг
М dr р, =.
г г2 d^
(5)
Приравнивая правые части уравнений (4) и (5), приходим к дифференциальному уравнению траектории электрона в полярных координатах:
М — dr ,г2
’<6)
г г2 г
где
(6а)(6а)и выполняя интегри-и выполняя интегри-да — с2^2 — а2 . 5 — “£ • D — ^zl^!£1с2 *с2 ’с2
(6а)
(6а)
и выполняя интегри-
и выполняя интегри-
Ф = — arc cos АФ = — arc cos АВводя новую переменную х = — рование уравнения (6), получаем:
Ф = — arc cos А
Ф = — arc cos А
(7)
причем постоянная интегрирования оказывается равной нулю в силу того, что мы принимаем ф = О при г = rmin.
Решая уравнение (7) относительно —, находим урав
нение траектории электрона:
— = /( _[_ L cos уф. г— = /( _[_ L cos уф. г(8)(8)
— = /( _[_ L cos уф. г
— = /( _[_ L cos уф. г
(8)
(8)
Уравнение (8) отличается от соответствующего нерелятивистского уравнения эллиптической орбиты электрона (см. задачу 104) наличием множителя у в аргументе косинуса. Этот множитель равен:
откуда видно, что у -> 1 при с -> оо , и уравнение (8) тем самым переходит в обычное уравнение эллипса. Как правило а< сМ и поэтому у очень мало отличается от единицы.
Форма релятивистской орбиты электрона показана на рисунке 121; точка О обозначает полюс, в котором находится ядро; точка Р — начальное положение перигелия орбиты. Угол ф отсчитывается от прямой ОР.
Рис. 121 заключение представим уравнение релятивистскойРис. 121 заключение представим уравнение релятивистской
Рис. 121 заключение представим уравнение релятивистской
Рис. 121 заключение представим уравнение релятивистской
Если электрон в начальный момент находился в перигелии, то следующий раз он оказывается в перигелии не в тот момент, когда угол ф = 2л, а в момент, когда уф = 2л, т. с. при повороте на угол
ср = ^ > 2л. (10)
Таким образом, большая полуось эллипса, по которому обращается электрон, вращается в свою очередь вокруг точки О, причем угловой сдвиг перигелия орбиты электрона за один период оказывается равным
(11)(11)Дф= 2л f-1
(11)
(11)
\ V
В
орбиты электрона в явном виде, подставив в (8) постоянные К, L и у из (ба):
(с2М2 — а2) 1 =- аЕ +
+ с ]/EW — m2c2 (с2М2 — а2) • cos ]/1 _^ ф. (12)
Любопытно отметить, что уравнение (12) представляет собой уравнение эллипса лишь в том случае, если Е < тс2 и а < 0.
Чтобы от уравнения (12) перейти к нерелятивистскому случаю, необходимо положить в нем Е = —$ + тс2, где 298
рЛ TVT^^рЛ TVT^^0<$< тс2, и произвести предельный переход при с->оо. Подставляя в (12) £ = — ^ + тс2, находим:
рЛ TVT^^
рЛ TVT^^
—т2с2УИ2+т2а2-соз ^ 1 — ^аФ+ (% — тс^ а
откуда при с -> оо получаем:
Уравнение (13) совпадает с уравнением, полученным в задаче 104, для эллиптической орбиты нерелятивистского электрона.
Задачи для самостоятельногорешения
235*. Круговой цилиндр, движущийся так, как это показано на рисунке 122, в собственной системе отсчета имеет объем Qo. Найти объем цилиндра в лабораторной (неподвижной) системе отсчета.
236*. Получить закон сложения скоростей Эйнштейна из формул преобразования Лоренца для четырехмерного dx, вектора скорости uL = с dS
237*. Найти, исходя из закона сложения скоростей в релятивистской кинематике, скорость света в движущейся жидкости в условиях опыта Физо (скорость жидкости и < с) (рис. 123).
238*. Два наблюдателя, движущиеся относительно друг друга с постоянной скоростью и, принимают световой луч, идущий от какой-нибудь звезды. Какова относительная скорость наблюдателей и, если световой луч в собственной системе отсчета первого наблюдателя составляет с направлением относительно скорости и угол а, а в собственной системе отсчета второго наблюдателя — угол а'?
239*. Рассмотреть уравнение движения р = F релятивистской частицы и показать, что ее ускорение параллельно силе лишь в тех случаях, когда скорость частицы и внеш-
няя сила параллельны или перпендикулярны друг к другу. Найти коэффициенты пропорциональности между силой и ускорением в этих двух случаях.
240*. Вывести релятивистские выражения для кинетической энергии и полной энергии из дифференциального
уравнения движения р = F.
241*. Электрон движется в продольном электрическом поле и проходит разность потенциалов в ср вольт. Найти скорость электрона, считая ее сравнимой со скоростью света.
Указать приближенное выражение для скорости электрона в случае, когда кинетическая энергия электрона много меньше его энергии покоя.
242*. Оценить ежесекундный расход массы Солнца вследствие излучения, приняв среднее расстояние от Земли до Солнца равным 150 млн. км.
243*. В так называемой полевой теории материи вся энергия покоящегося электрона считается полностью обязанной своим происхождением электростатическому полю, возбуждаемому электроном. В такой теории электрон рассматривается как протяженная частица, занимающая в пространстве некоторый объем, в противовес обычному представлению об электроне как о точечном образовании.
Считая электрон шариком радиуса г0, определить величину этого радиуса для двух случаев: а) заряд электрона распределен равномерно по поверхности шара; б) заряд
электрона распределен равномерно по объему шара. Заряд и масса электрона считаются известными.
244*. Покоящееся тело с массой М распадается на две части с массами М^ и Л12. Определить энергии Е^ и Е2 этих частей.
245*. Исходя из законов сохранения энергии и импульса, показать, что при каждом акте спонтанного (самопроизвольного) распада л-мезона должно выбрасываться не менее двух частиц.
246*. Написать выражения для импульса и энергии релятивистской частицы через интервал dS и показать, что составляющие вектора импульса р и — Е образуют с четырехмерный вектор.
247*. Написать формулы преобразования Лоренца для составляющих импульса и энергии релятивистской частицы, применяя общее правило преобразования составляющих четырехмерного вектора.
4^ = 2 aika'k’t=l
где aik— тензор преобразования Лоренца:
248*. Выразить ускорение заряженной релятивистской частицы, движущейся в электромагнитном поле, через ее скорость и напряженности электрического и магнитного полей.
249*. Параллельный пучок электронов, ускоряемый разностью потенциалов ф, создает ток, равный /. Сечение электронного пучка представляет собой круг радиуса а. Определить величину нормального к пучку ускорения электрона, находящегося на поверхности пучка.
250*. Показать, что при переходе от одной инерциальной системы отсчета К к другой К фаза (^ г — со/) плоской монохроматической волны является инвариантом.
§ 2. релятивистская электродинамика
Формулы преобразования Лоренца для составляющих электромагнитного поля в произвольной материальной среде:
В системе СИ
где V — скорость системы отсчета К' относительно системы К; Е^ В и—составляющие поля, параллельные скорости V и Еа,В±—составляющие поля, перпендикулярные к скорости V.
В абсолютной
системе
V
Е^Вг
Е’ = Е Е' =-
Ez + " ^у
Е' =-
(1а)
2 л/ 1/2
В' = В В' =-
Bz—V—E„
В' =
(2а)
2 л/ V2
или
Е\. = Е и, Ej. = ,
(4а)
Формулы преобразования Лоренца для составляющих векторов D, Н, Р и М можно получить из формул (3) и (4), воспользовавшись соотношениями Е = — (5"р\ и _8°
В = ц0 ^H-V м) (или из формул (За) и (4а) с помощью соотношений E=D — 4лР и В— Н + 4лЛ4, — в абсолютной системе единиц), при этом следует помнить, что при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой вектор D преобразуется через вектор Н, а вектор Р — через вектор М. В результате находим следующие формулы преобразования Лоренца для векторов D, Н, Р и М:
В системе СИ
В абсолютной системе
(5а)
(6а)
(7а)
(8а)
Определить электромагнитное поле точечного заряда е, движущегося в вакууме с постоянной скоростью у, близкой к скорости света с.
Решение
В собственной системе отсчета К', т. е. в системе, относительно которой заряд покоится, электрическое поле точечного заряда определяется формулами:
Е' = Е' = —^1— Е' = ег'х 4ле0(г')3 ’ у 4ле0 (г'^ ’ 2 4ле0 (г')^ ’
а магнитное поле отсутствует.
Е,Е,ex'4ле0 (г')3 ’ex'4ле0 (г')3 ’В лабораторной системе отсчета К по формулам преобразования Лоренца (1) — (2) находим:
Е,
Е,
ex'
4ле0 (г')3 ’
ex'
4ле0 (г')3 ’
вх = о,ву =^ В2 =^ -.
4л(г')3 |/1 _ J4л(г')3 у г _
Здесьг' = К(^)2+ (у')2 4- (г')2.
Подставляя в г' выражения для х', у' и г', записанные через нештрихованные величины, определяемые из формул преобразования Лоренца для четырехмерного радиус-вектора, т. е.
получим:получим:/у2 \1-^М^ + 22)\С2 //у2 \1-^М^ + 22)\С2 /г' = г;г' = г;
получим:
получим:
/у2 \
1-^М^ + 22)
\С2 /
/у2 \
1-^М^ + 22)
\С2 /
г' = г;
г' = г;
где мы ввели обозначение
7? = |/(х - у/)2 + (1 - ^ (у2 + Z2).
Используя выражение (1), составляющие напряженности электрического поля заряда в лабораторной системе отсчета К можно представить в виде:
Е = 1(х — vt\ Ev = —-— 1 — — у
4ле0/?3 \ С2 )У 4ле0/?3 С2)
Е = 1г
4ле0/?3 \ с2 / или в векторной форме
где г = (х— у/) I + yj 4- гк.
Составляющие вектора индукции магнитного поля движущегося заряда можно представить в виде:
Вх = о, в,Вх = о, в,В2В2 Преи /1\у р
Вх = о, в,
Вх = о, в,
В2
В2
4л/?3 \ с2 / с2
Р-реу Л у2\ „ у р 1 —- — у = — с, 4л/?3 \ с2 / с2 у
или в векторной форме
в=с4[^]-
В лабораторной системе отсчета К электрическое и магнитное поля направлены под углом а друг к другу. Определить скорость движущейся перпендикулярно к обоим полям системы отсчета К', в которой электрическое и магнитное поля оказываются между собой параллельными.
Решение
Выбираем ось X (общую для систем отсчета К и К') вдоль вектора относительной скорости систем отсчета V. Тогда, как сказано в условии задачи,
/ Ех = О, + О, Е2 + О, \Вх = 0,В2^0.(1)
Нам требуется выбрать такую систему отсчета К'» в которой £' II В', а для этого необходимо, чтобы
[£', В'] = 0.(2)
С учетом условий задачи (1) уравнение (2) принимает вид: (Е, - VB^ ^В- Е^ - (Е2 + VB0 (бу + К. Е^ = О, откуда, воспользовавшись формулами преобразования Лоренца для составляющих электромагнитного поля, получаем:
|[вв]|(1+^ = т(£2 + ^2)
IL J I \ с2 / с2 или
Р + -^ ЕВ sin а = - (В2+ с2В2), \ с2 /с2
откуда
^2+. у + с2 =(3)
ЕВ sin а
Решая уравнение (3) относительно V, находим:
V = ^ + с2^2 ± У^4 + с4^4 + 2с2Е2В2 cos 2а ,(4)
2ЕВ sin а’
причем из двух возможных корней должен быть выбран тот, для которого V < с.
Частица, заряд которой равен е, а масса покоя — т, влетает с начальной скоростью у0 в однородное и постоянное электрическое поле Е, перпендикулярное к у0. Найти траекторию частицы и показать, что при оо она принимает вид параболы.
Решение
Если оси декартовой системы координат выбрать так, как это показано на рисунке 124, то релятивистское уравнение движения частицы р — еЕ принимает вид:
^Рх __ е£ ^Ру _ Q dpz _ Q dt ' dt ’ dt :
откуда после интегрирования находим:
Рх = eEt + С^ ру = С2; pz = С3.
Из начальных условий (vt0=vz0= 0, vy0 = у0 при / = 0) имеем:
С, = С,= 0 Й с.=”• . = р„.
Таким образом, рх = еЕР, ру = р0-, pz = 0.(1)
Из последнего уравнения непосредственно следует, что гу = С4= 0 (так как г0 = 0 при / = 0), т. е. движение частицы происходит в координатной плоскости XOY.
Для определения функций х = х (/) и у = у(/) воспользуемся соотношением между релятивистским импульсом и энергией
y =(2)
где 8= Vт?с4 + с2рй—кинетическая энергия частицы. Так как
Р2 = Р^ + р2 = р2 + ^еЕ^
и начальная кинетическая энергия частицы 8q = Vт^ + cV0, то
8 = У 8о + (ceEt)2.(3)
Из соотношения (2), используя формулы (1) и (3), находим: dxc^eEt . dyс2р0 di V8TVW? ’ ^VSI-v (ceEt)2
Элементарное интегрирование дает:
х = К^о + (ceEty + С6, еЕ
arsh — + Св.
У еЕ ^о
Далее, из начальных условий (х0 = у0 = 0 при / — 0) на- ходцм:
С5=- ^ и С6 = 0,еЕ
после чего выражения для х и у принимают вид:
х = -Г WsWceEtf — §й ]
•(4)
y=cAarshc-^.
М еЕ 8»
Исключая из уравнений (4) время t, находим уравнение траектории частицы:
(5)(5)х +<&- = <§» ch
(5)
(5)
еЕ еЕ ср0
(о преобразованиях с гиперболическими и обратными гиперболическими функциями см.: И. Н. Бронштейн, К. А. С е м е н д я е в. Справочник по математике. М., Физматгиз, стр. 193—197).
Решение (5) показывает, что в однородном электростатическом поле заряженная релятивистская частица движется по цепной линии.
Чтобы перейти от решения (5) к классическому случаю, 1 еЕ^1
разложим сп —— в ряд по степеням отношения —, огра-
СРос
ничившись в этом разложении первыми двумя членами. Это разложение имеет вид:
Ch^«l +СРоCh^«l +СРое^Е^е^Е^(6)(6)
Ch^«l +
СРо
Ch^«l +
СРо
е^Е^
е^Е^
(6)
(6)
(см.: И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев, стр. 329). Подстановка формулы (6) в уравнение (5) дает:
(5а)(5а)еЕ • ^ру2
(5а)
(5а)
Зс^ ‘
Положим в (5а), кроме того, р0 = ти0 (классический импульс частицы) и ^0 = тс2 (как видите, при переходе от релятивистских формул к классическим обязателен также и учет энергии покоя частицы); тогда
х =х =2ти^2ти^
х =
х =
2ти^
2ти^
Такой результат мы получили бы в том случае, если с самого начала решали данную задачу методами классической механики.
Электрон влетает в однородное и постоянное магнитное поле с начальной скоростью у0> перпендикулярной к направлению поля. Найти траекторию электрона.
Решение
Прежде всего покажем, что энергия электрона при его движении в магнитном поле сохраняется неизменной. Это видно из того, что
[s в]г„ о.
Следовательно, во все время движения электрона его энергия оказывается равной
^о = у mV-v cV0.
Выбирая направление поля В за ось Z, уравнения движения электрона можно записать в виде:
^ = еВу •=_ еВу; ^-г = 0
di; dtх dt
ИЛИ
dpx = ^dy\ dp^ = — eBdx\ dpz = 0, откуда
px = eBy\ p^ =—eBx; pz = A.
Воспользовавшись соотношением между импульсом и энергией частицы (см. предыдущую задачу), можно, далее, записать следующую систему уравнений:
с^рхс^еВ
(1)(2)(3)(1)(2)(3)—у^о^о
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
у = ^ = -^Х,^0 So
c^pz М.
г == — = const,
So So
причем очевидно, что в уравнении (3) константа должна быть равна 0, ибо в момент / = 0 скорость электрона перпендикулярна к направлению поля, а следовательно, и к оси Z. Это показывает, что движение электрона происходит в плоскости г = г0, перпендикулярной к направлению поля.
Продифференцируем уравнение (1) еще раз по времени /; это даст:
с^еВ •
X =
So
подставляя сюда у из уравнения (2), получаем новое уравнение для определения зависимости х = х (/):
х +х +
х +
х +
Решение последнего уравнения имеет вид:
(4)
Подставляя отсюда х в уравнение (2) и интегрируя, находим:
/ с^еВ , ,\
у = a cos / + а .(5)
\ ^0/
Уравнения (4) и (5) показывают, что электрон обращается по окружности радиуса а с частотой
(6)(6)с^еВSo
(6)
(6)
Чтобы определить радиус окружности, найдем скорость электрона. Она оказывается равной
v V х2+ у2 = а,(^о
С другой стороны, скорость электрона остается во все время его движения неизменной и равной у0? отсюда радиус орбиты электрона во внешнем однородном магнитном поле оказывается равным:
(7)(7)пуо^ос^еВ
(7)
(7)
В заключение заметим, что для того чтобы перейти к классическому случаю, необходимо в формулах (6) и (7) положить $0 = тс2,
Определить угол отклонения релятивистской а-частицы, пролетающей в поле ядра с зарядом Ze.
Решение
Из рисунка 125 видно, что угол отклонения «-частицы 0 = л — 2ф0 и, следовательно, задача сводится к вычисле-
Рис. 125
нию угла фо- Для его определения обратимся к формуле (7) задачи 137. Нетрудно видеть, что, для того чтобы получить интересующее нас значение угла ф0, в указанной формуле достаточно положить г = оо. Тогда
с VМ*& — т1^ (cW — а2) • cos 1/ 1 — — Фп= аV с2М2
откуда после подстановки значений полной энергии частицы и ее момента импульса М, определяемых из начальных условий, т. е.
где у0 — скорость «-частицы на бесконечно большом расстоянии от ядра, а р—ее прицельный параметр, находим: фо = ^£ЧР arctg уо Vы^у^ — а2 (с2—у2)
Vт?с^^ — а2 (с2 —Уу)ас Р^с2 — у2
И
0 = л _ 2тс2уоР arctg у0КтУ^ р2—а2 (с2—у?)
Р^т?с4у^ р2—а2(с2 — у2)ас р^с2 — у 2
где константу потенциальной энергии а-частицы следует принять равной
Ze2а =.
2ле0
Вычислить интенсивность дипольно электрического излучения релятивистской заряженной частицы, движущейся в однородном и постоянном электрическом поле Е, перпендикулярном к направлению ее начальной скорости уо.
Решение
Интенсивность дипольно электрического излучения релятивистской частицы определяется выражением
/ = — 6Л80С3/ = — 6Л80С3У2 —-У2 —-(1 - Р2)3(1 - Р2)3(1)(1)
/ = — 6Л80С3
/ = — 6Л80С3
У2 —-
У2 —-
(1 - Р2)3
(1 - Р2)3
(1)
(1)
[см.: Р. Б е к к е р, Электронная теория, ОНТИ, 1936, §59, формулу (59.16)], в которой коэффициент — нами изме- Зс3[см.: Р. Б е к к е р, Электронная теория, ОНТИ, 1936, §59, формулу (59.16)], в которой коэффициент — нами изме- Зс3
[см.: Р. Б е к к е р, Электронная теория, ОНТИ, 1936, §59, формулу (59.16)], в которой коэффициент — нами изме- Зс3
[см.: Р. Б е к к е р, Электронная теория, ОНТИ, 1936, §59, формулу (59.16)], в которой коэффициент — нами изме- Зс3
нен на ^2(6л80с3)-1 в связи с переходом к Международной системе единиц СИ].
Если выбрать систему координат так же, как и при решении задачи 140, то формулу (1) можно представить в
виде:
се2 с2 (х2 +У2) — х23?2 — x2J2 + 2х jv х у
6ле0(с2 — х2 — >2)3
Воспользовавшись далее формулами (4) и (5) задачи 140, которыми определяется движение заряженной частицы в однородном электростатическом поле Е, находим:
( __cV Ша + еЕх^ — g^ . ■ = с2р0ga + еЕх ’ go + еЕх
И
" вЕ ( „""еЕх у
х =(с2— х2); у =—.(4)
go + eExV’* go + eExХ’
Подстановка значений х и у из (4) в формулу (2) приводит к выражению
^£2^3....
1 = ^5^^ ^ + '^^-2сЧ" -с^ + ^ (5) откуда после подстановки х и у из (3) находим окончательный результат:
I = ^ГП ( ^о + еЕхУ - (1 + ЗДо + еЕх? + 6ле0тбсп
+ (1+^)^}.(6)
Нетрудно видеть, что для того чтобы от выражения (6) перейти к классическому выражению для интенсивности излучения заряженной частицы, движущейся в однородном электростатическом поле, необходимо в (6) положить $0 = = тс2 и перейти к пределу при с -> оо ; произведя указанный предельный переход, получаем:
нерел 6n80mV *
Определить разность потенциалов на стенках однородной, намагниченной ленты (прямоугольного сечения), движущейся со скоростью, малой по сравнению со скоростью света (рис. 126).
Решение
Пусть М' — вектор намагничения ленты в собственной системе отсчета К', т. е. в системе отсчета, жестко связан- бой с движущейся лентой; пусть также лента не поляри-
зована (т. е. в собственной системе отсчета, т. е. Р' = 0). Тогда, воспользовавшись формулами преобразования Лоренца для составляющих векторов поляризации и намагничения, можно показать, что по отношению к неподвижной системе отсчета лента оказывается и намагниченной и поляризованной. Действительно
мх = м;мх = м;
мх = м;
мх = м;
или, так как V < с,
(1)(1)^ = А f VAT ] И м = лг.с2 L J
(1)
(1)
В силу эффекта поляризации движущейся намагниченной ленты на ее стенках, параллельных координатной плоскости ХОУ, возникает разность потенциалов ф2— фь которую можно определить следующим образом. Для неподвижной намагниченной ленты в отсутствии внешнего электромагнитного поля
В' = ИоМ' и Е = 0,
так как Н' = О, D' = О и Р' = 0. Напротив, для движущейся ленты (при И < с)
в = НоМ =
И
г = -1р_-^[им-],(2)
так как векторы Ь и Н остаются равными нулю и в подвижной системе отсчета К (подвижной по отношению к ленте).
Уравнение (2) показывает, что, с точки зрения наблюдателя системы К, на движущиеся вместе с лентой электроны действует сила Лоренца, а поэтому на одной из стенок ленты возникает избыток электронов, а на противоположной стенке — их недостаток. Что же касается разности потенциалов на стенках движущейся ленты, то она оказывается равной:
1
ф2 - Ф1 = — J Edi = -L- j* [ VM' ] di = HoVM'a. (3)
°2
Задачи для самостоятельногорешения
251*. Векторный потенциал постоянного магнитного поля имеет вид:
Ах = Лу = 0, Аг = Аг (х, у) ^ 0.
В указанном поле движется ион с зарядом е и массой покоя т0. Известно, что в точке, где векторный потенциал магнитного поля равен Лъ составляющая скорости иона вдоль оси г равна ^. Найти составляющую скорости иона у/ в той точке поля, где векторный потенциал равен А 2.
252*. Показать, что в системе отсчета К', движущейся со скоростью
У дрейфа — ~ [ Е В ]
(см. задачу 113), электрическое поле отсутствует, если в неподвижной системе отсчета К электрическое полеперпен-
дикулярно магнитному, т. е. если ЕВ =0. Показать также, что наблюдатель, находящийся в системе отсчета К', видит, что заряженные частицы вращаются по окружностям вокруг силовых линий магнитного поля.
253*. Бесконечно длинный прямой провод (радиуса а), по которому течет постоянный ток /, окружен коаксиальной цилиндрической оболочкой радиуса Ь. Между проводом и оболочкой поддерживается постоянная разность потенциалов ф.
Определить скорости двух систем отсчета, движущихся параллельно оси провода и таких, что в этих системах отсчета соответственно исчезают: 1) магнитное поле; 2) электрическое поле. Указать условия, связывающие ф и /, при которых возможен выбор указанных систем отсчета.
254*. Показать, что поле плоской монохроматической световой волны одинаково во всех инерциальных системах отсчета.
255*. В бетатроне магнитный поток изменяется со временем по закону Ф = Фо sin tot. Найти зависимость скорости электрона, находящегося на равновесной орбите радиуса г, от времени t.
256*. Найти законы отражения света от плоского зеркала, движущегося с постоянной скоростью у нормально к своей плоскости.
257*. Вычислить интенсивность дипольно электрического излучения релятивистского электрона, вращающегося по окружности в однородном, постоянном магнитном поле 60.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
1*. Ф =-£- (а2 —- г2 ^; Е,= —-— гприг < а,
'2е0 \3/' 4ле0а3г ’
е_
Фй =; Ее =- г при г > а.
4ле0г4ле0г?
2*. Вектор напряженности поля в точке О антипарал- лелен оси Z, а его абсолютная величина равна:
Е = — cos2 —,
4ле0/?22
Ф = Фо +Ф = Фо +4*. Е= -q ( 1-
Ф = Фо +
Ф = Фо +
2лееа21 т/ 2,
2лв0а!2лв0а!а2 + г2 — г — а), гдеа2 + г2 — г — а), где
2лв0а!
2лв0а!
а2 + г2 — г — а), где
а2 + г2 — г — а), где
Фо — потенциал поля в центре пластинки.
5*. ф= — (у^ Ь2 4- г2 — ]Л а2 + г2 У
2е0 '
6*. Вектор напряженности направлен вдоль перпендикуляра к плоскости кольца, а его абсолютная величина
_ 3
Е=-^-(а2 + г2) г.
4Л80
7*_ "pR-. ^-=1( з( "р ^ ) "R _ I
4л80/?3*4л80 I ^&^ I
9*. ф =— (1 — 3 cos2 0).
т 4ле0гЗ ''
11*./А\ =l>28;^ —А =0,97.
V 6 /Lu \ 6 J
3
12*. (х2 + У2)2 = Сх^«
13*. Ei = — | x |, | x | <a;
80
Ee = —a, | x | > a.
80
при r > а, гдепри r > а, где14*. E, = — г при r < a; E„= -?-— r 2e0 F2e0r2
при r > а, где
при r > а, где
94ле0г94ле0г—ar e—ar ea — радиус цилиндра.
9
4ле0г
9
4ле0г
—ar e
—ar e
15*. E = —-—e "(1 + ar) r; q>
4ле0г» vY
16*. E =E= 0; E„ =.
* гy 4neJ?3
17*. a) E = —l/"r2 +/г2 + 2r/i cos 0;2e017*. a) E = —l/"r2 +/г2 + 2r/i cos 0;2e019*.19*.Указание: в уравнении Пуассона — — (г2—^ = — — г2 dr\ dr / е0Указание: в уравнении Пуассона — — (г2—^ = — — г2 dr\ dr / е0
17*. a) E = —l/"r2 +/г2 + 2r/i cos 0;
2e0
17*. a) E = —l/"r2 +/г2 + 2r/i cos 0;
2e0
19*.
19*.
Указание: в уравнении Пуассона — — (г2—^ = — — г2 dr\ dr / е0
Указание: в уравнении Пуассона — — (г2—^ = — — г2 dr\ dr / е0
перейти к переменной х и только после этого приступить к его интегрированию.
20*. <р = — Eor cos 0 (1 — — ) + С; Р = 2ле0/?2Е0;\Г2 /
a= 2е0£,0 cos 0.
Указание: при вычислении дипольного момента, приходящегося на единицу длины цилиндра, воспользоваться результатами задачи 6.
21*. На плоском участке проводника
/ 1а2 \
о=а0 1,
\г2 / ’
где а0 — плотность зарядов вдали от выступа; на поверхности выступа a = 2o0x/a.
22*. Распределение зарядов на плоском участке проводника такое же, как и в задачах 16 и 21, а распределение зарядов на поверхности вмятины имеет вид:
Зх, .
о== —о0— в случае (а)а
и
а = — а0 — в случае (б),
где а0 — плотность зарядов вдали от вмятины.
23*. Потенциал ф! создается точечным диполем, аф2— точечным квадруполем (или системой двух точечных диполей с антипараллельными дипольными моментами).
2n + 1 2n + 1
ch Г^ТСХ cos; л у
-1)" Ь-. Ь-_ch^±l^ ^О
26
где ф0 — потенциал на поверхности проводника, а т — наименьший корень уравнения cos та = 0.
27*. у (г, 0) = 1 ф0 ( 1 4- — arctg — cos ®-1 (г < а).
2\ л а2 — г2 /
Указание: для представления решения в конечном виде воспользоваться следующим разложением:
arctg (-5Е£21^=2 V/—У + •соз(2п+1)адляг<о.
6 V а» — г2 )^ 2П + 1 К а )
п=0
28*. Заряд притягивается к вершине трехгранного угла с силой
F = —-—(2 4-бКЗ — 3]/б )~1^^ •
96ле0а2ле0 а2
30*. о = —е— ——5!L (й2 + £2 _ 2aR cos 0) ’.
4naR4nR7
31*. p= e [1
4ле0 _ а2а3(а2— R^ ]
У к а з а н и е: собственный заряд шара q следует считать сосредоточенным в центре.
32*. У к а з а н и е: считая радиус сферы R < а, пренебречь в условии равновесия зарядов всеми высшими сте-
R
пенями отношения —, начиная со второй.
а
33*.33*.г2 Г F /1— ло H3» 11 +г2 Г F /1— ло H3» 11 +2о»\ I—\3 2г^ — а» iгЗ /—2^\го/ (г2-а=)4
33*.
33*.
г2 Г F /1
— ло H3» 11 +
г2 Г F /1
— ло H3» 11 +
34*. <р = —М1Ё In г— In (г2 + А2 — 2rh cos 0) + 2ле0 4ле0
4In г2 4cos 0 | 4- const,
4ле0 \№ h /
где X и р — заряды, приходящиеся соответственно на единицу длины нити и цилиндра; R — радиус цилиндра; г — радиус-вектор точки наблюдения и 0 — угол между радиусом-вектором точки наблюдения и прямой, соединяющей точки пересечения оси цилиндра и нити плоскостью чертежа;
а„Ь+0W-R1^,F_ X Г. XR1 "
2nR2л R (h2JrR2— 2hR cos 0) ’2ле0/1(/z2—R2)_
. EnR2 cos 0 , X . / 0 , R4 35*. ф = — Eor cos 0 4- —In r24-
г4ле0 \ h2
cos 0)— ^tL In r— In (r2+ /i2—2rh cos 6)+const; h / 2ле0 4ле0
no n . M-PX (h2—R2)
о = 2enEn cos 0 4- —-;
0 02л/?2л/? (h2W— ^hR cos 0)
2ле0^ l h2 — R22ле0^ l h2 — R2F=\E0A X Го XR" 1
2ле0^ l h2 — R2
2ле0^ l h2 — R2
36*. —q-— .
16Л80Г0
37*..
3232r2 \— для r < R;2R2 Ir2 \— для r < R;2R2 I8ле0а
3
2
3
2
r2 \
— для r < R;
2R2 I
r2 \
— для r < R;
2R2 I
38*.1£_
4ле0/?
— -EL- для r > R.
4леог
39*.40*.41*.39*.40*.41*.Z2e2
39*.
40*.
41*.
39*.
40*.
41*.
64л80а
--^[1 +(Z-1)(1 + VL\e-Vra .
4ле0г L\ V a)J
Для плоского конденсатора: W =; C = — ;
2e0S d
для цилиндрического конденсатора: W = —— In —
4ле0£ г
и С = 2K$0Z,('ln-2V1 .
42*. et= qe(q-e)*1.
43*. 0,046 дж/м2.
44*. 0,016 дж/м3; 1,92- IO"13 я.
45*. у = 0,1/ у ’^ .
46*. - = СП1 — 2СТ2Х 4- Си = ^-±-^2±Су с 11ТСиС22-^12
48*. рЦр^)Е; N= [рЕ].
49*. а = 2,2 • 10-9 к/м1; F = 2,8 • 10~7 н/м1.
5Q* р— ^оР2 2с?
51*. ^е.оаЕ\ где а — радиус цилиндра. г.3ha3P2
52*. Ев.
2ле0 (Л2 — а2)4
53*.54*.53*.54*.£ е0 (Кг — Кд S й£ е0 (Кг — Кд S йНа——-— ф в.2 (К + 1)YНа——-— ф в.2 (К + 1)Y
53*.
54*.
53*.
54*.
£ е0 (Кг — Кд S й
£ е0 (Кг — Кд S й
На——-— ф в.2 (К + 1)Y
На——-— ф в.2 (К + 1)Y
55* 4ле0 _ 1 /1\1 /1\1 /К,-^
С КДа)КДЬ)h\ КД, /
57*. Е, = Ео; D, = е0КЕ0.
58*. а) Е; = Е0; Ог = е0Е0; б) Е~ КЕ0; О^еДЕд;
в) Е,
59*. Е,=
~1+2К Ь°'" 1 +2/< L°‘
9b»K Д + 2) (2К + 1) 63 — 2 (К — I)2 а» С°‘
60*.
61*.
Р = 2е0—-Ео.
°К+1
Е.= Ео.
(К+1)2 кХ-(к-\ук2х
62*. а) 5,625 • 108 я; б) 4,21875 • 108 я.
63*. асвяэ = ^L&lKiK ( 2 + а^Т.
КгД^Кг) 1
65*^(К-1)а3
2ле0(К+1)й(й2 — а2) ‘
67*. Q = -e0E2T^.
42 дТ
1Е2
68*. — en(^ — 1), где р — плотность жидкости.
2Pg
69*. R = -^— (—V где Rt и R2— радиусы обкладок. 4ло V?! RJ
70*. (С^-С^к.
73*. F = ^^~" » где Р и ^ — удельное сопротивле
76*.77*.76*.77*.-с/ уч 4n -f- 32л ^ (2л + 1) (2л +2)П«0-с/ уч 4n -f- 32л ^ (2л + 1) (2л +2)П«0ние и относительная диэлектрическая проницаемость электролита.
76*.
77*.
76*.
77*.
-с/ уч 4n -f- 3
2л ^ (2л + 1) (2л +2)
П«0
-с/ уч 4n -f- 3
2л ^ (2л + 1) (2л +2)
П«0
f в \ 2Л"4-1_.
I —)P2„+1(COS0).
\а ]
78*.79*.81*.где78*.79*.81*.гдеПовреждение находится посередине линии. 10/57.
78*.
79*.
81*.
где
78*.
79*.
81*.
где
^С2*2^^ Е;
R-VRvYR»
(<pt = Ste-k'f + 5ге~к1‘ + Е, |ф2= Dxe~kt' Н- Dze~k^ -f Е,
. _Nt у№ —ШР
о c 2BR — N — VШР D
Oj — — o2. —.=:Ь;
2 V № — ШР
nn _ 2AR — N - V№ — ШР p.
Ui — U^ —- —L;
2 V N2 — ШР
A^CxRb В = CtJU M = ABR\ P= R + Rt +P2;
N = A(R + P2) + В (R + Rx)
и E — э.д.с. батареи.
82*. Около 1 м.
83*. За 0,35 сек; нагревание медной проволоки составляет 0,7° К.
84*. т = 2^т-з.
р w) 5_
85*. a) Q = — ; б) ^ = А.Г~ ; А = — V—..
р1Ч ' ’’ 2рк Г nd
где р и d — удельное сопротивление и плотность металла, 9 к — коэффициент теплопередачи.
9ц /
86*. В =, где а — сторона треугольника.
2ла
87*. В = — seccos — , где а — сторона мно- ла \ пп)
гоугольника.
90*. В = 0,287 •.
ла
91*. 5,25 • 10~5 тл; если дугу AD снять, а прямолинейные участки контура В А и CD продолжить до бесконечности, то магнитная индукция в точке О будет равна 5,14 X X 10-6 тл.
92*. R .^1 R R+Vw __R_"
2/? [X
Указание: спираль рассматривать как совокупность большого числа круговых токов, тесно соприкасающихся друг с другом.
93*.93*.ве= 2 у.0Ш/- х—-2 х.—1:
93*.
93*.
(Ка2+ х2/а2 + (/ + х)2 |
IK^+x2V^ + (^ — x)2 J
где x — расстояние от точки наблюдения до какого-нибудь конца соленоида.
94* В = — ^°^ 4 S
95*. Семейство кривых (х2 + у2)2 + 2а2 (х2 — у2) = С (несколько кривых этого семейства изображено на рис. 63).
97*.Опри 0 < г < а
г,/г2— а2// l
Н = при а < г < о
2л ‘v^~ а9^ г
/(2iv)-1 при г >6, где а, b — внутренний и внешний радиусы трубы.
98*. Hi = 0; Не= -^-.
99*. Поле внутри полости однородно, перпендикулярно к прямой, соединяющей ось цилиндра с осью полости, и равно:
Н =.
2л (а2 — Ь2)
100*. Н =-1
2 Rd
101*. а) При расчете с помощью формулы (1) задачи 66 Ф = f0KmNI (R - /^_ ^у = 3,199 • 10~4 вб;
б) при расчете с помощью приближенной формулы (2) задачи 66
ф = 1 Но^^/а2 _ з 185 . ю-4 вб>
2 R
102* Ф— ^оКт^^2
2л/?+ (Кт- 1) 6 ‘
103*. Л=—^1п(г —х); Л.- —^ In (г —у);
4л> 4л
А =— — In (г— г), где г = ]/х2+у2+г2 (в выражениях 2л
для Ах, Лу и Л z отброшены слагаемые, логарифмически расходящиеся на верхних пределах интегрирования и несущественные при вычислении индукции магнитного поля).
104*.
д = V 1п.
х 2л (а — х + V (х— а}2+ (у—а)2+?2) (У х2+(у+а)2+г2—х)
А = In^^ 0)2+ <У~ W2) (V(х+а)2+у2+г2—у) .
v 2л (а - у + V (х + а)2+(у-а)2+г2)(/ЧЧЧуЧ^Чу) ’ Аг= 0.
105*. Л =^cos<p
2 иг
(система координат выбрана так же, как и в задаче 63 (см. рис. 58); <р — угол между векторами г и 2а; вектор 2а направлен от тока, текущего вдоль оси г, к току, текущему в противоположном направлении).
106*. а) В сферических координатах (г, 0, а)
Аг— Л© = 0; Ла = ^ г В sin 0.
б) В цилиндрических координатах (г, ср, г)
Лг= Лг= 0; ЛФ =^ г В sin 9, где 0 = (гв).
107*. Л = ^ ф, где <р — скалярный потенциал электрического поля заряда в системе координат, относительно которой заряд покоится.
У к а з а н и е: для представления решения в окончатель-
1
ном виде учесть, что еоу.о = —, где с — скорость света
с3
в вакууме.108*.в вакууме.108*.Аг =гдеАг =гдеЛ^ЬЧIn г^- + В02л (а2—62) 4л (а3—62)0_±V|nr+C0Л^ЬЧIn г^- + В02л (а2—62) 4л (а3—62)0_±V|nr+C0при 0 < г < Ь\ при & < г < а;при г > а,при 0 < г < Ь\ при & < г < а;при г > а,Во = Ло Н4л <а“— &2)Во = Ло Н4л <а“— &2)(1 — 2 In b>,(1 — 2 In b>,
в вакууме.
108*.
в вакууме.
108*.
Аг =
где
Аг =
где
Л
^ЬЧIn г^- + В0
2л (а2—62) 4л (а3—62)0
_±V|nr+C0
Л
^ЬЧIn г^- + В0
2л (а2—62) 4л (а3—62)0
_±V|nr+C0
при 0 < г < Ь\ при & < г < а;
при г > а,
при 0 < г < Ь\ при & < г < а;
при г > а,
Во = Ло Н
4л <а“— &2)
Во = Ло Н
4л <а“— &2)
(1 — 2 In b>,
(1 — 2 In b>,
1 аIn — ь1 аIn — ьсо = Ло — ^ (1 — 2 In а) + —1^-04л V2л (а2—62)
1 а
In — ь
1 а
In — ь
и Ло — векторный потенциал на оси трубы.
109*. У к а з а н и е: скалярный потенциал магнитного поля внутри однородно намагниченного шара (в отсутствие внешнего поля) следует записать в виде:
^ = ^-Л4х,(1)
где М — вектор намагничения шара (ср. написанное выражение с электростатическим потенциалом cpz для равномерно поляризованного диэлектрического шара (задача 40); на первый взгляд, это сравнение показывает, что в выражении (1), казалось бы, следовало написать еще один множитель —; однако, сравнивая электростатический потен
циал электрического диполя
1
ф — — • —
4ле0 г3
со скалярным потенциалом магнитного поля магнитного диполя
,1 m г
Ф = — * ,4л гаследует признать запись потенциала (1) правильной).Далее, пользуясь выражением (1), находим:
или
Hi = — —м.
13
Теперь, чтобы доказать сформулированную в задаче 109 теорему, следует воспользоваться определением вектора намагничения М. Вектор намагничения, как известно, определяется соотношением
В = ро (Н + М^
(см. А. Зоммерфельд. Электродинамика, ИЛ, 1958, стр. 119).
ПО*. Ht = А Л, (0<г<а);
н, - hJ н—LI (r > 6)
s u 4л/?3 I R2 2 j v ’ где
A=
(2Лт+ 1) (Лт + 2)2 (Km - W °’
в =3(2Лт+ 1)6=н .
(2Кт + 1) кКт + 2) 63- 2(Кт - 1 )2а3 °’
т =12л (Кт-^а8№^ .
1 (2Кт + 1) (Кт + 2) 63- 2(Кт- 1)2а3 °*
^ ... 4ладт+1) [(Лт+ 5) №- (Кт- 1) а3] ^
2 ^KmJt-XHKm-V^b2-2<Km-\^ °'
ill*. ф = -Й——\
2 \/а2 + х2/
где х — расстояние от точки наблюдения до центра кругового тока.
112*.
^ = — Я, г cos 0, (0 < г < а),
Ф2 = — Нг г cos 0 + cos 0, (а < г < Ь\ Г
ф3 = — Но г cos 9 + cos 9, (г > 6),г
где
«1= — 2Л (Кт— 1) с№; а2 = А (К2т _ 1) (^ _ а^ №.
Н, = 4ЛЛ„^0; Н^ = 2Л (Кт + 1) ЬЖ^
А =! 9 = (р р к
(Кт- D202V У
113*. Магнитный момент m = 8,41 • Ю22а • jw2; индукция магнитного поля Земли на магнитном полюсе в два раза больше, чем на магнитном экваторе.
114*. m = - f -1- + ^ • --L- М.
2 \пг т^ / пг^т^
115*. F=-^IlJ—^-1 V
\/a^—R1)
116*. N = a6sin<p(x2 + f>2+ 2bxcos<p) 2.
2л
117*. N = -^- /,/2 (sin а — а cos а).
118*. 1,2 • 10-10 дж.
119*. На магнитном экваторе стрелка будет находиться в более устойчивом положении, чем на магнитных полюсах. Разность энергий стрелки в указанных положениях равна 32,52 дж (значение горизонтальной составляющей вектора индукции магнитного поля Земли на магнитной широте 45° принять равным 2.3-10-5 тл\
120*. Llz = ^0 kR — VR^ — a^.
121*. Z,12 = ir!i0na2.
122*. L.„ = — С—в общем случае.
2л J хJ
Для тора, изображенного на рисунке 83,а
12 2л [3\ 2R / J
для тора, изображенного на рисунке 83,6
для тора, изображенного на рисунке 83,в
а
123*. L12 = —^^ , где R— радиус большего то-
2 (а2+«2)Г
ка, S — площадь меньшего кругового тока, а — расстояние между плоскостями, в которых лежат токи.
124*. L12 = р0 I (— — « ^ («) — "£(«)). I \ п /п J
где К (п) и Е (п) — полные эллиптические интегралы 1-го
и 2-го рода модуля
п _ 2 V 0^2
«1 + а2
(аъ а2 — радиусы токов).
125*. Lj2 = ^™ —, где Nv N^— числа витков; S— площадь сечения сердечника.
128*.
w, 1 а4Кт№Р$л£ —.v/1К^Рба»
Ц7 = — ки0 . 21'• U/,=—itp0;
”2 W [2л^+ (Km-1 ) d}=“2 ™ [2лЯ-НХт-1)д]а ’
H7 -1™ агКт№Р . , я^Кт№
W ПОЛИ n KrO Q o*
p dW7поли
~ dd ~ 2[2л/? + (Кт- 1) dp *
Зависимость Wm W3, ИГПОЛН_, LH и F от ширины зазора d иллюстрируется приводимой ниже таблицей:
д
0,1 мм
1 мм
5 мм
Энергия магнитного поля в кольце
0,0820
0,0297
0,0038
Энергия магнитного поля в зазоре
0,0065
0,0237
0,0154
Полная энергия магнитного поля
0,0885
0,0534
0,0192
Самоиндукция кольца (в генри)
0,1772
0,1066
0,0384
Сила притяжения полюсов кольца (в ньютонах)
65,14
23,68
3,07
129*. Ln = , где R— радиус тора; а — радиус
сечения.
130*. Лц = р.0/?( In—— 2 4- 4 ^m Y \ 'о4;
Указание: о двух различных методах решения данной задачи см.:
И. Е. Тамм. Основы теории электричества, § 81;
Л. Д. Л а н д а у, Е. М. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред, § 33.
131*. Ln =131*. Ln =JL + JL|n^ +УГ^1п^ — 8л 2л а 2л( г, — г2)2 *- Г2
131*. Ln =
131*. Ln =
132*. Самоиндукция проводки изменится на величину
^Гб2 In - — 2 (а2 — d2) 1.
4л (а2 — 62)2 L 6J
134*. 0,64 мв.
135*. / = В У°sin а г (1 + sin а) '
136*. £инд = 2и0В Vuot (2R — У(Д
137*. 9=^-(0i — Ф2), где R— сопротивление контура.
138*. у = — + (у — —'jе-«<, где а =—.
В/ \ ° Bl) ’mR
139*. Величина тока индукции, наводимого в кольце, / — м-^5. sjn tot = 0,338 sin о>/ (л<а);
магнитное поле, возбуждаемое в центре кольца током индукции, нормально к плоскости кольца и равно:
В' =sin W = 2,125 - 10-9 sin (тл>,
вектор индукции результирующего магнитного поля в центре кольца имеет составляющие:
В; ^^^sin2^;
^^^ sin tot cos tot |; Вг — В,, 2/?^^^ sin tot cos tot |; Вг — В,, 2/?в; = в (i +
^^^ sin tot cos tot |; Вг — В,, 2/?
^^^ sin tot cos tot |; Вг — В,, 2/?
где В — горизонтальная и В^ — вертикальная составляющие магнитного поля земли.
140*. Е =1^5^-, Где, R— радиус шара.
4л/?
, л «ЕЛСОВ/?4 п ЕЛСО2^2/?6
141*. а = ; г™,
2я6а2
где е — диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами.
Указание. Учесть эффект возникновения при вращении проводника вокруг какой-либо оси с угловой скоростью со однородного магнитного поля с индукцией
™2т
В —СОе
(где е, т — заряд и масса электрона). Поэтому на отдельный электрон вращающегося проводника воздействует эффективное магнитное поле с индукцией
е
(см.: Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред, § 49, или Р. Беккер. Теория электронов, ОНТИ, 1936, стр. 31—36).
Это приводит к возникновению разности потенциалов между центром и точками на расстоянии г от него, равной
/ 2m(D2 о \ г2 .
ф =В(д \h const
\ е/ 2
(для одного диска) и
/ 2/и(02 , п \ г2, а ф2 }- ВсоР const
\ е ) 2
(для другого). Отсюда разность потенциалов между соответствующими точками обоих дисков оказывается равной ф2 — ф! — Всог2.
Далее следует воспользоваться определением емкости конденсатора и формулой емкости плоского конденсатора.
moVto'
142*. q =, где е, т— заряд и масса электрона;
2ле
V и о— объем и электропроводность кольца.
j 2ля2тсо _ 2латсо / 8a g V1eLn^Цо \^/
144*. / = ...K-L1..-. ?...J_; величина тока оказывается равной R
0,01 от номинального значения через 0,01 сек после включения в цепь э.д.с.
145*. const = iL + 1 L/2+ f RPdt. 2C 2 J
o
146*. 1) /Эф= 0,354 a; 2) ток опережает по фазе напряжение на ф -^ 89°54,5'; 3) эффективная мощность тока
-Г £0/0 cos ф = 0,0125 вт;
безваттная мощность
у£0/0 sin ф = 6,77 вгп.
147*. / = toBS sin (®f — ф); tgV = ^.
Кя2+<>>212R
14Q* Л - ( d^ ^ - 3№LbLab ( dLAB\
' 94a //2№ + ^Св) \ dq« )I
ачение магнитной энергии катушек87?7 \ л 1 л1=0,19 мм.г 4 /,1 Г AR^C 7— 2RC V L '0,95 - 10-18 и 10,6 • 10-18 сек.-TVачение магнитной энергии катушек87?7 \ л 1 л1=0,19 мм.г 4 /,1 Г AR^C 7— 2RC V L '0,95 - 10-18 и 10,6 • 10-18 сек.-TVгде № — среднее з
ачение магнитной энергии катушек
87?7 \ л 1 л
1=0,19 мм.
г 4 /
,1 Г AR^C 7
— 2RC V L '
0,95 - 10-18 и 10,6 • 10-18 сек.
-TV
ачение магнитной энергии катушек
87?7 \ л 1 л
1=0,19 мм.
г 4 /
,1 Г AR^C 7
— 2RC V L '
0,95 - 10-18 и 10,6 • 10-18 сек.
-TV
Л и В.
150*. d = ^-5- (
153*. 0,15 • 10"18;
154*. Q = -^- (1 8лбд \ а
155*. £*и_^1п-. 2л 6
159*. J2L — еЕ0 _ ю-8.
Fe тою
Указание. Для определения скорости электрона записать и решить дифференциальное уравнение движения электрона в первом приближении, не учитывая силы, действующей на электрон со стороны магнитного поля волны.
160*. Е= — itoA; В= — i [ к, А ] .
162*. Ve1^ 760 в/м; V№ 2,02 а/м.
163*. Vf2 —7,11 в/м; VH^ 0,018 а/м.
165*. 5,115 • 10~6 h/ju2, если считать поверхность Земли абсолютно черной, и 10,23 • 10~6 н/мг, если поверхность Земли принять за абсолютно зеркальную.
167*. При частоте волны, равной v], вода — проводник; при v2— полупроводник и при v3—диэлектрик.
168* г = tg2 (<р ~ ^ • d = _^I1JL£21!LL^L?3_
" tg2 (ф + Ф) ’ sin2 (ф + Ф) c°s2 (ф — ф) "
'— L12
169*d6 К (8 — е0) а1 + 4e/i2 — 2ее0 2 h
' (d2+4/i2)3_£I’
. V (в — s0) d1 + 4еЛ2 + 2s80 2 h ,
171*. К ^ 1,3 • 10* (относительная магнитная проницаемость меди принята равной единице).
172*. у = 1,25 • 108 м/сек.
Указание. По поводу распространения электромагнитных волн вдоль кабеля см.: А. А. В л а с о в. Макроскопическая электродинамика, Гостехиздат, глава 8, § 4.
2л2
173*. со2 = —с2, где а — сторона квадрата, лежащего а2
в сечении призмы.
174*. N = ^^dv.
Указание. Записывая для стоячей электромагнитной волны
Л = Ло sin х • sin у • sin ^-z • cos 2nv/aaa
и подставляя это выражение в однородное волновое уравнение, можно получить условие, которому должны удовлетворять тройки чисел пь п2 и п3;
\ /
далее следует учесть, что каждой тройке чисел пь п^ и п3 соответствует одна стоячая электромагнитная волна, а поэтому указанные тройки чисел для всех электромагнит-
ных волн, у которых частоты лежат в интервале (v, v + <Zv), находятся внутри первого октанта шарового слоя, находя- щегося между сферами с радиусами г — и г + dr;
С
чтобы получить окончательный результат, следует также учесть возможность двух различных поляризаций электромагнитных волн.
176*.
Ех = фсо/7о — cos — х • sin — у • е ; b аb
. п пл . плигл 1— ^
= — Ш(о/7О — sin — х • cos —у • е ;
5а аb
ипл - плпгл ltwt — кг)
Нх = iku0— sin — х • cos — у • е ; а аb
г, .«о пгл Л пл „. пгл 1^1~кг)
Н =— cos — х • sin — у • е
b аb
u ( / пл \2 (пгл \2 1 п плтя i (^t — кг)
Нг=— + Т Ло cos — х • соз — у • е
Уравнения силовых линий:
электрического поля
\ а /
магнитного поля
у = — arc sin С2 ( sin — х ) \ пь / I.г \ а / j
177*.
а(х, 0, г) = о (х, Ь, г) = 5^2!lo_ sjn sjn — fez); 'аа
о (0, у, г) = а (а, у, г) = —S|-n ЛУ. sjn ^ — ^г^.
b ь
I (х, 0, г) = i (х, а, г) = -^Zs. sjn — sin (со/ — fez); аа
I (0, у, г) = i (а, у, г) = — ?л^- sin — sin (roZ — fez). b b
178*. XKp = 8 см (для волны H — T01E) и \p = 4 см (для волны Н — Т10 Е).
Указание. Переписать дисперсионное уравнение, которому удовлетворяют числа п и т (см. формулу (17) задачи 98), в виде:
№ = J^Zl^L,
С2 где
(Оо = С2Л2 - + — .(I)
\ а2 62 /
Так как № > 0, то и со2 > со02; поэтому формула (I) определяет критическую частоту волны, бегущей по волноводу.
182*.
Ev — —У- sin0cos0 • cos a ■ pl t — - | ;r4л/\и )
E„ = —— sin 0-cos 0 • sin a • pI t — - |;
74лг\и /
E — sin2 0 ■ p (t — - j;
z4лг_\ v j
H = — Г ®.E_ sjn0sjna . p U — -^;
4лг\ о /
/7 = sjn 0 . cos a • p (t — - Ъ H2 = 0.
y 4лг\ У /
183*. Мгновенная интенсивность излучения электрона / — ^ —^2
dt ^гйт>сй (а2 + х2)3*
где х — расстояние от электрона до центра кольцевого заряда;
(^\_1 f Idx- ^[ аге a h -fcl^L
\ dt )2/z J48ле0/л2с3а3/1 [ а (я2 + /i2)2
184*.184*.В два раза. ^У2в2В два раза. ^У2в2185*.185*.—h
184*.
184*.
В два раза. ^У2в2
В два раза. ^У2в2
185*.
185*.
6л80т2с8
186*. 4,4 • 10~8 джкек.
187#* ,е^ = ^г ' Е*
Указание. Электрон в атоме называют упруго связанным, если его потенциальную энергию в поле ядра можно представить в виде:
U (х) = mto2x\
где со — частота собственных колебаний электрона в атоме, ах — параметр, характеризующий отклонение электрона от его равновесного положения. Наглядным прообразом упруго связанного электрона может служить электрон в модели атома водорода Томсона (см. задачу 12).
188*. Такое же, что и у вибратора Герца.
189*. ДЕ = — • ———
12 8от2с3р3о
191*. 83,8 м.
2Q Цос'О е °средн —2Q Цос'О е °средн —sin2 (л cos 0)sin2 0sin2 (л cos 0)sin2 08л2го8л2го195*. х = ^ тю2195*. х = ^ тю2— (направление оси X совпа- \ ^0 / J— (направление оси X совпа- \ ^0 / J
2
Q Цос'О е °средн —
2
Q Цос'О е °средн —
sin2 (л cos 0)sin2 0
sin2 (л cos 0)sin2 0
8л2го
8л2го
195*. х = ^ тю2
195*. х = ^ тю2
— (направление оси X совпа- \ ^0 / J
— (направление оси X совпа- \ ^0 / J
дает с направлением однородного электрического поля Ео). 196*. 4,8 • 10~17 дж; 1,03 • 107 м/сек.
197*. Траекторией электрона является окружность радиуса К = —-; магнитный момент тока, создаваемого движущимся по этой окружности электроном, параллелен по- 2
лю Во и равен m = —° (при вычислении магнитного мо- 2В0
мента воспользоваться соотношением, связывающим магнитный момент электрона с его механическим моментом, — см. задачу 72).
198*. 8,83 см и 9,54 см.
199*. - = 1,7742 • 1011 к/кг. т
201*. — =, где и — разность потенциалов
тро (b2 —- а2)2Нь
катода и анода.
Указание. Начальную скорость электронов принять равной нулю.
202*. Указание. Требуется показать, что уравнения Лагранжа совпадают с уравнениями движения, вытекающими из второго закона Ньютона.
203*. Н =—(р —еЛ) +еф, 2m '1
где Р = ти + еА — обобщенный импульс частицы.
204*. 21.
Указание. Совпадение линий для ионов одинакового заряда, но разных масс в масс-спектрографе Астона достигается лишь в том случае, если при неизменном магнитном поле напряжения на обкладках конденсатора обратно пропорциональны массам изотопов (см.: Р. Беккер. Электронная теория, ОНТИ, 1936, гл. А, § 4).
205*. а) Н = £037,22 а!м\ б) £=8 Мэв;
в) Рп=0,06296 Уп м.
j
206*. г0 = ( - 'j9 а.
0\ 7 /
907*m [gs] ._ mg
. V дрейф —^2, Удрейф — еВ •
208*. Плотность электромагнитного импульса электрона
а = 8 П [ Е Н ] = -^ — I У — У COS 0 • — ) X
6L J 16л2г< \г
где 0 —- угол между радиусом-вектором точки наблюдения и вектором скорости электрона; полный электромагнитный импульс электрона равен:
G = С g dy = ^L. уI 62
"8лго
(значок иоо, стоящий у интеграла, означает, что интегрирование должно быть произведено по всему бесконечно большому объему пространства).
209* /мол = rot М, где М — вектор намагничения.
Указание. При усреднении уравнения Лоренца rot /1 =
= /микро + е0 — учесть, ЧТО Zl Jсредн•
212*. е =8о (1 + 4л^).
213*. 6,76 • 10-30 и 5,12 • 10-30 к • м.
2 2
214*. U =^-^—, где г — расстояние между
24л2еоАТ г’
центрами молекул.
Указание. Воспользоваться выражением U = — ~а^2
для энергии поляризации.
215*. о)кр = 8,95 • 10® Мгц.
216*. а) а —; б) а =
т ( оо — о2)т\О)о — о2 — / ——3
^гйтс^
217*. а) а =у Го •217*. а) а =у Го •где (оо — частота собственных колебаний электрона.
217*. а) а =у Го •
217*. а) а =у Го •
—; б) а= — г51
(®о-<о2)23(®^—w2)2+to2y3
гдее2е2о>о
г0=; у =
4л80тс26ле0тс3
и соо — частота собственных колебаний упруго связанного электрона.
Указание. Силу лучистого трения определить из невозмущенных собственных колебаний электрона.
218*. А$ — —
8л28оа2ту2
Указание. При вычислении импульса
р = р±= е \ E^dt,
сообщаемого электрону тяжелой частицей (р± и EL — составляющие импульса электрона и напряженности электростатического поля тяжелой частицы в направлении, перпендикулярном к ее скорости), использовать теорему
Гаусса, выбрав надлежащим образом поверхность интегрирования.
где L — расстояние между катодом и анодом.
Указание. Потенциал катода принять равным нулю, а плотность электронов в пространстве между электродами считать функцией расстояния до катода. Искомое решение должно удовлетворять условию
( —
\ дх )х=0
являющемуся выражением того факта, что перед катодом находится отрицательный объемно распределенный заряд, тормозящий эмиссию электронов из катода.
222*. Указание. Подвижностью носителей тока принято называть величину р = —^—-,измеряемую в
епЕ
м^-в'^сек*1. Подвижность связана с электропроводностью соотношением X = епу,.
Q
223*. -.
225*. рЛ = 3,313 • 10s Мгц; X = 5,69 мм.
226*. 0,57 • 10-10 м.
227*. / =-е3^—.
4лт
228*. ^- = —^—=4,43-10-2.
PoLm1 f ।1/\2 ,ЗкТI15 \kT 'PoLm1 f ।1/\2 ,ЗкТI15 \kT '231*.231*.^парам^парамН» 12еоА3сэ
PoLm1 f ।1/\2 ,
ЗкТI15 \kT '
PoLm1 f ।1/\2 ,
ЗкТI15 \kT '
231*.
231*.
^парам
^парам
232*. На 7,50 • 1024 ионов! м\
233*. Магнитный момент 1 килогрэмм-моля парамагнитного газа равен:
,/ ж’
Г Но
где к — постоянная Больцмана, N — число Авогадро.
234*. 0,2 А.
с» 2с4с» 2с4235*. Й = Й Jl —1/1 — — + —sin 2а.
с» 2с4
с» 2с4
238*.239*.241*.238*.239*.241*.cos а — cos а'V — С * ;.1—cos а • cos аcos а — cos а'V — С * ;.1—cos а • cos а— продольная масса;— продольная масса;Зеф4т0с2Зеф4т0с2
238*.
239*.
241*.
238*.
239*.
241*.
cos а — cos а'
V — С * ;.
1—cos а • cos а
cos а — cos а'
V — С * ;.
1—cos а • cos а
— продольная масса;
— продольная масса;
Зеф4т0с2
Зеф4т0с2
237*. с' ~ — + у ( 1 V причем знак (+) следует
п \ И2 /
брать для луча SKDCBAKP и знак (—) для луча SKABCDKP (см. рис. 123).
— поперечная масса.
2 / J I еФ V1.
\^0С2 /
В частном случае, когда кинетическая энергия электрона много меньше его энергии покоя, т. е. когда вф < т0с2, скорость электрона можно вычислять, пользуясь следующей приближенной формулой:
242*. А т = 4,4 • 106 т.
М2 — М^+М22ММ2 — М^+М22М243*. а) 1,4 • 10"15 м; б) 1,7 • Ю'15 м.
М2 — М^+М2
2М
М2 — М^+М2
2М
244*. Ех = с2 Мх~-^ Е2 = с2 12М2
245*. Указание. Предположить, что при распаде мезона с массой mf возможно образование лишь одной частицы с массой т2, отличной от т^ и показать, применяя законы сохранения энергии и импульса, что это допущение невозможно.
246*. р = тс -^-; Е = тс3-^-. Р dS dS
248*. у = —V1 U + Pol^J^И} т0 ус2с2J
11
249*. W = -/] । е(Р \ 2 Л । еФ \""2
п 4лаф \т0 / \2т0с2 /\ тос^ )
251*.= и2(Л^Ла.
255*. и—с
sin2 со/Jsin2 со/JVCOo k6 cos a0— — 256*. tga= — tgp;
sin2 со/J
sin2 со/J
.. vw0
^отр ^n^отр ^n2у/?0 cos a02у/?0 cos a0Z?0cos a0+ —
^отр ^n
^отр ^n
2у/?0 cos a0
2у/?0 cos a0
где a — угол падения, P — угол отражения, con — частота падающей волны и о)отр — частота отраженной волны в лабораторной системе отсчета; а0 — угол падения и отражения, ^о — волновое число и соо — частота падающей и отраженной волн в собственной системе отсчета движущегося зеркала.
257*. 1 = ^V2S2
24ji80£g \ с2 /0
где Ео — полная энергия электрона.
ПРИЛОЖЕНИЯ
ВАЖНЕЙШИЕ ФОРМУЛЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
а. Векторная алгебра
Скалярное произведение двух векторов:
АВ = АВ cos (АВ) = ЛА + АА + ЛА- (1) 2. Проекция вектора на направление, задаваемое единичным вектором I:
-ЛЛ
А, = A I = АХ cos (7, i) + Л vcos (7, /) + Аг cos (/, Л). (2) 3. Векторное произведение двух векторов:
[ЛВ] = - [ВЛ] =[ЛВ] = - [ВЛ] =|[ЛВ]| =ЛВ sin (ЛВ). (3)|[ЛВ]| =ЛВ sin (ЛВ). (3)
[ЛВ] = - [ВЛ] =
[ЛВ] = - [ВЛ] =
|[ЛВ]| =ЛВ sin (ЛВ). (3)
|[ЛВ]| =ЛВ sin (ЛВ). (3)
Смешанное произведение трех векторов:
Л [ВС]=— ВМС] = В [СЛ] =Л [ВС]=— ВМС] = В [СЛ] =Л .ЛАBXB,BZ схс,с2Л .ЛАBXB,BZ схс,с2(4)(4)
Л [ВС]=— ВМС] = В [СЛ] =
Л [ВС]=— ВМС] = В [СЛ] =
Л .ЛА
BXB,BZ схс,с2
Л .ЛА
BXB,BZ схс,с2
(4)
(4)
Двойное векторное произведение трех векторов:
[Л [ВС]] = В (АС) — С (АВ).(5)
Правило дифференцирования векторного произведения.
-- [ЛВ] - I —в| + dt 1_ dt I-- [ЛВ] - I —в| + dt 1_ dt IЛ ^-1.(6)
-- [ЛВ] - I —в| + dt 1_ dt I
-- [ЛВ] - I —в| + dt 1_ dt I
at
б. Векторный анализ
Градиент скалярного поля (grad ф = V Ф =^?): dr
декартовы координаты:
grad ф= i +/ + —- к;(7)
ох оу дгх '
сферические координаты (/?, 0, а):
grad ф= е^ ^ + -9- — 4- —е?- -Ф;(8)
8 И KdR R 99 ' 7?sin()daW
цилиндрические координаты (г, 0, г):
gradф= ег —+ —— + к —.(9)
r дг г 99 дг'
Дивергенция вектора (div Д = v Д):
декартовы координаты:
div Д+ —;(10)
дх ду дг
сферические координаты (R, 0,а):
div Д = (ЯМ^Ч- -1— -(sine.До)+—L— ;R»dRV К Rsin9d9vR sin 0 9а
(И)
цилиндрические координты (л, 0, г):
divl=ll(Mr)+ 1^.+^ .(12)
г дгг 50 дг
Ротор (или вихрь) вектора (rot Л = [у Л]):
декартовы координаты:
дАг дА^дАг дА^дгдгдАг \ "Г . дАм дАх \ Г—- / + L к;дх /\ дх ду /(13)дАг \ "Г . дАм дАх \ Г—- / + L к;дх /\ дх ду /(13)
дАг дА^
дАг дА^
дг
дг
дАг \ "Г . дАм дАх \ Г
—- / + L к;
дх /\ дх ду /
(13)
дАг \ "Г . дАм дАх \ Г
—- / + L к;
дх /\ дх ду /
(13)
3д / pa д \2 Л?\5R)3д / pa д \2 Л?\5R)——~ —; (is)R'1 sin2 9 да2——~ —; (is)R'1 sin2 9 да2сферические координаты (R, &, а):
3д / pa д \
2 Л?\5R)
3д / pa д \
2 Л?\5R)
——~ —; (is)
R'1 sin2 9 да2
——~ —; (is)
R'1 sin2 9 да2
1,
rotfl
dAp
7? sin 0 d0 x' R sin 0
j =1 ^^L d (DA у
da
(14)
roto
R sin 9 da R 5R ^ a ’*
rota
А =12(Мб)_1^;
R 5RVR 59
в)
цилиндрические координаты (г, 0, г);
rot4 = l^_^; г дВ дг
, “1дАгдАг
дгдг
।, л \1дА,
го12Л =--(гЛо)-f-.
гдггди
(15)
4.
Оператор «набла»:
Т д , Т д , г д V = t Я" + /Г + к^- дхдудг
(16)
5. a)
Оператор Лапласа (А = v2): декартовы коорди наты:
дх2 ду2 дг2
(17)
б) сферические координаты (R, 0,а):
1 £
/?2sin U <50
цилиндрические координаты (г, 0, г):
“ dr2 + г dr + г'1 сЮ2 + дг2 *
Операция (Л у) 5:
W-A.^A^a!(20)
(21)(21)(А^ r = a.
(21)
(21)
Операции векторного анализа для полей, обладающих шаровой симметрией [ф = ф (Я); Л = Л (/?)]:
grad ф (R) = ^ • dR
div A(R)= — •
dR
= ^ • v^; R dR v
(22)
(23)
R_ _
R ~
dAn
rot A (R)= [фЛ(Я)
J =
AR, -
L dR)
•
(24)
Интегральные теоремы:
Теорема Остроградского — Гаусса
$ Alf = J div A du,.(25)
где V — объем, охватываемый замкнутой поверхностью S.
Теорема Стокса:
$ A1L = J rot A-df, (26)
LS”
где S — поверхность, натянутая на замкнутый контур L.
Теорема Грина:
Иф|^ —Ф ^W = С (фАф — фДф) tfo. (27) J \ on дп] J
Дифференцирование произведений:
grad (фф)=Ф grad ф + Ф grad ф;(28)
div(фЛ) = Л grad ф+фdivЛ;(29)
rot фЛ = [grad ф А] + ф rot Л:(30)
div [ЛВ) = В rot А — Л rot В;(31)
rot [ЛВ] = (Вф)Л — (Лу?) В 4- Л div В — В divЛ; (32) grad (АВ) = (Лф)В + (В^) Л + [Л rot BJ + [В rot Л]. (33)
Повторное дифференцирование:
(34)(34)rot grad ф = (v, ^ф] = 0;
(34)
(34)
div rot Л = v[V^l = 0;(35)
div gradф = v (w) = V2V = Аф!(36)
rot rot Л = [v IV ^J1 = grad div Л — ДЛ. (37)
ПЕРЕВОД ОБОЗНАЧЕНИЙ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИНИЗ АБСОЛЮТНОЙ СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ В МЕЖДУНАРОДНУЮСИСТЕМУ СИ
При переходе от абсолютной гауссовой системы единиц к Международной системе единиц СИ или наоборот необходимо произвести следующие подстановки:
Абсолютная система единиц Г аусса
Международная система единиц СИ
Напряженность электрического поля Магнитная индукция Электрическая индукция Напряженность магнитного поля . . Диэлектрическая проницаемость . . . Магнитная проницаемость Плотность заряда
Сила тока
Скалярный потенциал электрического поля
Векторный потенциал магнитного поля
Вектор Пойнтинга
Вектор Герца
Емкость
Индуктивность
Ё Ё
В-^сВ
D -> 4лР
Л -> — п с
е 4лв с2 И ^ г И 4л
Р~*Р /-/
Ф^ Ф
А -*с А 8-^8
П 4л/7
С-* 4лС
L-^cL
3. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ЕДИНИЦАМИ МЕЖДУНАРОДНОЙ СИСТЕМЫ СИ И ЕДИНИЦАМИ АБСОЛЮТНОЙ ГАУССОВОЙ СИСТЕМЫ
Единицы в системе СИ
1
Единицы в абсолютной системе
Время /
1 сек
1 се к
Длина 1
1 м
102 см
Масса т
1 кг
103 г
Сила F
1 н
10б дин
Энергия W
1 дж
Ю7 эрг
Мощность р
1 вт
107 эрг!сек
Заряд е
1 к
3-Ю3 ед. СГСЭ
Напряженность электрического поля Е
1 в/м
у 10-4ед.СГСЭ/^
Электрическая индукция D
1 к/м
4л-3 -105 ед. заряда
СГСЭ/си2
Потенциал ср
1 в
у • IO-2 ед. СГСЭ
Емкость С
1 Ф
9-1011 см
Сила тока /
1 а
3-109 ед. СГСЭ
Сопротивление R
1 ом
~ -Ю-11 ед. СГСЭ
Напряженность магнитного поля Н
1 а/м
4л • 10"3 э
Магнитная индукция В
1 тл
104 гс
Магнитный поток Ф
1 вб
108 мкс
Индуктивность L
1 гн
109 ед. СГСЭ
4. ЗНАЧЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ПОСТОЯННЫХ
Диэлектрическая проницаемость вакуума е0 - 8,854 • 10'12 ф/м
Магнитная проницаемость вакуума ци 4л • 10~7 гн!м
Постоянная Авогадро (число молекул в 1 кнлограмм-моле) N - 6,025 • 1026
Заряд электрона
е = 1,601 • 10'19 к
Масса электрона
иг = 9,108 • 10-31 кг
Масса протона
тр = 1,6724 • 10-27 кг
Масса а-частицы
та = 6,644 • 10-27 кг
Постоянная Планка
h = 6,62 ■ 10-34 дж • сек Скорость света в вакууме
с = 2,99776 • 108 м/сек ^ 3 • 108 м/сек
Число молекул в 1 м3 при нормальных условиях
L = 2,687 • 1025 л*3
Постоянная Больцмана
к = 1,38 • 10~23 дж • град-1
Энергия, соответствующая 1 эв,
1,602 • 10-19 дж
Энергия, соответствующая массе покоя электрона, 0,5108 Мэв.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 3
Из предисловия к первому изданию—
ГЛАВ А I
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
Методы решенияэлектростатических задач 5
Метод, основанный на использовании принципа суперпозиции полей 5
Расчет электрических полей при помощи теоремы Гаусса21
Интегрированиеуравнений Лапласа иПуассона. ... 29
Метод электрических изображений42
Энергия электростатического поля. Емкость проводников и конденсаторов. Силы, действующие на заряды и проводники в электрическом поле 57
Электростатическое поле в диэлектриках 75
Постоянный электрический ток 105
ГЛАВА II
ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Методы расчета магнитных полей 119
Расчет магнитных полей с помощью закона Био и Савара 121
Расчет магнитных полей с помощью закона Эрстеда . . . 130
Векторный и скалярный потенциалы магнитного поля. Магнитный момент тока 137
Энергия магнитного поля. Коэффициенты индукции150
ГЛАВА Ill
ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Электромагнитная индукция 169
Квазистационарное электромагнитноеполе178
Полная система уравнений Максвелла. Плоские электромагнитные волны 192
Излучение электромагнитных волн . 213
ГЛАВА IV
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях 233
Электрические и магнитные свойства вещества252
ГЛАВА V
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Релятивистская механика . 283
Релятивистская электродинамика 302
Ответы и указания 318
Приложения:
Важнейшие формулы векторной алгебры и векторного анализа 342
Перевод обозначений физических величин из абсолютной системы единиц в Международную систему СИ346
3' Соотношение между единицами Международной системы СИ и единицами абсолютной гауссовой системы .... 347
4. Значения некоторых физических постоянных—
Николай
Иванович Жирнов
ЗАДАЧ НИК-ПРАКТИК УМ ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Редактор Л. М. КотоваХудожественный редактор А. В. СафоновТехнические редакторы
В. Ф. Коскина и И, В. КвасницкаяКорректоры
К. А. Иванова и Р. Б, Штутман
Сдано в набор 18/ХТТ 1969 г. Подписанокпечати11/VIII1970 г.
84хЮ81/з2* Бумага тип. № 3. Печ. л. И. Усл.л.18,48.Уч.-изд.л.14,59.
Тираж 15 тыс. экз. (План 1970 г.). А 03780.
Заказ № 541.
Издательство «Просвещение» Комитета по печати при Совете Министров РСФСР.
Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Саратовский полиграфический комбинат Рос- главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров РСФСР.
Саратов, ул. Чернышевского, 59с
Цена без переплета 41 коп , переплет 10 коп.
ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ВЫСШИХ И СРЕДНИХ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИИ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
МОСКОВСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙЗАОЧНЫЙПЕДАГОГИЧЕСКИЙИНСТИТУТ
Н. И. ЖИРНОВ
ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
ПРОСВЕЩЕНИЕ
19 7 0
В формулах (1) и (3) X — заряд, приходящийся на единицу длины нити.
21. Проводником заняты три четверти всего пространст
ва. В свободной от проводника части пространства на расстояниях а и b от плоских стенок проводника находится точечный заряд + е.
но, магнитная проницаемость проводника, по которому течет ток,
Главное управление высших и среднихпедагогических учебных заведенийМинистерства просвещения РСФСР
Московский государственный заочный педагогическийинститут
Н. И. ЖИРНОВ
ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ
ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Пособие для студентов-заочниковфизико-математических факультетовпедагогических институтов
ИЗДАНИЕ 3-е, ИСПРАВЛЕННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»Москва 1970
537
Ж 73
Редактор МГЗПИ Ломкое Э. К.