Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ОБОБЩЕННЫЕ КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Книга посвящена одному из активно развивающихся направлений современной математической физики ——теории обобщенных когерентных состояний и их применениям. Впервые приводится полное и систематическое изложение теории обобщенных когерентных состояний. Когерентные состояния, впервые введенные в работах Шредингера и фон Неймана, были с успехом использованы Глаубером для квантового описания лазерного пучка света и затем обобщены автором этой книги на случай произвольной группы Ли. Теория иллюстрируется большим числом примеров из различных областей теоретической и математической физики.
Для физиков-теоретиков и специалистов-математиков, а также для студентов математических и физических вузов, факультетов университетов.
Содержание
Предисловие6
Введение7
ЧАСТЬ I. ОБОБЩЕННЫЕ КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ ГРУПП ли
Глава 1. Обычная система когерентных состояний и ее связь с11
группой Гейзенберга — Вейля. Случай одной степени свободы
Группа Гейзенберга ——Вейля и ее представления11
Группа Гейзенберга ——Вейля (12). 1.1.2. Представления группы Гейзенберга ——Вейля (15). 1.1.3. Конкретная реализация представления Т入(g) (16).
Когерентные состояния (КС)18
Представление Фока — Баргмана24
Полнота подсистемы когерентных состоянии28
Когерентные состояния и тета-функции32
Операторы и их символы36
Характеристические функции45
Глава 2. Когерентные состояния для произвольной группы Ли49
. Определение обобщенного когерентного состояния49
2.2. Общие свойства системы обобщенных когерентных состояний51
. Полнота системы КС и разложение по состояниям этой системы 53 § 2.4. Выделение систем обобщенных КС, наиболее близких к55
классическим состояниям
Глава 3. Обычная система когерентных состояний. Случай59
нескольких степеней свободы
Общие свойства59
Когерентные состояния и тета-функции для нескольких степеней 62 свободы
Глава 4. Когерентные состояния для группы вращений трехмерного 66 пространства
Структура групп 50(3) и SU(2)66
Представления группы 3伙2)70
Когерентные состояния72
Глава 5. Простейшая некомпактная неабелева простая группа: 517(1,1)80
Группа SU(1,1) и ее представления81
Основные свойства группы SU(1,1) (81). 5.1.2. Дискретные серии (84). 5.1.3. Основная (непрерывная) серия (85).
Когерентные состояния87
Дискретные серии (87). 5.2.2. Основная (непрерывная) серия (91).
Глава 6. Группа Лоренца: 50(3,1)99
Представления группы Лоренца99
Когерентные состояния102
Глава 7. Когерентные состояния для группы SO(n91): представления108
основной серии класса I
Представления класса I группы SO(n^V)108
Когерентные состояния109
Глава 8. Когерентные состояния для бозонной системы с конечным 117 числом степеней свободы
Канонические преобразования117
Когерентные состояния121
Описание операторов в пространстве 5cb§123
Глава 9. Когерентные состояния для фермионной системы с конечным 126 числом степеней свободы
Канонические преобразования127
Когерентные состояния129
Описание операторов в пространстве 竺尸130
Глава 10. Когерентные состояния и квантование по Березину132
Классическая механика134
Квантование137
Квантование на плоскости Лобачевского139
Описание операторов (139). 10.3.2. Принцип соответствия
. 10.3.3. Выражение оператора Th в терминах оператора Лапласа
——Бельтрами (142). 10.3.4. Представление группы движений
плоскости Лобачевского в пространстве 厉 (142). 10.3.5. Квантование
с помощью отражений (аналог квантования Вейля) (143).
Квантование на сфере145
Квантование на однородных кэлеровых многообразиях146
ЧАСТЬ II. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ153
Глава 11. Предварительные сведения153
Глава 12. Квантовый осциллятор158
Квантовый осциллятор под действием переменной внешней силы158
Параметрическое возбуждение квантового осциллятора161
Квантовый сингулярный осциллятор164
Стационарный случай (164). 12.3.2. Нестационарный случай (168). 12.3.3. Случай Nвзаимодействующих частиц (169).
Осциллятор с переменной частотой под действием переменной 175 внешней силы
Глава 13. Частицы во внешнем электромагнитном поле179
Движение спина в переменном однородном магнитном поле179
Рождение пар бозонов в переменном однородном182
Динамическая симметрия для скалярных частиц (182). 13.2.2. Многомерный случай: когерентные состояния (186). 13.2.3. Многомерный случай: нестационарная задача (190).
Рождение пар фермионов в переменном однородном внешнем поле 192 13.3.1. Динамическая симметрия для частиц со спином 1/2 (192).
Гейзенберговское представление (196). 13.3.3.
Многомерный случай: когерентные состояния (198). 13.3.4. Многомерный случай: нестационарная задача (203).
Глава 14. Производящая функция для коэффициентов Клебша —204
Гордана группы SUQ)
Глава 15. Когерентные состояния и квазиклассический предел207
Глава 16. l/TV-разложение для моделей типа Гросса — Неве211
Описание модели212
Квазиклассический предел215
Глава 17. Релаксация к термодинамическому равновесию220
Релаксация квантового осциллятора к термодинамическому220
равновесию 17.1.1. Кинетическое уравнение (220). 17.1.2. Характеристические функции и распределения квазивероятностей (221). 17.1.3. Использование символов операторов (224).
Релаксация частицы со спином, находящейся в магнитном 229 поле, к состоянию термодинамического равновесия
Глава 18. Диамагнетизм Ландау232
Глава 19. Лагранжиан Гейзенберга — Эйлера236
Глава 20. Синхротронное излучение239
Глава 21. Классическая и квантовая энтропия242
Глава 22. Сверхтекучесть слабонеидеального бозе-газа247
Приложение 1. Доказательство полноты некоторых подсистем КС252
Приложение 2. Матричные элементы оператора D(y)255
Список литературы260
Предметный указатель268
Предметный указатель
Алгебра Гейзенберга ——Вейля,13
случай нескольких степенейГипотеза Вейля 244
свободы 61— Либа 245
,——одной степени свободы Группа вращений трехмерная 66
——Гейзенберга ——Вейля 12
,матричные элементы представлений 43
,нормальное (виковское) и антинормальное
(антивиковское) представления 41
—Ли осцилляторная 57
—Лоренца 99
——метаплектическая 119
——некомпактная, представления дискретной серии 84
Диамагнетизм Ландау 232
Излучение синхротронное 239
Квазиэнергия 158
Квантование геометрическое 133
—по Березину 133
Коэффициенты Клебша — Гордана для группы 577(2), 79, 204
Круг Зигеля единичный 123
Матрица плотности 47
Мера интегрирования в многомерном фазовом пространстве 61
в фазовой плоскости 19
Многообразие кэлерово однородное 147
Многочлены Лаггера 256
—Эрмита, интегральное представление 28
от двух переменных 177
Модель Гросса — Неве 211
Неравенство Березина 39
—Голдена — Томпсона 40
——Фейнмана 40
Оператор Казимира 58
——Лапласа ——Бельтрами для плоскости Лобачевского 93
——массовый 239
—ядерный 39
Операторы рождения и уничтожения, бозевский случай 12
,линейные канонические
преобразования 101
,представление Фока ——
Баргмана 24—28
,фермиевский случай 127
Осциллятор, динамика 158
—,релаксация к равновесию 220
Предел квазиклассический для представлений группы SU(2) 207
фермионных полей 215
энтропии 243
Представления класса 1108
Преобразование линейное каноническое 117
Проекция стереографическая 69
Разложение Гаусса 68
——единицы 19
Реализация Фока — Баргмана для гильбертова пространства 24
Решетка допустимая 62
——правильная 29
Рождение пар бозонов 182
фермионов 192
Символ оператора 36
вейлевский 44
Симметрия динамическая 156
Соотношение неопределенности для компонент момента количества движения 77
координаты и импульса 21
Соотношения перестановочные
Гейзенберга, случай нескольких степеней свободы 60
,——одной степени свободы 12
Состояния обобщенные когерентные, общее определение 50
Спин, релаксация к равновесию 229
Теорема Стоуна — фон Неймана 16
Тета-функции 34
Уравнение Фоккера ——Планка 222
Условия Римана — Фробениуса 62
Функции Вейерштрасса 36
——характеристические для распределения вероятности в фазовом пространстве 47
Функция зональная сферическая 93
Электродинамика квантовая, эффективный лагранжиан 236
Энтропия 242
Эффект де Гааза — ван Альфе-на 233
Ядро Бергмана 150
——воспроизводящее 20
—орисферическое 96
——Пуассона 96
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Введение 7
Ч А С Т Ь I. ОБОБЩЕННЫЕ КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ПРОСТЕЙП1ИХ ГРУПП ли
Глава 1. Обычная система когерентных состояний и ее связь с группой Гейзенберга ——Вейля. Случай одной степени свободы11
Группа Гейзепберга ——Вейля и ее представления 12
Группа Гейзенберга — Вейля (12). 1.1.2, Представления группы ГейзенбергаВейля (15). 1.1.3. Кинере” на я реализация представления小(幻(16).
Когерентные состояния (КС)18
Представление Фока — Баргмапа24
Полнота подспстелты когерентных состошшй . .2S
IvirepCHTiibie состояния н тета-функции .. .32
Операторы и их символы36
Характеристические функции ......45
Глава 2, Когерентные состояния для произвольной группы Ли49 § 2.1. Определен не обобщенного когерентного состояния 49 § 2.2. Общие своИстпа системы обобщенных когерептньгх состояний 51
Полнота системы КС и разложение по состояниям , этой системы53
Выделение систем обобщенных КС, наиболее близких к классическим состояпиял!55
Глава 3. Обычная система когерентных состояний. Случая нескольких степеней свободы59
Общие свойства59
Когерентные состояшш и тота-фупкции для нескольких степеисй свободы62
Глава 4. Когерентные состояния для группы вращений трехмерного пространства66
Структура групп SO⑶ и SV(2)66
Представления группы SU(2)70
Когерентные состояния72
Глав а 5. Простейшая некомпактная неабелева простая группа: SU(1, 1)80
Группа SU (1, 1) и ее представления ....81
Основные спойства группы SU(1, 1) (81). 5.1.2. Дискретные серии (84). 5.1.3. Основная (непрерывная) серия (85).
Когерентные состояния87
5.2.L Дискретные серии (87). 5.2.2. Основная (непрерыв- нан) серия (91).
Глава 6. Группа Лоренца: SO{3, 1)99
Представления группы Лоренца99
Когерентные состояния102
Глава 7* Когерентные состояния для группы SO (% 1): представлсиия основной серии класса I108
Представления класса I группы SO (汽,1)...108
Когерентные состояния109
Глава 8. Когерентные состояния для бозонной системы с конечным числом степеней свободы 117
Канонические преобразования117
Когерентные состояния121
Описание операторов в пространстве施吉 ..,123
Глава 9. Когерентные состояния для фермионной системы с конечным числом степеней свободы12G
Капопические преобразопапия ......127
Когерентные состояния129
Описание операторов в пространстве宓扌 ...430
Глава 10. Когерснтпые состояния и квантование по Бере- зипу132
Классическая механика134
Квантование137
Квантованиенаплоскости Лобачевского ...139
Описание операторов (139). 10.3.2. Принцип соответствия (140). 10.3.3. Выршкекие оператора Т^в терминах оператора Лапласа ——Бельтрами (142). 10.3.4. Представление группы движении плоскости Лобачевского в пространстве 歹九(142). 10.3.5. Квантование е помощью ограшений (аналог квантования Вейля) (143).
Квантование на сфере145
Квантование на однородных кэлеровых многообразиях 146
ЧАСТЬ И. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ、153
Глава11. Предварительные сведения153
Глава12. Квантовый осциллятор158
Квантовый осциллятор под действием переменной внешней силы158
Параметрическое возбуждение квантового осциллятора 161
Квантовый сингулярпый осциллятор ....164
Стационарный случай (164). 12.3.2. Нестационарный случай (168). 1233. Случай N взаимодействующих частиц (169).
Осциллятор с переменной частотой под действием переменной внешней силы175
Глава 13. Частицы во внешнем электромагиитыом поле .179
Движение спипа в переменном однородном магнит- пом поле179
Рождение пар бозонов в переменном однородном внешнем поле182
Динамическая симметрия для скалярных частиц (182). 13.2.2. Многомерный случай: когерентные состояния (186). 13.2.3, Многомерный случай: нестационарная задача (190).
Рождение пар фермионов в переменном однородном внешнем поле192
Динамическая симметрия для частиц со спином 1/2 (192). 13.3.2. Гейзенберговское представление (19G).
Многомерный случай: когерентные состояния (198). 13.3.4. Многомерный случай: нестационарная задача (203).
Глава 14. Производящая функция для коэффициентов Кле- бша — Гордана группы SU (2)204
Глава 15. Когерентные состояния и квазиклассический предел207
Глава 16. l/N-разложение для моделей типа Гросса — Неве 211
Описание модели ...212
Квазиклассический предел 215
Глава 17. Релаксация к термодинамическому равновесию 220
Релаксация квантового осциллятора к термодинамическому равновесию220
Кинетическое уравнение (220). 17.1.2. Характеристические функции и распределения квазиверонтностей (221). 17.1.3. Использование символов операторов (224).
Релаксация частицы со спином, находящейся в магнитном поле, н состоянию термодинамического равновесия229
Глава18.Диамагнетизм Ландау232
Глава19.Лагранжиан Гейзенберга ——Эйлера ....236
Глава20.Синхротронное излучение239
Глава21.Классическая и квантоваяэнтропия ...242
Глава 22. Сверхтекучесть слабонеидеальногобозе-газа.247
П р и л о jk е и и е 1. Доказательство полноты некоторых подсистем КС252
Приложение 2. МатричныеэлементыоператораD (у)255
Список литературы260
Предметный указатель268
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая книга посвящена быстро развивающемуся разделу современной математической физики — теории обобщенных когерентных состояний и их приложениям к различным физическим проблемам.
Когерентные состояния, введенные первоначально Шредингером и фон Нейманом, использовались позднее Глаубером для кваитовомеханического описания лазерных пучков. Понятие когерентного состояния было обобщено автором на произвольную группу Ли. В последние годы этот подход широко использовался в различных областях теоретической физики и математики.
Область применений обобщенных когерентных состояний довольно обширна, и поедгедовательпое изложение полученных здесь результатов, по~впдимому, будет полезло. Настоящая монография является первой попыткой такого рода. Автор поставил своей целью собрать и изложить систематически обширный материал, содержащийся пока лишь в журнальных статьях. Книга частично основана на специальных курсах, прочитанных автором для студентов и аспирантов Московского физико-технического института. Опа рассчитана, в основном, на физиков-теоретиков и математиков, может быть использована также студентами физпчсских и математических факультетов.
В части I даны разработка основного метода и его приложения к простейшим группам. Ряд примеров из различных областей теоретической и математической физики обсуждается в частп II; эти примеры демонстрируют достоинства метода.
Материал по когерентным состояниям для произвольных групп Ли и симметрических пространств читатель может найти в части II книги [211].
Пользуюсь случаем поблагодарить Ю. А. Данилова, просмотревшего рукопись книги, за ряд полезных замечаний/
ВВЕДЕНИЕ
Метод, излагаемый в настоящей книге, возник вскоре после создания квантовой теории. В 1926 г. Шредингер [221] впервые ввел систему не ортогональных друг другу волновых функций, описывающих нерасплывающиеся волновые пакеты для квантовых осцилляторов. Через несколько лет была опубликована знаменитая книга фон Неймана [54], в которой рассматривалось одно важное подмножество системы этих волновых функций, связанное с разделением фазовой плоскости для одномерной динамической системы па регулярные ячейки. Фоп Пеймаи использовал это подмножество для анализа процессов измерения координаты и импульса в квантовой теории. В течение довольно длительного времени эти идеи зиа- менитых ученых не привлекали должного внимания. Лишь в начале б0-х годов подход, о котором идет речь, стал предметом тщательного и строгого анализа [167, 91, 7, 74]. Глаубер [142, 143] назвал введенные Шредингером состояния когерентными и показал, что с их помощью удобно описывать когерентные лазерные пучки в рамках квантовой теории.
Необычность системы когерентных состояний состоит в том, что опа является переполненной, но именно это обстоятельство открывает целый ряд новых возможностей. Система векторов называется переполненной, если она остается полной после удаления хотя бы одного из составляющих ее векторов, т. е. содержит больше векторов, чем это необходимо для того, чтобы разложить произвольное состояние. Полные ортонормированные системы базисных векторов в гильбертовом пространстве — одно из основных понятий математической физики и функционального анализа. Однако оказалось, что переполненные и неортогональные системы векторов в пространстве состояний весьма полезны при решении некоторых задач в квантовой теории. При :использовании базиса типа когерентных состояний привычные методы не годят-
ся, однако этот формализм очень полезен, если он используется надлежащим образом.
Система когерентных состояний обладает рядом достоинств по сравнению с обычными ортонормированными системами состояний. В течение последних полутора десятилетий этот подход с успехом применялся не только в квантовой оптике и радиофизике, но и в других областях физики, например в теории слабо неидеального бозе-газа. Системы когерентных состояний использовались также для описания спиновых волн в модели ферромагнетизма Гейзенберга, в квантовой электродинамике ——для описания облаков виртуальных фотонов вокруг заряженных частиц, а также для приближенной квантовой теории локализованных полевых конфигураций в нелинейных теориях поля (солитонов). Свойства систем когерентных состояний довольно подробно рассматривались в ряде книг и обзоров [39, 40, 46, 66, 68]. Там можно найти ссылки на многочисленные оригинальные статьи.
Обычные когерентные состояния тесно связаны с группой, обычно называемой группой Гейзенберга ——Вейля (се свойства были впервые рассмотрены Вейлем [250]). Метод когерентных состояний особенно эффективен в тех случаях, когда группа Гейзенберга — Вейля является группой динамической симметрии для рассматриваемой физической задачи. Простейший пример такого рода ——квантовый осциллятор под действием переменной внешней силы, В зтом случае квантовые уравнения движения Гейзенберга совпадают с соответствующими уравнениями для классических переменных, при своем развитии во времени любое когерентное состояние остается когерентным, а движение в фазовом пространстве точки, соответствующей данному когерентному состоянию, подчиняется классическим уравнениям движения. Благодаря этому квантовая задача существенно упрощается, и по существу ее можно свести к классической задаче.
Группа Гейзенберга ——Вейля ——простейший пример группы динамической симметрии; во многих случаях возникают более сложные группы. Например, в задаче о прец&ссии спина в переменпом магнитном поле группой симметрии является SU(2), а в задаче о квантовом осцилляторе с переменной частотой ——группа SU(1, 1). Возникает вопрос, существуют ли для других групп Ли системы состояний, аналогичные обыкновенным когерентным состояниям для группы Гейзенберга — Вейля. Как было показано автором [207] в 1972 г., ответ на этот 8
вопрос положителен. Выли построены и исследованы общие системы когерентных состояний, связанные с представлениями произвольной группы Ли. При этом удается использовать хорошо разработанные методы теории групп.
Другое обобщение когерентного состояния было предложено Барутом и Джирарделло [97]. Однако их подход применим не ко всем группам Ли, в частности он не годится для компактных групп. Кроме того, предложенное в этой работе множество когерентных состояний не инвариантно относительно действия групповых преобразований, в отличие от обобщенных когерентных состояний, предложенных автором в указанной работе [207]. Частный случай группы трехмерных вращений был рассмотрен также Радклиффом [214]. Предложенная в этой работе система когерентных состояний является примером обобщенных когерентных состояний, описанных в работе [207].
Обобщенные когерентные состояния, введенные автором [207], определены для произвольной группы Ли; они задаются точками в однородных пространствах, в которых действует данная группа. В некоторых случаях эти пространства могут рассматриваться как обобщенные фазовые пространства некоторых динамических систем. Примерами такого обобщения обычной фазовой плоскости являются двумерная сфера и плоскость Лобачевского. В таких случаях когерентные состояния соответствуют точкам в фазовом пространстве, изображающим состояния классической динамической системы. Иногда когерентные состояния являются квантовыми состояниями, наиболее близкими к соответствующим классическим состояниям, так как они обладают минимальными пеопределен- ностями. Поэтому когерентные состояния позволяют наиболее естественным образом сопоставить классическую систему ее квантовому аналогу. Обобщенные когерентные состояния такого рода естественно возникают в ряде физических задач, обладающих динамическими симметриями (см., например, работу [68] и часть II настоящей книги). Отметим в этой связи некоторые нестационарные задачи: прецессию спина в переменном магнитном поле, квантовый осциллятор под действием переменной внешней силы, параметрическое возбуждение квантового осциллятора, рождение пар частиц в переменных внешних полях (электрическом или гравитационном), релаксацию квантового осциллятора к со
стоянию термодинамического равновесия,
■ Обобщенные когерентные состояния оказались полезными и в ряде чисто математических задач, в особенности в теории представлений групп Ли, а также для исследования специальных функций, автоморфных функций, теории воспроизводящих ядер и в некоторых других разделах функционального анализа.
Метод когерентных состояний связан также с так называемым геометрическим квантованием. (Среди многих работ, в которых рассматривался этот метод, следует прежде всего упомянуть важные работы Кириллова (38] и Костанта (41, 173].) Геометрическое квантование связано с анализом в пространстве представлений группы, причем пространство рассматривается как гильбертово пространство состояний некоторой квантовой динамической системы. Наряду с квантовой системой рассматривается и соответствующая ей классическая система, которая обладает той же группой динамической симметрии. В основе метода геометрического квантования [38, 41, 173] лежит соответствие между вещественной функцией в фазовом пространстве классической динамической системы и некоторым самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве квантовых состояний. Естественно, что подход, использующий когерентные состояния, является здесь наиболее адекватным.
Следует упомянуть также другой метод квантования, развитый Березиным [10]. Этот метод применим к более узкому классу пространств, но он ближе к принятому в физике определению квантования и позволяет получить более полные результаты.
Так как материал по когерентным состояниям весьма обширен, а объем книги огранпчеп, искотарые интересные результаты здесь изложить не удалось. В частности, не рассматриваются некоторые свойства обычных когерентных состояний, так как эти сведения можно найти во многих обзорах и книгах. Для краткости опущены некоторые доказательства: автор надеется, что заинтересовавшийся ими читатель сможет без особого труда восстановить педостающпе рассуждения.
Часть /
ОБОБЩЕННЫЕКОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ ГРУПП ЛИ
Глава 1
ОБЫЧНАЯ СИСТЕМА КОГЕРЕНТНЫХ СОСТОЯНИЙ И ЕЕ СВЯЗЬ С ГРУППОЙ ГЕЙЗЕНБЕРГА — ВЕЙЛЯ.
СЛУЧАЙ ОДНОЙ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
В этой главе рассмотрены свойства определенной свсрхполной и неортогональной системы векторов (состояний) в гильбертовом пространстве ——системы так называемых обычных когерентных состояний (КС).
В квантовой механике обычные КС в координатном представлении описывают нерасплывающиеся волновые пакеты для гармонического осциллятора, и с этой точки зрения они рассматривались Шредингером еще в 1926 г. [221]. Несколько позже в известной книге фон Неймана [54] была рассмотрена важная подсистема КС, связанная с разбиением фазовой плоскости для системы с одной степенью свободы на правильные ячейки; эта система была использована фон Нейманом для анализа процесса измерения в квантовой механике. Затем, после тридцатилетнего перерыва, свойства системы КС вновь начали изучаться (см. [167, 91, 7, 74]). Среди первых работ в этой области следует отметить важные статьи Глаубера [142, 143]. В них было введено само понятие когерентного состояния и было показано, что КС дают адекватный метод квантового описания когерентного лазерного пучка света.
Детальное рассмотрение свойств обычной системы КС для конечного числа степеней свободы, а также ссылки па многочисленные работы по этому вопросу можно найти в ряде обзоров и книг [39, 40, 46, 66, 68, 172].
Случай бесконечного числа степеней свободы рассмотрен в книгах [7, 74] и многочисленных статьях в журнале «Communications in Mathematical Physics».
В настоящую главу включен материал, большей частью хорошо известный, однако способ его рассмотрения отличается от обычного: после установления связи системы КС с группой Гейзенберга ——Вейля, впервые рассмотренной Г. Вейлем [250], важнейшие свойства этой системы получаются при помощи методов теории групп. Для простоты мы ограничимся рассмотрением случая одной степени свободы. Случай числа степеней свободы, большего единицы, но конечного, разбирается в главе 3.
Группа Гейзенберга ——Вейля и ее представления
Группа Гейзенберга — Вейля. Простейшие операторы, с которыми мы встречаемся при изучении квав- товомеханпческой системы с одной степенью свободы,— это операторы координаты q п импульса р. Они удовлетворяют перестановочным соотношениям Гейзенберга:
[q, р\ = /R [q, Л = W, 口 = о. (1.1)
Здесь I ——единичный оператор, Й ——постояпная Планка, [, ]означает коммутатор: [Л, В] = АВ — В А.
Теоретико-групповая структура соотношений (1.1) описывается определенной группой ——так называемой группой Гейзенберга ——Вейля [250]. Рассмотрению простейших свойств этой группы и посвящен настоящий параграф *).
Перейдем прежде всего от операторов р и g к более удобным для нас оператору уничтожения а и сопряженному ему оператору рождения а+:
Перестановочные соотношения для них сразу же следуют из (1.1) и (1.2):
[а, а+] = I, [а, I] = [а+, I] = 0.(1.3)
Соотношения (1.1) и (1.3) означают, что операторы р, д, I (или операторы а, а+, I) порождают алгебру Ли, которую мы обозначим через Ж\. Эта алгебра Ли и есть алгебра Гейзенберга ——Вейля.
*) Ряд более тонких математических вопросов, относящихся к данной группе, рассмотрен в работе [112].
12
Переходя к новым величинам
& = »(力广"б, ^2 = t(^)"1/29, е3==П(1.4)
и рассматривая их не как операторы, а как элементы абстрактной алгебры Ли, приходим к определению: алгебра Гейзенберга ——Вейля 涉【——это вещественная трехпараметрическая алгебра Ли, задаваемая перестановочными соотношениями
[е“ /] н &, [&, %] = [&, /] = 0.(1.5)
Общий элемент алгебры Ж\ имеет вид
%=(s；伤，g)= %1Q + && + SR(1.6)
пли
出=?或 + /(/-Qp) =+ (a4+ — a@)，(1.7)
где s,胃1 и x2 — вещественные числа, 伤=—(А)-1/2 Q^ &=(%)-。尸，a - (2A) -1/2 {Q + IP) - 2-1/2 (-^ + Zz2), 2 = =(2A)-1/2((2 — IP). Коммутатор элементов /=(s;伤， и У =«；弘,沙2)дается формулой
k, y] = B(^ y)&, B(a, y) = /02 —g勿.(1.8) Переход от алгебры Ли к группе Ли осуществляется, как обычно, путем рассмотрения выражений
ехр(%)= exp(isI)Z)(a)? D(a)= exp(aa+ — a〃). (1.9)
Для нахождения закона умножения операторов D(a) воспользуемся операторным тождеством )
ехр 4ехр 3 = ехр 收[Л, Б]| охр (Л + 8),(1.10)
справедливым при выполнении условий
[А [4, В]] = 0, [В [/, В]] = 0.(1.11)
Приведем простое доказательство тождества (1.10), данное в работе [141]. Образуем операторную функцию ^(0=схр(М)схр(^)ехр(-^(Л +В)).(1.12)
Она удовлетворяет уравнению
雰=ехр (Ы) [Л, ехр (切)]ехр (—才(4 + 5))=
^t[A.B]F(t).(1.13)
Интегрируя (1.13) и полагая 方=1, получаем (1.10).
Наконец, подставляя в (1.10) 4 = сш+— "а, В == ^ Р@+ —昵 находим закон умножения операторов:
夕(仪)，夕偉)=ехр[〃т(аЕ)]О(а+ 0).(1.14)
Приведем еще формулу для произведения нескольких операторов:
D (%)D 9nт)…D Q) = exp(i6)D(an + 口宀 + ... + а)
(1.15) где
6 = Im( £ 电©).(1.16)
Фазовый угол Im (оф) в формуле (1.14) имеет простой геометрический смысл. Именно
Im(aB)=24(0, В, а + В),(1.17)
где / (а, В, у) — площадь треугольника с вершинами в точках а,卩 п 丫, причем величина А считается положительной, если обход 卩 + 丫，？т-(х совершается против часовой стрелки, н / V 0 в противном случае. Аналогично можно интерпретировать п фазу в формуле (1.15). Вспоминая, что а = (2力)一力"(Q + %尸)，перепишем формулу для б в виде
й = A ^PdQ, (1.18) Г
где интегрирование проводится по контуру многоугольника с вершинами в точках 0,々匕 cti + а』,...,cci + а2 + ... .一十 СС"*). Далее из формулы (1.14) следует
О(а)・О(В)=схр[2» 1т(аВ)]0(р)・0(а). (1.19)
Соотношение (1.19) представляет по существу интегральную форму записи перестановочных соотношений Гейзенберга**). Преимущество этой формы записи по сравне-
*) Обратим внимание читатслетг, знакомых с квантовой механикой, на квазиклассический вид формулы (1.18): 6 пропорциональна площади многоугольника на плоскости {Р, Q),
**) Впервые это соотношение в эквивалентном, хотя и несколько ином виде, было записано Г. Вейлем [249]. В его форме записи оно выглядит так:
нию с (1.3) заключается в том, что в отличие от операторов а и а+, неограниченных в гильбертовом пространстве 捲，операторы 0(a) являются ограниченными, и следовательно, их область определения совпадает со всем пространством Ж
Далее, из (1.14) видно, что операторы ехр(К)0(а) образуют представлепие группы, элемент которой задается тремя вещественными числами (g = (£; g, /2)) илп вещественным числом t и комплексным числом a (g = =(方；сс)). Эту группу мы обозначим через Wx и назовем группой Гейзенберга ——Вейля. Нетрудно видеть, что закон умножения в группе Wi имеет вид
(s;爲，&)•($;%, U2)= (s + t + B(x, у); е + %, + У2).
(1.20)
Отметим егц* что группа Wx принадлежит к классу так называемых нильпотентных групп Ли, которые можно реализовать в впде группы верхних (нижних) треугольных матриц с единицами на главной диагонали. В нашем случае Wi = {g}, где
/ 1ас \
(121)(121)01少
(121)
(121)
I 001 /
Такие матрицы образуют простейшее конечномерное неунитарное иредставленпе группы Wit При этом элементам с】,е% £з алгебры отвечают матрицы
/ 01
0、
0
0\
/0
01 \
1 0 0
°，
°
0
и ( 0
0 0
(1.22)
\ 0 0
0；
\0
0
0/
\0
0 0 /
соответственно.
1.1.2. Представления
группы
Гейзенберга ——
Вейля.
Возникает вопрос о нахождении веек унитарных неприводимых представлений группы Wь Заметим прежде всего, что элементы вида (s; 0) образуют центр группы Wh
т. е. множество всех элементов, коммутирующих со всеми элементами группы W^ Поэтому для любого унитарного неприводимого представления 7(g) группы Й\ операторы 7( (s; 0)) образуют неприводимое унитарное представление подгруппы {(s; 0)}, которое характеризуется одним вещественным числом 九：
『((s; O))=exp(fXs)I(1.23)
(в рассматриваемом нами случае 九=1).
Ответ на интересующий нас вопрос дает теорема Стоуна —фон Неймана [234, 196].
Теорема. При заданном 九(А * 0) любые два унитарные неприводимые представления группы Wt унитарно эквивалентны.
Это значит, что для любых двух систем операторов {0((х)} и Ш(а)}, удовлетворяющих соотношениям (1.19), существует унитарный оператор U такой, что
力(а)= U+0(a)U・(1.24)
Аналогичное утверждение справедливо и для пар операторов а+, а и а+, а, удовлетворяющих перестановочным соотношениям (1.3):
尹=U^a+U, а н U+aU.(1.24х)
Однако эти соотношения справедливы лишь при выполнении некоторых условий, относящихся к области определения операторов 巨十,巨 и а+, а (см. [112]).
Таким образом, унитарное неприводимое представление группы Wi задается одним вещественным числом 入； Т (g) = ^(g),九片 0. Кроме того, есть представления, отвечающие 九=0. Все они одномерны и характеризуются двумя вещественными числами pi и v:
Т (g)= 7“'(g)= exp [力(卩自 + w2)] I.
Перейдем к описапиго представления 7'(g)・
Конкретная реализация представления T'(g). Операторы д, р и а十亍 а действуют в стандартном гильбертовом пространстве 捲.Здесь и в дальнейшем, следуя Дираку, будем обозначать: вектор этого пространства символом |р〉，скалярное произведение векторов |(р> и 1р〉, линейное по |гр> и антилинейное по |(р>, символом〈屮1&〉， проекционный оператор на 怖〉через 1 屮，〈“I. Под состоянием *ф мы будем понимать множество векторов, отличающихся от |р〉лишь числовым множителем.'
Известно, что в 舒 существует так называемый вакуумный вектор |0>, т. е. нормированный вектор, аннулируемый оператором а:
а!0> = 0, 〈30〉=丄(1.25)
Действуя на него оператором а+, получаем множество нормированных векторов：
旧〉=(献)-/2但十广|0),几=3 ], 2,(1.26)
Множество векторов {伍〉} и образует базис пространства 捲.
16
Действие же операторов а и а+ в пространстве 箔 on- ределяется формулами
а\п> = 1п\п— 1>, а+]п> = У?г+ 11тг + 1>,
а+а|тг〉= п\пУ.(1.27)
Часто бывает удобно использовать конкретные функциональные реализации гильбертова пространства 捲, или, как говорят физики, определенные представления. Наиболее часто встречается так называемое координатное представление. В этом случае вектор |«〉 изображается функцией координат 〈夕|屮〉=“(д), являющейся квадратично интегрируемой:
j I 屮⑷ F 歯 < оо. (1.28)
Действие оператора g в координатном представлении сводится к умножению на q, а действие оператора р —— к дифференцированию по q; р ~ —ihd/dq. Базисному вектору |汽〉соответствует функция
(q\n> =中“(e)=
= (j^)-r(2%!)T/2/，i(”"2q)exp(—(2^)Tq2), (1.29)
где Hn(q)— полином Эрмпта степени п. Соотношения (1.27) в координатном представлении дают рекуррентные соотношения для полиномов Эрмита:
京 〃“(g) = 2〃％T(g),(1.30)
(2g-為)％ (q) = %+】(办(1.31)
Отсюда сразу же следуют полезные соотношения
&(q) =(2g —刃"％ (办 ％(g) = l,
Я„ (g) = (— l)nexp ⑺ ^exp (-产 (1.32)dq
и дифференциальное уравнение для полиномов Эрмита
% (G — 2必;⑷ + 2пНп ⑷=0.(1.33)
Действие оператора D(a), а =(2力)-'"(Q + %尸)в координатном представлении дается формулой
D (а)屮(д) = ехрexp 卜年)屮(g — Q). (1.34)
17172 A, M. Переломов
17
17
Когерентные состояния (КС)
В этом параграфе изучаются определенные сверхиол- пые системы состояний, связанные с группой Гейзенберга ——Вейля Wi ——системы обобщенных когерентных состояний. Частный, но в то же время важный случай такой системы представляет обычная система когерентных состояний.
Понятие обобщенного когерентного состояния можно вводить разными способами. Здесь мы следуем работе [207].
Пусть Т (g) — унитарное неприводимое представление группы W1, одпсаппое в § 1.1, a Iq%〉——какой-либо фиксированный вектор в пространстве представления 非.Нетрудно видеть, что состояние ), отвечающее вектору |ф0>, остается неизменным лишь при действии на него операторов вида T((s, 0)). Иными словами, стационарная подгруппа Н произвольного состояния |心〉состоит из элементов вида (s; 0).
Подействуем теперь оператором представления Т (g)= = 7((力；а)) группы Wt на вектор |也〉. Мы получим множество состоянии {|сс>}：
la〉=Q(a)№〉， (1.35)
где сс ——комплексное число. При этом, поскольку стационарной подгруппой состояния 1г|：о〉 является II = {h}^ 无=(力 0), различным сс соответствуют различные состояния.
Система {丨а〉} и является системой обобщенных когерентных состояний типа {Т(g), I屮°〉}. Важный частный случай отвечает выбору в качестве |г|:0> вакуумното вектора I 屮и〉. При этом мы 1голучаем обычную систему КС.
Система обобщеппых КС обладает рядом замечательных свойств, к рассмотрению которых мы переходим.
Заметим прежде всего, что из пеприводпмости представления 7(g) следует, что эта система полна. Однако состояния системы, вообще говоря, нс ортогональны друг другу. В самом деле,
<₽1сс> =〈业【£)+(§)£)(«) Н：о>_==
=exp(i Im (ар))〈屮(JQ(a — §)也〉，(1.36) 【〈Bh〉|2 = 1〈业 |О(а-В)№〉『 = р(а — В), (1.37)
а функция p(cc) в силу неприводимости представления не может тождественно обращаться в нуль.
Оператор D (сс) переводит одно когерентное состояние в другое:
О(сс) (0〉= exp [Z 1т(сф)] 1сс + р. (1.38)
Равенство (1.38) определяет действие группы Wi на сс-плоскости:
(s; р)，а = а + р.(1.39)
Это действие неэффективно, поскольку подгруппа
〃 ={(方；0)}(1.40)
действует на сс-плоскости как тождественное преобразование. Факторгруппа WJH является, как видно из (1.40), группой трансляций сс-плоскости.
Отсюда следует, что инвариантная метрика на сс-плоскэ- стп имеет обычный вид
曲2= \da\\(1.41)
Соответственно инвариантная мера на сс-плоскости дается выражением
d卩(сс) = с d2a = с da* dec?, а = а】+ ta2, (1.42) где c ——некоторая постоянная.
Перейдем к выводу так называемого «разложения единицы». Обозначим через |а〉＜сс| оператор проектирования на состояние 1сс〉и рассмотрим оператор
2 = Jlpxoi^(p).(1.43)
Нетрудно видеть, что оператор Л коммутирует со всеми операторами 0(a). Следовательно, в силу леммы Шура такой оператор кратен единичному:
A = d-1 L(1.44)
Для нахождения константы d вычислим среднее значение оператора Л в когерентном состоянии 丨сс〉：
©т =〈а| 21 а〉= J I〈а I 卩〉|2 印(В) = J р (В)如偉).
(1.44z)
В силу ограниченности оператора А константа @ 子=0; мы можем, следовательно, выбрать в (1.42) постоянную
2*19
J |oi><a|<Zp (cc) = CJ |oi><a|<Zp (cc) = C(1.45)(1.45)так, что J p (a) dp,(a) = 1. «Разложение единицы» принимает теперь вид )
J |oi><a|<Zp (cc) = C
J |oi><a|<Zp (cc) = C
(1.45)
(1.45)
где йр,(сс) дается формулой (1.42), а постоянная с опре- деляется из условия J р (а)@卩 ©) = 1.
Заметим, что из разложения единицы (1.45) сразу же следует, что когерсптные состояния линейно зависимы —
J |a〉〈a| R〉dw(a) = I 卩〉，(1.46)
а ядро X(a, p) = <cclp> является вослропзводявщм ядром )：
J К (a,₽) К (卩,Y)即(P) = К Q, ¥).(1.47)
При этом с помощью условия полноты (1.45) нетрудно разложить произвольное состояние 1“〉 по когерентным состояниям:
I 屮〉н J 屮(《) I «〉d|* (а).(1.48)
Коэффициент 什(а) в (1.48) находится по формуле
屮(а)=〈а【屮〉，(1.49)
причем
〈5 力=J 丨屮(а) 12d卩(а).(1.50)
До сих пор вектор 丨也〉，который был исходным при построении системы обобщенных КС, был произвольным вектором гильбертова пространства 雍.Возникает вопрос: нельзя ли использовать этот произвол в выборе вектора так, чтобы полученная система КС обладала заданными свойствами, например, чтобы КС были наиболее близки к классическим.
В данном случае для получения критерия близости квантового состояния к классическому естественно ис-
пользовать соотношение неопределенностей Гейзенберга
А = Ад・Ар》％/2,(1.51)
где
(аg)? =( (？ 一 ④尸〉，(ару =( g 一(力)2〉，(1.52)
а символ <g> означает среднее значение оператора q в рассматриваемом состоянии lip;〈,〉=〈屮历№〉.
Покажем сначала, что для всех состояний системы не только величина неопределенности А, но и величины А, и Ар одинаковы, т. о. не зависят от сс. Для этого воспользуемся тождеством
_0+(oc)aQ(cc)w а + а, а = & 十汲， (1.53)
которое нетрудно доказать, например, разлагая 0(a) в ряд по степеням оператора (аа+ — сса) и используя перестановочные соотношения (1.3). Из равенства (1.53) сразу же следует, что
<ccl^la> =〈屮/4怖。〉+ (2%)"2 • %,
〈a Ip I a〉=〈取1p1寸0〉+(2方产• g. (1.54)
Отсюда получаем
0及=。苏，(a或=(△廟，(1.55)
что и требовалось доказать.
Таким образом, мы видим, что среди КС всегда существует состояние, для которого 〈,〉=〈卩〉=0. Нетрудно видеть, что таким является состояние
I —Go〉=0(—* 1业〉,I —Go〉=0(—* 1业〉,(1.56)(1.56)
I —Go〉=0(—* 1业〉,
I —Go〉=0(—* 1业〉,
(1.56)
(1.56)
(1.57)(1.57)(1.58)(1.58)илиилиX2(Ag)2-U + (Ap)2>0.X2(Ag)2-U + (Ap)2>0.(1.59)(1.59)
(1.57)
(1.57)
(1.58)
(1.58)
или
или
X2(Ag)2-U + (Ap)2>0.
X2(Ag)2-U + (Ap)2>0.
(1.59)
(1.59)
где сс。=〈5历1收〉. Поэтому без ограничения общности мы можем считать, что〈屮olg馋о〉=〈屮/pl屮°〉= 0. Найдем теперь все состояния с〈乌〉=〈卩〉=0, минимизирую-
щие соотношение неопределенностей Гейзенберга А^ ■ Ар =力/2.
Рассмотрим очевидное неравенство
〈4+4〉》。，4 =饵，入 >0，
Нетрудно видеть, что выполнение этого неравенства при всех значениях 九 эквивалснтпо выполпепито соотношения неопределенностей Гейзенберга и что равенство (1.57)
21
может выполняться лишь в том случае, когда при некотором X > О
В частности, таким состоянием является вакуумное состояние |0> (при 九=1)..
Отметим, что операторы Л и 4+ удовлетворяют перестановочному соотношению
[4,4+] = i,(1.61)'
и поэтому их можно считать новыми операторами «уничтожения» и «рождения». Они получаются из старых операторов а и 优+ с помощью линейного канонического преобразования
А=иа + ш+, 4+ =元仪+ +万 а, Ы2 — I v|2 = 1. (1.62)
Посмотрим теперь, чем выделены векторы 丨 f, удовлетворяющие (1.60), с алгебраической точки зрения. Для этого, следуя [66], рассмотрим комплексификацию Ж^ алгебры Ж1, т. е. множество линейных комбинаций операторов 7, р и I с комплексными коэффициентами. Обозначим через 例={匕} стационарную подалгебру состояния I 屮о〉， т. е. множество элементов Ь е Ж1 таких, что 〃屮°〉=入1屮0〉・ Пусть ^ = {b} — подалгебра Ж1, сопряженная к ^. Подалгебру 例 назовем максимальной, если 身㊉例=潛.Состояния, для которых стационарные подалгебры максимальны, обладают наибольшей симметрией и являются выделенными. Можно показать, что в этом случае когерентное состояние определяется точкой фак- торпрострапства W\]B = B[D、О = exp ②，где 纱=例 П П 傲 КС такого типа можно естественно реализовать в определенном пространстве аналитических функций (см. § 1.3). К состояниям, обладающим максимальной стационарной подалгеброй, относится, в частности, вакуумный вектор 10>_(а!0> = 0), для которого ¥ = {«, ]}, ^ = {а+, 1},毋㊉例=勿;，а также векторы, удовлетворяющие условию (1Ш + и优+)怖〉=М屮〉，|u|2 — |v|2 = 1. Подчеркнем, что только часть таких состояний мипимизи- рует соотношение неопределенности Гейзенберга. Более подробно такой подход рассмотрен в главе 2.
Состояния {|а>}, |а〉=23(а)丨0〉 образуют обычную систему когерентных состояний. Очевидно, что все фор- 22
мулы этого параграфа справедливы и для такой системы. Здесь можно, однако, получить ряд полезных формул, не имеющих места в общем случае.
Так, например, нетрудно видеть, что состояние 丨 а〉 аннулируется оператором
D(a)aD^(a).'(1.63)
Как следует из (1.53), это равенство эквивалентно следующему：
а【сс〉=сс【а〉.(1.64)
Таким образом, обычное когерентное состояние является собственным состоянием оператора уничтожения, причем собственное значение сс может быть произвольным комплексным числом. В то же время нетрудно показать, что оператор а+ не имеет в 鑑 ни одного собственного вектора.
Заметим, что в силу соотношений (1.2) сс-плоскость является аналогом классической фазовой плоскости, точка которой определяется координатами (Q, Р). Соответственно когерентные состояния осуществляют отображение фазовой плоскости в гильбертово пространство 宠.
Дадим сзце несколько полезных соотношений для состояний |сс>.
Прежде всего, из тождества (1.10) нетрудно получить следующие выражения для оператора D(cc):
О (а) = ехр (― I сс 172) ехр (сса+) ехр (—сс«),(1.65)
£>(©)= ехр (I сс 172) ехр (~сс«) ехр (сс^+).(1.66)
Формула (1.65) дает так называемую нормальную или виковежую форму записи оператора О (а). Это значит, что при разложении в ряд все операторы а+ стоят слева от операторов а. Соответственно формула (1.66) дает антпнормальную или аптпвиковскую форму записи оператора D(cc).
Из (1.65) и (1.G6) следуют полезные соотношения a+D (а) = (6/Осс + cc/2)Q(cc),D{(x)a+ = (5/5сс — а/2)О(а),
_(1.67)
а£)(а)= — (д/да — а/2)О(а),
D(a)a = —(^/ да + a/2)D (а).(1.68)
Из (1.65) следует также, что
1а〉= ехр(―Iа12/2)ехр(оса+) |0>.(1.69)
23
Это выражение удобно переписать в виде
|а〉= ехр(—|а「/2)£ 爲I"〉.(1.70)
Приведем еще явные выражения для когерентных состояний в координатном и импульсном представлениях: 〈glee〉= (л^)-1/4 ехр(г(2/Й)1/2 • сс2^)Х
X ехр;[- (2力尸(,一 (2力)。• a J」(1.71)
〈P1а〉=(冗力)I" eXр (-X (2/方)"2 ， &?)X
X ехр (- (2力)-1 (р — (2力)1/2 • а?)?丄(1.72)
Далее, из формулы (1.70) сразу же следует, что
<сс|р = ехр [—% |сс|2 — V21” + сф丄(1.73)
р(сс)= |<аЮ>|2 = ехр( —|а|2),
I <а|р|2 = ехр(—|а — pl2).(1.74)
Заметим, что в рассматриваемом случае функция р(а) нигде не обращается в нуль, так что любые два когерентных состояния не ортогональны друг другу. Это свойство имеет место и для общих систем когерентных состояний с максимальной стационарной подалгеброй.
Теперь нетрудно найти выражение для постоянной с в формуле (1.42). Она оказывается равной 冗一‘,так что выражение для меры dp,(cc) принимает вид
dp.(cc) = dg, а == «1 + га2. (1.75)
Отметим, что такая система когерентных состояний минимизирует соотношения неопределенностей Гейзенберга: для нее Ад • Ар =力/2,
Представление Фока — Баргмана
В обычно используемом координатном или импульсном представлении на функции(р(д) и 屮(卩)，изображающие вектор гильбертова пространства 第, не налагается никаких условий аналитичности. Существует, однако, такая реализация пространства 箔,при которой вектор гильбертова пространства изображается целой аналитической функцией. Такая реализация рассматривалась в работах [129, 91] и называется представлением Фока — Баргмана. Это представление дает возможность во многих случаях упростить решение задач, используя для этого теорию целых аналитических функций.
Такое представление можно связать с каждой системой когерентных состояний, обладающей максимальной стационарной подгруппой. Мы рассмотрим здесь лишь случай обычной системы когерентных состояний:
I «〉= О (а) 10〉， 10> — вакуумный вектор, а 10〉= 0.
Пусть |ф> ——произвольный нормированный вектор пространства %. Тогда, как было показано в § 1.2, состояние 1屮〉 полностью определяется функцией 〈al屮〉. Пусть
I屮〉=2 I九〉，〈屮I屮〉=2(1.76)
П—0n=0
Тогда, как следует из равенства (1.70),
〈《|巾〉=ехр(—% 1а12)ф(сс),(1.77)
где
屮(么)=^n^n (2)» 〃тг (么)=г /—Г " •(1.78)
?г=0V п'
Ряд (1.78) сходится при всех значениях z (в силу условия 2j Iсп^ = 1)» и следовательно, функция 屮(z) является целой аналитической функцией комплексной переменной z. При этом
II 肌 2 =〈屮| 屮〉=Jexp(—|z「)| 屮(z)|2©w(z) v 8. (1.79)
Для целых функций 屮i(z) и 也(么)，удовлетворяющих условию (1,79), определим величину 〈«i 丨 1р2〉 согласно формуле
〈屮 J 屮2〉= J exp ( — I z I2)也(z)屮2 (z)冲(z)・(1.80)
Можно показать [91], что эта величина удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения, и следовательно, такое пространство действительно является гильбертовым пространством. Мы приходим, таким образом, к конкретной реализации гильбертова пространства в виде пространства целых аналитических функций 屮(么)，удовлетворяющих условию (1.79).
Впервые это представление в несколько ином, хотя и эквивалентном виде было введено Фоком в 1928 г. [129]. Фок предложил операторное решение перестановочных соотношений Гейзенберга (1.3)
.@/@z, a+ z(1.81)
25
по аналогии со шредингеровским решением, р = =—ih(d/dq)t ?=弘 н использовал это представление в исследованиях по квантовой теории поля. Это представление было подробно изучено в работе [91] Баргманом, а также в ряде последующих работ [92—94, 160] для конечного числа операторов а^ и at ). Мы назовем его представлением Фока ——Баргмана, а пространство представления обозначим через 窮.Скалярное произведение двух векторов в этом представлении имеет вид (1.80). При этом из неравенства Шварца |<сс!ф>1 W "屮11 сразу же следует, что если 寸(z)w 歹，то
怖(z)l С С exp (Ы 72).(1.82)
Как мы уже отмечали (см. (1.81)), в представлешш Фока — Баргмана оператор а+ является оператором умножения на z, а оператор а — оператором дифференцирования по z, причем, как нетрудно проверить, при выборе скалярного произведения в виде (1.80) операторы а и а+ становятся сопряженными друг другу. Заметим, что это выражение для скалярного произведения можно было бы получить из условия сопряженности операторов а и а+.
Отметим ряд свойств представления Фока ——Баргма- на. Ортонормированный базис в 夕 имеет значительно более простой вид, чем в координатном представлении:
旧〉->〈么旧〉=un(z) = z7?}^!.(1.83)
Соответственно когерентное состояние la〉дается в этом представлении формулой
〈zla〉= охр (—lai 2/2 + az).(1.84)
При этом роль б-функцпп в пространстве 夕 играет следующая функция:
b(z,z，)=工〃寓(z) 〃冗(z) = exp (zz')・(1.85)
n=0
Действительно, легко проверить, что для любой анали* тпческой функции в 夕
〃z) = Jb(z, z，)exp(—] z]2)/(z，)d" (z，).(1.86)
Рассмотрим теперь пространство 厶一пространство всех функций (в том числе и неаналитических), удовлетворяющих условию
II /II2 = J I / (z! z)|2 exp (— I z J2) dp (z) < oo. (1.87) Нетрудно видеть, что формула
『(z) = J exp (z7 — I z，|2)/(z\ 7)印 Z) (1.88)
осуществляет проектирование пространства 〃 на пространство 歹：£2 f 歹.Заметим еще, что если состояния 丨屮〉и 1сс〉ортогональны друг другу, то 屮(《) = 0.
Наконец, связь между обычным координатным представлением и представлением Фока ——Баргмана осуществляется ядром 〈zig〉, удовлетворяющим уравнению
a<z\q> =z〈z|g〉，.(1.89)
пли, в более подробной форме записи,
他(勿對)+ g —(2%)"2z)am〉= 0,. (1.90)
откуда находим
<z|^> = c(z)exp(—(2力)一％2 +(2/^)"2zq).(1.91)
При таком преобразовании функция 屮и (д)=(冗力)X Х ехр(—d/2力) должна переходить в /0(^)= 1- Отсюда следует, что
[с (z)「1 =(冗%尸" J exp (-炉/% + (2/Й)1/2 zq) dq =
.=(冗力)"4 exp (z2/2). (1.92)
Таким образом,
K@ 幻=〈z1q〉=(冗力)一з exp(_z?/2 +(2/克)"^ 一 炉/2方)，
(1.93) а интересующее нас преобразование дается формулами [85]:
/(z) = J К (z, q) ср (q) dq,(1.94)
(р(5)= lim J К (z, g) / (z) exp (— | z『)印(z), (1.95) |Zj<r ,
К (z, g) = (/)-"& 2 S 2一"/吻"(伍尸/2 q) exp ( - W ) •n=0'
(1.96)
27
Сравнивая это выражение с (1.93), получаем производящую функцию для полиномов Эрмита:
exp [_ z2 + 2zg] = £ ^ % (g).(1.97)
71=0
Приведем еще формулы для действия операторов О (а) в координатном представлении:
О (а) = exp g (Pq — Qp)]=
=exp (-養？@exp 0 *) exp J 訥(1.98) 〃(а)屮(q) = exp (—蟲 PQ)exp 卜 *)屮(q —Q), (1.99) а также в представлении Фока ——Баргмана:
■ I .2_
Z)(a)/(z) = exp^- exp (az)/(z —a). (1.100)
В частности, из (1.95) получаем интегральное представление для полиномов Эрмита:
Нп S) =(2п/2/л) J ехр [^ 号/2 + V2zq^\z『]&%
(1.101)
Представление Фока ——Баргмана будет существенно использоваться при решении задач, рассматриваемых в следующих параграфах.
Полнота подсистем когерентных состояний
В § 1.2 уже отмечалось, что система когерентных состояний {|сс〉} является сверхполной. Это значит, что существуют подсистемы когерентных состояний, являющиеся полными. В этом параграфе будут указаны критерии полноты подсистемы {|afe>}, соответствующей подмножеству точек {afe} на а-плоскости.
Предположим сначала, что система {丨 aQ} неполна. Тогда существует вектор 1 屮〉# 0, принадлежащий гильбертову пространству 雍，который ортогонален всем состояниям |ccfe>; <i|)lafe> = 0. Отсюда следует, что функция 2(a) = exp(la|2/2) <i|)|a>(1.102)
обращается в нуль во всех точках множества {aft). В то же время, как было показано в предыдущем параграфе,
28
функция 2(a) является целой аналитической функцией комплексной переменной а п притом удовлетворяет условию
I = j I 2 (а)『ехр (― I а |2) @卩(а) < оо. (1.103)
Иными словами, функцпя 屮(а) принадлежит пространству 部 Если же система {|afe>} полна, то такой функции не существует.
Таким образом, мы доказали
Предложение. Подсистема состояний {|afe>} полна то2- @а и только тогда, когда не существует функции 屮(《)三 w 歹,屮凄 0, обращающейся s нуль во всех точках множества {а". Ряд примеров полных подсистем {|ccfe>} системы когерентных состояний {IccQ} был указан в работе Баргмана [91]. Это:
А. Любое множество {ccj, имеющее предельную точку в конечной части сс-плоскости. Такая подсистема остается полной и после выбрасывания из нее конечного числа состояний.
Б. Любое бесконечное множество {«J, не содержа- тцее точку сс = 0 и такое, что
Х|@「е=8 (1.104)
при некотором е > 0.
Условие Б. является следствием общих теорем относительно связи порядка роста целой функции при |сс| ℃ с распределением ее пулей (см. Приложение А).
В. Особенно иптереспым является случай, когда точки образуют правильную решетку па «-плоскости: «л = С4п,п = mcDi + ?го)2, где периоды решетки Wj и о)2 линейно независимы — Im(6)2^1)^ 0, а т^ и тг пробегают все целые числа. Простейшая из таких подсистем когерентных состояний ——система, соответствующая квадратной решетке с площадью элементарной ячейки £ = л,—— была много лет назад рассмотрена фон Нейманом [54] в связи с изучением вопроса об одновременном наиболее точном измерении координаты н импульса *). При этом для справедливости полученных им результатов необходимо, чтобы система {丨仪用乳〉} была полной. Доказательство полноты такой системы, однако, не было опубликовано.
Полное решение вопроса о полноте подсистем {lamn〉}, связанных с решеткой, дает теорема, доказанная в работе [62] и частично в работе [95] ).
Теорема. Пусть {|amn>} —— подсистема когерентных состояний, связанная с решеткой, площадь элементарной ячейки которой равна S. Тогда:
При S V л эта система является сверхполной и остается таковой при выбрасывании копечного числа состояний.
При S > 冗 подсистема {|ccmn>} не полна.
При S = л эта подсистема полна. Она остается полной при выбрасывании одного состояния, но становится неполной при выбрасывании двух любых состояний.
Отметим, что a-плоскость является аналогом фазовой плоскости для классического осциллятора, причем ячейке фазовой плоскости площади 2冗九 соответствует ячейка а-плоскости площади л. Отсюда следует физическая ш『 терпретация полученного результата: система когерентных состояний, отвечающих решетке на фазовой плоскости с плотностью большей или равной одному состоянию в планковской ячейке, является полной; при плотности меньшей! единицы такая снстема неполна. Эти результаты подтве])ждают фундаментальную важность разбиения фазовой плоскости на планковские ячейки.
Доказательство с (формулированной выпте теоремы дано в приложепшг А.
Таким образом, при S = л, т. е. при выборе одного когерентного состояния в планковской ячейке, в качестве полной II минимальной системы мы можем взять, например, систему ||仪碎〉} — систему всех состояний {脸口〉％ за исключением вакуумного состояния |0>. Разлагая состояние |0> по состояниям системы {|czmn>}, получаем линейное соотношение между всеми состояниями системы {Ictmn〉}. Вычисления дают соотношение [62] (см. приложение А):.
S(一1户-^+'d师〉〜0. (1.105) т,п
Посмотрим теперь, как выглядит это соотношение в представлении Фока ——Баргмана. В этом представле-
нии Ia> -> Wa(z)= exp(—1a|2/2)cxp(az), и соотношение (1.105) принимает вид
f(Z)= £ (-炉”+m+” exp (— I am“ |2/2) exp (amnz)三 0.
(1.106)
Заметим, что ряд в (1.106) сходится равномерно на любом компактном подмножестве сс-плосхчости, и следовательно, /(z)— целая функция z. Тот факт, что /(z)三 0, можно показать н непосредственно [62].
В частности, полагая в (1.106) z = 0, получаем
g (—]严1+m+71 exp Г一 ^ (笈现2 + 2ьти + e = 0, т(?гфL-
(1.107)
где ла = IwJ2, лЪ = Re(g)i(o2), лс = 1(о212, ас — 6? = 1, 〃 > 0, с > 0.
В случае прямоугольной решетки & = 0, и это тождество становится эквивалентным билинейному соотношению для тета-фупкцпй:
仇(J)仇(％)— 03(Т1)04(Т2) —
一仇(П)Оз(0)—仇(匕)也(R)= 0.(1.108)
Здесь q = Xc/2, 5 =沁-'/2, а тета-функщш 63(т) и 04(т) определены формулами [100]
03 (т) = 2 ехр (1лтт2),
04 (т) = £ (— l)mexp (глтт2). (1.109) 修=一0о
В заключение заметим, что из полноты подсистемы |amn> следует полнота подсистемы li|)mn> = U lamn>, где U ——произвольный унитарный оператор.
Выберем теперь U таким, чтобы выполнялось равенство *)
UaU^ = на + ра+,历『一丨亦=1・(1.110)
Тогда——
UD(a)U+ = 0(卩)，卩=/ -忘， (1.111)
т. е. при линейном преобразовании а -> 0 площадь сохраняется.
Отсюда следует, что подсистема {|ipmn>},丨屮响〉= = 0(Ртп)1фо〉 системы когерентных состояний типа (Т,丨屮о〉)，|ip0> = U |0>, где оператор U удовлетворяет уравнению (1.110), также является полной.
Когерентные состояния и тета-функции
Как мы видели в предыдущем параграфе, тета-функции естественно возникают при рассмотрении вопроса о полноте подсистемы когерентных состояний, связанной с правильной решеткой па сс-плоскости *). Теперь мы рассмотрим вопрос о связи когерентных состояний с тета- функциями более подробно.
Рассмотрим правильную решетку L на сс-плоскостп, т. е. совокупность векторов вида an =』^j3j, где п^ п2 —— целые числа, а два вектора со, и о)2 (периоды решетки) вещественно линейно независимы. Рассмотрим также множество операторов {Z)(a7l)} и попытаемся найти их собственный вектор |0>. Для того чтобы такой вектор ) существовал, необходимо, чтобы операторы D(an) коммутировали между собой; при этом достаточно, чтобы коммутировали операторы 力(з0・ Но согласно (1.19) это эквивалентно условию целочисленности:
~ Im (①is?)=儿 A — целое. (1.112)
Иными словами, площадь параллелограмма, построенного на векторах з【и(о2, доляша быть кратна л.
Решетку Е, удовлетворяющую условию (1.112), назовем допустимой. В этом случае собственный вектор должен удовлетворять системе уравнений
D ((Oj) |0S> = exp (/ле；) |0ё>, / = 1, 2,(1.113)
а состояние, отвечающее вектору |0е>, определяется двумя вещественными числами е^ и е2, удовлетворяющими условию 0 W 勺 V 2, т. е. точкой двумерного тора.
Нетрудно видеть, однако, что вектор 丨乩〉не может принадлежать гильбертову пространству 第，в котором
действуют операторы Z>(a)・ Опишем кратко расширенное пространство 箔…(Более детальное обсуждение этой конструкции можно найти в [112].)
Обозначим через 需《подпространство 附 содержащее лишь такие векторы |屮〉,для которых функция
〈q)【T(g) I屮〉ехр(^) <q)|Z>(a) |恥
является бесконечно дифференцируемой для любого фиксированного ф 巨舒.Элементы этого пространства назовем С00-векторами. Отметим, что в число С°°-векторов входят векторы вида
I 屮/〉= J / (a)刀(а) I 屮〉印(а),：
где |屮〉——произвольный вектор пространства 箔,а /(а)—— бесконечнодифференцируемая функция с компактным носителем. Как было показано в работе [132], такие векторы образуют плотное множество в пространстве 第.Определим теперь пространство 第как множество всех непрерывных антилинейных форм на 箔8 и идентифицируем 第 с подпространством пространства 箔_8, поставив в соответствие вектору 丨屮〉三％ антилинейную форму 〈屮кр〉на 第8. При этом представление 7(g), первоначально определенное в пространстве 矍、можно естественно расширить до представления в пространстве 第_8.
Выберем теперь какое-либо из состояний 10Ё>, напри-- мер |0О>, и подействуем на него всеми операторами О (а). В результате получим систему обобщенных когерентных состояний
1%〉=О(а)®〉. (1.114)
Нетрудно видеть, что полученная система состояний совпадает с системой {|0Е>}, определенной согласно (1.113). Это естественно, поскольку стационарная подгруппа Н состояния |0Е> состоит из элементов вида (力；ап), так что факторпространство G/H является дву~ мерным тором.
Заметим, что сама возможность параметризации сос~ тояния комплексным числом а (см. (1.114)) связана с тем фактом, что любой двумерный тор является комплексным многообразием (см. Г801).
Таким образом, система {|0е>} — это система КС, свя- занпая с допустимой решеткой L. Для того чтобы устано~ вить связь этой системы с тета-функциями, рассмотрим состояние |0£> в представлении Фока ——Баргмана:
3 А. М. Переломов 33
|0e> -> 0в(2) (для простоты ограничимся рассмотрением главной решетки, соответствующей 力= 1). В этом случае из (1.113) следует
D(am) |0Е> = exp {mFe(m)} |0£>,(1.115)
где dm = т^^ + т2(о2 — произвольный вектор решетки, а 凡(加)=mtm2 + £两1 + e2^2.(1.116)
Используя соотношение (1.100), можно переписать уравнение (1.115) в виде
0е (z + рт) = exp [Е凡(一加)]X
X ехр( у |рт|2)ехр(рш2)ее(г), (1.117) где pm = am — вектор сопряженной решетки. Но уравнение (1.117)—это обычное функциональное уравнение для тета-функций (см. [35, 100]).
Помимо функции 0е(2), полезно также рассмотреть функцию
或(z, z)=exp(-|z|72)0B(z).(1.118)
Для этой функции из (1.117) получается следующее функциональное уравнение:
6е(2 + §m, z + §т) =__
=ехр [глХ(—W)J exp [i Im(z^m)J бЕ(2т z). (1.119) Таким образом, |0Ё(г, z) I2 = p(s, z), где p(z, z) — неотрицательная функция, периодическая относительно решетки Z, сопряженной решетке 厶.Поэтому обычная норма функции Os(z) бесконечна.
Относительно же решений уравнений (1.117) нетрудно доказать, что функция
h£ (z) = У ехр [— Zjt^e (n)] О(ап)无(z)(1.120)
n
является решением для произвольной целой функции h (2), такой, что ряд (1.120) сходится. В более явной форме
瓦(z)=
=Wexp [ — Е%(тг)] ехр(—金回产)ехр(—&z)无(z + %).
几2(1.121)
В частности, полагая 无(z)三 1, получаем решение /е (z)=%e€ (z)=
=£ехр[—Е%(тг)]ехр —^^- ехр (ап2), (1.122) пL.
имеющей rur суперпозиций когерентных состояний. Следует, однако, иметь в виду, что для определенных значений е, например для е =(1, 1), функция 九(z) равна нулю тождественно.
В заключение рассмотрим вопрос о связи рассматриваемого подхода с подходом Картье [112]. В его работе было показано, что тета-функции возникают при рассмот- ренш工 представления группы Гейзенберга — Вейля W^ индуцированного некоторым представлеппем ее дискретной подгруппы Г, связанной с решеткой 厶 ).
Рассмотрим совокупность операторов Dmn = Z)(加① 1 + + n(o2), где amn = m(i)i + nw2 — точка допустимой решетки L с площадью элементарной ячейки S = л. Эти операторы образуют дискретную коммутативную группу с законом умножения
В(к, I; т, п) = кп — Ъп. (1.123)
Пусть Г ——дискретная подгруппа группы W1? состоящая из элементов вида g=(4n; атп) • Операторы {士/^排整} образуют представление этой подгруппы, а совокупность состояний {|amn>} образует базис некоторого представления группы Г. Постараемся теперь избавиться от знакового множителя в (1.123), или, иными словами, перейти к представлению факторгруппы Г/Го, где Го = {(А：л; 0)}. Перейдем для Э1 ого к новым операторам
1严屮)力м(1.124)
и потребуем, чтобы выполнялось равенство
Dh>lDm>n = Dk^il+n.(1.125)
Отсюда получаем уравнения для величины 歹(归,I)
F{k + т, Z + n) = F(k, l) + F(m, n) + 5(k, Z; m, n) (mod 2)
(1.126)
(величина В определена в (1.123)). Это уравнение совпадает с уравнением (71) в [112] при /72 = 1, тг = 1, и, как нетрудно проверить, имеет решение
F(k, l)^kl + k^l.(1.127)
Перейдем к повой системе состояний
區，=Ди 10> =(一1 产+A+"aG,(1.128)
в которой действие оператора 少班 имеет вид
。以 lamn〉== la^+m,【+“〉♦(1.129)
Отсюда сразу же можно получить соотношение между состояниями системы |ссА1>. Это соотношение типа 工с奴I «々?〉~ °，как мы знаем, единственно. Следовательно, оно не должно меняться при действии на него оператора D^. Нетрудно видеть, что единственное соотношение, удовлетворяющее этому требованию, имеет вид
W I ^тгпУ = 2(- i)mn+m+n -о (1.130)
и совпадает с (1.105).
Отметим еще, что единственность решения функционального уравнения (1.117) следует из неприводимости представления группы W^ индуцированного дискретной подгруппой Г ([18], [112]). В частности, при Ei = е2 = 1 состоянию 10ц> соответствует
/н(2)со (г) ехр (—vz2),(1.131)
где и =(4n)-"(ni3z — th①)切=之(3丿2),。и ^ — известные функции Вейерштрасса (относительно деталей см. [62]). В заключение отметим интересную работу [26], где такие состояния были использованы для описания движения электрона в периодическом магнитном поле.
Операторы и их символы
Как было показано в § 1.2, вектор I гильбертова пространства 循 полностью определяется функцией 〈《馋〉，которую можно назвать символом вектора *). Тем самым мы получаем функциональную реализацию гильбертова пространства. Аналогично, оператору из определенного классу в гильбертовом пространстве с помощью системы когерентных состояний можно поставить в соответствие функцию, которая полностью определяет этот оператор. Эту функцию мы и будем называть символом оператора.
Такое соответствие между функциями и операторами оказывается весьма полезным. Оно позволяет, например, свести ряд вопросов относительно операторов к более простым вопросам, относящимся к функциям. Полезным оказывается и обратное соответствие. Именно, символ оператора в ряде случаев можпо рассматривать как функцию па фазовом пространстве классической динамической системы. Сопоставление ему оператора дает квантование этой системы. Тем самым устанавливается связь с работами Кириллова [38] и Костанта [41, 173] по квантованию, в которых развита общая процедура построения унитарных неприводимых представлений групп Ли. Когерентные состояния осуществляют этот переход наиболее естественным образом: во многих случаях они являются квантовыми состояштямп, св(»йства которых паибо- лее близки к классическим. Поэтому построен по системы когерентных состояний можпо рассматривать как завершение процедуры квантования, и этот этап можно назвать постквантованием.
Итак, пусть {|сс>} •—обычная система KG, ir пусть Л — некоторый оператор. Поставим ему в соответствие функции Л (а, В) и Л (а,卩)，определенные формулами
а @6)= а 饰〉， (1.132)
% ("В) = exp 0al £ В」,)力("В). (1.133)
Нетрудно видеть, что функция Л (сс, ») полностью определяет оператор Л, причем опа является аналитической функцией комплексных переменных а и §. Покажем, что эта функция полностью определяется своими значениями на диагонали, т. е. функцией % (а, а). Перейдем к новым переменным 笈=(а + р)/2, и = %(а — §)/2, так что § = d + Zu, а = и — tv. Тогда F(u, и)= 4(сс,卩)—— целая функция переменных 我 и и. На диагонали а = р переменные и п v вещественны. Поэтому наше утверждение является следствием того хорошо известного факта, что целая функция переменных и п v полностью определяется своими значениями при вещественных и и V.
Таким образом, функция Л (сс, В) также полностью определяется своими значениями на диагонали, т. е. функцией
Q&(a)=〈a|Z|a〉=Z(a, а)= ехр(—|а|2)Л(а, а). (1.134)
С другой стороны, в ряде случаев оператор А можно представить в виде
N = J 尸厶(а) 1 а〉〈а | d卩(а).(1.135)
Такое представление оператора рассматривалось еще в работе Глаубера [142, 143] 口 Сударшана [235].
Возникает естественный вопрос: какими свойствами должна обладать функция псрсмснпых а и а для того, чтобы она могла рассматриваться как Р- (пли Q-) символ оператора; для каких операторов такие символы существуют?
Известно, что если оператор Л ограничен, то существует символ 0А(а), который является значением целой функции 4 (а, 0) прп 卩=а. При этом функция Л (а,卩) удовлетворяет неравенству
|4(а,6)у【4||ехр(^41Н)(1.136)
Здесь символ ИЛИ означает верхнюю грань величины <if |Л |ф> по всем нормированным состояниям 丨屮〉， 〈#|屮〉=丄(^-символы существуют также и для некоторых неограниченных операторов, например для операторов, ЯВЛЯЮ1ЦПХСЯ полппомамн по операторам рождения и уничтожения, а+ и а.
Для Р-симвонов известен следующий результат: если Р(а, а)— функция такая, что
J IР (а, а) |г ехр (—\ а |2) d^ (а) < оо при г > 2, (1.137)
то эта функция является Р-символом оператора с плотной областью определения. Свойства Q- и Р-спмволов операторов были исследованы Березиным [9], назвавшим их ковариантными (виковскими) и контравариантяыми (антивиковскими) символами соответственно. Они обладают рядом свойств, в некотором смысле дуальных друг другу. Мы приведем здесь некоторые из этих свойств без доказательства.
Пусть для оператора Л его средние значения 〈屮I/怖〉по состояниям I屮〉，принадлежащим плотной области гильбертова пространства, образуют множество 勿(4) на комплексной плоскости, величины Q&(a, а) образуют мноя«ество 勿(Q), а выпуклая оболояка множества 38
величии Р<(а, а) образует множество 勿(Р). Тогда
攵>(Q)u&>(3)u&>(P)・(1.138)
В частности, для того чтобы оператор Л был ограничен, необходимо, чтобы его Q-символ был ограничен, и достаточно, чтобы P-символ был ограничен. .Кроме того, справедливы следующие неравенства:
sup |Qa(% а) 1 W 口4【1 W sup \Ра｛^ а) I; (1.139)
здесь МП — норма оператора Л.
Если оператор Л определен на финитных векторах ), его замыкание является самосопряженным оператором, обладающим символом Р® а) таким, что
J I 尸『ехр (—] a F)d卩(а) V 8 при к> 1;
тогда этот оператор обладает также Q-ciimbojiom Q(a) и 勿(Q)ug@)u 勿(Р),(1.140)
где о (Л)一 выпуклая оболочка спектра Л.
Для того чтобы оператор А был ядерным ), необходимо, чтобы его символ Q(a, а) был интегрируемым^ и достаточно, чтобы интегрируемым был символ 0(а, а). При этом справедливо следующее соотношение:
tr (2) = f Q (а, а)却(а) = J Р (а, а) ©卩(а). (1.141)
Для того чтобы оператор Л был вполне непрерывным, необходимо, чтобы его символ Q(a, а) стремился к нулю при |а1 — 8, и достаточно, чтобы стремился к нулю символ Р(а, а) при lai f 8.
Если Н —— самосопряженный оператор, обладающий как так и P-символами, то
ехр (— tQ (а, а))却(а) &
W tr exp (— tH) & J exp (— tP (а, a)) djx (а). (1.142)
Оператор ехр(—Ш)——ядерный, если существует интегралJ ехр (— tP (а, а)) d^ (а).
Отметим, что левая часть неравенства в (1.142) следует из (1.141) и из неравенства для (^-символа U(a, а") оператора охр (—Ш):
U(a, a")N ехр(—力〃(а, а)). (1.143)
Правая часть неравенства в (1.142) аналогична обычному неравенству Фейнмана
1г [ехр (— "/) Y 而 J ехр (— til (р, ')) dp dq, "=//2 + T(力 (1.144)
Заметим, что доказательство неравенства (1.144) основано па представлении оператора ехр(—^Я) в виде интеграла по мере Винера и не может быть распространено на операторы более сложного вида.
С помощью неравенства (1.142) при довольно общих предположениях можно получить асимптотику (при Е f f 8) величины N{E) — числа собственных значений оператора 瓦 меньших Е：
N(E)^(l+o(l)) f dFi(a) = (1 + 0(1)) ,f d"(a). P(a)<EQ(a)VE
(1.145)
Доказательство соотношения (1.145) дано в работе [28] при условии, что Р- и Q-символы оператора Н регулярны и удовлетворяют условию
J йИ(а) = ЛЕ?(1 + о(1)), ?>0.(1.146)
Р(а)<Е
В этой же работе отмечено, что экспоненту в формуле (1.142) можно заменить произвольной вогпутой функцией: ехр (n) f 屮(％)・
Отметим еще, что систему КС можно использовать для обобщения так называемого неравенства Голдена — Томпсола [145, 240]:
tr ехр {Т(4 + 8)} V tr {ехр(—М)ехр(—出)}・(1.147)
А именно, можно доказать [179] следующее неравенство: tr exp {—力(4 + В)} W
W J〈а [ exp (— M) I a〉exp (— tPp ⑺)&卩(叫 (1.148) где
в = 、 рB (胃)[优〉〈a I 公， (办(1.149)
Наконец, отметим, что Q- и Р-символы связаны простым соотношением
Qa(a) = J|〈a]0〉|2 РА (₽) ^ (₽)=
=л」】J ехр (- [а-р |2) РА (р) ^. (1.150)
Ядро, входящее в это соотношение, является сглаживающим. Поэтому Q(a) определяется по любой заданной функции 尸(а). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, а именно существуют операторы, обладающие (^-символами, но не имеющие Р-представления.
Q- и P-символы оператора тесно связаны с так называемыми нормальной и аптинормальной формами записи оператора. Напомним, что нормальной, или виков- скоп, формой записи оператора называется представление его в виде
2 = 2 儿"(a+严4",(1.151)
m,n
в котором операторы а+ стоят слева от операторов а. Заметим, что в такой форме может быть записан любой ограниченный оператор. При этом, как нетрудно видеть, Q；(% а) =〈а 12 I а〉=工 Итпатап. (1.152)
Следовательно, разложение функции Qa{^ а) по степеням а и а дает коэффициенты Атп в нормальной форме записи оператора А.
Пусть теперь оператор Л записан в антинормальпой (антивиковской) форме
А=^А^(а+)п.(1.153)
т.п
Перепишем это выражение в виде
2 = X 黑也吋(/)",(1.154)
m,n
где I ——единичный оператор.
Подставляя вместо I разложение единицы (1.45), получаем следующее выражение для функции РА：
尸从(а, а)=，黑(1.155)
т,п
Таким образом, Р-представлепие тесно связано с ан- типормальной формулой записи оператора.
Приведем выражение для символа произведения двух
операторов. Пусть С = АВ. Тогда
С@ у) = J 4 (а, ₽) в (₽, у)加(0),(1.156)
ИЛИ
С (а, Y)= j3 伍 Р) 2 (Е，у) ехр (-\ 0『)即的 (1.157) Действие оператора па состояние
饰〉=2|Ф〉(1.158)
также нетрудно переписать через символы
V(a)=〈a 怖〉，ср(а)=〈alcp〉.(1.159)
Именно,
屮偉)=J〈B|a〉？A(a)(p(a)dH(a),(1/6。)
屮(卩)=J /(5, а) ср(сс) б7ц(а).(1.1G1)
Проиллюстрируем удобство использования символов операторов па некоторых примерах.
А. Лемма Шура (см., например, [94]).人
Лемма. Любой ограниченный линейный оператор В, коммутирующий со всеми операторами D(a), кратен единичному оператору, умноженному на число.
Доказательство. Оператору В соответствует символ 方G 2)-exp(kl2)<0H>4^)^(2)l0>.
При этом из условия коммутации сразу ?не получаем S(z, z) = exp(zz)B00. Следовательно, В Q iv) = exp Qiv) &力 а этому символу отвечает оператор Вва • I.
Б. Вычисление величины tr_D(T). В качество другого примера рассмотрим вычисление следа оператора 力(丫), или,, иными словами, характера представления T(g). Нетрудно видеть, что оператору 刀(丫)отвечают символы
Р(а) = ехр(|у172)ехр(7а — ,а),
—(1.162)
Q(a) = exp (—17 р/2) exp (7а — ^а).
Отсюда получаем
tr 刀(丫) = ехр (— [ 丫产/2) J exp [2i Im(yci)]d卩(a)=
=n62-(7), 62(Y) = 6(?1)6(?2), Y=Yi +咕， (1463)
Из (1.163), в частности, следуют важные соотношения: 冗—Хг[0(а)刀-i(b)] = 62(a — Q,(1.164)'
N = J tr [刀(!]) 2]・Z)T ⑺ d2n.(1.165)
С помощью символов нетрудно получить также явное выражение для матричных элементов оператора D(7). Именно, из (1.162) находим выражение для функции
G(а, р； т) = ехр [^ (1а户十 Ipl2)] <a|Z>(y) |р> =
=схр(—【т〔2/2)схр(ар 十 ау —卩丫). (1.160)
С другой стороны, это выражение равно
G (а, (5； у) — £ 〃т(а) %几(у)〃М|3); 〃制(а) = a"/Jzn!, т,п
(1.1G7)
так что функция G(a, р; 丫) и является производящей функцией для матричных элементов. Остается разложить выражение (1.166) в ряд по степеням а и §. При этом получаем формулу Швингера [222]: Dm,n (?)=
丿加(/п!)т ”р (— Ц1 卜优к悪—а у I2) при т》п,
/тw!(叫т еXР (- —^ (一Y尸一也£忆7n (I Y I2) при таn,
(1.168)
где 了(况)一полином Лагсрра. Вывод этой формулы, а также ряда свойств полиномов Лагерра, следующих отсюда, дан в приложении Б.
Отметим, что ранее, но в несколько ином виде, формула (1.168) была получена в работе ①ейпмапа [127]. Отметим также, что при т = п из (1.168) следует
<zj|exp(aa+)exp(—aa)\гь) = Ln{\a\z).(1.169)
43
Наряду с символами РА (а) и Q<(a), которые связаны с виковской и антивиковской формами записи оператора Л, удобно ввести еще одну функцию — W<(a), которая также полностью характеризует этот оператор.
Рассмотрим так называемую симметризованную форму записи оператора
^4=(1.170)
т,п
где симметризовашюе произведение {(a+)man} определяется формулой
^т^ = (^,Р^т^(!-171)
а оператор Р (симметризатор) означает сумму (тп + ")! перестановок сомножителей.
Оператору Л, записанному в виде (1.170), поставим в соответствие функцию
W.4(a)= £ Д„,后％".(1.172)
т,п
Для того чтобы выяснить соотношение между Л и 忆1, представим функцию 14\(а) в виде интеграла Фурье:
WA (а) = J ехр (ат] — ат]) %厶⑺"卩(П)・(1」73)
Тогда, как нетрудно проверить, оператор 4 отвечающий WA, дается формулой )
N = J о (п) (п)办(л)=
=J ехр (а+т)— ат]) Ха (п) ^(Л)- (1」74)
Таким образом, переход от функции Wa к оператору А сводится к замене в интеграле Фурье (1.173) ^величины а на оператор а и соответственно величины а на оператор а+. Такое соответствие между функциями и операторами было установлено Г. Вейлем (см. его книгу [250] и работу [249]). Функцию 1yA (а) мы будем называть поэтому вейлевским символом оператора А.
Теперь нетрудно выразить оператор Л через функцию %&(&). Для этого из (1.173) находим функцию Ха(л) и подставляем ее затем в (1.174). Получаем формулу
2 = ^Wa (а)亍(а)办I (а), (1.175) где * $ м 亍(а) = J ехр (а“ 一 aq) D (n) d卩⑺， (1.176) Г (а) = 20 (a) J 0T (а) = 20 (2а) J = 2了。(- 2а). (1.177) Здесь J ——оператор инверсии на а-плоскости：
W^ = D{~ay 予=工 詳 n = (—l)Fm『 (1.178) Операторы Т(а), так же как и операторы 0(a), образуют полную ортогональную систему：
E'tr[T(a), 7(В)] = 52(а — §), (1.179)
J Thi (а) Ттп (а) dp, (а) = 8im8hn. (1.180) Мы можем, следовательно, разложить произвольный оператор по операторам Т(а):
N =『1 j[tr(T(a)4)]T(a)dw(a). (1.181) Нетрудно установить также связь между функциями Q, Р и W. Именно, из (1.173) и (1.174) следуют соотно^ шения
勿А 3) = “П (₽) ехр (— 2 I а — 0 产)如偉)，(1.182) Qa (а) = JWa (6) ехр(-2|а-₽ 卩)即偉)=
=fz>A(P) ехР(-|а-р|2)^(₽). (1.183)
Таким образом, функции 万厶(々) и Qa(cc) являются сглаженными версиями функции РА(а). В классическом пределе все эти функции существенно меняются на расстояниях Да > 1; при этом все три футпщии совпадают.
Характеристические функции
В этом параграфе мы рассмотрим основные свойства характеристических функций (см. работы [31, 75, 156, 183, 188]), . 一
Пусть W(q, p) —некоторое вероятностное распределение в фазовом пространстве классической динамической системы. В классической статистике характеристическая функция %(|, л) определяется как математическое ожидание величины exp i(~nq + ^р), т. е. как преобразование Фурье функции %(?, »). Перейдем к новым переменным
а = /(с+3), ^ = ^(5 + ^)- (1.184)
Тогда
(1.185)(1.186)(1.185)(1.186)% 5) = J R (а) ехр (— т)а + 妆)d“ (а),加(а) = J % (п) ехр (欣—па)壮卩(т]).
(1.185)
(1.186)
(1.185)
(1.186)
Рассмотрим подробпее важный частный случай, когда w(g, р) —символ матрицы плотности: и?(а, а)= =<alpla> =(2(a), т. е. и?(а, а) —нормированная вещественная и неотрицательная функция. Отсюда следует, что характеристическая функция %(п) должна удовлетворять условиям
х(О) = 1,(1.187)
_%(叫=%(一叫，(1-188)
X 2肉％ ⑺一“)》0,(1.189)
где неравенство (1.189) должно выполняться для любых наборов комплексных чисел 々,...,zn и 巾,...,т)„. Это неравенство есть известпое условие положительной определенности ——условие Бохнера ——Хипчипа (см., па- пример, [76]).
Характеристическая функция %(п) удобна для вычисления моментов случайных величин:
Мтп = <aman> = f w (а) атап 讶卩(а)—
=(一就脸门⑺
Пользу от введения характеристической функции мы получаем, в первую очередь, благодаря мультипликативному свойству ехр (х + у) = ехр / • exp у. Поэтому, если величина а есть сумма нескольких независимых случайных величин (а = с^ + •.. + ап), характеристическая функция %(п) величины а дается произведением 46
характеристических функций 左少),а распределение вероятностей ш(а)——формулой свертки:
Z (п) = II 左(明)=1Z (п) = II 左(明)=1(1.191)(1.191)俨(а —а「...—а 项〃必吟・ d-192)俨(а —а「...—а 项〃必吟・ d-192)Из (1.192), в частности, видно, что распределение w(а) заведомо неотрицательно при неотрицательных ш；(а). На свойстве (1.191) основаны многочисленные применения характеристических функций в теории вероятностей, в проблемах случайных блужданий и броуновского движения (см., например, [75] и [76]). При переходе к квантовой теории появляются два новых пункта.Во-первых, состояние системы задается матрицей плотности р, т. е. эрмитовым положительно определенным оператором со следом, равным единице. При этом среднее значение любого оператора определяется по формулеИз (1.192), в частности, видно, что распределение w(а) заведомо неотрицательно при неотрицательных ш；(а). На свойстве (1.191) основаны многочисленные применения характеристических функций в теории вероятностей, в проблемах случайных блужданий и броуновского движения (см., например, [75] и [76]). При переходе к квантовой теории появляются два новых пункта.Во-первых, состояние системы задается матрицей плотности р, т. е. эрмитовым положительно определенным оператором со следом, равным единице. При этом среднее значение любого оператора определяется по формуле〈力〉i(p").〈力〉i(p").(1.193)(1.193)Во-вторых, q и р, а также а 皿 а+ мутируют, и следовательно, существененВо-вторых, q и р, а также а 皿 а+ мутируют, и следовательно, существенентеперь не ком- порядок сомно-теперь не ком- порядок сомно-ЖIIтeлei^ exp(q〃+) и exp(—“〃). Обычно работают с одной из трех характеристических функций:ЖIIтeлei^ exp(q〃+) и exp(—“〃). Обычно работают с одной из трех характеристических функций:XnUMp ехр(т]а+)ехр(-11б!)), %о(-П)= "(p exp (i]a[- т]«)), %aJ1) = tr(P exp (一咽 exp(t]a+)).XnUMp ехр(т]а+)ехр(-11б!)), %о(-П)= "(p exp (i]a[- т]«)), %aJ1) = tr(P exp (一咽 exp(t]a+)).(1.194)(1.195)(1.196)(1.194)(1.195)(1.196)Индексы М О, 4 соответствуют нормальному, обычному (симмстризовапному) и антипормальпому распо^ ложепию а и а+; индекс О обычпо опускается.В силу (1.65), (1.66) все три характеристические функции просто связаны друг с другом,Индексы М О, 4 соответствуют нормальному, обычному (симмстризовапному) и антипормальпому распо^ ложепию а и а+; индекс О обычпо опускается.В силу (1.65), (1.66) все три характеристические функции просто связаны друг с другом,儿(哨=exp(—ojT)|2)%N(n),儿(哨=exp(—ojT)|2)%N(n),(1.197)(1.197)О1/2 uО1/2 uпри при припри при приk = N, к = О, к = А,k = N, к = О, к = А,(1.198)(1.198)
Z (п) = II 左(明)=1
Z (п) = II 左(明)=1
(1.191)
(1.191)
俨(а —а「...—а 项〃必吟・ d-192)
俨(а —а「...—а 项〃必吟・ d-192)
Из (1.192), в частности, видно, что распределение w(а) заведомо неотрицательно при неотрицательных ш；(а). На свойстве (1.191) основаны многочисленные применения характеристических функций в теории вероятностей, в проблемах случайных блужданий и броуновского движения (см., например, [75] и [76]). При переходе к квантовой теории появляются два новых пункта.
Во-первых, состояние системы задается матрицей плотности р, т. е. эрмитовым положительно определенным оператором со следом, равным единице. При этом среднее значение любого оператора определяется по формуле
Из (1.192), в частности, видно, что распределение w(а) заведомо неотрицательно при неотрицательных ш；(а). На свойстве (1.191) основаны многочисленные применения характеристических функций в теории вероятностей, в проблемах случайных блужданий и броуновского движения (см., например, [75] и [76]). При переходе к квантовой теории появляются два новых пункта.
Во-первых, состояние системы задается матрицей плотности р, т. е. эрмитовым положительно определенным оператором со следом, равным единице. При этом среднее значение любого оператора определяется по формуле
〈力〉i(p").
〈力〉i(p").
(1.193)
(1.193)
Во-вторых, q и р, а также а 皿 а+ мутируют, и следовательно, существенен
Во-вторых, q и р, а также а 皿 а+ мутируют, и следовательно, существенен
теперь не ком- порядок сомно-
теперь не ком- порядок сомно-
ЖIIтeлei^ exp(q〃+) и exp(—“〃). Обычно работают с одной из трех характеристических функций:
ЖIIтeлei^ exp(q〃+) и exp(—“〃). Обычно работают с одной из трех характеристических функций:
XnUMp ехр(т]а+)ехр(-11б!)), %о(-П)= "(p exp (i]a[- т]«)), %aJ1) = tr(P exp (一咽 exp(t]a+)).
XnUMp ехр(т]а+)ехр(-11б!)), %о(-П)= "(p exp (i]a[- т]«)), %aJ1) = tr(P exp (一咽 exp(t]a+)).
(1.194)
(1.195)
(1.196)
(1.194)
(1.195)
(1.196)
Индексы М О, 4 соответствуют нормальному, обычному (симмстризовапному) и антипормальпому распо^ ложепию а и а+; индекс О обычпо опускается.
В силу (1.65), (1.66) все три характеристические функции просто связаны друг с другом,
Индексы М О, 4 соответствуют нормальному, обычному (симмстризовапному) и антипормальпому распо^ ложепию а и а+; индекс О обычпо опускается.
В силу (1.65), (1.66) все три характеристические функции просто связаны друг с другом,
儿(哨=exp(—ojT)|2)%N(n),
儿(哨=exp(—ojT)|2)%N(n),
(1.197)
(1.197)
О
1/2 u
О
1/2 u
при при при
при при при
k = N, к = О, к = А,
k = N, к = О, к = А,
(1.198)
(1.198)
и поэтому достаточно знать любую из них.
Приведем полезную формулу для матрицы плотности, диагональной в представлении чисел заполнения
(pmn Rmbmn)：
ХА (п) = ехр [—ОА|Т] I2]工 wnLn Q 刀产).(1.199)
Воспользовавшись формулами (1.65), (1.197), нетрудно получить, что
Р = JxoW^h)^^),(1.200)
Р = J %n ⑺ ехр (―犧)ехр (М) 〃"(Т])，(1.201)
Р = J %а ⑺ ехр (т]«+) ехр(—汨 dp,⑺(1.202)
(следует обратить внимание на порядок операторов а и а+). Таким образом, любая из характеристических функций %在(п) однозначно задает матрицу плотности р.
Из эрмитовости и нормировки р для характеристической функции, как и в классической теории, для всех к следует_
猊(0)=(, %/t(n) = X/t(-n)-(4.203)
Условие неотрицательпости матрицы плотности
<4lpl4>>0(1.204)
для любого вектора 饰〉для функций 加(п) записывается в виде (см. [83])
2 z£ ехр (%/• + s" % — t}j I2) Ха (% — 力)》° (1.205)
при любых наборах комплексных чисел Z], ..., z*; П】，• * *，Rm
В квантовом случае, так же как и в классическом, характеристические функции удобны для вычисления моментов:
М(盘=(一尉儔)Za(Л)|n=o-(1.206)
Всличипы Мтп суть средние значения нормальных, ап- тинормальных и симметризованных произведений
m黒=〈(小严m〉，
M^ = <an(a+)m>,.(1.207)
姒像=〈б(小严}〉.
Г ла в а 2
КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ГРУППЫ ли
Результаты предыдущей главы можно обобщить на случай произвольной группы Ли. Это и является предметом данной главы, где, следуя работе [207], введены системы когерентных состояний для произвольной группы Ли и исследован ряд свойств этих систем. Читатель, интересующийся главным образом когерентными состояниями для простейших групп Ли, может данную главу опустить.
Заметим, что хотя обобщенные когерентные состояния можно определить для липейпых представлений произвольной группы (например, для конечной группы), мы ограничимся рассмотрением унитарных неприводимых представлений групп Ли. Именно в этом случае мы получаем содержательную теорию.
§ 2Л. Определение обобщенного когерентного состояния
Пусть G -— произвольная группа Ли, a 7(g) — ее унитарное неприводимое представление, действующее в гильбертовом пространстве 第.
Возьмем некоторый фиксированный вектор lipo〉 пространства 第 и рассмотрим множество векторов 1必〉，где 丨必〉=7(g)応〉，a g пробегает всю группу G. Нетрудно видеть, что векторы | 屮g】〉и 丨屮g?〉 отличаются друг от друга на фазовый множитель: | 恥工〉=exp (ia) | 屮且2〉岂 loxp (га) I = 1, или, иными словами, определяют одно и то же состояние лишь в том случае, когда T(g「gi)IWo〉= =exp (»а) I 屮°〉. Пусть Н = {М — множество элементов группы G таких, что
(2.1)(2.1)Т (无)怖°〉= cxp(ia(%))l2()〉・
(2.1)
(2.1)
Очевидно, что Н ——подгруппа группы G. В том случае, когда подгруппа Н максимальна, мы назовем ее стационарной подгруппой состояния lip».
Из этого построения видно, что векторы 丨也〉для всех g, входящих в один левый класс смежности G по Я, отличаются друг от друга лишь фазовым множите-
4 д, м, Переломов 49
лом и потому определяют одно состояние. Выбирая в каждом классе х по одному представителю g ⑺ группы G『)получаем множество состояний {|i|?g(x)>}, где / wX = =G/H, или в сокращенной форме записи： {|化〉},花三 X.
Теперь мы можем определить понятие обобщенного когерентного состояния.
Определение. Системой когерентных состояний типа {7(g),丨屮。〉} (T(g) — представление группы G, действующее в некотором пространстве 箔，а |^0> — фиксированный вектор этого пространства) назовем множество состояний {|“g〉}, Wg〉= T(g)怵°〉，где g пробегает всю группу G.
Пусть Н — стационарная подгруппа состояния 也〉. Тогда когерентное состояние |屮月〉определяется топкой / = z(g) факторпрострапства GU、соответствующей элементу g； I屮纟〉=cxp(za)|力(幻〉，I业〉=lo>.
Замечание 1. Состояние, соответствующее вектору I молено рассматривать также как одномерный проектор Рх = \х><х\ в 窮,dimРх = 1. Таким образом, система обобщенных КС определяет мно?кество одномерных подпространств в 附 параметризуемых точками однородного пространства X = G/II.
Можно рассмотреть и более общие системы, когда точке х однородного пространства X ставитсл в соответствие тгоднространство Рх в 非，которое ужо необязательно одномерно, причем Т (g) PQ(「)= Р&：х. Такие системы были исследованы в работе [24].
Замечание 2. В ряде случаев полезпо рассматривать пе гильбертово пространство 第 а более широкое пространство 褒П* ——так называемое оснащенное гильбертово пространство. Тогда действие представления Т (g) распространяется па пространство %. Если в качестве начального элемента I巾°〉взять элемент пространства 窮，то получится более общая система КС. Такие системы КС возникают при рассмотрешш представлений основных серий полупростых групп Ли, а также когда стационарная подгруппа II является дискретной подгруппой в G (см. § 1.5 по тета-функциям и § 3.2).
Ваягный класс систем КС образуют такие системы, для которых пространство X = GUI является однородным симилектическим многообразием. В этом случае
X можно рассматривать как фазовое пространство классической динамической системы ), а отображение % + f Рн ——как «квантование» этой системы.
Способ построения унитарных неприводимых представлений группы G по классической динамической системе с фазовым пространством X был развит Кирилловым [38] и Костантом [41, 173], однако в этом подходе не рассматривается принцип соответствия и аналог постоянной Планка. При дополнительном предполо- женип об аналитичности, т. о. для случая, когда пространство X является не только симплсктическим, по также и комплексным многообразием, т. с. однородным кэлеровым многообразием, “Hoii подход к квантованию был развит Березиным [10]. Этот подход дает возможность получить больше результатов, но для более узкого класса групп. В рассматриваемом случае квантование осу- гцествляется пр口 помоищ когерентных состояний, причем, в отлично от общего случая, здесь можно доказать также и принцип соответствия: классическая: динамика является пределом квантовой динамики, когда параметр, шрающпй роль постоянной Планка, стремится к нулю.
В дальнейшем мы будем называть для краткости обобщенные КС крости 1?огерснтнымп состояниями.
§ 2.2. Общие свойства системыобобщенных когерентных состояний
Заметим прежде всего, что из (2.1) сразу же следует, что ехр [2а(瓦无J] = exp (2а(九2)) exp (Ха(加))，т. с. oxp(Za(7^)) —одномерное унитарное представление (характер) трутшы Я.
4*4*Если это представление не является тождественным, т. е. а (无)关 0, то факторгруппа Л группы Н по ее коммутанту W ) не является тривиальной, т. е. содержит элементы, отличные от единицы; при этом характер группы Л полностью определяет представление группы Я.
4*
4*
Если же 仪(万)曰0, то Я — стационарная подгруппа вектора 丨少。〉в обычном смысле слова. В том и в другом случае представление Т группы G при сужении его на подгруппу Н должно содержать одномерное (единичное) представление группы Я*).
Заметим, что если подгруппа Н связна, то вектор 丨"фо〉является собственным вектором инфинитезимальных операторов представления группы Н.
Пусть 〃о ——подгруппа группы Н, состоящая из элементов 万о таких, что 7(九0)=1. Нетрудно видеть, что Яо — инвариантная подгруппа группы Н. Рассмотрим факторгруппу Н/Яо- Если она компактна, то вектор 怖0〉， являющийся собственным вектором операторов 7(%), принадлежит гильбертову пространству 箔.В том случае, когда Н/Но некомпактна, вектор 也〉не содержится в пространстве 箔,а входит в пространство обобщенных функций 箔—**).
Рассмотрим действие оператора Т(g) на состояние ***) 1收〉=10)：
7(g)]O〉=exp(ta(g))反(g)〉・(2.2)
Здесь функция a(g) определена на всей группе G и при g и 方 совпадает с ранее рассмотренной функцией а (А). Заменяя в равепстве (2.2) g на gh, получаем
a(g无)=a(g)+a(〃).(2.3)
Подействуем теперь оператором 7(gi) на произвольное когерентное состояние |力：
Т(gi) |х> = exp [-id(g)]7,(g1)7(g) Ю> =
=exp[ip(g” g)]lg, ♦*
B(gi, g) = a(gig)—a(g).(2.4)
Здесь 力= /(g), g「x = x、R X и определяется действием группы G на однородном пространстве X = G/H. Заметим, что в силу (2.3) равенство (2.4) является кор-
Во многих случаях полезную информацию о возможных представлениях 7(g) можно получить из теоремы двойственности Фробениуса. Именно, если Т“ — представление группы G, индуцированное характером exp (ia) подгруппы Н, то представление Т должно входить в разложение Та на неприводимые представления.
) Опрсдолепис этого пространства было дано в § 1.5. 〜
*) Формула (2.2) определяет отображение :гт: Gf 麼,где 质—— расслоенное пространство, база которого есть X = G/Я； а слой — окружность.
52 -
ректным, т. е. правая часть равенства зависит 乎е от g, а лишь от класса смежности a(g); P(gi, g)= ₽(gi, %)・
Нетрудно видеть, что скалярное произведение двух когерентных состояний I%】〉=lc(gi)〉 и |%2, = |x(g2)^ имеет вид
〈立11 %〉= exp {"a (gj — а (g3)]} <0 * (gUg?) Т °> (2.5) и в силу (2.3) не зависит от выбора представителей gt и g2. В силу же унитарности представления при Xi 声 ж2 имеем \<хДх^\ < 1, и
〈gig〉=：〈glg〉](2.6)
<g • gig • &〉= exp {%[p(g,伤)一 0(g, g)D〈％Jg〉・ (2.7)
Полнота системы КС и разложениепо состояниям этой системы
Переходя к вопросу о полноте, заметим прежде всего, что полнота системы сразу же следует из неприводимости представления 7(g). Пусть теперь группа G допускает двусторонне инвариантную меру d|i(g). Она 口ндугщрует инвариантную меру dx на однородном пространстве X = G/H. Предполагая, что условия сходимости выполнены, рассмотрим оператор
В = J I 胃〉〈胃[dx^(2.8)
где 丨化〉〈化|—проекционный оператор на состояние I%〉》
Из определения В, инвариантности меры dx и формулы (2,4) сразу же следует, что.
7(g)自(T(g)L=©・(2.9)
Таким образом, оператор 8 коммутирует со всеми операторами Т (g), и потому, в силу неприводимости представления 7(g), он кратен единичному:
B = d^.(2.10)
Для нахождения постоянной d вычислим среднее значение оператора В в состоянии |у〉 (〈У丨у〉= 1):
〈у|方 |力=J|〈y|c〉『dc = J|〈0|c〉Ed2 = d. (2.11)
Отсюда видно, в частности, что необходимым условием существования оператора В является сходимость
53
интеграла в (2.11). В этом случае мы будем называть систему КС квадратично интегрируемой системой когерентных состояний ). Определив меру на X, d|i(x) = =Qi。dx, получаем важное тождество
/12〉〈纪1卽（2）=£（2.12）
С его помощью можно разложить произвольное состояние 丨少〉по когерентным состояниям:
I 2〉=，С®| 2〉dp,(#),(2.13)
где с(х)=〈化饰〉.При этом
〈屮I 屮〉=§|c(£)12d卩⑷，(2.14)
а функция c(n) не является произвольной, а должна удовлетворять уравнению
С(#) = J〈%1и〉с(у)办1(力(2.15)
Таким образом, ядро 衣(％, у)=〈/|у〉 является воспроизводящим ядром：
K(/z) = J K(x,y)K(y,z) d^{y),(2.16)
а функция с (/) = ) К (/, у) / (у) d卩(у) удовлетворяет уравнению (2.15) при произвольно выбранной функции /(?/).
Нетрудно видеть также, что между когерентными состояниями существуют «линейные зависимости». В самом деле, из (2.12) следует, что
1力=J〈y|x〉ly〉d"(y)・(2.17)
Это значит, что система когерентных состояний является сверхполной, т. е. в ней существуют подмножества когерентных состояний, являющиеся полными системами.
Важный класс таких подмножеств можно построить с помощью дискретных подгрупп группы G. Пусть Г —— дискретная подгруппа группы G такая, . что объем 『「
факторпространства Г\Х — Г\С/Я конечен. Рассмотрим подмножество когерентных состояний
{山〉} = {|/(»)〉}, »м!\(2.18)
Возникает вопрос о полноте таких подмножеств. Для простейшей нильпотентной группы ——группы Гейзенберга ——Вейля ——решение этого вопроса было дано в § 1.4. Для ряда некомпактных полупростых групп Ли, обладающих дискретными сериями представлений, этот вопрос рассмотрен в [211].
Выделение систем обобщенных КС,наиболее близких к классическим состояниям
Важное свойство приведенной выше конструкции состоит в том, что система КС существенно зависит от выбора начального состояния |屮()〉・ Возникает вопрос, как выбрать вектор 丨少。〉так, чтобы состояния полученной системы были наиболее близки к классическим. Такой способ выделения, предложенный в работе [66] и далее развитый в [69], II будет изложен ниже.
Идея способа состоит в расширении алгебры Ли 乡 группы G до комплексной алгебры Sc и рассмотрении стационарной подалгебры 例 в £' состояния lip。〉. Те векторы, для которых эта алгебра максимальна, и являются выделенными и, как будет видно из дальнейшего, наиболее близки к классическим.
Действительно, как будет показано ниже, для случая компактной простой группы Ли эти состояния обладают минимальной неопределенностью в смысле инвариантного определения, предложенного в работах [190, 121]. Однако предлагаемый здесь способ является более общим и годится также для других групп, например для группы Гейзенберга ——Вейля, осцилляторной группы и других нильпотентных и разрешимых групп, а также для некомпактных полупростых групп Ли, обладающих дискретными сериями представлений.
Перейдем к изложению способа.
Пусть 乡 ——алгебра Ли группы G, а 乡‘——ее комплек- сификация, т. е. множество линейных комбинаций элементов 乡 с комплексными коэффициентами. Пусть 7(g) —рассматриваемое унитарное неприводимое представление группы G, а Тё — соответствующее представление алгебры 乡,丨ip。〉一 фиксированный вектор в пространстве представления. Обозначим через 毋={6} ста-
ционарную подалгебру состояния |i|)0>, т. е. множество элементов 乡° таких, что
7\1 业〉=入61 业〉.(2.19)
Пусть ⑨——подалгебра 乡\ сопряженная 例.Подалгебру 毋 назовем максимальной, если ⑨㊉⑨=乡В Состояния, для которых стационарные подалгебры максимальны, обладают наибольшей симметрией и являются выделенными. Как мы увидим ниже, они наиболее близки к классическим состояниям.
Можно показать, что в случае, когда подалгебра 学 максимальна, когерентное состояние определяется точкой факторпространства G75 = В/D, где В = ехр 例，D = =ехр 勿，勿=毋 П 例.Отметим, что понятие максимальной стационарной подалгебры, по существу, совпадает с понятием полностью комплексной поляризации, введенным Костантом [173].
Отметим прежде всего несколько свойств рассматриваемой конструкции. Так, % П 乡=箔——стационарная подалгебра состояния 丨屮。〉в алгебре 乡.Нетрудно видеть также, что ^ П ^ ——комплексная подалгебра в 乡°, равная 非е Н %㊉方非.
Далее из (2.19) следует, ито (7%7%一 T匕27力)[ 屮。〉= =0, т. е.[例,阕]и 例°, где 阕о — подалгебра 毋,аннулирующая Ipo〉. Заметим, что присоединенное представление Ad (%) подгруппы Я, действующее на 名，можно продолжить на 纟',используя линейность действия. Нетрудно видеть, что при этом Ad (%) сохраняет подалгебру 缀
Ad (%) 7Tbl收〉=九6饰0〉.
В этом случае факторпространство X = G/H можно снабдить естественной комплексной однородной структурой (см., например, [38], с. 223—234), которая возникает при отождествлении X с Gc/B = В/D (В = ехр (毋)一 подгруппа Gc, соответствующая алгебре 毋).Группа G при этом действует на X как группа голоморфных преобразований.з
Рассмотрим ряд таких систем.
Пусть G = Wn ——группа Гейзенберга ——Вейля. Ее алгебра Ли 乡 состоит из (2п + 1) элементов р^ .. .„ рп, д【,..*, ，n, I, которые удовлетворяют стандартным пере- 56
становочным соотношениям Гейзенберга:
Е Р〃 = %%L [% I] = [Рл? I] = 0,
(2.20)
[%, gj = E ?J = o.
В комплексифицированной алгебре 乡'мы можем рассмотреть элементы (операторы рождения и уничтожения)
%％ 一 М e бWk +方P丸%％ 一 М e бWk +方P丸Sj > О*Sj > О*(2.21)(2.21)
%％ 一 М e бWk +方P丸
%％ 一 М e бWk +方P丸
Sj > О*
Sj > О*
(2.21)
(2.21)
В этом случае «вакуумный» вектор 丨取〉(以怖丿= =0) обладает максимальной стационарной подалгеброй: для него
例=1的，I),例={疗，l},①㊉例=乡С.
С другой стороны, как хорошо известно, построенные с помощью |г|^> когерентные состояния обладают наименьшей неопределенностью (для них Д^Д^ ~ Л/2) и потому наиболее близки к классическим.
Приведем пример разрешимой группы. Пусть G —— так называемая осцилляторная группа. Ее алгебра 乡 состоит из элементов q^ pk, I, А (/,左=1, ..., п), удовлетворяющих перестановочным соотношениям )：
【0, 〃J ~ %6乩 应，I]=[矗，I] = [%,，」=
=[Pj, Pk] = [4 I] == 0,[分，A] = ip^ [pkl A] = —&. (2.22)
Снова перейдем от элементов ，力 pk к элементам 仪力 ah согласно (2.21). В этом случае «вакуумный» вектор ]^0У по-прежнему обладает максимальной стационарной подалгеброй: для него ^ = {«；, I, 4},例= {а/\ 1,4},学㊉例= =鸡 а построенные с его помощью когерентные состояния наиболее близки к классическим.
Пусть G ——компактная простая группа Ли, Н — ее картановская подгруппа, 施一соответствующая ей алгебра Ли, 7TA (g)——представление G со старшим весом Л, |-фт> ——вектор представления с определенным весом т. Возьмем в качестве 丨业〉вектор 飙〉.Очевидно,
что для того чтобы % $ % = 9\ необходимо, чтобы dim^>(n + г)/2, где п — размерность группы, г — ее ранг. Нетрудно видеть, что этим свойством может обладать лишь вектор I 巾тп〉, отвечающий доминантному весу, т. е. старшему весу Л, или же весу, эквивалентному ему относительно преобразований группы Вейля. Отметим также, что для представлений общего положения может осуществляться лишь знак равенства dim% = ==(w + г)/2, а знак неравенства может осуществляться лишь для выроя^дсниых представлений. Нетрудно видеть, что это утверждение относится также и к случаю вектора 丨5〉общего положения! ip0> = 2cmIПоэтому мы можем без ограничения общности считать, что 丨屮°〉= =丨必〉.Но такое состояние, а также все когерентные состояния, построенные с помощью 丨 5〉，обладают, как показано в работе [121], наименьшей неопределенностью, если определить это понятие инвариантным образом.
Именно такие состояния минимизируют величину
Cz = g’^XjXh, Дc2=〈屮oial屮0〉-gj"屮/X/屮0〉〈业因〕业〉， (2.23) где G ——квадратичный оператор Казимира, X)——генераторы представления алгебры 乡,g'“ —— тензор Киллинга —— Картана.
Таким образом, и в этом случае построенная система КС наиболее близка к классической системе.
Рассмотрим простейшую вещественную полупро- стую группу Ли G = SU(1, 1), обладающую дискретной серией представлений T"(g). Представление этой серий характеризуется неотрицательным числом Л, весовые векторы Ipm〉 отвечают весам т = к + п, п = 0, 1, 2,... и являются собственными векторами оператора Ко; 区/屮项〉=тп|屮т〉・ Оператор Казимира Сг в этом случае имеет вид С2 = К^ + К^ ——Kq и для заданного представления Tk кратен единичному： С^丨巾〉=九丨2〉, X = k — k2. Величина
△仇=〈К； +抬一&〉一〈К1〉2 —〈К»2 +〈К°〉2 二
=九 + 肅=小一/С +(" + n)2 = /с + 2kn + n2
принимает наименьшее значение ДС*2 ~ к для т = к, т. е. для вектора наименьшего веса 丨屮。〉=I 屮九〉.Таким образом, и в этом случае, когда 毋={К。，К_ = Ki + 阳}, I毋=={К” Ki — iK^^ система КС, построенная с помощью 58
вектора |屮0〉, оказывается наиболее близкой к классической системе.
Отметим, что сюда относятся также вещественные простые группы Ли, обладающие дискретными сериями представлений ) и, кроме того, тем свойством, что их максимальная компактная подгруппа содержит одномерный центр. При этом рассматриваемые представления являются представлениями, индуцированными представлениями максимальной компактной подгруппы, нетривиальными лишь на ее центре.
Известно также, что пространство X = G/H может быть представлено в виде комплексной однородной ограниченной области. Системы КС, возникающие в этом случае, изучены в работах [51, 189]. Заметим, что сформулированное выше утверждение справедливо также п для определенного класса разрешимых групп Ли, изученного в работе [219].
Таким образом, рецепт выделения систем обобщенных когерентных состояний, близких к классическим, предложенный в работе [66] и подробно рассмотренный в работе [69], оказывается применимым к широкому классу групп Ли.
Глава 3
ОБЫЧНАЯ СИСТЕМА КОГЕРЕНТНЫХ СОСТОЯНИИ. СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
Случай нескольких степеней свободы по существу аналогичен случаю одной степени свободы, рассмотренному в главе 1. Многие формулы главы 1 тривиально обобщаются на случай нескольких степеней свободы и потому не будут здесь приведены.
Читатель, который интересуется главпым образом приложениями метода КС в теоретической физике, может опустить эту главу.
§ 3.1. Общие свойства
Напомним, что основные операторы, используемые для описания квантовой системы с конечны^ числом степеней свободы ——это операторы координат д^ и им
пульсов ph (у, A = 1, ..., %). Они удовлетворяют перестановочным соотношениям Гейзенберга
[%, Ра] = ^6JftI,[分，gj =
=①刃=о, [Л, pj = [Л,彳]=0.(3.1)
Здесь I — единичный оператор, а 狗 ——постоянная Планка.
Теоретико-групповая структура перестановочных соотношений описывается соответствующей группой, называемой группой Гейзенберга ——Вейля WN. Как и в главе 1, здесь более удобно использовать другой базис:
外十砲外十砲(3.2)(3.2)
外十砲
外十砲
(3.2)
(3.2)
Перестановочные соотношения для операторов @力 «й имеют вид
[的,或]=6次I，[出,ak]=[的,I ] = 0,
[疗，威]= [@j,R = O. (3.3)
Операторы g力 pk1 так же как и 的，我才，действуют в стандартном гильбертовом пространстве 徹.Как хорошо известно, в этом пространство 窮 существует так называемый вакуумный вектор |0>, который является нормированным вектором, аннигилируемым операторами @$:
а；|0> = 0, <0Ю> = 1.(3.4)
Действуя на этот вектор операторами л^, получаем набор нормированных векторов:
g,...,吟=(嘗*军1。〉.(3.5)
Р %!..・ nN\
Полезно, следуя [92], ввести сокращенные обозначения—
[孔]孔n) , [%]!="幺!孔2! • • •孔n!,
(小严=(片户…(武产，(3.6)
после чего формулу (3.5) можно переписать в виде
1同)=關^。〉，(3.7)
Множество векторов {|[п]>} образует базис в гильбертовом пространстве 鑑・ Действие же операторов @『
и а? в пространстве 非 дается формулами
句|［九］〉=p后1［户］〉2 〃扌18］〉=/九在+金1g〉,(3.b) где ［九］=(%，...,%Т,⑷一4，勿+1， • • •,九n)，［孔"］= =(孔1, •・” nh + 1, ..., Пя). Отметим, что координатное представление базисных векторов имеет вид
〈g I ［困〉=ф［п］ (?) = П Фп； (?;)»
方匂)=(2%!)т/2(п%)т/4Д„ (祢)ехр (— ^} (3.9) где Нп ——полином Эрмита степени п*
Вернемся теперь к соотношениям (3.3). Они означают, что операторы 。力 。^ и I образуют базис алгебры Ли Ж^^ ——алгебры Гейзенберга ——Вейля. Произвольный элемент этой алгебры можно записать в виде
% = si + "I"(俨g — Ср) = si — i (a优+ — a优)，(3.10) где s — вещественное число, a =(0 +必)¥2方， a = =(^ — ^)/V2^. Здесь и в дальнейшем мы используем обозначения：俨=(乡1,・・.，&Q и 0=(0i, ・••，Qn)— Димерные векторы, a==(ai, ..., a^),仅=(%, ..., ^), N
ad =彳电疗.
Оператор х является са мо со пряже иным, а соответствующий оператор ехр (力化)—унитарным:
exp«况)= exp(isl)刀(a), D(a) = exp(aa+ — aa). (3.11)
Он представляет конечный элемент группы WN соответствующей алгебры Ли 犷
Теперь нетрудно видеть, что большая часть формул главы 1 остается без изменения или же испытывает тривиальные модификации.
Так, например, выражение для когерентного состояния, аналогичное выражению (1.70), имеет вид
I а〉= ехр (7若豔【心 (3.12) а выражение для инвариантной меры —
dp, (a)=冗・№пп(dRe a 力• (dim aQ ・(3.13)
§ 3・2・ Когерентные состояния и тета-функциидля нескольких степеней свободы
Соотношение между когерентными состояниями и тета-функциями по сравнению с одномерным случаем здесь усложняется (относительно деталей см., например, работы [112] и [63]).
Преигде всего, аналогично тому, как это было сделано в § 1.5, необходимо распространить представление Г (g) группы Гейзенберга ——Вейля, действующее первоначально в пространстве 徹，на пространство 為—8. Рассмотрим правильную решетку L в TV-мерном комплексном пространстве С”, т. е. множество векторов вида
1
где 拉3 — целые числа, a 2N векторов ①乎 в С (периоды решетки) вещественно линейно независимы. Рассмотрим также множество операторов {D(a^} и попытаемся найти в пространстве 制_д их собственный вектор |0>. Для того чтобы такой вектор суп^ествовал, необходимо, чтобы операторы D(an) коммутировали друг с другом; при этом достаточно, чтобы коммутировали операторы _D (①)). Однако, согласно (1.14) это эх^вивалептно условию целочисленности матрицы *)3 = [Л：
В^ = л'1 Im (cOiWj) 0 (mod 1). (3.14)
Решетку £, удовлетворяющую условию (3.14), назовем допустимой. В этом случае собственный вектор |0> должен удовлетворять системе уравнений
D((Hj) |0S> = ехр (me；) |0S>, / = 1, 2, ..., 27V, (3.15)
а состояние, отвечающее вектору |0е>, определяется вещественными числами 81, . .., 82^, удовлетворяющими условию О W Et V 2, т. е. точкой 27У-мерного тора. При этом стационарная подгруппа Н вектора |0е> состоит из элементов вида (力；ап).
Действуя оператором О (а), папримор, на |0О\ получаем систему обобщенных когерентных состояний,
связанную с решеткой L:
|0а> =£>(а)|0о>.(3.16)
Здесь а =(аъ ..., а^)——Л^мернзй комплексный вектор; а пробегает факторпространство G/Н, которое является комплексным тором и, в данном случае (случае допустимой решетки), даже абелевым многообразием.
Итак, мы построили систему когерентных состояний, связанную с допустимой решеткой L. С решеткой L можно связать также и тета-функцип. Именно тета- функции можно определить [35] как автоморфные формы относительно решетки L, т. с. как целые функции, удовлетворяющие функциональному уравнению
/(z + a„)=exp[v(z, a„)]/(z),
где u(z, an) — многочлен первой степени относительно z ).
Как будет показано ниже (детали см. в работе [63]), состояния |0е>, записанные в представлении Фока — Баргмаыа (0Е0е(2)), совпадают с тета-фупкциями.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением главной решетки, т. е. решетки, для которой det 5 = 1. Тогда монью перейти от со» к новому базису (о；:, сод, /, 6 = =1, . .., который удовлетворяет условиям
Im (со/о^) = 0, Im (cojco^) = 0, Im (з；з；；) = ®. (3.17)
Иными словами, матрицу 8 в этом случае можно / ° 1、 л т привести к видуI, где (丿瓜1 ——нулевая и единич
ная N X Л^-матрицы. Предполагая этот переход выполненным, приведем еще одну форму уравнений (3.15), записанных в ^-представлении:
■D(ccm)&(z) = exp(/nf£(m))0e(2),' (3.18)
где am н 2 (m3^j + 相心力 ——-произвольный вектор решетки, а
F^(m) = 2 (加“ + Ejm； + £/，•(3.19)
С помощью соотношения (1.100) равенство (3.18) можно переписать в виде
仇(z + pm) = ехр(гл^Е(—Tn))exp(|pm|72)exp(pmz)0e(zJ,
(3.20)
где Pm = am ——вектор сопряженной решетки.
Покажем теперь, что норма функции 0E(z) равна бесконечности. В самом деле, норма 0е(з) дается выраже- пнем
J I 0е (z) F d 快(z), где 6e(7s z) = exp (— | z |2/2) 0E (z). (3.21)
Из (3.20) нетрудно получить функциональное уравнение для 0е(2, Z):
戛(Z + Pm, Z + 瓦)=
=exp(方冗凡(一тп) )exp(f Im(z§m))&(工 z).(3.22)
Таким образом, |0s(s, z)|2 = p(z, z), где p(z, z)—неотрицательная функция, периодическая относительно решетки Е, сопряженной к £. Следовательно, норма функции 0е(г) равна бесконечности.
Займемся теперь решением уравнения (3.18). Будем искать его в виде
色(z) = £ с〃5 (ап)/г(з),(3.23)
где п = (п\ 孔”), пг и тг"—целочисленные TV-мерные векторы, а 无(z)——пока неизвестная функция, не слишком быстро растущая при \z\ -> 8, так что ряд (3.23) сходится. Нетрудно проверить, что при с^ — = ехр(——inF^ (п)) и произвольной функции 也(z) такой, что ряд (3.23) сходится, функция 瓦(么)является решением уравнения (3.18). Это решение удобно записать в виде
瓦(z)=T訛(z),(3.24)
где оператор Ге дается формулой
^е = 2 ехр (— inFl (— тг)) D (а„).(3.25)
п
В более подробной форме записи
色(z) = £ exp (— inFs (— n)) exp (― | “ |2/2) X n
Xexp(— pnz)无(z + %). (3.26)
Известно, однако, что в рассматриваемом нами случае главной решетки решение функционального уравнения (3.20) единственно [35], и потому функция 力g(z) лишь константой отличается от стандартной тэта- функции:
匾(z) = 7訴(z) =僚介 Ь)・ (3.27)
Для нахождения константы 或 достаточно вычислить значение 无&(z) в одной точке, где 0е(2):/: 0. Выбирая в качестве исходной функции 无(z)三 1, получаем решение
/е (z) = 2 ехр (Тл% (п)) ехр (— | ап |2/2) ехр (а^г) (3.28) п
в виде суперпозиции когерентных состояний.
Далее из функционального уравнения (3.20) следует, что 0е(—z)= с0_е(2), т. е. в силу целочисленной характеристики, когда 2?/-мерный вектор е состоит из нулей и единиц, функция 0e(z) обладает определенной четностью:
0е(-4=Л0е(2)\ (3.29)
Нетрудно показать (см., например, [63]), что четность тета-функции дается формулой
2=(一 1 产0 = (- 1 卢⑻. (3.30)
Таким образом, из полного числа 2?^ тета-функций с целочисленными характеристиками 2"~'(2"—1) функций нечетны, а 2""(2"+1) функций четны.
Заметим, что из (3.25), (3.26) следует, что оператор Те в случае целочисленной характеристики 8 не меняет четности функции Л(2), т. е. четность функции Ле(г) равна четности функции h(z). В силу же единственности решения функционального уравнения (3.20) имеем ЛБ (z) — сд0Е (г), и .потому четность функции Ле(2) должна совпадать с четностью Р* Таким образом, справедлива
Теорема ([63]). Если четности характеристики е и функции h(z) различны, т. е. РеР = —1, то функция h&(z) тождественно равна нулю:
瓦(z) = 0. (3.31)
Если же четности Рг и Р одинаковы, т. е. Р^Р = +1, то функция Л£(з) пропорциональна тета-функции характеристики е:
(3.32)65(3.32)65瓦（Z）^ 40е（2）.
(3.32)
65
(3.32)
65
5 А. М. Переломов
Тождества (3.31), (3.32) являются обобщением тождеств, полученных ранее в [62] для одномерного случая.
Из (3.31) следует, например, что если характеристика £==(£‘，е") нечетна, т. е.(£‘♦£“)=! (mod 2), то при h(z)= 1 мы получаем 2""(2~—1) тождеств
/е (z) = £ (— 1产⑺ ехр (-1 ₽„ |2/2) ехр (眛)三 0. (3.33)
Равенство (3.33) обобщает (1.106) на многомерный случай и есть не что иное, как условие линейной зависимости системы когерентных состояний, связанной с решеткой £.
Глава 4
КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯДЛЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
Система КС для группы вращений трехмерного пространства —группы SO (3) — была впервые рассмотрена в работе [214], где такие состояния были названы спиновыми КС. Свойства системы таких состояний изучались в работах [214, 207, 86]. Здесь мы будем следовать общей схеме работы [207]. Некоторые применения спиновых КС будут рассмотрены во второй части книги.
Структура групп SO (3) и SU (2)
Группа вращений трехмерного пространства — группа 50(3)——является наиболее изученной из всех компактных неабелевых групп Ли ). Она локально изоморфна группе SU(2) — группе унитарных матриц второго порядка с определителем, равным единице. Точнее, группа SO(3) есть факторгруппа группы SU(2) по ее центру ) 類={1, — 1} (I — единичная матрица): 50(3)= =SU(2)/ Z2- Это отличие для нас не очень существенно, и в дальнейшем вместо 50(3) мы будем рассматривать группу G = SU ⑵.
а = ах + 以 2,а = ах + 以 2,(4.1)(4.1)Итак, группа G = {g}，где Я=(_^ ?)' 1«12 + 1№ = 1.
а = ах + 以 2,
а = ах + 以 2,
(4.1)
(4.1)
₽ = ₽1 + 刃 2，
ctj и 0j ——действительные числа. Отсюда видно, в частности, что группа G гомеоморфна (топологически эквивалентна) трехмерной сфере S3 = {а1т &,卩工，也：а； + а： + + Pi + Рг = 11и потому является односвязной *).
Группа G не является комплексной, однако имеется ее естественное вложение в комплексную группу G'= =S厶(2, С) = {g} — группу матриц вида
g=(； б )' аб —的=1.(4.2)
В группе Gc имеется ряд подгрупп. Для наших целей понадобятся следующие из них.
Подгруппы 8土 = {b土} верхних (соответственно нижних) треугольных матриц:
Ь11оЬ11о%),°), %也2 = 1. (4.3)
Ь11о
Ь11о
22/\ 2122/
Эти подгруппыЭти подгруппыявляются максимальными разрешимыми
Эти подгруппы
Эти подгруппы
подгруппами в Gc.
Б. Подгруппы Z土 = {z土} верхних (соответственно нижних) треугольных матриц с единицами на диагонали:
О1О1(4・4)(4・4)
О
1
О
1
(4・4)
(4・4)
Это ——максимальные нильпотентные подгруппы в Gc.
Подгруппа Нс = {也} комплексных диагональных матриц
%=九（ё）=《肃；）•（&5）
В группе Gc (но не в группе G!) справедливо важное разложение ——разложение Гаусса (см. [28]):
g = ( ； R ) = z+hz- = &+z_ = z+&_,
Ь+ = 纟+也 2 Ь_ = 九 z_, (4.6)
*) Это значит, что каждый замкнутый путь в G можно непрерывно деформировать в точку.
67675*
67
67
；），（4.7）；），（4.7）где
；），（4.7）
；），（4.7）
z+ = z+(g)=(： ▼)), z_ = z_(g)=Q；g)
—(g)「Y)・
Из (4.6) нетрудно получить
C(g) = B6-‘，z(g) = f6T, e(g) = 6.(4.8)
Таким образом, разложение Гаусса однозначно и почти любой элемент группы Gc (и соответственно G), за
исключением элементов вида 8 = <_§_工 ° 丿, допускает это разложение.
Заметим, что в случае группы G параметры g, z и е связаны простым соотношением
Ie(g) |2 = (1 + |z(g) |2)т = (1 + 也(g) |2)т.(4.9)
Факторизуя группу Gc по подгруппам 5±, приходим к важным однородным пространствам (относительно действия не только Gc, но и G), топологически эквивалентным комплексной плоскости С :
Х+ - G4B_ ^ Z+ и X- = 8+\GCdZ_.(4.10)
Действие группы Gc на этих пространствах легко находится с помощью разложения Гаусса. Например, для пространства Х+ имеем
gz+ =
（；凯:忆
(4.11)
и
g：Zf} = 3 + P)/(K + 6).
(4.12)
Соответственно для пространства X-
z—g =
е 窥；w=zik
(4.13)
и
g ： ZT
-z" = (az 十 T)/(陷 + 6).
(4.14)
Вернемся теперь
к группе G = SU(2). В ней
есть под-
группа диагональных матриц
я=
0 运力，a = exp (Z屮/2).
Нетрудно видеть, что факторпространство X — G/H можно отождествить с множеством элементов группы G
вида
{昼！)}，«2 + 1Р12 = 1，«>0-(4/5)
Полагая
а = cos(0/2)., § = —sin (0/2) ехр (—i(p),
OWBW% OWcpV 2л,(4.16)
мы видим, что пространство X изоморфно двумерной единичной сфере №, т. е. множеству единичных векторов п вида
n = (sin 0 cos ср, sin 0 sin 屮，cos 0).
Элемент gn пространства X можно также записать в виде
gn = ехр i~ (mg + 加2%)] ,(4」7)
где
7П1 = sin ф, W?2 = —COS ф,
/01、/ 0 —讣тт
О] = [ [ 0 г % = 30 у — матрицы Паули.
Таким образом, матрица gn описывает поворот вокруг вектора т, находящегося на экваторе сферы №, на угол 0.
Разложение Гаусса для элемента gn приводит к установлению изоморфизма между пространствами X и Х+, а именно
Z=—tg(0/2)exp(—Лр), gg = (1 + ЕПТ/? (_ ； ：)• (4」8)
Нетрудно видеть, что этот изоморфизм осуществляется с помощью хорошо известной стереографической проекции сферы из ее южного полюса на плоскость комплексного переменного g. Точнее, для установления этого изоморфизма необходимо компактифицировать плоскость С, добавив к ней бесконечно удаленную точку {g}, соответствующую южному полюсу сферы:
S2 = C и {g}・(4.19)
Аналогично устанавливается и изоморфизм пространств X и Х_.
По существу, рассмотренная конструкция вводит комплексную координату С на сфере №, точнее, на сфере с удаленным из нее южным полюсом. Подчеркнем, что введение такой системы координат на всей сфере невоз-
69
можно, поскольку она топологически не эквивалентна плоскости. Тем не менее, сфера S* как и любая орбита присоединенного представления компактной группы Ли G, является компактным комплексным многообразием, и потому ее можно описать, вводя уже не одну, а несколько таких систем координат (в данном случае — еще одну такую систему, получ ающуюся при рассмотрении стереографической проекции из северного полюса сферы).
Приведем еще выражение для G-инвариантной метрики на б? = {п :絞=1}：
ds2 = dn・dnds2 = dn・dna+而乎a+而乎и выражения для замкнутой 2-формыи выражения для замкнутой 2-формы3 = 2力 7 弱八餐=〈n, [dX, dY]〉, (1 + RI2)23 = 2力 7 弱八餐=〈n, [dX, dY]〉, (1 + RI2)2(4.20)(4.21)(4.20)(4.21)
ds2 = dn・dn
ds2 = dn・dn
a+而乎
a+而乎
и выражения для замкнутой 2-формы
и выражения для замкнутой 2-формы
3 = 2力 7 弱八餐=〈n, [dX, dY]〉, (1 + RI2)2
3 = 2力 7 弱八餐=〈n, [dX, dY]〉, (1 + RI2)2
(4.20)
(4.21)
(4.20)
(4.21)
которая, как нетрудно проверить, G-инвариантна и в данном случае совпадает с элементом площади сферы. Здесь знак Д означает внешнее произведение:
^ A龙=一 dg人爲
dX, dY — векторы, касательные к S? в точке п. Отметим, наконец, что формулы (4.20) и (4.21) можно переписать в виде
曲2 = 4黑或.匪，(4.22)
.3 = 2»詰^其人也，(4.23)
где
/-ln(l + lgl2).(4.24)
Это связано с тем обстоятельством, что пространство G"B является не только комплексным, но и так называемым кэлеровым многообразием; функция /==т(1+®2) является здесь потенциалом кэлеровой метрики (подробнее об этом см. § 11.2 в [211]).
§ 42. Представления группы SU (2)
Как хорошо известно, унитарное неприводимое представление 7(g) группы SU(2) задается неотрицательным целым или полуцелым числом j; Т(g) = T$(g), dim F = =2/ + 1, причем в пространстве представления 纷 суще- 70
ствует канонический базис I/,卩〉,где 卩 пробегает все значения от —/ до +] через единицу (—jW^Wj)* Инфинитезимальные операторы J± = Jt ± iJ^ Л = Л представления T'(g) удовлетворяют стандартным перестановочным соотношениям
[Л, /±] = 土厶,.I/-, Л] = —2九(4.25)
Оператор Л (к = 1, 2, 3) описывает бесконечно малое вращение вокруг 乃-o血 оси; векторы I/, ц> в пространстве представления 為'являются собственными векторами операторов Л и J2 =/:+北+方：
Л1/, ц> = ц1/, ц>, J2lj, g> =/(/ + !) I/, Н>- (4.26)
Соответственно оператор ехр [го (mJ)], m2 = 1 описывает поворот на угол со вокруг оси, задаваемой вектором ш.
Опишем стандартную и удобную для нас реализацию представления ^(g).
Из (4.14) следует, что в пространстве 歹'полиномов степени <(2/+ 1) на группе Z_ действует представление группы SU (2). Эта реализация распространяется в силу линейности действия до представления группы Gc ~ =S£(2, С) и дается формулой
"(g)/(z)=但 + з严/(^^).(4.27)
При этом G-инвариантиое скалярное произведение дается формулой
〈九1 /2〉=〈九1 /2〉=@2驾@2驾2—1 f 入 “б) ^J (l + lz 俨)2”
〈九1 /2〉=
〈九1 /2〉=
@2驾
@2驾
/o^l，7/ol/o> = l-/o^l，7/ol/o> = l-(4.28)(4.28)
/o^l，7/ol/o> = l-
/o^l，7/ol/o> = l-
(4.28)
(4.28)
Операторы /± и Jo в этой реализации являются дифференциальными операторами:
'+ = —z嗯+ 2/Z 7- = ^, 70 = 2£-j. (4.29)
Операторы J+ и 7_Операторы J+ и 7_сопряжены в смысле (4.28), а А)—
Операторы J+ и 7_
Операторы J+ и 7_
самосопряженный оператор; базисные векторы |/,卩〉в этом представлении имеют вид 九=с^^^ d = =[(27)!/0 一 n)!(7 + n)!『2.
Представление T'(g) в данном случае имеет простой «квазиклассический» смысл и может быть переписано в виде (см. [202], где рассмотрен общий случай компактной
простой группы Ли)
T(g)/(z) = expM(g, z))〃zg).(4.30)
Здесь
s(g,z)= J(e — g・e)+ s(g,o),
6 =艺早a&z является 1-формой, F = jin (1 + \z |2).
Когерентные состояния
Действуя на фиксированный вектор 丨屮。〉операторами T'(g) в соответствии с общей схемой, описанной в главе 2, получаем систему КС.
Как следует из (4.17), оператор P(g) можно представить в виде
/(g) = 〃(gn)〃5)・(4.31)
Отсюда следует, что при выборе в качестве lip。〉вектора I/,卩〉когерентное состояние задается единичным вектором:
n = (sin0 coscp, sin6 sin ср, cos0),
|n> = exp (Za (n))Z (帥)| 业〉.(4.32)
Таким образом, в соответствии с общим утверждением КС задается точкой двумерной сферы
S2 = SO(3)/SO(2) = SU(2)/U(1), которая является орбитой коприсоединснного представления и, следовательно, может рассматриваться как фазовое пространство классической динамической системы —— «классического спина».
Что касается фазового множителя exp(Za(n)), то его удобно выбрать равным единице, так что
1п> =0(п)怖о〉，(4.33)
где'
D (п) = 7’ (gn) = ехр (汾(mJ)), 0 & 0 V 冗，(4.34) ш ——единичный вектор, перпендикулярный векторам п и п0 =(0, 0, 1); т =(sinф, —cos ф, 0). Заметим, что это мояшо сделать для всех п, за исключением случая п = = (0, 0, -1).
72
Приведем еще одну форму записи оператора О (и), аналогичную (1.9):_
D(n) = D(&) = exp隽厶-р_), & = 10/2(/71! 一 iF). (4.35)
Заметим, что хотя операторы типа О(п) не образуют группы, но их аакон перемножения можно представить в виде
D(n1)Z)(n2) = D(п3)ехр(削(п【，п2)Л).(4.36)
Можно показать прямыми вычислениями, что величина 0(必，п2) равна площади Л (п0, щ, п2) геодезического треугольника на сфере с вершинами в точках n0, пь п2:
0(ni, П2)= а(по, Щ, п2).(4.37)
Так же, как в § 1.1, этот факт указывает на квазиклассичность построенной системы КС.
Для рассматриваемых систем в качестве 丨业〉можно выбрать |/,卩〉с произвольным 卩.На первый взгляд, все такие системы КС являются эквивалентными. Однако, как уже отмечалось в § 2.4, состояния I/, ±/〉минимизируют величину дисперсии квадратичного оператора Казимира J2 — Ji + Ji + Jl — оператора момента количества движения. Для них
ДГ-(Д/2)ш1п=7(/+1)-/2=7,(4.38)
и потому состояния I/, 士j〉определяют систему КС, наиболее близких к классическим. Мы можем выбрать в качестве 怖0〉любое из них, поскольку оба состояния приводят к одной и той же системе КС. Для нас более удобно выбрать в качестве 1业〉состояние ) I/, —/>.
Построенная таким образом система КС обладает большей симметрией, чем система, построенная с помощью вектора
I业〉= 1/,卩〉，n声±j.
Чтобы увидеть это, рассмотрим комплексификацию 乡° алгебры 移,т. е. множество линейных комбинаций величин Л, /2 и Л с комплексными коэффициентами. Этой алгебре соответствует группа Gc = SL(2, С)— группа комплексных матриц второго порядка с определителем, равным единице.
Нетрудно видеть, что стационарная подалгебра 扌 в 移° состояния 1也〉=1 力—/〉 порождается элементами {/% /_} и ей соответствует группа В_ нижних треугольных матриц:
в- = {&}, Ь=С： б).(4.39)
Поэтому такое КС можно параметризовать комплексным числом & Действительно, из разложения Гаусса (4.6) имеем
№)1屮。〉=7阳)7 (九)r (z-) I 业〉=exp (如)N? (z+) I 业〉, z+ = ( 0 i)' I ^o> = I
Отсюда получаем
V2 =V业|7((分)+)"分)1业〉，n = (1+也户尸.(4.40)
При этом для операторов 7(g), имеющих вид 0(п) (4.34), фазовый множитель ехр(%。) равен единице, и мы имеем
in? 一也〉=a + 也户)-‘？(z十)1/, -7>.
® =(1+©2尸exp(*+)|j, Т〉，
(4.41)
^ = —tg (0/2) exp (—t(p), n = (sin 0 cos cp, sin 0 sin cp, cos 0).
Таким образом, как уже отмечалось ранее, переход от п к осуществляется с помощью стереографической проекции.
Приведем еще одну форму записи оператора О(п):
Z>(E) = exp(EJ+-£j_),
& = t(0/2) (mi — im^) = — I 自 I exp (T(p) •(4.42)
Используя разложение Гаусса (4.6), можно записать оператор 少(Е) в «нормальном виде» ——
D (В) = ехр (У+) ехр (刀乙)exp(zV_),(4.43)
где
С = —tg (0/2) ехр (—г(р), т| = —21n cos 図=—
-ln(l + lgl2), z' = -W・ (4.44)
Приведем еще «антинормальный» вид этого оператора:
0 (&) = ехр (z'J_) ехр (-п J。) ехр (“十)，(4.45)
где величины g,刀 江 z，определены в (4.44).
74
Заметим, что поскольку величины & % z* входящие в формулы (4.43) и (4.45), от j не зависят, то эти формулы достаточно проверить для случая / = 1/2, когда J = о/2, где П1, а2, 0з — матрицы Паули: .
Разлагая экспоненту в (4.41) и используя соотношение
ID = та Tf"（厶片1 /，一〉，（446）
получаем разложение когерентного состояния по ортонор- мированному базису (сравните с формулой (1.70))
©= £ 〃м w,
а (?) = (! +К l『Q + j請一而厂处，(4.47) ИЛИ
K〉= S u^(0,ф)|/, ц>,
^6((7^儲』厂(7呜「^旷><
Xexp[—“j + 似屮]・ Приведем еще выражение для КС в z-представлении: alO = ih(z) = (l + |z『)T(l +，z产.(4.49)：
Отметим, что спиновое когерентное состояние является собственным состоянием оператора (nJ):
(nj)|n> = -/|n>f(4.50)
и, кроме того,
(九十2汉。一之2几)也〉=0.(4.51)
Уравнение (4.50) сразу же следует из уравнения
J0|n0> == —jln0>, no = (O, 0, 1)
и соотношения
0(n)JmT(n) = (iiJ)・(4.52)
Аналогично доказывается 0 уравнение (4,51). Уравнения
и (4.51) определяют спиновое КС с точностью до фазового множителя ехр(fa).
Система спиновых КС обладает всеми свойствами обычной системы КС (см. § 1.2). Мы приведем их без доказательства.
Операторы T'(g) переводят одно когерентное состояние в другое:
TJ(g)|n> =ехр{г^(п, g)}Eg〉，(4.53)
где
0(n, g) = M(n0, п, &)・(4.54)
Заметим, что при бесконечно малом преобразовании мы имеем
Г(1 + 6g) © = ехр(治0)也 + 6Р.(4.55)
При этом
Z60 =/(嗓◎院_^6寸，/ = 1п(1 + |：|2), (4.56) т. е. 9 = 6。一 форма связности одномерного расслоения над № со слоем окружность. Заметим, что 8 = J s, где ①=©8 — 2-форма площади.(4.57)
Отсюда и следует формула (4.54).
Система спиновых КС полна.
Когерентные состояния не ортогональны друг другу:
/1 + n п у
(4.58)(4.58)(4.59)(4.59)〈I" I n2) = eхp (X0S1，П2)) (—卜 /1 + D n„\2j
(4.58)
(4.58)
(4.59)
(4.59)
<В1п> = [(1 + 1^2)(1 + 1п12)]-;(1 + ^1)%
1«1П〉|2 =1«1П〉|2 =(1 + 电)(1 +画)(1 + 电)(1 +画)
1«1П〉|2 =
1«1П〉|2 =
(1 + 电)(1 +画)
(1 + 电)(1 +画)
где*)где*)
где*)
где*)
0(nv n2)=M(n0, nx, n3), 0 = 4ln(T^
Спиновые КС минимизируют соотношение неопределенностей Гейзенберга: для состояния |п0> в
соотношениисоотношении
соотношении
соотношении
〈力〉5〉泣 5〉2(4.60)
достигается знак равенства.
Соответственно для состояния [п> минимизируется соотношение неопределенностей
〈冗〉〈義〉戸^〈了3>,〈冗〉〈義〉戸^〈了3>,(4.61)(4.61)
〈冗〉〈義〉戸^〈了3>,
〈冗〉〈義〉戸^〈了3>,
(4.61)
(4.61)
где
:T『D ⑺(4.62)
5. Имеет место «разложение единицы»
(2; + 1)『dji (n) 1 n〉〈n] = I, d|i (п) =：(4п)т sin 0 @8 йф.
，- (4.63)
В случае же параметризации КС точкой ^-плоскости
мы имеем
J1 之〉〈С 1 卽j = I,
(4.64)
где
修л (l + |g|2)2
(4.65)
6. С помощью этих формул можно разложить произвольное состояние по когерентным состояниям:
1屮〉=£51"m〉，I 屮〉=J 2® ©4固©, (4.66) где
屮 ® = «|р〉= (1 + К『)Т$(Е),
Здесь -ф(^) — полином по g степени mW2j.
Из этих формул следует, в частности, что для любой функции /(^), имеющей вид
Pm(£)/(l + lSl2)\
где Рт(С)——произвольный полипом степени mW 2/, справедлива формула
/@ = ОН6 J<Ihi>/(ri)^(n) = /(B). (4.68)
Заметим, что именно такие функции /(^) и образуют гильбертово пространство 歹 СОСТОЯНИЙ частицы CQ СПИ-
77
ном /. С помощью формул (4.66) и (4,67) нетрудно также доказать, что подсистема КС 匕>,…，匕升D при любом выборе точек ^, ..., ^2j+i, J 耍；友,является полной.
Приведем выражения для инфинитезимальных операторов в представлении когерентных состояний:
«I 几 К〉= — / ^；，《 IJ+1 С = 2/ ^^, (4.69) ИЛИ
<nl J|n> = —jn.(4.70)
Заметим, что в пределе больших значений / спиновые КС переходят в обычные КС. Для того чтобы увидеть это, нужно сделать подстановку
…、用£, Gf(2j)"/& 九=丫万。 (4.71) и устремить / .к бесконечности.
Например:
K〉f ]im(l + 臂厂 ехр(аа+)| 屮0〉= ]а>. (4.72)
Представление когерентных состояний удобно использовать для описания операторов, например матрицы плотности частицы со спином /. Именно, матрица плотности полностью определяется или функцией Р(п), или функцией Q(n) согласно формулам
Р = J尸(п)|п〉〈п|М，&Mn) = ^^dn, ：(4.73)
Q(n)= <nlp|n>,(4.74)
причем эти функции при разложении в ряд по сферическим функциям Ylm содержат лишь Z ^ 2/. Например:
尸(п)= 2 Qm爲m(n)・(4.75)
7=0,?n
Отсюда получаем разложение матрицы плотности
Р =工 SmP Zm* где.
^im = j Ут (n) I n> <n I d|ij (n).(4.76)
Вычисляя входящий сюда интеграл, получаем
<7, "I A」/, v>= / 需 </, U; I,询八 v></,-/; Z, 01 八一力，
(4.77) где </, vz; Z, nil力 v> — коэффициенты Клебша — Гордана, 78
Приведем таблицу простейших примеров, взятую из работы [181].
Таблица
Оператор
Q (п)
」з
/ cos 0
j sin 0 cos ф
/ sin 0 sin (p
/(/-1/2) cos2 0 + 7/2
/(/ — 1/2) (sin 0 cos(p)2 + //2
/(/ — 1/2) (sin 0 sin(p)2 + J/2
Оператор
P(n>
(/ + 1) COS 0
(/ + 1) sin 0 cos (p
(j + 1) sin 0 sin ф
(/ + 1)(7 + 3/2) coS2 0~ (/ + 1)/2
(/ + 1)(/+3 /2) (sin 0 cos ср)? —(/ + 1)/2
(/ + 1) (/ + 3/2) (sin 0 sin(p)2 - (/ + 1)/2
Для оператора Т(т, v) = exp(tr(vJ)) функция Q(n) имеет вид
Q(h) = (cos(t/2)+ isin(T/2)cos0)2J, cos 0 — v • n. (4.78)
Отсюда получаем интегральное представление для характера представления 仆(g):
方(g)=方(g)=+ isin (т/2) cos8)2%n.+ isin (т/2) cos8)2%n.
方(g)=
方(g)=
+ isin (т/2) cos8)2%n.
+ isin (т/2) cos8)2%n.
(4.79)
Аналогичное выражение имеет место и для оператора ехp [一0(单J)]:
Q (и) = (ch (0/2) + sh (0/2) cos 8 产.(4.80)
В том случае, когда / ——целое число (/ = Z), можно использовать иную реализацию пространства представления Ж, а именно пространство собственных функций
79
оператора Лапласа на сфере 52 = {v : V2 = 1):
—A01I>/(v) = Z(Z + l)/(v), v = (sin 0 cos ф, sin 0 sin ф, cos0).
(4.81)
KG в такой реализации имеют вид
<vln> =(6! — ie2l v)'・(4.82)
Здесь ej и e2 ——два единичных вектора, ортогональные вектору и и друг другу. Отсюда нетрудно получить явное выражение для производящей функции сферических функций Ylm(Qt ф):
衣(Z； В,屮)=М Щт(Z)У/тп (4 屮)，(4 83)
ulm [(22) 1/ (Z — m)! (Z + т) !『/%+〉
K(z； 0,①)=
=cz (sin 0 exp (—i(p) + 2z cos 0 + z2 sin 0 exp (/ф) )\ (4.84)
Наконец, с помощью KG нетрудно найти производящую функцию для матричных элементов Ттп ^ =<m\T(g) |п>:
«IТ (g〃 Q = Id + l^l2)(l + h ⑶т к & 力
к (三？ n) = 2 的"m (E) Mjn(Л)Tmn (g)・(4.85)
Отсюда
к恁，n) = (a +麓-5n +砒T]产(4.86)
Глава 5
ПРОСТЕЙШАЯ НЕКОМПАКТНАЯ НЕАБЕЛЕВА ПРОСТАЯ ГРУППА: SU(1,1)
В этой главе, следуя работе [207], вводятся и изучаются системы КС для простейшей неабелевой некомпактной простой группы Ли — группы SU(1, 1)*SO(2, 1). В отличие от рассмотренного в предыдущей главе случая простейшей компактной неабелевой группы Ли — группы SU(2), здесь имеется несколько типов систем КС в соответствии с тем, что для группы SU (1, 1) существует несколько серий унитарных неприводимых представлений. Некоторые применения таких систем КС рассмотрены в части II.
Группа SU (1,1) и ее представления
Основные свойства группы SU(1, 1). Группа SU(1, 1) — этосгруппа матриц второго порядка с определителем, равным единице, оставляющих инвариантной форму MW — |z2l2. Отсюда сразу же следует, что G = {g}, где
g = (；弘 —IB…(5.1)
Она локально изоморфна группе 5。(2, 1) — группе «вращений» трехмерного псевдоевклидова пространства (трехмерной группе Лоренца); точнее, S。(2,1)= =SU (1,1)/%2, где 区2 = {I，—【}, I — единичная матрица. Она локально изоморфна также вещественной симп- лектической группе Sp(2, R) и группе S£(2, R)— группе вещественных матриц второго порядка с определителем, равным единице.
Детальное рассмотрение свойств этой группы и ее представлений дано в работе [90] и книге [17]. Здесь мы приведем лишь необходимые для нас сведения.
Отметим следующие существенные различия между группами 517(1, 1) и SU(2).
Во-первых, группа SU (1, 1) некомпактна, тогда как группа SU(2) компактна. Во-вторых, группа SU(2) односвязна, тогда как группа SU (1, 1) не является таковой.
Односвязность группы означает, что каждый замкнутый путь в ней может быть деформирован в точку. В то же время можно показать, что в группе SU(1, 1) путь, соответствующий повороту на угол 2 л/г (п ——целое, О W £ W 2зш), g (力)=diag[exp(^/2), exp (—^/2)],
непрерывно деформировать в точку невозможно.
Известно, что объединяя достаточное число экземпляров (или, как говорят, листов) неодносвязной группы G и соответствующим образом склеивая их, можно получить уже односвязную группу G — так называемую универсальную накрывающую группы G. В нашем случае группа G содержит бесконечное число листов.
Далее будем действовать так же, как и в случае группы SU(2), а именно группу G = SU(1, 1) можно вложить в Gc = S£(2, С) и воспользоваться разложением Гаусса (4.6):
J - g = z+hz-t z+巨 2十,h^H\ (5.2) 6 A. M. Переломов81
Так же, как и раньше, группа G действует на Z+ и Z_.
Например, ее действие на Z- дается формулой
升一k堂I(5.3)
Однако, в отличие от предыдущего случая, группа G действует па плоскости не транзитивно, а плоскость z относительно ее действия расслаивается на три орбиты:
X+ =(2：|zl<l};
X_ = {z:⑵ >1};
Хо = {z: |zl = 1},
т. e. па внутренность единичного круга, внешность единичного круга и окружность.
Это нетрудно доказать, заметив, что из (5.3) следует, что при действии g
(l—|z|2)f (l—|zg|2)=|阳 + 浦7(1 —旧 2).
При этом пространства Х+, Х_ и Хо можно соответственно рассматривать как стереографические проекции верхней полости двухполостного гиперболоида, однополостного гиперболоида и верхней полости конуса в трехмерном пространстве с псевдоевклидовой метрикой:
$2 =欧一胃；一W・
Рассмотрим, например, случай пространства X* Нетрудно видеть, что так же, как и в § 4.1, пространство Х+ можно отождествить с множеством элементов группы G вида
g = (Z а)1 а2 - I Р |2 = 1± а = а > 0.(5.4)
Полагая a = ch(t/2), р = бЪ(т/2)ехр(—г(р), т>0, видим, что пространство X〉изоморфно верхней полости двухполостного гиперболоида
{(а,瓦,02): а?—傥—储=3 а > 0}$
т. е. множеству единичных (в псевдоевклидовой метрике) векторов
n = (ch q sh т cos 82n = (ch q sh т cos 82屮丄 sh т sin(р)5 n2 =^= Wq — nJ — Па =^ 1.
n = (ch q sh т cos 82
n = (ch q sh т cos 82
Элемент gn пространства Х+ можно записать в виде
=(ch (т/2)sh (т/2) ехр (— £硏 _
g" — \sh (т/2) exp (г(р) ch (т/2)丿—
(0 — i3 О ,(0 — i3 О ,=ехр [^ (иг^! + иг2G2)， (5.5) где m = (0, sin 屮，-cos 屮)，S = ( ： ； ), S = матрицы Паули.
(0 — i
3 О ,
(0 — i
3 О ,
Таким образом, матрица gn описывает гиперболический поворот вокруг вектора т =(0, sin ф, —cos(p) на угол т.
Так же, как и в случае группы SU (2) (см. § 4.1), разложение Гаусса приводит к установлению изоморфизма между этими пространствами. Например, изоморфизм между единичным кругом Х+ = {^ : 1^1 < 1} и верхней полостью двухполостного гиперболоида Н2 ={« ： п2 =Ио— —冠一Е = 1, n0 > 0} устанавливается с помощью формулы
С = th (т/2) ехр(—ftp), п = (ch т, sh т cos 屮，sh т sin 屮).
(5.6)
Так же, как и в § 4.1, рассмотренная конструкция вводит комплексную структуру на верхней полости гиперболоида W. Таким образом, мы можем рассматривать верхнюю полость гиперболоида как некомпактное комплексное многообразие.
Приведем выражение для G-инвариаптной метрики нaн2
ds2 = dn dn = 7 产曝另(5.7)
и выражение для замкнутой G-инвариантной 2-формы
3= 2"(二1(户产(5・8)
6奉6奉Отметим, что так же, как и в случае сферы 53, многообразие № является кэлеровым. Поэтому формулы (4.22) и (4.23) можно переписать в виде
6奉
6奉
Л2Р-
曲2 = 4 —=:或爲
(5.9)
8 Н 2"^^閣八"容
(5.10)
83
где
F = -ln(l-l5l2).(5.11)
Группа SU (1, 1) некомпактна, и потому все ее унитарные неприводимые представления, в отличие от группы SU(2), бесконечномерны.
Эта группа имеет несколько серий унитарных неприводимых представлений: основную, дискретные и дополнительную. Здесь мы рассмотрим лишь представления дискретных и основной серий.
Дискретные серии. Существуют две дискретные серии представлений Т+ и Т~. Из них достаточно рассмотреть лишь одну, например Т+, поскольку все полученные результаты автоматически переносятся на другую.
Представления дискретной серии бесконечномерны, однако они во многом аналогичны конечномерным представлениям группы S17(2). Например, базисный вектор \тУ в пространстве такого представления можно задавать целым числом т, меняющимся от нуля до бесконечности.
Алгебра Ли группы SU (1, 1) порождается тремя генераторами: А\, К2 и KQ. Перестановочные соотношения для них имеют вид
[Ki, KR =—»К°, [^21 К^1К„ [^0> ^] = ^ (5.12)
Как и в случае группы SU (2), здесь удобно перейти к новым, генераторам
К± = ±2 (Xi 士 近2),(5.13)
после чего перестановочные соотношения принимают вид [К。, KJ - 士衣土, [К—, KJ = 2К°・(5.14)
Нетрудно проверить, что оператор
С2 = k； - к；-招=Xq - у (衣+衣一 + 衣一К十)(5.15)
является инвариантным оператором (оператором Казимира), т. е. коммутирует со всеми операторами К$, В силу леммы Шура такой оператор для неприводимого представления кратен единичному оператору:
C^ktk-i)!.(5.16)
Таким образом, представление группы SU (1, 1) характеризуется одним числом 论：для дискретной серии это число принимает значения к —3/г, 2, 5/г, ....
84
Заметим, что представления универсальной накрывающей группы — группы SU (1, 1) — также определяются одним числом 论，однако теперь к меняется непрерывно от нуля до бесконечности: OvAjVs.
Возвращаясь к рассмотрению представлений дискретной серии, заметим, что базисные векторы 丨冗 卩〉пространства, в котором действует представление 7'(g), задаются числом р, — собственным значением оператора Ко：
Ко 伍，ц> = ц1Л, ц>, р, = & + тп, (5.17)
т ——целое число, m 2 0.
Аналогично § 4.2 нам будет удобно использовать реализацию представления 7卜(g) в пространстве функций 歹崑= {/(z)}, аналитических в единичном круге и удовлетворяющих условию
口加 V8, ||/||± =『j |/(2)|2(l-|z|2)2ft-2^. (5.18) [z|Vl
Операторы T"(g) действуют в пространстве ①"согласно формуле
/'(g)/(z) = (pz+H)T"(Zg),=(5.19)
Операторы К土 и К。в этой реализации являются дифференциальными операторами:
^+ = ^d/dz + 2kz,(5.20)
К- = d/dz,(5.21)
Rq = zd/dz + к.(5.22)
Как и в случае группы SU(2), представление 7*(g) можно записать в квазиклассическом виде
呎(g)/(z) = exp3(g, z))〃zg),(5.23)
где функция S(g, z) дается формулой (4.30), в которой F надо заменить на
戶=一%1口(1一同2).
Основная (непрерывна咒) серия. Помимо дискретных серий существуют две так называемые основные (или непрерывные) серии представлений группы SU (1,1) и дополнительная серия.
Нас будут интересовать представления класса I, т. е. представления, в пространстве которых существует век-
тор I ро〉， инвариантный относительно действия максимальной компактной подгруппы К группы G. В нашем случае К = 0(1), а именно
К — {к:к = diag [exp(tqp/2), ехр(—tq)/2)]}.
К таким представлениям относятся представления одной из основных серий и представления дополнительной серии.
Представления основной серии реализуются в пространстве функций на орбите типа Хо, т. с, в пространстве функций на единичной окружности. Представление класса I характеризуется одним неотрицательным числом 九 и задается формулой
『(g)/(z)=lM + 0L+2 附&),(5.24)
Zg = (az + 卩)/(卩 z + a), z = exp(i0).
Нетрудно проверить, что операторы 7九(g) действительно образуют представление группы G и что при выборе скалярного произведения в виде
</il/2> = ^J 7i(0)/2(9)^, /(z) = /(8), (5.25)
О это представление унитарно.
Отметим, что оператор Казимира & = К； — К；—五^ кратен единичному оператору: С2 = — (V + 1/4) I.
Для представлений дополнительной серии действие операторов『(g) по-прежнему дается формулой (5.24), где 儿 однако, должно быть чисто мнимым числом: X = tr, —1/2 < т < 1/2. В этом случае скалярное произведение дается более сложным выражением (см., например, [15]):
2冗2冗
^/i I /2〉= N卜in(写期f五他)%(%)4切而2，
О о
(5.26)
-1<о<0.
Пространство представления 7* (g) бесконечномерно, и в нем можно выбрать базис {| 儿 卩〉} из собственных векторов оператора Ко — инфинитезимального оператора подгруппы К:
Ко庆卩〉=ц1Л,卩〉，卩=0, ±1, ±2,(5.27)
Операторы К± = ±/ (^ ± iK2) действуют в этом базисе 86
согласно формулам:
k+1儿卩〉=(1/2 一試+卩)I儿n+ 1>,
(5.28)
К」％, ц> = (—1/2 + гХ + ц) IX, ц — IX
В этих формулах К32 — инфинитезимальные операторы представления 7(g), соответствующие элементам алгебры Ли 乡.Для рассматриваемой реализации представления T，(g) операторы К土, Ко являются дифференциальными операторами первого порядка:
Ко = —id/dQ^
(5.29)
К± = Т exp(±i0)d/d0 干(—1/2 + iX)exp(±i0).
Когерентные состояния
Дискретные серии. Действуя на фиксированный вектор Е〉операторами T'(g), получаем интересующую нас систему КС.
В качестве фиксированного вектора 丨 5〉нам будет удобно выбрать вектор |&,乃〉,для которого стационарная подалгебра 毋 алгебры 乡° максимальна^ и потому такие КС наиболее близки к классическим.
Дальнейшие построения аналогичны построениям § 4.3. Как хорошо известно, оператор T&(g) можно представить в виде
Th{g) = Tk{g^ Tk(h), h^H.
Отсюда следует, что когерентное состояние задается единичным псевдоевклидовым вектором )
n = (ch Q sh т cos 屮$ sh r sin ф),
I n> = exp [ta («)] Th (g„) I I|)o>.(5.30)
Что касается фазового множителя exp [fa (п)], то его удобно выбрать равным единице, так что
l«> =D(n) |if)0>, где
。⑺= T，g“)= exp(KgK)), т>0,(5.31)
/п — единичный вектор, перпендикулярный векторам « и «0 = (1, 0, 0), ^=(0, sin ф, —cosq))・
Приведем еще одну форму записи оператора。(叫 аналогичную (4.33), (4.35):
D(n) = D (Е) = ехр (^+ — рГ_),三=Z ^•(加1 — im2).
(5.32)
Заметим, что операторы типа D(n) не образуют группы, но их закон перемножения можно представить в виде
D^n^D (n2) = D (%) ехр (渺(％,闯&).(5.33)
Можно показать прямыми вычислениями, что величина 0(也工,л2) равна площади Л («Oj д1» п^ геодезического треугольника на гиперболоиде с вершинами в точках 也0，〃工，也2：
0 Si, %)=力(％,耽，％) •(5.34)
Так же, как и в § 4.3, этот факт указывает на квазиклассичность построенной системы КС.
Оператор D(n) можно записать в «нормальном виде»:
O(2) = exp(gexp(“)exp(TK) (5.35) где—
C = th® exp(i(p), р = 21nch |g| =—ln(l— l^l2), 丫 = 一&
(5.36)
Приведем еще «антинормальпый» вид этого оператора:
D ⑺=ехр {^_)ехр (一冰°) ехр 隽KJ,(5.37)
где величины С, 0 и у определены в (5.36).
Заметим, что поскольку величины £, р и у, входящие в формулы (5.35), (5.37), от к не зависят, то достаточно проверить эти формулы для случая, когда
Ко = а3/2, Ki = iOi/2, К2 = i02/2,
где о】,а2 и а3 — матрицы Паули.
Теперь, действуя на №〉оператором 刀隽)，записанным в виде (5.35), приходим к иному представлению (иной параметризации) когерентных состояний:'
!?>=(! - ®2)%хр 隽 К" Ю>.(5.38)
Отметим простой геометрический смысл перехода от переменной » к переменной 自：это стереографическая
88
проекция из южного полюса гиперболоида п0 = (—1, 0, 0) на плоскость g.
Разлагая экспоненту и используя соотношение
'"+ "〉=[加麻%/2(及+)”，衣〉，(5•39)
получаем разложение когерентного состояния по ортонор- мированному базису:
I О = (1 -隽 М £ [^У^厂 Г1ЛД + 吟(5.40)
Приведем еще выражение для КС в 2-представлении:
〈z依〉=^(2) = (1-!£l2)ft(l - S)-叱 (5.41)
Отметим, что рассматриваемое когерентное состояние является собственным состоянием оператора
(мК) = %爲一％& — zz2K2,(5.42)
и кроме того,
(工一2寸乂+片及+)也〉=0.(5.43)
Уравнение (5.42) сразу же следует из уравнения КД п0> = к\ п0> (п0 = (1, 0, 0)) и соотношения
D (п) КоО-1 (п) = 5К).(5.44)
Аналогично доказывается и уравнение (5.43).
Уравнения (5.42) и (5.43) определяют КС с точностью до фазового множителя exp(ta). Полученная система КС обладает всеми свойствами системы спиновых КС (см. § 4.3). Мы приведем лишь некоторые из них.
3'・ Когерентные состояния неортогональны друг другу:
|<П1|П2>Р=(™))-2Й.(5.45)
5'・ При к > 1/2 имеет место разложение единицы
/1白〉《1"2月=b(546)
где
加© = F~(二 j£ 炉(5.47)
1О'・ Производящая функция G(&,刀；g) для матричных элементов оператора Th(g) имеет вид
G (Е，П； g) = N ^й4-тЛЧ-п (g)以/n(Е )以乳(П)=
=(成П +健+聞+ Е)е, (5.48)
где 〃m 化)=[Г(т + 2%)/тп!!1 (2")『/笛。
В заключение рассмотрим важную для ряда приложений реализацию представлений группы SU (1, 1) с помощью операторов, квадратичных по бозонным операторам рождения и уничтожения а+ и а, которые удовлетворяют перестановочным соотношениям [а, а+] = 1.
Рассмотрим три оператора
К+=(а^у/2, К_ = 〃2/2, К.^(аа^ +(^а}/^ (5.49)
Вычисление показывает, что эти операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям (5.14). Вычисляя с помощью (5.49) оператор Казимира (5.15), получаем 以= _^1 = %(瓦-1)工(5.50)
Отсюда получаем два решения:
论= 1/4 и к = 3/4.(5.51)
Нетрудно видеть, что состояния \п) —(и!)-1/2(а+)п|0> с четным п образуют базис в пространстве унитарного неприводимого представления 7* с А: = 1/4, и соответственно состояния |п> с нечетным п образуют базис в пространстве представления Th с к = 3/4.
Матричные элементы представлений группы SU(1, 1) выражаются через гипергеометрическую функцию [90]. Для рассматриваемых здесь представлений 7' (% = 1/4 и 衣=3/4) в работе [59] было получено более простое выражение
僚п ⑴=[$r]1/2(ch 斤"2 Р%础((ch 吋-)(5・52) где Рп (汽)— присоединенная функция Лежандра, п< = = min(7n,咒),n> =max(m,咒).
Рассмотрим теперь представления дискретной серии группы SU(1, 1), которые можно реализовать с помощью пары бозонных операторов ау и а_. Рассмотрим три квадратичных оператора
及十=赤q士， К—= 〃十а_, Ко — ^ (a範+ + 世a_ + 1).
(5.53)
Вычисление показывает, что эти операторы удовлетво ряют перестановочным соотношениям (5.14). Вычисляя с помощью (5.53) оператор Казимира (5.15), получаем
С2 = - % + % (珅。+ - а%_)2.(5.54)
Таким образом, для состояний
In> = (ml п!)-1/3 04严(。士)" 10,0〉
с m — n = nQ = const
имеем
C2=^k(k-i)l, % = (1 +|%|)/2,
и потому состояния {\п + п0^ и>} образуют базис унитарного неприводимого представления Th дискретной серии группы SU(1, 1), где
斤=%(1 + 1%1).(5.55)
Матричные элементы этих представлений известны, и в простейшем случае, когда начальное состояние является вакуумным, мы имеем
" I Т"2 (g) 10, 0> |2 = (1-Р) р", р =吗.(5.56)
Мы рассмотрели здесь системы КС, связанные с представлениями дискретной серии группы SU(1, 1). Относительно КС для представлений дискретных серий других групп Ли см. часть II книги [211].
Основная Непрерывная) серия. Рассмотрим уни” тарное неприводимое представление T'(g) класса I группы SU(I, 1), и пусть |if)0> — вектор в пространстве представления, инвариантный относительно действия К = =U (1)~ максимальной компактной подгруппы. Действуя на него операторами T"(g), получаем систему когерентных состояний, параметризуемых точками факторпрост- ранства*) X = G/K = SU(1, 1)/U(1), которое является в данном случае плоскостью Лобачевского и может быть реализовано, например, в виде внутренности единичного круга
Х = Х =隽：也IV1}.(5.57)
А именно, выбирая в классе смежности, соответствующем
элементу 匕 aX = G/K, какой-либо элемент gt^G, получаем систему когерентных состояний
® = 7(飮"0〉，10〉= 1业〉.(5.58)
В качестве такого представителя можно взять, например,
点=7T^(二a 二)，心=7(邕)1°〉・(5・59)
Приведем также другое, однако, эквивалентное определение КС:-
@ = exp传芻一三工)10〉，
自=I 自 I exp(iq)), С = th I 自 I exp(icp). (5.60)
В соответствии с общей теорией система КС является сверхполной и неортогональной и обладает рядом замечательных свойств, некоторые из которых мы перечислим:
Состояния IP нормированы: <g|^> = 1.
Группа G действует на множестве КС транзитивно, и это действие определяется формулой
『(g) © = T(g)T(g»lO〉= 7(gg0 10〉=匕〉，(5.61) где
如=(噸—₽)/(— 5g + a), ggg = gvk, 7 =叁，kw K,
(5.62)
Состояния [gi〉и 1^2〉, вообще говоря, не ортогональны друг другу. Их скалярное произведение определяется функцией Фх(т) — так называемой зональной сферической функцией:
<211G =〈01 叫g"g J 10〉=屯(t).(5.63)
Здесь т — расстояние между точками & и & в стандартной метрике Лобачевского. Оно определяется формулой
ch = —у=== -т==== 11 — Si^21-(5.64)
Функция Фл(т), в свою очередь, дается формулой
ФДт)=<0|Г(а(т))10>,(5.65)
а(т) = ^ р £)* a = ch^, 0 = sh* т>0. (5.66)
Пусть {|ц> ^ |А, ц>} — ортонормированный базис в пространстве представления 箔、являющийся собственным для оператора Ко:
(5.67)(5.67)Kog = ц!ц>.
(5.67)
(5.67)
Разлагая КС по этому базису, получаем
|0 = n2oo^n(S)|n>,(5.68)
где
U" @ =〈九 I0 =〈" I 收(gg) I 0〉= $ (T,中)，(5・69)
g= — thy exp(icp).
Состояние 1g〉является нормированным, поэтому
' ОО
п2оо1^(0|2 = 1-(5.70)
Отметим также, что
Un (0г <р) = 6初，(5.71)
и„ (т, ф) = ехр (―切屮)鶴("•(5.72)
Функции 北"(т, ф), будучи матричными элементами оператора T'(g), являются собственными функциями оператора Лапласа — Бельтрами для плоскости Лобачевского:
—Аип(т, ф) = Аип(т, ф),(5.73)
где
A = 4 + cthr^ + 4-4-(5.74)
5т2@Т sh2x 5ф3/
При этом для представлений основной серии
А = ("4+ 九 2),(5.75)
а для представлений дополнительной серии•
А = (1/4-о2), -1/2 <а< 1/2.(5.76)
Зональная сферическая функция Wq(t, <р), как мы видели, не зависит от 屮；以^(弋,屮)=①？i(t) является собственной функцией радиальной части оператора Лапласа —Бельтрами:
一僚+汕谥)曲⑺=(炉+ £)叫⑺.(5.77)
Она удовлетворяет условию нормировки
6(0) =1.(5.78)
Функции 〃2 (т, ф) являются собственными функциями коммутирующих самосопряженных операторов А и р^ = — % 而皿 образуют ортогональную систему функций на плоскости Лобачевского. Для случая основной серии класса I имеем
8 2Л
^ J j 说(a?屮)心；(7 中)sh %dx d(p= о о
=Nn W 6n^6(X-Xz).(5.79)
Коэффициент Nn(K) определяется асимптотикой функции 7?п(т) при т
7?nW ~(Cn(A) exp (X肌)+ % (一九)exp (一力肌))exp (— t/2),
(5.80)
и, как нетрудно видеть,
Nn(入)= Nn(~k) = ^\cn(九)12.(5.81)
Известно также, что коэффициент 7vo (А) определяет меру Планшереля d卩(九)для представлений основной серии (см., например, [15]). Именно, произвольную функцию /(т) мы можем разложить по функциям ①«):
/(T)= jf@)<I\(T)即⑴，(5.82)
О
где
心1 (九)=-^=儿 th n九 d%,(5.83)
л (% (九))
а /(X) находится по формуле
『3)= J ①式т) / (т) sh т dt・ (5.84) о
С помощью формулы (5.63) нетрудно получить выражение для производящей функции для матричных элементов Ттп (g)=〈加 I Т' (g) I 冷〉. Для этого рассмотрим 94
выражение ⑴『(g)ln〉・ Нетрудно видеть, что ql「(g)ln〉= <IMT),(5.85)
где т — расстояние между точками 扇 и 中
ch у= " Ly 尸3 =；| & + 俺一Bn — afn |. (5.86)
2/1-R|2 Vl~\^
Теперь перейдем к рассмотрению конкретной реализации представления T'(g). Оно действует в пространстве квадратично интегрируемых функций на единичной окружности {z : z = ехр(Z0) }：
T\g)f(Z) = \^ + a\-wAf(zs),纟广彩^ (5.87) 十а
Нетрудно видеть, что вектор гильбертова пространства /о (^) = 1 инвариантен относительно максимальной компактной подгруппы. Действуя на него оператором T'(g), получаем систему КС для основной серии ):
穴(g)/° = Mz)=lpz + a|-I+2iX =
=(1 一也12)"25(1-騎i吃(5.88)
Для представлений дополнительной серии имеем
我(2)= (1 一 也户)出 1 一^ 产，一IV。VO. (5.89) Здесь
© = —§/a, Igl < 1, z = exp(i0), |з| = 1. (5.90)
Таким образом, в соответствии с общей теорией КС определяется точкой g факторпространства X = G/К, которое в данном случае является плоскостью Лобачевского {g：©vl}..
Отметим ряд свойств функций Д (г).
При фиксированном 2 = ехр(Ю) функция ①e(g) = =А(0) постоянна на орициклах плоскости Лобачевского, которые в данном случае являются окружностями, касающимися окружности {g:|gl=l} в точке g = г = ехр(гб)
. Уравнение орицикла имеет вид
1 士」工」- 2 II ；os (8 — <р) =(心 т 一 sh r cos (ф — 0)) = const<
(5.91)
Поэтому ядро K^ 2)= Д(г) можно назвать орисфери- ческим ядром, и следовательно, при используемой нами реализации представления Т' (g) система КС задается орисферическими ядрами. Отметим, что это утверждение остается справедливым и для случая представления основной серии произвольной группы Ли (см. часть II книги [211]).
Заметим, что
仇(评、帀二謂二(二丁Р8),(5.92) где P(g, 2)— ядро Пуассона для круга {^ : Igl < 1). Таким образом,
& (z) = exp (必)仍优，z)产f(5.93)
При фиксированном z функция Ф^ (С) — /^(2) является собственной функцией оператора Лапласа —— Бельтрами А=(1 —也^尸厶 (Д — обычный оператор Лапласа) для плоскости Лобачевского:
-Ш(?) = (^2 + 1/4)Ф^(?).(5.94)
Поскольку такие функции к тому же постоянны на орициклах, являющихся аналогами прямых на евклидовой плоскости, то КС ①z(g) =①o(g) являются естественным обобщением плоских волн Фк (г) = exp (ikr) для случая евклидовой плоскости.
Ортонормированный базис, являющийся собственным для операторов Т(&),论三 К, К = U(i)——максимальная компактная подгруппа группы SU(1, 1), имеет вид
|п> -> fn(z) = zn = ехр(ш0).(5.95)
Разлагая КС по этому базису, получаем интегральное представление для функции и^ (匕)：
2Л
片@ =亲/exp (一切8) <Й④加= 0
=*，exp (-硒(1 一 I g产严711 — 8「"2设d0. (5.96) О
Переходя с помощью стереографической проекции (^ = th(T/2).exp(iq))) от круга {©:®V1} к верхней полости гиперболоида [ж: ж2 = Zq — n；—制=1, % > 0}, полагая х0 = ch т, %【=sh t cos 屮,a：2 = sh т sin 屮,получаем Un(T, ф)==
2Л
=*J (chr — shrcos(0 — q)))~1/2+aexp(— fn0)d0. (5.97) о
Таким образом, мы получили хорошо известное интегральное представление для матричных элементов Т}。(g) (см., например, [15]).
Функции 以^(%(р) при всех значениях 九 и п образуют полную систему функций на верхней полости гиперболоида
h2=世：号工^一”一登=1,自。>0}.
Для зональной сферической функции (п = 0) это представление несколько упрощается:
①厶(工)=М J (ch т — sh t cos(p)-1/2+a йф. (5.98) о
J 醐隽)g； © 卯 © = No G) 3 (e 一 0Q6 3 - “)，(5.99) 卽⑸=(1一12-2盟.J 醐隽)g； © 卯 © = No G) 3 (e 一 0Q6 3 - “)，(5.99) 卽⑸=(1一12-2盟.dfi (入)=NJ’ (九)d入=入th以入d入.dfi (入)=NJ’ (九)d入=入th以入d入.Рассматриваемая нами система КС удовлетворяет соотношениям ортогональности
J 醐隽)g； © 卯 © = No G) 3 (e 一 0Q6 3 - “)，(5.99) 卽⑸=(1一12-2盟.
J 醐隽)g； © 卯 © = No G) 3 (e 一 0Q6 3 - “)，(5.99) 卽⑸=(1一12-2盟.
dfi (入)=NJ’ (九)d入=入th以入d入.
dfi (入)=NJ’ (九)d入=入th以入d入.
(5.100)
С помощью этих соотношений мы можем разложить произвольную функцию на плоскости Лобачевского по функциям ①^ (之):
/® = J /(^, 0)O^(0^(X)d0,(5.101)
где
?(尢8)=)魂@/④即④.(5.102)
7 А. М. Переломов7 А. М. Переломов97
7 А. М. Переломов
7 А. М. Переломов
1§・ Ф541КЦЙИ ①ЗК) тесно связаны с задачки рассеяния. Чтобы увидеть это, nepfenfanfeM ЬпЬ^йтор Л&п^са — БЬльтрймй в йпдё
А = -^2 + cthr^ + -|- 4 =
加 &М shfq/
=/^1^ + 扌^} +(5.103)
Отсюда следует, что функция ^h (т) = Psh т и"т) удовлетворяет уравнению
(一^ + ^^^)脸⑴=6 曲(*(5-104)
которое имеет вид уравнения Шредингера для задачи рассеяния в потенциале V(т) = (?г2 — 1/4) sh-2 т. Отсюда получаем выражение для асимптотики функции 屮气(т) при Т f 8：
状⑴〜以(九)eхр (次T) + сп (-九)ехр (- iXr) (5.105) и для S-матрпцы данной задачи:
5"(九)=-^^.(5.106)
Простой способ нахождения величин СП(Х) и S^ (九) заключается в переходе к пределу под знаком интеграла. Например,
此 ⑴=①入⑴=/ «ch Т — sli T cos中)一"2十认西~ 0
〜(C (入)exp (ZXx) + C(—X) exp (―/Хт)) ехр(—т/2) при tf 00,C^-^l (屮厂2+%^ = /^^. (5.107)
Таким образом, 5-матрица для соответствующей задачи рассеяния имеет вид
30 (入)—一f(一 认)门1/2 + 次)3.1US)
и обладает полосами в точках 九=Хтг, п~1ч 2, 3, ... и X == ~i (п — 1/2),也=1, 2,
0g
2?・ За,^тим, ракодец, что из интегрального представление (5.98) нетрудно цо^учцть явное вираже耳не для ФДт):
Фх(т) = F (a, b; c; — sh21), "2+认,〃2—认 .
aa(5.109)(5.109)子一，6 = -r-, e=1.
a
a
(5.109)
(5.109)
Воспользовавшись формулой для преобразования гипергеометрической 巾у耳кцни, получаем формулу, удобную для получения асимптотики при 七 f оо： 仇⑴=(2 Ch Т)т/2 ｛(2 ch т产 х
门认）门认）XXУл Г (1/2 十呪)Ул Г (1/2 十呪)О — [, 11 —2 、.
门认）
门认）
X
X
Ул Г (1/2 十呪)
Ул Г (1/2 十呪)
"2~, — с + у； ch т)+
+ K.C.J (5.110)
ст = — 1/2 + 认.
Отраду т^кже нетрудно получить выражение 口叮耳 5-матрицы II меры Планшеррля.
Глава, 6
ГРУПЦ4 ЛОРЕНЦА: S0(3, t)
В этой главе изучается система КС для группы SO(3, 1)-группы Лоренца. Такая система состояний параметризуется точками верхней полости двухполостного гиперболоида, и с другой точки зрения была рассмотрена в работе 倒].Она оказалась весьма удобной для рассмотрения pgqa зада^ теории представлений группы Лоренца Ц ре^т耳曲抖体而 физцки.
§ §•!• Цв?дставл^чря Fpyn啾I ДрВРЧВ?
口抖斗吧耳9© QU耳раине rpyq卩耳 Доррнвд 耳 ее представ- 耶腸導 мржнр найтц в 尹耳耳га苓[3, 15, П, 52]. Здесь мы RR?用明&М лигрь 即破ход耳м^е длд 耳驶 сведения.
Группа Лорецод ——это группа линейных преобразований четырехмерного пространства, оставляющих ннв^р耳一 адтной ц俾职р©邸耳叫”у ©ОРМУ
Ж3 =石一宕一^2 一之3.
Она докад^рр изоморфна группе G = S£(2, С) = ｛号｝, т. е. группе комплексных матриц второго порядка с Ьп- 7*99
ределителем, равным единице. Для того чтобы увидеть это, сопоставим вектору ж = (^0, ^i,胃2,胃з) матрицу
Х = Х°1 + 炉 6 + 化汩2 + 况％3, (6.1) где I — единичная матрица, о； — матрицы Паули:
= 。о ], a3 = [о _力・(6・2)
Тогда преобразование 胃化‘ =g/g+ определяет преобразование в пространстве векторов, сохраняющее величину ж2. При этом двум матрицам g и —g отвечает одно и то же преобразование из SO(3, 1). Поэтому
SO(3rl)^SL^ C)/Z2, (6.3)
где Z2 = {I, — 1} — центр группы SL (2; С). В силу этого изоморфизма вместо группы Лоренца мы можем рассматривать группу S£(2,Q).
Известно [15, 52], что существуют две серии унитарных неприводимых представлений группы Лоренца —— основная и дополнительная.
Представление основной серии задается неотрицательным полуцелым числом /о и вещественным числом 入； 7 (g) = 7%' (g). При этом для /0 = 0 представления Т°>к и Z'°'-* эквивалентны. При ограничении представления 7%' (g) па максимальную компактную подгруппу К = SU(2) оно становится приводимым и содержит представления 户，Т%+，必+2 … группы SU(2). При /о = 0 в пространстве представления существует вектор I 屮°〉, инвариантный отпосительно подгруппы 宜,т. е. такое представление является представлением класса I. Мы будем обозначать его просто 7%(g)・
Представления дополнительной серии соответствуют чисто мнимым значениям параметра 九；% = го, —1 < а < 0. Все они являются представлениями класса I. Хорошо известны две стандартные реализации унитарных неприводимых представлений [85, 87].
Во-первых, их можпо реализовать в пространстве 歹*, % = (^1? п2), где zb и 几2 — комплексные числа такие, что (wt — п2)——целое число. Пространство 歹％ ——это пространство функций /(z, z), удовлетворяющих двум условиям. '
Функция f(z, z)e С°°, т. е. является бесконечно-
дифференцируемой при всех значениях z：
/(z, z)^C°°.(6.4)
7 (z, 2)= z'T^/T"— 1/z, — 4/7)三 сж. (6.5)
Представление 尸(g) определяется формулой
小(g) f^) = ^ + 6)%т (В； + S)"2-1 〃Zg),
Zg = (az + у) (0z + 3)T.(6.6)
Для представлепи!! основной серии
孔1 =(Л)+ 次)，^2 = (—Л + %九)，(6.7)
а скалярное произведение имеет вид
</il/2> = ^ J/i/2^^.(6.8)
Для представлений дополнительной серии
% =孔2 = 6 -1 < 0 <0,(6.9)
а скалярное произведение имеет более сложный вид:
〈/11 /2〉=
=L j j I Zi — Z2「29+1)%(Z工)％ ⑶)&働仍2・(6.Ю)
Таким образом, для представлений класса I имеем 11J == ZZ2 == 72 === X九 И
?(g)〃Z)=№z + 6]2ST〃Zg).(6.11)
Нетрудно проверить также, что вектор, инвариантный относительно максимальной компактной подгруппы и пормировапный, имеет вид
f°(z) = (l+〕z|2)T+”・(6.12)
Для того чтобы получить вторую реализацию представления, отобразим ^-плоскость на сферу S^ = {п： п2= 1} с помощью преобразования, обратного стереографической
проекции:I 2 I =tg^, cos0=проекции:I 2 I =tg^, cos0=号…exp (**(6.13)号…exp (**(6.13)疗忆亲“⑷产加,疗忆亲“⑷产加,(6.14)101(6.14)101Мы приходим к реализации представлений в пространстве функций /(п) на единичной сфере 52 = {п： п2 = 1}. При этом
проекции:
I 2 I =tg^, cos0=
проекции:
I 2 I =tg^, cos0=
号…exp (**(6.13)
号…exp (**(6.13)
疗忆亲“⑷产加,
疗忆亲“⑷产加,
(6.14)
101
(6.14)
101
где функция /(п) связана с функцией /(z) формулой
/(Z)= /о(г)7(д) = (1 + Iz 12) т+旷(п) .(6.15)
Отсюда получаем закон преобразования функций /(п)： 仆(g)公n)=隽。一裁i)…号(％),(6.16)
где четырехмерный вектор (^0! Е), ^о — ^2 = 1 До > О определяется формулами
S0-(l/2) (la!2+|^|2+hl2+ ⑻2),
& = (1/2) (口丫 + ссу + рб + рб), 三2 = (一"2) (aY 一 口Y + 33 一 痂， 扇Н(1/2) (1a户+ |в12一m2 一 ⑹ 2).(6.17)
Когерентные состояния
При второй реализации представления вектор, инвариантный относительно максимальной компактной подгруппы, есть /о(п)^ 1, и действуя на него операторами 『(g), получаем систему КС:
Qf 住(П)=隔一三п)т+* 歸一片=1, ^>0. (6.18)
Таким образом, когерентные состояния нумеруются точками верхней полости двухполостного гиперболоида. Эта система функций была рассмотрена впервые (из других соображений) в работе [81] и оказалась весьма удобной при изучении ряда вопросов теориц представлений группы Лоренца и теоретической физики.
Гельфандом и Граевым (см. [17]) была установлена связь такого подхода с орисферическими преобразованиями, был сформулирован так называемый метод орисфер для общего случая и был детально рассмотрен случай комплексных полупростых групп Ли.
Перейдем к рассмотрению свойств системы КС. Такая система с небольшими модификациями обладает всеми свойствами, перечисленными в § 5.2. Отметим некоторые из них (см. соответствующие пункты в (5.2.2)).
2‘. Группа G действует на множестве КС транзитивно, и это действие дается формулой
7Yg)lW〉=匾〉，^ = g£(649)
где g — вещественная матрица четвертого порядка, удовлетворяющая условию
g飞g = s, s = di^g [1, 一1, -1, -1J.(6.20)
З7・ Скйлйрное произведение двух КС дается формулой «|1)〉= 6(т) =需,(6.21)
где
ch т =(刍呜=Ее。一 £"•(6.22)
擊.В пространств^ преДставленйя 非入 существует базис {乩 m>} из собственных векторов операторов
户=费十为+灣и(，
J21Z, m> = Z (Z + 1) IZ, m), J3\l,m) = m\l, m>,
2 = 0, 1, 2, —ZWznWZ.(6.23)
Здесь 厶一оператор инфипитезимальпого вращения вокруг оси 寵 /с = 1, 2, 3.
Разлагая КС по этому базису, получаем
1自〉=e"彌(自)|4吟，(6.24)
1т
где*"二
%(? =〈Zml 九,6(6.25)
Состояние 丨三〉является иормировапным, поэтому
印%(三)|2 = 1.(6.2G)
Отметим также, что
/,"值)=出⑴匕,"(V).(6.27)
Здесь мы обозначили через v единичный вектор,三= =sh т • V, y/m(v) — стандартные нормированные сферические функции: (4н)т У У/m(V)Yirmf(V)dv = 6/f 6mm^
5'・ Функции Uim (Tj v), будучи матричными элементами оператора 7*(g), являются собственными функциями оператора Лапласа — Бельтрами для пространства Лоба*
невского .
' 一区臨(т,2) =仏2+1)%(t,v),(6.28)
где
人=寿+2或^再+和户，
Av =豪干cfgG計鳥謳 （6.29）
■ При этом для представлений дополнительной серии получаем X = га, —1 < а< 1.
-i+2cth4-i+2cth46'・ Зональная сферическая функция Фл(т) является собственной функцией радиальной части оператора Лапласа ——Бельтрами:
-i+2cth4
-i+2cth4
①九⑴=(炉+4)回⑺• (0.30)
7'・ Функции u^n (т, V) являются собственными функциями коммутирующих самосопряженных операторов А, J2 и /з и образуют ортогональную систему функций в пространстве Лобачевского. Для случая представлений основной серии класса I нмеем
J J 〃机(Т, V)Uym, (т, V)sli2 TdT du ^^Ni (A,)5n，6mm，6(A,—V), “N(v)= ^d% Jdji(v) = 1.(6.31)
8‘. Коэффициент M (^) определяется асимптотикой функции 区7 ⑴ при t f 8
僧(т)〜(& (入)exp (Mt) + Ci (— Z) exp (— 2肌))exp (— т).
(6,32) Именно, нетрудно доказать, что
М (X) - М (—储=^| I © (X)俨.(6.33)
9'・ Коэффициент 7Vo определяет меру Плапшереля для представлений основной серии. Именно,
/(т) = j/^j7 (X) S(т)即(九)，办(X)=九2丸(6.34) где /(九)находится по формуле
〃九)=]/^ J阪(Т) / (т) sh2T dx. (6.35)
10'・ G помощью формулы (6.21) нетрудно получить выражение для производящей функции матричных элементов 〈厶 m\TK{g) \1\ т/\、 Рассмотрим выражение ㊂『⑻丨口〉. Нетрудно видеть, что
qT(g)M〉i(T),(6.36)
где
chf = (D = (£ gri),(6.37)
г — расстояние между точками 自 и т)г.
104.
Теперь перейдем к рассмотрению конкретной реализации представления T'(g). Оно действует в пространстве квадратично интегрируемых функций па единичной сфере = {п： п2 == 1)：
厂(g)/(n)=(备一鼻口) "+W(&) •(6.38)
При такой реализации представления вектор, инвариантный относительно максимальной компактной подгруппы К = 50(3), есть /0(п)^ 1, и действуя на него операторами T"(g), получаем систему КС
是(n) = (Eo — Rn)T+认=«片居)=①А(『v).(6.39)
Отметим ряд свойств функций ①А (4)=①匕(自)， | =
= (」1引2)一嗔.、
11'・ При фиксированном п функция ①々隽) постоянна на орисферах пространства Лобачевского {；: 1^1 < V 1}, которые в данном случае являются сферами, касающимися сферы 隽：Igl =仆 в точке ^ = п [17].
Уравнение орисферы имеет вид
I 二:〈河.(=ch т — sh т (nv)) = const. (6.40) 1 ~ I SI
Поэтому ядро К (g, n) = Фп (S) можпо назвать орисфе- рическим ядром, и следовательно, при используемой памп реализации представления T'(g) система КС задается орисферическими ядрами.
12'・ Заметим, что
@(3F = WUd = S，(64)
где 尸(J п) — ядро Пуассона для шара {J: 1?1 < 1):
以0隽,n) = 0.
Таким образом,
於(n)=P(g, n)af)/2.(6.42)
13'・ При фиксированном п функция ①п(0 является собственной функцией оператора Лапласа ——Бельтрами А =(1 — 1?12)2Д (А — обычный оператор Лапласа для трехмерного пространства)
—Aov(G) =(戶 + 1)① п(0・(6.43)
Эти функции являются естествепым обобщением плоских волн для случая трехмерного пространства.
||л. Ортонормированиый баа^с, явлдаодщДся собственным для операторов J2 и Л, где Л, /2 н /3 — инфинитезимальное операторы ,иаксцмалвдци вд^падуцод подгруцпы группы G = *O(3) имеет вид
化一(川｝.(6.44)
15х. Разлагая КС по этому базису： ||> =2uzm (I) К，т〉 и замечая, что %m(g) =〈厶 ^恃〉，приходпм'к интегральному представлению для функции 〃爆(自)：
心(I) = J Yim (n)偽-时т+‘入即 (#).(6.45)
16'・ Для зональной сферической функции (I = 0, т = =0) это представление упрощается:
2Д
①九(工)=奈:，(ch т 一sh т.cos Q)"1^ sin6 dQ. (6.^6)
17'・ Система функций, описывающих КС, удовлетворяет соотношениям ортогональности
J必④①帯⑹如 @ = МЗ)60_«)6(п，П),(6.47)
J 勅(О①А 隽')郎(九)©М9)= 0(т —T).6(v, v)
g = thr-v,(6.48)
18'・ С помощью этих соотношений мы можем разло- 质ита произвольную фуикцшо в пространстве Лобачевского по функциям ①A(g)
7(g) = (2n)T/2j "储 n)①^ (0 dn d^ 3), &i仇)=九2«九，(6.49) где
沁,n) = (2n)T2『蜀④ / ⑹即(»(6.50)
19'・ Функции Фп (?) тесно связаны с задачей рассея- 1гия. Для того чтобы увидеть это, перепишем оператор Лапласа — Бельтрами в виде
区=^ + 2 cth + (sh T)-2A0(p =
=詣青S11T-" +卜h叫一込改.(6.51)
Отсюда следует, что фуйкЦии
曲⑴= sht.咫⑴
удовлетворяют уравнению
(6.52)(6.52)
(6.52)
(6.52)
которое имеет вид уравнения Шредингера в потенциале 匕(rj = Z(Z+l)sh~2 T. Отсюда также видно, что асимптотика функции 验(т) при т f 8 имеет вид
屮7 (T) ~ d (入)екр (认T) + а (一九)exp (—认Т), (6.53)
а 5-матрица для данной задачи имеет вид
S (九)=一& (九)/g (-Х). (6.54) Заметим, что рассматриваемая задача тесно связана с задачей рассеяния заряженной частицы в кулоновом поле [57, 58].
20'. Для нахождения коэффициентов С【(А) удобно перейти в (6.45) к пределу т -> 8 под зпаком интеграла. Так, например, '
^ J (Ц^)~1+Л Р" (n) dn = & (九)Yu (v), (6,55)
и, вычисляя этот интеграл, получаем
G (X)=G (X)=(6.56)(6.56)22гГ(/ + 3/2)Г(1 + 办)
G (X)=
G (X)=
(6.56)
(6.56)
г7з/2) йг(/ + 1 + ^)'
21'・ Таким образом, 5-матрица для рассматриваемой здесь задачи рассеяния имеет вид
(6.57)(6.57)0 ,八_ г（1+认）r口+1 -认）
(6.57)
(6.57)
D m丿_门1一"（中可修）
и обладает полюсами в точках % — to, ~i(l + k), тп, к = =1, 2,...
22'. Заметим, наконец, что из интегрального представления (6.45) нетрудно получить явное выражение для функции / (т)
А? (т) = В】(sh 可尸 3，с; 一 sh2r),
厂(6.58)
a = %(Z+l +汉)，b = %(Z+l —"), c = 2 + %.
Глава 7
КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ГРУППЫ 5浓 1): ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОСНОВНОЙ СЕРИИ КЛАССА I
В настоящей главе результаты глав 5 и 6 переносятся на случай группы SO (% 1) для произвольного 孔.
Представления класса I группы SO(〃, 1)
Группа G = SO (п, 1) — это группа линейных преобразований (п + 1)-мерного пространства, которые оставляют инвариантной квадратичпую форму
Ж2 = ^ — X2,宓=(久0, х), х =(人，g, ..., с”).(7.1)
Условие инвариантности этой формы - удобно записать в виде
g'sg = s, или gi = sg's.(7.2)
Здесь g и s — вещественные матрицы порядка ("十 1)， g' — матрица, транспонированная матрице g,
s = diag[4, —1,—1].
Группа SO (n, 1) некомпактна. Максимальной компактной подгруппой К группы G является группа SO(n). Факторпространство X = G/К—это хорошо известное w-мерное пространство Лобачевского. Его можно реализовать разными способами. Мы используем реализацию в виде внутренности единичного шара
{Е： 1Ю
и в виде верхней полости двухполостного гиперболоида: 也=相,三)：務一『=1,嬴＞0}.
Нам понадобится также вложение пространства X в группу G. Удобный для нас способ таков:
Е = (Ео, W)f g£ = (у I + (% + l)Tg®J・ (7・3)
Нетрудно проверить, что соотношение (7.2) выполняется, т. е. gw 巨 G.
Что касается унитарпых неприводимых представлений класса I, то для группы G все они содержатся среди представлений основной и дополнительной серий.
108
Рассмотрим реализацию пространства X в виде единичного шара D = {g： |g| < 1). Границей этого шара является (п — 1)-мерная сфера Sn~l = {п： п2 == 1}? и, как нетрудно видеть, это пространство является однородным относительно действия группы G. Представления основной и дополнительной серий можно реализовать в пространстве квадратично интегрируемых функций {/(п)} на Sn~L Такое представление характеризуется одним вещественным числом X и задается формулой
?%)〃n) = (^-/n)"(ng),(7.4)
где
ОТ = — Р + 认，Р — —2 — у 需 х goo，皆—gjo・ (7.5)
Для представления основной серии X ^ 0, а скалярное произведение дается формулой
<Л I /2> =『71 (п)/2(п)йц(п)йц(и)=1.(7.6)
6忘一1
Для представлений дополнительной серии 九一чисто мнилюе:入= 2v, —pVvVp； следовательно, о — вещественное число:
—2р < а < 0, —(72 — 1) V о V 0.(7.7)
Скалярное произведение здесь дается более сложной формулой [15]
〈"1/2〉= % J" f [l-(n・n，)『+f><
X 71 (n) /2 (n) dji (n)如(if), (7.8)
Когерентные состояния
Систему КС для представлений класса I определим формулой
归〉= 7，gg)l 我〉,
где |ф0> — вектор 非匕 инвариантный относительно 7久(加), 卜鼻 К, g& дается формулой (7.3).
Нетрудно впдет!», что в й-пр'ёдЬтайлёЙйй роль Befctopa |ро〉играе! функция f0(^)~ 1- Действуй 立a flefe бйёрйто- 已由加 T'(g), получйей систему КС:
11>->4 (п) = (1о —自 n)f+臥=觥⑸.(7.10)
Свойства э1огй сис1ейй КС ййалЫйчЙИ ЙЬйЬтЪай ёЙ- стемы КС дЛя груййм Лбрёй^й (ей. § 6.2). Здесь iid Йе- речислим лишь иекотбрйё из э'1йх сйс(й6тв.
Скалярное прбйз^ёдёййе дйуХ КС даётей формулой 會е〉=gr (書)I业〉=①%⑴，(7.11)
где г ——расстояние между точками и П,
сЬт = (^-п) = ?оПо-^-П,
/ch (т/2) sh (т/2)\/7 4»
%=(sh(T/2) ch (т/2)/-«丄乙丿
При ограничении представления Т* на максимальную компактную подгруппу K = SO(n) представление разлагается на неприводимые компоненты, причем в это разложение входят лишь представления группы К, характеризующиеся одним целым числом I:
能入=话非，.(7.13)
1=0
Поэтому в пространстве представления можно выбрать базис ｛丨厶 卩〉｝, где 卩——чйсла, характерйз^ующйе базйбйый вектор в 非7・ Эти векторы являются собс^йенныдш Викторами оператора J2 для группы 勺户=£ Ге):
，1厶 r〉= "z +孔—2)1厶n>.(7.14)
Число векторов в 非7 равно размерности представления Т1 группы SO(n) и дается формулой
(7.15)(7.15)(7/6)(7/6)#(2?+也—2)(2+也—3)!
(7.15)
(7.15)
(7/6)
(7/6)
1 =灰一2)1'
Разлагая KG по базису |Z,卩〉，получаем
看〉=2嗑闾1厶卩〉,
гдегде4・4・"%雋) =〈3 2,"居〉=｛，Nl乎徳)10〉.Состояние I?〉 является нормироваппьгм,胤 |2=1・"%雋) =〈3 2,"居〉=｛，Nl乎徳)10〉.Состояние I?〉 является нормироваппьгм,胤 |2=1・(7.17)поэтому(7.18)(7.17)поэтому(7.18)
где
где
4・
4・
"%雋) =〈3 2,"居〉=｛，Nl乎徳)10〉.Состояние I?〉 является нормироваппьгм,胤 |2=1・
"%雋) =〈3 2,"居〉=｛，Nl乎徳)10〉.Состояние I?〉 является нормироваппьгм,胤 |2=1・
(7.17)
поэтому
(7.18)
(7.17)
поэтому
(7.18)
0『мрт叫 также, что
'唱⑥=A7(t)Eu(v), E° = chT, ^=sh『v. (7.19)
Здесь v——единичный вектор: v2 = 1; 匕黑(夕)——стандарт- нда нормироранвые сферические функции:
『P|“(V)*”(v)dp(v) = 0〃，6心，JdR(v) = l.
функции 口九(％ v), будучи матричными элементами оператора 外优)，являются собственными функциями оператора Лапласа — Бельтрами для пространства Лобачевского
一厶殴(Т, у) = (X2 + р2)殴(т, V),(7.20)
где
А + 2pcth т— + Av, (72) sh £
Av ——оператор Лапласа — Бельтрами па (孔一1) -мерной сфере:
= {v： у = 1}.
Отсюда следует, что функция 修⑺ удовлетворяет уравнению
—(亲 + 陋—° "h Т U) + "学:2) "2 =
(7.22)(7.22)
(7.22)
(7.22)
Функции % (t) связаны с задачей рассеяния частицы в потенциале V(т) = ^f2 sh-2 г. Для того чтобы увидеть это, перейдем к новой функции
Нетрудно видеть, что она удовлетворяет ПТродпргера
(一春+匕(0)明")=戶吃力
где
.匕(Т)= [ 5/2 — 1 + 2)2 — 1/4] sh-2 т.
уравнению
(7・24)
(7.25)
И1
明(T)= (sh т)~/?^(т).
(7.23)
Отсюда видно, что Т^ (п, т) 4 Ч^ (к 十 2厶 т) и, соответственно,
出(％ т) = Bnt (sh т)г7?о (孔 + 2Z, т)=
=5欣(sht)'①入(тг + 2Z, т). (7.26)
Решая уравнение (7.22), получаем явное выражение для функции 応⑴：
冷(т) = 5^ (sh т)5 (а, Ь, с; th2 т) (ch 七厂卩十叱
а = (р + Z —办)/2? 6 = (р + 2 + 1 —次)/2,
c = p + Z+l/2, (7.27)
где W(。, b, c; x) — гипергеометрическая функция.
Асимптотическое поведение функции Е? (т) имеет впд
В^1 (т)〜(& (九)ехр (认т) + q (―九)ехр (— iXr)) ехр (— рт).
(7.28
Из выражения (7.26) находим следующее выражение для коэффициента G(Z):
Ci (X) — BniCi (X) — Bni22T (p + Z + 1/2)F(p + %MF(p 十 1/2) Г (p+2十办)22T (p + Z + 1/2)F(p + %MF(p 十 1/2) Г (p+2十办)鳥（»鳥（»(7.29)(7.29)
Ci (X) — Bni
Ci (X) — Bni
22T (p + Z + 1/2)F(p + %MF(p 十 1/2) Г (p+2十办)
22T (p + Z + 1/2)F(p + %MF(p 十 1/2) Г (p+2十办)
鳥（»
鳥（»
(7.29)
(7.29)
Функции u^(r, v) образуют ортогональную систему функций в пространстве Лобачевского
J J 心m (% v)心詳V (% V)(sh 七广一‘ dt d“ (v)=
=Nt (入)Szr6mm，6 (九一Г). (7.30) Здесь
йц (v) = Л dv, J d|i (v) = 1.(7.31)
Коэффициент M (九)определяется асимптотикой функции R，(т) при t f 8：
У 仇)= RG(»2.(7.32)
Функция Фх(т)——зональная сферическая функция ——является собственной функцией радиальной части оператора Лапласа — Бельтрами
三 + (几一1) cth т^三 + (几一1) cth т^①九⑴=(炉+ р2)①入(* P=G^・
三 + (几一1) cth т^
三 + (几一1) cth т^
(7.33)
Она нормирована условием
ФД0) = 1.(7.34)
Из явного выражения
①%(t) = W(a, &, с; —sh%),
(7.35)
а = (р +爪)/2, Ь = (р — гХ)/2, с = р + 1/2, получаем выражения
С0(Х) = ―忐*)•,(7.36)
1(ZA,十 р)
牝(九)=n1以(大)12.(7.37)
Коэффициент Л^ (入)определяет меру Планшереля для представлений основной серии. Именно,
/⑴=a」/3)G ⑴如 3)，(7.38)
即仏)=若/ …叩份「，(7.39)
4儿)=a」愈⑴/⑴(sh T)"-уT,(7.40)
JI / ⑴ У (sh т)…gt = J| 沁)I恤(》(7.41)
Рассмотрим теперь свойства системы КС в п-представ- лении:
①熏)=阳一帥片也，p = G9 (7.42)
Система функций Фп (|) является полной и ортогональной:
(2n)f £ 3 ⑹①Ма 外(п)外(九)=6 (I, V), (7.43) (2n)f J 0 ⑶嘲(Ю d[i (I) = N (九)6 (九—Г) 6 (n, if),
即⑶= E「d飞.(7.44)
С помощью этих соотношений любую функцию /(?) на гиперболоиде можно разложить по функциям
〃3 = (2т)т'/2]7зп)0(3%3)&"(5 (7.45)
8 А. М. ПереломовИЗ
где
沁,n) = (2n)f/2 J 戏⑶/⑶加у.(7.46)
При этом
J IЖ n) I2即(X) *(n) =，I /(g) |2 办I ⑹.(7.47)
Усредняя когерентное состояние по сфере {п： п2 = 1}, получаем выражение для зональной сферической функции:1
①九⑴=J (ch т — sh tcos 0)CTdp (9),
d“ (0)—d“ (0)—k门"⑵(sin 0)n-2d0,1/л Г ((» - 1)/2) '‘k门"⑵(sin 0)n-2d0,1/л Г ((» - 1)/2) '‘0 = - P+次，p0 = - P+次，pn — 1n — 122(7.48)(7.48)
d“ (0)—
d“ (0)—
k门"⑵(sin 0)n-2d0,
1/л Г ((» - 1)/2) '‘
k门"⑵(sin 0)n-2d0,
1/л Г ((» - 1)/2) '‘
0 = - P+次，p
0 = - P+次，p
n — 1
n — 1
2
2
(7.48)
(7.48)
Отсюда нетрудно получить выражение через ги- перге оме триче скую функцию:
ФЛ (т) = (ch т) ~^F(а, Ь, с; th2 т),
а = (р — й)/2, b = (r — 訊十 1) /2, с = p 十 1/2. (7.49)
Нетрудно проверить, что это выражение эквивалентно выражению (7.35).
Для получения асимптотики при т -> <» это выра- мнение удобно преобразовать к виду
2р—ip(2)
①入(т) = (ch т厂Р —[ F欝р)- X |/Л I丄m人十卩)
X (2ch1r产尸(—^-, — "^十"^，1 一次；ch 2七)+ К. c.j.
(7.50)
Отсюда сразу же следует асимптотическое выражение для Фх(т) при 8：
①人⑴〜
〜⑷一"1Г (引Г ；]t用е-рТ『鹏网十к. c.},
(7.51)
где величина So (^) дается формулой
60(k)^argr(ik)~ argT(p + 沐).(7.52)
ВёЯйчййа б。仇)йЁЛяётсй фйзбй рйсёейнйй в пЫен- ЦййЛё
Ио(т) = [(у-1)-{]^.
Выражение для асймптотики Фх(т) можно получить более простым способом, а именно переводя к пределу т + оо йЬд йакбм йите^рала в (7.48). II血е6№
vйe"2丿
2п~2ГГ(")
=―——. (7.53)
Vrt Г (p + Ц) '
Из (7.16)' и (7.19) теперь следует разложениё зональной функции
Ф^(1) = (сЬ т —疝 т (05))-р+е = W к, (t)W Р,“(V)匕“(п).
(7.54)
Нетрудно видеть, что■
EPm(v)ym(n) = 4C『(v・n), а =『，(7.55)
где С?(①)—— полипом Гегенбауэра степени I. Полагая V = п и интегрируя обе части (7.55) по ^口(世)，получаем
2 取(V)Е“ (П)=鳥方(v・n),；(7.56)
где YQQ=i, Jс?ц(n)= 1,а & дается формулой (7.15).
Окончательно получаем разложение орисферической волны
(c£t- shte・n))eK =
=空2秣二3^К3方3项恥)，(7")
E? (T)~T‘ при т->0.
8*115
24・ Учтем теперь тот факт, что полиномы Гегенбауэра образуют ортогональную систему {С? (cos 0)) на интервале (0,冗)с весом (sinB产
侬 cos。）=念［響諾 F 類（cos 0）.（7.58）
Из (7.57) получаем интегральное представление для зональной сферической функции
冰向=2% F(Р — 凯) 门2P 一 1)р(2 + р + 〃2)
"'—T^ Г (p + Z - а) Г (p) Г (2p -T+ /) x
X J (ch т — sh т cos 0)f+E贫(cos 0) (sin 8严 d6. (7.59) 0
Теперь нетрудно написать выражение для асимптотики присоединенной сферической функции при т 8
电⑺~
〜(22pt+F" + p + 1/2) _I 门⑸ I
P 八 уи I Г(p + z + a) I x
X(exp R (肌 + M)] + к. c.)), (7.60) где
自=arg F (次)一arg F (p + Z + й).(7.61)
Разложение когерентного состояния при т f g принимает теперь вид、
(ch т — sh т cos 6)-р+倒=
= 屮匚хp (一⑺工网小Ж队
X(№黑闲 exp (iU) + к. с). (7.62)
Заметим, что при 九 f «\ т f 0, Хт = const происходит переход к случаю плоского пространства, и наши формулы переходят в формулы для разложения обычных плоских волн. В частности,
ехр ” (入)]~ (—1) %хр (г60 (X)) •
Глава 8
КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯДЛЯ БОЗОННОЙ СИСТЕМЫС КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
В этой главе изучается система КС для бозонной системы с конечным числом степеней свободы. Состояние системы задается комплексной симметричной матрицей, удовлетворяющей некоторому дополнительному условию. В изложении мы близко следуем работам [160, 102].
Канонические преобразования
Напомним, что основные операторы, используемые при описании бозонной системы ) с ^ степенями свободы,—— это операторы рождения а扌 и уничтожения % (/,场= =1, ..., ^). Эти операторы действуют в стандартном гильбертовом пространстве 非笈——так называемом пространстве Фока и удовлетворяют перестановочным соотношениям:
e，硝У/，[电，叫 [疗 > at] = 0.(8.1)
Нас будут интересовать преобразования, не меняющие перестановочных соотношений (8.1). Такие преобразовав пия называются каноническими. Простейшие канониче^ ские преобразования ——преобразования смещения 2jf
@з + ctj, где a；——произвольное комплексное число, изучались в главе 1.
Рассмотрим теперь наиболее общее линейное однородное преобразование операторов 的 и 或：
〃%->〃£ = 口万Qj + 沙泳。扌，a j —> a/"=气出 + u^d^ .(8.2)
Это преобразование является каноническим при выполнении условий )
UU+ —卩卩+ = I, UVf - VU\ U = [и^ V-Ы (8.3)
которые, в свою очередй；扌亜F址必Тлентны следующему условию для 2N X 2^ матрицы:
^ =(7 ^)> AfkM+ = Е, £■ = ^： — I)-(8・4)
Отсюда нетрудно найти выражение для обратной матрицы.
撈」=力而+e=(_；： _))(8.5)
и с ее помощью переписать условия (8.3) и (8.4) в виде М+ЕМ = Е, U+U-VfV = I, r+V-VU (8.6)
Из соотношений (8.3) и (8.6) следует, в частности, что всегда существует матрица, обратная матрице U, и поэтому
U-W=Z(U-y, VU-^^U-yV^,(8.7)
чФо эквйвалёйтйЬ услдвйю симйётрй^ностй матриц t=U-lV и W = VU-\(8.8)
Из (8.3) и (8.6) ползаем
I - ZZ+ =(и+и)- I一 W+W^{UU^.(8.9)
Отсади следует, qio матрицы I — ZZ+ й I — W+W по- лджйтёльно опредёлёнй.
Матрйцы М, удойлетворятОщие условиям (8.3), (8.6), образук)! группу относительно d6亙иного произьедейия матриц. Эта группа называется вещественной симплекти- чёсйой группой и обозначается Sp (2^, R).
,Отметим несколько свойств этой группы *).
Группа G некомпактна (ее инвариантный объем бёскЬне^ен), и сйёдоватёльно, все её уни^а^йУе неприводимые представления бесконечномерны.
Группа G неодносвязна. Это значит, что Ь групповом пространстве существуют замкнутые пут立，которые нельзя непрерывно деформировать в точку: например, путь, отвечающий преобразованию а； -^ ехр(2шп1)а^ 0W W £ V 1, при любом целом п ^= 0 является замкнутым, но в точку деформирован быть не может.
Склеивая соответствующим образом бесконечное число зк應就tfjtdpoB G, Мы полу^аём уя<ё Ьдйосййзпутд группу
G — так на?秘ваемук? униврвсальрую накр^ваюрую группы G
Как мы увидим в д^抄несшем, важную роль играет также группа G, которая двансды наррь^вает группу G — так называемая метаплёйтическай групйа.
■ 3. Максимальная компактная подгруппа группы Sp(2n, R) есть группа матриц вида 加=(о 万)， 。曰 е U (7V), и следовательно, она изоморфна группе U(7V).
Матрицы Z(W) в формуле (8.8), как нетрудно проверить, являются представителями левых (правьхх) классов смежности группы G по подгруппе К. факторпрост- ранство G/К является симметрическим пространством некомпактного типа н, как следует из (8 9), может быть реализовано в виде комплексной однородной ограничен' ной области (так называемый единичный круг Зигеля [79, 154])
I — ZZ+>0,(8.10)
где Z ——комплексная симметричная n X п матрица. При э^ом группа G = Sp(27V, R) действует на множестве та~ ких матриц, как группа дробнолинёйных преобразований
g： Zf Z = (UZ+0)/”Z + ^)T・(8.11)
Возвращаясь к кацопическому преобразованию (8.2), отметим, что согласно теореме Стоуна ——фон Неймана [234, 196] операторы ^ и а； унитарно эквивалентны, ^то значит, что существует унитарный оператор Т = Т (g) такой,叮то
匂=九以+.(8.12)
При этом, как нетрудно видеть, операторы 7(g) образуют представление группы G = Sp (2N, R).
Нв^РУДДо оодсауь ¥?戶声纟 ^нф^ните^мальные оператора (т. е. дредс^авледие'срртдетству^ощер а^ребр再 Ли). Пусть Т ® I 干 геЯ, где Я ——эрмитов инфинитезимальный оператор представления. Т9гда коммутатор [Я, @J должен быть линеен по операторам 的 и 或.Это действительно будет так, если оператор Н квадратичен по операторам 的h若，
Мы приходим, таким образом, к рассмотрению алгебры операторов
Х^ = ®а力 X书=片若,Уг} = ^а^ + а^а^). (8.13)
*) Описание группы G см., например, в работе [94].
Перестановочные соотношения для них имеют вид
[Х“，ХМ н [Х^ X" = о,
I^bi X雜=5川У” + ^nYjh + bikYji + 6九У话, 【X；九 Yhi] = 6簿X/ + 6$iX"c,8
[X寺，匕〃]=-/X方- b/X汇
Рассмотрим теперь инфинитезимальные спмплектиче- ские преобразовапия. Для них М 1 + 唸風、
Следовательно, матрица инфинитезимального симплек- тического преобразования удовлетворяет условию
Я+Е + ЕЯ = ^(8.15)
или 〃 =(8.16)
Отсюда следует.
Рассмотренное нами представление Т (g) является унитарным и действует в стандартном гильбертовом пространстве 非в — так называемом пространстве Фока (см. главу 1) с базисом
I 向〉=I % ,…，九N〉= lwJ九 n!L"(仁户…(或尸 10>1
|0> — так называемый вакуумный вектор:
|0> = 10,0>, ^1011 = 0.
Нетрудно видеть, что пространство 鑑в приводимо относительно действия операторов (8.13). Именно, состояния с четным (нечетным) | п | ^ 2 nj образуют пространство 鑑吉 уже неприводимого представления Т+ (соответственно 非Е для Т~).
Следует, однако, иметь в виду, что эти представления являются двузначными представлениями группы Sp(27V?R), или, выражаясь точнее, представлениями метаплектической группы
Мр (2N, R) = Sp(2A\ 诃.
Когерентные состояния
Перейдем теперь к построению систем КС для представлений Т+ и Т~. Заметим прежде всего, что для произвольного g 三 Sp (27V, R) имеет место разложение
7 (g)=% exp (1续炉拼exp (a产")exp (%%/力，(8.18)
где /"——нормировочный множитель. При этом как в пространстве 廃\ так и в 非-существует вектор 1<р0>, аннулируемый операторами
m」耍〉=0,(8.19)
а именно
1(р0> = |0> = |0, 0, ..., 0> для 7+(8.20)
и
1фо> = 11, о, 0> для Т- (8.21)
(заметим, что в случае 7~ такой вектор не единствен).
Построение системы КС в обоих случаях одинаково, и мы рассмотрим здесь лишь случай представления Т*・ Стационарная подгруппа Н состояния 】屮丿 в этом случае есть группа U (N):
Н = {g ; g =»)}, U wU (N)、(8.22)
Действуя па 丨屮。〉оператором 7(g), получаем, как обычпо, систему КС типа {Т, 1ф0>), связанную с бозонными операторами.
Из (8.18) следует, что KG 1g〉задается формулой
& = Нехр(%^Х^)|0〉,(8.23)
где — комплексная симметрическая матрица, а Н —— нормировочный множитель.
Далее, из формулы (8.18) следует, что КС 丨三〉удовлетворяет уравнениям
阂 E〉= T(g)电7"(g)lg〉= 0,(8.24)
или
(Ua+Va^)\l> = 0.(8.25)
Отсюда иолучаем
(а+и~1Уа+)\1> = 0(8.26)
и
自=一卩1%(8.27)
121
Теперь из услбййя (8.3)
UU+ 一г尸=I
вйДйо, что э^мйтова 證期仇由а I —自三：должна 6bfti> поло- жительйо ойрёдёйеййрй. Это й ecfb условий, йеобходймоб дая . нормировки состояния |^>, задаваемого формулой (8.23). Мы обозн^^йм ййойсество кЬмш^абП面к симметрических матриц, удовлетворяющих этому условию, qe- рбЗ Sn・
Итак, КС в нашем случае задается точкой пространства Sn. Что касается нормировочного мйожителя Л9, то вычисление дает
% = 口或(1一自可)]")(8.28)
Приведем теперь некоторые свойства системы КС. Состояния системы неортогональны друг другу:
⑴ П〉=〈017(g) 10〉==
= [det(I-H+)det(I-T]T]+)]1/4 [det(I - ^+Л)]-1/2. (8.29)
Разлагая КС по стандартному базису, получаем
|а> = Б«[п](1)|[п]>«■ (8.30)
[п]
где суммирование ^производится по всем [п] = (nh ..., nN) таким, что 旧 I = N”j есть четпое число. Отсюда находим
》7о ⑹ «м(п) = [det (I -广冷]72, I п I—четное.
[п]
(8.31)
Заметим, что из (8.30) для uw (^) следует интегральное представление
wM(aj = f {[rnj!}-1/2zmexp (%zEz)如(z)t (8.32) где 〃阿⑶=n~N exp |— 2 | z； |2|，d初d%, 2J = ^ + 初， Im] = 2^j— четное число.
Функция и[т] (I) является однородным многочленом степени \т\/2 от элементов матрицы g л, как было показано в [160], удовлетворяет системе уравнений
(KjjKim 一 KimK^ w[mj (^) — 0,(8.33)
ЕД。
"L4■為，"l 嘉 (&34)
Интересующий нас класс функцрй ^n = {/(5)}t где / (Е) = W C[m]〃[m] (Е), 1^1 —четное, это — функции, ана- ли1ичные в обобщенном единичном круге Зигеля Sn, у^орлетйоряющйе системе уравнений (&33), а также условию
II/II2 = 21C[m]I2< 00 (IшI — четное). (8.35)
При 斗TQ из (8.35) рледурт
1/(^) |^П/Н [det(I-r&)]-1/4.,(8.36)
Отметим также следующую полезную лемму [16Q]. Необходимое и достаточное условие того, чтобы целая функция exp {I/2 (z^z)} была нормированной относительно меры d卩n(z) есть условие положительной определенности матрицы
1-ГЧ = 1-急(8.37)
Приведем формулу для действия представления T+(g) q пространстве 筝
T+(g)/传) = Idet(U+mV)JT/2><
X/(@+肝尸仔+EO)). (8.38)
Описание операторов в пространстве 兆吉
Пусть Л ——произвольней оператор в 能吉.Следуя общей теории, поставим ецу в сортветстрие коваррантный символ
4(1 Е)=®Х®,鱼1自〉=1・(8.39)
Рассмотрим операторы
х左，у好==а,佻*(8*40)
Простые вычисления показывают [102], что ковариантные символы этих операторов суть злементы матриц *)
5 = ^(1-Е+Ут广=莢尹(I- ID'1.(8.41)
Заметим, что матрицы Л и 5 удовлетворяют соотношениям
8 + ^1)=(告)I'
BA = АВ, А'= А, 笈+ = 3, 8》0.
Справедливо также и обратное утверждение [102].
Если матрицы Л, В удовлетворяют соотношениям (8.42) и матрица А~1 существует, то существует такая матрица ?, что А и В даются выражениями (8Л1). Нетрудно видеть далее, что произвольный элемент алгебры Ли группы Sp(27V; R) имеет вид (8.17)
@ 喪)，面' = 百,份+=一份， (8.43)
где матрица 加一комплексная, а 旨一аптиэрмитова п 必'=%. Подставляя сюда 诊=Z 伍 + ^ I)и ^ = М и выражая с помощью (8.41) Л и 5 в терминах Е и 占,мы получаем вложение многообразия S* = ｛自｝ в алгебру Ли 乡.При этом образ SN ъ ^ зависит от 力,и мы обозначим его через SN (Й). Пусть ix^SN (Й). Тогда нетрудно показать, что
g%(E, E)gT=%(gE, gE),(8.44)
где g^G.
Следовательно, многообразия Sn (力)являются орбитами присоединенного представления группы G=Sp(2N, R)
Соотношения (8.42) теперь можно переписать в виде
("(自,》=传了「(8.45)
где I — единичная матрица.
Заметим, что при 力 f 0 мы приходим к пространству комплексных унитарных симметрических матриц
Z+Z - I.(8.46)
Таким образом, многообразие 5^(0) лежит на границе круга Зигеля ｛Z ：I — ZZ> 0). Многообразие SN Является кэлеровым многообразием. Это значит, что оно является комплексным многообразием и на нем существует риманова метрика, которую можно записать в локальных
координатах в следующем виде:
ds?ds?e鳥严打,e鳥严打,(8.47)(8.47)
ds?
ds?
e鳥严打,
e鳥严打,
(8.47)
(8.47)
где функция F(z, z) называется кэлеровым потенциалом.
Метрика (8.47) инвариантна относительно преобразований группы G, если потенциал F удовлетворяет условию
歹(gz, gz) = b(z, z) + a(g, z) + a(g, z),(8.48)
где a(g, 2) является аналитической функцией za (т. e. не зависит от za).
Пусть 2 ^ SN. Рассмотрим функцию
f(2, E) = det(I — ZZ).(8.49)
Из (8.49) следует, что
〃gz, gz) = /(z, z)a(g, z)a(g, z),(8.50)
где一 _
a(g,z) = det(U 十 UZ)t.(8.51)
Следовательно,;
斤(Z,Z)--V2 ln/(Z, Z)(8.52)
——потенциал инвариантной кэлеровой метрики. Отсюда получаем
或2 _ i/2 枉①％ (I - ZZ)-4Z(I 一 ZZ)^).(8.53)
Введем скалярное произведение (х, у) = tr (%у+) в пространстве матриц порядка ". Тогда метрику ds* можно переписать в виде
曲2 =(必，/dZ), AdZ = 4^dZC, C = (I-ZZ)-t. (8.54)
Приведем еще выражение для оператора Лапласа — Бельтрамп на пространстве 5П:
А = 2 tr 盡(I — ZZ) ^(l-Z引，(8.55)
где
1 31 3今=儀）（8.56）今=儀）（8.56）
1 3
1 3
今=儀）（8.56）
今=儀）（8.56）
Обозначим через 當& (SN) гильбертово пространство аналитическйх функций на пространстве SN со скалярным
125
произведением
(九 /2) - CN 体)J 又(？)力(Z) [det(I 一 ZZ)产 却№ (Z, Z),
(8.57) где
Wn ⑵ Й) = [det (I - Z0)]-(n+D в 竺交 (8.58)
—инвариантная мера на SNl а нормировочная постоянная С*(А;) определяется из условия (/0,九) = {, где /0(Z)^ 三 L Используя результаты из [79], находим выражение для нормировочной постоянной:
°)_2 再二方门*-4)二.FK‘二曲丁(8・59)
При этом интеграл в (8.57) сходится при к > 2(2V+ 1), а при %v2(N+lj получается путем аналитического продолжения.
Выражение, полученное таким способом, определяет неотрицательное скалярное произведение на полупрямой fc > 2(^+ 1), а также в точках слева от нее:
Лг = О, 1, 2,…，(N — 1).(8.60)
Мы будем поэтому рассматривать лишь такие значения к. Что касается векторов
①歹(Z)=斤(Q [det (I - zp)尸/2
в пространстве 當尼(Sn), то для допустимых значений к они образуют систему обобщенных КС.
Г ла в а 9
КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯДЛЯ ФЕРМИОННОЙ СИСТЕМЫс конечным q耳слом степеней сврводы
В этой главе изучается система КС для фермионной системы с конечным числом степеней свободы. Состояние 用рт^МЫ х^рак叩рдзуетсн комплексно^ антир^м^ртричной ^атд^рй. В изложении 14Ы следуем работу [1Q2].
126
,§ 9.1. ЙанКнй^ескйё Ьреоб^зоваш^Я
В этом tiififir|ja$fe % =制f — йрострайство ①OKa состояний фё^мйбЙной ciicteMbi с N стёпеняМй свобоДй; 變 и ак — фермионные операторы рождений й уййчтбйгё- ёйй; нд^Мироёаййьтё так, что
{%,/}=句*+若aj = 6九，他,a仆=1a九片］=0. (9,1)
t Рассмотрим линейные однородные канонические прё- оЬразовапия, т. е. линейные однородные преобразования операторов a；, 〃广,не меняющие перестановочных соотношений (9.1):
疗粛=巧皿+ 口义а扌.(9.2)
Эти условия эквивалентна! условию унитарности для матрицы М:
М = ^ 万} ММ+ = 1.(9.3)
Отсюда получаем выражение для обратной матрицы
М-^М+^^ 力(9.4)
Предположим теперь дополнительно, что существует матрица, обратная матрице U. Тогда
U^v = ~У\и-1У, Уи-1^-(и-1)'У+,(0.5)
что эквивалентно условию кососимметричности матриц
Z = U” п W = VU~\(9.6)
Из (9“2) мы получаем, что матрицы (I + ZZ+) и (I + W+W)——положительно определенные.
Нетрудно, видеть, что матрицы М, удовлетворяющие условию (9.3), образуют группу относительно обычного произведения матриц и что эта группа изоморфна группе SO (2У, R) — группе вещественных ортогональных матриц порядка 2N.
Отме;гим несколько свойств этой группы.
' 1. Группа SO(2N; R) компактна (ее инвариантный объем конечен), и поэтому все ее унитарные неприводимые представления конечномерны, 一
Группа SO(2N; R) двусйяйа： замкнутый путь, отвечающий повороту на угбл 2л, нельзя непрерывно де*
формировать в точку, а путь, отвечающий повороту на 4л, деформировать уже можно. Поэтому, взяв два экземпляра группы G и склеивая их соответствующим образом, мы получаем уже односвязную, так называемую спинорную группу Spin(2^).
В группе G имеется важная подгруппа К—подгруппа матриц вида % =(彳 万｝ U 三 U (N). Эта подгруппа изоморфна группе U (N).
4・ Матрицы Z(W) в формуле (9.6), как нетрудно видеть, являются представителями левых (соответственно правых) классов смежности группы G по подгруппе Я. Факторпространство G/К является симметрическим пространством компактного типа. Оно является комплексным многообразием, и матрицы Z(W), Z‘ = —Z задают локальную систему координат на этом многообразии.
Группа G действует на множестве этих матриц как группа дробно-линейных преобразований:
g: Z~> Z = (UZ+P)(PZ + £7)-・(9.7)
Заметим далее, что операторы а； и 的 унитарно эквивалентны
伤=7(g)出 T(g)+, g = 万)三％ (9.8)
и операторы Т (g) образуют представление группы SO (2N, R).
Так же, как и в гл. 8, инфинитезимальные операторы представления квадратичны по операторам 〃)и at. Именно, операторы，
X^ = d〃j, ^$ = a^af, У仃=% (〃吋一〃九)(9.9)
образуют алгебру Ли, изоморфную алгебре Ли группы SO(2N,R).
Перестановочные соотношения для них имеют вид
【Х5ХМ = [ХКХ" = О,
[X仃，X" = ^jiYik — Sj^Yii — SnY^ + d^Y汕(9.10)[X〃・，УМ = ^iiXjk — ®X优，[X^, Yhi] = ®X扌—б^-Х"^,
Рассмотрим теперь инфинитезимальные ортогональные преобразования. Для них
М+ te 成、
следовательно, матрица 成 инфинитезимального преобразования является эрмитовой： ^+ = Л, Отсюда следует
m’=一加，⑨+ =例.(9.11)m’=一加，⑨+ =例.(9.11)
m’=一加，⑨+ =例.(9.11)
m’=一加，⑨+ =例.(9.11)
Рассмотренное нами представление Г (g) является унитарным и действует в стандартном конечномерном (размерности 2") пространстве — так называемом пространстве Фока с базисом |孔匕...,^>, где числа п； принимают лишь два значения— 0 и 1:
I [司〉=I 九1，, 〃N〉：=("打"…(圖)"N I0, . . ., 0>,
]0> = 10, ..., 0> — так называемый вакуумный вектор, удовлетворяющий условиям 〃/0〉= 0.
Нетрудно видеть, что пространство 徹 приводимо относительно действия операторов 7(g) (9.9), а именно состояния с четным (нечетным) числом | w | = 2 nj образуют пространство 施+ уже неприводимого представления Т+ (соответственно 施~ для Т)
Это так называемые спинорные представления группы SO (2Nt R). Точнее, эти представления являются двузначными представлениями группы SO (2N, R) и уже однозначными представлениями группы Spin(27V).
Когерентные состояния
Построение систем КС для представлений T+(g) и T~(g) аналогично описанному в § 8.2. Мы приведем здесь поэтому лишь некоторые формулы для системы КС, связанной с представлением типа T+(g).
КС в интересующем нас случае дается формулой
|E〉= Mexp(l/2&jX»|0〉，(9.12)
где W ——комплексная кососимметричная матрица, а ^ 一 нормировочный множитель.
Состояние 丨三〉удовлетворяет уравнениям
(aj-W)IE〉= 0・(9.13)
Нормировочный множитель № имеет вид
斤=[det(I十 谨卡)尸!(9.14)
9 А. М. Переломов129
КС не ортогональны друг другу:
®Q =〈017(g) 10〉=
^[det(l + |g+)det(I + Tin+)ri/4det(l + Vn)J+1/2. (9.15)
Разлагая КС по стандартному базису |[га]>, получаем 1В> = ^2 W[n] (DI [п]>,(19.16)
где 1X1 = (%, ..., тг*), п； = О, 1, а суммирование производится по всем [п] таким, что | 孔 1 = N 冷) есть четное число.
Отсюда находим
X й[п] (^) ulnl (n) = [det (/ + Гл)]+1/2. (9.17) [п],]п|—четное
Аналогично § 8.2 мы приходим к рассмотрению пространства 歹^ — пространства полиномов от элементов матрицы I, которые могут быть представлены в виде
"(E) = Nc|>]何m](E), I ?га I — четное.
В заключение приведем формулу для действия представления ?+(g) в пространстве 歹吉：
T4g)f^-^4U + lV)rf((U+ZV)-\V^ (9.18)
Описание операторов в пространстве 鑑^
Аналогично § 8.3 произвольному оператору А в 徹扌 поставим в соответствие ковариантный символ *)
4恁，B)=<gl2|g>,⑴自〉=1.(9.19)
Пусть
X/ =句％, Yjh = af 分(9.20)
Нетрудно показать [102], что ковариантные символы этих операторов суть элементы матриц
Л=^(1 + ^)Л 8=力乳 1+自气)1 可，(9.21)
причем матрицы 4 и 5 удовлетворяют соотношениям
(5 + 41) -^=(4)
ВА = АВ, /' = — Ах 3十=В. (9.22)
*) Здесь, как и в § 8.3, мы вводим параметр 蠢.
Обратное утверждение также справедливо. Если матрицы Л и 5 удовлетворяют соотношениям (9.22), то существует такая матрица g, что / и В даются выражениями (9.21).
加加Далее, произвольный элемент х алгебры Ли группы SO (2^^ R) имеет вид
加
加
(9.23)
где А ——комплексная кососимметричная матрица, а матрица 穹 эрмитова. Так же, как и в § 8.3, подставляя 穹= =5 4- -^ 1и выражая Л и В через ^ и ^, мы получаем вложение многообразия 歹* в 乡.Это вложение зависит от 力，и образ 歹n в 乡，как нетрудно видеть, является орбитой присоединенного представления группы SO £2%鷗 R.) При этом, когда 力一＞ 0, многообразие 歹户(力)вырождается в точку. Это является отражением того обстоятельства, что для фермиевского случая предельный переход от квантового случая к классическому в обычном смысле слова не существует.
Отметим, что так же, как и в бозонном случае, многообразие 歹n является кэлеровым многообразием и кэле- рова метрика в локальных координатах имеет вид
* = 士^^威。豆В,歹=In det(I + zz+). (9.24)
При этом метрика ds? инвариантна относительно действия группы G = SO(22V, R).
Из (9.24) получаем выражение для метрики
ds2 = %tr(dZ(I + Z+Z)TdZ+(I + ZZ+)T)・(9.25)
Вводя скалярное произведение (力,g) = tr(%y+) в пространстве n X п матриц, перепишем (9.25) в виде
ds2=(dZ, AdZ), 4dz = %CdZG C = (I + ZZ+)t.
(9.26)
Отсюда нетрудно получить выражение дая оператора Лапласа —— Бельтрами на пространстве ^п ——пространстве кососимметрических матриц порядка п
A=-2tr[A(i + z+Z)凳(I + ZZ+)],(9.27)
(9.28)(9.28)a i
(9.28)
(9.28)
Обозначим через 窮瓦(峻川)гильбертово пространство аналитических функций на JtN со скалярным произведением
(3 /2) =儡(田 J Л (Z) % (Z) [det (I + z+z)尸/2 即昭(9.29)
где
—1) & d 丁 d^N(Zt z) = [det(l + zz+)] П ^^ (9.30)
— G-инвариантная мера на ^^, а нормировочная постоянная CN(k) определяется из условия (/0,力)= 1, где /0(з)®
三1.
Используя результаты из [79], получаем
r 公_f(6 + %+1“(总 + " + 2)一.门乃 + 2%) Ln+工⑺一—F (左十 1) Г (4 十 * ・二 Г (Г 十 2N— 1)*
Отметим, что для теории квантования (см. раздел 4 в [102]) представляют интерес пространства 歹々(《^n) при fc = 0, 1, 2,... '
Глава 10
КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯИ КВАНТОВАНИЕ ПО БЕРЕЗИНУ *)
Под квантованием обычно понимают построение квантовой системы, исходя из классической механической системы, ей соответствующей. При этом требуется, чтобы в пределе 丸一＞ 0, где 力一постоянная Планка, квантовая система переходила в классическую. Это требование назы
*) Содержание данной главы основано на работах Березина [10, И, 101].
132
◎аетсл принципом соответствия. Очевидно, что может существовать много квантований, удовлетворяющих этому принципу.
Чисто математическое значение квантования состоит в том, что оно служит источником важных конструкций. Так, например, в развитом в работах Кириллова и Ко- станта методе так называемого геометрического квантования идеи квантования используются в теории представлений групп Ли （см. работы [38, 41, 173] и цитированную там литературу）.
Для классической системы с п степенями свободы со стандартным фазовым пространством — линейным вещественным пространством 戸^二｛р, g | р =（夕口 …，р«）, q = =（0口 ....击）｝ размерности 2п — хорошо известен следующий метод квантования. Гильбертово пространство состояний квантовой системы есть пространство квадратично интегрируемых функций ｛屮（％）｝ вещественных переменных % = （%% ..., Хп）. Операторы р$ и 弥，соответствующие импульсам 仍 и координатам qk, задаются формулами
/屮（纪）=纪A屮（* вh屮（纪）=-泣哪^.
Классической наблюдаемой величине /（亿 q） ставится в соответствие «квантовая наблюдаемая» — оператор /（〃，7）, получающийся заменой переменных р§ и qk на операторы 仍 и q^
Однако из-за некоммутативности операторов 卩广 и q財 вообще говоря, необходимо указать также правило порядка расстановки этих операторов в функции /（р, q）. Один из таких способов, обладающий рядом замечательных особенностей, был указан Г. Вейлем [250].
Однако, такое квантование применимо лишь к классическим системам с плоским фазовым пространством, так как оно основано па использовании канонических координат Q, qk. Пример системы с искривленным фазовым пространством ——это твердое тело с неподвижной точкой. К этой системе 、обычное квантование неприменимо.
Оказывается, что в случае, когда фазовое пространство является кэлеровым однородным многообразием, также возможна определенная процедура квантования, предложенная и изученная Березиным [10, 11, 101]. Эту процедуру квантования осуществляют КС, связанные с данным пространством.
Классическая механика
Под классической механикой мы будем понимать пару («<, со), где Ж — некое дифференцируемое многообразие, а ①——кососимметрическое тензорное поле второго ранга, компоненты которого ①沌⑺ в локальных координатах удовлетворяют условию)
俨。(0'm ik d(j)m^ mkn/ла a\
Обозначим через ^(^) множество дифференцируемых функций на 成.Тогда 以(及)—коммутативная и ассоциативная алгебра по отношению к обычному сложению и умножению; она является алгеброй Ли по отношению к скобке Пуассона:
{/, g}=『%餌g, %/ =誓(Ю.2)
То, что скобка Пуассона (10.2) определяет алгебру Ли, т. е. то, что выполнено тождество Якоби
{/{g,无}}+ {g{% /}}+{九优 g}} = 0,(Ю.3)
эквивалентно условию (10.1). Это нетрудно проверить прямым вычислением. Отсюда следует также, что условие (10.1) не зависит от выбора системы координат на Л.
Если тензорное поле со (%) не вырождено, т. е. det 1(о簿⑺丨，0 при всех %, то можно рассмотреть обратную матрицу ①九(胃)и с ее помощью ——внешнюю форму 0 = 8张(加)点‘ д d况£(10.4)
Условие (10.1) оказывается эквивалентным замкнутости формы(о. Таким образом, в этом случае многообразие ^ оказывается симплектическим. Существуют, однако, важные механические системы, для которых требование невырожденности ①源 оказывается противоестественным.
Приведем несколько примеров.
^= R2——плоскость с координатами р, д; со12 — = -М = 1；
0/空一旦也 др dq dq др
成=51 X К，—двумерный цилиндр с координатами g 曰 S* 卩三目・ Иными словами, 0WgV2叫 —оо <р < оо.
Дифференцируемые функции на 成 периодичны по 7 с периодом 2л. Тензор з и скобка Пуассона те же, что и в примере 1.
^ = 51 X 51 — двумерный тор с координатами О W W g V 2л, О W р V 2л. Дифференцируемые функции на % периодичны по обеим переменным с периодом 2л. Скобка Пуассона имеет вид (10.5).
^ = 52 — двумерная сфера. Мера на №, инвариантная относительно вращений, имеет вид d卩=г? sin 0 d0 Д Л^ф, где г — радиус сферы. Это же выражение можно взять в данном случае и для 2-формы(о. Отсюда получаем выражение для скобки Пуассона в сферической системе координат:
Однако вместо координат 0 п 屮 более удобно использовать комплексные координаты, которые вводятся с помощью стереографической проекции:
z=^x + iy = 2r ctg (0/2) exp (i(p). (10.7)
Внешняя форма ① в этих координатах принимает вид
9=击"+ 乐)dz/\dz,9=击"+ 乐)dz/\dz,(10.8)(10.8)
9=击"+ 乐)dz/\dz,
9=击"+ 乐)dz/\dz,
(10.8)
(10.8)
{力 g} ^ 2/{力 g} ^ 2//些邂1 一旦.空） [dz近一'豆方丿/些邂1 一旦.空） [dz近一'豆方丿а скобка Пуассона имеет вид
{力 g} ^ 2/
{力 g} ^ 2/
/些邂1 一旦.空） [dz近一'豆方丿
/些邂1 一旦.空） [dz近一'豆方丿
(10.9)
赞=①2 — плоскость Лобачевского. Мы используем модель плоскости Лобачевского в виде круга радиуса г с центром в начале координат на комплексной плоскости z. На плоскости Лобачевского существует замкнутая 2-форма, инвариантная относительно движений плоскости Лоба^тевского. Эта форма совпадает с инвариантной мерой на плоскости 砂：
3 = ^70-号)&А 夜 (10.10) Соответствующая скобка Пуассона имеет вид
伉g} = 2小一譬『修翁-襄爵(10.11)
Пусть 乡—произвольная алгебра Ли, С?——ее структурные постоянные [с* /] = С?е* {/} — базис в 乡・ В качестве % рассмотрим пространство, дуальное к 乡(<< =乡*), т. е. пространство линейных функционалов на 乡.Положим
川=С^.(10.12)
Тогда условие (10.1) следует из тождества Якоби для алгебры 乡(см. [8]). Этот пример тесно связан с примерами 1, 4, 5.
6а. Возьмем в качестве 乡 алгебру Гейзенберга ——Вейля. Пусть е* е* е° ——базис в 乡 такой, что
[е* е2] = е°, [е1, е°] = [е2, е°} = 0.
Координаты в R3, соответствующие е°, е1 и е2, обозначим через е, р и q, В этом случае з'? = —со?' = £, и скобка Пуассона имеет классический вид
{/，g} = e 條嚣-請〉 (1(Ш)
Пусть 乡一алгебра Ли группы 50(3). Если выбрать стандартный базис 乡 с перестановочными соотношениями [е5, е/ = £加九，耳 2 = 1, 2, 3, где е犯一стандартный полностью кососимметрический тензор, то скобка Пуассона принимает вид
{/, g}=仆危％/ %g, djf = Д. (10.14)
OX3
Переходя к сферическим координатам
/'=『sin 0 cos ф, 况2 =『sin © sin 屮， ％з =『cos 0, из (10.14) получаем
= ГИГе(^^_^Й}(10Л5)
Таким образом, для функций / м g при фиксированном г скобка Пуассона (10.14) с точностью до множителя совпадает со скобкой (10.6).
Аналогичное соотношение имеет место и для скобок Пуассона для алгебры Ли трехмерной группы Лоренца и скобок Пуассона для плоскости Лобачевского,
136
§ 10.2. Квантование
Следующее общее определение квантования было дано Березиным в [10]. Квантованием 弘 классической механики (成,з) будем называть ассоциативную алгебру с инволюцией, обладающую следующими свойствами.
Существует семейство 应八 ассоциативных алгебр с инволюцией таких, что
) индекс 无 пробегает множество Е на положительной части вещественной оси, имеющее 0 предельной точкой (0 не входит в Е);
алгебра §1 состоит из функций f(h)1 принимающих значения в 应八，h^E. Инволюция и умножение в §1 связаны с инволюцией и умножением в 必九 обычным способом: (，°)(九)(/ (九))" ,где а и о — инволюции в 91 и 必八 соответственно, (/1* /2)(无)=九(期 *%(%), где *, * — умножение в 弘 и 以左 соответственно. Параметр h играет роль постоянной Планка. В дальнейшем умножение и инволюция в ^h и 91 обозначаются одинаково.
Существует гомоморфизм ср алгебры 弘 в алгебру 必(应)дифференцируемых функций на 峻 со стандартными операциями сложения и умножения. Гомоморфизм должен обладать следующими свойствами:
а) для любых двух точек %i, %2三及 найдется такая функция /(%)w(p(汩，что 〃％1)，/(&)；
б)屮(1/九"舞 g —g */))==%{屮(/), <p(g)}, где 舞 означает умножение в 耽 а {,} — скобку Пуассона в 必(⑨；
в) (p(/a) = <p(f), где ff/° означает инволюцию в 31, а черта ——комплексное сопряжение.
Перейдем к важному частному случаю квантования.
Специальное квантование. Так будем называть квантование, обладающее дополнительными свойствами.
Алгебра 必九 состоит из функций /(力),力巨《<.
Алгебра 弘 состоит из функций /(瓦 ％), /(九，力)w 三必л при фиксированном 无.
Гомоморфизм ф： 现一> 垓(％) задается формулой 中(/(九，况))= lim,(九，q).
Л->0
В настоящее время теория разработана лишь для специального квантования. Отметим также, что все исследовавшиеся до сих пор специальные квантования обладают следующими дополнительными свойствами.
Алгебра 國几 обладает единицей, причем единицей служит функция /（力,х）= 1.
Алгебра 必八 является алгеброй со следом, причем tr f = с f （x）dii （*
где d*（%） — некоторая мера на 及,а с — некоторое число.
Заметим, что если тензорное поле со"（忆）невырожденно, т. е. если на «Ж существует внешняя замкнутая 2-форма со, то на «Ж существует также естественная мера
dp,（化）—eg"/?, n = dim 及.
Несколько упрощая ситуацию, можно сказать, что процедура квантования состоит в сопоставлении функции 『（况）？ заданной на фазовом пространстве 贫 классической системы, оператора F, причем это сопоставление должно удовлетворять принципу соответствия.
Укажем возможный путь решения этой задачи.
Пусть мы имеем систему состояний {|%〉}, параметризуемых точками пространства Ж и удовлетворяющих условию
J \х） （x\dn（x） = f,
где I%〉〈忆I—проекционный оператор на состояние I%〉, "“（％）——некая мера на пространстве 風.Поставим в соответствие функции /（化） оператор ь=]1化〉〈化|x X/（化）©卩（化）・ Задача состоит в том, чтобы ввести в это соответствие постоянную h так, чтобы выполнялся принцип соответствия.
В настоящее время эта задача решена для случая, когда фазовое пространство 应 является однородным кэ- леровым многообразием.
Пусть G ——группа движений пространства 風、В рассматриваемом случае существует представление дискретной серии T'（g） группы G, задаваемое числом fc, а система КС {|х>} связана с этим представлением. Пусть 6?卩（化）—G-инвариантная мера на пространстве Л и h = =耳-'.Оказывается, что описанное выше построение при 九 f 0 удовлетворяет принципу соответствия и, следовательно, решает задачу квантования. Рассмотрим подробнее это построение на нескольких простейших примерах.
Квантование на плоскости Лобачевского
Нам будет удобно использовать модель плоскости Лобачевского в виде единичного круга D — {z: |z] < 1} на плоскости комплексного переменного z. Рассмотрим пространство функций, аналитических в D, со скалярным произведением
(/, g) = а伍一今 Г 顶 g ⑶ а—I z 卩产*(羽?), (Ю.16) где
即(z, £)=嘉訝為2(Ю-17)
—инвариантная мера на плоскости Лобачевского. Пусть 歹九——пространство функций, аналитических в D, для которых il/H2 — (/, /)< ©о, (Отметим, что множитель (4%—1) в (10.16) связан с условием нормировки (九 /0)= 1> /o(z)=l.) Ортонормированньгй базис в 歹立 состоит из функций
力(z) = (2!)TN (4/九…(4/九 一 4 + 2)卢咽.(10.18) Рассмотрим функцию
Kh^ ^-UMfm^).(10.19)
Простые вычисления дают
&怎 z) = (4一 啓)-叱 一 (10.20) и, как нетрудно видеть, при фиксированном gwO эта функция принадлежит пространству 歹九. Обозначим состояние в гильбертовом пространстве, соответствующее этой функции, через 1^>. Таким образом, мы построили систему состояний {|^>}. При этом для любого состояния |/>, задаваемого функцией 子(z)三歹如 мы имеем
©/〉= 〃》(Ю.21)
Сравнение с формулами § 5.2 показывает, что полученная система совпадает с системой КС для дискретной серии представлений T'(g) при h = (2к)~\
Описание операторов. Пусть А ——ограниченный линейный оператор в 声储 Поставим ему в соответствие символ'
4&0 = ^^.(Ю.22)
Заметим, что функция
/& %) = .•〈:靠?(10.23)
аналитически зависит от & и 質 н совпадает с А (自,自)при П =自・ Следовательно, функция A (g,質)является аналитическим продолжением функции 4(g, g) и определяется по ней однозначно. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между символами и операторами. В частности, символу A (z, z) = а = const соответствует оператор А = al, где I ——единичный оператор в ^h,
В рассматриваемом случае справедливы следующие полезные формулы:
w)(2)= (|-i)p (z, D /@ (^Е^У"加偽 £)•
(10.24)
Если оператор Л можно представить в виде
4 = уд(^ Й|?> <^|^(^ 0，(10.25)
то
A (z, z)=
=(a‘)口隽，0[£三喘三言叫%隽，£)• a。・26)
Если / =/]・幺2, то /(2 z)=
11m11m(1 — z? (1 —或)(1 — z? (1 —或)d[i^ C).d[i^ C).
11m
11m
(1 — z? (1 —或)
(1 — z? (1 —或)
d[i^ C).
d[i^ C).
10.3.2. Принцип соответствия. Формулы(10.27) приводят к рассмотрению оператора Th10.3.2. Принцип соответствия. Формулы(10.27) приводят к рассмотрению оператора Th(10.27)(40.26) и(10.27)(40.26) и
10.3.2. Принцип соответствия. Формулы
(10.27) приводят к рассмотрению оператора Th
10.3.2. Принцип соответствия. Формулы
(10.27) приводят к рассмотрению оператора Th
(10.27)
(40.26) и
(10.27)
(40.26) и
G7)(z, £) = G -川/售用2二需二普G7)(z, £) = G -川/售用2二需二普l/л -即隽/)l/л -即隽/)
G7)(z, £) = G -川/售用2二需二普
G7)(z, £) = G -川/售用2二需二普
l/л -
即隽/)
l/л -
即隽/)
(10.28) и к изучению асимптотики функции <р九(z, F) = (^/)(2, z) при 九 f 0. Функция /(z, z) предполагается непрерывного
дифференцируемой. Рассмотрим сначала случай z == 0;
(П/)(0, 0) = (1А-!)]■/(：, 1)(1 - ©"佈& I). (10.29) Заметим, что
(1/刀一1) J (4 — ©"怖 & Е) = (1偿—4汀(1 т)"『2%0=1. о
Используя это равенство и тот факт, что функция (1 — СС)"' при 力一＞ 0 локализована при J = 0, приходим к окончательной формуле
(П/)(0, 0) = /(0, О) + й-^Х| + о®. (10.30)
OZ OZ [z=0
Т) — z1 —- ZT)Т) — z1 —- ZT)Для вычисления асимптотики функции 7j(z,力 в произвольной точке области D произведем замену переменных
Т) — z
1 —- ZT)
Т) — z
1 —- ZT)
(10.31)
Преобразование 匕 f 質 есть движение плоскости Лобачевского и не меняет меру d(x(C, С). Поэтому
{Th^(z, 2) = (1伍 一 1)『九(П, П)(1 -询“怖(小 П), (Ю.32)
rДе 旧)=了(+^ 干£).
Заметим, что
乃I/л 一、2時
—н=-= (1 zz)2 —
延死 1^=0dzdz
Но оператор А = (1 —工紋—есть не что иное, как one- 8z dz
ратор Лапласа ——Бельтрами для плоскости Лобачевского. Таким образом, с помощью (10.30) получаем асимпто
тическое выражение для Т^\,
(Thf) (и, z)-/(z, z}+h^^ 引+。(片)・(10.33)
Принцип соответствия следует из (10.33); полагая
а^ 1)а2(^ 药н〃&Е)\
получаем
A (z, z) = / (z, z) + 力А/ (z, z) + о (h)=
=4 (羽 Z)4 (羽 z) + Л (1 — ZZ)2+ О (九).
Отсюда следует как первое требование принципа соответствия
lim А1*А2 = Ах (z, z) Ла(г, z),(10.34)
Л->0
так и второе требование
.- /°4 дА дА \
関不(/#4 —4*4)=(i_zz)(1r而而卜
="4,4}.(Ю.35)
Выражение оператора Th в терминах оператора Лапласа — Бельтрами. Оператор Th перестановочен с преобразованиями /(2,彳)一> f(gz, gz), где g — движение плоскости Лобачевского. Отсюда следует, что он должен выражаться через оператор Лапласа — Бельтрами. Вычисления, которые можно найти в [101] и которые мы здесь опускаем, приводят к следующему выражению оператора Th через А:
TL 玄[4 f ЕЙ1^1<'・a°・36)
Представление группы движений плоскости Лобачевского 6 пространстве 歹五.Обозначим эту группу через G = {g} и рассмотрим преобразование в алгебре 城无：
(B)(z,订= /(gz, g2), gwG. (10.37)
Это преобразование есть автоморфизм алгебры 城储 Известно, что все автоморфизмы алгебры ограниченных операторов в гильбертовом пространстве являются внутренними. Следовательно, существует ограниченный оператор 几,который генерирует этот автоморфизм:
<l\UgAUg^\l><l\UgAUg^\l>〈应12|訟<gz|gz>〈应12|訟<gz|gz>=/ (g% 运).=/ (g% 运).(10.38)(10.38)
<l\UgAUg^\l>
<l\UgAUg^\l>
〈应12|訟<gz|gz>
〈应12|訟<gz|gz>
=/ (g% 运).
=/ (g% 运).
(10.38)
(10.38)
Нетрудно видеть, что оператор Ug лишь численным множителем отличается от унитарного.
Покажем, что соответствие g fUg определяет неприводимое представление грунды G. Пусть А — ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами Ug. Из (10.38) следует, что символ A (gz, gz) не зависит от g и, поскольку группа G действует транзитивно на плоскости 爲 /(爲 z) = a = const. Мы знаем, что соответствие между операторами и символами взаимно однозначно, откуда следует, что М=〃Е где I ——единичный оператор. Мы доказали таким образом, что представление g Ug неприводимо.
С помощью формулы (10.24) можно получить также явное выражение для действия операторов
AWfez + a)-!/% |е| = 1. (10.39)
Унитарность преобразования (10.39) доказывается прямыми вычислениями.
В заключение укажем выражение для символа Ug(z, z) оператора Ug. Комбинируя (10.16) и (10.24), получаем.
<z I J7g历〉=е 伍—azz 一齿十方z) т/力.(10.40)
Следовательно,
闻=1.闻=1.…-<zl^I；>/ 1一后 产
闻=1.
闻=1.
% Z z) = 二e丿
(10.41)
Квантование при помощи отражений {аналог квантования Вейля). Обозначим через g& g) отражение в точке С：
m)T(”£u%))・ (32)
Оператор Ue для g = g(C,匕) обозначим через U^ Согласно общей формуле (10.41) символ оператора (^ с точностью до фазового множителя е (1^1 = 1) имеет вид
以& £|z,Z)=以& £|z,Z)=「(Z—z£)(l 一匕» [(i-zW)(i-2D「(Z—z£)(l 一匕» [(i-zW)(i-2D1/Л1/Л
以& £|z,Z)=
以& £|z,Z)=
「(Z—z£)(l 一匕» [(i-zW)(i-2D
「(Z—z£)(l 一匕» [(i-zW)(i-2D
1/Л
1/Л
(10.43)
Мы фиксируем фазовый множитель у оператора U^ так, что его символ имеет в точности вид (10.43).
Функцию
a(zj) = tr(l^-)(10.44)
будем называть символом Вейля оператора А.
Если оператор А можно представить в виде
я = (1 伍 一 1) J ； (Z, Z) Uz^d^(z, ；),(10.45)
то функцию a(z, z) будем называть ковариантным символом оператора А.
Связь между символами Л и а, а также между символами а и Л задается формулами
а (г,三) =(s/)(z, z),(10.46)
/(z,刃=(S而(z,力，(10.47)
где—
(必力(多,z) = (1 他-1) J/(^, 0 Uh & WI £)卽(& £). (10.48)
Формула (10.46) следует из формулы
tr (2月)=J / (金)力⑴dp⑷
и из соотношения симметрии
"&三e订="(夠三七»о
Для того чтобы связать друг с другом символы а и а, нам надо знать оператор Sh как функцию оператора Лапласа —Бельтрами А. (Тот факт, что Sh есть функция А, следует из перестановочности S% с операторами группового сдвига.)
Производя необходимые вычисления [101], получаем
8
丛=旦 F —胪(1 + 2kh) (1 + (2* - 1) h) ] • (1°・49)
Сравнивая (10.36) и (10.49), получаем
7九=Sh、Sg(10.50)
где
$九=R 1 -犷 d + (2k + i)h)d + 2U)]・仕°・51) 144
Из (10.50) и (10.26) следует
Q = S^A = S/1s六％(10.52)
§ 104 Квантование на сфере
Если Z = %т ——целое число, то теория для сферы полностью аналогична теории для плоскости Лобачевского. Прежде всего, спроектируем стереографически сферу на плоскость комплексного переменного {г}. При этом инвариантная мера на сфере перейдет в
印⑵ W) = (l+zZ)T 士箝. (10.53) Пространство 歹h в рассматриваемом случае состоит из голоморфных функций /(z) со скалярным произведением (/> g) = (1А + 1)J 7(z)g(z)(l + z^)T/Qw(z,W).(10.54)
Заметим, что если /(z)三歹％ то функция /(г) должна быть полиномом степени &无一‘；в противном случае интеграл, определяющий (/; /), расходится.
Таким образом, размерность пространства 歹九 равна (1 + 17九).Функциям.
%(纟)=(1 + 8)1/%(10.55)
принадлежащим 歹厶 отвечают векторы |匕〉в гильбертовом пространстве с нормой〈；也〉=(1 + 也户)"'.Мы пришли, таким образом, к системе КС для группы вращений трехмерного пространства, изученной в главе 4.
Отметим, что если h~l не является целым числом, то функция 屮己(％) многозначна и, следовательно, не принадлежит пространству 芥五.
Приведем еще несколько формул для символов операторов в пространстве 歹九.
Ковариантный символ оператора А является значением функции /(z, g) при g = z:
4(z,g) =(10.56) QI p
Функция (10.56) является аналитическим продолжением символа A (z, г), и следовательно, имеется взаимно-однозначное соответствие между ковариантными символами и операторами.
Ю А. М. Переломов145
Оператор действует на вектор по формуле
(用)(z)=伐 + 1)卩(z，S)7(0(^|)1% 6G (10.57)
Для произведения операторов A^Ai *42 имеем
A (z, z)=
41 + D b(ZJ)AfcF)[™^g]1//l^(U).
(10.58)
Связь между различными символами имеет вид
4 (z, 2 ) = ThA (z, z )=
=住+ D J I优詔寓Г% & W加"©• d°・59) Выражение для оператора Th через оператор Лапласа —— Бельтрами:
^ = Д(1 + 吟注而(*(*)•"• d°・6°) Асимптотическая формула типа (10.33) справедлива и в рассматриваемом случае. Отсюда, так же, как и в случае плоскости Лобачевского, следует выполнение принципа соответствия.
Связь с теорией представлений групп 50(3) и SU(2) устанавливается так же, как и в предыдущем параграфе. Приведем формулу для действия оператора Ug:
(0/) (z) = / (_^*/(~~ % + 寸勺无T 一 целое.
(10.61)
Из теории представлений известно, что эти представления исчерпывают все унитарные неприводимые представления группы SU(2).
Квантование на однородных кэлеровыхмногообразиях
Здесь мы покажем, что конструкция квантования, рассмотренная в параграфах 10.3 и 10.4 для простейших многообразий, переносится на более широкий класс много-
образий, а именно, на кэлеровы однородные многообразия. Более детальное рассмотрение этой конструкции можно найти в работах [10, 101].
Дадим сначала основные определения. Пусть 風—— комплексное многообразие, za ——локальные координаты точки этого многообразия. Предположим, что на Л существует метрика
ds2 = g^zd^(10.62)
такая, что det (纟疝 耍 0 口 что соответствующая этой метрике 2-форма
8 = g^dz" А 豆В,(10.63)
является замкнутой:
d(o = 0.(10.64)
Многообразие, обладающее этим свойством, называется кэлеровым, а метрика (10.62) называется кэлеровой метрикой. Очевидно, что кэлерово многообразие является симплектическим. Следовательно, на Л существует классическая механика. При этом в локальных координатах скобка Пуассона имеет вид
Л产俵号-黯)•"65)
Напомним, что из условия замкнутости 2-формы со следует, что существует функция 歹(夠 z) (потенциал этой метрики) такая, что
為 ("от
Рассмотрим гильбертово пространство 歹八—пространство аналитических на ^ функций со скалярным произведением
(力 g) = с (九)J 顶 g (z) exp ( — £ 歹(z, z)) d^ (z), (10.67) где
dp- (z) = co" = det (纟歸)Ц d产八"・(10.68)
Константа h в формулах (10.67), (10.68) и далее формально играет роль постоянной Планка, функция с (方) будет определена ниже.
10*
Пусть {九(z)}——ортонормированный базис в пространстве 歹* Справедлива следующая
Теорема 1 [101.
В каждой координатной окрестности ряд
"词=渺⑶词 （10.69）
сходится абсолютно и равномерно.
Функция Lh(z^ z) не зависит от выбора ортонорми- рованного базиса {^(z)}.
Заметим, что из неравенства Коши следует
I2(z, t)\^Lh^ l)Lh^ Е).(10.70)
Введем обозначение
吗(z) = 〃(z,W).(10.71)
Тогда
，他)J1 叱(z)F exp (―^歹(z/))dR(z)=
=上加©硒=厶ew).(Ю.72)
Следовательно, Ф^ (z)三 歹九.
Далее, из (10.71) и (10.69) следует, что для любой функции /(z)三歹h
(/，％) = /©•(10.73)
Таким образом, множество {ф^} образует сверхполную систему векторов в пространстве 歹加
С помощью этой системы определим ковариантный символ А (г, z) оператора А как значение функции
=會(z)(10.74)
па диагонали d)・
Аналогично § 10.3 и 10.4 нетрудно доказать справедливость следующих формул:
(用)(z) = с ® J 厶(z, Е)力隽)厶(Z, Е) X
■Хехр[-М(&£)К“©, (10.75)
(4*4) (z, z)=c(h)J 4 (z, 0 4 (E, z)或；：；；；：；：^".
(10.76)
-^-F(z,z) d^z).-^-F(z,z) d^z).tr A = c(h)^ A (z, z) Lh (z, 2) exp
-^-F(z,z) d^z).
-^-F(z,z) d^z).
(10.77)
Заметим, что согласно (10.75) оператор / полностью определяется функцией /(z, ^), которая является аналитическим продолжением функции A (z, z). Это значит, что в рассматриваемом случае оператор однозначно восстанавливается по ковариантному символу /(z, z). Следовательно, мы имеем взаимнооднозначное соответствие между операторами и символами.
Теперь можно определить алгебру 城修 как алгебру ковариантных символов ограниченных операторов. Однако доказательство принципа соответствия удается провести лишь при дополнительном предположении об однородности многообразия М. Предположим поэтому, что <Ж является однородным кэлеровым многообразием, и пусть G ——группа движений 贫，尸(z, z) — потенциал кэлеровой метрики на ^, инвариантной относительно действия группы G. Предположим также, что потенциал F существует глобально на множестве 必 которое получается из Л путем удаления подмногообразия меныпей размерности в 爲. В соответствии с этим функции /(z)w% также определены на М.
Из инвариантности метрики, генерируемой потенциалом F, следует, что
尸(gz, gz) = p(z, z) + 2(g, z)+s(g, z),(10.78)
где при фиксировайном g, “(g, z)——аналитическая^ функция переменной z, определенная на множестве Ж П gW. Соотношение (10,78) определяет функцию 2(g, z) с точностью до чисто мнимого слагаемого. Детали, связанные с определением функции “(g, z), можно найти в работе [10].
Заметим, что как было показано в [101], функция 屮(g, z) дает возможность построить определенное унитарное проективное представление группы G.
Именно, операторы в 歹％ определенные формулой (Т〃)(Z)= ехр (_ ^ 2 (gT, z))/ (gF),(10.79)
являются унитарными и образуют проективное представление локальной группы Ли UG (т. е. представление в некоторой окрестности единичного элемента группы G). Это представление можно продолжить затем до унитарного проективного представления всей группы G. Такое представление существенно используется при доказательстве существования квантования, удовлетворяющего условиям, сформулированным в § 10.2.
Рассмотрим важный случай, когда ^ ^D ——комплексная однородная ограниченная область в пространстве 0n. В этом случае D является кэлеровым многообразием, а стандартная кэлерова метрика задается потенциалом
歹(為蜃) = In K(z, z),
где K(z, z)——ядро Бергмана рассматриваемой области [154]. При этом пространство 歹丘 является пространством функций, аналитических в 0, со скалярным произведением
(/，力=с 3) J I / (z) |2 k(Z，』)]-"'即(Z，£)• (10.80) Здесь
"(z,Z) = det (豁)审，(10.81)
d|ib(2, z) —— мера Лебега области D,
Функция £h(z,匕)определена формулой (10.69). Алгебра 城丘 ——это алгебра ковариантных символов ограниченных операторов, действующих в 歹丘.Алгебра §1 состоит из функций /(无丨爲 z), 0＜九&1, являющихся (при фиксированном 加)элементами 加厉 которые непрерывны по совокупности всех переменных 九 z, z.
Теорема 2 [101]. Алгебра 必 задает квантование, удовлетворяющее принципу соответствия.
Мы опустим здесь доказательство этой теоремы. Отметим только, что в процессе доказательства существенно используются следующие свойства комплексных однородных ограниченных областей:
det|^^| = ^(z)z),(Ю.82)
厶(z,云) = "[K(z,力]。(10.83)
где 九=%(0),卩=n(0)——константы, зависящие лишь от области D.
В заключение приведем в рассматриваемом случае явные формулы для оператора ТЛ, который связывает ковариантный и контравариантный символы операторов. Этот оператор действует в пространстве 歹八 согласно формулам, аналогичным формулам (10.28), (10.29) (относительно явного вида оператора Th см. [11]).
В работе [11] были доказаны следующие теоремы.
Теорема 3. Для комплексной орднородной ограниченной симметрической области существуют операторы Лапласа ——Бельтрами 厶2比 порядка 2й,乃=1, 2, ..., Z, собственные значения которых, соответствующие унитарному неприводимому представлению класса I, имеют вид
2 逑，(Ю.84)
где Z — ранг области, ^ ——параметры, характеризующие представление 7(g) (если рассматриваемое пространство компактно, то представление 7(g) конечномерно и величины 况/ ——это компоненты вектора (% + р), где р ——вектор полусуммы положительных корней, i ——старший вес представления). В случае некомпактного симметрического пространства Т (g) = 7久(且)——унитарное представление основной серии, а величины 况；——произвольные вещественные числа.
Теорема 4. Собственное значение оператора 7% соответствующего неприводимому представлению класса I в случае пространства некомпактного типа, имеет вид 力(A； Nq ..=
где k~v/h, Г(г) — гамма-функция Эйлера, величины р/ — компоненты вектора р ——полусуммы положительных корней; они даются формулами:
ДЛЯ Dp.g
РЗ =2
W p, p《*、
для Dy
PL 22 '
У&Р,(10.86)
Для D™
2P + 1Q .
Pj = —22/,
ДЛЯ 0贤
p — 1 Pi = ~г-'
p2 =Y'
Числа v имеют В0Д
(10.87)(10.87)ДЛЯ Dp,q V = р + q, для 0# V = p + i, для 2)рП v = 2(p—1), для D^ V = р.'
(10.87)
(10.87)
Теорема 5. Собственные значения оператора Th для пространства 贫 компактного типа имеют вид
力=力(一％; f^i, ..ixi)^(10.88)
где 力(入；/i,...,况2)——функция типа (10.85), которая соответствует дуальному (по Э. Картану) пространству некомпактного типа, xh = mk + р&, тк — компоненты старшего веса рассматриваемого представления.
С помощью теорем 4 и 5 мы можем выразить оператор Th через операторы Лапласа ——Бельтрами A2ft.
Часть II
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Глава 11
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Эта глава является введением в физические приложения метода когерентных состояний (КС).
Как уже отмечалось во введении к книге, метод КС теперь широко используется в различных областях физики и помогает решить много задач. Ввиду ограниченного объема книги мы не имели возможности разобрать все такие задачи и ограничились рассмотрением отдельных задач, иллюстрирующих метод КС. Некоторые из этих задач можно было бы решить с помощью других методов, однако, как будет видно из дальнейшего, использование метода КС значительно упрощает решение. Другая привлекательная черта метода КС заключается в том, что этот метод унифицирует решение задач, на первый взгляд совершенно различных. Заметим, что ряд задач, использующих обычные когерентные состояния, рассмотрен в [39, 40, 46]. В недавней книге [172] перепечатано большое число статей по приложениям метода КС.
Отметим сразу же некоторые задачи, решенные методом КС, но не вошедшие в монографию.
Описание облака мягких фотонов вокруг заряженных частиц и устранение инфракрасных расходимостей в квантовой теории поля [114, 148, 164—166]. Аналогичная проблема в квантовой гравитации была рассмотрена в [146].
Применение КС в теории магнетизма [22, 144, 163, 187, 226, 244].
Приближенное квантовое описание локализованных состояний поля (солитонов) [82, 108, 243].
Описание SU (7V)-калибровочных решеточных теорий поля [220].
В работах [14, ИЗ, 157, 191, 241] КС использованы для анализа процесса измерения; в частности, в них рассмотрена проблема ограничения предела чувствительности детектора гравитационного излучения за счет квантовых эффектов.
Относительно применения КС в термодинамике, в частности для вычисления статистических сумм, см. работы [140] и [217].
Относительно применении КС в ядерной физике см. работы [77, 85, 130, 138, 139].
Связь КС и интегралов по путям рассмотрена в работах [12, 172, 150].
Применению КС в квантовой теории поля и физике элементарных частиц посвящено большое число работ [107, НО, 111, 116, 124, 125, 158, 198, 218, 231].
КС использовались в химической физике для построения многомерных волновых функций по классическим траекториям [119] и для описания столкновений [228].
КС были также использованы в биологии для того, чтобы описать дальнодействующие силы между кровяными клетками [204] и для описания фазовой когерентности на больших расстояниях в бактериородоспиновых макромолекулах [123].
Использование КС в модели Дике [122] резонансного взаимодействия поля излучения с двухуровневыми атомами позволило значительно упростить расчет фазового перехода в сверхизлучательное состояние этой модели (см. работы [122, 155, 193—195, 245]). Относительно обобщения на случай тг-уровневых молекул см. работы [84, 49].
В работе [37] КС были использованы для получения производящих функций инвариантов группы SU (N).
Подсистема КС, связанная с решеткой фон Неймана (см. § 1.5), была использована в [242] для вывода уравнения Шредингера заряженной частицы в с-числовом поле излучения в случае взаимодействия этой частицы с сильным квантовым полем излучения. Состояния, близкие к когерентным состояниям, связанным с решеткой, использовались в работе [26] для описания основных состояний двухмерного электрона в периодическом магнитном поле.
В работах [128, 25] с помощью КС описаны далекие столкновения классической заряженной частицы с атомом водорода.
В работе (117] дана алгебраическая классификация динамических систем, для которых КС остается когерентным в процессе эволюции системы.
В работе [118] показано, что важнейшее понятие в теории солитонов — понятие т-функции — связано с КС Для бесконечномерной алгебры Ли G厶(8), которую можно реализовать в терминах билинейных произведений фермионных операторов.
Применению КС к проблеме сверхтекучести слабо неидеального бозе-газа посвящены работы (115, 176]. Эта задача, решенная впервые в работе Н. Н. Боголюбова [13], может быть легко решена методом КС (см. работы [99, 233], а также обзор [68]). Аналогично решается задача о сверхпроводимости слабо неидеального ферми-газа (см. [88]).
Относительно применения КС к теории жидкого 4Не см. работу ；[215].
Круг применений обобщенных КС очень широк, и мы отметим здесь еще несколько применений. В работе Клаудера [168] КС применялись в теории радара, а в работе [171] — для описания квантованного эффекта Холла.
Относительно применения фермионных КС к задачам ядерной физики (теория Хартри ——Фока с зависимостью от времени) см. работу [236]. Относительно применения КС в неравновесной статистической физике (описание процесса релаксации спина) см. [237], а в физике плазмы (к уравнению Власова) см. [133].
Ряд авторов рассматривал также сверхполные системы состоянии, отличные от систем, рассмотренных в данной монографии. Здесь прежде всего следует отметить работы Клаудера [167, 169, 170] и работу Березина [9], в которых изучалось так называемое «непрерывное представление» состояний, в основу которого положены свойства непрерывности и разложение единицы. Такие системы, вообще говоря, не связаны с теорией групп и для них можно получить значительно меныпее количество результатов. Частный случай такой системы ——это система Барута и Жирарделло [97], на которой нет естественного действия группы Ли G. Еще одна система такого типа рассмотрена в недавней работе [232]. Отметим еще серию работ Ньето (ссылки на эти работы можно найти в [199, 200]). В работах [186, 192, 201] изучены сверхполные системы, связанные с ферми-операторами и грассмановыми переменными. Эти системы отличны от
Систем, рассмотренных в главе 9. В работе [96] рассмотрены КС для некоторых супералгебр Ли.
В оставшейся части этой главы мы вкратце опишем применение метода КС для тех случаев, когда гамильтониан рассматриваемой системы обладает группой динамической симметрии
Простейшим и в то же время довольно важным с точки зрения применений является случай, когда гамильтониан Н линеен по генераторам Xk унитарного неприводимого представления соответствующей алгебры Ли 乡：
〃=』胪⑴Xh.(11.1)
Здесь операторы 爲 удовлетворяют стандартным перестановочным соотношениям
〔X力 Х" = С^Х,,(11.2)
структурные постоянные алгебры 乡，соответствующей группе G, коэффициенты 胪 в (11.1), вообще говоря, зависят от времени.
Такая ситуация осуществляется в ряде интересных физических систем, некоторые из которых мы рассмотрим в главах 12—22. Здесь мы дадим лишь общее описание таких систем.
Отметим прежде всего, что в гильбертовом пространстве 舒 состояний системы действует унитарное неприводимое представление 7(g) группы G, соответствующее используемому представлению алгебры Ли 乡,причем под действием операторов Т (g) генераторы Xk преобразуются по присоединенному представлению группы G:
T(g')XkT~1(g) = A^g')Xl.(И.З)
Такое преобразование не меняет формы оператора Я, при этом Н переходит в
笈= T(g)〃T-(g) = %X,(И.4)
где 犷=A^h\
Нас будет интересовать решение нестационарного уравнения Шредингера
i嗯1屮《)〉= "(小屮⑺〉•"5)
Из (11.1) следует важное свойство такой системы
饰⑶〉= T(g«))怖(0)〉・(Н.6)
Соответственно из (11.6) следует, qTo если в какой-либо момент времени t0 состояние системы |-ф(^)^ являлось КС, связанным с представлением 7(g), то оно останется КС во все моменты времени.
Это обстоятельство дает возможность решить ряд задач, связанных с уравнением (11.5). Мы рассмотрим три типа таких задач.
Гамильтониан (11.1) от времени не зависит, Требуется найти его спектр и собственные функции.
Здесь можно воспользоваться унитарным преобразованием (11.4) и подобрать элемент g так, чтобы оператор 笈 принял наиболее простой вид, например чтобы Й выражался только через генераторы картановской подалгебры. В случае компактной группы Ли это всегда возможно. После этого спектр ｛卤*｝ и собственные функции ｛怖Q｝ легко находятся. Именно, спектр ｛品｝ совпадает со спектром ｛卤J, а собственные функции ｛也〉｝ получаются из ｛®》 с помощью унитарного преобразования
\^ny-T-l(g) |фп>.(Н.7)
Отсюда видно, что если при построении системы КС в качестве исходного вектора в гильбертовом пространстве выбрать |®о〉——основное состояние гамильтониана 豆、то основное состояние гамильтониана Н (11.1) является обобщенным КС.
П. Гамильтониан (11.1) зависит от времени, однако при 力一> ±8 он достаточно быстро стремится к соответствующим пределам, так что существуют асимптотические состояния I 州土〉.
Оператор эволюции U (力 备)имеет вид
。《,力。)=7(g(/, %)),(11.8)
причем существует S-матрица
S=U(+oo, 一8)= 7(加).(11.9)
В этом случае вероятность перехода из состояния |т> при tT—8 в состояние |п> при 方一>+оо задается квадратом матричного элемента ТПт：
5m= I2m(g。)『=1〈献7(队)|Ш>|2.(11.10)
Гамильтониан (11.1) периодически зависит от времени:
H(t+T)^H(t).(11.11)
157
В этом случае существуют состояния, для которых
|%« +7)〉= ехр(—1% ⑴〉(11.12)
——так называемые состояния с определенной квазиэнергией *). При этом оператор эволюции системы U (力 备) обладает свойством
U(t. + T,友) = T(g°) = exp(TT宠/%), (11.13) где оператор^5^ имеет вид (11.1). Таким образом, спектр оператора 宠 дает спектр квазиэнергии рассматриваемой задачи.
Перейдем теперь к рассмотрению конкретных примеров.
Глава 12
КВАНТОВЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Эта глава иллюстрирует, как легко решаются некоторые нестационарные задачи для квантового осциллятора с помощью метода когерентных состояний. А именно, в рассматриваемых случаях квантовая задача с помощью когерентных состояний точно сводится к соответствующей классической задаче.
§ 12.1. Квантовый осцилляторпод действием переменной внешней силы)
Развитие рассматриваемой системы во времени определяется уравнением Шредингера
鳴 №(t)〉=(H° + H 浦屮⑴〉，(12.1)
где
Но = % & + ①2g2)=G)(〃+优 + i/2)(12.2)
—оператор Гамильтона свободного квадтового осциллятора, а
忆=-/(/) q = ~/(i) У砒①(优 + 优十)(12.3)
описывает действие внешней силы /(f). Здесь р 0 ,—— операторы импульса и координаты, а и а+ — бозонные операторы уничтожения и рождещя. Всюду далее 力= =тп = 1.
Прежде всего с помощью унитарного преобразования 怖(方)〉= ехp {-図力}饰⑴〉
избавимся от слагаемого Яо в уравнении Шредингера (12.1). Для вектора I而«)〉получаем уравнение
压1沁)〉=泣10)[m)〉，(12.4)
где
%(/) = ехр {iHQt}Hi ехр {~iHot}=
=—/(力)V l/2s (а ехр (―庙力)+ а+ ехр (心力)).(12.5)
Уравнение (12.4) удобно переписать в виде
^ I $⑴〉=偉⑺小一 B⑴a)忤⑴〉，(12.6)
где
P(i) = -^=/U) охр(М-(12.7)
Поскольку гамильтониан 方^ (才)выражается линейно через операторы алгебры Ли Ж1 ——алгебры Гейзенберга —Вейля, то оператор эволюции 3($)(丽f)〉= =S«)【2(0)〉) является оператором представления 7(g) группы Wi4 т. а
S«) = T(g«)) = exp(T0U))O(a(f)).(12.8)
Отсюда, в частности, следует, что если начальное состояние являлось когерентным состоянием группы W^ то оно останется когерентным в любой момент времени. Таким образом, существует решение I《(力)〉вида
@£)〉= ехр(—2 (0)屯⑺〉•(12.9)
В частности, среднее значение оператора а в этом состоянии равно
<if|alt|)> = a(i).(12.10)
Дифференцируя это соотношение по / и используя уравнение (12.6), находим
а =区 а ⑴=а0 + J₽ (f) dt',(12.11)
о
Далее при Ai -> 0 из уравнения (12.6) получаем
府« + А%)> ~0(0(/)・ А方)R«)〉・(12.12)
Подставляя в это уравнение 丨2(力〉из (12.9) и используя соотношение 7(% а) 10〉= exp(iq)) 1^ + а>, получаем уравнение
Ф = Im(pa) = lm(oca).(12.13)
Заметим, что уравнение (12.11) —это классическое уравнение движения для осциллятора под действием внешней силы, а из уравнения (12.13) следует, что величина 0(/) равна удвоенной площади, заметаемой радиус-вектором при движении точки по фазовой плоскости, т. е.
qt
и, таким образом, она имеет простой квазиклассичсскии смысл.
Особенно просто обстоит дело в том случае, когда сила /(力)достаточно быстро стремится к нулю при 方 f -> 土 оо. Тогда существуют соответствующие пределы а土 迈 °土 и имеет смысл говорить о вероятности перехода из состояния \тУ при t f —8 в состояние 旧〉при t +°°. Эти вероятности даются формулой
штп = Кт|5Ь>|2 = Кт|О(7)|п>|2,(12.14)
где 1у|2 = р, \т — п\ =/с, и из формулы (12.14) следует, что
Sm“ =昼 I ? |2|m~nl exp (-1 у 卩)I 乙笈” (I 丫 I2) I2, (12.15) где 丫 находится по формуле
у = f Р (^) dtr = —^= \ /(i) exp(i(ot)dt, (12.16)
J^/2(0 J
e. с точностью до нормировочного множителя совпадает с фурье-компонентой з силы /(/).
В частности, если lp«)〉f 10> при t т—°° (т. е< вначале осциллятор находится в основном состоянии), то под действием силы /(方)он переходит в когерентное состояние, и вероятность возбуждения n-го уровня дается 460
формулой Пуассона
2п = ехр(—р鳥，р = |у|2.(12.17)
Перейдем к рассмотрению второго примера.
§ 12.2. Параметрическое возбуждение квантовогоосциллятора
Параметрическое возбуждение квантового осциллятора ——это возбуждение осциллятора при изменении его параметров： массы т = m(t) и частоты ⑴= з"). Общий случай переменных во времени m(Z) и ©(力)легко сводится к случаю m = const с помощью замены У = = Jd"加(力) и 3’ = тд т. е. к случаю квантового осциллятора с переменной частотой.
Эта задача была подробно рассмотрена в книге [2] и в работах [59 — 61]. Здесь мы решим эту задачу, используя систему КС для дискретной серии представлений группы SU(1, 1) (см. главу 5). Такое pentenne обладает болыпей наглядностью и быстрее приводит к цели.
Уравнение Шредингера для квантового осциллятора с персмеппой частотой имеет вид
?^屮«)〉= "⑺|屮⑺〉，(12.18)
где
H(f) - р72 + 炉⑴ 〃2, р н —id/dq, (12.19) и мы положили Й- = m = 1.
Перепишем исходное уравнение (12.1) в виде
i^l 屮⑴〉= (QK)l2⑴〉，(12.20)
где
Q度=%冗一qm一%& = "3k十-EK——WK。)，(12.21)
Ко, 1 = %(〃2/зо 士 3闯2), 乂 = /(pq + qp),
(12.22)
i = s°{(©⑴/co。)？ 士 1}, % = 0;衣土 = &土 iK2.
Операторы K°, К* и К2, как нетрудно проверить, удовлетворяют перестановочным соотношениям
国，及J =一阳，风,協]-困，[旦，KJ = k (12.23) (при произвольном значении частоты соо, входящей в определение операторов К?) и согласно главе 5 являются 11 А. М. Переломов‘6’
генераторами представлений дискретной серии группы SU(1, 1) с 4= 1/4 и 4 = 3/4.
Таким образом, наш гамильтониан линеен по генераторам алгебры Ли группы SU (1, 1). Поэтому существует решение уравнения Шредингера вида
饰⑴〉= ехр(Т。⑴此⑴〉，®V1,(12.24)
где 1；(/)〉——когерентное состояние для представления дискретной серии группы SU(1, 1) с к = 1/4 или к = 3/4.
Подставляя (12.24) в уравнение Шредингера (12.6), аналогично тому, как это было сделано выше, получим уравнения для величии g н 0:
^ = 5一优2一禎，(12.25)
^ =儿(龍一做+ 2.(12.26)
Заметим, что круг 优：1^1 < 1} является в данном случае плоскостью Лобачевского и представляет собой фазовую плоскость для рассматриваемой задачи. Уравнение (12.25) описывает движение классической системы (осциллятора) на фазовой плоскости. Квантовое состояние 1^(%)〉 при этом в точности следует классическому движению. Что касается фазового множителя 0(力),то он в точности равняется площади (в метрике Лобачевского), заметаемой радиус-вектором ；(方)при его движении. Оба эти обстоятельства связаны с тем, что в данном случае «ква- зиклассическое приближение» приводит к точному ответу.
Хотя этот результат справедлив для произвольного изменения величины з(%) со временем, физически интересными представляются два случая.
А. Величина з(/) достаточно быстро стремится к определенным пределам при %-> 士°°. В этом случае существуют асимптотические состояния 丨冷〉土 при 方一> ±с© и имеет смысл говорить о вероятности перехода wmn из состояния Im, з_〉в состояние In, w+>. Предположим для простоты, что предельные гамильтонианы (Я+ и Н_) при 力 f ±8 совпадают, т. е. з_ =(о+. Тогда
Wnn = I <-Vi I Т (g0) I n> I2, go=(； I), |a|2 —|P|2 = 1.
Используя выражение для {т\Т\пУ из работы [59],
полупаем окои^ательпый ответ
,1 ..2
^п = ^т/1-р ^(/1-р) . (12.27)
где Р,(况)—присоединенная функция Лежандра, р = = lpl7lal2. “
I屮Е (力+7)〉=I屮Е (力+7)〉=I R (£)〉•I R (£)〉•expexpБ. Рассмотрим теперь случай периодической зависп- мости 3(方)от времени: s(f + Т) = s(%)・ В этом случае существуют решения уравнения Шредингера с определенной квазиэнергией, т. е. состояния, обладающие свойством
I屮Е (力+7)〉=
I屮Е (力+7)〉=
I R (£)〉•
I R (£)〉•
exp
exp
(12.28)
Нас будет интересовать спектр квазиэпергий. Для того чтобы найти его, рассмотрим оператор эволюции системы U (力 ％):
0伉备)12(力0)>= I巾⑴>.
С его помощью образуем унитарный оператор
S=U(% + 7,卅(12.29)
Поскольку этот оператор унитарен, его можно представить в виде
(12.30)(12.30)
(12.30)
(12.30)
где Я ——эрмитов оператор. Спектр этого оператора и есть спектр квазиэнергий.
В рассматриваемом нами случае оператор S есть оператор конечного преобразования группы SU(1, 1), а оператор Н принадлежит представлению алгебры Ли этой группы и потому имеет вид
8=方(5爲-5旦-5及).(12.31)
С помощью унитарного преобразования H = Dff'U+ оператор Н можно преобразовать к стандартному виду.
В зависимости от вида вектора О = (Q0, Q, Q2) могут осуществляться различные случаи. Каждый такой случай отвечает определенной орбите присоединенного представления группы SU(1, 1).
1а. Пусть
Q2 = q^_q；-q；>0, Q0>0.(12.32)
Здесь с помощью унитарного преобразования Н f 贽= =UHU+ оператор 方 можпо преобразовать к виду
牙=М2項.(12.33)
Спектр квазиэнергий в этом случае дискретен, ограничен снизу и имеет вид
8„ = ЙЙ(^ + п).(12.34)
Основное состояние такого гамильтониана является когерентным состоянием, связанным с представлением ТА дискретной серии группы SU(1, 1).
Пусть
Q2>0, Q。V0.(12.35)
В этом случае имеем 方'=—力QKo. Спектр квазиэпергий здесь дистгретеп и ограничен сверху:
-8П = —hQ(k + п).
Пусть•
僦一酬一儘=-九2 Vo.
Тогда оператор Й можно привести к виду
贫=ТХК、.(12.36)
Спектр квазиэнергий в атом случае непрерывен и заполняет всю ось —8 < 8 < +°о. В классическом случае это соответствует неустойчивому движению.
3・ Если же IT = 0, й0 > 0, то Я —力5 (兄—居)，спектр непрерывен и заполняет полуось 0 < 8 < ℃.
§'• Наконец, в случае й2 — 0, Q。V 0,
方'=一力 Q。(К。—К)(12.37)
Здесь спектр также непрерывен и заполняет полуось —оо < 8 < 0. Для классического осциллятора случаи 3 и 3' отвечают границам зоны неустойчивости.
Квантовый сингулярный осциллятор
Стационарный случай. Под сингулярным осциллятором мы будем понимать систему, описываемую гамильтонианом *)
Я - Яо + V,
Но^-^^ + ^- = а+а + ^, v = ^\ (12.38)
*) Мы используем систему единиц, в которой ・Е = m = =(о = 1.
164
где
I/d、+(/ d、
— обычные операторы уничтожения и рождения.
Покажем прежде всего, что оператор Н является генератором алгебры SU(1, 1). Именно, нетрудно проверить, что операторы
7^ = (a+)2-g2/z2, В?=心一『証 (12.39)
удовлетворяют соотношениям
[Я, в+] = 25+, [Н, в2]=-2й2,(12.40)
[J, 5訂= 4〃.(12.41)
Таким образом, операторы 〃， 3^ н В2 являются те- псраторами алгебры Ли группы SU(1, 1).
Из (12.40) следует, что если i|^(^) является собственной функцией гамильтониана
Н^Е ~ Е^Еч
то функция 方^屮£ (笈2屮石) также является собстветшой функцией И с собственным значением Е + 2 (£" — 2) соответственно. Таким образом оператор В^ (色) является повышающим (понижающим) оператором. Это дает возможность, так же как и в случае обычного осциллятора, найти спектр и собственные функции гамильтониана чисто алгебраически, не решая уравнения Шредингера.
Действительно, волновая функция 巾° основного состояния, т. е. состояния с наименьшей энергией, удовлетворяет уравнению
В^. = 0,(12.42)
откуда получаем
业=С^ ехр『一炉/2], a = 1/2 + У1/4 + 2代(12/3)
Из уравпспия
= Eoj(12.44)
находим ^о = a + 1/2.(12.45)
Волновая функция произвольного состояния 2m получается теперь из гр0 путем ?г-краттюго применения повышающего оператора В^:
% (况)=Сп(Bt)n% ⑺，Еп = 2汽 + %.(12*46)
•165
Такой алгебраический способ нахождения волповых фушщш! it спектра aiicpriiii важсп потому, что он оказывается применимым и для случая аналогичной системы N взаимодействующих частиц, когда найти все решения уравнения Шредингера обычным способом не удается.
Укажем, что связь операторов Н, В} и В2 со стандартными геттераторамп К(), К{ и К? алгебры SU (1, 1) задается формулами
(12.47)
Оператор Казимира
点 =居+居一& = a (砖破产色-/)，(12.48)
т. е. оператор, коммутирующий со всеми генераторами алгебры SU(1, 1), после подстановки явных выражений ДЛЯ 月2,笈^ и а сводится к числу
Отсюда паходпм
"(1/2 + а)/2.(12.49)
Это значит, что совокупность всех волновых функций {屮冗} преобразуется по неприводимому представлеппю дискретной серии группы SU (1, 1):
7j(g) с 儿= (а + 1/2)/2.
Используя стандартный прием, а именно применяя левую и правую часть соотношения (12.41) к волновой функции 屮也，приходим к формулам
笈^屮л = — 2 /(72 + 1) (" + а + 1/2)屮賀+1, (12.50)
笈2屮也=—2 /〃,(汽 + а — 1/2)以у.(12.51)
Фазовый множитель ( —1) связан с конкретным выбором фазового множителя у волновых функций ^п (х).
Действуя п раз оператором 5^ на волновую функцию основного состояния ро, получаем
屮”(")=廿门a+ 1/^^ (b+)^(2). :(12.52)
于、/ 2П ”献「(/г 十 а +1/2) 、// 小 /
Волповые функции 必⑺ содержат множитель ха ехр [—х2/2], выделяя который, приходим к новым операторам
党=exp [х2/2] Bj (『ехр [— 2])=
=4 焉+ 2佟_2力^+4 02_ а —引，(12.53)
c2 =『"eхp [片2/2]图(/" ехр [—炉/2])=
=21/+2艺色](12 54)
.2疗十" 簿'I j叫
H = х~а ехр [胃2/2] // (片“ охр [— /2/2])=
=y 一亲-2住一")/+2" + £ •02.向
Очевидно, что операторы С2, С^ и 笈 также образуют алгебру SU (1, 1), и перестановочные соотношения для пих имеют вид (12.40), (12,41).
Уравнение II^п =^ Еп^п переходит при этом в обычное уравнение для полиномов Лагерра*)
4 + 2 佟 ^ + 4/ 厶"L 0. (12.56)
Из (12.50) и (12.51) при этом получаем рекуррентные соотношения для полиномов Лагерра
С"厂1/2 (炉)=—2 (тг + 1)厶£皆(吟，(12.57)
cЦ (喲=_ 2 (九 + a _ 1/2)乙仁:/2 (公).(12.58)
Отсюда получаем выражение для нормированных соб- СТВ0Ш1ЫХ функций оператора Я:
屮”⑺=V F (а；農 1/2)厶厂"2 侬)i ехр [-х2/2]. (12.59)
Отметим, что а -> 1 при g ~> 0 и волновые функции переходят в волповые функции осцилляторпой задачи. Однако мы получаем при этом не все осцилляторные функции, а лишь те из пих, которые обращаются в пуль при г -> 0. Соответственно при g f 0 имеем Еп-^ 2п + 3/2, и спектр зпсррпй отличается от спектра энергий осцил-
ляторной задачи на всей оси. Он совпадает со спектром энергий задачи с граничным условием 2 (0) = 0, т. е. ос- цилляторной задачи на пЪлуоси. При g¥=0 спектр нашей задачи отличается от спектра осцилляторной задачи на полуоси лишь сдвигом NE = а — 1.
Волновые функции 队⑺ образуют базис {丨九〉} в гильбертовом пространстве 雍 квадратично интегрируемых функций на лолуоси 0 < л: < °°.
Система КС {|^>}, ® < 1, в этом пространстве согласно главе 5 имеет вид
К〉= (1 — IC 旷 2 Mf(:窈綜 ГI П>. (12.60)
КС I：〉 при этом можно определить как состояние, аннулируемое оператором ■
宜一 =ехр(：К+)К_ exp(—gK+) = K_ — 2^居 + 片鸣，(12.61)
Х」”0.(12.62)
Отсюда получаем 〈川0三收⑺=
=馬1廿^[t注Н，2-+ 〃2.
(12.63)
Сопоставляя эту формулу с формулой (12.60), получаем производящую функцию для полиномов Лагерра
(1 一 h(a+%p 1^1 = £ 疗(才)二 (12.64)
IIестационарный случай. Рассмотрим теперь квантовый сингулярный осциллятор с переменной частотой. Такая система описывается уравнением Шредингера
^伸⑺〉=〃⑼屮《)〉，(12.65)
где
H(t)^4^p2+^(t)x2) + gVx\ з(0)=①° = 1.(12.66)
Уравнение (12.65), так же, как и в § 12.2, можно переписать в виде
% 詛屮⑴〉=(QK)a«)〉，(12.67)
慨
где
(QK) 4禽一品& 二a2区2，00，1=
=^0 (("^^) ±1} % =。，(12.68)
а операторы К。, Ki и К» даются формулами (12.47), (12.39).
Таким образом, все результаты, получеипые в § 12.2, остаются справедливыми и в рассматриваемом случае. В частности, существуют решения уравпепия Шредингера, имеющие вид
怖⑴〉= ехр(Т0«))也⑴〉，® VI, (12.69)
где величины 扌(f) и 0(%) удовлетворяют классическим уравнениям (12.25) и (12.26).
Если при %-> ±8 частота з«) достаточно быстро стремится к постоянным пределам 3十 и з_ соответствеп- по, то вероятность перехода из состояния \п, со-> в состояние Im,①十〉дается формулой
штп = l<m, (o+|5ln, з_〉|2,(12.70)
где
* =叫齡统=(；：谓訛瑞} t№ (т/2) = р, (12.71) а величина р совпадает с коз ффигщеи то м отражения от потенциального барьера [43]:
央⑺=2(左一。⑺)=炉⑺.
Используя явную формулу (см. [90]) для матричных элементов представления Th (g), получаем окончательное выражение
ш! Г (1/2- а - п) %-=丽二万而 Г (1/2-а- m) X
X (sh (r/2))2(m-n)(cli(T/2))a(m+J1 ь«)+1 x
X I f (m + а + 1/2, m + 1, m + 1—% —sh2 (т/2)) |2. (12.72)
Здесь 耳(а, &, с; %) — гипергеометрическая функция.
В случае периодической зависимости w (t) от времени спектр квазиэиергий имеет ту же структуру, что и в § 12.2.
Случай N взаимодействующих частиц [62]. Рассмотрим систему N взаимодействующих частиц,
169
описываемую гамильтонианом
(12.73)(12.73)H = H0 + V, "0 = -4e為 + 奈工（勺一陶2, ；=1 吟 3VA
(12.73)
(12.73)
了=g2』（勺一融）『
Нас интересуют трансляционно-инвариантные решения уравнения Шредингера 〃гр = £'巾,и потому удобно перейти к трансляционно-инвариантным переменным
邑・=灯一X, Х = ^2% 7 = 1, 2, ...,^. (12.74)
)=1
Переменные & не ряют условиюПеременные & не ряют условиюявляются позавпспмыми, а удовлетво-
Переменные & не ряют условию
Переменные & не ряют условию
(12.75)(12.75)N
(12.75)
(12.75)
X 马=о.
Введем также трансляционно-инвариантные комбинации производных, которые бупом называть формальными производными по 自j：
吒 j — dr- ex'吒 j — dr- ex'畫=^工］言,J 号=6(12.76)畫=^工］言,J 号=6(12.76)
吒 j — dr- ex'
吒 j — dr- ex'
畫=^工］言,J 号=6(12.76)
畫=^工］言,J 号=6(12.76)
Из (12.74), (12.76) находим
竭/兆尸％—1/М(12.77)
Нетрудно видеть, что имеет место тождество
=(12.78)
с учетом которого гамильтониан (12.73) принимает вид
^霜一^2^+•^務+ 与2^-ы~2-
-(12.79)
Заметим, что первый член в (12.79) при рассмотрении трансляционно-инвариантных состояний несуществен, и мы его опустим. Введем трансляционно-инвариантные операторы b扌 и b协 пропорциональные операторам рождения 170
и уничтожения:
JNN
疗不一商)，为=(畠+熹),中=学=。■
(12.80)
При этом
电，"］=同，或］=0,回磧］=2*一1/n). (12.81)
Гамильтониан (12.73) теперь можно записать через операторы bj 口 錯：N
* =A。+ 吟 Я0 = A Z 次仿+ N-1，_0-
卩=3 士 & —“Т (12・82)
По аналогии со случаем одной частицы введем операторы Вг и :
^=^ё寸一 匕 ％=^ 二斤一k(12.83)
Нетрудно цроверить, что так же, как и в случае одной частицы, имеют место перестановочные соотношения
(Я,京］=2破，［4，用2］=一2%，［%, "］ = 4旦
(12.84)
откуда следует, что операторы 52 и 5^, являются понижающим и повышающим операторами соответственно.
Покажем теперь, что соотношения (12.84) имеют место и в том случае, когда потенциал V (z) является произвольной однородной функцией степени —2. Третье из соотношений (12.84) следует при этом сразу же из (12.83). Для доказательства второго соотношения удобно перейти к новым операторам
互=ехр (q)〃exp(—今)и 方2 = ехр(у)52ехр(—*)
(при этом bL д*、斤• —2^ — 0/凭j).
Для доказательства первого соотношения иереходим к операторам
疗=ехр (—g)〃exp 伶)и 爾=ехр (—g)3%xp 伶) (при этом— Н/吗，几2久 + 勿阪).
Из (12.84) следует, что и в этом более общем случае мы имеем дело с алгеброй Ли группы SU(1, 1). Оператор С?, определяемый формулой (12.48), опять превращается в число
к = Е°2 (12.85) где 豆。一энергия основного состояния. Отсюда получаем серию нормированных волновых функций
屮几=屮几=(—1 产 }/FWi2" 向Г (可2犷(—1 产 }/FWi2" 向Г (可2犷（砌飞，（砌飞，(12.8G)(12.8G)
屮几=
屮几=
(—1 产 }/FWi
2" 向Г (可2犷
(—1 产 }/FWi
2" 向Г (可2犷
（砌飞，
（砌飞，
(12.8G)
(12.8G)
которые преобразуются по неприводимому представлению Т^ группы SU (1, 1), Волновая функция основного состояния 2о = z ехр(—г/2) удовлетворяет уравнению 笈2巾о — 0, откуда получаем уравнение для z
N 2'
42Й-^ = 0-(仅87)
Мы видим, что z — однородная функция величины &. Обозначая степень ее однородности через а', из уравнения "屮0 = £\)巾0 находим.
Е。 = ? + a，,加=g=^ + ^.(12.88)
Характерным свойством этой серии волновых функций является то, что все они имеют вид
必(三)=5⑺业(占)=Z ехр(—产/2)фп(г).(12.89)
Для того чтобы увидеть это, перейдем к новым операторам С2, С^ и В, которые действуют уже на функции 屮込(г) (сравните с формулами (12.53) — (12.55)):
рXо2рXо22-22-22Z2 /(\2Z2 /(\方方и +ех53-喝 )-工2 -2 1 -2ex=и +ех53-喝 )-工2 -2 1 -2ex=±% 1 - z+岂喝?1 -2一一±% 1 - z+岂喝?1 -2一一II1 -21 -2+±嗚+±嗚
рXо2
рXо2
2-2
2-2
2Z2 /(\
2Z2 /(\
方
方
и +
ех53-喝 )-工
2 -2 1 -2
ex=
и +
ех53-喝 )-工
2 -2 1 -2
ex=
±% 1 - z
+岂喝?1 -2
一一
±% 1 - z
+岂喝?1 -2
一一
I
I
1 -2
1 -2
+
±嗚
+
±嗚
Заметим, что действие этих операторов на функции, зависящие лишь от г, эквивалентно действию соответствующих операторов, определяемых формулами (12.53) — (12.55), при условии, что в этих формулах сделана замена г, a —a'+(N —2)/2. Таким образом, нор миров анные волновые функции имеют вид
5 ⑶一 ”0Г[«+ (N — 1)/2 十 a] z X
X ехр ( — g) ^nX ехр ( — g) ^nJ+(N-3)/2 什2).(12.93)J+(N-3)/2 什2).(12.93)
X ехр ( — g) ^n
X ехр ( — g) ^n
J+(N-3)/2 什2).(12.93)
J+(N-3)/2 什2).(12.93)
(12.95)(12.96)(12.97)(12.98)(12.95)(12.96)(12.97)(12.98)
(12.95)
(12.96)
(12.97)
(12.98)
(12.95)
(12.96)
(12.97)
(12.98)
В случае, если V — произвольная однородная функция степени —2, функция z и степень ее однородности неизвестны. Для потенциала же (12.73) 么=D工 а' = =2 а и функции (12.93) переходят в серию
функций, полученных в работе [62]. Операторы Ct и G, действуя на cpn(r2), дают рекуррентные соотношения (12.57) и (12.58) для полиномов Лагерра.
Мы получили простейшую серию волновых функций многочастичной задачи. Заметим, что произвольная волновая функция имеет вид .
2叫(自)=zexp(一产/2)中叩⑺几传)，(12.94)
где 尸卩(自)—однородная функция степени 快.
Уравнения для функций 9冗卩(厂)и 尸模(£) нетрудно получить из уравнения Шредингера
Н l[)Tifi Е лц'фпм.*
Имеем
1 卢屮久“「(N — 2)/2 + # + ц ] 〃％屮,
?Г\~ +
十(刃0 + 卩)фпц = ^пцфг^цт откуда получаем
Фпц (г)=
—N л/~ 献Г [(N —()/2 Т— а，十 pj 『(n—3)/2+q/t屮,2] +〈n二1)改工次4|1]也
= 2n+(1 + £0.
Уравнение для 尸科化)имеет вид •
「 N 2办1
^ + ±V^± p 化)—0
|_2三0号+"纟咆呜J#N(y _ u.
Операторы С^ и G, определенные формулами (12.90) и (12.91), действуя на функцию 屮叫(厂)尸从(己)，дают рекуррентные соотношения для функций 屮碎(г); рекуррентных соотношений для 夕世(三)при этом не возникает.
Итак, каждое новое решение уравнения (12.98) определяет новую серию решений
屮碎=z exp (—r72) фпЦ (г) Рц (^).
В случае потенциала (12.82) z = Z>“ и уравнение (12.98) переходит в уравнение, полученное для этого случая в работе [109]:.
?詈+2噴亍为匾一忌)29)
В этой работе показано, что уравнение (12.99) имеет полиномиальные решения (т. е.卩=加一целое число), причем функция Рт(^) полностью симметрична относительно перестановки координат 自” Как видно из (12.97), из полиномиальности решения следует эквидистантность спектра. Из симметричности же функции 夕皿(自)находим, что число решений g(m) уравнения (12.99) степени т равно числу полностью симметричных гармонических полиномов степени т, которое, в свою очередь, равно числу решений уравнения
т = 3% + ... + Nn^
в неотрицательных целых числах.
Отсюда получаем следующее выражение производящей функции для g(m):
G⑴ 士㈣严入二3)：(12.100)
Теперь нетрудно показать, что кратность вырождения /(s) уровня с энергией Е3 = Ео + s равна числу решений уравнения
s = 2& + 3% + ... + NnN
в неотрицательных целых числах. Производящая функция F(t) для величин^! /(s) имеет вид
尸⑴=2 严= (—/("•(12-101)
Явное выражение для функций /(s) и g(s) при небольших значениях N может быть получено из работы [62]. Вся трудность решения задачи свелась теперь к нахождению всех решений уравнения (12.99). Относительно решения этой задачи см. работы [109, 62].
В заключение заметим, что использование инвариантности системы N взаимодействующих частиц относительно группы SU(1, 1) дает возможность решить также п задачу с переменной частотой, когда гамильтониан 1Ц в (12.73) имеет вид
N 22 z
% = — ^ 工 3 + 2J)2 (汽)—况炉・(12.102) 亍jck
А именно, все результаты, полученные в § 12.3, как нетрудно проверить, переносятся и па этот случай.
Осциллятор с переменной частотойпод действием переменной внешней силы
Рассмотрим общий случай, когда на осциллятор с переменной частотой з(方) действует сила /«)• Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид
%^中(% ")= - 4"爲一扌d⑴"⑴况 屮(①％).
(12.103)
Зависимость s(力 и /(力)от времени считаем произвольной, предполагая лишь выполнение естественных граничных условий:
/⑴f 0/⑴f 0(12.104)(12.105)(12.104)(12.105)при 才一> ± 8, при i —>- — oo, при / —> + oo
/⑴f 0
/⑴f 0
(12.104)
(12.105)
(12.104)
(12.105)
(пределы s土 могут быть различными).
В этом случае гамильтониан Я(/) в (12.103) выражается линейно через операторы К。, К^ А2 (12.22) и операторы р, х и I, которые, как нетрудно проверить, образуют шестипараметрическую алгебру Ли — алгебру Ли, так называемой неоднородной симплектической группы ISp(2, R). Таким образом, так же, как и в предыдущем случае, существует решение уравнения (12.103),
имеющее вид КС для группы I„Sp (2, R):
怖⑴〉= eXр(一屈(/))1扌(力)，a(i)>,(12.106)
где КС |& а〉дается формулой
|& а> -7Vexp[£a+72 + aa+]|0>, 1р<1, (12.107)
N = (1 — |^|2)+1/2ехр (—1а『/2) — нормировочный множитель.
Нас интересует вероятность перехода wmn из состояния \п, 8_〉 при t f —8 в состояние \т, (о+> при ^ -> +8 ：
co+IU(8, —8)旧，s_〉|2,(12.108)
где U(^2, Л) — оператор эволюции.
С помощью КС нетрудно получить производящую функцию для величин 必力出
Н (z「出)='#*〈强①十 I S I %(o_〉^2^・ (12.109)
Опуская детали вычислений, приведем окончательный результат ([60]):
H(?i，-2)^ (1 — р)1/4 е^Р [— у(1- ~ /pcos 2ср) +
+ "^ [ Мр (纟5 ~' z：) + 2 М1 — р 21聞]+
+ /v[/l —— p ехр (——/ср) Z]
—(ехр (йр) — Mpexp(—，ip)z2)]} (12.110)
Параметры р, v и ср, входящие в (12.110), определяются следующим образом.
Пусть W (力)——решение классического уравнения движения для осциллятора
W +叫『0(12.111)
с начальным условием
己(力)~ехр (心」)при t -> —оо. (12.112)
Параметр р определяется асимптотикой величины 己(力) при t +оо;
p = |— , 自⑺〜q ехp (施十力)-
—е2 ехр (—沁+力)，i-> + 8. (12.113)
При этом Owpvl, и зяачение р целиком определяется видом з") и пе зависит от внешней силы.
Величина 夕=|〃『характеризует степень возбуждения осциллятора внешней силой и определяется формулой
у — —00у — —00(12/伍)
у — —00
у — —00
学Т.学Т.屮=屮=(12.115)(12.115)Фаза ф имеет следующий вид:
学Т.
学Т.
屮=
屮=
(12.115)
(12.115)
где 61, б? и § ——фазы величин Ci, с2 и d соответственно.
Вычисление вероятностей wmn сводится теперь к разложению функции Я(2Ь &) в ряд Тейлора; коэффициенты разложения стп можно выразить через полиномы Эрмита от двух переменных. Согласно [4] эти многочлены определяются так:
eхp仿。电勾一丸沟匕8 、eхp仿。电勾一丸沟匕8 、
eхp仿。电勾一丸沟匕8 、
eхp仿。电勾一丸沟匕8 、
(12.116)(12.116)(12.117)(12.117)оконча-оконча-
(12.116)
(12.116)
(12.117)
(12.117)
оконча-
оконча-
=2 z1 .2 . :. Hn n (Z/1，沙2).
И %! %! 1 2
В пашем случае
” мт』-Vp 尸
力= /v(l — p) exp (i(p),
弥=—/v (exp (―抑)—/р exp ”))， (заметим, что 必=I, a~l = a)- Отсюда находим тельное выражение для вероятностей перехода：
"'皿”二匕髙 P|〃》ui仇,У2) P exp(—v(l— /р cos 2ф)}.
…(12.118)
Приведем в явном виде wmn для простейших значений тип：
Wqq = VI — р ехр {—v(l — ¥р cos 2ср)),
“Q =夕(1 一p)以皿
—(12.119)
31 = v(l — 2yp cos 2p + v2p) wQlQi
и；и =(1 — p)[(l — v)2 + 2v(l — v) Vp cos2<p + v2p]w；oo.
12 а. м. Переломов177
Если в (12.116) положить одну йз переменных 2Ь 么2 равной пулю, то это выражение упрощается и принимает вид производящей функции для обычных полиномов Эрмита. Отсюда следует, что если прп 方一> —оо осциллятор не возбужден (п = 0), то величины wm> 0 выражаются через обычные полиномы Эрмита
т/2т/2(1/2у (1 —4卩)(?砰(一icp)j |2 х
т/2
т/2
(12.120)(12.120)X exp {— v (1— Ур cos 2(р)}.
(12.120)
(12.120)
Аналогичная формула имеет место для
"。"2"〃！ P
(«富(V7 ex：(一冲)-ехр(mр))) !2 х
X exp {—v (1— Vp cos 2гр)}. (12.121)
Из явного вида формул (12.120), (12.121) видно, что, вообще говоря, wQn 巫 ш)г0. В то же время при v = 0, т. е. при отсутствии внешней силы, величины wmn симметричны по т и п.
Заметим, что из общих принципов квантовой механики следует лишь, что вероятности wmn симметричны по начальному п и конечному т состояниям, если з(—力)= = з(%). Как видно из (12.27), фактически равенство wmn = wnm в этом случае выполняется при произвольной зависимости со от Л Причину этой дополнительной симметрии можно понять, если связать р с коэффициентом отражения от одномерного барьера. Для этого образуем из 三(办 и 三(方) линейную комбинацию 氢(力)со следующими свойствами:
自1d)=自⑴+麻《)='
(12.122)(12.122)[exp (心」)+ 7? exp (—心」) при 力 f — oo, [Dexp (io)+t)при 方 f+ оо.
(12.122)
(12.122)
Отсюда видно, что 自乂力)совпадает с волновой функцией одномерного уравнения Шредингера, если заменить t па 况,а з(力)一на к(х). Коэффициенты R в D имеют смысл амплитуд отраженной и проходящей волн. Из сравнения (12.122) и (12.113) находим
J 旨 Q = л р = I К 产・(12.123)
Таким образом, решение (12.122) соответствует волне, падающей па барьер слева.
Обращение времени t f —t отвечает переходу к волне, падающей справа. Обозначая коэффициенты отражения для этих двух волн через р и р\ имеем
^тп(Р)== ^пт (р ) ♦
Но, как известно (см., например, [43]), р‘= р. Отсюда и вытекает дополнительная симметрия вероятностей wmn но индексам т ц п. Из формулы (12.118) видно, что величины wmn симметричны по пъ и п также при р = 0.
Рассмотрил! случай v 0 и
з(Т)=з ⑴，/(—%)= 〃%).(12.124)
При этолт, как показано в [2], такая симметрия существует, если
cos 2ф = Ур.(12.125)
Здесь переменные риз уже пе являются независимыми, а вероятности 力加％ определяются двумя величинами р и v.
Глава 13
ЧАСТИЦЫ ВО ВНЕШНЕМЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
В этой главе с помощью метода когерентных состояний изучается поведение квантовой частицы во внешнем электромагнитном ттоле. Рассмотрены задачи о движении спина в переменном однородном магнитном поле и рождении пар бозонов и фермионов в переменном однородном электрическом поле. Все эти задачи с помощью когерентных состояний точно сводятся к соответствующим классическим задачам.
Движение спина в переменном однородноммагнитном поле
Рассмотрим нейтральную частицу со спином /, обладающую магнитным моментом ц и находящуюся в переменном магнитном поле Н(£). Изменение состояния такой системы во времени определяется уравнением Шре- дищера
z^丨屮⑺〉=一a (%) J I屮⑴〉=m/十一a)ZbJ())1屮⑺〉,
(13.1)
где
А = ^Н,А = ^Н,咛 J, J= (Л，А, Л), а ^- (4 — i^2)t b = — 4, (13.2)
А = ^Н,
А = ^Н,
Jj ——оператор бесконечно малого вращения вокруг оси 力立 /± =人±%厶・ Относительно вектора Н(/) мы предполагаем лишь, что он достаточно быстро стремится к определенным пределам при 力一>±8, так что при 力一>±8 существуют асимптотические состояния 1屮土〉.
Давно известно (см., например, работу [184] или книгу Ландау и Лифшица [43]), что задача о частице с произвольным спином может быть сведена к более простой задаче о движении частицы 'со спином 1/2. Использование спиновых КС позволяет получить решение этой задачи особенно просто.
Решение уравнения (13.1) будем искать в виде
怖⑺〉=ехр(Т0«))也(/)〉.(13.3)
Уравнение (13.1) принимает вид
2^ К")〉= (〃《) — &)"«)〉.(13.4)
С другой стороны, из явной формулы для КС следует ^JP=(/ + Jo)l?>,(13.5)
/-lp = U/-A)l?>(13.6)
и
霜⑺"
=[if^ ^ а + к i2)]i 匕⑺〉+ (4)(a+/)i?⑴〉•
(13.7)
Отсюда находим уравнения для величин 白(力 и 。(方) t-a + ^-ib^(13.8)
i%=一吨+ (+；评备a + KE)] +营+眩03.9) Заметим, что из (13.8) следует равенство'
显(1 + 1d)=储 + 近)(1 + 1灯)，(13.10)
с помощью которого получаем
/=八 心+ 口_訪).(13.11)
Таким образом, задача нахождения волновой функции сведена к болеепростой задаче ——решениюуравнений
и (13.11).，
Заметим, чтопри параметризацииввидевекторов
единичной сферы уравнение (13.8) принимает вид
п = —[а(/), п].(13.12)
Таким образом, плоскость С (или единичная сфера 52) играет роль фазовой плоскости для классической динамической системы. Однако, в отличие от обычно рассматриваемых классических динамических систем, инвариантная метрика на плоскости 匕 не является евклидовой.
В простейшем случае при 力 f+8, а (力)f 0, b«)f f const, как видно из (13.8), |^ (Z) I2 -> р = const. Отсюда сразу же следует выражение для вероятности перехода из начального состояния 10〉= I/, —/> в конечное состояние \т) = I/, —j + т)
―(2/)! ре
- ml (2/ — m)l(] + р产.
Общая формула для вероятностей перехода имеет вид
I 区tv ⑼产，(13.14)
где 卩= пъ — j, v = n — у, p = tg2(0/2), a. ^v (0) — известные матричные элементы представления T?(g).
В качестве примера рассмотрим случай внешнего магнитного поля
Н«) = Н°+BL «) = %& +
+ Hi (с】 cos со力 + е2 sin coi), (13.15) являющегося суммой постоянного магнитного поля, направленного по оси z, и поля Н](力),вращающегося в плоскости (х, у) с угловой скоростью со.
(13.16)(13.17)181(13.16)(13.17)181Уравнение (13.8) нетрудно решить, и мы получаем i①丄 sin Qi охр ("co ц —①)％) c ⑴ 一 2a cos a/一力(①一①0为eq J где
(13.16)
(13.17)
181
(13.16)
(13.17)
181
Q = 4■"丿(3 — S|| )2 + 3：, « II n (卩u/j) H(P
①丄=(Po//)
Отсюда для простейшего случая j — 1/2 получаем формулу для вероятности «переворота спина»
少工/2,-1/2 (%)少工/2,-1/2 (%)①j sin^Q力(s —① ")2+ 呜①j sin^Q力(s —① ")2+ 呜(13.18)(13.18)
少工/2,-1/2 (%)
少工/2,-1/2 (%)
①j sin^Q力
(s —① ")2+ 呜
①j sin^Q力
(s —① ")2+ 呜
(13.18)
(13.18)
Отметим, что вероятность переворота спина зависит от со резонансным способом и может принимать максимальное значение (ш = 1) лишь при s =①卜
Рождение пар бозоновв переменном однородном внешнем поле
Одним из интересных квантовых эффектов в классическом внешнем поле является рождение пар частиц и античастиц из вакуума. Такое явление изучалось в большом числе теоретических работ, для ознакомления с которыми мы отсылаем заинтересованного читателя к монографии [23].
В этой главе мы рассмотрим теоретико-групповые аспекты задачи о рождении пар бозонов в переменном однородном внешнем поле ).
Динамическая симметрия для скалярных частиц. Рассмотрим сначала скалярную заряженную частицу массы ш, находящуюся в однородном электрическом поле Е«). Она описывается функцией (р(г,力)，удовлетворяющей уравнению
Ф + (р — А(£) )2(р + т2(р = 0, (13.19) где р = —XV — оператор импульса, А (力)=—f Е (尸)d£'— векторный потенциал, а точка означает производную по времени. Из (13.19) сразу ?ке следует, что существует решение вида (р(г,力)=ехр(汨r)q)o(力)，причем (ро(О удовлетворяет уравнению для одномерного классического осциллятора с переменной частотой
Фо +(о2(0фо = 0. (13.20)
Здесь о?(力)=т?г2 + л2 (f), л (i) = р + J Е (力')d，一 классический импульс частицы в момент времени 玄 р —— импульс частицы при t f —g (предполагается, что Е (力) достаточно быстро убывает при t -> ±8, так что при t f f ±оо существуют пределы 窮土 и ①土 величин л (力)и со (i) соответственно).
После вторичного квантования функция(p(r, /) переходит в гейзенберговский оператор
X ("⑴ exp (Zpr) + 务±р (力)ехр (— %pr)), (13.21) причем оператор ср (г, t) удовлетворяет уравнению (13.19), а операторы «р (0 и 6±р (力)соответственно уравнению (13.20). При этом операторы 2P (力)и btp ⑴ в произвольный момент времени получаются из операторов 〃р и 廿р, отвечающих свободному движению при i f —оо, с помощью унитарного преобразования
ар (%) = 8十(力)〃pS ⑴=z/p ⑴ r/p + % (力)б；, biP(t) = s+ {t)b±ps⑴=E(z)£p + Й；⑺俄p. ( ~ )
Функции же u；(Z) и Up (力)удовлетворяют уравнению (13.20) и граничным 'условиям при 力 f——℃, 〃р «)〜ехр (—心」)，и；(力)一> 0.
Преобразование (13.22) определяется матрицей
Заметим, что из унитарности преобразования S(力)след5т- етт что преобразование (13.22) является каноническим, т. е. сохраняет перестановочные соотношения. Отсюда следует, что | 〃р 产——| 气『=4, и поэтому множество всех преобразований образует группу G = SU (1, 1). При этом, как видно из (13.22), каждому g⑴ соответствуют два оператора: S⑴ и —8(力)；поэтому операторы S⑴ образуют представление группы G, дважды накрывающей группу G.
Следует иметь в виду, что при со+ 耍 со_ системы состояний, стационарные при i f +<» и 力 + ——оо, не совпадают. Однако переход от состояний, соответствующих ча-
стоте <0—, к состояниям, соответствующим частоте &+, дается оператором R того же типа, что и S. При этом интересующий нас матричный элемент перехода из начального состояния 2一 «f —8, s =(o_) в конечное *ф+ «->+叫 (о =(о+) совпадает с матричным элементом оператора Т = RS, Поэтому без ограничения общности мы будем в дальпе11шем считать, что о)_ =(о+. Таким образом, оператор Т определяет преобразоваппе тппа (13.22), в котором нужно лишь заменить 比‘ и V’ па
е = ехр [力(di + а2)/2] ch(r/2) и
I； = ехр 口(电一a2)/2]sh(t/2),
причем вероятность перехода w зависит лишь от параметра т = lim т ⑴：
"=I〈屮_jT(go)饰-〉12,
(13.23)(13.23)(ch(T/2) sh(T/2)\
(13.23)
(13.23)
go=〔sh(T/2) ch(f/2)丿
Формула (13.23) описывает также распределение пар заряженных скалярных частиц, родившихся в гравитационном поле однородной расширяющейся вселенной. Отсылая за деталями описания этого процесса к работам [205, 206, 34] приведем здесь лишь формулу для эффективной частоты осциллятора
炉⑺=层 + 兴(/) - |f + i|- (13.24)
Здесь 兴(力)一собственное значение оператора Лапласа А = к吃/в (% = £, а, 0 = 1, 2, 3), gaP — пространственная часть метрического тензора в синхронной системе координат (g00 = 4, g。” = 0), g = det Ig^ I •
Для более детального изучения групповой структуры задачи рассмотрим инфинитезимальные операторы представления 7(g). Они имеют вид
К+ = а+/, К_ =。仇 К. - % (〃十仪 + b+b + 1) (13.25)
и удовлетворяют стандартным перестановочным соотношениям для алгебры Ли группы SU (1, 1)
[К。，К土] = 士K士,[工,KJ = 2居(43.25‘)
(для упрощения формул здесь ir в дальнейшем мы опускаем индексы у а* и 匕士р)・
184
Нетрудно проверить, что оператор
к+к + к к+к+к + к к+22(13.26)(13.26)
к+к + к к+
к+к + к к+
2
2
(13.26)
(13.26)
является инвариантным оператором (оператором Казимира), т. е, коммутирует с операторами К+, К_ и К&. Подставляя в (13.26) явные выражения для 片十，К_ и К。, находим
© = %— %(仪％一 尹Ь)£.(13.27)
(a + )叫占+产.
Таким образом, для состояний [т, п} = — /—=・ | 0, 0> у nA п\
с т — п — По — const, С2 = const = k (1 — &) и с учетом работы Баргмана [90] состояния {|九 + 孔力 п» образуют базис неприводимого представления Tk дискретной серии группы SU(1, 1).
Матричные элементы этих представлений известны [90], и в простейшем случае п0 二 0, когда начальное состояние является вакуумным, мы получаем 2九=丨〈得?г|71/2|0, 0>|2 = (1 — р)р%
р = 1М(т/2)=1"2/Е艮(13.28)
Параметр р имеет простой физический смысл, а именно ои совпадает с коэффициентом отражения от потенциального барьера *), имеющего вид 叫胃).
Рассмотрим состояния, возникающие в процессе эволюции нашей системы. Пусть в начальный момент времени состояние является вакуумным, т. е. a|ip(O)> = =b 丨州(0)〉= 0. Тогда в произвольный момент времени I州(£)5 = S(t) |1])(0)>, и это состояние удовлетворяет уравнениям
(S(%)〃S+ (/)) 1^(0 > = 0, (S(%)bS+ (力))怖(£)〉= 0’
Таким образом, мы приходим к рассмотрению преобразования, обратного преобразованию ((3.22), и нетрудно проверить, что оно имеет вид
а = SaS^ = йа —少匕十，方=SbS+ = —va^ — ub. (13.29)
Теперь из условий 江1屮(£)〉— 0,方li|)(力)〉—0 сразу же следует, что
№«)〉= exp(T0«))|gU)〉，(13.30)
*) Эта интерпретация параметра р принадлежит Л. П. Инта- некому.
破
где
化〉= n^niPexp(Ca"+)|O, 0>, g ="喬 1^1 <1.
(13.31)
Нетрудно видеть, что состояния {|^〉} являются обобщенными когерентными состояниями для представления ?"% группы SU(1, 1).'
Многомерный случай： когерентные состояния. Переходя к задаче о рождении пар бозонов со спином s, заметим прежде всего, что рассуждения, аналогичные рассуждениям в 13.2.1, приводят к рассмотрению канонического преобразования для ^ = 2s + 1 степеней свободы 东)
〃i = Т%Т = 4河/ + B^jb^ bf = T^b^T = C^jdj + Dijb^.
(13.32)
Нетрудно проверить, что для того, чтобы это преобразование было каноническим, т. е. сохраняло бы перестановочные соотношения, необходимо выполнение условий //+ — ВВ+ 工 I,。少 一 СС+ - I, AC+ = 5〃+,(13.33)
Эти условия можно переписать в виде
МЕМ+ = Е, где М = (^ ^,笈=(：一;} (13.34)
а это значит, что преобразования (13.32) образуют группу G = SU (N, /V). Из (13.34) следует, что матрица обратного преобразования имеет вид
М~1 = ЕМ+Е, “7=(：： _；；)(13.35)
и что должны также выполняться условия
4+4 - С+С = I, D+D — B+B = T, A+B = C+D・ (13.36)
Что касается операторов 7(g), то они образуют представление группы G, которая дважды накрывает группу G. Инфинитезимальные операторы этого представления
удобно объедштйть в матрицу
Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что оператор
& =让(NENE)(13.38)
является ппвариаптпьтм оператором (оператором Казимира) ,т. е. коммутирует со всеми инфинитезимальными операторами. Выражение для оператора & можно упростить, используя перестановочные соотношения. Вычисления дают
g2 =("加i -疗仇)2 -("如一疗仇)-(m - N). (13.39)
Таким образом, для состояний {丨加勺 孔〉}, |m, п> = \nit ... ...Mn, Hi ...汽№〉 таких, что I I — I«I = 2 ^i — 2 «j = =const, оператор C2 является константой:
G=(1ml 一 旧1)2—(1相 一 I川)一(尸一").(13.40)
Можно показать, что операторы Казимира Ср высших порядков в этом случае также сводятся к константам. Отсюда следует ,что множество состоянии Im, пУ с т ——"= =const образует базис неприводимого представления группы SU (TV, N).
Группа G = SU (N, N) обладает компактной картаиов- ской подгруппой К = SU (^) ® SU (N) ® U(1) и потому согласно Хариш-Чандре [151] имеет дискретную серию представлений. К ним, в частности, относится и рассматриваемое здесь представление.
Изучим подробнее простейший слу'чай, когда начальное состояние является вакуумным: 丨屮(0)〉= |0, 0>, 〃」0, 0〉= 0, Ь」0, 0> = 0. Состояние I州⑴〉в произволъ- ш»тй момент времени имеет вид
\^t)y-T{g{t))\^^^T{g)n 0>(13.41)
и должно удовлетворять уравнениям
自 2«)〉=0,豆俳(力)〉=Q(13.42)
где
務=7期7十，^- - tЪ^.(13.43)
Вычисляя операторы 谈 и 方?，получаем
& = 4物一璃疗，仇=-(X)，对 + {D^.jbh (13.44)
Где верхний индекс Т означает транспонирование.
Нетрудно проверить,叮тс ретпенпе уравнений (13.42) имеет вид'
№«)〉= @хр(Т0«))1Е(%)〉，«10 = 1,(13.45)
где
IG = Neхраd次)10, 0>,之二(4+尸0+ = BD-\
(13.46)
N = [det(I —bW)]1".(13.47)
Из (13.46) для матричных элементов оператора 7(g) получаем следующее выражение:
5,兀 口 10, 0〉= N Е II V?% &)”(13.48)
Суммирование здесь проводится по всем целым числам 11 ih удоплетворятощим условиям
3= const, 2 汽灯== const. (13.49)
При этом, как и раньше, состояния |白〉являются обобщенными когерентными состояниями. Такое состояние задается точкой факторпрострапства G/Я, где Н ——стационарная подгруппа вектора | 屮°〉. В пашем случае I业〉=10, 0>, G = SU(N, TV), H = SU(N)® SU(N)®U(i), а факторпрострапство G/〃 состоит из комплексных N X N матриц ； таких, что матрица I —— 已+匕 ——положительно определенная.
Система {|^>} обладает всеми свойствами систем когерентных состояний. Это — сверхполпая система), и ее состояния неортогональны друг другу. Именно: 〈e化‘〉—
= [det(I — LG『2[deMi 一 y+『)『2[det(I — g+L)]「
(13.50)
Имеют место также следующие соотношения:
。力a"白〉=&3以后I》(13.51)
疗■疗 |С =蝕疗0 К〉，(13.52)
0血I О =如10 +点矗仁次I »(13.53)
Действие оператора T (g) на когерентное состояние 1g〉при этом дается формулой
7(g)化〉=ехр(用)11〉，(13.54)
гдегде
где
где
.y=(4 匕一左)/(一优+ 0),(13.55)
Ф = 2Л arg [det (D — C^) ].(13.56)
Для матричного элемента〈”17|三〉теперь имеем
G]|TlW〉н [det(I - rin+)]1/2[det(I 一 處十)]'〃 X
X [det(Q 一优 +，]十方 — "+/叮]一(13.57)
Отсюда следует что производящая функция для матричных элементов оператора Т (g) имеет вид
2<w, п I Г (g) I т,п/>П 恵^。品踹夕'爵■=
=[det ⑺一СЕ + 1]+》一"+/&)『• (13.58)
Здесь 0^也一 коэффициенты в разложении когерентного состояния 忙〉по ортогональному базису
K〉= N X И爲盛的叫"〉，
{nij}灯
£ 勺亍=£ 孔万=%.(13.59)
jг
Теперь у нас есть все необходимое для вычисления вероятпосте1'1 перехода
仍2 n £ I <ш., п\Т\ 0, 0> |2, £ 〃仆=三电=几.(13.60) {г??,??}
Рассмотрим оператор
S = T+財(13.61)
где оператору Т соответствует каноническое преобразование (13.32), а оператор К определяет каноническое преобразование
R+aiR= ехр (—汾)〃订 R+b^R = exp (Z0)次.(13.62)
Оператору S соответствует каноническое преобразование вида
S+atS = %№ + 瓦材，s+疗 S = C^aj + 方渺大(13.63)
При этом вычисления дают
Z = ехр (—汾)/+4 — ехр (汾)С+&
В = ехр (一汾)/十5 二 ехр(Ю) C+D, (13.64)
С+ = —ехр (~iQ)B+A + ехр(/0)/)+С,
力=-ехр (ТВ) 5+6 + ехр (粉)/ТО,
а для матрйчпого элемента <0, OlSIO, 0> получаем
<0, 01510, 0> = <0, OJZ^ZIO, 0>.(13.65)
В силу (13.62)
〈加,九 I/? I т/,孔‘〉=И 6/, ехр (—2гп0), (13.66)
ii мы имеем
<0|S|0> = х I〈叫九口 I о, 0〉户 ехр (- 2Zn9)=
72=0
н £зп ехр (— 2切8). (13.67) С другой стороны,
<0|5|0> = JV = |-J-^,(13.68)
а
I det / I I det (0+0一еXр ( — 2,8) /?+3)( =
функциифункции=I det £> I21 det (I - exp (- 2i0)广白)|. (13.69)
функции
функции
Окончательное выражение производящей для вероятностей перехода имеет вид
乡⑺二〉小'片=乡⑺二〉小'片=dct(l-m)det(I- СЧ)dct(l-m)det(I- СЧ)(13.70)(13.70)
乡⑺二〉小'片=
乡⑺二〉小'片=
dct(l-m)det(I- СЧ)
dct(l-m)det(I- СЧ)
(13.70)
(13.70)
Это выражение можно переписать в виде
g«) = qexp -2т^ ' ^ = tr[(：+Ofe]- (13.71)
Заметим, что 匕+g ——эрмитова неотрицательно определенная матрица, и потому ее можно привести к диагональному виду. Обозначим через pi? 0 ^ pt < 1, i = 1, . . ., N собственные значения матрицы g+g. Мы видим, что вероятность wn рождения п пар определяется N числами р【, а производящая функция для вероятностей wn имеет вид произведения N производящих функций для одномерного слушан.
Многомерный случай. Нестационарная задача. Пусть Я(/)——зависящий от времени гамильтониан, линейный по инфинитезимальным операторам представления 7(g):
Н = 4万或号+A^a^j十&)以句+0川廿%,
C+ = & 〃+ = D. (13.72)
Решение нестационарного уравнения Шредингера с гамильтонианом (13.72) будем искать в виде l^(i)> = =ехр (―X。(力))|看(力)〉. Для вычисления производной по времени от |匕〉воспользуемся формулой
^(det Л) = det Л-tr (ЛЛ'1).(13.73)
Отсюда следует полезное соотношение 露〉=
= _рг[(1 —LC)T^([ —广矶⑦ + 匕^威疗 I» (13.74)
Теперь с помощью (13.51)— (13.53) получаем уравнения для величин ^ (t) и 6(力)：
疋=(4 + J+G +优+ Ц)т),(13.75)
3 = 4u^-itr[(I -匕+d)T ^ (I — LD]. (13.76)
С помощью (13.75) находим
'^(【-LD =
=(I —白+D a+白-白+4 (I - LD + (I -工+力 /у (i-LD,
(13.77) после чего уравнение (13.76) упрощается и принимает вид
3 =^tr(/+c +广厶).(13.78)
Уравнения (13.75), (13.78) полностью определяют эволюцию величин и 0.
В простейшем случае при X f 8, 4 к % f 0, С н Q f f const. Из уравнения (13.75) следует
g(%)= ехр(—iCt)^ схр(—江)吋).(13.79)
Отсюда видно, что все собственные значения матрицы 匕十匕 при этом переходят в постоянные величины Ptf Р「)， которые согласно (13.70) определяют вероятность рождения пар.
Таким образом вероятность рождения пар определяется величинами ръ ..., рдг, для нахождения которых необходимо решить уравнение (13.75). Зависимость же коэффициентов А, С и D от времени определяется исходным уравнением для операторов поля, как это было в одномерном случае.
Следует, однако, иметь в виду, что в некоторых случаях' уравнения (13.75) упрощаются. Так, если мы рассматриваем однородное электрическое поле, меняющееся по величине и не меняющееся по направлению (направленное, например, по оси z), то при этом сохраняется проекция спина частицы на ось z. Поэтому каноническое преобразование (13.32) связывает лишь d с 匕^・ Таким образом, задача сводится к одномерной. Однако зависимость от времени коэффициентов канонического преобразования может быть более сложной, чем в одномерном случае.
Рождение пар фермионов в переменномоднородном внешнем поле )
В настоящем параграфе рассмотрены теоретико-групповые аспекты задачи о рождении пар фермионов в переменном однородном внешнем поле. Показано, что динамической группой симметрии задачи является группа SU (2N), где ^ = 2s + 1, s ——спин частицы. При этом состояние системы в произвольный момент времени является обобщенным когерентным состоянием, связанным с определенным представлением группы SU (2N). Вероятность же рождения пары дается квадратом модуля матричного элемента этого представления. В случае частицы со спином 1/2 наличие динамической симметрии позволяет упростить задачу и в ряде случаев свести ее к более простой задаче о движении спина в переменном магнитном поле (см. [209, 70, 48]).
Динамическая симметрия для частиц со спином 1/2. Рассмотрим заряженную частицу спииа 1/2 с массой т, находящуюся в однородном электрическом поле Е(£). Она описывается биспинором 巾(г,力),удовлетворяющим уравнения Дирака )
j^ = Н^ " = (р — А(^) )а + тп0, (13.80) где А (力)=—j Е (尸)必‘ 一векторный потенциал, % Р — известные матрицы Дирака, р ——泞一оператор импульса, а точка означает производную по времени. Не
трудно видеть, что существует решение уравнения (13.80) вида
屮(г,力)=expGpDWoG).
Для биспинора 2о«) отсюда получаем уравнение
汕= (л(%)а + 糜)业.(13.81)
Здесь n (力)=p — A (力)=p + J E ①)成'一классический импульс частицы в момент времени 厶 р — импульс частицы при 力 f——©о (мы предполагаем, что Е (力)достаточно быстро убывает при t ^ ±8， так что при t ^ 士8 существуют пределы п土 величины 冗(力))・
В общем случае уравнение (13.81) упростить не удается. Однако в ряде частных случаев уравнение (13.81) можно свести к более простому.
1а. Пусть л = Е«) = Е (才)п, где единичный вектор п пе меняется с течением времени. Тогда л = р± + (лп)п, р丄п = 0, и уравнение (13.81) можно записать в виде
浊—(Q J + %厶)屮力(13.82)
где
Qi = 2 丿 р； + 絞，Q3 = 2лп,(13.83)
厶=Q[i (р丄ос + znR), J3 = у пос.(13.84)
Если ввести еще оператор /2 = %◎['(Р丄а + 7nВ) (пос) то нетрудно видеть, что операторы Jk удовлетворяют стандартным соотношениям для алгебры Ли группы SU(2) ([Л, Л] = jeftfmJm). Следовательно, динамической группой симметрии в нашем случае является группа SU(2). При этом J2 = 3/4, т. е. мы имеем дело со спинорным представлением этой группы. Таким образом, уравнение (13.81), записанное в форме (13.82), совпадает с уравнением, описывающим движение спина 1/2 в перем-енном магнитном поле специального вида:
Н⑴=◎«) = (%(力 0, Q«))・
Отсюда, в частности, следует, что из точного решения уравнения Дирака, найденного в работе [53], можно получить новое точное решение задачи о движении спина в магнитном поле вида Н(£) = (с, 0, а 十 bth^),.
Заметим, что помимо операторов 几 из матриц Дирака Можно построить операторы К“ также образующие алгеб-
19319313 а. М. Переломов
193
193
ру Ли группы SU(2) и коммутирующие с операторами 7%. В нашем случае р丄=const, и потому можно перейти к новой системе отсчета, в которой р 丄=0, л«) = = (0, 0, л;(力)),и нетрудно видеть, что операторы
k1 = _ _^_a2&仇 k2 = 3&a3支 к3 =^ a1а2 (13.85)
удовлетворяют сформулированным выше условиям.
В частности, операторы К〔, К2 и К3 коммутируют с гамильтонианом, т. е. являются сохраняющимися величинами. Поэтому существует, например, решение уравнения (13.81) с л(^) = (0, 0, 口 (力))？ являющееся собственной функцией оператора Ks = ——十口1«2・ Этот факт имеет простое физическое объяснение: сохранение величины & связано с инвариантностью гамильтониана Н относительно вращений вокруг оси Хз.
Пусть р丄=0, п«) = (0, 0, л(^)) и частица обладает аномальным магнитным моментом 出，Уравнение Дирака в этом случае имеет вид
汕=[л (i)a3 +十加冗(%) В%]业，(13.86)
и его можно переписать в виде
冲 о =(S2J)2q,(13.87)
где
S2 = 2(/n, цл, л), J = */2(^, фа3, а3).(13.88)
Таким образом, в этом случае группой симметрии также является группа SU(2).
1в. Заметим, наконец, что к такому же виду можно свести и уравнение Дирака в однородной расширяющейся вселенной (сравните с работой [206]).
2a. Пусть вектор Е(^) = л(^) находится в фиксированной плоскости, например, в плоскости (Xi, хг). Рассмотрим операторы 加j：
Л/工 + 汽工=五(Рз% + m0) «2，Af 2 + 汽2 =
=一養(Рз& + 祁)а» (13.89) Мз + "з = —а^а?, £ — р^ Рз + "2,
"1-N 1=%g4，"2 - ^2 = 1/2а2>
Мз — 関=^ (р3а3 + тп§). (13.90)
Нетрудно проверить, что [ЛГ<,用]=0, а операторы Mi и М удовлетворяют стандартным перестановочным соотношениям для алгебры Ли SU(2).
Уравнение Дирака (13.81) теперь можно переписать в виде
俞q = S2(M — N№,(13.91)
где
S2 = 2(%(£),网(方)，e).(13.92)
Следовательно, динамической группой симметрии в данном случае является группа SU(2)XSU(2). При этом 州o(t)=S⑴巾q ⑴，S⑴=Si ⑴&⑴ и операторы & (%) и $2(力)удовлетворяют уравнениям
iS. =(S2M)g,氐= -(S2N)52(13.93)
и начальным условиям Si(0)= I, 52(0)= I.
Таким образом, и в этом случае нахождение 屮(力)сводится к решению задачи о движении спина в переменном магнитном поле H(t)= ±S2(i). Пусть, например, вектор напряженности электрического поля равномерно вращается в пло-скости (富 1, g): % (%)=值 cos ①& %(方)= =л sin coZ,冗3 = 0・ Тогда вероятность рождения пар дается формулой для вероятности переориентации спина, полученной Раби [213].
Заметим, что оператор К3 = — (г/2е)а1а2(а3Рз + Р^) коммутирует с гамильтонианом. Это связано с тем обстоятельством, что задача обладает плоскостью симмет* рии (/1, g).
Пусть частица обладает аномальным магнитным моментом р,, Рз = 0, а вектор Е (方)находится в плоскости (方1,力2)・ Тогда уравнение Дирака можно записать в виде
'加=(NM-S22N)业，(13.94)
где операторы М и N даются формулами (13.89), (13.90), в которых нужно положить р3 = 0, а
= 2(Л1 + |лл2, л2 —?п),
.(13.95)
義2 = 2(冗1 — 口冗2, л2 + цзТ1, тп).
Заметим, что оператор Кз = — (〃2)%ос2P по-прежнему сохраняется.'
2в. Пусть частица обладает аномальным магнитным моментом 卩，а Е(£) = Е(£)н, где единичный вектор п от времени не зависит и направлен, например, по оси х3.
13*195
Тогда уравнение Дирака можно привести к виду
№ = (&М — GN)屮о,(13.96)
где
M — N = %((na),%, р),
М + N = % (—必з6"Р (口丄窃)，一"п丄а) «з)> (13.97)
& = 2 (，丄 + к%, %, т), % = 2 (р丄—卩％, %, тп)・
(13.98)
В этом случае сохраняется величина К3 = ^ (®пЛ)а3р.
В общем случае произвольного изменения Е (力)уже не существует дополнительного интеграла движения и группой динамической симметрии является группа SU(4).
Гейзенберговское представление. До сих пор поле 2(力) рассматривалось неквантованным. После вторичного квантования биспинор 2(r, t) становится гейзенберговским оператором
0(Г，"=蟲。沙力]/^
XI ^ра W ^PQ exp (汨r) + 方力⑺ ^pa (力》poexp(—m)}・ (13.99)
Здесь ep =丿卩纟十 m2, upa и 沙卩仃一биспиноры, являющиеся собственными функциями оператора К3] 2К3ира == оира, 2K3vpa = Отро； а^, ара(^, Ьра) — операторы рождения и уничтожения частицы (античастицы) с импульсом р и собственным значением 2Kз = о・ Оператор & (г, t) удовлетворяет уравнению i$ = [% (力),屮], эквивалентному уравнению (13.80), а оператор Гамильтона 舒⑴ получается стандартным способом из неквантованного оператора 彩 «)• При этом как гейзенберговский оператор 2 (г,力),так и операторы ар)а и %,° в произвольный момент времени t получаются с помощью унитарного преобразования
Яра (0 = 3+ (t)apaS(t), b^ ⑺=3+ ⑺ b^aS (t),
которое сохраняет перестановочные соотношения, т. е. является каноническим. В силу линейности уравнения для +(г, t) преобразование линейно по операторамЛра и й^т. Кроме того, в случаях 1 и 2 величина о сохраняется.
и индексы (ро) у а” и 匕大 можно опустить:
а(^) = A7 (t)a + 5’ (力)&+, b+(t) = —Bf (i)a + Af (t) b*.
(13.100)
Заметим, что из каноничности преобразования (13.100) следует, что \Af\2 + I5ZI2 = 1, т. е. преобразования типа (13.100) образуют группу SU(2), а операторы 5(力)——представление этой группы.
Следует также иметь в виду, что системы состояний, стационарные при t ^ ±℃, вообще говоря, не совпадают. Однако переход от одной системы к другой дается оператором К того же типа, что и S. При этом интересующий нас матричный элемент перехода из начального состояния 2一—8) в конечное состояние ip+ (t +оо) сов
падает с матричным элементом оператора Т = RS. Оператор Т определяет преобразование типа (13.100), в котором нужно лишь заменить Af и В7 на 4 = =ехр [i((Pi +(р2)/2] cos (6/2) и В = ехр [i((pi —(р2)/2] X X sin (0/2). При этом вероятность перехода ш зависит только от параметра 9= Нт 6(£):
S+oo д收+1№。)m〉12"。=(—黑露 雷線》 (13.101) Формула (13.101) описывает также распределение пар заряженных спинорных частиц, родившихся в гравитационном поле однородной расширяющейся вселенной.
Рассмотрим инфинитезимальные операторы представления Т (g). Они имеют вид
丿+ =。+匕+, 7_ = ba, Jq = %(а*а + b” 一 2) (13.102) и удовлетворяют стандартным перестановочным соотношениям для алгебры Ли группы SU(2)
&,JJ = ±J士，：[/-, 7+] = -2J0.(13.103)
Оператор
G =丄叫 - + + Jo (13.104)
является инвариантным оператором (оператором Казимира). Подставляя в (13.104) явные выражения для J+, /_ и /о, находим
、а = 74(1 一 (。” 一 石+b)2)・(13.105)
Таким образом, для состояний )0, 0> и 11, 1> = Ь+а+|0,0>
197
имеем G = з/打 а для состояний Ю, 1> и [1, 0> имеем f2 = 0. Следовательно, состояния 10, 0> и 11, 1> преобразуются по спинорному представлению группы SU(2), и вероятность рождения пар определяется формулой
з = |CU| Т(g)I 0, 0〉『=siM(8/2),
g = (_^ 幻，I 512^ sin2 (0/2).(13.106)
Иными словами, вероятность рождения пары равна вероятности переориентации снина при изменении магнитного поля.
Рассмотрим эволюцию состояний нашей системы. Пусть в начальный момент состояние является вакуум- 工шм, т. е.加屮(0)〉=匕|叭0)〉= 0. В момент времени i имеем 怖⑴〉=S⑴ li|)(0)〉，и это состояние удовлетворяет уравнениям
S«)aS+«)怖⑺〉=0, S(%)bS+«)l2«)〉= 0. (13.107)
Мы приходим к рассмотрению преобразования, обратного преобразованию (13.100), и нетрудно проверить, что оно имеет вид
следует, чтоследует, чтогдегде|冲《)〉= ехр(Т0«))依(0〉,|冲《)〉= ехр(Т0«))依(0〉,(13.109)(13.109)а = SaS+ = Аа- В心 方=SbS+ =庆+ + Ab. (13.108) Теперь из условий a\^(t) > = 0,方|屮(力)〉=0 сразу же
следует, что
следует, что
где
где
|冲《)〉= ехр(Т0«))依(0〉,
|冲《)〉= ехр(Т0«))依(0〉,
(13.109)
(13.109)
IP=(1+ |g|2)-1/2exp(^+i+)l0, 0>, t-B/A. (13.110)
Состояния 丨С〉 являются обобщепными когерентными состояниями.
Многомерный случай: когерентные состояния. Переходя к задаче о рождении пар фермионов со спином s, заметим прежде всего, что рассуждения, аналогичные рассуждениям главы 2, приводят к рассмотрению канонического преобразования для TV = 2s + 1 степеней свободы
(13.111)(13.111)«г = Т+^Т = A^jUj + 5灯疗， 不广=7+吋T =盡出+ D^.
(13.111)
(13.111)
Нетрудно проверить, что для того чтобы это преобразование было каноническим, т. е. сохраняло бы нереста- 198
ковочные соотношения, необходимо выполнение условий
АА^ + ВВ^ = \. 00+ + СС+ = 1, АС^ = -BD^,
(13.112)
Переписав эти условия в виде
ММ+ = I, где м = [^ f], (13.113) видим, что преобразования (13.111) образуют i^pynny G = SU(2^)J а операторы T(g) образуют представление этой группы.
Кроме того, из (13.113) следует, что матрица обратного преобразования имеет вид
(13.114)(13.114)
(13.114)
(13.114)
и что должны также выполняться условия
Л+Л + С+С = I, D*D + В+В = I, Л+S - —C+D
(13.115)
Рассмотрим инфинитезимальные операторы представления 7(g). Их удобно объединить в матрицу
/ а十％ afb^\/ а十％ afb^\(13.116)(13.116)
/ а十％ afb^\
/ а十％ afb^\
(13.116)
(13.116)
Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что оператор ,
d = tr(N •%)d = tr(N •%)(13.117)(13.117)
d = tr(N •%)
d = tr(N •%)
(13.117)
(13.117)
является инвариантным оператором (оператором Казимира), т. е. коммутирует со всеми инфинитезимальными операторами. С помощью перестановочных соотношений выражение для & можно преобразовать к виду
& = 一(a〃?i —次％)2 + (^tai —次勿)+ N? — N. (13.118)
Таким образом, для состояний {|m, n>}, Im, n〉= mN\ n^ ..., ^>, 7% = 0, 1,电=0, 1, m~ n =
=2— 2% == const оператор C2 кратен единичному:
C2 = [-(m-ny + (m-n)+N2 + Nl (13.119)
Можно показать, что операторы Казимира СР высших порядков (р = 3,…，2^) в этом случае также сводятся к константам. Отсюда следует, что множество со-
стояний {Im, n>} c m ——га = const образует базис определенного неприводимого представления группы SU(2^), а именно представления, задаваемого схемой Юнга []汽]. Заметим, что в нашем случае стационарной подгруппой вектора |i|)0> является группа Go = SU (N) X SU (N) X XU(1). Следовательно, согласно [51], рассматриваемое нами представление можно реализовать в пространстве функций, аналитических на факторпространстве М = =G/G°・.“
Рассмотрим подробнее простейший случай, когда начальное состояние является вакуумным:]屮(0)〉= |0, 0>, aJO, 0> = Ь」0, 0> = 0. Состояние в произвольный момент времени 丨2(力)〉=T(g(力))1°, 0> удовлетворяет уравнениям
爲怖⑴〉=0,爲I屮⑴〉=0.(13.120)
Здесь
否=7©7+,爲=7仇7+.(13.121)
Мы приходим, таким образом, к преобразованию, обратному преобразованию (13411):
頃=4 加/ + С^Ь^ -(13.122)
友=Ki疗 + 〃抄「(13.123)
Нетрудно проверить, что решение уравненн立(13.120) имеет вид
饰")〉= eхр(一炉(力))也(%)>,q(方)化⑴〉=1, (13.124) где
|：> = ^еХр(^«М)10>0>，■(13.125)
Z = -{A+)~lC+ = BD~\ 2V = [det(I + ^4)]-1/2. (13.126)
Разлагая экспоненту в (13.125) в ряд Тейлора, получаем выражение для матричных элементов операто- pa 7(g)：
〈m,n|T(g)|0,0〉=
=% R (—吉沛产哨& • • • W&； (13-127)
Im, u〉= |0, ...,lti，0, ...,1%,')j • ♦ • ,1筛,• • •〉•
Суммирование здесь проводится по всем перестановкам 力“ 2 индексов &,...,图；九,...,九：
(13.128)(13.128)^i (^li • • •» ^n) (^1, • • •» ^n)，尸3 Ol' • • • ‘『九)"(Jl> • • •)Jn) •
(13.128)
(13.128)
Состояние IP является обобщенным когерентным состоянием. Оно задается точкой g факторпространства G/GOj где G = SU(2N), Go — стационарная подгруппа состояния lip。〉. В нашем случае
[^> = 10, 0>, G = SU(2N), GQ^SU(N)XSU(N)XU(i), а факторпространство состоит из комплексных матриц. NXM
Система ｛丨С〉｝, так же как и обычная система когерентных состояний, является сверхполной ) и ее состояния неортогональны друг другу. Именно,
〈&3 =
=[det(I + 寸 Q)「"2[det(I + 片J)]T/2[det(I + 蠶装)].
(13.129)
Полезно иметь в виду, что инфинитезимальные операторы представления 7(g), действуя на |匕〉，удовлетворяют следующим соотношениям:
若仰10 = 3•威讨 К〉，(13.130｝
殖瓦居〉=&片bitlG,(13.131>
。他К〉= 一 8© + ^atb+l 0.(13.132)
Действие же оператора Т (g) на когерентное состояние 丨之〉задается формулой
7(g)© = exp(»)%〉第，(13.133)
где
点=(4С + з)(优+ 0)「(13.134)
0 = argdet(优+0).(13.135>
Для матричного элемента <т)|Г(g) |g> теперь нетрудно получить явное выражение
<nlr(^)|g> = [det(I + n+n)]-1/2 [det(I + Vg)]-1/2X
X det(O + 從 + if® + n+4三)•(13.136)
Отсюда следует, что производящая функция для матричных элементов оператора Т (g) имеет вид
£〈m, n I Т (g) Iт', п'〉Стп ⑺仆”(Е)=
=det ⑺ + 线 + ^В + n+^)- (13.137)
Здесь Сщ,п(&}— коэффициенты в разложении когерентного состояния 1^> по ортогональному базису
IЕ〉= [det(I + Е+»]т/2 "Ст,п(» т, п〉. (13.138)
Теперь у нас есть все необходимое для вычисления вероятностей перехода
5 = 2 I〈m, n I Т (g) I 0, 0) |2, ^mi = ^ni = п. (13.139) {т,п}
Пусть S = T+RT, где оператору Т соответствует каноническое преобразование (13.111), а оператор R определяет каноническое преобразование
Е+а/ = ехр (-汾)％, R+bfR = ехр (г0) Ь^. (13.140)
Оператору S при этом соответствует каноническое преобразование вида
5+&S = А^а} + 瓦)疗，S+b+S = Cijaj + 力"次.(13.141)
Производя необходимые вычисления, получаем
4 = ехр(—Ю)Л+Л + ехр(Ю)С+С,
В = exp(—Z8)4+3 + exp(iQ)C+D,
С = ехр(—粉)8+4 +ехр(汾)0+С,(13.142)
D = ехр(—汾)笈十笈 + exp(Z8)0+Z).
Рассмотрим матричный элемент
<0, 0ISI0, 0> = <0, OIT+ETIO, 0>.
Из равенства (13.140) следует
〈m, n I КI т\ п，〉= ехр (— 2z«0) Ц 6nl严自沙;，(13.143) и потому
<0|S|0〉= £|〈m,ii口 |0,0〉|2ехр(-258) =
=? wn exp (― 2订汾).(13.144) С другой стороны,
<0|5|0>=^= ldet/51,(13.145)
а
,ldet/5| = Idet(0+O + ехр(—2i0)S+B) I =
=|det£>l2|det(I + exp(-2i0)^)l- (13.146)
произво-(13.147)произво-(13.147)歹（n）=2h“=需注需.歹（n）=2h“=需注需.Отсюда получаем окончательное выражение дящей функции для вероятностей перехода:
произво-
(13.147)
произво-
(13.147)
歹（n）=2h“=需注需.
歹（n）=2h“=需注需.
Заметим, что матрица 之+匕 —— эрмитова и неотрица* тельно определенная, и потому с помощью унитарного преобразования ее можно привести к диагональному виду. Обозначим через р* (О ：С р( < 1, i = 1, ..., N) собственные значения матрицы J+g. Мы видим, что вероятность wn рождения N пар определяется числами ръ ..., р^, а производящая функция для вероятностей wn имеет вид произведения N производящих функций для одномерного случая.
Многомерный случай: нестационарная задача. Пусть H(t)——зависящий от времени гамильтониан, линейный по инфинитезимальным операторам представления 7(g):
H(t)=旦衣)"次+ 尸万⑴勿饱 + Quatai + Rijbtbj, (13.148)q+ = q, a+ = k.
Решение нестационарного уравнения Шредингера с гамильтонианом (13.148) будем искать в виде 1屮(力)〉= = ехр(—ъФ (£) )1^(0 >. Для вычисления производной по времени состояния 也(£)〉воспользуемся формулой
^(det4) = det4tr(Z・4T).(13.149)
Отсюда получаем полезное соотношение^i：>=-i/2tr[(i+露尸糸(I+”)h с+
+ ”疯■时 IG・(13.150)
Теперь с помощью соотношений (13.130) и (13.132) находим уравнения для величин С(£) и 0(£)：
近=Р — b+白 + G + J?+,(13.151)
= tr (p+g) + % tr[(I + L0T ^ (I + LG)]. (13.152)
Из (13.151) следует, что
t 訳 i + LD =
н _ (I + LD p+： + Ср (I + LD + (I + ：+0 川一
— *(i + LD, (13.153)
после чего уравнение (13.152) упрощается и принимает
203
ВИД
0 = i/2tr(P+： + ^+P).(13.154>
Уравнения (13.151) и (13.154) полностью определяют эволюцию состояния нашей системы. •一
В простейшем случае, когда при t f +℃? Р н Р f U, a Q и R f const, из уравнения Шредингера следует, что g (方)~ exp (TQ力)F)ехр (ТЕ») при t +оо.
(13.155}
Отсюда видно, что при этом собственные значения матрицы ；+； переходят в постоянные.
Согласно (13.147) вероятность рождения пар как раз и определяется величинами р，‘,. … pg, для нахождения которых необходимо решить уравнение (13.151). Зависимость же коэффициентов Р, Q п R от времени определяется исходным уравнением для операторов поля, как это было в одномерном случае.
Заметим, наконец, что, как мы уже видели, в некото* рых случаях группа динамической симметрии может оказаться подгруппой группы SU(2N). Канонические преобразования при этом принимают более простой вид. Так, например, если мы рассматриваем случай однородного электрического поля, меняющегося лишь по величине и направленного по оси 力з, то при этом сохраняется проекция спина на ось д. Поэтому каноническое преобразование (13.111) связывает лишь а； с 好.Таким образом, задача здесь сводится к одномерной. Однако зависимость от времени коэффициентов канонического преобразования может существенно отличаться от соответствующей зависимости для спина 1/2.
Глава 14
ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ КЛЕБША — ГОРДАНА ГРУППЫ SU(2)
Здесь будет показано, что использование когерентных состояний дает возможность легко получить производящую функцию для коэффициентов Клебша — Гордана группы SU(2) (см. [99]). Этот метод может быть также* использован и в ряде других случаев.
Напомним (см. главу 4), что спиновое состояние частицы со спином j можно описать полиномом /(z), при- 204
надлежащим пространству 夕力 т. е. полиномом, удовлетворяющим условию
II力Г = J|/(Z)12d闵(z) V 8, Z = x + iy,
加(z) ="1 a + I Z 产尸2 + 2力 dx dy,(14，1)
лли, иными словами, полиномом степени W2j. При этом -функции
九(z) = С^, G” = [ (2/)!/ О[!)!(/ + 卩)!『2,
(14.2)
■образуют стандартный базис в пространстве 歹，Соответственно функции
方 1k/2K2(21，出)=力1Ml (21)方2K2(3)，
.(伍・3)
—/1 W Ri W /1, 一『2 W 禽 W 才2,
образуют базис в пространстве
歹九:2 =歹力 ®歹力
полиномов /(21, Z2) двух комплексных переменных, удовлетворяющих условию
II /底2 = J I / (久，22)!2 d卩九%(Z1，22)V 8,
@卩力力(Z1，z2)= ”±1¥2+1)d2i dy1 da:2 d九 X
X(1 + |z1I2)-(2+2，'1) (1 + |z2 卩)一(2+叫).(14.4)
Аналогично предыдущему, вектор пространства 歹力％ оин- сывает спиновое состояние системы двух частиц со спинами ；! и /2* Далее, как хорошо известно, пространство 于力为 разлагается в прямую сумму
夕 3也=Ф h, 1/1 —72|<7< h +『2,(14.5)
где пространство 歹'состоит из тех векторов пространства 驴力力， которые преобразуются согласно представле- лию 7’ группы SU(2). В пространстве 歹'существует лектор младшего веса 力 三 力,_力 который удовлетворяет условиям
Г/^7(/+1)Л,厶力=一/力,(14.6)
205
иля, что эквивалентно,
人力=倩+身方=a
j3方==卜1号 +出层 一%二稲)力=-/执 (14.7)
Здесь 刀=J^ + Jp, J± =乙 士 г/2.
Функция, удовлетворяющая уравнениям (14.7), имеет
ВИД
力⑵，22) = C^z^ 一 Zz)* " ==/1 +/2 — О W A W 2jmin・
(14.8)
Действуя на нее операторами ехр(^/+), получаем систему когерентных состояний
/£(2口 Z2)=力山式Z], z2, ^) — exp (С，+)力(Zi，Z2)=
=0出 一 z Ji+‘2 T (1 + 5)『为+’(1 + 包质一力三(14.9)
где
(幻 + 1)!(2厶)!(2"))у 2
(ТГ+ТГ^ТЖ727^_ *
(14.10)
Это выражение для 九屈(z° z2, С) было получено в [99] н является производящей функцией для коэффициентов Клебша — Гордана группы SU(2):
方1演(z1，z2，z)=
=2 • 2 • 2. Ic^c^^^^r^
H=_Ju1=一九以2=一为
X z； 〈/D м 1； i2,卩2 丨 7» 卩〉"(14.II)1
Здесь <ji|Xi；力阿九 н^ ~ коэффициент Клебша — Горда* на. Приведем несколько примеров (см. [99]):
力/2,%,о = ^= % —码)，/%,% J = (1 + zzi) (1 + 歿)，
А?/2?Л = у y (z2 - 21)(1 + zzj, /1?/2/4 = (1 + 22l)2(1 + 2Z2) t
/%,%/= 0黃出—Z0 (1 + ZZ1)2‘
h^!^ = (1 + ^ (( + %),•
加3L (舟厂(ZLZi)(l + %严，他的 力,%，升% = (1 + 2画严仕+ Z出)，
*/112 = (1 + ZZ1)2 (1 + 222)2.
Глава 15
КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯИ КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ
В этой главе излагаются результаты работы [230]т в которой были даны точная математическая формулировка и доказательство следующего результата: для представлений компактной группы Ли G, характеризующихся большими квантовыми числами, генераторы соответствующей алгебры Ли можно заменить с-числами.
Это утверждение является обобщением хорошо известного утверждения о том, что в случае большого момента количества движения (j f °°) операторы момента количества движения Jx, Jy и 工 можно заменить с-числами согласно формуле
Jgfj sin 0 cos ф, J? f j sin 0 sin 屮， Л -> / cos 0.
Рассмотрим сначала случай группы SU(2). В этом случае при / -> 8 генераторы алгебры SU(2) переходят в числа •— превращаются в вектор «квазиклассического спина», который находится на двумерной сфере 52 ——фазовом пространстве рассматриваемой системы. Отметим в этой связи работу [131], где была рассмотрена последовательность сферических гармонических представлений группы SO(n) и было показано, что предельным пространством для генераторов группы в этом случае является многообразие Грассмана G(n, 2), т. е. многообразие двумерных ориентированных плоскостей в n-мерном пространстве Rn.
В работе Б. Саймона [230] указан метод нахождения таких пространств для общего случая. Этот метод использует обобщенные КС для р ассм атрив аемой группы. В классическом пределе мы получаем орбиты коприсо- еданенного представления группы Ли, причем для различных представлений получаются различные орбиты.
Так, например, для случая группы 50(4) и векторного представления получается пространство S? X S, а для той же группы и спинорного представления — пространство № U №. *
Перейдем к формулировке и доказательству теоремы ■Саймона. Мы предполагаем здесь, что читатель знаком с основными понятиями теории компактных групп Ли (см., например, [28]).
Пусть G ——компактная простая группа Ли и ^ = 曰 Т九一фиксированное фундаментальное представление G, характеризуемое старшим весом 九. Обозначим через TN и 徹* представление группы G и пространство этого представления, характеризуемые старшим весом Ж. Для фиксированного W обозначим через 非^ копию пространства %R нумеруемую точкой а ^ А, где А — конечное подмножество решетки Z”，и пусть 為戈= ® 為^.
. аел
Определим на пространстве %\ оператор S式X) {а^Л, Xwg,夕一алгебра Ли группы G) как тензорное произведение генераторов X алгебры Ли 夕,так что ночке а отвечает генератор в представлении TN = Т* а всем остальным точкам множества А ——единичный оператор.
Пусть Xi, ..., Хт ——фиксированный базис в алгебре 9, а Н ——мультиаффинная функция, зависящая от векторов S%i = Sa(X。； а^Л, / = 1, …，т (мультиаффинность означает, что функция является суммой мономов, причем степень переменной 5a(i в мономе равна нулю или единице). Отметим, что оператор 〃(5仪(乐))определен однозначно, поскольку каждый моном состоит из коммутирующих операторов.
Теперь можно определить квантовую статистическую сумму оператора Н согласно формуле
z^ (₽) = dh「tr (ехр [- Я (0Sa (羽)/%)]),(15.1)
где dN — размерность пространства 第叫
Определим соответствующую классическую статсумму. Пусть О% ——орбита коприсоединенного представления группы G, проходящая через точку 九三乡*, и dp, ~ G-инвариантная мера ва орбите такая, что 林(8 и U，= мера на группе множества {/三 Gl Ad*(/) •九三方}. Пусть(X— копия <7*, соответствующая точке aw А, а °" = X °а・
a
Тогда классическая статсумма определяется формулой .
Zci(B)= Г exp[_E(BZa(Xi))]Ud”a). (15.2) 01Ala
В работе [230] Б. Саймон доказал следующую теорему, являющуюся обобщением теоремы Либа [181].
Теорема. Величины Zg(0) и Zci (0), определенные формулами (15.1) и (15.2), удовлетворяют неравенствам
Zci (В) < zg (В) < Zci (р (1 + aN-1)),(15.3)
где 仪=2(九，р)/(X,九)，А—старший вес фундаментального представления группы G, р ——полусумма положительных корней алгебры Ли ^, (, ) означает произведение Киллинга — Картава.
Замечание. Ограничение снизу в (15.3) справедливо также в случае, когда А не является фундаментальным весом; возможно, что это верно и для ограничения сверху.
Доказательство. Пусть |<р> 三第* ——вектор в пространстве 第% соответствующий максимальному весу NK, а Р(Х)= |ф><(р1—оператор проектирования на вектор |<р>. Заметим, что 〈<р|Х|(р〉=7VA(X). Кроме того, поскольку NX — максимальный вес, то для любого единичного вектора |%> в 第27 такого, что <%|Х|%> =NX(X), Хи 第(第一картановская подалгебра алгебры Ли 乡)， I%〉должен иметь вид |%> = ехр(гу) |<р>, поскольку раз
мерность весового пространства равна единице.
Далее,
<T(g)^\X\T(g)^^N(A^(g)K) (X),(15.4)
и поэтому, если Ad*(g)九=%, то
7(g)P 仇)Z(g)- = P(A)・(15.5)
Пусть Z w 0" и g — элемент группы G такой, что Ad*(g)九=I. Определим оператор
尸⑺=7(g)P 仇)T(g)P(15.6)
Нетрудно видеть, что Р(2) не зависит от выбора g при условии, что Ad*(g)入=2.
Заметим, что
^(Х^Р(1)^М(Х),(15.7)
*4 А. М. Переломов209
поскольку
tr(XNP(l)) = tr(XNTN(g)P^)TN{g)-l) =
= tr([Ad(g-)XN]P(九))= NA(Ad(g-)X) =
= ^(Ad*(g)X) (X) = Nl(X)• (15.8)
Кроме того, если dp,(g)— мера Хаара на G 瓜 林=da林, то
J P(l)dii(l)^f,(15.9)
6
поскольку
J P (Z) d“(Z) = &N j т (g)尸仇)T (g)T d” (g) = c・f (15.10) 0九
(это следует из леммы Шура) . Теперь взяв след операторов в формуле (15.10), получаем (15.9).
Далее, пусть 2 = {露w6?叫 a 尸(仏})=gР&).
а
Тогда, как следствие (15.9), имеем
f P(Z)gd|x&) = f；(15.11)
01Al 仪
так что {■?(%)} — это множество проекций на когерентные состояния. Наконец, согласно (15.7) символ оператора H(^Sa(Xi))/N равен 〃偉厶(不))，так что нижняя граница в (15.3) является следствием неравенства (1.6.11). Можно доказать также (см. [230]), что контра- вариантный символ для того же оператора имеет вид Я((1 + aN~i)la,(Xi)). Поэтому верхняя граница в (15.3) является следствием неравенства (1.6.11).
Замечание. Отметим, что теорема Либа [1811 является частным случаем теоремы Б. Саймона для случая G = S。⑶.
Пример 1. Рассмотрим сферические гармонические представления группы SO(2"). Заметим, что такие представления соответствуют орбитам, проходящим через точку
010...О
— 100...0
(15.12)(15.12)оооо
(15.12)
(15.12)
；:..0..
.6боо
й что орбиты представляют многообразия Грассмана G(2n, 2) двумерных плоскостей в (2п)-мерном пространстве. В этом случае
(九，p) и (тг 一 1)(九，X),
и мы приходим к результату работы [131] для случая группы SO(2n), Аналогично получается результат работы [131] для группы S0(2n + 1).
Пример 2. Рассмотрим спинорное представление для группы SO(2n), В этом случае % = Vafcoi + ... + со^), где со1?...,①冗——стандартный базис в пространстве дуальном алгебре Ли S0(2?z), и орбита проходит через точку
?(15.13)
О 0 ... о/
где ? = (_； 窑・ Эта орбита имеет вид
。={^/2M\Mf = —М, MfM =畋犷=I}, (15.14) т. e.
д = {2к\к^е} представляет множество антисимметричных ортогональных матриц. Путем непосредственных вычислений получаем
(%, р)/(%, %)= п — 1.
Таким образом, если статистическая сумма Zci определена по орбите G имеем неравенство
Zci (!) &Z凯(₽)<Zci傳(l + (n- 1)『)).(15.15)
Глава 16
1/.V-РАЗЛОЖЕНИЕ ДЛЯ МОДЕЛЕЙТИПА ГРОССА —НЕВЕ)
Здесь будут рассмотрены модели квантовой теории поля типа Гросса — Неве, т. е. модели TV-компонентного фермиевского поля с взаимодействием вида (屮屮)L Сле-
дуя Березину [102], мы покажем, что постоянная VN играет роль постоянной Планка, так что при N + 8 мы приходим к классическим гамильтоновым системам, фазовое пространство которых, однако, нелинейно, а скобки Пуассона не являются каноническими. Группой симметрии таких моделей является группа SO (2п) Отметим сразу же, что конструкции данной главы в основном являются алгебраическими и потому слабо зависят от деталей модели.
Описание модели
Итак, рассмотрим модель Гросса — Неве [149]. Эта модель описывается Лагранжианом
_2 _
Z =z屮加Y。说2在 + 多(必2在)j л = 0, 1；- 1,
(16.1)
Здесь и далее по повторяющимся индексам подразумевается суммирование; поле 弋九 является двухкомпонентным спинором. Нам будет удобно использовать майорановское представление для матриц Ta(To = Q2, ^i = io4, где 01 и 02 — обычные матрицы Паули), а также использовать эрмитовы поля 屮上)и ip俨
以=位(噱)+2限)-(16.2)
и 2^компонентное поле
产= (£)—••* 磁)；限一…磕)林=1,・• •，2М (16.3) где каждый элемент еще является спинором %и = %«, а = =1, 2.
Величины %« являются операторами и подчиняются одновременным каноническим перестановочным соотношениям
{%а (汇力)，Хе (у, £)} = ^6nv6ap6(2 — у),(16.4)
а гамильтониан Н имеет вид
н = % f 6 (с — у) [Я1,у (ж, у) + %,х (ж, у)—
—g2QQ(X, у)] dx dy, (16.5)
где плотности 几 Я2 и Q имеют вид
Н1 =① th Н& ==①22,
(16.6)
Фар 3, у)=盡[墟(办 Хе (，)]•
Здесь [,]——обычный коммутатор. Заметим, что Н土 и Н& — антисимметричные функции хну:
Ht& g)=-Hi(g,/), Я2(х, i/)= - Я2(у, /)・(16.7)
Отметим еще, что в классическом пределе 方 f 0 алгебра Клиффорда (16.4) переходит в алгебру Грассмана, а соотношения (16.7) остаются без изменения.
Далее, в силу соотношений (16.5), (16.6) рассматриваемая модель инвариантна относительно глобальных преобразований из группы SO(2N). С другой стороны, билокальные операторы Фар(а：, у) в уравнении (16.6) образуют бесконечномерную ортогональную алгебру 垓. Отсюда следует, в частности, что гейзенберговские уравнения для операторов (16.6) образуют замкнутую систему
8-(瑞 y) + Hi,式招 y)十 忆,У(瑞 y)и
=(屋/2)但(瑞 y)Q(% y) + C(y, y)Q(爲 y)~
—Q(e, /)Q(y, a)— Q(y, n)Q(n, 2)],(16.8)
*2 J К，У)~ %产(%, У)— 〃2,g (①，沙)= 2
=多[Q (у, 2)Q 仅，у) + Q (g, у) Q 匂，ж)—
—Q (爲 у) Q (瑞①)一Q (芻 /) Q (g у)], (16.9)
Qt (瑞 У) + Q^ ⑵ 4)— Qg (瑞 У)= 2
=g,砌 “2(/, у) + я2 (х, у) q з, %)—
一 Q (弘 у) Н]⑷ у) - % (%, у) Q 仅，у)]. (1&.10)
В дальнейшем нам будет удобнее заменить непрерывные переменные / и у на дискретные п л т (% т = = 1, ..., Л); в окончательных формулах будет нетрудно вернуться обратно к непрерывным переменным.
Алгебра (16.4) теперь принимает вид
｛唠 5), хИ^)) = йбИУбарбтп, (16.11)
213
а алгебра, генерируемая билокальными полями Фар(7п, тг), становится изоморфной алгебре 50 (2Л).
Далее удобно перейти к представлению Фока согласно формулам
威=贵[xi⑺一喲(^)],(或)+ =
=/依⑺+?啃⑺],
У(16.12)
{威，0^J = 0, {威，(施)+} = ЙбgУбтп, aП I 0> = 0.
Введем теперь вместо операторов Фа₽(тп, п) набор
SO(2N)— инвариантных операторов：
4m = % [(圆0+或-威(唠)+ ], -Bynn = 1/2 ат^, (16.13) 项也=% (阅+(尚+ или 5詳=一 8為=% (威)+ (唸)+.
Заметим, что Bmn = — Snm, B^n = — 8為 и что эти операторы образуют алгебру Ли 50 (2Л):
[^nmj /左а]=(乃/2) (4тг@т女■^■km^nl)
[▲шп, B^i] =(Й/2) (В^т8П1 + Вт1§пк),
[Зтгтп, 8^}]=(力/2)(幺加窃九左 ^In^mk 十-^kn^ml■^krn^nl)t
(16.14)
или в матричных обозначениях
А = [Лтп], В = [Втп]у В+ = [в 工]=—[^nm],
Л+ = Л e = — B,(笈+)‘ = - 5+.(16.15)
Аналогично
◎ = [Q(W тг)], Я1 == [Н^т, тг)], Я2 = [Н2(т, тг)].
(16.16)
Эти два набора SO&N) инвариантных операторов связаны соотношениями
4 = Z[Q + ◎，+ “& + Я2)], В = Z[Q — Q'十 ％(孔 一 〃2)L * = %附 _Q + “％_ Я2)].(16.17)
Далее, пространство Фока 歹，определенное в (16.12), можно разложить на подпространства, преобразующиеся по неприводимым представлениям алгебры 9 = S0(2A). Например, подпространство 歹о, образованное произволь-
ными линейными суперпозициями состояний
碗 П 成….|0〉，(16.18)
которые инвариантны относительно глобальных преобразований SO(2N), образует неприводимое представление алгебры 9. В действительности, пространство, состоящее из состояний, преобразующихся по определенному неприводимому представлению группы SO(2N) образует также пространство неприводимого представления группы SO(2A).
Рассмотрим, например, квадратичный оператор Казимира алгебры 50 (2Л) и покажем, что он выражается через операторы Казимира алгебры S0(2N). Действительно,
& = 4tr [Л2 + %(АВ+ + В+В)\(16.19)
где мы использовали матричные обозначения, а символ tr означает обычный след матриц.
С другой стороны, квадратичный оператор Казимира для алгебры S0(2N)
Q2=l/0Qv\(16.20)
где
q"=£E【唠⑺，％鼠叫，(16-2i)
n,a
и прямые вычисления показывают, что
& =胪NA (А + N — 1) + О'.(16.22)
Аналогичный результат справедлив и для высших операторов Казимира С4, С6, С8, . . ., которые могут быть выражены через
Q^Q^^ QNQGQ£pQp\ …
При этом, например, все состояния вида (16.18) аннигилируются оператором Q2 (синглетные состояния), и значение С2, характеризующее неприводимое подпространство 歹о, таково:
С2(^0)= WA(^ + A- 1). (16.23)
Квазиклассический предел
Как показано в [102], в пределе N + 8 в подпространстве 夕о происходит переход к классическому пределу. Для того чтобы увидеть это, заменим дискретный базис
в 歹° системой обобщенных когерентных состояний
I z〉= ехрI z〉= ехр忌忌(16.24)(16.24)
I z〉= ехр
I z〉= ехр
忌
忌
(16.24)
(16.24)
где Zmn = —znm — комплексные числа.
Перейдем от операторов к символам
А^ = ^Г-(16-25)
Тогда, как показано в [102], при N + оо квантовая динамика переходит в классическую, т. е. операторы можно заменить символами. Далее, согласно главе 9, матрицы А, В и В+ можно записать в виде
= “_^1 + ",
= % [NI —售+D'F空 5+ =岁[м —(е+е)'『2.
(16.26)
При этом эффективный гамильтониан для синглетных состояний принимает вид
Н = Н心 Г；瓦％)•(16.27)
В пределе N f g удобно перейти к новым переменным
g = m,炉=沂片，(16.28)
где ^ и S+ можно рассматривать как с-числа и, следуя [102], в этом пределе получаем
Л =^[-V2I + ^],
BiN" е打气，* - W+[I 一 比+产.(16.29)
При этом гейзенберговские уравнения (16.8) становятся обычными уравнениями Гамильтона
ан °丄 дНпан °丄 дНп(16.30)(16.30)
ан °丄 дНп
ан °丄 дНп
(16.30)
(16.30)
Мы пришли к с-числовой гамильтоновой системе, ассоциированной с синглетным сектором модели Гросса —— Неве. Заметим, что постоянная Планка 力 и параметр N входят в виде единой комбинации 五N.
Возвращаясь от дискретных переменных т, п к непрерывным переменным 瑞弘 нетрудно видеть, что 216
уравнения движения принимают вид
Я!, t + HiiV + HitI = g2[Q(y, y)Q(z, y)-Q(c, c)Q(y, c)], (16.31)
я2, t-H2iy-H2x = gZ [q (% g) Q (y, 2)— Q(2, 2)Q g, y)], Q(z, y) + Q(瑞 g)-Qy(z, y)=
= ^2[й(ж, x)H2(x, y)-Q(y, y)〃G, y)].
Однако рассмотрение лишь подпространства 歹° приводит к дополнительным ограничениям, вытекающим из того факта, что Л(2Л— 1) независимых вещественных генераторов алгебры SO(2A) параметризуются Л (Л — 1) вещественными элементами антисимметричных матриц С и g+. Следовательно, имеется
Л(2Л-1)-Л(Л-1) = Л2
вещественных условий, которые содержатся в тождествах ^2 + B+B=(W2)2I, ВА =4'А(16.32)
Эти уравнения уже обсуждались ранее [102].
Для билокальных величин %(/, у), 瓦(瑞 办 ◎(%, У), тем самым, возникают условия
J [Q(2, Z)Q 仅，Z)— #13, z) % (z, у)] dz ^=伍N)2 5 (胃一у), j[Q(z, ж)Q(zt у)―豆式瑞 z)Я2(z, y)]dz =伍^鄧位一y),
(16.33)
J[Hi (c, z) Q (z, y) + Q (z, z) % (z, y)] dz = 0,Ha(x, y) = -ba(y, z).
Уравнения (16.31) и (16.33) еще слишком сложны, и путей их общего решения не видно. Полезно поэтому установить связь полученной системы с системой Неве и Па- паниколау [197], связанной с симплектической группой Sp (2n, R), и обобщенной далее Захаровым и Михайловым [253].
Пусть иа и га — величины, преобразующиеся по 2〃- мерному представлению группы Sp(2% R). Рассмотрим систему, описываемую уравнениями
“；十成=g2 (弘％b)吟 或一或=一 g2 (〃％b) wa, (46.34)
где поднятие и опускание индексов осуществляется с
217
помощью матрицы
仍加=[叫= (_:： ；:}(16.35)
Простое вычисление показывает, что при этом било- кальные поля
瓦位，d t) = ua(x,%)д(У,，
九2(瑞y, z)=吗伤方)%(弘力 (16.36)
s3,执力)=u"(怎方)%®,%)
удовлетворяют уравнениям (16.31). Поэтому для получения решений системы мы можем использовать результаты работы [197]. Надо, однако, иметь в виду, что не все такие решения приводят к решениям системы (16.31), удовлетворяющим дополнительным условиям (16.33). В качестве простейшего примера можно использовать решение типа плоской волны для группы Sp(2? R). В этом случае
ug-WE(—：駡),
(16.37)
* = gT ]/4一力(一驚卜
…WE竄)，
0 =(ofti — kx, (0丸=M"2 十(卩g2)2
it мы имеем
h1后)=以' ‘sinj
g
九2(伤 У； А) = sin仇(力一у)],(16.38)
g
(o (尤，У；")=卩 cos [к (х — у)].
Величины 无 1,九2 и(о всегда удовлетворяют уравнениям (16.31), но, вообще говоря, не удовлетворяют условиям связи (16.33). Однако эти условия выполняются для 218
следующей суперпозиции полей:
h式*, y)=
=Wa J加(瑞У；例忘=吗fsin [к (纪-力錯，(16.39) 〃2 3, »=—%%/ Sin 伙(纪-у)]編 Q (纪，у) = hNpg2 J cos 阿纪—у)]嘉&
а уравнения (16.33) выполнены, если параметр ц удовлетворяет интегральному уравнению
и =九N»g2 Jи =九N»g2 J] dk访串諦而] dk访串諦而(16.40)(16.40)
и =九N»g2 J
и =九N»g2 J
] dk
访串諦而
] dk
访串諦而
(16.40)
(16.40)
Уравнение (16.40), помимо тривиального решения ц = 0, имеет также хорошо известное решение сверхпроводящего типа с ц =# 0. Нетрудно получить выражение для энергии основного состояния, подставляя выражения (16.39) для билокальных полей в функционал энергии (16.5). Вычисления, использующие уравнение (16.40), дают
律=Ng2,律=Ng2,(16.41)(16.41)
律=Ng2,
律=Ng2,
(16.41)
(16.41)
где L — объем системы.
Как и следовало ожидать, энергия основного состояния зависит лишь от одного размерного параметра т, который заменяет безразмерную константу связи. Для тривиального решения тп = 0 уравнение (16.41) сводится к стандартной сумме по дираковскому морю состояний отрицательной энергии для безмассовых фермионных возбуждений. Интеграл в (16.41) расходится при " f 8. Эта расходимость может быть устранена, как обычно, с помощью стандартной регуляризации.
Уравнения (16.34) обладают также решениями типа солитонов. Явные формулы для односолитонного решения можно найти в работе [197]. Многосолитонные решения можно получить с помощью техники работы [253]. Эти решения можно использовать для построения возбужденных состояний системы (16.31), (16.33) (см. [203]). ,
Fлава Tt
РЕЛАКСАЦИЯ
К ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОМУ РАВНОВЕСИЮ
В этой главе рассмотрены два примера применения метода когерентных состояний к проблемам неравновесной статистической физики. А именно, описана эволюция к термодинамическому равновесию квантовых систем с эквидистантным спектром (квантовый осциллятор и частица со спином, находящаяся в магнитном поле), помещенных в термостат.
Релаксация квантового осцилляторак термодинамическому равновесию
Мы будем следовать здесь работам [31, 32]. Эволюция квантового осциллятора описывается кинетическим уравнением для матрицы плотности р. Эта задача является простейшей моделью для описания статистических свойств когерентного светового пучка, распространяющегося в слабо поглощающей среде (см. в связи с этим работы [147, 183, 225, 227]). Рассмотренная задача важна еще и потому, что она принадлежит к весьма немногочисленным задачам неравновесной квантовой статистической механики, допускающим точное решение.
Кинетическое уравнение. Состояние квантового осциллятора, находящегося в термостате с температурой 7, характеризуется матрицей плотности р и описывается следующим уравнением (относительно вывода этого уравнения см. работы [177, 227, 31]):
р = — V2y[(v + 1) (а%р — 2ар«г+ + ра+а) +
+ w (аа*р — 2а*р。+ paq*)].(17.1)
Здесь ала* ——операторы уничтожения и рождения для осциллятора, у ——константа затухания осциллятора, находящегося в состоянии термодинамического равновесия:
V = в(1 — В)-1 = [exp(h(o/kT)一 I]"1,史=exp(—力(o/kT).
(17.2)
Кинетическое уравнение (17.1) по существу содержится уже в известной работе Ландау [174] (для случая
v = 0). Действительно, уравнение (31) из [174} можно переписать в виде'
р = ^" (Dp方+ - D~pD + DD~p - рЬ+Р), (17.3)
где D ——оператор дипольного момента, D* ——его положительно- и отрицательно-частотные части. Оставляя в (17.3) лишь резонансные члены и учитывая, что для одномерного осциллятора
D+ = е (方/2тп€о)"2 ехр (心力)а*,.
D~ = e(V2m(o)I/2 ехр(—施方)а, (17.4) видим, что уравнение (17.3) совпадает с (17.1) при V = 0, у = 2е2(и2/3тс3. Это уравнение может быть получено также из общей теории релаксации квантовых систем [177]. Заметим, кроме того, что уравнение (17.1) может описывать не только затухание, но и линейную раскачку колебаний осциллятора (в среде с отрицательной температурой). Для этого необходимо изменить знак Y и считать v < — 1. Отметим еще, что уравнение (17,1) является единственным уравнением, которое можно написать на основе следующих общих требований:
линейность по р;
эрмитовость: р+ = р;
сохранение нормировки tr р = 1;
допустимость использования приближения однофотонного поглощения, т. е. ограничения в (17.1) парой операторов а и а+. При этом в силу принципа соответствия константа у совпадает с постоянной затухания классического осциллятора.
Рассмотрим, следуя [31, 32], несколько методов решения кинетического уравнения (17.1).
Характеристические функции и распределения квазивероятностей. Матрицу плотности р можно задавать не только матричными элементами pmn, но также с помощью характеристических функций %(刀)，которые определяются так (см. § 1.7):
%м(т])= tr[pexp(na+)exp(-T]a)],
Хо (т]) = tr [р ехр (т)а+ - т]~а)],(17.5)
XA(n) = tr [р ехр(-т]а)ехр(т]0+)];
при этом
器(т]) = ехр(—б1т1|2)%м(т]).(17.6)
Уравнение (17.1) в терминах функций %息(“)имеет вид (см. [31, 32])
.1 现
海=一Y МГЬ万斤 + W + oQIn
j = h 2； П = Tlx + Wh*(17・7)
Общее решение его нетрудно найти [31, 32]:
Хл(П» т)= ехр {-(V + 0ft) l^qhdp1^, 0) , (17.8) где р = ехр (—т), g = 4 — ехр (—т), т = у力 Формула (17.8) для Хо(л)力)была получена также в работе [183], однако не из уравнения (17.1), а на основе модели осциллятора с затуханием [225] путем приближенного интегрирования гейзенберговских уравнений движения для оператора a(t). Отсюда следует, что эта модель эквивалентна кинетическому уравнению (17.1) •
Перейдем теперь к описанию состояния осциллятора с помощью распределений квазивероятностей Wh(a). Они связаны с характеристическими функциями xfe(r]) преобразованием Фурье
吵а (а) = ПТ? J ХГ(Т]) ехр (па — т)а) ◎%(17.9)
При этом И\(а) совпадает с весовой функцией в интегральном представлении:
р = J Р (а) I а> <а | d2a.(17.10)
Далее, Wo (а)三 ТУ (а) — функция Вигнера [251] (плотность в фазовом пространстве), и наконец, WA(a)s 三冗-|0(&), где ^(а)= <a|pla>. (Более подробное обсуждение свойств функций Wk(a) можно найти в § 1.7.)
Как показано в [31, 32], распределения квазивероятностей 忆(а) подчиняются уравнению Фоккера —— Планка
^ = - ^7(Л« + 4 ^-(В^ ("'I) где
4 =2 ^订 В£ = у Т(V + сгд) 6{jf а = а* + еа2*
Решение уравнения (17.11) имеет вид [156, 31]
=J % (а\0) [ng(V + gQ]T ехр {—〔 %%?£『} Е'.
(17.12)
Сделаем несколько замечаний о временной эволюции квазивероятностей 忆(а, т).
Комплексная амплитуда на a-плоскости испытывает затухание, пропорциональное р1/2. Кроме того, при V #= 0 за счет взаимодействия с термостатом в системе нарастают флуктуации.
При 1； f о© независимо от начального распределения имеем
Wk(а, т) = [л(V + аА) ]-1 ехр [― Iа17 (v + aft) ]. (17.13)
Для произвольного распределения Wk(a, 0) среднее <af> и дисперсия 刀叮=〈(а$—〈а»)(勿―〈а»)〉 меняются по закону
〈⑥化)〉==1>(т)]1/2〈％(0)〉，
(17.14)
Aj(t) = p(t)Aj(0) + ^zq^) (v + 小)3仃・
При этом <а4 + ia2> одинаково для всех к и равно tr(pa) , а дисперсии % для разных к связаны соотношением
璃)=4产+ %。而冰(17.15)
Если начальное распределение Wh(a, 0) является гауссовским, то оно остается таковым и в процессе релаксации и полностью определяется уравнениями (17.14).
Приведем несколько примеров, взятых из работы [32].
Пусть при ^ = 0 осциллятор находится в состоянии термодинамического равновесия с температурой 7% отличной от температуры термостата:
Pmn (0) = (4 — 舗自髭恤，自。=ехр (- Йю/^Го)- (17.16) Тогда■-:‘痰
Wk (a, 0 = [л (p, + oQL exp
卩⑺=Р(订 Vo + q(t)v,
p«)=exp(—Y力，^(f) = l-exp(-70, (17.18)
223
е. в любой момент времени Wh{^ t) имеет гауссовский вид. Поэтому распределение населенностей wn[t) в каждый момент времени остается план^овским, а температура осциллятора меняется от Го до Г в соответствии с уравнением
亢(%) = p(t)vo + q«)v.(17.19)
Отметим, что этот результат другим способом был получен Швингером [223].
Начальным состоянием является суперпозиция когерентного состояния |а0> и планковского с параметром V = Vo. Тогда
恥(а,力)=[к (卩 + о» exp[-J~百 ％ -卜(17.20) 出⑴=?(方)* + 9(力)V.
Пусть при 方=0 мы имеем суперпозицию (по Глауберу [143]) планковского распределения с когерентным усредненным по фазе
wh (а, 〃)= [л (р. + Оа)]Т X
X 10(2//2|а-а()[/(р, + crft))exp{—(|а[2 + р]% 产)/(卩+%)},
(17.21) где То ——функция Бесселя.
Начальное состояние являетсяД^-квантовым:
р{0)= WXM. Тогда
W\(a") = Е (外 + ah)]~{N+l)(外一Р 十源)汽 X
X exp {—|a|z/(w + s)}£n(%),(17.22)
где Ln ⑺—полином Лагерра,
\a\2p/[(qv + aft) (p-qv- oft)]. (17.23)
.1.3. Использование символов операторов. Для получения явных формул для населенностей wn(l) поставим в соответствие матрице плотности р ее символ
Rg р)= ехр [V2(lcd2+ IN2)]〈々1р1р〉・ (17.24) Тогда
RZ，羡力)=2 pm,n(t) [т\П\Гг,г^ (17.25) mtn
т. e. функция 7?(/, &I является производящей функцией для матричных элементов pmn. Кинетическое уравне- 224.
нис (17.1) при переходе к функции К(/, Z2) принимает вид [31, 32]
凤Z1，石)=丫 (v +-(V + 4) х
x 卜1 需 + z2 警)+ №(2必2一 1)"• (17.26)
Функцией 区①匕 三2)удобно пользоваться и в более сложном случае релаксации квантового осциллятора при наличии внешней силы [31, 32]. В этом случае уравнение для матрицы плотности имеет вид
р = —^"{(у + ]) (а+〃р — 2〃pg+ + pg+g) +
+ v {ad^p — 2〃+pa + paa+)} — i [匕 p],(17.27)
где
V = —f(t)x = — (2s)"/2{f ⑴exp (—施力)a + /exp(施力)a+}.
(17.28)
Уравнение (17.26) принимает теперь вид
E = Y (\
+ V(Z]Z2
+ 3z®2(v+ 2 卜吗 + Z2 爲 2) +
—()E] — ％ (2g) I/? / (%) exp (®力)^Лz,—
-7 ⑴ exp (-®9 (^|-Z2) j 凡(17.29)
где со。——собственная частота осциллятора.
Можно показать, что решение уравнения (17.29) при произвольных начальных условиях таково:
=J G(Z], Z2； £,备")Е (3, С； 0) d卩 Ki) d卩(J), (17.30) где
己卩(白)=j1T exp(-®2)d&(17.31)
а функция Грина G равна G(z；, Z2； Szl^)=
=((+ W)i exp Wi, Z2； *,*»)/(( + ”)}, (17.32)
15 a. M. Переломов225
где
F = gv/Zz + q(v + £)g 上 2 +
+ p"2(z，第 + Z2& —步J - *2)+ к + ^2-|p|2 (17.33) и введены обозначения
w P = exp(—#), q==4 — exp(—丫力)，
“⑶=歹方卜(，)exp [-f (f-尸)+ i^at']dtr (17.34)
(величина ”«) совпадает с комплексной амплитудой вынужденных колебаний классического осциллятора, возбуждаемого силой /(£))• Формула (17.30) в принципе решает задачу об эволюции произвольного начального состояния. Для получения населенностей различных уровней wn(t) и недиагональных элементов матрицы плотности рм остается лишь разложить функцию 五 ⑵，z?; t) в ряд по степеням 對 и z2.
Отметим, что эволюция матрицы плотности р (力)согласно уравнению (17.30) может быть описана как результат трех последовательных преобразований над начальной матрицей плотности р(0),
Релаксация при нулевой температуре термостата и /(方)三0・ Этот процесс отвечает затуханию комплексной амплитуды на a-плоскости в 夕^'〃 раз. Соответствующая функция Грина получается из (17.32), (17.33) при у = V = 0.
Нарастание гауссовских флуктуаций амплитуды (при『(看)三 0 и без учета затухания амплитуды). Функция Грина, отвечающая этому преобразованию, получается из (17.32) после замены
р -> 1, q + 0, ^v -> v(l — exp (— #)), и 0.
Унитарное преобразование
рр，= D(v)pD~x(v), D(v) = ехр(м* —方а), (17.35) т. е. сдвиг комплексной амплитуды осциллятора на вектор и«). По форме преобразование (17.35) тождественно с изменением р(£) для осциллятора без затухания под действием внешней силы (затухание у входит в D(v) лишь через определение v(t), см. формулу (17.34)). Отметим, что преобразования 1 и 2 неунитарны, что характерно для процесса релаксации.
Перейдем теперь к рассмотрению примеров.
Пусть
五（21，22；。）=彳+1V- eXP五（21，22；。）=彳+1V- eXP1Vz +叫+圆2—1a产1“1Vz +叫+圆2—1a产1“
五（21，22；。）=彳+1V- eXP
五（21，22；。）=彳+1V- eXP
1Vz +叫+圆2—1a产1“
1Vz +叫+圆2—1a产1“
(17.36)
где v0 > 0, а — произвольное комплексное число. Такая матрица плотности отвечает характеристической функции__
^(n)^ ехр(-v0|t)I2 + «П — «П)?(17.37)
т. е. суперпозиции когерентного состояния |а> с гауссовским шумом (распределением Планка с параметром %= [ехр(方So/feTo) - 4]"). Как показал Глаубер [143], суперпозиция двух состояний отвечает сложению электромагнитных полей, создаваемых независимыми источниками. Поэтому пример (17.36) относится к часто встречающемуся в квантовой оптике случаю, когда входное поле состоит из когерентного сигнала, на который налагается случайный тепловой шум. Подставляя (17.36) в (17.30), получаем
直(Z1，Z2; i)=用 exp 亠用^卜(17.38)
где
" =?5十g，0 = pSa+u⑺.(17.39)
Сравнение (17.38) с (17.36) показывает, что форма данного состояния в процессе его релаксации сохраняется, меняются лишь параметры 0 и 卩.При этом 卩«) совпадает со средней энергией осциллятора, релаксирующего в отсутствии внешней силы, а 0«) является амплитудой колебаний классического осциллятора с начальным условием §(0) = а. Из (17.38) вытекают формулы для населенностей
冲⑴= Tты^ exp {-品} % (一黑).(17.40)
Здесь Ln (x)——стандартные полиномы Лагерра (заметим, что Ln (n) > 0 при % W 0).
. Полагая а = 0, приходим к формулам, описываю- щям релаксацию планковского распределения (с параметром Vo и начальной температурой 7。). Если теперь пренебречь релаксацией, то ц(^) = v0, и в выражении (17,34) для v(f) следует положить у = 0. После этих
15*15*227
15*
15*
упрощений выражение (47.40) переходит в формулу, полученную Швингером [223].
В частном случае v0 = 0 формулы (17.36)— (17.40) описывают релаксацию когерентного состояния |сс> (при этом ц = vq). Особенно простой результат получается при нулевой температуре термостата (v = 0, pU)=l§⑴〉<0(力)，т. е. осциллятор в любой момент времени находится в когерентном состоянии 丨卩(力)〉・ Это ——единственный случай, когда релаксация оставляет состояние чистым несмотря на взаимодействие с диссипативной подсистемой (в данном случае ——с вакуумными флуктуациями электромагнитного поля). Этот факт еще раз подчеркивает квазиклассичность когерентных состояний.
Значения а = v0 = 0 соответствуют невозбужденному осциллятору р(0) = 10X01. Для pmn(0 по-прежнему справедливы формулы (17.16) и (17.17), где теперь 卩= ду, Р(£)=и (办. При V = 0 для населенностей % (%) получается распределение Пуассона
冲⑴= ехр(—Х)^, % = |p(i)|2. (17.41) Для осциллятора без затухания, эта формула была получена Фейнманом [127]. Интересно отметить, что учет затухания при v = 0 не меняет вида распределения (17.41), а сказывается лишь на значении амплитуды р(^). При V > 0 это уже не так.
Более сложный случай, когда начальное состояние осциллятора Л^-квантовое. Вычисление интеграла (17.30) дает [31, 32]
R (/，22；方)=.
S(1»)]N(1 +w严1S(1»)]N(1 +w严1(qvz^2 + vz + J z2 — I v I2 )
S(1»)]N
(1 +w严1
S(1»)]N
(1 +w严1
^\—左^产N (办
x = —P(Zi — F) (z2 — v)/^(l + v) (1 + gw). (17.42) Выражение для «^(t) здесь имеет, вообще говоря, сложный вид. Укажем несколько простых случаев.
■ А. Полагая в (17.42) z【=z? = 0, находим населен
ность основного уровня
5«)= {[q(i + v)p/(i + 外)n+i} x
X exp {— luJ2/(4 + qv)}LN{~ p\v\z/q(i + v) (1 + qv)).
(17.43)
Б. При v = 0 (нулевая температура термостата) выражение для wn{t) сильно упрощается, и мы имеем
[31, 32]
"⑴=exp (- A) 2-Q荒疋F 内n" I也W『，
(17.44)
где.
n< — min(fc, n), n> = max(/b, n),\k~ nl,九=lu⑴『.
В. Производящая функция для населенностей wn{t) при V ~ 0 имеет вид
Gn(2,力)=工 ％ ⑴ Zn =
= (1 —p^exp (—相)厶(一留)，： = l-z. (17.45)
§ 17・2. Релаксация частицы со спином, находящейсяв магнитном поле, к состояниютермодинамического равновесия
Частица со спином у, находящаяся в магнитном поле Н = (0, О, Я) в состоянии термодинамического равновесия при температуре Т, описывается матрицей плотности
р = ”ехр(ВЛ)), </T = sh(^/2)/sh[(/ +，/2)§],
(17.46) в = цШкТ,
Отсюда получаем выражение для символов этой матрицы
Q (и) = (ch(р/2) + sh (р/2) cos 0)2j?(17.47)
^(n) ==(ch(p/2)+ 3sh(p/2)cos 6) при у =1/2. (17.48) Эволюция такой системы, находящейся в тепловом контакте с термостатом при температуре 7, описывается уравнением, полученным в работах [5, 6]:*
р = — ("2) {(v + l)(7+7_p - 2Л_р〃 + р7+/_) +
+ v(/_/+p 一 2厶p/一 + pJ—厶)},(17.49)
где величина v дается формулой Планка
V = [ехр^/ЛГ)- Л-1.(17.50)
Для термостата, находящегося при нулевой температуре (№ = 0), это уравнение принимает вид
р=(”2){Р「pJJ+「p, JJ}. (15.51) 229
Предположим для простоты, что Р(п) = Р(0, <р) зависит лишь от 6. Тогда, подставляя р = [ Р (n) I n> <n \d^j (п) в уравнение (17.51), приходим к уравнению для Р(0, t), полученному и изученному в работах [193, 194]:
^ (sin е-р(е,m=副(j sin ё +帚m。)卜mё •Р(仇用+ + %[L=F^sine・P(0,t)]. (17.52)
Но уравнение (17.52) есть не что иное, как уравнение Фоккера—Планка на сфере 52 = {п : п2 == 1} для функции /(0, t) == sin 9 • Р(0,方). Это уравнение содержит коэффициент, который приводит к движению распределения /(9,力)как целого по поверхности сферы. Кроме того, распределение расширяется (или сужается), что определяется коэффициентом диффузии 0(8) = =72(1 — cos 6), который принимает наибольшее значение для 9 = л и исчезает для 0 = 0. Комбинированный эффект «смещения» и диффузионного члена приводит к расширению распределения на сфере и перемещению его максимума к точке 6 = 0. При t f g матрица плотности стремится к р = I力—р </, —/I. Заметим, что максимум распределения определяется величиной 0maKJ для которой получается уравнение
•^ 0щах = — j? sE 9maxj(17.53)
имеющее решение
tg(729max(^))= tg(V30max(O)) вХр (一 ^力).(17.54)
Предположим теперь, что момент количества движения велик, /》4. Тогда в первом приближении уравнение (17.52) для /(0, t) имеет вид
g- = 7^ (/sine-/).(17.55)
Это уравнение с начальным условием /(6, 0)== /0(6) легко интегрируется методом характеристик. Ответ имеет вид
/(6, t) = (ch(Y?0 — cos 0 sh (yt))-1 X
X /о (2arctg exp (»丼)tg(8/2)), (17.56)
и нетрудно доказать, что функция /(9,方)является нормированной в любой момент времени.
Рассмотрим снеиналвнь[立 случай
/о = sin 9 • б (cos 0 — cos 0о) •(17.57)
Тогда
/(9, i) = sin 9-6/(9, i) = sin 9-6(17.58)(17.58)cos % ch Cy") + sh (?")) cos % sh(丫户)+ch &m)
/(9, i) = sin 9-6
/(9, i) = sin 9-6
(17.58)
(17.58)
Возвращаясь к точному уравнению (17.52), произведем в нем замену переменных согласно работе [194]:
/(0, i) = 22j+1sin 0(1- cos 8)-2"+d h (z,力)，
z = ctg24-(17.59)
Тогда уравнение (17.52) перейдет в
^=[l + 2(/ + l)Z]^ + z(l + Z) g. (17.60)
Решение этого уравнения с начальной функцией 无(z, 0)= = /jo(z) было найдено в работе [194] и имеет вид h (и, t)=
=2卜。・。{：；：：)P(1 + 4 + 电 了 + 4 T。；'； т) X
X exp {— a2 + ^7 + -g-j2j ij J 歹(j + V2 + ia; !
，0
j+4~fa； ^ -z，)(1 + z')2% (z‘) dz、(17.61)
где b(a, b$ с; x}— стандартная гипергеометрическая функция, а в скобках мы должны взять th, для целых / и cth для полуцелых у.
Для начальных данных специального вида существует решение с разделяющимися переменными
九(z,= Ф(2)ехр (—%^),
Ф土(z,入) = (1 + z)7T2干呼(j + “2土р,■ - ■
—j 十"2 士 p; 1 土 2p; (1 + z)T), (17.62)
231
где р ={(7 + 1/2)г — 1]1/г. Заметим, что можно фиксировать знак в выражении для р, разрезая комплексную Х-плоскость от (/ + 1/2)2 до + ℃ вдоль положительной вещественной оси и требуя, чтобы величина р была положительной при положительных Re р > 0. Следовательно, Re р > 0, если Im 九 0.
Глава 18
ДИАМАГНЕТИЗМ ЛАНДАУ
В этой главе, следуя работе [20], мы используем когерентные состояния для получения диамагнетизма Ландау [175] свободного электронного газа *).
Построим сначала запаздывающую функцию Грина для гармонического осциллятора в представлении когерентных состояний; при этом используем систему единиц 方=1, &б = 1 (Ав ——постоянная Больцмана), энергию осциллятора будем отсчитывать от энергии основного состояния Е° =无s/2. По определению функции Грина
G(0, i; %归)=<p(i) la"。)〉= <^| exp (― гЯт) la>,
т> 0; Gw 0, т < 0; т = ^ — ^0, Я =(оа+а. (18.1)
Поскольку а*) = ехр (—心力 а, то
G(0,公 a, 力0)= exp [昵 exp(- й0т)一%(旧产 + ]B户)].
(18.2)
Из (18.2) получаем выражение для функции Грина
G 他 a; е) = - m阳0 — 丙厂21 а>
=У exp (ZEt) G (Р, т; а, 0) dt = а
н Т 呻[—I" (Iа I2 + IРI2)尸(一亲 I —卷；悶‘(48.3)
где F(a. с; х) — вырожденная гипертеометрическая функция. Заметим, что это выражение намного проще своего аналогу, записанного в координатном представлении.
Отметим также, что энергетические уровни системы определяются сингулярностям и функции Грина в комп-
лексной плоскости X, которые в нашем случае являются простыми полюсами в точках
Еп = 7ZG), л = 4, 2, •.
Действительно,
G (В, а; Е)=力工曲(0) 5 (а)鼻卧 (18.4)
где 屮п(а) = exр (一 ^Lj ап(献尸/2.
Из запаздывающей функции Грина с помощью замены т — iT~l (Г — абсолютная температура) получается температурная функция Грина
〈6|ехр(—Н/Т)|а〉=
=ехр 辰 ехр (—(о/Т)^ (匕卩 + | 砰)](18.5) а из нее — статистическая сумма осциллятора в термостате при температуре Т
^осц =卜仪 I ехр (— Н/Т) I а〉^^ = (1—ехр(—①/7)) L
(18.6)
Перейдем теперь к расчету магнитной восприимчивости свободных электронов. Для единичного объема электронного газа в магнитном поле 鑑，направленном по оси 况з, пользуясь представлением (а,卩磊 Рз) получаем следующее выражение для статистической суммы:
Z。“ =赛儔厂” U - exp (- 3/Т))Т exp (「s/2T). (18.7)
полу-(18.8) и для(18.9)полу-(18.8) и для(18.9)Множитель exp(—(о/2Г) в формуле (18.7) появился за счет учета основйого состояния.
полу-
(18.8) и для
(18.9)
полу-
(18.8) и для
(18.9)
Зная свободную энергию 歹=—Tin2ЭЛ1 можно чить намагниченность
m=_竺=一2+)
。箔 тс \2 со 十 ехр (<о/Т) — 1 /*
При малых со это выражение пропорциональпо 鑑, восприимчивости получается известный результат _(е/тс)2
%12Т-'
Отметим, что, как ясно из расчета, диамагнетизм газа свободных электронов имеет квантовую природу. До сих
233
лор мы пользовались классической статистикой Больцмана. В случае сильного вырождения электронного газа необходимо учесть, что электроны подчиняются статистике Ферми — Дирака. Запишем основную формулу квантовой статистики
Qkb = — Т 21口 [1 + ехр ((卩一EQ/T)] (18.10) n
(卩——химический потенциал) в виде контурного интеграла [73]
(18.11)(18.11)0eXр (即)邙
(18.11)
(18.11)
\4B ^ J 、"m P) 2弔 sin (冗077
где
Qk“(B) = —Т》ехр (— 陶，)=
=-?登广為 eхр (-圖(1 - eхр (-阿尸(18.12)
—больцмановская статистическая сумма.
Интегрирование в (18.11) выполняется в комплексной ^-плоскости по контуру 厶 изображенному на рис. 1.
х
咨X '@
_2勿力 * л 7 7 7
X厶
Рис. 1
Функция йкл(^) при § = 0 и § = 8 имеет точки ветвления (поэтому в плоскости § необходимо провести разрез по отрицательной части вещественной оси: — ℃ V 0 W W 0)，а также полюсы в точках
pft = 2就后Ло, А = ± 1, ± 2,....
При высоких температурах интеграл (18.11) можно вычислить, замыкая контур в правой полуплоскости §. Сумма всех вычетов в точках п/Т приводит к обычной формуле для йдв. Если ц >(о/2, то контур £ можно зам-
кнуть в левую полуплоскость. При этом получаем (см. рис. 2)
(18.13)(18.13)Й_ П(полюс)丄 с(Разрез) кв = 44KB "г "кв •
(18.13)
(18.13)
Вклад полюсов на мнимой оси дает
С(полюс) \4квС(полюс) \4квcos (2Л也从/①一冗/4)( 蚪『/2
С(полюс) \4кв
С(полюс) \4кв
—sh(2:1127177cо) —V~/•(.丿
Это выражение периодически зависит от поля 窝.Периодический характер изменения термодинамических величин (эффект де Гааза ——ван Альфена) является
отражением аналитических свойств температурных функций Грина.
В формулах (18.13), (18.14) не учтен спин электрона. Для его учета необходимо в формуле (18.12) ввести множитель ехр(— §gNB(j鑑),отвечающий энергии спина в магнитном поле Зв — магнетон Бора, о = ±1/2), и просуммировать по проекциям спина. За счет этого в (18.12) появится дополнительный множитель 2ch (gP(o/4), а в (18.14)——множитель 2 cos(jtgn/2).
В очень слабых полях (со《卩)все слагаемые в сумме быстро осциллируют и Q^。"10。-> 0. Остается только вклад от разреза, который приводит к диамагнетизму Ландау. При(о f 0
%“ (») ~ - 7 儒Г (1 -需 + …｝。&15)
откуда
Qkb ± Q()+ 施％2/8卩，(18.16)
% = - 施/暂.(18.17)
Учет спина приводит к дополнительному множитёлю 2ch(р(о/2)~2(4 +俨 @2/8)・
При этом % домножается на два и еще добавляется Хпара = — 3%диа, что дает наряду с диамагнетизмом Ландау парамагнетизм Паули
X = Хдна + Хпара, Хдиа =—卩е/2卩，%пара =玄"в/2卩.
(18.18)
Г ла в а 19
ЛАГРАНЖИАН ГЕЙЗЕНБЕРГА 一 ЭЙЛЕРА
В этой главе, следуя работе [21], с помощью когерентных состояний мы дадим вывод лангражиана Гейзенберга ——Эйлера — нелинейной поправки к лангран- жиану электромагнитного поля.
Рассмотрим релятивистскую частицу со спином 0 в постоянных однородных электрическом & и магнитном 51 полях. Предположим, что (8-Э1) ¥= 0. Тогда существует система координат, в которой
& = (0, 0,醫)，Я = (0, 0,鑑).(19.1)
Состояние частицы характеризуется обобщенным импульсом
口》=办—е4, [Пи, П-} = ieF^, ц, w = 0, 1,2, 3,
(19.2)
где Лц——потенциал электромагнитного поля, F^ — тензор электромагнитного поля. В нашем случае
[П1? П2] = 1еХ. [По, IIJ = %苏.(19.3)
Из (19.3) следует, что операторы Пм можно выразить через бозонные операторы
口1 =(。十 G) ]/等，У^,
По = М萼(b + b+), П3 = — i J等(少一^+)- (19.4)
Для нахождения нелинейных поправок к лагранжиану электромагнитного поля удобно воспользоваться методом собственного времени, что сводит рассматриваемую задачу к задаче с гамильтонианом
"="2 一 n纟=卩2+e% (0% + 0a+) - е歹(bb +炉匕十).
(19.5)
При этом функционал действия электромагнитного поля приобретает поправку
M = — itrlnG,(49.6)
где G =(卩2 —Щ)-1 = Я'1——функция Грина скалярной частицы во внешнем электромагнитном поле. В интересующем нас случае эта величина задается формулой
W =-itrIn [(М一IF厂 1] = -itrJyexp(-sH)=
О
=—X『勺 ехр (— p,2s) tr exp [se鋁(bb + 匕％+)— 0
—se非(a+a + m+)].(19.7)
В формуле (19.7) след вычисляется по всем квантовым числам частицы, поэтому надо учесть вырождение уровней Ландау. Это дает дополнительные множители е制LJJ2a и е^Ь2Т/2я, связанные с вырождением для поперечных и продольных компонент. Здесь &, Ly, Lz —— размеры области, в которой сосредоточено внешнее поле, Т ——интервал времени, когда внешнее поле отлично от нуля. Действие Wf оказывается пропорциональным объему LxLyLzT, как это и должно быть в постоянном и однородном поле. Коэффициент при четырехмерном объеме и есть интересующая нас поправка к лагранжиану
Z' = -嚟箓上eхр(-s喲х
О
X tr ехр [se冒(i2 十(ft+)2) — se徹(&&十 + a%)]. (19.8) Здесь символ tr означает след по переменным, связанным лишь с операторами а и 6, и легко вычисляется. Так, tr ехр [ — seX (&+。+ &&+)]=
=£ ехр J se鑑(2n + 1)] = ^^.仕9.9) n=0
Для вычисления второго следа выполним преобразование, диагонализирующее оператор {ЪЪ + &+&+):
ЪЪ + b+b+ = Ш 传气 + 珀+)。丁
U = ехр [g эт @+方+ — ft&)J, (19.10)
после чего получаем
trexp [se疗(bb + b+ь+)]=
=tr{U exp[w (b+b + 沛+)] и』=2 Si；就.(49・M)
В результате выражение для 史'принимает вид
2,=工J. exp (- 5吩.(19.12) J s sh (se sin (se&) t l' 丿 о
Это выражение необходимо регуляризовать, вычитая из подынтегрального выражения первые члены ряда Тейлора по赞и猶：
В，=
=焉j岂品缶)一 1 一賀-非讣ХР (-S卢).
(19.13)
e& 7(^2 —Ж2)2 +4(8JL)2e& 7(^2 —Ж2)2 +4(8JL)204N 8c04N 8c(19.14)(19.14)В случае слабых полей получаем поправку четвертого порядка но / и 箔
e& 7(^2 —Ж2)2 +4(8JL)2
e& 7(^2 —Ж2)2 +4(8JL)2
04
N 8c
04
N 8c
(19.14)
(19.14)
360(?
Поправка к лагранжиану электромагнитного поля за счет взаимодействия с частицами спина 1/2 получается аналогичным методом. Необходимо учесть лишь, что, во- первых, из-за фермиевской статистики изменится знак в формуле (19.6) и, во-вторых, при квадрировании функции Грина возникает множитель 1/2:
Wi/2 = i tr In G = i tr In [иг — 7П]""1 =
-(〃2) tr In [加2 一(уЦ)2]Т. (19.15)
В1/2 =В1/2 =Величина (уП)2 = П2 + eagv • F^/2 содержит слагаемое с ngv^v, которое коммутирует с оператором П2. Поэтому след по проекциям спина дает множитель 2 ch (se箔)для магнитной части и множитель 2cos(s^) для электрической части. Отсюда получаем выражение для лагранжиана Гейзенберга ——Эйлера
В1/2 =
В1/2 =
8Л2 J S3 [th se制 tg se各一 十
(19.16)(19.16)+ ^^~ (冒2 —箔2)j • exp (―• szzi〉
(19.16)
(19.16)
Для случае слабых полей отсюда получается известное
выражение
(19.17)(19.17)е4 (^-^ + 1(^^
(19.17)
(19.17)
8j?45^?'
Отметим, что подынтегральные выражения в формулах (19.13) и (19.16) имеют полюсы в точках 5门=汽加€岔,которые приводят к появлению мнимой части у лагранжиана и к неустойчивости вакуума относительно рождения пар частиц.
Глава 20
СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Синхротроннае излучение ——это квантовое излучение заряженной частицы в однородном магнитном поле, или, что то же самое, радиационный распад уровня Ландау. Поэтому расчет этого эффекта сводится к вычислению массового оператора частицы в однородном магнитном поле (см. работы [72, 224]). Как было показано в работе [21], которой мы будем следовать в данном разделе, использование когерентных состояний значительно упрощает вычисления. Так же, как и в главе 19, рассмотрим релятивистскую заряженную частицу в однородном магнитном поле. В этом случае продольные компоненты импульса сохраняются и мы можем заменить их собственными значениями
Ul(U。，口3)=(区 0).(20.1)
Поперечные же компоненты, как и в главе 19, имеют вид 口工=V^~^ (а + 小)，П2 = — Z У^-^ (а — а*). (20.2) Массовый оператор частицы в магнитном поле дается формулой
(2л)4 J 庐
X ехр [is (П — к)2 —重川](2U — к). (20.3)
В этом подынтегральном выражении перенесем оператор, содержащий экспоненту, вправо. При этом изменятся лишь операторы И】и П2, поскольку только они не
коммутируют с этим оператором. Именно,
П1 f П1(5)= (П1 — Zcjcos 2se箔一(IL —左2)sin2se箔 + ки
(20.4)
П2 f H2(s) = (U2 — ^2)cos 2se箔十(IL — "J sin 2se箔 + k2. Ограничиваясь учетом главных по к/Е членов, получаем 4 =含5 Jg J dsIbU (s)・ехр [is (П — к)2 — ts^i2],
0(20.5)
П«П (s) = П2 + П； (1 — cos 2se3^) + Ze箔 sin 2se箔.
На массовой оболочке имеем
n2 =吟 口:=炉一林2(20.6)
Кроме того, ограничиваясь рассмотрением случая слабого магнитного поля
е箔《М «炉，(20.7)
имеем
4 =寝J普卜s(l+2卧2旬X
X exp [is (П — ©2 — ?ф2]. (20.8) Поскольку оператор 風 зависит лишь квадратично от операторов а и а+ под знаком экспоненты, удобно перейти от этого оператора к его символу
4 (а) = <а1<^1а>,где |а> — обычное глауберовское когерентное состояние|а> = ехр ^—-Ly-jexp (аа+) | 0>.
Используя формулы § 1.2 и удерживая в показателе лишь линейные таены, находим
〈§I exp [is(П — к)2 —法阅 I§〉= exp(~2isk0E + 2tNk),
(20.9) где вектор N имеет лишь поперечные компоненты
N = -ILL(Sin 2se制，1 - cos 2se%, 0).(20.10)
Учитывая, что
№产=印|我%旧=(万一出2一6%)/2g把，(20.11) 240
получаем
|N| =(E；W sin(se%).(20.12)
Таким образом,
X f ds (1 十 2 ^sin2se 箔)exp 2力(Nk —sEk0)]. (20.13)
Далее, в силу оптической теоремы вероятность распада 恥 состояния 1р> связана с мнимой частью массового оператора простым соотношением
/=一善圆力偉)， (20.14)
откудаоткудаполучаемполучаем叫叫字MxЛ J 4(0 (Zn) JОX (1 + 刍 sidse第)cos (2Nk — 2sE(o). (20.15)字MxЛ J 4(0 (Zn) JОX (1 + 刍 sidse第)cos (2Nk — 2sE(o). (20.15)Вычисляя интеграл по углам излучаемых фотонов, находимj dQ cos (2Nk 一 2Es® ==Jl_ [sin (2s(oK + 2N(o) — sin (2ш^ - 2N(o)]・ (20.16)Вычисляя интеграл по углам излучаемых фотонов, находимj dQ cos (2Nk 一 2Es® ==Jl_ [sin (2s(oK + 2N(o) — sin (2ш^ - 2N(o)]・ (20.16)Заметим, что в рассматриваемом нами случае слабого магнитного поля при интегрировании по s основной вклад дает область £6宠~出/豆《衣 Разлагая по параметру |л/£, получаемJ dQ cos (2Nk — 2Es(o)—Заметим, что в рассматриваемом нами случае слабого магнитного поля при интегрировании по s основной вклад дает область £6宠~出/豆《衣 Разлагая по параметру |л/£, получаемJ dQ cos (2Nk — 2Es(o)—EscoEscosin (4(0^5)— sin(oEs (歩 +sin (4(0^5)— sin(oEs (歩 +(20.17)(20.17)Для спектрального распределения излучения теперьДля спектрального распределения излучения теперь16 д. м. Переломов16 д. м. Переломов241241
откуда
откуда
получаем
получаем
叫
叫
字Mx
Л J 4(0 (Zn) J
О
X (1 + 刍 sidse第)cos (2Nk — 2sE(o). (20.15)
字Mx
Л J 4(0 (Zn) J
О
X (1 + 刍 sidse第)cos (2Nk — 2sE(o). (20.15)
Вычисляя интеграл по углам излучаемых фотонов, находим
j dQ cos (2Nk 一 2Es® =
=Jl_ [sin (2s(oK + 2N(o) — sin (2ш^ - 2N(o)]・ (20.16)
Вычисляя интеграл по углам излучаемых фотонов, находим
j dQ cos (2Nk 一 2Es® =
=Jl_ [sin (2s(oK + 2N(o) — sin (2ш^ - 2N(o)]・ (20.16)
Заметим, что в рассматриваемом нами случае слабого магнитного поля при интегрировании по s основной вклад дает область £6宠~出/豆《衣 Разлагая по параметру |л/£, получаем
J dQ cos (2Nk — 2Es(o)—
Заметим, что в рассматриваемом нами случае слабого магнитного поля при интегрировании по s основной вклад дает область £6宠~出/豆《衣 Разлагая по параметру |л/£, получаем
J dQ cos (2Nk — 2Es(o)—
Esco
Esco
sin (4(0^5)— sin(oEs (歩 +
sin (4(0^5)— sin(oEs (歩 +
(20.17)
(20.17)
Для спектрального распределения излучения теперь
Для спектрального распределения излучения теперь
16 д. м. Переломов
16 д. м. Переломов
241
241
получаем формулу
оо后2后2X 1 + 2—й-(呢箔)2 ・ sinsEsX 1 + 2—й-(呢箔)2 ・ sinsEs(%+(%+—sin ^yEs ,—sin ^yEs ,(20.18)(20.18)
о
о
后2
后2
X 1 + 2—й-(呢箔)2 ・ sinsEs
X 1 + 2—й-(呢箔)2 ・ sinsEs
(%+
(%+
—sin ^yEs ,
—sin ^yEs ,
(20.18)
(20.18)
или
dw ^^ 伊)©з JT (! + 2炉)sin E (% + 争—^
(20.19)
где
Эта формула была получена Швингером [224], однако более сложным способом. Удерживая слагаемые порядка(о, можно получить поправки порядка % = еЕ為/|Д имеющие квантовый характер.
Глава 21
КЛАССИЧЕСКАЯ И КВАНТОВАЯ ЭНТРОПИЯ
«Классическая энтропия» для квантовюмеханической системы, введенная в работе [247], естественно определяется с помощью системы КС. Метод КС дает возможность легко доказать некоторые неравенства для этой величины.
В работе Верля [247] введено полезное понятие «классической энтропии» S'】 для квантовой - системы и были исследованы некоторые свойства этой величины. (Обзор свойств энтропии дан в работе [246].) Верль предположил, в частности, что 5cI > 1. Это предположение было доказано затем Либом [182].
Начнем с рассмотрения простейшей квантовой системы с одной степенью свободы; пусть р и q ——канонические операторы импульса и координаты. Как известно, состояние системы можно описать с помощью матрицы плотности р, которая представляет неотрицательно определенный оператор со следом, равным единице. Квантовая 242
(21.1)(21.1)энтропия такого состояния дается формулой SQ(S) = -tr(61np),
(21.1)
(21.1)
а классическая энтропия для плотности распределения
Р(Р, 4)в фазовом пространстве ——формулой
(21.2)(21.2)
(21.2)
(21.2)
Обычно утверждается, что в пределе 力 f 0 выражение для квантовомеханической энтропии переходит в выражение для классической энтропии. Это утверждение, однако,
не верно, поскольку квантовомеханическая энтропия всегда >0, в то время как классическая энтропия может быть отрицательной или даже равной —8. Как показано в [247], это связано с тем обстоятельством, что классическая плотность распределения может быть сконцентрирована в областях фазового пространства с площадью <2nh. Такое распределение нарушает соотношение неопределенности и потому не может осуществляться в природе. Луч
шее, что мы можем сделать, это взять квантовое состояние с наименьшей неопределенностью Ар • Ад со средни
ми значениями координаты и импульса q и р, т. е. взять когерентное состояние [ а)А а = у^ (? + »Р)・
Определим теперь классическую плотность распределения р(а) формулой
(21.3)(21.4)(21.3)(21.4)р(а) = <a|pla> и классическую энтропию 5е1 как
(21.3)
(21.4)
(21.3)
(21.4)
S” = S(p(a)).
Тогда функция р(сс) удовлетворяет следующим условиям [247]:
0Wp(a)W 1,
функция р(а) непрерывна,
р(а)->0 при lai -*- 8.
Отсюда вытекает:
соответствие с соотношением непр^деленности: плотность распределения р(р, ,) = р(&) не может быть сконцентрирована в области с площадью, меньшей 2лЙ;
важное неравенство
S。】力 SQ.(24.5》
Действительно, из вогнутости функции s (а) = —a In х
16*16*243
16*
16*
(при х > 0) следует, что
5(<а|р|а>)> <а15(р) 1а>,(21.6)
и потому
Sjjs(p(a))F>
^ J〈a I S (р) I а〉冬=tr S ⑹=SQ (p). (21.7)
Далее, в силу непрерывности функции р(а) из равенства S°i = SQ следовало бы, что 5(<alpla>)= <a|5(p) | a> для всех а, т. е. в силу сильной вогнутости функции 5(х), каждый вектор la> должен был бы быть собственным вектором р, что невозможно.
.Еще одно важное свойство энтропии S" заключается в ее монотонности. Пусть pi2 — матрица плотности квантовой системы в пространстве Ь2 (R) ® d(R)и луСТЬ " &2〉= 1«1> ® 1电〉* Определим pbQi，«1 согласно формуле
Р12 Зи a2)〈a：L? a2 |р12 I au «2〉，(21.8)
и пусть p?(di) соответствует матрице плотности pi = =—tr2 Pi2・ Тогда, как показал Верль [247], справедливо неравенство
明三 S(РЙ (ai，a2)) > S (pf) = S；1.(21.9)
Отметим, что это свойство энтропии, которое можно было бы ожидать, исходя из физических соображений, вообще говоря, не выполняется для квантовой энтропии (см. [247]).
В работе Верля [247] была выдвинута также
■ Гипотеза. Минимум величины S" равен единице (не зависит от 力).Этот минимум достигается лишь для матриц плотности вида р = laXal, где |а>—обычное глау- беровское когерентное состояние.
Доказательство этой гипотезы приведено в работе Ли- ба [182], а здесь мы приведем лишь доказательство следующей леммы:
если матрица плотности р минимизирует S", то p = I屮〉〈屮1.
Доказательство. Пусть р = 2 ^i I 取〉〈取 |,脑 > 0 и £ 儿=1. Тогда pcl (z) = N 入似(z), где р^ (z) = {z\P^z}.
Йо из вогнутости функции s ⑺ следует s(p&(z))》 >》笳s(3(z)), и -здесь равенство достигается, если и только если pi(z) = pj(z) почти всюду для всех Z и /.
Предположим, что р( — проекция на 切 w L2 (R). Пусть w = g + г/?е е и пусть 力(如)=/ 屮式花)ехр (一炉/2 + + wx) dx. Тогда 力(必)—целая функция переменной 力, и из равенства почти всюду р/) = р") следует, что \fi{w) I = l/K^) I Для всех ш, и следовательно,厶(必)= =力(恭)ехр的(力))，где функция 0(ш) вещественна и аналитична в тех точках, где 力(力)六 0. Значит, 0(zz?) = const. Далее, из единственности преобразования Фурье следует 5=九必，где |AJ = 1 почти всюду, и потому 尸叫=户2尹 что противоречит исходному предположению.
Обобщая гипотезу Верля, Либ в работе [182] выдвинул для случая спиновых когерентных состояний следующую гипотезу.
Пусть {|п>} — множество спиновых когерентных состояний. Тогда для данной матрицы плотности р образуем функцию рс1(п)= <п|р|п> и
£】(р)*(рс】(п)),(21.10)
где
$ ⑺=—/ /(口)ln /(П)加 S)'
d同(口) = 2嘴''sin 8 况 dtp.()
Монотонность S°i и неравенство S°】》$Q остаются справедливыми и для этого случая. Из простых вычислений следует, что поскольку〈口」Рп | "〉= (cos 讶)1 где 0 — угол между векторами п и п‘, то
”(Pn) = 2〃(2j + l).(21.12)
Гипотеза (Либ [182]):
£i(pQ)》2j/(2j + l).(21.13)
Справедливость этой гипотезы для / = 1/2 легко доказывается ([182]), однако для случая произвольного / доказательство неизвестно.
Другое неравенство для энтропии в терминах одночастичных распределений получено Тиррингом [239]. Пусть р — матрица плотности для системы бозонов или фермио-
245
нов. С этой матрицей плотности связана одночастичная матрица плотности
Pi = Sj^X^I tr(po4；/am),Pi = Sj^X^I tr(po4；/am),(21.14)(21.14)
Pi = Sj^X^I tr(po4；/am),
Pi = Sj^X^I tr(po4；/am),
(21.14)
(21.14)
и можно определить одночастичные распределения в фазовом пространстве'
p(q, к) = tr (pa^,k)a(q,k))-
Здесь векторы | тп> е L2 (R3) являются элементами орто- нормированного базиса, а векторы вида lq, к〉~ ~ g(x —q)exp(Zkx) с функцией g (х) е L2 (R3) образуют полный набор векторов в гильбертовом пространстве
『и，》*寄=『•
Пусть 的= J а (х)孑(х) dx и л/ = J а+ (х) / (х) dx — операторы уничтожения и рождения для состояния, характеризуемого данной функцией /(х). Тогда энтропия всей системы ограничена некоторым одночастичлым выражением.
Теорема [2391.
S (р) = — tr (р In р)< — tr [рх In Р! ± (1 =F Pi)ln(l =F S1)]三=Si(Р1) & — J [р (q, k) In р (q, к) 土
士(1干 р (q, к)) In (1 干 р (q, к))]翼.(21.15)
Здесь символ tr означает след операторов в пространстве £2 (R3), а верхний (нижний) знак в формулах соответствует статистике Ферми (Бозе).
Замечания.*
Величина 7V = trpi является средним числом частиц. Поскольку для фермионов числа заполнения nm ^ 1, мы имеем операторные неравенства О W pi & 1/N. Соответственно
舞="и O《p(q,k)&£.
Таким образом, оба вклада в формуле (21.15) в случае фермионов являются положительными..
Теорема утверждает, что в случае, когда состояние системы является произведением состояний, мы имеем 246
максимальную энтропию для данного одночастичного распределения. Таким образом, отсутствие корреляций приводит к максимальному хаосу. Величина 51 не определяется только лишь одночастичной матрицей плотности. Она отличается от величины —trfpilnpi) лишь вкладом дырок, которые описываются матрицей плотности (1 —pj.
Как следствие неравенства Клейна матрица плотности pi = [ехр (—0 (无一卩))土 I]-1 максимизирует величину & при фиксированных значениях tr(p也)и tr(pi). Аналогично, для фиксированных значений интегралов
『〃(％ k)p(q，k)醬 и "(q，k)綜
матрицы плотности
Ре, в (q, k) = {ехр [—。伍.(q, к) - р,)]± 1}~* максимизируют интеграл для S. Отметим, что в работе [239] эти неравенства были использованы для простого вывода теории Хартри и Томаса ——Ферми.
Глава 22
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ *
СЛАБОНЕИДЕАЛЬНОГО БОЗЕ-ГАЗА
Как было показано Боголюбовым [13], эта задача сводится к задаче нахождения спектра и волновых функций гамильтониана, квадратичного по операторам рождения и уничтожения бозонов. В той же работе указан и способ решения задачи, состоящий в диагонализации гамильтониана с помощью линейного канонического преобразования, которое получило затем название канонического преобразования Боголюбова. Здесь мы, следуя [98, 233], рассмотрим упрощенную модель сверхтекучести.
Множество линейных канонических преобразований этой задачи образует определенную группу, а именно прямое произведение групп SU(1, 1). При этом основное состояние гамильтониана оказывается КС, связанным с определенным представлением этой группы.
Рассмотрим сначала упрощенную модель сверхтекучести [98]. Пусть наша система состоит из N слабо взаимодействующих бозонов и описывается следующим
247
гамильтонианом:
比й,рл(22.1)
£在=胪/2?n.
Ограничимся сначала тремя состояниями, так что р, q 瓜 к принимают лишь значения (—1, 0, +1), и пусть e±i = е, Т± = V и Ео = Ро = 0. Тогда гамильтониан (22.1) принимает вид
Я = е (a*〃+ + ata-) + V [涼旬(亦〃+ + a±优_) +
+ a靓*at + a^2a+a_], (22.2)
где мы использовали обозначения 〃土 = a土「Для Р = 0 основное состояние состояло бы из N частиц с нулевой энергией. Предположим, что для слабо взаимодействующей системы состояние с нулевой энергией является макроскопически заполненным (так что мы можем считать операторы а。и а^ с-числом, равным、№* где 死 =〈优^a。〉) Это и есть физическое предположение, из которого следует сверхтекучий характер модели. Таким образом, редуцированный гамильтониан имеет вид
%ed= (е + 死旷乂仪总+十 ata_)+ N0V(ajat + a+a_). (22.3)
Мы видим, что peдуцированный гамильтониан линеен по операторам представления Т"? алгебры Ли группы SU(1, 1):
Н^=.2Ы^^К0 + Кх-^,卩=1+市.(22.4)
Итак, наша задача сведена к уже решенной ранее задаче о спектре и собственных функциях оператора
儿=QoKo — QK 一 Q2K2 = CK,(22.5)
где
5 = 22V07g, Q - -2MV, % = 0.(22.6)
В рассматриваемом нами случае оператор Я дается формулами (22.5), (22.6), а для его упрощения достаточно рассмотреть «вращение» вокруг оси 富2：
R (0) = exp (—z^20),
K； = R ⑼ KpRT(8) = ch(0).^ + sh0.^2J (22.7)
KfQ = R(Э)⑼= che.^0 + sh e
так что
т?(е)яя-1(е)=
=2NOV[KO([1 che-she)+ к (ch 8 —出 sh 0) 一 1/2]. (22.8) Поскольку Ith0l < 1, то в зависимости от знака потенциала V после поворота можно получить операторы А\ ИЛИ Ко.
Таким образом, в случае:
У < 0 (потенциал притяжения), р < 1, возьмем th 0 = р:
RHR-1 = -2Л^0 V (^ • sch 0 + ц/2), 2N.\V\>^ (22.9)
V> 0 (потенциал отталкивания), 卩 >1, возьмем cth. 0 = ц:
RHR~l = 2N0V(K0 csch 0 -卩/2).(2240)
Отсюда следует, что в первом случае спектр энергий непрерывен. Второй случай представляет больший физический интерес, так как при этом спектр энергий дискретен. Из (22.10) следует, что
Еп=^(2п+ 1+ \М)Е - N0V -(22.11)
где Е = ^2eNqV + е2, а А — собственное значение оператора 优"а十——ata_. При этом собственные векторы имеют вид
I 屮п〉=7?т(е)|а〉=亲(中士)Т%〉，(22.12)
где
I %〉= 7?т (0) I 0〉， 琏=7?т ⑼ 47? (0). (22.13)
Таким образом, собственные векторы являются когерентными состояниями, связанными с представлениями Тк дискретной серии группы SU(1, 1). В простейшем случае А = 0,加=1/2, имеем
l^o> = 2(-l)msch|.(th4p7n>(22.14)
ИЛИ
I То> = (1 - /2)1/2 ехр (- ia^ai) | 0>,(22.15)
где
i = th(e/2)=-^0/MV.
Заметим, что преобразование (22.13) является линейным каноническим преобразованием операторов а" и а_
&+ = иа^ + га_, &_ = иа- + %*.(22.16)
249
Это •преобразование было впервые жпользовано для решения задачи о сверхтекучести слабонеидеального бозе- газа в известной работе Боголюбова [13]. .
Перейдем теперь к рассмотрению слабонеидеального бозе-газа, описываемого гамильтонианом (22.1). Используя, как и ранее, приближение Боголюбова aQ=aQ ^ К7V0? можем записать Н в виде ,
" =N銀。+ X ㈣ + %。%)或映 +
十号E唳(若吟t +优板一) (22.17)
где суммирование проводится по всем значениям 冗 за исключением " = 0, и оставлены лишь члены второго порядка по ak и 优^・ В этом же приближении имеем N = ==No +£ 若а&, и наш гамильтониан можно переписать
в виде
^=y^V0 + 2Gh + 筑腺)〃』侬 +
Введем операторы k' === "2"(@^"优上g + a必-q),K^ = -2 (球^-3 一 a/_q), 瞇=^■(磋优q.+世/_q十1).Введем операторы k' === "2"(@^"优上g + a必-q),K^ = -2 (球^-3 一 a/_q), 瞇=^■(磋优q.+世/_q十1).(22.19)(22.19)+号e%(威a士左+"在a-左).(22.18)
Введем операторы k' === "2"(@^"优上g + a必-q),
K^ = -2 (球^-3 一 a/_q), 瞇=^■(磋优q.+世/_q十1).
Введем операторы k' === "2"(@^"优上g + a必-q),
K^ = -2 (球^-3 一 a/_q), 瞇=^■(磋优q.+世/_q十1).
(22.19)
(22.19)
Мы видим, что эти операторы генерируют алгебру Ли группы SU(1, l)q, а гамильтониан является линейной комбинацией генераторов этой алгебры
Я = 2 N。％ (к" + 卩/В — 陶/2) + ^V.,
因= l + %/N%・ (22.20)
Как и раньше, в случае Vg<0, |ц91 < 1, мы имеем непрерывный спектр, а в случае Vg>0 или gg> 1 гамильтониан можно упростить с помощью унитарного преобразования
К = И @ А 饱)，К (9g) = ехр (— 2Ks°%), 6g — cth 卩外
(22.21)
так что
RHRT = S (csch 3・K整)-阳⑵ N。％ + %N汐。.(22.22)
Операторы Казимира имеют вид
Q = £”_£”_ 峻)2= (&一 1)/4, (22.23) где интегралами движения А『=若吗 ——aiga_g являются разности чисел частиц в состояниях с противоположными импульсами. Поскольку спектр энергий должен быть ограничен снизу, то единственное разрешенное представление —это
П ® Т忆，蜀=1/2 + Ag/2.(22.24)
Мы видим теперь, что спектр энергий имеет вид 豆("工，…"〃・・・)= £ (仰+ } + ^.| Ajj £г +const,
，(22.25) где
凤=(2"死匕+喲и?.
Волновая функция основного состояния для случая А【=О имеет вид
гдегдеI %〉=用・(1 一吩/2 eхр 住(一力心加工))} I o>, (22.26)
где
где
ti = th (0z/2).
Приложение 1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПОЛНОТЫ НЕКОТОРЫХ ПОДСИСТЕМ КС
В § 1.4 было доказано, что подсистема когерентных состояний {|ай>} полна тогда и только тогда, когда не существует целой функции 屮(а) такой, что г|)(аА) = 0 и j I W(a) I2 exp (— I a |2) d2a< oo.
Заметим, что утверждение А этого параграфа очевидно.
Докажем утверждение Б: система {laQ} полна, если {aj не содержит точку a = 0 и
2|出「2T=8(1.1)
при некотором е > 0. Это утверждение является следствием общих теорем относительно связи порядка роста целой функции с распределением ее нулей.
Напомним, что порядком роста 九 целой аналитической функции /(2)называется число
"而加1:*厶(1.2)
где М(г) — максимум модуля функции /(г) на окружности \z\ = г, lim = limsup ——верхний предел. Соответственно число
"二而号城(1.3)
называется типом функции /(и).
Пусть {aft}——последовательность нулей целой функции /(г). По'следовательность {aft} характеризуется так называемым показателем сходимости. Это число 九】такое, что для любых сколь угодно малых е > 0 и 6 > 0 ряд 21 «л сходится, а ряд £|&左］%1+6 расходится. Что
252 '
касается ряда 21 ай Г ”，то он может как сходиться, так и расходиться.
Из теории целых функций [78] известно, что порядок роста % целой функции f(z), имеющей нули в точках {ай}, не меньше показателя сходимости последовательности {aft}(九》爲).
Условие (1.1) эквивалентно условию Xi >2. Следова^ тельно, порядок роста X функции /(z) с нулями в точках {ай} больше двух:九 N Aq > 2. Ясно, что при этом / I /12 ехР (— I z I2) d2z = ОО, и следовательно, система {|ай>} полна. Соответственно при Х4 < 2, а также при 九I = 2 и при условии сходимости ряда 21 ай「” система {1ай>} неполна. Если же 九】=2 и ряд 2 | ай |~2 расходится, то для решения вопроса о полноте подсистемы {|ай>} требуется иметь более подробную информацию о распределении точек &互 на a-плоскости (детали см. в работе [37]). В этом случае нетрудно построить целую функцию второго порядка роста (九=2) с нулями в точках {ай}. При этом согласно теореме (9.1.1) книги [79] тип 出 функции /(z) должен удовлетворять неравенствам
У Km^j^,(1.4)
心逗乎(丄5)
где TV (г) —число точек {ай} в круге \z\ W r,lim= lim inf — нижний предел, lim= lim sup——верхний предел.
Отсюда следует, что система когерентных состояний полна при 九1 = 2 и выполнении любого из условий
跑* >1,(1.6)
师乎〉е.(1.7)
Перейдем к рассмотрению случая В, когда точки 仪片 образуют правильную решетку на а-плоскости:
{аА} = {(Zmn = 7^3i + n(o2), где периоды решетки (0i и ю2 линейно независимы — 1111(82(01)耍0，а тп и 冷 пробегают вее целые числа^ - .253
Заметим прежде всего, что в случае правильной решетки с площадью элементарной ячейки S
limN(r)JlimN(r)Jт:— ^ (г)лlim-产=ГТ 8 Г Dт:— ^ (г)лlim-产=ГТ 8 Г D(1.8)(1.8)
limN(r)
J
limN(r)
J
т:— ^ (г)л
lim-产=
ГТ 8 Г D
т:— ^ (г)л
lim-产=
ГТ 8 Г D
(1.8)
(1.8)
Теперь из условия (1.6) сразу же следует справедлив вость первой части теоремы.
Рассмотрим теперь решетку с 5> л. Для доказательства второй части теоремы построим целую функцию, принадлежащую пространству 歹 и обращающуюся в нуль во всех точках решетки amn. Последнему условию удовлетворяет a-функция Вейерштрасса (см., например, книгу [67])
а(а) = аП71-^-)ехр(^-+ 1(^2).(1.9)
7П,П \ а7ПП/ \а7ПП 2 \а7n 脑 /
Здесь штрих означает, что в произведение (1.9) не входит член с тп = 0, п = 0.
Хорошо известно [67], что порядок роста а-функции равен двум:九=2. Можно показать далее, что существует число V такое, что тип ц функции a(a) = ехр(—va2)o(a) является минимально возможным при заданных нулях {amn} и дается формулой
卩=н/2£ (1.10)
Оказывается, что при этом
lo(a) l2 = p(a, а)ехр(2ц|а!2), (1.11)
где p(a, а) — дважды периодическая функция с периодами (01 и (о2. Нетрудно видеть, что при 5 > л интеграл I = JI #F ехр (— I 幺 |2) d2z сходится. В этом случае функция и(а) определяет вектор ⑥三眼 ортогональный всем состояниям lamn>, и следовательно, подсистема {【amn〉} не полна. Тем самым вторая часть теоремы доказана.
Из соотношения (1.11) видно также, что при 5 = зт интеграл I расходится для любой целой функции, имеющей нули в точках ОтП・ Следовательно, при S = л система {Ictmii〉} ПОЛНЯ.
Заметим далее, что при выбрасывании из системы со- стояггагя I атпопо> вместо функции о (а) мы должны рассмотреть функцию 5(a) = (a —«мп)-%(а)• Поэтому во-
прос о полноте в этом случае сводится к исследованию
сходимости интеграла
Р（% &）-外产Р（% &）-外产(1-12)(1-12)
Р（% &）
-外产
Р（% &）
-外产
(1-12)
(1-12)
Можно показать, что такой интеграл расходится, и следовательно, при выбрасывании одного состояния система {lag*〉} еще остается полной.
Теперь выбросим из системы {!amn>} два каких-либо состояния I ат^ и I атп2па>- Как и прежде, приходим к рассмотрению интеграла
(143)・(143)・р (a, a) d2 tx
(143)・
(143)・
I а — а_ |2 I а — aw „ |2
Нетрудно видеть, что такой интеграл сходится. Следовательно, при выбрасывании двух любых состояний система становится неполной. Это завершает доказательство теоремы.
Приложение 2
МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАТОРАР(у)
Прежде всего дадим вывод формулы (1.168) для мат- ричных_элементов оператора О(у)・ Производящая функция G(a, р) для них имеет вид
G@6)二豕号禺,
(2.1)(2.1)=ехр (—空-)exp (aP + ay —師).
(2.1)
(2.1)
Разлагая ее в ряд по степеням а и 0, получаем
G…(一明戸+号：：*屮=
Отсюда находимОтсюда находимЕ士皿Е士皿寸⑺一仆А6一勺）!寸⑺一仆А6一勺）!22mingn)Dmn = MHl\ 加，^勺=0mingn)Dmn = MHl\ 加，^勺=0m—n. / 一\n—n,Y 1(一 Y) 1m—n. / 一\n—n,Y 1(一 Y) 1%! (m — %)1 (n — %)!%! (m — %)1 (n — %)!3232
Отсюда находим
Отсюда находим
Е
士皿
Е
士皿
寸⑺一仆А6一勺）!
寸⑺一仆А6一勺）!
2
2
mingn)
Dmn = MHl\ 加，^
勺=0
mingn)
Dmn = MHl\ 加，^
勺=0
m—n. / 一\n—n,Y 1(一 Y) 1
m—n. / 一\n—n,Y 1(一 Y) 1
%! (m — %)1 (n — %)!
%! (m — %)1 (n — %)!
3
2
3
2
Рассмотрим сначала случай т = п+ к ^п^ Тогда
%=頂exp (一峭俨%。*■需^耳?可.
(2.4)
Воспользуемся теперь выражением для полиномов Ла- герра (см., например, [80]):
п
M学一g 5!(罹-s)l Р仇十6十!)-(4⑵
Сравнение (2.4) и (2.5) дает
%“=)/# exp (-苧)?…虞f(I Y 产).(2.6)
При m W п имеет место аналогичная формулаПри m W п имеет место аналогичная формула(2.7)(2.7)
При m W п имеет место аналогичная формула
При m W п имеет место аналогичная формула
(2.7)
(2.7)
Заметим, что выражение (2.5) для полиномов Лагерра имеет смысл и для отрицательных значений 怎 При этом из (2.5) находим соотношение симметрии
盂厶备t⑺=而占Г （一胃）"*⑺.（2.8）
этшивалентны. \Dmn\ ^ 1 сле-этшивалентны. \Dmn\ ^ 1 сле-(п + к) >0.(2.9)(п + к) >0.(2.9)Таким образом, формулы (2.6) и (2.7) Заметим, что из условия унитарности дует неравенство
этшивалентны. \Dmn\ ^ 1 сле-
этшивалентны. \Dmn\ ^ 1 сле-
(п + к) >0.
(2.9)
(п + к) >0.
(2.9)
I ехр (- г/2) гк^1^ (г) I & /(片険 при
Запишем теперь матричный элемент <mlZ)(y) |п> в представлении Фока ——Баргмана, причем для оператора 0(Т) воспользуемся антинормальной формой записи D(^) = =ехр (粤J ехр(—w) ехр(?/). Для функции Dmn(^) получаем следующее интегральное представление:
<m J Д (т) I п> == —4=ехрШ- £ехр(—|z『)乂 У т\п\ 4 J
(2.10)(2.10)X exp (yz ■—y z ) z7nz71dli (z).
(2.10)
(2.10)
Сравнивая это выражение с выражением (2.6), получаем следующее интегральное представление для полиномов Лагерра:
也(|yF)=
=* ехр IY 户 j ехр (уг — *)/ | z ^пе~^ 办(z). (2.11)
Полагая в этом интеграле z = pexp(X(p) и интегрируя по (р『получаем
疗(2)= ±a/：；xrm J ехр(_ i) tn+^Jh(2 /й) dt. (2.12) О
Далее, умножая обе части соотношения (2.11) на £", суммируя по п и интегрируя, находим производящую фун1щию для полиномов Лагерра:
2 产頂(I 丫 I2)=尸 ехр I 丫 F X n
X Jexp(— |z|2 + 〃 z 产)exp (yz —")"?©[!(z); (2.13) e M ⑷=(1 一旷S+D exp (一 普)；
UI <1,力NO.(2.14)
Наконец, полагая в (2.11) к ==тп — п, умножая обе части соотношения на 尸,суммируя по п и интегрируя, получаем.
2 tnL^~n (%) = (1 + i)m ехр (- ^).(2.15)
Далее используем представление Фока — Баргмана и формулу для действия оператора 刀(у) в этом представлении. Получаем еще одно интегральное представление для полиномов Лагерра.
Тй^п (I Y『)=J ехр (—|z |2) ехр (丫珏…匕丁 印(z)・
(2；16)
Это интегральное представление можно переписать в виде
Dn+ktnDn+ktn（Y）（Y）ехр資工丫，印（％ （2.17）ехр資工丫，印（％ （2.17）
Dn+ktn
Dn+ktn
（Y）
（Y）
ехр資工丫，印（％ （2.17）
ехр資工丫，印（％ （2.17）
25725717 А. М. Переломов
257
257
где введено следующее обозначение:
侖 ехр (—吟)=爲 ехР (— Р2/2) ехр (in(p).
Заметим, что функции фп(г) являются собственными функциями гамильтониана двумерного гармонического осциллятора.
Пусть ?г》1・ Тогда функция фп(г) имеет узкий максимум, который определяется условием
р = У",(2.19)
т. е. функция(рп(2)сосредоточена вблизи окружности радиуса р = У?г. Поэтому при n> 1 и т^ i получаем геометрическую картину, изображенную на рис. 3.
Рассмотрим две возможности.—
'•_1丫1 二У% В этом случае окружности ]al = Утп и la — 7I = Vn пересекаются, и следовательно, Dmn^) не являются экспоненциально малыми, если
И1-Уп<Г^<|у1+7п.(2.20)
2.丨丫1 < Утг. В этом случае 0mn(T)не являются экспоненциально малыми при выполнении условия
Угг— М < Утп< к + Угг.(2,21)
Эти два условия можно объединить в одно:
|Уга— lyll v¥m V Уп + |у|.(2.22)
Иными словами, величины Утп, Угг и 1^1 должны удовлетворять условиям треугольника. При этом при 加》1 и 258
"》1 асимптотически точное выражение для wmn = =\Dmn(^) I2, усредненное по осцилляциям, дается выражением
部“=4（И年f ）6件二冲I二堂一，勿血
V2V2(2.23)(2.23)
V2
V2
(2.23)
(2.23)
Наконец матричный элемент Dmn(^) можно также вычислять, используя координатное представление. Отсюда получаем выражение для интеграла
J ехр (— /2 干月]^2 гх) Нт (/) Нп (/) dx = 计m\
=/л 2~тп! {irf-m ехр ( ^)L^m(r^. (2.24)
Приведем еще несколько полезных формул.
Матричный элемент <m\D(a) \п> нетрудно преобразовать к виду
I。(а) I "〉=二<01FD (а) (а+)п| 0〉= (?п!"|)т/2 乂
X ехр (^-)〈0 J атехр (— аа) ехр(аа+)(а+)п| 0> = =(тп!叫т/2ехр(*(_/ 偌『ехр(—峭・(2.25)
Вычислим также производящую функцию для квадратов матричных элементов. Используя формулу (2.10), получаем
р 3,匕 Y)= N umvn I < тп I Z> (у) I п> |а =
=exp IY|2 J exp {—(|a|2 + |p|2) + (ay —而)+
-+ (Pv — Pv) + (uaP + z；Pa)] dp. (a) rfp, (p). (2.26)
Этот интеграл гауссовский и легко вычисляется. В результате получаем
F(u, % у) = (1 — up)-1
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Арнольд В. И. Математические методы классической механики,— М.: Наука, 1974.— 432 с.
Базь А. 〃., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике.—— М.: Наука, 1971.— 544 с.
Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения: Пер. с англ. В 2-х т., Т. 1, 456 с., Т. 2, 396 с.— М.: Мир, 1980.
Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Пер. с англ, в 3-х т., Т. 2. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены.— М.: Наука, 4966.— 296 с.
Белавин А. А., Зельдович Б. Я., Переломов А. М. и @р. Релаксация квантовых систем с эквидистантным спектром.— Препринт ИТЭФ, № 622, 1968.
Белавин А. А., Зельдович Б. Я” Переломов А. М. и @р.— ЖЭТФ, 1969, т. 56, с. 264.
Березин Ф. А. Метод вторичного квантования.——М.: Наука, 1965.— 236 с.
Бецезин Ф. А.— Функцион. анализ и его прилож., 1967, т. 1, № 2 с 1.
Березин Ф. А.— Мат. сб., 1971, т. 86, с. 578.
Березин Ф. Л.—Изв. АН СССР, сер. мат., 1974, т. 38, с. 1116.
Березин Ф. А.一 ДАН СССР, 1978, т. 241, с. 15.
Березин Ф. А— Успехи физ. наук, 1980, т. 132, с. 497.
Боголюбов Н. Я.— Изв. АН СССР, сер. физ., 1947, т. 11, с. 77.
Брагинский В. Б., Воронцов Ю. Я., Халили Ф.只.——ЖЭТФ, 1977, т. 73, с. 1340.
Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп.— М.: Наука, 1965.—588 с.
Гельфанд И. М., Минлос Р. 4, Шапиро 3. Я. Представления группы вращений трехмерного пространства и группы Лорен- ца.—М.: Физматгиз, 1958.—368 с.
Гельфанд Я. М.} Граев М. И., Виленкин Я. Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений.—М.: Физматгиз, 1962.—656 с.
Гельфанд И. "., Граев М. 〃., Пятецк ий-Ша пир о Я. Я. Теория представлений и автоморфные функции.——М.: Наука, 1966.— 512 с.
Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.— М.: Физматгиз, 1971.— 1100 с.
Грановский Я.必.，Димашко Ю. 4—Укр. физ. ж., 1974, т. 19, с. 1456.
Грановский Я. Я., Димашко Ю. Л.— Жури, эксперим. и теорет. физ., 1975, т. 68, с. 1991.
Грановский Я.瓦,Жеданов Л. С.— Письма в ЖЭТФ, 1985, т. 41, с. 312.
Гриб 4 4, Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М. Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях.— М.: Атомиздат, 1980.— 296 с.
Гуткин £.— Функцион. анализ и его прилож., 1975, т. 9, № 3, с. 89.
Демков Ю. Я., Островский В. Я., Соловьев Е. А.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1974, т. 66, с. 125.
Дубровин В 4, Новиков С. П — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1980, т. 79, с. 1006.
Дыхне А.肱一Журн. эксперим. и теорет. физ., 1960, т. 38, с. 570.
Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления.—М.: Наука, 1970.——664 с.
Зельдович Я. Б.——Журн. эксперим. и теорет. физ., 1966, т. 51, с. 1492.
Зельдович Я. Б.— Успехи физ. наук, 1968, т. 95, с. 209.
Зельдович Б. Я., Переломов 4 М., Попов В. С. Релаксация квантового осциллятора. I, II.— Препринты ИТЭФ № 612, 618, 1968.
Зельдович Б. Я., Переломов А. М., Попов В. С.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1968, т. 55, с. 589; 1969, т. 57, с. 196.
Зельдович Я. Б., Питаевский Л. П., Попов В. С. и др.——Успехи физ. наук, 1971, т. 105, с. 780.
Зельдович Я. Б., Старобинский А. А.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1971, т. 61, с. 2161.
Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных: Пер. с нем.— М.: ИН, 1964.— 168 с.
Ивантер И. Г., Смилга В. 〃.一 Жури, эксперим. и теорет. физ., 1968, т. 54, с. 559.
Карасев В. 〃.，Шелепин Л. А.— Труды ФИАН, 1980, т. 124, с. 49.,
Кириллов А. А. Элементы теории представлений.——М.: Наука, 1978.— 344 с.
Клаудер Дж., Сударшан 9. Основы квантовой оптики: Пер. с англ.— М・：Мир, 1970.— 428 с.
Когерентные состояния в квантовой теории/Сб. статей——М.: Мир, 1972.— 232 с.
Костант Б.— Успехи мат. наук, 1973, т. 28, № 1, с. 163.
Ландау Л. 〃” Лифшиц Е. М. Курс теоретической физики в 10-ти т., Т. 1. Механика.— М.:①изматшз, 1958.— 206 с.
Ландау Л. Д.} Лифшиц Е. М. Курс теоретической физики в 10-ти т., Т. 3. Квантовая механика.— М.: Физматгиз, 1963.— 704 с.
Левин Б. Я. Распределение нулей целых функций.— М.: Гос-
Т. М., Шелепин Л. А.— ТрудыДйнамические симметрии и когеТ. М., Шелепин Л. А.— ТрудыДйнамические симметрии и когетехиздат, 1958.
Т. М., Шелепин Л. А.— Труды
Дйнамические симметрии и коге
Т. М., Шелепин Л. А.— Труды
Дйнамические симметрии и коге
Лизин И. М.? Махвиладзе ФИАН, 1976, т. 87, с. 21.
Малкин- И. М., Манько В. И.
рентные состояния квантовых систем.^- М；: Наука, 4979.— 320 с.
Мараулис Г. 4— Функцион. анализ и его прилож., 1969, т. 3, № 4, с. 89.
Маринов М. С, Попов В. С. — Ядерная физика, 1972, т. 15, с. 1271.
Махвиладзе Т. М.} Шелепин Л. А. — Труды ФИАН, 1973, т. 70, с. 120.
Молчанов В. G.— Функцион. анализ и его прилож. 1980, т. 14, № 2 с. 73
Монастырский М. И., Переломов А. М.— ДАН СССР, 1972, т. 207, с. 1303.
Наймарк К А. Линейные представления группы Лоренца.— М.: Физматгиз, 1958.— 376 с.
Нарожный Н. £, Никишов А, Я.— Ядерная физика, 1970, т. 11, с. 1072.
Фон Нейман Я. Математические основы квантовой механики: Пер. с нем.— М.: Наука, 1964.— 368 с.
Носов В. Г., Яковлева И. В. — Жури, эксперим. и теорет. физ., 1962, т. 43, с. 175.
Переломов А. М.~ Журн. эксперим. и теорет физ.} 1961, т. 40, с. 1418.
Переломов А. М., Попов В. С.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1966, т. 50. с. 179.
Переломов А. "., Попов В. С.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1968, т. 54, с. 1799.
Переломов Л. М.} Попов В. С.——Журн. эксперим. и теорет. физ., 1969, т. 56, с. 1375.
Переломов A, M.f Попов Е. С.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1969, т. 57, с. 1684.
Переломов А. М., Попов А С.— Теорет. и мат. физ., 1969, т. 3, с. 360.,
Переломов А. М.— Теорет. и мат. физ., 1971, т. 6, с. 213.
Переломов А. М — Функц. анализ и его прилож., 1972, т. 6, № 4, с. 47.
Переломов А. М.— Функц. анализ и его прилож., 1973, т. 7, № 3, с. 57.
Переломов 4 М — Теорет и мат. физ., 1973, т. 16, с. 303.
Переломов 4 М. Препринт ИТЭФ № 46.— М., 1974.
Переломов А. М — Теорет и мат. физ., 1974, т. 19, с. 83.
Переломов А. М — Успехи физ. наук, 1977, т. 123, с. 23.
Переломов А. М.— Ядерная физика, 1979, т. 29, с. 1688.
Попов В. С.—Журн. эксперим. и теорет. физ., 1972, т. 62, с. 1248.
Ритус В. Я.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1966, т. 51, с. 1544.
Ритус В. Я. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1969, т. 57, с. 2176.
Румер Ю. В.—Журн. эксперим. и теорет. физ., 1948, т. 18, с. 1081.
Сигал И. Математические проблемы релятивистской физики: Пер. с англ.— М.: Мир, 1968.
Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике.— М.: Советское радио, 1961.
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: Пер. с англ.— В 2-х т.— Т. 2.—就；Мир, 1967.— 752 с.
Филиппов Г. Ф., Василевский В. С., Чоповский Л. Л.— ЭЧАЯ, 1984, т. 15, выл. 6, с. 1338—1385.
Форд Л. Автоморфные функции.— М.— Л.: ОНТИ. 1936,— 340 с.
Хуа-Ло-Кен. Гармонический анализ функций многих комплексных переменных в классических областях.— М.: ИЛ. 1959.•
Чженъ Ш-Ш. Комплексные многообразия.— М.: ИЛ, 1961.— 240 с.
Шапиро И. С— ДАН СССР, 1956, т. 106, с. 647.
Шапиро 反 С. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1976, т. 70, с. 2050.
Шварц А. С—ДАН СССР, 1967, т. 173, с. 793.
Шелепин 〃. 4— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1968, т. 54, с. 1463.
Янсен Д.— Ядерная физика, 1977, т. 25, с. 897.
Arecchi F. Т., Courtens £., Gilmore Я., Thomas Н — Phys. Rev., 197厶 v. Аб, р. 2211.
Aronszajn А.— Trans. Amer. Math. Soc., 1950, v. 68, p. 337・
Anderson P. W.— Phys. Rev., (958, v. 112, p. 1900.
В aery Я., Grossman A., Zak Z— Phys. Rev., 1975, v. B12, p. 1118.
Bargmann V.— Ann. Math., 1947, v* 48, p. 568.
Bargmann R— Comm. Pure Appl. Math., 1961, v. 14, p. 187.
Bargmann V.— Rev. Mod. Phys., 1962, v. 34, p. 829..
Bargmann R— Comm. Pure Appl. Math” 1967, v. 20, p. 1.
Bargmann K— in: Analytic methods in mathematical physics. N. Y.: Gordon and Breach, 1970, p. 1.
Bargmann V., Butera A, Girardello 厶,Klauder 7. R— Reps. Math. Phys., 4971, v. 2, p. 221.
Bars /., Gunaydin M — Comm. Math. Phys., 1983, v. 91, p. 31.
Barut 4, Girardello £.— Comm. Math. Phys., 1971, v. 21, p. 41.
Bassichis W. H., Foldy L. L.一 Phys. Rev., 1964, v. A133, p. 935.
9. Bellissard /., Holtz Й.— J. Math. Phys., 1974, v. 15, p. 1275.
Bellman R. A brief introduction to theta functions. N. Y.: Holt, Rinehart and Winston, 1961.
Berezin F. 4—Comm. Math. Phys., 1975, v. 40, p. 153.
Berezin F. 4.— Comm. Math. Phys., 1978, v. 63, p. 131.
Bergmann S. The kernel functions and coniormal mapping, Math. Surveys No. 5, Amer. Math. Soc., 1950.
Boas R. R— Ann. Math., 1946, v. 47, p. 21.
Boas R. P. Entire functions. N. Y.: Acad. Press, 1954.
Boon M, Zak J., Zucker 7.一 J. Math. Phys., 1983, v. 24, p. 316.
Botke /., Scalapino 0., Sugar R.— Phys. Rev., 1974, v. D9, p. 813.
Cahill K — Phys. Lett, 1974, v. B53, p. 174.
Calogero 艮一J. Math. Phys., 1971, v. 12, p. 419.
HO. Carruthers P., Shih C.— Phys. Lett., 1983, v. В127, p. 242.
Carruthers R, in: Proc. XlV-th Intern. Symp. on Multiparticle Dynamics, World Sci. Publ. Co., 1984, p. 825.
Cartier P — in: Proc. Symp. Pure Math., v. 9, Algebraic groups and discontinuous subgroups. Providence, R. L: Amer. Math. Soc. 1966, p. 361.
Caves C., Thorne K” Drever R., Sandberg 7., Zimmerman M.— Rev. Mod. Phys., 1980, v. 52, p. 341.
Chung К— Phys. Rev., 1965, v. B140, p. 4410.
Cummings 艮,Johnston R— Phys. Rev., 1966, v. 151, p. 105.
Cur ci G., Greco M., Srivastava У.— Phys. Rev. Lett., 1979, v. 43, p. 834.
D'Ariano G” Rasetti M., Vadacchino M.— J. Phys.: Math. Gen., 1985, v. A18, p. 1295.
D'Ariano G., Rasetti M.— Phys. Lett., 1985, v. A107, p. 291.
Davies M.} Heller E — J. Chem. Phys., 1981, v. 75, p. 3919.
Delbourgo E.—J. Phys: Math. Gen., 1977, v. A10, p. 1837.
Delbourgo Л., Fox 7. /?.— J. Phys.: Math. Gen., 1977, v. A10, p. 1233.
Dicke R. H、一 Phys. Rev., 1954, v. 93, p. 99.
Dunne 厶，Clark A,, Brandas 历.一chem. Phys. Lett, 1983, v. 97, p. 573.
Eriksson K.-E., Skagerstam B-S.— Phys. Rev., 1978, v. D18, p. 3858.
Eriksson K-E., Mukunda M, Skagerstam B.-S.— Phys. Rev., 1981, v. D24, p. 2615.
Feldman A., Kahn A.— Phys. Rev., 1970, v. Bl, p. 4584.
Feynman E. P.— Phys. Rev., 1951, v. 84, p. 108.
Flammand G.— J. Math. Phys., 1966, v. 7, p. 1924.
Fock К A.— Zs. f. Phys., 1 施8, v. 49, p. 339.
Fowler G., Stelte M, Weiner R.— Nucl. Phys., 1979, v. A319, p. 349.
Fuller W.f Lenard A.— Comm. Math. Phys., 1979, v. 69, p. 99.
G&rding 厶一Proc. Nat Acad. Sci. USA, 1947, v. 33, p. 331.
Ghosh G., Dutta-Roy B.> Bhaumik D.— Plasma Phys., 1977, v. 19, p. 1051.
Gilmore /?*— Ann. Phys., 1972, v. 74, p. 391.
Gilmore H.— J. Math. Phys., 1974, v. 15, p. 2090.
Gilmore R— Phys. Lett., 1976, v. A55, p. 459.
Gilmore H., Bowden С. M.— J. Math. Phys., 1976, v. 17, p. 1617.
Gilmore R., Feng D.— Phys. Lett, 4978, v. B76, p. 26.
Gilmore H., Feng O.— Nucl. Phys” 1978, v. A301, p. 189.
Gilmore R.t in: Symmetries in Science, Plenum PubL, N. Y., 1980, p. 105.
Glauber R J. — Phys. Rev., 4 9 51, v. 84, p. 395.
Glauber R. J — Phys. Rev., 1963, v. 130, p. 2529.
Glauber R. 7. — Phys. Rev., 1963, v. 131, p. 2766.
Gochev 7. G.— Preprint JINR E17-84-253. Dubna, 1984.
Colden £— Phys, Rev., 1965, v. B137, p. 1127.
Gomatam J — Phys. Rev., 1971, v. D3, p. 1292.
Gordon 7. P., Walker L. R, Louisell W. H、— Phys. Rev., 1963, v. 130, p. 806.
Greco M., Palumbo 艮，Pancheri-Srivastava G., Srivastava У.— Phys. Lett., 1978, v. B77, p. 28(2.
Gross D.} Neveu A,一 Phys. Rev., 1974, v. D10, p. 3235.
Hammer C.} Shrauner 工，de Facto B.— Phys. Rev., 1978, v. D18, p. 378.
Harish-Chandra — Amer. J. Math., 1956, v. 78, p. 1.
Hedlund £— Duke Math. J., 1946, v, 47, p. 21..,
Heisenberg W., Euler H.— Zs. f. Phys., 1936, Bd. 96, S. 714.
Helgason S. Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces, N. Y.: Acad. Pres., 4978.
Hepp K, Lieb E. H — Ann. Phys., 1973, v. 76, p. 360; Phys. Rev., 1973, v, A8, p. 2517.
Holiday D, Glassgold A. E — Phys. Rev., 1965, v. A139, p. 1717.
Hollenhorst J.— Phys. Rev., 1979, v. D19, p. 1669.
15 8. Horn D., Silver H.— Ann. Phys., 19 71, v. 66, p. 509.
Husimi K~ Progr. Theor. Phys., 1953, v. 9, p. 381.
Itzykson C — Comm. Math. Phys., 1967, v. 4, p. 92.
Janssen A. Weighted Wigner distributions vanishing on lattices, Caltech preprint, Berkley, 1979.
Janssen A — J. Math. Phys., 1982, v. 23, p. 720.
Jevicki 4, Papanicolaou N.— Ann. Phys., 1979, v. 120, p. 107.
Kibble T. W.— J. Math. Phys., 1968, v. 9, p. 315.
Kibble T. W.— Phys. Rev., 1968, v. 173, p. 1527; v. 174, p. 1882; v. 175, p. 1024.
Kibble T* W — in: Mathematical Methods in Theoretical Physics, Gordon and Breach, N. Y., 1969, p. 387.
Klauder 工 R.— Ann. Phys., 1960, v. 11, p. 123.
Klauder J. R — Bell System Tech. J., 1960, v. 34, p. 809.
Klauder，A.—J. Math. Phys” 1963, v. 4, p. 1055; 1964, v. 5, p. 177.
Klauder，./?., McKenna J.— J. Math. Phys., 1964, v. 5, p. 878.
Klauder 丄 R.— Phys. Rev., 1984, v. A29, p. 2036.
Klauder J. R., Skagerstam B.-S. Coherent States, Applications in Physics and Mathematical Physics, World Sci. Publ. Co., Sin- ^apore, 1985, 911 p.
Kostant B.— in: Group representations in mathematics and phy- siks, ed. by V. Bargmann, Lecture Notes in Physics, v. 6, Berlin, Heidelberg, N. Y.: Springer, 1970, p. 237.
Landau L. D— Zs. f. Phys.j 1927, Bd. 45, S. 430.
Landau L. D.— Zs. f. Phys., 1930, Bd. 64, S. 629.
Langer，一 Phys. Rev., 1968, v. 167, p. 183.
Lax M.一 Phys. Rev., 1960, v. 145, p. 110.
Lehner J. Discontinuous groups and automorphic functions. Providence, R. I.: Amer. Math. Soc., 1964.
Leschke H., Stolze /” Moraweck M.— J. Phys. Math. Gen., 1980, v. A13, p. 1311.
Lewis H. R., Riesenfeld W. B.— J. Math. Phys., 1969, v. 10, p. 1458.
81. Lieb E. H.— Comm. Math. Phys., 1973, v. 31, p. 327.
Lieb E. Я.— Comm. Math. Phys., 1978, v. 62, p. 35.
Louisell W. H. Radiation and noise in quantum electronics. N. Y.: McGraw-Hill, 1965.
Majorana E.— Nuovo Cim., 1932, v. 9, p. 335.
Marinov M. S., Popov V. S.— Fortschr. Phys., 1977, Bd. 25, S 373
Martin J. L — Proc. Roy. Soc., 1959, v. A251, p. 543.
18 7. Mead L., Papanicolaou M— Phys. Rev., 1983, v. В28, p. 1633.
Mollow B. 7?.—Phys. Rev., 1967, v. 162, p. 1256.
Monastyrsky M. /., Perelomov A. M.— Reps. Math. Phys., 1974, v. 6, p. 1..,
Monastyrsky M.，” Perelomov A. M.— Ann. Inst. H. Poincare, 1975, v. 23, p. 23.
Moncrief K— Ann. Phys., 1978, v. 114, p. 201.
Montonen C — Nuovo Cim., 1974, v. A19, p. 69.
Narducci L. M., Bowden С. M., Coulter C. 4.—Lett. Nuovo Cim., 1973, v. 8, p. 57.
Narducci L. M.f Bowden C. M.} Coulter C. 4— Phys. Rev., 1974, v. A9, p. 829, p. 999.
Narducci Z., Bowden C.r Bluemel F., Garrazana G., Tuft R — Phys. Rev., 1975, v. All, p. 973.
von Neumann J.— Math. Ann., 1931, Bd. 104, S. 570.
Neveu 4, Papanicolaou M—Comm. Math. Phys., 1978, v. 58, p. 31.
Ni G.-J” Wang E-R— Phys. Rev., 4983, v. D27, p. 969.
Nieto M. M., Simmons L. M.f Gutschik 忆 R—Phys. Rev., 1981, v. D23, p. 927.
Nieto M. M.} in: Proc. Intern. Seminar on Group Theor. Methods in Physics, Zvenigorod 1962, Nauka, Moscow (1983), p. 174.
Ohnuki У., Kashiwa T.— Progr. Theor. Phys., 1978, v. 60, p. 548.
Onofri E.— J. Math. Phys., 1975, v. 16, p. 1087.
Papanicolaou TV.— Ann. Phys., 1981, v. 136, p. 210.
Paul R— Phys. Lett., 1983, v. A96, p. 263.
Parker L— Phys. Rev., 1969, v. 183, p. 1057.
Parker L— Phys. Rev., 1971, v. D3, p. 346.
Perelomov A. M.— Comm. Math. Phys., 1972, v. 26, p. 222.
Perelomov A. M.一 Phys. Lett., 1972, v. A39, p. 165.
Perelomov A. M.— Phys. Lett., 1972, v. A39, p. 353.
Perelomov A. M.一Comm. Math. Phys., 1975, v. 44, p. 197.
Perelomov A. M. Generalized. Coherent States and Their Applications, Springer — Verlag, 1986.
Poincare Я.— Acta Math., 1882, v. 1, p. 193.
Rabi 7. I.一 Phys. Rev., 1937, v. 51, p. 652.
Radcliffe Л M — J. Phys.: Math. Gen., 1971, v. A4, p. 313.
Rasetti 畋” Regge Z—Г Low Temp. Phys., 1973, v. 13, p. 249.
Rasetti 畋.一Intern. J. Theor. Phys., 1975, v. 13, p. 425.
Rasetti M — Int. J. Theor. Phys., (975, v. 44, p. 1.
Rayne 艮一Nucl. Phys” 1979, v. BI5 9, p. 244.
Rossi 工 Vergne K— J. Funct. Anal., 1973, v. 13, p. 324.
Ruhl W — Comm. Math. Phys., 1982, v. 83, p. 455.
Schrodinger £：.—Naturwiss., 1926, Bd. 14, S. 664
Schwinger Л— Phys. Rev., 1953, v. 91, p. 728.
Schwinger J.—J. Math. Phys., 1961, v. 2, p. 407.
Schwinger /.— Phys. Rev., 1973, v. D7, p. 1696.
Senitzky /. R—Phys. Rev., 1960, v. 119, p. 670.
Shankar 足一Phys. Rev. Lett, 1980, v. 45, p. 1088.
Shen У. R.—Phys. Rev., 1967, v. 155, p. 9 21.
Shi S.— J. Chem. Phys., 1983, v. 79, p. 1343.
Siegel C.厶一Ann. Math., 1945, v. 46, p. 708.
Simon B — Comm. Math. Phys., 1980, v. 71, p. 247.
Skagerstam B-S.— Zs. f. Phys., 1984, Bd. C24, S. 9*7.
Skagerstam В-S.— Journ. Phys. A., 1985, v. 18, p. 1.
Solomon A. /.— J. Math. Phys., 1971, v. 12, p. 390;
Stone M— Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1930T v. 16, p. 172.
Sudarshan E. C. G.—Phys. Rev. Lett., 1963, v. 10, p. 277.
Suzuki T—NucL Phys., 4983, v. A398, p. 557.
Takahashi У., Shibata 艮一J. Phys. Soc. Japan, £975, v.窮， p. 656.
Terenetyev M. 7 — Ann. Phys., 1972, v. 74, p. 1.
Thirring W— Lett. Math. Phys., 1980, v. 4, p. 67.
Thompson С. 7 — J. Math. Phys., 1965, v. 6, p. 1812.
Unruh W — Phys. Rev., 1978, v. D17, p. 1180.
Toyoda T., Wildermuth K.— Phys. Rev., 1980, v. D22, p. 2391.
Vinciarelli P.—Phys. Lett., 1975, v. B59, p. 380.
Vuillermot P.— Comm. Math. Phys., 1980, v. 7 6.
Wang У., Hioe 尸.一Phys. Rev., 1973, v. A7, p. 831.
Wehrl 4—Rev. Mod. Phys., 1978, v. 50, p. 221.
Wehrl A.— Reps. Math. Phys., 1979, v. 16, p. 353.
Weil A.— Acta Math., 1964, v. 113, p. 14 3.
Weyl H.— Zs. f. Phys., 1927, Bd. 46, S. 1.
Weyl H. Gruppentheorie und Quantenmechanik, Leipzig: Hirzel, 1928 (перевод: Вейль Г. Теория групп и квантовая механика: Пер. с англ.— М.: Наука, 1986).
Wigner 民 Р・—Phys. Rev., 1932, v. 40, p. 749.
Yaffe 厶.一Rev. Mod. Phys., 1982, v. 54, p. 407.
Zakharov V. E., Mikhailov A. V.— Comm. Math. Phys., 1980, v. 74, p. 21.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебра Гейзенберга ——Вейля, случай нескольких степеней свободы 61
，一 одиой степени свободы 13
Гипотеза Верля 244
—Либа 245
Группа вращений трехмерная 66
— Гейзенберга ——Вейля 12
,матричные элементы представлений 43
—, нормальное (виков- ское) и антинормальпое (анти- виковское) представления 41
——Ли осцилляторпая 57
—Лоренца 99
—метаплектическая 119
—пекомпактпая, представления дискретной серии 84
Диамагнетизм Ландау 232
Излучение синхротронное 239
Квазиэнергия 158
Квантование геометрическое 133
— по Березину 133
Коэффициенты Клебша — Гордана для группы SU(2), 79, 204
Круг Зигеля единичный 123
Матрица плотности 47
Мера иптегрирования в многомерном фазовом пространстве 61
в фазовой плоскости 19
Многообразие кэлерово однородное 147
Многочлены Лаггера 256
—Эрмита, интегральное представление 28
от двух переменных 177
Модель Гросса ——Неве 211
Неравенство Березина 39
Голдена — Томпсона 40
—Фейнмана 40
Оператор Казимира 58
Лапласа ——Бельтрами для плоскости Лобачевского 93
—массовый 239
—ядерный 39
Операторы рождения и уничтожения, бозевский случай 12 一 ，линейные канониче
ские преобразования 101
——,представление Фока — Баргмана 24—28
—— ——,фермиевский случай 127
Осциллятор, динамика 158
—,релаксация к равновесию 220
Предел квазиклассически й для представлений группы SU(2) 207
—— —— —— фермионных полей 215
энтропии 243
Представления класса I 108
Преобразование линейное каноническое 117
Проекция стереографическая 69
Разложение Гаусса 68
—единицы 19
Реализация Фока — Баргмана для гильбертова пространства 24
Решетка допустимая 62
——правильная 29
Рождение пар бозонов 182
фермионов 192
Символ оператора 36
вейлевский 44
Симметрия динамическая 156
Соотношение неопределенности для компонент момента количества движения 77
координаты и импульса 21
Соотношения перестановочные Гейзенберга, случай нескольких степеней свободы 60
—_ _, _ одной степени свободы 12
Состояния обобщенные когерентные, общее определение 50
Спин, рела1ссация к равновесию 229
Теорема Стоупа — фоп Неймана 16
Тета-функции 34
Уравнение Фоккера — Планка 222
Условия Римана — Фробениуса
Функции Вейерштрасса 36
——характеристические для распределения вероятности в фазовом пространстве 47
Функция зональная сферическая 93
Электродинамика квантовая, эффективный лагранжиан 236
Энтропия 242
Эффект де Гааза ——ван Альфе- па 233
Ядро Бергмана 150
—воспроизводящее 20
—орисферическое 96
—Пуассона 96
Список опечаток в книге Переломова А. М.
Стр.
Строка или формула
Напечатано
Должно быть
21
5 сверху
〈9〉
<?>
26
1 сверху
р =
р =
41
ф.(1.152)
04 (a3a)=…
Qa(a, а)=…
42
1 снизу
...exp(7<х — ^а)
…exp (та — ya)
43
ф. (1-166)
…一оT).
…一Ю。
45
ф.(［」77)
…JO-1 (а)=…
...JZ)-i (cc)三…
58
1 снизу
1 留=
璃=
61
ф. (3.11)
cxp^z) — exp (is I)Z>(a),
exp (局=exp (法 1)0(*
/9(а) = exp (аа+ — _аа).
0(a) = охр (аа+ — аа).
102
8 сверху
…+能"+岡，
…м + М),
105
Ф- (6.40)
(=ch т —...
=(ch т —
114
ф. (7.51)
{/（儿卄6即））
…（J（*T+6。仇））+ …
120
И снизу
..flj |0|| = 0.
aj |0〉= 0.
124
ф. (8.44)
■ • • =%(gE, gfg).
■ • ■ 富(g, E, gE),
144
1 сверху
八,E
148
ф. (10.74)
=而'
g£
196
17 снизу
...=Гр? + 7П,
…=Pp" +能
255
ф. (1.13)
1 а — а I2
1mШ1丨…
1 уmini 1
257
Ф- (2.11)
...（『一初...
...("一丝)...
*) Не случайно ф дается формулой (4.59). Это связано с тем, что сферу 52 = {п ： п2 — 1} можно рассматривать как фазовую плоскость для спина, причем спиновые когерентные состояния являются состояниями квазиклассическими.
**) В дальнейшем используется система единиц, в которой 亢==с = е = 1.
А.М.Переломов