Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
Основной величиной, характеризующей электрическое поле в вакууме, является вектор Е = Е(г) напряженности этого поля. Вектор Е(г) представляет собой силу, действующую на единичный пробный заряд, помещенный в точку с радиус-вектором г.
В настоящей главе рассматривается электростатическое поле, созданное неподвижными зарядами. Распределение зарядов в пространстве описывается объемной плотностью р(г), на заряженной поверхности ——поверхностной плотностью о (г), а на заряженном линейном контуре ——линейной плотностью g(r). Заряженная поверхность рассматривается как предел поверхности конечной толщины, которая неограниченно утончается при условии, что заряд о на единице поверхности остается неизменным. Аналогично линейный заряженный контур (или просто линейный заряд) является пределом заряженного длинного цилиндра, который бесконечно утончается при условии, что заряд q на единице длины остается прежним. Формы заряженной поверхности и контура линейного заряда произвольны. Кроме того, в пространстве могут находиться отдельные точечные заряды % (，= 1, 2, ..., N).
Напряженность постоянного электрического поля удовлетворяет уравнениям Максвелла
rotE = 0,(I. 1)
divE = 4np・(1.2)
Если заряды сосредоточены в конечной области, то напряженность электростатического поля на больших расстояниях г от заряженной системы убывает, как 1/г2, или быстрее. Это утверждение служит дополнительным
11
условием к уравнениям Максвелла (I. 1) и (1.2) при отыскании Е в неограниченном пространстве.
При переходе через заряженную поверхность нормальная составляющая Еп = Еп напряженности электрического поля претерпевает скачок
旦〃 一Eg = 4ло\ (L 3) в то время как тангенциальная составляющая непре^ рывна
пХ(Е2-Е1) = 0. (1.4)
Здесь индексы 1 и 2 отмечают напряженность электрического поля в первой и второй областях, лежащих го разные стороны от заряженной поверхности. Единичный вектор п нормали к этой поверхности направлен из первой области во вторую. Соотношения (1.3) и (1.4) яв^ ляются граничными условиями в электростатике.
В правую часть уравнения Максвелла (1.2) обычно входит кусочно-непрерывная объемная плотность р заряда, а поверхностная плотность о учитывается в граничных условиях.
Нараине с этим имеется другой подход к решению задачи, который не требует формулировки граничнмх условий. Поверхностное распределение заряда о(「) учитывается в объемной плотности р(г) при помощи 6-функции, а решение уравнений Максвелла сразу ищется во всем пространстве. С математической стороны такой подход менее удобен, так как правая часть урав^ нения (1.2) становится сингулярной функцией, обращающейся в бесконечность в точках заряженных поверхностей.
Для напряженности электрического поля выполняется электростатическая теорема Гаусса
§ Е dS = 4nQ, (I. 5)
где Q — полный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S. В общем случае этот заряд слагается из объемных, поверхностных, линейных и точечных за^ рядов.
Наравне с напряженностью Е постоянное электриче* ское поле характеризуется также потенциалом <р, который определяется соотношением
Е = — grad qp. (I. 6)
Разность потенциалов между первой и второй точками пространства представляет собой работу, которую необходимо затратить против сил электрического поля, чтобы перенести единичный заряд из второй точки пространства в первую.
Потенциал ср удовлетворяет уравнению Пуассона
V2qp = — 4лр(I. 7)
и граничным условиям на поверхности раздела областей 繁-饗= 4"。，(Ь8)
①1=中2.(I・9)
Уравнение (I. 7) с нулем в правой части называется уравнением Лапласа. Решая уравнения Пуассона и Лапласа, следует принимать во внимание, что потенциал является непрерывной функцией во всех точках пространства, в которых объемная плотность заряда ограничена. Более того, потенциал непрерывен при переходе через заряженную поверхность, если поверхностная плотность заряда в данной точке ограничена. Граничное условие на линейном контуре, заряженном с линейной плотностью q, записывается при 厂一0 в виде 屮= = —2q In г + const, где г — кратчайшее расстояние от точки наблюдения до рассматриваемого контура. Когда заряды расположены в конечной области пространства, потенциал на бесконечном расстоянии от этих зарядов равен нулю. По найденному потенциалу определяют напряженность электрического поля путем вычисления градиента (I. 6).
Напротив, если вектор Е найден по электростатической теореме Гаусса (1.5) или каким-либо другим путем, то потенциал 屮 электрического поля определяется из соотношения (I. 6), рассматриваемого как дифферент циальное уравнение относительно искомой функции 屮碰
В задачах электродинамики часто исследуется элек^ трическое поле бесконечно протяженных источников, хотя реальные заряженные системы всегда имеют ограниченные размеры. Получаемые при этом результаты имеют практический интерес, поскольку поле бесконечно протяженных источников правильно описывает электрическое поле соответствующих ограниченных заряженных систем на расстояниях, малых по сравнению с ли^ нейными размерами этих реальных систем. Например,
электрическое поле бесконечного заряженного цилиндра с большой точностью совпадает с полем аналогичного цилиндра достаточно большой, но конечной длины, если только точка наблюдения расположена на расстоянии ог этого цилиндра, малом по сравнению с его длиной. Различие между указанными полями наблюдается вблизи торцов цилиндра, а также на расстояниях от него, сравнимых с его длиной.
Потенциал и напряженность электростатического поля точечного заряда е
9(г)= |гЗт Е(г) = *^#‘ (I. Ю)
где г и У — радиусы-векторы соответственно точки наблюдения и точки расположения заряда (закон Кулона) .
В электростатике справедлив принцип суперпозиции: электростатическое поле системы нескольких зарядов представляет собой наложение (сумму) полей, созданных каждым зарядом в отдельности. Другими словами, заряд в присутствии других заряженных систем создает такое же поле, как и в пустоте.
Если заряды распределены с объемной плотностью р(「‘)， то согласно закону Кулона для элементарного точечного заряда p(r')d『и принципу суперпозиции потенциала (р(г) и напряженность Е(г) электрического поля в точке наблюдения с радиус-вектором г можно представить в следующем виде:
学(г)=\^^， (L11)
Е(г)=『(+Л・ ([⑵
Потенциал (I. 11) удовлетворяет уравнению Пуассона (I. 7) и является его общим решением в неограниченном пространстве, если объемный интеграл сходился. При этом граничные условия (I. 8) и (1.9) на поверхности раздела зарядов и вакуума выполняются автоматически. Если интеграл (I. 11) расходится или его не удается вычислить аналитически, то потенциал электростатического поля находят путем решения уравнения Пуассона (1.7) с учетом граничных условий (1.8) и (1・9)・
Иногда вместо объемных зарядов в пространстве имеются заряженные поверхности и линейные контуры. В этом случае потенциал вычисляется по формуле
^г)= $Л7^ + $т^' а•⑶
а напряженность электрического поля определяется согласно соотношению (1.6).
Непосредственное вычисление интегралов (I. 11) и (I. 13), как правило, весьма затруднительно. В связи с этим для определения электростатического поля на больших расстояниях от заряженной системы разработан метод вычисления этих интегралов с любой степенью точности. Он состоит в разложении функции -j-y-^-p-j- в ряд по малому параметру —, где радиус-векторы г н У берутся в системе координат, начало которой расположено внутри заряженной системы, имеющей максимальный линейный размер /. В результате потенциал на больших расстояниях 『》/ от заряженной системы представится в виде бесконечного быстро сходящегося ряда
Q dr Da&xax&
0=7- + 不~-(季h(L14)
где для распределения заряда с объемной плотностью р(г) введены обозначения
Q7 P(「)d 匕(1.15)
d= Jrp (r) dV.(1.16)
4b =卜3% *一户编/ p (r) dV, (I.⑺
Г == %11% + %21" + ^^z*(L 18)
Величины (I. 15), (I. 16) и (I. 17) называются coot- ветственно полным зарядом, дипольным моментом и тензором квадрупольного момента заряженной системы. Последние характеризуют степень отклонения от центральной симметрии в распределении заряда системы^ У сферически-симметричной заряженной системы величины (1.16) и (1.17), как и мультипольные моменты
более высокого порядка, равны нулю, а потенциал в на” ружных точках является кулоновским 屮=Q/几
Если заряды распределены по поверхности с поверхностной плотностью о, то полный заряд, дипольный момент и тензор квадрупольного момента выражаются соответственно через интегралы (1.15) — (1.17), в которых произведена замена pdI/今 odS, а интегрирование проводится по заряженной поверхности. Аналогично для линейного контура, заряженного с линейной плотностью q, в интегралах (I. 15)——(I. 17) совершается замена r dV f q dl, а интегрирование проводится по заряженному контуру.
В случае зарядов е^, расположенных в точках с радиус-векторами rf (i= i,2, ..., N), объемная плотность заряда выражается через 6-функцию:
р (г) = X е^ (г ~ rz),U-19)
а величины (1.16) и (1.17) принимают вид
d=£ 叫(1.20)
%б = g 分(【• 2D
Для однородно заряженного тела вращения тензор квадрупольного момента имеет наиболее простой вид в декартовой системе координат, одна из осей которой совпадает с осью аксиальной симметрии. В этом случае отличны от нуля только диагональные компоненты тензора D^. Например, если ось Z выбрана вдоль оси симметрии тела вращения, то отличные от нуля компоненты тензора равны
51 = °22 = — ^" &з・(【• 22)
Величину /)зз = D называют квадрупольным моментом тела вращения.
По аналогии со случаем точечных зарядов (1.19), имеется возможность при помощи 6-функции ввести понятие объемной плотности р также в том случае, когда задано поверхностное или линейное распределение заряда. После этого можно использовать формулы, полу- 16
ченные ранее для пространственного распределения заряда с объемной плотностью р(г).
Система двух бесконечно близко расположенных паралельных поверхностей, у которых поверхностная плотность заряда на противолежащих участках одинакова по абсолютной величине, но противоположна по знаку, называется двойным электрическим слоем. Он характеризуется плотностью дипольного момента т. В каждой точке поверхности двойного слоя вектор т параллелен нормали п и направлен от отрицательной стороны к положительной. При неограниченном сближении противоположно заряженных параллельных поверхностей поверхностная плотность заряда на противолежащих участках возрастает по абсолютной величине так, что плотность дипольного момента т принимает конечное значение. Элемент dS = ndS поверхности двойного электрического слоя имеет электрический дипольный момент dd = т dS = TdS.
Потенциал двойного электрического слоя в точке наблюдения с радиус-вектором г определяется следующим образом:
屮(г)= \ 咛斗* К (1.23) где т(г') — плотность дипольного момента в точке с радиус-вектором г' на поверхности двойного электрического слоя.
Когда плотность дипольного момента по абсолютной величине постоянна, слой называется однородным, и формула (1.23) упрощается:
q)= rQ. (1.24)
Здесь Q — телесный угол, под которым из точки наблюдения видна положительная сторона поверхности двойного электрического слоя. Если видна отрицательная сторона, то в правой части (I. 24) ставится знак минус.
Потенциал и напряженность электрического поля на поверхности двойного электрического слоя удовлетворяют граничным условиям
92一% = 4冗% (1.25)
E2% 一 eg=。， (1-26)
где индексы 1 и 2 отмечают величины, взятые на отрицательной и положительной сторонах поверхности слоя.
Значение потенциала уо(г') в произвольной точке на самой поверхности двойного слоя связано с плотностью т(") дипольного момента в этой же точке следующими соотношениями:
6(1) = Фо (гЛ) — 2лт (/),(I- 27)
6 (1) = Фо (У) + 2лт (И,(1.28)
где q)i (rz) и qp2(r‘)——предельные значения потенциала при приближении к двойному слою соответственно с отрицательной и положительной сторон. Эти значения потенциала входят в граничное условие (I.25).
Энергия электростатического поля
解=急，E2d忆(1.29)
Если этот интеграл в неограниченном пространстве сходится, то для вычисления энергии (I. 29) удобно пользоваться равнозначной формулой
W = ^^dV.(1.30)
Электростатическая энергия взаимодействия двух систем, заряженных с объемными плотностями pi (г) и р2(г‘)，вычисляется по формуле
U = \ Р[：竺毕 dV 犷.(1.31)
Потенциальная энергия системы зарядов, распределенных с объемной плотностью р(г) во внешнем электрическом поле с потенциалом (р(г), определяется выра-^ жением
[/= Jp(r)(p(r) dV.(1.32)
Если потенциал qp(r) внешнего электрического поля на протяжении заряженной системы меняется незнании тельно, то выражение (1.32) заменяют быстро сходящимся рядом
U = Q(p(R)-dE(R) + ^4B^g^+ …(L33) Здесь потенциал и напряженность внешнего электрического поля, а также производные от потенциала берутся в точке с радиус-вектором г = R, лежащей внутри рас- 18
сматриваемой заряженной системы. Эта внутренняя точка служит началом декартовой системы координат, в которой определены величины d и 0々8・
Сила F и момент N сил, приложенные к заряженной
системе во внешнем электрическом поле с напряженностью Е, равны
F=，pE%(1.34)
N= J(rXE)prfV.(L35)
В частном случае диполя с моментом d соотношения (1.34) и (I. 35) принимают вид
F = (d grad) Е = grad (dE),(1.36)
N = dXE・Q37)
При помощи максвелловского тензора натяжений
74=亲(e龜 一^"師)(b38)
электростатическую объемную силу (1.34) можно заме
нить системой поверхностных сил, приложенных к поверхности объема У, внутри которого распределен заряд с объемной плотностью р. Тогда компонента Fa суммарной силы (I. 34) запишется в виде
Fa=\pEadV = ^T^dSf (1.39) V s
где п — орт внешней нормали к замкнутой поверхности S, ограничивающей объем V. (Подробнее см., например, в книгах [1——3]. Необходимые сведения и задачи по Электродинамике сплошных сред можно найти в книгах [4-6].)
§ 1. Уравнения Максвелла
и граничные условия в электростатике
Найти напряженность Е электрического поля, потенциал ф которого равен: a) a(b X г)； б) (а X г) (k X г); в) (ar)cos кг; г) dr/r3; д) f (r)F(r); е) F(f(аг)). Здесь векторы а, Ь, к и d не зависят от координат и времени, а f и F — произвольные дифференцируемые функции своего аргумента.
Можно ли создать в пространстве электростатическое поле с напряженностью Е = а X г，где а ——постоян-* ный вектор?
Можно ли подобрать такое распределение заряда снаружи полой области, чтобы внутри нее напряженность Е электростатического поля имела вид: а) Ео; б) (Ьг) а; в) (ab)r; г)(аХ(ЬХг)); 口)(ar)(kXr); е) (rX(cXO)； ж) a (br) cos kr; з) ЕДГ + £eI0 + fJ^, где компоненты 匸 工口 (Eob) q
вектора Е в сферических координатах Е「=、~——X X (3 cos2 6 — 1), Eq = -^—^- sin 26 н Яф = 0 при г > 7?; и) Е = ЕДГ + Е^^ + E^Zi где компоненты вектора Е в цилиндрических координатах耳= (e()b)(1 +号)cos 中, / = (Е()Ь)(~^l)sin屮 и Ez =。 при г > 7?? Здесь векторы a, b, с, к и Ео не зависят от координат.
Определить распределение объемной плотности р заряда, создавшего в пространстве электрическое поле с напряженностью Е, равной: а) (Ьг) Ь; б) g『r; в)号卜一° +^(1 +£)]ехр(—^)]; г) Е儿十 + Fele + 旦J# где компоненты Е в сферических координатах £=2npj (г-§■ R)cos 0, Ее=лро 借氏一广)sin0, Ew = 0npHYR и е产書p。R4三"，备=舞乐4注， £^ = 0 при r》R; д) EJr + £*屮1屮 + EJz, где компоненты вектора Е в цилиндрических координатах Ег = ^у ^% X (2г — 7?) cos ф,七屮=粤po(R — r)sinip,邑=0 при г《R hE，= ^PoR (1 +冬)cos 少，E^ = ^-QqR (^~ 1) Sm中， Ez = 0 при r》R・ Здесь величины a, g, А, р0, е и вектор b не зависят от координат.
Вычисляя ротор и дивергенцию напряженности Е электрического поля, необходимо убедиться в том, что в случае электростатики выражение
е (г)t陪中优
удовлетворяет уравнениям Максвелла. Здесь р(г') — объ-* емная плотность заряда в точке с радиус-вектором г[ 20
Напряженность электрического поля однородна внутри некоторой областп пространства. Содержат ли внутренние точки этой области какие-нибудь заряды, участвующие в создании данного электрического поля?
Доказать, что в электростатике интеграл \ Edi, взятый между двумя произвольными точками пространства, не зависит от формы контура интегрирования?
Определить распределение поверхностной плотности о заряда в пространстве, если напряженность Е электрического поля имеет вид: а) Ех = Еу = О, Е?= =Ео при 2 > 0 и Ех = Еу — О, Ё7 ±= —Eq при 之 V О； б) Е = 0 при г V R н Е = Qr/r3 при г > R, где г — расстояние до начала координат, a Q и R ——постоянные; в) Е = 0 при 厂 V R п © = qr'r2 при г > R, где г — расстояние до оси Z, a g n R — постоянные.
§ 2. Электростатическая теорема Гаусса
Область пространства однородно заполнена электрическим зарядом с объемной плотностью р. Найти напряженность Е и потенциал ф электрического поля в каждой точке пространства, если указанной заряженной областью является: а) шар радиуса R; б) бесконечный цилиндр радиуса R; в) неограниченная пластина толщины 2L.
Поверхность равномерно заряжена с поверхностной плотностью or. Найти напряженность Е и потенциал 屮 электрического поля в каждой точке пространства, если заряженная поверхность имеет форму: а) сферы радиуса R; б) бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R; в) плоскости.
И. Шар радиуса R заряжен сферически-симметрично с объемной плотностью р = аг5, где а ——постоянная. Чему равен поток Ф напряженности электрического полй через круг радиуса R, плоскость которого в центральной точке касается шара?
Средняя плотность заряда электронного облака е / 2г、
в атоме водорода равна р = — exp I— J , где Q ——боровский радиус, а г — расстояние до протона, имеющего заряд е. Определить напряженность Е элек-
трического поля в атоме водорода. Исследовать Е на малых 厂《а н больших г》а расстояниях от протона.
Пространство между двумя концентрическими сферами радиусов Q и R2 (Ri V &) заполнено сфе^ рически-симметрично зарядом с объемной плотностью р = р(г), где г — расстояние до общего центра обеих сфер. Найти напряженность Е и потенциал 屮 электрического поля в каждой точке пространства.
Объемная плотность заряда бесконечного цилиндра имеет осевую симметрию и равна р = р(г)・ Определить напряженность Е и потенциал 屮 электрического поля внутри цилиндра. При калибровке 屮 принять, что потенциал равен нулю на поверхности цилиндра.
Неограниченная пластина заряжена симметрично относительно своей средней плоскости х = 0. Объемная плотность заряда равна р = р(|%|)・ Найти напряженность Е и потенциал 屮 электрического поля внутри пластины. При калибровке у принять, что потенциал равен нулю в точках средней плоскости
Разноименные точечные заряды 勺 и е2 (白 > > |е2|) расположены на оси X на некотором расстоянии друг от друга. Ось X направлена от положительного заряда к отрицательному. Под каким углом 02 к оси X входит в заряд е2 силовая линия, выходящая из заряда Ci под углом 01? Под каким углом 0О выходит из заряда Ci первая силовая линия, уходящая в плоскости XY на бесконечность? Какой угол 0^ с осью X образует она на бесконечности?
Две бесконечные однородные разноименно заряженные нити протянуты в плоскости XZ параллельно оси Z. Линейные плотности заряда на положительной и отрицательной нитях равны соответственно qi и ^2 (qi、|^2丨)・ Ось X направлена от положительной нити к отрицательной. Под каким углом 屮1 к оси X выходит из положительной нити силовая линия, входящая в отрицательную нить под углом 屮?？ Под каким углом 巾о к оси X выходит из положительной нити первая силовая линия, уходящая в плоскости XY на бесконечность?
Заряд с】 находится на оси X в точке 修=/. Определить величину заряда 纟，котоорый необходимо поместить в точку 工2= —«3 I оси X, чтобы поток напряженности электрического поля через окружность % = 0, “2 + 之2 = /2 был равен нулю.
Напряженность электрического поля в пространстве известна:
E = *（1 + ⑺ехp（一 "），
где е и b ——положительные постоянные, а г ——расстояние до начала координат. Определить распределение объемной плотности р заряда, создавшего это поле. Чему равен полный заряд Q?
Определить напряженность Е и потенциал 屮 электрического поля двух бесконечных параллельных нитей, равномерно заряженных с линейной плотностью соответственно q и ——q. Расстояние между нитями равно I. Исследовать Е и 屮 на больших расстояниях от нитей. При калибровке 屮 принять, что потенциал равен нулю на бесконечно большом расстоянии от нитей.
Три взаимно перпендикулярные плоскости равномерно заряжены с поверхностной плотностью о. Найти напряженность Е электрического поля в каждой точке пространства.
Шаровая полость расположена эксцентрично внутри шара, однородно заряженного по объему с плотностью р. Расстояние между центрами шара и полости равно 厶 Определить напряженность Е электрического поля в точках шаровой полости.
Внутри бесконечного цилиндра, однородно заряженного с объемной плотностью р, имеется цилиндрическая полость. Расстояние между параллельными осями цилиндра и полости равно 厶 Найти напряженность Е электрического поля внутри полости.
Равномерно заряженная с поверхностной плотностью о неограниченная тонкая пластина разделена на Две половины щелью ширины а. Найти напряженность Е электрического поля на больших расстояниях г》а от щели с учетом членов порядка 1/г.
§ 3. Применение общего решения уравнения Пуассона
Определить потенциал 屮 и напряженность Е электрического поля на оси тонкого диска радиуса R, равномерно заряженного с поверхностной плотностью о. Убедиться, что на большом расстоянии от диска найденный потенциал совпадает с кулоновским, а при переходе
через поверхность диска напряженность электрического поля удовлетворяет необходимому граничному условию Е 2yl — Е\п = 43To.
Шар радиуса R равномерно заряжен с объемной плотностью р. Его внешняя неограниченная экваториаль* ная плоскость несет заряд с поверхностной плотностью о. Найти напряженность Е электрического поля на оси симметрии шара, которая перпендикулярна однородно заряженной внешней экваториальной плоскости.
На оси X между точками 打=—I и х2 = ^ рав-* номерно распределен заряд с линейной плотностью q. Найти потенциал 屮 электрического поля в каждой точке пространства.
Цилиндр радиуса R и высоты 2й однородно заря* жен по объему с плотностью р. Определить потенциал ср электрического поля на оси симметрии внутри и снаружи цилиндра. Убедиться, что снаружи цилиндра найденное выражение в пределе R~>0 и яр/?2•->q переходит в по* тенциал электрического поля равномерно заряженного отрезка.
Определить потенциал 屮 электрического поля на оси симметрии следующих равномерно заряженных тел: а) тонкого кольца радиуса R, заряженного с линейной плотностью q; б) цилиндрической поверхности радиуса R и высоты 立瓦 заряженной с поверхностной плотностью о; в) части плоскости, отсекаемой двумя концентрическими сферами радиусов R и R2 (Ri < R2) и заряжен* ной с плотностью о; г) полусферы радиуса R, заряжен^ ной с поверхностной плотностью о; д) половины шара радиуса R, заряженного с объемной плотностью р.
Неограниченная плоскость с выступом в виде по^ лусферы радиуса 7? равномерно заряжена с поверхности ной плотностью о. Определить потенциал 屮=屮(之)элек-* трического поля на оси Z, совпадающей с осью симметрии составной заряженной поверхности. Исследовать (p(z) вблизи точки г = 0 кривизны полусферы (|z|《R), а также на больших расстояниях от нее (|z|^>R). При калибровке 屮 принять, что потенциал равен нулю в точке кривизны полусферы: ф(0) = 0.
Внутри полусферы радиуса R распределен заряд с объемной плотностью р = роеаг, где ро и а ——постоянные, а г ——расстояние до центра кривизны полусферы. Найти напряженность Е электрического поля в центре кривизны полусферы.
Шар радиуса R заряжен с объемной плотностью р == р0 cos 9, где 9 ——полярный угол сферической системы координат. Используя разложение функции Т「」开 по сферическим функциям, найти потенциал 中 электрического поля внутри и снаружи шара.
Тонкое кольцо радиуса R равномерно заряжено с линейной плотностью q. Используя разложение функции у J у『по сферическим функциям, найти потенциал ф электрического поля в каждой точке пространства. Убедиться, что в точках на оси кольца найденный потенциал совпадает с выражением, полученным в задаче 29 а).
Поверхность равномерно заряженной полусферы радиуса R имеет заряд Q. Используя разложение функции 斤二丁т по сферическим функциям, найти потенциал ф электрического поля в каждой точке пространства. Убедиться, что в точках на оси симметрии полусферы найденный потенциал совпадает с выражением, полученным в задаче 29г).
Однородно заряженный тонкий диск радиуса R несет заряд Q. Используя разложение функции 斤 J 7T по сферическим функциям, найти потенциал <р и напряженность Е электрического поля вдали от диска г > R, где 厂——расстояние до его центра. Показать, что в точках на оси диска найденный потенциал совпадает с выражением, полученным в задаче 25.
Используя разложение функции 丁『丄【，「по сферическим функциям, найти потенциал <р электрического поля внутри сферы радиуса R, одна половина которой равномерно заряжена с объемной плотностью р.
§ 4. Сила и энергия в электростатике
Заряд Q равномерно распределен по поверхности сферы радиуса R. Найти абсолютную величину силы F, разрывающей сферу на две равные половины.
Шар радиуса R однородно заряжен с объемной плотностью р. Используя максвелловский тензор натяжений, найти силу F, разрывающую шар на лв© равные половины. Подтвердить полученный результат
25
независимым вычислением с использованием формулы F=\ рЕ dV, где Е — напряженность электрического поля шара.
Бесконечный цилиндр радиуса R равномерно заряжен с объемной плотностью р. Используя максвелловский тензор натяжений, найти силу F, разрывающую цилиндр на две одинаковые половины. Здесь F ——сила, приложенная к единице длины одной из половин цилиндра.
Определить энергию W электростатического поля шара радиуса R, внутри которого однородно распределен заряд Q.
Определить энергию W электростатического поля сферы радуса R, равномерно заряженной с поверхностной плотностью о.
Однородно заряженный шар радиуса R】с зарядом Q расположен эксцентрично внутри другого шара радиуса Т?2, равномерно заряженного с объемной плотностью р. Заряд большего шара не проникает в меньший. Расстояние между центрами обоих шаров равно /. Считая заряды шаров одноименными, определить силу F, с которой меньший шар выталкивается из большего. Чему равна электростатическая энергия U взаимодей^ ствия шаров, если потенциал электрического поля каждого заряженного шара равен нулю на бесконечности?
Однородно заряженный с объемной плотностью pi бесконечный цилиндр радиуса R】 расположен внутри другого цилиндра радиуса R2, равномерно заряженного с объемной плотностью р2. Заряд наружного цилиндра не проникает во внутренний. Расстояние между параллельными осями обоих цилиндров равно 厶 Чему равна сила F, приложенная к единице длины внутреннего цилиндра? Определить электростатическую энергию U = =^ р^2 dV взаимодействия цилиндров, приходящуюся на единицу их длины. Здесь ф2 ——потенциал зарядов наружного цилиндра. Для однозначности результата принять, что потенциал, созданный зарядами каждого однородного сплошного цилиндра, равен нулю на его поверхности.
Средняя плотность заряда электронного облака в атоме водорода описывается функцией 26
p=—"^yexpl^), где а — боровский радиус, а г — расстояние до протона, имеющего заряд е. Учитывая вклады от протона и электронного облака, найти распределение потенциала 屮 электрического поля внутри атома. Исследовать 屮 на малых 厂《а н больших 厂》а расстояниях от протона. Чему равна электростатическая энергия U взаимодействия протона с электронным облаком, а также собственная электростатическая энергия W электронного облака?
Часть сферы радиуса R, видимая из центра кривизны под телесным углом Q = 2л (1——cos 0О), равномерно заряжена с поверхностной плотностью о. На оси симметрии (оси вращения) на одинаковом расстоянии от центра кривизны и заряженной поверхности расположен точечный заряд е. Чему равна электростатическая энергия U взаимодействия заряда е с заряженной поверхностью?
Найти силу F, приложенную к заряду е, находящемуся в вершине конуса высоты й и радиуса основания R, если конус однородно заряжен по объему с плотностью р.
Коническая поверхность произвольной высоты и радиуса основания R равномерно заряжена с поверхностной плотностью о. Определить работу U, которую необходимо затратить, чтобы перенести заряд е из бесконечности в вершину конической поверхности.
Шаровой сектор получен пересечением сферы радиуса R конической поверхностью с вершиной в центре сферы. Заряд Q однородно заполняет объем шарового сектора. Найти работу U, которую необходимо затра- ти^ь, чтобы заряд е перенести из бесконечности в центр сферы. Изменится ли найденное значение U, если заряд Q равномерно распределить по всему объему сферы?
В сферических координатах средняя плотность заряда электронного облака возбужденного атома водорода описывается функцией
Р =—sin2 0 cos2 О,
где a ——боровский радиус, а г ——расстояние до протона, имеющего заряд е. Найти электростатическую энергию U взаимодействия протона с электронным облаком.
§ 5. Уравнения Лапласа и Пуассона
с дополнительными условиями
Плоскость XY несет заряд с периодической поверхностной плотностью(У = Go cos (ах + by). Найти потенциал ф электрического поля в неограниченном пространстве.
Поверхностная плотность заряда декартовых плоскостей ХУ, XZ и YZ имеет вид соответственно а = ао sin й[Х sin b{y, а = сг0 sin а2х sin Ъ2у, о = =о。sin азу sin 丛之，где постоянныге велнчннь】 удовлетво- ряют условию ，а： + 匕；=，а^ + 匕^ = д/а； + 6；=九. Найти потенциал <р электрического поля в каждой точке пространства.
Пространство заполнено электрическим за* рядом с периодической объемной плотностью р = =ро Sin hx sin /2У sin /Зг. Определить потенциал ср и напряженность Е электрического поля в каждой точке пространства.
Объемная плотность заряда полупространства z W 0 имеет периодическую структуру р = р0 cos kr, где постоянный вектор к образует с осью Z отличный от нуля угол. Найти потенциал ф электрического поля в каждой точке пространства.
Объемная плотность заряда неограниченной пла^ Стины толщины 2a имеет периодическую структуру р = ро sin 厶无 sin 勾^ sin 厶之，где |z|Wa・ Найти потенциал <р электрического поля внутри и снаружи пластины.
В сферических координатах объемная плотность заряда внутри шара радиуса R симметрична относительно оси Z и имеет вид р = ро cos 9, где 0 — полярный угол, а начало координат совпадает с центром шара. Найти потенциал ср и напряженность Е электрического поля во всем пространстве.
Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен равномерно по своей длине. Объемная плотность заряда р t=z р0 cos хр, где 屮一полярный угол, а ось Z цилиндрической системы координат совпадает с осью цилиндра. Найти потенциал <р и напряженность Е электрического поля внутри и снаружи цилиндра.
Заряд распределен по поверхности сферы радиуса /? с поверхностной плотностью о = о° cos 0, где 0 一 полярный угол сферической системы координат, начало которой совпадает с центром сферы. Найти потенциал ф 28
II напряженность E электрического поля внутри и сна< ружи сферы.
Бесконечная цилиндрическая поверхность радиуса R заряжена с поверхностной плотностью о = = o（）cos 屮，где 2 ——полярный угол цилиндрической системы координат с осью С, направленной вдоль оси симметрии поверхности. Найти потенциал ф и напряженность Е электрического поля внутри и снаружи цилиндрической поверхности, которая поддерживается при нулевом потенциале.
Объемная плотность заряда внутри шара радиуса R задана р = аг, где а ——постоянный вектор, а г ра« диус-вектор, проведенный из центра шара. Найти напряженность Е электрического поля внутри и снаружи шара,
Объемная плотность заряда в сферических коор* динатах описывается функцией
Р = Ро （齐）乙（cos 9） при /*WR,
P = Po（?） + P/2（cos6） при r》R,
где po и R — постоянные, a Pn （cos 9）—полином Лежандра степени 拉 >1. Найти потенциал qp электрического поля в неограниченном пространстве.
Объемная плотность заряда в цилиндрических координатах имеет вид
Р = Ро （-у） cosm|）при YR,
p =при r>R,
где ро и R — постоянные, а целое положительное число и больше единицы. Найти потенциал 屮 электрического поля в каждой точке пространства.
Потенциал 屮口 бесконечной цилиндрической по* верхности радиуса А задан 屮口 =屮。cos 〃中，где ф0 ——по* стоянная, п ——целое число, р — полярный угол, а ось Z совпадает с осью данной цилиндрической поверхности. Найти потенциал $ электрического поля в каждой точке пространства, если внутри и снаружи цилиндрической поверхности заряды отсутствуют. Определить распреде* ленне поверхностной плотности о заряда на цилиндри-* ческой поверхности.
Потенциал 屮口 сферической поверхности радиуса R задан9П = %［乙加（仇2）一у院（仇巾几где匕川（仇屮）一
сферическая функция, а 6 н 屮——полярный и азимутальный углы сферической системы координат, начало которой совпадает с центром сферы. Найти потенциал ф электрического поля в каждой точке пространства в предположении, что внутри и снаружи сферической поверхности заряды отсутствуют. Определить распределение поверхностной плотности о заряда на сферической поверхности.
Определить потенциал 屮 электрического поля в области О W х, ограниченной тремя плоскостями х = О, у = 0 и у — Ь. Предполагается, что плоскость % = О имеет однородный потенциал фо, а две другие плоскости поддерживаются при нулевом потенциале. Внутри данной области заряды отсутствуют.
Определить потенциал <р электрического поля внутри бесконечно длинной коробки прямоугольного сечения (0 0 % W а, 0《у《 Ь) при следующих краевых условиях: потенциал двух граней х = 0 и у = b однороден и равен ф0, а потенциал двух других граней коробкн равен нулю. Внутри коробки зарядов нет.
Определить потенциал 屮 электрического поля внутри полусферы радиуса R, если потенциал на ее поверхности имеет постоянное значение ф0, а основание полусферы поддерживается при нулевом потенциале. Внутри полусферы заряды отсутствуют.
Неограниченная плоскость имеет выступ в виде полусферы радиуса R. Потенциал полусферы однороден и равен фю, а плоскость поддерживается при нулевом потенциале. Определить потенциал <р электрического поля в полупространстве над плоскостью с выступом, считая, что в этом полупространстве заряды отсутствуют.
Одна половина сферической поверхности радиуса R имеет постоянный потенциал (ра, а другая ——постоянный потенциал ср&. Найти потенциал 屮 электрического поля снаружи сферы, где заряды отсутствуют.
Окружность радиуса R делит плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Внутренняя область имеет однородный потенциал (р0, а внешняя поддерживается при нулевом потенциале. Используя разложение по полиномам Лежандра, определить потенциал <р элек- трическогоо поля в каждой точке полупространства над указанной плоскостью. В рассматриваемой области заряды отсутствуют.
Сферическая поверхность радиуса R состоит из двух равномерно и разноименно заряженных полусфер, поверхностная плотность заряда которых равна о и —о. Ось Z совпадает с осью симметрии и направлена от отрицательных зарядов к положительным. Найти потенциал 屮 электрического поля внутри и снаружи сферической поверхности.
Потенциал 屮口 бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R имеет вид 屮п =(ра при 0 V 屮 V п и фп == ф& при 冗 V 屮 V 2冗，где(ра и 屮ь ——постоянные, 屮——полярный угол, а ось Z совпадает с осью цилиндрической поверхности. Найти потенциал 屮 в каждой точке пространства в предположении, что внутри и снаружи цилиндрической поверхности зарядов нет.
Поверхностная плотность заряда бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R имеет вид а = аа при OvWVn и а — аь при 冗之屮 V 2冗，где(та и а^ —— постоянные,屮——полярный угол, а ось Z совпадает с осью цилиндрической поверхности. Найти потенциал 屮 электрического поля в каждой точке пространства.
Решить задачу 69 путем разложения искомого потенциала 屮 в интеграл Фурье ——Бесселя.
Тонкий диск радиуса 及 равномерно заряжен с поверхностной плотностью о. Используя разложение в интеграл Фурье ——Бесселя, найти потенциал 屮 электрического поля в каждой точке пространства.
На поверхности тонкого диска радиуса R потенциал электрического поля имеет постоянное значение фо- Используя разложение в интеграл Фурье——Бесселя, найти потенциал 屮 в каждой точке пространства в предположении, что вне диска заряды отсутствуют. Определить распределение поверхностной плотности о заряда на диске.
§ 6. Плотность заряда тел разной конфигурации
Потенциал 屮 электрического поля в цилиндриче* ских координатах имеет вид
屮=a (3R——2г) г cos 屮 при г《R,
ф == -у- cos 1|) при Г Ж
где а и R ——постоянные. Найти распределение объемной плотности р заряда, создавшего это электрическое поле (обратная задача электростатики).
Найти распределение объемной плотности р заряда, создавшего в пространстве электрическое поле, потенциал 屮 которого в сферических координатах имеет вид
屮=痂(3+竿一£) пРи r&R,2е 、п
屮=7- При r》R,
где е и R —постоянны% Чему равен полный заряд Q?
Потенциал ср электрического поля в сферических координатах имеет вид 屮=Q/R при 厂 W R и <р = Q/r при г ^ R, где Q и R ——постоянные. Найти распределение заряда, создавшего это электрическое поле.
Потенциал ср электрического поля в цилиндрических координатах имеет вид 屮=0 при г W R и Ф = 7 In -^- при г 力 R, где q и R ——постоянные. Найти распределение заряда, создавшего это электрическое поле.
Используя свойства d-функции, найти распределение объемной плотности р заряда в декартовых, цилиндрических и сферических координатах при наличии в пространстве следующих однородно заряженных систем: а) сферической поверхности радиуса R, заряженной с поверхностной плотностью о (центр сферы совпадает с началом координат); б) тонкого кольца радиусом R, заряженного с линейной плотностью q (кольцо расположено в плоскости ХУ, а его центр совпадает с наиа- лом координат); в) бесконечной нити, совпадающей с осью Z и заряженной с линейной плотностью q; г) плоскости ХУ, заряженной с поверхностной плотностью о; д) бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R, заряженной с поверхностной плотностью о (ось симме1、 рии совпадает с осью Z).
Используя свойства б-функции, а также функции при а>0,
"(а) — ( ° при а < 0,
найти распределение объемной плотности р заряда в декартовых, цилиндрических и сферических координатах при наличии в пространстве следующих однородных заряженных систем: а) полусферы радиуса R, заряженной С поверхностной плотностью о (начало координат совпадает с центром кривизны, а ось Z направлена в сторону выпуклости полусферы); б) полуокружности радиуса
R, лежащей в первой и второй четвертях плоскости XY и заряженной с линейной плотностью q (центр кривизны полуокружности совпадает с началом координат, а ее диаметр лежит на оси X); в) тонкого стержня длины /, лежащего на положительной части оси Z и заряженного с линейной плотностью q (один конец стержня находится в начале координат); г) тонкого диска радиуса R, лежащего в плоскости XY и заряженного с поверхностной плотностью о (центр диска совпадает с началом координат); д) цилиндрической поверхности радиуса R и высоты h, заряженной с поверхностной плотностью сг (основание цилиндрической поверхности касается плоскости ХУ, а ее ось симметрии совпадает с осью Z).
Равномерно заряженный с линейной плотностью q эллипс с полуосями а и b лежит в плоскости XY. Центр эллипса совпадает с началом координат, а большая по* луось а находится на оси X. Определить распределение объемной плотности р заряда в декартовых координатах.
Эллиптическая поверхность вращения с полуосями а и b равномерно заряжена с поверхностной плотностью о. Центр эллиптической поверхности совпадает с началом декартовой системы координат, а полуось b лежит на оси Z, являющейся осью аксиальной снммет- рии. Найти распределение объемной плотности р заряда в декартовых координатах.
Распределение объемной плотности заряда в пространстве в сферических координатах описывается при помощи б-функции следующим образом: Р =备 6 (1 ——cos2 0), где а — постоянная. Определить форму заряженного тела и характер распределения за* ряда на нем.
Определить вид заряженного тела и характер распределения заряда на нем, если объемная плотность заряда в пространстве описывается следующей функцией декартовых координат: а) р = 2аад (%2 — а2), где а н ст — постоянные; б) р = 2故6 出—а2)д(г), где а и q — постоянные; в) р = 2q л/а2 + Ь2 д(х2 — 2ах — 2Ьу + у2)д(г), где а, & и 7 — постоянные; г)р =訪6 隹+ % — 1)。⑶, где q, b и Q - постоянные; д) Р = "5^6(£ +崇十 十？—1), где а, &, с и Q — постоянные.
А И Алексеев 33
Дипольный момент
Доказать, чю дипольный момент заряженной системы не зависит ог выбора начала координат, если полный заряд системы равен нулю.
Коническая поверхность с образующей / и радиуса основания R равномерно заряжена с поверхностной плотностью о. Вершина конической поверхности находится в начале координат, а высота лежит на положительной части оси 々.Найти распределение объемной плотности р заряда в пространстве в сферических координатах. Используя полученное выражение, вычислить дипольный момент d.
Равномерно заряженный с линейной плотностью q тонкий стержень длины / лежит в первой четверти плоскости ХУ, образуя с осью X угол 屮°. Один из концов стержня совпадает с началом координат. Найти распределение объемной плотности р заряда в пространстве в цилиндрических координатах. Используя полученное выражение, вычислить дипольный момент d.
Выразить через d-функцию распределение объемной плотности р заряда точечного диполя с моментом d, находящегося в точке с радиус-вектором г0.
Используя предельный переход
lim el = d /-»о
и выражение для потенциала зарядов е и ——е, находя- щихся в точках с радиус-векторами г+ = г0 + 1 н г_ = г0, определить потенциал 屮 электрического поля точечного диполя с моментом d.
Убедиться в том, что напряженность Е электрического поля диполя с моментом d, находящегося в начале координат, можно представить в виде
Е = (d grad) grad 1〃.
Диполь с моментом d расположен в начале коор^ динат, а центр шара радиуса R находится в точке с ра^ диус-вектором г (厂 >R). Заряд Q однородно заполняет объем шара. Найти энергию U взаимодействия диполя с шаром, а также силу F, приложенную к шару.
Объем шара радиуса R заполнен зарядом с объ^ емной плотностью р = аг2, где а ——постоянная, а г ——расстояние до начала координат, расположенного в центра 34
шара. В точке с радиус^вектором г。находится диполь с моментом d. Определить силу F и момент N сил, приложенные к диполю в двух случаях: a) r°>R; б) г0<^-
Диполь с моментом di расположен с начале координат, а другой диполь с моментом d2 находится в точке с радиус-вектором г. Определить силу F и момент N сил, приложенные к каждому диполю.
Распределение объемной плотности заряда в пространстве имеет вид p(r) = (aV)6(r), где а — постоянный вектор. Пользуясь общим решением уравнения Пуассона, найти потенциал электрического поля в каждой точке пространства. По виду полученного потенциала определить физический смысл вектора а.
В каждой точке пространства задан электрический дипольный момент Р = Р(г) единицы объема. Векторная функция Р(г) убывает на бесконечности быстрее, чем 1/г2. Доказать, что заданное распределение плотности дипольного момента Р создает в каждой точке пространства такое же электрическое поле, как и заряд, распределенный с объемной плотностью р(『)=
divP(r).
Тензор квадрупольного момента
Доказать, что тензор квадрупольно! о момсша системы зарядов не зависит от выбора начала координат, если полный заряд и дипольный момент системы равны нулю.
В сферических координатах средняя плотность заряда электронного облака возбужденного атома водорода описывается функцией
где 。——боровский радиус, а 厂——расстояние до протона, имеющего заряд е. Определить тензор Da^ квадрупольного момента атома. Чему равен дипольный момент d?
Начало декартовой системы координат совпадает с центром кривизны полусферы радиуса R, а ось Z направлена вдоль оси симметрии в сторону выпуклости поверхности. Определить компоненты дипольного da и тензора Da^ квадрупольного моментов, если заряд Q равномерно распределен по: а) объему полусферы;
б) поверхности полусферы; в) поверхности и основанию полусферы.
Окружность состоит из двух равномерно и разноименно заряженных полуокружностей. Определить компоненты тензора квадрупольного момента.
Равномерно заряженная по поверхности полусфера радиуса R имеет заряд Q и возвышается над плен скостью ХУ. Основание полусферы касается осей X п У в точках с положительными координатами. Определить компоненты тензора Da^ квадрупольного момента.
Однородно заряженная полуокружность имеет заряд Q и лежит в первой четверти плоскости XY, Один конец полуокружности находится в начале координат, а другой ——в точке % = 2R оси X. Определить компоненты тензора 。竄廿 квадрупольного момента.
ТДетр эллипса с полуосями с и b совпадает с началом декартовой системы координат. Большая полуось а лежит на оси X, а малая — на оси У. Линейная плотность q заряда на эллипсе однородна. Считая эксцентриситет е эллипса малым (&《i), определить компоненты тензора 。竄^ квадрупольного момента с точностью до членов порядка е2.
Центр однородно заряженной с поверхностной плотностью о эллиптической поверхности вращения с полуосями а и b совпадает с началом декартовой системы координат. Полуось b лежит на оси Z, являющейся осью вращения. Эксцентриситет е эллипса с полуосями а и & значительно меньше единицы (&《1). Сохраняя члены с наименьшей степенью параметра 8, определить компоненты тензора %в квадрупольного момента.
В вершинах квадрата со стороной 2a расположены точечные заряды так, что знак заряда е меняется на противоположный при переходе к соседней вер- шнне. Используя общую формулу D^= £ 外®%^%?— 一 г^баз), найти тензоры квадрупольного момента в декартовых системах координат XYZ и Х'У2, повернутых около общей оси Z w Z' (рис. 1). Определить матрицу поворота о^в и убедиться непосредственным вычислением, что найденные тензоры。竄廿 и D^s удовлетворяют соотношению D^ = a^a^DGy, где штрихом отмечены компоненты тензора квадрупольного момента в штрихов ванной системе координаг,
Два одинаковых точечных диполя находятся на оси X на равном расстоянии а от начала координат. В точке с отрицательной координатой дипольный момент d антипараллелен оси X, а другой дипольный момент в плоскости XY образует с осью X угол а. Определить компоненты дипольного 乙 и тензора Da^ квадрупольного моментов системы.
Определить компоненты тензора %В квадрупольного момента однородно заряженного эллипсоида вращения с полуосями а и Ь. Центр эллипсоида вращения совпадает с началом декартовой системы координат, а полуось b лежит на оси Z, являющейся осью аксиальной симметрии. Полный заряд равен Q. Какой вид примет тензор квадрупольного момента, если данный эллипсоид повернуть вокруг оси У на угол а по часовой стрелке?
Начало декартовой системы координат совпадает с центром однородно заряженного эллипсоида с полуосями а, b и с. Полуось с совпадает с осью Z, а полуось а составляет с осью
X угол а. Полный заряд эллипсоида равен Q. Найти компоненты тензора Da^ квадрупольного момента.
Центр окружности радиуса R совпадает с началом координат. Один диаметр окружности лежит на оси X, а другой диаметр, перпендикулярный первому, составляет угол а с осью У и находится в первой и третьей четвертях плоскости YZ. Линейная плотность заряда на окружности однородна, а полный заряд равен Q. Определить компоненты тензора О^В квадрупольного момента в декартовой системе координат XYZ.
ПО. Заряженная система характеризуется тензором Da^ квадрупольного момента. Найти напряженность Е электрического поля в декартовых координатах.
Найти потенциал 屮 электрического поля в том случае, когда распределение объемной плотности заряда
в пространстве имеет вид
р (г)= “邺(3 訴疆 f У ) 6 (г),
где 0аВ ——произвольный постоянный тензор. Исследуя выражение, полученное для потенциала, определить физический смысл тензора。々小
Выразить компоненты дипольного 乙 и тензора 。仪日 квдраупольного моментов заряженной системы через соответствующие компоненты мультипольных моментов
где р ——объемная плотность заряда, а 匕?九(9,屮)——сферическая функция.
Потенциал (р(г) внешнего электрического поля
на протяжении размеров заря-
незначительно меняетсянезначительно меняетсяжешюй системы. Принимая во внимание полный заряд, а также дипольный и квадрупольный моменты, определить потенциальную энергию U заряженной системы в заданном внешнем поле, если указанная заряженная система представляет собой: а) три заряда е, е и —2е, расположенных на оси X на одинаковом расстоянии а друг от друга
незначительно меняется
незначительно меняется
(отрицательный заряд
находится в точке х = 0 между положительными); б) три
заряда е, е н ——е, расположенных в плоскости XY в вершинах равностороннего треугольника со стороной а и центром в начале декартовой системы координат (отрицательный заряд находится на положительной части оси X); в) квадруполь, изображенный на рис. 2; г) однородно заряженный эллипсоид с полуосями а, b и с, центр которого расположен в начале декартовой системы координат (полный заряд эллипсоида Q).
Потенциал (р(г) внешнего электрического поля
мало меняется на протяжении равномерно заряженного
тонкого диска эллиптической формы с полуосями а и Ь. Полный заряд диска равен Q, а полуоси а и b лежат соответственно на осях X н У декартовой системы координат. Найтц электростатическую энергию U диска во внешнем поле с учетом квадрупольного момента. Чему равна сила F, приложенная к диску?
Напряженность Е=Е(г) внешнего электрического поля мало меняется на протяжении области пространства, где расположен заряд с объемной плотностью р == р(г). Разлагая Е(г) в ряд Тейлора во внутренней точке заряженной области и пренебрегая старшими производными, выразить силу F = ^ рЕ dV, приложенную к заряженной системе, через ее полный заряд Q, дипольный момент d и тензор。竄^ квадрупольного момента.
Заряд с объемной плотностью р = р(г) сосре* доточен в ограниченной области пространства. Напряженность Е = Е(г) внешнего электрического поля мало меняется внутри указанной области. Разлагая Е(г) в ряд Тейлора и пренебрегая старшими производными, выразить момент N = ^ (г X Е) р dV сил, приложенный к заряженной системе, через ее дипольный момент d и тензор DaB квадрупольного момента.
В сферических координатах средняя плотность заряда электронного облака возбужденного атома водорода задана
Р =—备缶(6 — ТУ eFcos2 е,
где а ——боровский радиус, а г ——расстояние до протона, имеющего заряд е. Напряженность Е внешнего электрического поля как функция координат меняется в пространстве незначительно. Определить силу F и момент N сил, приложенные к атому с учетом его квадрупольного момента.
Однородно заряженный с линейной плотностью q тонкий стержень длины 2/ лежит в плоскости XY, образуя с осью X угол фо. Середина стержня находится в начале координат. На оси 文 на большом расстоянии от стержня расположен точечный заряд е. Определить момент N сил, приложенный к стержню относительно его середины.
§ 9. Поле на больших расстояниях от заряженной системы
Начало декартовой системы координат совпа
дает с центром равномерно заряженного тела вращения, а ось Z направлена по оси симметрии высшего порядка. Найти квадрупольный член в разложении потенциала ср электрического поля на больших расстояниях, если указанным телом является: а) тонкое кольцо радиуса А, заряженное с линейной плотностью д; б) цилиндр радиуса R и высоты 2儿 заряженный с объемной плотностью р; в) цилиндрическая поверхность радиуса R и
поверхностной плотностью с; г) отрезок длины 2/, заряженный с линейной плотностью 仏
Найти потенциал Ф электрического поля на больших расстояниях с 岁 точностью до квадру- X польного члена для следующей системы точечных зарядов: а) трех зарядов е, е н —2е, расположенных на оси Z на одинако
вом расстоянии а друг от друга (отрицательный заряд находится в точке г = 0 между положительными); б) трех зарядов е, е н ——е, расположенных в плоскости XY в вершинах равностороннего треугольника со стороной а и центром в начале декартовой системы координат (отрицательный заряд находится на положительной части оси У); в) квадруполя, изображенного на рис. 3.
Найти потенциал ср электрического поля на боль
ших расстояниях от двух одинаковых антипар аллельных точечных диполей, расположенных на оси X на равном расстоянии а от начала координат. В точке с положительной координатой х = а дипольный момент параллелен оси Z и равен d. Вычисления провести двумя способами: а) сначала вычислить тензор Da^ квадру* польного момента системы, а затем определить его электрическое поле; б) найти электрическое поле системы как суперпозицию полей отдельных диполей.
Два одинаковых однородно заряженных стержня длины / лежат в плоскости XY и образуют угол, рав：
ный г|)0. Вершина угла совпадает с началом координат, а одна из его сторон направлена по оси X. Какова должна быть величина угла 屮о, чтобы в точке %。оси X на большом расстоянии от заряженных стержней диполь* ный потенциал равнялся квадрупольному?
Окружность радиуса R состоит из двух равномерно и разноименно заряженных полуокружностей, ксн торые лежат в первой четверти плоскости XY. Отрицательно заряженная полуокружность с зарядом ——Q касается осей X н У, а диаметр, разделяющий разноименные заряды, параллелен оси X. Найти потенциал ф электрического поля на больших расстояниях с точностью до квадрупольного члена.
Равномерно заряженный по объему цилиндр радиуса R и высоты 2九 имеет заряд Q. Ось Z совпадает с образующей цилиндра, а ось X направлена по диаметру его основания. Найти потенциал 屮 электрического поля на больших расстояниях от цилиндра с точностью до квадрупольного члена.
Принимая во внимание полный заряд и квадрупольный момент, найти потенциал ф электрического поля на больших расстояниях от заряженной системы, если распределение объемной плотности заряда выражается следующей функцией декартовых координат:
а)。=磊。(± + 爷 ТА ⑶，г^е «, Ь и Q-постоянные;
6)рп^бС^Ч^+^т)， те а, & и Q — постоянные;
b)Р=譌^(* + ^十^-1)，где "，"С н Q — постоянные.
Полусфера радиуса R равномерно заряжена с поверхностной плотностью о. Используя разложение функции J г ] у j по сферическим функциям У；т(9, гр), представить потенциал ф электрического поля снаружи полусферы в виде разложения по мультипольным мен ментам,
Окружность радиуса R состоит из двух равномерно и разноименно заряженных полуокружностей с зарядами Q и ——Q. Начало координат совпадает с
41
центром окружности, ось У направлена от отрицательных зарядов к положительным, а ось X разделяет эти заряды между собой. На большом расстоянии z》R от окружности на ее оси находится диполь с моментом d, который параллелен оси Z. Определить силу F и момент N сил, приложенные к диполю.
Заряд Q однородно заполняет объем эллипсоида с полуосями а, b и с. Начало декартовой системы координат совпадает с центром эллипсоида, а полуоси а, & и с лежат соответственно на осях X, У н Z. В точке с радиус-вектором г на большом расстоянии от эллипсоида расположен диполь с моментом d. Найти электростати* ческую энергию U взаимодействия диполя с эллипсоидом с учетом диполь-квадрупольного члена.
Однородно заряженная полуокружность радиуса R имеет заряд Q. Центр кривизны полуокружности совпадает с началом координат, а ее диаметр лежит на оси X. Ось У направлена в сюрону полуокружности. Принимая во внимание заряд Q, а также дипольный и квадрупольный моменты, найти силу F, приложенную к заряду е, находящемуся на оси Z на большом расстоянии от полуокружности.
Заряд е находится в точке с радиус-вектором г на большом расстоянии от однородно заряженного эллипсоида с полуосями а, b и с, которые направлены соответственно по осям X, У н Z декартовой системы координат. Полный заряд эллипсоида равен Q. Принимая во внимание квадрупольный момент, найти отклонение AF от закона Кулона для силы F, приложенной к заряду е.
Два возбужденных атома воодорода расположены на оси Z на большом расстоянии L друг от друга (L》а, где а — боровский радиус). В сферических координатах средние плотности р】и р2 зарядов электронных облаков этих атомов равны соответственно
1
= —За sin2 0 COS2 0,
eri彳
p2=——За sin4 0,I 4 -З8 яа7，
где е ——заряд протона, a ri и г2—-расстояния от точки наблюдения до центра первого и второго атома. Определить энергию U квадруполь-квадрупольного взаимодействия атомов.
§10. Двойной электрический слой
Однородный двойной электрический слой имеет форму диска радиуса R, расположенного в плоскости XY. Центр диска совпадает с началом координат, а плотность дипольного момента т параллельна оси Z. Найти потенциал ср и напряженность Е электрического поля на оси Z.
Однородный двойной электрический слой имеет форму полусферы радиуса R с центром кривизны в начале декартовой системы координат и осью симметрии, совпадающей с осью Z. Последняя обращена в сторону выпуклости полусферы. Плотность дипольного момента на полусфере направлена по радиусу наружу. Найти потенциал ср электрического поля на оси Z.
Двойной электрический слой в форме полуплоскости (у = 0, х ^ 0) имеет плотность дипольного момента т. Определить потенциал ср и напряженность Е электрического поля в каждой точке пространства, если постоянный вектор т параллелен оси У декартовой системы координат.
Плоскость однородного двойного электрического слоя имеет круглое отверстие радиуса R. Начало декартовой системы координат совпадает с центром отверстия, а ось Z параллельна плотности дипольного момента т. Найти силу F, приложенную к точечному заряду е, находящемуся на оси Z.
Однородный двойной электрический слой имеет форму плоскости с выступом в виде полусферы. Плотность дипольного момента т в каждой точке составной поверхности параллельна ее нормали и направлена в полупространство, в которое вдается выступ. Найти потенциал ф электрического поля в каждой точке пространства.
Доказать, что напряженность Е электрического поля однородного двойного слоя имеет вид Е(г)=
dV X (г — У)
勺一J 卩—,где t — модуль вектора т плотности L
дипольного момента двойного электрического слоя, а dV ——элемент замкнутого контура на который натянут двойной электрический слой, г и г'——радиус-векторы соответственно точки наблюдения и точки нахождения элемента dV. Обход контура интегрирования L согласован с направлением вектора т правилом правого винта.
Глава II
ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Вектор Н напряженности магнитного поля в вакууме определяется по силе
dF = 4"(dlXH),(П. 1)
действующей на элемент dl контура, по которому течет ток J. Здесь с ——электродинамическая постоянная, численно равная скорости света в вакууме, с = =3-1010 см/сек.
Постоянное магнитное поле в вакууме создается по* стоянными токами. Распределение токов в пространстве характеризуется объемной плотностью j(r), а на поверхности—поверхностной плотностью i(r). Кроме того, в пространстве может быть задан линейный ток J, текущий внутри очень тонкой и длинной трубки.
Напряженность постоянного магнитного поля удов* летворяет уравнениям Максвелла
rotH = ^-j,(П. 2)
divH = 0.(II. 3)
Если токи текут в конечной области, то напряженность постоянного магнитного поля на больших расстоя' ниях г от тока убывает не медленнее, чем 1/г3. Это утверждение служит дополнительным условием к уравнениям Максвелла (II. 2) и (II. 3) при отыскании Н в неограниченном пространстве.
На поверхности, по которой распределен ток с поверхностной плотностью i, нормальная Нп = Нп и тан* генциальная Нх = Нт составляющие напряженности 44
матнитного поля удовлетворяют соотношениям "2〃一儿〃 =0,(n. 4)
也。一修产手％,(ц. 5)
где iN = iN, а единичные векторы п, т и N образуют правовинтовую тройку n X т = N. Индексы 1 и 2 отмечают напряженность магнитного поля в первой и второй областях, лежащих по разные стороны токовой поверхности. Вектор п нормали этой поверхности направлен из первой области во вторую. Формулу (II. 5) часто записывают в векторном виде
пХ(Н2-Н]) =冬 i・
Соотношения (II. 4) и (II. 5) являются граничными условиями в магнитостатике.
Используя свойства 6-функции, поверхностное распределение тока с плотностью i(r) можно учесть в объемной плотности j(r), которая будет сингулярной функцией, обращающейся в бесконечность в точках токовой поверхности. В этом случае при решении уравнений Максвелла (II. 2) и (II. 3) с полученной таким способом сингулярной функцией j(r) граничные условия (II. 4) и (II. 5) не потребуются.
Магнитное поле линейного тока J определяется при помощи закона Био и Савара
曲(Г)=乌呑手，(n. 6)
где г и г' — радиус-векторы точки наблюдения и точки расположения элемента тока Z dV. Согласно принципу суперпозиции полное магнитное поле равно сумме полей, созданных каждым элементом тока в отдельности,
Н")=Д・ (П.7)
Когда распределение тока обладает аксиальной симметрией или симметрией относительно плоскости, тогда для нахождения Н полезно воспользоваться теоремой о циркуляции напряженности магнитного поля
§ Hdl = ^J,(II. 8)
где J ——алгебраическая сумма токов, охватываемых замкнутым контуром L. В общем случае ток J слагается из объемных, поверхностных и линейных токов, которые пронизывают произвольную поверхность, натянутую на контур интегрирования L.
С математической стороны удобно от двух уравнений (II. 2) и (II. 3) первого порядка перейти к одному эквивалентному уравнению второго порядка для векторного потенциала А, который определяется соотношением
Н = rot А. (II. 9)
Векторный потенциал определен неоднозначно, так как напряженность магнитного поля не меняется, если перейти к другому векторному потенциалу А' при помощи преобразования калибровки
A，= A + gradf, (II. 10)
где f = f(r)——произвольная функция.
Чтобы ограничить произвол в выборе векторного потенциала, накладывают дополнительное условие Лоренца
(П.Н)(П.Н)div А = 0.
(П.Н)
(П.Н)
В этом случае векторный потенциал магнитного поля удовлетворяет уравнению Пуассона
(II. 12)
На поверхности раздела двух областей выполняются граничные условия
OAiОА2 — 4л .Онди сOAiОА2 — 4л .Онди с(II•⑶(II•⑶
OAiОА2 — 4л .
Онди с
OAiОА2 — 4л .
Онди с
(II•⑶
(II•⑶
Ai = A2・(II. 14)
Решение уравнения (II. 12) является непрерывной функцией в каждой точке пространства, в которой текут объемные и поверхностные токи с ограниченной плотностью. Граничное условие на линейном контуре, по которому течет ток /, записывается при г —>0 в виде А = t (今 In； + const) , где г — кратчайшее расстояние
от точки наблюдения до рассматриваемого контура, а т ——вектор, касательный к контуру, указывающий направление тока. Если токи сосредоточены в конечной области, то векторный потенциал на больших расстоя-
ниях г от тока убывает, как 1/г2 или быстрее. Эти замечания следует использовать совместно с граничными условиями (II. 13) и (II. 14) при отыскании решения уравнения Пуассона (II. 12). По найденному таким образом векюрному потенциалу определяют напряженность магнитного поля путем дифференцирования (II.9).
С другой стороны, если напряженность Н магнитного поля известна (например, получена из теоремы (II. 8)), то векторный потенциал А легко найти из соотношения (II. 9), рассматриваемого как дифференциальное уравнение относительно искомой функции А.
Векторный потенциал и напряженность магнитного поля объемных токов могут быть записаны в виде объемных интегралов
А(г)= К^，(П. 15)
н (г) = 1 丄、*丁)优. (II. 16)
Если объемный интеграл сходится, то векторный потенциал (II. 15) является общим решением уравнения Пуассона (II. 12), удовлетворяющим граничным условиям (II. 13) и (II. 14) на поверхности раздела токов и вакуума. Иногда интеграл (II. 15) расходится или его не удается вычислить аналитически, тогда векторный потенциал магнитного поля находят путем решения уравнения Пуассона (II. 12) с учетом граничных условий (II. 13) и (II. 14).
В случае линейного тока величины А и Н получаются из выражений (II. 15) и (II. 16) путем замены
j^dV^JdV,(II. 17)
которая преобразует объемные интегралы (II. 15) и (II. 16) в криволинейные интегралы по оси весьма тонкой трубки с линейным током J. Элемент dV оси этой трубки направлен в сторону течения тока J. После перехода в выражении (II. 16) к криволинейному интегралу получаем формулу (II. 7). В связи с этим выражение (II. 16) также называют законом Био и Савара.
Аналогично, для поверхностных токов в интегралах (П. 15) и (II. 16) следует сделать замену f i(y)dS'・
На больших расстояниях г от ограниченной области, в которой текут замкнутые токи, векторный потенциал и напряженность магнитного поля принимают вид
А = ^-,(И. 18)
н =—19)
где n ——магнитный момент замкнутых токов. В случае объемных токов
卩=击卜rXj)d，・(И.20)
Для замкнутых линейных токов последнее выражение преобразуется к виду
『今(П.21)
где
S=\dS・(П.22)
Этот интеграл берется по произвольной поверхности, натянутой на контур токовой трубки, по которой течет линейный ток J. Модуль вектора S равен площади, наименьшей из поверхностей интегрирования. Если контур токовой трубки лежит в плоскости, то направление S связано с направлением тока / в трубке правилом правого винта.
Энергия магнитного поля
呼=急\(II. 23)
В случае объемных токов, текущих в ограниченной области пространства, магнитную энергию (11.23) токов можно также вычислять по формуле
W^^jkdV.(II. 24)
Магнитная энергия взаимодействия токов, текущих с объемными плотностями ji и j2, определяется следующим образом:
杯=5 \ ■"『空W dv壮匕(П. 25)
Сила F, приложенная к объемному току во внешнем магнитном поле с напряженностью Н, имеет вид
F = -7$(jXH)t/V,(П.26)
а магнитная энергия W взаимодействия указанного тока с внешним магнитным полем выражается через векторный потенциал А этого поля
W = ^^dV.(II. 27)
Если напряженность Н внешнего магнитного поля мало меняется на протяжении области пространства, где текут замкнутые токи, то магнитная энергия взаимодействия этих токов с внешним полем выражается через магнитный момент ц замкнутых токов
步=卩氏(II. 28)
В этом случае сила F и момент N сил, приложенные к токам во внешнем магнитном поле, записываются в виде
F — (ц grad) Н = grad (цН),(II. 29)
N = |iXH.(II. 30)
Формулы (II. 29) и (11.30) аналогичны соответствующим формулам (1.36) и (1.37) электростатики, в которой выражение ——dE представляет собой потенциальную энергию дипольного момента d во внешнем электрическом поле с напряженностью Е. Физическая величина rH в магнитостатике не является потенциальной энергией. В связи с этим иногда вводят в рассмотрение так называемую потенциальную функцию U = —juH, которая позволяет представить силу, приложенную к магнитному моменту во внешнем магнитном поле, в обычной форме F = —grad U. В механике применительно к частице с магнитным моментом 模 величина —|iH называется энергией магнитного момента 卩 во внешнем магнитном поле с напряженностью Н.
Суммарную объемную силу (II. 26) можно заменить системой поверхностных сил, приложенных к поверхности объема V, внутри которого текут токи с объемной плотностью j,
尸а = } \ ° X H)qdV = § Т^ dS・ (II. 31) Vs
Здесь п ——орт внешней нормали замкнутой поверхности S, ограничивающей объем У, а 7&6 — максвелловский тензор натяжений
ТаО = ±("а/ — ^Н2^)・(П・ 32)
§ 1. Уравнения Максвелла и граничные условия в магнитостатике
Можно ли подобрать такое распределение электрического тока снаружи полой области, чтобы внутри нее напряженность магнитного поля имела вид: а) Н = Но; б) Н =匕(儿 +/у + 儿)，где & — постоян^ ная; в) Н ==―Г, где вектор 也 не зависит or координат и времени, а точка с радиус-вектором г = О находится вне полой области?
Можно ли создать в пространстве постоянный электрический ток с объемной плотностью j =八《一。「，где а—-положительная постоянная, а объемная плотность заряда не зависит от времени?
Определить распределение объемной плотности j тока в пространстве, если напряженность Н магнитного поля этого тока имеет вид: а) Н == f (厂)(а X r), где вектор а не зависит от координат и времени, а /(厂)——произвольная дифференцируемая функция; б) Н = (ar)(b X г), где векторы а и b параллельны и не зависят от координат и времени; в) Н ="儿 + "山十"高，где компо- ненты вектора Н в сферических координатах
нг = а (冬-拼)cos 0, "0 = a (等一岑)sin 0,
“2 = 0 при YR,
rr — 2〃R5〃R5
%cos &= f^r sm 0,
% = 0 при 厂》R;
r) H = "Jr + ""屮 + "丄，где компоненты вектора Н в цилиндрических координатах
万Г= 0, h^ = grf儿=ь贝2一产)при广《R,
Hr = Н『0, H^ = ^~при r》R・
Здесь a} b, g и R ——постоянные.
50
Вычисляя ротор и дивергенцию напряженности Н магнитного поля, необходимо убедиться в том, что в случае магнитостатики выражение
н(r)т\产优
удовлетворяет уравнениям Максвелла. Здесь j(r')— объемная плотность постоянного тока в точке с радиус- вектором г', а с — скорость света в вакууме.
Непосредственным вычислениегл убедиться в том, что в случае постоянного однородного магнитного поля с напряженностью Н векторный потенциал А, удовлетворяющий условию Лоренца, можно записать в виде А = (Н X г), где г — радиус-вектор произвольной точки наблюдения.
Считая объемную плотность тока j = j(r) и ее первые производные непрерывными функциями в каждой точке рассматриваемой области (поверхностные и линейные токи отсутствуют), доказать, что нормальная составляющая вектора j на граничной с вакуумом поверхности обращается в нуль.
Постоянный ток течет с объемной плотностью j = j(r) в конечном объеме, который граничит с вакуумом. Функция j (г) непрерывна внутри данного объема, включая точки граничной поверхности. Доказать, что ^jdV = O.
Доказать, что общее решение уравнения Пуассона в магнитостатике
удовлетворяет условию Лоренца, если токи текут в ограниченной области или убывают на больших расстояниях от точки наблюдения не медленнее, чем 1/(г ——г') 2.
При каком условии энергию магнитного поля W =-~-，Н2 dV можно представить в виде W = =j\jAd几 где А — векторный потенциал магнитного поля тока, текущего с объемной плотностью j?
Электрический ток с объемной плотностью j = = j(r) течет в ограниченной области пространства.
51
Доказать, что вид формулы W —-^ j jAdV для магнитной энергии тока не изменится, если от векторного потенциала А перейти к новому векторному потенциалу А7 = А + grad f, где f = f (г) — произвольная функция
№ =击卜 А〃 = **А，dV.
Определить распределение поверхностной плотности тока, если напряженность Н однородного магнитного поля, созданного этим током, имеет вид: а) вектор Н параллелен оси У в области между плоскостями х = а и к = b (а < Ь) и равен нулю вне этой области; б) вектор Н параллелен оси У в полупространстве х V а, анти- параллелен оси У в полупространстве х > b (а V 匕)и равен нулю между плоскостями % = а и % = Ь; в) вектор Н внутри цилиндрической поверхности параллелен ее оси и равен нулю снаружм.
Используя декартовые, цилиндрические или сферические координаты и свойства 6-функции, найти рао пределеыие объемной плотности j тока в пространстве для следующих случаев: а) по цилиндрической поверхности радиуса R параллельно ее оси течет однородный ток с поверхностной плотностью i0; б) по оси Z в положительном направлении течет линейный ток J; в) ток с поверхностной плотностью i0 течет в плоскости ХУ; г) в плоскости XY по бесконечно тонкому кольцу радиуса R течет линейный юк /, образуя правовинтовую систему с осью Z, которая проходит через центр кольца; д) равномерно заряженная с поверхностной плотность!。 о сферическая поверхность радиуса R вращается вокруг своего диаметра с угловой скоростью о), направленной вдоль оси Z; е) равномерно заряженная с поверхностной плотностью о поверхность кругового конуса с вершиной в начале координат вращается вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью со, направленной вдоль оси Z (телесный угол конуса содержит положительную час:ь оси Z и равен 2л(1 — cos 0)).
Можно ли создать в плоскости YZ постоянный электрический ток с поверхностной плотностью
i = (e-叫+广叫"0,
где а и 办一постоянные?
52
Определить конфигурацию области, по которой течет ток, а также характер распределения тока в ней, если объемная плотность тока в неограниченном пространстве описывается следующей функцией декартовых координат: a) j = 2^i06(x2 ——а?), где а ——постоянная, а постоянный вектор i0 параллелен плоскости YZ\ б) j = =2аЛу8(х2 —。2)6(2), где 〃 и / ——постоянные.
Ток / течет по тонкому замкнутому контуру L. Доказать, что для вычисления напряженности Н магнитного поля тока можно ввести скалярный потенциал Ф согласно формуле Н = —grad Ф. Найти уравнение и дополнительные условия, определяющие Ф.
Определить скалярный потенциал Ф и напряженность Н = —grad Ф магнитного поля линейного тока J, текущего вдоль оси Z.
§ 2. Магнитный момент
В сферических координатах компоненты вектора j средней объемной плотности орбитального тока, текущего в возбужденном атоме водорода, равны
乙=/о = 0 и 九=$ ~^7 е』sin 0 cos2 0,
где 〃 ——боровский радиус,方——постоянная Планка, т и е ——масса и заряд электрона, а г — расстояние до протона. Вычислить магнитный момент 卩 орбитального тока.
Распределение объемной плотности тока j в пространстве описывается выражением j = rot [aF(r)], где а — постоянный вектор, а функция F(r) убывает на бесконечности быстрее, чем 1/г3. Выразить магнитный момент р, тока через интеграл от функции F(r).
Объемная плотность тока в пространстве имеет вид j(r) = (а X V)6(r — Го), где а и г0 — постоянные векторы. Определить магнитный момент 卩 тока.
Внутренний магнитный момент электрона по абсолютной величине равен магнетону Бора 卩° =以j , где 方一постоянная Планка, с — скорость света в вакууме, а е и т — заряд и масса электрона. Согласно классической модели электрон представляет собой одно- е2
родно заряженный шар радиуса г0= ~-. Рассматривая
внутренний магнитный момент как результат вращения электрона вокруг своей оси симметрии, определить угловую скорость з этого вращения. Во сколько раз изменится угловая скорость вращения, если предположить, что заряд е равномерно размазан по поверхности шара?
Доказать, что магнитный моментм = ^ \ (rXj)dU тока, текущего в пространстве с объемной плотностью j = j(г), не зависит от выбора начала координат. Пре入 полагается, что магнитный момент тока имеет конечное значение.
В некоторой ограниченной области пространства течет ток с объемной плотностью j = j(「). Напряженность Н внешнего магнитного поля внутри этой области однородна. Выразить магнитную энергию 旷\ jAdU взаимодействия тока с внешним магнитным полем через магнитный момент / = J \ (г >< j)dl/ тока. Здесь А — векторный потенциал внешнего магнитного поля.
Однородно заряженный цилиндр произвольной высоты и радиуса R вращается вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью(о. Полный заряд цилиндра равен Q, а его ось вращения образует с напряженностью Н внешнего однородного магнитного поля некоторый угол. Определить магнитную энергию W взаимодействия нилиндра с внешним магнитным полем.
Внутри ограниченной области пространства течет ток с объемной плотностью j = j (г). Напряженность Н внешнего магнитного поля во всем пространстве однородна. Выразить момент N = ｝，(г X (j X Н)) dP сил, приложенный к току, через магнитный момент 也 тока. Доказать, что момент сил не зависит от выбора фиксированной точки, относительно которой он вычисляется.
Равномерно заряженная с поверхностной плотностью о цилиндрическая поверхность радиуса R и высоты h вращается вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью о). Ось вращения образует с напряженностью Н внешнего однородного магнитного поля некоторый угол. Определить момент N сил, приложенный к цилиндрической поверхности.
Напряженность Н = Н (г) внешнего магнитного поля мало меняется на протяжении некоторой конечной 54
области пространства, где текут токи с объемной плотностью j = j(r). Разлагая Н (г) в ряд Тейлора во внутренней точке данной области и пренебрегая старшими производными, выразить силу
尸=^，0XH)d 匕
приложенную к току, через его магнитный момент 也= = *\(rXj)俏
§ 3. Магнитное поле на больших расстояниях от тока
Однородно заряженный эллипсоид вращения с полуосями а и b вращается с постоянной угловой скоростью (о вокруг своей оси симметрии. Полный заряд эллипсоида равен Q, а его полуось b лежит на оси вращения. Найти векторный потенциал А и напряженность Н магнитного поля на больших расстояниях от эллипсоида.
Заряд Q равномерно распределен по конической поверхности (%2 十 川=之2, 0 & 之 & 八)，которая вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угло вой скоростью (о. Найти векторный потенциал А и напряженность Н магнитного поля на больших расстояниях от конической поверхности.
Ток / течет по тонкой токовой трубке в форме равностороннего треугольника со стороной @. Определить напряженность Н магнитного поля на больших расстояниях г от тока. *
Две одинаковые равномерно заряженные сферические поверхности радиуса R расположены на большом расстоянии друг от друга. Полный заряд каждой сферической поверхности равен Q, а их угловые скорости вращения вокруг собственных осей симметрии равны (oi и о)2. Определить магнитную энергию W взаимодействия сферических поверхностей.
Заряд Q однородно заполняет объем конуса (х2 + у2 = г2, 0 w 2 W 方)，который вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью о). На большом расстоянии г от конуса находится частица с внутренним магнитным моментом 也.Определить силу F, приложенную к частице.
§ 4. Закон Био и Савара
Распределение объемной плотности тока в про< странстве имеет вид j = j(「)l, где 1 ——постоянный вектор, а / (г)——скалярная функция декартовых координат. Доказать, что в каждой точке пространства напряжен^ ность магнитного поля тока перпендикулярна вектору 1.
Заряд Q однородно заполняет объем шара радиуса R. Найти напряженность Н магнитного поля в центре шара, если последний вращается вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью(о. Во сколько раз изменится напряженность магнитного поля в центре шара, если заряд Q равномерно размазать по его поверхности?
Равномерно заряженная с поверхностной плотностью о коническая поверхность (%2 + “ = * 0 W z W W /г) вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью s. Найти напряженность Н мах нитного поля в вершине конической поверхности.
В сферических координатах компоненты вектора j средней объемной плотности орбитального тока, текущего в возбужденном атоме водорода, равны
/г =厶=° и
・1е 力「3.
& = 冗負е " sin 仇
где а ——боровский радиус,方——постоянная Планка, m и е ——масса и заряд электрона, а г ——расстояние до - протона. Орбитальный ток создает в пространстве магнитное поле. Найти напряженность Н этого магнитного поля в начале координат.
Средняя плотность заряда электронного облака в атоме водорода равна Р = ~^уехр(— I, где а• боровский радиус, грасстояние до протона, а е ——заряд электрона. Если поместить атом во внешнее однородное магнитное поле с напряженностью Но, то электронное облако придет во вращение, которое создаст в пространстве ток с объемной плотностью] =-^^ (г X Но), где m — масса электрона, а с — скорость света в вакууме. На какую величину ДН изменится напряженность 56
магнитного поля в центре атома вследствие вращения электронного облака?
Заряд Q однородно распределен по объему шара радиуса R. Одна половина шара вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью g)i, а другая вращается с постоянной угловой скоростью S2 в противоположном направлении. Найти напряженность Н магнитного поля в центре составного шара. Какую часть заряда Q необходимо однородно распределить внутри первой вращающейся половины и какую во второй, чтобы напряженность магнитного поля в центре шара равнялась нулю?
Объемная плотность заряда в пространстве, дается выражением
где а и b ——постоянные. Найти напряженность Н магнитного поля в начале координат, если заряды вращаются около оси Z с постоянной угловой скоростью(о. Рассмотреть случаи а > b и а <,Ь.
Шаровой сектор получен пересечением сферы радиуса R конической поверхностью с вершиной в иентре сферы. Заряд Q однородно заполняет объем шарового сектора, телесный угол которого равен 2л (1 — cos 0о). Определить напряженность Н магнитного поля в вершине шарового сектора, если последний вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью s.
Заряд Q равномерно распределен внутри конуса (%2 -^ у^ — г2, 0 & 2 w , который вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью о). В вершине конуса находится частица с внутренним магнитным моментом 核.Определить магнитную энергию W взаимодействия частицы с вращающимся конусом.
В сферических координата^ компоненты вектора j средней объемной плотности орбитального тока, текущего в возбужденном атоме водорода, равны
!г~1^~^ и
где а ——боровский радиус,力 ——постоянная Планка, m и е — масса и заряд электрона, г ——расстояние до протона, имеющего внутренний магнитный момент 卩，направлен* ный по оси Z. Определить магнитную энергию W взаимодействия магнитного момента протона с орбитальным током. Поскольку орбитальный ток обусловлен движением электрона, а внутренний магнитный момент протона связан с его спином, данная задача описывает спин- орбитальное взаимодействие протона с электроном в атоме водорода.
Средняя объемная плотность тока в атоме водорода, обусловленная спином электрона, задана j = =с^ [^(г)], где 尸⑺=/ехр( —Здесь а — боровский радиус, с ——скорость света в вакууме, г — расстояние до протона, а 模。——внутренний магнитный момент электрона. Найти напряженность Н магнитного поля в центре атома водорода. Принимая во внимание, что протон имеет внутренний магнитный момент р,, определить магнитную энергию W взаимодействия протона с найденным магнитным полем. Поскольку внутренние магнитные моменты частиц связаны с их спинами, величина ——W характеризует спин-спиновое взаимодействие электрона с протоном в атоме водорода.
Заряд Q равномерно распределен по объему эллипсоида вращения с полуосями а и b (а V Ь). Эллипсоид вращается с постоянной угловой скоростью о)вокруг своей оси симметрии, проходящей вдоль полуоси Ь. В центре эллипсоида находится частица с внутренним магнитным моментом р,. Определить момент N сил, при* ложенный к частице. '
Бесконечно гонкий диск радиуса R, равномерно
о, вращаетсяскоростью (О.о, вращаетсяскоростью (О.заряженный с поверхностной плотностью вокруг своей оси с постоянной угловой Пользуясь общей формулой
о, вращаетсяскоростью (О.
о, вращаетсяскоростью (О.
найти напряженность Н магнитного поля на оси диска. Здесь i(r') — поверхностная плотность тока, созданного вращающимся диском. Исследуя напряженность магнитного поля на больших расстояниях от диска, определить магнитный момент 也 вращающегося диска. Получить
магнитный момент также непосредственным вычислением по формуле
卩=/\(「Xi)dS・
Объемная плотность тока в пространстве выражается через 6-функцию следующим образом: j(r)= =(а X V)6(r — r0), где а и г0 — постоянные векторы. Найти векторный потенциал А и напряженность Н магнитного поля. Исследуя полученные выражения, определить физический смысл вектора а.
Каждая единица объема электронного облака в атоме водорода имеет магнитный момент, обусловленный спином электрона. Распределение плотности магнитного момента описывается функцией iioF^r), где ц0 —— внутренний магнитный момент электрона, а 戸(厂)——плотность электронного облака на расстоянии г от протона. Функция 尸")убывает на бесконечности быстрее, чем 1/г. Показать, что данное распределение плотности магнитного момента создает в пространстве такое же магнитное поле, как и ток с объемной плотностью j = =с rot [模。尸(厂)],где с ——скорость света в вакууме.
По тонкой токовой трубке, образующей прямой угол, течет ток J. Найти напряженность Н магнитного поля в двух случаях: а) на оси X, являющейся продолжением одной из сторон прямого угла; б) на оси У, проходящей через вершину прямого угла перпендикулярно токовым линиям.
Чему равна напряженность Н магнитного поля в точках биссектрисы прямого угла на расстоянии г от его вершины в предыдущей задаче?
Ток J течет по тонкой токовой трубке в форме равностороннего треугольника со стороной а. Найти напряженность Н магнитного поля в вершине треугольника.
Ток J течет по тонкой токовой трубке, образующей квадрат со стороной 2q. Найти напряженность Н магнитного поля на оси, проходящей через центр квадрата перпендикулярно его плоскости. Исследуя полученное выражение на больших расстояниях от квадрата, определить магнитный момент 也 тока.
Ток J течет по тонкой бесконечной прямой токовой трубке, когорая имеет локальное искривление в виде полуокружности радиуса R. Найти напряженность Н
магнитного поля в центре кривизны указанной полуокружности.
По тонкому кольцу радиуса R течет ток /. Используя закон Био и Савара, определить напряженность. Н магнитного поля на оси кольца, выразив ее через маг< нитный момент ц тока.
§ 5. Теорема о циркуляции напряженности магнитного поля
Внутри бесконечного цилиндра радиуса R парал^ лельно его оси течет однородный ток с объемной плот* ностью j. Пользуясь интегральной формой уравнения Максвелла § Н dl =手-\ j dS, найти напряженность Н магнитного поля внутри и снаружи цилиндра. При помощи соотношения Н = rot А определить векторный потенциал А магнитного поля. При калибровке векторного потенциала принять, что он обращается в нуль на поверхности цилиндра.
Решить предыдущую задачу в предположении, что объемная плотность тока имеет аксиальную симметрию j = j(r), где j(г)——произвольная функция расстоя^ ния г до оси цилиндра.
Ток J однородно распределен по сечению бесконечного цилиндра радиуса R. Используя максвелловский тензор натяжений, найти силу F, прижимающую друг к другу две одинаковые половины цилиндра. Здесь F —— сила, приложенная к единице длины одной из половин цилиндра. Подтвердить полученный результат независимым вычислением с использованием объемной силы.
По бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R параллельно ее оси течет однородный ток с поверхностной плотностью i0. Найти напряженность Н маг* нитного поля, не прибегая к векторному потенциалу.
По плоскости XY параллельно оси X течет однородный ток с поверхностной плотностью i0. Найти напряженность Н магнитного поля, не прибегая к векторному потенциалу.
В пространстве между двумя коаксиальными цилиндрическими поверхностями радиусов R и R? (& <： 'VR2) течет ток с объемной плотностью j, который однороден по сечению токовой трубки и параллелен ее 69
оси. Найти напряженность Н магнитного поля в каждой точке пространства.
Внутри неограниченной пластины параллельно ее поверхностям 2 = ^02 =——/ течет однородный ток с объемной плотностью j. Не прибегая к векторному по* тенциалу, определить напряженность Н магнитного поля внутри и снаружи пластины, еслн токовые линии параллельны оси У.
Вдоль прямой (尤=厶 у = 0) параллельно оси 2 течет ток 7. По другой прямой (% = —Z, у = 0) течет антипараллельный ток той же величины. Найти напря- женность Н магнитного поля. Исследовать Н на боль- ших расстояниях от заданных токов.
Квадратная рамка со стороной а находится в одной плоскости с прямолинейным током J. На каком расстоянии г от тока расположена ближайшая сторона рам” кн, если поток магнитного поля через поверхность рамки равен Фо?
Прямолинейный ток 厶 находится в одной плоскости с током /2, текущим по тонкой квадратной рамке со стороной а. Ближайшая сторона рамки расположена на расстоянии г от тока Ji и имеет одинаковое с ним направление тока. Чему равна сила F, приложенная к рамке?
По плоскости n = / параллельно оси У течет однородный ток с поверхностной плотностью i口. По другой плоскости z =——I течет антипараллельный ток той же величины. Найти напряженность Н магнитного поля в каждой точке пространства. Какой в*口 приобретает вектор Н, если токи на обеих плоскостях параллельны оси У?
Линейный ток / течет по оси Z из бесконечно удаленной точки 之=——оо к началу координат. В плоскости XY он растекается от начала координат во все стороны равномерно. Определить напряженность Н магнитного поля во всех точках пространства и проверить выполнимость граничного условия для вектора Н при переходе через координатную плоскость ХУ. Представить вектор Н в виде суммы двух слагаемых Н = Hi -卜 Н?, которые обусловлены соответственно линейным и поверхностным токами.
Линейный ток / течет по оси Z в положительном направлении, взяв начало в бесконечно удаленной точке z =——8. В точке %,=——R этот ток растекается по
поверхности однородной сферы радиуса R с центром в начале координат, а затем вновь собирается в диаметрально противоположной точке 2 = R и продолжает течь вдоль оставшейся части оси Z. Определить напряжен* ность Н магнитного поля в пространстве и проверить выполнимость граничного условия для вектора Н при переходе через указанную сферу.
Исходя из закона Био и Савара
получить соотношение 勺 Hdl = */. Здесь L — любой контур интегрирования, сцепляющийся с токовым контуром Л\ а Н ——напряженность магнитного поля тока /.
В пространстве между двумя не коаксиальными цилиндрическимы поверхностями радиусов Ri и R2 (Ai Т- + / V А2) параллельно их осям течет однородный ток с объемной плотностью j. Расстояние между осями цилиндрических поверхностей равно I. Найти напряженность Н магнитного поля внутри цилиндрической полости радиуса R.
Две неограниченные бесконечно тонкие пластины, лежащие в плоскости XZ, разделены между собой щелью ширины а. Центральная линия щели совпадает с осью Z. По пластинам параллельно оси Z течет однородный ток с поверхностной плотностью М. Найти напряженность Н магнитного поля на больших расстояниях 厂》а от щели с учетом членов порядка 1/г.
Цилиндр радиуса Ri расположен не коаксиально внутри другого цилиндра радиуса R?・ Вдоль первого и второго цилиндров текут однородные антипараллельные токи с объемной плотностью соответственно ji и j?. Ток наружного цилиндра не проникает во внутренний. Расстояние между параллельными осями бесконечных цилиндров равно /. Найти силу F, приложенную к единице длины внутреннего цилиндра.
Определить величину W = ；\jiA2 d匕 отнесенную к единице длины цилиндров, которые описаны в предыдущей задаче. Здесь А?——векторный потенциал магнитного поля тока j?. Для однозначности результата
принять, что векторный потенциал, созданный токами каждого однородного сплошного цилиндра, равен нулю на его поверхности. Убедиться, что сила, приложенная к единице длины внутреннего цилиндра, по абсолютной величине равна г
§ 6. Уравнения Лапласа и Пуассона с дополнительными условиями
В сферических координатах две компоненты векторного потенциала равны нулю Ar = Aq — 0, а третья имеет вид
%W = Q厂(4g) $也 8 при r&R
и
Др = ^^ sin 8при
где а и R ——постоянные. Найти распределение объемной плотности j тока, создавшего магнитное поле с данным векторным птенциалом.
В цилиндрических координатах две компоненты векторного потенциала равны нулю Ar = Az = 0, а третья имеет вид
А^ = аг^2 — ^ при г《R и
& =等ПРИ OR,
где а и R ——постоянные. Найти распределение объемной плотности j тока, создавшего магнитное поле с данным векторным потенциалом.
В сферических координатах две компоненты векторного потенциала равны нулю Лг = Ло = 0, а третья имеет вид
о R з
Л^ = ar sin 9 при r《R и ^ = -p-sin9 при r》R,
где а и R ——постоянные. Найти распределение поверхностной плотности i тока, создавшего магнитное поле с данным векторным потенциалом.
Переход от векторного потенциала А(г) к новому векторному потенциалу А'(г) = A(r) + grad f не изменяет напряженности постоянного магнитного поля, где f = f (г)——произвольная функция координат. Какому условию должна удовлетворять функция /(г), чтобы переход к новому векторному потенциалу не нарушал также условия Лоренца в магнитостатике?
Объемная плотность тока в пространстве меняется от точки к точке по периодическому закону j = jo cos kr, где постоянные векторы jo и к удовлетворяют соотношению kjo = 0. Найти векторный потенциал А и напряженность Н магнитного поля, которые созданы этим током в неограниченном пространстве.
Объемная плотность тока в полупространстве 2《0 имеет периодическую структуру j = j0coskr, где постоянные векторы j0 и к удовлетворяют соотношению kjo = 0, причем вектор jo параллелен плоскости ХУ, а три компоненты вектора к отличны от нуля. Найти векторный потенциал А магнитного поля в каждой точке пространства.
По плоскости XY течет ток с поверхностной плотностью i = i0 cos 1г, где постоянные векторы i0 и 1 лежат в указанной плоскости и удовлетворяют соотношению Iio = 0. Найти векторный потенциал А магнитного поля в каждой точке пространства.
По декартовым плоскостям ХУ, XZ и YZ текут поверхностные токи с плотностью соответственно ii = ai cos hr, i2 = а2 cos l2r и i3 = a3 cos 1зГ. Постоянные векторы li, I2 и 1з удовлетворяют условию aih = а2Ь == =а313 = 0 и лежат в плоскостях соответственно ХУ, XZ и YZ. Найти векторный потенциал А магнитного поля в каждой точке пространства.
Внутри бесконечной пластины, ограниченной плоскостями х = а п % = —-о, течет ток с объемной плотностью j = j0 sin厶％ sin 厶у, где постоянный вектор jo параллелен оси Z. Найти векторный потенциал А магнитного поля внутри и вне пластины.
Внутри бесконечного цилиндра радиуса R параллельно его оси течет ток с объемной плотностью j == jors cos п^, где г ——цилиндрическая координата,㈠ —— полярный угол, а ось Z совпадает с осью цилиндра. Целое положительное число п и константа s удовлетворяют условию rz2，(s + 2)2. Найти векторный потенциал Л магнитного поля внутри и снаружи цилиндра,
Объемная плотность тока в цилиндрических координатах имеет вид
j=jo(£) cosm[) при 厂
j = jo (у-) cosmp при 厂》R,
где постоянный вектор jo параллелен оси Z, R — постоянная, а целое положительное число п больше единицы. Найти векторный потенциал А магнитного поля в каж* дой точке пространства.
Бесконечный цилиндр радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью р, вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью s. Найти векторный потенциал А и напряженность Н магнитного поля внутри и снаружи цилиндра.
Внутри бесконечного цилиндра радиуса R параллельно его оси течет ток с объемной плотностью j = j (г), где г ——расстояние до оси цилиндра. Пользуясь уравнением для векторного потенциала А, найти его значение внутри и снаружи цилиндра. Произвольное постоянное слагаемое векторного потенциала выбрать так, чтобы величина А обращалась в нуль на поверхности цилиндра.
Шар радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью р, вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью о. Найти векторный потенциал А и напряженность Н магнитного поля внутри и снаружи шара. Выразить А и Н во внешней области шара через его магнитный момент 模.
Используя тензор натяжений Максвелла и результаты предыдущей задачи, определить магнитостата- ческую силу F, с которой одна половина шара действует на Другую в направлении оси вращения.
По бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R параллельно ее оси течет ток с поверхностной плотностью i = i()cosmp, где п ——целое число (几 >1), 屮——полярный угол, а ось Z совпадает с осью цилиндрической поверхности и направлена в ту же сторону, что и постоянный вектор io. Найти векторный потенциал А и напряженность Н магнитного поля в каждой точке пространства.
3 А И. Алексеев 65
Используя уравнение для векторного потен* циала, решить предндущую задачу в предположении, что п — 0.
Равномерно заряженная с поверхностной плот* ностью от бесконечная цилиндрическая поверхность ра* диуса R вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью(о и одновременно движется со скоростью V вдоль той же оси. Найти векторный потенциал А и напряженность Н магнитного поля в каждой точке про* странства.
Равномерно заряженная с поверхностной плотностью о сферическая поверхность радиуса R вращается вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью (о. Найти векторный потенциал А и напряженность Н магнитного поля в произвольной точке пространства. Исследуя полученные выражения, определить магнитный момент n вращающейся сферы. Получить магнитный момент также непосредственным вычислением по формуле м =击，(г X i) dS, где i — поверхностная плот* ность тока, образованного вращающейся сферой.
По бесконечной цилиндрической поверхности ра* диуса R течет ток с поверхностной плотностью i = h при 0VWV汽 и i = i2 при 乳 V 屮 V 2爲 где h m i? — постоянные векторы,屮一полярный угол, а ось Z совпа* дает с осью цилиндрической поверхности и параллельна векторам h и i2. Найти векторный потенциал А магнитного поля внутри и снаружи цилиндрической поверх^ ности.
Компоненты Нг, "е и Н^ напряженности Н магнитного поля в сферических координатах
нг = ь (告—导)cos е,
HQ = b ^―- — -—^ sin0, ”2 = 0 при 厂 VR и
Hr = -q^- cos 6, /u^rsine, % = 0 прн 厂 > R, где b и R ——постоянные. Пользуясь соотношением Н — rot А, определить векторный потенциал А магнит* ного поля при дополнительном условии div А == 0А
66
Определить энергию W магнитного поля равномерно заряженной сферической поверхности радиуса которая вращается вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью о). Полный заряд сферы Q. Выразить энергию W через магнитный момент 卩 вращающейся сферы.
Определить энергию W магнитного поля одно* родно заряженного шара радиуса R, вращающегося вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью о). Полный заряд шара Q. Выразить энергию W через магнитный момент 眯 вращающегося шара.
Определить энергию W магнитного поля, при* холящуюся на единицу длины однородно заряженного цилиндра радиуса R, который вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью (о. Заряд на еди* ницу длины цилиндра равен q. Выразить энергию W7 через магнитный момент 卩 единицы длины вращающе* гося цилиндра.
Определить энергию W магнитного поля, приходящуюся на единицу длины равномерно заряженной с плотностью ст цилиндрической поверхности pani:yca R, которая вращается вокруг своей оси с угловой скоро* стью о. Выразть энергию W через магнитный момент М единицы длины вращающейся цилиндрической поверхности.
Определить энергию W магнитного поля, приходящуюся на единицу длины цилиндрической поверхности, описанной в задаче 223.
По одной половине бесконечной цилиндрической поверхности радлуса R параллельно ее оси течет ток с поверхностной плотностью i, а по другой половине течет антипар аллельный ток той же величины. Определить энергию W магнитного поля, приходящуюся на единицу длины цилиндрической поверхности.
Вдо«ть цилиндра радиуса R течет однородный ток /, а по другому цилиндру того же радиуса течет антипараллельный ток той же величины. Определить векторный потенциал А магнитного поля на больших расстояниях От цилиндров. Будет ли конечной энергия магнитного поля, приходящаяся на единицу длины такой системы?
Глава III
ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Напряженности электрического Е и магнитного Н полей в общем случае удовлетворяют уравнениям Максвелла:
ЕЕ — *(НГ)
rotH = *j + %*,(Ш・2)
div Е = 4лр,(III. 3)
div Н = О,(III. 4)
где р и j ——распределение объемной плотности заряда и тока в пространстве.
Точечные заряды е^ (г = 1, 2, ..., ^), движущиеся со скоростями Vf, создают в пространстве распределение объемной плотности заряда и тока согласно формулам
NN
Р (「，/)=2 е力(г — г) j(r, /)=2 gv2 (г — *•), (III. 5)
где 门=门(/)——радиус-вектор f-ro заряда. Функция Гг(/) задается в каждом отдельном случае или находится путем решения уравнения движения.
Из уравнений (III. 2) и (III. 3) вытекает уравнение непрерывности
divj+罂二。，(П1.6)
интегрирование которого по объему приводит к закону сохранения заряда
§3 = 一件. s§3 = 一件. s(III. 7)(III. 7)
§3 = 一件. s
§3 = 一件. s
(III. 7)
(III. 7)
Здесь Q ——полный заряд внутри замкнутой поверхности S, ограничивающей данный объем.
Иногда разложение электромагнитного поля в интеграл Фурье содержит только компоненты с малыми частотами s《где L — максимальный линейный размер рассматриваемой области пространства. Такое медленно переменное электромагнитное поле внутри данной области называется квазистационарным. Оно описывается уравнениями Максвелла (III. 1) — (III. 4),
1 он 1 ОЕ/
в которых слагаемые —灯 и —опущены (что экви- СС (Jt
валентно пренебрежению эффектами, связанными с конечностью скорости распространения электромагнитного возмущения внутри указанной области). Например, система зарядов С/ (/ = 1, 2, ..., ^), движущихся с нерелятивистскими скоростями 5《с внутри объема с максимальным линейным размером 厶 создает в вакууме электромагнитное поле с частотами в интервале
V.
О《со W十， которое является квазистационарным в обширной области пространства с линейным размером £ у Z, где V ——наибольшая скорость этих зарядов Векторный потенциал А (г,/) и напряженность Н(г,/) квазистационарного магнитного поля описываются теми же уравнениями, что и в магнитостатике, а время t входит в них в качестве параметра» Аналогично, скалярный потенциал ср (г, /) и напряженность Е(г, /) электрического поля в квазистационарной области определяются так же, как и в электростатике. В частности, на больших расстояниях I《г《* I от заряженной системы с максимальным линейным размером I справедливы формулы (I. 14), (II. 18) и (II. 19), в которых источники поля зависят от времени / как от параметра.
Дипольный момент, тензор квадрупольного момента и магнитный момент системы движущихся зарядов
d = £ 0储，Ав = £] S (3%%6 —噤ав)‘ О"，8)
"=/2>gХ匕),(III. 9)
где радиус-вектор гг = гг(/) и скорость % = “(/) /-го заряда являются функциями времени.
Электромагнитные поля, распространяющиеся в вакууме при отсутствии зарядов и токов, называются электромагнитными волнами. Они описываются однородными уравнениями Максвелла.
В свободном пространстве однородные уравнения Максвелла сводятся к двум независимым волновым уравнениям
V2E —』4^ = 0,(III. 10)
V2H—春絹=о・(Ш.11)
При этом отбираются лишь такие решения последних уравнений, которые удовлетворяют также однородным уравнениям Максвелла.
Исследование электромагнитных волн в вакууме обычно проводят при помощи электромагнитных потенциалов, которые выбирают так, чтобы скалярный потенциал был равен нулю 屮=0, а векторный потенциал А удовлетворял уравнению
▼А-/察=0(Ш.12)
и дополнительному условию
divA = 0.(III. 13)
Тогда напряженности электрического и магнитного полей электромагнитной волны выражаются через векторный потенциал следующим образом:
Е = — ：争,Н = rot А. (III. 14)
Электромагнитные волны, которые описываются векторным потенциалом
А = А(/—号)， nA = 0, (III. 15) называются плоскими. Они распространяются в направлении единичного вектора п.
Напряженности электрического Е и магнитного Н полей плоской волны равны по модулю Е = " н составляют с вектором п правовинтовую тройку
H = nXE・(III. 16)
Плотность потока электромагнитной энергии s = = -~-(Е X Н) и плотность импулься g = — s электромагнитного поля связаны с плотностью энергии w = =*(炉+环) в плоской волне соотношениями
s = cwny g = ；Bfi・(III. 17)
Электромагнитные волны, у которых зависимость от времени t описывается простой периодической функцией вида cos (со/+ а), называются монохроматическими. Ве^ личина со представляет собой циклическую частоту (или просто частоту) этих волн. Важным частным случаем таких волн является монохроматическая плоская волна“
Напряженность электрического поля монохроматической плоской волны бывает полезно представить как вещественную часть комплексного выражения
Е = Re [Ер (к-叫，(III. 18)
где кг — st — фаза волны, к ——волновой вектор (々=(о/с), з——циклическая частота (или просто частота) волны, а Ео ——комплексный вектор, удовлетворяющий условию Еок = 0 поперечности электромагнитных волн в вакууме.. Модуль вектора Ео связан с амплитудой волны. Для напряженности магнитного поля рассуждения аналогичны.
От вектора Ео отделяют комплексный множитель таким образом
Eo = bc-%(III. 19)
чтобы квадрат вектора
b = bi + zb2,(III. 20)
как и сами векторы bi и Ь?, были бы вещественными величинами. Для этого должно выполняться условие bib2 = 0. Кроме того, вещественные векторы bi и Ь? перпендикулярны волновому вектору к, указывающему направление распространения волны (III. 18).
Если выбрать ось X вдоль вектора bi, а ось Z по направлению распространения волны, то проекции на* пр^женности электрического поля (III. 18) запишутся
£% = b\ cos (①2 —々之 + a), E« = 土匕2 sin (з/ — kz + a).
(III. 21)
71
Переменные величины Ех и Еу удовлетворяют уравнению
爭 + 尊=1・ (IIL 22)
Видно, что в каждой точке пространства конец вектора напряженности электрического поля описывает эллипс в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Такие волны называются эллипти- чески-поляризованными. Знаки + и ——перед коэффициентом 匕2 в формуле (III. 21) соответствуют правой и левой поляризациям.
В случае b、= b? = b эллипс превращается в окружность, и волна (Ш. 18) называется поляризованной по кругу или циркулярной. Величина %, численно равная модулю напряженности электрического поля, является амплитудой этой волны.
Когда один из векторов bi или Ь2 обращается в нуль, волну называют линейно-поляризованной (поляризованной в плоскости). Ее записывают в одном из двух видов
Е = IE。cos (з/ — kr + а), (III. 23)
Е = 1旦6(kr-зJa), (IIL 24)
где 1 ——единичный вектор поляризации, Ео ——амплитуда, a a ——постоянный сдвиг фазы. Физический смысл имеет только вещественная или мнимая часть комплексного выражения (III. 24).
В идеальном случае, когда длина волны бесконечно мала, распространение электромагнитных волн описывается законами геометрической оптики. Если длину волны нельзя рассматривать как бесконечно малую, то наблюдается отклонение от геометрической оптики, а возникающие при этом специфические явления в распространении волн называются дифракцией. Дифракция приводит, например, к размытию резкой границы между светом и тенью за непрозрачным телом (экраном), который находится на пути распространения света. Дифракционные явления заметно различаются между собой в зависимости от расстояний от источника излучения и точки наблюдения до экрана.
Когда источник излучения электромагнитных волн или точка наблюдения или то и другое находятся на 72
конечном расстояЕши от экрана, возникающее дифракционное явление называется дифракцией Френеля.
Если источник излучения электромагнитных волн и точка наблюдения находятся на очень больших (бесконечных) расстояниях от экрана, то имеет место дифракция Фраунгофера.
Дифракция Фраунгофера наблюдается в особо интересном для практических применений случае, когда на пути распространения плоской электромагнитной волны находится плоский экран. Появляющиеся дифрагированные волны легко определить приближенно, если огра、 кичиться малыми отклонениями ог геометрической оптики, т. е. малыми углами между направлениями рас-
волн.волн.пространения дифрагированной и падающей
волн.
волн.
Ниже рассматривается только этот простейший случай.
Пусть плоский экран совпадает с плоскостью XY и имеет отверстие площади S. На него падает монохроматическая плоская волна, которую запишем в комплексном виде (III. 24). Обозначим посредством и любую из компонент векторов Е и Н этой волны без временного множителя с-"®/. Поскольку отклонение от геометрической оптики мало, поле в точках отверстия такое же, как и в отсутствии экрана, т. е. описывается величиной и = а。， взятой в точках отверстия. Другими словами, поле дифрагированной волны в точках отверстия экрана совпадает с полем падающей плоской волны. В точках на экране дифрагированное поле равно нулю.
В указанных предположениях компонента Фурье дифрагированной волны, рассмотренной в точках отверстия экрана, запишется в виде двукратного интеграла
(III. 25)
где интегрирование ведется по поверхности отверстия в экране. Вектор q лежит в плоскости ХУ. Он связан соотношением k' = k + q с волновыми векторами кик' падающей и дифрагированной волн (h = h，= ^с). Угол 0 между волновыми векторами кик' называется углом дифракции. Поскольку углы дифракции малы 9《1, модуль вектора q выражается через частоту падающей волны следующим образом:
co A д=т仇co A д=т仇(III. 26)
co A д=т仇
co A д=т仇
Угловое распределение интенсивности дифрагированной волны в среднем по времени за период колебания
留謂『喘^=4(£)1制％. (1П.27)
В этой формуле S — площадь отверстия в экране, dQ = QdQ dip — элемент телесного угла, а /о — усредненная по времени полная интенсивность падающей мо< нохроматической плоской волны, проходящей через от^ верстие нормально плоскости экрана.
Дифрагированные волны за экраном можно также определить путем решения волнового уравнения с соответствующими граничными условиями на поверхности экрана и в точках его отверстия.
Два экрана называются дополнительными по отношению друг к другу, если один из них имеет отверстие там, где другой непрозрачен, и наоборот. Для таких экранов справедлив принцип Бабине: дополнительные экраны дают одинаковые распределения интенсивности дифрагированного света.
§ 1. Уравнение Максвелла
Может ли существовать внутри полой области переменное во времени электрическое поле без магнитного'
Может ли существовать переменное во времени магнитное поле без электрического?
Может ли существовать однородное электрическое поле при наличии переменного во времени магнит^ ного поля?
Может ли однородное электрическое (или магнитное) поле быть переменным во времени?
При выводе закона сохранения электромагнитной энергии как следствия уравнений Максвелла обычно заменяют выражение^ (Н rotЕ — Е rot Н) через divs, где s =喂"(EXH) — вектор Пойнтинга. Доказать, что s ——не единственный вектор, дивергенция которого равна указанному выражению.
В цилиндрических координатах компоненты вектора напряженности магнитного поля в свободном 74
пространстве имеют вид Нг — Н^ =0 и Hz = Н(г, /), где функция "(г, /) и ее производные ограничены. Определить напряженность Е вихревого электрического поля, индуцированного данным магнитным полем.
Заряд Q и масса т однородно заполняют объем шара. В начальный момент времени /о = 0 включается внешнее магнитное поле с напряженностью Н = Н(/), которая постоянна по направлению и удовлетворяет на* чальному условию Н (0) = 0. Зависимостью вектора Н ог координат в пределах шара можно пренебречь. Под влиянием магнитного поля шар приходит во вращение. Пренебрегая обратным влиянием вращающегося шара на внешнее магнитное поле, определить угловую скорость (о вращения.
Доказать, что запаздывающие электромагнит* ные потенциалы
РР屮(г, /) = 5屮(г, /) = 5
Р
Р
屮(г, /) = 5
屮(г, /) = 5
удовлетворяют условию Лоренца
тА + %穿=0・
Предполагается, что написанные объемные интегралы сходятся.
Найти уравнения для скалярного ① и векторного А потенциалов в кулоновской калибровке div А = 0» Величины ф и А определяются соотношениями
Е = — grad 屮—} —, Н = rot А.
§ 2. Плотность заряда и тока
Заряд е движется в плоскости XY по прямой у — х — /, имея постоянную скорость v и удаляясь от начала координат. В начальный момент времени 力=0 он находился на оси X, Найти распределение объемной
плотности р заряда и объемной плотности j тока в пространстве.
Заряд р совершает гармоническое колебание вдоль оси X по закону % = a sin ⑴%. Написать выражение для объемной плотности р заряда и объемной плотности j тока. Проверить справедливость уравнения непрерывности для этих величин. Найти средние по времени за период Т = — объемные плотности заряда р и тока j и доказать, что
^dV = e.
Заряд е движется в плоскости ХУ по окружности радиуса А с постоянной угловой скоростью з. В начальный момент времени 力=0 он находился на оси X. Написать выражение для объемной плотности р заряда и объемной плотности j тока в цилиндрических координатах, начало которых совпадает с центром окружности. Проверить справедливость уравнения непрерывности для величин р и j. Доказать, что средние по времени за период Т = 2л/з объемные плотности заряда и тока р и j удовлетворяют соотношениям
^dV = \ dr
О —оо
Равномерно заряженная с линейной плотностью q окружность радиуса R вращается с угловой скоростью з вокруг своего диаметра. Найти распределение объемной плотности р заряда и объемной плотности j тока в пространстве в сферических координатах. Начало координат совпадает с центром окружности, а ось Z направлена по оси вращения. Проверить справедливость уравнения непрерывности для найденных величин.
Заряд Q однородно заполняет объем шара радиуса R, который вращается вокруг своего неподвижного диаметра с переменной во времени угловой скоростью (о. Найти распределение объемных плотностей заряда р и тока j в пространстве в сферических координатах.
Определить квазистационарное электромагнитное поле заряда и, который медленно движется с постоянной скоростью V.
16
§ 3. Магнитный, дипольный и квадрупольный моменты движущихся зарядов
Заряд Q и масса т однородно заполняют объем шара радиуса R, который вращается с произвольной угловой скоростью s = s(f) вокруг своего неподвиж» ного центра. Определить магнитный момент 卩 вращающегося шара. Чему равен коэффициент 0 пропорциональности между магнитным ц и механическим М моментами n = рМ?
Замкнутая механическая система состоит из двух произвольно движущихся частиц, заряды которых ©1 и &, а массы тх и т2 соответственно. Доказать, что если начало координат выбрано в центре инерции, то магнитный ц и механический М моменты системы пропорциональны друг другу, и найти коэффициент пропорциональности.
Механическая система конечного числа частиц с одинаковым отношением заряда к массе движется в пространстве. Какому условию должен удовлетворять полный импульс Р системы, чтобы суммарный магнитный момент всех частиц не зависел от выбора начала координат?
Равномерно заряженный тонкий диск радиуса R вращается с угловой скоростью о) вокруг своего неподвижного диаметра. Полный заряд диска Q. Вычислить магнитный момент ц вращающегося диска.
Равномерно заряженная с линейной плотностью q квадратная рамка со стороной о вращается с угловой скоростью(о вокруг одной из своих сторон. Вычислить магнитный момент 卩 вращающейся рамки.
Нейтрон с магнитным моментом 卩。движется по заданной траектории и его радиус-вектор гн меняется со временем как Гн =「н(/)・ Определить распределение плотности 1Н магнитного момента в пространстве
1н(г, /)= lim ^Л
где Лц(г, /)——магнитный момент элемента объема АК Последний в результате предельного перехода ДУ-> О стягивается к точке с радиус-вектором г.
Частица с массой т и зарядом е совершает эллиптическое движение в кулоновском потенциальном поле притяжения a/厂, где а 之 0. Полная энергия частицы равна /. Найти средний по времени за период
движения дипольный момент d заряда. Выразить его через специфический интеграл движения в кулоновском поле I = vXM + F， где v — скорость заряженной частицы, а М — ее момент.
Радиус-вектор г^ точки расположения диполя с моментом d = d(f) меняется со временем по заданному закону「d = rd(f). Определить распределение объемных плотностей заряда и тока в пространстве. Вычислить магнитный момент 卩 найденного тока.
Точечный диполь с моментом d вращается по окружности радиуса R с постоянной угловой скоростью со. Окружность лежит в плоскости ХУ, а ее центр совпадает с началом координат. Вектор d постоянен по модулю и направлен по касательной к окружности в сторону вращения от оси X к У. Определить тензор 0aB квадрупольного момента системы.
Частица с массой т и зарядом е совершает эл^ липтическое движение в кулоновском потенциальном поле a/厂，где а V 0. Полная энергия и момент частицы равны соответственно / и М. Начало декартовой системы координат помещено в центр силового поля, а ось X направлена по большой полуоси эллиптической траектории, лежащей в плоскости XY. Найти средние по времени за период компоненты тензора。々口 квадру^ польного момента движущегося заряда.
В резерфордовской модели атома водорода электрон с массой т и зарядом е движется по эллиптической орбите, имея энергию 鋁 и момент М. Большая полуось а эллипса совпадает с осью X, а орбита лежит в плоскости XY. Определить среднюю за период движения напря* женность квазистационарного электрического поля на больших расстояниях г 协 а от атома с учетом диполь* ного момента и тензора квадрупольного момента. Исследовать полученный результат в предельном случае, когда эллипс превращается в окружность.
§ 4. Электромагнитные волны
Векторный потенциал плоской линейно-поляризованной волны имеет вид А = №(з/ — кг), где(о = kct 1 ——постоянный вектор, a F ——дифференцируемая функция своего аргумента. В рассматриваемой калибровке электромагнитных потенциалов скалярный потенциал
78 .
равен нулю тождественно и div А = 0. Определить вектор Пойнтинга s и плотность энергии w электромагнитной волны.
Покоящийся цилиндр радиуса R и высоты h расположен перпендикулярно направлению распространения монохроматической плоской электромагнитной волны, которая описывается векторным потенциалом А = =Aocos((o/ ——k「+ a). Длина волны мала по сравнению с величинами R и 力，поэтому за цилиндром простирается область тени. На поверхности цилиндра электромагнитная волна полностью поглощается. Определить силу F, приложенную к цилиндру в среднем по времени за период Т = 2л/(о.
Монохроматическая плоская электромагнитная волна, описываемая векторным потенциалом А = =Аоcos((o/ — kr + а), падает на поверхность неподвижного шара радиуса R и полностью отражается от этой поверхности. Длина волны мала по сравнению с радиусом R, поэтому за шаром находится область тени. Определить силу F, приложенную к шару в среднем по времени за период Т = 2п/з.
Линейно-поляризованная и циркулярная волны в комплексном виде записываются так:
Е = Re (□&/("-W)), Е = Re (№)&/ (kr~°n),
где 九=1, 2, Со ——комплексная постоянная, 1(入)и Ь^)* единичные векторы поляризации, которые удовлетворяют условиям
1 ⑴1 ⑵=0,(俨))2=1,产=1(”b⑴ b⑵=1, (№))2 = 0, N)= b⑵*.
Индекс 九 отмечает два независимых состояния поляризации волны, отвечающих одному и тому же волновому вектору к. Доказать, что для линейно-поляризованной и циркулярной волн справедливы следующие правила суммирования:
£ (А*) (ВУ) = АВ — 2 (Ak)(Bk),
2
£(Ab”(Bb”=AB*-i(Ak)(B*k),
九1
где А и В — произвольные комплексные векторы.
Две монохроматические волны Ei = EOi cos(co/— —kr + c^i) и Е?=Е02cos(①力一kr + а?) поляризованы во взаимно перпендикулярных направлениях. Считая амплитуды этих волн одинаковыми, найти поляризацию результирующей волны.
Две монохроматические волны поляризованы по кругу в противоположные стороны и распространяются в одном направлении. Амплитуды и частоты волн одинаковы, а фазы отличаются на постоянную величину. Определить суммарную волну.
Амплитуда правополяризованной круговой волны равна Л, а левополяризованной ——В. Частоты и фазы этих волн одинаковы. Определить поляризацию результирующей волны.
Плоскости поляризации двух монохроматических волн
Ei = E01 cos (з/ — кг + «!), Е2 = Е02 cos (з/ — кг + а2)
наклонены под некоторым углом друг к другу. Определить поляризацию результирующей волны, если £*oi = Eo2 и ai -—々2 =冗/2.
Электромагнитная волна получена в результате сложения двух линейно-поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях монохроматических волн Ei = Е&1 cos (g)i^ — kir) и Е? = Е°2 cos (о)2^ — к?г), у которых амплитуды одинаковы, волновые векторы параллельны, а частоты отличаются на малую величину I ⑴1 —⑴2丨《coi + 32・ Векторы Eoi, Е02 и к образуют правовинтовую тройку. Найти поляризацию суммарной волны.
Две монохроматические волны, поляризованные по кругу и в противоположные стороны, имеют одинаковые амплитуды и распространяются в одном направлении. Частоты(01 и(о2 волн отличаются на малую величину I coi — 32丨《31 + 32・ Определить поляризацию результирующей волны.
Волновой пакет получен суперпозицией монохроматических волн lEocos(cof — kr) с частотами в интервале О W з W оо. Направление распространения и вектор поляризации 1 этих волн одинаковы, а число волн с частотами в интервале от з до ① + 乙① равно
9
_f ⑥/A[d3
где Д — постоянная, не зависящая ог частоты. Выражение, стоящее множителем перед дифференциалом d(o, является функцией распределения данных монохроматических волн по частотам. Найти напряженность электрического поля волнового пакета как функцию координат и времени.
Волновой пакет получен путем наложения монохроматических волн l£"ocos((o方——kr + а) с частотами, изменяющимися в пределах от(оо до зо + А, где А《со。. Направление распространения и вектор поляризации 1 этих волн одинаковы, а амплитуда группы волн с частотами в интервале от (о до (о + d(o равна -^-ds・ Здесь 七о, (оо и Д — постоянные, не зависящие от частоты со. Определить напряженность электрического поля волнового пакета как функцию координат и времени.
Напряженность электрического поля волнового пакета имеет постоянное направление и описывается функцией Е = Е (/ —号), которая отлична от нуля для конечной области изменения своего аргумента. Здесь п ——постоянный единичный вектор, а с — скорость света. Разлагая заданную функцию в интеграл Фурье, представить волновой пакет как суперпозицию монохроматических волн.
Напряженность электрического поля электромагнитной волны задана
e = eоe叫
где векторы Е° и п, а также величина t постоянны, причем t > 6. Определить компоненту Фурье Е(к,(о) данной функции.
Компонента Фурье Е(к, со) напряженности электрического поля имеет вид
Е(к,①)=Ео ^~ 6 (к — * e-(s/©,
где Ео и п ——постоянные векторы. Определить напряженность электрического поля как функцию координат и времени.
Электростатическое поле описывается сфериче- ски-симметричным потенциалом ^—у е^г/а9 где a —
положительная постоянная. Представить напряженность Е этого поля в виде разложения
Е = 72^ , Ek*kr dk
по продольным волнам Екв/кг, векторы поляризации которых направлены вдоль к.
Две конические поверхности вставлены одна в другую и имеют общую вершину и ось симметрии. По внешней конической поверхности по направлению к вершине бежит волна тока / = /о cos （о/ + kr）, которая затем переходит на внутреннюю коническую поверхность и уходит на бесконечность. Здесь / ——суммарный поверхностный ток,（о = kc, а г — расстояние от вершины до точки наблюдения на конической поверхности. Определить вихревое электромагнитное поле в пространстве между коническими поверхностями. Принять, что радиальная компонента искомого вектора Е равна нулю тождественно.
По оси бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R течет линейный ток J = Jo cos（（o/ —— 左之）.Полный поверхностный ток, текущий по самой цилиндрической поверхности, представляет собой обратную волну вида J = Jq cos（（d/ + ^г）. Определить вихревое электромагнитное поле внутри и снаружи цилиндрической поверхности. Принять, что искомый вектор Е перпендикулярен оси Z н з = kc.
§ 5. Дифракция
Электромагнитная волна, напряженность электрического поля которой E = lEoCos（（of — kr）, падает в нормальном направлении на плоский экран, имеющий бесконечную щель ширины 2a. Вектор поляризации 1 параллелен щели. Считая отклонение от геометрической оптики малым 左@》1, определить электрическое поле дифрагированной волны, распространяющейся под малыми углами дифракции. Найти приходящуюся на единицу длины интенсивность di рассеяния этой волны в интервале углов de в среднем по времени за период Т = 2n/со.
В плоском экране прорезаны N одинаковых бесконечных параллельных щелей ширины 2a* Расстояние 82
между осевыми линиями соседних щелей 2b. На экран в нормальном направлении падает плоская электромагнитная волна Е = lEo cos(o)^ — kr). Вектор поляризации 1 параллелен щелям. Длина волны мала по сравнению с характерными размерами ka ^> 1 и 々b》1, так что углы дифракции также малы. Определить электрическое поле дифрагированной волны и отнесенную к единице длины интенсивность di рассеяния этой волны в интервале углов de в среднем по времени за период Т = 2л/со.
Плоский экран имеет прямоугольное отверстие со сторонами 2〃 и 2Ь. Монохроматическая плоская электромагнитная волна частоты ①= 々с падает нормально к плоскости экрана. Вектор поляризации параллелен одной из сторон прямоугольного отверстия, а длина волны мала по сравнению с характерными размерами 力а》1 и 々b》1. Определить интенсивность di дифрагированной волны в телесном угле dQ в среднем по времени за период колебания волны.
Линейно-поляризованная плоская электромагнитная волна частоты s = he падает нормально к плоскости бесконечного экрана, имеющего круглое отверстие радиуса R. Длина волны мала по сравнению с радиусом 备R》1, так что углы дифракции также малы. Определить интенсивность di дифрагированной волны в телесном угле dQ в среднем по времени за период колебания волны.
Плоский экран имеет кольцевое отверстие радиусов R】и & (R < А). Определить среднюю по времени интенсивность di дифрагированной волны в телесном угле dQ при нормальном падении плоской линейно- поляризованной электромагнитной волны на кольцевое отверстие. Длина волны мала по сравнению с радиусами и углы дифракции также малы.
Плоский экран имеет эллиптическое отверстие с полуосями а и Ь. Плоская электромагнитная волна частоты з =々с падает нормально к плоскости экрана. Длина волны мала по сравнению с полуосями эллиптического отверстия 々а》1 и 々6》1. Определить интенсивность di дифрагированной волны в телесном угле dQ в среднем по времени за период колебания вочны.
Определить среднюю по времени интенсивность d/ дифрагированного света в интервале углов de при
нормальном падении плоской электромагнитной волны частоты s = he н@ пластину бесконечной длины и ширины 2a. Вектор поляризации параллелен пластине, а длина волны мала по сравнению с шириной пластины 々а》1.
Шар радиуса R, являющийся абсолютно черным телом, находится в электромагнитном поле плоской линейно-поляризованной волны частоты (о = kc. Длина волны мала по сравению с радиусом 々R》l. Определить среднюю по времени интенсивность di дифрагированной волны в телесном угле dQ.
Глава IV
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
МЕДЛЕННО ДВИЖУЩИМИСЯ ЗАРЯДАМИ
Задачу об излучении электромагнитных волн удобно решать, вводя в рассмотрение электромагнитные потенциалы А и ф, которые определяются соотношениями
H = rotA,(IV. 1)
E = — grad(p — !吟.(】V・2)
Величины А и ф определены неоднозначно. Переход от электромагнитных потенциалов А и ф к новым А' и q/ при помощи преобразования калибровки:
Az = A + gradf,(IV. 3)
U = —；%，(IV. 4)
не изменяет напряженности электрического и магнитного полей. Здесь f = f(r,/) — произвольная функция. Обычно ее выбирают так, чтобы выполнялось условие Лоренца
divA + ^等"(IV. 5)
Тогда уравнения для электромагнитных потенциалов, вытекающие из уравнений Максвелла, принимают простой вид:
争士 一f j,dV. 6)
山中一3察=一4叫)，(IV. 7)
85
и называются уравнениями Даламбера. Физический смысл имеют только те решения уравнений Даламбера, которые удовлетворяют условию Лоренца (IV. 5).
Излучение электромагнитных волн описывается решениями уравнений (IV. 6) и (IV. 7) в виде запаздывающих потенциалов:
А (г, /) = 1$ I，什一：--2 dV\ (IV. 8)
①(г, /)= J—/ 优， (IV. 9)
где г — радиус-вектор точки наблюдения, У — радиус- вектор элемента объема dV\ a t — время наблюдения.
На больших расстояниях от заряженной системы каждый весьма малый элемент поверхности сферической волны можно рассматривать как плоскую волну, в которой напряженности электрического Е и магнитного Н полей равны по модулю и образуют правовинтовую тройку векторов с направлением и распространения волны
E = HXn・(IV. 10)
Таким образом, для определения электромагнитного поля излучения достаточно вычислить напряженность только магнитного поля, которая связана с векторным потенциалом (IV. 8) соотношением (IV. 1).
Поместим начало координат внутри заряженной системы, максимальный линейный размер которой обозначим через Z. На больших расстояниях г》/3『 имеем |г ——У| ^ г — пУ и векторный потенциал (IV.8) приближенно запишется как
А (г, /)=±^г;力一善 +牛)d匕(IV. И) г где п==у.
Далее предположим, что излучение происходит в основном на частоте (о, причем длина излучаемой волны (деленная на 2л) велика по сравнению с линейным размером источника 大= -^》/・ Кроме того, исследование электромагнитного поля будем проводить на больших 86
расстояниях в волновой зоне
г》大》Z.
В этих предположениях подынтегральное выражение в (IV. 11) можно разложить в ряд по переменной что соответствует разложению векторного потенциала в ряд по малому параметру 〃尢：
А(г,/)Т + ^ +悬， (IVJ2)
где вектор D имеет компоненты
Da -D呻〃y
В формуле (IV. 12) второе и третье слагаемые численно одного порядка, а в совокупности меньше первого члена в отношении 〃为.Слагаемые более высокого порядка малости отброшены. Дипольный момент d, магнитный момент 卩 и тензор D^B квадрупольного момента зависят от времени с учетом запаздывания
d = d (f _ 善)， ji = j1g 一善) 43 = £)邛(一_0.
(IV. 13)
Применительно к заряду, движущемуся неравномерно с нерелятивистской скоростью v, сумма (IV. 12) представляет собой разложение по параметру у *^ !•
Вычисляя ротор от выражения (IV. 12) и отбрасывая малые члены, пропорциональные 1/厂2, получаем напряженность магнитного поля излучаемой волны
н(r, f)=好■+ 叱产+芻у.(IV. 14)
В каждой точке волновой зоны поток электромагнитной энергии определяется вектором Пойнтинга
s = ^EXH=^n・(IV.15)
Электромагнитная энергия /, излученная источником в единицу времени (интенсивность излучения), равна потоку вектора Пойнтинга через сферу большого радиуса г с центром в начале координат
/ =表，"2产 dQ.(IV. 16)
ражение:ражение:Используя формулы (IV. 14) и (IV. 16), нетрудна получить для интенсивности излучения / следующее вы
ражение:
ражение:
(IV. 17)(IV. 17)2爭2日2 脸
(IV. 17)
(IV. 17)
3炉 Т Зсз 十 180с5 *
Первое, второе и третье слагаемые представляют собой интенсивности дипольного, магнитно-дипольного и квадрупольного излучений. Слагаемые, описывающие излучение мультипольных моментов более высокого порядка, отброшены. При сохранении указанных членов получим бесконечный быстро сходящийся ряд, отдельные слагаемые которого в общем случае зависят от выбора начала координат. Поэтому необходимо указывать координатную систему, в которой определены дипольный, магнитно-дипольный и квадрупольный моменты, которые входят в формулу (IV. 17). Обычно начало координат выбирают в физически выделенной точке заряженной системы, например, в ее центре инерции или точке симметрии, а также в центре вращения зарядов.
Поскольку суммарная интенсивность излучения (IV. 16) представляет собой поток электромагнитной энергии через сферу большого радиуса 厂 с центром в начале координат, численное значение этой величины также меняется при сдвиге начала координат в связи с изменением положения указанной сферы относительно излучающей системы. Однако полная излученная энергия
，/山 (IV. 18)
не зависит от сдвига начала координат внутри излучающей системы.
Обычно векторы " и у D по модулю меньше |d| по порядку величины в 〃大 (или v/c) раз. Тогда второе и третье слагаемые в формуле (IV. 14) являются малыми поправками при вычислении напряженности магнитного поля в волновой зоне. Однако второе и третье слагаемые в формуле (IV. 17) в этом случае следует опустить, дабы не превысить выбранную точность вычисления. Чтобы определить первую поправку к дипольному излучению, необходимо магнитное поле
вычислить с большей точностью, сохранив в формуле (IV. 14) отброшенный член порядка /2/с2 (или v2/c2). Тогда к сумме (IV. 17) добавится еще одно слагаемое, которое по порядку величины равно интенсивностям магнитно-дипольного и квадрупольного излучений (см. задачи 349 и 350).
Если дипольное излучение системы по каким-либо причинам ослаблено и по порядку величины значительно меньше магнитно-дипольного и квадрупольного, то второе и третье слагаемые в формуле (IV. 17) являются главными членами, а вместе с первым описывают излучение системы с определенной точностью. Опущенные члены представляют собой малые поправки более высокого порядка. Последнее утверждение, вообще говоря, справедливо и в том случае, когда все три слагаемые (IV. 17) по величине одного порядка. Некоторые слагаемые суммы (IV. 17) могут обращаться в нуль.
Полную энергию (IV. 18), излученную за все время действия источника, можно представить в виде суммы энергий, излученных на разных частотах
冒=| 冒⑹ do,(IV. 19)
о
где 齒(со)——спектральная плотность излучения, т. е. энергия, приходящаяся на единичный интервал частот. Она характеризует спектральный состав излучения. График функции 齒(з) называется спектральной линией излучения.
Чтобы определить спектральную плотность 齒(со) излучения заданного источника, необходимо величины, входящие в интенсивность излучения (IV. 17), разложить в интеграл Фурье. Тогда энергия 君①=齒(co)d(D, излученная в интервале частот от(о до(о + d(o, запишется в виде *)
2|R®)|2 I Sa3 (о) I2 \
d齒= I —л~~z■―xh) do, (IV. 20)
s \ Зле3I Зле31180лс5 丿 ' ' 丿
где d (о), h(co) и Ьа^ (о) — компоненты Фурье соответствующих величин d (/), g(/) и l5a^ (Z), а выражение в круглых скобках представляет собой искомую функцию 冒⑹.
Например, энергия, излученная на малых частотах оуг《1 зарядом е во внешнем силовом поле，
也二空综产ds.
В этой формуле т ——порядок величины времени взаимодействия заряда с внешним полем, a Vi и v2 ——его скорости до и после этого взаимодействия.
Когда в некоторой точке волновой зоны заданы напряженности электрического Е(£) или магнитного Н(/) полей, тогда энергия /(со), проходящая в нормальном направлении через единицу площади в единичном интервале частот, определяется при помощи соотношения
盘j炉⑺山=卷\环⑺山=、置®)心 (IV. 21)
—оо—оо0
График этой функции S ((о) представляет собой спектральную линию данного излучения.
Интенсивностью di излучения в элемент телесного угла dQ называется энергия, протекшая в единицу времени через элемент dS = r2dQ сферической поверхности большого радиуса г, центр которой расположен в начале координат. Вычисляя поток вектора Пойнтинга (IV. 15) через указанный элемент сферической поверхности, находим угловое распределение интенсивности излучения
"=曙源，(1V.22)
где напряженность магнитного поля определяется выражением (IV. 14). Если дипольное излучение не ослаблено, то после возведения в квадрат суммы (IV. 14) сле^ дует опустить слагаемые, имеющие порядок величины 叫N (или и21c2), чтобы не превышать принятую точность вычисления.
Формула (IV. 22) заметно упрощается, когда излу< чающая система характеризуется только одним диполь- 90
ным моментом, магнитным моментом или тензором квадрупольного момента, и принимает вид соответственно
绛栗滤， (IV. 23) dI^ = ^f-dQ, (IV. 24) * = '%fe?dQ. (IV. 25)
Угловое распределение полной энергии, излученной за время действия источника, получим путем интегрирования интенсивности излучения (IV. 22) по времени
也= ^dQ、环(г, У)必. (IV. 26)
Разлагая в этой формуле напряженность Н (г, /) магнитного поля в интеграл Фурье по переменной /, не- 1рудно определить энергию d/^s, излученную в телесный угол JQ на частотах в интервале от со до(о + d(o:
d/пз =否丨 Н (n ①)I2 dQ ds・ (IV. 27)
При помощи формулы (IV. 14) компонента Фурье Н(г, з) напряженности магнитного поля в (IV. 27) представляется в виде суммы слагаемых, относящихся к дипольному, магнитно-дипольному и квадрупольному излучениям. Однако после возведения в квадрат указанной суммы необходимо отбросить члены порядка величины М/с? (или v2/c2), когда дипольное излучение не подавлено.
Если электрон находится в поле электромагнитной волны, то в нерелятивистском случае на него действует сила еЕ. Слагаемым -~-(v X Н) можно пренебречь. Под действием этой силы электрон приобретает ускорение г=*Е и, следовательно, излучает. Угловое распределение дипольного излучения электрона, совершающего колебание в поле монохроматической волны, дается формулой (IV. 22). В результате такого излучения будет происходить рассеяние падающей волны на свободном
электроне. Этот процесс характеризуется эффективным сечением do рассеяния в телесный угол dQ:
dc = g, (iv. 28)
где s — модуль вектора Пойнтинга падающей волны, а черта над буквами означает усреднение по времени за период колебания этой волны.
На излучающую заряженную частицу действует со стороны излучаемого электромагнитного поля тормозящая сила, которую называют силой радиационного трения. При этом энергетические потери частицы на излучение можно рассматривать как результат преодоления указанной силы трения, возникающей в процессе излучения. Сила радиационного трения в нерелятивистском случае имеет вид
f = Ur； (IV. 29)
где е и г ——заряд и радиус-вектор движущейся частицы. Эта сила мала по сравнению с внешней силой, действующей на частицу.
Учет обратного влияния излучения на движение заряженной частицы следует проводить, когда излучение происходит с большой интенсивностью на протяжении весьма продолжительного (бесконечного) промежутка времени. Такой учет осуществляется двояко. Первый путь состоит в прибавлении силы радиационного трения (IV. 29) к внешней силе F в уравнении движения
mi = F +詳三 (IV. 30)
В этом случае интенсивность, спектральный состав и угловое распределение излучения вычисляются по формулам (IV. 16) — (IV. 27), в которых функция г = г(Z) является решением уравнения (IV. 30).
Вторым способом служит использование закона со> хранения энергии, согласно которому убыль энергии / заряженной частицы во внешнем постоянном силовом поле F = F(r) происходит за счет излучения
-娱=/, (IV. 31)
где величина 因 слагается из кинетической и потенциальной энергии частицы, а интенсивность излучения / дается формулой (IV. 17). Уравнение (IV.31) справед-
92
ливо лишь в первом отличном от нуля приближении (без учета эффектов, связанных с запаздыванием излученного электромагнитного сигнала внутри области движения заряда). В отличие от предыдущего случая радиус- вектор 「=「(/) заряженной частицы, входящий в выражение для интенсивности излучения, здесь берется из уравнения движения
mr = F (IV. 32) без учета силы радиационного трения. Последняя привносит в соотношение (IV. 31) пренебрежимо малую поправку. Уравнение движения (IV. 32) дает возможность выразить правую часть равенства (IV.31) через энергию 舍 и таким образом позволяет получить дифференциальное уравнение относительно этой величины. Полученное дифференциальное уравнение описывает убыль энергии частицы в результате длительного излучения.
§ 1. Дипольное излучение
Через конденсатор пролетела частитт,а с массой т и зарядом е. Расстояние между обкладками конденсатора равно 厶 а напряженность Е электрического поля в нем однородна и постоянна. Угол между вектором Е и направлением скорости v0 частицы при влете равнялся а. Знаки заряда е и косинуса угла а одинаковы. Найти энергию 君，теряемую частицей на дипольное излучение во время пролета через конденсатор.
Частица с массой т и зарядом е пролетает по диаметру шара радиуса R, внутри которого равномерно распределен заряд Q. Заряды частицы и шара противоположного знака. Перед влетом в шар частица имела кинетическую энергию 君°. Определить энергию 君,теряемую частицей на дипольное излучение во время пролета через шар.
Напряженность Н магнитного поля в полупространстве однородна, постоянна и направлена параллельно граничной плоскости. В это полупространство влетает протон с массой т и зарядом е. Скорость v про- юна при влете перпендикулярна граничной плоскости. Определить энергию 君，теряемую протоном на дипольное излучение за время движения в магнитном поле.
Протон с массой т и зарядом е движется в скре- хценных электрическом и магнитном полях с напряжен-
костями Е и Н, которые удовлетворяют условиям ЕН = =0 и Е《//. Внешние поля однородны и постоянны, а протон в начальный момент времени 力=0 имел скорость Vo. Определить энергию дипольного излучения, теряемую частицей за время t.
Простейшая линейная антенна представляет собой тонкий прямолинейный провод длины 厶 по которому течет ток J =厶 cos з/. Определить интенсивность / длинноволнового излучения антенны в среднем по времени за период колебания тока.
Под влиянием упругой силы частица с массой in и зарядом с может совершать гармонические колебания с частотой со。 (так называемый осциллятор). Учитывая силу радиационного трения, определить среднюю по времени за период Т = 2л/со интенсивность / излучения оо циллятора, совершающего установившиеся вынужденные колебания во внешнем электрическом поле с напряженностью Е = Ео sin 3f.
Электрон с массой m и зарядом s пролетает на большом расстоянии / от неподвижного ядра с зарядом Z|e|. В бесконечно удаленный момент времени £ = -—8 электрон имел скорость, по абсолютной величине рав・ ную и。. Пренебрегая искривлением траектории, найти энергию 醫，теряемую электроном на дипольное излучение за все время пролета.
Частица с массой m и зарядом е пролетает на большом расстоянии / от диполя с моментом d, который покоится в некоторой точке пространства. На бесконеч^ ности частица имела скорость v0. Считая приближенно траекторию прямолинейной, определить полную знер* гию /, теряемую частицей на дипольное излучение в Двух случаях: а) дипольный момент d параллелен на、 чальной скорости v0 частицы; б) дипольный момент d перпендикулярен начальной скорости v0 и лежит в плен скости движения частицы.
Полный заряд и дипольный момент покоящегося возбужденного атома равны нулю, а компоненты тензора квадрупольного момента имеют вид 0aB = 0 при а * § и 011 = 022 = 一i/2°・ В плоскости ХУ на большом рао стоянии Z от атома пролетает электрон с массой m и за< рядом е. В бесконечно удаленный момент времени t ~ =——оо он имел скорость по абсолютной величине, равную vQ. Считая приближенно траекторию прямолинейной и пренебрегая поляризуемостью атома под действием
пролетающего электрона, определить полную энергию /, потерянную электроном на излучение.
В результате деления ядро раскаливается на два осколка с массовыми числами Л1 и Л2 и зарядами ZiC и Z2& В системе центра инерции суммарная кинети* ческая энергия обоих осколков на бесконечности 君о・ Масса нуклона т. Вычислить полную энергию 齒 ди* польного излучения, обусловленного кулоновским взаи* модействием разлетающихся осколков ядра. Принять, что осколки движутся согласно законам классической механики, начиная свое движение из тех точек простран* ства, где их относительная скорость равнялась нулю.
Протон с массой m и зарядом е движется пер* пендикулярно однородному постоянному магнитному полю с напряженностью Н. Его кинетическая энергия в начальный момент времени % = 0 равнялась 君°. Найти закон убывания кинетической энергии 歩，обусловленный дипольным излучением.
Во внешнем потенциальном поле частица с массой т и зарядом е совершает одномерное гармоническое колебание с частотой з. В начальный момент времени ；о = 0 ее полная энергия равнялась /о. Не прибегая к явному выражению для силы радиационного трения, определить усредненный по времени от t до / + 2л/(о за・ кон убывания полной энергии S частицы, обусловленный дипольным излучением. Принять, что в каждый момент времени отклонения от гармонического режима колебания пренебрежимо мало-^-《о歩.Поэтому при усреднении медленные функции времени можно рассматривать как постоянные.
В классической модели атома, предложенной Резерфордом, электрон с массой m и зарядом е вращается по круговой орбите вокруг неподвижного ядра с зарядом 2|е|. Найти закон убывания полной энергии 冒 электрона, обусловленный дипольным излучением. Вычислить время 力口， по истечении которого электрон упадет на ядро вследствие потери энергии на дипольное излучение. В начальный момент времени 力=0 электрон находился на расстоянии R от ядра.
Модель атома водорода, предложенная Дж. Дж. Томсоном, представляет собой неподвижный однородно заряженный шар радиуса R с полным положительным зарядом \е\, Внутри шара движется точечный
электрон с массой т и зарядом е. Чему равна частота (о электромагнитной волны, излучаемой такой системой? Предполагая, что в начальный момент времени % =。 электрон покоился на расстоянии R от центра шара, определить усредненный по времени от t до f *2冗/(0 закон убывания полной энергии 歩 электрона, обусловленный силой радиационного трения. При усреднении медленные функции времени следует рассматривать как постоянные.
Доказать, что у замкнутой системы заряженных частиц с одинаковым отношением заряда к массе дипольное излучение отсутствует.
Электронный газ плотности N* находится во внешнем однородном постоянном магнитном поле с напряженностью Н. Распределение электронов по кинетическим энергиям поступательного движения описывается распределением Максвелла, а среднее расстояние между электронами велико по сравнению с длиной излучаемой волны. Определить обусловленную внешним магнитным полем интенсивность / излучения единицы объема электронного газа.
Две частицы с одинаковой массой т скреплены между собой жестким стержнем длины 厶 массой которого можно пренебречь. Заряды частиц одинаковы по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Напряженность Е внешнего электрического поля однородна, постоянна и направлена от отрицательного заряда в сторону положительного. В начальный момент времени /о = 0 стержень покоился и образовывал с вектором Е малый угол 屮о « 1. Определить интенсивность / дипольного излучения системы двух зарядов.
Расстояние а между двумя одинаковыми параллельными диполями с моментами d = d° cos(о/ по порядку величины равно длине излучаемой волны а 〜 〜。/(0=九. Постоянный вектор d0 параллелен прямой, соединяющей диполи. Найти интенсивность / излучения системы двух диполей в среднем по времени за период Т = 2п/(о. Исследовать предельный слудайа《尢.
Система, состоящая из большого числа N параллельных точечных диполей, занимает область пространства, линейные размеры которой ничтожно малы по сравнению с основными длинами излучаемых волн. Частоты колебания диполей разбросаны вблизи некоторой частоты(о так, что суммарный момент диполей с часто- 96
тами в интервале от s + e до s + £ 屮厶 равен dof(£)cos((o + 8)td^ где вектор d° постоянен, а функция распределения f (е) имеет вид f (е) = -^~ге °. Вели- чины То и £ удовлетворяют неравенствам N》①丁。》1 и ——8 V £ W оо. Определить интенсивность / излучения системы в среднем по времени от t до / + 2л/(о, а также полную энергию 器 дипольного излучения за бесконечное время — оо w / W 8.
Электрон с массой т и зарядом е совершает эллиптическое движение внутри шаровой области, одно^ родно заполненной положительным зарядом с объемной плотностью р. В начальный момент времени электрон находился в точке с радиус-вектором г0, имея скорость v0. Определить энергию 君，теряемую электроном на дипольное излучение за период движения.
Электрон с массой т и зарядом е движется по эллиптической орбите вокруг неподвижного ядра с зарядом Z|e|. Полная энергия и механический момент электрона равны соответственно 咨 и М. Определить энергию 6d, теряемую электроном на диполЕ^ное излучение за период движения.
Положительно заряженная частица с массой т\ и зарядом с】 пролетает с прицельным расстоянием I мимо атомного ядра с массой т2 и зарядом е?. Скорость частицы относительно ядра на бесконечно большом расстоянии от него равнялась v0. Определить энергию ^, теряемую частицей на дипольное излучение за все время пролета около ядра.
Частица с массой т и зарядом е движется в потенциальном поле U =以/厂2, где постоянная ос положительна, Полная энергия и момент частицы равны соответственно 罟 и М. Определить энергию 因必 теряемую частицей на дипольное излучение за бесконечное время движения от / = — оо до 方=оо.
Поток одинаковых частиц с массой т и зарядом е рассеивается сферически-симметричным потенциальным полем отталкивания U = U(г). Скорость каждой налетающей частицы на бесконечно большом расстоянии от силового центра равна v0. Найти эффективное излучение
х = \ △醫• 2л/ dl,о
Q7Q74 А И Алексеев
Q7
Q7
где А冒一полная энергия дипольного излучения час* тицы, пролетающей с прицельным расстоянием 厶 Пред* ставить величину х в виде двойного интеграла.
§ 2. Магнитно-дипольное и квадрупольное излучения
Нейтрон, имеющий внутренний магнитный момент к, влетает в однородное постоянное магнитное поле с напряженностью Н. Внутренний механический момент М нейтрона связан с магнитным соотношением 以= =——рМ, а угол между векторами |ы и Н при влете равнялся 0О. Найти интенсивность / излучения.
Простейшая рамочная антенна представляет собой прямоугольную рамку со сторонами а и 6, по которой течет линейный ток / = /о cos з/. Определить интен* сивность / длинноволнового излучения антенны в сред* нем по времени за период колебания тока.
Тонкая однородная спица из ферромагнетика длины / имеет массу и магнитный момент на единицу длины, равные соответственно т/ и “/. В начальный момент времени спица покоилась и образовывала малый угол “о с направлением внешнего постоянного однородного магнитного поля с напряженностью Н. Определить интенсивность / излучения.
При каком условии интенсивность магнитно-дипольного излучения не зависит от выбора начала координат?
Электрон с массой т и зарядом е движется во внешнем постоянном однородном электрическом поле с напряженностью Е. Представить интенсивность / магнитно-дипольного излучения как функцию скорости v электрона и напряженности электрического поля.
Шар радиуса R совершает малые крутильные колебания около своей оси симметрии с частотой з（）・ Максимальный угол поворота 屮°. Заряд Q и масса распределены по объему шара равномерно. Определить среднюю по времени за период колебания интенсивность / излучения шара.
Однородный шар радиуса R вращается около своего диаметра с постоянной угловой скоростью д. Ось вращения наклонена под углом 0 к направлению внешнего постоянного однородного магнитного поля с напряженностью Н. Полные заряды и масса шара равны Q и т. Определить интенсивность / излучения.
По тонкому однородному кольцу радиуса R и массы m течет постоянный ток J. В начальный момент времени ось кольца составляла малый угол *фо с направлением внешнего постоянного однородного магнитного поля с напряженностью Н (屮о《1). Ток J течет по часовой стрелке, если смотреть по направлению вектора Н. Найти интенсивность / излучения.
В тонкой неподвижной квадратной рамке со стороной / возбужден ток / = Joe-叫 Определить полную Энергию ^ длинноволнового излучения за время — 8 & V % W оо.
Два одинаковых заряда величины s совершают плоское движение. Их полярные координаты 厂卜 屮i, /*2 и 巾2 меняются со временем по закону
r1 =r2 = "62, 21 =w(/)，22 =n + w(/),
где а ——положительная постоянная, а 屮(/)——монотонная функция, заключенная в пределах 0 & 屮(％) W л. Определить интенсивность магнитно-дипольного излучения такой системы.
Возможно ли магнитно-дипольное излучение в моделях атома водорода, предложенных Резерфордом и Дж. Дж. Томсоном (см. задачи 300 и 301)?
Доказать, что в отсутствие внешнего поля интенсивность магнитно-дипольного излучения двух взаимодействующих между собой заряженных частиц равна нулю, если начало координат выбрано в центре инерции этих частиц.
Замкнутая система состоит из конечного числа частиц с одинаковым отношением заряда к массе. Доказать, что магнитно-дипольное излучение у такой системы отсутствует.
Система частиц с одинаковым отношением заряда к массе, равным e]m, совершает финитное движение во внешнем центрально-симметричном поле, кото^ рое создается некоторой неподвижной частицей. В про странстве включено слабое однородное постоянное магнитное поле с напряженностью Н. Определить напряженности электрического Ем и магнитного Нм полей магнитно-дипольного излучения в волновой зоне, а также частоту излучаемых волн.
Расстояние между магнитными моментами 因= =No cos ①方 и 以2 = No cos [(з + A(o)f + а] мало по сравнению с длинами излучаемых волн. Частоты колебания
удовлетворяют условию Аз《з, а величины 卩。и а постоянны. Найти интенсивность / излучения этой системы в среднем по времени от / до / + Т, где Т = 2л/о)——период., быстрых колебаний.
Система N магнитных моментов занимает область пространства, линейные размеры которой ничтожно малы по сравнению с длинами излучаемых волн. Магнитные моменты описываются формулой 卩九=二 =No cos [((о + %£)/], где вектор 卩。постоянен, а число п принимает значение 〃 = 0, 1, 2, ..., ^—1. Разброс частот колебания мал по сравнению с основной частотой г^《з. Определить интенсивность / излучения системы в среднем по времени от / до / + 2л/з.
Совокупность большого числа ^ маленьких замкнутых контуров с переменным током образует излучающую систему, линейные размеры которой весьма малы по сравнению с основными длинами излучаемых волн. Магнитные моменты токовых контуров совершают гармонические колебания. Подавляющая часть из них имеет частоты, мало отличающиеся от некоторой частоты ①. Суммарный магнитный момент токовых контуров с частотами колебаний в интервале от(о + £ до з + £ + de равен djii = Nof(£)cos (со £)/d* где 卩。——постоянный вектор, а функция f (g)= ”诬岁下 1)описывает распределение токовых контуров по частотам гармонических колебаний при условии 7V》orc》l и — оо е оо. Определить интенсивность / излучения системы в среднем по времени от / до / + 2л/з, а также полную энергию / магнитно-дипольного излучения за бесконечное время — 8 w f W °°・
При каком условии интенсивность квадрупольного излучения не зависит от выбора начала координат?
Маленький шарик массы m прикреплен к нижнему концу невесомого стержня длины 2/, который может свободно вращаться около своей средней неподвижной точки. Противоположные концы стержня несут точечные заряды величины е. В начальный момент времени стержень был отклонен от вертикального положения на малый угол -фо и покоился. В дальнейшем он совершает малые колебания под действием силы тяжести, приложенной к шарику. Определить интенсивность / излучения системы в среднем по времени за период колебания.
юо
Две частицы с одинаковым отношением заряда к массе ei/〃2i = е2/т2 = е/т связаны между собой пружиной и совершают гармонические колебания в отсутствие поля тяжести. Длина ненагруженной пружины /, а ее коэффициент жесткости 尼.В начальный момент времени пружина была растянута до длины /0 и покоилась. Найти интенсивность / излучения в среднем по времени за период колебания пружины. Взаимодействием зарядов между собой пренебречь.
Определить полную энергию / излучения, сопровождающего разлет осколков ядра в задаче 297, считая отношение заряда к массе у осколков одинаковым
— — Ze
AYm — Л2т — Am *
Протон с массой т и зарядом е движется в произвольном направлении во внешнем однородном постоянном электрическом поле с напряженностью Е. Представить интенсивность / квадрупольного излучения как функцию скорости V протона и напряженности внешнего электрического поля.
В магнитном поле две одинаковые частицы с массами m и зарядами е вращаются с постоянной угловой скоростью со по окружности, находясь на противоположных концах диаметра. В начальный момент времени %о = 0 кинетическая энергия обеих частиц равнялась S0. Определить обусловленный излучением закон убывания кинетической энергии / частиц, предполагая, что взаимодействием зарядов между собой можно пренебречь. Скорость убывания кинетической энергии частиц очень малан《3占・
Два одинаковых заряда величины е вращаются с постоянной угловой скоростью со по окружности радиуса R. Радиусы, проведенные в точки расположения зарядов, образуют между собой угол гр. Определить величину угла 2，при котором интенсивности дипольного /d и квадрупольного ID излучений данной системы двух зарядов одинаковы.
Точечный диполь с моментом d вращается с постоянной угловой скоростью со по окружности радиуса R. Вектор d постоянен по модулю и в каждый момент времени направлен по радиусу окружности. Определить интенсивности дипольного /d, магнитно-дипольного /ц и
квадрупольного ID излучений в длинноволновом приближении R《无=с/з.
Два одинаковых антипараллельных точечных диполя с моментами d и ——d вращаются с постоянной угловой скоростью(о по окружности радиуса R, находясь на противоположных концах диаметра. Моменты диполей постоянны по модулю и в каждый момент времени направлены по касательной к окружности. Определить интенсивность / излучения, считая R《专.
Антипар аллельные точечные диполи с моментами d и ——d расположены на расстоянии 2a друг от друга и вращаются с постоянной угловой скоростью s в плоскостях, перпендикулярных общей прямой, на которой они находятся. Определить интенсивность I излучения такой системы в длинноволновом приближении
Расстояние 2о между двумя одинаковыми анти- параллельными точечными диполями значительно меньше длины излучаемой волны 。《大=с/з. Дипольный момент одного из них d = do cos оэЛ Постоянный вектор d0 перпендикулярен прямой, соединяющей диполи. Сравнить между собой интенсивности магнитно-дипольного /ц и квадрупольного ID излучений в среднем по времени за период Т = 2л/з.
Дипольные моменты двух одинаковых маленьких диполей направлены вдоль одной и той же прямой в противоположные стороны. Каждый диполь представляет собой систему двух частиц с массами m и зарядами с и ——е, которые связаны между собой квазиупругой силой и колеблются с частотой з. Расстояние 2о между диполями значительно меньше длины излучаемой волны. Определить усредненный по времени от / до / 4~ 2л/(о закон убывания энергии 齒 диполей, если в начальный момент времени /0 = 0 они имели энергию 齒°.
Шар, заряженный по объему сферически-симметрично, пульсирует так, что его объемная плотность заряда меняется по времени по закону р = р(г, /), где г ——расстояние до центра шара. Будет ли иметь место излучение?
Заряд Q равномерно распределен внутри капли, поверхность которой совершает гармонические колебания вблизи равновесного положения по закону 102
г = r0(1 4- e cos2 0 cos co/), где r — расстояние от центра капли до точки на ее поверхности, 0 — полярный угол сферической системы координат, а величины г。， со и s постоянны (6《1). Сохраняя члены с наименьшей степенью параметра е, определить интенсивность / из^;- чения.
Однородно заряженный тонкий диск радиуса R вращается вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью о. Полный заряд диска равен Q. Найти интенсивность / излучения.
zzегоегоТонкое кольцо радиуса R равномерно заряжено с линейной плотностью q. Ось кольца прецессирует с посюянной угловой скоростью со вокруг другой оси, проходящей через центр кольца под углом 0 к его собственной оси (рис. 4). Найти интенсивность / излучения.
z
z
его
его
Заряд Q равномер- z， но распределен по тонкому стержню длины 2Z, который、
вращается в плоскости с постоянной угловой скоростьюJ
УУсо вокруг своей центральной,
У
У
точки. Найти интенсивность|
/ и ^лучения./
Однородно заряженный по объему эллипсоид вращения с полуосями а и b покачивается в плоскости YZ около своего центра так, что
симметрии и осью Z меняется по гармоническому закону 0 = 0о cos з/, где 仇《1. Полный заряд эллипсоида равен Q, а полуось b лежит на его оси симметрии. Оставляя члены, содержащие наименьшую степень угла 0, найти интенсивности магнитно-дипольного /^ и квадрупольного Л)излучений.
Тонкий диск эллиптической формы с полуосями а и b равномерно заряжен с поверхностной плотностью о. Форма диска меняется со временем, оставаясь плоской и незначительно отклоняясь от круга радиуса R. Закон о — b &о — b
изменения параметра %： деформации задан % 下匕= = Bcos(o/, где В и (о ——постоянные (|3《1). Площадь диска равна площади круга радиуса R и при де-
формации не меняется, если не учитывать слагаемые, квадратичные ио малому параметру 0. Оставляя члены с наименьшей степенью параметра 0, определить интенсивность / квадрупольного излучения в среднем по времени за период Т = 2л/з.
Прямоугольный параллелепипед со сторонами а, а м b равномерно заряжен с объемной плотностью р. С течением времени параллелепипед деформируется так, что его поверхность испытывает малые гармонические колебания вблизи поверхности куба со стороной о。. Па- a -" 一j
раметрдеформации задан = pcos со/, где
P и з ——постоянные (卩《1). Объем параллелепипеда остается все время постоянным и равным объему куба со стороной а。，если пренебречь слагаемыми, квадратичными по малому параметру 0. Найти интенсивность / квадрупольного излучения в среднем по времени за период Т = 2я/ю.
Заряды е% (2= 1,2, ..., N) движутся со скоростями Vi в ограниченной области пространства. Определить поправки порядка 胃《1 к векторному потенциалу и напряженности магнитного поля в волновой зоне. При помощи полученного результата найти поправки того же порядка к интенсивности дипольного излучения, представив формулу в следующем виде:
2d2 2М2d2 2М180c5180c54 M4 M
2d2 2М
2d2 2М
180c5
180c5
4 M
4 M
где d и 读——дипольный и магнитный моменты, Da^ — тензор квадрупольного момента движущихся зарядов, а величина А/ подлежит определению. Слагаемое Д7 обычно опускается при написании интенсивности излучения системы, состоящей из медленно движущихся зарядов, хотя по порядку величины оно может совпадать с интенсивностями магнитно-дипольного и квадрупольного излучения.
Напряженность Е электрического поля между обкладками конденсатора однородна и постоянна. Внутри конденсатора параллельно полю Е движется с нерелятивистской скоростью V частица, имеющая массу m и заряд е. Используя результат предыдущей задачи, определить интенсивность излучения с точностью до малых членов порядка 叫с?.
§ 3. Спектральное разложение излучения
До начального момента времени 力=0 электрон с массой т и зарядом е покоился. При / ^ 0 он движется под действием электрического поля с напряженностью Е = Ео«-а£ cos зо/. Найти энергию d器з, излученную электроном на частотах от(о до(о + ds.
На отрезке длины I течет линейный ток / = =JQe~at sin где постоянные величины удовлетворяют неравенствам а/《с и з°2《с. В моменты времени 7 W 0 ток равнялся нулю. Найти энергию d齒①，излученную на частотах от(о до(о + ds.
Неподвижный шар равномерно заряжен с объемной плотностью р положительным зарядом. Внутри шара на расстоянии а от его центра в моменты времени /&0 покоился электрон с массой т и зарядом е, В последующее время / ^ 0 электрон движется под действием электрического поля шара. Учитывая силу радиационного трения, определить энергию d君心 дипольного излучения, приходящуюся на интервал частот от з до со + ds.
Осциллятор представляет собой частицу с массой т и зарядом е, которая совершает гармонические колебания с частотой g)o под действием внешней упругой силы. Начиная с момента времени 力=0, покоившийся осциллятор подвергся действию внешнего электрического поля с напряженностью Е= E(Z), которая описывается непрерывной функцией, обращающейся в нуль по истечении конечного промежутка времени. Принимая во внимание торможение излучением, найти энергию d/s дипольного излучения осциллятора, приходящуюся на интервал частот от со до з + d⑴.
Частица с массой т и зарядом е подвешена на невесомой жесткой нити и совершает малые колебания с частотой о)о в поле тяжести. Учитывая силу радиационного трения, определить ширину Дю спектральной линии излучения.
На большом расстоянии от излучателя в волновой зоне измерительный прибор в моменты времени 0 W t зафиксировал электрическое поле с напряженностью Е = Е°е-а力 cos со。力，где постоянные величины а и а)о удовлетворяют неравенству а《з°. Определить ширину Део спектральной линии излучения, прошедшего через измерительный прибор.
Совокупность возбужденных примесных атомов кристалла излучила электромагнитный импульс, распространяющийся в свободном пространстве в виде плоской волны
Е = Е。］扑-唄 cosgg—号
где векторы Ео и п, а также величины(оо и т постоянны. Несущая частота зо импульса и время релаксации т кристалла связаны условием з()е》1. Определить ширину Дю спектральной линии излучения.
Напряженность электрического поля когерентного спонтанного излучения атомов газа имеет вид плоской волны
(ТУ z ПГЧ
Е = Ео^ 'о cos g
где(оо — частота резонансного атомного перехода, 7°―- время доплеровской релаксации (g)oTo》1), и ——единичный вектор направления распространения волны, а Ео — постоянный вектор. Определить ширину Д(о спектральной линии излучения.
До начального момента времени частица с массой т и положительным зарядом е покоилась. В последующие моменты времени она движется под действием однородного постоянного электрического поля с напряженностью Е. Определить энергию d齒①,излученную в интервале частот от со до ю + ds, если частица пролетела расстояние / в области, где действует это поле.
Электрон с массой т и зарядом е влетает в полупространство, в котором напряженность Е электрического поля однородна и постоянна. Направление скорости v0 электрона при влете образует с вектором Е острый угол а. Определить энергию 2歩①，излученную в интервале частот от со до со + dco за все время движения во внешнем поле.
Протон с массой т и зарядом е пролетает с большим прицельным расстоянием I мимо неподвижного ядра, имеющего заряд Ze. Из-за большой величины Z угол рассеяния протона мал. Скорость протона до взаимодействия с ядром по абсолютной величине равнялась Vq. Определить число dN® мягких квантов, излученных 106
протоном с частотами в интервале от о до(о + 厶)，где з《子. Энергия кванта 方⑴.
Две частицы с массами 〃厶 н 团2 0 одноименными зарядами ⑦ и е2 двигаются по прямой из бесконечности навстречу друг другу. Когда взаимное расстояние становится равным /, частицы останавливаются, после чего совершают движение в противоположном направлении, разлетаясь на бесконечность. Определить энергию d君° дипольного излучения, приходящуюся на интервал частот от со до(о + ds. Исследовать полученное выражение в области малых н больших частот.
В начальный момент времени 力=0 две частицы с массами т^ и т2 и одноименными зарядами 巳 и е? покоились на расстоянии / друг от друга. В дальнейшем в результате кулоновского взаимодействия они разлетаются на бесконечно большое расстояние. Определить энергию dS(о дипольного излучения, приходящуюся на интервал частот от со до(о + dm Исследовать полученное выражение в области малых и больших частот. Сравнить с аналогичными формулами предыдущей задачи.
Энергия взаимодействия двух заряженных частиц является функцией расстояния между ними и приводит к взаимному отталкиванию. Рассмотреть два случая движения: а) частицы налетают друг на друга по прямой линии и после остановки вновь разлетаются на бесконечно большое расстояние, совершая движение в противоположном направлении; 6) частицы после остановки остаются в покое (или, наоборот, покоившиеся частицы с некоторого момента времени разлетаются на бесконечность). Доказать, что спектральные разложения дипольного излучения в этих двух случаях
d鄧=奈斤®)5 d^ = -^\A6^d^
выражаются через одну и ту же комплексную функцию f (со) при помощи соотношений
&。⑹=12Re f (о), W ⑹=1 f ⑹，
где 1 ——постоянный единичный вектор, параллельный прямолинейной траектории. Причем функция f (со)
107
удовлетворяет условию
2 \ (Ref®))2ds=\ I f ((о) I2 do, о о
а полные энергии дипольного излучения различаются между собой в два раза 器° = 2鋁*
Дипольный момент d имеет постоянное направление, а по модулю меняется со временем по периодическому закону с периодом Т = 2л/о)о. Представить среднюю по времени за период Т интенсивность / излучения в виде суммы излучений на отдельных гармониках с частотами, являющимися целыми кратными основной частоты (Dp.
Магнитный момент токов, текущих в весьма малой области пространства, меняется со временем по закону j1 =卩0?一尸疔2, где 队0 — постоянный вектор, а Т -постоянная. Определить энергию d齒⑴,излученную в интервале частот от(о до з + dco за бесконечное время от / = —оо до / = оо.
По неподвижной тонкой рамке в неограниченном промежутке времени ——оо ^ / ^ оо течет линейный ток J = Л)# ；声,где /о и т ——некоторые постоянные. Площадь рамки S, а ее линейные размеры малы по сравнению с величиной ст, где с — скорость света в вакууме. Определить энергию d齒①，излученную на частотах в интервале от(о до(о + dco.
Два одинаковых антипараллельных точечных диполя находятся на одной прямой на расстоянии 2。 друг от друга. 11ачиная с момента времени % = 0, они совершают затухающие гармонические колебания. Момент одного из диполей d ~ йое~^ cos со。/, где у《со。，а вектор do лежит на прямой, соединяющей диполи. Расстояние между диполями мало по сравнению с основными длинами излучаемых волн. Определить энергию d否⑴，излученную на частотах в интервале от (о до со + dco.
Решить предыдущую задачу в предположении, что вектор d0 перпендикулярен прямой, соединяющей точечные диполи.
Два ядра с массовыми числами А{ и А2 и зарядами Z]C и Z2e движутся по одной и той же прямой из бесконечности навстречу друг другу. В системе центра 108
инерции суммарная кинетическая энергия обоих ядер до взаимодействия между собой равнялась 齒°. После остановки они вновь удаляются на бесконечность. Отноше- Zie Z2。 Ze ние заряда к массе у ядер одинаково -~— — ■ -■-=——, где т — масса нуклона. Определить энергию d器①，излученную в интервале частот от(о до со + rfw. Исследоватьинерции суммарная кинетическая энергия обоих ядер до взаимодействия между собой равнялась 齒°. После остановки они вновь удаляются на бесконечность. Отноше- Zie Z2。 Ze ние заряда к массе у ядер одинаково -~— — ■ -■-=——, где т — масса нуклона. Определить энергию d器①，излученную в интервале частот от(о до со + rfw. Исследоватьпредельные случаи малых и больших частот.Ядро расщепляется на два осколка с массовыми числами Л! и Л2 и зарядами Zie и Z2^, причем отношение заряда к массе у осколков одинаково 才团=才冠=Ze'"= -д^-, где т — масса нуклона. В момент расщепленияпредельные случаи малых и больших частот.Ядро расщепляется на два осколка с массовыми числами Л! и Л2 и зарядами Zie и Z2^, причем отношение заряда к массе у осколков одинаково 才团=才冠=Ze'"= -д^-, где т — масса нуклона. В момент расщепленияскорости осколков равнялись нулю. В дальнейшем под влиянием кулоновского взаимодействия осколки разлетаются на бесконечно большое расстояние, имея суммарную энергию 齒о. Определить энергию d對必,излученную в интервале частот от з до з + Пз. Исследовать предельные случаи малых и больших частот. Сравнить полученные результаты с аналогичными формулами предыдущей задачи.Считая отношение заряда к массе у частиц в задаче 364 одинаковым, доказать, что спектральные разскорости осколков равнялись нулю. В дальнейшем под влиянием кулоновского взаимодействия осколки разлетаются на бесконечно большое расстояние, имея суммарную энергию 齒о. Определить энергию d對必,излученную в интервале частот от з до з + Пз. Исследовать предельные случаи малых и больших частот. Сравнить полученные результаты с аналогичными формулами предыдущей задачи.Считая отношение заряда к массе у частиц в задаче 364 одинаковым, доказать, что спектральные разложения квадрупольного излучения в указанных двухложения квадрупольного излучения в указанных двухслучаяхслучаяхd^d^I方8(3hI方8(3h180he5180he5l3，l3，I隔(叫I隔(叫180Пс5180Пс5
инерции суммарная кинетическая энергия обоих ядер до взаимодействия между собой равнялась 齒°. После остановки они вновь удаляются на бесконечность. Отноше- Zie Z2。 Ze ние заряда к массе у ядер одинаково -~— — ■ -■-=——, где т — масса нуклона. Определить энергию d器①，излученную в интервале частот от(о до со + rfw. Исследовать
инерции суммарная кинетическая энергия обоих ядер до взаимодействия между собой равнялась 齒°. После остановки они вновь удаляются на бесконечность. Отноше- Zie Z2。 Ze ние заряда к массе у ядер одинаково -~— — ■ -■-=——, где т — масса нуклона. Определить энергию d器①，излученную в интервале частот от(о до со + rfw. Исследовать
предельные случаи малых и больших частот.
Ядро расщепляется на два осколка с массовыми числами Л! и Л2 и зарядами Zie и Z2^, причем отношение заряда к массе у осколков одинаково 才团=才冠=
Ze'"
= -д^-, где т — масса нуклона. В момент расщепления
предельные случаи малых и больших частот.
Ядро расщепляется на два осколка с массовыми числами Л! и Л2 и зарядами Zie и Z2^, причем отношение заряда к массе у осколков одинаково 才团=才冠=
Ze'"
= -д^-, где т — масса нуклона. В момент расщепления
скорости осколков равнялись нулю. В дальнейшем под влиянием кулоновского взаимодействия осколки разлетаются на бесконечно большое расстояние, имея суммарную энергию 齒о. Определить энергию d對必,излученную в интервале частот от з до з + Пз. Исследовать предельные случаи малых и больших частот. Сравнить полученные результаты с аналогичными формулами предыдущей задачи.
Считая отношение заряда к массе у частиц в задаче 364 одинаковым, доказать, что спектральные раз
скорости осколков равнялись нулю. В дальнейшем под влиянием кулоновского взаимодействия осколки разлетаются на бесконечно большое расстояние, имея суммарную энергию 齒о. Определить энергию d對必,излученную в интервале частот от з до з + Пз. Исследовать предельные случаи малых и больших частот. Сравнить полученные результаты с аналогичными формулами предыдущей задачи.
Считая отношение заряда к массе у частиц в задаче 364 одинаковым, доказать, что спектральные раз
ложения квадрупольного излучения в указанных двух
ложения квадрупольного излучения в указанных двух
случаях
случаях
d^
d^
I方8(3h
I方8(3h
180he5
180he5
l3，
l3，
I隔(叫
I隔(叫
180Пс5
180Пс5
выражаются через одну и ту же комплексную функцию &В(з) ПРИ помощи соотношений
厅8 ®)= 2"m з ⑹，方：6 3) = 3(①)，
Функция fag (①)удовлетворяет условию
2 \ (Im % И)2 ds = \ I 储(①)I2 dco, о0
а полные энергии квадрупольного излучения разлил чаются между собой в два раза 泻“ =2歩 ・
Частица с зарядом е налетает с прицельным расстоянием I на боковую поверхность абсолютно упру" гого конуса высоты 九 и радиуса основания R (/?>/)• Начальная скорость v частицы параллельна оси косинуса.
109
Определить энергию d鋁① дипольного излучения на частотах в интервале от з до з + ds.
Однородный поток частиц с зарядом е налетает со скоростью V на абсолютно упругий шар радиуса R. Найти эффективное излучение dx^ в интервале частот от со до (о + Ао. Величина dx① определяется формулой
出％ = \ d歩з • 2п/ dl,о
где d歩①一энергия дипольного излучения в интервале частот de той частицы, которая пролетает с прицельным расстоянием /.
4. Угловое распределение излучения
Частица с массой т и зарядом с движется перпендикулярно однородному постоянному магнитному полю с напряженностью Но. Скорость частицы по абсо^ лютной величине равна и. Найти интенсивность di пн- польного излучения в телесный угол dQ в среднем по времени за период движения частицы.
Прямоугольная рамка с постоянным линейным током / вращается вокруг своей диагонали с постоянной угловой скоростью(о. Площадь рамки равна S, а ее линейные размеры малы по сравнению с длиной излучаемой волны. Найти интенсивность di излучения в телесный угол dQ в среднем по времени за период вращения рамки.
Протон с массой т и зарядом е покидает неподвижное ядро, радиус которого R, а остаточный заряд Ze. При вылете из ядра скорость протона равнялась нулю. Найти угловое распределение d/n полной энергии дипольного излучения, обусловленного кулоновским взаимодействием протона с ядром.
Заряд Q однородно заполняет объем цилиндра радиуса R и высоты h. Поверхность цилиндра испытывает малые гармонические колебания вблизи равновесного положения, определяемого радиусом R。и высотой 阮=Яо- Изменение со временем параметра^-^^ «цефор- R — к
мации задано -方工又=е cos ①/, где & и ① ——постоянные (8《1). Объем цилиндра остается все время постоян* ПО
ным и равным jtR^, если не учитывать члены, квадратичные по малому параметру & Найти интенсивность di квадрупольного излучения в телесный угол dQ в среднем по времени за период Т = 2л/(о.
Однородно заряженный цилиндр радиуса R и высоты /z вращается с постоянной угловой скоростью (о около оси, проходящей через среднюю точку цилиндра перпендикулярно его оси симметрии. Полный заряд равен Q. Определить интенсивность d! излучения в телесный угол da в среднем по времени за период вращения.
Квадруполь представляет собой систему четырех зарядов, расположенных в вершинах квадрата со стороной 厶 Знак заряда е меняется на противоположный при переходе к соседней вершине. Предполагая, что квадруполь вращается в плоскости XY вокруг своего центра с постоянной угловой скоростью со. определить угловое распределение интенсивности излучения di в среднем по времени за период движения.
Двигаясь параллельно оси Z, заряженная частица налетает с прицельным расстоянием I на абсолютно упругий шар радиуса R (R〉/). Начало координат находится в центре шара, а траектория частицы с зарядом е лежит в плоскости XZ. Найти энергию d歩〃 излученную в телесный угол dQ на частотах в интервале от ⑴ до з + dco.
Квадрупольный момент D тела вращения меняется со временем по закону D = 4?-力味 где DQ и Т — постоянные. Найти энергию tZ<Fn(0, излученную в телесный угол dQ на частотах в интервале от <о до(о + d(o за бесконечное время от / = —оо до / = оо.
При распаде неподвижного ядра радиуса R образовалась a-частица со скоростью, равной нулю. Заряд a-частицы Q, а ее радиус пренебрежимо мал по сравнению с R. В результате кулоновского отталкивания a-частица удалилась на бесконечность. Найти угловое распределение d君п полной энергии излучения с учетом малого слагаемого порядка -^《1, где и ——скорость a-частицы на бесконечности.
Частица с массой m и положительным зарядом е пролетает расстояние I в однородном постоянном электрическом поле с напряженностью Е. Скорость v0 части-* цы при влете во внешнее поле была параллельна вектору Е. Определить угловое распределение d/п полной
энергии излучения с учетом малого слагаемого порядка и[с, где и — скорость частицы при выходе из внешнего поля.
Первоначально покоившийся протон с массой т и зарядом е выталкивается из однородного постоянного электрического ноля с напряженностью Е, после того как пролетел в этом поле расстояние /. Скорость v протона при выходе из внешнего поля значительно меньше скорости света. Определить энергию d咨皿 излученную протоном в телесный угол на частотах в интервале ог (о до со + ^^ с учетом малого слагаемого порядка v/c.
Два одинаковых антипар аллельных точечных диполя, расположенных на оси X на равном расстоянии а от начала координат, изменяются со временем по гармоническому закону. В точке с положительной координатой дипольный момент параллелен оси У и равен d = do cos(о/. Расстояние между диполями мало по сравнению с длиной излучаемой волны а《入=с心.Найти интенсивность di излучения в телесный угол dQ в среднем по времени за период колебания диполей.
Антипараллельные диполи с постоянными моментами d и ——d находятся на противоположных концах диаметра и вращаются в плоскости XY по окружности радиуса R с постоянной угловой скоростью ⑴.Начало координат расположено в центре окружности, а ось Z параллельна вектору d. В длинноволновом приближении определить угловое распределение интенсивности излучения di в среднем по времени за период движения.
На оси Z на одинаковом расстоянии а от начала координат расположены антипар аллельные диполи с моментами d и —d, которые вращаются с постоянной угловой скоростью (о в плоскостях, перпендикулярных оси Z. В длинноволновом приближении определить угловое распределение интенсивности излучения di в среднем по времени за период вращения.
N параллельных точечных диполей с моментами d = d0 cos(oZ расположены на одной прямой на одинаковом расстоянии а друг от друга. Постоянный вектор d0 направлен произвольно по отношению к вектору а, соединяющему два соседних диполя. Расстояние между диполями сравнимо с длиной излучаемой волны а 〜专. Рассматривая электромагнитное поле на больших рас- 1 12
стояниях от системы, определить интенсивность di излучения в телесный угол в среднем по времени за период Т = 2л/о).
Пять одинаковых точечных диполей с моментами d = do cos(о/ расположены, как указано на рис. 5 и 6.
Вектор do постоянен, а' расстояние между диполями равно длине излучаемой волны с^. В указанных двух случаях определить интенсивность di излучения в телесный угол dQ в среднем по времени за период Т = 2л/ю. Найти направления, для которых излучение максимально.
§ 5. Поляризация излучаемых волн
Положительный заряд е вращается по окружности радиуса R с постоянной угловой скоростью @. Определить поляризацию волн дипольного излучения.
Магнитный момент вращается в одной и той же плоскости с постоянной угловой скоростью. Определить поляризацию излучаемых волн.
Электрон с массой m и зарядом е движется перпендикулярно постоянному однородному магнитному полю с напряженностью Но. Скорость электрона по абсолютной величине равна v. Определить поляризацию волн квадрупольного излучения.
Электрон находится в электромагнитном поле линейно-поляризованной монохроматической волны.
Найти поляризацию волн когерентного дипольного излучения электрона.
Тонкая рамка с линейным током имеет срорму окружности, плоскость которой сохраняет постоянное положение в пространстве, а радиус увеличивается со временем. Определить поляризацию излучаемых электромагнитных волн.
Две одинаковые заряженные частицы движутся в свободном пространстве по прямой, отталкиваясь друг от друга. Определить поляризацию излучаемых волн.
Поверхность однородно заряженного с объемной плотностью р эллипсоида вращения с полуосями а н b
бросить слагаемые,бросить слагаемые,испытывает малые гармонические колебания вблизи поверхности шара рат диуса R. Параметр •:不｝ деформации меняется по закону % 斗力 =В cos 叫 где р《1, а полуось & лежит на оси аксиальной симметрии эллипсоида. Объем эллипсоида все время остается постоянным и равным объему шара радиуса R, если от
бросить слагаемые,
бросить слагаемые,
квадратичные по малому пара*
метру р. Найти угловое распределение интенсивности излучения di и полную интенсивность / излучения по
всем направлениям в среднем по времени за период ко* лебания, а также определить поляризацию излучаемых волн. Эта задача описывает модель излучения при переходах между колебательными энергетическими уровнями
ядра.
Однородно заряженный по объему эллипсоид вращения с полуосями а и b вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг своей полуоси а, не являющейся осью аксиальной симметрии (рис. 7). Полный заряд эллипсоида равен Q. Найти угловое распределение интенсивности излучения di и полную интенсивность / излучения по всем направлениям в среднем по времени
за период вращения, а также определить поляризацию излучаемых волн. Эта задача описывает модель излучения при переходах между вращательными энергетическими уровнями ядра.
§ 6. Рассеяние электромагнитных волн
Линейно-поляризованная плоская волна падает на свободный электрон с массой m и зарядом е. Представить эффективное сечение do рассеяния волны в телесный угол dQ как функцию углов рассеяния. Чему равно полное сечение о рассеяния?
Решить предыдущую задачу, считая плоскую волну неполяризованной.
Циркулярная волна Е = Е。。％ cos (з/ — kz) + 斗 lySin(sf — kz)] падает на свободный электрон с массой т и зарядом е. Найти интенсивность di рассеянного излучения в телесный угол dQ в среднем за период Т = 2п/з. Чему равно полное сечение о рассеяния волны?
В томсоновской модели атома водорода электрон с массой т и зарядом е совершает колебательное движение внутри неподвижного шара радиуса R, равномерно заряженного положительным зарядом. Вычислить дифференциальное do и полное о сечение рассеяния циркулярно-поляризованной плоской волны на таком атоме. Частота з падающей волны не совпадает с атомной, а длина волны велика по сравнению с диаметром шара.
С учетом силы радиационного трения вычислить дифференциальное do и полное о сечение рассеяния линейно-поляризованной плоской волны на атоме водорода, описываемом моделью Томсона (см. предыдущую задачу). Частота со падающей волны может совпадать с атомной, а длина волны велика по сравнению с диаметром атома.
Электрон с массой m и зарядом е совершает колебательное движение внутри цилиндра, равномерно заряженного с объемной плотностью р. Учитывая силу радиационного трения, определить дифференциальное do и полное о сечение рассеяния линейно-поляризованной плоской волны на электроне. Длина падающей волны велика по сравнению с диаметром цилиндра, а вектор поляризации перпендикулярен его оси.
Определить дифференциальное do и полное о сечение рассеяния эллиптически-поляризованной плоской волны
Е = 1%仇 cos (о/ — fcs + а) + \yb2 sin (①/ —貶 + а)
на свободном электроне с массой т и зарядом е.
Определить полное сечение о рассеяния линейно- поляризованной монохроматической плоской волны Н = = HoCOS(3%—kr + a) на свободном нейтроне, у которого магнитный ц и механический М моменты связаны соотношением ц = —0М. Частота В/ прецессии магнитного момента мала по сравнению с частотой з падающей волны.
В электромагнитном поле эллиптически-поляри- зованной волны Е = 1久仇 cos (з/ ——々z + а) + \yb2 sin ■ ——kz + а) покоится атом, поляризуемость которого р. Длина волны велика по сравнению с линейным размером атома, поэтому у него во внешнем электрическом поле возникает дипольный момент d = |ЗЕ. Определить дифференциальное do и полное о сечения рассеяния электромагнитной волны на атоме.
Момент инерции атома относительно произвольной оси, проходящей через центр тяжести, равен J, а его электрический дипольный момент d имеет равновероятную ориентацию в пространстве. Определить полное сечение рассеяния линейно-поляризованной плоской волны E=E()cos(3/ ——kr) на электрическом диполе d, усредненное по направлению вектора d. Для упрощения формул предположить, что частота Q вращения вектора d пренебрежимо мала по сравнению с характерной частотой VW-
§ 7. Излучение протяженных источников
В конечном объеме, граничащем с вакуумом, течет ток с объемной плотностью j. В промежутке времени от 占 до 方2 объемная плотность заданного тока меняется со временем, а вне этого промежутка всюду равна нулю или постоянна. Моменты времени 介 и /2 произвольны, в частности, возможно 厶->8 и 12Tg・ Доказать, что в волновой зоне, где напряженности электрического Е(г,/) и магнитного Н (г, /) полей по модулю убывают обратно пропорционально расстоянию от заданного тока, 116
выполняются равенства
\ Е (г, /)山=0,\ Н (г, Z) dt = 0.
По отрезку [——/, Z] оси Z течет линейный ток
/ = /0 cos 左2 since厶
где з = he, h = (2m + l)n/2/, m ——целое положительное число, а с ——скорость света в вакууме. Ыайти среднюю по времени за период Т = 2п/⑴ интенсивность d/ излучения в телесный угол dQ. Данная задача является примером излучения линейной антенны.
Сопротивлением излучения линейной антенны называется величина R = 2///^, где / — средняя по времени за период Т = 2я/со интенсивность излучения линейного тока / =厶 cos kz sin о/, текущего по антенне. Используя результаты предыдущей задачи, предсгавгнь сопротивление излучения антенны в виде
(2т + 1)2л
0
Вдоль линейной антенны, лежащей на оси Z, бежит волна тока / = /(/ — z/c), где |г| ^ I, с ——скорость света в вакууме, а /(/ —— дифференцируемая функ
ция. Определить напряженности электрического Е и магнитного Н полей излучения в точках плоскости XY на большом расстоянии от антенны в волновой зоне.
По отрезку [—/, /] оси Z в моменты времени /0 течет линейный ток
/ = Jo cos kmze~^f sin ①力厶
где(Om =々mJ km = (2m + 1)п/2/, m 一一 целое положительное число, а с ——скорость света в вакууме. Найти напряженности электрического Е и магнитного И полей в точках плоскости ХУ, лежащих на больших расстояниях г от тока (厂》kml2). Представить найденное электромагнитное поле излучения в виде суперпозиции монохроматических волн с разными частотами, считая
Вдоль линейной антенны длины 2/ бежит волна тока
/ =」о cos (о/ —々2),
где з =々с и ]z|&/, а с — скорость света в вакууме. Определить угловое распределение интенсивности излучения антенны в среднем по времени за период колебания тока.
^ параллельных линейных антенн длинн 2/ расположены в плоскости XZ на одинаковом расстоянии друг от друга. Вектор а, соединяющий две соседние антенны, параллелен оси X. Расстояние между антеннами сравнимо с длиной излучаемой волны а 〜с/з. Вдоль каждой антенны течет линейный ток
/ = /о sin 々zcos з/,
где I z I 0 /, з = he, k =团冗〃，т ——целое положительное число, а с ——скорость света в вакууме. Определить напряженность Н магнитного поля излучения на больших расстояниях г》121cL от антенн. Найти интенсивность излучения di в телесный угол dQ в среднем по времени за период Т = 41/с.
По бесконечно тонкой пластине （—Ь《％ W Ь, ——/ W z W /） параллельно оси Z течет ток с поверхностной плотностью i = io sin kz cos з/, где s =々& k = mn/lt т — целое положительное число, а с ——скорость света в вакууме. Ширина и длина пластины сравнимы с длиной излучаемой волны. Определить интенсивность излу* чения di в телесный угол dQ в среднем по времени за период Т = 41/с.
Параллельно оси цилиндрической поверхности радиуса R бежит волна тока с поверхностной плотностью г = fo cos（（oZ —— 力z）, где |г| ^ /, со = kc, а с ——скорость света в вакууме. Длина волны с/з сравнима с радиусом R. Определить интенсивность di излучения в телесный угол dQ в среднем по времени за период колебания тока.
Ось Z служит общей осью двух одинаковых круглых конусов, которые расположены симметрично относительно плоскости XY и имеют общую вершину в начале декартовой системы координат. Образующая каждого конуса имеет длину b и составляет с его осью угол 0О. Полный ток, текущий по боковым поверхностям конусов, описывается функцией / = /（『，/）, где г — расстояние до их общей вершины. Определить интенсивность di излучения в телесный угол dQ. Исследовать предельные выражения полученной формулы в двух случаях 0о^О и 0О = н/2.
§ 8. Задачи, требующие вычисления на ЭВМ
Электрон с энергией 皆=е2/2а рассеивается на атоме водорода, электрическое поле которого определяется потенциалом 屮(г) = е(； + ^)е~2〃％ где е — за- 力2
ряд протона, 4 =五&—боровский радиус, m — масса электрона и 方一постоянная Планка. Определить полную энергию 若& дипольного излучения в процессе рассеяния. При помощи вычисления на ЭВМ построить кривую зависимости излученной энергии 3d от прицельного расстояния / пролетающего электрона.
Поток частиц с массой т, зарядом & и энергией ^о движется в сферически-симметричном потенциальном поле U (г) — U^1^. где а и U。——положительные постоянные. Найги эффективное излучение
х = \ А/ • 2л/ d/. Здесь Д^ ——полная энергия диполь- кого излучения частицы, пролегающей с прицельным расстоянием I. Пользуясь вычислением на ЭВМ, построить кривую зависимости эффективного излучения х от энергии /о в области 0,1 / W /о W 10 UQ.
Частица с зарядом Q движется со скоростью а по прямой мимо первоначально покоившегося заряженного осциллятора, собственная частота которого зо, а заряд и масса равны соответственно е и т. Расстояние / от центра осциллятора до прямолинейной траектории
движения частицы настолько велико, что изменением
скорости V можно пренебречь. Пренебрегая также силой радиационного трения, построить кривую интенсивности / излучения осциллятора под действием пролетающей заряженной частицы. Для вычисления на ЭВМ положить и = 3°/ и считать амплитуду колебаний осциллятора малой по сравнению с I.
Покоившийся заряженный осциллятор с трением с момента времени t = t^ подвергся действию внешней силы F = «eT2/% так что его уравнение дви^
жения приняло вид
f +脸=得
где(оо и т — собственная частота и масса осциллятора, а коэффициент у характеризует энергетические потери,
119
обусловленные трением. Заряд колеблющейся частицы е. Полагая у = з°/2 = 2/т и используя численные методы, построить и сравнить между собой кривые интенсивности / излучения осциллятора под действием внешней силы F в двух случаях: /0 == 0 и t0 =——оо.
Тяжелое ядро с зарядом Q движется со скоростью и по прямолинейной траектории на большом расстоянии / от покоящегося электронейтрального атома, поляризуемость которого р. Последнее означает, что во внешнем электрическом поле с напряженностью Е у атома появляется электрический дипольный момент d = рЕ. Пренебрегая изменением скорости и движущегося ядра, найги энергию d/©, излученную поляризованным атомом на частотах в интервале от со до(о + dm При помощи численных методов построить кривую 時91ds спектрального разложения излучения.
Два ядра имеют массовые числа Ai и А2 и заряды Z]C и Z2e. В системе центра инерции их суммарная энергия /о. Масса нуклона т. Рассмотреть два случая движения: а) ядра налетают друг на друга по прямой линии и после остановки вновь разлетаются на бесконечность; 6) ядра с некоторого момента времени f = О разлетаются на бесконечность, являясь осколками большего ядра (в начальный момент времени f = 0 нх скорости равнялись нулю). Определить спектральные плотности излучения d否*/d(o и d/^/d① в случаях а и 6. При помощи численных методов построить и сравнить между собой кривые спектрального разложения излучения в обоих указанных случаях.
Решить предыдущую задачу, считая отношение заряда к массе у обоих ядер одинаковым
Zu — Z?e — ZeA1m 一百2仙一Aт *
В пространстве в направлении единичного вектора п распространяется электромагнитная волна, напряженность электрического поля которой
Е = E0e^(r/T)4 cos со/',
где Г = /——^, Ео ——постоянный вектор, а параметры т и (Do удовлетворяют неравенству coot》1. Используя численные методы, начертить спектральную линию / (з) излучения, распространяющегося в виде данного 120
электромагнитного импульса. Определить ширину Асо спектральной линии.
По бесконечно тонкой пластине (——6 V х W b, —/ 0 2 0/) параллельно оси Z бежит волна тока с поверхностной плотностью i = 1/°ехр[ me с — скорость света в вакууме, a i。и т—постоянные. Определить напряженности электрического Е и магнитного Н полей излучения в точках оси X на большом расстоянии г от пластины. Полагая b — I = сх, построить кривую зависимости напряженности электрического поля от времени для некоторой фиксированной точки наблюдения волновой зоны. Начертить спектральную линию 歩(со) излучения, прошедшего через эту точку наблюдения.
В направлении оси цилиндра высоты 2/z и радиуса R бежит волна тока с объемной плотностью j =儿0一"伏户cos (々2 —(oZ), где (o = fee, a г и z—цилиндрические координаты. Постоянный вектор j0 параллелен оси Z. Начало координат выбрано в центральной точке цилиндра. Определить среднюю за период Т = 2л/о)интенсивность излучения в единицу телесного угла di]dO как функцию полярного угла 0, отсчитываемого от оси цилиндра. Построить диаграмму направленности излучения, откладывая численное значение величины d//dQ для каждого угла 0 в виде отрезка на луче, составляющем тот же угол с полярной осью, которая совпадает с осью цилиндра. Для вычисления на ЭВМ положить 力=R = \/k.
Биконический вибратор состоит из поверхностей двух одинаковых круговых конусов, касающихся вершинами и имеющих общую ось. Образующая каждого конуса имеет длину I и составляет угол л/4 с его осью. По биконической поверхности в направлении образующей течет полный ток J = J。cos kr sin ⑴力 где k = =со/с =冗/2 厶 a г — расстояние до общей вершины. Определить среднюю за период Т = 2 л/со интенсивность излучения в единицу телесного угла d//dC как функцию полярного угла 0, отсчитываемого от оси вибратора. При помощи численных методов построить кривую зависимости величины d〃dQ от угла 0.
С момента времени / = 0 из точки пространства с радиус-вектором г = 0 был испущен импульс тока, который начал растекаться во все стороны с объемной
плотностью J = —尸（厂，/）• Здесь 1 —— постоянный единичный вектор, а 尸（г, /） — произвольная функция мо^ дуля 广 радиус-вектора и времени /. Определить напряженности электрического Е и магнитного Н полей в волновой зоне, где эти величины убывают обратно пропорционально расстоянию от тока. Полагая
尸（Г,=尸（Г,=тт
尸（Г,=
尸（Г,=
т
т
где /》J с — скорость света в вакууме, а постоянные Ани связаны условием ст = 10Z, построить кривую зависимости напряженности электрического поля излучения от времени для некоторой фиксированной точки наблюдения волновой зоны.
Глава V
ПОЛЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ
ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
Инерциальная система координат вместе с прикрепленными к ней часами называется инерциальной системой отсчета. Происшедшее событие будем отмечать координатами х, у и г места, где оно произошло, и временем /, когда оно произошло в определенной инерциальной системе отсчета.
Каждому событию можно сопоставить точку в четырехмерном пространстве, которая характеризуется 4-ра
диус-вектором Xj с компонентами
%】=% %? = у,
,(V.1)
%3 — 2, Х^ — let 9
Сумма квадратов компонент 4-радиус-вектора
^ + 4 + 4 + ^ (v・2)
представляет собой квадратРис. 8.
расстояния точки (V. 1) до
начала координат и определяет метрику данного четырехмерного пространства.
Пусть штрихованная инерциальная система координат XfYfZf движется вдоль оси X со скоростью V относительно покоящейся координатной системы XYZ. Одноименные декартовы оси параллельны, а в момент времени / = 0 начала этих двух кординатных систем совпадали (рис. 8). Тогда координаты и время одного и того же события, зарегистрированные в указанных
инерциальных системах отсчета, связаны между собой преобразованием Лоренца
(V.3)(V.3)
(V.3)
(V.3)
или в четырехмерном обозначенииили в четырехмерном обозначении
или в четырехмерном обозначении
или в четырехмерном обозначении
Последнее преобразование удобно записать в матричном виде )
X 尸%負,(V.4)
7
aik =aik =о о1 оО 1о о1 оО 1(V.5)(V.5)о оо оОоОо
aik =
aik =
о о
1 о
О 1
о о
1 о
О 1
(V.5)
(V.5)
о о
о о
О
о
О
о
Формулы обратного преобразования получаются путем изменения знака у скорости V на противоположный
%； = a7kxk = %協・(V • 6)
Поскольку матрица (V. 5) удовлетворяет условию 唄преобразование Лоренца (V. 4) является линейным ортогональным преобразованием координат в четырехмерном пространстве. Оно описывает переход от одной координатной системы (Х1Х2Х3Х4) к другой (Х；Х；Х；Х0, повернутой в плоскости Х1Х4 на некоторый
угол. Величина (V. 5) представляет собой матрицу этого линейного ортогонального преобразования.
Вектором 4 в четырехмерном пространстве (4-вектором) называется совокупность четырех величин Ль Л2, Л3 и 4, которые при ортогональном преобразовании координат преобразуются как компоненты 4-радиус- вектора
4 =4 =砧 4，(V .7)
где 〃消——матрица произвольного линейного ортогонального преобразования координат в четырехмерном пространстве. В частности, она может иметь вид (V. 5).
Для 4-вектора принято обозначение
4 = (А, 4),(V. 8)
где А = 1ХД1 + \УА2 + Ь^з. Первые три компоненты Ль Л2 и Л3 4-вектора называют пространственными, а четвертую А4 — временной.
Аналогично четырехмерным тензором второго ранга называется совокупность шестнадцати величин Tik) которые при ортогональном преобразовании координат преобразуются как произведение компонент 4-радиус- вектора
Если некоторая величина не меняет своего численного значения при переходе в любую повернутую четырехмерную систему координат, то она называется скаляром. Этому свойству удовлетворяет, например, скалярное произведение AiBi = АВ + ^4^4 4-векторов Л^ и Вй которое инвариантно по отношению к поворотам четырехмерной системы координат
%当= g" = inv・(V. 10)
(V.H)(V. 12)(или просто(V. 13)(V.H)(V. 12)(или просто(V. 13)Импульс р и энергия / частицы с массой т
(V.H)
(V. 12)
(или просто
(V. 13)
(V.H)
(V. 12)
(или просто
(V. 13)
V1 - М/с2，
— v2/c2 образуют 4-вектор 凡 энергии-импульса 4-импульс)
办=(Р,
Эту величину часто представляют в следующем виде pt = mcUi, вводя понятие 4-скорости:
=(V.14)
\ С V 1 ~ У2/^2 V 1 — v2/c2 丿
Компоненты четырехмерной скорости удовлетворяют условию 〃： = —1, так что можно записать
р?—警=—m 2c2.(V. 15)
Из формул (V. 11) и (V. 12) вытекают полезные соотношения
Р — ^ -Л-,/ = д/m2c4 + Р2c2, Т =器—仪汽(V. 16)
где величина 7 называется кинетической энергией релятивистской частицы, а значение тс2 — энергией покоя.
Дифференцируя по времени обе части равенства (V. 15) и используя уравнение движения
»=F,(VJ7)
легко определить скорость изменения кинетической энергии частицы во внешнем силовом поле F:
Наравне с трехмерной силой F, действующей на частицу, вводят понятие 4-вектора силы с компонентами
九—i —/ vF(V. 19) k С “1 — U2/^2 d “1 — и?/с2 丿
(V. 20)(V. 20)где v ——скорость частицы. Четырехмерная сила входит в правую часть ковариантного уравнения движения
(V. 20)
(V. 20)
ту = Н
Здесь ds = с dt ^/ \ — у2/с2, a du^ds = Wi — четырехмерное ускорение, которое ортогонально к 4-вектору скорости w^Ui = 0 и имеет следующие компоненты:
吗=
—]d vid 1
\6?2 V1 — v2/c2 dt “「二 */c2， C V1 — t>2/c2 力 “ 1 — D21c2 丿。
(V.21)
Объемные плотности тока j и заряда р образуют 4-вектор плотности тока
(V. 22)(V. 22)"(j, М,
(V. 22)
(V. 22)
(V.23)(V.23)а векторный А и скалярный ф потенциалы составляют 4-вектор
(V.23)
(V.23)
4 = (А, /ср),
который называется 4-потенциалом.
Соотношения (IV. 1) и (IV. 2), определяющие векторный и скалярный потенциалы, в четырехмерном обозначении записываются единым образом:
尸/=需一礬， (V.24)
где величина Flk называется тензором электромагнитного поля. Напряженности электрического Е и магнитного Н полей являются компонентами этого антисимметричного тензора
0033一 iEx一%—iE%0一 iEx一%—iE%0(V.25)(V.25)
0
0
3
3
一 iEx一%—iE%0
一 iEx一%—iE%0
(V.25)
(V.25)
При помощи тензора электромагнитного поля уравнения Максвелла (III. 1) — (III. 4) можно представить в ковариантной форме
dFih _一包dFih _一包dxi — сdFik I dFkf 丄 dFu — ndxi — сdFik I dFkf 丄 dFu — n(V. 26)(V. 26)(V. 27)(V. 27)
dFih _一包
dFih _一包
dxi — с
dFik I dFkf 丄 dFu — n
dxi — с
dFik I dFkf 丄 dFu — n
(V. 26)
(V. 26)
(V. 27)
(V. 27)
Формулы (V. 9) и (V. 25) позволяют получить закон преобразования электрического и магнитного полей при переходе из одной инерциальной системы отсчета в дру* гую (см. рис. 8)
Ех = Е%, Еу =/^_・, Е2 =/ …'…,；-‘ (V. 28)
,Hy^~ EzHz+ — Ey
% =儿，^ = -7==-. ^ = ~7=— (V・29)
или в векторной форме
Е「丄(vxk)
E” = Ej, El(V-30)
Hi + ^(VXE“
H产 Hj,H,=—7==-，(V. 31)
где знаки || и ± отмечают компоненту вектора, соответственно параллельную и перпендикулярную скорости V. Из векторов Е и Н нетрудно образовать величины, инвариантные по отношению к преобразованию Лоренца:
七2 一 “2 = ev, ЕН = inv.(V. 32)
Применяя инварианты (V. 10) и (V. 32) к монохроматической плоской электромагнитной волне
Е =吗 cos (啦 一 kr), H = (k X E)常，(V. 33)
приходят к выводу, что векторы напряженности электрического и магнитного полей этой волны равны по модулю и ортогональны во всех инерциальных системах отсчета, а фаза волнш является инвариантом
з/ — кг =—瓦％ = inv,(V. 34)
где 財=(к,力号)一волновой 4-вектор.
Тензор энергии ——импульса электромагнитного поля
Тik — -4—(F〃F[h + ^ F]m6ik^(V. 35)
обладает свойствами Tik = Thi и Тц = 0. Его временная Т44 и пространственно-временные Та4 компоненты связаны с плотностью энергии 5 = ~^(七2 + я2) и плотностью импульса g =忌(ЕХН) электромагнитного поля следующим образом:
T44 =9， гa4= —icgcrT44 =9， гa4= —icgcr(V.36)(V.36)
T44 =9， гa4= —icgcr
T44 =9， гa4= —icgcr
(V.36)
(V.36)
Плотность импульса g электромагнитного поля пропорциональна плотности потока электромагнитной энергии (вектору Пойнтинга s = -^ Е X Н^
(V. 37)(V. 37)g = ±s・
(V. 37)
(V. 37)
Девять пространственных компонент 4-тензора (V. 35) составляют трехмерный максвелловский тензор натяжений
% =*[凡与 + // - •!(炉 + 尸)6邛]• V 38)
Сила, приложенная к поверхности S в электромагнитном поле, выражается через максвелловский тензор натяжений (V, 38)
尸а=\% 咻 dS,(v.39)
s
где 尸《 ——компонента силы, а п ——нормаль к поверхности S.
В четырехмерной записи уравнение движения (V. 20) отдельной частицы с массой т и зарядом е во внешнем электромагнитном поле имеет вид
du： е…、
тс 寸尸泳以•(V• 40)
Пространственная часть этого четырехмерного векторного равенства после сокращения на общий множитель совпадает с уравнением Ньютона (V. 17), в правой части которого стоит сила Лоренца
F = e[E + ^(vXH)]・(V.41)
Электромагнитное поле заряда е, движущегося с произвольной скоростью V, определяется потенциалами Лиенара — Вихерта
А =(В
где R = г — ге(Г), аги ге(^) — радиус-векторы точек наблюдения и расположения заряда. Запаздывающий
5 А. И. Алексеев129
моментусловиеммоментусловиемвремени f связан с временем наблюдения f
моментусловием
моментусловием
(V.43)
Путем дифференцирования потенциалов Лиенара — Вихерта находят напряженности электрического и магнитного полей движущегося заряда
VR VVR Ve（RX（（TR）X“十二子уe（RX（（TR）X“十二子у(RXE)R(RXE)R(V. 44)(V・ 45)(V. 44)(V・ 45)
VR V
VR V
e（RX（（TR）X“
十二子у
e（RX（（TR）X“
十二子у
(RXE)R
(RXE)R
(V. 44)
(V・ 45)
(V. 44)
(V・ 45)
Электрическое (V. 44) и магнитное (V. 45) поля состоят из двух характерных частей. Первая часть завн^ сит от скорости точечного заряда и убывает с расстоянием, как 1/R2. Она перемещается вместе с зарядом и не отрывается от него, так как поток энергии этого поля через сферу радиуса R стремится к нулю при Rf оо. Вторая часть зависит не только ог скорости, но и ускорения и спадает по закону 1/R. Это приводит к отличному от нуля потоку вектора Пойнтинга сквозь сферу бесконечно большого радиуса. Следовательно, вторая часть полей (V. 44) и (V. 45) описывает излучение электромагнитных волн ускоренно движущимся зарядом.
Интенсивность излучения заряда е в телесный угол
打=卷⑴R2da(V. 46)
содержит лишь второе слагаемое выражения (V. 44) и после простого преобразования принимает вид dl =
е2 2 (nv) (vv)丄 v2(J
(V.47)
где n = -~-—единичный вектор в направлении излучения, а все величины в правой части равенства (V. 47) берутся в запаздывающий момент времени (V. 43). 130
В силу своего определения интенсивности излучения r(V. 46) и (IV. 22) численно отличаются друг от друга, если учитывать запаздывание излученного электромагнитного сигнала в пределах эффективной области движения заряда. Это связано с тем, что потоки вектора Пойнтинга через сферические поверхности весьма больших радиусов г и Л в один и тот же момент времени f различны, так как центры указанных сфер не совпадают.
Если скорость и ускорение заряда параллельны, то формула (V. 47) упрощается
didi(V. 48)(V. 48)е2у2 sin2 О
di
di
(V. 48)
(V. 48)
4R(?3 ( V
( ——F cos 8)
где 0 — угол между скоростью и направлением излучения. Для взаимно перпендикулярных векторов v и v имеем
1——sin2 8cos2 屮
(I—^-cos8)(1 y- cos 8^
(V. 49)
В этой формуле 0 ——угол между скоростью v и единичным вектором п направления излучения, а 屮一азимутальный угол вектора п с плоскостью, проходящей через скорость v и ускорение v заряда.
Излучение в элемент телесного угла dQ за все время движения заряда е дается формулой
d^n =
(V. 50) в которой использовано соотношение
出=(1 一喻 dL(V.51)
Каждый заряд, движущийся с ускорением, излучаег электромагнитные волны, которые уносят энергию и б*131
импульс. Излученные за время dt энергия d/изл и им* пульс б/Ризл определяются формулами
F2 — 斗(VF)2
d齒3=為由，V52)
F2 T (vF)2
dPu3n— 3〃“切5u2 vd厶(V.53)
где е и т ——заряд и масса частицы, движущейся со скоростью V в силовом поле F согласно уравнению Ньютона (V. 17).
Иногда правые части равенств (V. 52) и (V. 53) за-
писывают
иначе:
2«2 v2 _(v X V)2
d齒нзл = >也(V. 54)
2” V2 - -^г (v X V)2
^Ризл -誥(；吁 V 附(V. 55)
где V и V — скорость и ускорение заряда е.
Во внешнем электромагнитном поле с напряженностями Е и Н величина F без учета обратного действия излучения на заряженную частицу совпадает с силой Лоренца (V. 41), а формулы (V. 52) и (V. 53) приводятся к следующему виду:
d苏изл -d苏изл -3in2c33in2c3^Рнзл ^^^Рнзл ^^2e43/П2c52e43/П2c5I1E+/(vXH)) -±(vE)2I1E+/(vXH)) -±(vE)2(E + ；(vXH)『-％(vE)2(E + ；(vXH)『-％(vE)2При движении в энергии заряженной132При движении в энергии заряженной132силовом поле F скоростьсиловом поле F скорость(V. 56)(V. 56)(V.57)(V.57)потерипотеричастицей на излучении электро*частицей на излучении электро*
d苏изл -
d苏изл -
3in2c3
3in2c3
^Рнзл ^^
^Рнзл ^^
2e4
3/П2c5
2e4
3/П2c5
I1
E+/(vXH)) -±(vE)2
I1
E+/(vXH)) -±(vE)2
(E + ；(vXH)『-％(vE)2
(E + ；(vXH)『-％(vE)2
При движении в энергии заряженной
132
При движении в энергии заряженной
132
силовом поле F скорость
силовом поле F скорость
(V. 56)
(V. 56)
(V.57)
(V.57)
потери
потери
частицей на излучении электро*
частицей на излучении электро*
магнитных волн описывается выражением
\ df /изл\ df /изл2«2 F2 —』(VF)23〃产 аV22«2 F2 —』(VF)23〃产 аV2(V. 58)(V. 58)
\ df /изл
\ df /изл
2«2 F2 —』(VF)2
3〃产 аV2
2«2 F2 —』(VF)2
3〃产 аV2
(V. 58)
(V. 58)
где ^п — энергия частицы в этом силовом поле.
Учет силы радиационного трения в уравнении движения (V. 17) может существенно повлиять на радиус- вектор 「е(/), скорость v(Z) и ускорение v(/) заряженной частицы, что отразится на правых частях соотношений (V. 47) —(V. 58).
Полная интенсивность излучения по всем направлениям
/ =提回)々公 (V.59)
по физическому смыслу и численному значению отличается от скорости потери энергии заряженной частицей на излучение (V. 58), хотя обе эти величины имеют одинаковую размерность. Указанные величины совпадают только в предельном случае медленного движения заряженной частицы со скоростью v ^ с, когда запаздыванием излученного электромагнитного сигнала внутри эффективной области движения можно пренебречь. В этом предельном случае формулы (V. 59) н (V. 58) совпадают с аналогичными выражениями ：(IV. 16) и (IV. 31), если последние применять к излучению отдельного заряда.
Если радиус-вектор г?(/) заряда е меняется со временем заданным образом, то энергия dS^, излученная в элемент телесного угла dC на частотах в интервале от со до(о + dco, имеет вид
,(пХ：е (/))『”('-+)山 dQd①.(V. 60)
В частности, при внезапном изменении скорости заряженной частицы в результате столкновения соотношение (V. 60) запишется как
d&п(оd&п(оП X V11_зП X V11_з^^dQd^t (V.61)^^dQd^t (V.61)
d&п(о
d&п(о
П X V11_з
П X V11_з
^^dQd^t (V.61)
^^dQd^t (V.61)
где Vi и v2 ——скорости частицы до и после столкновения. Формула (V. 61) справедлива для частот сот С 1, где т ——порядок величины времени взаимодействия, в результате которого произошло резкое изменение скорости частицы. При мгновенном изменении скорости область применимости формулы (V. 61) ограничена условием малости величины 力⑴ по сравнению с кинетической энергией частицы, чтобы исключить квантовые эффекты в излучении.
①2 4П2e3①2 4П2e3Формулы (V. 60) и (V. 61) допускают обобщение на случай системы зарядов 乡几(团=1, 2, ..., N), движущихся по заданным траекториям
①2 4П2e3
①2 4П2e3
^ em j (n X「加(0) J” ° с )山 dQ ds, m =1—oo
(V. 62)
(V. 63)
где гщ(/)——радиус-вектор заряда emi a Vim и v2m — его скорости до и после столкновения. Правые части равенств (V. 62) и (V. 63) учитывают интерференцию электромагнитных волн, излученных отдельными зарядами.
В случае периодического движения заряда е средняя по времени за период Т = 2n/⑴。интенсивность dln излучения в элемент телесного угла dC на /г-й гармонике с частотой соп = n^Q равна
*『（ПХ^））产（屮）山I -7/2*『（ПХ^））产（屮）山I -7/22dd (V. 64)2dd (V. 64)
*『（ПХ^））产（屮）山
I -7/2
*『（ПХ^））产（屮）山
I -7/2
2
dd (V. 64)
2
dd (V. 64)
Полная мощность излучения в элемент телесного угла dQ в среднем по времени представляет собой бесконечную сумму интенсивностей излучения (V. 64) на отдельных гармониках с индексами 几=1, 2,...
Для системв! зарядов, движущихся с одним и тем же периодом, обобщение формулы (V. 64) проводится по
аналогии с соотношениями (V. 60)——(V. 63). Если периоды движения отдельных зарядов различны, то средняя по времени интенсивность излучения выглядит более сложно.
Обратное действие излучения на заряженную частицу, движущуюся со скоростью V во внешнем электромагнитном поле Е и Н, учитывается в уравнении движения путем прибавления к силе Лоренца специфической силы f радиационного трения, которая направлена против скорости V. Выбирая последнюю в качестве оси X, получаем в ультрарелятивистском случае
2е4 (%-"j+ (% + %/
К.(V・65)
При скоростях частицы, близких к скорости света, могут реализоваться условия, когда сила радиационного трения (V. 65) является основной действующей силой. Тогда после пролетания через внешнее электромагнитное поле энергия заряженной частицы не может превьь шать критического значения ^кр, даваемого равенством
±=蔡i [(%- "j+(三+〃捫厶.(v.66)
1. Преобразование электромагнитного поля
В покоящейся системе отсчета напряженности Е и Н однородного электромагнитного поля заданы, причем ЕН > 0. Определить скорости V тех инерциальных систем координат, в которых векторы электрического и магнитного полей параллельны.
В покоящейся системе отсчета напряженности электрического Е и магнитного Н полей взаимно ортогональны и не равны по модулю. Найти скорости V тех инерциальных систем координат, в которых имеются: а) только электрическое поле; б) только магнитное поле. Определить напряженность указанных полей.
Напряженности Е и Н однородного электромагнитного поля в некоторой инерциальной системе координат заданы, причем Е X Н 寸=0. Найти скорости V всех инерциальных систем координат, в которых модуль
напряженности электрического (или магнитного) поля имеет то же численное значение, что и в исходной системе отсчета. Результат представить в векторной форме.
Вдоль бесконечного однородного цилиндра произвольного радиуса течет постоянный ток с объемной плотностью j. Объемная и поверхностная плотности заряда цилиндра равны нулю. Найти скорости V инерциальных систем координат, где в каждой точке пространства напряженность электрического поля по модулю в N раз меньше напряженности магнитного.
При помощи формул преобразования напряженностей электрического и магнитного полей (V. 28) и (V. 29) доказать, что величины £2 ——Н2 и ЕН не меняют своего вида и численного значения при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую.
Напряженности Е и Н электрического и магнитного полей в исходной системе координат образуют острый угол. Определить модули £' и Н‘ напряженностей электрического и магнитного полей в той инерциальной системе отсчета, в которой угол между векторами Е‘ и Н‘ равен л/4.
Нейтрон с магнитным моментом ц движется со скоростью V в кулоновском поле покоящегося ядра с зарядом Q. Считая скорость нейтрона малой по сравнению со скоростью света и пренебрегая членами порядка —<С 1, найти силу F, приложенную к нейтрону в каждой точке траектории.
Электронейтральная частица с внутренним электрическим дипольным моментом d движется со скоростью V в неоднородном магнитном поле с напряженностью Н. Отбрасывая слагаемые, пропорциональные малому параметру r《1, определить силу F, прило* женную к частице.
Одноименные декартовы оси двух инерциальных систем координат параллельны, а их относительное движение происходит вдоль оси X. В момент времени f = О начала декартовых систем совпадали (см. рис. 8). Дока- зать, что компонента F^ тензора электромагнитного поля инвариантна относительно преобразования Лоренца (f14 =尸:4), а величины F2k и 尸3丸 преобразуются как четырехмерные векторы.
Путем перехода к трехмерным обозначениям доказать, что ковариантные уравнения
GFth __型 i 0尸/ I GFm .0尸з ,n
О%/ — c Ox,十 0尤/ 十 д”
сводятся к обычным уравнениям Максвелла для напряженностей Е и Н электромагнитного поля.
Используя закон преобразования волнового 4-вектора, определить изменение частоты (эффект Доплера) и направления скорости света (абберация света) при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Исследовать полученные формулы в предельном случае V《с, где V — модуль скорости относительного движения двух указанных инерциальных систем координат.
Монохроматическая плоская электромагнитная волна частоты ® падает под углом 仇 на плоское зеркало, которое движется со скоростью V в направлении своей нормали навстречу падающей волне. Определить угол 02 отражения от движущегося зеркала и частоту(о2 отраженной волны.
Монохроматическая плоская электромагнитная волна с плотностью энергии w0 падает перпендикулярно на движущееся плоское зеркало и полностью отражается от него. Определить плотность энергии w и импульса g отраженной волны, если зеркало перемещается со скоростью V навстречу падающей волне.
Инерциальная система координат К' движется со скоростью V относительно покоящейся координатной системы К, как показано на р0c. 8. Пользуясь законом преобразования тензора энергии-импульса, выразить плотность энергии wr плоской электромагнитной волны в системе /С через плотность энергии w этой же волны в покоящейся системе К, где она распространяется под углом а к направлению скорости V,
Эллипсоид вращения с полуосями а и Ь, имеющий идеально отражающую поверхность, движется со скоростью V навстречу падающей электромагнитной волне, напряженность электрического поля которой Е = = E()cos((of — kr). Ось симметрии эллипсоида, совпадающая с полуосью Ь, параллельна вектору V. В системе координат, связанной с эллипсоидом, определить силу F, приложенную к нему в среднем по времени за
период колебания волны. В указанной системе координат длина падающей электромагнитной волны мала по сравнению с поперечным размером эллипсоида, так что позади него находится резко очерченная область тени.
§ 2. Излучение быстро движущегося заряда
Заряд е совершает финитное движение с нере^ лятивистской скоростью V. Разлагая векторный потенциал Лиенара — Вихерта в ряд по параметру v]c и по времени запаздывания электромагнитного сигнала в пределах области движения заряда, определить величину этого потенциала и напряженность магнитного поля в волновой зоне с учетом слагаемых, которые по порядку величины меньше главного члена разложения в у2/с2 раз.
Используя потенциалы Лиенара ——Вихерта, определить напряженности электрического и магнитного полей произвольно движущегося заряда.
Пользуясь общей формулой (V. 47) углового распределения интенсивности излучения релятивистской ча^ стицы, определить интенсивность излучения di в телесный угол dQ в двух случаях: а) скорость v и ускорение v частицы параллельны; б) скорость и ускорение взаимно перпендикулярны.
Скорость V и ускорение v заряда е параллельны. Определить полную интенсивность / излучения по всем направлениям. Исследовать полученную формулу в уль- трарелятивистском случае, а также при малых скоростях заряда V2《с2.
Частица с массой m и зарядом е движется параллельно напряженности Е постоянного однородного электрического поля. Доказать, что скооость потери энергии ( 济■丿 частицей на излучение в запаздывающий момент времени У, вычисленная при помощи формул (V. 48) и (V. 51), а также формулы (V. 58), имеет одно и то же значение. Здесь 歩口一энергия ча* стицы во внешнем электрическом поле.
Двигаясь со скоростью, по порядку величины равной скорости света, электрон с массой т и зарядом е попадает в однородное постоянное электрическое поле с напряженностью Е. В момент % = 0 влета во внешнее электрическое поле скорость электрона перпендику- 138
лярна вектору Е, а его энергия равна Зо. Определить энергию 齒изп， излученную по истечении времени / после влета, считая ее малой по сравнению с кинетической энергией электрона.
Быстрый электрон с массой т и зарядом е влетает со скоростью Vo в полупространство, в котором напряженность Е электрического поля постоянна, однородна и параллельна вектору Vq. Пренебрегая обратным влиянием излучения на движение электрона, определить энергию 罟изл, потерянную им за время пребывания во внешнем поле.
Расстояние / и разность потенциалов ср между пластинами плоского конденсатора поддерживаются постоянными. Перпендикулярно пластинам в направлении вектора напряженности электрического поля пролетает протон с массой т и зарядом е. Его начальная скорость Vo по абсолютной величине сравнима со скоростью света. Найти энергию /изл, излученную прото* ном за время пролета через конденсатор.
Релятивистская частица с массой т и зарядом е влетает в полупространство, в котором напряженность Н магнитного поля однородна, постоянна и параллельна граничной плоскости. Начальная скорость v0 частицы перпендикулярна вектору Н и составляет, угол //4 с граничной плоскостью. Определить энергию 器Из【излученную за время движения в магнитном поле. Рассмот- peib два случая: а) сила Лоренца в начальный момент времени направлена в полупространство, занятое магнитным полем; б) сила Лоренца направлена в сторону свободного полупространства.
Перпендикулярно однородному постоянному магнитному полю с напряженностью Н движется электрон с массой т и зарядом е, В начальный момент времени /о = 0 энергия электрона 醫о, а его скорость и。по порядку величины равна скорости света. Найти закон убывания энергии 舍 электрона, обусловленный излучением. В полученной формуле сделать предельный переход к малой начальной скорости электрона у^《с2.
В некоторый момент времени частица с массой m и положительным зарядом е движется со скоростью V параллельно прямолинейному постоянному току силы / на расстоянии г от него. Внутренний электрический дипольный момент d частицы перпендикулярен скорости V и находится в плоскости, в которой лежит траек-
139
тория и течет ток. Отбрасывая малые слагаемые, пропорциональные м《1， найти интенсивность / излучения в указанный момент времени
Электрон с массой т и зарядом е пролетает на большом расстоянии / от неподвижного ядра, имеющего заряд Z|e|. Пренебрегая искривлением траектории и считая изменение скорости злектрона очень малым по сравнению с ее начальным значением Vo, определить энергию 齒пзл, излученную за время пролета. Показать, что в предельном случае 党《с2 полученный результат совпадает с ответом задачи 294.
Релятивистская частица с массой т и зарядом е пролетает на большом расстоянии / от покоящегося электрического диполя с моментом d. Во время движения изменение скорости частицы пренебрежимо мало пэ сравнению с ее начальным значением vq. Пренебрегая искривлением траектории, найти энергию 哀пзл, излученную за время пролета в двух случаях: а) дипольный момент d перпендикулярен плоскости движения; б) дипольный момент d параллелен скорости частицы.
Предполагая, что в предыдущей задаче электрический дипольный момент d перпендикулярен скорости Vo релятивистской частицы и лежит в плоскости движения, вычислить проекцию излученного импульса на на* правление вектора Vo.
На большом расстоянии I от неподвижного нейтрона, имеющего магнитный момент 裱，пролетает электрон с массой m и зарядом е. Его скорость Vo на бесконечно большом расстоянии от нейтрона по порядку величины равна скорости свега. Считая приближенно траекторию электрона прямолинейной, а изменение скорости во время движения очень малым, определить полную энергию ^изтт, излученную в двух случаях: а) магнитный момент м перпендикулярен плоскости движения; б) маг* нитный момент к параллелен скорости электрона.
Предполагая, что в предыдущей задаче магнитный момент 裱 нейтрона перпендикулярен скорости v() электрона и лежит в плоскости движения, вычислить проекцию излученного импульса на направление вектора v0.
По бесконечной прямой течет постоянный линейный ток 丄 Перпендикулярно току на расстоянии I от него пролетает релятивистская частица с массой m 140
и зарядом е. Считая приблизительно траекторию прямолинейной, а скорость V частицы неизменной, определить полную энергию ^Изл, излученную за время полета.
В начальный момент времени 力=0 ультраре- лятивистская частица с массой т, зарядом е и энергией 醫о влетает в однородное постоянное электрическое поле под прямым углом к вектору Е. Пренебрегая искривлением траектории, определить закон убывания энергии 器 частицы в промежутке времени, пока ее скорость блнзка к скорости света.
Под некоторым углом к вектору Н однородного постоянного магнитного поля движется ультрареляти- вистская частица с массой т и зарядом е. В начальный момент времени 友=0 ее энергия 齒°. Определить закон убывания энергии / частицы в интервале времени, пока ее скорость близка к скорости света.
Частица с массой m и зарядом е движется в произвольном силовом поле F. Представить скорость потери энергии частицей на излучение (V. 58) как функцию ее скорости v и ускорения v.
В результате комптон-эффекта покоившийся электрон приобрел скорость v, по абсолютной величине близкую к скорости света. Заряд электрона е. Опреде- ли1ь энергию d齒(о, излученную электроном в интервале частот от(о до(о + ds.
Пользуясь общей формулой (V. 60) для энергии d/пз, излученной в телесный угол dQ на частотах в интервале от ①貝о з + d(o, и полагая в ней скорость V заряда е малой по сравнению со скоростью света, определить спектральное разложение полной энергии излучения dS^ с учетом малых членов порядка V21cz На основе полученного результата найги интенсивность излучения /, которая определена формулой (IV. 16).
При помощи некоторого устройства заряд е совершает быстрые гармонические колебания z = acosso/ вдоль оси Z. Определить среднюю за период Т = 2я/шо интенсивность dln излучения в элемент телесного угла dQ на n-й гармонике с частотой з九=п^.
Заряд е вращается по окружности радиуса R с постоянной по модулю скоростью и = Reo。. Определить среднюю за период Т = 2л/(оо интенсивность dln излучения в элемент телесного угла dQ на n-й гармонике с частотой(оп = псо0.
Заряды е{ и е2 совершают гармонические колебания 之1 = S cos з°/ и & = & cos 的/ вдоль двух бес- конечно близких прямых, параллельных оси Z. Определить среднюю за период Т = 2л/(оо интенсивность d1n излучения в элемент телесного угла dQ на n-й гармонике с частотой ①八=/го)о.
Определить предельную энергию ^кр, которой может обладать электрон с массой m и зарядом е после пролета с прицельным расстоянием / в кулоновском поле Q/r покоящегося ядра.
Определить предельную энергию ^Кр ультра- релятивистского протона с массой m и зарядом е после пролета с прицельным расстоянием / через магнитное поле Земли, характеризуемое магнитным моментом 卩. Последний перпендикулярен плоскости движения протона.
Частица с массой m и зарядом е пролетела с прицельным расстоянием / мимо покоящегося электрического диполя с моментом d. Вектор d параллелен скорости частицы. Определить предельную энергию 君\卩 которой может обладать частица после пролета.
На расстоянии / от бесконечной прямолинейной нити, равномерно заряженной с постоянной линейной плотностью q, пролетает ультрарелятивистская частица с массой m и зарядом е. Ее скорость перпендикулярна нити. Определить предельную энергию 歩кр, которую может иметь частица после пролета около заряженной нити.
Решить предыдущую задачу, считая, что статическое распределение заряда отсутствует Q = 0, а по нити течет постоянный линейный ток /*
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Глава /
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
§ 1. Уравнения Максвелла и граничные условия в электростатике
1・ a) b X а; 6) (ar) к — 2 (ак) г + (кг) а: в) (аг) к sin кг -— a cos кг;
、 dF df
е) 一~у7—а.
d/ d (ar)
Нельзя, так как ротор заданной векторной функции отличен от нуля: rot Е = 2а.
Напряженность электростатического поля внутри пслой области должна удовлетворять однородным уравнениям Максвелла rot Е = 0 и div Е = 0. Поэтому для ответа на поставленный вопрос необходимо вычислить ротор и дивергенцию заданного поля:
а) можно (rot Е = 0, div Е = 0); б) нельзя (rot Е = b X а, div Е = ab); в) можно, если ab = 0 (rot Е — 0, div Е = ЗаЬ); г) нельзя (rot Е — а X b, div Е =——2ab); д) нельзя (rot Е — =3(ar)k— (ak)r, div E = a(k X г)); e) нельзя (rot E = 3(r X c), div E = —2(cr));ж) нельзя (rot E = (b X a)coskr —
—(b「)(k X a)sin kr, div E = ab cos kr — (ak) (br) sin kr); з) можно (rot E = 0, div E = 0); и) можно (rot E = 0, div E == 0).
a)工；6) — ; в) —«-2"“； г) po cos 0 при rVR и 0 При г > 7?; д) po cos 屮 при 广 V R и 0 при г > R,
Нет.
Указание. Воспользоваться теоремой Стокса (П1.17) и уравнением электростатики (I. 1).
Заряд с поверхностной плотностью о заполняет следующие поверхности: а) декартову плоскость ХУ с о = Б0/2л; б) сферу радиуса R с о = Q/4nR2; в) цилиндрическою поверхность радиуса R с о =夕/4oR.
§ 2. Электростатическая теорема Гаусса
а) Напряженность Е электрического поля однородно заряженного шара направлена по радиусу, а модуль вектора Е зависит от расстояния г до центра шара. Эти выводы вытекают из сферической симметрии расположения зарядов. В качестве вспомогательной поверхности в электростатической теореме Гаусса следует выбрать концентрическую сферу, так как подынтегральная функция Е = Е(г) постоянна на этой сфере и выносится за знак интеграла;
§ e dS = 4"2e
Для области внутри шара из теоремы Гаусса получаем
Снаружи шара
4"2品=粤 R3p, e2 = 等pR3
Потенциал электрического поля находится путем решения уравнения唄一⑺，
правая часть которого равна £1 (г) внутри и Е2(г) —вне шара. Ин* тегрирование этого уравнения дает
Ф1 =+ При
4冗 pR3
Ф2 = —h G при R
Костанты интегрирования Ci и с? определяются из дополнительных УСЛОВИЙ(Pi(R)=屮2(R), ф2(°°) = 0.
Окончательно потенциал электрического поля принимает вид 屮1 =空|竺(3 一 分)при r&R, q>2 =при г > R;
Ei = 2jrpr, (pi = зтр (必—产) при г《R
Е2 = 2"；f ° , (р2 = 2зтр^2 In ~- при r》R, где радиус-вектор г точки наблюдения направлен по радиусу нн・ 144
линдра, а произвольная постоянная в потенциале выбрана из усло
вия 屮 i(R)=屮 2(R) = 0;
в) Ei = 4np%,в) Ei = 4np%,q)i = — 2jrp%2q)i = — 2jrp%2при I % I & L,при I % I & L,E2 = 4зтрЬ j x「〔％，E2 = 4зтрЬ j x「〔％，屮2 = 2jrpL (L — 2 ] % I) при ]%]》£•屮2 = 2jrpL (L — 2 ] % I) при ]%]》£•Начало декартовой системы координат лежит в плоскости симметрии пластины, а ось X перпендикулярна к ней. Произвольная постоянная в потенциале выбрана из условия 屮1(0)= 0.Начало декартовой системы координат лежит в плоскости симметрии пластины, а ось X перпендикулярна к ней. Произвольная постоянная в потенциале выбрана из условия 屮1(0)= 0.10. a) Ei = 0, ф1 = 4л/?(т при г V R, Е?==包^", 山=处：工 при 广 > R; 6) Ei = 0, qpi = 0 при г V R, Е2 = —^^--, 电=10. a) Ei = 0, ф1 = 4л/?(т при г V R, Е?==包^", 山=处：工 при 广 > R; 6) Ei = 0, qpi = 0 при г V R, Е2 = —^^--, 电=н 4jroR In — при г > R; в) Е = 2ла〔 #『1Х,①==—2ла | х ], гден 4jroR In — при г > R; в) Е = 2ла〔 #『1Х,①==—2ла | х ], гдех — координата точки наблюдения, отсчитываемая от плоскости.lh B = ?r2aR8х — координата точки наблюдения, отсчитываемая от плоскости.lh B = ?r2aR8⑵еТК(1 + £)]宀 Е=* ==q^-e при г》а.⑵еТК(1 + £)]宀 Е=* ==q^-e при г》а.R213・ Е]=0, (р1=4л ^ р (г) г dr при r《Ri； Е2 = ^^R213・ Е]=0, (р1=4л ^ р (г) г dr при r《Ri； Е2 = ^^①2=4n（卜（自）自我+ ；卜（自）严施工Ri①2=4n（卜（自）自我+ ；卜（自）严施工Riприпризаряженнойзаряженнойпри г《а,при г《а,）p（自） /在,）p（自） /在,Ri W г《R2；Ri W г《R2；R2R2R?R?p (r) r2 dr,屮3 =产 \ Р ⑺产 dr при г > R2・ RR= 警\p(自)自吗 ①=4冗p(E)E^W.0г Оp (r) r2 dr,屮3 =产 \ Р ⑺产 dr при г > R2・ RR= 警\p(自)自吗 ①=4冗p(E)E^W.0г О
в) Ei = 4np%,
в) Ei = 4np%,
q)i = — 2jrp%2
q)i = — 2jrp%2
при I % I & L,
при I % I & L,
E2 = 4зтрЬ j x「〔％，
E2 = 4зтрЬ j x「〔％，
屮2 = 2jrpL (L — 2 ] % I) при ]%]》£•
屮2 = 2jrpL (L — 2 ] % I) при ]%]》£•
Начало декартовой системы координат лежит в плоскости симметрии пластины, а ось X перпендикулярна к ней. Произвольная постоянная в потенциале выбрана из условия 屮1(0)= 0.
Начало декартовой системы координат лежит в плоскости симметрии пластины, а ось X перпендикулярна к ней. Произвольная постоянная в потенциале выбрана из условия 屮1(0)= 0.
10. a) Ei = 0, ф1 = 4л/?(т при г V R, Е?==包^", 山=处：工 при 广 > R; 6) Ei = 0, qpi = 0 при г V R, Е2 = —^^--, 电=
10. a) Ei = 0, ф1 = 4л/?(т при г V R, Е?==包^", 山=处：工 при 广 > R; 6) Ei = 0, qpi = 0 при г V R, Е2 = —^^--, 电=
н 4jroR In — при г > R; в) Е = 2ла〔 #『1Х,①==—2ла | х ], где
н 4jroR In — при г > R; в) Е = 2ла〔 #『1Х,①==—2ла | х ], где
х — координата точки наблюдения, отсчитываемая от плоскости.
lh B = ?r2aR8
х — координата точки наблюдения, отсчитываемая от плоскости.
lh B = ?r2aR8
⑵еТК(1 + £)]宀 Е=* ==q^-e при г》а.
⑵еТК(1 + £)]宀 Е=* ==q^-e при г》а.
R2
13・ Е]=0, (р1=4л ^ р (г) г dr при r《Ri； Е2 = ^^
R2
13・ Е]=0, (р1=4л ^ р (г) г dr при r《Ri； Е2 = ^^
①2=4n（卜（自）自我+ ；卜（自）严施工Ri
①2=4n（卜（自）自我+ ；卜（自）严施工Ri
при
при
заряженной
заряженной
при г《а,
при г《а,
）p（自） /在,
）p（自） /在,
Ri W г《R2；
Ri W г《R2；
R2
R2
R?
R?
p (r) r2 dr,屮3 =产 \ Р ⑺产 dr при г > R2・ RR
= 警\p(自)自吗 ①=4冗p(E)E^W.
0г О
p (r) r2 dr,屮3 =产 \ Р ⑺产 dr при г > R2・ RR
= 警\p(自)自吗 ①=4冗p(E)E^W.
0г О
E = 4g%\p ([E])d自,①=4九卜自一%)p(丨自|)我. оо
Рассмотрим тело, образованное вращением силовой линии вокруг оси X. Предположим, что эта силовая линия соединяет оба наряда. Тогда поток напряженности суммарного электрического поля через любое поперечное сечение полученного тела вращения имеет
одно и то же численное значение. Этот поток можно выразить че* рез заряд е】или е?, если стягивать поверхность поперечного сечения сначала к точке расположения заряда е】,а затем к е2. Приравнивая оба выражения, получаем
2冗白(1 — cos 0i) = 2冗]«2 I (1 — cos 02),仇= 2arcsin(,咼 sin%).
Все силовые линии, входящие в заряд 02, образуют тело вращения, которое касается поверхности прямого кругового конуса с углом 0о при вершине, находящейся в точке расположения заряда ⑪. Угол 0о определяется из соотношения
2nei (1 — cos 00) = 4冗 I с? Ь
Первая силовая линия, выходящая из заряда е】и уходящая в плоскости XY на бесконечность, касается поверхности упомянутого тела вращения. Поэтому
0О == 2 arcsin «'?》‘.
Если предположить 0оо 耍 0, то силовая линия, уходящая в пло< скости ХУ на бесконечность, на весьма больших расстояниях от зарядов лежит на поверхности прямого кругового конуса с углом 0g при вершине. Внутри этого конуса силовые линии отсутствуют, так как он образован вращением первой силовой линии, уходящей на бесконечность. С другой стороны, на очень больших расстояниях электрическое поле системы двух зарядов с высокой точностью совпадает с полем точечного заряда е】+ е?, которое является сфериче- ски-симметричным. Полученное противоречие приводит к выводу 0ОО = 0.
]7.5=丄"屮2，州0 = -^乎丄，
2-V2
«2 uCl・
2 一"3
Распределение объемной плотности заряда находится при помощи уравнения Максвелла p=-^-divE везде, кроме точки г = 0, которая является особой. В этой точке расположен точечный заряд, так как напряженность электрического поля при г -> 0 обращается в бесконечность； как 1 /г2, Величину точечного заряда можно онре~
делить по теореме Гаусса, если стягивать вспомогательную замкнутую сферическз^ю поверхность к точке г = 0. Окончательно получаем
р = е [б (г) 一 备 i] , Q = 0.
e = 2（：三指一善）,①= 2〃П了看
q / 2 (1г) г 1、2q (lr) 、,
E= 2q t~产),ф = -2 - при 不》/■
Здесь 1 ——вектор, проведенный от отрицательной нити к положительной. Начало радиус-векгора г лежит на отрицательной нити, к которой он перпендикулярен.
Е = 2ло(向〃十备[у + у|у 1г)・ Декартовые оси совпадают с линиями пересечения заряженных плоскостей.
Не изменяя электрическое поле данной заряженной системы, заполним полость положительным зарядом с объемной плотностью р и отрицательным с объемной плотностью —р. В результате получим два однородно заряженных шара, из которых больший ——положительный, а меньший ——отрицательный. По принципу суперпозиции напряженность электрического поля внутри меньшего шара равна сумме напряженностей, созданных положительным
匕 + = рГ
и отрицательными отрицательнымЕ_Е_4п 丁「г'4п 丁「г'
и отрицательным
и отрицательным
Е_
Е_
4п 丁「г'
4п 丁「г'
шарами в отдельности. Здесь г и г' — радиус-векторы, проведенные в точку наблюдения из центров большего и меньшего шаров. Напря* женность суммарного электрического поля однородна и равна
где 1 — вектор, проведенный от центра заданного шара к центру полости. Его модуль равен расстоянию между указанными центрами. Найденное электрическое поле существует также внутри полости до заполнения ее положительным и отрицательным зарядами.
Е = 2лр1, где 1 ——вектор, проведенный от оси цилиндра к оси полости.
Е = 2лап ——2а аг/г2, где п — нормаль заряженной плоскости, направленная в сторону точки наблюдения, г ——расстояние от точки наблюдения до оси щелиг а г ^ радиус-вектор, перпендикулярный этой оси.
§ 3. Применение общего решения уравнения Пуассона
25. ф = 2g (д/?2 十 Rz — I n I),25. ф = 2g (д/?2 十 Rz — I n I),E% = E у = Q,E% = E у = Q,8 =8 =
25. ф = 2g (д/?2 十 Rz — I n I),
25. ф = 2g (д/?2 十 Rz — I n I),
E% = E у = Q,
E% = E у = Q,
8 =
8 =
nR20rnR20rnR20rzI——г- при 丨 2 I》R.I n|3nR20rzI——г- при 丨 2 I》R.I n|3-2 (г2 + А2) + 审 In-2 (г2 + А2) + 审 In工力匸:暮匚1畑№；工力匸:暮匚1畑№；
nR20r
nR20r
nR20rzI
——г- при 丨 2 I》R.
I n|3
nR20rzI
——г- при 丨 2 I》R.
I n|3
-2 (г2 + А2) + 审 In
-2 (г2 + А2) + 审 In
工力匸:暮匚1畑№；
工力匸:暮匚1畑№；
=2л(У ( —7==zr=r j; qp
〈1?|7d)
Координата z отсчитывается от плоскости диска.
£ = 2冗“曳4尸2=] %при |z|《R;
〈3"22十火2丿
2冗之 Г--—р- Н- —/ J ) 〃 при I 2 R・
1312 13T 介 + 审丿 P 11
Координата г отсчитывается от центра шара.
It^^W
qp == лр (г + Л) У(г + Л)2 + R2 — (^ — А) У(г — /г)2 十々—
①=Кр [(2 + /г) V(^ + 力)2 + R2 —(之—力)〃(之—力)2 十 R2 —
-4/?|n| + R2 ln-4/?|n| + R2 ln2十九十*N+力产+审门
-4/?|n| + R2 ln
-4/?|n| + R2 ln
丿-——一г~^ ПРИ I 》力,
? 一力 + "（2 一九）2 + R2 j J
Начало координат расположено в центре цилиндра. После предельного перехода R->0 и nR2p — д наружный потенциал принимает вид
ср = ^ Inср = ^ In121+力\г\-Н121+力\г\-Н
ср = ^ In
ср = ^ In
121+力
\г\-Н
121+力
\г\-Н
что совпадает с потенциалом электрического поля отрезка, лежащего на оси Z между точками 勺=—А и г2 = /г и заряженного равномерно с линейной плотностью q.
а) ф = —^2^=г, где г—расстояние до плоскости кольца; 十 R2
б)(р = 2л/?(у In j —б)(р = 2л/?(у In j —+力+ "（2 +力）2+代+力+ "（2 +力）2+代— 1г + 7〈"М + R2，— 1г + 7〈"М + R2，где начало коор-где начало коор-дин ат расположено в центре цилиндрической поверхности;b)(p = 2g(“z2 + & 一"炉 + 火;)，где z — расстояние до плоскости, на которой лежат заряды;148дин ат расположено в центре цилиндрической поверхности;b)(p = 2g(“z2 + & 一"炉 + 火;)，где z — расстояние до плоскости, на которой лежат заряды;148
б)(р = 2л/?(у In j —
б)(р = 2л/?(у In j —
+力+ "（2 +力）2+代
+力+ "（2 +力）2+代
— 1г + 7〈"М + R2，
— 1г + 7〈"М + R2，
где начало коор-
где начало коор-
дин ат расположено в центре цилиндрической поверхности;
b)(p = 2g(“z2 + & 一"炉 + 火;)，где z — расстояние до плоскости, на которой лежат заряды;
148
дин ат расположено в центре цилиндрической поверхности;
b)(p = 2g(“z2 + & 一"炉 + 火;)，где z — расстояние до плоскости, на которой лежат заряды;
148
r)$=巳礬(«然十々一 j 2 _ r 0 где координата 之 отсчитывается от центра кривизны полусферы;
д)屮=碧［("2 +々产一2炉+^■一《］ПРИ 0《N4R， ①=^^［(产 + R2)%-2З - ^^+ R3］ при z，R, Ф== 一言［严+ *)%+23 +若.一审］ при 2《0, где координата z отсчитывается от центра усеченного шара.
(Р = 2m ［^ («3 十 R2 -|n-R|) 一 介+ R2 ］；
Ф = лаг при I % I《R, Ф = — 2ла I 之 I при I 2 I》R.
Е = ~^- (1 — еа^) 12. Орт 〃 направлен по оси симметрии в сторону выпуклости полусферы.
屮2 (г, 0) = —^— COS 0屮2 (г, 0) = —^— COS 0Выберем начало кородинат в центре шара. Если точка наблюдения со сферическими координатами г и 0 расположена внутри шара, то область интегрирования по переменной 「' в интеграле (I. 11) разобьем на две области: 0《г'《г и「Wr'WR. В первой воспользуемся разложением (П5.11), а во второй——(П5.12). При определении потенциала снаружи шара используем разложение (П5 12). В результате получим
屮2 (г, 0) = —^— COS 0
屮2 (г, 0) = —^— COS 0
при r》R.
⑴⑴Оси X н У декартовой системы координат выберем в плоскости кольца, а начало координат поместим в его центр. Потенциал в произвольной точке наблюдения с радиус-вектором г
⑴
⑴
где интеграл берется по длине окружности радиуса R, лежащей в плоскости ХУ с центром в начале координат. В области г > R воспользуемся разложением (П5.11). Тогда потенциал (1) в произвольной точке наблюдения со сферическими координатами г, 0 и ^ представится в виде двойной суммы
4冗"；m (6,屮) 2ГП4冗"；m (6,屮) 2ГПоо I
4冗"；m (6,屮) 2ГП
4冗"；m (6,屮) 2ГП
屮(г, а *ф)= £ 2
Z=0
Если учесть формулы (П5.9) и (П5.8), то последнее выражение переходит в более простое:
Ф亿0, 2) = 2冗g 2 (，■>+»/(0) Pt (cosO).
/=о
Значение полинома Лежандра в нулевой точке дается формулами (П4.6) и (П4.7), так что окончательно в области г > R получаем
ф (г, 0, 2)ф (г, 0, 2)(一 1产(2e)!22A5 侬)2 一(一 1产(2e)!22A5 侬)2 一P2k (cos 9).P2k (cos 9).
ф (г, 0, 2)
ф (г, 0, 2)
(一 1产(2e)!
22A5 侬)2 一
(一 1产(2e)!
22A5 侬)2 一
P2k (cos 9).
P2k (cos 9).
При г V R аналогично находим
中匕°- 2)= 2кда(^『(喜!胃2后3se)，
Найденный потенциал не зависит от азимутального угла ф, т. е> является аксиально-симметричным. В точках на оси кольца (г = =|г|, 0 = 0) он изображается в виде рядов:
中=2^[1+冬(_^)+击(冬)2(_^)(_^)+.]
при I г I > /?,
Ф = 2м[1+-^(-1) + 4г(-^)2 (-|)(-|) + .-.]
при I г ] < /?,
которые представляют собой разложение следующих функций:
при |n|>R,при I 2 I V R.при |n|>R,при I 2 I V R.2nRc 1
при |n|>R,
при I 2 I V R.
при |n|>R,
при I 2 I V R.
Ф = —7==
|21 "1十R2/n2
2nq屮=7====-Vi + №/&
Последние выражения совпадают с потенциалом на оси кольца, полученным в задаче 29а).
34.屮=—+ R34.屮=—+ R(- 1产(2尉！ 22^+%!侬 + 1)!(- 1产(2尉！ 22^+%!侬 + 1)!广、2々+1广、2々+1P2fe+1 (cosO)P2fe+1 (cosO)
34.屮=—+ R
34.屮=—+ R
(- 1产(2尉！ 22^+%!侬 + 1)!
(- 1产(2尉！ 22^+%!侬 + 1)!
广、2々+1
广、2々+1
P2fe+1 (cosO)
P2fe+1 (cosO)
при г 忘 R,
9уг г й=09уг г й=0(-丿(2用!(-丿(2用!22"十%!但 + 1)!22"十%!但 + 1)!R、2々 + 12a+i (cose)R、2々 + 12a+i (cose)
9у
г г й=0
9у
г г й=0
(-丿(2用!
(-丿(2用!
22"十%!但 + 1)!
22"十%!但 + 1)!
R、2々 + 1
2a+i (cose)
R、2々 + 1
2a+i (cose)
при OR.
35•屮=gW
々=0
(- 1 户(2々)1
22%!但十 1)!
'R、2々
；)P2k(cos6),
22%/工 DLL) ^(8s。)，
户 厶 22кт (左一 1)!(归 + 1)1 X
\/ / R V 巳左一 1 (cos 9) — cos 0 P2k (cos 0)
Область интегрирования в интеграле (I. 11) разбиваем на две области: OWr'WrurWr'WR В первой области справедливо разложение (П5.11), а во второй——(П5.12). Окончательно
Х【2(^；2)、 (£)2 - (£广］р2К (COS 吟
§ 4. Сила и энергия в электростатике
Поместим начало декратовой системы координат в центр шара. Сила, приложенная к верхней половине шара, выражается через максвелловский тензор натяжений Та§ следующим образом:
尸z= j тзрпр dS 4-)73严小5,S°Si
где So и Si—основание и поверхность полусферы. Другие компоненты силы равны нулю:尸翼=& = 0. При интегрировании по ос- _4冗
нованию следует иметь в виду, что векторы Е = —^-рг и п взаимно ортогональны:
Между тем на поверхности полусферы векторы Е = -^- и и параллельны, поэтому
卜з睜dS = ^ ，价dS = *・
SiS1
В результате
戶_3Q2
L 16R2 *
Другой способ вычисления:
尸N = Р ^EzdV =粤 р2 \ rn3 dV = ~^т，
где интеграл берется по верхней половине шара.
Абсолютная величина искомой силы имеет вид
步=籌，Q = 4л/?2ог.
Если удалить меньший шар, то внутри большего появится полость, в которой электрическое поле однородно:
□4冗
где вектор 1 направлен от центра большего шара к центру полости (см. задачу 22). Поэтому сила взаимного отталкивания шаров
F = *pQL
Чтобы найти потенциал электрического поля внутри указанной полости, воспользуемся методом, изложенным при решении задачи 22. Тогда потенциал будет слагаться из суммы потенциалов, созданных положительным и отрицательным шарами в отдельности! 屮(г) = ^~ Р(3R； — ~)—券-Р(3R： ~ 尸)=
где гиг' — радиус-векторы, проведенные в одну и ту же точку наблюдения из центров шара и полости, причем г — г' = 1・
Искомая энергия взаимодействия представляет собой потенциальную энергию заряда Q во внешнем поле(р(г), созданном большим шаром,
U =萼 pQ ［3(R； — R；)—户］
44. LC44. LCF = 2ipRR；l, U =冗2Plp2& (g — R； — J), где вектор 1 направлен от оси наружного цилиндра к оси внутреннего. Его модуль равен расстоянию между осями цилиндров.
44. LC
44. LC
ф = у При Г <с а, Ф = — е / при
г》〃；U =, Wг》〃；U =, W5М16а5М16а
г》〃；U =, W
г》〃；U =, W
5М
16а
5М
16а
U = 2冗Roe (“5 — 4 cos 00 — 1)・
F — 2лр^Л(1-市% )ь Орт 12 направлен по оси конуса от основания к вершине.
U = 2nRoe.
равно-равно-«2一玩.«2一玩.49. U49. UU = 4^ . Значение U не изменится, если заряд Q мерно распределить по объему сферы.
равно-
равно-
«2
一玩.
«2
一玩.
49. U
49. U
Уравнения Лапласа и Пуассона
с дополнительными условиями
В пространстве выделены две области 2^0 и z^Oc потенциалами ф! = epi (х, у, г) и 屮2 =屮2 (%, У, %), которые удовлетворяют уравнениям
屮屮］=°,V2q)2 = 0
и граничным условиям на плоскости XYi
卽呼"@ 一 @5巴&里=4g。cos (ax +制)，dzdz4
Ф1 (x, y, 0) = q)2 (x, p, 0).
Искомый потенциал
/1 (%, У，%) ПРИ z&O，
I 屮2 (尤，У，%) при г>0
убывает при |г| -> оо, так как полный поверхностный заряд равен нулю. Поскольку граничное условие на плоскости ХУ периодично,
а функция cos(a%4-by) при действии оператора производится, потенциалы следует искать в видеа функция cos(a%4-by) при действии оператора производится, потенциалы следует искать в видед2дх2д2дх2д2д2вэс-вэс-
а функция cos(a%4-by) при действии оператора производится, потенциалы следует искать в виде
а функция cos(a%4-by) при действии оператора производится, потенциалы следует искать в виде
д2
дх2
д2
дх2
д2
д2
вэс-
вэс-
q)i = fi (2) cos (ах + by), 屮2 =『2 (%) cos (а% + by).
Подставляя эти функции в уравнение Пуассона и сокращая на общий множитель, находим
需а匀号-а/=о,
где Л = V^2 + ^2 • Решение последних уравнений должно убывать при |%| f оо. Таким путем потенциалы определяются с точностью до постоянных множителей:
q)i — а]。"' cos (ах + by)f q)2 = a2e~Kz cos (a% + bg)・ Постоянные множители a【и a2 находятся из граничных условий. Окончательно имеем
ф =当卓《—九 I I cos (ax + by).
Искомый потенциал равен сумме потенциалов, созданных каждой заряженной плоскостью (принцип суперпозиции). Поэтому достаточно исследовать электрическое поле только одной заряженной плоскости. Потенциалы, созданные двумя другими заряженными плоскостями, находятся простым переобозначением координат точки наблюдения. Метод вычисления потенциала электрического поля одной заряженной плоскости изложен в предыдущей задаче. В результате получаем
屮=2胃° [^~Х|2{ sin ам sin bxy +
+ е~к I川 sin。2% sin b2z + e~' "〔 sin a^y sin 63г].
Электрическое поле, созданное периодическим распределением заряда в неограниченной области, также периодично во всем пространстве. Причем оно обращается в нуль, если положить ро = 0. Поэтому искомый потенциал определяется как частное решение ура* внения Пуассона
屮=n sin 厶％ sin 12y sin 厶之.
4лро次+考十总4лро次+考十总Напряженность электрического поля вычисляется по формуле (I. 6):
4лро次+考十总
4лро次+考十总
(/1 cos /1% sin 〃У sin /3% 1% +
十 /2 sin 厶％ cos /25 sin /32 1，+ /3 sin 厶％ sin /2У cos 办之 3・
53. Потенциал53. Потенциалв которомв которомЛ = V^i + ^2* ПринимаяЛ = V^i + ^2* Принимаяво внимание условие (2), находимво внимание условие (2), находим
53. Потенциал
53. Потенциал
в котором
в котором
Л = V^i + ^2* Принимая
Л = V^i + ^2* Принимая
во внимание условие (2), находим
во внимание условие (2), находим
f(Р1 при г <0, (ф2 при г > 0 является решением уравнений
V2q)i = — 4npo cos кг, W© — о
с дополнительными условиями
^Ф1 (х, у, 0) дор9 (г, г/, 0)//小
亠 0/= 亠屮］"'丛0)6 (/协0)，⑴
I 0(%, 9，— 8)I V 8, I 屮2 (%,弘 8)I V 8.(2)
Последние два условия вытекают из того, что точечные и линейные заряды отсутствуют, а полный заряд равен нулю. Поскольку
cos kr = cos (k.x + k2y) cos 自久—sin (財％ 十 k2y) sin 亀之，
поставленная задача допускает разделение переменных:
屮！ = /1 (n) cos (Е% + k2y)十尸 1 (к) sin (/гм + k2y) + —^f-- cos kr, 电=/2 (z)cos (电工+后力+尸2 (力sin (財% + k2y)f
где последнее слагаемое потенциала (pi является частным решением уравнения Пуассона. Функции 九⑶ и £(2)(i = 1, 2) удовлетворяют одному и тому же уравнению:
d2hn
y一A力=°，
九⑶=a］户，尸1⑶=6102,
/2 (2)=生e一^,尸2(N)=儿e一^.
Постоянные множители определяются из граничных условий (1), так что
ф! = ^2 { 2 cos kr 十［今 sin (E% + k2y) — cos (財％ + ^y^e^ }, Ф_ =一得上 ё~~［cos (自% + 財^) + -^ sin (也i% + 局{/)］.
Если распределение заряда во всем пространстве четно или нечетно относительно какой-нибудь из декартовых координат, то потенциал обладает той же четностью. В данном случае <р (х, у,——z)= 一叭占 у. 2).
Задача решается методом разделения переменных *)
Ф (х, у, %) = / (%) sin 厶％ sin 1>у,где f(z)—нечетная функция, удовлетворяющая уравнениям
-石2九2f = 0 при I г I > а,
—九2f = — 4кро sin 厶2 при I 2 I V а,
где к = ^l^+ ll， Поскольку полный заряд пластины равен нулю, функция f(z) убывает при |z|f8. С учетом сказанного находим
f (г)=瓦е" 3+а)при z《一а,
f ⑶=b2 (^2~е-^) + £『乎经 при |г|<а,"1 + “2 + 厶
f (力=一瓦e一儿(”a)при z》а.
Постоянные интегрирования определяются из граничных усло
вий (I. 8) и (I. 9). Окончательно получаем
屮1 = <Po [( sin 13a + -~- cos /3a ) e^a sh 九a — sin /3“ j X
X ^ (z+a) sin ZiX sin l2y (2 & — a), 屮2 = Фо [sin /3% — e~~^a (sin /3“ + -y- cos "a ) sh Az] sin l、x sin 12y
(|z[《a),
屮з = Фо [sin /3。一 (sin /з。+ 停 cos Z3a ) e~"。sh 九a] X
X ^^ sin ZiX sin l2y (z》a),
где обозначено ①。=4лр0Д/[ + 考 十 学・
Если в распределении зарядов имеется определенная симметрия, то потенциал обладает тем же свойством. В данной задаче есть аксиальная симметрия. Поэтому искомый потенциал не зависит от азимутального угла -ф.
Потенциалы внутри и снаружи шара обозначим через q)i = =ф1(г, 0) и ф2 = ф2(^ 0). Они удовлетворяют уравнениям
⑴⑴V2q)i = — 4лр0 cos 0, 卩屮2 = О
⑴
⑴
*) В общем виде изложение метода разделения переменных мо・ жно найти в книге [7].
156
и граничным условиям на поверхности шара
^Ф1 (^ В)d屮2 (R, 0) m a m Q е
Применяя метод разделения переменных, следует учесть, что функция cos 0 воспроизводится при действии угловой части оператора Лапласа в сферических координатах (П1.46):
1О Г •_ с 0八2 с
r2 Sin 6 06、26 丿产
Поэтому естественно положить
Ф1 =尸 1 (г) cos 0,(р2 =尸2 (г) cos 0.
Тогда множитель cos 0 сократится в правых и левых частях уравнений и дополнительных условий, после чего задача сведется к более простой для радиальных функций Fi(r) и Л2(г). Согласно исходным уравнениям (1) радиальные функции удовлетворяют уравнениям Эйлера
产匕7 + ” "^ 2尸I = — 4лр0г2,(3)
产多戸 + 力 ^^ - 2~2 = 0⑷
и дополнительным условиям при г = R, которые вытекают из соотношений (2). Частное решение первого уравнения, очевидно, 尸 1 част =«=——пр(/2, а общее решение однородных уравнений (3) и (4) ищется в виде сг\ где с и s — константы, подлежащие определению. Подставляя crs в уравнение (4) и сокращая на общий множитель, получаезт квадратное уравнение
$2 + s — 2 = О
с корнями Si = 1 и S2 =——2. Значит, общие решения уравнений (3) и (4) имеют вид
尸1 = eи + * -про产，尸2 =方г+ * •
Из непрерывности потенциала в точке г = 0, а также из(р2 (°0, 6) == О вытекает с? = Сз = 0・ Две другие постоянные определяются из условий сшивки радиальных функций и их производных в точке г = R. Опуская дальнейшие выкладки, приведем окончательный результат:叫=лро「(％r — “ cos 0, Elr = 2лр0 (r — 2/3^) cos0,
E】0 = про (%R— r) sin®, £叩=0 при г & R;恥=善? cos9, 口2 冗 poR'冗 PoR4 .
^2r = —^3— COS 0, £20 = -$声-Sin 0,上 22 = 0 при 广》R・
(pi = -^- ро (3R — 2r) г cos 2， Eir = -у Ро (4r — 3R) cos ф, ро (3/? — 2г) sin г|),= 0 при r&R； 0 =
2冗炉2冗&2л е审.
==-у Ро — COS 1|),Е2r = 3-Ро~р- cos 也邑屮=-у Ро 尸 Sin 屮,
£2z = 0 при r>R.
При 广 V R： qpi = -^- ar cos 9, Е^ =—亨-<J()cos R Е^ =
= "^- (То Sin 0,七1屮=0； при г > R: ф2 = -^у- cos 9, Е2г =
8球30r°4冗欠30r. Q
=—3P—" cos 仇 ^20 =—否з— sin б, &© = 0.
При г V R:屮i=0,Ei = 0; при 广 > R:恥=
cos少，&屮=cos少，&屮==2乳0点 ^y^-^ cos w，E2r = 2n(у0/?2 =2л(г0/?2 ^^у) sin 2, E2z = 0.
cos少，&屮=
cos少，&屮=
59・ Ei「= 7^~ а (9厂2 — 5R2) cos 8,£10 = -j^- а (5/?2 — 3r2) sin 0,
七w=0 при г其r；七2г一］屏3 - cos & Eze =-y^r- sin & e2©=0 при r>R.
В задаче даны две области rWRor^Rc потенциалами Ф1 и q)2- Уравнение Пуассона (I. 7) и дополнительные условия (I. 8) и (I. 9) позволяют применить метод разделения переменных. Согласно соотношению (П4.18) полагаем
Ф1 =尸1 ⑺ Р九(cos 6),ф2 =尸2 (广)Рп (cos 0).
Радиальные функции удовлетворяют неоднородным уравнениям Эйлера
2 d2品,_ dF. / I 1/ r、枕+2
产 R- + 2r уп{п+ 1)^ = - 4冗рок (天丿,
0尸2 丄 ° "2/」R、枕-1
一否丁 + 2r —jj：% (〃 + 1)尸2 = — 4jrp()R2 ^―-J
и условиям сшивки
0Q(R)一"2依) f (R、_p ⑷
—r尸】(R)-尸 2 (R)・
Дальнейшее аналогично вычислениям в задаче 55. Окончательно
23。戸［耳二? - 帚才（方片（夫）"Р" （cos 0）,6=2印。代［可丄丁一2M + 3 （书件）：…e）.61.初一呐代］几+ ］ （刁⑴5
при r《R,
S =呐心［占-击（勺2］（书1 cos *
при广＞ R・
Потенциалы внутри 屮i =（pi（r, “） и снаружи 屮2==屮2（几 2） цилиндрической поверхности удовлетворяют уравнению Лапласа и граничному условию （I. 9）
屮1 （R, ф）=$2 （R，少）=Фo COS拉屮.
Внутренняя при г《R и внешняя при ，N R задачи независимо друг от друга решаются методом разделения переменных
（p1 =尸 1 （广） COS m屮， ①2 =尸2 （Г）COS n^.
При этом для радиальных функций Fi（r） и 尸2（厂）получаем уравнения Эйлера. Решая последние, следует использовать непрерывность потенциала в точке г — 0, так как внутри цилиндрической поверхности заряды отсутствуют. Кроме того, снаружи цилиндрической по
верхности при увеличении г потенциал не возрастает, поскольку пол-
учетом граничного усло-учетом граничного усло-пcos п^пcos п^приприУ R,У R,$1 = Фо$1 = Фопри r^ R.при r^ R.ный поверхностный заряд равен нулю. С вия （I. 9） находим
учетом граничного усло-
учетом граничного усло-
п
cos п^
п
cos п^
при
при
У R,
У R,
$1 = Фо
$1 = Фо
при r^ R.
при r^ R.
Поверхностную плотность заряда определяем из граничного условия （1.8） на цилиндрической поверхности, которое еще не использовалось:
_ 〃屮0,
° =W
r&R,r&R,63•屮1 =90（£）"居拉（0,电一也（8，明при
r&R,
r&R,
% =屮。（^）'*[У^（е，^-Yim^ ^）] при
Применяем метод разделения переменных, положив ^^y)^X{x)Y(y).(1)
Вдоль оси Z потенциал однороден. Подстановка функции (1) в уравнение Лапласа дает d?Xd2y
d公d外
или
黑7 = 0,⑵
舞+心0,(3)
где 入一некоторая постоянная. Чтобы выполнялось граничное условие на плоскостях g = 0 и g = Ь, необходимо
у (0) = у (匕)=0.(4)
Уравнению (3) и дополнительным условиям (4) удовлетворяют функции
Yn = cn sin^-y(5)
где сп ——произвольные постоянные и п = 0, 1, 2, ... При этом 九= =(пл/Ь)2,
Поскольку внутри рассматриваемой области зарядов нет, искомый потенциал при х -> оо не возрастает. Поэтому из двух независимых решений уравнения (2) оставим только убывающую экспоненту для каждого фиксированного значения числа 〃： пл
хп = ъпГ~ :(6)
где Ьп—произвольная постоянная.
Следовательно, частным решением уравнения Лапласа служит произведение функций (5) и (6). В общем случае уравнению Лапласа и граничным условиям на плоскостях g = 0 и у = b удовлетворяет бесконечная сумма произведений ХпУп*
ооПЛооПЛм = 0м = 0
ооПЛ
ооПЛ
м = 0
м = 0
где введено обозначение ап = спЬп^
Подберем коэффициенты ап так, чтобы оставшееся граничное условие на плоскости х — 0 также выполнялось:
2
п=0
=屮中
(8)
Для этого воспользуемся тем, что совокупность выражений (5) образует полную систему взаимно ортогональных функций на отрезке [О, Ь]. Умножая обе части равенства (8) на sin ^^- у и интегрируя по у, получаем
^ 0_4<Ро冗(2々+1)^ 0_4<Ро冗(2々+1)приm = 2论，
^ 0
_4<Ро
冗(2々+1)
^ 0
_4<Ро
冗(2々+1)
приm = 2々 + 1,
где ^ = 0, 1, 2, ... В результате потенциал (7) принимает вид
0О(2々+1) Лл=о0О(2々+1) Лл=о.(2^ + 1) л sm 一一L— у..(2^ + 1) л sm 一一L— у.
0О(2々+1) Л
л=о
0О(2々+1) Л
л=о
.(2^ + 1) л sm 一一L— у.
.(2^ + 1) л sm 一一L— у.
В данной задаче, как и в некоторых последующих, ответ представлен в виде бесконечного ряда, хотя последний иногда суммируется при помощи определенных математических приемов.
8 / • (2々+ 1)几 l(2々+ 1)冗
sin !~-— X sh !~-- у
I7画与I)冗方+
+ —2ГРshM军也 J
Вдоль оси Z потенциал однороден.
Поместим начало координат в центре полусферы, а ось Z направим вдоль оси симметрии в сторону выпуклости. Искомый потенциал (р(г, 0) разложим в ряд (П4.15) по полиномам Лежандра
Ф (г，6) = S Fn (И Рп (cosO),(1)
п=0
где радиальные функции Fn (г) подлежат определению. После подстановки выражения (1) в уравнение Лапласа приходим к уравн” нию Эйлера
d2Fn 丄 2 dFn м(м+1) „ j
с решением
尸〃=斷(}) + 好(/)，
где ап и Ьп ——произвольные постоянные. Из непрерывности потенциала следует Ьп = 0. Таким образом,
ф (八ё)= 2 "九(左)尸九(cos e).⑵
n=0
Коэффициенты an подбираются так, чтобы выполнялись граничные условия
2斷(方)厶(0) = 0,⑶
n-Q
2 an^n (cos 6) = Фо«n=02 an^n (cos 6) = Фо«n=0⑷⑷
2 an^n (cos 6) = Фо«
n=0
2 an^n (cos 6) = Фо«
n=0
⑷
⑷
Из условия (3) вытекает «2а = 0 при /г = 0, 1,2, .. . , так что ряды (2) — (4) содержат только нечетные полиномы. Чтобы найти оставшиеся коэффициенты а2/и-ь необходимо умножить обе части равен* ства (4) на Рт (cos 0)sin 0, проинтегрировать по углу 0 в пределах от 0 до л/2 и воспользоваться формулами (П4.9) и (П4.11). Тогда получим
Е
(一1 户(软 + 3) (2盼！ / г、2々+1 力 / m
00 人
e
(-1产(4々+3)(2々)！ /R、2(^+i)
工洗项他占Г(7)
удобно записатьО<0 < п/2, п/2 < 0 < л.удобно записатьО<0 < п/2, п/2 < 0 < л.. Граничное условие для погенциала (р(г, 0)
удобно записать
О<0 < п/2, п/2 < 0 < л.
удобно записать
О<0 < п/2, п/2 < 0 < л.
в виде
(% (% -也)при
^'6)= %(% + %)+ { i(%i)叩 н
После этого потенциал разбивается на сумму двух слагаемых (р(г, 0) = ф1(г) +屮2(厂，6), каждое из которых удовлетворяет своему граничному условию
恥(R) = % (% + ①方)，
S (R, 6)S (R, 6)%(£i)-眩(％ - %)%(£i)-眩(％ - %)при 0《8 V n/2, при n/2 < 0 ^ тс.
S (R, 6)
S (R, 6)
%(£i)
-眩(％ - %)
%(£i)
-眩(％ - %)
Вид функции(pi(r) очевиден, а определение потенциала 屮2(几 9) аналогично задаче 66:
Ф =4"(电+啕智+
+｝（n一吟2 •力=»0+｝（n一吟2 •力=»0(一1 产(4々 + 3) (2々)!(一1 产(4々 + 3) (2々)!22^! (k + 1)!22^! (k + 1)!(Й+1) с , ^2fe+i (COS 9).(Й+1) с , ^2fe+i (COS 9).
+｝（n一吟2 •
力=»0
+｝（n一吟2 •
力=»0
(一1 产(4々 + 3) (2々)!
(一1 产(4々 + 3) (2々)!
22^! (k + 1)!
22^! (k + 1)!
(Й+1) с , ^2fe+i (COS 9).
(Й+1) с , ^2fe+i (COS 9).
69・ Ф1 = фо + Фо >々=069・ Ф1 = фо + Фо >々=0（一1产1（2炒！ /Г、2々+1
69・ Ф1 = фо + Фо >
々=0
69・ Ф1 = фо + Фо >
々=0
(V R),(V R),2?々的）2Р2尼…8）
(V R),
(V R),
…也阳詔К/广丁+.3仆公
Указание. Удобно выбрать начало координат в центре окружности, а ось Z направить в исследуемое полупространство. В решении уравнения Лапласа в виде ряда по полиномам Лежандра следует оставлять только те слагаемые, которые непрерывны по переменной г. Это требование выделяет две области, лежащие внутри и снаружи полусферы радиуса R, в которых потенциал имеет характерную зависимость от переменной г,
При rKR,При rKR,при R《r.при R《r.。(/)=2斷(方) P%(cos8)n=0
При rKR,
При rKR,
при R《r.
при R《r.
S(「， 8) = £%e)^n (cos 0) % = 0
Граничное условие на плоскости 6 = № приводит к выводу 的=(р° &о = 0 и а2т ^^ b2т ^^ Q приtn = 1, 2, • •.,
«2fe+i ¥= 0 и 62笈+1 ¥= 0 при左=0, 1, 2,・・.
Чтобы найти оставшиеся коэффициенты a2k+\ и 匕2在+卜 необходимо воспользоваться непрерывностью потенциала и его производной по г на поверхности полусферы с радиусом г = R.
.电^喑击哉深代旷P2ft+1 (cose) (YR).
2тУ/?3 h (1)々供)[月я«=»02тУ/?3 h (1)々供)[月я«=»0&》R)・&》R)・
2тУ/?3 h (1)々供)[月
я«=»0
2тУ/?3 h (1)々供)[月
я«=»0
&》R)・
&》R)・
. Ось Z цилиндрической системы координат совмещаем с осью цилиндрической поверхности. Вдоль этого направления потенциал однороден. Внутренний 屮］(厂，р) и наружный (р2(г,屮)потенциалы вычисляются независимо друг от друга. Сместим их точку отсчета, положив
% =万（Фа + 啕 +。1（А 2），屮2 = 4"（% + %）+必亿屮）•
% (久一%) ПРИ 0 < -ф < л,% (久一%) ПРИ 0 < -ф < л,Новые потенциалы ф} и ф2 удовлетворяют уравнению Лапласа и граничному условию
% (久一%) ПРИ 0 < -ф < л,
% (久一%) ПРИ 0 < -ф < л,
仇(R, W) = @2 (R,屮)=<,
I 一 ％ (% —屮b) ПРИ 冗 V 屮 V 2a.
Далее воспользуемся методом разделения переменных и будем искать решение поставленной задачи в виде
@ (Г, 2)=尸⑺ Ф "),@ (Г, 2)=尸⑺ Ф "),(1)(1)
@ (Г, 2)=尸⑺ Ф "),
@ (Г, 2)=尸⑺ Ф "),
(1)
(1)
где индексы 1 и 2 у потенциала опущены. Подставляя выражение (1) в уравнение Лапласа, получаем
d / dF\ 矿①dr dr 丿—d1^2
Здесь 入一постоянная. Последнее соотношение содержит два уравнения
Первое из них имеет решение
⑷⑷Ф = Л cos V^4? + В sin V九也
⑷
⑷
где Л, В и 入——постоянные. После изменения угла -ф от 0 до 2л потенциал (1) должен совпасть с исходным выражением, поэтому
①(屮 + 2л) = Ф (-ф).
Это выполняется при условии 7\ = п、где п = 0, 1, 2, ... Решение второго уравнения ищется в виде F = г3. После подстановки в (3) и сокращения на общий множитель получим s2 = л2 или s = 士枕. Отсюда находим
⑸
где С и D ——произвольные постоянные. Произведение функций (4) и (5) является частным решением уравнения Лапласа. Причем внутри
цилиндрической поверхности D = 0, а снаружи С = 0, так как искомый потенциал является ограниченной функцией. Общее решение представляет собой бесконечную сумму частных:
Ф1 （「,屮）X （訂n=0Ф1 （「,屮）X （訂n=0（an cos 拉屮 + b〃 sin 拉2）（an cos 拉屮 + b〃 sin 拉2）при г《R,при г《R,ф2（6 屮） =2 6）"n=0ф2（6 屮） =2 6）"n=0（cn cos 拉屮 + dn sin п*ф）（cn cos 拉屮 + dn sin п*ф）при г Ж.при г Ж.
Ф1 （「,屮）X （訂n=0
Ф1 （「,屮）X （訂n=0
（an cos 拉屮 + b〃 sin 拉2）
（an cos 拉屮 + b〃 sin 拉2）
при г《R,
при г《R,
ф2（6 屮） =2 6）"n=0
ф2（6 屮） =2 6）"n=0
（cn cos 拉屮 + dn sin п*ф）
（cn cos 拉屮 + dn sin п*ф）
при г Ж.
при г Ж.
Произвольные постоянные ап, Ьп, сп и dn определяются из граничных условий. Непрерывность потенциала при переходе через цилиндрическую поверхность требует сп = ап и dn = bn, а нечетность функций ф1 （R, -ф） и @2 （R,屮）по переменной 屮 приводит к ап ~ 0. Чтобы найти Ьп, умножим обе части равенства
£ bn sin 拉屮={£ bn sin 拉屮={% （% —①匕）при-V2 （фд - %） при% （% —①匕）при-V2 （фд - %） при0 V ® V 冗,冗V屮V 2冗0 V ® V 冗,冗V屮V 2冗
£ bn sin 拉屮={
£ bn sin 拉屮={
% （% —①匕）при
-V2 （фд - %） при
% （% —①匕）при
-V2 （фд - %） при
0 V ® V 冗,冗V屮V 2冗
0 V ® V 冗,冗V屮V 2冗
на sin т^ и воспользуемся ортогональностью синусов при т ^ п. Тогда получим
0,冗（2々+1），
где 々 = 0, 1, 2, ... Окончательно
京十 ^丄2（% 一%）31，厂产+1 • 丄i -
6= ~'21 л Z % + 1 （五丿 sm（2*+l）"
月=0
5=—2-S2■丿 sm 傑+1）2
左00
8OR）.
.%=4R （% -哨g s；；j空需也（£『"+屮。（Г《硝， ^«0
D
①2 = 2hR （% + %） In —+
+软（% 一。及喘产（书广+…，＞ R）. 在В0
Потенциал определен с точностью до постоянного слагаемого （р0 и однороден вдоль оси Z, совпадающей с осью цилиндрической поверхности.
Начало координат помещаем б центр окружности, а ось Z выбираем перпендикулярно ее плоскости. В цилиндрических координатах потенциал не зависит от полярного угла, а по переменной г является четной функцией (р(г,——г) =(p(r, а). По методу разделения переменных будем искать решение в виде
⑴⑴(Р (г, z) = F (г) Z (а)
⑴
⑴
После подстановки этого выражения в уравнение Лапласа находим
1 d ( dF\ d2Zг dr \ dr ) — d%z
Чтобы потенциал (1) убывал при |г| -> оо, постоянная С должна быть вещественной и положительной С = X2, где для определенности считаем 入 > 0. Тогда
醬一炉z = o,(2)
———LVF = 0.(3)
dr2 } r dr }
Из уравнения (2) получаем
2 = "产 lz],(4)
где постоянгая a^ подлежит определению.
Ограниченное решение уравнения (3) выражается через функцию Бесселя (П6 2) нулевого порядка
尸⑺= %/о6「)，(5)
умноженную на произвольную постоянную 6*
Произведение функций (4) и (5) является частным решением уравнения Лапласа, отвечающим фиксированному значению пара* метра А, который здесь может изменяться непрерывно. Поэтому об* щее решение имеет вид
(р (г, z) = \ 九”％ 3) c-入⑺ d九⑹
о
где ради удобства введено обозначение а入匕九=入。入.Коэффициент с九 как функция параметра 九 подбирается так, чтобы выполнялось граничное условие
Фо при 厂 V R, 0 при г > R.Фо при 厂 V R, 0 при г > R.
Фо при 厂 V R, 0 при г > R.
Фо при 厂 V R, 0 при г > R.
Полученное соотношение является разложением в интеграл Фурье — Бесселя функции, стоящей справа этого равенства*). Это позволяет вычислить коэффициент ” по формуле (П6 24). В результате потенциал (6) запишется в виде следующего интеграла по параметру Л:
Ф亿力=屮旅，Л)&)厶6R) I I d九.
о
Этот интеграл можно выразить через специальные функции, приведенные в справочнике [9]
①(г, z) = 2noR \ Jo (V) Л (KR)e~K^z^ -^-.
о
(р(Г, 2)=也 R 厶(M)sinR九0一加21
0
aa屮0冗2 "R2 -产屮0冗2 "R2 -产при г < R.при г < R.
a
a
屮0
冗2 "R2 -产
屮0
冗2 "R2 -产
при г < R.
при г < R.
Указание. Граничное условие на плоскости z == 0, в которой лежит диск, записать в виде
Ф (г, 0) = фо при г V R,
。①(г, 0)
———-=0 при г > R.
Второе соотношение указывает на отсутствие поверхностных зарядов вне диска. Далее следует воспользоваться известными соотно* тениями
при/• V R;при/• V R;} Jo (「％) sin RA d入 о} Jo (「％) sin RA d入 о01"R2 一产01"R2 一产при г > R, при 厂 V R.при г > R, при 厂 V R.
при/• V R;
при/• V R;
} Jo (「％) sin RA d入 о
} Jo (「％) sin RA d入 о
0
1
"R2 一产
0
1
"R2 一产
при г > R, при 厂 V R.
при г > R, при 厂 V R.
§ 6. Плотность заряда тел разной конфигурации
р = -|~- cos 2 при 厂 V R, р = 0 при г > R.
р = е6(г) +為~(YR), р = 0 (г > R); Q = 2е.
Сфера радиуса R равномерно заряжена с поверхностной плотностью о = Q/4nR2.
Цилиндрическая поверхность радиуса R равномерно заряжена с поверхностной плотностью о = «/4jtR.
а) 2Ао6(%2 + у2 + %2 —R2), 2Ro3(r? + z2 — R2), о6(「— R)；
2Rqb(x2 + y2 — R2)6 ⑵,«3 (厂一尺)6 (z), * 6 (厂一R) 6 (cos 9)=
=% 6(「- R)6 Q - y)j
qb (尤)6 (у), * 6 (г), ^~ 6(1— cos2 0);
об ⑶,об(2), у 6(COS 0)=子 6 (е —；
2Ro6 (х2 + 疗一R2), об (г — R), об (г sin 0 — R).
Указание. Следует рассмотреть элемент объема AV, который содержит внутри себя часть заданного распределения заряда величиной
AQ= \ р dV.(1)
ДУ
Искомая объемная плотность р должна удовлетворять следующим требованиям. Если первоначально было задано распределение заряда на поверхности с поверхностной плотностью о, то после интегрирования в (1) по поперечной кородинате Е,
AQ=，pd^dS,
выражение для заряда AQ должно принять вид
AQ = \ о dS,
где AS ——часть данной заряженной поверхности, которая оказалась внутри рассматриваемого объема. Аналогично, если было задано распределение заряда на линейном контуре с линейной плотностью q>
то после интегрирования в (1) по двум поперечным координатам 自 и 7
△ Q = \ р dg di)dl、
AV
выражение для заряда AQ должно принять вид AQ= \ gd/,
где AL ——часть данного заряженного линейного контура, которая оказалась внутри рассматриваемого объема А К
a) p = 2R(i6(%2 + y2 + z2 - R2)n ⑵，p= 2/^6(产 + 22一 —R2) n ⑶，p = "6 (r — R) T)(号一e);
p = 2Rg6 (x2 + y2+z2—R2) ” (y), p = gb (r — R) 6 (2) r| (n—2), P = 4 6(「— R)6 (cos 0) n (^ —屮)；
B)p = g6 (x) d 匂)[n ⑶一т) (%-/)]• p = — б (г) [Т)(2)-п (^-/)], р = "^~ 6(1— cos2 0) п (^ — е) [т] (г) — Т) (г — /)]；
р = аб ⑶ Т) (R2 — %2 — у2),р = ад (2) ”(R — г),
р = у д (cos 0) r)(R —г);
р = 2R(j6 (х2 + * —审)[п ⑶—乳(％ — /)], p = 06 (厂 一 R) X X S ⑶一T)(" /)], p = ад (r sin 9 — R)刀居一0)卜(“一 -“(г-+ 力2 )].
.P = #"l+传-1)* 6偿+卓一A⑶.
. ^^^1 + ^-{)^^ ^-^^
. Заряд с линейной плотностью q =〔厶冗。равномерно распределен вдоль оси Z.
. а) Две плоскости х — а и х = —а равномерно заряжены с поверхностной о;
две прямые % = а, 2 = 0 и х = —а, г = 0 равномерно заряжены с линейной плотностью %
окружность (х ——а)2 + (у —匕尸=а? + 6?, лежащая в плоскости ХУ, равномерно заряжена с линейной плотностью д;
эллипс 胃 + ^-^】，лежащий в плоскости ХУ, заряжен с линейной плотностью д =/ 二』2Полный заряд
2n Va4 + (b? — @2)%2
эллипса Q;
эллиптическая поверхность -^- + -~г + —^ = 1 заряжена с поверхностной плотностью
Q
4ка6 “11)+方(方-1)
Полный заряд эллиптической поверхности Q.
Дипольный момент
р = / 6 (9 — б。)п (/ —厂)，^o = arcsin -у-; dx — dy = 0t 厶= =冗OR/? * 一 R2//2 .
p = -^6 ⑶ 6纣一业)n « —厂)；dx = J/2 ql2 cos ф0, d?= 1/2 q/2 sin ip。，dz ^1 0.
Точечный диполь с моментом d является предельным случаем системы двух зарядов е и —е, расстояние I между которыми стремится к нулю, а абсолютная величина зарядов при этом обращается в бесконечность так, что
lim е! = d,
где вектор 1 направлен от отрицательного заряда к положительному.
Распределение объемной плотности в случае зарядов е и —о, находящихся в точках с радиус-векторами г+ = r0 + 1 и г_ = г0, описывается функцией ре (г) =е[6(「一г+)——6 (г ——г_)]. Если в этом выражении перейти к двойному пределу / -> 0 и е->оо, то получим объемную плотность заряда точечного диполя
6 (г — г ) — 6 (г — г_)0'6 (г — г') I
Р (г) = lim——У^ = d ―——,
е->оо
где производная в направлении вектора 1 берется по штрихованным координатам. Согласно формулам (П1.11) и
0'5 (г — У) — Об (г — У)
полученное выражение можно переписать так:
Р (г) = — (dV) 6 (г - Го).
92・ U=Q*; F = Q(^^O
93. a) F = ^l 偿一亨£} N = ^^(dXr)； 6)F = =^^ (产d + 2 (dr) r), N = -~- ar2 (d X D・
94・ Fi = — F2, F2 = yr {【产(d«2)— 5 (dg (d2r)] r + 户[(d2r)山 + +3]}; №=生沁+53, № = *з +
3 (dir) (d2 x r) '「「
.①=—ar/zA Вектор а представляет собой момент точечного диполя, взятый со знаком минус.
. Электрический дипольный момент Р(「')б/1/' элемента объема dV\ находящегося в точке с радиус-вектором г', создает в точке наблюдения с радиус-вектором г следующий потенциал:
d<P (r)=E*®d 片，
где R = г — г'. По принципу суперпозиции находим потенциал, созданный электрическим дипольным моментом объема V:
①吁⑴
У
Воспользуемся соотношением
,Р div'P , п 1de 页^~+Pgrad 页，
где производные берутся по штрихованным координатам. Тогда интеграл (1) при помощи теоремы Гаусса — Остроградского (П1.15) преобразуется к виду
屮(『)= /中dS，-\^pld『・
Будем неограниченно расширять объем V во все стороны. При этом интеграл по поверхности S, ограничивающей объем V, обращается в нуль. Последнее обусловлено тем, что подынтегральная функция на поверхности S убывает быстрее, чем 1 /г，3, в то время как поверх” ность интегрирования S увеличивается пропорционально 厂化 в ре^ зультате
f — div' Р (У)
Сравнивая полученное выражение с общим решением уравнения Пуассона (I. 11), приходим к выводу, что распределенный электрический дипольный момент создает в пространстве такое же электрическое поле, как и заряд с объемной плотностью р(г)=——divP(r),
§ 8. Тензор квадрупольного момента
О^в = 0 при а =/= В，О” = £>22 = — ЗбеМ, D33 == 72еМ； d = 0.
99・ a) d 1 = с?2 = 0, с?з = 3/8 QR,。邮==。；
^1 = d2 = 0, d3 = % QR，^ар = 0；
в)山=厶=0,成=%QR, D = 0 при а =/= Р， Du = О22 = =QR2/12, % = -QR2/6. 口
0aB = °*
Перейдем в штрихованную систему координат, начало которой расположено в центре кривизны полусферы, а оси X', У' и Z' параллельны одноименным осям X, У н 2. В штрихованной системе координат имеем d； = & = 0, d； = QR/2 и D^ == 0. Воспользуемся законом преобразования координат
г = а + г', 。1 == & === R, 。3 == О
и установим связь между компонентами тензоров D^ и 0；自 в исходной и штрихованной системах координат:
%В =儿6 + Qe^a" — @2^8)+ 3 &d j + @力一2ad 6^.
Отсюда находимОтсюда находим
Отсюда находим
Отсюда находим
/5冗 120 \
Тензор квадрупольного момента заряженного эллипса представим в виде
⑴⑴0aB = 9 § (3%а%в ~"产。邛)或，
⑴
⑴
где криволинейный интеграл берется по контуру эллипса
方+左=L ?=±ьд/1-^・⑵
Видно, что отличны от нуля лишь диагональные компоненты тензора Dap Интеграл (1) по замкнутому контуру равен учетверенному интегралу по дуге эллипса, лежащей в первой четверти плоско-
сти ХУ Интегрирование по указанной дуге эллипса заменяем интегрированием по отрезку [0, а] оси X,
di =\ 4g \ (2%2 — у2) "飞—, о
где функция у = у(%) дается выражениями (2). При помощи замены переменной х = а^ и формулы Ь2 = а2(I — е2) последний интеграл запишем так:
Du = 4«з \ [3三2 一 1 + £2(1 一 V)] "^^jF 密・ 0
Dn=nqa3 Q+今吟,Dn=nqa3 Q+今吟,!>22 =几9a3 (1 一-^ e2),!>22 =几9a3 (1 一-^ e2),Подынтегральное выражение разлагаем в ряд по малому параметру е2 и оставляем первые два слагаемых этого ряда. Возникающие при этом интегралы по переменной 自 являются табличными Окончательно получаем
Dn=nqa3 Q+今吟,
Dn=nqa3 Q+今吟,
!>22 =几9a3 (1 一-^ e2),
!>22 =几9a3 (1 一-^ e2),
&3 = — 2nga3 ^1 — A e2^ 。師=о при a * &
Искомый тензор квадрупольного момента запишем как
Dap =。§ (3%а%в —产°州)dS,
где интегрирование ведется по замкнутой эллиптической поверхности
%2+炉 n2 —a2
В случае тела вращения достаточно вычислить только компоненту £>зз. Воспользуемся заменой переменных
力=ax ,力=ax ,ау\ 之=bz‘ау\ 之=bz‘
力=ax ,
力=ax ,
ау\ 之=bz‘
ау\ 之=bz‘
и перейдем к интегрированию по сфере единичного радиуса
dS‘,dS‘,% =。出 § [2旅z〃 一 a2 (x“ +，)] X
dS‘,
dS‘,
ЛА+(1Я+(紀—
гдегде2= I — %— у 9
где
где
方2 = 02(1+ £2)При 6 > a,
b2 = а2 (1 —. е2)при b < а.
Подынтегральное выражение разлагаем в ряд по малому параметру е2 и оставляем слагаемые с наименьшей его степенью. В результате находим
п , 32л, 2
D33 - 士 - j[(T^462*
где верхний знак берется при 匕 > а, а нижний ——для b V а. Дру« гие компоненты искомого тензора
D" =022 === 一 V20》3，
Z)a0 == 0 при а 声 §•
105.
/0 1 0\/- 1
0^=12倣2( 1 0 0), D^ = 12еa210
01О01О\0 0 0/\0
0
1
О
0
1
О
106. 山=d (cos а — 1), d2 = dsina, d^ == 0;
/ 4 (1 + cos а) 0aB = ad [3 sin a
\0
3 sin a
— 2(1+ cos a)0
0
0
—2 (1 + cos a)
Указание. Каждый точечный диполь с моментом d следует рассматривать как предельный случай системы двух зарядов е и ——et расположенных на расстоянии / друг от друга, которые неограни* ченно сближаются, возрастая по абсолютной величине. При этом
lim el = d,
/今0
⑴
где вектор 1 направлен от отрицательного заряда к положитель* ному. В компонентах тензора квадрупольного момента, написанного для отдельной системы двух зарядов е и ——е, необходимо перейти к двойному пределу / тОиетоон учесть (1).
107. Da§ = 0 при a，В，Du = D22 = ~^* (a? — b?), D33 = =~^ (Ь2—а2). После поворота эллипсоида тензор £>ар принимает вид
Q ◎一吟
5
/ 3 sin2 a — 1
\ 3 sin a cos a
0 3 sin a cos a
-10
0 3 cos2 a — 1
108.108.109.109.01 — 3 sin2 a3 sin a cos a01 — 3 sin2 a3 sin a cos aПО* Ey (r) = Qa/a (万ПО* Ey (r) = Qa/a (万
108.
108.
109.
109.
0
1 — 3 sin2 a
3 sin a cos a
0
1 — 3 sin2 a
3 sin a cos a
ПО* Ey (r) = Qa/a (万
ПО* Ey (r) = Qa/a (万
Dr =等[a2 (3 cos2 a — 1) + 方2(3 sin2。一 1)—阳,
%=造储(3 sin2 a 一 1)十ь2(з cos2 a 一 1) 一 用,
a3=纟(2e2一a2一ь2),
£)]2 = *^- (a2 -岳)sin a cos a,
Аз = D23 ^3 °・
0
3 sin a cos a
3 sin2 a — 2
3
<P =声 QaB (3%a%0—产6a0)・ При помощи соотношения 死科師尸=県6邛％01%6 И формул (П2.16) и (П2.22) потенциал можно Привести к каноническому виду
DaB*a%0
в котором тензор
DaB = 3 [3 (аО0 + a能)一2ao。6呼】
симметричен, а его след равен нулю Daa = 0. Следовательно, компоненты D^ составляют тензор квадрупольного момента. Величина aap пропорциональна тензору квадрупольного момента в том случае, если «ар = а^а и а00 = 0.
112・ d%="^r(Q?—Q。)]), %=T^(Q? + Q%)，厶=-&『； 几=Q\" д/J (Q肾 + Q閭，加—дД (Q? — Qf)), %=vT(q；" Q?)， ％=Q0 + VF(Q『+ Q 對’ 2з = — j 7"I*(Q?)+ Q?) Аз = — 2Q，・
a) U = ea2 請-；
a = e(p (0) -+(0);
V 3 dx 12 \ 0y2@%2 丿
/ Л2、
г) и = Qtp (0) + % (。2 鳥 + 从薪 + ,2 鳥)ф (0).
П4. U^Q^ (0) + ^-(合若 + 廿系)中(0).
F = QE (0) + ¥ (。2 自 + 厶2 詛 e (0),
где Е(0) =——grad(p(0)—напряженность внешнего электрического поля.
Н5・ F^QE + (dgrad)E + ~Dap—
где напряженность электрического поля и ее производные берутся в точке, расположенной внутри заряженной системы. Эта точка служит началом декартовой системы координат, в которой вычислены величины d и。吋
1GE、
"a = ё然Y迎?y + $ 6邮y°660和'
где напряженность электрического поля и ее производные берутся в точке, расположенной внутри заряженной области. Эта точка слу* жит началом декартовой системы координат, в которой вычислены величины d и 0邮・
F = -36倣2-
dz2
N* = 72m2 ^^>, % = - 72欽2 ^^, 收 = 0.
Nx = Ny = 0, Nz = "^ sin 2ф0.
§ 9. Поле на больших расстояниях от заряженной системы
119. a)$=扌次3119. a)$=扌次31 — 3 cos2 01 — 3 cos2 0
119. a)$=扌次3
119. a)$=扌次3
1 — 3 cos2 0
1 — 3 cos2 0
6)0=》*2(审一告出)1一：产氾
Ф = nohR ^ - -j- h2^ — ?y~—；
、 д/з 3 cos2 0 — 1
「)L^^—-
а) ф«-^з~(3 cos20— 1);
6)(p« ———sin 9sin 2 — —【2 + 3 si/ 9(1—4 cos^ ")]; r V3 r12厂3
в)(p=赤一 sin2 0 sin 2-ф.
0耶=6* 0 0 0； (p = 6ad 货.
\1 0 0/Г
122. 1|)о =冗±2122. 1|)о =冗±2
122. 1|)о =冗±2
122. 1|)о =冗±2
Ф = ^^ 3 - R + ■"号?一(% + B)]■
Указание. Воспользоваться методом, изложенным при решении задачи 101.
124.9=多+号依% + ^）+ 备［（如2一貝2）%2 一124.9=多+号依% + ^）+ 备［（如2一貝2）%2 一
124.9=多+号依% + ^）+ 备［（如2一貝2）%2 一
124.9=多+号依% + ^）+ 备［（如2一貝2）%2 一
Указание. Воспользоваться методом, изложенным при решении задачи 101.
125.
а)屮=§ + *^" [3 (a2 cos2 屮 + 沙2 sin2 *ф) sin2 0 — а2 —加]j
八 Q I 1 с /厶22、3 cos2 0 — 1
ф = — + -^- Q (i>2 — а2)^з ；
ф = -у- 4~ "^ [а? (3 sin2 0 cos2 -ф — 1) +
+ b2 (3 sin2 0 sin2 屮一1) + с?(3 cos2 e - i)j.
126.126.Ф 亿 & 0 = £ ^^ Q『P/ (cos 0),
126.
126.
где 左=0,где 左=0,Q产=2冗m为旅，Q^+b =1, 2,Q产=2冗m为旅，Q^+b =1, 2,i2myR”+3(2月)!2总+1加伏+ 1)1i2myR”+3(2月)!2总+1加伏+ 1)1
где 左=0,
где 左=0,
Q产=2冗m为旅，Q^+b =
1, 2,
Q产=2冗m为旅，Q^+b =
1, 2,
i2myR”+3(2月)!
2总+1加伏+ 1)1
i2myR”+3(2月)!
2总+1加伏+ 1)1
127.127.尸 尸 八 尸_ 12QRd・尸% =尸N = 0， Ру = -1 —,
127.
127.
4QRd
一寿一，小=№ = 0.
U = - ^^ + 需{ [(dr) (1-岑)+ 24%]出 十
+ [(dr) (1 一筈)+ 2d2屮2 + [(dr) ( 1 一亭)+ 2词 c2}・
A尸% = ^^~ 6 伍2*2 + 力2y2 +。222) 一 产(302 +Ь2 +e2)], AFy = ^f~ [5 (出%2 + 方2疗 +e2對一产伍2 + 362 +e2)], А戶Z ^需"К (歩炉+炉产+e2n2) 一产(出+b2 + Зe2)].
U = -3828>^-・
§ 10. Двойной электрический слой
⑶=29：тЛ&)т!т⑶=29：тЛ&)т!тпри 2 #= о,при 2 #= о,Ф (0) = о；Ф (0) = о；Е% = Ер = 0, / =Е% = Ер = 0, / =2 冗 ”?2(* + R2/2 冗 ”?2(* + R2/
⑶=29：тЛ&)т!т
⑶=29：тЛ&)т!т
при 2 #= о,
при 2 #= о,
Ф (0) = о；
Ф (0) = о；
Е% = Ер = 0, / =
Е% = Ер = 0, / =
2 冗 ”?2
(* + R2/
2 冗 ”?2
(* + R2/
ср(2)= 2лт (1广 £: ) при z > R, ф (7?) = — V2 лт,
4 "小十к丿
ф(г)==_2я^1+^) при,<^
В цилиндрических координатах ср = 2с (п ——屮)при 0 V 少 V < 2л,①=0 при 屮=0; Ег — Ez = 0, ^ = 2т/г.
Р 口 n Р2?vteR2
135・尸х = & =。，Fz^--^==.
Над положительной стороной электрического двойного слот <р = 2nt. На его поверхности 屮=0. Под отрицательной стороной ср =——2лх
Потенциал двойного электрического слоя ср = тС, где Q —
телесный угол, под которым видна положительная сторона слоя (для отрицательной рассуждения аналогичны). Пусть слой сместился параллельно самому себе на величину da. Элемент dV контура L, на который натянут слой, опишет поверхность da X di'. Она видна из 厶(da X ")R
точки наблюдения под телесным углом ^, где вектор
R = г — г' проведен от элемента поверхности в точку наблюдения.
Полное изменение телесного угла при смещении слоя
О)О)
О)
О)
Потенциал в точке наблюдения изменится соответственно на величину d(p = т dQ Если слой неподвижен, а точка наблюдения переместилась в противоположную сторону на величину dg = —da, го численное значение телесного угла (1) не изменится. Однако изменение потенциала в этом случае выражается через напряженность электрического поля следующим образом:
WXR
Ввиду произвольности вектора de находим
Глава 〃
ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
§ 1. Уравнения Максвелла
и граничные условия в магнитостатике
Если заданное магнитное поле удовлетворяет однородным уравнениям Максвелла rot Н = 0 и div Н = 0, то заведомо найдется такое распределение тока снаружи полой области и на ее поверхности, которое создает это поле. Напротив, если ротор или дивергенция вектора Н внутри полости отличны от нуля, то никакое распределение тока не может создать данное магнитное поле. В связи с этим необходимо вычислить ротор и дивергенцию заданной векторной функции:
можно (rot Н = 0, div Н = 0);
не г (rot Н = (% + 1? + L)b, div Н = 0);
можно (rot Н = 0, div Н = 0).
Нет, так как div j，0.
1-^[3 (ar)b-(ab) г];
/г == /е = 0, Ар = -^ Sin 0 при г < /?, j = О при г > /?;
jf = 0, /ф = -^-, /2 = -^- при г < /?, j = 0 при г > /?.
Из уравнения Максвелла rot Н = -—- j следует div j = 0. Поэтому внутри заданной ограниченной области текут замкнутые токи, токовые линии которых являются замкнутыми кривыми. В свя* зи с этим разобьем объемный интеграл на сумму интегралов
,jd展 £ 厶 §d"(1)
по отдельным замкнутым весьма тонким трубкам, для которых
справедлива заменасправедлива заменаjdVi->Jid\bjdVi->Jid\b
справедлива замена
справедлива замена
jdVi->Jid\b
jdVi->Jid\b
где Ji ——линейный ток t-й трубки, a dh ——элемент оси 厶》этой токовой трубки. Ось каждой трубки направлена по соответствующим замкнутым токовым линиям. Равенство (1) тем точнее, чем тоньше вь^ браны токовые трубки. Линейный интеграл ① dl» равен нулю, по
добно сумме векторов, составляющих замкнутый многоугольник. Поэтому \ j dU = 0.
Для произвольного объема V имеем
div А (г)=丄弋 div •dV—丄 f diLd匕
|r-r I
где использовано div'j(r') = 0. В последнем интеграле дивергенция берется по штрихованным координатам. Используя теорему Гаусса —Остроградского (П1.15), найдем
divA(r) = -l^T^^JS\(1)
Если токи текут в ограниченном объеме V, то /п (「') обращается в нуль на поверхности интегрирования, и условие Лоренца выполнено. Если токи текут в неограниченном пространстве, то при расширении объема V во все стороны поверхностный интеграл (1) также обращается в нуль. Это связано с тем, что поверхность S возрастает про- порционально г,2, в то время как подынтегральная функция убывает быстрее, чем l/r'L
Постоянный ток должен течь в ограниченной области. В этом случае выражение 击、jA dU инвариантно по отношению к преобразованию калибровки (II. 10) и имеет физический смысл энергии магнитного поля.
сН
а) % = % = 0， J = в плоскости х = а, /% = % = ()； 〃=——石 в плоскости %=厶；
сН
〃 = % = 0, iz =—石-в плоскостях % = а и х = Ь;
сН
в)厶=q = 0, ip = где ось Z цилиндрической системы координат направлена по оси цилиндрической поверхности параллельно вектору Н.
а) В цилиндрических координатах j = 6(г — R)io?
в декартовых координатах j = J6(x)6(y)\z\
в декартовых координатах j = 6(z)io；
в цилиндрических координатах /г = /2 = 0, /^ = /6 (г—R) 6 (z); д) в сферических координатах /г == /е = О, А|)^ охог6(г—R) sin 0; е) в сферических координатах /「= /е = 0, /^ = асо sin 80^ (6—®о)・ 150. Нет, так как divj=/=O, где j = № (%) (1у『“"+ 1；2©一")・ 151. а) В плоскостях х — а и % = —а течет ток с поверхностной плотностью io； б) по прямым х = а и х ———а, лежащих в плоскости ХУ, параллельно оси У течет линейный ток /.
Натянем на контур L произвольную поверхность S, которая превращает окружающее пространство в односвязную область. В точках, не лежащих на токовом контуре L, уравнение Максвелла (II. 2) однородно rot Н = 0. Согласно теореме (П1.22) магнитное поле в этих точках можно представить как Н = —grad Ф, где Ф = —Ф(х, у, z)——некоторая функция, заданная в односвязной области. Возьмем ее в таком виде, чтобы второе уравнение Максвелла div Н = 0 также удовлетворялось при подстановке выражения Н = ——grad Ф. Для этого функция Ф должна быть решением уравнения Лапласа Г2Ф = 0 с дополнительным условием, вытекающим из теоремы о циркуляции напряженности магнитного поля
《)HPd/ = *J・(1)
с
Здесь т ——орт касательной к контуру интегрирования С, который охватывает линейный ток /. Кроме того, функция Ф обращается в нуль на бесконечности, если токовый контур 厶 лежит в ограниченной области. Так определенная функция Ф называется скалярным потен* циалом магнитного поля.¥
Поверхность S, натянутая на токовый контур L, рассечет контур интегрирования С в некоторой точке. Обозначим точками 2 и 1 на* чало и конец рассеченного контура С'. Значение потенциала в этих точках по разные стороны поверхности S обозначим через Ф2 и ①i. Интеграл (1) по рассеченному контуру
С'С'
С'
С'
Как видно, скалярный потенциал Ф претерпевает скачок при переходе через поверхность S, натянутую на токовый контур L, хотя производная дФ/дг остается непрерывной. При этом величина Ф формально совпадает с потенциалом двойного электрического слоя S, плотность дипольного момента которого равна J/c. Таким образом, скалярный потенциал Ф удовлетворяет уравнению 72Ф — Он
дополнительному условию (2) на фиксированной поверхности S, натянутой на токовый контур L.
В качестве фиксированной поверхности, натянутой на токовый контур, выберем полуплоскость у = 0, % а 0. Уравнение 72Ф = ==0 с дополнительным условием
不1 04л г
①d =J
решаем в цилиндрических координатах. Здесь контуром интегрирования С； служит окружность произвольного радиуса г с центром на оси Z. Ее плоскость перпендикулярна линейному току J. Контур интегрирования С； рассекается в некоторой точке полуплоскостью у —— 0, % N 0.
Из условий задачи вытекает, что искомая функция Ф не зависит от координат г и г, а зависимость от полярного угла гр линейная ф == ф0 -|- а”, где ①о н а — постоянные. Дополнительное условие выполняется при а =——2//с и произвольном Фо. Таким образом, потенциал определен с точностью до произвольного слагаемого. Окончательно
.,2/ , 口С 口 2/
①=①。—г|),H r = Hz = 0,〃2 = y.
функция Ф претерпевает скачок -^- / при переходе через полуплоскость у = 0, % N 0, которая соприкасается с линейным током /. Если произвольную постоянную положить равной ①о=-^-/, то величина Ф формально совпадает с потенциалом двойного электрического слоя у = 0, % N 0 с плотностью дипольного момента J/с (см. задачу 134).
2. Магнитный момент
.卩% =財=0,"…丽不
.n=专± j 产尸(r) dr. о
.卩=—
5/7202 / 方с、2
.①■丿・ Если заряд размазан по поверхности
3 тара, то угловая скорость уменьшается в 父 раза.
. Перейдем в штрихованную систему координат г = а +「％ в которой распределение объемной плотности тока описывается функцией『(У) Ej(a +「‘)，а магнитный момент
厂=击卜'义了什')d『.
Сделаем замену переменных интегрирования г' = г — а, тогда
р/ =卩一击(а Х 卜 dV^.
Поскольку вектор а произволен, второе слагаемое обращается в нуль в тем случае, если
\jdV^Q.(1)
Для токов в конечной области соотношение (1) получено в задаче 144.
Если таки текут в неограниченном пространстве, то несобствен* ный интеграл (1) определим так:
\ j d昨 L(2)
Умножим скалярно обе части равенства (2) на произвольный постоянный вектор 1 三 grad(rl). Под знаком интеграла воспользуемся тождеством
j grad (rl)三 div [(rl) j]
и для некоторого фиксированного объема V преобразуем объемный интеграл в поверхностный
§ (rl) /п dS = II,⑶
где S ——замкнутая поверхность, ограничивающая фиксированный объем 1/. После этого перейдем к пределу S 8, растягивая замкнутую поверхность во все стороны, что соответствует предельному переходу оо.
Объемная плотность тока j по модулю убывает на бесконечности быстрее, чем 1 /г4, так как магнитный момент имеет конечное значение. Поскольку S увеличивается пропорционально г2, поверхностный интеграл (3) обращается в нуль при S -> оо. Поэтому II = =0. Ввиду произвольности вектора 1 интеграл (2) также равен нулю. Соотношение (1) и равенство 也=也‘ доказано.
А=^(НХ「)・А=^(НХ「)・159.呼="Н.
А=^(НХ「)・
А=^(НХ「)・
Указание. Воспользоваться соотношением
呼=举上(©Н).
Запишем момент сил в виде
N = ；brH)jdl/_^}rj)dH
Объемные интегралы при помощи замены (II. 17) разобьем на сумму линейных интегралов по осям 厶 тонких токовых трубок
N £ 厶[§(гН)曲—Н § (г 曲)]・(1)
Ко второму интегралу применим теорему Стокса (П1.17)
§ г 曲=\ rot г dSj = 0.
LiSj
а в первом — воспользуемся формулой (ШЛО), тогда
N = ^ £ 几卜n X Н) dSj = ^ 2 厶(SjXH) = £ 匕ХН = ах Н.
i Sgii
Здесь Si ——вектор площади поверхности, натянутой на контур i-й токовой трубки
Sj = \ dSj,
а м?——магнитный момент линейного тока /з
N = */zR3o(① * н).
Введем обозначение「= R + У, j(R + У)三 j,(f，), где R — радиус-вектор фиксированной внутренней точки рассматриваемой области пространства, и перейдем к интегрированию по штрихованным координатам
F = ；，j‘(r')XH(R+ г')”'・
Затем вослользуемся разложением в ряд Тейлора
H(R + r,) = H (R) + (rT) H(R)+ ...,
где оператор V действует на координаты фиксированной точки с радиус-вектором R. В первом отличном от нуля приближении имеем
F = ^ 卜(CX(rN)Hd『，
где Н = H(R). Далее применим формулы
(rT) Н = grad (г'Н),rot [(r'H) j<] = grad(r,H)Xj\
F = _rotR\F = _rotR\(УН)『(е d『](УН)『(е d『]в которых дифференцирование производится по компонентам радиус- вектора R. Тогда выражение для искомой силы преобразуется к более удобному виду
F = _rotR\
F = _rotR\
(УН)『(е d『]
(УН)『(е d『]
Полученный здесь интеграл вычислен ранее при решении задачи 161. Он равен векторному произведению магнитного момента 卩 тока и вектора Н. Окончательно находим
F = — rot (н X Н) = grad (读Н), где производные берутся от векторной функции Н = Н (R) по коор~ динатам фиксированной точки с радиус-вектором R, которая лежит внутри токовой области.
§ 3. Магнитное поле на больших расстояниях от тока
…а ц X г “3 (цг) г к„
—, Н ==―, rge н — магнитный мо
мент вращающегося эллипсоида:
—Qq2@"—5c *
165・ А =薛 ® X г), Н =黑[3 ®г) г - Ao],
а/з" а2/
Н =―^^—[3 (nr) г — г2п]. Единичный вектор п нормали к плоскости треугольника образует с направлением тока J правовинтовую систему.
/ QR2 \2 / 3 (о г) (<д2Г)п
取(^—丿. Радиус-вектор г
проведен из центра первого шара к центру второго.
腿 г 9Q" / (рт)(о + ®г) к + (к。)г 5 ®г)(財)г、 ~20Г I^^ 丿・
Закон Био и Савара
Применим формулу (II. 16), поместив начало координат в центр шара и направив ось Z вдоль вектора о). Тогда напряженность магнитного поля в центре шара запишется
н(о)У %К)т,
где штрих у переменной интегрирования опущен. В результате вращения внутри шара появится ток с объемной плотностью j(r) == роХ^ 3Q
где р = 4冗&才・ Раскрывая двойное векторное произведение в подынтегральном выражении, получаем
н (0)=工)Р^dK
zx и zy, обращаются в н)〃ь как инте- в симметричных пределах. Оставшиесяzx и zy, обращаются в н)〃ь как инте- в симметричных пределах. ОставшиесяИнтегралы, содержащие гралы от нечетной функции слагаемые дают
zx и zy, обращаются в н)〃ь как инте- в симметричных пределах. Оставшиеся
zx и zy, обращаются в н)〃ь как инте- в симметричных пределах. Оставшиеся
Н(0) =Н(0) =
Н(0) =
Н(0) =
Полученная формула справедлива для любого тела вращения, внутри которого распределен заряд с объемной плотностью р = s= р(г, 0). В частности, для равномерно заряженного шара находим
нв)= а・
Если заряд Q размазан по поверхности, то напряженность магнитного нопя в центре шара уменьшается в 2/3 раза.
Н = — Лао.
с
方
：o,『碉e
173. АН
е2Ho
174.
Зато2 *
Q (® — &2)@1
2co)iR
в центре обращается в вин шара Qi =(o2Q/(coi +
-. Напряженность магнитного поля [ь, если заряды первой и второй поло- ,Q2 = ®Q/(31 + 32).
175.
н
Qs
c ◎ —• a2) \
b —
出
л/ a2 — b2
出
V 廿一qZ
agin 金 j (a >6);
а
1也+何二
а
)e > a).
17G.17G.H = -~~- (1 — cos Oo cos2 ^~) •
17G.
17G.
177.
Г
3(3 7工—4)Qw
178.
W
3%
e方n
24mca3 *
179.
T，*需
180.
2c、&2 — q2 “他2 — “2)32c、&2 — q2 “他2 — “2)36 + V^2 —。2、In I(H X 紛・6 + V^2 —。2、In I(H X 紛・
2c、&2 — q2 “他2 — “2)3
2c、&2 — q2 “他2 — “2)3
6 + V^2 —。2、
In I(H X 紛・
6 + V^2 —。2、
In I(H X 紛・
Н=2ла|^|[(1+ 曽j" + (1 + 容)% — 2〕g
А =『)Х/, H = -
Вектор а пропорционален магнитному моменту 读 заданного тока согласно формуле а = — с读.
Векторный потенциал, созданный магнитным моментом \i(rr)dVf элемента объема d% имеет вид
dA (г) =匕(г，зХВ d『,
где м(г')=也0尸(「‘)，R = r —r‘，a г и rz — радиус-векторы точки наблюдения и точки нахождения элемента объема dV'・ Для произ* вольного объема V по принципу суперпозиции получим
А (г) = \ 乃”з辽 dU‘ = \ 读(У) X grad' -1 d『・VV
При помощи формул (П1 30) и (П1.18) преобразуем последний нн、 теграл к виду
а (г) = 1( £皿职2ds，・
Vs
Устремим объем V к бесконечности, неограниченно расширяя его во все стороны. При этом поверхностный интеграл обращается в нуль, так как подынтегральное выражение при S ~> оо убывает быстрее, чем I/，'？. Сравнивая полученный результат с общей формулой
А (г)А (г)1 £ j (С d『с ) I Г — У I
А (г)
А (г)
приходим к выводу, что распределенный магнитный момент создает такое же магнитное поле, как и ток с объемной плотностью
j (г) = с rot (к/ (г)).
Начало координат поместим в вершину прямого угла, а ось Z выберем по направлению тока. Тогда получим
а) *乐 L； б) Н = 6&-1А
185・ H = — -~- (1 + “2 儿,где обозначения те же, что и в предыдущей задаче.
2/
186・ Н =—п, где орт п нормали к плоскости треуголь
ника образует правовинтовую систему с направлением тока /.
ют и8а2/п
Н 工2)« 方亍，где °РТ п нормали к плоскости квадрата образует с направлением тока J правовинтовую систему.
Н=-^-п, где орт п нормали к плоскости полуокружности образует правовинтовую систему с направлением тока, текущего по дуге.
п =гг =гг> где орт и нормали к
e (22 + R2)%(22 + R2) /2，рь
плоскости кольца образует с направлением тока J правовинтовую систему.
§ 5. Теорема о циркуляции напряженности магнитного поля
Распределение тока обладает цилиндрической симметрией, поэтому проще всего воспользоваться теоремой о циркуляции напряженности Н магнитного поля (II. 8). Вследствие цилиндрической симметрии вектор Н в каждой точке пространства перпендикулярен оси цилиндра и направлен по касательной к окружности с центром на его оси Направления векторов Н и j связаны между собой, как в законе Био и Савара. По модулю вектор Н зависит только от расстояния до оси цилиндра Сделанные утверждения однозначно определяют форму вспомогательного контура интегрирования в формуле (II. 8).
Чтобы найти напряженность Hi магнитного поля внутри цилиндра в фиксированной точке на расстоянии г от его оси, проведем через эту точку окружность Сг радиуса г с центром на указанной оси и вычислим циркуляцию вектора Hi：
§ Hi dl = 〃i § d/ = 2nr//i.
Ток, охватываемый вспомогательной окружностью Cr>
卜dS =冗г/
После проделанных вычислений соотношение (II. 8) превращается в алгебраическое уравнение относительно 〃「 откуда находим
〃1屮="1 = ^^t/7]r=="iz = 0.
Напряженность Н2 магнитного поля снаружи цилиндра вычисляется аналогично:
2siR2j_ “ —
(r《R)，(r>R)・(r《R)，(r>R)・Из аксиальной симметрии следует Аг= А^=^ О, Д^ == Л2 (г). Поэтому соотношение Н = rot А внутри и снаружи цилиндра принимает вид d4z —2 л/
(r《R)，
(r>R)・
(r《R)，
(r>R)・
dr — с d%222 冗 R2/
dr~cr
Интегрирование этих уравнений с учетом дополнительных условий 4z (R)=厶22 (R) =。Дает
= U (R2 —厂2),Л22 = —In у.
"ikTT卜⑺北河，оR EAl^* 卜⑴ n〃n；r 0R〃2屮=礬 ^ / (n) n d%оRA2Z = ^\ / (n) n dn In §・"ikTT卜⑺北河，оR EAl^* 卜⑴ n〃n；r 0R〃2屮=礬 ^ / (n) n d%оRA2Z = ^\ / (n) n dn In §・191* При г《R:
"ikTT卜⑺北河，о
R EAl^* 卜⑴ n〃n；r 0
R
〃2屮=礬 ^ / (n) n d%
о
R
A2Z = ^\ / (n) n dn In §・
"ikTT卜⑺北河，о
R EAl^* 卜⑴ n〃n；r 0
R
〃2屮=礬 ^ / (n) n d%
о
R
A2Z = ^\ / (n) n dn In §・
Н1 г ^^ Н12 ^3 О,
Аг = 42 = о, при г >/?：
〃2Г == Н22 ^= О，
/2r={2屮=0,
О
По абсолютной величине искомая сила определяется формулой
4/2
3 冗 м& •
Hi = 0 при г V R； Н2г = “2z = 0, ”2屮=4*也.при г > R・
//% = % = 0, " =一2沁.
195. Hi =0при а & г w a；195. Hi =0при а & г w a；При YR;%Г= “32 =При YR;%Г= “32 =”2г = 〃22 = 0,~
195. Hi =0
при а & г w a；
195. Hi =0
при а & г w a；
При YR;
%Г= “32 =
При YR;
%Г= “32 =
0, 〃3р —丄^ При Г》/?2・
Hi =樓邑 1% при I г К /,
"2 = "^^〃 при 陵|>"，
"" ==（（%十小+川一^一糸十旷），
e I （尤一/尸+川 "+ /）2+寸丿，
//2 = 0;
H = 7rrL\~" nРи 广》厶
[=；к\•
exP （需）—
Рамка притягивается к прямолинейному току с силой 2q2J“2
—с2r （г + а） *
200.200.Для антипараллельных токов:
200.
200.
Hi = 0Hi = 0при ] г I > /,
Hi = 0
Hi = 0
4л%о [! I ,
—у- 1% при 12 1V /；
для параллельных токов:
Hi =7]斤 % при 厶
Н2 = 0при I г I < /.
千"Hl —千"Hl —}}2 < 0;"22=之> 0,2 < 0;"22=之> 0,Н = 0 при 2 > 0, 〃「= 〃2 = 0 и "<ф=-^~ при “U = 〃]Z=0, "W=£（l“m^a）； 〃2f = 〃2Z = 0,
千"Hl —
千"Hl —
}
}
2 < 0;
"22=
之> 0,
2 < 0;
"22=
之> 0,
“之2十产“之2十产гце верхний знак берется для
“之2十产
“之2十产
а нижний — при г < 0. Здесь г и г — цилиндрические координаты точки наблюдения.
Н = 0 внутри сферы; Нг = Н2 = 0 и 77^=-^- снаружи
сферы, где г — расстояние до оси г.
203. Циркуляция напряженности магнитного поля запишется
так:
§ Н (г) dl =—沔 § (仆 X ±)凰(1)
где R = r‘ ——г. Сделаем циклическую перестановку сомножителей в смешанном произведении и рассмотрим интеграл по штрихованной переменной. Для этого натянем на токовый контур I/ фиксированную поверхность S', которая превращает окружающее пространство в односвязную область и рассекает замкнутый контур L в некоторой точке. К интегралу по штрихованной переменной применим теорему Стокса (П1.17):
2
-00(贵义公)"=-卜。4(备义川)时П
匸 LS' 1
22
心卜。t (亲 Xdl)dS，= N[(dlV)贵一dldiv^]dS，, S' 1S' 1
где цифрами 1 и 2 обозначены начало и конец рассеченного контура L, которые лежат по разные стороны поверхности S', прикасаясь к ней в одной и той щается в нуль, так
R 二
а при интегрировании г * У.
Величина "^^-三 dQ представляет собой телесный угол, под которым видна площадка dS' из точки, лежащей на контуре L. Следовательно, интеграл по штрихованной переменной равен телесному углу Q = Q(r), под которым из точки с радиус-вектором г видна поверхность S', натянутая на контур Z/. Величина Q (г) положительна, если нормаль п' к поверхности S' направлена от точки наблюдения, и отрицательна в противном случае. Значение телесного угла Q(r) в точках 1 и 2 обозначим через Qi и Q2- Интеграл вдоль рассеченного контура L от точки 1 до точки 2 легко вычисляется:
222
(J1V) Q = , t grad Q d/ = , ^^ dl =皂2 — Qi・ 111
Для определенности считаем, что в точке пересечения контура L поверхностью S' векторы тип' образуют острый угол. Тогда скачок Q2 — Qi телесного угла Q(「)при переходе через поверхность S' 192
жекак
от второго слагаемого
div grad
—-=V2 -^- = — 4n6 (г — У),
равен 4л. Таким образом, интеграл в правой части равенства (1) равен -у-
Внутреннюю полость цилиндрической поверхности радиуса R однородно заполним током с объемной плотностью j и антипарал- дельным током с объемной плотностью ——j. Эта операция не изменит магнитное поле исходной системы, хотя и заменит ее двумя сплошными цинлиндрами радиусов Ri н A2 c антипараллельными токами. По принципу суперпозиции напряженность Н магнитного поля внутри цилиндра радиуса Ri равна сумме напряженностей Н = =Н+ + Н_, созданных наружным и внутренним цилиндрами в отдельности, где
H+ = ^(jXr),H—=^rxj).
Здесь г и У — радиус-векторы, лежащие в перпендикулярной к цилиндрам плоскости и проведенные от осей указанных цилиндров в точку наблюдения. Напряженность суммарного магнитного по^я однородна и равна
Н = >^~ (j X 1),
где 1 ——вектор, проведенный от оси наружного цилиндра к оси внутреннего 1 = г — г'. Его модуль равен расстоянию между этими осями. Найденное магнитное поле существует также внутри цилиндрической полости радиуса Ri до заполнения ее антипараллельными
токами.
Н = ^!^ (г X i0)——；；將 1%, где г — радиус-вектор, лежащий в плоскости XY.
Цилиндры отталкиваются с силой, отнесенной к единице их длины, которая по абсолютной величине равна
207・I卜=（噜■）汕（户+ R： - R）・
193193§ 6. Уравнение Лапласа и Пуассона с дополнительными условиями
193
193
208.
(г sin 0 при r&R, /г = /0==О> 择=《2 冗
I 0при г > R.
1 гпри г &
209.
/г =『2 = 0,% =〈“
(0при г > R・
7 А. И. Алексеев
На сфере радиуса R течет поверхностный ток с плотностью 〃=的=0, w = sin 8・
Функция f(r) должна удовлетворять уравнению Лапласа.
Искомый векторный потенциал представляет собой частное решение уравнения
V2A = ~ —jo coskr,(1)
с
которое обращается в нуль при j0 = 0. Поскольку граничное условие отсутствует, а правая часть уравнения (1) периодична в неограни* ченном пространстве, векторный потенциал имеет ту же периодиче* скую структуру
А = Ао cos kr.(2)
Чтобы найти постоянный вектор Ао, искомое решение (2) подставляем в уравнение (1) и сокращаем на общий множитель cos кг В ре* зультате получаем
А — ‘"/о
Напряженность магнитного поля находится по формуле (II. 9):
k2C
213.
А2 = -^у- е"^ ［cos (电％ + k2y) + -у- sin (电％ + 历扪］(之》0),
Ai =个^ { 2 cos kr 十 “n ［今• sin (E% + k2y) — cos (自％ + 色乡)］}
(Z0)・
Указание. Векторный потенциал А имеет постоянное направление, определяемое вектором j0. Модуль векторного потенциала удовлетворяет уравнению и дополнительным условиям таким же, как и потенциал электрического поля в задаче 53. Это позволяет воспользоваться методикой, изложенной при решении указанной задачи.
А =竺匕 12 1cos 1г.
215.
a = ~~~ (: 6-人⑵ COS hr + -y- 6-'2 Ml cos kr + 宁"6一厶1%1 coskr). 216.
Ai = — A。［厶 sin 厶a — 6~厶。也 sin 厶a + Zi cos ^a) sh 厶。］X
X 4(计硏 sin /2У (力 W — a).
A2 = Ao [/2 sin 厶％ — 6一"2a (/2 Sin 厶。+ Zi cos 厶a) sh /2x] sin 12y
(丨%1《办
A3 = Ao [/2 sin La — e""^ (Z2 sin ha + 厶 cos La) sh Z2d X
Xe^^a} sin l2y (无》a), где введено обозначение
—4冗 j。
ММ〉
Указание. Использовать метод решения задачи 54.
Из условий задачи следует 4r =4屮=0 и А? =4 (г, ф) Функция
/亿屮)=[4(Г，屮)r&R,
l Л2 (r,屮)при r＞ R
внутри и снаружи цилиндра удовлетворяет уравнениям
V2^! = — ~- jQrs cos n^t 中儿二。(1)
и граничным условиям на поверхности
4 (R,")=4 (R, 3，2&炉)=叱尹1.
1*孔2*Р" "5ip" 8s 九屮 cos 〃屮 и, кроме того, функция ляется однозначной на оси X при 屮一＞0 н 屮一＞2冗，будем шение в виде41 =尸 1 (г) cos 九屮，Л2 =尸2 (г) cos 〃1[),1*孔2*Р" "5ip" 8s 九屮 cos 〃屮 и, кроме того, функция ляется однозначной на оси X при 屮一＞0 н 屮一＞2冗，будем шение в виде41 =尸 1 (г) cos 九屮，Л2 =尸2 (г) cos 〃1[),cos 叫 яв- искать ре-cos 叫 яв- искать ре-Кроме того, функция А{{г, -ф) непрерывна в точке г = 0, а векторный потенциал снаружи цилиндра возрастает не быстрее, чем In г Последнее утверждение обусловлено тем, что полный ток, текущий через поперечное сечение цилиндра, равен нулю (согласно результатам задачи 190 векторный потенциал бесконечного прямолинейного тока на больших расстояниях возрастает, как In г). Уравнения и дополнительные условия позволяют применить метод разделения переменных. Поскольку cos 〃屮 при действии угловой части оператора «Лапласа в цилиндрических кородинатах (П1.40) воспроизводится
1*孔2
*Р" "5ip" 8s 九屮 cos 〃屮 и, кроме того, функция ляется однозначной на оси X при 屮一＞0 н 屮一＞2冗，будем шение в виде
41 =尸 1 (г) cos 九屮，Л2 =尸2 (г) cos 〃1[),
1*孔2
*Р" "5ip" 8s 九屮 cos 〃屮 и, кроме того, функция ляется однозначной на оси X при 屮一＞0 н 屮一＞2冗，будем шение в виде
41 =尸 1 (г) cos 九屮，Л2 =尸2 (г) cos 〃1[),
cos 叫 яв- искать ре-
cos 叫 яв- искать ре-
где 尸i(r) непрерывна, а функция 尸2(「) вдали от цилиндра возрастает не быстрее, чем In г. После подстановки в уравнения (1) и сокращения на общий множитель получим
⑵
(3)
Дополнительными условиями к уравнениям (2) и (3) служат
q 依)=% (R),q 依)=% (R),3尸)(R) = "2 (R)oror3尸)(R) = "2 (R)oror
q 依)=% (R),
q 依)=% (R),
3尸)(R) = "2 (R)
oror
3尸)(R) = "2 (R)
oror
Частное решение неоднородного уравнения (2) имеет вид
T4叩尸2
e ［几2一(5+ 2)"，
а решение соответствующих однородных уравнений ищем в виде Сг” где постоянные С и v определяются из самих уравнений н R。“ пслнительных условий Опуская промежуточные вычисления, прнге- дем окончательный ответ:
乙=/ = О,
厶=響兰三［тн5+2 (т) + ~(т) ］^5^(YR)， g = /р = о,
/一2班 k+2
а^—т+т+2\т) cos^(『>R)・
218.
Al 噜［占-毋(В'］ (3)" cos 叫 (У R),А—^^Ь^Т-'Нл С) ］O cos叫">R)・
Вращающийся цилиндр создает в пространстве ток с объемной плотностью
сf pg при г《R、
"=% = 6, 凡=={
(О при г > R.
Поэтому необходимо использовать лапласиан в цилиндрических координатах (П1 42).
Из симметрии задачи следует Дг^ Аг = ^ и А^)= Л (г). Функция
=J 4 ⑺ при У R、'—I 4 (г) при r> R
внутри и снаружи цилиндраудовлетворяет уравнениям
9Л4л а小
产— "】=-pз''⑴
产喘+Г吟—…⑵
办］(2dr~办］(2dr~d% (R)d% (R)и граничным условиям
办］(2dr~
办］(2dr~
d% (R)
d% (R)
4(R) = 4 (R),
Векторный потенциал непрерывен в любой конечной области пространства, а вдали от цилиндра не возрастает Последнее утверждение связано с тем, что вращающийся цилиндр можно рассматривать, как совокупность кольцевых токов Следовательно, векторный потенциал отдельного участка цилиндра убывает на бесконечности, как l/产. Полный векторный потенциал равен бесконечной сумме вкладов от отдельных участков цилиндра Такое суммирование {точнее говоря, интегрирование) увеличивает значение векторного потенциала вдали от цилиндра и приводит к более слабому закону убывания Л2 ~ 1 /г.
Метод решения уравнения Эйлера (1) и (2) изложен в задаче 55. Окончательно получаем
при г W R:
4r =/2 = °, 4и =扌 ps ( К? — g), Hi = ^-р (к—尸)①, при r>R.
4 r =4z=。，从2屮=/*•， H2 = 0.
220. Д]г = Л]^
Az
R
R
i (r\)x}dx]dl (Г二代), о
42r = 4“ = 0, ^2z = ~- ^ /(Л)Л ^Л ^n ^(r>R)・
о
221. В сферических координатах распределение объемной плотности тока описывается функцией
/r=s/QS0,
рзг sin 8 при r&R, 0 при г > R
Из общего решения (II 15) уравнения Пуассона и симметрии снс мы вытекает 』广=/()= 0 и Л^ = Л (г, 0). Векторная п)теп- ци 1л внутри и снаружи шара обозначим через 41 и А2 Имея в виду лапласиан (П1.48) в сферических координатах, находим
(1)
卩儿
4
尸 sin2 0
0.
Функции Ai н А? ограничены в любой конечной точке поостран- ства, а последняя вдали от шара убывает не медленнее, чем 1/г2. На поверхности шара выполняются граничные условия
A (R, 6) = 4 (凡 6),
04 (R, S
dr
dr
Сформулированная задача решается методом разделения переменных. При этом учтем, что на больших расстояниях от шара функция 厶2(厂，В) совпадает с векторным потенциалом магнитного мо* мента к вращающегося шара:
4(广,6)=w(卩=需。).
Поэтому естественно попытаться найти решение уравнений (1) и (2) в виде
41 =尸 1 (г) sin 0,』2 =尸2 (厂)sin 8.
Подставляя искомые решения в (1) и (2) и сокращая на общий множитель, приходим к уравнениям Эйлера
решение которых описано в предыдущих задачах (см., например, задачу 55). Приводим окончательный результат:
Л Лл 2л ( R2 г2\ . а
4г = Ае = о,4屮=рзг ^-丿 sin 0,
//ir = -~^p(o (-ф— V) cos 6,/Ле =萼 ро ("|■产 一 -^-^ sin 0,
〃W = O (YR);
A产修工H-卡T(»)・
Одна половина шара прижимается к другой с силой
1/ JtpcoR3 \ 2石(~丿・1/ JtpcoR3 \ 2石(~丿・
1/ JtpcoR3 \ 2
石(~丿・
1/ JtpcoR3 \ 2
石(~丿・
F =
При г V R:
4г = 4屮=о,
Н2 叫)/ 广.
〃1г=I — I sin 叫,
при г > R:
Л2Г = Л2^ = О, Л22
〃］『-券_(£)cosm(),
Н2г = -^- ^--) + sinm|), H2^ = ^- ^-у-^ + cos 九屮,
"2? = 0.
224.a4 冗 R%A2=-^224.a4 冗 R%A2=-^Ai = Ao, Hi=O при г V R;
224.
a4 冗 R%
A2=-^
224.
a4 冗 R%
A2=-^
出夺 + Ao, 〃2r = ”2Z = O, 口2产胃E при r> R
Здесь A。——произвольный постоянный вектор, имеющий размерность потенциала.
225・ При г V R:
4r =4z = 0, 4屮=*^-GsRr,
Н\r = Н j-ф = 0,"iz^5~■—csR；
при г > R:
力2m(dR34л , R
4r = 0,42 =, A2z = —- ao/? In —t
"2r = 0,"22=.2亚^*"2r = 0,"22=.2亚^*“22 = 0,“22 = 0,
"2r = 0,"22=.2亚^*
"2r = 0,"22=.2亚^*
“22 = 0,
“22 = 0,
где ось Z выбрана вдоль направления движения, а произвольное постоянное слагаемое в векторном потенциале опущено.
При г V R:
Л1Г = Л]0 = 0, 4屮=鑒■ osRr sin 8,
H\r — -~2- aco/? cos 0, Hiq ==—1~- crco/? sin 0, //i-ф = 0;
при r > R:4r = Л20 = 0,при r > R:4r = Л20 = 0,a4 gsR44屮=_§M— 81П &a4 gsR44屮=_§M— 81П &
при r > R:
4r = Л20 = 0,
при r > R:
4r = Л20 = 0,
a4 gsR4
4屮=_§M— 81П &
a4 gsR4
4屮=_§M— 81П &
r，8nxnoR"a 订4 冗 oxoR4
〃2r=—%—cos 0, Я20 = —е—sm& “22 = 0.
Магнитный момент вращающейся сферы
Векторный потенциал и напряженность магнитного поля выражаются через магнитный момент следующим образом:
Ai ="爲匸,Hi =^5-(r<R),
Векторный потенциал направлен по оси Z и однороден вдоль этого направления А = A(r, 1|))»
Ток на поверхности цилиндра удобно разбить на сумму двух слагаемых ia + 互，где
ia = % (h + 力)，
.=/ % (h — h) при 0 < ф < л,b I % 仇一ii) при :п V 屮 V 2n.
Ери г《R,при г》R,Ери г《R,при г》R,с размерностью потен-с размерностью потен-(У R), (QR)(У R), (QR)Этим токам отвечает сумма векторных потенциалов Ас + Аь. Величина Аа найдена в задаче 224:
Ери г《R,
при г》R,
Ери г《R,
при г》R,
с размерностью потен-
с размерностью потен-
(У R), (QR)
(У R), (QR)
f Ао
А@ = < 2л/^. . \ « R . «
I —-— (li + 必)In ——J- A)
где Ао ——произвольный постоянный вектор IW 工 а.
Векторный потенциал
а/ Ai (Г，2)
(А» (г,巾)
удовлетворяет )равнению Лапласа и граничному условию на цилиндрической поверхности
а m А н m °A；b(R,电 °A2b(R, 2) — 4冗
A”(R,w)=A2b (r w)，M后=-5
Кроме того, функция А]ь ограничена в точках оси Z, а величина A2b обращается в нуль на бесконечности: Агь (оо, ф) = 0. Последнее утверждение обусловлено тем, что цилиндрическая поверхность с током ib на больших расстояниях г》R эквивалентна системе двух прямолинейных нитей с антипараллельными токами, векторный пз- тенциал которых при г f оо обращается в нуль. В действительности, для однозначного решения задачи достаточно более слабого требования, чтобы функция A2b (匚 гр) не возрастала при г -> оо. Дальнейшие вычисления аналогичны решению задачи 72, так что окончательно получаем
4R(i — i2)y*sin(2^+l)2
А= С页丿 -(2々十1)2…(「《R)，
/г = 3
А — 2冗火虫 + 力)山 R [ 4R(i：-i2)g(R)2*+l sin (2 左+ 1)2
(QR)・
A]r = Дю = 0, 4p = ^~(~^^)sine (r《R)；
{2г ™片26 = 0,百2屮=(豆》sin 0(r》R)・
229.
取=
卩2
QR2
Зс
(0.
230.
» =
10国2
QR2
G).
7R3，т
5c
231.
取=
8 ц2—
冗Р*
3R2 '卩
4c
232.
呼=
3以『
jioR'
-<0.
R2 '「
c
233.
呼=
1 ( JtRio )2
•
234.w亠6(?)2tw^.
Ar = Л^ = 0, Az — -?^^-. Ось Z совпадает с осью одного из цилиндров и направлена противоположно течению тока в нем. Радиус-вектор г лежит в плоскости XY, а вектор I проведен в той же плоскости из начала координат к оси другого цилиндра. Напряженность магнитного поля на больших расстояниях г》/ от цилиндров убывает достаточно быстро:
办= / =。，仆= ^#，
так что энергия магнитного поля, приходящаяся на единицу длины данной системы, имеет конечное значение.
Глава III
ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
§ 1. Уравнения Максвелла
Нет.
Нет.
Нет.
Да.
Если к вектору s прибавить rot F, где векторная функция F == F(r, /) произвольна, тс соотношение
div s =展(Н rot Е - Е rot Н)(1)
не изменится в соответствии с теоремой векторного анализа
div rot F 曰 0.
Следовательно, дивергенция суммы 8 + rot F также равна правой ча- Мн равенства (1).
Напряженность Е вихревого электрического поля перпендикулярна вектору Н и не зависит от координат -ф и z. Из уравнения Максвелла (III. 1) вытекает
М (肉М (肉г дН с dt »г дН с dt »
М (肉
М (肉
г дН с dt »
г дН с dt »
где использовано & =邑 r 0 и Е^)= Е (г, /). Интегрирование последнего уравнения С учетом ограниченности функций &(г, t) при г и 0 дает
о
Непосредственным дифференцированием нетрудно убедиться, что напряженность Е найденного вихревого электрического поля удовлетворяет уравнениям Максвелла div Е »» 0 и rot Н = у ^ Е, в ко*
торых заданная функция Н является решением волнового уравнения (III. 11).
Используя результаты предыдущей задачи, находим напряженность вихревого электрического поля
匸 1 dH
где г ——радиус-вектор точки наблюдения, проведенный из центра шара. Момент сил, приложенный к шару,
(rXpE)dU(rXpE)dUQR2 dH5c dtQR2 dH5c dt
(rXpE)dU
(rXpE)dU
QR2 dH
5c dt
QR2 dH
5c dt
Производная по времени от механического момента
М = 2/5 mgs
шара равна моменту внешних сил. Это приводит к дифференциальному уравнению
ds —QdH
dt —2mc dt，
интегрирование которого с учетом начального условия дает следую* щее значение угловой скорости:
QH
2тс
Второе слагаемое подынтегрального выражения в правой части равенства
div А = ； \-j gradzdVr
преобразуем к другому виду, используя формулу (П1.28):
j gradz -г-~j gradz -г-~div" -：_div" -：_div' jdiv' j
j gradz -г-~
j gradz -г-~
div" -：_
div" -：_
div' j
div' j
где штрих у градиента и дивергенции обозначает дифференцирование по штрихованным координатам. При помощи теоремы Гаусса — Остроградского (П1.15) один из объемных интегралов преобразуем в поверхностный
V->8V->8div'div'
V->8
V->8
div'
div'
который, как легко видеть, равен нулю.
Непосредственной проверкой с учетом уравнения непрерывно^ сти (III. 6) нетрудно убедиться в равенстве
div j + div'j
0为'十 ду, + ^F
где объемная плотность тока зависит от времени с учетом запаздывания
г , г —
После этого дивергенция от запаздывающего векторного потенциала запишется в виде
divA = -；\" 7747Td匕
Правая часть полученного равенства с противоположным знаком
равна
1 6(р с dt
Следовательно, запаздывающие электромагнитные по
тенциалы удовлетворяют условию Лоренца.
244. Fa 一 J 争-1 g^d 謂=一等 j, 72fp = 一 4лр.
§ 2. Плотность заряда и тока
245.
-6(一-/)也一對6 (力，j = pv.
p — ед (x — a sin ①/) 6 (у) d (z), /х = pas cos cof, jg = jz = 0;
245.
=e 6(〃)6(z) n Va2 — x2
при I % I V а, р = 0 при I х j > а; j = 0.
247. р =专 6 (г — R) 6 (屮一①/ + 2лм) д (г),
/г =厶=°，
/^ = pRs. Здесь целое положительное число м цля каждого момента времени f выбирается из условия 2冗п 忘 со/《2 (% + 1) л.
248. рн^^М/•-R)[6(”一sf + 2w) +
+ 6 (少一sf + 2мл + Jt)L
/之=/б = 0, /ф = pa)R sin Э, где для каждого фиксированного мо・ мента времени t целое положительное число п выбирается из условия 2мл《W《2 (八 + 1) л.
3Q
249・ р = •彳莪д’ т) (R — г), J == р© X г. Здесь п (а) — ступенчатая функция аргумента а, которая определена в ((ПЗ. 21).
250. Е= -早 ”竺卞上^礼，где r§ = r§ (f) - pa-
диус-вектор движущегося заряда e.
204
Магнитный, дипольный и квадрупольный моменты движущихся зарядов
251.出252.卩251.出252.卩QR2 о Q к®；『亏Г，QR2 о Q к®；『亏Г，т^т22c(m] 十 忆)т^т22c(m] 十 忆)М.М.
251.出
252.卩
251.出
252.卩
QR2 о Q к®；『亏Г，
QR2 о Q к®；『亏Г，
т^т2
2c(m] 十 忆)
т^т2
2c(m] 十 忆)
М.
М.
Полный импульс частиц в рассматриваемой системе координат должен равняться нулю Р = О
Элемент dS = г dr d8 поверхности диска, расположенный в точке со сферичесьими координатами г и 0, при своем вращении создает круговой ток
dJdJ0303dSdS
dJ
dJ
03
03
dS
dS
Магнитный момент этого тока имеет вид
矶丄=г2 sin2 О "S.с
После интегрирования получим
QR2
255.卩=—— о.
256・ L (г, /)=氏6 (г — гн (/)).
Траектория частицы в полярных координатах имеет еид
РР1 -г £ COS 也1 -г £ COS 也где фокальный параметр ргде фокальный параметр рииэксцентриситет е даются формуламиэксцентриситет е даются формулами'—/ri I а I *'—/ri I а I *
Р
Р
1 -г £ COS 也
1 -г £ COS 也
где фокальный параметр р
где фокальный параметр р
и
и
эксцентриситет е даются формулами
эксцентриситет е даются формулами
'—/ri I а I *
'—/ri I а I *
Средний за период Т дипольный момент движущегося заряда направлен вдоль полярной оси. Его проекция на эту ось
厶=毋 ^ г cos i|)diо厶=毋 ^ г cos i|)diо2Летрз f cos 屮 d^>TM J (1 + e cos 2丿3 о2Летрз f cos 屮 d^>TM J (1 + e cos 2丿3 о⑴⑴
厶=毋 ^ г cos i|)diо
厶=毋 ^ г cos i|)diо
2Л
етрз f cos 屮 d^>
TM J (1 + e cos 2丿3 о
2Л
етрз f cos 屮 d^>
TM J (1 + e cos 2丿3 о
⑴
⑴
При замене переменной интегрирования использовано уравнение тра- ev гории и закон сохранения момента, который дает связь между приращениями времени и полярного угла
df =才2 d j
Далее воспользуемся табличным интегралом
J 0 + £ COS 屮 “俨一g2
Путем дифференцирования обеих частей последнего равенства по параметрам р и е с последующей подстановкой 0 = 1 находим значение интеграла в выражении (1). В результате получим
3
応=—芽 sea,(2)
где a ——большая полуось эллипса
р a
Чтобы определить постоянный вектор I, вычислим его величину в фиксированной точке траектории с координатами 屮=0 н г — ==а(1 — е). В этой точке имеем
I = (vM 十 a) 1% = — 2<Feal%.(3)
Таким образом, сохраняющийся вектор I направлен вдоль полярной оси X, на которой расположена большая полуось эллиптической траектории частицы.
Из сравнения выражений (2) и (3) окончательно находим
.Зе _
р (г, %) = — (dV) 6 (г — %),
j (г, 0 = d6 (г - %) - rd (dV) 6 (г - %)，1..
卩(r，^-^[^Х^ + ^Х^].
Указание. Точечный диполь следует рассматривать как предельный случай системы двух зарядов е и ——е, расстояние I между которыми стремится к нулю, а абсолютные величины зарядов — к бесконечности (см., например, решение задачи 89). Искомые величины определяются при помощи формул (III. 5) и (III. 9), в которых необходимо перейти к двойному пределу /т0 и с-> 8 с учетом соотношения
lim el = d,
Z->0 e->8
где вектор 1 направлен в сторону положительного заряда.
О” = — а? = — 3Rd sin 2a)Z,D12 = 3Rd cos 2g Dl3 =
s=。23 ==。33 == 0.
0aB = 0 ПРИ a*B，A】 =^T（1 +9g2）» ^22 = -^ （1-6U）, 033 =——"g^y （2 + Зе2）, где e ——эксцентриситет эллиптической траектории:
8 = А / 1 Ну-.
V ma2
3 （dr） xa - r2da /5\
Ea = J3b （万 %a%B -产氟"一^~，
где введено обозначение 山=—g-eea, d2 = d3 = 0, Dap = О при a 喚 В，Du = —•2— （1 + 9g2）,Z）22 == ~-导-（1 一 бе2）,
a3 = 一 丁 （2+38）, a =湎,
Для круговой траектории
点Н学（产一 5?2）, & = 竽（产一5之2）,底=錚（3产-5/）, где D = 3/^еа2.
Указание. Воспользоваться результатами задач 257 и 260.
4. Электромагнитные волны
2.S = 备（嘗）%，否（等J.
F = ±R4^/^k・
F = }r2/急 k.
Направление вектора к выберем в качестве оси Z, а другие оси X и Y направим вдоль векторов поляризации 1（】）и 1^）линейно- поляризованной волны. Тогда
2
£（Al^＞） ^^АХВХ + АУВУ.
九=1
К правой части этого равенства прибавим и вычтем выражение AZBZ. Первые три слагаемых полученной суммы составляют скалярное произведение АВ, а последнее запишем как
-48z=-±（Ak）（Bk）・
В результате заданная сумма представлена нами в виде слагаемых, содержащих лишь скалярные произведения векторов. Следовательно,
онгь имеет однн и тот же вид во всех системах координат, поверну- тык друг относительно друга на некоторый угол.
Для циркулярной вопны в указанной выше системе координат им^ем b()= Т^ (I* + с") и 2 = Т^~ (1% - А/ Дальнейшие рассуждения а шлогичны.
Запишем напряженности электрических полей в комплексном виде. Тогда для суммарной волны получим
E==Re{[E0I + Е02еЧ *kf ij},
где % = а】——а2. Введем обозначение
E01+E02J% =(Ь+/Ь?)еТа,
где Ь[ и Ь2 — вещественные векторы:
Ь[ = Е01 cos а + Ез2 cos (а + %),
bj = E01 sin а + E02 sin (а + %).
Подберем фазу а так, чтобы выполнялось равенство bib2 = 0 или tg 2a = —tg%.
Для этого необходимо, чтобы
После этого векторы bi и Ь2 запишутся как
Ь] = (Е01 + Е02) cos 专，
b? = (— E01 + E02) sin 毋.
Таким образом, результирующая волна эллиптически-поляризо- ванная. Главные оси эллипса поляризации повернуты относительно векторов Е01 и Е02 на угол л/4 по часовой стрелке, если смотреть вдоль направления распространения волны. Если векторы ЕОь Ео2 и к образуют правовинтовую тройку и
sin -у > 0,cos 专 >0,
то поляризация результирующей волны правая. В общем случае направление вращения вектора Е суммарной волны зависит от ориентации векторов Е01 и Е02 и знаков величин
cos 等，sin -—-.
В системе координат с осями X н Z, параллельными векторам bi и к соответственно, проекции напряженности электрического поля
суммарной волны запишутся как
Е% =瓦 cos (со/ — kz 4-，丄扌。2 ),
Ey =b2 sin (①/ -色2+一0弋s),
где 6< = V 2 国1 cos 专，冷=" 2 42 sin--.
Напряженность электрического поля суммарной волны
Е = 2丛(1% cos -^=^ + 力 sin -^^1^ cos (со/ — kz + 尹', где Ео н со — амплитуда и частота обеих циркулярных волн, a ai и 。2一 постоянная фаза соответственно право- и левополяризованной волны (со = kc). Величина £0 численно равна модулю вектора напряженности электрического поля каждой циркулярной волны.
Результирующая волча эллиптически-поляризованная. Полуоси эллипса поляризации равны 4 + 2 и |А ——8|. Поляризация волны правая при 4 > 8 н левая, если 4 VB.
Результирующая волна эллиптически-поляризованная. Полуоси 61 и Ь? эллипса поляризации
V2
Поляризация волны правая, если вектор EOi X £92 параллелен волновому вектору к, и левая, если указанные векторы антипараллельны.
Выберем ось X вдоль вектора EOi + Е02, а ось Z — по направлению распространения волн. Тогда проекции вектора напряженности электрического поля суммарной волны принимают вид
七4= V 2£01 sin % sin (— Aj^Lz),
где обозначено % =tz. В каждой точке про
странства эллипс поляризации суммарной волны деформир>е(ся со временем от отрезка, направленного вдоль оси X (при % = 0), в эллипс с правым )р?щением вектора Е и далее в окружность (при % = л/4). Затем окружность переходит в эллипс с правым враще нием, который постепенно сплющивается в отрезок (при % = л/2), направленный вдоль оси У. При дальнейшем увеличении % в пределах от л/2 до л картина повторяется, но с левым вращением вектора Е, й так далее. Когда эллипс вырождается в отрезок, волна становится линейно-поляризованнии.
E = 2£0 (1% cos % 十 1g sin %) cos Ф,
y=3言(T)+石当
где ai и аг—постоянные фазы право- и левополяризованных циркулярных волн, распространяющихся вдоль оси Z. £° — амплитуда этих волн, численно равная модулю вектора напряженности электрического поля. Результирующая волна линейно-поляризованная. Однако в каждой точке пространства ее вектор поляризации медленно вращается с частотой |(oi ——(о2| около направления распространения.
272. Е = IE。ехр —272. Е = IE。ехр —Ш2].Ш2].
272. Е = IE。ехр —
272. Е = IE。ехр —
Ш2].
Ш2].
Е = I，cos [(О。«Т)+4 (Оо ( / —
Е = 3 \ [е，(со) cos 趣一箒>)+
О
十 Е" (со) sin (со/*：L)] ds.
где Е，((о) и Е〃((о)—вещественная и мнимая части компоненты Фурье заданной напряженности электрического поля:
E’ (①)+ 注〃(①)=，E (，) 6心尸 d八
E(k,(o) = 2(驾丁黑 6(k一吧).
''(02Т2 + 1< с 丿
E = «^ Еоб 4 ' с 丿.
277. Ek =277. Ek =4 лек依十出•4 лек依十出•
277. Ek =
277. Ek =
4 лек
依十出•
4 лек
依十出•
Указание. Разложить в пространственный интеграл Фурье обе части равенства Е =- —grad ф и получить связь между компонентами Фурье обеих частей этого равенства Ек = — /к(рк. Компо* нента Фурье(рк от потенциала находится путем непосредственного
вычислениявычисленияинтеграла
вычисления
вычисления
4ле广十絞.4ле广十絞.Фк = 6 5 ；「"5 =
4ле
广十絞.
4ле
广十絞.
^•今^^见匸。，琨=7端产;
n н — 2/o COS (st —砧
/ — / — о, н^- ■ с 0
279. При
Y R：
Ег = А = 0，
Er = -^- cos ®f —归力,
Н r — Hz = ^y
H^ =COS (з/ — kz);
при г > R:
Е^ —■ £屮===0,
Er = -^- cos kz cos co厶
% = 〃z = 0.
H^ = -^- sin kz sin(0/.
Дифракция
Выберем оси X н У в плоскости экрана, причем ось У совместим с осевой линией щели, как показано на рис. 9. Жирная линия обозначает этот экран в разрезе.
Дифрагированное поле Е =乙 |
= Е(%, а,/) за экраном одно-I /
родно вдоль оси У. Оно удовле-। ,"
XXтворяет волновому уравнению। /
X
X
@2E02E1 02E
"dx2 十 dz2c2 dt2
и граничному условию на плоскости ХУ:
Е (х, 0, /) = 1/og (х) cos ①力
где g(x) = 1 при |%[&а и木"
g(%)= 0 при |х|> а. Это граничное условие является приближенным. Оно применимо лишь при малом отклонении отрИс. д,
геометрической оптики 々а》1.
Удобно сначала решить более простую вспомогательную задачу
02宕 02岩 102卷
宕(％, 0,力)=lg£og ⑺竺
Тог^а решение исходной задачи записывается как Е (х, N, /)= =Re 格(х, z, f)・
Видно, что решение вспомогательной задачи следует искать в виде
後(Х, 2, /) = 1рЕс/(%, 2)«Т叫
Функция /(*, n) определяется как решение уравнения
耳+ -們』。⑴
с граничным условием
f (居C) = g(%)・⑵
Разложим искомую функцию / (х, г) в интеграл Фурье по переменной х:
Из основного } равнения ⑴ поч\чаем простое дифференциальное уравнение для компоненты Фурье ^)(q, г) с фиксированным значением параметра q:
-q2)2)=0.
Его решение
◊①，之)=尸①)J"f z + ①(q)2 a.
Таким образом, искомая функция f(*z) разбивается на два слагаемых
/(% 2)= 士 \ Р^е1(^^^^ dq + —оо
+ £、①(д)/(""Е“ 歯.⑶
Если принять во внимание временной множитель е^叫 то становится ясно, что первое слагаемое суммы (3) описывает волны, распространяющиеся от щели, а второе — волны обратного направления. Согласно условию задачи второе слагаемое должно отсутствовать: ①(д)三0.
Из граничного условия (2) получаем
击,F(q)eSdq = g ⑺,
—оо
у. е. величина F(q) является компонентой Фурье функции ^(xj. Окончательно
Е (Х, 2r f) = IpEo Re (〃％, 2)f)=
1〃崇 Re j 尸 «）/（" +乃一足）dg・
Проведенные рассуждения справедливы также для совокупности бесконечных щелей, параллельных оси У. Для одной щели получаем
尸(《)=卜Tq%d%=2更詐，
k
E (%,爲 0 = 1g -^ \ s'"段-COS (®t —"— “々2 — g2 之)歯十
+ '竺立｛ WE 吗 0_介一々2 * cos qX dq cos 3f.
Первое слагаемое напряженности E(尤,z, f) электрического поля представляет собой бегущую волну, распространяющуюся от экрана. Второе слагаемое — стоячая волна, амплитуда которой отлична от нуля только вблизи экрана. Второе слагаемое по порядку величины
меньше первого в отношении -~- <С 1. Оно должно быть отброшено, чтобы не превышать принятую точность вычисления. Таким образом, дифрагированная волна имеет вид
k
Е (х,爲 f)=力今 \ -^-^- cos (3 — к'г)對,
где волновой вектор k‘ = 1xq + lz V^2 — ^2 составляет угол 0 с направлением распространения падающей волны. Его компонента, лежащая в поперечной плоскости ХУ, связана с углом дифракции 0 соотношением
^ = Z? sin 0 « Z?0.
Рассмотрим бесконечную полосу единичной ширины (——оо & х《 《8, Уо W У & Уо + 1, где у。произволен), которая расположена на некотором расстоянии z от экрана. Поток электромагнитной энергии
через поверхность этой полосы в среднем по времени за период Т = 2л/со дается выражением
⑷
где черта над квадратом напряженности электрического поля дифрагированной волны обозначает усреднение по времени за период колебания.
Величина / не зависит от z. Значит, она совпадает со средней по времени интенсивностью /0 = сЕ^а/Ал падающей волны, отнесенной к единице длины щели, если пренебречь малыми слагаемыми порядка 1 )ka.
Эффективная область углов дифракции заключена в пределах О W 6 W 8m《1. Считаем, что длина падающей волны настолько мала, что kaQm 》1. Поэтому отнесенная к единице длины интенсивность (4) дифрагированной волны запишется как
/о f sin2 ka^
Отсюда находим угловое распределение интенсивности дифраги
рованной волны
di = /о
sin2 kaBjtkaQ2
d6・
Этот результат можно также получить непосредственно из фор* мул (111.25) — (111.27).
281. Повторяя рассуждения, проведенные при решении предыду^ щей задачи, получаем
e (X, 2, 方) = 1g 言 Re 、尸(q) / 仿%+"森二＞"/)d仏
F(q)
N-l 2nb+a £ j n=0 2 九 b—a
九=0
Q-S (2»-a) _ Q-iq (2nb+a)^ 二
N-l
2 sin qa Y2 Sin qa 1 —厂^"殁
〃=0”
sin qa sin Nqb j(n-1)wq sin qb*
ОпустимОпустиммалые слагаемые порядкамалые слагаемые порядка-^-《1, тогда напряжен-^-《1, тогда напряжен
Опустим
Опустим
малые слагаемые порядка
малые слагаемые порядка
-^-《1, тогда напряжен
-^-《1, тогда напряжен
ность электрического поля дифрагированной волны, распространяющейся под малыми углами дифракции, примет вид
Е (х, 2, /)=
k
= 1〃^ \ ^^^ ^i^^c°s [①/ —" 一 “必 一《2 а + (N — 1) qb] dq.
Отсюда находим отнесенную к единице длины интенсивность дифрагированной волны в интервале углов 加 в среднем по времени за период колебания
j,— То / sin NkbB V sin2 ka^= 丽 I sin知8丿 々施一也
где /о ——усредненная по времени и отнесенная к единице длины полная интенсивность электромагнитной волны, проходящей через все щели.
— /о sin2 (^аО cos г|)) sin2 (^&0 sin г|)) о
/而万F* siM 屮 as?屮
где /о — усредненная по времени полная интенсивность электромагнитной волны, проходящей через прямоугольное отверстие, а 0 и 屮一полярный и азимутальный углы точки наблюдения.
Указание. Воспользоваться формулами (III. 25) — (III. 27).
В интеграле (III. 25) проведем замену переменных интегри
рования х = г cos (р и у = г sin ср, где г и ф ——полярные координаты в плоскости экрана, а начало координат выбрано в центре отверстия. Угол ф отсчитывается от вектора q. Далее воспользуемся ин- 1егральным представлением (П6.7) для функции Бесселя нулевого Йорядка. Тогда
R2JIР
% = “о , , с"" “г C°S 曾г 打 d$ = 2乳〃0 j /о(")厂 dr.о о
Согласно соотношению (П6.15) имеем
%=2叫h!*)
Подставим найденную компоненту Фурье в общую формулу (Ш. 27) и используем (III. 26). В результате угловое распределение интенсивности электромагнитной волны при дифракции на круглом отверстии примет вид
J? (kRQ)d/ = 'о-^~ 殴
где /о — усредненная по времени полная интенсивность электромагнитной волны, проходящей через отверстие.
284・284・di = /оdi = /о依2厶伙R_B) — RJ 依R8)]2几(心一用川
284・
284・
di = /о
di = /о
где /0 — усредненная по времени полная интенсивность электромагнитной волны, проходящей через кольцевое отверстие.
Компонента Фурье дифрагированной во.лны выражается в виде двукратного интеграла (Ш.25) по площади эллипса с полуосями а и Ь. Замена переменных интегрирования % = ar cos ср и у = br sin (р приводит к интегрированию по площади круга единичного радиуса. Угол ср отсчитывается от вектора Q = lxaq* + \vbqy. Принимая во внимание интегральное представление функции Бесселя (П6.7), находим
1 2Л1
〃q = abuQ \ ，e-"Q「c°s @『d『d①=2лаЬи^ ) /0 (Qr) г dr.
и иО
При помощи формулы (П6 15) преобразуем полученное выражение
После этого воспользуемся общими формулами (III. 26) и (III. 27), которые приводят к искомому результату
аЬЙ (々Од/ a cos2 屮十 Z/ sin2 屮丿dl =厶——dQли2cos” 屮十匕2 sin》"屮)
В этой формуле /о ——усредненная по времени полная интенсивность электромагнитной волны, проходящей через эллиптическое отверстие, а 6 н 屮——полярный и азимутальный углы точки наблюдения.
г sin2 kaQ gг
al ~ Iq —^^^^—где /0 — средняя по времени за период Т = 2л/о интенсивность электромагнитной волны, падающей на единицу длины пластины.
片(Ш)
di — /0—部^ dQ, где 70 — усредненная по времени за период Т = 2п/з полная интенсивность электромагнитной волны, поглощаемой абсолютно черным шаром.
Глава IV
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН МЕДЛЕННО ДВИЖУЩИМИСЯ ЗАРЯДАМИ
§ 1. Дипольное излучение
Начало координат расположим в точке влета частицы в конденсатор, а ось X направим в сторону движения перпендикулярно пластинам. Из уравнения Ньютона mr = еЕ определяем ускорение частицы, которе входит в формулу интенсивности дипольного излучения. После этого получаем
空Q = 20生2
Зе? Г 一 Зт"с3 •
Время /д движения найдем, приравняв %-ю координату частицы
б?”
+ °"д cosa
расстоянию / между обкладками конденсатора. Энергия, излученная за время пролета через конденсатор, запишется как
女 2еЗЕи° // 2еЁ1 , 丁、
齒=—产 人 厂 + cos2 a — cos a .
Пусть начало координат выбрано в центре шара, а движение происходит вдоль оси X. При помощи уравнения движения
Qe
тх = х определяем ускорение и записываем интенсивность излучения как функцию координаты частицы
2Q2e4%2
3加切3A6
RRЗдесь использован тот факт, что влияние поля излучения на движение частицы незначительно и им можно пренебречь. Для вычисления энергии
R
R
теряемой частицей на дипольное излучение во время пролета через шар, воспользуемся законом сохранения энергии.
粤=现十笫（"-《）
по сравнению с полной этих условиях скорость частицы, и интеграл попо сравнению с полной этих условиях скорость частицы, и интеграл поэнер- х яв- пере-энер- х яв- пере-Энергия 冒 излучения ничтожно мала гией частицы и поэтому отброшена. В ляется простой функцией координаты менной % легко вычисляется:
по сравнению с полной этих условиях скорость частицы, и интеграл по
по сравнению с полной этих условиях скорость частицы, и интеграл по
энер- х яв- пере-
энер- х яв- пере-
2Qg3 ZWT 2Qg3 ZWT290.序290.序2冗外日絞2冗外日絞291. ^ =291. ^ =3md2e廿3md2e廿3m2c53m2c5［喩+ (%〃+еС)卜,［喩+ (%〃+еС)卜,где оси X н У вы-где оси X н У вы-браны вдоль векторов Е и Н соответственно.браны вдоль векторов Е и Н соответственно.
2Qg3 ZWT
2Qg3 ZWT
290.序
290.序
2冗外日絞
2冗外日絞
291. ^ =
291. ^ =
3md
2e廿
3md
2e廿
3m2c5
3m2c5
［喩+ (%〃+еС)卜,
［喩+ (%〃+еС)卜,
где оси X н У вы-
где оси X н У вы-
браны вдоль векторов Е и Н соответственно.
браны вдоль векторов Е и Н соответственно.
I
Уравнение движения осциллятора с учетом силы радиацион* ного трения запишется так:
；一読产+嗡r = *EoSinW.⑴
Сила радиационного трения мала по сравнению с упругой силой осциллятора. Поэтому в соответствующем однородном уравнении G большой точностью справедлива замена г -> —嗡г, которая приво* дит к уравнению колебаний при наличии трения
；+ Yo； + «оГ = 0,
2е?嗡
где у。= •§/'§'，Yo《So・ Следовательно, общее решение соответствующего однородного уравнения затухает со временем. У стано-
вившиеся колебания осциллятора описываются частным решением уравнения (1), пропорциональным внешней силе,
еЕ。(0q ~ о2) sin о/ — coy cos о/2。％“
г т (①：一®2)2 + ①紡 ，'Зтс3 •
Средняя по времени за период Т интенсивность излучения осциллятора
—JE^со4
Ускорение электрона находим из уравнения Ньютона
••Ze2r
znr = —^3—• ото позволяет записать полную энергию излучения в виде
W =W =2Z2«5 С dtЗт2с3 J г42Z2«5 С dtЗт2с3 J г4⑴⑴Ради удобства считаем, что электрон движется в плоскости ХУ, а в момент времени / = 0 пересекает ось У (рис. 10). Поскольку траектория близка к прямолинейной, скорость электрона во время пролета мимо ядра меняется незначительно vx = и。. Поэтому интегралРади удобства считаем, что электрон движется в плоскости ХУ, а в момент времени / = 0 пересекает ось У (рис. 10). Поскольку траектория близка к прямолинейной, скорость электрона во время пролета мимо ядра меняется незначительно vx = и。. Поэтому интеграл(1) принимает вид{ dt f dt _Л/22 f , 冗==—\ cos2 a da =г%/3 J2%/3(1) принимает вид{ dt f dt _Л/22 f , 冗==—\ cos2 a da =г%/3 J2%/3В результате получаемВ результате получаем必2决3m2c3vQl3 °必2决3m2c3vQl3 °295. а)君295. а)君3冗64d28济？00/5 ；3冗64d28济？00/5 ；7884d28m2c3y0/5 •7884d28m2c3y0/5 •296. Уравнение движения имеет вид mr ^—, где г — радиус-вектор электрона в плоскости ХУ. Из этого уравнения определяем ускорение, которое входит в формулу интенсивности излучения, Тогда интенсивность дипольного излучения, обусловленная296. Уравнение движения имеет вид mr ^—, где г — радиус-вектор электрона в плоскости ХУ. Из этого уравнения определяем ускорение, которое входит в формулу интенсивности излучения, Тогда интенсивность дипольного излучения, обусловленная
W =
W =
2Z2«5 С dt
Зт2с3 J г4
2Z2«5 С dt
Зт2с3 J г4
⑴
⑴
Ради удобства считаем, что электрон движется в плоскости ХУ, а в момент времени / = 0 пересекает ось У (рис. 10). Поскольку траектория близка к прямолинейной, скорость электрона во время пролета мимо ядра меняется незначительно vx = и。. Поэтому интеграл
Ради удобства считаем, что электрон движется в плоскости ХУ, а в момент времени / = 0 пересекает ось У (рис. 10). Поскольку траектория близка к прямолинейной, скорость электрона во время пролета мимо ядра меняется незначительно vx = и。. Поэтому интеграл
(1) принимает вид
{ dt f dt _
Л/2
2 f , 冗
==—\ cos2 a da =г
%/3 J2%/3
(1) принимает вид
{ dt f dt _
Л/2
2 f , 冗
==—\ cos2 a da =г
%/3 J2%/3
В результате получаем
В результате получаем
必2决
3m2c3vQl3 °
必2决
3m2c3vQl3 °
295. а)君
295. а)君
3冗64d2
8济？00/5 ；
3冗64d2
8济？00/5 ；
7884d2
8m2c3y0/5 •
7884d2
8m2c3y0/5 •
296. Уравнение движения имеет вид mr ^—, где г — радиус-вектор электрона в плоскости ХУ. Из этого уравнения определяем ускорение, которое входит в формулу интенсивности излучения, Тогда интенсивность дипольного излучения, обусловленная
296. Уравнение движения имеет вид mr ^—, где г — радиус-вектор электрона в плоскости ХУ. Из этого уравнения определяем ускорение, которое входит в формулу интенсивности излучения, Тогда интенсивность дипольного излучения, обусловленная
взаимодействием электрона с квадрупольным моментом атома, за* пишется так:/ =302c4-8/71203г8 ■Пусть в момент времени / = 0 электрон пересекает ось У (см. рис. 10). Траектория движения близка к прямолинейной Значит, кинетическая энергия электрона велика по сравнению с потенциальной. Поскольку движение быстрое и электрон пролетает далеко от силового центра, его скорость по модулю меняется незначительно vx == =и。и х = vQt. Это обстоятельство облегчает вычисление полной энергии, потерянной электроном на дипольное излучение,взаимодействием электрона с квадрупольным моментом атома, за* пишется так:/ =302c4-8/71203г8 ■Пусть в момент времени / = 0 электрон пересекает ось У (см. рис. 10). Траектория движения близка к прямолинейной Значит, кинетическая энергия электрона велика по сравнению с потенциальной. Поскольку движение быстрое и электрон пролетает далеко от силового центра, его скорость по модулю меняется незначительно vx == =и。и х = vQt. Это обстоятельство облегчает вычисление полной энергии, потерянной электроном на дипольное излучение,/ = f /在= 3。好 f dx ^15nd26一J 方一4tn2c2Vo J (x2 + /丿4 -•297. В системе центра инерции суммарный дипольный момент обоих осколков/ = f /在= 3。好 f dx ^15nd26一J 方一4tn2c2Vo J (x2 + /丿4 -•297. В системе центра инерции суммарный дипольный момент обоих осколков,в Л1 А，2 / Zi Z?、*4十4一元J %胃Q哪中乜,в Л1 А，2 / Zi Z?、*4十4一元J %胃Q哪中乜dу ^2 d%:== 0.dу ^2 d%:== 0.Величину (?эфф можно рассматривать как эффективный зарядВеличину (?эфф можно рассматривать как эффективный зарядча-ча-ст и цы с приведенной массойст и цы с приведенной массой力］若2А + %2力］若2А + %2т.т.XXДвижение частицы с приведенной массой происходит вдоль осиДвижение частицы с приведенной массой происходит вдоль осии описывается уравнением从£ =и описывается уравнением从£ =2修2e2X22修2e2X2с дополнительным условием х(0) = х0, £(0) = 0.с дополнительным условием х(0) = х0, £(0) = 0.Полная энергия дипольного излученияПолная энергия дипольного излучения
взаимодействием электрона с квадрупольным моментом атома, за* пишется так:
/ =302c4
-8/71203г8 ■
Пусть в момент времени / = 0 электрон пересекает ось У (см. рис. 10). Траектория движения близка к прямолинейной Значит, кинетическая энергия электрона велика по сравнению с потенциальной. Поскольку движение быстрое и электрон пролетает далеко от силового центра, его скорость по модулю меняется незначительно vx == =и。и х = vQt. Это обстоятельство облегчает вычисление полной энергии, потерянной электроном на дипольное излучение,
взаимодействием электрона с квадрупольным моментом атома, за* пишется так:
/ =302c4
-8/71203г8 ■
Пусть в момент времени / = 0 электрон пересекает ось У (см. рис. 10). Траектория движения близка к прямолинейной Значит, кинетическая энергия электрона велика по сравнению с потенциальной. Поскольку движение быстрое и электрон пролетает далеко от силового центра, его скорость по модулю меняется незначительно vx == =и。и х = vQt. Это обстоятельство облегчает вычисление полной энергии, потерянной электроном на дипольное излучение,
/ = f /在= 3。好 f dx ^15nd26
一J 方一4tn2c2Vo J (x2 + /丿4 -•
297. В системе центра инерции суммарный дипольный момент обоих осколков
/ = f /在= 3。好 f dx ^15nd26
一J 方一4tn2c2Vo J (x2 + /丿4 -•
297. В системе центра инерции суммарный дипольный момент обоих осколков
,в Л1 А，2 / Zi Z?、
*4十4一元J %胃Q哪中乜
,в Л1 А，2 / Zi Z?、
*4十4一元J %胃Q哪中乜
dу ^2 d%:== 0.
dу ^2 d%:== 0.
Величину (?эфф можно рассматривать как эффективный заряд
Величину (?эфф можно рассматривать как эффективный заряд
ча-
ча-
ст и цы с приведенной массой
ст и цы с приведенной массой
力］若2
А + %2
力］若2
А + %2
т.
т.
X
X
Движение частицы с приведенной массой происходит вдоль оси
Движение частицы с приведенной массой происходит вдоль оси
и описывается уравнением
从£ =
и описывается уравнением
从£ =
2修2e2X2
2修2e2X2
с дополнительным условием х(0) = х0, £(0) = 0.
с дополнительным условием х(0) = х0, £(0) = 0.
Полная энергия дипольного излучения
Полная энергия дипольного излучения
где Хо — начальное расстояние между осколками. Из закона сохранения энергии
卩兑 2Z1Z202
определяем скорость х как функцию координаты х, что позволяет преобразовать последний интеграл к следующему виду*
2С?Зфф蜀f "d自
3卩2c3ZiZ2“ (近丿］(I _ &)%
Окончательно энергия дипольного излучения запишется так:
石e一无丿1%十4丿（而丿IX
Интенсивность I излучения протона пропорциональна его кинетической энергии
2е2 -2 — 4е4〃2格
/Г = 3加с5 •
Это позволяет составить дифференциальное уравнение для искомой величины
dt - 3 加e5 ,
Решение последнего уравнения дает ответ на поставленную задачу:占=^。eхp （一专黑）.
^ = ^ exp （-^）.
Отклонение от кругового движения, вызванное потерей энергии электрона на излучение, весьма мало за один оборот вокруг ядра. Поэтому в каждый момент времени кинетическая и потенциальная энергии электрона выражаются через его полную энергию /, Это обстоятельство дает возможность выразить интенсивность дипольного излучения через полную энергию электрона
2磊2 _空 / /g2 у _32器4
3,з — Зс3 I m产丿 —Зсз （mZe）2。
Энергия электрона расходуется на излучение
d留_32器4
"н 3”（mZe）?'
откуда получаем закон убывания полной энергии электрона
1 = 132/
碎十（mZe）2^3‘
где ^o =——ZM/2R——начальное значение полной энергии. Время падения электрона на силовой центр получим, устрем-яя эг^ргию 若 к бесконечности со знаком минус:
4 — m2c^R3
4Ze「•
Электрон внутри равномерно заряженного шара представ-
ляет собой осциллятор, колеблющийся с частотой со =. 一二，.
R V mR
Излучаемые электрома!нитные волны имеют ту же частоту. Если
£2e2
учесть силу f = г радиационного трения, то колебательное движение электрона станет медленно затухающим. При этом с большой точностью выполняется соотношение г =——①2r. В соответствии с начальными условиями движение электрона одномерное и описывается уравнением
х + ух + ① 2% = О с решением вида
% = Re""Y〃2 cos sf.
202 ① 2
Здесь обозначено у = 3林з (у《со)・ Усредненная по времени от t до / + 2л;/з полная энергия электрона определяется выражением
Вторая производная по времени от дипольного момента системы выражается через сумму всех сил, приложенных к частицам. Равнодействующая этих сил в случае замкнутой системы обращается в нуль. Поэтому интенсивность дипольного излучения равна нулю
При вычислении энергетических потерь единицы объема электронного газа можно суммировать не амплитуды поля, а интенсивности излучения отдельных электронов. Это связано с тем, что среднее расстояние между электронами сравнимо с радиусом волновой зоны, а разности фаз излучаемых электронами волн распределены хаотично. Интенсивность излучения отдельного электрона во внешнем однородном магнитном поле с напряженностью Н дается формулой
2/"2吐
仆)П飞号，⑴
где и丄——составляющая скорости электрона, перпендикулярная вектору Н. Используя распределение Максвелла
—mu2
dN (v) = No \j2^kT) ° dVx dvy dVzi
а также соотношения
у2 = у j_ + 齿， dvx dvy = и丄 du丄 d-ф,
запишем число электронов в единице объема со скоростями в интервале от и丄 до и丄 + du丄 в следующем виде:
. Nom - 2打/
dN ^±) = -_ e v± dvn
где k — постоянная Больцмана, а Т — температура электронного газа. Умножая эту величину на интенсивность (1) излучения отдель* 222
ного электрона, получим энергию излучения в единицу времени группы электронов, находящихся в единице объема со скоростями от и丄 Л° и丄 + du丄. Полную интенсивность I излучения единицы объ* ем а электронного газа найдем путем интегрирования по поперечной скорости
=3mhTc5 J °
0
Поместим начало координат в средней точке между диполями, а расстояние от диполей до точки наблюдения г волновой зоны запишем как
nd0, nd0
lr一0防'「2 =Г+。迎
где n единичный вектор, направленный от центра системы в точку наблюдения.
Напряженность магнитного поля излучения в волновой зоне равна сумме вкладов от каждого диполя в отдельности:
*沁ио（T）+胃明+
+吨1）-*]}=
Средняя за период интенсивность излучения
1
I (1 — %2) cos2 —— dx =
О
2瘀尢T2瘀尢T
2瘀尢T
2瘀尢T
В предельном случае。《大 имеем / == -у d孤为Р
“石 N2d孤4To 留=一^一“石 N2d孤4To 留=一^一
“石 N2d孤4To 留=一^一
“石 N2d孤4To 留=一^一
307.冒=勻詳（%+%公=嘴丄
Используя уравнение Ньютона тт ==~^一 , представим
энергию 君^，излученную за период Т, в виде интеграла
т
夕 2Z2e6 f dt
о
При помощи закона сохранения момента mN® = М перейдем к интегрированию по полярному углу 屮，воспользовавшись уравнением траектории
-у = 1 + £ cos ”，
где фокальный параметр и эксцентриситет известны:
М2I 2格М2
Окончательно получим
弟2nz%i°m_ 2甘ЛР、
В системе центра ннерипи в относительных координатах уравнение Ньютона и дипольный момент системы запишутся:
dd一&他2 一々"八Wi + m2一&他2 一々"八Wi + m2г 三 <2эффГ.г 三 <2эффГ.
d
d
一&他2 一々"八
Wi + m2
一&他2 一々"八
Wi + m2
г 三 <2эффГ.
г 三 <2эффГ.
Здесь pi = —- \—2приведенная масса, a Q?巾ф ——эффективный
十他2
заряд. Полные момент М и энергия 占 системы заданы:
Энергия /&, теряемая на дипольное излучение, выражается в виде
интеграла
2Q：©勺 е；е； З^2с32Q：©勺 е；е； З^2с34<33巾中叩；С3|хМс储 J4<33巾中叩；С3|хМс储 J—£ COS 屮)2 d^,—£ COS 屮)2 d^,
2Q：©勺 е；е； З^2с3
2Q：©勺 е；е； З^2с3
4<33巾中叩；С
3|хМс储 J
4<33巾中叩；С
3|хМс储 J
—£ COS 屮)2 d^,
—£ COS 屮)2 d^,
где p ——фокальный параметр, 8 ——эксцентриситет гиперболы, а 屮俏一 максимальный угол отклонения от полярной оси, равные
Л12Л12р '—^ 一 t 6Re©р '—^ 一 t 6Re©
Л12
Л12
р '—^ 一 t 6
Re©
р '—^ 一 t 6
Re©
После интегрирования находим
= ^畧訖 5 {~ 一-J)2 [(I+|e2) ^--|e sin 屮 g.
祝=-4吧空空
сЗ（М2 + 2ma） /2
311.311.
311.
311.
где Го =厂0«） —минимальное к силовому центру частица, нием /. Величина г0 являетсягде Го =厂0«） —минимальное к силовому центру частица, нием /. Величина г0 являетсярасстояние, на которое приближается пролетающая с прицельным расстоя- корнем уравнения
где Го =厂0«） —минимальное к силовому центру частица, нием /. Величина г0 является
где Го =厂0«） —минимальное к силовому центру частица, нием /. Величина г0 является
§ 2. Магнитно-дипольное и квадрупольное излучения
7204"4 卩 2
312・ I = 歹^— sin- 0g-
314•/ = -—cos2*丁•
Дипольный момент d заряженной системы должен удовлетворять УСЛОВИЮ a W 0.
/ =金T[e202 一（Ev）2].
6m2c5 l
318•『需4 shi20
600c < тс2 /
Z= — II cos2 A 1、
3c \ me6 丿 V me
/ = “詞？1.
/=_^1，6б（4® +ф$）2.
Магнитно-дипольное излучение отсутствует в системе координат центра инерции. В других координатных системах магнитнодипольное излучение имеется.
Если начало координат выбрано в центре инерции, то после перехода к относительным координатам магнитный момент двух за« ряженных частиц выражается через полный механический момент, который в случае замкнутой системы сохраняет постоянное значе-1 ние. Поэтому производная по времени от магнитного момента обращается в нуль тождественно и магнитно-дипольное излучение отсутствует.
Магнитный момент системы пропорционален механическому. Согласно уравнению движения производная по времени от механического момента системы равна моменту внешних сил. Последний равен нулю, так как система замкнутая. Следовательно, производная по времени от механического и магнитного моментов обращается в нуль тождественно и магнитно-дипольное излучение отсутствует.
(1)(1)Магнитный момент ц системы заряженных частиц выра* жается через полный механический момент М при помощи формулы
(1)
(1)
М = — М.2m с
Во внешнем магнитном поле уравнение движения момента М имеет
вид
~dT~dT=觊 х н.=觊 х н.⑵⑵
~dT
~dT
=觊 х н.
=觊 х н.
⑵
⑵
Из соотношений (1) и (2) вытекает
芳= -(QX©芳= -(QX©2тс2тс
芳= -(QX©
芳= -(QX©
2тс
2тс
т. е. вектор ц вращается вокруг направления Н с угловой скоростью
—(2. Вращение вектора ц приводит к магнитно-дипольному излуче-> 。с еН тт
нию с частотой Q = Напряженности магнитного и электрического полей излучения в волновой зоне:
нm = 4仅2c4r (n * ("丄 X "))， еm = иm X ",
где п ——единичный вектор, проведенный из центра системы в точку наблюдения, а 观丄—составляющая магнитного момента, перпенди* кулярная вектору Н.
826. I826. I4卩孤44卩孤4Д(о/ + а 8s2—2~^Д(о/ + а 8s2—2~^
826. I
826. I
4卩孤4
4卩孤4
Д(о/ + а 8s2—2~^
Д(о/ + а 8s2—2~^
827. Полный магнитный момент системы
卩=同2 COS (со + ne) / =
л=0
= MRe 卜加2 户 В =氏 Re (^-7^) ='九=0'
.Nat
=Ho cos +
S^T •
Средняя по времени от / до / + 2л/со интенсивность излучения
запишетсязапишется齒齒828. I =828. I =紹卩孤4 一屮Зсз — «紹卩孤4 一屮Зсз — «炉卩孤%炉卩孤%
запишется
запишется
齒
齒
828. I =
828. I =
紹卩孤4 一屮
Зсз — «
紹卩孤4 一屮
Зсз — «
炉卩孤%
炉卩孤%
Интенсивность квадрупольного излучения не зависит от выбора начала координат, если выполнены условия
。三 0, d = О,
где Q и d ——полный заряд и дипольный момент излучающей системы.
Дипольное излучение отсутствует. Искомая интенсивность слагается из интенсивностей магнитно-дипольного и квадрупольного излучений системы двух зарядов.
Прежде всего решаем задачу о колебаниях шарика в предположении, что излученная энергия ничтожно мала по сравнению с его полной энергией. Выбрав начало координат в средней точке стержня и совместив плоскость XY с плоскостью колебаний (ось X параллельна силе тяжести), получаем для координат шарика следующие выражения:
% = Z, у =倣 2 = 0.
Здесь 屮——угол отклонения стержня от вертикального положения, который меняется по гармоническому закону 屮=屮。cos со/, где s = д/^у/^ a g — ускорение силы тяжести. При определении координат шарика сделано разложение в ряд по малому параметру 屮《1 й отброшены все старшие степени угла 电 кроме первой.
Зная закон изменения координат шарика, находим зависимость координат обоих зарядов от времени. После этого интенсивность
магнитно-дипольного излучения вычисляется по общей формуле
В выражении для тензора квадрупольного момента системы двух зарядов также следует отбросить старшие степени угла 屮，так как шарик совершает малые колебания:
/ 2320 \
Оав = 2е/2（ 3屮 一1 0）
\ 00-1/
Тогда средняя по времени интенсивьость квадрупольного излучения принимает вид
e时喘d
Полная интенсивность излучения обоих зарядов равна сумме интенсивностей магнитно-дипольного и квадрупольного излучений
8е〃4呢①6
331. /331. /"^（疝常鑑尸）小2 +也"^（疝常鑑尸）小2 +也
331. /
331. /
"^（疝常鑑尸）小2 +也
"^（疝常鑑尸）小2 +也
332. В системе центра инерции полный осколков ядра, разлетающихся вдоль оси X,332. В системе центра инерции полный осколков ядра, разлетающихся вдоль оси X,квадрупольный момент имеет видквадрупольный момент имеет вид
332. В системе центра инерции полный осколков ядра, разлетающихся вдоль оси X,
332. В системе центра инерции полный осколков ядра, разлетающихся вдоль оси X,
квадрупольный момент имеет вид
квадрупольный момент имеет вид
0邛一7（4 + 4）0邛一7（4 + 4）О一1ОО一1ООО-1ОО-1
0邛一7（4 + 4）
0邛一7（4 + 4）
О
一1
О
О
一1
О
О
О
-1
О
О
-1
где x ——координата частицы с приведенной массой
卩卩44 -А + 444 -А + 4
卩
卩
44 -
А + 4
44 -
А + 4
а т — масса нуклона. Используя уравнение Ньютона и закон сохранения энергии
乙乙眾 卩产 Z%e2 圻
卩％ —,Q Г 7== С J»
2Z,Z2e22Z,Z2e2нетрудно получить соотношение
2Z,Z2e2
2Z,Z2e2
и
После этого задача о нахождении энергии излучения сводится к вы
числению интеграла
где 力° — начальное расстояние между осколками (см. также решение задачи 297). Окончательно энергия квадрупольного излучения при разлете осколков ядра выражается формулой
一 1575 I 244 丿("^丿
333. Вычисляя третью производную по времени от тензора
。邛=« (3%а%0 — г2^ар)
квадрупольного момента заряда е, следует помнить, что ускорение г =« — Е протона постоянно. Поэтому
方сф = Зе (3尤мв + ^хах^ — 2г 飞邛).
Искомая сумма Завоза вычисляется в общем виде, после чего ускорение протона выражается через Е В результате интенсивность квадрупольного излучения протона запишется так:
3d10т2с53d10т2с5[(vE)2 + ЗМ£2].[(vE)2 + ЗМ£2].
3d10т2с5
3d10т2с5
[(vE)2 + ЗМ£2].
[(vE)2 + ЗМ£2].
335.335.336・336・2d2(042d2(04—2R2d2^6— 32R2d2g6—2R2d2^6— 32R2d2g6
335.
335.
336・
336・
2d2(04
2d2(04
—2R2d2^6— 32R2d2g6
—2R2d2^6— 32R2d2g6
3262co2f 丄 1
5*5 *
2 =冗 ± 4
/462R2&432e2R4s6
ld = 一詣―(1 + cos 2)，J = —5^5— 8S~ 也
⑴⑴Указание. Точечный диполь с моментом d следует рассматривать как предельный случай системы двух зарядов е и —е, расстояние I между которыми сокращается до нуля, а абсолютная величина зарядов возрастает до бесконечности так, что
⑴
⑴
lim el = d,Z->0
где вектор 1 направлен от отрицательного заряда к положительному.
Поэтому магнитный момент, создаваемый вращающимся диполем, представляет собой предел следующей суммы:
核=圈 *[(『+}) *(?+%)-(г-£)*(?-})] = е->8
= /[(dX ；) + (”△)]= /[(dX ；) + (”△)]dcoсdcoс
= /[(dX ；) + (”△)]
= /[(dX ；) + (”△)]
dcoс
dcoс
где г — радиус-вектор вращающегося диполя.
Тензор квадрупольного момента удобно определять сначала во вращающейся системе координат XYZ' ось Z' которой совпадает с осью вращения, а ось X’ проходит через диполь параллельно его моменту d. При этом диполь рассматривается как система двух за* рядов е и ——е, расположенных друг от друга на некотором фиксиро^ ванном расстоянии 厶 После того, как тензор квадрупольного момента D]§ для фиксированной величины Z во вращающейся коорди* натной системе определен, следует осуществить предельный переход (1) в каждой компоненте этого тензора. В результате искомый тен* зор примет вид
/200 \
% = 2Rd 0-10.
\00-1 丿
Путем преобразования координат находят тензор квадрупольного момента £>ар в покоящейся системе координат XYZ, ось Z которой совпадает с осью вращения, а начало ——с центром окружности:
/ 3 cos2 coZ — 13 sin 血 cos со/ 0 \
Осф = 2Rd 1 3 sin(о/ cos st 3 sin2 со/ — 1 0 j.
\00-1 /
337.
128R2d2(06
/5.
838.
—16a2d2g)6
/15c5 •
339.
02d孤6片需0)6
/卩 - Зс5 ' !d5c5 *
340.
341.
Излучение отсутствует.
342・
2Q%cq6£2
343.
Q2R4cd6 ]OC5 .
Прецессия однородно заряженного кольца приводит к квадрупольному излучению. Тензор D^ квадрупольного момента кольца легко вычисляется в штрихованной системе координат X'YTJ、 жестко связанной с вращающимся кольцом (см. рис. 4). При этом недиагональные компоненты тензора D^ обращаются в нуль, а диагональные принимают вид
/)ц =仆；2 =冗 R&9, &з — — 2nP^q.
Матрица。&自 преобразования координат ха = а^^ от вращающейся к покоящейся координатной системе находится обычным путем:
sin 8 sin 屮、—sin В cos 屮 I, cos 9/sin 8 sin 屮、—sin В cos 屮 I, cos 9/(cos 屮 一cos 0 sin 屮 sin 屮 cos 0 cos 屮
sin 8 sin 屮、
—sin В cos 屮 I, cos 9/
sin 8 sin 屮、
—sin В cos 屮 I, cos 9/
0 sin 9
где введено обозначение 屮=st. Тензор квадрупольного момента в покоящейся системе координат вычисляется по общей формуле
Окончательно интенсивность квадрупольного излучения принимает
вид
/=左器艺(15 sin4 9 +sin2 9).
345. /345. /—8Q2Z4(i)6 =45c5—8Q2Z4(i)6 =45c5346.346./卩/卩Q2^ + b^2Q^=150c5Q2^ + b^2Q^=150c5sin2co/,sin2co/,1D1DQ2(a2j2)2 險6=250c5Q2(a2j2)2 險6=250c5sin2 co/.sin2 co/.
345. /
345. /
—8Q2Z4(i)6 =45c5
—8Q2Z4(i)6 =45c5
346.
346.
/卩
/卩
Q2^ + b^2Q^
=150c5
Q2^ + b^2Q^
=150c5
sin2co/,
sin2co/,
1D
1D
Q2(a2j2)2 險6
=250c5
Q2(a2j2)2 險6
=250c5
sin2 co/.
sin2 co/.
Тензор квадрупольного момента диска: /)ав = 0 при а*0, 加=¥(2出-%) ％ =? (2廿一徜， 加=-号("+垃)，
где Q = лаба — полный заряд. При деформации диска полуоси д и Ь меняются со временем по закону
а = R [1 + 印 cos (со/ + а»], 6 = 7? [1 + е2 cos (со/ + а2)], где величины 8i и 82 пропорциональны малому параметру р и поэтому также малы g《1 и £2《L Согласно условию задачи площадь диска равна площади круга радиуса R, если отбросить слагаемые,
квадратичные по параметру 0 Такое требование приводит к соотношению, которое должно выполняться тождественно при любом h
81 cos ((oZ + a】)+ e2 cos (со/ + «2)= 0.
Из этого тождества вытекают равенства Si =—泣 и s =出 Агалогично, закон изменения параметра деформации приводит к тождеству
61 cos (со/ + %)三卩 cos со/,
из которого получаем 勺=8 н S = ° Таким образом, диагональ* ные компоненты тензора квадрз польного момента имеют вид
51 = ■簣仃(1 + FR cosco/),
D22 =四^ 仃(1 — €р cos о/),
&з=2~.
Оставляя слагаемые с наименьшей степенью параметра §, нахо* дим интенсивность излучения в среднем по времени за период Ti
348. /348. /“"d俨—540M“"d俨—540M冗 ZRgJ^B?80c^冗 ZRgJ^B?80c^
348. /
348. /
“"d俨
—540M
“"d俨
—540M
冗 ZRgJ^B?80c^
冗 ZRgJ^B?80c^
Векторный потенциал (IV 11) в волновой зоне с учетом поправок порядка и： / с2
' —cr + cr ] b「r + 2c3「d尸 Z e(("『％)
где радиус-вектор гг i-ro заряда, а также величины d, ц, D и уг берутся в момент времени / — гjс. 3二есь обозначено
NN
』2小，出=房2九><%，"=4*， z = 1z = 1
V
Ab = 2 %(3%，a%L 小3)，n = 7«
Напряженность магнитного поля излучаемой волны
Н=~АХп.
Вычисляя поток вектора Пойнтинга через сферу большого радиуса, находим iiHTeiiCHBHocTb излучения с заданной точностью
Зе? т Зсз т 180с5 т
+费卜* Х*X % ("ГJ代х 0闻・
i = i
Последнее слагаемое представляет собой искомую величину А/, которая после интегрирования по углам принимает вид
N
△/ =含V 分「2厂;v — (г V ) г 1.
Поскольку магнитно-дипольное излучение отсутствует, интенсивность излучения заряда е с учетом членов порядка и?/с2 представляется в виде суммы трех слагаемых
/ = 一 ЗсЗ~ + -180=5 + А'
Величина А/ определена в предыдущей задаче:
=褰［3.V + (vv)2 + 2 (2 汨=薔昌侬2 + 噂), где г, v и v — радиус-вектор, скорость и ускорение заряда.
Интенсивность квадрупольного излучения как функция скорости заряда найдена в задаче 333:
Вб — б。，/。,180c5 — 5/n2c5 *
Ускорение, входящее в формулу интенсивности дипольного излучения, должно быть вычислено с учетом релятивистских поправок порядка ц2/с2. Для этого воспользуемся уравнением движения d 匸 工
-р = еЕ и формулами
石 <T = evE,石 <T = evE,
石 <T = evE,
石 <T = evE,
справедливыми для быстрой частицы. Эти соотношения позволяют выразить ускорение через скорость. Разлагая найденное ускорение в
ряд по малому параметру о2/с2 и ограничиваясь лишь первой релятивистской поправкой, получаем
Суммируя отдельные слагаемые, находим окончательно 2^2 /6.2 бе(гЕ)Ч
-3мСз е十5c2十5m^2丿.⑴
Пусть при f = 0 имеем г (0) = v(0) = 0. Тогда в произвольный момент времени / имеем
е (гЕ) — у2тс2 一 2c2 '
и полученная поправка к интенсивности излучения пропорциональна
v2/c2.
Как отмечалось во введении к главе IV, расматриваемая здесь интенсивность излучения зависит от выбора начала координат внутри излучающей системы. В частности, в момент времени, когда заряженная частица находится в начале координат, найденная интенсивность излучения (1) численно совпадает с интенсивностью излу- у 2
чения релятивистской частицы (V. 59), если принять ^-《1 и учесть поправку порядка и2/с? (см. задачу 449). Это обстоятельство связано с тем, что в данный момент времени величина (IV. 16) численно совпадает с интенсивностью излучения (V. 59) релятивистской заряженной частицы, а поток вектора Пойнтинга вычисляется через одну и ту же сферу большого радиуса в обоих указанных случаях.
§ 3. Спектральное разложение излучения
дипольного моментадипольного моментаВторая производная по времени от
дипольного момента
дипольного момента
электрона
приприприпри/》0,t < 0./》0,t < 0.
при
при
при
при
/》0,
t < 0.
/》0,
t < 0.
Компонента Фурье этой функции имеет вид
,、—^Ео ( а + i (со + со。). а + »(со —①°)、 I ® + а)о)2 十 а2 十(① 一 0)2 + а2 丿
Для энергии, излученной на частотах в интервале от со до со + dg получаем следующее выражение:
2eAE^о2 + а2
— зкт^3 [® + соо)2十 出][(①_(00)2十 出]
852.852.d声8=d声8=2，步碣2，步碣Зле3 [((о +(Оо)2 + а2] [(о — о0)2 + а2]Зле3 [((о +(Оо)2 + а2] [(о — о0)2 + а2]ds.ds.353・353・d/з =d/з =e2a2cdg1-^~з ^®» где обозначено(з — с)о)2 +于e2a2cdg1-^~з ^®» где обозначено(з — с)о)2 +于2 4лр I е I2е?嗡3。= —^-，丫 =詞声(¥《％)•354. Уравнение движения осциллятора с учетом силы радиационного тренияГ —г + ОдГ = — Е (/)(1)ЗтсЗ и、2 4лр I е I2е?嗡3。= —^-，丫 =詞声(¥《％)•354. Уравнение движения осциллятора с учетом силы радиационного тренияГ —г + ОдГ = — Е (/)(1)ЗтсЗ и、определено в бесконечном промежутке времени —оо 0 / & 8. В области / W ° правая и левая части этого уравнения равны нулю тождественно.Разложим в интеграл Фурье обе части уравнения (1) и воспользуемся соотношениями между компонентами Фурьеопределено в бесконечном промежутке времени —оо 0 / & 8. В области / W ° правая и левая части этого уравнения равны нулю тождественно.Разложим в интеграл Фурье обе части уравнения (1) и воспользуемся соотношениями между компонентами Фурьег (со) = — со2г (со), г (со) = /со3г (о).г (со) = — со2г (со), г (со) = /со3г (о).Полученное личины г (со) IПолученное личины г (со) Iалгебраическое уравнение решаем относительно ве*алгебраическое уравнение решаем относительно ве*г (со)г (со)£Е (со)m 碣一со? — tyco£Е (со)m 碣一со? — tycoгде угде у—2^2со2—3mc3 * a—2^2со2—3mc3 * aфункция E (co) известна:функция E (co) известна:E®)=\оE®)=\оE (£)产 dt.E (£)产 dt.
852.
852.
d声8=
d声8=
2，步碣
2，步碣
Зле3 [((о +(Оо)2 + а2] [(о — о0)2 + а2]
Зле3 [((о +(Оо)2 + а2] [(о — о0)2 + а2]
ds.
ds.
353・
353・
d/з =
d/з =
e2a2cdg1
-^~з ^®» где обозначено
(з — с)о)2 +于
e2a2cdg1
-^~з ^®» где обозначено
(з — с)о)2 +于
2 4лр I е I2е?嗡
3。= —^-，丫 =詞声(¥《％)•
354. Уравнение движения осциллятора с учетом силы радиационного трения
Г —г + ОдГ = — Е (/)(1)
ЗтсЗ и、
2 4лр I е I2е?嗡
3。= —^-，丫 =詞声(¥《％)•
354. Уравнение движения осциллятора с учетом силы радиационного трения
Г —г + ОдГ = — Е (/)(1)
ЗтсЗ и、
определено в бесконечном промежутке времени —оо 0 / & 8. В области / W ° правая и левая части этого уравнения равны нулю тождественно.
Разложим в интеграл Фурье обе части уравнения (1) и воспользуемся соотношениями между компонентами Фурье
определено в бесконечном промежутке времени —оо 0 / & 8. В области / W ° правая и левая части этого уравнения равны нулю тождественно.
Разложим в интеграл Фурье обе части уравнения (1) и воспользуемся соотношениями между компонентами Фурье
г (со) = — со2г (со), г (со) = /со3г (о).
г (со) = — со2г (со), г (со) = /со3г (о).
Полученное личины г (со) I
Полученное личины г (со) I
алгебраическое уравнение решаем относительно ве*
алгебраическое уравнение решаем относительно ве*
г (со)
г (со)
£Е (со)
m 碣一со? — tyco
£Е (со)
m 碣一со? — tyco
где у
где у
—2^2со2
—3mc3 * a
—2^2со2
—3mc3 * a
функция E (co) известна:
функция E (co) известна:
E®)=\
о
E®)=\
о
E (£)产 dt.
E (£)产 dt.
Согласно формулам (IV. 20) и d (co) ^ — eco2r (co) энергия дипольного излучения, приходящаяся на интервал частот от о до о)+ ^«j принимает вид
届3=届3=d@・d@・2鼠 в I Е (со) |2
届3=
届3=
d@・
d@・
3冗"儿3 (①"-啕y + Y%2
2е"嗡
355・As= 3启・
356. В волновой зоне вектор Пойнтинга можно выразить через напряженность электрического поля s = -~ Е2п. Полная энергия, прошедшая через единичную площадку, расположенную в точке
наблюдения перпендикулярно распространению волны, определяется выражением
咨=-^~ \ Е2 dt = "^^ j I Е (со) |2 ds = ) & (co) ds,оо0
где
s,、 cEj1
序 ®) 16冗密(①一CO0)2 + (? *
Величина 苏(со) описывает спектральный состав прошедшего элек* тромагнитного импульса. Графическое изображение функции Е(со) дает контур спектральной линии. Полушириной Асо/2 спектральной линии называется такое значение разности со — ®), при котором функция ^(со) убывает в два раза по сравнению со своим максимальным значением, откуда находим для ширины Део спектральной линии следующее значение: Део = 2a.
357.357.ДеоДео22358.358.ДеоДеот “1 + “》То【т “1 + “》То【359・359・сот。cos асот。cos аd歩s=鼠戍次№ sid歩s=鼠戍次№ si360.360.d歩sd歩s8e%2. 23m〃2c3s2 sm8e%2. 23m〃2c3s2 smеЕеЕdo.do.361.361.Время т взаимодействия протона с ядромВремя т взаимодействия протона с ядромпо порядку вели-по порядку вели-чины равно I/Vq. Энергия, излученная на малых частотах (от <С U описывается формулойчины равно I/Vq. Энергия, излученная на малых частотах (от <С U описывается формулой2絞(V2 - V/2絞(V2 - V/
357.
357.
Део
Део
2
2
358.
358.
Део
Део
т “1 + “》
То【
т “1 + “》
То【
359・
359・
сот。cos а
сот。cos а
d歩s=鼠戍次№ si
d歩s=鼠戍次№ si
360.
360.
d歩s
d歩s
8e%2. 2
3m〃2c3s2 sm
8e%2. 2
3m〃2c3s2 sm
еЕ
еЕ
do.
do.
361.
361.
Время т взаимодействия протона с ядром
Время т взаимодействия протона с ядром
по порядку вели-
по порядку вели-
чины равно I/Vq. Энергия, излученная на малых частотах (от <С U описывается формулой
чины равно I/Vq. Энергия, излученная на малых частотах (от <С U описывается формулой
2絞(V2 - V/
2絞(V2 - V/
Злс3
в которой vi и v2 — скорости протона до и после рассеяния на ядре. Излученная энергия пренебрежимо мала по сравнению с полной энергией протона. Поэтому кинетическая энергия протона после рассея* ния остается прежней. Скорость протона в процесс рассеяния поворачивается на малый угол 8《1, не меняясь по абсолютной величине. Это обстоятельство позволяет вычислить угол рассеяния 9 следующим образом. Выберем ось X по направлению скорости v【 налетающего протона, а плоскость XY совместим с плоскостью рассеяния. Тогда, очевидно,
tg6=d・
В случае рассеяния на малые углы можно приближенно написать tg 0 = 0 и ^2«= v2= %. Поперечную составляющую скорости после
рассеяния найдем путем *интегрирования уравнения Ньютона mvy = Fy. Учитывая прямолинейный характер траектории, получаем
m 0"“и。(尤2 + j)% mvQl
Треугольник, построенный на векторах Vi и V2, является равнобедренным с малым углом 0 при вершине. Это позволяет вычислить модуль разности этих скоростей по формуле
Vi — v21 = %9.
Собирая полученные результаты, имеем окончательно
dN® = -~г= "^■z о- I т ) ds.
方зЗлйсос3 I шу0/ /
Перейдем в систему центра инерции и направим ось X на-
„。mim2。
встречу частице с приведенной массой 卩=：, летящем из
Ш\ 十 т?
бесконечности к центру кулоновского поля отталкивания. Движение описывается уравнением Ньютона
卩% = ~^7"
с дополнительными условиями х(0) — Z и х(0) = 0 при f = 0.
В задачу об излучении входит вторая производная от дипольного момента d = \xd, определяемая выражением
Компонента Фурье d((o) этой функции выражается через интеграл
Для его вычисления перейдем к новой переменной интегрирования, которая обычно используется в задачах о движении в кулоновском поле отталкивания
+ x = Zch2-|,
где о)о ——характерная частота
2巳ё2 ("Zi + ①2)2巳ё2 ("Zi + ①2)2加1m22加1m2
2巳ё2 ("Zi + ①2)
2巳ё2 ("Zi + ①2)
2加1m2
2加1m2
В результате компонента Фурье запишется:
d®）=4^（含-号）尸（唸
J 'l+chg*J 'l+chg*
J 'l+chg*
J 'l+chg*
Последний интеграл возьмем по частям, после чего сделаем замену переменной интегрирования 三=in + n и воспользуемся известной формулой для производной от функции Ганкеля пергого рода порядка р по ее аргументу г:
\ еР"—2 sh П sh 刀 &刀=—1пН^г （г）.
Тогда функция 尸（з） примет вид
尸⑹=警尸畔上（*）.
So
Энергия, излученная в виде волн с частотами в интервале dco, описывается формулой
Зл/с3 （mi + 也）\ mi m2 /
В случае малых частот со《со。асимптотическое выражение для функции Ганкеля и ее производной берем из справочника [9]
2соо
а энергия, излученная на малых частотах, принимает вид
162102^1^2（ С1 _ &、2
Зл/с3 （mi + 恤）I g 生丿
В области больших частот з》со。воспользуемся формулой из книги [1]
哦8）=誌畲）"噸）叮…》1,
где F（z）——гамма функция аргумента z = 2/3. Следовательно, спектральная плотность излучения убывает на больших частотах в ос
новном по экспоненциальному закону
2Л（о
* =證詳为（誥一盜）沙Т隽）]2（簿3一k他
Следуя методу решения предыдущей задачи, находим спек* Тральный состав излучения
4eie2mlm2/ в!
8= 3就сЗ (饱 + £)Vm?
証)%…,証)%…,f (з) = \оf (з) = \ог盜低+sh g)г盜低+sh g)T + ch ГT + ch Г⑴⑴где введено обозначение
証)%…,
証)%…,
f (з) = \о
f (з) = \о
г盜低+sh g)
г盜低+sh g)
T + ch Г
T + ch Г
⑴
⑴
При з《coo функцию f (со) можно заменить единицей. Спектральная плотность излучения на малых частотах в четыре раза меньше, чем в предыдущей задаче
3注"3(^] + m2)X/n] m2 /
В области больших частот со》со()интеграл (1) берем по частям так, чтобы появляющиеся слагаемые содержали бы частоту со в знаменателе. Оставшийся интеграл опять берем по частям, увеличивая степень з в знаменателе последующих слагаемых. Продолжая этот процесс неограниченно, получим бесконечный ряд по параметру
—-<С 1. При больших частотах достаточно ограничиться первым членом этого асимптотического ряда
”8)= '瑞，
В отличие от результата предыдущей задачи спектральная плотность излучения убывает на больших частотах по степенному закону
d苏8d苏82е储(Sg23冗/%з〈团]m22е储(Sg23冗/%з〈团]m2J dsJ ds
d苏8
d苏8
2е储(Sg2
3冗/%з〈团]m2
2е储(Sg2
3冗/%з〈团]m2
J ds
J ds
Предположим, что нулевой момент времени t = 0 отвечает точке остановки сталкивающихся частиц. Тогда в системе центра инерции вторая производная от дипольного момента заряженных ча* стиц является четной функцией времени f при лобовом столкновении Н последующем разлете, В интервале времени —оо W f £ 0 (или О W / & 8)дипольные моменты в случаях а и б совпадают между собой тождественно, так что
За (/) = 1G (0 ПрИ — OO&/&8,(1)
d6(/) = 1G (/) при — 8《《0
(или 0《f £ oo),(2)
где 1 ——постоянный единичный вектор, a 6(f) — некоторая четная функция времени /. Это обстоятельство позволяет написать
ооО
ай((о) = 1 \ G (/) /"山=1 2 \ G ⑴ cos 啦或=1 2 Re f ®), (3)
о
d 6 ®)= 1 \ G ⑴尸 dt = lf g),⑷
о°°
где f (co) == \ G (0 /8” dt.
Интегрируя по времени интенсивность дипольного излучения с учетом соотношений (1) и (2), приходим к выводу, что полные энергии излучения в случаях а и б связаны равенством 格° = 2鋁6. С другой стороны, полные энергии можно представить в виде спектрального разложения, что дает
\ I 也(/) [2^ = 2 \ I J ⑹ 12 ds.
оо
Это соотношение при помощи формул (3) и (4) приводится к виду
2，(Re f (со))2 d(o и、I f (о) I2 ds. оо
Полученное равенство можно также доказать иначе. Для этого рассмотрим отдельно интеграл
ОООО 00
\ (Re f (о))? ds= \ 壮① \ * \ df'G (f) G (广)cos 血 cos ①产.
О— ОО—— ОО—■ ОО
Воспользуемся известными соотношениями
2 cos со/ cos со/ = cos со (/ — У) + cos s (£ + £'),
6 ⑺=击"\ cos сот dco
и представим этот интеграл так:
2 \ (Ref (со))2 do =冗 \ G(/)G (Г) [д (/ -，)十 6 (f 十 f)] dt d 匕 оо
Слагаемое подынтегрального выражения, содержащее 6-функцию 6(/ + f‘), не дает вклада, поэтому правая часть последнего равенства запишется как
365・365・G2 ⑴ d/=\ I f (о) I2 dG).0G2 ⑴ d/=\ I f (о) I2 dG).0366・d疗з366・d疗з367.d鋁①=367.d鋁①=2^0?204 ~~2nZ^S2T22^0?204 ~~2nZ^S2T2772忆4[%『，drt= у- , ^itl^ dt.-T/2772忆4[%『，drt= у- , ^itl^ dt.-T/22 ds.2 ds.3%-2咖 d®.3%-2咖 d®.
365・
365・
G2 ⑴ d/=\ I f (о) I2 dG).
0
G2 ⑴ d/=\ I f (о) I2 dG).
0
366・d疗з
366・d疗з
367.d鋁①=
367.d鋁①=
2^0?204 ~~
2nZ^S2T2
2^0?204 ~~
2nZ^S2T2
772
忆4[%『，drt= у- , ^itl^ dt.
-T/2
772
忆4[%『，drt= у- , ^itl^ dt.
-T/2
2 ds.
2 ds.
3%-2咖 d®.
3%-2咖 d®.
Указание. Найти магнитный момент “(f) тока, а затем воспользоваться соотношением между компонентами Фурье р,((о)== =—о)2* (①)и табличным интегралом
368 • d否 &
f % sin ax
J 1 + X2 0
2a2需廟
dx = -^- е~а при а > 0.
15 冗 c5(8 — 0))2 + Y
369. d若s =
4a2需礴
15冗開(s — со。)？ + у?
dm.
370. Тензор квадрупольного момента в системе центра инерции осколков ядра
eZA{A2x2
4(4 + 4)
2
О О
о
-1
о
О о
-1
где движение происходит вдоль оси X.
При помощи уравнения дви
жения и закона сохранения энергии доказываем равенство
2e2Z]Z2 (4 + 4) х
mAiA2
которое позволяет упростить формулу Фурье
х2г
для искомой компоненты
&В ®)
2e3zZiZ2
mA
Тав =(。
\0
о
-1 о
J)
Сделаем замену переменной интегрирования
』±(& + sh&, ” =胃戶 ch?/,
где о)о — характерная частота
00 —-研冗
Тогда получим следующее:
瓦 В®)=*У「аВ 尸⑹，
F (со)=F (со)=W (E+sh В) shgdg
F (со)=
F (со)=
.(l + ch 旷
Последний интеграл возьмем по частям, а затем сделаем замену переменной интегрирования g = in + Y] и воспользуемся фор* мулой для функции Ганкеля первого рода порядка р и аргумента z
\ egTshnd“ = zF^l)⑶. (1)
Такое преобразование представит окончательный результат в удоб^ ном виде для исследования излучения на малых и больших частотах
於s = "И?"(為)1尸⑹产d①'
Л(0
戶®)=一^_Jf4薩(2*)・
На малых частотах -^- = | 〃 丨=| z ]《1 существенная область интегрирования в (1) содержит n》L поэтому
eDfshndLeDfshndL^ /瞋嗫).^ /瞋嗫).
eDfshndL
eDfshndL
^ /瞋嗫).
^ /瞋嗫).
[9] выписываем /矶。('為)=[9] выписываем /矶。('為)=Кроме того, из справочникаКроме того, из справочника
[9] выписываем /矶。('為)=
[9] выписываем /矶。('為)=
Кроме того, из справочника
Кроме того, из справочника
=-^ In-^^ при й)《й)(), где у = с'=1,781 ..・,а С — постоянная Эйлера. Таким образом, в области малы,х частот (о《о)о имеем
% = ^(鳥У(*Е謂加
Для большого чисто мнимого аргумента асимптотика функции [Ганкеля приведена в книге [1]:
где Г （а）——гамма-функция аргумента z =】/з. Это позволяет найти спектральный состав излучения для больших частот ①》（о0：
"3蕊買鳥）（切2（詁
По аналогии с предыдущей задачей получаем спектральный состав излучения при разлете осколков ядра
*НTё% （爲■）1f⑹产個
о
_2招人/2员（4+/2[
0 — e2Z]Z2*
В области малых частот з《соо функцию f （со） можно заменить .числом %, тогда
Видно, что спектральная плотность излучения на малых частотах существенно отличается от результата предыдущей задачи.
В случае больших частот з》со。интеграл （1） следует брать по частям так, чтобы появляющиеся слагаемые содержали частоту о） в знаменателе. Повторяя эту процедуру, получим асимптотический ряд по параметру ^"《〔. Ограничиваясь первым членом этс^о ряда, находим
Следовательно, спектральная плотность излучения при разлете осколков ядра убывает на больших частотах со》со。 значительно медленнее, чем в предыдущей задаче о лобовом столкновении и последующем разлете ядер,
也 =48（鳥y（V-）4加
Указание. Доказательство аналогично решению задачи 364.
&2^2
d&g =互二j3(R, + //鼠 do Область применимости формулы ограничена условием малости величины 方① по сравнению с кинетической энергией частицы, чтобы исключить квантовые эффекты в излучении.
4g2y2D2
dxg =———ds. Область применимости формулы ограничена тем же условием, что и в предыдущей задаче.
§ 4. Угловое распределение излучения
Интенсивность (IV. 22) дипольного излучения в элемент dQ телесного \гла выражается через напряженность Н магнитного поля излучаемой волны. В свою очередь вектор Н зависит от ускорения 鹿 частицы согласно формуле
и е (『е X П)
h=西—'
ча-ча-где п == —, а г — радиус-вектор точки наблюдения. Ускорение стицы определяется из уравнения Ньютона:
ча-
ча-
Ге = ^у(V X Но)Ге = ^у(V X Но)тстс
Ге = ^у(V X Но)
Ге = ^у(V X Но)
тс
тс
где
П = 1% CCSН Sin
тс и тс
Здесь п‘ ——единичный вектор, направленный по радиус-вектору г© частицы. Интенсивность d/(f) дипольного излучения в телесный угол dQ в момент времени /
e4言以2
Скалярное произведение nn' выражается через полярные углы 8 н 屮 точки наблюдения следующим образом:
nn = sin 6 cos I —^屮丿.
После усреднения по времени за период движения частицы интенсивность dl излучения в телесный угол dQ запишется так:
e4v2Hl
〃=丽号(1+9仮
J2s2(^4
d/= ―о~(1 + cos? 9) dQ・ Здесь ось Z выбрана вдоль оЛСэ
вектора ®.
244
m % П备（餘）％也28他m % П备（餘）％也28他где ось 2 выбрана вдольгде ось 2 выбрана вдоль
m % П备（餘）％也28他
m % П备（餘）％也28他
где ось 2 выбрана вдоль
где ось 2 выбрана вдоль
прямолинейной траектории протона.
25 Q2Rq^2
d/u '1096百寿sin2 28dQ. Начало координат помещено в средней точке цилиндра, а ось Z направлена по его оси.
Указание. См. решение задачи 347.
Начало покоящейся декартовой системы координат поме* стим в средней точке цилиндра, а ось Z выберем вдоль вектора уг
ловой скорости. Связанная с цилиндром штрихованная координатная система XfYfZf вращается около оси Z‘(Z‘ 曰 Z), причем ось X’ совпадает с осью цилиндра. Тензор квадрупольного момента заряжен
ного цилиндра в штрихованной системе координат находится легко:
/200\3(厂；-?)/200\3(厂；-?)0=¥售一吁0=¥售一吁
/200\
3(厂；-?)
/200\
3(厂；-?)
0=¥售一吁
0=¥售一吁
Путем преобразования координат определяем тензор Ра^ квадрупольного момента вращающегося цилиндра. Третья производная от этого тензора
Г
sin 2sf cos 2sf 0 \
cos2sf sin 2со/ 0 j.
000/
Напряженность магнитного поля излучаемой волны в точке наблюдения с радиус-вектором г в момент времени tf — t ——г/с дается формулой
H = -^-sine(ixn),
где 1 = 1* sin(2о)，一屮)一1? cos(2(o/'—屮)，n =千・ Здесь 0 и ф — полярные углы точки наблюдения, а п — единичный вектор, указывающий направление распространения волны. Используя среднее значение величины (1 X п)2 за период вращения
г
у- (IX п)2 ” «у (1 + cos28),о
находим угловое распределение интенсивности излучения
〃=歯营(4 - 叫(1 - C0S4 6) dQ・
380. d/ =380. d/ =2^2/436ЛС62^2/436ЛС6(1 — cos4 0) dQ.(1 — cos4 0) dQ.
380. d/ =
380. d/ =
2^2/436ЛС6
2^2/436ЛС6
(1 — cos4 0) dQ.
(1 — cos4 0) dQ.
Энергия, излученная в телесный угол dQ на частотах от 做 до о + ds, может быть представлена в виде
吟Ll^r【(vDXnKdQ do,
где v и v‘ ——скорости частицы до и после столкновения с шаром. Поскольку энергия излучения весьма мала по сравнению с кинетической энергией частицы, скорость частицы по абсолютной величине не ме* няется при столкновении и = и'. Из геометрических соображений не# трудно определить угловую зависимость излученной энергии
%L券0-太)卜m 8 + 張(cos2 6 - sin2 6 cos2 吻 +
882・ d^882・ d^sin 20 cos 2sin 20 cos 22 dQ ds.2 dQ ds.d« d9・d« d9・O#2(d2 sin2 28=256лс5O#2(d2 sin2 28=256лс5
882・ d^
882・ d^
sin 20 cos 2
sin 20 cos 2
2 dQ ds.
2 dQ ds.
d« d9・
d« d9・
O#2(d2 sin2 28
=256лс5
O#2(d2 sin2 28
=256лс5
d歩门=彳^^声(1 + "^ cos 8)sin2 B.dQ, где 0 — угол между скоростью V и направлением на точку наблюдения.
Угловое распределение полной энергии излучения описьр вается формулой (IV. 26), в которой
dXn , РХп
^7 6с3Г，
d =猊吆 В X 口 = бе (322 + 亥)п2 & X n).
В этих выражениях полярная ось Z направлена параллельно скоро-* сти движения частицы, а координата 2 и ее производные по времени имеют вид
Е (Z) =•
еЕ
而伊 + 啾 при 0 < / < т,
，и0при / < 0,
之(/)= <
■^ / + % при 0 & У %
-^ т + и0 при /》0
'0 при / < 0,
■^ при ()《/《％ 0 при t > %
2(/)=等8 C)-6(D],
где т — время движения во внешнем электрическом поле.
После возведения в квадрат напряженности магнитного поля Излучения
h =鳥[芝 + ；(3媛 + 笈)^] & X n),
кроме дипольного слагаемого, оставляем интерференционный член, Имеющий порядок и]с,
"2 = ^■卜 + ^ 之統芝 + 羡)&] & X П)2.
При интегрировании по времени в формуле (IV. 26) примем во Внимание свойство (П3.13) 6-функции. Окончательно
d 彗cose) siM 0源，n 4лтс3 X 2c 丿
/ 2 I 2/eE
Напряженность магнитного поля излучения вычисляем с учетом малого слагаемого, линейного по скорости v движения прогона,
4 = 给 + 好=备上+』(3茨+宓.)*]&Х*
где полярная ось выбрана вдоль направления движения протона, а Координата г и ее производные по времени имеют вид
%(/)
П舞« +幻2
при —%《/《％,
之⑴
J 》宀。）
приf《一％,
При 一方0м方《力,
приf > 力，
f 0 при
方V 一%，
纟⑴
I еЕ
=〈при •
1 m尸
— £（）《£《/（）,
I 0 при
方 ＞力，
£ (f)
=若他" +小一6（力一办）］.
Начало отсчета времени ведется от момента прохождения прэ- Гоном средней точки траектории во внешнем поле, так что 2/о — Время движения в этом поле.
Компонента Фурье напряженности магнитного поля излучения
□ /、 е?Е Г/. Зи 、2 sin 叫 /,
Н（『，3）= ^ К1 十五 &） —7■拉z cos M —
■^^" ®fo cos s/о — sin s/o）］ Qz X n）・
Сохраняя слагаемые порядка и］с, получаем окончательно
пзпз
пз
пз
Зи 1 — cos от УТ sin от9 Л—cos 0 1^— cos 6 sin2 6 dQ,Зи 1 — cos от УТ sin от9 Л—cos 0 1^— cos 6 sin2 6 dQ,
Зи 1 — cos от УТ sin от9 Л
—cos 0 1^— cos 6 sin2 6 dQ,
Зи 1 — cos от УТ sin от9 Л
—cos 0 1^— cos 6 sin2 6 dQ,
где t = 2仇= ское поле, а игде t = 2仇= ское поле, а и'、/翌'-время пролета'、/翌'-время пролетачерез внешнее электриче-через внешнее электриче-—скорость протона при выходе из этого—скорость протона при выходе из этого
где t = 2仇= ское поле, а и
где t = 2仇= ское поле, а и
'、/翌'-время пролета
'、/翌'-время пролета
через внешнее электриче-
через внешнее электриче-
—скорость протона при выходе из этого
—скорость протона при выходе из этого
поля.
Интегрирование полученного выражения по частоте（о дает угловое распределение полной энергии излучения с учетом слагаемого порядка и/с:
%cos sin2 0 dQ.
п 4лтс3 х 2с 丿
鸵6. Магнитный момент и тензор квадрупольного момента системы из двух диполей определяются выражениями
；/0 1 0\
卩=—lz, Dao = ^ad I 1 0 0 j,
cЛо 0 0/
Введем обозначения
n =^■力сф九в = ado（o3 sin со/• A'a,
где % = sin 0 cos 屮，〃2 = sin 6 sin 屮， n3 = cos 6, M = sin 0 sin 屮, %2 = sin 8 cos 屮，А'з = 0. Тогда напряженность магнитного поля излучаемой волны па большом расстоянии 厂 от диполей примет вид
н = ad^_ ［（^ х n） х n +（N х n）］ 5也6（/一受）・
Слагаемое гjc учитывает запаздывание электромагнитного сигнала. Зная величину Н, нетрудно вычислить поток электромагнитной энергии через элемент dS = r2dQ сферической поверхности радиуса г, видимый из центра заряженной системы под телесным углом JQ. После этого средняя по времени за период Т = 2兀/з интенсивность излучения в телесный угол dQ запишется так:
di — - 2冗с5…‘id 0 cos2 屮（1 — sin2 0 sin2 屮）dQ.
Тем же методом, который изложен в указании к задаче 336, определяем магнитный момент и тензор квадрупольного момента вращающихся диполей
卩卩7? ds—m*7? ds—m*\ cos со/\ cos со/ООsin со/ООsin со/cos Мsin з/Оcos Мsin з/О
卩
卩
7? ds
—m*
7? ds
—m*
\ cos со/
\ cos со/
О
Оsin со/
О
Оsin со/
cos Мsin з/О
cos Мsin з/О
где m = % cos со/ + k sin 3t. Начало декартовой системы координат выбрано в центре окружности, а ось Z служит осью вращения.
Согласно формуле (IV. 14) напряженность магнитного поля в данной задаче выражается через векторы
с
N = cos В (j% sin ①尸一\y cos ①，)+ % sin 6 sin (①厂—屮)，
а переменные величины берутся в запаздывающий момент времени /' = / —— r/с. Введенные обозначения позволяют упростить выражение для напряженности магнитного поля в волновой зоне
Н =书戶[(m X n) X n + (N X п)].
Усредняя по времени угловое распределение интенсивности излучения (iV. 22), находим окончательно
di = cos2 0(1 + cos2 0) °Q・
di =cos2 6(1 + cos2 6) dQ
Начало координат поместим вблизи диполей. Радиус-вектор крайнего диполя обозначим через г0. Тогда расположение т-го диполя описывается радиус-вектором гт == г0 + та, где т = О, 】，...，N——1. Расстояние от m-го диполя до точки наблюдения с ра- л：1>с-вектором г равно Rs = г ——пг^, где п = ；. Напряженность магнитного поля излучаемой волеы
Тх2 d(Т)
т~0
содержит дипольный момент системы с учетом запаздывания. По- хтившаяся сумма по индексу m вычисляется при помощи формулы
т=0\m=0/т=0\m=0/геометрической прогрессии
т=0\m=0/
т=0\m=0/
.2Vka sin —g— =d0 cos (s/ — kr + kr0)г—
5汕俳，
где k = -~- п — волновой вектор расходящейся шаровой волны. Ин« тенсивность излучения в телесный угол dQ в среднем по времени за период Т
didi0)48Пe30)48Пe3.。Nona
di
di
0)4
8Пe3
0)4
8Пe3
——wJdoXn^dQ.
Sin —
Для диполей, изображенных на рис. 5, интенсивность излучения в телесный угол dQ в среднем по времени за период Т имеет
вид
didisin2 0 dQsin2 0 dQ
di
di
sin2 0 dQ
sin2 0 dQ
Излучение максимально под углом 6 = л/2 и аксиально-симметрично относительно оси Z.
В случае диполей, расположенных на оси X (см. рис. 6), угловое распределение интенсивности излучения в среднем по времени за период Т описывается формулой
didi①4需 8лс3①4需 8лс3sin2 ("I" sin 8 cos 2) sin2 (万 sin 0 cos 2)sin2 ("I" sin 8 cos 2) sin2 (万 sin 0 cos 2)sin2 0 dR,sin2 0 dR,
di
di
①4需 8лс3
①4需 8лс3
sin2 ("I" sin 8 cos 2) sin2 (万 sin 0 cos 2)
sin2 ("I" sin 8 cos 2) sin2 (万 sin 0 cos 2)
sin2 0 dR,
sin2 0 dR,
где 6 н 2 — полярные углы точки наблюдения. Излучение максимально в направлении, перпендикулярном плоскости XZ.
§ 5. Поляризация излучаемых волн
В волновой зоне напряженности магнитного и электрического полей излучаемой волны имеют вид
И
d X "
Е = Н X "•
Здесь г — расстояниеЗдесь г — расстояниеГ у п =—, а а — втораяГ у п =—, а а — втораяпо радиус-вектору заряда (рис. 11).по радиус-вектору заряда (рис. 11).Рис. 11.Рис. 11.п распространения излучаемойп распространения излучаемой
Здесь г — расстояние
Здесь г — расстояние
Г у п =—, а а — вторая
Г у п =—, а а — вторая
по радиус-вектору заряда (рис. 11).
по радиус-вектору заряда (рис. 11).
Рис. 11.
Рис. 11.
п распространения излучаемой
п распространения излучаемой
от центра окружности до точки наблюдения,
производная от дипольного момента заряда
d = — е ①2R".
Единичный вектор п‘ направлен Компоненты единичных векторов п и п‘：
пх = sin 6 cos 屮，
пу — sin 0 sin 2， nz = cos 仇
〃；=COS 9厶riy = sin co/,
威=0,
где /'= t — 1 ]c — время в точке наблюдения с учетом запаздывания, 6 и 2 ——полярные углы, а ось Z направлена вдоль вектора(о. Введем два базисных орта ti и т2 в плоскости, перпендикулярной направлению волны:
巧
UXn
—sin 0
nXdzX n)
sin 6"
Разложим векторы H и E по указанным ортам:
H = %占十%2T2, E == J占 + 不2'2，
Проекции напряженностей полей на орты 口 и Т2 определяются выражениями
Н『=Н% =='罩戸 cos 0 cos(9尸—•屮)，
"0=HT2 = "^Sin (竝‘一3)，
В каждой точке волновой зоны при 0 & В V 多 векторы Н и Е вращаются по часовой стрелке, если смотреть вдоль направления
распространения волны (правое вращение). Если ^<8《几,то вращение левое. Причем концы векторов Н и Е описывают эллипсы
a2 一
с полуосями а и 6, равными
ea)2Rea)2RI cos 0 I， bI cos 0 I， be@Re@R
ea)2R
ea)2R
I cos 0 I， b
I cos 0 I， b
e@R
e@R
Такая волна называется эллиптически-поляризованной с правой поляризацией при 0 <0 < ~ и левой поляризацией в области ~ < V 9 & 3T. Отношение длин полуосей -у == | cos 01 зависит от направления излучения. В частности, если излученная волна распространяется вдоль магнитного поля 8 = 0 (или 0 — л), то она поляризована по кругу, в то время как при распространении под прямым углом 0 = ~- волна поляризована линейно.
Излучение поляризовано по эллипсу с отношением длин полуосей, равным [cos 0|, где 0 ——угол между нормалью к плоскости вращения магнитного момента и направлением на точку наблюдения. При распространении излученной волны вдоль оси вращения магнитного момента эллипс превращается в окружность. Поляризация
волны правая для углов 0 ^ 0 < -~ и левая, если V 9《л. Волна, распространяющаяся под прямым углом к оси вращения магнитного момента, поляризована линейно.
Электрон вращается по окружности радиуса R = "^^ с
частотой о =. Ось Z выберем по направлению внешнего маг-
тс卜у
cos 2cofsin 23t0cos 2cofsin 23t00 0 о0 0 онитного поля (см. рис. 11). Третья производная по времени от тензора квадрупольного момента
cos 2cofsin 23t0
cos 2cofsin 23t0
0 0 о
0 0 о
(—sin 2sf cos 2cof 0
Напряженность магнитного поля излучаемой волны выражается через вектор
ВарПр = 12ео)з« sin 0 .总
где ради краткости обозначено
1 = 1% sin (2<0,一師)一1g cos (2(оУ — if).
Здесь " = / —-— время в точке наблюдения с учетом запаздывания, а 0 и 屮—полярные углы, фиксирующие направление единич- г
ного вектора п = — с компонентами
〃％ = sin В cos 2， пу = sin 0 sin "ф, nz == cos 0.
В волновой зоне на большом расстоянии г от центра окружности напряженности магнитного и электрического полей излучаемой волни имеют вид
Н _^£. sE 0(1 Xn), Е = Н X п.
Введем два базисных вектора
12 ХП12 ХПsin 9，sin 9，「X(lzXn)一 sin 0「X(lzXn)一 sin 0лежащих в плоскости, перпендикулярной направлению п распространения волны. Разложение векторов Н и Е по ортам ti и Тг запишетсялежащих в плоскости, перпендикулярной направлению п распространения волны. Разложение векторов Н и Е по ортам ti и Тг запишетсятак:гдетак:гдеН = / Ji + %2t2，Е = Jji + 々 2T2，% — ~ 二:^艺 sin 9 cos 0 sin (2зу - 22);Н = / Ji + %2t2，Е = Jji + 々 2T2，% — ~ 二:^艺 sin 9 cos 0 sin (2зу - 22);»吃=2：： j sin 6 cos (2(o* — 2ф);»吃=2：： j sin 6 cos (2(o* — 2ф);J /， Ер = — Я-.Видно, что конец вектора Н (а также Е) описывает эллипс с отношением длин полуосей, равным | cos 01. Следовательно, квадрупольное излучение поляризовано по эллипсу с правой поляризацией при 0 & 8 V 专 и левой для углов ^ V 8 W 冗・ Если излученная волна распространяется вдоль оси вращения электрона 6 == 0 или 0 ==： л,J /， Ер = — Я-.Видно, что конец вектора Н (а также Е) описывает эллипс с отношением длин полуосей, равным | cos 01. Следовательно, квадрупольное излучение поляризовано по эллипсу с правой поляризацией при 0 & 8 V 专 и левой для углов ^ V 8 W 冗・ Если излученная волна распространяется вдоль оси вращения электрона 6 == 0 или 0 ==： л,то эллипс превращается в окружность, в то время как в поперечном направлении 0 = л/2 эллипс вырождается в отрезок и волна станото эллипс превращается в окружность, в то время как в поперечном направлении 0 = л/2 эллипс вырождается в отрезок и волна становится линейно-поляризованной.вится линейно-поляризованной.39L Дипольное излучение линейно-поляризовано.39L Дипольное излучение линейно-поляризовано./Лагнитно-дипольное излучение линейно-поляризовано.Квадрупольное излучение линейно-поляризовано./Лагнитно-дипольное излучение линейно-поляризовано.Квадрупольное излучение линейно-поляризовано.397.397.=Q2R4①6俨 —200лс5=Q2R4①6俨 —200лс5sin2 20 dQsin2 20 dQ4Q2R436 俨4Q2R436 俨где Q = -^-Q2bp, 6 — угол между осью аксиальной симметрии эллипсоида вращения и направлением на точку наблюдения, а излучаемые волны линейно-гголяризованы.где Q = -^-Q2bp, 6 — угол между осью аксиальной симметрии эллипсоида вращения и направлением на точку наблюдения, а излучаемые волны линейно-гголяризованы.
12 ХП
12 ХП
sin 9，
sin 9，
「X(lzXn)
一 sin 0
「X(lzXn)
一 sin 0
лежащих в плоскости, перпендикулярной направлению п распространения волны. Разложение векторов Н и Е по ортам ti и Тг запишется
лежащих в плоскости, перпендикулярной направлению п распространения волны. Разложение векторов Н и Е по ортам ti и Тг запишется
так:
где
так:
где
Н = / Ji + %2t2，Е = Jji + 々 2T2，
% — ~ 二:^艺 sin 9 cos 0 sin (2зу - 22);
Н = / Ji + %2t2，Е = Jji + 々 2T2，
% — ~ 二:^艺 sin 9 cos 0 sin (2зу - 22);
»吃=2：： j sin 6 cos (2(o* — 2ф);
»吃=2：： j sin 6 cos (2(o* — 2ф);
J /， Ер = — Я-.
Видно, что конец вектора Н (а также Е) описывает эллипс с отношением длин полуосей, равным | cos 01. Следовательно, квадрупольное излучение поляризовано по эллипсу с правой поляризацией при 0 & 8 V 专 и левой для углов ^ V 8 W 冗・ Если излученная волна распространяется вдоль оси вращения электрона 6 == 0 или 0 ==： л,
J /， Ер = — Я-.
Видно, что конец вектора Н (а также Е) описывает эллипс с отношением длин полуосей, равным | cos 01. Следовательно, квадрупольное излучение поляризовано по эллипсу с правой поляризацией при 0 & 8 V 专 и левой для углов ^ V 8 W 冗・ Если излученная волна распространяется вдоль оси вращения электрона 6 == 0 или 0 ==： л,
то эллипс превращается в окружность, в то время как в поперечном направлении 0 = л/2 эллипс вырождается в отрезок и волна стано
то эллипс превращается в окружность, в то время как в поперечном направлении 0 = л/2 эллипс вырождается в отрезок и волна стано
вится линейно-поляризованной.
вится линейно-поляризованной.
39L Дипольное излучение линейно-поляризовано.
39L Дипольное излучение линейно-поляризовано.
/Лагнитно-дипольное излучение линейно-поляризовано.
Квадрупольное излучение линейно-поляризовано.
/Лагнитно-дипольное излучение линейно-поляризовано.
Квадрупольное излучение линейно-поляризовано.
397.
397.
=Q2R4①6俨 —200лс5
=Q2R4①6俨 —200лс5
sin2 20 dQ
sin2 20 dQ
4Q2R436 俨
4Q2R436 俨
где Q = -^-Q2bp, 6 — угол между осью аксиальной симметрии эллипсоида вращения и направлением на точку наблюдения, а излучаемые волны линейно-гголяризованы.
где Q = -^-Q2bp, 6 — угол между осью аксиальной симметрии эллипсоида вращения и направлением на точку наблюдения, а излучаемые волны линейно-гголяризованы.
Указание См. решение задачи 347.
398.
Q2 (出一廿)2 d " -^Q2 (出一廿)2 d " -^(1 ― cos4 0) dQ,(1 ― cos4 0) dQ,—8Q2 (a2 一 厶2)2 不=125c5'—8Q2 (a2 一 厶2)2 不=125c5'
Q2 (出一廿)2 d " -^
Q2 (出一廿)2 d " -^
(1 ― cos4 0) dQ,
(1 ― cos4 0) dQ,
—8Q2 (a2 一 厶2)2 不
=125c5'
—8Q2 (a2 一 厶2)2 不
=125c5'
Квадрупольное излучение поляризовано по эллипсу с отношением длин полуосей, равным |cos 0|, где 0——угол между угловой скоростью ш и направлением на точку наблюдения. Поляризация волны правая, если угол 0 острый, и левая при ^ < 0 ^5 п. Под углами 0 = 0 и 0 = л распространяются циркулярные волны, а в поперечном направлении к вектору угловой скорости ——линейно-поляризованная волна.
Рассеяние электромагнитных волн
Ja== (^^) sin2 0 dQ, где 0 — полярный угол точки наблюдения, а ось Z направлена по вектору поляризации волны Полное сечение рассеяния
8冗(с?
丿•
Если обозначить вектор поляризации волны через 1, то эффективное сечение рассеяния линейно-поляризованной волны в телесный угол JQ запишется
^=(^)2(1><1，)2 ^⑴
где единичный вектор п направлен в точку наблюдения и имеет компоненты
几％ — sin 0 cos ф, tty = sin 0 sin 屮， n2 = cos 0.
Ось Z выберем по направлению распространения волны, а азимутальный угол вектора поляризации обозначим через ®‘. Тогда получим
(1 X n)2 = 1 — (In)2 = 1 — sin2 0 cos2 (2 — -фЭ-
Чтобы найти эффективное сечение рассеяния неполяризованной волны, выражение (1) следует усреднить по углу 屮'.В результате находим
d6 = ^(-^F)(1 + cos2 0) dQ.
Полное сечение рассеяния
矶〃=而爲"+^0）個
волн.402.волн.402.Здесь 0 ——угол между волновыми векторами падающей и рассеянной
волн.
402.
волн.
402.
"gy焉）碱号叫2（1 + e*8）А
8л / «2 у 04
°=丁匕7丿（嗡一明2,
где 0 ——угол между волновыми векторами падающей и рассеянной волн, а атомная частота з。определяется выражением ①。= V 叫 tnR3.
4限百=（今J （党二学;/2個
8л / е2 у① 4
（说一心y+卡川，
где 0 ——угол между вектором поляризации падающей волны и на< правлением в точку наблюдения. Параметры о。н 丫 даются формулами
/ с?2е2（о2
4°4. 而=（$）2岗R产，f
丿（3—2）2 十付，
где 0 ——угол между вектором поляризации падающей волны и направлением в точку наблюдения. Параметры ①。и 丫 имеют вид
/ 2лр I е I2е2（о2
405. da —405. da —b： cos2 2 + b| sin2 屮^1 +碍b： cos2 2 + b| sin2 屮^1 +碍
405. da —
405. da —
b： cos2 2 + b| sin2 屮^1 +碍
b： cos2 2 + b| sin2 屮^1 +碍
8冗 / e2
где 6 н 屮—полярный и азимутальный углы точки наблюдения. Полярная ось сферической системы координат выбрана вдоль направления распространения падающей волны.
406.。=果（替）2^2仇406.。=果（替）2^2仇где 8 ——угол между вектором 也 игде 8 ——угол между вектором 也 инапряженностью магнитного поля падающей волны.
406.。=果（替）2^2仇
406.。=果（替）2^2仇
где 8 ——угол между вектором 也 и
где 8 ——угол между вектором 也 и
俨0)4 /6； COS2 屮 + &2 sin2 2、
407. do =- 1 ——!sin2 0 dQ,
С4 \岁+旅/
8л俨小
3 М
где 0 и ф ——полярный и азимутальный углы точки наблюдения. Полярная ось сферической системы координат выбрана вдоль волнового вектора падающей волны.
163Td4163Td4408 ・ о408 ・ оУказание. Воспользоваться уравнением движения / -^- » = dXE, а также уравнением d = QXd, описывающим вращение вектора d, который по абсолютной величине не меняется.
163Td4
163Td4
408 ・ о
408 ・ о
Излучение протяженных источников
В волновой зоне векторный потенциал электромагнитного поля, созданного заданным током, имеет вид
a(1)=;卜(匕，一千+零)优，⑴
где п = 7，а начало координат выбрано внутри излучающей системы.
Напряженность магнитного поля указанного тока в волновой зоне
1 .
H(r, /) = rotA(r, /) = ~ A(r, f)Xn.
Искомый интеграл выражается через разность значений векторного потенциала, взятых при f = оо н f =——сю,
\ Н (г, /) d£ = ； [А (г, оо) — А (г, — 8)] X и.
Для каждой фиксированной точки наблюдения с радиус-векто-
1/八
ром г величина времени запаздывания — (г — пг ) принимает конечные значения, так как область интегрирования в интеграле (1)
г иг'
ограничена. Поэтому величина / — у 4—— стремится к ±°°»
когда время t стремится к бесконечности ff ±оо. Отсюда следует, что подынтегральная функция в интеграле (I) тождественно обращается в нуль при подстановке / = 8 или f = — оо, если ток вне промежутка времени от 力 до % отсутствует.
В том случае, когда объемная плотность j заданного тока вне промежутка времени (厶，fz) постоянна, векторные функции j = j(r', 8) и j = j(r\ —оо) удовлетворяют условию замкнутости токовых линий
\ j (г', оо) dk =卜(匕 一 оо) dVf = О,
которое было установлено ранее при решении задачи 144.
Следовательно, в условиях данной задачи в волновой зоне имеем А (г, оо) = А (г,—оо) = 0, откуда
\ Н (г, /) dt = 0. (2)
Для линейно-поляризованной волны Н = 1，(г, f) интеграл \ " (г, /) dt представляет собой площадь в плоскости переменных ” и f, которую назовем площадью излученного электромагнитного импульса. Согласно полученному результату (2) в каждой точке наблюдения волновой зоны площадь прошедшего электромагнитного импульса равна нулю.
Если вектор H(r, f) в точке наблюдения г поворачивается со временем в плоскости, перпендикулярной направлению п распространения волны, то обращаются в нуль площади \ Н{ (г, /) dt и
\ 斤2 (г, /) dtt где Я1 == liH и ”2 = UH, а единичные векторы llf 12 Hti образуют правовинтовую тройку. Рассуждения для напряжен-- ности электрического поля аналогичны.
На большом расстоянии г》kl2 от тока приближенно выполняется равенство |г ——гЛ| = г ——nr： а векторный потенциал (IV. 8) принимает вид
+ 々2’cos В dz'=*+ 々2’cos В dz'=*
+ 々2’cos В dz'=*
+ 々2’cos В dz'=*
Jolz ( sin [班(I — cos 9)] (or I 1 — cos 0Jolz ( sin [班(I — cos 9)] (or I 1 — cos 0• sin [kl (1 + cos В)]、/ r \
Jolz ( sin [班(I — cos 9)] (or I 1 — cos 0
Jolz ( sin [班(I — cos 9)] (or I 1 — cos 0
2572579 А. И. Алексеев
257
257
При помощи формул тригонометрии последнее выражение можно заметно упростить
а2/山(2т + 1) л cos0 ,/.
Напряженность магнитного поля излучаемой волны
Н =(GX п) К就崙 cos [(/Л + ^)冗 cos e]cos(D (f - В) •
Согласно общей формуле (IV 22) интенсивность излучения в телесный угол dR в среднем по времени за период Т запишется:
di = ~~q cos2冗 cos dQ
2лс sin2 0J
412.
eTMT)-(-『)]，HiXE.
Векторный потенциал (IV. 8) в плоскости ХУ на большом расстоянии от тока можно записать в следующем виде:
a = (-1 产et产 sin(0加产
где U = f — г /с — время в точке наблюдения с учетом запаздывания Напряженность магнитного поля имеет только угловую составляющую в цилиндрических координатах, которая описывается фор* мулой
外=—祭=(一1 严争「y[cos (О" — ^ sin Sm 4，
где " > 0 и % = 0 при Г < 0. Векторы Е и Н вместе с радиус- вектором г точки наблюдения образуют правовинтовую тройку векторов, поэтому
Ez=s —外， Е%п Ey = Q
Чтобы представить электромагнитное поле излучения в виде суперпозиции монохроматических волн, разложим напряженность электрического поля в интеграл Фурье
£?(〃)=击,
Непосредственным вычислением накопим
Ег (со) = Е+ (①)+ Ш- (й>),
⑹=32 +端+ Y2)2二 4公嗚，
£。= (一1严+1好
Таким образом, разложение напряженности электрического поля из лучения по монохроматическим волнам имеет вид
& =(①)cos соо& =(①)cos соо+ Е- (о) sin со+ Е- (о) sin со
& =(①)cos со
о
& =(①)cos со
о
+ Е- (о) sin со
+ Е- (о) sin со
Равенство 〃* = — Е^ позволяет получить аналогичное разложение для напряженности магнитного поля.
/q sin2 0 sin2 [kl (1 — cos 0)]
dl = 7：
2лс (1—cos 8)2
Hr = H^ = 0,
订2 sin cos8) 8山管 sin 6 cos M「
31严「Г际丁j cos;
sin 歹 ka sin 0 cos ф
sin2(^/cose) siM [万々asinBcosw|
dl =当一~FгтГ dQ・
2лс sm2 0 .丿「1 厶.с . 1
sin2 ka sin 8 cos 2
2若 sin2 (kl cos 0) sin2 侬 sin 9 cos 屮)
dl = T ——1^dQ.
л со/гsin4 0 cos2 屮
417.
23tR2% / sin e sin [班(1 一 cos 9)] Jo 信R sin 0)
dl =I：sI dQ.
c \1 — cos 0/
Здесь Л)(а)—функция Бесселя нулевого порядка, аргумент ко- торой а = kR sin 0. Эта функция появилась в результате интегрирования
cos [a cos (屮‘ —-ф)] d^f = 2л/0 («).
При решении задачи использован также интеграл
2Л
\ sin [a cos (4/ —巾)]d^r = 0.
0
418. На достаточно большом расстоянии г от конусов вектор^ ный потенциал поля излучения дается формулой
где п^— и dSf = rz sin0О^Ф^ ^» а интегрирование проводится по боковым поверхностям конусов, по которым течет ток с поверхностной плотностью
幺sin Uq
Единичный вектор т направлен вдоль образующей конусов. В принятых обозначениях векторы подынтегрального выражения (1) имеют следующий вид:
п = & cos 屮 + % sin ф) sin 8 + % cos 0,
J = k [(1% cos V' + % sin 屮‘)sin 0O 士 U cos 0OL
где G и 中一сферические координаты точки наблюдения, а знаки + и — отвечают соответственно верхней (z‘ > 0) и нижней (/ V 0) боковым поверхностям конусов.
Поскольку в распределении тока имеется аксиальная симметрия, искомый векторный потенциал в сферических координатах г, 0 и ф ие зависит от угла ф. Поэтому в подынтегральном выражении (1) можно положить 2 = 0. Тогда интеграл по переменной 屮',содержащий множитель lv sin 屮‘,обращается в нуль.
Принимая во внимание сделанные замечания, получаем
ь 2л
a =盡"卜以 口 (/"_ W+ 3 С08ф) х о о
Х(?2 cos 0О + lx sin 8о cos 卡)+
+ / (r‘, f — ^c~^"^ cos 3)Qz cos 0o — 1 力 sin 0o cos 屮‘)j
b 2л
匸急,W,dW (以f_千+今cos①)X
-b 0
X (G cos 6o + U sin 备 cos 屮‘),
где введены обозначения: cos Ф = sin 0О sin 0 cos 屮'+ cos Oo cos 9, cos Ф = sin Oo sin 0 cos *ф‘ 一 cos 0O cos 0.
Исследуя выражение rot А, нетрудно убедиться в том, что магнитное поле имеет лишь угловую составляющую 〃屮. Другие ком- поненты вектора Н равны нулю, как и должно быть в задаче с ак・ скальной симметрией. Окончательно находим
ь2冗
—ь о
12
X （cos Эо sin 0 — sin 瓦 cos 0 cos i|/） d@;
"=::二［，鳥 / （⑶，f —^~ + 今 8s 9）注 J dQ при 询-> 0;
d/ = 0 при Од ®=-—-.
§ 8. Задачи, требующие вычисления на 419.§ 8. Задачи, требующие вычисления на 419.ЭВМЭВМ（瓚）%（瓚）%i л/"■& 土+少5i л/"■& 土+少5г» 1 / e2 \3 e2行L言（1?丿~rг» 1 / e2 \3 e2行L言（1?丿~r
§ 8. Задачи, требующие вычисления на 419.
§ 8. Задачи, требующие вычисления на 419.
ЭВМ
ЭВМ
（瓚）%
（瓚）%
i л/"■& 土+少5
i л/"■& 土+少5
г» 1 / e2 \3 e2行L言（1?丿~r
г» 1 / e2 \3 e2行L言（1?丿~r
巾(П)= 2(1+#)宀
где величина т）0 является корнем уравнения
/2 1
2 ~т+ ^（По）= °・
。П0
На рис. 12 изображен график ' натурального логарифма ln（^（t/^o） как функция параметра l/а. Некоторое представление о зависимости полной энергии дипольного излучения от прицельного расстояния дает таблица 1.
Таблица 1
1/а
0,5
1
2
5
留/昴
3,36 -102
5,2 :
1,23 • IO"
5,5 • 10-8
420.420.4几就2u。，/亦牙。尤=石'4几就2u。，/亦牙。尤=石'
420.
420.
4几就2u。，/亦牙。
尤=石'
4几就2u。，/亦牙。
尤=石'
где функция По = qo(5) определяется как решение уравнения
Ю 扇/%Ю 扇/%
Ю 扇/%
Ю 扇/%
Зависимость величины х/хо от параметра 疗o/Uo представлена на рис. 13.
О
Рис. 13.
Указание. Для вычисления на ЭВМ удобно перейти от двукратного интеграла к однократному, выполнив сначала интегриро- 262
ванне по переменной g в пределах от 0 до ^О（Л）» а затем по т] з промежутке от i]min до оо. В плоскости переменных п н Е интегрирование проводится по области, которая заштрихована на схематическом рис 14 Для каждого фиксированного значения х функцияванне по переменной g в пределах от 0 до ^О（Л）» а затем по т] з промежутке от i]min до оо. В плоскости переменных п н Е интегрирование проводится по области, которая заштрихована на схематическом рис 14 Для каждого фиксированного значения х функция&W определяется как решение уравнения&W определяется как решение уравненияgg=о.=о.XXПри вычислении минимального значения r）min переменной следует принять во внимание неравенствоПри вычислении минимального значения r）min переменной следует принять во внимание неравенствоооT-i。，T-i。，7mm7mm77Рис. 14.Рис. 14.что дает nmin = — In 尤 при % < 1что дает nmin = — In 尤 при % < 1H HnUnH HnUn0 при 尢》1. В результате* =県- 2n"min0 при 尢》1. В результате* =県- 2n"minимеем;имеем;Асимптотическое выражение величины 乂 прн больших значениях %》1Асимптотическое выражение величины 乂 прн больших значениях %》1X =尸7.4 VxX =尸7.4 Vx421. / =，о（疗 +%）, где421. / =，о（疗 +%）, гдеfifiF si” 粤 О] Т）F si” 粤 О] Т）(1一噌%"▲(1一噌%"▲（1 一 守）%（1 一 守）%f一 "（1 — Т|2）%f一 "（1 — Т|2）%g/ Ig/ IE sin 粤（n -自）—（l—g）M「吗E sin 粤（n -自）—（l—g）M「吗
ванне по переменной g в пределах от 0 до ^О（Л）» а затем по т] з промежутке от i]min до оо. В плоскости переменных п н Е интегрирование проводится по области, которая заштрихована на схематическом рис 14 Для каждого фиксированного значения х функция
ванне по переменной g в пределах от 0 до ^О（Л）» а затем по т] з промежутке от i]min до оо. В плоскости переменных п н Е интегрирование проводится по области, которая заштрихована на схематическом рис 14 Для каждого фиксированного значения х функция
&W определяется как решение уравнения
&W определяется как решение уравнения
g
g
=о.
=о.
X
X
При вычислении минимального значения r）min переменной следует принять во внимание неравенство
При вычислении минимального значения r）min переменной следует принять во внимание неравенство
о
о
T-i。，
T-i。，
7mm
7mm
7
7
Рис. 14.
Рис. 14.
что дает nmin = — In 尤 при % < 1
что дает nmin = — In 尤 при % < 1
H HnUn
H HnUn
0 при 尢》1. В результате
* =県- 2n"min
0 при 尢》1. В результате
* =県- 2n"min
имеем;
имеем;
Асимптотическое выражение величины 乂 прн больших значениях %》1
Асимптотическое выражение величины 乂 прн больших значениях %》1
X =尸7.
4 Vx
X =尸7.
4 Vx
421. / =，о（疗 +%）, где
421. / =，о（疗 +%）, где
fi
fi
F si” 粤 О] Т）
F si” 粤 О] Т）
(1一噌%"▲
(1一噌%"▲
（1 一 守）%
（1 一 守）%
f一 "
（1 — Т|2）%
f一 "
（1 — Т|2）%
g/ I
g/ I
E sin 粤（n -自）
—（l—g）M「吗
E sin 粤（n -自）
—（l—g）M「吗
vt
П = Т
На рис. 15 изображена относительная интенсивность 1Щ нзлу- Ч^иия осциллятора как функция переменной т], которая для случая U 二（оо/ принимает значение q = s“.
422・/ =厶产，где
2^
f = e~~^ — \ e 2卜т cos ют (n ~ S) +
小9
+ (st — ~^-) sin st (n - 吋 ％
3=(時-之)'\ " = g3=(時-之)'\ " = gПo ==---.Пo ==---.
3=(時-之)'\ " = g
3=(時-之)'\ " = g
Пo ==---.
Пo ==---.
Интенсивность / излучения осциллятора как функция пере* менной 〃с при у = о0/2 = 2/т для случаев /0 — 0 и %= —оо пред* ставлена соответственно на рис. 16 и 17.
423・ d^ = |^g^(疗 + 吩 ds,
cos —gr &sm 丁书
1—晦 f2= \dg・
U+9%J (1+&)%
Спектральное разложение излучения представлено на рис. 18.
Единице на оси ординат соответствует величина ^.
оо8s[*("sh»]8s[*("sh»]经:如2為4乙仔_分ds — Зяте3 (Л1 + Д2)〈4 力2 丿
о
о
8s[*("sh»]
8s[*("sh»]
2 现八 /2^о(4 + 4>
ZiZ?e2、 加4不
此—4//4& 仔 Z2、2
FT — Злтсз (4 + 42)、4 _/?丿 Ui 十历丿，
оо1+chg1+chg吗吗后Н)о后Н)оsin [^ 隽 + sh 占)sin [^ 隽 + sh 占)1+chE1+chE
о
о
1+chg
1+chg
吗
吗
后Н)о
后Н)о
sin [^ 隽 + sh 占)
sin [^ 隽 + sh 占)
1+chE
1+chE
Спектральное разложение излучения представлено на рис 19. Кривые / и 2 отвечают соответственно случаям а и б. Единице на оси ординат соответствует величина
Зяте3 (Ai 十 4) I %% 丿
Рис. 18.
3屮
Рис. 19.
425.425.
425.
425.
d烈=8眼2 ( *0 )2d(o — 15лсЛ2 \ тс2 /
shgn启隽 + sh矶О + ch @2
2兄/S瓦(4 + 4).
N以е2加4力2，
8眼215лсА28眼215лсА2(1 十 chU(1 十 chU
8眼2
15лсА2
8眼2
15лсА2
(1 十 chU
(1 十 chU
shjcos [言(自 + sh 苫)]1(1+ch 炉shjcos [言(自 + sh 苫)]1(1+ch 炉%%
shjcos [言(自 + sh 苫)]
1(1+ch 炉
shjcos [言(自 + sh 苫)]
1(1+ch 炉
%
%
Кривые / н 2 отвечают соответственно случаям а и б. Единице на оси ординат соответствует величина
8e2Z?
"580人2
426.
где величина х является корнем уравнения
\「¥ (1 - V2 cos 延)若=0. о
Спектральная линия излучения представлена на рис. 21. Единице на оси ординат отвечает величина cF爲/(2л)4 Ширина спектральной линии = 2,8/т.
Рис. 21.Рис. 21.
Рис. 21.
Рис. 21.
427.
еЗ))%еЗ))%
еЗ))%
еЗ))%
График напряженности электрического поля и спектральная линия излучения изображены на рис. 22 и 23 соответственно. Единице на оси ординат на 呼以 23 отвечает величина 川圖几*
Ш
428.里-=» dQ
2時筑 sin2 e Sin2 [kh（\ - cos 0）] n、
H T（i_ c而——U户厶优涟sin 0） E她）.
Диаграмма направленности излучения представлена на рис 24 для случая 力=R = l/也. Направление максимального излучения с
didi
di
di
几(cos。+ sin 9 cos p)
(sin 0 — cos 9 cos 巾)d* ]・(sin 0 — cos 9 cos 巾)d* ]・os 27f—
(sin 0 — cos 9 cos 巾)d* ]・
(sin 0 — cos 9 cos 巾)d* ]・
1 + sin2 8 sin2 屮一sin 29 cos 屮
На рис 25 изображена зависимость величины 由/dQ от угла 8 Единице на оси ордцнат соответствуем величина /；/(4冗3。). График симметричен относительно прямой 0 = л/2
dll da
Рис. 25Рис. 25
Рис. 25
Рис. 25
В волновой зоне, где напряженности электрического и магнитного полей по модулю убывают обратно пропорционально расстоянию от точки наблюдения до центра излучающей системы, выполняется соотношение k —— r'| = г ——nr', и запаздывающий векторный потенциал (IV. 8) принимает вид
4 (г, f) = ^ \ 户尸(产，f - В + F)⑴
Полученный интеграл по своим индексам а и ₽ является трехмерным симметричным тензором второго ранга Поскольку подынтегральное выражение содержит единственный независимый вектор г
п 三彳，указанный тензор должен иметь вид
п/、
—I dVf ^ адар + Ьпап^
где а и & — некоторые скалярные величины.
Приравниваем диагональные суммы тензоров левой и правой частей равенства (2)
2^1) dVf За+ Ь2^1) dVf За+ Ь(3)(3)
2^1) dVf За+ Ь
2^1) dVf За+ Ь
(3)
(3)
Умножим обе части равенства (2) на выражение 〃齡0 и просуммируем по повторяющимся тензорным индексам
W = а + b
⑷
Решая совместно алгебраические ляем величины а и Ь, через которые циал (1)
А (г, /)«=А[а1 + 6(|п)П] (5)
уравнения (3) и (4), опреде* выражается векторный потен-
При вычислении ротора векторного потенциала (5) в волновой зоне отбрасываем слагаемые, содержащие множитель 1/г2. В результате находим
-+ —dVf с с )
Если вместо функции 尸亿/) подставить заданное выражение и
положить ст = 10入 и
то получим
ОО 1
Н(Г, /) = (1ХП)噜 \dg \d 尤(1 一尤 2)X0-1
X [―希(1 7)卜一"F ‘I'
⑹
где интегрирование проводится по заштрихованной площади на схематическом рис. 26 В области интегрирования выполняется условие У ^ 陰(1—х)/10, которое является следствием запаздывания электромагнитных сигналов, приходящих в точку наблюдения.
При фиксированном значении х проведем интегрирование в интеграле (6) по переменной g в пределах от 0 до *(%) = 10Г/(1 — %)
(рис. 26). Оставшийся интеграл по переменной х
Н (г, 0 =I
(I X п)您汕■ Т ：*：2 [(I。-- 9厂)一 10 J737] dx
' ' c-仃 J (x 4- 9)2
Напряженности электрического и магнитного полей в волновой зоне связаны между собой соотношением Е = Н X п или в сферической системе координат
Е = 1еЕе， Н = 1МА|р 品=询・
Напряженность Е§ электрического поля излучения в некоторой фиксированной точке волновой зоны изображена на рис. 27. Единице на оси ординат отвечает величина Е° 三 nV/osin G/c2tg
Г л а в a V
ПОЛЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
§ 1. Преобразование электромагнитного поля
Если найдена система координат /С, в которой Е' || Н‘，то любая другая координатная система ^^, движущаяся параллельно векторам Е' и Н‘，также отвечает поставленному условию Е" II Н". Поэтому будем искать систему координат с заданными свойствами среди тех, которые движутся перпендикулярно векторам Е и Н. При переходе в такие координатные системы векторы напряженностей электрического и магнитного полей поворачиваются в плоскости, пер- пе^дикулярной относительной скорости этих систем, а компоненты напряженностей, параллельные относительной скорости, не возникают.
Выберем исходную систему координат так, чтобы Е* = 〃х = 0. Тогда искомая штрихованная система координат движется с некоторой скоростью V вдоль оси X, причем одноименные декартовые оси указанных координатных систем параллельны. В искомой системе координат имеем Е； = 〃： = 0 и Е‘ X Н‘ = 0, что дает
Е\Н1- H\E1 = Q⑴
Выразим штрихованные компоненты векторов через нештрихованные по формулам преобразования полей (V. 28) н (V. 29). После этого соотношение (1) превратится в квадратное уравнение относительно величины Р/с:
I Е х н I с
где V — проекция искомой скорости на ось X. Из двух корней этого уравнения выбираем тог, [который отвечает условию |?| < 1. Другой корень удовлетворяет неравенству противоположного смысла,
273
так как произведение корней равно единице. Окончательно находим у «(^ + Я2~ 〃(尸「环)2 + 4 (ЕН)?)»^^% 产.
Если ЕН < 0, то в найденной системе координат векторы Е' и Н‘ антипараллельны.
а) Пусть Е > ", тогда согласно инвариантам электромагнитного поля (V. 32) существует такая инерциальная система коор- дццат К', в которой отлично от нуля только электрическое поле Е'耍 О, Н‘ = 0. Скорость V этой штрихованной координатной системы лежит в плоскости, перпендикулярной вектору Н, так как компонента вектора напряженности магнитного поля, параллельная вектору V, не меняется при переходе в указанную систему отсчета HV = H'V =0. Векторы V и Е образуют между собой некоторый угол а.
Ради удобства выбираем направления векторов V и Н в качестве осей X и Z исходной системы координат. Тогда искомая система координат К движется со скоростью V вдоль оси X, причем одноименные декартовы оси двух упомянутых координатных систем параллельны. В координатной системе К магнитное поле отсутствует:
где Hz = Н а £^ = £ sin а. Отсюда получаем 上 Н V = Н (n X Е) с 一 Esina， с — (n X Е)? П，
Здесь п ——единичный вектор, лежащий в плоскости, перпендикулярной напряженности магнитного поля Н. Условие ^ ~-1 < 1 накладывает ограничения на возможные направления п относительно век* тора Е:
I sina| >^.
При помощи формул (V. 28) находим
Е =п (Еп) + 患寻т “(ЕХп)2 —
Если Е V ", то существует такая система координат, в которой имеется только магнитное поле. Повторяя предыдущие рассуждения, получим
V Н (п X Е). Е X п~
(ПХНУ П> Н ==п(Нп)十立№”(НХп)2-£2，
где п — единичный век+ор, лежащйй в плоскости, перпендикулярной напряженности электрического поля Е. Условие | ^-1 V 1 наклады* вает ограничения на возможные значения угла а между векторами V и Н:
,Е
I sin а I > 方.
V _ 2((EXH)n)n
■7= (ЕХп^ + кхпу，
где п — единичный вектор про*
извольного направления.
434・ vF4r
436・？ =(£2 - 〃2 + “(？ - "2)2 + 8 (ЕН)2)%,
〃‘("2 — £2 + V(〃2-£2)2 + 8(HE)2)%.
В координатной системе, связанной с ядром, имеем
В штрихованной инерциальной системе координат, где в данный момент нейтрон покоится, магнитное поле легко определить с указанной точностью при помощи формул преобразования (V. 31):
H'b-；(vXE).
Поэтому сила, приложенная к нейтрону, запишется как Fqgrad'(卩Н‘)
В Том же приближении четырехмерная сила f； = (У, f；) имеет компонентыВ Том же приближении четырехмерная сила f； = (У, f；) имеет компоненты
В Том же приближении четырехмерная сила f； = (У, f；) имеет компоненты
В Том же приближении четырехмерная сила f； = (У, f；) имеет компоненты
где скорость V’ нейтрона в штрихованной системе координат положена равной нулю. Используя формулы преобразования 4-вектора и отбрасывая малые слагаемые, пропорциональные о2/с2г определяем пространственные компоненты 4-силы f, = (f, f4) в исходной системе координат
f«f = ~gradz (цНл).
Если пренебречь членами порядка ^-, то f =^-F, а компоненты радиус-векторов г н У связаны между собой преобразованием
275 -
Галилея. Поэтому
@ — _^ а — д а^_
О%' — дх '万7丽' dzf — On *
Это позволяет окончательно написать
F = g「ad叶E)=4卡一3史卉).
Видно, что летящий магнитный момент р, по отношению к внешнему полю Е эквивалентен электрическому диполю с моментом d = ^^. с
F = grad ( ° ^、Н)= ( V ^ Y grad) Н. Из выражения для силы следует вывод, что летящий электрический диполь d по отношению к внешнему полю Н эквивалентен магнитному моменту
Указание. Воспользоваться законом преобразования тензоров (V. 9) и матрицей (V. 5) преобразования Лоренца.
1 Чcos 8’cos 6’ Н
j ——е , cos 8=—,
1 + -^- cos 8’
где со и 0 ——частота электромагнитной волны и угол между волновым вектором к и скоростью V движения штрихованной инерциальной системы координат относительно покоящейся в соответствии с обозначениями, принятыми в формулах (V. 3) — (V. 6). Штрихом обозначены аналогичные величины в движущейся системе отсчета. В случае Y《с имеем
① н (У (1 + ~^-cos &) == о/十 k/V при -~- <С I cos 6Z I,
①==»(]+务)прн & =专，
6г ~ 0 == — sin 0.с
В штрихованной системе координат, связанной с движущимся зеркалом, законы отражения электромагнитной волны приводят к равенствам k\x = — "% и s；=①；，где ось М направлена вдоль вектора скорости V зеркала, а одноименные декартовы оси покоящейся и движущейся систем координат параллельны. В указанных двух равенствах при помощи формул преобразования Лоренца выражаем штрихованные компоненты четырехмерных волновых век-
торов 从! = (kJ / 学)и 啞=(к；,，^~) через их компоненты в покоящейся координатной системе. В результате получаем два алгебраических уравнения относительно искомых величин. Решение послед Е{ их отвечает на поставленные вопросыторов 从! = (kJ / 学)и 啞=(к；,，^~) через их компоненты в покоящейся координатной системе. В результате получаем два алгебраических уравнения относительно искомых величин. Решение послед Е{ их отвечает на поставленные вопросыCOS 62COS 62®2где обозначено 0 = V7c.®2где обозначено 0 = V7c.20 + (1 + 俨)cos 仇1 + 俨+ 20 cos Е，1 + 俨 + 20 cos 仇01П=^20 + (1 + 俨)cos 仇1 + 俨+ 20 cos Е，1 + 俨 + 20 cos 仇01П=^443.切=и;。(^443.切=и;。(^+卩+卩)-)-酬V酬VУказание. Перейти в систему координат, связанную с движущимся зеркалом, и воспользоваться законом отражения электромагнитной волны от неподвижной плоской границы, чтобы найти параметры отраженной волны. Определив отраженную волну в движущейся координатной системе, вновь вернуться в лабораторную систему координат, воспользовавшись формулами преобразования (V. 28)——(V. 31) напряженностей электрического и магнитного полей отраженной волны.Указание. Перейти в систему координат, связанную с движущимся зеркалом, и воспользоваться законом отражения электромагнитной волны от неподвижной плоской границы, чтобы найти параметры отраженной волны. Определив отраженную волну в движущейся координатной системе, вновь вернуться в лабораторную систему координат, воспользовавшись формулами преобразования (V. 28)——(V. 31) напряженностей электрического и магнитного полей отраженной волны.~cos а~cos а444.444.11с-p7с-p7))445.445./民/民с к]_上т，с к]_上т，
торов 从! = (kJ / 学)и 啞=(к；,，^~) через их компоненты в покоящейся координатной системе. В результате получаем два алгебраических уравнения относительно искомых величин. Решение послед Е{ их отвечает на поставленные вопросы
торов 从! = (kJ / 学)и 啞=(к；,，^~) через их компоненты в покоящейся координатной системе. В результате получаем два алгебраических уравнения относительно искомых величин. Решение послед Е{ их отвечает на поставленные вопросы
COS 62
COS 62
®2
где обозначено 0 = V7c.
®2
где обозначено 0 = V7c.
20 + (1 + 俨)cos 仇
1 + 俨+ 20 cos Е，
1 + 俨 + 20 cos 仇
01П=^
20 + (1 + 俨)cos 仇
1 + 俨+ 20 cos Е，
1 + 俨 + 20 cos 仇
01П=^
443.切=и;。(^
443.切=и;。(^
+卩
+卩
)-
)-
酬V
酬V
Указание. Перейти в систему координат, связанную с движущимся зеркалом, и воспользоваться законом отражения электромагнитной волны от неподвижной плоской границы, чтобы найти параметры отраженной волны. Определив отраженную волну в движущейся координатной системе, вновь вернуться в лабораторную систему координат, воспользовавшись формулами преобразования (V. 28)——(V. 31) напряженностей электрического и магнитного полей отраженной волны.
Указание. Перейти в систему координат, связанную с движущимся зеркалом, и воспользоваться законом отражения электромагнитной волны от неподвижной плоской границы, чтобы найти параметры отраженной волны. Определив отраженную волну в движущейся координатной системе, вновь вернуться в лабораторную систему координат, воспользовавшись формулами преобразования (V. 28)——(V. 31) напряженностей электрического и магнитного полей отраженной волны.
~cos а
~cos а
444.
444.
1
1
с
-p7
с
-p7
)
)
445.
445.
/民
/民
с к
]_上т，
с к
]_上т，
Излучение быстро движущегося заряда
446・446・А(г,/)=
446・
446・
=3(V +(nv)-у +(叫)у + 2 (*) (nv) -р- +
+ (nre) (nv)今 + (nv)2 М + 4" ("「а)?
H=l(AXn).
Здесь радиус-вектор ге и скорость v заряда берутся в момент времени f — г [с, где г — расстояние от фиксированной внутренней точки области движения заряда до точки наблюдения (п = г/г).
Ответ представлен формулами (V. 44) и (V. 45).
Указание. Поскольку потенциалы Лиенара — Вихерта завн・ сят явно от запаздывающего момента времени Г, необходимо заранее вычислить производные от этой величины по переменным х, у, 2 и /. Для этого дифференцируют обе части равенства R(У) = с(t——tr) по времени наблюдения /:
dR "—dR "—⑴⑴
dR "—
dR "—
⑴
⑴
Величину dR/dtf определяют дифференцированием тождества R?= Ra с учетом соотношения GR(f')/dU = —v(f'), что дает
⑵⑵GR
⑵
⑵
乔
Подставляя найденное выражение (2) в формулу (1), получают полезное равенство
Аналогично вычисляют grad f' путем дифференцирования обеих частей равенства R(f') = c(f — f) по координатам %, у м z точки наблюдения
grad R (，)= — с grad，.(4)
С другой стороны, рассматривая величину R(/‘) как расстояние между двумя точками /?(/') = [г ——Ге(/')|, можно написать
grad R (Г)=夺 + 票 grad 匕(6)
Приравнивая правые части равенств (4) и (5), находят еще одно необходимое соотношение
…⑹
Полученные формулы (3) и (6) значительно облегчают вычисление напряженностей полей (V. 44) и (V. 45).
Ответ представлен формулами (V. 48) и (V. 49).
/ = fi—Tтхт* В ультрарелятивистском случае
(Т)
При М《с2
『察(1+晉斗)，
где квадрат ускорения v2 также содержит малые слагаемые порядка 呷忆 Например, в случае движения заряда е в однородном постоянно^ электрическом поле с напряженностью Е последняя формула принимает вид
,2决£2 /6 и2 Ч
Энергия частицы тратится на излучение —d甘n = d歩нзл・ 11рн помощи формул (V. 48) и (V. 51) находим энергетические по* тери частицы за время ”：
£1 — х2
Интеграл следует дважды брать по частям, каждый раз дифференцируя числитель подынтегрального выражения,
Используя уравнение движения (V. 17) и формулы (V 16) и (V. 18), определяем квадрат ускорения частицы, скорость которой параллельна вектору Е:
После этого скорость потери энергии частицей на излучение, вычисленная на основе формул (V. 48) и (V. 51), принимает вид
I dtf丿из】I dtf丿из】Ze®3ahVZe®3ahV
I dtf丿из】
I dtf丿из】
Ze®
3ahV
Ze®
3ahV
что совпадает с выражением, полученным из другой формулы (V 58) для заряженной частицы, движущейся параллельно напряженности электрического поля.
Йнтенсивность излучения
,2е4£2—3(vE)2
—Зт2Gз' 万 ，
где v = v(f)——скорость электрона в момент времени 厶 Выбираем в качестве осей X и У направления векторов Е и v(0). Тогда
一；标(才)KF1 +"J
где py — проекция импульса электрона на направление его начальной скорости v(0).
Поскольку излученная энергия мала по сравнению с кинетиче* ской, обратное влияние поля излучения на движение электрона можно не учитывать. Согласно уравнению движения (V. 17) величина ру в этом случае сохраняет постоянное значение, определяемое начальным условием, поэтому
(т/)2 + ?% =霓.
Следовательно, интенсивность излучения электрона постоянна, а излученная энергия пропорциональна времени;
2小e2蜀2小e2蜀3m4c73m4c7452.452.4 J e 户 u「£Зтс? 7 c2 —龟4 J e 户 u「£Зтс? 7 c2 —龟
2小e2蜀
2小e2蜀
3m4c7
3m4c7
452.
452.
4 J e 户 u「£Зтс? 7 c2 —龟
4 J e 户 u「£Зтс? 7 c2 —龟
а)鋁изл на)鋁изл н几济标"几济标"6)鋁изл6)鋁излne^v^H3"北4 (1 一子)2ne^v^H3"北4 (1 一子)2
а)鋁изл н
а)鋁изл н
几济标"
几济标"
6)鋁изл
6)鋁изл
ne^v^H
3"北4 (1 一子)2
ne^v^H
3"北4 (1 一子)2
453・爲on =荒2& (”(e屮十若о)?—(夕渉戸一сро),
где введены обозначения:
454.
где предположено, что излученная энергия пренебрежимо мала по сравнению с кинетической энергией частицы.
455. Энергия ^ электрона расходуется на излучение, поэтому
-d答-d答2a〃23/И2c§2a〃23/И2c§dt.dt.⑴⑴
-d答
-d答
2a〃2
3/И2c§
2a〃2
3/И2c§
dt.
dt.
⑴
⑴
где и ——абсолютная величина скорости электрона. При помощи формулы (V. 12) выразим скорость через энергию 济.После этого сОот- нсшение (1) запишется как
⑵⑵d 君=2d〃2
⑵
⑵
(me2)2 -疗2 - 3〃/e7
Интегрируя получаемИнтегрируя получаемобе части равенства (2) с учетом начальных условий
Интегрируя получаем
Интегрируя получаем
Ar thAr thArth-Д-Arth-Д-2М〃 2f3m3c5
Ar th
Ar th
Arth-Д-
Arth-Д-
Воспользуемся известной формулой тригонометрии
th (а — р)=th (а — р)=th а — lh 01 — th а th 0th а — lh 01 — th а th 0
th (а — р)=
th (а — р)=
th а — lh 0
1 — th а th 0
th а — lh 0
1 — th а th 0
и представим энергию как явную функцию времени
2 % 2е4H2t产+…h丽/me，—2P4 〃2f
/ЛС2 + 君仙 = U 3出e5
В случае малой начальной скорости и；《с? имеем
4dH"Зт^с54dH"Зт^с5
4dH"
Зт^с5
4dH"
Зт^с5
456・ / = —~~( е 士 一 I , где знаки + и — отвечают двум \ г /
направлениям дипольного момента ——в сторону тока и от него.
Полная излученная энергия
醫нзл醫нзл
醫нзл
醫нзл
где Е = ―~——,г — радиус-вектор электрона и v « v0.
Пусть траектория электрона параллельна оси X и пересекает ось У в момент времени / = 0 (см. рис. 10). В этом случае
где г2 = Z2 + X2. Первый интеграл выделяется непосредственно
л
而.
⑴
Второй интеграл, содержащий в знаменателе подынтегрального выражения г в более высокой степени, вычисляется путем дифференцирования обеих частей равенства (1) по параметру / Окончательно получаем
л Z2e6 4 c° — %
""3"12 川/3%庐 / -若.
a)疗3=7序户%“/—若
q席 3冗 居/2 厶 3苗)
8 川%№ (c‘一吟)(8 c丿
л/15\
459.
460.а)爲зл一 4川压3(,2-%，
64 川瓦3 (с2—斤
_ 4Ее"喏
461.m2"5卜2—。犷
“。с 中4冗e4/20
462* 甘нзл= 3Mc"(c2-喲
12dE2t
12jHjf
—I—° z 7“ , где Н I —составляющая вектора Н,
君 冒0, 3m4c7，丄l
перпендикулярная скорости ультрарелятивистской частицы
При помощи формул (V 12) и (V. 16) —(V. 18) получаем
F р •+}(vX(vXi))
m — tn —(] 标)/2，
(2)(2)m 一 те - ([_ ^2 ^ /2m 一 те - ([_ ^2 ^ /2vv vF
(2)
(2)
m 一 те - ([_ ^2 ^ /2
m 一 те - ([_ ^2 ^ /2
Составляем разность квадратов величин (1) и (2). После возведения в квадрат суммы (1) делаем циклическую перестановку сомножителей, а также пользуемся ортогональностью векторов v и V X V. Дальнейшее преобразование полученной общей суммы врнво Дит к результату
! г ! ] V2 - р-(V X V)2
Окончательно
叫一 2е2 5 - R(V X V)2
Это соотношение можно также получить иначе, выразив предварительно правую часть исходного равенства (V. 58) через квадрат четырехмерного ускорения (V. 21)
d^ п262c 2
df 3 吗.
Раскрывая квадрат 4-ускорения, вновь приходим к искомому соотношению
d鋁з =丄In £±A — ds.
Разложим экспоненту в ряд и сохраним первые три слагаемые
пге
Геб ° = %—「е(П「е) + 「е 8%尸・
Воспользуемся соотношением
2「е(П1*е) = (ге X Ге) X П + -^「е(3) и перепишем полученную сумму в новых обозначениях
пге.
ej 必，=d —心(к X п)—鴇 6 + ^ (号)(пге)2 v, где Da = Z>ap Лр, |i ——магнитный момент, a Da^ — тензор квадрупольного момента заряда.
Будем считать, что для компонент Фурье f(s) и /®) каждой рассматриваемой здесь функции f(f) и ее производной /(/) справедливо соотношение
—is/ (о) = / (s)・
Тогда исходная формула (V. 60) в заданном приближении примет вид
d謬п® = 4^Гр(°)Хп + (Н(0)Хп)Хп +
+ 春 5 ((») X 口 + Q ®) X n『dQ 加
где ради краткости обозначено
Q ®)= 备,(一心尸gw2 ve心‘或.
После интегрирования по углам находим спектральный состав излучения с учетом членов порядка и2/с2:
(2|d(®)p , 2|R(g)F瓦в®)|2 ,
9 一 tЗлe3 ^ Здg3 + 180П虑 +
Г-
+ 彥 *(8)\『‘啾祭(2Г*一(Г~)厶)或+
+ &* (s) , J"崇(2r^v - (rev) rj df I 卜①.
Если проинтегрировать по частоте шг то получим полную излученную энергию
/成，
где интенсивность излучения имеет вид
强鵲+ "Л声'而呪v — (H) г J强鵲+ "Л声'而呪v — (H) г J
强鵲+ "Л声'而呪v — (H) г J
强鵲+ "Л声'而呪v — (H) г J
В общей формуле (V. 64) положим
1> (f) = 1га cos 5/, nrе (/) = a cos 8 cos 恤厶 o0f =吶
где 9 — угол между осью Z и направлением излучения. После этого средняя по времени интенсивность излучения в элемент телесное о угла на л-й гармонике запишется:
8kl(pd(p sin2 0 №.8kl(pd(p sin2 0 №.j Г / ^Пф—-^ cos 8 cos p)
8kl(pd(p sin2 0 №.
8kl(pd(p sin2 0 №.
行r ‘
-я
Возникший интеграл представим в виде суммы двух
圭）1吁2%由迎0=
е" S①тсозср)»(〃 + * sin ф) d® —
2冗冗2冗冗/（叫tcos学）d（p./（叫tcos学）d（p.
2冗冗
2冗冗
/（叫tcos学）d（p.
/（叫tcos学）d（p.
Первый интеграл равен нулю в силу периодичности подынтегральной функции с периодом 2л, а второй выражается через функцию Бесселя целочисленного порядка л:
〃⑺=与戶 yi{n^x^d^
Окончательно находим
rf/n=^tg2e<^cose)rfQ.
Выберем оси X н У в плоскости окружности, а ось Z совместим с осью вращения. Компоненты радиус-вектора заряда и единичного вектора направления излучения запишутся
% = R cos со。/, ye «1 = sin 0 cos 屮， 〃2
R sin 0О^» Ne = О, sin 8 sin 屮，〃3 = cose.
11ЛпОсоэсрЛпОсоэсрin 6 cos фin 6 cos фsin <р d(psin <р d(p
1
1
ЛпОсоэср
ЛпОсоэср
in 6 cos ф
in 6 cos ф
sin <р d(p
sin <р d(p
В результате усреднения по времени интенсивность излучения в элемент телесного угла в данной задаче становится аксиально-сим* метричной и не зависящей от угла г|). Поэтому для упрощения возникающих соотношений с самого начала положим 屮=0 в исходной формуле (V. 64). Принимая во внимание
n X ге (/) = — Rs。(lx cos 0 cos ф + \у cos 0 sin ф — 12 sin 9 cos <р),иге (/) = 7? sin 0 cos ф, <р = соо^>
получаем для средней по времени интенсивности излучения в элемент телесного угла на n-й гармонике следующее выражение:
Воспользуемся интегральным представлением функции Бесселя целочисленного порядка п. Тогда первый из интегралов правой части равенства (1) выразится через производную от функции Бесселя, а второй — через саму функцию Бесселя, как и в предыдущей задаче. После простых вычислений находим
织=磊回吟оё)+*貝争gm 470.
=噤鹏［ei/„ 弊 cose)+ &/“ (芈 cos 讨 g
где 0 — угол между осью Z и направлением излучения.
471.鼠。= 4(^~yg.
"I”畳喈)=•
474.取2 = ^ (寄 j ~
47耳＜Ткр =式窘У$
ПРИЛОЖЕНИЯ
Пр)иложениё 1
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
Скалярное и векторное произведения векторов:
АВ = ЛаВа = ЛВсоз(АВ),(П1.1)
I L к
ахв=儿儿 4 =(4& — 4в/1* +
В* By В2
+ (Л2вх 一 АХВ^\У + {АХВУ 一 AyBx)l2i (Г!L2)
|AXB| = ^Bsin(AB).(П1.3)
Смешанное и двойное векторное произведения векторов: 4&^г
А(ВХС)= ВхВуВг ,(П1.4)
с*с〃G
А х (в х С) = В (АС) 一 С (АВ). (II 1.5)
Дифференциальный оператор набла
i言乜"击 (ni.6)
Оператор Лапласа (лапласиан)
Градиент функции ф：
gradcp曰Vq)= l*需+ 1?需+ "需・(口1.8)
287
Интегральные соотношения, содержащие градиент функции:
§(pdS=\grad(pdy,(Ш.9)
Sу
где S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем
匕
§(pdl= \ (n X grad qp) dS, (ШЛО)
где S — произвольная поверхность, натянутая на замкнутый контур L. Нормаль п к этой поверхности обращена в ту сторону, куда ввинчивается правый винт при вращении в направлении обхода контура L.
Производная от скалярной функции ф в направлении орта п
黑= ngradqp・(П1.11)
Производная от вектора В в направлении орта п
黑= (ngrad)Bw(W)B・(Ш.12)
Производная от вектора В в направлении вектора А, умноженная на модуль |А| этого вектора,
(Agrad)B = (AV)B = 4 要+ 乙患+ 4 需.(П1.13)
Дивергенция вектора А:
divA^VA = ^ + ^ + ^-.(П1.14)
Теорема Гаусса — Остроградского
§AdS=\divAd 匕(П1.15)
sv
где S—замкнутая поверхность, ограничивающая объем У.
Ротор вектора А:
k
rot А = VX А =
石
a
=爲
一陶㈠
4
“9
4
+（等今+『替儿…）
Теорема Стокса
§Adl = , rotAdS, LS§Adl = , rotAdS, LS(П1.17)(П1.17)
§Adl = , rotAdS, LS
§Adl = , rotAdS, LS
(П1.17)
(П1.17)
где S — произвольная поверхность, натянутая на замкнутый контур L, Нормаль к этой поверхности обращена в ту сторону, куда ввинчивается правый винт при вращении в направлении обхода контура L.
Часто встречающиеся интегральные соотношения:
§(nXA)dS=\ rot Ad匕(П1.18)
sV
§ grad 屮 dS = \ V2(p dV,(П1.19)
у
в которых S ——замкнутая поверхность, ограничивающая объем V, а п ——внешняя нормаль к этой поверхности.
Формулы Грина
§(р grad 冲 dS =，(<pV2屮 + grad qp grad 屮)dV\ (П1.20)§(р grad 冲 dS =，(<pV2屮 + grad qp grad 屮)dV\ (П1.20)ssvv
§(р grad 冲 dS =，(<pV2屮 + grad qp grad 屮)dV\ (П1.20)
§(р grad 冲 dS =，(<pV2屮 + grad qp grad 屮)dV\ (П1.20)
s
s
v
v
$ (cpV^ 一 ф?2Ф)川=§ (屮竊 一 2 謂)dS, (П1.21) Vs
где S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем V, а п — внешняя нормаль к этой поверхности.
Ротор градиента
rot gradq)= 0.(П1.22)
Ротор от ротора
rot rot А = grad div А — V2A. (П1.23) Дивергенция ротора
div rot А = 0.(П1.24)
Дивергенция градиента
div gradqp —V2qp.(П1.25)
10 А И Алексеев289
Производные от произведений:
grad @①)=屮 grad ① + ① grad(p,(П1.26)
grad (AB) = (A grad) В + (B grad) A +
+ AXrotB + BXrotA, (П1.27)
div(q)A) =(pdiv A + A grad qp,(П1.28)
div (A X В) = В rot A ~ A rot В,(П1.29)
rot (q)A) = <p rot A + grad qp X А,(П1.30)
rot (A X В) = (B grad) A — (A grad) В —
— BdivA +AdivB. (П1.31)
Производные от некоторых сложных функций:
grad I г — r‘ I = — grad' I г — r‘ I =丨；二；“ ,(П 1.32)
grad 尸(哂=薔 grad 屮，(П1.33)
div A (中)=器 grad 屮，(П1.34)
rot A @) = gr ad ① X 器，(П1.35)
(A grad) В (<p) = (A grad 屮)黑.(П1.36)
Выражения градиента, дивергенции, ротора и оператора Лапласа в цилиндрической системе координат:
% = rcos@, у = г sin 2，2 = £,
grad ф =絹,+ ；需/碧 J,(П1.37)
divA = ；^(r4)+^ 醬 + 争，(П1.38) m=G警-明l+(粤-争九+
十 G*九，(П1.39)
▽州=察+ ；黑+ 3黑+(e■4。)
W 尸 &)=需 + ；雾=；^(号)，(MD
▼A = grad div A — rot rot A =
+(W& 7^■ + 尸+ V"zlz・ (П1.42)
Выражения градиента, дивергенции, ротора и оператора Лапласа в сферической системе координат:
% = г sin 8 cos 屮，у = r sin0sini|), z — r cos О,
gradL需 1,+ ；需 1。+鳥需 1屮(n1.43)
・10c1 д,、1
div А =戸牙(厂 4) + ует^о (sin 84) + тет 而，
(П1Л4)
rot A = yio 隅 ®n 9仆)-需]I, +
+ 7 [+ 窘 _^(5]ь十；傍(4)- 端^儿,
(П1.45)
▽中 dr2 r dr r2 sin о ^е k п ое 丿十尸 sin2 е。卡'
(Ш.46)
w"3窘十^£=4^(产第)=4备(吓)，
(Ш.47)
WA = grad div A — rot rot A =
={ "4 —戸[л + -^0--^0 (sin 9Л0) + "^ё ~^]卜г +
+ №"е +* (醬-Т^Т -^Т^)] % +
十 К % + 戸焉(嘗十 ctg 0 芻一為ё)] *Ф- (П1.48)
Приложение 2
МАТРИЦЫ И ТЕНЗОРЫ
Совокупность чисел “, лицы,Совокупность чисел “, лицы,представленных в виде та6=представленных в виде та6=012〃22〃32012〃22〃32=d=d(П2.1)(П2.1)
Совокупность чисел “, лицы,
Совокупность чисел “, лицы,
представленных в виде та6=
представленных в виде та6=
012
〃22
〃32
012
〃22
〃32
=d
=d
(П2.1)
(П2.1)
называется матрицей й, а сами числа аа^ ——матричными элементами. Если число матричных элементов в каждой строке и столбце одинаково, она называется квадратной.
При сложении матриц 6 и 万 складываются их одноименные матричные элементы, так что матрица с суммы
6 = а + 66 = а + 6(П2.2)
6 = а + 6
6 = а + 6
имеет следующие матричные элементы:
С(хв = "ар + ^ар，(П2.3)
Произведением G6 матриц 6 и b называется такая матрица с, матричные элементы которой определяются как
%0 ^^ "ауАу0・(П2»4)
Обычно 6В =#= 66. Если 66 = Ь@, то матрицы называются коммутирующими.
Множитель с, общий у всех матричных элементов,
можно вынести
за знак матрицы
/ gi
с%
%2
1仅21
СО22
С°23 ) = с( 〃21
〃22
做3
(П2.5)
\ С031
С032
e033 /\a31
°32
〃зз丿
Матричные элементы единичной
матрицы
обозначаются символом Кронекера
f 1 при а = 0,
6aL」(П2.7)
叩(0 при a=# р.
Исходная матрица а не меняется при умножении на единичную &T—7d — d.
292
Если определитель
(П2.8)(П2.8)^iiа【2的3
(П2.8)
(П2.8)
a21a22a23= |d|
a31"32a33
матрицы d отличен от нуля, то существует обратная матрица d~l такая, что
6一/=抄1 =/,(n2.9)
а/%в = %屮盡=^аз*(П2.10)
Матричные элементы обратной матрицы 6一〔 имеют вид
喝=鲁，(口 2.11)
где 40a — алгебраическое дополнение (адъюнкта) элемента 00а определителя матрицы (Г12.8).
Матрица dT, которая получается из исходной & путем замены строк на столбцы, называется транспонированной
吟产”а・(П2.12)
Симметричная § и антисимметричная 6 матрицы обладают свойствами:
5а(з ~ spa>(П2.13)
ач = — а^.(П2.14)
Произвольную квадратную матрицу 6 можно разложить на сумму симметричной и антисимметричной
6 = }(方 + 方В + } (6 —尹) (П2.15) или иначе
匕a0 = 2(%6 + ь能)+ 万(九3 - '8(х)。(n2.16)
00 \〃220 I .0 йзз /00 \〃220 I .0 йзз /Диагональная матрица определяется выражением
00 \
〃220 I .
0 йзз /
00 \
〃220 I .
0 йзз /
(П2.17)
Компоненты 打，х2 и 芻 радиус-вектора в трехмерном евклидовом пространстве при переходе из координатной системы XYZ в повернутую систему координат Х'У2 преобразуются по формуле
% = %产6 (П2.18)
где Хр 找 н — компоненты того же радиус-вектора в повернутой системе координат, а коэффициенты 做① представляют собой косинусы углов между р-й осью исходной и а-й осью повернутой декартовых систем координат. Совокупность коэффициентов。&6 составляет матрицу линейного преобразования координат при переходе из исходной в повернутую координатную систему. Обратный переход осуществляется при помощи обратной матрицы (П2.11).
Линейное преобразование координат вида (П2.18) называется ортогональным, если коэффициенты а&8 удовлетворяют условию а^З — Oga・ Примером линейного орто- гонального преобразования координат служит переход из одной декартовой системы координат в любую повернутую.
Вектором Л р называется совокупность трех величин Ль Л2 и Л3, которые при ортогональном преобразовании координат преобразуются как компоненты радиус-вектора *)
4 = %в4， (П2.19)
где три величины А(, 4$ и Лз представляют собой компоненты того же вектора в штрихованной системе координат.
Тензором второго ранга называется совокупность девяти величин Туз，которые при ортогональном преобразовании координат преобразуются как произведение компонент радиус-вектора
% =%屮的72 (П2.20) где 脸一компоненты того же тензора в штрихованной координатной системе.
Аналогично определяется тензор n-го ранга, у которого величины Табу... имеют п индексов. В частности, для п = 3 имеем
7心=“a卽旬储m (П2.21)
После введения понятия тензора обычный вектор (П2.19) можно рассматривать как тензор первого ранга.
Величина, которая не меняет своего численного значения при поворотах координатной системы, называется скаляром или тензором нулевого ранга. Примером скаляра служит скалярное произведение векторов.
Наряду с поворотом координатной системы существует еще одно ортогональное преобразование координат, заключающееся в одновременном изменении знака всех координат (инверсия). Это есть не что иное, как переход в левую координатную систему, все оси которой направлены в противоположную сторону по отношению к исходной.
Если скаляр и вектор меняют знак при инверсии, то они называются соответственно псевдоскаляром и полярным вектором, а при сохранении знака — истинным скаляром и аксиальным вектором.
Истинный тензор n-го ранга при инверсии умножается на (——1)п, а псевдотензор умножается на (—1)п+1.
Все сказанное о сложении и умножении матриц (П2.2) — (П2.11) относится также к тензорам второго ранга. Остаются в силе и определения (П2.13)——(П2.17) для симметричного, антисимметричного и диагонального тензоров.
Тензор 7^8丁£丫，полученный при скалярном умножении симметричного тензора 唸 на антисимметричный Tpv, имеет важное свойство
Г«Л = 0. (П2.22)
Сумма диагональных компонент %а тензора 7\в называется его следом. След тензора является скаляром. И вообще при свертывании тензора TapY6... по любым двум его индексам, например TactY6..., получается новый тензор, ранг которого на две единицы меньше.
В результате скалярного умножения тензора 「《В на вектор 4 в получается другой вектор
凡=?53&・ (П2.23)
Совершенно антисимметричным единичным псевдо- темзором третьего ранга называется совокупность 27 величин Сабу， меняющих знак при перестановке любых двух индексов. Отличны от нуля лишь те компоненты этого тензора, у которых индексы а, |3 и у различны. При этом С12з = 1, а остальные отличные от нуля компоненты равны 1 или ——1, смотря по тому, четно или нечетно
число перестановок, которые приводят данную последовательность чисел ару к последовательности 123. Тензор 2aВу，как и единичный тензор 6ар, выделены среди других тем, что имеют один и тот же вид во всех декартовых системах координат.
При помощи тензора &自丫 векторное произведение векторов можно записать в виде
(а X Ь)。= еа^Ьу.(П2.24)
Полезны также следующие формулы:
^a^Y^apY 6,
0a0YёA6Y n 26矶，，0a0YёA6Y n 26矶，，^a^y^Xuv = зой%以一6叩3佻，^a^y^Xuv = зой%以一6叩3佻，
0a0YёA6Y n 26矶，，
0a0YёA6Y n 26矶，，
^a^y^Xuv = зой%以一6叩3佻，
^a^y^Xuv = зой%以一6叩3佻，
где правая часть последнего равенства представляет со* бой определитель, составленный из символов Кронекера (П2.7),
Приложение 3
6 ФУНКЦИЯ
j 06(%_%o) = j 0cj 06(%_%o) = j 0cпри %，х0, При % = %о；при %，х0, При % = %о；(П3.1)(П3.2)(П3.1)(П3.2)6-функцией (дельта-функцией) называется такая функция 5(% —尤°), которая равна нулю всюду, кроме особой точки х = %。，где она обращается в бесконечность так, что интеграл от этой функции по произвольному промежутку, содержащему внутри себя точку х0, равен единице:
j 0
6(%_%o) = j 0c
j 0
6(%_%o) = j 0c
при %，х0, При % = %о；
при %，х0, При % = %о；
(П3.1)
(П3.2)
(П3.1)
(П3.2)
ь
\ 6 (% — %о) = 1 при a V %。V 匕.
Важнейшие свойства 6-функции выражаются равен ствами:
f (%) 6 (% — %о) = f (%о) 6 (% —尤о),(П3.4)
или а <х2< Ь,
(П3.5)
6(—%) = 6 (%),
(П3.6)
хб (%) = 0,
(П3.7)
1 х ] б (х2 — е) = 6 (х) при е-> + 0,
(П3.8)
0(ох) =击 6(%),
(П3.9)
6 停—出)=-J_ в (% — а) + 6(% + а)],
(П3.10)
° （f（%））— £ 1（小（％）、16（%%）
(П3.11)
где величины хп (п = 1, 2, ..., Л) суть простые корни уравнения f(%)=0, в котором f(%) является однозначной дифференцируемой функцией. В формулах (ПЗ.З) и (П3.4) функция /(%) непрерывна. Приведенные соотношения (П3.4) — (П3.11) следует понимать в том смысле, что интеграл от обеих частей написанных равенств имеет одно и то же значение.
Поскольку 5(%) является четной функцией, то из соотношений (П3.2) и (ПЗ.З) при а = —b V 0 и %。= 0 следуют равенства
J 6 (х) dx = у,(П3.12)
о
^f(x)d(x)=^f^(П3.13)
о
Вычисление интеграла, содержащего производную —-б(х — %。) от 6-функции, проводится интегрированием
по частям:
Va)負 6(-%厶=—(陪)一，(口3.14)
где a V %。V b. Важный частный случай этой формулы иногда записывают так:
%嗡l=一6(灯・(П3.15)
Аналогично вычисляется интеграл, содержащий производные высших порядков от 6-функции,
,f(%)為^"6(工一%)点=(-D"(4^")• (П3.16)
Существуют различные аналитические представления 6-функции. Наиболее распространенные из них имеют следующий вид:
°")= ± "厶尢^= ^汽 (П3.17)
& /、1 т. sin2 Lx
6(х)= hm2 ，
冗厶-> О0厶%
(П3.18)
6(%) = Lim —~
(П3.19)
6 (x) == - у— lim 卩ef з. V n |1 -> Оо
(П3.20)
Если 6-функции (П3.17) — (П3.20) стоят под знаком интеграла, то предельный переход осуществляется после взятия этого интеграла.
6-функцию можно также получить путем дифференцирования ступенчатой функции
П (% - % = {
1
0
При при
Х> %0, % < т,
(П3.21)
а именно:
6 (х —凡)=
d dx
п(х —%0)・
(П3.22)
от разрывной функцииот разрывной функцииВ связи с этим производную
от разрывной функции
от разрывной функции
(П3.23)(П3.23)f . Г /1 W при % V 尤О,'“ —I % (%) при 尤 > 尤о,
(П3.23)
(П3.23)
%(%()) — f 1 (%о) ~ ”
часто записывают в виде
df “)dxdf “)dx= Л6(Х — %。)+= Л6(Х — %。)+d3 (%)dxd% (%)dxd3 (%)dxd% (%)dxпри X < x0,при % > x0.при X < x0,при % > x0.(П3.24)(П3.24)
df “)
dx
df “)
dx
= Л6(Х — %。)+
= Л6(Х — %。)+
d3 (%)
dx
d% (%)
dx
d3 (%)
dx
d% (%)
dx
при X < x0,
при % > x0.
при X < x0,
при % > x0.
(П3.24)
(П3.24)
nLx2nLx2
nLx2
nLx2
Наглядное представление о б-функции и ее основном
свойстве (ПЗ.З) можно получить, рассматривая, напри- мер, график функции
при большом значении параметра L》2л (рис. 28). Дей- ствительно, в этом случае максимум в точке % = 0 является главным. Его высота LE а ширина 2n/L. По обе стороны от главного максимума функция -^厶2 …имеет бесконечный ряд побочных максимумов с быстро убывающей высотой. Они разделены между собой минимумами в точках х =受(〃—
=±1, ±2, ...). Если пара
метр L стремится к бесконечности, то главный максимум беспредельно возрастает и сужается, в то время как побочные максимумы неограниченно уменьшаются. В ре- gjjj2厶尤
зультате функция -^工卩 - при L -> оо стремится к пре
дельному выражению (П3.1).
Для произвольной непрерывной функции f(x) при достаточно большом значении параметра L основная область интегрирования в интеграле
ь
\ [⑺養｝; dx при а < 0 < & а
совпадает с шириной главного максимума функции sin? Lx
В подынтегральном выражении непрерывную функцию f (х) в области главного максимума можно заменить ее значением в точке х = 0. Такая замена тем точнее, чем больше параметр L и, следовательно, выше и уже главный максимум. Постоянный множитель f(0) выносится за знак интеграла, а оставшийся интеграл в пределе L -> оо равен единице. Отсюда получаем основное свойство 6-функции (ПЗ.З).
Трехмерная 6-функция определяется соотношением
6 (г — г。) = 6 (% — %。) 6 (у — %) 6 (а — %). (П3.25)
Основное свойство этой функции выражается равенством
Jf(r)6(r~r0)dV = f(r0),(П3.26)
у
где точка с радиус-вектором г0 лежит внутри объема интегрирования V, в котором задана непрерывная функция f(г). Если указанная точка лежит вне объема V, то интеграл (П3.26) равен нулю.
Трехмерную 6-функцию удобно представить в виде трехкратного интеграла в неограниченном к-простран- стве
6(r)= ^\e'kdk・(П3.27)
Трехмерная б-функция появляется, например, в результате следующею дифференцирования по компонентам радиус-вектора г:
V?石」7T = - 4m (r 一 rz).(П3.28)
Приложение 4
ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА
Полиномы Лежандра Р^ (尤)являются решениями дифференциального уравнения (см. книги [7—9])
-^ [(1 ~ X2) ^] + n(п + 1) Рл = 0,(П4.1)
где w х 1 и Л- ~- 0, 1} 2, • • •
3：0
Несколько первых полиномов с индексами 九=0, 1, 2 и 3 имеют вид
尸о(%)=1, Р(%) = м 2(%) =扌(3%2—1),
1(П4.2)
Р3(» =十(5%3 -3%).
Полином Лежандра 九-й степени может быть вычислен по формуле
Рп (%) = "5^р к — 1)」・(П4.3)
Полиномы Лежандра обладают следующими свойствами:
Рп^^ = <-^пРМ(П4.4)
匕⑴=1,(П4.5)
2^(0) = О,(П4.6)
О仆 (一1沖倖)！、
AM。) = • 2 踹而产—'(П47)
\ Рп (%) Pm W dx = ^7T 6饱，(П4.8)
〈Mi (x)厶=一怎式停"，(П4.9)
J 丿 22E+1川但+ 1)|''
\ 2々(%) d% = 6々0.(n4.10)
о
Если индексы пит одновременно четны или нечетны, то выполняется равенство
\ Рп (%) Рт (%) dx = 2HVr 6做・(П4.11)
о
Для полиномов справедливы рекуррентные формулы: (п + 1) Pn (%) — (2п + 1) хРп (х) + пРп^ (х) = 0, (П4.12) (%2 — 1) Р； (х) = пхРп (%) — nPn^i (х),(П4.13)
Pn+1 W 一 尤爲(%)=(拉 + 1) Рп (х),(П4.14)
301
где штрих обозначает производную от функции РпМ по аргументу %.
На отрезке [—1, 1] полиномы Лежандра образуют полную систему ортогональных функций. Поэтому произвольную дважды дифференцируемую функцию f(x), заданную на этом отрезке, можно разложить в ряд
(П4.15)(П4.16)(П4.15)(П4.16)f(%)= Хспрп(^
(П4.15)
(П4.16)
(П4.15)
(П4.16)
гдегде〃=о
где
где
& =曳拦 \f(x)Pn(x)dx.
Часто в качестве аргумента полиномов Лежандра берут х = cos 0. В этом случае в интегралах (П4.8)—— (П4.11) и (П4.16) следует сделать замену переменной интегрирования, а уравнение Лежандра (П4.1) принимает вид
击為(sin е 也，炉))+ 〃(〃 +1)4 (cos e)= o.
(П4.17)
Сравнивая левую часть (П4.17) с оператором Лапласа в сферических координатах (П1.46), получаем при г =И= 0 полезные соотношения
▼р〃 (cos 0)= — 九,扌丄)-Pn (cos 0),(П4.18)
▼ (JP, (cos 9)) = 0, v2(Z^^l)=0・ (wig)
Отсюда следует, что решением уравнения Лапласа V2(p = 0 является также сумма полиномов Лежандра с произвольными коэффициентами ап и 6П:
屮=S ^пГп + bnr-n^1) Рп (cos 6). (П4.20) 〃=о
Приложение 5
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Сферические функции У/ш(0, ф) определяются формулами *)
匕加(4 2)=
=(_ 1)屮 N”然需需М (cosi, (П5.1)
где —2&т&/ и / = 0, 1, 2, ..., a P7(cos6) — присоединенные полиномы Лежандра
尸广(cos 0) = sin- е(П5.2)
Выпишем первые девять сферических функций:
Y^~^^t ГЮ = ^д/^ cose,
匕,土尸干 i"Msi®±?(П5.3)
丫20 = 7-j^ (1—3 cosJ 0),
%, 土尸土 д/需 cos e sin 8e士 T(П5.4)
— "寨 Sid
Сферические функции 匕必(& 屮)являются ограниченными решениями дифференциального уравнения
焉备(sine*)十(/。+ 1)一需09%。=0・ (П5.5)
Поэтому при действии оператора Лапласа в сферических координатах на функцию У/т(0, 49 последняя воспроизводится:
V」力加(0,屮)=一 -^P- Ylm (0, 2),(П5.6)
где r 片 0.
Из многочисленных свойств сферических функций отметим лишь те, которые используются в настоящем сборнике ）. Сферические функции ортогональны на поверхности сферы единичного радиуса
、匕m （仇屮）У〃т，（9, 2） dQ = 6〃，67n加，（П5.7）
где dQ = sin 9 dQ d^ — элемент телесного угла. При m = 0 сферическая функция выражается через полином Лежандра
Г^ = ? V"T- ^（cos 0）（口5・8）
и не зависит от азимутального угла 屮.К функциям 匕° приводят следующие интегральные соотношения:
2л
5 ^1т （仇 2） dw = 2лб0тГ/0,（П5.9）
о
2л
） YZ（仇 2）〃团，（仇屮）^ = 2冗薪疗 У:。九,。. （П5 10） о
Для вычисления потенциала крайне полезны следую
щие разложения по сферическим функциям:
?tьт=e £ 券^У気（9,2）九〃（%%（Г＞） （П5.11） £告磊兀®，峭匕義》）（「》， /=9 tn= — l
（П5.12）
где г, 0 и 2 — сферические координаты точки с радиус- вектором г. Штрихом отмечены аналогичные величины, относящиеся к другой точке пространства.
Приложение 6
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Цилиндрические функции Zv(^) являются решениями уравнения Бесселя
您+』* +(1-$)2 = о, (П6.1)
где 0《％&8, а V — некоторый параметр.
Ограниченное решение /v (х) уравнения (П6.1) называется функцией Бесселя v-ro порядка или цилиндрической функцией первого рода
‘V⑶=X ]?(&+ 1)(г：2 + т + 1) (ТУ (П6.2) 々=0
где r(s)——гамма-функция, которая для Re s > 0 определяется формулой
ms)=*-警”1電.(П6.3)
о
Основные свойства гамма-функции
F(s+l) = sF(s), 门 1)=1, Г(0) = оо. (П6.4)
Если п — целое, то из соотношений (П6.4) следует r(m+ 1) = n! и 门一/1)= (一1尸・8.
Второе линейно-независимое решение уравнения Бесселя обращается в бесконечность в точке 尤=0. Если параметр v не равен целому числу, то таким решением служит или функция J_v (х), или функция Неймана
Nv (%) = 4」•山門言；-‘二岂包，(n6.5)
которую называют также цилиндрической функцией второго рода.
В случае целых значений v = п, а также при v = 0 выполняется соотношение /_п(х) = (—l)n/n(x), из которого видно, что функции J-nlA и /п(х) линейно-зависимы. Поэтому при V = п или V = 0 в качестве второго
305
(П6.6)(П6.6)линейко-независимого решения уравнения Бесселя берут функцию Неймана
(П6.6)
(П6.6)
где 孔=0, 1, 2,
Для функции Бесселя целого порядка п иногда полезно использовать интегральное представление
лл
4")=备 'eiSLxsin^dgM W \eimB-%cos©d(p・ (П6.7)
В силу периодичности функций sin <р, cos ф и einf^ интегрирование в (П6.7) можно производить по любому промежутку от(р0 до фо + 2л, где(ро — произвольное вещественное число, а п = 0, 1, 2,...
В качестве решений уравнения Бесселя употребляют также цилиндрические функции третьего рода (функции Ганкеля)
川)(х) = /v (х) + 力乂 (х),(П6.8)
"宇(x)=几(x) 一 zWy (x).(П6.9)
Здесь "S)(х) и Я^ W —■ функции Ганкеля первого и второго рода ранга у. Последние часто записывают в виде интегралов
_竺 оо
"%)(х) = -£_^- \ev£ + i%ch，山，(П6.10)
9冗i оо
н^} (х) - ~ ^- je”i%ch"/, (П6.11)
в которых параметр v и переменная величина % могут принимать комплексные значения, если рассматривать аналитические продолжения данных функций в комплексную плоскость [8, 9].
Цилиндрические функции первого, второго и третьего родов линейно-независимы, так что общее решение уравнения Бесселя можно представить в виде линейной комбинации с произвольными коэффициентами любых двух из названных цилиндрических функций.
Отметим некоторые свойства цилиндрических функций:
Zvr ⑴ + Zv+1 (х) = ^ Zy ⑴，(Г16.12)
Z”r (%) - Zv+心)=2 ^^,(П6.13)
^^ = —Zi(x),(П6.14)
Jgzo(g) d^xZ^x),(П6.15)
о
где в качестве цилиндрической функции Zv (х) может быть взята любая из функций Zv (х), Nv (х), "§'(%) и /Л" (х).
Приближенные выражения цилиндрических функций при малых значениях аргумента / 1:
人⑴=而中？(口6」6)
N“(x) = —^^^f^)" при и>1, (П6.17)
n。(%)=第(1w +e)，(П6.18)
где С = 0,5772. Приближенный вид функций Ганкеля получается из формул (П6.8) и (П6.9) при помощи соотношений (П6.16) — (П6.18).
Асимптотические выражения для больших значений аргумента |%|》1:
4(%)二，^® (%—子)，'(П6.19)
乂 (%) = д/-^ sin (% —у v —今)，(П6.20) а соответствующие выражения для функций Ганкеля могут быть получены из соотношений (П6.8) и (П6.9) с учетом формул (П6.19) и (П6.20).
При решении многих физических задач приходят к дифференциальному уравнению
需+ ；黑+(М-М)У =。，(П6.21)
решение которого обычно выражают через функции Бесселя Jv(V) и Неймана Nv(Xr) аргумента х = V:
у = а」” (Хг) +。2“丫 (入 г),(П6.22)
где произвольные постоянные Ci и ，2 определяются из граничных условий к уравнению (П6.21), а параметр v может принимать и целочисленные значения.
Функцию /(г), непрерывную в промежутке (0, оо), можно разложить в интеграл Фурье — Бесселя
f (г) = \ с"〃 (九г)九 d儿(П6.23)
о
где п — любое целое число или нуль, а коэффициент с% разложения представляется интегралом
cK=\f (Н 4 (% 厂厶.(П6.24)
о
Функции Бесселя /п (Хг) и Jn (Vr) с разными значениями параметра 九 ортогональны с весом г:
\ 乙仇「) 4 (Mr) г 办=^ 6 仇一 V).(П6.25)
о•
Для выполнимости разложения Фурье ——Бесселя функция f(r) должна быть кусочно-непрерывной с конечным числом максимумов и минимумов во всяком конечном промежутке изменения аргумента г и, кроме того, должен абсолютно сходиться интеграл
(П6.26)(П6.26)'『(г) ^7dr. о
(П6.26)
(П6.26)
Приложение 7
ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ПСЕВДОЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Происшедшее событие принято характеризовать координатами х, у, z и временем f. Интервалом между двумя событиями %], у〔,之1, /1 и 尤2,勿,之2,勾 называется величина S21, квадрат которой дается выражением 嶋=巒(% 一厶)2 -(马一看)2 一 (%_执)2一 (电_2炉(n7.1)
Согласно основным постулатам теории относительности интервал между двумя одними и теми же событиями имеет один и тот же вид и численное значение во всех инерциальных системах отсчета. Другими словами, квадратичная форма (П7.1) является инвариантом, т. е. не зависит от выбора инерциальной системы отсчета.
В связи с этим удобно объединить обычное трехмерное пространство и время в одно четырехмерное пространство, каждая точка которого характеризуется 4- радиус-вектором 炉 с компонентами
%° = ", х1 =х, 6 = у, 炉匸之. (П7.2)
Квадрат расстояния между двумя точками в этом четырехмерном пространстве определяется квадратичной формой (П7.1), а квадрат 4-радиус-вектора есть
伊)2 - (R)2 - (%2)2 -(X3)2 = gi»/,(n7.3)
где gik ——метрический тензор
gik^ggik^gikikО-1 о оО-1 о оо о-1 оо о-1 о(П7.4)(П7.4)
gik^g
gik^g
ik
ik
О
-1 о о
О
-1 о о
о о
-1 о
о о
-1 о
(П7.4)
(П7.4)
Первый индекс i = 0, 1, 2, 3 нумерует строки в таблице (П7.4), а второй индекс k — столбцы. По повторяющимся 《немым» индексам, один из которых расположен вверху, а другой внизу, всюду предполагается суммирование от 0 до 3. Пространство с метрикой (П7.3) назьь вается псевдоевклидовым.
Компоненты 4-радиус-вектора (П7.2) при переходе к другой четырехмерной системе координат преобразуются по формуле
公=a^xfkt (П7.5)
где совокупность коэффициентов 砥 составляет матрицу линейного преобразования, описывающего переход от штрихованной системы координат к нештрихованной. Верхний индекс коэффициента 磁 обозначает номер строки, а нижний ——столбца этой матрицы.
Обратный переход в исходную систему координат дается формулой
где совокупность коэффициентов 欧 составляет матрицу
обратного преобразования такую, что
(1 при〃必при(1 при〃必приi =后i =后(П7.7)(П7.7)
(1 при
〃必при
(1 при
〃必при
i =后
i =后
(П7.7)
(П7.7)
Поскольку переход к другой системе координат в рассматриваемом четырехмерном пространстве не меняет квадратичную форму (П7.3), матрицы преобразований (П7.5) и (П7.6) удовлетворяют соотношениям
g沦。觴=当何g点照=4的 (口7.8)
Переходу из одной инерциальной системы отсчета в другую (рис. 8) соответствует в четырехмерном пространстве переход от одной координатной системы к другой, повернутой относительно первой на некоторый угол в плоскости Х°¥. Преобразование компонент 4-радиус-вектора, отвечающее такому вращению, называется преобразованием Лоренца. Оно описывается формулой (П7.5), в которой матрица преобразования имеет вид
丿/e
0
0
V1 - “2
V1 一晔2
Vic
о
о
.(П7.9)
“1 一 У”
Vi 一匕絞
0
0
1
0
0
0
0
1.
Матрица обратного преобразования Лоренца получается из (П7.9) путем изменения знака перед скоростью V на противоположный.
Четырехмерным вектором Л{ (4-вектором) называется совокупность четырех величин А0, А1, А2 и Д3, которые при переходе от одной четырехмерной системы координат к другой преобразуются как компоненты 4-радиус- вектора
= (П7.10)
По аналогии с 4-радиус-вектором (П7.2) первая компонента А0 4-вектора 4。 называется временной, а три другие: 4* Д2 и Д3 — пространственными. Эти компоненты иногда выписывают в явном виде, вводя следующее 310
обозначение для 4-вектора:
4 = (/。，А).(П7.11)
Как и в случае 4-радиус-вектора, квадратичная форма (4。)2 一 (a)2 - (42)2 -(不)2,(П7.12)
составленная из компонент всякого 4-вектора А\ является инвариантом. Ее называют квадратом 4-вектора. Квадрат 4-вектора может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Такие 4-векторы называют соответственно времениподобными, пространственноподобными и нулевыми.
В псевдоевклидовом пространстве ради удобства вводят две разновидности компонент 4-вектора. Индексом вверху А1 помечают контравариантные компоненты 4-вектора, а индексом внизу 儿 обозначают ковариантные компоненты того же самого 4-вектора, которые суть
А = А。，А1 = -А1, Д2=-Д2, 4 = -/з.(П7.13)
Ко- и контравариантные компоненты 4-вектора связаны между собой при помощи ковариантного gik и кон- травариантного g^ метрических тензоров следующим образом:
4 =^ = gikAk,(П7.14)
Таким образом, один и тот же вектор может быть представлен своими контравариантными или ковариантными компонентами
4' = (4°, А), 4 = (Л°, 一 А).(П7.15)
После этого квадрат 4-вектора (П7.12) запишется как л0/10 + 4 A + А" + 4& = 4不.(П7.16)
По аналогии с выражением (П7.16) определяют скалярное произведение двух 4-векторов н 5’ в виде
4В = Л0В° + 4* + Л2В2 + АЛВ\ (П7.⑺
Одно и то же скалярное произведение можно записать в разных формах:
45’ = АЕ = gi^B^ — g优4& =
=人哥 一 АВ = 4°& — АВ. (П7.18)
Скалярное произведение 4-векторов инвариантно по
311
отношению к любым поворотам четырехмерной координатной системы и, следовательно, по отношению к преобразованию Лоренца. Другими словами, скалярное произведение 4-векторов является четырехмерным скаляром (4-скаляром).
Поскольку квадрат 4-радиус-вектора х^хк является 4-скаляром, ковариантные компоненты х^ 4-радиус-вектора при переходе к другой четырехмерной системе координат преобразуются по закону
〃 何，х； = х風， (П7.19)
где коэффициенты а^ и G[ составляют те же самые матрицы, что и в случае преобразования контравариантных компонент (П7.5) и (П7.6). Ковариантные компоненты всякого вектора преобразуются согласно формулам (П7.19).
Дифференциал
М)=粤(П7.20)
дх
четырехмерного скаляра Ф также является 4-скаляром. Здесь он представлен в виде скалярного произведения, составленного из операторов дифференцирования д/дх1 и контравариантных компонент dx" 4-вектора. Отсюда следует, что операторы д 1dxi дифференцирования по координатам %〃 должны рассматриваться как ковариантные компоненты операторного 4-вектора. Аналогично операторы djdxi дифференцирования по ковариантным компонентам х^ 4-радиус-вектора являются кон- травариантными компонентами операторного 4-вектора, так что
糸4("21)
Четырехмерный градиент 4-скаляра Ф представляет собой 4-вектор
*=6端，砌・(m2)
Четырехмерная дивергенция 4-вектора /' определяется выражением
空=丄色吧十div А.(П7.23)
Четырехмерным тензором (4-тензором) второго ранга называется совокупность шестнадцати величин Pft, которые при переходе от одной четырехмерной системы координат к другой преобразуются как произведения компонент 4-радиус-вектора
Tik = а\а^Г,1т,厂汰=а\а^Г^\ (П7.24)
Четырехмерный тензор более высокого ранга определяется аналогично. Введенные выше 4-вектор и 4-скаляр можно рассматривать как 4-тензоры соответственно первого и нулевого рангов.
Один и тот же 4-тензор может быть представлен своими контравариантными компонентами Т叫 у которых индексы ставятся вверху, а также ковариантными компонентами с индексами внизу Т访 или смешанными компонентами 7%. В последнем случае первый индекс может стоять внизу, а второй вверху, что обозначает другие смешанные компоненты Т『данного 4-тензора.
Подобно формулам (П7.14) связь между разными видами компонент 4-тензора можно установить при помощи ко- и контравариантного метрических тензоров, например,
Tik = g"g“ 弋 Tik = g“J, 7?=纟产儿.(П7.25)
Другими словами, поднятие или опускание временного индекса 0 не меняет компоненту 4-тензора, в то время как та же операция над одним из пространственных индексов 1, 2 или 3 меняет знак компоненты.
Если Г汴=Thi, то тензор Tlk называется симметричным, а в случае Tik =——Thi ——антисимметричным. Смешанные компоненты симметричного тензора совпадают: Т\ = ТУ, поэтому их записывают как Т工 располагая индексы один над другим.
В тензорном исчислении основными алгебраическими операциями являются сложение, умножение и свертывание.
Суммой тензоров А\т и В^т называется тензор С\т с компонентами С"т = А\т + 5%т・ Другими словами, при сложении тензоров одинакового вида и одного ранга суммируются их одноименные компоненты, причем с обеих сторон всякого тензорного равенства
313
должны находиться тензоры с одинаковыми и одинаково расположенными свободными индексами.
Произведением тензоров называется тензор, компоненты которого равны произведениям компонент сомножителей. В результате умножения образуется новый тензор, ранг которого равен сумме рангов перемножаемых тензоров. Например, умножая тензор Агк на В(т, получаем новый тензор Сгк[т с компонентами Cikim = =AihB[m.
Свертыванием (упрощением) тензора называется суммирование по паре индексов, один из которых является ковариантным, а другой ——контравариантным. После свертывания образуется другой тензор на две единицы меньшего ранга.
Получающаяся при свертывании сумма
Т^ = Т^ + Т{{ + Т/ + Т/Т^ = Т^ + Т{{ + Т/ + Т/(П7.26)(П7.26)
Т^ = Т^ + Т{{ + Т/ + Т/
Т^ = Т^ + Т{{ + Т/ + Т/
(П7.26)
(П7.26)
называется следом или шпуром тензора Tik. Очевидно 7\ = Tj.
Если последовательно проводится умножение и свертывание, то такую операцию называют скалярным умножением. Например, в результате скалярного умножения вектора 4» на тензор Tlk образуется новый вектор Вк:
Arik^Bkt(П7.27)
Единичный 4-тензор 3； дается выражением
{:{:при i=左, при i =# й.при i=左, при i =# й.(П7.28)(П7.28)
{:
{:
при i=左, при i =# й.
при i=左, при i =# й.
(П7.28)
(П7.28)
Его след равен четырем 5； — 4. Единичный 4-тензор 6： как и метрические тензоры g谈 и g沮，имеет один и тот же вид во всех четырехмерных системах координат.
Если тензоры Aik и Bik удовлетворяют равенству
(П7.29)(П7.29)A“Bih = б1,
(П7.29)
(П7.29)
то они называются обратными друг другу. Например, ковариантный метрический тензор g泊 является обратным контравариантному метрическому тензору gik.
Кроме тензоров 5士， g^ и g泳，имеется еще один 4-тензор, который не меняется при переходе в другую систему координат. Это совершенно антисимметричный единичный 4-псевдотензор четвертого ранга е?配俏.Его компоненты меняют знак при перестановке любых двух индексов. Поэтому отличны от нуля лишь те компоненты, у которых индексы i, k, I и т различны. При это?л ©0123=1, а остальные отличные от нуля компоненты равны 1 или ——1 в зависимости от того, четно или нечетно число перестановок, которые приводят данную последовательность чисел iklm к последовательности 0123. Для тензора е^т имеем е012з = 一1, причем
eiklmeiklm = 一 4! = 一 24. (П7.30)
Компоненты истинного 4-тензора четвертого ранга, у которых один индекс временной, а три другие про' странственные (или наоборот), меняют знак при инверсии. Между тем компоненты eihlm не изменяются при инверсии, так как по определению имеют один и тот же вид во всех системах координат. Поэтому eihlm является не истинным 4-тензором, а 4-псевдотензором.
Обобщение теоремы Гаусса — Остроградского на четырехмерное псевдоевклидово пространство запишется как
§ A dSi=\^dQ, (П7.31)
где А1 ——некоторый 4-вектор, dQ = dx°dx〔dx2d%з — элемент объема в 4-пространстве, a dSi — 4-вектор элемента гиперповерхности, контравариантные компоненты которого суть dS。= dNdx2dxз, dS^ = dx°dx2dxз, dS?= =dxW1^%3 и dS? — dxPdxxdx2. В левой части равенства (П7.31) интегрирование ведется по замкнутой гиперповерхности, а в правой ——по 4-объему, заключенному внутри этой гиперповерхности.
Каждая векторная физическая величина может быть представлена как своими контравариантными, так и ковариантными компонентами в зависимости от удобства. То же относится и к тензорным величинам. В принятых обозначениях 4-импульс 户，4-вектор плотности тока 尸 и 4-потенциал 4' запишутся как
〃 =(•! , р) , 了 = (ср, j),川=(叫 А). (П7.32)
(П7.36)(П7.36)WS〃C s〃c з〃сWS〃C s〃c з〃с(П7.39)(П7.39)
(П7.36)
(П7.36)
W
S〃C s〃c з〃с
W
S〃C s〃c з〃с
(П7.39)
(П7.39)
言聲（П7.33）
имеет вид
/0Ex Eg Ez \
寸 * /2‘，("7.34)
\-Ez -НуНх0 /
/0— E% —Eg — Ez、
f：力Г」力・(m・35)
、％ -НуНко /
Физический смысл используемых здесь величин раскрыт в теоретическом введении к главе V.
Тензор электромагнитного поля
Ковариантная форма уравнений Максвелла
0尸汤 д/
(П7.37)(П7.37)OFth ■ dFM . О尸〃 __ °
(П7.37)
(П7.37)
О/d 储dxk •
Тензор энергии-импульса электромагнитного поля
产=★(一 户們 + Т 卢FimF，)(П7.38)
Этот тензор симметричен, а его след равен нулю. Физический смысл различных компонент тензора энергии- импульса виден из следующей таблицы:
где w — плотность энергии электромагнитного поля, s —— вектор Пойнтинга, а 7\в — максвелловский тензор натяжения (V. 38).
Уравнение движения частицы массы m и заряда е во внешнем электромагнитном поле:
тс% = У((П7.40)
где ds = с dt^J 1 ——v2/c2, a 小=(〃°, u)——четырехмерная скорость, компоненты которой выражаются через скорость V частииы следующим образом:
(П7.41)(П7.41)
(П7.41)
(П7.41)
При движении заряженной частицы со скоростью порядка скорости света к правой части уравнения движения (П7.40) следует дополнительно прибавить четырехмерную силу
g‘ = Т4雰〃"一員! FilFkl^ +
不£（&"）（尸""〃）此（n7.42）
которая учитывает торможение излучением. Временная и пространственные компоненты 4-силы g» связаны с трехмерной силой f радиационного трения согласно общей формуле
_ v у
\ C2 V1 —叫c? ' c “1 — v2/c2 /
Когда скорость заряженной частицы приближается к скорости света, трехмерная сила радиационного трения принимает вид
f =磊"5Fm* v. (П7.44)
Если ось X направить вдоль скорости v частицы, то из (П7.44) получаем выражение (V. 65).
ЛИТЕРАТУРА
Ландау Л. Д, Лифшиц Е. М., Теория поля, «Наука», 1973.
Джексон Дж., Классическая электродинамика, «Мир», 1965.
Пановский В., Филипс М” Классическая электродинамика, Физматгиз, 1963.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Электродинамика сплошных сред, Гостехиздат, 1957.
Тамм И. Е., Основы теории электричества, «Наука», 1976.
Батыгин В. В., Топтыгин И. Н., Сборник задач по электродинамике, «Наука», 1970.
Тихонов А. Н.» Самарский А. А.» Уравнения математической физики,《Наука», 1972.
Лаврентьев М. А., Шабат 6. В., Методы теории функций комплексного переменного, «Наука», 1973.
Рыжик И. М., Г радштейн И. С., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Физматгиз, 1963.
Ландау Л. Д.» Лифшиц Е. М., Квантовая механика, «Наука», 1974.
Алексей Иванович Алексеев
Сборник задач по классической электродинамике
М., 1977 г., 320 стр. с илл.
Редактор Л Л. Русакова
Техн, редактор И. Ш. Аксельрод
Корректоры 3. В. Азтонеева, И. Я. Кришталь
Сдано в набор 11.03.77 Подписано к печати 23.09 77. Бумага 84Х108 7з2. Физ. печ. л. 10. Условн. печ. л. 16,8. Уч.-изд. л. 16,62. Тираж 20 000 экз. Пена книги 70 коп. Заказ № 527.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.
А. И. АЛЕКСЕЕВ
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КЛАССИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР 8 качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКАг
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1 9 77
537 A 47
УДК 538.3
Сборник задач по классической электродинамике, А. Й. Алексеев, учебное пособие. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1977.
В книге представлено около 500 задач, которые охватывают все основные разделы теории электромагнитного поля, рассматривающей электромагнитные процессы и движение зарядов в вакууме. Приведенные в ней разнообразные методы решения электродинамических задач помогут освоить технику практических вычислений, характерных для теоретической физики.
Сборник рассчитан прежде всего на студентов физических факультетов университетов и педагогических институтов, а также на студентов инженерно-физических и физико-технических вузов, изучающих электродинамику по общепринятой программе. Задачи повышенной трудности предназначены для студентов, специализирующихся по теоретической физике, и аспирантов. Сборник будет полезен также инженерам и научным работникам, самостоятельно изучающим теорию электромагнитного поля.
Рис. 28. Табл. 1. Библ. назв. 10.
А 20402—149А 053(02)-77А 20402—149А 053(02)-7779-7779-77© Главная редакция
А 20402—149
А 053(02)-77
А 20402—149
А 053(02)-77
79-77
79-77
физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1977
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Принятые обозначения 7
Глава I. Постоянное электрическое поле..11143
Уравнения Максвелла и граничные условия в электростатика 19143
Электростатическая теорема Гаусса..21144
Применение общего решения уравнения Пуассона 23148
Сила и энергия в электростатике ...25151
Уравнения Лапласа и Пуассона с дополнительными условиями .28153
Плотность заряда тел разной конфигурации 31168
Дипольный момент34170
Тензор квадрупольногомомента . . .35172
Поле на больших расстояниях от заряженной системы40176
Двойной электрический слой43178
Глава II. Постоянное магнитное поле ...44180
Уравнения Максвелла и граничные условия в магнитостатике50180
Магнитныймомент53183
Магнитное поле на больших расстояниях от тока55186
Закон Биои Савара56186
Теорема о циркуляции напряженности магнитного поля60189
Уравнения Лапласа и Пуассона с дополнительными условиями63193
Глава III. Переменное электромагнитное поле 68202
Уравнения Максвелла 74202
Плотность заряда и тока 75204
Магнитный, дипольный и квадрупольный моменты движущихся зарядов ....77205
Электромагнитные волны 78207
Дифракция 82211
Глава IV Излучение электромагнитных волн медленно движущимися зарядами85Дипольное излучение93Л1агнитно-диполъное и квадрупольное излучения 98Спектральное разложение излучения . . 105. Угловое распределение излучения ..・ НОПоляризация излучаемых волн . . . . 113Рассеяние электромагнитных волн . . . 115Излучение протяженных источников . . 116Задачи, требующие вычисления на ЭВМ 119Глава IV Излучение электромагнитных волн медленно движущимися зарядами85Дипольное излучение93Л1агнитно-диполъное и квадрупольное излучения 98Спектральное разложение излучения . . 105. Угловое распределение излучения ..・ НОПоляризация излучаемых волн . . . . 113Рассеяние электромагнитных волн . . . 115Излучение протяженных источников . . 116Задачи, требующие вычисления на ЭВМ 119§§§§§§§§§§§§7 721217 721215 4 4 0 4 6 1 2345556 22222225 4 4 0 4 6 1 2345556 2222222Глава V. Поле релятивистских заряженных частиц 123
Глава IV Излучение электромагнитных волн медленно движущимися зарядами85
Дипольное излучение93
Л1агнитно-диполъное и квадрупольное излучения 98
Спектральное разложение излучения . . 105
. Угловое распределение излучения ..・ НО
Поляризация излучаемых волн . . . . 113
Рассеяние электромагнитных волн . . . 115
Излучение протяженных источников . . 116
Задачи, требующие вычисления на ЭВМ 119
Глава IV Излучение электромагнитных волн медленно движущимися зарядами85
Дипольное излучение93
Л1агнитно-диполъное и квадрупольное излучения 98
Спектральное разложение излучения . . 105
. Угловое распределение излучения ..・ НО
Поляризация излучаемых волн . . . . 113
Рассеяние электромагнитных волн . . . 115
Излучение протяженных источников . . 116
Задачи, требующие вычисления на ЭВМ 119
§§§§§§
§§§§§§
7 72121
7 72121
5 4 4 0 4 6 1 2345556 2222222
5 4 4 0 4 6 1 2345556 2222222
Преобразование электромагнитного поля 135
Излучение быстро движущегося заряда 138
Приложения
Основные формулы векторного анализа .,
. Матрицы и тензоры
6-функция
Полиномы Лежандра
Сферические функции
Цилиндрические функции
. Тензорное исчисление в псевдоевклидовом пространстве
3 3 7 772603)5)88 272727282829293030з 3 ^3 3 7 772603)5)88 272727282829293030з 3 ^Литература
3 3 7 772603)5)88 272727282829293030з 3 ^
3 3 7 772603)5)88 272727282829293030з 3 ^
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий сборник содержит задачи по классической электродинамике в вакууме, которые на протяжении многих лет автор использовал на практических занятиях в Московском инженерно-физическом институте, а также предлагал студентам в качестве индивидуальных заданий. Подавляющая часть задач оригинальна. Вместе с тем в сборник включено некоторое число известных типовых задач для иллюстрации применяемой методики Задачи разнообразны по трудности, однако большинство из них посильно каждому, кто изучил теорию электромагнитного поля.
Многие задачи имеют подробное решение, особенно в тех случаях, когда используются новые идеи и методы по сравнению с предыдущим материалом. Наряду с этим в сборнике по разным разделам курса электродинамики имеется большое число однотипных задач, для которых даны лишь ответы и краткие указания. Такие задачи весьма полезны при составлении контрольных работ и индивидуальных заданий, а также для самоконтроля при изучении электродинамики. Если эти задачи встречают затруднение, то соответствующая часть курса электродинамики усвоена не достаточно глубоко и требует дополнительной проработки.
Содержание сборника охватывает вопросы электродинамики в вакууме. Наравне с объемной плотностью введены понятия поверхностной и линейной плотности заряда, а также поверхностной плотности тока» что
позволило значительно расширить круг рассматриваемых вопросов и дало возможность проиллюстрировать разнообразные методы, которые используются как в электродинамике в вакууме, так и в электродинамике сплошных сред.
Каждой главе предпослано краткое теоретическое введение, а в приложениях собраны необходимые сведения из векторного анализа, тензорного исчисления и о специальных функциях. Приведенные формулы являются справочным материалом, имеющим целью сэкономить время читателя при решении предложенных задач. Указанные сведения позволили также сократить объем сбор* ника при написании решений к отдельным задачам.
Автор очень признателен В. М. Ермаченко и Б. М. Карнакову за прочтение сборника в рукописи и обсуждение отдельных вопросов.
Л. Алексеев
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Везде используется гауссова абсолютная система единиц.
Векторы обозначаются полужирным шрифтом, а модуль вектора — светлым. Разложение вектора А по ортам к, 1У и L декартовой системы координат записывается двояко:
А = 44% + Ау\у + A^z = 4k + 甸乡 + АЛ・
Если векторный или тензорный индекс, обозначенный греческой буквой, в данном выражении повторяется дважды, то по нему предполагается суммирование от 1 до 3. При этом знак S суммы опускается. Например,
ааЬа =的瓦 + a2b2 + аф3.
Если указанные индексы обозначены латинской буквой, то суммирование проводится от 1 до 4:
ai& = a®]+ a2b2 +。363 + 0川4，
Интегралы любой кратности обозначаются одним- единственным знаком ， и различаются лишь обозначением элемента интегрирования: dV = dx dy dz = dr — элемент объема, dS = п dS ——элемент поверхности и d\ = х dl — элемент ориентированного контура. Здесь п — орт нормали к поверхности интегрирования, а т — орт касательной к контуру интегрирования. Знак § обозначает интеграл по замкнутой поверхности с ортом п внешней нормали или по замкнутому ориентированному контуру, направление обхода которого задается ортом т. Пределы интегрирования в определенном интеграле иногда опускаются вовсе. В этом случае интегри-
рование ведется по области, где подынтегральная функция отлична от нуля.
Для разложения Фурье принято обозначение
f (0 = 4г \ f(<0)
f®)=，f (/) e^« dt
или в трехмерном пространстве
中ь)=号戸\ ©(Se^dk,
ф (k) = ^ ф (г) «Tkr dr.
Функция /(/), периодическая с периодом Т =—, разлагается в ряд Фурье
f(Z)= X 九 е"鹏— ОО
772fti = Y § f (/) ein^ dt.
— T/2
Полная производная по времени часто обозначается dF •
точкой, стоящей над функцией -^- ^ F* Производная от функции ①(х) в точке % = %。изображается как 工^^)”・
Индекс 0 внизу справа от каждого символа (буквы) отмечает постоянную во времени и координатах величину.
Если аргумент функции представлен в виде а/, кг или 0厂,то множители а, к и р не зависят от координат и времени.
А — векторный потенциал
с——1) электродинамическая постоянная, равная скорости света в вакууме; 2) произвольная постоянная; 3) полуось эллипсоида
d — дипольный момент
%B — компоненты тензора квадрупольного момента е — точечный заряд (заряд частицы)
Е — напряженность электрического поля
冒一1) энергия; 2) кинетическая энергия нереляти* вистской частицы
F — сила
g ——плотность импульса электромагнитного поля 方一постоянная Планка 1,054* 10~27 эрг * сек
Н — напряженность магнитного поля
i ——поверхностная плотность тока
/ — интенсивность излучения j -—объемная плотность тока
/ — сила тока
к——1) волновой вектор; 2) переменный вектор разлей жения в тройной интеграл Фурье
I ——линейный размер заряженной системы или облает и пространства
L—1) контур интегрирования в криволинейном ин* теграле; 2) длина
т — масса
М — момент импульса (механический момент) N — момент сил
п——1) орт нормали к поверхности (внешней нормали для замкнутой поверхности); 2) орт радиус-вектора г точки наблюдения; 3) единичный вектор
р — импульс
Р — полный импульс механической системы
q ——линейная плотность заряда
Q ——полный заряд
R — радиус окружности, цилиндра или шара
г—1) модуль радиус-вектора г; 2) сферическая ко* ордината; 3) цилиндрическая координата
S — поверхность
s — вектор Пойнтинга
方——время
Т——1) период; 2) кинетическая энергия релягивисг- ской частицы
Таб ——максвелловский тензор натяжений
U ——потенциальная энергия
V — скорость
V — объем
W—1) энергия электромагнитного поля; 2) магнитная энергия взаимодействия тока с внешним магнитным полем
w ——плотность энергии электромагнитного поля Xi=x, %2 = у, %з = z — компоненты радиус-вектора г в декартовых прямоугольных координатах
О ——полярный угол сферической системы координат
X ——длина волны, деленная на 2冗
从一магнитный момент
К ——приведенная масса
р ——объемная плотность заряда
о ——поверхностная плотность заряда
t——1) орт касательной к поверхности или к ориентированному контуру; 2) плотность дипольного момента двойного электрического слоя
Ф ——скалярный потенциал
G ——1) азимутальный угол сферической системы координат; 2) полярный угол цилиндрической системы координат; 3) угол между двумя направлениями
со——1) циклическая частота; 2) угловая скорость вра* щения
С——1) телесный угол; 2) циклическая частота
V—оператор набла.
ЗАДАЧИ
Глава /