ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 9

Часть I

МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ В ВАКУУМЕ

Глава 1. Специальная теория относительности и релятивистская кинематика 12

.Принцип относительности и преобразования Лоренца 12

Пространство и время в классической механике (12). 1.2. Принцип относительности Эйнштейна (16). 1.3. Преобразования Лоренца (18).

Некоторые следствия преобразований Лоренца 21

Сокращение масштабов. Преобразование объема (21). 2・2・ Относительность одновременности. Собственное время (21). 2.3. Релятивистское преобразование скорости (22). 2.4. Преобразование направлений. Аберрация света (23). 2.5. Видимая форма быстро- движущихся тел (25).

Геометрический смысл преобразований Лоренца. Интервал и причин

ность 26

Преобразование Лоренца как поворот в четырехмерном мире (26). 3.2. Три типа интервалов. Причинность (29).

Четырехмерные векторы и тензоры 30

Определение вектора. Контра- и ковариантные компоненты (30).

Четырехмерные тензоры (33). 4.3. Дифференциальные операции (34). 4.4. Четырехмерные скорость и ускорение частицы (35).

Действие для свободной частицы. Энергия и импульс 36

Принцип наименьшего действия для свободной частицы (36).

Энергия и импульс свободной частицы (38) • 5.3. Связь между массой и энергией (39).

Кинематика релятивистских частиц 41

Распад частиц (41). 6.2. Энергетический порог реакции (42).

Кинематика двухчастичных реакций (42). 6.4. Преобразование фазового объема и функций распределения (44).

Глава II. Специальная теория относительности и электромагнитные явления 46

Взаимодействие между заряженными частицами и электромагнит* ное поле 46

Взаимодействие в теории относительности. Электрический заряд и электромагнитное поле (46). 7.2. Действие для частицы, находя* щейся в электромагнитном поле. Чегырехмерный потенциал (48).

Уравнение движения релятивистской частицы в электромагнитном поле. Напряженность поля 48

Функция Лагранжа и уравнение движения (48). 8.2. Сила Лоренца. Напряженность электромагнитного поля (50). 8.3. Градиентное преобразование потенциалов (51). 8.4. Функция Гамильтона (52).

Уравнение движения в ковариантной форме. Тензор электромагнитного поля 52

Вариация действия и уравнение движения (52). 9.2. Связь тензора поля с напряженностями £, Я (55).

Преобразование напряженностей электромагнитного поля. Инвариан* ты поля 56

Преобразование напряженностей (56). 10.2. Инварианты поля (56).

Движение релятивистской частицы в скрещенных электрическом и магнитном полях. Электрический дрейф 57

Движение в однородном магнитном поле (57). 11.2. Электрический дрейф (59). 11.3. Гиперболическое движение (61).

Теорема Лармора 63

Глава III. Уравнения электромагнитного поля 64

Вывод уравнений Максвелла в ковариантной форме из принципа наименьшего действия 64

Действие для системы, состоящей из частиц и электромагнитного поля (64). 13.2. Четырехмерная плотность тока (67). 13.3. Уравнения Максвелла (70).

Трехмерная форма уравнений Максвелла и их связь с опытными законами электромагнетизма 71

Уравнения Максвелла в трехмерной форме (71). 14.2. Интегральная форма уравнений Максвелла (73). 14.3. Системы единиц измерения электрических и магнитных величин (75).

Граничные условия для векторов электромагнитного поля 77

Условия для нормальных компонент (77). 15.2. Условия для тангенциальных компонент (78).

Тензор энергии — импульса электромагнитного поля. Вектор Пойнтинга 79 16.1. Тензор энергии — импульса релятивистских частиц(79).

Тензор энергии — импульса электромагнитного поля(81).

Энергия поля. Вектор Пойнтинга. Максвелловский тензор напря* жений (83).

Единственность решения уравнений Максвелла 85

Уравнения для электромагнитных потенциалов 87

Глава IV. Постоянное электрическое поле в вакууме 88

Общие свойства постоянного электрического поля 88

Интегрирование уравнения Пуассона 91

Интегральная форма уравнения Пуассона (91). 20.2. Единственность решения электростатической задачи (93). 20.3. Решение граничной задачи с помощью функций Грина (93).

Потенциал на больших расстояниях от системы зарядов. Дипольный и квадрупольный моменты 95

Энергия и силы взаимодействия в электростатическом поле 98

Энергия электростатического поля (98). 22.2. Система зарядов во внешнем поле (101).

Потенциал двойного слоя 103

Глава V. Постоянное магнитное поле в вакууме 105

Общие свойства постоянного магнитного поля в вакууме 105

Основные уравнения (105). 24.2. Закон Био — Савара (107).

Псевдоскалярный потенциал магнитного поля и магнитные листки (108). 24.4. Формула Ампера (109).

Магнитный момент 110

Энергия и силы в постоянном магнитном поле 113

Магнитная энергия стационарных токов (113). 26.2. Энергия системы контуров с током. Коэффициенты самоиндукции и взаимной индукции (113). 26.3. Система токов во внешнем поле (115).

Силы в постоянном магнитном поле (115).

Глава V I. Электромагнитные волны 117

Волновые уравнения 117

Уравнения электромагнитного поля в отсутствие зарядов (117).

Пример решения волнового уравнения — плоские волны (118).

Плоские монохроматические волны 120

Амплитуда, частота и волновой вектор. Фаза плоской монохроматической волны (120). 28.2. Преобразование частоты и волнового вектора. Эффект Доплера (122). 28.3. Поляризация плоской вол*

Немонохроматические волны. Спектральное разложение 124

Когерентность и интерференция 128

Описание некогерентного поля излучения с помощью корреля* ционного тензора. Время и длина когерентности (128). 30.2. Влияние временной и пространственной когерентности на интерференцию волн (131). 30.3. Частичная поляризация электромагнитных волн (136).

Гамильтонова форма уравнений электромагнитного поля 139

Собственные типы колебаний (моды) электромагнитного поля (139). 31.2. Число собственных колебаний (141). 31.3. Гамиль* тониан и гамильтонова форма уравнений поля (142).

Глава V II. Поля движущихся зарядов 144

. Запаздывающие потенциалы 144

Функции Грина волнового уравнения (144). 32.2. Выбор запаздывающих потенциалов (148). 32.3. Спектральное разложение запаздывающих потенциалов (149).

. Принцип Гюйгенса и формула Кирхгофа 150

Вывод формулы Кирхгофа (150). 33.2. Геометрическая оптика. Дифракция Френеля (153). 33.3. Дифракция Фраунгофера (155).

Электромагнитное поле точечного заряда, движущегося произвольным образом 158

Потенциалы Пиенара — Вихерта (158). 24.2. Напряженность поля (159). 34.3. Спектральное разложение потенциалов Пиенара — Вихерта (160).

Глава VI IL Излучение и рассеяние электромагнитиых волн 161

§35. Илучение релятивистской заряженной частицы 161

Угловое распределение излучения (161). 35.2. Потеря энергии и импульса заряженной частицей (163). 35. 3. Спектральное распреде* ление излучения (166).

Излучение нерелятивистской системы заряженных частиц 169

Электрическое дипольное излучение (169). 36.2. Квадрупольное и магнитно-дипольное излучение (171) . 36.3. Поле на близких расстояниях (173) 36.4. Примеры излучения простейших систем (174).

Излучение макроскопических тел. Антенны 175

Вектор Герца (175). 37.2. Излучение антенны. Диаграмма направленности (176). 37.3. Принцип взаимности (178).

Реакция излучения 180

Взаимодействие заряженной частицы с собственным электромагнитным полем 1180) . 38.2. Вычисление силы радиационного торможения из закона сохранения энергии (181).

Излучение и рассеяние электромагнитных волн осциллятором 183

Излучение осциллятора. Естественная ширина спектральных линий (183). 39.2. Рассеяние электромагнитных волн осциллятором (184).

Рассеяние электромагнитных волн свободными частицами 187

Формула Томсона (187). 40.2. Когерентное и некогерентное рассеяние (187).

Часть 11

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ПОЛЯРИЗУЮЩИХСЯ И НАМАГНИЧИВАЮЩИХСЯ СРЕД

Г лава I. Уравнения электромагнитного поля в поляризующихся и намагничивающихся средах 190

Макроскопический и микроскопический подходы к описанию электромагнитных явлений в средах 190

Микроскопические уравнения поля. Сторонние и наведенные заряды и токи (190). 1.2. Усреднение уравнений Максвелла (192).

Уравнения электромагнитного поля в средах 195

Связь наведенных зарядов и токов с удельными дипольными моментами. Уравнения Максвелла в средах (195). 2.2. Другая форма уравнений поля в средах. Вектор обобщенной электрической индукции (200).

267267о 37 72 2о 37 72 279798081848689909295222222222 279798081848689909295222222222 2592592

267

267

о 3

7 7

2 2

о 3

7 7

2 2

79798081848689909295

222222222 2

79798081848689909295

222222222 2

592

592

Тензор комплексной диэлектрической проницаемости. Временная дисперсия

Функция отклика и диэлектрическя проницаемость (201).

Свойства диэлектрической проницаемости при действительных частотах (203) . 3.3. Свойства диэлектрической проницаемости при комплексных значениях частоты (206).

Тензор комплексной диэлектрической проницаемости. Пространственная дисперсия

Соотношения Крамерса— Кронига

Дебаевское экранирование

Электростатический потенциал точечного заряда в среде (216).

Дебаевский радиус (219).

Диссипация энергии поля в диспергирующих средах

Энергия электромагнитного поля и поток энергии в диспергирующей среде • . •

Уравнения электродинамики в движущихся средах 9.1. Уравнения Максвелла и материальные уравнения (232). 9.2. Граничные условия (235). 9.3. Уравнения Максвелла с обобщенным вектором индукции (237).

Силы, действующие на элементы среды в электромагнитном попе .... 10.1. Силы, действующие на диэлектрик, помещенный в постоянное электрическое поле (238). 10.2. Силы, действующие на магнетик, помещенный в постоянное магнитное поле (2411 10.3 Силы в переменном электромагнитном поле (242)

Среднее и эффективное пеня в сред&х . . ,

Г л 8 в а ". Постоянно» электрическое ло^е в средах

Электрическое поле в окрестности проводников

Электрическое поле в непроводящих средах

Термодинамические соотношения для диэлектриков во внешнем электрическом поле

14.1.Внутренняя энергия и свободная энергия диэлектрика<255)« 14.2.Изменение внутренней энергии диэлектрика при изотермическом включении поля (257). 14.3. Симметрия тензора диэлектрической проницае* мости (259).

Силы, действующие на жидкие диэлектрики в электрическом поле. Электрострикция

Статическая диэлектрическая проницаемость

Связь между статической диэлектрическойпроницаемостью

и флуктуациями вектора поляризации среды в отсутствие внешнего электрического поля (261) . 16.2. Диэлектрическая проницаемость средьь состоящей из полярных молекул (265). 16.3. Диэлектрическая проницаемость среды, состоящей из неполярных молекул (265).

Транспортные явления в среде, помещенной в постоянное электри* ческое поле

Электрический ток и поток тепла в среде в присутствии внешнего электрического поля (267). 17.2. Эффект Пельтье (269). 17.3. Эффект Томсона (269). 17.4. Термоэлектродвижущая сила (269). 17.5. Соотношения Томсона (270).

Оценка проводимости в приближении времени релаксации

Пьезоэлектрики и сегнетоэлектрики

Пьезоэлектрический эффект (273). 19.2. Сегнетоэлектрики (275).

Г лава III. Постоянное магнитное поле в средах

Классификация магнетиков §21. Постоянное магнитное поле в среде, обусловленное токами

Термодинамические соотношения для магнетиков в магнитном поле § 23. Адиабатическое размагничивание

Теорема Бора — Ван Лёвен

Транспортные эффекты в магнитном поле § 26. Ферромагнетизм

Магнитные свойства сверхпроводников

Глава IV. Электро1магнитиые волиы в средах

Плоские электромагнитные волны в изотропных средах. Продольные и поперечные волны

Электромагнитные волны в анизотропных средах 300

Распространение волн в неоднородной среде. Поверхностные волны. Скин-эффект 302

Поверхностные волны (302). 30.2. Нормальный скин-эффект (306). 30.3. Аномальный скин-эффект (309). 30.4. Скин-эффект при высоких частотах (314).

Электромагнитные волны в волноводах 316

Отражение и преломление объемных поперечных электромагнитных волн на границе раздела сред 319

Диэлектрическая проницаемость плазмы и плазмоподобных сред при конечных частотах 321

Вычисление функции е 債，з) электронного газа при конечных k s з (321). 33.2. Продольные колебания бесстолкновительного не- въ(рожденного электронного газа (323). 33.3. Поперечные колебания электронного невырожденного бесстолкновительного газа (326).

Ионно-звуковые колебания (326). 33.5. Гидродинамическое описание волн в однородной изотропной плазме (328).

Магнитогидродинамическое описание электромагнитных волн в плазме в магнитном поле 331

Система уравнений магнитной гидродинамики (331) . 34.2. Магнитогидродинамические волны (334) ♦

Прохождение электромагнитных волн через гиротропные среды 336

Распространение жесткого излучения в кристаллах 339

Фундаментальные уравнения теории дифракции рентгеновских лучей в кристаллах (339). 36.2. Кинематическое и динамическое приближения в теории дифракции рентгеновских лучей (342). 363. Сечение дифракционного рассеяния рентгеновских лучей на кристаллах конечного объема (343). 36.4. Температурные эффекты при дифракции рентгеновских лучей (347).

Глава V. Излучение электромагиитиых волн быстрыми частицами в средах 350

Излучение быстрых частиц в пространственно-однородной среде 35° 37.1. Описание потерь энергии быстрых нерелятивистских частиц в веществе в рамках диэлектрического формализма (350). 37.2. Торможение быстрой частицы за счет испускания объемных плазмонов (352). 37.3. Излучение Вавилова — Черенкова (354).

Генерация электромагнитных волн при движении быстрой частицы в пространственножеоднородной среде. Переходное излучение. Возбуждение поверхностных плазмонов 355

Излучение гамма- и рентгеновских лучей при движении быстрых заряженных частиц в кристаллах 360

Глава VI. Нелинейные электромагиитиые процессы в средах 362

Нелинейная поляризация 362

Общее феноменологическое выражение для нелинейной поля> ризуемости (362). 40.2. Квадратичные по полю эффекты нелинейности (364). 40.3. Кубичные по полю эффекты нелинейности (365).

Классические модели, обеспечивающие существование нелинейной воспр иимчивости 366

Нелинейная восприимчивость газа свободных электронов (366). 41.2. Нелинейность, связанная с ангармонизмом колебаний (367}.

Дополнения 369

Д1. Элементы тензорной алгебры и анализа в трехмерном евклидовом пространстве 369

Д.1.1. Определение тензора (369). Д.1.2. Операции над тензорами (370).

Д. 1.3. Симметрия тензоров (371). Д.1.4. Инвариантные тензоры 6Q^ и е叩)(372), Д1,5. Приведение симметричного тензора II ранга к диагональному виду (373). Д1.6. Преобразование тензоров при инверсии системы координат. Псевдотензоры (374).

ДИ. Дополнительные сведения о тензорах в четырех мерном псевдоевкл и* довом пространстве 375

ДН.1. Связь между четырехмерными и трехмерными тензорами (375).

А"・2. Теорема Остроградского — Гаусса в 4*лространстве (376).

Д|||. Вариационный принцип для непрерывных систем 377

Д||| .1. Колебания упругой среды как предел колебаний дискретных точечных масс (377). ДШ.2. Лагранжева форма уравнений движения непрерывной среды (379).

Д| V. Дельта-функция Дирака 381

Д|V.I. Определение и общие свойства (381). Д1 V.2. Некоторые представления 6-функции (383). Д1 V.3. Представление 6*функции через контурные интегралы в комплексной плоскости (384).

AV. Перевод электрических и магнитных величин из системы СИ в гауссову и обратно 385

AVI. О тензоре энергии — импульса 387

ДV 1.1. Симметрия тензора энергии — импульса (387). Д\/1.2. Об однозначности определения тензора энергии — импульса поля (388).

Д\/И. Сферические функции Лежандра 389

Д\/ II(.Постоянное электрическое поле внутри сферической полости в диэлектрике 391

Д1Х. Реактивное поле в диэлектрике 392

Рекомендуемая литература 393

Предметный указатель . . 396

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемый курс электродинамики представляет собой часть курса теоретической физики. Он рассчитан в основном на студентов*физиков и написан в соответствии с существующими программами по теоретической физике для вузов. Авторы стремились отразить в книге современный уровень развития классической электродинамики и современные тенденции в преподавании теоретической физики как базовой дисциплины для всех физических специальностей. Для достижения этой цели при изложении любой физической дисциплины необходимо сделать упор на применение общих, фундаментальных принципов теоретической физики.

Возросший уровень преподавания общей физики и основных разделов математики также стимулировал написание такого учебника, который, с одной стороны, годился бы для первоначального ознакомления с предметом, а с другой — содержал такие факты из области теории электромагнетизма и изложенные таким образом, чтобы процесс изучения материала мог оказывать активное воздействие на формирование общефизических представлений и "взыка", отражающего современное состояние науки. Этот принцип оказал большое влияние на вьбор излагаемого в книге материала и на стиль изложения. Мы стремились изложить основные полученные к настоящему времени в классической электродинамике результаты, обращая особое внимание на тот материал, который подводит читателя к разделам электромагнетизма, интенсивно развивающимся в настоящее время.

Электродинамика является важной частью теоретической физики. Последнюю же можно назвать теоретической основой всего естествознания. Выработка в таких условиях общих понятий приобретает особое значение, потому что эти понятия оказывают большое влияние на оценку не только научных фактов сегодняшнего дня, но и тех фактов, которые появятся в ближайшем будущем. Обращая внимание читателя на возможные "точки роста" науки, мы стремились тем самым сделать восприятие читателем материала более активным, г поэтому и эффективным. Этой же цели служит довольно обширный список литературы, рекомендуемой для дальнейшего чтения. В него включены известные авторам основные учебники и монографии по вопросам, которые затрагиваются в настоящей книге или тесно к ним примыкают, а также обзорные статьи последних лет (в основном из журнала "Успехи физических наук"), которые дадут возможность читателю почувствовать ‘‘дыхание" сегодняшней науки. Из оригинальных статей в список литературы включены лишь те, которые были непосредственно использованы при написании книги.

От большинства имеющихся на русском языке учебников по электродинамике (таких, как известные книги И.Е. Тамма [88], Дж. Джексона [44], В. Пановского и М. Филипс [73], А.Н. Матвеева [66] и др.) предлагаемый курс отличается тем, что электродинамика с самого начала из- 9

лагается в нем как последовательно релятивистская теория. Большое внимание уделено вопросам релятивистской ковариантности уравнений и транс(|юрмационным свойствам физических величин. Последовательно релятивистский подход к электродинамике оказывается предпочтительным и в прагматическом плане; часто он более экономен, и уж определенно более надежен, даже в тех случаях, когда релятивистские эффекты малы. В основу вывода уравнений релятивистской механики и электро* динамики положен принцип наименьшего действия. В этом смысле настоящая книга ближе всего к известной книге ЛЛ. Ландау и Е.М. Лифшица "Теория поля ° [58], а также к учебным пособиям ^Начала теоретической физики** Б.В. Медведева [68] и "Электродинамика0 Ю・В« Новожилова и Ю.А. Яппы [71].

Такой стиль изложения предполагает, конечно, чтобы кроме курсов общей физики и математики электродинамике предшествовал достаточно серьезный курс классической механики, читаемый как раздел теоретической физики, с изложением лагранжева и гамильтонова методов и вариационных принципов механики, в том числе и для непрерывных систем. Последний вопрос включен в настоящий курс в виде Дополнения III. Кроме того, предполагается, что в курсе общей физики достаточно подробно изложены физические основы специальной теории относительности, основные опытные законы электромагнетизма, введено понятие злектро- магнитного поля и состоялось первое знакомство с уравнениями Максвелла. Указанный материал содержится, например, в "Об山ем курсе физики** Д.В. Сивухина (см. [82]) или в серии мБерклеевский курс физики0.

Большое внимание авторы уделяли также тем вопросам, изучение которых давало бы читателю возможность почувствовать, что классическая электродинамика, несмотря на прилагательное ''кпассическан", является современной, живой и развивающейся наукой. Поэтому значительное место в книге занимают вопросы взаимодействия электромагнитного поля с поляризующимися и намагничивающимися средами. Мы отразили в книге, ввиду их важности, также и вопросы термодинамики диэлектриков, сегнетоэлектриков и магнетиков. Предполагается, что основы термодинамики известны читателю из курса общей физики. В крайнем случае, соответствующие параграфы можно при чтении опустить без ущерба дпя понимания последующиго чисто электродинамического материала»

Книга состоит из двух тесно связанных, но самостоятельных частей. Поэтому во второй части принята независимая нумерация параграфов. Ссылки на формулы даются без указания части книги во всех тех случаях, когда это не может привести к недоразумениям.

Часть материала вынесена в дополнения. Это — вопросы математи- ”еско「о характера (о тензорах, дельта-функции, сферических функциях Лежандра), лагранжева формулировка уравнений движения непрерывной среды, некоторые электростатические задачи физики диэлектриков, дополнительные сведения о тензоре энергии — импульса. Этот материал, а также часть основного текста — примеры, разъясняющие общую теорию, и краткие отступления в другие области физики — набраны петитом.

Мы обозначаем векторное произведение косым крестом ^ X b} t скалярное произведение — точкой (ab).

Предпола「аетсн, мтоприсистематкнеском изучении материала параллельно с чтением книги читатель работает со "Сборником задач по электродинамике0 В.В. Батыгина и И.Н. Топтыгина [16]. Поэтому книга почти не содержит задач.

При написании книги авторы использовали опыт преподавания теоретической физики на двух физических факультетах Ленинградского политехнического института и опирались на общие принципы подготовки инженеров* физ и ко в широкого профиля, заложенные основателем физикомеханического факультета акдемиком А.Ф. Иоффе и развитые его преемником академиком Б.П. Константиновым. Ранее курс электродинамики в Политехничжком институте и лекции по избранным вопросам теории электромагнитных явлений в Ленинградском физико-техническом институте АН СССР около 20 лет с большим успехом читал профессор М・М. Бредов. Общаясь с ним, мы восприняли многие его педагогические идеи, касающиеся принципов изложения материала в области теории электромагнетизма. В некоторых параграфах перзой части книги использованы конспекты его лекций. Эти обстоятельства, а также чувство глубокого уважения к профессору М.М. Бредову, побудили нас включить его в число авторов этой книги, которая была написана уже после его кончины.

Авторы приносят глубокую благодарность всем, кто оказывал им поддержку и помощь в работе над книгой. Особенно признательны за поддержку академику В.М.Тучкевичу, профессорам В-Л. Бонч-Бруевичу, А.Р. Регелю, Л.С. Стильбансу, Я .С. Уфлянду.

Авторы благодарят чл.-корр. АН СССР Л.П. Питаевского, профессора Ю.А. Фирсова, доктора физ.-мат. наук В.И. Денисова и доцента В.В.Батыгина за их труд по ознакомлению с рукописью и ценные зама чания.

Мы очень признательны академику А .А. Логунову и сотрудникам кафедры квантовой теории поля и физики высоких энергий МГУ за их внимательное и доброжелательное отношение к нашей работе.

Мы особенно благодарны сотрудникам кафедры теоретической физики Ленинградского политехнического института, совместная педагогическая и научная работа с которыми и многочисленные обсуждения способствовали отбору материала книги и апробации вариантов его изложения.

В. В. Румянцев И.Н. ТоптыгинВ. В. Румянцев И.Н. ТоптыгинЛенинград^ декабрь 1983 г.

В. В. Румянцев И.Н. Топтыгин

В. В. Румянцев И.Н. Топтыгин

Часть I МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ В ВАКУУМЕ

Глава I

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА

Специальная теория относительности (СТО), на которой в настоящей книге базируется изложение релятивистской механики и электродинамики, была создана в начале текущего столетия трудами А. Эйнштейна и других выдающихся физиков и математиков*) (X. Лоренц, А. Пуанкаре, Г. Минковский, М. Планк и др.). Ее основой, в свою очередь, явились представления о свойствах пространства, времени и движения, выработанные классической механикой, но углубленные, критически проанализированные и в некоторых важных пунктах измененные и дополненные Эйнштейном в связи с новыми опытными данными, полученными к тому времени в физике при изучении электромагнитных явлений, особенно в движущихся средах. Поэтому мы начнем этот параграф, посвященный основам СТО, с краткого резюме некоторых понятий, известных из классической механики и необходимых для дальнейшего изложения. Предполагается, что эти понятия в основном известны читателю и требуют только некоторого напоминания.

ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА

Пространство и время в классической механике. Из классической (ньютоновской) механики хорошо известно понятие инерциальной (галилеевской) системы отсчета — это такая система, в которой материальная точка, не взаимодействующая с какими-либо другими телами, движется равномерно и прямолинейно или покоится. Существует бесконечное множество инерциальных систем отсчета, так как любая система, движущаяся относительно данной инерциальной системы с постоянной скоростью без вращения, также является инерциальной.

Координаты и время в различных инерциальных системах выражаются друг через друга посредством простых линейных соотношений. Пусть система S" движется относительно системы S со скоростью V = const, направленной вдоль оси х, причем в момент времени Г = 0 начала координатных систем совпадали, а соответствующие оси параллельны (рис. 1.1). Тогда координаты х： уz'続 время г' в системе S' связаны с х, у, z, j определенными в системе S, соотношениями

%, у' = у, z'=z,，=乙(1.1)

которые называются преобразованиями Галилея,

*) Оригинальные работы основоположников СТО можно найти в сборнике [7 7]. 12

Обратим в ни мание на то, что время не преобразуется — во всех инерци> альных системах время одно и то же, оно имеет абсолютный характер. Это свойство времени в классической механике очень четко выразил ее основоположник И. Ньютон)： "Абсолютное истинное математическое время само по себе и по своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно и иначе называется длительностью..

Из преобразований Галилея (1.1) вытекает закон сложения скоростей в классической механике: если v и “ 一 скорости материальной точки относительно систем S и S', то

v = V - К (1.2)

Скорости складываются по закону сложения векторов (правило параллелограмма) и ничем не ограничены по абсолютной величине.

Инерциальные системы отсчета отличаются от неинерциальных систем тем, что все законы физики формулируются в них наиболее просто. Физические явления в инерциальных системах также выглядят проще, чем в неинерциальных: на них не накладывается неравномерное движение самой системы отсчета.

В отсутствие каких-либо материальных тел и полей пространство, рассматриваемое относительно инерциальной системы, однородно и изотропно, а время — однородно. Под однородностью пространства понимается равноправие всех его частей: любая механическая система, помещенная в произвольную область свободного пространства, будет двигаться точно так же, как и в любом другом месте. Иными словами, поведение одинако* вых механических систем при одинаковых начальных условиях — одно и то же в разных частях однородного пространства. По их поведению нельзя отличить одну область пространства от другой.

Изотропия пространства означает равноправие всех направлений в нем: поведение механической системы не зависит от ее ориентации. Наконец, однородность времени означает, что все его моменты равноправны: движе* ние механической системы будет происходить одинаково независимо от того, в какой момент времени она была "запу山ена", т.е. когда были фиксированы начальные условия движения. Разумеется, начальные условия при разных ''запусках" должны быть одними и теми же.

Говоря об одинаковости протекания механических явлений в различных ситуациях, следующей из свойств симметрии пространства и времени, мы пока все время имели в виду либо одну определенную инерциальную систему отсчета, либо системы, которые неподвижны друг относительно друга и лишь сдвинуты на некоторый вектор или повернуты на некоторый угол. Но, как уже говорилось, существует бесконечное множество инерциальных

систем, движущихся друг относительно друга с постоянными скоростями. В связи с этим возникает важный вопрос — как будут протекать механические явления в движущихся инерциальных системах? Можно ли по наблюдению движения каких-либо тел узнать, движется ли система отсчета, в которой наблюдается то или иное механическое явление, или она покоится?

Ответ на эти вопросы дает принцип от носи тел ьности классической механики, который является обобщением опытных данных о свойствах механического движения:

механические явления при одинаковых начальных условиях протекают одинаково во всех инерциальных системах.

Это означает, что все инерциальные системы равноправны, ни одна из них не является чем-либо выделенной, привилегированной. Движение можно определить только по отношению к какому-либо телу или системе осей, связанных с телом, оно носит относительный характер, не существует ^абсолютного** движения.

Следует подчеркнуть важность оговорки об одинаковости начальных условий. Если начальные условия движения тел в разных инерциальных системах различны, то движение тел будет происходит по-разному. Например, мяч, подброшенный вертикально вверх в вагоне поезда, будет двигать* ся по прямой в системе, связанной с вагоном, но его траектория будет параболой в системе, связанной с Землей. Различие в движениях связано с неодинаковостью начальных условий в двух системах — поезда и Земли. Если не требовать тождественности начальных условий, то можно утверждать лишь об одинаковости законов механики (т.е. дифференциальных уравнений движения), но не самих движений (т.е. координат, скоростей, траекторий тел) в разных инерциальных системах.

Математическим выражением принципа относительности клас^1 ческой механики является инвариантность ее уравнений движения относительно преобразований Галилея (1.1). Запишем уравнение движения частицы с массой m в системе S:

(1.3)(1.3)d2r

(1.3)

(1.3)

где 尸一сила, действующая на эту частицу, а г — радиус-вектор частицы. Из формул (1.1) следует: d2r/dt2 = d”r‘Idt'' — ускорение частицы в двух

инерциальных системах одно и то же. Кроме того, в классической механике масса — инвариантная величина, одинаковая во всех системах отсчета: = =/п. Таким же свойством обладает сила:尸'=尸.

Ивариантность силы — утверждение менее очевидное, поэтому оста но* вимся на нем подробнее. В инерциальных системах отсчета существуют только силы взаимодействия между телами, которые могут зависеть от относительного положения тел и от их относительной скорости. Пусть, для определенности, рассматриваемая частица взаимодействует с некоторым телом малых размеров. Если обозначить его радиус*вектор в системе S через К, а скорость — через и, то сила 尸 будет зависеть от разностей г — R, V —

(1.4)(1.4)F = F(r — R, v — “).

(1.4)

(1.4)

Но при переходе в другую инерциальную систему, согласно преобразова* нинм Галилея (1.1) и закону сложения скоростей (1.2),

г — А = г，— А\ V — « = vr — и\

т.е, расстояния между телами и их относительные скорости не изменяются. Существенно, что согласно опытным данным, в области применимости 14

классической механики и само взаимодействие между телами не зависит от того, в какой инерциальной системе оно рассматривается. Поэтому

尸'，-R\^-u)^F(r-Rfy^u)(1.5)

—как сами функции 戶 (силы) г так и их аргументы одинаковы.

Таким образом, при переходе в систему S' уравнение (1.3) сохраняет свой вид,

7r 小，(1.6)

причем масса, сила и ускорение в обеих системах одинаковы, меняются только обозначения этих величин. Это означает, что уравнение движения (1.3) остается инвариантным (неизменным) относительно преобразований Галилея. Но тогда и решения уравнений (1.3) и (1.6) при одинаковых начальных условиях будут тождественны, в соответствии с содержанием принципа относительности.

Обратим внимание на одно важное свойство взаимодействия тел в классической механике, которое отражено в формулах (1.4) - (1.5). Сила зависит от координат (и, возможно, скоростей) взаимодействующих тел, причем координаты и скорости берутся в один и тот же момент времени. Это означает, что если положение одного из тел изменилось, второе тело почувствует это изменение немедленно. Взаимодействие передается мгновенно, т.е. с бесконечно большой скоростью.

Содержащееся в уравнениях классической механики предположение о бесконечной скорости распространения взаимодействий (иногда говорят о распространении "сигналов") находится в полном соответствии с абсолютным характером времени. Действительно, пусть в системе Sимеется устройство, которое испускает изотропно во все стороны 〃си「нал", распространяющийся с бесконечной скоростью. Соответствующие приборы, находящиеся в любых точках пространства и в любых инерциальных системах, движущихся относительно S с конечными скоростями, зафиксируют этот сигнал в тот же момент, в который он был испущен. Тем самым такие сигналы могут служить "меткам我 времени", с помощью которых во всех инерциальных системах будет отсчитываться одно и то же, т.е. абсолютное, время，= г"=…=г.

Аналогичным образом обстоит дело с определением одновременности: если два сигнала испущены одновременно в двух разных точках в системе S, то они будут одновременно зафиксированы соответствующим прибором в системе S'. События, одновременные в одной инерциальной системе, одновременны и в любой другой системе. В классической физике одновре* менность абсолютна.

В заключение перечислим еще раз основные свойства пространства и времени в классической физике.

Существуют инерциальные системы отсчета, относительно которых свободная частица (материальная точка) движется равномерно и прямолинейно (покой — частный случай тако「о движения).

В любой инерциальной системе отсчета свободное от материи пространство однородно и изотропно, а время однородно.

Любое механическое явление при одинаковых начальных условиях протекает одинаковым образом во всех инерциальных системах отсчета (принцип относи тел ьности)

Взаимодействия между материальными телами и сигналы, служащие для передачи информации, могут распространяться с бесконечной скоростью.

Координаты и время в двух инерциальных системах связаны преобразованием Галилея (1.1). Время одинаково во всех инерциальных системах, т.е. абсолютно. Одновременность тоже абсолютна.

2. Принцип откосительности Эйнштейна. Экспериментальные и теоретические исследования электромагнитных явлений, особенно в движущихся телах, потребовали пересмотра и уточнения основных представлений о свойствах пространства, времени и движения. Мы не будем обсуждать здесь экспериментальных основ СТО — предполагается, что читатель знаком с ними по курсу общей физики ). Мы изложим основные свойства пространства, времени и движения в их современном понимании; при этом, в целях преемственности, мы примем за основу свойства, сформулированные выше.

Постулат о существовании инерциальных систем и их определение сохраняют полную силу и в СТО.

Пределы применимости утверждения о свойствах симметрии пространства и времени (однородность и изотропия свободного пространства, однородность времени) расширяются и распространяются не только на механические, но на все физические явления (электромагнитные, тепловые, процессы взаимодействия элементарных частиц и т.д.). Это означает, например, что следствием однородности пространства будет одинаковое протекание любого физического явления (колебание маятника, излучение радиоволн антенной, распад элементарной частицы и т.д.) в любом месте свободного пространства. Аналогичным образом обобщаются понятия изотропии пространства и однородности времени.

Принцип относительности классической механики обобщается на все без исключения физические явления и становится одним из самых общих законов природы. В этом обобщенном смысле его можно сформулировать следующим образом:

Любое явление природы протекает одинаково во всех инерциальных системах отсчета, если начальные условия(I)

одни и те же.

Взаимодействия между телами и сигналы, передающие информацию, не могут распространяться с бесконечной скоростью. Существует макси- мальная (предельная) скорость распространения взаимодействий. Многочисленные экспериментальные данные указывают на то, что эта предельная скорость совпадает со скоростью света в вакууме*" •

Это утверждение обычно называют постулатом о постоянстве скорости света в вакууме. Его можно сформулировать в другой, эквивалентной форме:

Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных

системах отсчета, она не зависит от движения источника(II)

или приемника света.

Нетрудно понять, что приведенные формулировки эквивалентны. Если бы предельная скорость распространения сигналов и взаимодействий изме-

нялась при переходе из одной системы отсчета в другую, то она утратила бы свой предельный характер: при переходе в другую инерциальную систему можно было бы как уменьшить, так и увеличить эту скорость. Следовательно, постулируя существование предельной скорости, мы обязательно должны считать ее одинаковой во всех инерциальных системах отсчета, т.е. инвариантной величиной. Тот факт, что именно скорость света (т.е. скорость распространения электромагнитных волн) совпадает с предельной скоростью передачи взаимодействий, не играет решающей роли для СТО, но является очень важным свойством самого электромагнитного поля.

Совокупность постулатов (I) и (II) называется принципом относитель мости Эйнштейна ). Нетрудно видеть, что эти постулаты противоречат классической механике. Законы классической механики, как мы видели, будут одинаковы во всех инерциальных системах, если координаты и время преобразуются по формулам Галилея (1Л). Но из последних вытекает закон сложения скоростей (1.2) • Если скорость света в системе S равна с, то в другой инерциальной системе, согласно (1.2), она станет равной

V* = с - К(1.7)

Скорость「по модулю может быть как больше, так и меньше % в зависимости от угла между с и 匕 что и доказывает несовместимость постулата о постоянстве скорости света с преобразованиями Галилея, а тем самым — и с законами классической механики; поэтому, если мы хотим принять приведенные выше общие положения (1) — (4), то должны отказаться от преобразований Галилея и абсолютности времени, т.е. от свойства 5 (см. п. 1.1).

Эйнштейн глубоко проанализировал свойства времени и понятие одновременности. Он показал, что классическая механика приписывала времени такие свойства, которые, вообще говоря, не согласуются с опытом и могли выглядеть как приблизительно правильные только при малых скоростях движения. Одним из центральных пунктов эйнштейновского анализа понятия времени является синхронизация часов, т.е. установление единого времени в пределах оаной мнерциапьной системь1 зсчета. Если двое часов находятся в。丽о« тоике пространства, то нх синхронизаиин производится непосредственно — стрелки ставятся в одно и то же положение (мы будем предполагать, что все часы одинаковы и идеально точны). Но как произвести синхронизацию часов, находящихся в разных точках пространства^ и 8?

Эйнштейн предложил производить синхронизацию часов с помощью световых сигналов, которые распространяются, как мы видим, с максимально возможной в природе скоростью передачи сигналов и взаимодействий. Испустим из точки А в момент 厶 короткий световой сигнал, который отразится от некоторого зеркала в точке В и вернется в точку А в момент h ° Времена распространения сигнала туда и обратно конечны (скорость сигнала конечна!) и одинаковы (изотропия пространства!). Поэтому часы в точке В будут синхронизованы с часами в точке Д, если их показания m в момент прихода сигнала будут связаны с показаниями часюв Д в момен* ты испускания (厶)и возвращения (") сигнала соотношениями

G = 3 -，ав/с，?2=3+「ав/с，

где гдв — расстояние между точками Див. Отсюда находим положение, в которое надо поставить стрелки часов В в момент прихода сигнала: Гв = =Ui +々)/2. Совершенно очевидно, что синхронизацию часов с тем же

результатом можно произвести, испуская сигнал в точке 8 и принимая его в точке А. Такой же способ синхронизации можно применить для точек С。 и гл., и таким образом синхронизовать все часы, неподвижные друг относительно друга в некоторой инерциальной системе S — все они будут показывать одно и то же время Г.

А можно ли часы, движущиеся относительно системы S, синхронизовать с часами, неподвижными в S? Мысленные эксперименты 8 световыми сигналами, аналогичные описанному, показывают, что такая синхронизация невозможна, единого для всех инерциальных систем времени не существует. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим поучительный пример с эйнштейновским ''поездом".

Пусть наблюдатель А находится посредине длинного "поезда", движущегося с релятивистской скоростью, а наблюдатель 8 стоит на земле близ полотна железной дороги. Приборы Сий, находящиеся в голове и в хвосте поезда на одинаковых расстояниях от Д, испускают две короткие световые вспышки, которые достигают наблюдателей Д и В одновременно — в тот момент, когда они поравняются друг с другом. Какие выводы из факта одновременного прихода к ним сигналов из С и D смогут сделать наблюда* тели в поезде и на земле?

Наблюдатель А: сигналы были испущены из точек, удаленных от меня на равные расстояния, и пришли одновременно, следовательно, они и испущены были одновременно.

Нгблюдатель 8: сигналы пришли ко мне одновременно, но в момент испускания голова поезда была ко мне ближе, чем хвост. Следовательно, сигнал от хвоста прошел больший путь и был испущен раньше, чем сигнал от головы.

Этот пример показывает, что часы в системе поезда (S') синхронизова* ны только с точки зрения наблюдателя, неподвижного относительно S'. Для наблюдателя в системе S (земля) часы в точках С,。А показывают различное время. По этой причине события, одновременные в системе S' (вспышки в С м в О), неодновременны в системе S. Но это означает, что и синхронизация часов наблюдателя 8, находящегося на земле, с часами в поезде невозможна — время в двух разных инерциальных системах, совер- щающих относительное движение, различно, t'夕九 Это не исключает возможности совпадения времени в разных системах в отдельный момент — например, наблюдатели А и 8 в момент встречи могут установить одинаково стрелки своих часов. Но уже в любой последующий момент показания часов разойдутся.

1.3. Преобразования Лоренца. Нам нужно установить на основе рассмотренных выше свойств пространства, времени и движения в СТО формулы преобразования координат и времени при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, которые заменили бы преобразования Галилея. Логика вывода будет такой: мы будем последовательными этапами, исходя из физических постулатов, формулировать математические требования, которым должны удовлетворять формулы преобразований, и на каждом этапе искать сюответствующие ограничения на искомые формулы, пока не определим их структуру до конца.

Из однородности пространства и времени следует, что преобразования должны быть линейными:

х' =ах + а'у+ 0‘2 + 0г+° и т.д., (1.8) где а, 0, а', •. • — постоянные коэффициенты. Если бы эти величины были функциями координат и времени (т.е. связь между штрихованными и

нештрихованными переменными была нелинейной), это означало бы, что закон преобразования (1.8) неодинаков для разных точек пространства и для разных моментов времени. Это противоречило бы однородности пространства^времени — по закону преобразования можно было бы отличать одни области пространства (и моменты времени) от других. Но коэффициенты а, 0 и т.п. могут зависеть, разумеется, от относительной скорости.

Конкретизируем теперь рассматриваемые системы (рис. 1.1). Пусть соответствующие им оси параллельны и относительное движение происходит вдоль оси х со скоростью 匕 а начала отсчета выбраны так, что при ■ О точка х' = у' = z' = Ь (начало координат системы S') совпадает с точкой х = / = z = 0 (началом координат системы S). Стрелки мков в системе S' мы поставим таким образом, чтобы в момент совпадения начал координат систем они показывали время У = 0. В этих условиях свободные члены в равенствах (1.8) (постоянная р и т.п.) обратятся в нуль.

Мы видим далее, что плоскость ху совпадает с плоскостью х'，・ Это означает, что при z' = 0 должно быть и z = 0, причем эти равенства должны выполняться при любых значениях х\ у\ t' и соответственно хz /Л. Это возможно только если связь между z и?'имеет вид z'=kz, к = const. Ввиду произвольности направлений осей у и z (изотропия пространства!) такая же связь с тем же коэффициентом к должна быть между у и у': /' = ^К,,

Теперь рассмотрим преобразования х' и £‘• Запишем их в виде

У = ох + 5t + о'у + 5'z.*

В плоскости хг = 0 имеем х = Vt при любых z и у, так как система S' движется относительно S со скоростью V. Подставив эти значения х и х' в первое равенство (1.9), будем иметь о/ = 0' = 6, S = — а V. Наконец, обра* тимся к формуле преобразования для，. Мы установили часы в системе S'так, чтобы при х - 0 и Г = 0 было У = 0. Это возможно только при о' = & ' = 0. В итоге имеем следующие формулы преобразований:

х'=а(р)(*- Vt), у -k(V)yf z' = HV)z,，= o(V0x+ 8(V)t.(1.10)

где у коэффициентов явно указана зависимость от относительной скорости.

Используем теперь условие равноправия систем S и S'. Оно означает, что формулы перехода из Sf в S должны получаться из формул перехода (1.10) заменой V на —丿：

х = а(— V)(x' + "), У =攵(—VOy', z =攵(—\/)z', Г = а(—，х' + 8(— V0J

(1.11)

Обратимся сначала к формулам для у и z. Случаи (1.10) и (1.11) отличаются только направлением относительной скорости, которая и в том и в другом случаях перпендикулярна к плоскости yz. Но оба направления совершенно равноправны (изотропия пространства!), поэтому к(— V)= =2(，• Совершая преобразование от у к к* и затем снова от у' к у, будем иметь у = к*у, т.е. к2 = 1, £ = ± 1. Значение £ = — 1 отвечает противоположной ориентации осей у и у', поэтому соответствие с рис. 1.1. будет только при значении к = 1.

Обратимся к преобразованиям (1,11) и подставим в формулу для х значения х' и £‘ из (1.10):

X = [М- V)a(V) + Va(V)a(- V)]x+ а(-У)\/[6(У) -a(V)]t.(1.12)

Чтобы это равенство было справедливо при всех х и Г, коэффициенты преобразования должны удовлетворять соотношению

6(VO=MVO.(1.13)

Второе соотношение, следующее из (1.12), нам не потребуется. Вместо него удобнее воспользоваться постулатом о постоянстве (правильнее сказать — об инвариантности) скорости света.

Пусть в момент совпадения систем S и S' (г =，=0) из совпадающих начал отсчета испущен короткий световой сигнал. Точка пересечения фронта волны с осью х движется в системе S со скоростью х/t = с. Но вследствие того, что световой сигнал распространяется во всех системах отсчета с одинаковой скоростью, скорост фронта в системе S' будет той же самой: х'/г'=с. На основе этих условий получаем из (1.10), поделив уравнение длн х' почленно на уравнение для，：

а(с- V0

с .

ос + а

Отсюда

У

а( У) = а”(1.14)

Чтобы определить коэффициент М，，рассмотрим уравнения сферичес* кого волнового фронта в системах S w S':

*2 +?' + / = (cf)2, х'2 +у'2 +z'2 =(Cf‘尸.(1.15)

В этих уравнениях опять использовано свойство инвариантности скорости света, поэтому с — одинаковое. Поскольку у' = /, z -z, то

(С，)2 一『2 =(сг)2 -*2.(1.16)

С помощью (1.10), (1.13) и (1.14) получаем из последнего уравнения

g2 (1 -丿2/e2)亿2尸-х2) =(Cf)2 -x2

откуда

а(И=± (1 - U2/c2T1/2.(1.17)

Здесь снова нужно взять только знак плюс, так как минус соответствует противоположному направлению осей х и х\

Собирая воедино результаты (1.10) — (1.17), приходим к релятивистским формулам преобразования координат и времени (преобразования Лоренца):

Обратные преобразования получаются из (1.18) заменой 丿 на —丿：

x'+W,f'+Px 7c2

x =У» z = z, L -7—…彳干.(1Л9)

V1 — V2 /с2\/l — V2/c2

Для сокращения записи формул релятивистского преобразования введем часю используемые обозначения:

(1.20)(1.20)0= V/cf 7-(1 一俨厂1/2

(1.20)

(1.20)

В этих обозначениях

х = у(х - Vt), у' - у, z' = z, ct" - y(ct - рх). (1.21)

При V7c《1 имеем: \/l - i/c?'弋 1, и преобразования Лоренца (1.18) переходят в преобразования Галилея (1.1) . Таким образом, последние применимы только при малых, по сравнению с предельной скоростью с, относительных скорсютях движения инерциальных систем. При V ->с коэффициенты в формулах (1.18), (1.19) обращаются в бесконечность и сами преобразования Лоренца теряют смысл. Это объясняется тем, что системы отсчета могут быть связаны только с макроскопическими материальными телами, относительные скорости которых не могут достигать предельной скорсюти с.

НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА

Сокращение масштабов. Преобразование объема. Пусть в системе S’ имеется неподвижная твердая линейка длиной Zo (масштаб), ориентирован* ная вдоль оси х'. Какую длину будет иметь этот же масштаб в системе S? Определим эту длину следующим способом: одновременно (в системе S) сделаем зарубки на оси х против концов масштаба, движущегося в этой системе со скоростью V. Расстояние между зарубками (неподвижными в S) и примем за длину I движущегося относительно S масштаба.

Для вычисления длины / используем преобразования Лоренца (1.18). Пусть концам стержня в системе S，соответствуют координаты х；,х；. Зарубки делаются в один и тот же момент ti = t2 = t в системе S в точках хь х2. Из (1.18) имеем 心一х； = (х? — *i )/S — 一/戸；нох】一х； равна Zo — длине неподвижного стержня, а х2 - *i равна / — длине даижу* щегося стержня. Поэтому

1 = к<\ -入2 ・ (2.1)

—при движении стержень сокращается (сокращение Лоренца — Фитцджеральда) •

Из формул (1.18) видно, что масштаб, ориентированный перпендикулярно относительной скорсюти, не испытывает лоренцева сокращения. Поэтому объем 少 движущегося тела уменьшится только за счет сокращения продольного размера:

沙=2% 4 -Л (2.2)

Мы видим^ что длина и объем тел в СТО различны в разных инерциальных системах, тогда как в классической механике эти величины инвариантны, т.е. одинаковы во всех системах отсчета.

Необходимо подчеркнуть, что сокращение движущегося масштаба или уменьшение объема движущегося тела — это реальные, а не кажущиеся эффекты. Они устанавливаются в результате измерения расстояния между реальными метками, фиксирующими положение концов стержня в выбранной системе отсчета.

22 Относительность одновременности. Собственное время. Мы уже указывали в § 1.2, что понятие одновременности в СТО теряет свой абсолютный характер. Здесь мы рассмотрим этот вопрос количественно. Пусть в системе S в точках с координатами х； и х； произошли одновременно (ti = Га) два события. С помощью (1.19) найдем промежуток

(2.3)(2.3)времени между этими событиями в системе S:

(2.3)

(2.3)

△ t = ^2 _?I =一 一 丁 .

С? S二卩％»

Этот результат показывает, что абсолютный характер имеет одновременность только таких событий, которые происходят в совпадающих точках пространства. При 勺 =х2 время между событиями △? = 0 во всех системах, если △/ = 0. В том же случае, когда события прсютранственно разделены, они, будучи одновременными в одной системе отсчета, неодновременны, вообще говоря, в других системах.

Сравним теперь промежутки времени, отсчитываемые по часам в дви* жущейся и неподвижной инерциальных системах. Пусть одни часы покоятся в системе S, а другие — в S'. Пока в системе S' пройдет промежуток времени т, в системе S пройдет согласно (1.19) большее время

△t = —丿 2『： (2.4)

Для дифференциалов времен в двух системах получим связь:

dT=，1 一 V?儿公 dt.(2・5)

Мы видим^что в движущейся системе время течет медленнее.

И пространственный объем, и время различны в разных инерциальных системах. Но их произведение инвариантно, в чем можно убедиться, перемножая равенства (2.2) и (2.4):

冴△?=廿()T = inv.(2.6)

Времяотсчитываемое по “асам, неподвижным относительно некоторого объекта, называется собственным временем этого объекта. Формула (2.5) дает связь между собственным временем покоящихся в системе S’ объектов и временем t, отсчитываемым в системе S. Собственное время можно определить и для неравномерно движущихся объектов. В этом случае для "сохраняется определение ⑵5), где V имеет смысл скорсюти инерциальной системы, мгновенно сопутствующей рассматриваемому объекту и совпадающей, следовательно, со скоростью самого объекта. Конечный интервал собственного времени получится интегрированием (2.5):

т = /，1 -产 m£dt,(2.7)

厶

где 小)—скорсють объекта в системе S •

Релятивистское преобразование скорости. Рассмотрим произвольное движение некоторого тела малых размеров. По определению,

vx = dxldt, vy = dy/dt, / = dz/dt

—декартовы составляющие скорости тела в системе S, а

吸=砍7次二 vy = dy'/dt； % = d?7"

—декартовы составляющие скорости того же самого тела в системе S’, если штрихованные и нештрихованные переменные связаны соотношениями (1.18). Чтобы найти связь ме*ду / и v, переписываем (1.18) для диффе* ренциалов,

, dx — Vdt ,,, dt - Vdx/c2

dx = —==== , dy =dy, dz = dz, dt =尸一

и делим первые три равенства почленно на dt. Получими делим первые три равенства почленно на dt. Получим厶一V ,,Уу =1 -厶 vtM厶一V ,,Уу =1 -厶 vtM"，1 -l/2/c'"，1 -l/2/c'1 - vx V/c21 - vx V/c2% VT- С/。？% VT- С/。？1 - vx V/c21 - vx V/c2• (2.8)• (2.8)

и делим первые три равенства почленно на dt. Получим

и делим первые три равенства почленно на dt. Получим

厶一V ,

,Уу =

1 -厶 vtM

厶一V ,

,Уу =

1 -厶 vtM

"，1 -l/2/c'

"，1 -l/2/c'

1 - vx V/c2

1 - vx V/c2

% VT- С/。？

% VT- С/。？

1 - vx V/c2

1 - vx V/c2

• (2.8)

• (2.8)

Эти формулы выражают релятивистский закон сложения скоростей, заменяющий правило параллелограмма (1.2) классической механики.

(2.9)(2.9)В пределе V/c《1 формулы (2.8) переходят в (1.2), а при у —с обеспе* чивают предельный характер скорости света с. Так, если кх —с, vy = u2 = О, го vfy = vz ^Qt а

(2.9)

(2.9)

=c, 1 一 V/c

в соответствии с принципом инвариантности скорости света. Результат не изменится, если скорость света будет направлена навстречу V. В числителе и знаменателе предыдущей формулы изменятся знаки перед U, но результат сложения скоростей останется прежним. Следует подчеркнуть, однако, что при сложении скоростей остается неизменной только абсолютная величина скорости света. Направление же ее может измениться при переходе в другую систему.

Результат (2.9) не означает, что в СТО никакие скорости не могут превышать скорости света. Скорость светового зайчика на экране, достаючно удаленном от источника, фазовая скорость волны, скорость разлета или сближения частиц в лабораторной системе и т.п. могут быть больше с. СТО утверждает лишь, что со сверхсветовыми скоростями невозможна передача информации и взаимодействий,

24. Преобразование направлений. Аберрация света. Преобразование скорости (23) влечет за собой преобразование углов 9, Ф, определяющих ее направление. Пусть 0 — угол между скоростью тела v и относительной скоростью Р, а Ф — соответствующий азимутальный угол, отсчитываемый в плоскости, перпендикулярной К. С помощью (2.8) находим: и]/и；= =勺包.Это означает, что азимутальный угол Ф не преобразуется:

Ф = &・ (2.10)

Формулу преобразования угла ® находим следующим образом:

J sin ®'7(丿 cos 6’ + У)J sin ®'7(丿 cos 6’ + У)(2.11)(2.11)

J sin ®'

7(丿 cos 6’ + У)

J sin ®'

7(丿 cos 6’ + У)

(2.11)

(2.11)

Мы воспользовались здесь формулами (2.8), заменив в них U на -U.

При релятивистском относительно:^ движении систем отсчета (V -^ с) имеем 0<0# во всех случаях за исключением того, когда скорость частицы в системе S' тоже близка к с и направлена противоположно К.

Для света у' = с,и (2.10) - (2.11) дают sin ®',

tg0 = —R；， ® = Ф・(2.12)

70 +cos ©)

Эти формулы описывают преобразование направления луча света при переходе в другую систему (явление аберрации света). Если £《| cos ®' | , то из (2.12) получим в первом порядке по V/c:

tg ®' — tg 6tg ®' — tg 60 tg@'0 tg@'cose'cose'

tg ®' — tg 6

tg ®' — tg 6

0 tg@'

0 tg@'

cose'

cose'

т.е. изменение угла Д0 =€>'—€>— малая величина порядка Р = V7c・ Поэто

му в первом приближении

(2.13)(2.13)△0 = — sin О .

(2.13)

(2.13)

Аберрация света и элементарная формула (2.13) сыграли большую роль в истории развития СТО. Пусть в некоторой системе отсчета S’ 一 системе неподвижной звезды — направление лучей света составляет угол 01 = тг/2 с направлением скорости Земли V (которую будем считать параллельной

Рис. 21.Рис. 21.

Рис. 21.

Рис. 21.

земной поверхности). Тогда в телескоп, установленный на Земле, звезда будет видна под углом Д0 = Vic к вертикали (рис. 2.1) . Через полгода, когда направление V изменится на противоположное, изменится и направление на звезду. Таким образом, неподвижные звезды будут совершать на небосводе видимые движения^ причиной которых является движение Земли по орбите. Формула (2.13) хорошо подтверждается наблюдениями.

В заключение остановимся на преобразовании угловых размеров световых пучков. Пусть в некоторой системе S пучок света распространяется внутри малого телесного угла сШ‘ = sin ®'d©'d4>'. Какие угловые размеры будет иметь тот же пучок в системе S ?

В этой системе dC = — decs ®4Ф, где углы ®, Ф нужно выразить через €>' и Ф‘ с помощью формул (2.11) . Удобно вычислить сначала cos 0: cos €>' + 0 cos 0 = г,(2.14)

1 + 0 cos ®

причем знак при извлечении корня выбирается так, чтобы cos 0 = cos ®' прм 0 = 0. Дифференцируя (2.14) # выражаем dC через dC':

IT? , dQ = — d^.(2.15)

(1 +0cos ® )2

Обратное преобразование, как обычно, получается переменой мест штрихованных и нештрихованных величин и изменением знака перед /3.

Чтобы лучше понять смысл преобразования телесного угла, представим себе, что в системе S’ имеется источник, испускающий свет изотропно во все стороны. Внутри телесного угла сШ' испускается доля от всего излучения, равная cW = d£2747r. Величина f = dN/d^l = 1 /4л представляет со- 24

бой функцию распределения излучаемого света по углам. В системе S та же доля излучения dN будет приходиться в соответствии с (2.15) на другой телесный угол, так что

dN 7 dC.(2.16)

47r(1 — 6cos0)2

Мы видим, чУо изотропное в одной системе распределение света по направ* лениям становится анизотропным в другой системе. Новая функция рас> пределения

становится резко анизотропной при релятивистской относительной скорости, когда 1—0《1. В этом случае излучения в направлении относи - тельной скорсюти (0 = О) и в противоположном направлении (0 = п) относятся как

ЯО)/Г(тг)二(1 +0)/(1 —0)芯 4尸 >1.

Это означает^ что любой источник света, движущийся с релятивистской скоростью, будет в основном излучать вперед по движению внутри конуса с углом раствора *)

©о = Г1《1， (2.18) даже если его излучение в сопутствующей системе близко к изотропному. Это свойство излучения играет большую роль для частиц с и 弋。・

Видимая форма быстродвижущихся тел. Поскольку все тела испытывают лоренцево сокращение, как это ясно из § 2.1, то, казалось бы, наблюдатель, движущийся с релятивистской скоростью, должен видеть все предметы сплющенными в направлении движения. Так, шар должен выгля* деть сплющенным эллипсоидом вращения, куб — прямоугольным параллелепипедом и т.д. Однако такое представление оказывается неверным. Эффекты СТО (конечная скорость света и сокращение Лоренцг) фактически приводят к тому, что тела, рассматриваемые в параллельном пучке света (т.е. в малом телесном угле), кажутся не сплющенными, а поверну* тыми относительно наблюдателя на некоторый угол а.

Для иллюстрации этого утверждения рассмотрим следующий пример: куб, фотографируемый в параллельном пучке света. Пусть непрозрачный куб с ребром /0 в своей системе отсчета движется относительно наблюдателя со скоростью V, Наблюдатель фотографирует его в момент, когда лучи света, испускаемые поверхностью куба, попадают в объектив фотоаппарата под прямым углом к направлению движения (в системе фотоаппарата, рис. 2.2.). Какое изображение будет сфотографировано?

Лучи, испущенные разными точками ребра А*В9 одновременно в системе Sr (куба), достигнут фотопластинки тоже одновременно. Длина изображения АВ будет такой же, как и в случае неподвижного куба, и будет определяться только тем сокращением, которое обусловлено расстоянием до предмета и фокусным расстоянием фотоаппарата. Примем эту длину за единицу.

У неподвижного куба изображение ребра £*Я* в параллельных лучах было бы слито с изображением А*В*, В случае движущегося куба лучи от ребра £'戶'должны быть

*)Как легко проверить с помощью (2.17), *®о)"(О) * 1/4.

При е > 0О # но при 0 < 1 отношение

〃®""о)а(@0/е)4《1.

Рис. 2.2.Рис. 2.2.

Рис. 2.2.

Рис. 2.2.

испущены раньше на время At = /。七 тогда они достигнут фотопластинки одновременно с лучами от А'В9, В момент испускания света ребро £'尸 занимало положение £； F； и до испускания света ребром А*В* проделало путь, равный VI0/с. Следовательно, теперь изображения ребер 48' и £'尸 не наложатся^ изображения ребер А'Е' и 8'戶'будут иметь длину V/с =0,8 не нуль, как у неподвижного куба, и вся грань A'B'F'E" сфотографируется в виде прямоугольника ABFE (рис. 2.3) с отношением сторон, равным 1

Лучи, создающие изображение ребер 48' и С'。'，испускаются кубом одновременно в системе S. В системе S', как следует из преобразований Лоренца (1.21)«лучи с ребра С'О' должны быть испущены раньше, чем с ребра А'В', на время At' = yVl/c2, где / — длина ребер 8'С' и О в системе S. Можно считать, что в системе S' на расстоянии △*' = /0 произошли два события, причем одно на △・ позже другого.Расстояние между ними в системе S определяется с помощью (1.19):

，三△* =)(△*' - ИДгЭ = /“1 -俨".

Ребра 8'С' и 4Q', параллельные направлению движения, испытали, таким образом, обьнное лоренцево сокращение. Их изображения (с учетом сокращения в фотоаппарате) будут иметь длины 6 — 0*.

Остальные ребра куба будут находиться на невидимой наблюдателем в рассматриваемый момент времени стороне и не будут сфотографированы. Таким образом, на фотографии получится задняя (по отношению к направлению движения) часть куба, т.е. куб будет выглядеть повернутым на угол а = агс$1П(ИЛ：) (см. рис. 2.3), но его форма не будет искажена. Если бы время было абсолютным и сохранялись в силе преобразования Галилея, то ребра 4。' и 8'С' не испытали бы лоренцева сокращения^ отрезки AD и ВС имели бы на фотопластинке длины, равные 1, и 4юрма куба была бы искажена.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА.

ИНТЕРВАЛ И ПРИЧИННОСТЬ

Преобразование Лоренца как поворот в четырехмериом мире. Многим результатам релятивистской кинематики можно придать простой геометрический смысл. Такой подход облегчает их интерпретацию и позво* ляет развить изящный математический аппарат СТО.

Поскольку время в СТО теряет абсолютный характер и зависит от системы отсчета, то для изображения кинематических соотношений естественно использовать четырехмерное многообразие — "пространство — время0, для которого применяют также выходящее из употребления название "мир" или, более подробно, "четырехмерный мир Минковского^. Изобразим на рис. 3.1 двумерное сечение четырехмерного пространства и отложим

на взаимно перпендикулярных осях координаты х и ct (удобно умножить время на с, чтобы обе координаты имели одинаковую размерность) • Отдельные точки в четырехмерном пространстве — времени указывают прсют- ранственные координаты и время некоторого ^события**. Последовательность кинематических состояний любого тела (т.е. его координаты в разные моменты времени) изображается ^мировой линией0.

Мировыми линиями (в отличие от траекторий классической механики) обладают не только движущиеся, но и покоящиеся в данной инерциальной системе тела. Так, мировой линией тела, покоящегося в (пространственной) точке х()оси х, будет прямая АВ, параллельная оси ct и проходящая через *о； мировая линия тела, движущегося с псютоянной скорсютью в = const (и проходящего через начало координат при Г = 0) — прямая CD (tg а = v/c}; мировая линия тела, движущегося с переменной скоростью ▽ (£)— кривая МЛ/; мировая линия светового луча, испущенного в момент Г = 0 из начала координат в направлении оси х — биссектриса координатного угла OF.

Выясним теперь геометрический смысл преобразования Лоренца. Запишем его только для х и с£：

к = 7(х — pct), ct'= >(сГ — 0х).(3.1)

Это — линейное однородное преобразование, очень напоминающее преобразование поворота в трехмерном евклидовом пространстве. Запишем, на。 пример, преобразование поворота ка угол 守 в плоскости ку в обычном прсютранстве:

х' = х со$ 9 + у sin 口 ，= — х sin 9 + у cos 9.(3.2)

Новые оси х： у, получающиеся в результате такого преобразования, изображены на рис. 3.2. Важнейшим свойством этого преобразования является сохранение расстояния между любыми двумя точками:

仅；一X； )2 +(У2 一 У； )2 = (*2 - *1 )2 +(，2 - У1 )2 •(3.3)

Расстояние 小 二 \Л*2 —打产 + 仇—八户'между точками 1 и 2 остается инвариантным при преобразовании поворота.

Для выявления сходства и различий между поворотом в евклидовом прсютранстве и преобразованием Лоренца запишем (3.1) через гиперболи-

ческие функции:

х' = х ch 屮一с£ $h 屮， cf = — х $h 屮 + с£ ch 屮，(3.4)

где

ch W=)= (1 — V2/c2ril2t $h W=0)= (V7c) (1 — V2/c2)-1/2,(3.5)

причем, как и должно быть

ch2^ — sh2 ^ = 1.(3.6)

Преобразование (3.4) также обладает свойством оставлять инвариантной некоторую квадратичную комбинацию координат х и ct — интервал

$12 = \/(。£；—或2 户一(X] — 2)2 •(3 .7)

В самом деле, из (34) —(36) непосредственно следует, что (с& - с“ )2 — - 仅；一х；产=(或2 — cf 1 )2 —优2 - *1 )2, И, таким обрдЗОМ, S； 2 = $12 = =inv. Интервал sl2 можно рассматривать как "расстояние" между точками плоскости х, cf. Но квадрат разности пространственных координат входит в выражение интервала со знаком минус. Пространство, в котором расстояние между точками определено формулой (3.7), называется псевдоев- клидовым. Наряду с очевидным сходством, между псевдоев к л идов ы м и евклидовым пространствами имеются и существенные различия. Так, в евклидовом пространстве квадрат расстояния между двумя точками г ； 2》0, причем равенство этой величины нулю означает, что точки 1 и 2 совпадают. В псевдоев к л идово м пространстве s> 2 может иметь любой знак, а обращение интервала в нуль возможно и для двух совершенно различных точек в четырех мерном пространстве — времени.

Рассмотрим, далее, положение новых осей х‘，сУ на псевдоевклидовой плоскости. Отложим координаты х и cf на осях прямоугольной системы координат (рис. 3.3). Точка』=0, совпадающая с началом координат системы S： движется в системе S со скоростью V. Ее мировая линия, очевидно, будет представлять собой ось времени ct' системы S'. Таким образом, эта ось будет наклонена к оси ct на угол ot = arctg (U/c). Ось*' новой системы можно определить условием ct* = 0. Но, согласно (3.1), в старой системе S это будет прямая ct=0x, проходящая через начало координат и составляющая тот же угол а = arctg (V/cj с осью х.

Новая система координат косоугольна! Было бы неправильно пытаться найти связь между х', сг' и х, ct непосредственно из рис. 3.3 путем проектирования отрезков, как это нетрудно сделать в евклидовом случае (см. рис.3.2). Преобразования Лоренца не только поворачивают оси, но и меняют масштабы координат по осям.

С помощью рис. 3.3 нетрудно дать геометрическую интерпретацию различным следствиям из преобразований Лоренца. Рассмотрим, например, относительность одновременности. В системе S линии равного времени — прямые, параллельные оси Ох. В системе S’ — это прямые, параллельные О х , не совпадающие с линиями равного времени в системе S. Поэтому события4 одновременные в S, не будут, вообще говоря, одновременными в S . Например, между одновременными в системе S событиями 4 и 8 в системе S’ пройдет промежуток времени △/ = А!б^/с, причем событие 8 произойдет раньше *).

Существует распрсютраненный спсюоб сделать преобразования Лоренца (3.1) формально тождественными преобразованию поворота (3.2) в евклидовой плоскости. Это достигается путем введения мнимой временной координаты ict и мнимого угла поворота. Заменим в (3.1) ^на —/9 и воспользуемся формулами ch(— “)= cos 9, sh(—少)=—isin 屮・

Получим

x" =*i cos 9+*4$皿 9， хм = — x1 sin <p +x4cos <pt (3.8) где *i =x, / =记七 Интервал в этих переменных примет вид

s£ =- (xZ-x；)2 - 仅:-*:)2, (3.9) т.е. будет отличаться только знаком от квадрата расстояния rj2 между точками евклидовой плоскости,

Но следует иметь в виду, что введение мнимой временной координаты приводит лишь к формальному сходству с евклидовым пространством. Глубокое внутреннее различие между двумя геометриями — евклидовой и псевдоевклидовой — зтим. разумеется, не устраняется. Поэтому мы в дальнейшем будем пользоваться действительной временной координатой х° =

Три типа интервалов. Причинность. Обобщим определение интервала (3.7) на четырехмерный случай:

$； 1 = (ch — Cfl )2 — 1*2 — *1 )2 —(歹2 — У1 )2 —匕2 — 口 户=

=с2 (^2 —厶)2 —小1・ (3.10) здесь r21 — обычное расстояние между (пространственными) точками 1 и 2. В зависимости от соотношения между временной ct и пространственны - ми к, у, z координатами двух точек s； 1 может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Применяют следующую терминологию: при «21 >0интервал называют времениподобным, при $£ < 0 — пространственноподобным, при $21 ■ 0 — светоподобным или нулевым.

Характер интервала тесно связан с причинностью — он определяет возможность причинной связи событий, происходящих в пространственно - временных точках 1 и 2. Если sh > 0, то событие 2 может быть причинно связано с событием 1 (и наоборот): из точки 1 можно послать сигнал со скоростью к = Гц !(t2 — 11) < с, который вызовет событие 2. Это возмож-

но и в случае нулевого интервала, но только сигнал должен распространяться с предельной скоростью с. События, разделенные пространственно- подобным интервалом, не могут быть причинно обусловлены, так как сигналы не могут распространяться со скоростью ” =七"化2 — 门)

Псевдоевклидову плоскость (х, ct) в зависимости от свойств интервала s == \Jc2t2 — х2'между началом координат (событие 0) и точками плоскости можно разделить на три области, различные по своим свойствам. Проведем биссектрисы координатных углов (рис. 3.4). Область 1 обладает следующими свойствами: а) любое событие, изображаемое некоторой точкой этой области, в каждой инерциальной системе происходит позже события 0 (это следует из неравенства V > 0 для всех точек этой области); 6) существует такая система отсчета, в которой рассматриваемое событие происходит в той же (пространственной) точке, что и нулевое событие, т.е. события являются одноместными. Для того чтобы найти такую систему^достаточно провести луч через начало координат и рассматриваемую точку. Угол а между этим лучом и осью ct определит скорость U = с tg а искомой инерциальной системы S’ относительно исходной системы S. Область 1 называют "абсолютно будущей0 по отношению к событию 0.

Область 2 является ^абсолютно прошедшей^ по отношению к 0. Все события этой области во всех инерциальных системах происходят раньше события 0 и могут быть сделаны одноместными путем подбора соответствующей инерциальной системы.

Аналогичным свойством обладают любые два события, разделенные времениподобным интервалом: понятия "позже" и "раньше" для них являются абсолютными. Это означает, что если в некоторой системе времена этих событий f 2 > f 1, то в любой другой системе также “ > г； •

Наконец, область 3 характерна тем, что любое событие из этой области может быть сделано одновременным с событием 0. Для этого достаточно вьгбрать инерциальную систему, ось х' которой проходит через начало координат и рассматриваемое событие. Но не существует такой системы, в которой оно было бы одноместным с событием 0. В этом смысле все точки области 3 являются абсолютно удаленными от точки 0.

В четырехмерном пространстве — времени также, разумеется, существуют указанные области. Они разграничены трехмерной гиперповерхностью s2 = 0 (световым конусом). Внутренние области этого конуса являются абсолютно прошедшей и абсолютно будущей, а внешняя — абсолютно удаленной от начала координат.

ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ

Определение вектора. Контра- и ковариантные компоненты. Для количественной формулировки законов природы с учетом требований СТО необходимо познакомиться с основами векторной и тензорной алгебры в четырехмерном псевдоев к л идовом пространстве. Она строится по аналогии с тензорной алгеброй в трехмерном евклидовом пространстве. Для удобства читателей мы даем в Дополнении I в элементарном изложении сводку основных понятий алгебры трехмерных тензоров； а в Дополнении Н - некоторые дополнительные (по сравнению с теми, которые изложены в этом параграфе) сведения по алгебре и анализу четырехмерных тензоров ).

Начнем с определения вектора в четырехмерном пространстве (или, сокращенно, 4-вектора).

Рассмотрим координаты точки (события) в четырехмерном пространст* ве и перенумеруем их верхними индексами от 0 до 3:

х° = ct, х1 =xz х2 = у, Ay.(4.1)

Как мы знаем, эти величины при переходе к другой инерциальной системе преобразуются по формулам

х01 = x°ch ф — х1 sh ф, *1' = — x°sh 屮 + 紹 ch 屮，

где th 屮=V/c.

Дадим следующее определение Фвектора, обобщающее определение вектора в трехмерном пространстве: четырехмерным вектором 厶'依°, А1, А2, А3) называется совокупность четырех величин, преобразующихся при переходе в другую инерциальную систему отсчета так же, как 4-координаты, т.е. по формулам (4.2):

4°' * Z^ch 屮—A sh 屮，А ' = — 2° $h 屮 +4%h 屮，

Д21 = Д2, Д31 = Д3.С"

Однако если мы захоти мг по аналогии с трехмерным евклидовым преют- ранством, вычислить квадрат вектора А1 А1 (сумма по повторя ющи мся значкам от 0 до 3), то легко убедимся, что такая величина не будет инвариантом преобразования Лоренца (т.е. поворота в четырехмерном пространстве) • Инвариантом оказывается комбинация компонент вида

①0')2 一81')2 一(42，)2 -(43，)2 =д。)2 - (41户一(42产 一 (43)2(44)

В случае координат 4-точки это — интервал (3.10):

$2 =(X。)2 -(X1)2 一 伙2 )2 - 83 )2(4.5)

В справедливости равенства (44) легко убедиться с помощью формул (4,3).

Для того чтобы определить квадрат Фвектора и скалярное произведение двух Фвекторов как инвариантные величиныж вводят в рассмотрение два сорта компонент одного и того же вектора — ковариантные и кбнтрава- риантные *). Контравариантные компоненты обозначаются верхними индексами 依')，а ковариантные — нижними индексами(4), Определим связь между ко- и контравариантными компонентами вектора:

4=4°,4=-А, 4=" Д3 «-Д3.(46)

Из (4.3), (4.6) следует, что преобразование Лоренца для ковариантного вектора выглядит так:

4； =4()ch 屮+4] $h 屮，4； =Z()$h 屮+4] ch 屮，厶；=4〃 厶]=厶3・

(4.7)

Составим теперь сумму произведений ковариантных компонент на контравариантные:

AtAf^A^ +4141 +4222 +4323.(4.8)

Эта сумма оказывается инвариантом преобразования, назовем ее квадратом 4-вектора. Аналогичным образом определяется скалярное произве-

дение двух векторов:

(4.9)(4.9)AiBl^A^ +厶18】+22^2 ^А3В3.

(4.9)

(4.9)

Его можно записать через временные 4, 8。и пространственные Л, В компоненты векторов следующим образом:

AtB^A^ -А ・К

Как следует из (4.6), безразлично, какой вектор в произведении кова・ риантный, а какой — контравариантный. Оба произведения, (4.8) и (4.9) — инварианты преобразования Лоренца. Но аналогичная сумма, составленная только из ковариантных или только из контравариантных компонент, не обладает простым законом преобразования и поэтому не имеет смысла.

Термин "скал叩〃 является синонимом слова ^инвариант0. Это — величина, имеющая одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчета, 4；4''=AiA1 и т.д.

Формулы преобразования (4.3), (4.7) можно записать в сокращенном виде:

Др = а^Д\ A\^aikAk. (4.10)

Здесь а'ь а『—матрицы преобразования, имеющие ковариантный и конт равариантный индексы. Матрицы, согласно (4.3), (4.7), имеют еле дующий вид:

(4.11)

Как видно из этих таблиц, а^^а^ t т.е. вид матриц различен в зависимости от того, какой индекс (первый или второй) верхний, а какой — нижний • Но обе матрицы симметричны, т.е. /七=а* . a J = ”'・

Перемножая матрицы (4.11), мы видим, что их произведение равно единичной матрице:

010 0010 0о о о о

0

1

0 0

0

1

0 0

1 о 0 1

(суммирование по ^ I). Обозначив элементы единичной матрицы через 6；, будем иметь

/*а/ = 5；, aj* = bf・(4.12)

Обратим внимание на то, что суммирование здесь производится либо по первым, либо по вторым индексам, причем один из них — нижний, а дру* гой — верхний. Единичная матрица, разумеется, симметрична, 6^ =6；, и расположение верхнего и нижнего индексов у нее произвольное.

С помощью (4.12) нетрудно найти преобразования, обратные (4.10).

Умножая первую формулу (4.10) на а/ и суммируя по 7, имеем

“4〃 = 6%"=“(4.13)

Аналогичным образом получаем

4/ = а(4；・ (4.14)

Из формул (4.13) и (4J0) следует, что матрица а1 к прямого преобразования контравариантных компонент вектора одновременно является и матрицей обратного преобразования его ковариантных компонент. Это разъясняет смысл термина ''контравариантный'' — преобразующийся с помощью обратной матрицы преобразования ковариантного вектора.

Четырехмерные тензоры. Примем следующее определение: 4-тензором 11 ранга называется совокупнсють 16 величин, преобразующихся как произведения компонент двух 4-векторов при переходе в другую инерциальную систему. Как и Фвекторы, Фтензоры могут быть ковариантными (Tik)n контравариантными (Г/^), а также смешанными (Т^ и 丁'衣)・ При этом, вообще говоря,乙“力丁％, смешанный тензор зависит от того, какой именно значок - первый или второй — ковариантный, а какой — контравариантный. В соответствии с этим возможны следующие законы преобразования 4-тензора II ранга:

С помощью формул (4.12) легко найти обратные преобразования. Тензоры более высоких рангов определяются аналогичным образом.

Одним из наиболее простых тензоров II ранга является метрический тензор g沿：

Преобразуя этот тензор с помощью (4.11), (4.12) к другой инерциальной системе, убеждаемся, что этот тензор — инвариантный, его компоненты одинаковы во всех системах. Поднимая один из индексов с помощью правила (4.6), т.е. переходя к смешанному тензору, получим

Это — единичный тензор, хорошо известный из теории трехмерных тензоров. Наконец, поднимая и второй индекс, получим д'" = 0係一 контрава- риантные компоненты совпадают с ковариантными.

С помощью метрического тензора производится опускание и поднятие индекса у любого 4-вектора или 4-тензора: из (4.6) и (4.16) следует, что

Ai-gikA^ A^9ikAk(4.18)

(суммирование по повторяющемуся индексу 依)• Поэтому интервал (4.5) может быть записан через gik в виде

$2=9 係 х'х",(4.19)

М.М. Бредов

а скалярное произведение — в формах

(4.20)(4.20)АВ=д1к”вк =收风・

(4.20)

(4.20)

Формула (4.19) поясняет, почему тензор gik называется метрическим: он позволяет определить инвариантное "расстояние" между двумя точками в четырехмерном псевдоев к л идово м пространстве, или, как говорят, установить метрику этого пространства.

Еще один важный для приложений Фтензор — это единичный антисимметричный тензор IV ранга eiktm. Он определяется по аналогии с соответствующим трехмерным тензором ©哂(см. Дополнение I.4) двумя условиями:

е0123 =1.

etklm меняет знак при перестановке любых двух индексов.

В результате остаются отличными от нуля (и равными ± 1) только те компоненты, у которых все 4 индекса различны; их число равно 4! = 24. При переходе к штрихованной системе имеем

е'0123 =эора1дэ2газ^ер^(4 21)

В силу определения е"'$, данного выше, правая часть (4.21) представляет собой определитель матрицы преобразования (4.11) . Но этот определитель равен единице, что следует непосредственно из явного вида матрицы и формулы ch2屮—sh2屮=1. Таким образом, е'°丨？з =〔 Изменение расположения индексов приводит к перестановке строк определителя, что вызывает изменение знака при каждой элементарной транспозиции (перестановке двух строк) . Но именно такими свойствами обладает и тензор eiklm, так что е iklm =产，(4.22)

т.е. /Нт, как и ^^, является инвариантным тензором.

4-тензор Т"…I т называется истинным, или просто тензором, если при инверсии пространственных координат (преобразование х'° = х'а = —х°, а = 1, 2, 3) он преобразуется как произведение координат х'х* …*'『.Если же при таком преобразовании тензор приобретает дополнительный множитель — 1, он называется псевдотензором (ср. с

трехмерным случаем, см. Дополнение IB). В соответствии с этим опреде* лением, д'" — истинный тензор, a etklm — псевдотензор.

Еще некоторые сведения о 4-тензорах приведены в Дополнении II. Они не необходимы для дальнейшего чтения этой книги, но полезны для лучше

го понимания материала.

Дифференциальные операции. Найдем правило релятивистского преобразования оператора градиента 8/8х'. В штрихованной системе

8次" Э

8х''8х‘，а/，

3x七

но согласно (4.13) =ajx", поэтому —77 =aj и

Эх

(4.23)

Полученное соотношение совпадает с законом преобразования ковариант* ного вектора (4.10), следовательно, оператор ЫЪхк представляет собой ковариантный вектор. Его пространственная часть совпадает с трехмерным

оператором V, а временная представляет собой производную Э/дх°:

(4.24)

Контравариантный оператор градиента может быть обозначен как ЫЪхк и, согласно (46), имеет следующий вид:

(4.25)

причем Xq =х°, % = — х° (а= 1,2,3).

Теперь становятся очевидными следующие утверждения:

ЭФ

—г — ковариантный вектор, если Ф— скалярная функция Фкоординат

аХ3azдА(

—г , , —г - соответственно смешанный, контравариантный и

Эх*次衣8х"

ковариантный Фтензоры II ранга.

m‘bAi

—г- = — четырехмерная дивергенция, инвариант преобразова*

ЭхЭх/

ния Лоренца.

84弘"

—г ——厂 —четырех мерный ротор, антиси мметрич ный тензор 次"dx1

II ранга.

Эх*Эх^Эх*Эх^T3 + 吟口e2护T3 + 吟口e2护(4.26)(4.26)

Эх*Эх^

Эх*Эх^

T3 + 吟口

e2护

T3 + 吟口

e2护

(4.26)

(4.26)

оператор Даламбера, инвариант преобразования Лоренца. Применение оператора Даламбера к некоторой величине не меняет закона преобразова* ния этой величины; например, ОФ — скаляр, 口々一ковариантный век* тори т.д.

Четырехмерные скорость и ускорение частицы. Трехмерная скорость частицы, V = dr /dt, не является Фвектором. Это следует хотя бы из того, что закон преобразования (2.8) величин 厶，vyi 匕 не совпадает с (4.3) или (4.7). Но скорость нетрудно переопределить таким образом, чтобы она стала 4*вектором. Предварительно найдем связь между собственным временем частицы т и интервалом. Воспользовавшись инвариантностью ин* тервала, запи шем:

决2 = g(kdxidxk “2〃2 (4.27)

Первое равенство — определение малого интервала в системе S; второе — его значение в мгновенно сопутствующей частице системе, в которой dxa = =0 (а= 1,2,3), a d*° =cdr. Из (4.27) находим:

dT = dsR (4.28)

откуда следует, что dr — инвариант, так как cfe и с — инварианты. Следовательно, если определить 4-скорость через производные от координат по

собственному времени,

(4.29)(4.29)J = dx^dr,

(4.29)

(4.29)

то совокупность таких производных образует 4-вектор. Пользуясь формулой (2.5), находим связь 4-скорость с трехмерной скоростью v:

,J弓);(4.30)

из (4.30) находим

UfU1 = с2 .(4.31)

^ускорение естественно определить через вторые производные от координат по собственному времени:

wl = d”W2产.(4.32)

Оно может быть выражено через трехмерное ускорение w и скорость у. Дифференцируя (4.31) по собственному времени, находим

〃М‘ = 0,(4.33)

т.е.4-скорость и 4-ускорение взаимно перпендикулярны.

ДЕЙСТВИЕ ДЛЯ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ.

ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС

Принцип наименьшего действия для свободной частицы. Механику релятивистских частиц удобно строить исходя из принципа наименьшего действия. Такой подход позволяет с самого начала легко обеспечить основное требование СТО — релятивистскую ковариантность уравнений механики, т.е. запись йх в такой форме, чтобы они были справедливы в любой инерциальной системе отсчета.

Как известно из классической механики, основной величиной, из которой выводятся уравнения движения, является действие S — интеграл по времени от функции Лагранжа, взятый вдоль траектории движения частицы между двумя фиксированными точками — точками 1 и 2:

(2)

S= / Ldt.(5.1)

⑴

В точках 1 и 2 задаются координаты частицы и моменты времени, в которые частицы проходят эти точки. Действие стационарно на истинных (фи* зических) траекториях, т.е. его первая вариация обращается в нуль:

5S = 0.(5.2)

Функция Лагранжа свободной нерелятивистской частицы имеет вид

L = mv”2.(5.3)

Мы потребуем, чтобы искомое действие для свободной релятивистской частицы обладало следующими двумя свойствами: а) релятивистской инвариантностью — это необходимо, чтобы был выполнен принцип относительности —одинаковость законов механики во всех инерциальных системах; б) функция Лагранжа релятивистской частицы при и/с< 1 дол ж* на переходить в известное из классической механики выражение (5.3).

Второе требование есть следствие принципа соответствия. Принцип соответствия представляет собой один из общефизических принципов, играю* 36

щих бгромную роль при построении новых физических теорий. Он требует, чтобы уравнения некоторой общей теории, включающей в себя предыду* щую более узкую теорию как частный случай, при соответствующих условиях переходили в уравнения частной теории. В данном случае частной теорией является классическая механика, а более общей физической теорией — релятивистская механика. Но уравнения релятивистской механики при малых скорсютях движения должны переходить в классические уравнения, правильность которых в области их применимости подтвержда* ется всей общечеловеческой практикой. Ранее мы уже использовали принцип соответствия, потребовав, чтобы преобразования Лоренца при V/c< 1 переходили в преобразования Галилея.

Вернемся к вопросу о действии для релятивистской частицы. При отсутствии каких-либо сил или полей единственная релятивистская инвариантная величина, характеризующая движение частицы из точки 1 в точку 2 четырехмерного пространства-времени — 3TQ длина ее мировой линии между соответствующими точками. Поэтому запишем действие в виде

(2)

S= а / %(5.4)

(1)

где а — инвариантная постоянная. Чтобы привести его к виду (5.1), пе- ds

рейдем к интегрированию по t, записав 沐=dt. Но, согласно

(4,28) и (2.5),

—=c\/l — i/c?：(5.5)

dt

где v(t) — терхмерная скорость частицы. Таким образом, действие при* ни мает вид

/.

S = ac /九(5.6)

(i)

и,следовательно, согласно (5.1), функция Лагранжа

L = acyl — V2/с2 .

Значение постоянной а устанавливается из принципа соответствия: при ”/с《1 имеем

厶=ac — Civ2 /2с.

Сравнивая второй член, содержащий и2, с выражением (5.3), находим a = -тс, где т — масса частицы; при этом получаем в нерелятивистском пределе

L = —тс? ^тчг 12.(5.7)

Здесь т — масса ^ерелятивистской (в том числе покоящейся) частицы - инвариантная величина. Иногда в литературе для этой массы используют название "масса покоя0, в отличие от массы движущейся частицы, зависящей от скорости (см. § 5.3).

Вспомним, что функции Лагранжа, отличающиеся на постоянную, физи* чески эквивалентны; поэтому псютоянную тс2 в (5.7) можно отбрсюить, и, таким образом, мы получили нерелятивистскую функцию Лагранжа (5.31). В общем же случае функция Лагранжа свободной релятивист*

ской частицы имеет вид

(5・8)(5・8)厶=—me? S — М/с"

(5・8)

(5・8)

Энергия и импульс свободной частвщы. Из лагранжева метода в механике мы знаем, как выражаются через функцию Лагранжа обобщенный импульс р и энергия &:

bL р ,& =р • V - £.(5.9)

Вычисляя эти величины путем дифференцирования (5.8), находим

(5.12)(5.12)

(5.12)

(5.12)

(5.11)

Уравнение Лагранжа d 8厶8厶.

dr 3vdr

поскольку 厶 не зависит от 乙 сводится к равенству dp/dt = O,T.e.ps const. Это вполне естественно: и импульс и энергия свободной частицы являются интегралами движения.

Сравнение формул (5.10) и (5.11) для р и & приводит к полезному соотношению между импульсом, скоростью и энергией релятивистской частицы:

(5・13)(5・13)р = &v/c2 •

(5・13)

(5・13)

Формула (4.30), дающая определение Фскорости, позволяет записать ра = mu" (а = 1, 2, 3), 8/с = muQ； но mJ 一 4-вектор, поскольку m — инвариант. Таким образом, энергия, деленная на скорость света, и трех мер* ный импульс частицы образуют 4-вектор энергии — импульса:

р' = ти" = (&/с,р) • (5.14)

Установление этого факта позволяет с легкостью преобразовывать энергию и импульс из одной инерциальной системы в другую:.

p'+V&7c2,,&'+р“

Рх =~-~^ , Ру=Рр Pz=°z， & =7=己;与•(5.15)

Пользуясь инвариантностью квадрата Фимпульса, найдем связь между энергией и импульсом свободной частицы. Выражения для квадрата 4-им> пульса одинаковы в системах S и S':

р%= (&/с)2 -М = (&%)2 -р，2(5.16)

Пусть S' — система покоя частицы, в которой 丿=0, и, согласно (5.10), (5.li),p‘= 0, &' = тс2. Из (5.16) получим

(5.17)(5.17)&2 = с2P2 +m2c4.

(5.17)

(5.17)

В инерциальной системе отсчета энергия частицы, выраженная через ее импульс, совпадает с функцией Гамильтона М(р). Таким образом,

К(р) = &(р)=\4п2c4 +с2P2：(5.18)

Перед корнем выбран положительный знак, чтобы (5.18) согласовыва* лось с (5.11) •

В природе существуют частицы (например, фотоны, кванты света), у которых масса покоя равна нулю. Но они, как и объекты, имеющие л? В О, обладают энергией и импульсом, связь между которыми дается формулой (5.17) при л?» 0:

&=ср.(5.19)

Из (5.11) следует, что конечная энергия у таких частиц может быть только, если их скорость и = с Очевидно, что формула (5.19) приближенно справедлива для любой частицы с m# 0, если у неер А тс. Такие частицы называются ультрарелятивистскими. Но при m 幺 0 скорость частицы к всегда меньше с. Это следует из (5.11): при и — с энергия частицы возрастает до бесконечности, что, очевидно, невозможно.

Связь между массой и энергией. Рассмотрим нерелятивистский предел для уравнений (5.10), (5.11). Полагая "с《1 г получаем из (5.10) р = =mv, что находится в полном соответствии с известным выражением для импульса свободной нерелятивистской частицы. В (5.11) удерживаем при разложении член, содержащий к2/с2, и получаем

1” +т~/2・(5.20)

Второе слагаемое представляет собой кинетическую энергию нерелятивист* ской частицы. Первый же член, величина тс2 - постоянная. Как мы знаем, в классической механике полная энергия частицы определена с точностью до аддитивной постоянной. Поэтому возникает вопрос — следует ли рассматривать величину

&0=小(5.21)

как ''энергию покоя0 неподвижной частицы, способную проявлять себя в различных физических процессах, или эта величина представляет собой ненаблюдаемую и не имеющую физического смысла постоянную, которую можно обратить в нуль изменением начала отсчета энергии? Для ответа на этот вопрос следует обратиться к опыту.

В явлениях, в которых массы частиц не изменяются и сами частицы не испытывают превращений, псхтоянные тс2 не играют роли, так как наблю* даемыми на опыте являются разности энергий покоящихся и движущихся нерелятивистских частиц, из которых эти псютоянные выпадают. Так, если на покоящуюся частицу начинает действовать некоторая сила, которая сообщает ей скорсють Ус, то изменение энергии частицы

△& = & — &о = mu? /2

совпадает с известным выражением для нерелятивистской энергии, а постоянная тс2 в таком процессе никак не проявляется. Характерной чертой таких (нерелятивистских) процессов является приблизительное сохра* нение массы покоя участвующих в них частиц.

Например, при сжигании обычного (химического) топливе в реак* ции типа

С + О? = СОз + О

на один акт выделяется энергия О в форме кинетической энергии молекул или фотонов порядка нескольких электронвольт (эВ). Это означает, что масса образовавшейся молекулы СО? меньше суммы масс молекул С и О на величину порядка Am = Q/c2. Энергия покоя молекулы СО2 составляет & = тс2 4 • 109 эВ; таким образом, относительное изменение массы покоя равно 4mlm % 10~9, т.е. эта величина сохраняется с огромной точностью .Поэтому при изучении явлений, происходящих с нерелятивистскими частицами (химические превращения, нерелятивистская механика сплошных сред и др.) сохранение массы покоя участвующих в таких процессах частиц рассматривают как точный закон природы.

При ядерных реакциях относительное изменение массы значительно больше. Например, в реакции

2H + 3H = 4He+n + Oz

играющей важную роль для решения проблемы управляемого термоядерного синтеза, ядро гелия 4 Не (а*частица) и нейтрон получают кинетическую энергию О 弋 17,6 МэВ. Относительное изменение массы &т]т в этом случае порядка 3 • 10"*3.

Но в природе происходят и такие процессы, в которых 4т[т достигает десятков процентов и даже может быть Ат 1т = 1, т.е. частицы с отличной от нуля массой покоя превращаются в безмассовые частицы. Примером может служить превращение электронно*позитронных или мюонных пар в фотоны высокой энергии — у-кванть»:

е* + е~ f 2%〃* + 〃- — 2у.

Таким образом, в общем случае релятивистских процессов масса покоя частиц (а следовательно, и макрсюкопических тел) не сохраняется.

Во всех перечисленных процессах та или иная часть энергии покоя исходных частиц △% = Ате? превращалась в кинетическую энергию образующихся частиц (включая фотоны) и через нее — в другие виды энергии.Это означает, что энергия покоя & =тс? является такой же физической реаль， ностью, как и другие виды энергии. Во всяком неподвижном теле массы т заключена энергия &)= тс2. Эту формулу с помощью (5.11) можно обобщить на случай движущегося тела, записав

&=т*с?,(522)

где

—полная масса или масса, зависящая ит скорости. При таком обобщении каждая система частиц, движущаяся или неподвижная, если она имеет полную энергию &, то имеет и эквивалентную ей массу:

т・=&/с2.(5.24)

Определенную таким образом массу можно приписать любому объекту. Она эквивалентна энергии, отличаясь от нее лишь универсальным множителем с2. Но мы далее в этой книге будем называть массой только инвариант* ную величину т - массу покоя. Энергию & нередко называют "полно访" в отличие от ^кинетической** энергии

7= & -тс?,(5.25)

не включающей энергии покоя.

КИНЕМАТИКА РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ

Полезную и разнообразную информацию о процессах столкновений и распадов частиц можно получить только на основе законов сохранения энергии и импульса, не задаваясь явным видом взаимодействия между частицами. Энергия и импульс замкнутой системы частиц в релятивистской механике, как и в классической, являются интегралами движения: вспомним, что сохранение импульса связано с однородностью пространства, а сохранение энергии - с однородностью времени. Поскольку указанные свойства симметрии пространства — времени выполняются в СТО, как и в классической механике, то и законы сохранения энергии и импульса в релятивистской механике также имеют место.

Общая кинематическая задача может быть сформулирована следующим образом. Пусть у нас имеется несколько частиц а,，первоначально находящихся на значительных расстояниях друг от друга и потому не взаи* модействующих; Фимпульсы этих частиц в начальном состоянии обозначим через р^, р^ t ... соответственно (/ = 0, 1, 2, 3). Пусть, далее, эти частицы при своем движении сближаются и взаимодействуют друг с другом. Характер их взаимодействия при решении кинематических задач не играет особой роли и может быть весьма разнообразным: это могут быть упругие столкновения, при которых число частиц и их типы остаются неизменными, либо распады и неупругие столкновения, когда могут изменяться число частиц, их типы и внутренние состояния. Символически этот процесх взаимодействия можно записать в виде

а + Ь + .. . fm+c + ...

Считая, что в конечном состоянии частицы т, п, . .. находятся опять на значительных расстояниях друг от друга, имеют Фимпульсыр^гр^,... и не взаимодействуют, мы можем записать закон сохранения 4-импульса всей системы в виде равенства сумм 4-импульсов всех частиц до и после взаимодействия:

"+心+…="+"+…

Эти равенства выполняются в любой инерциальной системе отсчета. Полезно также помнить, что квадрат любого 4-импульса есть инвариант и, следовательно, имеет одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчета.

В настоящем параграфе мы рассмотрим несколько типичных кинематических задач. Они позволят читателю быстрее освоиться с формулами релятивистской механики *). Кроме того, предлагаемые задачи представляют и самостоятельный интерес. Во всех приводимых ниже формулах выбираем систему единиц, в которой с = 1. В используемой системе, в частности,совпадают единицы массы и энергии.

Распад частиц.

Задача. Частица массы М распадается на две частицы с массами m“ т?. Найти энергии продуктов распада в системе покоя распадающейся частицы.

Решение. Исходим из закона сохранения Фимпульса, записанного в системе покоя исходной частицы:

Р\ = p[Q +Р20»(6.1)

「де ", Р，о,/о — 4-импульсы исходной и образующихся частиц: 色=(М.О)=

з)Значительное число полезных задач читатель может найти в [16].

=(% и，Pi о)，Q；o (£：u,P2o)・ В трехмерной записи (6.1) эквивалентно законам сохранения энергии и трехмерного импульса:

(6.2)

Поскольку & 1 о》m j, £ 2 0 *» /т?2, то из первого равенства получаем условие, необхо* ди мое для самопроизвольного (без подвода энергии извне) распада частицы:

”》Е] + т, ,(6.3)

После простых преобразований (6.2) с использованием (5.16) получим

т： — т；

&iu+*2u="，%0-&2 0=，

откуда

” + m； — m：” 一 m； + m：

% 0 ,S20 =•!6.4)

2M2M

Нетрудно вычислить энергии &〕，& ? и в лабораторной системе, относительно которой исходная частица движется со скоростью V. Для этого нужно задаться углом % между Рю = —厶 0 и Г и применить формулы (5.13).

Энергетический порог реакции.

Задача. Частица с массой т】налетает на покоящуюся частицу с массой т 2. В результате образуется несколько частиц с суммарной массой М> т t + m2. При малой кинетической энергии налетающей частицы реакция запрещена законом сохранения энергии. Найти минимальную кинетическую энергию налетающей частицы Т\ mjn, при которой реакция становится энергетически возможной.

Решение. Значение 丁1 min определяется условием, что образовавшиеся частицы покоятся в системе центра масс (в лабораторной системе частицы не могут покоить* ся — это противоречило бы закону сохранения импульса). Следовательно, в системе центра масс полный 4импульс после реакции равен Pq = {М, 0). До реакции в этой же системе 4-импульс был равен Pq , причем Pq = Р^. Но поскольку %夕()/ — инва* риант, можем записать:

〃产‘=%闻=%•吋，(6.5)

где Р i 二 (& 1 min + m i»P\ min) — полный 4-импульс в лабораторной системе до реакции. Подставив в (6.5) значения 4-импульсов, будем иметь

(&1 min +巾2尸- Pi min ="，

откуда с помощью равенств Ti min = ®1 min~ m\ и &j min — Pl min = ^i получаем: ” 一(f +m2 )2

丁 1 min •(6.6)

2m2

Кинематика двухчвстичных р^кций. Двухчастичными реакциями называются превращения элементарных частиц, идущие по схеме

а + b ~* с + d,

когда две частицы в и b, взаимодействуя, превращаются в две другие частицы, с м d. Частным случаем такого процесса явлжггся упругое рассеяние, при котором массы частиц не изменяются, но изменяются энергии и направления движения. Любые реакции, как правило, приходится рассматривать в двух системах отсчета — лабораторной (Л) и системе центра инерции (Ц): в Ц-системе удобно производить теоретический анализ взаимодействия частиц; в Л-системе ставятся реальные эксперименты.

Все кинематические соотношения, которым удовлетворяют двухчастичные реакции, выводятся из закона сохранения 4>импульса

"+0卜％ + 后，(6.7)

который справедлив в любой системе отсчета, и из инвариантности квадрата Фимпуль- са. Различные кинематические величины (энергии частиц до и после реакции, им-

пульсы, углы их отклонения и т.д.) удобно выразить через инвариантные параметры:

^^Pb^Pai^Pbi^

f(Pa-Pc^Pai-Pci^(6.8)

u=(*力)g:一p由)■

Величины s, tf 1л и суть релятивистские инварианты, так как они представляют собой квадраты Фимпульсов. Они связаны линейным соотношением, вытекающим из (6.7):

s + t + и т^+т^+т^ + т^,(6.9)

где квадрат массы каждой частицы совпадает с квадратом ее Фимлульса:

用=P；Pai и т・ Д.

Таким образом, из трех параметров (6.8) только два независимы.

Параметр $ представляет собой квадрат полного 4-имлульса частиц в начальном состоянии. Если в Л-системе одна из частиц первоначально покоится, то $ выражается через энергию налетающей частицы (см. (6.15)). Параметр г при упругом рассеянии (когда частица с совладает с частицей а) представляет собой квадрат 4>имлульса, переданного частице b при рассеянии. При неулругом столкновении величина г является релятивистским обобщением переданного импульса. Этот параметр выражается через угол рассеяния (см. (6.14)). Параметр и также представляет собой квадрат импульса, переданного от частицы а частице d.

Выразим вначале энергии частиц в Ц-системе через параметр s. Для этого запишем определение $ через Фимпульсы в Ц-системе:

p:0 +р)0 П电0 + &60,* PcQ +pd0 =(%0 + &d(T °)，

Пространственные части этих 4-импульсов обращаются в нуль, так как по определению Ц-системы pfl0 二-県 и pcQ = -%о・ Далее имеем:

(6.10)(6.11)(6.10)(6.11)^=4o + fi6O,2=(6cO + W-

(6.10)

(6.11)

(6.10)

(6.11)

Разрешая равенства (6.10) относительно импульсов, получим

_入($,吧叫一入5,叫

PaQ PbQ 717 PcQ %07"

где величина

入(х, % z) = М + 尸 +V - 2ху - 2xz - 2“(6.12)

называется ^кинематической функцией0. Теперь нетрудно найти энергии 旦^。= =4：o+m； и т.д.:

(6.13)(6.13)

(6.13)

(6.13)

Косинус угла между %。и р^ выражается через два инварианта^ и t, с помощью соотношения

Г = m： + m； + 2%o%o8s% 一 2%о%0，

которое получается в результате подстановки в (6.8) 4-имлульсов, определенных в Ц-системе. Выражая абсолютные величины импульсов и энергии с помощью (6.11),

(6.13), получим

$2 +$(2t — m2 - m? ~ m2 -也)+ (m2 -- m2J

cos% =2~^~2_^——2_5~^~i».(6.14)

入в (s, m； m^) к s($ m：, m；)

Выразим теперь через кинематические инварианты энергии и импульсы частиц в Л-системе. Пусть в Л-системе частица с массой т^ до столкновения покоилась. Подставляя в формулу (6.8), определяющую инвариант s, величины " = =(&а，ра)м р； = (п?ь，0), находим

$ =觴 + m% + 2%% ,

откуда

(6.16)(6.16)(6.17)(6.17)(6.18)(6.18)S =——2~^

(6.16)

(6.16)

(6.17)

(6.17)

(6.18)

(6.18)

2mb

в соответствии с (6.7). Полу*в соответствии с (6.7). Полу*В определении г заменяем разность р： — р чаем соотношение

в соответствии с (6.7). Полу*

в соответствии с (6.7). Полу*

t = т： + т\ - 2m.fi., о а о а

из которого определяется энергия частицы d в лабораторной системе:

2%

Наконец, из закона сохранения энергии находим &:

s + t — ” -1

fi^ + m. - £ . = (m： +m\- и).

2%2mb b c

Теперь нетрудно с помощью (5.16) вычислить Рс и р^. Угол В* в лабораторной системе вычисляется тем же способом, что и 8s 6。. Мы не приводим здесь этих формул. Применим полученные соотношения к упругому рассеянию двух частиц. При этом m =m , т. = m.,入<$,- m：).

c a d ba b ba a

2m- m* )

(6.19)(6.19)■ ―^2S-<1 —8S6。).

(6.19)

(6.19)

ma ++ 2mA

a о ba

С помощью (6.17), (6.18) и (6.19) найдем энергии частиц в Л-системе после рассеяния как функции &q и угла рассеяния в Ц-системе:

^а^^с^^а——-—(1 - cos0o),(6.20)

m： + ть + 2mb &

(6.21)(6.21)&*=&. = Л7 + (1 - 8S% ).

(6.21)

(6.21)

b d b т：+т% + 2т/а

Передача энергии отсутствует при 0О = 0 и максимальна при % = я.

Преобразование фазового объема и функций распределения. При рассмотрении систем состоящих из большого числа релятивистских частиц (пучок частиц от ускорителя, космические лучи — газ релятивистских частиц и т.д.) обычно вводят функции, характеризующие распределение частиц по импульсам и в пространстве — функции распределения. Для мно* гих целей необходимо знать, как преобразуются такие функции при пере-

ходе в другую инерциальную систему. Мы рассмотрим три типа функций распределения: по импульсам, по координатам и в фазовом пространстве.

Функцию распределения по импульсам f(p) определим следующим образом: произведение f(^ на элемент объема d3p = p2dpdQp трехмерного импульсного пространства равно числу dN частиц в системе, импульсы которых напрдвлены внутри телесного угла d%, а их абсолютные величи* ны заключены между ри р + dp, т.е.

dN = f 哂 сРр(6.22)

Интегрирование (6.22) по всем значениям импульсов дает полное число N частиц в системе. Иногда вместо ，(р) рассматривают величину w(p) = =^Г^(Р)，которая нормирована на единицу.

Закон преобразования f(p) установим из того очевидного факта, что как полное число частиц N, так и их малая часть dNсуть инварианты, одина* ковые во всех инерциальных системах:

(6.23)(6.23)d/V = f(p)d3p = f^p^^p* = inv. Отсюда

(6.23)

(6.23)

U”)“⑺丁7，(6.24)

d P,

где все величины в правой части равенства нужно выразить через р с помощью формул преобразования. Вычислим отношение d^p/d^p , воспользовавшись для определенности декартовыми проекциями импульса и формулами (5.15) • Имеем

呃*=m；+号)=7(1+7證卜心

Нох

遗二 е2Р: 曲一"^

поэтому

dPx 号⑶ + VP；)dp[=寻。】

поперечные же проекции импульса не изменяются: dpy = dpy, dp尸 dp； Отсюда

d3p = dpxdpydpz =费 dp：

или

Подставляя (6.25) в (6.24) и выразив & 现 р через штрихованные величины.Подставляя (6.25) в (6.24) и выразив & 现 р через штрихованные величины.(6.25)(6.25)(6.26)(6.26)d3p — cP"

Подставляя (6.25) в (6.24) и выразив & 现 р через штрихованные величины.

Подставляя (6.25) в (6.24) и выразив & 现 р через штрихованные величины.

(6.25)

(6.25)

(6.26)

(6.26)

будем иметь , 尸”)=7(1 +^—^(T(Px + V^7c2)tpy,p^).

Найдем теперь закон преобразования функции распределения в фазовом пространстве Цг,р), определяемой следующим образом: число частиц

dNt находящихся в объеме d3x координатного и объеме d3p импульсного пространства, выражается в виде

dN = f(r,p)d3xd3p.(6.27)

Согласно (2.2).

d3x = (у(/у)д3х\(6.28)

где у — релятивистский фактор. Но, поскольку &阂 =у/у9, то из (6.25) следует: d3p =(7“)d% . Таким образом, фазовый объем

d3xd3p = d3x,d3p，= inv.(6.29)

Следовательно,

^{г9,р^^/(г,р}.(6.30)

—также инвариант.

Нам осталось найти закон преобразования функции распределения по координатам, т.е. концентрации частиц

n(r)=ff(rtp)d3p.(6.31)

Как оказывается, для этого нужно рассмотреть ее совместно с вектором плотнсюти потока частиц

〃г) =/"亿 р)сРр,(6.32)

поскольку указанные величины преобразуются друг через друга. Это будет сделано в § 13.

Глава II

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ ЗАРЯЖЕННЫМИ ЧАСТИЦАМИ

И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Взаимодействие в теории относительности. Электрический заряд и электромагнитное поле. Взаимодействие частиц в теории относительности существенно отличается от взаимодействий, рассматриваемых в классической механике. В классической механике широко пользуются понятием потенциальной энергии. В случае двух материальных точек их потенциаль* нал энергия зависит от разностей координат: U(ri(t) — r2(t)). Концепция потенциальной энергии предполагает, что а) взаимодействие передается с бесконечной скоростью; б) частицы взаимодействуют на расстоянии, без какого-либо промежуточного агента, передающего взаимодействие (такая картина называется ° дальнодействием0) •

Конечность скорости распространения взаимодействий радикально меняет эту картину. Изменение положения или скорости частицы 1 меняет силу, приложенную к частице 2, но это изменение дойдет до частицы 2 только через конечное время г =「12〃 где и <с — скорость распространения взаимодействия. Это означает, что взаимодействующие частицы должны создавать в окружающем пространстве силовое поле, через которое и передается взаимодействие. Изменения координат и скоростей частиц создают возмущения поля, распространяющиеся с конечной скоростью. Рассматри* 46

ваемая частица почувствует эти изменения состоянии других частиц через изменение поля в той точке, в которой она находится (°близкодействие°). Концепция поля, таким образом, с неизбежностью вытекает из требований теории относительности. Если в классической механике "поле" могло играть лишь роль вспомогательного математического понятия, то теория относительности рассматривает поле как ^физическую реальность, данную нам в ощущении0 (через посредство соответствующих приборов), т.е. как одну из форм материи. Поле не менее материально, чем частицы.

Мы будем рассматривать в этой книге только один тип поля — электро* магнитное поле. Взаимодействие частиц с электромагнитным полем, а также и сама генерация (создание) поля обусловлены важным свойством (элементарных частиц, называемым электрическим зарядом. Электрический заряд является одной из сюновных характеристик элементарных частиц, наряду с такими фундаментальными величинами, как масса, спин (внутрен* ний момент импульса) и некоторые другие, изучаемые в квантовой теории. Понятие электрического заряда мы будем считать элементарным понятием, не требующим другого определения.

Простейшим и вместе с тем фундаментальным фактом, позволяющим обнаружить самое существование электрического заряда и количественно его охарактеризовать, является факт взаимодействия между зарядами. Опыт устанавливает, что силы взаимодействия между неподвижными заряженными телами малых размеров, находящимися в вакууме, подчинены

законузакону再出?12*2「12再出?12*2「12(7.1)(7.1)

закону

закону

再出?12

*2「12

再出?12

*2「12

(7.1)

(7.1)

(закон Кулона). Это равенство справедливо и с учетом знаков зарядов «1, ®2・

Зависимость от расстояния может быть проверена путем изменения расстояния и измерения при этом силы взаимодействия. Зависимость силы от е 1, ®2 можно установить, если взять несколько зарядов — не менее четырех. Будем помещать их попарно в одни и те же точки 1 и 2 пространства, удаляя сютальные заряды "на бесконечность0. Тогда, если спразедлив закон (7.1), то

и закон Кулона можно проверить при четырех независимых измерениях (с точностью до постоянного множителя, определяемого выбором системы единиц)・

Из наиболее распространенных при обычных условиях элементарных частиц отрицательным (условно) зарядом е = —е0 обладают электроны, а положительным зарядом е = +е0 — протоны; численное значение элементарного заряда е0 = 4,8-10"10 ед. СГС = 1,6-10~19 Кл.

Каждой элементарной частице соответствует ее античастица, заряд которой равен по абсолютной величине и противоположен по знаку заряду частицы. Некоторые элементарные частицы (нейтроны, нейтрино, нейтраль* ные мезоны) не имеют электрического заряда, но нейтроны (и антинейтроны) имеют магнитный момент. Любопытно, что электрический заряд всех ^элементарных** частиц равен по абсолютной величине либо элементарному заряду, либо нулю *).

'В состав элементарных частиц, называемых адронами, входят кварки, которые по современным данным имеют дробные электрические заряды.

Действие для частицы, находящейся в электромагнитном поле. Четырехмерный потенциал. Для количественного описания процессов взаимодействия заряженных частиц с электромагнитным полем на основе лагранжева формализма, которым мы уже пользовались в гл. I при рассмотрении свободных частиц, нужно постулировать вид действия. Запишем действие для частицы с зарядом е, находящейся в заданном (т.е. не зависящем от движения рассматриваемой частицы) электромагнитном поле в виде

S = Spar + Sgt,(7.3)

где

(2)

Spart = -тс / ds(7.4)

⑴

—действие (5.4) свободной частицы, Sjnt — слагаемое^ описывающее взаимодействие частицы с электромагнитным полем. Действие Sint должно удовлетворять следующим очевидным свойствам: а) быть релятивистским инвариантом — для того, чтобы был выполнен принцип относительности; б) содержать (в виде произведения) величины, относящиеся к частице (ее заряд е) и величины, описывающие поле, поскольку частицы, не имею щие заряда, с электромагнитным полем не взаимодействуют *).

Постулируем взаимодействие вида

а (2)

Sgt = —~ / А((х0,х1,х2,х3}дх\(7.5)

© (О

где интеграл берется вдоль мировой линии частицы, проходящей через точки 1 и 2, А / ( / = 0, 1,2, 3)- действительные функции координат и врем漑 ни, описывающие электромагнитное поле и образующие ковариантный Фвектор, множитель — 1/с выделен для удобства. Мы ввели, таким обра* зом, для описания электромагнитного поля 4-вектор Д/, который называет* ся четырехмерным потенциалом. Взаимодействие (7.5) удовлетворяет сформулированным выше условиям а) и 6), но не определяется ими одно* значно. Мы увидим, однако, что выражение (7.3) и вытекающие из него следствия будут находиться в полном согласии с многочисленными опыт* ными данными о взаимодействии частиц с электромагнитным полем, это и служит в конечном счете главным аргументом в пользу выбора взаимодей* ствия (7.5).

УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЧАСТИЦЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ. НАПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ

Функция Лагранжа и уравнение движения. Действие, вид которого был постулирован в предыдущем пара「ра(|)е, позволяет записать уравнение движения заряженной частицы. Мы получим здесь требуемое уравнение в форме, наиболее близкой к ньютоновской. На основе (7.3) — (7.5) имеем:

) /\

S= / \-mcds- —Atdx1},(8.1)

где интегрирование производится вдоль мировой линии частицы между фиксированными точками 1 и 2 в 4-пространстве; х‘ 一 четырехмерные координаты в произвольной инерциальной системе отсчета. Поскольку ds и А 粗紹 —релятивистские инварианты, то S — также инвариант, и полученное из релятивистски инвариантного действия уравнение движения будет справедливо в любой инерциальной системе.

Чтобы привести (8.1) к обычной форме (5J), перейдем к интегрированию по t, записав предварительно Д , = (^ , —4 ) и 4 jdx' = cq dt — A - dr:

S= / 5嘗-"哈4 •奈卜乙(О、/S= / 5嘗-"哈4 •奈卜乙(О、/(8.2)(8.2)

S= / 5嘗-"哈4 •奈卜乙(О、/

S= / 5嘗-"哈4 •奈卜乙(О、/

(8.2)

(8.2)

Здесь величины 屮(乙 П v\ A(rft\ называются скалярным и векторным потенциалами электромагнитного поля (их совокупность образует 4-потенциал). Далее, dr /dt = v — трехмерная скорость частицы, ds/dt выразим согласно (5.5), и, таким образом,

(8.3)(8.3)

(8.3)

(8.3)

Тем самым определена функция Лагранжа заряженной частицы:

(8.4)(8.4)

(8.4)

(8.4)

厶=—2 гпас2厶=—2 гпас2Отмеченный выше факт, согласно которому частицы могут взаимодействовать только через посредство поля, позволяет легко обобщить функцию (8.4) на случай системь) взаимодействующих частиц:

厶=—2 гпас2

厶=—2 гпас2

(8.5)(8.5)еа

(8.5)

(8.5)

+ 2—ve • A(ra, t) Zea^(ra, t).

При этом под Л (r e, г), и 屮(乙，Г), нужно понимать потенциалы, создаваемые внешними телами и всеми частицами, кроме а-й, в точке нахождения а-й частицы При переходе к нерелятивистскому пределу изменяется только первое слагаемое. Преобразовав радикал, как это делалось в § 5, и отбросив из функции Лагранжа постоянное слагаемое hmac2, получим

厶nonrei = 2(—2~+—ve • A(ra, t)-ea^(ra, t)|. (8.6)

Уравнение движения в лагранжевой форме имеет вид (5.12). Вычислим входящие в него производные (для одной частицы):

，［-户左寸，［-户左寸+ y 4 (小)•+ y 4 (小)•(8.7)(8.7)

，［-户左寸

，［-户左寸

+ y 4 (小)•

+ y 4 (小)•

(8.7)

(8.7)

Как известно, производная Э£ /dv = Р носит название обобщенного им* пульса. Согласно (8.7), обобщенный импульс Р не совпадает с импуль* сом р (5.10) свободной частицы:

(8.8)(8.8)…，亿"•

(8.8)

(8.8)

М.М. Бредов

▽ )4▽ )4(8.9)(8.9)Затем вычисляем производную по времени d 8厶dpе (ЪА

▽ )4

▽ )4

(8.9)

(8.9)

dt drdtс \ dt

и производную по координатам =£•▽"・4 ) -“9・ or с

В последнем равенстве удобно воспользоваться векторным дифферен* циальным тождеством

V X [VX^] = V(v-4) — (v-V)-4, в котором учтено, что оператор дифференцирования V не действует на вектор у. В итоге будем иметь

半-=~ V X [ V X Л ] — —(V • 64 — е▽屮， dr сс

а уравнение движения запишется в виде

dp 一 / 1 ЭЛ dt \ с drdp 一 / 1 ЭЛ dt \ с dr▽з) +~ у X rot Л.▽з) +~ у X rot Л.(8.10)(8.10)

dp 一 / 1 ЭЛ dt \ с dr

dp 一 / 1 ЭЛ dt \ с dr

▽з) +~ у X rot Л.

▽з) +~ у X rot Л.

(8.10)

(8.10)

+纟 V X rot 4.+纟 V X rot 4.Сила Лоренца. Напряженность электромагнитного поля. Величина, стоящая в правой части равенства, по определению представляет собой силу, действующую на заряженную частицу:

+纟 V X rot 4.

+纟 V X rot 4.

(8.11)

Сравним это выражение с известным из опыта выражением для силы Лоренца:

(8.12)(8.12)ЕЕ吟 vXH.

(8.12)

(8.12)

Здесь £ и Я — векторы, характеризующие электромагнитное поле. Они называются напряженностями электрического и магнитного полей ссютвет* ственно. Мы будем рассматривать силу Лоренца (8.12) как фундаменталь* ный опытный факт. Выражение (8.12) для силы Лоренца — это одна из са* мых красивых формул классической физики. Она производит глубокое впечатление своей простотой и общностью: любая заряженная частица, дви* жущаяся с произвольной скоростью, будет испытывать в электромагнит* ном поле действие силы (8.12). В отличие от многих других формул реля* тивистской механики (например (5.10), (5.11)), содержащих релятивистский фактор (1 — ^2/с2)1/2, сила Лоренца линейна по v. Она линейна также поЕ и Я.

Сила Лоренца играет важную роль в классической электродинамике, описывая во всех возможных ситуациях действие электромагнитного поля на заряженные частицы. Она позволяет свести измерение напряженностей электромагнитного поля £ и " к измерению механических величин 尸 и у (а также заряда е, способы определения которого обсуждались в § 7). При этом напряженность £ определяется силой, действующей на неподвиж* ную (у = 0) пробную частицу с зарядом е; напряженнсють Н — добавочной силой, которая действует на движущуюся частицу.

Сравнение (8.11) с (8.12) позволяет связать введенный ранее 4-потенциал с напряженностями электромагнитного поля:

Е =—丄空一gradq, Я = rot Л.(8.13)

с

Поскольку Я — трехмерный полярный вектор, а 屮一скаляр, то Е и Я при вращениях в трехмерном прсютранстве преобразуются одинаковым обра> зом по закону преобразования векторов. Но при отражении координатных осей (преобразование г' = —г ) Е и Я ведут себя различно: вектор£« как и г, изменяет знак на противоположный, а вектор Н не изменяет знака. Поэтому Я называется псевдовектором, или аксиальным вектором, в отличие отЕ, который является истинным, или полярным вектором.

На примере измерения Н через силу Лоренца можно еще раз убедиться в псевдовекторном характере напряженности Н магнитного поля: хотя

сила Fm = *~ V X Я определена путем измерения вполне однозначно, знак Я условен и зависит от определения векторного произведения. Если условиться понимать под v,〃 и v X Я не правую, а левую тройку векторов, то знак Я заменится на обратный. Это — характерная особенность аксиальных векторов: определена лишь ось, но не ее направление (см. по этому вопросу также Дополнение I.6). Напряженности электрического поля £ такая неопределенность не присуща: его направление при измеренной силе Fe = еЕ и известном заряде е определяется единственным образом.

Градиентное преобразование потенциалов. Из (8.13) видно, что одним и тем же напряженнсютям электромагнитного поля Et'H отвечает широкий класс электромагнитных потенциалов. В самом деле, векторный потенциал

А=А +gradx,(8.14)

где x(r ,t) — произвольная дифференцируемая скалярная функция, не из* меняет магнитного вектора: Й = rot Л = rot 4 = Н, так как равенство rot Vx = 0 выполняется тождественно при всех х・ Чтобы при таком преоб* разовании не изменялся и электрический вектор Е, нужно преобразовать также скалярный потенциал:

0 = 9一！冬.(8.15)

Таким образом, напряженности поля Е,Н — инварианты относительно преобразований потенциалов (8.14), (8.15), которые называются градиентными или калибровочными преобразования ми. Из калибровочной инва* риантности электромагнитной теории вытекают глубокие следствия, некоторые из которых будут обсуждаться в гл. III.

Градиентное преобразование потенциалов нетрудно записать в 4*форме:

彳 а ах

4=4一(8.16) Эх1

где x(x°z 諸，/, х3) - произвольный дифференцируемый Фскаляр.

В классической электродинамике наблюдаемыми величинами являются напряженности £ и Я, потенциалы же выступают как вспомогательные функции, из которых Е, Н получаются дифференцированием по формулам (8.13). Несмотря на то что потенциалы не являются основными величина-

ми, они играют важную роль в электродинамике. Они позволяют уменьшить число неизвестных функций с шести (Е,〃)до четырех (4,屮).Как было продемонстрировано выше, без потенциалов невозможно обойтись при формулировке вариационного принципа. Особенно большое значение приобретают электромагнитные потенциалы в квантовой механике и при квантовомеханическом описании электромагнитного поля. Именно потенциалы Л, 9, а не напряженности поля Е, Я входят в большинство уравнений квантовой механики и квантовой электродинамики.

Функция Гамильтона. По определению, известному из механики, функция Гамильтона зависит от обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени и определяется равенством

^(rtPtt}=P^-Lt (8.17)

где правую часть нужно выразить через г, Р и Г В качестве обобщенных координат выбраны декартовы координаты г = (х, у, z).

Подставив в (8.17) выражения (8.7) и (8.4), получим

“ тс2

m=一:_ 一+ e屮.

Первое слагаемое в правой части представляет собой энергию свободной частицы (5.11). Выразив ее через р - Р — ^ А согласно (5.18), получим

окончательно:

К(г,Л+ез・(8.18)

Найденная функция Гамильтона позволяет записать уравнения в форме канонических уравнений Гамильтона:

(8.19)(8.19)83С dr

(8.19)

(8.19)

Мы рекомендуем читателю убедиться самостоятельно, что уравнения (8.19) эквивалентны уравнению движения (8.10).

УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ В КОВАРИАНТНОЙ ФОРМЕ. ТЕНЗОР ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Вариация действия и уравнение движения. Уравнение движения (8.10) релятивистски инвариантно (справедливо в любой инерциальной системе), но не ковариантно (правая и левая его части не являются 4-тензорами какого-либо ранга). Между тем, ковариантная запись имеет определенные преимущества: она делает релятивистскую инвариантность явной и позволяет найти закон релятивистского преобразования для напряженностей электромагнитного поля £, Н.

Для получения уравнений движения в ковариантной форме произведем варьирование действия (8.1) непосредственно, не переходя к нековариантной записи через функцию Лагранжа, которая выделяет одну (временную) координату. Будем иметь:

(2)/\

(9.1)(9.1)BS= / (-mcBds — Q bAjdx' —^ AQdx).

(9.1)

(9.1)

Затем вычислим вариацию ds： по определению ds = у/dx^x' ,

(9.2)(9.2)dxfddx1 1.

(9.2)

(9.2)

5 ds — иi6 dX，；

ds c

в последнем равенстве мы использовали (4.28) и определение 4-скорости (4.29). Это позволяет представить (9.1) в виде

(2) /\

5S= / (一叫5"一^46"-^ sg)

Далее интегрируем первые два члена по частям и получаем

(2)/

+ / (m du(b*' + ^ dA,6х' — ^ SA^dx，

(9.3)(9.3)(1) (1)')

(9.3)

(9.3)

В фиксированных 4-точках 1 и 2 Ьх1 = 0, поэтому выделившийся внеин- тегральный член обращается в нуль. В подынтегральном выражении преобразуем отдельные члены следующим образом:

сЦ・bAt dx*bAf

dut dr; dAi = —гdr = ——идт;

〃Эх* dTЭх*

必.

弘产—dx，=иРт.(9.4)

Эх

В результате подстановки этих формул в (9.3) получаем

/ du；. е ЭД у .. е ЬА： . . \

6S = fim6х%+-ukbxldT 丁"'6/力).(9.5)

\ dr c 從c bxk /

В последнем слагаемом делаем перестановку немых индексов /二攵 у вводим обозначение

(9.6)(9.6)

(9.6)

(9.6)

Величина Fik представляет собой антисимметричный ковариантный 4-тензор II ранга — ротор 4-потенциала. Он называется тензором электромагнитного поля и играет огромную роль в электродинамике.

Вариация действия, записанная через тензор Fik, принимает вид

叫 e . \.

6S = /戶仇(9.7)

Для того чтобы не нарушалась симметрия между 4-координатами, необходимо считать все четыре вариации, 6х',，.= О, 1, 2, 3, произвольными и отличными от нуля. В нерелятивистской же механике варьирование обобщенных координат производится при постоянном времени, т.е. при “° = 0. Таким образом, в релятивистской теории вариационный принцип должен быть несколько обобщен. Однако это обобщение сказывается лишь на форме записи уравнений движения, но не на их содержании, так как ре-

зультаты, которые мы ниже получим, будут эквивалентны результатам § 8, в котором варьирование производилось при г = const.

Ввиду произвольнсюти и независимости вариаций 6х‘ из условия стацио* нарнсюти действия 6s = 0 следуют уравнения движения dui е .

т 戶北"ti = 0, 1,2,3.(9.8)

dr с

По форме они представляют собой равенство между двумя ковариантными Фвекторами. Это равенство выполняется, конечно, и для контравариантных компонент:

(9.9)

Вернемся теперь к равенству (9.3) • Интегральный член в нем тождествен (9.7) и обращается в нуль при движении частицы по физической траектории. Если закрепить точку 1 и варьировать координаты точки 2, то вариация действия примет вид

6S =-卜〃/ +^Д ^6xz. as z С другой стороны, 5S =, откуда

Tmut +融/).

Эх

Назовем

с as е А

(9.10)(9.10)卅muj Д/

(9.10)

(9.10)

Эх

ковариантным Фвектором обобщенного импульса; тогда контравариант* ный 4-вектор Я' запишется в виде

Его пространственная часть совпадает с трехмерным вектором обобщенно* го импульса (8.8), а временная компонента представляет собой функцию Гамильтона (8.18), деленную на с. Таким образом, величины (Л/с，Р)=Р‘ образуют контравариантный 4-вектор обобщенного импульса. Его компоненты, согласно (9.11) — (9.13) г связаны с производными от действия теми же соотношениями, которые хорошо известны из классической механики:

(9.12)(9.12)d as “ as p=犷，无一而.

(9.12)

(9.12)

Это позволяет составить уравнение Гамильтона — Якоби и использовать его для решения задач о движении релятивистских частиц в электромагнитном поле.

Как известно из механики, уравнение Гамильтона — Якоби имеет вид

(9.13)(9.13)訂+ К(Р",Г) = 0,

(9.13)

(9.13)

「де К — функция Гамильтона (8.18), в которой обобщенный импульс Р следует заменить величиной gradS в соответствии с (9.12). Пользуясь

(8.18), получим

+ 29),+ 29),，7?2c4 +e2 @「adS一^力 или, избавляясь от ради кал аг

+ 29),

+ 29),

(9.14)(9.14)(gradS-^，-表(萨+ё9)+m2c2 = 0.

(9.14)

(9.14)

Это и есть уравнение Гамильтона — Якоби для релятивистской частицы.

Связь тензора поля с напряженностями Е, Н. Выпишем отдельные компоненты тензора Fikt подставив в определение (9.6) А, = (9,—4). Получим

1 弘 х°984* ЭДу

37=4，勺2=+疗一h=-"z и Т・Д.,

т.е., согласно (8.13), компоненты тензора 戶》« совпадают с проекциями трехмерных векторов Е, Я.

Запишем связь между 4・тензором электромагнитного поля и 3-векторами напряженности в виде

(9.15)(9.15)

(9.15)

(9.15)

Напряженности пола являются компонентами единого антисимметричного Фтензора второго ранга.

Перепишем теперь уравнение движения (9.9) в трехмерной форме. Вспоминая связь трехмерного импульса с 4-скоростью (5.14), видим, что легая часть (9.9), mdu"/dT при а = 1, 2, 3, сводится к производной ydp/dtt где 7 — лоренц-фактор. Правая часть с помощью (9.15) и (4.30) записывается в виде силы Лоренца (8.12), умноженной на у. В итоге получаем трехмерное уравнение движения ：

普=&Е+戸 Х〃.(9.16)

Компонента (9.9) с / = 0 тем же путем приводится к виду

(9.17)

т.е. выражает изменение кинетической энергии частицы. Уравнение (9.17) не является независимым и может бь(ть получено из (9.16) путем умножения обеих частей скалярно на v. При этом согласно (5.18) и (5.13)

где & есть сумма кинетической энергии частицы и энергии

/1-2片

покоя. Она не включает в себя энергию взаимодействия с электромагнит* ным полем. Отметим, что магнитное поле не производит работы над частицей, так как магнитная сила всегда перпендикулярна скорости.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОСТЕЙ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ. ИНВАРИАНТЫ ПОЛЯ

Преобразование напряженностей. Выяснение того фундаментального факта, что векторы Е и Я представляют собой компоненты 4-тензора поля 尸*, позволяет с легкостью найти преобразозания этих векторов из одной инерциальной системы в другую. Исходим из закона преобразования тензора (4.15):

戸*' = а^акпРтп,(10.1)

где матрица a J? определена (4.11). Отсюда получаем, например,

f1°'=м оaо jF01 4-a1 ia°o戶 1° =(g2W-m2w)尸。=尸0，

户2° '=m 2d 0戶2° + 32 2 a 1 户2 1 = ch w尸° - sh W户21 И t. д.

Обращаясь к (9.15), находим следующие формулы преобразования:

&=J, Е^у^Еу-^), £ = 7怎+阿儿(102)

Н】=Нх. % = ”")，+徒z),&； = 7("z-佳》)••

Формулы (10.2) можно переписать в векторном виде, если ввести парал* лельные и перпендикулярные относительной скорости V составляющие векторов Е и Я:

司=%，『)r+""，

(10.3)

用=4，迎=w上一"4

Важный частный случай формул (10.3) — относительное движение систем отсчета с нерелятивистской скоростью, »《с. При этом 7 ^ 1 и с точностью до линейных по V/c членов

£*=£ + 4 VXH, &'="-Т УХЕ(10.4)

Инварианты поля. Составим все возможньзе независимые инварианты из компонент тензора Fik. Свертку тензора, являющаяся инвариантом — его след 戶;一в. данном случае обращается в нуль. Нетривиальным инвариантом является скалярный квадрат тензора Fikt т.е. его произведе* ние на ковариантный тензор:

戶汰尸"=Sv.(10.5)

Второй независимый инвариант строится с помощью единичного совершен* но антисимметричного тензора Qi^im (см. § 4):

e^Zm FikFlm = inv.(10.6)

Произведения (10.5) и (10.6) нетрудно выразить через £ и Я с помощью (9.15):

FikFik ^2(Н2 -Е2), ^iklmFikFlm =2£〃・

Таким образом, релятивистскими инвариантами являются

Е2 — Н2 - inv, Е-Н- inv. (10.7) Найденные величинь^ по-разному ведут себя при отражении пространственных или временной оси. Разность Е2—Н2 является инвариантом и по отношению к преобразованию отражения осе访.Произведение £ -Н меняет знак при отражении трех пространственных или временной осу: в первом случае Е‘ = —£, Я1 = Я, а во втором случае Е' = Е, но Н9 = —Н. Поэтому Е-Н — не истинный скаляр, а псевдоскаляр. Однако Е ・Н остается инва* риантным относительно отражения всех четырех осей.

Инварианты поля будут использованы в § 13 для построения реляти* вистеки инвариантного действия. Кроме того, с их помощью можно нахо дить инерциальные системы отсчета, в которых электромагнитное поле имеет наиболее простой вид. Пусть, например, в некоторой системе отсчета Е и Я однородны и взаимно перпендикулярны, т.е. Е-Н = Q, Тогда, в зави* си мости от знака разности Е2—Н2, можно найти такую инерциальную систему отсчета, в которой £* = 0 (при Е^—Н? < 0) или Я* = 0 (при £2一42 >。)

В первом из указанных случаев полагаем скорость искомой системы отсчета V перпендикулярной плосксюти (£, Н) и записываем для нее на основе (10.3) уравнение

£，= 7《 + /ухЯ^ =。， из которого находим

Р = с・Р = с・ЕХ〃&2ЕХ〃&2(10.8)(10.8)

Р = с・

Р = с・

ЕХ〃&2

ЕХ〃&2

(10.8)

(10.8)

Во втором случае тем же путем из условия 附'=0 находим

(10.9)(10.9)“ EXH

(10.9)

(10.9)

В обоих случаях V < с, что является необходимым условием существова* ния искомой инерциальной системы.

ДВИЖЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЧАСТИЦЫ

В СКРЕЩЕННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДРЕЙФ

Движение в однородном магнитном поле. Здесь мы исследуем один из простейших случаев - движение частицы во взаимно перпендику* лярных однородных электрическом и магнитном полях £, Я. В конце § 10 было показано, что при Е 丰 Н существует такая инерциальная система, в которой одна из напряженностей обращается в нуль. При Е < Н в системе, движущейся относительно исходной со скоростью

/.中旦

Е Н2

остается только магнитное поле, которое будет иметь согласно (10.3) напряженность

Запишем уравнения движения заряженной частицы (9.16), (9.17) в системе отсчета, в которой Е‘ = 0, 〃' #0:

(11.3)(11.3)加=5百也=0. dt'dt'

(11.3)

(11.3)

Последнее уравнение показывает, что в магнитном поле энергия частицы, а следовательно, и абсолютная величина импульса не изменяются — поле не совершает работы над частицей, а лишь изменяет направление ее движения. Первое уравнение (11.3) можно с помощью (15.14) записать в виде

(11.4)(11.4)亲‘=五'X "

(11.4)

(11.4)

где

S'= 一学〃'(11.5)

— гиромагнитная (циклотронная) частота; для нерелятивистских частиц &‘ *mс2 и

立'=.(11.6)

тс

Выберем ось z' в направлении поля Я и запишем (11.4) в проекциях на оси координат:

要=-с'р；.,警=°，(”・7)

dr) dtdt

Последнее уравнение дает р； — const, т.е. частица движется в направлении поля Н，с постоянной скоростью "： = »；, определяемой начальными условиями. Первые два уравнения удобно привести к виду

^,(Р； ^iPy) = i^{pfx + ip у h(11.8)

где / — мнимая единица. Интегрируя (11.8), находим

p；+ip； = CeiC ,

где С — комплексная постоянная интегрирования. Записав ее в виде С = р[ е ’а , где р； = | С\ и разделив действительную и мнимую части, получим

Рх =PiCOS(n/t/ +о/), Ру =p；sin(C'f' +а').(11.9)

Отсюда следует, что р丄 =ур^ +р/ — абсолютное значение проекции импульса на плоскость, перпендикулярную Я\ а — начальная фаза вращения, импульс частицы вращается с гиромагнитной частотой (11.5) вокруг направления магнитного поля, оставаясь постоянным по абсолютному зна* чению.

Скорость частицы связана с ее импульсом соотношением (5.13): V = с2р/&. Интегрируя скорость по времени с использованием (11.9) и

условия &' = const, находим зависимость ксюрдинат от времени:

『=%sin(Л+а'), у = —/?：cos(C'r'+ а'), z'=2；+/，.(11.10)

Здесь ,ср丄

Я； = —5(11.11)

—радиус вращения частицы в плоскости, перпендикулярной Я\ который называют также гирорадиусом или ларморовским радиусом. Ось z' выбрана проходящей через центр ларморовского кружка. Частица движется по спирали, навитой на поверхность цилиндра радиуса Я^ . Шаг спирали

力=2як|| /П\

где 2я/О* — период ци клотронного вращения. При и у = 0 частица движется по окружности в плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля.

Электрический дрейф. Рассмотрим теперь картину движения частицы в исходной (лабораторной) системе отсчета, в которой отличны от нуля обе напряженности поля, Е и Я. Координаты частицы в этой системе можно выразить через (11.10) с помощью преобразований Лоренца:

x = 7(『(t')+ /，)， У = y'(t‘)， z = z'(t'),

/ 1 \ (11.12)

■ 十厶『(J) 7=(1 -嗓 HL，

Мы выбрали ось х направленной вдоль VE, а ось у — вдоль Е. Формулы (11.12) задают движение частиць( в исходной (лабораторной) системе в параметрической форме, причем в качестве параметра использовано время £‘• Постоянные 斤;,vj a\zo. которые входят в правые части (11.12), определяются из начальных условий.

Рассмотрим важный случай слабого электрического поля, £ <〃，что соответствует VE <с, т.е. нерелятивистскому относительному движению систем отсчета. Вычислим скорость v в лабораторной системе с точностью до членов, линейных по Vg/c. В этом приближении 7=1. Поделив дифференциалы dx, dy, dz на dt = dt1 + -^ %dx', получим с требуемой точностью:

"=寸"')一± %&♦)“*),

6= / 一 十%小二*)•

Если движение частицы в штрихованной системе нерелятивистское, то слагаемые порядка и”Н можно отбросить. Но при и' ~ с они не малы.

Имея в виду в дальнейшем усреднить скорость по времени Г, запишем в слагаемых нулевого порядка £' = t —у VExf(t'); в членах первого по-

рядка, пропорциональных %, можно положить £ = £• В итоге будем иметь

厶(Г) = %'")+ %|l 一2 号©『("-±*2叶

vy(t)^vy(t)-^ 腺[•^^x'(£) +J(6吸⑵

/(г)= %： - 2%小:化)・

Усредним теперь v(f) по периоду Г = 2я/£2г вращения частиц вокруг направления магнитного поля:

— [г + т

йх = у- / 厶($)cfe и т. д.

С помощью формул (11.9), (11.10) находим

так что окончательно

豆=必，丐=0， %='卜

или в векторной форме

v^u^. + VEf h=H/H.(11.13)

Таким образом, усредненное движение частицы в лабораторной системе складывается из равномерного движения вдоль магнитного поля и равно мерного движения в направлении, перпендикулярном как электрическому, так и магнитному векторам со скоростью (11.1). Последнее движение называется электрическим дрейфом. Скорость электрического дрейфа / зависит только от отношения напряженностей электрического и магнитного полей. Она не зависит от заряда и энергии частиц, и, в частности, одинакова для релятивистских и нерелятивистских частиц, электронов и ядер. Но это не означает, что электрический дрейф испытывают и нейтральные частицы. Ларморовский радиус нейтральной частицы бесконечен, и усреднение по циклотронному вращению не имеет смысла.

Происхождение электрического дрейфа легко понять из наглядных соображений. Частица, вращающаяся вокруг Нt на половине окружности ускоряется электрическим полем, а на второй половине — замедляется, согласно формуле

& =金'+р'・％, VE<c, Er = const.(11.14)

Поэтому ларморовский радиус на разных фазах вращения оказывается различным, что приводит к движению частицы перпендикулярно £ и Я (рис. 11.1). Детальная форма траектории зависит от параметров задачи.

Поперечный дрейф может быть вызван не только электрическим полем, но и любой другой силой 戶，приложенной перпендикулярно Н, напримерх гравитацией или градиентом давления. Силе F, действующей на частицу, можно сопоставить эффективное электрическое поле Е* = F/e. Подстав*

ляя его значение в (11.1), находим скорость соответствующего дрейфа:

Vp = с—.(11.15)

Эта скорость зависит от знака и величины заряда; частицы с зарядами разных знаков будут дрейфовать в разные стороны.

Гиперболическое движение. При Е> Н, Е-Н = 0 существует система отсчета, движущаяся со скоростью (10.9), в которой

犷=0, Е，=(身昔?)

В этой системе движение заряженной частицы происходит только под действием электрической силы. Рассмотрим процесс ускорения первоначально покоившейся заряженной частицы постоянным и однородным электрическим полем. Для разнообразия решим эту задачу исходя из уравнения движения (9.9) в ковариантной форме.

Выберем ось 1 в направлении Е. Тогда уравнение (9.9) с помощью (9.15) сведется к системе двух уравнений первого порядка отнсюительно

团^" W&。，团^^ =^Еи*.(11.16)

Эту систему следует проинтегрировать с начальными условиями

"°(0) = с, 〃i(0) = 0,(11.17)

причем отсчет собственного времени т выбран так, что

т = 0 при Г = 0.(11.18)

Ищем решение системы (11.16) в форме

"1(7)=4而入T，u°d) = 8ch 入 7,(11.19)

где А,В,\ — постоянные. Из начальных условий (11.17) находим: В - с. Подстановка (11.19) в (11.16) дает два алгебраических уравнения для определения Д и X;

тХА -еЕ, тХс =^ЕА,

откуда 入=еЕ/тс, А — с. Тем самым, найдена 4-скорость в функции собственного времени:

=〃i (т) = csh入г, —= 〃°(т) =cch入7.(11.20)

=х и х° = ct=х и х° = ct(11.21)(11.21)Рис. 11.2.Рис. 11.2.

=х и х° = ct

=х и х° = ct

(11.21)

(11.21)

Рис. 11.2.

Рис. 11.2.

Последующее интегрирование позволяет найти связь х с собственным временем т:

х(т) = ychXr, t =yshXr.

Начальные условия выбраны таким образом, что х(0) = с/Х.

Связь между координатой х и временем Г в лабораторной системе получается в результате исключения т из равенств (11.21) с помощью тождества ch2a — sh2a = 1:

(11.22)(11.22)*2(сГ)2

(11.22)

(11.22)

1^Д? — (с/Х?2

Из этого уравнения следует, что в плоскости (xz ct) частица описывает гиперболу (рис. 11.2). В зависимости от знака заряда частицы движение будет происходить по одной из двух ее ветвей.

Наконец, вычислим энергию & и трехмерную скорость и частицы. Имеем

Е(т) -тси^(т} = me2ch入т, с2ти1 (т)(11.23)

u(r) = cthXr,

или, в функции времени t.

&(£) =тс‘&(£) =тс‘

&(£) =тс‘

&(£) =тс‘

(11.24)

Скорость частицы асимптотически приближается к с за характерное время порядка нескольких Г。= тс/еЕ, а энергия нарастает при больших време> нах линейно со временем. Предоставляем читателям самим убедиться, что при t ^ tQ из (11.22), (11.24) получаются известные формулы для равно* ускоренного движения нерелятивистской частицы.

§ 12. ТЕОРЕМА ЛАРМОРА

Рассмотрим систему одинаковых заряженных нерелятивистских частиц, находящихся во внешнем электрическом аксиально-симметричном поле. Как повлияет на такую систему частиц слабое однородное магнитное поле, направленное вдоль оси симметрии?

Ответ на поставленный вопрос дает теорема Лармора-, при наложении слабого магнитного поля система частиц приходит во вращение как целое с угловой скоростью

(12.1)

Это движение называется ларморовской прецессией. Наиболее простое доказательство теоремы Лармора можно получить путем сравнения функций Лагранжа системы частиц в магнитном поле и той же системы без магнитного поля, но рассматриваемой относительно вращающихся координат* ных осей. В отсутствие магнитного поля функция Лагранжа имеет вид, хорошо известный из классической механики:

厶о = U. (12.2)

где U — полная потенциальная энергия, включающая энергию взаимодейст* вия частиц друг с другом и с внешним полем. При наложении магнитного поля функция Лагранжа приобретает, согласно (8.6), добавку

Е—卩a -A a, где 4q — векторный потенциал в той точке, где находится частица.

При И = const удобно представить Л в виде

4 = %〃Х 乙(12.3)

так как

rot4 = % V X [ЯХг] = %Я(7 г)-% (Я-Г)г = У2Я-%Я = Я.

Функция Лагранжа системы частиц в магнитном поле приобретает следую* щий вид:

LH =+(12.4)

Теперь запишем функцию Лагранжа (12.2) относительно осей, вращаю* щихся с угловой скоростью С вокруг оси симметрии внешнего поля. Скорости частицы % в неподвижной и v； во вращающейся системе связаны соотношением

va = р； + Й X г；.(12.5)

известным из классической механики. При выполнении условия

I^X% I《匕(12.6)

в функции Лагранжа достаточно учесть только линейные по С члены. Под* ставляя (12.5) в (12.2), и отбрасывая слагаемые с С?, получим

，2

厶 а=Е^- + Em 吗・[CX^)-U.(12.7)

Существенно, что потенциальная энергия L/при переходе к вращающимся осям не изменяется:

U(rlf ...frN) = U(r\，…，T).

Это связано с тем, что при нерелятивистских скоростях движения расстояния между частицами и расстояния ра от каждой из частиц до оси симмет рии — одни и те же в неподвижной и вращающейся системах отсчета:

L - % I = I厶-"I，Ра= Р；，

а только от таких комбинаций координат может зависеть потенциальная энергия системы взаимодействующих частиц в аксиально-симметричном поле. Поэтому функции Лагранжа 厶 ° и 厶“ становятся одинаковыми, если Й = еН/2тс. Но это означает, что и поведение частиц одинаково: система частиц, наблюдаемая в лабораторной системе отсчета, при наложении магнитного поля приобретает угловую скорость £互 = —еН/2тс. Знак минус появляется потому, что направления вращения частиц относительно коорди< натных ос曲 и осей относительно частиц взаимно противоположны.

Уточним смысл условия (12.6). Пусть частицы без магнитного поля совершают финитное квазипериодическое движение, как, например, электроны в атомах. Тогда можно положить nJ 夕 ％ 〃，где % — частота враще* ния а•访 частицы. Условие (12.6) сводится к неравенству

у,» 口小(12.8)

т.е. частота ларморовской прецессии должна быть мала по сравнению с собственными частотами частиц. Это условие играет существенную роль, и если оно не выполнено, то теорема Лармора неверна. Например, для свободных частиц (3q f 0) частота вращения вдвое больше £2丄(см. (11.6)).

Из приведенного доказательства теоремы Лармора следует, что она спра* ведлива и для таких частиц, у которых еа и та различны, если только отношения еа/та одинаковы.

Глава HI

УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

ВЫВОД УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

В КОВАРИАНТНОЙ ФОРМЕ

ИЗ ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

Действие для системы, состоящей из частиц и электромагнитного поля. В главах I и II мы применили принцип наименьшего действия для получения уравнений движения свободной частицы и частицы в электромагнитном поле. Естественно использовать тот же подход и для вывода уравне* ний движения самого электромагнитного поля, что мы и сделаем ниже. Общую формулировку вариационного принципа для непрерывных систем мы будем считать известной из классической механики，

Начнем с построения действия для системы "заряженные частицы + + электромагнитное попе". В духе общего подхода, основанного на понятии

поля как физической реальности, и признании того факта, что взаимодейст* вие частиц осуществляетсй только через поле, мы должны ожидать, что полное действие S рассматриваемой системы должно ссютоять из трех различных и допускающих четкую физическую интерпретацию частей:

S = Spart + Sgt + Sfield，(13.1)

Здесь

SparL- Е macfdsa(13.2)

—действие для свободных частиц, введенное в § 5; а — номер частицы;

Sgt н — Е '/4(Xq)財(13.3)

а = 1 с

—член взаимодействия, который уже обсуждался в § 7 для случая одной частицы, взаимодействующей с электромагнитным полем. Запись взаимо действия в виде суммы членов по всем частицам вытекает из основного предположения о локальности взаимодействия — каждая частица взаимо* действует с полем, взятым в той же точке, где она находится. При этом, поскольку мы рассматриваем движение частиц как функцию единого времени £ в произвольной, но конкретной инерциальной системе отсчета, все пространственно-временные точки х@ = (х°,右，片,К) следует брать при одном и том же значении ксюрдинаты х° = ск На геометрическом языке это означает, что точки ха берутся на трехмерной гиперповерхности Г = const четырехмерного псевдоевклидова пространства. Тр же самое относится к выражению (13.2): все дифференциалы dsa = с \/Г — v^/cvdt должны быть выражены через единое время г.

Обратимся теперь к третьему слагаемому в (13.1) — действию, описывающему электромагнитное поле. Его нужно построить из величин, выбранных для описания электромагнитного поля — компонент 4 4-потенциала, наложив при этом ряд ограничений, вытекающих как из общефизических принципов, так и из опыта. Сформулируем эти ограничения:

Величина Sfieid должна быть релятивистским инвариантом — это вытекает из принципа относительности.

Из опыта следует, что электро магнитное поле в вакууме удовлетворя* ет принципу суперпозиции: если имеется несколько источников электромагнитного поля и а*й источник в отсутствие остальных создает поле с напряженностями Еа, На, то полное поле будет представлять собой геометрическую сумму полей, создаваемых каждым источником в отдельности:

Е = Е% Н=Е也.(13.4)

оа

Принцип суперпозиции будет выполнен только в том случае, если уравнения поля будут линейными. Линейность уравнений поля требует, чтобы действие Sfieid было билинейным функционалом от компонент 4-потенциа* ла и их производных.

Поскольку наблюдаемыми величинами являются компоненты тензора поля Fikt которые не изменяются при градиентном преобразовании потенциалов (8.14), то и вся теория электромагнитного поля должна быть гради* ентно инвариантной. Это означает, что все уравнения, описывающие как само электромагнитное поле, так и его взаимодействие с заряженными частицами, могут быть записаны через градиентно инвариантные величины —компоненты Fik.

65655. М.М. Бредов

65

65

Постулируем (чтобы получить согласие теории с опытными законами электромагнетизма), что уравнения электромагнитного поля должны содержать производные от 4-потенциала не выше второго порядка по координатам и по времени. Поскольку при варьировании порядок производных повышается на единицу, то действие должно содержать произвол ные от 4-потенциала не выше первого порядка.

Таким образом, условия 3 и 4 требуют, чтобы Sfieid не содержало компонент Ait а только его первые производные в виде градиентно инвариантных комбинаций, т.е. компоненты 戶优.Из условий 1 и 2 вытекает, что они должны входить в виде релятивистски инвариантных билинейных выражений. Таковыми являются инварианты поля (10.5) и (10.6). Поэтому действие S^eid можно записать в виде

Sne\d = a J F ik Fikd4 X + b J J“m FjkFimd" X, (13.5)

где а и b — постоянные.

Второй интеграл, однако, представляет собой слагаемое, вариация которого обращается в нуль. Это следует из возможности записать подынтегральное выражение в виде 4*дивергенции:

\/

далее с помощью теоремы Остроградского —「аусса в 4* форме имеем:

feiklmFikFlm /х = 4川"加人亠 4m dSh

где последний интеграл берется по трехмерной гиперповерхности, ограничи* вающей Фмерный объем интегрирования. Но при варьировании действия значения поля на границе объема должны быть заданными, поэтому

"产т4 ^ = 0.

Эх

В итоге остается только первый член в (13.5) *). Выбирая а = —1/16тгс (что соответствует гауссовой абсолютной системе единиц), будем иметь

Sfieid = —~— J iFikd'x.(13.6)

1бяс

Это выражение и релятивистски, и градиентно инвариантно.

А как обстоит дело с градиентной инвариантностью Sg? Поскольку в него входит сам потенциал Аь то градиентная инвариантность отсутству-

, а*

ет: при замене Д/ на Д/ = At： имеем

5i；t=5int+ ；£ 吟附.(13.7)

Эх /°

Но—г dx = dx(xj — полный дифференциал, который при интегрировании вдоль мировой линии частицы дает постоянную (разность значений х на

концах мировой линии), не влияющую на вариацию. Поэтому, хотя действие Sjnt не обладает градиентной инвариантностью, вариация величины Sm и получающиеся уравнения движения градиентно инвариантны.

.2. Четырехмерная плотность тока. Слагаемые Sfieid и Sint записаны в различных формах: в то время как первое из них представляет собой четырехкратный интеграл по пространственно-временной области, Sgt выражается в виде суммы однократных интегралов вдоль мировых линий частиц. Для вывода уравнений поля нужно представить Sgt также в ^полевой0 форме. Это достигается путем введения плотности заряда р(с Г) и плотности тока，(〃£), определенных в каждой точке четырехмерного прсктранст- ва — времени.

В силу того, что даже в малых макрообъектах оодержится очень большое число элементарных частиц, можно (как и в механике сплошной среды) ввести понятие о непрерывно распределенном в объеме заряде, понимая под плотностью заряда в данной "тонке" пространства отношение

р = Де/Ди, (13.8)

где △ V — макроскопически малый объем. Де — полный электрический заряд в этом объеме. Под "макроскопически малым", или "физически бесконечно малым", объемом понимается такой объем, в котором содержится большое число элементарных зарядов, но линейный размер которого мал по сравнению с расстояниями, представляющими интерес в рассматри* ваемой задаче. Ввиду дискретной структуры электрического заряда переход в выражении (13.8) к пределу △ V~*0 лишен смысла. При таком определении плотности заряда положение "точки", в которой эта плотность задается, определено с точностью до размеров объема △ V.

Плотность заряда можно определить и через функцию распределения в фазовом пространстве, введенную в §6:

p^t}^eff(rfPl t)d3pf (13.9)

где е — заряд отдельной частицы. Для того чтобы (13.8) и (13.9) были эквивалентны, функция распределения f(r,p, Г) должна быть достаточно ''крупнозернистой", т.е. должна описывать распределение частиц в макроскопически малых объемах.

При наличии в системе нескольких сортов частиц вводят функции распределения fa(r,p, 0 для частиц каждого сорта. Формула (13.9) в этом случае обобщается следующим образом:

р(, г) = 2 eaffa(r,p, t)d3p, (13.9а) а

где суммирование ведется по всем сортам частиц.

Но понятие объемной плотности заряда не обязательно должно быть связано с усреднением, его можно ввести и для описания г,точечных,г зарядов, т.е. заряженных объектов малых размеров (в частности, элементарных частиц) • Для этого используют 6функцию Дирака (Дополнение IV). Точечный заряд еа, находящийся в точке с радиус-вектором 厶(6, создает объемную плотность заряда

Pa(r,t) =%3(歹一 ％(6). (13.10) Аналогичным образом можно записать объемную плотность системы точечных зарядов:

P(r,t) = Е%6( 一厶(6), (13.11)

где сумма берется по всем зарядам.

Поскольку заряженные частицы находятся все время в движении, то с этим движением связан, вообще говоря, и перенос электрического заряда. Явление переноса заряда носит название электрического тока. Количественная характеристика электрического тока может быть введена как вектор, определяющий в каждой точке направление скорости и количество переносимого заряда:

/(〃£)=” (13.12)

где р — объемная плотность заряда, a v(〃 г) — средняя скорость зарядов в объеме АН Вектор / называется объемной плотностью тока, которую можно выразить через функцию распределения f(rf р, t) следующим образом:

j(rj)=e，vfgp,t)d3p・ (13.13)

При наличии частиц разного сорта вместо (13.13) будем иметь

»/) = Е eaf^fa(rtpt 6dЗр.(13.13а)

Наконец, если мы имеем дело с системой точечных зарядов и не произ* водим усреднения по макроскопически малым объемам, то

(13.14)(13.14)，（/•」）=£%%6什一 ％（£））・

(13.14)

(13.14)

Последняя формула получается из (13.11) и (13.12), если учесть, что заря* ды находятся в дискретных точках, причем скорость v в каждой такой

точке совпадает со скоростью заряда.

Запишем теперь Sgt через величины ри/. Имеем

^int = — S — S A ^x^dx' = — 2 — Д；(гаг t}dt; а Сac dt

здесь мы ввели единое время t для всех частиц. Далее, еаdx° еаdxQ

Sgt = + Е — S»a(t}A(raf t) ―— X — / “(г”，Г) а СС а СС

=；/ 2 %%")5什一7)4(，£)</4*У/S ceab{r-r^(rft}d4xf

8( —Q")),8( —Q")),где во втором равенстве мы перешли к интегрированию по 4-объему, введя 8-функции. Из последнего равенства видно, что если ввести четырехкомпо* нентную величину

8( —Q")),

8( —Q")),

(13.15)(13.15)尸=〈ср,» = Е %〃)

(13.15)

(13.15)

где р и / даются формулами (13.11), (13.14), то

Sint = -/ Si MAtMd^x.(13.16)

Поскольку Sgt — инвариант и d'x - также инвариант (см. § 2), то /'— четырехмерный вектор плотности тока. Его компоненты преобразуются как координата и время при переходе в другую инерциальную систему, i.e. /； = 7(厶一夕^), /；=/〃 总=%， “'=7&-//j.(13.17)

Этими же формулами определяется закон преобразования концентрации п и плотности потока п v частиц, которые отличаются от р и / инвариантным множителем е. Равенства (13.15) дают связь плотности 4>тока с 4-ско ростями заряженных чутиц. Поскольку /' и 4*векторы, а еа — скалят ры, то произведение，1 —彳/戸3" —〃(6), равно как и сумма таких произведений, обязано быть релятивистским инвариантом. Это замечание будет использовано в § 16 при построении тензора энергии - импульса.

Посмотрим, каким свойством должен обладать 4-ток /*, чтобы теория сохраняла градиентную инвариантность. Преобразовав 4>потенциал согласно (8.16), где х — произвольная дифференцируемая скалярная функция, будем иметь

*nt =&" +； J7'(x)啓$ /к

Далее преобразуем подынтегральное выражение с помощью тождества .Эх Э . Э/

i ~i =77(/ %)~ХГ7 • Эх ЭхЭх

Первый член в правой части представляет собой 4-дивергенцию и при интегрировании сводится к интегралу по трехмерной гиперповерхности, охватывающей Фобъем:

,1 , ,1

^nt = ^int + — f(/ГX)^SZ -~ /X—f d X cc ox

Здесь dS{ — проекция элемента гиперповерхности на ось 7 . Поскольку на границе Фобъема все величины заданы, то вариация от второго члена обращается в нуль. Последний же интеграл, если он отличен от нуля, дает ненулевую вариацию и делает теорию градиентно неинвариантной. Для того чтобы он обратился в нуль при произвольной функции х и произвольном объеме интегрирования, требуется обращение в нуль 4>дивергенции плотности тока

犷/犷=0,(13.18)

или в трехмерной форме

Ьр/bt + div /=0(13.19)

(уравнение непрерывности или неразрывности). Равенства (13.18) и (13.19) выражают один из наиболее важных законов электродинамики — закон сохранения заряда. Чтобы в этом убедиться, проинтегрируем (13.19) по произвольному трехмерному объему V и воспользуемся теоремой Остроградского — Гаусса. Получим равенство d ,

——/ pd3x= 0 j dS.(13.20)

которое показывает, что изменение заряда в объеме V может происходить только за счет его перетекания через границу объема. Если объем охватыва* ет все пространство и на бесконечности плотность электрического тока равна нулю, то

dQ/dt = 0, Q = const,(13.21)

где Q = fpdV - полный заряд системы. 69

Рекомендуем читателям в качестве упражнения убедиться прямой подстановкой, что ри/, определенные равенствами (13.11) и (13.14), удовлетворяют уравнению неразрывнсюти (13.19) •

Отметим, что было бы неправильно рассматривать (13.18) и (13.19) как следствие градиентной инвариантности Sint . Эти соотношения выражают в дифференциальной форме один из фундаментальных законов природы — закон сохранения электрического заряда. Он должен рассматриваться как опытный закон, подтверждаемый всеми известными ныне физическими явлениями как макроскопического, так и микроскопического характера. Именно сохранение электрического заряда и делает величину Sgt градиент* но инвариантной.

.3. Уравнения Максвелла. Теперь у нас есть все необходимое для вывода уравнений Максвелла. Воспользуемся вариационным принципом: эволюция поля в пространстве и во времени (при заданном его значении на границе четырехмерной области) происходит таким образом, что дейст* вие остается стационарным, т.е. его первая вариация обращается в нуль.

F*F,kF*F,kДля получения уравнений поля следует варьировать Фпотенциал, считая движение заряженных частиц (величину /') заданным. Это позволяет записать действие в виде

F*F,k

F*F,k

(13.22)

опустив слагаемое Spar(/ которое не зависит от 4-потенциала, а лишь от координат частиц. Напомним, что при выводе уравнений движения частиц (в § 8, 9) мы, наоборот, варьировали координаты частиц при заданном Д/.

При вычислении вариации 6S пользуемся возможностью перестановки операций интегрирования и варьирования, а также соотношениями

«(户'*尸候)=尸"6Fik + FikbFik- 2Fikb尸法

и

&〃 =6 —j- — 5 •—р. Эх7 ЭхА

Переобозначая индексы в первом члене, получаем

6(戶*户決)=-4户*6答

(13.23)(13.23)и записываем вариацию действия в виде

(13.23)

(13.23)

Далее меняем местами дифференцирование и варьирование.

ЭД, Э

§ к*6Ah

и преобразуем подынтегральное выражение:

.ЭаbFik

尸К (戸""一 h 54

Интеграл от дивергенции (первое слагаемое) преобразуется в интеграл по поверхности, ограничивающей 4*объем интегрирования, и при варьировании обращается в нуль, так как поле нужно считать заданным на границе области интегрирования.

(13.24)(13.24)В итоге вариация действия приобретает вид s5f (士窘+十小①.

(13.24)

(13.24)

Равенство 5s = 0 приРавенство 5s = 0 припроизвольном 6Д/ будет выполняться только, еслипроизвольном 6Д/ будет выполняться только, еслиbFtkЭх*bFtkЭх*(13.25)(13.25)

Равенство 5s = 0 при

Равенство 5s = 0 при

произвольном 6Д/ будет выполняться только, если

произвольном 6Д/ будет выполняться только, если

bFtk

Эх*

bFtk

Эх*

(13.25)

(13.25)

Это есть одно из уравнений ) Максвелла, записанное в ковариантной форме - в виде равенства двух 4-векторов. Сама форма записи уравнения говорит о том, что оно имеет одинаковый вид во всех инерциальных системах, хотя значения как правой, так и левой частей, вообще говоря, различ*

ны в разных системах.

частицами. Еще одно уравнение можно получить, (9.6) Fik через 4-потенциал. Составим тензорчастицами. Еще одно уравнение можно получить, (9.6) Fik через 4-потенциал. Составим тензорУравнение (13.25) связывает тензор поля Fik с источниками j1 — дви>

частицами. Еще одно уравнение можно получить, (9.6) Fik через 4-потенциал. Составим тензор

частицами. Еще одно уравнение можно получить, (9.6) Fik через 4-потенциал. Составим тензор

жущимися заряженными пользуясь определением III ранга

Эх*Эх*(13.26)(13.26)GF*

Эх*

Эх*

(13.26)

(13.26)

= 7- + — +

второе и третье слагаемое которого получаются из первого путем циклической перестановки индексов. Подставив в (13.26) вместо Fik их выра* жения (9.6) через производные от 4*потенциала по координатам, будем иметьс

Ма 02勺 Э2Д/ М4 д2Ду ЭМ, 一

О=И■■■一 „I IM—W Ж I ■—II + ■ ■! ИМ «мм =О

Wax' а/а/ а/а/ 次"/ м"а/ м"М '

так как смешанные производные не зависят от порядка дифференцировав ния. В итоге мы получаем уравнение вида

8/ Зх' 8х"8/ Зх' 8х"

8/ Зх' 8х"

8/ Зх' 8х"

которое представляет 8бо访 второе уравнение Максвелла, записанное, как и (13.25), в ковариантной форме. При совпадении любой пары индексов (с учетом антисимметрии, Fik = —Fki} левая часть уравнения (13.27) обращается в нуль тождественно. Поэтому нетривиальные дифференциаль* ные соотношения между компонентами Fik получаются из (13.27) только в случаях / 丰 к * L Таких комбинаций имеется всего четыре, т.е. уравнение (13.27) дает четыре дифференциальных уравнения первого порядка для компонент электромагнитного поля. Уравнения (13.25) и (13.27) образуют полную систему уравнений Максвелла, описывающих электромагнитное поле движущихся зарядов в вакууме.

ТРЕХМЕРНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

И ИХ СВЯЗЬ С ОПЫТНЫМИ ЗАКОНАМИ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА

Уравнения Максвелла в трехмерной форме. Для практических целей удобна трехмерная форма записи уравнений Максвелла через векторы напряженностей поля Е,Н. Ее нетрудно получить из равенств (13.25) и (13.27) с помощью таблиц (9.15). Например, полагая в уравнении (13.27)

7 = 0, Ar = 1, /« 2, получим 3J1 3 HzдЕу

byс а?Эх

или 1 3Hz rouF =—.

c at

Другие комбинации индексов 0, 1, 2 дают еще две проекции этого равенст* ва, которое принимает окончательный вид

1 ЭЯ rot Е —.(14.1)

с а?

При / = 1, £ = 2, / = 3 получим div〃=O.(14.2)

Из уравнения (13.25) при 7 - 0 следует divE = 4rrp,(14.3)

а при 7 = 1,2, 3 4я 1 ЪЕ rot Н = ~—/ +.(14.4)

В трехмерной записи, таким образом, мы получили четыре уравнения Максвелла: два векторных и два скалярных.

Отметим некоторые характерные свойства этой системы уравнений. Все уравнения линейны4 что позволяет удовлетворить, как мы видели в § 13, принципу суперпозиции полей в вакууме. Если электромагнитное поле переменно во времени, т.е. 3E/3t W0 我ли bHIbt^ 0, то оба вектора. Ей", одновременно отличны от нуля. Электромагнитное поле существует как единый объект и описывается двумя напряженяостями. В случае же постоянных полей система распадается на две пары уравнений:

rot Е = О, 4я гохЯ= —j,rot Е = О, 4я гохЯ= —j,divE = 47rp div Я = О,divE = 47rp div Я = О,(14.5)(14.6)(14.5)(14.6)

rot Е = О, 4я гохЯ= —j,

rot Е = О, 4я гохЯ= —j,

divE = 47rp div Я = О,

divE = 47rp div Я = О,

(14.5)

(14.6)

(14.5)

(14.6)

т.е. постоянные электрическое и магнитное поля могут существовать по отдельности.

Плотность заряда pb, Г) и плотность тока/ (г, г) играют роль источни* ков электромагнитного поля. Но очень важным свойством системы урав* нений Максвелла является возможность существования поля и в отсутствие источников. При 0 =/ = 0 уравнения принимают вид

1 ЭЯ1 ЭЕ

rot Е = - — , гогЯ=

(14.7)(14.7)сdtс 8t

(14.7)

(14.7)

div Е = 0,div〃= 0.

Эта система имеет ненулевые решения, зависящие от координат и в реме* ни, которые будут подробно рассмотрены в гл. VI. Это — еще одно сви> детельство физической реальности электромагнитного поля, его равноправия с другими формами материи. 72

Интегральная форма уравнений Максвелла. Мы уже отметили в п. 14.1 связь уравнений Максвелла с принципом суперпозиции полей. Убедимся теперь, что и другие опытные законь) электрических и магнитных явлений могут быть выведены из системы (14.1) —(14.4). Начнем с закона сохранения электрического заряда.

Применив к обеим частям (14.4) операцию div, будем иметь д

—div Е + 4я div/ = 0,(14.8)

так как div rot Я 三 0 тождественно при любом Я. Подставив в (14.8) div Е = 4яр, получим уравнение непрерывности

Связь последнего уравнения с законом сохранения полного заряда системы □=/ pd U уже обсуждалась в п. 13.2.

Для дальнейшего анализа удобно записать уравнения Максвелла в интегральной форме. Проинтегрируем обе части (14.3) по произвольному объему V и воспользуемся теоремой Остро градского —「ay8a

/ div Ed U^ f E dS.

где S — замкнутая поверхность, охватывающая объем V. Это дает интегральную форму уравнения (14.3):

，Е・ dS = 4赏 / pdV.(14.10)

O')

Мы не будем останавливаться на использовании этого уравнения для вычисления полей от распределений заряда с простой симметрией, так как эти вопросы должны быть хорошо знакомы читателю еще из школьного курса физики. Напомним только, что в случае неподвижного точечного заряда е из (14.10) следует закон Кулона в форме

£= —— ,(14.11)

где г — радиус-вектор, проведенный из точки, в которой находится заряд, в точку наблюдения.

Интегральная форма уравнения (14.2) получается из (14.10) заменой £ р — 0 и имеет вид

(14.12)(14.12)0 H・dS = D

(14.12)

(14.12)

(S)

— поток напряженности магнитного поля через любую замкнутую поверх* ность равен нулю. Из сравнения (14.12) с (14.10) следует, что в природе отсутствуют магнитные заряды, аналогичные электрическим. Их отсутствие приводит к несимметрии уравнений Максвелла: в то время как в урав* нения (14.3) и (14.4) для divE и rot Я входят плотности электрического заряда и тока, в уравнениях (14.1) и (14.2) для rotFn divH плотности ^магнитных** зарядов и их токов отсутствуют. Эта несимметрия побудила П. Дирака выдвинуть в 1931 г. гипотезу о возможности существования элементарных магнитных зарядов (магнитный монополь Дирака). Но неод* нократные попытки обнаружить магнитные монополи эксперименталь*

но пока не увенчались успехом •). Поэтому в настоящее время нет оснований включать в уравнения Максвелла 〃ма「нутные" заряды.

Интегральная форма уравнения (14.1) достигается путем интегрирования обеих частей по некоторой незамкнутой поверхности S и использования теоремы Стокса:

/ rot Е dS- f F • dl,

(S)(0

где / — замкнутый контур, на который опирается поверхность S. После интегрирования выражение (14.1) приобретает вид

(14.13)(14.13)1 8

(14.13)

(14.13)

f Е，dl = —/ Н • dS.

(0с 九(5)

В правую часть равенства входит скорость изменения магнитного потока Ф= j Н • dS через замкнутый контур. Стоящий в левой части интеграл

(S)

=^Е dl называется электродвижущей силой (ЭДС). Таким образом, (14.13) можно записать в виде

ЭФ

&ind=-~r(14.14)

где сокращение "ind" указывет на природу ЭДС — это ЭДС индукции, вызванная изменением магнитного потока. Равенство (14.14) выражает собой закон эле к грома гни гной индукции, установленный Фарадеем: в замкнутом проводнике, находящемся в переменном магнитном поле, возникает электрический ток, пропорциональный скорости изменения магнитного потока через проводник. Причиной возникновения тока является электрическое поле, которое создает направленное движение зарядов в проводнике. Основываясь на объективном характере явлений природы, мы должны предположить, что при изменении в данной области пространства магнитного поля в ней возникает индуцированное электрическое поле вне зависимости от наличия проводника, в котором это поле может вызвать ток. Таким образом, уравнение Максвелла (14.1) можно рассматривать как дифференциальную форму закона электромагнитной индукции Фарадея.

Обсудим теперь смысл уравнения (14.4). Из структуры его правой части следует, что в природе существует два рода источников магнитного поля: электрические токи, создаваемые заряженными частицамиг и изменение во

1 ЪЕ

времени напряженности электрического пол я. Слагаемоебыло введено в уравнение электромагнитного поля Максвеллом и называется током смещения. Хотя физическая природа тока заряженных частиц и тока смеще ния различна, эти токи играют эквивалентную роль как источники магнитного поля.

При ЭЕ/Эг = 0 уравнение (14.4) вместе с уравнением (14.2) определяет магнитное поле, создаваемое стационарными токами. Интегрирование этой системы уравнений позволяет получить закон Био — Савара, т.е. выражение для напряженности магнитного поля, создаваемого малым отрезком проводника с током. Этот вывод будет приведен в гл. V.

Интегральная форма уравнения (14.4) получается тем же путем, что и уравнения (14.1). Она имеет вид

47r18

/Я d/= — / / dS+/ E dS,(14.15)

/С (5)С 9t (S)

где / — произвольный замкнутый контур, ограничивающий поверхность S.

Формально уравнение (14.2) можно рассматривать как универсальное (т.е. одинаковое для всех задач) начальное условие для уравнения

В самом деле, взяв дивергенцию от обеих частей уравнения (14.1), получим

div 〃 = О, dt

откуда div〃 (г , t) =div Я (г r г0)• Если div Я = 0 при Г = Г。，то уравнение

обеспечивает выполнение этого равенства во все моменты времени.

Аналогичным образом уравнение (14.3) можно рассматривать как универсальное начальное условие к уравнениям (14.4) и (14.9): из них следует независимость от времени разности div £ — 4яр. Обращение ее в нуль в начальный момент г =£()влечет за собой выполнение уравнения (14.3) для всех времен.

Возможны разные постановки электродинамических задач. Наиболее простым является случай, когда величины ри/ можно считать заданными, т.е. распределения зарядов и токов в пространстве и во времени известны заранее. При этом, разумеется, должно выполняться уравнения неразрыв* ности (14.9). Задача сводится к интегрированию системы линейных уравнений (14.1) и (14.4) с начальными условиями (14.2) и (14.3).

Однако такая постановка задачи является, как правило, приближенной и не всегда возможна. Очень часто движение заряженных частиц заранее неизвестно.

Уравнение Максвелла (14.1) — (14.4) нужно дополнить уравнениями движения частиц (9.16) и решать их совместно. Поскольку координаты и скорости частиц будут в общем случае сложными функционалами от напряженностей поля, система уравнений станет нелинейной. Такая постановка задачи, являясь более точной, оказывается и значительно более сложной.

14.3. Системы единиц измерения электрических и магнитных величин. До сих пор мы пользовались абсолютной гауссовой системой единиц. Она наиболее удобна для физических исследований, так как в уравнения Максвелла в качестве коэффициента явно входит фундаментальная постоянная с — скорость распространения электромагнитных волн в вакууме, совпа* дающая с предельной скоростью распространения взаимодействий. Это облегчает установление связи теории электромагнитного поля со специальной теорией относительности и проверку релятивистской ковариантности уравнений Максвелла.

Но в последние годы для практических целей (связанных, главным образом, с нуждами электротехники и других видов технологии) все шире внедряется так называемая международная система единиц (СИ). Мы не будем подробно излагать вопрос о системах единиц, считая его известным из курса общей физики (см., напри мер, § 85 учебника Д.В. Сивухина [82]) и ограничимся лишь записью основных соотношений в системе СИ. В указанной системе единиц электромагнитное поле в вакууме описывается

четырьмя векторами EtD,B и Я. Уравнения Максвелла приведены ниже в СИ и рядом, для сравнения, — в гауссовой системе:

ъв

1 ЭЯ

rot Е =—,

at

rot Е =,

с at

3D rot Я = / + -у-, div D = р, div 8 = 0,

47r. 1 ЬЕ

rot H = —j +—,

с с 於(14.16)

div £ = 4叫

div〃= 0.

Векторы Е, Dm В, Н попарно связаны следующими соотношениями: /% 瓦 В = ц0Н,(14.17)

где 107_

€о = г Ф/м и Ро =4тг • 10" Г/м(14.18)

4яс2

—электрическая и магнитная постоянные. Эти возникающие в СИ величины по отдельности лишены какого-либо разумного физического смысла; лишь их комбинация (е0 Мо)""1^2 яс представляет собой скорость распространения электромагнитных возмущений.

Внешне уравнения Максвелла в СИ ((14.16), левый столбец) выглядят проще, чем в гауссовой системе (правый столбец) ° Поэтому у читателя может сложиться впечатление, что использование СИ может упростить запись формул. Но это не так. Кроме упоминавшегося уже отсутствия в ней фундаментальной постоянной с и присутствия вместо нее физически бессмысленных f'электрической и магнитной проницаемостей вакуума" е0 и /4), которые перешли в теорию электромагнетизма еще со времен ^светоносного эфира", СИ имеет еще ряд принципиальных недостатков. Укажем некоторые из них.

Электромагнитное поле в отсутствие вещества описывается четырьмя различными векторами, тогда как по существу их всего два — используемые в гауссовой системе Е и М

Все четыре вектора E,D.H.B имеют разные размерности, поэтому часто необходимая операция сравнения по величине напряженностей поля, легко производимая в гауссовой системе {Е> Не Е <Н), требует в СИ использования дополнительных коэффициентов с。》м)・ Это столь же нелепо для единого электромагнитного пола, как мзг^ерение длины, ширины и высоты некоторого предмета величинами с разными размерностями.

Кроме трех основных величин — длинь^ ©ремень и массы, имеющихся в гауссовой системе, в СИ вводится четвертая величина с независимой размерностью. В качестве таковой выбрана сила тока с единицей измерения ампер, установленной из чисто практических соображений

Указанные принципиальные недостатки затрудняют использование СИ для формулировки фундаментальных законов теории элект^юмагнитного полк Но для практических, инженерных вопросов СИ сжазывается достаточно удобной, и в таких вопросах ее использование вполне оправдано. Перевод основных уравнений и единиц измерения из одной системы в другую можно без труда произвести с помощью таблиц, приведенных в Дополнение V.

§ 15. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ВЕКТОРОВ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Рассмотрим поверхности, на которых величины ри/ имеют особенности (т.е. испытывают скачки или обращаются в бесконечность). Конечно, такие особые поверхности могут быть созданы только материальными средами (проводниками, диэлектриками, намагниченными телами), изучение которых проводится во второй части книги. Но мы рассмотрим их уже в этой части, посвященной в основном ми крое копи ческой электродинами* ке, с тем, чтобы расширить круг задач для практических занятий. На особых поверхностях дифференциальные уравнения Максвелла, вообще говоря, неприменимы, так как производные от Е и Я на таких поверхностях могут потерять смысл. Поэтому дифференциальные уравнения заменяются некоторыми условиями сшивания компонент поля, которые выводятся из интегральной формы уравнений Максвелла.

Условия для нормальных компонент. Начнем с рассмотрения урав* нения (14.10):

f e/$ = 4万 / pdV.(15.1)

(S)(Ю

Выберем объем V в виде цилиндра малого радиуса и высоты，с основаниями, параллельными рассматриваемой особой поверхности 2 (рис. 15 J). Представим левую часть уравнения (15.1) приближенно в виде

f Е • dS * 2 4S + Е〃1 AS + /Vside,(15.2)

где AS — площадь основания цилиндра,恤de — поток вектора Е через его боковую поверхность. Далее, очевидно,

где через Ej и £2 обозначены значения вектора Е по обе стороны от особой поверхности. Нормаль л направлена из области (1) в область (2).

Правую часть равенства (15.1), используя теорему о среднем, пред* ставим в виде

/ pd^xMAS.(15,3)

(И

В итоге находим

(E2n^Eln)^S^ Nsi^ An ph AS.(15.4)

Перейдем в этом равенстве к пределу h -*0 так, чтобы основания цилиндра совместились с поверхностью 2. Поскольку при этом боковая поверхность

цилиндра стремится к нулю, а поле Е остается ограниченным), то Mide f О при 介 f 0. Обозначим

lim рб = о.(15.5)

л —о

Величина о называется поверхностной плотностью заряда. Она отлична от нуля, если обычная плотность р имеет особенность на Z, так что в тонком поверхностном слое находится конечный заряд. Если же р всюду ограничена, хотя и испытывает скачок, то а = 0. Окончательно граничное условие для нормальных компонент Е принимает вид

£?〃 - ^1И = 4яа(15.6)

Это условие справедливо для любой поверхности. На регулярной поверх* ности о=0, и Е〃一 величина непрерывная. На заряженной поверхности £〃 испытывает скачок.

Весь приведенный вывод полностью сохраняет силу и для уравнения (14.12). Но поскольку правая часть (14.12) всюду равна нулю, то нормаль* ная компонента вектора Я на любой поверхности непрерывна:

“2〃 一 "1〃 =。・(15.7)

Условия для тангенциальных компонент. Исходим из уравнения

,4

47r1 ЭЕ

§ Н • dl =— /j・dS+—/ — . dS.(15.8)

(/)c (S) с(S) dr

Выберем замкнутый контур / в виде малого прямоугольника, плоскость которого перпендикулярна поверхности Е (рис. 15.2). Векторы л, т\7образуют тройку взаимно перпендикулярных ортов. Имеем

# 冏"/=(%-"i3 + Q(15.9)

(0

где С/, — интеграл по боковым участкам контура. Далее,

/ j dS^jvah.(15.10)

При 力f 0 величина С обращается в нуль ввиду ограниченности поля Н (мы предполагаем отсутствие на поверхности £ линейных контуров с

Э£ током). Интеграл J •Э£ током). Интеграл J •

Э£ током). Интеграл J •

Э£ током). Интеграл J •

dS также обращается в нуль, так как S-*0, а произ

водная Э£/Эг ограничена ). Наконец, величина

lim jv ・h = iy(15.11)

厶一o

представляет собой проекцию на направление i^поверхностного тока. Вектор / лежит в касательной плоскости к поверхности Е и отличен от нуля.

если ток конечной силы течет в тонком поверхностном слое. В итоге из формул (15.8) - (15.11) будем иметь:

(15.12)

(15.13)(15.13)Последнее условие нетрудно записать и в векторной форме: 47r

(15.13)

(15.13)

〃 X (“2 — 〃i)= — i・ с

Из уравнения (14.13) аналогичным образом выводится граничное условие для касательных компонент вектора £ Ввиду ограниченности величины bHIbt в правой части соответствующего равенства будет стоять нуль:

(15.14)(15.14)(15.15)(15.15)£2 т —々 т = 0・

(15.14)

(15.14)

(15.15)

(15.15)

В заключение выпишем сводку граничных условий в системе СИ:

5 п — 5 п = 582— & 八=О,

“2 т —"17 = Н Gt —£1т = 0・

ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ -

ИМПУЛЬСА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ , ВЕКТОР ПОЙНТИНГА

Ниже мы исследуем вопрос об энергии и импульсе электромагнитного поля. Этот вопрос имеет не только практическое, но и большое принципиальное значение, так как наличие у электромагнитного поля таких фундаментальных динамических характеристик, как энергия и импульс, присущих также и другим материальным объектам, делает очевидным материальность поля.

Логика рассмотрения будет следующей. Мы будем исходить из уже установленных ранее определений энергии и импульса релятивистских частиц, объединив их в единый 4-тензор энергии — импульса. Далее мы у бе* димся в том, что энергия и импульс частиц, взаимодействующих с электромагнитным полем, не являются сохраняющимися величинами. Но если добавить к ним еще некоторые величины, выражающиеся через тензор электромагнитного поля, т.е. ввести в рассмотрение энергию и импульс полной системы частицы + электромагнитное поле, то они оказываются интегралами движения. Это соображение (сохранение полной энергии и полного импульса всей системы) и будет основным критерием для опреде* ления энергии и импульса поля. Таким образом, мы будем опираться на законы сохранения энергии и импульса как на всеобщий принцип, которому должны подчиняться не только механические, но и электромагнитные явления.

Тензор энергии - импульса релятивистских частиц. Определим тензор энергии — импульса 乙;£“ системы частиц следующим выражением:

丁為Г =扌 таиаиа \Л^^- ra(t))t(16.1)

где Л7а - масса, ra(t) и va(r) ~ координаты и скорость частицы, 〃：一 ее 4-скорость. Тензорный характер величины Т^а следует из того, что и\и：— тензор II ранга, а величины п?д и V» -㈠/炉 5什一厶)一инварианты (в отношении последней величинь( см. замечание в п. 13.2).

По определению тензор энергии — импульса симметричен:

(16.2)(16.2)-rik = 丁㈢

(16.2)

(16.2)

，part 一，part•

Для выяснения физического смысла его компонент перепишем их в трех-Для выяснения физического смысла его компонент перепишем их в трех-мерных обозначениях. Пользуясь формуламимерных обозначениях. Пользуясь формулами(4.30), имеем(4.30), имеемтас2個=沁—2тас2個=沁—26(—%S)・6(—%S)・(16.3)(16.3)Проинтегрировав обе получим/ 嘴W=Z - (Ю(И) “Проинтегрировав обе получим/ 嘴W=Z - (Ю(И) “? части равенства по тас26 - "誑(f)? части равенства по тас26 - "誑(f)произвольному объему V,произвольному объему V,(16.4)(16.4)

Для выяснения физического смысла его компонент перепишем их в трех-

Для выяснения физического смысла его компонент перепишем их в трех-

мерных обозначениях. Пользуясь формулами

мерных обозначениях. Пользуясь формулами

(4.30), имеем

(4.30), имеем

тас2

個=沁—2

тас2

個=沁—2

6(—%S)・

6(—%S)・

(16.3)

(16.3)

Проинтегрировав обе получим

/ 嘴W=Z - (Ю(И) “

Проинтегрировав обе получим

/ 嘴W=Z - (Ю(И) “

? части равенства по тас2

6 - "誑(f)

? части равенства по тас2

6 - "誑(f)

произвольному объему V,

произвольному объему V,

(16.4)

(16.4)

т.е. полную энергию невзаимодействующих частиц, находящихся в объеме V. Следовательно, величина 丁^?门 представляет собой плотность энергии невзаимодействующих частиц.

Далее рассмотрим недиагональные компоненты тензора энергии — импульса:

т^с*

t =E7一一々 丁丁 6(r - %⑴)，a = 1,2, 3.(16.5)

。S — va^c

Эту зеличину можно интерпретировать двояко. Проинтегрировав (16.5) по некоторому трехмерному объему и записаз интеграл в виде

/ T^dV-cZ &,(16.6)

(И)(1)

мы видим, что величину 丁^；门=7^〔 можно рассматривать как умноженную на с плотность импульса частиц. Но если (16.5) записать в виде

г^г： = - 2 歸吃5(夕一%(0)，(16.7)

с

то, сопоставляя выражение (16.7) с (16.3), мы можем рассматривать его как деленную на с плотность потока энергии частиц. Плотность импульса и плотность потока энергии отличаются множителем с2.

Наконец, на основе определения (16.1) находим:

rpart =2р>^(г-га(г)), 30=1,2,3.(16.8)

Совокупность девяти величин T^t составляет 3-тензор плотности потока импульса, переносимого частицами. Плотность потока векторной величины представляет собой, естественно, тензор II ранга.

Если мы имеем дело с макроскопической системой одинаковых частиц, то тензор энергии — импульса нетрудно выразить через их функцию распределения f:

ГрзП = т J J J fg р, t\J\ - d cP р,(16.9)

где т — масса частицы (инвариант) .Тензорный характер величины (16.9)вы- текает из свойств подынтегрального выражения: вспомним, что f = inv и \/[ - V11с'd，р = d3p/7 = inv (см. п. 6.4), а и' и 〃"- компоненты 4-вектора. Выражение (16.9) превращается в(16.1), если выбрать функцию рас-

пределения в виде

『亿 р/) = т«-%(Н)6(р-ра"))(16.10)

и считать массы частиц в (16.1) одинаковыми.

Вычислим дивергенцию 4-тензора Т^п, взятогав форме (16.1):

樓^ =衿。崇"Ji _，6(r - r*)) +

+ S maua—E“^d"^6(L —%(£))•(16.11)

Из определения Фскорости (4.30) и 4-градиента (4.24) имеем:

5(r-rfl(t))«~5(r-rjt))+va - V5(r-rjt))

(16.12)(16.12)(16.13)(16.13)(16.14)(16.14)=-—• V6(r-%(t)) + % • V6(r -％(t)) = 0. dt

(16.12)

(16.12)

(16.13)

(16.13)

(16.14)

(16.14)

Далее, поскольку 若 —функция только t, то

dtdt切

dt

dt

0 при а = 1, 2,3. Эха

В итоге, объединяя (16.11) — (16.13), получаем

а 啮tdu：

T^гm什一%⑴)-• a/ adt

Дальнейшие преобразования правой части произведем с помощью уравнения движения (9.9), записав его через производную по обычному (координатному) времени:

та -^ = £ 用比嗟工 一^：(16.15)

Подставив (16.15) в (16.14), будем иметь

- 衿L = ^ — ^к ^—~~^(Г - ra(t))F^尸*儿(16.16)

Эх а。СС

где мы использовали плотность 4-тока (13.15) и одно из свойств 5-функции:

В"-г产* ^b{r-ra)Fik (rat t)^b(r-r^Fik (rj).

Тензор энергии — импульса электромагнитного поля. Представим правую часть равенства (16.16) в виде 4-дивергенции от некоторого 4-тензора Н ранга, Tqeid# который был бы составлен из компонент 4-тензора поля F 掠:

二尸"=一^-•(16.17)

81816. М.М. Бредов

81

81

(16.18)(16.18)Тогда выражение (16.16) примет вид ^明"品)二。

(16.18)

(16.18)

и может быть интерпретировано как уравнение непрерывности для полного Фтензора энергии — импульса системы, состоящей из частиц и электромагнитного поля:

丁泳=7•璃门 + %3d. (16.19)

Равенство нулю дивергенции тензора свидетельствует о сохранении связанных с ним величин, подобно тому как уравнение неразрывности (13.18) для плотности 4-тока обеспечивает сохранение полного заряда системы

С помощью уравнения Максвелла (13.25), переходя к ковариантным компонентам и переобозначив индекс / через к, находим

(16.20)(16.20)

(16.20)

(16.20)

Далее, преобразуем второй член в скобках путем опускания и переобозначения индексов:

риантным компонентам:риантным компонентам:I務尸驚病9 叫I務尸驚病9 叫В итоге равенство (16.20) приобретает видВ итоге равенство (16.20) приобретает вид(16.21)(16.21)

риантным компонентам:

риантным компонентам:

I務尸驚病9 叫

I務尸驚病9 叫

В итоге равенство (16.20) приобретает вид

В итоге равенство (16.20) приобретает вид

(16.21)

(16.21)

Выражение в скобках можно упростить с помощью уравнения Максвелла (13.27), в котором следует поднять все индексы, т.е. перейти к контрава-

откуда определяется тензор энергии — импульса поля:

"储d卜"今+*ik已驚叫.(16.22)

4я \4/

Этот тензор, как и тензор (16.1) энергии — импульса частиц, симметричен:

(16.23)(16.23)畸二芍，

(16.23)

(16.23)

Определение тензора энергии — импульса поля в принципе неоднозначно, так как в правую част?(16.21) можно добавить любой тензор 戸* с равной нулю дивергенцией: 8 7""/8х“ = 0. При этом равенство (16.21) не нарушится, а вид Г^ изменится. Но указанная неоднозначность не сказывается на значении полного 4-импульса ограниченной системы, который остается однозначно определенной величиной. Докажем это.

Тензор II ранга с равной нулю дивергенцией можно представить как дивергенцию антисимметричного тензора III ранга:

「де&'"‘ =—入"* (по первым же двум значкам тензор 入'"'должен быть симметричен:入'*' =入*“，иначе не будет симметричным полный тензор энергии — импульса).

4-вектор энергии-импульса системы частицы + электромагнитное поле, согласно (16.4), (16.6) и (16.19) выражается в виде

P^^fT^dV](16.25)

с здесь интегрирование производится по всему трехмерному пространству. При добавлении к тензору энергии — импульса величины (16.24) 4-импульс (16.25) получит добавку [ах/。/ 曲=(16.26)

с аМ где в силу антисимметрии тензора 入'°' индекс / принимает значения 1, 2, 3. Поэтому величина

аУ — а*。 представляет собой трехмерную дивергенцию и интеграл (16.26) преобразуется в интеграл по бесконечно удаленной поверхности, охватывающей весь трехмерный объем:

戸=丄 “'OQdSa.(16.27)

с Этот интеграл обращается в нуль для ограниченной системы. Таким образом, 声=0, н неоднозначность в определении 碓е не нарушает однозначности определения полной энергии и полного импульса системы. Но плотности этих величин, вообще говоря, не определяются однозначно. Выражения, вытекающие из конкретного вида (16.22) тензора энергии - импульса, являются общепринятыми и, по-видимому, подтверждаются опытом для всех изученных до настоящего времени физических явлений.

Энергия поля. Вектор Пойнтинга. Максвелловский тензор напряжений. В соответствии с выражением (16.25) для 4-импульса системы мы

можем интерпретировать Tg^id = w как плотность энергии поля, а — 瑞:id = с

=9а — как плотность его (трехмерного) импульса. С помощью формул (16.22) и (9.15) нетрудно выразить их через напряженности поля:

,,

w = — (£2 +，2),(16.28)

87r

1 g = — EX Я.(16.29)

4яс Выше (в п. 16.1) мы уже видели, что величина 力旣 может рассматриваться как плотность потока энергии частиц. Аналогичная интерпретация возможна и для с = с2^а = 7а • Совокупность компонент 7｝縉d( с

а = 1, 2, 3) образует трехмерный вектор % который называется вектором Пойнтинга:

7 = —ЕХЯ.(16.30)

47r

Ввиду важной роли, которую играют величины и<и у в теории электромагнитного поля, выведем их еще раз непосредственно из уравнений Максвелла в трехмерной форме. Запишем

18〃4я1 НЕ

rot Е = — — , rot〃 = — / + —— c drсc dt

и составимбилинейноевыражение

1 /ЭЯ8Е\47r.

Н • rot £— £ •rot" к—-I Н •— + Е • — I— —/ • E. (16.31)

c \dtdf /c

Пользуясь тождеством

rot[E X H] = Я • rot E — E • rot Я

и поделив обе части равенства (16.31) на 4тг/с, запишем его в виде

—• + div 7 = — / • Е.(16.32)

Это дифференциальное уравнение выражает собой баланс энергии электромагнитного поля: проинтегрировав (16.32) по объему и преобразовав интеграл от div 7 по теореме Остроградского — Гаусха, получим

dW _

=§T・dS — Jj. EdV.(16.33)

5

Последнее равенство показывает, что полная энергия электромагнитного поля в объеме V,

/ Л(£2 ^H2}dV,(16.34)

(Г) 87r

в отсутствие заряженных частиц (/= 0) изменяется только за счет потока вектора Пойнтинга через поверхность этого объема:

dW -

一―・=/) dS.(16.35)

dt

Основываясь на законе сохранения энергии, мы должны рассматривать интеграл ^у- dS как поток энергии через замкнутую поверхность. Но

(S)_

интерпретация 7 как плотности потока энергии неоднозначна: добавление к 7 величины вида rot F, где Г - псевдовектор, не изменяя полного потока энергии, изменяет его плотность. Однако зта неоднозначность определения вектора Пойнтинга не сказывается на той части энергии электромагнитного поля, которая передается веществу при взаимодействии последнего с по» лем. Энергия передается веществу, занимающему некоторый объем (макроскопический или микроскопический),и, следовательно, переданная энергия определяется интегралом по этому объему от div 7, a div rot Г ^ 0^

При наличии заряженных частиц энергия в объеме V изменяется также за счет работы электрического поля над частицами. Плотность мощности электрических сип, действующих на частмцу, выражается произведением / • £• Магнитные силы не производят работы, а только изменяют направления скоростей частиц. Интегрэл от /« Е входит в правую часть равенства С 3.33) с от^цательнь5м знаком, так как работа электрических сил над частицами уменьшает з?шргию поля.

При / = а = 1, 2： 3 уравнение неразрывности (16.18), будучи записанным в трехмерной форме, дает в отсутствие частиц {臂门=。)

ЪдаЭГ^..

—+=0.(16.36)

at 女°

Интегральная форма этого ур&внения имеет вид

-誓=© 丁黑 d"。，(16.37)

$(S)

где

G= f gdV(16.38)

(И)

—импульс поля в объеме V. Равенство (16.37) показывает# что 丁；3d представляет собой плотность потока импульса. Величина。°° = - 丁；3d называется максвелловским тензором натяжений, в трехмерных обозначениях он имеет вид

1

0邮=--(EaE/HaHM。- (£2 +42)6^.(16.39)

47r87r

Расположение индексов у трехмерного тензора, разумеется, безразлич° НО： %0 = о°°.

Если в объеме V присутствуют заряженные частицы, но они не пересекают при своем движении границу объема, то равенство (16.37) приобретает вид

★(S)5

где P - H pa — полный импульс частиц, находящихся в объеме V. Поскольку импульс Р частиц в отсутствие их потока через поверхность изменяется только за счет действия электрической и магнитной сил, то

dP1

—=/ (pE+——jXH\dV,

dt(V)с

仃黑 dSg = / (/+pE + —/ X dV.

(S)⑺s'" с 〃

Мы видим# что в статическом случае (8g/8г = 0) поток тензора натяжений через поверхноснь некоторого объема равен полной силе, действующей на заряженные частицы в этом объеме. В нестационарном поле к силе добавляется изменение импульса поля в рассматриваемом объеме.

17. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

Выясним, при каких условиях система уравнений Максвелла (14.1)- (144) имеет единственное решение. Пусть заряды и токи (функции p(rt t) и j《/\ t) > заданы. Пусть, далее, в начальный момент времени U = 0) заданы значения £(г, 0| и Ж^ # 0} внутри некоторого объема V, а на его поверх» ности заданье касательные комп^немтьг одного из этих векторов (£丁 или

%) во все моменты времени. Покажем, что при этих условиях решение уравнений Максвелла внутри указанного объема единственно.

Доказательство проводим от противного. Пусть имеется два решения, Е\, Я) м Е?,场，каждое из которых удовлетворяет уравнениям Максвелла (14.1) — (144) .Ссктавим разности

(17.1)(17.1)(17.2)(17.2)e' = e1 -马，"' = % -也.

(17.1)

(17.1)

(17.2)

(17.2)

Они удовлетворяют системе уравнений

,1 aS,

rot Я , div£ = О,

с df

,1打，

rot £ = , div Я = О,

с а?

а также начальным условиям

Е' = 0,Я1 «Опри Г = 0(17.3)

и граничным условиям

Е；=0 или Я； =0на S.(17.4)

Умножим уравнение для rot Я* скалярно на Е： а уравнение для rotE'- на Я* и вычтем получившиеся равенства почленно:

(Q2 + H，2)^Ef -гохн* -Hf ^Е1 ^-d^lE^H'}.(17.5) 2с а?

Интегрирование (17.5) по произвольному объему V с использованием теоремы Острсурадского — Гаусса позволяет получить уравнение энергии

d £'2+а，2g,,

—/ d^x^0 [E'XH']〃dS;(17.6)

dt(У)87r4я ⑴

множитель с/4я добавлен, чтобы уравнение (17.6) стало аналогом (1633).

S — поверхность, ограничивающая рассматриваемый объем.

Нормальная составляющая векторного произведения Е' ХЯ； выражается через касательные компоненты Е^ и 打；на поверхности S и, согласно (17.4), обращается в нуль. Поэтому из (17.6) получаем

£'2 +“2

/ dV = const.(17.7)

(Г)87T

Но поскольку Е，= Н» = 0 при f = 0, то постоянная в правой части (17.7) тоже равна нулю. Это возможно лишь если Е‘ = 0 м Н' = 0 тождественно во всех точках объема.

Заметим, что если интеграл f (£ X Hf)ndS стремится к нулю при S f (S),,

f 8 (а это имеет место при достаточно быстром убывании £‘ м " с расстоя< нием), то граничные условия (17.4) являются излишними для доказательства единственности решения.

弘‘ 8*к弘‘ 8*кFlk =—— Эх/Flk =—— Эх/уравнение для потенциала:уравнение для потенциала:кка эд □ А +а эд □ А +4я4яЭх, ЭхЭх, Эх(18.1)(18.1)

弘‘ 8*к

弘‘ 8*к

Flk =—— Эх/

Flk =—— Эх/

уравнение для потенциала:

уравнение для потенциала:

к

к

а эд □ А +

а эд □ А +

4я

4я

Эх, Эх

Эх, Эх

(18.1)

(18.1)

§ 18. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

Уравнения Максвелла (13.25) и (13.27) записаны через тензор электромагнитного поля 戶'*. При подстановке его выражения через 4-потенциал

уравнение (13.27), как мы видим, обращается в тождество, а (13.25) дает

Здесь мы воспользовались определением оператора Даламбера (4.26).

В § 8 мы уже говорили о том, что Фпотенциал при заданном тензоре 戶'* (т.е. напряженностях £* и Я электромагнитного поля) определен с точностью до градиентного преобразования (8.16). Этим произволом можно воспользоваться для упрощения (18.1). Наложим на 4-потенциал дополнительное условие

а"

―г =0.(18.2)

Эх*

Оно называется условием Лоренца и в трехмерных обозначениях имеет вид

(18.3)(18.3)1 89

(18.3)

(18.3)

div / + 0.

с 8f

Выбор потенциалов, подчиняющихся условию (18.3), называется лорен- цевской калибровкой.

Уравнение (18.1) упрощается и принимает вид

.47r,

или в трехмерных обозначенияхили в трехмерных обозначениях□4 = / ,(18.4)

или в трехмерных обозначениях

или в трехмерных обозначениях

(18.5)

Оба уравнения представляют собой неоднороднее волновые уравнения.

Условие Лоренца (18.2) не устраняет произвола в выборе потенциалов, а лишь ограничивает класс допустимых функций х，осуществляющих градиентное преобразование. Согласно (8.16), оба потенциала 4’ и А1, будут удовлетворять условию Лоренца (18.2), если

□х = 0.(18.6)

Вместо условия Лоренца (18.2) в некоторых задачах оказывается удоб- ным дополнительное условие на потенциал вида

(18.7)(18.7)div Л = 0

(18.7)

(18.7)

(кулоновская калибровка). Эта калибровка не обладает релятивистской ковариантностью и в другой инерциальной системе отсчета изменит свой 87

вид. В кулоновской калибровке скалярный потенциал 4° = 9 согласно (18.1) и (18.7) удовлетворяет уравнению Пуассона

М = —4тгр,(18,8)

в которое время входит как параметр я Потенциал А должен определяться из уравнения (18.1) при / =1,2,3:

1 8%4я18屮

АД ——-— = j + ~ V.(18.9)

c2 df2сc8f

Условие калибровки (18.7), наложенное на потенциалы А1 и Д/, приводит к следующему ограничению на функцию х градиентного преобразования :

(18.10)(18.10)△х = 0.

(18.10)

(18.10)

Если рассматривается электромагнитное поле в отсутствие зарядов и токов, т.е. при р = 0 и / = 0, то можно выбрать такую калибровку потенциалов, при которой 9=0 тождественно, а также div Л = 0. При таком выборе потенциалов уравнение (18,8) удовлетворяется тождественно, а (18.9) превращается в уравнение Даламбера:

11а2ла2л(18.11)(18.11)

1

1

а2л

а2л

(18.11)

(18.11)

Глава 8V

ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

§ 19. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ПОСТОЯННОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Как мы уже видели в § 14, если напряженность электрического поля не зависит от времени, то система уравнений Максвелла распадается на две пары уравнений, содержащих только электрические или только магнитные величины. Уравнения Максвелла для псютоянного электрического поля имеют вид

(19.1)(19.1)rot Е = 0, div Е = 4яр.

(19.1)

(19.1)

Первое из этих уравнений указывает на безвихревой характер постоянного электрического поля. Оно удовлетворяетсяж если вектор Е будет представлять собой градиент некоторой скалярной функции:

Eg = -grad 9⑺.(19.2)

Величина 9(г) называется в этом случае электростатическим потенциалом, а формула (19.2) представляет собой частный случай соотношений (8.13) при ЭД/df = 0.

Чтобы выяснить физический смысл потенциала 9, вычислим работу А электрических сил по перемещению заряда е вдоль некоторого контура / из точки 1 в точку 2:

(2)(2)(2)

А = J еЕ • dl = —е / у 屮• dl = — е / 叫=£(9]—s)・(19.3)

)⑴(О

Здесь мы воспользовались формулой для скалярного произведения векто-Здесь мы воспользовались формулой для скалярного произведения векто-д<рд<р•г)•г)и Л « (dx, dy, dz):и Л « (dx, dy, dz):W8989▽9 . dl dx +dy +dz = dip,dx8y”W8989▽9 . dl dx +dy +dz = dip,dx8y”где d屮—полный дифференциал функции 9.Из формулы (19.3) следует, что работа электрических сил не зависит от пути перемещения заряда, а определяется только разностью потенциалов начальной и конечной точек. Если, в частности, эти точки совпадают (замк< нутый контур), то работа обращается в нуль:где d屮—полный дифференциал функции 9.Из формулы (19.3) следует, что работа электрических сил не зависит от пути перемещения заряда, а определяется только разностью потенциалов начальной и конечной точек. Если, в частности, эти точки совпадают (замк< нутый контур), то работа обращается в нуль:А = е©Е dl = Q.А = е©Е dl = Q.(19.4)(19.4)Независимость работы электрических сил от пути — важнейшее свойство электростатического поля. Таким образом, измеряемой величиной является разность потенциалов в двух точках — она определит работу электрических сил по перемещению единичного заряда между этими точками. Поэтому сам электростатический потенциал 9(г) определяется неоднозначно — с точностью до произвольной аддитивной постоянной, не влияющей на значение разностей потенциалов.Уравнение для электростатического потенциала мы получим, подета* вив Е из (19.2) в уравнение (19.1) дл« divE. Посколькуdiv grad(^ = V ▽9 = ▽” = Ar,Независимость работы электрических сил от пути — важнейшее свойство электростатического поля. Таким образом, измеряемой величиной является разность потенциалов в двух точках — она определит работу электрических сил по перемещению единичного заряда между этими точками. Поэтому сам электростатический потенциал 9(г) определяется неоднозначно — с точностью до произвольной аддитивной постоянной, не влияющей на значение разностей потенциалов.Уравнение для электростатического потенциала мы получим, подета* вив Е из (19.2) в уравнение (19.1) дл« divE. Посколькуdiv grad(^ = V ▽9 = ▽” = Ar,где A — оператор Лапласа, то искомое уравнение имеет вид△9=—47rp.(19.5)где A — оператор Лапласа, то искомое уравнение имеет вид△9=—47rp.(19.5)Оно называется уравнением Пуассона. В частном случае, когда в рассматриваемой области пространства заряды отсутствуют, т.е. р = 0, уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа-.М = 0・ (19.6)Оно называется уравнением Пуассона. В частном случае, когда в рассматриваемой области пространства заряды отсутствуют, т.е. р = 0, уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа-.М = 0・ (19.6)Оператор Лапласа в уравнениях (19.5) и (19.6) может быть записан, разумеется ,в любой координатной системе.Граничные условия на особых поверхностях для уравнений (19.5) и (19.6) получаются из условий (15.6) и (15.14) для компонент вектора Е = — ^9 и гласят:Оператор Лапласа в уравнениях (19.5) и (19.6) может быть записан, разумеется ,в любой координатной системе.Граничные условия на особых поверхностях для уравнений (19.5) и (19.6) получаются из условий (15.6) и (15.14) для компонент вектора Е = — ^9 и гласят:(19.7)(19.8)(19.7)(19.8)где через , обозначены производные в направлении нормали иЭл 8ткасательной к поверхности. Без ограничения общности второе условие можно заменить условием непрерывности потенциала н& поверхности:где через , обозначены производные в направлении нормали иЭл 8ткасательной к поверхности. Без ограничения общности второе условие можно заменить условием непрерывности потенциала н& поверхности:(19.9)(19.9)

Здесь мы воспользовались формулой для скалярного произведения векто-

Здесь мы воспользовались формулой для скалярного произведения векто-

д<р

д<р

•г)

•г)

и Л « (dx, dy, dz):

и Л « (dx, dy, dz):

W8989

▽9 . dl dx +dy +dz = dip,dx8y”

W8989

▽9 . dl dx +dy +dz = dip,dx8y”

где d屮—полный дифференциал функции 9.

Из формулы (19.3) следует, что работа электрических сил не зависит от пути перемещения заряда, а определяется только разностью потенциалов начальной и конечной точек. Если, в частности, эти точки совпадают (замк< нутый контур), то работа обращается в нуль:

где d屮—полный дифференциал функции 9.

Из формулы (19.3) следует, что работа электрических сил не зависит от пути перемещения заряда, а определяется только разностью потенциалов начальной и конечной точек. Если, в частности, эти точки совпадают (замк< нутый контур), то работа обращается в нуль:

А = е©Е dl = Q.

А = е©Е dl = Q.

(19.4)

(19.4)

Независимость работы электрических сил от пути — важнейшее свойство электростатического поля. Таким образом, измеряемой величиной является разность потенциалов в двух точках — она определит работу электрических сил по перемещению единичного заряда между этими точками. Поэтому сам электростатический потенциал 9(г) определяется неоднозначно — с точностью до произвольной аддитивной постоянной, не влияющей на значение разностей потенциалов.

Уравнение для электростатического потенциала мы получим, подета* вив Е из (19.2) в уравнение (19.1) дл« divE. Поскольку

div grad(^ = V ▽9 = ▽” = Ar,

Независимость работы электрических сил от пути — важнейшее свойство электростатического поля. Таким образом, измеряемой величиной является разность потенциалов в двух точках — она определит работу электрических сил по перемещению единичного заряда между этими точками. Поэтому сам электростатический потенциал 9(г) определяется неоднозначно — с точностью до произвольной аддитивной постоянной, не влияющей на значение разностей потенциалов.

Уравнение для электростатического потенциала мы получим, подета* вив Е из (19.2) в уравнение (19.1) дл« divE. Поскольку

div grad(^ = V ▽9 = ▽” = Ar,

где A — оператор Лапласа, то искомое уравнение имеет вид

△9=—47rp.(19.5)

где A — оператор Лапласа, то искомое уравнение имеет вид

△9=—47rp.(19.5)

Оно называется уравнением Пуассона. В частном случае, когда в рассматриваемой области пространства заряды отсутствуют, т.е. р = 0, уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа-.

М = 0・ (19.6)

Оно называется уравнением Пуассона. В частном случае, когда в рассматриваемой области пространства заряды отсутствуют, т.е. р = 0, уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа-.

М = 0・ (19.6)

Оператор Лапласа в уравнениях (19.5) и (19.6) может быть записан, разумеется ,в любой координатной системе.

Граничные условия на особых поверхностях для уравнений (19.5) и (19.6) получаются из условий (15.6) и (15.14) для компонент вектора Е = — ^9 и гласят:

Оператор Лапласа в уравнениях (19.5) и (19.6) может быть записан, разумеется ,в любой координатной системе.

Граничные условия на особых поверхностях для уравнений (19.5) и (19.6) получаются из условий (15.6) и (15.14) для компонент вектора Е = — ^9 и гласят:

(19.7)

(19.8)

(19.7)

(19.8)

где через , обозначены производные в направлении нормали и

Эл 8т

касательной к поверхности. Без ограничения общности второе условие можно заменить условием непрерывности потенциала н& поверхности:

где через , обозначены производные в направлении нормали и

Эл 8т

касательной к поверхности. Без ограничения общности второе условие можно заменить условием непрерывности потенциала н& поверхности:

(19.9)

(19.9)

Уравнение Пуассона (19.5) сохраняет силу и при наличии точечных зарядов, если объемную плотность заряда записать через 5-функцию Дирака,

как это делалось в § 13. Аналогичное замечание относится и к случаю, когда в пространстве имеются заряженные нити или поверхности. Объемную плотность заряда на них можно выразить через одномерную и двумерную 5>функции. Например, если имеется точечный заряд в начале координат, то р(г) =ebtr) и уравнение Пуассона примет вид

△9= -4яе6(г). (19.10)

Найдем из этого уравнения потенциал точечного заряда. Для этого примем во внимание сферическую симметрию задачи и проинтегрируем обе части уравнения по объему шара радиуса г. Левая часть по теореме Остроградского —Гаусса преобразуется к виду

(19.11)(19.11)(19.12)(19.12)/ △«pdU = J div grad(^ dV = f grad 9 ds = 4яг2

(19.11)

(19.11)

(19.12)

(19.12)

а правая часть при таком интегрировании превратится в постоянную

J4яе6(г) dV = 4ite,

В результате уравнение примет вид

(19.13)

(19.14)(19.14)и из него последующим интегрированием находим

(19.14)

(19.14)

9 ⑺=~ + С

Постоянная С остается произвольной. Ее удобно выбрать равной нулю, с тем чтобы электростатический потенциал обращался в нуль на бесконечности. Отметим, что при подстановке (19.14) в уравнение (19.10) получается тождество

(19.15)(19.15)=—4я 6(г),

(19.15)

(19.15)

которое нам понадобится в дальнейшем.

Наглядное представление об электростатическом поле дают поверхности равного потенциала (эквипотенциальные поверхности)

(19.16)(19.16)9(х, yf z) = const

(19.16)

(19.16)

и силовые линии электрического поля. Последние определяются как линии, касательные в каждой точке пространства к вектору напряженности поля Е Поскольку Е= —Vr, а вектор ▽▽ направлен по нормали к поверхности равного потенциала, то и силовые линии нормальны к поверхности (19.16). Они могут быть найдены из условия параллельности Е и элемента dl силовой линии:

(19.17)(19.17)£ X 〃 = 0.

(19.17)

(19.17)

Это векторное равенство можно переписать в виде системы двух дифференциальных уравнений 1-го порядка, которая в декартовых коорди* натах (выраженная через потенциал, принимает вид

(19.18)(19.18)dx dy dz

(19.18)

(19.18)

3 屮沁 хЪ^!Ъу3 屮Rz

Интегралы этих уравнений определяют две системы поверхностей, линии пересечения которых и являются силовыми линиями электрического поля. При использовании криволинейных ортогональных координат q2< Q3 уравнения (19.18) примут вид

hldqihldq2hldq3

,(19.19) d(p/dQib^lbq2а^/Мз

где 力仪一коэффициенты Ламе (функции координат).

20. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА

Интегральная форма уравнения Пуассона. Уравнение Пуассона (19.5) можно преобразовать к интегральной форме. Последняя позволяет в некоторых частных случаях получить решение в квадратурах, а в общем случае — лучше понять свойства решений уравнения Пуассона и постановку граничных условий.

Воспользуемся тождеством Грина

/ (屮厶屮―WA9)W= 0 (9-上—屮(20.1) (Г)(S)\ Нс Эл /

где 9 и 屮一две произвольные дифференцируемые скалярные функции, V — произвольный объем, S — ограничивающая его замкнутая поверхность, д^/Эл и 8W/8n — проекции градиентов на внешнюю нормаль к поверхности. Тождество Грина (20.1) получается путем применения теоремы Остроградского —Гаусса, / diy/adV = ja -dS, к вектору о =屮^屮-ф^ <р, для которого

diva = 9 AW — 屮 Ар.

Пусть мы интересуемся значением потенциала в точке М, лежащей внутри объема V. Выберем в качестве ^ искомый потенциал, удовлетворяющий уравнению Пуассона (19.5), а в качестве 屮—скалярную функцию W= 1/斤， где 斤=I『м —『丨—расстояние от точки М до элемента интегрирования dV. Заметим, что согласно (19.15),屮 удовлетворяет уравнению

= - 4тт 6% т),(20.2)

которое получается, если в (19.15) заменить г нагм —г. В (20.2) оператор Лапласа может действовать как на координаты точки г, так и на координаты %.

Подставим в (20.1) значения 厶屮 из (19.5) и AW из (20.2). Это дает

Вычислив интеграл с 6-функцией, f^ir)^(rM — r)dV =屮夕“)三 9M , находим

Первое слагаемое в этой формуле описывает потенциал, создаваемый зарядами, которые находятся внутри объема V. Эту часть потенциала можно получить и по принципу суперпозиции, поскольку малый заряд p(r)dVt согласно (19.14), создает в точке М потенциал pdV[R, а полный потенциал

от всех зарядов внутри V получается суммированием (интегрированием) по этим зарядам. Второе слагаемое в (20.3) описывает потенциал от зарядов, находящихся вне объема » м на его границе, т.е. на поверхности S. Но оно учитывает указанные заряды не явно, через их объемную и поверх - постную плотности, а через значения потенциала 9 и нормальной компоненты напряженности поля £„ = - д^/дл на границе объема.

Если все заряды, создающие электростатическое поле, находятся внутри конечного объема V, то поверхностный интеграл обращается в нуль и полный потенциал описывается выражением

(20.4)(20.4),ptr^dV1

(20.4)

(20.4)

которое в этом случае является решением уравнения Пуассона (19.5). В этом легко убедиться, отодвигая поверхность S на бесконечность: на больших расстояниях потенциал ограниченной системы будет убывать не медленнее, чем потенциал точечного з&ряда, т.е. г"1, а производные

9/ 1 \2

и — I ——I - не медленнее, чем Следовательно, если устремить дл дл \ Я /

поверхность к бесконечности. то подынтегральное выражение будет убывать как г"3, а сама поверхность — нарастать как г2, и в целом весь поверхностный интеграл будет стремиться к нулю как г"1, где г — радиус поверхности. Но, поскольку объемный интеграл не изменяется при изменении поверхности S, если она охватывает все заряды, то поверхностный интеграл обращается в нуль как в случае бесконечной, так и конечной поверхности.

Выражение (20.4) сохраняет силу и при н&личии точечных зарядов ( а также заряженных поверхностей и нитей, если ввести в объемную плотность заряда pg соответствующие 6-образные вклады. Например, если все заряды — точечные, то

Р(Н = S еаЫг-ra)t(20.5)

и из (20.4) получим

/)= S —— ■ ,(20.6)

д = 1 I I

т.е. алгебраическую сумму потенциалов точечных зарядов.

Зададимся вопросом — можно ли рассматривать формулу (20.4) как общее решение уравнения Пуассона? Это можно делать, если известно распределение зарядов во всем пространстве (и интеграл (20.4) сходится). Но во многих случаях (особенно при наличии материальных сред) распределение заряде известно только в ограниченной области пространства. Вне этой области и на ее границе распределение зарядов неизвестно, зато заданы зн&чения потенциала или его нормальной производной на границе области. В этих условиях более удобной является форма (20.3). Однако ни в каком случае выражение (20.3) при отличном от нуля поверхностном интеграле нельзя рассматривать как решение уравнения Пуассона. Это было бы возможно, если бы допускалось одновременное и независимое задание 9 и 89/8〃 на некоторой поверхности. Тогда (при заданной р(г)) оба слагаемых в правой части (20.3) были бы известными функциями координат, и (20.3) давало бы решение уравнения Пуассона. В действительности

же на произвольной замкнутой поверхности могут быть задана произвольно либо 9, либо 2屮/8〃，но не обе эти величины одновременно (см. п. 20.2). Задавая одну из них, мы превращаем (20.3) в интегральное уравнение, так как неизвестная функция 屮(или ее производная Зд/Зс) входит под знаком интеграла. Поэтому (20.3) можно рассматривать в общем случае только как интегральную форму уравнения Пуассона, но не как его ре* шение.

Единственность решения электростатической задачи. Чтобы завершить дискуссию, начатую в конце п. 20.1, докажем теорему единственности.

Решение электростатической задачи внутри заданного объема V единственно, если в объеме V задано распределение зарядов р(г), а на его поверх* ности S - либо потенциал 屮，либо его нормальная производная д^/дл. Воспользуемся тождеством Грина

/ 仲 g + ▽屮• ▽9)W = 0 ф(П(S)/ 仲 g + ▽屮• ▽9)W = 0 ф(П(S)(20.7)(20.7)

/ 仲 g + ▽屮• ▽9)W = 0 ф

(П(S)

/ 仲 g + ▽屮• ▽9)W = 0 ф

(П(S)

(20.7)

(20.7)

которое получается путем применения теоремы Остроградского — Гаусса к вектору а = WV 9, где W и 屮一произвольные дифференцируемые скаляры. Предположим, что существуют два различных решения электростатической задачи,^ и %，удовлетворяющие уравнению Пуассона

△% 2 = — 4яр внутри объема V(20.8)

и граничным условиям

2 = fна S(20.9а)

(условия Дирихле), либо

也& =尸xaS(20.96)

Эл

(условия Неймана) г где f и F ~ заданные функции координат.

Положим в (20.7) 9 =屮=% — 9?. Из (20.8) следует, что Д^ = 0. Интеграл в правой части (20.7) также обращается в нуль, так как в силу (20.9а) и (20.96) на поверхности S либо 9=0, либо 8屮/8〃 = 0. В итоге получаем

"▽9/w=0(20.10)

что возможно только при условии ▽屮=0, т.е.屮=const. В случае (20.9а) const = 0, т.е. и】=9?. В случае (20.96) const 力 0, но два электрсютатичес- ких потенциала, отличающиеся на псютоянную, физически эквивалентны. Таким образом, и в том, и в другом случае решение единственно.

Решение граничной задачи с помощью функций Грина. Соотношению (20.3) можно придать такую форму, что оно будет давать явное решение электростатической задачи, если ввести в него соответствующим обра* зом подобранную функцию Грина. Функцией Грина G (г, /) электростатической задачи называется решение уравнения Пуассона для единичного точечного заряда

^G^r) = -4тг5(г —，')(20.11)

внутри данного объема V. Если вне объема V и на его поверхности другие заряды отсутствуют, то решением (20.11) (справедливь^м во всем безгранич-

ном пространстве, является

(20.12)(20.12),1

(20.12)

(20.12)

^^н = -一—

\r-r I

(см. (20.2)). Но если вне объема имеются другие заряды, заданные не явно, а через посредство соответствующего граничного условия на S, то вид функции Грина усложняется:

(20.13)

Здесь F^, г} удовлетворяет уравнению Лапласа

△74厶，)=0(20.14)

и, следовательно, учитывает действие зарядов, находящихся вне заданного объема.

При задании граничных условий Дирихле (20.9а) подберем функцию 戶(匕『')так, чтобы выполнялось условие

G{rt г ) = 0 для г xaS.(20.15)

Отождествим в равенстве (20.1) функцию 夕一с искомым потенциалом, а 屮一с функцией Грина (20.13), удовлетворяющей граничному условию (20.15). Получим равенаво (20.3) г в котором следует заменить MR на G亿 г') • Но в силу (20.15), поверхностный интеграл будет содержать только одно слагаемое:

9(г)= / G(r, r^^dV'/ 屮卜‘)；dS'.(20.16)

(F)47r ⑴ a〃

Поскольку 9，)задан на St то в (20.16) правая часть известна и дает значение потенциала в любой точке объема V.

При задании граничных условий Неймана (20.96) оказывается невозможным наложить на функцию Грина граничное условие

8G"') с°

;=0для г на S,

так как оно противоречит уравнению (20.11), из которого следует:

(20.17)(20.17)(20.18)(20.18)工 aG(r"'), 0 dS = - 4я.

(20.17)

(20.17)

(20.18)

(20.18)

(S)加

Простейшее условие, согласующееся с (20.17), имеет вид

bG^tr}4л,

= для г на £

bnS

Тогда, подставив в (20.3) вместо 1/Я функцию Грина (20.13), удовлетворяющую условию (20.18), получим

—189“)

9(r) =，+ / G^r.r^p^dV1 ^— / G^r'}—— dS\ (20.19) (V)47r ⑴Эл

Здесь，= — J ^p(r )dS — среднее значение потенциала на поверхности S, S (S)

которое может быть выбрано произвольно.

Пример. Найти потенциал внутри сферы радиуса а, если на расстоянии Ь < а от ее центра помещен точечный заряд q, а на поверхности сферы поддерживается потенциал 9 = 0.

Решение. Построим функцию「рнна, удовлетворяющую внутри сферы уравнению (20.11). а на ее поверхности — условию (20.15) • Это достигается путем выбора F(r,夕')в виде потенциала точечного заряда

戶亿『')=—^~ ,(20.20)

величина е* и положение /*.(，)которого подбираются так, чтобы выполнить условие (20.15). Из соображений симметрии очевидно, что г и 乙，отсчитываемые от центра сферы, должны быть направлены вдоль одной прямой. Выбирая ось г сферической системы координат вдоль этой прямой, получим из (20.15) условие для определе* ния параметров % и「.：

•一一 二 + 一 =0.(20.21)

Jr，+&' —28，cos»“>Jr\ +aJ - 2ar#cos £

Уравнение (20.21) имеет два решения: % = —1,，* =，(тривиальное решение, потенциал равен нулю всюду в пространстве) м е. = — а〃，г.=紹/，. Второе решение и позволяет построить функцию「рнна, которая в сферических координатах имеет вид

а"

GO*/)=——:—— —…у -“—，..:：• .у.(20.22)

J「2 +，Г — 2"'COS »' \jr\ +「' 2 — 2r*，' cos 0*

Вычисляя затем потенциал с помощью (20.16), где следует положить

p(rr) -qb^ —Ь},9 = 0 на S,

получим

QQ

9⑺= . "f 一 一.二二一' —一寸(20.23)

“2 +Ь2 - 2br COS 0V«2 + b?「2 /炉-2br cos »

где ® — угол между линией расположения зарядов и радиуовектором г.

ПОТЕНЦИАЛ НА БОЛЬШИХ РАССТОЯНИЯХ ОТ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ»

ДИПОЛЬНЫЙ И КВАДРУПОЛЬНЫЙ МОМЕНТЫ

Если известно распределение в пространстве всех создающих электрическое поле зарядов, то, согласно (20.4), потенциал этого поля будет определяться интегралом

,P^)dVf

9= / 1ГТ • \г-г I

Такое представление потенциала предполагает, что плотность р(г) отлична от нуля в ограниченной области пространства или достаточно быстро убывает при г ->°° по любому направлению.

Интеграл может быть взят и представлен в аналитическом виде в сравнительно небольшом числе случаев, при относительно просюй функции р(“. Затруднения при вычислении этого интеграла в заметной степени связаны с тем, что в знаменателе подынтегрального выражения стоит иррациональное выражение I г — г' I =，仅一 *%： Поэтому в общем случае установить

вид функции 9(г) бывает довольно сложно. Существуют, однако, случаи, когда вид этой функции может быть установлен с хорошей точностью при довольно общих предположениях о виде функции「，)• Важнейшей зада* чей такого типа является задача нахождения электростатического поля на больших расстояниях от ограниченной системы зарядов.

Пусть заряды занимают объем с характерным размером /. Выбрав начало отсчета внутри системы, найдем потенциал на расстояниях г А /. Для этого разложим величину

в ряд по малому параметру 一 отношению г7г. Использовав известное разложение бинома в степенной ряд, получим с точностью до квадрата указанного малого отношения

1 1 г — 3 " \ 2 J 2

127127Если записать квадратичные слагаемые через декартовы координать( и использовать тензорные обозначения, то указанные слагаемые приводятся к виду

1

27

1

27

\7^/ 不\7^/ 不心勺(3*:疗 -/2必0), (21.2)

\7^/ 不

\7^/ 不

где по повторяющимся индексам, как обычно, подразумевается суммирование.

Используем выражение (21.1) для приближенного вычисления интеграла (20.4). Подставив (21.1) в (20.4) и воспользовавшись представлением (21.2), получим

g 0丿Оав^а^в

W)= — + J-乎*旦.(21.3)

г r3 2r

Здесь использованы следующие обозначения:

q = JpgdV'(21.4)

—полный заряд системы;

р^^г*р^}дУ1(21.5)

—дипольный момент системы;

Qa^fp(г')(3х［貿& - У2 b^dV'(21.6)

—тензор квадрупольного момента системы зарядов.

Продолжив разложение (21.1), мы могли бы определить высшие муль> типольные моменты системы. Поэтому разложение (21.3) называется разложением электростатического потенциала по мультипольным моментам или, более кратко, по мультиполям. Фактически, как уже указывалось, это есть разложение по степеням //г, поэтому на больших расстояниях от системы каждый последующий член разложения мал по сравнению с предыдущим.

Главным членом в (21.3) является потенциал точечного заряда 屮。= = q/u. Его смысл о*ювиден: на больших расстоянг^ях детали распределения заряда не существенны и система действует как точечный заряд, помещен* ный в начало координат. Но если полный заряд равен нулю, то первым 96

неисчезающим членом разложения оказывается потенциал диполя

9dip=P.r〃3；

(21.7)

этим определяется его важное значение во многих задачах электродинамики. Такой потенциал создает на больших расстояниях нейтральная система зарядов (например молекула).

В этом случае, т.е. при g = 0, дипольный момент (21.5) оказывается не зависящим от выбора начала отсчета: сдвинув его на вектор% будем иметь в новой системе отсчета

Р* = / rp(r)dV- f(rt — a)p(r,)dVf=p — aq =р. Для системы точечных зарядов p = е ё川.

⑵.8)

⑵.9)

Если, в частности, имеется всего два заряда + е и —е на расстоянии /, то

р = е/.

⑵.10)

где вектор / направлен от отрицательного заряда к положительному (рис. 21.1). Такая система называется элементарным диполем.

Напряженность электрического поля диполя вычисляется дифференцированием потенциала (21.7)

3r(p⑺_上

(21.11)

В сферических координатах (г, dt а) с полярной осью, направленной вдольр( составляющие E(iip имеют вид:

2P cos »

р sin 3户

(21.12)

Обсудим теперь квадрупольный член в разложении потенциала.

5qu

(21.13)

Если ввести единичный вектор 刀=г〃，то (21.13) можно представить в виде

2尸

(21.14)

Из этих выражений видно» что %и ~ 1/尸・

Чаще всего квадрупольный член выступает как поправочный к потенциалу точечного заряда или диполя. Но при достаточно симметричном расположении зарядов он может оказаться главным в разложении потенциала. Примеры таких систем изображены на рис. 21.2.

• +е

-2е

Рис. 21.1.

9797

97

97

М.М. Бредов

Квадрупольный момент 0а^ представляв! собой тензор “ ранга. Из определения (21.6) следует, что он симметричен.

0邮=00"，0邮=00"，(21.15)

0邮=00"，

0邮=00"，

(21.16)(21.16)а его след (сумма диагональных элементов) равен нупю: 4а = 5 1 + °2 2 + °3 3 = 0・

(21.16)

(21.16)

(21.17)(21.17)Как и всякий симметричный тензор, 0。0 может быть приведен к главным осям, в которых отличны от нуля только диагональные элементы, связанные соотшшением (21.16). Поэтому только два из них независимы. Если же система зарядов аксиально-симметрична (Oz -- ось симметрии), то

(21.17)

(21.17)

。22 = — — °зз・2

Величину Озз = О называют в этом случае просто квадрупольным моментом. Квадрупольный потенциал при этом упрощается и приобретает в сферических координатах вид

9qL方9qL方(21.18)

9qL方

9qL方

где 戶2 (cos 8) — полином Лежандра.

В случае, когда распределение зарядов близко к сферически>симметрич- ному, более удобным оказывается разложение в ряд по мультиполям в сферических координатах. Используя разложение

77 Н 4y77 Н 4yт=-，⑵+1)产т=-，⑵+1)产yim^.^yim^. а')，yim^.^yim^. а')，《21.19)《21.19)

77 Н 4y

77 Н 4y

т=-，⑵+1)产

т=-，⑵+1)产

yim^.^yim^. а')，

yim^.^yim^. а')，

《21.19)

《21.19)

приведенное в Дополнении VII, представим потенциал ^ (г) при г >г в виде」 一

(21.20)(21.20)(21.21)(21.21)乜V 2!+1

(21.20)

(21.20)

(21.21)

(21.21)

Здесь Qim — мульти пол ьный момент порядка I, т:

“m = ' ^ПТ / Р'"” У 储("&" "•

§ 22 ЭНЕРГИЯ И СИЛЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

В ЭЛ Е КТРОСТАТИЧ ЕС КОМ ПОЛЕ

Энергия электростатического поля. Плотность энергии электрического поля дается формулой (16.28) при Н = 0:

(22.1)

Вычислим полную энергию ограниченной системы неподвижных зарядов

力=丄 JE2dVt力=丄 JE2dVt8я8я(22.2)(22.2)

力=丄 JE2dVt

力=丄 JE2dVt

8я

8я

(22.2)

(22.2)

где интегрирование нужно производить по всему пространству. Для постоянного электрического полипоэтому, пользуясь правилами

(22.3)(22.3)векторного дифференцирования, находим £^ = 一 Е 7 屮=—V • (Е 屮)+ 9 ▽ • Е,

(22.3)

(22.3)

Заменим в последнем слагаемом V- Е на 4яр, согласно (19.1), и подставим (22.3) под интеграл (22.2) • Это дает

/div(EddVC/div(EddVC(22.4)(22.4)11

/div(EddVC

/div(EddVC

(22.4)

(22.4)

IV = — § р屮dV 28я

Последний интеграл для ограниченной системы обращается в нуль, как нетрудно показать с помощью теоремы Остроградского — Г&усса. В самом деле,

/ div®”" ， En^dS, (И (Soo)

где Soo — бесконечная поверхность, охватывающая все пространство. Но на больших расстояниях от системы зарядов, сюгласно (21.4),屮 убывает не медленнее 尸，а £„ — не медленнее 产，тогда как сама поверхность нарастает как 戸.В итоге

§ Еп 屮 dS — O,

(22.5)(22.5)и в случае ограниченной электростатической системы мы имеем два различных выражения для полной энергии: (22.2) и

(22.5)

(22.5)

W- - / p 屮 dV. 2

Применим последнюю ((юрмулу для анализа некоторь(х частных случаев. Пусть имеются две ограниченные системы зарядов (рис. 22.1)。Они не обязательно должны быть разделены в пространстве. Обозначим через 91 ⑺，屮2 (力 электростатические, потенциалы, создаваемые в заданной

Рис. 22.1.Рис. 22.1.

Рис. 22.1.

Рис. 22.1.

точке зарядами первой и второй систем. Воспользовавшись принципом суперпозиции и подставив в (22.5) р = % + Рг и®”】 +92, будем иметь

W= %1 +%2 +也2,(22.6)

где

(22.7)(22.8)(22.7)(22.8)И<и = ^，Pi6 dV.

(22.7)

(22.8)

(22.7)

(22.8)

1

И<12 = ~ /S192 +02 91)49

Выражение для %? аналогично (22.7). Интегрирование в формулах (22.5) — (22.8) можно производить по всему пространству, но области, в которых р равно нулю, не дадут вклада.

Разложение (22.6) имеет простой физический смысл. Величины 必 i и % 2 представляют собой энергии систем 1 и 2 по отдельности, а %2 — их взаимная энергия или энергия взаимодействия. В механике ее называют потенциальной энергией взаимодействия. Очевидно, что эта энергия зави сит от взаимного расположения систем, т.е. от их обобщенных координат gf)и д(『)• По общим правилам механики, производная от потенциальной энергии по координате, взятая с противоположным знаком, определяет силу, стремящуюся увеличить эту координату:

渺1 2渺1 2

(22.10)(22.10)Энергию взаимодействия можно записать в более компактном виде, если воспользоваться формулой

(22.10)

(22.10)

"У?

Поменяв местами в одном из слагаемых (22.8) переменные интегрирова* ния гиг1, получим

(22.11)(22.11)PW)C)也2=不；，］ dY"

(22.11)

(22.11)

Из этой записи следует, что энергию взаимодействия можно представить также в формах

(22.12)(22.12)用12 =/Р16 dV = SPi^dV.

(22.12)

(22.12)

Энергию отдельной системы заряда тоже можно записать через двойной интеграл типа (22.11):

1 pW)Pi(“ ，

%i = - /———-—dVdV,(22.13)

2 lr-r I

Обратим внимание на множитель 1/2, отличающий энергию одной системы от энергии взаимодействия двух систем (22.11).

Рассмотрим теперь систему точечных зарядов*) / , …，едг，имеющих радиус-векторы rit... ,rN. Записав

р(Н = X еаЫг-га)

а-\

и подставив эту сумму в формулу типа (22.13), получим

N еаеь 1 N 唠

+ - S -~^―.(22.14)

a,b-1 \fa —'厶丨2 a=l ITa — ffl I

a*b

Здесь первая сумма, в которой индексы а и д не совпадают, представляет собой энергию взаимодействия системы точечных зарядов. Ее можно

записать без множителя 1/2, учитывая каждый член в сумме по одному разу:

%= Е р(22.15)

%Ь=1 \га -гь\ а>Ъ

Вторая сумма в (22.14) описывает сумму собственных энергий точечных зарядов. Каждый член в ней расходится ввиду расходимости кулоновского потенциала при 厂今 0. Очевидная бессмысленность этого результата означает, что классическая электродинамика становится неприменимой на малых расстояниях. Трудность с расходимостью собственной энергии точечного заряда является фундаментальной и проявляется не только в классической электродинамике, но и в современной теории элементарных частиц, основу которой составляют квантовая механика и теория относитель* ности. Для того чтобы избежать расходимости собственной энергии, следует считать элементарные частицы протяженными. Но это неизбежно озна> чает наличие у них внутренней структуры, т.е. мнеэлементарностьм.

Ввиду невозможности вычислить в рамках классической электродинамики собственную энергию системы точечных зарядов, мы должны ограничиться вычислением энергии их взаимодействия, которая дается формулой (22.15).

Можно оценить характерный размер элементарной частицы, если ее рассматривать как протяженный классический объект. Электростатическая энергия заряженного шара радиуса г 0 записывается в виде FV= ае2 /г 0, где а — множитель порядка единицы, зависящий от распределения заряда. Так, при равномерном поверхностном распреде* лении заряда а = при равномерном распределении по объему а = 3/5 и т.д. Пред* положив, что вся масса частицы имеет электромагнитное происхождение, и приравняв энергию покоя тс' ее электростатической энергии е?/，。，получим

% ^e2/mc2(22.15')

Для электрона величина г 0 ® 2,8 • 10-13 см и называется классическим радиусом электрона. Этот параметр появляется во многих задачах электродинамики. Однако ему нельзя приписывать буквальный смысл радиуса элементарной частицы, так как классическая теория, на основе которой получена оценка (22.15*), из°за квантовых эффектов теряет силу уже на значительно больших расстояниях А = h Imc (где h = 1,05 • IO"7 эрг • с — постоянная Планка). Для электрона А» 137г0 = 3,9 • 10'1 *см. Величина Л называется комптоновской длиной волны.

Система зарядов во внешнем поле. Вычислим энергию ограниченной системы зарядов во внешнем электрическом поле, слабо изменяющемся в пределах размера системы (рис. 22.2). Это условие позволяет произ

вести разложение в ряд и выразить энергию через мультипольные момен。 ты системы, введенные в § 21.

Будем для определенности считать заряды точечными. Воспользуемся формулой (22.12), понимая в ней под 屮2 потенциал внешнего поля 屮.Для точечных зарядов указанная формула примет вид

^

(22.16)(22.16)W= Z enp(R +г/).

(22.16)

(22.16)

，=1

Воспользуемся предполагаемой гладкостью потенциала 歹 в пределах си с-

темы и разложим его в степенной ряд:

屮依 + 川=9昧)+£ — + 丄•(22.17)

а% 2' ax^axg

Здесь использованы тензорные обозначения и правило суммирования по повторяющимся индексам.

Если в пределах рассматриваемой системы зарядов нет источников внеш

него поля, то потенциал 屮 в этой области удовлетворяет уравнению Лап- 緑⑴

ласа 厶屮0. Это позволяет записать последний член разложе-

а% 8%

ния в (22.17) в виде

(22.18)

Подставив разложение (22.17) и (22.18) в (22.16), будем иметь

(22.19)(22.19)W = q屮一p . e + -— +…

(22.19)

(22.19)

6 Эхадх^

Здесь величины Е у 屮 берутся при аргументе R, а величины

N/=1N/=1(22.20)(22.20)

N

/=1

N

/=1

(22.20)

(22.20)

4尸 £虫(3壮)Х*)一7%0)

представляют собой полный заряд системы, ее дипольный момент и квадрупольный момент соответственно. Формулы (22.20) являются аналогами (21.5) - (21.7), относящимися к случаю точечных зарядов.

Разложение (22.19) производится по отношению размера системы I и масштабу L неоднородности потенциала 歹・ Если, в частности, ^ создает* ся точечным зарядом, находящимся в начале координат, то параметром разложения является //Я.

Первый член в (22.19) представляет собой энергию точечного заряда во внешнем поле, % =09・ Дифференцирование ее по/^ дает известное вьь ражение для силы:

凡=~<7 V^ = g£. (22.21) Второй член,

%dip = -P・£ (22.22) дает энергию диполя во внешнем поле. Вычисляя ее градиент с помощью формул векторного дифференцирования, найдем силу, действующую на диполь во внешнем поле:

^dip»(P-V)£. (22.23)

Но энергия диполя зависит не только от координат, но и от ориентации р по отношению к Е. Поэтому в общем случае на диполь действует не только сила, стремящаяся сдвинуть его в пространстве, но и крутящий момент

сил. Последний можно вычислить, дифференцируя энергию ^ip = —рЕ cos。 по углу между р и Е:

(22.24)

Знак минус указывает на то, что момент сил стремится уменьшить угол 0, т.е. ориентировать диполь вдоль поля.

ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ

Кроме объемных, поверхностных и точечных зарядов возможны еще распределения электрических зарядов вдоль некоторых линий (заряженные нити), а также двойные электрические слои. Последние представляют собой тонкие слои, на одной стороне которых имеется положительный заряд с плотностью о, а на другой — отрицательный заряд с плотностью —и, так что в целом слой электронейтрален (рис. 23.1).

Пусть 5 — толщина слоя (т.е. расстояние между положительно и отрица* тельно заряженными поверхностями). Эта величина будет считаться малой по сравнению со всеми другими расстояниями в задаче. Тогда на элемент поверхности слоя dS будет приходиться электрический дипольн^1Й момент

(23.1)(23.1)dp = об dS,

(23.1)

(23.1)

а на единицу поверхности слоя — дипольный момент

/二=абл,(23.2)

dS

где орт нормали п должен быть направлен от отрицательной сторон>1 поверхности к положительной (см. рис. 23.1).

Рис. 23.1.Рис. 23.1.

Рис. 23.1.

Рис. 23.1.

(23.3)(23.3)Вычислим потенциал двойного слоя. Воспользуемся принципом суперпозиции и полученным выше выражением для потенциала элементарного диполя (21.8):

(23.3)

(23.3)

(S)尸

Здесь радиус-вектор г соединяет точки поверхности с точкой наблюде* ния Mt а интегрирование ведется по поверхности, занятой двойным слоем. Формуле (23.3) можно придать другой вид, если заметить, что

(23.4)(23.4)dS = ± к дП.

(23.4)

(23.4)

где сШ — элемент телесного угла, под которым из точки наблюдения М

видна площадка dS , знак плюс соответствует случаю, когда видна положительная, а минус — отрицательная сторона поверхности.

С помощью (23.4) будем иметь

9м = /(±к2С・(23.5)

(О

Если, в частности, поверхность ориентирована так, что для всех ее элементов знак в (23.4) один и тот же, то

9м二土 хС・(23.6)

Для замкнутой поверхности с двойным слоем имеем

I ± 4гк,точка М внутриповерхности;

I с“(23.7)

I 0 , точка М снаружи.

Если точка наблюдения находится вблизи поверхности двойного слоя, то, очевидно,

9м = ±2тгк.(23.8)

Это означает, что на самой поверхности потенциал испытывает скачок:

92 —91 =4тгк.(23.9)

При этом, поскольку полная плотность поверхностного заряда двойного слоя равна нулю, напряженность поля непрерывна на поверхности:

Е2n — £]〃 = 0, или — —г— - 0.(23.10)

Эл Эл

Эти условия очевидным образом отличаются от граничных условий (19.7) и (19.9) на заряженной поверхности.

Примером физической системы, в которой реализуется двойной слой, является поверхность раздела твердое тело — вакуум.Электроны, как более легкие по сравнению с ионами частицы, с большей вероятностью, чем атомные ядра, могут оказаться на периферии среды, так что поверхность раз< дела является двойным слоем с определенной поверхностной плотностью дипольного момента. Этот поверхностный дипольный момент может быть изменен, если на поверхность среды высадить полярные молекулы так, чтобы вектор дипольного момента каждой из молекул был перпендикулярен поверхности. Такой же эффект может быть достигнут нанесением на поверхность тонкой пленки щелочного металла. Атом щелочного металла может отдать свой электрон в объем среды, и на поверхности останутся заряженные положительно ионы металла. Это приводит к уменьшению дипольного момента поверхности. Величина этого дипольного момента определяет разность потенциалов внутри среды и в вакууме.

Если поверхность раздела плоская и однородная, то скалярный потенциал 9 электрического поля будет удовлетворять уравнению

—=-4ттр(2).(23.11)

Здесь z — нормальная к поверхности раздела координата. После первого интегрирования это уравнение примет вид

= -4тт / p(z，2z：

dz—8

а после второго мы будем иметь

(23.12)(23.12)9(z) —9(一8)= -4я / [ / p^^dz*] dz'.

(23.12)

(23.12)

Интеграл в правой части этой формулы берем по частям:

/ [ / p(z,，)dz,] dz = [z /- / p(z')z'dz' =

"°° —o©—ooI—oo—oo

ZZzz/ pQ)〃一 / dzzp(z)./ pQ)〃一 / dzzp(z).(23.13)(23.13)

Z

Z

z

z

/ pQ)〃一 / dzzp(z).

/ pQ)〃一 / dzzp(z).

(23.13)

(23.13)

Если полный заряд среды равен нулю, то / р(2‘)"при z f 8 есть нуль и в правой части (23.13) остается только одно последнее слагаемое + 8

9(8)-9(у) = 47r / zp(z)dz.(23.14)

Таким образом, разность потенциалов в глубине среды и в вакууме на большом от нее расстоянии определяется поверхностной плотностью дипольного момента поверхности раздела. Поскольку работа по перемещению единичного заряда из среды в вакуум представляет собой разность 9 В) — 9 (—8), то эту последнюю величину принято называть работой вьь хода.

Глава V

ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

ОБЩИЕ СВОЙСТВА ПОСТОЯННОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ВАКУУМЕ

Основные уравнения. В отсутствие зависимости от времени напряженность магнитного поля удовлетворяет системе уравнений (14.6):

47r

rot〃=— /,(24.1)

с

div 笈=0.(24.2)

Поскольку dp/df = 0, то из уравнения неразрывности вытекает условие стационарности токов:

div/ = 0.(24.3)

Последнее соотношение можно получить и из уравнения (24.1), применив к обеим его частям операцию div. Заметим, что для существования тока, / ¥= 0, необходимо, чтобы заряды двигались. Поэтому постоянное магнит ное поле может создаваться стационарной, но не статической системой зарядов.

При расчете магнитных полей от симметричных распределений токов полезна интегральная форма уравнения (24.1). Она получается из (14.15) при Е = 0, либо непосредственно из (24.1) путем интегрирования по произ<

вольной незамкнутой поверхности S:

§Hdl = — J j dS.(24.4)

/c (S)

Здесь / — контур, на который опирается поверхность S, а интеграл в правой части представляет собой силу тока, протекающего через поверхность S.

Применим уравнение (24.4) для расчета магнитного поля, создаваемого длинным цилиндрическим проводником радиуса а с током J, распределенным равномерно по сечению. Основываясь на цилиндрической симметрии системы, предполагаем, что силовые линии представляют собой окружности с центрами на оси проводника. Выбрав в качестве контура Z такую окружность, находим

§Hdl = 2irrH;

в правой части равенства при / = Лпа1 = const имеем

$jdS =$jdS =г <а;г <а;

$jdS =

$jdS =

г <а;

г <а;

таким образом,

(24.4а)

Уравнение (24.2) позволяет представить Ж г) в виде ротора некоторого вектора4(г) — векторного потенциала:

H=rotA.(24.5)

Это представление является частным случаем (8.13). Ввиду неоднозначности векторного потенциала (градиентное преобразование 4=4 +gradx не изменяет значения Жг)) на него можно наложить дополнительное условие. Условия калибровки Лоренца (18.3) и Кулона (18.7) для постоянных полей совпадают:

(24.6)(24.6)div4 = 0.

(24.6)

(24.6)

Векторный потенциал удовлетворяет уравнению Пу&ссона 4я

△4 = 一 ——力(24.7)

с

которое является частным случаем уравнения (18.5) для А и может быть получено подстановкой (24.5) в (24.1).

Запишем решение уравнения (24.7) для случая ограниченной системы стационарных токов, исходя из аналогии с уравнением электростатики (19.5). Последнее уравнение для ограниченной системы зарядов имеет решение (20.4). Ввиду одинаковости уравнений (19.5) и (24.7) решение для векторного потенциала можно записать в виде

(24.8)(24.8)А(г) =— / —一- dV't с Я

(24.8)

(24.8)

г де К = г — г \

Отметим, что решение (24.8) удовлетворяет дополнительному условию (24.6). В самом деле, применив к (24.8) операцию div и поменяв порядок дифференцирования по координатам г и интегрирования по dV1, получим

(24.9)(24.9)1")

(24.9)

(24.9)

div4 =— /V- dV

с Я

Заметим, что

(24.10)

где через V' обозначен оператор Гамильтона, действующий на координаты 匚 и учтено условие (24.3). Подставим (24.10) в (24.9) и воспользуемся теоремой Остроградского — Гаусса:

1 div4(/*) = — — / I—’. dS.

с Я

Последний интеграл берется по бесконечно удаленной поверхности и обращается в нуль, если in{r} убывает при гг ~> 00 быстрее, чем г' . На этом заканчивается доказательство равенства (24.6) для векторного потенциала (24.8) •

Закон Био — Савара. Формула (24.8) позволяет записать в виде интеграла по объему напряженность Я магнитного поля, создаваемого ограниченной системой токов. Применим к (24.8) операцию rot и используем (24.5). Это дает

1 小')，

H(r) =— /VX—— dV\(24.11)

сЯ

Далее, используя правила векторного дифференцирования, находим

▽ Х^^=^ VX/(r,) ^Цг1) XV ^-^.(24.12)

/「') j(尸)ХКV X = гЯа3/「') j(尸)ХКV X = гЯа3Н(г)Н(г)Поскольку V Х/(г") = 0, так как /，)не зависит от вектора 乙 на который действуетV, а 57( 1//?) =Я/Я3,то

/「') j(尸)ХК

V X = г

Яа3

/「') j(尸)ХК

V X = г

Яа3

Н(г)

Н(г)

(24.13)

(24.14)

Формула (24.14) показывает, что элемент объема dV\ в котором течет ток плотности 力 создает магнитное поле

曲⑺=曲⑺=(24.15)(24.15)

曲⑺=

曲⑺=

(24.15)

(24.15)

(закон Био — Савара).

Если поле создается квазилинейным замкнутым током, текущим вдоль некоторого контура I, то в формулах (24.14), (24.15) нужно сделать

очевидную замену

jdV' fJdl,(24.16)

где J — сила тока в контуре. Малый элемент квазилинейного тока создает поле

J d/X К

必⑺—,(24.17)

с Я3

а полное магнитное поле получится путем интегрирования (24.17) по всему контуру.

Закон Био — Савара может быть положен в основу магнитостатики, исходя из него, можно придти к уравнениям (24.1), (24.2).

Псевдоскалярный потенциал магнитного поля и магнитные листки. Ввиду того, что использование векторного потенциала магнитного поля менее удобно, чем использование скалярного потенциала в электростатике, возникает вопрос — нельзя ли и для магнитостатического поля ввести некоторый псевдоскалярный ^ потенциал 屮(力？

Рассмотрим подробнее эту возможность. Пусть

〃⑺=- grad 屮⑺.(24.18)

Поскольку, согласно (24.1), го1Я= (4я/с)/, а из (24.18) следует, что rot"= — rotgrad 屮=0, то формула (24.18) может быть верна только в областях, где / = 0.

В этих областях потенциал 屮 должен удовлетворять уравнению Лапласа

△ ^ = 0,(24.19)

которое вытекает из (24.2), (24.18) и выражает собой факт отсутствия в природе магнитных зарядов, Рт = 0. Но даже в областях, где / = 0 и формально может быть введен скалярный потенциал W, он обладает очень неприятным свойством — неоднозначностью.

Проиллюстрируем это на примере квазилинейного контура с током (рис. 24.1). Выберем произвольный контур интегрирования /, охватывающий контур с током J. Вычислим значение потенциала в точке А после обхода по этому контуру:

必=以 + 0 W.(24.20)

(0

Если бы ф[г) был однозначной непрерывной функцией координат, то f” = 0. Но фактически

f W =，▽ W dl = — §н • dl=-——J,(24.21)

(/)(/)(О°

и, таким образом,

〜 4я

Wa-Wa = —J(24.22)

с

Последнее соотношение показывает, что 以⑺一 неоднозначная функция ксюрдинат и после обхода по любому замкнутому контуру, охватывающему контур с током, приобретает приращение АкЛс, где J — полный ток, протекающий через произвольную поверхность, которая опирается на контур интегрирования.

Обратим внимание на формальное сходство соотношения (24.22) с граничным условием (23.9) на поверхности электрического двойного слоя: роль мощности слоя в (24.22) играет величина

Km=Jk・ (24.23)

Второе граничное условие, аналогичное (23.10), также выполняется на любой поверхности, так как нормальная компонента магнитного поля непрерывна:

а%/а〃="1/М. (24.24)

Таким образом, квазилинейный контур с током математически эквивалентен двойному магнитному слою, называемому также магнитным листком. Подчеркнем, что смысл магнитных листков чисто формальный. Положение поверхности магнитного листка неоднозначно, и на этой поверхности

отсутствуют реальные магнитные заряды или токи. Но само введение скалярного потенциала магнитного поля и связанного с ним понятия магнитных листков полезно для решения некоторых магнитостатических задач.

Формула Ампера. На заряженную частицу малых размеров действует в магнитном поле сила Лоренца

手=—V X 〃.(24.25)

с

Найдем силу, действующую на малый макроскопический элемент dl квазилинейного тока. Пусть частицы движутся со скоростью и в проводнике сечением S. Их концентрация п, а плотность тока дается формулой / = р v = =env. Величина J=/S будет представлять собой силу тока в проводнике, а элемент его объема запишется в виде dV = Sdl.

Сила dFt действующая на элемент dl проводника, получится суммированием (24.25) по всем частицам внутри объема dV:

еendVenvSJ

dF= Z — [¥ХЯ] [¥ХЯ]=——[dlXH] =—[d/ХЯ].

(dP) СССC

Здесь был использован факт параллельности v и М, а также постоянство Я в пределах малого объема dV. Последняя формула,

dF = —ldlXH\,(24.26)

с

называется формулой Ампера.

Сила, действующая на малый элемент объемного тока, получается из (24.26) заменой JdlfjdV:

dF = — [jXH]dV=fdVt(24.27)

с где 1 f=—jXH(24.28)

с —плотность силы (в расчете на единицу объема).

з 25. МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ

В этом параграфе мы вычислим магнитное поле на больших расстояниях от ограниченной системы стационарных токов. Эта задача похожа на ту, которая решалась в § 21, и сводится к разложению векторного потенциала (24.8) по мультипольным моментам. Но здесь мы ограничимся только учетом дипольного члена.

Пусть токи текут в конечном объеме с линейным размером / • Если расстояние до точки наблюдения г > 7, то можно ограничиться в разложении

линейным по Иг членом:

1г г1

_ = _ + —.(25.1)

RгР

Подставив это разложение в (24.8), получим

A(r)=— fi(r，)dV,^-^f{r-r,)i(r)dV\(25.2)

сгсгл

Покажем, что

J7T')dP' = 0・(25.3)

Исходим при этом из тождества

^，l(a-rf)j(r,)] ^a j(r )t(25.4)

где 0 — произвольный постоянный вектор, a div'берется по координатам 『'•В (25.4) использовано условие стационарности токов div'/，)= 0. Интегрируя (25.4) по всему пространству и используя теорему Остроградского —Гаусса, будем иметь

/0・ j(N) dV1 ^Sin^ka-r^dS^Q,

так как /л = 0 на бесконечно удаленной поверхности. Ввиду произвольности вектора а , из последнего равенства следует (25.3). Оно означает, что члена, аналогичного кулоновскому потенциалу, в данном случае не существует.

Преобразуем теперь второй интеграл в (25.2) • Исходя из тождества

，XjS)] X『=/“)*・ "-〃/•『).(25.5)

В последнем слагаемом сделаем замену /• г = div'[/(『•；')] • Далее умножим обе части этого равенства скалярно на произвольный постоянный вектор а и проинтегрируем по всему пространству:

alSlr^jkr^dV^r]=

= “J7b)g”dH-〃a /)div'[/，)(，”]сЛЛ(25.6)

Последний интеграл преобразуем с помощью тождества

(a/)div'[/ЮТ，)] = div'[/「・『')5『')]一(4・力什，)・

После интегрирования по всему пространству и применения теоремы Остроградского — Гаусса слагаемое в левой части, содержащее div', обращается в нуль. В итоге равенство (25.6) примет вид

^f^^jkr^dV' X " = 2afi(rf)(rrf)dVf.(25.7)

Ввиду произвольности вектора а из (25.7) следует:

〃，'Xjir^dV1 Xr=2//(.r，)(r• rf)dVf.(25.8)

Подставляя (25.3) и (25.8) в разложение (25.2), получим 彩 X，

/⑺二一— ,(25.9)

где вектор

1

М = — HrXj(r)]dV(25.10)

2c

называется магнитным дипольным моментом.

Формулы (25.9) и (25.10) решают задачу о вычислении векторного потенциала вдали от системы стационарных токов. Заметим, что магнитный момент Минвариантен относительно сдвига системы отсчета: замена г на "“ не изменяет интеграла (25.10) в силу равенства (25.3).

В качестве примера использования формулы (25.10) вычислим магнитный момент плоского контура с постоянным током J, лежащего в плоскости х/ (рис. 25.1). Произведя замену jdV^Jdl (см. (24.16)), запишем

М = — f[rXd/}.(25.11)

2c

Легко видеть, что вектор %[『X dl] по величине равен площади заштрихованного треугольника и направлен вдоль нормали л к плоскости контура. Поэтому

丄 f[rXd/] =S〃，(25.12)

2

где S — площадь, ограниченная контуром с током. В итоге магнитный момент плоского контура с током запишем в виде

М=—Sn.(25.13)

с В качестве второго примера рассмотрим вычисление магнитного момента, создаваемого системой заряженных частиц. Пусть заряды и массы частиц равны е/ и mt соответственно ( / = 1, 2, . . . f /V). Пользуясь формулой (13.14) для плотности тока

j=y ea^r-ra)t(25.14)

получим из (25.10)

М= X — [г； X V/] = S ~- [^ X р/].(25.15)

，2c『2mt

(25.16)(25.16)Здесь р, = m^t — импульс частицы, а 力=〃 X Pt

(25.16)

(25.16)

—момент импульса относительно начала координат.

Таким образом,

М=Е —厶.(25.17)

* 2/77/С Эта формула упрощается в случае тождественных частиц, у которых заряды и массы (или хотя бы их отношения) одинаковы:

М =丄，(25.18)

2тс где L = Z // — полный момент импульса системы частиц. В частности, формула (25.18) всегда справедлива для отдельной заряженной частицы, совершающей финитное (ограниченное) движение в некотором внешнем поле. Коэффициент пропорциональности между механическим и магнитным моментами

(25.19)(25.19)П = е!2тс

(25.19)

(25.19)

определяется отношением заряда частицы к ее массе.

Соотношение (25.18) дает связь между магнитным и механическим моментами, создаваемыми движением заряженных частиц в пространстве. Но многим частицам как заряженным (электроны, протоны), так и нейтральным (нейтроны, атомы) присущ также внутренний (спиновый) магнитный момент, определяемый их внутренней структурой. Между спиновыми магнитным Ms и механическим Ls моментами выполняется соотношение типа (25.18),

Ms = nJs，

однако коэффициент пропорциональности % не совпадает с (25.19) и различен для разных частиц. Спиновый магнитный момент представляет собой квантовое явление, не объясняемое классической электродинамикой.

Вернемся к формуле (25.9) и вычислим напряженность магнитного поля Н = rot Л вдали от системы токов. Имеем

„" ХгЯ= Vx―—„" ХгЯ= Vx―—=三 Vx [MX r] 一 [MX г] XV=三 Vx [MX r] 一 [MX г] XV

„" Хг

Я= Vx―—

„" Хг

Я= Vx―—

=三 Vx [MX r] 一 [MX г] XV

=三 Vx [MX r] 一 [MX г] XV

VX [MXr] =M(q ")-(M・V)r=2M, поэтому

3加，)M

н =——：丁 .(25.20)

Отметим, что формула (25.19) совпадает с точностью до обозначений с напряженностью поля электрического диполя (21.11). Сферические компо* ненты Я имеют вид

2Mcosb"sin 5

иг=—-——-(25.21)

(ср. с (21.12)). Форма силовых линий у электрического и магнитного диполей одинакова.

ЭНЕРГИЯ И СИЛЫ В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Магнитная энергия стационарных токов. Вычислим полную магнит* ную энергию ограниченной системы стационарных токов. Исходим из выражения для плотности магнитной энергии (формула (16.28) при £ = 6):

w = №/8n.(26.1)

С помощью тождества div阳X 4 ] = / • rotH—Я • rot/4 и (формулы (245) находим

div[〃X4] 4 rot Я

w =+•(26.2)

8я 8я

Полная энергия дается интегралом от w по всему пространству. Объемный интеграл от div[^ X А ] преобразуется в интеграл по бесконечно удаленной поверхности и обращается в нуль ввиду быстрого убывания произведения [Н ХА]〜尸 на больших расстояниях от системы. Множитель rot Я выра* жаем через/ с помощью уравнения (24.1). В результате получаем полную магнитную энергию системы в виде

1

fjAdV.(26.3)

Найденное выражение является аналогом формулы (22.5) для электроста» тической энергии.

Энергия системы контуров с током. Коэффициенты самоиндукции и взаимной индукции. Пусть имеется несколько проводников с током. Запишем А = Е4@, где Ла — векторный потенциал, создаваемый а-м проводником. В силу линейности уравнений электродинамики значение Аа не зависит от наличия других проводников и силы тока в них. С помощью (26.3) получим

+ g %,(26.4)

а а> b

где

1

Waa=—Sia，AadV(26.5)

2c

—собственная магнитная энергия а-го проводника,

% =^fJaAbdVa^^fibAadVb(26.6)

—энергия взаимодействия проводников а и д. Интегрирование производится по объему проводников. Оба интеграла в правой части последнего равенства одинаковы, в чем легко убедиться с помощью формулы (24.8). Использовав указанную формулу, найдем

% = ； /小dVadV'»(26.7)

Плотность тока в проводнике и создаваемое им поле пропорциональны силе тока: /.〜〃， Аа Ja. Поэтому собственную и взаимную энергии

(26.8)(26.8)проводников можно записать в виде

(26.8)

(26.8)

2сс

где 厶а”，厶аь =厶力а 一 коэффициенты, которые не зависят от силы тока, но зависят от формы и размеров проводников, от их взаимного расположен ния( а также, вообще говоря, и от распределения тока по их сечениям. Они называются соответственно коэффициентами самоиндукции и взаимной индукции.

Если мы имеем дело с квазилинейными проводниками, толщина которых мала по сравнению с их длиной, то, заменив в (26.7) jdV f Jdl и сравнив результат с (26.8) ( найдем выражение для коэсЬфициента взаимной индукции в виде двойного контурного интеграла:

dla •叫

厶•(26.9)

Видно, что Lab имеет размерность длины, причем по порядку величины LabWz'R* где /1 и % — длины проводников,斤…среднее расстояние между ними.

Однако приближение бесконечно тонкого проводника неприменимо при вычислении коэффициента самоиндукции, так как оно приводит к расходи。 мости соответствующего ннтеграпа. Поэтому коэффициент самоиндукции следует вычислять через магнитную энергию:

J「2c2%/*.(26.10)

Оценим, например, по порядку величины самоиндукцию тонкого замкнутого проводника радиуса а и длины Z > а. На расстояниях г « / от оси проводника его поле мало отличается от поля прямого провода. Считая распределение тока равномерным по сечению и использовав формулы (24.4а), запишем магнитную энергию внутри проводника в виде

外%= / 2 wr drdl .

w …87r4c2

Для энергии, запасенной снаружи, будем иметь

5炉尸 drdl

= / 2itrdrdl =— / .

r>a 8"c2 r>a r

Подынтегральное выражение правильно описывает поле только на расстояниях ，《 7. При г > / поле убывает значительно быстрее, & ~ L, так как на таких расстояниях контур с током можно рассматривать как магнитный диполь, и интеграл сходится. Мы получим оценку "g по порядку величины, если обрежем интеграл по г на расстояниях порядка /:

*£)1Ы1/а}.

с2

Из этой оценки видно, что 必? меньше 吆? на фактор In (/А), и если этот логарифм велик, то

Laa % 2c2 用£)/〃 ± 2"n(%).(26.11)

Установим связь коэффициентов индуктивное：г^ с ^агшиными потоками для системы квазилинейных проводников. Заменим в формуле (26.5) %d% на Jadlai где dla — элемент осевой линии квазилинейного замкну*

того проводника. Получим

Ja . Ja1

Ма =丁 ©4叫=—s HadSa =— Ja①aa・(26.8a)

2c2c2c

где Фо — поток напряженности магнитного поля, создаваемого током в проводнике, через поверхность, ограниченную осевой линией проводника. Переходя к интегрированию по контуру, мы пренебрегли неоднородностью собственного поля тока в пределах толщины проводника. Это допустимо для тонкого проводника, поскольку, как мы видели выше, внутренняя область вносит малый вклад.

Аналогичное преобразование даст

1

=—」а0ab =—Ja^ba»(26.86)

СС

где 力@ь =，HbdSa - магнитный поток, создаваемый контуром b через контур а. Путем сравнения двух последних формул с (26.7) находим

① аа = LaqJjc, ФаЬ= LabJb/cf(26.12)

т.е. индуктивности выступают как коэффициенты пропорциональности между соответствующим магнитным потоком и силой тока.

Система токов во внешнем поле. Используем выражение (26.6) для вычисления энергии взаимодействия малой системы стационарных токов с внешним магнитным полем, слабо неоднородным в пределах рассматриваемой системы токов. Выбрав начало отсчета О' внутри рассматриваемой системы (рис. 26.1), представим векторный потенциал внешнего поля в виде

力依 +力=4 依)+ {r^}A{R}t(26.13)

где оператор ▽ действует на координаты R. Искомая энергия выражается в виде

^ = —fj{r} . A(R]dVSj(r} . (r^)A{R}dVf(26.14)

cc

интегрирование производится по координатам вектора г . В силу равенства (25.3) первый интеграл обращается в нуль. Второй интеграл преобразуется с помощью формулы (25.8), в которой г следует заменить вектором V :

丄 //(r)(r V)dV = — S[r\j{r)]dVW t(26.15)

с2с

и использовано определение магнитного момента (25.10).

Чтобы получить второй интеграл в равенстве (26.14), нужно умножить (26.15) скалярно на4(К), что позволит записать:

M^int = [М XVI A{R}^M Н,(26.16)

где ЖЛ) =▽ X Л(Л) — напряженность внешнего магнитного поля.

Силы в постоянном магнитном поле. Вычислим силу, действующую на контур с током в м&гнитном поле. Удобно исходить из выражения для элементарной работы 54 магнитного поля по перемещению каждого элемента контура d/ на малое расстояние — (рис. 26.2):

JJJJ

54 =，"• Ьг=-f\dlXH]-br^ — ^H-[^rXdl]^— f Н・ dS=-64 (Ос (/)с(Сc(6S)с

(26.17)

рассматриваемым контуром с током при его перемещении и деформации. Таким образом, 5 力一это дополнительный магнитный поток через контур. Ток J в контуре считается постоянным. Это означает, что полученная формула (26.17) дает выражение для элементарной работы при медленном (адиабатическом) перемещении контура, когда можно пренебречь изменением тока в нем за счет электромагнитной индукции.

Заметим, что величина, стоящая в правой части (26.17), представляет собой приращение магнитной энергии (26.86) контура с током во внешнем магнитном поле:

J

—5<b = 5“nt・(26.18)

с

Если ввести величину

u=-wm=-一电(26.19)

с

которая называется потенциальной функцией контура с током в магнитном поле, то элементарная работа выражается в виде

64 =-5 U,(26.20)

т.е. так же( как в механике выражается работа через потенциальную энергию. Поскольку, с другой стороны, работа связана с обобщенными силами О/ и приращениями обобщенных координат 6g, обычной формулой

bA = ZQ^qh(26.21)

то, сравнивая (26.20) с (26.21), находим выражения для обобщенных сил

Q = — (^—) .(26.22)

Как видно из последнего соотношения, а также из (26.20), величина U играет такую же роль при вычислении сил, как и потенциальная энергия. Но, по* скольку магнитное поле не потенциально, эта величина называется не потенциальной энергией, а потенциальной функцией.

Хотя формула U= —IV доказана нами только для случая контура с то・ ком, но она сохраняет силу и для других систем (доказательство этого мы проводить не будем).

В частности, для магнитного диполя во внешнем поле

и=-М・Н.(26.23)

1U

Это выражение приводит к следующему значению силы, действующей на диполь:

(26.24)(26.25)(26.24)(26.25)F=-VU = (M•▽財 и к моменту сил:

(26.24)

(26.25)

(26.24)

(26.25)

N = MXH

(ср. с соответствую щи ми формулами (22.23) и (22.24) для электрического диполя).

Глава VI

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

§ 27. ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ

7.1. Уравнения электромагнитного поля в отсутстеие зарядов. Система уравнений Максвелла при р =/ = 0 принимает вид (14.7):

ЭЯ1 ЭЕ

rot Е = , rot Н = 一 ，

cdtc bt

(27.1) div E = 0, div Zf = 0.

Легко получить уравнения II порядка для каждого из векторов Е( Н по отдельности. Применяем операцию rot к первому уравнению и получаем 1 Э1 а?Е

rot rot Е = rotff= —— ,(27.2)

e於е2 а产

где использовано также уравнение для rot Я. Далее преобразовываем:

rot rot Е = ▽ X (▽ X Е) = ▽(▽ • Е) — ▽?£ = 一 ХЕ,(27:3)

так как divE = V • Е = 0. В итоге (27.2) принимает вид волнового уравнения Даламбера:

1 >Е

△Е -—- —丁 = 0.(27.4)

с2 а产

Точно таким же путем получается волновое уравнение для Н:

1 МН

△〃■—г —т- = 0.(27.5)

с2 3产

Перейдем теперь к вопросу о наиболее удобном выборе электромагнитных потенциалов для описания поля в отсутствие зарядов. В общем случае, как мы знаем, необходима четырехкомпонентная величина (屮/). Воспользуемся калибровочным преобразованием

〜1 Эх

4 =4+^х, 屮=屮一———

с dt〜

дл« того, чтобы обратить скалярный потенциал в нуль: 3 = 0. Выберем лоренцеву калибровку и воспользуемся уравнением (18.6). Дифференцируя его по времени, получим

Но такому же уравнению, согласно (18.5), удовлетворяет при 0 и скалярный потенциал:

□ 9 = 0.

1 Эх Поэтому мы можем выбрать х таким образом, чтобы屮，т.е. 〜с

0=0. Опуская теперь значок ‘‘тмльда" у векторного потенциала, выпишем

формулы, связывающие его с напряженностями поля Е. Я:

а/

Е=— , Н = rot Л.(27.6)

с аг

Векторный потенциал удовлетворяет при / = 0 однородному волновому уравнению

□ /=0,(27.7)

а условия Лоренца (18.3) и Кулона (18.7) совпадают:

div Л =0.(27.8)

Заметим, что выбор калибровки, при которой 屮=0, релятивистски неинвариантен: в другой инерциальной системе отсчета потенциа/i 屮'，представляющий собой одну из компонент 4-вектора( будет отличен от нуля, и чтобы обратить его в нуль, нужно будет выполнить еще одно градиентное преобразование.

Пример решения волнового уравнения — плоские волны. Как следует из уравнений (27.4), (27.5), (27.7), любая декартова компонента и векторов Е, Я иЛ удовлетворяет волновому уравнению. Исследуем его решение, зависящее только от одной координаты х и времени г. Разумеется, направление оси х совершенно произвольно.

В принятых предположениях величина и(х, Г) удовлетворяет уравнению

(27.9)(27.9)

(27.9)

(27.9)

в котором мы записали оператор Даламбера в виде произведения двух сомножителей. Введем новые переменные

&=И г? =х +ct,(27.10)

так что обратное преобразование дает

* =信 + ")/2, f = m-R/2c.(27.11)

Имеем aa* aataaiа

浜а扌Эхэ^8rЭхса?

и аэ1 э

2 — = — +,

а〃Эхс аг

в результате чего уравнение (27.9) принимает вид

22個型

а削

Решая последнее уравнение, получаем

切 伐,??)切 伐,??)=日*=日*

切 伐,??)

切 伐,??)

=日*

=日*

а интегрируя еще раз по ", находим

a 化") =g(n)+ "伐).

Здесь dgldq = F (17), a 力伐)играет роль постоянной интегрирования по ", которая может зависеть от второй переменной как от параметра. Вид функций р и /? не определяется из решения уравнения и должен быть установлен путем задания начальных условий. Возвратившись к исходным переменным, получим

"(X, f) =g(* +cf) +力仅一ct).(27.12)

Решение представляет собой наложение двух возмущений, каждое ' из которых распространяется вдоль оси х (в сторону возрастания или убывания %) со скоростью с. Это следует из условия постоянства аргумента: x±ct = const. Точка с постоянным значением д или h перемещается по закону * = ± ct+ const. Такие возмущения называются бегущими плоскими волнами.

Определим теперь взаимную ориентацию векторов Е.Н.А в плоской волне. Из условия (27.8) следует:

ЬАХ div А = 0.

Эх

Но поскольку * входит в аргумент А в линейных комбинациях х ±ct, последнее равенство дает Ах = const. Следовательно,

Проекции напряженностей поля на направление распространения отсутствуют -плоские электромагнитные волны в вакууме поперечны.

Последующие соотношения получим для волн, бегущих в одну сторону. Полагая 4 (хД) =/ (х - сН , находим

1 а/1 а/Е = — —•—с atЕ = — —•—с atazЭхazЭхДалее, ЭД,Ну = » ЭхДалее, ЭД,Ну = » Эх儿=戸，Я = еЛ X「，охох儿=戸，Я = еЛ X「，охох

1 а/

1 а/

Е = — —•—

с at

Е = — —•—

с at

az

Эх

az

Эх

Далее, ЭД,

Ну = » Эх

Далее, ЭД,

Ну = » Эх

儿=戸，Я = еЛ X「，охох

儿=戸，Я = еЛ X「，охох

или

Н = 〃ХЕ, Е = "Х〃，(27.13)

где л - единичный вектор в направлении распространения. Поскольку, как мы видели выше, Е丄 л, то из (27.13) вытекает равенство абсолютных величин магнитного и электрического векторов:

4 = £(27.14)

В заключение вычислим вектор Пойнтинга:

7= — ЕХ〃= — EX (л X £) = — Е2п =cwn,(27.15)

47r4я4я

где w = Е2/4я = (Е2 + Н2) /8л — плотность электромагнитной энергии в плоской волне. При выводе (27.15) использовано условие поперечности л • Е = 0. Формула (27.15) наглядно демонстрирует перенос электромагнитной энергии в плоских волнах со скоростью света с.

Нетрудно получить решения волнового уравнения и в виде сферических волн. При наличии сферической симметрии волновое уравнение вне области, занятой источниками, примет вид

Если искать решение в видеЕсли искать решение в виде

Если искать решение в виде

Если искать решение в виде

то новая функция х(，г)будет удовлетворять одномерному волновому уравнению

取一1办 а户 с2 а”

решения которого уже были найдены. Таким образом, общее решение (27.16) имеет вид

Первое слагаемое описывает расходящуюся сферическую волну, распространяющуюся из начала координат со скоростью с . Ее амплитуда убывает, как г~1, в силу того, что заданный поток энергии распределяется на все большую площадь. Второе слагаемое описывает волну, испущенную на бесконечности и сходящуюся к центру.

ПЛОСКИЕ МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ

Амплитуда, частота и волновой вектор. Фаза плоской монохроматической волны. Среди бегущих плоских волн важное место занимают плоские монохроматические волны:

и(х, t) =y0cos(/c(х -сг) +%], (28.1)

где к,и^, ^0 — постоянные, их значения определяются условиями возбуж* дения волны. В такой волне зависимость электромагнитного поля от времени в заданной точке пространства — синусоидальная. Величина з = ск называется круговой частотой, к — волновым вектором (который в данном случае направлен по оси х). Аргумент косинуса q=k(x-cf) +9。называется фазой волны, постоянная у0 — ее амплитудой.

Нетрудно обобщить формулу (28.1) на случай, когда плоская монохро* матическая волна распространяется в произвольном направлении относительно координатных осей. Запишем ее для электрического поля £:

(28.2)(28.2)Е(гг Г) = &()сз(к • г — зг + до).

(28.2)

(28.2)

Подставляя эту функцию в (27.4), имеем

=—й?£, ДЕ = -к2Е,=—й?£, ДЕ = -к2Е,Э2Е

=—й?£, ДЕ = -к2Е,

=—й?£, ДЕ = -к2Е,

(28.3)(28.3)так что волновое уравнение удовлетворяется при з2=(с£)2 или з = ск.

(28.3)

(28.3)

Последнее уравнение определяет закон дисперсии электромагнитных волн в вакууме. Из него следует, что фазовая ир и групповая vg скорости волн совпадают:

(28.4)

Это означает, что скорости распространения волн не зависит от их частоты з, а волновые пакеты (суперпозиции плоских монохроматических волн с разными частотами) распространяются в вакууме без изменения формы.

Поверхность постоянной фазы ip-k*r — u)t +^0 в некоторый заданный момент времени представляет собой плоскость, описываемую уравнением

(28.5)(28.5)з г^ = — Г + const.

(28.5)

(28.5)

где г и — проекция г на к. Плоскость постоянной фазы перпендикулярна волновому вектору 斤 и перемещается вдоль к со скоростью Гц =з欢=с. Частота и волновой вектор связаны с периодом изменения поля Г и длиной волны 入 известными соотношениями：

(28.6)

Ввиду линейности уравнений Максвелла и вь(текающих из них волновых уравнений их решением является не только (28.2), но и более общая комплексная функция

Е(г, Г) =Е0 ехр(/Л *r-/wt)f今(28.7)

действительной частью которой при Ео = ^0 е'^。является (28.2). Иметь дело с экспонентой математически гораздо удобнее, чем с тригонометрическими функциями, поскольку применение дифференциальных операторов div, rot, △, 8/Нг не изменяет ее вида:

• НЕ

dZЕ = ik • Е, 3E = ikXE, АЕ= -к2Е, —— =-/&£(28.8)

Поэтому в электродинамике, как правило, пользуются комплексным представлением полей, имея в виду, что измеряемыми физическими величинами являются действительные части соответствующих комплексных выражений. Мы в дальнейшем также будем использовать преимущественно комплексные функции, обозначая их прежними символами^, Я и т.д., во всех случаях, когда это не будет вызывать путаницы.

Следует, однако, помнить, что при переходе к энергетическим величинам, квадратичным относительно напряженностей поли, нужно использовать действительные поля. При вычислении средних по периоду поля 2я/a)значений квадратичных величин удобны следующие формулы:

если Л = А^е~^1 и В = В qC^1, то

不=[Re(4e-'3r)]2 = |дор/2=厶卩忆(28.9)

АВ = ReBoe-j&bRe/oeTarj =

=%(48广+々8。)= % ReS8*)・(28.10)

Вернемся к анализу свойств плоской монохроматической волны. Магнитное поле в ней должно зависеть от г и г по тому же закону (28.7), что и электрическое поле, иначе не будут удовлетворяться уравнения Максвелла (27.1):

〃亿 t) = Яо exp (/Л • г 一 2f). (28.11) Подстановка (28.7),(28.11) в систему (27,1) позволяет получить связь между комплексными амплитудами полей:

HQ = л ХЕ0. Ео =Я0 X п, л • Fo - 0 〃 “ =0. (28.12) Здесь

п=ск〕з=к1к (28.13)

—единичный вектор в направлении распространения волны. Соотношения (28.12) означают, что векторы &),%), л образуют тройку взаимно перпендикулярных векторов, причем модули амплитуд £0 и Яо одинаковы: 丨品 I? = I Яо I2 -

Преобразование частоты и волнового вектора. Эффект Доплера. Выясним закон преобразования фазы плоской монохроматической волны при переходе в другую инерциальную систему отсчета. Записав формулы преобразования напряженностей (10.3) в виде

久田*' = Eon/屮 и т.д..

мы видим, что они могут удовлетворяться в любой точке пространства - времени только при условии инвариантности фазы: д' = 9 = inv. Это связано с тем, что величина Д ^/2тт представляет собой число максимумов или минимумов поля между двумя пространственно-временными точками, которое не зависит от выбранной системы отсчета.

Из инвариантности фазы следует, что

к • г - 3t 0 irw,(28.14)

а поскольку xz(c г, г) образуют 4-векторг то частота з и волновой вектор к плоской монохроматической волны также образуют 4-вектор:

戸=(十，左).(28.15)

Закон преобразования к и си вытекает из общих формул (1.18) преобразования 4-вектора.

Найдем связь между частотой з()волны в системе источника и частотой з той же волны в системе наблюдателя. Источник и наблюдатель движутся с относительной скоростью V. Запишем закон преобразования временных компонент 衣°:

(28.16)(28.16)угол распространения волны отугол распространения волны отз' зк — Vkx/c

(28.16)

(28.16)

угол распространения волны от

угол распространения волны от

,з

Полагая з = з(), кх = — cos 0, где 6 —

носительно V в системе наблюдателя, находим

(28.17)(28.17)S二户/‘

(28.17)

(28.17)

1 - (V7c) cos 8

Эта формула выражает собой эффект Доплера - изменение частоты волны, вызванное относительным движением источника и приемника.

При V/c < 1 имеем

(28.18)(28.18)△з = з - Зо = Зо( V7c) cos 0.

(28.18)

(28.18)

Частота волны возрастает при сближении источника и наблюдателя (проек< ция скорости на направление луча Vи = I/ cos 0 >0) и убывает при их удалении (叫 <0) (продольный эффект Доплера). Если относительная скорость направлена перпендикулярно лучу зрения (cos 6=0), то уменьшение частоты представляет собой эффект, квадратичный по Vic:

(28.19)(28.19)△3三？

(28.19)

(28.19)

-поперечный эффек г Доплера.

Из формул преобразования волнового 4-вектора можно получить также закон аберрации света, уже рассмотренный в § 2.

Поляризация плоской волны. Здесь мы более подробно изучим свойства амплитуды £0 плоской монохроматической волны. При комплексном описании поля £0 — комплексный вектор, который может быть разложен на два действительных вектора：

(28.20)(28.20)Eq - Eq\ + 归02 •

(28.20)

(28.20)

В силу условий (28.12) Ео i и £02 должны быть перпендикулярны волновому вектору А, в остальном же они произвольны.

Выделим из (28.20) фазовый множитель ©'屮。таким образом, чтобь{ оставшиеся два действительных вектора были взаимно перпендикулярны:

昂=(爲 + 忘2)内。，&兀=0.(28.21)

Выразив из (28.21)и&,

gi =晶18$90+%2 $т 90,(2822)

& 2 = —Eq 1 sin 9o + Eo 2 COS 9o,

tg2^0tg2^0получим из условия ne рпенди куля рности ^ t * &2 = 0 значение фазы ^Q:

tg2^0

tg2^0

(28.23)

После этого действительная часть Е, т.е. наблюдаемое поле, запишется в виде

Е= &1 cos(k • г — зе + 9о)+ &2sm依• г - зг + 屮。).(28.24)

Выбрав оси х и у вдоль векторов &! и & 2 соответственно, найдем уравнение кривой, которую описывает конец вектора Е:

8 闾 +吁阂=1.(28.25)

В общем случае это — эллипс с полуосями &i и &2/ т.е. поляризация волны эллиптическая. В зависимости от того, составляют ли & i, & 2г и правую или левую тройку векторов, направление вращения называется соответственнс левым или правым. (Исторически сложившаяся терминология противоположна той, которая была бы более естественной).

Магнитный вектор также описывает эллипс, оси которого повернуты относительно осей электрического вектора на я/2, а направления вращения ЕиЯ совпадают.

При ^1=^2 эллиптическая поляризация вырождается в круговую, которая также может иметь два направления вращения. При 餘 W0, &2-

=0 или &1 = 0, &2 * ° поляризация становится линейной — электрический и магнитный векторы колеблются вдоль фиксированных взаимно перпендикулярных направлений. Подчеркнем, что при заданном к возможны две независимые поляризации плоской монохроматической волны 一 эллиптическая (в частном случае — круговая) с правым и левым направлениями вращения или две линейные поляризации во взаимно перпендикулярных направлениях.

НЕМОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ.

СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

Переменные электромагнитные поля, создаваемые реальными источниками, как правило, в той или иной степени являются немонохроматическими. Предположим, что поле в данной точке может быть разложено в интеграл Фурье. Запишем это разложение, обобщая формулу (28.1), в виде

ОО

U (?) / и(з)со$[9(з) — зНс/з.(29.1)

2я о

Здесь U'(t) — какая-либо декартова компонента векторов 瓦 Н или А, являющаяся действительной величиной. Фактически в разложение (29.1) основной вклад обычно вносит некоторая конечная область частот з, которая определяется видом функции и(з).

В данном случае, как и для монохроматических волн, удобно комплекс* ное описание поля. По аналогии с (28.7) свяжем с полем (29.1) комплексную функцию

1

U(f)= / и(з)ехр[М(з)-2"с/з,(29.2)

2я о

причем

US) = U'(f)+"(f)・(29.3)

Мнимая часть

ОО

и"(г) = / и(з) sin [守(з) — з" d3(29.4)

27r о

однозначно определяется действительной частью t/'(f), так как она получается из последней путем замены фазы з(з) каждой фурье-гармоники на 9(з) — я/2.

Величина U(t) называется аналитическим сигналом. Она часто используется в теории волновых полей, теории колебаний ( радиотехнике и др. Характерной особенностью функции U(t) является то, что она содержит гармоники Фурье только с положительны ми частотами. Следовательно, если U(f) ограничена при всех действительных f (т.е. интеграл по з в (29.2) сходится), то она останется ограниченной и при комплексных значениях t = г' + 〃”，лежащих в нижней полуплоскости “' < 0). В самом деле, заменяя в (29.2) f на г' + 〃”，мы получим под интегралом дополнительный множитель ехр(зг"), который при г" < 0 только усилит сходи* мость интеграла по з. Это показывает^ что функция U(t), рассматриваемая при комплексных г, аналитична (не имеет особенностей) в нижней полуплоскости .

Аналитичность U(f) в нижней полуплоскости комплексного f позволяет установить простую интегральную связь между U'(f) и Un(t). Для 124

этого рассмотрим интеграл (295) по замкнутому контуру С (рис. 29.1), при этом точка t' = t обходится по дуге малой полуокружности снизу. Поскольку Q(力 и (，一 f)т не имеют особенностей внутри контура интегрирования, этот интеграл обращается в нуль:

/ -—*=0.(29.5)

с t — t

Интеграл по дуге большого круга обращается в нуль ввиду быстрого убывания U(力 при > f 8 в нижней полуплоскости. Интеграл по малой полуокружности с вычисляется непосредственно и дает полувычет подынтегральной функции:

U(力 ，

f ~——dt'=打56 •(29.6)

c t - t

Наконец, оставшийся интеграл по действительной оси с исключенной точкой должен вычисляться в смысле главного значения, т.е. из интегрирования исключается отрезок (г — pf f + р) действительной оси, причем р 0. В итоге, учитывая (29.6), приведем (29.5) к виду

+尸 U(t'),

inU(t) + / ~——成=0・(29.7)

— вf — f

Разделив в (29.7) действительную и мнимую части, найдем искомые соотношения между ними:

,1 +оо и"(力1и1^),

и (6 =——f -——或，и"①=—f -—df.(29.8)

Я —00 Г 一 ГЯ —в Г — f

Соотношения (298), связывающие действительную и мнимую части некоторой комплексной функции действительной переменной, в математике носят название преобразования Гильберта. Они играют важную роль в

Рис. 29.1.Рис. 29.1.

Рис. 29.1.

Рис. 29.1.

физике (см., например, § 5 части II этой книги) и называются обычно дисперсионными соотношениями, так как впервые были исследованы в теории дисперсии света.

Более удобной, чем (29.1), является комплексная форма записи фурье- разложения действительной функции U'(f):

(29.9a)(29.9a)U(t)= -/y(3)L心%3,

(29.9a)

(29.9a)

27r -00

“з)=『O'①/3%(29.96)

где интеграл (29.9а) действителен, так как у(—з) = у*(з).(29.10)

Переписав (29.9а) в виде

U'(t}Г [“з)©-'зг + у*(з)e'3〃d3 27r о

и сравнив эту запись с (29.1), найдем связь между действительной и(з) и комплексной “з) амплитудами Фурье:

и(з) = 2Нз)е-М(з)(29.11)

Последнее соотношение позволяет записать разложение Фурье аналитического сигнала в виде

8.

U⑴=—/ Мз)етз%з.(29.12)

7Г 0

Оно по-прежнему, разумеется, содержит только положительно -частотные гармоники Фурье.

Разложение Фурье позволяет найти спектральный состав энергии немонохроматического электромагнитного поля. Рассмотрим, например, полную энергию W плоской электромагнитной волны, прошедшую через единичную площадку, перпендикулярную п, за все время существования волны. На основе (27.15) имеем

47r47r(29.13)

47r

47r

Отождествив действительную величину £(f) с U‘(t), с помощью (29.9) получим

/ Е? (t}dt = —— J d3 J d3»(3)у(з') f e-"3+3)%f =

一QO(2?Г) —°°—"8—ОС

=―—/ da / <Уз»(з) “(о/) 6(з + о/) .(29.14)

Д -8—8

Здесь мы использовали представление А^функн^к (Д. IV.21). Учитывая далее (29.10) и выполняя интегрирование по 向'с помощью 5-функции« находим

+ 81+81

/ Е2 (t)dt = — / I у(з) |%з =—г / I и(з) |2"з.(29.15)

—827r —8тг о

Таким образом, вновь обращаясь к (29.13), мы видим, что

W=二 7 1"3)/da.飞 16)

Поэтому величина

I у(з) |2(29.17)

d3 4я

может рассматриваться как спектральная плотность потока электромагнитной энергии. Интегрирование (29.17) по всем (положительным) частотам дает полную энергию W.

Легко проверить, что рассмотренную выше энергию поля легко выразить и через комплексную функцию Мг) — аналитический сигнал. С помощью (29.12) убеждаемся,что

+ 8 八+g1+8*

/ E2(t)dt^ j U(2(t}dt^— J U (r)U⑴*(29.18)

_g0о2 -°0

Это представление приводит к прежнему спектральному разложению (29.15).

Понятие аналитического сигнала оказывается эесьма полезнь1м при попытке представить реальное немонохроматическое поле Uf(t) в аиде синусоидальной волны с медленно меняющейся амплитудой. Записав U'M в виде

Uf{t) Д(Г)со5(Ф<Г) - ЗоН ,(29.19)

где 3° — некоторая заданная мцентральнаям частота, мы должны указать критерий, по которому одна заданная функции U‘(f) расщепляется на две- амплитуду A(t} и медленно меняющуюся часть фазы Ф(г). Использование аналитического сигнала позволяет сформулировать такой критерий.

Представим аналитический сигнал l/(f), действительной частью которого является (29Л 9), в виде

U(f) = 4г)ехр!沖⑴"зоП(29.20)

с положительной амплитудой A{t) > 0. Согласно (29.12) и (29.20),

1 8

Д(Г)ехр[7Ф(г)]二——/ >(з)ехр|7(3о -3)Hda^

7Г 0

18

=—一 / a(€)e~/ef^f(29.21)

2я -з°

где е = со - а。， а(е ) = 2и(з()+ е ) . Если полоса частот Аз, определяющая фурье-разложение UQ , достаточно узка, Аз《 з(), то「армоникк, входящие в разложение (29.21), будут низкочастотными по сравнению с з():

| е I ^ Део < g;0 .(29.22)

Отсюда следует, что амплитуда A(t) и фазовый множитель ехр (7Ф(г)] будут изменяться медленно по сравнению с exp (7соог) и поле (29.20) можно считать квазимонохроматическим. При выполнении (29.22) нижний предел последнего интеграла в (29.21) можно заменить на —8, ошибка будет мала.

Амплитуду 4?) и фазу Ф(г) нетрудно выразить непосредственно через заданный аналитический сигнал U(f) . Запись旧ан (29.20) в виде (29.19) и

U"(t)=4(t)sin[<I)(t)-a;ot],

находим:

4S)= [u'2(n + u"2(aji/2」(u*u)】/2 = |ui,

и%)/(29.23)

巾(f) = 3()f + arctg —■— = з()г + arctg ( / I .

U (f)\ U* + U 丿

Приведенные формулы сохраняют силу при любой ширине спектра, в том числе и при Аз ^ и>0, но само представление (29.20) полезно лишь для узкополосного спектра (29.22), когда 4 и 力 являются медленными функциями времени.

Важно отметить, что длительность сигнала во времени просто связана с шириной Аз его частотного спектра. Для того чтобы в этом убедиться, рассмотрим снова разложение (29.21). Пусть при | е | > Аз амплитуда Фурье а(е ) быстро убывает, так что фактически интеграл по de берется в пределах (- Аз, + Аз). При | f|《1/Аз множитель 厂壮‘ будет слабо осциллировать в области интегрирования, и интеграл (29.21) будет заметно отличаться от нуля. Но при |" > 1/Аз число изменений знаков синуса и косинуса, на которые разлагается е~/е Сбудет велико на характерном интервале —Аз & е《Аз, и интеграл (29.21) будет мал при таких значениях г. Из сказанного следует, что длительность Аг сигнала U(t) и ширина его спектра Аз удовлетворяют условию

△еАз》1.(29.24)

Сделанная выше оценка определяет написанное произведение только по порядку величины, точное его значение зависит от определения величин At и Аз, а также от конкретного вида а(е ) или U(f). Но во всех случаях произведение △£ Аз не будет сильно отличаться от единицы.

В качестве примера рассмотрим сигнал, генерируемый в некоторой точке затухающим источником излучения:

U'(f) = До0(Г)ехр(- №2)cos(3/),(29.25)

где 7 > О — постоянная затухания. Присутствие ступенчатой функции @(гЦсм. Д. IV.14) означает, что t/'(f) = 0 при г < 0. По изложенным выше правилам строим аналитичес* кий сигнал:

UQ ^ До0(Г)ехр(-7Г/2 - /wot) ,(29.26)

для которого

Alt} = Д0©(Г)ехр(- у〃2), Ф(Г)= 0.

Находим амплитуду Фурье а(е):

а(£)= 了 A(t)eictdt = —^― .(29.27)

0- /€

Согласно (29.15) распределение энергии по частотам будет пропорционально

la『=：…二•(29.28)

(3 - 3。户 +(T/2Р

Определим длительность сигнала U{t) как время △£, за которое его интенсивность ，(t) ~ I US)『уменьшится в е раз относительно максимального значения. Обращаясь к (29.26), находим △£』尸.Если теперь определить ширину спектра Аз условием, чтобы спектральная мощность при расстройке £ = 4з уменьшилась также в е раз,т.е. [а(Аз)『=|а(0) |2/е, то Аз = 7 \/е - 1 ?2 и

△f Аз = НК 12. что согласуется с общим результатом (29.24).

КОГЕРЕНТНОСТЬ И ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ

Описание некогерентного поля излучения с помощью корреляционного тензора. Время и длина когерентности. Большинство реальных источников электромагнитных волн состоит из большого числа независимых (некогерентных) излучателей, испускающих волны со случайными значениями начальных фаз и амплитуд, а также со всевозможными поляризациями. Таковьь например, тепловые и люминесцентные источники светаг а также источники, в которых электромагнитные волны испускаются пуч-

ком быстрых электронов при торможении их в веществе или в магнитном поле. Значительно бёльшая степень согласованности достигается при излучении радиоволн антеннами или при излучении света оптическими квантовыми генераторами, в которых главную роль играет вынужденное излучение. Но и в этих устройствах возможны флуктуации фазы, амплитуды и поляризации из-за теплового движения частиц, спонтанного излучения и рассеяния на различных флуктуирующих неоднородностях.

Кроме того, каждый отдельный излучатель испускает немонохроматические волны. Поэтому поле, созданное реальными источниками, во многих случаях имеет очень сложную структуру: значения поля меняются непред* сказуемым, случайным образом в пространстве и во времени. Такие поля называются случайными.

Для задания случайного поля нужно указать некоторые усредненные величины, характеризующие такое поле. Способ усреднения тесно связан со способом измерения соответствующих величин. Чаще всего измерительные приборы производят усреднение по времени. Промежуток усреднения △•£ должен выбираться так, чтобы он превышал периоды всех основных гармонических составляющих случайного поля. При таком усреднении среднее значение поля излучения обратится в нуль:

& 亿 £) = 0.(30.1)

Отличным от нули будет корреляционный тензор II ранга:

40%，h；后/2)= %(n,h)E；з2,力),(30.2)

где Fa — комплексная функция (аналитический сигнал) f описывающая поле. Для полного описания случайного поля следует, вообще говоря, задать и бесконечную совокупность корреляционных тензоров более высоких рангов, но при решении многих задач можно ограничиться тензором II ранга. Что же касается усредненных характеристик магнитного поля, то их можно выразить через соответствующие значения электрического поля с помощью уравнений Максвелла. При совпадающих аргументах (г}=后， 门 = “，叁=0) тензор (30.2) пропорционален энергии, заключенной в а-и компоненте электрического поля.

Для того чтобы усредненный тензор (30.2) остался функцией времен Г1J2，усреднение нужно производить следующим образом:

А"2

Jae^l^l ；勺/2) / £ag，h + f')£0%，h + t')df'・(30.3)

At -ДГ/2

Часто, особенно при измерениях в оптическом диапазоне, усреднение типа

0.3) осуществляется в процессе измерения за счет инерционности измерительного прибора. Времена срабатывания детекторов оптического излучения составляют 10"10 —10"12с, тогда как периоды оптических колебаний -порядка 10*15 — 10~16с.

Мы в дальнейшем будем интересоваться только стационарными случайными полямиt усредненные характеристики которых не изменяются со временем. Это означает, что 心 будет зависеть только от разности времен г = h —匕，но не от начала их отсчета:

4(П』；后，匕)=4前1，г2，T).(30.4)

Если случайное поле однородно также и в пространстве, т.е. его средние (но не мгновенные!) характеристики не зависят от координат, то и радиус-векторы rit г2 войдут в % только в виде разности г =г{—乙• Такими свойствамиt например, обладает поле теплового излучения в замкнутой

М.М. Бредов129

полости. Но none, создаваемое источником конечных размеров в свободном пространстве, неоднородно.

Для случайных полей корреляционный тензор J&Wi,七，丁) обычно достаточно быстро убывает с ростом г. Пусть, например, поле излучения создается тепловыми источниками — атомами, возбужденными в случайных столкновениях друг с другом. Каждый атом испускает немонохроматическую волну конечной длительности тсоь (волновой пакет) в случайные моменты времени, поэтому волновые пакеты от отдельных атомов взаимно независимы. Излучение же каждого отдельного атома когерентно в течение времени %。卜 испускания отдельного волнового пакета.

Фиксировав некоторую точку пространства ri =后=乙 рассмотрим среднее：

%匕£ + r)E0(rf t)=厶0 阮厶 7)•(30.5)

Нетрудно сообразить, что это среднее будет отличаться от нуля только для таких значений т, которые меньше или порядка длительности отдельного волнового пакета, т《rcoh. Если же TcQh，то усредняться в (30.5) будут поля различных волновых пакетов, независимые друг от друга. Между ними будет отсутствовать заметная корреляция, и среднее от произведения можно будет заменить произведением средних:

4s(厶匕 7)k£a(f+ 7)£б(£)=6 r>Tcoh.

Время т, в течение которого тензор 4б заметно отличен от нуля, называется временем корреляции или временем когерентности компонент поля Eq 次 Еу Это время можно определить и формально, например, следующим образом:

%oh = — J 丿耶仇乙 7)"九(30.6)

Ja^t Г, 0) 0

Оно может быть, вообще говоря, различным для разных пар компонент, но мы в дальнейшем для простоты будем считать его одинаковым для всех составляющих поля.

Зависимость корреляционного тензора 心 от координат носит аналогичный характер: с ростом разностей хх - х?，/1 一 У2，z【一 z? корреляция ослабляется. Можно по аналогии с (30.6) ввести корреляционные длины {длины когерентности) /%,，尸 lz. Они по порядку величины равны пространственным размерам волновых пакетов, в пределах которых отдельные фурье-гармоники поля связаны по фазе. В однородном и изотропном поле излучения корреляционные длины по всем направлениям одинаковы, а тензор Jag зависит только от разности ri — s В таком поле /соь Qc^coh， так как размер волновых пакетов в прсютранстве порядка crcohf а корреля* ция будет сильно ослаблена^ если поля в точках fi иг2 будут принадлежать р&зным волновым пакетам.

В анизотропном поле излучения, например, когда волновые пакеты испускаются некоторым далеким источником и движутся все в одну сторону, соотношение《о11 Q "coh будет справедливо только для продольной (в направлении распространения) длины когерентности. Поперечная длина когерентности в этом случае определяется другими факторами и не связана прямым образом с rcoh.

Для строго детерминированного процесса, каким является в стационарном случае плсюкан монохроматическая волна, длина и время когерентности бесконечны. Но для всех реальных процессов они имеют конечные

значения. Так, обычный тепловой источник света (например, натриевая лампа) имеет характерное время когерентности rcoh 弋 Юу|Ос и соответствующую длину когерентнсюти /ц =c7coh ^3 см. Газовый гелий-неоновый лазер, работающий в непрерывном режиме, имеет время когерентности 7j〉h = 0,02 — 0,002 с, и длину продольной когерентности /у = 60 — 600 км.

Усреднение по времени (30.3) часто заменяют усреднением по ансамблю всевозможных реализаций случайного поля. Представим себе большое (в пределе — бесконечное) число невзаимодействующих макроскопических систем, тождественных исходной, т.е. состоящих из одинаковых источников излучения вместе с той частью пространства, в которой это излучение распространяется. Такая совокупность макроскопически тождественных физических систем называется ансамблем. Из-за случайного характера излучения электромагнитных волн значения полей Е【，Е^, .. . в эквивалентных точках пространства в один и тот же момент времени у разных систем будут, вообще говоря, различными:

匕亿f) W久(小)小崑"(小)#

Среднее по ансамблю (или статистическое среднее) — это среднее арифметическоее：g宀)咸%』)不氏(门』吗%М)+…

(Ea&i, 口)e鼠尸2,匕))= hm -—

/V 8N

(30.7) где N — полное число систем ансамбля. Для произвольных излучающих систем нет оснований считать, что усреднение по ансамблю (30.7) и по времени (30.3) &ают одинаковые результаты. Однако для широкого класса случайных процессов, в том числе для многих реальных излучающих систем, средние по ансамблю и по времени (при достаточно большом времени усреднения) совпадают. Такие системы называются эргодическими.

Условие эргодичности ) для стационарных случайных полей требует достаточно быстрого ослабления корреляции с ростом т:

1

lim — Jг)力=0.

△，8 о

При теоретическом анализе случайных полей, как правило, пользуются статистическим усреднением. Мы в дальнейшем также будем производить усреднение по ансамблю, считая рассматриваемые поля излучения эргодическими. В условиях эргодичности полученные таким образом результаты будут совпадать со средними по времени, которые измеряют детекторы излучения.

Влияние временной и пространственной когерентности на интер* ференцию волн. Возможность получения картины регулярного усиления и ослабления волн в пространстве и во времени при их интерференции (наложении) тесно связана с их когерентными свойствами. Из качественных соображений ясно, что регулярная интерференционная картина будет наблюдаться ,только если разность фаз отдельных гармоник с одинаковыми частотами остается приблизительно неизменной за время наблюдения, т.е. колебания являются когерентными.

Связь временной когерентности с интерференционной картиной можно проследить с помощью интерферометра Майкельсона, схема которого

изображена на рис. 30.1. Луч света от небольшого источника S, состоящего из независимых излучателей (возбужденных атомов), делится полупрозрачным зеркалом 3 на два луча, лучи 7 и 2. Эти лучи в свою очередь отражаются от зеркал 3Xt 32 и смешиваются в области 12г создавая интерференционную картину (чередование темных и светлых полос) на экране 3. Меняя длины путей б】и 北，можно вводить временную задержку (разность хода) между интерферирующими колебаниями.

Выясним условия появления интерференционной картины в описанной установке. Пусть каждый атом излучает квазимонохроматическую волну (волновой пакет) длительностью rcoh в интервале частот Аз. Поскольку волновые пакеты от разных атомов имеют случайные начальные фазы, то при наложении таких пакетов интерференционной картины не образуется — максимумы и минимумы поля отдельных пакетов будут накладываться случайным образом. Интерференция возникает при наложении полей, генерируемых одним атомом и прошедших разные пути s】и $2. Но для того чтобы такое наложение было возможно, время задержки 7=(»— s2)^c не должно превышать длительности волнового пакета — в противном случае его часть, распространявшаяся по более длинному пути, дойдет до экрана, когда вторая часть уже поглотится экраном или отразится от него.

Максимальное время задержки, при котором еще наблюдается интерференционная картина, не должно превышать длительности отдельного волнового пакета, которое и есть время когерентности:

7《7coh Q 1/Аз. (30.8) Здесь время когерентности на основе соотношения (29.24) выражено через спектральный интервал волн, испускаемых отдельным атомом.

Рассмотрим теперь интерференционн^1Й эксперимент в другой постановке (on^iT Юнга). Пусть квазимонохроматический свет от некоторого теплового источника конечных размеров а (рис. 30.2), пройдя через две щели О 】 и О? в непрозрачном экране, создает на другом экране Э интерференционную картину. Стабильную интерференцию могут создать только волны, испускаемые одним и тем же атомом, так как излучение разных атомов некогерентно. Для наблюдения интерференции от всего протяженного источника необходимо, чтобы интерференционные картины от отдельных атомов складывались примерно с одинаковыми фазами. Найдем соответ - ствующие условия.

Пусть расположение диафрагм, источника и экрана симметричное, как показано на рис. 30.2. Пусть, далее, расстояние до источника велико:

Я >а и а》/丄.

Относительный сдвиг в пространстве двух пучков света, прошедших через щели 01 и О2，определяется разностью путей | PD i — PD2 I • Интерферен-

Рис. 30.1.Рис. 30.1.Рис. за2.Рис. за2.

Рис. 30.1.

Рис. 30.1.

Рис. за2.

Рис. за2.

ционные картины от разных атомов будут усиливать друг друга, если указанная разность путей не будет превышать длины волны излучения 入 о для всех атомов -из л уч ател ей, независимо от их расположения на поверхности источника.

Очевидно, что максимальное значение | PDX — PD2 I будет достигаться для атомов, находящихся на краю источника. Записав

俨。力2 =斤2 +(4 — а)2/4, {PD2 р =斤2 +(厶+а)2&,

получим

I PDi - PD2 I * alJ2R и alJR《入о,

где в последнем неравенстве, справедливом по порядку величины, опущен множитель 1/2. Итак, интерференционная картина будет наблюдаться при расстоянии между щелями, не превышающем

Zicoh *入0斤危(30.9)

которое играет в данном случае роль поперечной длины когерентности. Величина

4 = &coh)2 ^R2IS(30.10)

представляет собой ^площадь когерентноетиz\ а произведение

△V = 4 coh^ = CTcoh^(30.11)

называют объемом когерентности. Здесь S = а? — площадь поперечного сечения источника.

При квантовом описании свет (и вообще любое электромагнитное поле излучения) представляет собой совокупность фотонов — квантов электро^гнитного поля. Энергия каждого фотона частоты з равна h з, где h — постоянная Планка. Важной харак* теристикой когерентных свойств поля является параметр вырождения 6, который равен среднему числу фотонов, находящихся в одном и том же состоянии поляризации внутри объема когерентности, т.е. среднему числу фотонов данной поляризации, пересекающих площадь когерентности за время когерентности.

Пусть，з — срепнео число фотонов, испускаемых в единицу времени единичной площадкой поверхности источника в единичном интервале частот и в единичном телесном угле нормально к поверхности источника. Если оба возможных направления поляризации представлены равновероятно, то

b = VU3S Аз ДП Qoh，

где ДП = A/R2 — телесный угол, под которым площадь когерентности видна из источника. С помощью (30.8) и (30.10) будем иметь

2万%2

6 а ，з・(30.12)

з2

Записанный в такой форме параметр вырождения не зависит от геометрии и характеризует только свойства источника излучения.

Из определения 6 следует, что чем больше этот параметр, тем более когерентным является поле данного источника. Для тепловых источников света наибольшее значение 6 порядка 10"3, т.е. 6 Vl. Для лазерных источников 6 > 1 и может достигать значений порядка 1014.

Найдем количественную связь между интерференционной картиной, которая наблюдается на экране интерферометра Майкельсона или в опыте Юнга, и корреляционным тензором поля излучения. Будем считать для простоты, что свет поляризован линейно и при распространении его поляризация не меняется. Тогда поле излучения можно описывать скалярной комплексной функцией U{rt t). Поле в точке О (см. рис. 30.2) представ* ляет собой результат наложения полей на отверстиях Dt и D2. Его можно

записать в виде

U(『, Г)二 Ji Ug, f — 门)+32。(后，Г - G)，(30.13)

где ti = “к и f? = 52/с — времена распространения возмущений из О】и % 日。；叫 к 占2 - "коэффициенты передачи0, вообще говоря, комплекс- нме, зависящие от размеров и формы отверстий. Их фазы мы в дальнейшем будем считать одинаковыми.

Инт ерферекционная картина на экране будет определяться интенсивностью поля / (г) - усредненным по ансамблю квадратом модуля (U^t t) U(rt 什〉=/ (г). Ввиду предполагаемой стационарности источника величина / не будет зависеть от времени. С помощью (30.13) получаем

/⑺= |ai |2/%)+ |己2 |2/(r2) + 2|a1a2| Re Г(гьг2,т).(30.14)

Здесь 7 =(1 -『2 = Ui — $2 )/c, комплексная величина

^Xtr2tT}={U^rXt t)U% J + 7)〉(30.15)

называется взаимной функцией когерентности. Она представляет собой скалярнь!Й вариант корреляционного тензора, рассмотренного в п. 30.1 (или отдельную диагональную компоненту указанного тензора). Интенсив- нося и с^ета в точках 〃，/=1,2, связаны с взаимной функцией когерентности соотношением

/*)= Пг“〃0}・(30.16)

Иитенсивкооь полк в точке О, создаваемая одним отверстием {когда второе О1й@|млие закрыю) дается выражением

/") = 1%『/侑)。(30.17)

Определим также нормированную функцию взаимной когерентности 7匕"々，т)，которую называют еще комплексной степенью когерентности:

М"2，т)

"丽而戸.(3。，8)

Запишем интенсивность поля в точке О через интенсивности волн, прошедших через каждое из отверстий по отдельности:

/(г)二 /1 (г) + %(力 + 2"i (『*2 ⑺]】J Re »i "2, т).(30.19)

Для квазимонохроматического света, у которого Дсо<<Ь, зависимость Uir, Н от времени будет определяться в основном множителем ехр (—/Wf). Амплитуде A{t) и добавка к фазе ①(£) (см. (29.20)), будучи для неко* герентного света случайными функциями, изменяются тем не менее значительно медленнее, как ехр (—；Аз£). Поэтому, если записать

7 仏,г2,т} = \)Е “2, т) I exp[/a(fi “2," — 而打，(30.20)

то 7 и ехр (7а) будут медленными (по сравнению с ехр (- / 5)) функциями т, они существенно изменятся только за время т ? ^coh，тогда как ехр(— /сот) сильно изменяется за период оптических колебаний.

Использовав (30.20) ( перепишем (30.19) в виде

/⑺=/i ⑺ + 厶⑺ + 2[/! (r)/2 (г)]1/2 lilcos(a - got) .(30.21)

С учетом сказанного выше о медленности изменения |)| и а мы видим, что cos (а — &) при 7《％oh меняется в основном за счет сит. Следовательно, при перемещении точки О по экрану и при изменении разности s〔 一 s2 r

(30.22)(30.22)(30.23)(30.23)(30.24)(30.24)(30.25)(30.25)(30.27)(30.27)

(30.22)

(30.22)

(30.23)

(30.23)

(30.24)

(30.24)

(30.25)

(30.25)

(30.27)

(30.27)

=ст интенсивность освещенности экрана будет изменяться в пределах от

/тах(『)= А +，2 +2(/j2)"T)l

Anin⑺=八 +厶一2(厶/2)1/21)1.

Поскольку / > 0 при любом соотношении между 厶 и /2, то из (30.22) и (30.23) следует, что модуль комплексной степени когерентности может изменяться в пределах

0 & 17 Е “2 , т)丨 & 1 •

Определим контрастность (видность, видимость) интерференционной картины в данной точке г параметром

冴二"max — /min)/(/max + ^min)•

Из (30.22), (30.23) имеем

В частности^ при 厶=/2 "=1)卜1"2,7)1,

т.е. контрастность интерференционных полос, измеряемая на опыте, равна модулю комплексной степени когерентности.

Фазу комплексной степени когерентности можно измерить по положению максимумов интенсивности интерференционной картины. Согласно (30.21), положение максимумов определяется условием

(30.28)

Интенсивности 厶 и /2 — также измеримые величины. Таким образом, функцию взаимной когерентности Г(гi, г2, т) можно (по крайней мере, в принципе) определить по наблюдаемой интерференционной картине и по измеренным интенсивностям /ь /2.

Возвращаясь к выражению (30.19), мы видим, что при I у I = 0 не возни - кает никаких интерференционных полос, экран освещен равномерно. Это означает, что два световых пучка, достигающих экрана из отверстий Dx и 。2, полностью некогерентны. Если 17 I ^ 1, то интерференционные полосы обладают максимально возможной контрастностью, а интенсизность поля излучения в минимумах освещенности падает до нуля. Оба пучка полностью когерентны. В промежуточных случаях, 0 < | 7 | < 1, они частично когерентны.

Если в опыте Юнга (см. рис. 30.2) наблюдать интерференционную картину вблизи оси симметрии системы (в гочке 0, т = 0) при различных расстояниях между D! и D2г т.е. меняя разность L — 了2, то по исчезновению интерференционной картины можно определить поперечную длину когерентности /^oh・ Такой опыт позволяет исследовать пространственную когерентность поля излучения, т.е. функцию y(rl, r2t 0) . В интерферометре Майкельсона (см. рис. 30.1), наоборот, исследуется временная когерентность и измеряется временная корреляционная функция у (г, г, г). Здесь координаты г】=г2 = г задаются положением зеркала 3, которое делит свет на два пучка для введения временной задержки между ними.

В заключение запишем интенсивность (30.21) в форме

/ = (1 - I”)(厶 + /2) + lyl {/] + /2 + 2(/i Z2)I/2cos(a-сот)}. .30.29)

Мы видим, что поле в точке О можно представить как смесь полностью некогерентного и полностью когерентного света. Первый имеет интенсивность (1 - | 7I )(/1 + /2), а второй представляет собой полностью когерентную смесь двух пучков с интенсивностями |)|厶，ItI% и разностью фаз а — сот.

Частичная поляризация электромагнитных волн. Выше при рассмотрении интерференционной картины мы пользовались скалярной функцией взаимной когерентности. Однако при изучении поляризационных свойств частично когерентного света нужно рассматривать полный корреляционный тензор J&0.

Пусть поле излучения представляет собой поток квазимонохроматичес- ких некогерентных волн, распространяющихся вдоль оси z. Тогда тензор Ja0 имеет только 4 компоненты, индексы а, 0 принимают значения 1,2. Полная интенсивность поля в точке г будет равна сумме диагональных компонент тензора Ja/3, взятого при r^ - r2 = г ia ti = t2 = t'

仲)=Лш 仇匕 0).(30.30)

Здесь предполагается, что поле стационарно, интенсивность не зависит от времени.

Рассмотрим вначале некоторые частные случаи.

П олностью неполяризованный свет. Все направления колебаний в плоскости х/ равновероятны, тензор 丿&0 инвариантен относительно поворотов вокруг оси z. Это означает, что 4。пропорционален единичному тензору 6耶：

40 = %/%仪(30.31)

Величина / представляет собой полную интенсивность света.

Плоская монохроматическая волна. Используем формулы (28.7) и (28.21) . В осях, направленных вдоль взаимно перпендикулярных действительных векторов 工i,爲 будем иметь

，)•(30.32)

手/&金2 髭 /

Такой тензор при произвольных &〔，&2 описывает волны с эллиптической поляризацией.

Линейно поляризованным волнам отвечают тензоры

/ 10\/0 0\

弘0)= /(0и (%) = /( °(30.33)

циркулярно поляризованным — тензоры с мнимыми диагональными компонентами

"门口CJ о) и 4门；/( •；)'"门口CJ о) и 4门；/( •；)'(30.34)(30.34)

"门口CJ о) и 4门；/( •；)'

"门口CJ о) и 4门；/( •；)'

(30.34)

(30.34)

где всюду / — полная интенсивность. Характерной особенностью тензоров (30.32) -(30.34), описывающих полностью поляризованную волну, является обращение в нуль их определителей:

146 1 =41厶2一1厶212=0・ (30.35)

При частичной поляризации волн | %| W 0, хотя, по-прежнему, тензор % эрмитов: Ja& =J^a - Представим его в виде суммы двух тензоров, 4=店)+《?)，(30.36)

из которых один

7-4(о/J№7)

описывает полностью неполяризованную, а второй

М=}( * ；)(30.38)

—полностью поляризованную волну. Имеем на основе (30.36) — (30.38)

I n + в = 2J11,0= 242,。* = 2厶1,4,+e=2)22.

Требуя чтобы было

8》0,С>0 и BC-DD* =0

(условие полной поляризации), получаем уравнение для /и:

(2厶 1 - 〃)(2)2 2 一厶)一4厶 2 厶 1 = 0-

Отсюда находим

ln =厶1 + 厶2 土 "(厶1 —J22)2 +4|Ji2『：(30.39)

Решение со знаком минус перед корнем дает

8 =厶 1 —厶2 + 7'J\ 1 —丿2 2 )2 + 4 I 厶 2 I2》0，N

e =厶 2 一j1 1 +1 - /2 2)+ 4 I /1 2 I >0,

тогда к&к решение со знаком плюс дает 8&0, С<0 и должно быть отброшено.

Полная интенсивность волны

/ = /〃+%《8 + C)=J“ +厶2,(30.41)

а интенсивность полностью поляризованной волны

/р = %(8 + С) = 7 U \ \ —厶2 )2 + 4 丨 J] 2 I’ ~ \АЛ 1 +)22)' - 4|J&6 I •

(30.42)

Свертка Jaa = 〃 i + 厶2 併 определитель | % I — величины, инвариантные относительно поворотов, поэтому разделение полной интенсивности на /„ и /р не зависит от выбора осей хну в плоскости, перпендикулярной Oz. Отношение интенсивности полностью поляризованной волны к полной интенсивности называется степенью поляризации Р исходной волны,

Р= —=(30.43)

/(J] 1+厶2)

а величина р = 1 - Р - степенью ее деполяризации. Нетрудно убедиться, что

0C&L1》р》0.(30.44)

Возможно и другоепредставление тензора поляризации. Найдем его

собственные значения /⑴，/(2)и собственные векторы е\", е，‘)，кото-

рые мы выберем нормированными г е：⑴ е『)=1. Для этого составим и решим уравнение

|а6e6 = /6a.(30.45)

Собственные значения /(】')можно найти из равенства нулю определителя

I 丿&0 — /Ь&0 | = 0, откуда получаем

/(b2) = ^m11 +厶2)±%\/(41 +厶2户 一41人6 二(30.46)

Собственные значения /⑴，/⑴ в силу эрмитовости Ja^ действительны и, вообще говоря, различны; равенство /⑴ =/(2\ как следует из (30.42), возможно только в одном случае: 4 】=722/ Ji 2 = 0. Этот случай соответствует полностью неполяризованному полю с тензором (30.31).

Собственные векторы е^1 \ е?' при /⑴ Н/°)взаимно перпендику* лярны. Чтобы убедиться в этом, преобразуем (30.45) к следующим формам:

/⑴ ерe：(2)У(2)4*),№阁%：(2) = *%市(2).

Составляя разность последних двух равенств, найдем

(/⑴- "))*£(2)=点(2%耍一市(2)以^)= 0,

где мы воспользовались эрмитовостью 丿耶.Отсюда

*)е：(2)= о.(30.47)

Разложим "в по собственным векторам е「，е^2). Записав

4=小財)*1)+J(2吗2%产

и использовав свойство ортогональности (30.47), получим с помощью (30.45)

八)= е：⑴％吟匚/⑴，J。)”；。)/。”？ =/”

Комплексные векторьв е⑴，W в общем случае, как мы видели в § 28, описывают эллиптически поляризованные волны, поэтому представление

4"⑴ е「е»)+ /⑵ ер*2)(30.48)

можно рассматривать как некогерентную суперпозицию двух волн с эллип* тической поляризацией. Записав его в виде

40 =八2)陽 I)吟⑴ + ё£2)而(2)) + (/⑴一/(2))^1"⑴，(30.49)

учитывая, что 5邱=*)©D + е!”©、и сравнивая с (30.36) г находим

”2/(2),% = /(】)—").(30.50)

Слагаемое

爲)= ")(*)市⑴+*)%2))

дает представлэние полностью неполяризованной волны в виде некоге- рентнои суперпозиции двух поляризованных волн одинаковой интенсивности.

Степени поляризации и деполяризации можно выразить через собствен ные значения /°), /°)тензора поляризации:

/(】)一/(2)2/(2)

'=7(О + /йГ，° 二，⑴ + /(2)'{30.51)

{30.52){30.52)Тензор поляризации иногда выражают через полную интенсивность / и параметры Стокса & (а = 1, 2, 3):

{30.52)

{30.52)

2 I 3 +七 1一久丿’

Компоненты 丿“。и параметры Стокса нетрудно определить по измеренным значениям интенсивности, связанным с проекциями вектора Е на разные оси в плоскости ху.

* 31. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМА УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

ные) координаты в гамильтоновой нии многих задачные) координаты в гамильтоновой нии многих задачВ § 28 мы установили, что плоские монохроматические волны являются возможными типами колебаний электромагнитного поля в вакууме, которое представляет собой, таким образом, колебательную систему с бесконечным числом степеней свободы. Ниже мы введем нормальные (глав

ные) координаты в гамильтоновой нии многих задач

ные) координаты в гамильтоновой нии многих задач

этой колебательной системы и запишем уравнения поля форме. Такой подход оказывается удобном при реше- о взаимодействии заряженных частиц с электромагнит

ным полем ) в рамках классической электродинамики. Но особенно полезен гамильтонов метод при квантовом описании электромагнитного поля.

Собственные типы колебаний (моды) электромагнитного поля. В отсутствие зарядов электромагнитное поле можно описьшатъ векторным потенциалом Л (г г), удовлетворяющим уравнениям (27.7) и (27.8):

△4-』学=0, с2 а产’△4-』学=0, с2 а产’div4 = 0.div4 = 0.(31.1)(31.1)

△4-』学=0, с2 а产’

△4-』学=0, с2 а产’

div4 = 0.

div4 = 0.

(31.1)

(31.1)

Удобно рассматривать поле внутри куба со стороной L, наложив на поле условия периодичности по каждой из декартовых координат:

4(х,匕 zj) = 4(х + 厶，у, z, Г) =4(х, у + Lf z, t) = A(xf yf z -^ Lf t}.(31.2)

Это означает, что мы разбиваем все пространство на кубические области объемом I =匕 и считаем, что во всех таких областях поле ведет себя подобным обр&зом. Из физических соображений очевидно, что при достаточно большом 厶 поведение поля внутри объема V будет слабо зависеть от условий на его границах. Поэтому никакие физические результаты не будут содержать объема V основной области. В то же время наложение периодических граничных условий (31.2), оставляя число собственных колебаний системы бесконечным, позволяет сделать их дискретными, что дает определенные преимущества.

⑶.3)⑶.3)Рассмотрим частные решения уравнений (31.1) в виде плоских волн с определенными значениями волнового вектора к и поляризации:

⑶.3)

⑶.3)

九（小）=%（Г）4。⑺.

Здесь А^о(г ) — координатная собственная функция, удовлетворяющая граничным условиям (31.2) и уравнению div / = 0. Выберем ее в виде

4。⑺=\/2^- exp(出儿(31.4)

где eq。一 единичный вектор, описывающий поляризацию плоской волны. Он удовлетворяет условию

/Г%о = 0.(31.5)

Индекс а определяет тип поляризации плоской волны и принимает два значения: о = 1, 2. Если выбраны волны с плоской поляризацией, то можно положить

佻1=®х，佻2=е＞，，(31.6)

где ®х, @у — орты декартовой системы координат с осью z, направленной вдоль Л. При круговой поляризации волн имеем

毁I =(1“？)(％ + 修・)，佻2 =(1/x/?)9x - ч，).⑶.7)

Нетрудно аналогичным образом описать и эллиптическую поляризацию. Во всех случаях орты поляризации удовлетворяют условиям ортогональности:

*。%产力。，.(31.8)

Удобно также потребовать выполнения условия

^-ка = еЛа(31.9)

с тем, чтобы собственная функция обладала аналогичным свойством:

4«。⑺=4% ⑺.(31.10)

Из условия периодичности (31.2) можно получить возможные значения волнового вектора:

exp(；h 厶)=exp(ikyL) = exp(丸厶)=1,

откуда

力，力，(31.11)(31.11)

力，

力，

(31.11)

(31.11)

Здесь ль л2, л3 = 0, ± 1, ±2, ... — произвольные целые числа. С помощью (31.11) нетрудно вычислить интеграл от произведения собственных функций:

/(A^of-Ako)dV. (尸)

Пользуясь декартовыми координатами, будем иметь

/j exp{2^/(ni - nJ)} -1[ 0 при %#〃；，

/exp{/(h-k、)x}dx —ГТ；,,

о)I L при П] = 〃i.

В итоге получим условие ортогональности и нормировки собственных функций:

/ (Л；а ^Aka)dV = ^c4kk1boo„(31•⑵

Выбор нормировочного множителя, разумеется, произволен и диктуется соображениями удобства записи последующих формул.

Вернемся к (31.3) и получим уравнение, которому удовлетворяют зави* сящие от времени функции。衣。")，играющие роль обобщенных координат. Подставив (31.3) в волновое уравнение (31.1), получим

% + зЕ° = о,(31.13)

где з* = ск. Мы видим, что величины qko удовлетворяют уравнению гармонического осциллятора и являются, следовательно, главными коорди> натами колебательной системы.

Запишем решение (31.13) в виде

4。= 4%ехр(-/з^),(31.14)

но наложим определенную связь между qka и q_ 卜。，一 потребуем, чтобы выполнялось соотношение, аналогичное (31.10):

乙小)二小)・(31.15)

При таком условии полный векторный потенциал А (г, Г), записанный как сумма частных решений (30.3) со всеми возможными к vi ot будет действительной величиной:

A(rft) = Tqko(t)Ako{r).(31.16)

Действительность А обеспечена тем, что каждому члену Я^аА^о в сумме (31.16) сопутствует комплексно-сопряженный член

^-ко^-ка ~ ^ка^ка^ •

С математической точки зрения разложение (31.16) представляет собой ряд Фурье. Его можно записать и в такой форме, чтобы каждое слагаемое с заданными к, а было действительным:

4(，Г) = ^[qko(t)Ako{r) +д；акМ；а(г)].(31.17)

По сравнению с (31.16) число слагаемых в (31.17) удвоено — каждый член учитывается по два раза.

Число собственных колебаний. Подсчитаем число собственных колебаний поля в заданном интервале частот или волновых векторов. Каждо* му значению тройки собственных чисел ль л2/ л3 в (31.11) соответствует некоторое значение волнового вектора. Поэтому на заданные интервалы △r?i, △小，Дл3 собственных чисел будет приходиться число значений волнового вектора

ДЛ/ = Дл! Дл2Ал3.

Если L велико и значения п{,小，〃з также достаточно велики, то приращения △小 можно считать бесконечно малыми:

dN = dnidn2dn3,

Пользуясь (31.11), находим число собственных колебаний поля (с одной попяризацией на каждое значение к), приходящееся на заданный интервал значений проекций волнового вектора:

d/V =言戸 dkxdkydkz.(31.18)

Записав d3k в сферических координатах, получим число собственных колебаний dNв других переменных:

dN(31.19)

(2п)3“

где dC*— телесный угол, внутри которого направлен к. Наконец, положив в (31.19) к 二 з[с, найдем dN в функции частоты:

dN = ―J з? d3 d0k・(31.20)

(2 яс)3

Полное число собственных колебаний с учетом двух типоэ возможных поляризаций при каждом к будет равно 2dN.

Если спектр значений к близок к непрерывному (большой объем »), то суммирование в (31.16), (31.17) можно заменить интегрированием. При этом ряды Фурье превратятся в интегралы Фурье, например (31.16) примет вид

4亿心説。^2/%。"也小"*(31.21)

Гамильтониан и гамильтонова форма уравнений поля. Вычислим энергию поля в объеме V. С помощью (31.16) и формул (27.6) найдем

尤。(31.22)

〃"Z qko[kXAko}^i 叽屮勺丿 Л. aA, a

Здесь вторые суммы написаны на основе сделанного выше замечания о действительности А (г, г).

Энергия поля

W= J / (£2 ^H2}dV.

оя

(И)

Вычисляя интегралы от Е2 и Н2 по отдельности, находим

i^s E2dV^^ 2磅。4/伪力•九)W0 2 初％，

(I )" к,匕m a

где использовано условие (31.12). Двойная сумма № содержит произведение

« X /；%，] •[左 X 4后。卜伙'.幻(4，。，• 4左。)一伙• 4；9)伙• 4。).

Интегрирование этого произведения no dV приводит к условию 左'=к, н второй член дает нуль в силу поперечности волн. В результате имеем

屮”=4 Z ^)2q；oqko. Л, о

С помощью (31.14) находим 彳斤。=一，川斤^女。и получаем энергию поля в виде

^= 2 3e。%.(31.23)

к, о

Полная энергия поля выразилась в виде суммы энергий отдельных собственных колебаний:

"匸Z%。，%「3汐入%.(31.24)

к. о

Аналогичный расчет позволяет найти импульс поля：

Р =- J [EXH]dV= Z(31.25)

4яс厶 °3“

Величина 左喉°/з衣 представляет собой импульс одной собственной моды. Связь между энергией и импульсом каждой моды — такая же, как для ультрарелятивистской частицы,喉° = с"%

Введем вместо комплексных главных координат ^斤式打 действительные канонические переменные О^а, Р心

Из (31.13) и (31.26) следует, что они также удовлетворяют уравнению осциллятора, в частности,

4。+ 3沁。=0.(31.27)

Энергия системы, выраженная через обобщенные координаты и импульсы, представляет собой функцию Гамильтона. Подставляя (31.26) в (31.23) и используя для функции Гамильтона обозначение К, получим

m = % Z (%+3灰小(31.28)

左，。

т.е. гамильтониан системы невзаимодействующих гармонических осцилляторов. Канонические уравнения имеют вид

4。Н新М展。'4。=一 新二一3衣^(31.29}

к ок о

и приводят к правильному уравнению движения (31.27). Это и доказывает, что Рко % Qk。— канонимески сопряженные переменные.

Глава VII

ПОЛЯ ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ

А 32. ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ

В этой главе мы построим для наиболее важных случаев решения неодно* родных волновых уравнений

△Л； —— /(г, f),

(32.1)(32.1)с2 8产 с

(32.1)

(32.1)

1m9

△9^ —2 = —4ттр(乙 г).

в которых / и р — произвольные функции координат и времени. Будем считать, что источники распределены в конечной области пространства, и найдем потенциалы, создаваемые этими источниками во всем безграничном пространстве. Следует подчеркнуть, что такая постановка задачи с самого начала носит приближенный характер. В действительности создаваемое заряженными частицами поле влияет на их движение, поэтому стоящие в правых частях / и р, строго говоря, представляют собой нелинейные функционалы от искомых потенциалов. Но во многих случаях (хотя и не всегда) обратное влияние поля на движение зарядов оказывается малым и им можно пренебречь. При этом задача линеаризуется. Именно такая постановка вопроса и предполагается в настоящем параграфе.

Функции Грина волнового уравнения. Решение неоднородного уравнения удобно находить с помощью функции Грина, как это уже делалось в электростатике ( § 20). Определим функцию Грина G(rf tz г \ tr) как решение уравнения：

△G—= —4тгb(尸一尸')5 (Г — t')(32.2)

e2 8产

для безграничного пространства. Решение волновых уравнений можно записать с помощью функции Грина в виде интеграла:

Alr^t) = ^ f G(, J r：t、5,nd”'d。(32.3)

Аналогичный интеграл можно написать для 屮.Применяя к А (г, Г) оператор Даламбера и пользуясь (32.2), убеждаемся, что уравнение (32.1) удовлетворяется.

Ниже мы увидим, что уравнению (32.2) удовлетворяет не одна, а широкий класс функций Гринаг которые, если их использовать в (32.3), приведут к различным решениям для 4 (г, Г). Для того чтобы выделить единсъ венное решение, адекватное рассматриваемой задаче, нужно будет привлечь физические соображения, эквивалентные заданию некоторых граничных условий. Если мы рассматриваем излучение электромагнитных волн задан* ным источником в бесконечном пространстве в отсутствие каких либо границ, то дл« выделения единственного физически допустимого решения достаточно привлечь принцип причинности. Он требует, чтобы причина (движение зарядов в источнике, приводящая к излучению) предшествовала следствию (возбуждению поля в точке наблюдения). Удовлетворяющие такому критерию потенциалы называются запаздывающими. Дополнитель-

ное обсуждение этого важного вопроса будет проведено в п.32.2.

Обозначая R = г — г f и т = Г — Г \ приведем (32.2) к виду

△rG7 哗=-4"依)5(7).(32.4)

С2 НТ?

Отсюда следует, что функция Грина зависит только от разностей аргументов: G(r — г \ t — У ) = G(K, т).

Уравнение (32.4) удобно решать с помощью разложения искомой функции в интеграл Фурье:

G(K, 7)=—^-т /@(尢 з)ехр(泳 К - i3T、d3 kdз.

(2я)4

G(尤 з) = / G(K, т)ехр(/сот - ik-R)d3RdTt(32.5)

.где интегрирование производится в бесконечных пределах. Умножим (32.4) на ехр(7сит — ik-R} и выполним интегрирование по d?Rdi\ Левая часть преобразуется путем двукратного интегрирования по частям, например,

/= —ехр(7сот) ! - ；з / -^•ехр(/сот)с/т. (32.6)

Выделившееся слагаемое обращается в нуль вследствие убывания G при больших т м К. Интегрируя (32.6) еще раз по частям, получим

/ —-^ехр(7сот — ik・R\cPRdT = —o/G(斤,з).(32.7)

Преобразовывая аналогичным образом член с лапласианом в (32.4), получим алгебраическое уравнение для фурье-образа G (k, gj)：

(R -32左2传係,3)=4九(32.8)

На первый взгляд кажется, что фурье-образ G(k, з) определяется из (32.8) единственнь:м образом:

G{kt со) = 4я/(^2 -з2/Ь2)(32.9)

Однако зто не так. Дело в том, что множитель 伙？ — з^/с?) обращается в нуль при з = ±кс. Это позволяет записать уравнение (32.8) в эквивалентной форме:

(Аг2 — d/b? )@(尢 3)= 4笈 + 尸0(尢 3)伙 2 —З^Н )5(攵 2 —з^/с?),(32.10)

где 尸о(尤 з) — произвольная функция, ограниченная при к2 = d/с”、 В силу свойств 5-функции произведение

伙2 - 6Н )5 (R — &心)=0,

именно поэтому (32.10) эквивалентно (32.8). Но из (32.10) видно, что, записав решение в форме (32.9), мы пропустили слагаемое, содержащее произвольную функцию:

@(尢 3) =4“(2 -累卜。(左 3)5卜一留(32.11)

10. М.М. Бредов145

Это слагаемое, как видно из его структуры, представляет собой решение однородного волнового уравнения.

Для наших целей достаточно построить функцию Грина не самого общего, а некоторого частного вида, поэтому мы ограничимся частным реше* нием (32.9). Но даже фурье>образ (32.9) не приводит к одной-единствен- ной функции Грина. Это объясняется тем, что знаменатель (32.9) обращается в нуль при действительных значениях 斤 м з, поэтому при вымисле* нии интеграла Фурье (32.5) нужно задать дополнительное правило интегрирования сингулярной функции. В зависимости от этого правила, как мы увидим, будут получаться разные функции Грина.

Запишем интеграл Фурье (32.5) в виде

G(&, n=j 宜与 exp(泳 К))争 G的 з)ехр(-/з7).(32.⑵

При вычислении внутреннего интеграла

G(尢7)= //；依；©хр(-/зт)(32.13)

_оо 2тг_в

подынтегральное выражение имеет полюсы в точках з = ±3女=±ск, поэтому интеграл (32.13), понимаемый буквально, не имеет смысла. Для того чтобы определить его, нужно задать правила интегрирования особенно* стей. Эти правила должны сводиться к некоторой деформации контура интегрирования, в результате которой полюсы оказываются вне контура и интеграл определяется однозначным образом.

Рассмотрим плоскость комплексной переменной з. В интегралах (32.13) путь интегрирования проходит по действительной оси. Деформируем его таким образом, чтобы оба полюса были обойдены по бесконечно малым полуокружностям в верхней полуплсюкости (рис. 32.1). Теперь интеграл по контуру Cr легко вычислить с помощью вычетов. При т > 0 замкнем контур интегрирования дугой полуокружности большого радиуса Я в нижней полуплоскости. При Я ~8 интеграл по большой полуокружности обращается в нуль, так как показатель экспоненты приобретает большую действительную отрицательную часть. Но интеграл по замкнутому контуру определяется суммой вычетов относительно полюсов, лежащих внутри контура:

ехр(-/зт)

G = 2<? / ;丁d3 =

Cr % —з

= 2с2(~2я/) ——\^^сг—,т>0.

I 2叱 23" Jзk '

При т < 0 следует замкнуть контур дугой полуокружности в верхней полуплоскости, на которой подынтегральное выражение экспоненциально мало. Внутрь замкнутого контура не попадает ни одного вычета, поэтому G(kf т) = 0 при т < 0. В итоге окончательный результат для внутреннего интеграла в (32.12) выглядит так:

GR的 т)=GR的 т)=4nc3sin(co^T)64nc3sin(co^T)67 > 0；Т<0.7 > 0；Т<0.(32.14)(32.14)

GR的 т)=

GR的 т)=

4nc3sin(co^T)

6

4nc3sin(co^T)

6

7 > 0；

Т<0.

7 > 0；

Т<0.

(32.14)

(32.14)

Функция Грина, отличная от нуля только при т > 0, называется запаздывающей. Мы отметили этот факт индексом Л (от английского Retarded).

Переходя к вычислению интеграла по d3kt введем в пространстве 斤 сферическую систему координат с осью z, направленной вдоль К. Поскольку GR{kt т) не зависит от углов вектора к, можно проинтегрировать мно« житель exp(ik R) по углам отдельно:

fexp(ikR)d^k =2я/exp{/^cos^)sini>di> = ~sin(^).(32.15)

о

Подставляя затем (32.14) и (32.15) в (32.12), где d3k - /r2d^d£2^убудем иметь при т > 0:

G&依，7)= *^"•/ sm(kR)s\n(kcT)dk =

=—^― J [cos伙斤—кст} — co$(kR + кст)]с/к.

Воспользовавшись представлением 6-функции(AJV.21), получим

(К -С7)-5依 +С7)],Т>0；

G&(R, 7)=丿(32.16)

0,т<0.

Поскольку по определению Я > 0, то при т > 0, 6(Л + ст) =0 тождественно. Окончательный вид запаздывающей функции Грина:

Здесь мы использовали формулу 5 (ах) = 6 (х) /|а|. Тот факт, что G& = 0 при f < Г \ можно не отмечать специально, так как это условие обеспечивается структурой аргумента 5-функции.

Выясним теперь, как повлияет на вид функции Грина другой выбор контура интегрирования. Рассмотрим контур СА (рис. 32.2), который обходит особые точки в нижней полуплоскости комплексного з. В этом случае отличный от нуля результат интегрирования по d3 будет при т < 0, что отвечает замыканию контура в верхнюю полуплоскость. Получающаяся

функция Грина называется опережающей {Advanced} и имеет вид

G 4 d，1^^«一宀^^G 4 d，1^^«一宀^^(32.18)(32.18)

G 4 d，1^^«一宀^^

G 4 d，1^^«一宀^^

(32.18)

(32.18)

Поскольку н G”，н G' удовлетворяют одному и тому же неоднородному уравнению (32.2), то их разность G& - G” удовлетворяет однородному уравнению Даламбера：

(32.19)(32.19)□(G& - GIO.

(32.19)

(32.19)

Это показывает, что G” можно получить из G* путем специального выбора функции 尸о(左，з) в (32.11), т.е. решения однородного уравнения.

Варьируя правила обхода особых точек, мы можем получить еще несколько типов функций 「рмна, которые находят применение в квантовой теории поля. Но в классической электродинамике главную роль играет запаздывающая, а иногда применяется и опережающая функция Грина, рассмотрением которых мы и ограничимся.

Иногда в приложениях применяются фурье<образы G^ и G^ по времени т = г — t1:

g3'(l — /)= / GR A(r-rff T)eiWTdT = —-~r-exp(±z*/r \ r-rf \ )t -g\r-r I

(32.20) где к = з/с. Плюс соответствует G^, минус отвечает G^. Функции Грина (32.20) удовлетворяют неоднородному уравнению Гельмгольца

△GJ" +/6^4 = —4тг&Г-г'),△GJ" +/6^4 = —4тг&Г-г'),(32.21)(32.21)

△GJ" +/6^4 = —4тг&Г-г'),

△GJ" +/6^4 = —4тг&Г-г'),

(32.21)

(32.21)

которое получается из (32.2).

Выбор запаздывающих потенциалов. Построим с помощью запаздывающей функции Грина G» решения неоднородных волновых уравнений (32.1). В интеграле (32.3) интегрирование по времени легко выполняется с помощью 5-функции и результат имеет вид

Лл(гЛ)= 7 J -~;——г-dV：(32.22)

^R(r9t) = f；dVf.(32.23)

Потенциалы (32.22) и (32.23) являются запаздывающими. Структура их временного аргумента показывает, что поле в точке г в момент f опреде* ляется состоянием источников в предшествующий момент времени t' = t— |『一『'|/с, отличающийся на время распространения электромагнитного возмущения от источника в точку наблюдения. Запаздывание в данном случае выступает как форма проявления принципа причинности: причина (движение зарядов в точке г ') предшествует следствию (появле* нию поля в точке г ) на время |г — г ' |/с, необходимое для передачи сигнала (электромагнитного возмущения) из г ' в г.

Если в пространстве отсутствуют другие источники поля, то AR и ^ я будут описывать полное поле, созданное заданными распределениями / и р. Если же вдали от заданных источников (на бесконечности) имеются другие источники, то к потенциалам AR и <^Л следует добавить решение однородного волнового уравнения, описывающее поле удаленных источников. Но это решение никак не будет зависеть от заданных / и р.

При выборе опережающей функции Грина G" для построения решения можно найти опережающие потенциалы:

/1/(r\t + |r-r，|/с),

；——гdV\(32.24)

/pir^t^ \r-rf |/c^

，(小)=/".(32.25)

I —r I

Хотя эти потенциалы, так же как и (32.22), (32.23), удовлетворяют уравнениям (32.1), они не могут быть использованы для описания поля от заданных источников в безграничном пространстве, поскольку не удовлетворяют принципу причинности.

Решениям в форме запаздывающих и опережающих потенциалов можно дать и другую интерпретацию. Если система зарядов спсюобна излучать электромагнитные волны, то запаздывающие потенциалы (32.22), (32.23) на больших расстояниях от системы будут иметь вид расходящихся сферических волн, что соответствует переносу электромагнитных возмущений от излучающей системы в окружающее пространство. Опереж&ющие же потенциалы будут описьшать сходящиеся сферические волны, которые могли бы создаваться некоторым источником, находящимся на бесконечности, но не заданной системой зарядов.

Спектральное разложение запаздывающих потенциалов. Если изменение запаздывающих потенциалов со временем в каждой точке пространства представляет собой апериодический процесс, то они могут быть разложены в интеграл Фурье (29.9а). Амплитуда Фурье

4^,(/)= 7 A(rtt)exp(t^t)dt(32.26)

с помощью (32.22) приводится к виду

А^Аг} = -； /；exp(j3f)dU dt.(32.27)

с(г - г I

Если проинтегрировать (32.27) сначала по т = t - | г — г 1 | /с, то (32.27) приведется к виду

d 1 ехр(/з I г I/с)

Л^(h = 7 J -;——rdU / 〃1<7)載3у7,(32.28)

или

A, exp(/co Ir-r1 |/c),,

4f,⑺=2 / ——忆万九什2匕(32.29)

Аналогичным образом выражается 遡⑺：

» ехр(/з |г —|/с).,

峭⑺=/ 一:——r%3出e(32.30)

\r -r I

В обоих случаях под интеграл входит фурье-образ (32.20) запаздывающей функции Грина.

ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА И ФОРМУЛА КИРХГОФА

Запаздывающие потенциалы (32.22), (32.23) дают полное решение задачи об электромагнитном поле, создаваемом ограниченной системой движу* щихся зарядов в безграничном пространстве. При этом предполагается также, что движение зарядов происходит по заданному закону.

Но постановка задачи может быть иной: заряды и токи могут быть заданы только в ограниченном объеме V пространстве. Источники же, находящиеся за пределами 匕 могут задаваться не распределением зарядов и токов в них, а тем электромагнитным полем, которое они создают на поверхности S, ограничиваю щей объем V. В этом случае для расчета поля внутри V нужно учесть источники поля, находящиеся внутри V, и те возмущения, которые будут исходить от поверхности S.

В отсутствие зарядов внутри объема V все поле в этом объеме будет создаваться внешними источниками. Однако явное рассмотрение источников можно заменить рассмотрением поля, которое они создают на поверхности S. Как мы увидим ниже, каждый элемент поверхности S может рассматриваться как источник вторичных возмущений, распространяющихся во все стороны. Накладываясь, эти возмущения и создают результирующее поле в объеме V.

Качественные соображения такого рода были развиты еще X. Гюйгенсом (XVII в.) и носят название принцип Гюйгенса. Впоследствии их уточнили и сформулировали в количественном виде другие исследователи, особенно О. Френель и Г. Кирхгоф. Ниже мы выведем формулу Кирхгофа, которая дает решение поставленных выше задач.

Вывод формулы Кирхгофа. Исходим из тождества Грина (20.1):

/(33.1)

(Г)(s)\ Эл 8〃 /

Будем понимать под 9 (『'，£‘) скалярный потенциал, удовлетворяющий второму из уравнений (32.1), а под 山一запаздывающую функцию Грина (32.17):

屮二GR"-r：t-t\(33.2)

Здесь г — радиус-вектор некоторой точки, лежащей внутри V, по координатам r'(x'f у, z') производится интегрирование, а л* — внешняя нормаль к поверхности.

Проинтегрируем (33.1) по вермени "в пределах от -8до некоторого значения Г> t и подставим величины

А“=—7 4яр(г\，)

с or

△ 三=- ^^― ― 4斤5(尸一Wb" 一 У), с2

получающиеся из уравнений {32.1) и (32.2). Левая часть (33.1) принимает следующий вид:

/ *『dV'WA'W —屮搜屮> =

-8(Г)

г

=4я/ dt J dV*{ G^(r- r\ f 一 f')p，/')-5(r-Wb" —，)9，，f')} +

-8 g

С помощью явного вида (32.17) функции Грина и правил интегрирования выражений с 8 функциями вычисляем первые два интеграла в правой части (33.3):

-8(J)")"

J dt'，dV'blr -r')b(t - t')9(匕 t' ) = 9(〃 t), 一8 C)

где R = r — rf. В оставшемся интеграле выполняем сначала интегрирование

Нули на верхнем и нижнем пределах получаются из за наличия 6-функции в G& (ее аргумент при t' - T>t и при г' = — 8отличен от нуля). В итоге левая часть (33.1) после интегрирования по dt' даст

ттdt' / W'WA'屮-屮△") = 4tt /SO')dt' / W'WA'屮-屮△") = 4tt /SO')「(，', f 一 R/c)「(，', f 一 R/c)d/ —47rd 小).(33.4)d/ —47rd 小).(33.4)Преобразование правой части начнем функции Грина:8G&,, а п R ,■" = л • ▽ G =—~— 6( t — t — R/с) —ЭлЯ3Преобразование правой части начнем функции Грина:8G&,, а п R ,■" = л • ▽ G =—~— 6( t — t — R/с) —ЭлЯ3с вычисления производной отс вычисления производной от〃'• К 85(t-，一#/c)〃'• К 85(t-，一#/c)cR2cR2川川(33.5)(33.5)

т

т

dt' / W'WA'屮-屮△") = 4tt /

SO')

dt' / W'WA'屮-屮△") = 4tt /

SO')

「(，', f 一 R/c)

「(，', f 一 R/c)

d/ —47rd 小).(33.4)

d/ —47rd 小).(33.4)

Преобразование правой части начнем функции Грина:

8G&,, а п R ,

■" = л • ▽ G =—~— 6( t — t — R/с) —

ЭлЯ3

Преобразование правой части начнем функции Грина:

8G&,, а п R ,

■" = л • ▽ G =—~— 6( t — t — R/с) —

ЭлЯ3

с вычисления производной от

с вычисления производной от

〃'• К 85(t-，一#/c)

〃'• К 85(t-，一#/c)

cR2

cR2

川

川

(33.5)

(33.5)

где мы учли тот факт, что R - г — г' и V7? = — R/R. С помощью (33.5) вычисляем правую часть (33.1):

7 , …w

/ ” f 时 9「

8(S)\ ОЛ

(33.6)(33.6)

(33.6)

(33.6)

Слагаемое с производной от 5<функиии было проинтегрировано по частям.

Приравняв (33.4) и (33.6), получим выражение для скалярного потенциала в произвольной точке внутри объема V:

9（小）=/9（小）=/p(r；t — R/c> ,"+p(r；t — R/c> ,"+яя1/1+f dS l- л1 • ▽，— 4万(S)1/1+f dS l- л1 • ▽，— 4万(S)п r ап r асЛ2 8,сЛ2 8,t - t~ R/ct - t~ R/c(33.7)(33.7)

9（小）=/

9（小）=/

p(r；t — R/c> ,

"+

p(r；t — R/c> ,

"+

я

я

1/1

+f dS l- л1 • ▽，— 4万(S)

1/1

+f dS l- л1 • ▽，— 4万(S)

п r а

п r а

сЛ2 8,

сЛ2 8,

t - t~ R/c

t - t~ R/c

(33.7)

(33.7)

Замену ，на f - R/c следут произвести после применения к 屮"：?，) оператора, стоящего в скобках. Полученная формула полностью решает задачу о представлении скалярного потенциала внутри объема V через распределение источников в этом объеме и значения 9, Vg и W/Hf на границе объема.

В отсутствие зарядов внутри объема V поле будет определяться только поверхностным интегралом:

9(小)=0 dS /-n •▽，一 —，ь

47r(S) \RcR2 ЭГ Я3 / rK/c

(33.8)

Эта формула носит название интеграла Кирхгофа и дает количественную формулировку принципу Гюйгенса: связывает поле в произвольной точке с его значением на некоторой замкнутой поверхности. Тем самым, электро магнитные возмущения на поверхности играют роль источников, возбуждающих вторичные возмущения, которые и создают поле в точке г . Следует отметить, что формулы (33.7) и (33.8) нельзя рассматривать как решение волнового уравнения, так как значения 9, V<p и W/Bf на поверхности заранее не известны и не могут быть заданы произвольным образом. Но полученные формулы весьма полезны в задачах дифракции электромагнитных волн, когда значения поля на некоторой поверхности можно задать приближенно..

При гармонической зависимости от времени, 9 (/*； f) = ^ (г )e~zwr, (33.8) принимает вид

屮(『) © J；9(r ) —；J dS ,(33.9)

4 雷(S)16a刀Эл Я J

где к = 31c.

В отсутствие зарядов каждая декартова компонента 4, Е % " удовлетворяет тому же волновому уравнению, что и 9. Поэтому (33.8) справедливо для любой компонента указанных векторов. Пользуясь этим обстоятельством, нетрудно записать интеграл Кирхгофа в векторной форме. Не приводя выкладок* ^ выпишем для справок окончательный результат:

Е(Н =——f {火”X〃]G^ ^(л^Г] XBG^ + (〃'・£W'G^}dS‘，

('(33.10)

〃⑺=一丄，{—，k”X 司党+ [〃'Х 斤]XbG^ +”.〃bGf}dS'. 4%($)

(33.11)

Их можно найти в книге Дж. Джексона [44].

Поле предполагается монохроматическим( л' — внешняя нормаль к поверхности S, функция Грина определяется формулой (32.20).

Геометрическая оптика. Дифракция Френеля. Скалярная и векторные формулы Кирхгофа (33.9) — (33.11) особенно полезны для анализа распространения коротких электромагнитных волн (для краткости ниже будем говорить о свете). Случай, когда длина волны света мала по сравнению с размерами тел и расстояниями от них до источника и точки наблюдения, называется приближением геометрической оптики.

Рассмотрим дифракцию света от точечного источника S (рис. 33.1) на краю непрозрачного экрана в приближении геометрической оптики. Будем

предполагать, что длина волны света 入 мала по сравнению с расстояниями от источника S и от точки наблюдения Р до края экрана. Эти расстояния мы будем считать конечными. В силу последнего обстоятельства нужно учитывать кривизну фронта как падающей, так и дифрагированной волн. Явления, наблюдающиеся при таких условиях, называются дифракцией Френеля. Если же точки S и Р находятся на очень больших расстояниях от экрана, то волновые фронты падающей и дифрагированной волн можно считать плоскими. Такой случай называется дифракцией Фраунгофера.

Воспользуемся скалярным вариантом формулы Кирхгофа (33.9), понимая под 屮(г ) одну из декартовых компонент электрического поля, которую обозначим через и. В качестве поверхности интегрирования примем полуплоскость yz (z > 0). Примем также обычное в теории дифракции приближение, согласно которому волновое поле на указанной плоскости совпадает с невозмущенным полем источника. При сферически- симметричном распределении излучения источника S будем иметь на плоо кости yz (ср. с (27.17))

№'"')=— exp(火斤 °),(33.12)

где А = const/ Яо — расстояние от источника до dS' (см. рис. 33.1).

Учитывая, что kR, kRQ > 1 и дифференцируя по этой причине в (33.9) только экспоненты, получим

ik и，)R \

ир(г) =/ exp(火— +) л dS\(33.13)

47T ⑹ R\ Яо Я/

или, с учетом (33.12),

一 ikA , ехр[/Аг(Я0 +8)] (R。& \,

up(z) =/ — I +—I • л dS .(33.1 За)

4行(S) 仇8 '仇 "

Мы увидим ниже, что свет при малых (по сравнению с другими расстояниями задачи) длинах волн распространяется в основном прямолинейно,

испытывая лишь сравнительно малые отклонения от прямолинейности, приводящие к огибанию препятствий (дифракции). Ввиду зтого в интеграле (33.13) существенна только малая часть поверхности интегрирования вблизи прямой, соединяющей источник и точку наблюдения. В данном случае — это часть плоскости yz вблизи начала координат. В этой области можно заменить (仇/斤。+ R/R}n，加一2, в предэкспоненциальных множителях положить Н()х a, R Ь, а в показателе экспоненты

「z， (z-z 卜

(33.14)(33.14)#и + Я а + Ь + — I一+ —I/ ~ + 一 +

(33.14)

(33.14)

2 \a b) 2 [ a b

/ sint2dt = / cost2dr/ sint2dt = / cost2drВ рассматриваемом приближении от переменных интегрирования будет зависеть только показатель экспоненты. При интегрировании по dy' воспользуемся табличными интегралами

/ sint2dt = / cost2dr

/ sint2dt = / cost2dr

Будем иметь+ 8\ ik IУ 1 \ ,2 叫？L/，Будем иметь+ 8\ ik IУ 1 \ ,2 叫？L/，(33.15)

Будем иметь

+ 8\ ik IУ 1 \ ,

2 叫？L/，

Будем иметь

+ 8\ ik IУ 1 \ ,

2 叫？L/，

(1 +，)•(33.16)(1 +，)•(33.16),/ 2ab ' +82誼

(1 +，)•

(33.16)

(1 +，)•

(33.16)

dy = V / ^^ dt = v k(a + b) 一8k(a +b)

Из (33.16) следует, что_основной вклад в интеграл вносит отрезок длиной [2\аЫ(а + Ь)]1/2 =\/Х/., где L — меньшее из расстояний а, Ь. Ввиду малости отношения 入/厶 существенная для интегрирования область имеет линейные размеры (入/厶户〃 厶《厶.Отрезок, существенный для интегрирования по dz\ имеет такой же порядок величины.

Z’ 2В-?'/+ * 2a 2bZ’ 2В-?'/+ * 2a 2b2(а+Ы2(а+ЫИз слагаемых, зависящих от z', выделим полный квадрат:

Z’ 2В-?'/

+ * 2a 2b

Z’ 2В-?'/

+ * 2a 2b

2(а+Ы

2(а+Ы

(33.17)

R\a + 而,Произведя замену переменной f = у—г , будем иметь2ab

/~23b、Г ikz2Vexp k(a^b}[2(a + b)/~23b、Г ikz2Vexp k(a^b}[2(a + b)°° I ik I z'2 Ут')?] J / exp {--'\dz

/~23b、Г ikz2

Vexp

k(a^b}[2(a + b)

/~23b、Г ikz2

Vexp

k(a^b}[2(a + b)

о I 2 [ a b

гдегде2b(a + b)2b(a + b)(33.18)

где

где

2b(a + b)

2b(a + b)

(33.19)

(33.20)(33.20)Интеграл no dt выражаем через интегралы Френеля: C(s)=\/^/ 8st2dt S(s)=\/^ J sint2dt.

(33.20)

(33.20)

С помощью (33.15),(33.20) получим

/ £"dt = f eiedt ^ f eiedt = y/^\^C(s) +^) + *(5)+目](33.21)

Собирая воедино (33.12) — (33.21), запишем поле в точке наблюдения Р:

up(z)up(z)a(1 -/)2(а + Ь)a(1 -/)2(а + Ь)exp ik(a + b 屮)!c(s) + — + i(s(s) +一

up(z)

up(z)

a(1 -/)

2(а + Ь)

a(1 -/)

2(а + Ь)

\ 2伯 + 6)川 2、2/1

(33.22)

При свободном распространении волновое поле на расстоянии а + b от источника имело бы значение

А

Uo ехр[ ik(a + 勿].(33.23)

а + b

Вводя интенсивности /(z) = | иР (z) |2Z /0 = I ^o 12» получим

(33.24)(33.24)/(Z)= %/o【(C(S)+ %)2 +(S(* + %)2)

(33.24)

(33.24)

Распределение интенсивности в области тени (z < 0) и в освещенной области (z > 0) определяется значением параметра (33.19). На границе геометрической тени, чему соответствует s = 0, имеем С(0) = S(0) = 0 и /(0)二 /о%. Вдали от этой границы, |5 I > L нетрудно найти приближенные выражения для интенсивности.

Область тени, s < 0, I s I > 1. Интегрируем последовательно по

частям:

12/1 s|12/1 s|/ е ” dt/ е ” dt1*4|s|31*4|s|312/Is I12/Is I

1

2/1 s|

1

2/1 s|

/ е ” dt

/ е ” dt

1

*4|s|3

1

*4|s|3

1

2/Is I

1

2/Is I

В получившемся асимптотическом ряду достаточно учесть первый член, что позволяет получить в области геометрической тени:

/(z) =/0/4я52.(33.25)

Освещенная область, s> 1. С точностью до первой степени малого параметра s'1 имеем

/ Jd dt = J。(1 + /) +J?

:22/s

это позволяет получить с той же точностью

8221 sin($2 - я/4)

I / e,f dt I = тг 1 一 胃

7"s

и найти интенсивность светового поля в освещенной области:

(33.26)(33.26)1 sirHs? - я/4)

(33.26)

(33.26)

/(z) = /0 1 -•

При удалении от границы геометрической тени интенсивность осциллирует бесконечное число раз, приближаясь к постоянному значению /о (рис. 33.2) •

Дифракция Фраунгофера. Рассмотрим теперь дифракцию на отверстии в плоском непрозрачном экране в условиях, когда точечный источник

〃4

Рис. 33.2.

света удален от экрана на расстояние, большое по сравнению с размером отверстия. Наблюдать дифракцию будем также на расстояниях, значительно превышающих характерный размер отверстия /. Длина волны света будет считаться малой по сравнению со всеми расстояния ми, в том числе с /. При этом падающую на отверстие волну можно считать плоской, т.е. лучи света, попадающие в разные точки плоскости отверстия — параллельными. Но за отверстием вследствие дифракции лучи разойдутся веерообразно — волновой фронт искривится. Однако при малом отношении 入〃、углы дифракции будут малы. Вычислим интенсивность дифракции в заданный телесный угол dC.

Воспользуемся общей формулой (33.13а). Как и в случае дифракции Френеля, предполагаем, что поле на отверстии равно неискаженному полю источника. Выберем начало отсчета координат в некоторой точке О в плоскости отверстия (рис. 33.3). Ввиду малости размера отверстия / по сравнению с а и b можем положить в показателе экспоненты

斤о~а+0 г7а, ” b + b ・ r'lb, (33.27)

а в предэкспоненциальном множителе 8。= а,斤 弋 Ь.

Вектор а указывает направление распространения падающей, а вектор b — дифрагированной волн. Поскольку частота волны при дифракции не меняется, ю ка /а = к0, kb/b =*— волновые векторы падающей и дифрагированной волн. С помощью (33.13а) и (33.27) получим для

Рис. 33.3.

дифрагированной волны:

ikA up = X 2я

妹(а + Ь)

X /е* •尸 dS',

ab (S)

(33.28) где q = k — к。— изменение волнового вектора при дифракции, интегрирование производится по площади отверстия.

Интенсивность света, попадающего в результате дифракции в телесный угол еШ, получится умножением \ ир\2 на площадь элементарной площадкой b2d^l, на которую угол:

女2 Д 2dl = \ир 12 62 m =——(2яка2女2 Д 2dl = \ир 12 62 m =——(2яка2I/内一‘£12北. (S)I/内一‘£12北. (S)(33.29)(33.29)Удобно ввести эффективноедифференциальное сечение дифракции do = d///0,

女2 Д 2dl = \ир 12 62 m =——(2яка2

女2 Д 2dl = \ир 12 62 m =——(2яка2

I/内一‘£12北. (S)

I/内一‘£12北. (S)

(33.29)

(33.29)

где /0 = \uQ\2 =А2/а2 — интенсивность падающего на отверстие света. Величина d/ пропорциональна потоку электромагнитной энергии дифрагированной волны внутри телесного угла d£2, а плотности потока энергии падающей волны. Поэтому дифференциальное сечение da имеет размерность площади:

女22

da =——7 I / 产 尸as' I m.(33.30)

3)2 (S)

Формула (33.30) решает задачу о дифракции плоскопараллельного пучка света на отверстии произвольной формы.

Применим (33.30) к дифракции света на прямоугольном отверстии площадью % X 2/2 при нормальном падении. Вычисляем интеграл по площади отверстия:

(S)- /j- /2д*д»

(33.31)(33.31)Обозначив углы отклонения света в направлениях осей хи/ через 6*и 3・ соответственно, будем иметь qx = к8х. qy = к8у,

(33.31)

(33.31)

Угловое распределение дифрагированного света по каждому из взаимно перпендикулярных направлений дается функцией

，(幻=sin2x/x2,

где х = kl6. Эта функция максимальна при х = О, ЛО) = 1, и быстро убывает с ростом х, испытывая колебания (рис. 33.4). Заметные отклонения света происходят только в пределах главного максимума на ynibi

8 4 27r 而，=入".

Этим условием и определяются характерные углы дифракции.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО ЗАРЯДА, ДВИЖУЩЕГОСЯ ПРОИЗВОЛЬНЫМ ОБРАЗОМ

Потенциалы Лиенара — Вихерта. Применим найденные в § 32 запаздывающие потенциалы для вычисления поля заряженной частицы малых размеров (точечного заряда), совершающей заданное движение. Пусть s(t) — радиус-вектор частицы, v(f) =Nr) — ее скорость, е — заряд. Плотности заряда р и тока / выразятся через ^-функцию Дирака:

р(，, г) =eb(L-s(f)),/ = ev(r)6(r-s(O).(34.1)

Для вычисления потенциалов удобно использовать общую формулу (32.3) с запаздывающей функцией Грина (32.17):

｛亿 t) =-/G^(r-r\t ~r，)v(rf)5(r，-s(f))dl/rdr，二

=-/(у(У)/8(У))5(У + #(t')/c - t) dt'.(34.2)

с

где R(f')==尸一s(r'). Интегрирование по объему произведено с помощью 3, 一§("). Последующее интегрирование по времени выполняем с использованием формулы (Д. IV. 10), где в данном случае g(t') = d + 斤(f )/с - г：

(34.3)(34.4)(34.5)(34.3)(34.4)(34.5)吃任')/*' = g' = 1— 〃・v/c, л = K(t')/7?(t').

(34.3)

(34.4)

(34.5)

(34.3)

(34.4)

(34.5)

Из (34.2), (Д. IV10) и (34.3) получаем ev

/(厶打= .

с/?(1 — л • v/c)

Таким же путем находим скалярный потенциал:

"(1 -〃 • v/cj

Значение Г\ при котором берутся правые части (34.4) и (34.5), должно определяться из условия д"') = 0, т.е.

с" 一 f') = \r-s(t') L (34・6) где s(f ') — координаты частицы, г — координаты точки наблюдения. Разность t —，= I夕-s(t')!/с представляет собой время распространения электромагнитного возмущения от частицы до точки наблюдения поля.

Получим из потенциалов Лиенара — Вихерта потенциалы равномерно движущейся заряженной частицы. Для этого нужно выразить знаменатель (R - R • v/c)r* через координаты частицы в момент наблюдения t. Пусть S'— положение заряда в момент генерации электромагнитного возмущения, S — его положение в момент наблюдения возмущения в точке М (рис. 34.1). Расстояние S S равно произведению скорости заряда на время запаздывания, S S = vR/c. Отрезок S'N =vK"')/c, а длина отрезка MN = =8(d) - vR(r')/c равна знаменателю выражений (34.4), (34.5). Из тре- 158

угольников MNS и SNS' находим

(〃/V)2 =「2 — (/VS/ =Г2 一(〃/V)2 =「2 — (/VS/ =Г2 一,中

(〃/V)2 =「2 — (/VS/ =Г2 一

(〃/V)2 =「2 — (/VS/ =Г2 一

—j siM。，с

где 小)一расстояние от заряда до точки наблюдения в момент г. Далее, /?sin0 = р - расстояние от точки наблюдения до линии пролета заряда. Таким образом,

(Я - V &/*，=\/户_Мp2 /n=，(心2 + p力?：

Потенциалы 4 и 屮 равномерно движущегося заряда определяются формулами (34.4), (34.5) после подстановки в них найденного выражения.

Рис. 34.1.Рис. 34.1.

Рис. 34.1.

Рис. 34.1.

Начало отсчета времени выбрано так, что при t = 0 частица находится на кратчайшем расстоянии (равном р) от точки наблюдения поля.

Напряженность поля. Вычисляем Я = V X Л, пользуясь представлением (34.2). Оператор V действует на координаты 夕，которые входят только в 6 = I г - $ I под интегралом no dr'. Выполним дифференцирование под интегралом, пользуясь формулой

ЭГ8f

▽/(/?)二一NR =— п.(34.7)

ЭЯ38

Получим

"(г, Г) =£/(vX 〃){^ 6(，+ 斤/c- П -g U"'+ А/с- f)}dJ

Ф，/〃 • v \ ,

Далее переходим к интегрированию по dg =—, dt = И办 и, dr \с 7

пользуясь правилами интегрирования выражений с 6-функциями (Д. IV. 10) и (Д. IV. 12), находим

c(v X 〃)£ d v X л

H(r, Н =—;+; ,(34.8)

сЯ2(1 - л • v/c) c(1—〃 v/c) dr cA(1-〃 v/c)

где правая часть берется при значении г', определяемом уравнением (34.6). При вычислении производной по，находим:

оМС . ,dR^)

—7-=v(O,—-г-=-〃“

(34.9)(34.9)dtdt

(34.9)

(34.9)

办任')V n(n • v) n X (л X v)

Выполнив дифференцирование в (34.8) с помощью этих формул, после приведения подобных членов получим

е(1 - i/c2)(vX〃) е {cv X л + л X [(V X V)X п]}

"=一一"-彳-+5；—— .(34.10)

cR2 (1 - л • v/c)3саЯ(1 - л • v/c)3

1 ЭЛ

Вычисление электрического поля £ = - 口屮производится анало- с dr

гичным образом: представляем скалярный потенциал в виде

9亿J- 5⑴ + 8(d)/c - H*(34.11)

и дифференцируем величины (34.2) и (34.11) под знаком интеграла. Это дает

/?2 (1 — 〃 • v/c) c(1 - 〃 • v/c) dt' Я(1 - 〃 • v/c)/?2 (1 — 〃 • v/c) c(1 - 〃 • v/c) dt' Я(1 - 〃 • v/c)

/?2 (1 — 〃 • v/c) c(1 - 〃 • v/c) dt' Я(1 - 〃 • v/c)

/?2 (1 — 〃 • v/c) c(1 - 〃 • v/c) dt' Я(1 - 〃 • v/c)

Последующее дифференцирование no t' с помощью формул (34.9) позво* ляет получить:

е(1 - V2 /с2 )(л -v/c) еп X [(л - v/c) X v]

Е #2(1-勿 т/с)?с*(1• v/c) з(34.13)

В формулах для напряженностей поля (34.10), (34.13) все величины, входящие в правые части, берутся в запаздывающий момент времени г', который определяется из уравнения (34.6). Отметим некоторые характер* ные черты полученных напряженностей поля. Сравнение (34.13) с (34.10) показывает, что они связаны соотношением

(34.14)(34.14)Я( г, "=〃(，)X £亿 0

(34.14)

(34.14)

т.е. вектор Я перпендикулярен Е и линии, которая соединяет заряд в запаздывающий момент времени с точкой наблюдения (но вектор £ имеет проекцию на эту линию). Каждая из напряженностей состоит из двух слагаемых: первое изменяется в пространстве как Я'2 и не содержит ускорения ззряда, а второе пропорционально ускорению v и убывает как 8T. Слагаемые первого типа образуют квазистационарное поле, так как оно присуще и равномерно движущемуся заряду, а закон убывания с расстоянием — такой же, как у статического поля. Слагаемые второго типа описывают волновое поле излучения, поскольку оно медленно спадает с расстоянием и создает конечный поток электромагнитной энергии через замкнутую поверхность сколь угодно большого радиуса, окружающую частицу. Поле излучения возникает только при ускоренном движении заряда (v W 0).

Спектральное разложение потенциалов Лиенара — Вихерта. В случае апериодического движения частицы используем представление (32.28), положив в нем

/(/, 7)= ev⑺& (r'-s⑺).

Проинтегрировав сначала по dV', получим

4з⑺

е 00 V(т)ехр(/зт + ；з#("/с) — j——-dr.

«⑺

(34.15)

фурье-образ скалярного потенциала запишется в виде

Я(т)Я(т)(34.16)(34.16)то ее поле(л — целое)то ее поле(л — целое)8ехр〃37 + 7со/?(т)/с) 9з⑺=e/

Я(т)

Я(т)

(34.16)

(34.16)

то ее поле(л — целое)

то ее поле(л — целое)

Здесь 8(7)= |r-s(r)|.

Если движение частицы периодично с периодом Г = 2я/соо, может быть разложено в ряд Фурье. Гармоника с частотой лсоо выражается интегралом

е т v(r),

Ап(г)=——/exp[/nw0(T- Л(т)/с)]</т.(34.17)

сТ 0 Я(т) Скалярный потенциал ^л(г) отличается от (34.17) отсутствием множителя v(r)/c.

Глава VIII

ИЗЛУЧЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

勺 35. ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ

Угловое распределение излучения. Как уже отмечалось, на больших расстояниях от частицы выражения для напряженностей поля упрощаются; остается только волновое поле:

Я = л Х£.Я = л Х£.(35.1)(35.1)еп X [(л - v/c) X v] 02"(1-〃 ・ V/C)3

Я = л Х£.

Я = л Х£.

(35.1)

(35.1)

Вычислим поток энергии внутри телесного угла сШ на больших расстоя ниях от частицы:

d/ =歹•〃絕сЮ =二 £2 MdQ,(35.2)

или, подставляя (35.1),

dl 叫〃 X ([〃 一 v/c) X 汕2

,25.3) с/С 4тгс3(1 — л • v/c)6

где все величины в правой части берутся в запаздывающий момент J.

Поток энергии на единицу телесного угла dl/dQ. зависит от Я только через временной аргумент У = г — 斤(У)/с. Это означает, что поток энер> гии через площадки R'dC внутри выбранного телесного угла d& находя* щиеся на разных расстояниях от частицы, в соответствующие моменты вре* мени (с учетом конечной скорости переноса энергии) будет одинаковым — электромагнитные возмущения распространяются от генерировавшей их заряженной частицы на бесконечность. Они образуют поле излучения, которое, возникнув, отрывается от своего источника. Величина (35.3) и дает поток энергии излучения, распространяющейся внутри единичного телесного угла.

Квазистационарное поле (т.е. слагаемые в (34.10), (34.13), не содержа* щие V и пропорциональные Я""2) таким свойством не обладает. С ростом Я

16116111. М.М. Бредов

161

161

поток энергии квазистацмонарного поля внутри данного телесного угла убывает как /?'. Следовательно, квазистационарное поле остается все время связанным с частицей и не создает потока на бесконечности.

Проведем анализ углового распределения излучения (35.3) для некоторых частных случаев.

Нерелятивистская частица, и <с. Пренебрегая членами порядка v/ct получим из (35.3)

^П乐屮泊二暑^П乐屮泊二暑(35.4)(35.4)

^П乐屮泊二暑

^П乐屮泊二暑

(35.4)

(35.4)

где 6 — угол между ускорением (в запаздывающий момент У) и направлением наблюдения. Излучение распределено симметрично относительно направления v и максимально в направлении, перпендикулярном v.

Ультрарелятивистская частица, 7 = (1 — v2/c2} ",/2 А 1, ускорение направлено вдоль скорости: v || v. Обозначая через 0 угол между ли v,получаем из (35.3)

史 电:犯^- .(35.5)

dC 4яс3[1 — (u/fc)cos0]6

Высокая степень знаменателя, весьма малого при cosB 七 1, приводит к тому, что почти все излучение сосредоточено в области малых 6 (хотя при 0 = 0 интенсивность обращается в нуль). В наиболее интересной области малых углов произведем разложения sin20 О2 f cos 6 = 1 — О2/2. Учитывая, что V =с, получим

dl 16е2 V2 71о(70)2

忘二М ду市•空6)

Излучение сосредоточено в конусе с углом раствора порядка нескольких 1/1， Это свойство излучения ультрарелятивистских частиц объясняется релятивистским преобразованием углов и уже бьто отмечено в § 2.

Ультрарелятивистская частица, ускорение перпендикулярно скорости: у 1 V. Простое преобразование числителя (35.3) приводит к формуле

dl = ё2 [ 卩 _(1 一~左2)(幫力2) сШ 4яс3 ( (1 - л - ^/с)4(1 -л • v/c)6 广

(35.8)(35.8)которая после введения угла 6 между л и v записывается в виде d! = е2 у2 (1(1 — ~Н)dn2 6 cos2屮

(35.8)

(35.8)

而一^[?一(心)8疝4[1一(心)8$6]6

Здесь9 — угол между плоскостями (% 〃)и (v, v).

Распределение (35.8), как и (35.5), сконцентрировано в направлении вперед. При малых 8 оно имеет вид

d/ 4e2v2 78 Г 4y202cos2<^]

с/П яс3(1+7202)4(1+7202)2 J'“59

Выражение в скобках, как и должно быть, неотрицательно ни при каких значениях углов. Направления векторов поля в волновой зоне (т.е. поляри-

зация волны) определяются формулами (35.1) и могут быть проанализи- рованы для различных случаев движения частицы.

Потеря энергии и импульса заряженной частицей. Вычисленная в § 31.1 величина d〃dC представляет собой поток электромагнитной энергии внутри единичного телесного угла, который может измерить неподвиж- ный в лабораторной системе наблюдатель. Она отличается от скорости потерь энергии частицей за счет излучения в единичный телесный угол в данном направлении —/&/"сШ,「де dt' — интервал "запаздывающее" времени. Очевидно, что порция dldt электромагнитной энергии, излучен* ной внутри телесного угла <Ш и проходящая мимо наблюдателя в интерва* ле времени от Г до f + dt, испущена частицей в интервале между t9 й У + dt1. Поэтому излученную частицей энергию —</л& нужно отнсх:ить именно к интервалу времени dtf и к телесному углу сШ, который совпа* дает с телесным углом наблюдателя, так как оба определены в одной (лабораторной) системе отсчета. Интервалы времени dt и dt9 также оба определены в лабораторной системе, но связаны соотношением

dr = ^1 --5^y^)dr\ (35.10) вытекающим из (34.6). Приравнивая энергию, испущенную частицей за время ", й энергию, прошедшую мимо наблюдателя за время dr, будем иметь с помощью (35.10)

Величина dl/dQ, согласно (35.3) зависит от аргумента t1. Это соотношение устанавливает связь между потерей энергии частицей и интенсивностью излучения, регистрируемой наблюдателем.

Проинтегрировав (35.11} по всему телесному углу, получим полную (или суммарную по всем направлениям) потерю энергии излучающей частицей:

Как видно из (35.12). она не совпадает с полной интенсивностью

Величина —d&/“ является более удобной характеристикой излучения, чем полная интенсивность /, так как она релятивистски инвариантна. Чтобы в этом убедиться, сравним скорость потери энергии частицей в двух системах отсчета: мгновенно сопутствующей So, в которой частица в данный момент покоится, и лабораторной S, в которой частица имеет скорсють v. В системе So интенсивность излучения (совпадающая со скоростью потерь энергии -d8()/d〃)дается формулой (35.4). Поскольку она — четная функция угла, то потери импульса частицей в этой системе не происходит, "о = 0.

Рассмотрим энергию —d&0, излучаемую частицей в сопутствующей системе за время dtj = dr. С помощью преобразований Лоренца, учитывая, что

(35.13)(35.13)(35.14)(35.14)

(35.13)

(35.13)

(35.14)

(35.14)

dp。= О, получим потерю энергии в системе S: (24 1/2

1 —.

Она происходит за время dt1 = dr/11—j . Отсюда для скорости

потерь энергии находим'° '

-d&/dt‘ = -%/",

что и доказывает релятивистскую инвариантность этой величины. Полная интенсивность / таким свойством не обладает.

Скорость потерь энергии (35.13) можно выразить через v и v, вое поль* зовавшись (35.3) и проведя интегрирование по углам. Но более простой путь — релятивистское обобщение скорости потерь энергии —d8q/dT в мгновенно сопутствующей системе, основанное на релятивистской инва< риантности этой величины. С помощью (35.13), (35.12) находим

-d8A#' = J (dfQ/dn}dn.

Но d%/da — это интенсивность излучения (35.4) нерелятивистской части* цы. Проинтегрировав (35.4) по телесному углу, получим

-dg/dt' = 2/3 心‘)/3。3,

где у — ускорение в такой системе отсчета, в которой и < с. Это важное соотношение называется формулой Лармора.

Релятивистское обобщение формулы Лармора очевидно: У следует заменить релятивистским инвариантом, переходящим при v 0 в v2 . Таким инвариантом является взятый с противоположным знаком квадрат 4-ускорения — w%*. При v -* 0 временная компонента w" = duk/dr обращается в нуль, а пространственная переходит в v. Таким образом.

Определим теперь потерю импульса излучающей частицей. В сопутствующей системе, как уже отмечалось, dp。= 0. В лабораторной системе с помощью преобразования Лоренца (5.15) находим:

Отнесем зту потерю к "времени частим»' dtr в лабораторной системе: dp V /d£o \

v2/c2 dt

Но 7 ] — v”c"dt' = d? — дифференциал собственного времени частицы, поэтому с учетом (35.13) получаем простую связь между потерями части* цей энергии и импульса на излучение:

(35.17)

Эта формула справедлива при любой скорости частицы.

Соотношения (35.15), (35.17) можно записать в единой релятивистски ковариантной форме:

(35.18)

Выразим потерю энергии при произвольной скорости частицы через трех мерные величины. Вычисляем 4-ускорение,

к duk d ,4 V g 2 - . a v(v v)\

и находим его квадрат:

wkwk =~Т6[*2 -(V X V)2 Л2].

Это позволяет записать релятивистское обобщение формулы Лармора через трехмерные величины:

d&2е2)б『 (V х V2 )2

(35.19)(35.19)— I V2 — “』 I I

(35.19)

(35.19)

次'3М L。2

Если ускорение частицы создается внешним электромагнитным полем, его можно выразить через напряженности Е, Я Из уравнения движения частицы, записанного в трехмерной форме, имеем

m一扑+呼卜2y =(爲/(e+}xН『

Комбинируя последние два равенства, находим величину v2 — (v X i)2/c2 и получаем потерю энергии в виде

d& 2е4у2Г/11 _d& 2е4у2Г/11 _(35.20)(35.20)

d& 2е4у2Г/11 _

d& 2е4у2Г/11 _

(35.20)

(35.20)

Ультрарелятивистская частица (у > 1) теряет энергию на излучение со скоростью, пропорциональной квадрату ее кинетической энергии и кв^дра* ту напряженности внешнего поля. Исключение составляет случай/ когда частица движется строго вдоль электрического поля при & = 6. При этом ускорение направлено вдоль скорости частицы, а скорость потери энергии

2dE23*32dE23*3(35.21)(35.21)

2dE2

3*3

2dE2

3*3

(35.21)

(35.21)

не зависит от самой энергии. Если же £ = 0, а Я ¥= 0, то ускорение перпенди* кулярно скорости и

/ d&\_ 28472H2d

(35.22)(35.22)I不丿丄~3m%5~

(35.22)

(35.22)

При одинаковых напряженностях поля (£ =斤)отношение

(35.23)(35.23)S&/")丄 (d&”『

(35.23)

(35.23)

велико для ультрарелятивистской частицы, если только составляющая скорости и丄，перпендикулярная магнитному полю, не слишком мала. Этот результат показывает, что при произвольном ультрарелятивистском движении частицы главную роль играет ее излучение за счет поперечной составляющей силы.

Спектральное распределение излучения. Рассмотрим расстояния, большие по сравнению с размером области движения частицы и с длиной волны ее излучения:

r»s(f), г » 入. (35*24)

В этой области, называемой волновой зоной, векторный потенциал (34.15) можно упростить. Представим 斤(7) а виде

(35.25)(35.25)#(7)= |r~S(T)| 弋 Г-Л ■ 5(Т)Г

(35.25)

(35.25)

где л = г/г — единичный вектор, $(т) - радиус-вектор частицы. В знаменателе под интегралом (34.15) можно ограничиться нулевым приближением, Н(т) % г, с точностью до членов s/r < 1. Но в показателе экспоненты следует учесть и слагаемое п ' s(t} , поскольку произведение 3s(т)/с =2瘾(丁)/入 не обязано быть малым.. Следующие члены разложения (35.25), имеющие порядок s2/г и меньше, пренебрежимо малы на больших расстояниях.

Введя обозначение А =《м/t для волнового вектора излучаемой волньь получим из (34.15)

(35.26)(35.26)а ехр(7/гг) «

(35.26)

(35.26)

4з&)= — J V(力ехр(/зт—次 $(7))d7.

Это — расходящаяся сферическая волна, ее амплитуда убывает вдали от источника как 厂‘.

При вычислении напряженности магнитного поля 凡=rot 儿 на больших расстояниях от частицы достаточно дифференцировать только экспоненциальный множитель, так как дифференцирование знаменателя приве* дет к членам относительного порядка (Ат )"丨=Х/2яг < 1. В итоге получим

(35.27)(35.27)% = / X 4з .

(35.27)

(35.27)

Вычисляя затем напряженность электрического поля из уравнения

Максвелла для амплитуд Фурье几=rot 几，аналогичным образом

будем иметь

(35.28)(35.28)£з = 〃з х 幫.

(35.28)

(35.28)

Из (35.27), (35.28) следует, что векторы Е^, Я^； взаимно перпендикуляр* ны и перпендикулярны направлению распространения л волны. Ранее, в § 27, 28, эти свойства поля излучения уже были отмечены для плоских волн. Сферическая волна на больших расстояниях от источника в малых областях пространства близка к плоской, чем и объясняются отмеченные ее свойства.

Вычислив Я^ и Е3 с помощью (35.27), (35.28), получим

/ео) ехр(/7сг) 8

几 =——；J л X (л X v(7))exp(/37 — ik ^T))dr,

СГ—oo

(35.29)

，ез exp(ikr) ~

〃з = —- / л X ¥(т)ехр(/сот - ik F(7))d7.

Фурье-компоненты поля излучения (35.29), в отличие от (35.1), не содержат ускорения. Но в этом нет противоречия, так как подынтегральные выражения (35.29) можно преобразовать путем интегрирования по частям и использования тождеств типа

d л X (л X у) л X ((л - y/c) X v]

dt C(1 - л • v/c) C^(\ —n • v/c)2'

таким образомf чтобы в них входило ускорение частицы. При таком преобразовании f так же как и при записи интегралов (35.29), предполагается, что излучение (т.е. ускоренное движение частицы) длится конечное времяг исчезая на±°°.

Интенсивность излучения на заданной частоте з в данном направлении п

равна произведению вектора Пойнтинга 7 =—丨 ％ | п на элемент поверх* 8я

ности сферы большого радиуса, окружающей частицу:

=—|〃3『宀(35.36

<Уз т 8я

Эта величина усреднена по периоду изменения поля. Полная интенсивность излучения / получится в результате интегрирования (35.30) по всему телесному углу и по всем частотам от — 00 до + °°. Поскольку 〃一3 =久，то при вычислении полной интенсивности можно удвоить интеграл и интегрировать только по положительным частотам:

8 d3с

/= J— / —\Н^ \2r2d^(35.31)

о 2я4я

(ср.с (29.15)).

Величина под интегралом (35.31) имеет смысл дифференциальной интенсивности излучения на заданной частоте и з заданном направлении, отнесенной к единичному телесному углу и к единичному интервалу частот. Обозначив дифференциальную интенсивность через /皿，будем иметь с помощью (35.29)

(35.32)(35.32)厶з = —-I / 〃 X v(r)exp(/3T -泳・s(7)) dr. 87rJ _g

(35.32)

(35.32)

Эта формула решает задачу о спектре и угловом распределении излучения заряженной частицы при ее заданном движении.

Излучение при нерелятивистском движении частиц будет детально рас* смотрено в § 36. Здесь мы выясним качественные особенности спектра излучения ультрарелятивистских частиц. Выше было показано, что ультра， релятивистская частица излучает в основном вперед, вдоль скорости v в узкий конус с углом раствора ^0 1/7 <1. Как оказывается, в зависимсюти

от свойств внешнего поляг в котором движется частица, можно выделить два характерных случая формирование спектра излучения.

Полный угол отклонения частицы во внешнем поле велик по сравнению с углом излучения 1/у. С таким случаем мы имеем дело, например, при излучении частицы в магнитном поле. В данном направлении п частица излучает с малого участка траектории, на котором направление скорости изменяется на угол порядка 1/7. Длина этого участка /coh p/у, где р — мгновенный радиус кривизны, играет роль длины когерентности (или дли* ны формирования излучения).

Пусть на длине Loh внешнее поле F меняется слабо:

p\^F\h<F,

Тогда скорость и ускорение частицы можно считать постоянными на такой длине. Далее, согласно (35.23), главную роль играет составляющая силы, перпендикулярная скорости. Поэтому в расематриваемых условиях излучение близко к тому, которое испускает частица, движущаяся по окружности радиуса р.

Зная длину формирования излучения, можно найти интервал частот, определяющий спектральный состав излучения. Согласно (35.29), за время излучения т Q，coh/u = pip фаза волны с частотой з изменится на

△9 = зт - 〃 • А$(т)з/с

Здесь Д$(т) - смещение частицы за время т. Поскольку угол между л и v не превышает 1/у по порядку величины, то

л • Д^т)кт р

сс7С

с точностью до членов порядка 1/73. Оценивая приращение фазы, получим порядок величины:

зр / к \ зр

) П .

с /21 с

Излучаться могут волны только таких частот, для которых 山《1; при % > 1 волны внутри конуса излучения имеют большие сдвиги фаз и гасят друг друга. Интервал излучаемых частот определяется условием

△з^3с =——)з.(35.33)

Р

При з А Зр интенсивность излучения сильно (во многих случаях экспоненциально) уменьшается.

Если частица движется в однородном магнитном поле перпендикулярно его напряженности, то, согласно результатам § 11, р = ср/еН % тс2у/еН. При этом

еН .

Зс = 7 .(35.34)

тс

Критическая частота Зс пропорциональна квадрату энергии частицы и первой степени напряженности магнитного поля. Движение в магнитном поле строго периодично, поэтому спектр ссютоит из дискретных линий, расстоя* ние между которыми равно частоте вращения релятивистской частицы С = есН出=еН/тсу, При 7 > 1 спектр становится квазинепрерывным. Максимум интенсивности излучения приходится на частоты порядка з「. 168

Полный угол отклонения за все время пролета частицей внешнего поля мал или порядка угла излучения 1/у. Все излучение происходит в узкий конус и определяется всей траекторией частицы (точнее, тем ее участком, на котором частица испытывает ускорение). Пример - излучение ультрарелятивистской частицы при рассеянии на малый угол W 1/7)в кулоновском поле ядра.

Пусть внешнее поле существует в области размером а (это может быть, например, радиус экранировки кулоновского поля). Частица будет испытывать ускорение в течение времени М = а/с. Для неподвижного в лабораторной системе наблюдателя этот процесс будет длиться в течение времени

At , /〃 • а а

—； At ^11I — = —；一г .

At \ с / c h%2

Спектральный интервал оценим с помощью ссютношения (29.24): Аз 弋 % 1/Дг %су2/а. Спектр в данном случае простирается вплоть до частот

(35.35) а

Характерная частота, как и (35.34), пропорциональна квадрату энергии частицы.

ИЗЛУЧЕНИЕ Н ЕРЕ Л ЯТИВИСТС КОЙ СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

Электрическое дипольное излучение. Исследование излучения упрощается ,если время распространения электромагнитных возмущений в пределах излучающей системы мало по сравнению с характерным временем движения заряженных частиц в системе:

〃с《匚(36.1)

где / - размер системы, Г - время, за которое распределение зарядов существенно изменяется. При периодическом движении Г — это период, поэтому неравенству (36.1) можно придать форму

，《入・(36.2)

здесь 入—длина волны излучения. Наконец, ЦТ^ и — характерная скорость частиц, и условие (36.1) сводится к требованию, чтобы указанная скорость была нерелятивистской:

Проанализируем поле излучения системы зарядов, удовлетворяющей условиям (36.1) — (36.3). Как мы видели в предыдущем параграфе, для этого достаточно вычислить векторный потенциал в волновой зоне (г > X) и учесть лишь члены, обратно пропорциональные расстоянию г до системы, так как только они дают вклад в излучаемую системой энергию.

Исходим из запаздывающего потенциала (32.22) и разлагаем | г - г 1 | в ряд по отношению размеров системы к расстоянию г: \ r - rf \ - п г г. Представим плотность тока, стоящего под интегралом, в виде разложения

где точками обозначены производные по времени. В знаменателе же подын* тегрального выражения оставляем член нулевого приближения, заменяя |г -，'| на г.

Взяв из разложения (36.4) первый неисчезающий член, будем иметь

4(小)=/ //《, г-二)

Далее пользуемся тождеством

а 7 = j • ▽& .，)= ▽'•[№ —)] —а •，(▽'•/),

где а - постоянный вектор, и получаем

а • J7 卜,г^dV' ~ —а ' f г ^ j dV'-

Здесь мы использовали уравнение непрерывности div/ + 3pRt = 0. Вспоминая определение дипольного момента (21.5) z можем записать

J7, J — HCN 二方化-r/c}

(36.5)(36.5)p(r -r/c)

(36.5)

(36.5)

Л (г tj

cr

При вычислении напряженностей поля следует удерживать только члены порядка Lt которые получаются при дифференцировании аргумента 方 (но не знаменателя):

д X лг

Я = rot Л = —~ , л =— .(36.6)

Электрический вектор Е можно выразить через магнитный вектор Н с по* мощью формул (27.13) для плоской волны, поскольку сферические волны в волновой зоне локально близки к плоским:

(方 X л) X л

(36.7)(36.7)Е = НХп =』「 с2г

(36.7)

(36.7)

Гармоники Фурье напряженностей поля, согласно (36.6), (36.7), выражаются через фурье<гармоники производной дипольного момента 九=_32%：

Ез (г) - —

(Рз X л) X л

"3g=

з' Рз X 幫

(36.8)

С помощью (36.6) — (36.8) легко вычисляются интенсивность излучения на заданной частоте з в данном направлении 幫，

сСО4

/Ww = —7 Re (r2/i-(EwX^)]二—з 1РзХ〃|2，(36.9)

8я287r 2 匸33

а также интенсивность излучения в единицу телесного угла,

dl с1 AsiMe

——=—л • (EX “)产=——不一・，(36.10)

dQ 47r4小

,〃2方 2

/ = f ~ m = ~"г .

m3c3

(36.11)

Последняя величина /щя одной излучающей частицы ⑺ =ег) переходит в формулу Лармора (35.14).

Рассмотренное излучение называется электрическим дипольным излучением, поскольку все величины выражаются через производные от электрического дипольного момента. При равенстве нулю дипольного момента или при его постоянстве электрическое дипольное излучение отсутствует, и для расчета поля излучения нужно учесть следующие члены разложения (36.4). Такая ситуация возникает, например# в случае системы заряженных частиц с одинаковым отношением еа/та 工 т?:

р = S еага = “ ^ marQ = r]R S 牝， ааа

Здесь R —„радиус-вектор центра масс; в отсутствие внешних сил * = Р = =const, 衣=0, следовательно дипольное излучение обращается в нуль.

Квадрупольное и магнитно дипольное излучение. Второй член разложения в правой части (36.4) содержит по сравнению с первым членом, малый множитель г !сТ W 〃入《К Преобразуем его с помощью тождества

丄価•/•'!/= — [(л г )/+ (л • j，] + —，Xj) X 〃.

с2с2с

Подстановка этого выражения в (32.22) дает векторный потенциал вида

m X л 1 Э г,

4= + —7fUn-r}j^(nj)r,]dV,.(36.12)

cr 2c2r dr

Здесь th =J [rf \j] dV* — производная от магнитного момента системы 2c

по времени. Второй интеграл в (36.12) преобразуем с помощью тождества

fBdV= -J>div6 叱(36.13)

которое легко проверяется путем интегрирования по частям, причем В — вектор, отличный от нуля в конечной области пространства, а интегриро* вание производится по всему пространству.

С помощью указанного тождества находим

f (л r}j dV' = — J r{n • rWMjdV* - J>'(幫 ' j}dV\

Использовав уравнение неразрывности div/ = - dp/dtr запишем векторный потенциал (36.12) в виде

w X л 1Э2,

4 =+ —— — fr(n /)р dV\(36.14)

cr2cI 3产

Интеграл в (36.14) можно записать через электрический квадрупольный момент. Введя тензорные обозначения, будем иметь:

/xZ(〃・')pW'= ^ п0 f (ЗхаХ^ -r2bQ0)pdVf +

(36.15)(36.15)+ — 〃а / р尸 dV‘ = — Q^n& + — na f pr2 dV\ 333

(36.15)

(36.15)

В итоге находим векторный потенциал в волновой зоне:

4= +/рк Г- — )г 2е/у\(36.16)

сг 6с г 6с г \ с /

Здесь

4 =0a0 拠，(36.17)

а 4。— тензор квадрупольного момента.

При вычислении напряженностей поля последнее слагаемое в (36.16) не дает вклада, поле излучения выражается только через магнитный диполь* ный и электрический квадрупольный моменты:

Я=>4"|(тХл)Хл+^- О'Хл|,

(36.18)

Е = X 而 + — (Q X л) X л ].

С2r I бСJ

Обратим внимание на симметрию поля излучения электрического и магнитного диполей: поле магнитного диполя получается из поля электри* ческого диполя заменой p->m, Е ->Д Hj^ — Е. При гармоническом движении зарядов 0 = - о^р, т ~ — <^т, Q = io^Q, поэтому интенсивности электрического и магнитного дипольных излучений пропорциональны со4, тогда как электрическое квадрупольное излучение пропорционально со6.

В заключение вычислим полную интенсивность излучения системы, имеющей электрический квадрупольный момент。邱 и магнитный диполь* ный момент т. С помощью (36.18) находим:

/ = /!(тХл)2+—(QX л)2 - — m-(QX л)|с/£2. (36.19) 4 яс3 I 36с2 Зс )

Интегрирование здесь производится по всем возможным направлениям вектора п. Записывая

(m X幫户=而2 -(m•〃产，

т • (QX л) = еа0)讲а °%〃〃乂 尸)，(36.20)

(Q х 〃)2 =脸。£ 牛 Л7 - ％ Одр 〃а 〃0 〃丛 Пр, убеждаемся, что интегрировать нужно произведения компонент единичного вектора.

При вычислении соответствующих интегралов удобно использовать их тензорные свойства. Так, интеграл /〃a〃0dC/47r является трехмерным тензором II ранга, не зависящим от ориентации координатных осей (поскольку по углам проинтегрировано). Существует единственный незави*

(36.21)(36.21)симый тензор с такими свойствами — это единичный тензор 6呐 поэтому

(36.21)

(36.21)

-/ aа。0</£2 =入5。6. 4я

Свертывая правую и левую части по паре индексов, находим 入=1/3. Ана> логичным образом находим

11

"/ 尸仪尸6〃М ^р(/С =(ба^б从》+6&从5即 +bau),

(36.22)(36.22)47r15

(36.22)

(36.22)

1

/ na № ny dC = 0. 47r

Подставляя (36.20)-(36.22) в (36.19), получаем

(36.23)(36.23)/ =二^ m + —二%. ЗМ 180с°

(36.23)

(36.23)

По сравнению с интенсивностью (36.11) слагаемые (3623) содержат ма* лый множитель UM2. Поэтому они будут играть существенную роль только в отсутствие электрического дипольного излучения *)•

Поле на близких расстояниях. Если расстояние до системы движущихся зарядов удовлетворяет условию

1«УХ,(36.24)

то вычисление поля, как и в волновой зоне, упрощается, но поле на таких расстояниях носит существенно иной характер и называется квазистацио- парным. Условие (36.24) означает, что время распространения электромагнитного возмущения до точки наблюдения r/с мало по сравнению с хараю терным периодом движения зарядов Х/с = Л поэтому при вычислении потенциалов можно пренебречь запаздыванием:

/ J) ■// J) ■/Р，/)\г-г\Р，/)\г-г\dV1,dV1,

/ J) ■/

/ J) ■/

Р，/)

\г-г\

Р，/)

\г-г\

dV1,

dV1,

(36.25)

/(rj)= - / r dV c \r -r I

Поле определяется мгновенными распределения ми зарядов и токов в системе.

Разложение скалярного потенциала в ряд по отношению Иг производит* ся таким же образом, как и в статическом случае (см. § 21). Ограничи*

*) Казалось бы, что при р * 0 и при необходимости учесть члены порядка (〃入『 следует взять сумму выражений (36.11) и (36.23) . Но недавно было выяснено, что это не так [104]: наряду с указанными членами в интенсивность излучения войдет

ваясь дипольным приближением, будем иметь

(36.26)(36.26)(36.27)(36.27)、Q Р(Г)Т

(36.26)

(36.26)

(36.27)

(36.27)

9仇6 = 7 + -万一，

где Q — полный заряд системы,

*) = f грir\ t)dVf

-ее электрический дипольный момент.

При разложении векторного потенциала возникают некоторые отличия от статического случая. Производя разложение, как в § 25, получим с точностью до магнитно -дипольного члена

A(r,t)^— f j(r'j)dC +」f(r- r)j^f r)dV\ crcr

Второй член преобразуется к потенциалу магнитного диполя (25.9) • Первый же член для нестационарной системы не обращается в нуль:

f /(r\ t)dVf = - // div'/ (r\ t)dV' = — /r p(r\ t)dVf -p(t).

(36.28)(36.28)Таким образом, векторный потенциал принимает вид 方修 m(t) X л 4(r, t) = + ：—.

(36.28)

(36.28)

crг3

Ему соответствует магнитное поле

方X fЯ = rot Л =—cr方X fЯ = rot Л =—cr3r(m •『) + 3r(m •『) + 55т7т7(36.29)(36.29)

方X f

Я = rot Л =—

cr

方X f

Я = rot Л =—

cr

3r(m •『) +

3r(m •『) +

5

5

т

7

т

7

(36.29)

(36.29)

Последние два членаПоследние два членаописываютописываютполе магнитного диполя. Первый же член

Последние два члена

Последние два члена

описывают

описывают

представляет собой non% создаваемое элементарным током. Пусть, например, p(t) = q{t)l, где / — расстояние между двумя одинаковыми по абсо* лютной величине зарядами диполяr a q(t} — величина положительного заряда. Тогда ток вдоль отрезка /, соединяющего заряды, J{t) = g(t). Магнитное поле за счет первого члена в (36.29)

%s=-"戸

представляет собой вычисленное по закону Био - Савара поле элементарного тока, текущего в отрезке /.

Комбинируя приближенилf использованные в п. 36.1 — 36.3, нетрудно вычислить поле во всей области г А /, в том числе в переходной зоне г * 入. Но мы не будем приводить здесь соответствующие, довольно громоздкие формулы.

364 Примеры излучения простейших систем.

Элементарный электрический диполь. Такая система часто встречается в физике и технике и может быть реализована многими способами, например, в виде короткого (/《入)отрезка провода, возбуждаемого перемени «нм током J(t) s Josinu)t. Для наглядности предположим, что элементарный диполь представляет собой две одинаковые приводящие сферы, соединенные проводником длиной /. 8 системе возбуждены электрические колебаниях в результате которых заряды на сферах + д и —Q периодически меняются: Q(r) = qocbswt. Это вызывает колебания дипольного момента р = qQl coswr и ток в проводнике Лг) = Qou>sina；r. Энергия, диссипируемая

в проводнике и расходуемая на излучение, восполняется внешним источником (генератором электромагнитных колебаний).

Ориентировав диполь вдоль оси z. получим с помощью (36.6) , (36.7) отличные от нуля компоненты поля в волновой эоне:

з2р№ ' г/с)з2р№ ' г/с)sin 6.sin 6.(36.30)(36.30)

з2р№ ' г/с)

з2р№ ' г/с)

sin 6.

sin 6.

(36.30)

(36.30)

Как следует из (36.30), поле представляет собой расходящуюся сферическую волну с линейной поляризацией. Излучение максимально в экваториальной плоскости (8 = = я/2),а его суммарная по всем направлениям интенсивность дается формулой (36.11):

(36.31)(36.31)/ = 2з”/зсЗ

(36.31)

(36.31)

Средняя по времени интенсивность, будучи выражена через дипольный момент, пропорциональна четвертой степени частоты: / = з”"ЗсЗ, где р0 = %/ — амплитуда дипольного момента. Но если интенсивность выразить через силу тока, она оказы

вается пропорциональной квадрату частоты: / =з2，/?/ЗсЗ.

Магнитный р о т а т о р. Пусть тело, имеющее магнитный момент т, равномерно, с частотой з вращается вокруг осиг составляющей угол а с вектором т. Найдем угловое распределение и полную интенсивность излучения, усредненные по вращению тела.

Напряженности поля в волновой зоне вьнисляем по формулам (36.18), где полагаем 0= 0 ввиду отсутствия квадрупольного момента. Угловое распределение излучения

^- = — г2Е2 (г) =1 ; I л X m р.

g 47r4яс3

Для вьнисления правой части используем уравнение движения магнитного момента m = w X т. Из него получаем

前=зХ {зХт) = — з^/я丄，

где Ш£ — составляющая, перпендикулярная оси вращения. Таким образом,

(л X т)2 = 3, (mj - (л • /я丄尸］,

или

(л X m)2 = w4mj(1 — sin30 cos2 (зГ —屮))，

где 8 — полярный угол, отсчитываемый от направления Z3; зГ и 屮 一азимуты векторов m丄 и л в плоскости, перпендикулярной з.

Усредняя по времени, находим окончательно:

(36.32)(36.32)dl34 m2 sin2 a ,,,

(36.32)

(36.32)

= —(1 +cos20). d&l 8 яс3

Интегрирование по телесному углу дает

/ = 234 m 2 sirPa/ЗсЗ.

Модель магнитного ротатора часто используют для объяснения электромагнитного излучения нейтронных звезд — пульсаров. Но механизмы излучения пульсаров намного более сложные, чем рассмотренный выше, так как звезда вращается в плазме и имеет плазменную оболочку — магнитосферу.

ИЗЛУЧЕНИЕ МАКРОСКОПИЧЕСКИХ ТЕЛ. АНТЕННЫ

Вектор Герца. Если излучателем является макроскопическое тело размерами 入,то разложение поля излучения по мультиполям неприме* нимо, и следует пользоваться точными выражениями (32.22), (32.23) для запаздывающих потенциалов. Количество неизвестных функций можно уменьшить, если вместо потенциалов 4(rj) и 歹仇 t), связанных условием Лоренца (18.3), ввести одну векторную функцию 2忆 t), через которую

выражаются электромагнитные потенциалы:

(37.1)(37.1)1 8Z

(37.1)

(37.1)

9 = — div Z, А .

с Эг

Величина Z называется вектором Герца или поляризационным потенциалом.

Распределение зарядов и токов электронейтральной системы при этом целесообразно описывать с помощью одной векторной функции P(r, t) посредством соотношений

ЭР

p = -divP, ——・(37.2)

Р(，t) носит название вектора поляризации (ср. с вектором поляризации вещества, введенным в § 2,ч. Н книги). Связь зарядов и токов (37.2) с вектором поляризации обеспечивает выполнение уравнения непрерывности: div j + ap/8f = 0. Полный заряд ограниченной системы при этом должен быть равен нулю,

” / р dV = — / divPdV = f P • с® = 0, Pf 8 P f 8 S f 8

а полный электрический дипольный момент р выражается интегралом fPdV по объему системы. В самом деле, по определению р = /rpdVt или с помощью (37.2)

p = -/rdivPdV = JPdV. (37.3)

Последнее равенство представляет собой тождество при условии, что вне системы Р = 0, и свидетельствует о том, что вектор Р можно рассматривать как дипольный момент на единицу объема рассматриваемой системы движущихся зарядов.

Подчиним вектор Герца неоднородному уравнению Даламбера:

(37.4)1 а—, с а?(37.4)1 а—, с а?1 a?z

(37.4)

1 а

—, с а?

(37.4)

1 а

—, с а?

AZ ——丁 = — 4тгР. с2 а产

Применяя к обеим частям (37.4) попеременно операторы —div и

мы получим уравнения для потенциалов (18.5), что доказывает правиль* ность выбора уравнения (37.4) для вектора Герца. По аналогии с запаздывающими потенциалами (32.22), (32.23) можно записывать решение уравнения (37.4) для ограниченной системы в свободном пространстве:

ZW, 0= /ZW, 0= /(37.5)(37.5)

ZW, 0= /

ZW, 0= /

(37.5)

(37.5)

напряженностей поля черезнапряженностей поля через(37.6)(37.6)

напряженностей поля через

напряженностей поля через

(37.6)

(37.6)

В заключение приведем выражения для вектор Герца:

1 а

£ = rot rot Z — 4тгР, Я rot Z.

Они получаются с помощью (37.1) и (37.4).

Излучение антенны. Диаграмма направленности. Рассмотрим излу* чение проводника длиной I, в котором возбуждена стоячая волна тока (рис. 37.1):

J亿 t)=J0 sin 伏 J +〃2)】е-‘зг(37.7)

На концах проводника сила тока равна нулю, поэтому

к = 31c = т 竄 Ц,(37.8)

здесь т — число полуволн, укладывающихся на длине проводника. Такой проводник представляет собой простейшую (линейную) антенну, на примере которой мы рассчитаем излучение макроскопического тела.

Считая провод бесконечно тонким, записываем объемную плотность тока в виде / = ezJ(zt t) 6(x)6(у) и с помощью второй формулы (37.2) находим вектор поляризации:

「(，/) = '/(，£)•(37.9)

Теперь вектор Герца может быть найден согласно (37.5). Рассмотрим расстояния, большие по сравнению с /. В знаменателе (37.5) полагаем

\г — г' I = г, а во временном аргументе \r — f' I 弋，一 z' cos 0• В этом приближении вектор Герца выразится интегралом

/70〃2「/ , /,

Z(rj) = ez •— exp俅广一；зг) / $in[k(z + ~ j | exp(— ikz cos 0)d?,

вычисление которого производится элементарно и дает

Z(rz t) = ezZ(rz t) = ez2J°c ехр(7/гг — /зг)2J°c ехр(7/гг — /зг)32 r32 rsin20sin20[—$in[—$incos 0)] — m четное.cos 0)] — m четное.卜cos (-^- cos 0)] — m нечетное.卜cos (-^- cos 0)] — m нечетное.

Z(rz t) = ez

Z(rz t) = ez

2J°c ехр(7/гг — /зг)

2J°c ехр(7/гг — /зг)

32 r

32 r

sin20

sin20

[—$in

[—$in

cos 0)] — m четное.

cos 0)] — m четное.

卜cos (-^- cos 0)] — m нечетное.

卜cos (-^- cos 0)] — m нечетное.

(37.10)

коорди-коорди-Вектор Я определяется по формуле (37.6). В сферических натах

коорди-

коорди-

…咨…咨exp 俅 r — /зг)exp 俅 r — /зг)sin 0sin 0卜鸣8竹卜 [/cos(m 8S®)]-卜鸣8竹卜 [/cos(m 8S®)]-m четное.m четное.т нечетное.т нечетное.

…咨

…咨

exp 俅 r — /зг)

exp 俅 r — /зг)

sin 0

sin 0

卜鸣8竹卜 [/cos(m 8S®)]-

卜鸣8竹卜 [/cos(m 8S®)]-

m четное.

m четное.

т нечетное.

т нечетное.

(37.11)

Далее находим угловое распределение излучения, усредненное по времени:

—т четное.—т четное.—т нечетное.—т нечетное.(37.12)(37.12)

—т четное.

—т четное.

—т нечетное.

—т нечетное.

(37.12)

(37.12)

Характер углового распределения излучения виден из полярных диаграмм, изображенных на рис. 37.2. Штриховой линией показано распределение тока по длине антенныг сплошной 一 угловое распределение излучения. Разде* ление диаграммы направленности излучения на отдельные лепестки связа* но с интерференцией полей, создаваемых разными участками антенны.

Рис. 37.2.Рис. 37.2.

Рис. 37.2.

Рис. 37.2.

Излучение имеет наибольшую интенсивность в направлениях, определяемых осями наружных лепестков.

Энергия, излучаемая антенной в виде электромагнитных волн, черпается из энергии тока, возбуждаемого в антенне генератором электромагнитных колебаний. Поэтому с излучением можно связать некоторое дололнитель* ное сопротивление, которое называется сопротивлением излучения и характеризует потерю электромагнитной энергии на излучение. Определим сопротивление излучения соотношением

%=2"小，

где / ― суммарная по всем направлениям интенсивность излучения, усредненная по временило — амплитуда силы тока в антенне. Проинтегрировав интенсивность (37.12) по телесному углу, найдем

1

%• = —[!п(2я/77)+ С + Ci(27rm)], с

где.

к cos t — 1

Ci(x) = С + In * + / eft о t

—интегральный косинус, С*0,577 — постоянная Эйлера.

Сопротивление излучения выражает собой обратное влияние излучения на колебания тока в антенне.

Принцип взаимности. Рассмотрим два источника, характеризуемые распределения ми тока /1 и /2 и создающие монохроматические поля оди< наковой частоты з. В силу принципа суперпозиции эти поля по отдельности

удовлетворяют системам уравнении

4/гi34яi3 г

rot Н\ = /1 - e1 , rot 附2 = ，2e2，

сссC

(37.13) 33

rotFi = / -%，rot £2 = / - ，2・

сC

Умножив эти уравнения соответственно на Ег, Н2, Ех, Н{ и вычитая их попарно, получим

4яi3

div(£G Хf2)= -/1 -f2 -一出I ・ё2 +〃]・h2), сC

47Ti3

div(H2 X£J=—力・E| ——(£\ .£? +H「“2)・ сс

Наконец, вычитая почленно получившиеся равенства, найдем

47r

divWt ХЕ2 一冏2 X£J =—仇•& -力・吊)・(37.14)

Проинтегрируем обе части уравнения (37.14) по всему пространству. Это дает

/А .“к/% ・EiW + £ © (Я! X £2 - Я2 ХЕ/ ・dS, 47rs 8

где объемный интеграл преобразован в поверхностный с помощью теоремы Остроградского — Гаусса. В вакууме интеграл по бесконечно удаленной поверхности при наличии поля излучения отличен от нуля. Но реальные излучатели всегда находятся в среде, которая вызывает некоторое затухание электромагнитных волн. Поэтому поверхностный интеграл можно считать равным нулю, хотя на конечных расстояниях влияние поглощения может быть пренебрежимо малым. В итоге мы приходим к следующей формулировке теоремы взаимности:

fix EzdV- Ц2 E.dV,(37.15)

Для случая двух источников поля, размеры которых малы по сравнению с длиной волны, а расстояние между ними велико по сравнению с их размерами, равенство (37.15) допускает упрощения. При указанных условиях каждый из векторов £\ и £2 можно считать постоянным в пределах другого источника и вынести за знак интеграла:

EjJhMEr/hdV.

Далее применяем ранее неоднократно использовавшееся тождество

J j dV = — 〃 div jd卜

и с помощью уравнения непрерывности находим а

// dV =Jrp dV = i3p, dt

где p — дипольный момент. Теорема взаимности для электрических дипольных излучателей принимает вид

Pi 鬲=Р2 £1・(37.16)

Если дипольные излучатели представляют собой квазилинейные провод ники, длины которых малы по сравнению с длиной волны излучения, то (37.15) можно придать другую форму. Заменяя jdV -* JЛ и обозначая

/品•叫=”(1),/& •叱=4(2)

—разности потенциалов, создаваемые источником 2 на концах проводни* ка 1 и источником 1 на концах проводника 2 (будем иметь

J{U2^)=J2Ui (2).(37.17)

Пусть ориентация первой антенны изменяется. В соответствии с ее диаграммой направленности будет изменяться и Ux (2). Но

4(1)= 5/4 ИЛ ⑵.

т.е. наводимая на первой антенне разность потенциалов пропорциональна Ui (2). Следовательно, диаграмма направленности антенны в режимах приема и передачи одна и та же.

Это свойство, как оказывается, сохраняется и для произвольных антенных систем. Диаграммы направленности любой антенны при работе на прием и на передачу совпадают.

РЕАКЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ

Взаимюдействие заряженной частицы с собственным электромаг* нитным полем. Мы уже столкнулись в § 22 с трудностью определения соб* ственной эле ктростати чес кой энергии заряженной частицы. Для точечной частицы эта энергия оказывается бесконечной. Введение конечного радиуса частицы

г0 = е2/тс2(38.1)

и связанного с этим предположения о наличии у нее внутренней структуры позволяет сделать собственную энергию конечной . Но объект размером г0 не описывается классической теорией: квантовые эффекты становятся существенными уже на значительно ббльших расстояниях,

A = h/mc^ 137 г0 .(38.2)

Параметр Л называется комптоновской длиной волны.

К сожалению, квантовая теория не разрешает трудностей, связанных с вычислением собственной энергии. В ней появляется, кроме бесконечной собственной энергии, еще одна бесконечная величина — добавка к заряду частицы ♦).

При ускоренном движении заряженной частицы возникает ее дополни* тельное взаимодействие с собственным полем. Ускоренное движение порож* дает излучение электромагнитных волн, что приводит, как мы видели в § 35, к потере частицей энергии и импульса. Следовательно, само движение частицы будет зависеть от излучения ею электромагнитных волн, и корректная постановка задачи о движении заряженной частицы требует вклю* чения в уравнение движения членов, учитывающих влияние излучения на движение.

Во многих случаях, однако, это влияние оказывается малым, что и поз< воляет считать движение излучающей частицы заданным. Количественный

критерии малости реакции излучения можно получить, сравнивая потерю энергии на излучение за некоторое время At с изменением кинетической энергии частицы под действием внешних сил за то же время. Оценим обе энергии в системе отсчета, в которой скорость частицы — нерелятивист* ская：

A%ad % 2е2 V2 Аг/З^з * 2е2 vAv/Зс3,

где Ди — изменение скорости за время At; AEkin 弋 m Av • v. Неравенство A“ad « А&км дает

△t % 〃^» 2M/3mc3 = 2r0/3c =乙(38.3)

где r — время распространения электромагнитных возмущений на рас* стояние порядка классического радиуса частицы (множитель 2/3 написан для упрощения последующих &)рмуп). Наибольшее значение время т имеет для самой легкой элементарной частицы — электрона: те = = 0,63 ・1С)Н с.

При квазипериодическом движении частицы ее средние скорость и ускорение возвращаются к исходным значениям через каждый период Го = = 2тг/зо, и потерю энергии на излучение за период нужно сравнивать со средней кинетической энергией:

A%ad 七(2М尸зЗЗсЗ)%,A&kin *тз館2,

где Z — размер области движения частицы. Сравнение дает

Го >т или 307Vl.(38.4)

Таким образом, реакцию излучения можно рассматривать как малый эффект, если движение частицы достаточно плавное: ее состояние слабо изменяется за время т или на расстояниях ст ^г0-

Вычисление силы радиационного торможения из закона сохранения энергии. Рассмотрим движение нерелятивистской заряженной частицы под действием внешней силы Fo. При ускоренном движении частица излучает электромагнитные волны. Для учета реакции излучения добавим в правую часть уравнения движения силу реакции излучения 尸「ad:

(38.5)(38.5)mg尸0 +尸rad・

(38.5)

(38.5)

Сконструируем силу 尸「ad таким образом, чтобы работа этой силы за конечный промежуток времени была равна энергии, излучаемой частицей за то же время. С помощью (35.14) находим:

(38.6)(38.6)A%ad =亲 J V 2(力"=-/ 尸rad • V "・

(38.6)

(38.6)

Интегрируя по частям, получаем

(38.7)(38.7)

(38.7)

(38.7)

Во многих случаях слагаемое v • v I ；; обращается в нуль. Это имеет место при периодическом движении, если 淄―3 равно периоду, или при движении в магнитном поле,когдаv v =0, или при конечном времени ускорения, когда 巾 ％)=巾什2)=0・ Во всех указанных случаях, как следует из (38.7), интегральный баланс энергии будет соблюдаться, если

2е2

Frad = Т~7 V.(38.8)

В итоге уравнение движения (38.5) примет вид 2е2

my = FQ + — V.(38.9)

Зс3

Мы установили вид силы радиационного торможения из нестрогих полу- качественных соображений. Применение более последовательных подходов ) либо приводит к той же самой формуле (38.8), либо требует рассмотрения неизвестной и не описываемой классической эд ектроди на ми кой внутренней структуры элементарной частицы.

Лоренцева сила лучистого трения (38.8) описывает реакцию излучения не вполне удовлетворительным образом. Прежде В8「о, она повышает порядок уравнения движения, так как содержит третью производную от радиус-вектора. Такая структура уравнения движения находится в противоречии с основными положениями классической механики, вся схема которой предполагает, что уравнения движения должны иметь второй порядок по времени. Поэтому некоторые решения уравнения (38.9) оказываются физически бессмысленны ми. Например, при Fo = 0 уравнение

.2е2

V V

Зтс3

имеет решение

(38.10)(38.10)V (г) = "о + ^\etfT9

(38.10)

(38.10)

которое описывает неограниченное самоускорение частицы в отсутствие внешних сил.

Но в тех случаях, когда сила лучистого трения (38.8) входит в уравнение движения как малая добавка к внешним силам, учитываемая по методу последовательных приближений, она дает физически осмысленные результаты (см. § 39). Эту силу приходится использовать ввиду отсутствия другого, более удовлетворительного описания реакции излучения.

Нетрудно сформуй и ровать условия малости радиационной силы по сравнению с внешней электромагнитной силой. Записывая

е

尸 о =е£0 + — vXHo,(38.11)

с

находим из (38.9) в нулевом приближении по радиационной силе е • ее •

V = — Ео + — V X Яо + *— vX%.(38.12)

т тстс

В мгновенно сопутствующей системе v = 0, а ускорение в нулевом приближении имеет значение v = eE^lm. С учетом этого получим из (38.8) и (38.12) следующее приближенное выражение для радиационной силы в мгновенно сопутствующей системе отсчета:

2е3 .2е4

居ad =——：殳 + —ГТ 瓦 X % ・(38.13)

Зтс3 3m2c

В периодическом внешнем поле 瓦)а—；3о£(), поэтому сравнение (38.13) с (38.11) в сопутствующей системе дает два неравенства:

з()т«1 или 入°»，。(38.14)

и

Но《е〃^ ^т2с4/е3,(38.15)

Первое из этих неравенств уже было получено раньше (см. (38.4)) из других соображений. Второе неравенство требует, чтобы внешнее поле было малым по сравнению с максимальным полем ^классической0 частицы —протяженного объекта, имеющего радиус г0* Квантовые поправки ограничивают область применимости классической электродинамики значительно меньшими полями:

Яо <<n2c3/he = е/137 rj.

Сила радиационного торможения (38.8) допускает релятивистское обобщение. Приведем для справок соответствующее четырехмерное вы* ражение:

Пространственная часть К при и ->0 переходит в (38.8). Вывод (38.16) можно найти в книгах [44, 58,11].

ИЗЛУЧЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ

ВОЛН ОСЦИЛЛЯТОРОМ

Излучение, поглощение и рассеяние волн атомными системами — это квантовые процессы, последовательное описание которых возможно только на основе квантовой механики и квантовой электродинамики. Но многие качественные характеристики этих явлений хорошо передаются моделью взаимодействия электромагнитных волн с гармоническим осциЛ' лятором. Под осциллятором мы будем понимать заряженную частицу, связанную с некоторым центром упругой силой. Последняя моделирует связь электронов в атомах.

Излучение осциллятора. Естественная ширина спектральных линий. Пусть электрон, связанный с началом координат изотропной упругой силой Fe = —тз^г, совершает свободные колебания. В отсутствие излучения нерелятивисткое уравнение движения электрона имело бы вид

mr + mGji г ^Q.(39.1)

и описывало бы незатухающие гармонические колебания с частотой з()・ Но реакция излучения, как мы видели в § 38, приводит к появлению силы радиационного трения

2М

которую следует добавить в правую часть уравнения (39.1):

(39.2)(39.2)>+ з»

(39.2)

(39.2)

2出3^Зтс3где г0 -ег/тс1,2出3^Зтс3где г0 -ег/тс1,Решение будем искать методом последовательных приближений, считая силу радиационного трения малой. В нулевом приближении г = —з^/, поэтому 干=—з^ 力.Введя обозначение

2出3^

Зтс3где г0 -ег/тс1,

2出3^

Зтс3где г0 -ег/тс1,

(39.3)

получим уравнение движения осциллятора с трением:

(39.4)(39.4)г + 7? + соо ^ = 0.

(39.4)

(39.4)

Здесь 7 <3°, если 3G《ckq или 入о»г()・ Для электрона з()《 10>3 с1, что соответствует энергии 7>квантов &乃=h з(>& 100 МэВ.

Решая (39.4) с учетом малости у в пренебрежении членами (т/з。)？ найдем:

《)=aexp(-7t/2 -；з()г),(39.5)

где 4 — начальная амплитуда осциллятора. Поскольку поле излучения заря* женной частицы пропорционально г = — з亓 ,то в волновой зоне

£ = E0exp(-7t/2 -；з()Г),(39.6)

где £0 — зависящая от ксюрдинат амплитуда поля. С таким сигналом мы уже имели дело в конце § 29. Он приводит к распределению интенсивности излучения по частотам вида (29.28):

71

Q = Л)~г— •(39.7)

2я(3 — Зо)2 + )2/4

Постоянная /0 — это полная интенсивность:

/о = / /3 d3. о

Отсутствию лучистого трения соответствует 7 fo. При этом, согласно (Д-IV. 17),

—-> 5 (з — Зо),

2я (3-3()产+)347-*0

и спектральное распределение становится бесконечно узким:

/з = Л)5 (з — 3q ).(39.8)

Таким образом, учет радиационного трения приводит к качественно новому эффекту — конечной ширине спектра излучения.

Квантовомеханический расчет дает для атомных спектров такую же форму линии (39.6), что и классическая модель осциллятора, но с другим значением постоянной 7. Такая форма линии называется лоренцевским контуром, а постоянная 7 — естественной шириной линии. Обратная ве> личина 7 = 7-1 характеризует время жизни возбужденного состояния осциллятора: за время порядка нескольких т осциллятор высвечивается и его колебания прекращаются.

В реальных условиях форма и ширина спектральных линий атомов определяются не только реакцией излучения, но и другими факторами, среди которых главную роль обычно играют столкновения атомов и их тепловое движение.

Рассеяние электромагнитных волн осциллятором. Рассмотрим взаи* модействие плоской монохроматической волны с осциллятором. В правую

часть уравнения (39.2) нужно добавить силу взаимодействия заряженной частицы с полем волны — ^F+ — v Х〃). Но магнитная составляющая силы Лоренца для нерелятивистской частицы имеет относительный порядок и/с < 1. Пренебрегая этой силой, запишем уравнение движения:

2経...

户+зоГ = еЕ()е>ф(泳・r-3t) +: К：(39.9)

Но и в таком виде уравнение слишком сложно. Поэтому введем дальней* шие упрощения: а) будем считать амплитуду колебаний электрона а малой по сравнению с длиной волны внешнего поля, а «入()，чтобы можно было положить ехр (7Л • г ) ^ 1; б) учтем радиационную си/w по методу последовательных приближений, т.е. подставим в нее г = —з?/* +eFoexp^-/wt)，. Это позволяет получить окончательное уравнение движения:

『+3亓 + "= — ЕоЬ’зг, (39.10) т

где в правой части отброшен член порядка г()/Х « 1.

В задаче рассеяния достаточно найти частное решение уравнения (39.10), колеблющееся с частотой вынуждающей силы, поскольку собственные колебания осциллятора затухнут за время ?-】.Получаем

(39.11)(39.11)(еЕо/т)ехр(—；зг)з§ —3，— /С07

(39.11)

(39.11)

и находим дипольный момент колеблющейся частицы: р-er . Далее с помощью формулы (36.10) находим усредненную по времени интенсивность излучения вторичных волн осциллятором:

(39.12)(39.12)Процесс рассеяния обычно характеризуют эффективным дифференци* альным сечениемПроцесс рассеяния обычно характеризуют эффективным дифференци* альным сечениемda[ 不dC *Уо dCda[ 不dC *Уо dC(39.13)(39.13)где 7o=cl £012/8я — средняя по времени плотность потока энергии в падающей волне. Угловое распределение рассеянного излучения зависит от характера поляризации падающей волны.Рассеяние л и не й н о*п оляризованной волны. При этом Ео = £0^ где е — действительный единичный вектор поляризации. С помощью (39.11) — (39.13) находимгде 7o=cl £012/8я — средняя по времени плотность потока энергии в падающей волне. Угловое распределение рассеянного излучения зависит от характера поляризации падающей волны.Рассеяние л и не й н о*п оляризованной волны. При этом Ео = £0^ где е — действительный единичный вектор поляризации. С помощью (39.11) — (39.13) находимdoсо4 sin20■'■=сШ (w2 一3旷 +3匕2doсо4 sin20■'■=сШ (w2 一3旷 +3匕2(39.14)(39.14)где 8 — угол между e и направлением расп ростране ни я рассеянной волны.ЦиркулярнО'Поляризованная волна. Выбирая 。咨z вдоль направления ее распространения, полагаем Ео = ^о (^х ^- ^еу)!n^ игде 8 — угол между e и направлением расп ростране ни я рассеянной волны.ЦиркулярнО'Поляризованная волна. Выбирая 。咨z вдоль направления ее распространения, полагаем Ео = ^о (^х ^- ^еу)!n^ иполучаемda .位получаемda .位з‘(1 + cos?»)з‘(1 + cos?»)2 (co2 - <Jo)2 + ^2722 (co2 - <Jo)2 + ^272(39.15)(39.15)где 9 — угол между направлением распрсютранения падающей волны и направлением рассеяния. Сечение не зависит от направления вращения вектора Ев волне. Поскольку неполяризованную волну можно рассматривать как некогерентную смесь двух циркулярно-поляризованных волн с равными интенсивностями и противоположными направлениями вращения (см. п. 30.3), то сечение рассеяния неполяризованной волны описывается той же формулой (39.15).где 9 — угол между направлением распрсютранения падающей волны и направлением рассеяния. Сечение не зависит от направления вращения вектора Ев волне. Поскольку неполяризованную волну можно рассматривать как некогерентную смесь двух циркулярно-поляризованных волн с равными интенсивностями и противоположными направлениями вращения (см. п. 30.3), то сечение рассеяния неполяризованной волны описывается той же формулой (39.15).

(39.12)

(39.12)

Процесс рассеяния обычно характеризуют эффективным дифференци* альным сечением

Процесс рассеяния обычно характеризуют эффективным дифференци* альным сечением

da[ 不

dC *Уо dC

da[ 不

dC *Уо dC

(39.13)

(39.13)

где 7o=cl £012/8я — средняя по времени плотность потока энергии в падающей волне. Угловое распределение рассеянного излучения зависит от характера поляризации падающей волны.

Рассеяние л и не й н о*п оляризованной волны. При этом Ео = £0^ где е — действительный единичный вектор поляризации. С помощью (39.11) — (39.13) находим

где 7o=cl £012/8я — средняя по времени плотность потока энергии в падающей волне. Угловое распределение рассеянного излучения зависит от характера поляризации падающей волны.

Рассеяние л и не й н о*п оляризованной волны. При этом Ео = £0^ где е — действительный единичный вектор поляризации. С помощью (39.11) — (39.13) находим

doсо4 sin20

■'■=

сШ (w2 一3旷 +3匕2

doсо4 sin20

■'■=

сШ (w2 一3旷 +3匕2

(39.14)

(39.14)

где 8 — угол между e и направлением расп ростране ни я рассеянной волны.

ЦиркулярнО'Поляризованная волна. Выбирая 。咨z вдоль направления ее распространения, полагаем Ео = ^о (^х ^- ^еу)!n^ и

где 8 — угол между e и направлением расп ростране ни я рассеянной волны.

ЦиркулярнО'Поляризованная волна. Выбирая 。咨z вдоль направления ее распространения, полагаем Ео = ^о (^х ^- ^еу)!n^ и

получаем

da .位

получаем

da .位

з‘(1 + cos?»)

з‘(1 + cos?»)

2 (co2 - <Jo)2 + ^272

2 (co2 - <Jo)2 + ^272

(39.15)

(39.15)

где 9 — угол между направлением распрсютранения падающей волны и направлением рассеяния. Сечение не зависит от направления вращения вектора Ев волне. Поскольку неполяризованную волну можно рассматривать как некогерентную смесь двух циркулярно-поляризованных волн с равными интенсивностями и противоположными направлениями вращения (см. п. 30.3), то сечение рассеяния неполяризованной волны описывается той же формулой (39.15).

где 9 — угол между направлением распрсютранения падающей волны и направлением рассеяния. Сечение не зависит от направления вращения вектора Ев волне. Поскольку неполяризованную волну можно рассматривать как некогерентную смесь двух циркулярно-поляризованных волн с равными интенсивностями и противоположными направлениями вращения (см. п. 30.3), то сечение рассеяния неполяризованной волны описывается той же формулой (39.15).

Интегрируя (39.14) и (39.15) по телесному углу, получаем для этих случаев одинаковые значения полного эффективного сечения рассеяния：

(39.16)

з^(3 -Зо)2 +)2/4з^(3 -Зо)2 +)2/4При частотах, близких к з(), т.е. при I з — з()1 < соо, общую формулу (39.16) можно упростить. Полагая з +з()%2з()и оставляя члены с разностью з — Зо только в знаменателе, получим

з^

(3 -Зо)2 +)2/4

з^

(3 -Зо)2 +)2/4

(39.17)

Зависимость от частоты — такая же, как для спектра излучения осциллятора (39.6) • При з= Зо имеется резкий максимум:

°тах°тах(9〔(9〔

°тах

°тах

(9〔

(9〔

(39.18)(39.18)Если рассеяние происходит вдали от резонанса, з» з(), то 87r

(39.18)

(39.18)

о =—吊=const

3

-зависимость от частоты исчезает. Фактически, однако, применимость формулы (39.18) ограничена сверху условием кз^Стс? — энергия отдель* ного кванта электромагнитного поля должна быть мала по сравнению с энергией покоя частицы. В противном случае нужно учитывать квантовые эффекты.

0 области малых частот, з《 з(), 8яго / з \4

” (—I(39.19)

3\ Зо /

—полное сечение пропорционально четвертой степени частоты.

Полученные выше результаты позволяют построить простую модель поляризации среды в переменном поле. Пусть в среде имеются осцилляторы разных сортов, с различными собственными частотами 3/ и постоянными затухания %. Полное число осцилляторов на единицу объема п, причем относительная доля осцилляторов сорта / равна 乙.Под действием внешнего поля каждый осциллятор колеблется по закону (39.11). Дипольный момент на единицу объема среды Р мы получим, умножив каждое 〃 на заряд электрона и просуммировав по всем осцилляторам：

経尸力 Е()ехр(—/зс)

Р = е〃 Е 2 =S —:: .(39.20)

/m j — з — i3»

Коэффициент пропорциональности между поляризацией Р и электрическим полем Е = £oexp (—/cot) называется диэлек три ческой восприимчивостью среды:

М〃f：

Х=—— 2 —一《4一；— •{39.21)

m /— з — /3》

Квантовомеханический расчет для разреженной газообразной среды дает для х выражение, совпадающее по форме с (39.21). Роль собственных частот осцилляторов з： играют частоты переходов з切〃 =(&^ — &) /h между различными уровнями энергии атомов.

РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

СВОБОДНЫМИ ЧАСТИЦАМИ

Формула Томсона. Дифференциальное и полное сечения рассеяния электромагнитных волн свободной заряженной частицей легко получить из предыдущих результатов для осциллятора, положив з()= 0 и пренебрегая радиационной силой (которая дает вклад порядка г0А < 1). В итоге получим:

для волны с линейной поляризацией из (39.14)

=RsiMe,(40.1)

а для циркулярно поляризованной или неполяризованной волны из (39.15)

— =-у г$(1 +cos2^).(40.2)

Интегрирование по углам приводит к формуле (39.18) для полного сечения (формуле Томсона):

(S3)

Полное сечение является универсальной постоянной, не зависящей от частоты волн до тех пор, пока выполняется условие применимости классического расчета h з《тс?.

Рассеяние волнь) частицей сопровождается действием на частицу не* которой силы Feo стороны рассеиваемого поля. В первом порядке по амплитуде поля F = еЕ^е~^т. Эта сила обращается в нуль при усреднении по периоду поля.

В следующем приближении средняя по времени сила отлична от нуля и определяется импульсом поля, поглощенным частицей в единицу времени. Излучение же вторичных волн нерелптивистской частицей связано с изменением ее импульса, как было показано в п. 35.2. Плотность импульса в плоской волне, согласно (16.29), (28.12), есть

g = [Е X Н] = Е2п.(40.4)

4яс4тгс

Поглощаемый частицей в единицу времени импульс есть ego. Таким образом,

尸=%r；1统 12〃，(40.5)

где Ео - амплитуда волньь Сила направлена в сторону распространение падающей волны.

Когерентное и некогерентное рассеяние. Рассмотрим теперь взаи> модействие плоской монохроматической линейно-поляризованной волны с системой одинаковых частиц, совершающих колебания, каждая около своего положения равновесия г, . Мы по-прежнему будем пренебрегать неоднородностью падающей волны в пределах области колебаний отдельной частицы, но расстояние между частицами может быть произвольным по сравнению с длиной волны. Поэтому на частицу с номером/ будет действовать поле £ = Е()ехр (7^0 •「/ 一 /зг), а ее радиус-вектор

гу =0 ехр (/%о •〃 一，зг),(40.6)

где 4 -амплитуда колебаний, одинаковая для всех частиц, kQ - волновой

вектор падающей волны. В случае упруго связанной частицы, согласно (39.11),

(40.7)(40.7)eEQ/m

(40.7)

(40.7)

0 = '一

3^ — 3? — ；3)

а для свободной частицы следует положить cjos ) = 0.

Поле излучения в волновой зоне можно записать по принципу суперпозиции, пользуясь (36.6) и условием к/с < 1:

1с2 Rj1с2 Rj(er} (fy) X л]=(er} (fy) X л]=

1

с2 Rj

1

с2 Rj

(er} (fy) X л]=

(er} (fy) X л]=

з

=-S -— (р X л] ехр {/*о • г, - /со(Г - Rjlc]} .(40.8)

/ с

Здесь р = еа, % = lr f I, где г отсчитывается от некоторого начала коор* динат внутри объема, занимаемого частицами. Аппроксимируя в показателе экспоненты %=「一 л • г； , а в знаменателе А/ = г, находим

з? (〃 X р)

〃= exp[i(k — зГ)] Е ехр(-7^ • г；),(40.9)

с2 г/

где q =к — ко — изменение волнового вектора при рассеянии, а к = з"— волновой вектор рассеянной волны.

Обозначив эффективное дифференциальное сечение рассеяния волн системой зарядов через dSldC и вычислив его по формуле (39.13), получим

Nр do

丝=.(40.10)

Здесь

do 3’ (л X р)2 訴_e41昂12

—сечение рассеяния одиночной частицей, которое было вычислено рань* ше и дается формулами (39.14), (39.15) либо (40.1), (40.2).

Множитель

(40.11)(40.11)尸(з,〃о,幫)=I Е ехр(-/^ г；)12 /=1

(40.11)

(40.11)

представляет собой фактор когерентности, показывающий, в какой мере рассеяние системой зарядов отличается от рассеяния на отдельной частице. Он сильно зависит от соотношения между обратным переданным импульсом L и размерами области, в которой движутся частицы. Рассмотрим два предельных случая.

Переданный импульс мал, так что для всех/ I q •〃 I V 1. Заменяя в (40.11) экспоненты единицами, имеем

F = /V\(40.12)

где N — полное число рассеивателей. Это — случай полностью когерентного рассеяния, когда поля от отдельных частиц складываются в одной фазе. Сечение пропорционально квадрату числа рассеивателей ：

dSldC = N2 dBm. (40.13)

Если рассеиваются длинные волны,入》小 то формула (40.13) справед* лива при всех углах рассеивания. Если же X^ г/, то (40.13) справедливо только при рассеянии на малые углы, при которых * < 1, несмотря на то, что kq > 1. Поскольку g = 2攵 sin 0 /2, где 0 — угол рассеяния, то область углов, в которой работает формула (40.13), дается неравенством

0<0с^У/кк(40.14)

Здесь / — размер области, занятой зарядами, 0С — характерное значе* ние угла рассеяния.

Переданный импульс велик, I ^ • г； I > 1. Запишем (40.11) в виде N

F = Z exp [iq • % -川]+ Е exp Uq • % — 力)】• j=ii*s

Первая сумма, очевидно, равна /V. Значения же второй суммы зависят, вообще говоря, от расположения зарядов, и если оно является случайным, то при достаточно большом N произойдет взаимное гашение осцил* пирующих слагаемых exp[iq * 匕—万)】・ Поэтому будем иметь F = N.

dSldG= Ndoim(4р. 15)

Здесь складываются не амплитуды, а интенсивности волн, рассеянных отдельными частицами, и эффект пропорционален числу рассеивателей, а не их квадрату.

Рассмотренные выше интерференционные эффекты наблюдаются, например, при рассеянии рентгеновских лучей атомами и кристаллами.

Часть II

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ПОЛЯРИЗУЮЩИХСЯ И НАМАГНИЧИВАЮЩИХСЯ СРЕД

Г л а в а 1

УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

В ПОЛЯРИЗУЮЩИХСЯ И НАМАГНИЧИВАЮЩИХСЯ СРЕДАХ

МАКРОСКОПИЧЕСКИЙ И МИКРОСКОПИЧЕСКИЙ подходы

К ОПИСАНИЮ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ В СРЕДАХ

Уравнения Максвелла, которые были сформулированы и изучены в ч. I, справедливы и тогда, когда кроме электромагнитного поля и создающих его зарядов имеется еще и вэаимодействующее с этим полем вещество. Заряды, из которых состоит вещество, под действием электромагнитного поля могут двигаться, поэтому в среде возникают токи; плотность этих наведенных токов будем обозначать буквой/.

Перегруппировка зарядов приводит к появлению областей пространства с не равной нулю плотностью заряда р. С другой стороны, эти наведенные заряды и токи сами должны быть источником электромагнитного поля. Возникает положение, при котором электромагнитное поле определяет движение зарядов и токов в веществе и в то же время само определяется им же наведенными зарядами и токами. Если изменение напряженностей электрического и магнитного полей, обусловленное взаимодействием поля с веществом, порядка напряженностей исходного поля, задача сводится, как говорят, к нахождению самосогласованного зле к грома гни тного со。 ля. Решение такого рода задач и составляет предмет электродинамики сред.

Из этого определения электродинамики сред вытекает и то, какое количество вещества следует считать средой. Пока вещества так мало, что изменение электромагнитного поля, обусловленное наведенными в веществе зарядами и токами, относительно мало, соответствующая задача может решаться методами, развитыми в ч. I книги. Иначе говоря, в этом случае мы имеем дело е движением зарядов в заданном поле. При этом не только заряды и токи, но и само наведенное этими зарядами и токами электромаг< нитное поле может быть найдено по уже известному после решения пер* вого этапа этой задачи движению зарядов. Влиянием же возникающего поля на движение зарядов можно пренебречь. Если же этого сделать нельзя, вещество следует считать взаимодействующей с полем средой.

Другая причина, по которой движение составляющих вещество частиц нельзя рассматривать как движение в заданном поле, есть тепловое движение частиц среды и их взаимодействие друг с другом, не сводящееся к вза* имодействию через самосогласованное электромагнитное поле.

Микроскопические уравнения поля. Сторонние и наведенные заряды и токи. Основу электродинамики сред составляют ми к роскопи ческие уравнения Максвелла, справедливые всегда, когда справедлива сама к ласси- 190

ческая теория электромагнитного поля:

4я1 Э£

rotZT= — (/+/ext)+— ,(1.1)

сс аг

div Я = О,

div£ = 4Tr(p + pext).

Токи и заряды в (1.1) состоят, вообще говоря, из двух частей. Величины / и р в этих уравнениях должны считаться функциями (точнее, функционалами) напряженностей £ и Я тех же самых полей, которые эти заряды и токи в значительной степени сами и определяют. Часть зарядов и токов может быть обусловлена внешними по отношению к данной задаче причинами. Такие заряды и токи, не зависящие от £ и Я, иногда называют сторонними и обозначают как pext n/ext.

Характер решения электродинамической задачи в очень большой степени определяется видом зависимости величин р и / от напряженностей Е и Я. Эта зависимость, в свою очередь, определяется характером движения зарядов в полях и, в принципе,может быть найдена из решения уравнений механики — классической или квантовой.

Уравнения механики для каждой частицы среды могут быть символически записаны в виде уравнений Ньютона):

m 宀卜+； YX〃) + Fext・(1.2)

В правую часть уравнения Ньютона кроме силы Лоренца входит также сила 吊xt неэлектромагнитного происхождения (такие силы могут быть связаны, например, со столкновениями частиц, а также гравитационным или ядерным взаимодействием).

Совместное решение системы уравнений поля (1.1) с уравнениями механики (1.2), в принципе, полностью определяет электромагнитное поле. Такой подход к описанию электромагнитного поля в средах называется микроскопа чески м, а сами поля £ и 〃一 микроскопическими полями.

Однако столь детальное описание поля в средах, как правило, невозможно ввиду невообразимо большого числа уравнений типа (1,2), поскольку такое уравнение нужно написать для каждой частицы вещества, более того, такое детальное описание в большинстве случаев и не нужно. Это означает, что свойства вещества, проявляющиеся в том, какой вид имеют функции j и р (описывающие реакцию вещества на электромагнитное поле), следует описывать статистически. Иными словами, уравнения Максвелла следует усреднить по статистическому ансамблю. (Понятие статистического ансамбля обсуждалось в § 30 в связи с некогерентными полями излучения.) Усредненные по ансамблю уравнения Максвелла и следствия из них и являются предметом изучения электродинамики сред.

Иногда (с таким случаем мы встречаемся в гл. V) это усреднение является единственным усреднением, которое необходимо провести. Чаще, однако, производят еще одно усреднение — по физически малым объемам. Дело в том, что микроскопическое электромагнитное поле в любом веществе

испытывает очень сильное и нерегулярное изменение в пространстве и во времени.

Пусть, например, среда состоит из отдельных нейтральных атомов. Если измерять или вычислять микроскопические значения поля, т.е. его значения в отдельных точках в фиксированные моменты времени, то окажется, что наиболее сильным (порядка 1016 в гауссовой системе) электрическое поле будет в областях с размерами около 3 • 10"13 см, занятых атомными ядрами. При удалении от ядра поле будет ослабевать и станет весьма малым на расстояниях, превышающих характерный размер электронной оболочки. При попадании в область пространства, занятую следующим атомом, снова произойдет резкое увеличение поля, и тд.

Движение атомов приведет к добавочным временным флуктуациям поля. Такие быстрые флуктуации микроскопического поля имеют место в плазме, в кристаллах и в других средах и происходят на расстояниях порядка расстояний между соседними частицами вещества (атомами, молекулами, ионами) •

12 Усреднение уравнений Максвелла. В большинстве случаев не требуется детального знания микро полей в веществе. Чаще всего (но бывают и исключения) интерес представляют те значения электромагнитного поля, которые усреднены по некоторым конечным областям пространства и по соответствующим промежуткам времени ). В результате такого усредне* ния ми к рофл у ктуации, связанные с дискретной структурой вещества, оказываются сглаженными. Усредненное таким образом электромагнитное поле называется макроскопическим.

Усреднение поля имеет смысл производить по области пространства, внутри которой находится большое число частиц среды, но которую можно считать малой по сравнению с другими характерными для физической системы размерами. Например, область усреднения должна быть мала по сравнению с длиной электромагнитной волны, если в системе имеются электромагнитные волны. Введенный таким образом объем △ V будем называть физически малым (или макроскопически малым). Промежутки времени Аг, по которым имеет смысл проводить усреднение, должны превышать характерный "период" движения зарядов в физически малом объеме.

Для перехода к макроскопическому описанию нужно прежде всего усреднить по пространству и времени уравнения Максвелла (1.1). Опреде* лим среднее значение некоторой компоненты h(r ,t) электромагнитного поля обычным образом:

—1, +А"2-

Л (г. Г) = / d3p / dTh(r^p, Г + т).(1.3)

AUAf (ДИ) -ДГ/2

Здесь At — соответствующий макроскопически малый промежуток в реме* ни, d3p — элемент объема △匕 центр которого можно выбрать в точке с радиус-вектором г.

Определенное таким образом среднее (макроскопическое) поле являет* ся функцией координат и времени. Дифференцируя обе части (1.3) по какой-либо координате или по времени f (соответствующую переменную

обозначим буквой х); будем иметь:

bh 1,А〃2 ЭЪ(г +д г + т)

J ^р J dT

Эх ДI/ДГ (дг) -дг/2Эх

(1.4)(1.4)или

(1.4)

(1.4)

Эх Эх

Те же средние получатся и в случае усреднения по ансамблю. Чтобы в этом убедиться, запишем согласно равенству (30.7) из ч. I книги:

//(乙 г) + h'^r, г) + ... =lim ,

где h\r ,t} ,h V , t) и т.д.— микроскопические значения поля, соответствующие разным системам ансамбля.

Дифференцируя обе части последнего равенства, получим снова (1.4) (в предположении, что операции дифференцирования и перехода к пределу переставимы). Таким образом, производная от среднего равна среднему значению производной. Поэтому можно написать:

_ _ Эя эя

rot Е = rot F, divM=divM, = и т.д.

dt dt

Следовательно, после усреднения по физически малым объемам и времени уравнения Максвелла принимают вид:

f 1 8后 rot Е =,

с dt

(1.5)(1.5)_ 4万1 dT rot Я = — (j+/ext)+— "Г-， СС

(1.5)

(1.5)

div 豆=0,

divE = 4n(p+ p；xt).

В макроскопической электродинамике среднюю напряженность Е макроскопического электрического поля принято обозначать через £, опуская знак усреднения. Среднюю же напряженность магнитного поля ТГпринято обозначать через В и называть вектором магнитной индукции. Кроме того, принято также опускать черту усреднения и у величин^7^xt» 万 понимая в дальнейшем под/,/ех1г р усредненные (макроскопические) значения этих величин. В таких обозначениях система уравнений Максвелла (1.5) примет вид:

as

rot Я =rot Я =4n1 8£”小)+ ；/ ‘4n1 8£”小)+ ；/ ‘(1.6)(1.6)rot Е =.

rot Я =

rot Я =

4n1 8£

”小)+ ；/ ‘

4n1 8£

”小)+ ；/ ‘

(1.6)

(1.6)

div Я = 0, divE = 4я(р + pext).

Уравнения (1.6) сохраняют свой вид независимо от величины области усреднения, которую можно выбрать в соответствии со спецификой задачи и экспериментальной методикой измерения полей и других макроскопических величин.

Система уравнений (1.6) не является полной до тех пор, пока не установлена зависимость либо между усредненными значениями плотности наведенных зарядов и токов в веществе р и / и макроскопическими напряженностями полей £и Я, либо между ри/ с одной стороны и pext и /cxt — с другой. Обычно для установления такой связи привлекают статистические представления о движении частиц вещества— вводят в рассмотрение функцию распределения f (г ,p,t) частиц в исследуемом электромагнитном поле (при квантовом описании вещества — матрицу плотности). Функция рас* пре деления — это средняя плотность числа частиц в фазовом пространстве, которая уже рассматривалась в § 6,13, 16 ч. I. Произведение f(r,p, t)d3rd3p дает среднее число частиц, координаты которых лежат в физически малом объеме dV -d3r, а компоненты импульса-в объемеd3p импульсного прост* ранства. Знание функции распределения позволяет найти наведенные полем токи / (г, г) и заряды р(г,г)*). Функция распределения может быть найдена из решения уравнения, которое называется кинетическим.

Описание электромагнитных свойств среды с помощью кинетических уравнений для функции распределения является наиболее подробным способом описания. Кинетический подход позволяет выяснять тонкие де* тали физических явлений и доводить решение задачи "до числа", выражать ответ через микроскопические параметры, характеризующие структуру и свойства среды. Такой способ описания является, однако, весьма сложным и требует достаточно подробной информации о структуре среды. Недостаток этой информации заставляет вводить различные феноменоло* гические модели или использовать экспериментальные зависимости между /,риЕ,В.

Часто, например, считают (и это подтверждается экспериментом при слабых, по сравнению с атомными, полях), что величины / и £ связаны соотношением

…瓦 (17а) известным как закон Ома (в дифференциальной форме). Формула (1.7а) в том виде, как она здесь написана, справедлива только в случае изотропных сред. В анизотропных средах закон Ома принимает вид

“=g"卢8. (1.76) При этом а является макроскопической характеристи кой вещества и не зависит от £.

Важно, однако, отметить, что формулы (1.7) и другие подобные фено* менологические соотношения справедливы далеко не всегда. Хорошо опи>

♦) Найденные с помощью функции распределения величины /и р являются средними по ансамблю. Эти величины выражаются через функцию распределения с помощью формул

р(г, t)=effirtpt dd3A /(г, t)=ef vf(r,p, dd3p.

При наличии в веществе разных сортов частиц нужно знать функции распределения частиц каждого сорта и просуммировать правые части написанных уравнений по всем сортам частиц. Следует, наконец, добавить, что при усреднении по ансамблю в случае макроскопических тел соответствующие средние достоверно предсказывают результаты также и каждого единичного опыта.

сывая некоторую совокупность экспериментов при одних условиях, они могут оказаться неадекватными действительности в новых условиях. Для примера укажем, что в сильных полях и в анизотропных средах вместо (1.7) следует пользоваться соотношением

Ja =。&8 Er + 7aв*у 弓? £у + f0^76 Eq £y Е» , (1.8) где по повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 3.

Плотность наведенного тока может определяться не только напряжен* костью электрического поля, но и тем, как оно изменяется от точки к точке. В этом случае связь между током и напряженностью электрического поля примет вид

ЪЕа

/а =。邱點 + 互6) а* ' • (1.9)

Как мы увидим ниже, в сверхпроводниках связь между плотностью тока и магнитным полем принимает вид

rot / = — ЛВ. (1.10)

Несмотря на то, чтр при фено менологи чес ком подходе возникает значительное число определяемых из опыта параметров, такой подход представляется очень привлекательным вследствие своей простоты и безмодельнос* ти. Но установление пределов применимости той или иной зависимости, а также вычисление соответствующих макроскопических констант среды требует, как правило, статистического описания движения частиц в рас* сматривавмом веществе в присутствии электромагнитного поля. Во многих случаях это статистическое описание должно быть к тому же квантовым.

Решения уравнений электродинамики в средах отличаются исклюмитель* ным разнообразием. Это связано с разнообразием свойств самих сред. В ка* честве среды может выступать плазма, лабораторная и космическая. Сходными в некоторых отношениях свойствами обладают металлы и полуметаллы, а также полупроводники. Иначе ведут себя заряды в непроводя* щих средах, в частности, в твердых и жидких диэлектриках. Совсем други* ми свойствами обладают заряды в сверхпроводниках. Весьма разнообразны также свойства магнетиков — сред, сильно взаимодействующих с магнитной компонентой электромагнитного поля.

Развитие науки приводит к тому, что мы постоянно сталкиваемся с новыми или со старыми, но находящимися в необычных условиях средами. Поэтому электродинамика сред является современной, развивающейся наукой.

УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В СРЕДАХ

Связь наведенных зарядов и токов с удельными дипольными мюмен* тами. Уравнения Максвелла в средах. В уравнениях (1.6) величины Pext и /ext задаются внешними условиями и могут рассматриваться как неоднородные члены уравнения. Величины же наведенных зарядов и токов ри/ заранее неизвестны,и их необходимо выразить через некоторые макроскопические величины, характеризующие свойства вещества и зависящие от значений напряженности электромагнитного поля. Соответствующие соотношения могут быть записаны по типу зависимости (1.7), но особенно удобно выражать ри/ через плотности Р и Л/ мак рос ко пи чески х электри* ческого и магнитного дипольных моментов среды,определенных следую*

щим образом:

(2.1)(2.1)11

(2.1)

(2.1)

р=2 рМ= Z fn，

△丿(д iz)ДИ (Д и)

Здесь 尸/ и ш, — дипольные моменты отдельных микрочастиц, из которых состоит*вещество. Суммирование производится по всем частицам в макро* скопически малом объеме △ V.

Плотность наведенных зарядов р можно выразить через вектор электрической поляризации Р. Для этого рассмотрим произвольное электронейт- ральное тело конечных размеров и потребуем, чтобы его полный дипольный момент fPdV выражался известным образом через плотность наведенного заряда р:

(2.2)(2.2)fPdV^fprdV

(2.2)

(2.2)

(интегрирование здесь ведется по всему объему тела). Интеграл в правой части (2.2) не зависит от выбора начала координатной системы, если

fpdV-0.(2.3)

Умножим обе части (2.2) на произвольный постоянный вектор а и вое* пользуемся тождеством а Р - (Р - ^}(а • г). При этом

f p(ar)dV^f(P^)(ar)dV^f^{P{a -г)] ~卜一/(0 hdivPdK (2.4)

Первый интеграл в правой части (2.4) по теореме Гаусса — Остроградского может быть превращен в интеграл по поверхности, охватывающей рассматриваемое тело. Этот интеграл равен нулю, так как вне тела равен нулю вектор Р. В оставшемся равенстве можно опустить вектора ввиду его про* изводьностиг так что

fprdV^ -frdivPdH(2.5)

Это равенство превращается в тождество, если положить

р= -divP.(2.6)

При этом, как легко видеть, выполняется и равенство (2.3).

"分•"分•Вектор Р на границе тела обращается в нуль скачком. В этом случае на поверхности возникает поверхностный заряд. Для его вычисления нужно выполнить в (2.6) предельный переход такого же характера, как и при выводе граничного условия на основе последнего уравнения Максвелла, div 尸=47rpext (см. § 15, ч. I). В результате имеем

"分•

"分•

(2.7)

Выразим теперь плотность тока / через векторы электрической и магнитной поляризации. Удобно использовать уравнение непрерывности для наведенных зарядов и токов

(2.8)(2.8)Эр

(2.8)

(2.8)

—+ div/ = О, at

которое при подстановке в него (2.6) дает

(2.9)

Из (2.9) следует, что

.ар ,

j= rot М ,(2.10)

где М'- некоторый вектор, обладающий тем свойством, что он, как и вектор Р, отличен от нуля только в занятом телом объеме. Из (2.10) следует, что плотность наведенного тока может быть представлена в виде суммы двух слагаемых. Первое, имеющее вид 3尸/Зг, называется током поляризации, поскольку этот ток связан с перетеканием зарядов, составляющих электрический дипольный момент вещества. Второе слагаемое, rot М', обусловлено наличием в веществе замкнутых микротоков, не связанных с макроскопическим электрическим полем.

Чтобы лучше понять смысл второго слагаемого, рассмотрим сначала соответствующий ток в отсутствие электрического поля, когда bP/bt = 0. В этом случае ток / = rot М' должен, очевидно, обладать следующими свойствами:

полный ток через любое сечение среды равен нулю:

JjdS=6(2.11)

интеграл

1

—frXjdV 2с

по всему объему среды должен быть равен полному магнитному моменту тела:

1

—frXjdV^JMdV.(2.12)

2с

Применим далее такой же прием, как при преобразовании р. Умножим (2.12) на произвольный постоянный векторам преобразуем подынтегральное выражение в левой части (2.12) следующим образом:

а • (г X rotМ *) = (а X г) • rotM' = div[M' X (а X г)] +М ' • rot(4 X，)，

причем

М' • rot (о X，)= 2о • М

В итоге, после интегрирования с использованием теоремы Гаусса, получаем

1

一 SM^V^SMdV. с

Следовательно М'-сМ, где М — плотность магнитного момента среды. Таким образом, в отсутствие электрического поля

/ = с rot М ;(2.13)

при этом, как можно убедиться с помощью теоремы Стокса, выполняется и равенство (2.11). Ток (2.13) принято называть током намагничения. По* лученное выражение для тока намагничения сохраняется и при наличии статического электрического поля.

При наличии переменного электрического поля, когда ЭР/dt W 0, величина —” может и не совпадать с вектором намагниченности. Тем не

менее, формула (2.10), ЭР

/ = — + с rot Mf(2.14)

сохраняет свою силу, если Мне считать плотностью магнитного момента.

Возвращаясь к системе уравнений (1.6) и подставляя в нее соотношения (2.6) и (2.14) для плотностей наведенных зарядов и токов, получаем систему:

_ 1 аз rot Е =——-, с 3f

47T1 a

rot (Я — 47TM ) =/ext + — —(£ + 4яР), сс "⑵ 15)

div 3 = 0,

div(E + 47r尸)二 4ярехГ

Система (2.15) приобретает наибольшее сходство с системой уравнений Максвелла в вакууме, если ввести два новых вектора поля:

0 = Е +47r 尸(2.16)

и

〃 = 5-47гМ(2.17)

Вектор D называется электрической индукцией, а вектор Я — напряженностью магнитного поля. Смысл этих векторов заключается в том, что они учитывают наведенные в веществе заряды и токи. Теперь система уравнений (2.15) принимает вид

4я1 а〃

г^Н^ — /ext + ——.

сс "⑵ 18)

div 3 = 0, divD = 47rpext・ В отличие от системы уравнений Максвелла в вакууме в систему уравнений в среде входят четыре вектора: Е,В,D^ Я. Поэтому система уравнений (2.18) не замкнута и ее следует дополнить уравнениями, устанавливающими дополнительные связи между четырьмя векторами поля.

В отличие от системы (2.18), уравнения связей не носят универсального характера и определяются, как правило, конкретными свойствами рассматриваемой среды. В этой книге мы получим уравнения связи для некоторых наиболее простых по своим свойствам сред. Пока же сделаем одно только предположение, — что уравнения связи линейны, — и запишем их в символической форме:

D = ?E

и

В = АН・(2.19)

Под 含 и R следует понимать некоторые линейные операторы, которые, в частности, мс「ут быть тензорами второ「о ранга, дифференциальными или интегральными операторами. В случае медленнно изменяющихся в пространстве и во времени полей операторы 2 и 0 мо「ут свестись к умножению величин Е и 〃 на некоторую алгебраическую (может быть тензорную) величину. Операторы 合 к d называются операторами диэлектрической и магнитной проницаемосгей.

Мы связали линейной зависимостью попарно векторы D и Е, Я и Я. Не следует ^и обобщить эту зависимость, записав, например, D=*E+ §6 и

Написав уравнение

1 ЪВ rot £* =——— с а?

в виде

В = —с / rot £ c/t,

мы видим ,что в соотношении D = ^Е + ^В можно исключить вектор В

P = e£-cf/rotEdt.(2.20)

Правда, при этом в (2.20) вошли пространственные производные от Е. Но поскольку мы понимаем под е линейный оператор произвольного вида, который может содержать и дифференцирование по координатам, то (2.20) не является более общим, чем первое из уравнений (2.19). Что же касается второго уравнения (2.19), то общий характер этой связи с помощью уравнений Максвелла установить затруднительно. Отсюда видно, что по крайней мере первое из уравнений (2.19) носит достаточно общий характер и необходимость в его дальнейшем обобщении возникает только при рассмотрении нелинейных явлений.

Заметим, наконец, что по своим свойствам ближе всего к микроскопическим напряженностям Е и Я находятся макроскопические векторы напряженности электрического поля Е и магнитной индукции В. В частности, именно эти векторы определяют силу, действующую на внесенный в среду сторонний заряд ：

戶= g(E+lvXb).(2.21)

На поверхности среды, там, где свойства среды меняются скачком, дифференциальные уравнения (2.18) теряют силу и должны быть заменены соответствующими граничными условиями. Формальное сходство уравнв' ний (2.18) с уравнениями Максвелла в вакууме позволяет на основе ре* зультатов § 15,ч. I записать граничные условия для векторов поля:

82〃 = 8i〃， D2n - D|n = 4nocxt, 4я ,(2.22)

Индексами тип здесь мы обозначили тангенциальные и нормальные компоненты векторов, индексом Г — орт, касательный к поверхности разрыва и перпендикулярный вектору 五 цифры 1 и 2 показывают, по какую сторону поверхности среды берутся векторы. Нормаль л направлена из первой среды во вторую. Величины /ext и o^xt суть плотности стороннего поверхностного тока и стороннего поверхностного заряда соответственно.

Другая форма уравнений поля в средах. Вектор обобщенной электрической индукции. Система уравнений (2.18) очень удобна для описания стационарных или медленно изменяющихся полей. В быстропеременных полях разделение наведенного в веществе тока на ток поляри* зации и ток намагничения, чем обусловлен вид второго уравнения в системе (2.18), становится неоднозначным. Действительно, ток намагничения легко выделяется тогда, когда он замкнут. Именно в этом случае выполня* ется условие (2.11).

Приближенной замкнутости токов намагничения можно, однако, ожидать только в случае, если путь 1Т, проходимый заряженными частицами за период Г изменения поля, много больше радиуса их траектории. Если это условие не выполняется, то отличить ток намагничения от тока поля* ризации невозможно.

В такой ситуации удобно ввести новый, отличный от (2.16), вектор электрической индукции 级 связав его непосредственно с плотностью всего наведенного тока:

3)仇 f) = Е仇 f) + 4тг 了 j仇力次'. (2.23)

Будем называть его вектором обобщенной электрической индукции^ По аналогии с (2.16) интеграл по времени в (2.23) можно обозначить UJ: ^(r,t)=J /(rz t}dt.(2.24)

хотя введенный таким образом вектор 个 не имеет наглядного смысла электрического дипольного момента, приходящегося на единицу объема. Из (2.24) следует, что

八小)=—俨(гJ).(2.25)

Of

а из уравнения непрерывности следует, что плотность наведенного заряда p(rz t) = - J div/(г, t}dt = - div 京•(2.26)

При записи выражений (2.23) - (2.26) предполагается, что электромагнитное поле, а следовательноz и индуцированный ток при г 8 отсутствовали и появлялись лишь при конечных временах, так что интеграл по г' сходится.

В итоге для описания электромагнитных явлений в веществе оказалось достаточно ввести три вектора: Е, В и 处 Теперь система уравнений Максвелла в среде принимает вид

1 as rot £ = _ 一 —'-.

С dt

div2$ = 47rpext.

Система уравнений (2.27), как и система (2.18), - Неполная. Для определения трех векторов мы имеем всего два векторных уравнения (два первых уравнения системы (2.27)). Уравнения же, содержащие div3 и div %, как указывалось в § 14, ч. I, можно рассматривать как некоторые универсальные начальные условия. Поэтому систему уравнений (2.27) следует дополнить уравнениями, связывающими векторы поля. Требуемое материальное уравнение по аналогии с (2.19) и на основе тех же аргументов мы запишем в виде

V = е£.(2.28)

Теперь все свойства среды, в том числе и магнитные, описываются одним только оператором е. Следует заметить, что хотя этот оператор обозначен той же буквой, что и один из операторов в формулах (2.19), он не совпа> дает с последним. Вектора Н в системе (2.27) вообще нет. Соответственно, нет и необходимости вводить второе материальное уравнение. Что же до возможного влияния вектора В на индукцию ⑦,то она уже учтена в (2.28). Это следует из рассуждений, эквивалентных тем, которые приводят к формуле (2.20).

Описание электромагнитных явлений в среде на основе уравнений (2.27) имеет, наконец, еще и то преимущество, что при этом не возникает вопроса о том, достаточно ли общим является второе из материальных соотношений (2.19), содержащее оператор 0. Поскольку оператор е описывает теперь все электромагнитные свойства среды, знание е в (2.28) должно быть эквивалентно знанию двух операторов в (2.19), 2 и &. Связь между этими тремя операторами мы установим позже.

В заключение получим граничные условия для векторов поляг входящих в систему (2.27). Из первого, третьего и четвертого уравнений этой системы таким же методомг как и в § 15 ч. I, получим граничные условия:

々「二々т，8? и ~ В \п е勿2八一纷1 门=4 7roe x t，(2.29)

которые совпадают с условиями (2.22) для соответствующих векторов. Отличие от предыдущих граничных условий возникает, однако, в связи с уравнением, содержащим rot В. Удобно переписать это уравнение в виде

47r1 ЭЕ

rot^=——l/+/ext)+(2.30)

cc ot

воспользовавшись формулой (2.23). Записав (2.30) в интегральной форме и производя предельный переход как в § 15 ч. Ir получим

827-817 =——仇+/；xt),(2.31)

с

где 7Р - индуцированный в веществе поверхностный ток. При выводе (2.31) было использовано условие ограниченности производной по време* ни от измеряемой физической величины - напряженности Е электричес* кого поля.

ТЕНЗОР КОМПЛЕКСНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ. ВРЕМЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ.

Функция отклика и диэлектрическая проницаемость. Наиболее общая форма линейного материального уравнения, связывающего вектор ® или D с вектором Е (так же как и 3 с 〃)，есть интегральное тензорное

соотношение )вида

+&&")=_/ dt fdV(^(t^f 厶 “£就'"')・ (3.1)

Здесь £а0 — некоторая действительная тензорная функция (ядро интегрального оператора), которую иногда называют функцией огклика,

Физический смысл соотношения (3.1) прост: реакция среды (т.е. ее поляризация и намагничение) в общем случае в заданной точке пространства г в момент времени f определяется электромагнитным полем во всем пространстве и во все моменты времени, предшествующие или совпадаю* щие с расематриваемым моментом г. Пределы интегрирования по времени в (3.1) отражают, таким образом, принцип причинности: поляризация и намагничение среды в данный момент не может зависеть от будущих значений напряженности поля. Зависимость реакции среды от предшествующих данному моменту значений поля объясняется конечностью времени перестройки системы зарядов — при изменении поля система зарядов в вещест - ее перестраивается, но не мгновенно, а за конечное время, "сомнх" в данный момент о предшествующих значениях поля. Фактически такая ^память0 сохраняется только в течение конечного времени, порядка времени релаксации т зарядов среды. Поэтому функция отклика €а^ быстро убывает при г — f'» 匸

Физическая причина зависимости поляризации или индуцированного тока в точке г от значений поля в соседних точках пространства г' связана с тем, что в данную точку вследствие теплового движения могут приходить частицы среды из соседних областей пространства с другими значениями полей, и поэтому связь между реакцией системы и напряженностью поля оказывается нелокальной. Эффекты нелокальности тем больше, чем сильнее поле изменяется в пространстве. Обычно с ростом разности |r-r' | функция %0 достаточно быстро убывает.

Тензорный характер функции отклика 6邓 отражает анизотропию свойств среды: в анизотропных средах направления векторов 59 и Е могут не совпадать, при этом линейная связь между векторами осуществляется через тензор второго ранга. В изотропных средах векторы ® и Е коллинеарны, а тезор £а0 пропорционален единичному тензору: £邱 ~ 坛什

Если рассматриваемая среда — однородная, то зависимость функции отклика £33 от переменных гиг' упрощается. Указанная функция опи> сь»вает влияние поля в точке г1 на реакцию среды в точке г. В однородной среде это влияние может зависеть только от относительного расположения точек г и г \ но не от их абсолютного положения. Следовательно, величина

должна быть функцией разности г —，'. Аналогичные аргументь^ позволяют сделать вывод, что если свойства среды не зависят от времени г” то £а0 будет зависеть только от разности г — г'. В дальнейшем в этом парагра» фе мы будем иметь дело именно с таким случаем однородной среды с постоянными свойствами.

Заметим, что зависимость вида (3.1) охватывает и упомянутый в преды - дущем параграфе случай, когда 约 выражается через пространственные производные от Е. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно разложить Е(г', г) в степенной ряд по разности г' - г вблизи точек г* = г. Удерживая в этом разложении нулевой и первый члены разложения, получим, что

.八8e曲Г)

勿а(，Г) = £邓£0仇 б +&0)—，(3.2)

ОХ

где

録=/С耶(尸一二 t - t)d3r,

厶0)=/£a6年一/, Г 一，)•，-H7^3r .

Здесь величины 戛。и Е哂 суть операторы уже только по отношению ко времени. От координат эти величины в пространствен но-однородной среде вообще не зависят.

Далее в этом параграфе мы будем изучать те аспекты соотношения (3.1), которые связаны с зависимостью реакции системы от времени. В связи с этим мы не будем выписывать прсютранственные переменные в (3.1) и будем опускать интегралы по объему I/'.

Введем новую величину fa^t - г'), связанную с ядром уравнения (3.1) соотношением

£а0(Г — f') = 6a^5(t —力 + fa^(t — t ),

так что (3.1) примет вид

〃а(?)= 4⑴ +f%6(7疋0任 一 7)九(3.3)

0

Умножая это уравнение на е*‘зг и интегрируя по t от - 00 до + °°, получим фурье-образ уравнения (3.3):

勿。心)= %(3)+ Г%0(Т)『зт£0(з)〃. О

Эта формула существенно отличается от формулы (3.3) тем, что напряженность электрического поля, стоящая в правой ее части, больше не зависит от переменной интегрирования, так что связь между фурье-образам и векторов электрической индукции и напряженности поля из интегральной превратилась в алгебраическую,

九(3)= eQ^}E^} t(3.4а)

где коэффициент пропорциональности

£。6(3)=坛8 + ; 厶66)/37十.(3.46)

о

Эта функция носит название зависящей от частоты комплексной диэлектри- ческой проницаемости.

Свойства диэлектрической проницаемости при действительных частотах. Комплексная диэлектрическая проницаемость обладает целым рядом математических свойств, отражающих физические свойства этой важнейшей в электродинамике величины.

Непосредственно из (3.46) видно, что при действительных значениях частоты з можно записать:

小(з)=坛8 + / fa^T)e~iWTdT^ £а0(- з).(3.5)

о

Следовательно,

£展8(3)=咸鼠-3) И 龟8(3)= - 6《0(-3).(3.6)

Таким образом, выражение для комплексной диэлектрической прони* цаемости

бa0(3)= £之6(3)+ 花味0(3)

имеет действительную и мнимую части, которые являются ссютветственно четной и нечетной функциями действительной частоты.

Функция е(з) действительна на мнимой оси комплексной плоскости з.

В самом деле, из (3.46) следует, что

/8(3)= £«0(- 3*),

поэтому

/8(/3") = "0(:3")，(3.7)

чем и доказывается сделанное утверждение.

Из соотношений (3.6) также видно, что если при действительных частотах величина &(з) при всех з > 0 имеет один знак, то при 3Vo функ* ция &(з) будет везде на отрицательной действительной полуоси иметь противоположный знак.

Как мы увидим далее в § 7； в изотропной и не обладающей магнитными свойствами среде, которая находится в термодинамическом равновесии, величина е"(з) обладает свойством: е"(з>0)>0. Таким образом, в этом случае

£”(з>0)>0 и £"(з<0)<0・(3.8)

Установим теперь низкочастотную асимптотику функции е(з). В диэлектриках при малых частотах е (з) стремится к статическому значению £(з = 0)=£о. В проводящих средах низкочастотная асимптотика имеет другой вид; ее можно установить на основе следующих рассуждений.

В проводящей среде при низких частотах наведенный ток и ток омический -это один и тот же ток. Поэтому, в ссютветствии с формулой (2.23), фурье*образ вектора электрической индукции имеет вид

引(з) =Е(з)+4тг 了 dfe+2‘ / dtoE^}.(3.9)

Здесь была использована обычная формула для плотности тока / = оЕ, в которой проводимость о при низких частотах совпадает со статической проводимостью. Подставляя в интегральное слагаемое формулы (3.9) разложение F(f) в интеграл Фурье, ,1+8.

E(f)=——/ 43闺3]53) (2тг) 一8

и меняя порядок интегрирования в получившемся тройном интеграле, получаем:

/4тг/а \

Е(3] )6(3[ — з) = (1 + )Е(з).

\3 '(3.10)

При выводе этой формулы было использовано интегральное представление 5-функции (Д. IV.21):

5(з-3|)= (27г)т 了必е"з-з,)г

При з->0, когда 4тго/з > 1, диэлектрическая проницаемость

£(з) — 4тг/о/з.(3.11)

Таким образом, из (3.6) и (3.11) следует, что при малых з разложение £公从3) в ряд Тейлора по степеням з начинается постоянной 6^(0) и содержит только четные степени з. Разложение е^з) в непроводящих средах начинается линейным по з членом и содержит только нечетные степени з. В таких средах е" f 0 при 3 f 0. В проводящих средах разложение е "(з) напоминает разложение в ряд Лорана и начинается членом 4тго/з.

В отличие от асимптотики функции е(з) при малых з, которая оказывается разной в различных средах # высокочастотная асимптотика е для всех сред одинакова. Это связано с тем, что при очень высоких частотах путь /丁, проходимый частицами за период изменения поля# мал по сравнению с характерными размерами траектории частиц в собственном поле вещества. Поэтому собственное поле вещества (этим полем может быть, например, поле атомных ядер# около которых движутся электроны) не оказывает заметного влияния на движение частиц на участках их траектории порядка длины /「，и движение таких частиц в высокочастотном поле может рассматриваться как движение частиц свободных. Поэтому уравнение движения частицы в высокочастотном монохроматическом поле имеет вид

而"％е — зг(3.12)

здесь £0 — амплитуда высокочастотного поля. Интегрируя это уравнение, получаем:

для скорости

V = /е

(3.13)(3.13)для плотности тока

(3.13)

(3.13)

/ = ел V = 7 тз

где с — концентрация заряженных частиц., Все заряженные частицы для простоты считались одинаковыми.

Поскольку в знаменатель правой части (3.13) входит масса, то достаточно учитывать лишь самые легкие частицы. Почти всегда такими частицами являются электроны. Из формул (2.24) и (3.13) следует, что

К = § j dt, поэтому

夕=Е + 4тг* = ( 1

\/773? /

Отсюда имеем

£(3)= 1 - з；/з?,(3.14)

где Зр =важная характеристика вещества, называемая плаз

менной частотой.

При характерной для твердых тел концентрации электронов# л ^ 1022 — 1025см"3# плазменная частота имеет порядок 1016с-1, что соответствует ультрафиолетовому участку спектра. В других средах она может быть намного меньше. Напримерf при характерных для полупроводников концентрациях носителей заряда в зоне проводимости плазменная частота может лежать в инфракрасной области. В случае лабораторной плазмы частота Зр может оказаться в СВЧ-диапазоне.

При выводе формулы (3.14) мы не учитывали диссипации энергии движущихся частиц. Учет столкновений частиц приводит к появлению в уравнении движения для каждой частицы **силы трения**, так что уравнение движения приобретает вид

mr = e£oe~/u,r - 2мг.

Решение этого уравнения приводит к выражению для тока электронов с плотностью

/е2 з〃£

/77(3? + 2/〃з)

Таким образом# комплексная диэлектрическая проницаемость при з » 〃 имеет вид

6(3)=1J •(3.15)

(з + ivy

Частота “ называется эффективной частотой столкновений колеблющихся электронов. Вид функции е(з) = 1 — з；/з? приведен на рис. 3.1. При з = 3「функция е(з) проходит через нуль.

Свойства диэлектрической проницаемости при комплексных зиаче* ниях частоты. Очень важны те свойства функции е(з), которые проявляются, если частоте з придавать комплексные значения. Дело в том, что строго гармоническое изменение поля во времени является, скорее, абстракцией, чем реальностью. Фактически любое поле является суперпозицией ряда гармоник; часто оно является наложением гармонических полей широкого спектра. Но только в случае строго монохроматического поля комплек* сная диэлектрическая проницаемость е(з) непосредственно связывает электрическую индукцию и напряженность поля. Гораздо чаще физические величины выражаются через интегралы по частоте, в подынтегральных выражениях которых оказывается комплексная диэлектрическая проницае- 206

мость и аналитические свойства которой определяют как существенные физические особенности решения задачи, так и фактические возможности вычисления соответствующих интегралов.

Самым существенным из аналитических свойств функции ,£(з) является то, что она не имеет особенностей в верхней полуплоскости комплексной переменной з. Действительно, при комплексной частоте з = з'+ /з" экспонента в подынтеградьном выражении формулы (3.4) принимает вид ехр[(/з'— з")т]. Поскольку т > 0, то множитель ехр(—з'т) при з" > О обеспечивает быструю сходимость интеграла. Напротив, в нижней полуплоскости комплексной переменной з указанная экспонента может неограниченно возрастать, что соответствует появлению особенностей функции е(со). Аналитичность интеграла в (3.4) в верхней полуплоскости со связана с условием т》0. Последнее же условие есть следствие того, что реакция системы в момент времени г определяется воздействием на нее полей Е(') таких, что t Yr. Можно поэтому сказать, что аналитичность комплексной диэлектрической проницаемости е(з) в верхней полуплоскости переменной з является прямым следствием принципа причинности.

Функция е(со) в верхней полуплоскости переменной з не имеет также и нулей. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим интеграл

尸(з)

J = 一 /d3,(3.16)

2n/ e 戶(3)

в подынтегральном выражении которого стоит

戶(з) = е(з) -4(3.17)

где А — некоторое действительное число. Интегрирование в (3.16) ведется по изображенному на рис. 3.2, а контуру.

Как известно из теории функций комплексного переменного, интеграл J равен разности между числом нулей и числом полюсов функции 戶(з). Функция F (з), определенная формулой (3.16), при з" > 0 не имеет полюсов, поэтому интеграл J равен только числу нулей. Перейдем в интеграле

к новой переменной е. Тогда

deld31 de

J = J -d3 = J ■".(3.18)

2тг/ с £(3)—厶2я/ С' € - А

КонтурСг в плоскости е является отображением контура С на плоскость е. Дуга большого круга контура С стягивается при таком отображении в точку € = 1. Это соответствует асимптотической формуле (3.14) и есть следствие того простого факта, что при 3 f 8 система частиц конечной массы не может испытывать никакого движения, а поэтому наведенный дипольный момент будет стремиться к нулю. Точка з = 0 при отображении перейдет в точку е(со = 0) = е0. Это справедливо в случае непроводящих сред (специфику проводящих сред мы учтем ниже). Части контура С, идущие вдоль действительной оси, преобразуются в сплошные кривые (изображенные на рис. 3.2,6 символически в виде кривых С】и С2). Кривая Ci соответствует правой полуоси на плоскости з. В соответствии с (3.8) она идет выше действительной оси; кривая С2 соответствует левой полуоси и в согласии с (3.8) идет ниже действительной оси.

Интеграл(3.18), в соответствии с теорией вычетов, равен единице, если 1 < Д < €0, и нулю — при других значениях А. Отсюда следует, что если бы при з" > 0 существовали нули функции е(з), то в соответствии с интегралом в средней части (3.18) интеграл J не равнялся бы нулю и при Д = 0. Поскольку JW0 только если 4>1, функция е(з) не имеет нулей при 207

©

Рис. 3.2.

з" > 0. Из условия, что J = 1, следует также, что на мнимой оси в верхней полуплоскости величина е(з) является монотонной функцией з". В самом деле, каждому числу А соответствует один только нуль разности е(з) — А. Если бы е(з") не была монотонной функцией з', то уравнение е(з") - Д = =0 при произвольном А имело бы больше одного корня.

Утверждение об отсутствии нулей функции е(з) при з" > 0 справедливо и в случае проводящих сред, но чтобы убедиться в этом, нужно учесть особенность функции е(з) при 3 fo. Согласно (3.11), при з = 0 функция е(з) имеет полюс, который в интеграле (3.16) следует обойти так, как показано на рис. 3.2,6. При отображении контура С на плоскость е дуга малого радиуса переходит в дугу Q большого радиуса, изображенную на рис. 3.2,2. Контуры Ci и С2 на рис. 3.2/, имеющие общую точку при £ = 1, не имеют теперь второй общей точки и начинаются и кончаются, соответст* венно, в точках + /°° и - Л». Из второго интеграла в (3.17) теперь следует, что J = 1 прй А > 1 и J = 0 при Д < 1. Поскольку 7 = 0 при Д = 0, то функция е(з) не имеет нулей в верхней полуплоскости.

Функция е(з) кроме перечисленных обладает еще и другими аналитичес* кими свойствами. В частности, вблизи действительной оси она может иметь точки ветвления. Установление этих свойств требует, однако, знания вида функции f(T), которая может быть найдена, если только принята определен* нал модель среды.

Существование временной дисперсии диэлектрической проницаемости обусловлено, в сущности, тем, что реакция среды запаздывает и определя* ется полем не только в данный, но и во все предшествующие моменты времени. Параметр, который позволяет оценить степень существенности временной дисперсии, есть з/з()— отношение частоты поля к характерным собственным частотам движения зарядов в среде.

Частот Зо у среды может быть несколько. Важнейшей из них является, гю-видимому, частота движения электронов на длинах атомного масштаба, при этом частота соо ^ Ю15 — Ю16 с'1. Дисперсия существенна, если з/з()21, что соответствует оптическим частотам и ультрафиолетовому 208

излучению. Однако среда может иметь, вообще говоря, частоты з。，которые много меньше, чем частота атомного масштаба. В частности, характерные частоты движения атомных ядер в кристаллической решетке, из*за сравнительно большой массы ядер, имеют порядок 1013 сГ： что соответствует инфракрасной области спектра, В качестве характерных частот могут выступать также частоты коллективных движений электронов. Порядок величины соответствующих частот з° зависит от концентрации частиц в веществе (например в плазме) и может изменяться в больших пределах. Совсем низкими будут собственные частоты, описывающие характерные движения в хороших магнетиках.

§4. ТЕНЗОР КОМПЛЕКСНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ

Связь между воздействием поля и реакцией среды является интегральной не только во времени. Уже отмечалось, что эта связь может быть нелокальной, т.е. реакция системы в некоторой точке может определяться не только напряженностью полей в той же самой точке, но и полями в окрестности данной точки. Этому соответствует интеграл по объему в соотношении (3.1) .Такую нелокальную связь принято называть пространственной дисперсией. Если ограничиться важнейшим случаем пространствен* но-однородных сред, то ядро интегрального соотношения (3.1) будет зави* сеть только от разности координат г - т , так что интегральная связь

®a(T 3)=/%0(3,一，厄内',3)4丿(4.1)

после преобразования Фурье, как и в случае временной дисперсии, превра* тится в алгебраическую связь вида

5&化 з) = “s化 з)0化 з).(4.2)

Переход от (4.1) к (4.2) был совершен при помощи преобразования Фурье: А(г)^ iA(k)^ikrd3kf

и⑷ 3)

4优)=——-S A(r}QlkrdV. (27Г)3 '

Если бы связь между реакцией и полем была локальной, ядро интегрального соотношения (4.1) свидилось бы к 6*функции:

£а0(3, Г - ” f 8如(3)6 (Г — N) •

В этом случае функция е^^к, з), как это сразу видно из (4.3), не зависела бы от Аси ее можно было бы записать в виде функции только одной частоты, положив в ней к равным нулю. Таким образом, переход к пределу €(Л, со) -* е(0, со) соответствует пренебрежению пространственной дисперси* ей, а учет зависимости е от 衣一нелокальному характеру связи между полем и реакцией среды.

Насколько пространственная дисперсия существенна, определяется параметром kl, в котором А — фигурирующий в (4.2) волновой вектор поля, / — характерный пространственный масштаб движения частиц среды. В качестве / может выступать, например, длина свободного пробега частиц в твердом теле или в плазме. Значение / может быть порядка размеров структурных элементов среды или пути, проходимого частицами среды за период изменения поля. Пространственную дисперсию необходимо учитывать, если к/ 2 1 • Это условие означает, что частицы движутся в существенно неоднородном поле.

209209М.М. Бредов

209

209

Существует не так уж много физических задач, в которых выполняется условие 幻＞ 1. В этом смысле можно сказать, что эффекты пространствен ной дисперсии менее существенны, чем дисперсии временной, поскольку условие з/зо ? 1 достигается легче. Тем не менее, эффекты пространствен* ной дисперсии существуют. Некоторые из них имеют даже принципиальное значение (например эффект экранирования, который будет рассмотрен в § 6). В настоящем параграфе мы выясним, какие принципиальные изме* нения описания электромагнитных явлений в изотропной среде вызывает учет пространственной дисперсии, а также что означает описание не только электрических, но и магнитных свойств вещества с помощью одного материального уравнения (2.28).

В изотропной среде с пространственной дисперсией диэлектрическая проницаемость, определенная соотношением (2.28), не обязательно будет скалярной величиной. В изотропной среде без пространственной дисперсии в материальном уравнении (2.28) могут фигурировать только векторы поля. Поскольку в линейной электродинамике диэлектрическая проницае* мость € не может зависеть от векторов поля, то величина е, в которой не учитывается пространственная дисперсия, в этом случае может быть только скаляром.

Появление зависимости е от к меняет дело. Существование такой зависимости не только означает то, что е стала функцией вектора к, но и дает возможность из компонент вектора А образовать тензор. Поскольку тензор есть величина, компоненты которой преобразуются как произведе* ние векторов, то можно образовать тензор вида *)攵仪厶“公.

人 Зависимость £от как&1к2 не противоречит линейности теории. Величину £ теперь можно, отбрасывая тензоры рангов выше второго, записать в виде

"0伙，3) =4的3)九0 +42化3冰0仙偿2,

где Д1 и Д2 — некоторые зависящие от |К|и от частоты со коэффициенты. Такой вид диэлектрической проницаемости означает, что

Ф=А,Е + А2к(к-Е)/к2.(4.4)

Выясним смысл скалярных величин Ах и А2. Предположим, что Е 丄％, т.е. к • Е = 0. Тогда уравнение (4.4) примет вид 3) = А ХЕ, при этом коэффициент 4 описывает отклик среды на поперечное поле и его естественно обозначить £”化 з). Связь (4.4) в случае проАольно「о поля £1к дает:® = =(4 +4)Е. При этом величину А + 儿 следует считать продольной диэлектрической проницаемостью е1(к, з).

Таким образом, соотношение (4.4) оказывается эквивалентным фот муле

%8伙,3)=』Г伙，3瓦6 + [e‘化3) - Jr化3)]公k8优上

Последнему соотношению, после перегруппировки входящих в не「о членов, придадим вид

%0伙，з)工 е"化 3)[九8 - как^/к2] +е1{к, и)как0/к2.(4.5)

Как видно из формулы (4.5), существование пространственной дисперсии приводит к тому, что отклик среды на продольное и поперечное поля определяется, соответственно, продольной и поперечной проницаемостями.

Выясним теперь физический смысл различия между величинами е'(к, з) и с"(女，з). Сравним для этого две эквивалентные системы уравнений поля в изотропной среде — систему (2.18) и систему ；2.27). Осуществим преобразование Фурье для каждого уравнения обеих систем, перейдя, таким образом, от пары переменных г и f к паре новьзх переменных, Айз.

Система (2.18) после преобразования Фурье (при этом следует учитывать и материальные уравнения, дополняющие эту систему уравнений поля) примет вид:

к ХЕ =—У

/i347r

—к 义 В =е£ +/екt*(4.6)

дсс

% •后=0,

ik • Ее = 47rpext・

Все входящие в эту систему величины, включения 6, P.iext и pext, есть функции 无 м з, причем величины £ н 〃 в изотропной среде — скаляры.

Система (2.27) после преобразования Фурье примет вид：

к • 3 = О,

ik • Е J = 47rpe7.

Сравнивая последние уравнения этих двух систем, видим, что

£化 з) = е化 з).(4.8)

Вычтем теперь из второго уравнения (4.7) соответствующее уравнение системы (4.6); тогда «-компонента разностного выражения принимает вид

(七)依 X в)a =-播£0(九0-

Вектор 3, содержащийся в левой части этого уравнения, можно с помощью соотношения 斤 X £ = (а)/с)В выразить через вектор £. Раскрывая получившееся при этом двойное векторное произведение и сокращая на Е обе части, получим соотношение между фурье-компонентами диэлектрической и магнитной проницаемостей:

〃(匕 з) = {1 — {^/ск}2[еи(к, з) -/伙,3)]尸.(4.9)

Формула (4.9) впервые была получена И.Линдхардом. Из этой формулы видно, что различие между е" и е1 обусловлено магнитными свойствами среды. Таким образом, при всех з * Ь, пока вектор 3 можно выразить через вектор Е по формуле В = —cfrotEdt, для полного описания и электрических и магнитных свойств среды достаточно знать 2 величины: зависящие от 斤 и от з диэлектрические проницаемости е1 и . При з = О

вектор В нельзя выразить через Е, поэтому в этом случае для описания электромагнитных свойств однородных сред требуется знание е‘ 化 0) и зависящей только от волнового вектора магнитной проницаемости 〃的. Следовательно, при всех способах описания электромагнитных свойств сред необходимо знать две характеристики среды.

Приведем еще полезную для дальнейшего формулу, дающую выражение тензора €а^(к, з) в изотропной среде через обычные электрическую и магнитную проницаемости (она получается с помощью (4.5), (4.8) и (4.9))：

% + 借)(1 -加а厂号｝(4.10)

Тензор £&0(左，з) обладает, как это ясно из его определения, следующими свойствами:

%0依,3)= %0(一生_3),

£：6(尢 3)= £：0(-尢一3),(4.11)

£：%(尢 з) = £；%(—尢—з).

Из этих формул следует, что

£‘ 依,3)= £‘ (左,一3),/ ‘依,3)= -£‘"(左-3),

(尢 3)= £”'伏,一3), £”"(尢 3)= —£”"(尢-3),(4.12)

т.е. действительные части величин е‘ и £‘「 являются четными функциями частоты, а мнимые части — нечетными функциями частоты.

СООТНОШЕНИЯ КРАМЕРСА 一 КРОНИГА

Аналитичность функции е(з) в верхней полуплоскости комплексной переменной з = з‘ + /з‘‘ означает, что действительная и мнимая части диэлектрической проницаемости е(з) не являются независимыми. Они связаны между собой формулами, носящими название соотношений Коши — Римана

(5.1)(5.1)决'(3)8е"(з) Ве'(з) 3£”(з) аз, " аз” ' аз"— 必‘

(5.1)

(5.1)

На опыте величины е‘ и е" обычно измеряют как функции действительной частоты, поэтому связь между ними удобно записывать в другой форме — в виде интегралов по действительным частотам. Такую связь можно получить с помощью интегральной формулы Коши. В соответствии с формулой Коши интеграл по замкнутому контуру Г, ограничивающему область, внутри которой некоторая функция f (со) аналитична, сводится к функции f, взятой в некоторой точке звнутри контура Г:

1f(312з[( 〃з), если з внутри контура,

,j

2 я/ г 31—3I 0,если з вне контура.

Если точка со лежит на контуре интегрирования, формула Коши имеет вид

(5.2)(5.2)1 f(3] )с/3] 〃з)= ^7 '

(5.2)

(5.2)

Символ 孑 обозначает интеграл, понимаемый в смысле главного значения.

Выберем в качестве функции，(з), аналитичной везде в верхней полуплоскости з (кроме, может быть, точек действительной оси), функцию

f(3)= £(3)— 1,

а контур Г проведем так, как показано на рисунке 5.1. Контур Г состоит из двух частей — участка, идущего вдоль действительной оси с обходом

точек 3[ =ОцЗ[ =з, и дуги Cr большого круга, радиус которой стремится к бесконечности. Поскольку внутри контура Г нет особенностей, то интеграл Коши равен нулю:

(5.3)

Вклад в этот интеграл участка контура CR равен нулю, поскольку на дуге большого радиуса подынтегральное выражение в (5.3) стремится к нулю быстрее, чем 1/3i. Это следует из вида функции е (з) при больших частотах. В соответствии с (3.14) е(з) — 1з,з。и подынтегральное выражение в (5.3) на участке контура С& при 131f 8 ведет себя, как 1/3З. Поэтому интеграл по дуге большого радиуса стремится к нулю. Остается вклад от участка контура, идущего вдоль действительной оси, а также от обхода особенностей подынтегрального выражения при з】=з и з】=0. Последняя особенность связана с поведением функции е (з) в проводящих средах при 3fo (см. формулу (3.11)). Обход этих двух особенностей дает, соответственно, вклад в интеграл (5.3):

/”€(з)-1] и ТтРо/з.

Таким образом, (5.3) принимает вид

4 7Г "31 -/“£(3)- 1]- —4 7Г "31 -/“£(3)- 1]- —

4 7Г "31 -/“£(3)- 1]- —

4 7Г "31 -/“£(3)- 1]- —

(5.4а)(5.4а)(5.46)(5.46)

(5.4а)

(5.4а)

(5.46)

(5.46)

Разделяя в этой формуле действительную и мнимую части, получаем:

《+8\

Эти формулы, связывающие £‘(з) и с "(з), называются дисперсионными соотношениями или соотношениями Крамерса - Кронига.

Формулы (5.4) можно переписать таким образом, чтобы интегрирование по 3] проводилось только по положительным частотам. Разбивая контур интегрирования на два участка, от —©о до 0 и от 0 до + 00, вводя в первом из двух интегралов новую переменную интегрирования з〕— 一з； и учитывая четность и нечетность функций £ '(з) и е "(з), получаем:

2 8£‘(3)= 1 + ; f2 8£‘(3)= 1 + ; f(5.5а)(5.5а)£”(з)=£”(з)=3i£”(3i ) 3? — 3?3i£”(3i ) 3? — 3?47ro47ro(5.56)(5.56)

2 8

£‘(3)= 1 + ; f

2 8

£‘(3)= 1 + ; f

(5.5а)

(5.5а)

£”(з)=

£”(з)=

3i£”(3i ) 3? — 3?

3i£”(3i ) 3? — 3?

47ro

47ro

(5.56)

(5.56)

Такая форма записи соотношений Крамерса — Кронига оказывается особенно удобной в случае анализа экспериментальных результатов. Соотношения Крамерса — Кронига используются в оптике для восстановления полной функции е(з) по ее действительной или мнимой частям, измеренным в возможно более широком интервале частот. Формулу (5.5а) иногда записывают в виде

(5.6)(5.6)， 4тге2 8 外з)

(5.6)

(5.6)

Определяемая этой формулой функция f (з)с/з называется силой осцилляторов или числом дисперсных электронов в интервале частот d3. Между функциями，(з) и £ "(cd) существует соотношение

"3）二中"3）二中тзе "(з)

"3）二中

"3）二中

(5.7)

Физической основой дисперсионных соотношений и связанных с ними формул является принцип причинности. Тензорный характер диэлектрической проницаемости в анизотропных средах не меняет сделанных выводов. Учет же пространственной дисперсии приводит к появлению новых моментов.

что вектор £ является от временной эволюции ситуация действительно эксперименте возможно между некоторыми об-что вектор £ является от временной эволюции ситуация действительно эксперименте возможно между некоторыми об-Существование соотношений (5.5) означает, что между А) и £ имеет-

что вектор £ является от временной эволюции ситуация действительно эксперименте возможно между некоторыми об-

что вектор £ является от временной эволюции ситуация действительно эксперименте возможно между некоторыми об-

ся причинная связь. Такая связь предполагает, контролируемой величиной, которая не зависит реакции системы. В известных случаях такая имеет место. Такой случай реализуется, если в поддерживать постоянную разность потенциалов

ластя ми пространства. Фактически это означает, что при эволюции системы в эти области пространства контролируемым образом добавляются, или из них изымаются, заряды, таким образом, чтобы разность потенциалов между областями была бы все время определенной и не зависела от реакции системы. Такого рода управление вектором £ возможно, по-видимому, при условии, что расстояние между областями пространства с фиксированными потенциалами настолько большое, что возникающая при этом неоднородность электрического поля не требует учета пространственной дисперсии. Соотношения Крамерса — Кронига для £ (А = 6, з) (см. (5.5)) как раз и отражают такую ситуацию.

Пространственная дисперсия проявляется в системах с достаточно быстрым пространственным изменением поля. Такое поле трудно контролировать указанным выше способом. Е「о естественно создавать за счет внедрения в среду сторонних зарядов, величина которых фиксирована и не зависит от реакции системы. В этом случае поле £ уже не будет независимой переменной в причинно-следственной связи, определяющей реакцию системы. Из уравнения di vD = 4тгрех| следует, что а этом случае контролируемыми величинами будут pext и Д

Из сравнения фурье образов последнего из уравнений Максвелла, записанного в случае однородной среды в форме

唸№з〉к&Е@ 工 47rpext化 з)(5.8a)

и в форме

ik ・Е = 47rpt"i(A, з),(5.86)

можно сделать вывод, что между плотностью сторонних зарядов pext и плотностью всех зарядов pto t (последние складываются из сторонних и наведенных, так что pt nt = pext + р) существует соотношение:

(5.9a)

В изотропной среде это соотношение имеет вид:

Act =Pext伙，3).(5.96)

el (к, з)

Формулы (5.9), как и (2ЛО), могут служить определением диэлектрической приницаемости. Независимой переменной в (5£), в соответствии со сказанным выше, следует считать величину pext. Это означает, что принцип причинности в этом случае должен применяться к [е 1 (кf uj) ] ~'b изотропных средах, и к к2/как^^(к, з)—в анизотропных. Соответственно, соотношения Крамерса — Кронига в изотропных средах для продольной диэлектрической проницаемости принимают вид:

11 в 成21

Re = 1 + — f -—_- Im ,(5.10a)

Q(k. 3) 7Г о 尹一3?幻

ReRe(5.106)(5.106)

Re

Re

(5.106)

(5.106)

В случае поперечного поля нэзависимой переменной будет плотность сторонних токов /ехГ В соответствии с формулами §4, ч. II электрическое поле, опр^еляемое сторонними токами, может быть найдено из уравнения

Из этого уравнения следует, что

co(etr - с2к2/(^2)"co(etr - с2к2/(^2)"47r

co(etr - с2к2/(^2)"

co(etr - с2к2/(^2)"

Поэтому соотношения Крамерса — Кронига должны иметь место для величины (е tr — с2к2/со2) ~1. В случае длинных волн, когда можно пренебречь пространственной дисперсией, соотношения Крамерса — Кронига выполняются и для「г (£ = 0, з).

ДЕБАЕВСКОЕ ЭКРАНИРОВАНИЕ

в.1. Электростатический потенциал точечного заряда в среде. Способность среды поляризоваться приводит к ослаблению внешнего, вызванного сторонними зарядами электрического поля. Особенно важно понять, как именно выглядит это ослабление в простейшем случае, когда электрическое поле обусловлено одним точечным зарядом, помещенным в среду. Такого рода явление экранирования важно для рассмотрения в самых различных областях физики. Но, кроме этого, оно имеет принципиальное значение в том смысле, что позволяет оценить максимальные расстояния, разделяющие объекты, взаимодействие между которыми следует считать существенным. Явление экранировки интересно также и в том плане, что, с одной стороны, оно показывает, как слабый в некотором смысле эффект пространственной дисперсии может приводить к принципиально важным явлениям, и с другой стороны — позволяет понять, что является статическим пределом введенной в § 4, ч. Н диэлектрической проницаемости среды.

Как известно, в вакууме свойства электростатического поля определяются уравнениями rot£= 0 и divE = 4яр. Электростатическое поле в среде также описывается первым и последним уравнениями системы (2.27). Структура первого уравнения позволяет, как и в вакууме, ввести скалярный потенциал g электрического поля таким образом, что

Е(г) = - grad^fr).

Фурье-образ этого соотношения при з = 0 есть

£(%0)=一心3化 0).(6.1)

Поэтому последнее из уравнений системы (4.7),

ik Edlk, з) = 4加ext(衣，з),

в статическом пределе имеет вид

&2Q%, 0)9(к, 0) = 47rpet 化 °)・(6.2)

Если поле обусловлено одним точечным зарядом, находящимся в точке г о, то

Рех/，П =е&(，一Го)・

Тогда

г / ехр[ - i{kr + a}t)]blr -r0 )d3rdt =

—6 (з)ехр( — * •，o). 27r

Следовательно, имеем

(63)(63)exp( - ik^rQ} 屮代 з) = 2e — 5(з).

(63)

(63)

Производя обратное преобразование Фурье и возвращаясь, таким образом, к переменным г и Г, получим

9(г,Г) = (2тг)-2 / 9%, 3)exp[/(h尸-3t)]d3kdз =

(6.4)(6.4)exp 欣•(/•-%)]2е(2тг)'2 f—— d3k.3,化 °)

(6.4)

(6.4)

От времени этот потенциал не зависит, поскольку заряд неподвижен. Если бы заряд находился не в среде, а в вакууме, потенциал g имел бы вид

2е 「2е 「exp[Zfc(r -r0)lexp[Zfc(r -r0)ld3d3(6.5)(6.5)

2е 「

2е 「

exp[Zfc(r -r0)l

exp[Zfc(r -r0)l

d3

d3

(6.5)

(6.5)

Ясно, что этот интеграл равен е/| г — г 0| . Наличие в подынтегральном выражении формулы (6.4) зависящей от волнового вектора к функции е' (к, 0) означает, что зависимость (6.4) от координат будет отличаться от е/j г — г 01 • Подчеркнем при зтом, что речь идет не просто об ослаблении поля, а об изменении его зависимости от координат. Это обстоятельство целиком обусловлено зависимостью 曰 от к, т.е. пространствен* ной дисперсией.

Чтобы выяснить характер такой зависимости, нужно оценить в каком- либо приближении или в какой-нибудь модели вид функции £‘(",()). В этом параграфе мы проведем такую оценку в простом и важном приближении— когда заряженные частицы могут передвигаться свободно, сталкиваясь между собой или с частицами других сортов таким образом, что длина свободного пробега частиц много больше характерного для задачи электродинамического масштаба (т.е. расстояния, на котором существенно меняется поле). Диэлектрическая проницаемость,полученная в этом прибли* жении, называется проницаемостью однородной изотропной бесстолкновительной плазмы (заметим сразу, что, вообще говоря, столкновениями можно пренебречь еще в одном предельном случае — когда частота поля много больше частоты столкновений). В этой модели возможно довольно простое кинетическое описание среды, которое основано на анализе вида функции распределения，(г , р, г) •

Согласно известной из механики теореме Лиувилля, функция распре деления статистической механической бесстол к но вител ьной системы определяется уравнением

(6.6a)(6.6a)dfldt = 0.

(6.6a)

(6.6a)

Равенство нулю полной производной от функции распределения можно выразить также в виде формулы

(6.66)(6.66)#»»

(6.66)

(6.66)

—+ р — + v — = 0;

dr dp dr

X ^). Уравнение (6.66) называет-X ^). Уравнение (6.66) называет-. J 1

X ^). Уравнение (6.66) называет-

X ^). Уравнение (6.66) называет-

здесь p~ импульс, p— сила eg + — v

ся кинетическим уравнением бесстолкновительной системы или уравнением Власова.

Если уравнение (6.66) решается совместно с уравнениями Максвелла, то плотность наведенных зарядов и токов следует выражать через функцию распределение:

(6.7)(6.7)р = е / (f -外炉卩 /=e/v(f - f0)d3p,

(6.7)

(6.7)

где fo — равновесная, не возмущенная электромагни!ным полем функция распределения.

Тот факт, что под интегралами в выражении (6.7) стоит разность f — fo, означает, что в системе, не возмущенной внешним полем, макроскопические заряды и токи предполагаются отсутствующими. Таким свойством и обладает равновесная изотропная плазма: из-за квазинейтральности и отсутствия в ней упорядоченных движений

р0 "/%d30=0, jo =e//gзp = 0.

Поскольку не возмущенная внешним полем плазма считается однороднойг равновесная функция распределения f0 зависит только от энергии (т.е. от г?), но не от г и t.

Обозначим разность f — fq — возмущенной и равновесной функций распределения — как Bf. Поскольку расематривается задача об экранировке электрического поля, то ^ = 0. Поле будем рассматривать как суперпозицию гармоник, каждая из которых изменяется в пространстве по закону eikr со своим волновым вектором к. Оставаясь в рамках линейной электродинамики, следует удерживать в кинетическом уравнении (6.66) только линейные по полю члены. К линейным членам относятся члены, содержащие произведение Е на равновесную функцию распределения f0 (точнее — производную от ^0 по импульсам) или неравновесную часть 5? функции распределения. Слагаемые, содержащие произведения 5，на напряженность поля Е, являются квадратичными по полю членами и поэтому должны быть отброшены. В случае, если £ =瓦 е -必 / (потом з устремим к нулю), в линейном поЕ приближении фурье-образ кинетического уравнения (6.66) принимает вид

(6.8)(6.8)#о

(6.8)

(6.8)

—i36 f + ik • vbf + eE • = 0.

зр

Решение этого уравнения есть

(6.9)

Подставляя выражение (6.9) в формулу для плотности тока, получим

(6.10)

Вспомним, что тензор диэлектрической проницаемости € 邓*. з> связан с тензором проводимости %№，з) соотношением

47r沁а0 的 3)

%0此，3)= 5a0 + 3

ТогдаТогда

Тогда

Тогда

з - h 3%

(6.11)(6.11)% 也

(6.11)

(6.11)

3 _ Arv 800

в.2. Дебаевский радиус. Подынтегральное выражение в (6.11) содержит полюс, который следует обойти, как всегда в случае существования особенности в подынтегральном выражении. Правило обхода устанавливается на основе следующего соображения. Любое поле, которое мы считаем постоянным во времени, на самом деле существует не бесконечно долго. Оно появляется при f f — 8。Поэтому при t f — 8 неравновесная часть 5f функции распределения стремится к нулю. Это будет иметь место, если 5f 〜е - ‘з г, причем частота з имеет бесконечно малую мнимую часть s, т.е. з f з + is и s — + 0. Иначе говоря, знаменатель интеграла в (6.11) следует понимать как з + ；s — 斤v. При этом полюс оказывается не на действительной оси, по которой идет интегрирование, а на расстоянии s от нее, что эквивалентно заданию правила обхода этого полюса.

Тот же самый результат можно получить иначе. Для этого в кинетическом уравнении (6.66) следует учесть существование столкновений, устремляя в конечных формулах частоту столкновений “ к нулю. При наличии столкновений кинетическое уравнение принимает вид

bf ・ » »

—+ 山—+ v—= I-I . 淑 эд эг \а〃§с

Стоящее справа слагаемое, называемое столкновительным членом, учитывает влияние столкновений на функцию распределения. В самом простом варианте столкновительный член может бьпь записан в виде

Величина “ называется частотой столкновений (соответственно т = называется временем релаксации). Таким образом, в приближении времени релаксации кинетическое уравнение принимает вид

» .»»f-fQ

Ь 0 + V .

8t 8pЭг т

Решение этого уравнения совпадает с (6.10), если в (6.10) частоту со заменить на з + /〃. Частота столкновений “ играет, таким образом, ту же роль, что и параметр s, определяя правило обхода полюса в (6.11).

Выражение (6.11) содержит, в соответствии с (4.5), информацию как о величине , так и о etr. Для рассмотрения явления экранирования поля кулоновского заряда, к которому поперечное поле отношения не имеет, из (6.11) нужно выделить функцию е1 (Л, со). Умножая (4.5) на кQk^, убеждаемся в том, что

С помощью этой формулы из (6.11) получаем:

/依 3) = 1/°(6.11a)

к з з一k 。 v 8&

Здесь мы использовали возможность представить производную от равновесной функции распределения по ^-компоненте импульса в виде

В% »о ЭЕ"°

Vq, 吗 a& a%a &

где 2 - энергия, являющаяся аргументом равновесной функции распределения.

Рассмотрим предел, к которому стремится £‘(斤，з) при 3 fo. Если бы мы устремили к нулю сначала к, а затем з, т.е. перешли бы к пределу

е'(з~> 0,大/з —0),

то пределом величины е‘ была бы бесконечность. Физический смысл этой бесконечности совершенно ясен. Этот результат соответствует бесконечно высокой проводимости газа свободных, не испытывающих столкновений заряженных частиц в однородном постоянном электрическом поле.

Иной результат получится в пределе 左 W 0, з = 0. В этом случае нет оснований ожидать бесконечной проводимости, поскольку при 斤 W 0 частица может совершать только финитное движение и не может разогнаться до очень высокой скорости. Это означает, что входящее в (6.11а) отношение

V^^d3p

з з —无• v а&

при 3fo ведет себя как неопределенность типа отношения "нуль на нуль".

Такого типа неопределенность можно раскрыть по правилу Лопиталя:

hm -f dp f一/

з-O 3 丿 3-k・v 8&候・v)2 a&

Следовательно, в пределе з =。，斤 W 0 продольная диэлею р веская проницаемость е1 принимает вид:

Эту формулу обычно записывают следующим образом:

/ = 1,(6.12)

где

г^ = —4яе2 /—^d3p.(6.13)

Величина г D является одной из важнейших характеристик среды, она носит название дебаевского радиуса экранирования. Скалярная величина г/ положительна, поскольку в равновесии "()/88 < 0.

Изложенный способ получения гD неуниверсален. Прежде всего, он справедлив, если гD<1 (/ — длина свободного пробега заряженных частиц). Правда, условие это выполняется часто, в металлах, например, оно выполняется всегда. Другое ограничение общности вывода связано с применимостью самого метода получения функции распределения 5, с помощью линеаризованного кинетического уравнения. Но каковы бы ни были пределы применимости приведенного способа вычисления дебаев* ского радиуса rD, из проделанных вычислений видно, что существует некая характеристика среды, связанная с пространственной дисперсией (к и rD входят в (6.12) в виде произведения) и характеризующая реак* цию среды на статическое электрическое поле.

Выясним теперь физический смысл параметра гD. Для этого вернемся к формуле (6.4) и подставим в нее (6.12). Выражение для скалярного потенциала электрического поля точечного стороннего заряда будет при этом иметь вид

28fехр[М(г-%)}

qg =h/ d'k.

(27Г)2 1+左2广务

Входящий в эту формулу интеграл равен

ехр[/А: |г-г0 I ] с r exp[/A：lr-r0 |х]

(6.14)(6.14)—d4 二 2я/—k2dkdx, 1+女2TA1+长2г3

(6.14)

(6.14)

оогде * — косинус угла между векторами Л и (г - г。). В (6.14) сначала возьмем интеграл по переменной х. В результате получим

о

о

(6.15)

Во втором слагаемом под интегралом произведем замену переменной к ——攵‘.После такой замены (6.15) примет вид

竺—疗 е*М;-”女小 оехр[^

г - Го I U 1 + 攵 G-oo 1 + 女 2 cI

+ 8+ 8exp[/K lr-入 I ]1 +R小exp[/K lr-入 I ]1 +R小(6.16)(6.16)

+ 8

+ 8

exp[/K lr-入 I ]1 +R小

exp[/K lr-入 I ]1 +R小

(6.16)

(6.16)

Будем теперь придавать переменной к комплексные значения. В верхней полуплоскости, при больших значениях к, подынтегральное выражение быстро обращается в нуль из-за экспоненты. Поэтому проходящий по действительной оси контур интегрирования можно дополнить дугой большого радиуса, замкнув контур интегрирования в верхней полуплоскости. Внутри этого контура в точке к — /г ^ оказывается один полюс первого порядка. Вычисляя соответствующий вычет, получаем, что

екр[火卜一入I ]

1 +d伤

к dk

/я I = -уехр

I，— ％ IrD

a (6.4) принимает вид

(6.17)(6.17)9 ①exp

(6.17)

(6.17)

I r To I I 力

Таким образом, потенциал точечного заряда е в среде не является ослабленным в некоторое число раз кулоновским потенциалом. Среда меняет сам вид функции g(广).Вблизи от заряда, когда \г — гQ \ < гDt поле заряда в среде совпадает с таковым в вакууме. При \г — г Q\> г D поле экспоненциально спадает, существенно отличаясь в этом плане от кулоновского поля в вакууме. Последнее обстоятельство является очень важным.

Если, как это естественно для среды, имеется система зарядов, окружаю* щих некий выделенный заряд, то каждый из зарядов, находящихся в окружающем выделенный заряд шаровом слое толщины dr, воздействует на этот заряд. В случае, когда экранирование не учитывается, соответствующая сила пропорциональна，一？，где г — радиус слоя. Эта сила уменьшается с удалением слоя от заряда, но число частиц внутри слоя растет как г2, поэтому полная сила, действующая на заряд, существенно определяется всем鏡 частицами среды, даже такими, которые находятся бесконечно далеко. Этот результат кажется не имеющим физического смысла. Действительно, дебаевское экранирование приводит к тому, что взаимодействие между далекими объектами на самом деле малосущественно.

Другой вывод, который можно сделать из проведенного рассмотрения, заключается в том, что физический смысл следует приписать той диэлектрической проницаемости в стат ическом поле, в которой полагают 3 f 0, но удерживают зависимость £ от /.

В заключение параграфа приведем типичные значения дебаевского радиуса rD в различных средах. В металлах “ 〜 Ю-7 см, в полупроводниках значение гD ближе к 10~s см, в термоядерной плазме 广爲 〜10一3 一〔。乂 см, з ионосфере — порядка 10*1 см, в межпланетной плазме “弋廿 см Экранирование имеет место не только в случае статического поля, поле движущегося заряда тоже испытывает экранирование, хотя оно и выглядит несколько иначе. В таком случае говорят о динамическом экранировании поля.

ДИССИПАЦИЯ ЭНЕРГИИ ПОЛЯ

В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ

Частицы среды, двигаясь в переменное электромагнитном поле, получают от поля энергию; при этом уменьшается энергия электромагнитного поля и растет механическая (кинетическая и потенциальная) энергия частиц. Поскольку при перемещении частиц генерируется поле, то существует и обратный процесс преобразования механической энергии частиц в энергию электромагнитного поля. Наличие такого обмена энергией означает, что в энергию электромагнитного поля в среде следует включать собственно энергию поля, которая имеет вид интеграла по объему V от квадратов напряженности электрического поля Е и вектора магнитной индукции В

（f2 +方）叱

и энергию той части механического движения частиц среды, которая обусловлена электромагнитным полем в среде.

Частицы среды вместе со взаимодействующим с ними полем не всегда образуют замкнутую систему. Они могут, например, испытывать столкновения, передавая свою энергию и импульс таким возбуждениям среды, которые уже не взаи модействуют непосредственно с полем и поэтому не генерируют его. Часть энергии электромагнитного поля переходит из-за столкновений в неупорядоченную механическую энергию заряженных частиц и не может быть возвращена полю. Эта энергия в конечном счете переходит в тепло. Такой процесс называется диссипацией энергии электромагнитного поля.

Как известно из термодинамики, количество тепла не является термодинамической функцией в том смысле, что оно не определяется параметрами системы в каждый определенный момент времени (в нашем случае 一 векторами £, 3 и 夕).Количество тепла определяется всей историей процес° са и зависит от того, каким образом система пришла к данному состоянию. Это означает, что не существует формул, которые бы давали количество поглощенной энергии как функцию векторов поля, взятых в некоторый момент времени. Существенно знать, как именно менялось поле во все предшествующие моменты. Поэтому в данном параграфе будет рассмотрен частный, но очень важный случай диссипации энергии монохроматического поля.

Амплитуда этого поля считается неизменной. Это означает, что сущесг вует внешний источник поля, такой, что подвод энергии поля от источника компенсирует диссипацию энергии поля в среде. Энергия самого электромагнитного поля в среде не меняется. Среднее, по периоду поля, значение плотности поглощенной энергии

q=i^ (7.1) равно средней работе сил электромагнитного поля над заряженными частицами. Оно описывает ту часть энергии поля, которая систематически переходит в механическую энергию частиц среды. Операция усреднения здесь весьма существенна. Неусредненная величина j・E включает в себя и ту энергию, которая в дальнейшем может возвратиться от частиц полю и поэтому не описывает диссипируемую энергию. Если, как это удобно делать при монохроматическом попе, величины / и Е считаются комплексными, то

Q=Re/.ReE = ；(%&+/；%)•

Подставляя в эту формулу выражение для тока,/а -。邓石仗 получим

g - д ^。a0 £а£0、+ 00a £6£a)= 2。a0 £^£0■ (7.2)

Здесь 唸—эрмитова часть тензора проводимости. Переходя от средней части формулы (7.2) к правой, мы воспользовались тем, что любой тензор (и тензор проводимости %。в том числе) можно разложить на эрмитов и анти эрмитов. Эрмитова часть тензора проводимости определяется соотношением

碎0 = T(%0+ 喷), (7.3)

а антиэрмитова — выражением 吟2 =t仇8 - 0；а).а антиэрмитова — выражением 吟2 =t仇8 - 0；а).(7.4)(7.4)Возможность такого разбиения и свойства эрмитовой и антиэрмитовой частей тензора обсуждаются в Дополнении I.Воспользовавшись связью между проводимостью и диэлектрической проницаемостью.Возможность такого разбиения и свойства эрмитовой и антиэрмитовой частей тензора обсуждаются в Дополнении I.Воспользовавшись связью между проводимостью и диэлектрической проницаемостью.% =券(％6 - %0)% =券(％6 - %0)(7.5)(7.5)формуле (7.2) можно придать вид”-舒嚨£；三什формуле (7.2) можно придать вид”-舒嚨£；三什(7.6)(7.6)Отсюда следует, что поглощения нет, если тензор диэлектрической проницаемости не содержит антиэрмитовой части.Если среда изотропна и не обладает магнитными свойствами, тоОтсюда следует, что поглощения нет, если тензор диэлектрической проницаемости не содержит антиэрмитовой части.Если среда изотропна и не обладает магнитными свойствами, то22(7.7)(7.7)В изотропной, но магнитной среде, согласно (4.10),В изотропной, но магнитной среде, согласно (4.10),55Подставляя (7.8) в (7.6), получаемПодставляя (7.8) в (7.6), получаемG0 ~G0 ~(7.8)(7.8)QQ；з87r；з87r(hE*)(hE)(hE*)(hE)

а антиэрмитова — выражением 吟2 =t仇8 - 0；а).

а антиэрмитова — выражением 吟2 =t仇8 - 0；а).

(7.4)

(7.4)

Возможность такого разбиения и свойства эрмитовой и антиэрмитовой частей тензора обсуждаются в Дополнении I.

Воспользовавшись связью между проводимостью и диэлектрической проницаемостью.

Возможность такого разбиения и свойства эрмитовой и антиэрмитовой частей тензора обсуждаются в Дополнении I.

Воспользовавшись связью между проводимостью и диэлектрической проницаемостью.

% =券(％6 - %0)

% =券(％6 - %0)

(7.5)

(7.5)

формуле (7.2) можно придать вид

”-舒嚨£；三什

формуле (7.2) можно придать вид

”-舒嚨£；三什

(7.6)

(7.6)

Отсюда следует, что поглощения нет, если тензор диэлектрической проницаемости не содержит антиэрмитовой части.

Если среда изотропна и не обладает магнитными свойствами, то

Отсюда следует, что поглощения нет, если тензор диэлектрической проницаемости не содержит антиэрмитовой части.

Если среда изотропна и не обладает магнитными свойствами, то

2

2

(7.7)

(7.7)

В изотропной, но магнитной среде, согласно (4.10),

В изотропной, но магнитной среде, согласно (4.10),

5

5

Подставляя (7.8) в (7.6), получаем

Подставляя (7.8) в (7.6), получаем

G0 ~

G0 ~

(7.8)

(7.8)

Q

Q

；з

87r

；з

87r

(hE*)(hE)

(hE*)(hE)

Преобразуем полученное выражение, воспользовавшись первым из уравне-

3

ний Максвелла (2.18), записанным в виде к X Е = — дЯ. Беря квадраты с

модулей правой и левой частей этого уравнения, будем иметь

("XE)(kXE*)=R IE/ —(hE)(hE*) =(3/fc)2 |〃 |2|〃|2,

что позволяет написать формулу для плотности электромагнитной энергии, диссипируемой в единицу времени, в виде

(7.9)(7.9)”舒 eiE|2+〃”i〃|2].

(7.9)

(7.9)

Из последней формулы следует, что диссипация электромагнитной энергии в веществе определяется мнимыми частями величин с и 〃.

Если

|е|〃《丨门

то диссипация за период изменения поля мала (по сравнению с запасенной в веществе электромагнитной энергией). Области частот, в которых удов- 224

летворяются эти неравенства, называются областями прозрачности вещества.

Если вещество в отсутствие поля находится в состоянии термодинамического равновесия, то закон возрастания энтропии требует выполнения неравенства д> 0. Это приводит к неравенствам

зе" > 0,з〃" > 0,(7.10)

т.е. мнимые части диэлектрической и магнитной проницаемостей положи* тельны при положительных частотах.

Напряженности полей Е, Я в формуле (7.9) — комплексные величины вида E(r t t) = E^(r ) exp (—/ wt). На опыте измеряются их действительные части Е‘ = Re£ и 〃'二 Re Н. Поскольку при усреднении по времени выполняется соотношение

то выражение (7.9) можно записать таким образом, что в эту формулу будут входить действительные значения напряженностей поля:

9 =券(£"l2 +从"*).(7.11)

ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

И ПОТОК ЭНЕРГИИ В ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ

В § 16, ч. I было показано, что из уравнений Максвелла в вакууме непосредственно следует уравнение баланса знер「ии (теорема По讶нтин「а), причем анализ различных членов уравнения Пойнтинга позволил найти выражения для плотности энергии и плотности потока энергии электромагнитного поля.

Формула Пойнтинга (см. ч. I, (16.32)) справедлива и в электродинамике сред, если под плотностью тока понимать плотность суммы стороннего и наведенного токов. Иначе говоря, баланс энергии в электродинамике сред выражается уравнением

—I+ — div(£ X 8) =+/(£ 8)]・旦(8.1)

Эг \ 8л / 47r

где /(£, В) — наведенный ток, зависящий от векторов Е и 8 (и равный нулю, когда Е = R = 0). Интегрирование этой формулы по времени позволило в § 16, ч. I ввести выражения для плотности энергии поля в вакууме

w =+ В2 )

и вектора Пойнтинга

Мы всюду здесь пишем Я вместо Н, имея в виду смысл этого вектора в макроскопической электродинамике. Нужно особенно подчеркнуть, что эти выражения справедливы при любой зависимости векторов £* и В от времени.

Несмотря на внешнее сходство уравнения баланса энергии в вакууме с уравнением (8.1), справедливым для сред, между этими двумя случаями существует глубокое различие. Чтобы отчетливее выявить природу этого различия, перепишем (8.1) в другом виде. Поскольку / связано с вектором плотнсюти поляризации формулой (2.25), уравнению (8.1) можно

придать вид

(8.2)(8.2)Mg，孽+В*)+"「Е —金dMEXB).

(8.2)

(8.2)

Отсюда видно, что выражение

(8.3)

определяет одновременно и приращение энергии поля в средег и диссипацию энергии (как мы увидим ниже, (8.3) вносит вклад и в поток энергии). В формуле Пойнтинга не содержится никаких указаний на то, как именно выражение (8.3) должно делиться на части, описывающие приращение энергии поля в среде и диссипацию. Такого рода указания можно ожидать только от материальных уравнений. В настоящее время не существует методики извлечения этой информации из феноменологического материального уравнения вида 3)а =鼠°

Такое деление удается, однако, провести в ряде случаев при использовании микроскопических материальных уравнений, непосредственно основанных на анализе уравнений движения. Выражение для энергии поля без специального анализа микроскопических материальных уравнений воз* можно получить только в том случае, если диссипация пренебрежимо мала. Фактически это означает, что можно найти энергию поля только в случае, когда поле это близко к монохроматическому. Потому что только в этом случае возможно положение, при котором энергия поля определенной частоты велика по сравнению с диссипацией (сама по себе диссипация может быть и не мала, но она существенна в другой области частот). Произвольным же зависимостям £ (г) и В (г) соответствует широкий спектр частот, а при этом диссипация может оказаться весьма существенной.

Переходим теперь к определению энергии квази монохроматического поля. Пусть поля в уравнении Пойнтинга (8.1) являются квазимонохрома- тическими, так что

Е = Е0(Г ^)ехр[/Л • г - зг)] • (8.4)

Амплитуда Ео такой волны является плавной функцией координат и време* ни, так что характерное время изменения амплитуды много больше of1, а характерная длина, на которой амплитуда меняется существенным образом, много больше Мк. Эти два условия можно также записать в виде

K^VJEoaK^o,K^VJEoaK^o,(8.5)(8.5)

K^VJEoaK^o,

K^VJEoaK^o,

(8.5)

(8.5)

Кроме того, будем полагать, что диссипация мала, так что

(8.6)(8.6)max 峨 V max

(8.6)

(8.6)

Плотность тока, обусловленная квазимонохроматической волной в однородной среде, есть

/а (г О = J "/ "%аб (г - Г , Г -，疋6 (г, f')=

=exp [/ (Л r- cot)] / dt'j dro^ (г - r, t - > )£а^ (г . У) X

X exp {i[k (г -r)-co(t -t)]} .(8.7)

Медленно меняющуюся амплитуду разложим в ряд Тейлора:

Ео，/) = &)(/•")+[，-/•)• ▽]&)+ (>-"—— + …(8.8)

at

После подстановки этого разложения в (8.7) возникают кратные интегралы трех типов. Интеграл, на который умножается величина Ео (г , г), имеет вид

/ dt7 dro^ {r-r tt- t'lexp {i[k \f - r)-co (f - t)]}=

=0师(斤,3).(8.9a)

Два других интеграла, на которые умножаются величины V ・Е()и 3Ej3t. равны

/ dt'Sdr о а& (Г - г, t - t)(r - r)exp {i[k • (г -г) -^(f - г)]}= а

=-/ ^^-0a8 %,3),(8.96)

J dtf^dr иа& {r—r, t - r')(t' — t)exp{/% • (r - r) - з(У - t)]}=

a

=/ t—%, з).(8.9в)

С учетом формул (8.9), связь между/и напряженностью квази монохроматического поля принимает вид

/аУ П = ехр[/%・г-зг)】卜吋％…)“。(乙 t)-

.Boas体，3)8自)a,"+即0a6%,3、)ago6(小))岱[。)

bkdr8з 8r J

Воспользуемся теперь связью между проводимостью и диэлектрической проницаемостью €呻=必。+ Дя/оГ1 %£• Выразив проводимость через %«,

. з

подставим эту величину во второе и третье слагаемые формулы (8.10). Тогда а компонента плотности тока будет иметь вид

/а (г, t) = exp ［/ (к • г — зг)］卜仪0(尢 з)£о0(乙 г)—

47r47rМа0 化 з) ЭЕО0 (г И + Г “0 -九0 +Ма0 化 з) ЭЕО0 (г И + Г “0 -九0 +3+ ■—4需3+ ■—4需drаЕ()0(乙 г) |drаЕ()0(乙 г) |4я4яarar(8.11)(8.11)

47r

47r

Ма0 化 з) ЭЕО0 (г И + Г “0 -九0 +

Ма0 化 з) ЭЕО0 (г И + Г “0 -九0 +

3

+ ■—

4需

3

+ ■—

4需

dr

аЕ()0(乙 г) |

dr

аЕ()0(乙 г) |

4я

4я

ar

ar

(8.11)

(8.11)

(8.12)(8.12)счита* нулю.счита* нулю.1 г а+嬴［石Мм) -1 г а+嬴［石Мм) -8£（）s8£（）s於I •於I •(8.13)(8.13)

(8.12)

(8.12)

счита* нулю.

счита* нулю.

1 г а

+嬴［石Мм) -

1 г а

+嬴［石Мм) -

8£（）s

8£（）s

於I •

於I •

(8.13)

(8.13)

В правой части уравнения (8.1) стоит произведение действительной части тока (8.11) на действительную часть напряженности электрического поля. Среднее по периоду 2я/со от этого произведения есть

11

— (/+/*)•(£ + £*)=——Re(/・£*), 42

где при усреднении по периоду медленно меняющиеся амплитуды лись постоянными, так что средние от членов /* • Е* и / • £ равны Подставляя в (8.12) выражение для тока (8.11), получим

1( 13 Ма63£06

~ Re(/ •£*) = Re < —。如£\ 昂。——£% —+

2I 28я bkdr

Преобразуем слагаемые, стоящие в правой части (8.13). Произведение ^оа^од представляет собой эрмитов тензор II ранга. Как мы знаем (см. П.1.3), свертка эрмитова и антиэрмитова тензоров — чисто мнимая величина. Поэтому, полагая 仇。=喩 + о財 имеем

(8.14)(8.14)Re(-^~ о^ Foa 统，=~ о^Е^ Е^.

(8.14)

(8.14)

В двух оставшихся членах правой части (8.13) на основе равенства (8.6) пренебрежем антиэрмитовой частью тензора £咱 т.е. положим еа^ =理介 Пользуясь снова тем, что свертка эрмитова и антиэрмитова тензоров— чисто мнимая величина, производим следующие преобразования:

ReRe以甸.以甸.Здесь было учтено то, что среда является пространственно-однородной. Последнее слагаемое в (8.13)Здесь было учтено то, что среда является пространственно-однородной. Последнее слагаемое в (8.13) . ;二 丁(与ас00)= din167Г Ък Ъг '167Г . ;二 丁(与ас00)= din167Г Ък Ъг '167Г"+"+(8.15)(8.15)ReRe(3€%) —(3€%) —dtdt（E沁）.（E沁）.(3£?0)—(3£?0)—(8.16)(8.16)

Re

Re

以甸.

以甸.

Здесь было учтено то, что среда является пространственно-однородной. Последнее слагаемое в (8.13)

Здесь было учтено то, что среда является пространственно-однородной. Последнее слагаемое в (8.13)

. ;二 丁(与ас00)= din

167Г Ък Ъг '167Г

. ;二 丁(与ас00)= din

167Г Ък Ъг '167Г

"+

"+

(8.15)

(8.15)

Re

Re

(3€%) —

(3€%) —

dt

dt

（E沁）.

（E沁）.

(3£?0)—

(3£?0)—

(8.16)

(8.16)

В правых частях формул 阳.14) — (8.16) всюду вместо £оа £0^ £；弓・ С учетом этих формул получаем:В правых частях формул 阳.14) — (8.16) всюду вместо £оа £0^ £；弓・ С учетом этих формул получаем:написанонаписано不口心管f幅毋一不口心管f幅毋一一m県醬啕一m県醬啕(8.17)(8.17)Усредним теперь обе части равенства (8.1) по времени и подставим в него найденное значение j ・Е в фору (8.17). Усреднение по времени призводится путем представления действительных векторов £ и А через комплексные величины типа (8.4) по обычной схеме,Е-% 伍+ Е*), »f %伊+ 5*),Усредним теперь обе части равенства (8.1) по времени и подставим в него найденное значение j ・Е в фору (8.17). Усреднение по времени призводится путем представления действительных векторов £ и А через комплексные величины типа (8.4) по обычной схеме,Е-% 伍+ Е*), »f %伊+ 5*),где в правые части входят комплексные векторы поля. После усреднения остаются отличными от нуля только члены вида £*•£,£ X Я* и т.д., не содержащие множителей ехр(± 27сог). После усреднения и подстановки (8.17) уравнение (8.1) принимает вид:где в правые части входят комплексные векторы поля. После усреднения остаются отличными от нуля только члены вида £*•£,£ X Я* и т.д., не содержащие множителей ехр(± 27сог). После усреднения и подстановки (8.17) уравнение (8.1) принимает вид:Э ( Е&Еа + ВЗВа +『8(3项6) dt I 16я L ВзЭ ( Е&Еа + ВЗВа +『8(3项6) dt I 16я L Вз+ div|-^— (EX В* +£* ХЯ)———(16я16я+ div|-^— (EX В* +£* ХЯ)———(16я16я=—/ext Е —=—/ext Е —~0?0嵐品.~0?0嵐品.(8.18)(8.18)

В правых частях формул 阳.14) — (8.16) всюду вместо £оа £0^ £；弓・ С учетом этих формул получаем:

В правых частях формул 阳.14) — (8.16) всюду вместо £оа £0^ £；弓・ С учетом этих формул получаем:

написано

написано

不口心管f幅毋一

不口心管f幅毋一

一m県醬啕

一m県醬啕

(8.17)

(8.17)

Усредним теперь обе части равенства (8.1) по времени и подставим в него найденное значение j ・Е в фору (8.17). Усреднение по времени призводится путем представления действительных векторов £ и А через комплексные величины типа (8.4) по обычной схеме,

Е-% 伍+ Е*), »f %伊+ 5*),

Усредним теперь обе части равенства (8.1) по времени и подставим в него найденное значение j ・Е в фору (8.17). Усреднение по времени призводится путем представления действительных векторов £ и А через комплексные величины типа (8.4) по обычной схеме,

Е-% 伍+ Е*), »f %伊+ 5*),

где в правые части входят комплексные векторы поля. После усреднения остаются отличными от нуля только члены вида £*•£,£ X Я* и т.д., не содержащие множителей ехр(± 27сог). После усреднения и подстановки (8.17) уравнение (8.1) принимает вид:

где в правые части входят комплексные векторы поля. После усреднения остаются отличными от нуля только члены вида £*•£,£ X Я* и т.д., не содержащие множителей ехр(± 27сог). После усреднения и подстановки (8.17) уравнение (8.1) принимает вид:

Э ( Е&Еа + ВЗВа +『8(3项6) dt I 16я L Вз

Э ( Е&Еа + ВЗВа +『8(3项6) dt I 16я L Вз

+ div|-^— (EX В* +£* ХЯ)———(16я16я

+ div|-^— (EX В* +£* ХЯ)———(16я16я

=—/ext Е —

=—/ext Е —

~0?0嵐品.

~0?0嵐品.

(8.18)

(8.18)

Уравнение (8.1) приобрело форму уравнения непрерывности с отличным от нуля источником, стоящим в правой части равенства. Величина /eXt •£ представляет собой работу электрического поля над внешними зарядами, а величина У12о$^Е^Е^ — плотность мощности джоулевых потерь. Оба эти члена входят в (8.18) со знаком минус, так как приводят к убыли энергии электромагнитного поля. Величина,стоящая в (8.18) по знаком производной по времени.

(8.19)(8.19)

(8.19)

(8.19)

имеет смысл плотности энергии квазимонохроматического электромагнитного поля в среде. Наконец, вектор

т сfз]

7=—— ЕХ5*+Е*ХЗ Е^еД ,(8.20)

16я Iс3""

стоящий в (8.18) под знаком дивергенции, должен быть отождествлен с плотностью потока энергии в среде. Все эти величины усреднены по периоду. Поток энергии оказывается не равным нулю и в случае безвихревого поля, когда Я = 0. В этом случае весь перенос энергии полем обусловлен пространственной дисперсией.

Формула (8.19) для плотности энергии электромагнитного поля в среде существенно упрощается, когда среда является недиспергирующей, не-

магнитной (д = 1) и изотропной. В этом случае, согласно (4.10),唸=

1 UE* Е + Я* Я).(8.21) 16я Если напряженности поля - величины действительные, то формула (8.21) приобретает вид

w=」(еР"+Ь'')= 丄 方・”+6戸).(8.22)

8я8я

В случае, когда среда является магнитной (но недиспергирующей), удобно ввести магнитную проницаемость д и через нее выразить плотность энергии. Предполагая, что в (4.10) величины е и р не зависят от частоты, будем иметь

и из (8.19), пренебрегая мнимой частью 〃 , получими из (8.19), пренебрегая мнимой частью 〃 , получим

и из (8.19), пренебрегая мнимой частью 〃 , получим

и из (8.19), пренебрегая мнимой частью 〃 , получим

w=—- (e'E'2+“〃戸)=—-^ D ^Hf B ),(8.23)

87r8я

Для этого же случая недиспергирующей изотропной среды можно упростить и выражение (8.20) для плотности потока энергии. Вычислив производную Эе^/э/f с помощью (4J0) в предположении, что £ и 〃 не зависят от к, получим:

一 — Е* Eq = 一 — /1 —斤 I £ I — Е (к ♦ E*)—Е* (к • £)].

с ЭЛ в1д j2/

В дальнейшем будем предполагать, что 〃' > 心 так что

1 -д71д!2 弋 1 一 1”・八

з ,

Фурье-образ первого уравнения Максвелла 斤 X £ = —д Я векторно умно* с

жим на £* и прибавим к нему комплексночюпряженное выражение (опять предполагая, что величиной 〃" можно пренебречь), после чего получим

2к\Е i -Е{кЕ*}-Е^Е}^ — д (f X Я + ЕХ Я#).

С помощью этой формулы находим

з а姦，

—£；£б=(1 -〃)(£• Х〃 + ЕХ〃*), с Ьк

что позволяет записать выражение (8.20) для плотнсюти потока энергии в изотропной среде без пространственной дисперсии в следующем виде:

7= ^—(ЕХН^ +Е* ХН)= — Ке(ЕХЯ*).(8.20а)

16я87r

Или, для действительных значений поля, в виде:

7 = —РТя7.(8.206)

4я

Формулы （8.19） и （8.20） удобны для вычисления величин w и）по распределению полей, найденному^ теоретически из решения уравнений Макс* велла. При вычислении w и у по измеренным значениям напряженностей поля удобно иметь формулы, в которых фигурируют не комплексные, а действительные ншзряженнорти, Е' =Re 瓦 Я" = АеЯ и действительный вектор индукции О' = Rs 勿.Очевидно, что при усреднении по времени произведение

В* В В* в = 2в \£• •/） = 0 ИТ.Д.

а ,1寸心%）金^ = 7а ,1寸心%）金^ = 7Но вектор Е входит в （8.19） не в виде квадрата модуля, поэтому произведем следующие преобразования:

а ,1

寸心%）金^ = 7

а ,1

寸心%）金^ = 7

（3國6）眾£0 +

+ -—（3620）£々 j] = - I -- （з 缈a）眾 + ~（3分:）faJ - 一引3%譽電+ 3爲^ 讣gk .^（3扌）+

. 土（3方）]一岳吧+ £ . M.* 1 = Оз J 2 L ЭсоЗз J

_1_1伍+丁）・工3（宕+8з伍+丁）・工3（宕+8з2歹.-（3不）_23办.ОСО2歹.-（3不）_23办.ОСО2Вз2Вз（菰+刃*）.（菰+刃*）.Э1——（£ + £*） =ЗзIЭ1——（£ + £*） =ЗзI

_1

_1

伍+丁）・工3（宕+8з

伍+丁）・工3（宕+8з

2歹.-（3不）_23办.

ОСО

2歹.-（3不）_23办.

ОСО

2

Вз

2

Вз

（菰+刃*）.

（菰+刃*）.

Э1

——（£ + £*） =

ЗзI

Э1

——（£ + £*） =

ЗзI

В результате имеем

（8.24）（8.24）w=-^-|*'+£・一^― （з 坊，）一з 另，.— 87r IВзВз J

（8.24）

（8.24）

Аналогичным образом преобразуем выражение для 7:

А 鼎£*Х5+ЕХ8・-^ 譬用Е，=

Выражение в прямой скобке можно переписать в видеВыражение в прямой скобке можно переписать в виде

Выражение в прямой скобке можно переписать в виде

Выражение в прямой скобке можно переписать в виде

（® + 办）a -（扌 + ®*）a — （£ + E*% = 3k（® + 办）a -（扌 + ®*）a — （£ + E*% = 3kЭ= （E + E*）a — bk= 4£；——- ЭЛЭ= （E + E*）a — bk= 4£；——- ЭЛ-4 SJ —-4 SJ —

（® + 办）a -（扌 + ®*）a — （£ + E*% = 3k

（® + 办）a -（扌 + ®*）a — （£ + E*% = 3k

Э

= （E + E*）a — bk

= 4£；——- ЭЛ

Э

= （E + E*）a — bk

= 4£；——- ЭЛ

-4 SJ —

-4 SJ —

здесь мы воспользовались эрмитовостью (е^ = е%2) тензора диэлектри* ческой проницаемости.

В итоге плотность потока энергии в среде приобретает вид

7=十［е，Х*+ —(2)；- Е； -^^-П(8.25)

4я Jс \ ЭЛЪк / J

Следует помнить, что под 今 здесь подразумевается та часть вектора электрической индукции, которая выражается через Е с помощью эрмитовой части тензора комплексной диэлектрической проницаемости.

УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

В ДВИЖУЩИХСЯ СРЕДАХ

Уравнения Максвелле и материальные уравнения. При выводе уравнений электродинамики мь; предполагали, что среда, взаимодействующая с электромагнитным полем, покоится в системе координат, в которой находится наблюдатель. Бывают, однако, случаи, когда среда движется относительно наблюдателя. Это может иметь место, если, например, электромагнитные явления разыгрываются в текущей плазме. При деформации диэлек рических сред в электромагнитном поле макроскопические участки среды также могут испытывать заметные движения. Хотя эти движения всегда происходит с нерелятивистскими скоростями, удобнее, как это было найдено Г. Минковским, рассматривать релятивистскую задачу и затем, при необходимости, переходить к нерелятивистскому пределу.

Прежде всего заметим, что движущаяся среда никак не меняет вида микроскопических уравнений поля. Такая среда в этих уравнениях учитывается видом плотности тока/ и плотности заряда р в уравнениях Максвелла. С уравнениями же для макроскопических величин дело обстоит несколько сложнее. Характер усреднения от движения среды не зависит, потому что усреднение происходит по объему —времени, определенных по отношению к лабораторной системе координат. Однако следует вь1нсннть, как поведут себя векторы А)и Н з случае движущейся среды.

Появление в теории этих векторов связано с возможностью представить наведенные ток/ и заряд р в виде

ЭР

/ = с rot М + и р = — dtv 代

а?

где Р есть плотность электрического, а М - магнитного дипольного моментов.

Рассмотрим, например, ток намагничения (плотность которого есть с rot3f) в двух координатных системах — сопутствующей и лабораторной. Пусть этот ток будет обусловлен существованием в среде (при рассмотрении процесса в сопутствующей системе координат) замкнутых токов. Легко понять, что те же самые токи, если на них смотреть из лабораторной системы координат, будут казаться незамкнутыми, а при большой скорости движения среды траектории заряженных частиц среды (по отношению к лабораторной системе) могут вообще не иметь участков, соответствующих возвратному движению. Это означает, что ток, определенно являющийся током намагничения, если на него смотреть из соответствующей системь» координат, по отношению к лабораторной системе координат выступает как ток попиризации. Поэтому, если даже структура 4юрмул (2.6) и (2.14) в случае движущихся сред и сохраняется, то векторы М и Р уже не могут во всех случаях считаться соответственно плот- 232

ностью магнитного и электрического дипольных моментов среды. Из этих же рассуждений ясно, что движущийся магнитный момент может генерировать электрическое поле, в то время как движущийся электрический момент может создавать магнитное поле.

Убедимся теперь в том, что хотя в формулах (2.6) и (2.14) векторы 財 и Р в случае движущихся сред уже не имеют того физического смысла, который они имели в сопутствующей координатной системе, сама структура формул (2.6) и (2.14) может быть, тем не менее, сохранена. Действительно, определим в лабораторной системе координат некоторый вектор Р как величину, связанную с плотностью заряда р (которая опять-таки опре* делена в лабораторной системе) соотношением типа соотношения (2.6): р = — div Р. Эта возможность определяется тем, что в случае движущихся сред вектор Р должен обращаться в нуль вне среды Из уравнения непре* рывности, с учетом структуры (2.6), следует, что

div(/ - ЭР/Эг) = 0.

Следовательно, величина (/ — ЗР/Зг) является ротором некоторого вектора, который как-то характеризует свойства среды и обращается в нуль вне ее (обозначим этот вектор той же буквой М г которой мь§ ранее обозначали плотность магнитного момента). А из этого следует, что структура формул (2.6) и (2.14) сохраняется и в случае движущихся сред. Но это означает, что структура уравнений Максвелла

1 ЭЯ rot Е =,с Эг1 ЭЯ rot Е =,с Эг47r1 3D

1 ЭЯ rot Е =,

с Эг

1 ЭЯ rot Е =,

с Эг

ЯПЯПrot〃=h jext + 一 ~，

ЯП

ЯП

div3 = 0, divD = 47rpext

также сохраняется в этом случае, хотя векторы D и Я уже не имеют того же физического смысла, что и в сопутствующей системе координат.

Из последнего утверждения непосредственно следует, что связь между D и S и, соответственно, £ и Я в случае движущихся сред будет не такой, которая имеет место в сопутствующей координатной системе. Очевидно, что вектор D ® лабораторной системе будет описывать реакцию среды и на электрическое и на магнитное поля, то же самое можно сказать и о векторе Я

Релятивистская ковариантность уравнений (9.1) позволяет записать их в явно ковариантном виде:

GFikGFik=0,=0,bHik — 4я “где Fjk - тензор вида:bHik — 4я “где Fjk - тензор вида:(9.2а)(9.26)(9.3)(9.2а)(9.26)(9.3)

GFik

GFik

=0,

=0,

bHik — 4я “

где Fjk - тензор вида:

bHik — 4я “

где Fjk - тензор вида:

(9.2а)

(9.26)

(9.3)

(9.2а)

(9.26)

(9.3)

Величина Hlk также является тензором:

(

0-%- Оу - 5、

О；Т ■(9.4)

、Dz -Ну Нх 0/

а 4-вектор / ^xt имеет тот же вид, что и в отсутствие среды.

Выясним теперь, какой вид имеют связи между векторами D, В ^ Е, Н в случае движущихся сред. Ограничимся случаем изотропной среды без дис* Персии. В сопутствующей системе отсчета имеем, как и для неподвижной среды,

D = еЕ, В - дЯ,(9.5)

где тильдой обозначены векторы поля в сопутствующей системе. Материальные константы е, м — те же самые, что и в неподвижной среде. Далее выражаем значения векторов поля в сопутствующей системе через их значения в лабораторной системе, пользуясь тем установленным выше •фактом, что (Е, В) и (D, Н} образуют попарно 4-тензоры II ранга. Можно воспользоваться формулами (10.3) из ч. I, произведя очевидные измене* ния обозначений:

瓦

哂，

瓦=)]

PX3),

瓦

=统，

瓦

ь丄一丄

PXE),

(9.6)

瓦

=5，

瓦

PXH),

比

=7(

Здесь 7 — лоренц>факторг V — скорость среды в лабораторной системе. Подставив в (9.5) по отдельности продольные и поперечные компоненты и сократив фактор 7 из уравнений для поперечных компонент, получим следующие материальные уравнения:

D+ —КХЯ=е(Е+ 丄夕 X»),(9.7)

3一 丄 = 丄(9.8)

Они называются уравнениями Минковского.

Эти уравнения можно получить и другим путем, записав релятивистски ковариантную связь между тензорами Fik и Hik, которая переходила бы в уравнения (9.5) в сопутствующей системе. Такое ковариантное обобщение последних соотношений имеет вид

Hikuk = eFik uk,(9.9)

片衣 S + Fjud + 尸〃必=M(〃汰 W + &以修 + 〃"UQ，(9.10)

где Uj — 4-вектор скорости среды. Мы предоставляем читателям самим убедиться в эквивалентности этих уравнений и (9.8) и (9.7). Это можно сделать с помощью приведенных выше соотношений (9.3), (9.4) и (4.30) из ч. I.

В нерелятивистском пределе уравнения Минковского (9.7) и (9.8) упрощаются:

(9.11)(9.11)ер - 1 D = eE+ VXH,

(9.11)

(9.11)

£〃 一 1

8 =从日 +EX К(9.12)

с

Фактически, именно с этими последними уравнениями и приходится иметь дело, поскольку макроскопические тела всегда движутся со скоростями, которые много меньше скорости света.

Граничные условия. Кроме материальных уравнений нужно также переформулировать и граничные условия к уравнениям поля. На первый взгляд может показаться г что поскольку уравнения (9.1) имеют тот же вид, что и в сопутствующей системе координат, то и граничные условия к ним тоже не изменятся. Это, однако, не так. Граничные условия в сопутствующей системе координат имеют вид (2.22) в том только случае, когда частные производные по времениг входящие в уравнения Максвелла, являются ограниченными величинами. Именно это и имеет место, если среда покоится. Но если среда движется, то в момент, когда граница среды пересекает некоторую точку, поле в этой точке изменяется скачком и произ* водные 3B/3t и »D/3t обращаются в бесконечность.

Рассмотрим случай слаборелятивистского движения среды, который и представляет основной интерес. Чтобы учесть при получении граничных условий особенность задачи с движущимися средами, прибавим к правой и левой частям уравнений Максвелла, которые содержат производные по времени, выраженияг дополняющие до полных производных частные производные по времени. Эти полные производные, имеющие вид Э/dt + (Р • ▽), будут описывать изменение поля в точке, движущейся со скоростью перемещения среды и поэтому в процессе движения не пересекающей грани* цу. Следовательно, такие полные производные все время будут оставаться конечными величинами. Поступая таким образом, например, со вторым уравнением Максвелла, получим

147r1]

rot〃+= —/ext + 一 +(PFD ・(9.13)

Если плотность тока /ext конечна и в граничном слое, то левая часть урав* нения (9.13) должна быть ограничена и в точках, находящихся на границе. Теперь временно преАставим себе, что система координат расположена так, что некоторый бесконечно малый кусок граничной поверхности оказывает* ся параллелен плоскости ". Тогда производные от всех величин по х и по у на поверхности - конечные величины. Следовательно, и содержащие производные noz члены левой части уравнения (9.13) также должны быть ограничены. Эти слагаемые имеют вид

Величины % и ег здесь — ортыг направленные вдоль соответствую щи х осей. Отсюда сразу получается г что на границе раздела остаются конечными проекции этого вектора,

匕а% 匕a%a〃v v2bDya%

c8z' c8zdz* c dzdz

Следовательно, величины

卜，V

D:, — Dx — Ну и — Dv + Нх

имеют одинаковые значения по обе стороны граничной поверхности. Поскольку Dz V непрерывны, два последних выражения можно представить в виде

11

Нх - (Uv Dz - U2 Dy) и НУ- ^{V2Dx-VxDz}.

Теперь удобно освободиться от специального выбора положения координатных осей по отношению к расематриваемому элементу граничной поверхности г переписав результат в векторной форме: компоненты

0〃 и (Н-丄 РХ0)(9.14)

должны быть непрерывны на поверхности раздела. Если плотность тока /ext на поверхности раздела бесконечна, то конечной является величина

4я

rot Н + —(“•▽)/)/ехР сс

откуда следует, что на наружной и внутренней поверхностях границы раздела разность выражений

равна величине 4я//с, где / - плотность поверхностного тока, а。〃、一。勺= =4行。(а - плотность поверхностного заряда). Последняя формула легко получается, если учесть, что поверхностные заряды, которым соответствует объемная плотность р = ob(z) (здесь мы для определенности начало координат совместим с границей раздела), при движении среды тоже создают ток /ext = р〃.

1 as

Аналогичное рассмотрение уравнения rot £ = —показывает, e九

что величины

Вп и(Е+；“ХЗ)(9.15)

непрерывны на поверхности раздела. Из (9.14) и (9.15) следует, что эти граничные условия сводятся к обычным, справедливым в случае неподвиж* ных сред граничным условиям г если нормальная к поверхности компонента скорости и среды равна нулю.

Уравнения Максвелла с обобщенным вектором индукции. Описание электромагнитных явлений в движущихся средах упрощается, если пользоваться уравнениями Максвелла, записанными в виде (2.27). Эти уравнения также могут быть представлены в явно релятивистски ковариантном виде (9.2), с тем же тензором Fik, но тензор Hik будет при этом иметь вид

/0-①X -⑦，-⑦z \

\纱Z%8y0/

Из сравнения тензоров 〃'* и Fik следует, что вектор 25 преобразуется по тому же правилу, что и вектор Е. Для получения материального уравнения в движущейся среде снова будем исходить из известного уравнения (4.2) в сопутствующей системе:

吼=%0庄⑶云0.

Преобразуем % и Е в лабораторную систему, имея в виду для простоты случай нерелятивистского движения среды:

纷a+ 1 小5]宀30庆,6)(斤+ : [?x6])(9.17)

В случае изотропной немагнитной среды эта формула принимает вид

-*〜6 — 1

毋=£(尤 &)Е+ УХА

с

Здесь Е, Я и ® зависят от з и ", определенных в лабораторной системе. В аргументе же тензора еа^ остались пока частота и волновой вектор в сопутствующей системе. Их нужно выразить через з и 左 с помощью формул ре^тивистского преобразования (см. § 28,ч. I), которые в первом поряд* ке по V/c имеют вид

£ = 3-左匕 左=上(9.18)

Отсюда следует, что если даже величина е^ не зависит от к, то после преобразования частоты волновой вектор к войдет в аргумент диэлектри* ческой проницаемости. Это означает, что движущиеся среды — среды не только с временной, но и с пространственной дисперсией. Величина диспер* сии может стать существенной при достаточной скорости движения среды даже тогда, когда в сопутствующей системе координат этой дисперсией можно пренебречь. Физическая причина появления пространственной дис* Персии в этом случае заключается в том, что информация о поле в некоторой точке переносится в другие точки не только из-за ми к рос копи чес ко* го движения частиц среды, но также и вследствие существования макроскопического движения всей среды в целом. Если 卜》и (где и — характерная скорость частиц среды) г то пространственная, дисперсия в движущейся среде целиком обусловлена макроскопическим движением среды. В (9.18) может быть учтена также пространственная дисперсия микроскопического происхождения. Заметим, наконец, что вектор 左 в первую из формул (9.18) входит в виде сомножителя в скалярном произ* ведении с вектором V. Это означает, что электромагнитные свойства среды зависят от угла между векторами 衣 и Р, иначе говоря, у изотропной среды при ее движении появляется анизотропия даже в том случае, если в покоящейся среде она отсутствует.

СИЛЫ. ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЭЛЕМЕНТЫ СРЕДЫ

В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Если среду поместить в электромагнитное поле, то это не изменит электрической нейтральности такой среды, но приведет к появлению в среде наведенных зарядов и токов. Взаимодействие этих зарядов и токов с электромагнитным полем обусловливает существование сил, действую* щих со стороны поля на элементы среды.

Силы, действующие на диэлектрикг помещенный в постоянное электрическое поле. Среду будем для простоты считать диэлектрической изотропной жидкостью. В случае твердых диэлектриков природа действующих на тело сил не меняется, но описание явления усложняется, поскольку вызванные этими силами деформации тела не сводятся к одному только изменению плотности тела, как это имеет место в жидкостях. Энергия постоянного электрического поля в жидком диэлектрике имеет вид

W= — JWdV,(10.1)

87r

где £ 一 диэлектрическая проницаемость среды в статическом поле, dV - элемент объема. Эта энергия может быть также записана в форме

1

孑/%…・(10.2)

Изменение энергии (10.1) при деформации среды имеет вид

6W= — fE2bedV^ —，wE BE dV.(10.3)

87r47r

Эквивалентное изменение энергии, представленной формулой (10.2) ( есть 1，1 ,

=£ /屮bPextdV + Q /Ре.б© dV.(10.4)

Символ 5 стоит перед величинами, которые изменяются при деформации среды. Подынтегральное выражение второго интеграла в (10.3) равно

еЕ5Е= — D grad(S^) = — div(D5^) +5^divD,

поэтому выражению (10.3) можно придать вид

5W=」/E26edU + /pext6^dV.(10.5)

87r

Вычитая теперь (10.5) из удвоенного выражения (10.4) х получим

6w=一L /£2辰 dV + J屮MextdV.(10.6)

Если деформация среды происходит при фиксированном распределении сторонних зарядов, создающих затравочное поле, то изменение энер* гии поля

6W=一^L jEfedV.(10.7)

8я

Близкую по структуре формулу аналогичным образом можно получить и в том случае, когда при деформации фиксируются не сторонние заряды(а потенциалы на выделенных поверхностях.

При деформации среды изменяется ее диэлектрическая проницаемость, и это изменение бе обусловлено двумя обстоятельствами. Вопервых, при деформации, описываемой вектором деформации и, элементы среды из точки г - « переносятся в точку г, и вместе с каждым элементом среды переносится соответствующее значение диэлектрической проницаемости. Обусловленное этим переносом изменение диэлектрической проницаемое* ти есть

е(г 一 〃)一 eg = -〃 grad е.(10.8)

Во-вторых, деформация вызывает изменение плотности среды в каждой точке. Из механики сплошных сред известно, что изменение плотности т при деформации связано с вектором деформации соотношением

dr = - т div и.(10.9)

Поэтому изменение диэлектрической проницаемости равно

Эе

бе = — к grad е — т — div 〃，(10.10)

Вт

а изменение энергии электрического поля

1、 /Эе \

5W= — СЕ2grad е + т — divu \dV(10.11)

87г\Эт 丿

равно взятой с обратным знаком работе /fudV сип, действующих на среду. Таким образом, для того чтобы получить выражение для плотности силы/, подынтегральное выражение в формуле (10.11) необходимо представить в таком виде, чтобы вектор деформации и входил в него мультипликативно. В таком виде и содержится только в первом слагаемом. Второе же слагаемое следует преобразовать:

,Эе/ Эе \

тЕ2 — div u = div I Е2т — и I—u grad I E2r dr'

Формула Гаусса - Остроградского позволяет интеграл от дивергенции превратить в поверхностный, который оказывается равным нулю. Следовательно,

Jf*udV=— ^-/卜 2 grad 6 — grad 占"/)] udV.(10.12)

Из этой формулы следует, что плотность действующей на среду силы

1,1/ , Эе \

/=Е2 grade + — grad I Е2т — I- Vp0-(10.13)

87r87r\ dr /

Слагаемое — V^。связано с наличием в любой жидкости давления р гидростатического типа, изменение которого от точки к точке приводит к появ* лению в жидкости соответствующего вклада в объемную плотность силы/. Поскольку в основу вывода формулы (10.13) положено выражение для энергии (10.1) или (10.2), то производные в (10.13) следует понимать как производные при постоянной энтропии. Соответственно, давление р0 в (10.13) есть то давление, которое было бы в жидкости в отсутствие поля при заданной плотности г и энтропии.

Если бы поле включалось в процессе изотермического типа, то зависящий от поля вклад в свободную энергию был бы равен

1,1

0Я/

При этом правые части формул (10.3) и (10.4) были бы вариациями 8 JF dV свободной энергии. В таком случае плотность силы по-прежнему имела бы вид (10.13), но производные в этой формуле следовало бы уже понимать как изотермические, а давление р0 было бы давлением в отсутствии поля при заданных плотности и температуре.

Любая компонента плотности силы fa может быть представлена в виде производной от величины, которая называется тензором напряжений。。0. Эта возможность является прямым следствием закона сохранения импульса. Сохранение импульса, как известно, означает, что для каждой компо* ненты импульса может быть написано соотношение типа уравнения не* прерывности

(10.14)

в котором тензор - %0 имеет смысл плотности потока импульса. Эта формула эквивалентна выражению

(10.15)

которое и связывает плотность силы с тензором %伊 Найдем теперь тензор 。0由 соответствующий полученному выражению для плотности силы /. Для этого первому слагаемому в (10.13) следует придать вид пространственной производной, а второе слагаемое в этой формуле уже имеет вид пространственной производной:

1 ,决一户_87r 女a1 ,决一户_87r 女a1 Э ,1 a ,

1 ,决一户_87r 女a

1 ,决一户_87r 女a

(e£2) + — eE2

87r 队叁87r dxQ

1a ,1 dEn

= (eE ) + — eEв .(10.16)

8я dxa 47r а%

1a%

Прибавим к выражению (10.16) и вычтем из него величину — Dq ；

47ra*。

тогда (10.16) примет вид

87r a*Q47r“ a*a

1a% 1a%

€Eq + cEa -— 47r8“ 47ra“

В этой формуле второе и третье слагаемые в сумме дают

Стоящее в круглой скобке выражение есть компонента вектора rot Е. Поскольку в случае постоянного поля rot Е = 0, от (10.16) останется вы* ражение

(е£2) + — %.

8" а*а4я Эхд

Будем считать, что в среде нет объемных зарядов, так что в занимаемой средой области пространства div 0= 0. Прибавляя к (10.16) нуль, представ- 1 「吗 ленный в виде —— Еа , получаем, что 4я Эхд

1. Зе 1 Э ,18

Е2——=(£『)+(е&£0).

8я Эхй 8я В%47r Ox。

Таким образом, объемная плотность сила

厶=——-—I £2 -т —М 6Q0 + —二(eFQ£3)-学，

8я Эх3 L \I ° 4я В/ ' Эха

а тензор напряжений

% = Г06aL ^ 卜 т(^)卜а°+£^^ •(1017)

Первое слагаемое в (10.17) описывает неэлектрическую часть тензора напряжений, два остальных обусловлены наличием электрического поля.

Вычисление полной силы, действующей на среду, с помощью тензора 0^ может оказаться более удобным, чем ее вычисление при помощи f^, поскольку в первом случае достаточно взять двукратный, а не трехкратный интеграл.

Силы, с которыми поверхности раздела двух соприкасающихся сред действуют друг на друга, в условиях равновесия должны быть равны и противоположны по направлению:

Поскольку орт нормали к поверхности первой среды 〃⑴=—№), то

Это означает, что если первая среда находится в равновесии со второ访，то при вычислении силы интеграл §。仪”0 ds можно брать как по внешней' так и по внутренней поверхностям среды.

Силы, действующие на магнетик, помещенный в постоянное магнитное поле. Рассуждениег вполне аналогичное приведенному выше, позво* ляет определить силу, действующую на среду в постоянном магнитном поле. Соответствующий тензор напркжени访 получается из (10.17) заменой е на р"1 и £- наЯ:

У = + — grad8яУ = + — grad8я

У = + — grad8я

У = + — grad8я

Обусловленная же магнитным полем часть плотности объемной силы равна

(10.19)(10.19)а / 11 ,1

(10.19)

(10.19)

т — I •— I炉 grad —

Эт \ м / I 8亓 〃

Силы в переменном электромагнитном поле. Обобщим теперь полученные результаты на случай переменного электромагнитного поля, когда нужно учитывать временную дисперсию диэлектрической проницаемоо ти. Рассмотрим жидкий диэлектрик (диэлектрическая проницаемость которого является функцией частоты поля), помещенный в переменное электрическое поле с частотой, попадающей в область прозрачности диэлектрика. Вывод формул (10.13) и (10.17) существенно основывался на выражении (10.1) для энергии электрического поля в среде, справедли* вом только в случае постоянного поля. Средняя по времени плотность энергии электрического поля в диспергирующей среде имеет, как известно (см. формулу (8.19)), вид

d

w (зе(з)).(10.20)

8я d3

Поэтому можно было бы ожидать, что и в выражении для тензора натяжений в переменном поле появятся дополнительные члены, содержащие de(3)/d3. Ниже будет показано, что это, однако, не так, тензор напряжений и в переменном поле дается формулой (10.17), только усредненной по времени.

Рассмотрим конденсатор, заполненный диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е(з), на пластины которого подан переменный потенциал

9 = % cos tot,(10.21)

частота изменения з которого лежит в области прозрачности среды, так что Im е (з) = 0. Такой конденсатор сам по себе не является электрически- замкнутой системой, но его можно сделать частью такой системы, если соединить конденсатор с катушкой индуктивности, образовав таким обра< зом колебательный контур с собственной частотой з.

Получим теперь выражение для энергии конденсатора емкостью С, заполненного диспергирующим диэлектри ком .Энергия конденсатора^ которому приложено постоянное напряжение 夕 и который несет на пластинах постоянный заряд Q, равна

W=% +g2C=% +С(，/2).(10.22)

Здесь было использовано понятие электрической емкости, определенной как отношение заряда к разности потенциалов на пластинах конденсатора.

С другой стороны, энергия конденсатора может быть записана в виде (10.1). Обобщением формулы (10.1) на случай переменного Поля является 4юрмула (10.20). Поэтому обобщением формулы (10.22) на случай переменного поля является выражение

，d

力=% +(зС).(10.23)

2 d3

По определению самоиндукции, средняя связанная с ней энергия есть LJ2/2c2. Если пренебречь сопротивлением, то потенциал 夕 на обкладках конденсатора будет связан с током J в колебательном контуре известным соотношением:

Причем ток J выражается через заряд Q на обкладках конденсатора фор* мулой J н dQ/dt, непосредственно следующей из уравнения непрерывности.

Если характеристики электрического поля изменяются по гармоническому закону, то 7 = — ；з。и dJ/dt = — з? Q, так что

1,

9= — L32 cL

Имея в виду определение емкости С(з) = Q® из предыдущей формулы получаем

з = d\/LC(^.

Таким образомг томсоновское соотношение между частотой и основными характеристиками колебательного контура имеет место и при наличии дисперсии. Приведенные выше формулы позволяют энергию, связанную с самоиндукциейг представить в другом виде:

厶丿21— С —

哀F厶3° =£9

Общая энергия замкнутой системы имеет, таким образом, вид j dс

W^WQ^-(зС) + ——=% + — — (з?。).(10.24)

2 d322з с/з

Подвергнем теперь конденсатор медленной деформации. При этом внеш* ние силы будут совершать над ним работу

52 二。&0 互 /70 s.{10.25)

Здесь W - смещение поверхностиг л - нормаль к поверхности, S — ее площадь.

Вычислим изменение энергии W системы и, приравнивая 54 и 5W, найдем вид тензора。吁 Из механики известно, что при бесконечно медленном изменении параметров линейной колебательной системы остается постоянным так называемый адиабатический инвариант, равный отношению энергии колебаний IVOSC к частоте з:

%s/з = const.(10.26)

Из этой формулы следует, что 6W 一 И<5з/з = 0, так что изменение собственной частоты при дес|>ормаиии Ьз связано с 6 W соотношением

5W= —(з?。).(10.27)

2 d3

Поскольку собственная частота колебаний з = с/V^S то изменение частоты при деформации связано с изменением емкости конденсатора формулой

6з1 6С

=.(10.28) з2 c

Общее изменение емкости 5С обусловлено непосредственно деформацией конденсатора (это изменение обозначим как 5cdef) и изменением частоты, так как емкость есть функция частоты,

dC

6C = 5Cdef + — 6з.(10.29)

d3

Величина bQef выражается через вектор W так же, как и в статическом случае. Исключая из (10.28) и (10.29) отношение 6С/G находим

6з/Г 1d(3?C)

(10.30)(10.30)(10.31)(10.31)~ =63"匕

(10.30)

(10.30)

(10.31)

(10.31)

Подставляя эту формулу в (10.27), получаем

6 W = SCdef •

2

Изменение электрической энергии конденсатора с постоянным зарядом на пластинах, как это следует из (10.22), имеет вид

q22

6川=6С=SC.(10.32)

2c22

Из (10.31) и (10.32) видно, что формулы, описывающие изменение энергии поля в статическом случае и изменение усредненной по периоду энергии переменного поля, имеют одинаковую структуру. Поэтому и тензор напряжений в случае переменного поля получается усреднением формулы (10.17) по периоду:

<М = -Ро^аЗ— € — Т1 —I 6ад + €— .(W.33)

оя L \от/J4я

С переменным электромагнитным полем связано появление еще одного слагаемого в выражении для плотности объемной силы. Происхождение этого слагаемого легче всего понять, если записать выражение для

закона сохранения импульса в виде

(10.34)(10.34)Эра а/ Эоа^ + -——-=0.

(10.34)

(10.34)

Здесь р"— плотность импульса среды, ар" — плотность импульса собственно электромагнитного поля. Полный импульс системы °взаимодей> ствующие среда — поле" равен р = р" ^р^. Коль скоро мы интересуемся силой, действующей на среду, ее можно написать в виде

8г8г(10.35)(10.35)

8г

8г

(10.35)

(10.35)

Возникающее при этом в правой части (10.35) второе слагаемое не имеет вида пространственной производной от тензора напряжений. В формуле

(10.35) р = EXS. Это последнее слагаемое обычно мало.

47ГС

СРЕДНЕЕ И ЭФФЕКТИВНОЕ ПОЛЯ В СРЕДАХ

До сих пор мы имели дело либо с микроскопическими, либо с макро* скопическими полями в средах. Макроскопическое поле, фигурирующее в макроскопических уравнениях Максвелла, есть результат усреднения микроскопического поля по состояниям всех частиц среды. Именно этим макроскопическим полем и определяется сила, действующая в среде на внесенный извне макроскопически малый заряд. Однако сила, действую*

щая на каждый отдельный собственный, принадлежащий среде заряд, определяется не средним полем. Дело в том, что на частицу среды, находя щуюся в некоторой точке г, помимо поля внешних зарядов и токов, действует поле, создаваемое всеми частицами среды, кроме рассматриваемой.

Если иметь в виду наиболее важный случай — случай электрического поля, то можно быть уверенным в том, что действующее на рассматриваем мую частицу поле будет не меньше среднего. Действительно, реакция частиц среды на внешнее электрическое поле сводится к ослаблению этого поля. Не учитывая вклад рассматриваемой частицы в эту реакцию, мы получаем поле, которое во всяком случае не меньше среднего. Хотя число всех остальных зарядов среды кроме того, за которым мы следим, велико по сравнению с единицей, вклад выделенного заряда в суммарное поле может быть достаточно велик, поскольку мы интересуемся самой ближай* шей окрестностью этого заряда. Это действующее на отдельную частицу среды или на отдельный поляризующийся элемент среды поле принято называть эффективным полем*}.

Эффективное поле связано с силой, действующей на частицы среды. Плотность этой силы определяется формулой (10.13), в которую входит среднее поле £ В случае однородного изотропного жидкого диэлектрика, помещенного в постоянное электрическое поле, плотность действующей на среду силы

С другой стороны, эта сила может быть представлена в виде

Здесь рт — микроскопические значения каждого отдельного дипольного момента, наведенного полем в веществе, Ет — микроскопическое значение электрического поля в месте расположения этого элементарного дипольного момента. Сумма по m берется по всем диполям в единице объема вещества. Угловые скобки являются символами усреднения.

Разлагая ми к рос копичес кое электрическое поле в ряд Тейлора по степеням координат гm элементарных диполей и удерживая в этом разложении первые два слагаемых, плотность силы (11.2) запишем в виде

〈X (рш • V}Ет > =〈2 lpm^)[Eo^(rm .V)E0] > (И.З) m 〃i

(предполагается, что начало координат находится в центре единичного объема), £о — напряженность электрического поля в начале координат; стоящий в квадратной скобке оператор ▽, примененный к Ео» надо понимать как производную от поля, взятую в начале координат. Прямое вычисление этого выражения в проекциях дает / = (「•▽)£(), где? = tpm — плотность .дипольного момента. Напряженность электрического поля Е(), как это следует из предыдущего, есть среднее микроскопическое

поле, действующее на отдельный диполь, поэтому величину Ео можно отождествить с эффективным полем Ee",af— представить в виде

/ = (Р^)^.(11.4)

Сравнивая выражения (11.1) и (11.4) находим, что напряженности среднего и эффективного полей связаны соотношением

£eff=」~^嘗".(11.5)

Как было установлено в п^дыдущем параграфе, формула (11.1) спра* ведлива не только в случае статических полей, поэтому формула (11.5) справедлива также и в случае переменного поля в диспергирующей среде без поглощения.

Если диэлектрическая проницаемость £ зависит от плотности т среды линейным образом, так что е = 1 + ст, где с — некоторая константа, то 占得)~

и среднее поле совпадает с эффективным. Линейную зависимость е от г можно ожидать в разреженных средах, например в плазме. В конденси* рованных же средах диэлектрическая проницаемость является нелиней* ной функцией плотности среды.

Соотношение (11.5) между эффективным и средним полями позволяет установить связь между макроскопической величиной — диэлектри* ческой проницаемостью е и микроскопической величиной — атомной или молекулярной поляризуемостью. Для этого приравняем два вы раже* ния для плотности дипольного момента среды Р:

-~- £ = 〃乂£eff.

47r

Здесь л — концентрация атомов или молекул в среде, ха — микроскопи* ческая (атомная или молекулярная) поляризуемость. В результате, с учетом соотношения (11.5), получим:

По смыслу определения поляризуемости Ха ее иногда бывает можно считать величиной, не зависящей от плотности среды г. Тогда формула

(11.7)(11.7)(£-1)21

(11.7)

(11.7)

4тг〃т (Эе/Эт)

позволяет, с одной стороны, оценить микроскопическую величину хд, основываясь на измерениях макроскопической величины е, и, с другой стороны, дает дифференциальное уравнение, решение которого опреде* ляет вид зависимости £(т), совместной с предположением ха = const. Соответствующее уравнение имеет вид

(11.8)

、小"亿夕）、小"亿夕）Рис. 11.1.Рис. 11.1.££Эе\ ——I в (11.5) можетЭе\ ——I в (11.5) можетЕсли концентрация п пропорциональна плотности т, так что л = Ьт, то уравнение (11.8) сводится к уравнению de 11,

、小"亿夕）

、小"亿夕）

Рис. 11.1.

Рис. 11.1.

£

£

Эе\ ——I в (11.5) может

Эе\ ——I в (11.5) может

7 (£-1)2.(11.9) dT ^bxa г2 Однако может оказаться невозможным представить плотность дипольного момента Р в виде суммы элементарных дипольных моментов, поляризуемость которых не зависит от т. Так это будет или не так, должно выясняться в каждом случае на основе микроскопической электронной теории строения среды. Поэтому величина

быть найдена, в зависимости от характера среды, и на основе других, модельных соображений.

Близкие к модельным соображения необходимы при вычислении производной de/Эт в (11.7) и в тех даже случаях, когда соотношение л = Ьт выполняется. При этом производную Эе/Эт удается выразить через е и т. Продемонстрируем пример такого подхода.

Выделим в веществе сферическую область с макроскопическим ра* диусом 斤，окружающую точку, в которой находится один выбранный диполь. Энергия взаимодействия U этого диполя со всеми другими диполями сферической области есть

Р • Pi — 3(Л/ • Р)(Л/ • Р/)

где р — выделенный дипольный момент; сумма берется по всем остальным дипольным моментам р〃 находящимся внутри сферической области, 〃 一расстояние от центра сферы до /-го диполя. Считая, что все диполи параллельны друг другу, эту сумму представим в виде

— 3cos2 ф；

здесь 必={n^Pi). При макроскопическом описании эту сумму можно заменить интегралом по объему сферы:

— 3cos2 屮 ".

Если диполь (а вместе с ним и начало координат) находится в центре сферы, угловая часть интеграла обращается в нуль. Это следует из того, что величина 1 — 3cos2 W с точностью до постоянного множителя совпадает с полиномом Лежандра 居(cos 屮).

Нулем является не только U, но и сила F = —▽(/, с которой находящееся внутри сферы поляризованное вещество действует на диполь в центре сферы. Покажем это. Для этого рассмотрим диполь, находящийся на расстоянии z от центра сферы, заполненной веществом (рис. 11.1). Энергия U взаимодействия диполя с веществом будет иметь вид

+ 1rmax(2*^ ) dr

27rpp / dcosW(1 - 3 cos2 W) /—,

то г

где г — расстояние от точки х = у = 0, z=#0, в которой находится диполь,

до любой точки в пределах сферы. При фиксированных z и ^величина г может меняться от 0 до гтах^ ^)• Зависимость，max(z, W) может быть найдена с помощью соотношения

<тах 亿 W) = X* + 〃 +(Z - Zr 尸•

Здесь Zr, Xr и y^ —декартовы координаты произвольной точки поверхности сферы. Так как zR - г = rmaxcos то

<тах =中 + Z? -2z(Z+「max COS W)・

Решение этого квадратного уравнения определяет зависимость rmax от z и cos w：

「max = -ZCOS 屮 +，№ COS 屮 + 卢-Z?.

Поэтому

U = 2ярР / d cos i//(1 — 3cos2 ф)1п( -z cos 屮 +，z? cos?山 + 中一z?),

а производная от U no z (производные по остальным направлениям равны нулю, как это ясно из соображений симметрии)

аиV,

& = - — = —2叩戶 / d cos V/ (1 - 3 cos2 屮)X 8z-i

z(co§2 W — 1)

一 /，二一•，""，，… ，" 千 -cos W

здесь п - концентрация диполей. Из (11.10), (11.11) и формулы Р 47r

следует, что е м N связаны соотношением

(11.12)(11.12)3

(11.12)

(11.12)

Ха = ~о 4ял е + 2

Эта формула носит название формулы Клаузиуса — Моссотти. В оптической области спектра, в которой принято работать с показателем преломления N = V^! эта формула принимает вид

(11.13)(11.13)Л/2 - 13

(11.13)

(11.13)

/V2 + 24ял

и называется формулой Лоренца - Лоренца.

Из сравнения формулы Клаузиуса — Моссотти с формулой (11.7) следует, что / де \(€- 1) (е+1)

—=.(11.14)

\Ьт ) Зт

Подставляя (11.12) в (11.9), опять приходим к (11.14). Это означает, что формула Клаузиуса 一 Моссотти согласуется с предположением о пропорциональности пит. Наконец заметим, что формула Клаузиуса — Моссотти является точной для кубических кристаллов с фиксированным расположением поляризующихся молекул и приближенной — для жидкостей.

Формулы (11.6) — (11.13), полученные в предположении о том, что микроскопическая поляризуемость определяется свойствами только каждого отдельного структурного поляризующегося элемента, применимы к неполярным диэлектрикам. Свойства полярных диэлектриков наиболее интересны в случае статических или низкочастотных полей и будут изучаться в следующей главе.

Глава И

ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В СРЕДАХ

А 12. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

В ОКРЕСТНОСТИ ПРОВОДНИКОВ

Внешнее электрическое поле приводит к появлению на проводниках индуцированных зарядов. Индуцированные заряды, в свою очередь, изменяют исходное электрическое поле. Результирующее поле в пространстве между проводниками удовлетворяет уравнениям электростатики:

(12.1)(12.1)rot Е = 0 и div Е = 0.

(12.1)

(12.1)

После включения внешнего поля и вызванного им перераспределения зарт дов электрическое поле внутри проводника устанавливается равным нулю. В противном случае в проводниках должны существовать ток и наблюдаться диссипация энергии. Такой процесс в известных условиях может быть ста- ционарным, но не статическим. Чтобьа поле Е внутри проводников было равно нулю, все наведенные заряды должны быть сосредоточены на поверх-

ности проводящих тел. Все это означает, что граничные условия на поверхности раздела проводник — вакуум имеют вид

£"s = 0,илиgls = const,(12.2)

E„ls =4万0, или^ I = -4 яо,(12.3)

здесь о — поверхностная плотность заряда. Из условия (12.2) следует, что силовые линии электрического поля вблизи проводящей поверхности направлены нормально к этим поверхностям; из условия (12.3) — что полный заряд на поверхности

1

О=© odS = §EdS.(12.4)

4 it

Для того чтобы поле в пространстве между проводниками и на их поверхностях было полностью определено, следует задать либо потенциалы проводников, либо их полные заряды. Поверхностная плотность заряда о не может быть задана произвольно： она зависит от расположения, формы и заряда всех проводников в системе, включая данный, и вычисляется по формулам (12.3) после определения электростатического потенциала 夕 во всем пространстве.

На поверхность находящегося в электрическом поле проводника действует сила, которая может быть определена с помощью максвелловского тензора натяжений (см. формулу (16.39), ч. I). Из условия Ет \ 5 = 0 сразу получаем, что поверхностная плотность этой силы равна (£2 /8я)л. Сила эта направлена по внешней нормали к поверхности, в направлении от проводника в вакуум.

Скалярный потенциал поля может иметь максимальное и минимальное значения только на поверхности проводников. Если бы потенциал 夕 мог иметь экстремальные значения и в вакууме, в пространстве между проводниками, то можно было бы выделить такую малую замкнутую поверхность, охватывающую точку пространства, в которой 夕 экстремально, чтобы производная 沁/М на этой поверхности всюду имела бы один и тот же знак. Тогда интеграл §3屮沁ndS, взятый по этой поверхности, был бы отличен от нуля. Но это противоречило бы уравнению divE = 0, из которого сразу следует, что интеграл §3屮2ndS по любой замкнутой поверхности, находящейся между проводниками в вакууме, равен нулю. В этом плане существование поляризующихся проводников не меняет положения, существующего в микроскопической электростатике с одними только сторонними зарядами.

Для потенциалов электростатического поля можно сформулировать теорему взаимности. Для этого в формуле Грина (см. формулу (20.1), ч.1)

/ (WM — rA W) W =借一»毋

в качестве функций 夕 н 屮 примем два различных решения электростатической задачи, которым соответствуют два разных распределения создающих поле зарядов. Интеграл в левой части (12.5) берется по всему про* странству, интеграл в правой части — по бесконечно удаленной поверхности и по поверхности всех проводников. Интеграл по бесконечно удаленной поверхности обращается в нуль, если все заряженные проводники находятся в конечной области пространства.

Поскольку в окружающем проводники пространстве Ад = Дф = О, из формулы Грина и из формул (12.2) и (12.3) следует, что

9〃。” = Z 丸唄；(12.6)

здесь сумма берется по всем проводникам. Скалярные потенциалы W” 一 величины, постоянные на поверхности каждого проводника, и их можно вынести из-под знаков интеграла. Принимая во внимание также формулу (12.4) у соотношению (12.6) можно придать вид

^а О^а} = 2 也。/)・(12.7)

Здесь 0，)и《°)— полные заряды на а*проводникеу соответствующие потенциалам 夕 и W в окружающем проводники пространстве. Формула (12.7) является математической формулировкой теоремы взаимности в электростатике. Из теоремы взаимности непосредственно следует, что если, например, имеется два проводника, I и Пг первый несет на себе заряд О (при этом потенциал на его поверхности 夕"，а второй не заряжен (потенциал на его поверхности 夕“)，и если перенести весь заряд О с первого проводника на второй, то на проводнике I установится такой потенциал ф, который был раньше на проводнике II. Действительно, в случае двух таких проводников формула (12.7) примет вид О^п = Q Фь откуда сразу следует, что

Wl = 9ii・(12.8)

Этот результат не зависит от формы проводников.

Введем теперь понятие электрической емкости проводников. Рассмотрим систему проводников и изменим каким-либо образом потенциал на одном из них, скажем, на ^*проводнике. Потенциалы других проводников пусть при этом останутся неизменными. Для того чтобы эти потенциалы остались неизменными, придется изменить заряды на всех проводниках, так чтобы новые заряды стали равными。(“)+ 5。(°). Потенциал на ^-проводнике обозначим 9《+ 5 9g. В этом случае соотношение (12.7) примет вид

0(g)59g = Е 9а 5Q⑷

И

Ои) =6Q⑺/8 屮g・(12.9)

Суммирование здесь производится по всем проводникам, включая и^*про* водник.

Введем обозначение

5Q(a)/59g = Cgat(12.10)

так что

”)=S Cga^a.(12.11)

Формула (12.11) показывает, что заряды проводников являются линейны* ми функциями их потенциалов, линейная связь между которыми обуслов* лена линейностью уравнений электростатики.

Диагональные элементы матрицы С, определенной формулой (12.10), называются коэффициентами электростатической емкости, недиагональ*

ные — коэффициентами электростатической индукции. В случае, когда имеется один только проводник, формула (12.11) принимает вид Q = С屮. Коэффициент С называется емкостью такого проводника. Энергия электрического поля

W = —J0dV = - —，Е Е 屮 dV = - — SV(^E}dV, (12.12) 8я8я8я

поскольку 夕^ •£ = 0. Преобразуя по формуле Гаусса — Остроградского объемный интеграл в поверхностный, получаем, что

W =— 工屮a§E「dSa=-E 9а。⑷.(12.13)

“2 a

Подставим в (12.13) формулу (12.11) и запишем энергию в виде 1

W = -E Cab屮a 屮Ь・(12.14)

ab

Энергия W всегда положительна, поскольку положителен первый интеграл в (12.12). Из положительности W следует, в частности, что все диагональные элементы матрицы С положительны, а недиагональные — отрицательны.

Изменение энергии поля при бесконечно малом изменении зарядов или потенциалов на проводниках имеет вид

1 5W = —(EbEdV.

7Г

При изменении зарядов проводников 11

5W =，У屮 BEdV =/div(^ 8E)dV = 4 я4 я

=工工屮a§6Ea・dSa=e屮。 50(。)； 4 Я aa

здесь было использовано уравнение div 6 Е = 0, следующее из (12.1). При изменении потенциалов аналогичный расчет дает

5W =§Е Е配 dV = S。⑷ 5%. 4 Яa

Из этих формул находим:

8W/8Q ⑷=9。，bWlb^Pa =。⑷.(12.15)

Поскольку энергия IV является функцией состояния, то смешанные производные a‘W/89a 8夕匕 и 钾川饱匕 2a должны быть равны друг другу: b2w da(a)产川 ао”)

~ Г = "~""= Cab. ~ ~= "Т " = C^q.

Ma d屮bd9bd9bd9ad9a

Здесь была использована формула (12.11). Из равенства смешанных производных делаем вывод, что матрица С является симметричной и

Cab = Cba・(12.16)

Наконец, введем понятие о тензоре поляризуемости проводящего тела. Наведенные в проводнике внешним однородным полем заряды создают

дипольный момент Р, который зависит от формы тела. Такой дипольный момент линеен по полю, так что

儿=К”0，(12.17)

где V — объем тела, яад — тензор, учитывающий влияние формы тела на наведенный дипольный момент, 一 значение поля вдали от тела. Величина ияа/з называется тензором поляризуемости тела. Легко видеть, например, что энергия взаимодействия W тела с точечным зарядом, находящимся от него на большом расстоянии и создающим поле 瓦 имеет вид

W = — % Vna^EaE^.(12.18)

§ 13. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В НЕПРОВОДЯЩИХ СРЕДАХ

В непроводящих средах не может существовать стационарный ток, но могут существовать наведенные объемные заряды. Уравнения электростатики в таких средах имеют вид

rot Е = О, div D = 4 npext •

Отличие вектора D от напряженности электрического поля £ обусловлено появлением индуцированных зарядов, объемная плотность которых

D-E

р = — div Р = —div.(13.2)

4 я

Из последней формулы следует, что на поверхности поляризованного диэлектрика могут существовать поверхностные наведенные заряды, плотность которых о равна нормальной компоненте вектора плотности поляризации

о = 4・ (13.3)

Из уравнений (13.1) обычным образом получаются граничные условия на поверхности раздела сред:

= Е%, Dn^ — D„a = 4 я oeXf (13.4)

Из первого уравнения (13.1) следует, что Е= —grad<p, а второе уравнение (13.1) дает нам уравнение для нахождения скалярного потенциала электрического поля：

~= -4”ext・ (13・5) а% \ а” /

Тензор баз, фигурирующий в уравнении (13.5), связывает векторы 0 н £. В случае, если можно пренебречь пространственной дисперсией (а это всегда возможно при достаточно плавном изменении поля в пространстве) г диэлектрическая проницаемость сводится к алгебраической (неоператорной) величине. В следующем параграфе будет показано, что тензор £а0 — симметричный 觴0 = еда). Как и всякий симметричный тензор второго ранга, он может быть приведен к главным осям, после чего он будет иметь только диагональные компоненты.

Если все три главных значения тензора еад окажутся совпадающими, то диэлектрическая проницаемость будет скаляром. Это может иметь место не только в случае изотропных сред. В кубическом кристалле тензор баз тоже сводится к скаляру. Анизотропия же кубического кристалла

будет проявляться в тензорах более высоких рангов. Среды, в которых хотя бы два или все три главных значения тензора еад различны, являются электрически-анизотропными. Если эта среда — твердое тело, то в первом случае говорят об одноосном, а во втором — о двухосном кри> сталлах.

Кроме диэлектрической проницаемости е в электростатике пользуются также понятием диэлектрической восприимчивости к, которая определяется соотношением

「а = Ка0£0・ (13.6)

Диэлектрическая восприимчивость связана с диэлектрической проницае* мостью формулой

Как видно из соотношений Кра мерса — Кронига (5.4), статическая диэлектрическая проницаемость в отсутствие пространственной дисперсии всегда больше единицы. Соотношение (5.4а) можно записать в виде

,1 8 aз‘

с (0, 0) = 1 + — f — е° (0, з)・

Левая часть этой формулы и есть статическая диэлектрическая проницаемость. Величина з) в правой части — положительна при всех з〉0, поскольку через нее выражается энергия электромагнитного поля, дно сипируемая в веществе. Если диссипация происходит в среде, находящейся в те рмоди на ми ческ и-равновесно м состоянии, то £” (0, з) > 0 при всех з.

В случае, когда среда электрически-изотропна, однородна и можно пренебречь пространственной дисперсией, уравнение (13.5) превращает* ся в уравнение Пуассона:

Аз = -4 я Pext/c.(13.8)

Граничные условия (13.4) на границе раздела двух диэлектриков принимают вид (ср. с формулами (19.7) и (19・8),y・ I)

^913^2

屮1 =屮2， ei е2 —= 4 я Oext-(13.9)

ЭлЭл

Если поле в диэлектрической среде создается заряженными проводниками, то при задании потенциалов проводников граничные условия на них записываются в виде

^\sa-碌(13.10)

где 圆―потенциал а-го проводника. Если фиксированы заряды。⑷ провод* ников, то граничные условия принимают вид

91szconst,0 —dS =(13.11) °4 я s Эл

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ

ДЛЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Внутренняя энергия и свободная энергия диэлектрика. В § 8 было показано, что в случае низкочастотного поля, когда можно пренебречь временной дисперсией диэлектрической проницаемости, энергия поля в пол я ризу ющейся среде имеет вид

、

W = —/е£2“.(14.1)

я

Если в отсутствие диэлектриков (при е = 1) величина W имеет вполне однозначный и ясный смысл, то при наличии диэлектриков физический смысл формулы (14.1) необходимо уточнить.

Прежде всего очевидно, что в (14.1) входит не только энергия поля, но и добавочная энергия вещества, приобретенная под действием поля. Но макроскопические тела, как правило, находятся в контакте с окру* жаюидими телами (термостаты), и поэтому могут характеризоваться несколькими энергетическими величинами, термодинамический смысл которых различен. Для нас наибольшее значение будут иметь две из них: внутренняя энергия и свободная энергия.

Внутренняя энергия U по своему физическому смыслу наиболее близка к механической энергии частиц или энергии поля в вакууме (рассматривавшихся в $ I), это — среднее по статистическому ансамблю значение полной энергии тела, включая кинетическую энергию и энергию взаимодействия составляющих его частиц» а также энергию их взаимодействия с внешними полями и энергию самих внешних полей в объеме тела. Изменение внутренней энергии тела определяется работой внешних сил при адиабатическом процессе, т.е. в условиях теплоизоляции тела.

Свободная энергия

F = U-TS(14.2)

отличается от внутренней энергии слагаемым TS — произведением абсо* лютной температуры на энтропию. Изменение свободной энергии тела равно произведенной над ним работе при изотермическом процессе, т.е. при постоянстве температуры. Вычислим обе эти величины, U и F, для диэлектрика в электрическом поле.

Из результатов $8, ч. II следует, что увеличение плотности энергии диэлектрика при медленном возрастании электрической индукции D на малую величину dD равно

1

dA =——Е ・dD.(14.3)

4 я

Это и есть работа (на единицу объема) у совершаемая внешними источни* ками электрического поля над диэлектриком. Далее воспользуемся соотношениями, известными из термодинамики. При медленном обратимом изменении параметров тела его внутренняя энергия (на единицу объема) получает приращение

1

dU = TdS + J dp +D • dD,(14.4)

4яе

где p — плотность вещества, f — химический потенциал. Последнее слагав* мое в (14.4) — это работа электрических сил (14.3), выраженная через

D = eE*). Диэлектрическая проницаемость e не зависит от поля и может быть выражена как функция S и р. Частный дифференциал внутренней энергии при постоянных S и р имеет вид

1

откуда интегрированием находим

D2

U(S, р. D} = UQ (S, р) + ——・(14.5)

8яе

Здесь и。(S, р) — плотность внутренней энергии диэлектрика в отсутствие поля, 。2/8行£ = е £2 /8 я — добавка к внутренней энергии за счет поля при адиабатической поляризации диэлектрика.

Добавив в (14.4) слагаемое —d(TS), получим дифференциал свободной энергии:

1

dF = -S d7 + f dp + ——D dD,(14.6)

4 яе

где £ теперь нужно рассматривать как функцию плотности и температуры. Из (14.6) получаем

О2

F 亿 р, D)=戶° (Л Р) + ——・(14.7)

8яе

Таким образом, то же самое слагаемое D2 /8 пе представляет собой добав* ку к плотности свободной энергии диэлектрика, если процесс поляризации проводится изотермически. Поскольку обьвчно поляризующиеся диэлектрики находятся в контакте с окружениегл (террлостатом), которое поддерживает в них постоянную температуру, тс величина

w = П2/8яе = еЕ^В 北(14.8)

должна рассматриваться как доб^кз 紀 плотности свободной энергии диэлектрика.

Иногда бывает удобно опери рок ать свободной энергией, из которой исключена энергия поля, существующего у? в отсутствие диэлектрика. Плотность такой свободной энергии

不=:尸一石2/8小(14.9)

Здесь & — напряженность поля, которое существовало 6bl в данном месте, если бы диэлектрика не было, з источники поля^остались прежними. Изменение такой свободной энергии при изменении 3 & поля есть

5 £=」(£• 50 — 百・бК)・(14.10)

4 я

Это выражение перепишем в виде

5户=(4тг)т (0-^)бЕ+Е(50 — 5£) + (£-0)5总

*) Большая чэсть формул этого параграфа записана дпв мзотропнь4х сред Уче】 анизотропии усложняет вид некоторых формул, но не вносит существенных нзме нений в интерпретацию основных соотношений.

При вычислении интеграла от 6F по объему диэлектрика интегралы /(D - K)-8^dV и /£• (50 — 5宮)dU обратятся в нуль. Действительно, /(P-i) 6£dU = Jdiv[(D- ^)6^]dU-J6(p^div (P-l)dV：

&(14.11)

В этом выражении 8 ^ ^связаноВ этом выражении 8 ^ ^связанос 5£ формулой 5& = -grad6^^».Последний

В этом выражении 8 ^ ^связано

В этом выражении 8 ^ ^связано

интеграл в (14.11J равен нулю, так как в объеме, занимаемом диэлектриком, div D = div S = 0. Первый же интеграл может быть представлен в виде поверхностного интеграла，(D — £) 5(р£ dS, взятого по поверхности про*

6(^g = 8J!St,этой поверх*6(^g = 8J!St,этой поверх*водников, создающих поле, и по бесконечно удаленной поверхности.

6(^g = 8J!St,этой поверх*

6(^g = 8J!St,этой поверх*

На поверхности проводников выполняется соотношение так же как и соотношение 9 = const, поэтому интеграл по

ности принимает вид 5嗑0(。- ^)d£

Но f DdS = f £ dS, поскольку каждый из этих интегралов равен полному заряду на проводящей поверхности. Этот заряд считается фиксированным и при помещении в поле диэлектрика. Интеграл же по бесконечно удаленной поверхности можно считать равным нулю на обычном в таком случае основании.一

Легко убедиться в том, что интеграл JF (60 — 5 &)"» тоже равен нулю. Поэтому

JbS dV^JbS dV^/(0-Е)魚 dV/(0-Е)魚 dVJP 余 dV.JP 余 dV.(14.12)(14.12)

JbS dV^

JbS dV^

/(0-Е)魚 dV

/(0-Е)魚 dV

JP 余 dV.

JP 余 dV.

(14.12)

(14.12)

Если внешнее поле однородно, то

/d笋W= -8&fPdV^ -夯京，(14.13)

где 9 — полный дипольный момент всего диэлектрика. Таким образом, изменение плотности свободной энергии 犷в случае однородного внешнего поля имеет вид

d^=-P・d飞.(14.14)

Поскольку плотность дипольного момента Р является линейной функци* ей 瓦 то она пропорциональна и 氏 Поэтому выражение (14.14) можно проинтегрировать, и получим

5-久亿 р) = - % 尸云. (14.15)

Изменение внутренней энергии диэлектрика при изотермическом включении поля. Если поле включается изотермически, то изменение внутренней энергии диэлектрика не будет описываться выражением (14.8). Найдем его следующим путем.

Выберем в качестве независимых переменных температуру Т, плотность р и электрическую индукцию D. Полагая р = const, можно записать: ъиъи ,

dU =——dT + —； dD2.

ЭГЭР2

С другой стороны, согласно (14.4),

dU = TdS +心. 8яе

Из двух последних равенств находим изменение энтропии:

cfS = — (dU 一 — — d。？) = — " ' ■ dT +—. (14.16)

T\ 8яе } T bT T\bD2 8яе/

Поскольку энтропия есть функция состояния, то dS - полный дифференциал и

as _ 1 аи эг ~ 7 эгas _ 1 аи эг ~ 7 эгas不as不Приравнивая перекрестные производные, находимПриравнивая перекрестные производные, находим

as _ 1 аи эг ~ 7 эг

as _ 1 аи эг ~ 7 эг

as

不

as

不

Приравнивая перекрестные производные, находим

Приравнивая перекрестные производные, находим

откуда сразу следует, чтооткуда сразу следует, что

откуда сразу следует, что

откуда сразу следует, что

(14.17)

Правая часть (14.17) не зависит от D. Поэтому дифференциальное соотношение (14.17) легко интегрируется:

,D2 / Г Эе \

U{Tfpf D2)-UQ(Tfp}^——1 +- —.(14.18)

8яе \6 ЭГ /

Функция Ц)(Г, р) есть плотность внутренней энергии среды в отсутствие поля. Примем в качестве независимых переменных величины Ги Е(послед* нее означает, что заданной считается не pext, а потенциалы 屮 на создающих поле заряженных проводниках). Тогда термодинамическое тождество можно записать в виде

е , F2 Эе

dU= TdS+ — dE? +dT.(14.19)

87r4?r a 丁

так как изменение вектора электрической индукции может быть (при заданных потенциалах) обусловлено изменением температуры среды, от которой зависит диэлектрическая проницаемость, поскольку

Эе

dD = d(eE) = £ dE +Е — dT. ЭГ

Процедура, аналогичная той, которая приводит к формулам (14.17) и (14.18), дала бы в 介ом случае

,eЕ2 /

и(Т,р,Е2)-Щ(Т,р)^ —+ [ 斤丿•(14.20)

Формулы (14.18) и (14.20), как видно, могут быть получены одна из 1

другой заменой D^eE \л, наоборот, Е f —D, Из этих формул следует, что

добавка к внутренней энергии диэлектрика, находящегося в электрическом поле, не равна (14.8) и содержит слагаемое, учитывающее °чувствитель- ность" диэлектрической проницаемости к изменению температуры.

Поучительно вычислить энтропию среды в электрическом поле. Из (14.16) и (14.18) следует, что

as1 Е2а2е \as1 况

ЭГГ\ ЭГ 8л3丁2 厂Э£287r эг *

Правая часть в последней формуле не зависит от Е и поэтому это дифференциальное соотношение легко интегрируется. После интегрирования получаем

(14.21)(14.21)Е2 de

(14.21)

(14.21)

S = Sq(T, р) + —— 87r dT

где S0(r P) - энтропия среды в отсутствие поля. С помощью (14.19) и (14.21) можно записать выражение для свободной энергии 尸=U — TS:

尸=户0 +££2/8m(14.22)

где 户0 - свободная энергия среды в отсутствие электрического поля. Мы вновь получили выражение, эквивалентное (14.7).

Возвращаясь к формуле (14.21), можно видеть, что характер влияния поля на энтропию определяется знаком производной de/dT. При deldT > О энтропия с включением поля возрастает. Поскольку энтропия является мерой беспорядка, то возрастанию энтропии в этом случае отвечает возрастание беспорядка в среде при включении или увеличении поля.

Существуют и такие средыг в которых de/dT < 0. При этом увеличение поля вызывает уменьшение энтропии, а значит, и увеличение порядка в среде. Физической моделью такого процесса может быть поляризация разреженной среды, состоящей из диполей заданной величины. В отсутствие поля все такие диполи будут ориентированы совершенно беспорядочно, а средний дипольный момент такой среды будет равен нулю. При включении поля происходит некоторое упорядочение направления диполей в среде, что приводит поэтому одновременно к появлению не равной нулю средней поляризации среды и уменьшению ее энтропии.

Симметрия тензора диэлектрической проницаемости. В заключение этого параграфа убедимся в том, что тензор диэлектрической проницаемости является симметричным. Для этого вернемся к формуле (14.3). Непосредственно из вида этой формулы ясно, что она справедлива и в случае анизотропных диэлектриков. Введем новый термодинамический потенциал определив его следующим образом:

〜 Е • D

U - U.(14.23)

Формулой (14.23) осуществляется преобразование Лежандра, позволяю* щее перейти от потенциала U= (S, p,D) к потенциалу 0= D(S,pfE), так что

〜1

dU = TdS + VdpD dE

4я

и

0 =.(14.24)

/s.p

Поскольку U (как и 60 - функция состояния, то производные и

b2U^^аЪЕ&

не должны зависеть от порядка дифференцирования. Но

ЪЕ^ЬЕа

д2й_1 а。。_1мо_[

==--%6，7 =%a。 ЭЕаЭЕ0 4я ЗЕ。 4яр ЗЕ^ЗЕа 47r »

Поэтому

%0 = e肌。(14.25)

§ 15. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЖИДКИЕ ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ. ЭЛЕКТРОСТРИКЦИЯ

Силы, действующие на среду, помещенную в электромагнитное поле, были рассмотрены выше, в § 10, ч. II. В соответствии с полученными результатами, на жидкий диэлектрик в электрической поле действует объем* ная сила с плотностью

которой соответствует тензор напряженийкоторой соответствует тензор напряжений<М = 一p。6“厂导 К 一 7<М = 一p。6“厂导 К 一 7”0 + £ ~~ 4я”0 + £ ~~ 4я(15.2)(15.2)

которой соответствует тензор напряжений

которой соответствует тензор напряжений

<М = 一p。6“厂导 К 一 7

<М = 一p。6“厂导 К 一 7

”0 + £ ~~ 4я

”0 + £ ~~ 4я

(15.2)

(15.2)

Существование такой силы приводит к изменению плотности диэлектрика, что связано с изменением в нем давления. Это явление называется электро^ стрикцией.

Условие равновесия каждого элемента жидкости заключается в том, что полная сила, действующая на такой элемент среды, должна быть равна нулю. Эта сила складывается из силы /, обусловленной полем, и силы, связанной с изменением гидростатического давления от точки к точке. Запишем это условие в форме

(15.3)(15.3)/•_ Vp = 0.

(15.3)

(15.3)

Сила f здесь дается выражением (10.13). Перепишем второе слагаемое в (10.13) в виде

/ , Эе \/ , Эе \, Эе

grad IE г — 1 = Tgrad(£" — у + £ — grad

Эе

Если среда является однородной, то grad е = — grad т. Поэтому условие

равновесия (15.3) принимает вид

/,Эе\1

—grad I £—I=— grad p.

8я \dr/г

Интегрируя это уравнение, получаем

Ро т 8я ЭтРо т 8я Эт

Ро т 8я Эт

Ро т 8я Эт

Если известна зависимость т = т(р), можно получить интегральную связь между р и Е2.

Поскольку жидкости обычно можно считать несжимаемыми, в этом приближении из (15.4) получаем

(15.5)

Эта формула дает электрострикционное изменение давления, обусловленное включением электрического поля.

СТАТИЧЕСКАЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ

Статическая диэлектрическая проницаемость в явном виде может быть вычислена, конечно, только в той или иной модели вещества. Однако модельные представления о среде не обязательно вводить с самого начала, можно продвинуться довольно далеко, не делая конкретных предположений о структуре вещества. Модели же можно и следует использовать в конце для оценки того, к чему приводит теория в тех или иных конкретных случаях.

Связь между статической диэлектрической проиицаемостью и флуктуациями вектора поляризации среды в отсутствие внешнего электри* ческого поля. Выделим в рассматриваемой среде сферу объема V макро* скопически малого радиуса. В присутствии внешнего электрического поля вещество, находящееся внутри этой сферы, так же как и в остальных точках средыу будет поляризовано. Если среда изотропна, то вектор поляризации будет направлен по внешнему полю£.

Следуя методу Лоренца, развитому применительно к данной задаче X .Фрёлихом, описание поведения вещества внутри выделенной сферы будем проводить на основе классической статистической механики. Вещество же, находящееся снаружи по отношению к сфере, будет расематриваться как сплошной диэлектрик с проницаемостью е. При поляризации зарядов, находящихся внутри сферы, эти заряды будут смещаться по отношению к положению равновесия. Такое смещение а-го заряда обозначим через иа, а совокупность всех таких смещений — через О = Q(U［，…，儿，…).

Пусть “)(。)一 потенциальная энергия системы зарядов, находящихся внутри выделенной сферы, в отсутствие внешнего электрического поля. Энергия “)(0) включает в себя как взаимодействие рассматриваемых зарядов друг с другом, так и их взаимодействие с зарядами, находящимися вне выделенной сферы. При включении внешнего электрического поля (которое будем считать однородным и имеющим вдали от сферы напряженность £) потенциальная энергия зарядов сферы получит добавку, которая будет представлять собой энергию взаимодействия зарядов сферы с полем Eit создаваемым внутри сферы внешними источниками и внешними (относительно сферы) зарядами диэлектрика. Поскольку диэлектрик вне сферы рассматривается как сплошная среда с диэлектрической Проницае* мостью €, то £} — напряженность поля внутри сферической полости, выре* занной в однородном диэлектрике. В Дополнении VIII показано, что это поле однородно и его напряженность

Потенциальная энергия зарядов сферы в однородном поле примет вид

3e 二

(16 2)(16 2)ид, Е) = и0 (О) - Z eauaEi = U^Q}- 砂(О) • Е.

(16 2)

(16 2)

а2е + 1

где для дипольного момента, создаваемого зарядами сферы, введено обозначение:

(16.3}(16.3}孕(О) = Z еаиа.

(16.3}

(16.3}

Суммирование здесь идет по всем зарядам (а - номер заряда) внутри сферы, и предполагается У что в равновесном состоянии (когда все иа = 0) сфера не поляризована.

dW = expdW = expdO / / exp (- ~ jdQ,dO / / exp (- ~ jdQ,Сферическая область находится в тепловом контакте с внешней частью диэлектрика и через нее - с термостатом. Вероятность того, что сфера окажется в состоянии с энергией 5。，Е), дается распределением Больцмана:

dW = exp

dW = exp

dO / / exp (- ~ jdQ,

dO / / exp (- ~ jdQ,

(16.4)

где Т一 те^пер&тура, выраженная в энергетических единицах.

Вычислим среднее значение проекции электрического дипольного момента сферы на направление поля £:

%• > - / ^(O)cos 0 ехр%• > - / ^(O)cos 0 ехр(学)(学)dO /J expdO /J exp(16.5)(16.5)

%• > - / ^(O)cos 0 ехр

%• > - / ^(O)cos 0 ехр

(学)

(学)

dO /J exp

dO /J exp

(16.5)

(16.5)

Здесь 6 — угол между векторами > 悌 Е.一

Если напряженность Е достаточно мала, так “то | 6 • £}丨《 Т, то экспо- ненть> в (16.5) можно аппроксимировать следующим образом:

SO,£) ехр —SO,£) ехр —I 4(Q)—схр | ；1〜I 4(Q)—схр | ；1〜Зе部(О)£+ cos °2e + 1 TЗе部(О)£+ cos °2e + 1 T(16.6)(16.6)

SO,£) ехр —

SO,£) ехр —

I 4(Q)

—схр | ；1〜

I 4(Q)

—схр | ；1〜

Зе部(О)£

+ cos °

2e + 1 T

Зе部(О)£

+ cos °

2e + 1 T

(16.6)

(16.6)

/ 例Bcos 0 ехр/ 例Bcos 0 ехрудерживав лишь члены, линейные по Е. Далее подставим (16.6) в (16.5) и примем во внимание, что

/ 例Bcos 0 ехр

/ 例Bcos 0 ехр

(16.7)

Последнее равенство следует из того, что в отсутствие поля среднее значение проекции 部 на любое направление равно нулю. Равенство (16.5) примет вид:

у / 个2 (О)со$2 0ехр (— y^)dc// ехр (—牛)~°・

(16.8) Подынтегральные выражения в (168) не зависят от £у а в отсутствие внеш* него поля все направления вектора 妤 равноправны. Поэтому интегрирование по углу 0 будет относиться только к множителю 8s? 6 и приведет к замене его на cos20 = 1/3. В итоге (16.8) можно представить в виде

<発)=

2е + 1 丁

2 *

(16.9)

где стоящая в правой части (16.9) величина

<^2 > = /^2(О)ехр<^2 > = /^2(О)ехр(善卜Q/U(")(善卜Q/U(")dQdQ(16.10)(16.10)

<^2 > = /^2(О)ехр

<^2 > = /^2(О)ехр

(善卜Q/U(")

(善卜Q/U(")

dQ

dQ

(16.10)

(16.10)

Величина〈部？〉представляет собой момента сферы за счет тепловых электрического поля.Поскольку 0 = еЕ = Е + 4яР, аВеличина〈部？〉представляет собой момента сферы за счет тепловых электрического поля.Поскольку 0 = еЕ = Е + 4яР, асреднее значение квадрата дипольного флуктуаций в отсутствие внешнегоРе =〈〉/ 匕 тосреднее значение квадрата дипольного флуктуаций в отсутствие внешнегоРе =〈〉/ 匕 то

Величина〈部？〉представляет собой момента сферы за счет тепловых электрического поля.

Поскольку 0 = еЕ = Е + 4яР, а

Величина〈部？〉представляет собой момента сферы за счет тепловых электрического поля.

Поскольку 0 = еЕ = Е + 4яР, а

среднее значение квадрата дипольного флуктуаций в отсутствие внешнего

Ре =〈〉/ 匕 то

среднее значение квадрата дипольного флуктуаций в отсутствие внешнего

Ре =〈〉/ 匕 то

(16.11)(16.11)4K₽f 4я < 络〉 е _ 1 ,

(16.11)

(16.11)

£ EV

где И-объем сферы. Подстановка величины (З^е) из (16.11) в (16.9) позволяет получить

(16.12)(16.12)4я £〈部2〉

(16.12)

(16.12)

c - 1 =

V 1 +2е Г

Формула (16.12) связывает, таким образом, диэлектрическую проницаемость среды е со средним квадратом спонтанной (флуктуационной) поляризации среды: е оказалась выраженной через флуктуации дипольного момента сферической области в отсутствие внешнего электрического поля. Важное значение этой формулы заключается в том, что она выражает реакцию среды на внешнее воздействие (на внешнее электрическое поле), выводящее среду из положения равновесия (эта реакция и описывается диэлектрической проницаемостью) через те свойства среды, которые относятся к равновесному ее состоянию. Существование такой связи характерно не только для рассматриваемой задачи. Она существует и в других случаях, когда система выводится из состояния равновесия внешними силами (например, внешним магнитным полем) и является частным случаем так называемой флуктуационно-диссипативной георемы.

〈*2〉=〈*2〉=(1 +2е)(6-1)(1 +2е)(6-1)В формуле (16.12) диэлектрическая проницаемость среды е выражается через флуктуацию дипольного момента сферы, взаимодействую щей со своим окружением. Этой зависимости также можно придать вид

〈*2〉=

〈*2〉=

(1 +2е)(6-1)

(1 +2е)(6-1)

(16.13)

(16.14)(16.14)Среднее значение квадрата дипольного момента всей сферы, входящее в (16.12), удобно выразить через дипольные моменты отдельных молекул, находящихся внутри сферы. Пусть внутри сферы находятся N молекул. Это могут быть также N элементарных ячеек решетки в случае, если диэлектрик является кристаллом, или N атомов. Дипольный момент сферы складывается из дипольных моментов всех этих структурных элементов (в дальнейшем эти структурные элементы будем условно называть молекулами) :

(16.14)

(16.14)

Здесь ра ^paiua} - дипольный момент а-й^ молекулы. Среднее значение квадрата дипольного момента всей сферы

〈部 2)=〈争•部〉=〈2 个"〉・ а 1

1 %一 / 4(。)\

(16.15)(16.15)! Z /%(%)*(а)ехр(^— JdQ

(16.15)

(16.15)

U。@\"U。@\"где

U。@\"

U。@\"

(16.16)

一 нормировочный интеграл. Каждое слагаемое в сумме (16.15) удобно представить в виде

1 ,-4(。)]

j fpa^a) S^(Q)exp— J dQ =

一U0(Q) 1/ Г Ua{Q) 1

= /Pj"a)/ 部(Q)exp j dQad3ua j^exp [- —— I dQa X

(16.17)(16.17)1 , Г %(Q) X ? Jexp[^ —

(16.17)

(16.17)

Символу dQa отвечает та часть конфигурационного пространства смещений

第卜丿/一第卜4第卜丿/一第卜4*(〃а)= /录(о)ехр —*(〃а)= /录(о)ехр —(16.18)(16.18)зарядов, которая связана со смещениями всех зарядов, кроме зарядов, входящих в а-ю молекулу. В (16.17) возникли две комбинации интегралов, имеющих ясный физический смысл. Величина

第卜丿/一第卜4

第卜丿/一第卜4

*(〃а)= /录(о)ехр —

*(〃а)= /录(о)ехр —

(16.18)

(16.18)

二 /ехр -二 /ехр -имеет смысл среднего дипольного момента сферы при фиксированном смещении зарядов а-й молекулы. Величина

二 /ехр -

二 /ехр -

(16.19)

есть вероятность того, что смещение зарядов в а-й молекуле равно иа, причем смещения всех остальных зарядов могут быть произвольными.

Таким образом,

〈豆 2〉= z fpa{ua} 3^ (ua)p(ua)d3ua.(16.20)

Если все молекулы — одинаковые, то

〈部 2〉= N f р{ц)^ (u}p(u)d3u.(16.21)

Теперь формуле (16.12) может быть придан вид

е-1=竺艺丄 /р(〃)^^)p(u}d3uf(16.22)

1 + 2е Г

здесь п = N/V — концентрация молекул.

Диэлектрическая проницаемость среды, состоящей из полярных молекул. Если диэлектрик состоит из полярных молекул, абсолютную величину дипольного момента р которых можно считать неизменной, то

(fp(u) ^{и)р(и)д3и>=р2.

В этом случае общая формула (16.22) принимает вид

е _ ]=е _ ]=4ТГЛ€ 紋1 +2t Г4ТГЛ€ 紋1 +2t Г(16.23)(16.23)

е _ ]=

е _ ]=

4ТГЛ€ 紋

1 +2t Г

4ТГЛ€ 紋

1 +2t Г

(16.23)

(16.23)

Это соотношение называется формулой Онсагера. Его можно считать оценкой, показывающей, какой порядок и какую структуру имеет правая часть (16.22) в случае полярных молекул. Для случая диэлектрика, состоящего из полярных молекул, характерно, как это видно из (16.23), существование зависимости диэлектрической проницаемости от температуры.

163 Диэлектрическая проницаемость среды, состоящей из неполярных молекул. Неполярные молекулы существенно отличаются от полярных в том отношении, что абсолютная величина дипольного момента неполярной молекулы ни в каком приближении не может считаться величиной постоянной. Она существенно зависит от приложенного поля и от температуры. Дипольный момент такой молекулы пропорционален смещению атомов U. -

Оценим величину〈俨D (16.21) в простейшем случае — в случае сфе« рических молекул. Эта величина в случае сферических молекул имеет вид:

(16.24)(16.24)

(16.24)

(16.24)

и(〃)= ”2.и(〃)= ”2.Энергия деформации сферической молекулы в гармоническом приближе нии есть

и(〃)= ”2.

и(〃)= ”2.

(16.25)

Интегралы в формуле (16.24) могут быть выражены через интеграл вероятностей и поэтому могут быть взяты. Обозначим у/Т = &; тогда интеграл

/ и2ехр о/ и2ехр о_任_任88

/ и2ехр о

/ и2ехр о

_任

_任

8

8

а стоящий в знаменателе формулы (16.24) интеграл

J expj— ^и2 }u2du = —•白一"2.

о4

Следовательно, оценкой величины (16.24) является

(16.26)(16.26)3/2 Ne2

(16.26)

(16.26)

Величина £ МкГ. Поэтому в случае неполярных молекул, как это видно из (16.22), диэлектрическая проницаемость не зависит от температуры В этом отношении неполярные диэлектрики существенно отличаются

от полярных. Формула (16.22), представленная с помощью (16.26) в виде

(16.27)(16.27)6ял€е

(16.27)

(16.27)

ё - 1 = /V-,

1 +2е7

обладает той особенностью, что величину 7 в этой формуле следует еще непосредственно выразить через макроскопическую диэлектрическую проницаемость £. Коэффициент 7 зависит также от микроскопической молекулярной поляризуемости х“ • Покажем это следующим образом.

Согласно (16.25) 7 = U(u)/u2, причем U = U『+ Ue. Энергия S = %сМ есть внутренняя энергия молекулы. Молекулярная константа с, характеризующая **жесткость** молекулы, связана с молекулярной поляризуе* мостью х“ • Эта связь очевидна и ее можно установить с помощью следую* щего простого рассуждения.

Если на молекулу действует поле £“'，то ее потенциальная энергия равна U(“)= Угси2 — ей • Энергия U(“)минимальна при ей = (e2/c)Feff. Но «/ = д = Ха^еЯ» так что е2/с = xd и с = е2/ха. Таким образом, S = =(е2/2ха)и2.

Энергия Ue обусловлена взаимодействием молекулы с окружающей сплошной диэлектрической средой. Поляризованная молекула вызывает поляризацию окружающей среды. Поляризованная таким образом среда, в свою очередьУ вызывает появление добавочного вклада в действующее на молекулу поле. Последнее принято называть реактивным. Напряженность реактивного поля, созданное однородно-поляризованным шаром (с плотностью поляризацииР), как показано в Дополнении IX имеет вид

2c — 1£ — 1—»

(16.28)(16.28)Е「еас =47rp=2 部 а・з

(16.28)

(16.28)

3 2e + 12€ + 1

Здесь было принято во внимание, что полный дипольный момент есть 4/з яРа =砂 (где а — радиус сферы). С реактивным полем связана энергия —^-£геас взаимодействия молекулы с окружающей средой и энергия самого реактивного поля. Последнюю можно оценить, представив ее в виде 入Ос)2

Коэффициент 入，в свою очередь, можно оценить, исходя из условия ми* нимальности Ue при фиксированном значении 纤.Функция Ue = =一㊁ Е^еас + 入伍геас)2 минимальна при 部二2入£「еас Подставляя последнюю формулу В ие, получим, ЧТО 〃 = — % 个 ・Е「еас, или

€ — 1 部 2 и = -2е + 1 а3€ — 1 部 2 и = -2е + 1 а3а3а32е + 12е + 1(16.29)(16.29)

€ — 1 部 2 и = -

2е + 1 а3

€ — 1 部 2 и = -

2е + 1 а3

а3

а3

2е + 1

2е + 1

(16.29)

(16.29)

Поэтому

(16.30)(16.30)s + ие

(16.30)

(16.30)

"-—

Теперь формулы (16.22) и (16.27) принимают вид соотношения Клаузиуса 一 Моссотти:

(16.31)(16.31)£- 1 一 Хае + 2 а3

(16.31)

(16.31)

w 17. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ § СРЕДЕ, ПОМЕЩЕННОЙ

В ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

17 J. Электрический ток и поток тепла в среде в присутствии внешнего электрического поля. В случае проводяидих сред электрическое поле приво* дит к возникновению ряда эффектов, столь же важных, как поляризация в случае непроводящих сред. Поскольку заряженные частицы в провод»- щих средах способны перемещаться, то приложение электрического поля вызывает процессы переноса или, как еще говорят, транспортные процессы. Важнейшие среди них — это появление постоянного тока зарядов и перенос тепла.

В однородном изотропном проводнике, во всех точках которого температура одинакова, электрический ток обусловлен только электрическим полем. В линейном по полю приближении плотность тока

/=а£.(17.1)

Коэффициент о называется проводимостью среды и является важнейшей характеристикой проводящих сред. Соотношение (17.1) называется законом Ома.

При протекании тока в среде происходи г диссипация энергии поля, плотность которой в единицу времени

Q 叶 Е = оЕ)=L产(17.2)

Последнее соотношение принято называть законом Джоуля - Ленца.

При диссипации энергии поля происходит рост энтропии. В единицу времени энтропия S проводника с током возрастает на величину

dS1

—=j—j EdV：(17.3)

dtT

здесь интегрирование производится no всему объему проводника. Из положительности производной dS/dt в случае среды (находящейся в равновесии, с учетом (17.2) вытекает положительность а Взаимодействие электронов и ионов в среде приводит при наличии поля Е к появлению потока тепла, плотность которого в линейном приближении равна

q = *.(17.4)

В неоднородных средах формулы (17.1) и {17.4) усложняются. Наиболее важным случаем, который только и будет рассмотрен, является температурная неоднородность — наличие в среде конечного градиента температуры. Градиент температуры приводит к диффузии заряженных частиц из нагретых областей в менее нагретые. С этими процессами преимущественного движения зарядов будут связаны как дополнительный электрический ток, так и поток тепла; формулы (17.1), (17.4) с учетом градиента температуры примут вид

j= oE + 0g「ad 兀(17 5)

q =)Е +$ grad Г.(17.6)

Коэффициент 0 характеризует величину термоэлектрического эффекта, коэффициент f обусловлен обычной теплопроводностью.

Коэффициенты о, 0, % f и другие подобные коэффициенты, которые описывают реакцию системы на внешнее воздействие, выводящее систему из состояния термодинамического равновесия, называются кинетическими коэффициентами. Различные кинетические коэффициенты не независимы.

Их взаимная связь выражается принципом симметрии кинетических коэффициентов, установленным Онсагером. Принцип Онсагера, подробное рассмотрение которого проводится в курсах статистической механики, форму* лируется следующим образом.

Обозначим через J, плотность тока или потока какой-либо физической величины. Индекс 7 указывает, какая именно физическая величина имеется в виду. Следуя Онсагеру, производную от энтропии по времени запишем в виде ds

—=_jX/・(17.7)

dt

Величины X/ в (17.7) называются обобщенными силами. Сами потоки J( выражаются линейно через обобщенные силы:

4 = а/Х“・(17.8)

Формулу (17.8) можно рассматривать как определение кинетических коэффициентов з火.Математическая формулировка принципа Онсагера гласит：

d"=a“j.(17.9)

Соотношение (17.9) называется также принципом симметрии кинетических коэффициен гое.

Чтобы применить этот принцип к установлению связи между коэффи * циентами в формулах (17.5) и (17.6) f надо обобщить формулу (17.3) на случай, когда в среде имеется температурный градиент. В этом последнем случае ds1

—=—(j・E-divq).(17.10)

dtГ

Последнее слагаемое описывает вклад энергии направленного теплового потока в рост энтропии, обусловленный диссипацией. Формуле (17.10) следует придать вид соотношения (17.7). Это позволит определить обобщенные силы X/. Если путем интегрирования второго члена в (17.10) по всему объему тела и обращения в нуль поверхностного интеграла преобразовать (17.10) к виду

ds Г j Е1 1

—=—I —亍-—q grad ^ J ,(17.11)

то из сравнения (17.11) с (17.7) получим, что имеются две обобщенные силы:

Xj = —EIT и Xg = -grad(1/7).

Придавая уравнениям (17.5) и (17.6) вид соотношения (17.8) ( получаем( что кинетические коэффициенты alk в нашем случае выражаются следующим образом:

% =。匚 ajq = -6丁2,%/ = 7丁，％q=-"2(17.12)

В соответствии с (17.9) a/Q = aQ； , т.е.

7 = -0工(17.13)

dQ /2-=— dt оdQ /2-=— dt оВернемся к мощности, выделяющейся в среде в виде тепла. Согласно (17.5), (17.6), (17.10) *и (17.13) ( эта мощность может быть представлена в виде

dQ /2

-=— dt о

dQ /2

-=— dt о

-) + div(KVT), (17.14)

где к = - (j + 俨 77。). Первое слагаемое в правой части формулы (17.14) есть джоулево тепло, третье - обусловлено обычной теплопроводностью. Второе же слагаемое связано с существованием термоэлектрических эф* фектов. Его вклад в тепловыделение линеен по / и поэтому может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от направления тока.

Эффект Пельтье. Если ток проходит через спай двух различных проводников, то в области спая может поглощаться или выделяться тепло. Такое явление носит название эффекта Пельтье.

q =q =ооВыражение для плотности потока тепла (17.6), согласно (17.5) и (17.13), может быть записано в виде

q =

q =

о

о

(17.15)

Если оба контактирующие проводника поддерживаются при одной и той же температуре, то q определяется только первым слагаемым. Обозначим II = - 077о. Эта величина является характеристикой металла, и у разных металлов — разная. Поэтому разность плотностей потоков тепла, подво* дим ого и уносимого током от контакта, есть

4=(必-%)/“，(17.16)

где индексы 1 и 2 у коэффициентов П относятся, соответственно, к перво* му и второму проводникам. Знак эффекта Пельтье зависит от направления тока, чему соответствует выделение или поглощение тепла на контакте.

Эффект Томсона. Если температура разных точек однородного по составу проводника различна и grad Г ^ 0, то в правой части второго слагав* мого в формуле (17.14)

E力*(小工

Вводя обозначение

Р = -Г—— ,(17.17)

дТ \ о /

мы получаем следующую формулу для величины тепловыделения в проводнике с температурным градиентом, по которому протекает ток:

QTh=Pj7T.(17.18)

Этот эффект называется эффектом Томсона. Он отличается от эффекта Джоуля - Ленца тем, что линеен по току. Поэтому, в зависимости от на* правления тока по отношению к направлению температурного градиента, а также в зависимости от знака коэффициента р, может наблюдаться как поглощение(так и выделение тепла.

Термоэлектродвижущая сила. Если привести в контакт три провод* ника, из которых первый контактирует со вторым, а второй — с третьим (причем первый и третий сделаны из одного и того же материала), и под*

держивать температуры зон контактов соответственно равными Л и Г2 (厂1 W 丁2)，а температуру концов цепи - одинаковой, то в такой цели возникнет разность потенциалов. Разность потенциалов, измеренных на концах цепи, называется термоэлектродвижущей силой & 丁.

Величину термоэлектродвижущей силы можно получить из формулы (17.5), записанной в виде

£ = - - - о о

где / — 0 и интегрирование проводится вдоль всей цепи:

8T = 一/ 一 VT'dl.

Этот интеграл распадается на сумму трех интегралов, взятых вдоль каждого из проводников; после интегрирования получаем

(17.19)

Соотношения Томсона. Коэффициенты Пельтье П и Томсона р не являются независимыми. Из сравнения (17.15), (17.16) и (17.17) видно, что между ними существует связь:

р = Т ^ С).(17.20)

Далее, из сравнения (17.19} и (17.20) видно, что dT

&丁=/ — (%-П2)・(17.21)

Г

Соотношения (17.20) и (17.21) называются соотношениями Томсона.

§ 18. ОЦЕНКА ПРОВОДИМОСТИ

В ПРИБЛИЖЕНИИ ВРЕМЕНИ РЕЛАКСАЦИИ

Вычисление кинетических коэффициентов м, в первую очередь, — проводимости о среды во внешнем электрическом поле, проводится обычно с помощью кинетического уравнения. Кинетическое уравнение, являющееся следствием теоремы Лиувилля о неизменности функции распределения при движении вдоль фазовой траектории, при наличии внешнего электрическо* го поля принимает вид

(18.1)(18.1)»bfbf

(18.1)

(18.1)

—+—v+—eE= /(?).

dtdrЭр

В случае стационарного процесса частная производная bf/bt = 0. Правая часть этого уравнения называется интегралом столкновений. Это слагаемое описывает то изменение функции распределения, которое обусловлено рассеянием частиц среды друг на друге. В задачах, связанных с вычислением реакции среды на постоянное однородное или слабо меняющееся в прсютранстве внешнее поле, именно интеграл столкновений определяет основные характеристики реакции системы.

В общем случае интеграл столкновений имеет очень сложный вид, а кинетическое уравнение является интегро-дифференциальным уравнением по отношению к искомой функции f{p). Поэтому это уравнение изучается в важнейших частных случаях металлов, полупроводников и плазмы. Но и в этих частных случаях кинетическое уравнение остается очень сложным уравнением, чувствительным к деталям взаимодействия частиц друг с другом.

Простейшим, самым грубым приближением в описании интеграла столкновений, является приближение времени релаксации. В этом приближении интеграл столкновений записывается в виде

/(〃「))=—*(р)/т, (18.2)

где bf — отклонение функции f от равновесной. Основанием к записи интеграла столкновений в таком виде является то обстоятельство, что, как показывают наблюдения, приближение к состоянию равновесия системы, выведенной из положения равновесия и затем предоставленной самой себе, часто происходит примерно по экспоненциальному закону. Действи* тельно, из (18.1) и (18.2) следует, что релаксация пространственно*одно> родной системы описывается уравнением

8”/" = -%. (18.3)

Интегрируя его, получаем

(18.4)(18.4)Bf(p, t)〜ехр(т/т).

(18.4)

(18.4)

Величина т = т(р) называется поэтому временем релаксации. Приближение времени релаксации правдоподобно, но в каждом конкретном случае требует теоретического обоснования.

В приближении времени релаксации кинетическое уравнение, описывающее стационарный процесс, принимает вид

(18.5)(18.5)»»bf

(18.5)

(18.5)

drЭрт(р)

Если электрическое поле — слабое, так что нелинейные эффекты в проводи* мости не проявляются, то уравнение (18.5) можно упростить, подвергнув его линеаризации. Подставляя функцию распределения f = %(р) + bf(rt р) в уравнение (18.5), будем удерживать в этом уравнении лишь слагаемые, линейные по Е или по 5Л Если считать, что равновесная функция распреде* ления 'о(р) не зависит от координат, то линеаризованное кинетическое уравнение примет вид

(18.6)(18.6)bbf 爲 》

(18.6)

(18.6)

v + ee=—

dr Эр т (р

В это уравнение теперь не входит слагаемое еЕ, которое описывает отклонение от закона Ома.

Пусть поле £ однородно в пространстве. Тогда неравновесная добавка 6f также не будет зависеть от координат, 85〃》= 0, и уравнение (18.6) легко решается ：

(18.7)(18.7)"о

(18.7)

(18.7)

» = -е(V • Е) г.

Плотность тока, определяемая этой неравновесной добавкой к функции распределения, выражается в виде интеграла по всем значениям импульса:

/ = е / V * (р)/р/ = е / V * (р)/р=-е2Jrv(V •£) сРр =8&=-е2Jrv(V •£) сРр =8&2 V (v •£)—е J т2 V (v •£)—е J тdS d&.dS d&.(18.8)(18.8)

/ = е / V * (р)/р

/ = е / V * (р)/р

=-е2Jrv(V •£) сРр =

8&

=-е2Jrv(V •£) сРр =

8&

2 V (v •£)

—е J т

2 V (v •£)

—е J т

dS d&.

dS d&.

(18.8)

(18.8)

Величина dS является здесь элементом поверхности постоянной энергии в импульсном пространстве. Если связь между энергией и импульсом у частиц.носителей электрического заряда такая же, как у свободных частиц, т.е. & (р) =р?/2т, то

dS = 2i/2m3/2&i/2dnp.

Но в твердых телах часто из>за взаимодействия частиц с кристаллической решеткой и друг с другом связь & (р) усложняется. В таком случае величина dS будет определяться конкретной зависимостью & (р) •

Из (18.8) следует, что коэффициент пропорциональности о, связываю* щий плотность тока / и напряженность поля Е, который называется проводимостью, является тензором：

оав = — е2 Jr (р)dS d&.оав = — е2 Jr (р)dS d&.(18.9)(18.9)

оав = — е2 Jr (р)dS d&.

оав = — е2 Jr (р)dS d&.

(18.9)

(18.9)

При вычислении интегралов в (18.9) удобно сначала брать интеграл по поверхности постоянной энергии, а затем — по всем энергиям. Проще всего вычисление интеграла (18・9) проводится в металлах. В металлах равновесной функцией распределения является функция Ферми, произ> водная от которой по энергии близка к 5*функции и отлична от нуля только при 2 = &戶一энергии Ферми. Учитывая, таким образом, что

"о

получаем

ОаЗ = е /т(р)ds.

Интеграл в этой формуле берется по поверхности Ферми.

Если предположить, что время релаксации г зависит только от модуля импульса р, то полученная формула упрощается и принимает вид

% = e2fT(p)^^dS.(18.10)

Формула (18.10) может оказаться применимой даже к таким металлам, поверхность Ферми у которых несферична. Это связано с тем, что геометрия поверхности Ферми определяется в основном взаимодействием электронов проводимости с регулярно расположенными атомами кристаллической решетки, в то время как характер зависимости г (р) определяется процессами рассеяния электронов, например, на хаотически расположенных примесях. Тем не менее, нужно помнить о том, что могут существовать случаи, когда независимость г от направления вектора р может оказаться неадекватной действительности.

Выражение (18.10) определяет симметричный тензор, который может быть диагонализован. В случае кубических кристаллов все три диагональные компоненты тензора проводимости совпадают, так что тензор оар становится скаляром и может быть записан в виде

。=43e2!vT(p}dS.(18.11)

В простейшем случае сферической поверхности Ферми

о = Al^e2p^T(pF}/m.

Величина 4/з яр^ в этом выражении есть объем в пространстве импульсов, заключенный внутри поверхности Ферми. Если обычный объем равен единице, то в состояниях, соответствующих полученному таким образом фазовому объему, будет находиться в случае статистики Ферми л частиц, так что последняя формула примет простой вид：

о = е2л т(рр) /т.

В случае полупроводников и других систем, подчиняющихся классической статистике, в (18.9) в качестве функции F。следует брать максвелловское распределение. В этом случае (и в том же, что и раньше, предположении об изотропии времени релаксации) формулу (18.9) удобно записать в виде

е2

о J foTv 2dЗр(18.12)

(Т — температура). Если функцию распределения нормировать на концентрацию носителей тока, то последнюю формулу можно переписать в виде

о = — (”2).(18.13)

ЗГ

Здесь (ти 2) 二 среднее по максвелловскому распределению значение произведения v 2т (v ). Если принять, что г = const (что является, конечно, грубым приближением и справедливо далеко не всегда), и учесть, что !4 тТ7 = 3/2 Г, то (18.13) примет вид

о = пе2т/т.(18.14)

Эта формула, называемая формулой Друде, может быть получена и из совсем элементарного рассмотрения.

Проводимость конденсированных сред определяется рассеянием электронов на примесях и на фононах, а проводимость слабоионизованной плазмы — рассеянием электронов на нейтральных атомах.

Фактически, для того чтобы достичь удовлетворительного описания экспериментов по измерению проводимости сред в широком интервале значений параметров этих сред, требуется учитывать многие тонкие особенности структуры интегралов столкновений в кинетическом уравнении. Такое рассмотрение является предметом физической кинетики.

ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКИ И СЕГНЕТОЭЛЕКТРИКИ

Пьезоэлектрический эффект. Согласно § 15宀 II внутренние напряжения и, соответственно, тензор напряжений。@0 в изотропном диэлектрике зависят от электрического поля квадратично. Это связано с тем, что в жидкостях изменение 5с диэлектрической проницаемости обусловлено 18. М.М. Бредов

только изменением плотности жидкости в данной точке. В кристаллических твердых телах деформация тел и соответствующее изменение диэлектрической проницаемости могут происходить и без изменения плотности среды. В этом случае внутренние напряжения в среде могут оказаться пропорциональными первой степени поля. Среды, в которых деформация линейно зависит от приложенного поля (или в которых при деформации среды появляется линейная по деформации электрическая поляризация) ,называются пьезоэлектриками.

Среда является пьезоэлектриком, если вектор электрической индукции D зависит не только от 瓦 но и от oQ^. Иначе говоря, в пьезоэлектриках)

0a = %0Eg + 47r7a0eG0e・(19.1)

Тензор III ранга 7® называется пьезоэлектрическим. Поскольку тензор напряжений оде симметричен, то и тензор %0£ симметричен по двум последним значкам.

Установим связь между деформацией тела и приложенным к нему электрическим полем. Для этого запишем дифференциал свободной энергии (в расчете на единицу объема) для случая, когда кристаллическое тело деформировано и на него наложено электрическое поле. Вместо (14.6) будем иметь

1

dF = -Sd丁 + ——EdD +。郎 必啲(19.2)

4 я

где тензор деформации uapt как это известно из механики сплошных сред, при малых дес{юрмациях имеет вид

Здесь ua - вектор смещения элементов среды при деформации.

Если в качестве независимых переменных выбираются Л Е и。呐 то вместо свободной энергии удобно ввести термодинамический потенциал

1

Ф(Г^ Е, оа^) = FED — аа^и^^.(19.3)

4тг

Комбинируя (19.3) с (19.2) у будем иметь

с/Ф = — S dT — — D dE — и^в d(Ja0.(19.4)

47r

Отсюда следует связь между 1/州 и термодинамическим потенциалом Ф: / ЭФ \

= -)(19.5)

Интегрируя (19.4) с учетом (19.1), получим

1

Ф = Ф0 (匚0理6)"0 eа e0一 %0ё Ea00ё.(19.6)

Здесь в явном виде выделены члены, зависящие or электрического поля. Дифференцируя (19.6) по Oq。，найдем

8力ии

иa0 = _ -?— +%耶叁.

Последнее слагаемое определяет деформацию среды, возникающую при наложении электрического поля:

战)=%ае 以.(19.7)

Сегнетоэлектрики. До сих лор мь, имели дело с веществами, которые поляризовались под действием внешнего электрического поля или механической деформации среды. Существуют, однако, и такие вещества, которые самопроизвольно поляризуются в некотором интервале температур. Такие вещества называются сегнетоэлектриками. Сегнетоэлектрики можно считать электрическими аналогами ферромагнетиков, в связи с чем их иногда называют ферроэлектриками. Сегнетоэлектрики отличаются большой диэлектрической проницаемостью и наличием петли диэлектрического гистерезиса. Сегнетоэлектрики, спонтанная поляризация которых сохраняется во всем интервале температур, называются пироэлекгриками.

Переход сегнетоэлектрика из состояния, в котором спонтанной поляризации нет (из параэлектрической фазы), в состоянии с не равной нулю спонтанной поляризацией (в пироэлектрическую фазу) может быть фазовым переходом I или II рода. Независимо от типа фазового перехода, температура, при которой происходит переход, называется сегнетоэлектричес- кой температурой Кюри.

Направление вектора спонтанной поляризации может быть изменено при приложении внешнего поля. Для такой переориентации направления поляризации сегнетоэлектрика может понадобиться поле конечной величины. Соответствующую величину принято называть коэрцитивной силой. При температуре ниже температуры Кюри 0, при равном нулю внешнем поле, сегнетоэлектрик может оказаться разбитым на области с противопо» ложно направленной поляризацией, которые принято называть доменами. Это связано с тем, что в случае однодоменного тела конечных размеров вне кристалла возникает электрическое поле. Это поле принято называть деполяризующим. При разбиении сегнетоэлектрика на домены это деполяризующее поле сильно уменьшается. Разбиение на домены происходит так, что энергия деполяризующего поля и поверхностная энергия граничных слоев оказывается одного порядка. Граница между доменами с антипарал* лельной ориентацией вектора обычно является тонкой (у сегнетоэлектриков она порядка нескольких атомных расстояний; у ферромагнетиков толщина переходной области между доменами — много больше).

Рассмотрим поведение одномерного однодоменного сегнетоэлектрика вблизи температуры Кюри без учета внутренних напряжений. Начнем со случая, когда переход из параэлектрической в пироэлектрическую фазу является фазовым переходом II рода. Плотность добавочной свободной энергии вещества, связанная с появлением спонтанной поляризации, может быть представлена в виде ряда по степеням вектора поляризации

а0

尸=—О? + — К + …(19.8)

24

Разложение функции F идет по четным степеням поляризации, поскольку свободная энергия не зависит от направления вектора Р.

Поляризация, при которой свободная энергия экстремальна, определяется из уравнения

(19.9)(19.9)(19.10)(19.10)а 尸俨)/8。= о.

(19.9)

(19.9)

(19.10)

(19.10)

которое, с учетом (19.8), принимает вид а" + 0"3 =рз+0р2)= о

Экстремум свободной энергии будет именно минимумом, если положительна вторая производная от F по поляризации, чему соответствует неравенство

(19.11)(19.11)а + 30б >0.

(19.11)

(19.11)

Если температура Г выше температуры Кюри 0, поляризация сегнетоэлектрика равна нулю. Поэтому, как это следует из (19.11), а > 0 при Г>0. При 厂<9

(19.12)(19.12)戶2 = — а/0,

(19.12)

(19.12)

причем а и |3 имеют разные знаки. Подставляя (19.12) в (19.11), убеждаем* ся, что а < 0. Соответственно, 0 \ 0. Таким образом, вблизи перехода коэффициент а зависит от температуры таким образом, что при переходе через точку Кюри он меняет знак. Поэтому вблизи точки Г = 0 коэффициент а можно разложить в ряд Тейлора по степеням Г — О, оставив в этом разложении только линейный член:

дадат = от = о(г-0)= «0(г-е>.(г-0)= «0(г-е>.(19.13)(19.13)

да

да

т = о

т = о

(г-0)= «0(г-е>.

(г-0)= «0(г-е>.

(19.13)

(19.13)

Отсюда

(19.14)

Вид функции F при температурах, близких к точке Кюри 9, изображен на рис. 19.1. Из рисунка и из формулы (19.14) видно, что спонтанная поляризация возникает в точке Кюри и квадрат этой поляризации линейно растет с уменьшением Г при малой разности 0— Г

Для того чтобы понять, как ведет себя диэлектрическая проницаемость сегнетоэлектрика вблизи точки перехода, сегнетоэлектрик следует поместить в электрическое поле. Плотность свободной энергии вещества при этом запишется в виде

(19.15)(19.15)尸=户0 +%a户2 +%0户4 一户Е

(19.15)

(19.15)

Здесь Fo - свободная энергия вещества в параэлектрической фазе. Сво* бодная энергия F экстремальна при

(19.16)(19.16)a0+ 0户3 -е = 0.

(19.16)

(19.16)

Минимальность свободной энергии F будет обеспечена, если будет вы пол мяться неравенство

(19.17)(19.17)а + 3"2 > о,

(19.17)

(19.17)

F = аР.F = аР.которое совпадает по форме с неравенством ЪЕ/ЪР > 0. При Г> 0 и в слабых полях уравнение (19.16) может быть переписано в виде

F = аР.

F = аР.

(19.18)

вещества,Дяа"1, то(19.19)вещества,Дяа"1, то(19.19)Следовательно, L есть диэлектрическая восприимчивость находящегося в параэлектрической фазе. Поскольку е = 1 + диэлектрическая проницаемость вещества в этих условиях

вещества,

Дяа"1, то

(19.19)

вещества,

Дяа"1, то

(19.19)

47rТс

e(丁)个-.

ag(7一®)7-0

Формула (19.19) является математическим выражением так называемого закона Кюри - Вейсса, постоянная Гс = 4я/а^ называется константой Кюри - Вейсса. Порядок величины постоянной Тс для различных сегнетоэлектриков составляет 103 — 105 K.

Из (19.19) видно,что при Г-*О диэлектрическая проницаемость вещест* ва становится очень большой. В нашем выводе не были учтены потери энергии при поляризации вещества, поэтому при Г-*0 диэлектрическая проницаемость, согласно (19.19), стремится к бесконечности. Фактически, € (Г) при Г -> 0 должна показывать отчетливо выраженный максимум. При Г<0

Е^аР^рР3,

причем поляризация Р состоит из двух частей, спонтанной поляризации Psp и поляризации 片鼠，наведенной электрическим полем. Если поле слабое и можно считать, что Psp > ^itld, a Psp = - al^, то

1

%d = - —£(19.20)

2q

Таким образом, в случае пироэлектрической фазы величина е также сильно возрастает при 0 - Г -* 0. На том же расстоянии от точки Кюри диэлектри* ческая проницаемость вещества, находящегося в параэлектрической фазе, в два раза больше, чем в пироэлектрической фазе.

Формула £ = а" + £戶з, если из нее найти Р = Я(目，дает зависимость поляризации от поля. Эта зависимость изображена на рис. 19.2. Участок ab кривой Р =户(Ej соответствует неустойчивому состоянию. На этом участке, как видно из рисунка, ЗрВе < 0, в то время как минимуму свободной энергии соответствует неравенство ЪР/ЪЕ > 0. Из рисунка видно также, что при уменьшении поля £ и изменении его знака поляризация А меняет знак не сразу, а только тогда, когда поле достигнет определенно话 величины. Соответствующим значениям поля на оси абсцисс отвечают точки f \л д. Отрезки Of и Qg как раз и определяют коэрцитивную силу. Изменение

направления поляризации происходит скачком (переход из точки а в точку </ и из точки b в точку с).

В некоторых сегнетоэлектриках при приближении температуры к температуре Кюри спонтанная поляризация возникает скачком, а не нарастает постепенно. Это означает, что в этом случае переход из параэлектрического в пироэлектрическое состояние является фазовым переходом I рода. Для достаточно корректного описания перехода разложение 户 в ряд по степеням Р (это разложение иногда называют разложением Гинзбурга - Девоншира) в этом случае должно быть продолжено до члена, пропорционального Р6:

F = Fo + 上 р2 + £ р4 +工 рб 一 РЕ(19.21)

246

Из рис. 19.3 видно, что при 7 = 0 возникают два минимума свободной энергии, чему соответствует одновременное сосуществование параэлектри- ческой и пироэлектрической фаз. При Г < 0 остается только одна пироэлектрическая фаза. Совпадение при Г = О свободной энергии двух фаз означает, что в этом случае

a + %0% + % 7%=0.(19.22)

С другой стороны, условие экстремальности F приводит к уравнению

a+6啧+7味=0.(19.23)

Уравнения (19.22) и (19.23) должны выполняться одновременно. Умножим (19.23) на 1/3 и вычтем из него уравнение (19.22). Тогда члены, содержащие 父р, сократятся, и получится, что

嗚= -4a/S・(19.24)

Подставляя полученное таким образом значение квадрата спонтанной поляризации 戶;р в (19.23), находим, что коэффициенты a, 0MM связаны между собой соотношением

07 = 3/16 02.(19.25)

Из (19.24) следует, что а в 0 должны иметь разные знаки, а из (19.25)- что знаки коэффициентов а и 7 должны совпадать. Коэффициент а〉О,

это вытекает из того, что при Г = 0 один из минимумов свободной энергии F имеет место при Р = ОУ следовательно 0 < 0 и 7 < 0.

Диэлектрическая восприимчивость вблизи точки фазового перехода I рода может быть найдена из выражения

Е = а" + 0 戶 з +了戶5,(19.26)

которое прямо следует из разложения Гинзбурга - Девоншира. Поляризация Р = &р + End • Выше точки перехода Psp = 0 и (19.26) в случае слабо* го поля принимает вид Е =视❷ так что

к |т〉б = 1/«.(19.27)

Ниже точки перехода

£ - Q(/\p + ^ind)+ 6("sp + 户ind)3 + 7("sp + Rnd)' •

В слабом поле &p »"ind，так что последняя формула может быть записа* на как

К т< оК т< о£ = (a + 3"；p+57<p)Qind, откуда

К т< о

К т< о

а + 3”；р+5"：р，

С учетом (19.24) и (19.25) имеем

к | г < 0 = 1/4а.(19.28)

Из сказанного ясно, что при фазовом переходе первого рода в точке пере* хода как спонтанная поляризация, так и диэлектрическая восприимчивость (и диэлектрическая проницаемость) испытывают скачок; спонтанная поляризация на величину х/^ТУ/тК а диэлектрическая восприимчивость на величину 3Д а.

При данном рассмотрении предполагалось, что среда не испытывает деформаций. Дес|юрмирование среды приводит к усложнению диэлектри - ческих свойств сегнетоэлектриков.

Глава III

ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В СРЕДАХ

КЛАССИФИКАЦИЯ МАГНЕТИКОВ

Среды, магнитная проницаемость 〃 которых отлична от единицы, называются магнетиками. В таких средах магнитное поле Я и магнитная индукция 6 не совпадают между собой. Связь между Я и Я может быть не только линейной. В некоторых магнетиках (в первую очередь — ферромагнетиках) она нелинейна и даже неоднозначна. Кроме магнитной проницаемости 〃“асто используется другая характеристика магнетиков — магнитная восприимчивость х・ Она связывает плотность магнитного мо* мента Ми напряженность магнитного поля Н,

М=Х〃，(20.1)

и связана с магнитной проницаемостью 〃 соотношением

X = 5 — 1)/47r.(20.2)

Магнитная восприимчивость различных магнетиков может быть положительной или отрицательной величиной. Если х > 0, то такие вещества называются парамагнетиками. В качестве примера парамагнитных сред можно привести щелочные металлы или молекулярный кислород. Поря* док величины молярной магнитной восприимчивости парамагнетиков X % КГ? _ Ю~6. Парамагнетизм обусловлен ориентацией внешним полем собственных, существующих и в отсутствие внешнего магнитного поля магнитных моментов структурных элементов, из которых ссхггоит вещество.

Вещества, магнитная восприимчивость которых отрицательна, называются диамагнетиками. В таких средах молярная восприимчивость X 〜10~6. Примером диамагнитной среды могут служить инертные газы. Диамагнетизм — явление универсальное и присущее всем телам без исключения^ .Но непосредственно оно наблюдается обычно тогда, когда атомы или молекулы при Я = 0 не имеют собственного магнитного момента, потому что более сильный парамагнетизм обычно маскирует диамагнитный эффект.

Среды, в которых макроскопический магнитный момент существует и в отсутствие внешнего поля, составляют третий класс магнетиков. Их типичным представителем являются ферромагнетики. Кроме ферромагнетиков могут существовать также антиферромагнетики, в которых существуют спонтанно возникающие цепочки атомов с противоположно направленными магнитными моментами. Могут существовать также и другие магнитные структуры.

ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ФЕДЕ, ОБУСЛОВЛЕННОЕ ТОКАМИ

Уравнения Максвелла, описывающие постоянное магнитное поле, имеют вид 47r rot^ = — /ехр(21.1)

divb = 0・(21.2)

Последнее уравнение тождественно удовлетворяется соотношением

В = rot А.(21.3)

Уравнения (21.1) и (21.2) должны быть дополнены материальными уравнениями:

В = иН.(21.4а)

или

М = Х〃，(21.46)

причем, как обычно, М =— (Д — Я).

4я

Выберем калибровку div Л == 0. Тогда из (21.1) и (21.3) получаем:

/ 1\ 4я

rot(21.5)

Решая это уравнение, можно найти векторный потенциал 4 по заданному распределению сторонних токов. В пространственноо*юроано访 среде уравнение (21.5) упрощается и принимает вид

4砲

△ 4=/exf(21.6)

Поэтому в однородной и изотропной среде

(21.7)

Из последней формулы и из (21.3) видно, что Н в магнетике при заданном / ext оказывается тем же самым, каким бы оно было и в отсутствие всякой среды.

При наличии резкой границы раздела сред из (21.1) и (21.2) легко могут быть получены граничные условия:

Вхп-В2п. Н1т-Н2т-—厶…(21.8)

с

где Gt 一 поверхностная плотность сторонних токов. Если решается ура& нение (21.5), то при наличии резкой границы раздела следует сформулировать граничное условие для векторного потенциала 4 Особенности, которые могли бы возникнуть при наличии поверхностного тока, можно оценить, записав вклад As в векторный потенциал А со стороны поверхностных токов в виде

(21.9)(21.9)〃 JextdS

(21.9)

(21.9)

4 = - Г с \г-г \

Интегрирование здесь ведется по поверхности раздела. Эту область интегрирования разобьем на две. Одна из них будет находиться внутри окружности малого радиуса, описанной вокруг точки, в которой ищется 4$， а другая — вне этой окружности. Последняя область не может приводить к особенностям в подынтегральном выражении формулы (21.9). Область же внутри окружности требует специального рассмотрения, поскольку в этом случае знаменатель может обращаться в нуль. Оценим вклад в А$ от этой области следующим образом:

gi = — i/oi j —г =

C 0 r С

Здесь /?о есть радиус выбранной окружности. При стремлении 斤о к нулю значение |4$1 氏。также стремится к нулю. Таким образом, все компоненты векторного потенциала оказываются непрерывной функцией коорди* нат и в том случае, когда имеется резкая граница раздела сред.

§ 22. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ МАГНЕТИКОВ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Магнитное поле само по себе не производит работы. Это связано с тем, что обусловленная магнитным полем часть силы Лоренца всегда перпен*

дикулярна скорости зано с работой над среде электрическое работудикулярна скорости зано с работой над среде электрическое работучастиц среды. Но изменение магнитного поля свя- средой. Изменение магнитного лолг индуцирует в поле, которое за время At производит над средой

дикулярна скорости зано с работой над среде электрическое работу

дикулярна скорости зано с работой над среде электрическое работу

(22.1)(22.1)△ U j EdV.

(22.1)

(22.1)

Подставляя сюда значение/ =—— rot Я, получаем 4я

с 加сДг . L

1 ав1 авсДгсДг/ Е rot НdV J H voxEdV = 4я47r

1 ав

1 ав

сДг

сДг

f I dV =f H6BdV.

47r\ c dt /4?r

Здесь 5b есть изменение магнитной индукции за время Дг. Теперь второй закон термодинамики может быть записан в виде

(22.2)(22.2)BU= 75S+」• fH-bBdV. 47r

(22.2)

(22.2)

dF = - SdT+ fdz + — HdB. 47rdF = - SdT+ fdz + — HdB. 47r(22.3)(22.3)Изменение свободной энергии, отнесенной к единице объема, принимает вид 1

dF = - SdT+ fdz + — HdB. 47r

dF = - SdT+ fdz + — HdB. 47r

(22.3)

(22.3)

В этой формуле учтена зависимость свободной энергии от плотности т вещества, величина 勺一химический потенциал. При описании магнитных явлений используются также потенциалы

片=户hB.47r片=户hB.47r(22.4)(22.4)〜 hb

片=户hB.

47r

片=户hB.

47r

(22.4)

(22.4)

и = и 4я

Для введенного таким образом потенциала F независимыми переменными являются температура Л плот гость т и магнитное поле Н, причем

(22.5)(22.5)(22.6)(22.6)(22.7)(22.7)〜1

(22.5)

(22.5)

(22.6)

(22.6)

(22.7)

(22.7)

dF= 一 SdT+ f drBdH. 47r

При наличии линейной связи В =財 будем иметь

Я2В2

U = U。(S,7)+ —,户=户0(匚7)+ —, 8яр87rpi

〜цН2 〜pH2

U = Uo(S,",户=户0 (乙7)•

87r8я

Удобным может оказаться и потенциал f=F- Н2/87г,

независимыми переменными для которого являются 丁，т в намагничен-

(22.8)(22.8)(22.9)(22.9)ность М, df=-SdT + tdT + HdM.

(22.8)

(22.8)

(22.9)

(22.9)

Приращение потенциала 7= F+ №/8тг имеет вид 疗=-SdT“dT—MdH.

Работа — / HbB dV над ''полем'' co стороны той сторонней силы, кото рая обеспечивает существование токов, модет быть представлена так*

же в другом виде:

11

— /HbBdV = — /H rot 64 dV = — /34 roxHdV = — J jb A dV.

4"47r47rc

(22.10)

Введем, наконец, потенциал, независимой переменной по отношению к которому будет то магнитное поле Не, которое существовало бы в отсутствие среды:

J=/(F+ ^/8n)dUz(22.11)

так чтотак что—Я6Я + 4я—Я6Я + 4я

так что

так что

—Я6Я + 4я

—Я6Я + 4я

Преобразуем члены, в явном виде содержащие магнитное поле:

一丄 fdV{BbH-HebHe)^- ~ fdV {(Н-Не}ЬНе^ВЬЩ-Н€}^г 47r47r

、1 z

+ {В-Н}ЬНе } = - — SdV {Щ^Не}^ЬАел

+ rot45(〃-，e)+岱一")5〃е}.

Здесь правая часть состоит из трех интегралов. Подынтегральное выражение первого интеграла представим в виде

dWW-H/X 54/ +64e“ot(£f-儿).

Интеграл по объему от дивергенции равен нулю. Нулю равен также rot (Я — Не}, если считать, что сторонний ток не меняется при появлении среды. Аналогичным образом преобразуется подынтегральное выражение второго интеграла, после чего становится очевидным, что и второй интеграл равен нулю. Таким образом, остается не равным нулю только интеграл

——S (B-H}bHedV^- SMbHedV. 47r

Поэтому изменение термодинамического потенциала 苏 можно записать в виде

d 多=-SdT7dT-MdHe.(22.12)

В линейном случае, когда В =財，можно найти не только d 不，но и 落=М М%):

牙=分о(7,П-丄 /(Я・6-〃；"К(22.13)

87r

Часть этой формулы, зависящую от магнитного поля явно, можно представить в виде

-Л J(H・B-%dV= f(H-He}^^He}dV^SHe^-H}dV.

(22, 14)

Подынтегральное выражение первого из стоящих справа интегралов можно представить в форме

阳-也)伊+ &) = (Я-也)rotH +4)=

=div［阳一儿)X (4 +Л)1 + (4+4)пЯ(Я-%)・

Интеграл от дивергенции, как обычно, обращается в нуль, a rot (Я — %)= =0. Поэтому (22.13) принимает вид

分=(22.15)

АДИАБАТИЧЕСКОЕ РАЗМАГНИЧИВАНИЕ

В качестве примера того, что может дать термодинамический подход в применении к описанию магнитных свойств среды, рассмотрим задачу об изменении температуры парамагнитной среды в условиях, когда происходит размагничивание теплоизолированного тела. Такое адиабатическое размагничивание используется для получения сверхнизких температур. Последовательность действий при этом такова. Сначала парамагнетик намагничивается в изотермическом процессе. Затем производится его адиабатическое размагничивание. Как мы увидим, при этом парамагнетик будет охлаждаться.

В нашем примере мы будем работать с идеальными парамагнетиками. Идеальным парамагнетиком называется среда, намагниченность которой зависит только от отношения величины напряженности магнитного поля Я и температуры Г среды

М = пнт.(23.1)

В частности, как мы увидим в § 24, формула (23.1) может принимать вид М = хН. где х=О 匚

Последнее соотношение принято называть законом Кюри.

В качестве независимых переменных выберем температуру Т и намагни* ценность М Характерной особенностью идеального парамагнетика является независимость его внутренней энергии от напряженности магнитного поля. В этом можно убедиться следующим образом. Согласно формуле (22.8) предыдущего параграфа имеем:

dU=TdS+ HdM.(23.2)

Экстенсивные величины в этом выражении считаются удельными. Из (23.2) следует, что

a

/dS\ (ЪМ\

(23.3)

Из предыдущей формулы также следует, что

Продифференцируем (23.3) по Г, а (23.4) - по Н. В результате получим два соотношения:

Ми _

Ms

/+ п

1

атьн

ъпн

l ЗН)T

Ми

7 82s

82M

г+ н

+1

--)

dHdT

\ЪТ н

Сравнивая левые и правые части двух последних формул, получим, что

(23.5)(23.5)倩）「停）.

(23.5)

(23.5)

Вернемся теперь к формуле (233). Первое слагаемое в правой части с помощью (23.5) можно переписать так, что формула (23.3) примет вид

(23.6)(23.6)

(23.6)

(23.6)

Если известна зависимость Л4 от Г и Н, то по формуле (23.6) можно судить о характере зависимости внутренней энергии U от магнитного поля при постоянной температуре. Поскольку в случае идеальных парамагнетиков зависимость М or Т мН определяется соотношением вида (23.1), то

(23.7)(23.7)/дМ\ Н ”( ЪМ\ 1 开

(23.7)

(23.7)

■ I — ^* ・・ ・1 ■ *・・・11 I Е，・ I ・ II —j ^^"^^ I = ■-―… ■…

丿〃 r2 a(wn # \3Hr d(wr)

Подставляя (23.7) в (23.6), убеждаемся в том, что

(23.8)

Опыт свидетельствует, что зависимость от температуры внутренней энергии идеального парамагнетика близка к следующей:

U = aL, а〉0.(23.9)

При изотермическом намагничивании, которое является первым этапом процедуры при получении сверхнизких температур рассматриваемым методом, внутренняя энергия, согласно (23.8) и (23.9), не меняется. Поэтому

Hi dQ = - HdM н О = - / Hdf о

В случае линейной функции f, т.е. в случае, если выполняется закон Кюри, С /СН?

О =-——/ HdH = - .(23.10)

Г1 о2“

Здесь 丁 1 есть та температура, при которой ведется изотермический процесс и с которой начинается понижение температуры при адиабатическом раз* магничивании.

Теперь можно вычислить удельную энтропию S парамагнитной среды.Изменение этой энтропии

dS = ~ (dU-HdM)^4aT2dT-CdS = ~ (dU-HdM)^4aT2dT-C(23.11)(23.11)

dS = ~ (dU-HdM)^4aT2dT-C

dS = ~ (dU-HdM)^4aT2dT-C

(23.11)

(23.11)

поэтому сама энтропияпоэтому сама энтропия

поэтому сама энтропия

поэтому сама энтропия

(23.12)

Теперь перейдем ко второму этапу процесса — собственно адиабати* ческому размагничиванию. При этом напряженность магнитного поля меняется от Н^ до 0 так быстро, что теплообмена не происходит и значе-

ние энтропии сохраняется. Однако в связи с исчезновением магнитного поля

5 = 4/3a丁2 + const.(23.13)

Приравнивая (23.12) к (23.13), получаем выражение, определяющее тем* пературу в конце процесса адиабатического размагничивания:

,, зс / 从 V

Г1 = Г?—.(23.14)

8a '小

Поскольку a > 0 и С> 0, то Г2 < П • При малых значениях поля

СЛ/2

△ 7= А — 丁1 7 ・(23.15)

8a看

Это и есть то понижение температуры, которое возникает при адиабатическом размагничивании. В знаменателе правой части формулы (23.15) стоит малая при низких температурах величина 7^. Именно поэтому адиабати* ческое размагничивание является эффективным методом понижения температуры. Если начальная температура уже очень близка к О К, то формула (23.15) может предсказать охлаждение парамагнетика до температуры, которая меньше О К. Это объясняется тем, что при предельно низких температурах уже не существует идеальных парамагнетиков. Идеальным парамагнетиком может являться, например, система невзаимодействующих спинов. Но при самых низких температурах даже очень малая энергия взаимодействия спинов может оказаться существенной в том смысле, что при таких температурах парамагнетик уже не может считаться идеальным.

ТЕОРЕМА БОРА 一 ВАН ЛЁВЕН

В предыдущих параграфах магнетизм и сопровождающие его явления описывались на феноменологическом уровне. Это не является случайностью. В настоящем параграфе будет показано, что поел едов ател ьное описание явления намагничения в рамках классической физики невозможно. Сделанное утверждение является содержанием теоремы Бора — Ван Лёвен, которую можно сформулировать так: магнитный момент средыг обусловленный движением зарядов в магнитном поле по законам классической механики, в стационарном состоянии равен нулю.

Теорема доказывается следующим образом. В соответствии с (22.12)

М = -3 环沁Не .(24.1)

Потенциал 不，согласно классической статистике, определяется статистическим интегралом

Z = / ехр (- M/TNdqdp：(24.2)

где К — функция Гамильтона системы во внешнем магнитном поле, а (dq dp) — произведение дифференциалов обобщенных координат и им* пульсов всех частиц.

В нерелятивистской классической теории функция Гамильтона имеет вид N (ра +Лед/с)2

К = Z + U(24.3)

a=i 2та

(сумма по а означает суммирование по всем частицам, U — потенциальная энергия взаимодействующих частиц). Имея это в виду, статистический

интеграл (24.2) можно записать в виде

(1 / а {ра ^Аеа/с)2 \]

Z = S(dqdp} exp {( S +(/)(,(24.4)

I Г2та 力

интегрирование ведется по всему фазовому пространству.

а

Проведем в (24.4) замену переменных р+ — 4 ->Р. После такой замес

ны векторный потенциал А, а следовательно, и магнитное поле больше не входит в показатель экспоненты. Не входит оно и в якобиан преобразова* ния J = I Эра/ЭРд1 , который просто равен единице. Тогда

Z-f(dqdP)expK — ( S(24.5)

I 7 ' а=1 2та '丨

и статистический интеграл Z оказывается величиной, которая не зависит от магнитного поля. Поэтому и М - -Ъ^/ЪНе = 0. Таким образом, согласно классической теории, намагниченность любого вещества равна нулю.

При рассмотрении поляризации диэлектриков в электрическом поле существенным образом использовалось соотношение (являющееся частным случаем флуктуационно-диссипативной теоремы), связывающее диэлектри* ческую проницаемость среды со средней квадратичной флуктуацией поляризации среды в отсутствие внешнего поля. Поэтому можно ожидать, что такого рода соотношение, связывающее магнитную восприимчивость среды со средней квадратичной флуктуацией магнитного момента вещества в отсутствие магнитного поля может явиться основой микроскопического описания магнитных свойств среды. Такое соотношение действительно имеет место, но, как это следует из теоремы Бора — Ван Лёвен, носит существенно квантовый характер. Классическое же рассмотрение, применяемое иногда для оценки величины эффекта намагничения, обязательно содержит (хотя бы и в неявном виде) такие утверждения, которые не могут быть доказаны в рамках одной только классической физики. В качестве примера последнего утверждения можно привести оценки магнитной восприимчивости, основанные на классическом подходе.

Оценим сначала величину магнитной восприимчивости в диамагнетиках. Электроны в каждом атоме, помещенном во внешнее магнитное поле, прецессируют, что эквивалентно добавочному вращению их с угловой скоростью 3匕 вокруг оси, проходящей через центр атома и направленной параллельно магнитному полю Я. Согласно теореме Лармора (§12, ч. I), эта частота СЗ厶=—еН/2тс. Ларморовская прецессия обусловливает появление у каждого электрона добавочной скорости

V = сЗд X г,

что приводит к появлению магнитного момента

1

М^——frXjdV^ ——/р，Х (сЗ厶 X r)dV = 2с2c

f p[(SLr2 -r{ZL • r)] dV. 2c

Направим ось z вдоль магнитного поля. Составляющая вектора М, направ* ленная вдоль оси z, есть

_1

~—/р【з厶户一Z(3£Z)] d» =fp{x2^ y2}(^LdV.

2c2c

Среднее по времени значение этой составляющей

—Ze № + 凸

(24.6)(24.6)检=元一〃仅"У ""免F- 3丄

(24.6)

(24.6)

причем вектор 瓦 направлен против поля. Поэтому намагничение единицы объема

Я.Я.(24.7)(24.7)NZe2a2

Я.

Я.

(24.7)

(24.7)

М = _""-

4mc?

Здесь N — число атомов в единице объема, Z — число электронов в атоме (атомный номер), а2 = + 尸)Таким образом, восприимчивость диамагнетика имеет следующий порядок величины •):

NZ е2 а2

Х=~—— •(24.8)

Это классическое рассмотрение приводит к значению восприимчивости, порядок и знак которого совладают с тем, что наблюдается на опыте. В проведенном рассмотрении сделано допущение того, что а2 = * + 尸) при усреднении по периоду вращения электронов может быть стационарной величиной. Это допущение невозможно оправдать, оставаясь в рамках классической механики.

Если атомы имеют отличные от нуля собственные магнитные моменты (обоснование существования таких стационарных моментов требует при* влечения квантовой механики), то диамагнетизм обычно маскируется парамагнетизмом. Рассмотрим газ парамагнитных атомов. Средняя проекция магнитного момента каждого атома на направление магнитного поля может быть найдена по формуле

{Ма}н ^Mafe^u/т cos 0 sin 0 dO/fe~u/T sin 0 dOt(24.9)

в которой U =-嶋• В.6 = {MatB}. Беря интегралы в (24.9), получаем

Стоящее в скобках выражение называется функцией Ланжевена. Эту функцию будем обозначать символом L (Ма В/Т}.

В слабых магнитных полях, когда Ма В/Т< 1, функция Ланжевена

2亨卜寨

и удельная намагниченность

аа(24.11)(24.11)

а

а

(24.11)

(24.11)

Из (24.11) следует, что в этом случае для парамагнитной восприимчивости характерно существование температурной зависимости вида

Х = с/гХ = с/г(24.12)

Х = с/г

Х = с/г

Зависимость (24.12) носит название закона Кюри. В сильных магнитных полях и при низких температурах, когда МаВ>Т, намагниченность, как это следует из (24.10), перестает зависеть от Г и Я и стремится к пределу

M = NMqB/B・(24.13)

Иначе говоря, в этом случае наблюдается насыщение намагниченности.

ТРАНСПОРТНЫЕ ЭФФЕКТЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Магнитное поле оказывает влияние на лоток электрических зарядов и лоток тепла, возникающих в среде под действием электрического поля и градиента температур. Как показано в § 17, ч. II, эти потоки в изотропной среде могут быть записаны в виде

/=(0г)(/)-(0尸)▽；,

(25.1) q =(7 T)(—)-(5■T2) ▽ - •

Величины, стоящие перед онсагеровскими мсиламим Е/Г и ▽(1/Т), являются кинетическими коэффициентами. Формулы (25.1) часто также записывают в виде

Е = А + 0 ▽兀(25.2)

q=Bj -кУТ,

причем коэффициенты

При включении магнитного поля с напряженностью Н коэффициенты р, а, 0 w к начинают зависеть от Н. Если магнитное поле слабое, то эти коэффициенты можно разложить в ряд по степеням Я. В линейном по Я приближении магнитное поле, которое является аксиальным вектором, может входить в (25.2) только в виде векторного произведения Н на полярный вектор, так чтобы результирующий вектор относился к классу полярных векторов, к которому принадлежат стоящие в левой части уравнений (25.2) векторы £ w q. Таким образом, удерживая в разложении £ и по степеням Я слагаемые нулевого и первого порядков малости, получаем

Е = р& - а°УТ + RHXj + NHXN「 (25.3а)

q ЛЕ Т + N TH X 卜 LH X У Г (25.36)

Нулевой индекс у коэффициентов р, а, 0 м к означает, что значения этих коэффициентов берут в отсутствие магнитного поля. То, что перед векторными произведениями Я X V Г и Я X/ оказываются коэффициенты, выражающиеся друг через друга, является следствием принципа симметрии кинетических коэффициентов Онсагера, обобщенного на случай наличия магнитного поля. В статистической механике доказывается, что это обобще* ние принципа Онсагера приводит к выводу о том, что коэффициенты перед произведениями ЯХ7ТиЯХ/ должны отличаться на множитель Г

Слагаемое RH X/ в (25 За) описывает эффект влияния магнитного поля на ток. В соответствии с этим выражением, магнитное поле приводит к появлению тока, перпендикулярного к электрическому полю и пропорционального напряженности магнитного поля. Это явление называется эф- 19. М.М. Бредов 289

фектом Холла. Из (25.3а) следует, также, что эффект Холла приводит к появлению электрического поля, перпендикулярного к току и пропорционального магнитному полю и току. Коэффициент Я называется постоянной Холла, он может быть как положительным, так и отрицательным.

Последнее слагаемое в (25.3а) описывает влияние магнитного поля на термоэлектродвижущую силу, это — так называемый эффект Нернста. Третье слагаемое (2G.36), содержащее произведение Я X/, описывает влияние магнитного поля на эффект Пельтье — эффект Эттингсгаузена. Наконец, слагаемое, содержащее коэффициент L, описывает влияние магнитного поля на теплопроводность и называется эффектом Риги — Ледюка.

ФЕРРОМАГНЕТИЗМ

Ферромагнетики являются типичными представителями нелинейных магнетиков. Самым простым внешним признаком ферромагнетика является существование насыщения намагниченности, которое имеет место уже в сравнительно слабых полях (от единиц до сотен эрстед). Другой важной характеристикой является то, что намагниченность в ферромагнетиках может существовать и в отсутствие внешнего поля. Эта спонтанная нама「・ ниченность зависит от температуры и исчезает при температуре выше некоторой, характерной для каждого ферромагнетика, — называемой температурой Кюри. Температура Кюри может быть порядка 1000 К. Это означает, что между электронами, ориентация магнитных моментов в которых создает спонтанную намагниченность, должны действовать силы электрического происхождения.

Преимущественная ориентация магнитных моментов электронов за счет магнитных взаимодействий не может обеспечить температуру Кюри поядка 0,1 эВ (здесь температура выражена в энергетических единицах). Магнитное взаимодействие — слабее на три порядка, чему соответствует температура Кюри Гс ^ 1 К. Из этих же соображений ясно, что внутри спонтанно намагниченного вещества существует магнитное поле высокой напряженности 10* Э. Это поле заметно больше обычных внешних полей. Причина, приводящая к появлению преимущественной ориентации магнитных моментов электронов за счет электрон электронного взаимодействия, как и механизм других магнитных явлений, может быть понята только на основе квантовой механики. Поэтому в данном параграфе будет приведено только простейшее описание некоторых основных свойств безграничных ферромагнетиков, носящее феноменологический характер и основанное на понятии эффективного поля.

Пусть ферромагнетик содержит в единице объема л электронов, каждый из которых обладает магнитным моментом д0- Проекция собственного магнитного момента электрона на выделенное направление, как изьестно из квантовой механики, может принимать только два значения. Условно назовем их "правой'' и "левой" проекциями. Пусть в данный момент в единице объема системы г правых проекций. Тогда число левых проекций есть / = л — г. Отношение намагниченности к той, которая существовала бы при насыщении, есть

M/MQ = у = (—，)//?• (26.1) В этих обозначениях

г/п = %(1 + У), 〃“ = %(1 — У)・

Магнитное уравнение состояния М= М{Н, Г ) получается из условия м” нимума свободной энергии 尸=U— TS. Если нет внешнего поля (Л/ =0), и внутренняя энергия магнетика U не зависит от у, то зависящая от у часть 290

свободной энергии сведется к — 7S, причем, согласно формуле Больцмана, энтропия S = %в In W. Здесь IV= n\/r\l[ — число способов реализации состояния с заданной величиной намагниченности, так что

/V!

S = kB\n .(26.2)

г!/!

Имея теперь в виду формулу Стирлинга, In л! % л (In л — 1), получаем, что свободная энергия

F = -TS=%nkBTl« +У)1п(1 +у) + (1 -у)[п(1 -у)].(26.3)

Из условия минимума этой функции получается у = 0, следовательно, в этих условиях спонтанной намагниченности нет. Однако она появляется, если предположить, что внутренняя энергия U зависит от у. Будем считать, что эта зависимость квадратична, так что U не зависит от направления намагничения. Это предположение соответствует введенному Вейссом представлению об эффективном поле:

U = -nJy~(26.4)

Коэффициент пропорциональности J имеет размерность энергии и J > 0; таким образом, насыщению (у2 = 1) соответствует минимум функции U. Теперь свободная энергия

尸=% пквТ[{А +у)1п(1 +/)+ (1 -у)1п(1 - у)] -nJy2.(26.5)

Условие минимальности этой функции дает:

4J1 +у

——у = In ,(26.6)

квТ1-У

илие

у = th (亍"• у).(26.7)

Здесь величина 0 имеет размерность температуры и равна 2J /кв.

Решение трансцендентного уравнения (26.7) можно получить графически, как точку пересечения прямой f = 2 (0/Г) и и кривой 1п[(1+у)/(1 —у)].

Из рис. 26.1 видно, что число корней уравнения (26.6) существенно зависит от величины Г. При Г> 0 уравнение имеет только тривиальное решение, у = 0. При Г< 0 возникает добавочное решение с конечным значением у2, чему соответствует появление спонтанной намагниченности (при этом З?/7/? у'〉0). Точка/= 0 при Г< 0соответствует не минимуму, а максимуму функции Е Порядок величины J % ОД эВ (при кв& 1000К). Полученная таким образом функция у = у (77®) дает качественно правиль ное описание температурной зависимости спонтанной намагниченности ферромагнетика. Наибольшее отклонение кривой / = / (Г/0) от экспери* мента наблюдается в области низких температур, где различные кванто* вые эффекты особенно существенны.

W* 291

Существование внешнего магнитного поля может быть учтено введением в свободную энергию добавочного слагаемого, равного —п^уН. Мини* мизация такой свободной энергии приводит к уравнению

f 噜) = Н^7 (签(26.8)

Слагаемое (欠^%。) у называется молекулярным полем Вейсса. Это поле пропорционально степени намагниченности М)у с коэффициентом 女日。八丸〃0)，который называется коэффициентом молекулярного поля. Этот коэффициент обычно много больше % я, поэтому лоренцевой поправкой на эффективное поле в ферромаг нети ках обычно можно пренебречь.

(26.9),а 厶(х)-(26.10)(26.9),а 厶(х)-(26.10)Формула (26.8) может быть также записана в виде / Н + wM \ м= лдо^(До ———).

(26.9)

,а 厶(х)-

(26.10)

(26.9)

,а 厶(х)-

(26.10)

Символом w здесь обозначен коэффициент молекулярного поля функция Ланжевена,

£ (х) = cth х — 1伙，

которая встречается также в теории парамагнетизма. В случае малых намаг ниченностей и при высоких температурах (т.е. при малых х) из (26.9) и (26.10) следует, что

" = С/( 丁-О),(26.11)

где С = п此 13kB 一 константа Кюри — Вейсса.

МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА СВЕРХПРОВОДНИ КОВ

Сверхпроводники являются примером того, как радикально могут измениться материальные уравнения электродинамики вследствие взаимо* действия между частицами среды.

Основные электродинамические свойства сверхпроводника заключаются в том, что его проводимость о бесконечна, а вектор магнитной индукции В в объеме сверхпроводника обращается в нуль (эффект Мейсснера — Оксенфельда). Бесконечная проводимость при протекающем через сверх* проводник конечном токе означает, что в сверхпроводнике £ - 0. Поэтому из уравнения Максвелла

ав rot £ = с dt

следует, что

0 и Л s const, at

Таким образом, в идеальном проводнике, в котором проводимость бес* конечна, вектор магнитной индукции должен иметь то значение, которое он имел до перехода среды в сверхпроводящее состояние. То, что величина В — не просто константа, а константа, равная нулю, означает следующее: с одной стороны, в момент перехода среды в сверхпроводящее состояние из нее выталкивается магнитное поле, с другой стороны, идеальный про< водник и сверхпроводник — это разные понятия.

Из условия Д = 0 и из граничного условия 臥“ =8?“ следует, что маг* нитное поле вне сверхпроводника у его поверхности касательно к поверх* ности. Имея в виду формулу (10.18) для тензора напряжений в магнит* ном поле, получаем, что поверхностная плотность силы, действующей со стороны магнитного поля на находящийся в вакууме сверхпроводник, равна

Aurf= —[H(H-n)^l/2H2n], 4я

Поскольку магнитное поле у поверхности сверхпроводника имеет только тангенциальную составляющую, то Я л = 0и

Aurf = -лН2/8тг.

Таким образом, на поверхность сверхпроводника действует сжимающее магнитное давление, равное по величине плотности энергии поля.

Из уравнения Максвелла

47r

etb=——/(27.1)

следует, что в основной области, занимаемой сверхпроводником, в которой В = не может протекать электрический ток, т.е./ = 0. Весь ток, протекающий через сверхпроводник — это ток поверхностный, существующий в той обдасти среды, в которую еще проникает какое-то магнитное поле. Поверх* ностные токи существуют и в нормальном металле, находящемся в магнитном поле. Обусловленный магнитным полем ток в нормальном металле / = crotM причем М = (4тг)т (В —附).Поэтому уравнение (27.1)примет вид

rot (Я — 4тгЛ/) = 0.

Если b W0, то в нуль обращается ротор именно разности 6 — 4тгМ. При этом 財金 0 м существует ток такой, что /j dS по любому сечению провод- ника есть нуль. В случае, когда 占=0, как это имеет место в сверхпровод* никег уравнение (27.1) примет вид

—47rrotJf = 0.

Следовательно, если в сверхпроводнике и есть ток, то он не может быть представлен в виде / -с rot 府，а поэтому значение Jj dS не обязательно равно нулю. Ниже мы увидим, что связь между током и магнитным полем в сверхпроводнике на самом деле имеет необычный вид.

Теперь попробуем, следуя X. и Ф. Лондонам, в некотором смысле **объяснитьм электромагнитные свойства сверхпроводников, оставаясь в рамках классической физики. Рассмотрим движение электрона в электромагнитном поле; уравнение движения такого электрона

dv е 「11

~+— V X By(27.2)

Поскольку

dv Э Vу2

二7+ (vgrad) V , (v grad)v = gradv X rot v,

ot2

то уравнению (27.2) можно придать вид

3v / v2 \ ее

+ grad(j£ = v X rot v +— v X В.(27.3)

\ 2 / mme*

Возьмем ротор от обеих частей этого уравнения и с учетом первого уравнения Максвелла получим, что

V XV X(27.4)(27.4)

V X

V X

(27.4)

(27.4)

Введем обозначение

(27.5)(27.5)(27.6)(27.6)е w = rotv +Л; тс

(27.5)

(27.5)

(27.6)

(27.6)

тогда уравнение движения можно написать в виде

aw/3r = rot(v X w).

Это уравнение обладает важным свойством. Если в некоторый момент времени значение w обращается в нуль, то производная Эн7Эг в этот момент времени также будет равна нулю, а поэтому значение и* будет равно нулю и во все последующие моменты времени. Далее, если

(27.7)

(27.8)

также во все моменты времени.

Случай х' = 0 является, конечно, весьма специальным случаем движения электронов в одном только электромагнитном поле без трения. В обычном идеальном проводнике, для которого написаны уравнения (27.2) и (27.6), значение w не обязано быть нулем и классическая физика не дает возможности объяснить, почему должен реализоваться этот весьма специальный случай, w = 0. Такое объяснение дает квантовая теория. Однако, как будет показано ниже, именно случаю и* = 0 отвечает тот идеальный проводник, которьж при этом является еще и сверхпроводником.

Рассмотрим уравнения (27.7) и (27.8) подробнее. Поскольку / = nev, то уравнение (27.7) можно записать в виде

е2п

rot/ =Я.(27.9)

тс

Уравнение же (27.8) тогда примет вид

(Здесь мы пренебрегли слагаемым, содержащим v2, считая скорости малыми.) Уравнения (27.9) и (27.10) называются уравнениями Лондонов. Кроме идеальной проводимости они описывают и эффект Мейсснера- Оксенфельда.

Уравнение (27.9) является особенно важным. Его можно рассматривать как материальное уравнение, замыкающее в случае сверхпроводников уравнения Максвелла. Видно, что оно не может быть приведено ни к уравнению / = о£ ни к уравнению / = сгохМ.

47r

Будем теперь решать уравнение Максвелла rot В = — / совместно с с

материальным уравнением (27.9). Подставляя в уравнение

4я rotrot^ rot/

правую часть лондоновского соотношения (27.9), получим, что

△6 =———Л. тс2В случае плоской геометрии это уравнение примет вид4‘8 4яле2dz2 тс2△6 =———Л. тс2В случае плоской геометрии это уравнение примет вид4‘8 4яле2dz2 тс2(27.11)(27.11)4行e2"

△6 =———Л. тс2

В случае плоской геометрии это уравнение примет вид

4‘8 4яле2

dz2 тс2

△6 =———Л. тс2

В случае плоской геометрии это уравнение примет вид

4‘8 4яле2

dz2 тс2

(27.11)

(27.11)

Его решение есть

8 = 4 е?/ь ^А2 е"2/6,

где

= Ззр = х/гпс? /4тг〃е竺

В полупространстве, занятом сверхпроводником (z > 0),

8 = 8oexp(-z/6).(27.12)

Это решение и описывает эффект Мейсснера — Оксенфельда. Из (27.12) следует, что глубина, на которую все же проникает магнитное поле, равна

= у/тс^/^пе2 = с/сор.(27.13)

Типичное значение величины 6 % 5 • 10Г6 см.

Уравнения Лондонов являются локальными в том смысле, что они выражают плотность тока / через значение b в той же точке пространства, в которой определена и /. Они описывают электродинамические свойства реальных сверхпроводников в узкой области температур около температуры перехода сверхпроводника в нормальный металл, когда магнитное поле у поверхности сверхпроводника изменяется достаточно медленно. В случае быстрого пространственного изменения магнитного поля у поверхности лондоновское локальное уравнение должно быть заменено на нелокальное (так называемый пиппардовский случай).

Глава IV

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДАХ

28. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

В ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ. ПРОДОЛЬНЫЕ И ПОПЕРЕЧНЫЕ ВОЛНЫ

Уравнения Максвелла в случае монохроматических волн упрощаются, если напряженности поля представить в комплексной форме

£(г)=Е(з)еТзг, £")=6(з)еТзг

ЖГ) = 〃(3)u3匚 勃f) = ® (з)「зГ

так, чтобы измеряемые величины могли быть описаны действительными частями написанных комплексных напряженностей. В этом случае уравне-

ния Максвелла в среде, в которой нет сторонних зарядов и токов, могут быть представлены в виде

пл£(з) = 7— £(з), готЯ(со) = - /—纺(з).(28.1)

сс

Два других уравнения из системы уравнений Максвелла

div£ = 0, div 必=0(28.2)

при описании электромагнитных волн в явном виде учитывать ке надо, поскольку они следуют из уравнений (28.1). В этом легко убедиться, применяя оператор дивергенции к уравнениям (28.1). При этом левые части этих уравнений обращаются в нуль и из (28.1) сразу следуют уравнения (28.2).

Из (28.1) можно получить уравнение, содержащее только вектор Е. Имея в виду, что

孰k, 3) = 2伙,3)е化 3)

вычисляя ротор левой и правой частей первого из уравнений (28.1) и исключив го®з) с помощью второго уравнения, получим

ДЕ — grad div£ + €—~~ Е = 0.(28.3)

с2

Использованное здесь обозначение е для диэлектрической проницаемости означает, что при учете пространственной дисперсии величина 2 даже в изотропнной среде остается тензором. Второе слагаемое в (28.3), вообще говоря, не равно нулю даже в прост^анственноюднородных средах, несмотря на существование уравнения div(eE) = 0. Даже в случае, когда можно пренебречь пространственной дисперсией, из уравнения

div(eE) = 0

еще не следует, что величина div £ тоже равна нулю. Из этого уравнения в прост ранственноюднородной среде и без учета пространственной ди спер* сии следует только, что

e(3)div£(3)= 0,

так что divE может и не быть нулем при частотах, при которых обращается в нуль диэлектрическая проницаемость.

В плоской волне все векторы поля зависят от координат, как е* ' rt поэтому уравнение(28.3) можно представить в виде

к?Е - А(斤・ £) = (з/с)2 2代 3旧(28.4)

Поскольку в изотропной пространственноюднородной среде диэлектрическая проницаемость имеет вид (4.5), то это уравнение можно записать в форме

卜一±1,£-卜+(§1/-1Г)к依•£) = ()・(28.5)

Спроектируем это уравнение на ось, направленную вдоль волнового векто* ра к. Проще всего это можно сделать, умножив скалярное уравнение (28.5) на волновой вектор к. В результате уравнение (28.5) примет вид

(з/с)? £(斤,з)% • £) = 0.(28.6)

Напряженность электрического поля, определяемая этим уравнением, отлична от нуля, если при з W 0

f(k, з) = 0.(28.7)

Таким образом, продольная компонента электрического поля оказывается не зависимой от поперечной компоненты, причем частота продольного электрического поля определяется уравнением (28.7) как функция его волнового вектора. Уравнения, связывающие частоту и волновой вектор, принято называть дисперсионными уравнениями. Таким образом, уравне* ние (28.7) есть дисперсионное уравнение продольных колебаний электри* ческого поля в среде. Дисперсионное уравнение (28.7) может иметь по крайней мере несколько корней. Самое высокочастотное решение можно легко найти, если вспомнить выражение (3.14) для выоокочастотной асимптотики диэлектрической проницаемости. В этом случае дисперсионное уравнение принимает вид

1 一 з"з? = 0. (28.8) Отсюда следует, что продольные колебания электрического поля во всяком случае имеют место на частоте, которая совпадает с так называемой плазменной частотой Зр. Формула (28.8) написана без учета пространственной дисперсии. Учет этой дисперсии приводит к тому, что частота продольных колебаний электрического поля оказывается зависящей от волнового вектора, но при всех не слишком больших волновых векторах она не очень сильно отличается от з^.

Первое же решение уравнения (28.5), которое мы получили, оказалось таким решением, которое не имеет аналогов в случае электромагнитных явлений в вакууме,「де, как известно, не могут существовать продольные волны. Появление новых колебательных мод электромагнитного поля в среде — характерная черта электро динами ки сред. Но кроме новых мод существуют, конечно, и такие решения, которые в некотором смысле являются обобщением уже известных из первой части книги. В частности, в среде, как и в вакууме, могут существовать поперечные волны. Полагая в (28.5), что 衣• £ = 0, получаем, что

Это означает, что дисперсионное уравнение для поперечной моды электромагнитных колебаний в среде имеет вид

£打伙,з) = (М/з「.(28.10а)

Уравнению (28.10) можно придать такой вид, что вместо поперечной диэлектрической проницаемости с" в дисперсионное уравнение для попереч* ной моды электромагнитных колебаний будут входить две другие характеристики среды, е и д. С помощью (4.9) из (28.10) легко получается:

£〃 = (с*/з)2.(28.106)

При низких частотах, когда можно пренебречь временной дисперсией диэлектрической проницаемости, дисперсионное уравнение (28.10) превра* щается в уравнение

3 = ckl№.(28.11)

которое в пределе е" -* 1 переходит в обычное вакуумное решение. Из (28.11) следует, что так назь旧аемак фазовая скорость низкочастотной волны в веществе, которая определяется как

(28.12)(28.12)屮卜=31k

(28.12)

(28.12)

и которая показывает, с какой скоростью перемещается в пространстве поверхность равной фазы плоской монохроматической волны, связана со скоростью света в вакууме соотношением.

%h =с/«Г(28.13)

Величину {^ принято называть показателем преломления

п = 4^、(28.14)

В этих обозначениях дисперсионное уравнение (28.11) принимает вид

3 =成历.(28.15)

Формула (28.15) может быть написана и в случае высоких частот, но при этом показатель преломления становится функцией частоты п = п (з), так что простая линейная зависимость со от к уже не будет иметь места. Обращаясь опять к справедливому при очень больших частотах асимптотическому значению (3.14) диэлектрической проницаемости, из (28.15) получаем, что при таких частотах связь з с 左 в явном виде может быть написана как 3? = 3^ +©2 欠 2(28.16)

Несмотря на то, что и в этом случае мы имеем дело с поперечными волнами, дисперсионное уравнение (28.16) сильно отличается от дисперсионного уравнения для волн в вакууме.

Диэлектрическая проницаемость является комплексной величиной. Поэтотому решения дисперсионных уравнений (28.7) и (28.10) могут оказаться комплексными. Иначе говоря, при действительном волновом векторе к комплексной может оказаться частота з. И наоборот, при дейст* вительной частоте з волновой вектор к будет комплексным. Что именно — частоту или волновой вектор — следует считать величиной действительной, зависит в первую очередь от условия возбуждения волн. Если электромагнитная монохроматическая волна попадает в среду из вакуума, то ее частота не меняется. Волновой же вектор меняется. Это приводит, во-первых, к тому, что в среде длина волны будет уже не такой, как в вакууме, иу во'вторых, наличию мнимой части волнового вектора будет отвечать появ* ление пространственного затухания волны по мере ее распространения внутрь среды. В тех же случаях, когда условия возбуждения обусловливают появление стоячих волн, длина волны, а вместе с ней и волновой вектор (они связаны соотношением 入=27r优)могут считаться величинами действительными, а частота будет комплексной величиной. Последнее означает, что интенсивность волн со временем будет затухать или нарастать. Комплексные частоты, в частности, возникают в задаче о затухании заданного электромагнитного поля в среде после выключения поддерживающих его источников.

В тех случаях, когда волновой вектор является комплексным, могут быть два случая： когда действительная и мнимая части к' и А" волнового вектора параллельны друг другу и когда 斤'4" #£%". В последнем случае волна — плоская только в некотором условном смысле. При этом плос« кости, перпендикулярные вектору к', являются плоскостями постоянной фазы, плоскостями же постоянной амплитуды являются перпендикулярные вектору к" плоскости. Поверхности постоянного значения векторов напря* женности поля вообще могут не быть плоскими. Такие волны называются неоднородными плоскими волнами.

Заметим, что величина к" (так же, как и мнимая часть показателя преломления) описывает явление диссипации или нарастания энергии поля

волны. Показатель преломления может оказаться мнимым и в случае дей* ствительной диэлектрической проницаемости, если е* < 0. При этом в объе* ме среды волна распространяться вообще не может, а падающая на поверх* ность среды волна проникает в эту среду лишь на глубину порядка длины волны и отражается обратно в вакуум *).

Действительную и мнимую части показателя преломления л = л* + /к можно выразить через е' и е" (величина к иногда называется коэффициентом поглощения среды). Из равенства п +/к = х/еследует, что 〃‘ — к? + + 2/〃％= е' + /£” и

п' = ——,к 二 V.(28.17)

22

В вакууме значения напряженности электрического и магнитного полей поперечной электромагнитной волны, как известно, одинаковы, в среде же могут очень сильно отличаться. Рассмотрим, например, низкочастотную поперечную волну в металле. ““

При низких частотах в металлах е" А е' м е" = 4яо/со (см. формулу (3.11)). Следовательно, в (28.17) величиной е' можно пренебречь по сравнению с е" м

〃，=к = х/2тго/з：(28.18)

Это означает, что низкочастотные волны в металлах затухают на длине порядка длины волны.

Из первого уравнения Максвелла следует, что в случае поперечных волн векторы £ и Я связаны соотношением

6)ХЕ=1 S.(28.19)

Вектор klk является единичным вектором. Следовательно, абсолютные значения напряженностей поля Е и 6 связаны соотношением пЕ = В. Представив комплексный показатель преломления п в виде

，，2 + J exp / arctg— ,

получаем, что вектор магнитной индукции по модулю в + к2 раз больше модуля вектора Е. Кроме того, эти векторы в случае хорошо проводящих сред сдвинуты по фазе на я/4.

*) Примером такого явления может служить отражение волны от плазмы при з < Зр. Из дисперсионного уравнения (28.16) следует, что при таком отражении волновой вектор является чисто мнимым: к =^- х/з^ - з,・ Это означает, что внутри

плазмы волна с частотой з распространяться не может. Если же волна падает из вакуума нормально на плоскую резкую границу раздела плазма — вакуум, то она

\/з j — з,.\/з j — з,.проникает в плазму на глубину / 七 с/\/з》—з?二 причем напряженность поля волны

\/з j — з,.

\/з j — з,.

(Плазме соответствуют(Плазме соответствуютв плазме будет уменьшаться по закону ехр

(Плазме соответствуют

(Плазме соответствуют

значения нормальной к поверхности координаты z > 0.)

§ 29. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ

В анизотропных средах комплексная диэлектрическая проницаемость € является тензором； вид которого определяется структурой среды. Уравнение, определяющее поле, и в этом случае имеет вид (28.4), но тензор е теперь уже не может быть представлен в виде (4.5) • В изотропных средах, в которых диэлектрическая проницаемость определяется формулой (4.5), выделенным направлением является только одно направление — направление волнового вектора. В анизотропных средах появляются выделенные направления, присущие самому веществу или внешним (в том числе и по соотношению к электромагнитным волнам) полям, в которых это вещест* во может находиться. Поэтому изменение тензора при изменении на* правления распространения волны относительно осей симметрии среды обычно более существенно, чем зависимость от модуля вектора к. Согласно § Z ч. II, тензор “6 среды без потерь является эрмитовым: еа^ = =£施・ Эрмитов тензор может оказаться вещественным, и тогда он симметричен (%0 = £伙3 но в принципе он может иметь также и мнимую часть. Среды с действительным симметричным тензором называются анизотропными, а среды с комплексным эрмитовым тензором %0 — гиротроп- ными. Гиротропия — это более сложный вид анизотропии. В этом параграфе мы будем рассматривать только анизотропные среды, а с гиротропными средами познакомимся в § 35.

Спроектируем уравнение (28.4) на а*направление. Тогда будем иметь уравнение, определяющее компоненты вектора Е:

女2 £& - к&к卢g =(—) “卢伊(29.1)

Поскольку индексу а можно придавать различные значения от 1 до 3, то (29.1) фактически является системой трех уравнений. Система эта — однородная, поэтому условием совместности уравнений этой системы является обращение в нуль детерминанта, составленного из коэффициентов при неизвестных компонентах вектора электрического поля:

det =1女2坛6— к^к。— (—) £&0 I = 0.(29.2)

Это уравнение является дисперсионным уравнением, оно определяет частоту з (которая входит в последнее слагаемое непосредственно и в виде аргумента величины ^叁。) как функцию волнового вектора к. Введем вместо вектора к новый вектор п, связанный с вектором А соотношением

Л = — л.(29.3)

с

При этом дисперсионное уравнение примет вид

1〃2坛0 - nan& - еад(л, з)| = 0.(29.4)

Особенно просто /^сперсионное уравнение выглядит в системе координат, в которой тензор £ является диагональным. В такой координатной системе уравнение (29.4) принимает вид

M(Jx〃； + JW；，+ ег2^)- [п1ехх{еУу + €гг) +

+ ^^^УУ ^ХХ + €zz)+ 〃:Gz (厶^ + ^УУ^ + ^xx^yy^zz =。・(29.5)

Уравнение (29.5) принято называть основным уравнением кристаллооптики или уравнением Френеля.

Нужно, однако, иметь в виду, что анизотропная среда вовсе не обязательно является кристаллом. Анизотропия проявляется и в первоначально изотропной среде, которая оказывается во внешних полях; к таким средам, конечно, также применимо уравнение Френеля. Обычно уравнение Френеля удобно решать, находя из него п как функцию з. Это связано с тем, что частота может довольно сложным образом, входить в уравнение через величины ехх, v и ег2. Вектор же л в пренебрежении пространственной дисперсией входит в (29.5) явно. При заданных частоте з и направлении вектора л уравнение Френеля определяет величину М. Оно является квадратичным по отношению к R Поэтому каждому значению п/п соответствуют два значения величины п2. Иначе говоря, в каждом направлении будут распространяться одновременно две волны с одной и той же частотой, но разными волновыми векторами.

Из уравнения (28.4), написанного в виде

标£-〃(〃£)= 0, (29.6) следует, что в анизотропной среде вектор。всегда перпендикулярен волно* во му вектору. Действительно, умножая (29.6) на л скалярно, получаем, что левая часть этого уравнения после умножения на л обращается в нуль, так что /г О = 0. Перпендикулярен вектору л и вектор магнитной индук* ции. Это непосредственно видно из уравнения Максвелла rot £ = —(1/c)8b/ar, написанного в виде 〃 X Е = Ь. Перпендикулярность же вектора £ вектору л не следует ни из каких уравнений. Из уравнения л X £ = Я следует только, что £ 丄 Ь. Поскольку вектору В перпендикулярны векторы п м0, то можно только утверждать, что вектор £ лежит в плоскости, образованной векторами А м 力.Иначе говоря, в общем случае вектор £ электромагнитной волны в анизотропной среде не является ни поперечным, ни продоль* ным. Поэтому поляризацию волн в анизотропных средах удобнее определять с помощью вектора D.

Для определения характера поляризации электромагнитных волн удобно ввести систему координат, одна из осей которой направлена вдоль векто* ра п. Спроектируем на оси этой системы уравнение (29.6). Проекции на перпендикулярные к п оси будут иметь вид

М% = 0a. (29.7) Исключим из этого уравнения Е, используя материальное уравнение Еа = =€q^D^. Тогда (29.7) примет вид

分=М 吗?％• (29.8)

Индексы а м 0 здесь могут принимать два значения. Поэтому (29.8) являет

ся системой двух однородных уравнений по отношению к неизвестным величинам — компонентам вектора D. Обратный тензор ^小 как и исход*

(1 历2- g；)6 =о(1/М — 62 2)。2 =。・(1 历2- g；)6 =о(1/М — 62 2)。2 =。・ный E“s，является симметричным. Обозначим индексами 1 и 2 направления, совпадающие с главными осями двумерного тензора е/, а его главные значения обозначим через ей1 и qJ В главных осях тензора е^д система (29.8) примет вид

(1 历2- g；)6 =о

(1/М — 62 2)。2 =。・

(1 历2- g；)6 =о

(1/М — 62 2)。2 =。・

(29.9)

При I/;??=储匕 скобка в первом из уравнений (29.9) обращается в нуль, поэтому 6 # 0. Скобка же во втором из уравнений (29.9) отлична от нуля, это означает, что О2 = 0. При 1 /л2 = &\, напротив, О i = 0 м О? # 0.

Отсюда следует, что в анизотропных средах волна с каждым из двух воз* можных значений л2 полностью линейно*поляризована по вектору/) в определенной плоскости. Эти две плоскости совпадают с главными осями дву* мерного тензора ё^. Главные оси любого симметричного тензора взаимна перпендикулярны. Поэтому и плоскости, в которых располагаются векто рыDi м А, тоже взаимно перпендикулярны.

Важным и сравнительно простым частотным случаем анизотропной среды является такая среда, в которой два из трех главных значений тензора %6 совпадают между собой. В кристаллооптике такие среды называются одноосными кристалламиt

Если принять, что а* = €уу = 6 % Gz = G，то уравнение Френеля (29.5) примет вид

(М 一 q)［勺疋 + £丄(忌 + /?；.) 一 egj = 0.(29.10)

Иначе говоря, оно распадается на два уравнения

л2 = J,(29.11)

疋/〃 + (nJ + лр/ец =1.(29.12)

Из (29.11) следует, что одна из двух возможных в анизотропных средах волн ничем не отличается от волны, которая распространялась бы в изотропном кристалле с показателем преломления л = \Г^. В случае же вол> ны, поведение которой определяется уравнением (29.12) у величина 1/л2 за* висит от угла 6 между вектором п/п и оптической осью (т.е. направлением оси z):

Мп2 = sin2 0/ец + cos2 8/〃.(29.13)

Волна первого типа называется обыкновенной волной, волна второго типа —необыкновенной волной.

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ.

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ. СКИИЭФФЕКТ

Волны в неоднородных средах описываются все тем же уравнением (28.3), но диэлектрическая проницаемость в нем теперь зависит от коорди* нат. Кроме уравнения

ДЕ -grad div £ + е — £ = 0,(30.1)

с

в которое входит только напряженность электрического поля Е, иногда бы* вает удобно работать с ура%ненмем, содержащим только магнитное поле. В неоднородных средах такое уравнение имеет вид

△Я + е — Я + — grad е X rot Я = 0.(30.2)

Поверхностные волны. Важнейшей особенностью неоднородных сред является то, что в неоднородных средах могут появляться новые ре* шения уравнений (30.1) и (30.2), которых не может быть в случае пространстве нно-о дно родных сред. Наиболее простой и физически прозрачный вид такие новые моды электромагнитных колебаний имеют в важном предельном случае резкой границы раздела двух сред, или среды и вакуума. Мы рассмотрим этот последний случай и покажем, что существование границы раздела приводит к появлению новой, так называемой поверхностной

волны, которая оказывается локализованной вблизи области резкой неод* нородности среды, и амплитуда которой убывает по мере удаления от этой области.

Вообще говоря, существование поверхностных волн известно из гидро* динамики, это — всем хорошо известные волны, образуемые идущими судами. Скорости распространения таких волн и другие их характеристики резко отличаются от таковых у волн объемных, примером которых в той же гидродинамике являются звуковые волны, распространяющиеся в толще воды. Если скорость распространения для объемной моды порядка километров в секунду, то для поверхностной - километры или десятки километров в час. Не менее сильно различаются и свойства поверхностных и объемных мод электромагнитных колебаний.

Итак, рассмотрим плоскую границу раздела среды с диэлектрической проницаемостью е(з) и вакуумом. Границу будем считать резкой. Коорди* натную систему выберем так, чтобы ось z была направлена вдоль нормали к границе, по направлению — внутрь среды. Соответственно, поверхностная волна будет распространяться в плоскости ху. Будем искать такое решение уравнений (30.1) и (30.2), когда вектор Я (среду будем считать для простоты немагнитной, т.е. 〃=1) находится в плоскости раздела. Пусть, например, вектор Н параллелен оси у. Тогда уравнение (30.2) во всех точках внутри среды принимает вид

最 G 誓)+(今 一+)/=о-(зо-3)

Индекс т означает, что это — магнитное поле в среде, магнитное поле в вакууме будем обозначать символом Hv . Буквой q здесь обозначен распо* ложенный в плоскости раздела волновой вектор.

Уравнение для магнитного поля, справедливое для всех точек вакуума, имеет вид

~~j- — g ) Hv - 0.(30.4)

Решения уравнений (30.3) и (30.4) должны быть сшиты на поверхности раздела с помощью граничных условий

&"71s = "，〃т| 5» £"ls = Er ds‘ ，т〃1з =。”〃 |s，(30.5)

Решения уравнений (30.3) и (30.4) для Hv и Нт ищем в виде

Ну =儿о exp Uqx + к“)，(30.6)

Нт = %о exp (/gx - Kmz),(30.7)

так, чтобы Ну и Нт стремились к нулю при z ^^ °° соответственно. Другими словами, ищутся именно поверхностные моды электромагнитных волн. Подставляя (30.6) и (30.7) в уравнения (30.3) и (30.4), получаем

巌儿+ (W -"卜” =°，

к Ж/ 3? q2 \

Из первого из этих уравнений получается

(30.8)(30.8)=，д2 - з'%2【

(30.8)

(30.8)

из второгоиз второго(30.9)(30.9)

из второго

из второго

(30.9)

(30.9)

Переходим к сшиванию решений на границе. Из равенства тангенциаль* ных компонент Hv и Нт следует, что %о = 乙о = %・ Равенство тангенциальных компонент электрического поля дает

(30.10)(30.10)откуда получается

(30.10)

(30.10)

Км

Ку = — -—- . или

Это равенство может выполняться, если только е(з) < 0. Из граничного условия Dmn l5 =Evn\s следует, что

8% |' ЪНт

=.—-.

Эх I z=o Эх z=o

Таким образом, ничего нового это последнее условие не дает.

, е(з) q е(з) + 1, е(з) q е(з) + 1Разрешая уравнение (30.10) относительно д2, получаем следующее дисперсионное уравнение для нашей поверхностной волны:

, е(з) q

е(з) + 1

, е(з) q

е(з) + 1

(30.11)

В этом уравнении е(со) <0. Формула (30.11) дает в неявном виде связь между частотой поверхностных электромагнитных колебаний и волновым вектором. Переходя от (30.10) к (30.11), мы сделали предположение о том, что пространственной дисперсией можно пренебречь. Только в этом случае возможно в явном виде разрешить дисперсионное уравнение по отношению к М. Если пространственной дисперсией не пренебрегать, то фор> мула (30.11) тоже будет справедлива, но при этом нужно помнить, что е = е(д, з), так что волновой вектор будет входить и в левую, и в правую части уравнения. Оба квадратных корня в (30.10) должны быть действительными, только в этом случае кж и к” действительны и положительны и волна и в самом деле является поверхностной. Из действительности указан* ных квадратных корней следуют неравенства

(gc/w)2 > 1 и (дс/з)? > е.

Комбинируя первое из этих неравенств с дисперсионным уравнением, записанным в виде

(сд/з)2 = е/(е + 1),

(30.12)(30.12)получаем, что е/(е+1) > 1,

(30.12)

(30.12)

откуда следует, что е(з) должна быть хотя бы немного меньше единицы. 304

Полезно рассмотреть предел дисперсионного уравнения(30.11) в случае, когда можно пренебречь электродинамическим запаздыванием. Это можно сделать, когда длина поверхностной волны удовлетворяет мера* венству

Х< сТ,

т.е. длина волны меньше пути, который свет проходит за период колебаний поля. В этом случае скорость света с в уравнении (30.11) можно считать равной бесконечности и дисперсионное уравнение примет вид

Q2 [е(з) + 1] = 0,

откуда получаем, что

£(з) =—1.(30.13)

Из последнего уравнения видно, что в пределе поверхностных электростатических волн (когда с — 8)и в пренебрежении пространственной дисперсией частота поверхностной волны не зависит от ее волнового вектора.

Легко найти самый высокочастотный корень уравнения (30.13). Воспользовавшись в ы со ко часто тной аси мптотической £ (з), получаем

— з；/з? = —1, или

3= Зр/VT.(30.14)

Колебания такого типа называются поверхностными плазменными колебаниями (или короче — поверхностными плазмонами). Поскольку вектор Н в такой поверхностной моде лежит в плоскости раздела и перпендикулярен волновому вектору q, то волну можно назвать поперечной Н-вол- ной (сокращенно — ТН-волной}.

Распределение электрического поля в пространстве может 6ь仃ь вычислено по найденному магнитному полю с помощью второго уравнения Максвелла с

£ = / rot Я

Ротор магнитного поля, направленного вдоль оси у и зависящего от координат х и z, имеет две составляющих, направленных вдоль ортов ev и е2. Это означает, что поверхностная волна, будучи поперечной по отношению к магнитному полю, по отношению к электрическому полю не является ни продольной, ни поперечной. Вектор £ находится в плоскости х, г, а направ* ление этого вектора по мере изменения координаты х меняется от точки к точке.

Убедимся теперь в том, что поверхностная поперечная по электрическому полю волна (ГЕ-волна) существовать не может. Примем, что £ = Ev, Ех = £г = 0. Решение уравнения (30.1) будем искать в виде

£” = £оу exp (/дх + к^г), Ет = Еш0 exp (/qx-k^z).

Подставляя эти функции в уравнение, получаем выражения для кш и к”， совпадающие с (30.8) и (30.9). Сшивая решения на границе, получим урав* некие

К” = -%

Это соотношение не может выполняться при положительных значениях величин к” и кт, откуда и следует, что поверхностной Т£-волны не существует.

20. М.М. Бредов

Существование поверхностных волн означает, что энергия электромагнитного поля может передаваться в избранном направлении по поверхности открытых волноводов, которые могут быть диэлектрическими.

玄2 Нормальный скин-эффект. Другой эффект, связанный с существованием поверхности, заключается в том, что если в вакууме вблизи проводящей среды существует переменное электромагнитное поле, то это поле проникает в проводящую среду только на конечную глубину. Это явление носит название скин-эффекта.

Наиболее просто скин*эффект описывается в случае низкочастотных полей. В этом случае возникают два упрощающих обстоятельства. Первое из них заключается в том, что низкочастотные колебания являются длин* ново л новы ми. Длина этих волн в среде такова, что она много больше дли* ны свободного пробега носителей тока в среде. Таким образом, носители тока движутся в электромагнитном поле, которое, хотя и является пере* менным во времени, но может считаться почти однородным в пространст* ве. Поэтому связь между током и полем является локальной. Иначе говоря, эффекты пространственной дисперсии в этом случае оказываются несущест* венными. Второе упрощающее обстоятельство связано с возможностью сами уравнения Максвелла внутри проводника и в его окрестности записать в упрощенном виде.

Пусть характерные размеры проводника равны 厶.Рассмотрим первое уравнение Максвелла:

1 ЭЯ rot Е =.

с 8г

Поскольку частота изменения поля считается известной, перед нами стоит задача нахождения только его пространственного распределения. В правой части уравнения, содержащей временную производную, заключена инфор* мация о пространственном изменении поля на длинах порядка сТ, где Г = 2тгзТ — период колебания поля. Левая же часть уравнения должна содержать информацию о его пространственном распределении на длине L порядка размеров проводящей среды. Если частота з = 2яГ-1 настолько мала, что

L《сГ,(30.15)

то информация о пространственном распределении поля, содержащаяся в левой части первого уравнения Максвелла, является более детальной, чем информация, содержащаяся в правой части. Это же относится и.ко второму уравнению Максвелла в вакууме. Таким образом, электромагнитное поле в вакууме на не слишком больших расстояниях от проводника, таких что

入》厶， (30.16)

(здесь 入=2ясЛо = сТ — длина волны электромагнитного поля в пустоте, L — характерные размеры проводника и расстояние от проводника до точки наблюдения) можно описывать уравнениями

(30.17)(30.17)rot Е = 0, rot Я = 0, divE = 0, divH = 0.

(30.17)

(30.17)

Уравнения, определяющие электромагнитное поле внутри среды, должны, конечно, содержать характеристики среды, определяющие ее реакцию на внешнее поле. В случае хороших проводников при низких частотах основ* ной такой характеристикой является статическая проводимость а Поэтому

(30.18)(30.18)второе уравнение Максвелла в среде следует записывать в виде 4яа

(30.18)

(30.18)

rot Я = £.

Током смещения в этом уравнении можно, конечно, пренебречь. Поле Е в правой части (30.18) само по себе может быть небольшим, но оно умножается на большую величину аи поэтому существенно. По этой причине в первом уравнении Максвелла в металле следует оставить временную производную, чтобы учесть, в соответствии с законом Фарадея, возможную генерацию электрического поля переменным магнитным:

ЭЯ

rot Е = — — — .(30.19)

Остальные уравнения Максвелла имеют вид

(30.20)(30.20)div 6 = 0, div Е = 0.

(30.20)

(30.20)

Последнее уравнение является однородным, поскольку наведенные полем в проводнике заряды рассасываются за время порядка з^. При си < и на временах Г проводник является квазинейтральным. Уравнения (30.17)— (3020) описывают электромагнитное поле, как принято говорить, в квази- стационарном приближении.

Исключая из (30.18) и (30.19) электрическое поле, можно получить одно уравнение второго порядка для магнитного поля в среде

ДЯДЯ_ 47r叩 с2_ 47r叩 с2ЭЯэ7ЭЯэ7(30.21)(30.21)Исключая из этих уравнений магнитное поле Н, получаем, с учетом (30.20), уравнениеИсключая из этих уравнений магнитное поле Н, получаем, с учетом (30.20), уравнение4я8Е△£ = —： оц —С2於4я8Е△£ = —： оц —С2於(30.22)(30.22)Опираясь на полученные уравнения, рассмотрим теперь задачу о проникновении электромагнитного поля частоты з в металл, занимающий полупро* странство z > 0.Будем считать, что поперечное поле падает на поверхность металла нормально, так что электрическое поле имеет только х-комлоненту, а магнитное — составляющую Ну. Уравнение (30.22) для электрического поля в среде, записанное в формеОпираясь на полученные уравнения, рассмотрим теперь задачу о проникновении электромагнитного поля частоты з в металл, занимающий полупро* странство z > 0.Будем считать, что поперечное поле падает на поверхность металла нормально, так что электрическое поле имеет только х-комлоненту, а магнитное — составляющую Ну. Уравнение (30.22) для электрического поля в среде, записанное в форме4я/саод4я/саод(30.23)(30.23)будем иметь решениебудем иметь решениеЕ - Eq exp (± kz).Подставляя (30.24) в уравнение (30.23), получим 4я7зо〃к =— = 4行30华7 exp (-7я/2).Таким образом,к = с-1 ехрЕ - Eq exp (± kz).Подставляя (30.24) в уравнение (30.23), получим 4я7зо〃к =— = 4行30华7 exp (-7я/2).Таким образом,к = с-1 ехр(30.24)(30.24)/，27ro3储，4тгз 叩 =(1 — 7)/，27ro3储，4тгз 叩 =(1 — 7)

ДЯ

ДЯ

_ 47r叩 с2

_ 47r叩 с2

ЭЯ

э7

ЭЯ

э7

(30.21)

(30.21)

Исключая из этих уравнений магнитное поле Н, получаем, с учетом (30.20), уравнение

Исключая из этих уравнений магнитное поле Н, получаем, с учетом (30.20), уравнение

4я8Е

△£ = —： оц —

С2於

4я8Е

△£ = —： оц —

С2於

(30.22)

(30.22)

Опираясь на полученные уравнения, рассмотрим теперь задачу о проникновении электромагнитного поля частоты з в металл, занимающий полупро* странство z > 0.

Будем считать, что поперечное поле падает на поверхность металла нормально, так что электрическое поле имеет только х-комлоненту, а магнитное — составляющую Ну. Уравнение (30.22) для электрического поля в среде, записанное в форме

Опираясь на полученные уравнения, рассмотрим теперь задачу о проникновении электромагнитного поля частоты з в металл, занимающий полупро* странство z > 0.

Будем считать, что поперечное поле падает на поверхность металла нормально, так что электрическое поле имеет только х-комлоненту, а магнитное — составляющую Ну. Уравнение (30.22) для электрического поля в среде, записанное в форме

4я/саод

4я/саод

(30.23)

(30.23)

будем иметь решение

будем иметь решение

Е - Eq exp (± kz).

Подставляя (30.24) в уравнение (30.23), получим 4я7зо〃

к =— = 4行30华7 exp (-7я/2).

Таким образом,

к = с-1 ехр

Е - Eq exp (± kz).

Подставляя (30.24) в уравнение (30.23), получим 4я7зо〃

к =— = 4行30华7 exp (-7я/2).

Таким образом,

к = с-1 ехр

(30.24)

(30.24)

/，27ro3储

，4тгз 叩 =(1 — 7)

/，27ro3储

，4тгз 叩 =(1 — 7)

так что решение уравнения для поля в металле имеет вид

(30.25)(30.25)± Z手/

(30.25)

(30.25)

2c2c

В этом решении следует оставить член, обращающийся на бесконечности в нуль. Таким образом, кроме осциллирующей части, в решении (30.25) имеется множитель ехр —— \42яоа)д z2j, обеспечивающий локализацию поля в проводнике вблизи поверхности. Характерная толщина этого скин- слоя есть

5=с/，27гоз] (30.26)

Видно, что скинслой тем тоньше, чем выше частота поля и проводимость среды. Напомним, что формула (30.26) справедлива, если выполняются неравенства / « S (обеспечивающие возможность пренебречь прострам- ственной дисперсией) и зт « 1 (здесь характерное время столкнове* ний электронов в проводнике). Последнее неравенство соответствует пренебрежению временной дисперсией и обеспечивает возможность пользоваться статической проводимостью о. Магнитное поле в металле убывает по тому же закону, что и электрическое.

Найдем теперь соотношение между величинами напряженностей электрического и магнитного полей на поверхности проводника. Из (30.18), (30.24) и (30.26) следует, что векторы Е и Я связаны между собой соотношением

Е= (1 -/) -^—ЯХ л, (30.27) 4яо5

где п = к/к есть единичный вектор, направленный вдоль оси z. Соотношение (30.27) справедливо для любой точки среды и для поверхности в том числе. Величина

0=(1 - 7) - c— = (1 - 7) , (30.28) 4яо5 8яо

связывающая векторы Е и Я, называется поверхностным импедансом.

Соотношение (30.27) можно использовать как граничное условие для нахождения злектрома「нитно「о поля вне проводника. Как показывают предыдущие результаты, поле внутри проводника существенно изменя* ется на длине 6, а вне его — на длине L порядка размеров проводящего тела (предполагаем, что 厶《入).При достаточно высокой электропроводности 6 & 厶• Это неравенство обеспечивает малость тангенциальных производных от напряженностей поля внутри проводника по сравнению с производной по нормали к поверхности. Это означает, что при любом характере падения электромагнитной волны на поверхность проводника поле внутри него будет иметь тот же характер, что и при нормальном падении, и будет справедлива формула (30.27).

Вследствие непрерывности тангенциальных компонент векторов поля на границе, соотношение (30.27) справедливо и для полей на внешней стороне поверхности проводника. Поэтому соотношение

EfTHfXn (30.27а)

можно рассматривать и использовать как граничное условие, позволяющее находить поле вне проводника, не рассматривая поля внутри среды. Оно называется граничным условием Леонтовича.

Из приведенных выше оценок ясно, что граничное условие Леонтовича (30.27а) справедливо и для неплоской поверхности проводника, если локальный радиус ее кривизны велик по сравнению с величиной 5.

Аномальный скии*эффект. При возрастании частоты з характер скин-эффекта меняется. Это связано с тем, что толщина скинслоя умень* шается с ростом частоты, и при некоторых характерных частотах толщина скин-слоя 6 может стать сравнимой с длиной свободного пробега / электронов проводника. Из (30.26) следует, что толщина скинслоя 6 становится сравнимой с / при с/х/^7弋/, откуда следует, что характерная частота з。, при которой происходит переход от нормального скин-эффекта к аномальному, имеет порядок

3。^с2/оР. (30.29)

Проводимость о при оценке можно считать равной о = пе2т1т, а длина свободного пробега в металлах / = vft (где uF — скорость электронов на поверхности Ферми, г — время между столкновениями электронов). Таким образом,

c2pF

з« Q —• (30.30) пе г

Здесь Pf — импульс электронов на поверхности Ферми, п — концентра* ция электронов проводимости. Видно, что частота з。существенно зависит от величины / и при характерных для металлов значениях I с ростом частоты условие Ъ 弋 / достигается обычно раньше, чем условие зт 〜1. В этом случае (и тем более в случае, когда 6 < /) электроны движутся в поле, которое уже нельзя считать однородным, и нужно учитывать про* странственную дисперсию. Временная же дисперсия при зт < 1 еще не существенна. Скин-эффект в условиях, когда S ^ / и необходимо учитывать пространственную дисперсию, называется аномальным скин-эффектом.

При аномальном скин-эффекте, по сравнению со случаем нормального скин-эффекта, меняется соотношение между плотностью наведенного в металле тока и напряженностью электрического поля Е. Чтобы найти это соотношение, напишем кинетическое уравнение для функции распреде* ления электронов металла

36 f8”》о

+ у+ еЕ=—

dtdrЭр

в котором『о — равновесная фермиевская функция распределения, а ” —отклонение функции распределения от равновесной, обусловленное проникающим в металл полем. Считая, как и в случае нормального скин- эффекта, что поле падает из вакуума на металл в направлении оси z, нормальной к поверхности и направленной в глубь металла, кинетическое уравнение можно записать в виде

dbf р - /з—— … 十 ■，■■ -—j_ . , ― 5 f "dz %dbf р - /з—— … 十 ■，■■ -—j_ . , ― 5 f "dz %e£(z) »oe£(z) »o(30.31)(30.31)

dbf р - /з

—— … 十 ■，■■ -—j_ . , ― 5 f "

dz %

dbf р - /з

—— … 十 ■，■■ -—j_ . , ― 5 f "

dz %

e£(z) »o

e£(z) »o

(30.31)

(30.31)

Mu будем считать, что электрическое поле направлено вдоль оси х. Уравнение (30.31) удобно переписать в виде

—+ Abf^BE(z).(30.32)

dz

Из сравнения (30.31) и (30.32) следует, что

(30.33)(30.33)1 -；зте »о

(30.33)

(30.33)

4 = —. *,8 = — ——■■■■■■

7// Вт

Решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (30.32), есть

6f = Се^Лг,

где С — постоянная. Решение неоднородного уравнения (30.32) запишем в виде

” = C(z)「"z,

что соответствует простейшему варианту метода вариации произвольных постоянных. Подстановка передней формулы в (30.32) дает

C(z)^ fBE(z)eAz，dz ^С{,

так что z

(30.34)(30.35)(30.34)(30.35)*= {8/£(w)J“ + a} Л

(30.34)

(30.35)

(30.34)

(30.35)

Функция ” должна обладать свойством

”(z/二 < 0)lz=g = 0.

Условие uz < 0 в аргументе функции ” в асимптотической формуле (30.35) означает, что речь идет о функции распределения электронов, движущихся по направлению к поверхности. Из асимптотического условия (30.35) можно определить константу & , входящую в решение (30.34) для ” Wz 之 0). Из сравнения (30.34) и (30.35) следует, что

”(z, v2 < 0) =exp 厶^Px”(z, v2 < 0) =exp 厶^Pxl^z 及(w)exp(l^z 及(w)exp(1 —/371 —/37dw.(30.36)dw.(30.36)

”(z, v2 < 0) =exp 厶^Px

”(z, v2 < 0) =exp 厶^Px

l^z 及(w)exp(

l^z 及(w)exp(

1 —/37

1 —/37

dw.

(30.36)

dw.

(30.36)

Таким образом, функция распределения движущихся к границе электронов определяется значением электрического поля во всем пространстве от z до 8.

Вид функции ” 亿 v2 > 0), описывающей удаляющиеся от границы электроны, определяется характером рассеяния электронов на границе. Существуют два предельных случая рассеяния электронов на границе — зеркальное рассеяние и диффузное рассеяние. На самом деле, конечно, реализуется некоторая промежуточная ситуация. Математически наиболее просто описывается скин-эффект при зеркальном отражении электронов от границы. Имея это в виду, а также то, что самая главная особенность — неэкспоненциальный спад поля по мере его проникновения в глубину металла — проявляется уже при зеркальном отражении электронов от границы, мы и ограничимся последним случаем.

При зеркальном рассеянии электронов на границе

”(+)(厶，у»%z = 0) = ”(-)(% Vy. -%z = 0). (30.37) В этом граничном условии функция ”⑴ относится к электронам, уда* ляющимся от поверхности, а ”(一)一к электронам, приближающимся к ней. Из (30.37) с учетом (30.36) имеем

5f(+)"х, Uy, ^z,z = 0) = — £ —— f E{w)exp -—^^ w)dw. (30.38)

Интеграл в этой формуле есть величина, зависящая только от з, т м 匕. Поэтому из общего решения (30.34), записанного в виде

of = exp Iz HCiJ Е iv)expl w\dw\,

\"八 ^ Ьрх о\ rvz / г

получаем

”")(z)=

e »o /exp I -Ърх \e »o /exp I -Ърх \萨)| 回)exp(—l^萨)| 回)exp(—l^

e »o /

exp I -

Ърх \

e »o /

exp I -

Ърх \

萨)| 回)exp(—l^

萨)| 回)exp(—l^

(30.39)(30.39)+ / £( iv)exp ~^~ w J ^w

(30.39)

(30.39)

Формула (30.36) дает нам решение кинетического уравнения для функции »，(-), формула (30.39) - для функции "(+). Эти функции удов* летворяют поставленным граничным и асимптотическим условиям. С их помощью обычным образом вычисляется плотность наведенного тока: /(z) = еJv«8fd3V. Подставляя в эту формулу функции 5f(') и 5，(一) и вводя полярные координаты (乙 8, а) в пространстве скоростей, получим

8- 8,о [ ”Vy du

/(z) = — f dvv2 / d6sin6 / daX m ； m〔詬8厶

X J divE(iv)exp((w-z)) - J d6 sin 0 / daX z\ tvcosG / о°/ 沁

X fdwE(w)exp I — -—^^(z + w)) + f dwE(w)exp\ -——^^(w-

Lo\ 7VCOS0/ о\ tvcosS

(30.40) Интегрирование no a здесь можно провести сразу, поскольку подынтег* ральное выражение не зависит от а. Подынтегральные выражения в интегралах по 6 являются нечетными функциями 6, поэтому (30.40) можно представить в виде

j(z) =fdvv2 j 曲sin6-^ X

т о du о忆8厶

X ! JdwE{w)exp - (z + w) j + /dwE(iv)exp [w - z) + l оLtv cos 0J оL tvcosS

+ ]dwE{w)e^ \ -丄-心1 (w-z)]!・(30.41)

zL tvcosG IJ

Два последних интеграла в фигурной скобке

1 —/37 W — Zcos 671 —/37 W — Zcos 67/dw£(w)exp| -—~-I + fdwE(w)exp оL cos® / ] z

1 —/37 W — Zcos 67

1 —/37 W — Zcos 67

= /dw£(w)exp 一 丄二？[二亍吗 I .(30.42)

оcosd I / I

Здесь I - rv — длина свободного пробега электронов. Таким образом, получаем следующее выражение для плотности тока:

(30.43)(30.43)/(z) =/e(团贫(斗^*用+/e(W)m] -^-^р dw.

(30.43)

(30.43)

1 —/зт 1小с …s .(30.44)cosd J1 —/зт 1小с …s .(30.44)cosd Jгде К — ядро интегральной связи между напряженностью электрического поля в точке с 2*координатой, равной w, и током в произвольной точке с координатой z, имеющее вид

1 —/зт 1小с …

s .(30.44)

cosd J

1 —/зт 1小с …

s .(30.44)

cosd J

第($) =/ dw? / dO sin8 — exp

m о du о厶8厶

Интегральный характер формулы (30.43) означает, что мы имеем дело с пространственной дисперсией. Подставляя (30.43) в уравнение

получим основное уравнение теории аномального скин-эффекта

警炉（宁卜w^+? m宁d日硏,警炉（宁卜w^+? m宁d日硏,(30.45)(30.45)

警炉（宁卜w^+? m宁d日硏,

警炉（宁卜w^+? m宁d日硏,

(30.45)

(30.45)

определяющее электрическое поле в среде. Поле в вакууме считается заданным или может быть найдено из обычного волнового уравнения, решение которого следует сшить на границе раздела металл — вакуум с решением интегро-дифференциального уравнения (30.45), определяющего поле в среде, с помощью обычных граничных условий:

e乙=e% и £з =£_

Интегро-дифференциальное уравнение (30.45) можно решить с помощью следующего приема. В первом интеграле в правой части уравнения (30.45) проведем замену переменной w т —и/, после чего этот интеграл примет вид

『附(£^) E(-w}dw. (30.46)

Продолжим теперь формально решение уравнения (30.45) в область z < 0. Это продолжение можно провести совершенно произвольным образом. Проще всего продолженное таким образом поле Е считать или четным (по отношению к плоскости z = 0), или нечетным, или даже нулевым. Окончательное решение задачи от способа продолжения зависеть не будет. Выберем для определенности четное продолжение, т.е. будем считать, что

£(t) = £(z). (30.47)

Тогда уравнение (30.45) с учетом (30.46) примет вид

奈 + (/) e П亨工贸(| 宁^ |)日Mdm(30.48)

В этом уравнении z > 0 в оно определяет поле внутри металла, причем при формальном продолжении решения этого уравнения в область z < 0 выполняется условие (30.47). По своей математической структуре уравнение (30.48) значительно проще исходного уравнения (30.45), так как в (30.48) ядро интегрального члена имеет только разностный аргумент.

Это дает возможность вания Фурье.

решить уравнение (30.48) с помощью преобразо-

Найдем фурье-образ уравнения (30.48). Для этого уравнение (30.48)

следует умножить на странству:

exp (-火z) и проинтегрировать по всему про-

/ exp(-/Arz) —- dz + ( — I £伙)= J dwE{w} X

-OOdz. 、e/C -8

X / dzexp(- *z)*Q 二^ 1).

(30.49)

Первое слагаемое в этом соотношении следует дважды проинтегрировать по частям. После первого интегрирования получим

/ ехр(-応)虫 ^г dz 二 exp(-ikz)艺

-8dz、dz

-0

+ exp(—/kz)

dE

+ ОО

+

+0

+ 8川口+8

+ 次/ exp(-/7cz)——近=£'(-0) - £'(+0) + 次 / exp(TZz)—dz. —8dz—8dz

(30.50)

Поскольку функция Е (z) — четная, то производная от этой функции в точке*г = 0 может испытывать разрыв, так что £'(—0) = —£'(+6). Сама же функция £ (z) в точке z = 0 при этом непрерывна, так что £ (-0) — — £ (+0) = 0. С учетом этого обстоятельства и после второго интегрирования по частям первое слагаемое в уравнении (3049) примет вид

一2£'(+0)-公£伙)

Правую часть (30.49) можно записать в виде 4•+ОО+8

尸'3 / dwEtw) / dzexp(—/kz)Jf C ―*OO—OO

= —-— J dwE(w)exp(—ikw) J — exp I —tkl I ——/ p\I~| J=

="2宽伙/)e伙).

Таким образом, фурьеюбраз уравнения (30.48) принимает вид

-2£'(+0) -к2е(к} + (^)£伙)=^^ 贫阳)Ё伍)，

(30.51)

так что

2£'(+0)

32/ -X -(^心/⑨奧伙/)

(30.52)

По найденному фурьеюбразу находим искомое электрическое поле:

£'(+0)

FW = —

+«>

dkexp(ikz)

丄 6时-к2 - gni3l心% *1)

(30.53)

у/зу/з(30.54)(30.54)Физический смысл функция £ (z) имеет при z > 0. Множитель £' (+0) определяется интенсивностью и длиной волны падающего на поверхность металла электромагнитного излучения. Основной особенностью полученной таким образом функции £ (z) является то, что она не имеет экспоненциального вида. Оценка интеграла в (30.53), деталей которой мы не приво* дим, дает, что глубина проникновения поля в металл при аномальном скин-эффекте имеет следующий порядок величины:

у/з

у/з

(30.54)

(30.54)

Зависимость 5 от з имеет вид з “з, т>е> Она несколько слабее, чем в случае нормального скин>эффекта.

Скин-эффект при высоких частотах. При дальнейшем увеличении частоты характер скин>эффекта снова изменяется. Это обусловлено тем, что в задаче о скин>эффекте присутствуют, вообще говоря, не две, а три характерные длины. До сих пор учитывалось наличие двух характер* ных длин — глубины скинслоя 5 и длины свободного пробега электронов /. И не подчеркивалось, что существует еще одна характерная длина —путь，丁，который электрон проходит за один период Г изменения поля. При тех частотах, при которых имеет место нормальный скин-эффект, длина /丁 = ”/з была много больше и глубины скинслоя 6 и тем более — длины свободного пробега электронов /, поэтому величина /丁 была несущественна. В условиях аномального скин>эффекта и /, и /г больше 6, причем в теории, изложенной в п. 30.3, соотношение между / и было произвольным. Важно было только то, что 6 — наименьшая из всех характерных длин.

С ростом частоты уменьшаются значения и S, и /7 (величина / от з, конечно, не зависит), но значение /「 уменьшается быстрее, чем 6. Дейст-

вительно, согласновительно, согласно(30.54), /丁/з 〜з~2/з, так что при достаточно высо*

вительно, согласно

вительно, согласно

ких частотах /^ < 6.

Если /丁《6, то электроны снова, как и в случае нормального скин*эф- фекта, будут двигаться в почти однородном электрическом поле и в этом смысле скин-эффект при высоких частотах напоминает нормальный скин- эффект, с той, однако, разницей, что роль величины I теперь начинает играть величина /「• Иначе говоря, скин-эффект при высоких частотах можно считать нормальным скин-эффектом, но при этом оказывается существенной временная дисперсия.

Из условия S > /7, которое можно переписать в виде з > uF/6, следует, что из первых двух слагаемых в левой части кинетического уравнения наибольший вклад дает временная производная от функции распределения, поскольку bbf/bt > vd6f/dr. Из неравенства 7 A /丁, записан* ного в виде з А получаем, что

8”8”А竺=&7 ZА竺=&7 Z

8”

8”

А竺=&7 Z

А竺=&7 Z

8”V8”V(30.55)(30.55)

8”V

8”V

(30.55)

(30.55)

Таким образом, кинетическому уравнению при высоких частотах можно

придать вид

"о

+ еЕ • V -— = 0.

82

Волновой вектор к в это уравнение не входит, поэтому пространственная дисперсия при высоких частотах так же несущественна, как и при низких. 314

Решение кинетического уравнения (30.55) имеет вид

з а&з а&(30.56)

з а&

з а&

Функция распределения ” зависит от частоты з изменения поля, следова* тельно, временная дисперсия должна обязательно учитываться.

Плотность тока, обусловленная полученной функцией распределения, равна

j = / ~— f V(V • Е)——个р.

3丿8品

В изотропном случае вектор / направлен вдоль вектора Е, так что

/ ^i—Efv2~c^ed3pt(30.57)

где В = (y, £). Таким образом j = оЕ, причем

а = /£ Ju2 ^lcos20d3p.(30.58)

з %

Интеграл в (30.58) легко вычисляется:

4я/е2р^ 0 = — 小一.

3m 3(2计户

Порядок этой величины составляет 伍尸/h) (&戶伟з). Подставляя (30.57) в уравнение для поля, получаем:

^_^ + -L з2-«2/у2 ^.cos20</3pjE = о.(30.59)

Это уравнение имеет решение £ = £()ехр(—z/b), причем

6~2 =—-е2JV2 军^寸。，。).(30.60)

с2 \/

В соответствии с оценкой, приведенной для случая сферической поверх* ности Ферми, второе слагаемое в скобке в формуле (30.60) имеет порядок (总尸/h)'. Поэтому при h3 < 8尸 величина 6 является действительной.

Таким образом, при частотах, больших тех, при которых 6 становится порядка или больше /「(эти частоты обычно лежат в далекой инфракрасной области спектра), но меньших &尸/瓦 поле по мере проникновения в глубину металла спадает экспоненциально, причем глубина скинслоя

6 ncM&fW2 -з2：(30.61)

Частота &尸/瓦 входящая в эту формулу, обычно соответствует по порядку величины коротковолновому оптическому или ближнему ультргфиоле* товому участкам спектра. Частота з < &尸俏 поскольку при 3 f &"h кроме собственно скин-эффекта начинают проявляться и другие физические явления (такие, например, как фотоэффект), которые нужно учитывать при вычислении пространственного распределения поля. Поэтому фактически 6 ^ch/&F.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ВОЛНОВОДАХ

Волноводом принято называть металлическую бесконечно длинную трубу произвольного сечения и, вообще говоря, произвольной формы. Волновод может быть и конечной длины, но в этом случае труба должна иметь отверстия на концах, через которые в трубу поступает и из нее вытекает электромагнитное поле. Задачи о волноводах решаются, конечно, методами электродинамики. Однако большое число вопросов, связанных с описанием распространения электромагнитных волн в таких системах, носит прикладной характер. Поэтому в данном параграфе будет уделено внимание только одному, имеющему наибольшее принципиальное значение, вопросу о типах волн, которые могут распространяться в простейшем прямом цилиндрическом волноводе произвольной формы, стенки которого являются абсолютно проводящими. Будем также считать, что внутри волновод не заполнен диэлектриком. Это дает возможность показать, что даже в вакууме электромагнитные волны не обязательно являются поперечными, если область, в которой эти волны распространяются, примыкает к проводящим поверхностям.

Для волновода справедливы уравнения Максвелла:

ЗЕ = i ^Н, го1Я= —/ ~^-(31.1)

Поскольку стенки волновода считаются идеально проводящими, то на его стенках Ет = 0. Возьмем компоненту первого из уравнений (31.1), нормальную к поверхности в некоторой точке поверхности волновода. Проекция вектора rot Е на эту нормаль содержит пространственные производные от тангенциальных компонент электрического поля по тангенци* альным же координатам. Поскольку Е「 = 0 в любой точке поверхности, то rot„E = 0, откуда сразу следует, что на поверхности волновода значение Нп также равно нулю. Таким образом, формулы

£т = 0 и 4=0

могут рассматриваться как граничные условия к уравнениям (31.1). Исключая из (31.1) магнитное поле, получим уравнение для нахождения электрического поля,

△£+4£=0,⑶.2)

с дополнительным условием divE = 0.

Систему координат выберем так, чтобы ось z была направлена вдоль волновода. Убедимся, что в волноводе может распространяться волна 77И-тила, т.е. что в волноводе может существовать z-компонента элек* трического поля, которая зависит от координат следующим образом: Ez = П (х, у)ехр(З). Здесь к — волновой вектор волны, распространяю* щейся вдоль волновода. Неизвестная функция П(х, у) удовлетворяет двумерному уравнению Гельмгольца:

⑶・4)⑶・4)

⑶・4)

⑶・4)

где

公=4 一

Спроектируем уравнения (31.1) на оси х и у:

(31.5)(31.5)

(31.5)

(31.5)

Отсюда следует, чтоОтсюда следует, что

Отсюда следует, что

Отсюда следует, что

(31.6)(31.6)

(31.6)

(31.6)

Из этих соотношений видно, что, решив уравнение (31.1) и найдя таким образом £z, через эту компоненту электрического поля можно выразить все остальные компоненты электрического и магнитного полей. Следо* вательно, вся задача сводится к решению только одного двумерного урав* нения (31.3) с граничным условием II (х, у) | § =。・ Решение уравнения (31.3) получается с помощью методов математической физики и зависит от формы волновода. Но при любой форме волновода, сечение которого конечно, функция II (х, у) ограничена и удовлетворяет граничным условиям только при определенных значениях величин к2, которая образует набор так называемых собственных значений. Найдя этот набор, в каждой конкретной задаче можно с помощью формулы (31.4) найти частоту колебаний:

з = сх/М +戸(31.7)

Эта частота зависит от волнового вектора к, но при k f 0 частота з в нуль не обращается. Из (31.7) видно, что существует минимальное значение частоты (определяемое минимальным собственным значением 丁也)， с которой в волноводе еще может распространяться электромагнитная волна. Величина Kmin порядка 1/厶，где 厶 一 поперечные линейные размеры волновода, следовательно, Зт^ 弋。/厶.

Групповая скорость волны в волноводе

屮=3313k = ск/ “2 + 公： (31.8)

При к = 0 勿=0, при £ — 8 vg

Аналогичным образом можно убедиться в том, что в волноводе также возможно распространение волны Г£-тила. В этом смысле волновод отличается от незамкнутой поверхности, которая тоже может в некотором смысле служить волноводом (см. § 30, ч. II), но вдоль такой поверхности волны ГЕ-тила распространяться не могут.

Поперечные волны одновременно по векторам Е и по Я в обычном односвязном волноводе распространяться не могут. Качественную причину этого явления можно понять, если учесть, что в соответствии с граничным условием % = 0 силовые линии магнитного поля в волноводе должны замыкаться в плоскости ху, это означает, что rot Я имеет z-kom- поненту. В соответствии со вторым из уравнений (31.1) должна существовать и 2*компонента электрического поля. Положение изменяется, если внутри волновода имеется еще один проводящий цилиндр. Тогда магнитное поле может замыкаться вокруг токов, наведенных во внутреннем

цилиндре. В таком более сложном волноводе могут распространяться поперечные волны.

В качестве примера применения изложенных принципов к конкретным системам рассмотрим задачу о нахождении возможных типов волн и их частот в простом прямоугольном волноводе со сторонами a s 6, причем а> Ь.

В таком волноводе могут распространяться и волны ТМ-ткпа, и волны 7Т-типа.

Рассмотрим волны ТЛ^-типа. Уравнению (31.3) с граничными условиями П(0, у)= =П(а, у) = П(х, 0) = ГКх, Ь) - 0 отвечает решение

"(х, у) = По sin (nmJc/a)sin(nnyAf),(31.9)

причем т и л — целые числа (не равные нулю). Поскольку уравнение (31.3) являет* ся однородным, постоянная По определяется условиями возбуждения волн и может иметь любые значения. Подставляя (31.9) в (31.3), получим связь между к2 и вели* чинами т п.

к2 =伝巾左户 + (ял/Ъ)\(31.10)

Спектр возможных частот, согласно (31 7), имеет вид

3 = СуД? +(7ГЛ7 例 2 +(7T〃Zb 户.

Минимальная возможная частота

3min = стгу/^ + Ь2 )laibi *

Компонента электрического поля, направленная по оси волновода, равна

£二以，У, z) = По sin brmxZ»)sin (ял^/Ь)ехр (/Xz) •(31.11)

Остальные компоненты электрического и магнитного полей выражаются через (31.11) по формулам (31.6).

Рассмотрим волны 7Т-типа. В случае 7Т-волны Н2 ^ ИЦ(, у} ехр^кг}, и для определенной таким образом функции II будут справедливы уравнения (31.3) и (31.4). Аналогами уравнений (31.6) в случае FF-волны являются уравнения

№ Эх

ik 8%

"=.

'к2 By

Граничное условие записано в виде

3Hj3n = 0.

Поэтому и в случае условием

Hn = 0, согласно вторым двум из этих уравнений, может быть

(31.13)

Т£-волны следует решать уравнения вида (31.3), но с граничным

ЭП 1эп

” 1о,у队

8nап

= = =0.(31.14)

а, у ” х.ОЭк х/

(31.12)

(31.15)(31.15)Соответствующее решение имеет вид П = По cos (mirx/a)cosiniry/b},

(31.15)

(31.15)

причем связь между № и величинами ш и л имеет тот же вид, что и в случае ТМ-волны. Однако в отличие от 77И-волны, одно из чисел, л? или п, может оказаться равным нулю. Это означает, что минимальная частота волны Г£-типа меньше, чем в случае волны TAf-типа и равна

3min = б/а(31.16)

Соответствующая волновая мода назь(вается Т£,0-волной.

декоом 2. Угол падения к границе, обозначим д0< Координатную плоскостьдекоом 2. Угол падения к границе, обозначим д0< Координатную плоскостьe -匕хe -匕х(32.2)(32.2)(32.4)(32.4)

декоом 2. Угол падения к границе, обозначим д0< Координатную плоскость

декоом 2. Угол падения к границе, обозначим д0< Координатную плоскость

e -匕х

e -匕х

(32.2)

(32.2)

(32.4)

(32.4)

ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ

ОБЪЕМНЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА СРЕД

Граница раздела сред не только обусловливает появление новых мод электромагнитных колебаний, но и оказывает влияние на распространение обычных объемных мод. Наиболее важно описать это влияние на распространение поперечных электромагнитных волн, которые имеют возможность пересекать границы раздела и выходить в вакуум или генерироваться в вакууме и падать на границу раздела вакуум — среда.

Рассмотрим падение поперечной электромагнитной волны (рис. 32J) из прозрачной среды (в частности, это может быть и вакуум) на плоскую границу раздела прозрачной среды (эту среду будем обозначать индексюм I) с любой другой средой (которую обозначаем индексом II). ГТадающую волну обозначим индексом 0, отраженную — индексом 1, преломленную — ин-

волны на границу, отсчитываемый от нормали угол отражения — % м угол преломления — 0 2. ху расположим в плоскости раздела. По отноше-

нию к координатам хи/ задача является пространственного дно родной. Это означает, что тангенциальные компоненты волнового вектора всех трех волн — падающей, отраженной и преломленной — одинаковы. Из равенств кОх = к、* =女2乂 следует, что в первой среде

(32.1)(32.1)^oz = —кI? = — \/^Г cos/?о и 0()=仇•

(32.1)

(32.1)

Таким образом, равенство угла падения углу отражения является прямым следствием сохранения тангенциальной компоненты волнового вектора падающей и отраженной волн. Во второй среде

Эта компонента волнового вектора в поглощающей среде может оказаться величиной комплексной. Если вторая среда является прозрачной, то из (32.1) и (32.2) следуют простые законы, связывающие углы падения, отражения и преломления:

в0 = ^)и sin02Ain0о = Veje； = п{/пг.

(32.3) Из полученных выражений можно определить ход лучей, но эти формулы ничего не говорят об их интенсивностях. Для того чтобы найти эти интенсивности, следует принять во внимание граничные условия на поверхности раздела.

Сначала рассмотрим случай, когда поле Ео пер* лендикулярно плоскости падения. Имея в виду обычные условия непрерывности тангенциальных компонент напряженностей электрического и ма「・ нитного полей, получаем, что на поверхности раздела

Величину Н удобно выразить через £ с помощью первого уравнения Максвелла rot£ = 二―(1/c)a〃/at; компонента Нх,например, равна

(32.5)(32.5)-(c/^}ktЕу. Имея это в виду, получаем на поверхности раздела сред

(32.5)

(32.5)

女0Z任0 — &)=攵2z G・

Находя из двух последних уравнений величины & и Е2, получим

女 Oz - *2z2女02

Ei = —~- £o,£2 £。・(32.6)

*02 +*2z*0z + *2z

(32.7)(32.8)(32.7)(32.8)Подставляя сюда (32.1) и (32.2L получим

(32.7)

(32.8)

(32.7)

(32.8)

2\/е7 cos®。

х/е] cos^q + “с 一 J sin'0°

Эти формулы называются формулами Френеля. В случае, когда среды прозрачные и л/еТ/^? = sine2/sin0O/ формулы Френеля упрощаются:

sin 仇一М)尸 厂 2 cos 0О sin02

£ 1 = £0,占=,^o-(32.9)

sin(02 +©o)sin(02 + О。)

Можно убедиться, что граничные условия для Dn и 8〃 не дают новых результатов.

Если вектор £ лежит в плоскости падения, то удобнее работать с магнитным полем, вектор напряженности которого оказывается в плоскости раздела. Способом, аналогичным предыдущему, получаем еще две фор-

мулы,

£2 女 oz — e*2z

Н、

e也: +£2 koz

62cos00 — \A1(£2 -6isin20o)r

%.З小收而.而昭(32J。)

также полученные Френелем. В прозрачных средах эти формулы примут

вид

tg 仇—& 2tg(0o + ^2) °tg 仇—& 2tg(0o + ^2) °sin20osin20osin仇 +02)cos仇-&)sin仇 +02)cos仇-&)(32.12)(32.12)Введем понятие коэффициента отражения. Определим его как отношение z-компонент векторов Пойнтинга отраженной и падающей волн：。1 伉)z I1伍"Введем понятие коэффициента отражения. Определим его как отношение z-компонент векторов Пойнтинга отраженной и падающей волн：。1 伉)z I1伍"Без учета пространственной дисперсии и в случае немагнитной цэеды (напряженности поля считаются комплексными величинами)Без учета пространственной дисперсии и в случае немагнитной цэеды (напряженности поля считаются комплексными величинами)0 cos* |&|2\/e7cos0o l^o I20 cos* |&|2\/e7cos0o l^o I2(32.13)(32.13)При нормальном падении волн с помощью (32.7) и (32.8) получаем, чтоПри нормальном падении волн с помощью (32.7) и (32.8) получаем, чтоЯЯ喝一日r喝一日r(32.14)(32.14)

tg 仇—& 2

tg(0o + ^2) °

tg 仇—& 2

tg(0o + ^2) °

sin20o

sin20o

sin仇 +02)cos仇-&)

sin仇 +02)cos仇-&)

(32.12)

(32.12)

Введем понятие коэффициента отражения. Определим его как отношение z-компонент векторов Пойнтинга отраженной и падающей волн：

。1 伉)z I

1伍"

Введем понятие коэффициента отражения. Определим его как отношение z-компонент векторов Пойнтинга отраженной и падающей волн：