ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ

Дается изложение основ теории устойчивости движения, базирующееся на общем курсе высшей математики для втузов. Основное внимание уделено наиболее аффективным методам исследования ——прямому методу Ляпунова, исследованию устойчивости по уравнениям первого приближения и частотным методам. Отдельные главы посвящены исследованию устойчивости движения по структуре действующих сил, устойчивости неавтономных систем, в том числе систем с периодическими коэффициентами, и систем автоматического регулирования.

Для студентов, аспирантов, преподавателей, инженеров и научных работников, изучающих и использующих теорию устойчивости движения в своей

работе.

Содержание

Предисловие6

Введение9

Глава I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ13

Основные определения13

Уравнения возмущенного движения18

Примеры на составление уравнений возмущенного движения23

Глава II. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА (АВТОНОМНЫЕ29

СИСТЕМЫ)

Функции Ляпунова. Критерий Сильвестра29

Теорема Ляпунова об устойчивости движения37

Теоремы об асимптотической устойчивости39

Теоремы о неустойчивости движения49

Методы построения функции Ляпунова53

Примеры на применение теоремы Ляпунова об устойчивости 57 движения

Примеры на применение теорем об асимптотической устойчивости 67 и неустойчивости

Глава III. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ И СТАЦИОНАРНЫХ 77 ДВИЖЕНИЙ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ

Теорема Лагранжа77

Обратимость теоремы Лагранжа81

Циклические координаты. Преобразование82

Стационарное движение и условия его устойчивости86

Примеры89

Глава IV. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ97

Постановка задачи97

Предварительные замечания98

Основные теоремы об устойчивости по первому приближению101

Критерий Гурвица106

ПримерыПО

Глава V. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ124

СИСТЕМ

. Введение124

5.2. Матрицы и основные действия с ними124

. Элементарные делители133

5.4. Устойчивость линейных автономных систем. Устойчивость142

резонанса. Примеры

Глава VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ СИЛ НА УСТОЙЧИВОСТЬ 150 ДВИЖЕНИЯ

Введение150

Классификация сил151

Постановка задачи163

Коэффициенты устойчивости168

Влияние гироскопических и диссипативных сил на устойчивость 170 равновесия потенциальной

Примеры на применение теорем Томсона — Тета — Четаева175

Устойчивость равновесия под действием одних гироскопических и 183 диссипативных сил. Пример

Влияние на устойчивость равновесия неконсервативных191

позиционных сил

Примеры исследования устойчивости движения систем с203

неконсервативными силами

Глава VII. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ214

Функции Ляпунова для неавтономных систем. Обобщенный214

критерии Сильвестра

Основные теоремы прямого метода для неавтономных систем 219 §7.3. Примеры нестроения функции Ляпунова для неавтономных систем 222 § 7.4. Достаточные условия асимптотической устойчивости системы, 224 жесткость и демпфирование которой нелинейны и зависят явно от времени

Устойчивость линейных систем с периодическими231

коэффициентами

Устойчивость решений уравнений Хилла и239

Примеры исследования устойчивости систем с параметрическим 254 возбуждением

Глава VIII. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА К 261 ИССЛЕДОВАНИЮ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Введение261

Дифференциальные уравнения возмущенного движения систем262

автоматического

Преобразование уравнений возмущенного движения системы 266 регулирования к канонической форме

Построение функции Ляпунова270

Определение условий абсолютной устойчивости. Пример277

Глава IX. ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ286

УСТОЙЧИВОСТИ

Введение286

Передаточные функции и частотные характеристики286

Критерий Найквиста устойчивости линейной системы290

Частотные критерии абсолютной устойчивости систем с292

непрерывной нелинейностью

Примеры296

Список литературы301

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемая читателю книга является одним из пособий, выходящих в издательстве «Наука» в качестве дополнения к курсу теоретической механики Н. В. Буте- нипа, JJ. Л. Лупца и Д. Р. Меркипа. Издание этих пособий связано с тем, что учащиеся некоторых втузов нуждаются в более подробном о，нпким,нснии с рядом важнейших проблем, чем это удалось сделать в основном курсее Книги, входящие в предлагаемую серию, посвящены именно таким проблемам: аналитической механике, теории устойчивости движения, теории колебаний, теории гироскопов, теории удара; и будущем этот перечень предполагается продолжить.

В Советском Союзе издано много книг [5, 6, 8, 16, 18, 21, 27, 28, 29, 35, 37, 49], в которых теория устойчивости движения излагается с различных точек зрения и с различной полнотой. Некоторые из этих книг являются не учебными пособиями, а научными монографиями. Книги же, построенные как учебные руководства, рассчитаны, как правило, на студентов математико-механических факультетов университетов, имеющих специальную математическую подготовку. Для лиц, знающих математику в объеме высшего технического учебного заведения, эти книги малодоступны.

Настоящая книга рассчитана в основном на студентов и преподавателей втузов, а также на инженеров и научных работников, использующих теорию устойчивости движения в своей работе. В связи с этим в книге применяется математический аппарат, не выходящий за рамки курса

математик% читаемого почти во всех высшпх технических учебных заведениях. Необходимые дополнительные сведения из курса математики приводятся в книге.

В целях упрощения изложения вначале рассматриваются автономные системы и только в седьмой главе изучается устойчивость движений неавтономных систем. С этой же целью доказательство некоторых теорем приведено в упрощающих предположениях. Во всех этих случаях оговаривается, в чем состоит упрощение и где можно найти доказательство, свободное от сделанных ограничений.

Основное внимание в книге уделено наиболее эффективным методам исследования устойчивости движения —— прямому методу Ляпунова и исследованию устойчивости по уравнениям первого приближения. Отдельные главы посвящены исследованию устойчивости движения по структуре действующих сил, устойчивости движения неавтономных систем, в том числе систем, возмущенное движение которых описывается линейными дифференциальны- ми уравнениями с периодическими коэффициентами.

В лосьмой главе излагается применение прямого метода Ляпунова к исследоватгию устойчивости систем автоматического регулирования и, пакопец, последняя, девятая глава посвящена применению частотных методов к исследованию устойчивости движения.

Учитывая, что лида, впервые изучающие теорию устойчивости движения, испытывают обычно затруднения в применении ее к решению практических задач, в книге большое внимапие уделено подбору и решению примеров, взятых из различных областей науки и техники; значительная часть примеров имеет самостоятельное значение.

В основу настоящего руководства положен курс лекций, читанный в течение ряда лет автором в Ленинградском государственном университете на факультете повышения квалификации преподавателей теоретической механики. Большое влияние на содержание и характер

книги оказали многочисленные консультации инженеров и научных работников научно-исследовательских институтов Ленинграда по различным вопросам теории устойчивости движения и ее приложений.

В настоящее, третье издание книги (первое издание вышло в свет в 1971 г., второе — в 1976 г.) добавлены новые примеры, в нем учтены некоторые работы, опубликованные после выхода второго издания, пересмотрен текст книги, исправлены замеченные опечатки.

При подготовке первого издания книги большую помощь автору оказали чл.-кор. АН СССР А. И. Лурье, чл.-кор. АН СССР В. В. Румянцев, доценты Б. А. Смольников и Б. Л. Минцберг. Большая часть девятой главы написана А. X. Гелигом. Много ценных замечаний сделал по второму и третьему изданиям чл.-кор. АН СССР В. В. Румянцев. Автор пользуется случаем выразить всем перечисленным лицам свою искреннюю благодарность.

Д. Р. Меркни

ВВЕДЕНИЕ

Проблемы устойчивости возникли впервые в механике при изучении равновесных положений системы. Простое наблюдение показывает, что некоторые положения равновесия системы устойчивы к небольшим возмущениям, а другие принципиально возможные равновесные положения практически не могут быть реализованы. Так, например, если маятник занимает пижнее положение, то небольшие возмущения могут вызвать только колебания его. Если же после некоторых, усилий удастся установить маятник в верхнем положении, то малейший толчок вызовет его падение. Конечно, в данном примере вопрос об устойчивости решается элементарно, но в общем случае далеко не всегда ясно, при каких условиях равновесное положение системы будет устойчиво. В 1644 г. критерий устойчивости равновесия системы тел, находящихся под действием сил тяжести, в общем виде сформулировал Е. Торричелли, а в 1788 г. Ж. Лагранж доказал теорему, определяющую достаточные условия устойчивости равновесия произвольной консервативной системы (см. § 3.1).

В середине XIX столетия в науке и технике возникли проблемы, потребовавшие постановки общей задачи об устойчивости не только равновесия, но и движения. Укажем на одну из них.

Центробежные регуляторы, установленные на паровых машинах небольшой мощности, устойчиво сохраняли заданные обороты двигателя. С увеличением мощности машин регуляторы, построенные по тем же схемам, не только не обеспечивали надежное регулирование, но даже разгоняли двигатели, создавая неустойчивый режим работы (см. пример 3 § 4.5). Это непонятное для инженеров и техников тех лет явление вызвало серьезный кризис в двп гателестроенил п потребовало усилий ученых многих стран для решения возпикшей проблемы. Исследования Дж. К. Максвелла (1868 г.), И. А. Вышнеградского

(1876—1877 гг.) и других показали, что решение как этой задачи, так и общее развитие теории регулирования требует, прежде всего, установления критериев устойчивости движения.

В конце XIX столетия появились работы, в которых вопросы устойчивости движения трактовались с общих позиций. Так, в 1877 — 1884 гг. были опубликованы монографии Э. Дж. Рауса [56, 571, а в 1882 г. — докторская диссертация Н. Е. Жуковского [20], в которых авторы, пользуясь различными методами, рассмотрели ряд общих вопросов устойчивости движения. Некоторые результаты и методы, развитые ими, не утратили своего значения и в наши дни.

Основной недостаток работ того времени состоял в том, что при анализе уравнений возмущеппого движения авторы исходили из л ипеар и зо в ап rn»i х урашгений возмущен- иого движения и ле рассматривали влияния членов высшего порядка. Та% например, если уравнения возмущенного движения имеют вид

то, согласно рекомендациям авторов тех лет, их можно упростить, отбросив нелинейные члены, т. е. заменить уравнения (*) уравнениями

и судить устойчиво или неустойчиво движение не по уравнениям (*), а по уравнениям (**). Между тем вывод об устойчивости движения, основанный на линейных уравнениях (**), ничего общего не имеет с результатом анализа точных уравнений (*) (см. пример на с. 20—21).

В 1892 г. была опубликована докторская диссертация А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения». Эта работа содержит так много плодотворных идей и результатов первостепенного значения, что всю историю теории устойчивости движения не без основания делят па доляпуновский и послеляпуновский периоды. В кратком введении невозможно дать обзор всего, что внес А. М. Ля-

пунов в теорию устойчивости движения. Полностью оценить его работу может только специалист, хорошо знающий предмет. Поэтому мы ограничимся здесь указанием на некоторые результаты, принадлс/кащие А. М. Ляпунову.

Прежде всего А. М. Л я пун о в дал строгое определение устойчивости движения. Отсутствие такого определения приводило часто к недоразумениям, так как движение устойчивое в одном смысле может оказаться неустойчивым в другом понимании этих слов, и наоборот. Определение А. М. Ляпунова оказалось настолько удачным, что оно принято как основное всеми учеными.

А. М. Ляпунову принадлежит постановка задачи об устойчивости движения по уравнениям первого приближения, когда об устойчивости можно судить по линеаризованным уравнениям без необходимости привлечения к анализу точных уравнений. Он дал полное решение этой задачи для так называемых установившихся движений, когда уравнения возмущенного движения не содержат время Zb явной форме, и для большого класса неустано- вившихся движений, причем особенно подробно им были изучены периодические движения. А. М. Ляпунов предложил два основных метода исследования устойчивости движения, из них второй метод, или, как сейчас принято называть его, прямой метод, получил наибольшее распространение благодаря своей простоте и эффективности. Он поставил вопрос об обратимости теоремы Лагранжа и доказал ее для двух частных случаев.

После Л. М. Ляпунова теория устойчивости движения развивалась по различным направлениям. Углублялись методы и уточнялись результаты самого А. М. Ляпунова, расширялся круг понятий, введенных А. М. Ляпуновым в теорию устойчивости движения, в частности, усилия многих ученых были направлены на определение условий устойчивости при больших начальных и постоянно действующих возмущениях, а также на конечном промежутке времени и при случайных силах. Возникло также направление т которое условно можно назвать прикладным. Речь идет не о многочисленных, ежедневно возникающих в науке и технике частпыv задачах, решаемых с помощью уже развитой теории, а о создании общих методов исследования устойчивости движения отдельных, достаточно обширных классов систем (системы автоматического регулирования, управляемые системы и т. п.).

Теория устойчивости движения широко применяется в физике, астрономии, химии и даже биологии (см., например, [466]). Особо важное значение 'теория устойчивости движения имеет для техники. Корабль, самолет, ракета при своем движении должны устойчиво сохранять заданный курс. Турбины, генераторы должны устойчиво сохранять заданный режим работы. Гироскопический компас должен устойчиво показывать направление географического меридиана и т. и.

В заключение отметим, что теория устойчивости движения еще далека от завершения. Она продолжает развиваться, охватывая все более широкий круг вопросов. В ее разработке принимают участие много ученых различных стран. Перечислить все имена практически невозможно, некоторые из них будут названы в тексте книги.

Г Л А В A I

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Основные определения

Обозначим через 九• • .，уп вещественные переменные, характеризующие состояние механической, электромеханической или какой-нибудь другой системы. Этими переменными могут быть координаты, скорости, токи, напряжения, температуры и т. п. или функции этих величин. Предполагается, что число переменных 近，…，沙冗 конечно и что движение системы (процесс изменения переменных у” •・•> уп во времени) опысывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые могут быть решены относительно производных по времени ')

等=У1 匂 1,t),

(1-1) dyn .

~成ё—7 n(处，уnч о,

В этих уравнениях У],・.・,У^ — известные функции переменных у1ч . . •, у^ и времени 力 удовлетворяющие условиям существования и единственности решения. Если все функции Ук не зависят явно от времени 力,то система называется автономной^ в противном случае ——неавтономной. Заметим, что при решении конкретных задач уравнения движения не обязательно приводить к виду (1.1), в частности, их можно представить как одно или несколько уравнений высшего порядка.

Некоторое вполне определенное движение системы, подлежащее исследованию на устойчивость, называется невозмущенным движением. Невозмущенному движению системы отвечает определенное частное решение

У1 = /1…？/儿=Лг (О(I?)

Формулы нумеруются двумя числами: первое число означает номер главы, второе — номер формулы в этой главе.

дифференциальных уравнений (1.1), удовлетворяющее начальным условиям:

при / — ^о* 沙1 = /1 (%),*••, Ун ~ fn (%)•(L3)

Изменим условия (1.3), дав начальным значениям переменных 九...,уп небольшие по модулю приращения %, . .%, а именно пусть теперь

при / 二"：■% ^ /1 (幻 + q, . . ., Уп = fn 伍)+ 8n.

(1.4)

Движение системы, отвечающее измененным начальным условиям (1.4), называется возмущенным движением, а величины £「 . . ., £几——возмущениями.

Обозначим значения переменных у$ в возмущенном движении через у；(£), а в невозмущзнном движении через 力(Е) и составим разности между ними

Zj = У; (г) — /； (0 (/ = 1, . .п).(1.5)

Переменные Xj называются отклонениями или вариациями величин 力.Если все отклонения равны нулю, то есть

况］=0, g = 0, . . хп = От(1.6)

то возмущенное движение у，(Е) будет совпадать с невоз- мущенным движением 力(%), иначе говоря, невозмущенному движению отвечают нулевые значения переменных Xj,

В дальнейшем для удобства изложения будем пользоваться часто языком геометрии. Совокупность отклонении %н . . ., хп в /г-мерном пространстве переменных хи .... хп определяет точку М (она называется изображающей точкой) 1). В возмущенном движении при из- менении величин %i,.・., хп изображающая точка М будет описывать некоторую траекторию у. Невозмущен-

В обычном трехмерном евклидовом пространстве совокуп- ность трех чисел £】,z2, £3 определяет точку М. Обобщая это понятие, под точкой М в п-мерном пространстве переменных ^, . . 匕九 понимают совокупность п чисел %「...,忆九. Расстояние г от зто" точки до начала О ортогональной координатной системы。勺g • хп определяется равенством

г Гw彳+吟.

Продолжая обобщение понятий, сутцествуюпах в обычном трех- мерном евклидовом 'пространстве, говорят, что всякое уравнение / (勺,...,2九)二()определяет в пространстве 儿 измерений некоторую поверхность, в частности, уравнение к； + ...十 徹^ ~- г2 определяет в 汽-морном пространстве сферу радиуса г.

ному движению 况『 = 0 и/пвечает неподвижная точка —— начало координат.

Отклонение возмущенного движения от невозмущенного движения определяется величинами Xj (i). Если все Xj (i) малы по модулю, то будет мала и сумма их квадратов

^1十词+ •…十^n - _ 2?3；(L7)

5=1

если же отклонение хотя бы одной координаты будет велико, то сумма (1.7) будет велика. Обратное утверждение, очевидно, также справедливо. Поэтому в качестве меры otfюнения возмущенного движения от невозмущенного движения можно выбрать величину суммы (1.7). Так как сумма (1.7) равна квадрату расстояния от изображающей точки М до начала координат, то это расстояние характеризует отклонение возмущенного движения от невозмущенного.

Согласно определению возмущенного движения и равенствам (1.4), (1.5), будем иметь

при t = %: 书=xQj =力 (/ = 1,..・,?г), (1.8)

т. е. начальные значения отклонений ^оу представляют возмущения системы.

Примем следующее определение Ляпунова. Если по любому положительному числу % как бы оно мало ни было, можно найти такое положительное число 6, что при sc兄左е/ бозмущени兄г а。/, удовлетворяющих условию

S4<s,(1.9)

и при любом 力》% будет выполняться неравенство

,(1.10)

то невозмущенное движение устойчиво, е противном случае — неустойчиво.

Геометрически это определение означает следующее. Рассмотрим сферу Ен^ = 8. Выберем радиус |Ае этой сферы произвольно малым. Если движение устойчиво. то для этой сферы должна найтись другая сфера £/； = 6 радиуса У6, обладающая следующим свойством. Изображающая точка М, начав свое движение из любого положения Мо, лежащего внутри или на поверхности сферы

Рис.Рис.М с течениемМ с течением

Рис.

Рис.

М с течением

М с течением

§i), при своем дальнейшем движении остается всегда внутри сферы £, никогда не достигая ее поверхности (рис. 1.1)). Если же возмущенное движение неустойчиво, то хотя бы одна траектория изображающей точки

времени пересечет сферу з изнутри наружу

при сколь угодно близком положении точки М к началу координат.

Практически устойчивость данного невозмущенного движения означает, что при достаточно малых начальных возмущениях возмущенное движение будет сколь угодно мало отличаться от невозмущенного движения. Если же невозмущенное движение неустойчиво, то возмущенное движение будет отходить от него, как бы малы ни были начальные возмущения.

Если невозмущенное движение устойчиво и при этом любое возмущенное движение при достаточно малых начальных возмущениях стремится к невозмущенному

движению, т. е. если

(1.11)(1.11)lim，W (%) = 0,

(1.11)

(1.11)

то невозмущенкое движение называется асимптотически устойчивым. Заметим, что одного предельного условия (1.11) недостаточно для асимптотической устойчивости —— необходимо, чтобы помимо этого условия движение было устойчивым. Геометрически это означает, что при асимптотической устойчивости изображающая точка должна неограниченно стремиться к началу координат, не выходя из сферы з (см. пример на с. 20—21).

Кроме пространства отклонений ^17 . . ., хп рассмотрим пространство исходных переменных 沙工,•・•, уп- Совокупность значений уъ . . ., уп определяет в этом пространстве некоторую точку N. Пусть в невозмущенном движении (1.2) точка N описывает траекторию I, а в возму-

щенном движении — траекторию II (рис. 1.2, а). Возьмем на этих траекториях две произвольные точки N м Л\ отвечающие одному и тому же моменту времени 九 Квадрат расстояния г между этими точками равен

产=W (%一力)2 = W碌

При устойчивом движении траектория II близка к

траектории I (г всегда меньше е), а при асимптотической

устойчивости траектория II неограниченно стремится к траектории I (рис. 1.2, 6).

Близость траекторий I и II——необходимое условие устойчиво- сти движения, но оно, конечно, недостаточно. Действительно, расстояние между точками N и №, отвечающими одному и тому же моменту времени, может возрастать не только для расходящихся, но и для близких траекторий (рис. 1.2, е).

Может оказаться, что

движение, устойчивое относидвижение, устойчивое относительно одних переменных, неустойчиво относительно

движение, устойчивое относи

движение, устойчивое относи

других. Так, можно показать, что движение искусственного спутника Земли по круговой орбите устойчиво относительно его радиуса-вектора (орбитальная устой

чивость) и неустойчиво относительно декартовых координат. Поэтому, говоря об устойчивости движения, необходимо всегда оговаривать, относительно каких величин рассматривается устойчивость.

В тех случаях, когда асимптотическая устойчивость имеет место при любых возмущениях (не обязательно малых), невозмущенное движение называется устойчи

вым е целом.

Иногда устойчивость имеет место не при любых возмущениях, а при возмущениях, подчиненных некоторым условиям. Такая устойчивость называется условной.

Остановимся на особенностях определения устойчивости движения по Ляпунову. Во-первых, предпола-

гается, что возмущения налагаются только на начальные условия, иначе говоря, возмущенное движение происходит при тех ?ке силах (источниках энергии), что и невозмущенное движение. Во-вторых, устойчивость рассматривается на бесконечно большом промежутке времени. В-третьих, возмущения предполагаются малыми. Несмотря на эти ограничения, определение Ляпунова устойчивости движения является эффективным и плодотворным в приложениях. Кроме того, методы, развитые Ляпуновым, очень часто лежат в основе исследования других видов устойчивости движения I).

Уравнения возмущенного движения

В тех случаях, когда известно общее решение дифференциальных уравнений движения (1.1 )7 можно непосредственно определить значения церемонных 力⑴ в возмущенном движении, составить вариации ^ 匸 =У/ (力)——fj (О и, исследуя их, решить вопрос об устойчивости невозмущенного движения /；(力).

Однако в подавляющем большинстве случаев общее решение дифференциальных уравнений движения (1.1) неизвестно^ поэтому этот метод практически редко может быть использован. Но даже в тех случаях, когда общее решение дифференциальных уравнений (1.1) можно построить, ответ на вопрос —— з^стойчиво ли движение, целесообразно, как правило, искать не из анализа общего решения, а с помощью методов, специально разработанных в общей теории устойчивости движения. Эти методы основаны на качественном анализе дифференциальных уравнений возмущенного движения, которым удовлетворяют отклонения (вариации) Xj.

Устойчивость движения при постоянно действующих возмущениях излагается в книгах И. Г. Малкина [37], Н. Н. Красовского [27], Е. А. Барбашина [5] и др. В книгах Е. А. Барбашина [5, 6] и книге Н. Н. Красовского [27] рассматривается устойчивость в целом (см. § 2.3). Устойчивость движения на конечном интервале времени и конечных начальных возмущениях излагается в книгах Н. Г. Четаева [49] и К. А. Карачарова, А. Г. Пплютика [25]; задача об устойчивости движения со случайными параметрами рассматривается в работе И. Я. Каца, Н. Н. Красовского [26] и др. Устойчивость систем с последействием (с запаздыванием времени) излагается в книге Н. Н. Красовского [27]. Подробные обзоры ра~ бот гго исследованию устойчивости методом построения функций Ляпунова, устойчивости неголономных систем и устойчивости на конечном интервале даны в [2а, 46а, 1а] соответствеппо.

Для вывода уравнений возмущенного движения найцем из равенства (1.5) переменные 勿⑴：

;/； (0 = Л (0 + g (小

Внесем эти значения для у： (£) в дифференциальные уравнения движения системы (1.1). Получим

df- dx.

1^~ — Yj (/1 + ^1» ■ • M fn + 才?2, О-

Разложим правые части этих уравнений в ряды Тейлора по. степеням 力广】)

"j丄d弓一~dF 十 FT —"j丄d弓一~dF 十 FT —=%（/1,…，.工 方）+=%（/1,…，.工 方）+

"j丄d弓一

~dF 十 FT —

"j丄d弓一

~dF 十 FT —

=%（/1,…，.工 方）+

=%（/1,…，.工 方）+

где X；——совокупность членов, зависящих от отклонений xi в степени выше первой.

Учтем теперь, что в невозмущенном движении функции 力⑺ должны удовлетворять уравнениям движения (1.1), т. е.

讃=У； (Л,.. /п, 0 (/— I,---,初

На этом основании будем иметь

■成 ~ 〃〃？工 + - • • + ajn^ 十 Xj (/ = 1, •… 初(1.12)

В этих уравнениях коэффициенты

…(含L0/3)

в общем случае являются функциями времени t, в частности, они могут быть постоянными.

Уравнения (1.12) называются дифференциальными уравнениями возмущенного движения. Если в этих уравнениях отбросить члени X；, то полученные при этом уравнения

一彳:，二；a'?‘工 T Q心；г? t，. . .-卜〃加Nji(/= I»•••,儿)(].[4)

называются уравнениями первого приближения.

Здесь и в дальне)1п1см предполагается, что функции, разлагаемые в ряды, удовлетворяют соответствующим требованиям.

Уравнения первого приближения во многих случаях дают верный ответ на вопрос об устойчивости движения, но очень часто заключение, которое можно получить из этих приближенных уравнений, ничего общего не имеет с решением исходных уравнений.

Приведем пример. Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид (а — const)

威-(U5)

^. = ахl + a匕2 У ^^ + ^!.

Умножим первое уравнение на 片】,второе на х2 и сложим почленно оба уравнения:

ИЛИ

Положим %； + %： = г2, где г ——расстояние от начала координат до изображающей точки. После перехода к новой переменной г будем иметь

dr^ з

dt или

Это уравнение легко интегрируется, и его общее решение имеет вид

г =,

—« — h)

где г0 — значение г при 方=用.

Из этого решения видно, что при а〉0 расстояние г от изображающей точки М до начала координат неограниченно возрастает при 方—％ 十 , т. е. движение неустойчиво. (Заметим, что lim г2 = = 0, т. е. условие (1.11) выполнено, хотя движение неустойчиво.) Если ясе сс V 0, то г монотонно убывает, стремясь к нулю при 力一 г оо, т. е. движение асимптотически устойчиво.

Рассмотрим теперь уравнения первого приближения

которые получаются из уравнений (1.15) отбрасыванием членов порядка выше первого.

Для этих уравнений вместо равенства 户 = аг? будем иметь

или, интегрируя, г = г0.

Это решение показывает, что изображающая точка М, отвечающая уравнениям первого приближения, движется по окружности, радиус которой равен начальному отклонению точки М от начала координат. Таким образом, из уравнений первого приближения следует устойчивость невозмущенного движения хг = х2 — 0 при всех а. Этот вывод ничего общего не имеет с результатом анализа исходных уравнений (1.15), согласно которому при а〉0 движение неустойчиво, а при а < 0 асимптотически устойчиво.

Вернемся к уравнениям возмущенного движения (1.12). Обозначив все члены, стоящие в правых частях этих уравнений, символами Xj, получим для неавтономных уравнений возмущенного движения

d jXj (汇1,.…，7孔,方)(/1,一.，整).(1.16)

Если уравнения возмущенного движения автономны, т. е. не содержат время t явно, то будем иметь

dj =二 Xj (з, • •., -^n)*(1.17)

В дальнейшем совокупность уравнений возмущенного движения мы будем называть часто просто системой. Таким образом, уравнения (1.16) определяют неавтономную^ а уравнения (1.17) автономную системы (урав- пений возмущенного движения).

Форма дифференциальных уравнений возмущенного движения (1.16) или (1.17) называется нормальной, а движения, определяемые этими уравнениями, называются неустановившимися и установившимися движениями соответственно.

В дальнейшем для сокращения записи совокупность отклонений 力1, •・.,хп будем часто обозначать одной буквой х (в главе V этому будет дано смысловое обоснование). В соответствии с этим для автономной Системы будем иметь

Xj — Xj/)二二 Xj (»

а ц-ля неавтономной системы

2“ = 0)2“ = 0)кую интерпретацию.кую интерпретацию.при 勺—gпри 勺—gИз вывода уравнений возмущенного движения видно,

2“ = 0)

2“ = 0)

кую интерпретацию.

кую интерпретацию.

при 勺—g

при 勺—g

X； (0, 0 三 0.(1.18)X； (0, 0 三 0.(1.18)все функции Xj обращаются в нуль:

X； (0, 0 三 0.(1.18)

X； (0, 0 三 0.(1.18)

Нормальная форма дифференциальных уравнений возмущенного движения допускает простую геометричес- Действительно, как уже отме

чалось, в возмущенном движении изображающая точка М описывает в пространстве /^ ..・,%九 некоторую траекторию у. Скорость U движения точки М направлена по касательной к этой траектории, а ее проекции определяются равенствами г)

) Если ех, . . ., еп — единичные векторы ортогональной системы О%】,...,тп, то разложение любого вектора。по координатным ортам в n-мерном пространстве имеет вид

а =。1©1 十.・.+ лпеп,

где а】,...,ап ——проекции вектора а на соответствующие оси. Модуль а вектора а определяется равенством

。W + 即，

dt dt 1 丁山 ndt dt 1 丁山 nпроизводная da/dt вектора % будет

dt dt 1 丁山 n

dt dt 1 丁山 n

а ее проекции

Радиус-вектор г изображающей точки М равен

а ес скорость

dt dt丁 dt n

или, пользуясь уравнениями (1.16),

U* = Xi,…，Un = X®(1.19)

Следовательно, правые части нормальных уравнений возмущенного движения (1.16) равны проекциям скорости 77 изображающей точки М (рис. 1.3).

В заключение отметим, что при решении конкретных задач уравнения возмущенного движения можно не приводить к нормальной форме (1.16) или к виду (1.12), в частности, их можно представить как одно или несколько уравнений высшего порядка.

1.3. Примеры на составление уравнений возму^ценного движения

Поясним общие методы составления дифференциальных уравнений возмущенного движения на трех примерах.

Пример 1. ДифференциальныеПример 1. Дифференциальныеуравненияуравнениявозмущенного движения конического маятника. Рассмотрим материальную точку М массой т, подвешенную на невесомой нити ОМ к точке。(сферический маятник). Будем считать, что длина нити равна I. Положение точки М будем определять углами 屮 и 6, значения которых видны на рис. 1.4 (ось Os вертикальна, ось хг параллельна неподвижной горизонтальной оси 汇, прямая MN перпендикулярна оси Oz).Кинетическая и потенциальная энергиивозмущенного движения конического маятника. Рассмотрим материальную точку М массой т, подвешенную на невесомой нити ОМ к точке。(сферический маятник). Будем считать, что длина нити равна I. Положение точки М будем определять углами 屮 и 6, значения которых видны на рис. 1.4 (ось Os вертикальна, ось хг параллельна неподвижной горизонтальной оси 汇, прямая MN перпендикулярна оси Oz).Кинетическая и потенциальная энергиисферического маятника определяются ствамисферического маятника определяются ствамиравен-равен-Г = g mZ3 (б2 -卜』2 sin2 9), П = mgl (1 — со 0).Пользуясь уравнениями ЛагранжаГ = g mZ3 (б2 -卜』2 sin2 9), П = mgl (1 — со 0).Пользуясь уравнениями Лагранжа(1.20)(1.20)d 8Т _8Тd 8Т _8ТОН d dT。8 * dt @jОН d dT。8 * dt @j

Пример 1. Дифференциальные

Пример 1. Дифференциальные

уравнения

уравнения

возмущенного движения конического маятника. Рассмотрим материальную точку М массой т, подвешенную на невесомой нити ОМ к точке。(сферический маятник). Будем считать, что длина нити равна I. Положение точки М будем определять углами 屮 и 6, значения которых видны на рис. 1.4 (ось Os вертикальна, ось хг параллельна неподвижной горизонтальной оси 汇, прямая MN перпендикулярна оси Oz).

Кинетическая и потенциальная энергии

возмущенного движения конического маятника. Рассмотрим материальную точку М массой т, подвешенную на невесомой нити ОМ к точке。(сферический маятник). Будем считать, что длина нити равна I. Положение точки М будем определять углами 屮 и 6, значения которых видны на рис. 1.4 (ось Os вертикальна, ось хг параллельна неподвижной горизонтальной оси 汇, прямая MN перпендикулярна оси Oz).

Кинетическая и потенциальная энергии

сферического маятника определяются ствами

сферического маятника определяются ствами

равен-

равен-

Г = g mZ3 (б2 -卜』2 sin2 9), П = mgl (1 — со 0).

Пользуясь уравнениями Лагранжа

Г = g mZ3 (б2 -卜』2 sin2 9), П = mgl (1 — со 0).

Пользуясь уравнениями Лагранжа

(1.20)

(1.20)

d 8Т _8Т

d 8Т _8Т

ОН d dT

。8 * dt @j

ОН d dT

。8 * dt @j

составим дифференциальные уравнения движения сферического маятника:

加20 —加2屮 sin 9 cos 0 + mgZ sin 0 — 0,

m^ sin2 0 + 2ml^^> sin 0 cos 6 = 0,

или, после очевидных упрощений,

9 — — — sin 0 千-ф2 sin 0 cos О,

.(1.21)

@ = — 29ф etg 仇 Полоншм

е =力，® =沙2, 0= Уз-(1.22)

Теперь уравнения движения сферического маятника принимают вид уравнений (1.1):

岁2 =—手 Sin ух 抬 sin yi cos %,(1.23)

：з = —2у2Узс№ 力.

Рассмотрим дшикение маятника по горизонтально расположенной окруяшости с постоянной скоростью (конический маяпшик). В этом случае будем иметь

О = yL — /1 (%)二 а const,

G =二 ^2 = /2 ⑺=。，(1.24)

ip -—■ уз ~ /3 (z) —— co const.

Подставив эти значения для у1? у2 H Уз в (1.23), получим из второго уравнения (первое и третье уравнения обращаются в тождества)

со2 cos а .(1.25)

Конечно, это условие, которому должны удовлетворять параметры конического маятника, можно получить из элементарных соображений, например, применяя принцип Даламбера.

За невозмущенное движение примем движение, определяемое равенствами (1.24). В соответствии с общей теорией положим

*=a十勺，g2 =方2,g3 = 3 +方3(1.26)

и внесем эти значения для у^ г/211 Уз в уравнения (1.23). У читывая, что а и (о ——постоянные, получим дифференциальные уравнения возмущенного движения в нормальной форме (1.17):

/1 -得

伊2 =tin (а + 胃О 十(ш + 窓)2 sin (ot 十方工)соз (а + 方露(1.27)

心=—2汇？ (co - j- *3)etg (а Xj).

Легко видеть, что правые части этих уравнений обращаются при 胃1 =賓纟=・丁3 = ° в нули (во втором уравнении нужно учесть равенство (1.25)), т. е. они удовлетворяют условиям (1.18). Разлагая правые части в ряды по степеням 厘丄,х2 и /3 и ограничиваясь членами первого порядка малости, получим уравнения первого

приближения

%=方2，

牙2 = —оз? sin2 a% + co sin 2cc-t3,(1.28)

% = —2co ctg a

при этом учтено равенство (1.25).

В следующем примере будет показано, что при составлении дифференциальных уравнений возмущенного движения можно не прибегать к уравнениям движения системы в форме (1.1).

Пример 2. Дифференциальные уравнения возмущенного движения центра масс и с- кусственного спутника Земли. Будем предполагать, что на спутник действуют только силы притяжения Земли, приводящиеся к одной равнодействующей 尸，приложенной к центру масс спутника, причем модуль ее определяется законом всемирного тяготении:

尸="^.(1-29)

Здесь 卩=g7?2 = fм — гравитационный параметр Земли (Л — ее радиус, g ——ускорение силы тяжести на поверхности Земли, М —— ее масса, / — гравитационная постоянная), г 二-ОС ——расстояние от центра Земли О до центра масс С спутника, т — его масса.

Рассмотрим равномерное движение центра масс искусственного спутника по круговой орбите радиуса г0, лежащей в плоскости л (рис. 1.5, а). Такое движение называется также стационарным движением искусственного спутника Земли (см. § 3.4). Параметры, определяющие стационарное движение спутника, должны удовлетворять следующему условию, непосредственно вытекающему из второго закона Ньютона (znrQa)2 = ^т/г^):

3齿(1.30) где(о = ср = const ——угловая скорость вращения радиуса-вектора г0 спутника в стационарном движении.

Предположим, что на это движение спутника Земли наложены некоторые возмущения (это равносильно тому, что при отделении спутника от последней ступени ракеты незначительно нарушены условия, которые должны были обеспечить движение искусственного спутника по круговой орбите радиуса г0, лежащей в плоскости л). В результате наложенных возмущений спутник начнет совершать возмущенное движение, в частности, орбита уже не будет круговой, движение не будет происходить в плоскости л, угловая скорость 屮 вращения радиуса-вектора не будет равна 联卩/才.

Для составления уравнений возмущенного движения спутника построим систему отсчета Oxyz^ координатная плоскость ху которой совмещена с плоскостью орбиты в стационарном движении, т. с. с плоскостью л. Положение центра масс С искусственного спутника в возмущенном движении будем определять сферическими координатами г, ф, 0 (рис. 1.5, 6). Кинетическая Т и потенциальная П энергии спутника определяются равенствами (в сделанных предположениях вращательное движение спутника не влияет на движение его центра масс и, следовательно, из рассмотрения может быть исключено):

Т = (Г2 4- гг92 + г2 со.2 9ф2), П = —у.— . (1.31) 2 г

Имея в виду изучить устойчивость стационарного движения искусственного спутника относительно величин г, г, 0, 6 и 屮,составим уравнения возмущенного движения. Для этого воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода:

d дТ _дТdt д]. dq.d дТ _дТdt д]. dq.ад叱ад叱g尸 г, 9, ф).g尸 г, 9, ф).

d дТ _дТdt д]. dq.

d дТ _дТdt д]. dq.

ад

叱

ад

叱

g尸 г, 9, ф).

g尸 г, 9, ф).

Составим сначала уравнение для координаты г. Имеем ££ = тиг, — — = mr, = шт92 + mr со. 2 8сг2,

@П _ Цтп

Внеся полученные выражения в уравнение Лагранжа для координаты j найдем

mr — mr^2 — mr cos2 0(p2 =—卩上，

или, сократив на массу m и положив г = г。十 汇 н 屮=со + у, получим уравнения возмущенного движения искусственного спутника (уравнения для 0 и ф получены аналогично)

£ 一(⑴ + 汇)ё2 一(⑴ + 工)COS2 0-((0 + y)2 = - -_,

(「0 + /)2

(г。+ 化)© + 2它@ + (го + 工)cos 8 sin 8 • ® + у)? = 0,(1.32)

^ [(入+ 汇产 cos2 0-((о + у)] = 0.

Прежде чем привести эти три диффе р енци а л ьны х уравнения возмущенного движения спутника Земли (два из них второго порядка, а одно ——первого) к нормальному виду, введем для общности новые обозначения:

=/1，仍工/2， 8 =?3，e = /4， . У =忆5,

Внеся эти выражения в уравнения (1.32) и решив их относительно производных, получим дифференциальные уравнения возмущенного движения в нормальной форме:

（小十工1）2（小十工1）2匸(Го+ /1)[匕;+ СО$2& (со 十 g)2]—

（小十工1）2

（小十工1）2

g,g,(1.33)

g,

g,

= -2 —窃"4 " 一亏(⑴-卜/5户 sin 2◎(,

Го十/2

=-2 —^——(w + 厘5)+ 2费(Со + а) tg 眼. го + ^i

Легко видеть, что правые части этих уравнений обращаются в нуль при /] = . . . = %5 = 0, т. е. они удовлетворяют условиям (1.18) (во втором уравнении нужно учесть равенство (1.30)). Разлагая правые части в ряды и ограничиваясь членами первого порядка относительно /], . . ., %5, получим дифференциальные уравнения первого приближетпгя возмущенного движения искусственного спутника Земли:

2,

= 3(Ai + 2ro ⑴％,dt

(1.34)

При выводе этих уравнений было принято во внимание равенство (1.30).

Пример 3. Уравнения возмущенного движения линейных систем. Рассмотрим важный для приложений случай, когда движение системы описывается неоднородными линейными дифференциальными уравнениями

一』"力加+県(’) 佇=1,2, . 一，吟 (1-35)

где afc； и 网—заданные функции времени (в частности, они могут быть постоянными числами).

Предположим, что требуется определить устойчивость какого- либо движения этой системы 厶(力),...,fn (力).Воспользуемся равенствами (1.5): 5履 =/履 十 ^. После подстановки в уравнения (1.35) получим

Учитывая, чт力，• • •, Лг удовлетворяют уравнениям

найдем

г1：2 akfj (/с = 1, 2, . . n).(1.36).

Таким образом, уравнения возмущенного движения линейнот! неоднородной системы представляют однородную часть уравнений движения (1.35). Анализ последних н решает вопрос об устойчивости движения .% =九(力二二九(О-

ГЛАВА II

ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА (АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ)

. Функции Ляпунова. Критерий Сильвестра

Одним из наиболее эффективных методов исследования устойчивости движения является прямой метод Ляпунова (очень часто этот метод называется вторым методом Ляпунова). В этой главе прямой метод будет изложен для автономных систем (неавтономные системы рассматриваются в гл. VII).

Изучение прямого метода начнем с рассмотрения некоторых вещественных функций V (/) = V (хг, • • •, хп), определенных в области

2W&",(2.1)

где 卩—постоянное положительное число.

Предполагается, что в области (2.1) эти функции оОнозначны, непрерывны и обращаются в нуль, когда все 第1, . • ., хп равны нулю, т. е.

V (0) = 0.(2.2)

Если в области (2.1) функция V кроме нуля может принимать значения только одного знака, то она называется знакопостоянной (соответственно положительной или отрицательной). Если же знакопостоянная функция обращается в нуль только в том случае, когда все х15 ... ...,хп равны нулю, то функция V называется знакоопределенной (соответственно определенно-положительной или определенно-отрицателънои). Функции, принимающие как положительные, так и отрицательные значения, называются знакопеременными функциями. Введенные таким образом функции V, используемые для исследования устойчивости движения, называются функциями Ляпунова.

Рассмотрим два примера.

Функция

0 二e；十5з；

при л：］ и /2, не равных нулю одновременно, принимает положительные значения и обращается в нуль только при хг = х2 — 0. Следовательно, эта функция определенно-положительна. В пространстве 胃1，况2, У поверхность V =①;+ 5%： расположена по одну сторону от плоскости %i,忆2, касаясь ее только в начале координат (рис. 2.1, а).

” 2. Функция

y = e； 一 2w2 +W=(勺-&产

не может принимать отрицательные значения, но в нуль она обращается не только в начале координат /【=犷纟=°, но и на прямой

*i = *2,卩 = °・ Следовательно, эта функция положительна, но не определенно-положительна. В этом случае поверхность У = (%】 —— ——工2户 в пространстве 工】，&, V также находится по одну сторону плоскости 汇1,汇2, но касается ее не в одной точке, а по прямой 胃】= =&, V = 0 (рис. 2.1, 6).

Из определения и этого примера видно, что положительную (отрицательную) функцию в указанном смысле можно назвать также неотрицательной (неположительной) функцией. Из сделанных определений видно, что знакоопределенная функция имеет при хх = , . , ~ хп = — 0 экстремум (минимум для определенно-положитель- ной функции и максимум для определенно-отрицательной функции). Знакопостоянная же функция в начале координат экстремума не имеет, так как в окрестности начала координат имеются точки, в которых функция V принимает значения, равные 卩(0) = 0 (во втором примере эти точки расположены на прямой хх =况2，卩=С).

Остановимся на признаках, с помощью которых можно определить характер функции V. Прежде всего заметим, что знакоопределенная функция V должна содержать все переменные 况卜...,第几・ Действительно, пусть, на-

пример, функция V не содержит переменную /”・ Тогда при 况1 = •..=期т = 0, £几 六 0 функция V будет 'обращаться в нуль, что недопустимо для знакоопредрлен- ных функций.

Пусть знакоопределенная функция V = V (к) непрерывна вместе со своими производными. Тогда при /]=...=力外=0 она будет иметь изолированный экстремум и, следовательно, все частные производные первого порядка, вычисленные в этой точке, будут равны нулю (необходимые условия существования экстремума)

° «)• (2.3)

Разложим функцию V в ряд Маклорена по степеням

3=1厶'=1 J=1

где точками обозначены члены высшего порядка. Учитывая соотношения (2.2) и (2.3), получим

ТЕЕ с*产犬芍 + • • •(2.4)

7=1 亍=1

Здесь постоянные числа с〃『—с* определены равенствами

(2・5)

Из формулы (2.4) видно, что разложение знакоопределенной функции V в ряд по степеням /» .・.,хп не содержит членов первой степени.

Предположим, что квадратичная форма

工Cg%(2.6)

K=1

принимает положительные значения и в нуль обращается только при хх = . , . ^= хп ~ Q, Тогда вне зависимости от членов высшего порядка при достаточно малых по модулю n『функция V будет принимать также положительные значения и в нуль она бгнет обращаться только при 况1 = • • •= 力疆 = 0. Таким образом, если квадратт-

ная форма (2.6) определенно-положительна, то и функция V будет определенно-положительной.

Рассмотрим матрицу коэффициентов квадратичной формы ⑵ 6)

(2.7)(2.7)

(2.7)

(2.7)

и составим из нее п главных диагональных миноров (в матрице (2.7) они окантованы пунктиром)

Ai = си,Ai = си,си • • • ст (2.8)

Ai = си,

Ai = си,

* Спп

В линейной алгебре доказывается следующий критерий Сильвестра [9, 14]: для того чтобы квадратичная форма с вещественными коэффициентами была определенно-положительной^ необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры А“ Д2, . . ., Ап матрицы ее коэффициентов были положительны, т. е.

Ai> О, А?> 0, . . ., А「0.(2.9)

Из сказанного следует, что критерий Сильвестра (2.9) для квадратичной части функции V является достаточным (но не необходимым) условием определенной положительности самой функции V.

Если функция V определенно-отрицательна, то функция ——V будет определенно-положительной. Поэтому достаточным условием определенной отрицательности функции V будет критерий Сильвестра (2.9) для матрицы ——С. Этот критерий имеет вид

Ai < 0, А2 > 0, A3 V 0,・..， (2.10)

е. определители А； должны последовательно чередовать знак, причем знак А】=с” должен быть отрицательным.

В качестве примера рассмотрим функцию

卩=1 + sin2 xt — cos (勺一&).

Разложим эту функцию в ряд по степеням /【и х2. Имеем

Slll^ %i:= Д'； -!- • • ., COS (右1 —胃2)-r13 1 - ^~ (虞1 -%2)2,

где точками обозначены члены, содержащие хх и х2 в степени выше второй. Внося эти выражения для sin2 ^x и cos (хх —— 忆?) в функцию 匕 получим

V = 1 + %； - 1__ (勺-片2产 + .一

или, упрощая,

P = "^ (36 一 2/& + 忆3)+ .…

Составим матрицу коэффициентов квадратичной части функции V (по главной диагонали стоят коэффициенты при квадратах переменных, элементы с12 и с21 равпы половине коэффициента при произведении 勺况2)：

и

Вычислим теперь главные диагональные миноры:

Ai = 3, △2 = ]_：1 = 2・

Отсюда следует, что условие Сильвестра выполнено (все А» > 0) и поэтому рассматриваемая функция V в окрестности нуля определенно-положительна. Заметим, что на всей плоскости х^ функция 卩 только положительна, так как при 汇】=厘？=冗度 车 ° (几=1, 2, . . .) она обращается в нуль.

Может оказаться, что разложение знакоопределенной функции V в ряд по степеням ①匕.• ., хп начинается не с членов второго, а с членов более высокого порядка. К сожалению, общих приемов исследования функции на знакоопределенность в этом случае нет, но можно указать на один необходимый признак: разложение знакоопределенной функции в ряд по степеням 况力几 не может начинаться с членов нечетной степени (для членов первой степени это было уже показано (см. примечание к формуле (2.4)). Действительно, пусть разложение знакоопределенной функции V в ряд по степеням N〔, • . хп начинается с членов (2* + 1)-й степени, где к — целое положительное число. Положим х2 ~ ... ...=хп = а】. При этих значениях g функция V примет вид

卩=4戸+及产

Здесь А и В постоянные, а точками обозначены члены порядка выше 2* + 2. При хъ достаточно малом по мо- 2 耳.Р. Меркин

дулю, знак функции V будет совпадать со знаком первого члена. Но этот член меняет знак при изменении знака хг. Следовательно, при 4*0 функция V будет знакопеременной, что доказывает сделанное замечание.

Перейдем к изучению свойств функции К Покажем прежде всего, что если функция V знакоопределенна я, то поверхность V (/】,...,h?J = с замкнута.

Рис. 2.2

При доказательстве, не нарушая общности, можно считать, что функция V определенно-положительна. Возьмем сферу W器 = 卩 m пусть I — наименьшее значение функции V на этой сфере, так что на сфере 卩 функция V удовлетворяет неравенству

Число 2 больше нуля, так как функция V определенноположительна и, следовательно, на сфере 卩 она не может принимать нулевые или отрицательные значения.

Построим поверхность Т = с, выбрав число с V 2. Будем двигаться из начала координат О по произвольной прямой OL до сферы 卩(рис. 2,2, а). При этом перемещении функция V будет меняться от нуля до некоторого числа 7ц, большего с (так как 几》2〉с)・ Слэдовательно, в силу непрерывности в некоторой промежуточной точке М функция V принимает значение, равное % т. е. прямая OL пересекает в этой точке поверхность 卩=с. Так как прямая OL произвольна, то эта поверхность замкнута.

Заметим, что свойство замкнутости поверхности Р = с справедливо только для знакоопределенных функций. Для знакопостоянных или знакопеременных функций поверхности V — с разомкнуты.

Из этого доказательства вытекают два следствия:

Если I с 丨〉I Q I, т。поверхность V = сг находится внутри поверхности V = г, причем обе поверхности не имеют общих точек (функции V по определению однозначны) (рис. 2.2, 6). .

Если изображающая точка М перемещается в сторону возрастания определенно-положительной функции V, то траектория этой точки пересекает поверхности

Рис. 2.3

Р = с изнутри наружу, а при движении в сторону убывания фз^нкции V — снаружи внутрь (для определенноотрицательной функции картина обратная). Конечно, в общем случае все эти свойства справедливы только в достаточно малой окрестности нуля.

Выберем на поверхности У (х) = с произвольную точку 71/ и вычислим в этой точке вектор grad V:

grad ' =工報，(2.H)

где 出,е2, . . en — орты осей 况匕 д，■ • •， ^п-

Известно, что вектор grad V направлен по нормали к поверхности Р = с в точке М в сторону возрастания функции V. Из этого следует, чю вектор grad V направлен во внешнюю часть поверхности V — с, если функция V определенно-положительна (рис. 2.3, а), и внутрь поверхности V ^ с, если функция V определенно-отрицательна (рис. 2.3. 6).

Одновременно с функцией V будем рассматривать се полную производную V по времени 兀 взятую в пред- 2*

положении, что переменные g удовлетвиряют дифференциальным уравнениям возмущенного движения (1.17). Имеем

т> dV dV . . 9V .. dV .

0 =丁 = E 6 十朝 C2 + …+ 百 Cn,

или, учитывая уравнения (1.17),

户=察％ +礬 Xz + ... + ^Х”.(2.12)

Напомним теперь, что величины Х『равны проекциям скорости U изображающей точки М, а производные dV」тт

—проекциям grad И. Поэтому правая часть равенства (2.12) равна скалярному произведению векторов U и grad V % т. е.

Г - СТ-grad У.(2.13)

Знание производной 庐 функции V позволяет наглядно проследить за движением изображающей точки. Действительно, пусть в данный момент времени i изображающая точка М занимает некоторое положение. Выберем какую- нибудь определенно-положительную функцию V и построим поверхность V ~ с, проходящую через точку М. Затем по формуле (2.12) вычислим в этой точке производную 0 функции 7. Рассмотрим три возможных случая.

В данном положении точки М производная 庐 отрицательна

Из этого следует, что функция V убывает, т. е. точка М переходит внутрь поверхности V — с (следствие 2, с. 35). Этот вывод можно получить и из равенства (2.13). Так как 庐 V 0, то из формулы (2.13) заключаем, что угол между скоростью U изображающей точки М и

Скалярное произведение двух векторов а и & в n-мерном пространстве равно, так же как и в обычном трехмерном пространстве, сумме произведений одноименных проекций

СЬ *Ъ == d^&j ~р a2b2 ~Н . * ■ ~Н Ад&7J.

Угол между двумя векторами определяется равенством Q・b ~ ab cos а,

где а и & ——модули векторов а и&. Угол а острый, если。•匕〉О, прямой, если。•方=0, и тупой при。•匕 V 0.

градиентом функции V тупой. Учитывая, что для определенно-положительной функции V вектор grad V совпадает с внешней нормалью к поверхности 卩=% заключаем, что вектор U направлен внутрь этой поверхности. Иначе говоря, траектория изображающей точки М пересекает поверхность V ~ с снаружи внутрь (рис. 2.4, а).

Рис. 2.4

В данном положении точки М производная 户=0. Скалярное произведение U • grad V равно нулю, угол между этими векторами прямой, траектория изображающей точки касается поверхности V ~ с (в частности, она может целиком лежать на этой поверхности).

В данном положении 户〉0. Функция V возрастает, траектория изображающей точки пересекает поверхность Р = с изнутри наружу (угол между векторами U и grad V острый) (рис. 2.4, 6).

Теорема Ляпунова об устойчивости движения

Теорема. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию V, производная которой 0 в силу этих уравнений была бы знакопостоянной функцией противоположного знака с F, или тождественно равна нулю, то невозмущенное движение устойчиво.

Доказательство. Выберем произвольное, достаточно малое положительное число £〉0 и построим сферу £舒==8. Затем построим поверхность V ~ с, лежащую ннутрн сферы е (рис. 2.5). Это можно всегда сделать,

Phj 2.5или тождественно равна очевидного тождестваPhj 2.5или тождественно равна очевидного тождества

Phj 2.5

или тождественно равна очевидного тождества

Phj 2.5

или тождественно равна очевидного тождества

3838гл. п. прямой метод Ляпунова

38

38

так как функция V непрерывна и равна нулю в начале координат. Выберем теперь число 6 настолько малым, чтобы сфера W/扌 = б целиком лежала внутри поверхности Р = % не имея с ней общих точек. Покажем, что

изображающая точка М, начав движение из сферы 6, никогда не дойдет до сферы е, что и будет служить доказательством устойчивости движения.

Не нарушая общности*, можно считать, что функция V определенно-положительна (если V V 0, то можно взять функцию -二【)По условию теоремы ее производная, вычисленная в силу урависний возмущенного движения, будет отрицательной функцией ^лю, т. е. 0 & 0. Тогда из

(2.14)(2.14)V — Fo~ F dt,

(2.14)

(2.14)

где Vo ——значение функции V в начальной точке Мо, будем иметь

F - 70 < 0или

Из этого неравенства следует, что при 力 > £()изображающая точка М либо находится на поверхности V = =Vo = с± (при 0 三 0), либо находится внутри этой поверхности (рис. 2.5). Таким образом, изображающая точка М, начав движение из положения Мо, находящегося внутри или на поверхности сферы 6, никогда не выйдет за пределы поверхности Р = q и тем более не сможет достигнуть поверхности сферы е. Это доказывает теорему.

Доказательство теоремы можно проиллюстрировать чисто геометрическими соображениями. Из условия 卩《0 следует, что траектория изображающей точки М войдет внутрь поверхности У = q или будет лежать на этой поверхности (см. окончание § 2.1, рис. 2.4 и 2.5). В дальнейшем траектория изобрая<ающей точки М не сможет

перейти во внешнюю часть поверхности『=q, так как по условию теоремы производная Г удовлетворяет неравенству 0 £ 0 во всех точках окрестности нуля (для выхода наружу из поверхности V =. =с】 нужно, чтобы неравенство 旷 > 0 выполнялось хотя бы в одной точке).

Применение основных теорем прямого метода подробно будет рассмотрено в § 2.6и§ 2.7, а сейчас приведем небольшой пример чисто иллюстративного характера.

Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид

步 1 = 一/]3*，, #2 =一勺£2 一 ^2, Возьмем определеино-положитсльпуто функцию

и вычислим ее производпую по времени в силу уравнении возмущен- пого движения. Имеем

dVdtdVdtTli'l 卜 72?"2，Tli'l 卜 72?"2，

dVdt

dVdt

Tli'l 卜 72?"2，

Tli'l 卜 72?"2，

Подставляя вместо 力 и .^2 их значения из уравнений возмущенного движения, получим

0=勺(一勺+ 3©+& (一勺3 一冲=一(勺—心)2.

Так как функция 7 определенно-положительна, а ее производная 0 ——отрицательная функция, то на основании доказанной теоремы Ляпунова можно утверждать, что невозм5гш,енное движение 力1 = 0, %2 = 0 рассматриваемой системы устойчиво. В § 2.3 (с. 45), пользуясь другой теоремой, мы докажем более сильное утверждение, а именно, что это движение не просто, а асимптотически устойчиво.

Теоремы об асимптотической устойчивости

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию И, производная которой 0 s силу этих уравнений была бы знакоопределенной функцией противоположного знака с V, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

Доказательство. Прежде всего заметим, что выполнены все условия теоремы Ляпунова об устойчивости движения и, следовательно, изображающая точка не выйдет из поверхности Р = q (рис. 2.5). Однако в теореме .об асимптотической устойчивости условия более сильные —— производная U не может то；кдествртпто равняться нулю и даже более — н нуль она обращается только в начале координат (так как 户 знакоопределенная, а не знако-

постоянная функция). Поэтому изображающая точка М сразу после начала движения входит внутрь поверхности V = q.

Не нарушая общности, будем, как и раньше, считать, что функция V определенно-положительна. По условию теоремы ее производная F определенно-отрицательная функция. Из неравенства

следует, что функция К, оставаясь положительной, монотонно убывает. Это означает, что функция V имеет предел % 戸 0. Иначе говоря, изображающая точка М стремится с внешней стороны к предельной поверхности У = с2 (рис. 2.6).

Покажем, что с2 = 0, т. е. поверхность У = с2 вырождается в точку — начало координат. Предположим, что 4 声 0. Тогда в замк- нутой области, заключенной между поверхностями 卩=q и V ~ с3, функция 0 по условию теоремы будет отрицательна. Обозначим че- —точную верхнюю границу в этой

области, причем Z / 0, так как функция 0 обращается в нуль только в начале координат. По определению точной верхней границы имеем

У—2.

Воспользуемся теперь тождеством (2.14)

V = Vo + ^dt.

Учитывая соотношение 0 & —Z, получим неравенство

V^V0—^ldt

или, интегрируя,

0《几-2 (方-方0).

Согласно этому неравенству, функция V с течением времени сделается отрицательной, что невозможно, так

§ 2,3. ТЕОРЕМЫ ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ 41 как по условию теоремы функция V определенно-положительна. Полученное противоречие возникло из сделанного допущения, что с2 #= 0. Таким образом, с^ = 0 и изображающая точка асимптотически стремится к началу координат, что доказывает теорему.

Проиллюстрируем теорему небольшим примером. Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид

电=一%2 + 忆丄方2 一 /； 専 方1汇鼠

Возьмем функцию 卩 в следующей форме:

У = _^_.(3尤;一 2gg + 喲*

Эта функция оиределенно-лолоясительна (условие Сильвестра для нее проверялось на с. 33). Вычислим полную производную по времени от этой функции:

0 = (3& —— &)纟 --(忆1 —— х2) %.

Внесем сюда значения 丕】и 丕？ из уравнений возмущенного движения и сгруппируем члены 0 = —3先：+ 2^т2 ——2^- Составим матрицу коэффициентов этой функции, считая за переменные %； и х2:

Г? -И-

Имеем

Ai=-3<0,A2 = ]-：；] = 5>0.

Выполнен критерий (2.10), и, следовательно, производная 户一определенно-отрицательная функция относительно 汇;и х2 (тем самым и относительно xj и х2). На основании последней теоремы Ляпунова невозмущенное движение (хх ~ 0, х2 = 0) асимптотически устойчиво.

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости предъявляет очень высокие требования к функции V и к ее производной 0 (они должны быть знакоопределенными функциями разных знаков). Н. Н. Красовский показал, что требования, налагаемые на производную F, могут быть ослаблены.

Пусть производная 卩(花)функции V (^), вычисленная в силу уравнений возмущенного движения (1.17), является не знакоопределенной, а только знакопостоянной функцией переменных /. Обозначим через К многообразие (множество, совокупность) точек из области (2.1),

в котором 户=0, причем в это многообразие не включается начало координат / = 0, где 0 = 0 всегда. Многообразие К может представлять поверхность, линию, их комбинацию и т. п.

Теорема Красовского об асимптотической устойчивости. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения (1.17) можно найти определенно-положительную в области (2.1) функцию V такую, что ее производная V удовлетворяет 6 этой области двум условиям', 1)7<0 вне К,

0 = 0 на, К,

V=&V=&где К — многообразие точек^ не содержащее целых траекторий системы при 0《力 V 8, то невозмущенное дви- жение асимптотически устойчиво.

V=&

V=&

V=cfV=cfСтрогое аналитическое доказательство этой теоремы можно найти в книге Н. Н. Красовского [27] и в третьем 、了 дополнении редактора 2-го издания книги И. Г. Малкина [37]. Мы же ограничимся наглядной геометрической иллюстрацией теоремы.

V=cf

V=cf

Рис. 2.7Рис. 2.7Обозначим через М изображающую точку дифференциальных ура

Рис. 2.7

Рис. 2.7

внений (1.17) возмущенного движения. По условию теоремы во всех точках окрестности нуля D & О (U < О вне А и F — 0 на К). Из этого следует, что траектория у изображающей точки М в области (2.1) не может пересечь поверхность V ~ с изнутри наружу (см. с. 35). Если точка М находится вне многообразия К, то ее траектория 7 будет пересекать замкнутые поверхности V = Cj снаружи внутрь. Действительно, по условию теоремы функция V определенно-положительна, а вне К производная 0Vo (рис. 2.7 х)). Предположим теперь, что при своем движении изображающая точка М попала на многообразие К. Очевидйо, что на этом многообразии

На рис. 2.7 многообразие К имеет условное изображение.

точка М движется по поверхности Р = q (на К производная 户=0). Так как многообразие К не содержит целых траекторий системы, то точка М должна покинуть это многообразие^ причедг в месте схода траектория у, касаясь поверхности V = &, войдет внутрь нее (ибо вне К она пересекает эти поверхности снаружи внутрь — см. рис. 2.7).

В дальнейшем точка М может снова попасть на многообразие К и будет двигаться по новой поверхности V (/) —(?з, расположенной ближе к началу координат,

чем поверхность V(^) = с2 & < Q，так как после схода точки М с поверхности V — с2 производная 户 V 0 % следовательно, функция V убывает). Этот процесс может неоднократно повторяться, причем изображающая точка М будет неограниченно приближаться к началу координат (строгое доказательство теоремы сводится по существу к аналитическому описанию этого процесса).

Из приш'дсчшого обосш)ва1£ия теоремы Кргюовского видно, в чем состоит отличие в новедетши функции V в условиях его теоремы от повед(чшя этой функции в условиях теоремы Ляпунова. Для асимптотической устойчивости теорема Ляпунова требует, чтобы при t f g функция V стремилась к нулю монотонно (рис. 2.8, а); Красовский ослабил это условие и показал, что для асимптотической устойчивости функция V может стремиться к нулю не монотонно, а ступенчато (на рис. 2.8,6 горизонтальные участки графика функции V соответствуют нахождению изображающей точки М на многообразии К).

Остановимся кратко на определении условий, при выполнении которых многообразие К не будет содержать целых траекторий дифференциальных уравнений возмущенного движения (1.7).

Выбрав определенно-положительную функцию V, вычислим ее производную 0. Предположим, что производная не определенно-отрицательная, а просто отрицательная функция, т. е. она может принимать помимо отрицательных также и нулевые значения. Совокупность тех значений /],・・・,хп, при которых производная F обращается в нуль (кроме начала координат) определяет многообразие К, На вопрос, содержит или не содержит это многооб

разие целые траектории уравнений (1.17), можно во многих случаях ответить непосредственной проверкой. Для этого достаточно внести уравнение многообразия (если его можно написать в явном виде) в дифференциальные уравнения возмущенного движения. Если при этом уравнения обращаются

в тождества, то многообразие К содержит целые траектории; в противном слу

чае не содержит.

В тех случаях, когда многообразие К представляет некоторую поверхность

Р Зи ・…/п) = О,

достаточно составить скалярное произведение U *grad F, где U ——скорость изображающей точки М.

Если это произведение тождественно равно нулю, то скорость U будет все время перпендикулярна к grad F, т. е. к нормали поверхности F = 0. Это означает, что траектория у изображающей точки М лежит всеми своими точками на этой поверхности (рис. 2.9). Таким образом, для того чтобы целые траектории дифференциальных уравнений возмущенного движения (1.17) не принадлежали поверхности F = 0, достаточно, чтобы скалярное произведение U • grad F не равнялось нулю тождественно [37]

U.grad 歹=У Xj 手呆0.(2.15)

Пример. В § 2.2 были рассмотрены следующие дифференциальные уравнения возмущенного движения:

牙I = ——方1 + 3方:, 营2 = 一Х1Х2 一 宓?.

Определенно-положительная функция

y = % (宕+圖

имеет в силу уравнений возмущенного движения отрицательную производную

0 = 一 (人 — 学户.

Так как производная 户 не определенпо-отрицательная, а просто отрицательная функция, то теорему Ляпунова об асимптотической устойчивости применить нельзя. Попытаемся воспользоваться теоремой Красовского. Множество К найдем, приравняв производную 户 к нулю:

f = / —吗=О

(на плоскости 方】,宓2 это парабола).

Составим скалярное произведение (2.15)

" а 门 V ^F . v dFU-grad F = Xi+ X2

илн, подставляя соответствующие величины и учитывая, что на К 忆1 ~也

U-gradb =(一4 + 3w)，1 + (一勺方2 - W)(一2方2)= 2w + 4制.

Это выражение не обращается в нуль (точка 宓=0, как обычно, исключается), поэтому многообразие F = q — «г； = 0 не содержит целых траекторий. Теперь видно, что выполнены все условия теоремы Красовского об асимптотической устойчивости. Действительно: 1) функция V определенно-положительна; 2) производная 0 на К равна нулю, а вне К она отрицательна； 3) многообразие К не содержит целых траекторий. Следовательно, рассматриваемое движение асимптотически устойчгго.

Теорема Ляпунова и обобщение Красовского устанавливают достаточные условия асимптотической устойчивости в малом, т. е. при малых начальных возмущениях. Е. А. Барбашину и Н. Н. Красовскому принадлежит теорема, определяющая достаточные условия асимптотической устойчивости при любых начальных возмущениях.

Теорема Барбашина ——Красовского. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти определенно-положительную функцию V (%), удовлетворяющую условию

lim V (х) = 8,(2.16)

производная которой, вычисленная в силу этих уравнений^ удовлетворяет при всех х двум условиям:

1)2)1)2)户 V 0 вне К,V ~ Q на К^

1)

2)

1)

2)

где К ——многообразие точек, не содержащее целых траекторий системы при 0《力 V °°, ^。 невозмущенное движение / = 0 устойчиво е целом (символ % -> оо 6 равенстве (2.16) означает, что хотя 6从 одна координата д・ стремится к бесконечности по любому закону).

Не останавливаясь на доказательстве этой теоремы (см., например, [5, 6, 27]), покажем необходимость условия (2.16). При доказательстве теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости решаютцее значение имеют два свойства знакоопределенных функций V:

в окрестности нуля поверхности V (х) = с замкнуты;

неограниченное стремление знакоопределенной функции V (х) к нулю свидетельствует о стремлении изображающей точки к началу координат.

При рассмотрении устойчивости в целом необходимо учитывать, что координаты 况卜 могут принимать большие по модулю значения (хотя бы в начале движения). Поэтому, если условие (2.16) не выполнено, то может оказаться, что поверхности V (%) = с, замкнутые при достаточно малых \xk I，будут разомкнуты при больших | 片卜 | . В результате значения функции V (况)могут убывать, а изображающая точка не будет стремиться к началу координат.

+ 2у,+ 2у,Не вдаваясь в подробный анализ, поясним сказанное примером, взятым из [6]. Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид dx _2®

+ 2у,

+ 2у,

di = 一(1+72产 dy —2x

d方 (1 +方2)2(1 +胃 2户

Функция

очевидно, определенно-положительна, а ее производная, вычисленная в силу уравнений возмущенного движения,

b= -4b= -4a+喲:(1+超产」a+喲:(1+超产」

b= -4

b= -4

a+喲:(1+超产」

a+喲:(1+超产」

определенно-отрицательна на всей плоскости (х, у).

На основании теоремы Ляпунова можно утверждать, что невоз- лущенное движение % = 0, у = 0 асимптотически устойчиво при малых начальных возмущениях. Однако теорему Барбашина ——Красовского об устойчивости движения в целом применить нельзя, так как условие (2.16) не выполнено. Действительно, при е —> оо и g = 匸 а = const функция V стремится к 1 + «2, а не к бесконечности, как требует условие (2.16).

Покажем, что система (2.17), асимптотически устойчивая в малом, не является устойчивой в целом. Для этого рассмотрим поверхности

V — ―-— + у2 = с,

или, решая относительно у,

У「±1 + 二

f1十才2

Отсюда видно, что при 0 < с < 1 поверхности Р (%) 二 с будут замкнуты, а при с〉1 — разомкнуты (рис. 2.10).

Рассмотрим теперь кривую

У =2 + =^(2.18)

1 +

и найдем угловой коэффициент касательной к этой кривой

На криво!! (2.18) дифференциальные уравнения возмущенного движения (2.17) имеют вид

色' dt色' dt2 т(t + 吟22 т(t + 吟2+4 ++4 +21+ь221+ь2

色' dt

色' dt

2 т

(t + 吟2

2 т

(t + 吟2

+4 +

+4 +

2

1+ь2

2

1+ь2

*=-（『:彳子一 （1，/）2-（4十匸》）

Отсюда найдем угловой коэффициент касательной к траектории у системы (2.17) в точках кривой (2.18)

后* =也=_2%.方( 1+％"

dx (1 十 a-2)24-1-22%

十］+宓2一(十/)2

Сравнивая с выражением для к, получим

lim^ =lim^ =1彳1彳<л<л

lim^ =

lim^ =

1

彳

1

彳

<л

<л

Следовательно, найдется такое достаточно большое положительное число % что при всех х^ х± будет выполняться неравенство

1^*1 <1^1

(из выражений для к* и к видно, что при достаточно больших 宓 оба коэффициента отрицательны).

Рассмотрим далее область G, определенную неравенствами (рис. 2.10)

1

方>&>£1, y > 2 + 彳 + /

где 宓2 удовлетворяет соотношению

—崑*(2.19)

(+QI 丿

Область G имеет следующие свойства.

Изображающая точка М системы (2.17), перемещаясь по интегральной кривой у, не может пересечь кривую (2.18) изнутри наружу, так как для этого необходимо, чтобы в точке пересечения угловые коэффициенты удовлетворяли условию | 论* |〉］论 | , а при % > 宓1 имеет место неравенство | 左* I V | 左 | .

Изображающая точка М системы (2.17), попав в область G, удаляется все время вправо от ее левой границы х ~ х2 (рис. 2.10). В самом деле, при а; > а：2 из неравенства (2.19) следует, что

2方у ,

(1 + 呼 V4 (宓2 достаточно велико).

Теперь, пользуясь определением области G, из первого уравнения системы (2.17) последовательно получим

dx2 宓2т22

石 =一 一(1十忆2产 + 2心—d十%i + 4 + T+爹 > 1+%2 > °»

что доказывает возрастание абсциссы 宓 изображающей точки М системы (2.17).

Из свойств 1 и 2 следует, что если начальная точка MQ находится в G, то интегральная кривая не выйдет из этой области. Это свидетельствует об отсутствии устойчивости в целом.

Теоремы о неустойчивости движения

Ляпунову принадлежат две теоремы о неустойчивости движения. В 30-х годах нашего столетия Четаев обобщил эти теоремы и доказал теорему, из которой как частный случай вытекают теоремы Ляпунова. Поэтому мы начнем с изложения теоремы Четаева.

Пусть вещественная непрерывная и однозначная функция V (%) по-прежнему определена в области (2.1) где |i ——постоянное положительное число.

Совокупность значений переменных 力工,• •.,片几 из этой области, удовлетворяющих неравенству

Рис. 2.11Рис. 2.11У ⑺ > о, называется областью V ^> 0, а поверхность V = 0 — границей области V >0. Предполагается, как и прежде, что V (0) = 0, т. е. начало координат принадлежит границе области V〉0. Так, например, границей области Т В 0 для функции

Рис. 2.11

Рис. 2.11

V = х± — xf

будет парабола (рис. 2.11)

Если функция V определенно-положительна, то областью V〉0 будет вся ок

рестность нуля. Для отрицательных функций V область Р〉0 не существует.

Теорема Четаева. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения позволяют найти функцию V (/), для которой е сколь угодно малой окрестности нуля существует область V ^> 0, и если производная 0 функции У, вычисленная 6 силу этих уравнений^ положительна во всех точках области У〉・ 0, то невозмущенное движение неустойчиво.

Доказательство. Возьмем положительное сколь угодно малое число е и построим сферу W片添=е (конечно, £《 卩). Чтобы обнаружить неустойчивость невозмущенного движения, достаточно заметить всего одну траекторию изоб-

ражающей точки М, выходящую за пределы сферы g. Возьмем начальное положение точки М в области V〉0, причем точка Мо может быть сколь угодно близка к началу координат, но не совпадать с ним. Так как по условию теоремы в области V〉0

庐庐dV dtdV dt>°->°-

庐

庐

dV dt

dV dt

>°-

>°-

то функция V монотонно возрастает и, следовательно, для всех 方 > 力。будем иметь

卩⑺》卩。〉0,

где Уо значение функции V в Изображающая точка М, своем дальнейшем движениигде Уо значение функции V в Изображающая точка М, своем дальнейшем движенииРис. 2.12Рис. 2.12от t явно, будет при всех t удовлетворять условиюV 5от t явно, будет при всех t удовлетворять условиюV 5точке Mq.начав движение из Мо, при не может пересечь границу области U > 0 (на границе V = 0, а в начальный момент %〉0 и V возрастает монотонно). Предположим, что при дальнейшем движении изобраяшющая точка М не выйдет за пределы сферы g, т. е. находится все время внутри замкнутой области G (рис. 2.12)』对<е, V (с)〉兀.Тогда функция У, как непрерывная и не зависящая 》才о ограничена, т. е. будетточке Mq.начав движение из Мо, при не может пересечь границу области U > 0 (на границе V = 0, а в начальный момент %〉0 и V возрастает монотонно). Предположим, что при дальнейшем движении изобраяшющая точка М не выйдет за пределы сферы g, т. е. находится все время внутри замкнутой области G (рис. 2.12)』对<е, V (с)〉兀.Тогда функция У, как непрерывная и не зависящая 》才о ограничена, т. е. будет

где Уо значение функции V в Изображающая точка М, своем дальнейшем движении

где Уо значение функции V в Изображающая точка М, своем дальнейшем движении

Рис. 2.12

Рис. 2.12

от t явно, будет при всех t удовлетворять условию

V 5

от t явно, будет при всех t удовлетворять условию

V 5

точке Mq.

начав движение из Мо, при не может пересечь границу области U > 0 (на границе V = 0, а в начальный момент %〉0 и V возрастает монотонно). Предположим, что при дальнейшем движении изобраяшющая точка М не выйдет за пределы сферы g, т. е. находится все время внутри замкнутой области G (рис. 2.12)

』对<е, V (с)〉兀.

Тогда функция У, как непрерывная и не зависящая 》才о ограничена, т. е. будет

точке Mq.

начав движение из Мо, при не может пересечь границу области U > 0 (на границе V = 0, а в начальный момент %〉0 и V возрастает монотонно). Предположим, что при дальнейшем движении изобраяшющая точка М не выйдет за пределы сферы g, т. е. находится все время внутри замкнутой области G (рис. 2.12)

』对<е, V (с)〉兀.

Тогда функция У, как непрерывная и не зависящая 》才о ограничена, т. е. будет

где L — некоторое положительное число.

В замкнутой области G производная 户 положительна и также ограничена (положительна по условию теоремы, ограничена ——так как непрерывна и не зависит от t явно). Поэтому в этой области производная 庐 имеет точную нижнюю границу I, причем 2〉0. Если предположить, что изображающая точка М не выходит за пределы сферы е и, следовательно, все время находится внутри области G, то при всех 力 > 力0 производная 户 будет удовлетворять условию

О 0・

Пользуясь этим неравенством и соотношением (2.14), цайдем

卩〉卩 — %())•

Отсюда следует, что с течением времени функция V неограниченно возрастает. Противоречивость полученных для V неравенств возникла из сделанного предположения, что изображающая точка не выйдет за пределы сферы £. Таким образом, это предположение неверное, что доказывает теорему.

Как уже отмечалось, теорема Четаева является обобщением двух теорем Ляпунова о неустойчивости движения. Приведем одну из лих.

Тесремп Ляпунова в неустоИчивости движения. Ес^и дифференциальные ураепения возмущенного движения позволяют найти функцию V, которая обладала бы е силу этих уравнений знакоопределенной производной 庐 и могла бы принимать е окрестности нуля значения одного знака с V, то невозмущенное движение неустойчиво.

Действительно, по условию теоремы Ляпунова производная 户 определенно-положительна во всех точках окрестности нуля (не нарушая общности, можно считать, что 0〉0) и, следовательно, она определенно-положительна и в той области, в которой функция V принимает положительные значения (область 卩〉0). Таким образом, выполнены все условия теоремы Четаева, что служит доказательством теоремы Ляпунова.

Обобщение Четаева состоит в том, что он ослабил условия Ляпунова, налагаемые на производную 庐一достаточно, чтобы опа была определенно-положительной не во всех точках окрестности нуля, как требует теорема Ляпунова, а только в области Р〉0.

Другое ослабление требований, налагаемых на производную Р\ содержится в следующей теореме.

Теорема Красовского о неустойчивости движения. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения (1.17) можно найти функцию V такую, что ее производная 户 удовлетворяет условиям}

户〉0 вне К,

= 0 на К,

где К — многообразие точек, не содержащее целых траекторий при 0《£ V °°, и если при этом можно указать точки^ лежащие 6 произвольной окрестности начала коор-

динат, такие., что в них 卩〉0, то невозмущенное движение неустойчиво.

Геометрическое обоснование этой теоремы в значительной своей части совпадает с аналогичным обоснованием теоремы Н. Н. Красовского об асимптотической устойчивости — см. § 2.3. Действительно, возьмем начальную точку Mq Ст。) такую, чтобы в ней выполнялось условие V (nJ〉0. Так как в этой точке Уо > 0 и Р" ^> 0 (предполагаем вначале, что Мо не принадлежит многообразию К), то функция V будет возрастать, а изображающая точка М будет удаляться от начала координат. Если при своем движении изображающая точка М попадет на К, или Мо принадлежит К, то вскоре она должна будет покинуть это многообразие (оно не содержит целых траекторий) и снова начнется удаление точки М от начала координат. Строгое доказательство этой теоремы можно найти в книге Н. Н. Красовского [27].

Рассмотрим небольшой пример. Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид

玄=宓；+ 2% 学2 =宓忑。

Покажем, что невозмущенное движение ^ = ж2 — 0 неустойчиво. Для этого возьмем функцию

? =宓；-总

Эта функция имеет область У〉0, состоящую из двух частей, ог-

рахшченных параболами %工=宓；и 宓1 = —^ (рис. 2.13). Вычислим

Рис. 2.13Рис. 2.13производную 户 функции V в силу уравнений возмущенного движения

Рис. 2.13

Рис. 2.13

/ = 2勺牙1 - 4宓驴2

или, внося значения ^х и ^2 и упрощая,

Г = 2吟

Так как эта производная положительна при всех 宓i > 0 и любых х2, то в правой части области V、0 выполнены все условия теоремы Четаева (левую часть области можно про

сто игнорировать) и, следовательно, яевозмущеяное движение 忆1 =左2 = 0 неустойчиво.

Заметим, что выбранная в этом примере функция 卩 не удовлетворяет условиям теорем Ляпунова и Красовского (производная 0 меняет знак при изменении знака ^).

Прежде чем перейти к приложениям, отметим, что из- -ложенные в § 2.2—2.4 теоремы составляют фундамент прямого метода Ляпунова. При их доказательстве предполагается, что рассматривается устойчивость относительно всех переменных, входящих в уравнения возмущенного движения. В. В. Румянцев в работе [45] распространил прямой метод Ляпунова на системы, в которых изучается устойчивость движения относительно части переменных.

§ 2・5・ Методы построения функции Ляпунова

Применение основных теорем прямого метода требует знания функций Ляпунова, удовлетворяющих определенным требованиям. К сожалению, общих методов построения таких функций нет, но во многих случаях их можно сконструировать. Не останавливаясь на подробном разборе различных способов построения функций Ляпунова (см. обзор [2а]), укажем на несколько методов, чаще всего применяемых при решении практических задач.

Метод преобразовалия координат. Если для данных уравнений возмущенного движения трудно найти функцию Ляпунова, то часто переходом к новым координатам (конечно, прежде всего следует испробовать линейное преобразование с постоянными коэффициентами) уравнения удается привести к такой форме, для которой соответствующая функция находится сравнительно просто. Этот метод неоднократно используется в настоящей книге (§ 4.2, 4.3, 5.4, 6.2 и др.).

Метод неопределенных коэффициентов. Будем искать функцию Ляпунова в виде квадратичной формы с постоянными коэффициентами

了g)=扌££а上/к勺，了g)=扌££а上/к勺，(2.23)(2.23)

了g)=扌££а上/к勺，

了g)=扌££а上/к勺，

(2.23)

(2.23)

Прежде всего подчиним неопределенные коэффициенты 〃汇/ критерию Сильвестра (2.9). Тогда функция V будет определенно-положительной. Так как число коэффициентов Gkj равно п (п 4- 1)/2, то после этого останется еще п (п — 1)/2 независимых коэффициентов, которыми можно распорядиться по своему усмотрению.

Предположим теперь, что требуется найти условия, налагаемые на параметры системыг при выполнении которых

невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво （в технических положениях этот случай встречается чаще всего）. Тогда постараемся подобрать оставшиеся независимые коэффициенты о方 функции V так, чтобы производная 户，вычисленная в силу уравнений возмущенного движения, была бы функцией определенно-отрицательной или удовлетворяла условиям теоремы Красовского. Если такие коэффициенты。打 можно найти, то невозмугценное движение будет асимптотически устойчиво. Этот метод применим не всегда, но в некоторых случаях он дает хорошие результаты. Прежде чем перейти к рассмотрению примера, заметим, что от умножения на постоянное положительное число свойства функции V не изменяются. Поэтому один коэффициент функции （2.20）, тгапример 每乳，можно положить равныл! единице.

Пример. Дапы нелинейные уравнения возмущенного движения 学1 — ахУ十ь勾，.r2 = 以1汇2十6制.（2.21

Требуется определить, каким уснснинм должны удовлетворять параметры системы а, 6, с и е, чтобы невозмущенное движение хг = =х2 — 0 было асимптотически устойчиво.

Будем искать функцию К в форме （2.20）

? = -2 （人父: + 2卩 1r 1支2 + 竣），（2.22）

где Lug пока не определены. Критерий Сильвестра （2.9） для матрицы коэффициентов

имеет вид

Дг X > 0, А?二厶一 "2〉0・（2.23）

Считая, что эти неравенства вьтполиеньг, вычислим производную D

户=（九勺+ Ng）厶+ （N勺+ r）石・

Внесем сюда значения гх и т2 из уравнений （2.21）, тогда получим.

户=（九勺十цx2） {aхх -f-力圖 + （卩忆I +胃2）（汝i&十e© или, раскрывая скобки и группируя члены,

/ =九a岩+ （九ь + e）/仔2 + * +卩（а宓"2 + bW + 喏忆2 + ex 1^2）,

При 卩卡 0 эта функция будет знакопеременной. Поэтому, не нарушая условия （2.23）, положим 卩=0. При этом производная 庐 примет вид квадратичной формы относительно ^х и ^:

0 =九а%； + （入匕 + с）宓］£ 十 exj.（2.24）

Постараемся подобрать неопределенный множитель 九 > 0 так, атобн эта квадратичная форма была определенно-отрицательной. Для этого составим главные диагональные миноры матрицы коэффициентов. Имеем

А；=厶 а, Д* = Кае —(九b + е)2/4.

Для того чтобы квадратичная форма (2.24) относительно хг и 忆；была определенно-отрицательной, необходимо и достаточно, чтобы был выполнен критерий Сильвестра (2.10). В нашем случае это даст два неравенства:

入а < 0,厶ае — (ЛЬ 十 е)2/4 > О.(2.25)

Для выполнения этих неравенств при 厶 > 0 необходимо потре- бовать прежде всего, чтобы коэффициенты а и е исходной системы (2.24) удовлетворяли условию

а < 0, е < 0.(2.26)

Преобразуем теперь второе соотношение (2.25) к виду

济九2 + 2 (be — 2ае) X + с3 < 0.(2.27)

Это квадратичное неравенство можно удовлетворить при 厶 > 0, если оба корня Лх и 厶？ левой части будут вещественными и положительными. Действительно, в этом случае для всех 入，удовлетворяющих условию 九1 < 入 < 厶2， будет справедливо неравенство (2.27). Для этого нужно, чтобы дискриминант трехчлена был положителен, а коэффициент при 入 в первой степени отрицателен:

(Ьс — 2ае)2 — Ь2с2〉0, Ьс — 2ае < 0 или

4ае (ае — be) >0, be < 2ае.

Так как, согласно (2.26), произведение ае положительно, то оба последние неравенства будут удовлетворены, если

Ьс < ае.(2.28)

Теперь можно подвести итоги. Если лараметры。，匕,сие системы (2.21) удовлетворяют услов]гям

。< 0， е V(L ^с < ае,(2.29)

то при 卩 = 0 и A11VAi < А?, ГДО %1 и 人£ —— корни левой части нера- венства (2.27), функция V, определенная равенством (2.22), будет определенно-положительной, а ее полная производная по времени, вычисленная в силу уравнении возмущенного движения (2.21), будет функцией определенно-отрицательной. На основании соответствующей теоремы Ляпунова заключаем, что при выполнении условии (2.29) невозмущенное движение 宓1 =汽2 = ° системы (2.21) асимптотически устойчиво.

Теорема Барбашина — Красовского позволяет сделать более сильное утверждение: если параметры системы (2.21) удовлетворяют неравенствам (2.29), то невозмущенное движение 力1 = %2 = 0 будет устойчиво в целом. Читатель легко докажет это самостоятельно.

Построение функции Ляпунова с помощью связки интегралов. Предположим, что уравнения возмущенного движения (1.17) допускают интеграл

F (勺，...，得)=无=const,(2.30)

для которого разность F (^) — F (0) является определенно-положительной функцией переменных ^, . . ., хп. Тогда в качестве функции Ляпунова можно взять функцию

V F (勺吃)一ь(0).(2.31)

Действительно, производная функции V по времени в силу уравнений возмущенного движения согласно интегралу (2.30) тождественно равна нулю и, следовательно, эта функция будет удовлетворять всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения (см. § 2.2).

В некоторых случаях дифференциальные уравнения возмущенного движения допускают несколько интегралов

*1 (/1，…，，力Тг) = ^1? • • *? b?n (力上"九)X 儿П，(2.32) где 无и • • •，无m — постоянные интегрирования, причем ни один из них не является определенно-положительной функцией. Для такого случая Н. Г. Четаев [49] предложил искать функцию V в форме связки интегралов (2.32)・ В общем виде эта связка имеет вид

卩=% [Fr -储(0)] + • • • + 入m 团m — bm (0)] +

+ % [代-Fi (0)1 + .. +nm[F^- F^ (0)], (2.33)

где A】,•..,入优,xn . . ., xm — неопределенные постоянные.

Если постоянные X； и Ху удастся подобрать таким образом, что функция V будет определенно-положительной, то она будет удовлетворять всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения (так как V — const является также интегралом уравнений возмущенного движения).

Метод Четаева построения функции Ляпунова с помощью связки интегралов весьма эффективен. Прежде чем проиллюстрировать его на примерах (они будут рассмотрены в следующем параграфе), сделаем несколько замечаний:

один из 2т коэффициентов X； и х^ можно выбрать произвольно, например, положив Хх — 1;

часто функцию V можно построить с помощью линейной связки интегралов, положив все х； = 0. Члены

с квадратами интегралов следует привлекать только в том ■случае, если линейная связка недостаточна;

во многих случаях интегралы уравнений возмущенного движения можно построить из общих соображений (например, с помощью общих теорем механики), не составляя самих уравнений. Этим приемом следует широко пользоваться, избегая лишних преобразований.

Примеры на применение метода связки интегралов будут рассмотрены в § 2.6. Заметим только, что этот метод был обобщен и послужил основой для построения вектор- функции Ляпунова [12а].

§ 2.6. Примеры на применение теоремы Ляпунова об устойчивости движения

При исследовании устойчивости движения (не асимптотической, а простой устойчивости) одним из наиболее эффективных методов является метод Четаева построения связки интегралов. В этом параграфе будут рассмотрены примеры применения этого метода.

Пример 1. Устойчивость движения конического маятника. Рассмотрим стационарное 】)движение материальной точки М массой т, подвешенной на невесомой нити длиной I и движущейся с постоянной скоростью под действием силы тяжести по горизонтально расположенной окружности (конический маятник (рис. 2.14, а)). Нить маятника, закрепленная в точке О, описывает в стационарном дви- жеяии круговой конус; обозначим угол между нитью и вертикалью 001 через а, а угловую скорость вращения нити вокруг вертикали 0。1 через со. Между углом а, угловой скоростью ① и длиной маят- ника I в стационарном движении существует хорошо известное соотношение

to cos а = g/Z, (2.34) которое может быть получено, например, с помощью принципа Даламбера.

Примем стационарное движение маятника по окружности за невозмущенное движение. Предположим, что на это движение наложены небольшие возмущения. Обозначим угол между нитью и вер-

тикалью ООХ в возмущенном движении через 0 (рис. 2.14, 6), а угловую скорость вращения плоскости 00屮 вокруг вертикали О© через яр.

Введем обозначения

6 = & -卜，q, 0 — g, @ 一二(0 卜办.(2.35)

Будем изучать устойчивость невозмущенного движения относительно величия 0, 0 и т|). Кинетическая Т и потенциальная II энергии маятника определяются равенствами

Т 亠■—2~ (О2 + sin2 9屮2),П — — mgl cos 0.

Так как действующая па маятник сила тяжести потенциальна, а координата 屮 циклическая (кинетическая энергия Т зависит от обоб!цснной скорости 屮,по не зависит от координаты ip, и обобщенная сила, соответствутогцая эт(>(г координате, райга пулю: Q“ = ——dIT/叫—0), то существуют два интеграла движения (h и w —— постоянные):

〃〃2.7?〃2

Т + П = ~2(О? -卜 siiF(川门)一mgl cos 0 -- —^— A, dT.

—mV sin2 Оф - m^n

(мно?кители mP/2 и ml2 введены для удобства).

Второе равенство представляет интеграл момента колизества движения маятника относительно вертикали 00工,и его можно получить из элементарных соображений.

Пользуясь равенствами (2.35), запишем эти интегралы в следующей форме:

、2g

% g, &* 為)亠崗 + sin2 (a +『1)(① Ч - .?3)2J — — cos (a 卜 q)々力、

(2.36) 尸2 (宓i, &,磔)=sin2 (a + 斤1) (co + g) = n.

Интегралы (2.36) получены из общих теорем динамики. Конечно, можно было сначала составить дифференциальные уравнения возмущенного движения (1.27), а затем, комбинируя их, найти интегралы (2.36). Как уже было отмечено ранее в § 2.5, выбранный здесь путь является, как правило, более простым х).

Перейдем к исследованию устойчивости стационарного движения маятника относительно величин 0, 0 и хр. Ни один из найденных интегралов не является знакоопределенной функцией относительно величин «г】,斤2 н £з・ Поэтому составим линейную связку интегралов (2.36), положив Хх = 1 и Х2 = X:

р =歹1 —尸1 (°) + 九[尸2 — 尸2 (°)] = [ж2 + sin® (a + ^1) * (co + 片3)2]—

2g/2g \

——cos (a + ^i) — (co3 sin2a — — cos a丿 +

十 Л sin2 (a + 龙i)，(3 + 胃з)—九 sin2a-6).

/2g \

Члены — I coz sin2 ос — -у- cos а I и —厶 sin2 а • со внесены для того, чтобы функция V обращалась в нуль при %】= ②纟= 汇3 = 0・ Заменим отношение g〃 его значением из равенства (2.34) и разложим функцию V в ряд по степеням 勺,宓2, ％з・ Имеем

sin2 (а + 勺)= sin2 а + sin 2cc-^ + cos 2a•岩十...,

.1&

cos (а + «г» = cos а sin а』——cos а*^ + ..., где точками обозначены члены высшего порядка.

Внесем эти значения для sin2 (сс + z, и cos (а + /0 в последнее выражение для функции V и сгруппируем члены:

Р = со [(厶 + со) cos 2сс + со cos2 ct] «г； + 忆；+ sin2 cc 心；+

+ w sin 2a О + 2co)勺十 sid a。+ 2(o)窃 +

+ sin 2a-(九 + 2(o) xtxz .

Для того чтобы функция V была определенно-положительной, необходимо прежде всего избавиться от членов, содержащих вариации 方 1,宓2 11 忆3 в первой степени (см. примечание к формуле (2.5)). В данном случае для этого достаточно положить

九=—2со.

При таком зпачении 厶 функция V примет вид

U = со? sin2 а-^ + ^] + sid ат；十'

Так как квад))атичная часть функции V определенно-положительна относительно 宓口 ^2 и ^з, т。при достаточно малых значениях ^, л：2 и 久3 вся функция V будет также определенно-положительна. Производная по времени функции V на основании интегралов (2.36) тождественно равна нулю, и, следовательно, стационарное движение конического маятника устойчиво относительно 0, б и ^< Этот результат будет получен в примере 1 § 3.5 другим методом.

Пример 2. Устойчивость стационарного движения центра масс искусственного спутника 3 е м- л и. В § 1.3 было показано, что искусственный спутник Земли может совершать движение с постоянной скоростью по окружности радиуса г0. Параметры этого движения удовлетворяют условию (1.30)

со 嘴=“.(2.37)

Положение спутника в возмущенном движении будем определять сферическими координатами г, ср, 0 (рис. 1.5, 6). Кинетическая Т и потенциальная И энергии спутника определяются выражения- ми (1.31):

m•т

Г 二 ~2~ (г2 + г2Э2 十 г2 cos2 В屮2), П — — ц .

Так как дс^ютвующая на искусственньсй спутник Земли сила тяготения потенциальна, а координата <р циклическая, то существуют два

интеграла движения (А и и — постоянные)】)

т. т т

Т + И = -^ (г2 + 冲@2 + 7-2 C0S2 0ф2\ —.卩=-—历，

"2“(2.38)

—=тпг2 cos2 = тп.

Будем рассматривать устойчивость стационарного движения спут* ника по круговой орбите относительно величин г, г, 0, 0 и ф. Введем обозначения: г =入 十 防, г — х21 8 =宓区, 8 = /, @ = = |о>+ хъ. В сделанных обозначениях найденные интегралы можно записать в следующей форме:

%=考+ (小+ б)2它+ (Г04-例户cos2宓3•(①+砾)2 — 2 fо上也=九，

F2 =(入 + 忆1)2 cos2 %•(① + &) = n.(2.39)

Отметим, что, так же как и в первом примере, оба интеграла дифференциальных уравнений возмущенного движения получены из общих соображений, без помощи самих уравнений. Конечно, второй интеграл (2.39) вытекает непосредственно из третьего уравнения (1.32), а первый интеграл может быть получен путем комбинации этих уравнений, но этот путь требует не только составления самих уравнений (1.32) или (1.33), но и умения получить из них необходимые интегралы.

Перейдем к исследованию невозмущенного движения спутника. Ни один из найденных интегралов не является знакоопределенной функцией величин ^, д, х31 к* ж5. Поэтому функцию Ляпунова V будем искать в форме связки этих интегралов

D=% - % ⑼ + 儿[僞 一 % (0)] + X [^ -招(0)], где Лих ——постоянные числа.

Внесем в это выражение для V значения интегралов 尸工 и F2:

Р =3^ +(Го + 宓 1)2 %： + (Го + 宓 1)2 COS2 宓3 •(① + 死)2 —

—2—2卩卩го + ^iго + ^i一r誣2 + 2 —- + 厶[(гQ + 充 1)骂 cos2 ^3*(W + 宓5)- 「彳①]+一r誣2 + 2 —- + 厶[(гQ + 充 1)骂 cos2 ^3*(W + 宓5)- 「彳①]+

—2

—2

卩

卩

го + ^i

го + ^i

一r誣2 + 2 —- + 厶[(гQ + 充 1)骂 cos2 ^3*(W + 宓5)- 「彳①]+

一r誣2 + 2 —- + 厶[(гQ + 充 1)骂 cos2 ^3*(W + 宓5)- 「彳①]+

+ 乂 [(r0 + 川4 COS4 3 • (co + 宓5户一Г孤叮.

Разложим правую часть этого равенства в ряд по степеням 勺,... ..” g. Имеем

cos2 黑3 = I 1 — ~2~ + ・.J =1 —

cos %з = (1 — -^ + . .. ) = 1 — 2名j

卩卩外，君.

77^ =行一口声+"声+ …， 00

где точками обозначены члены высшего порядка.

Подставим эти выражения в последнее равенство и учтем, что в-стационарном движении параметры со и г0 удовлетворяют условию (2,37). Тогда после очевидных преобразований получим

V — & (—(о + % + бхг^со)建 + z；—疗①(со 十％ + 2wj(o)名 +

+ г/： + W (1 + 乂吟)吗 + 2ros (2(0 + X + 2*7•誣)口 +

+ Гд (2(о + 九 + 2K吟со) & 十 2r()(2(o + X + 4кг；(о)々g + • • •

Для того чтобы функция V была знакоопределенной, нужно прежде всего приравнять нулю коэффициенты при членах, содержащих переменные ^ и а：5 в первой степени (см. примечание к формуле (2.5)). Таким образом, числа Лих должны удовлетворять соотношению

2со + % + 2 嗡(о = 0.

Отсюда

X = —2со —■ 2хгд(о.

Подставляя это значение X в последнее выражение для V, найдем p =炉(4嘲一 3)君十竣+ Г誣嗨+ 7•忠+

+吟(4+Y頂君+ 4嘲co/g + .…

Разобьем квадратичные члены на две функции:

%=君+吟①Ч + Ф1*

%=①2(4*一 3)к； + 4乳小(0w5 + ^ (1 +端)哈

Функция 匕 определенно-положительна относительно величин 宓2,宓з и 宓4・ Поэтому для того, чтобы функция V была знакоопределенной относительно ^, х2, х3ч 羯,左5, достаточно показать, что можно найти такое число х, при котором функция V2 будет опреде- ленно-положительяой относительно хг и х5. Критерий Сильвестра для функции % имеет вид (см. формулы (2.9))

Д1 = (О (4嗡—3) > О,со2 (4м* - 3)254r 温

А2= 2好%(1+嗚=叫(崂一3)>°・

Из этих выражений видно, что при 乂 > 3/?^ оба условия будут выполнены и, следовательно, функция % будет определенно-положительной относительно 宓宓5, а функция V — определенно-положительной относительно z】,忆2,宓з,宓4,宓5, 4To и доказывает устойчивость стационарного движения искусственного спутника Земли относительно величин г, г, 9, 0, ф 1).

Прежде чем перейти к следующему примеру, сделаем одно замечание. Во многих задачах требуется ответить на вопрос: будет ли рассматриваемое движение устойчиво, асимптотически устойчиво или неустойчиво? Первые два примера относились как раз к этой группе задач. Однако, как уже отмечалось ранее, в технике, как правило, встречаются задачи другого плана, а именно: известно, что при некоторых значениях параметров системы невозмущенное движение неустойчиво. Ставится задача: как следует выбрать параметры системы, чтобы ее движение сделалось устойчивым (или асимптотически устойчивым)? Третий пример относится ко второй группе задач.

Пример 3. Достаточное условие устойчивое- т и волчка (условие у с гг о й ч п в о с т и в р а щ а- тельного дв иж ен и я снаряд а). Каждому ребенку известно, что невращаютцпйся волчок падает и, ппн того чтобы его ось сохраняла вертикальное положение, волчок нужно сильно за- крутить, т. с. (!му нужно сообщит!» достаточно большую скорость собственного вращения. Точно так же все артиллеристы знают, что невращающийся продолговатый снаряд (снаряд, выстреленный из гладкоствольного орудия) кувыркается. Естественно возникает вопрос: какую угловую скорость собственного вращения нужно сообщить волчку (снаряду), чтобы он не падал (снаряд не кувыркался)?

Так как вращательное движение продолговатого снаряда, центр масс которого перемещается по весьма настильной траектории, и движение волчка около вертикали описываются совершенно одинаковыми дифференциальными уравнениями, то достаточно рассмотреть устойчивость движения одного из них, например устойчивост!» волчка.

На волчок, угловая скорость собственного вращения которого равна ф, действуют две внешние силы (силами сопротивления пренебрегаем): сила тяжести Р, приложенная к центру масс С волчка, и реакция Но опоры О (рис. 2.15, а). Положение оси z симметрии волчка относительно неподвижных осей 堂刀工(ось g вертикальна) будет определяться углами аир (рис. 2.15, 6). За нсвозмущенное движение волчка примем его равномерное вращение с угловой скоростью ср。= м вокруг оси симметрии z, совпадающей с неподвижной вертикальной осью g. В вевозмущенном движении

сс = 0, а = 0, 6 = 0, 6 = (), ф — ф0 = ?г — const.

В возмущенном движении все эти величины будут меняться.

Введем оси 宓,у, z (рис. 2.15, 6) и обозначим через plt g】и г± проекции угловой скорости wx в ращения трехгранника xyz относительно неподвижных осей 自刀&

Пользуясь рис. 2.15, 6, найдем

Pi = &, % = S cos а,々=~р sin а.

Проекции р, q, г угловой скорости (о вращения волчка определяются равенствами

р = ", 0=6 ccs а, /'=巾一fj sin а.

Теперь найдем кинетическую энергию волчка

Т — 厶(а? + 仗 cos2 а) + 厶(q' — Р sin а)а.

Здесь Jx - Jy — экваториальные, а /2 — аксиальный моменты инерции волчка.

б)

Рис. 2.15

Потенциальная энергия П волчка будет

Ш = Pl cos a cos 3

где Р — вес волчка, I — расстояние от его центра масс С до опоры О.

В рассматриваемом случае можно, так же как и в первых двух примерах, не составляя дифференциальных уравнений возмущен- аого движения, найти три интеграла. Два интеграла определяются зразу — это интеграл энергии и интеграл, соответствующий циклической координате ф (второй интеграл — интеграл моментов коли- <еств движения волчка относительно оси z):

Т -| И — ~2~ 7Х (а2 + р2 cos2 а) + -^-厶(屮一8 sin ot)a +

+ cos a cos § =瓦

—lВ sin а) =

Третий интеграл ——это интеграл моментов количеств депжс- <ия волчка относительно неподвижной оси g

К^ = к ~ const.

Для того чтобы написать этот интеграл в явном виде, воспользуемся очевидными равенствами:

Кх = JхР = Jx^j Ку = Jу? = JaR cos a, Kz = Jz「= =厶伸一В sin а),

К% = Кх cos (⑺ + Ку cos (3) + Kz cos (В).

Пользуясь рис. 2.15, б, найдем

cos (8) = —sin р, cos (⑶)=sin a cos р, cos (J) = cos a cos p.

Следовательно, третий интеграл имеет вид

Jx (—a sin р + р cos а sin а cos р) + /2(Ф — В sin а) cos а cosp = к.

Будем изучать устойчивость движения волчка относительно величин а, й, р, р и ф. Введем следующие обозначения:

3 =芯1, & = д，6 =芯3， 8 =%，Ф = % + 重方

В этих обозначениях найденные интегралы дифференциальных уравнений возмущенного движения примут вид

Fi = ~2-Jx (名 + W cosm旬)+

+ ~2~『z (фо + 芯5 ——第4 sin 况 1)2 + PZ COS 芯 1 COS 彳з =也,

尸2 =屮。+ Q — ^4 sin 收=nn(2.40)

尸з ~ ^x (—旳 sin 窃 + ^4 sin a：】 cos 勺 cos &)十

+ /2 (фо + & —图 sin q) cos g cos x3 = k.

Так как ни один из этих интегралов не является знакоопределенной функцией, то составим линейную связку интегралов

D = % 一 % (0) + " ［尸2 - 尸 2 ⑼Т 十九［尸3 —尸 3 (0)1, где 卩 r % — неопределенные постоянные коэффициенты.

Внесем сюда значения 歹匕 尸2 n 尸з, разложим в ряд по степеням 况и ...,芯5 н учтем, что ф0 = п. Тогда после группировки членов получим

11

y =(/# +卩+九，z)"5 - 2(p"+ "z冷"；+ "2-厶域-

1!1

—T (" + *〃) W+ 1~// + 1~，2% —

一(厶也+卩+大/Z - ^^3C)尤1胃4 -入了%忆2%3 + • • •, где точками обозначены члены высшего порядка.

Для того чтобы функция V была знакоопределенной, необходимо прежде всего приравнять нулю коэффициент при первой степени д. Имеем

/2п + |л + ^Л 0.

Теперь функция V примет вид

1111

^ = — «^1 + 丁 ％名 + ~2~ах1 + ^2~ "①：+

гдегде(2.41)(2.41)+ - 2_ /z&； T一 入 Jk重1£4 -人了х^2^з + ...,

где

где

(2.41)

(2.41)

a = — (p2 +%厶龍).

Разобьем квадратичную часть функции V на три функции:

11

% = ан； + 17x^i^4 +/ж^4»

11

V2 = г а%； — Х/Хх3х2 + — J x^|»

т- 1 т о

h3 = 厶経，

Функция % определенно-положительна относительно 比5, a функцииFj и V2 имеют одинаковую структуру. Поэтому, согласно общей теории для определения условия устойчивости невозмущенного движения волчка относительно величин а, &, §, 0 н ф, до

статочно определить условие, при котором функция 匕 будет определенно-положительной относительно величин 化1 и 北4 (при этом же условии функция % будет определенно-положительной относительно ВеЛИЧИН £д И Х2).

=乙(吁5>0・=乙(吁5>0・Напишем условие Сильвестра для функции 匕：

=乙(吁5>0・

=乙(吁5>0・

к следую-(2.42)к следую-(2.42)Пользуясь выражением (2.41), приведем ⑶m неравенства щему виду:

к следую-

(2.42)

к следую-

(2.42)

九<一7^ , f^)=J^+J^ + Pl<Q.

Осталось выяснить условия, при выполнении которых можно подобрать число 九,удовлетворяющее соотношениям (2.42).

Если дискриминант трехчлена / (九)

Р = /^紋一4JXPZ

положителен, то оба корня % и Хз уравнения / (%) = 0 будут вещественны и различны. Из графика функции / = "%) (рис. 2.16) видно, что в этом случае для всех л, удовлетворяющих неравенству к < 九 V 及，функция / (入)< 0? т, е. будет выполнено второе ус-

3 Д. Р. Меркин

ловие (2.42). Заметим, что при тг > 0 оба корня отрицательны (случай, показанный на рис. 2.16), а при п <； 0 оба корня 九i и 及 положительны.

Покажем, что для этих 九 будет выполнено и первое неравенство (2.42). Для этого достаточно показать, что при тг〉0 этому условию удовлетворяет больший корень 九？• Имеем

*2 = (-八幾 + Мj埶2 — 4JJ2)=

Используя теперь очевидное неравенство

1

/1 一方 V 1 -%

получим

что доказывает сделанное замечание для 孔 > 0 (при п -< 0 нужно рассмотреть меньший корень Ах).

Итак, если угловая скорость п в невозмущенном движении волчка удовлетворяет условию 〃〉0, т. е.

/%/> 4厶尸Z,(2.43)

то для всех 九,заключенных между Ах и Л2, функция V будет определенно-положительной .Ее полная производная по времени в силу уравнений возмущенного дви?кения на основании интегралов (2.40) равна нулю. Следовательно, неравенство (2.43) является достаток- ным условием устойчивости вертикального положения, волчка относительно величин а, % р, 0, ф (для снаряда в условии (2.43) нужно заменить произведение 尸 Z на модуль момента опрокидывающей пары 1)).

Остается невыясненным вопрос об устойчивости вертикального положения волчка, когда угловая скорость собственного вращения его в невозмущенном движении будет меньше граничной величины, определяемой неравенством (2.43). Этот вопрос будет решен в примере 4 § 4.5.

Прежде чем перейти к примерам на применение теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости, заметим, что иногда с помощью выбранной связки интегралов построить знакоопределенную функцию нельзя, В этом случае нужно испытать другие комбинации интегралов. Если же все связки интегралов не дают возможности определить условия устойчивости движения, то это еще не

Впервые условие устойчивости (2.43) для вращательного движения снаряда (оно известно как условие Маниевского — Крылова) строго доказал Н. Г. Четаев (см. [49]).

ПРИМЕРЫ НА АСИМПТОТИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ 67 означает, что движение неустойчиво — нужно просто пе-- рейти к другим методам, с помощью которых можно будет решить вопрос об устойчивости.

・ Примеры на применение теорем об асимптотической устойчивости и неустойчивости движения

Пример 1. Асимптотическая устойчивость равновесия твердого тела, находящего- ся в сопротивляющейся среде. Рассмотрим свободное твердое тело, движущееся в соопротивляющейся среде поступательно относительно инерциальной системы отсчета (в частности, оно может находиться в покое). Это движение тела примем за невозмущенное. Дадим телу небольшие возмущения, в результате чего возникает вращательное движение относительно поступательно перемещающихся координатных осей 從哨，начало которых совпадает с центром масс С тела.

.Будем считать, что среда, в которой движется тело, создает момент сил сопротивления М, пропорциональный некоторой степени угловой скорости со тела:

М = — хсо" = — ксо"—%,(2.44)

где ю ——угловая скорость тела в возмущенном движении, а ч и а —— положительные коэффициенты (они могут быть постоянными, но могут зависеть и от со, изменяясь в некоторых пределах: 0 < х】《 < х (со) < Xg, 1 < «1 < а (со) < а2).

Кроме того, будем предполагать, что другие силы, действующие на тело (если они существуют), не создают момента относительно центра масс. В этих предположениях динамические уравнения Эйлера (см., например, [12]) примут вид

Jx ~dT +(厶 _ 厶)吗％ = _ ds”

乙寸 +(厶一厶)3笈吗=-k代%:(2，45)

ds

JZ sr +(J厂厶)3严L 73。％，

где Jx, J», J? — моменты инерции тела относительно главных центральных осей инерции тела т, у, z, а ①翼,со^, сог ——проекции угловой скорости тела на те же оси.

Будем рассматривать устойчивость вращательного движения тела относительно проекций угловой скорости ①笈,①“,①乙 Так как по условию задачи в невозмущенном движении g = ①彳 = 皿 = О (тело двигалось поступательно или находилось в покое), то уравнения (2.45) будут дифференциальными уравнениями возмущенного движения.

Докажем, что невозмущенное движение тела асимптотически устойчиво относительно величин сох, со^, (о2. Для этого умножим

первое уравнение (2.45) на(ох, второе на ①^, третье на g)z и сложим все уравнения. После очевидных преобразований получим

乙% %- + Jy^y № + ，4 FT = - ксоат (吟 十稣十吟)，

。，(246)

или, учитывая, что со = (s* 十 ①^ 十 ⑴^‘府，

d—

~2~ ~dT(厶°4十J严/+厶崂Н-*(°4 +崎+咱(247)

Функция

『二皆（厶吟+乙崎+厶吟）

определенно-положительна, а ее производная в силу уравнений возмущенного движения, согласно равенству (2.47), определенно-отрицательна. Следовательно, выполнены все условия соответствующей теоремы Ляпунова и вращательное движение тела в сделанных

предположениях асимптотически устойчиво относительно величин ①笈，小 и Sz「Заметим, что из этого не следует устойчивость относительно угловых перемещений.

Пример 2. Устойчивость установившихся режимов вольтовой дуги в цепи с сопротивлением и самоиндукцией [4]. Рассмотрим вольтову дугу, включенную в цепь с омическим сопротивлением R, самоиндукцией L и источником энергии, электродижущая сила которого равна Е (рис. 2.17). Вольтова дуга представляет собой проводник, не подчиняющийся закону Ома. На рис. 2.18 приведен график статической характеристики вольтовой дуги для установившихся режимов ,В дальнейшем будем считать, что установленная этим графиком зависимость и =屮(i) между током i и напряжением и в дуговом промежутке справедлива и для режимов, близких к установившимся. Это равносильно предположению, что скорость колебательных процессов в схеме мала по сравнению со скоростями установления ионных процессов, обусловливающих ток в вольтовой дуге.

Пользуясь вторым законом Кирхгофа, получим в сделанных предположениях следующее дифференциальное уравнение:

£ -^- + № + 屮(i) = Е. (2.48)

Внося сюда t = / = const, получим уравнение для определения значений тока, отвечающих установившимся режимам:

RI +^(I) = Е.(2.49)

Корни этого уравнения легко определяются как абсциссы точек пересечения графиков функций

м = 2 (О» м = Е — Ri.

В зависимости от значений параметров £ и Я уравнение (2.49) может иметь три, два, один и ни одного вещественного корня. На рис. 2.19 изображен случай трех корней этого уравнения (при

двух корнях точки 故 1 н Мг (или 此 и Мз) сливаются, при одном корне прямая м = Е — Ri пересекает график функции ^ = 4 (О в одной точке, при отсутствии корней графики не пересекаются).

Рассмотрим случай трех различных корней. Это означает, что теоретически могут существовать три у стан овившихся режима вольтовой дуги, соответствующих трем значениям тока /】,/2, /3. Очевидно, что практически реализуемы только устойчивые режимы, поэтому необходимо исследовать каждый из этих режимов на устойчивость.

За невозмущенное примем установившееся движение i — 7. Обозначим значение тока в возмущенном движении через

i = / 十 芯.

Внося это значение тока в дифференциальное уравнение движения системы (2.48) и учитывая, что dl/dt — 0, получим

L ~^р + R (/+ %)十巾(上十忆)=瓦

Разложим функцию 屮(/ -]- яг) в ряд по степеням х

W (/ + 优)=W (/) + 2' СО 忆 +

где точками обозначены члены высшего порядка.

Дифференциальное уравнение движения примет вид

£"^ + R7 + а" +屮(F)十屮'⑺重十...=芻

или, учитывая, что значения тока I удовлетворяют уравнению (2.49):

立= — (Е + х) ~ …，(2.50)

где для простоты положено 乂 =屮，(/).

Умножим обе части этого дифференциального уравнения возмущенного движения на 芯.Тогда после очевидных преобразований получим

"^ (W-厶巒)=—(7?十乂) / 十• . .(2.51)

Функция

V = ~2~ С/

определенно-положительна относительно х. Ее производная по времени, вычисленная в силу дифференциального уравнения возмущенного движения (2,50), определяется правой частью равенства (2.51). Если 7? + х > 0, то производная Г будет определенно-отрицательной функцией х и, следовательно, на основании теоремы Ляпунова движение будет асимптотически устойчиво. Если же R + + 乂 V 0, то производная 卩 будет определенно-положительной функцией, и на основании теоремы Ляпунова о неустойчивости ус- тановишееся движение будет неустойчиво.

Таким образом, имеем

Е + к > 0 — установившееся движение асимптотически устойчиво,

Я + х < 0 — установившееся движение неустойчиво.

Из рис. 2.19 видно, что в точках М± и М3 функция и = т|)(г) возрастает и, следовательно, ее производная 屮‘ =乂 в этих точках положительна. На этом основании при ь = 7Х и j = Z3 число R + 十 х больше нуля. Это означает, что установившиеся режимы, соответствующие значениям i, равным 7\ и /3, асимптотически устойчивы относительно тока,

В средней точке М2 функция м =屮(X) убывает, поэтому х2 = =屮‘(厶)之 0- Кроме того, график этой функции в точке М? более крутой, чем прямая и = Е — Ri. Это означает, что модуль углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции u = ip (i) в точке 7И2, больше модуля углового коэффициента прямой и ~ Е — Ei, т. е. I х2 I = I ,ф/ (У2) | > | — 7? | = 7?. Учитывая, что / = 1K (厶) V 0, будем иметь 7?十 乂2 V。・ Следовательно, установившийся режим, соответствующий току /2, неустойчив.

При установившемся режиме угловой коз巾巾ициент х = ■ф, (7) может быть положительным, но может быть и отрицательным. Если на плоскости (Р, х) построить прямую х =—凡 то, очевидно, всем точкам, лежащим выше этой прямой (для них х > или Я + + 乂>0), отвечают асимптотически устойчивые установившиеся режимы, а для точек, лежащих ниже этой прямой,— неустойчивые режимы. На рис. 2.20 показана область асимптотической устойчивости на плоскости Р, х.

При одной и той же функции и =辽=屮(Z) число корней уравнения (2.49) и их значения зависят от параметров системы — электродвижущей силы Е и сопротивления R. Меняя один из этих параметров или одновременно оба, можно получить один, два или три установившихся режима. Рассмотрим для примера зависимость то-

режимы, а токам той жережимы, а токам той жекривой, лежащим на участках АС и DH — асимптотически устой- чивые режимы. Точки С и Dy разделяющие устойчивые участки откривой, лежащим на участках АС и DH — асимптотически устой- чивые режимы. Точки С и Dy разделяющие устойчивые участки отРис. 2.21Рис. 2.215 〃力乙％ 05 〃力乙％ 0

режимы, а токам той же

режимы, а токам той же

кривой, лежащим на участках АС и DH — асимптотически устой- чивые режимы. Точки С и Dy разделяющие устойчивые участки от

кривой, лежащим на участках АС и DH — асимптотически устой- чивые режимы. Точки С и Dy разделяющие устойчивые участки от

Рис. 2.21

Рис. 2.21

5 〃力乙％ 0

5 〃力乙％ 0

ка 7 в установившемся режиме от параметра Е. Для этого построим на плоскости EI график уравнения (2.49)

Е — Е/ —屮(Z) = О,

считая сопротивление R неизменным (рис. 2.21). Этот график можно построить, например, следующим образом. Задаем определенное значение Е и определяем с помощью рис. 2.19 соответствующие значения тока после чего наносим полученные точки (EI) на плоскость EI.

Так, значению Е электродвижущей силы (рис. 2.19) отвечают три значения тока & 厶 и /з； точки 而“ TV2, ^3 рис. 2.21 соответствуют точкам Mj, M2J Ms Рис. 2.19.

Было показано, что крайним значениям тока А и % соответствуют асимптотически устойчивые режимы вольтовой дуги, а среднему значению Z3—неустойчивый режим. Из этого следует, что точкам кривой ABCDFH рис. 2.21, лежащим на участке CDt соответствуют неустойчг

неустойчивых, называются точками бифуркации^ а сама кривая ABCDFHустанавливающая зависимость координат в установившемся режиме от параметра (в данном примере зависимость тока / от электродвижущей силы источника К), называется кривой равновесия 1).

Теория бифуркаций, созданная А. Пуанкаре, развивалась в дальнейшем многими учеными, в частности Н. Г. Четаевым, Д. А. Андроновым и др.

Кривая равновесия дает возможность наглядно проследить за состоянием системы при изменении параметра. Так, если медленно и непрерывно изменять К, начиная от £ = 0, то, как видно из рис. 2.21, при значениях К, меньших Е*, установившихся режимов

Рис. 2.22Рис. 2.22

Рис. 2.22

Рис. 2.22

законами Кирхгофа и учитываязаконами Кирхгофа и учитывая

законами Кирхгофа и учитывая

законами Кирхгофа и учитывая

не существует и, следовательно, вольтовой дуги не будет. При дальнейшем изменении Е от К* до ^2 мы будем перемещаться по участку АС кривой равновесия. Возникшей вольтовой дуге будет соответствовать ток, изменяющийся от 0 до 1С. При переходе электродвижущей силы Е через значение 占二 ток скачкообразно изменится от 1С до IF и затем будет непрерывно увеличиваться вместе с увеличением Е (рис. 2.22, а). Если теперь уменьшать Е от значений, больших К2, до 即 то ток будет непрерывно уменьшаться до /» При

прохождении электродвижущей силы Е через Kj ток скачкообразно уменьшится от 7р до 7В и в дальнейшем будет непрерывно уменьшаться вместе с уменьшением Е (рис. 2.22, 6).

Аналогично можно построить кривую равновесия, соответствующую изменению сопротивления R.

Пример 3. Условие устойчивости лампового генератора [4]. Рассмотрим простейшую схему лампового генератора с индуктивной обратной связью и колебательным контуром в цепи сетки (рис. 2.23). Пользуясь направления токов в цепи, а также

положение положительной полярности конденсатора, получим следующие уравнения (сеточными токами пренебрегаем):

h = -pi, L-jp^u-Ri-M-^ •(2.52)

Член —М dia/dt представляет э.д.с. обратной связи, наводимую благодаря воздействию на контур анодного тока, протекающего по катушке Е&. Считая, что анодный ток зависит только от сеточного напряжения ug = и (это достаточно хорошо выполняется для триодов с большим коэффициентом усиления), будем иметь

约 d% ^и с ,、du7r = FT ~dT = $ 3)~dT

где S (u) = -Qs 一 крутизна характеристики ia лампы (примерная зависимость тока ia и величины ° от напряжения ug = и по-

Рис. 2.24

казаны на рис. 2.24). Теперь дифференциальные уравнения движения (2.52) примут вид

d 辽idi1с с

1 成“、=—, Л 山 =弘 一 ~q~ [R。一 MS (u)] г. (2,53)

Исследуем устойчивость равновесного состояния и = 0, i = =0 относительно напряжения и и тока t. Для этого возьмем функцию- Ляпунова в следующей форме:

V =谓 + 谑).(2击4)

Очевидно, что эта функция определенно-положительна. Вычислим производную Г функции У:

工 di du

+(2・55)

Подставим вместо dildt и du/dt их значения из уравнений (2.53)

* 4" i 伍-'Te[he - "S(")】"十"(-六) или, раскрывая скобки и группируя члены,

1

V ^ — -^[RC — MS (и)] i2.(2.56)

Разложим функцию 5 (и) в ряд по степеням и:

S (и) = S (0)十 S (0) и + . . .,(2.57)

и внесем это выражение для 5 (и) в производную 7:

0 = — 丁 (ЯС 一 MS。)£2 十•・•，(2.58)

где точками обозначены члены, содержащие и и i в степени выше второй, a Sq = S (0).

При достаточно малых по модулю значениях и и 2 производная / будет не знакоопределенной, а только знакопостоянной функцией переменных и и i. Поэтому, пользуясь выбранной фунцией R (2.54), мы не можем применить теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости и неустойчивости движения. Неприменима к ней и теорема Четаева о неустойчивости движения. Воспользуемся теоремами Красовского. В качестве многообразия К возьмем совокупность точек, для которых е =у= 0, i = 0 (на плоскости (t, и) это ось и). Покажем, что многообразию К не принадлежат целые траектории системы. Для этого внесем в уравнение движения (2.53) значения пе- эеменных t и и, определяющих К. При i = 0 и и ^= 0 эти уравнения примут вид

票=0, и = О,

что невозможно, так как на К 辽卡 0.

Рассмотрим теперь два случая:

RC — MS。> 0,(2.59)

RC — MSq < 0.(2.60)

Если параметры системы удовлетворяют неравенству (2.59), то будут выполнены все условия теоремы Н. Н. Красовского об асимптотической устойчивости § 2.3. Действительно, функция V определенно-положительна, а ее производная Г, согласно равенству (2.58) и соотношению (2.59), отрицательна вне К и равна нулю на К (i = 0,辽 # 0). Поэтому равновесное состояние системы i = =0, м = 0 будет асимптотически устойчиво относительно тока г и напряжения и.

Пусть теперь параметры системы удовлетворяют соотношению (2.60). Тогда будут выполнены все условия теоремы Н. Н. Красовского о неустойчивости движения § 2.4. Действительно, функция V может принимать положительные значения (она определенно-положительна), а ее производная Г, согласно (2.58) и (2.60), положительна вне К и равна нулю на К. Следовательно, равновесное состояние системы i — 0, и = 0 неустойчиво.

Таким образом, при выполнении условия (2.59) равновесное состояние системы асимптотически устойчиво относительно тока i и напряжения и, а при выполнении условия (2.60) равновесное состояние системы неустойчиво. Случай RC =血S。требует дополнительного исследования, но практического интереса он не представляет, так как при небольшом нарушении этого условия (что всегда возможно, ибо все элементы системы изготовляются с определенными допусками) получится неустойчивая или асимптотически устойчивая система. В § 4.5 разобранный здесь пример будет решен другим, более простым методом.

Пример 4. Устойчивость равновесия си- с темы с одной степенью свободы, находя-

щейс я под действием потенциальной н е- линейной силы и силы сопротивления, пропорциональной первой степени • скорости. Обозначим обобщенную координату, отсчитыьаемую от положения равновесия, через q. Будем считать, что киньтическая Т и потенциальная П энергии системы определяются равенствами

т = Г М^, П」-^уу «т+1,(2.61)

где М ——приведенная масса системы, предполагаемая постоянной, 乂 ——постоянный коэффициент, ат — положительное целое число, не меньшее двух (wz 步 2).

Считая, что, помимо потенциальной силы, на систему действует сила сопротивления, пропорциональная первой степени скорости, составим уравнение возмущенного движения (за невозмущенное движение принимается состояние покоя, при котором g = О, 炉=0):

J дТ ОТ Ш .dt dq 一 dq — — dg 一n''

где 卩一положительная постоянная, характеризующая силу c(n ротивления.

Учитывая значения Т и П, получим

Mq = 一Y严—卩匕(2.62)

Положим。=勺,g = &. В новых переменных уравнение (2.62) будет эквивалентно системе двух уравнений первого порядка

m至1= -卩芯1——K瓚,于2 ~芯1,(2.63)

причем по условию тп》2. В качестве функции Ляпунова возьмем полную механическую энергию

p=7 + 口 =万m炉+五吋严+1，

или, в новых переменных,

Р = Т "4 + if戸喈+i.(2.64)

Найдем полную производную по времени

p = MaJi + ^%2，

Внесем сюда значения 亡］и ^2 из уравнений возмущенного движение (2.63):.

D = / (—卩q — xx2w) + хх^и

или, после упрощения,

0 = 一竭.(2.65)

Рассмотрим теперь возможные случаи.

Число х положительно (*>0), а число m нечетное. Для этого случая V — определенно-положительная функция перемен-

ных 与玄况2 (т 十 1 ——число четное), а производная / — отрицательная функция относительно совокупности переменных 芯】и х2. Согласно теореме Ляпунова об устойчивости движения, можно утверждать, что невозмущенное движение устойчиво, но не асимптотически. Теорему Ляпунова об асимптотической устойчивости применить нельзя, так как производная Г отрицательная, но не определенно-отрицательная функция переменных ；гх и т2 (при 宏】=О, 1r2 十 0 производная ^ — 0).“

Обратимся к теореме Барбашина ——Красовского. Прежде всего, отметим, что функция 匕 определенная равенством (2.64), удовлетворяет условию (2.16)

lim V (xj,忆2)= оо.

Многообразие К получим, положив 卩=—卩第;=0. Это ось д (芯1 = 0,芯2 壬 0). Зто многообразие не содержит целых траекторий, так как на нем уравнения (2.63) принимают вид

—^^F = 0, % = О,

что невозможно (на К переменная х2=/= 0).

Очевидно, что на К производная' 0 = 0, а вне К она отрицательна. Таким образом, при сделанных предположениях (乂 >0, т — нечетное число), выполнены все условия теоремы Барбашина——Красовского § 2.3 и, следовательно, положение равновесия 虞1 = 0,重乞=0 асимптотически устойчиво в целом при любых начальных возмущениях.

Число х положительно (х > 0), а число т четное： Функцию V определим теперь следующим образом:

у=—+-^ут «г1) •(2・бб)

Очевидно, что

0 ="%;.

При х > 0 и ш четном функция V может принимать положительные значения (например, при / = 0 и % V 0). На прежнем многообразии К (^ = 0,芯纟 牛 0) производная Г = 0, а вне К производная / > 0. Кроме того, многообразию К не принадлежат целые траектории системы. Поэтому выполнены все условия теоремы Н. Н. Красовского § 2.4 и положение равновесия ^ = q = 0, ж2 ~ = q = 0 неустойчиво.

Число х отрицательно (乂 V 0), а т — любое целое положительное число, не меньшее двух (т》2).

Функцию V берем в форме (2.66). Прй любом целом m и к < 0 функция V может принимать положительные значения (например, при ^ = 0 и ха < 0). Повторяя доказательство случая б), убеждаемся, что при 乂 V 0 положение равновесия неустойчиво.

Таким образом, система асимптотически устойчива относительно g и q при 乂 > 0 и m нечетном. Во всех остальных случаях она неустойчива.

Г Л А В А ГП

УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ И СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ

Теорема Лагранжа

Рассмотрим механическую систему с голономными и стационарными связями, положение которой определяется s обобщенными независимыми координатами д1т . . ., qs. Как известно, в положении равновесия все обобщенные силы Qk такой системы равны нулю:

Qi ~ 0, . . ., Qs = 0. (3.1)

Если обобщенные силы Q^ зависят от координат д> и скоростей j 力 то для определения положений, в которых система может находиться в равновесии, достаточно внести в равенство (3.1) значения ?)= 0 и решить полученные уравнения относительно ^, . . ., qs.

Для консервативных сил Q^ =——^^ , где П —— потенциальная энергия системы, и уравнения (3.1) принимают вид

零=0…(3.2) @直 dqs 、」

Решая эти уравнения относительно q^ • д§, найдем те значения обобщенных координат, при которых система может находиться в равновесии. Таких положений может оказаться несколько, причем в некоторых из них равновесие может быть устойчивым, а в некоторых неустойчивым. Так, например, простой маятник, подвешенный на стержне, имеет два возможных положения равновесия, из них в нижнем положении равновесие устойчиво, а в верхнем неустойчиво.

Рассмотрим одно из возможных положений равновесия. Будем считать, что в этом положении потенциальная энергия равна нулю. Это всегда можцо сделать, так как потенциальная энергия определяется с точностью до аддитивной постоянной. Кроме того, не нарушая общности, можно считать, что в этом положении все обобщенные координат

ты 01，• . •, qs равны нулю (для этого достаточно отсчет координат вести от этого положения). Будем рассматривать устойчивость равновесия относительно обобщенных координат 必，•••，,§ и обобщенных скоростей (口 ...

Тогда уравнения Лагранжа второго рода d 8? dt _ 8口

df G R(厶==1, . . . , 8),

будут уравнениями возмущенного движения. Число уравнений "=2s и они допускают интеграл энергии

Т + П =瓦(3.4)

где 7’ ——кинетическая энергия системы.

Лагранжу принадлежит следующая теорема (1788 г.), определяющая достаточные условия устойчивости равно- вестия консервативных систем〔).

Теорема； Если 6 положении изолированного равновесия консервативной системы с голономнъьми и стационарными связями потенциальная энергия П имеет минимум, то 6 этом положении равновесие устойчиво.

Доказательство. В рассматриваемом положении равновесия потенциальная энергия равна нулю и имеет минимум. Поэтому по крайней мере в достаточно малой окрестности нуля значения функции П будут положительны. Это означает, что в этой окрестности потенциальная энергия П представляет определенно-положительную функцию переменных д『,а полная энергия системы

卩=7 + П(3.5)

определенно-положительную функцию обобщенных координат г/】,...,qs и обобщенных скоростей ci，. . ., (s (так как кинетическая энергия Т механической системы с голономными и стационарными связями является определенно-положительной квадратичной формой обобщенных скоростей (см., например, [12])).

Полная производная функции V по времени на основании интеграла (3.4) равна нулю. Следовательно, эта функ-

Строгое доказательство теоремы Лагранжа впервые дал Дирихле, поэтому эта теорема часто называется теоремой Лагранжа — Дирихле. Здесь приводится доказательство Ляпунова, вытекающее непосредственно из его прямого метода.

ция удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости, что и доказывает теорему Лагранжа.

Теорема Лагранжа широко используется в приложениях. Как правило, при ее практическом применении удобнее всего разложить потенциальную энергию в ряд по степеням 夕口 ...,夕$, а затем воспользоваться критерием Сильвестра (2.9). В общем виде имеем

-(。)十"咼产+包［叱弧-)…•.•, где точками обозначены члены, содержащие ^, . . ., ^в в степени выше второй.

По условию П (0) = 0 (в положении равновесия потенциальная энергия равна нулю); кроме того, в этом положении должны выполняться равенства (3.2). Поэтому

7£2cK)QkQj +(3.6)

j=i /<■—1 где постоянные коэффициенты

Если коэффициенты 已卜)удовлетворяют критерию Сильвестра (2.9), то квадратичная часть равенства (3.6) будет определенно-положительной квадр а- тичной формой переменных ^,..., 0s, а вместе с ней будет определенно- положительна в окрестности нуля и потенциальная энергия П. Это означает, что потенциальная энергия П имеет изолированный минимум и, следовательно, согласно теореме Лагранжа, в рассматриваемом положении равновесие устойчиво.

Пример. Система представляет двойной маятник; тела 妬 и 鸠 с массами т1 и т2 рассматриваются как материальные точки; массой стержней, сопротивлением воздуха и трением в горизонтальных цилиндрических опорах пренебрегаем; спиральные пружины с жесткостями % и % при верхнем вертикальном положении маятни

ков находятся в естественном недеформированном состоянии (рис. 3.1). Считая массы тг и т2 маятников и их длины 厶 и % задан-

ными, определим жесткости пружин 乂】и х? так, чтобы в верхнем вертикальном положении равновесие маятников было устойчивым.

Связи системы идеальны, стационарны и голономны, а активные силы, действующие на систему, консервативны. Поэтому здесь применима теорема Лагранжа. Положение маятников будем определять углами ф! и ф2. Потенциальная энергия П системы складывается из потенциальной энергии 口】пружин и потенциальной энергии П2 сил тяжести

口 = И】十П2.

Имеем

Пх = f №壮 + "2" х2 (ф2 — Ф1)2,

П2 = .— Fgh (1 — cos <Pi) — m2g ［厶(1 — cos %)十 /2 (1 — cos д)】・ Следовательно,

口 = 丁 Х1Ф1 + F 乂2 (<Р2 - 2gs + 呢)一

—(^1 + *2)gh (1 — COS Ф1) — m2g1& (1 — COS 屮2).

Пользуясь разложением косинуса в -ряд Маклорена:

cos z = 1 — 2 получим после группировки

1&

II ={ ［乂1 + x2 - (ml 十 w2)g2l］①］一

—2х2Ср1(р2 十(乂2 — M2gz2)若} + ..., где точками обозначены члены, содержащие 屮】и 屮纟 в степени выше второй.

Введем обозначения

"1 = 乂工十 乂2 一(m1 + m2)gа，q2 - c21 = -h2，С22 = 乂2 -必g为"

Тогда

П = 丁 (依屮；+ 2^29^2 + С22Ф2)+ • • •

Критерий Сильвестра (2.9) в данном примере имеет вид

А. I с11 С12 I2、八

А］. = С11 > °,厶2 = г г = С11С22 — %2 > 0・

I C21 с23 I」4

Вместо этих неравенств можно ввести два других, им эквивалентных (они могут быть получены, в частности, из критерия Сильвестра простой перестановкой индексов):

，22 > 0，с11с12 一 С；2 > °*

Пользуясь значениями c^j, получим

/ — m2g%2 > 0, (х2 一 m2gz2)【网 +乂2 —(吗 + Tn^gl^ —堵 > 0.

Решая эти неравенства относительно 乂】и %, легко найдем

乂2 > m2gz2, Ki > 忘二恤gk + S" + 切2) g厶一妆.

Положим

4 = тп2g吼В =(W + 恤)g&：

Тогда последние неравенства принимают вид

Ха〉4 Хх〉д + 5 — Х2.

Преобразуем второе неравенство. Имеем 喝 一 42 + 4242

& > k； 4+ 3 - 乂2 =独+ 4 + К2 - 4 + " 一 К2，

Теперь условие устойчивости принимает вид

%4 + " + "，％2〉4.(3.8)

На рис. 3.2 показана область устойчивости равновесия вертикального положения.

/2

Граница области определяется уравнением хг = 乂 _ / + 力 + 十 В и неравенством х2 > А.

Обратимость теоремы Лагранжа

Теорема Лагранжа определяет только достаточные условия устойчивости равновесия консервативной си- стемы: если потенциальная энергия имеет в положении изолированного равновесия минимум, то равновесие устойчиво- Ляпунов первый поставил вопрос об обратимо- ти теоремы Лагранжа, а именно: можно ли утверждать, что при отсутствии минимума потенциальной энергии равновесие будет неустойчивым? Ему принадлежат следующие две теоремы, которые приводятся здесь без доказательств (см. 135]).

Если 6 положении изолированного равновесия потенциальная энергия не имеет минимума 〃 его отсутствие определяется членами второго порядка малости без необ-

ходимости рассматривапия членов высшего порядка^ то равновесие неустойчиво.

Если 6 положении изолированного равновесия потенциальная энергия имеет максимумч определяемый по членам наименее высокого порядка^ которые действительно имеются 6 разложении этой функции, то равновесие неустойчиво.

Н. Г. Четаев обобщил эти теоремы Ляпунова и доказал следующую теорему: если 6 изол ированном положении равновесия потенциальная энергия П, предполагаемая аналитической функцией ^1? . . ., qs, не имеет минимума, то равновесие неустойчиво (см. [49]).

На основании приведенных теорем § 3.2 и 3.1 будем в дальнейшем считать, что устойчивому положению равновесия потенциальной системы отвечает минимум потенциальной энергии. Из этого следует, что устойчивое положение равновесия потенциальной системы изолировано.

Циклические координаты.

Преобразование Рауса

Существует обширный класс механических систем, для которых некоторые координаты не входят явным образом в кинетическую энергию системы, а обобщенные силы, соответствующие этим координатам, равны нулю. Такие координаты называются циклическими, а остальные координаты системы — позиционными или просто нециклическими. Так, например, для искусственного спутника Земли (см. пример 2 § 2.6) координата ср —— циклическая, а координаты 0 и г — позиционные. Для конического маятника (пример 1 § 2.6) координата 屮一 циклическая, а координата 0 —— позиционная. Для волчка (пример § 3 § 2.6) координаты а и § — позиционные, а координата <р ——циклическая.

Пусть @1, . . ., qs ——позиционные, a tpj, . . .,(pm —— циклические координаты системы. Запишем уравнения Лагранжа для циклических координат

4"詁一詁m). (3.9)

Кинетическая энергия Г системы по определению циклических координат не зависит явным образом от 屮丁； поэтому

Кроме того, обобщенные силы。勺 соответствующие циклическим координатам, , равны нулю

Qq 尸。.

Следовательно, уравнения Лагранжа (3.9) для циклических координат принимают вид

石砸J = °" = J ” 叫 (3.10)

Эти уравнения допускают очевидные первые интегралы

Рз =爭-=С)= const (/ = 1,.. BJ m),(3.11)

показывающие, что обобщение импульсы^ соответствующие циклическим координатам, остаются постоянными во все время движения.

Первые интегралы (3.11) можно использовать для преобразования уравнений Лагранжа для позиционных координат. Это преобразование принадлежит Раусу и носит его имя. Не останавливаясь на выводе (см., например, [38, 49]), приведем только результаты.

Правые части первых интегралов (3.11) содержат циклические скорости 巾j линейно, так как Т —— квадратичная функция скоростей. Найдем из т первых интегралов (3.11) все 9力 выразив их через д^ и с^; внесем затем их в выражение для кинетической энергии и обозначим результат подстановки через 7'*, после чего составим функцию Рауса по следующей ▼ формуле:

R = T*~^i сЛ-(3.12)

В этом выражении циклические скорости ©扣 должны быть заменены их значениями, полученными из первых интегралов (3.11). Уравнения для позиционных координат 0/ примут вид (предполагается, что силы, действующие на систему, потенциальны; в противном случае в правой ^^сти уравнений будут стоят обобщенные силы

d dR dR。口 z.-、/2 4 4

石两-瓦=一丽 (7 = 1，(3.13)

Функция Рауса не содержит циклических координат Ф и скоростей ф, а зависит только от q* и(%. Поэтому движение в позиционных координатах ?/ можно изучать

по уравнениям (3.13)т как бы игнорируя циклические координаты (конечно, до тех пор, пока рассматриваются одни уравнения (3.13)). В связи с этим движение в циклических координатах называется скрытым движением, а движение в позиционных координатах ——явным движением.

Остановимся подробно на структуре функции Рауса. В результате всех преобразований, связанных с построением по формуле (3.12), в функции Рауса R можно выделить слагаемое /?2, содержащее позиционные скорости ， во второй степени, слагаемое 7?卜 содержащее позиционные скорости @ в первой степени, и слагаемое RQ, независящее от скоростей q:

区=凡 +Ai + Ro,(3.14)

где

1££ @&* М 八(3.15)

3=工 k=i

〃工=2 仪丹(3.16)

В этих равенствах коэффициенты 翫丁 —仪尤，а；, а также Rq ——функции позиционных координат %, •・•, g$ и постоянных интегрирования q, . . ., cm. Не останавливаясь на доказательстве (см., например, [38]), отметим, что квадратичная форма Н2 является определенно-положительной.

Внесем в уравнения (3.13) значение функции Рауса из формулы (3.14):

d d (Т?2 + % + %) d (邑 + % + Eo) — 5П

dt dq-dq^' —dq.'

Разбивая на отдельные слагаемые и учитывая, что 凡 не зависит от 7 и, следовательно, ^^ = 0, получим после группировки

d 57?2d 57?2理dq；理dq；

d 57?2

d 57?2

理

dq；

理

dq；

Пользуясь формулой (3.16) для &, преобразуем выражение, стоящее в скобках. Имеем

Учитывая, что а； зависит от времени t сложным образом через ди • . 9s, получим по правилам дифференцирова- мия сложной функции

d 8R］一叫__dt 西1 dt 一d 8R］一叫__dt 西1 dt 一

d 8R］一叫__

dt 西1 dt 一

d 8R］一叫__

dt 西1 dt 一

Заменим теперь в формуле (3.16) индекс суммирования / на к и продифференцируем по gj：

Следов ательно,d0国ORdt 0%dq^Следов ательно,d0国ORdt 0%dq^0々 ^ V - V叫.

Следов ательно,

d0国OR

dt 0%dq^

Следов ательно,

d0国OR

dt 0%dq^

t(•5■一箒)% = *gj心, H=1 '' /K=1

где так называемые гироскопические коэффициенты g^ определены равенствами

да. 0%

Теперь урежнения (3.17)1 приводятся к следующему ВИДУ：

d 0*20*20w 。•/ . Л、 /2 С

° = l,...,s),(3.19)

где

加=И -凡・(3.20)

Уравнениям (3.19) можно отнести некоторую систему (она называется приведенной системой)^ в которой функции R2 a W служат кинетической и потенциальной энергиями; обобщенные силы этой системы определяются равенствами

0——也0——也k=ik=i(3.21)(3.21)

0——也

0——也

k=i

k=i

(3.21)

(3.21)

причем Wg抬％ называются гироскопическими силами. Из определения гироскопических коэффициентов g^ видно, ^то их матрица кососимметричная^ т. е.

(3.22)(3.22)g『k = —gb・

(3.22)

(3.22)

В этом легко убедиться, поменяв в формуле (3.18) местами индексы к и j. Заметим, что при отсутствии гироскопических сил (это, как правило, бывает при % — 0) система называется гироскопически несвязанной. Основное свойство гироскопических сил состоит в том, что сумма их работ на действительном перемещении равна нулю. Это свойство лежит в основе их определения, данного Томсоном и Тетом (см. [58]). Гироскопические силы встречаются не только в системах с циклическими координатами (частный случай их ——системы, содержащие гироскопы), но и в различных других физических системах (см. примеры § 6.7).

Из дифференциальных уравнений (3.19) приведенной системы легко получить интеграл энергии

Т?2 + W =区2 + "Л —• Rq = const. (3.23)

Этот интеграл может быть получен формальными методами, но физически он очевиден ——гироскопические силы, действующие на приведенную систему, не производят работы и, следовательно, они не могут изменить общий баланс энергии.

Стационарное движение и условия его устойчивости

При некоторых условиях материальная система, имеющая т циклических и s позиционных координат, может совершать стационарное движение^ которое состоит в том, что все позиционные координаты и циклические скорости сохраняют постоянные значенияравные начальным. Условия, при которых осуществляется стационарное движение, легко получаются из следующих очевидных соображений.

Согласно определению в стационарном движении, все позиционные координаты сохраняют постоянное значение:

qjc (£)=拆о = const (力=1,.・.，5).

Это означает, что приведенная система находится в покое. Но для этого, согласно равенствам (3.1), необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы (3.21) этой системы равнялись нулю, т. е.

или, учитывая, что в стационарном движении (равновесии нриведенной системы) все 4杞=О：

(3.24)(3.24)

(3.24)

(3.24)

(/= 1,…，s)・(/= 1,…，s)・Принимая во внимание выражение (3.20) для потенциальной энергии W приведенной системы, этим условиям можно придать и другой вид, а именно:

(/= 1,…，s)・

(/= 1,…，s)・

(3.25)

Таким образом, для осуществимости стационарного движения необходимо и достаточно, чтобы начальные значения позиционных координат д『удовлетворяли s равенствам (3.24) и все начальные значения позиционных скоростей 0/ равнялись нулю (при q = const и ^ = 0 все циклические скорости ф будут сохранять постоянные значения). Отметим, что в функцию R。входят постоянные 円 циклических интегралов (3.11), поэтому значения q^ в стационарном движении зависят от циклических скоростей <р, содержащихся в с『.

Перейдем теперь к определению условий устойчивости стационарного движения, которое будем считать за невозмущенное движение. Не нарушая общности, можно считать, что в стационарном движении все позиционные координаты qj равны нулю. Тогда уравнения движения (3.19) приведенной системы будут дифференциальными уравнениями возмущенного движения относительно позиционных координат 0/ и скоростей @力 Раусу принадлежат несколько теорем об устойчивости стационарного движения. Здесь приводится одна из них, получившая наибольшее р аспр остр анение.

Теорема Рауса. Если 备 стационарном движении потенциальная энергия Ж — П — RQ приведенной системы имеет минимум^ то это движение устойчиво относительно позиционных координат gj и скоростей @力 по крайней мере для возмущений^ не нарушающих значения циклических интегралов (3.11).

Доказательство. При стационарном движении исходной системы приведенная система находится в покое. Кроме того, для этой системы имеет место интеграл энергии (3.23). Поэтому для доказательства теоремы Рауса достаточно повторить доказательство теоремы Лагранжа»

Теорема Рауса в данной формулировке справедлива, конечно, для возмущений, при которых не нарушаются циклические интегралы (3.11) (так как последние входят в потенциальную энергию приведенной системы через функцию Ко). Ляпунову принадлежит существенное дополнение к этой теореме, устраняющее этот недостаток. Ниже приводится без доказательства дополнение Ляпунова в форме следующей теоремы г).

Теорема. Если потенциальная энергия W приведенной системы имеет минимум как при данных р； = с；, ошве' чающих рассматриваемому стационарному движению^ так и при всяких достаточно близких к данным значениях р$ = =с, + П/，а@е П/ малы по модулю, причем значения переменных дм обращающие ее в минимум^ суть непрерывные функции величин 卩力 то стационарное движение устойчиво относительно 勺用 u q^.

Примечание. Циклические интегралы (3.11) содержат позиционные q и циклические ф скорости линейно. Поэтому из устойчивости стационарного движения относительно величин @上 и @к следует устойчивость и относительно циклических скоростей ф (но не координат ср).

Необходимо отметить, что устойчивость стационарного движения может быть осуществлена и при отсутствии минимума потенциальной энергии (за счет гироскопических сил). Поэтому распространить теоремы Ляпунова и Четае- ва об обратимости теоремы Лагранжа на стационарное движение нельзя. Однако для гироскопически несвязанной системы справедлива следующая теорема, являющаяся перефразировкой теоремы Четаева об обратимости теоремы Лагранжа.

Теорема. Если для изолированного стационарного движения гироскопически несвязанной системы при фиксированные циклических интегралах (3.11) функция W, предполагаемая аналитической функцией переменных д, не имеет минимума, то стационарное движение неустойчиво.

В заключение отметим, что для практического применения теоремы Рауса достаточно заметить, что при выпол-

А. М. Ляпунов приводит свое дополнение к теореме Рауса без доказательства. В. В. Румянцев в работе [46] доказал это дополнение в предположении непрерывности функции ТУ. В этой же работе ' приводится наиболее полное изложение теории устойчивости стационарных движений; часть результатов принадлежит В. В. Румянцеву. В работах [24а, 536, 53в] приводятся условия обратимости теоремы Рауса и, как следствие условия обратимости, теоремы Лагранжа ~ Дирихле. ”

нении ее условий функция W — Wo будет определенноположительной (Жо ——значение функции W в стационар- ■ном движении). Поэтому здесь рационально использовать обычный прием разложения этой функции в ряд с последующим применением критерия Сильвестра.

Примеры

В примерах 1 и 2 § 2.6 устойчивость стационарных движений конического маятника и ИСЗ была доказана с помощью связки интегралов. Получим теперь эти же результаты с помощью теоремы Рауса.

Пример 1. Устойчивость стационарного движения конического маятника. Ранее были найдены следующие выражения для кинетической Т и потенциальной П энергий маятника (см. рис. 2.14 и формулы на с. 58):

1..

Г =加2 (03 + 布2 sin2 0), И = — mgl cos 0.

Из этих выражений видно, что координата гр циклическая (она входит в кинетическую энергию только через скорость ip и не содержится в потенциальной энергии), а координата 0 позиционная. Составим, согласно формуле (3.11), циклический интеграл

р — _£乙—ml2 sin2 f)0 = c./Q 冰

孙‘3.26)

Отсюда найдем《и внесем его в выражение для кинетической энергии:

. с1.1с3

W = mP sina 9， 彳 т十 Т•

Пользуясь формулой (3.12), составим функхщю Рауса .].4 或с

* =—前=彳小閥2 + — wpsina0 — mpsin20

или

11 c2

方m閥3_玄心siMO •

Отсюда видно, что (см. равенство (3.14))

1.t с2

= 翼通 ％ = & *° = —浦7П而

Так как 々=0, то система гироскопически не связана. Согласно общей теории, составим потенциальную энергию W = И ——/?0 приведенной системы:

1 с?

W = — mgZ cos 8 + 玄“卩 sfn^ •(3・ 27)

(3.24) осу-(3.28)(3.29)(3.24) осу-(3.28)(3.29)

(3.24) осу-

(3.28)

(3.29)

(3.24) осу-

(3.28)

(3.29)

Обозначим значение угла 0 в установившемся движении через а, а значение циклической скорости《чврез(о. Условие ществимости стационарного движения принимает вид

(dW\с2 cos а

(同丿е=а = mgl sin а - mZ2sinsa = 0 или, после преобразований,

sin4 a с%

cos a —血2g戸•

Это равенство определяет однопараметрическое семейство решений уравнения (3.28), причем соответствующая величина угловой скорости конического маятника определяется равенством (3.26)

O = ®o = 3 = mZ3sin2a •(3・3。)

Исключая из равенств (3.29) и (3.30) параметр % найдем

Как уже отмечалось в примере 1 § 2.6, это условие стационарного движения конического маятника может быть получено из элементарных соображений.

Примем стационарное движение маятника за невозмущенное и исследуем его устойчивость с помощью теоремы Рауса с дополнением Ляпунова. Положим 0 = a + ^» внесем в выражение (3.27) для функции W и разложим разность Ж — Жо в ряд по степеням 步：

少 一 %。=(箒)e=a。0 + (*)0=戸2 + или, учитывая равенство (3.28),

1 / /W \吵一 %。=区小+…，

где точками обозначены члены, содержащие 虞 в степени выше второй.

Вычисляя производную, найдем

тт. w产 sin3 a + 3 cos2

W - A。=w[mgl cos a + 标^^]4 +…

Так как множитель при х2 по дожито леи, то функция W имеет в стационарном движении минимум. Кроме того, для всякого 0 = «学=-2- решение (3.29) непрерывно зависит от постоянной с интеграла (3.26), а циклическая скорость гр =(о непрерывно зависит от той же постоянной при 8 = a 丰 0. Поэтому на основании теоремы Рауса и дополнения Ляпунова стационарное движение конического маятника устойчиво относительно 0, 0 и ф.

Пример 2. Устойчивость стационарных дричсений центра масс искусствецного

спутника Земли [46]. В примере 2 § 2.6 были получены следующие выражения для кинетической Т и потенциальной П энергий искусственного спутника Земли (см. рис. 1.5 и формулы на с. 26):

Т — -g- (г2 + г2 cos3 0фа + га02), П — —11.

Из этих выражений видно, что координата <р циклическая, а координаты г и 0 позиционные. Циклической координате ф соответствует интеграл плоп1；адей

дТ.

Р = —L = 7??Г 2 cos2 8cp = с.(3.31)

Из этого равенства найдем производную ф и внесем ее в выражение для кинетической энергии:

.сW ..1 с2

①=cos2e，万(产+ Г明2) + — 戸灰甫

Пользуясь формулой (3.12), составим функцию Рауса

. m ..1 с2с

R = 7'* — сф — F~ (г2 + г202)十 F2 c 2 о — с —2«7i

*2 ' I / i 2 加「2 Cos3 0 zn「2 cos2 0

или

R =子®十户的-4 „Xos^e •

Отсюда видно, что (см. равенство (3.14))

% =十版2),%=0, % =-五方产COS^O •

Так как / — 0, то система гироскопически не связана.

Согласно общей теории-, составим потенциальную энергию W =

=ГЕ Ео приведенной системы

w 1 с2

W —q•(3.32)

片 r I 2 mr2 cos2 0' 丿

Условия (3.24) осуществимости стационарного движения при- имают вид

dW mса с &W с2 sin 0…

=快 声一 тгз c0S2e = °，= mr2 cos3 0 = °* ('S3)

Эти уравнения имеют однопараметрическое семейство решений

г = го = К，(3.34)

8 =厌=0,(3.35)

причем соответствующая угловая скорость вращения радиуса-вектора центра масс спутника определяется из интеграла (3.31):

.♦с

屮=% = з =—

叫

Как было уже показано в примере 2 § 2.6, стационарные движения искусственного спутника представляют собой движения в плоскости Оху по круговым орбитам радиуса г0 с постоянными угловыми скоростями. Исключая из равенств (3.34) и (3.36) параметр с, найдем

0)2不=卩.

Эта формула была получена ранее из простых физических соображений (см. равенство (1.30)).

Примем стационарное движение спутника за невозмущенное н исследуем его устойчивость с помощью теоремы Рауса и дополнения Ляпунова. Положим г — г^ ^ х, внесем этд в выражение (3.32) для функции W и разложим разность W ~ Wo в ряд по степеням z и 6:

/ dW \/ dW \

1「/02方 \/ 澗w \ e / 02nz、]

или, учитывая равенства (3.33), 1 Г/^ЧfХ/ 02% \/02印、1

讦_% = T [(谈>)产+ 2 肃)产+ (期)(，叫

Имеем

@2印、/则算\ (-25 (謳丿广屁.@2印、/则算\ (-25 (謳丿广屁.

@2印、/则算\ (-2

5 (謳丿广屁.

@2印、/则算\ (-2

5 (謳丿广屁.

Следовательно,

**6[(一2叩+3斎"+侖T+…

Так как, согласно равенству (3.34), в установившемся движении с2 = р,тп2г0, то будем иметь

w - ту0 = -y h -^- (土 工2 + 3) + …

Из этого выражения видно, что функция W имеет в стационарном движении минимум. Кроме того, для всякого г0=^ 0 решение (3.34) непрерывно зависит от постоянной с интеграла (3.31). Поэтому на основании теоремы Рауса и дополнения Ляпунова стационар- ное движение спутника устойчиво относительно г, г, 0, 0 и ф.

Пример 3. Устойчивость регулярной прецессии тяжелого гироскопа. Рассмотрим симметричное твердое тело, имеющее одну неподвижную точку О и движу- щееся под действием силы тяжести. Положение оси симметрии z тела будем определять углом прецессии 2 и углом нутации в; угол собственного вращения обозначим через ф (рис. 3.3). Кинетическая Г и потенциальная П энергии такого тела определяются равенствами

11

Т = К< (磯 + 崎)+ "Г 乙3号，П = Mgh cos e,

где Jx = Jy и /г — моменты инерции тела относительно осей Ре- заля 虞,у, z, а(ох, <o“,(oz ——проекции угловой скорости тела на те ate оси, М ——масса тела, h — расстояние от его центра тяжести до точки опоры.

Пользуясь рис. 3.4, легко найдем

(0х = 一 0 sin 0, (Оу = 0, ①z = @ + j cos б.

Внося эти выражения для «л, 31M з? в кинетическую энергию 7\ получим

T = "I■厶 ®2 + Sin2 8祁)+ w 厶(而 + COS 8小)2.

Так как координаты 屮 и 屮 входят в кинетическую энергию Т только через свои скорости ф и ip, а потенциальная энергия П от них

Рис. 3.3Рис. 3.3

Рис. 3.3

Рис. 3.3

не зависит, то эти координаты циклические, а 8 — позиционная. Циклическим координатам соответствуют два первых интеграла

cos 0ф)=厶％

(3.37)

=厶 sin2 бф + 厶(屮 + cos 孙)cos 0 = m.

где Jz孔 и m ——постоянные интегрирования (множитель /2 введен для удобства).

Эти интегралы выражают постоянство кинетического момента относительно осей z н J соответственно. Из равенств (3.37) найдем циклические скорости

. 加一J?汽 cos Gm — /гл cos 6

屮=—〃sin2e —―了声両—cos 0.

Внесем найденные значения 而 и 市 в кинетическую энергию. После очевидных преобразований получим

J 1.1 (т — Jzn cos fi)2 1

T =T%9 + T ~三武+ т厶泊.

Пользуясь формулой (3.12), составим функцию Рауса (в рассматриваемом случае 勺—/гп и с2 — т):~

с;11 (т — Jzn cos Н)2

R = ?* - 7也屮一М)=方 %+ + -T -~屋inze，-

Г т — Jz^cosB "I m ——Jzn cos 0

_ 3 俨一一小in2 9~ COS e」_ m —“siMU~ '

или, группируя члены н отбрасывая несущественную постоянную

1 .R — *2~厶朋1 .R — *2~厶朋Сравнивая с равенствомСравнивая с равенством1 (т — /гп cos 0)2

1 .

R — *2~厶朋

1 .

R — *2~厶朋

Сравнивая с равенством

Сравнивая с равенством

2 厶 siiFU

(3.14), найдем

1 .% = 7~ J 窮炉，％ = о, Rq1 .% = 7~ J 窮炉，％ = о, Rq1 (m — Jzn cos О)2

1 .

% = 7~ J 窮炉，％ = о, Rq

1 .

% = 7~ J 窮炉，％ = о, Rq

2 Jx sin2 0

Составим далее потенциальную энергию И7 = П — Ео приведенной системы

т , с 1 (т — /гп cos 0)2

W =Mgh COS0+-2-厶siMO—

и напишем условие осуществимости стационарного движения (3.24):

”# 7 • с , (w —J2ncose0)(/2n —7ncoseo) с

—Mgh sin 0()+Jxsin30o= • В • 38)

Считая известными постоянные m и гет из этого уравнения легко найти угол 0 = 0О. Для этого достаточно представить данное уравнение в следующей форме:

MghJx cos4 00 — (MghJx + Jznm) cos2 0O +

+ (J^r^ + m2) cos 90 十 MghJx ■— Jznm = 0. (3.39)

Это уравнение определяет семейство решений, зависящее от двух параметров тип. Для практических целей удобнее задавать просто начальные условия

при f — 0: 0 — 0О, 0 = 0, j =《и, ф = ф0.

Если теперь выразить постоянные интегрирования ?п и ге по формулам (3.37) через эти*начальные условия, то уравнение (3.39) легко приводится к виду

啮(J* —丄)cos 0o — Jz^q^q + Mgh = 0.

Это равенство устанавливает связь между начальными условия- ми движения, при которых осуществляется стационарное движение. Последнее состоит в том, что гироскоп равномерно вращается с угловой скоростью ф = ф0 вокруг оси симметрии z, а ось z равномерно вращается вокруг вертикальной оси J с угловой скоростью 《—Фо> описывая круговой конус с углом раствора, равным 20о (см. рис. 3.3). Такое движение называется регулярпой, прецессией.

Исследуем устойчивость регулярной прецессии. Для этого положим 6 = В。+ /, внесем это в потенциальную энергию W при-

веденной системы и разложим функцию W — W^b ряд по степеням х:

"一% =(集)0=0「十 §"一% =(集)0=0「十 §d^W \ Qd^W \ Q

"一% =(集)0=0「十 §

"一% =(集)0=0「十 §

d^W \ Q

d^W \ Q

где точками обозначены члены, содержащие х в степени выше второй. Первое слагаемое на основании равенства (3.38) выпадает, а второе после несложных преобразований приводится к виду

1 (т —厶翦 cos 0o) sin2 9o + (，z翦 + 乙翦 cos2 0o — 2 僞 cos Oo)a =球sine e0

Так как при всех значениях 60, не равных 0 или л, коэффициент при %? положителен, то функция W имеет в стационарном движении минимум. Кроме того, для всех 0о, не равных 0 или л, решение уравнения (3.38) непрерывно зависит от постоянных тки интегралов (3.37) (корни алгебраического относительно cos 0О уравнения (3.39) непрерывно зависят от коэффициентов уравнения). Поэтому на основании теоремы Рауса и дополнения Ляпунова регулярная прецессия устойчива относительно 0, 0, *ф и ф.

Пример 4. У стойчивость равновесного по- ло жени я оси вращающегося уравновешенного ротора, установленного в нелинейных опорах [26а]. Рассмотрим абсолютно жесткий уравно； вешенный ротор с вертикальной осью вращения, установленный

в жестко укрепленных на неподвижном основании упругих подшипниках. Будем предполагать, что подшипники обладают в общем случае нелинейной податливостью, в результате чего ось ротора может перемещаться плоскопараллельнох). Собственное вращение происходит вокруг осГматериальной симметрии (соответствующие центробежные моменты инерции и эксцентриситет е равны нулю), реакции подшипников приводятся к одной равнодействующей 歹о, зависящей от радиального перемещения р оси О ротора и направленной к точке О】 пересечения плоскости движения центра масс с осью педе- формированных подшипников (рис.

3.5 ——точки О и С при е = 0 совпадают). Очевидно, что любая реакция 尸° (р) должна обращаться в нуль при отсутствии деформации (р — 0) и в области допустимых деформаций возрастать с увеличением р, т. е. для любой реакции FQ (р) должны выполняться

условия

% (0) = 0, 塞 >0 (9>0),(3.40)

кроме того, производная dFQldp должна быть ограничена при р — 0, а производная d^Fld^ — непрерывна в тех же пределах.

Этим условиям удовлетворяют, в частности, линейная реакция 尸и = ср, нелинейные жесткие или мягкие реакции вида ^0 = = fp + bp? + “，реакции Fo = а°ра (а > 1) и др. Заметим, что для шариковых подшипников болыпинство авторов принимает Fq = «op", где а = 3/2 (формула Герца).

Очевидно, что потенциальная энергия упругой реакции口(Р)= \ %(Р)卯

в положении равновесия (р = 0) имеет изолированный минимум (ГЕ (0) = 0 и П (р) > 0 при р > 0).

В сделанных предположениях о материальной симметрии оси ротора движение центра масс и вращательное движение не зависят друг от друга и их можно изучать раздельно.

Рассмотрим вопрос об устойчивости равновесного положения оси вращающегося ротора (р = 0), сделав предварительно одно тривиальное, но вместе с тем важное замечание: координаты и их скорости должны быть определены для каждого состояния системы. При исследовании стационарного движения неуравновешенного ротора, установленного в нелинейных подшипниках (см. пример 5 § 4・5), удобно пользоваться полярными координатами. Но в положении равновесия радиус р центра масс С ротора и его скорость р равны нулю (р = 0, 0 = 0), а полярный угол 屮 и угловая скорость ф не имеют смысла. Кроме того, в полярных координатах уравнения двиясения оси ротора (они являются одновременно и уравнениями возмущенного движения около полож ения равновесия) имеют вид

тр —呻而* = — F (р), 石(wp2<p) = 0.

При р = 0 и любом ф эти •уравнения обращаются в тождества, т. е. они имеют в положении равновесия бесчисленное множество решений, что нарушает основное требование о единственности решений уравнений (1.1). Поэтому для анализа устойчивости равновесного положения оси уравновешенного ротора нельзя пользоваться полярными координатами. В связи с этим введем обычные прямоугольные координаты мну точки О, которые и будут характеризовать отклонение оси ротора от положения равновесия в Неподвижной системе координат^ ж, у.

Кинетическая и потенциальная энергии определяются равенствами

=\ F (р) dp, р =瞑КГР・=\ F (р) dp, р =瞑КГР・•

=\ F (р) dp, р =瞑КГР・

=\ F (р) dp, р =瞑КГР・

т т 加⑵п у)

о

Так как потенциальная энергия при 比=0, у = 0 имеет изолированный минимум, то на основании теоремы Ляпунова заключаем, что равновесное положение оси уравновешенного ротора устойчиво относительно х, у, / и 步；следовательно, оно устойчиво и относительно р = /%2 + у2 И f = U^2 + J2*

Г Л А В A IV

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ

Постановка задачи

Во многих случаях, особенно в приложениях, устойчивость движения исследуется по уравнениям первого приближения. Это объясняется не только простотой метода, но также и тем, что весьма часто наши знания процессов, происходящих в реальных системах, позволяют надежно определить только первые линейные члены. Однако, как было показано в § 1.2 (см. пример на с. 20—21), уравнения первого приближения могут дать иногда совершенно неверное заключение об устойчивости движения. Поэтому естественно возникает вопрос об определении условий, при выполнении которых уравнения первого приближения дают правильный ответ об устойчивости движения. В общем виде задача ставится следующим образом.

Даны уравнения возмущенного движения

企 1 — ^1Л + • • • + атхп + X], (4.1) 爲 2 = %偿工 + • • • + ^ПП^П + Хп：

где нелинейные члены Хд .…Хп содержат %口 . . ^п в степени выше первой (в этой главе вместо X彳 будем писать просто X/

Требуется определить условия, при которых заключений об устойчивости движения можно составить по уравнениям первого приближения

方1 = ^ii^i + • ■ • + а щ£п, (4.2)

*h %11~1 + • • • +。做必注 при любых нелинейных членах X】,...,Хп.

Впервые эта задача была поставлена А. М. Ляпуновым. Ему же принадлежит ее полное решение для автономных систем, когда все коэффициенты。杞)——постоянные числа, а также для многих случаев неавтономных систем при а^^ зависящих от времени 力

4 Д. Р. Меркли

Предварительные замечания

В этом параграфе, не определяя вида общего решения уравнений первого приближения, ограничимся напоминанием метода построения характеристического уравнения и некоторыми другими предварительными замечаниями, которые понадобятся в дальнейшем.

Для автономной системы (см. с. 21) все коэффициенты 仪仃 уравнений (4.2) — постоянные числа. Частное решение этих уравнений ищется в форме

…胃也=4歩£(4.3)

где А^ . . Лп, X —— постоянные числа.

Дифференцируя равенства (4.3) по времени, получим:

Внесем эти выражения для производных ж1?.编 и выражения для х^ .... хп из равенств (4.3) в уравнения (4.2) и сократим их на не равный нулю общий множитель е". Тогда, после группировки членов, будем иметь

(aii 一九)a +a12/2 + . . . + 旬n4n = o,

a2141 + (a22 一入)42 + • . • + a2n4n = 0,(4.4)

%1/1 + %2/2 + . . . + (^nn -九)4 — 0.

Так как эта система линейных однородных алгебраических уравнений относительно постоянных /^ . . ., Лп должна иметь решение, отличное от нуля (в противном случае все 胃七=0), то определитель этой системы должен равняться нулю:

Я11 —厶 Я12' * • а1п

“21“22 —厶• * * a2n =0.(4.5)

Полученное уравнение относительно X называется характер исттеским уравнением, а соответствующий определитель — характеристическим определителем.

Характеристическое уравнение содержит неизвестное число X в степени п. Следовательно, оно имеет п корней

Если среди корней характеристического уравнения нет равных (корни простые)т то всегда существует такое

неособенное линейное преобразование

%=$аk产分1，…?г),(4.6)

где % — некоторые постоянные числа, которое приводит уравнения первого приближения (4.2) к виду

分1 =九伊Dz2 =九2z2,

・・•(4.7)

Переменные 彳上,...,zn называются каноническими переменными (общий случай преобразования линейных дифференциальных уравнений к каноническим переменным при наличии кратных корней характеристического уравнения рассматривается в гл. V). Если применить преобразование (4.6) к уравнениям возмущенного движения (4.1), то получим

?1九仔1 + Z小

22 =九 2出 + z2,(4.8)

2及- %1%+ 2仆

В этих уравнениях 2г, . . ., Z^ ——нелинейные члены, содержащие z^ .... zn в степени, выше первой.

Каждому комплексному корню 九=у + 中 характеристического уравнения (4.5) отвечает сопряженный корень X = V ——i|i(V и |i — вещественные постоянные числа); им соответствуют комплексно-сопряженные канонические переменные z = м + iu м N = и —加,где и и v — вещественные функции времени £. Вещественным корням 九 характеристического уравнения (4.5) отвечают вещественные канонические переменные z.

Так как коэффициенты а^ преобразования (4.6) постоянные числа, то из устойчивости (неустойчивости) невозмущенного движения относительно переменных д следует устойчивость (неустойчивость) относительно канонических переменных 欲 и наоборот.

Предположим теперь, что система линейна, то есть дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид уравнений (4.2) или в канонических переменных ——уравнений (4.7). В сделанных предположениях (корни характеристического уравнения простые) диффе-

4*

100 ГЛ. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ ренциальные уравнения (4,7) независимы друг от друга. Они интегрируются элементарно и их общее решение имеет вид

Z1 = 20]^<t,

(4-9)

Zn = Z^^i

где z01, . . ., zon—значения переменных z^ • • •, z見 при 力=0.

Пусть 九* = ”к + Z卩融 ——корень характеристического уравнения (если vfc ^= 0 и(ife ^ 0, то корень комплексный, при ”к = 0 瓜 р7c * 0 корень чисто мнимый, при 卩& = 0 вещественный и при ”石=卩左=0 нулевой). Имеем

I е入卩 I = J е(%+и#)[ = е%‘I е®卢] или, учитывая, что | е'и/ | = 1 при любых 卩》и /,

т‘| = е“#.(4.10)

Из этого равенства следует, что при 力一> оо

I 或尸 I 0, если ”$ V 0,

I 川必 I = 1, если Vk = 0,(4.11)

I 决N I —> 8； если у%〉0.

Из общего решения (4.9) и предельных равенств (4.11) непосредственно вытекают следующие теоремы об устойчивости движения линейной автономной системы, имеющей простые корни характеристического уравнения (случай кратных корней рассматривается в гл. V):

Если вещественные части всех корней характер исти- ческого уравнения отрицательны (все v^ < 0), то невоз- мущенте движение асимптотически устойчиво (see z^ —> т 0 при 看 f со);

Если среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один, вещественная часть которого положительна, то невозмущенное движение неустойчиво (хотя 6垃 одно Zk -> оо при 力—> оо)；

Если вещественные части некоторых корней характеристического уравнения равны нулю, а вещественные части остальных корней отрицательны^ то невозмущенное движение устойчиво, но qc асимптотически (все z&. ограничены^ и часть из них стремится к нулю) г).

В следующих параграфах этой главы рассматривается влияние нелинейных членов.

Первые два вывода справедливы и для кратных корней характеристического уравнения.

§ 4.3. Основные теоремы об устойчивости по первому приближению

Теорема Ляпунова об устойчивости движения по первому приближению. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближения отрицательны^ то невозмущенное движение асимптотически устойчиво независимо от членов выше первого порядка малости.

Доказательство. Сформулированная теорема Ляпунова справедлива как для случая кратных, так и для случая простых корней характеристического уравнения (4.5). Учитывая характер настоящего руководства, мы ограничимся рассмотрением случая простых корней (полное доказательство можно найти, например, в книгах А. М. Ляпунова, Н. Г. Четаева, И. Г. Малкина (см. [35, 49, 37])). Итак, будем считать, что все корни характеристического уравнения простые. Так как вариации а。. . ., ％п связаны с каноническими переменными z^ . . .^ zn линейным преобразованием (4.6) при постоянных 仪左力 то достаточно доказать, что в условиях теоремы невозмущенное движение асимптотически устойчиво относительно переменных 近，..•，Zn•

Пусть часть корней характеристического уравнения комплексно-сопрпяченные, а часть вещественные. Для определенности будем считать, что имеются две пары комплексно-сопряженных корней. Занумеруем все корни следующим образом:

комплексно-сопряженные корни

入1:=z= V^ ~J- j 卩1，入2 ==九工==―]—j卩工，

一.(4.12)

大3 = "2 +*2,入4 ~入3 = "2 一力卩2,

вещественные корни

九5，九6, • * • т %г・

Комплексно-сопряженным корням 入「Х2 и Х3, 14 будут отвечать комплексно-сопряженные канонические переменные Z], z2 и z3, z&

(4.13)(4.13)Z] — М] ~笫1，纟2 — Z[ -—: ZZj — ?%,

(4.13)

(4.13)

Z3 = u2 + 加2, Z4 = Z3 ="2 -必2,

где и】,乂2，彳,и? —вещественные функции времени t. Вещественным корням Х5, Х6, . . ., Хп отвечают вещественные канонические переменные 25, 26, . . ., z見.

Составим функцию Ляпунова в следующем виде 】）：

"И =（21^2 + Z3Z4 + 么；+ 端 + ... + 喲. （4.14）

Отметим прежде всего, что функция V является определенно-положительной вещественной функцией переменных 〃i, и】, и?，и?, г5, . . ., 2n. Это следует из равенств

z仔2 = z^ =（以+ 汕）（u］一M）=就+就，z3z4 = Z3Z3 = （"2 + 2"2）（m2 -加2）= S + ^2,

Вычислим производную 户 функции V

户 =№ （n122 + 2122 +23z4 +z3n4）+z5之5 + • * • + ^三m

Внесем сюда значения 幺及 из уравнений （4.8）

户=~2~ ［（入lZj. + Zl） Z2 + ^1 （九2Z2 +z2）+ （大3?3 + Z.3）z4 +

+ Z3（入4Z4 + Z&）］ + Z5 （入5^5 十 Z5） + •…+ Z" （^nsn 十 2）

или, группируя члены,

户=-2~ ［（入工 + 九2）2122 + （入3 + 储）Z3Z4］ +

+ ^5^5 + •…+ 入経^ + Z, где Z — совокупность членов, содержащих z^ • . ., z^ в степени выше второй. Так как, согласно равенствам （4.12）, 九工+入2 = 2vn九3 +九4 H 2V2，

то, учитывая выражения （4.15）, получим

0 = ”1 （м； + ^i） + v2 （口； + 喲 + X5Z5 + •.・ + 九経^ + Z. （4.16）

1）Если все корни комплексно-сопряженные, то

V =攵~（21^2 + Z3Z4 + ….+ Zn_］Z,, если все корни вещественные, то

Р = ~|~ （宕 + 学 + . . . + 嗡.

По условию теоремы вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательны. В принятых обозначениях будем иметь

% < 0, v2 < 0,九5 V 0, . . ., Хп < 0.

Из этого следует, что квадратичная часть производной О будет определенно-отрицательной функцией переменных 務uи1, 〃2，и2,z5，. . .，2几,а вместе с ней при достаточно малых значениях | z^ | определенно-отрицательной будет и производная 户 независимо от членов высшего порядка. Таким образом, выполнены все условия теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости (§ 2.3), что доказывает сформулированную теорему.

Теорема Ляпунова о неустоичивости по первому приближению. Если среди корней характеристического уравнении найдется хотя бы один с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво независимо от членов выше первого порядка малости.

Доказательство. По условию теоремы хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положи тельную вещественную часть. Пусть это будет Х1Т т. е. 屮工=Re九1〉0.、

Для упрощения доказательства сделаем следующие предположения:

вещественные части всел корней не равны нулю;

корни 九и . . ., Хп ——простые (доказательство теоремы, свободное от этих ограничений, можно найти, например, в книгах А. М. Ляпунова, Н. Г. Четаева, И. Г. Малкина [35, 49, 37]).

Для определенности будем по-прежнему считать, что имеются две пары комплексно-сопряженных корней (Хх, 九2 二^ 九工，入*з,九4 ==九3), а остальные корни Х^, . . .7 九汽 вещественные. Составим функцию Ляпунова в следующей @орме:

p = -^ "1 (21出 + 1V2纷司 + 九5w + . • . + 九71*). (4.17) Отметим, что эта вещественная функция может принимать положительные значения, например, при z3 ~ z4 = z5 = =...~ zn = 0 и 2Х 7^ 0, z2 ^ 0. Вычислим производную 户 функции У:

p = n 卜丁 [幺 1z2 + 司22 + V2(2З2I + 23i4)]十

+ 入5Z^5 + • • • + ^nZn^nf ・

Внесем сюда значения производных 2k из уравнений (4.8) и сгруппируем члены, как это было сделано при доказательстве первой теоремы:

户=% {-!- [(%I + %2)2*2 + 出 (九3 + 儿)*分]+

+九独十 .…+n局} + Z, где Z — совокупность членов, содержащих 21т . . ., 2П в степени выше второй. Пользуясь равенствами (4.12) и (4,15), получим

户=丫工{% (〃； + U；) + V^ (〃2 + 喲 + 九北 + • •-

• • •十 X^2n} + Z. (4.18)

В сделанных предположениях vt > 0 и v2, ^5, . . ., Zn не равны нулю. Поэтому квадратичная часть производной 户 будет определенно-положительной, а вместе с ней при достаточно малых значениях | 纟履 | определенно-положительной будет и производная 户 независимо от членов высшего порядка. Таким образом, выполнены все условия теоремы Ляпунова о неустойчивости движения (см. § 2.4) (функция V может принимать положительные значения, а ее производная 户,вычисленная в силу уравнений возмущенного движения, определенно-положительная), что доказывает сформулированную теорему.

Доказанные две теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению решают задачу в двух случаях:

вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательны;

вещественная часть хотя бы одного корня положительна.

В обоих случаях уравнения первого приближения полностью решают задачу об устойчивости движения без необходимости привлечения к анализу нелинейных членов. Конечно, структура корней характеристического уравнения может быть и другой, а именно: вещественные части некоторых или всех корней характеристического уравнения могут равняться нулю (в частности, среди корней могут быть и нулевые), а вещественные части остальных корпей отрицательны. В этих случаях (они называются особыми или критическими случаями) для о пр еделения характера устойчивости движения одних уравнений пер^ вого приближения недостаточно —— необходимо рассмот' реть влияние нелинейных членов.

Исследование особых случаев требует, как правило, применения весьма тонких методов анализа, а также больших II трудоемких преобразований. Учитывая характер настоящего руководства, мы ограничимся разбором двух примеров, показывающих, что в особых случаях уравнения первого приближения не могут решить задачу об устойчивости движения (подробный разбор особых случаев см. в книгах А. М. Ляпунова, Н. Г. Четаева, И. Г. Малкина, А. П. Маркеева [35, 49, 37, 37а]).

Пример 1. Рассмотрим ^фавнения возмущенного движения, которые были приведены па с. 2()：

牙 1 н — ag + aq J 君 + 唸

龙2 = a^i + а& V / 十 W， где а — const.

Составим уравнения первого приближения:

企1 = ~а.г2,

& = ах1в

Характеристическое уравнение

九：=М + а2 = 0

—Ct л

имеет два корня (九恥含=± I а | i), вещественные части которых равны нулю (Re 九1 = Re 九？ = 0)・ Следовательно, для рассматриваемых уравнений теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению неприменимы. В § 4.2 было показано, что решение полных уравнений ничего общего не имеет с решением уравнений первого приближения (см. с. 21).

Пример 2. Рассмотрим устойчивость равновесия системы с одной степенью свободы, находящейся под действием нелинейной потенциальной силы и силы сопротивления, пропорциональной первой степени скорости (см. пример 4 § 2.7). Уравнения возмущенного движения в сделанных предположениях имеют вид (см. (2,63))

М^ =--m£]——М看,至2 = %i (m》2,卩〉0),

Составим уравнения первого приближения

=一N口，

Характеристическое уравнение

I м匕 р ；卜入(ла + р) = о

имеет один отрицательный вещественный корень (九】=—卩/M) и один нулевой корень (Х2 = 0). Согласно теореме 3, приведенной

на с. 100, невозмущенное движение 忆^ = е2 H 0, соответствующее уравнениям первого приближения, устойчиво, но не асимптотически. Так как один корень характеристического уравнения равен нулю (九2 = 0), то этот вывод может оказаться ошибочным. Действительно, анализ нелинейных уравнений (см. пример 4 § 2.7) показывает, что при х > 0 и m нечетном движение асимптотически устойчиво в целом, а во всех остальных случаях движение неустойчиво.

Критерий Гурвица

Раскроем характеристический определитель, сгруппируем члены по степеням X и приведем уравнение (4.5) К виду

+ 旬九"-1 + . . . + an-i% + % = 0, (4.19) причем, не нарушая общности, можно считать, что а。〉

Согласно первой теореме § 4.3, для определения устойчивости движения по уравнениям первого приближения нужно знать, когда вещественные части всех корней характеристического уравнения будут отрицательны. Естественно ,что наибольший интерес представляет решение этой задачи, не связанное с непоср едетвенным вычислением корней характеристического уравнения.

Впервые эту задачу в 1868 г. поставил Д. Максвелл; он же привел решение для " = 3. В общем виде в 1877 г. решил эту задачу Е. Раус [56]. Его решение носит алгоритмический характер; в явном виде он дал условия для ге = 4 и тг ~ 5. В 1895 г. А. Гурвиц получил аналитическое решение. Алгоритм Рауса и критерий Гурвица эквивалентны, хотя они и различны по форме. Полезно отметить, что работы Максвелла были связаны с его исследованиями регуляторов, а математик Гурвиц занялся этой проблемой по просьбе проф. А. Сто долы, инженера-машиностроителя, одного из основоположников теории регулирования турбин. Работы Д. Максвелла и А. Стодолы приведены в [13]. Мы рассмотрим условие Гурвица — оно носит алгебраический характер, более удобно в приложениях и имеет наибольшее распространение.

х) Если уравнения первого приближения решены относительно производных 讀於,то коэффициент。° при старшем члене в уравнении (4.19) равен (—1)п; при п нечетном умножением всего уравнения на —1 его можно сделать равным +1. В общем случае а0 丰 1, и делить на этот коэффициент не всегда рационально.

а。，а” . . ., ％ уравненияа。，а” . . ., ％ уравненияПостроим из коэффициентов {4.19) следующую матрицу:

а。，а” . . ., ％ уравнения

а。，а” . . ., ％ уравнения

(4.20)(4.20)

(4.20)

(4.20)

Эта матрица строится следующим образом: в первой строке стоят коэффициенты уравнения (4.19) с нечетными индексами, начиная с а「Элементы каждой последующей строки образуются из соответствующих элементов предшествующей строки уменьшением индекса на единицу. Если в соответствии с этим правилом индекс коэффициента а^, т. е. число к, превосходит степень п уравнения (4.19) или должен быть отрицательным, то а^ заменяется нулем. В результате такого построения на главной диагонали должны стоять коэффициенты а1? . . ., апт а в последнем столбце все элементы, кроме последнего, равны нулю.

Составим из матрицы (4.20) главные диагональные миноры

Д1 = «1, Д2= L • • м Дп —anAn-i.(4.21)

Последнее равенство очевидно, если учесть, что в последнем столбце матрицы (4.20) все элементы, кроме %, равны нулю.

Теорема Гурвица. Для того чтобы все корни алгебраического уравнении (4.19) с вещественными коэффициентами и положительным коэффициентом при старшем члене имели отрицательные вещественные части^ необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры (4,21) были положительны'.

Ai > 0, А3 > 0, . . ., А— > 0, Ап > 0.(4.22)

Не останавливаясь на доказательстве зто近* чисто алгебраической теоремы (см., например, [49]), заметим, что из теоремы Гурвица и первой теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению можно сделать следующий вывод: если при а。〉0 все миноры Гурвица А「... ・• А" положительнw, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво^ независимо от членов выше первого порядка малости.

Заметим также, что если хотя бы одно из неравенств (4.22) имеет противоположный смысл, то средн корней

九工，•••，％« уравнения (4.19) имеются такие, вещественные части которых положительны (это служит признаком неустойчивости системы — вторая теорема Ляпунова, § 4.3).

Прежде чем перейти к рассмотрению частных случаев, остановимся па следствиях, вытекающих непосредственно из формул Виета:

■~ =——(九I + ^2 + • • • + 九 71)，

(4.23、(4.23、~~ =九 1Л2 + ■ • • ~Ь ^n-l^n>

(4.23、

(4.23、

至=(—1广儿优

Для того чтобы при а。〉0 все корни уравнения (4.19) имели отрицательные вещественные части, необходимо, чтобы все коэффициенты а1т ...，毎 были положительны

〃1〉0,笈2 > 0, •・仪北〉0.(4.24)

Заметим, что эти неравенства (конечно, они только необходимы, но не достаточны) можно получить из критерия Гурвица.

Если при а。〉0 хотя бы один из коэффициентов 〃i, . . ., ап отрицателен, то среди корней 九力..Ап уравнения (4,19) имеются такие, вещественные части которых положительны.

Перейдем к рассмотрению частных случаев.

Система первого порядка (п ~ 1). Характеристическое уравнение имеет вид

а(Д + ^i = 0.(4.25)

Условие асимптотической устойчивости (а°〉0)

旬 > 0.(4.26)

Система второго порядка (п = 2):

а0Х2 + а^ + & = °・(4.27)

Матрица (4.20) и условие Гурвица имеют вид

al Л'%=a1〉0,a2 =a1a2〉0・

Отсюда следует условие асимптотической устойчивости системы второго порядка (а。> 0)

«1 > 0, а2 > 0(4・28)

Система третьего порядка (п — 3):

a0V + а# + 仪 2九 + 价=°・(4.29)

Составим матрицу (4.20) и условие Гурвица:

«1 «з 0 II

a0 a2 0 I , A工=a1〉0}A2 = a1a2-a003>0,

° at a3 ||

а3 =: a公2>上

Пользуясь неравенствами (4.24), сразу получаем условие асимптотической устойчивости системы третьего порядка («о > 0):

〃i〉0, &〉0, а3〉0, Д2 = а^ — а0а3〉0.(4.30)

Система четвертого порядка (га = 4). В этом случав

a0 九 4 + 旬m + a2 炉 + a3% + 仪4 = 0.(4.31)

Составим матрицу (4.20) и условие Гурвица (4.22):

«1

аз

0

0

a。

〃2

«4

0

0

仪3

0

0

。0

。2

。4

a1 =旬〉0, Д2 =。102 - aм3〉от

A3 =a3A2 一成04〉0，a4 =a4a3〉0.

При выполнении неравенств (4.24) условие А?〉0 становится следствием условия Д3 ^> 0. Поэтому условие асимптотической устойчивости системы четвертого порядка имеет вид (а。» 0)

«1〉0, %〉0, @з〉0, 〃4〉0,

А? —- d^jL^cbз —■ 〃0〃з — 口1。40(4.32)

(в Д3 внесено значение Д2)-

Приведем пример, показывающий, что при п >• 2 выполнение одних неравенств (4.24) недостаточно для отрицательности вещественных частей всех корней характеристического уравнения. Рассмотрим уравнение третьей степени

X3 + Л2 + 4Х + 30 = 0.

Все его коэффициенты положительны, так что условие (4.24) выполнено. Однако два корня этого уравнения,

入］=1+3厶 % = 1 — 3%

имеют положительные вещественные части (Re % = Re Л2 ~ 1), а корень Х3 =——3 отрицателен. Заметим, что последнее неравенство из (4.30) имеет в этом случае противоположный знак:

Л2 =旬a2 —铀a3 = 1 "4-1 *30 = -26 < 0.

В заключение этого параграфа заметим, что в общем виде условие Гурвица очень удобно при "《4. В тех случаях, когда п велико и левая часть характеристического уравнения имеет форму определителя и не приведена к многочлену (раскрытие определителя большого порядка представляет трудоемкую задачу), целесообразно перейти к численным методам с использованием электронных вычислительных машин. Численные методы с применением ЭВМ полезны и в тех случаях, когда характеристическое уравнение задано в форме многочлена.

§ 4.5. Примеры

Пример 1. Условия устойчивости установившихся режимов вольтовой дуги в це- п и с сопротивлением, самоиндукцией и з а шунтированной емкостью. В примере 2 § 2.7 бы

ли рассмотрены условия

устойчивости установившихся режимов вольтовой дуги в цепи с сопротивлением и самоиндукцией. Рассмотрим усложненную схему [4], когда в цепь дополнительно включена за шунтированная емкость (рис. 4.1). Предполагаем, как и раньше, что ток, проходя

щий через дуговой промежуток, является функцией напряжения на дуге, т. е. снова будем пренебрегать инерцией ионных процессов в дуге. Пользуясь зако

нами Кирхгофа, легко получим следующие дифференциальные

уравнения процессов, протекающих в схеме:

由du e - u由du e - u(4.33)(4.33)

由du e - u

由du e - u

(4.33)

(4.33)

В этих уравнениях L — самоиндукция, С — емкость конденсатора, R ——омическое сопротивление, Е ——электродвижущая сила источника постоянного тока,屮(i) = и — напряжение на дуге (график этой функции изображен на рис. 2.18).

Внося в уравнения % = / = const и м = U = const, получим уравнения для определения тока I и напряжения U, отвечающих установившимся режимам:

U —屮⑺=и,

Е — U — Н/ = 0,

(4.34)

или, исключая напряжение U,

(4.35)(4.35)r/十中(/)=石.

(4.35)

(4.35)

Это уравнение совпадает с уравнением (2.49), которое соответствует схеме без емкости. Из этого следует, что внесение емкости в схему вольтовой дуги не изменяет значения тока в возможных установившихся режимах. При анализе уравнения (2.49) было показано, что таких режимов принципиально может существовать три, два, один; при отсутствии вещественных корней уравнения (2.49) или, что то же самое, (4.35), установившихся режимов не существует. В том же примере были установлены условия асимптотической устойчивости установившихся режимов. Рассмотрим, какие изменения внесет зашунтированная емкость в полученные результаты.

Примем установившийся режим за вевозмущенное движение. Обозначим значение тока i в возмущенном движении через / 十 ％ а значение напряжения и в этом движении через U 十 у：

£==/ + / и = U -\- у.

Внесем эти выражения в уравнения (4.33):

L 雾 =°十у —屮(/ + * с dy Е — U —у у

Разложим функцию 屮(/ 十 皆)в ряд по степеням х и воспользуемся введенным ранее обозначением х =屮，(/).

屮(/ + е)=屮(/) + к% + ..., где точками обозначены члены высшего порядка. Подставив это выражение для функции 屮(/ + е) в последние уравнения, получим

£ N^ = У — кг + U —屮(/) + …，

Учитывая, что значения тока I и напряжения U в установив шемся режиме должны удовлетворять равенствам (4.34), найдем дифференциальные уравнения первого приближения возмущенного движения:

dxdy у

Zk = y一"Z, С齐=一万一也(4・36)

Будем искать решение в форме (4.3):

①=4е", у = В戸*(4.37)

Продифференцируем эти выражения по времени, внесем найденные значения для производных и сами функции в уравнения (4.36) и сократим их на J". Тогда после очевидных преобразований получим

(4.38)(4.38)(£九 + 乂)4—8=0,4 + (С九 十-^-)8 = 0.

(4.38)

(4.38)

Приравнивая нулю определитель этой системы, получим характеристическое уравнение

£九 + X - 1f СХ + 员£九 + X - 1f СХ + 员-О,-О,

£九 + X - 1

f СХ + 员

£九 + X - 1

f СХ + 员

-О,

-О,

устойчивости установившихсяустойчивости установившихся

устойчивости установившихся

устойчивости установившихся

или

(4.39)

Согласно критерию Гурвица (4.28), для системы второго порядка (4.27) установившееся движение Z = /, u = U будет асимптотически устойчиво, если коэффициенты а】и а2 этого уравнения положительны. В рассматриваемом случае будем иметь следующие условия асимптотической устойчивости установившегося режима относительно тока i и напряжения и：

万+ 乂С>0,万+1>。. (4.40)

В этих неравенствах L, R s С — положительные параметры системы, а число 乂 =屮‘(/) — угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции и =屮(讣 в точках i = / (крутизна характеристики напряжения). Если х > 0, то оба неравенства (4.40) будут выполнены и, следовательно, соответствующий установивший- сяХрежим асимптотически устойчив. Если же х <0, то установившийся режим вольтовой дуги будет асимптотически устойчив для тех значений к, которые удовлетворяют условиям (4.40), или

L

х> —, х〉一 А.

Если хотя бы одно из неравенств будет иметь противоположный смысл, то соответствующий установившийся режим будет неустойчив. Поэтому на плоскости 凡 х границей области асимптотической устойчивости будут прямая Е = 0, гипербола CRk = —£ и прямая х = —Л (рис. 4.2). Вне этой области установившиеся режимы неустойчивы. Сравнивая рис. 2.20 и 4.2, видим, что введение емкости уменьшает область режимов вольтовой дуги. Это не

означает, конечно, что введение емкостм нерационально для рассматриваемой схемы, так как при этом можно получить качественно другие переходные процессы.

Пример 2. Условие устойчивости л ампо вог о генератора. В примере 3 § 2.7 были получены следующие нелинейные дифференциальные уравнения возмущенного

движения лампового генератора (см. рис. 2.23 и уравнения (2.53)): dudi1

=L-^ = u-^[RC — MS (u)] t. (4.41)

Условие асимптотической устойчивости (2.59) было установлено непосредственным применением прямого метода Ляпунова. В этом примере условие (2.59) будет получено с помощью теорем Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Воспользуемся разложением (2.57) функции S (и) в ряд по степеням 》：

S (и) = Sq + S，(0) и

и внесем это выражение для S (弘)во второе уравнение (4.41). Ограничиваясь линейными членами, получим дифференциальные уравнения первого приближения

Характеристическое уравнение

СК1

легко приводится к виду

CL^ + (RC 一 MS^ Л + 1 = 0.

Критерий Гурвица (4.28) сводится к одному неравенству (2.59)

RC — MS。＞ 0, при выполнении которого равновесное состояние лампового генератора будет асимптотически устойчиво относительно тока i и напряжения м. Если это неравенство будет иметь противоположный смысл, то равновесное состояние лампового генератора неустойчиво.

При RC — MS。= 0 корни характеристического уравнения чисто мнимые и уравнения первого приближения не могут дать обоснованного ответа на вопрос об устойчивости движения.

Сравнивая приведенное здесь решение с решением этой задачи в § 2.7, видим, что применение теорем Ляпунова об устойчивости по первому приближению может существенно упростить исследование.

Пример 3. Условие устойчивости установившегося режима двигателя с центробежным регулятором. Центробежный регулятор скорости вращения двигателя 】),изображенный на рис. 4.3, воздействует непосредственно на регулирующий орган (дроссельную заслонку, регулирующую подачу горючего или пара), поэтому он относится к классу регуляторов прямого действия.

Проблемы, возникшие в середине XIX столетия в связи с применением регуляторов этого типа к двигателям большой мощности,

Центробежный регулятор скорости вращения паровой машины изобретен Уаттом в 1784 г.

114 гл. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ впервые обратили серьезное внимание инженеров и ученых на значение теории устойчивости движения для техники.

Прежде всего приведем распространенное в свое время объяснение принципа действия регулятора, изображенного на рис. 4.3. В установившемся режиме угловая скорость со вращения вала регулятора (она отличается от угловой скорости вращения маховика двигателя на передаточное число) сохраняет постоянное значение а”; кроме того, в установившемся режиме стержни, удерживающие шары, составляют постоянный угол а с осью вращения регулятора.

ДроссельДроссельДвигательДвигательРис. 4.3Рис. 4.3

Дроссель

Дроссель

Двигатель

Двигатель

Рис. 4.3

Рис. 4.3

Муфта М регулятора и дроссельная заслонка неподвижны и занимают вполне определенное положение, соответствующее заданной угловой скорости со。.

Предположим, что установившийся режим нарушен, например по каким-либо причинам немного увеличилась угловая скорость маховика двигателя. В этом случае шары под действием увеличенных центробежных сил разойдутся на больший угол, муфта М поднимется и через систему рычагов опустит дроссельную заслонку, уменьшив тем самым подачу топлива или пара. Это приведет к уменьшению угловой скорости, и вся система вернется в установившееся состояние, соответствующее заданной угловой скорости соо.

В этом распространенном ранее описании принципа действия центробежного регулятора не учитывались инерционность двигателя и силы сопротивления. Более того, предполагалось, что силы сопротивления могут иметь только отрицательное значение; поэтому инженеры и механики, занятые изготовлением центробежных регуляторов, принимали все доступные в те времена меры для уменьшения сил сопротивления. Заметим, что изображенный на рис. 4.3

демпфер 丄)появился только во второй половине XIX столетия, когда десятки тысяч центробежных регуляторов уже использовались D промышленности.

При переходе к двигателям большей мощности обнаружилось, что регуляторы, изготовленные по этому принципу, не только не обеспечивают устойчивый режим работы, но даже разгоняют двигатели. Для того чтобы уяснить причины этого явления, составим дифференциальные уравнения возмущенного движения и определим условия устойчивости установившегося режима.

Для простоты выкладок пренебрежем массой муфты и стержней; кроме того, будем считать шары за материальные точки и предположим, что в установившемся режиме пружина с жесткостью с находится в недеформированном состоянии. Углы а, Р и расстояние L муфты М от верхних шарниров, показанные на рис. 4.3, соответствуют установившемуся режиму. Пусть установившийся режим нарушен: муфта М поднялась на величину %, а угол а изменился на 6.

Имея в виду составить уравнения первого приближения, будем считать величины :г и 6 малыми. Тогда с точностью до членов высшего порядка получим

6 —祖瑞(4.42)

•ctgB , где ji = —^— (читатель легко установит эту зависимость самостоятельно).

Обозначим угловую скорость вращения регулятора в неуста- новившемся режиме через ±, а угол между стержнями шаров и осью регулятора через 屮=а + 5. Так как движение шаров складывается из переносного движения (вращение вокруг оси регулятора) и относительного движения (вращение вокруг верхних шарниров на угол 屮),то кинетическая энергия системы будет равна

T = ml (诞 + 产 siM 中)+ % j逊.

Здесь m — масса одного шара, a J ——приведенный к оси вала двигателя момент инерции его вращающихся частей с учетом передаточного числа (предполагается, что / = const).

Потенциальная энергия силы тяжести шаров и пружины определяется равенством

1 с

П = 2ml (cos а — cos 中)+ 玄-jjy(Ф —仪户

(в сделанных предположениях деформация пружины равна х — 8/卩). Обобщенные силы системы равны

ОН .

где ——vcp — приведенная к стеряотям шаров сила жидкостного сопротивления (V = const), создаваемая демпфером или естественными силами сопротивления, Мг ——движущий момент, М3 ——момент

сопротивления двигателя, приведенный к его оси. Можно считать, что движущий момент Мг зависит от поступающего рабочего тела, т. е. от положения дросселя, угол поворота которого есть функция <р, а момент сопротивления М2 зависит от угловой скорости вращения вала ij).

Применяя обычную схему Лагранжа

d дТ дТ

后髙一帀=Qq (q = wZ)，

составим уравнения движения системы

2mz2cp — ml^ sin 2中=—2mgl sin cp — ~^j (ср — a) — vcp,

(J + 2mp sin2 (p)《+ 2ml2 sin 2(p@® = Mx (ф) — M2 (^)*

В установившемся движении 中=a = const, @ = co = const. Внося эти значения в уравнения (4.43), найдем связь между параметрами системы

(4.44)(4.44)(o2 cos а = g/厶4fl (а) = M2 (w).

(4.44)

(4.44)

Положим 屮= о)+ %и(р = а+ |лх. Подставив эти значения для ip и (р в (4.43), получим уравнения возмущенного движения 2mp,Z2 х 一，欣2 (3 + 2户 sin 2 (a + 卩£)=

——2mgl— x 一

[/ + 2тС sin2 (a + 卩％)]玄十 2卩 mZ2 sin 2 (a + 卩⑦)讶(co + z)=

=Mx (a+卩方)-m2(3 + z).

Разложим нелинейные члены в ряды по степеням % м z. Тогда, ограничиваясь членами первой степени относительно % м z и учитывая равенства (4.44), получим уравнения первого приближения возмущенного движения системы около установившегося движения 屮=а 口 0 = со:

/ ам、\=М @£ k/ ам、\=М @£ kz.3—0z.3—02卢欣2H + 112t方 + (с + 2|i2znZ2(o2 sin2 a)修—2jimZ2co sin 2a -z, (J + 2ml2 sin2 a) z + 2jiznZ2d)sin 2a-x —

/ ам、\

=М @£ k

/ ам、\

=М @£ k

z.

3—0

z.

3—0

Для простоты обозначепий введем постоянные времени 7\, Т^ Т9 и коэффиЦиенты усиления &,久工 и 施：

e+2|12加步①2 sin? a *e+2|12加步①2 sin? a *丁 22 炉 7nz2

e+2|12加步①2 sin? a *

e+2|12加步①2 sin? a *

T()— (/ 4~ 2mZ2 sin2 а)T()— (/ 4~ 2mZ2 sin2 а)自一2iiwZ2w sin 2а自一2iiwZ2w sin 2а比0 =一n比0 =一n1 — С + 2卩2/72*0)2 sin2 a，

T()— (/ 4~ 2mZ2 sin2 а)

T()— (/ 4~ 2mZ2 sin2 а)

自一2iiwZ2w sin 2а

自一2iiwZ2w sin 2а

比0 =一n

比0 =一n

Теперь уравнения возмущенного движения примут свой окончательный вид

7拉 +，2方十忆=&z, ТqZ + з = — &м — &詳 (4.45)

Здесь необходимо отметить, что производная (dMjgg положительна (момент сопротивления М2 возрастает с увеличением угловой скорости《,т. е. z), а производная (OMjgg отрицательна, так как из самого устройства регулятора видно, что с увеличением подъема муфты М (возрастания ①)дроссельная заслонка будет пропускать меньше рабочего тела (см. рис. 4.3). Из этого следует, что коэффициент усиления Ко положителен.*

Будем искать решение уравнений (4.45) в форме

% = 4е£ z = В戸.

Найдем отсюда г, х, z и внесем соответствующие значения в уравнения (4.45). Произведя очевидные преобразования, получим обычным путем следующие алгебраические уравнения:

(Т氯？ + Т2Х+ 1) Л - &В = О,

(&九 + 旬)4 + (Г0Х,+ 1)8 = 0.

Так как эта система однородных уравнений должна иметь решение относительно Л и В, отличное от нуля, то определитель этой системы равняется пулю:

I 7\九2十？2九十1 一兀1 I _ n

I 色九+ fc0 T从+ 1 I =

ИЛИ

Т°Т铀 + (Т； + 7。厶)九2 十(То + 厶 + &砧 А，+ 1 + каку = 0.

Для большей наглядности учтем, что члены Г2 и к^ суп^ест- венно меньше Г。， На этом основании последнее уравнение можно записать так:

го7証3 +(看+北电” + &大+ 1+&自二0.

Все коэффициенты этого уравнения положительны, поэтому критерий Гурвица (4.30) приводится к одному неравенству

△2 = a2a2 一a6。3 > 0， что в нашем случае дает

& ~『о (丁0厶一左q&T；) > S(4.46)

Таково условие асимптотической устойчивости системы двига-；^ тель — центробежный регулятор. Все постоянные времени Г0) 7Х, Т/и коэффициенты усиления Ао и 勺 легко вычисляются по параметрам системы, и, для того чтобы успешно осуществлялось регулирование, необходимо прежде всего подчинить их неравенству (4.46).

Отметим теперь, что при отсутствии сил сопротивления в регуляторе постоянная времени 72 равна нулю и неравенство (4.46) принимает противоположный смысл:

А2 = - &&Т()7； V。.

Это означает, что без сил сопротивления регулирование неосуществимо, так как система неустойчива.

Возникает, естественно, вопрос: почему десятки тысяч центробежных регуляторов, изготовленных до середины XIX столетия, успешно работали? Объясняется это следующим. Маломощные двигатели имели большие маховики и легкие регулирующие устройства, перемещавшиеся с существенным трением, обусловленным грубым выполнением. В этих условиях постоянная 7?壬 °, а постоянная Г。очень велика (за счет больших моментов инерции J маховиков). В результате неравенство (4.46) выполнялось автоматически без заботы об этом конструкторов. При увеличении мощности двигателя увеличилось число его оборотов и уменьшился момент инерции / маховика (при большомчисле оборотов большие маховики не выдержат внутренних напряжений). Это привело к уменьшению постоянной Т。，в результате чего естественных сил сопротивления, характеризуемых постоянной Т2, оказалось недостаточно для выполнения условия устойчивости (4.46). Необходимо было увеличить силы жидкостного сопротивления, что и было сделано установкой демпфера. Его основная характеристика — постоянная времени Т2, лежащая в основе расчетов,— легко определяется при заданных То, Т1( К。и 厶1 из неравенства (4.46). Эти обстоятельства были впервые установлены И. А. Вышнеградским в работе [13], опубликованной в 1876 г. ).

Пример 4. Необходимое условие устойчивости волчка (вращательно г о движения снаряд а).В примере 3 § 2.6 было получено следующее достаточ- иое условие устойчивости установившегося движения волчка (вращательного движения снаряда) относительно переменных a, d, р, 6 и ф:

J^ > 4厶PZ. (4.47)

Покажем теперь, что при противоположном смысле этого неравенства установившееся движение волчка (вращательное движение снаряда) будет неустойчиво.

Составим дифференциальные уравнения возмущенного движения. Выражения для кинетической Г и потенциальной П энергий волчка были получены в примере 3 § 2.6:

Т ~2~ Jx (сс2 + Р2 cos2 а) + в 厶(屮—Р sin а)2,

П = PZ cos а cos р.

Так как для доказательства неустойчивости движения достаточно показать, что хотя бы одна траектория в возмущенном движении выходит за пределы сферы е, то рассмотрим возмущения (а = =а。,山口 ct0, 6 =仇,6 = %,巾=<Ь =冷 при t 口 0), для

которых интеграл

дТ ..

—% (ср — В sin а) — J2n(4.48)

сохраняет свое значение.

Чтобы составить уравнения первого приближения, разложим выражения для кинетической Г и потенциальной П энергий в ряд по степеням а, а, § и р, сохраняя члены до второго порядка малости включительно. С точностью до постоянной будем иметь

7 = 后厶收十伊)十方厶(而一犯)2,口= -(办十俨).

Пользуясь уравнениями Лагранжа второго рода и интегралом (4.48), получим дифференциальные уравнения первого приближения возмущенного движения волчка относительно координат а, В и скоростей а и 0

人反+ J霜6 一 Р以=g,

-с(4.49)

46 —(血 — Р般=0.

Обычным путем составим характеристическое уравнение

\J^-Pl 厶也入1_п

I 一厶推九 八九2一p"=U,

ИЛИ

J”4 _|_ (J力2 一 2JxPl)炉 + 戸庐=0.(4.50)

Критерий Гурвица для этого характеристического уравнения применить нельзя, так как неравенства (4.32) не выполняются (〃1 = 0, &з = 0, А3 — 0) и ни одно из них не имеет противоположного смысла. Поэтому исследуем это уравнение обычными методами.

Каждому корню 入=* 工 р.» уравнения (4.50) отвечает корень —九=—* 斗-財 (неизвестное число 九 содержится только в четной степени). Поэтому если вещественная часть хотя бы одного корня не равна нулю (Re X = v ^= 0), то обязательно будет корень, вещественная часть которого положительна. Согласно теореме Ляпунова о неустойчивости по первому приближению (см. § 4.3), невозмущенное движение в этом случае будет неустойчиво. Из этого следует, что для устойчивости невозмущенного движения волчка необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения (4.50) были чисто мнимыми, т. е. имели вид 九— jii, а корни относительно 九2 ——вещественными отрицательными числами. Но для этого необходимо, чтобы дискриминант D уравнения (4.50) относительно 九2 был положительным:

D = (/*-2JxPiy - 4/*2严=/2П2 (j统—4厶PC) > 0.

Отсюда видно, что при противоположном смысле неравенства (4.47) дискриминант D будет отрицателен и, следовательно, установившееся движение волчка (вращательное движение снаряда) сделается неустойчивым.

Пример 5. У стойчи в о сть стационарных дви- жений о с и вращающегося неуравнове

шенного ротора, установленно г о в нелинейных подшипниках. Ранее было показано (см. пример 4 § 3.5), что равновесное положение оси уравновешенного ротора устойчиво. Однако уравновешенный ротор (е = 0) следует рассматривать как случайное событие, вероятность которого практически равна нулю. В реальных условиях всегда имеется хотя бы небольшой эксцентриситет % в результате чего в нелинейных, в частности шариковых, подшипниках возникают большие давления на

опоры, приводящие иногда к раз

рушению последних. Для принятия соответствующих мер предосторожности необходимо, прежде всего, определить стационарные движения оси ротора и их устойчивость.

Будем, как и в § 3.5, считать, что абсолютно твердый ротор массы т с вертикальной осью вращения установлен в жестко укрепленных на неподвижном основании упруго податливых подшипниках. Предполагается, что ротор, эксцентриситет которого е = ОС, движется плоскопараллельно, а собственное вращение, происходящее вокруг оси О с постоянной частотой (о, осуществляется идеаль

ным двигателем (двигателем неограниченной мощности). Нелинейные в общем случае реакции опор приводятся к равнодействующей Fo (р), удовлетворяющей условиям (3.40). Положение оси ротора относительно неподвижной системы координат О^у будем определять полярными координатами р и ср (рис. 4.4). В сделанных предположениях относительно двигателя угол между отрезком ОС и осью х с точностью до начальной фазы равен (of (ось %' перемещается поступательно, параллельно оси 虞).Проекции скорости 。。оси 。

ротора на полярные оси координат р0 и фОт как известно, определяются равенствами

% = з % = РФ-(4・51)

Из рис. 4.4 видпо, что проекции относительной скорости 。^ центра масс С на те же оси будут равны

眩р = — we sin(5 — ср), 哈р = сое cos (со£ — ф).(4.52)

Кинетическую энергию найдем по формуле [12]

Т =彳 тп吟 + /и%•力$ + 唯”(4.53)

Здесь т—масса ротора, Т\ — его кинетическая энергия относи- гельно поступательно перемещающихся осей координат О^у*. Очевидно, что Tg = Jо(о2/2 и в сделанных предположениях Т^ = const.

Скалярное произведение ^о-^с вычислим с помощью равенств (4.51) и (4.52):

^о'^З = ®е I— Р sin (cot —屮)+ р© cos (①才一 屮)].

Пользуясь теперь равенством (4.53), найдем с точностью до постоянной кинетическую энергию ротора

Т = _|_ m (р2 + рз(р2)+ 7n(ое [—р sin (wi —— 屮)十 р(р cos (co力——(p)].

(4.54)

Учитывая силу сопротивления Fc =卩加&力 пропорциональную первой степени скорости оси О (卩=const) и пользуясь вторым методом Лагранжа, получим дифференциальные уравнения движения оси ротора (первое уравнение сокращено на тп, второе — на тпр) р' — рф2 —(0証 cos (со? 一 ср)= — 耳(р) — pp, F (p) = F0(p)/wi,

(4.55) рф + 2рф —(0迎 sin (co力—ср) = — р,рф.

В установившемся движении р = г = const, © = со = const, где постоянные г и у = ш1 — ср удовлетворяют равенствам

г(о2 + de cos у — F (г), ей)® sin у = 11r(о,(4.56)

определяющим г и 7 как функции со.

Амплитудно-частотная характеристика представляет непрерывную линию, лежащую между двумя разомкнутыми ветвями, отвечающими случаю 卩=U. Точки 4 2,3 пересечения амплитудно-частотной характеристики (4.56) со скелетной кривой (рис. 4.5)

со = 乂(г), X3 — F (г)/г(4.57)

определяются равенствами

|ir = ех (г), со = JL г, 7 = ^ .(4.58)

е2

Так, для реакции 歹о — аора будем иметь

т(器Г%

Дифференцируя равенства (4.56) по со и исключая затем dyldm, получим

{[%" (г) — W2] [F( (г) — з*] + 炉d} ± = ◎ [2尸(г) е cos V + *円.

а СОг

(4.59)

Если коэффициент при dr/ds

仰=[х2 (г) — (О2] I/1" (г) — 6)2] + 炉со?(4.60)

не имеет вещественных корней г — г (со), то амплитудно-частотная характеристика не будет иметь касательных, параллельных оси г; в противном случае такие касательные существуют. Для примера на рис. 4.5 показана амплитудно-частотная характеристика для реакции F = ар。 при 1 < а < 2. Характеристике 2 отвечает первый случай (отсутствие вещественных корней а4), а характеристике 3 —

Здесь Z)——члены, содержащиеЗдесь Z)——члены, содержащие

Здесь Z)——члены, содержащие

Здесь Z)——члены, содержащие

второй случай. Очевидно, что при небольших и очень больших з, коэффициент 仰 положителен, а в точках В и С он равен нулю. Учитывая, что а4 представляет непрерывную функцию со, получим на участках ОВ и CD амплитудно-частотной характеристики а& > О, а на участке ВС этот коэффициент отрицателен.

Положив р = г + 勺 必 屮=(о£ — т + 匆(稣一вариации координат) ,получим из (4.55) уравнения возмущенного движения

亢 + Ml - 2Г1022 +［尸⑺一明4一MCOZ2 = Z1, К2 + n％ + 2C0Zi + JiCO2x + r ［х2 ⑺-m2］蝕=Z?.(4小"

з/f и 幺斤 в степени выше первой.

Характеристическое уравнение системы (4.61) приводится к виду

” 十 2k然+反2⑺+尸⑺+

+ 20)2 + 卢］入2 + ［乂2 ⑺ ++ Fr (г) + 2(d2］九十［к2 (г)—炉］・・［P (r) -(D2］ + 卩2心=0. (4.62)

В силу условия (3.40) определитель Гурвица

а3 =卢［乂2 ⑺一尸(r)］2 + 2m2 ⑺ +

+川⑺］(4炉+叫，(4.63) и все коэффициенты уравнения (4.62), кроме последнего, всегда положительны, ПОЭТОМУ при。4>0, где & совпадает с (4.60), ста

ционарное движение будет асимптотически устойчиво относительно р, р, ф и ф} а при 〃4 之。это движение неустойчиво, причем оба утверждения не зависят от членов высшего порядка. Уравнению

备=0 отвечают точки бифуркации, в которых касательные к амплитудно-частотной характеристике параллельны оси г. Поэтому для реакции F = ар" всей характеристике 2 и участкам ОВ и CD характеристики 3 (рис. 4.5) отвечают асимптотически устойчивые прецессии, а участку ВС — неустойчивые прецессии. На рис. 4.6 показан характер изменения радиуса орбиты стационарного дни- 刑ения при медленном увеличении (уменьшении) частоты собствен-

його вращения ротора для мягкой (а) и жесткой (6) упругой податливости подшипников.

Для нелинейной реакции FQ (р) на восходящей ветви амплитудно-частотной характеристики давление N на подшипники может достигнуть значительной величины даже при ничтожно малом эксцентриситете. Действительно, при Fq = «ор3 (закон Герца, принятый для шариковых подшипников) уравнение скелетной кривой 1 (рис. 4.5) принимает вид г = ①”谑 — 洞①4d. Так как на участке 04 з радиус орбиты г (①，е)〉г (①，0) = 洞小/若，то при любом е 壬 十 0 суммарное давление N =的尸厶 на подшипники будет удовлетворять условию

N〉史 оА(4.64)

Отсюда видно, что при увеличении частоты со собственного вращения ротора давление N на участке ОЛ 3 быстро возрастает. Таким образом, анализ устойчивости объясняет возникновение больших давлений неуравновешенного ротора, установленного в нелинейных подшипниках 】).Для борьбы с этим нежелательным явлением в некоторых случаях шариковые подшипники устанавливают в линейные упругие обоймы [26а].

ГЛ Л BA V

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ

АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ

Введение

В этой главе будет продолжено рассмотрение методов исследования устойчивости движения линейных автономных систем. В нормальной форме дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид (см. уравнения (1-14))

• . • (5.1)

где коэффициенты 我用了 ——постоянные вещественные числа.

Случай, когда характеристическое уравнение системы (5.1) имеет простые корни, был уже рассмотрен в § 4.2. В этой главе мы будем изучать устойчивость движения при любой структуре корней характеристического уравнения.

Решение вопроса об устойчивости систем, возмущенное движение которых описывается уравнениями (5.1), в общем случае требует знания некоторых разделов теории матриц. Кроме того, вся теория таких уравнений значительно проще и изящнее излагается в матричной форме. Поэтому эта глава начинается с изложения основных, а также некоторых специальных разделов теории матриц. Читатель, знакомый с элементами матричного исчисления, может опустить следующий параграф.

Матрицы н основные действия с ними

а) Основные определения. Всякая система из п-т чисел, расположенных в форме прямоугольной таблицы^ содержащей п строк и т столбцов^ называется матрицей типа п X т. Числа, составляющие матрицу (т. е. таблицу), называются элементами матрицы} в общем виде их снабжают индексами внизу (первый индекс означает номер строки, второй — номер столбца), а сама

МАТРИЦЫ И ОСНОВНЫЕ ДЕЙСТВИЯ С НИМИ 125 матрица обозначается соответствующей буквой без индек* сов. Так, например, матрицу Л типа п X т записывают следующим образом:

Сокращенно матрицу можно записать так:

4 = II。田I 5 X w).

Если число столбцов равно единице (тп 工 1), то получим матрицу-столбец

Если же число строк равно единице (п ~ 1), то получим матрицу-строку

У = II % …Ут\\-(5.3)

Любой вектор 宓 с составляющими 胃^ . . ., хп можно представить как матрицу-столбец х или матрицу-строку зе. В связи с этим разложение вектора х по ортам (см. сноску на с. 22)

宓=zjei + &?2 + ... + л'пеп(5.4)

и представление его в форме матрицы-столбца (5.2) будем считать эквивалентными.

Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрица называется квадратной, а число ее строк (столбцов) называется порядком матрицы.

Определитель, состоящий из элементов некоторых к строк и к столбцов матрицы, называется минором Е-го порядка данной матрицы. Так, например, минорами первого порядка будут сами элементы матрицы, и их число равно п-т. Для матрицы

«11 &I2 «13 I)

И Й21 &22 й23 II

можно составить три существенно различных минора второго порядка

I Й11 〃12 II а11 仪13 II <212 仪13

I &21 &22 II &21 й23 II &22 «23

Для квадратной матрицы Л порядка п минор /г-го порядка равен определителю матрицы А, который обозначается символом det Л или | А

Две матрицы называются равными-, если числа строк и столбцов их соответственно равны и равны их соответ™ ствующие элементы. Поэтому матричное равенство А ~ В эквивалентно п-т скалярным равенствам

仪斤二 ，斤/ (Е :z= 1, * в ・,^j /1, ♦・•, m)*(5.5)

Произведением матрицы на число называется новая матрица, элементы которой равны произведениям соответствующих элементов исходной матрицы на данное число, т. е.

入4 =九[I a^j К = II九我卜川.(5.6)

Например,

II 2 1 0 III 6 3 Oil

3|| -1 4 5 I[I -3 12 15卜

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается символом 0.

Суммой матриц одного и того же типа называется новая матрица того же типа, элементы которой равны суммам соответствующих элементов слагаемых матриц. Например,

-звНГ； J :卜

Из сделанных определений следует (латинские буквы означают матрицы, греческие — скаляры):

А + (В + С} (А + В) + С,

А 十 5 = _S + 4,

Л + 0 - Л,(5.7)

(а + В) / = а4 十 М,а (А + В) = аЛ + аВ.

Произведением двух матриц Л и В при условии, что число столбцов первой из них равно числу строк второй, называется третья матрица С, элементы которой образуются по следующему правилу:

т

§ 5.2. МАТРИЦЫ И ОСНОВНЫЕ ДЕЙСТВИЯ С НИМИ 127

Словами это правило можно прочитать так: элемент матрицы произведения АВ, стоящий в к-й строке и j-м столбце^ равен сумме произведений элементов к-й строки первой матрицы Л на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы В. Например,

II Й11 a12 II II 匕11 匕 12 匕 13 SI =

И &1 a22 ,[ II m 匕22 力23 II

—а11^11 + й12^21 °11 匕 12 + й12^22а11^13 + °12^23

II й21&11 +。22b21 «21^12 十。22b22 ^21^13 +。22匕23 ||

Произведение двух матриц, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей, т, е. в общем случае

АВ 声 ВА.

Пользуясь определением сложения и умножения матриц, легко показать, что

(А + В) С АС + ВС.

Кроме того, легко установить, что определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей

det (45) = det A det В.(5.9)

Сумма элементов, стоящих на главной диагонали квадратной матрицы, называется следом матрицы. След матрицы обозначается символом Sp. По определению имеем

Sp 4 = «ц + 〃22 + • • • + а?ш・ (5.10)

Квадратная матрица, все диагональные элементы которой равны единице, а остальные нулю, называется единичной матрицей и обозначается буквой Е:

Непосредственным вычислением легко установить равенства

АЕ = ЕА = Л.(5,11)

Квадратная матрица, имеющая вид

II аг 0 ... О

0 & • ♦ • 0

II о о назцзаетсц диагональной.

Если определитель квадратной матрицы не равен нулю, то матрица называется неособенной^ в противном случае —— особенной. Матрица X-1 называется обратной к Л, если произведение АА^1 или Х~М равно единичной матрице Е, то есть

_ 瓦(5.12)

Легко показать, что всякая неособенная матрица имеет обратную.

Если в матрице заменить строки, на столбцы и столбцы на строки, то получим новую матрицу, которая называется транспонированной по отношению к данной; обозначается транспонированная матрица той же буквой, но ставится штрих наверху справа. Так, для исходной матрицы

Л = II 0叮 II

транспонированной матрицей будет

4' = II «;. II-

Операция транспонирования применима к любым матрицам, в частности, если транспонировать матрицу- столбец

то получим матрицу-строку

力‘ —II Z1? . . ., ^n II-

Непосредственно из определений произведения и транспонирования матриц следует формула

(АВУ - *4'.(5.13)

Аналогичная формула справедлива для обратных матриц:

(АВ)"1 = В"14 T.(5.14)

Так как определитель не меняется от замены его строк на столбцы и столбцов на строки, то определители транспонированной II исходной квадратныл матриц равпы

det Af = det 4,

Квадратная матрица называется симметричной, если ее элементы, расположенвде с^адетричцо относительна

§ 5.2. МАТРИЦЫ И ОСНОВНЫЕ ДЕЙСТВИЯ С НИМИ 129 главной диагонали, равны между собой, иначе говоря, матрица называется симметричной, если ее элементы удо- влетвор яют равенетвам

〃灯=旬初.

Так, например, матрица

и匚I

симметрична.

Очевидно, что транспонированная симметричная матрица равна исходной

А, = А.(5.15)

■ Квадратная матрица называется кососимметричной^ если ее элементы, стоящие на главной диагонали, равны нулю, а элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны по модулю, но противоположны по знаку, иначе говоря, матрица А называется кососимметричной, если ее элементы удовлетворяют равенствам

a^j 一优川

Так, например, матрица

ттIJ1

т

т

кососимметричная.

Из сделанных определений следует, что для кососимметричной матрицы справедливо равенство

4’ = —А,(5.16)

В высшей алгебре доказывается, что кососимметричный определитель нечетного порядка тождественно равен нулю^ а кососимметричный определитель четного порядка представляет квадрат целой рациональной функции его элементов. Таким образом, кососимметричный определитель с вещественными элементами не отрицателен.

Легко показать, что любую квадратную матрицу можно представить как сумму симметричной и кососимметричной матриц. Действительно, пусть

А = II ot^j II

5 Д. Р. Меркин

—произвольная квадратная матрица. Составим из нее две другие матрицы:

4=4~(А + А) 5 = 4~(А-А)(5.17)

Очевидно, что матрица А симметрична, а матрица В кососимметрична. Равенство

А = Л -|- В доказывает сделанное замечание.

Квадратная матрица А = || aj| называется ортогональной ^ если ее произведение на транспонированную матрицу А' = И ад || равно единичной матрице

АА‘ = Е.

Из этого определения вытекают несколько следствий, которым удовлетворяют ортогональные матрицы А:

транспонированная матрица А' равна обратной матрице А-1:

А，= А'1;

определитель ортогональной матрицы равен *1:

А = det А = ±1;(5.18)

сумма квадратов элементов любой строки (столбца) равна единице:

2a 翁=务=1；

сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие элементы другой строки (столбца) равна нулю

W訣产加=二X a/出т0 伯耍 加).

Если элементы матрицы зависят от ска лярного пара метра, например от времени 土， то производной матрицы по параметру называется матрица, элементы которой равны производным по этому параметру. Таким образом, если / = II:Ckj II, то

d£ _ II 小j

dt — II di II или в других обозначениях

£ = II х^} ||.

§ 62 МАТРИЦЫ И ОСНОВНЫЕ ДЕЙСТВИЯ С НИМИ 131

До сих пор рассматривались матрицы, элементами которых служили числа. Можно представить себе матрицы, элементами которых являются не числа, а любые объекты. Нужно только, чтобы все действия с такими матрицами были определены и возможны. В частности, можно рассматривать сложные матрицы, элементы которых сами являются матрицами. Например, матрицу

°11й12°13G3 I

a21a22й23心丄J12

6162%^21^22

можно короче записать так:

где

4=信：：：肾，

Матричная форма записи с и сте- мы дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения (5.1) можно записать в простой и компактной форме с помощью матриц. Действительно, введем в рассмотрение две матрицы.

Матрицу коэффициентов правой части уравнений (5.1)

Матрицу-столбец или вектор

Составим матрицу из их произведения. Согласно (5.8) будем иметьСоставим матрицу из их произведения. Согласно (5.8) будем иметьформулеформулеa1/1 +a12方2 + •一 +0工算工算 a2l^l +a22胃2 + • • • +a2及工 7ta1/1 +a12方2 + •一 +0工算工算 a2l^l +a22胃2 + • • • +a2及工 7t(5.19)(5.19)

Составим матрицу из их произведения. Согласно (5.8) будем иметь

Составим матрицу из их произведения. Согласно (5.8) будем иметь

формуле

формуле

a1/1 +a12方2 + •一 +0工算工算 a2l^l +a22胃2 + • • • +a2及工 7t

a1/1 +a12方2 + •一 +0工算工算 a2l^l +a22胃2 + • • • +a2及工 7t

(5.19)

(5.19)

Ml + 32 +…+ annxn

т. е. произведение квадратной матрицы А на матрицу- столбец х равно матрице столбцу, элементы которой равны правым частям уравнений (5.1). Теперь очевидно, что эти уравнения могут быть записаны в следующей простой матричной форме:

х = 4х.(5.19а)

В этом уравнениипроизводная по времени

матрицы-столбца х.

Столь же просто можно записать в матричной форме и другие более сложные системы дифференциальных уравнений.

В частности, уравнения второго порядка

2 ^itj^jЬк冲$ + C/c/j) Хм (" — 1,.…，s) (5.20)

в матричной форме запишутся следующим образом:

Ах + Вх + Сх X,(5.21)

где 4 =|| 耿j II, 3=||湿/|, С = И q7 И — квадратные матрицы, а 况 и X — матрицы-столбцы с элементами х； и 爲 соответственно.

Матричная запись квадратичных форм. Рассмотрим квадратную матрицу Л и матрицу-столбец х. Их произведение определяет матрицу- столбец (5.19). Ранее отмечалось, что матрица-столбец может рассматриваться как вектор. Воспользуемся этим обстоятельством и будем рассматривать элементы матрицы- столбца (5.19) и элементы матрицы-столбца 况 как составляющие векторов Ах и х. Тогда их скалярное произведение будет равно сумме произведений одноименных проекций (см. сноску на с. 36), т. е.

а Ж* 0С -~ (^11*^1 -" a工2/2 -1~ • ■ • I 优 1?1力?1)%1 I

"H (@21/工 +a22*2 -1- • • •廿~ ^2H*^n)力2 十"

十(^nl*^l 十 ®i2~2 + • • • + ^nn*^n)吃1・

Раскрывая скобки и группируя члены, найдем

АХ-Х = @и冠 + «22^2 +. - - + %絕^ + («12 + 我21)勺& +

+ (^13 十 @31)力口3 十• • • + (^n—l,n + ^n,n-l) /?гТ力)г (5.22)

или короче

п п

Ах>х— 2 2 翫产仍・(5.23)

Й=1 $=1

Если матрица А симметричная, то a^j = а^ и мы получаем обычную квадратичную форму:

4宓・况 =еЛ寫;十.…+dnn^n + 2a12胃口2十.一 n n

• . . + 2fln_lf n^n-V^n=2』我к川j口j (a卧a讣).(5.24)

Если квадратичная форма 4虞•况 определенно-положительна, то для простоты матрица Л называется определенно-положительной .

Если матрица Л кососимметричная, то 〃林=О, 仅妆『= —а/к, т. е. a^j + а^ = 0. На основании равенства (5.22) заключаем, что для кососимметричной матрицы А произведение

4覧•宓=0.(5.25)

Этим равенством мы воспользуемся в дальнейшем.

§ 5.3. Элементарные дёлители

Рассмотрим квадратную матрицу, элементы которой 才订(九) являются полиномами от некоторого параметра X:

卩u(Q…尤⑷]

ь(九)=.(5.26)

II加仇)/nnW

Такие матрицы называются 'к-матрицами. Обозначим через Dk (%) (" = ▲, п) общий наибольший делитель всех миноров Лг-го порядка матрицы (5.26), причем коэффициент при старшем члене выбираем равным единице. Легко показать, что многочлен D^ (九)делится на D^-r (Z). При определении общих наибольших делителей 刀卜(Z) полезно иметь в виду следующее замечание: если какой- либо минор Ar-го порядка равен постоянной величине, то Dk = Dkt = . . .— D1 = 1 (так как этот минор дол- жен делиться на PR, а 力汇 делится на Р^, D^,...,力 J.

Многочлен, равный отношению

F—ЙТ = МЗ)(左=1,…，整；Do = 1),(5.27)

人7 1人)

134 ГЛ. V. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЁЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ

называется инвариантным множителем матрицы (5,26). Очевидно, что

队(九)=/ 3)•鬲R)…品(1),

a Dn (X) с точностью до постоянного множителя равен det F 仏)：

Dn 仇)=x det F 仇)=豆仇)•鬲仇)•…En (X). (5.28) Разложим каждый инвариантный множитель Е* (X) на множители:

Ек 仇)=(X- ^ (X -斯产...仏 _ Х^Р>

где 入 1,入2,.・.,入& — различные корни уравнения

det F 仇)=0.(5.29)

Очевидно, что

%> > 0 (左=К ••”"； г = 1, . . ., р).

Кроме того, e^j £ еу 力 если к <时(так как 刃仁 делится на м).0

Двучлены (九 —— 九。％『，входящие множителями в Е^ (九) и отличные от постоянного числа (т. е. при е^?〉0), называются элементарными делителями Х-матрицы. Общее их число будем обозначать через т^ а сами делители через 仇一入J%, . . ., 0 —九т)” причем среди чисел 储 могут быть и равные (биномы (入 —— 九。气 могут входить в разные инвариантные множители 后尤).

Рассмотрим пример. Для матрицы

"仏)=|心T好引(5.3。)

можно составить четыре минора первого порядка: (Х+ I)3,仇+1)2, Х+ 1, Х+ 1;

их общий наибольший делитель, очевидно, равен D* =九 + 1.

Для матрицы (5.30) имеется один минор второго порядка

с общим наибольшим делителем

少2 =%(九十I)3.

Пользуясь формулой (5.27), найдем инвариантные множители

Е\ = D]=厶 + 1, Е& = _^?=厶(厶 + 1)3.

Элементарные делители для рассматриваемой матрицы будут

%十1,儿仇+1)2

с корнями

九]=一3 %2 = 0,九3 =入4 = -1*

Эти же корни являются, конечно, корнями уравнения

det F (X) = О,

во если для этого уравнения корень 入——1 трехкратный, то этот же корень для одного элементарного делителя простой, а для другого двукратный.

Матрица

МО ... О II

О О …Еп

где Ej % ・• •，Еп — инвариантные множители матрицы (5.26), называется нормальной диагональной формой этой матрицы. Например, нормальной диагональной формой для матрицы (5.30) будет матрица

Элементарными преобразованиями 1-матрицы называются следующие операции:

перестановка двух строк или двух столбцов}

умножение всех элементов какой-либо строки (столбца} на один и тот же отличный от нуля постоянный множитель;

сложение элементов некоторой строки {столбца}^ умноженных на один и тот же полином от 入,с соответствующими элементами другой строки (столбца).

Доказывается, что:

элементарные преобразования не изменяют элементарные делители \~матрицщ

всякую ^матрицу конечным числом элементарных преобразований можно привести к нормальной диагональной форме (5.31).

Покажем это на примере матрицы (5.30). Переставим в этой матрице вторую строку на место первой и второй столбец на место первого. Обозначим переход с помощью элементарных преобразо-

ваний от одной матрицы к другой стрелкой, получим

(九 + 1)3 (Х+ 1)211 II к + 1 Х + 1

Вычтем теперь элементы первого столбца из соответствующих элементов второго:

II…九+1 II/九+ 10 II

(九+1)311 h^+n2 九(九+1户『

Умножим элементы первой строки на X + 1 и вычтем из элементов второй строки:

l(^+i)2 九(；+i)JT”‘ 九

Полученная матрица является нормальной диагональной для матрицы (5.30).

Заметим, что элементарными преобразованиями часто пользуются для определения элементарных делителей.

Рассмотрим матрицу порядка е工 следующего вида:

I Xi00ОО

Xi0О0

(5.32)(5.32)О1ОО

(5.32)

(5.32)

ООО …入1 оООО ... 1 Xi

В этой квадратной матрице по главной диагонали стоит одно и то же число 九】，в диагонали под ней стоят единицы, а остальные элементы равны нулю. Матрица такого вида называется клеткой Жордана или элементарным ящиком. Составим Х-матрицу J\ —— 九Е (напомним, что Е —— единичная матрица):

I^i — X о о ... о о

储一九 оо о

(5.33)(5.33)01 鼠一入О О

(5.33)

(5.33)

О00...Xi—X о

О00...1 期一九

Вычеркнем из этой матрицы первую строку и последний столбец и из оставшихся элементов составим минор порядка g — 1:

—О

01… о

Так как этот минор равен единице, то Di = D2 = ,.. ...=Det-i = 1 (см. с. 133). С другой стороны, единственный минор порядка ех равен

det (厶—九e) = & 一九)% Следовательно,

Det = (X -入俨

(в скобках переставлены местами X и 入工,так как старший член в 0% должен иметь коэффициент, равный единице).

Пользуясь формулой (5.27), найдем для матрицы инвариантные множители

后1 ~ 1,鬲Ее「т — 4, Ее、=(九一九工)气

Из этого следует, что матрица 厶一入Е имеет только один элементарный делитель, равный (入 —— 入J%.

Пусть теперь 4 — произвольная квадратная матрица, элементы которой постоянные числа 〃屮 Составим 1-матрицу Д — ХЕ (она называется характеристической для матрицы А)

аn -% • • •4相 Ц

4 — AE (5.34)

anl ••• ann —厶 II

Найдем элементарные делители этой матрицы

(九一九i)% (九一九2户，(九一九m)。叫

Каждому корню lft (A = 1, . , ., “) элементарного делителя соответствует своя клетка Жордана J&. Нормальной формой Жордана для данной матрицы А называется матрица, диагональные элементы которой равны клеткам Жордана, а все прочие элементы нулю:

Очевидно, что элементарные делители матрицы J —— ——ХЕ совпадают с элементарными делителями характеристической матрицы. Заметим также, что корни характеристического уравнения | А — ХЕ | = 0 совпадают с корнями элементарных делителей.

Пример 1.

(5.36)

Для того чтобы привести эту матрицу к нормальной форме Жордана, нужно прежде всего найти элементарные делители характеристической матрицы (5.34):

—2 一九—2 一九

—2 一九

—2 一九

Для этого воспользуемся элементарными преобразованиями. Умножим первую строку на ——1, затем умножим последний столбец сначала на —(2 + X) и сложим его с первым столбцом (чтобы получить в верхнем углу нуль); после этого вычтем из второго и третьего столбцов последний столбец (чтобы в верхней строке получить еще два нуля):

1 0

0

0

1

4-九E一1_；+ 九

一（中）

0

0

2

一九

-1

1 1+M

— (I)

2-Х

Сложим первую строку с третьей, потом умножим первую строку на 2 ——X и вычтем ее из четвертой; после этого переставим последний столбец на место первого:

1

0

0

0

0

1

-(1 + %)

0

0

—2 +九

2

一入

0

1 +ха

一（1）

Умножим второй столбец на 1 + 厶 и добавим его к третьему столбцу (чтобы получить во второй строке еще один нуль):

1

0

0

0

0

1

0

0

0

_2+九

—X (1 - X)

一九

0

1 +号

X (2 4- X + Х«)

А — КЕ

Теперь во втором столбце после единицы можно поставить нули (для этого достаточно умножить вторую строку сначала на 2 — X и сложить с третьей строкой, затем умножить вторую строку на —(1 + 入)2 II сложить с четвертой строкой). После этого умножим четвертый столбец на ——(1 ——九)н добавим к третьему столбцу:

1 00011

"…0 1оо

4 — АЕт о。 о.

Сложим третью строку с четвертой, затем умножим эту строку на

—l и переставим четвертый столбец на место третьего:

I j °° I

О 1 ОО

4 一九e一 0 0大 0•①*

IIО О О Х(1 +Х)а

Получилась нормальная диагональная форма характеристической матрицы 4 ——Х£. Из нее находим

& = 1, / = 1, % =儿 Е《=厶仇 + 1)2.

Следовательно, матрица Л — ХЕ имеет три элементарных делителя: 儿儿0+1)2,

которым отвечают корни

九1 = 0, 九2 = 0» 九嚣н1厶4 = —!•

Конечно, эти корни являются одновременно корнями характеристического уравнения

I Л - ХЕ I = 0.

Отметим существенное для дальнейшего обстоятельство: корни элементарных делителей и корни характеристического уравнения всегда совпадают, но их кратность может быть различна. В данном примере как раз имеет место этот случай: нулевой корень имеет вторую кратность для характеристического уравнения, но он простой для элементарных делителей (так как двум нулевым корням отвечают два элементарных делителя). Корни Х3 = Х4 = —1 имеют одинаковую кратность как для характеристического уравнения, так и для элементарных делителей.

Каждому элементарному делителю отвечает своя клетка Жордана (см. равенство (5.32))(九工=0,勺=1;斯=0, % = 1；九з = —3 е* = 2)：

/1 = 11 оII，/ = ||0Ц,厶=|一： _,•

Теперь легко строится нормальная форма Жордаиа для рассматриваемой матрицы:

причем незаполненныеПример 2.причем незаполненныеПример 2.элементы равны 1—2 -1 —1элементы равны 1—2 -1 —1нулю.Iнулю.I(5.39)(5.39)

причем незаполненные

Пример 2.

причем незаполненные

Пример 2.

элементы равны 1—2 -1 —1

элементы равны 1—2 -1 —1

нулю.

I

нулю.

I

(5.39)

(5.39)

Составим характеристическую матрицуСоставим характеристическую матрицу

Составим характеристическую матрицу

Составим характеристическую матрицу

Элементарными преобразованиями эта Х-матрица приводится к нормальной диагональной форме (читатель без труда выполнит самостоятельно необходимые действия):

I

IО ОО

010О

О0 1О

ООО戸(九+1)2

Из нее находим инвариантные множители:

/=1,蝎=1, Е3= 1,得= *(%+1)2.

Следовательно, матрица Л — КЕ в этом случае имеет только два элементарных делителя

V, (Х+ I)2,

которым отвечают корни

入1 =九2 = 0，%8 =人=-1.

В данном примере кратность нулевого корня и вещественного отрицательного корня одинакова как для характеристического уравнения, так и для элементарных делителей.

Каждому элементарному делителю отвечает своя клетка Жордана (см. равенство (5.32)):

?S|?S|

?S|

?S|

Теперь легко строится нормальная форма Жордана для рассматриваемой матрицы

причем незаполненные элементы равны нулю.

Обратим внимание на следующие обстоятельства: характеристические уравнения в обоих примерах имеют одинаковые корни: 九1 =入2 = 0,九з = %4 = —1. Однако нормальные формы Жордана разные. Это объясняется тем, что в первом примере характеристическая матрица имеет три элементарных делителя, а во втором примере — только два.

В заключение приведем две теоремы линейной алгебры, которые нам понадобятся в дальнейшАм (см., например, [92 14]).

Теорема 1. Если матрица А неособеннаяч то элементарные делители матриц А —— ХЕ и АЛ Л-1 —— ХЕ одинаковы. Обратно, если элементарные делители матриц А ——入Е и В — ХЕ одинаковы^ то всегда найдется такая неособенная матрица Л, что

В = ЛАЛ"1. (5.41)

Некоторые авторы называют эту теорему основной теоремой линейной алгебры.

Теорема 2. Если квадратные матрицы А и С порядка s симметричны, причем матрица А знакоопределенная, то:

все корни характеристического уравнения

det (АХ + С) = О вещественны^

всегда найдется такая неособенная матрица Л, что

Л'ЛЛ = Е, ЛТЛ = Со,(5.42)

где Е ——единичная^ а Со ——диагональная матрицы,

(5.43)

причем q, &，・・・, % равны корням характеристического уравнения.

Вторая часть теоремы равносильна, очевидно, следующему утверждению: если даны две квадратичные формы

Т = } 4с・aK产k勺?

k=l j=i

s $

H =£ C% •况=；££C^jX^Xjt

причем первая из них определенно-положительна, то всегда найдется такое преобразование

5С = Л«

с неособенной матрицей Л, что в новых переменных обе квадратичные формы будут равны суммам квадратов:

Т = -^-宅・ е =彳(2i + • • • + W),

П = -у Cq宕•宅=万(C1Z1 +・・・十C82s),

142 ГЛ. V. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ причем в первой из них (определенно-положительной) все коэффициенты равны единице.

Применим ко второму равенству (5.42) формулу (5.9): det Со = det Az-det С-det А.

Учитывая, что det А' = det А, получим det Со — A3 det С,

где А = det А — определитель матрицы преобразования.

Так как матрица Со диагональная, то det Со = =. •・叁・ Следовательно,

。工已2 ■ • •■—• A® det

Если матрица преобразования ортогональна, то А = =+1 (см. (5.18)) и последнее равенство примет вид

с】* . . с§ — det С.(5.44)

Кроме того, легко доказывается, что при ортогональном преобразовании след произвольной квадратной матрицы В равен следу матрицы А'ВЛ, т. е.

Sp В = Sp А'5А・(5.45)

Устойчивость линейных автономных систем.

Устойчивость резонанса. Примеры

Пусть возмущенное движение определяется системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Будем считать, что эти уравнения приведены к нормальной форме:

必=Ах,必=Ах,(5.46)

必=Ах,

必=Ах,

где х — матрица-столбец (вектор), а Л — квадратная матрица.

С помощью линейного преобразования перейдем от вектора х к вектору е (от переменных n】,胃纟，•・•，力区 к переменным Z],出，..zn)

z = Ax(5.47)

с неособенной матрицей Л = || а^； ||.

Найдем обратное преобразование вектора z в вектор х. Для этого умножим слева обе части равенства (5.47) на матрицу Л"1 (обратная матрица для Л существует, та"

как матрица Л неособенная)

А、= A-1Ajc

или, учитывая, что Л~хАх = (Л*1 Л) х = Ех — ж (см. (5.12)),

况=a7修.(5.48)

Продифференцируем это равенство по времени

Л"1^ =； Л.

Заменим ж, согласно уравнению (5.46), на Ах:

A-沙=Лж;

принимая во внимание обратное преобразование (5.48), найдем

Л-1« = ЛЛ-1«-

Умножив обе части этого равенства слева на матрицу преобразования Л и учтя, что ЛА-1« = Е必=疹》получим

电=jB 激？(5,49)

где матрица В определена равенством

В = ЛА АУ(5.50)

Таким образом, преобразование (5.47) переводит матричное уравнение возмущенного движения (5.46) с искомым вектором ж в матричное уравнение (5.49) с искомым вектором #. Очевидно, что если движение устойчиво (неустойчиво) относительно переменного вектора #, то оно будет устойчиво (неустойчиво) относительно переменного вектора ж, и наоборот.

Из равенства (5.50) и сформулированной теоремы линейной алгебры (см. (5.41)) следует, что элементарные делители матриц 4 — %Е и В —九Е имеют одинаковые делители. Пользуясь этим свойством преобразованной системы (5.49), можно задавать не линейное преобразование (5.47), а матрицу В, выбрав ее из условия равенства элементарных делителей характеристических матриц А 一 —%е и в —%月.

За новое дифференциальное уравнение (5.49) возьмем такое, матрица коэффициентов которого является нормальной формой Жордана для матрицы А исходного

уравнения (5.46):

Переменный вектор 书,входящий в преобразованное уравнение (5.49) с матрицей коэффициентов (5.51), называется каноническим вектором, а его элементы zlt z^,... •・.,zn — каноническими переменными.

Отметим, что для перехода к каноническим переменным формула преобразования (5.47) не нужна — нужно знать только элементарные делители матрицы 4 ——九Е・

Дифференциальные уравнения в канонических переменных разобьются на т независимых друг от друга групп, каждая из которых соответствует своему элементарному делителю или своей клетке Жордана 3小 Выпишем одну первую группу (остальные имеют аналогичную структуру):

右=A1Z1,

22 = Z1 +入1出，

幺3=&十 入絞3，(5.52)

2% =阳-i + 九12/・

Уравнения (5.52) интегрируются элементарно. Действительно, из первого уравнения сразу находим

Z1 = Zoie*,

где Zoi ——начальное значение z「 Вносим полученное значение для иг во второе уравнение

Z2 — %必2 = Zoie".

Интегрируя его, получим

z2 = (z()2 + Zo" e^.

Продолжая этот процесс, найдем решение уравнений (5.52):

Z1 = Zod<

%2 = (^02 + ^010 &М,

* = роз + Zog£ + zoi -к?-) &#,(5.53)

z% =:[窃内 + z。，gt% + • • • + zoi(勺—])! J e'也

Аналогичные решения получим для других групп.

Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости движения. Пусть

К =+ мН

где Wr и ц^ — вещественные числа. Тогда

Учтем теперь, что

У卢

при любых [Лк и 九 Следовательно,

|：е*位 I = evk*.

Из этого равенства следует, что при 力一> ос

I J#|f о, если ^<0, оо, если л^〉0,

I е^ I = 1 j если v^ = 0,

Так как показательная функция растет быстрее любого многочлена /(%), то для произвольного 九=w + pi будем иметь

0 при v<^0, lim [/(%)* |= 8 при v〉0,(5.54)

Jgоо при V = 0,

причем в последнем случае предполагается, что / (力)声 * const.

Из общего решения (5.53) и предельных равенств (5.54) непосредственно вытекают следующие теоремы об устойчивости движения системы, возмущенное движение которой описывается дифференциальными уравнениями (5.1) или в матричной форме (5.46).

Если вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательны^ то невозмущенное движение асимптотически устойчиво,

Если среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один, вещественная часть которого положительна, то невозмущенное движение неустойчиво.

Если некоторые корни характеристического уравнения имеют нулевые вещественные части, а остальные корни имеют отрицательнее вещественные части^ то:

невозмущенное движение будет устойчивым (не асимптотически), если корням с нулевой вещественной частью отвечают простые элементарные делители (то есть соответствующие % = 1);

невозмущенное движение будет неустойчивым, если хотя бы один корень с нулевой вещественной частью является кратным корнем соответствующего элементарного делителя (ек〉1).

Прежде чем перейти к примерам, сделаем три замечания.

При исследовании устойчивости линейных стационарных систем нужно прежде всего определить корни характеристического уравнения. Если вещественные части всех корней отрицательны или имеется хотя бы один корень, вещественная часть которого положительна, то вопрос об устойчивости решен и нет смысла исследовать элементарные делители, т. е. решать задачу более сложную. Точно так же задача сразу решается, если корни с нулевыми вещественными частями простые (в этом случае корням с нулевой вещественной частью соответствуют простые элементарные делители), а остальные крони имеют отрицательную вещественную часть.

Таким образом, к определению элементарных делителей нужно прибегать только s том случае^ если среди корней характеристтеского уравнения имеются кратные корни с нулевой вещественной частью, а вещественные части остальных корней отрицательны.

В некоторых случаях необходимо ответить не только на вопрос об устойчивости движения, но и определить матрицу преобразования А переменных 八，д, . . ., ?几 в канонические переменные %匕 z?, . . zn. Для этого рациональнее всего воспользоваться равенством (5.50), которое умножением справа на матрицу А приводится к ВИДУ

(5.55)(5.55)3 А = ДА,

(5.55)

(5.55)

Это матричное уравнение относительно А содержит две известные матрицы (Л задана, а В — нормальная форма Жордана для 4 и, следовательно, находится по Л). Матричное уравнение (5.55) эквивалентно 冷岂 скалярным однородным уравнениям относительно «次力 выражающим равенство соответствующих элементов. Поэтому имеется бесчисленное множество матриц преобразования Л.

Обратную матрицу Л"1 можно найти из уравнения

АМ = АЛЛ(5.56)

которое получается умножением равенства (5.50) слева на Л*1.

Очень часто исходные уравнения возмущенного движения не приведены к нормальной форме и содержат производные порядка выше первого. Для того, чтобы определить элементарные делители и решить вопрос об устойчивости, нет нужды приводить систему к нормальной форме ——достаточно составить характеристическую Л-матри- цу для исходной системы и исследовать ее. Покажем это на примере уравнения

Ax + Bx + Cx = Q.(5.57)

Для исследования на устойчивость относительно матриц-столбцов i; и ас достаточно определить элементарные делители характеристической 1-матрицы

/(%) = /入2 + 现 + а(5.58)

Действительно, перейдем к системе первого порядка, для чего положим 充 =節・ Тогда уравнение (5.57) заменится системой двух уравнений первого порядка

Ау— — Ву— Сж.

Характеристическая матрица этой системы имеет вид (элементами служат матрицы)

311二，工卜

Воспользуемся элементарными преобразованиями: умножим второй столбец на % и сложим его с первым, после чего переставим их

力的T11一4工.8 一仆)玖— C卜

Первую строку умножим на 4% + 5 и сложим со второй, затем умножим второй столбец на ——1:

— 臥+ с| = 6 /}||'

что доказывает сделанное замечание.

Пример 1. Исследуем устойчивость системы, уравнения возмущенного движения которой имеют вид

勺 == —2%] -■ & — /з — /,

存2 =工1 一宮2，

企3 = 一4工1十& 一第3 -工4，企4 5/1 -I-忆2 2h3 T- 2c4、

В примере 1 § 5.3 было установлено, что характеристическое уравнение det (Л —九Е) = 0 этой матрицы имеет два нулевых корня и два корня, равных —1. Последний корень кратный как относительно характеристического уравнения, так и относительно элементарного делителя, но он не может испортить устойчивость (так как он вещественный отрицательный). Что касается нулевого корня, то хотя он второй кратности для характеристического уравнения, но простой для элементарных делителей. Следовательно, невозмущенное движение устойчиво относительно переменных х1т х2, 第3，工4.

Проиллюстрируем этот вывод. Уравнения возмущенного движения в канонических переменных состоят из трех независимых между собой групп (см. нормальную форму Жордана (5.38) для матрицы Л):

厶=0, 22= 0,龜=—2з,玄& = z? — z《

(первая группа — первое уравнение, вторая группа — второе уравнение, третья группа —— последние два уравнения). Напишем общее решение этих уравнений:

Z] = Z01，%2 = ZQ2, Z3 = 2оз^ ', Z4 — (z°4 十 2()3方)© "•

При 力 т + 8 переменные z3 и z《стремятся к нулю, a zx и z2 остаются без изменения, и при соответствующих начальных условиях их модули могут быть сделаны сколь угодно малыми. Следовательно, как уже было отмечено, невозмущенное движение устойчиво относительно совокупности канонических переменных z15 z2f Z3, Z4 и тем самым относительно переменных % 方纟,忆⑶,/《.

Пример 2. Исследуем устойчивость системы, уравнения возмущенного движения которой имеют вид

/ ^ —2%i — & —力3 — %4，

% = "1 -工2,

总 3 - -5/1 - 2/3 - 2%4, 总4 = 621 + 2/2 h 3窃 + 3窃.

Матрица правой части этих уравнений была рассмотрена в примере 2 § 5.3 (см. матрицу (5.39)). Было установлено, что характеристическое уравнение det (Л ——九Е) — 0 этой матрицы имеет два нулевых корня и два корня, равных —1. Оба корня кратные

как относительно характеристического уравнения, так и относительно элементарных делителей. Так как нулевой корень кратен относительно элементарного делителя, то невозмущенное движение неустойчиво относительно ①力 с?, х4.

Проиллюстрируем этот вывод. Уравнения возмущенного движения в канонических переменных состоят из двух независимых между собой групп (см. нормальную форму Жордана (5.40)):

宕丄=0, 22 = Z1，% = —Z3，友=Z3 — z《

(первая группа состоит из первого и второго уравнений, а вторая — из третьего и четвертого уравнений). Напишем общее решение этих уравнений:

Z] = Zoi， 2纟=Z()2 + 201A 2з = ^3^124 ~ (z04 + 夂)3土)6一'・

Так как z2Tg при 力一 + а, то невозмущенное движение неустойчиво относительно совокупности канонических переменных Z], &, Z3, % и, следовательно, относительно xt,戻纟，"з，弋4・

Пример 3. Устойчивость резонанса. Рассмотрим простейший линейный колебательный контур, на который действует возмущение, изменяющееся по гармоническому закону. Диффе- z-

ренциальное уравнение движения―尺

имеет вид/ \

х + А：% = Н cos ①九(5.59)

Здесь 汽 —— координата, определя- 、^Z\

ющая состояние контура (линей

ное или угловое перемещение, за

ряд и т. п.),后一частота его соб-f'

ственных колебаний,(о ——частота возмущающего воздействия, Н =рис 5 [

=const.* •

Из элементарного курса физики известно, что при совпадении частот (А =(о) наступает резонанс, при котором вынужденные колебания определяются равенством (график этого движения показан на рис. 5.1)

(5.60)

Примем это движение за невозмущенное. Тогда уравнение возмущенного движения будет представлять однородную часть линейного уравнения (5.59) — см. пример 3 § 1.3:

х + 后％ = °.

Составим характеристическое уравнение

炉十话=0.

Так как корни 人= ±kt этого уравнения чисто мнимые и различные, то резонанс (5.60) устойчив, но не асимптотически. Некоторым этот результат кажется неожиданным, но следует иметь в виду, что доказана устойчивость процесса, йри котором амплитуды вынужденных колебаний неограниченно возрастают, иначе говоря, небольшие возмущения не могут изменить общий характер движения, изображенного на рис. 5.1.

Г Л А В A VI

ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил

НА УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ

. Введение

Общие методы исследования устойчивости движения Ляпунова сильны прежде всего своей универсальностью, и именно поэтому они не могут содержать анализа различных физических факторов, влияющих на устойчивость движения. Между тем во многих случаях такой анализ, проведенный в достаточно общем виде, может оказаться весьма полезным. В этой главе мы рассмотрим, как влияют на устойчивость движения различные силы.

Исследование влияния структуры сил на устойчивость движения началось по существу с работ Томсона и Тета 】). В 1879 г. они дали общее определение гироскопических сил и доказали четыре теоремы об устойчивости движения. Это направление не развивалось около семидесяти лет. По-видимому, это можно объяснить тем, что за эти годы была создана общая теория устойчивости движения с ее эффективными методами исследования. Другая причина состоит в том, что теоремы Томсона и Тета были сформулированы только для линейных автономных систем. Наконец, эта теория не включала неконсервативные позиционные силы, значение которых для многочисленных технических приложений прояснилось в полной мере лишь за последние десятилетия.

В начале пятидесятых годов нашего столетия снова возник интерес к вопросам исследования устойчивости движения по структуре действующих сил. Было дано строгое доказательство теорем Томсона и Тета, затем эти теоремы были распространены на нелинейные системы и были получены новые результаты, охватывающие неконсервативные позиционные силы. Эти результаты позволяют составить отчетливое физическое представление о влиянии

•) Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия (см. § 3.1), имеющая непосредственное отношение к изучаемому вопросу, доказана в годы, когда рассматривались практически только консервативные системы.

различных сил на устойчивость движения. Поэтому даже в тех случаях, когда применение их не упрощает чисто вычислительной части анализа, они могут оказаться полезными для качественной оценки отдельных факторов, влияющих на устойчивость движения, особенно в процессе проектирования на этапе завязки системы (см. пример 3 § 6.6 и др.).

§ 6・2・ Классификация сил

Будем считать, что положение системы определяется s обобщенными координатами д1? . . qs, а движение ее описывается уравнениями Лагранжа 2-го рода

d дТ дТ с、

丽^ = Qk(q,q)(左=1一(6.1)

В этих уравнениях кинетическая энергия системы

т££■к$С к 否(6-2)

n=1父工

представляет определенно-положительную квадратичную форму обобщенных скоростей q с коэффициентами инерции @卜＞ (g) = а『* (g), зависящими от координат д, а обобщенные силы Q汇 являются функциями координат q и скоростей ?・

Для большей наглядности введем в рассмотрение s-мерное ортогональное пространство (д1? . . ., qs) и два вектора:

Предполагается, что первый вектор определяет изображающую точку М, а второй ——силу, приложенную к этой точке.

Перейдем теперь к характеристике сил.

а. Линейные силы. Рассмотрим сначала случай, когда сила Q линейно зависит от радиуса-вектора q и скорости q изображающей точки

Q = —с垃一в*а$(6.3)

где С】и В】一заданные квадратные матрицы порядка s х s с постоянными элементами.

Разобьем матрицы С\ и В* на симметричные С и 5 и кососимметричные Р и G части, положив (см. (5.15)— (5-17))

Сг = С + Р, В!^ В + G,(6.4)

где

С = О = }(6 + С；), р = -р, = 4'(с1-с^,

1^!(6・5)

B = =+ В±), G = — C =4-(31-修).

Теперь сила Q принимает вид

Q = K+H + D + r.(6.6)

Здесь

К = — Cq, R = — Pq,刀=—3@, Г = — G@・(6.7)

Сила 衣=—Cq с симметричной матрицей С = || ck)|| называется потенциальной или консервативнойх а квадра* тичная форма

П =等 Cq.q =皆££"必0(6.8)

равна потенциальной энергии системы.

Составим с помощью симметричной матрицы В = ^ И bkj II квадратичную форму

р=}зд.*=}££^м,・.(6.9)

Если эта функция не отрицательна, то она называется функцией рассеивания или диссипативной функцией Ре- лея; соответствующие силы D = —Bq называются диссипативными силами с положительным сопротивлением (или просто диссипативными силами). Если квадратичная форма F определенно-положительна, то диссипация называется полной, в противном случае ——неполной. Наконец, если функция F может принимать отрицательные значения, то среди составляющих силы D —3小 имеются ускоряющие силы (силы отрицательного сопротивления). Обычно диссипативные силы с положительным сопротивлением возникают естественным образом при движении тел в сопротивляющейся среде, в электрических цепях при наличии омического сопротивления и т. п. Ускоряющие сияы (силы отрицательного сопротивления), как правило, создаются с помощью специал!>ных устройств (см. пример 3 § 6,6).

Силы Г = ——Gq, линейно зависящие от скоростей q и имеющие кососимметричную матрицу коэффициентов 6 — II grjll, называются, как уже говорилось в § 3.3, гироскопическими. Чаще всего эти силы встречаются в системах, содержащих гироскопы, но они могут быть и в других системах (см. пример § 6.7).

Силы R =—力％ линейно зависящие от координат q с кососимметричной матрицей коэффициентов Р =|| 卩卜/|, называются неконсервативными позиционными или просто неконсервативными силамиг). Неконсервативные позиционные силы возникают как естественным образом, так и с помощью специальных устройств (см. § 6.9).

Рассмотрим пример. Пусть силы Q、и Q2 имеют вид

Qi = —5л + 91 — 2g2，

02 = 2九 + @2 — 6gl — 5g2，

Составим матрицы ^ и 3f

Найдем транспонированные матрицы С； и 5； (в матрицах fx и Вг переставляем строки и столбцы):

Разложим матрицы С* и В* на симметричные и кососимметричные части:

С=Ц(С1 + С；)=『：汴 P = g(, — q)= ° -2||,

= 1(^ + ^)= I : 一；|, G = ^(Bi — 4)=； ；|.

Неконсервативные позиционные силы не имеют твердо установившегося названия. Г. Циглер называет эти силы циркуляционными [59, 60], в теории гироскопических систем их называют силами радиальной коррекции [38], в теории упругости их называют просто неконсервативными силами [11], некоторые авторы называют их собственно или существенно неконсервативными силами, псевдо- гироскопическими силами, силами ограниченного демпфирования (последний термин распространен в американской научной литературе, посвященной космическим исследованиям). Первые два названия легко оправдать физическими соображениями, но, по- видимому, термин «неконсервативные позиционные силы» является наиболее точным： позиционные, так как они зависят от координат системы, неконсервативные, так как работа их зависит от пути и для них не существует интеграла энергии. Для простоты мы будем иногда называть неконсервативные позиционные силы просто неконсервативными силами.

Найдем потенциальную энергию П и функцию Релея F: 口=%(-/ + 8九g + 59 工

尸=%(5好一2九八一*).

В данном примере функция Ролея 尸 может принимать как положительные значения (например, при «^ # 0 и 。纟=0)，так и отрицательные значения (например, при ^ = 0 и j?* 0). Поэтому диссипативная сила —Bq имеет положительные и отрицательные составляющие. Матрицы-столбцы потенциальных — Cq、неконсервативных —Pg, диссипативных —5j и гироскопических—^4 сил соответственно р авнн:

Il 01—匂2口 II 2g2) II ~5?i + g2[l [I —72 II

II —甸一5g2 卜 11一2仇|卜 || </i + 72 11 * II 71II

б. Нелинейные силы. Приведенная классификация линейных сил по их математической структуре очень удобна для линейных систем, особенно при исследовании устойчивости движения. Однако для нелинейных сил этот метод неприменим. Поэтому для общей характеристики сил воспользуемся их физическими свойствами.

Как известно, работа потенциальной силы К (?) не зависит от пути перемещения точки приложения силы. Для этой силы справедливо равенство

К (д) = —giad П (6.10)

или для составляющих

修二一岩(a 4,…，叫 (6.11)

где П — потенциальная энергия.

Для того чтобы некоторая сила К (д), зависящая от положения изображающей точки М, была потенциальной, необходимо и достаточно, чтобы ее проекции удовлетворяли равенствам (число их равно числу сочетаний иэ s по два)

耽一鸣耽一鸣体，/ = 1,…，s)体，/ = 1,…，s)(6.12)(6.12)

耽一鸣

耽一鸣

体，/ = 1,…，s)

体，/ = 1,…，s)

(6.12)

(6.12)

(необходимость этих условий вытекает непосредственно из (6.11)),

Справедливость формул (6.10)—(6.12) для линейной

силы К = —，0 следует из равенства (6.8).

По определению Томсона и Тета [58] сила Г (@) называется гироскопической, если мощность (работа) ее

тождественно равна нулю

r切=£1\義=0. (6.13) 工

Из этого определения следует, что гироскопическая сила перпендикулярна скорости g изображающей точки М. Линейная сила Г = —Gq удовлетворяет этому условию, так как в силу косой симметрии матрицы G произведение Г・@ = —Gq*q тождественно равно нулю (см. равенство (5.25)).

Сила D (С), зависящая от скорости q изображающей точки ЛГ, называется диссипативной силой с положительным или отрицательным сопротивлением, если ее мощность не равна нулю тождественно. Диссипативным силам положительного сопротивления отвечает отрицательная мощность

8

(знак равенства в этом соотношении не может быть тождественным), а силам отрицательного сопротивления — положительная мощность. Если мощность N (§) является определенно-отрицательной функцией скоростей @注,то диссипацию назовем полной; если же мощность №(《) —— просто отрицательная функция скоростей 疗耳,то диссипацию назовем неполной или частичной (в дальнейшем будет показано, что из этих общих определений следуют соответствующие определения, введенные для линейных сил сопротивления).

Нам осталось дать общее определение неконсервативных позиционных сил. Из определения линейной неконсервативной силы следует, что она перпендикулярна радиусу-вектору q изображающей точки М (R-q — —Pq-

q 三 0, так как матрица Р ——кососимметрична я). Обобщая это свойство, будем называть любую силу 冗(,)，зависящую от координат системы д% неконсервативной позиционной силой, если она ортогональна радиусу-вектору О изображающей точки

Л 3 /?^ = 0. (6.15)

Выше было показано, что произвольные силы, линейно зависящие от координат и скоростей системы, можно

разложить на потенциальные К, неконсервативные позиционные Е, гироскопические Г и диссипативные D силы. Покажем, что аналогичное разложение можно произвести для широкого класса нелинейных сил.

Теорема. Любую непрерывную вместе со своими производными первого порядка силу 0 (q), зависящую только от положения систем% можно разложить на потенциальную и неконсервативную позиционную. составляющие

Q 匂)=一 grad П + 无(办(6.16)

где поле R и потенциальная энергия П подлежат определению 1).

Доказательство. Умножим обе части равенства (6.16) скалярно на радиус-вектор и зобр аж а ющей точки q:

Q.q = — (gradH)・q + R-q.(6.17)

i) Этой теореме можно придать другой, более общий, вид, не связывая ее с разложением сил [40]. Действительно, назовем для краткости поле векторов U (д), удовлетворяющее условию ортогональности (6.15), циркуляционным. Тогда будет справедлива следующая теорема: произвольное непрерывное вместе со своими производными первого порядка векторное поле Q (д) всегда можно разложить на потенциальное и циркуляционное поля:

Q (?) = —grad И + 丘(д), где поле В (д) и потенциал ——П подлежат определению.

Заметим здесь же, что линейное циркуляционное поле В (д)= =Pq, где Р ——кососимметричная матрица, будет одновременно и соленоидальным полем, т. е. полем, для которого дивергенция равна нулю:

击V笈=＞竺5=0

(так как в силу косой симметрии матрицы Р проекция Кк вектора К не содержит координаты дк и, следовательно, все dR^/dq^ 三 0). В общем нелинейном случае циркуляционное поле не является соленоидальным. Так, если Е〔 = %或，Н2 = —д；д：, то дивергенция вектора R

div К =学+学=W - 2公田0,

т. е. циркуляционное поле В, для которого R q = К^ + Е2g2 三 三 0, не является соленоидальным.

Полезно отметить, что практически одновременно, независимо друг от друга и в совершенно различных формах, аналогичные результаты были получены в разных странах при разборе термодинамических задач [44а, 53а]. Автор настоящей книги не уверен, что эта теорема не было доказана еще в прошлом веке.

или, учитывая равенство (6.15),

О・0= — (gradU).q.(6.18)

Левая часть этого равенства представляет известную функцию координат д】,・• •， д§ (так как сила Q задана). Обозначим эту функцию через Н:

з

H(s,…，％) = Q&= X Qm・ (6.19)

Если функция Н тождественно равна нулю, то, согласно равенству (6.15), сила Q будет неконсервативной позиционной силой и задача разложения силы Q будет полностью решена при Q = R и П = 0.

Рассмотрим общий случай, когда Н и, следовательно, потенциальная энергия не равны нулю. Запишем равенство (6.18) в скалярной форме, учтя при этом равенство (6.19)

处丽+ 柒瓦=一反・ (6・2°)

В этом равенстве функция Н известна, а функция П неизвестна. Поэтому равенство (6.20) можно рассматривать как линейное неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных относительно потенциальной энергии П. Как известно, решение уравнения (6.20) сводится к решению следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

如 一%一也一 dn

Из первых s ——1 уравнений найдем

% ~ С&,..・，д$т = CiOs,(6.21)

где С】,...,С$—1 ——произвольные постоянные интегрирования.

Последнее уравнение

dQs — dll

приводится к виду

dU = _ 一，(勺…，％)dqs.(6.22)

Заменим в функции H переменные gi， . . ., qs^ на их значения из (6.21). Тогда эта функция будет зависеть

только от одной переменной qa и постоянных С*,... • . ., С§т・ Интегрируя обе части равенства (6.22), найдем

П=-严с& 二卢 &&).% + с,

где С5 — новая постоянная интегрирования.

Общее решение уравнения в частных производных (6.20) можно привести теперь к следующей форме: 口=_ § н(&%，•《，q-м，柒)園，+ 屮(詐，...，ig_),

где Т ——произвольная функция.

Учтем теперь, что при 8 = 0 потенциальная энергия равна нулю (см. примечание к формуле (6.19)). Поэтому, положив Т — 0, получим окончательное выражение для потенциальной энергии

口 = 一 \ -?3"亍 *%%)函3 (6.23)

(конечно, после вычисления интеграла входящие в него постоянные интегрирования С1? . . ., Cs^ нужно заменить на их значения из (6.21)).

После того как будет найдена потенциальная энергия П неконсервативная позиционная сила 兄 определится из равенства (6.16)

兄=О + grad П.(6.24)

Составляющие потенциальной силы К =——gradll определятся равенствами (6.11)

&——器，患 (6・25)

Составляющие неконсервативной позиционной силы _В определяются из равенства (6.24)

Ri = Qi + -^ —・•，凡=Q$ + ^- .(6.26)

Заметим, что первые формулы (6.5) для линейной позиционной силы 0 = — С1a можно, конечно, получить из равенств (6.25) и (6.26), но это значительно более сложный и трудоемкий путь, к которому следует прибегать только для нелинейных систем.

Пример. Даны обобщенные позиционные силы

Qi = 91 + 支或，<?2 = @； + 2或.(6.27)

Требуется разложить эти силы на потенциальные и неконсервативные позиционные составляющие.

Составим по формуле (6.19) функцию

Н = Qm +q2,2 = g: + 2威* + %:.

Интеграл (6.21) в нашем случае будет

91 = 0效・

Внесем это значение для ^ в функцию Л:

h=叁或+ 2c咙+町.

Вычислим теперь по формуле (6.23) потенциальную энерги ю Имеем

£«礎+ 20需+ 2喷11 = - \曲2,

J@2

ИЛИ

II = —嗨一扌脈

Заменив постоянную С на ее значение gjg^ получим окончательное выражение для потенциальной энергии

Заметим, что при дх = д2 = 0 потенциальная энергия имеет максимум (так как для переменных д； и д| выполнен критерий Сильвестра (2.10): Aj = —1/4 V 0, Д2 = 13/300 > 0).

Составляющие потенциальной силы К =——grad П и некон- сервативяой позиционной силы 冗 найдем по формулам (6・25) и (6.26):

^1 = 9? + у м!» 高="!~** + % (6.29)

% = £9嗚 % = 7g陽 (6.30)

Легко проверить, что силы Е^ и 2?2 удовлетворяют условию (6.15).

Рассмотрим теперь силу Q (§), зависящую от скорости q изображающей точки М. Если выделить из этой силы гироскопическую составляющую Г (силу, не производящую работу), то в соответствии с определениями оставшаяся часть будет равна диссипативной силе с положительным или отрицательным сопротивлением. Таким образом/

имеем

Q (0)=刀(0) + Т (办

(6.31)

Покажем сейчас, что силу сопротивления 1> 伍)можно представить как градиент некоторой скалярной функции р (6): 、

D = — grad F. (6.32)

В этом равенстве grad F определяется в пространстве скоростей (久，..§s) так, что

"二一希（" = i，・••，％ （б・зз）

причем должны выполняться равенства

о% — dD.о% — dD.(A, / = 1, . . . , 5).(A, / = 1, . . . , 5).(6.34)(6.34)

о% — dD.

о% — dD.

(A, / = 1, . . . , 5).

(A, / = 1, . . . , 5).

(6.34)

(6.34)

Для доказательства сделанного утверждения достаточно заметить, что в соответствии с определениями гироскопическая сила Г в пространстве скоростей (厶,... .•・,@J и неконсервативная позиционная сила R в пространстве координат (ди ・• •，9$) удовлетворяют одинаковым условиям ортогональности (6.13) и (6.15). Поэтому, повторяя почти дословно обоснование возможности разделения позиционных сил, можно доказать следующую теорему.

Теорема. Любую непрерывную вместе со своими производными первого порядка силу Q (С), зависящую только от скоростей системы-, можно представить суммой двух сил

Q (@) = — grad F + Г,(6.35)

где Г — гироскопическая сила^ a F — некоторая скалярная функция скоростей @於.

Сравнивая равенства (6.35) и (6.31), получим (6.32). Функцию F (0) будем называть функцией Релея ). Заметим, что функция — F («) является потенциалом поля сил сопротивления.

Учитывая равенства (6.32) и (6.33), вычислим мощность силы сопротивления

N(Q = D.q = — gr&dF-q = — У(6.36)

Если составляющие D^ силы сопротивления D однородны относительно скоростей и степень их однородности равна т, то функция F также однородна, причем степень ее однородности будет, очевидно, тп + 1. В этом случае, пользуясь равенством (6.36), по известной теореме Эйлера об однородных функциях получим

N = 一(m + 1) R(6.37)

В частности, для линейных сил сопротивления N = =-2ь.

Из равенства (6.37) видно, что однородным силам положительного сопротивления с полной диссипацией отвечает определенно-положительная диссипативная функция F, а при неполной (частичной) диссипации —— просто положительная функция F,

В дальнейшем, если не будет специальной оговорки, под силой сопротивления D будем понимать силу положительного сопротивления (диссипативную силу). В тех редких случаях, когда будут рассматриваться силы отрицательного сопротивления, они будут называться ускоряющими силами.

До сих пор мы считали, что гироскопические силы Г и силы сопротивления D зависят только от скорости д. На практике эти силы очень часто зависят также от положения системы, т. е. от радиуса-вектора q изображающей точки М\

Г = Г(%@), D = D(qt q).

Все определения для этих сил сохраняются без всякого изменения, если только радиус-вектор q точки М рассматривать как параметр. В частности, будем считать, что силы Г и D обращаются в нуль при 4 — 0

Г (д, 0) = 0,刀(g, 0) = 0,(6.38)

причем предполагается, что при g =^0 эти силы не равны нулю при любых значениях д, расположенных вблизи точки 0 = 0.

Д. Р. Меркин

Мощность N силы D будет теперь зависеть не только от скорости д, но и от ^

N и С — D и С • а.(6.39)

Определение полной и частичной диссипации остается почти без изменения: диссипация называется полной (частичной) ,если мощность N(% () силы 刀 является определенно-отрицательной (отрицательной) функцией скорости @ при всех значениях q, р асп о лож енны х вблизи точки q = 0.

Пример 1. Сила Г с линейными относительно скоростей составляющими

1\ = COS рр, Г2 = —COS В& гироскопическая, так как ее мощность

N = Гха + Г2р = cos рВ& + (— cos ра) 8 тождественно равна нулю.

Пример 2. Сила Г с нелинейным^ относительно скоростей составляющими

Г\ = (8 — С)羯％, Г2 = (С — Л) '^з^1, Г3 = (Л —尸)击卡2, где Л, 5 и С — произвольные функции координат х15 х2,②台 и скоростей f1T т2,番з, гироскопическая, так как ее мощность

% - 1\21 + r2^2 十р3于3 тождественно равна нулю.

Пример 3. Сила 力,составляющие которой определяются равенствами 1)

% = —[1 + cos2 (% + 鱼)]«； sign 九 A =—仇 + 對)， является силой положительного сопротивления с полной диссипацией. Действительно, мощность этой силы

N =01、1 + D2 ,2 = -{[1 + COS2 (我 + 92)]党 I 71 I + 72 4"0?} представляет определенно-отрицательную функцию скоростей "小 42 при любых 史 и д2 (привычисление^учтено, что 外 sign 疗工=| Gi |). Функция Релея для данных сил имеет вид

尸=g U + C0S2 依十 &)] I 7!卩 + 1^+| 竣

Эта функция удовлетворяет равенствам (6.33), так как

^-| 71|3 = 3| 71 户与丨〃 I = 3 号 sign 71-

Пример 4. Методом, изложенным на с. 160—161, силы

<?1 =—斤瓮，<?2 = Т 幽

Символ sign х означает знак т.

можно разложить на гироскопические и диссипативные составляющие:

「1 = "^( "； - 4%)， Г2 = у ( ；| '2— ?1 汾，

D1 = — 浮；一-у Т当 s = —7^i| — А 4

Легко проверить, что гироскопические силы Г\ н Г2 удовлетворяют условию (6.13), а силы Dx и。纟—5тсловию (6,34). Ф^^нкция F в данном примере равна

Так как эта функция определенно-положительна, то имеется полная диссипация.

§ 6.3. Постановка задачи

Будем считать, что уравнения возмущенного движения относительно величин q и ( приведены к виду

d @Т — дТd @Т — дТ而-L Dk + Г, + %,而-L Dk + Г, + %,(б%〕)(б%〕)

d @Т — дТ

d @Т — дТ

而-L Dk + Г, + %,

而-L Dk + Г, + %,

(б%〕)

(б%〕)

成 № 上(A： = 1,..., s).

В этих уравнениях T ——определенно-положительная квадратичная форма скоростей (

S S

『=；£〉就心,(6.41)

К=1 ;—1

где Qkj = ajk — функции q. Предполагается, что при 夕=0 потенциальная энергия П равна нулю. Кроме того, предполагается, что при q = 0 обращаются в нуль потенциальные и неконсервативные позиционные силы, а при @ = 0 обращаются в нуль диссипативные и гироскопические силы.

Независимо от способа получения уравнений возмущенного движения (6.40) функцию Т можно рассматривать как кинетическую энергию приведенной системы, переменные q^ и г\ — как обобщенные координаты и скорости, а члены, стоящие в правых частях этих уравнений,——как потенциальные, диссипативные, гироскопические и неконсервативные позиционные силы соответственно. Относительно сил предполагается только, что

они удовлетворяют сделанным в § 6.2 определениям и условиям существования и единственности решения дифференциальных уравнений (6.40). Никаких других ограничений на силы не налагается —— они могут быть линейными, существенно нелинейными (их разложения по степеням ди, могут начинаться с членов любого порядка), наконец, они могут быть неаналитическими функциями координат q и скоростей 0.

К уравнениям возмущенного движения (6.40) приводятся все задачи на исследование устойчивости равновесия механических систем с голономными и стационарными связями и многие задачи на исследование устойчивости установившихся и стационарных движений механических, электрических и электромеханических систем „ Не вдаваясь в анализ физической природы координат q и рассматриваемого явления, будем говорить, что значениям q = 0 и © =0 отвечает равновесие системы, а уравнения (6.40) описывают возмущенное движение около положения равновесия. Поэтому, говоря об устойчивости равновесия системы, нужно помнить условный характер этого выражения — возможно, что на самом деле речь идет об устойчивости установившегося движения электромеханической системы. Точно так же нужно помнить условный характер употребляемого здесь слова «сила». В действительности может оказаться, что члены уравнений (6.40), которые мы трактуем как силы, не представляют реальные силы, а получились в результате некоторых математических преобразований. Несмотря на это, все члены правых частей уравнений (6.40) мы будем называть силами, действующими на систему.

Задача ставится следующим образом: как определить характер устойчивости равновесия системы по структуре действующих сил? Примером решения такой задачи может служить теорема Лагранжа и ее обращение, на основании которой вопрос об устойчивости равновесия консервативной системы решается исследованием одной потенциальной энергии без привлечения анализа левых частей уравнений (см. § 3.1 и 3.2).

Aq + B.q +&q = Q(2).Aq + B.q +&q = Q(2).(6.42)(6.42)Кроме уравнений возмущенного движения в форме (6.40), будем рассматривать случай, когда разложения всех сил по степеням q и( содержат линейные члены. Длв таких систем уравнения возмущенного движения приводятся к виду

Aq + B.q +&q = Q(2).

Aq + B.q +&q = Q(2).

(6.42)

(6.42)

В этом векторно-матричном уравнении Л ——определенно-положительная симметричная матрица, _8工 й Сх — некоторые квадратные матрицы (элементы всех матриц постоянные числа); составляющие вектора 0R) содержат координаты 0拦 и скорости ^ в степени выше первой.

Воспользуемся формулами (6.4) и (6.5) и разобьем матрицы 3] и & на симметричные и кососимметричные части. Тогда получим

Aq + Bq + Gq + Cq + Pq^。⑵.(G.43)

Кинетическая энергия этой системы определяется равенством (6.41), в котором коэффициенты。仃 следует считать постоянными числами. Потенциальные, неконсервативные позиционные, гироскопические и диссипативные силы определяются равенствами (6.7), потенциальная энергия ——равенством (6.8), диссипативная функция Ре- лея —— равенством (6.9).

Уравнение возмущенного движения (6.43) можно представить в двух других формах. Для этого перейдем к новому переменному вектору 名 по формуле

q』Az,

где Л — ортогональная матрица преобразования. После подстановки в уравнение (6.43) получим

ЛЛй + ЗА总 + GAZ + CAq 卜 РА詳=Zi.

Умножим слева обе части этого уравнения на транспонированную матрицу N

ANAW + NBN玄 + A'GA彥 + ACAz 十 MPX^ = Z, (6.44) где Z = A'%】 ——вектор, составляющие которого содержат 2长 и 2厶・ в степени выше первой. Учтем теперь, что матрицы Л и С симметричны и, кроме того, матрица Л определенно-положительна. На основании второй теоремы § 5.3 существует такая неособая ортогональная матрица Л, для которой будут справедливы равенства (5.42). Пусть Л ——такая матрица. Тогда

Л/4А = Е, Л^Л = Со,

где Е — единичная, а Со ~ диагональная матрицы.

Легко видеть, что матрица Л'ЙА симметричная, а матрицы A'GA и Л/尸А — кососимметричные. Действительно, на основании правила транспонирования произведения

матриц (5.13) имеем

(А^АУ = (BA)，(А) = А 万(А).

Из самого определения следует, что дважды транспонированная матрица равна исходной матрице, т. е. (А')‘ — =А. Кроме того, матрица В симметричная и, следовательно, В' = В (см. (5.15)). Таким образом,

(Л'ВА)7 - А'ВА,

что на основании той же формулы (5.15) служит доказательством симметричности матрицы Л'ДЛ.

Если вместо симметричной матрицы В взять кососимметричную матрицу G (или Р), то будем иметь

(AGA)，= (W(A) - AGA

или, учитывая, что матрица G кососимметричная и для нее справедлива формула (5.16), на основании которой G' = — G,

(AGA)' = — Л'СЛ.

Согласно той же формуле (5.16) заключаем, что матрица A'GA кососимметричная. Аналогичный вывод справедлив, конечно, и для матрицы Л!РА.

Учитывая сказанное и принимая во внимание, что Её = 为， уравнение (6.44) можно записать следующим образом:

z+B^+G^+ &z + P^ = Z,(6.45)

где для простоты симметричная матрица Л'ВЛ и кососимметричные матрицы A'GA и А'РА обозначены прежними буквами 5, G и Р соответственно.

До сих пор мы применяли теорему § 5.3 к матрицам А и С уравнения (6.43). Но эту же теорему можно применить для матриц А и В. Тогда получим еще одну форму

уравнения возмущенного движения

z + B^ + G^ + C^ + P^ = Z・ (6.46)

В уравнениях (6.45) и (6.46) Со и BQ — диагональные матрицы с вещественными элементами (см. вторую теорему § 5.3):

I

t! О ... О IIII дх О ... О

。二二二，& J：• (6・47)

О О ... /||о о ... %

Таким образом, с помощью линейного ортогонального преобразования q = А名 уравнение (6.43) можно привести к одной из двух форм (6.45) или (6.46), причем потенциальные, диссипативные, гироскопические и неконсервативные позиционные силы преобразуются в силы той же структуры. Очевидно, что из устойчивости (неустойчивости) относительно координат z и скоростей z следует устойчивость (неустойчивость) относительно координат q И скоростей 4 и наоборот. Поэтому нас не будет интересовать само преобразование д = As, приводящее уравнение (6.43) к одному из уравнений (6.45) или (6.46). Достаточно знать, что такое преобразование существует.

Рассмотрим в уравнении (6.46) силу сопротивления ——Во« более подробно. Если коэффициент b# > 0, то составляющая этой силы —匕品 будет замедлять движение, если же Ъ^ V 0, то эта составляющая будет ускорять движение. Будем говорить, что диссипативные силы доминируют над ускоряющими, если сумма элементов 匕卜 матрицы В。положительна; если же £匕左 V 0, то ускоряющие силы доминируют над диссипативными. При отсутствии ускоряющих сил среди элементов Ь% матрицы Во нет отрицательных (но могут быть элементы, равные нулю), а при полной диссипации все элементы 匕汇 положительны.

Так как след матрицы и ее определитель являются инвариантами при ортогональном преобразовании, то будем иметь следующие тождества:

Sp 瓦=2 星=X Ькк = Sp 5 = Sp 灰 (6.48)

q • q = det C, det (C + P) = det &・(6.49)

Из первого тождества следует, что вопрос о доминировании диссипативных и ускоряющих сил решается исходной системой (6.42).

Кроме системы (6.43), содержащей линейные члены, будем рассматривать частично линеаризованные системы, когда некоторые силы могут не содержать линейных членов. Дифференциальное уравнение таких систем запишем в следующем виде:

备(Aq) = — grad П — 3@ + F (д,《)+ _R (д). (6.50)

Здесь А (д) — определенно-положительная матрица, элементы которой зависят от координат системы q, В ——

постоянная симметричная матрица, а все остальные члены, стоящие в правой части уравнения, представляют соответственно произвольные потенциальные, гироскопические и неконсервативные позиционные силы, удовлетворяющие самым общим определениям.

§ 6*4. Коэффициенты устойчивости

Пусть на систему действуют только потенциальные силы, содержащие линейную часть, а все остальные силы отсутствуют (刀 = F = „R = 0). Тогда, пользуясь уравнением (6.45), получим

Е + % = Z.

Это векторно-матричное уравнение эквивалентно s скалярным уравнениям (напомним, что & — диагональная матрица)

^1 + c1zi — Z],

(6.51) 笈 S += Zs,

где функции Zk содержат координаты z； и скорости Zj в степени выше первой.

Линейная часть каждого уравнения (6.51) содержит только одну координату (такие координаты называются нормальными). Характеристические числа /с-то уравнения этой системы равны ± |/ —喙. Отсюда следует, что если какое-нибудь число % положительно, то при отсутствии соответствующего нелинейного члена Zj： движение в нормальной координате z^ будет устойчиво. Если же какое- нибудь число Cr V 0, то движение в этой нормальной координате неустойчиво независимо от членов высшего порядка (так как из двух характеристических чисел 土]Л — % одно будет положительно — см. теорему Ляпунова о неустойчивости движения по уравнениям первого приближения § 4.3). В связи с этим числа % называются коэффициентами устойчивости системы, а число отрицательных чисел с^ — степенью неустойчивости (эти определения принадлежат Пуанкаре). В дальнейшем будет иметь значение не число неустойчивых коэффициентов q, а его четность. Пользуясь первым равенством (6.49)

Ci . . . с^ = det С,

можно определить четность степени неустойчивости системы, не прибегая к непосредственному переходу к нормальным координатам (такой переход представляет большой интерес в теоретических исследованиях, но осуществить его не менее сложно, чем решить исходную систему). Действительно, если число отрицательных коэффициентов, % четное, то произведение q .. . с$ положительно (предполагается, что среди коэффициентов устойчивости нет нулевых). Но тогда из последнего равенства следует, что det С〉0; если же число отрицательных с,： нечетное, то произведение сх ... с8 отрицательно и, следовательно, det С V 0； обратные утверждения, очевидно, то;ке справедливы. Таким образом, имеем простое правило； если определитель матрицы С потенциальных сил исходных уравнений возмущенного движения положителен^ то степень неустойчивости системы четная, если же det С < 0, то степень неустойчивости системы нечетная.

Для иллюстрации этого правила рассмотрим два простых примера.

Уравнения возмущенного движения имеют вид

01 + 务+ 5 gl + 2% = О,@i + 3^2 + 2gl — % =。・

Система потенциальная, так как матрица коэффтицюнтов сил, линейно зависящих от координат, симмечричпая:

Определитель этой матрицы det С = —9 отрицателен. Поэтому, не приводя уравнения к нормальным координатам, можно утверждать, что система имеет нечетную степень неустойчивости. Так как число координат равно двум, то имеются одна неустойчивая и одна устойчивая координаты.

Уравнения возмущенного движения имеют вид

厅1 + 鱼 + 2方=0,电一3,2 + 0з = °, 7з + 2% + 02 — 0з = °・

Матрица коэффтпщентов сил, линейно зависящих от координат,NT力

симметрична. Поэтому система потенциальна. Определитель %т~ рицы det С = 14 положителен. Не приводя уравнения к нормальным координатам, можно утверждать, что если система имеет не- устойинвые координаты, то число их четное. ЗГегко установить, что неустойчивые координаты имеются и число их равно двум. Действительно, составим главные диагональные миноры матрицы С:

At - t >0, ，% 一 口 ?|丁_3<0, A3 = detO = 14>0.

Так как один из определителей Сильвестра (2.8) для матрицы коэффициентов потенциальной энергии отрицателен, то система неустойчива (см. § 3.1), и, следовательно, должйы быть неустойчивые координаты. Но число их должно быть четным, а всего координат три. Поэтому система имеет две неустойчивые и одну устойчивую координаты.

§ 6・5・ Влияние гироскопических и диссипативных сил на устойчивость равновесия потенциальной системы

В реальных условиях на потенциальную систему налагаются диссипативные силы, возникающие за счет сопротивления среды (омического сопротивления) или в результате действия специально установленных устройств. Кроме того, очень часто встречаются системы, на которые действуют не только потенциальные и диссипативные, но и гироскопические силы.

Предположим сначала, что невозмущенное движение 君 = 0,窓 = 0 под действием одних потенциальных сил неустойчиво. Естественно возникает вопрос: нельзя лй стабилизировать неустойчивое движение, присоединив к потенциальным силам гироскопические силы? Простые примеры показывают, что в некоторых случаях это осуществимо. Действительно, потенциальная система

芝 1 + ^i2i = 0,艺2 +C必2 - 0

при отрицательных % и с2 неустойчива. Присоединим к системе гироскопические силы —— g幺纟 и g%i соответственно. Получим

芝 1 + g^2 + ‘ЗА = 0,X

с(6.53)

?2 gZ] + С222 = 0.

Составим характеристическое уравнение этой системы 产 小= м 十(g2 十 а + 3)入2 + as = °- I 一 gA 仆十，2 I

Так как в этом уравнении 九 содержится только в четных степенях, то каждому корню X будет отвечать корень —— 九. Поэтому, если вещественная часть хотя бы одного корня не равна нулю, то найдется корень, вещественная часть которого положительна. Из этого следует, что устойчивость наступит только в том случае, если все корни характеристического уравнения будут чисто мнимыми числами, а корни относительно 入？——отрицательными веще-

ственными числами. Для этого необходимо и достаточно, .чтобы коэффициенты характеристического уравнения удовлетворяли следующим условиям:

eg > о, g2 + СА + с2 > 0, (g2 + q + C3)2 — 4*2 > О-

Эти три неравенства сводятся к одному условию (напомним, что по предположению ©工 V 0 и с2 V 0)

I g I〉V— Ci + К— Q*(6.54)

Таким образом, если коэффициент g удовлетворяет этому условию, то неустойчивая потенциальная система (6.52) будет стабилизирована добавлением гироскопических СИЛ — g%2 И g 幺 г

Вслед за этим возникает другой вопрос: всегда ли можно стабилизировать неустойчивую потенциальную систему гироскопическими силами? Одно нз необходимых условий гироскопической стабилизации определяет следующая теорема (достаточные условия установлены в работах [38, 49]).

Первая теорема Томсона — Тета ——Четаева. Если неустойчивость изолированного положения равновесия системы при одних потенциальных силах имеет нечетную степень^ то гироскопическая стабилизация равновесия невозможна при любых членах, содержащих координаты и скорости в степени выше первой г).

Док аз ательство. Пусть потенциальная система

^ + С^ Z(6.55)

имеет нечетную степень неустойчивости. Присоединив к системе произвольные гироскопические силы ——6彥，получим

為 + G* + Co« = Z.

Составим характеристическое уравнение, учитывая, что Со — диагональная, a G ——кососимметричная матрицы

九2十C1 gl2九• • • gl§九

^гЛ ” + q …g2s 九 с △ ==U

g6 卩 g$6…^2 + Cs

工)Во всех теоремах этой главы при отсутствии специальной оговорки рассматривается устойчивость относительно координат и скоростей, причем за невозмущенное движение принимается г = =0, 2 = 0*

или, раскрывая определитель и группируя члены по степеням X

А —九 2$ + . .. + %5 ~ 0.

Свободный член этого уравнения равен, очевидно, прока- ведению q . . . % (чтобы найти его, достаточно в определителе А положить 入 = 0):

a2s = q. • •

Из условий теоремы следует, что a2s V 0. Действительно, число отрицательных коэффициентов устойчивости ск нечетное и среди них нет нулевых (так как положение равновесия изолированное). Поэтому среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один с положительной вещественной частью (см. пояснение к формулам (4.23)). Доказательство теоремы следует теперь из теоремы Ляпунова о неустойчивости движения по уравнениям первого приближения (см. § 4.3), и того обстоятельства, что свободный член a2s характеристического уравнения не зависит от гироскопических сил.

Прежде чем перейти к исследованию влияния гироскопических и диссипативных сил на равновесие устойчивой потенциальной системы, остановимся на одной формуле, которая нам понадобится в дальнейшем. Пусть в системе общего вида (6.40) отсутствуют неконсервативные позиционные силы (% = 0)

(&56)

Умножим каждое уравнение на (\ и полученные произведения сложим. Тогда, учитывая равенство (6.13), получим после несложных преобразований

糸(Т + П)=М(6.57)

где N = EQZ； — мощность сил сопротивления т). Если силы сопротивления однородны относительно скоростей, то, согласно формуле (6.37), будем иметь

•^■(Т + П) = —(т 十1)兄(6.58)

Заметим, что для линейных сил сопротивлений 加=1 и правая часть этих равенств будет равна — 2F (именно

Вывод можно найти в любом достаточно полном курсе тео- рртической механики (см., например, [12]).

для этого случая формула (6.57) приводится в курсах теоретической механики).

Вторая теорема Томсова — Тета — Четаева. Если изолированное положение равновесия системы устойчиво при одних потенциальных силах, то при добавлении произвольных гироскопических и диссипативных сил устойчивость равновесия сохранится.

Доказательство. Воспользуемся формулой (6.57). Так как мощность ^ диссипативных сил не положительна, то будем иметь ,

条(7 + H)46

Учтем теперь, что в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия П имеет минимум (см. замечания в конце § 3.2). Поэтому функция Т + П будет определенно-положительной относительно совокупности координат 0к и скоростей (\,・ (см. доказательство теоремы Лагранжа § 3.1). Доказательство теоремы следует теперь из теоремы Ляпунова об устойчивости движения (§ 2.2).

Третья теорема Томсона ——Тета ——Четаева. Если изолированное положение равновесия системы устойчиво при одних потенциальных силах, то оно становится асимптотически устойчивым при добавлении произвольных гироскопических сил и сил сопротивления с полной диссипацией.

Доказательство. Функция 卩(д, <) = Т + И определенно-положительна относительно совокупности координат g礼 и скоростей( k (см. теорему 2). Ее полная производная по времени в силу уравнений возмущенного движения определяется равенством (6.57)

dV 皿k=-N(g,g).

На многообразии К (q #= 0, ^ = 0) производная Г равна нулю, а вне этого множества она отрицательна (по условию теоремы диссипация полная — см. равенство (6.39)). Покажем, что многообразие К не содержит целых траекторий системы (6.56). Действительно, при ^ = 0 кинетическая энергия Т, силы сопротивления 力(q, б) и гироскопические силы Г (д, О обращаются в нуль (см. равенства (6.41) и (6.38)). Следовательно, при @ = 6 и g #= 0 уравнения (6.56) принимают вид

(誤"爲 。=。("=1,…,s),

что невозможно при изолированном положении равновесия потенциальной системы 丄).Доказательство теоремы следует теперь из теоремы Н. Н. Красовского об асимптотической устойчивости (§ 2.3).

В начале этого параграфа было показано, что в некоторых случаях неустойчивую потенциальную систему можно стабилизировать гироскопическими силами. При доказательстве мы не учитывали диссипативные силы. Рассмотрим сейчас, какое значение имеют эти силы для гироскопической стабилизации.

Четвертая теорема Томсона ——Тета ——Четаева. Если в окрестности изолированного неустойчивого положения равновесия консервативной системы потенциальная энергия может принимать отрицательные значения, то при добавлении сил сопротивления с полной диссипацией и произвольных гироскопических сил равновесие останется неустойчивым.

Доказательство. Запишем равенство (6.57) в следующей форме:

今=一m %=一(T + U).

Рассмотрим прежнее многообразие К (д * 0, q = 0). На нем 広1 = 0, а вне его 1\〉0 (диссипация полная и, следовательно, TV V 0 при，=# 0). По условию теоремы в окрестности нуля существуют точки, в которых П < 0. В этих точках при 4=0 функция 匕 принимает положительные значения. Кроме того, многообразие К не содержит целых траекторий системы (6.56) (по тем же соображениям, что и в предшествующей теореме). Доказательство теоремы следует теперь из теоремы Н. Н. Красовского о неустойчивости движения 2).

В положении равновесия q = 0 потенциальной системы должны выполняться равенства (3.2)

— оI,..., s) *

Если частные производные равны нулю в окрестности положения равновесия при q * 0, то равновесие ие изолировано.

Все теоремы этого параграфа были сформулированы Томсоном и Тетом в 1879 г. [58]. Строгое доказательство этих теорем для нелинейных систем в некритических случаях принадлежит Н. Г. Че- таеву [49]. Возможность распространить эти теоремы на нелинейные системы общего вида была доказана в шестидесятых годах нашего столетия различными авторами.

Из доказанной теоремы следует, что если неустойчивую потенциальную систему стабилизировать гироскопическими силами (см. начало параграфа), то даже малые силы сопротивления с полной диссипацией (практически они всегда существуют) разрушат с течением временя достигнутую устойчивость. Поэтому устойчивость, существующую при одних потенциальных силах, Томсон и Тет назвали вековой, а устойчивость, полученную с помощьк> гироскопических сйл,——временной.

В примере 3 следующего параграфа будет показано, что если кроме дйссипативных сил имеются ускоряющие силы, то гироскопическая стабилизация неустойчивой потенциальной системы может быть осугЦествлена.

Остановимся еще на физической интерпретации равенств (6.57) и (6.58). Выражение Т + И представляет полную механическую (электромеханическую) энергию. При полной диссипации мощность N V 0, а функция Ре- лея 耳〉0. Поэтому

与(7 + Н)C。・

Отсюда следует, что с течением времени йолная энергия Т + JI убывает, рассеивается (разумеется, не исчезает, а переходит в другйе виды энергии, например в тепловую). Мощность N и функцию Релея F на основании формул (6.57) и (6.58) можно рассматривать как меру рассеивания полной энергии 7 + П. Этим и объясняется причина, по которой силы полонштельного сопротивления называют диссипативными силами, а соответствующую функцию Релея F — диссипативной функцией (лат. dis- sipare — рассеивать).

§ 6.6. Примеры на применению тестем

Томёона — Teta — Четаева

пример 1. Устойчивость волчка. Определяя пило- жение оеи z волчка углами аир (см. пример 3 § 2.6 и рис. 2.15), мы bhrh班,что обё координаты при невращающемся волчке неустойчивы (так иак центр тяжести С находится выше точки опоры (рис. 6.1, «)). Таким образом, волчок имеет четное число неустойчивых координат й необходимое условие, налагаемое первой теоремой Томсона и Тета, выыолнено. Дифференциальные уравнения первого приближения возмущенного движения волчка в переменных аир тали получены в примере 4 § 4.5 (см. (4.49)):

厶及+厶而-Pla = 0,人B 一 九拄& /p = 0. (6，59)

Эти уравнения можно рассматривать как результат наложения на неустойчивую потенциальную систему

/ха — Pla — О, J』一PZp — О

гироскопических сил

Jzn^ и ——」z沱& соответственно.Jzn^ и ——」z沱& соответственно.Уравнения (5.59) совпадают с уравнениями (6.52), если положить

Jzn^ и ——」z沱& соответственно.

Jzn^ и ——」z沱& соответственно.

Условие гироскопической стабилизации (6.54) принимает в данном примере вид

J加厶>2联砧

ИЛИ

J# > 4P"Н.

Это условие было получено в примере 3 § 2.6 в нелинейной постановке задачи (см. соотношение (2.33)).

Если центр тяжести С будет ниже точки подвеса (гироскопический маятник) (см. рис. 6.1, 6), то обе координаты аир будут устойчивы. Согласно второй теореме Томсона и Тета, в этом случае устойчивость будет достигаться при любой угловой скорости п. На основании четвертой теоремы Томсона — Тета -- Четаева устойчивость волчка временная, а устойчивость гиромаятника вековая.

Пример 2. У стойчивость системы инерциальной навигации. При использовании систем инерциальной навигации для определения координат движущегося объекта (подводной лодки, самолета, космического корабля и т. п.) измеряют обычно его линейное ускорение и угловую скорость относительно инерциальной системы отсчета. Для этой цели могут быть использованы различные устройства, в частности платформа с тремя

абсолютной угловой называются также в невозмущенномабсолютной угловой называются также в невозмущенномгироскопами (они измеряют составляющие скорости) и тремя акселерометрами мх)附，冷z (они -ньютонометрами) (рис. 6.2). Предположим, что движении точка О платформы перемещается с постоянной скоростью по параллели Земли, принимаемой за правильный шар, причем оси а, у, z, жестко связанные с платформой, ориентированы географи

абсолютной угловой называются также в невозмущенном

абсолютной угловой называются также в невозмущенном

чески (ось лг направлена на восток ось у — на север, а ось z — вер- тикально вверх). В работа [3] по- лучены следующие дифференциальные уравнения возмущенного движения точки О в предположении, что ориентация платформы не нарушается:

2_2叫喫+ 2%用+

&庐 2 dt У dt

十鳍一崎一W)也=0,

Рис. 6.2Рис. 6.2+ 2%+ 觴-硝 М + %吗& = °-(6・60)

Рис. 6.2

Рис. 6.2

零-2%咎 + %%6У 一 (2畸十時)8 = 0.

В этих уравнениях 忆,у, z ——координаты точки О в невозмущенном движении в* системе О】/%/ (^ — центр Земли, оси 0/七 。1力， 。1勺 параллельны осям Ox, Оу, Oz), 6斤,бу, 3z ——отклонения соответствующих координат в возмущенном движении,①力 ①？ 一 проекции абсолютной угловой скорости платформы на оси у и z (при рассматриваемом движении (o# = U), аю =卩/г3, где 卩 ——гравитационная постоянная Земли, г ——расстояние от центра Земли до точки О в невозмущенном движении.

Для удобства изменим масштаб вр^МВнн, положив

Т = COqZ,(6.61)

и введем безразмерные положительные параметры

Тогда уравнения возмущенного движения (6.60) примут вид

4：i 一 2 Pp 决2 + 2 Ja% +(1 — a 一 6)外= 0,

/ + 2/B % + (1 - P) & + h0Ф 厘3 -0，(6/3)

3 - 2 y a 比 + / сер 忆2 — (2 + a)心 ~。.

Здесь 勺—6/ 斤2 = бу, 窃 ~ 恒 точками обозначены производ ные п

Исследование устойчивости движения 化仁=0 упрощается, если применить теоремы Томсона — Тета — Четаева.

Матрица коэффициентов сил, линеййо зависящих от 步甘 х25 х3,

И - « - ₽ Т оИ - « - ₽ Т о0 上II1 Р /«FV^" —(2 + а)|0 上II1 Р /«FV^" —(2 + а)|(б.%)(б.%)

И - « - ₽ Т о

И - « - ₽ Т о

0 上II

1 Р /«F

V^" —(2 + а)|

0 上II

1 Р /«F

V^" —(2 + а)|

(б.%)

(б.%)

симметрична. Поэтому уравнения (6.63) можно рассйатрйййть как результат наложения на потенциалЬйую систему

3 十(1 一 а — В)斤1 = °，

% 十(1 — 6) &卜/°фд = °，(6.65)

正з 十 Ра₽^2 — (2 + а)『з = О

гироскопических сил

-2 /р ,f2 -|- 2 /а .*3> 2/^, -2 /а^

соответственно.соответственно.Координата хх нормальная (первое уравнение (6.65) не связаноКоордината хх нормальная (первое уравнение (6.65) не связано戶戶а-纱，2=/7а-纱，2=/7Рис. '6.3Рис. '6.3с Н»寸м打 другими). Эта коорДи-с Н»寸м打 другими). Эта коорДи-(6.65) ч(6.65) чHi加Hi加составим матрицусоставим матрицуната устойчива, если а+ В< 1, и неустойчива при а+ Р>1.ната устойчива, если а+ В< 1, и неустойчива при а+ Р>1.(6.66)(6.66)(6.67)(6.67)На плоскости а, Д область устойчивости координаты хг находится в первом квадранте (а〉О, В > 0) ниже прямой а + В = 1; область неустойчив вости выше этой прямом (рис. 6*3).Перейдем к рассмотрению последних двух уравнений коэффициентов потенциальных сил:На плоскости а, Д область устойчивости координаты хг находится в первом квадранте (а〉О, В > 0) ниже прямой а + В = 1; область неустойчив вости выше этой прямом (рис. 6*3).Перейдем к рассмотрению последних двух уравнений коэффициентов потенциальных сил:

соответственно.

соответственно.

Координата хх нормальная (первое уравнение (6.65) не связано

Координата хх нормальная (первое уравнение (6.65) не связано

戶

戶

а-纱，2=/7

а-纱，2=/7

Рис. '6.3

Рис. '6.3

с Н»寸м打 другими). Эта коорДи-

с Н»寸м打 другими). Эта коорДи-

(6.65) ч

(6.65) ч

Hi

加

Hi

加

составим матрицу

составим матрицу

ната устойчива, если а+ В< 1, и неустойчива при а+ Р>1.

ната устойчива, если а+ В< 1, и неустойчива при а+ Р>1.

(6.66)

(6.66)

(6.67)

(6.67)

На плоскости а, Д область устойчивости координаты хг находится в первом квадранте (а〉О, В > 0) ниже прямой а + В = 1; область неустойчив вости выше этой прямом (рис. 6*3).

Перейдем к рассмотрению последних двух уравнений коэффициентов потенциальных сил:

На плоскости а, Д область устойчивости координаты хг находится в первом квадранте (а〉О, В > 0) ниже прямой а + В = 1; область неустойчив вости выше этой прямом (рис. 6*3).

Перейдем к рассмотрению последних двух уравнений коэффициентов потенциальных сил:

л g

II VаР一 (2 + ос)

Найдем главные диагональные миноры:

；=4 一 М А* - -а + 2Р - 2.(6.68)

Ниже прямой —а 十 20 — 2 = 0 определитель А* < 0, потому среди координат в? и т3 одна устойчийа и одна неустойчива; выше этой прямой А?〉0 л, следовательно, ©бе координаты неустойчивы (тйк как йрй этом А； < 0) (рйс. 6.3).

Из сказанного следует.

В области I (рис. 6.3) координата а：］ устойчива, а среди коордйнат 胃2 и『3 одна устойчива й одна неустойчива, т. е. в этом области имеется всего одна неустойчивая координата.

В области II две координаты неустойчивы (^ и одна йз g и д).

В области III все три координаты неустойчивы.

На основании первой теоремы Томсона и Тета гироскопическая Стабилизация в областях 7 и III невозможна. Выясним, можно ли осуществить гироскопическую стабилизацию в области II. Для этого составим характеристическое уравнение системы (6.63):

V + (1 - а- ₽)— 2/рА,2 丿&九 I

(6.69)урав- (6.70)(6.71)(6.69)урав- (6.70)(6.71)Д =2/佻 m + (1 — 5) /就 卜。■

(6.69)

урав- (6.70)

(6.71)

(6.69)

урав- (6.70)

(6.71)

一 2 /強 1Л5р М - (2 + а)

Раскрывая определитель и группируя члены, приведем это нение к виду

а*' + а乱2 + а3 — О, где

а1 = 2 (а + Р),做=(а + 阱一3 (1 — а + 20), ^з (1 — а — 3)(—а + 2р — 2).

Так как характеристическое уравневие (6.70) содержит X только в четных степенях, то для устойчивости движения необходимо и достаточно, чтобы все корни этого уравнения были чисто мнимыми. Это означает, что корни относительно X должны быть отрицательны и вещественны. Этим условиям можно удовлетворить, если подчинить коэффициенты 仇 критерию Гурвица (4.30)

0上 > 0, a2 > °, a3 > °,A2 =a1。2 一。0。3 >。(6.72)

и условию вещественности корней кубического относительно %2 уравнения (6.70). Для этого с помощью подстановки v =入？——-^― преобразуем уравнение (6.70) к виду

屮3 + р* + g = 0

и потребуем, чтобы выполнялось неравенство 工) (f)+(f)2<°-

Выражая с пометою указанной подстановки 戸 и g через коэффициенты а1т。2 近 @3，преобразуем последнее неравенство к вяду

Q = @； (4а& —吟 + 27 а； + 2@工。3 (2а； — 9а2) < 0. (6.73)

Выразим с помощью формул (6.71) условия (6.72) и (6.73) через параметры а и В и выделим в области II ту ее часть, в которой осуществляется гироскопическая стабилизация. Для этого напомним прежде всего, что параметры аир положительны и, следовательно, неравенство @i S 0 выполняется автоматически. Кроме того, в области II коэффициент а3 > 0, а на прямых 7 и 2

(рис. 6.3 и 6.4)铀=0.(рис. 6.3 и 6.4)铀=0.Построим отрезки кривых做 3, В) = О,

(рис. 6.3 и 6.4)铀=0.

(рис. 6.3 и 6.4)铀=0.

А2 3 Р)=。，Q (а, В) О,

находящиеся в области /7 (вне этой области стабилизация невозможна). При построении полезно отметить, что все эти кривые пересекают прямые 7 и 2 в одних и тех же точках А (8/9, 1/9) и

3 (4/3, 5/3). Действительно, на этих прямых а3 = 0 и функции Д2 и 0 обращаются в нуль одновременно с 做(при а3 — 0 имеем Д2 = =Q№, Q = 4а； — а；©. Легко установить, что левее кривых 。2 = 0 м Д2 = 0 функции а2 и Д2 отрицательны, а правее — положительны. Кроме того, Q > 0 левее кривой Q = 0 и Q < 0 правее этой кривой. Таким образом, в области II правее кривой Q = 0 одновременно выполняются все неравенства (6.72) и (6.73) и, следовательно, в этой области осуществляется гироскопическая стабилизация (кривые а2 = 0 и Д2 = 0 пересекают область II только по линиям, изображенным на рис. 6.4; часть кривой Q = 0, кроме той, что показана на рисунке, находится в области 77, но она расположена левее кривых а2 = и Д2 = 0, где a2VoM А2 < 0).

Пример 3. Гироскопический однорельсовый вагон. В первой четверти XX столетия появились опытные образцы однорельсового вагона и двухколесного автомобиля, центр тяжести которых был выше рельса (дороги) (рис. 6.5). Вертикальное положение самого вагона (автомобиля) неустойчиво, и для стабилизации использовался гироскоп Г.

Прежде чем установить количественные соотношения, которым должны удовлетворять параметры системы для того, чтобы обеспечить стабилизацию вертикального положения вагона, рассмотрим вопрос с качественной стороны. Центр тяжести G вагона находится выше рельса, поэтому угол 屮，определяющий отклонение вагона от вертикали, является неустойчивой координатой. По первой теореме Томсона — Тета — Четаева гироскопическую стабилизацию можно осуществить только при четном числе неустойчивых koqf-

динат. Из этого следует, что вторая координата системы 8 (угол поворота кольца К, в котором установлен гироскоп) должна быть тоже неустойчивой. Для этой цели к верхней части кольца прикрепляют грузик L. Таким образом, система имеет две неустойчивые координаты 屮 и 3 и гироскопическая стабилизация в принципе может быть осуществлена.

Рис. 6.5Рис. 6.5Учтем теперь силы сопротивления, возникающие при колебаниях вагона и кольца с гироскопом (эти силы возникают за Счет сопротивления среды и трения в опорах). Согласно четвертой теореме Томсона — Тета — Четаева, эти силы разрушат гироскопическую стабилизацию (так как без гироскопа система неустойчива). Поэтому для стабилизации необходимо ввести силы другой природы. С этой целью на оси N — N вращения кольца К устанавливалось специальное электромагнитное устройство (на рисунке оно не показано), которое создавало ускоряющий момент к^ч действующий в сторону вращения кольца и пропорциональный угловой скорости вращения его (в теории колебаний такие моменты и силы называются отрицательным трением).

Рис. 6.5

Рис. 6.5

Установив с помощью теорем Томсона и Тета характер сил, которые должны обеспечить устойчивость однорельсового гироскопического вагона, перейдем к количественному анализу. Для

этого воспользуемся дифференциальными уравнениями возмущенного движения системы (эти уравнения без труда составит читатель, воспользовавшись уравнениями Лагранжа II рода или уравнениями моментов (см. также [42])):

4% + М — нЬ-仆少=▼,. 7公

л2й — М + яф — с2д = в,'

где

А1 = J + (М+ М^ + 4 + Со,

幺2 = 4о + 4, G = Р・с, 勺=р •瓦

Здесь Aq и 以一моменты инерции кольца, Мо — его масса, А — экваториальный момент инерции гироскопа, М — его масса, J — момент инерции вагона относительно оси рельса, Р — вес вагона, р ——вес добавочного грузика L, Н ——кинетический момент гироскопа^ & — коэффициент сил сопротивления, действующих на вагон, к2——крутизна характеристики устройства, создающего ускоряющую силу Аг?®； значения постоянных а, д и с видны из рис. 6.5 (G —— центр тяжести всей системы, исключая грузик £), У и 8 — нелинейные члены.

Уравнения (6.74) можно рассматривать как результат наложения на неустойчивую потенциальную систему

А® — e^ = 0, 48 -e2"=О

гироскопических сил ——нВ и Н&, диссипативной силы 儿10，ускоряющей силы ——А:?®” нелинейных сил 4F и 0 соответственно.

Составим характеристическое уравнение

I 4九2 + 自入 一 4一 hК I

I hа4戸一员A —J I =。

или, раскрывая определитель и группируя члены,

a0九4 十 a1九3 + a^2 + a3九 + 图=0,(6.76)

где

。0 — A1A2i a】=&4 — к 招 A\,

a2 =印一3a - ci^2 -к1"2,(6.77)

a3 ' k?C],—论1e2， a4 —C1С2.

Воспользуемся критерием Гурвица (4.32) для системы четвертого порядка (а。> 0):

«1 >0,出 > °，。3 > °,。《> °,

В нашем случае условия а0 > 0 и а《〉0 выполняются автоматически, а условие а2У> 0 следует из неравенства Д3 > 0.

Подчиняя с помощью формул (6.77) параметры системы оставшимся условиям (а】>0, 。3 > 0, Аз > D)，легко найдем

С2 ,,,

(6.78)(6.78)/>С4十Q/ +后色+他q - 〃闯(自4一自4)

(6.78)

(6.78)

Первое условие устанавливает пределы для крутизны к2 ха・ рактеристики устройства, создающего ускоряющий момент, второе условие определяет нцжнюю границу кинетического момента Н. Так как при выполнении условий (6.78) все корни характеристического уравнения будут иметь отрицательные вещественные части, то на основании первой теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению однорельсовый вагон асимптотически устойчив независимо от членов высшего порядка Y и 6.

Из формул (6.77) видно, что при & < 0 (вместо ускоряющего момента имеется обычная сила сопротивления) коэффициент а3 будет отрицателен и система в соответствии с четвертой теоремой Томсона — Тета — Четаева сделается неустойчивой ).-

§ 6.7. Устойчивость равновесия под действием одних гироскопических и диссипативных сил. Пример

До сих пор рассматривались системы, в которых Диссипативные и гироскопические силы действовали вместе с потенциальными силами. Между тем в приложениях встречаются системы, в которых диссипативные и гироскопические силы действуют без потенциальных сил. Изучению устойчивости таких систем посвящен этот параграф.

Одни гироскопические силы. Рассмотрим вначале случай, когда на систему действуют только гироскопические силы, считая, что уравнения возмущенного движения приведены к форме

云 + G2 = 0. (6.79)

Теорема 1. Равновесие системы, на которую действуют одни гироскопические силы, всегда устойчиво относительно скоростей [38].

Доказательство. Умножим справа обе части уравнения (6.79) на матрицу 倉.Тогда, учитывая, что для кососимметричной матрицы G имеет место равенство Gz*k =0 (см. формулу (5.25)), получим •

君，杀=0 или, интегрируя,

~2~ 彰•倉=~2~ (2； + 幺；+ * • • + ^s)=九， (6.8)) где h ——постоянная интегрирования.

Функция V = -^-彰•彥 удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения (она определенно-положительна и ее полная производная по времени в силу уравнений возмущенного движения тождественно равна нулю (см. § 2.2)), что доказывает теорему.

Примечание. Теорема доказана для линейной автономной системы, но она справедлива й для линейиой неавтономной системы, когда гироскопическая матрица G зависит явно от времени (равенство G^*^ =0, на котором базируется доказательство теоремы, справедливо для любой кососимметричной матрицы, зависящей 好вным образом от времени), а также для нелинейной системы (см. статью В. В. Румянцева [45]).

Устойчивость равновесия определяется, конечно, не только устойчивостью в скоростях, но и устойчивостью

в координатах. Следующая теорема устанавливает необходимые и достаточные условия устойчивости системы (6.51) относительно совокупности координат и скоростей.

Теорема 2. Для того чтобы равновесие линейной автономной системы^ находящейся под действием одних гироскопических сил, было устойчивым относительно координат^ необходимо 〃 достаточно, чтобы определитель матрицы гироскопических сил не равнялся нулю [38].

Доказательство. Докажем вначале, что если det G=# О, то невозмущенное движение е = 0,倉=0 устойчиво относительно координат £ (устойчивость относительно скоростей доказана предыдущей теоремой при любом значении det G). Проинтегрируем уравнение (6.79) один раз по времени

"Ge = ”(6.81)

где D — постоянная интегрирования матрица-столбец определена равенством

D = ^о 4- G宕о*(6.82)

Перейдем к новой переменной матрице у по формуле

之=2/十 G^jD(6.83)

(так как по условию матрица G неособенная, то обратная матрица G-1 существует). После подстановки в уравнение (6.81) получим

方+ G" + GG ^D = Л

или, учитывая тождество GG~lD = ED = D^

方十 G“ = 0.(6.84)

Согласно теореме 1 этого параграфа, движение устойчиво относительно скоростей 力.Из совпадения форм уравнений (6.79) и (6.84) следует, что движение устойчиво относительно у. На основании равенств (6.82) и (6.83) заключаем, что движение устойчиво относительно координат е (при достаточно малых по модулю е° м 2。элементы' матрицы D будут также малы).

Докажем теперь необходимость условия теоремы. Для этого достаточно показать, что при det G = 0 система неустойчива. Составим характеристическое уравнение

для дифференциального уравнения (6.79):

2 giMgi$入

A = det (E入2 + G»=什.(6.85)

Вынесем из каждой строки общий множитель X:

入 W12 gl8

gsl g§2 •…儿

и разложим полученный определитель по степеням X:

А = U (九$十.…・十％) = 0.

Очевидно, что

U gl2 •…gls

czsdet G.

4・i gq…°

Из условия det G = 0 и последних двух равенств следует, что уравнение (6.85) имеет не менее s 十 1 нулевых корней.

Перейдем теперь к исследованию элементарных делителей характеристической матрицы (см. § 5.3)

II入* gi乱…g"

g2m炉…g? J

Обозначим через D^ общие наибольшие делители всех миноров Л-го порядка. Очевидно, что Dr = X, D2 делится на 九2, £>з делится на X3 и т.д. (так как все элементы этой матрицы имеют общий множитель Z). Поэтому все инвариантные множители

厶

Ек —■方—■(4 = 1,2,..., s; Dq— 1)

делятся на 九,т. е. каждый инвариантный множитель Е£九)имеет по крайней мере один нулевой корень.

Воспользуемся формулой (5.28):

X det F (X) = Е］仇)£3 (X) . • . . Е§ (九)，

Так как число нулевых корней левой части не менее s + 1, а в правой части имеется s инвариантных множителей Е卜(X), то хотя бы один из них содержит нулевой корень кратности больше первой. Это доказывает неустойчивость системы (см. § 5.4 с. 146).

Следствие. Если на систему действуют только гироскопические силы 〃 она имеет нечетное число координат^ то равновесие такой системы всегда неустойчиво (если s — нечетное число, то det G тождественно равен нулю (см. § 5.2, с. 129)).

Примечание 1. Так как невозмущенное движение устойчиво относительно скоростей при любом значении det G, то из доказательства неустойчивости системы следует, что при det G = 0 система теряет устойчивость только в координатах.

Примечание 2. Если det G * 0, то характеристический определитель системы имеет ровно s нулевых корней. Из устойчивости системы следует, что эти корни простые для элементарных делителей.

Примечание 3. Уравнение (6.79) во многих случаях представляет уравнение первого приближения нелинейной систему на которую действуют только гироскопические силы. Конечно^ из устойчивости движения при det G =/= О, определяемого уравнением первого приближения^ не следует устойчивость исходной нелинейной системы.

Гироскопические и диссипативные силы. Прежде чем перейти к исследованию влияния диссипативных сил, приведем один результат теории определителей, который понадобится нам и в других разделах (доказательство будет приведено в конце параграфа).

Пусть даны две квадратные матрицы одного порядка s: одна матрица Во — знакоопределенная диагональная и вторая G ——кососимметричная. Составим определитель А матрицы Bq + G:

А — det [Bq + G).

Тогда справедливы следующие утверждения.

Матрица BQ + G неособенная, т. е.

Л = det (BQ + G)，0. (6.86)

Если матрица 50 определенно-положительна, то

А = det (В0 + G) > 0. (6.87)

Если матрица 50 определенно-отрицательна, то

при s четном Д = det (50 + G) > 0,(6.88)

при £ нечетном А = det (Бо + G) V 0.(6.89)

Рассмотрим теперь влияние диссипативных сил.

Теорема 3. Если помимо гироскопических сил действуют силы полной диссипации, то равновесие системы асимптотически устойчиво относительно скоростей и просто ус- тойчиео относительно координат (381.

Доказательство. Приведем уравнения возмущенного движения к виду (6.46), учтя, что по условию теоремы имеются только гироскопические и диссипативные силы,

W +50i + G^ = 0*(6.90)

В этом уравнении G — кососимметричная, а 50 — определенно-положительная диагональная матрицы (так как диссипация является полной). Умножим обе части этого уравнения на матрицу》：

弟•专十Во^ •杀+ G^*^ — 0

или, преобразуя первое слагаемое и принимая во внимание, что для кососимметричной матрицы G3•亲=0, будем иметь

В развернутой форме это равенство имеет вид

，-^- (^1 + * • • + ^s) =「一(历2； + * • • + &£；)•

Функция V = 3 W •力=；Q； + • 一 + is) удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпуйова об асимптотической устойчивости ——она определенно-положительна относительно скоростей 必卜 и ее полная производная по времени в силу уравнения возмущенного движения (6.90) является определенно-отрицательной функцией тех же величин 瓦 (по условию теоремы диссипация полная и, следовательно, все bk > 0). Таким образом, движение асимптотически устойчиво относительно скоростей 2k

Перейдем к доказательству второй части теоремы. Проинтегрируем уравнение (6.90) один раз по времени:

电 + (当 + G)e = “(6.91)

где постоянная матрица D определена равенством

刀Н码 + 仍0 + G)窖О.(6.92)

Согласно равенству (6.86) матрица 5。十 G неособенная, вследствие чего существует обратная матрица (50 + G)"1. Введем новую переменную матрицу ”，определив ее равенством

е Н и十(巧 + G尸刀.(6.93)

После подстановки в уравнение (6.91) получим

步十(5。十 G) у + (5。+ G尸(％ + G) Л

или, учитывая, что (当 + G尸(5。+ G) -D = Z>,

方 + (/ + G)沙=0.(6.94)

Согласно первой части теоремы, движение асимптотически устойчиво относительно скоростей 彰.Из совпадения форм уравнений (6.90) и (6.94) следует, что движение асимптотически устойчиво относительно ”. На основании равенств (6.93) и (6.92) заключаем, что движение устойчиво (но не асимптотически) относительно координат w.

Примечание. Теорема остается справедливой и в нелинейной постановке задачи [36, 38].

Пример. Исследование устойчивости дви- жени я электрона в постоянном магнитном поле. Если тн ——масса электрона, е ——его заряд, Н ——напряженность магнитного поля, с ——электродинамическая постоянная, равная скорости света (с = 3 ЛО10 см/сек), то уравнение движения электрона при Н = const будет

dv е

X ^),(6.95)

где г ——вектор скорости электрона [48].

Запишем это уравнение через проекции на оси неподвижной системы координат:

Отсюда найдем

тх~ — Hzy + — H,tz = 0,”

"缜 \^Hzi-且、2 — 0,(6.96)

唸-/ Hyi 十子 Hxy= о.

В этих уравнениях матрица сил, линейно зависящих от скоростей 毋,у, 3 кососимметричная. Следовательно, эти силы гироскопические. Так как другие силы отсутствуют, то на основании теоремы 1 этого параграфа заключаем, что невозмущенное движение электрона устойчиво относительно скоростей ^, у, й, а на основании следствия теоремы 2 оно неустойчиво относительно совокупности всех координат а, у, z (так как число координат равно трем).

Если ось 2 направить параллельно вектору //, то Нх = О, Ну = 0,小=Н н уравнения (6.96) примут вид

— g_ff» =。，

ту + ~ Н±=0,

wz=0.

Рассмотрим первые два уравнения отдельно (они не зависят от третьего уравнения). Определитель матрицы гирос!；опических коэффициентов для этих уравнений

отличен от нуля, поэтому, согласно теореме 2, движение электрона устойчиво относительно координат £ м у. Что же касается координаты z, то из третьего уравнения имеем z = 2# Т~ 幺修 откуда сразу видна неустойчивость по этой координате.

В заключение этого параграфа докажем соотношения (6.86)一(6.89)・

Введем вспомогательный параметр р, и составим определитель 卩瓦gl2 •■ • 况6

А(2)= det (卩瓦 + G) = g" "&2 …g2s .(6.97)

?si gsz…叫

Очевидно, что искомый определитель А получается из Д (卩)при ц = 1:

А = А (1).(6.98)

Вычислим Д (―卩)=det (—цВ0 + G). Поменяем в этом определителе строки на столбцы и наоборот (определитель от этого не изменится). Эта операция равносильна замене матриц 8。и G на транспонированные:

А (―卩)=det (—卩8о 十 G)det (—pB* + G').

Учтем теперь, что матрица Во диагональная, a G кососимметричная. Поэтому

8；=瓦,G = —G'・

Внося эти выражения в А (—卩),получим

一m瓦...一 g]6

A （一卩）=det （-卩瓦—G）二

一金1 …一叫

Вынесем из каждой строки обпщй множитель —1:

или, принимая во внимание равенство (6.97), получим

А (—卩)=(—1)*3).(6.99)

Отсюда следует, что при s четном А (卩)содержит 卩 только в четных степенях, а при s нечетной ——в нечетных степенях, т. е.

а (卩)=a0百 + ^S~^ + • • - + 练一一卢十 as(s = 2田，

A 3)=卩(a02"1 + a^s~3 +... + %_3户 + 4Т)(s = 2北 + 1),

(6.100) где 0月 一 некоторые коэффициенты,

Пользуясь теперь равенством (6.98), ъолучпм

А =& (S = 2/с),

А = а0 + п2 + ... + %—з 十 &т (L二 2北 + 1).( *)

Рассмотрим теперь структуру коэффициентов а^. Параметр 卩 содержится в определителе (6.97) множителем элементов, стоящих на главной диагонали. Поэтому

a0 =瓦b2"』(6.102)

Перейдем к другим коэффициентам п2, 〃《и т. д. Возьмем для примера 做・ Этот коэффициент стоит в равенствах (6.100) множителем при 卩‘一工 Такой множитель может получиться в разложении определителя (6.97), если взять любые s ——2 элемента главной диагонали и умножить их на минор, который получается из матрицы G вычеркиванием всех строк и столбцов, пересекающихся на выбри&- ных элементах. Так, например, если мы возьмем элементы &15 匕纟，...,%—з，то соответствующий минор будет

а для элементов 63,...,厶

J,] U I丄4

Взяв всевозможные сочетания из s элементов главной диагонали no s — 2 элемента и умножин их на соответствующие миноры,

получим

Здесь сумма распространена на все сочетания индексов %, ...,а§_] из 彳,2, . . . , S, а 厶忆八…一仪―,—диагональные миноры Матрицы С, получающиеся из нее вычеркиванием строк и столбцов с индексами а» . . ., as_2. Эти миноры представляют собой кососимметричные определителе рторого порядка, и, следовательно, Ори не отрицательны. Для коэффициентов а4, ов и т. д. получим аналогичные суммы, в которых соответствующие мклоры будут иметь четвертый, шестой и т. д. порядок.

В общем случае будем иметь (п ——четное число)

%а ‘(6.103)

где

Да а(6.104)

(как кососимметричные определители четного порядка).

Пусть теперь все %, &а, . . ., fes положительны (Во — определенно-положительная матрица). Тогда, принимая во внимание (6.102)—(6,104), получим

а。> 0, %田 > 0 (礼=2, 4, •・.).

Пользуясь равенствами (6.101), найдем А > 0, что доказывает соотношение (6.87).

Рассмотрим теперь случай, когда все 匕斤 < 0 (Я0 ——определенно-отрицательная матрица) и s ——четное число. Тогда в равенстве (6Д03) число множителей b/f будет четное, произведение &а( • ■ . Ьа четьего числа отрицательных чисел 匕近 будет положительно и все а,一律》0 (п = 2, 4, . . ., £). Приннмая во внимание, что при чет?- 貝0M f коэффициент а& > 0, из первого равенства (6.101) найдем Д > 0. Это доказывает соотношение (6.88).

Перейдем теперь к последнему случаю, когда 瓦，..*, 6$ отрицательны и s — нечетное число. Из равенства (6.102) найдем а0 <； 0 (произведение нечетного числа отрицательных чисел), а из (6.103) и (6.104) получим as_n < 0 (п = 2, 4, . . ., s — 1). Из второго равенства (6.101) следует А <0, что доказывает соотношение (6.89).

Осталось доказать соотношение (6.86). Но оно следует из только что доказанных неравенств (6.87)—(6.89).

Влияние на устойчивость равновесия неконсервативных позиционных сил

а. Одн 耳 неконсервативные позиционные с и л bt. Рассмотрим сначала случай, когда движение внетемы происходит под действием одвдх неконсервативных сил.

Террема 1. Равновесие системы, находящейся под действием одних линейных неконсервативных позиционных

сил, всегда неустойчиво независимо от членов высшего порядка.

Доказательство. В условиях теоремы уравнения возмущенного движения можно привести к виду (6.45), где 5 — G — Со = 0:

龙 + /" = %.(6.105)

Здесь Р — кососимметричная матрица, Z — матрица-столбец, элементы которой содержат zv и 2t в степени выше первой, причем они обращаются в нуль, когда все z* и z^ равны нулю.

Рассмотрим характеристическое уравнение

Д 仇)=det (ЕМ + р) = °.(6.106)

Из устойчивости системы (6.79) относительно скоростей следует, что не равные нулю корни уравнения (6.85)

det (ЕМ + g九)=炉 det (Е% + G) = 0 будут чисто мнимыми числами. Это означает, что отличные от нуля корни уравнения

А 仇)-det (EX + G) = 0(6.107)

имеют вид X — 土 凉,где а — положительное вещественное число 1).

Уравнение (6.106) получается из уравнения (6.107) простой заменой 厶 на 厶2 (матрица Р, так же как и G, кососимметричная). Поэтому не равные нулю корни характеристического уравнения (6.106) относительно X2 имеют вид

X2 = 士 а».

Отсюда

Таким образом, среди корней характеристического уравнения (6.106) имеются корпи с положительной вещественной частью. Это доказывает теорему.

В этой теореме предполагалось, что неконсервативные позиционные силы линейны. Кроме того, не учитывались силы сопротивления, которые практически существуют почти во всех системах. Поэтому рассмотрим теперь случай произвольных неконсервативных позиционных сил, считая, что сила R (д) обращается в нуль при q = О и что эта точка равновесия изолирована, т. е.

В (0) = 0, JS (д) #= 0, если q у= 0.(6.108)

Кроме того, будем считать, что на систему действуют линейные диссипативные силы и возмущенное движение описывается уравнением (6.50).

Теорема 2. Равновесие системы, находящейся под действием произвольных неконсервативных позиционных сил и линейных диссипативных сил, всегда неустойчиво.

Доказательство. Уравнения возмущенного движения имеют вид (см. (6.50))

$(AQ)=R ⑺-В@.(6.109)

Здесь R (д)——произвольная неконсервативная позиционная сила, В ——постоянная неотрицательная, а Л (^)—— определенно-положительная матрица (см. § 5.2, б).

Рассмотрим функцию

V = Aq-q + ~^~Bq*q・(6.110)

Вычислим ее полную производную по времени

▽ = $(А»П+ AQ.Q + B&q (6.111)

Пользуясь уравнением возмущенного движения (6.109), найдем

V = H-q + Aq-q,или, принимая во внимание общее определение неконсер-вативных позиционных сил (6.15),户—Aq-q.

На множестве К (@ = 0,乡，0) производная 户=0, а вне этого множества 户 > 0. Кроме того, множество К не содержит целых траекторий, ибо на К уравнение (6.109) принимает вид

•К (G = о, а，。，

что невозможно в силу условия (6,108).

7 Д. Р. Меркин

Так как функция V, определенная равенством (6.110), может принимать положительные значения (например, при q = @), то доказательство теоремы 2 следует из теоремы Н. Н. Красовского о неустойчивости движения (см, § 2.4).

Примечание 1. Для доказательства не требуется полная диссипация, поэтому теорема остается справедливой и при отсутствии сил сопротивления.

Примечание 2. Теорема 1 в общем случае не является следствием теоремы 2, так как входящие в правую часть уравнения (6Л05) члены высшего порядка могут быть образованы другими существенно нелинейными силами.

Неконсервативные и потенциальные силы. Перейдем теперь к случаю, когда на систему действуют одновременно потенциальные и некои- сервативные позиционные силы. Ограничиваясь пока линейным случаем, возьмем уравнения возмущенного движения в форме (6.45):

W + С№ 十「总=0.(6.112)

Здесь С() —диагональная, а Р — кососимметричная матрицы. Составим характеристическое уравнение:

det (ЕМ + 以十 Р) = 0.

Так как 九 содержится в этом определителе только в квадратах, то в развернутой форме будем иметь

九2s 十 &MS-2 + . . . + 他s-2%2 4-做s - 0.(6.113)

В этом уравнении

& = G ++ /, 〃2s = det (& + 夕)，(6.114)

где g，•…，％ — элементы матрицы & (см. (6.47)).

Левая часть уравнения (6.113) не изменяется от замены 入 на ——X, поэтому для устойчивости необходимо, чтобы все корни этого уравнения относительно 厶 были чисто мнимыми числами, а относительно X2 ——вещественными отрицательными (в противном случае среди корней уравнения (6.113) будут корни с положительной вещественной частью).

На основании теоремы 1 этого параграфа система без потенциальных сил (при Со = 0) неустойчива. Поэтому можно ожидать, что добавление к устойчивой потенциальной системе неконсервативных сил может в некоторых случаях разрушить устойчивость. Покажем на примере,

тго неконсервативные позиционные силы могут не только разрушить устойчивость потенциальной системы, но и стабилизировать неустойчивую потенциальную систему. Для этого рассмотрим систему с двумя степенями свободы. Пусть уравнения возмущенного движения приведены к виду

х + сгх — ру = 0, у + С2У + рх = 0.(6.115)

Эти уравнения можно рассматривать как результат наложения на потенциальную систему

必 + с资=О, U + с叫=0(6.116)

неконсервативных сил ру и —рх с кососимметричной матрицей коэффициентов

Составим характеристическое уравнение системы (6.115)

俨2+* 一p I 0

или, раскрывая определитель,

М + (q + Q)厶2 + eg 十加=°.(6.117)

Система будет устойчива, если оба корня относительно 九2 будут вещественны и отрицательны. Для этого необходимо потребовать, чтобы коэффициенты и дискриминант уравнения (6.117) были положительны:

ci + e2 > 0, qe2 +02 >0，(G +e2产-4 ((;停2 + p2) > 0.

Преобразуя последнее неравенство, приведем условие устойчивости к виду

q + 方 > 0, с±с2 > —夕2, I q —方 I > 2 I р |. (6.118)

При р = 0, т. е. при отсутствии неконсервативных позиционных сил, эти условия дают с± >0, е2 > 0, что непосредственно следует и из уравнений (6.116). На плоскости параметров с】и с? область устойчивости потенциальной системы (6.116) заполняет весь первый квадрант (рис. 6.6,а). При р *0 область устойчивости показана на рис. 6.6, б. Границами этой области служат прямая •?(R + 方= 0), ветви гиперболы c±c2 = —р2 и прямые 2 и 3 & ——с? = ± 2р), касающиеся гипербол в их вершинах. Из рисунка видно, что значительная часть области

устойчивости потенциальной системы (6.116), занимающая весь первый квадрант (рис. 6,6, а), при добавлении неконсервативных позиционных сил переходит в область неустойчивости (коридор между заштрихованными областями рис. 6.6, 6). Одновременно видно, что небольшие части области устойчивости рассматриваемой системы (6.115) расположены во втором и четвертом квадрантах,

Рис. 6.6

где одна потенциальная система (6.116) неустойчива. Таким образом, неконсервативные позиционные силы могут разрушить устойчивость потенциальной системы, но в некоторых случаях они стабилизируют ее.

На рассмотренном примере (6.115) покажем, как могут влиять диссипативные силы на устойчивость движения системы с потенциальными и неконсервативными позиционными силами. Для этого присоединим к системе (6.115) силы —%企 и —А夕，где % и 匕2 положительны. Тогда получим

х + Ь^ + с.х -ру = 0,

У+ Ь2у + С2у +рх = 0.

Составим характеристическое уравнение:

I 乂 + 厶九 +— л

I p 入2 +02九+的I,

или, раскрывая определитель,

м + (仇 +，2)九з + (q + 3 + ь^ь^^(q，2 + &仇)九十

+ 6传2 + 戸=0.

Напишем для этого уравнения критерий Гурвица (4.32): Ъг + 员 > 0, Q + 色 + 仇出 >。，4^2'+ c2b1 > 0,

GQ + О? > 0, (6.120)

а3 =(% + ь2)(4 + 方 + byb^c^z + 3%)-

一&仇 + 方仇)2 一(% + b^C^2 + ?2) > 0.

Преобразуем последнее неравенство:

А3 =%，2 (仇十ь2)(0ь2 +e2%)+仇b2 (方一4)2 -

一(仇 + 厶)202 > 0. (6.121)

Покажем прежде всего, что диссипативные силы могут при некоторых условиях стабилизировать неустойчивую систему (6.115). Действительно, при ^工=с? = с > ° критерий Гурвица примет вид

仇十ь2 > 0, 2c + %ь2 >。，e (仇+b2)> 0,С2十02 > 0,а3 = (% + b2产(伉ь2c - p2) > 0.

Первые четыре условия выполняются автоматически (по предположению, с > 0, 九 >。，为 > 0), а последнее неравенство будет выполнено, если подчинить диссипативные силы условию

仇3 > 4 .(6.122)

Таким образом, неустойчивую систему, находящуюся под действием потенциальных и неконсервативных позиционных сил, можно стабилизировать диссипативными силами (при сг = с^ р ^= ^ ^. Ъг ^= Ъ2 ^ ^ система (6.115) неустойчива — см. рис. 6.6, 6).

Покажем теперь, что диссипативные силы могут разрушить устойчивость системы, находящейся под действием потенциальных и неконсервативных сил. Действительно, пусть выполнены условия (6.118). Тогда система (6.115) будет устойчива. Присоединим к этой системе диссипативные силы, положив 匕2 = 0, 11 b工=b > 0. Тогда условие (6.121)

Д3 = —b2P2 V о

принимает противоположный смысл, что свидетельствует о неустойчивости движения (см, примечание к условиям Гурвица (4.32)).

Из рассмотренного примера (6.115) с двумя степенями свободы видно, что при равенстве коэффициентов устойчивости с， и с? добавление любых неконсервативных позиционных сил ру и ——р/ разрушает устойчивость потенциальной системы. Покажем, что это свойство справед-

либо для системы с любым числом степеней свободы. Для этого рассмотрим устойчивую потенциальную систему с равными коэффициентами устойчивости

q:4*

Напомним, что для устойчивой потенциальной системы коэффициенты устойчивости равны квадратам частот собственных колебаний.

Теорема 3. Если 6 устойчивую потенциальную систему с равными собственными частотами вводятся линейные неконсервативные силы, то устойчивость будет разрушена вне зависимости от нелинейных членов [38].

Доказательство. Уравнение движения системы, на которую действуют линейные потенциальные и неконсервативные позиционные силы, возьмем в форме (6.45)

该+ Coz +夕宅—Z.

При равных коэффициентах устойчивости Со = сЕ, где Е — единичная матрица, и последнее уравнение примет вид

W + се + % = Z.

Составим характеристическое уравнение det [Е (V + с) + Р] = 0.

Это уравнение совпадает с уравнением (6.106), если в последнем заменить X2 на X2 + с. Поэтому не равные нулю корни последнего уравнения относительно X2 Ц- с будут

九2 + e = 土 我».

Отсюда

九二土 уУ亭+С. 土 ]/£?^i 工

Наличие корней с положительной вещественной частью служит доказательством теоремы.

Перейдем к рассмотрению устойчивости равновесия систем, находящихся под действием произвольных потенциальных и неконсервативных позиционных сил и линейных диссипативных сил с положительным сопротивлением, считая, что возмущенное движение определяется уравнением (6.50).

Теорема 4. Если в положении неустойчивого равновесия консервативной системы потенциальная энергия П (д) имеет

максимум, определенный наинизшими членами разложения ее 6 ряд по степеням q, то при добавлении произвольных неконсервативных позиционных сил и линейных диссипативных сил равновесие останется неустойчивым [38].

Док а зательство. Уравнение возмущенного движения (6.50) в сделанных предположениях имеет вид

备(4@) = — gfad П + ZJ (q)丄 Bq. (6.123)

Здесь R (g) — произвольная неконсервативная позиционная сила, В — постоянная неотрицательная, а 4(，)— определенно-положительная матрицы, П (д)——потенциальная энергия системы, имеющая при q = 0 максимум. Разложим потенциальную энергию в ряд по степеням q:

П (q) = Um ⑷ + •…(6.124)

где Um (g)——однородная форма степени т, а точки означают совокупность членов, содержащих координаты в степени выше т. Так как по условию теоремы максимум потенциальной энергии П (q) определяется наинизшими членами разложения ее по степеням д, то однородная форма Um (д) должна быть определенно-отрицательной функцией координат q, причем число т, конечно, четное. Возьмем следующую функцию V,

V^Aq-q +q・q,

и вычислим ее производную по времени в силу уравнения возмущенного движения (6.123). Тогда, учитывая равенство (6.15), получим

Г = Aq*q — q.grad П.

На основании теоремы Эйлера об однородных функциях и равенства (6.124) будем иметь

O-.grad II = J1, gR -^ =^ mllm (д) + ...

Следовательно,

户=Aq q - ?wпщ (0)+.一

Первое слагаемое в этом выражении представляет определенно-положительную функцию ; скоростей, а второе слагаемое — тПт (,) — определенно-положительную функцию координат. Поэтому в окрестности нуля ^ = 0,

q = 0 производная 户 функции V будет определенно-положительной функцией координат и скоростей. Так как сама функция V может принимать положительные значения (например, при q = @), то доказательство теоремы является прямым следствием теоремы Ляпунова о неустойчивости движения (см. § 2.4).

Заметим, что условие, по которому определяется максимум потенциальной энергии, можно ослабить.

Общий случай. Перейдем к рассмотрению случая, когда на систему действуют линейные потенциальные, диссипативные, ускоряющие, гироскопические, неконсервативные позиционные и нелинейные силы. Уравнения возмущенного движения возьмем вначале в форме (6.46)

i^ + B^ +G^ + C^ += Z. (6.125)

Составим характеристическое уравнение

Д = det (ЕМ + BqK + GK + с + Р) = 0 (6.126) или, более подробно,

九2 + 瓦% + C口 • « •盯5入 + c]$ + Pls

д0.

gs" + jl + %l " • ^2+ bs^ + css

Раскроем определитель и сгруппируем члены по степеням %:

А =入2s 十 а】入+ . . . . + a2s-也十仪2к ~ 0* (6.127) Очевидно, что

询=仇+•・•・+九=Sp月=Sp &,

我2s = det (C + p)=det J出」加)

где Br и C\ ——матрицы исходного непреобразованного уравнения (6.42).

Пользуясь этими равенствами, докажем теоремы, определяющие необходимые условия устойчивости движения.

Теорема 5. Если ускоряющие силы доминируют над диссипатиеными, то система будет неустойчива при любых других линейных и нелинейных силах.

Доказательств о. В соответствии с определением доминирования диссипативных и ускоряющих сил будем иметь (см. § 6.3, с. 167)

Sp ^0 — Sp В — Sp В* V 0.

На основании первого равенства (6.128) коэффициент 旬 характеристического уравнения (6.127) будет отрицателен. Из этого следует, что среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один, вещественная часть которого положительна. Это доказывает теорему.

Теорема 6. При отсутствии нелинейных членов (Z = 0) асимптотическую устойчивость нельзя осуществить без диссипативных сил.

Доказательство. При отсутствии диссипативных сил @1 = 0 и, следовательно, не выполнен критерий Гурвица, необходимый для асимптотической устойчивости линейной автономной системы.

Теорема 7. Если определитель | С\ | = | С + Р | отрицателен, то система неустойчива при любых гироско- пических^ диссипативных и ускоряющих силах и вне зависимости от нелинейных членов Z.

Доказательство. В условиях теоремы коэффициент 优2s характеристического уравнения (6.127) отрицателен (см. второе равенство (6.128)). Из этого следует, что хотя бы один корень уравнения (6.127) имеет положительную вещественную часть. Это доказывает теорему.

Следствие (см., первую теорему Томсона — Тета — Четаева § 6.5). Если неустойчивость изолированного положения равновесия потенциальной системы имеет нечетную степень, то стабилизировать равновесие нельзя никакими гироскопическими, диссипативными и ускоряющими силами.

Действительно, если система потенциальна, то Р = 0 и при изолированном равновесии и нечетной степени неустойчивости I Сх ] = I С I V 0 (см. § 6.4, с. 169).

Теорема 8. Если линейная система не содержит потенциальных сил, то:

при нечетном числе координат асимптотическую устойчивость нельзя осуществить никакими гироскопическими^ диссипативными 〃 ускоряющими силами}

при четном числе координат для осуществления асимптотической устойчивости необходимо^ помимо диссипативных сил, присоединить гироскопические силы [38].

Доказательство. Если отсутствуют потенциальные силы и число координат нечетное, то|С + Р|=|Р| 三 0 (как кососимметричный определитель нечетного порядка). В этом случае, согласно (6.128), свободный член a2s характеристического уравнения (6.127) равен нулю, что

служит признаком отсутствия асимптотической устойчивости (имеется нулевой корень).

Для доказательства второй части теоремы заметим, что присоединение диссипативных сил необходимо по теореме 6. Если же отсутствуют гироскопические силы, то система неустойчива (теорема 2).

Теорема 9. Если потенциальная энергия системы имеет максимум^ то:

при нечетном числе： координат и любых нелинейных членах систему нельзя стабилизировать никакими гироскопическими^ неконсервативно позиционными, ускоряющими и диссипативными силами;

при четном числе координат и при условиич что на систему действуют силы сопротивления с полной диссипацией, для стабилизации системы необходимо одновременно присоединить гироскопические и неконсервативно позиционные силы (вне зависимости от нелинейных членов) [38].

Доказательство. Рассмотрим уравнение возмущенного движения в форме (6.45). Составим для него характеристическое уравнение

А = det (Е九2 + 5九 + 欲 + 以 + Р) = 0.

Свободный член этого уравнения равен a2s — det (Со + Р)・

При максимуме потенциальной энергии все элементы с*, стоящие на главной диагонали матрицы Со, будут отрицательны. На основании соотношенця (6.89) определитель I С° + Р I при нечетном числе координат отрицателен при любой кососимметрической матрице Р, Следовательно, свободный член характеристического уравнения при нечетном числе координат отрицателен, и система на основании теоремы 7 неустойчива.

Рассмотрим теперь случай четного числа координат. Если отсутствуют неконсервативные позиционные силы, то система будет неустойчива на основании четвертой теоремы Томсона — Тета — Четаева § 6.5. Если же отсутствуют гироскопические силы, то неустойчивость системы следует из теоремы 4 этого параграфа. Таким образом, для стабилизации системы с четным числом координат необходимо присоединить одновременно гироскопические и неконсервативно позиционные силы. Теорема доказана полностью.

Проиллюстрируем доказанные теоремы сначала формальными примерами.

Пример 1. Система

力 + 瓦马 + gl為 + g2‘3 + Pl%2 + Р2%3 - Cl^l = Xi,32 十62声2 一 glA + g3*3 一 PA + P3Z3 -, "g = X2,£3十匕3讶3 一g2厶一g3*2 一 P2宓工一p3g 一 c3x3 = x3

при cfc > 0 неустойчива при любых g^, р% 匕卜〉0 и Х^ (так как потенциальная энергия П = —V2 (с/； + с^ + 办制)имеет в положении равновесия Qi = 02 = 9з = ° максимум и число координат нечетное — теорема 9).

Пример 2. Систему

(屏 > 0, СК > 0)(屏 > 0, СК > 0)力 + Mi 一 сл = °，^2 + 62*2 — c2^2 = 0

(屏 > 0, СК > 0)

(屏 > 0, СК > 0)

можно стабилизировать только в том случае, если подходящим образом присоединить одновременно гироскопические и неконсервативно позиционные силы (так как потенциальная энергия П = =—1/2 (彳％^ + /%；) имеет в положении равновесия максимум, диссипация полная и число координат четное ——теорема 9).

Пример 3. Система

备十力+ (I + 9； + ©鱼© = °，电 +- (I + g； + 喲电；=0

неустойчива, так как на нее действуют линейные силы сопротивления и неконсервативно позиционные (нелииейвые) силы Рх — =—(1 + 91 + 戍)鱼或 и Р2 = (1 + g^ + 喲电;—теорема 2.

Пример 4. Система

91 + 2 九 + 5 厶十 I\ + А +=(?£)，

,2 + 5八一"4/2 + Г2 + P2 +— &

неустойчива при любых гироскопических Z\, неконсервативных позиционных 尸а, потенциальных и нелинейных силах Q?), так как след матрицы В отрицателен (Sp 丑=2 — 4 = —2) и, следовательно, ускоряющие силы доминируют над диссипативными —— теорема 5.

§ 6.9. Примеры исследования устойчивости движения систем с неконсервативными силами

Интересные и очень важные для техники задачи на исследование устойчивости систем с неконсервативными позиционными силами возникли в теории упругости. Здесь можно выделить три группы таких задач. Первая связана с упругими системами, подверженными действию так называемых следящих сил, т. е. сил, линия дей-

ствия которых совпадает с касательной к упругой оси стержня (см. пример 1). Такие силы могут возникнуть, в частности, при отделении продуктов сгорания реактивной установки. Е. Л. Николаи [41] в 1928г., по-видимому, первый начал исследование таких систем. Вторая группа имеет дело с устойчивостью вращающихся валов, а третья —с устойчивостью упругих тел, движущихся в сопротивляющейся среде ) Пример 2 дает некоторое представление об этих задачах.

Кроме систем, содержащих упругие тела, существуют различные устройства, в частности гироскопические (см. пример 3), в которых неконсервативные силы создаются с помощью специальных приспособлений (это делается, в частности, для ускорения переходных процессов).

Учитывая характер настоящей книги, мы можем рассмотреть только некоторые, наиболее простые задачи.

Пример 1. М одель упругого стержня, н аходя- щег о с я под действием следящей силы. Рассмотрим два однородных стержня длиной 左 и %, связанных шарниром и спиральной пружиной жесткости с2. Первый стержень может вращаться вокруг неподвижной опоры &, с которой он связан другой спиральной пружиной жесткости с「 Обе пружины находятся в недеформированном состоянии, когда стержни расположены по одной прямой (оси z 一 см. рис. 6.7). На второ!)

стержень действует сила 尸,направленная всегда вдоль оси стержня (следящая сила). Эта система может рассматриваться как модель упругого стержня, находящегося под действием следящей силы.

Составим дифференциальные уравнения возмущенного движения. Кинетическая энергия системы обычными методами (при

См. книгу В. В. Болотина [И]. По первой проблеме подробный обзор методов и полученных результатов дан в статье Г. Херрма- на [54].

подсчете кинетической энергии второго стержня используется теорема Кёнига) приводится к виду (выписаны члены только второго порядка малости)

Т = V2 («пФ? + 2做2《風 + %2崂，

гдегдеа11 = /1 + 加 2%а11 = /1 + 加 2%=% 加22山，«22 =/2 + % 加2以=% 加22山，«22 =/2 + % 加2以

где

где

а11 = /1 + 加 2%

а11 = /1 + 加 2%

=% 加22山，«22 =/2 + % 加2以

=% 加22山，«22 =/2 + % 加2以

Здесь Jj — момент инерции первого стержня относительно оси вращения。，加2 — масса второго стержня, J2 — момент инерции второго стержня относительно его центра тяжести.

Потенциальная энергия пружин 口1 определяется равенством

1 ° 1

% =2 %吋+可的(变一Ф1)2-

Найдем обобщенные силы Q； и Q；, отвечающие следящей силе 戶.При изменении одного угла(р2 (q)i = const) работа силы 戶 равна нулю. Поэтому

Q； = 0.

Дадим теперь приращение 3屮工 углу(рх, оставив угол (р2 без изменения, и вычислим работу 64г силы 尸 на этом виртуальном перемещении. Имеем

34； = —FZX sin (ф2 —(Pi) 6(pi-

Отсюда для малых углов

4 — 一以(ф2 一 ф1).

Полные обобщенные силы, соответствующие углам (рх и ф2» найдем по формуле (для простоты считаем, что вся система расположена на гладкой горизонтальной плоскости,戸 результате чего силы тяжести исключены из рассмотрения)

一 而Г9

Пользуясь найденными выражениями, получим

Q1 =二 4tpi + е2cp2，。2 = С2cpi — С：2tp2，

где*

^ — с^ -^- с2 ■— Fl】, 82 = 62 —尸匕］.

Применяя второй метод Лагранжа, составим уравнения возмущенного движения системы около положения равновесия:

a11Ф1 + a12ф2 + 白中1 一 e2屮2 =①1，

®21ф1 +a22@2 一 С2Ф1 十e2屮2 =①2。

Здесь Фх и Ф2 ——неучтенные ранее члены, содержащие фх и (р2 в степени выше первой.

В этих уравнениях матрица коэффициентов

при координатах ср】п(р2 не симметрична. Разбивая ее на симметричную и кососимметричную части по формулам (6.5), найдем

где

си =/=勺+C2 -尸2"

1、

C]2 =，21 = —2~ ' 2 (/"1 — ZQ), ^22 =方，

.11

P = — I- (&2 — ©2)=三尸厶.

Из этих выражений видно, что следящая сила F создает неконсервативные позиционные силы

11

В = -у 尸2 ф2, 尸2 = — 亏尸厶(Pl・

В потенциальную энергию всей системы

口 =(G1 喈 + 2/2中1中2 +，22唠

входят слагаемые, зависящие и от следящей силы (см. выражения ДЛЯ %j).

Составим характеристическое уравнение

I a11入2 + " a12入2 — е2 I _ n

I出丄入2 — c2 出2入2+ 0 I 一，

или, раскрывая определитель,

aХ4 +b九2十分 = 0,

где

ДЕ =a11a22 — dz， b=Яh^2 + a22勺 +a12 (e2 + e2)，

% С2 (勺—%) = С/2・

Рассматриваемая система будет устойчива в первом приближении, если все корни относительно Л2 будут вещественными отрицательными числами. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялись услов ия

Ь> О, Д - ь2 — 4ас0 > 0(6.129)

(а > 0 и с0 > 0 ири любых значениях следящей силы F). Из этих неравенств можно найти наименьшее значение следящей силы, при котором сохраняется устойчивость системы (легко проверить, что при отсутствии следящей силы система устойчива). Мы ограничимся рассмотрением простейшего случая идентичных стержней

m Пружин. При /П] = "2 = ?П, А == %2 = % 11 q = % = с получимаn 4/3 mZ2, a12 = 1/2〃"2, a22 = 1/3m拦，а=%"⑷力

勺=2с — Fl, & = с —尸/.

После подстановки в (6.129) получим

b = ml2 (Зс -g~ Fl)〉0,

△ = М拱[оe ——4- c2J ^>0.

Отсюда находим, что рассматриваемая система будет устойчива в первом приближении при

■у а 0,504 -у .

Если модуль следящей силы будет больше этой величины, то второе неравенство (6.129) приобретает противоположный смысл и система сделается неустойчивой.

Пример 2. Неустойчивость ротор ющег о с я в аэродинамической с

показывает опыт, вращающийся в кожухе трения об аэродинамическую среду приобретает неустойчивое поперечное движение. Это явление, хорошо иллюстрирующее первую часть § 6.8, впервые исследовал П. Л. Капица [24].

На рис. 6.8 изображен ротор 1 массой М, вращающийся с угловой скоростью со в кольцевом кожухе 2. Цространство между ротором и ко- ж ухом заполнено гидродинамической средой, например газом. Если центр 。1 ротора совпадает с центром О кожуха, то трение о газ вызовет только тормозящий момент, который не скажется иа положении оси ротора. Покажем, что при смещении

а, в р Р е д е.

а щ а- Как

при наличии

ротор

силы (мы пользуемся

оси 0工 ротора возникают неконсервативные 、一

объяснением П. Л. Капицы; заметим только, что он не классифи

цировал силы по их структуре).

Пусть для примера центр О^ ротора сместился вправо вдоль оси х на величину OOi=x. Газ в кожухе увлекается вращением ротора и приобретает скорости i?t и р2- Так как зазор между кожу

хом и ротором в направлении сдвига становится меньше, а количество газа в круговом движении постоянно, то гг>У1. Поэтому трение поверхности ротора о газ не будет одинаковым с правой и с левой стороны; очевидно, что оно будет больше в тех частях его поверхности, где разность между периферийной скоростью ротора и газа больше. В сделанных предположениях о направлении смещения центра ротора левая его сторона будет испытывать большее трение о газ, чем правая, в результате чего появится сила

Sy (кроме силы 5外 перпендикулярной смещению, возникают еще силы в направлении передвижения; эти силы, вызванные явлением Бернулли, малы и для простоты изложения нами не учитываются).

Вычисление силы Sy произведем в простейших предположениях, а именно: когда скорость газа велика и его движение можно принять полностью турбулентным; кроме того, предполагаем, что трение ротора от вязкости газа в первом приближении не зависит. Обозначим величину зазора между ротором и кожухом при совпадении их центров через е. Пусть центр ротора сместился по оси 宓 на величину ООХ = х. Проведем из точки Ог прямую ^М под углом 9 к оси х. Величину зазора КМ при смещенном положении ротора обозначим через е】(рис. 6.8). Из треугольника ОМОг по теореме косинусов найдем (радиус кожуха ОМ, очевидно, равен R + е, где R — радиус ротора)

(R -卜 e)?=公+(7? + 4)2 — 21r (区 +勺)cos (n - 0), или, раскрывая скобки,

2Re + 済=1r2 十 2/?勺 + е； + 2Rx cos 0 十 21r勺 cos 0.

Считая величины z, е и, следовательно, ег малыми по сравнению с R1 пренебрежем членами второго порядка малости:

2Re = 2区勺 + 2Rx cos 0.

Отсюда

勺=e —七 cos 0.

Среднюю скорость газа при несмещенном роторе принимают равной 7?со/2, т. е. половине скорости точек ротора, лежащих на его периферии. При смещении ротора скорость 沙 газа в зазоре будет меняться, но количество газа, проходящего через любое сечение, равняется тому, которое было до перемещения ротора.

Следовательно,

vej, = —2eZ,

где I — толщина ротора. Пользуясь выражением для ех и сокращая на I, получим

訳①

и (е — х cos 0) = —2~ е-(6.130)

При больших скоростях сила трения &S, действующая на элемент наружной поверхности ротора RI @8, будет приближенно пропорциональна квадрату относительной скорости (У? со — у)2 и плотности окружающей среды р. Сила эта направлена по касательной к ротору (см. рис. 6.8). Проектируя ее на ось у и интегрируя по 0 от 0 до 2л, получим

2冗

% =—冲№ § (7?со — р)2 cos 0 dB,о

где х — коэффициент трен ия.

Найдем скорость ь из равенства (6.130) и внесем ее в это выражение для Sg：

% = 一冲把心2\ (1一丸二;cos J cos e 49.

0

Будем считать, что смещение с мало по сравнению с величиной зазора е. Тогда, разлагая подынтегральное выражение в ряд по степеням с и о граничив ая сь членами первого порядка малости, получим после очевидных преобразований

Sy =Sy =яхр lR3(o2яхр lR3(o222X.X.

Sy =

Sy =

яхр lR3(o2

яхр lR3(o2

2

2

X.

X.

гости 足，проекции которой на оси координат и Fy = —су, где с — коэффициент жесткости вала ротора на изгиб (на рис. 6.9 изображены силы Sгости 足，проекции которой на оси координат и Fy = —су, где с — коэффициент жесткости вала ротора на изгиб (на рис. 6.9 изображены силы Sполучимполучим而=万，p=丁而=万，p=丁/Д3со2еМ/Д3со2еМ£ 十 к2х ——ру = X, J + Zc2y + рм = у.£ 十 к2х ——ру = X, J + Zc2y + рм = у.(6.131)(6.131)

гости 足，проекции которой на оси координат и Fy = —су, где с — коэффициент жесткости вала ротора на изгиб (на рис. 6.9 изображены силы S

гости 足，проекции которой на оси координат и Fy = —су, где с — коэффициент жесткости вала ротора на изгиб (на рис. 6.9 изображены силы S

получим

получим

而=万，p=丁

而=万，p=丁

/Д3со2еМ

/Д3со2еМ

£ 十 к2х ——ру = X, J + Zc2y + рм = у.

£ 十 к2х ——ру = X, J + Zc2y + рм = у.

(6.131)

(6.131)

Аналогично получается составляющая -5Ж:

пхо7R3 ① 2

К ротору, кроме сил трения Sx и 5у, приложена сила упру- 一 °&будут Fx = —сх

и尸).

Пользуясь теоремой о движении центра масс, составим дифференциальные уравнения движения точки О】：

Mx = Fx+ Sx^ X,мд = Fy Sy Y.

Здесь X и У — неучтенные нелинейные члены, содержащие %, у и

九岁 в степени выше первой.

и ии иВнесем значения %, &,, Sy, разделим на массу ротора

и и

и и

перенесем часть членов в левые части уравнений. Тогда, введя обоз

начения

В этих уравнениях слагаемые 左2七 и 宙？, полученные от упругой силы 尸,представляют потенциальные силы, слагаемые ——ру и рх (проекции главного вектора S сил трения, взятые с обратным знаком и отнесенные к единице массы) — неконсервативные силы, X и У — нелинейные члены.

Левые части уравнений (6.131) совпадают с уравнениями (6.115). Для последних было показано, что при равенстве коэффициентов % и с2 (в данном примере % =々=济)，движение неустойчиво при любых значениях р 丰 0 ц любых нелинейных членах. Поэтому при отсутствии демпфирования поперечное движение оси

ротора, вращающегося в гидродинамической среде, всегда неустойчиво.

Ограничиваясь случаем X — У — 0, рассмотрим характер неустойчивого движения более подробно. Для этого умножим второе уравнение (6.131) на t = 了——1 и сложим почленно оба уравнения:

密 + 泣+ 场2(£ 十 iy) + р (iz 一 у) = О или

z + (&2 + 初 z = 0,(6.132)

где комплексная переменная z определена равенством z =① + iy.

Решение уравнения (6.132) будем искать в обычной форме:

где А ——некоторое комплексное число. Внося з — 4е* в уравнение (6.132), получаем

[V + (犷+ 5)]%е" = о.

Отсюда

入2 =—依 J ip.

Будем считать, что р <^ к2. Тогда, извлекая корень из комплексного числа —広2 —力卩，находим с точностью до 资收

рр

入1 =三后一瓦，入2 = - 2f+瓦.

Общее решение уравнения (6,132) примет вид

z — yle" е-订К ~уВе 2" $М,

где 4 и В — произвольные постоянные интегрирования.

Второе слагаемое быстро убывает по модулю, поэтому, пренебрегая им, получим

По своему определению z является комплексной координатой точки 0工.Связь между полярными координатами г и ср точки Oj и переменной z определяется равенствами

г = I z I , <р = arg z. Следовательно,

「= ]/]&* ' ф — kt.

Таким образом, точка О、двия^ется по логарифмической спирали, а положение равновесия центра ротора является neycToii- чивым фокусом. На рис. 6.10 приведена фотография, заимство-

ванная из работы [24], на которой воспроизведена траектория точки О】, полученная П. Л. Капицей при постановке эксперимента.

Для стабилизации поперечного движения оси ротора устанавливается кольцевой демпфер, создающий силы сопротивления,

Рис. 6.10

пропорциональные скоростям с одинаковым коэффициентом демпфирования 瓦=Mb. Уравнения движения (6.131) принимают вид

峦 + 6分 + к 电—ру = X,g十制+场勺+ pх = Y.

Пользуясь условием асимптотической устойчивости (6.122), получим

b〉р/к.

Это неравенство определяет основное требование, предъявляемое к демпферу.

Пример 3. Гировертикаль с радиальной кор 工 р е к ц и е й. В авиации широкое распространение получили гировертикали с радиальной коррекцией. 11рибор устроен следующим образом. Гироскоп (на рис. 6.11 он не показан) помещен в кожух /. На кожухе установлены два уровня 2 и 2, заполненных токопроводящей жидкостью 1). При отклонении оси гироскопа от вертикали С в уровнях создается разность потенциалов, которая усиливается специальным устройством и подается на датчики моментов % и

Вместо двух линейных уровней, как правило, устанавливают один шаровой уровень. Тот же эффект в конструкциях более старого выпуска создавался с помощью струй воздуха.

Д2. Уровень 1 управляет датчиком Д1т а уровень 2 — датчиком Д2. При повороте внепшего кольца карданова подвеса на угол а датчик Д3 создает момент Lx = —ха (для малых углов), а при повороте кожуха иа угол 卩 датчик Д* создает момент L-ц = н^, где 乂 ——

Рис. 6.11

крутизна характеристики датчиков моментов. Центр тяжести системы совпадает с точкой пересечения осей карданова подвеса.

Пользуясь теоремой моментов или уравнениями Лагранжа, легко получить дифференциальные уравнения движения оси гировертикали (массой подвеса пренебрегаем)

/а + Ьа - ЯР - z₽ = Xi,

/р + ЬР + Яа + иа = X?.

В этих уравнениях J —— экваториальный момент инерции гироскопа, Я ——его кинетический момент, b ——коэффициент сил сопротивления, X] и Х2 ——члены, содержащие а, §, & м 0 в степени выше первой.

Силы —Яр и Ясс — гироскопические, а —х§ и ха — неконсервативные (в гироскопии их называют силами радиальной коррекций).

Составим характеристическое уравнение системы

\ НК+ н J^+bK I U

или, раскрывая определитель,

/2"十 2J从3 十(Я2 _|_ 接)九2 + 2хЯХ + 乂2 = 0.

Так как все коэффициенты этого уравнения положительны, то критерий Гурвица (4.32) сводится к одному неравенству

△з == dj(i2®3 — а。。； — а；а《^^ 0.

Внесем сюда значения коэффициентов и преобразуем полученное выражение. Получим

Аз =孰/ (Я2 + Ь2) (ЬЯ 一 乂J) > 0.(6.133)

При отсутствии сил сопротивления (Ь = 0) это условие имеет противоположный смысл (А3 V 0), что св идетел ьствует о неустойчивости системы. Из неравенства (6.133) найдем значение коэффициента демпфиров ания, при котором имеет место асимптотическая устойчивость:

b > хЛЯ.

Отметим, что кинетический момент Н гироскопа очень велик по сравнению с х/. Поэтому нижняя граница для коэффициента демпфирования очень мала. Практически для асимптотической устойчивости достаточно естественных сил сопротивления воздуха, трения в опорах и т. п.

r Л A В A VII

УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ

§ 7.1. Функции Ляпунова для неавтономных систем. Обобщённый критерий Сильвестра

Прежде чем перейти к определению функций Ляпунова для неавтономных систем, остановимся кратко на некоторых общих вопросах прямого метода.

Об устойчивости движения мы судим по отклонению в пространстве 化力..^_хп изображающей точки М от начала координат О (см. § 1.1). В свою очередь (см. § 2.1), в прямом методе Ляпунова для автономных систем близость изображающей точки М к началу координат определяется по модулю знакоопределенной функции 7: если величина \V (х)\ мала, то в силу непрерывности функции V 3) точка М будет близка к началу координат. Картина изменится, если функция V будет зависеть явно не только от вариаций ^,...,化乳,но и от времени t. В этом случае знакоопределенная функции V (/, t) в обычном понимании может сделаться достаточно малой по модулю не за счет близости точки М к началу координат О, а за счет изменения времени 九 Действительно, функция

V (瑞 Z) = qT(£ + 滤)

в обычном смысле определенно-положительна: при всех значениях хг и ^2, не обращающихся в нуль одновременно, она положительна и в нуль обращается только в том случае, если 第1 = 力2 H 0. Однако судить о близости изображающей точки М к началу координат по этой функции нельзя, так как с течением времени t за счет уменьшения множителя е~‘ она сделается и в дальнейшем будет оставаться меньше любого наперед заданного положительного числа е при любых конечных значениях хх и ^2- В связи с этим функции V, зависящие явно от времени t, требуют дополнительных определений (читателю полезно еще раз просмотреть § 2.1).

Предполагается, что вещественные функции V (第,t) определены для всех вещественных значений 力 и

力1，.・.,力几,подчиненных условиям

(7.1)

где 力 и 卩一постоянные 储》0,卩 > 0), причем 卩 может быть мало. Считается, что в области (7.1) эти функции непрерывны, однозначны и обращаются в пуль, когда все 队 равны нулю:

V (0, t) = 0. (7.2)

Если при условиях (7.1), при ^0 достаточно большом а 卩 достаточно малом, рассматриваемая функция V принимает кроме нулевых значения только одного знака, то такую функцию называют знакопостоянной. Если хотят отметить ее знак, то говорят, что она положительна или отрицательна.

①ун/щи兄 V, зависящая явно от t,从азь彩аетпс兄 опреде- ленно-положительной, если существует такая не зависящая от t определенно-положительная функция W (第), что в области (7.1) при достаточно малом 卩 и достаточно большом 力© будет

V @, ^ > Ж (况)， (7.3)

и называется определенно-отрицательной, если при тех же ус“обм兄n будем иметь

(N, t)>W (第)..

Из соотношения (7.3) следует, что для определенно

положительной функции V (瑞力)разность V (瑞 t) W (第)

представляет функцию положи- тельную.

Требование существования граничной функции W (第)для определенно-положительной функции V (第，力)，зависящей явно от времени 厶 можно проиллюстрировать геометрическими сообр ажениями. В пространстве V,第工,.• ., хп построим поверхность W — W (х) и при фиксированном значении времени i поверхность V~V (囂，办. При изменении t поверхность

V (第,力)будет деформироваться, но при этом она не должна -опуститься ниже граничной поверхности W W (х) (рис. 7.1).

Точно так же, если в пространстве х^ . . .., хп построить две замкнутее поверхности И7 (%) = с и У (с, t)= =с (последняя для фиксированного 办,то при изменении t

поверхность V (力,力)=с будет деформироваться, но она не должна выйти наружу поверхности W (第)=

(рис. 7.2). Прежде чем перейти

(7.4)(7.4)к дальнейшим определениям, рассмотрим, по каким признакам можно в некоторых случаях определить знакоопределенность функции 叭第，i) в смысле Ляпунова. Предположим, имеет вид квадратичной формы

(7.4)

(7.4)

где 仪储 一 некоторые функции времени t и переменных д:a储=a^ (瑞方).

Если в области (7.1) при 力о достаточно большом, а 卩 достаточно малом все главные диагональные миноры матрицы

卜4口(瑞力). ..0£1冷(方，"

I %1m 力)(%") I]

удовлетворяют обобщенному условию Сильвестра

а口 *…ct1龍

& 二g1?61〉0,…，An=》3也〉°,(7.5)

anl • ' • %汽

где б1э . . ., 6П ——некоторые положительные постоянные, то функция V (方,力),определяемая равенством (7.4), будет определенно-положительной в смысле Ляпунова. Действительно, так как все миноры Дп . . ., Дп положительны, то функция V Q,力 определенно-положительна в обычном смысле. За ограничивающую функцию W (н) можно выбрать, в частности, функцию

И^ (力)=& G； + 遇 + • .. + 威)，(7.6)

где е ——некоторое положительное число. Покажем, что число е можно выбрать так, что функция V — W будет

положительной. Для этого рассмотрим миноры матрицы функции V — W:

O^ll 一 & Cti2 . . . %上

第（E）=第（E）=电1 a22 - s • * • a2M

第（E）=

第（E）=

au аk2a汇长一 g

При £ = 0 все А* будут совпадать с минорами Afe и, следовательно, они положительны (А* (0) = Ам ? 6卜〉0). В силу непрерывной зависимости миноров Д* ® от параметра е можно утверждать, что всегда найдется достаточно малое положительное число е, при котором все А* (е) будут также положительны. Из этого следует, что функция V ——W положительна, что свидетельствует о справедливости обобщенного критерия Сильвестра.

Для определенно-отрицательной функции V, имеющей вид квадратичной формы (7.4), обобщенный критерий Сильвестра имеет вид

“《一Si < 0,禺？ §2〉。，Аз 4 —6з < 0, . . ., (7.7) где М 63, . . . — положительные числа.

Поясним обобщенный критерий Сильвестра примерами.

Рассмотрим функцию

Р(Z,力)=f (^1 + 考)—2 COS 加；Г1&.

Составим матрицу коэффициентов

Il t — cos t II

—COS t t ll

и главные диагональные миноры

a] ^^ t, a2—力2 —~ COS^ 九

Если положить 力=4, то при всех 力》1 будем иметь г)

&》1 > 0, А?〉1 — cos? 4 亡 0,71 > 0.

Обобщенный критерий Сильвестра (7.5) выполнен, следовательно, рассматриваемая функция определенно-положительна в смысле Ляпунова.

Матрица коэффициентов для функции

Р (%, £)= {1 — a cos [(%； + 喲力]}若 + 2a sin [(%； + 嗡杀严合 +

+ {1 + a cos [冠 + 嗡力]}名

Имеем d^Jdt = 2力十 sin 2力 > 0, причем знак равенства имеет место только при ± = 0 (так как / > sin z при % ； 0). Сле- довательно, Д2 (力)при 力〉0 неограниченно возрастает.

a sin [(第；+ a：)订1 + a cos [用 + 廟 £]a sin [(第；+ a：)订1 + a cos [用 + 廟 £]имеет вид

a sin [(第；+ a：)订

1 + a cos [用 + 廟 £]

a sin [(第；+ a：)订

1 + a cos [用 + 廟 £]

1 - a cos [(4 + 嗡"a sin [(君 + 噺 г]

Составим главные диагональные миноры

% = 1 -acos [(君+ 喲h，Az = 1 -a久

Очевидно, что при любых 力 ^, т2 будем иметь А】》1 — | а |, Д2 = 1 — а2. Отсюда следует, что при [ а | < 1 рассматриваемая функция будет определенно-положительной в смысле Ляпунова.

Вернемся к дальнейшим определениям.

Если при условиях (7.1) значения | V | не превосходят некоторого конечного положительного числа, то функция V называется ограниченной. При достаточно ма- лом значении 卩 такой будет в силу непрерывности всякая не зависящая от 力 функция V.

Если ограниченная функция V такова, что для всякого положительного I, как бы мало оно ни было выбрано, найдется такое отличное от нуля положительное число 8, что при

^>«0, S4<6 (7.8)

будет выполняться неравенство

(7-9)(7-9)I F |<Z,

(7-9)

(7-9)

то говорят, что функция V допускает бесконечно малый высший предел. Грубо говоря, смысл бесконечно малого высшего предела состоит в том, что модуль функции V (第,t) можно сделать сколь угодно малым при любом 力》％ только за счет уменьшения модулей всех 方戸

В силу непрерывности бесконечно малый высший предел имеет всякая не зависящая от Z функция 7. Но функции, зависящие от 力 хотя бы и ограниченные, могут не иметь его.

В качестве примера рассмотрим три функции:

sin2 [(zj + . . . + 响打；(宕+ .…+喻siM i； t ⑷ + 考)-

-2 COS £.%1%2"

Первые две функции ограничены и положительны, во только вторая из вих допускает бесконечно малый высший предел. Заметим, что ни одна из этих двух функций не является знакоопределенной (так как при бесчисленных значениях t они могут обратиться

в нуль). Третья функция определенно-положительна, но она неограничен а и, следовательно, не имеет бесконечно малого высшего йредела.

В заключение этого параграфа отметим, что полная производная функции V (第,t) по времени i, взятая в предположении, что переменные 第《удовлетворяют дифференциальным уравнениям возмущенного движения (1.16), вычисляется по формуле

V = -^-X1+.., + ^Xn + ^. (7.10)

Читателю полезно сравнить это выражение с равенством (2.12).

§ 72 Основные теоремы прямого метода

для неавтономных систем

Основные теоремы прямого метода для неавтономных систем читаются и доказываются почти так же, как и соответствующие теоремы для автономных. систем. Поэтому мы приведем сразу все" основные теоремы и докажем только одну из них.

Тесрема Ляпунова об устойчивости движения. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию V, производная которой 卩 s силу этих уравнений была бы знакопо- сто凡｝шой функцией противоположного знака с V или тождественно равна нулю, то невозмущенное движение устойчиво.

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию V, допускающую бесконечно малый высший предел^ производная которой 卩 в силу этих уравнений была 6bz знакоопределенной функцией противоположного знака с Р, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

Первая теорема Ляпунова о неустойчивости движения. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти функцию V, допускающую бесконечно малый высший предел^ производная которой 0 в силу этих уравнений есть функция знакоопределенная, а сама функция V в окрестности нуля переменных 力玄 и при всех t ^ ^%, где 力о сколь угодно велико, может принимать зна-

чения того же знака, что и производная, то невозмущенное движение неустойчиво^

Прежде чем перейти к теореме Четаева о неустойчивости движения, необходимо дать дополнительное определения области V〉0 (см. § 2.4). Совокупность значений переменных 化欠，удовлетворяющих в области (7.1) неравенству V (化,力〉0, называется областью V〉0, а поверхность V {^, i) — 0 — границей последней. Для функции V (力,i), зависящей явно от 厶 граница области V〉0 и сама область изменяются с течением времени t. Может оказаться, что область V (力,i)〉0, изменяясь с течением времени, перестанет существовать.

Функция U (方,t) называется определенно-положительной в области Р〉0, если для произвольного положительного числа е, как бы мало оно ни было выбрано, найдется такое положительное число Z, что при всех ^, удовлетворяющих условию V > е, и для всякого 力》力0 имеет место неравенство U (瑞 i)》Z.

Теорема Четаева о неустойчивости движения. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы ^ что можно найти функцию V, ограниченную 6 области Р〉0, существующей 6 сколь угодно малой окрестности 期必兄 переменных 2K при всех 力》方°, произбоО^ая которой V 6 силу этих уравнений была бы определенно-положительной функцией 6 области V〉0, то невозмущенное движение неустойчиво.

Докажем для примера теорему Ляпунова об устойчивости движения (доказательство других теорем можно найти, например, в [35, 49, 37]).

Пусть V ——определенно-положительная функция, а 户 & 0・ По определению знакоопределенной функции, найдется такая не зависящая от Е определенно-положительная функция W, что при достаточно большом t0 и достаточно малом 卩 в области (7.1) будут иметь место неравенства

Г <0, V [х, t)>W (х). (7.11)

Выберем произвольно малое положительное число g (конечно, е《 卩). На сфере е пространства хк (рис. 7.3)

2 d (7.12)

значения функции W (力)отличны от нуля (так как функция W определенно-положительная и обращается в нуль

только в начале координат О). Поэтому точная нижняя

граница I функции W на сфере е положительна и не может равняться нулю. Согласно определению точной нижней

границы на поверхности сферы е будет иметь место неравенство

W£ ⑺ > I.

Пользуясь теперь вторым условием (7.11), найдем, что в любой точке сферы g функция V (力，t) не меньше I:

叭 Q") > I. (7.13)

Рассмотрим функцию У (/,力) при фиксированном значении времени 力=%, т. е. функцию V (第,方°).

Эта функция не зависит от i и при 况=0 она обращает

ся в нуль. В силу непрерывности этой функции по числу Z найдется такое число 6〉0, что для всех точек, находящихся внутри или на поверхности сферы 6,

2 礎=3,

значения функции V (第,力°) будут удовлетворять неравенству

(7.14)(7.14)V (/,幻< Z.

(7.14)

(7.14)

Покажем, что изображающая точка М, начав движе- ниэ из сферы 6, никогда не дойдет до сферы е. Действительно, так как начальная точка MQ берется из сферы 6窗 то значение функции V (^0, %) в этой точке должно удовлетворять неравенству (7.14):

VQ = V (况°,幻 V Z.(7.15)

Воспользуемся очевидным равенством t

0一几=，户於

или, принимая во внимание соотношения (7.11) и (7.15),

V < Уо < г.(7.16)

Это неравенство выполняется в течение всего времени движения. Следовательно, изображающая точка М, начав движение из положения 7И0, находящегося в сфере 6,

никогда не дойдет до сферы е (так как на сфере е, согласно неравенству (7.13), функция 卩色(瑞 0》Z). Теорема доказана.

Из приведенного доказательства, принадлежащего А. М. Ляпунову, виден метод, с помощью которого по выбранному е можно найти число 6. Действительно, зная е, нужно найти на сфере е точную нижнюю границу I функции W (况)(если функция V не зависит от времени t явно, то точную нижнюю границу функции V (力))• Число 6 найдется теперь из неравенства (7.14) (подробнее об этом см. статью Н. Г. Четаева, перепечатанную в книге [49]).

Закончим изложение общих теорем прямого метода Ляпунова следующим замечанием. Во всех теоремах этого метода можно определить характер устойчивости движения только после того, как найдена функция Ляпунова, удовлетворяющая определенным условиям. Естественно возникает вопрос об обратимости этого метода. Иначе говоря, можно ли утверждать, что для всякого устойчивого (неустойчивого) движения имеется соответствующая функция Ляпунова. Исследованием этой проблемы занимались многие ученые. Подробное изложение, основные результаты и историю вопроса можно найти в книге Н. Н. Красовского [27].

Примеры построения функции Ляйунова для неавтономных систем

Пример 1. Устойчивость движения г ир о гo- p и з о н т к о м п а с а. Ч увствительный элемент гирогоризонт- компаса состоит из двух идентичных гироскопов 7 и 2, установленных в сфере и соединенных между собой (рис. 7.4). А. Ю. Ишлин- ский в своей работе [22] показал, что если на гироскопы подавать управляющий момент

N = -^FC°S£sine,

где s —— угол отклонения осей гироскопов от оси S —— N гиросферы, m — ее масса, В — кинетический момент гироскопа, Z — расстояние от точки подвеса О гиросферы до ее центра тяжести, R ——радиус Земли, принимаемой за шар, то в установившемся движении чувствительный элемент будет показывать плоскость горизонта и плоскость меридиана при любом движении по поверхности Земли корабля, на котором установлен прибор.

Восточная составляющая VF скорости корабля относительно Земли при плавании в нс очень высоких шпротах меньше переносной скорости RU cos (р, где U ——угловая скорость вращения

(7-17)(7-17)Рис. 7.4Рис. 7.4^= (R U cos <р + V^ + 區,^= (R U cos <р + V^ + 區,(7.19)(7.19)

(7-17)

(7-17)

Рис. 7.4

Рис. 7.4

^= (R U cos <р + V^ + 區,

^= (R U cos <р + V^ + 區,

(7.19)

(7.19)

Земли, а ф — широта места плавания. Поэтому I %, У EU cos ф.

Уравнения возмущенного движения системы в упрощающих, но вполне оправданных предположениях имеют вид (вывод можно

найти в упомянутой работе А. 10. Ишлинского)

d га2В sin о

成 UgR 口 ml^gR

万 + v -^=а-^ -= 0,

dv с 2В sin о с

H + sB + v 丽市…(7/8)

d 28 fin а-д v 7=r~+ co―,а — vy = 0, 或 ml JgKVgR

В этих уравнениях а, р, у, 6 ——координаты системы, опредсляю-

щие ее положение в возмущенном

движении, V (力)——абсолютная скорость точки О, причем

где VN — северная составляющая скорости точки О относительно Земли, со (力一вертикальная составляющая угловой скорости трехгранника Дарбу, относительно которого определяется положение гиросферы, о (力)—значение угла 8 в установившемся движении, V = ]fg【R ——частота, соответствующая периоду Шулера, g ——ускорение силы тяжести. Отметим, что и (/), со ⑶ и о (力 一 заданные функции времени, причем но своему физическому смыслу о (力)》 > о0 = min о〉0.

У множим первое уравнение (7.18) па nz//^7T, второе на f, третье па у и четвертое па 25 sin o-6//nZ ^gR и сложим почленно все уравнения. Тогда после очевидных упрощений получим

ьа d гаd§ I dy 25 sin s-d d 25 sin 5*6

/函 dt "函 + в R十У R + 而^S欣/£ = 0

или, интегрируя,

调 ° с。4В2 sin2 а °

Р = R а + ₽ + Y3 + "脸 У = const. (7.20)

Из соотношений (7.17) и (7.19) следует

№ (力》(A U cos ф — max | ^ | )2 > 0.

Кроме того, из условия о (() > сг0 > 0 вытекает, что sin2 о (力)> 〉sin2 о。〉0. Эти неравенства означают, что выполнен обобщенный критерий Сильвестра (7.5) и, следовательно, функция К является определенно-положительной в смысле Ляпунова. Полная

производная 户 функции V по времени на основании интеграла (7.20) равна нулю. Согласно первой теореме Ляпунова § 7.2, возмущенное движение гирогоризонткомпаса устойчиво относительно а, В, 丫 и 6.

Пример 2 (математический). Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид

勿=Ь^^ + gi2 (力& + • • • + glS(力％, (7.21) 备=gsi (旧工 + g§2 ⑴& +・••+% (gs,

где коэффициенты gkj (t) удовлетворяют условию косой симметрии

gkj (力=—gjk (0-(7.22)

Составим определенно-положительную функцию

1

卩=宅解+胃^+嚼.

Вычислим полную производную от этой функции по времени

Р =勺方1 + 方2^2 + • - * + 容％

и внесем сюда значения производных /& из уравнений (7.21). Тогда учитывая равенства (7.22), получим

户=瓦(O^i +历(力)名+ ..• + & (才)云.

Если при 才》％ все коэффициенты Ь^ (力)неположительны bk (力)< 0 (Л = 1, 2, . . ., s),

то производная 庐 будет отрицательной функцией и, следовательно, н ев о змущенн о е движение 况标=0 будет устойчиво.

Если все 匕上 «) при г ^ ;0 удовлетворяют условиям

班⑴< 5fc < о,

где 6卜 一 постоянные отрицательные числа, то производная 広 будет определенно-отрицательной функцией в смысле Ляпунова и, следовательно, исвозмущенное движение 力石 = 0 будет асимптотически устойчиво.

Наконец, если при 力》£()коэффициенты 匕石(力)удовлетворяют условиям

垣(0 > 6* > о,

где 6* — постоянные положительные числа, то невозмущенное движение 方左=0 неустойчиво.

Достаточные условия асимптотической устойчивости системы, жесткость и демпфирование которой нелинейны и зависят явно от времени

Возмущенное движение различных систем очень часто описывается одним дифференциальным уравнением второго порядка

где положительные вещественные функции аир вещественных переменных 力 /， 岔 определены в области

t > ^о, а* + 企2 & 卩(7.24)

(%,卩一некоторые положительные постоянные).

Функцию а (厶 /, z) можно трактовать как нелинейный, зависящий явно от времени обобщенный коэффициент демпфирования, а функцию 卩 亿 瑞 2)——как нелинейную, зависящую явно от времени обобщенную жесткость системы.

При любых, но постоянных и положительных коэффициентах а и р невозмущенное движение / = 0, 6 = 0 асимптотически устойчиво. Если же эти коэффициенты, оставаясь положительными, изменяются, то существуют режимы их изменения, при которых движение становится неустойчивым. В тех случаях, когда закон изменения коэффициентов а и р известен, можно применить тот или иной метод и исследовать устойчивость движения. Однако в приложениях встречаются случаи, когда характер функций ос и р не определен и известны только границы их изменения в области (7.24)

а《а (力 /, *)《4,匕《§ (〃 ％,汽)《5,(7.25)

где % А, Ь, В ——заданные положительные числа (случай а = 0 или b = 0 считаем исключенным).

Поэтому представляет интерес определить условия для а. А, Ь, В, при выполнении которых невозмущенное движение % = 0，公=0 будет асимптотически устойчиво при любых законах изменения функций а и 0 в заданных границах. (Считая, что функции аир изменяются произвольным образом, мы предполагаем, конечно, что для всех 力 /,抬 из области (7.24) они удовлетворяют условиям существования и единственности решения уравнения (7.23).)

Заметим прежде всего, что условие а〉0, b〉0 необходимо. Действительно, если, например, b《 0, то, пользуясь произвольностью а и 3 полагаем а = const, 6 — Ь & 0. При этих значениях а и 0 движение неустойчиво при 匕 V 0 瓜 устойчиво, но не асимптотически при Ь = 0 и а = const〉0,

Перейдем к рассмотрению поставленной 3alда寸历 С помощью подстановки

n =F,步 н См Р^2,(7.-26)

8 Д. Р. Меркин

где С м D — некоторые постоянные, которыми мы распорядимся в дальнейшем соответствующим образом, заменим уравнение (7.23) эквивалентной системой

% = Cxr + Dg, & = Y^i + 6^2-(7.27)

В этих уравнениях функции у и б определены равенствами

C(a+j + p , 6 = —Q + c).(7.28)

Очевидно, что из асимптотической устойчивости относительно переменных 勺 и & следует асимптотическая устойчивость относительно n м 企，м наоборот.

Возьмем функцию V в следующей форме:

Р = ；&； +嗡.(7.29)

Полная производная по времени функции V, вычисленная в силу уравнений (7.27), после очевидных преобразований приводится к виду

庐=Cn； + (D + 丫)勺3 + fi^t (7.30)

Функция V определенно-положительная. Если нам удастся подобрать такие постоянные два Еисд^а С и D, при которых производная Р будет определенно-отрицательной функцией в смысле Ляпунова, то невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво. Составим матрицу коэффициентов функции 户：

I С 3 (D + Y)]

и подчиним главные диагональные миноры обобщенному критерию Сильвестра (7.7)

& = С《一П<0, A3 = C6-^(D + T)2>v>0, (7.31)

где п и V ——сколь угодно малые положительные постоянные числа.

Положив С = — @т, где @工=const〉0, мы выполним первое условие (7.31), если потребуем, чтобы число

。1 удовлетворяло дополнительному условию

О V n V 〃i V 〃 = inf а.(7.32)

Пользуясь равенствами (7.28), приведем второе условие (7.31) к виду

F (D) = D& - 2 (Е + § — 2w)02 + (笈-联 & 0, (7.33) где функция

Е (右瑞学)=口1[a亿瑞汽)—aj (7.34)

на основании (7.32) принимает только положительные значения.

Составим уравнение

F (D) = D^ — 2(Е + ^ - 2v)P2 + (Е - Р)2 = 0. (7.35)

Постоянное положительное число v во втором условии (7.31) может быть сколь угодно малым. Поэтому будем искать корни уравнения (7.35) в виде ряда

О = 0。(1 + 赤 + …)，(7.36)

где Dq — корень уравнения (7.35) при v = 0, d — некоторый коэффициент, а точки означают члены, содержащие число V в степени выше первой. Имеем

Р2 =房(1 + 2阪 + ..)小=/(1 + 4赤 + ...).

Внесем эти выражения для D2 и D^ в уравнение (7.35) и сгруппируем члены. Тогда с принятой точностью будем иметь

D^-2(E + 6)。； + (Е — 0)2 +

+ 研{[7^ —(Е + p)]d + l}v + . . . =0.

(7.37)(7.37)(7.35)(7.35)Учитывая, что v — произвольное число, получим / 一 2 (Е + 6)0； + (£ - б)? = О, [£＞； - (Е + 6)以+ 1 = 0.

(7.37)

(7.37)

(7.35)

(7.35)

Из первого равенства найдем корни уравнения при V = 0:

■D： = — Z)： = VP + 了£, Di = — £)з = ]/"§ — УЕ. (7.38)

Из второго равенства (7.37) определим d:

d=e +d一d

Подставляя сюда значения D* из (7.38), получим

由==—=г■.

2必0，2E邛

Возвращаясь к равенству (7.36), найдем корни уравнения (7.35)

При достаточно малом положительном числе v (его можно сделать сколь угодно малым) выписанные члены определяют характер корней уравнения (7.35). Так как все корни D^ уравнения (7.35) оказались вещественными, то при фиксированных 力 /,公 график функции

F = F [D)

имеет вид, изображенный на рис. 7.5. При изменении 力 w, 土 корни Dk и график функции f = F (0) будут также

изменяться. Предположим, что области изменения корней Dk имеют вид, показанный на рис. 7.5. В этом случае для любого числа D, находящегося между точками N и М, имеет место неравенство

F (О) V 0.

Это означает, что для случая, изображенного на рис. 7.5, существует постоянное число 0, при котором выполняется второе обобщенное неравенство Сильвестра (7.31) и, следовательно, невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво относительно %工 и & или 力 и比

Из приведенного рассуждения очевиден путь дальнейших действий: для получения асимптотической устойчивости достаточно подчинить корни D^ условиям, при которых области изменения корней Di и Р2, а также Dx и 2)з не сомкнутся. Иначе говоря, для асимптотической устойчивости достаточно потребовать, чтобы в области (7.24) выполнялись неравенства

sup Р2 V inf D1? sup D3 V inf Dx.

Считая, что при достаточно малом v корни (7.39) уравнения (7.35) определяются выписанными членами, приведем последние неравенства к виду

(1 + е) sup О； V (1 — е) inf 决，

(1 + £)sup〃v(l— e)inf。；，'

где число

—2-inf /£р за счет уменьшения параметра v можно сделать сколь угодно малым.

Согласно (7.38), (7.32) и (7.34), будем иметь sup Z>2 = Vsup Р — )f ini Е = УВ — U@i(@ —倣), sup Dl = y sup £ — Uinf § = 了倣(4 —做)一了乙 inf D； = Vinf P + Uinf E = ^b + 了倣(口 一 ％).

Теперь условия (7.40) принимают вид

(1 + £)(Р^В — У ai (а — ai)) V (1 — £)(］，办 + 了倣(а —倣))， (1 + е)(/ai(Л — ai)—问<(1 —e)(/fe 4- 了倣® —倣)> ИЛИ

(7.41)(7.41)了В — Ub <^ 2 j/"qi (а — а】)—6工，

(7.41)

(7.41)

J ан (4 - 〃1)一联 @i (a - &) <2 了5-62,

где положительные числа

& = e( J5 + y5),必=^(^^(a 一 做)+ 了傲(力一以)) можно сделать за счет уменьшения параметра £ сколь угодно малыми.

Так как все члены, входящие в неравенства (7.41),— постоянные числа, а параметры 3】и б2 можно выбрать сколь угодно малыми, то последние можно отбросить и заменить неравенства (7.41) на следующие х):

了石一了石 <2 ]f ai(a — ai),

2 >% ^^ U〃i (4 —a)—了〃1 (a - a1)，:

Таким образом, если границы а, А, b, В функций а (& %,企)и В (& 第，企)удовлетворяют условиям (7.42), то невозмущенное движение х = 0,公=0 будет асимптотически устойчиво. Число 旬 в промежутке (% а), где п сколь угодно мало, можно выбрать произвольно. Пользуясь этим обстоятельством, условия (7.42) можно усиливать в желаемом направлении. Рассмотрим три частных случая.

Жесткость системы постоянна (В = const). В этом случае 8 = Ьи оба неравенства (7.42) будут выполнены, если верхний предел функции a (i,力，z) конечен. Действительно, первое неравенство (7.42) при В — b выполняется для всех а〉0. Если взять число ах достаточно малым, то второе неравенство будет также удовлетворено при любом 6〉0 и любом конечном Л = =sup а (力 第，岔).Таким образом, при постоянной жесткости системы (6 = const) невозмущенное движение ①=0 к £ = 0 асимптотически устойчиво при любом переменном, но ограниченном коэффициенте демпфирования a (i,名企).

Коэффициент демпфирования пос т о я н е н (а == const). В этом случае Д = а и второе условие (7.42) выполняется автоматически. В первом условии положим 询=〃/2 (при 〃i = 〃/2 выражение 旬(а — а, достигает максимума). Тогда первое условие (7.42) приводится к виду

а> YB' — YE(7.43)

1) Если два числа а и Ь связаны неравенством а V Ь, то между ними всегда можно вставить число q + В такое, что q 十 3 <； & или а V 匕一6, где 6 > 0.

Таким образом, невозмущенное движение 第=0,劣= =0 будет асимптотически устойчиво при любой переменной жесткости 卩(厶 ％,企)，если только постоянный коэффициент демпфирования а = а удовлетворяет условию (7.43).

Если считать В и b заданными, то, пользуясь свободой выбора числа 〃口 можно установить нижнюю границу а для а (九 /,岔)и соответствующую верхнюю границу Л. Для этого снова полагаем аг — 〃/2. Тогда из неравенств (7.42) найдем

a>VB-fb； 4< 8b+ 4,丁 + % (7.44)

Если границы а, А, Ь, В функций а (力 况，企)и 卩(t,力，力 удовлетворяют неравенствам (7.42) для всех х, ±, t ^ i0, то будут выполнены условия теоремы Барбашина——Красовского 1). В этом случае невозмущенное движение 力 士 О 山公=0 будет асимптотически устойчиво в целом, т. е. при любых начальных возмущениях %。и ^0 ).

Устойчивость линейных систем с периодическими коэффициентами

Исследование устойчивости движения многих систем, встречающихся в различных технических задачах, часто сводится к анализу линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. В матричной форме эти уравнения могут быть записаны так (см. § 5.2, формула (5.19а)):

х = Р (i)x. (7.45) В этом уравнении 能一матрица-столбец или вектор

а Р (^) — квадратная матрица

II Рн (0 • • • Рщ ⑴ II

?«)=•”7)

II %i (*) • • • Рпп 0) 1|

Будем считать, что все элементы р心(/) матрицы Р (弘 а следовательно, и сама матрица Р являются периодическими функциями времени t одного и того же периода Т, так что для любого момента времени ^ справедливо равенство

P(t + T) = P (圾P(t + T) = P (圾(7.48)(7.48)

P(t + T) = P (圾

P(t + T) = P (圾

(7.48)

(7.48)

Для получения критериев устойчивости таких систем кратко остановимся на некоторых общих вопросах теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, принадлежащей Флоке(Г1оцие1).

Совокупность п линейно независимых решений уравнения (7.45)

называется фундаментальной системой решений этого уравнения, а матрица

х «)=11 修fll(7.50)

Х(х)=Х(х)=*^12 • • • q”^22 • • • g垃*^12 • • • q”^22 • • • g垃Xnl • • • ^ппXnl • • • ^ппили, что то же самое,

Х(х)=

Х(х)=

*^12 • • • q”

^22 • • • g垃

*^12 • • • q”

^22 • • • g垃

Xnl • • • ^пп

Xnl • • • ^пп

(7.51)

называется фундаментальной матрицей. Здесь, как и в дальнейшем, первый индекс элемента 忆附 обозначает номер функции, а второй ——номер решения.

Общее решение 囂(力)уравнения (7.45) определяется обычной формулой общего решения линейного однородного дифференциального уравнения:

х (£) = Ci黑工 + С2Х2 + ... + Сп*п, (7.52)

.где &,….，Сп —— произвольные' постоянные, определяемые из начальных условий. В матричной форме общее решение (7.52) имеет вид

宓⑴=X⑴・С,(7.53)

где С — матрица-столбец

Не нарушая общности, можно считать, что фундаментальная система решений удовлетворяет следующим начальным условиям:

или в матричной форме

X (0)=瓦(7.55)

где Е — единичная матрица

Обозначим через А ⑴ определитель фундаментальной матрицы

А (力)=det X ⑴.Е.56)

Пользуясь равенством (7.55), получим

Д (0) = det X (0) = det Е = 1.(7.57)

В теории дифференциальных уравнений доказывается следующая формула Лиувилля:

](Рп+…十pnzi)dt Д(0 = Д(0) е。

Учитывая равенство (7.57), найдем, что при t — Т т

А(Т) — е。(7.58)

Если в каком-нибудь решении 况卜 заменить t на / + Г, то в силу периодичности матрицы Р (t) мы снова получим решение, так как вектор 况k (t + Т) будет по-прежнему удовлетворять уравнению (7.45), если ему удовлетворял вектор жк (/). Полученное решение не будет совпадать с первоначальным решением 况* (方)，но, как всякое решение уравнения (7.45), оно может быть получено из общего решения (7.53) выбором соответствующей матрицы-столбца О. Обозначив эту матрицу через 厶卜，найдем

软u + ?) = X (方)，爲(力=1, 2,...，吟

Отсюда видно, что фундаментальная матрица X (% + Т) решений хх (^ + Г), х2 (^ + Т), . . .,(^ + Т) имеет вид

X (t + Т) = X (£)А,(7.59)

где Л — постоянная матрица:

По предположению фундаментальная система решений 宓 1 (%), . . ., ^п (0 удовлетворяет начальным условиям (7.55). Поэтому, положив в равенстве (7.59) ^ = 0, найдем

X (Т) = X (0)Л = ЕА = А.

Следовательно, если известна фундаментальная матрица X (i), то матрица Л определится из последнего равенства:

%и(Т)...飞(Т)卜

4 = Х(Т)= .(7.61)

Покажем далее, что существует решение х (£), удовлетворяющее следующей зависимости:

х (t + Т) = рх ⑴，(7.62)

где р — некоторое постоянное число (такое решение называется нормальным). Действительно, любое решение уравнения (7.45) можно получить из общего решения (7.53). Поэтому если нормальное решение существует, то должна существовать такая постоянная матрица-

столбецстолбец(7.63)

столбец

столбец

для которой будет справедливо равенство

赏⑴=X (邠.

Так как по предположению х (才)удовлетворяет равенству (7.62), то, имея] в виду, что х (t + Т) = X (t + Т)^, получим

x(t + Т)В = рХ (那

или, пользуясь равенством (7.59),

х ⑴畔=рх(о₽.

Группируя члены, найдем

X (Z) (Л 一 рЕ)0 = 0.

Учитывая, что это равенство должно выполняться при всех 力 получим

(4 一 рЕ)0 - 0.

Это матричное уравнение, в котором неизвестными являются матрица-столбец 卩 и число р, эквивалентно п скалярным уравнениям

(ли 一 p)Pi + 侬包 '+•••+ 〃inBn — о»

&1В1 + (〃22 — Р)^2 + ・• • + «2пРп = 0,

^П1Р1 + «П2₽2 + • • • + (〃加一Р)6n = 0.

Для того чтобы система п алгебраических однородных уравнений относительно 丸...,^п имела решение, отличное от нуля, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы равнялся нулю:

а11 — Р °12・♦ •气九

°21° 22 — р • • •a2n

det (А — pW)

anl &М2' • •勺也―P

=0. (7.64)=0. (7.64)Каждому корню р^ этого характеристического уравнения (для простоты будем предполагать, что среди корней нет кратных) отвечает свое решение xfc (力)，удовлетво-

=0. (7.64)

=0. (7.64)

ряющее условию (7.62). В результате получим п нормальных решений 况I ⑴，...,xn (%), удовлетворяющих условию (7.62):

吃(t + t) pm ⑴，.…纵(方 + ?) = РЛ «)， (7.65)

Эта система решенхтй линейно независима и может быть принята за фундаментальную систему решений.

Покажем теперь, что нормальные решения имеют вид

尤К⑴=e咽執(力)(力=1,...，n),(7.66)

где q)k ⑴一периодическая матрица-столбец периода Т

①工к (*) II

<Рк(力)=• • • > 屮к« + Т)=屮kG),(7.67)

仇0II

а 取一постоянные числа, называемые характеристическими показателями, вычисляются по формуле 工)

— Inp^ (/с = 1, ..., п).(7.68)

Действительно, внесем в равенства (7.66) значение 力 равное 力 + 7\ Получим

g (i + 7) = е”《+т)% « + Г).

Пользуясь равенствами (7.67) и (7.68), последовательно найдем

価《 + ?) = е^е%飞 ^ + Т}== е%%仔1П。"％卜(/)=

=(О»

т. е. равенства (7.65).

Теперь можно перейти к исследованию устойчивости движения. Будем считать, что за фундаментальную систему решений уравнения (7.45) принята система нормальных решений 况工(力),...,xn «), удовлетворяющих условиям (7.65). Общее решение уравнения (7.45) запишем в форме (7.52)

徹《)= 2 СкЭ%«).(7.69)

Напомним определение логарифма комплексного числа (корни уравнения (7.64) могут быть комплексными числами):

In р = In I р J + i arg р,где I р J есть модуль р и arg р обозначает аргумент р.

Вектор х«) определяет изображающую точку М, а слагаемые С^хк (力)являются составляющими его. Через период Т положение изображающей точки М будет определяться равенством

x(t + т)= 2 с^ (力 + т).

Составляющие этого вектора, согласно (7.65), равны

以耽(t + T) = рЛ^(0- (7.70) Отсюда

I。關卅(力 + Т)1 = I pjf 11 以宓 к (0

Это равенство показывает, что если все |Pk|Vl, то через период Т модули всех составляющих вектора ас (^ + Г) уменьшатся и, следовательно, изображающая точка М приблизится к началу координат; если модуль хотя бы одного корня рк больше единицы, то через период Т соответствующая составляющая С斤宓衣(方 + Т) вектора аз (i + Г) увеличится по модулю и изображающая точка М начнет отдаляться от начала координат; наконец, если среди корней характеристического уравнения имеются такие, модули которых равны единице, то модули соответствующих составляющих вектора х (t + Т) останутся без изменения.

Из этого вытекают следующие условия устойчивости систелш, возмущенное движение которой описывается линейными дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами.

Если модули всех корней характеристического уравнения (7.64) меньше единицы, то невозмущенное движение 第工=...=^п = 0 асимптотически устойчиво.

Если среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один^ модуль которого больше единицы, то невозмущенное движение неустойчиво.

Если среди корней х ар актер истического ураенешл име- то/пс兄 такие^ модули которых равны единице, а модули остальных корней меньше единицы^ то невозмущенное движение устойчиво, хотя и не асимптотически.

Заметим, что первые два вывода справедливы и при кратных корнях характеристического уравнения, а последний только 口口讨 простых корнях (точнее, при корнях простых относи -ьно элементарных делителей).

Раскроем определитель (7.64) и приведем его к виду р" + а©т + &р"т + ... + аур + а” = о. (7.71)

Коэффициент ап определяется, очевидно, равенством ап = (—l)n det Л.

Пользуясь равенствами (7.61), (7.56) и (7.58), найдем

I (Ри十…十Pnn)dt

%, = (—1)%。(7.72)

Таким образом, свободный член характеристического уравнения (7.71) может быть найден по коэффициентам исходных уравнений (7.45). К сожалению, для определения остальных коэффициентов уравнения (7.71) необходимо знать хотя бы одну фундаментальную матрицу X (力) (легко доказывается, что уравнение (7.71) не зависит от выбора фундаментальной матрицы). Задача облегчается тем, что критерии устойчивости носят характер неравенств, поэтому можно пользоваться численными и приближенными методами.

Один из этих методов состоит в следующем. Задав начальные условия (7.55), численным интегрированием уравнения (7.45) определяют значения линейно независимых решений (7.49) в конце периода Т, т. е. матрицу X ⑺=Л. Так как интегрирование нужно производить на конечном промежутке времени [0, Т], то все вычисления можно произвести с любой наперед заданной точностью (для этой цели лучше всего, конечно, использовать электронно-вычислительные машины). По найденной матрице А составляется характеристическое уравнение (7.64), после чего определяются корни р17 р2, . . ., рп. Хорошим контролем этого метода может служить равенство (7.72), которое с помощью последней формулы Виета (4.23) приводится к виду

Pl • • • Рп == 2°

Отметим, что в этом методе заключение об устойчивости движения на бесконечном промежутке времени делается на основании результатов интегрирования на конечном интервале времени [0, Г].

Со вторым приближенным методом (их существует значительно больше) мы познакомимся в следующем параграфе, а сейчас остановимся на случае, когда среди корней характеристического уравнения имеются корни, равные +1 или —1.

Предположим, что р =十1. Тогда соответствующее нормальное решение будет удовлетворять равенству (см. формулу (7.62)) х (t + Т) = х ⑺.

Это означает, что уравнение (7.45) имеет периодическое решение, период которого Т совпадает с периодом коэффициентов.

Пусть теперь р = ——1. Тогда соответствующее нормальное решение будет удовлетворять равенству

%(£+?)= —X ⑴.

Еще через один период будем иметь

х (^ + 27) = —x(t + T)=x ⑴.

Из этого следует, что при наличии корня р = ——1 уравнение (7.45) имеет периодическое решение, период которого 27 вдвое больше периода Т коэффициентов исходного уравнения.

А. М. Ляпунов показал [35], что всякую систему линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами можно привести при помощи линейной подстановки к системе уравнений с постоянными коэффициентами. Подробное исследование систем, которые могут быть приведены к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами, содержится в работе Н. П. Еру- гина [19].

Устойчивость решений уравнений

Хилла и Матье

Возмущенное движение многих систем (см. § 7.7) описывается одним дифференциальным уравнением второго порядка

器十卩(g = 0,(7.73)

где р «) — периодическая функция периода Т. Разложим функцию р ⑴ в ряд Фурье

P«)==4~ + 2(4cos^t + 8kSin^t). (7.74) кт

Теперь уравнение (7.73) принимает вид

"5?"5?+ [-ф- + £(4kCos^■力 + BRsin 学，]% = 0・ R=1

"5?

"5?

(7・75)

Уравнение, записанное в такой форме, впервые рассматривалось Г. В. Хиллом (G. W. Hill) при исследовании движения Луны.

Для наших целей уравнение Хилла удобно записать в следующей форме:

黑+[6 +£屮(切 2 = 0,(7.76)

где 6 и е ——некоторые параметры, а 屮(力)——периодическая функция периода 7\ Функцию 屮(t) называют функцией возбуждения^ а ее частоту со = 2п!Т ——частотой возбуждения.

Очевидно, что выбором параметров 6 и е невозмущенное движение 力=0, £ = 0 можно сделать устойчивым и неустойчивым. Так, например, при £ = 0 и 6〉0, движение устойчиво, а при £ = 0 и 6 V 0 это движение неустойчиво. Поэтому задачу об устойчивости решений уравнения Хилла можно поставить следующим образом: в плоскости параметров 6 и 8 найти области устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения ^ = 0, z = 0.

Установим прежде всего некоторые общие свойства решений уравнения Хилла. Положим

х = х =

Тогда одно уравнение (7.76) будет эквивалентно двум уравнениям первого порядка

企1 д,或2 = — [6 + £屮(t)\ 力i・(7.77)

Напишем матрицу коэффициентов этой системы (см. (7.47)):

Следовательно, /?ц = р^ = 0. Пользуясь формулой (7.72), найдем(z2 = 1. Согласно равенству (7.71), характеристическое уравнение запишется в виде

р2 + 即 + 1 = 0.(7.78)

Коэффициент а нам неизвестен и для его определения необходимо знать фундаментальную матрицу решений.

Так как найти эту матрицу в замкнутой форме мы не можем, то для определения области устойчивости в плоскости параметров 6 и е воспользуемся следующими соображениями.

Согласно формуле Виета произведение корней рх и р2 уравнения (7.78) равно единице

Р1'Р2 =，•

Решим уравнение (7.78), считая коэффициент а известным

Р1>2=1■土 了'

Рассмотрим возможные случаи.

I а I〉2. Оба корня уравнения (7.78) будут вещественными и различными. Так как их произведение равно единице, то один из корней будет по модулю меньше единицы, а второй больше единицы. Из этого следует, что при I a I j> 2 движение будет непериодическим и неустойчивым.

I а I V 2. Тогда

где X = J，——1. Корни получились комплексные. Найдем модуль этих корней:

/ (-4)2 + (±/1-4)2^1.

Модули корней оказались равными единице, а сами корни различны. Поэтому при ] а | V 2 движение будет устойчивым.

а = —2. В этом случае рг = р2 = 十4. Как было показано в конце § 7.5, одному из этих корней будет отвечать периодическое решение периода Т, Можно показать (мы не будем останавливаться на этом), что второму корню отвечает возрастающее решение (корни кратные не только относительно характеристического уравнения, но и относительно элементарных делителей). Движение будет неустойчивым, но существенно, что имеется перист ди- ческое решение периода Т.

а = +2. При этом условии рх = р2 — —1. Одному из этих корней будет отвечать периодическое решение периода 2Т (движение, как и в случае 3, неустойчиво).

9 Д. Р. Меркни

Таким образом, движение будет устойчиво только при I a I V 2. Коэффициент а уравнения (7.78) при данном периоде Т возбуждающей функции 屮⑴ зависит, в конечном счете, от параметров 6 и 8. Предположим, что коэффициент а = а (6, е) найден. Тогда границей области устойчивости на плоскости 6, е будут служить уравнения

а (6, 8)= ±2.(7.79)

Из случаев 3 и 4 следует, что на границе области устойчивости, то есть для значений 6 m £, удовлетворяющих уравнениям (7.79), существуют периодические решения периода Т и 27. Эти выводы дают возможность определить границы области устойчивости из условия существования периодических решений уравнения Хилла.

Прежде чем перейти к определению границ области устойчивости, рассмотрим аналитический вид решений уравнения Хилла (7.76). Пользуясь формулами (7.66) и (7.69), запишем общее решение в следующей форме:

x (力)=d呼加(£)十u狂以6今(7.80)

В этом решении Сг и С2 — произвольные постоянные интегрирования,屮工(方)и ф2 (О — некоторые периодические функции, период которых равен периоду Т возбуждающей функции 屮(力，а а】и 出一характеристические показатели, определяемые равенством (7.68):

«1= — In pi, «2= -у-1л р2,

где Pi и р2 — корни уравнения (7.78).

Рассмотрим сначала область неустойчивости, в которой ]а I〉2. Как было установлено, при этом условии корни pi и Р2 характеристического уравнения (7.78) вещественны и различны. Предположим, что оба корня положительны (случай, когда р】и р? отрицательны, не вносит ничего принципиально нового). Обозначим через р工 = =р больший корень. Тогда, учитывая, что произведение корней равно единице, будем иметь•

Р1〉1, Р2=—<1-

Отсюда

ct =——di = -у- In pi〉0, g = -jr In р? -у- In ~~ = — а < 0.

Общее решение (7.80) можно записать теперь в следующей форме:

g(0 = c^^ (力)+邑心‘屮2 (力(7.81)

Так как решение х (力)является вещественной функцией, то произвольные постоянные С\ и С2, а также периодические функции q)i (力)и ф2 «) должны быть вещественными величинами. Второе слагаемое в равенстве (7.81) быстро затухает (а〉0) и практически можно ограничиться первым членом

花⑺q &*加⑺.(7.82)

пз этого решения видно, что максимальные значения (амплитуды) функции х (力)возрастают по закону геометрической прогрессии, знаменатель которой равен 6&丁 二 =р〉1. Примерный вид графика решения (7.82) показан

на рис. 7.6 (этот график зависит от вида периодической функции % (力,которая, как правило, нам неизвестна).

Рассмотрим теперь аналитический вид решения уравнения Хилла (7.76), отвечающего значениям параметров 8 и 6 из области устойчивости. Как было установлено, в этой области оба корня рг и р2 уравнения (7.78)——комплексно-сопряженные числа, причем | pi I = I Р2 I =〔• На основании определения логарифма комплексного числа будем иметь (рг — р)

«1,2 = 7 (In I р I ± 2 arg р)

или, учитывая, что In | р | — In 1 = 0,

а、= 4 3 «2 =^-3(7.83)

где

к = I arg р |.(7.84)

Гак как аг и а2 — комплексно-сопряженные числа, а решение х (力)является вещественной функцией, то постоянные интегрирования С、и С2, а также периодические функции фг ⑴ и ф2 (力)должны быть комплексно-сопряженными величинами. Представим их в показательной форме

屮1 (£)V (0 d“"，中2 = Y (力)£内⑴*(7.85)

Внося выражения для а；, С； и ср； в равенство (7.80), найдем

Пользуясь известной формулой

等,十产)=COSZ, получим

况(力)= л7 (/) cos [｝方十"⑴+ p j(7.86)

или

g(方)="(X) cos 传 ^ + Р) + n (方)sin 传力+ 0), (7.87) где функции 卩⑴ и 刀(力)определены равенствами

卩(方)=Ay (t) cos v ⑺，n (t) = —4丫(力 sin v ⑴.(7.88)

В общем решении (7.86) или (7.87), отвечающем области устойчивости, постоянные вещественные числа Л и Р определяются из начальных условий движения, а у (力) и V (力) или 卩(力)и 刀(力)——вещественные периодические функции, период 71 которых равен периоду возбуждающей функции 屮(力).Как правило, функции у (%) и v ⑴(тем самым и функции 卩(力)ит](力))，а также число “ = | arg р | определить в замкнутой форме мы не можем, так что равенства (7.86) и (7.87) определяют только форму решения уравнения Хилла, а не само решение. Однако из этих равенств мы можем составить общее представление о характере устойчивых решений уравнения Хилла. Действительно, из равенства (7.87) видно, что общее решение

§ 7.6. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ХИЛЛА И МАТЬЕ 245 представляет комбинацию периодических функций с периодами Т、= Т и Т-1 = ^~ Т. Если периоды 7\ и Г2 несоизмеримы, то устойчивое решение уравнения Хилла не является периодической функцией времени. Если же отношение

% к

представляет рациональное число, то устойчивое решение уравнения Хилла является периодической функцией.

Из равенства (7.86) можно составить и общее представление о графике устойчивого решения. Для случая, когда Тг У 丁2 (加 У 2л), примерный график решения (7.86)

Рис. 7.7

изображен на рис. 7.7 (он напоминает график колебаний при биении). Заметим, что колебания системы, вызванные возбуждающей функцией, называются параметрическими колебаниями.

Покажем теперь метод определения границы области устойчивости на частном, по имеющем большое значение случае, когда разложение (7.74) функции р (办 в ряд Фурье содержит только два периодических слагаемых самой низкой частоты, т. е.

p(/)= 今 + 4cos争 力+51 sin争九 Положим

Ar = A cos у, Br = A sin %

где 4 и 丫 ——некоторые постоянные. В этих обозначениях будем иметь

Р (0 = ~ф~ + 4 cos •

Внеся р (力)в уравнение (7.73), получим

糅 + ［岑 + 4e06(手力一y)］纪=0.

Перейдем теперь к безразмерному времени т по формуле

—k t - y = т.

Отсюда

dt = -гг— dx

и последнее уравнение примет свой окончательный вид

-^- + (6 + е cos 工)宓=0,(7.89)

Уравнение (7.89) называется уравнением Матье; оно является, конечно, частным случаем уравнения Хилла (7.76).

Возбуждающая функция равна cos т, а ее период равен 2л. В соответствии с примечанием к (7.79) будем искать те значения 6 и 8, при которых существуют периодические решения периодов 2л и 4л. Из самой формы уравнения (7.89) видно, что если функция / = а (t) есть решение уравнения (7.89), то функции х = х (——т) и 片 = =——片(т) будут также решениями этого уравнения. Из этого следует, что среди периодических решений уравнения Матье имеются четные и нечетные решения. Четные периодические решения периода 2л будем искать в форме

х—鉄 + £ 外 cos Ат, (7.91) а нечетные периодические решения того же периода —— в форме

片=X ijf siiiAr. (7.92)

Периодические решения периода 4л представим аналогичными рядами:

片=粤 十 £cth・ cos-^~, (7・93： lr=l K=1

Остановимся более дифференцировав обе по времени т, найдем

@2充

подробно на решении (7.91). Прочасти уравнения (7.91) два раза

Внеся это выражение ние (7.89), получим

и

—£i 胪cos m.

卜=1

выражение (7.91) для х в уравне-

—£ 后2州 cos H + (S + 8 COS t)翁+ ^^ 源 cos g — 0.

Раскроем скобки и воспользуемся формулой

cos т cos 加т =万[cos (右 十 1) т 十 cos (A — 1) т].

Тогда последнее уравнение примет вид

-^" 〃0 + ^^^ 3 —后2) &к COS 左t +

+ 备{a。cos т + Е 恤[cos (A + 1)т + cos (к — 1) т]| = 0.

(7.94)

Преобразуем выражение в фигурных скобках. Имеем

{...} = ao cos r + 3 a^ cos (后 + 1) т + 2 〃k cos (k — 1)т =

〃o cos т + '3 a；t-i cos Лт + 3 仪汇+i cos At. k=2k=o

Слагаемое a。cos t внесем в первую сумму, а из второй суммы выделим первое слагаемое, после чего объединим обе суммы. Тогда получим

+ a/c+1)COS阮.

Теперь равенство (7,94) можно записать в следующей форме:

4—2~ 倣 十

+):。/T +(6 一 /) аК и 1- ^ft+1 J COS 乃Т = 0.

Так как это равенство должно выполняться для всех значений т, то отсюда следует

За。+ £旬=О,

"|~ 仇-1 + (3 —左2) 〃r H—y 〃杞+1 = 0 (k = 1, 2, •. •).

Запишем эту систему равенств более подробно, учитывая, что индекс к принимает значения 1, 2,...:

6。0十Е仪工=0,

~2~ а0 十(6 - 1) g H—2- 电=0，

ее(7.95)

—^i + (S — 4) a? + -у 〃з = 0,

Эти линейные однородные уравнения относительно а。, 。工,а2, . . . должны иметь решение, отличное от нуля (так как существует периодическое решение (7.91)). Поэтому определитель этой системы должен равняться нулю，

6Е0085 — 1Е0万尸0£丁6 — 48У00—90001"6Е0085 — 1Е0万尸0£丁6 — 48У00—90001"6 - 16・・・6 - 16・・・0...Е=0. (7.95)т • ■ •0...Е=0. (7.95)т • ■ •ОООО

6

Е

0

0

8

5 — 1

Е

0

万

尸

0

£

丁

6 — 4

8

У

0

0

—9

0

0

0

1"

6

Е

0

0

8

5 — 1

Е

0

万

尸

0

£

丁

6 — 4

8

У

0

0

—9

0

0

0

1"

6 - 16・・・

6 - 16・・・

0...

Е

=0. (7.95)

т • ■ •

0...

Е

=0. (7.95)

т • ■ •

О

О

О

О

Это уравнение, содержащее в левой части определитель с бесконечным числом строк и столбцов (он называется определителем Хилла}, устанавливает искомую зависимость между 6 и 8：

б = б(£),

при которой существует периодическое решение вида (7.91). В явной форме эту зависимость можно установить следующим образом. Раскроем определитель (7.96) при конечном п. Тогда получим обычное алгебраическое уравнение, из которого найдем приближенное решение 6П — B?t (е). Точное решение получается при 72 foо (это решение можно представить в форме сходящихся рядов). График функции 6 = 5 (е) определяет одну из границ области устойчивости решений уравнения Матье в

пространстве параметров 6 и 8 (ниже будет дано решение уравнения (7.96) при | 8 1У1).

Анал о гичными методами получаются три других уравнения для периодических решений вида (7.92) и (7.93)：

8

0

6 — 1

万

0...

Е

3 — 4

е

万

0...

0

8

6 — 9

е

丁 ' * •

0,

(7.97)

0

0

е

3 — 16 .

6 —+ -^--^-00...

万6一丁 ~0' • -

£25£

0т 6— 丁 "2~• •'

=0, (7.98)

е49

005 —..・

24

— о °• ■ ■

w,25&

0"2"•

849

00 .3 -

=0, (7.99)

Таким путем определяются области устойчивости для уравнения Матье; результаты приведены на диаграмме Акинса —— Стретта (рис. 7.8), где областям устойчивости соответствуют заштрихованные поля, а областям неустойчивости —— белые поля. Диаграмма дана только для е ? 0; для е < 0 она получается зеркальным отображением относительно оси 6. Отдельные области смыкаются между собой в точках S — п2/4 и 8 — 0, где п ——целое число.

Как видно из диаграммы, область устойчивости существует и при отрицательных 6. Очевидно, что аналогич-

ными методами можно построить соответствующую диаграмму и для уравнения Хилла (7.76), разложив предварительно возбуждающую функцию 屮(»)‘ в ряд Фурье.

Проследим за изменением свойств параметрических колебаний при изменении частоты со = 2л/Т возбуждения. Пусть частоте з на диаграмме Айнса ——Стретта

Рис. 7.8

отвечает точка М (см. рис. 7.8). Соответствующие значения параметров 6 и е найдем из формул (7.90):

е =(7<。。)

Из этих равенств видно, что при увеличении частоты возбуждения о)параметры 6 и е будут уменьшаться, а точка М будет перемещаться по прямой

6 =窃％(7.101)

асимптотически приближаясь к началу координат (на рис. 7.8 эта прямая показана пунктиром). Из рисунка видно, что прямая (7.101) пересекает области устойчивости и неустойчивости. Это означает, что при увеличении частоты возбуждения <о устойчивые 〃 неустойчивые состояния системы будут чередоваться. Заметим, что в некоторых случаях (см. пример 1 § 7.7) параметр 8 может не зависеть от(о. В этих случаях прямая, показанная на рис. 7.8, будет параллельна оси 6, однако вывод о чередовании устойчивых и неустойчивых состояний системы при увеличении частоты возбуждения остается справедливым.

Если при данных значениях параметров 6 и 8 имеет место неустойчивость, то говорят, что наступает параметрический резд^амс. Из приведенных рассуждений видно, что параметрический резонанс имеет место при бесчисленном множестве значений частоты возбуждения (о・ При малых 8 параметрический резонанс наступает вблизи значений 6 = п/4, где п — целое число (см. описание рис. 7.8).

Между обычным и параметрическим резонансами имеются существенные различия. Действительно, если на систему с линейным упругим элементом действует возмущающая сила, изменяющаяся по гармоническому закону,, то дифференциальное уравнение движения приводится К ВИДУ

岔 + 胪片=Н cos(o^.

При совпадении частоты возмущающей силы (о с частотой собственных колебаний к частное решение, соответствующее вынужденным колебаниям, будет

黑= -^-jsin①九

Из этого решения и его графика (рис. 5.1) видно, что обычный резонанс представляет неограниченное возрастание вынужденных колебаний устойчивой системы (см. пример 3 § 5.4), возникающих под действием возмущающей силы. Резонанс появляется только при одной частоте возмущающей силы <о =后 и любых, в том числе и нулевых, начальных условиях 工). Амплитуды вынужденных колебаний возрастают практически по закону арифметической прогрессии, разность которой приближенно определяется равенством d = 7/л/(2(о2) (если не считать нескольких первых колебаний, то это равенство дает очень хорошее приближение).

Параметрический резонанс — это возрастающие колебания около неустойчивого положения равновесия. Он возникает не при одном, а при бесчисленном множестве значений частоты возбуждения в результате появления неизбежных начальных возмущений (при нулевых началь-

ных условиях система находится в состоянии неустойчивого равновесия). Характер движения системы при параметрическом резонансе практически определяется соотношением (7.82) (см. также рис. 7.6)

х ⑴ ^ Ceat^ ⑴，

где а > 0, а 屮(%) — периодическая функция, период которой равен периоду возбуждающей функции Т. Амплитуды колебаний при параметрическом резонансе, как это следует из последней формулы, возрастают по закону геометрической прогрессии, знаменатель которой (фактор возрастания) определяется равенством

/ —尹〃2.

Остановимся теперь на вычислении зависимости 6 = 6(8)при условии, что I е | W 1-

Ограничимся в бесконечном определителе (7.96) Хилла сначала двумя строками и двумя столбцами

68

%⑻=子 6-1 =0

ИЛИ

△•2(8)= 5 (3 ―■ 1) —^- = 0.

Положим 8 = 0. Тогда

А (0) - 6 (6 - 1).

Это нулевое приближение имеет два корня

61О) - 0,吃-1.

Для определения первого приближения положим

41)_ 也。)+ 旬炉，&1) = S(0)+ 好2

или, учитывая значения б£)и 3?),

6?)= 〃卢2,6^ = 1 + «2е2-

Составим теперь из (7.96) определитель А3:

680

A⑻="T 6 一 1 号 =0.

0~2~6 — 4

Раскрывая определитель, находим

Аз(е) = 6(6 — 1)3一4)—聲(36-8) = 0.

Внесем сюда сначала 6^ = ^е2:

a^ (a居2 一])(0资2 - 4)^- (3a居2 — 8) = 0

или, ограничиваясь членами не выше второго порядка малости,

4仪声2 + 2ё2 = 0.

Отсюда находим

Аналогично найдем а2 и 6?):

〃2 — -J2-，§9)= ] +е2*

Монино показать, что если придерживаться принятой точности, то вычисления с помощью определителей более высокого порядка не внесут улучшения в найденные значения а】и а?. Это следует из очевидного равенства, получающегося из определителя (7.96) для конечного п при раскрытии его по элементам последнего столбца или строки:

△и = [6 —(汽一I)2] Ап_г —~ Дп_3-

Поэтому будем считать, что при малых е два решения уравнения (7.96) определяются равенствами:

.2耳

6 =Y ? 6 = 1 Н—Т^Е?.(7.102)

Аналогично получим решения уравнений (7.97)——

(7.99):

6 = 1j2~ 味 S =飞1-, 5 = — 4—|- , (7.103)

причем улучшить эти результаты за счет повышения-порядка определителей нельзя, если только вычисления вести до первого члена, содержащего е. На рис. 7.9 показаны области устойчивости для малых е.

Если в систему ввести демпфирование, то уравнение (7.89) примет вид

+ 2无+ (3 + е cos t) / = 0,(7.104)

где 九 > 0.

С помощью подстановки

/ e~hxz(7.105)

приведем уравнение (7.104) к виду

-^- + (6 —无2 十 Е cos т) z = 0.(7.106)

Это уравнение совпадает с уравнением Матье (7.89), если положить

仇=6 _九2.

Предположим, что при заданных 6,九,е уравнение (7.106) определяет устойчивое движение относительно z.

Тогда, согласно равенству (7.105), движение будет асимптотически устойчиво относительно переменной х.

§ 7；7. Примеры исследования устойчивости систем с параметрическим возбуждением

Параметрические возбуждения встречаются во многих системах. Так, например, они возникают в системах, на которые действуют периодически изменяющиеся силы (см. пример 1), при периодически изменяющейся жесткости упругих элементов системы, при качке судов [7], при вращении валов с различными моментами инерции и т. п. Большое значение имеют рассмотренные в этой главе методы при исследовании устойчивости периодических колебаний нелинейных систем.

Мы ограничимся рассмотрением двух простейших примеров.

+ а+ а6)2\-у- COS со/)屮6)2\-у- COS со/)屮

+ а

+ а

6)2\

-у- COS со/)屮

6)2\

-у- COS со/)屮

Пример 1. В л и я н и е вибрации точки подвеса н а устойчивость равновесия маятника. Пусть материальная точка М массой т укреплена на конце стержня, который может вращаться вокруг горизонтальной оси О. Очевидно, что такой маятник имеет два положения равновесия: нижнее устойчивое и верхнее неустойчивое. Исследуем влияние колебаний точки подвеса О на характер равновесия маятника.

Рассмотрим сначала влияние горизонтальных колебаний точки подвеса О на устойчивость нижнего положения равновесия маят

ника (рис. 7,10). Присоединим к силе тяжес- ти маятника mg переносную силу инерции <Х)е =——тх, где 步=汇(£)——закон движения точки О. Воспользуемся теоремой об изменении момента количества движения относительно оси вращения маятника (массой стержня пренебрегаем):

-^- (/?iZ2(p) — — tngl sin cp — mxl cos ср.

Будем считать, что точка подвеса маятника колеблется по гармоническому закону х ~ a cos оя. Тогда для малых углов 屮 последнее уравнение примет вид

• • gad

屮 + 7-屮=-2— cos st.

Это уравнение обычных вынужденных колебаний системы, находящейся под действием возмущающей силы (aa^/l) cos 9t. Резонанс возможен только при совпадении частоты возмущающей силы с частотой собственных колебаний, равной /g/Ц т. е. при

Рассмотрим теперь влияние вертикальных колебаний точки подвеса на устойчивость низшего равновесного положения маятника (рис. 7.11, а). Присоединим к силе тяжести маятника mg переносную силу инерции Фе =——mjy где у = a cos coz ——закон движения точки О по вертикали, и снова воспользуемся теоремой об изменении момента количества движения относительно оси вращения маятника

d .

而(ml^^) = — m (g — у) Z sin ф,

или, считая угол 屮 малым,

Для того чтобы привести это уравнение Матье к канонической форме (7.89), положим

зЕ ~ т.

После очевидных преобразований получим

4^ + (z^+Tc0S т) Ф =°-(7/07)

Сравнивая это с уравнением (7.89), находим

6 = g/(心2), е = а〃.(7.108)

Параметрический резонанс при малых g наступает вблизи значений 6 — /с2/4, где к — целое положительное число. Поэтому

外外

外

外

Рис. 7.11

при частоте вертикальных колебаний точки подвеса, близких к значениям

s = 2/n ]f g/l(n = 1, 2, 3,...),

устойчивое нижнее положение маятника сделается неустойчивым. Отметим, что обычный резонанс будет только при частоте s = =Ug/L в то время как параметрический резонанс наступает вблизи частот

2^1, /弱 %/訊，%丿孤，…

Проведенный анализ показывает, что устойчивость нижнего положения маятника может быть разрушена вертикальными колебаниями точки подвеса.

Рассмотрим теперь, нельзя ли с помощью тех же колебаний стабилизировать верхнее неустойчивое положение маятника. Для получения дифференциального уравнения малых колебаний маят-' ника около верхнего положения равновесия достаточно в уравнении (7.107) заменить g на —g:

潔屮 / g а \ п

石厂十L 而十丁 c°s Т川=°.

Теперь

6 — —g/(心2), е = all.

Будем считать, что амплитуда а колебаний точки подвеса мала по сравнению с длиной маятника Z. Тогда 8 ^ 1, и можно использовать диаграмму, изображенную на рис. 7.9.*Из этой диаграммы видно, что для стабилизации верхнего положения маятника при отрицательном 6 точка М с координатами 6, е должна находиться выше параболы В = —е?/2 и ниже прямой 6 = 1/4 — е/2, т. е. должны выполняться неравенства

1/2 — 26 > е >

Внесем в это двойное неравенство значения 6 п 8：

42备> A]/ 2备，

или, производя простейшие преобразования,

岑"十 2-^->aco>|/'2gZ.

При a W Z левая часть неравенства выполняется всегда и остается только правая часть, которая означает, что верхнее неустойчивое положение маятника можно стабилизировать высокочастотными колебаниями точки подвеса при условии, что ее максимальная скорость а со превышает скорость свободного падения маятника с высоты, равной его длине (]^2gZ). Впервые это свойство было установлено П. Л. Капицей [23].

Пример 2. Исследование устойчивости нулевого решения уравнения Хилла при параметрическом возбуждении по закону к в а- зипрямоугольного синуса. Рассмотрим простейшую

систему, уравнение возмущенного движения которой описывается уравнением Хилла (7.76)

芷十[6 + е屮(г)]х — О芷十[6 + е屮(г)]х — О(7.109)(7.109)

芷十[6 + е屮(г)]х — О

芷十[6 + е屮(г)]х — О

(7.109)

(7.109)

с функцией возбуждения 屮(力，изменяющейся по закону квази- прямоугольного синуса (рис. 7,12). Период Т функции возбужде-

258 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ систем ния 屮(z) складывается из времени когда функция 屮(力 равна 4-1, и времени Т2, когда 屮(е) = —1. При 7\ = Г2 имеем обычный прямоугольный синус.

К уравнению (7.109) сводится, в частности, изучение систем, жесткость которых периодически изменяется с помощью релейного устройства. Для нас эта задача представляет интерес не только потому, что ее решение может быть использовано для анализа устойчивости движения конкретных систем, но также потому, что на ней будет показано построение для одного периода [0, Т} фундаментальной матрицы решений X (力，удовлетворяющей условию (7.55), построение матрицы А = X (Т), характеристического уравнения (7.64) и определение условий устойчивости решения ж = =0,= 0.

В уравнении (7.109) число е равно глубине пульсации, а число 6 равно при 6〉6 и: е = 0 квадрату частоты к собственных колебаний, т. е. 6 — к2. Совместим начало отсчета времени t с началом какого-либо периода Т. Тогда для первой части периода 0《力 < 7\ уравнение (7.109) принимает вид

X + (/ 十咖=о (0 & 力 & 玛)，(7.110)

а для второй части периода

无 + 出— Е)£ = 0 (Л< J< Т).(7.111)

Рассмотрим сначала уравнение (7.110). Полагая, как и прежде, 工1 = а,江2 =企,мы сведем уравнение (7.110) к системе двух уравнений первого порядка

彳=充2，& = —к拉 1 (0《力& Т),(7.112)

где

耳=儿2 + &(7.113

Система (7.112) решается элементарно. Два линейно независимых решения этой системы, удовлетворяющих условиям (7.55), будут

1

Zu = COS &厶 £12 = 丁 Sin 瓦厶._ ....

忆21 =—財 sin 厄厶 忆22 — cos kit

(напомним, что первый индекс означает номер функции, второй —— номер решения).

Таким образом, на первой части периода фундамента льн ая матрица решений (7.51) принимает вид

= ](оу“).(7.115)

II — к± sin кг1 cos kyt I]

Очевидно, что X (0) = £ (условие (7.55)).

Перейдем ко второй части периода 勿i《方& Т. Уравнение (7.111) при прежней подстановке перейдет в систему вида (7.112) с заменой 片=依十 е на fcg — к2 — е:

В общем решении этой системы

(7.117)(7.117)充]—- e] cos 论2(力—T1) + C,2 sin "2 (方—?1),

(7.117)

(7.117)

a? ^^ —允2。1 sin к? (i — TJ -j- к2c2 cos к?(力—Ti)

подберем постоянные интегрирования Сг и С2 так, чтобы оно определяло первое частное решение. Для этого решение (7.117) должно совпадать с решением ^и, х21 из (7.114) при t — ^. Имеем

cos Zf]T] —。1,—允1 sin 1 ^2^2*

Подставляя значения С\ и。2 из этих равенств в (7.117), найдем первое частное решение уравнений (7.116) на втором участке периода 7\《力& Т (мы выписываем сразу второе частное линейно независимое решэние, полученное аналогичным образом):

а“ = cos 比7\ cos %2 (力—Т]—不 sin klT1 sin k2 (土 一 ©),

a^i =—儿2 cos /с]Тl sin 论2 (Z —「1)—比i sin "i?* cos 允2 (才—Ti), 11

* 12 = /- sin瓦& cos 他(土 ■- T1) + /^ cos 瓦A sinA?2 " — 71), (7.118)

62 = 一 丁 sin 比7\ sin 小2 (力-Ti) + cos 自7\ cos 卷(才-©).

Эти выражения определяют элементы фундаментальной матрицы X ") на втором участке периода Т\ £ t 0 Т. Если в (7.118) положить t = Т, то получим элементы матрицы А = X (Т)— см. (7.61), Составим характеристическое уравнение (7.64), учитывая, что(Т)：

I 网1 (Т) 一 Р 612 (Т) 1 _

I 步21 (Т)^22 (Т) 一 р I '

р2 十 @р 十 1 = О,р2 十 @р 十 1 = О,(7.119)(7.119)гдегдеПодставляя в это уравнение значения 花夫『(7) из (7.118) и учитывая равенства 耳=部十 е, 碣=部 _ £, 7 —北=厶，непосредственными вычислениями найдем

р2 十 @р 十 1 = О,

р2 十 @р 十 1 = О,

(7.119)

(7.119)

где

где

а = 2「尸 J 2 $山论/i sin 后厶一cos ^^ cos 偽厶](7.120)

林=e/部=e/8.(7.121)

1 sin ^^бт^Гг1 sin ^^бт^ГгВ этом примере все коэффициенты характеристического уравнения получены с помощью непосредственных вычислений. Как и следует из общей теории уравнения Хилла, свободный член уравнения (7.119) равен единице (см. (7.78)). Для того чтобы движение было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство | а | < 2 (см. с. 242). В нашем случае условие устойчивости (простой, но не асимптотической) принимает вид

1 sin ^^бт^Гг

1 sin ^^бт^Гг

cos к^у cos к^2 <1・ (7.122)

Если все числа 6, 8, 7\ и Г2 заданы, то проверить это условие не представляет труда. Не останавливаясь на более подробном анализе неравенства (7.122), установим только условия возникновения параметрического резонанса при 林=&/6 W 1. Пренебрегая в (7.122) всеми членами, содержащими 卩 в степени выше первой (отметим, что число 林 входит в кг и /с2), и учитывая, что параметрический резонанс для уравнения Хилла возникает уже на границе области устойчивости (см. с. 241——242), получим.

I COS (&& + 论2T2)I =丄 Отсюда

论/1 + к2T£ =冗办(re = 1, 2, 3, . . . ).(7.123)

Учтем теперь значения 月 и к2

瓦=|/ 儿2+ В =儿1/"1 + 卩，力2 = //— e = A: j/-1 —卩.

При 林=г/к2 = е/8 достаточно малом будем иметь

月=论(1+%卩)，、论2 = k(1-%卩).

Подставляя эти значения для кги к2в (7.123), найдем (7\ + 丁纟= Т) кТ +，/z 卩А: (Та — 7\) = лп,

или, с точностью до главных членов,

s = 2 — (га = 1, 2, 3,...),(7.124)

где ш — 2к/Т — частота пульсации, а к = V& ——частота собственных колебаний системы при отсутствии параметрического возбуждения.

Из выражения (7.124) видно, что при достаточно малой глубине пульсации 8 параметрический резонанс наступает при бесчисленных значениях ее частоты со. Заметим, что выражение (7.124) для критических значений частоты пульсации при параметрическом возбуждении по закону квазипрямоугольного синуса не зависит от соотношения частей периодов 7\ и Т2 M что оно в точности совпадает с соответствующими значениями критической частоты при параметрическом возбуждении по закону обычного синуса (косинуса). Действительно, если уравнение Матье записать в следующей форме:

正 + (/ + £ cos(0力)弋=0,

где к —— частота собственных колебаний системы при отсутствии параметрического возбуждения, то при переходе к безразмерному времени по формуле st = t мы получим каноническую форму (7.89) этого уравнения, в котором 6 ~ 泊/鋁 На с. 251 было показано, что при малом е критические точки для 6 определяются равенством 6 — п2/4, или А:2/со2 = п2/4, где 也=1, 2, 3, . .. Отсюда получим со = 2к!п, т. е. формулу (7.124).

В заключение этого примера заметим, что условие устойчивости (7.122) справедливо и для случая, когда одно из чисел 6, 8 + е = = 4；，и 6 ——и =加；или все они отрицательны. Для этого достаточно перейти от тригонометрических функций мнимых аргументов к гиперболическим функциям действительных величин.

ГЛАВА VIH

ПРИМЕНЕНИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА К ИССЛЕДОВАНИЮ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Введение

В большинстве случаев системы автоматического регулирования представляют сложные устройства, состоящие из объекта регулирования и регуляторов. Назначение последних состоит в том, чтобы непрерывно поддерживать в объекте регулирования установившийся режим работы или режим, изменяющийся по заданному закону. Все отклонения от заданного режима, возникающие в системе регулирования, должны быть с течением времени сведены практически к нулю. Иначе говоря, система регулирования должна быть асимптотически устойчива.

Начиная с работ И. А. Вышнеградского, о которых рассказывалось во введении и третьем примере § 4.5, при исследовании устойчивости систем автоматического регулирования применяется метод линеаризации с дальнейшим использованием различных критериев (Гурвица, Рауса, Найквиста, Михайлова и др.). Обоснованием этого метода служат теоремы Ляпунова об устойчивости движения по уравнениям первого приближения (см. § 4.3).

В 1944 г. появилась небольшая заметка А. И. Лурье и В. Н. Постникова [34], в которой для исследования устойчивости движения конкретной системы автоматического регулирования был применен прямой метод Ляпунова. Устойчивость рассматривалась в целом, т. е. при любых начальных возмущениях и любой нелинейности сервомотора, подчиненной некоторым условиям (такая устойчивость получила название абсолютной устойчивости}.

В дальнейшем А. И. Лурье в ряде работ развил идеи, заложенные в первой публикации, построил функцию Ляпунова для общего случая, охватывающего весьма широкий класс регулируемых систем, и получил систему алгебраических уравнений, решение которой определяют достаточные условия абсолютной устойчивости. В монографии [33], опубликованной в 1951 г., А. И. Лурье довел применение прямого метода Ляпунова к исследованию

262 ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ абсолютной устойчивости регулируемых систем до хорошо разработанного алгоритма.

Результаты, полученные А. И. Лурье, послужили отправной точкой для дальнейших исследований абсолютной устойчивости. В этой работе приняли активное участие ученые различных стран. Не имея возможности упомянуть всех авторов, отметим прежде всего работы советских ученых А. М. Летова [31], Е. А. Барбашина [5, 6], М. А. Айзермана и Ф. Р. Гантмахера [2], В. А. Якубовича [50, 51, 52, 53], работы американских ученых Р. Э. Калмана [55], Ж. Ла-Салля и С. Лефшеца [29, 32], румынского ученого В. М. Попова [43]. Последнему принадлежи^ введение частотных методов в исследование абсолютной устойчивости, позволивших расширить класс рассматриваемых систем.

Учитывая характер настоящего руководства, в этой главе мы кратко изложим основные идеи и результаты А. И. Лурье.

Дифференциальные уравнения возмущенного движения систем автоматического регулирования

Во многих случаях система автоматического регулирования состоит из объекта регулирования, чувствительных элементов (измерителей), суммирующего прибора, сервомотора и механизма обратной связи. Структурная схема такой системы изображена на рис. 8.1. Под регулятором понимается совокупность измерителей и суммирующего прибора; иногда в регулятор включают и сервомотор с механизмом обратной связи.

Параметры, характеризующие состояние объекта регулирования при нарушении установившегося режима работы, замеряются чувствительными элементами (измерителями), показания которых вместе с сигналом 匕 механизма обратной связи подаются на суммирующий прибор. Последний вырабатывает команду о, управляющую серводвигателем, который в свою очередь устанавливает в надлежащее положение регулирующий орган объекта регулирования и воздействует одновременно на механизм обратной связи.

Обозначим через /^ . . .,/也 параметры, характеризующие состояние объекта регулирования, а также координаты и скорости чувствительных элементов.

Будем считать, что изменение этих величин при разомкнутой цепи (отключенном серводвигателе) описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами

п

觌=2 а卜产/ (A* = 1,初1

При замкнутой цепи на изменение величин ①工,...,хп будет влиять регулирующий орган. Обозначая через 己

параметр, характеризующий положение последнего, и учитывая предположение о линейности системы, получим дифференциальные уравнения объекта регулирования и чувствительных элементов при включенном серводвигателе:

2K 5。卜产/ 十瓦石(及 1, ..., (8.1)

В конкретных системах некоторые из коэффициентов 〃储 и 仇：будут, конечно, равны нулю, в частности, в уравнениях, соответствующих чувствительным элементам, постоянные 星=0.

Будем считать, что механизм обратной связи осуществляется с помощью жесткого выключателя. В этом случае выходная величина С механизма обратной связи будет пропорциональна его входной величине

Суммирующий прибор, складывая показания чувствительных элементов, дает на вход сервомотора величину п

3 CjXj — rl,(8.3)

где Cj и г —— передаточные числа.

Передаточное число г называется коэффициентом обратной связи, В разумно построенной системе регулирования коэффициент обратной связи положителен, т. е.

Рис. 8.2

г〉0. При отсутствии механизма обратной связи г — 0; кроме того, передаточные числа с；, соответствующие параметрам объекта регулирования, также равны нулю.

Связь между входной величиной о серводвигателя и его выходной величиной в случае непрямого регулирования выражается зависимостью

а = / (叫(8.4)

где функция/ (и) называется характеристикой сервомотора.

Характеристика сервомотора может быть линейной, но значительно чаще она носит нелинейный характер. На рис. 8.2 показаны некоторые типичные примеры нелинейности функции / (и). Характеристики а и 6 непрерывны, а другие две разрывны.

В дальнейшем будем предполагать, что характеристики / (о) удовлетворяют следующим условиям.

Функция / (ст) определена и непрерывна при всех значениях о;

/ (0), = 0;

и/ (и)〉0 при любых (у*0； другими словами, •функция / (о) имеет тот же знак, что и о, и в нуль обращается только в начале координат;

Интегралы ооо

\ /(o)do, \ /(o)do(8.3丿

О—8

расходятся.

X ар актер ис тики типа 6 и е имеют зону нечувствительности (в промежутке (仃工，(у2) значения функции / (о) равны нулю при о*0). Анализ решений и устойчивости систем, дифференциальные уравнения которых содержат функции с зоной нечувствительности и разрывной нелинейностью, нельзя рассматривать в рамках общей теории. Они требуют специального исследования, выходящего за рамки настоящей книги.

Второе и третье условия не требуют пояснения. Заметим только, что третьему условию не удовлетворяют характеристики с зоной нечувствительности, так как произведение о/ (о) равно нулю во всем промежутке 91，仃2)，где о имеет значения, отличные от нуля.

Последнее, четвертое, условие практически всегда выполняется. Действительно, геометрически это условие означает, что площадь под характеристикой неограниченно возрастает при о т оо. Так как участки характеристики, параллельные оси о, для реальных сервомоторов неограниченно продолжаются вправо и влево (эти участки практически образуются за счет того, что орган, управляющий сервомотором, ложится на упоры), то четвертое условие фактически реализуется всегда. Однако мыслимы и другие сервомоторы, поэтому это условие следует предусмотреть (значение его будет объяснено в следующем параграфе).

Функции / (и), удовлетворяющие перечисленным условиям, называются допустимыми характеристиками.

Уравнения (8.1), (8.3) и (8.4) определяют возмущенное движение системы непрямого регулирования с одним регулирующим органом и жесткой обратной связью. Выпишем эти уравнения еще раз, собрав их вместе

При прямом регулировании связь между выходной 己 и входной о величинами серводвигателя осуществляется не через производную, а непосредственно:

占=/ (о).

Поэтому уравнения возмущенного движения системы прямого регулирования имеют вид

П(8.7)

Сформулируем теперь постановку вопроса.

Задача Лурье. Независимо от начального состояния системы и конкретного выбора допустимой характеристики / (о) сервомотора найти необходимые и достаточные условия устойчивости системы (8.6) в целом. Иначе говоря, требуется найти условия абсолютной устойчивости системы (8.6).

Преобразование уравнений возмущенного движения системы регулирования к канонической форме

Прежде чем перейти к определению условий абсолютной устойчивости системы (8.6), займемся преобразованием ее. В матричной форме уравнения (8.6) имеют вид

х —Ах + 炭，

£ = /(о),(8.8)

G-c/x -走.

Здесь А = \\ a^j || ——квадратная матрица,尤, 勿 и с — матрицы-столбцы (с‘ ——матрица, транспонированная с с, т. е. матрица-строка), rT g, ст и / (о) имеют прежние значения.

В уравнениях (8.8) неизвестными функциями времени являются матрица-столбец х и скалярная величина Е* Перейдем к новым переменным по формулам:

у = Ах + ^Ь = х,о= с'% —疋.

Будем иметь

步=4加+61, d = c‘К 一龙.

Принимая во внимание уравнения (8.8) и равенства (8.9),

получимполучим

получим

получим

(8.10)(8.10)沙=4? + 6/ (а),а = с'у — г/(о)・

(8.10)

(8.10)

Потребуем, чтобы определитель линейного преобразования (8.9) был отличен от нуля (см. понятие о сложных матрицах в § 5.2):

d 叱—"I*。

или более подробно

=#°・=#°・(8.11)(8.11)“11 • • • “1 几6丄

=#°・

=#°・

(8.11)

(8.11)

anl • • ■ апп Ьп

q …%— 了

В этом предположении дифференциальные уравнения возмущенного движения (8.8) и (8.10) будут взаимно эквивалентны. Это означает, что из абсолютной устойчивости относительно переменных 篡 и о следует абсолютная устойчивость относительно переменных х и g и наоборот.

Заметим, что условие (8.11) не является жестким, так как элементы определителя зависят от параметров системы, которые всегда можно выбрать так, чтобы это условие выполнялось.

Условия устойчивости системы (8.10) можно искать в матричной форме, пользуясь некоторыми матричными соотношениями (см. [51, 52]). Если считать эти соотношения известными, то вывод условий абсолютной устойчивости будет простым. Однако простота вывода и самих условий устойчивости является кажущейся, так как доказательство матричных соотношений, на которые опирается вывод, и их явное выражение через параметры системы достаточно сложны. Поэтому остановимся на методе Лурье [33], состоящем в переходе к каноническим переменным.

Сделаем линейное преобразование

и = Ау

с неособенной матрицей Л. ~ \\ аЛ-； |j. Будем иметь "=аr观，岁=A一1位.

После подстановки в уравнения (8.10) получим

Л-1й = А^и + bf (и),G — с'^и — rf (а).

Умножим первое уравнение слева на матрицу Л. Тогда, учитывая равенства АА—" = Ей — и, найдем

(8.12)(8.12)гдегде疯=Ви + "/ (о),д ^gfu~rf(o),

(8.12)

(8.12)

где

где

В = АЛА-,九=Nb、д = (Ар匕(8.13)

Будем задавать не матрицу преобразования Л, а матрицу В, считая, что она представляет нормальную форму Жордана для матрицы А (см. § 5.3). Тогда матрицы Л и Ат могут быть определены из уравнений (5.55) и (5.56):

ВА = ЛЛ, А-^ = / А-, ААт - Е・ (8.14)

Если матрица преобразования Л найдена, то обратную матрицу А-1 проще всего найти по формуле

(8.15)(8.15)

(8.15)

(8.15)

где а向一элементы обратной матрицы Л-1, А汴一алгебраические дополнения элементов а*； матрицы Л, а Д = det Л (следует обратить внимание на расстановку индексов).

В дальнейшем будем считать, что все корни 九欠(Л — = 1,2,...,") характеристического уравнения

det (Л 一九£) = 0(8.16)

простые и имеют отрицательные вещественные части Re М < 0,

причем в некоторых случаях будет допускаться один нулевой корень.

В сделанных предположениях матрица В имеет вид 4) ||М 0 . . . О II

3=。左…。.(8.17)

10 0

Запишем уравнения (8.12) в скалярной форме

筋=九必杞+ h^f (о)(宓=1,.・・，и),

п

2 gk"k —г〃о)・(8」8)

К=1

В этих уравнениях некоторые коэффициенты 无上 могут равняться нулю. Введем новые переменные zk, положив

(8.19)(8.19)f/^zR, если 无m声0,"” 一[ %, если 肌=0.

(8.19)

(8.19)

Тогда уравнения (8.17) примут свой окончательный вид эти уравнения называются каноническими уравнениями истеми регулирования)

募=入3 + 6J (о) (Л = 1,...,叫

2 %Zh• — "(о),(8-20)

где множители 5k равны единице или нулю если 0,

Зк= п 7 п(8.21)

[0, если =/

а коэффициенты е* определяются равенствами

他к, если 龜声 0,с。、

I gt, если "к = U.''

Отметим, что вещественным корням 九卜 отвечают вещественные канонические переменные z尤 и вещественные числа «к； комплексно-сопряженным корням 九乂 =九料】отвечают комплексно-сопряженные канонические переменные 纟汇=2„Ч1 и комплексно-сопряженные числа ек =

1) См. (5.35) и (5.32). В случае простых корней характеристического уравнения числа 内=& = .. .= е^ = 1, поэтому каждая клетка /^ состоит из одного элемента 九兑.

Уравнения (8.20) совпадают по своей форме с уравнениями (8.18), но отличие их состоит в том, что в уравнениях (8.20) коэффициенты 5K удовлетворяют соотношениям (8.21).

В заключение этого параграфа отметим, что существуют различные методы приведения уравнений систем автоматического регулирования к канонической форме (8.20). Здесь изложен наиболее общий метод, основанный на матричных уравнениях (8.14). Практическое применение этого метода будет разъяснено на примере.

Построение функции Ляпунова

Пусть имеется s пар комплексно-сопряженных корней (入 1，九2),仇3,九4)，•• г 伍2s—I,入2$),

которым отвечают s пар комплексно-сопряженных координат

(21，么2),(23，么4)，• • Г (®Т,z26)

и и ——2s вещественных корней

^-2s+lJ 九23十2, • • 入?г,

которым отвечают вещественные координаты

Z2S+1, 223+2» ■ • •» %“♦

Для нахождения достаточных условий абсолютной устойчивости движения А. И. Лурье предложил использовать функцию Ляпунова в следующей форме:

п n871—2$

оог=工 e大:软一' £ z*-"乘一"1- g z薪-

о

о

k—1 j=i' 空=1k=l

(8.23)

Здесь 〃2s+i，. . •, 〃" — вещественные, а а】,〃2，■ • > ? 〃2s—i， а2з —— попарно-сопряженные комплексные числа, которыми мы распорядимся в дальнейшем соответствующим образом; положительное число £ может быть выбрано сколь угодно малым.

Докажем прежде всего, что функция V определенноотрицательна. Действительно, из условия о/ (о)〉0 следует, что последнее слагаемое представляет определенноотрицательную функцию переменной о. Совокупность членов, содержащих мнояштель е, определенно-отрица-

272 ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО регулирования

Внесем в это выражение для 庐 значения производных 2 и 存 из уравнений (8.20). Получим

仄";[.必的Zj + 6/((7)]-

-E £ {z2k ['2源-"24_1 + 3咏-1/ (u)] + Z沖一1 [九2終2乂 + 82" (u)]}-

71—26—8 3 Z2S+KK=171—26—8 3 Z2S+KK=1[^2s+fcs2S+fc + 济用"(о*)]/ (0) в 6卜2卜[^2s+fcs2S+fc + 济用"(о*)]/ (0) в 6卜2卜

71—26

—8 3 Z2S+K

K=1

71—26

—8 3 Z2S+K

K=1

[^2s+fcs2S+fc + 济用"(о*)]/ (0) в 6卜2卜

[^2s+fcs2S+fc + 济用"(о*)]/ (0) в 6卜2卜

или, группируя члены,

п п 入n —2S

』££-九 ＜瞋 a^ajZj + г*(°)— & £九 2$+{Z；s+r —

e 2 (^21C-1 + 储卜)z2К一"2k - k=T

z2k *KT + e2K - 2a2e〉]z2k *KT + e2K - 2a2e〉]+++ Z2j [eb-k + ^27-1 — 2azi ^У^ 兄K=1j=l :2sn+ Z2j [eb-k + ^27-1 — 2azi ^У^ 兄K=1j=l :2sn明(2R-1 十 ％明(2R-1 十 ％+ ＞〔 Z23十左卜М+к + &$+礼一2(/2s+k ^^ K=16=1+ ＞〔 Z23十左卜М+к + &$+礼一2(/2s+k ^^ K=16=1九2S+K + %九2S+K + %]}"。).]}"。).

z2k *KT + e2K - 2a2e〉]

z2k *KT + e2K - 2a2e〉]

+

+

+ Z2j [eb-k + ^27-1 — 2azi ^У^ 兄

K=1j=l :

2sn

+ Z2j [eb-k + ^27-1 — 2azi ^У^ 兄

K=1j=l :

2sn

明

(2R-1 十 ％

明

(2R-1 十 ％

+ ＞〔 Z23十左卜М+к + &$+礼一2(/2s+k ^^ K=16=1

+ ＞〔 Z23十左卜М+к + &$+礼一2(/2s+k ^^ K=16=1

九2S+K + %

九2S+K + %

]}"。).

]}"。).

Поясним, что при группировке членов, содержащих произведение функции / (о) на двойную сумму и на параметры %, суммирование по к разбито на три суммы.

Займемся теперь преобразованием двойной суммы. Имеем

q aк2kа/)j=lq aк2kа/)j=l=^2寿喜£"必尸（£ am，二=^2寿喜£"必尸（£ am，二

q aк2kа/)j=l

q aк2kа/)j=l

=^2寿喜£"必尸（£ am，二

=^2寿喜£"必尸（£ am，二

Присоединим к двойной сумме слагаемое г/2 (о) и

272 ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО регулирования

Внесем в это выражение для 庐 значения производных 2 и й из уравнений (8.20). Получим

仄 丁」句[%Zj + 山/ (о)]—

-E £ {z2k ['2源-"2紀一1 + 8^-if (a)] + Z沖T [九2m北 + 厶上/ (u)]}-

n—2S—E 2 Z2S+KK=1n—2S—E 2 Z2S+KK=1[九26+成23+履 + ^2s+ltf (u)] -' / (o) 2 6h2上[九26+成23+履 + ^2s+ltf (u)] -' / (o) 2 6h2上

n—2S

—E 2 Z2S+K

K=1

n—2S

—E 2 Z2S+K

K=1

[九26+成23+履 + ^2s+ltf (u)] -' / (o) 2 6h2上

[九26+成23+履 + ^2s+ltf (u)] -' / (o) 2 6h2上

или, группируя члены, n nn—2s

』££-九'九.a^ttjZj + r/2 (o) — 8 £九 2$+卜

一e 2 (^21C-1 + 儿上)z2»"2k -

^2jf 唸林-1 + e2K — 2a2Kk=l『8_П^2jf 唸林-1 + e2K — 2a2Kk=l『8_П% к + % ~% к + % ~+++ W^ 出 J [eb-k + ^27-i 一 2<z2^_x ^2 兄k=ij=i :2sn+ W^ 出 J [eb-k + ^27-i 一 2<z2^_x ^2 兄k=ij=i :2sn鹤2e7 十%鹤2e7 十%+ \[ Z23十 Je5zs+k + Gs+k — 2a2s+K ^^+ \[ Z23十 Je5zs+k + Gs+k — 2a2s+K ^^九2S+K + %九2S+K + %]}/(o)・]}/(o)・

^2jf 唸林-1 + e2K — 2a2K

k=l『

8_П

^2jf 唸林-1 + e2K — 2a2K

k=l『

8_П

% к + % ~

% к + % ~

+

+

+ W^ 出 J [eb-k + ^27-i 一 2<z2^_x ^2 兄

k=ij=i :

2sn

+ W^ 出 J [eb-k + ^27-i 一 2<z2^_x ^2 兄

k=ij=i :

2sn

鹤

2e7 十%

鹤

2e7 十%

+ \[ Z23十 Je5zs+k + Gs+k — 2a2s+K ^^

+ \[ Z23十 Je5zs+k + Gs+k — 2a2s+K ^^

九2S+K + %

九2S+K + %

]}/(o)・

]}/(o)・

Поясним, что при группировке членов, содержащих произведение функции f (о) на двойную сумму и на параметры %, суммирование по А разбито на три суммы.

Займемся теперь преобразованием двойной суммы. Имеем

п пп п

nnn

『1 j=l

Присоединим к двойной сумме слагаемое г/2 (о) и

представим оба члена в следующей форме: п

2』X + г/2 (о) = ( £ 叩 J + г/2 (<т)=

k=l

+ Vrf^ — 2 j/77(o)2 〃仰.

Отнесем выделенную здесь группу слагаемых с произведениями Zft-/ (о) к соответствующим с л агаемым в производной 户.Тогда получим

户=/ "Mk + 了》(<!)『一

n—2sn—2s—£2 (入2кт 十储/Г)ZzUZzk +〉—£2 (入2кт 十储/Г)ZzUZzk +〉к=1к=1Z2K k=l8.Z2K k=l8.к=1к=1+ е2k + 2〃 2k+ е2k + 2〃 2kпп昌v)] +昌v)] ++ >〔纟2卜一1 [e32k + ^2/f-l + 2a2才一1+ >〔纟2卜一1 [e32k + ^2/f-l + 2a2才一1(г 受)]+(г 受)]++ ^2s+fc ++ ^2s+fc +n—23+ / , 228+/Гn—23+ / , 228+/Г

n—2s

n—2s

—£2 (入2кт 十储/Г)ZzUZzk +〉

—£2 (入2кт 十储/Г)ZzUZzk +〉

к=1

к=1

Z2K k=l

8.

Z2K k=l

8.

к=1

к=1

+ е2k + 2〃 2k

+ е2k + 2〃 2k

п

п

昌v)] +

昌v)] +

+ >〔纟2卜一1 [e32k + ^2/f-l + 2a2才一1

+ >〔纟2卜一1 [e32k + ^2/f-l + 2a2才一1

(г 受)]+

(г 受)]+

+ ^2s+fc +

+ ^2s+fc +

n—23

+ / , 228+/Г

n—23

+ / , 228+/Г

+ 2^("一大^^)]}"。).(8.24)

Для того чтобы знак производной 広 не зависел от функции / (о), выберем постоянные числа 优厶 〃2, • • •，％ так, чтобы множители при Z2g 么2К-1 И Z2$+k обратились в нуль, т. е. подчиним эти числа п условиям;

6^21С-1 + &欠 + 2。2Kкг~Хт£тс)=о (А: = 1,..s), eM + e2fr-! + 2aакт (了亍一"曝•黑九；)=О (A = 1,…,s),

п

入28+k + %入28+k + %Е&з+к 十《28+礼十 2^28+/с ( У Г —〉：

入28+k + %

入28+k + %

=0 伯=：1,...,九一2s). (8.25)

1 ] Д. P. Меркин

При таких 我口 а2, . . ., ап производная 户 примет вид

п

户=-

+脑上)出欠一"2斤+ 2入2sMz鼠+卜］•(8.26)

Первое слагаемое не отрицательно (по условию комплексные слагаемые входят в сумму 士窈纟卜 попарно с сопряженными, поэтому эта сумма представляет вещественное число). Кроме того, по условию £〉0, числа 九2КТ + 入2才 И 九2S+M отрицательны 伍2k =入2ктМ Re к < V 0), а множители z2k_必2k и 么^+忙—положительные вещественные числа (по условию z2k =全乱一1，z%+k вещественны). Отсюда следует, что при всех 〃「如，• • •,每，удовлетворяющих уравнениям (8.25), производная 户 будет определенно-положительной функцией переменных z^ ...

zn и а независимо от вида допустимой характеристики / (п). Кроме того, функция V определенно-отрицательна и при выполнении условия (8.5) она удовлетворяет всем требованиям теоремы Барбашина — Красовского (см. § 2.3) (квадратичные формы, входящие в функцию (8.23), стремятся к бесконечности при | z | — g, а интеграл стремится к бесконечности при | о | г оо в силу условия (8.5)).

Прежде чем перейти к выводам, сделаем одно замечание относительно уравнений (8.25). Положительное число е можно выбрать сколь угодно малым. Поэтому в силу непрерывной зависимости корней уравнения от его коэффициентов наличие числа 8 не может изменить характера этих корней. На этом основании слагаемые бЗ^ можно просто отбросить и вместо уравнений (8.25) рассматривать следующие уравнения (при е = 0 все уравнения имеют одинаковую структуру):

ек + 2а« (了丁一 £=。 陋=1,..n). (8.27)

Теперь можно сформулировать теорему.

Теорема Лурье. Если система квадратных уравнений (8.27) имеет хотя бы одно решение 〃】,а2, . . ., ап, в котором комплексно-сопряженным значениям 九斤=Z^-+1 (左= =l,3t . . ., 2s — 1) корней характеристического ураене-

ния (8.16) отвечают комплексно-сопряженные числа а〃 = = 春+1 体 = 1, 3, . . ., 2s — 1), а вещественным корням 九2s+K (后=1, •一, 冷—2s) отвечают вещественные числа 〃zs+Jt (加=1, . . п — 2s), то система регулирования (8.20) абсолютно устойчива.

Заметим, что определять корни уравнений (8.27) не нужно, достаточно найти условия, которым должны удовлетворять параметры системы, чтобы соответствующее решение существовало.

До сих пор мы предполагали, что все корни характеристического уравнения (8.16) различны и имеют отрицательные вещественные части. Рассмотрим теперь случай, когда среди этих корней имеется один нулевой корень, а остальные корни удовлетворяют прежним условиям. В этих предположениях уравнения возмущенного движения (8.20) примут вид (предполагаем, что Zn — 0)

幺к "屍Zk + 瓦/(U) (^ = 1, . . ., " — 1), 吼=/ (о),

.Qi (8.28)

* 外zn + ёц2及 rf (<7)-

Число 6П не должно равняться нулю, так как в противном случае 2龍=0 и z?, = const, т. е. будет отсутствовать асимптотическая устойчивость. Поэтому на основании условия (8.21) полагаем 5n = 1.

Докажем теперь, что коэффициент еп должен быть отрицательным. Действительно, рассмотрим линейную характеристику

/ 9) = “5

принадлежащую к классу допустимых характеристик.

Из условия of (о) = 〃(у2〉0 следует, что А〉0. Составим характеристическое уравнение системы (8.28) при / (а) = ко (напомним, что Zn = 0, 6П — 1):

X — ^1. . .0 О —Adi

△(九)=。.…九一九 71T 0 -к6nТ =0.

0... О К —к

一勺• • • — fn-i — еп ^ + Аг

Если раскрыть определитель, то коэффициент при старшем члене будет равен 4 1- Найдем свободный член

10*

а理=А (0). Имеем

—入1 ... о—入1 ... о0 一"团0 一"团

—入1 ... о

—入1 ... о

0 一"团

0 一"团

М = А(0) =М = А(0) =。一m0 - А:^ кт。一m0 - А:^ кт。 …一 а1

М = А(0) =

М = А(0) =

。一m

0 - А:

^ кт

。一m

0 - А:

^ кт

О . . . О

/—еn-1

Раскрывая этот определитель по элементам предпоследней строки, а полученный при этом минор ——по элементам последнего столбца, найдем

% - -кеп (-1)吁认1 入2 • • ■統-h

По условию все вещественные части корней 九「 . . ., А*】 отрицательны, следовательно, произведение (—彳尸一1 储入纟.… ...кп-1 будет положительно. Учитывая к тому же, что /с〉0, найдем, что знак свободного члена характеристического уравнения для линейной характеристики совпадает со знаком ——еп. Из условия Гурвица должно быть ап〉0, следовательно, еп V 0, что и доказывает сделанное замечание.

Функцию Ляпунова для этого случая можно взять в следующей форме (ср. с уравнением (8.23)):

n—1 n—1s

к=1 5=1 儿 'k=l

n—1—21Sfr—1n—1—21Sfr—1+ 2 e^z也 "9)加.(8.29)о+ 2 e^z也 "9)加.(8.29)о

n—1—21S

fr—1

n—1—21S

fr—1

+ 2 e^z也 "9)加.(8.29)о

+ 2 e^z也 "9)加.(8.29)о

При e11Vo это будет определенно-отрицательная функция всех n + 1 переменных z】,.•纟仙一口 z程,а. Производная по времени от функции У, вычисленная в силу уравнений возмущенного движения (8.28), будет иметь тот же вид, что и (8.24), если заменить в ней тг на п — 1; переменная же ип в выражение 户 не войдет. Поэтому если подчинить постоянные числа а】, а?, • • -, ^n-i условиям (8.27), то производная 庐 будет знакоопределенной функцией п переменных 纟工,...,ип_1? о и знакопостоянной функцией всех тг + 1 переменных 么* . . z^—i，么加 a.

Производная 庐 обращается в нуль при z】=... .=Zn-L = о = 0, т. е. на оси zn. Так как эта ось не является целой траекторией возмущенного движения (функции 么1H.. . = z^ = о = 0 не обращают урав-

нения (8.28) в тождества), то выполнены условия теоремы Барбашина — Красовского об асимптотической устойчивости в целом (см. § 2.3).

Из всего изложенного следует, что при наличии одного нулевого корня критерии абсолютной устойчивости получаются из квадратных уравнений (8.27), но с заменой п на 力一1. Кроме того, нужно потребовать, чтобы коэффициент еп удовлетворял условию

е)г < 0. (8.30)，

В заключение этого параграфа остановимся кратко на системе прямого регулирования. В канонических переменных уравнения (8.7) имеют вид

2k =入終乂 + §к/(О),

Функцию Ляпунова для этой системы можно взять в форме (8.23), только без интеграла. Тогда, повторяя почти в точности все выкладки, придем к следующей системе квадратных уравнений ддя определения постоянных а?г：

—2ah. ^^| 儿**入.—Ь % = 0 (А = 1, .. . , "). (8.32)

Если существует решение этих уравнений, удовлетворяющее вышеупомянутым условиям, то система регулирования (8.31), а вместе с ней и система (8.7) будут абсолютно устойчивы.

Определение условий

абсолютной устойчивости. Пример

В общем случае решение системы квадратных уравнений (8.27) представляет значительные трудности. К настоящему времени существуют обозримые решения для п ^ 6. Мы рассмотрим частный, но имеющий большое значение для многочисленных приложений случай двух квадратных уравнений (8.27); при этом будем предполагать, что 51Hb2 = 1 (см. равенства (8.21)). Положив

в уравнениях (8.27)宓=1, а затем 4 = 2, получим

)+ 2 傲]/7 —2^^+% =。,

(8.33)(8.33)Al人1十人2

(8.33)

(8.33)

g + 2曲 方 一2^^ + * = 0.

人2儿1十人2

Требуется определить, каким условиям должны удовлетворять числа А】,入2，а，% и г, чтобы эти уравнения имели решение указанного ранее вида. Следуя А. И. Лурье (см. [33]) преобразуем уравнения (8.33). Для этого разделим сначала первое уравнение на 九工,а второе на Х2 и полученные результаты сложим почленно. Тогда получим 一(千+奇)+ 2仰(岩+豈)-

—2—2。1。2M_ _(九1十入2 \九1。1。2M_ _(九1十入2 \九1

—2

—2

。1。2M_ _(

九1十入2 \九1

。1。2M_ _(

九1十入2 \九1

Третий член, очевидно, равен — За^/Х^. Объединяя его с первым членом, получим

(岩+岩y - 2"(卷+豈)一号—豈i

Это равенство можно записать еще и так:

(8.34)(8.35)(8.34)(8.35)(青+岩-"斤f，

(8.34)

(8.35)

(8.34)

(8.35)

『=号+啬十儿『=号+啬十儿где

『=号+啬十儿

『=号+啬十儿

Если А】и 九2 вещественны, то числа аг и 〃纟 должны быть тоже вещественными, если же Хх и 九2 комплексно-сопряжены, то а】и а2 должны тоже быть комплексно-сопряженными числами. Поэтому величина, стоящая в круглых скобках равенства (8.34), вещественная, а ее квадрат должен быть положительным числом. На этом основании правую часть равенства (8.35) необходимо подчинить условию

「=豈+啬十Г〉。・「=豈+啬十Г〉。・(8.36)(8.36)

「=豈+啬十Г〉。・

「=豈+啬十Г〉。・

(8.36)

(8.36)

Считая в дальнейшем, что это условие выполнено, положим Г = + j/T2. Тогда одно квадратное уравнение

8.5. УСЛОВИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ279

распадается на два линейных уравнения

『受 f 岩+ 舞=一г+" (8.37)

Вычтем теперь почленно из первого уравнения (8.33) второе уравнение

F*j^~ J + 2 "^г (ах — 〃2)+ е，一方=°・

Легко видеть, что это равенство можно представить в следующей форме:

一九1(联г 一 ^) + 九2 (y Г^-^ = ° (九2 一入工)+ * 一/.

2(8.38)

Два линейных уравнения (8.37) и одно квадратное уравнение (8.38) эквивалентны двум квадратным уравнениям (8.33).

Рассмотрим вначале случай, когда оба корня Zx и Х2 —— комплексно-сопряженные числа. Введем новые переменные % и у, определив их равенствами

/^7 ——^- = x + iy, /7 ——^- = x — iy. (8.39)

В новых переменных уравнения (8.37) и (8.38) примут вид—_

2х — /г — Г, 2х =联г + Г,

(8.40)(8.40)(入2 -入工)("一方一2(% + Z2) xyi = r & 一入 1) + e2 - /•

(8.40)

(8.40)

Разделим третье уравнение на (Х2 —— 九J:

(8.41) виде:(8.41) виде:炉一y2 + 2xxy = r + ::二;；, где в сделанных предположениях коэффициент 一期十入2 .

(8.41) виде:

(8.41) виде:

является вещественным.

Последнее уравнение представим в следующем

(1 + 炉)①2 — (*力一刀2 = Г + ::二;:.

Введем еще одну переменную 么,положив

Теперь уравнения (8.40) примут свою окончательную форму

21r = |/г — Г, 2х = ]，г + Г,23 —胃 2 = 0,

где вещественное число 0 определено равенством

a [ (T J- ^2 — %)— Г e? — '°2 + (°2 一/)(九2 —九 1)

U = _ 丁声V十九2 一九1 /矶筋■

(8.43)

Уравнения (8.42) получены из уравнений (8.33) в предположении, что корни Хг и Х2 комплексно-сопряженные. Легко видеть, что точно такие же уравнения мы получим и при вещественных корнях 九工 и Х2. Нужно только в равенствах (8.39) заменить 力土頂 на ①士 у, в равенстве (8.41) отбросить число i, а переменную z определить равенством 乂① + у = J炉一1 z. При этом параметр 0 будет по-прежнему определяться выражением (8.43). Таким образом, уравнения (8.42) эквивалентны уравнениям (8.33) при любой структуре корней 入〔и Х2 (общие предположения о том, что Ае 入1 V 0 м Re Х2 < 0 и что 厶i =# Х2, остаются в силе).

На основании теоремы Лурье можно сделать следующий вывод: если уравнения (8.42) имеют хотя бы одно вещественное решение относительно переменной 么， то система регулирования абсолютно устойчива (переменная 芻 согласно первым двум уравнениям, принимает только вещественные значения).

Из первых двух уравнений (8.42) найдем

/=等("土 F).

Внесем это выражение для х в последнее уравнение и решим его относительно и2:

” = е + ；(卢 ±17・(8.44)

Из этого равенства видно, что при 8〉0 величина z? будет положительна, a z вещественно. Это означает, что при 8〉0 система регулирования абсолютно устойчива.

Рассмотрим теперь случай 0 < 0. Из равенства (8.44) видно, что для вещественности переменной 么 нужно потребовать, чтобы параметры Г и 0 удовлетворяли

условию

9+4(^±Г)2>0.

Учитывая, что Г〉0, достаточно в скобках взять верхний знак. Таким образом, при 0 < 0 система регулирования будет абсолютно устойчива, если параметры системы г, Г и 0 удовлетворяют

условию

(Г + /F)2 > L 40. (8.45)

Если вместо параметра Г ввести новый параметр

+ fF (8.46)

то достаточное условие абсолютной устойчивости системы

при 0 < 0 принимает вид

中 2〉—в

(8.47)

К этому условию необходимо присоединить общее условие (8.36).

Область абсолютной устойчивости на плоскости параметров 8 и 4r изображена на рис. 8.3.

Пример. Непрямое регулирование двигателя с жесткой обратной связью. На рис. 8.4 и 8.5 показаны принципиальная и структурная схемы непрямого регулирования двигателя с жесткой обратной связью. Отличие от прямого регулирования (см. пример 3 § 4.5) состоит в том, что перемещение муфты центробежного устройства (измерителя угловой скорости двигателя) передается на дроссельную заслонку не прямо, а через золотник (суммирующий прибор) и сервомотор (гидравлический двигатель). Кроме того, шток серводвигателя, воздействующий на дроссельную заслонку, связан с рычагом жесткой обратной связи.

Перейдем к составлению уравнений возмущенного движения системы. Уравнение двигателя было получено ранее при рассмотрении примера 3 § 4.5. Пренебрегая моментом сопротивления 必(©) и полагая, как и прежде, z =(о —(оо, где(оо ——угловая скорость двигателя в установившемся движении, будем иметь

dz

Здесь То 一 постоянная времени, характеризующая момент инерции вращающихся частей двигателя.

Напишем уравнение центробежного регулятора вместе с демпфером (см. равенство (4.45)):

Г；出 + G* 十 £ = &Z.

Рис. 8.5Рис. 8.5

Рис. 8.5

Рис. 8.5

Уравнение золотникаУравнение золотника(суммирующего прибора) имеет вид(суммирующего прибора) имеет вид0 = 2 一已,0 = 2 一已,

Уравнение золотника

Уравнение золотника

(суммирующего прибора) имеет вид

(суммирующего прибора) имеет вид

0 = 2 一已,

0 = 2 一已,

а уравнение сервомотораа уравнение сервомотораЕ к /(а).Е к /(а).

а уравнение сервомотора

а уравнение сервомотора

Е к /(а).

Е к /(а).

Если ввести обозначения 2】=-^~ z ,片纟=必,хл = я, то урав нения движения всей системы приводятся к виду (8.6):

当=—W,备=«1^*1 + 2。严2 + «3^3,

*3 =%2， I - / (°), 0 н д 一w,

где

(8.48)

Выпишем матрицы Л, ^ и с. Имеем

Составим уравнение

det (-4 -九占)=

入

〃1

О

(8.16) и,0

2a2 —入1

найдем его корни:

о

«з

-九

九1,2 =

«2 ± К«2 + %,入3 = 0.

Отсюда

入 1 + % == 2@z, %1入2 = —"з, %i —及=21^*tz^ 十 @з* (8.50)

Пользуясь формулой (8.17), составим матрицу В:

& О5=0 х2

II о о

Вычислим произведения ВА и А4:

1ali «12 «13 ИЦ О 021 «22 ©з П «1 «31 «32 Озз IIIIО1ali «12 «13 ИЦ О 021 «22 ©з П «1 «31 «32 Озз IIIIО2?oSH2?oSH"1出2 %СС22 010^3%"1出2 %СС22 010^3%2a2^12 十(Xi3 2^2ct22 + (Хаз 2〃2Оз2 + &332a2^12 十(Xi3 2^2ct22 + (Хаз 2〃2Оз2 + &33备0612Л3СС22 〃3a32备0612Л3СС22 〃3a32

1ali «12 «13 ИЦ О 021 «22 ©з П «1 «31 «32 Озз IIIIО

1ali «12 «13 ИЦ О 021 «22 ©з П «1 «31 «32 Озз IIIIО

2?oSH

2?oSH

"1出2 %СС22 010^3%

"1出2 %СС22 010^3%

2a2^12 十(Xi3 2^2ct22 + (Хаз 2〃2Оз2 + &33

2a2^12 十(Xi3 2^2ct22 + (Хаз 2〃2Оз2 + &33

备0612

Л3СС22 〃3a32

备0612

Л3СС22 〃3a32

俨1

0

0||

ри

«12

!Н

入31

Х1С&12

М%з

вл= о

九2

0

叵

网2

入 2a21

XgtXga

九 2^23

|о

0

oil

II аз 工

«32

0

0

0

Так как матрицы ВА и ЛЛ, согласно (8.14), равны, то должны быть равны соответствующие элементы:

X1ali = a1%2， % 2a21 = @1%2， @1出2 = 0, %窃2 = 2@2窃2 + 电3，入2%2 = 2@2%2 + 吗3，202cx32 + a33 =0， 脑 а1з =。3%2， 九2%8 = 。3%2， a3a32 = 0.

Из этих девяти уравнений независимых только шесть (в каждой группе среднее уравнение является следствием верхнего и нижнего уравнений, а также уравнения (8.49)).

ПОЛОЖИМ СС]] — 〃1，^21〃!.，@31 — [* ТОГДЭ @12 — %1，@13 == 〃3,

0^22 № 入2’ ％23 '—'。3, «32 ~" OCgg -— О R, СЛвДОВДТбЛЬНО,

I Я1 九 1 & JIА -― I d], %2 "з || •10 0»

Для вычисления обратной матрицы найдем А = det 八 и соответствующие алгебраические дополнения:

a - det а = а3 & —及)，

Ац — °, А?】—О, Л3i — 〃з 仇 1 —入2)，

ОтсюдаОтсюдаА]2 = «3，Л22 = —〃з，Л32 — о,А]2 = «3，Л22 = —〃з，Л32 — о,А13 = 一入2, Л2з — Х1? Л33 ~ —。1 (入 1 —入2)・А13 = 一入2, Л2з — Х1? Л33 ~ —。1 (入 1 —入2)・

Отсюда

Отсюда

А]2 = «3，Л22 = —〃з，Л32 — о,

А]2 = «3，Л22 = —〃з，Л32 — о,

А13 = 一入2, Л2з — Х1? Л33 ~ —。1 (入 1 —入2)・

А13 = 一入2, Л2з — Х1? Л33 ~ —。1 (入 1 —入2)・

Непосредственной проверкой убеждаемся, что ЛА-1 = Е. Для перехода к уравнениям (8.18) найдем по формулам (8.13) матрицы 九и 0：

九=Ab 三 I — a】J, 0 三(А?' е=

Теперь можно перейти к уравнениям в переменных ulr u2, из, о (см. уравнения (8.18)). Имеем

iii = %% + %/ (о), й2 =入2出 + 期/ (6,

«3 = %/ (6,6 = gi旬 + g2«2 + g3^3 — /(O),

где h^ и g^ — элементы матриц 九 и。соответственно. По формулам (8.19) перейдем к каноническим переменным. Полагаем

% =无停工，％ =力2z2，u3 =无3z3.

После подстановки получим канонические уравнения

玄 1 — A]Z]十 / (о),幺2 =入2纟2 + /9)， 玄3 = / (")，

6 = «1 + e222 + *画 一 / (6-

(8.51)(8.51)В этих уравнениях

(8.51)

(8.51)

,0也

q=月g1=〃3 (風_Ml，

,а1九1

* = W2 = _a3 & 一 %2)'

В рассматриваемом примере 几=3 и один корень нулевой. В соответствии с общей теорией коэффициент еп = * должен быть отрицательным, что и имеет место в данном примере (с‘. примечание к уравнениям (8.28)).

Для получения достаточных условий абсолютной устойчивости подчиним прежде всего параметры q и е2 условию (8.36):

言+ £ +「>S

к видугдек видугдеС помощью формул (8.51), (8.50) и (8.49) это условие приводится

к виду

где

к виду

где

(8.52)(8.52)г —卩 > 0,卩=кпк±Т2/ Го.

(8.52)

(8.52)

Заметим, что при отсутствии обратной связи (г = 0) условие (8.52) не будет выполнено.'

Вычислим по формулам (8.43), (8.51), (8.50) и (8.49) параметр 0. Получим

0 =一石(4Г一"一2), где

v = Т"：.

Абсолютная устойчивость будет обеспечена при следующих условиях (в рассматриваемом примере 厂=1);

1)卩 < 1…+ l/v> 4;

+

>4 -к二 З。

Первый случай отвечает условиям (8.36) н 8 > 0. Второй случай отвечает условиям (8.36) и (8.45). Комбинируя эти условия, можно получить более простые условия абсолютной устойчивости непрямого регулирования двигателя с жесткой обратной связью:

Н < !.V & 4/2;

ц< 1/v - "4U, v > 1/2.(8.53)

Область абсолютной устойчивости показана на рис. 8.6. Конечно, все выводы справедливы при сделанных предположениях.

Г Л А В А ГХ

ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ

ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Введение

Частотные методы исследования устойчивости линейных и нелинейных систем весьма удобны для инженерных расчетов, поскольку частотная характеристика инвариантна относительно линейного неособенного преобразования координат и легко определяется как по уравнениям системы, так и экспериментально. Кроме того, частотные методы позволяют расширить класс рассматриваемых систем.

Впервые частотный критерий для исследования устойчивости линейных систем предложил Найквист в 1932 г. В 1958 г. румынский ученый В. М. Попов [431 получил достаточные условия абсолютной устойчивости в частотной форме, т. е. на языке требований, предъявляемых к частотной характеристике линейной части системы.

В 1962 г. В. А. Якубович [51], а затем в 1963 г. американский математик Р. Калман [55] опубликовали работы, из которых следует эквивалентность методов А. И, Лурье и В. М. Попова.

В этой главе кратко излагаются основы частотного метода В. М. Попова для исследования систем с непрерывными нелинейностями. Анализ систем с разрывными нелинейностями, скользящим режимом и неединственным положением равновесия («отрезком покоя») молено найти, например, в работах [15, 156, 29, 30].

Передаточные функции

и частотные характеристики

Рассмотрим линейную неоднородную систему дифференциальных уравнений

(9.1)(9.1)一%，^^| ^aj^j + ^a^ (a 1 ? • • •,冷),

(9.1)

(9.1)

где aaj, &а, ci ——постоянные коэффициенты, и ——некоторая заданная функция времени.

Будем называть функцию и《зко8о》1» системы, а функцию о ^вылодому> системы.

Заменив в системе (9.1) формально оператор d/dt на р, получим соотношения

р^а=^、@а)况 j 一卜力仪〃 (0tW),

Исключив из этих равенств переменные 力力・• ., /п и выразив о через и, придем к формуле

a=W(p)u,(9.2)

где

w(Р)=禍.(9.3)

Здесь Qm (р) и Qn (р) —— полиномы относительно р степени тип соответственно. Очевидно, т <Z ^ ^ Qn(Р)является характеристическим многочленом однородной системы, получающейся из (9.1) при и — 0.

Дробно-рациональная функция W (р) называется передаточной функцией системы (9.1) от «входа» и к «выходу» ст. Это название вытекает непосредственно из равенства (9.2): передаточная функция W (р) передает (преобразует) «вход» и в «выход» о (рис. 9.1, а).

Заметим, что для определения передаточной функции не надо предварительно приводить систему к виду (9.1), разрешенному относительно производных. Если система содержит производные выше первого порядка, то для вычисления передаточной функции надо заменить 加冲 на р£

Пример 1. Найдем передаточную функцию от «входа» и к 《выходу» х в уравнении ^ + Зх = и. Заменяя £ на pz, получим рх -\- Зх ~ и. Следовательно, передаточная функция имеет вид 1/(P + 3).

Пример 2. Найдем передаточную функцию от «входа» ——/ к «выходу» о в системе

Tip + о = ■—

Е = /,(9.4),

0 = 0w+ e2屮一疋，

где Т,后,q, с?, г ——постоянные. Делая элементарные выкладки,, последовательно найдем

(Тр2 + р^ =—林，应=/, о =(С]Р + С2)屮一疋.

Отсюда

1k后

g=y『，W = — "+p * = - p(7炉+ p) /，

Г 后（ар + c2）「— ?戌十戌_｝」/ =Г 后（ар + c2）「— ?戌十戌_｝」/ =ксгр 十阮2 + F rp2 + гр加(7计1) 九ксгр 十阮2 + F rp2 + гр加(7计1) 九

Г 后（ар + c2）「

— ?戌十戌_｝」/ =

Г 后（ар + c2）「

— ?戌十戌_｝」/ =

ксгр 十阮2 + F rp2 + гр

加(7计1) 九

ксгр 十阮2 + F rp2 + гр

加(7计1) 九

Следовательно, искомая передаточная функция имеет вид.

(9.5)(9.5)е ,、 ТГ^ + (^1 + Г)Р + кс2

(9.5)

(9.5)

0 (р)二声(Тр + 1)

Покажем, что передаточная функция не изменяется при линейном преобразовании системы. Для этого запишем уравнения (9.1) в матричной форме

В； — Ах 十，〃，о = с'н.В； — Ах 十，〃，о = с'н.(9.6)(9.6)

В； — Ах 十，〃，о = с'н.

В； — Ах 十，〃，о = с'н.

(9.6)

(9.6)

где 4 — квадратная постоянная матрица, 6 ——постоянная матрица-столбец, с — постоянная матрица-строка, х (/) — матрица-столбец, и — скалярная функция. Найдем передаточную функцию от «входа» (—и) к «выходу» о. Введя оператор р ^ dldt и единичную матрицу Е, последовательно получим

рх=^Ах + Ъи,х = — (Л — pE^bu, о = — сг (А ~ р£*尸也.

Следовательно, передаточная функция для системы (9.6) будет

W(p) = с'(4 一 рЕ尸Ь.(9.7)

Сделав в системе (9.6) линейное преобразование х — —Аг/, где Л ——квадратная неособенная постоянная матрица, получим

А» 4Ау + ЬиуА» 4Ау + Ьиуо ~ с'Ау.о ~ с'Ау.

А» 4Ау + Ьиу

А» 4Ау + Ьиу

о ~ с'Ау.

о ~ с'Ау.

Отсюда

у = Л~МЛ(/ + А-1йи, о = с Ху. (9.8)

Полагая у — ру и выполняя последовательно очевидные преобразования, получим

у = — Л'1 (Л -™ Ер^Ьи.

Теперь находим

о = — с'ЛЛт(4 -笈卩)-为〃 =一 с〈4 一 Eppbu,

Из этого равенства видно, что передаточная функция преобразованной системы (9.8) равна передаточной функции W (р) исходной системы; иными словами, передаточная функция инвариантна относительно линейного

преобразования.

Если в передаточную функцию (9.3) подставить р = где г — |А—1, as — вещественное

функцию W (ico), называемую частотной х арактеристикой системы(9.1). Функция W(i(d) имеет простой наглядный смысл. Действительно, пусть «вход» u (t) представляет возмущение, изменяющееся по гармоническому закону.Представим его в комплексной @орме м = гем, где г — амплитуда возмущения, а ©t吼 — комплексный гармонический сигнал частоты со.

число, то получимчисло, то получимРис. 9.2 значение для иРис. 9.2 значение для иПодставим этоПодставим этов равенство (9.2), заменив в нем предварительно р на гео. Имеем

число, то получим

число, то получим

Рис. 9.2 значение для и

Рис. 9.2 значение для и

Подставим это

Подставим это

0 = Ж (心)Г6£叫

Равенство (9.2) можно рассматривать как дифференциальное уравнение, эквивалентное системе (9.1). При гармоническом возмущении частное решение этого линейного уравнения будет определять вынужденное колебание той же частоты о, но другой амплитуды R при сдвинутой фазе (предполагается, что знаменатель передаточной функции (9.3) не имеет корней, равных со). Из этого следует, 网то «выход» о можно представить равенством

п = Re^^^,

где <р ——сдвиг фазы. Сравнивая полученные два выражения для «выхода» о и представляя частотную характеристику в следующей форме: W (必)—| W (必)| ©targw, получим

R \ W (必)I г, ф — arg W (必)•

Таким образом, модуль частотной характеристики равен отношению амплитуды вынужденного колебания на «выходе» системы к амплитуде гармонического возмущающего воздействия на ее «входе», а аргумент частотной характеристики равен сдвигу фазы вынужденного колебания.

Выделим в W (必)вещественную и мнимую части:

W (必)=u (со) + iv (со).(9.9)

На плоскости (и, и) при изменении ① конец вектора W (tco) описывает кривую, представляющую собой годограф частотной характеристики (она называется также амплитудно-фазовой характеристикой системы).

Для примера 1 имеем (с. 288)

3 一心

犷(面)=乔^=炉+ 9 • Поэтому

3(D

“ (з)=西1，D(3)= _ 辞"

и годограф частотной характеристики при изменении s от 0 до + оо представляет полуокружность, изображенную на рис. 9.2. Действительно, исключая из последних равенств параметр (о, получим

Критерий Найквиста устойчивости линейной системы

Положив в системе (9.1) и = — Ачт, где к — постоянная, получим однородную систему

пп

夕 а — * a<zj『jkb а X Cj 勺(a = 1, ..., ^)* (9.10)

которую, в отличие от разомкнутой системы (9.1), называют замкнутой. Если система (9.1) схематично изображается рис. 9.1, 〃， то замкнутой системе (9.10) соответствует рис. 9.1, 6.

Попытаемся выяснить, при каких значениях параметра h замкнутая система (9.10) асимптотически устойчива, т. е. все корни ее характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части и, следовательно, лежат в левой полуплоскости.

Например, для асимптотической устойчивости уравнения

£ + 31r =——кх(9.11)

необходимо и достаточно, чтобы к〉——3. Действительно, в этом случае корень —(к + 3) характеристического

уравнения будет отрицательным. Для систем более высокого порядка поставленный вопрос не тривиален.

Ответ на него и дает критерий Найквиста. Оказывается, об асимптотической устойчивости замкнутой системы (9.9) можно судить по поведению частотной характеристики W (is) разомкнутой системы (9.1). Ограничимся случаем, когда полином Q^ (р), стоящий в знаменателе передаточной функции (9.3), имеет все корни в левой полуплоскости, т. е. разомкнутая однородная система асимптотически устойчива.

На плоскости u, v построим вектор JR, выходящий из точки (—1/忘,0) и оканчивающийся в точке (и (со), р (ю)), лежащей на годографе частотной характеристики. При изменении(о угол ср между этим вектором и осью абсцисс будет меняться. Критерий Найквиста утверждает, что для асимптотической устойчивости замкнутой системы (9.10) необходимо и достаточно, чтобы приращение А ср угла 中 при изменении т от G до +°° равнялось нулю. На 9.3, а, очевидно, А(р = 0, а на рис. 9.3, б А ср = 2л.

Для частотной характеристики, изображенной на рис. 9.2, А(р — 0, если точка (——1/左,0) лежит вне диа~ метра полуокружности, и Аф = п, если эта точка лежит на интервале (0, 1/3). Такмм образом, для асимптотической устойчивости уравнения (9.11) необходимо и достаточно, чтобы —1/к < 0 либо —Ик ^> 1/3. Отсюда получаем неравенство к〉一3, установленное ранее： из элементарных соображений. Доказательство сформулированного критерия Найквиста можно найти в книге Е. П. Попова [44].

То обстоятельство, что устойчивость замкнутой системы (9.10) определяется по годографу частотной характеристики разомкнутой системы (9.1), является сильной стороной критерия Найквиста. Недостатки этого критерия состоят в том, что он требует реального построения годографа частотной характеристики системы (9.1), что в свою очередь требует знания численных значений всех коэффициентов передаточной функции. Таким образом, критерий Найквиста дает возможность проверить устойчива или неустойчива рассматриваемая система при выбранных численных значениях коэффициентов, но в общем случае с его помощью нельзя построить область устойчивости в пространстве коэффициентов.

В следующих параграфах будут рассмотрены частотные методы, применимые не только к линейным, но и к нелинейным звеньям замыкания и свободные от этих недостатков.

Частотные критерии абсолютной устойчивости систем с непрерывной нелинейностью

Рассмотрим систему

-5： асс产j +，се〃(%1,…，几)，

〃 =—ф (<у),(9.12)

О 2 CjXjy

где ф (о)——непрерывная функция, удовлетворяющая при о*0 условию

。<j^<"《十8，(9.13)

а 仪办 Ь(х, С/ ——постоянные коэффициенты,

Условие (9.13) означает, что на плоскости (о, ф) график функции ф = ф (о) должен находиться в секторе, ограниченном осью о и прямой <р = Ахт (рис. 9.4), причем закон изменения функции ①=ф (о) может быть любым, в частности он может иметь вид, изображенный на рис. 8.2, а.

Как видно, отличие системы (9.12) от (9.10) заключается в том, что (9.12) получается из системы (9.1) путем замыкания через ее нелинейное звено

〃 =—ф (о).

Вместо него для нелинейной системы (9.12) установлен следующий частотный критерий абсолютной устойчивости.

Обозначим через W (р) передаточную функцию системы (9.12) от «входа» (—ф) к «выводу» о.

В зависимости от расположения полюсов i) передаточной функции W (р) различают некритический случай, когда все полюсы лежат в левой полуплоскости, а также критические случаи, когда имеются полюсы на мнимой оси.

Приведем без вывода основные теоремы, определяющие достаточные условия абсолютной устойчивости систем рассматриваемого класса при условии, что нелинейность непрерывна (доказательство можно найти в [2, 53])：

Теорема 1 (некритический случаи). Пусть выполнены следующие условиям

нелинейная функция ф (о) удовлетворяет условию (9.13);

все полюсы W (р) имеют отрицателъные вещественные части;

т) То есть корней полинома, стоящего в знаменателе W (卩)，

существует такое вещественное число 8, что при всех со》0 выполнено частотное условие

Е + Re [(1 + 心力 W (而)]》0.(9.14)

Тогда система (9.8) абсолютно устойчива.

Частотный критерий (9.14) допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Так как W (fco) = и (со) + + iv (со), то условие (9.14) равносильно неравенству

= + 〃((£>) — Осои (со)》0.(9.15)

Построим видоизмененную частотную характеристику, изображающая точка которой определяется координатами

и (со), сор (со). Если ввести новую плоскость иг = и, рх =(ор и на этой плоскости построить годограф видоизмененной частотной характеристики при(о》0, то условие (9.14) означает, что должна существовать прямая i/k + 〃i ——8i；i = 0, проходящая через точку (——1/А, 0) и лежащая левее этого видоизмененного годографа (рис. 9.5).

Частотный критерий (9.14) гарантирует абсолютную устойчивость системы (9.12) в том смысле, что начало координат устойчиво в целом, какова бы ни была непрерывная функция ф (о), график которой заключен в сектор (9.13). В частности, будет устойчива в целом любая линейная система, получающаяся из (9.12) при ф (о) = ho, 0 V力V加.

Теорема 2 (критический случай одного нулевого полюса) t Предположим, что выполнены следующие требования:

нелинейная функция 屮(а) удовлетворяет условию (9.13);

передаточная функция W (р) имеет один нулевой полюс, а остальные ее полюсы (если 整〉1) имеют отрицательные вещественные частщ

р = lim pW (р)〉0 м существует такое веществен- р-*о

ное число 6, что при всех со》0 выполнено частотное условие (9.14).

Тогда система (9.12) абсолютно устойчива.

Теорема 3 (критический случай двух нулевых полюсов).

Пусть выполнена следующие условия:

функция 屮(о) удовлетворяет неравенству (9.13) при к = оо1) 〃 соотношению

土 8

，(p(o)do=8；(9.16)

о

передаточная функция имеет два нулевых полюса^ а остальные ее полюсы (если "〉2) имеют отрицательные вещественнее частщ

а = lim p^W (р) > О,

р->0

р = Ит^-[р2Ж(р)]>0,

靠(со) =(о 1т И\(Х(о) V 0 при всех о)〉О,lim л (со) < 0.

Тогда система (9.12) абсолютно устойчиваЛ

Прежде чем перейти к примерам, заметим, что критерии абсолютной устойчивости, установленные теоремами 1——3, носят аналитический характер и для проверки их не нужно строить годограф передаточной функции W (庙) и не нужно знать численные значения коэффициентов системы (9.12). Поэтому с их помощью можно строить области абсолютной устойчивости, что нельзя сделать, даже для линейного звена замыкания, применяя критерий Найквиста.

Случай 而 = 8 означает, что сектор, изобраэкенный на рис. 9.4, образован координатными осями о, <р, т. е. полностью заполняет первый и третий квадранты.

Примеры

Пример 1 (математический). Рассмотрим сначала чисто математическую задачу. Пусть 'уравнения возмущенного движения имеют вид

Vi十 /=旳一屮(&),

022 十%2 = %1，(9.17)

密3 =一22，

где Т] > 0 и & > ° — постоянные времени, а функция 屮 ⑸)непрерывна и удовлетворяет условию (9.13) при к = оо,

Найдем передаточную функцию от «входа» (~ф) к «выходу» • = %2・ Для этого введем прежде всего оператор р = d/dt и перепишем систему (9.17) в следующей форме:

I(GP + 今7=窃一中(0),

(т2P + 1)& =勺，Р%з = —&•

Исключая из этих уравнений 片工 и х3, найдем

&3:炉十(T1 + R)卢十夕+ 1""

Следовательно, передаточная функция для данного примера равна (напомним, что 《вход» равен (—ф))

评(〃)'ар3 +1^+7 + 7， где

а = а”，В = Z 十

Пусть 6〉а.(9.18)

Тогда, применяя критерий Гурвица (4.30), найдем, что все полюсы передаточной функции (корни ее знаменателя) имеют отрицательные вещественные части и, следовательно, можно воспользоваться теоремой 1.

Составим левую часть условия (9.14). Проведя несложные преобразования, последовательно получим (по условию к = оо) Re [(1 + 心仔)W (io))]=

(1 +而0)面①2 [(岬—a)炉十([一"]

=Re 彳—丽 E^ (二 @确 =(1 —"p(o2)2 + to2 (1 — aw2)2 '

Для выполнения неравенства (9.14) при всех со > 0 необходимо и достаточно, чтобы число 仆 удовлетворяло условиям 5р — a > 0, 1 — ^ > 0. Отсюда

丁《今& 1.

Такое 仔 найдется ввиду (9.18). Следовательно, в силу теоремы 1 область абсолютной устойчивости системы (9.17) определяется неравенством (9.18) или, переходя к исходным коэффициентам, условием

G 十 R > Т]%

Рис. 9.6Рис. 9.6Рис. 9.7Рис. 9.7

Рис. 9.6

Рис. 9.6

Рис. 9.7

Рис. 9.7

На рис. 9.6 показана область абсолютной устойчивости системы (9.17) (она ограничена прямыми тх = 0, т2 — 0 и одной ветвью гиперболы Т] + 丁2 = ^Л)-

Пример 2. Исследование устойчивости самолета с курсовым автопилотом. При регулировании курса самолета (объект регулирования) на нем устанавливаются два чувствительных эле

мента (Ч.Э.). Первый (Ч.Э.1) представляет свободный гироскоп ——он измеряет отклонение самолета от курса (угол -ф). Второй чувствительный элемент (Ч.Э.П) представляет гироскопический тахометр ——он измеряет скорость изменения угла -ф, т. е. ip. С помощью потенциометров измеренные величины (屮 и $) преобразуются в соответствующие напряжения U] и 仇，которые подаются на усилитель (суммирующий

прибор) (рис. 9.7). Усилитель

вырабатывает напряжение U, воздействующее на электродвигатель. Последний с помощью редуктора поворачивает руль самолета (регулирующее устройство) на угол |, в результате чего выравнивается отклонение самолета от заданного курса. Одновременно

угол I поворота руля регистрируется механизмом обратной связи, который преобразует сигнал ± в напряжение U3； это напряжение подается в усилитель — см. [44],

Перейдем к составлению дифференциальных уравнений возмущенного движения всей системы.

Уравнение отклонения самолета от заданного курса в простейших предположениях имеет вид

Здесь Г ——постоянная времени самолета, характеризующая его инерционность, к — постоянный коэффициент, характеризующий момент сил, создаваемых рулем.

Чувствительные элементы (гироскопы с потенциометрами) практически безьшерционны, и вырабатываемые ими напряжения Ui и U2 пропорциональны измеряемым величинам

UI=4拽，U2 = /£2w・

Будем считать, что механизм обратной связи жесткий. Это означает, что вырабатываемое им напряжение U3 пропорционально углу 自 отклонения руля:

Усилитель, суммируя входящие в него напряжения, дает на выходе напряжение U, определяемое равенством

u=后4内+施。2一脑и3，

где 击4,加5 0 儿6 一 коэффициенты усиления.

Учитывая значения U14 U2 и U3l получим

U = 4d+e2巾-疋， где

С1=加245，c2 =自击4, г -43履.

Электродвигатель с редуктором и рулем, представляют нелинейный элемент, уравнение которого имеет вид

冒=〃S・

Перепшпем полученные уравнения в виде системы, заменив предварительно U на о:

爲+ •=一碣 i = /(у), 0 = q$ + С押—— 疋.

Передаточную функцию от —/ к о для этой системы мы нашли в § 9.2 (см. (9.4) и (9.5)):

7>炉+ (阮1 +Г)Р+ 既2 w(Р)=「2 (『Ri)・

Она имеет два нулевых полюса, и, следовательно, можно воспользоваться теоремой 3.

Подчиним коэффициенты системы условиям 2, 3 этой теоремы. После очевидных преобразований получим

a」lim炉［"(夕)-就2,

Р—о

d

P = lim 丽［p^W (p)］ ^r + k(ct — &T),

,kc2— гГй)2 4- (to (kCi -|- r) "炉 + 尸 + 后 & — з?) 冗 ®)=① Im —①2 d ；7心)—1 4-7'co2*

lim л (co) = — r.

Поэтому условия 2, 3, теоремы 3 выполняются, если

кс2 > 0f r + k (q — с?Т) > 0, г> 0,(9.19)

Следовательно, рассматриваемая система абсолютно устойчива при выполнении неравенств (9.19), если нелинейность удовлетворяет условию 1 теоремы 3.

На плоскости переменных X = (с2T — Qk и г последние два неравенства (9.19) образуют заштрихованную область, изображенную на рис. 9.8 (условие к%> 0 выполняется всегда).

Пример 3. Непрямое регулирование дв и г а- теля с жесткой обратной связью. Сравним частотный метод исследования абсолютной устойчивости с методом

А. И. Лурье. С этой целью рассмотрим систему непрямого регулирования двигателя с жесткой обратной связью, описываемую уравнениями (см. пример § 8.5)

北玄=一巾位 T#十4帯+方=&z,

(9.20)

£ = / (о), о = х — L

где TOj Ti,笃，巾о,"工 — положительные

параметры.

Сначала найдем передаточную функцию от (—/) к о. Имеем

Tqpz =—蜀£ (Г；" +『гР + 5 = &z,рЕ = / (о), о =工一Е・

Из первого и третьего уравнения найдем

Согласно второму и четвертому уравнениям, получим

г0卢(Ti?十北p + d Л

Г

= -[7op2(7；p2+72P+l)-

Следовательно, передаточная функция

"⑴=?0加（窗加+乙p+1）十万

имеет два нулевых полюса. Воспользуемся теоремой 3 и подчиним коэффициенты системы условиям теоремы. После несложных преобразований получим

а = lim 卩2Hz (р) к ——,

d巾冰1?2

р = lim 丽[pW ⑴]=—+ 1,卩7 aр/ 0

「k()ki1 "I

л ((D)= co Im I z-т- ~：— =

、，[戏炉储炉一1 - T^i} "» J

ksk\T 2 [ =7о((7；з2 — 1产+ 若叫一'

Согласно теореме 3, для абсолютной устойчивости системы достаточно, чтобы выполнялись условия

а > 0, Р > °,冗(ю) V 0 при всех со > 0,lim л (①)< 0.

Первое и последнее условия выполняются, очевидно, всегда. Второе условие р〉0 будет выполнено при 卩 < 1, где 卩 — к^г Tj TQ. Третье условие равносильно неравенству

Т麺2 + (寿①2 — 1)2 _ и> 0.

Если ввести обозначения v — 實/Т^, ①*?； = У, то это неравенство приводится к виду

5/ + (1 一 2v)y + 1 —模 > 0.(9.21)

Так как условие л (s) < 0 должно выполняться при всех ①》0, то неравенство (9.21) должно быть справедливо при всех у》0. При V 0 1厶 средний коэффициент левой части этого неравенства будет неотрицателен при двух положительных других коэффициентах (卩《 1). Поэтому при v $ х/2 неравенство (9.21) будет справедливо при всех у》0.

Пусть теперь v > х/2. Корни полинома, стоящего в левой части (9.21), определяются формулой

2v —1± /(2v —I)2 —4v2(l —и)

Если подкоренное выражение положительно или равно нулю, то условие (9.21) нарушается при у =处 > 0. В случае отрицательности подкоренного выражения корни полинома мнимые и, следовательно, (9.21) справедливо при всех у》0.

Поэтому при V〉х/2 должно выполняться неравенство

(2v - 1)2< 4Y2 (1 -卩)， которое равносильно следующему:

11

Таким образом, согласно теореме 3, область абсолютной устойчивости системы (9.20) имеет вид

卩 <1яри V < V2,

[1 <； 1/v — l/4v2 при у〉％ и совпадает с областью, найденной в предыдущей главе при помощи метода А. И. Лурье (см, (8,53) и рис. 8,6).

Сравнение двух методов исследования абсолютной устойчивости, проведенное на этом примере, показывает, что частотный метод, не изменяя области устойчивости, более экономичен с точки зрения количества необходимых вычислений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Абгарян К. А. Устойчивость движения на конечном интервале 〃 Итоги науки и техники. Сер. Общая механика.— М.: ВИНИТИ, 1976.- Т. 3.

Айзерман М. А. и Гантмахер Ф. Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем.— М.: АН СССР, 1963.

2а. Анапольский Л. Ю_, И ргето в В. Д., Матросов1 В. М. Способы построения функций Ляпунова 〃 Итоги науки и техники. Сер. Общая механика.— М.: ВИНИТИ, 1975.— Т. 2.

Андреев В. Д. Теория инерциальной навигации. Автономные системы. — М.: Наука, 1966.

Андронов А. А., Витт А. А. и X айк ин С. Э. Теория колебаний.— 2-е изд,— М.: Физматгиз, 1959.

Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости движения,— М.: Наука, 1967.

Барбашин Е. А. Функции Ляпунова.— М.: Наука, 1970.

Б а с и н А. М. Качка судов,— М.: Транспорт, 1969.

Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений: Пер. с англ.— М.: ИЛ, 1954.

Беллман Р. Введение в теорию матриц: Пер. с англ. — М.: Наука, 1969.

Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем.— М.: Гостехиздат, 1956.

Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости.——М.: Физматгиз, 1961.

Б у т е н и н Н. В., Л у н ц Я. Л., Меркин Д. Р. Курс теоретической механики.—— Т. 2.—— М.: Наука, 1971.

12а.Вектоp-функции Ляпунова и их построение / Под ред. В. М. Матросова и Л. Ю. Анапольского.— Новосибирск: Наука, СО, 1980.

Вышнеградский И. А. О регуляторах прямого действия ИД. К. Максвелл, И. А. Вышнеградский и А. С т о д о л а. Теория автоматического регулирования.— М.: АН СССР, 1949.

Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.— 3-е изд.— М.: Наука, 1967.

Г е л и г А. X. Исследование устойчивости нелинейных разрывных систем автоматического регулирования с неединственным равновесным состоянием // Автоматика и телемеханика,— 1964.— № 2.

15а.Г ел и г А. X., Комарницкая О. И. Абсолютная устойчивость нелинейных систем с неединственным положением

равновесия в критических случаях // Автоматика и телемеханика.— 1966.— № 8.

156.Гел и г А. X., Л еон о в Г. А., Якубов ичВ. А. Устойчивость нелинейных систем с неединствепным состоянием равновесия. — М.: Наука, 1978.

Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости.— М.: Наука, 1967,

ДиментбергФ. М. Изгибные колебания вращающихся валов.— М.: АН СССР, 1959.

ДубошинГ. Н. Основы теории устойчивости движения.— М.: МГУ, 1952.

Е р у г и н Н. Н. Приводимые системы.— Минск: Наука и техника, 1966.

Ж у к о в с к и й Н. Е. О прочности движения // Собр. coz— М.: Гостехиздат, 1948.— Т. I.

Зубов В. И. Устойчивость движения. — М.: Высшая школа, 1973.

ИшлинскийА. Ю. К теории гирогоризонткомиаса // ПММ, 1956Т. 20, вып. 4.

Капица П. Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса И ЖЭТФ.— 1951.— Т, 21, вып. 5.

К а п и ц а П. Л. Устойчивость и переход через критические обороты быстро вращающихся роторов при наличии трения // ЖТФ.— 1939.— Т. IX, вып. 2.

24а.К арапетянА. В. Об обращении теоремы Рауса // Вестник МГУ. Математика. Механика.— 1973.— № 5.

К а р а ч а р о в К. А. иПилютикА. Г. Введение в техническую теорию устойчивости движения. — М.:Физматгиз, 1962.

К а ц И. Я. иКрасовскийН. Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами // ПММ.— I960.— Т. 24, вып. 5.

26а. К ел ьзон А. С., Ц иманский Ю. П., Яков- л е в В. И. Динамика роторов в упругих опорах.— М.: Наука, 1982.

КрасовскийН. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959.

Кузьмин П. А. Малые колебания и устойчивость движения.— М.: Наука, 1973.

Л а - С а л л ь Ж. и ЛефшецС. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова: Пер. с англ.— М.: Мир, 1964.

Л е о н о в Г. А. Об устойчивости нелинейных регулируемых систем с неединственным положением равновесия // Автоматика и телемеханика. — 1971,— № 10.

Л е т о в А. М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем.— 2-е изд.— М.: Физматгиз, 1962.

ЛефшецС. Устойчивость нелинейных систем автоматичес~ кого управления: Пер. с англ.— М.: Мир, 1967.

Л у р ь е А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования.— М.: Гостехиздат, 1951.

Л у р ь е А. И. и Постников В. Н. К теории устойчивости регулируемых систем 〃 ПММ. — 1944.— Т. 8, вып. 3.

Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения.一 М.: Гостехиздат, 1950.

М а т р о с о в В. М. К вопросу устойчивости гироскопических систем с диссипацией // Труды Казанского авиац. ин-та.—— 1959.— Вып. 45.

Малкин И. Г. Теория устойчивости движения.— 2-е изд. — М.: Наука, 1966.

37a. М а р к е е в А. П. Точки либрации в небесной механике и космонавтике.— М.: Наука, 1978.

М е р к и н Д. Р. Гироскопические системы. — М.: Гостехиз- дат, 1956; 2-е изд.— М.: Наука, 1974.

М е р к и и Д. Р. Достаточные условия асимптотической устойчивости одной нелинейной системы И Уч. зап. Лен. гос.. пед. ин-та им. А. И. Герцена.— 1966.—Т. 4 25; 1958.— Т. 141.

М е р к и н Д. Р. К вопросу об устойчивости по структуре сил // ПММ.— 1975.— Т. 39, вып. 5.

40a.M е р к и н Д. Р. Об устойчивости стационарных движений оси вращающегося ротора, установленного в нелинейных подшипниках 〃 ПММ.— 1983.— Т. 47, вып. 3.

Н и к о л а и Е. Л. Об устойчивости прямолинейной формы равновесия сжатого и скрученного стержня //Николаи Е.Л. Труды по механике.——М.: Гостехиздат, 1955.

2. Николаи Е. Л. Теоретическая механика.— М.: ГОНТИ, 1939.— Ч. 3.

П о п о в В. М. Гипер устойчив ость автоматических систем: Пер. с рум.— М.: Наука, 1970.

П о п о в Е. П. Динамика систем автоматического регулирования.— М.: Гостехиздат,. 1954.

44а；П р е с н о в Е. В. Потенциальный характер критерия эволюции термодинамики необратимых процессов 〃 ЖФХ.— 1973. — Т. 47, № 11.

Р у м я н ц е в В. В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных // Вестник МГУ.— 1957.— № 4.

Р у м я н ц е в В. В. Об устойчивости стационарных движений спутников 〃 Математические методы в динамике космических аппаратов.— М.: ВЦ АН СССР.— 1967.— Вып. 4.

46а.Р у м я н ц е в В. В., Карапетян А. В. Устойчивость движений неголономных систем // Итоги науки и техники. Сер. Общая механика.— М.: ВИНИТИ, 1976.— Т. 3.

G в и р е ж е в Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ.— М.: Наука, 1978.

СтаржинсктГйВ.М. Достаточные условия устойчивости одной механической системы с одной степенью свободы // ПММ,— 1952,— Т. 16, вып. 3.

Т а м м И. Е. Основы теории электричества.— 9-е изд.— М.: Гостехиздат, 1976.

Ч с т а е в Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике, — М.: АН СССР, 1962.

Я к у б о в и ч В. А. О нелинейных дифференциальных уравнениях систем автоматического регулирования с одним регулирующим органом // Вестник ЛГУ.— 1962.— № 7.

Якубович В. А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования 〃 ДАН СССР.— 1962.— Т. 143, № 6.

Якубович В, А, Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем. 1. Абсолютная устойчивость вынужденных колебаний // Автоматика и телемеханика.— 4964.— Т. 25, № 7.

Якубович В. А. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем в критических случаях // Автоматика

и телемеханика. — 1963.— Т. 24,№ 3;1963.— Т. 24,

№ 6; 1964,— Т. 25,№ 5.

53а.Е d е 1 е n D. G. В. On the characterization of fluxes in nonlinear irreversible thermodynamics П Int. I, Eng. Sei.— 1974.— №. 12.

536.H agedorn P. Die Umkehrung der Stabilitatssatre von Lagrange — Dirichlet und Routh // Arch. Rational Meeh, and Anal.— 1971.— Bd 42, № 4. (Русск. перев.: Хагедорн IL, Обращение теорем Лагранжа — Дирихле и Рауса // Механика: Период, сб. переводов ин. ст.— 1972.— № 5.

53в.Н a g е d о г n Р. Uber die Instabilitat konservativer System© mit giroskopischen Kraften // Rational Meeh and Anal.—1975.— Bd 58, № 1.

HerrmanG. Stability of Equilibrium of Elastic Systems Subjested to Nonconservative Forces // Applied Mechanics Reviews.—1967.— V. 20, № 2.

Kalman R. E Liapunov Functions for the Problem of Lurie in Automatic Controls // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. —1963.— V. 49.

RouthE.J.A treatise on the stabilite of a given state of motion.— London, 1877.

R о u t h E. J. The advanced part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies.— London, 1884.

Thomson W. and Tait P. Treatise on Natural Phylo- sophy.— Cambridge University Press, 1879.— Part I.

W e h r 1 i C., Z i e g 1 e г H. Zur Klassifikation von Kriilten // Schweiz. Bauzeitung.—1966.— V. 84, № 48.

Ziegler H. Linear Elastic Stability. A. Critical Analysis of Methods // ZAMP.- Basel — Zarich, IV, F -2.—1953,

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 6

Введение 9

ГлаваI. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 13

Основные определения 13

Уравнения возмущенногодвижения 18

1. Дифферонциальвыс уравнения возмущенного движения конического маятника (23). 2. Дифференциальные уравнения возмущенного движения центра масс искусственного спутника Земли (23). 3, Уравнения возмущенного движе1. Дифферонциальвыс уравнения возмущенного движения конического маятника (23). 2. Дифференциальные уравнения возмущенного движения центра масс искусственного спутника Земли (23). 3, Уравнения возмущенного движеПрлмсры на составление уравнен^ возмущенного движения 23

1. Дифферонциальвыс уравнения возмущенного движения конического маятника (23). 2. Дифференциальные уравнения возмущенного движения центра масс искусственного спутника Земли (23). 3, Уравнения возмущенного движе

1. Дифферонциальвыс уравнения возмущенного движения конического маятника (23). 2. Дифференциальные уравнения возмущенного движения центра масс искусственного спутника Земли (23). 3, Уравнения возмущенного движе

ния линейных систем (27).

Глава II. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА (АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ) 29

Функции Ляпунова. Критерий Сильвестра, .29

Теорема Ляпунова об устойчивости движения . .37

Теоремы об асимптотической устойчивости ...39

Теоремы о неустойчивости движения 49

Методы построения функции Ляпунова . . . .53

Примеры на применение теоремы Ляпунова об устойчивости движения 57

Устойчивость движения коническохю маятника (57).

Устойчивость стационарного движения центра масс искусственного спутника Земли (59). 3. Достаточное условие устойчивости волчка (условие устойчивости вращательного движения снаряда) (62).

Примеры на применение теорем об асимптотиче

ской устойчивости и ноустоИчивости движения 67 1. Асимптотическая устойчивость равновесия твердого тела, находящегося в сопротивляющейся среде (67). 2. Устойчивость установившихся режимов вольтовой дуги в цепи с сопротивлением и самоиндукцией (68). 3. Условие устойчивости лампового генератора (72). 4. Устойчивость равновесия системы с одной степенью свободы, находящейся под действием потенциальной нелинейной силы и силы сопротивления, пропорциональной первой степени скорости (74).

Глава Ш. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ И СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ 77

Теорема Лагранжа 77

Обратимость теоремы Лагранжа 81

Циклические координаты. Преобразование Рауса 82

Стационарное движение и условия его устойчи

вости 86

Устойчивость стационарного движения конического маятника (89). 2. Устойчивость стационарных движений центра масс искусственного спутника Земли (90). 3. Устойчивость регулярной прецессии тяжелого гироскопа (92).Устойчивость равновесного положения оси вращающегося уравновешенного ротора, установленного в нелинейныхУстойчивость стационарного движения конического маятника (89). 2. Устойчивость стационарных движений центра масс искусственного спутника Земли (90). 3. Устойчивость регулярной прецессии тяжелого гироскопа (92).Устойчивость равновесного положения оси вращающегося уравновешенного ротора, установленного в нелинейныхПримеры 89

Устойчивость стационарного движения конического маятника (89). 2. Устойчивость стационарных движений центра масс искусственного спутника Земли (90). 3. Устойчивость регулярной прецессии тяжелого гироскопа (92).

Устойчивость равновесного положения оси вращающегося уравновешенного ротора, установленного в нелинейных

Устойчивость стационарного движения конического маятника (89). 2. Устойчивость стационарных движений центра масс искусственного спутника Земли (90). 3. Устойчивость регулярной прецессии тяжелого гироскопа (92).

Устойчивость равновесного положения оси вращающегося уравновешенного ротора, установленного в нелинейных

опорах (95).

Г л а в а IV. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ 97

Постановка задачи 97

Предварительныезамст(ания 98

Основные теоремыобустойчивости по первому

приближению 101

Критерий Гурвица 106

Примеры 110

Условия устойчивости устанонившпхия режимов вольтовой дуги и цепи с силротив.п?ш<зм, самоиндукцией и за- шунтированной емкостью (110). 2. Условие устойчивости лампового генератора (112). 3. Условие устойчивости установившегося режима двигателя с цегп'робежным регулятором (113). 4. Необходимое условие устойчивости волчка (вращательного движения снаряда) (118). 5. Устойчивость стационарных движений оси вращающегося неуравновешенного ротора, установленного в нелинейных подшипниках (120),

Г л а в а V. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМ

НЫХСИСТЕМ 124

Введение 124

Матрицы и основные действия с ними 124

Элементарныеделители 133

Устойчивость линейных автономных систем. Устойчивость резонанса. Примеры 142

Г л а в а VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ СИЛ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ 150

Введение 150

Классификация сил 151

Постановка задачи 163

Коэффициенты устойчивости 168

Влияние гироскопических и диссипативных сил на устойчивость равновесия потенциальной системы 170

Примеры на применение теорем Томсона — Те- та — Четаева 175

Устойчивость волчка (175). 2. Устойчивость системы инерциальной навигации (176). 3_ Х'ироскопический однорельсовый вагон (180).

Устойчивость равновесия под действием одних гироскопических и диссипативных сил. Пример. 183

Влияние на устойчивость равновесия неконсер

вативных позиционных сил 191

Примеры исследования устойчивости движения систем с неконсервативными силами 203

Модель упругого стержня, находящегося под действием следящей силы (204). 2. Неустойчивость ротора, вращающегося в аэродинамической среде(207). 3. Гировертикаль с радиальной коррекцией (211).

Глава VII. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ 214

Функцип Ляпунова для неавтономных систем.

Обобщенный критерий Сильвестра 214

Основные теоремы прямого метода для неавтономных систем 219

Примеры построения функции Ляпунова для неавтономных систем 222

Устойчивость движения гирогоризонткомпаса (222).

Математический пример (224).

Достаточные условия асимптотической устойчивости системы, жесткость и демпфирование которой нелинейны и зависят явно от времени . .224

Устойчивость линейных систем с периодическими коэффициентами 231

Устойчивость решений уравнений Хилла и Матье 239 § 7.7. Примеры исследования устойчивости систем с па- рамегрическим возбуждением 254

Влияние виграции точки цпдв^си па усгийчивосгь равновесна маятника (2и5)・ 2. Исслгдпвание устойчивости нулевого решения уравнения Хилла П]Ш параметрическом воз- Оуждепии но закону квазипрямоугилыюго синуса (257).

Глава VIII. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА К ИССЛЕДОВАН ПО УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ .261

Введение * 261

Дифференциальные уравнения возмущенного движения систем автоматического регулирования 262 § 8.3. Преобразование уравнений возмущенного движения системы регулиров ания к канонической форме 266

Построение функции Ляпунова 270

Определение условий абсолютной устойчивости.

Пример• 277

Г л а в а IX. ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ 286

Введение 286

Передаточные функции и частотные характеристики 286

Критерий Найквиста устойчивости линейной системы290

Частотные критерии абсолютной устойчивости

систем с непрерывной нелинейностью 292

Примеры 296

Математический пример (296). 2. Исследование устойчивости самолета с курсовым автопилотом (297). 3. Непрямое регулирование двигателя с жесткой обратной связью (299).

Слисок литературы 301

1) Будем для простоты сферу с радиусом У6 (аналогично ]Ле) называть сферой 6 (или сферой е).

1) Термин «стационарное движение» будет более подробно разъ

другие стационарные движения искусственного спутника Земли.

1) Этим условиям удовлетворяет также движущийся плоско

1) Гидравлический демпфер (катаракт) состоит из поршня и цилиндра, заполненного вязкой жидкостью. При перемещении пор

1) В упомянутой статье И. А. Вышнеградского впервые дан под

1) Более подробный разбор устойчивости движения оси неурав

1) Существуют критерии, при выполнении которых все корни

В Легко показать, что Д (―X) = (—1)8Д (X). Следовательно, если % ——корень уравнения Д (X) = 0, то ——九 тоже корень этого уравнения. Поэтому, если имеется корень, вещественная часть которого не равна нулю, то должен быть корень, вещественная часть которого положительна. Но в этом случае движение будет неустойчиво, что противоречит доказанной теореме 1 § 6.7. Из этого следует, что все отличные от нуля корни уравнения (6.85)——чисто мнимые числа.

1) Теорема Барбашина — Красовского сформулирована в § 2.3 для автономных систем. При функции U(z), не зависящей явно от времэни 力 и удовлетворяющей условию (2.16), эта теорема остается справедливой и в том случае, когда производная 俨，завися явно 0T времени, является определенно-отрицательной функцией в смысле Ляпунова.

I) При ® * к частное решение имеет вид

Д.Р.Меркин