Предисловие к русскому изданию

В период бурного развития динамики нелинейных волн вообще и «солитоники» в особенности, каким было прошедшее десятилетие, важнейшее значение имели творческие находки советских ученых. Поэтому нам будет приятно и вместе с тем лестно видеть русский перевод данной книги, которая, как мы надеялись, поможет сблизить отдаленных друг от друга исследователей, занятых этой подлинно интернациональной научной работой. Одна из традиций науки ——развитие дружеских отношений, которые часто ведут к расширению культурного кругозора и взаимопонимания повсюду в мире. Это происходит на наших глазах в науке о солитонах, интереснейшей области, где сотрудничают ученые самых разйых специальностей. Помня о такой традиции, мы с большим удовольствием выражаем признательность нашему другу Льву Островскому за его работу по подготовке русского издания. '

Июнь 1980. Карл Лонгрен

Элвин Скотт

Фотография Джона Скотта Рассела (прибл. I860 г.)

Посвящается

Джону Скотту Расселу, педагогу, ученому, инженеру и просвещенному служителю человечества.

Предисловие

Начиная с 1965 г., когда Н. Забуски и М. Крускал ввели в обращение термин «солитон», продолжается на редкость бурное развитие научных исследований, связанных с понятием солитона и соответствующими приложениями. Свидетельством тому может служить приведенный на рис. 1 график числа ежегодно выпускаемых статей, содержащих слово «солитон» в заглавии, за десятилетие до 1976 г. Из графика видно, что исследование солитонов находится еще только на начальном этапе экспоненциального роста. Данная книга задумана как введение в науку о солитонах для достаточно широкого круга специалистов — ученых и инженеров. Главы сборника тщательно подобраны таким образом, чтобы, кратко познакомив читателя с основами теории, дать более широкий обзор экспериментальных исследований солитонов, представляю^ 1цнх интерес в настоящее время. Мы надеемся, что читатель почувствует ту атмосферу живого интереса, которая характерна для сегодняшних исследований солитонов, и, может быть, сам примет участие в этих исследованиях.

Вводная глава (гл. 1), написанная Миурой, представляет собой краткий очерк развития исследований уединенной волны, с тех пор как Дж. Рассел впервые наблюдал ее в 1834 г.; здесь отмечается важное отличие солитона от уединенной волны вообще. Рассматривая в качестве примера уравнение Кортевега — де Вриза (КдВ), Миура дает весьма простой и наглядный анализ связи между такими свойствами уравнения, как существование бесконечной системы законов

сохранения, и точными методами его решения — очень мощным методом обратного рассеяния, а также преобразованием Бэклунда, дающим иерархию многосолитонных решений нелинейных волновых уравнений. В следующей главе (гл. 2) Мозес обобщает алгоритм Гельфанда—Левитана, применяемый в обратной задаче рассеяния, для того, чтобы связать эволюцию

喧EZW0『旨h喧EZW0『旨h

喧EZW0『旨h

喧EZW0『旨h

данных рассеяния с эволюцией решения соответствуй ющего волнового уравнения.

В главе 3 Герман демонстрирует важное значение современных концепций дифференциальной геометрии для понимания фундаментальных свойств солитонов и глубокой связи .между методом обратной задачи рассеяния и преобразованием Бэклунда. Он считает, что теория групп Ли может служить основой для построения неодномерной теории солитонов, и предлагает обширный перечень будущих исследований.

В главе 4 Бишоп обсуждает возможную роль солитонов & современных физических исследованиях и показывает, что при описании систем с солитонами важное значение может иметь аппарат статистической механики. Он считает, что солитонный подход будет необычайно плодотворным при построении тер-

рии возмущений для решений, близких к многосолитонным, и приводит в качестве примера расчет возмущений односолитонного решения.

В следующих трех главах (гл. 5—7) описаны экспериментальные исследования динамики солитонов в различных физических системах. Результаты этих экспериментов сравниваются с соответствующими предсказаниями теории. В главе 5 Юэн и Лэйк рассматривают гидродинамические солитоны, обращая особое внимание на «солитоны огибающих», которые образуются на глубокой воде!).

В главе 6 Лонгрен дает обзор экспериментов по изучению солитонов в нелинейных линиях передачи с дисперсией. Подобные эксперименты можно рассматривать как начало поисковых исследований, нацеленных на разработку нелинейных фильтров и надежных систем передачи информации. Некоторые примеры поведения солитонов в плазме описаны Икези в главе 7. Его работа демонстрирует возбуждение и распространение различных типов солитонов, их столкновения и явление возврата, впервые обнаруженное Ферми, Пастой и Уламом.

В главе 8 Парментье дает феноменологическое описание процессов в джозефсоновском туннельном переходе между двумя близко расположенными сверхпроводниками. Магнитный поток распространяется через зазор между ними квантованными порциями (флюксонами), которые можно рассматривать как «солитоны в действии». Мак-Лафлин и Скотт, используя такое описание, развивают в следующей главе (гл. 8) упрощенную схему метода возмущений для много* солитонных решений, применение которой не требует детального знания техники обратной задачи рассеяния.

Беттех и Пауэлл обнаружили солитонные эффекты, исследуя численными методами распространение ударных волн в твердых телах. В главе 10 они описывают распространение солитонов в первоначально

1) Эта работа докладывалась на общем собрании Американского физического общества в Сан-Франциско 26 января 1978 г. Авторы любезно согласились на ее публикацию в данной коллективной монографии.

термализованной цепочке атомов, взаимодействие которых задается потенциалом Морса. В заключительной главе (гл. 11) Дим и Забуски сообщают о численном анализе уравнения Эйлера в двумерном пространстве. Они обнаружили класс равномерно вращающихся вихревых областей конечной площади, которые они называют V-состояниями или вортонами. Возможно, в следующем десятилетии нам предстоит прочесть книгу под названием «Вортоны в действии».

Мы завершаем книгу краткими биографическими сведениями о Дж. Расселе — «великом инженере и кораблестроителе викторианской эпохи», открывшем уединенную волну.

От имени всех авторов мы выражаем искреннюю признательность д-ру Дж. Чандре из Научно-исследовательского управления сухопутных войск США за проведение совещания Рабочей группы по солитонам (состоявшегося в октябре 1977 г. в Редстонском арсенале), материалы которого легли в основу данной книги. Наши собственные исследования по нелинейной динамике щедро финансировались в течение последнего десятилетия Национальным научным фондом; мы пользуемся возможностью поблагодарить д-ров Р. Ростенбаха и Дж. Харриса за поддержку.

рукописи.рукописи.Мы благодарны также проф. Б. Ноблу, директору Центра математических исследований Университета шт. Висконсин, за предоставленную нам возможность работать вместе и г-же С. Росс за надежную и квалифицированную помощь в окончательной подготовке

рукописи.

рукописи.

Карл Лонгрен Элвин Скотт

Глава 1

Введение в теорию солитонов и методобратной задачи рассеяния на примереуравнения Кортевега — де Вриза

Р. Миура*)

§ 1. ВВЕДЕНИЕ

В последние десять лет понятие солитона и метод обратной задачи рассеяния, применяемый для точного решения различных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, многие из которых интересны в физическом отношении, оказали далеко идущее влияние на развитие различных областей математики, физики и техники. Эта область исследований быстро разрослась за упомянутый срок. В данной статье мы познакомйм читателя с основными идеями на примере уравнения Кортевега ——де Вриза (для краткости будем называть его уравнением КдВ), на основе которого они и были первоначально развиты. Дальнейшие подробности и ссылки можно найти в обзорной статье автора [20].

Кортевег и де Вриз [15] вывели уравнение, носящее их имена, в 1895 г. при исследовании длинных волн в прямоугольном канале с водой. Однако современное развитие теории солитонов и ее приложений начинается с работы, опубликованной в 1955 г. Ферми, Пастой и Уламом [7] в качестве отчета Лосаламос- ской научной лаборатории и посвященной исследованию нелинейных дискретно нагруженных струн. Эти исследования по термализации энергии в нелинейных колебательных системах были начаты Ферми в связи с появлением новой ЭВМ «МАНИАК». Отсутствие термализации в численных экспериментах оставалось

♦) Robert М. Miura, Department ot Mathematics, University of British Columbia, Vancouver, British Columbia, Canada VGP 1W5.

парадоксом в течение ряда лет. Забуски [30] и Забуски и Крускал [31] показали, что длинные волны, бегущие в одном направлении по дискретно нагруженной струне с квадратичными силами взаимодействия между частицами, могут быть описаны уравнением Кд В, и установили, что в решениях, полученных ими при помощи ЭВМ, содержатся стабильные объекты, которые они назвали солитонами. Этим и объяснялось отсутствие термализации.

Уравнение КдВ — это нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных, которое мы для удобства запишем в виде

〃力一6〃〃％ + иххх = 0, (1) где индексы означают дифференцирование по данной переменной. Вообще говоря, уравнение КдВ описывает распространение волн малой, но конечной амплитуды, бегущих в одном направлении в нелинейной среде с дисперсией. Переменная и есть отклонение от равновесного значения некоторой физической величины, например высоты, скорости, плотности и т. д. Конечно, в приложениях к теории волн на воде или во вращающемся потоке жидкости, к динамике решеток, физике плазмы, теории упругости и др. коэффициенты уравнения будут зависеть от конкретных физических параметров. Кортевег и де Вриз намеревались разрешить следующий вопрос: если пренебречь трением, то будут ли длинные волны на воде непременно становиться все более крутыми на фронте и пологими на спаде? Их ответ был отрицательным; в частности, они показали, что уравнение、⑴ имеет решения в виде стационарных бегущих волн, а именно уединенной волны

〃(招 f) = —^Q2sch2伎а(лг —%о —出/)] (2) и периодической кноидальной волны, которая может быть выражена через эллиптические функции Якоби. Уединенные волны образуют однопараметрическое (если не считать тривиального переноса по оси х) семейство решений в форме импульсов, скорость движения которых а2 пропорциональна амплитуде, а ши-

рина 1/q обратно пропорциональна квадратному корню из амплитуды. Таким образом, более высокие уединенные волны уже и распространяются быстрее низких.

、 § 2. СОЛИТОНЫ

Решения в виде уединенных волн присущи многим нелинейным динамическим системам. Уединенные же волны, отвечающие уравнению КдВ и некоторым другим эволюционным уравнениям, отличаются следующим свойством. Предположим, что в начальный момент на действительной оси имеются две уединенные

волны разной амплитуды, причем большая волна расположена слева от меньшей. Расстояние между ними достаточно велико, так что перекрываются только их экспоненциально малые хвосты (рис. 1,“). Из этого начального состояния решение эволюционирует в соответствии с уравнением КдВ, и поскольку более высокая уединенная волна находится слева, она будет двигаться вправо быстрее, догонит меньшую волну, и произойдет их нелинейное взаимодействие, описываемое уравнением МВ・ R。рцазыеается (и ат。было

неожиданным по крайней мере в то время, когда такая картина наблюдалась впервые), что они выходят из столкновения без изменения своей формы и амплитуды, лишь несколько смещенными от того места, где они находились бы, если бы не было взаимодействия (рис. 1,6). Эти свойства уединенных волн, сближающие их с частицами (во-первых, стационарное распространение в виде импульсов и, во-вторых,

сохранение их формы и скоростей после взаимодействия) ,и побудили Забуски и Крускала [31] назвать их солитонами. Следовательно, солитон — это уединенная волна, но лишь такая уединенная волна, которая обладает указанными выше свойствами. (В последнее время в литературе появилось много статей, в которых под солитоном неверно понимают просто уединенную волну 】).)Доказательство того, что два солитона выходят из столкновения неизмененными, было впервые дано Лэксом [17], а доказательство в случае ^ солитонов проводится методом обратной задачи рассеяния [11], о котором будет сказано позже. Более общее и подробное рассмотрение вопроса о солитонах можно найти в обзоре Скотта, Чу и Мак-Лафлина [25].

В общем случае произвольное локализованное начальное возмущение для уравнения КдВ разделяется

По нашему мнению, понятие солитона и в самом деле 吟 лесообразно расширить. Так, в последнее время были рассмотрены уединенные волны, которые в результате взаимодействия сохраняют свою структуру как частицы, но не расходятся, а, напротив, образуют связанную пару; такие уединенные волны естественно Tawe называть солитонами. — Прим. ре@

на две части: солитоны, распространяющиеся вправо, и осциллирующая волна с амплитудой, затухающей со временем, распространяющаяся влево (рис. 2).

СОЛИТОНЫ И НАБЛЮДЕНИЯ ДЖ. РАССЕЛА

В 1844 г. Дж. Рассел опубликовал свой «Доклад о волнах» [24]. Этот доклад ясно показывает, что его автор обладал исключительной наблюдательностью и умел выделить наиболее существенные черты у множества типов волн на воде, которые он видел. В докладе волны классифицируются по четырем категориям: а) уединенная волна (волна трансляции);

w ，一a Wu/以 ^]^^

777777777777777777777777777777777777777777777777777777*

Рис. 3.

осциллирующие волны; в) капиллярные волны; г) корпускулярные волны.,

Рассел предвидел значение математической теории:

«И мы, Л'аким образом, видим, что теория волн [трансляции] ... это пока еще недостаточно изученный и достойный объект для предприимчивости будущих математиков».

Хотя понятие солитона возникло сравнительно недавно, Рассел наблюдал это явление в своих опытах (рис. 3):

«Волна примет свою обычную форму... и будет идти вперед, сохраняя объем и высоту; она освободится от лишнего вещества 叫 которое двигалось с нею, оставит его позади, и эта оставшаяся волна 侬2 будет следовать за ней, но с меньшей скоростью, так что； хотя сначала две волны были соединены в одну составную, они затем отделяются друг от друга и все больше и больше расходятся по мере продвижения».

Более прямое подтверждение того, что Рассел видел солитоны, содержится в его»раннем докладе [35-：(

Автор благодарит Э. Скотта за эту ссылку.

«Большие первичные волны трансляции проходят друг через друга без каких-либо изменений таким же образом, как и малые колебания, производимые упавшим на поверхность воды камнем».

Вероятно, это волны, которые соответствуют двум семействам уединенных волн, распространяющихся в противоположных направлениях и описываемых более сложным уравнением Буссинеска. Здесь нет упоминания о фазовом сдвиге в положении волн после взаимодействия. Странно, что не было дано дополнительной информации, подтверждающей это наблюдение, и оно не упомянуто в более позднем полном докладе [24].

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯИ НЕЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Цель нашей статьи заключается в объяснении метода обратной задачи рассеяния. В данном параграфе представлены предварительные результаты, которые приведут нас к этому методу. Эти результаты, одна* ко, интересны и сами по себе.

Было высказано предположение, что наличие солитонных решений в уравнении КдВ тесно связано с существованием бесконечной последовательности по-» линомиальных законов сохранения, имеющих вид

А + Х* = 0, (3) где сохраняющаяся плотность Т и поток —X некоторой величины являются полиномиальными функциями только переменной 〃 и ее производных по х (любую производную от и по / можно заменить производными по х, пользуясь уравнением КдВ). Очевидно, что уравнение КдВ само может быть записано в форме закона сохранения:

% + [— 3〃2 + ихх]х = 0. (4) Следующие две сохраняющиеся плотности в этой последовательности таковы:

「2 = 〃2,

% =必+^% (5)

а дальнейшие сохраняющиеся плотности включают производные более высокого порядка. Доказательство существования бесконечного ряда таких величин будет дано ниже. Подробно законы сохранения для уравнения КдВ обсуждаются в работах [16, 22].

Если в задаче Ферми — Пасты — Улама квадратичный закон для сил взаимодействия между частицами заменить кубичным, то длинные волны, бегущие в одном направлении, будут описываться модифицированным уравнением КдВ'

力一6М% + vxxx = 0(6)

(для приведения к такой форме была произведена комплекснозначная замена переменных). Модифицированное уравнение КдВ тоже обладает бесконечной последовательностью полиномиальных законов сохранения; однако уравнения общего класса

wt — Qwpwx + wxxx = 0, р = 3, 4, 5, ...,(7)

имеют только по три полиномиальных закона сохранения.

Наличие бесконечных последовательностей законов сохранения для уравнения КдВ и модифицированного уравнения КдВ привело автора к предположению, что должна существовать связь между решениями этих уравнений. Прямое сравнение законов сохранения ведет к следующему результату [19].

Теорема. Если и ——решение модифицированного уравнения КдВ

Qu 三 S — 6阳％ + vxxx = 0,(8)

то

〃三 j2 + %(9)

есть решение уравнения КдВ .

Ри = tit — 6〃〃％ + иххх = 0.(10)

Доказательство. Подставляя выражение (9) в левую часть уравнения (10), получаем.

P〃 =(2o + ^)Qu,

так что, если Qv = 0, то и удовлетворяет уравнению КдВ.

Преобразование (9) аналогично преобразованию Хопфа — Коула, переводящему уравнение Бюргерса в уравнение теплопроводности (см. книгу Уизема [29], которая представляет собой прекрасное введение в теорию нелинейных волн). Однако в данном случае преобразование связывает два нелинейных уравнения, ни одно из которых не решается обычными методами. Возникает естественный вопрос: можно ли использовать нелинейное преобразование (9) для получения информации о решениях уравнения Кд В? В следующем параграфе мы покажем, как это преобразование приводит к методу обратной задачи рассеяния, применяемому для точного решения уравнения КдВ с начальными данными.

Преобразование (9) можно использовать также для доказательства существования бесконечного числа законов сохранения. Это простое доказательство, которое было дано Гарднером [22], начинается с обобщения преобразования (9), а именно записывают

u = w + ез* + eW, (11) где введен параметр е; сформулированная выше теорема обобщается следующим образом: и удовлетворяет уравнению КдВ, a w — уравнению Гарднера

Rw е g — 6 (侬 + /切2)Wx + Wxxx = 0. (12)

Доказывая теорему 《в обратном направлении», мы находим

0 = Р〃 = (1 + £ -~- + 2е2йУ^ R5, (13)

где теперь Rw может не обращаться в нуль благодаря появлению дополнительного оператора. Поскольку уравнение КдВ не содержит е, величина и зависит только от х и tt a w зависит от х, / и е. Формальное решение уравнения (11) для w в^иде степенного ряда имеет вид

如(X, /； 8)= Wo + £©1 + 82Ш2 + ・•・= , =〃 —еих — MR?— 〃尤％) + •・・・ (14)

Тогда соответствующее решение уравнения (13) в виде степенного ряда для Rw дает

Rw =叫 + (— Зш2 — 2е2^3 + wxx)x = 0(15)

для всех степеней е. Подставляя сюда (14), получаем законы сохранения для уравнения КдВ в виде коэффициентов при каждой степени е, и тем самым образуется их бесконечная последовательность. Благодаря преобразованиям (9) и (11) получаются также бесконечные последовательности законов сохранения для модифицированного уравнения КдВ и для уравнения Гарднера.

МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ

Наиболее важное применение нелинейное преобразование (9) находит в методе обратной задачи рассеяния, используемом для точного решения уравнения КдВ с заданными начальными условиями [10, 11]. Наша цель состоит в построении решения уравнения КдВ при — оо < х <； оо и / > 0 с начальным условием

u(x, O) = f(x), — оо < х < оо, (16) где f(x)— функция, удовлетворяющая условиям

'4 оо

2,| 欝辰 <8,(17)

i=0 -ОО!*

\d+\x\)\fM\dx<oo.(18)

Условием (17) обеспечивается существование классического решения [3], а условием (18)—наличие решения рассматриваемой ниже задачи на собственные значения.

Начнем с нелинейного преобразования (9), которое эквивалентно уравнению Риккати относительно о; обычная замена

。昔(19)

приводит его к линейному виду

也* -"屮=0・(20)

Примем во внимание, что уравнение КдВ инвариантно по отношению к преобразованию Галилея, т. е. к замене переменных, соответствующей переходу к равномерно и прямолинейно движущейся системе координат и сдвигу и на постоянную величину (ска・ жем,九).Тогда уравнение (20) принимает вид

也 * — (〃 — ％)屮=°，(21)

поскольку при преобразовании Галилея производные по х не меняются.

Таким образом, мы пришли к задаче на собственные значения для квантовомеханического уравнения Шредингера с потенциалом, не зависящим от времени, так как здесь t играет роль параметра, а не обычного времени. В квантовой механике и — потенциал, % —— энергетический уровень, а 中一волновая функция. Прямая задача рассеяния в квантовой механике состоит в решении уравнения (21) с заданным потенциалом 辽.Мы же хотим найти сам потенциал “，т. е. решить обратную задачу рассеяния.

м Сначала мы кратко изложим схему решения обратной задачи рассеяния, а затем покажем, как этот метод применяется для решения уравнения КдВ. Решение обратной задачи [12,13] требует априорного знания так называемых данных рассеяния. В их число входят дискретные собственные значения (или энер^ гетические уровни связанных состояний), нормнро、 вочные постоянные для собственных функций и коэффициент отражения.

Дискретные собственные значения — это такие значения 久^ =—疏 几=1, ..., ^, для которых решения ^п уравнения (21) квадратично интегрируемы.

Если собственная функция 中〃 нормирована на единицу, т. е.

8

\%a)dx=l,(22)

—8

то нормировочные постоянные определяются соотношением

сп= lim 6"吟匕(%).(23)

Положив X == ^2, представим волновую функцию 屮 как зависящую от пространственной координаты х составляющую плоской волны, падающей из бесконечности на область с потенциалом 〃(％), входящим в уравнение Шредингера. В результате рассеяния этой волны на потенциале часть ее энергии отражается в обратном направлении %-> 十8, а остальная часть проходит в направлении —оо. В случае плоской волны с единичной амплитудой, падающей из бесконечности, асимптотическое поведение волновой функции таково:

(e^ikx^b(k}eikx при х-> оо,

巾 а，/)~{小 С(24)

Амплитуда отраженной волны b(k) называется коэффициентом отражения, а амплитуда прошедшей волны a(k)—коэффициентом прохождения.

По этим данным рассеяния построим функцию N8

® = £碓ef瓜+嘉，外助染‘施，(25)

где сумма соответствует вкладу дискретного спектра, а интеграл Фурье — вкладу непрерывного спектра. Подставив эту функцию в линейное интегральное уравнение Гельфанда — Левитана — Марченко

К8 у) + В{х+у)+\ B(g + z)Ka，z)dz=0 (26) и решив его, найдем решение обратной задачи рассеяния:

〃⑶= -2^К9 х).(27)

Чтобы связать полученное решение обратной задачи с решением уравнения КдВ, заметим, что мы не принимали во внимание временную переменную f н

теперь необходимо определить, как данные рассеяния зависят от /. Для этого можно решить уравнение (21) относительно и и подставить решение в уравнение Кд В, что даст нам эволюционное уравнение для 巾. Детальный анализ этого уравнения приводит к следу・ ющим результатам [11].

Теорема. Если u(xt /) изменяется в соответствии с уравнением КОВ, то данные рассеяния зависят от времени следующим образом:

統(/) =統(0),] —(28а)

%(/)= %(°)ехр(4х"), j …(286)

b 他，Z) = b(耳 0) exp (8/^3/),(28B)

а (財 t) = a(kf 0),(28г)

где 統(0), с〃(0), & (й, 0) и 〃(財 0) определяются из начальных условий для уравнения КдВ.

Постоянство собственных значений (28а) означает, что если для некоторой начальной функции, описывающей потенциал, определены энергетические

5 (Aр力5 (Aр力Метод Гельфанда- Левитана' / МарченкоМетод Гельфанда- Левитана' / МарченкоДанные рассеянияДанные рассеянияX(s,〃t)X(s,〃t)

5 (Aр力

5 (Aр力

Метод Гельфанда- Левитана' / Марченко

Метод Гельфанда- Левитана' / Марченко

Данные рассеяния

Данные рассеяния

X(s,〃t)

X(s,〃t)

"(吃*丿=一z居整比"")

〃伉 0)=fQ)► wfct)

Рис. 4.

уровни связанных состояний, то при изменении потенциала в соответствии с уравнением КдВ эти уровни не меняются.

Схема решения уравнения КдВ методом обратной задачи рассеяния такова (рис. 4). Будем исходить из начального условия (16) для уравнения КдВ (1), которое мы не умеем решать непосредственно.甘0“冉・

новка начального условия в уравнение (21) приводит к прямой задаче рассеяния

S*一 卄(%) 一 %]2=0, (29) из которой определяются данные рассеяния 九〃(0), Сп(0) и Е (幺 0) в начальный момент времени. Из уравнений (28) получим зависимость этих данных от времени, после чего можно найти В 隽；/) [формула (25)]. Если нам удастся решить интегральное уравнение Гельфанда — Левитана — Марченко (26), то решение уравнения КдВ запишется в виде

и(х, /) = — 2 鳥 К (х, х; /)• (30)

Хотя в общем случае не удается решить ни задачу на собственные значения (29), ни интегральное уравнение (26), это по крайней мере линейные уравнения с одной независимой переменной, тогда как мы начинали с нелинейного дифференциального уравнения в частных производных. Более того, в случае нулевого коэффициента отражения можно получить явные решения в виде рациональных функций от экспонент. Это чисто солитонные решения, о которых речь пойдет в следующем параграфе.

Успех применения метода обратной задачи рассеяния для решения уравнения КдВ объясняется двумя обстоятельствами. Во-первых, собственные значения постоянны, что приводит к существенному упрощению эволюционного уравнения для 屮.Во-вторых, другие данные рассеяния вычислены при %-> 8, где известно решение и (х, /) для всех значений времени, а именно и = 0. Не так обстоит дело в случае периодического начального условия, и потому применение ме・ тода обратной задачи рассеяния к этому случаю не было успешным.

§ 6. СОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ

Если коэффициент отражения равен нулю, т. е. b{k, 0) ~ 0 = b (k, t), то ядро В в уравнении (26) допускает разделение переменных и это интегральное уравнение можно представить в виде системы линей* ных алгебраических уравнений. Такую систему можно

решить точно [11, 14], и это дает решение уравнения КдВ в явной форме:.

〃(招 /) = — 2 爲出 det (/ + С),(31)

где / — единичная матрица размерности 2VxM а

С^{ст (/) % (/) ехр 呈翠吉"'1 }>(32)

причем сп(/) > 0 и х« > 0 различны, п = 1^..., ^.

Детальный асимптотический анализ этих уравнений [11] показывает, что такие решения являются чисто солитонными, т. е. вся энергия переносится солитонами и существует однозначное соответствие между собственными значениями и параметрами солитонов. Если расположить собственные значения в порядке убывания: 0 > Xi > ... > Лу, то n-й (в порядке возрастания амплитуды) солитон будет иметь следующие скорость vn и амплитуду А〃：

- 。九=—4Лл,4 = — 2 K.

При этом коэффициентом сЛ определяется сдвиг п-го солитона по оси х. Эти решения соответствуют безот- ражательным потенциалам, которые невозможно обнаружить по рассеянию плоских волн, приходящих из бесконечности.

Захаров и Фаддеев [32] показали, что уравнение КдВ представляет собой полностью интегрируемую гамильтонову систему даже в случае ненулевого коэффициента отражения. Соответствующие переменные угол ——действие выражаются чёрез данные рассеяния. Дальнейшие результаты для гамильтоновых систем содержатся в работах Флашки и Мак-Лафлина [8] и Флашки и Ньюэла [9]. Связанные с этими вопросами работы по динамическим системам можно найти также в сборнике [23].

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЭКЛУНДА

Другой подход к выводу законов сохранения и к обратной задаче рассеяния состоит в использовании преобразования Бэклунда (см. книгу [21], где име-

ются многочисленные ссылки). В случае дифференциального уравнения второго порядка в частных производных преобразование Бэклунда состоит в его замене двумя дифференциальными уравнениями первого порядка в частных производных, связывающими решение данного уравнения с другим решением того же уравнения или с решением другого уравнения второго порядка.

Для иллюстрации рассмотрим уравнение Лиувилля

以д = ехр 弘(34)

для которого преобразование Бэклунда имеет вид〃% + 〃* = Л/^ехрЕ-(а —以)}羯—％ = V2exp[~ (u + й)],

где й — функция, удовлетворяющая волновому уравнению•

氐 у = 0・(36)

Из общего решения волнового уравнения

йх, ^ = Ф (х) + *Ф (у)(37)

путем преобразования Бэклунда получаем решение уравнения Лиувилля.

В случае уравнения КдВ можно произвести замену переменных оУл 三〃 и, проинтегрировав его, получить

О 叫▼3吒+ 吗%* = 0,(38)

где «константа» интегрирования устранена за счет добавления к 5f. Уолквист и Эстабрук [27, 28], используя теорию дифференциальных форм, получили однопараметрическое преобразование Бэклунда wx + wx == — m + } (су — 必 У,(39)

吗 + 耽=一(侬一初)(%х - wxx) + 2 ("2 + 派 + "2),(40) где w и w — решения уравнения (38), а и и й — соответствующие решения уравнения КдВ. Производные второго порядка в правой части равенства (40) можно было бы выразить через производные первого поряд-

ка, но в таком виде, как мы его записали, оно имеет более симметричную форму. В общем случае вывод преобразований Бэклунда довольно громоздок и сложен.

При заданном w трудно, вообще говоря, найти решение уравнений (39) и (40) для w. Однако можно вывести алгебраическое соотношение между различными решениями, которое позволяет образовать иерархию решений по типу дерева. Выбрав значения параметров mi и 加2, образуем из w два различных решения w\ и 侬2, после чего из уравнения (39) получим .

^1х + ^х = — ^1 + J (д —初У, (41) 叫% + 初х =一m2 + }(52 -加)2. (42)

На основании теоремы коммутативности Бьянки перестановкой параметров mi и 加2 из w\ и з? получим новое решение 侬 12, т. е.

侬 % + gх =一加2 + 扌(也2 一侬 1)2,(43)

侬12x +@2% =一加1 + ^ (@12 -侬2产，(44)

Из четырех уравнений (41) — (44) можно исключить все производные, что приводит к следующему соотношению между решениями:

侬12=初侬12=初2 (他1 -m2)Wi — g2 (他1 -m2)Wi — g(45)(45)

侬12=初

侬12=初

2 (他1 -m2)Wi — g

2 (他1 -m2)Wi — g

(45)

(45)

Если 历=0, то имеются несингулярное и сингулярное решения 侬卜 а также несингулярное и сингулярное решения 侬2, соответствующие уединенным волнам для и без особенности л с особенностью:

(46)(47)(46)(47)и = — т sch2〔y号(х — Хо — 2/n/)j, rzn — mcschziy^a — Aro— 2 加 Z)]・

(46)

(47)

(46)

(47)

Хотя решение (47) не представляет физического интереса, оно используется при конструировании， несингулярного решения wi2f которое в данном случае

является двухсолитонным. Продолжая такую процедуру, можно сконструировать другие чисто солитонные решения с большим числом солитонов.

ОБОБЩЕНИЕ И ДАЛЬНЕЙШЕЕРАЗВИТИЕ ТЕОРИИ

В этом кратком введении в теорию солитонов и метод обратной задачи рассеяния мы затронули основные достижения недавних исследований по теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных применительно к уравнению КдВ. Хотя эти результаты могут показаться довольно специфичными, на самом деле все идеи, изложенные здесь в приложении к уравнению КдВ, обобщены на другие уравнения и классы уравнений, включая нелинейное уравнение Шредингера [33], синус-уравнение Гордона [1], модифицированное уравнение КдВ [26] и уравнение Буссинеска [34],

В последние несколько лет возникло много интересных новых направлений. Одно из них основано на том, что интегрируемые нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных тесно связаны с обыкновенными дифференциальными уравнениями с неподвижными критическими точками [2]. Новые приложения теории относятся к физике высоких энергий [4] и исследованию атмосферы Юпитера [18]. В дополнение к влиянию, которое эти исследования оказали на методы прикладной математики и их использование в физике, они также стимулировали развитие ряда областей чистой математики, связанных, например, с теорией абелевых многообразий [5].

Работа частично финансировалась Национальным научным, фондом (Grant GP-34319) и Национальным научным советом Канады (Grant А-4559).

Литература

Ablowitz М. /., Каир D /., Newell 4 С” Segur Я., Studies in Appl. Math., 53, 249 (1974).

Ablowitz M. /., Segur H., Phys. Rev. Lett., 38, 1103 (1977).

Bona J. L., Smith R, Philos. Trans. Roy. Soc. (London), Ser. A, 278, 555 (1975).

Dashen R. Е, Hasslacher В., Neveu A., Phys. Rev., Dl1f 3424 (1975).

Дубровин 6. 4, Матвеев В. £, Новиков С. /7. — УМН, 1976, т. 31, в. 1, с. 55.

Фаддеев Л. Д. ДАН СССР, 1958, т. 121, № 1, с. 63.

Fermi £., Pasta /., Ulam S., Studies of Nonlinear Problems, I, Los Alamos Report LA 1940, 1955, (Имеется перевод в кн.: Ферми 3. Научные труды. Т. II. — М.: Наука, 1972, с. 643.)

-8. Flaschka Я., McLaughlin D. % —В кн.： Backlund Transformations, the Inverse Scattering Method, Solitons, and Their Applications, ed. R. M. Miura, Springer, Berlin, 1976, у 253.

Flaschka Я., Newell A. C. — В кн.: Dynamical Systems, Theory and Applications, ed. J. Moser, Springer, New York, 1975, p. 355.

Gardner C. S., Greene J. M, Kruskal M. D., Miura R. M. Phys. Rev. Lett., 19, 1095 (1967).

Gardner C. S., Greene /. M, Kruskal M. D, Miura R. M, Comm. Pure Appl. Math., 27, 97 (1974).

Гельфанд И. M, Левитан 5. М. — ДАН СССР, 1951, т. 77, № 4, с. 557.

Кау /., The Inverse Scattering Problem, New York University Courant Institute of Mathematical Sciences, Rep. EM-74, 1955, 14. Kay /., Moses H. E., Journ. Appl. Phys., 27, 1503 (1956).

Korteseg D. /., deVries G., Philos. Mag., 39, 422 (1895).

Kruskal M. D., Miura R. M, Gardner C. £, Zabusky M J., Journ. Math. Phys., 11, 952 (1970).

Lax P. D., Comm. Pure Appl. Math., 21, 467 (1968). (Имеется перевод: Математика, 1969, т. 13, № 5, с. 128.)

Maxworthy Г., Redekopp L. G., Icarus, 29, 261 (1976).

Miura R. Journ. Math. Phys., 9, 1202 (1968).

Miura R. M, SIAM Rev., 18, 412 (1976).

Backlund Transformations, the Inverse Scattering Method, Solitons, and their Applications, ed. R. M. Miura, Springer Berlin, 1976.

Miura R. M, Gardner C. S., Kruskal M D., Journ Math. Phys., 9, 1204 (1968).

Dynamical Systems, Theory and Applications, ed. J. Moser, Springer, New York, 1975.

Russell 丄 S. — В кн.: Rep. 14th Meeting of the British Association for the Advancement of Science, John Murray, London, 1844, p. 311.

Scott A. C., Chu 尸.У.尸.，McLaughlin D. IF., Proc. IEEE,* 61, 1443 (1973). (Имеется перевод: ТИИЭР, 1973, т. 61, № 10, с. 79.)

Wadati М, Journ. Phys. Soc. Japan, 32, 1681 (1972).

Wahlquist H. D, Estabrook F. B., Phys. Rev. Lett., 31, 1386 (1973).

Dahlquist H. D., Estabrook E B., Journ. Math. Phys., 16, 1 (1975).

Whitham G. B., Linear and Nonlinear Waves, John Wiley, Ney York, 1974. (Имеется перевод: Уизем Дж Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977.)

Zabusky М J. — В кн.: Proc. Symp. on Nonlinear Partial Differential Equations, ed. W. F. Ames, Academic Press, New York, 1967, p. 223.

Zabusky M 丄，Kruskal M・ D, Phys. Rev. Lett., 15, 240 (1965).

Захаров B・ £., Фаддеев Л. Д.——Функц. анализ и его приложения, 1971, т. 5, № 4, с. 18・

Захаров 8. Е, Шабат А. Б. — ЖЭТФ, 1971, т. 61, в. 1 (7), с. 118.

Захаров В. Е., Шабат А. £ — Функц. анализ и его прило* жения, 1974, т. 8, в. 3, с. 43.

Robinson Л, Russel J. S. — В кн.: Rep. 7th Meeting of the British Association for the Advancement of Science, John Murray, London, 1838, p. 417.

Глава 2

Обобщение обратной задачи рассеяниядля одномерного уравнения Шредингераи соответствующие приложения

к уравнению Кортевега — де Вриза.Вариационный принцип

Г. Мозес )

ВВЕДЕНИЕ

В работе [1] мы вывели обобщенное уравнение Гельфанда — Левитана для обратной задачи рассеяния в случае одномерного уравнения Шредингера и указали некоторые приложения этого обобщения к обратным задачам теории рассеяния и к уравнению Кортевега — де Вриза 吼 Такое обобщение в принципе позволяет строить рассеивающий потенциал по соответствующим спектральным данным (данным рассеяния), используя при этом последовательность произвольных промежуточных потенциалов и соответствующие спектральные данные, полученные из уравнений Гельфанда——Левитана. Вследствие этого оказывается возможным строить конечный потенциал по начальному потенциалу методом итераций с использованием промежуточных потенциалов. Такой итерационный процесс может быть описан с помощью волновых операторов, обладающих свойствами мультипликативности, похожими на групповые или на те свойства, которыми обладают условные вероятности марковских цепей.

Однако главное и прямое приложение этого обобщения состоит в том, чтобы исследовать, как изменения спектральных данных влияют на рассеивающий потенциал. Можно, например, точно определить, как меняется потенциал при добавлении или удалении одного точечного собственного значения. В применении к уравнению Кортевега — де Вриза это позволяет показать, каким образом можно, прибавив к заданному решению некую функцию переменных хи/, получить другое решение. Было показано, в частности, что любое решение уравнения Кортевега ——де Вриза может быть представлено в виде суммы чисто «солитонного» решения и функции переменных хи/, которая содержит часть решения, отвечающую непрерывному спектру.

В работе [2] был дан вариационный принцип, согласно которому некоторый функционал достигает абсолютного максимума в том и только том случае, когда пробная функция является решением уравнения Гельфанда — Левитана. Сам функционал дает некоторое приближение для рассеивающего потенциала. Этот вариационный принцип также может быть использован для аппроксимации решений уравнений Кортевега — де Вриза. В частности, он открывает возможность использования новых численных методов для нахождения непрерывной части решения уравнения Кортевега — де Вриза в указанном выше разбиении на солитонное решение и непрерывную часть.

и дискретный спектр, состоящий из отрицательных невырожденных точечных собственных значений, число которых мы будем считать конечным.

Обозначим собственные функции непрерывного спектра, которые описывают рассеяние, через Wj(%| 左). Они удовлетворяют дифференциальному уравнению

［一爲+%(%)］电(尤尼)=归绅"尤1尉(2.2)

и граничным условиям

lim 2/ (尤 I 期=eikx + bj 优)e^ikx9

X-> -OO-

lim 屯(尤间=="(")e恤.(2.3)

Л-»оо

Величины 6/优)，tj(k) — это коэффициент отражения (слева) и коэффициент прохождения для потенциала V/. Они удовлетворяют соотношениям 6/(—尼)=耳值)，//(—/г) = /；(/г). Для прямой и обратной задач рассеяния важен также другой набор собственных функций — функции Йоста, которые мы будем обозначать через 力(％ 肉；они удовлетворяют дифференциальному уравнению (2.2), но с граничным условием

lim f^x\k) = eikx.(2.4)

Х-> -ОО

Функции fj(x\k) и f；(%|^) = f『(％| —— /j) линейно независимы. Очевидно, что与(%1竹=乙(%间+斗(右)斤(尤1右).

Дискретный спектр, который может иметь гамильтониан Я/, состоит из конечного числа отрицательных точечных собственных значений

Е^ =—吟，乂“ > 0.(2.5)

Соответствующие (настоящие)1) собственные функции удовлетворяют дифференциальному уравнению

［一爲+匕⑶］2"⑴=一吟办(Х)，(2.6)

Для удобства наложим на эти собственные функции асимптотическое условие

lim 屯i(%) = exp(>t"%)・(2.7)

Этим граничным условием определяются нормировочные постоянные С”：

j [^iA^dx = Cjb(2.8)

В обратной задаче исходят из спектральных данных 办(史)，乂“ и Сц и отыскивают рассеивающий по тенциал V； (х). Первоначальное уравнение Гельфанда-Левитана, позволяющее находить V/(x), дано в работах [5, 6]. Целью обобщения этого уравнения является введение «опорного потенциала» 户枕(％),как это сделано для радиального уравнения Шредингера в работе [7].

Итак, представим 匕(％) в виде

匕(尤)=乙(尤)+匕,®.(2.9)

Спектральные данные 匕枕(左),乂山,См мы предполагаем известными. Число точечных собственных значений для Vn(^) и V] (х) будет в общем случае неодинаковым. Это означает, что число значений, которые может принимать i в 乂枕厶 отличается от того, которое оно может принимать в 乂咒. Используя первоначальный вариант уравнения Гельфанда — Левитана для одномерной задачи, как это делается в работах [5, 6], можно найти Vn(x) и собственные функции fn (х|/г) и •^ni(x). Обозначив через К〃 (尤 |у) обычное ядро Гельфанда —Левитана для Vn, можно представить «псев- дособственные функции» ^ji^x), удовлетворяющие соотношению Н^н = — 乂%®" (%), в виде

^/г(X)= ехр(к^х) + J Ka(x\y)exp(KJiy)dy. (2.10)

Если потенциал 14(%) достаточно «короткодействующий», то можно показать, что

$"(%) = 〃(％ I —%),(2.11)

где fn(x\——6<〃) получается из fn(x\k) аналитическим продолжением, функции $#(%) называются «псевдо- собственными функциями» оператора Нп, потому что, хотя они формально удовлетворяют уравнению для собственных функций оператора Нп с дискретным собственным значением ——呕 (которое в действительности является точечным собственным значением для оператора //；), «псевдособственные функции» в общем случае не являются квадратично интегрируемыми. Здесь имеется одно очень важное исключение. Если 乂" = 乂枕2 при некоторых i и 厶 то

嶄⑴=2献⑶(2.⑵

и «псевдособственная функция» является настоящей собственной функцией для Нп. Теперь мы можем написать обобщенное уравнение Гельфанда — Левитана. Введем функцию Q〃(％|y):

R〃(％%)=

=(2力т \ f^\^bi^-bnW^y

+ у 心 J%)心八汾—у 2〃t (%)W/и 匂) (2 ⑶

Потребуем, чтобы ядро Гельфанда — Левитана К]П(х\у) удовлетворяло обобщенному одномерному уравнению Гельфанда — Левитана

К*(%|у) = —Q*(%lf/)— \ ^л(х|2)QJn(z\y)dz. (2.14)

Тогда, как показано в работе [1],

吃〃(尤)=2备勺〃(尤1%)，(2.15)

X

fl(x\k) = fn(x\k)+ J K1Ax\y)fn(y\k)dy9 (2.16)

师(%) = M(%)+ J ^tn^\y)^ii^dy- (2.17)

BOQ

Легко видеть, что если в качестве спектральных данных для Vn взять 匕％(々)三 0 и предположить отсутствие связанных состояний, то получим У〃(％)三 О и обобщенный алгоритм Гельфанда ——Левитана (2.14) — (2.17) сведется к первоначальному одномерному алгоритму.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Наиболее очевидна возможность применения обобщенного алгоритма Гельфанда ——Левитана для нахождения изменения рассеивающего потенциала при изменении спектральных данных, поскольку в алгоритм входит разность спектральных данных. Например, разность bj (k) — bn(k) можно рассматривать как «ошибку» в измеренном коэффициенте отражения. Тогда Vfn будет представлять собой соотцетствую- щую ошибку в потенциале. Если разность спектральных данных мала, то можно надеяться, чю при решении уравнения Гельфанда — Левитана (2.14) методом итераций уже небольшое число первых итераций будет давать хорошее приближение. (Вскоре мы опишем вариационный принцип, который может дать более удовлетворительный ответ.)

Простым примером, позволяющим увидеть, как при изменении спектральных данных меняется потенциал, может служить нахождение потенциала V/ с новым точечным спектром, в который добавлены (или из которого удалены) точечные собственные значения из числа тех, что отвечают потенциалу У& В этом случае bj(h)= Ь№)・ Поэтому можно найти К”(尤|р) в явном виде, если вспомнить, что функции $〃(％) линейно независимы, поскольку таковы грн/(х). Для большей конкретности.. посмотрим, как изменится Vn(x), если добавить новое собственное значение Е^ =——Xym. В качестве соответствующей нормировочной постоянной возьмем С/т. Таким образом, мы предполагаем, что все другие точечные собственные значения для V/ совпадают с собственными значениями для Vn, так же как и нормы соответствующих собственных функций. При такнх предцоложедиях

уравнение (2.12) приводит к соотношению

竺，(3」)

где функция 也俏(％) известна. Подстановка в уравнение Гельфанда—Левитана (2.14) показывает, что Kjn(x\y) можно записать в виде

Kg (% I У)=尸(％) $jm ®),(3.2)

rAeF(x)— функция, которую нужно найти. Если подставить (3.2) в (2.14), то получится простое линейное уравнение, связывающее 尸(％) с \ Й/т(У)]2 dy. Его легко решить относительно 尸(％) и, пользуясь соотношением (3.2), найти Kjn(x\y). Тогда изменение потенциала дается формулой (2.15). Мы опускаем здесь очевидные выкладки,

Другое приложение, которое оказывается ценным при рассмотрении уравнения Кортевега —де Вриза,—это доказательство того, что любой потенциал можно представить в виде суммы безотражательного прозрачного потенциала, рассмотренного в работе [8], не зависящего от коэффициента отражения, и остатка, который мы будем называть частью потенциала, отвечающей непрерывному спектру, хотя он неявно зависит также от точечного спектра. Чтобы найти это разложение, положим bn(k)三 0, Eni = Е〃,。〃力==Сц при всех i. Тем самым мы выбираем нужные спектральные данные. Тогда Vn ——безотражатеш>ный потенциал, отвечающий точечному спектру для V/, и искомое разложение дается суммой (2.9). Далее

8

%〃 (％ W = (2冗尸 \ 匚(％ I 粉分值)f：匂 I k) dkt (3.3)

где fn(x\k)——функции Йоста для потенциала Vnt которые могут быть найдены в явном виде [8].

Посмотрим теперь, что это дает,при решении уравнения Кортевега — де Вриза. Введем параметр / в

спектральные данные следующим образом:

Ьп (依 0 = Ьп 优)exp(-zW), =以 ехр(8%/)・⑷

Запишем аналогичные уравнения с 力(尼；/) и С“(/)・ Тогда параметр / войдет и в потенциалы Vn(x, /), 匕(招/) и 匕〃 (％,/). В работе [9] показано, что 14(%,/) и V/ (х, t) удовлетворяют уравнению Кортевега — де Вриза

/и", /) + 6。(%, 2)^U(%, l) + ^U(xt /) = 0. (3.5)

Тогда соотношение (2.9) принимает вид

匕(%,，)=乙(招 /)+%〃(%,，)•(3・6)

Уравнения (3.6) показывают, каким образом можно получить другое решение уравнения Кортевега — де Вриза, добавив к имеющемуся решению функцию переменных % и /. Пользуясь формулой (3.6), можно найти результат прибавления солитона или другого изменения начальных условий.

Еще одним приложением обобщенного метода Гельфанда ——Левитана может служить отделение солитонной части решения уравнения Кортевега — де Вриза от части, отвечающей непрерывному спектру. Метод состоит в обобщении рассмотренного выше разбиения рассеивающего потенциала на безотража- тельную и отражающую части. Положим bn(k) = 0 и Cni = С〃 в формуле (3.4), а также 乂欣=乂〃 при всех L Тогда Vn(x, /) в формуле (3.6) — солитонная часть решения, a V；n (х, t) — часть, отвечающая непрерывному спектру, которая при оо обращается в нуль в силу дисперсионных эффектов в отличие от части Vn(x, 0» которая распадается на некоторое число уединенных волн с разными амплитудами и соответствующими скоростями. Нужно подставить в уравнение Гельфанда — Левитана выражение (3.3), заменив в нем 办(左)величиной 力(6;/). Функции Поста %(尤同 зависят от С & а потому являются известными функциями времени. Ниже мы покажем, как непрерывная часть И/«(х, 0 может быть получена из вариационного принципа.

«ПУТИ» И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ

Обозначим через S/ набор спектральных данных 6/(力)，乂“， С/з отвечающих потенциалу У/ при произвольном /. Обобщенное уравнение Гельфанда — Левитана дает возможность вычислять потенциал Vj по Vn при заданных S/ и S% и заданных собственных функциях ДЛЯ Vn- Но мы могли бы ВЫЧИСЛИТЬ V/ и иначе. Рассмотрим любой другой набор спектральных данных Sm. Можно вычислить Vm и затем соответствующие ему собственные функции, исходя из Sn и У〃, а затем от спектральных данных Sm и потенциала Vm перейти к нашему искомому потенциалу V/, выполнив вычисления еще раз. Иными словами, мы могли вычислить V/, используя либо прямой 《путь》Mf j между «состояниями» ми/, либо двухшаговый путь мт гит j. Состояние т произвольно, и V； не зависит от выбора пути. Очевидно, что можно ввести произвольное число произвольных промежуточных состояний и все-таки достичь состояния /, исходя из состояния п. Состояние j будет снова зависеть только от S/, но не от выбранного пути. Во многих случаях, например при использовании вычислительных методов, введение промежуточных состояний может оказаться выгодным, поскольку при этом каждый шаг пути может быть сделан достаточно «малым». Но более интересно то, что можно находить новые способы решения обратной задачи, тщательно анализируя понятие пути. Кончно, понятие пути может быть очевидным образом распространено и на решения уравнения Кортевега ——де Вриза: для него следует использовать пути начальных данных.

При методе путей очень удобны операторные обозначения, введенные в работе [6]. Рассмотрим гильбертово пространство квадратично интегрируемых комплексных функций {f(x)} со скалярным произведением (3 f)=，f^ W f W dx. Определим оператор с

ЯДрОМ Kjn^X, у):% .

风丿](%)= \ Kin(x\y)f(y)dy. (4.1)

Тогда, как показано в работе [1], для операторов Ujn

Vin = I + Kini(4.2)

где / ——тождественный оператор, выполняется соотношение

Ujn = UtmUmn，(4.3)

где m — любое состояние.

Равенство (4.3) отвечает двухшаговому пути. Путь из р шагов можно представить в виде

UМ1^ UjmpU 1n严р_] . • . Ufj12mlU/п”(4.4)

Равенства (4.3) и (4.4) показывают, что множество операторов {Ujm} обладает групповым свойством. Однако эти операторы не образуют группы, поскольку произведение UrsUtw не принадлежит множеству таких операторов, если только s и / не отвечают одному и тому же состоянию, когда выполняется равенство (4.3). Мультипликативный закон для этих операторов подобен закону перемножения условных вероятностей марковской цепи, хотя, пожалуй, здесь нет полной аналогии. Тем не менее из соотношений (4.3) и (4.4) можно сделать новые выводы, относящиеся к обратной задаче.

Из соотношения (4.3) следует соотношение между ядрами Kjm^y):

К〃 (％ 历)=Kjm (% W) + Kmn(x\y) +

X

.+ \Kim^\z}Krnn^\y>)dz. (4.5)

Это соотношение между промежуточйыми ядрами пути и конечным ядром может оказаться очень ценным. Отметим, что радиальное уравнение, аналогичное уравнению (4.5), выведено в работе [10, с. 149] для частного случая Уп(г) = 0 и в несколько другой форме.

Некоторый интерес представляет также соотношение между Kjn U| у) и Knj U|f/). Положим в формуле

〃 = / и воспользуемся тем обстоятельством, что К” (％, у) = 0. Тогда

Kjm (% ® = — Kmi{x\y)— J/<M(X|^) Kmj 3 IУ)也(4.6) 一 y

Равенство (4.6) представляет собой интегральное уравнение, выражающее К/m через Кт】и наоборот.

ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП

В работе [2] приведен вариационный принцип, который позволяет находить решения уравнения Гельфанда — Левитана (2.14). Кроме того, он может дать приближенно V/n (х) из (2.9) и 卩,枕(％, f) из разложения (3.6) решения уравнения Кортевега ——де Вриза.

Введем функционал G(M%):

G(M %) = 一2{ j N(x\y)dy ^2Q{x\y) + N{x\y) +

+ \ Q (y I 2)^(X I 2)+ Q(X I x) I, (5.1) —8」丿

где ^ — пробная функция N(x\y) для К(х\у). Вариационный принцип состоит в следующем: функционал G(^, х) имеет абсолютный максимум при всех % тогда и только тогда, когда пробная функция N(x\y) равна К(х\у), т. е. N(x\y) есть решение уравнения Гельфанда ——Левитана (2.14). Кроме того, абсолютный максимум G (財 ％) равен площади кривой Vm(x):

\ 匕〃 (X)dM = G(K,%)・(5.2)

Эта теорема позволяет вычислять V/n с возрастающей точностью. Если ^(x| у) близко к К (% I у), то величина G(N, х) приближенно дается площадью кривой потенциала Р“, стоящего в левой части равенства

Если же взять вторую пробную функцию N(x\y)t которая приводит к большему значению G(N, %), то это значение будет более точным приближением для площади кривой потенциала, чем предыдущее. Таким образом, если имеется алгоритм, дающий пробные функции, то в вычислительной программе можно использовать процесс, допускающий лишь возрастание значений G(Nt х) при переборе возможных пробных функций. Например, при фиксированном % можно взять в качестве N(x\y) гистограмму по переменной у. Можно построить вычислительный алгоритм, меняющий высоту каждого столбика гистограммы в соответствии с некоторой системой. Программа может включать такую итеративную схему, при которой G (^, х) возрастает с каждой итерацией. Можно «измельчать» гистограмму, используя наилучшую из предыдущих гистограмм как начальное приближение, и снова производить улучшение пробной функции.

В настоящее время мы занимаемся построением оценок сверху и снизу для ошибки в площади при известной пробной функции. Однако оценка ошибки следует из самой теоремы (т. е. вариационного принципа) :разность площади кривой истинного потенциала и площади приближенной кривой всегда оказывается больше нуля.

Заметим, что если нас интересует лишь потенциал (но не решение уравнения Гельфанда — Левитана), то достаточно знать только функционал и потому в выводе (на терминал ЭВМ) данных о ядре Гельфанда —Левитана нет необходимости.

Если теперь ввести время так [формула (3.4)], что V/«(x, 0 в формуле (3.6) будет частью решения уравнения Кортевега ——де Вриза, отвечающей непрерывной части спектра, a V«(x, t)——чисто солитонной частью решения, то, очевидно, можно будет использовать тот же самый вариационный принцип. Тогда функционал будет зависеть от % и /, и для того, чтобы он представлял собой интеграл от части, отвечающей непрерывному спектру, он должен быть максимальным при всех х и Л Конечно, вариационный принцип выполняется для любых решений уравнения Кортевега ——де Вриза, а не только для чисто солитонных ре-

шений. Однако случай, когда Vn(x, t)— чисто солитонное решение, наиболее интересен, поскольку указанный вариационный принцип дает новые методы вычисления на ЭВМ непрерывной части «излучения».

Работа финансировалась Управлением научных исследований ВВС США.

Литература

Moses Н. Е, Journ. Math. Phys., 18, 2243 (1977).

Kanai M., Moses ". £, Journ. Math. Phys., 18, 2445 (1977).

Захаров В. £., Фаддеев Л. Д. Функц. анализ и его приложения, 1971, т. 5, с. 280.

Case К. М・，Chiu S. С, Journ. Math. Phys., 14, 1643 (1973).

Kay /., Inst. Math. Sci. Res. Report EM-74 (1955).

Kay /., Moses H. E, Nuovo Cimento, (X) 3, 276 (1956).

Jost R., Kohn W.t Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd., 27, I (1953).

Kay /., Moses H. E, Journ. Appl. Phys., 27, 1503 (1956).

Gardner C. S., Green 7. M, Kruscal M. D., Miura R. M, Phys. Rev. Lett,, 19, 1095 (1967).

de Alfaro V., Regge T., Potential Scattering, North-Holland, 1965. (Имеется перевод: В. Альфаро, Г. Реаже. Потенциальное рассеяние.—疝：Мир, 1967.)

Глава 3

Продолжения, преобразования Бэклундаи теория Ли как средства для изучениянелинейных дифференциальных уравнений

Р.「ерман )

1. ВВЕДЕНИЕ

Прогресс в изучении нелинейных уравнений в частных производных, достигнутый с помощью методов, разработанных в 60-х годах группой сотрудников Принстонского университета во главе с Крускалом U—4], представляется одним из самых важных и интересных достижений современной науки. В последние годы идеи этой группы получили дальнейшее развитие. Примечательно, что исследования в основном разворачиваются в определенных географических «центрах». Без сомнения, это объясняется тем, что данная область исследований лежит на стыке различных дисциплин и, по-видимому, требует наличия известной «критической» массы интеллектуальных способностей для кристаллизации идей. Существуют сильные группы в Кларксоне 】)(Абловиц, Кауп, Ньюэл, Сегюр...), в Нью-Йорке (Лакс, Маккин, Мозер...), в шт. Аризона (Флашка, Лэмб, Мак-Лафлин...) и в Москве (Гельфанд, Фаддеев, Захаров, Новиков, Дикий...), которые ведут исследования, используя главным образом различные методы классического и функционального анализа в тесной связи с методами алгебраической геометрии. Но имеется также наша группа [8—— 38], которая опирается в своих исследованиях на методы современной дифференциальной геометрии. К сожалению, у нас нет географического «фокуса», подобного

описанным выше; вехой, сравнимой с работой Крускала и К° 60-х годов, была для нас работа Уолкви- ста и Эстабрука [14] (из Лаборатории реактивного движения), которая (вместе с классической теорией внешних дифференциальных систем Картана) заложила фундамент наших идей. В прошлом году состоялась наша первая научная встреча [35], посвященная этой теме.

Мы (т. е. Эстабрук, Уолквист и я) полагаем, что имеются обширные и в значительной мере не изучен

ные возможности для приложения наших методов к широкому кругу научных и технических проблем. Например, Уолквист и Эстабрук, будучи физиками, работавшими также в области общей теории относительности, убеждены, что эти методы будут в конеч

ном счете пригодными для исследования ужасающе сложных (с точки зрения традиционной теории дифференциальных уравнений) эйнштейновских уравнений гравитационного поля (их сотрудник В. Харрисон из Университета Брайема Янга 】)уже написал обширную, пока еще не опубликованную работу этого направления, носящую подготовительный характер). На меня же производят сильное впечатление аналогии и связи с теорией управления, где, как мне кажется, открываются интересные возможности. Мне

приходилось также много заниматься математическим обоснованием физики элементарных частиц, и я по

лагаю, что и здесь может оказаться чрезвычайно важным то, что мы делаем сейчас. В моих статьях [19,

33, 34, 36] была выявлёна связь с теорией полей Янга — Миллса (калибровочных полей), и мне ка

жется, что работа Атьи, Зингера и Уорда (о которой я знаю только понаслышке) по теории того, что физики называют инстантонами, имеет большое фамильное сходство с ними (возможно даже, что инстантоны —это трехмерные аналоги солитонов).

Я думаю, однако, что основная часть сообщества специалистов по прикладной математике весьма скеп

тически относится к этим возможностям ——в конце

Солт-Лейк-Сити, шт. Юта.——Прим, ред.

концов результаты, которыми мы располагаем сегодня, приложимы в основном к некоторым частным типам решений (солитонам) некоторых частных типов дифференциальных уравнений в частных производных (уравнения Кортевега — де Вриза, синус-уравнения Гордона и др.), описывающих определенные физические явления в одномерном пространстве. Следует признать, что крупные нерешенные проблемы нелинейной механики (например, вопрос о природе турбулентности) остаются еще за пределами их возможностей.

Однако я твердо верю в дальнейший прогресс этих исследований. Методы дифференциальной геометрии настолько интересны и глубоки, что они должны привести к лучшему пониманию разнообразных нелинейных явлений. Мне особенно интересно то обстоятельство, что эта тема представляет собой, по-видимому, широкое поле для применения идей, развивавшихся на рубеже нашего столетия Ли и Картаном. Разрабатывая эту тему, я делаю упор на дифференциальногрупповую структуру предмета, что, как я надеюсь, открывает еще более обширные возможности. Недавно появилось несколько превосходных дидактических обзоров этой теории [3—6], основанных на более традиционной «аналитической» точке зрения. Наша группа, имеющая «дифференциально-геометрическую» ориентацию, производит подобный разъяснительный материал более медленными темпами [10, 26, 33—38]. К сожалению, эта работа довольно сложна из-за недостаточного распространения основных идей «современной» дифференциальной геометрии среди широких кругов математиков и специалистов по естественным наукам. Такой материал изучается только в нескольких университетах, причем факультативно, на втором году обучения в курсе «чистой» математики. Из-за недостатка места я не могу изложить все предварительные сведения в данном обзоре. Вместо этого я сосредоточусь на нескольких идеях, которые кажутся мне наиболее перспективными для приложений. Ввиду того что дифференциальная геометрия многообразий известна недостаточно широко, я буду строить изложение на более традиционной основе, прида-

вая особое значение некоторым связям с теорией групп Ли. (Мне кажется, что солитоны вообще тесно связаны с теорией групп Ли.) Здесь хватит места лишь для того, чтобы коснуться небольшого числа вопросов. Более подробно эти вопросы изложены в моих книгах, уже вышедших или готовящихся к печати.

Я хотел бы еще раз выразить благодарность Эстабруку и Уолквисту. Их работа заложила основу всех моих исследований в этой области, и все излагаемые здесь идеи являются отчасти результатом нашего сотрудничества.

§ 2. ОБОБЩЕННЫЕ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ

Начнем с основных определений и обозначений, используемых обычно механиками (см., например, превосходную книгу Удзема [6]).

Обозначим через х, / независимые переменные, через 〃 一зависимую «полевую» переменную, а через щ, uXl Uxx, …一ее производные.

Рассмотри% дифференциальное уравнение в частных производных вида

% =『(〃，иХ9 uXXf ...), (2.1)

которое требуется решить относительно функции двух переменных 〃(％,/). Напомним, что парой функций

4(“，“％, 〃％%,・••) и 3(“，“％, 4xxt • • •)(2.2)

определяется закон сохранения для уравнения (2.1), если, для любого решения (х, /) -> ^(х, /) уравнения (2.1) .выполняется соотношение .

次[4(4 ^л：» • • •)]=== д%【3 也,4%,. • • • )]•(2.3)

Если при этом решение и достаточно быстро убывает при х ~> ±оо, то пространственный интеграл

4f \ 4(2(%, /),&(%, 0, • • .)dx= А(и) (2.4)

не зависит от t и определяет действительную функцию и-> А(и) (2.5)

на «пространстве» 夕 решений уравнения (2.1).

Относительно уравнения Кортевега — де Вриза можно сказать гораздо больше. Крускал, Миура, Гарднер и Забуски [7] нашли все такие законы сохранения; эти законы сохранения определяются полиномиальными функциями переменных “, ux, ихх и т.. д. Названные авторы показали, что существует бесконечное число таких законов сохранений и что действительные функционалы (2.5) находятся 《в инволюции^ (давая скобки Пуассона, равные нулю) относительно некоторой «естественной» симплектической структуры на 夕.В литературе это свойство часто называют «полной интегрируемостью». Однако я педантично веду борьбу с такой терминологией, ибо она резко противоречит понятию «полной интегрируемости» в дифференциальной геометрии (как в новой, так и в классической литературе). В действительности именно этот последний вид «полной интегрируемости» — в смысле Фробениуса ——играет важную роль в методе Эстаб- рука ——Уолквиста. Я думаю, что гораздо лучше термин «разрешимость», которым пользовался, например, Уиттекер в своей книге [39] (которая и теперь, 75 лет спустя, остается наиболее авторитетной книгой по механике!) для аналогичного свойства механических систем с конечным числом степеней свободы.

Приведем теперь обобщение этих классических определений, отвечающее идеям Эстабрука и Уолквиста. Пусть 乡一действительная алгебра Ли (относительно групп Ли, алгебр Ли, однородных пространств и т. д. см. работы [40—42]). Ради простоты мы будем предполагать, что алгебра Ли g конечномерна, хотя я убежден, что бесконечномерный случай также будет важен в конечном счете.

Определение. Пару элементов (4 (и, 〃厶...), В (и, и%, ...)) алгебры g, зависящих от переменных “，〃打 «хх, …，назовем обобщенным законом сохранения для дифференциального уравнения (2.1), если

для любого его решения (х, /)-> w(x, /) выполняется условие

"5г {壮但殳，• • •)} {д(4 士%, • • •)}=

==[А 用也,2,…).(2.6)

Алгебра Ли 乡 называется структурной алгеброй Ли. Ясно, что в случае, когда алгебра 乡 абелева и одномерна, мы приходим к классическому понятию «закона сохранения». Процедура замены «абелевой» алгебры Ли «неабелевой» аналогична той, которую производят физики, переходя от уравнений Максвелла к уравнениям Янга ——Миллса.

По-видимому, методы, примененные Крускалом и его сотрудниками при отыскании классических законов сохранения для уравнения Кортевега —— де Вриза, могут быть распространены и на случай «обобщенных» законов сохранения. Однако это еще не сделано, и вместо этого Эстабрук и Уолквист разработали новые методы, основанные на теории внешних дифференциальных систем Картана [43] и позволяющие найти по крайней мере часть обобщенных законов сохранения.

УРАВНЕНИЯ ПРОДОЛЖЕНИЙ,АССОЦИИРОВАННЫХ С ОБОБЩЕННЫМЗАКОНОМ СОХРАНЕНИЯ

Мы будем по-прежнему придерживаться обозначений § 2. Для простоты (чтобы избежать формализма общей теории групп Ли) мы будем предполагать, что 乡 есть алгебра Ли действительных матриц n X ^. Это означает, что 乡 есть алгебра Ли группы Ли G действительных матриц n X ^» т. е. для любой матрицы / 三乡 однопараметрическая группа матриц пХ п

/2 Л2

/ f exp (/Л) = £ + Ы Н—2j—h ...*

принадлежит группе Ли G. Предположим, что отображение

(〃,〃冷•••) —(冬 В)(3.1)

есть обобщенный закон сохранения для уравнения (2.1) со структурной алгеброй Ли g. В таком случае мы будем называть группу G структурной группой обобщенного закона сохранения.

Сопоставим закону сохранения (3.1) дифференциальные уравнения.

gx = А (и, uXi 〃旧•・•)©

丁、(3.2)

gt = B(u, uxt uXXi ...)^

Определение. Уравнения (3.2) называются уравнениями продолжения, соответствующими обобщенному закону сохранения. Группа G называется структурной группой уравнений продолжения. .

Эти уравнения следует рассматривать совместно с нелинейными «полевыми» уравнениями (2.1), и «обобщенные законы сохранения» (2.5) будут тогда условиями интегрируемости для (3.2). Таким образом, если и: (х, /)—► w(x, t) есть решение уравнения (2.1), то существует единственное решение (х, t)-> g(xt t) уравнений

ёх = А(^(х, /),•••)©

gt = B(u(xt f),・・・)g,

такое, что g(0,0) = 1 (единичная матрица). Таким образом, мы ставим в соответствие каждому решению и уравнения (2.1) поверхность

(居 ” g(%, О

в группе Ли G. Особенно существенно то, что тем самьш задается отображение

Решение уравнения (2.1)-> Отображения /?2-> G.

Это отображение содержит информацию, нужную для изучения преобразований Бэклунда и солитонов.

Замечание. Пока что для всех рассмотренных таким образом типов уравнений структурными группами продолжений оказываются произведения нескольких экземпляров SL(2, R) и (на менее разработанном пути) произведения групп SL(3, R). Я, однако, твердо

верю и надеюсь, что должны существовать «интересные» уравнения, приводящие к другим полупростым группам Ли!

Весьма вероятно также, что бесконечномерные группы Ли окажутся полезными при построении продолжений для нелинейных уравнений с тремя и более независимыми переменными.

УРАВНЕНИЯ ПРОДОЛЖЕНИЙИ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА — ДЕ ВРИЗА

,Уравнения продолжения (3.2) (в известных нам случаях) представляют собой просто другую форму уравнений обратной задачи рассеяния. Для иллюстрации рассмотрим случай уравнения Кортевега — де Вриза. Это уравнение мы будем записывать в виде %+ 12〃〃х +以 ％% = 0・(4.1)

Введем вспомогательное «уравнение Шредингера» с 〃 в качестве «потенциала» и параметром Л в качестве собственного значения:

心％ + 2〃屮=Л-ф.(4.2)

Следующие уравнения гарантируют «изоспектральность деформации», т. е. инвариантность спектра дифференциального оператора (4.2) при изменении Л

2f + 4%2х - 2"*屮 + 4"屮* = 0.(4.3)

Положим

y = (y：)，匕=也Y2=心.

Дифференциальное уравнение (4.2) теперь быть записано в матричной форме

может

У* = (—(2〃 + %) о)，曰

(4.4)

三 A (")Г,

(4.5)

гдеI

d(〃)= ( —(2〃+%) о)

(4.6)

Пусть G = SL(2,R) (действительные матрицы 2 X 2 с единичным определителем). Тогда

Yi,t = ^t = — 4九业;+ 2厶屮一4〃叭=

=一4九У2 + 2"为У1一4"y2,

У2, f =必力=-4九也^ + 2以为屮+ 2以也一

-4以心一4u^xx = (4九 + 4")(2"匕一九y0 +

+ 2"为Ji - 2"*У2. Следовательно,

Yt = B{u, uXi uxx)Y9(4.7)

где〜

/2〃％— 4 (〃 + 九)、

'\ (44 + ")(2〃 一九)+ 2"%*- 2〃* 丿 (4.8)

Это опять матрица 2X2 с нулевым следом, т. е. элемент алгебры Ли группы SL(2, R). Резюмируем все это следующим образом.

,Теорема 4Л. Для уравнения Кортевега ——де Вриза обычный метод обратной задачи рассеяния приводит к отображению

("，〃为，〃)~^(，(w)，g (", "%, "为%))年乡 x 乡

侈一алгебра Ли группы SL (2, R)], которое определяет обобщенный закон сохранения для уравнения Кортевега——де Вриза со структурной группой SL ⑵ R).

Замечание. Здесь мн усматриваем новый момент, который еще не использовался в нашем методе, а именно: обобщенный закон сохранения зависит от дополнительных параметров (в нашем случае %). Таким образом, мы имеем дело с тем, что математики называют «деформацией» [33]. На этом может быть основана дальнейшая общая методология изучения продолжений.

ваний была забыта и бездействовала в течение семидесяти лет вцлоть до недавних работ по солитонам. Причиной возрождения здесь явилось осознание того обстоятельства, что солитоны связаны с существованием структуры Бэклунда (для уравнений Кортевега—де Вриза, синус-уравнения Гордона и пр.). Можно даже предположить, что дифференциальные уравнения допускают солитоноподобные решения тогда и только тогда, когда они допускают преобразования Бэклунда. Например, дифференциальное уравнение вида

〃%« = /(〃) (5.1)

допускает солитоны тогда и только тогда, когда оно допускает и преобразование Бэклунда некоторого вида. Условия того и другого одинаковы: функция f (“) должна удовлетворять обыкновенному линейному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами. Этот результат работы [44] указывает на то, что и преобразования Бэклунда и солитоны представляют собой «исключительные» структуры. Их очевидная значимость противоречит модной догме современной математики, согласно которой интересны только случаи «общего положения» (особенно для приложений). Это еще одна иллюстрация ошибочности попыток перенесения догматическим, априорным путем математических взглядов на естественные науки — заметьте, пожалуйста, это, специалисты по теории катастроф, глобальному анализу и структурной устойчивости! По другую сторону забора находится немало физиков, которые написали статьи о «квантовых солитонах» для таких уравнений вида (5.1), которые не допускают классических солитонов, например для уравнения f (〃)= и3!

Теперь солитоны тоже можно рационально объяснить на основе идей, связанных с обратной задачей рассеяния, являющейся глобальным феноменом в отличие от преобразований Бэклунда, которые локальны. Но действительные причины такого совпадения пока еще не ясны (см. работу [37], где была сделана попытка исследовать данный вопрос).

Общая дифференциально-геометрическая интерпретация (на основе продолжений, расслоений, связностей и пр.) была развита в работах Уолквиста, Эстабрука и автора [14, 26, 33—36, 38] (см. также работу [30]. Ввиду недостатка места я вместо того, чтобы вдаваться подробно в эти идеи, приведу для концептуальной ясности одно очень общее определение, а затем перейду к уравнению Кортевега — де Вриза как к основному Примеру. В конце я остановлюсь вкратце на синус-уравнении Гордона, чтобы с его помощью разобраться в новом методе определения обобщенных законов сохранения и продолжений.

Пусть 夕——пространство всех солитонов для данной системы уравнений в частных производных (я оставлю в стороне вопросы «строгости», касающиеся областей определения, степени гладкости и пр.). Преобразование Бэклунда есть подмножество декартова произведения

扌u?X %

(В более общем случае можно считать, что 扇 и 夕义歹，，где 歹 и 夕一пространства решений разных уравнений. Мы не будем рассматривать этот случай здесь.) Решение §2 告 В связано с решением б】 преобразованием Бэклунда^ если

，®, $2)е 鳳

(Стало быть, преобразование Бэклунда есть соответствие или соотношение, а не отображение в обычном теоретико-множественном смысле.)

Для si 巨夕 полагаем

例(si) = {s 告 9: (si, s)三⑨}, т. e.⑨(si) есть множество преобразований Бэклунда решения s】.(Поскольку множество 毋 многозначно, т. е. не является отображением в обычном смысле, множество ⑨($1) может содержать более одного элемента. Конечно, преобразование Бэклунда может быть определено как отображение st執s) множества 歹 в множество подмножеств 歹.ПодЬбные объекты часто встречаются в других приложениях, например в математической экономике.^

солитонов, нужно задатьсолитонов, нужно задатьЧтобы дать определение два объекта:

солитонов, нужно задать

солитонов, нужно задать

однопараметрическое семейство Nf 纵 преобразований Бэклунда;

выделенный элемент s0 R В, называемый неподвижным решением или основным состоянием.

Тогда элементы множества 夕,которые лежат в

卷,Go)

для некоторого значения 九,называются 1-солитонами. Пусть 夕 1 — множество всех таких решений. Элементы В, которые лежат в 毋入(si) для некоторого значения Л, называются 2-солитонами, аналогично определяется множество п-солитонов В%. Теперь в уже знакомых нам примерах для нахождения 毋入(s) по данному s 告 В нужно решить некоторое дифференциальное уравнение. Оказывается, что для отыскания 夕 1 нужно решать уравнение Риккати с постоянными коэффициентами и это возможно, а для отыскания 夕2 приходится решать уравнение Риккати с переменными коэффициентами, что практически неосуществимо. Однако есть «чудо», называемое формулой суперпозиции Бьянки, которое позволяет описать 夕2, /з, • • •，используя только 91 и некоторые «алгебраические» соотношения. Эта формула указывает на существование очень интересного и загадочного физического свойства систем, описываемых дифференциальными уравнениями, своего рода «нелинейного принципа суперпозиции». Эти формулы типа Бьянки представляют собой также механизм аналитического исследования, с помощью которого можно установить следующее знаменитое свойство солитонов:

При х-> ±оо 2-солитоны асимптотически распадаются на два «свободных» 1-солитона. Иными словами, два 1-солитона, приходя из ——оо, вследствие самодействия, соответствующего уравнению для поля, превращаются в один 2-солитон, а затем при х~> оо снова становятся «свободными», изменив при этом свои фазы, но сохранив форму.

Эта математическая конструкция предлагает концептуально привлекательную картину поведения элементарных частиц, подобных тем, которые исследуются в ускорителях. (Если не считать； что здесь пока отсутствует механизм «рождения частиц».) Конечно, одним из препятствий к большему количественному соответствию этого описания взаимодействия случаю элементарных частиц является отсутствие моделей, в которых выявились бы такие же свойства в двух или трех измерениях! С аналитической точки зрения формула Бьянки, например в случае 2-солитонов s w 夕,представляет собой отображение

RfU,

где U ——пространство поля, a R2 есть произведение (одномерное пространство X время). [Обычно пространство U само есть R* или окружность S】，или, с глобальной точки зрения, проективная прямая Pi (/?).] Пусть В есть отображение U 乂 U +U、и пусть 〃，〃‘ 一1-солитонные решения; тогда формулой 6(〃，〃')：(％, /)->§(〃(％,/), 〃‘(居 /))(5.2)

определяется другое отображение: R2 —> U, Если отображение В выбрано правильно, то эта формула, по- видимому, обладает тем свойством, что 0(〃，〃') есть 2-солитонное решение данных дифференциальных уравнений. Отметим, в частности, что нахождение этих 2-солитонов не требует решения дополнительных дифференциальных уравнений. Кроме того, из специфического вида отображения 0 можно извлечь полезную информацию (например, о《кинках》，т. е. топологической структуре, и об упомянутых выше асимптотических свойствах).

Проиллюстрируем теперь эти общие положения на основном примере — уравнении Кортевега —де Вриза.

га — де Вриза в форме «закона сохранения»:

% + (6〃2+ 〃％%)% = 0.(6.1)

Введем другую функцию w, такую, что

wx = и.(6.2)

(Эту «потенциальную» функцию w вводят, чтобы по・ лучить достаточно простые формулы. Более же «глубокий» смысл данной функции заключается в том, что это «естественная» переменная, необходимая для того, чтобы записать уравнение Кортевега — де Вриза в виде задачи вариационного исчисления [6, 33].) Пусть

теперь 侬 一другая функция, удовлетворяющая ференциальным уравнениям

5； =「吗一％ + (М 亠 ЗУ，

(6.3)(6.4)(6.5)(6.3)(6.4)(6.5)叫=一吗 + 4 [_%嘰 + (吗y + wx (曲-оУ)2 +

(6.3)

(6.4)

(6.5)

(6.3)

(6.4)

(6.5)

+ 5 (疯一ш)].

Положим

〃 =一 wx.

Можно доказать следующее:

Функция 〃‘ удовлетворяет уравнению (6.1),

Уравнения (6.3) вполне интегрируемы (в смысле

Фробениуса). (6；6)

Функция 〃‘ представляет собой преобразование Бэклунда функции и, т. е. ^(и) есть множество всех таких функций 〃‘ [в данном случае это — однопараметрическое семейство функций, параметризованное начальным условием 〃'(0,0)]. Отметим далее, что (6.3)——это уравнения Риккати для з‘. Известно, что они являются системой Ли [45] для группы G = =SL(2, R). Это означает, что в группе G существует такая поверхность

(%, /)f g(%,/) = (。 a

\g21g22 丿

что решения уравнений (6.3) могут быть записаны с помощью дробно-линейных преобразований

“_ gll(居 0 "(0, 0) + gl2(X, 0 佰 w(招d篇6并期("".(6.7)

[Нетрудно видеть, что отображение (х, Z) -> g(x, t) построено с использованием описанного ранее обобщенного закона сохранения для уравнения Кортевега —де Вриза.]

Начнем с «основного» решения уравнения Кортевега —де Вриза, т. е.

〃三0.

Положим w = 0. Заметим, что уравнения (6.3) превращаются в пару уравнений Риккати с постоянными коэффициентами, решения которых могут быть выражены через орбиты (дробно-линейного действия) однопараметрических подгрупп группы SL(2, R). Действительно, как нетрудно убедиться,

g@, /) = №%,(6.8)

где 4九，В、——элементы алгебры g (т. е. действительные матрицы 2 X 2 с нулевым следом), которые зависят от X как от параметра. Далее

[4,纵]=0・(6.9)

(Действительно, матрица В* кратна матрице 4儿.)

Итак, мы видим, что формулы (6.7) и (6.8) позволяют найти 1-солитонные решения уравнения Кортевега—де Вриза в особенно чистой теоретикогрупповой форме (очевидно, допускающей широкие обобщения). Перейдем теперь к 2-солитонам.

позиции лишь в случае 2-солитонов）. Пусть Ль %з一 константы из соотношения （6.3）, отвечающие функциям 31,切2・ Положим •

侬=а二 k. （7.1） 52—51

Теорема 7.1. （Уолквист и Эстабрук [9].） Пусть и = —wXt где w ——функция, даваемая формулой （7./）. Тогда и есть некое 2-солитонное решение уравнения Кортевега — де Вриза и всякое 2-солитонное решение можно представить в таком виде.

Асимптотическое поведение 2-солитонных решений при х~> ±оо и фиксированном / является элементарным следствием соотношения （7.1）. Функции 切1, 切2 удовлетворяют уравнениям Риккати с постоянными коэффициентами

+硏，（7・2）

吗,％ = — % +鸣・（7.3）

Следовательно,

侬I （士 00）2 = %Ь 耽（士 8）= %2,== -- =

（V^?- "九 1 ） + [（如1 - “%1 ）-（g一"%2 ）]

I ®1 - "储）一®2 - "%2 ）

“九 2 - "%1

Отсюда, пользуясь формулой для геометрической прогрессии, получаем

№=（yxr+V^）（i + 圆二頂二寫*、+...）•

（7.5）

Эта формула показывает, что при х~> ±оо 2-солитоны ведут себя асимптотически, как суммы 1-солитонов. Все это можно записать, пользуясь тригонометрическими функциями. Тогда эту формулу можно физически интерпретировать как сдвиг фаз 1-солитонов при взаимодействии,

ОБЩИЙ (ХОТЯ И СПЕКУЛЯТИВНЫЙ)ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГРУППОВОЙ ПОДХОДК ТЕОРИИ ДВУМЕРНЫХ СОЛИТОНОВ. КИНКИ

Изложенному можно придать более общую форму. Начнем с группы Ли О, алгебра Ли которой есть Выберем некоторый элемент Л е ^. Построим отображение gi : R2 G вида

gi (%, /) = exp {(х + М) 4}.(8.1)

Выберем замкнутую подгруппу Н в группе G. Пусть G обычным образом действует на фактор-пространстве G/H. [Для уравнения Кортевега——де Вриза G = =SL (2f R)t а Н ——такая подгруппа группы G, что G / 〃 = S】三 Р (R) •] Построим семейство отображений

<p”R2f g/", параметризованное точками р^ w G ] Н и действительными числами 九：

Ф1 (х, 0 = ^ (х, /)(р0),(8.2)

и назовем такие отображения 1-солитонами.

Далее каждой паре параметров (九卜九2) сопоставим отображение

B：G/"XG/Hf G/乩 Положим

吸，觞)(居 /)= в(吟(%, /),齊(%,力・ (8.3)

Семейство таких отображений RfG]H можно назвать 2-солитонами и т. д.

Правда, я пока не знаю, существует ли дифференциальное уравнение, для которого все эти солитоны являются решениями, и будут ли они интересными. Но я сильно подозреваю, что это так. Интересно также? что подобная процедура может быть обобщена на пространства с большим числом переменных, скажем хну.

Вот одна из возможных формул:

gi(x, у, /) = ехр {(х + М) А + у&},

[4 勺=0,

Чтобы получить интересные примеры такого рода, можно попытаться повысить размерность групп Ли. В простейшем случае это может быть группа SL(3, R). В качестве фактор-пространства G/H может быть выбрано двумерное действительное проективное пространство Pz(R)・ Это означает, что у поля такого вида две компоненты..

Финкельштейн [46], Финкельштейн и Рубинштейн [47] и Перринг и Скерм [49] развили (с помощью элементарных математических средств, но с глубокой физической интуицией!) теорию «кинков», т. е. топологических свойств решений дифференциальных уравнений. Мы видели, что солитоны (в одномерной теории поля) — это отображения

(p:R2f g/"・

Одной из переменных пространства R? здесь является время t. Фиксируем ее. Тогда мы получим отображение

0：RfGjH.

Предположим, что существуют пределы lim ср (х) = р±оо. Тогда <р (^) — путь, идущий из Х-> 土 ОО

"_8 в р+8. Следовательно, отображением ф определяется некоторый элемент фундаментальной группы jii(G/〃), который является петлевым (гомотопическим) инвариантом решения. Теоретико-групповое происхождение солитонов, построенных выше, позволяет найти методы вычисления их инвариантов. Первый шаг в этом направлении был сделан в работе [34]. Я разработал новый метод с применением «динамических систем», который, полагаю, может найти значительно более широкое развитие и применение.

Указанная точка зрения представляет интерес и в случае двумерных солитонов. Если фиксировать /, то мы получим отображение

(x,g)^G/H

из R2 в G/H. Добавив к R2 «бесконечно удаленную точку», мы превратим R2 в двумерную сферу S2 и получим отображение

S2 f G/H.

Тем самым мы определим некоторый элемент второй гомотопической группы 冗2(G/"), который и будет «кинком». В нашем примере

冗 2(A(R)) = 3,

так что выбор G=SL(3, R) для двумерных солитонов (хотя бы для простейших их видов), по-види- м©му, правилен.

ОБОБЩЕННОЕ СИНУС-УРАВНЕНИЕ ГОРДОНА

В качестве последней темы я изложу (для простейшего случая) некоторый вариант метода, использованного Уолквистом и Эстабруком для нахождения «продолжений». Пусть 乡一алгебра Ли, а и, их — переменные. Для упрощения технических построений теории групп Ли мы снова будем предполагать, что 乡 есть матричная алгебра Ли, хотя все это может быть распространено обычным способом на общий случай. Положим

А =九 4 + 〃％』2,

где X — постоянный параметр, Дь Д2 — фиксированные элементы алгебры Ли g, а ufB(u)—— отображение в алгебру Ли g. Пусть 〃 = 〃(％,/), их = ди/дх и т. д.

Запишем условие того, что отображения 〃一＞ (4,В) удовлетворяют уравнению продолжения

一[九4 +〃/L 九-*(")] =

="%М2 — [4, В (〃)]—九 1 (凡 一 [4, 8 (〃)])以，(9.2) где

& = "*f + &

Вх = ГхВиих (% = dB/d〃)・

Нам хотелось бы, чтобы правая часть уравнения (9.2) обращалась в нуль при всех 九.Посмотрим сначала, каковы следствия условия

Ви = [Аь В (и)].(9.3)

Решенце этого уравнения можно представить в виде степенного ряда:

8(〃) = & + В1〃 +喏+ 一凡= Bi + &〃 +等+・・・，

[До, 3(〃)] = [До, Во] + [Ло,即 〃 + 吗也必+

Приравнивая соответствующие коэффициенты, получаем

[4, 4] = В】，

[Аъ Bi] = & = [Ло, [До,關]

и т. д. Иными словами,

B/ = (AdA)y, / = 0, 1,2,.

Следовательно,

=2 Ad (产(%) = exp {Ad (4〃)} (В。)=

=Ad {exp (Д)〃)} (4) = exp (4〃) Bo exp (— Лои). (9.4)

Этим соотношением определяется коэффициент при 九т в выражении (9.2) (в том случае, когда оно положено равным нулю). Приравнивая нулю коэффициент при 九°, получаем соотношение

uxtA2 = [4, ехр (4〃) Во ехр (— Лои)].(9.5)

Теперь мы можем потребовать, чтобы функция и удовлетворяла уравнению вида

以 t = f (〃)•(9.6)

Тогда f определяется из условия

f (〃) 4 = [4, ехр (4〃) В ехр (— Д)〃)]・(9.7)

Если, например, G = SL(2, R), то легко выбрать элементы До, 41, Л2 так, что эти уравнения сводятся к одному синус-уравнению Гордона

以土 = sin u

(см., например, работу Конно и Вадати [48]). В каче* стве другой возможности можно допустить, что и — векторная функция переменных х и /. Я намерен исследовать эти возможности в одной из следующих публикаций, а здесь хочу лишь показать читателю, как, последовательно развивая дифференциальногрупповую точку зрения, можно находить различные виды продолжений с более общими структурными группами, чем рассматривавшиеся ранее [т. е. SL(2,R) или SL(3,R)]・

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯИ ВЗГЛЯД В БУДУЩЕЕ

История математики приводит к тому очевидному выводу, что изучение естественнонаучных проблем чаете оказывает самое плодотворное и стимулирующее влияние на развитие математики за большие сроки. В кратковременном же масштабе, скажем за последние тридцать лет, этот эффект «размывался» потоком новых сведений, исходящих изнутри самой математики, что было связано в основном с развитием более абстрактной, общей, но, как мне кажется, и бесплодной техники. Математика же как специаль^ ность раньше значила больше, нежели в последние десять лет; ирония ситуации состоит в том, что именно в последние десять лет влияние математической мыс、 ли широко распространилось и математические исследования процветают как никогда. В начале этого пе~ риода снижения ценности математической специальности появилась основополагающая статья [2], тема которой, развиваясь медленно вначале, переросла затем в поток новых методов и результатов, получаемых ведущими математиками мира, как «чистыми», так и «прикладными». Одной из поразительных сторон этого предмета исследований является то, что он содержит в себе целый спектр идей, методов, понятий и

ветвей математики. Ключевые результаты были полу

чены и в итоге различных тщательно проведенных конкретных вычислений, в которых стали такими специалистами физики и механики, и в итоге общих абстрактных исследований на основе арсенала современной чистой математики, и в итоге машинных вычислений. В дополнение к «привычным» ветвям математики (функциональный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы) предмет, разрастаясь, привел к задачам алгебраической и дифференциальной геометрии и теории Ли, способствуя развитию новых обширных областей в этих дисциплинах.

Надеюсь, мне удалось представить достаточно фактов и идей для того, чтобы показать читателю, насколько богаты и плодотворны идеи дифференциально-геометрического подхода к изучению нелинейных волн и солитонов. Как и в любом другом предмете, находящемся на стыке наук, здесь довольно трудно соединить вместе все имеющиеся идеи и факты и разобраться в общей картине. Я думаю, однако, что этот предмет открывает невиданные возможности для приложения методов современной математики к важным областям естественных наук и техники.

Я приведу свой список направлений, которые представляются мне наиболее перспективными. (10 обозначает одномерные, 2D — двумерные и т. д. дифференциальные уравнения в частных производных с одним временем.)

Развитие теории ID-нелинейных волн, включая солитоны, с помощью продолженцй с другими группами Ли [кроме SL(2, /?), SL(3,R)] в качестве структурных групп.

Обобщение на 2Д-системы либо дифференциально-группового метода, изложенного выше, либо метода внешних дифференциальных форм Эстаб- рука — Уолквиста — Морриса. Здесь имеется

несколько важных нерешенных принципиальных проблем, например каково правильное обобщение понятия «обобщенный закон сохранения»? («Законы сохранения» в этой ситуации представляют собой дифференциальные 2-формы со скалярными коэффициентами.) Является ли «обобщенная» разновидность

всего лишь дифференциальной 2-формой со значениями в алгебре Ли? Не отвечает ли это понятие некоторой высшей разновидности связности и кривизны? Какова его связь с физическими представлениями (калибровочные поля, поля Янга ——Миллса, инстантоны и пр.)?

Какова правильная теория «обратной задачи рассеяния》в случае 2£>-проблемы? Обычный метод «Гельфанда — Левитана», по-видимому, связан с ог* раниченной одномерной «геометрией». (Заметим также, что своим существованием в той ограниченной форме, в которой они известны сегодня, солитоны, вероятно, обязаны ограниченности одномерной геометрии. Без сомнения, 20-формы будут гораздо более разнообразными.)

Какова связь между этими непрерывными моделями и дискретными моделями типа решетки Тоды? Конечно, то, что первое является «непрерывным пределом» второго,— это 《фольклор》. Однако здесь имеются более прямые математические аналогии и связи. В работе [34] мной был предложен алгебраический подход (градуированные ассоциативные алгебры) для решетки Тоды (я склонен рассматривать это как дифференциально-геометрические основания метода обратной задачи рассеяния). В принципе такой подход можно распространить на непрерывные модели и, возможно, даже на 2D. Другую возможность для осуществления этой связи дают уравнения Лакса. Для решетки Тоды они принимают вид

票=й(4),川， (ЮЛ)

где А : t-^ A(t)—кривая в алгебре Ли ^ и а :乡一> 乡一линейное отображение, а в качестве уравнений продолжения имеем

Л^ВХ = [Д, В], (10.2)

где (%, £)->(4(%, f), 5(%, f)) —отображение R2-> 0X9. Теперь можно свести (10.2) к (10.1), установив связь между А и В [например, В = а(А)] и между % н f. В настоящее время я развиваю этот подход и думаю

изложить его (вместе с дальнейшими результатами по проблемам, затронутым в этой статье) в одном из томов 《Интердисиплинари Математике».

Кроме этих соображений сугубо научного характера я могу добавить еще несколько слов о том особом месте, которое занимает рассматриваемая область исследований в национальной научной жизни, и (поскольку, к сожалению, рано или поздно подобные вещи оказываются связанными с деньгами) об ее финансовом обеспечении. Можно полагать, что вся эта тематика относится к одной из славнцх страниц американской науки (чтобы оценить эти достижения в перспективе, я позволю себе высказать мнение, что они имеют такое же значение в XX в., какое в XIX в. имела теория эллиптических функций, затронувшая многие разделы математики и естественных наук). Она возникла из работы Ферми, Пасты и Улама 1950 г., была развита Крускалом с сотрудниками в 1960 г., причем существенный вклад внес Лакс; Эстабруку и Уолквисту из Лаборатории реактивного движения принадлежат результаты, сравнимые по важности с вкладом Лакса, но их работы почти совсем не известны в нашей стране за пределами узкого круга специалистов (не помогает даже то, чтй они являются физи* ками и притом неакадемического склада). Исследова* ния в этой области все в большем масштабе ведутся в Советском Союзе, Японии, Западной Европе, и наше «лидерство» постепенно улетучивается. Конечно, у меня нет желания выказать себя наицным шовини* стом — наука была и будет оставаться интернациональной, насколько это возможно — однако в ней су， ществуют национальные особенности и различия. На* пример, наиболее «интеллектуальные» области прикладной математики и математической физики, блистательным образцом которой является рассматриваемый предмет, традиционно очень слабы у нас, хотя здесь и имеются выдающиеся исключения (Гиббс, Биркгоф, Винер... вероятно, в этот список теперь можно включить Крускала!). Я думаю, что тема достаточно богата для того, чтобы обеспечить бурный рост, если создать достаточно плодородную почву. Мы

видим здесь классический пример новой математики и физики, появление которых было стимулировано численным моделированием на очень простых ЭВМ (работа Ферми, Пасты и Улама, выполненная в 50-х годах). (Не предсказывал ли фон Нейман, что со временем нам удастся открыть нечто новое в нелинейных дифференциальных уравнениях благодаря численному моделированию?) Почему же теперь нет достаточно обстоятельных попыток развить это направление, раскрывая, «секреты» двумерных и трехмерных нелинейных уравнений? (Забуски, один из пионеров в этой области, рассказывает о работе такого рода в последней главе сборника.) Я надеюсь, что исследования по этой проблеме будут энергично продвинуты с помощью специалистов по вычислительной гидродинамике. Как сообщил мне Уолквист, имеются широкие возможности для автоматизации вычислений в картановской теории внешних дифференциальных систем (которая, по существу, является геометрической теорией дифференциальных уравнений) с помощью систем обработки символьной информации типа МАКСИМА, но и здесь не наблюдается никакой активности.

Наконец, почему не прилагаются более энергичные усилия к развитию этих методов в рамках борьбы с «энергетическим кризисом» (термоядерный синтез, производство электроэнергии и его стабильность н др.)? В конце концов все это долговременные программы, и я уверен, что стимулированные ими серьезные математические исследования, будучи начаты теперь,《окупят》себя за то время, которое, очевидно, необходимо для их реализации. Например, сам Крускал начал работать над этим материалом в 50-х годах в связи с проектом Шервуда (термоядерный синтез). Прилагают ли сейчас руководители новых «проектов Шервуда» такие же усилия, чтобы при* влечь к работе над своими проблемами столь же талантливых математиков, обладающих достаточным воображением и творческими способностями?

Данная работа финансировалась НАСА (Grant NSG-2252).

Литература)

Zabusky М J., Kruskal М. D., Phys. Rev. Lett., 15, 240 (1965).

Gardner C. S., Greene J. M, Kruskal M. D., Шига R. M., Phys. Rev. Lett, 19, 1095 (1967).

Lecture Notes in Physics, Vol. 38, ed. J. Moser, Springer, 1975.

Lecture Notes in Mathematics, Vol. 515, ed. R. M. Miura, Springer, 1976.

/wlowitz M /., Каир D /., Newell 4 C., Segur "., Studies in Applied Math., 53, 249 (1974).■

Whitham G., Linear and Nonlinear Waves, Wiley, N. Y., 1974. (Имеется перевод:，Дж Уизем. Линейные и нелинейные волны. —М.: Мир, 1977.)

Kruskal М. D., Miura R. M.t Gardner С. S., Zabusky M /., Journ. Math. Phys., llt 952 (1970).

Harrison В. K., Estabrook 户.В., Journ. Math. Phys., 12t 653 (1971).

wahlquist ". D, Estabrook E B” Phys. Res. Lett., 31, 1386 (1973).

Estabrook 尸.В. — В кн. [4].

Wahlquist Н. D. — В кн. [4].

Corones /., Testa 尸.J.—百 кн.: [4].

Estabrook F. В., Wahlquist H.立，SIAM Rev., 17, 201 (1975).

Wahlquist H. D, Estabrook F. B., Journ. Math. Phys. 16, 1 (1975).

Morris ". C., Journ. Math. Phys., 17, 1867 (1976).

Corones /., Journ. Math. Phys., 17, 756 (1976).

Estabrook 尸.В., Wahlquist H. D., Journ. Math. Phys., 17, 1293 (1976).

Morris H. C., Journ. Math. Phys., 17, 1870 (1976).

Hermann R., Phys. Rev. Lett., 36, 835 (1976).

Morris H. C., Journ. Math. Phys., 18, 285 (1977).

Harrison В. K., Utah Acad. Proc., 53, 67 (1976).

Morris H. C., Journ. Math. Phys., 18, 533 (1977).

Corones /. C., Journ. Math. Phys., 18, 163 (1977).

Morris H. C., TCD 1976—1977. (Представлено1 для опубликования в Journ. Math. Phys., 1976.)

Dodd R. K・，Gibbon J. D., Proc. Roy. Soc., A358, 287 (1977).

Hermann R., The Geometry of Nonlinear Differential Equations, Backlund Transformations and Solitons. Part A (Interdisciplinary Mathematics, Vol. 12), Math. Sci. Press, Brookline, MA, 1976.

Morris H. C., Journ. Math. Phys., 19, 85 (1978).

Hermann R., Quantum and Fermion Differential Geometry (Interdisciplinary Mathematics, Vol. 16), Math. Sci. Press, Brookline, MA, 1977.

Dodd R. K・，Gibbon J. D., Proc. Roy. Soc., A359, 411 (1978).

Cfampin M.t Pirani Л А. Е., Robinson О. С., Lett. Math. Phys., 2, 15 (1977).

Morris H. C. — В кн. Lie Groupes: History, Frontiers and Applications, Seminar/Institute on Differential and Algebraic Geometry for Control Engineers, NASA, 1976, Vol. 7, ed. R. Hermann, Math. Sci. Press, Brookline, MA, 1977.

Morris H. C., Journ. Math. Phys., 18, 530 (1977).

Hermann R., The Geometry of Nonlinear Differential Equations, Backlund Transformations and Solitons, Part В (Interdisciplinary Mathematics, Vol. 14), Math. Sci. Press, Brookline, MA, 1977.

Hermann R., Toda Lattices, Cosymplectic Manifolds, Backlund Transformations and Kinks, Part A (Interdisciplinary Mathematics Vol. 15), Math. Sci. Press, Brookline, MA, 1977.

Proc, of the 1976 Ames Research Center (NASA) Conference on the Geometric Theory of Nonlinear Waves, ed. R. Hermann, Math. Sci. Press, Brookline, MA, 1977.

Proc, of the VII GIFT Summer School, ed. J. Arrazaga, Springer.

Proc, of the 1977 Park City (Utah) Conference on Differential Equations, ed. C. Byrnes, M. Dekker, N. Y. '

Proc, of the Intern. Symposium、on Nonlinear Evolution Equations Solvable Via the Inverse Scaterring Transformation, ed. F. Calogero, Acad. Nazionale dei Lincei, Rome.

Whittaker E, Analytical Dynamics, Cambridge University Press. (Имеется перевод: E. T. Уиттекер. Аналитическая динамика.—М.: ОНТИ, 1937.)

Hermann R., Lie Groups for Physicists, W. A. Benjamin, Reading, MA, 1966.

Sagle A., Walde R., Introduction to Lie Groups and Lie Algebras, Academic Press, N. Y., 1973.

Gilmore R” Lie Groups, Lie Algebras and Some of Their Applications, Wiley, N. Y., 1974.

Cartan E, Les systemes differentielles exterieures et leurs applications geometriques, Hermann, Paris, 1946. (Имеется перевод: 3. Картан. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения. — М.: МГУ, 1962.)

McLaughlin D., Scott 4., Journ. Math. Phys., 14, 1817 (1973).

Hermann R., Geometric Structure of Systems-Control Theory and Physics, Part A (Interdisciplinary Mathematics, Vol. 9), Math. Sci. Press, Brookline, MA.

Finkelstein D, Journ. Math. Phys., 7, 1218 (1966).

Finkelstein £>., Rubenstein D., Journ. Math. Phys., 9, 1762 1968.

Konno K・，Wadati M, Prog. Theor. Phys., 53, 1652 (1975).

49*. Perring /. K., Skirm T. H. R., Nucl. Phys., 31, 550 (1962).

Глава 4

Солитоны и физические возмущения

А. Бишоп )

1. ВВЕДЕНИЕ

Уравнения, допускающие решения в виде солитонов (синус-уравнение Гордона, уравнение Кортевега —де Вриза, нелинейное уравнение Шредингера и т. д.), хорошо известны математикам как уравнения, обладающие замечательным свойством полной интегрируемости, а также как общие уравнения, пригодные для приближенного описания широкого круга разнообразных физических явлений [1]. Однако для приложения их к реальным ситуациям, возникающим в физике конденсированного состояния, в технике и т. д., необходимо вводить различные возмущения, не позволяющие ограничиться рассмотрением полностью интегрируемых систем. Этим вопросам и посвящена данная глава. В этой связи интересно привести слова одного «корифея» (не будем называть его имени) в области исследования синус-уравнения Гордона (СГ) применительно к движению доменных стенок в ферромагнетиках. Ознакомившись с достижениями «возмущенной солитоники» (излагаемыми ниже), он заметил, что, отдав столько лет упрощению физики явления с целью выделить описание на основе уравнения СГ, поддающееся аналитическому решению, он видит некую иронию в том, что здесь оказалась восстановленной вся сложность реальности. То же самое можно было бы сказать и о многих других приложениях. Это свидетельствует о происшедшей в последние десять лет мощной консолидации математических методов, применяемых для анализа уравне-

ний, имеющих солитонные решения: нынешние систематические исследования возмущений — естественное развитие, особенно если учесть растущее понимание физиками универсальности нелинейного подхода.

' Я буду предполагать, что читатель в основном знаком с идеями и математическим аппаратом теории солитонов (см., например, другие главы данной книги), и уделю главное внимание не математической стороне вопроса, а физическим следствиям и приложениям. В качестве примера, как правило, будет использоваться уравнение СГ с обозначениями, соответствующими колебаниям одномерной цепочки. Гамильтониан такой системы имеет вид

(СГ)=х{4 (^) +^*3+—牝 у+

+ 啾1 — cos%)}, (1.1)

где i — номер звена цепочки, р — безразмерные отклонения, с。и соо — характерные скорость и частота, А — множитель, задающий масштаб энергии. Если переменные ф/ мало меняются на протяжении одного звена / 三 打+1 — %/, то в выражении (1.1) можно перейти к континуальному пределу, положив

f，餐，广2 @+i -暗-(零y-

В этом пределе уравнения движения Эйлера — Лагранжа дают широко распространенное уравнение СГ

①及-Фхх + 啾 sin Ф = °-(1 ⑵

Большая часть приводимых ниже результатов приме* нима и к нелинейным уравнениям более общего вида. Например, я буду упоминать о гамильтониане ф4 и соответствующем уравнении, которые в континуальном пределе имеют вид

H^=\dxA{^ + ^。緒 + т 喇 Ф? — IF }，(1.3)

屮"一*屮葭 + 峭(Ф3 —(p) = 0,(1.4)

Эта система (и ее обобщения) широко встречается в физических задачах [2], и, хотя она и не полностью интегрируема, к ней применимы некоторые приближения из тех, которые делаются ниже для уравнения СГ.

Мы начнем с обсуждения некоторых общих проблем физики нелинейных явлений, которые будут служить исходным пунктом для последующего анализа. Сегодня физики уже начали усваивать основной «нелинейный» урок, заключающийся в том, что определенные типы нелинейных уравнений можно исследовать, не прибегая к привычной процедуре линеаризации, и что они допускают решения (например, солитоноподобные) ,которые нельзя получить ни в каком конечном порядке теории возмущений для линейных мод, но которые могут иметь своеобразные физические свойства. Этот простой урок оказался полезным не только при описании отдельных физических явлений, но и в общетеоретических построениях (статистической механике, квантовой теории поля, теории ренорм-группы для критических явлений и т. д.), Ввиду большой разнородности и своеобразия приложений очень важно не оказаться сбитым с толку техническими деталямй, возникающими при решении отдельных задач. Для прошлых и настоящих исследований в этой области характерны общие черты, являющиеся также отправными пунктами для будущих исследований. Они заключаются в следующем:

Самой важной особенностью нелинейных задач является то, что для учета достаточно сильных нелинейных эффектов часто недостаточно теории возмущений, основанной на разложении по нормальным линейным модам. Сейчас все яснее осознается, что существенно нелинейные образования (кинки и т. д.) могут представлять совсем другие типы решений, чем линейные (или почти линейные) моды, и их следует считать столь же «фундаментальными». Значение этих нелинейных возбуждений велико потому, что они несут важную информацию о структуре среды и иг・ рают большую роль в энергетических процессах, явлениях переноса и т. д. В результате появились теории, в которых делается попытка явным образов

учесть все типы фундаментальных решений (см., например, § 3, где этот вопрос рассматривается применительно к статистической механике).

Нелинейные уравнения обладают значительной общностью. Число нелинейных явлений, которые (в определенном приближении) могут быть описаны данным уравнением, почти так же впечатляюще вели* 幺о, как и разнообразие нелинейных эффектов. Поэто* му уравнения лучше всего характеризуются основными особенностями физических явлений, которые они описывают. Например, уравнение СГ (и другие урав* нения с периодическим потенциалом) характеризует распространение волны в присутствии «закрепляющего» («захватывающего») потенциала. Приложения этого уравнения включают описание дислокаций [1], свойств ферромагнетиков [1], джозефсоновских линий передачи [1], поведения волн зарядовой плотности [3], фазовых переходов соизмеримость — несоизмеримость [4], суперионных проводников [5], вращательных фазовых переходов в молекулярных кристаллах, поверхностных эпитаксиальных структур и т. д.

С общей точки зрения [2] такие нелинейные возбуждения можно рассматривать как «структурные дефекты параметра порядка》. Такой подход будет естественным в § 3. Но и классическая начальная постановка задачи, как правило, состоит в нахождении, исходя из требований симметрии и т. д., структур, которые бы (при определенных граничных условиях) минимизировали заданную свободную энергию, лаг* ранжиан и т. д. Затем уже проводится учет тепловых [6], критических [7] или квантовых [8] флюктуаций. Подобные дефекты часто ассоциируются с механизмами скольжения или течения в конденсированных средах, но, как мы увидим в § 2, возмущения могут изменить эти представления.

Аналитическое описание возможно, как правило, лишь для одномерных систем, свойства которых весьма специфичны. Следует иметь в виду, что тривиальное обобщение на высшие размерности может привести к неустойчивостям по отношению к внутренним возмущениям. В этом отношении отрицательную роль может сыграть теорема Деррика [8], которая

утверждает, что в случае лагранжиана вида 2 = =1/20以20"屮——U")，n=1,2, D; U》0, в D-мерном пространстве единственными статическими решениями с конечной энергией при 0^2 являются низшие состояния с 屮=const, U = min.

Весьма важно понять, что подобные математические результаты не очень существенны для нас, поскольку при учете многих реальных физических условий математическая постановка задачи меняется й это позволяет обойти теоремы такого рода. В частности, мы можем искать устойчивые решения, зависящие от времени, или решения с бесконечной энергией (например, отвечающие плоским доменным стенкам), рассматривать связанные скалярные или векторные поля [8], учитывать общие ограничения, налагаемые изоспином, зарядом и т. д. [9]; в лагранжиан можно включить вытекающие из физического смысла задачи дополнительные слагаемые, например члены с высшими производными [9], спиновые поля [8] и т. д. Различные «кластеры» (напоминающие области между одномерными кинками) наблюдаются во многих реальных системах (например, сегнетоэлектриках, ферромагнетиках и т. д.). Для их описания, необходимо учитывать внешние стабилизирующие поля (как в случае цилиндрических магнитных доменов), эффекты поверхностных взаимодействий (как в случае плоских доменных стенок), закреплений на примесях, границах зерен и т. д.

Следует упомянуть и о чрезвычайно интересной концепции «топологической устойчивости» [8]——ио пользовании групп гомотопий, методов Дифференциальной геометрии и т. д. для нахождения таких типов структур (соответствующих конкретным видам лагранжианов и характеризуемых классами гомотопий), которые устойчивы по отношению к переходу в другую группу гомотопий. Подобные идеи тоже не новы, но сейчас признано их важное значение как основы универсального подхода, применимого в квантовой теории поля, статистической механике и физике конденсированного состояния. Попытки классифицировать глобальные «текстуры» и локальные топологические образования и сингулярности в 3Не [10] полностью

аналогичны идеям, выдвинутым недавно в квантовой теории поля [8]. Топологическую устойчивость не следует смешивать с необычайной (и не очень существенной физически) устойчивостью солитона (§ 2). Топологически устойчивые структуры важны с точки зрения статистической механики, характеристик энергетических процессов, а также связанных с этими структурами топологических законов сохранения [8].

Применительно к статистической механике наиболее важной проблемой является, пожалуй, необходимость ввести конечную температуру—фактор, которого не было в математически детерминированных задачах. При этом будут существенны даже неустойчивые моды; физическим критерием их значимости является время жизни — оно должно быть достаточным, чтобы проявлялся заметный отклик на внешнее воздействие. Эффект от неустойчивых мод будет значительным, если их времена жизни велики (вследствие, например, размерной анизотропии или, еще лучше, топологической устойчивости). Размерная анизотропия не только приближает к реальности одномерные модели, но и имеет прямое отношение ко многим реальным физическим системам [3].

В реальных системах мы имеем дело не с «солитонами», а с «уединенными волнами». В математической литературе последних лет солитонами принято называть только решения в виде кинка или импульса, относящиеся к точно интегрируемым одномерным гамильтоновым системам [1]. Эти системы обладают рядом замечательных свойств (подробнее см. [1] и другие главы данной книги). В частности, при некоторых весьма слабых ограничениях общее решение этих уравнений можно найти путем «преобразования обратной задачи рассеяния», представляющего собой каноническое преобразование к обобщенным переменным действие ——угол. Эти переменные отвечают допустимым типам возбуждений в системе («нелинейным нормальным модам》), время жизни ^которых бесконечно велико, причем при «столкновениях» с другими возбуждениями их индивидуальность в асимптотике сохраняется. Суперпозиции, конечно, нет, но взаимодействие сводится в асимптотике к простому попарно-

аддитивному сдвигу фазы. Таким образом, решение задачи с произвольными начальными условиями может быть записано в виде обобщенного преобразования Фурье по нелинейным нормальным модам. Среди других свойств интегрируемых систем можно отметить явление возврата, бесконечное число законов сохранения и т. д. Во многих случаях (см., например, § 2) ценным оказывается следующее свойство: вклады разных нелинейных нормальных мод в гамильтониан (и другие интегралы движения) полностью разделяются. Для уравнения СГ такими фундаментальными модами являются солитоны, «бризеры» и возбуждения непрерывного спектра (их дисперсия такая же, как и у линейных фононов). Бризер (или дублет) можно рассматривать как пару солитон — антисолитон; это решение представляет определенный физический интерес в связи с тем, что оно имеет внутреннюю колебательную структуру [3, 8].

Указанные свойства настолько специфичны, что они вряд ли могут встретиться в физических приложениях в чистом виде. Тем не менее уравнения, имеющие солитонные решения, позволяют оцисать существенные свойства- большого числа физических явлений [1], и, поскольку они позволяют получить исчерпывающую математическую информацию, значение таких моделей трудно переоценить. Следовательно, эти уравнения представляют собой достаточно хорошее приближение к реальной ситуации, если только учтены разумные физические ограничения. Например, из того, что вклады отдельных нормальных мод в гамильтониан полностью разделяются, следует отсутствие эргодичности. Поэтому при построении статистической механики мы должны предполагать существование взаимодействий, обеспечивающих эргодичность (аналогично случаю линейной системы). Реальные гамильтонианы могут либо с самого начала быть неинтегрируемыми, как, например, уравнение <р4 или обобщенное уравнение СГ [11], либо стать неинтегрируемыми при учете физических возмущений. Довольно распространенным примером интегрируемой дискретной цепочки является цепочка Тоды (с возможными применениями в теории теплопровод-

ности, при исследовании распространения ударных волн и т. д.), но и здесь основной интерес представляет влияние возмущений — границ, неоднородностей, тепловых флюктуаций и т. д.

‘ Пункты 4 и 5 показывают необходимость систематического изучения физических возмущений различных типов как для уравнений, имеющих солитонные решения, так и для уравнений, в которых имеются решения в виде уединенных волн. Во многих случаях большую роль играют высшие размерности, явления, связанные с границами и топологической устойчивостью, и т. д., но в данной главе мы ограничимся обсуждением бесконечной одномерной системы в присутствии детерминированных и недетерминированных возмущений. В § 2 мы рассмотрим влияние примесей, внешних полей, затухания, переменных параметров и дискретности цепочек при нулевой температуре, а также приложения к изучению доменных стенок в ферромагнетиках, джозефсоновских линий передачи, квазиодномерных проводников и т. д. Исследование недетерминированных (тепловых) флюктуаций в рамках как равновесной, так и неравновесной статистической механики проводится в § 3.

ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ

Аналитическая теория возмущений

Мы начнем с того, что кратко изложим простую линейную теорию возмущений [13], которая позволяет сформулировать физические представления о динамике солитонов и их устойчивости в присутствии малых возмущений. Мы затронем только простейшие приложения этой теории — к динамике одиночного кинка (который не обязательно является солитоном), не имеющего внутренних степеней свободы.

Рассмотрим вначале взаимодействие между кинком и фононом в рамках нелинейных волновых уравнений типа СГ или ф4. Этот процесс хорошо известен из линейного анализа устойчивости [1, 13]. Принцип суперпозиции, конечно, не выполняется, но в некоторых случаях (в том числе для уравнений СГ и 平)

взаимодействие кинк — линейный фонон можно описать следующим образом. Кинк не меняет дисперсии фононов и дает чисто безотражательный потенциал, так что взаимодействие сводится просто к асимптотическому сдвигу фазы фонона, если не считать того, что некоторое конечное число мод захватывается кинком. Для уравнения СГ такая мода единственна ——это голдстоуновская «трансляционная мода》с нулевой частотой; для уравнения(р4 кроме нее есть еще одна захваченная мода, соответствующая внутренним колебаниям. Число захваченных мод связано с асимпто* тическим сдвигом фазы аналогично правилу Фриделя для числа электронов, захватываемых примесью. Чтобы получить эти результаты, следует выделить возмущение на фоне кинка ① = Фк + 屮 и линеаризовать получающееся уравнение поТогда получится уравнение с «рассеивающим потенциалом», имеющее решение вида if> = f (x)exp(ico/).

Например, для уравнения СГ (1.2)

吸(居 /) = 4 arctg [ехp (土 而三譌产)]'

где d = cq / co。. Функция 屮 удовлетворяет уравнению 必一 с池% + 啮[1 - 2 sch2 (-7-)]^ = 0,(2.1)

в котором мы выполнили преобразование Лоренца к системе отсчета, движущейся со скоростью солитона. Отсюда для / получим*

一 * 爲 + 端[1 一 2 sch2 (%*)] f = 82f. (2⑵ Известно, что «потенциал» в «уравнении Шредингера» (2.2) принадлежит к прозрачному, или безотража- тельному (баргмановскому), типу. Решения этого уравнения состоят из одного связанного состояния и непрерывного спектра:

% (尤)=等 sch (詛，8в = 0,(2.3)

h ⑴=(2n)f ^ 宀[々 + ± 也(守)],(2.4) 啤=端 + e訥 2,(2.5)

Формула (2.3) описывает в линейном приближении трансляционную моду; действительно, fB (х) = d嘲dx、 Дисперсионное уравнение (2.5) для фононов остается в точности таким же, как и в линейном случае. Как Следует из выражения ⑵4), из-за неподвижного кинка фаза фононов в асимптотике сдвигается на величину 6左=乳h]\ 右 | ——2 arctg (Ed). Посмотрим, как 5To влияет на плотность фононных состояний р (归). Для этого мы можем ввести большую, но конечную длину цепочки L с периодическими граничными условиями (предположив, что вышеизложенные результаты верны в пределе при L ~> оо). Тогда допустимые значения волнового вектора даются формулой

Lkn + б^л = 2лп, п = 0, ± 1, ... , (2.6)

откуда следует p色)=急+嘉需， (27)

Мода с feo = 0 здесь, очевидно, отсутствует. С помощью «релятивистских» формул преобразования эти результаты легко обобщаются на случай движущегося кинка [14]. Для кинка, движущегося со скоростью и, пропадает мода с 瓦=—(u/d) (со — J) ". Заметим, что на плотность состояний кинков (и других пространственно локализованных мод) асимптотические сдвиги фаз не влияют.

Для нас здесь (см. также статистическую механику в § 3) самым важным свойством функций .(2.3) и (2.4) является то, что они как собственные функции самосопряженного оператора (2.2) образуют полное множество — базис в пространстве функций переменной %. Наиболее существенно то, что это множество — самый естественный базис для представления возмущений решения в виде кинка и оно позволяет дать прозрачную физическую интерпретацию этих возмущений: трансляционная мода описывает движение центра масс кинка, а моды непрерывного спектра отвечают изменению его формы и также «излучению»,

Условия ортогональности и полноты имеют следующий вид [13]:

оо8/d при i'— / ■— В,

，方(%)力(%)〃 =，1 при / = / = &,(2.8)

~°°I 0 в остальных случаях,

，dk 竝⑴ h (/) + 4/в (%)/в 3) = 6 (% — £)• (2.9)

Таким образом, кинк и линейные фононы на его фоне можно рассматривать как «нелинейные нормальные моды». Во-первых, как следует из формул (2.8), (2.9), по ним можно раскладывать произвольное возмущение, а во-вторых, их вклады в энергию разделяются^

E = ”+，d&p®%,(2.10)

где Е^ = Ms(^ (1 — у2/со) "— энергия кинка, причем Ms = McOqC^1 — «масса покоя» солитона в уравнении СГ.

Прежде чем перейти к приложениям теории, заметим, что изложенный метод возмущений применим не только к уравнениям СГ и ф4, но и к более широкому классу нелинейных волновых уравнений, имеющих решения в виде кинка (см., например, § 3). Удобный с физической точки зрения полный набор функций 6у・ дет получаться из обобщенного уравнения (2.2). Нам просто, повезло в том отношении, что уравнения СГ и Ф4 дают безотражательные потенциалы и поэтому более удобны для аналитического исследования и наиболее просто интерпретируются; основные физические эффекты сохраняются и в более общем случае (см. также § 3). Замечательно, что у систем, допускающих солитонные решения, безотражательные потенциалы и связанная с ними простота анализа сохра^ няются не только в линейном случае, но и во всех порядках по нелинейности. Метод обратной задачи рассеяния дает каноническое преобразование к под-

ному набору «нелинейных нормальных мод», взаимодействие между которыми происходит без отражений и сводится только к фазовым сдвигам, причем энергия полностью разделяется на вклады отдельных мод [как в формуле (2.10)]. Эти моды образуют полный ортогональный «конфигурационный базнс》, по которому можно разложить произвольное решение (такую процедуру можно назвать «обобщенным преобразованием Фурье» [1], ср. с приведенным выше результатом для линейной задачи), а также произвольное возмущение. На этой основе недавно было разработано несколько изящных схем теории возмущений для интегрируемых гамильтоновых систем [15]. При этом интересуются изменением во времени (под действием возмущения) данных рассеяния, получаемых из обратной задачи (см. также статью МакЛафлина и Скотта в этой книге, гл. 9). Такими методами в принципе можно исследовать возмущения произвольного решения, а не только одиночного солитона. Для ряда частных случаев были развиты и другие аналитические методы теории возмущений [16].

Вернемся теперь к нашему простому случаю —— решениям типа кинка. Для них уже были рассмотрены возмущения различных видов (и ряд видов изучается сейчас). Среди них — примеси, приводящие к изменению в пространстве коэффициента в уравнении (1.2):

喘(%)=喘 + А 嗚(%)• (2.11)

Другой пример — учет в выражении (1.1) взаимодействий вида

箔взанм= —』九需 g(%)・ (2.12)

С точки зрения «транспорта» солитонов представляет интерес рассмотреть влияние зависящей от времени внешней силы и затухания в уравнении (1.2):

①川—舔%% + 端 sin 屮 + П% = KEeM. (2.13)

Наш общий метод заключается в следующем. Реше- ,ние представляется в виде ①=①先(％—— 加)+ 2 (尤，/), затем линеаризованные уравнения для р преобразуются к системе отсчета, движущейся со скоростью

исходного солитона; тогда в уравнение (2.1) добавляются слагаемые, делающие его неоднородным. После этого 屮 разлагается по полному набору (2.3) и (24)】)：

屮(居 0 = Wb (0 % ⑶ + р \ d々屮(瓦 /) % (%)，⑵ 14)

(движение центра масс) (форма + «излучение»), а уравнения для 1|)в(/) и 屮(財 t) получаются с помощью (2.8). В некоторых случаях удобнее выполнить вспомогательное преобразование Фурье по времени

巾(々,8)=， dt е^р «со/)屮(尼，/). Результаты применения

такой теории будут изложены в § 2, п.《В》； здесь же мы остановимся на физическом смысле «связанного состояния» и «непрерывного спектра» в формуле (2.14). Трансляционная мода часто оказывается источником технических трудностей (например, при квантовании солитонов [8] или при ренормализации в критической точке [7]). Впрочем, ее роль здесь достаточно очевидна. Наша процедура эквивалентна устранению се・ кулярных членов; линейным разложением тогда можно пользоваться даже на таких интервалах времени, когда вследствие изменения скорости величина -ф может быть большой (порядка 2л). Непрерывные составляющие обычно также допускают ясную физическую интерпретацию, и их, конечно, не следует опускать (см. ниже).

Б. Численное моделирование

Численные методы могут оказаться крайне ценными в тех случаях, когда либо необходимо исследовать процессы, которые нельзя описать аналитически линейной теорией (или альтернативные подходы приводят к слишком сложным вычислениям), либо нужно

Техническое замечание: если некоторая функция переменной k имеет особенность на действительной оси, то, выполняя для нее обратное преобразование Фурье, нужно брать интеграл а смысле главного значения Коши (обозначается символом Р \).

найти возмущения решений достаточно сложного вида (например, Л^-солитонных), либо возмущение задается 《плохой» с точки зрения математики функцией, либо желательно проверить результаты аналитических расчетов. Для интерпретации получающихся результатов важно, однако, иметь четкие представления о физике явления. Хорошим ориентиром здесь часто служат аналитические результаты, которые удается получить в простых ситуациях.

Численные исследования различных нелинейных уравнений — это целая область науки, таких исследований слишком много, чтобы все их можно было здесь хотя бы упомянуть. Мы отметим только два примера, рассмотренные в работах [17, 18] (оба касаются уравнения СГ); они послужат иллюстрацией описываемых ниже физических явлений. Распространены также исследования механических, электрических и др. аналоговых моделей, позволяющих проводить контролируемые и наглядные эксперименты. Влияние конечных температур можно моделировать методом молекулярной динамики (§ 3).

Одно из особенно интересных возмущений, которое в общем случае приходится исследовать численно, состоит в дискретности цепочки [18]. Правда, имеются и полностью интегрируемые дифференциально-разностные уравнения, которые можно получить, обобщив метод обратной задачи на уровне вспомогательной задачи рассеяния на дискретный случай. Хорошо известным примером такого рода является цепочка Тоды [12], для которой в соответствующем континуальном пределе задача сводится к уравнению Кортевега—де Вриза. Но, как правило, подобные дискретные варианты с физической точки зрения не интересны, и необходимо «дискретизовать» непосредственно нелинейное волновое уравнение. В работе [18] рассматривается простейшее дискретное уравнение СГ

к _ *(ф”1 _ 2% + ①屮)+ 端 Sin 0 = 0 (2.15) с периодическими граничными условиями, которое соответствует гамильтониану (1.1); впрочем, получен-

ные результаты достаточно общи. В работе [19]】) развивается другой подход к этой задаче; здесь особенно привлекает физическое использование- формальной эргодической теории и абстрактных математических теорем типа теоремы Колмогорова — Арнольда —Мозера.

Отдельные результаты, их интерпретацияи приложения

Самым общим результатом, вытекающим из принятия трансляционной моды, является, по-видимому, то, что кинки (солитоны) можно рассматривать в первом приближении как деформируемые частиц% сохраняющие свою целостность и подчиняющиеся законам динамики Ньютона. В таких приложениях, как теория джозефсоновских линий передачи и магнитных доменных стенок, подобный подход уже довольно привычен, но в других областях физики он менее известен. Формальным основанием для такого подхода может служить все сказанное в п. «А».

Рассмотрим сначала неоднородность (2.12), например, в модельной форме [13]:

g (х) = 0 (х — Хо) — 0(х + х0),(2.16)

где 0 — ступенчатая функция Хевисайда. Из анализа связанного состояния следует, что имеющие достаточно большую скорость солитоны либо проходят через неоднородность, либо отражаются от нее (в зависимости от знака величины Л и от того, солитон это или антисолитон). В асиптотике солитоны сохраняют свою индивидуальность, а их фаза сдвигается на величину 6 ~ MN, Где и 一 скорость падающего солитона. Приближаясь к неоднородности, солитон, имеющий конечную эффективную пространственную протяженность, начинает взаимодействовать с ней и замедляется (если X > 0) до тех пор, пока не проходит через центр неоднородной области и не начинает ускоряться снова. При и 0 теория возмущений непригодна, но расходимость фазы говорит о том, что кинк может

См. также работу [26]. — Прим, перед.

захватываться неоднородностью. Это подтверждается той же линейной теорией возмущений, если предположить, что солитон осциллирует, как частица, в потенциале, соответствующем данной неоднородности, и затем исследовать возмущения этих осцилляций. Тогда оказывается, что солитон устойчив и его ангармонические колебания приближенно описываются уравнением [13]

где Ms — масса покоя солитона, ^ — разность координат центра масс солитона и центра неоднородности, а АУ——изменение потенциальной энергии солитона вследствие неоднородности. Характер этих колебаний неодинаков в случаях d》％о н d《％о [13, 18]. Скорость, при которой становится возможным захват, можно определить на основании простых энергетических соображений: нужно, чтобы кинетическая энергия солитона была меньше |AV(0) |; в явном виде это условие записывается так [13]:

е/со)2 V 1 — [1 + 扌 I 九丨(coso)7 arctg (sh (号＞))])・

Непрерывные составляющие в формуле (2.14) приводят к двум эффектам. Первый — это «экранировка» неоднородности (физические приложения см. ниже), существующая при всех значениях времени. Она появится, даже если солитона нет,— поле принимает такую форму, чтобы энергия системы с примесью была минимальна. Второй эффект— это небольшое изменение формы солитона, которое имеет место, только когда он находится вблизи неоднородности (см. иллюстрации в работах [13, 18]).

Возмущения вида (2.11) возникают в самых различных ситуациях. Они описывают, в частности, обла* сти локальных дефектов поверхности раздела между двумя средами с разными характерными частотами зо, влияние внешних неоднородностей на систему и т. д. Линейная теория возмущений позволяет описать возникающие здесь физические эффекты. Рассмотрим, например, простую ступеньку, когда

Лсо^(х) = ао)20(х) [13, 18]. Анализ слагаемого в формуле (2.14), соответствующего связанному состоянию, показывает, что если солитон движется достаточно быстро, то при а > 0 он проникнет в новую среду со стороны отрицательных х. Простые энергетические соображения снова позволяют с неплохой точностью получить условие преодоления малой ступеньки: кинетическая энергия падающего солитона должна превышать прирост его потенциальной энергии при переходе в новую среду, т. е. о〉с°а(1 + а)т [13]. Если это условие не выполняется, то солитон останавливается и возвращается обратно. Если же солитон переходит через ступеньку, то его кинетическая энергия в новой среде будет меньше, чем в старой, на величину прироста потенциальной энергии: в линейном' приближении энергия не передается модам непрерывного спектра — «излучения» нет. Непрерывные составляющие здесь описывают также два эффекта: остаточное изменение формы солитона в новой среде d 〜со丁 и переходное искажение солитона, находящегося вблизи ступеньки. Для возмущения такой формы «экранировки» нет. Если область ^изменения частоты(оо имеет -конечную протяженность, То, к维 и в случае (2.16), солитон может оказаться захваченным неоднородностью при условии, что он движется слишком медленно; в противном случае у него просто сдвигается фаза.

Численные эксперименты [17, 18] подтвердили изложенные выше выводы, а также продемонстрировали некоторые эффекты, не описываемые линейным приближением. К ним относится, например, возникновение 《фононов» («излучение» или «тормозное излучение», см. также [20]) при столкновении с неоднородностью. Фононы отбирают часть энергии у солитона; полная энергия, как и. должно быть в консервативной системе, сохраняется. Захваченный солитон в общем случае также излучает, и в процессе затухания его форма изменяется (лоренЦево сокращение).

Рассмотрим теперь влияние внешнего поля и затухания (2.13). Здесь линейнац теория возмущений снова показывает [13], что из изменения связанного состояния в формуле (2.14) следует поведение cq-

литона, аналогичное динамике твердой частицы. Для функции *в(/) при постоянном (не зависящем от времени) внешнем поле получается уравнение, совпадающее с уравнением Ньютона для частицы, которая движется в вязкой среде под действием внешней силы. В системе отсчета, связанной с начальным солитоном, имеем

也 + Y9 也=Y5 + 子九 Ed, (2.18)

где y = (1——и2/со)-%・ Таким образом, солитон достигает равновесной скорости, которая в лабораторной системе отсчета равна

行=-子辛齐°。(Y~l)・ (2・19)

Здесь Ec = ооЛ"1 — критическое поле, при котором происходит [высвобождение]: при Е > Ес локальный потенциал в виде «лестницы» 』[s^(l ——cos <р) + 九Е(р] не имеет больше минимумов.- Непрерывные составляющие приводят, во-первых, к общему изменению хвостов солитона из-за движения локальных минимумов потенциала и, во-вторых, к локальному изменению формы солитона: при ненулевых Е он становится несимметричным] величину р= \ d%(d2/dx) ^ 5,7Е/Ес можно интерпретировать как его ^поляризацию^ (см. ниже). Если внешняя сила зависит от времени, то солитон тоже ведет себя как деформируемая частица. Связанное состояние описывает его динамику как твердой частицы, а непрерывные составляющие ——динамическую поляризацию и изменение хвостов солитона («фононы» с бесконечно большими волновыми числами).

Численные эксперименты [17] с внешней силой и затуханием показывают, что изложенные результаты справедливы при Е V 0,3£с. При больших полях проявляются эффекты, связанные, по-видимому, с возмущениями высших порядков. Например, два солитона не обязательно расходятся, а могут образовать составную частицу (взаимодействие между ними осу-

ществляется через излучение). Если затухание достаточно велико, то в процессе столкновения солитон и антисолитон теряют столько энергии, что не проходят друг сквозь друга, а образуют бризер и затем постепенно затухают. Все эти явления можно описать аналитически, рассматривая движение полюсов на комплексной плоскости рассеяния в методе обратаой задачи. При Е & Ес наблюдаются цепочки солитонов (аналогичные цепочкам вихрей в гидродинамике): вместо одного быстрого солитона образуется ряд следующих друг за другом солитонов. Все это свидетельствует о том, что при Е > Ес динамика солитонов не укладывается в рамки развитых выше представлений. Если в системе есть несколько солитонов, то наблюдается также^интересный эффект — насыщение неоднородностей (центров закрепления солитонов). Этот процесс динамический: насыщенная неоднородность захватывает новый приходящий солитон, но при этом выпускает захваченный ранее. Таким образом, при наложении внешнего поля неоднородности могут слу・ жить источниками солитонов.

Приложения приведенных результатов по меньшей мере столь же многочисленны и разнообразны, как и физические системы, описываемые невозмущенными нелинейными уравнениями. Применительно к уравнению СГ упомянем (см. также другие главы данной книги) движение доменных сменок, динамику дислокаций и флюксонов — явления, находящие технические применения в устройствах на цилиндрических магнитных доменах, в системах (с большой плотностью упаковки элементов), выполненных на основе джозефсо^ новских линий передачи, и т. д. Одно нз『последних приложений ——образование кинков (при низких температурах) в фазе параметра порядка тех полимерных проводников, в которых, как считают, могут существовать волны зарядовой плотности [3]. В последнем случае пространственные изменения фазы соответствуют локальному избытку заряда, а временные изменения — локальной плотности тока, так что солитоны можно рассматривать как положительно заряженные дислокации (бризер похож на орциллирующий диполь). В таком контексте возмущение (2.16) интерпретиру-

ется как заряженная примесь, так что термины «экранировка» и «поляризация» имеют буквальный смысл; внешнее поле в формуле (2.13) представляет собой электрическое поле. В случае джозефсоновской линии передачи производная d叫dt пропорциональна разности потенциалов между сверхпроводниками, солитон —это импульс магнитного потока (флюксон),а внешняя сила Е — ток смещения. Кстати, заметим, что возмущение (2.16) соответствует здесь двум внешним токам разных знаков, приложенным в точках, находящихся на расстоянии 2х0 друг от друга. Таким образом, мы можем по своему усмотрению либо закреплять флюксон, либо высвобождать его, либо отражать. С прикладной точки зрения эти контролируемые операции важны как средство управления «битами» информации в ячейках памяти или логических устройствах.

С помощью неоднородностей типа (2.11) можно моделировать движение доменных стенок, флюксо- нов, дислокаций и т. д., а также генерацию шума в неоднородной среде с учетом границ зерен, поверхностей раздела и т. д. Эти проблемы также важны с прикладной точки зрения. «Дефекты» параметра порядка обычно связаны с явлением переноса, причем выражение для равновесной скорости (2.19) дает прекрасный пример влияния солитонов на поведение системы: среднее установившееся значение величины drp/df можно аппроксимировать выражением

需=% • 2л叮， (2.20)

где ns — плотность солитонов и антисолитонов, возникающих, например, вследствие конечного значения температуры (хотя при более последовательном описании тепловых флюктуаций это выражение изменится, см. § 3). С помощью формулы (2.20) можно описать различные проявления скольжения фазы и переноса — переноса массы в металлах с краевыми дислокациями, заряда в некоторых системах с волнами зарядовой плотности (см. выше), магнитного потока в джозефсоновских линиях передачи, плотности спнна в магнитах и д. д. При этом скорость “ отве-

чает в первом случае скорости «ползучести», во втором—установившемуся току, а в третьем — напряжению. Иногда считают, что от скольжения можно избавиться (и упрочнить тем самым материал) путем устранения собственных «дефектов» или введения неоднородностей, которые могли бы закреплять их. Описанные выше явления динамического экранирования неодндродностей показывают, что последние могут насыщаться (например, флюксонами в линии передачи) или даже служить центрами генерации дефектов при наличии внешнего поля； как, например, в предложенном Франком и Ридом [22] механизме скольжения за счет дислокаций, возникающих в реальном металле с примесями из-за сдвигового напряжения.

Во многих задачах теории конденсированного состояния естественным образом возникает характерный пространственный масштаб решетки, например расстояние между элементами дискретной цепочки или расстояние между точечными джозефсоновскими контактами. Численное моделирование дискретного варианта уравнения СГ [18] показывает, что по мере уменьшения ширины кинка солитоны все более «обрастают радиацией». Это приводит к появлению механизмов затухания и закрепления: солитоны не могут распространяться та眩 же свободно, как в непрерывной системе. Основное отличие заключается в том, что трансляционная симметрия стала дискретной. Появляются дискретные положения солитонов, в которых их потенциальная энергия минимальна, и это приводит к возникновению закрепляющих потенциальных барьеров и модуляции скорости кинка с характерной частотой. Колебания солитона порождают излучение, в результате чего он затухает (полная энергия сохраняется). Если солитон движется достаточно медленно и не может преодолеть барьер, он закрепляется и в конце концов превращается в статическое образование. Таким образом, для дискретных цепочек характерен корпускулярно-волновой дуализм. С формальной математической точки зрения дискретность цепочки устраняет голдстоуновскую моду с нулевой частотой (см. п.《А》). Теперь из линейной теории

возмущений для «солитона» получаются непрерывный спектр фононов (с частотами (о ^ со。)и связанное состояние с конечной частотой, меньшей со。，но быстро приближающейся к этому значению, если ширина солитона становится менее 2/ — 3/ [18]. Аналогичные выводы справедливы и для нелинейных волновых уравнений более общего вида [19], причем физическое различие между «континуальным пределом» (толщина кинка 》/) н случаем «порядок — беспорядок» (толщина кинка <CZ) проявляется во всех случаях так же отчетливо, как и в случае уравнения(р4 [2]. В крайнем пределе «порядок ——беспорядок» закрепляющий потенциал бесконечен и распространяющихся кинков не существует. Закрепление в дискретной цепочке может служить причиной возникновения коэрцитивной силы в некоторых магнитах с тонкими доменными стенками [23] в противоположность роли внешних неоднородностей. При определении рассеиваемой мощности в устройствах (на джозефсоновских контактах), основанных на управлении флюксонами, затухание солитонов и генерацию шума (излучение) необходимо рассматривать наряду с механизмами резистивных потерь. Роль закрепляющего потенциала проявляется также в том, что в дискретной цепочке могут иметь место статические ^-coлитoнныe решения: кинки, разнесенные настолько далеко, что они не взаимодействуют за счет экспоненциальных хвостов [1], зацепляются закрепляющими барьерами. Из-за недостатка места мы не касаемся многих других приложений теории возмущений, интересных как для математиков, так и для физиков. Иногда, взяв в качестве близкого к реальности начального приближения со* литон, мы получаем уединенную волну как его возмущение. Все облегчается тем, что физические характе、 ристики явлений не так специфичны, как свойства интегрируемых систем. Например, с помощью теории возмущений, основанной на методе обратной задачи [15], можно исследовать слабо связанные уравнения СГ, те или иные свойства которых, например «качающиеся» состояния, аналогичны свойствам сильно связанных уравнений СГ, установленным численно [11]. Значительный интерес представляют бризерные

решения, внутренняя динамика которых может проявиться при отклике на внешнее воздействие, например на нестационарное поле. При рассмотрении этого явления методами теории возмущений, основанной на обратной задаче рассеяния [15], был обнаружен интересный эффект «резонансной» синхронизации, приводящий к поглощению на частотах, меньших соо. Мы уже указывали на важную физическую роль возбуждений непрерывного спектра [формула (2.14)], которые обычно появляются в присутствии возмущений. Волновым уравнениям типа (1.2) присущ дуализм волна ——частица, и было бы неправильно рассматривать только частицеподобные образования. Этот момент оказался существенным при описании с помощью уравнения Кортевега — де Вриза солитонов на мелкой воде в лотке с переменной глубиной [15]: игнорируя радиационные компоненты, невозможно свести баланс массы и энергии.

КЛАССИЧЕСКАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Перейдем теперь к другому типу возмущений —— тепловым флюктуациям. В математической литературе они обычно не рассматриваются, хотя являются существенным фактором ,во многих физических приложениях. Подробное изложение классической статистической механики нелинейных гамильтоновых систем дается в работе [6] и обзоре [2]. Здесь мы только затронем некоторые приложения и в качестве примера рассмотрим один частный случай.

Мы будем использовать теоретические и эвристические соображения, а также экспериментальные данные. Теория основывается на представлении функции распределения в виде интеграла по траекториям: : . .

Z == \ 6 [屮，屮力 ехр { —0 § d* ЛГ (%)}・

Из этого выражения видно, что Z определяется всеми траекториями, минимизирующими гамильтониан, т. е. решениями нелинейных уравнений Эйлера ——Лаград-

жа. Здесь имеется полная аналогия с траекториями, на которых фаза пропагатора в квантовой теории поля, записанного в виде интеграла по траекториям, стационарна [8]. Наравне с обычными вакуумными решениями необходимо учитывать все нелинейные решения уравнений Эйлера—Лагранжа. Интегрирование по траекториям, близким к этим определяющим («классическим») траекториям, дает тепловые или квантовые поправки к результатам, полученным в приближении среднего поля (классическом пределе). Такой подход допустим при любых размерностях пространства й поля. Но если мы хотим построить адекватную феноменологическую теорию, то необходимы детальные сведения об устойчивости отдельных решений и их взаимодействии. В связи с этим особый интерес представляет случай одного пространственного измерения (ср. § 2), который можно исследовать аналитически. Хотя эта ситуация выглядит особой, из нее можно извлечь полезный урок. Сейчас известно, например, что для ряда модельных гамильтонианов определяющее влияние на поведение системы в критическом и субкритическом режимах оказывают сильно нелинейные возбуждения. Весьма желательно построение аналогичной статистической теории, например, для нелинейного уравнения Шредингера, имеющего прямое отношение к задачам нелинейной оптики, теории сильной плазменной турбулентности и т. д.

Цель упоминавшегося выше «феноменологического» подхода состоит в использовании имеющейся информации о классических решениях и их взаимодействиях (《шуба》и времена жизни) для построения статистической механики на основе реальных пространственных конфигураций (нелинейных мод), а не в представлении линейных фононов с ангармоническими поправками конечного порядка, как это было принято ранее. В последнем случае совершенно не учитываются сильно нелинейные возбуждения, например кинки. Грубо говоря, при феноменологическом подходе рассматриваются слабо взаимодействующие «газы» возбуждений, представляющие различные области пространства решений. Такой упор на структуру может оказаться ценным эвристическим методом,

позволяющим строить теоретические модели и наглядно представлять поведение системы в критических точках. Конкретные проявления могут быть разными, но сам факт, что естественно возникающие конфигурации дают важную информацию о физической структуре, а также об энергообмене, о динамике и о процессах переноса, носит общий характер. Эта теория применяется сейчас [2] при исследовании искажающих структуру фазовых переходов в неустойчивых цепочках (сегнетоэлектрики, среды, в которых существуют волны зарядовой плотности, бета ——омега- переходы, суперионные проводники и т. д.), при описании методом среднего поля поверхностей раздела и состояний равновесия разных фаз (вместе с ренормализацией вблизи критических точек [7]) и т. д.

Мы рассмотрим здесь лишь некоторые простые одномерные примеры, для которых мы располагаем подробной аналитической информацией о нелинейных модах и их взаимодействиях и знаем методы точного решения задач классической статистической механики в исходных переменных (ф,(рх, ф/). В этих случаях удается развить подробный феноменологический подход, основанный на анализе допустимых конфигураций [6]. Возможно также детальное моделирование методом молекулярной динамики [2]. Уравнения СГ и ф4 особенно привлекательны в этом отношении ввиду безотражательных свойств получающихся здесь потенциалов (§ 2, п. «А»), но можно показать, что свойства, связанные с возбуждением кинков, проявляются при построении статистической механики и для нелинейных гамильтонианов общего вида [2,6].

Рассмотрим для определенности гамильтониан уравнения СГ (1.1). Исследуя взаимодействие солитона с фононом в континуальном пределе, мы показали (§ 2, п.《А》), что оно сводится только к сдвигу фазы, причем для каждого солитона имеется одна присоединенная фононная мода (в континуальном пределе). Мы используем эту информацию для феноменологической интерпретации точной статистической механики. 《

Свободную энергию можно вычислить непосредственно через статистическую сумму, записанную в

виде интеграла по траекториям. В континуальном пределе для периодических граничных условий, согласованным образом учитывая [2,6] вклад линейных фононов, получаем

尸=квТ{Гх In (h^d/l) + (2d)'1} 一

-/ 2k Г

一 2+ [隈⑼]exp {— 0Es (О)}. (3.1)

Здесь F = —L』bT In Z ——плотность свободной энергии, 0=(々8T)-1,九——постоянная Планка, a Es(0)- энергия покоя солитона. Первое слагаемое в формуле (3.1) точно соответствует свободной энергии классического «газа» гармонических фононов, являющихся решениями линеаризованного уравнения СГ [6]:

л/2

尸о= lim 齐 \ dk In (рйсо^). (3.2) 〃df 0」/2

Естественно предположить, что второй член в формуле (3.1) отвечает солитонным возбуждениям. Но чтобы показать это, важно учитывать сдвиг фазы фононов в присутствии солитонов; согласно формуле (2.7), он приводит к изменению плотности фононных состояний (разрешенного фазового объема): в нелинейной системе суперпозиция невозможна и газы солитонов и фононов нельзя считать независимыми. Если вычислить свободную энергию газа независимых «релятивистских» солитонов и учесть поправку к свободной энергии фононов, а именно

л//

a尸=聶J呢ln(MsJd6/d耳

то при малых Т получится в точности второе слагаемое выражения (3.1). Таким образом, ограничение допустимого фазового объема приводит к новому механизму перераспределения свободной энергии между модами нелинейной системы. Этот момент важен для правильного описания динамики солитонов. Те же характерные черты обнаруживаются при

рассмотрении плотности внутренней энергии U = @(8尸)/评 1), получаемой из выражения (3.1):

U =厂％Т —〈％〉々“ + [留(0) + т 施[〈％〉，(3.3)

где.

〈公=2 (书％ 尸 * (0)]% exp {— 整(0)}.(3.4)

Интерпретация этой формулы проста: , каждая классическая фононная мода имеет внутреннюю энергию АдТ, а всего таких мод £//, но по одной моде захвачено каждым солитоном. Плотность солитонов равна <ns>, внутренняя энергия солитона складывается из энергии покоя f5(0) и добавки Уг^вЛ приходящейся вследствие равнораспределения на оставшуюся трансляционную степень свободы солитона (при малых Т можно пользоваться ньютоновской динамикой). Другой пример с безотражательным потенциалом—уравнение ф4 — допускает точно такую же интерпретацию. Вклады ангармонических фононов, в том числе бризеров и взаимодействий кинков между собой, появляются в высших порядках по Т.

Простота приведенной интерпретации связана со свойством безотражательности потенциалов. Интегрируемые системы типа СГ или цепочки Тоды обладают этим свойством во всех порядках по нелинейности и, следовательно, представляют собой идеальные модельные системы для демонстрации нашего феноменологического подхода [6, 12]. Например, в уравнении СГ все состояния в конфигурационном пространстве разлагаются на солитонные, бризерные и непрерывные компоненты, гамильтониан полностью разделяется, а взаимодействия сводятся к попарно* аддитивным асимптотическим сдвигам фаз [14]. Поэтому статистическое распределение можно найти, записав статистическую сумму в базисе этих нелинейных нормальных мод; нужно только учесть сдвиги фаз на солитонах и бризерах и вытекающее отсюда пере-

1) Нам следовало бы использовать здесь большой канонн* ческий ансамбль, однако для периодическом системы приводимое здесь выражение правильно [6]. ，

распределение энергии между модами (как и в рассмотренном выше линейном режиме).

Энергия активации Es (0), фигурирующая в выражении (3.4) для плотности кинков, имеет важное значение в эксперименте [3] и входит также в выражения для статических функций корреляции, для которых также может быть построена общая теория [6]* Заметим, что при малых Т плотность солитонов очень мала в отличие от плотности фононов и бризеров. Вкладу кинков и других нелинейных мод в динамическую функцию корреляции и в динамическую структурную функцию S(g,①)в последнее время уделялось много внимания [2]. Объединение описанной выше феноменологической теории с результатами моделирования методом молекулярной динамики позволило дать наглядную картину поведения систем типа Ф4 и их обобщений. В этой картине «мягкие моды», «центральные пики» и «предвестники» непосредственно связываются с нелинейными возбуждениями и существуют не только при низких температурах. Например, сейчас считают, что движение кинков (доменных стенок) является внутренним источником центральных пиков, хотя здесь можно учитывать и другие механизмы. Подобные явления в разнообразных искажающих фазовых переходах, новых видов которых становится все больше, сейчас привлекают большое внимание экспериментаторов [6].

Наконец, отметим продолжающееся развитие неравновесной термодинамики систем, описываемых нелинейными гамильтонианами типа СГ [5, 24], в частности исследование динамического равновесия в случае набора маятников, связанных по углу поворота, в присутствии постоянного вращающего момента, затухания и флюктуирующих тепловых моментов. Здесь мы имеем дело с задачей о броуновском движе^ нии в системе многих тел, которая нетривиальна даже в одномерном случае. Средняя угловая скорость в такой модели непосредственно характеризует скорость переноса в цепочках джозефсоновских контакт тов и линиях передачи, в некоторых средах с волнами зарядовой плотности [3], суперионных проводниках [5], эффекты тепловой ползучести и т. д. Фактически

мы имеем статистическое обобщение результатов, изложенных в § 2. Недавно удалось обобщить на случай уравнения СГ метод Фоккера — Планка, применявшийся ранее к отдельному маятнику. Как и в представленной выше равновесной статистической механике, при этом используется интеграл по траекториям [24]. При большом затухании (т)2》喲 скорость в критическом пороговом режиме обнаруживает сильно нелинейную зависимость от внешнего воздействия [21]. Линейный отклик имеет место при очень больших полях Е》Ес, когда маятник вращается как целое, а также при малых внешних полях. Если поле слабое, а температура низкая, то, как и следовало ожидать в силу формулы (2.20), скорость определяется движением солитонов. Однако солитоны не только разгоняются, но и термализуются: эффективную установившуюся скорость vT [формула (2.19)] следует заменить величиной Ут = (с0/итеПл)2 ут, где .

/ kBT

есть скорость теплового движения [3]. Возникающая в этой задаче «токовая неустойчивость»——это интересное синергетическое явление, и здесь может быть проведена глубокая аналогия с критической точкой в равновесных фазовых переходах [21].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Нелинейные уравнения, допускающие решения в виде солитонов или уединенных волн, могут иметь широкое и многостороннее применение в физике конденсированного состояния, и их значение еще предстоит раскрыть. Но для того, чтобы такой подход был законченным, необходимо систематическое исследование различных реальных возмущений, как детерминированных, так и недетерминированных, а также физическое осмысление получающихся результатов. Это важно и для многих технических приложений. В данной главе мы обрисовали основные возникаю-

щие здесь эффекты и привели некоторые первоначальные результаты продолжающихся исследований.

Мне хотелось бы выразить благодарность моим коллегам, с которыми я сотрудничал на разных этапах данной работы, а именно Дж. Карри, М. Фогелю, Дж. Круманслу и С. Труллинджеру.

Замечание, сделанное при корректуре

Здесь мы привели только основные литературные ссылки. Недостаток места не позволил дать более обширную библиографию. Пожалуй, стоит дополнительно указать лишь одну работу, близкую по духу данной статье, — работу [25].

Литература

Scott А. С„ Chu F. У.尸.，McLaughlin D. IF., Proc. IEEE, 61, 1443 (1973). (Имеется перевод: ТИИЭР, 61, № 10, 1973.) Solitons, eds. R. K. Bullough, P. J. Caudrey, Springer. Корепин В. E, Фаддеев Л. Д. — ТМФ, 1975, т. 25, с. 147.

Bishop A. R. — В кн.: Proceedings of Lattice Dynamics Conference, ed. A. Balkanski, Flammarion, 1978.

Rice M.丄，Bishop A. R., Krumhansl /. 4, Trullinger S. E, Phys. Rev. Lett., 36, 432 (1976).

McMillan W.厶.Phy、. Rev., В14, 1496 (1976).

Dieterich W., Peschel /., Schneider W. R., Zs. Phys., B27, 177 (1977).

Krumhansl /. 4, Schieffer 丄 R., Phys. Rev., Bll, 3535 (1975). Currie 丄尸.，Bischop A. R., Krumhansl /. 4, Trullinger S. E., Preprint.

• 7. Rudnick /., Jasnow D, Phys. Rev., B17, 1351 (1978).

Jackiw R., Rev. Mod. Phys., 49, 681 (1977).

Christ M 〃.，Lee 7. 4, Phys. Rev., D12, 1606 (1975).

Deser S., Duff M. /., Isham C. /., Nuclear Phys., B114, 29 (1976).

Anderson P. W.^ Toulouse G., Phys. Rev. Lett., 38, 508 (1977).

Dodd R. K., Bullough R. K., Duckworth S., Journ. Phys., A8, 164 (1975).

Toda M., Prog. Theor. Phys. SuppL, 59, 1 (1976).

Fogel M. B., Trullinger S. E., Bishop A. R., Krumhansl /. A., Phys. Rev., B15, 1578 (1977); Phys. Lett., 59A, 81 (1977).

Currie 丄尸.，Phys. Rev., A16, 1692 (1977).

Каир D. /., Newell A. C, Proc. Roy. Soc., A361, 413 (1978). Keener /. R., McLaughlin D. W., Phys. Rev., A16, 16, 777 (1977).

Nicholson D. R., Goldman M. M, Phys. Fluids, 19, 1621 (1976).

Nakajima K・，Onodera У., Nakamura 7” Sato R., Journ. AppL Phys., 45, 4095 (1974).

Currie /.尸.，Trullinger S. E” Bishop A. /?., Krumhansl /. A., Phys. Rev., В15, 5567 (1977).

Aubry S., Journ. Math. Phys. (В печати.)

Eilenberger G, Zs. Phys., B27, 199 (1977).

Bishop A. R., Trullinger S. R, Phys. Rev., В17, 2175 (1978).

Kittel C, Introduction to Solid State Physics, Wiley, 1966, p. 607. (Имеется перевод: ". Киттель. Введение в физику твердого тела. — М.: Наука, 1978, с. 709.)

Bishop A. R., Lewis W. Л, Journ. Appl. Phys. (В печати.)

Trullinger S. Е et aZ., Phys. Rev. Lett., 40, 206 (1978).

Hasenfratz IF., Klein A., Physica, A89, 191 (1977).

26*. Aubry S. — В кн.: Hamiltonian Systems With Stochastic Behaviour, eds. J. Ford, G. Casatti, Springer, 1979.

Глава 5

Теория нелинейных волнв приложении к волнамна глубокой воде

Г, Юэн, Б. Лэйк)

ВВЕДЕНИЕ

На последнее десятилетие, вне всякого сомнения, приходится одно из самых важных достижений в области прикладной математики, связанное с решением слабонелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Важное значение этого успеха в математике можно сравнить только с его значением в физике. Впервые мы получили возможность решения задач нелинейной динамики. Жаль только, что это событие несколько запоздало, поскольку в мире, где мы живем, так много важных динамических систем оказываются нелинейными.

В данной главе мы рассмотрим эволюцию нелинейных волн на глубокой воде. Помимо того, что такие волны служат прекрасным физическим примером нелинейных волновых систем с дисперсией, их преимущество состоит также в том, что они известны каждому, поскольку это наиболее часто встречающиеся образования на поверхности океанов, покрываю^ щих 4/5 земной поверхности. Как мы покажем ниже, недавно развитая теория нелинейных волн в значи* тельной мере изменила наши представления о волнах на глубокой воде.

Эта классическая задача вновь привлекла к себе внимание в 1967 г., когда Бенджамин и Фейр [2] показали теоретически и экспериментально, что

периодическая слабонелинейная волна на глубокой воде неустойчива по отношению к бесконечно малым, модулирующим возмущениям. Неустойчивость проявляется при длинноволновой модуляции в области волновых чисел модулирующего возмущения, меньших некоторого граничного значения. Ее называют также неустойчивостью на боковых частотах, поскольку в фурье-представлении она выражается в росте пары боковых компонент, расположенных около несущей частоты.

Результаты Бенджамина и Фейра вызвали большой интерес к этому вопросу. В основном усилия были направлены на вывод уравнений, описывающих эволюцию неустойчивой волны. Чу и Мэй [4, 5] вывели систему уравнений, описывающих изменения амплитуды й волнового числа группы волн, с помощью многомасштабного метода разложения. Хасимото и Оно [10], а также Дэви [6] тем же методом вывели для одномерного случая нелинейное уравнение Шредингера, которое оказалось эквивалентным системе Чу и Мэя. Юэн и Лэйк [39] вывели то же самое уравнение, пользуясь усредненным вариационным принципом Уизема, который в подобных задачах впервые был применен Лайтхиллом [19, 20]. Бенни и Роскес [3], а затем Дэви и Стюартсон [7] обобщили предыдущие результаты на случай двумерных волн с учетом конечной глубины. Позже выяснилось, однако,盯0 уравнение Шредингера для волн на глубокой воде как в одномерном, так и в двумерном случае впервые было выведено с помощью спектрального метода Захаровым [42] в статье, мало известной другим авто рам работ в этой области [18].

ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Гармоническая волна полностью определяется частотой, волновым вектором и амплитудой. Уравнения, описывающие эволюцию квазигармонической волны с медленно меняющимися параметрами, можно получить, исходя из усредненного вариационного принципа Уизема [35]. Для линейных или слабонелинейных

систем эти уравнения таковы:

券+訝(需W=。，⑵

где ①一частота, (瓦， 砌一компоненты волнового вектора,(羽，打)一пространственные координаты, t — время, а а — амплитуда волны. Подразумевается суммирование по повторяющимся индексам, причем i и / принимают значения 1 и 2. В дальнейшем мы будем пользоваться также эквивалентными обозначениями 々===(^1, ^2 ),元===(%, У):=(Х1, 丫2)・

Уравнения (1) и (2) необходимо дополнить дио персионным уравнением. Для волн бесконечно малой амплитуды на воде конечной глубины это уравнение имеет вид

со2 = (gk + 显3) th kh.

где k = \k\—волновое число, g — ускорение свободного падения, о—коэффициент поверхностного натяжения, Л — глубина жидкости. Случай волн на глубокой воде соответствует пределу kh -> оо； в случае гравитационных волн можно положить "々2/g — 0. Следовательно, соответствующее диспер* сионное уравнение для гравитационных волн беско* нечно малой амплитуды на глубокой воде таково:

d = g&・⑶

В случае волн конечной амплитуды в дисперсионное уравнение входит также амплитуда. Модифици* рованное дисперсионное уравнение для слаболинейных гравитационных волн на глубокой воде. было найдено Стоксом [33]:

G)2 = g^ (] + 为2a2).(4)

Далее мы будем рассматривать только волновой пакет 1. Этот термин означает, что существует некий

I) Здесь автор употребляет термин wavetrain, а далее wave packet и иногда wave pulse. Во всех этих случаях он рассмат* ривает модулированную периодическую волну, не обязательно имеющую вид ограниченного в пространстве импульса. Кроме того, в статье употребляется также термин uniform, wavetrain в значении немодулированной периодической волны (рднород； ного цуга). — Прим, переа.'

постоянный основной волновой вектор [который без ограничения общности можно записать в виде й0 = =(^о, 0)], вблизи которого сосредоточена основная часть энергии волновой системы. Поэтому будем рассматривать только волновые векторы 左，близкие к 万о, которые можно представить в виде

后 = 后0+節=（团 0） +（圻，砲，（5）

где |应1《々0. Тогда правую часть дисперсионного уравнения также можно разложить в ряд:

8 (应)=СО (应о) + 盡上(％о)圻+ ^ 暴(石0)圻財+・・・=

=% + ^圻-諸К? + /磴"4讨犷+ 。伊，畛

—(6)

где so = “g&.

Уравнения (1), (2) и (6) описывают эволюцию слабонелинейного пакета гравитационных" волн на глубокой воде. Если ввести комплексную огибающую

Л (х, у, /) = а (х, у, /) е»° (居弘 ％⑺

где*

Н = g)о-g),后=瓦，戒=A，(0)

то система уравнений (1), (2) и (6) сводится к одному уравнению для А

"也+国空)一鲁空+鼻弯一丄%財M F 4=0.

〈dt 2々0 дх 丿 8^о дх24解 ду2 2 0 0

⑼

Смещение свободной поверхности водъ! т] (х, у, /) связано с функцией А соотношением

П (х, у, /) = Re {А (х, у, /) е» (瓦х-s叫.(10)

В одномерном случае А является функцией только х и f: '

"粤旦处1一鼻学一丄磕4 24 = 0.(И)

I dt 2瓦дх丿矚дх2 2 0 0丿

Уравнение (11) представляет собой хорошо известное в настоящее время нелинейное уравнение Шредингера, которое было выведено в различных областях физики, например в нелинейной оптике, физике плазмы, теории сверхпроводимости (см. прекрасный обзор [32]), физике низких температур [34] и теории вихревого движения [9, 36]. Как это видно из его вывода, нелинейное уравнение Шредингера описывает в общем случае эволюцию огибающей несущей волны в слабонелинейной системе.

ЭВОЛЮЦИЯ ОДНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН

Решения уравнения (11) обладают тремя важными свойствами, отсутствующими в теории линейных волн и весьма существенно влияющими на наши представления об эволюции нелинейных гравитационных волн на глубокой воде. Это а) существование солитоное огибающей; б) неустойчивость периодической волны по отношению к модулирующим возмущениям (неустойчивость Бенджамина — Фейра); в) периодически повторяющийся во времени возврат неустойчивой волны к начальному состоянию (возврат Ферми — Пасты — Улама, или, короче, возврат ФПУ). В данном параграфе более детально рассматривается каждое из этих свойств и теоретические выводы сопоставляются с результатами эксперимента.

Солитоны огибающей

Если начальное возмущение достаточно быстро затухает при |х| -> оо, то уравнение (11) с начальными данными может быть точно решено методом обратной задачи рассеяния [43]. Приведем основные результаты для волн на воде.

Начальный волновой пакет с произвольной формой огибающей со временем распадается на солитоны огибающей и осциллирующий «хвост》. Число и структура солитонов огибающей и структура хвоста полностью определяются начальными условиями.

Осциллирующий хвост довольно мал по амплитуде и обычно содержит очень мало энергии по срав-

нению с солитонными компонентами. Он линейно расплывается со временем, затухая по амплитуде цро- порционально

Каждый солитон огибающей представляет собой стационарное решение уравнения (11) в виде бе、 гущей волны

Sn = ап sch "О 磷九[(x -加)一(翡 + V^ /] X

Хехр {- ^妳磴％/—警[(%_<)_(翡 + 乙)/+%] }，

(12)

где ап и Vn — амплитуда и скорость (по отношению к групповой скорости (oo/2/го несущей волны) 几-ro солитона, а Хп и 0п — его начальные координата и фаза. Заметим, что профиль солитона, заданный гиперболическим секансом, определяется одним параметром ап. Однако его скорость Vn не зависит явно от а九.

Временной масштаб перехода от начального условия к асимптотическому состоянию, в котором мы имеем солитоны и хвосты, равен ®凭喲二 где а。一 некая характерная амплитуда начального условия. , 5. Солитоны устойчивы в том смысле, Ч1'о после взаимодействия с другими волновыми пакетами они сохраняют свои параметры, если не считать возможного сдвига по координате хп и фазе 0П.

Подробно эти свойства исследуются в работе [43].

Указанные теоретические результаты тщательно проверялись в экспериментах Юэна и Лэйка [39], показавших очень хорошее согласие с теорией. Опыты проводились в лотке длиной 12 м, шириной и глубиной 0,9 м. Волны генерировались волнопродуктором на одном конце лотка и поглощались отмелью, созданной на другом его конце. Движение врлнопродуктора производилось в соответствии с заранее вычисленной формой волны. Частоты генерируемых волн составляли 2—4 Гц, а их профили регистрировались при помощи емкостных датчиков, расположенных на расстояниях 〜1,5, 3, 4,5, 6, 7,5 и 9 м от волнопродуктора, и осциллографа. Влияние эффектов вязкости в первом

порядке компенсировалось такой регулировкой коэффициента усиления каждого канала осциллографа, что . амплитуды выходных сигналов при измерении

Рис. 1. Эволюция трех волновых пакетов, линейной синусоидальной волны, распространяющейся вдоль лотка, были одинаковы.

Эволюция трех разных начальных профилей показана на рис. 1. Все начальные волновые пакеты имеют одну и ту же несущую частоту(оо = 2 Гц. В случае а

(слева) был задан солитон огибающей, высота и ши* рина которого подчиняются соотношению (12). В случае б (в середине; масштаб уменьшен в 2,5 раза

Рис. 2а. Распространение одиночного волнового пакета туда и обратно между стенками лотка»

по сравнению сане) огибающая задавалась в форме гиперболического секанса с амплитудой в 2 раза большей, чем у стационарного импульса, описываемо* го соотношением (12). В случае 6 была задана огиба-

ющая в форме полупериода косинуса с той же амплитудой, что и в случае а. В случаях бис начальные профили распадаются на солитоны, в то время как в

Рис. 26. Встречное столкновение двух волновых пакетов.

Начальные условия для каждого пакета те же, что и на рис. 2a.

случае а, где начальный профиль уже соответствует солитону, с ним почти ничего не происходит. Дднной серией экспериментов подтверждается теоретический вывод о том, что начальный профиль распадается на

солитоны и хвост, если он не является точным солитоном, Следует заметить, что в случае волн на глубокой воде фазовая скорость (с которой движутся отдельные гребни волн) примерно вдвое больше групповой скорости (которой в первом приближении равна скорость движения огибающей)； следовательно, отдельные гребни волн опережают огибающую и весь процесс нестационарен, хотя огибающая и стационарна.

Встречное столкновение двух пакетов волн с одинаковыми несущими частотами о)о = 3 Гц показано на рис. 26. Первый пакет отражался от вертикальной стенки на конце лотка (поглощающая волны отмель была убрана), и после возбуждения второго пакета происходило столкновение. Для сравнения на рис. 2а показано распространение одиночно пакета между стенками лотка. Пакеты, генерируемые при % = О, имели одинаковые амплитуды, частоты и формы. После генерации импульсов волнопродуктор извлекался из воды, и пакеты могли отражаться от вертикальной стенки при х == 0 так же, как и при % =12 м. На осциллограммах указаны расстояния, пройденные волновыми пакетами. Сами солитоны и процесс их формирования слабо зависят от их взаимодействия, что можно увидеть при сравнении пар профилей, таких, как А (7,5 м) (без столкновения) и В (75 м) (одно столкновение) или А (21 м) (одно столкновение) и В (21 м) (два столкновения). Этим подтверждается теоретический вывод об устойчивости. Фазовые сдвиги не измерялись, но, судя по представленным данным, такие сдвиги должны быть очень малы во всех наблюдавшихся случаях.

На рис. 3 показано взаимодействие двух пакетов в случае разных несущих частот. Первый пакет (с несущей частотой 3 Гц распространяется медленнее второго (с частотой 1,5 Гц). Левые осциллограммы на рисунке показывают эволюцию одиночного пакета частотой 1,5 Гц, а средние — эволюцию пакета с частотой 3 Гц. К тому времени, как пакет с несущей частотой 3 Гц достигает отметки % = 9 м, он распадается на два солитона. Осциллограммы справа показывают эволюцию и взаимодействие двух пакетов, когда один 科3 них, с частотой 3 Гц, генерируется при х = 0 ран^-

ше второго. При распространении пакеты проходят друг через друга и оказываются снова разделенными при 尤尸 9 м. Отметим, что, несмотря на длительноё и

Рис. 3. Взаимодействие волновых пакетов.Один из пакетов догоняет другой и проходит через него.Рис. 3. Взаимодействие волновых пакетов.Один из пакетов догоняет другой и проходит через него.

Рис. 3. Взаимодействие волновых пакетов.

Один из пакетов догоняет другой и проходит через него.

Рис. 3. Взаимодействие волновых пакетов.

Один из пакетов догоняет другой и проходит через него.

довольно сильное взаимодействие, которое они, очевидно, испытывают, оба пакета выходят из столкновения практически неизменными, что видно из сравнения с теми осциллограммами, где каждый из них распро-

странялся в отсутствие другого. Строго говоря, этот вид взаимодействия, когда несущие частоты импуль* сов неодинаковы, не может быть описан одним урав

нением. Однако Оикава и Я Джима [25] показали, что солитоны с разными несущими частотами выходят из взаимодействия так же, как и солитоны с одинаковыми несущими частотами, без каких-либо изменений, кроме сдвигов по координате и фазе.

Уравнение (11) было также решено численно в работе [38], и результаты решения сравнивались с

экспериментом (рис. 4). Осциллограммы, представленные здесь, соответствуют случаю в на рис. 1. Начальное условие для вычислений было получено построением по точкам экспериментального профиля при х = 1,5 м. Затем были вычислены соответствующие профили в пяти последующих точках. Из сравнения видно, что теоретические данные очень* точно совпадают с экспериментальными. В частности, очень хорошо предсказаны форма и амплитуда большего солитона. Некоторые детали эволюции, включая амплитуду переднего малого солитона, совпадают не очень точно. Однако эти расхождения малы и не выходят за пределы ожидаемых ошибок, вносимых при построении по точкам измеренного профиля при % =1,5 м, а также обусловленных пренебрежением диссипативными эффектами второго порядка и, возможно, пренебрежением членами высших порядков по £ и в уравнении (11).

Б. Неустойчивость Бенджамина — Фейра

При распространении периодической волны с постоянной частотой и бесконечно малой амплитудой (линейное приближение) ее форма не изменяется. Это подтверждается экспериментом. Бенджамин и Фейр [2] показали, однако, что когда волны имеют конечную амплитуду (нелинейный случай), периодическая волна неустойчива по отношению к бесконечно малым возмущениям огибающей. К такому выводу, который явился сюрпризом для многих исследователей, можно прийти, исследуя устойчивость однородного в пространстве решения нелинейного уравнения Шредингера (И)

Л (х> /) = Ло (/)= “о。2 °% ° ・ (13) Бесконечно малое возмущение задается в форме'

&(X,力=瓦07+з+ ~-昨з尤疗咿綺,(14)

где 兄=% — (so/2左о) t — координата в системе отсчета, движущейся с групповой скоростью, Ь± ——константы, малые по сравнению с а。, К — волновое число,

a Q — частота возмущения. Неустойчивость имеет место при Im й > 0. Подставив выражения (13) и (14) в уравнение (11) и линеаризуя его относительно «о, получаем дисперсионное уравнение для Й и ^:

Вводя безразмерное волновое число А = K/左。, находим область неустойчивости

0 < Д < Лкр = 2 々5%〃0・(16)

При

А = Амакс = 2 岛 〃о(17)

достигается максимальный инкремент неустойчивости, равный

(1т0)макс=^%財唸(18)

Сравнение этих результатов с экспериментальными данными, проведенное самими Бенджамином и Фей- ром ⑵，показало хорошее согласие. Дополнительные опыты были проведены Лэйком и Юэном [17], и оказалось, что в свете новой возможной интерпретации экспериментальных данных согласие теории с экспериментом в интервале 0,06 V 品的 V 0,2 действительно очень хорошее.

Возврат ФПУ

Третье и, пожалуй, самое замечательное свойство решений нелинейного уравнения Шредингера — явление возврата при долговременной эволюции неустойчивого решения (возврат ФПУ). Численное решение уравнения (11) с периодическими граничными условиями и с неустойчивым по Бенджамину — Фейру начальным условием показывает, что в неустойчивой волновой системе глубина модуляции увеличивается и достигает максимума. Затем она уменьшается, и решение постепенно возвращается к немодулированно- му состоянию. Такой процесс повторяется во времени. Соответственно этому энергия волновой системы, вна-

Рис. 5. Эволюция нелинейной периодической волны с большой ； начальной амплитудной модуляцией.

чале сосредоточенная на несущей, а также ее ггармо*- никах и боковых частотах, расплывается по спектру и снова концентрируется в каждом временном》цикле、 [18, 40]. Такой периодический во времени возврат решения к почти немодулированному начальному

состоянию получил название возврата ФПУ [32], поскольку впервые его обнаружили Ферми, Паста и Улам [8] при численном моделировании колебаний ангармонических решеток атомов.

霑霑警當离警當离^1^1Рис. 6. Эволюция слабо модулированной нелинейной периодической волны.Рис. 6. Эволюция слабо модулированной нелинейной периодической волны.

霑

霑

警當离

警當离

^1

^1

Рис. 6. Эволюция слабо модулированной нелинейной периодической волны.

Рис. 6. Эволюция слабо модулированной нелинейной периодической волны.

Существование возврата ФПУ в процессе эволюции волн на глубокой воде опровергает некоторые высказывавшиеся ранее предположения относительно

Амплитудаволны

AAAAAM

Амплитуда,волны

^лЛ/VV

Амплитуда,волны

^^^ SROHhww £EHa5 QEnQHEOlru

炉£^mEDOHWOWddunBUO qEOOHEO匚и

50

bJJNg^EQOHHOW XJdEHBUO qEQOHEOUU

3 4 510

Чссетпотпиг Гц

Рис. 7. Осциллограммы и спектры мощности на разных этапах эволюции ной периодической волны.

23 4 51050

Частотнее, Гц

слабомодулированной нелиней-

конечного состояния периодической волны, неустойчивой по Бенджамину — Фейру. В частности, оно противоречит утверждению Хассельмана [14, 15], что неустойчивая волна обязательно термализуется в смысле необратимого равнораспределения энергии по всем волновым числам. Явление возврата исключает также возможность того, что конечное состояние будет устойчивым набором солитонов [10]. На самом деле конечное состояние оказывается ни случайным, ни стационарным, а представляет собой периодическое во времени перераспределение энергии волн в соответствии с циклами модуляции и демодуляции огибающей.

Первые экспериментальные данные о возврате ФПУ для волн на глубокой воде были получены в работе J18] (см. также [40]). Было показано, что модуляция неустойчивой модулированной периодической волны, подобной показанной на рис. 5, достигает наибольшей глубины (при х = 4,5 м) и возвращается (почти идеально) к своему начальному состоянию (при % = =7,5 м). Интересно, что при х = 4,5 м волна похожа на последовательность солитонов, но это всего лишь переходное состояние. Другой пример зволюцин показан на рис. 6, где начальная периодическая волна лишь незначительно модулирована. На рис. 7 показа* ны соответствующие спектры мощности на трех этапах эволюции. Мы видим, что энергия, первоначально сосредоточенная на нескольких частотах вблизи несущей, распределяется между многими частотами, когда волна становится сильно модулированной, но затем возвращается к исходным частотам. При наблюдении .долговременной эволюции нелинейной волны нельзя полностью пренебрегать потерями энергии из-за дио сипации и обрушения волн. В работе [18] показано, что для достижения количественного согласия между теорией и экспериментом необходимо принять в теории некую модель для потерь энергии.

§ 4. ЭВОЛЮЦИЯ ДВУМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН

Рассмотрим теперь эволюцию нелинейной волны в двумерном пространстве, используя уравнение (9)：

Вначале заметим, что все решения одномерного уравнения (11) являются также решениями двумерного уравнения. В самом деле, если ввести 《наклонную》

Рис. 8. Вид свободной поверхности, ному плоскому солитонуРис. 8. Вид свободной поверхности, ному плоскому солитонусоответствующей наклон- огибающей.соответствующей наклон- огибающей.координатукоординату之=% cos а + у sin а,之=% cos а + у sin а,(19)(19)

Рис. 8. Вид свободной поверхности, ному плоскому солитону

Рис. 8. Вид свободной поверхности, ному плоскому солитону

соответствующей наклон- огибающей.

соответствующей наклон- огибающей.

координату

координату

之=% cos а + у sin а,

之=% cos а + у sin а,

(19)

(19)

то уравнение (9) можно записать в виде

-^3謊I 4 产4 = 0.(20)

При а < 35,26° уравнение (20) представляет собой одномерное линейное уравнение Шредингера, отличающееся от уравнения (11) только коэффициентами.

Поэтому остаются верными все рассуждения предыдущего параграфа, а соответствующие решения представляют собой плоские волны огибающих, распространяющиеся под углом к направлению распространения несущей волны (пример наклонного солитона огибающей дан на рис. 8). При а > 35,26° знак дно персионного члена противоположен знаку нелинейного члена и уравнение (20) не имеет солитонных решений. При этом однородное решение становится устойчивым по отношению к модулирующим возмущениям.

Рассмотрим теперь кратко свойства решений урав^ нения (20), связанные с солитонами, характеристиками неустойчивости и долговременной эволюцией.

Солитоны огибающей в двух измерениях

Пока еще не найдено ни одного стационарного решения двумерного уравнения, кроме упомянутых наклонных (косых) плоских решений уравнения (20) при а V 35,26°. Поэтому сейчас нам приходится ограничиться исследованием свойств плоских солитонов в двумерном пространстве. Хотя протяженность двумерного плоского солитона бесконечна в одном пространственном измерении и, следовательно, его энергия должна быть бесконечной, такое исследование, по-видимому, позволяет выяснить свойства физически реализуемых солитонов достаточно большой длины, которые можно представить как конечные участки плоского солитона.

Нас интересует устойчивость плоского солитона по отношению к бесконечно малым двумерным возмуще， ниям. Без потери общности можно взять солитон, распространяющийся в направлении х, в виде

/ 2 2

Л (х, у, f) = 4 (爲 0 = а0 sch (V2^o«ox) е4 咿。” (20а) где х= х—(c)o/2^o)t Зададим возмущение в форме b(х9协，)=瓦(元)/2д+6一(元)6一水2叶е一画计咿限(21) где К2 — поперечное волновое число, a Q — частота возмущения (неустойчивость имеет место при ImQ > > 0), Ь±(х)— произвольные функции 兄 удовлетвори*

ющие соотношению Ь±"(元)《4。(元)(при выборе подходящей нормы). Тогда задача об устойчивости переходит в задачу на собственные значения для системы уравнений с переменными коэффициентами, в которой

Рис. 9. Диаграмма устойчивости плоского солитона по отноше* ♦ нию к бесконечно малым поперечным возмущениям.

К2 — параметр, Q ——собственное значение, а b土(元)一 собственные функции. Захаров и Рубенчик (1973) показали, что неустойчивость имеет место в пределе при К2 f 0, причем соответствующие собственные функции нечетны по х. Их результаты были обобщены на случай произвольных К2 Сафманом и Юэном [31], которые установили, что неустойчивость ограничена конечным интервалом безразмерных волновых чисел А2 = К2 / 瓦，а именно

О V Ар V &кр = 1,09/?(/io. (22)

«Наиболее неустойчивое» волновое число равйо &макс = 0,806^0^0,（23）

а соответствующий максимальный инкремент

（1т£2）макс = О，16% 喇.（24）

Неустойчивости опять связаны с нечетными возмущениями: диаграмма устойчивости как для четных, так и для нечетных возмущений приведена на рис. 9.

Б. Устойчивость однородного решения

Диаграмма устойчивости однородйого решения в двух измерениях показана на рис. 10. Здесь представлен двумерный график зависимости нормированного инкремента【та//%%鶴喲 от нормированных волновых чисел возмущения Ai = К丿（2 V^^Qo） и &=此/（2 “5届а。）. В плоскости （&,&） область неустойчивости ограничена двумя прямыми Д2 = =±i/2& и гиперболами & = ± “（А； — 1）/2. Геометрическим местом точек максим альной неустойчивости служит кривая & = ± «（А； - ^）佟 На этой кривой инкремент неустойчивости остается постоянным и равным своему максимальному значению （Im Й）макс = %% 貶晞

График на рис. 10 поясняет соотношение между этой неустойчивостью и резонансной диаграммой Филлипса [26, рис. 8] с учетом расстройки по частоте. Неустойчивость, показанная на рис. 10, соответствует центральному участку резонансной диаграммы Филлипса; это согласуется с тем, что нелинейное уравнение Шредингера связано только с волновым числами, близкими к «несущему» волновому числу. Подробное изложение теории резонансного взаимодействия Филлипса читатель может найти в его книге [27].

Долговременная эволюция и возврат

Забуски и Крускал [41], открывшие возврат ФПУ в случае уравнения Кортевега ——де Вриза, предложили следующее объяснение этого явления. Они рас-

сматривали всякий периодический участок неустойчивой волны как начальное условие, которое можно представить в виде некоторой совокупности солитонов. Эти солитоны имеют разные скорости, и моду-

Рис. 10. Диаграмма устойчивости волны по отношению、к бесконечноНИЯМ.Рис. 10. Диаграмма устойчивости волны по отношению、к бесконечноНИЯМ.однородной периодическоймалым двумерным возмуще-однородной периодическоймалым двумерным возмуще-

Рис. 10. Диаграмма устойчивости волны по отношению、к бесконечно

НИЯМ.

Рис. 10. Диаграмма устойчивости волны по отношению、к бесконечно

НИЯМ.

однородной периодической

малым двумерным возмуще-

однородной периодической

малым двумерным возмуще-

ляция обусловлена различием их скоростей. Солитоны уходят из рассматриваемого участка волны на одном его конце, но в то же время появляются на другом из- за периодичности граничного условия, а возврат происходит тогда, когда они, перестраиваясь, восстанавливают начальное состояние.

Такое объяснение неприемлемо в случае нелинейного уравнения Шредингера, поскольку у солитонных решений здесь нет существенной разницы в скоростях.

8f л

86 二

00ZH1

Теори工 Нем1непн£х 80AH на алубокоп soda 127

T =6,40Т= 7,00Т = 8,00Т=9,00

Рис. 116. Эволюция двух импульсов в двумерном пространстве.

В действительности же возврат ФПУ наблюдается в решениях уравнения Шредингера даже тогда, когда солитоны вообще не имеют этой разницы [29, 30]. Правда, предположение Забуски и Крускала [41] о наличии глубокой связи между существованием устойчивых солитонов и возвратом ФПУ выглядит привлекательно с интуитивной точки зрения. Но тогда тот факт, что плоские солитоны неустойчивы в двух измерениях, вызывает сомнения относительно существования возврата ФПУ в случае двумерного уравнения Шредингера.

Поэтому результаты проведенного, Юэном и Фергюсоном [37] численного исследования долговременной эволюции решений двумерного уравнения Шредингера вызывают некоторое удивление. Названные авторы наблюдали возврат ФПУ для широкого класса начальных условий, включая двугорбый профиль, показанный на рис. Па и 116. Мы видим, что решение испытывает сложную эволюцию перед тем, как вернуться к начальному состоянию со сдвигом по координате (заметим, что этот сдвиг не имеет физического смысла ввиду периодических граничных условий; к тому же дальнейшие вычисления показали, что при Т а 25,2 восстанавливаются первоначальные положения). В фурье-пространстве энергия соответственно этому расплывается и снова возвращается к исходному распределению в течение каждого цикла.

Не все случаи показали наличие возврата за время счета, но ни в одном случае не было термализации. Разумеется, такие исследования далеко не полны. Однако оценка уже полученных данных подтверждает мысль о том, что нелинейные, волны сохраняют высокую степень когерентности даже в двух измерениях.

ПОНЯТИЕ КОГЕРЕНТНОСТИ

В предыдущих параграфах было показано, что учет нелинейности может существенно изменить наши представления о свойствах гравитационных волн^на глубокой воде. Важное значение в этом отношении

имеет понятие когерентности. В данном параграфе мы рассмотрим некоторые вопросы, связанные с этим понятием.

А. Связь между неустойчивостьюначального возмущенияи его долговременной эволюцией

Солитон может служить наглядным примером когерентной волны. Он представляет собой результат точного баланса между нелинейностью, которая ведет к концентрации энергии в пространстве, и дисперсией, которая действует противоположным образом. Эволюция любого локализованного начального возмущения в совокупность солитонов отражает глубокую сущность этого баланса как некую естественную тенденцию. Аналогичным образом возврат ФПУ можно себе представить как периодическое преобладание то одного, то другого из двух конкурирующих эффектов (нелинейности и дисперсии), связанное с определенными, избранными волновыми модами. При таком подходе большое значение приобретает вопрос об определении активно участвующих мод. Если участвуют всё моды, то эволюция системы становится запутанной и хаотической и система может в конце концов термализоваться. Если же участвующих мод немного и они фиксированы, то эволюция будет упорядоченной и когерентной. Резкой границы между хаосом и когерентностью, естественно, нет.

Первый шаг к определению правил выбора мод для процесса эволюции был сделан Юэном и Фергюсоном [38]. Используя результаты анализа начального возмущения, неустойчивого по Бенджамину и Фей- ру, они вывели простое соотношение между начальным возмущением и его долговременным поведением для систем, описываемых одномерным нелинейным уравнением Шредингера. Найденное ими правило таково: если задано возмущение периодической волнн, имеющее нормированное волновое число Д, то число мод, активно участвующих в процессе перераспределения энергии, равно п = [ДКр / Д], где квадратные скобки означают целую часть, ДКр — критическое

Рис. 12. Долговременная эволюция неустойчивого решения при разных значениях А・

волновое число, определяемое равенством (16). Это правило иллюстрируется на рис. 12 и 13. Номера случаев на рис. 12 равны значениям п для показанных на них возмущений. Точные значения А даны на рис. 18, причем они совмещены с диаграммой

неустойчивости Бенджамина — Фейра. Для случая 4, например, Д = 0,212 Акр, так что п = 4, т. е. в процессе эволюции должны участвовать четыре активные моды. Это подтверждается появлением четырех максимумов в волне. Хотя некоторая энергия приходится и на другие моды, они крайне слабы по сравнению с указанными четырьмя активными модами, всегда

厶4吵

Рис* 13. Значения А для различных случаев, показанных на рис. 12.

Кривая "-диаграмма неустойчивости Бенджамина—Фейра [2].

синхронны с той или другой из четырех активных мод и никогда не доминируют в процессе эволюции. Заметим далее, что решение периодически демодули- руется.

По существу, Юэн и Фергюсон [38] показали путем численных расчетов, что в конкуренции нелинейности с дисперсией активно участвуют только моды, которые неустойчивы согласно результатам линейного анализа устойчивости. Число участвующих мод позволяет предсказать степень сложности эволюционного процесса 侬я заданного начального возмущения на основании диаграммы устойчивости. Обобщая это правило, можно предположить, что если неустойчивость проявляется в конечном интервале волновых чисел, то неустойчивая система не термализуется, поскольку энергия всегда будет сосредоточена в указанной области волновых чнсе几

Исследования этого интересного аспекта эволюции нелинейных волн продолжаются. Сейчас усилия сосредоточены на проверке приведенного выше правила для двумерного нелинейного уравнения Шредингера.

丨 Б. Приложение к нелинейным ветровым волнам

Поскольку исследования нелинейных волн на глубокой воде мотивируются в основном желанием полнее объяснить поведение волн в океане, чтобы убедиться в ценности понятия когерентности, лучше всего рассмотреть его, по-видимому, в*приложенин к ветровым волнам. Ранее система ветровых волн по традиции рассматривалась как линейный в первом приближении некогерентный ансамбль из свободных бесконечно малых волновых компонент; все компоненты подчиняются дисперсионному уравнению и распространяются с разными скоростями. Нелинейные эффекты вычислялись на основе этих предположений. Мы называем эти традиционные модели почти линейными некогерентными моделями (см., например, работы [11—15]). Недавно Лэйк и Юэн [16] предложили совершенно другую модель, основанную на предположении, что системы ветровых волн могут быть существенно нелинейными и когерентными. Если система ветровых волн нелинейна в этом смысле слова, то влияние нелинейности на ее динамику преобладает над влиянием случайности. В простейшей одномерной форме такую систему можно представить в первом приближении как одну нелинейную волну с несущей частотой, равной преобладающей частоте в спектре ветровых волн. Мы назовем такую модель нелинейной когерентной моделью.

Главное различие между этими моделями состоит в их выводах о свойствах высших мод. В почти линейных некогерентных моделях все вбяйовые компоненты независимы, подчиняются дисперсионному уравнению и распространяются с разными скоростями. Согласно же нелинейной когерентной модели, высшие моды синхронны с преобладающей (основной) волной и, следовательно, движутся с ее скоростью. Для проверки этих моделей Лэйк и Юэн [16] провели лабораторные

' измерения параметров ветровых волн. В одной серии опытов они, пользуясь парами близко расположенных в пространстве датчиков с полосовыми фильтрами, определяли методом кросс-корреляции скорости распространения отдельных волновых компонент. Результаты таких измерений, полностью согласующиеся с независимыми измерениями Рамамоньярисоа и Коэн- тика [28], показали, что в лабораторных условиях ветровые волны нелинейны в смысле применимости нелинейной когерентной модели: все высшие моды движутся с одинаковой скоростью ——скоростью основной волны. Типичные результаты измерения фазовых скоростей представлены на рис. 14. Сравнение с рис. 15, где приведены соответствующие результаты для одиночного нелинейного волнового пакета, ясно показывает, что нелинейная когерентная модель более близка к действительности в этих ситуациях. Лэйк и Юэн [16] измерили также другие характеристики ветровых волн (например, распределение частот основной волны путем определения точек пересечения нулевой линии, групповые скорости, отношение частот модуляции к частотам основных волн, относительные уровни гармонических компонент в спектрах) и установили, что интерпретация лабораторных измерений этих дополнительных характеристик на основе нелинейной когерентной модели оказывается более предпочтительной, нежели на основе линейной некогерентной. Следует подчеркнуть, что нелинейная когерентная модель не претендует на моделирование всего океана одиночной детерминированной волной. Эффекты случайности также должны быть приняты во внимание. Основное различие между двумя типами моделей ветровых волн (отраженное в их названии) состоит в том, что почти линейная некогерентная модель рассматривает волновую систему как в своей основе линейную и случайную, в то время как в нелинейной когерентной модели делается упор на нелинейность.

Нелинейная когерентная модель пока что подтверждается только лабораторными опытами для одномерного случая, а эксперименты в океане с двумерными волнами——еще в стадии планирования. Но поскольку океанские волны конечны по амплитуде и

.S^OH anHqlTBhHeNHdelKJMGlHaHgedMgcv*gI.0Bdsh.H8。IBUM® .Д8омнл-««&а^ BeMedROUOMOAb^n AHOOa^MU :XH4I133K Ob

—ttHHH4BBBOXHdHIn«*OIHH0HaBd>»^SOSSSUA^SStf-。冒 oU 吕。13НУ000•яьиоАоми ^SO^SH&OVHISS^ suti^osu 0 05'odoM。ss^«& £

•HlfoBXFWOdJaB ihshoiiwox xi4HloH°eh и HIuodox°S«QS^ н HIOOHmox dwno f JHd 、

BHlrog m^Enlmxv FtiEOEavh

*4科组ujQQHiww gdmxauQ {«^附心0物

^ss^^s 邕 ИЯН11帷匝я

гй»界肝乂м!'!1ш羅 sjj雷费蠹巾田揄KRif -и^^л^шия™ 雷症需品■ 專n計黑Hi 需置nlEe. ^^н^п 一督舞精叫寓

Антлшпд^а волна

一濁豳^阴闿上口！！轟 жво^ш^и 1»ш^л№в

z^mE'QH 營wddEHaua aEQQHEQl{ll

Рис. 15. Фазовые скорости частотных компонент сильно модулированной нелинейной периодической волны.Сплошная линия—дисперсионная зависимость, кружки— экспериментальные точки.

предсказания их свойств, основанные на почти линейной некогерентной модели, могут быть в лучшем случае названы недостаточными, перспективы применения нелинейной когерентной модели для океанских волн представляются заманчивыми.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Мы не смогли здесь рассказать о многих других интереснейших современных исследованиях волн на воде, например таких, как статьи Роскеса [30] о сложных волновых цугах, Альбера и Сафмана [1] о влиянии случайности, Лонге-Хиггинса и Кокле [23] о сильно нелинейных волнах, Мартина, Сафмана и Юэна [24] об эволюции двумерных нелинейных волн, и многих других. Все же мы надеемся, что описание некоторых характерных для данной области проблем покажет читателю привлекательность этого захватывающего предмета и, возможно, возродит интерес к столь общеизвестному, но замечательному явлению, как волны на воде.

Мы глубоко признательны г-же Дж. Ней за неоценимую помощь в подготовке рукописи. Работа субсидировалась Лабораторией прикладной физики Университета Джона Хопкинса по контракту APL/IHV № 600613. .

Литература

о^ о^ 4- R^ 6Z &о^ о^ 4- R^ 6Z &Alber I. Е, Saffman Р. G., TRW Report No. 26062-6018-RU-00, 1977.

о^ о^ 4- R^ 6Z &

о^ о^ 4- R^ 6Z &

Benjamin T. B.,Feir /. E, Journ. Fluid Meeh.,27,417 (1967).

Benney D./., RoskesG., Studies App. Math.,48,377 (1969).

Chu 丿 〃.，MeiС. C,Journ. Fluid Meeh.. 41,873(1970).

Chu V. ".,MeiС. C.,Journ. Fluid Meeh., 47,337(1971).

Davey A., Journ. Fluid Meeh., 53, 769 (1972).

Davey 4, Stewartson K., Proc. Roy. Soc. (London), 338, 101 (1974).

Fermi E., Pasta /., Ulam S. — В кн.: Collected Papers of Enrico Fermi, Vol. 2, The University of Chicago Press, 1962, p. 978. (Имеется перевод в кн.: Ферми 3. Научные труды. Т. IL —М.: Наука, 1972.)

Hasimoto "., Journ. Fluid Meeh., 51, 477 (1972).

Hasimoto H., Ono H., Journ. Phys. Soc. Jap., 33, 805 (1972),

Hasselmann К., Journ. Fluid Meeh., 12, 481 (1962).

HasselmannК., Journ.FluidMeeh., 15, 273 (1963).

HasselmannK., Journ.FluidMeeh., 15, 385 (1963).

HasselmannK・.Proc.Roy.Soc. (London), A299,76(1967).

HasselmannK., Proc.Roy.Soc. (London), A299,77(1967)\

Lake В. M., Yuen H. C., Journ. Fluid Meeh., 88, 33 (1978).

Lake В. M., Yuen H. C., , Journ. Fluid Meeh., 83, 75 (1977).

Lake В. M, Yuen H. C., Rungaldier 〃.，Ferguson IF. E, Journ. Fluid Meeh., 83, 49 (1977).

Lighthill M. /., Journ. Inst. Math. Appl., 1, 269 (1965).

Lighthill M.丿.，Proc. Roy. Soc. (London), A299, 28 (1967).

Longuet-Higgins M. S., The Instabilities of Gravity Waves of Finite Amplitude in Deep Water. I. Superharmonics, 1977 (не- опубликовано).

Longuet-Higgins M. S., The Instabilities of Gravity Waves of Finite Amplitude in Deep Water. II. Subharmonics, 1977 (не опубликовано).

Longuet-Higgins M. S., Cokelet E. D, Proc. Roy. Soc. (London), A350, 1 (1976).

Martin D U., Safftnan P. G., Yuen H. C., Stability of Nonlinear Wave Trains in Two Dimensions, 1978 (не опублико*

Oikawa M., Yajima M, Journ. Phys. Soc. Jap., 37, 486 (1974).

Phillips О. M, Proc. Roy. Soc. (London), A299, 104 (1967).

Phillips О. M., The Dynamics of the Upper Ocean, Cambridge University Press, 1969. (Имеется перевод: Филлипс О. М. Динамика верхнего слоя океана.— М.: Мир, 1969.)

Ramamonjiarisoa 4, Coantic М, Compt Rend., В282, 111 (1976).

Roskes G., Phys. Fluids, 19, 766 (1976)..

Roskes G., Phys. Fluids, 19, 1253 (1976). (См. также: Studies Appl. Math., 55, 131.)

Saffman P. G., Yuen H. C., Phys. Fluids, 21, 1450 (1978).

Scott A. C, Chu E У. E, McLaughlin D 步.，Proc. IEEE, 61, 1443 (1973). (Имеется перевод: ТИИЭР, 1973, т. 61, № 10, с. 79.)

Stokes G. G., Cambridge Transactions, Vol. 8., 1847, p. 441. (См. также Papers of G. G. Stokes, Vol. 1, p. 197.)

Tsuzuki T., Journ. Low Temp. Phys., 441 (1^71).

Whitham G. B., Linear and Nonlinear Waves, John Wiley, New York, 1974. (Имеется перевод: Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны.——М.: Мир, 1977.)

Yuen Н. С., Waves on Vortex Filaments, Ph. D. Thesis, California Institute of Technology, Pasadena, 1973.

YuenH.C.,Ferguson 呪 E,Phys. Fluids, 21,2116 (1978).

YuenH.C.,Ferguson W. E,Phys. Fluids, 21,1275 (1978).

YuenH.C.,Lake В. M” Phys. Fluids, 18, 956(1975).

YuenH.C.,Lake A Al., TheSignificance of Nonlinearity in

the Natural Sciences, Plenum Press, 1977, p. 67.

Zabusky M /., Kruskal M. D., Phys. Rev. Lett., 15, 240 (1965).

Захаров В. E. — ПМТФ, 1968, № 2, с. 86.

Захаров 8. Е, Шабат Л. 5. — ЖЭТФ, 1971, т. 61, в. 1? с. 118.

Глава 6

Экспериментальные исследованиясолитонов в нелинейных линияхпередачи с дисперсией

К Лонгрен )

ВВЕДЕНИЕ

Исследование линейных линий передачи началось давно; описывающие их уравнения, иногда называемые «телеграфными уравнениями», известны с XIX столетия. Но естественное обобщение этих уравнений на линии передачи с нелинейными элементами [1], в частности на схемы, которые допускают распространение солитонов, было осуществлено только в последнее десятилетие. Интерес к этой проблеме обусловлен несколькими причинами: 1) линии передачи очень удобны для моделирования других физических явлений; 2) линии передачи имеют много важных применений помимо простой передачи сигнала от одной точки к другой; 3) линия передачи — сравнительно недорогое и универсальное устройство для экспериментального изучения свойств солитонов. Данная обзорная статья посвящена свойствам солитонов, которые наблюдаются экспериментально в нелинейных линиях с дисперсией.

Заметим, что с помощью линий передачи моделируются такие физические явления, как пробой лавинопролетных диодов [2, 3], генерация незатухающей последовательности импульсов в лазере [4], различные процессы в плазме и т. д. Линии передачи используются и непосредственно — как параметрические усилители [7], системы формирования импульсов [8], системы передачи, в которых сигналы, модулированные по фазе или амплитуде, кодируются путем

преобразования в солитоны и могут быть восстановлены, если известна соответствующая «солитонная комбинация» [9, 10] и т. д.

Различные группы исследователей конструировали нелинейные линии передачи с дисперсией, используя в качестве нелинейных элементов либо диоды с переменной емкостью [И—16], либо индуктивности с насыщающимися ферромагнитными сердечниками [8, 17]. В § 2 мы рассмотрим Типичную экспериментальную линию передачи и покажем, что к ней применимо хорошо изученное уравнение Кортевёга — де Вриза (КдВ), которое, как известно, имеет решения в виде солитонов. В § 3 мы кратко остановимся на некоторых свойствах солитонов, наблюдавшихся в этих линиях, и приведем типичные экспериментальные данные, иллюстрирующие каждое из таких свойств. Исходные нелинейные «телеграфные уравнения», описывающие линии передачи, изучались также в численных экспериментах. Некоторые из этих результатов будут представлены в § 4. В § 5 после заключительных выводов намечаются некоторые новые направления экспериментальных исследований.

ЛИНИЯ ПЕРЕДАЧИ

Линии передачи, на которых проводились иссле* дования, содержат большое число (от 50 до 900) одинаковых звеньев, типичные схемы которых показаны на рис. 1. Нелинейными элементами Cn и L^ служат либо диоды, емкость которых является нелинейной функцией запирающего напряжения смещения («варикапы»), либо катушки индуктивности с насыщающимися ферромагнитными сердечниками, индуктивность которых является нелинейной функцией тока. Конденсатор Cs добавлен для увеличения дисперсии сверх той, которая обусловлена дискретностью параметров линии и межвитковыми емкостями; благодаря ему уменьшается требуемое число звеньев L Типич-

Наличие дополнительного конденсатора & приводит к тому, что увеличивается (вVl + \2CSI'CN раз) как временной, так и пространственный размер стационарного солитона. При

ные значения параметров линии таковы [13]:

L Дх = 0,2 мкГ,二=220 пФ,

Сn А% М«=о ■— 500 пФ, Ах = 2 см.

Большинство экспериментов проводилось с линиями, состоящими из звеньев типа показанного на

Рис. 1. Типичные схемы одного звена нелинейной линии передачи с дисперсией.

а —с нелинейным конденсатором; 6 —с нелинейной индуктивностью

рис. 1, а. В длинноволновом приближении

(Лх / Л-> 0) цепочку таких звеньев можно описать

этом число звеньев линии, необходимое для наблюдения 6оль・ шинства из описываемых здесь явлений, не уменьшается, а увеличивается. — Прим, перев.

следующей системой уравнений в частных производных:

О/ 丄 0Q (，) п

^7 + 4/ 一 厂)=0.Gxdt ''

Эти уравнения описывают изменение тока в линии, обусловленное изменением заряда на нелинейном конденсаторе, а также изменение напряжения, вызываемое изменением тока /' в индуктивности L и тока / ——Г в линейном конденсаторе С§.

Из системы (1) можно вывести одно уравнение для напряжения Р:

0屮丄丄业_丄烈竺_ п 小 0为2 0产 十 Тё^-^十一百 —-u丿

Это уравнение исследовалось в работах [18, 19], где было показано, что при используемых в эксперименте значениях функции Q( V) оно допускает решения в виде солитонов и бездиссипативных ударных волн» Для удобства преобразуем уравнение- (2) в уравнение КдВ, солитонные решения которого хорошо известны [20]. С этой целью аппроксимируем заряд Q(») следующим образом:

Q”)^Col/ — C俨.(3)

Дисперсионное уравнение для сигналов малой амплитуды получается при С%—>0, если представить решение в форме V ^ 匕)ехр [/(о/ — kx)]. Получаем

k — “Г^РТЩ

I) Такие решения, имеющие называют солитонами (ср. общее дона в гл. 8 и 9) в отличие от шествование которых связано с ред.I) Такие решения, имеющие называют солитонами (ср. общее дона в гл. 8 и 9) в отличие от шествование которых связано с ред.вид перепадов, сейчас также решение синус-уравнения Гор- «истинных» ударных волн, су- диссипацией энергии. — Прим,вид перепадов, сейчас также решение синус-уравнения Гор- «истинных» ударных волн, су- диссипацией энергии. — Прим,

I) Такие решения, имеющие называют солитонами (ср. общее дона в гл. 8 и 9) в отличие от шествование которых связано с ред.

I) Такие решения, имеющие называют солитонами (ср. общее дона в гл. 8 и 9) в отличие от шествование которых связано с ред.

вид перепадов, сейчас также решение синус-уравнения Гор- «истинных» ударных волн, су- диссипацией энергии. — Прим,

вид перепадов, сейчас также решение синус-уравнения Гор- «истинных» ударных волн, су- диссипацией энергии. — Прим,

В длинноволновом пределе (左三 2几/入 +0) фазовая скорость становится равной

(5)

Введем безразмерное время Т = 〃“LC° и запишем уравнение (2) в виде

+纟空—把+丝=0⑹

Далее введем систему координат, движущуюся со скоростью, равной единице (в размерных переменных она равна 1/“LCq)】)：

⑺⑺l=^(x-T)t

⑺

⑺

T =成/27，

где е — малый параметр. Кроме того, напряжение V представим в виде ряда

V = z^ + ^+ •・・・(8)

Подставив (7) и (8) в уравнение (6), в низшем порядке малости О(е3) по параметру е для напряжения 〃⑴=и получим

ди <?„ ди д3и 、 前 + ТГ"前 +'^■■^г = 6 ⑼

Это и есть уравнение КдВ. В дальнейшем при описании экспериментов мы сосредоточим внимание на свойствах солитонов, удовлетворяющих уравнению КдВ.

ЭКСПЕРИМЕНТЫ

С использованием линий передачй, описанных в § 2, был проведен ряд экспериментов по исследованию основных свойств солитонов. Прежде чем перейти к этим экспериментам, мы рассмотрим некоторые характеристики линии и продемонстрируем на основе экспериментальных данных, что в ней действи-

Здесь и далее имеется в виду лишь замена переменных (7) без соответствующего преобразования зависимых переменных. —Прим. ped.

тельно возможно распространение солитонов. Речь идет об ее дисперсионных и нелинейных характеристиках.

Как видно из рис. 2〔)，линия обладает дисперсией. Дисперсионные кривые были сняты следующим обра-

Рис. 2. Дисперсионные кривые, снятые экспериментально при разных напряжениях смещения на нелинейных конденсаторах.

зом: на одном конце линии, замкнутой накоротко, возбуждалась синусоидальная волна малой амплитуды, и передвижным датчиком измерялась длина возникающей при этом стоячей волны. Дисперсионные кривые зависят от внешнего постоянного напряжения (напряжения смещения), приложенного к линии. Это напряжение поддерживается постоянным на протяжении каждой серии опытов.

Все результаты, источник которых не указан особо, взяты из статьи Колосика и др. [13].

Форма сигнала, распространяющегося вдоль линии, зависит от полярности возбуждающего импульса и от его амплитуды. Это видно из рис. 3, где представлен сигнал, зарегистрированный в фиксированной

Рис. 3. Сигнал, зарегистрированный в линии передачи на фиксированном расстоянии от точки приложения узкого положительного или отрицательного возбуждающего импульса.

а —линейный режим, ^в036ss厶丫； б—нелинейный режим, VBO3g=5AК. В этих экспериментах | %0361Vl，смещ I； величина АУ —в произвольных единицах.,

точке линии при разных полярностях и амплитудах возбуждающего импульса. Нетрудно видеть, что при малой амплитуде возбуждающего импульса (а) форма сигнала не зависит от его полярности, тогда как отклики на сигнал большой амплитуды (б) различны при разных его полярностях. Заметим также, что скорость импульса зависит от амплитуды. Импульс положительной полярности с большрй амплитудой движется быстрее импульса с малой амплитудой. Следовательно, линию, с которой проводились опыты, можно

рассматривать как нелинейную среду с дисперсией. Перечислим теперь некоторые основные свойства со「 литонов, наблюдавшихся в различных экспериментах. Хотя линии в этих экспериментах различались по своим параметрам, полученные с их помощью результаты ■ могут быть сопоставлены даже без соответствующей нормировки масштабов времени, длины и напряжения. Это позволит нам получить достаточно полную картину явлений, связанных с солитонами.

А. Свойства солитонов, возникающихпри возбуждении импульсными сигналами

Наблюдения показали, что входной импульс напряжения распадается на конечное число солитонов и осциллирующий хвост малой амплитуды. Такой рас-

0,2 мкс0,2 мкс

0,2 мкс

0,2 мкс

Рис. 4. Осциллограммы, показывающие распад начального им-пульса на последовательность солитонов и осциллирующий хвостмалой амплитуды [11].

Верхняя осциллограмма — входной импульс напряжения, нижняя — выходноенапряжение на некотором расстоянии от входа.

пад иллюстрируется на рис. 4. Хирота и Сузуки [11] показали, что в рассматриваемой системе величина

J 乙(T)dT = const,(10)

где Vn — напряжение на n-м звене, должна сохраняться. Площади заштрихованных областей на рис. 4, соответствующие этому интегралу, действительно совпадают в пределах ошибки эксперимента (~2%).

Число возникающих солитонов можно предсказать, зная число связанных состояний для волнового

уравнения Шредингера, в котором потенциал определяется формой входного импульса. На рис. 5 показано изменение формы сигнала в фиксированной точке линии при возрастании ширины возбуждающего им-

Рис. 5. Сигнал в фиксированной точке линии передачи при возрастании длительности возбуждающего импульса положительной полярности.

пульса. Чу и Уитбред [15] определили зависимость числа солитонов от амплитуды и ширины входного импульса (рис. 6). Островскому и др. [12] удалось параметризовать этот эффект при помощи параметра подобия а = (длительность входного импульса /шири^ на солитона) так, что это позволяет предсказывать число солитонов.

Односолитонное решение уравнения (9) можно записать в виде

“ =sch2 [ “娉 G _ 讐 т)](П)

или, в исходных переменных (се = 1), iseh?{"普卜(1+制力]}. (12)

Скорость солитона равна

〃s =〃s =1+割宼，1+割宼，(13)(13)

〃s =

〃s =

1+割宼，

1+割宼，

(13)

(13)

откуда видно, что она возрастает с амплитудой. Ширина солитона (на половине высоты) /0,5 вычисляется

Длительность импульса, мноДлительность импульса, мноРис. 6. Зависимость числа солитонов от длительности входного импульса при разных амплитудах (указанных на кривых) [15].Рис. 6. Зависимость числа солитонов от длительности входного импульса при разных амплитудах (указанных на кривых) [15].SSE^§O 05点SSE^§O 05点

Длительность импульса, мно

Длительность импульса, мно

Рис. 6. Зависимость числа солитонов от длительности входного импульса при разных амплитудах (указанных на кривых) [15].

Рис. 6. Зависимость числа солитонов от длительности входного импульса при разных амплитудах (указанных на кривых) [15].

SSE^§O 05点

SSE^§O 05点

по формуле (12) при u / ио = 0,5. Учитывая, что 0,5 = sch2 (0,88), находим из (12)

д/思矗= 0,88.2,(14)

ИЛИ

fo,5 = 1,76fo,5 = 1,76(15)(15)

fo,5 = 1,76

fo,5 = 1,76

(15)

(15)

откуда следует, что ширина солитона /о>5 уменьшается с возрастанием амплитуды.

На рис. 7 сравниваются теоретически предсказанные и экспериментально измеренные значения скорости и ширины солитона в зависимости от его амплитуды [14].

О工三 ОН賞方EoodoNCJО工三 ОН賞方EoodoNCJ

О工三 ОН賞方EoodoNCJ

О工三 ОН賞方EoodoNCJ

Амплитуда солитона, ВАмплитуда солитона, ВРис. 7. Зависимость скорости (а) и ширины (6) солитона от его амплитуды [14].Сплошная линия —теоретическая кривая, кружки - экспериментальные точки.Рис. 7. Зависимость скорости (а) и ширины (6) солитона от его амплитуды [14].Сплошная линия —теоретическая кривая, кружки - экспериментальные точки.зх*BHndrnnhlfoзх*BHndrnnhlfo

Амплитуда солитона, В

Амплитуда солитона, В

Рис. 7. Зависимость скорости (а) и ширины (6) солитона от его амплитуды [14].

Сплошная линия —теоретическая кривая, кружки - экспериментальные точки.

Рис. 7. Зависимость скорости (а) и ширины (6) солитона от его амплитуды [14].

Сплошная линия —теоретическая кривая, кружки - экспериментальные точки.

зх*BHndrnnhlfo

зх*BHndrnnhlfo

Еще одно свойство, которым, по-видимому, солитоны отличаются от других нелинейных явлений, заключается в том, что в некоторых случаях они выходят из столкновений неизменными как при «встречном» столкновении, так и при «попутном», когда солитон большей амплитуды догоняет солитон с

6

Рис. 8. Столкновения двух солитонов [12].

•••мтречное столкновение двух солитонов; б—попутное столкновение двухсолитоноэ (п—номер звена линии),

меньшей амплитудой. «Встречное» столкновение происходит, когда два солитона одновременно возбуждаются на разных концах линии. Для регистра-

Рис. 9. Формирование солитонов из начальных импульсов различной длительности [23].

а *->длительность т начального импульса несколько больше ширины соли* тона тм б—длительность 工 начального импульса равна 4To.

ции процесса столкновения в разных точках линии помещают датчик, присоединенный к осциллографу, который запускается импульсным генератором. При

наблюдении «попутного» столкновения солитон большой амплитуды возбуждают на том же конце линии, что и солитон малой амплитуды, но с некоторой задержкой во времени. В экспериментах Островского и др. [12] такое столкновение наблюдалось приблизительно в середине линии (рис. 8))-

Описанный выше тип взаимодействия солитонов не является единственным. Если два солитона, распространяющиеся с приблизительно равными скоростями, находятся на достаточно малом расстоянии друг от друга, то один из них может испытывать влияние «хвоста》другого. Это влияние выражается в том, что солитоны либо взаимно отталкиваются, либо взаимно притягиваются. При отталкивании наблюдается расхождение солитонов, а в случае притяжения сблитоны сталкиваются и проходят друг через друга. После этого из-за взаимного притяжения они вновь сближаются и могут в конечном итоге образовать связанное состояние, распространяясь вместе. Кудрявцев исследовал это явление численно применительно к уравнению Гинзбурга—Ландау [21], Кавахара [22] численно исследовал такую форму уравнения КдВ, в которой дисперсионный член имеет производную пятого порядка вместо третьего, и обнаружил солитоны с осциллирующей асимптотикой. Горшков и др. [23]| модифицировали линию передачи: ввели регулируемую взаимоиндуктивную связь между звеньями типа представленного на рис. 1,а. Они показали, что такую линию можно описать уравнением, рассмотренным Кавахарой, и экспериментально наблюдали связанные состояния солитонов (см. рис. 9, где наличие свя， занного состояния очевидно).

В другой серии экспериментов наблюдался отклик линии на возбуждение в форме перепада (плавной ступеньки). В этом случае граничные условия для уравнения (7) таковы: ^ (^ = —оо) = иь 〃依= = +8)=〃2・ Распространение такого возбуждения в линии исследовалось в работах [24—27], типичный

для этого случая процесс формирования ударной / волны представлен на рис. 10】). Ступенька напряжения превращается в последовательность солитонов, поскольку в систему не вводилась диссипация.

Во всех описанных выше экспериментах с импульсами линия передачи конструировалась так, что она была однородной в пределах возможностей эксперимента. Исходя из численных расчетов [28] и теоретического анализа [29, 30], Стюарт и Коронес [16]

Рис. 10. Формирование ударной волны [26].

предприняли исследование влияния контролируемой неоднородности. Неоднородность, можно ввести в линию, задав некую зависимость емкости конденсаторов С$ от их' положения. Это не влияет на скорость распространения сигналов малой амплитуды и на импеданс линии, а приводит лишь к изменению дисперсионного коэффициента в соответствующем уравнении. Линия в работе [16] содержала достаточно большое число (460) звеньев и разделялась на три приблизительно равные области. Две из них (1 и 2) были однородны, но содержали конденсаторы с разными емкостями С51 и Cs/Й = CsJCS2» ,0/э)； между ними находилась неоднородная область. Солитон формировался в однородной области 1 и после распространения в неоднородной средней области, переходя в однородную область 2, распадался на два солитона.

Обзор ранних работ по электромагнитным ударным волнам в линиях с ферритовыми и полупроводниковыми нелинейными элементами дан в [61]. — Прим. ред.

Типичная картина показана на рис. 11. При возрастании отношения б = СsJCs2 число вторичных солитонов увеличивалось 】)・

В эксперименте Богатырева и Файнштейна [31] элементы линии передачи располагались таким образом, что линия была хаотически неоднородной. Они обнаружили затухание амплитуды солитона, отсутствовавшее в однородной линии.

200 нс/деление

Рис. 11. «Деление» солитонов в неоднородной линии [16]. Осциллограммы сняты: а —в однородной линии 1； Ь—в неоднородной линии; с н d—в однородной линии 2.

Горшков и др. [32, 33] исследовали взаимодействие импульсов с бегущей волной. В их эксперименте импульсы возбуждались в линии, нелинейная емкость которой периодически модулировалась бегущей волной. Фазовая скорость волны была близка к скорости импульсов. При этом наблюдалось усиление импульсов, причем во время усиления они оставались близки по своим свойствам к стационарным солитонам.

Б. Свойства солитонов, возникающихпри возбуждении линии синусоидальными сигналами

В экспериментах с импульсными сигналами было установлено, что скорость сигнала зависит от его локального уровня. Поскольку участок сигнала с большей величиной напряжения движется быстрее, чем с меньшей, синусоидальная волна по мере распростра-

9 Распространение солитонов в неоднородной линии передачи (в том числе их трансформация при переходе в другую линию с резко отличающимися параметрами) исследовалось также в работе [48]. — Прим. ред.

нения вдоль линии должна, по-видимому, искажаться, причем крутизна ее фронта должна расти. На рис. 12 показаны типичные результаты, подтверждающие такое предположение. Нетрудно видеть также, что в каждом периоде синусоидальной волны возникав

Рис. 12. Увеличение крутизны фронтов синусоидальной волны большой амплитуды и образование солитонов при ее распространении вдоль линии.

ют солитоны. Число таких солитонов можно предсказать, исходя из уравнения Шредингера, в данном случае эквивалентного уравнению Матье [34]. Ферми, Паста и Улам [35] исследовали численно систему связанных нелинейных уравнений, в известном смысле близкую к системе (1). Они установили, что исходная синусоидальная волна превращается в сигнал сложной формы, но затем перегруппировывается, превращаясь снова в первоначальную синусоидальную волну (возврат). Это и есть классическое явление возврата Ферми — Пасты — Улама. На рис. 13

показана типичная экспериментальная картина возврата, наблюдавшаяся Хиротой и Сузуки [36].

Возврат можно объяснить как проявление тонкого баланса между дисперсией и нелинейностью. Если возбудить сигнал с частотой ① и волновым числом k, то нелинейные эффекты приведут к генерации гармоник с по и nk(n = 1,2, ...). Однако сигналы с п(о и пй могут не удовлетворять дисперсионному уравнению, и тогда они не являются собственными волнами системы. Однако они могут образовать биения с сигналом

Рис. 13. Осциллограммы, показывающие явление возврата [36]. Последовательность осциллограмм соответствует увеличению расстояния от точки возбуждения. Частота f=0,93 МГцРис. 13. Осциллограммы, показывающие явление возврата [36]. Последовательность осциллограмм соответствует увеличению расстояния от точки возбуждения. Частота f=0,93 МГц

Рис. 13. Осциллограммы, показывающие явление возврата [36]. Последовательность осциллограмм соответствует увеличению расстояния от точки возбуждения. Частота f=0,93 МГц

Рис. 13. Осциллограммы, показывающие явление возврата [36]. Последовательность осциллограмм соответствует увеличению расстояния от точки возбуждения. Частота f=0,93 МГц

частоты по, волновое число которого 々* удовлетворяет дисперсиоцному уравнению. Если выбрать частоту(о, составляющую значительную долю резонансной частоты (Do== l/^/LCs (скажем, (о « а)о / 2), то достаточно исследовать биения только между двумя сигналами (основной частоты и второй гармоники), следуя вычислениям Тапперта и Джадиса [37] и Икези [34], которые рассматривали аналогичное явление в случае ионно-акустических волн в плазме. Названные авторы установили, что длина возврата L пропорциональна д-з Экспериментальное подтверждение этого результата для линии передачи дано на рис. 14. Анализ спектра показал, что максимум второй гармоники наблюдался при х = L/2, а минимум — при х = 0 и х = L.

Если синусоидальный сигнал, приложенный к одному концу линии, медленно модулирован по амплитуде, то должны, по-видимому, возникать нелинейные искажения, так как сигналы с большей амплитудой распространяются быстрее, чем с меньшей. Подобный эффект модуляционной неустойчивости исследовался

теоретически несколькими авторами [20]; было установлено, что поведение волны в этом случае описывается нелинейным уравнением Шредингера. Это урав-

Рис. 14. Зависимость длины возврата 厶 от частоты <о.

Рис. 15. Изменение степени модуляции слабо модулированной начальной волны с расстоянием [17].

Частота з/2п=50 кГц； | /о |«100 мА.

некие допускает распространение солитонов оги* бающей.

Различными авторами было показано, что в нелинейной линии передачи с дисперсией возможны моду*

ляционная неустойчивость и формирование солитонов огибающей [5, 17, 38, 39]】)• Эволюция слабо модулированной исходной волны показана на рис. 15. Коэффициент модуляции вначале экспоненциально нарастает, но затем его рост ограничивается потерями на гистерезис в нелинейных индуктивностях.

Рис. 16. Солитоны огибающей в фиксированной точке линии [17]. Q—частота модуляции огибающей; (до—частота входного сигнала; | /9 I — =100 мА.

При распространении такой амплитудно-модули- рованной волны ее форма меняется. В результате образуется несколько стационарных солитонов огибающей, соответствующих решениям нелинейного уравнения Шредингера (рис. 16).

ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ

Уравнения, описывающие процессы в линиях передачи, рассмотренных в предыдущих параграфах, исследовались на цифровых [40——42] ) и аналоговых [43] ЭВМ. И вообще, впервые солитоны в линиях передачи наблюдались, по-видимому, в численном эксперименте [40]. На рис. 17 показана эволюция первоначально прямоугольного импульса при его движении вдоль линии (по данным работы [40]).

Благодаря возросшей универсальности вычислительных машин и появлению графических дисплеев

Впервые эти эффекты в электромагнитных линиях наблюдались в работах [56, 57]. — Прим. ред.

стало возможным численное исследование многих других явлений, наблюдавшихся в линиях. В качестве

^Входной^ВходнойРис. 17. Распространение прямоугольного импульса в линии (численный эксперимент) [40].Рис. 17. Распространение прямоугольного импульса в линии (численный эксперимент) [40].

^Входной

^Входной

Рис. 17. Распространение прямоугольного импульса в линии (численный эксперимент) [40].

Рис. 17. Распространение прямоугольного импульса в линии (численный эксперимент) [40].

примера на рис. 18 представлен процесс столкновения солитонов, рассчитанный Дайкоку и др. [41]〔)・

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы дали краткий обзор свойств солитонов, наблюдавшихся в экспериментах, в которых аналогом нелинейной среды с дисперсией служили электрические линии передачи. Отметим, что некоторые из описанных здесь явлений экспериментально наблюдались также и в других средах. Этого, конечно, и следовало ожидать.

Можно с уверенностью сказать, что такие исследования будут обобщены на многомерные системы ). Учитывая быстрое усовершенствование техноло-

Время

Рис. 18. Столкновение двух солитонов (численный экспери-мент) [41].

а—'Поцутное, б—встречное столкновение.

гии интегральных микросхем, вполне можно себе представить создание «карманных» экспериментальных солитонных устройств, которые могли бы приобретать те, кто намерен серьезно изучать солитоны.

Автор признателен д-рам Хсяну и Кор пел у за обсуждение темы данной работы и ряду авторов за разрешение воспроизвести их рисунки в данной статье. Работа частично субсидировалась Национальным научным фондом США (Grant ENG 76—15645).

Литература

Scott 4, Active and Nonlinear Wave Propagation in Electronics, Wiley-Interscience, 1970. (Имеется перевод: Скотт 3. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. — М.: Сов. радио, 1977.)

Daikoku К., Mizushima У., Jap. Journ. Арр. Phys., 13, 989 (1974).

Agu М・，Kinoshita Т., Jap. Journ. Арр. Phys., 16, 835 (1977).

Agu M・,1977 (частное сообщение).

Кияшко С. В., Папко В. В・,Рабинович М. И. — Физика плазмы, 1975, т. 1, в. 6, с. 1013.

Lonngren К. Е. ef 山.，IEEE Trans. Plasma Science, PS-2 (1974).

Landauer R., Journ. Appl. Phys., 31, 479 (I960).

Yagi T., Noguchi 4, Electronics Lett, 13, 683 (1977).

Suzuki K・，Hirota R., Yoshikawa K・，Jap. Journ. App. Phys., 12, (1973).

Suzuki K., Hirota R., Yoshikawa K・，Int Journ. Electronics, 34, 777 (1973).

Hirota Suzuki K., Proc. IEEE, 61, 1483 (1973). (Имеется перевод: ТИИЭР, 1973, т. 61, № 10, с. 124.)

Островский Л. А, Папко В. В., Пелиновский Е. Н. — Изв. вузов, Радиофизика, 1972, т. 15, в. 4, с. 580.

Kolosick 上 ％, et % Proc. IEEE, 62, 578 (1974). (Имеется перевод: ТИИЭР, 1974, т. 62, № 5, с. 40.)

Noguchi Д., Electr. Comm, in Japan, 57-A, 9 (1974).

Chu P. L.、Whitbread T., IREE Int Elec. Conv. (Australia) 307 (1975).

Stewart R.呪，Corones /., Rocky Mountain Journ. Math., 8( 1976.

Yagi T., Mog〃c/ii 4, Elec. Comm, in Japan, 59-A, 1 (1976).

Lonngren К. E. et al., Journ. Math. Anal, and Appl., 52, 538 (1975).

Lonngren K・ E・——В кн.:' Backlund Transformations, ed. R. M. Miura, 1976, p. 12.

Scott A. et 出.，Proc. IEEE, 61, 1443 (1973). (Имеется перевод: ТИИЭР, 1973, т. 61, № 10, с. 79.) (См. также приложение 1 к книге Скотта [1].)

Кудрявцев А. £. — Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 22, с. 178.

Kawahara Г, Journ. Phys. Soc. Japan, 33, 260 (1972).

ГopuiKoe К. A , Островский Л. 4 , Папко В. В — ЖЭТФ, 1976, т. 71, с. 585.

Landauer R., IBM Journ. Res. Developm. 4, 391 (I960).

Fallside 尸.，Bickley D T., Electronics Lett., 2, 5 (1966).

Lonngren К. E. et a厶，IEEE Trans. Circuits and Systems, CAS-22, 376 (1975).

Freeman R.方.，Karbowiak 4 E., Journ. Phys. D: Appl. Phys., 10, 633 (1977).

Madsen 0. S., Mei С. C, Journ. Fluid Meeh., 39, 781 (1969).

Tappert F. D., Zabusky M /., Phys. Rev Letters, 27, 1774 (1971).

Johnson R. S. Proc. Cambr. Phil. Soc., 73, 183 (1973).

Богатырев Ю. К., Файнштейн С. М. — Изв. вузов, Радиофизика, 1975, т. 18, № 6, с. 888.

Горшков К・ 4, Островский Л. 4, Папко В. В. — Изв. вузов, Радиофизика, 1973, т. 16 № 8, с. 1195.

Островский Л. 4. — Изв. вузов, Радиофизика 1976, т. 19, с. 661.

Ikezi "., Phys. Fluids, 16, 1668 (1973).

Fermi £, Pasta J. R., Ulam S. M. — В кн.: Collected Works of Enrico Fermi, Vol. II, Univ, of Chicago Press, 1965, p. 978. (Имеется перевод в кн.: 3. Ферми. Научные труды, т. II.— М.: Наука, 1972.)

Hirota R, Suzuki К, Journ. Phys. Soc. Japan, 28, 1366 (1970).

Tappert E D, Judice С. M, Phys. Rev. Letters, 29, 1308 (1972)

Mizumura AL, Noguchi A., Trans. IECE Japan, 58-A, 704 (1975).

Kawata T., Sakai /., Inoue 〃.，Trans. IECE Japan, E-60, 339 (1977).

Benson 尸.4, Last /. D, Zharikov V. /., IEEE Int. Conv. Record, 14, 327 (1966).

Daikoku K, Mizishima У., Tamama T., Jap. Journ. App. Phys., 14, 367 (1975).

Kolosick /. A. et al. — В кн.: Proc. Seventh Asilomar Conf, on Circuits, Systems and Computers, 1973.

Кабанов Д А. Королев Ю. A.——Радиотехника и электроника, 1975, т 20, с. 2316.「

Дополнительный список литературы

Salinger И, Arch. Electrotech., 12, 268 (1923).

Ostrovskii 4, Alta Frequenza, 38, 207 (1969).

Горшков К. Д., Папко В. В — Изв. вузов, Радиофизика, 1977, т. 20, № 3, с. 360.

Горшков К. Д., Островский 刀.А., Папко В. В. — ДАН СССР, 1977, т. 23 5, с. 70.

Степанянц Ю. А. — Радиотехника и электроника, 1977, т. 22? 5 с 995

Landauer R., Ferroelectrics, 10, 237 (1976).

Landauer R., Journ. Phys. D.: Appl. Phys., 10, L193 (1977).

Hirota R., Satsuma /., Progr. Theor. Phys., 55, 64 (1976).

Sakai /. /., Kawata I., Journ. Phys. Soc. Japan, 41, 1819 (1976).

Sakai 丄 /., Kawata T., Journ. Phys. Soc. Japan, 42, 2050 (1977).

Nagashima 〃.，Amagishi У., Journ. Phys. Soc. Japan, 1978.

Yagi T., Watanabe 〃.，Noguchi 4, Proc. IEEE, 64, 702 (1978).

(Имеется перевод: ТИИЭР, 1978, т. 66, № 6, с. 89.)

Литература, добавленная при переводе

Загрядская Л. 〃.， Островский Л. А.——Изв. вузов. Радиофизика, 1968, т, 11, № 6, с. 948.

Островский Л. 4, Соустов Л. В. — Изв. вузов, Радиофизика, 1972 т. 15, № 2, с. 242.'

Hirota R., Satsuma /., Journ. Phys. Soc. Japan, 40, 891 (1976).

Островский JI. 4, Папко В. В., Степанянц Ю. А. — ЖЭТФ, 1980, т. 78, в. 2, с. 831.

Zabusky W.7., Comp. Phys. Comm., 5, 1 (1973).

Гапонов 4.反，Островский Л. Д., Фрейдман Л И. — Изв. вузов, Радиофизика т. 10, № 9—10, с. 1376.

Глава 7

Экспериментальное исследованиесолитонов в плазме

X. Икези )

ВВЕДЕНИЕ

Уединенные волны — это стационарные импульсы (волновые пакеты), распространяющиеся в нелинейной среде с дисперсией. Они сохраняют свою форму благодаря динамическому балансу между нелинейностью и дисперсией. Солитоны — это особые уединенные волны, которые сохраняют свою форму даже при столкновениях друг с другом. В плазме, вообще говоря, существует много нормальных волн, соответствующих различным типам дисперсионных зависимостей. В ходе широких исследований волн в плазме, проводившихся в последнее десятилетие, были выявлены разнообразные механизмы нелинейности. Плазма——одна из самых интересных сред для изучения свойств солитонов. '

Ленгмюровские (плазменные) и ионно-звуковые волны представляют собой электростатические волны (волны пространственного заряда), которые могут распространяться в незамагниченной плазме. Данная глава посвящена экспериментальным исследованиям солитонов, соответствующих этим двум типам волн,

ВОЛНЫ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ

Сначала остановимся на свойствах волн малой амплитуды, распространяющихся в незамагничен- ной плазме. Такая плазма характеризуется двумя параметрами: электронной плазменной частотой Оре ^ (4лпе2/т) ^ и ионной плазменной частотой

со*,三(4冗пе2/Л1)%. Заряд е — заряд протона, т — масса электрона, М -— масса иона, и — концентрация частиц в плазме.

Рассмотрим сначала колебания на частотах, близких к Зре・ Из-за своей большой массы ионы не реагируют на столь высокочастотные колебания и их можно рассматривать как однородную положительно заряженную среду. Если фазовая скорость волны-намного больше тепловой скорости электронов veT = =(兀/加)％, то можно пренебречь резонансным вза・ имодействием волн с частицами и использовать гидродинамическое приближение для описания движения электронов:

-^ + Ve • we = 4-v<p - -^7 V (Гл),(1)

皆■ + V・(5e)=0,(2)

где Te — электронная температура, ve — скорость электронов, пе ——концентрация электронов, а ф — электрический потенциал. ，

Для простоты мы будем рассматривать плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х. В этом случае можно положить д/ду = d/dz = 0, поскольку Пе> ф и ve изменяются только в направлении распространения волны. Кроме того, достаточно учесть только х-компоненту ve скорости ve. Введем бесконечно малые флуктуации пе и б^, определяемые следующим образом:

Пе = П0+ 亢 е， Ve = 〃・(3)

Линеаризуя уравнения (1) и (2), получаем

dt — m дх тп0 дх *()

券+价霊=о・(5)

Исключив ve из уравнений (4) и (5) и выразив <р через пв с помощью одномерного уравнения Пуассона

W = 4兀е (〃е — 〃)W = 4兀е (〃е — 〃)(6)(6)

W = 4兀е (〃е — 〃)

W = 4兀е (〃е — 〃)

(6)

(6)

получим уравнение для пе

⑺⑺

⑺

⑺

Это уравнение описывает ленгмюровскую волну. Если рассмотреть монохроматическую волну с частотой 3 и волновым числом /г, так что пе ~ ехр(/% — i^t), то из уравнения (7) следует дисперсионное уравнение

d = %+奴吟•⑻

Оно показывает, что ленгмюровские волны могут распространяться только при(о》(Ор?. Фазовая скорость m/k очень велика, когда ① ~(о“，но при(о > ^ре она сравнима с тепловой скоростью электронов. Однако при (оД ~ VeT уравнения (1) и (2) неприменимы, поскольку взаимодействие волны с частицами осложняется резонансными эффектами (затухание Ландау) [1].

Рассмотрим теперь ионно-звуковые волны. Поскольку частота таких волн меньше (о* в волновом .движении участвуют не только электроны, но и ионы. Ионно-звуковая волна сильно затухает, если не выполняется условие Г,《Те. Причину этого мы выясним позже, а сейчас положим П = 0. При рассмотрении волны низкой частоты можно пренебречь инерцией электронов. Полагая /и = 0 и интегрируя уравнение (1), получаем распределение Больцмана

пе = по ехр (-у^) « ^ (1 + -^-).(9)

Линеаризуем гидродинамические уравнения для ионов:

(Ю)(И)концент-(12)(Ю)(И)концент-(12)dv{ dv( е d(p ~ ~S — АГ дх *

(Ю)

(И)

концент-

(12)

(Ю)

(И)

концент-

(12)

дп, д и найдем соотношение между возмущенной рацией ионов 切 и потенциалом ср:

d2ni enQ @2中

Объединив уравнения (6), (9) и (12), можно показать, что ионно-звуковые возмущения описываются уравнением

B - % k - %。丽前=°， (⑶

где cs = (Те/Му^ ——скорость ионно-звуковой волны, а Лр ^ (Те/4лие2),/2 ——дебаевский радиус экранирования. Из уравнения (13) следует дисперсионное урав^

(14)(14)нение

(14)

(14)

1 + ^2Лр •

Фазовая скорость ионно-звуковой волны приблизительно равна cs и постоянна, если ^2Лр < 1. Волна начинает испытывать дисперсию при 々统?)〜1. Если ионная температура 7\ сравнима с Т®、то тепловая скорость ионов (7\/М)% становится сравнимой с фазовой скоростью, приблизительно равной cs. Поэтому возникает сильное затухание Ландау. Легко показать, что если /г2Лр < 1, то

ni = fie= и. (15)

СХЕМА ЭКСПЕРИМЕНТА

Наши эксперименты проводились в плазме электрического разряда в аргоне при давлении (1——5) • 10-4 мм рт. ст. Концентрация и такой плазмы равна 〜109 см~3, ее электронная температура Тв равна 〜3 эВ. Ионная температура Т» такой плазмы обычно намного меньше Те и составляет —0」эВ. При таких параметрах плазму можно считать бесстолкновительной :средняя длина свободного пробега электронов и ионов больше, чем размеры области, занимаемой плазмой. Длина ионно-звуковой волны в области частот, лежащей ниже ионной плазменной частоты о)р/2冗〜1 МГц, больше дебаевского радиуса экранирования Xd = 4-10~2 см. Типичное значение ионно-звуковой скорости таково: cs = 2-105 см/с.

Для возбуждения волн большой амплитуды мы собрали установку, изображенную на рис. 1 [2]. Здесь

имеются две вакуумные камеры, разделенные металлической сеткой. Путем ионизации остаточного газа электронами, эмиттируемыми системой катодов, в обеих камерах создается плазма. Между плазмой, находящейся в одной камере, и плазмой в другой камере может быть создана разность потенциалов, по-

Рис. 1. Плазменная установка с двумя электрически изолированными камерами и отдельными источниками питания.

скольку камеры разделены сеткой, находящейся под отрицательным потенциалом. Потенциал сетки таков, что поток электронов плазмы из одной камеры в другую отсутствует и электрическая проводимость вблизи сетки невелика. Ионы же свободно проходят сквозь сетку туда и обратно.

Для возбуждения плоских ионно-звуковых волн на камеру возбуждения подавалось переменное напряжение. Если, например, обе камеры находятся под одним и тем же постоянным потенциалом, то пе- риодическийх возбуждающий сигнал (р0 cos со/, поданный на камеру возбуждения, вызывает в обеих камерах периодически меняющийся поток ионов с максимальной энергией е(р(). Этот поток нейтрализуется электронами рлазмы на расстояниях, определяемых электронным давлением. Вблизи же сетки существует остаточное электрическое поле, которое передает импульс ионам и при условии, что скорость потока меньше с$, возбуждает в плазме настоящую ионно-звуковую волну. Локальные возмущения плотности, вызываемые волной, обнаруживаются путем

измерения электронного тока, пропорционального пв '[формула (15)], на зонд, имеющийся в камере детектирования. Диаметр и длина области, занимаемой плазмой, составляют 40 см, что намного больше длины волны.

ИОННО-ЗВУКОВЫЕ СОЛИТОНЫ

Солитоны сохраняют свою форму благодаря динамическому балансу между нелинейностью и дисперсией. Посмотрим сначала, каковы эффекты дисперсии ионно-звуковых волн, описываемых уравнениями (13) и (15). Рассмотрим волну в виде гладкого импульса шириной L. Если L》3, то в уравнении (13) остаются лишь два первых члена. Тогда его решение имеет вид

й = Mi (% — cst) + 做(％ + с』)，(16)

откуда ясно, что форма импульсной волны при распространении не меняется. Если же L ~ Лр, то волна не будет стационарной, поскольку дисперсия, обусловленная третьим членом уравнения (13), приводит к изменению ее формы.'

Чтобы проследить за изменениями волны, приводящими к ее расплыванию, рассмотрим волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х. Если произвести приближенную замену d/dt р—csd/dxt то уравнение (13) примет вид

（击备+言+ ；速备）亢=°，（⑺

При начальном условии 力=〃()6(%)九口 решение этого уравнения выражается через функцию Эйри [3]:

"品方 Ai[*(蟲)»(18)

®то означает, что узкий начальный импульс принимает форму затухающих осцилляций, фронт которых движется со скоростью с§.

На рис. 2 показана эволюция ионно-звуковОго импульса малой амплитуды, наблюдавшегося в установке, описанной в § 3. Измерения возмущений плотно-

сти на разных расстояниях от источника показали, что в случае узкого начального импульса (верхняя осциллограмма) действительно возникают осцилляции позади фронта импульса. Выражение (18) хорошо описывает наблюдаемую эволюцию волны. Заметим, что такая волна не стационарна.

Рис. 2. Ионно-звуковая волна, возникающая при импульсном возбуждении.

Влияние дисперсии выражается в появлении осциллирующего хвоста..

Если же амплитуда волны достаточно велика, то ее форма оказывается иной вследствие нелинейных эффектов. Как будет показано в дальнейшем, участок волны с большей концентрацией электронов,распространяется быстрее участка с меньшей концентрацией, и в результате передний фронт импульса становится круче. Увеличение крутизны волнового фронта привод дит к появлению дисперсионных эффектов, так как последний член в уравнении (13) или (17) становится достаточно большим. Таким образом, если амплитуда волны велика, необходимо рассматривать как нелинейные, так и дисперсионные эффекты, даже если начальный импульс достаточно широк. Экспериментальные данные, демонстрирующие этот эффект, представлены на рис. 3 [4]. Фронт широкого вначале импульса становится круче, и затем импульс распадается на большое число коротких импульсов. Как будет показано ниже, эти импульсы представляют собой солитоны.

Уошими и Таниути вывели уравнение Кортевега — де Вриза, описывающее распространение ионно>зву- ковой волны:

[*宗+ (1 +*)^ +扌爲备]亢=6 (19)

Это уравнение аналогично уравнению (17), но в нем появился нелинейный член, ответственный за увеличе*

Рис. 3. Типичная зависимость возмущения электронной концентрации от времени на разных расстояниях от источника.

На первой сверху осциллограмме показана кривая разности потенциалов между двумя камерами. Параметры плазмы: Т&^2эВ» Г^в=0,1 эВ, nfl»5,0«109. Длина волны колебаний приблизительно равна 10入° Пики, появляющиеся при х=7 см и л»8 см, соответствуют солитонам.

ние крутизны фронта. Он радикально изменяет характер процесса и приводит к существованию стационарного решения в виде солитона

Я = би sch2 ^ 土^出)+ 亢8, (20)

где

и =

1 6九

3 л。

•) + & 器

九о

6 ди *

(21)

Все пики на нижнеи осциллограмме рис. 3 удовлетвоВсе пики на нижнеи осциллограмме рис. 3 удовлетво

Все пики на нижнеи осциллограмме рис. 3 удовлетво

Все пики на нижнеи осциллограмме рис. 3 удовлетво

ряют соотношениям (20) и увеличении амплитуды 6м ширийа пика D уменьшается, а скорость и возрастает [4]. Мы видели, что как нелинейность, так и дисперсия изменяют форму волны. Однако сочетание этих эффектов приводит к существованию стационарного импульса —солитона. Отметим, что мы обнаружили слабые всплески перед солитоном (рис. 3). Как видно из уравнения (9), ионно-звуковые импульсы плотности связаны с импульсами потенциала. Потенциал отражает ионы, которые накапливаются перед фронтом. Отражение ионов — главная причина затухания волны.

наковой формы. Число солитонов возрастает с увели* чением амплитуды или длительности возбуждающего импульса. Это видно из рис. 4, а, где показанонаковой формы. Число солитонов возрастает с увели* чением амплитуды или длительности возбуждающего импульса. Это видно из рис. 4, а, где показаноСолитоны образуются при любой форме начального импульса сжатия. На рис. 4, б показано, как три разных начальных импульса превращаются в волны почти оди-

наковой формы. Число солитонов возрастает с увели* чением амплитуды или длительности возбуждающего импульса. Это видно из рис. 4, а, где показано

наковой формы. Число солитонов возрастает с увели* чением амплитуды или длительности возбуждающего импульса. Это видно из рис. 4, а, где показано

(21) в том смысле, что при

Рис. 4. Импульсы потенциала возбуждения (осциллограммы Л., 1 В/деление) и возмущенная электронная концентрация п (осциллограммы В.).

а —отклики на импульсы синусоидальной формы (% = 8 см, 3pj/2冗 о e 2,0 МГц); б —отклики на три импульса разной формы (%=11 см).

соотношение между возбуждающим импульсом и видом возмущения электронной плотности при х = =8 см; ширина импульса служит параметром. На двух верхних осциллограммах видно, что при полной ширине возбуждающего импульса, равной 5 мкс, возникают пять солитонов. Более узкие импульсы возбуждения порождают меньшее число солитонов, как это видно из других осциллограмм.

Рис. 5. Зависимость числа солитонов от 唠А при следующих граничных условиях: 2 =(业/2) (1 + cos (лт/Д)] при |т/Д | < 1 и $ = 6 при I т/Д IL'

Черточки — теоретические значения, вычисленные по формуле (22), точки 一 экспериментальные данные.

Гарднер и др. [6] установили следующее свойство волн, описываемых уравнением (19): волновое возмущение й(х, 0 эволюционирует таким образом, что собственное значение ц, соответствующее энергетическому уровню связанного состояния, найденное из уравнения

+ 击 I"山L 一 卩]/(X)= 0, (22)

постоянно. Это означает, что число дискретных энергетических уровней не изменяется при изменении й со временем. Легко показать, что если подставить в уравнение (22) солитон, заданный уравнениями (20) и (21), то мы получим одно связанное состоя-

ние. Поскольку любая локализованная волна распадается на солитоны, число связанных состояний, найденных по начальному возмущению n{x,t = 0), равно числу возникающих солитонов. На рис. 5 представлена зависимость предсказанного таким образом числа солитонов от нормированной ширины Am L/册 и максимальной амплитуды Зо 三亢макс/〃о начального

Рис. 6. Взаимодействие двух солитонов.Рис. 6. Взаимодействие двух солитонов.taQHOdEHauc BnsrHdEHQilHdtaQHOdEHauc BnsrHdEHQilHd

Рис. 6. Взаимодействие двух солитонов.

Рис. 6. Взаимодействие двух солитонов.

taQHOdEHauc BnsrHdEHQilHd

taQHOdEHauc BnsrHdEHQilHd

а—два солитона распространяются в одном направлении Взаимодействие представлено в движущейся системе отсчета, в которой меньший солитон первоначально неподвижен. Разница во времени между соседними кривыми составляет 10 мкс. б —два солитона, движущиеся в противоположных направлениях, представлены в лабораторной системе отсчета.

импульса. Теория неплохо согласуется с экспериментальными данными.

Перейдем теперь к другим интересным свойствам солитонов, проявляющимся во взаимодействии между ними и в явлении возврата. На рис. 6 показано взаимодействие пары солитонов в следующих двух случаях: а) два олитона с разными амплитудами распространяются в одном направлении, и один из них догоняет другой, б) два солитона распространяются навстречу друг другу. В случае《а》последовательно возбуждались два солитона, причем сначала генерировался солитон меньшей амплитуды. Поскольку солитон с большей амплитудой распространяется быстрее, он догоняет мень-

ший солитон. Будем рассматривать взаимодействие в движущейся системе отсчета, в которой меньший импульс первоначально неподвижен. Разница- во времени между соседними кривыми на рис. 6,а составляет

、 飞 ;Ч 气>ч?

/ '小 w? w

終終…g…理…g…理/см11ШPacm^ue 物 um^W№t/см11ШPacm^ue 物 um^W№t

終

終

…g

…理

…g

…理

/см11Ш

Pacm^ue 物 um^W№t

/см11Ш

Pacm^ue 物 um^W№t

Ряс. 7. a — изменение формы волны при синусоидальном воз-буждении.

Наблюдается возврат на расстоянии %=9 см.

6 — пространственное изменение амплитуды каждой гармоники.сD/2Л=0,35 МГц;(0""2元=2,0 МГц.

10 мкс. По мере того как импульс большой амплитуды догоняет импульс малой амплитуды, амплитуда последнего возрастает, а амплитуда первого импульса уменьшается. В конце концов амплитуда переднего импульса становится больше, чем у следующего за ним. Эти закономерности взаимодействия солитонов описываются уравнением (19) [6]. Разница скоростей солитонов гораздо меньше скорости с$, а поэтому взаимодействие продолжается довольно долго, в результате чего амплитуды солитонов в эксперименте заметно затухают, В случае《6》нелиней-

ные эффекты при взаимодействии вообще не обнаруживаются. Этот случай не описывается уравнением (19), так как оно относится только к волнам, бегущим в одном направлении.

Явление возврата [7—9] показано на рис. 7,а. Синусоидальная вначале волна при распространении обостряется, и на расстоянии х = 5 см в ней образуются по два солитона в каждом периоде. При х = 9 см восстанавливается первоначальная синусоида, и сигнал снова начинает обостряться. На рис. 7,6 показано, как изменяются с расстоянием амплитуды фурье-компонент основной частоты и высших гармо・ ник. Вначале амплитуда волны основной частоты затухает, а второй гармоники растет. Однако при х > > 5 см основная волна растет, а вторая гармоника затухает и совершенно исчезает при % = 9 см, где и наблюдается возврат волны к исходному состоянию. При образовании двух солитонов в каждом периоде первоначально синусоидальной волны эффект возврата можно объяснить на основе теории связанных волн

邑9].

Мы рассмотрели только ионно-звуковые волны, однако почти все волны, характеризуемые дисперси* онным уравнением вида

(23)(23)G)2G)q

(23)

(23)

/ 一庐+储"

подчиняются уравнению Кортевега — де Вриза. К ним относятся, например, волна Трайвелписа —— Гулда, поверхностная волна на плазменном цилиндре, магнитазвуковая волна. Насколько известно автору, солитоны типа КдВ были получены экспериментально только для волны Трайвелписа — Гулда [10, 11] и ионно-звуковой волны.

с несущим волновым числом /го > 0 и несущей частотой со。> 0. Предполагается, что огибающая 中 есть медленно меняющаяся функция переменных х и t. Допустим, что нам известна нелинейная дисперсионная зависимость

co = co(fe, 11|)I). (25)

Изменение амплитуды волны -ф приводит к изменению ее фазы и появлению девиаций А(о = з ——(оо, \k = k ——瓦 и р =屮——0. Чтобы получить уравнение, описывающее эволюцию 屮，разложим правую часть уравнения (25) в ряд вблизи точки cd =@о, k = k0 и 屮=0. С учетом равенств Д(ог|)= id^/dt, А/г屮= ?= —id^/dx и 6(o(|p|) = |2|ds/d|Wl получим нелинейное уравнение Шредингера

力霊 + •% 察+ а 礬一6з(15)2 = 0， (26)

где vg — групповая скорость, а а = (l/2)dvg/dk. Функцией 6а)(|г|)|), зависящей от типа нелинейного процесса, определяется устойчивость волны. В этом па* раграфе мы представим результаты исследования нелинейной ионно-звуковой волны, описываемой урав< нением (26).

Прежде чем переходить к экспериментальным дан* ным, исследуем основные свойства решений уравнения (26). Выбрав систему отсчета (占，т), определенную следующим образом:

& = % — т = /, (27) перепишем уравнение (26) в виде

'嗡 + а 强 一 6о)(I 5) 2 = 0・ (28)

Предположим, что при т (三/) = 0 мы возбуждаем амплитудно-модулированную волну, в которой -ф — настолько медленно меняющаяся функция переменной Е, что можно пренебречь вторым членом в уравнении (28). В отсутствие диссипации 6(о есть действительная функция, и интегрирование уравнения (28) дает

屮=耽(*) exp (Z0), 8 = — 6s ⑶ т, (29)

где 屮0(自)=р(т = 0,自).Отсюда ясно, что нелинейный член в уравнении (28) вызывает модуляцию волнового числа (или фазы) в амплитудно-модулирован- ной волне. Комбинация выражений (24) и (29) дает локальное волновое число

Это выражение показывает, что девиация частоты также пропорциональна т. Если d(6(o)/cI\^q\ < 0, то при。|叫/兆>0 волновое число возрастает, а при 。|叫/展之 0 убывает. Хотя при。怖|/* = 0 модуляция волнового числа отсутствует, имеет место сдвиг частоты со = со。+ 6(о, зависящий от 巾。.Поэтому наличие нелинейного члена в уравнении (28) приводит к зависимости фазовой скорости (о)0 + ba))/kQ от амплитуды.

Влияние дисперсионного члена в уравнении (28) на решения последнего хорошо известно. Обычно оно состоит в расплывании волнового пакета. Поскольку для ионно-звуковой волны выполняется неравенство а V 0, в системе отсчета (三,т) низкочастотные компоненты (со V со。)опережают волну несущей частоты, а высокочастотные (о > о。)запаздывают по отношению к ней. Таким образом, совместное действие дисперсионного эффекта и нелинейной частотной модуляции [формула (30) ] ускоряет расплывание волнового пакета, если 56(о/5|г|)| < 0. Если же d6(o/d|p| > > 0, то нелинейность препятствует дисперсионному расплыванию и волновой пакет сужается, т. е. имеет место модуляционная неустойчивость.

* На рис. 8 показана наблюдавшаяся экспериментально эволюция ионно-звукового волнового пакета большой амплитуды. Здесь по горизонтальной оси откладывается 《бегущая》 координата (x/ug)——t. Важной особенностью такого процесса является то, что при распространении волны модулируется ее частота. Локальное волновое число уменьшается справа от центра волнового пакета и возрастает слева от него, В дальнейшем по мере распространения волновой пакет расширяется и распадается на два пакета. Один из них имеет более низкое несущее волновое число н

распространяется быстрее другого, имеющего более высокое волновое число. Рис. 8 подтверждает, что на эволюцию волны оказывают влияние как нелинейная

а

Расстояниемсм

8oHQdEHaReviTl*nxdEHaH:gN

-<Ш1^

2

-^ОВШМ>^，

^УШМ^иА^У^ДДДг §

IU—20лг»с—J

б，，

Рис. 8. Зависимость возмущения электронной концентрации от (无/咽—/ на разных расстояниях от источника.

(о0/2л=500 кГц, Зр〃2л а 1 МГц, 丁丿、々 15, %=1,7 • 1(К см/с

автомодуляция, так и дисперсия групповой скорости. Из приведенных экспериментальных данных следует, что d(6s)/d| 21Vo и а < 0, т. е. ионно-звуковая волна не испытывает модуляционной неустойчивости. Количественные измерения нелинейного сдвига частоты приводят к соотношению

Оо)= Р1 屮化(31)

показывающему, что изменение фазовой скорости обусловлено захватом ионов во впадинах волнового потенциала [12].

Если представить 屮 в форме

3 = р%ехр{4 嚟•卜(32)

то действительная и мнимая части уравнения (28) будут уравнениями для интенсивности р и эйконала о,

Возбуждающий сигнал, 1,5В/дел.

Время, 5с/дел..

Рис. 9. Эволюция модулированной волны.

При х=9 см в каждом периоде модуляции образуются два «темных» солитона огибающей.

математически близкими к уравнению непрерывности и уравнению движения в газодинамике. Конечное возмущение интенсивности р = р — р0 изменяется в соответствии с уравнением КдВ [13]

000015U+00 а2 。30

丽+ u±毎^7 5+ 匹再=а (33)

% = 土(2。 帆呼.

Покажем теперь, что возмущения интенсивности обостряются и образуют солитоны подобно длинным

ионно-звуковым волнам； описанным в § 4. Поскольку нелинейный член отрицателен, должны возникать солитоны затемнения, соответствующие уменьшению интенсивности.

На рис. 9 показана соответствующая эволюция модулированной волны. Фронт волны, периодически модулированной по амплитуде, обостряется, и в каждом периоде модуляции образуются два солитона затемнения. Более детальные экспериментальные исследования показывают, что поведение возмущений интенсивности подобно эволюции ионно-звуковых волн, описанной в § 4. Однако столкновительное затухание волны препятствует образованию этих солитонов.

СОЛИТОНЫ В СВЯЗАННЫХ ВОЛНАХ

Рассмотрим взаимодействие ионно-звуковой и электронной плазменной волн достаточно большой амплитуды. Предположим, что в однородной плазме имеется понижение плотности. Область понижения плотности может захватить электронную плазменную волну частоты со。, если электронная плазменная частота （о° превышает со0 в однородной части плазмы, но на дне области понижения плотности с^ V з» Такой захват происходит, потому что электронная плазменная волна может распространяться только при условии ①。》 ^ о）р, как это видно из уравнения （8）. Если электрическое поле Е электронной плазменной волны велико, то пондеромоторное давление （соре/（оо）2|Е|2/8л [14] выталкивает электроны из области пониженной плотности, так что распределение ионов меняется из-за воздействия ВЧ-поля. .

Учет пондеромоторного давления приводит уравнение （19） к виду

[击鳥+ （1 +窑）％+^总禽]★=

=—診（覷届）• （34）

Это уравнение справедливо, если возмущения плотности распространяются приблизительно с иоНно-звуко— вой скоростью. Высокочастотное же электрическое

поле можно описать уравнением

[京 + 鳍(1+勻-3嗫若]e = 0,(35)

в котором учитывается влияние низкочастотных возмущений через изменение плазменной частоты в уравнении (7). Стационарные решения связанных уравне・ ний (34) и (35) выражаются через эллиптические

Рис. 10. Кривые возмущения электронной плотности л/л0 при возбуждении импульсом разрежения.а —без накачки; 6 —с накачкой (Е =9 В/см, (оэ/2л=330 МГц) Глубокие ямки плотности представляют собой солитоны в связанных волнах.Рис. 10. Кривые возмущения электронной плотности л/л0 при возбуждении импульсом разрежения.а —без накачки; 6 —с накачкой (Е =9 В/см, (оэ/2л=330 МГц) Глубокие ямки плотности представляют собой солитоны в связанных волнах.

Рис. 10. Кривые возмущения электронной плотности л/л0 при возбуждении импульсом разрежения.

а —без накачки; 6 —с накачкой (Е =9 В/см, (оэ/2л=330 МГц) Глубокие ямки плотности представляют собой солитоны в связанных волнах.

Рис. 10. Кривые возмущения электронной плотности л/л0 при возбуждении импульсом разрежения.

а —без накачки; 6 —с накачкой (Е =9 В/см, (оэ/2л=330 МГц) Глубокие ямки плотности представляют собой солитоны в связанных волнах.

функции Якоби [15]. Их частным случаем являются солитонные решения

自=-6〃 sch2 (3 -^绿一),

E = Em sch ("^^ )th (^^) exp (—心of) (36) co следующим соотношением между амплитудой и шириной солитона:

% = 4n以叫6九，若Н(2!^)"・(37)

Проверка этих теоретических результатов проводилась на установке с двумя плазменными камерами.

Сначала возбуждался ионно-звуковой импульс разрежения. На рис. 10, а представлены кривые плотности плазмы в волне через каждые 5 мкс после возбуждения импульса; волна распространяется слева направо с нонно二звуковой скоростью. Далее мы создавали при помощи конденсатора однородное осциллирующее

Рис. 11. Зависимость возмущения электронной плотности от времени.

а—экспериментальная (выходной сигнал интерферометра); б—теоретическая.

электрическое поле (накачки) в направлении распространения ионно-звуковой волны. Если менять частоту колебаний этого поля так, чтобы она достигала значения электронной плазменной частоты на дне импульса разрежения, то поле накачки создает очень глубокую «ямку» плотности (рис. 10,6). Ямка плотности движется с ионно-звуковой скоростью; ее глубина достигает 20% невозмущенной плотности. Интенсивность поля £2 в ямке плотности становится на порядок больше, чем вне ямки, что указывает на захват ВЧ-поля.

На рис. 11, а показаны осциллограммы возмущений плотности (осциллограмма в центре) и изменений амплитуды захваченного ВЧ-поля, полученные при помощи ВЧ-интерферометра. Для сравнения на рис. 11,6 представлены теоретические кривые, соответствующие формулам (36). Налицо хорошее согласие между

теорией и экспериментом в отношении формы возмущений. Глубину ямки плотности би можно регулировать, изменяя напряженность поля накачки. Изменяя 6п этим способом, мы подтвердили соотношение ме+ жду О и 6«, а также линейное соотношение между Еп и 6п, соответствующее уравнению (37) [16].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы описали три типа солитонов, наблюдавшихся в плазме. Все эти солитоны существенно одномерны. Однако во многих случаях нелинейные одномерные структуры (плоские солитоны) неустойчивы по отношению к возмущениям в перпендикулярном направлении. Следовательно, хотя одномерная теория пред、 сказывает существование солитонов, в действительности они могут и не появиться. Один из примеров, хорошо изученных теоретически, — это солитоны в связанных волнах, распространяющиеся с гораздо меньшей скоростью, чем ионно-звуковые волны. Вол・ ны такого типа сужаются до тех пор, пока не становятся существенными нелинейные эффекты и эффекты дисперсии высшего порядка. Во всяком случае, дву- и трехмерные нелинейные волны следует считать необычайно интересной темой будущих эксперимент тальных и теоретических исследований i)；

Литература

Ландау Л. Д. Собрание трудов. Т. 2. — М.: 1969, с. 7. (См. также: ЖЭТФ, 1946, т. 16, с. 574.)

Taylor R. /., MacKenzie К. R., Ikezi 〃.，Rev. Sci. Inst 43, 1675 (1972). (Имеется перевод: ПНИ, 1972, т. 43, № 11, с. 124.)

Ikezi "., Kiwamoto У., Lonngren К. Е, Burde С. М., Hsu- ам И. С. S., Plasma Physics, 15, 1141 (1973).

Ikezi Н., Taylor R. /., Baker D. R., Phys. Rev. Letters, 25, 11 (1970).

Ikezi "., Phys Fluids, 16, 1668 (1973).

Gardner G. S., Green /. M., Kruskal M. D., Miura R., Phys.

Rev. Letters, 19, 1095 (1967).

Об исследовании ленгмюровских солитонов в движущейся замцгниченной плазме см, работы [18, 19]. — Прим, ре。，

Zabusky М J. — В кн.: Proc. Symp. on Nonlinear Partial Differential Equations, ed. W. F. Ames, Academic Press, New York, 1967, p 223

Fermi £., Pasta /, Ulam S. — В кн.: Collected Works of Enrico Fermi, V. II, Univ, of Chicago Press, 1965, p. 978. (Имеется перевод: Ферми Э. «Научные труды》.Т. II — М.: Наука, 1972.)

Zabusky У, К us%l М , Phys. Rev. Letters, 15, 240 (1965).

Tappert 户 D., Judice С. M, Phys. Rev. Letters, 29, 1308 (1972).

Ikezi "., Barrett P. / White R. 6, Wong А. У., Phys. Fluids, 14, 1997 (1971).

Saeki A, Journ. Phys. Soc» Japan, 35 251 (1973).

Sugai H., Hatakeyama R.t Saeki K., Inutake M, Phys. Fluids, 、19, 1753 (1976).'

Taniuti 7., Yajima M, Journ. Math. Phys., 10, 1369 (1969).

Ландау Л. Д, Лифшиц £. M. Электродинамика сплошных сред. — M.: Физматгиз, 1959.

Nishikawa К., Hojo 〃.，Mima К., Ikezi 〃.，Phys. Rev. Letters, 33, 148 (1974).

Ikezi 〃.，N sh.kawa K・，Hojo "., Mima К. — В кн: Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research, v II, Int. Atomic Energy Agency, Vienna, 1975, p. 609.

18*.Антипов C 8., Незлин M. В., Снеткин £ ", Трубников 4 С. —ЖЭТФ, 1978, т. 74, с. 965; 1979, т. 76, с. 1571.

19*. Антипов С. В., Незлин М 8., Трубников А. С. — ЖЭТФ, 1930, т. 78, с. 1743.

Глава 8

Флюксоны в распределенныхджозефсоновских контактах

Р. Парментье )

ВВЕДЕНИЕ

Распределенный джозефсоновский контакт представляет собой одну из многих физических систем, описываемых (по крайней мере приближенно) синус- уравнением Гордона и, следовательно, характеризуемых (тоже приближенно) возможностью существования солитонов [1]. В данном случае физическим объектом, соответствующим общему математическому понятию солитона, является квант магнитного потока, или флюксон. Флюксоны удивительно устойчивы, их можно хранить, перемещать в нужном направлении и приводить во взаимодействие с электронными приборами, благодаря чему флюксон в принципе может служить битом в электронных системах обработки информации, а поскольку подобные операции можно проводить с исключительно высокими скоростями и с чрезвычайно малыми затратами энергии, такая мысль представляется весьма заманчивой сточки зрения техники [2——4]. Кроме того, движение флюксонов в джозефсоновских контактах сопровождается СВЧ-излучением, и это позволяет использовать такие контакты в генераторах и детекторах для той части электромагнитного спектра, для которой сейчас пригодны лишь очень немногие устройства [5, 6].

В своем простейшем виде джозефсоновский контакт——это сандвич, составленный из двух слоев сверхпроводящего металла, разделенных тонким диэлектрическим туннельным барьером (рис. 1). Такие си-

стемы изготавливаются методом вакуумного напыления, который применяется и при изготовлении пленочных интегральных схем [7]. Толщина сверхпроводящих слоев обычно равна нескольким тысячам анг-

Рис. 1. Джозефсоновский туннельный контакт (схематически).

Z — распределенный ток смещения /旦；2—барьер; 3—сверхпроводники.

стрем, толщина барьерного слоя, чаще всего окисла нижнего металла, — порядка 25 А, а поперечные размеры контакта, изготовленного обычным фотолито- графским методом, могут составлять от нескольких микрометров до десятков сантиметров (если придать контакту форму меандра). Поскольку при изготовлении джозефсоновских контактов и обычных интегральных схем применяется один и тот же метод нане-

сения рисунка, максимальная плотность упаковки элементов в этих двух технологиях примерно одинакова. Если же можно было бы наносить более тонкие линии, то вследствие чрезвычайно низких уровней диссипации системы на джозефсоновских контактах существенно обогнали бы другие технологии по плотности упаковки [8, 9].

В данной главе мы выведем синус-уравнение Гордона для джозефсоновских контактов, приведем его модификации, учитывающие влияние диссипации и тока смещения, и проиллюстрируем некоторые из важнейших свойств решений этих уравнений. Особое внимание мы уделим решениям, отвечающим стационарному распространению бегущих волн в неограниченном одномерном контакте и стоячим волнам в ограниченном одномерном контакте. Хорошо известные методы решения (например, метод обратной задачи рассеяния) будут лишь упомянуты, поскольку они широко представлены в литературе (прекрасное общее введение можно найти в обзоре [10]). Больше внимания мы уделим менее распространенным методам, таким, как подстановка Лэмба, а также более или менее специальным приемам, применяемым для учета диссипативных эффектов. Следующая глава, написанная Мак-Лафлином и Скоттом, завершит эту панораму детальным обсуждением общего метода теории возмущений, предназначенного для описания влияния различных типов структурных возмущений.

ВЫВОД УРАВНЕНИЙ

Точечные контакты

В джозефсоновских контактах с малыми поперечными размерами (что значит «малые», мы вскоре поясним) и однородным туннельным барьером электрические величины в первом приближении подчиняются уравнениям

/ = /о sin ср, (1а) 2л

где / ——туннёльный сверхпроводящий ток через изолирующий барьер, /о — характерный параметр (назьь ваемый критическим постоянным током Джозефсона), который зависит от используемых материалов, геометрии контакта и от темлературы, ср — относительная разность фаз между макроскопическими квантовыми волновыми функциями двух сверхпроводников, / — время, V — разность потенциалов на контакте, а Фо = =h/2e — квант магнитного потока (九 ——постоянная Планка, е — заряд электрона). В практической системе единиц величина Фо равна приблизительно 2・10~15 в-с, что дает представление о Порядках величин, характерных для систем обработки информации на флюксонах. Очень простой и одновременно элегантный вывод уравнений (1) дан Фейнманом и др. [11]. Более детальный анализ [12^ 13] показывает, что в уравнении (1а) величина /0 зависит также и от о, но на данном уровне точности этим эффектом обычно пренебрегают.

Из уравнений (1а) и (16) сразу следуют два важных свойства джозефсоновских контактов. 1. Ток возможен даже в отсутствие напряжения (равенство d^/dt = 0 означает ф = const, но не обязательно Ф = 0). Это так называемый стационарный эффект Джозефсона. 2. При постоянном напряжении возникает переменный сверхпроводящий ток с частотой 484 МГц/мкВ, как это видно из уравнения (16). Это так называемый нестационарный эффект Джозеф* сона.

Б. Распределенные контакты

Более интересной конфигурацией является та, в которой, как показано на рис. 1, протяженность контакта, скажем, в направлении у《мала》，а в направлен нии % «велика». Чтобы описать электрические свойства такого распределенного «одномерного» контакта, необходимо объединить уравнения (1) с уравнениями Максвелла, описывающими сверхпроводящий полосковый резонатор [14]. Эквивалентная схема такой системы в первом приближении представляет собой линию передачи со структурой, показанной на рис. 2.

В этой линии индуктивность 厶(на единицу длины) и емкость С (на единицу длины) даются формулами

l=請3 + 九1 +九 2),、(2а)

e=绊_,(2б)

где цо и 8о~ магнитная и диэлектрическая проницаемости свободного пространства,况一относительная диэлектрическая проницаемость барьерного слоя, W — ширина контакта в направлении у, d — толщина

Рис. 2. Эквивалентная схема джозефсоновского контакта без потерь, рассматриваемого как полосковая линия.

、 Элемент J описывается уравнениями (1).

барьерного слоя в направлении 2, Xi, 2 — лондоновские глубины проникновения для двух сверхпроводников. Элемент / описывается уравнениями (1), в которых, однако, теперь / и /0 имеют размерность тока на единицу длины. В этой модели предполагается,что 1) толщина каждого сверхпроводника велика по сравнению с соответствующей лондоновской глубиной про-- никновения, 2) характерные масштабы изменения физических и электромагнитных параметров таковы, что граничными эффектами можно пренебречь, 3) можно пренебречь всеми видами диссипации.

Лондоновская глубина проникновения — это обычно величина порядка 500 А. Так как величина d (рис. 1) в типичных случаях равна 25 А, из уравне^ ния (2) следует, что магнитная толщина полоскового джозефсоновского контакта гораздо больше его элек* трической толщины. Кроме того, так как скорость распространения электромагнитных волн в такой по^ лосковой линии равна (£С)-%, это устройство можно считать замедляющей системой [14],

Основные уравнения для эквивалентной схемы рис. 2 нетрудно получить, записав законы Кирхгофа:

^_^ ^ ^_^^_^ ^ ^_^i 一 ^_^i 一 ^_^/о sin ф,(За)

^_^ ^ ^_^

^_^ ^ ^_^

i 一 ^_^

i 一 ^_^

(3.6)

(Зв)

①0 d2(pс①0 о2①①0 d2(pс①0 о2①2冗厶 дх2 2л dt22冗厶 дх2 2л dt2/о sin ф./о sin ф.⑷⑷Путем элементарных преобразований эти уравнения можно свести к одному:

①0 d2(pс①0 о2①

①0 d2(pс①0 о2①

2冗厶 дх2 2л dt2

2冗厶 дх2 2л dt2

/о sin ф.

/о sin ф.

⑷

⑷

Если в качестве масштаба длины взять джозефсонов- скую глубину проникновения 储三(①0/公冗l/0)%, а в качестве масштаба времени — обратную джозефсо- новскую плазменную частоту (о； = (2л/о/СФо)1/2, то уравнение (4) примет вид

d2qpд2ф•心

"^57r' = sm ①.⑸

Это и есть синус-уравнение Гордона (х и t теперь безразмерные величины). Поскольку из уравнений (3) следует, что напряжение v на барьере пропорционально производной от 屮 ио f, а продольный ток i — производной от (р по х, ясно, что динамика электрических величин, характеризующих полосковый джозеф- соновский контакт, полностью определяется переменной <р.

Теперь мы можем указать точный смысл выражений «малые» и «большие» в применении к размерам джозефсоновских контактов. Из изложенного еле」 дует, что естественной мерой длины является величина X/； на практике этот параметр может меняться в больших пределах от контакта к контакту, но обычно он имеет значение порядка 0,1 мм. Итак, «малое» расстояние —это расстояние, которое мало по сравне・ нию с X/, и наоборот.

Влияние диссипации

Анализ, проведенный самим Джозефсоном, показал, что более полная форма уравнения (1а) имеет вид

/ = /osinq)+ [Go (и) + G[ (и) cos <р] и, (6)

где Go и G1 — весьма сложные функции напряжения и температуры [12]. В уравнении (6) слагаемое Go называют туннельным током квазичастиц, a Gi — интерференционным током квазичастиц или просто членом с cos <р. Если Go и Gi считать постоянными, то уравнение (5) запишется так:

豐一需「a" +ec°sq))^=sin(p, (7)

где а 三 Оо(Фо/2л/()С)'^ и & 三 Gi/G(). Типичные значения величины а — порядка 10~2—10~4 [15,16]; величина 8 по физическому смыслу должна лежать в интервале —1 W £ W 1. Малость величины а дает возможность пренебречь членом с первой производной в уравнении (7), т. е. свести задачу к уравнению (5). Хотя это во многих случаях оправданно, есть ситуации, когда, как мы увидим далее, диссипативные эффекты качественно важны даже при малом а.

Хотя то, что мы положили величины Go и Gi постоянными, может показаться простейшей возможной аппроксимацией, оказывается, что для аналитического описания более выгодно считать вместо этого, что Go = go|u| и Gi = gi|u| с постоянными go н & [17, 18] (это отвечает квадратичной, а не линейной вольт- амперной характеристике тока квазичастиц). Кроме того, коль скоро в системе есть диссипация, ясно, что физически интересные решения получатся только в том случае, если обеспечивается подвод энергии. Аналитически для этого проще всего ввести однородно распределенный ток смещения 1в (на единицу длины), как показано на рис. 1. Такой режим может быть реализован путем подходящего выбора геометрии контакта [19, 20]. Если учесть эти две модификации, то

уравнение (5) примет вид.

1F ~ 4^ — Г (1+ е cos <р) I -^-1 -^- = sin ф — у, (8)

где Г 三 ^оФо/2лС, е 曰 gi/go н у 三 /в〃о・

Диссипация может быть также обусловлена действительной частью поверхностного импеданса двух сверхпроводников, образующих полосковую линию. Скотт [21], используя предложенную Пиппардом модификацию теории Лондонов, показал, что этот эффект можно приближенно моделировать добавлением

Рис. 3. Эквивалентная схема джозефсоновского контакта с дис-, сипацией и смещением, рассматриваемого как полосковая линия.Элемент / описывается уравнениями (6) и (16).Рис. 3. Эквивалентная схема джозефсоновского контакта с дис-, сипацией и смещением, рассматриваемого как полосковая линия.Элемент / описывается уравнениями (6) и (16).j^wy4-^j^wy4-^

Рис. 3. Эквивалентная схема джозефсоновского контакта с дис-, сипацией и смещением, рассматриваемого как полосковая линия.

Элемент / описывается уравнениями (6) и (16).

Рис. 3. Эквивалентная схема джозефсоновского контакта с дис-, сипацией и смещением, рассматриваемого как полосковая линия.

Элемент / описывается уравнениями (6) и (16).

j^wy4-^

j^wy4-^

зависящих от температуры, но не зависящих от частоты сопротивлений на единицу длины R, включенных параллельно индуктивности полосковой линии, как показано на рис. 3. Соответственно этой модели для частот, удовлетворяющих условию R》(oL, т. е. во всей области применимости теории, частотная зависимость поверхностного сопротивления имеет вид Кповерхн ~ ①* что в общем согласуется с теорией Бардина —Купера — Шриффера, которая дает /?ПОверхн 〜 〜з" с i,5Wa&2 [22]. Если принять во внимание этот эффект, получим,

03①02中d2①

“ дх2 dt 十 дх2dt2

-门1 + 8 cos 叫絹零=sin ① - Y， (9)

где г| 三(2"2/o/r2c①°)%

При исследовании этого последнего диссипативного слагаемого возникают трудности двух типов.

Трудно определить точные численные значения пара* метра т], так как поверхностное сопротивление реаль* ных сверхпроводников может существенно отличаться от теоретического из-за граничных дефектов и по другим причинам [22, 23]. 2. Исследование влияния этого слагаемого методами теории возмущений приводит к задаче о сингулярных возмущениях,. так как этот член имеет в уравнении (9) производную высшего порядка, т. е. решения уравнения (9) с т] # О могут не только количественно, но и качественно отличаться от решений с т] = 0 [15, 24]. Поэтому в оставшейся части главы мы будем рассматривать только решения с п = 0.

§ 3. РЕШЕНИЯ СИНУС-УРАВНЕНИЯ ГОРДОНА

Простые решения в виде бегущих волн

Простой класс решений уравнения (5) может быть получен, если искать их в виде бегущих волн неизменной формы, распространяющихся с постоянной ско^ ростью [25, 26]. С математической точки зрения это эквивалентно предположению, что зависимость 屮 от% и f имеет вид <р =(р(х—ut)=屮(g), где и — постоянная скорость распространения, деленная на (LC)-%. Поскольку такие решения трансляционно-инвариантны, они, очевидно, могут существовать только в бесконечной линии. Подставив выражение для <р в уравнение (5), нетрудно получить уравнение

С?2Ф sinqp/1Пч

совпадающее по форме с уравнением обычного плоского маятника. Это уравнение имеет решения двух типов: «плазменные» волны (соответствующие кол% баниям маятника) и флюксонные волны (которые отвечают вращательному движению маятника).

Плазменные волны. При и2 > I уравнение (10) имеет решение

(p = 2aГcsin (々 sn [他Q需;々]),(11)

где sn — эллиптическая функция Якоби с модулем 財 OV^VL a go — произвольная постоянная (обозначения здесь те же, что и в книге [27]). Формула (11) описывает бегущую волну, осциллирующую около значения ср = 0. Это решение легко наблюдать на механическом аналоге джозефсоновской линии передачи, описываемом также уравнением (5); см. фотографию 5.12 в книге Скотта [26] 9-

Для напряжения, деленного на со；Фо, уравнение (Зв) перепишется в виде

粤=2冗匕dt

Из него нетрудно найти безразмерное напряжение, соответствующее решению (11):

需;4(⑶

Это решение описывает периодическую волну с нуле внм средним значением.

Флюксонные волны. При и2 < 1 уравнение (10) имеет решение вида

①=arcsin ｛士叫一萧三扣；叮｝'(14)

в котором, как и раньше, |0 — произвольная постоянная, 々 лежит в пределах 0 < ^ < 1, а знаки плюс и минус соответствуют флюксону и антифлюксону (или наоборот). Эти решения представляют собой монотонно убывающие [либо монотонно возрастающие, в зависимости от выбора знака в формуле (14) ] функции переменной g; см., например, рис. 5.11 книги Скотта [26].

Из уравнения (12) следует, что безразмерное напряжение, соответствующее решению (14), таково:

y п ±—"*二与月1；(15)

nk (1 - "2) " L (1 一 "2) /‘」

это периодическая последовательность положительных (отрицательных) импульсов с пространственным

1) В русском издании 2.18. — Прим, перев.

периодом 2/г(1—〃2)%К优)，me K(k)—полный эллиптический интеграл первого рода. Интегрирование соотношения (15) по пространственному периоду дает 士〃. Так как и по определению есть постоянная скорость распространения волны, интегрирование (15) по одному временному периоду дает плюс или минус единицу. Возвращаясь к размерным величинам, получаем, что каждый положительный (отрицательный)' импульс напряжения содержит ровно один положительный (отрицательный) квант потока Фо.

Особое решение уравнения (10) получается при переходе к пределу hfl в формулах (14) и (15):

<p = 4arctg 卜Xp[士 (:二証]卜 (16) 联 士/^叫^^]. (17)

Это решение, соответствующее распространению по линии одиночного изолированного флюксона (анти- флюксона), и есть классическое солитонное решение синус-уравнения Гордона; оно изображено на рис. 1 следующей главы.

Б. Более сложные решения для бесконечной линии

Для построения более общих решений уравнения (5) в бесконечной линии был предложен ряд весьма мощных методов. Самый старый из них — преобразо-* вание Бэклунда — приводит к уравнениям, которые по какому-либо известному решению уравнения (5) позволяют найти новое, более сложное решение, содержащее произвольный параметр. Фиксируя этот па^ раметр, мы конкретизируем структуру нового реше^ ния. Лэмб [28] показал, как с помощью преобразования Бэклунда можно получить иерархию решений уравнения (5), начинающуюся с «вакуумного» решения <р 三 0. Мак-Лафлин и Скотт в следующей главе используют этот метод при построении схемы теории возмущений.

Метод обратной задачи рассеяния, который можно рассматривать как нелинейное обобщение преобразования Фурье [29], дает общий способ описания эво-

люции решения уравнения (5) во времени для произвольных начальных условий [30]. Хотя это в принципе чрезвычайной общий метод, на практике его применение оказывается сложным.

Хирота [31] вывел формулу, которая позволяет находить решения уравнения (5), содержащие произвольное число солитонов, в явном виде. Недавно Карри [32] обобщил результат Хироты на случай других типов возбуждений. Этот метод, хотя он и менее общий, чем метод обратной задачи рассеяния, представляется более удобным практически.

Мы приведем три самых важных примера более сложных решений для бесконечной линии (их можно получить с помощью каждого из упомянутых методов). Эти решения, описывающие столкновение солитон—солитон, столкновение солитон ——антисолитон и бризер 1), т. е. осциллирующее связанное состояние из солитона и антисолитона, в системе отсчета, связанной с «центром масс», таковы:

$ = 4aEg {«sh 15r^kh[7r^]}. (18) ф = 4аГСЧ Т Sh [ГЬ声卜ch [曰汨}, (19) <p = 4 arctg {tg 0 sin [(cos 0)/] sch [(sin 0)x]}, (20) где 0 < 0 < л/2.

Наконец, отметим одно важное свойство уравнения (5): оно инвариантно по отношению к преобразованию Лоренца по х и /, т. е. если q)(x, /)——решение уравнения (5), то и ф(х\ f), где

(21а)

(216)

а 〃г ——относительная скорость движения систем от* счета (х, /) и (%',，), тоже представляет собой решение этого уравнения. _

I) От breather (англ.) — «дышащее решение». — Прим, перев^

Решения в виде стоячих волн

Приведенные в пп.《А》и «Б» решения уравне* ния (5) имеют фундаментальное теоретическое значение и весьма интересны с точки зрения практических приложений. Однако они, строго говоря, неприменимы к реальным джозефсоновским контактам, которые, как бы ни были длинны, всегда ограниченны. Поэтому, чтобы получить реализуемые в экспериментах решения, мы должны задать граничные условия. Простейшие граничные условия, имеющие физический смысл, заключаются в том, что полосковая линия с джозефсоновским контактом считается открытой на обоих концах. При этом мы пренебрегаем излучением с концов линии: поскольку линейный характеристический импеданс линии, равный (L/C)%, где L и С задаются формулами (2), как правило, намного меньше волнового сопротивления свободного пространства (卩о/ео)%, излучение обычно очень мало по интенсивности (хотя нередко имеет весьма важное значение). Из уравнений (3) следует, что открытым концам со* ответствуют граничные условия

需 1=0 =。=謂 L“(22)

где Z ——безразмерная длина линии.

Фултон [33], проведя ряд исключительно подробных наблюдений за процессами в механическом аналоге джозефсоновской линии передачи, сумел качественно описать структуру решений уравнения (5) с граничными условиями (22). Совсем недавно Коста- биле с соавторами [34], используя предложенную Лэмбом [28] подстановку, получил точное аналитическое выражение для этих решений. Как было отмечено Лэмбом, выражение

(p = 4arctg [f(x)g(t)](23)

является решением уравнения (5), если f и g удовлетворяют уравнениям

(紛2 ~尸+(] + »"%(24а)

(罂У =。纟，+ bg4 — a,(246)

где а, &, с — произвольные постоянные. Костабиле с соавторами обобщил этот результат, введя преобразо

вания подобия f = pF,(25а)

g = gG,(256)

£ = В (х — Хо),(25в)

? = Q(/-/0),(25г)

где р, q, р, £2, %о и /0 — произвольные постоянные. В результате уравнения (24) принимают вид

(黑y=若尸+^^^尸-脸'(26a)

(器 y =普 G4 + 专 一篇.(266)

После этого решение (23) легко записать, если сопоставить (26) со стандартной формой дифференциального уравнения для эллиптических функций Якоби [27]. Из этого сопоставления сразу следуют три факта: 1) постоянные р и входят в виде произведения pq, и, следовательно, можно вместо этих двух констант ввести одну: А = pg; 2) условие согласо-- ванности между параметрами в уравнениях (26) дает соотношение между р, Q и Д, которые можно интерпретировать как нелинейное дисперсионное уравнение; 3) параметры %о н р определяются граничными условиями. Получаемые этим методом решения можно разделить на три основных класса: плазменные, бри- зерные и флюксонные колебания. ,

Плазменные колебания. Это решение, изображенное на рис 20 статьи Фултона [33], таково】)：

Ф = 4arctg {А сп [р (х — х0); kf] cn [Q (/ — /0)； 々/}, (27) где

2_ 炉[俨(l+/2)+J 一 俨(1 + 42)2»丿

% —02 (1 + /2)2•丿

')Рисунки 20, 25 н 26 из статьи Фултона [33] приведены в дополнении к данной кциге (стр. 308). —〃р〃加.pea.

Дисперсионное уравнение имеет вид - 1 _ Л2

R2-俨п储г・(29)

Из граничных условий следует, что хо = 0, а

% =争 К闷，(30)

где п = 1, 2, ... — число узлов стоячей волны. При /г = 0 все точки линии колеблются синфазно:

Ф = 4 arctg {A sn [Q (/ — /0)； ^] }•(31)

Здесь

”能(32а)

•^ = т^г.(326)

В пределе бесконечно малых амплитуд (Л -> 0) формулы (27), (29) и (30) сводятся к выражениям

Ф ~ cos (рх) cos [Q (f — /о)],(33)

£}2一俨=1,(34)

% 0限(35)

которые можно получить и непосредственно из линеаризованного уравнения (5) (т. е. из уравнения, в ко* тором sin(p заменено на ф). Эти выражения согласуются также с решением (11), если амплитуду последнего считать бесконечно малой (й->0).

Бризерные колебания. Это решение, изображенное на рис. 28 работы Фултона [33], дается формулой (р = 4 arctg {A dn [р (х — х0)；雨 sn [Q (/ — Zo)；甸},(36)

где

2 = 1 _ 1-俨(1+42)/42

@1 俨(1 + 炉) »(37a)

收一(1 + 炉)](376)

Дисперсионное уравнение имеет вид

Р = AQ.(38)

Из граничных условий теперь получаем

瓦=亲人 (砧(39)

а для Хо возможны два значения: а) рх0 = K(kf) и б) Хо = 0. Различие между случаями 《а》и 《6》про、 является при четных 九：случай 《а》 отвечает бризе- рам, сосредоточенным в середине линии, а случай 《6》соответствует флюксонам (антифлюксонам), связанным с виртуальными антифлюксонами (флюксо- нами) на концах линии. При нечетном п эти два случая совпадают с точностью до отражения относительно середины линии.

Полагая (произвольно) р2 = А2/(1 + Л2), из формулы (37) получим 右;=1, а из ф°РмУлы (38) " = 0・ Поскольку dn(X, 1) = sch(X), a sn(X, 0)= =sin X, решение (36) сводится в этом случае к

Ф = 4 arctg { A sch [^^-] sin}(4。)

и в точности совпадает (если положить Д = tg 9) с бризерным решением для бесконечной линии.

Полагая (снова произвольно) р2 = 4?/(1 + Д2)2, из формулы (37) получаем 归;=0, а из формулы (38) получаем 冷=屋.Поскольку dn(X;0)= 1, решение (36) сводится в этом случае к

(p = 4arctg { Л sn[^~-; А^У (41)

что в точности совпадает с нулевой модой (и = 0) плазменных колебаний (31). Из полученных выражений вытекают два важных следствия: 1) имеется порог по амплитуде для существования бризера, причем в бесконечной линии такого эффекта не было; 2) существует механизм обмена энергией между бризер- ными и плазменными колебаниями. Минимальную амплитуду бризерных колебаний можно определить, подставив 俨= 42/(1+42)2 в формулу (39). Тогда с учетом того факта, что ^(0) = л/2, получим

4нн = 士一 [忐 一 1『・(42)

Из выражения (42) вытекает, что необходимым условием непосредственного превращения бризера в нулевую моду плазменных колебаний является выполнение неравенства (1/п)》л.

Флюксонные колебания. Это решение, изображенное на рис. 25 и 26 работы Фултона [33], дается формулой

Ф==4arctg{Л dn[р(х — х0)；財]tn[Q(/ — %);施]}, (43) где

储=1 -《*评二不…，(44a)

号Мб)

Решение (43) можно качественно интерпретировать как распространяющийся по линии флюксон, который, отражаясь от конца линии, превращается в ан- тифлюксон, и т. д. Дисперсионное уравнение вновь задается формулой (38), а из граничных условий снова следует (39) с двумя возможностями: а) В%о = К(^『) и б) %。= 0. Различие между случаями 《а» и 《6》теперь несущественно и может быть учтено подходящим выбором /о- Вырожденное решение ——«нулевые флюк、 сонные колебания» ——описываются формулой

<p = 2arcsin {sn上廿s &}, 0 <k < 1.(45)

Полагая в формулах (44) р2 = А2/(А2— 1), получаем А^=1 и /г|= 1. В этом случае решение (43) сводится к выражению

<₽ = 4 arctg {Asch [晋5嗣 sh [俳耨卜(46)

которое, если положить 4 三 1/〃, в точности совпадает с формулой (19) для столкновения флюксон — антифлюксон в бесконечной линии.

Детальный анализ выражений (43), (44), (38) и (39) показывает [35], что для флюксонных колеба-

ний существует максимальное значение Д, задавав- мое уравнением

金(卜一忘:})依7)

Этот результат позволяет высказать предположение, что существует механизм превращения флюксонов в бризеры и обратно [35].

ВЛИЯНИЕ ДИССИПАЦИИ И ТОКА СМЕЩЕНИЯ

А. Точные решения

Мы уже упоминали в § 2, п.《В》，что анализ эф* фектов диссипации в джозефсоновских полосковых линиях упрощается, если характеристику туннелирования квазичастиц считать квадратичной, а не линейной. Продемонстрируем это, основываясь на результатах работ [18, 36]. Предполагая, что по линии распространяется стационарный положительный импульс напряжения, получаем из уравнения (8) при е=、0

^2Ф Ги2 ，對)、2 — sin Ф — Y奇一1 一 m 丿_]一〃2•

Заметив, что

塞(贵 У'(49)

легко найти первый интеграл уравнения (48). Используя его, можно привести (48) к стандартному уравнению для эллиптических функций [27], из которого следует решение

Ф = arcsin Yo + 2arcsin |сп[-~ (^г)"(В — Io)；可},

(50) ГДе

W n "I 一 “2户 + 4r2"]%(516)

и go — произвольная постоянная. Таким образом, преимущество квадратичного закона потерь перед линейным состоит только в возможности выполнить《трюк» в виде преобразования (49); соответствующее аналитическое решение для случая линейных потерь еще не найдено. Используя уравнение (12), получаем безразмерное напряжение, отвечающее решению (50):

F== ( аг) Л dn [т ( 2Г^) Л "舗；斗(52)

В пределе при Г->0, у->0 решения (50) и (52) сводятся к формулам (14) и (15) для последовательности солитонов в линии без потерь. В пределе при hfl решения (50) и (52) переходят в выражения Ф = arcsin Yo + 4 arctg { ехр[- (^^)7*(己一歸]卜(53) ь=^(今)%叱(聶")%-瓦)], (54)

причем, как следует из (51а),7 = у0. Выражения (53) и (54) описывают распространение в линии одиночного изолированного флюксона; при Г->0 они сводятся к формулам (16) и (17).

Одна из областей применения синус-уравнения Гордона с диссипацией — анализ особенностей постоянного тока (скачков при нулевом поле), возникающих в вольт-амперной характеристике распрепе- ленных одномерных джозефсоновских контактов [36]. Эти особенности, представляющие собой ряд пиков тока, расположенных на примерно одинаковых интервалах по напряжению, важны с точки зрения применения джозефсоновских контактов в СВЧ-генераторах [6]. Поскольку в этих режимах диссипация не равна нулю, для их объяснения необходимо учесть в модельном уравнении те или иные потери. Так как особенности наблюдаются при ненулевом напряжении, можно попытаться объяснить их как результат движения флюксонов, ибо, как мы видели выше, только флюксоны несут импульс напряжения, имеющий ненулевое среднее.

В § 3, п.《В》，мы отмечали, что решения типа (50) — (54) нельзя, строго говоря, применить к реальным джозефсоновским контактам, поскольку вследствие трансляционной инвариантности они не могут удовлетворить условиям на фиксированных границах^ Однако можно значительно продвинуться в гюнима- нии физики явления, если задать периодические гра* ничные условия для решения в виде бегущей волны —

Рис. 4. Особенности постоянного тока для контакта с / = 5 и и Г= 10-3.

так поступают, например, при анализе колебаний кристаллической решетки. При этом мы жертвуем физической строгостью ради удобства аналитических расчетов. Наложив такие граничные условия на решение (52), с учетом того, что период функции dn(X,论) равен 2K伊)，получим следующее условие периодичности:

， 春(證)%/ = 2北优)， (55)

где I—безразмерная длина контакта, а 拉=1, 2,... есть число содержащихся в нем флюксонов. Из уравнений (52) и (55) легко определить среднее значение V:

s = 〃g (56)

Используя формулы (51), (55) и (56), можно получить вольт-амперную характеристику с особенностями

Y = Y(〈y〉) [36]. Результаты таких вычислений для некоторых особенностей в случае / = 5 и Г = 10~3 приведены на рис. 4.

Б. Расчет баланса мощности методом возмущений

Точные решения, полученные в п.《А》, основаны на «трюке» — преобразовании (49). В тех случаях, когда эта хитрость не проходит, часто можно провести приближенный анализ влияния диссипации и смещения, рассчитав баланс мощности методом возмущений. Дело в том, что диссипативные слагаемые в описывающих джозефсоновские контакты уравнениях, а именно а в уравнении (7) и Г в уравнении (8), обычно малы, и поэтому можно предположить, что общий вид решений с учетом диссипации будет мало отличаться от решений без диссипации. После этого конкретный вид решений с диссипацией получается, если приравнять среднюю мощность, поступающую в систему от источника смещения, средней мощности, теряемой в результате диссипации.

Мы проиллюстрируем этот метод на примере уравнения (8), поскольку оно даст нам возможность сравнить приближенные решения с точными, приведенными в п.《А》. При Г* = 0 = у уравнение (8) сводится к уравнению (5), которое, как мы видели выше, допускает решение в виде одиночного флюксона (16), (17). Пусть теперь Г #= 0, у #= 0, но 8 = 0; тогда поступающая от источника смещения мощность равна

А00

P = Y \ Vdb(57)

Е —-8

В то же время, поскольку зависимость безразмерного тока туннелирования квазичастиц от безразмерного напряжения имеет вид ///0 = 4л2Г| V\ V, диссипируемая мощность равна -

Pd = 4 冗2r \ |WHdE・(58)

Подставив (17) в (57) и (58), из условия Р/ = Pd получим для у приближенное значение

ТПрибл = -ст.(69)

Это значение можно сравнить с точным, которое, согласно (516), равно

yt0ЧН 一 [(1 -" 2)2 + 4f〃4]% .(丿

Поскольку величина Г мала (обычно Га 10~3), выражение (59), очевидно, дает хорошее приближение всюду, кроме значений 〃^1, при которых ТПрибл~> -> 8, a Ytoqh f 1 • Нсно, что в этом пределе возмущение перестает быть малым, а поэтому точного соответствия и нельзя ожидать.

Рассматривая баланс мощности, можно учесть и слагаемое с cos ср в уравнении (8). При е 耍 0 вместо (58) имеем

Е«»8

Pdg = 4n2P J (1 +8C0S(p)| V\V2db (61) A -8

Подставляя сюда qp из формулы (16) и V из формулы (17) и приравнивая Р^е = Л, получаем

-(62)

При е = 0 выражение (62) сводится к выражению (59). Этот результат можно улучшить, если вместо (16) и (17) взять для ср и V выражения (53) и (54). Выполнив такую подстановку, из условия Р» = Р^е получим

'Y = Yo[l — j(l ~ Yo)'/2]»(63)

где 7o дается формулой (516).

В качестве последнего примера рассмотрим, как методом баланса мощности можно рассчитать форму особенностей постоянного тока, связанных со стоячей флюксонной волной (43). Взяв снова возмущение в

форме (8) (но 8 = 0), получим уравнение баланса мощности

Y ”)= 4冗2r〈吵(64)

куда нужно подставить решение I/, полученное с помощью формулы (12) из решения (43). Усреднение производится следующим образом:

x»Z f/2

〈X (%,/)〉=击 \ dx \ Xdt9 (65) х-0f—T/2

где Т ——временной период колебаний. В параметрической форме результат записывается так:

Y =(66а)

吁鳥7，(666)

где E(k)——полный эллиптический интеграл второго рода, а % н 々g — величины, даваемые выражениями (44). Внешний вид получаемых из уравнения (66) особенностей довольно близок к показанному на рис. 4 [34]. Основное их качественное отличие состоит в том, что, как и в случае с уравнением (59), вычисленная методом баланса мощности величина у может неограниченно расти, тогда как точные расчеты, представленные на рис. 4, дают кривые, оканчиваю^ щиеся при V « 1.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

В этой главе я попытался кратко охарактеризовать некоторые из наиболее существенных задач, возникающих при изучении флюксонов в распределенных джозефсоновских контактах, построить мост между физическим и математическим аспектами проблемы и заложить фундамент для более специальных исследований, таких, например, как в следующей главе. Я делал основной упор на выводе простых аналитических результатов, надеясь этим добиться большей последовательности и ясности изложения. В более полном

обзоре необходимо было бы углубиться в область технических приложений, которые являются основным движителем всех исследований в данном направлении, а также более полно отразить результаты моделирования на цифровых ЭВМ, сыгравшие здесь очень важную роль. Я уже упоминал о том, как полезно иметь сравнительно простые механические аналоги модельных уравнений. Пожалуй, следует подчеркнуть этот момент еще раз: в частности, вывод представленных в § 3, п.《В》，аналитических решений был в значительной степени стимулирован почесыванием затылка при разглядывании рисунков из статьи [33]. Мне кажется, что дальнейшее развитие событий неизбежно выведет исследователей на предложенный Забуски [37] «синергетический» путь.

Литература

Barone A, Esposito 尸.，Magee С. J., Scott A. C., Riv. Nuovo .Cimento, 1, 227 (1971).

Fulton 工 4, Dynes R. C, Anderson P.呪，Proc. IEEE, 61, 28 (1973). (Имеется перевод: ТИИЭР, 1973, т. 61, № 1.)

Zappe ". Я., Appl. Phys. Lett., 25, 424 (1974).

Gueret P., IEEE Trans. Magnetics, MAG-11, 751 (1975).

Fulton T. A., Dunkleberger L M, Revue Phys. Appl., 9, 299 (1974).

Finnegan T.尸.，Toots /., Wilson /. — В кн.: Low Temperature Physics — LT 14, Vol. 4, eds. M. Krusius, M. Vuorio, North- Holland, Amsterdam, 1975, p. 184.

Ulrich В. T., Van Duzer T. — В кн.: Superconductor Applications: SQUIDs and Machines, eds. В. B. Schwartz, S. Foner, Plenum Press, New York, 1977, p. 321.

Nlatisson 丄——В кн.: Superconducting Machines and Devices, eds S. Foer, В. B. Schwartz, Plenum Press, New York, 1974, p. 563.

Parmentier R. D. — В кн.: New Concepts and Technologies in4 Parallel Information Processing, ed. E. R. Caianiello, Noord- hoff, Leyden, 1975, p. 21.

Scott A. C., Chu F. У. X, MacLaughlin D W., Proc. IEEE, 61, 1443 (1973). (Имеется перевод: ТИИЭР, 1973, т. 61, № 10.)

И. Feynman R. Р., Leighton R., В.» Sands M, The Feynman Lectures on Physics, Vol. 3, Addison-Wesley, Reading, 1965, Ch. 21. (Имеется перевод: P. Фейнман, P. Лейтон, M. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Т. 9. — М.: Мир, 1967.)

Harris R. Е, Phys. Rev., BIO, 84 (1974).

Harris R. R, Phys. Rev., B", 3329 (1975).

Swihart /. C., Journ. Phys., 32, 461 (1961).

Johnson 忆 j” Ph； D. Thesis, University of Wisconsin (1968).

Scott А. С.» Chu Е У.尸.，Reible S. 4.» Journ. Phys., 47, 3272 (1976).

Pederson N. F., Saermark K・，Physica, 69, 572 (1973).

Costabile G., Parmentier R. D. — 0 kh.: Low Temperature Physics — LT 14, Vol. 4, eds. M. Krusius, M. Vuorio, North- Holland, Amsterdam, 1975, p. 112.

Johnson W. /., Barone A., Journ. Appl. Phys., 41, 2958 (1970).

Barone A., Johnson 呪 J., Vaglio R., Journ. Appl. Phys., 46, 3628 (1975).

Scott А. С.» Solid-State Electronics, 7, 137 (1964).

Halbritter J., Zs. Physik, 238, 466 (1970).

Broom R.尸.，Wolf P., Phys. Rev., B16, 3100 (1977).

Nakajima K., Onodera У.» Nakamura T., Sato R., Journ. Appl. Phys., 45, 4095 (1974).

Lebwohl P., Stephen M. /., Phys. Rev., 163, 376 (1967).

Scott A. C., Active and Nonlinear Wave Propagation in Electronics, Wiley-Interscience, New York, 1970, Ch. 5. (Имеется перевод: Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. — М.: Советское радио, 1977.)

Byrd Р.尸.，Freidman М D., Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Physicists, Springer-Verlag, Berlin, 1954.

Lamb G. L., 〃” Rev. Mod. Phys., 43, 99 (1971).

Calogero E — В кн.: Proc. Int. Conf. Mathematical Problems in Theoretical Physics, Rome, 1977.

Ablowitz M. J., Каир D. J., Newell A. C., Segur "., Phys. Rev. Lett., 30, 1262 (1973).

Hirota R., Journ. Soc. Japan, 33, 1459 (1972).

Currie J.尸.Phys. Rev. A16, 1692 (1977).

Fulton T. A. — В кн.: Superconductor Applications: SQUIDs and Machines, eds、В. B. Schwartz, S. Poner, Plenum Press, New York, 1977, p. 125.

Costabile G., Parmentier R. D, Savo B., McLaughlin D 呪, Scott A. G, Appl. Phys. Lett., 32, 587 (1978).

Costabile G., Parmentier R. D., Savo В. He опубликовано.

Parmentier R. D, Costabile G., Rocky Mountain Journ. Math., 8, no. 1.

Zabusky ^. J. — В кн.: Nonlinear Differential Partial Equatins, ed. W. F. Ames; Academic Press, New York, 1967, p. 223.

Глава 9

Многосолитонная теория возмущений

Д. Мак-Лафлин ), Э. Скотт )

ВВЕДЕНИЕ

Для некоторых «специальных» нелинейных волновых уравнений (например, уравнения Кортевега — де Вриза, синус-уравнения Гордона, нелинейного уравнения Шредингера, модифицированного уравнения Кд В, уравнений Максвелла ——Блоха в упрощенном виде и т. д.) метод обратной задачи рассеяния (ОЗР) позво^ ляет получить точное разложение решения начальной задачи на дискретное множество солитонных компонент плюс непрерывные компоненты фонового поля излучения. Тот, кто занимается прикладными зада、 чами, может рассматривать метод ОЗР как нелинейное обобщение метода преобразования Фурье [1], а солитонные и радиационные компоненты играют в нем ту же роль, что и фурье-гармоники (или, в более общем случае, собственные функции) при анализе линейных задач. С точки зрения же «прикладного математика» метод ОЗР—это нелокальная линеаризация исходного нелинейного волнового уравнения [2].

В этой связи открылись новые перспективы применения теории возмущений к физическим задачам. Так же, как до появления метода ОЗР решения «почти линейного» волнового уравнения разлагали в ряд, состоящий из фурье-компонент с медленно меняющимися параметрами, теперь мы в принципе можем разлагать решения «почти линеаризуемых» волновых

уравнений на множество солитонных и радиационных компонент с медленно меняющимися параметрами. Метод разложения по солитонам с медленно меняющимися параметрами использовался в различных ситуациях. Так, Перейра и Стенфло [3] исследовали влияние структурных возмущений на движение отдельного солитона для нелинейного уравнения Шредингера, исходя из того, что при убывании возмущения до нуля энергия и импульс солитона остаются постоянными. Фогель, Труллинджер, Бишоп и Кру- мансл [4] провели полный анализ влияния структурных возмущений на движение отдельного солитона (кинка) для синус-уравнения Гордона. Как уже указал Бишоп в одной из предыдущих глав, в этой работе дается способ вычисления поля, излучаемого солитоном, ускоряющимся под действием структурного возмущения. Кауп и Ньюэл [5], а также Яджима [6] и Карпман и Маслов [7] разработали теории возмущений, основанные на методе ОЗР. В этих работах в качестве медленно меняющихся параметров, описывающих многосолитонное решение, выбираются полюса и вычеты коэффициента отражения в соответствующей задаче рассеяния. Такие теории подходят специалистам, свободно владеющим методом ОЗР, но остальные нуждаются в теории возмущений, теснее связанной с физикой. В этой главе мы и хотим дать по возможности простое изложение многосолитонной теории возмущений, ориентированной на физику г).

Излагаемая нами теория возмущений основана на работе Кинера и Мак-Лафлина [8], которые показали, что медленная модуляция солитонной части решения может быть описана с помощью произвольного набора независимых параметров. Они также рассматривали вопрос о построении функции Грина, позволяющей вычислить излучение, даваемое многосолитонной волной. В данной главе мы следуем работам [9], в которых теория Кинера — Мак-Лафлина применялась к исследованию возмущений флюксонов в распределенных джозефсоновских контактах, описанных

Теория возмущений для солитонов, вообще не связанная с интегрируемостью исходных невозмущенных уравнений, изложена в работе [23]. — Прим. ред.

Парментье в предыдущей главе. Поэтому мы будем употреблять термины «флюксон» и «солитон» как синонимы.

Рис. 1. Внешний вид флюксона (<р+) и антифлюксона ((р_)ф

Одиночный флюксон ф+ или антифлюксон (р_ за-* дается следующей формулой (рис. 1):

Ф± (爲'；弘 ％) = 4 arctg [exp (士 王/言譚)]•(1.1)

Если скорость и и фаза хо постоянны, то выражение (1.1) представляет собой точное решение невозмущенного синус-уравнения Гордона

Ф// = Фхх — sin qp.(1.2)

Наша задача — вычислить зависимость и и х0 от времени и сопутствующее излучение, появляющиеся при добавлении к (1.2) некоторого структурного возмущения.

'При столкновении флюксона и , антифлюксона (рис. 2) они могут либо пройти друг сквозь друга в соответствии е «дублетным» решением

科｝,(1.3)

либо соединиться в «бризер», или «бион», имеющий вид

s — 4 arctff f lg”sin[(cos v)m ) пch ((sin v) (x-xo)J J*

При постоянных хо, /о, и и V выражения (1.3) и (1.4) также являются точными решениями невозмущенного

синус-уравнения Гордона. В этих формулах фигурируют только три параметра, поскольку они записаны в симметричном относительно центра масс виде. Как отметил Парментье, параметр, определяющий скорость центра масс, легко ввести с помощью преобразования Лоренца. Поведение такого бризера, движу-

Рис. 2. Столкновение флюксон — антифлюксон.

щегося со скоростью «огибающей» и, схематически показано на рис. 3.

Наиболее существенные параметры, которыми мы будем описывать многосолитонное решение, — это скорости и фазы N флюксонов, скорости и фазы М анти- флюксонов, а также скорости «огибающей», частоты, временные и пространственные фазы L бризеров. В общем случае наша многосолитонная волна может характеризоваться медленным изменением этих 2(% + + AI + 2L) параметров.

В следующем параграфе мы остановимся на простейшем из возможных подходов в теории возмущений—энергетическом методе. Это поможет читателю выработать физическую интуицию, которая пригодится при последующем, более детальном рассмотрении

проблемы. Вместе с тем энергетический анализ ценен и сам по себе, ибо, когда он применим, он представляет собой самый прямой путь к полезным результатам. В § 3 дается сокращенный вариант схемы теории возмущений в виде, наиболее подходящем для

Рис. 3. еБризер», или «бион», - движущийся со скоростью «огибающей» и.

расчета взаимодействий между флюксонами, анти- флюксонами и бризерами. В § 4 эта схема применяется к исследованию динамики чотдельного флюк- сона в джозефсоновской линии передачи (ДЛП) с учетом диссипации и микроскопических закороток. В § 5 рассматривается столкновение флюксона с антифлюк- соном, выводятся условия последующего превращения в бризер и приводятся некоторые общие соображения относительно распространения групп флюксонов. В § 6 дается более общая формулировка схемы теории возмущений, на основе которой в § 7 рассчитывается излучение модулированного флюксона.

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

В данном параграфе мы выясним физическую природу каждого слагаемого в выражении для возмущения рассматриваемого вида, качественно охарактеризуем влияние каждого члена на поведение волны и дадим простой метод количественного описания этих эффектов в случае одиночного флюксона. ДЛП мы будем описывать возмущенным синус-уравнением Гордона /

= %% — sin ① + ef,0&е《1,(2.1)

где е/ — структурное возмущение, которое имеет вид е/= - аф/ + ₽Фхх/ — Y — 2 卩力(％ — %) sin qp. (2.2)

Здесь слагаемое аф/ описывает диссипацию вследствие туннелирования нормальных электронов, слагаемое Рфхх/ — диссипацию, обусловленную движением нормальных электронов вдоль барьера, слагаемое у — распределенный ток смещения; слагаемые 卩必(％ — —a/) sin qp описывают локальные области сильного тока Джозефсона (микроскопические закоротки, локальные утоньшения барьера и т. д.). Все величины в уравнениях (2.1) и (2.2) безразмерные, об их нормировке говорилось в предыдущей главе.

非so非soНевозмущенное синус-уравнение Гордона можно записать в виде гамильтановой системы для переменных ф и <р/ с гамильтонианом

非so

非so

у- + 1 — cosqp^ dx. (2.3)

Если же пренебречь диссипативными членами сайр, то и наше возмущенное уравнение, более- близкое, к реальности, также можно записать в виде гамильтоновой системы с гамильтонианом

% = %sg + %p,% = %sg + %p,(2.4а)(2.4а)

% = %sg + %p,

% = %sg + %p,

(2.4а)

(2.4а)

捲"曰 \ [ X 山6 (% — 3 (1 — cos ф) + yqp] dx. (2.46)

С помощью этих двух гамильтонианов нетрудно установить физический смысл каждого слагаемого в структурном возмущении вД Если ф — произвольное решение уравнения (2.1), взятого при а = р = 0, то гамильтониан 箔⑹ не зависит от времени:

d 爲 3) =0.dt — *

Если же 屮一некоторое решение уравнения (2.1) с а, Р =# 0, то легко получить соотношение

名怨=-j Gd+B噥J dx.

Таким образом, члены с а, р > 0 являются диссипативными: они описывают отбор энергии у волны.

Чтобы яснее увидеть, как действует на волну слагаемое с у (ток смещения), положим а = 0, р = ® и 卩i = 0. Тогда выражение для плотности энергии волны примет вид

Я =(扌 + ^- + 1 — cos Ф^ + YT = “so + YT*

Если у > 0, то слагаемое уф соответствует некоторой обобщенной силе, действующей на волну в отрицательном по ср направлении. Эта сила стремится уменьшить ф. Если ф — одиночный флюксон (рис. 1,а), то эта сила будет двигать его вправо. Если же ф — одиночный антифлюксон (рис. 1,6), то эта же сила будет толкать его влево. Таким образом, у отвечает подкачке энергии; это возмущение ускоряет флюксон в направлении +%, а антифлюксон — в направлении —х.

Чтобы качественно описать влияние на волну мик- розакороток, положим а = 0, В = 0ну = 0н запишем плотность энергии

Н = HSG + 卩(1 — cos qp) 6 (% — q)・

Слагаемое c 卩(1——cos <р) отвечает положительной энергии, запасенной в микрозакоротке, расположенной при х = а. Если ф (х, /)^0 (mod 2л) вблизи х = а, то эта энергия не равна нулю; она отбирается 9T 施sg 再《запасается в закоротке». Следовательно,

как флюксон, так и антифлюксон, приближаясь к за- коротке, должны замедляться.

В случае одиночного флюксона (или антифлюк- сона) кроме приведенных выше качественных рассуждений можно выполнить и количественный анализ. Положим, например, все 卩» равными нулю и рассмотрим уравнение

Ф/f = Фхх — Sin qp — (a(Pf — ^(pxxt + 丫)，(2.5)

где а, 0, у — малые параметры. Предположим, что влияние возмущения на одиночный флюксон сводится в основном к модуляции его скорости. Тогда, подставив солитонное решение (1.1) в 5^sg, получим

非sg@±)= 8(i—〃 2)-%.(2.6)

Продифференцируем обе части этого равенства по времени:

空 з-(2.7)

В то же время если <р — некоторое решение уравнения (2.5), то для него

2喝 @). = - j ^t + а噺 + 口嘰力)dx.(2.8)

Поскольку параметры а, р, у малы, мы можем приближенно взять в качестве 屮 флюксон (антифлюк- сон) с медленно меняющейся скоростью. Подстановка решения (1.1) в (2.8) дает после интегрирования

捲sg (①±) = 士 2冗Y" 一 8a"2 (1 -_

—>|•削2(1一〃2)-％.(2.9)

Приравнивая (2.7) и (2.9), получаем уравнение первого порядка для и(0:

器=士子(1 一〃2)%-a〃(1-〃2)一_|〃.(2.io)

Это простое уравнение описывает изменение скорости флюксона под действием возмущения. Отметим, что

слагаемые сайр затормаживают как флюксон, так и антифлюксон, а член с у ускоряет флюксон вправо, а антифлюксон — влево. Пусть 〃《＞ — равновесные решения уравнения (2.10). Этим стационарным решениям соответствует «баланс мощности», когда подводимая к солитону мощность в точности компенсируется диссипацией. При р = 0 равновесная скорость равна

% = ± [1 + (*)] ' • ⑵ 1 О

Описанная выше процедура позволяет с помощью одного интеграла движения (полной энергии) полу， чить уравнение, описывающее влияние возмущения на скорость одиночного флюксона. Главным пренму- ществом такого метода является простота. Однако у него есть и недостатки. Во-первых, трудно проверить точность результата. Во-вторых, нельзя найти излучение, обусловленное возмущением, и вообще мы не можем найти никаких других изменений в решении, кроме модуляции скорости флюксона. Для многосолитонной волны необходимо определить изменение нескольких параметров, а поэтому нужны дополнительные законы сохранения. Хотя для расчета динамики более сложных решений могут быть использованы другие интегралы движения [3], наш опыт показывает, что они неудобны для получения новых уравнений, описывающих взаимодействие многих солитонов. В следующем параграфе мы кратко изложим простой метод возмущений, позволяющий обойти эти трудности. Им проще всего пользоваться в тех случаях, когда энергетический подход неудовлетворителен. Подчеркнем, однако, что энергетический метод, если только он приемлем, более предпочтителен, поскольку он более прямой.

ма теории возмущений рассматривается в § 6 и в работе [7]. Мы начнем с того, что перепишем уравне-* ние (2.1) в виде системы нелинейных уравнений первого порядка

& [ф;]+=

т 嗚.]0<е<1, (3.1)

или, если ввести векторное обозначение W s col(q), q)z),——в виде векторного уравнения

器+ N紡(3・Г)

где f 三 col (0,，(屮))，a N(»)——нелинейный оператор, который дается формулой

NВ閉[审.

При 8 = 0 имеется решение в виде «чисто» многосолитонной волны

取N+M+2厶=^ U，U1/ + Xi, . . ., “N+M+2J + %N+M+2L； “)，

(3.2)

где й — это (N + М + 2厶)-мерный постоянный вектор, составленный из скоростей N флюксонов и М анти- флюксонов, а также из частот и скоростей 2L бризе- ров. Величины х=(хь ..., хлг+м+2А)— это параметры, которыми определяются координаты флюксонов, ан- тифлюксонов и бризеров, а также фазы бризеров. Решение, даваемое формулой (3.2), содержит 2(^ + + М 4- 2L) параметров. Иногда мы будем обозначать эти параметры вектором р = (й, х).

Заметим, что время / входит в выражение для ” только в виде комбинаций 〃“ (Z = 1, ..., ^ + ^ + + 2L), хотя параметры скорости щ фигурируют также и в других местах [например, в формуле (1.1) параметром скорости 〃 определяется не только скорость, но и ширина солитона].

Первый шаг в теории возмущений ——это предположение, что решение 伪 полного уравнения (3.1) можно представить в виде

历=吼 + 8部+ (3.3)

Здесь 渺о есть (Л^ + М + 2L) -солитонное решение, даваемое формулой (3.2), где теперь все параметры р считаются модулированными во времени:

^0 =听N+M+2L(%, Xl (/) + 尤1Х%+м+2厶(/) +

+ %M+M+2L (/)； “ (%)),(3.4)

причем Xi = ui. Такое представление нуждается в некоторых пояснениях. Во-первых, заметим, что временное изменение параметров p(t) вызывается возмущением в/. Поскольку возмущение имеет порядок е, мы имеем dp/dt — 0(e). Закон изменения параметров нам пока неизвестен, его нужно найти. Во-вторых, прежде чем заменять величину Uit величиной X/(f), нужно позаботиться о том, чтобы корректно определить подходящие «параметры скорости» 〃卜... ...,un+m+2l- Можно, например, определить эти параметры по асимптотике решения 步о при больших f. В этом пределе решение % распадается на набор флюксонов, антифлюксонов и бризеров, которые можно рассматривать независимо друг от друга. Корректно определить частоту бризера нетрудно, если учесть, что бризерное решение — это аналитическое продолжение (на комплексной плоскости параметра) дублетного решения для пары флюксон ——антифлюк- сон !)« Приведем конкретный пример подстановки нулевого приближения. Если возмущение действует на одиночный флюксон (т. е. ^ = 1, М = L = 0), выра-

Существует н другой способ определения параметров скорости: можно следить за эволюцией отдельных нелинейных нормальных мод невозмущенного синус-уравкения Гордона. Определение параметров скорости тогда проводится непосредственно [8]; правильное нулевое приближение решения (в котором велн・ чина р" заменена величиной \ pi(f)dtf) строится методом обо

ратной задачи рассеяния. Хотя такой подход требует меньшей осторожности, для его применения требуется знание метода обратной задачи рассеяния,.

жение (3.2) соответствует формуле (1.1) и выражение (3.4) принимает вид

4aM[W（士个舒制

2〃 sch2〃 sch干干「方一X。（/） 一 入（f）] L "1 一 〃2⑴」「方一X。（/） 一 入（f）] L "1 一 〃2⑴」(3.4a)(3.4a)

2〃 sch

2〃 sch

干

干

「方一X。（/） 一 入（f）] L "1 一 〃2⑴」

「方一X。（/） 一 入（f）] L "1 一 〃2⑴」

(3.4a)

(3.4a)

где X0(f)= ^u(f)df. Мн детально опишем эволю- о

цию этой волны в § 4.

Второй шаг в построении схемы теории возмущений состоит в определении обыкновенных дифференциальных уравнений, которым подчиняются параметры р(/). Для этого подставим выражение (3.3) в нелинейное волновое уравнение (3.1), линеаризовав которое вблизи 渺о, получим

(3.5)(3.5)-L济=尹(泳0),г (/ = 0) = 0,

(3.5)

(3.5)

где L — линейный оператор, который дается формулой

-c :］出+［公田］…

Таким образом, поправка первого порядка F определяется из решения начальной задачи для линейного неоднородного уравнения с переменными коэффициент тами. Выбор нулевых начальных условий эквивалент тен предположению о том, что при / = 0 мы имеем чисто солитонную волну 步°. Правая часть в уравнении (3.5)— «эффективная сила» ST ——дается выражением

叫掘0"^^7叫掘0"^^7(3.7)(3.7)］2(N+M+2L)声依)=f依)£

叫掘0"^^7

叫掘0"^^7

(3.7)

(3.7)

/-1

в котором при вычислении частных производных па* раметров {%!(/), ..., Xn+m+2l(£)} считаются постоянными. Заметим, что в эффективной силе содержится

поправка к возмущению f. Дело в том, что Wo не является точным решением невозмущенного синус-уравнения Гордона, поскольку входящие в это решение параметры зависят от времени. Вычисляя эффективную силу, мы учтем, что dpj/dt = 0(e), так что эта поправка будет иметь порядок 0(1) [а не 0(1/е), как можно было бы подумать, глядя на формулу (3.7)].

Для поправки первого порядка мы имеем уравн, ние (3.5), т. е. линейную начальную задачу, решение которой можно записать в явном виде с помощью функции Грина. Этот метод будет подробно изложен в § 6 и 7. В частности, функция Грина пригодится для вычисления излучения ускоряющегося флюксона. Если же нас интересует только изменение параметров самого флюксона, то решение можно получить гораздо более простыми коротким способом. В общем случае решение Ж(х, /) уравнения (3.5) растет с увеличением 力 Этот рост приводит к тому, что поправка первого порядка е# становится большой, после чего разложение (3.3) непригодно. С математической точки__зрения причиной этого роста является то, что сила 歹 в уравнении (3.5) попадает в резонанс. Необходимо выбрать модуляцию параметров {pi(t)} таким образом, чтобы исключить этот резонанс; тогда мы получим правильное приближение. Наиболее опас* ные секулярные члены (отвечающие линейному росту по /) появляются из-за резонанса между членам% отвечающими вкладам солитонов в эффективную силу *(%), и соответствующими членами в функции Гри* на. Этой основной неустойчивости не будет только тогда, когда эффективная сила ортогональна некоторому конечномерному подпространству, «дискретному подпространству» ядра】) оператора М, сопряженного оператору!:.

/+ Г 01a Г OT^ — SSW 1

Мы обозначим ядра операторов L и L+ через ”(£) и “(/Л), а их дискретные подпространства — через 4°d(L) и 必(加).Эти подпространства имеют размерность 2 (N + Xf + 2L).

Идея метода заключается в том, что закон изменения 2(N + M + 2L) параметров {р/(0} нужно выбрать таким, чтобы эффективная сила была ортогональна н〃厶十)： _

声丄片式l十)■ (3.8)

Данное условие ортогональности на самом деле представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее отклик флюксона на возмущение f. Чтобы получить это дифференциальное уравнение, введем базис дискретного подпространства Л^ДМ): {%(%), / = 1,2, 2(N + M + 2L)}・ Тогда, используя выражение (3.7) для эффективной силы 歹，можно записать условие ортогональности в следующем виде:

2(N+M+2L) w

“1

(3.9)(3.9)= E(&J), /=1,2, ..., 2(V + M + 2L).

(3.9)

(3.9)

Здесь использовано обозначение «внутреннего произ

ведения»

(瓦 ⑦三 j F(x)G(x)dx.

Уравнение (3.9) и есть та 2 (N + М + 2L)-мерная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которая описывает медленное изменение параметров флюксонов. Нам осталось лишь продемонстрировать, как можно вычислить базис подпространства Nd(L力 непосредственно по многофлюк-' сонному решению %; мы, таким образом, покажем, что описывающая изменение параметров р система (3.9) определяется только параметрами многофлюк- сонного решения.

Во-первых, из уравнения (3.9) следует, что *в базисе {Б/} нам достаточно учесть только члены по-

рядка 0(1) по 8. Поэтому при вычислении {»(%)} параметры p(t) можно считать постоянными и вместо (3.3) подставлять (3.2).

Во-вторых, составляющие “(L) можно получить путем дифференцирования Wq по 2(N + М + 2L) параметрам р. Действительно, поскольку в уравнение (3.1) эти параметры явно не входят, дифференцируя (3.1) по р/, получаем L(d呼o/dp/)= 0. Здесь мы написали d/dpi, чтобы напомнить, что в данном случае при дифференцировании по щ параметры X/ = 〃“ нельзя считать постоянными. Таким путем можно получить 2(^ + Л^ + 2L) компонент ядра оператора L:

*/(厶).

Но нам нужны компоненты сопряженного пространства #(厶十).Их нетрудно найти, заметив, что если PwH(L), то /卩三片亿十)，где

В самом деле, пусть 卩三力^(厶)，тогда из равенства 厶卩=0 следует соотношение

&，+ Л Л.3 二^)厂 1J/=O・

\ 一。%% + cos фо i 0 /

Умножая на J, получаем

&W +”—I 二;)厂方=о,

\ — 5ХХ + cosqpo ] 0 )

или 厶十/卩=0. Таким образом, с точностью до 8

#O = span{丿瑞，j=l,2, ・.・,2(N + M + 2L)}・ Наконец, поскольку . 撈。.= 步о (%, 〃卄 + хь ... …,〃儿+М+2/ + ^N+M-\-2L\ “), имеем

河=0 [ d阮ди； — d%/ ' d〃/ *

где в правой части при вычислении частных производи ных параметры {X/} следует считать постоянными.

Тогда для любого момента времени f

SP叫^} = spa叩丽卜

В этом последнем базисе уравнения (3.9) принимают вид

= £('鬻，f(吼))，j=l,2, ・・・，2(" + М + 2£). (39)

Полученные уравнения — основной инструмент теории возмущений для солитонов ——и составляют главный результат данного параграфа. Уравнение (39) для параметров, определяющих координаты и скорости флюксонов, позволяет рассчитать отклик солитонов на структурное возмущение 阮 исходя непосредственно из многосолитонного решения 渺о. Никакой другой информации, кроме аналитической записи многосолитонного решения, не требуется. Система (39) [т. е. система (3.9) в конкретном базисе] и будет для нас отправным пунктом при исследовании ускорения солитонов под действием структурного возмущения е/.

С более "общей точки зрения существенно, что мы свели бесконечномерную систему (исходное уравнение в частных производных) к конечномерной — 2 (N + М + 2L)-мерной — системе для основных характеристик решения— координат и скоростей солитонов.

Мы проиллюстрируем этот метод в следующих двух параграфах. Затем мы рассчитаем излучение флюксонов, подвергающихся действию возмущений 端

и тем самым оценим точность метода.

§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИОДИНОЧНОГО ФЛЮКСОНАМЕТОДОМ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

В данном параграфе мы применим изложенную выше схему к анализу поведения одиночного флюксона под воздействием произвольного структурного

возмущения. Затем, мы рассмотрим ряд конкретных видов возмущений, представляющих практический ин-» терес.

А, Общие уравнения,описывающие движение флюксона

Предположим, что на одиночный флюксон (или антифлюксон) действует возмущение общего вида ef. Тогда решение ^0 дается формулой (3.4) с изменяющимися параметрами — скоростью 〃 и координатой х0. Систему уравнений для этих двух параметров (3.9丿)[или эквивалентную ей систему (3.9)] можно записать в следующем виде:

^ = + е - ^— ^ f [фо(б, х, /)]sch0dx, (4.1.la) — ОО

芻=一8 匕必戸1 J Н(ро(0, X, O]0schGJx, (4.1.16)

где,

0 = 0(х, /) ^ 土 [% — (u(f)df — xo(O]/“1 — 〃2优).о

Уравнения (4.1.1) описывают отклик одиночного солитона на возмущение общего вида. Здесь мы остановимся чуть подробнее на выводе уравнений (4.1.1) из системы (3.9), а также на общих свойствах этих уравнений. Мы представим процесс редукции во всех деталях, избегая общих обозначений (которые могут скрывать реальные алгебраические трудности), и читатель увидит, что достаточно лишь нескольких довольно простых выкладок. Затем, в следующих пунктах данного параграфа, в качестве ef будут взяты конкретные виды возмущения.

Одиночный флюксон дается решением % с параметрами (Р1,Р2> = (〃, ％о)； рассмотрим соответствующее ядро—_

/d(L)wspanf售,誉卜

Для упрощения выкладок мы немного изменим этот базис. Заметим, что в формуле (3.9) достаточно под^ ставить элементы базиса порядка 0(1) по е, а в этом приближении

吼

дх0 uST"，

Следовательно, в низшем порядке по 8 базис ядра 彳乂乙)一это {dWo/dut dWQ/dt}, a Jfd(L^) = =span {J(д^о/ди), J(dWQ/dt)}. Запишем базис под* пространства #&(£+) в явном виде:

瓦

X — Фо, / /X — Фо, и /

где точка над знаком равенства напоминает о том, что в правой части нужно учитывать только члены порядка 0(1). В этом базисе уравнения (3.9) примут следующий вид:

[,® 力伙-Ф«Ф«) d屮 +

「ОО[8

+ Т(QMP" —以押。^% % = е ( f^^tdx, (4.1.2а)

[(3〃押〃 —ФЛ/) d%] й +

+\ (^x^ut — ^xt^ dx\XQ = z \ f^^dx. (4.1.26)

J ，

где для сокращения записи мы ввели обозначение Ф = ф0. Остановимся на уравнении (4.1.2а). Посколь* ку фо дается выражением

% _ 加 _ \ 〃(片)dtf 11

(Po = 4arctg exp 士^=f •

функции фо, f и фо, х — четные по переменной 招 а их производные по времени ф0,江 и q)0, *t — нечетные. Вследствие такой симметрии коэффициент при х0 обращается в нуль и уравнение (4.1.2а) сводится к уравнению

U

^ut^t — Мхх + Ф« sin ф) dx

где использовано равенство ф” = ф%% — sin ф. Проинтегрировав один раз по частям, получим

方传嚼+ ^磴+ l-cos(p) d^u =

- =e，f(ф)(ptdxt

что в точности совпадает с обсуждавшимся в § 2 уравнением для энергии

Если теперь мы учтем, что для одиночного солитона ^(ф) = 8V1 — и2, то сразу получим (4.1.1а).

Рассмотрим теперь уравнение (4.1.26). Коэффициент при й обращается в нуль по тем же соображениям симметрии, что и выше. Интегрирование второго слагаемого по частям дает

显 \网仅办:］北=ё ( Нф) фи^x.

Подставив сюда (р0 == arctg(exp0), получим (4.1.16)* В заключение сделаем два замечания относительно общей структуры уравнений (4.1.1). Во-первых, рассмотрим решения уравнения (4.1.1а) в случае, когда возмущение f не зависит от фо, а зависит только от х, т. е・ на солитон действует внешняя сила. В этом

случае уравнение (4.1.1а) можно записать в следующем виде [4, 5]:

du д тг

Здесь эффективный потенциал дается формулой

U^wN二/2『扛士"匸产8 一月曲(9)^,

где X = X(/)'= ) u(f)df + x0 ——зависящая от вре- о

мени координата центра флюксона. В такой форме уравнения (4.1.1а) проявляются свойства флюксона как частицы. Его ускорение (обусловленное возмущением £『)описывается уравнением типа уравнения Ньютона с эффективным потенциалом, определяемым усредненным по самому флюксону внешним возмущением. 、

Рассмотрим теперь уравнение (4.1.16). Заметим, что его правая часть обращается в нуль, если возмущение f[(po(x, /), х,力 является четной функцией угла 0. Тогда х0 = 0 и проведенный в § 2 энергетический анализ полностью эквивалентен первому приближению теории возмущений. Однако в общей формуле для возмущения (2.2) есть слагаемые

2 固6(% 一的)sinq)

(отвечающие микрозакороткам в точках %==а/, которые нарушают четность функции 厶 Влияние этих закороток мы и рассмотрим в следующем пункте.

Б. Закрепление флюксонов микрозакороткамй

Рассмотрим сначала одиночную микроскопическую закоротку, расположённую в начале координат (х = 0), максимальный джозефсоновский ток в которой равен ц. В этом случае возмущение имеет вид

е/ = — а牝 + 卩％4f — 丫 一汕(%) sin %

Определим координату одиночного флюксона, на который действует это возмущение, следующим обра* зом:

Хе\〃(У)" + %0・о

Тогда Х = 〃 +土о и после вычисления интегралов в уравнениях (4.1.1) получим автономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений для перемен* ных 〃(/) и Х(/):

第》= 士 qi (1 - "2产-a" (1 - "2)—

_£u + ^(1_a2)sch2(_£_)th(-?T£=).

(4.2.1a)

皆= “TX"scM(』)th(备)•(4.2.16)

Решения этих уравнений удобно представить на фазовой' плоскости (u, X). Координаты состояний равновесия —точек, в которых 〃 = 0 и Х = 0, — даются выражением

〃 ==0, X = Хо,

где Хо — корень уравнения

-§- + sch2 (X。) th (Хо) = 0.(4.2.2)

Рассмотрим некоторые характерные численные решения уравнений (4.2.1). Возьмем начальные условия, соответствующие флюксонУ» приближающемуся к микрозакоротке со стороны больших отрицательных значений X. Тогда sch2(X/V 1 —冰)^ 0 и движение флюксона хорошо описывается с помощью энергетического метода, изложенного в § 2, в частности справедливо уравнение (2.10). Поэтому естественно предположить, что флюксон приближается к микрозакоротке с равновесной скоростью &о. На рис. 4 показаны результаты расчетов при значениях а = 0,005 и 0 = 0* соответствующих реальной диссипации в q*Q・

зефсоновской линии передачи, изучавшейся экспериментально в работе [10]. Для максимального джо- зефсоновского тока через микрозакоротку 卩 было произвольно выбрано значение 0,5. Будем также считать, что экспериментатор может регулировать ток смещения у. Если ток у (а следовательно, и скорость 〃8)

Рис. 4. Траектории на фазовой плоскости (u, X), описывающие движение флюксона, полученные интегрированием системы (4.2.1) при а = 0,005, 0 = 0, у = 0,5.

достаточно велик, то флюксон вблизи микрозакоротки замедлится, но не остановится. Если же ток у (и 〃8) мал, то флюксон теряет всю свою кинетическую энергию еще не доходя до закоротки; в этом случае он «отражается» и постепенно приближается, осциллируя, к «точке закрепления», представляющей собой состояние равновесия (u, X) = (0, Хо). Если предположить, что энергией, диссипируемой из-за слагаемых а и § при столкновении с микрозакороткой, можно пренебречь по сравнению с кинетической энергией флюк- сона, то пороговое значение тока у, при котором происходит закрепление, можно легко вычислить энергетическим методом. Из (2.6) следует, что энергия покоя флюксона равна 8, так что кинетическая энергия флюксона, налетающего на микрозакоротку со

скоростью 〃8, равна 8(1/“1 — и2— 1). Согласно формуле (2.46), максимальная энергия, которую может поглотить микрозакоротка, равна 2卩.Приравнивая эти два значения энергии и подставляя Uoo из формулы (2.11), получаем максимальный ток смещения, при котором возможно закрепление:

Y0二*[8卩 +陷%. (4.2.3)

При значениях аир,, отвечающих рис. 4, это дает Yo = 0,00328, что хорошо согласуется с экспериментальным значением.

В расчетах, результаты которых представлены на рис. 5, параметр диссипации а увеличен до а=0,033. Получающееся теперь из формулы (4.2.3) критическое значение у0 = 0,0217 снова хорошо согласуется с экспериментальными данными. Поэтому представляется интересным сравнить полученные численно траектории, представленные на рис. 5, с аналитическим решением, которое можно найти при а = р = = у = 0. В этом случае уравнение (4.2.16) сводится к виду

Интегрируя это уравнение совместно с (4.2.1а), полу-* чаем следующее выражение для траектории на фазо^ вой плоскости (〃，X):

” 士 "EArsch 77(VTT - VTT)-

(4.2.4)

Если какой-либо из диссипативных членов а, р, у не равен нулю, приближенная формула (4.2.4) все же годится в случае относительно небольшой потери или

Рис. 6. Траектория, приводящая к закреплению, полученная численным интегрированием формулы (4.2.1) (спло皿ная линия), и приближенная траектория, рассчитанная по формуле (4.2.4) (штриховая «линия).

приобретения энергии флюксоном. Например, на рис. 6 приведены для сравнения две траектории: траектория, полученная при численном интегрировании системы (4.2.1) с параметрами а = 0,033, р = 0, у = 0,022 и ц = 0,5 (сплошная линия), и траектория, вычисленная по приближенной формуле (4.2.4) (штриховая линия).

Из приведенных на рис. 5 результатов вычислений видно, что флюксоны, отраженные микрозакорот- кой, приходят в точку закрепления не монотонно, а осциллируя. Чтобы аналитически исследовать эти

осцилляции, линеаризуем уравнения (4.2.1) вблизи точки закрепления (0, Хо). Затем, подставив решение в виде

〃，X — Хо 〜Re [exp (s/)], получим следующее выражение для характеристической частоты:

s = — }(a +春)士 j «Q? — ； (a + 寺),(4.2.5) где

0mm (1 + 子 Хо) [2 sch2 (X。)th2 (Xo) — sch' (Xo)]・

Из формулы (4.2.2) следует, что Х()зависит только от 卩 н у, следовательно, от этих же величин зависит и частота Q. Вид этой зависимости ясен из рис. 7. Если

a然

a儲

Рис. 7. Зависимость квадрата частоты колебаний при закреплении от у.Рис. 7. Зависимость квадрата частоты колебаний при закреплении от у.丁丁ооу->0, то а 〜п?/2. Существует критическое значе^ ние тока смещения、с = 4卩/冗3 V% при котором Q2 обращается в нуль. Если ток смещения превышает это критическое значение, то уравнение (4.2.2) не имеет корней и закрепление невозможно. Из рис 7 видно, что при значении 卩=0,5, которое выбиралось для расчетов, приведенных на рис. 4 и б, частота колеба-

Рис. 7. Зависимость квадрата частоты колебаний при закреплении от у.

Рис. 7. Зависимость квадрата частоты колебаний при закреплении от у.

丁

丁

о

о

ний всегда меньше единицы. Это важно с точки зрения применимости простого варианта теории возмущений. Поскольку, как следует из формулы (1.4), час< тота малых колебаний поля излучения больше единицы, осцилляции при закреплении не генерируют излучения. В результате, как это следует из формулы (4.2.5), добротность линии для этих колебаний равна Q/(a + B/3)・

Челнок квантов потока

Рассмотрим теперь «челнок квантов потока»— предложенный Фултоном, Дайнсом и Андерсоном [11] вариант сдвигового регистра, выполненный на джозефсоновском контакте. Это устройство представляет собой обычную (описываемую уравнениями гиперболического типа) линию передачи, периодически нагружаемую дискретными джозефсоновскими контактами. Флюксоны могут занимать стационарные положения («закрепляться») в промежутках между дискретными контактами. При подаче на линию импульса тока смещения подходящей длительности и амплитуды каждый флюксон смещается на одно звено.

Для качественного описания такого устройства можно предложить следующую модель. Рассмотрим джозефсоновскую линию передачи с а =/= О, р #= О, Y = Y«), в которой на равных расстояниях друг от друга расположены одинаковые джозефсоновские контакты. В этом случае вместо (4.2.1) имеем

黑=-^ (1 - 〃2)%—a〃 (1 — 〃2) - ^и +

+ f(l-«2)Xsch2(：^)th(^^), (4.3.1а) 晋…貝？…)SCh2(修)出科).

“ (4.3.16)

где, как и раньше, X — координата центра флюксона, а п = 0, ±1, ±2 ... . Если ток смещения равен нулю, то флюксоны занимают равновесные положения как

раз посередине между локальными максимумами тока Джозефсона, т. е. в точках

Хц = (% — ％) а.

Таким образом, уравнения (4.3.1) имеют периодический набор состояний равновесия (и,Х) = (0, Хп).

Пусть флюксон находится в одном из этих состояний равновесия (скажем, Хо =——а/2) в тот момент, когда подается импульс тока смещения

YJW = 46 «)•

Тогда скорость и скачкообразно возрастает от нуля до значения

+ (£)「.

после чего система развивается в соответствии с уравнением (4.3.1) при у=,0. Заметим, что если бы не было диссипации (а = р = 0), то система не могла бы функционировать как челнок квантов потока. В самом деле, если скорость 〃о достаточно велика для того, чтобы флюксон мог проскочить первый точечный контакт (точку % = 0), то у него хватит энергии, чтобы проскочить все остальные. Но для работы сдвигового регистра нужно, чтобы импульс у«) переводил флюксон только на одно звено вдоль периодической линии.

Если имеется диссипация (параметр а или § не равен нулю), то можно так выбрать площадь А управляющего импульса у«), чтобы флюксону хватало энергии для перехода на одно звено, но чтобы дальше ему не давала продвинуться диссипация. В «нерелятивистском» пределе (力《п/4) имеем 〃q—(а + + ₽/3)u, так что один переброс происходит за время порядка а/"» Таким образом, А〃 々一(а + В/3)а, и допустимый интервал значений 4 примерно равен

АА~^(а + В/3)а・(4.3.2)

Чем меньше расстояние а между дискретными джо- зефсоновскими контактами, тем больше интервал допустимых значений параметра А. Но расстояние а нельзя брать слишком большим, поскольку тогда в одном звене сдвигового регистра смогут находиться

два флюксона. Определим условия, при которых между двумя дискретными контактами может находиться только один флюксон. Для этого рассмотрим стационарную задачу (屮力=0) и при 丫«) = 0 получим обыкновенное дифференциальное уравнение

sin ф 11 + 科 2 6 (% ——/га)}・sin ф 11 + 科 2 6 (% ——/га)}・(4.3.3)(4.3.3)

sin ф 11 + 科 2 6 (% ——/га)}・

sin ф 11 + 科 2 6 (% ——/га)}・

(4.3.3)

(4.3.3)

Если вернуться от нашей модели к более общей ситуации, то при проектировании челнока квантов потока представляют интерес решения уравнения 屮〃= =F(x)sin ф, где F(x) = F(x + а)-^функция, точно описывающая распределение тока Джозефсона. С этой точки зрения, даже взяв вместо (4.3.3) упрощенное уравнение

=卩 sin <р £ 6 (% — па), (4.33)

мы все равно получим более близкую к реальности модель челнока квантов потока. Решение уравнения (4.3.3') легко находится — это «кусочно-линейная» функция, наклон которой меняется на величину р, sin ф в точках х = па. Подобное решение, в котором ф увеличивается до Зл при изменении х от 0 до а, соответствует захвату двух флюксонов, и оно реализуется при 卩а = 5п/2. Следовательно, для того, чтобы в одном звене сдвигового регистра типа челнока квантов потока не могли находиться два флюксона, должно выполняться условие

卩q < 5л/2.

Таким образом, мы видим, что подходящим значением является а ~ 1. При а《1 минимум энергии между двумя дискретными джозефсановскими контактами недостаточно глубок. Если же а》1, то между двумя контактами смогут находиться два или больше покоящихся флюксона. Область допустимых значений площади импульса у«) по порядку величины равна параметру диссипации а + В/3. Из формулы (4.2.5) следует, что если, например, а + ₽/3 ^ ^ 0,3, то перебрасываемый флюксон довольно быстро займет стационарное положение.

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ФЛЮКСОНОВ

Столкновение флюксон — антифлюксон

Накаджима, Онодера и Огава [12], разрабатывая ЭВМ на джозефсоновских устройствах, использовали два типа ДЛП: 1) разрушающую линию, в которой флюксон и антифлюксон аннигилируют при столкновении, и 2) неразрушающую линию, в которой флюксон и антифлюксон проходят друг сквозь друга. Присоединяемые к концу линии устройства тоже можно разделить на безотражательные и отражающие в зависимости от того, исчезает ли флюксон на конце линии или появляется отраженный антифлюксон. Но граничное условие на конце <р* = 0 автоматически выполняется, если предположить, что флюксон сталкивается с виртуальным антифлюксоном. Поэтому критические значения параметров линии, отделяющие разрушающую линию от неразрушающей, идентичны значениям параметров, при которых безотражательные оконечные устройства становятся отражающими. Таким образом, при проектировании ЭВМ на ДЛП необходимо уметь аналитически рассчитывать аннигиляцию флюксона с антифлюксоном.

Прежде чем приступить к анализу такой аннигиляции методом возмущений, напомним, что точное дублетное решение невозмущенного синус-уравнения Гордона дается формулой (1.3), где параметры скорости и фазы надо считать постоянными.

Предположим теперь, что а =И= 0 и у =/= 0, так что исходное нелинейное уравнение в частных производных имеет вид

^н — Фхх + sin ф — — aqpf — у. (5.1.1)

В разложение решения в ряд по малому параметру 呼=+ 支犷 + ・・・ нужно подставить выражение для медленно меняющегося дублета

Фо = 4 arctgФо = 4 arctgsh [(, u (Г) " + хоsh [(, u (Г) " + хои ch [(х —勺 «))/“ 1 — 〃2 jи ch [(х —勺 «))/“ 1 — 〃2 j

Фо = 4 arctg

Фо = 4 arctg

sh [(, u (Г) " + хо

sh [(, u (Г) " + хо

и ch [(х —勺 «))/“ 1 — 〃2 j

и ch [(х —勺 «))/“ 1 — 〃2 j

(и соответствующее выражение для второй компоненты %).

Здесь фигурируют только три независимых параметра и, Xi и х0, а не четыре, как можно было бы ожидать для двухсолитонного решения, так как скорости флюксона и антифлюксона предполагаются равными по величине. Это автоматически выполняется на открытом конце линии, где антифлюксон «виртуальный». Если скорости флюксона и антифлюксона были равны по величине в начальный момент времени, то они останутся равными, так как данное возмущение не нарушает симметрии.

Эффективная сила, входящая в уравнение для поправки первого порядка W = col(q)i, фп), имеет следующий вид (здесь мы снова для простоты пишем <р вместо фо):

一 一 (- ^%*+^%自一^%Л)、

g(%)= v 111 •

' 一也- 不 一 g他山+w %/1-т也。咨丿

Три независимых элемента подпространства #(厶十) находятся дифференцированием(р0 по х, / и 〃：

X — Фо, JC /' — 00, f 丿\ — Фо, u /

Если параметр 修 вь1брать равным нулю, то условие ортогональности (戶,瓦)будет автоматически выполнено. Тогда после отбрасывания равных нулю слагаемых два других условия ортогональности примут еле- дующий вид:

: 3他一WPf)d% "=、(砌+№)也 (5.1.2a)

、他网一%/PJ/%=\ (a9用+Y必)也(6.1.26)

где ф = ф0. Так же, как это было сделано в § 4, п.《А》, мы можем переписать (5.1.2а) в виде условия баланса энергии

"甯必=-[(a无 t + YTo, t)dx。

Здесь 非(q)o) = 16(1 — 〃2)-％, поскольку в асимптотике решение(р0 разделяется на флюксон и антифлюксон с одинаковой энергией 8(1 ——〃？)-%・

黑=尸（Y，a, "，T）,黑=尸（Y，a, "，T）,(5.1.3)(5.1.3)Таким образом, для скорости и получаем уравнение ,

黑=尸（Y，a, "，T）,

黑=尸（Y，a, "，T）,

(5.1.3)

(5.1.3)

где

冗(1 一〃2)% ch 7 —2)ch2「

] In If (Vsh2「+ 〃2 -sh7)|]G sh T Vsh2 T ^ J] In If (Vsh2「+ 〃2 -sh7)|]G sh T Vsh2 T ^ JXXy 4(sh2T + 〃2)%一 — a —sh27+"2 — A

] In If (Vsh2「+ 〃2 -sh7)|]

G sh T Vsh2 T ^ J

] In If (Vsh2「+ 〃2 -sh7)|]

G sh T Vsh2 T ^ J

X

X

)“ (〃)dt，+ xo (0.“ 1 — 〃2

Анализ уравнения (5.1.26) показывает, что при 〃一＞0 мы имеем х0《au. Поэтому с точностью до а справедливы равенства

Последнее уравнение решалось численно с начальным условием 〃 = 〃8 при Т = — оо, где 〃8 ——равновесная скорость изолированного флюксона [формула (2.11)]. Особый интерес представляет определение критических значений у и а, отделяющих разрушающие столкновения от неразрушающих. Для этого при заданном а мы должны найти наибольшее из всех значений у, при которых скорость “ уменьшается до нуля. При

больших значениях у параметр скорости будет оставаться положительным и рано или поздно снова увеличится до равновесного значения 〃8. Критическая кривая на плоскости у ——а приведена на рис. 8. Здесь же представлены приближенные значения, полученные Накаджимой с соавторами [13] путем непосред-

Рис. 8. Критические значения у и а, отделяющие неразрушающие столкновения флюксон — антифлюксон от разрушающих.

Линия —расчет по формуле (5.1.3); кружки — данные работ [12, 13].

ственного численного интегрирования уравнения в частных производных (5.1.1). Нетрудно видеть, что результаты обоих расчетов хорошо согласуются даже при достаточно больших а, когда теория возмущений могла бы и потерять точность.

Б. Распад бризера .

В описанном выше неразрушающем столкновении флюксона с антифлюксоном параметр скорости 〃 уменьшается до некоторого минимального значения и затем снова увеличивается до 〃8. Если же и2 становится меньше нуля, то флюксон и антифлюксон сое-

диняются в бризер, описываемый формулой (1.4). Заметим, что энергия бризера равна

殯=16 sin v

и что решение (1.3) можно получить из (1.4) подстановкой

—resin (^多).(5.2.1)

Таким образом, при и2 = 0 и v = л/2 полная энергия равна сумме энергий покоя флюксона и антифлюк- сона (т. е. 16). Если и2 < 0, то v < л/2 и 非в V 16.

Под действием возмущения параметр v уменьшается от л/2 до нуля при /->8. Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, описьь вающее изменение v(f), можно получить либо снова проделав всю процедуру метода возмущений, либо непосредственной подстановкой (5.2.1) в (5.1.3):

dv冗丫 tg у cos [(cos v)力@tg v cos? [(cos v) 〃 乂

dt V^g2 v sin2 [(cos v) / ] + 1 tg2 v sin2 [(cos v) /] + 1

In I “tg2 夕 siM [(cos V)* + 1 — tg 夕 sin [(cos v) “ Itg v sin [(cos v) /] V^g2 v sin2 [(cos v) /] +T

(522)

Изучение динамики распада бризера важно для разработки вычислительных систем на основе ДЛП, поскольку остаточная энергия бризеров может давать существенный вклад в шумы ЭВМ.

При v->0 уравнение (5.2.2) можно упростить:

名L 粵 cos / — 2av cos2 九

Усредняя по периоду колебаний бризера, получаем отсюда

d〈v〉•/、

Таким образом, время жизни бризера примерно равно а-】. Если на единице длины ДЛП в единицу времени образуется R бризеров, то плотность энергии возникающего при этом шума приблизительно равна 16/?/а.

В этой оценке мы пренебрегли потерей энергии бризера на излучение в сплошной спектр периодических волн. Поскольку минимальная частота малых колебаний поля излучения равна единице, а частота осцилляций стационарного бризера cos v всегда меньше единицы, это излучение, видимо, будет существенно только при v-> 0. Но в этом пределе поле излучения описывается линейным уравнением wxx ——wu — 一⑪=awt и затухает с тем же декрементом, что и бризер. Следовательно, хотя часть энергии бризера может трансформироваться в энергию излучения, на суммарную энергию фона (т. е. шум) это не влияет.

Пачки флюксонов

Рассмотрим возмущенное синус-уравнение Гордона в следующем виде:/

屮扭—屮％% + sinqp = ₽qpxxf — ад — у. (5.3.1)

В свое время было показано, что это уравнение допускает решение в виде бегущих волн, представляющих собой «застывшие» образования из произвольного числа флюксонов. Устойчивость некоторых из этих решений была установлена прямым интегрированием урав・ нений в частных производных, а также измерениями на механическом аналоге ДЛП [13].

В связи с обсуждаемыми здесь проблемами интересно посмотреть, что нового может добавить теория возмущений'к известным количественным характеристикам этих решений. В простейшем случае имеются два флюксона, для которых невозмущенное решение уравнения (1.1) можно записать в виде

92 n

larctglarctg1-〃[〃2-д/([_〃；) (1-砲 / X-Xj-U^ XT?-〃2” 1 -“[“z+^^a -〃；)(1 -磋)17\ 一“； 7、—碌1-〃[〃2-д/([_〃；) (1-砲 / X-Xj-U^ XT?-〃2” 1 -“[“z+^^a -〃；)(1 -磋)17\ 一“； 7、—碌

larctg

larctg

1-〃[〃2-д/([_〃；) (1-砲 / X-Xj-U^ XT?-〃2” 1 -“[“z+^^a -〃；)(1 -磋)17\ 一“； 7、—碌

1-〃[〃2-д/([_〃；) (1-砲 / X-Xj-U^ XT?-〃2” 1 -“[“z+^^a -〃；)(1 -磋)17\ 一“； 7、—碌

Теперь ядро оператора L имеет четыре независимые компоненты, получающиеся дифференцированием q)2

ч Z—^ x)z %«2%1 ^ ^ ^ч Z—^ x)z %«2%1 ^ ^ ^в- aв- aпо четырем параметрам 〃卜 〃2, %ь х2. Четыре соответствующих условия ортогональности составляют систему

ч Z—^ x)z %«2%1 ^ ^ ^

ч Z—^ x)z %«2%1 ^ ^ ^

в- a

в- a

в- aв- a(5.3.2)

в- a

в- a

空 ([①S$ 一 G例,%%，- "a],①。…)，

где А — матрица 4 义 4 внутренних произведений компонент ядра.

Застывшее образование из двух флюксонов возникает только из-за слагаемого с р, без него их бы не было. При заданных а, р, у такое образование состоит из двух флюксонов, движущихся с постоянной скоростью 4c = 〃c(a, Р, у) на расстоянии %i — х2 = =хс (а, р, у) друг от друга. Это образование имеет одну трансляционную степень свободы. При решении задачи методом возмущений указанные значения скорости и расстояния между флюксонами должны, очевидно, являться состояниями равновесия системы (5.3.2), т. е. при “1 = 〃2 = & и Xi — х2 = хс правые части равенства (5.3.2) равны нулю. Ясно, что эти состояния равновесия являются функциями параметров а, р, у. При р = 0 равновесных решений, судя по всему, нет.

Такой подход к установлению факта существования и вычислению характеристик застывших образований, основанный на теории возмущений, следует сравнить с другим подходом — непосредственным анализом решений уравнения (5.3.1) в виде бегущих волн: ф =(рг(х ——ut). При этом уравнение в частных производных (5.3.1) переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка

——puqp^ + % (1 — 〃2) + a〃叫—sin(рг — y =。・(5.3.3)

Размерность фазового пространства уравнения (5.3.3) равна трем при р=/=0 и только двум при 0 = 0. Сле-

довательно, как показывают элементарные топологические рассуждения (основанные на свойстве непрерывности траекторий), р #= 0 есть необходимое условие образования флюксонами бегущих пачек [14]. С точки зрения численного исследования уравнение (5.3.3) по ряду причин более удобно, чем система (5.3.2).

Уравнение (5.3.3) точное, а система (5.3.2) верна с точностью до а.

В системе (5.3.2) нуж

но варьировать четыре параметра, а в уравнении (5.3.3) только один — и.

Приисследовании

уравнения (5.3.3) не составляет труда увеличить число флюксонов в пачке, тогда как в системе (5.3.2) нам лось бы иметь дело с уравнениями для N

Рис. 9. Кривая решений в виде застывшего образования из бегущих флюксонов вблизи критической точки.Рис. 9. Кривая решений в виде застывшего образования из бегущих флюксонов вблизи критической точки.флюксонов.

Рис. 9. Кривая решений в виде застывшего образования из бегущих флюксонов вблизи критической точки.

Рис. 9. Кривая решений в виде застывшего образования из бегущих флюксонов вблизи критической точки.

Таким образом, установить факт существования и

форму застывших образований путем анализа бегущих волн с помощью уравнения (5.3.3) проще, чем методом возмущений. Однако теория возмущений может оказаться полезной для исследования устойчивости застывших образований, а также, например, для

описания нестационарного процесса перехода от неустойчивых застывших образований к устойчивым. Численный анализ уравнения (5.3.3) показывает, что для ^-флюкcoннoгo застывшего образования с ^ > 1

имеется критическое значение у, ниже которого таких образований нет вообще. Если же у больше этого критического значения, то уравнение (5.3.3) имеет два решения. Как следует из численного исследования уравнения в частных производных (5.3.1), быстрая ветвь (4 на рис. 9) устойчива, а медленная (В) неустойчива. Такой вывод можно сделать на основании простых энергетических соображений. В самом деле, как следует из формулы (2.8), для решений выпол-

няется соотношение

2冗及丫 = “、(aqp2 + ₽Ф^Х) dx. (5・3・4)

Если у превысит это значение, то 雍 > 0 н величина “ будет возрастать. При этом пачка флюксонов neps ходит от ветви В к ветви А. Если же у меньше значения, определяемого формулой (5.3.4), то <Й < 0. Тогда величина “ будет уменьшаться, и решение сно* ва будет удаляться от ветви В. Следовательно, ветвь В неустойчива, а ветвь 4 устойчива. Теория возмущений позволяет исследовать переход во времени от неустойчивой ветви бифуркационной диаграммы к устойчивой. К моменту написания данной статьи мы еще не проделали этих вычислений, но их можно провести для уравнения (5.3.2), используя методы, ана-* логичные развитым недавно Ньюэллом [15].

ФУНКЦИЯ ГРИНА ДЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ,ИСПУСКАЕМОГО ФЛЮКСОНОМ

Наша следующая задача — расчет излучения многосолитонной волны, на которую действует возмущение. Главную роль в таком расчете будет играть функция Грина 9 линейного уравнения (3.5). В этом параграфе мы построим функцию Грина 乡，а затем в § 7 покажем, как в типичных ситуациях она применяется к вычислению испускаемого флюксоном излучения. Кроме того, с помощью функции Грина можно последовательно вывести уже использовавшиеся нами условия ортогональности (3.9), а также проверить точность проведенных расчетов.

Наиболее последовательно построение функции Грина можно выполнить методом прямой и обратной задачи рассеяния. Этот метод позволяет получить полный набор функций (вместе с условием ортогональности) ,являющийся естественным базисом для построения функции g. Представление 9 через этот базис можно найти для любого решения нулевого приближения, но прозрачные формулы получаются только в случае чисто многосолитонного решения.

В этом частном случае, которым мы и займемся ниже, существует альтернативный способ построения функ* ции Грина — с помощью преобразования Бэклунда. Такой вывод требует лишь минимального использова* ния теории рассеяния; он имеет и другие преимущества, которые станут ясны из дальнейшего изложения.

Определение функции Грина

Решение линейного неоднородного уравнения (3.5) для поправки первого порядка Ж можно выразить через матричную функцию Грина:

f ОО

泳=\ \ 9 (%, f I к Q 页(КС " 〃・

О —оо

Здесь матричное ядро g(x, f|x‘, У) является решением однородной начальной задачи в переменных (х, /): (-3^»。，(6.1.2а)

lim^(x,/К Л = Г I ? ]б(”/)・ (6.1.26)

Аналогично 乡「является решением сопряженной за^ дачи в переменных (W, f):

^Ji.^-^ П=о, />/>о, lim 乡г (%, /1: ) 6 (% — /)・ 十今力\ u 1/

Таким образом, столбцы матрицы 乡 как функции переменных %, / принадлежат ядру 4(L) оператора 厶， а строки 乡 как функции переменных xz,，принадлежат ядру 4(L+) оператора 厶十.Чтобы получить функцию Грина, нам придется изучить эти два ядра.

У нас решение нулевого приближения ф = 1Fo―1 это чисто (N + M + 2L) -флюксонная волна, у которой параметры скорости и координаты {р/, / = 1, 2,...

2(А^ + AI + 2L)} изменяются под действием возмущения е/. Поправка первого порядка 犷 описывает

поле излучения, создаваемое этими модулированными флюксонами. Поскольку линейный оператор L полу-* чается в результате линеаризации нелинейтого уравнения вблизи многофлюксонного решения 步о, мы можем получить некоторые компоненты ядер 彳(厶)и H(L+) дифференцированием 恥 по параметрам скорости и координаты {р/, / = 1, 2, ..., 2(巾 + 〃 + + 2L)}. Ясно, что этот конечный набор параметров не даст нам всех составляющих бесконечномерного ядра. Поэтому мы должны дополнить имеющийся набор параметров до бесконечного множества, которое даст базис ядра. Имея этот базис, мы сможем построить функцию Грина в явном виде [8].;

Б. Выражение для функции Грина

В общем случае решение @ состоит из (^ + ^ +! + 2L) флюксонов и непрерывного излучения, в котором присутствуют волны всех длин. Точно так же, как мы дифференцировали ф по 2(% + 〃 + 2£) параметрам флюксонов, мы можем взять производные и по амплитудам составляющих поля излучения. Таким способом мы получим бесконечное множество элемент т0в十亿)：

S =(^_^, j=l,2, ・・・，2(N + M + 2£);

Здесь p+(X, 0)——начальное (при / = 0) значение «коэффициента рассеяния вперед», характеризующего плотность нзлуиени^с волновым числом 々(А) = 2九一 ——1 /8%. У нас @ =啓。представляет собой чисто муль- тисолитонное решение без излучения, и параметры р+(Х, 0), по которым нужно дифференцировать, не входят явно в IF。. Поэтому'нужно сначала вычислить производную бф/6р+ и лишь затем положить р+ равным нулю.

Множество S состоит из вычисленных ранее дискретных составляющих и бесконечной совокупности непрерывных составляющих, зависящих от параметра 儿 Это множество функций переменной % является пол^

ным и может быть использовано для построения функции Грина 乡，поскольку пространство^(1) — его оболочка. Дискретные составляющие образуют базис 2(^ + Л1 + 2L)-мерного подпространства пространства H(L), которое мы раньше назвали «дискретным подпространством». Базисом «непрерывного подпространства» Hc(L) является по определению множество {6ф/6р+(%, 0), — 8 V 九 V оо}.

Поскольку “(L)——оболочка множества S, мы будем искать функцию Грина в следующем виде:

乡(％, /1 х\，)=乡с (%，/1 %', ') + 乡& (%, f I %',，)， где *

吼a,/1<，)= J 編%■*(//；入)丸

2W+M+2L)

…")=2奥产矶//)・

Коэффициенты разложения {才(％',，；九)， Aj(x\ f)} должны быть определены. Заметим, что это разложение автоматически удовлетворяет дифференциальному уравнению (6.1.2а), поскольку столбцы (как функции переменных % и /) принадлежат пространству 彳(£)・ Коэффициенты разложения следует выбрать так, чтобы удовлетворить начальным условиям. Это всегда можно сделать, так как множество {@©/勿/, 6ф/6р+(Х, б)} полное.

Непрерывная составляющая функции 乡 дается следующей формулой !):

乡式匕fl%', Л =

一f / бф(хЛ) \/бф(х\П V、

_一万 )不历(而7瓦可丿(飞汇口, 0)d(6.2.1)

— ОО

I) Функция Грина нужна нам для того, чтобы найти с помощью формулы (6.1.1) поправку первого порядка 犷.Перед этим мы уже выбрали закон модуляции параметров {р/} так, чтобы эффективная сила 歹 была ортогональна дискретному подпространству {/(<5ф/др/), j=l, 2, .... 2(N + М + 2L)} пространства #(L+). Этот момент был основным звеном в § 3 и

Здесь р-(Х) означает «коэффициент рассеяния назад», который можно рассматривать как некоторый новый параметр плотности поля излучения в решении ф. Весовая функция [а (入)]2—квадрат «коэффициента про* хождения» ——связана с р+(九)соотношением

|а(А) Г2=1+1Р+ 仇)『・

В том случае, когда ф — чисто (N + Л4 + 2£)-флюк- сонное решение, функция а (%) дается следующей формулой [1]:

呐=П(6.2.2)

где @ /= I, 2^4~ ^ + 2L}—комплексные па

раметры, эквивалентные параметрам скорости {рл / = 1, 2, ..., ^ + УИ + 21}. Параметр D должен быть либо чисто мнимым, и тогда он отвечает флюксону, имеющему в асимптотике скорость

16£? + 1-

/16^-1

либо одним из элементов пары (&, g/+1), где & = =—g*+1, что соответствует бризеру со скоростью огибающей'

^огиб» /j I i •

5靑f 念

При таком представлении функции 乳 нетрудно определить вид поправки первого порядка. Подстав-

в разбиравшихся в § 4 и 5 задачах. Таким образом, у нас ^ ^d(x, t\x\ f)^(х7, t^dx' = 0, и мы можем сосредоточить все внимание на непрерывной составляющей 9c.

ляя gc в формулу (6.1.1) и учитывая модуляцию параметров в 戶，получаем

/3好［幻%部(%/)九

где

加3, /)=謁式i(齡廿冰(/，/‘)改"■0 —oo

(6.2.3)

Если учесть, что бф(х, /) /бр+(Х, 0) есть компонента поля излучения с волновым числом 右=2九一1 /8Х, то мы видим, что 部(九⑺一9To амплитуда создаваемого эффективной силой излучения с волновым числом 论. Таким образом, формула (6.2.3) дает полное излучение, создаваемое ^ флюксонами, М антифлюксонами и L бризерами, на которые действует возмущение е/.

Более удобная форма записи ^с

Для того чтобы выражениями (6^.1) для функции Грина gc и (6.2.3) для поправки 犷 можно было бы пользоваться на практике, необходимо иметь явную формулу для вариационных производных бф/6р± по крайней мере в случае, когда ф равно чисто многосолитонному решению 昭).Следовательно, нужно вьпно лить производные

6р± (%, 0) °土仇,о)-о *

которые мы обозначим через ф±(х, /; %) . В этих обозначениях 招 принимает вид

X ф+ (х, /;九)而一 (£, Г;九)/ d%・(6.3.1)

Существует несколько методов вычисления <р士 (力, f;九).В одном из них используются «квадратичные

собственные функции» из теории обратной задачи рассеяния [9]. Здесь мы прибегнем к другому методу, основанному на преобразовании Бэклунда; этот метод, как нам кажется, имеет два преимущества. Во- первых, в нем используется лежащая в основе нашего метода идея о том, что составляющие ядер “(L), 斤(乙十)можно получить дифференцированием решения нулевого приближения по свободным параметрам. Во-вторых, для применения преобразования Бэклунда нужно меньше предварительной информации, чем при методе обратной задачи рассеяния.

Очевидно, что функции ф± принадлежат “(L); это

означает, что они удовлетворяют уравнению 厶屮土 = 0. Запишем это уравнение в компонентах: ф± = со1(ф±, 女®土)и.

(&力—дхх + cos ф) Ф± = 0.(6.3.2)

В работе [8] показано, что ф± должно удовлетворять следующим граничным условиям:

屮土 (х, /; A) Q 丽ехр{干 i 伏(X)x + со(Л)/]} при 力f 干8,

(6.3.3)

где 々仇)=2Х— 1/8Х и ①仇)=2入斗 1/8X. Решив уравнение (6.3.2) с граничными условиями (6.3.3) для ф± и вычислив затем 5/ф±, мы получим все необходимое для построения 乡卩

Отметим, что co2(X) = fe2(X)+ 1, так что граничные условия (6.3.3) действительно согласуются с (6.3.2), поскольку (р —>0 (mod 2л) при х—► ±оо. Правильность нормировочного множителя 1/л% станет ясна после того, как мы обсудим простейшую ситуацию.

Случай отсутствия солитона

В этом случае <р = 0, так что (6.3.2) сводится к уравнению Клейна — Гордона (0及一дхх + 1)ф± = 0; при этом драничным условиям (6.3.3) удовлетворяют гармонические решения

而土 U, /； А) = ± ехр {干 £ (々(А) % +(о (九)/)}・

Поскольку рассеивающие потенциалы(px и ①力 равны нулю, коэффициент прохождения равен а (九)=1. Подставляя все это в (6.3.1), получаем следующее представление для функции Грина:

约(居 f IM/)=

Н击 i 岑［^ i：卜P J 伕（入）（%-/）+8仇）（"*）］｝•

Чтобы записать функцию Грина в привычном виде, перейдем от интегрирования по А к интегрированию по 电 пользуясь соотношениями 右(九)=2兀——1/8九 и со (X) = 2九 + 1 /8九.Тогда

dA, — dh — do

X co k *

Далее учтем, что если X меняется от —оо до 0, то k меняется от ——8 до + 8, а если X меняется от О до оо, то k снова меняется от — оо до + оо. Приняв также во внимание, что со отрицательно (положительно) при отрицательном (положительном) X, получим фурье-представление функции Грина:

纥(%, "/, 0 =

я L —a)sin со (/—f) cos co (/ — f)」

где о?=央 + i.где о?=央 + i.X exp {— ik (x — /)},

где о?=央 + i.

где о?=央 + i.

Случай одиночного флюксона

Построим теперь g^ для случая, когда (р(%, £) — одиночный флюксон. Здесь мы ищем решения уравнения (6.3.2) с ф = qps = 4arctg exp [ (х —— ut一 一 Xo)/д/l — г?] • Один из возможных подходов [4] состоит в использовании преобразования Лоренца от независимых переменных 尤V к переменным & = (х — —〃/ —%о)/“1 — г? и т = « —〃%)/“1 — * тогда уравнение (6.3.2) принимает вид [<5^^ — дхх — (1 — —2sch2 ^)]ф± = 0. Затем нужно разделить переменные, после чего собственные функции получившегося

уравнения можно найти в книге [16, с. 734]. Хотя везде, где это возможно, мы отдаем предпочтение ста， рым методам, в данном случае будет полезен более общий подход: это подготовит читателя к рассмотрению многофлюксонного случая. Итак, обратимся к преобразованию Бэклунда. Напомним стоящую перед нами трудность. Хотя в чисто многофлюксонном решении поле излучения отсутствует, мы должны продифференцировать это решение по амплитуде излучения с длиной волны 2лД. Поэтому нужно обобщить чисто многосолитонное решение таким образом, чтобы оно представляло собой многосолитонную волну, «возвышающуюся над» излучением. Такие решения можно получить с помощью преобразования Бэклунда.

Образно говоря, преобразование Бэклунда позволяет «добавить» солитон к известному решению си- нус-уравнения Гордона. Из одного решения получается другое, которое можно интерпретировать как пер* вое решение плюс дополнительный солитон [17—19]. Другими словами, преобразование Бэклунда — это оператор рождения солитона. Обычно начинают с тривиального решения ф = 0. Применив к этому ва* куумному состоянию преобразование Бэклунда, получим чистый флюксон. Следующее преобразование дает чисто двухсолитонное решение: либо дублет, либо бри- зер, в зависимости от выбора параметров. Действуя таким образом, мы путем 加 + М + 2厶 преобразований Бэклунда получим чисто многосолитонное решение общего вида, состоящее из ^ + М + 2L солитонов. Здесь, однако, мы начнем не с вакуумного, а с чисто радиационного состояния с волновым числом k. Тогда мы получим многофлюксонное решение, наложенное на излучение с волновым числом k. Это решение можно будет продифференцировать по амплитуде излучения и лишь после этого положить амплитуду равной нулю 1).

Кодама (Y. Kodama, препринт 1977) и Чон (Y. В. Chon, частное сообщение) с помощью преобразования Бэклунда получили формулу для кинка и бризера. В пределе малой амплитуды бризера она переходит в формулу для кинка в присутствии из** лучения. Однако наш подход представляется более прямым.

Преобразование Бэклунда удобнее всего ввести после следующей замены переменных:

Xf 2 曰 4*（X — f）, /f Т е ^ （% + О,

которая переводит синус-уравнение Гордона в уравнение

Ф2Х = sin ср.

Легко убедиться, что если（рг — решение синус-уравне- ния Гордона, то функция ф, получаемая интегрированием пары уравнений

忠（中）=4味in （*），

также является его решением. Интегрирование этой системы уравнений и дает преобразование Бэклунда от известного «старого» решения <р? к «новому» решению <р. Новое решение содержит один дополнительный флюксон, движущийся со скоростью U/ = =（16寻 + 1）/（16寻一1）. Координата этого флюксона определяется постоянной интегрирования.

Обозначим через qpz（x, /; %, а） чистое излучение с волновым числом 々（А） и постоянной амплитудой, определяемой параметром а. Для ^г можно поручить явное выражение [например, формулу （11） препнду、 щей главы]. Поскольку（рг зависит от параметра а, его преобразование Бэклунда ф, удовлетворяющее системе （6.3.4）, также будет зависеть от а. Следовательно, мы можем продифференцировать по параметру амплитуды а как（р「，так и 屮：

屮/■（招'；九）三ФГ （^,'；儿a）1a.0，

Ф （招 f； %）М 歯①（％ /；九）1а-0.

Очевидно, что фг удовлетворяет уравнению

а ф является решением уравнения

忆而 + (cos %)(p = 0,(6.3.56)

где(ps — решение в виде одиночного солитона. В то же время можно продифференцировать по а обе части уравнений (6.3.4) и получить для ф уравнения

&@ 一 必)=4得 cos (*)(ф + 脸， ..1•(6.3.6)

"3 + 而Г)=壶 COS (号)(Ф —@ J

Найти решение ф этой системы линейных уравнений первого порядка (линейное преобразование Бэклунда) легче, чем решить уравнение (6.3.56). Кроме того, еслиф г является решением уравнения (6.3.5а), то любое решение системы (6.3.6) будет также удовлетворять уравнению (6.3.56). Следовательно, для того, чтобы найти составляющие функции Грина Sc (т. е. @土) в случае одиночного солитона, мы должны взять в качестве фг такое решение уравнения (6.3.5а), которое после преобразования Бэклунда (6.3.6) даст функции ф±, удовлетворяющие граничным условиям (6.3.3).

Займемся сначала функцией ф /. Она является решением уравнений

д2(Ф+ -哨=-4酉(th х) (q)+ + 而)

Q (@+ +办)=詁(小元)(加+b而)

而 + ⑵T;A) « 表 exp{-"(々一s)z +

+ (fe + ®) т]} при г, т-> оо, где

无W4K(Z-看+备)=

=2化(1 一壷)卜-(器 士;)

Здесь мы воспользовались тем обстоятельством, что для одиночного солитона (ps выполняется равенство (cosq)s)/2 =——th х. Если мы возьмем

片(х, /; А)=皆(f^) ехр{-/[&(Л)х + а)(Л)/]},

то получим

6+(%，;%)=土 (中紀I)义

X exp{— i[k (Л)х + со(А) /]}. (6.3.7) Заметим, что это решение удовлетворяет граничному условию (6.3.3), поскольку при чисто мнимом g х->4-оо при х->—оо. Аналогично, взяв

片(х,彳九)=± (f^) ^Р {+ "尼(A) % + s (A) /]}, получим—

©—(%,/； A)=春 С? + ^ 工^絆")exp {"也(A) * + 8 (A) /]}・ Теперь мы имеем все необходимое для построения функции Грина 乳 в случае одиночного солитона. Ее явный вид, следующий из формулы (6.3.1), таков:

纥(%, W)=

卞丿」gii &12、exp{-i[^(%)(%->/)+sd)(f-U)]}

—初上lg21 g22丿元呼中，

(6.3.8) где

gn 三(？ + Л2 + 2& th x)[i^ 俨 + %2 一

一26th胃)一 2化A9也)sch2 Г],

&2三一行+ m + 2》th向《2 +m一 2зth Г), g2i三[一心®+m+ 2ath元)+ 2化Aco亿)sch2制X

X [/© (片 + 炉—2》th 夕)一 2北Лш (0 sch2%7], g22 三一[一心也2 + A2 + 26 th 元)+ 2化Aco 也)sch2 x] X 义@+%2 - 2》5胃).

В этих формулах

%’ 一 \ 〃 (Г) “' 一 х0 (Г)

0"1 一"2(尸)'

причем х дается тем же самым выражением, но везде убран один штрих.

s. Случай двух флюксонов

Чтобы построить радиационную функцию Грина для двухфлюксонного решения, мы еще раз применим преобразование Бэклунда, на этот раз взяв в качестве известного решения одиночный флюксон плюс излучение. Задача облегчается тем, что на более высоких уровнях иерархии солитонов явный вид решения можно получить алгебраически, используя коммутативность преобразования Бэклунда. Например, нетрудно убедиться [17,18], что двухфлюксонное решение, наложенное на излучение фг, дается формулой

tg(中)=(図垃(中)•(639)

Здесь фд (фв)-рдиночный солитон, скорость которого определяется параметром 匕力(扌в), наложенный наГфо^ новое излучение 竹，a s — преобразование Бэклунда решения 屮力 с параметром ^в и одновременно преобразование решения (₽в с параметром 之力.Дифференцируя уравнение (6.3.9) по амплитуде излучения и полагая затем эту амплитуду равной нулю, получаем

ф2=фг+(以

屮 2 屮 г~ 2B / cos2 [(Ф5Л-Ф5В)/4] ]^a 屮

где <рл — чисто двухфлюксонное решение с параметрами скорости М и Jb； q)sx(q)sB)—чисто односолитонное решение с параметром скорости^л(^в), а @力(@в)— производная от фд (фв) по амплитуде излучения. Эти производные вычисляются так же, как и в предыдущем параграфе. Рёшение фд аналитически дается выражением (6.3.9), где фг положено равным нулю:

tg (%=/±^tg(0中旭)(&3」0)

Ясно, что 02 удовлетворяет линейному уравнению (6.3.2). Теперь надо так выбрать ф г, чтобы удовлетворить граничным условиям (6.3.3). В частности, поло

живжив鼠一曲勺一九强一%丿鼠一曲勺一九强一%丿ехр {+ i[k(k) х + G) (X) /]}

жив

жив

鼠一曲勺一九强一%丿

鼠一曲勺一九强一%丿

получимполучим

получим

получим

頂+頂 cos(P0/4

十氧Тв cos [@s/ 一 屮SB)/4]

' 裔 + 九2±2以九th以 ^ + ^±2ZBkthxB\

где

见三2图(1 总)(%_箒=/ _ %以)，

и аналогичное выражение для хв.

Подстановка полученных выражений в формулу (6.3.1) дает функцию Грина для излучения от двух- флюксонного решения.

Случай бризера

Здесь формулы те же самые, что и в случае двух флюксонов, но параметры J и J комплексны и удовлетворяют соотношению 以=—— 焉・

д. Многосолитонный случай

Изложенные методы можно использовать на любом уровне солитонной иерархии. Дифференцируя решение по амплитуде излучения и затем полагая ее равной нулю, получаем

而N = <j>W-2 + [(；*；：)义

.Y 8S2[(咤N一咤(“2))/4]1

X cos2 ® * - ％g)/4]」

где фs^ — чисто ^солитонная волна, q)s(N-2)——чисто (N ——2)-солитонная волна, получающаяся, если из Фs^ исключить солитоны со скоростями, соответствующими параметрам gp и ^, а 屮sp(q)sg)—чисто (^——1)- солитонная волна, получающаяся при исключении из Фs^ солитона со скоростью, соответствующей ^(^р). Так же, как и раньше, 0“, ф^-2, Фр и ф^ — соответствующие радиационные решения уравнения (6.3.2)・ Используя эти формулы, можно в явном виде получить все необходимое для построения функции Грина 乳.

§ 7. ИЗЛУЧЕНИЕ ФЛЮКСОНА

Теперь мы кратко воспроизведем нашу схему теории возмущений применительно к задаче о флюксон- ном генераторе электромагнитных волн. Хотя результаты, эквивалентные приводимым ниже, были уже ранее получены с помощью не столь мощных методов*

Излучение

Рис. 10. а — генератор на флюксонах в ДЛП; б — измененная структура генератора, позволяющая увеличить интенсивность излучения.

[4, 20], мы выбрали именно эту задачу по следующим причинам. Во-первых, она дает простой пример нашей теории возмущений в действии. Во-вторых, рассматриваемая система может быть использована в технике для генерации электромагнитных волн с длиной волны 100 мкм и менее и наши уравнения можно будет непосредственно применить при проектировании таких генераторов. В-третьих, поняв нашу схему теории возмущений на конкретном примере, будет нетрудно применить ее к вычислению излучения, возникающего при

столкновении флюксонов и даваемого бризерами, а также учесть влияние излучения на движение флюк* сонов.

Рассматриваемый объект представляет собой челнок квантов потока (§ 4). На практике ему может быть придана (для технического удобства) кольцеобразная форма, как показано на рис. 10, а. Если ток смещения достаточно велик, то флюксоны не будут закрепляться между микрозакоротками, а будут двигаться со средней скоростью ит и совершать на фоне этого движения колебания с частотой <оо- Наша за- задача ——рассчитать мощность испускаемого флюк- соном излучения. “

а. Определим движение флюксона без учета излучения

Движение флюксона описывается следующей формулой:

吋4а3回(^^)], где t

X = \ 〃 (t) dt + %о (/)・ о

*Как следует из сказанного в § 4, соответствующие обыкновенные дифференциальные уравнения, получаемые из условия ортогональности (3.9) на дискретном подпространстве 彳(厶十)，имеют следующий вид: и =普(1 ——г?)% — а〃 (1 — 〃2)——

-专 и+多 а - 彦咚 sch〈^^)也(^^^, 焉号〃 ?(X_w)sch2(^^)th(^^).

Интегрируя эти уравнения аналогично тому, как это сделано выше (рис. 4 и 5), мы получаем периодическое решение

по которому можно определить частоту колебаний ①° и среднюю скорость ит. В нулевом приближении эти величины удовлетворяют соотношению

со。= 2 л -^,

где а — расстояние между микрозакоротками. Используя ЭТО решение, МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ МОЩНОСТЬ Рнеизл постоянного тока, которая подводится к контакту для компенсации неизлучательной диссипации. Эта мощность равна действующей на флюксон силе Лоренца у, умноженной на среднюю скорость:

Рнензл = У^т*

Вычислим эффективную силу

Поскольку й и х0 — периодические функции времени, эффективная сила

£_7仰 %"。

声= 1・1• ，（7・1）

где

f 三一（ро,, + ^!■фo,%%f —^"一尚?6（"一物）sinЧ）0,

также является периодической функцией с тем же периодом. При вычислении q）Q, /, й и х0 можно в нулевом приближении положить

X = umt + %о・

Тогда силу 歹 можно записать в виде ряда Фурье по со。：

页（/,，）=冗停一 umf） +冗停一 ""）/伽‘ }

+ 尸;（％' — и/） е-/ы + высшие、гармоники.

Вычислим поправки первого порядка .

Здесь нам будет удобно рассмотреть каждую фурье-гармонику в отдельности, начиная со среднего

значения

Го(х,/) = ^ \ d\\df J 改X — ООо —ОО

X也30爲f优8的"却出阮(/-〃/)・

(7.2)

В нулевом приближении компоненты матрицы [gif] зависят от Xх и У только в комбинации (xz — ——〃./'). Поэтому после интегрирования по л/ в подынтегральном выражении останется следующая зависимость от ，： exp {/ [со (X) + ^ (^) wm] О. Выполнив в (7.2) интегрирование по，от 0 до 力 получим переходный процесс, т. е. отклик системы на включение силы при / = 0. Так как нас интересует лишь установившийся режим, проинтегрируем вместо этого от —^ до / и затем положим /—>8. Получим

lim \ exp {i [со + ku^，} d，= 2冗6 ® + ku^.

Окончательное интегрирование по % дает

Т^Т^-и^.(7.3)

Таким образом, слагаемое Го дает установившееся возмущение, движущееся вместе с флюксоном. Это не что иное, как《мезонная шуба» — поправка первого порядка малости, отвечающая искажению формы солитона фо [4]. При нахождении других поправок первого порядка ею можно пренебречь.

Рассмотрим теперь установившийся синусоидаль* ный отклик на основную гармонику силы 歹：

務уст (上,/) =焉肥工以務уст (上,/) =焉肥工以fОО,dtf J MXfОО,dtf J MX

務уст (上,/) =焉肥工以

務уст (上,/) =焉肥工以

fОО

,dtf J MX

fОО

,dtf J MX

丫 exp {一 i[k (九)(％ - *) + S 仇)(f 一 Г)]} 丫

X北亿2一炉)2入

X[g“]氏(/ 亠〃/) e-心“'+ F^ - 〃/)小伽号

При интегрировании по %’ снова появляется множи-* тель exp(ikumf)t и после интегрирования по f полу， чим

lim〈 exp {"со (Л) + k (九)um 士 coo]，} df =

28 J

—f

=2лб (co + kum 士(o0).

Это дает излучение на сдвинутых по Доплеру частотах колебаний—(kum ±(oo)i). С точки зрения возможных приложений наибольший интерес представляет большая частота со+, равная

со+ = — (соо + 左+〃 м)・ Поскольку

々* = s* — 1,мы имеем

Зо + лМ+吟т

-吸 ’，

_「1 + 〃тЛА - О - 吟)/硫 1 /7

Заметим, что при um^ 1 частота со+->—ш0/(1 — —〃加),т. е. за счет доплеровского сдвига получается значительное увеличение частоты излучения.

Нам осталось лишь взять интеграл по X. Перейдем от переменной X к со с учетом того, что d%/% = =d(o/尼.В результате получим

步 ±,= 128步 ±,= 128ехр Щ% + s+f + 叫} 乂

步 ±,= 128

步 ±,= 128

3劈+®+J冃

ОО

X \ [g“(%—〃m"/)]exp (优+犬)戸ОаХ+компл. сопр.,

где матрица [g“] [формула (6.3.8)] вычисляется при J = i"(1工〃他)/16(1-:"„) и 九=(尼+ +(о+)/4.

Интересно отметить, что Рассел [21], видимо, независимо открыл эффект Доплера; во всяком случае, он одним из первых экспериментально наблюдал его.

а. Вычислим излучаемую мощность'

Сначала перепишем выражение для амплитуды из- лученйя, частота которого сдвинута вверх из-за эф* фекта Доплера, в следующем виде:

^lycT = col (wy g).

Вдали от флюксона это излучение удовлетворяет линейному уравнению Клейна — Гордона wxx —侬н = =明 для которого плотность энергии (гамильто^ ниан) имеет вид.

匏=4"(吸+嗡+侬2)・

Используя дисперсионное уравнение ^ = k^-y\ и учитывая, что для плоской волны 侬^ =尼)侬2 и 侬?= =соj* получаем

%=吒=0):妃

Эта энергия распространяется с групповой скоростью d®/dh = —2+/叫・ Следовательно, излучаемая мощ* ность равна 7

РцзлРцзл["加①0+ "時 + * 一1 ][铀 + д/嗡 + * -1]["加①0+ "時 + * 一1 ][铀 + д/嗡 + * -1](ТУ(ТУW2.(7.5)W2.(7.5)

Рцзл

Рцзл

["加①0+ "時 + * 一1 ][铀 + д/嗡 + * -1]

["加①0+ "時 + * 一1 ][铀 + д/嗡 + * -1]

(ТУ

(ТУ

W2.

(7.5)

W2.

(7.5)

д. Вычислим выходную мощность и к. п. 0.

Излучаемая мощность будет поглощаться потерями в самой ДЛП (слагаемые с а, Р) и полезной нагрузкой. Пусть р = 0, а а состоит из двух частей: 1) величины а', описывающей внутренние потери, и 2) величины а〃，отвечающей мощности, рассеиваемой на шунтирующей нагрузке. Тогда а = а' + а〃 и поглощаемая нагрузкой мощность будет равна

尸о = *Рнзл，(7・6)

а к. п. д. равен 100 Ро/(Рнзл + Рнензл). В принципе можно довести число флюксонов до числа дискретных

*джозефсоновских контактов (восемь на рис. 10); тогда увеличится выходная мощность, но несколько снизится к. п. д.

е. Заключительные замечания

Все предыдущие выкладки проводились исключительно с безразмерными величинами, нормировка которых была введена в предыдущей главе. На практике предельная скорость флюксона с——порядка 1/15 скорости света, т. е. 2-107 м/с. Положим а = 1; тогда микрозакоротки находятся на расстоянии «джозефсо- новской длины» X； друг от друга. Величина 九/ = =5・10-4“4 мкм, где /с — плотность критического тока Джозефсона, измеренная в амперах на квадратный метр. Если / = 108 А/м2,~то X； = 5 мкм и частота колебаний f0 = um/Kj будет равна 4・ 10】2(〃т/8) Гц. Как уже отмечалось, частота излучения сдвигается из-за эффекта Доплера, и в релятивистском пределе 况加-> е имеем 、

f+-4 .咿(鼻)Г>.

При um/c =【/2 это соответствует излучению, имеющему в вакууме длину волны 0,075 мм.

• Чтобы генератор, изображенный на рис. 10, а, можно было практически использовать, излучение должно эффективно поглощаться нагрузкой. Это означает, что в формуле (7.6) величина а〃 должна составлять существенную часть величины а. Это условие не так просто выполнить для джозефсоновской линии передачи, поскольку поля сосредоточены внутри области, экранируемой двумя сверхпроводниками. Это ограничение можно обойти, если уменьшать ширину контакта, и в пределе нулевой ширины мы приходим к структуре, изображенной на рис. 10, б. Такая геометрия обеспечивает достаточно эффективное излучение в открытый волновод, а ток Джозефсона целиком сосредоточен в 《слабо связанных» контактах. Дать корректное количественное описание этой структуры с помощью нашей теории возмущений нельзя, но ее поведение должно быть, по-видимому, качественно

аналогичным работе устройства, изображенного на рис. 10, а i)・

Данная работа финансировалась Военным министерством США (контракт DAAG29-75-C-0024) и Национальным научным фондом США (субсидии MPS75-07530 и ENG75：08492). Частично она была выполнена в то время, когда Э. Скотт находился в Университете Аризоны в качестве приглашенного профессора математики, а частично ——во время занятий рабочей группы по солитонам, проводившихся Школой по усовершенствованию в науке, кибернетике и физике Университета Салерно в июле 1977 г. Мы выражаем нашу искреннюю благодарность всем тем, чья поддержка и плодотворная критика помогли нам в нашей работе.

Литература

Ablowitz М /., Каир D.丄，Newell А. С., Segur "., Studies in Appl. Math., 53, 249 (1974).

Gardner C. S., Greene /. Af., Kruskal M. D, Miura R. M., Comm. Pure Appl. Math., 27, 97 (1974).

Pereira N. R., Stenflo 厶.，Phys Fluids, 20, 1733 (1977); Pereira M R, Phys. Fluids, 20, 1735 (1977).

Fogel M. B., Trullinger S. E., Bishop A. R., Krumhansl /. 4., Phys. Rev. Lett., 36, 1411 (1976); Phys. Rev., B15, 1578 (1977).

Каир О. /., SIAM Journ. Appl. Math., 31,⑵(1976); Journ. Math. Anal. Appl., 54, 849 (1976); Newell A. C., Rocky Mountain Journ. Math., 8, no. 1; Каир D. /., Newell 4 C., Proc.. Roy. Soc., A361, 413 (1978).

Yajima M, Preprint, Kyoto Univ., 1975.

Karpman V. A, Maslov E. M, Phys. Lett, 60A, 307 (19777； 493 (1977); Карпман В. 〃.，Маслов Е. Af. — ЖЭТФ, 1978, т 75 с 504

Keener'J. A, McLaughlin D К.. Phys. Rev., А16, 777 (1977); Journ. Math. Phys., 18, 2008 (1977).

McLaughlin D W.t Scott A. C. Appl. Phys. Lett., 30, 545 (1977); Phys. Rev. (В печати.)

Scott A. C., Chu F. У. F., Reible S. 4, Journ. Appl. Phys., 47, 3272 (1976).

Fulton T. 4, Dynes R. C” Anderson P.忆，Proc. IEEE, 61, 28 (1973). (Имеется перевод: ТИИЭР, 1973, т. 61, № 1.)

Nakajima К., Onodera У., Ogawa У., Journ. Appl. Phys., 47, 1620 (1976).

Динамику флюксонов в структуре, изображенной на рис. 10,6, недавно исследовали численными методами Накаджима и Онодера [22].

Nakajima 及，Onodera У” Nakamura Т., Sato R., Journ Appl. Phys., 45, 4095 (1974); Nakamura K., Yamashita Т.» Onodera Y., Journ. Appl. Phys” 45, 3141 (1974).

Johnson W.丄，Ph. D. thesis, Univ, of Wisconsin, 1968; Scott A. C., Active and Nonlinear Wave Propagation in Electronics, Wiley-Interscience, New York, 1970. (Имеется перевод: Э. Скотт. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. — М.: Сов. радио, 1977.)

Newell А. С, Journ. Math. Phys., 18, 922 (1977).

Morse P. M, Feshbach "., Methods of Theoretical Physics, McGraw-Hill, New York, 1953. (Имеется перевод: Ф. M. Морс, Г. Фешбах. Методы теоретической физики. — М.: ИЛ, 1958.)

Lamb G. L., 〃.，Rev. Modern Phys., 43, 99 (1971).

McLaughlin D. W.t Scott A.' C., Journ. Math. Phys., 14, 1817 (1973).

Backlund Transformation, the Inverse Scattering Method, Solitons, and Their Applications, ed. R. M. Miura, Springer-Verlag, New York, 1976.

Eilenberger G., Zs. Phys., B27, 199 (1977).

Russell 7. S., British Assoc. Report, 18, 37 (1848).

Nakajima K., Onodera У,, Journ. Appl. Phys. (В печати.)

23*. Горшков К 4, Островский Л, А., Пелиновский £ ",— ТИИЭР, 1974, т. 62,、с. 113.

Глава 10

Распространение солитоновв одномерной цепочке при ударном сжатии

Дж. Беттех, Дж. Пауэлл )

ВВЕДЕНИЕ

Распространение ударных волн в твердых телах традиционно изучалось с позиций механики сплошных сред. При этом для определения параметров движения и термодинамических переменных в ударной волне использовались гидродинамические уравнения, дополненные соответствующими уравнениями состояния. Давно признано, что при таком подходе лз рассмотрения упускаются некоторые важные стороны проблемы. Однако до последнего времени мало что можно было сделать для того, чтобы исправить создавшееся положение, поскольку для анализа распространения ударных волн на основе более детальной микроскопической теории необходимо рассматривать существенно нелинейную задачу о взаимодействии многих частиц, образующих кристаллическую решетку.

Разработка численных методов молекулярной динамики позволила в последние годы оценить некоторые из основных допущений, связанных с континуальным подходом. Правда, эти методы «грубой силы» не лишены известных всем ограничений, но у них имеется то преимущество, что они опираются только на решение уравнений движения для атомов, образующих решетку, без каких-либо дополнительных априорных предположений. Основная цель применяющих такие методы — глубже понять физическую сущность проблемы и, если нужно, установить основу для более надежных континуальных моделей.

В континуальном подходе обычно используются даа допущения: 1) профиль ударной волны, возникающей в результате равномерного сжатия среды, стационарен; 2) тепловое равновесие восстанавливается на очень малом расстоянии за фронтом ударной волны. Кроме того, для детального изучения фронта ударной волны необходимо предположить, что от・ склонения от теплового, равновесия малы; это позволяет применить гидродинамические» уравнения в их обычной форме.

Справедливость таких допущений необходимо критически рассмотреть по нескольким причинам. Во-первых, известно, что дискретные решетки обладают дисперсией, которая не учитывается в гидродинамическом подходе. Например, если гармоническая решетка (в которой межатомные силы линейно зависят от расстояния) подвергается постоянному сжатию, то профиль ударной волны не стремится к стационарному [6], поскольку ее высокочастотные компоненты распространяются медленнее, чем низкочастотные, и поэтому отстают от фронта волны. В более близких к реальности ангармонических решетках ситуация усложняется из-за связи между различными гармоническими волнами, и здесь важно определить, допускает ли эта связь существование стационарной ударной волны.

Во-вторых, после классических численных экспериментов Ферми, Пасты и Улама [3] возник вопрос, каким образом осуществляется переход кристаллической решетки к тепловому равновесию. Эти эксперименты показали, что в одномерной ангармонической решетке, выведенной из состояния равновесия, не наблюдается тенденции к перераспределению энергии между всеми нормальными модами, а вместо этого энергией периодически обмениваются только несколько определенных мод. Если такой эффект в какой-то степени сохраняется и в трехмерной модели, препятствуя тем самым быстрому установлению равновесия, то очевидно, что возможность существования ударной волны с крутым фронтом, разделяющим две части кристалла, которые находятся в тепловом равновесии, ставится под сомненн%

Наиболее подробное численное моделирование распространения ударных волн в твердых телах было проведено в последнее десятилетие Цаем и др. [15^- 17]. Эти работы подтвердили, что профиль ударной волны действительно нестационарен, но не смогли от* ветить полностью на вопрос о переходе к равновесию за фронтом ударной волны. Недавно аналогичные рас^ четы были предприняты Паскином и Динесом [7, 8]. Их работы менее подробны, чем работы Цая и др., но зато не содержат противоречий между полученными на сегодняшний день результатами и допущениями континуального подхода. '

По-видимрму, для того, чтобы разрешить хотя бы часть парадоксальных вопросов, возникших в резу〃ь・ тате расчетов трехмерных、решеток, были предпри・ няты также исследования одномерной модели ретет・ ки. Самыми ранними являются работы Мэнви, Дю* валя и др. [2,4,5], решивших численно уравнения движения для одномерной ангармонической цепи атомов, подвергнутой ударному сжатию. Фронт ударной волны мог распространяться до 100-й частицы в цепочке, и снова оказалось, что на этом расстоянии профиль ударной волны остается нестационарным.^ Позднее в исследования文 Тейзи [12——14], в которых использовался межатомный потенциал с кубичной нелинейностью в слабо ангармонической цепочке, ударная волна распространялась еще дальше по одномер~ ной цепи. Его основные заключения совпадали с выводами Мэнви и др., но, кроме того, он наблюдал распространение очень четко выраженных устойчивых импульсов (уединенных волй) в окрестности фронта ударной волны. Результаты численных расчетов Тейзи были затем подтверждены изящным методом воз~ мущений.

Общая проблема распространения ударных волн в твердых телах во многом прояснилась, по нашему мнению, именно благодаря перечисленным выше прекрасным работам по расчету одномерных моделей. Однако те заключения, которые можно сделать на основе этих расчетов, будут ограничены тем обстоятельством, что во всех случаях вычисления были ос、 кованы на предположении, что атом^1 цепочки до при-

хода фронта ударной волны находятся в покое (в по ложениях равновесия). Ясно, что при этом влияние ненулевой начальной температуры на профиль ударной волны, которое может оказаться существенным, остается неисследованным. В частности, неизвестно, существуют ли по-прежнему уединенные волны, с которыми связаны нестационарность ударной волны и отсутствие равновесия за ее фронтом, если начальные условия для атомов в цепочке имеют случайный характер. Если это так, то вероятность того, что и в реальных кристаллах при ударном сжатии возникают солитоны, значительно возрастает.

В этой главе мы рассмотрим результаты численного моделирования распространения ударной волны в одномерной цепочке. Основной целью этих расчетов является обобщение предыдущих одномерных вычислений на случай, когда цепочка находится при ненулевой начальной температуре. Но для сравнения мы остановимся также на результатах расчетов для первоначально не возмущенной цепочки. В заключение мы укажем возможные физические следствия существования солитонов при ударном сжатии в реаль* ных твердых телах. '

МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УДАРНОЙ ВОЛНЫ В ОДНОМЕРНОЙ ЦЕПОЧКЕ. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Рассматриваемая нами модель представляет собой одномерную цепочку, состоящую из N атомов массы т, взаимодействующих только с ближайшими соседями, причем это взаимодействие определяется межатомным потенциалом типа Морса (рис. 1). В состоянии равновесия расстояние между соседними атомами в цепочке равно а0- Классические уравнения движения атомов цепочки решались численно для случая, когда она подвергается стационарному сжатию с одного из концов, так что первый атом движется с постоянной скоростью и. При этом должны быть заданы начальные условия для остальных частиц. Ясно, что такое сжатие вызывает появление ударной волны, которая будет распространяться по цепочке.

Гамильтониан цейочки можно записать в форме

N^

Н =嘉 2 垃 + D £[ei（3J）_ 1F （1） i-li-2.

где X/ — смещение f-го атома из положения равновесия, a Vi — его скорость. Константы D и а, входящие в потенциал Морса, — это энергия диссоциации пары

—#W4#WW\A/ …Л<\ЛЛ> -

「/ Z 3NT N

Рис. 1. Модель одномерной дискретной цепочки атомов, используемая для исследования распространения ударной волны.

атомов и степень ангармонизма потенциала. Из уравнения （1） и граничного условия для первой частицы получим систему уравнений движения

.加器=°，（2）

也 吧也Г -2а 一

小或2 dxt 4а

_ g-a （々-々-i） — g-2a （勺 +「七）+ 0-a （々+「々）]

где 2 & 力 & М В этом уравнении величина（оо, определяемая соотношением

представляет собой частоту максимальной нормальной моды, соответствующей гармонической цепочке. Чтобы решить численно уравнения （2）, удобно преоб* разовать их в 2^ уравнений первого порядка и пред* ставить интересующие нас величины в безразмерном виде. Введем безразмерное смещение i-ro атома

S尸*修，⑷

безразмерное время

т ^ со。/（5）

и безразмерную скорость

После этого получается система нелинейных уравнений первого порядка, которая и служит исходной для численного решения:

*/ = vb

氏=0,(7)

力=：[「4 (S厂SR)一 eт (s厂S/t) 一

—«-2A(S/+「S/) + e-A (S/+「Sj)] /》2.

В уравнениях (7) параметр нелинейности А дается выражением

4 =許，(8)

а точки над переменными означают дифференцировав ние по безразмерному времени т. Начальные условия для / = 1 заданы следующим образом:

& (0) = 0,

6 (0) = 1,“⑼

а начальные условия для остальных частиц цепочки определяются их состоянием в момент сжатия.

Во всех наших последующих вычислениях для решения уравнений (7) мы применим метод Рунге — Кутты четвертого порядка • [1] и используем различные критерии [10] для проверки точности результатов. В следующих параграфах мы рассмотрим решения уравнений (7) для первоначально не возмущенной цепочки и для цепочки с ненулевой начальной температурой.

ПЕРВОНАЧАЛЬНО НЕ ВОЗМУЩЕННАЯ ЦЕПОЧКА

Простейшие начальные условия, при которых урав・ нения (7) могут быть решены, состоят в том, что все атомы цепочки (кроме первого) до прихода фронта

ударной волны находятся в положении равновесия, т е

'• 5/(0) = ^ (0) = 0, /》2. (10) Для еще большего упрощения задачи можно разло* жить экспоненциальные члены в последнем из уравнений (7) в степенной ряд, оставив только неисче^ зающие члены низшего порядка (гармонический пре、 дел):

S = 0,

i/ = ；(S/+i —2S/ + S/_) />2.

Уравнения (11) образуют систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка, для которой может быть найдено точное аналитическое решение. Впервые эта задача была, по-видимому, решена Шредингером [11]; детальное рассмотрение ее решений, включая анализ собственных волн цепочки, дано в работе [10].

Зависимости скоростей от времени для различных частиц цепочки, последовательно возбуждаемых фронтом ударной волны, полученные путем численного (или аналитического) решения уравнений (11), лучше всего проиллюстрировать графически. Два таких графика показаны на рис. 2, где изображены зависимости скоростей 100-й и 500-й частиц от времени т. Нетрудно видеть, что при возбуждении фронтом ударной волны скорость 100-й частицы достигает максимума, равного 1,25, а затем колеблется около значения, равного 1, постепенно приближаясь к нему. Позже, когда фронт ударной волны воздействует на 500-ю частицу, наблюдается такой же эффект, но только период и время затухания амплитуды осцилляций здесь больше. Это различие обусловлено тем, что в дискретной цепочке имеется дисперсия, благодаря которой не все гармонические компоненты импульеа сжатия распространяются с одинаковыми скоростями. В результате импульс по мере распространения расплывается аналогично волновому пакету в квантовой механике. Эффект дисперсии проиллюстрирован также на рис. 3,

где представлена зависимость скорости частиц от их номера для двух различных моментов времени. Из графика видно, что позади фронта существует область колебаний скорости, за которой следует область, где частицы движутся с постоянной скоростью. Область колебаний расширяется со временем, тоже из-за дисперсионных свойств цепочки. Нетрудно видеть также,

Рнс. 2. Зависимости скоростей двух различных частиц в гармонической цепочке от времени при воздействии на них ударной ' волны.

Начало координат осн т на каждом графике приближенно соответствует моменту воздействия фронта ударной волны на частицу.

что за единицу безразмерного времени фронт ударной волны распространяется приблизительно на половину расстояния между частицами.

Хотя это решение представляет некоторый интерес академитеского характера, гармоническая цепочка по многим физическим причинам непригодна для описа^ ния распространения ударных волн в реальных кри* сталлах. Во-первых, при тех температурах, для которых обычно производятся расчеты ударных волн, атомы испытывают значительные отклонения от их положений равновесия и разложение в ряд Тэйлору использованное при выводе уравнений (И), неприменимо. Во-вторых, хорошо известно, что для гармонической цепочки энергия каждой гармонической компоненты является константой движения. Поскольку не существует механизма перераспределения энергии

среди различных компонент, цепочка, однажды выведенная из состояния равновесия, не может к нему вернуться. И наконец, только ангармонические члены в выражении для потенциала ответственны за обостре-* ние начального импульса сжатия. Следовательно, любая реальная модель распространения ударных волн должна основываться на ангармонической модели нз почки*

Рис. 3. Зависимость безразмерной скорости частицы от ее координаты в гармонической цепочке.

Посмотрим теперь, как модифицируются решения уравнений движения при введении в потенциал ангармонических членов. Для этого будем решать непосредственно уравнения (7) без применения ряда Тэйлора, который приводит к уравнениям (11). При та「 ких условиях возможно только численное решение; для определенности положим параметр А равным 0,2. Атомы цепочки по-прежнему остаются в покое до прихода фронта волны.

Зависимости скоростей нескольких частиц от времени показаны на рис. 4. Чтобы можно было пользоваться одной шкалой, начало отсчета на оси времени каждого графика выбрано таким образом, чтобы со* ответствующая частица испытывала заметное отклонение от состояния равновесия при воздействии фронта ударной волны при т == 0. В действительности же это происходит в момент времени то (значения которого указаны на графике).

У частицы, находящейся вблизи того конц@ кристалла, к которому приложена внешняя сила (частица 5 на рисунке), скорость изменяется так же, как в гармонической цепочке. При возбуждении фронтом

ударной волны скорость этой частицы достигает максимума, равного 1,45, и затем колеблется около зна-

Рис. 4. Зависимость от времени скоростей различных частиц в первоначально не возмущенной цепочке, взаимодействие частиц в которой определяется потенциалом Морса при Л = 0,2.

с затухающей амплитудой. Однако к тому времени, когда ударная волна достигает 25-й частицы, характер колебаний изменяется по сравнению с гармоническим случаем, а именно амплитуда возрастает примерно до величины 1,9, а сами импульсы становятся более узкими и более четкими. Очевидно, что на ранней стадии развитие колебаний обусловлено дисперсией. Но когда ударная волна распространяется дальше по цепочке и увеличиваются отклонения атомов от положений равновесия, становятся все более сугце^ ственными нелинейные эффекты. Это приводит к обострению импульса, как было указано ранее.

К тому времени, когда фронт достигнет 100-й частицы, импульсы становятся еще более четкими, а их

амплитуда приближается к асимптотической величине, равной 2. У фиксированной частицы цепочки импульсы, находящиеся в окрестности фронта волны, кажутся появляющимися из сжатого конца цепочки, а не формирующимися по мере распространения. Численные расчеты показали, что скорость их распространения уменьшается с уменьшением амплитуды и, следовательно, импульсы расходятся между собой. Мы обнаружили также, что когда ударная волна воздействует на. 700-ю частицу, первые импульсы пре-, вращаются в последовательность четко выраженных импульсов (уединенных волн), амплитуды которых действительно достигают постоянного значения, приблизительно равного 2. При этом из-за упомянутого расхождения импульсов они сильнее разнесены во времени, чем тогда, когда фронт находится у 100-й частицы.

Очевидно, что полученные выше результаты находятся в противоречии с обычными допущениями, при* пятыми при континуальном рассмотрении ударного сжатия. Во-первых, профиль ударной волны нестационарен во времени, поскольку скорости импульсов позади фронта изменяются по мере их превращения в уединенные волны. Во-вторых, отчетливо выраженные колебания позади фронта представляют собой вполне упорядоченное движение и отсутствует тенденция к «разупорядочению» энергии, т. е. к достижению теплового равновесия. Следовательно, за фронтом ударной волны температура не возрастает. В § 4 мы увидим, как модифицируется это аномальное поведение под влиянием ненулевой начальной температуры в цепочке.

условиях. Наиболее естественные начальные условия соответствуют цепочке, находящейся в тепловом равновесие при некоторой ненулевой температуре.

Чтобы создать в цепочке тепловое равновесие, мы выделили участок, содержащий 100 атомов, й наложили периодические граничные условия на его концах. В начальный момент каждая частица этого участка находится в положении равновесия, а скорости частиц определяются случайными числами, удовлетворяющими распределению Максвелла

尸(叫=(12)

Параметр vt представляет собой нормированную эффективную тепловую скорость, даваемую выражением

力(13)

где Т—абсолютная температура, а 々一постоянная Больцмана. После задания начальных условий атомы свободно колебались в течение нескольких сотен единиц времени. В различные моменты этого интервала времени вычислялась функция распределения скоростей. Кроме того, применялся ряд других критериев, позволяющих убедиться в том, что цепочка действительно находится в состоянии теплового равновесия.

Затем мы образовали большую цепочку из описац* ных выше участков с периодическими граничными условиями по 100 частиц. Скорости и смещения частиц в этой цепочке перед ударным сжатием были связаны условиями ^100/+т(0)==^ (0),

51007^(0) = 5^(0), /=1,2, ・・・； /п=1,2,100. (14)

Затем, как и ранее, цепочка подвергалась сжатию с одного из концов, первая частица которого двигалась с постоянной нормированной скоростью, равной 1.

Зависимости скоростей от времени после воздей* ствйя фронта ударной волны для трех частиц, а

именно 100-й, 200-й и 300-й, показаны на рис. 5. Начало отсчета по оси времени выбрано так, что каждая рассматриваемая частица начинает испытывать за* метное влияние ударной волны при т = 0. Графиче^

Рис. 5. Зависимость от времени скоростей трех различных частиц в цепочке, взаимодействие частиц в которой определяется потенциалом Морса, при ненулевой начальной температуре.

То —момент воздействия ударной волны на каждую частицу.

ские данные приведены для значений параметров Д = 1,0, vt = 0,5.

Рассматривая импульсы, обозначенные буквами Д, В и С на графике для 100-й частицы, легко видеть, что в цепочке распространяются уединенные волны большой амплитуды. Однако из-за теплового фона импульсы не так отчетливо выражены, как в случае первоначально не возмущенной цепочки. Тем не менее если мы проследим за этими импульсами по мере

их распространения по цепочке, то увидим, что к тому времени, когда фронт ударной волны достигает 200-й частицы, импульс С приближается к импульсу В, а .импульс 4 продвигается значительно дальше вперед От В. У 300-й частицы импульс А продвинулся еще дальше вперед от В, а расстояние между импульсами В и С осталось почти таким же, как и у 200-й частицы, но они поменялись местами. Таким образом, интерпретируя эти импульсы как уединенные волны, взаимодействующие при распространении с тепловым фоном, можно сделать вывод, что при движении от 200-й частицы к 300-й импульсы В и С сталкиваются.

Приведенные выше рассуждения, конечно, недостаточно строги, и желательно определить более убедительно, в самом ли деле эти импульсы являются уединенными волнами или это просто быстрые тепловые колебания. Этот вопрос может быть решен при использовании следующего «фильтрующего» метода. Повторим наше вычисление сначала, но в тот момент, когда фронт ударной волны достигнет определенной частицы, сжатие мгновенно прекратим. Остальные частицы цепочки, находящиеся перед фронтом ударной волны, приведем в состояние покоя в их положениях равновесия. Эта процедура, очевидно, моделирует горячую цепочку, подвергнутую ударному сжатию, соединенную с холодной. Если сильные колебания скорости в самом деле являются уединенными волнами большой амплитуды, то можно ожидать, что мы увидим отчетливо выраженные импульсы, движущиеся в холодную цепочку со сверхзвуковыми скоростями, оставляя позади тепловой фон.

На рис. 6 показаны результаты такого расчета. Здесь представлена зависимость скорости 145-й частицы от времени для случая, когда сжатие прекращается при достижении ударной волной 140-й частицы, а остальные частицы находятся в положениях равновесия. Для сравнения в нижней части графика приведена аналогичная зависимость для 145-й частицы, полученная в предыдущем расчете.

На рис. 6 действительно видны уединенные волны, распространяющиеся в холодной цепочке. Сравнение координат максимумов импульсов на верхней и ниж-

ней частях рисунка ясно показывает, что импульсы на рис. 5 являются уединенными волнами, распространяющимися на тепловом фоне цепочки. Следовательно, обозначения А, В и С соответствуют тем же импульсам, которые распространялись между 100-й и 300-й частицами на рис. 5; обозначение D относится

Рис. 6. Распространение уединенных волн в холодной цепочке.

Начало координат по оси т соответствует моменту воздействия фронта удар。 ной волны на частицу.

к четвертой уединенной волне, ранее не рассматривавшейся. В холодной цепочке эти импульсы сохраняют свою форму при распространении, но в отличие от случая первоначально не возмущенной цепочки их амплитуды не стремятся к одному и тому же постоянному значению. По-видимому, их величины определяются деталями структуры теплового фона.

Из численных данных легко определить амплитуды и скорости распространения импульсов А, В, С и D в холодной цепочке. Результаты вычислений приведены в таблице. Как и можно было ожидать на основании данных, полученных для первоначально не возмущенной цепочки, скорости распространения уединенных

Скорости распространения и амплитуды уединенных волн

Уединенная волна

Амплитуда

Скорость распространения Ч

4

3,2

1,50

8

2,9

1,42

С

3,2

1,50

0

2,7

1,38

】）Число частиц за единицу безразмерного времени.

волн возрастают с увеличением амплитуды. Следовательно, как и в случае первоначально не возмущенной цепочки, должен наблюдаться эффект разбегания, который препятствует образованию стационарного профиля ударной волны. Исходя из данных таблицы, можно также сделать вывод, что импульсы В и С будут в конце концов сталкиваться. Простой расчет показывает, что столкновение произойдет вблизи 280-й частицы приблизительно через 96 единиц времени после того, как импульс достигнет 145-й частицы. Так как тепловой фон слабо влияет на скорости распространения уединенных волн большой амплитуды, наша первоначальная догадка, что импульсы В и С сталкиваются между 200-й и 300-й частицами, оказывается верной. -

Поскольку в цепочке происходят столкновения между уединенными волнами, интересно исследовать их устойчивость при этих столкновениях. Такое столкновение представлено на рис. 7. Около 170-й частицы в цепочке мы наблюдаем две уединенные волны, распространяющиеся независимо друг от друга и хорошо разделенные во времени, причем движущаяся быстрее волна большей амплитуды находится позади. К тому времени, когда они достигнут 185-й частицы, уединенная волна большей амплитуды догоняет меньшую и происходит их нелинейное взаимодействие. Когда пара волн достигает 200-й частицы, мы обнаруживаем, что быстро движущаяся уединенная волна полностью прошла сквозь медленно движущуюся, но каждая из них сохранила свою первоначальную форму. Следо^ вательно, мы можем заключить, что в пределах точ-

ности наших численных данных импульсы большой амплитуды, распространяющиеся в цепочке, действи- тельно являются солитонами, т. е. уединенными волнами, форма которых сохраняется после их столкно^ вений друг с другом.

т

Рис. 7. Зависимость от времени скоростей трех различных частиц, иллюстрирующая столкновение уединенных волн.

Начало координат на каждом графике соответствует моменту То.

Как мы уже отмечали, эффект разбегания солитонов с разными скоростями распространения препятствует образованию стационарного ударного профиля. Кроме того, существование солитонов, устойчивых по отношению к столкновениям, естественно, вызывает вопрос: достигает ли цепочка теплового равновесия далеко позади фронта ударной волны? Мы не можем решить этот вопрос окончательно с помощью результатов выполненного до сих пор численного

моделирования, но имеющиеся данные позволяют предположить, что это так. В частности мы вычисляли функцию распределения скоростей для частиц, находящихся вблизи того конца цепочки, к которому приложена внешняя сила, для нескольких моментов времени и обнаружили, что эта функция остается постоянной во времени и очень близка к максвелловской, соответствующей температуре, приблизительно в 2,5 раза большей, чем начальная температура цепочки. Эта ситуация может быть противопоставлена случаю первоначально не возмущенной цепочки, в которой мы наблюдали только отчетливо выраженные колебания без какой-либо тенденции к уравновешиванию. Очевидно, желательно дальнейшее исследование вопроса об установлении теплового равновесия в первоначально термализованной цепочке.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

На основании проделанных расчетов для цепочки, взаимодействие частиц которой определяется потенциалом Морса, можно сделать следующие основные выводы:

Стационарный во времени фронт ударной волны не обнаружен ни в первоначально не возмущенной, ни в первоначально термализованной цепочках, что противоречит допущениям континуального подхода. В случае первоначально термализованной цепочки не- стационарность обусловлена существованием позади фронта солитонов с различными амплитудами и, следовательно, с различными скоростями. Различие скоростей приводит к эффекту разбегания, который не позволяет установиться стационарному профилю. В случае первоначально не возмущенной цепочки амплитуды и скорости всех солитонов позади фронта стремятся к одним и тем же постоянным значениям.

，2. В первоначально не возмущенной цепочке не происходит термализации энергии позади фронта ударной волны и, следовательно, температура не возрастает. Вся энергия, поступившая с ударной волной, является либо потенциальной, либо энергией упорядоченного движения* ,

В первоначально термализованной цепочке, по- видимому, достигается термализация энергии позади фронта ударной волны, но этот вопрос требует дальнейшего исследования. Однако ударный профиль все же нестационарен, и переходная область между двумя частями цепочки, находящимися в состоянии теплового равновесия, расширяется со временем. Это также является результатом разбегания солитонов с различными амплитудами и скоростями распространения.

В будущем желательно исследовать, в какой степени все эти эффекты сохраняются в трехмерной модели. Недавно Забуски [18] объяснил возрастание теплопроводности при учете нелинейности, наблюдавшееся Пейтоном, Ричем и Висчером [9], как результат распространения солитонов в исследуемой модели. Эта модель была двумерной (с учетом ттримесей), поэтому можно предположить, что солитоны будут играть важную роль и в трехмерных моделях.

Если это так, то, по-вйдимому, учет солитонов существен при изучении многих физических явлений. Например, скорости частиц непосредственно за фронтом ударной волны больше их скоростей вблизи того конца цепочки, к которому приложена внешняя сила. Этот эффект может быть важной предпосылкой для понимания процесса инициирования химических реакций в сильно неравновесных средах. Кроме того, возможное образование солитонов в реальных материалах может существенно влиять на их динамические свойства, а также воздействовать на условия, при которых имеют место фазовые переходы ).

I) Цепочка, в которой взаимодействие частиц определяется потенциалом Морса, известна также под названием рещетки Тоды, для которой получено много интересных аналитических результатов (см., например, обзор [19]). В частности, известно, что уравнения, описывающие такую решетку, допускают точные М-солнтонные решения, обладают бесконечным набором интегралов движения, представляют собой вполне интегрируемую гамильтонову систему и могут быть решены методом обратной задачи рассеяния. Несмотря на это, результаты численных расчетов Беттеха и Пауэлла представляют большой интерес, поскольку аналитическое решение поставленных ими задач практически невозможно. Континуальным аналогом рассматривавшихся здесь уравнений при не слишком сильной нелинейности

Литература

Carnahan В., Luther Н. 4., Wilkes 丄 О., Applied Numerical Methods, Wiley, New York, 1969, Ch. 6.

Duvall G. £., Manvi R., Lowell S. C., Journ. Appl. Phys., 40, 3771 (1969).

Fermi E, Pasta /. R., Ulam S. AL — В кн.: Collected Works of Enrico Fermi, Vol. II, Chicago, 1965, p. 978. (Имеется перевод: Э. Ферми. Научные труды. Т. II. — М.: Наука, 1972, с. 643.)

Manvi R., Duvall G. Е, Brit. Journ. Appl. Phys. 2, 1389 (1969)

Manvi R., Duvall G.启.，Lowell S. C, Int. Journ. Meeh. Sci., 11, 1 (1969)..

. Morse P. M, Ingard K. U., Theoretical Acoustics, McGraw* ..Hill, New York, 1968, Ch. 3.

Paskin 4, Dienes G. /., Journ. Appl. Phys., 43, p. 1605 (1972).

Paskin 4., Dienest G. /., Solid State Commun, 17, 197 (1975).

Payton III D. M, Rich M., Visscher 取.M, Phys. Rev., 160t 706 (1967).

Powell 丄 D., Batteh /. 〃.，Ballistic Research Laboratory Rep., 2009, Ballistic Research Laboratry, Aberdeen Proving Ground, M. D., 1977.

Schroedinger E, Ann; Phys., 44, 916 (1914).

Tasi Л,Journ.Appl.Phys., 43, 4016(1972).

Tasi /.,Journ.Appl.Phys., 44, 4569(1973).

Tasi /.,Journ.Appl.Phys., 44, 2245(1973).

Tsai D.". —В кн.: Accurate Characterization of the High-

Pressure Environment, ed. E. C. Lloyd, Natl. Bur. Stds. Spec. Publ. N. 326, VS GPO, Washington, DC, 1971, p. 105.

Tsai D "., Bechett C. W. Journ. Geophys. Res., 71, 2601 (1966).

Tsai D. "., Mac Donald R. 4, Journ. Phys., C6, L171 (1973).

Zabusky M /., Computer Phys. Comm., 5, 1 (1973).

19*. Toda M., Phys. Reports, 18, 1 (1975)..

20*. Ooyama M, Saito M, Suppl. Progsr. Theor. Phys., 45, 201 (1970).

21*. Jeffrey A. — В кн.: Материалы I Симпозиума no нелинейным волнам деформации. — Таллин: 1978.

22*. Островский Л. Л.» Папко В. В., Степанянц Ю. А.——ЖЭТФ, 1980, т. 78, в. 2, с. 831.一

в длинноволновом приближении является хорошо известное уравнение Кортевега — де Вриза. Отметим, что взаимодействие одиночного солитона с тепловым фоном изучалось также в работах [20, 21], в которых было обнаружено, что солитон, взаимодействуя с фоном, постепенно затухает, отдавая ему свою энергию.

Что касается обобщений на неодномерные решетки, о необходимости которых пишут авторы, то здесь можно указать также на недавнюю работу Л. А. Островского и др. [22]. — Прим, перев.

Глава 11

Стационарные У<остояния,их взаимодействие, возврат и разрушение

Г. Дим ), Н. Забуск%")

ВВЕДЕНИЕ

Мы рассмотрим здесь новый класс вращательных и поступательных двумерных решений уравнений Зй・ лера, которые назовем «V-состояниями». Вращательные 匕состояния V (т, Т) — это одиночные вихревые области конечной площади (ВОКП) с постоянной за・ вихренностью, имеющие симметрию т-го порядка и период Т. Их можно рассматривать как естественное обобщение вихрей Кирхгофа [1], которые представляют собой эллиптические (т = 2) ВОКП с постоянной завихренностью. Поступательные V-состояния VnocTyn(L, U) — это пары ВОКП противоположного знака с постоянной завихренностью, характеризуемые расстоянием 厶 между центрами и скоростью U. Такие системы не что иное, как обобщение пары точечных вихрей противоположного знака. Возмущения границ вращательных V-состояний представляют собой нелинейные волны с дисперсией, что, по-видимому, играет важную роль в наблюдавшихся нами явлениях возврата возмущенных круговых ВОКП.

Сначала мы остановимся на дисперсионных свойствах V-состояний и на методе контурной динамики (КД). Затем приведем новое нелинейное интегродиф- ференциальное уравнение для границы /* = R(a), которое содержит период вращения в качестве бифуркационного параметра. Будут даны примеры V-состоя-

ний третьего и четвертого порядков симметрии и поступательного V-состояния. После этого мы представим нестационарные решения (полученные с помощью численного алгоритма КД), чтобы: а) показать ста-

Рис. 1. Периоды вращения для 7-состояний в уравнениях Эйлера: зависимость Tgo/2冗 от 1/w.

Светлые кружки —точки, рассчитанные в соответствии с линейным дисперсионным уравнением T^^^nmUjn — ^ период Г2 соответствует эллиптическим вихрям Кирхгофа.

ционарный характер V-состояний; б) йродемонстри- ровать явления возврата и разрушения вращательных V-состояний; в) продемонстрировать взаимодействие между точечным вихрем и ВОКП, а также между двумя V-состояниями с неодинаковой симметрией.

Уравнения Эйлера в двумерном случае представляют собой гамильтонову систему и могут быть записаны в переменных завихренность — функция тока:

--另===—*" =-z-- , V = - ~4~~ •

Лэмб [1] показал, что возмущению малой амплитудыЛэмб [1] показал, что возмущению малой амплитудыг = R)[ 1 + в cos (/па — 6加川，(2)г = R)[ 1 + в cos (/па — 6加川，(2)приложенному к вихренностью К ное уравнениеприложенному к вихренностью К ное уравнениекруговой области с постоянной за- соответствует линейное дисперсион-круговой области с постоянной за- соответствует линейное дисперсион-^ =现旧一1).⑶^ =现旧一1).⑶Угловая скорость m-й моды в лабораторной системеУгловая скорость m-й моды в лабораторной системеотсчета равнаотсчета равна⑷⑷Например, эллиптические волны (т = 2) вращаются в том же направлении, что и частицы жидкости на границе, но с вдвое меньшей скоростью [1]. Моды высшего порядка имеют меньшие периоды вращения:Например, эллиптические волны (т = 2) вращаются в том же направлении, что и частицы жидкости на границе, но с вдвое меньшей скоростью [1]. Моды высшего порядка имеют меньшие периоды вращения:彌=彌=264冗加«m So (rn— 1)264冗加«m So (rn— 1)(5)(5)

Лэмб [1] показал, что возмущению малой амплитуды

Лэмб [1] показал, что возмущению малой амплитуды

г = R)[ 1 + в cos (/па — 6加川，(2)

г = R)[ 1 + в cos (/па — 6加川，(2)

приложенному к вихренностью К ное уравнение

приложенному к вихренностью К ное уравнение

круговой области с постоянной за- соответствует линейное дисперсион-

круговой области с постоянной за- соответствует линейное дисперсион-

^ =现旧一1).⑶

^ =现旧一1).⑶

Угловая скорость m-й моды в лабораторной системе

Угловая скорость m-й моды в лабораторной системе

отсчета равна

отсчета равна

⑷

⑷

Например, эллиптические волны (т = 2) вращаются в том же направлении, что и частицы жидкости на границе, но с вдвое меньшей скоростью [1]. Моды высшего порядка имеют меньшие периоды вращения:

Например, эллиптические волны (т = 2) вращаются в том же направлении, что и частицы жидкости на границе, но с вдвое меньшей скоростью [1]. Моды высшего порядка имеют меньшие периоды вращения:

彌=

彌=

264冗加

«m So (rn— 1)

264冗加

«m So (rn— 1)

(5)

(5)

Соответствующие точки линейной дисперсионной зависимости представлены светлыми кружками на рис. 1.

Как показал Лэмб [1], колебания эллиптической границы имеют период Т2(Ь/а) — (2я/^ (b + a)2Iba, являющийся функцией отношения большой и малой осей (b/a). Соответствующий интервал периодов показан на рис/ 1 при 加一1 = 0,5 прямой линией, идущей вертикально вверх из точки 7Со/2冗=4,0.

МЕТОД КОНТУРНОЙ ДИНАМИКИ

Идея метода контурной динамики [2] состоит в том, что рассматриваются взаимодействия между границами областей постоянной завихренности, благодаря чему достигается снижение размерности рассматриваемой задачи на единицу. Используя двумерную функцию Грина, т. е. In г, из уравнения Пуассона получаем функцию тока в виде

叩=-盡 J \dl dr][lnr]UL 喻

гдегде「=炉一疔+匂一吟熙「=炉一疔+匂一吟熙

где

где

「=炉一疔+匂一吟熙

「=炉一疔+匂一吟熙

Скорость u = 〃е* + vey в каждой точке на контуре Г получается дифференцированием функции -ф. Поскольку С(Е, п) 一 кусочно-постоянная функция, поверхностный интеграл преобразуется в интеграл по контуру Г, а именно

и (招 У) = * § [In г] [ех 臂 + / rfn]. (6) г

Затем временная эволюция точек (х, у) контура Г определяется дифференциальными уравнениями хех +： + 歹弱=u(x,у). В дальнейшем мы всегда будем полагать go =——1, что соответствует вращению вихревых областей по часовой стрелке.

СТАЦИОНАРНЫЕ 7-СОСТОЯНИЯ

Начнем наше исследование с нахождения упомянутых выше линий на графике зависимости (Т^0/2л) от /и-* которые выходят из светлых кружков при целых т. Для этого подставим дискретизованные уравнения алгоритма КД [2]) в уравнение для равномерно

вращающейся границы, а именно п • ¥чаСтица = =П • Уграница ИЛИ

определенное на границе г — R (хг, №)= 1? (а), где г и а— полярные координаты, s ——длина дуги и п — вектор единичной нормали к границе; угловая скорость границы £2 = 2л/Т служит бифуркационным параметром. Если мы подставим равенство d^/ds = =〃 sin 0 — и cos 0 в уравнение (7) и перегруппируем члены, то получим.

F = ^и sin 6 — и cosB + QR С^) }「= °'⑻

где 0 = arctg(dy/dx) — угол наклона контура к осях. Если предположить, что контур определяется однозначной функцией r = R(a), то уравнение (6) можно записать в виде

и = * § dpR (Р) [In г] [ех { cos В — Q sin б} + .. г

+ е” {sin р + Q cos В}],(9)

где 一

Q(a) = R"需，

г =便2(а) + R2 ⑹ 一 2R(а) R (p) Cos(p 一 а)»,

Характеристики вращательных V-состояний V (m, Т) и поступав

Тип V-состояния

Число узлов N

Площадь 1)

Длина контура 1)

Наибольший радиус 2)

Наименьший радиус2)

и (3; 20,0)

и (3; 20,5)

и (4; 17,0)

V (4; 17,5)

Гпост (2,475; 1/3)

60

60

60

60

40 4)

5,000

5,000

5,000

5,000

5,9744)

8,615

8,948

8,224

8,685

9,155 4)

1,591

1,684

1,403

1,523

1,791 4)

1,056:

1.032；

1.155.

1,117

0,987 4)

О Площадь« 2 уп (А%)%; длина контура = £ (As)『£ % /1=1П=1九=1

2) По отношению к центру области.

а уравнение (7)——в виде нелинейного интегродиффе- ренциального уравнения для R(a)

2n

4nQ 若=备 \ d0R (P)[ln 鬥{sin (p-a)[l+Q (a) Q (₽)]+ о

+ cos(B — a)[Q(a) — Q(B)]}・(10)

Для V-состояний, движущихся раномерно co скоростью U, уравнению (8) соответствует уравнение

G = {(〃 一 U) sin 8 — и cos 0}г = 0.(11)

Заметим, что теперь “ни содержат вклады в форме (6) от обоих контуров поступательно движущейся пары.

При заданном 7(4) (или、U) решениями уравнения (8) [или (11)] являются искомые V-состояния. На рис. 2 представлены результаты численного интегрирования, полученные итерационным методом Ньютона——Рафсона ), в котором используется дискрети-

тельного У-состояния Vn0CT (£, U), показанных на рис. 2

Граничные моды 8)

画）加

Ро

1 pm 1

1Р2m1

1 Рзт 1

1p4加 1

10师1

7,19°

1,250

1,197 - IO"*1

3,04 • КГ?

1,02 • КГ?

3,9 • 10~3

1,6 • 10-3

7,19°

1,245

1,366・ 10“

4,17- 10~2

1,71 • 10-2

8,1 . 10~3

4,2 ・ 10-3

19,69°

1,259

6,02 • КГ?

1,00 • IO»

2,2 . 10-3

5,9 .10~4

一

19,69°

1,255

8,78 • КГ?

2,41 • Ю~2

9,3 • ICT?

4,3 • КГ’

—

8) R (а)=ро + 2 £ I Opm |cos m [а 4- (6ф)т] (с точностью до поворотов по а). Rs=l

')Либо Верхней, либо нижней ВОКП.

зованное представление уравнений (8) или (11), причем и п V задаются дискретизованной формой уравнения (6) [2]. Значения параметров вычислений и основные характеристики V-состояний, в том числе амплитуда |pOT| и фаза ^т = т{Ь^)т фурье-разложения R(a) с началом координат в центре области, где

2л

Рт = (2лГ1 ^e~~imaR (a) da и qpm = arctg(Irnpm/Re рот), о'

(12)

сведены в таблицу. Заметим, что при удалении от светлых кружков на рис. 1 контуры V-состояний обостряются. Это видно как из возрастания отношения длины контура к площади или большего радиуса к меньшему, так и, например, из отрицательности радиуса кривизны в У (4; 17,5).

Циркуляция (т. е. произведение | Со[Х площадь) для поступательной ВОКП Упост ⑵防5； 1/3) на рис. 2, д равна 5,974. Для пары точечных вихрей с той же циркуляцией, разнесенных на 2,475, скорость поступательного движения равна 0,384 [= 5,974/2л (2,475)].

Чтобы убедиться в том, что V (4; 17,5)——стационарное состояние, мы использовали его в качеству

начального условия для алгоритма КД. За время одного оборота контур изменяется почти периодически: его длина сначала уменьшается от 8,685 до минимума, равного 8,631 (при / = 1,475), а затем увеличивается до максимума, равного 8,747 при f = 12,675, и снова уменьшается до первоначального значения при / = =17,375. Отсутствие точной стационарности следует

Вращательные: а — V (3; 20,0), 6—У (3; 20,5), в—V (4; 17,0), а —V (4; 17,5). Поступательное: d —VnocT (2,475; 1/3).

приписать двум факторам. Во-первых, начальное состояние не является точно стационарным, поскольку мы предполагаем сходимость итерационной схемы, когда 尸 в уравнении (8) меньше 0,001 для каждой дискретной граничной точки. Во-вторых, алгоритм КД второго порядка вносит ошибки, связанные с округлением и конечными разностями. Подобным же путем вычислений на основе алгоритма КД до 30-й единицы времени мы убедились в том, что поступательная пара ВОКП на рис. 2, д есть стационарное состояние.

Логично предположить, что существует континуум V-состояний /п・го порядка симметрии, соответствующих точкам на прямых линиях, идущих вверх из точек линейной дисперсионной зависимости (например, из светлых кружков при целых т) на рис. 1. В настоящее время ведутся численные и аналитические исследования этих интервалов.

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ МОД

Отмеченный выше «квазивозврат» контура побудил нас исследовать сильные взаимодействия поверхностных мод. Мы выбрали фигуру третьего порядка симметрии с точками заострения, составленную из

При f=0 граница вихревой области состоит из дуг окружности. Штриховая линия соединяет центр области с фиксированной частицей жидкости на границе, а сплошная —с участком поверхностной волны, характеризующимся постоянной фазой.

дуг окружностей и имеющую площадь 44, как показано на рис. 3. Период вращения составил около 20 единиц времени, что видно из двух горизонтальных рядов контуров на рис. 3. За это время точка на контуре (конец штриховой линии, идущей из центра) сделала 1,4 оборота. Отмеченная выше периодичность в поведении решения здесь более очевидна, поскольку очертания границы изменяются от гладкого контура к остроконечному и обратно. В нижнем ряду контуров на рис. 3 видны зарождающееся разрушение контура и возрастающая локальная асимметрия в окрестности точек заострения. Нет сомнения в том? что если бц

вычисления были продолжены, то можно было бы увидеть образование нитей завихренности, о которых будет сказано ниже.

Чтобы исследовать взаимодействия поверхностных мод более детально, мы вносили локальное возмуще-

Рис. 4. Возврат и разрушение возмущенного кругового вихря R (а, 0) = Ro {1 + £ sch2 [(л — а)/Да]}, где Да = л/6 и 8 = 0,6.

Контур R (а, 0) показан в моменты времени f=0,7,，13, 26, 33 и 39.

ние в круглую ВОКП и задавали начальное состояние в виде

R (а) = Ro { 1 + £ sch2 [(л; — а)去]卜

где Да = л/6 и е = 0,6 Результаты, полученные с помощью алгоритма КД для шести моментов времени, показаны на рис. 4, где проведены наибольший и наименьший радиусы контуров. Первый квазивозврат наблюдался при / = 13, а второй — при / = 26. Заме-

тим, что при f = 33 видны первые признаки разрушения и образования нити завихренности. При возрастании 8 разрушение наступает быстрее.

Мода ZМода ZРис. 5. Временная эволюция поверхностных мод, соответствующих рис. 4.На верхнем графике — амплитуды мод, а на нижнем •— скорости изменения фаз фт [формула (12)].'Рис. 5. Временная эволюция поверхностных мод, соответствующих рис. 4.На верхнем графике — амплитуды мод, а на нижнем •— скорости изменения фаз фт [формула (12)].'

Мода Z

Мода Z

Рис. 5. Временная эволюция поверхностных мод, соответствующих рис. 4.

На верхнем графике — амплитуды мод, а на нижнем •— скорости изменения фаз фт [формула (12)].'

Рис. 5. Временная эволюция поверхностных мод, соответствующих рис. 4.

На верхнем графике — амплитуды мод, а на нижнем •— скорости изменения фаз фт [формула (12)].'

На рис. 5 представлены результаты фурье-анализа формы границы R(a,/): по формулам (12) построены |рот| и 屮俏/曲加(俏=2,3,4,5). Из нижнего рисунка видно, что скорость изменения фазы для моды с наибольшей амплитудой (/п = 2) возрастает до / = 7,0, тогда как у моды с меньшей амплитудой (/п = 3) она уменьшается. Это определенно указывает на солито-

неподобное поведение J), но нам не удалось подтвердить такое заключение аналитически. Можно предположить, что во взаимодействиях поверхностных волн конечной амплитуды на ВОКП стационарные V-состояния играют роль, аналогичную солитонам.

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОКП МЕЖДУ СОБОЙИ С ТОЧЕЧНЫМ ВИХРЕМ

Поскольку поверхностные моды играют, по-види- мому, значительную роль в динамике течений ч: большим числом Рейнольдса, мы начали систематическое численное и аналитическое исследование взаимодействий в контурной динамике. Первым шагом в этом направлении явились две серии измерений, представленные на рис. 6 и 7. На рис. 6 показано взаимодействие первоначально круглой ВОКП радиусом 0,3 с точечным вихрем того же знака при одном и том же значении циркуляции —0,09л. Если их центры первоначально разнесены на расстояние Lc = 1,1, то они вращаются вокруг точки в центре потока, обозначенной крестиком. В этом случае точечный вихрь индуцирует на ВОКП возмущения, которые приводят к превращению ее в овальную в интервале времени 4V/V12. Затем наблюдается квазивозврат при / = 19.

Еслй же начальное расстояние между центрами уменьшить до 厶=1,0, то, как и можно было ожидать, скорость вращения пары возрастает, овальность формы ВОКП становится более выраженной, а время возврата увеличивается до 24. Наконец, если начальное расстояние между центрами уменьшить до Lc = =0,8, то точечный вихрь захватывает завихренную «жидкость» из ВОКП. Далее захват усиливается и происходит «фазовое перемешивание». Эту серию на-

')Под «солитоноподобным поведением» мы понимаем в данном случае соотношение скоростей (или изменений фазы) двух солитонов Кортевега ——де Вриза, взаимодействующих на бесконечной прямой. Известно, что скорость (или изменение фазы) солитона большей амплитуды возрастает при взаимодействии с солитоном меньшей амплитуды, скорость которого при этом уменьшается.

блюдений можно сравнить с взаимодействием двух

Рис. 6. Взаимодействие круговой вихревой области с точечным вихрем. "

Циркуляция обоих вихрей равна—0,09 л. Начальный радиус ВОКП равен 0,3.

Показана временная эволюция при разных начальных расстояниях между центрами Lc.

начально оказываются в пределах «области взаимного захвата», сливаются и испускают вихревые ответвления.

Существенна ли роль симметрии в деформации ВОКП? В следующем эксперименте было рассмотрено

взаимодействие двух ВОКП одного знака: эллиптический V (2; 9л) и V-состояния третьего порядка симметрии V (3; 20,5), каждая с площадью 5 единиц. Их центры разнесены на расстояние, равное 6, а их

Рис. 7. Взаимодействие двух V-состояний V (2; 9 л) и 7 (3; 20,5).

Из центров областей проведены их наибольший и наименьший радиусы- Стрелка движется с поверхностной волной на нижней (т=3) ВОКП .

начальные фазы показаны на рис. 7. Для удобства наблюдения проведены наибольший и наименьший радиусы каждой из фигур. При вращении вокруг общего центра с периодом около 26 единиц времени эллипс испытывает малые возмущения. Он почти точно возвращается к своему начальному состоянию при / = 18. Более 《хрупкое》 V-состояние третьего порядка симметрии испытывает сильные возмущения; при f = 12 и / = 18 наблюдается формирование точек заострения. При / = 18 возникшая первой точка заострения

вытягивается в нить. Период вращения (определен-

ный по положению стрелки) составляет приблизи* тельно 20 единиц времени. Можно сделать вывод, что V-состояния с более высокими m имеют большую тен・ денцию к разрушению. Это означает, что У-состояния с более высокими m менее устойчивы по отношению к возмущениям малой, но конечной амплитуды.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Путем численных расчетов мы показали, что существуют вращающиеся как целое вихревые области, или V-состояния,——новый класс двумерных решений уравнений Эйлера в виде стационарных нелинейных волн с дисперсией. Аналитически эту задачу можно решать, рассматривая нелинейное интегродифферен- циальное уравнение (10) или пользуясь методом конформных отображений.

Как указывали Забуски и Дим, а также Кристиансен и Забуски, волны играют важную роль во взаимодействии и устойчивости когерентных цепочек ВОКП, возникающих, например, в следах плохо обтекаемых тел.

В класс вихревых структур, которые можно исследовать методом контурной динамики, кроме ВОКП и точечных вихрей входят также вихревые пелены. На* пример, 《нити》завихренности, которые наблюдаются после образования точек заострения, можно отделить от ВОКП и рассматривать как вихревые пелены конечной протяженности. Кроме того, вихревые пелены естественным образом возникают при изучении устойчиво стратифицированной (слоистой) среды со сдвигом скорости, описываемой уравнениями Буссинеска. В недавно начатом исследовании мы обнаружили, что если начать с ВОКП и областей с кусочйо-постоянной плотностью, то затем образуются вихревые пелены различной интенсивности, которые движутся вместе с линиями разрывов плотности. Их интенсивность изменяется в соответствии с углом между касательной к линии разрыва и нормалью к ним.

С тех пор как в 1965 г. было введено понятие солитона, не прекращаются поиски дву- и трехмерных стационарных состояний, имеющих физический смысл,

Но пока что только двумерное уравнение Кадомцева ——Петвиашвили кое-что давало в этом отношении. Мы полагаем, что введенные здесь V-состояния открывают множество новых интересных возможностей, например в уравнениях замагниченной плазмы без диссипации, где электрические токи могут приводить к существованию более интересных топологически форм ВОКП.

Авторы благодарны М. Крускалу за стимулирующие дискуссии. Работа финансировалась по договору NR062-583 Управлением научных исследований ВМФ США. Н. Забуски выражает благодарность за гостеприимство руководству и сотрудникам Принстонского университета, где он работал с сентября по декабрь 1977 г. по Программе прикладной математики.

Литература

Lamb "., Hydrodynamics, 6th Ed., Dover Publications, 1932, Sec. 159, p. 232. (Имеется перевод одного из изданий: Г. Лэмб. Гидродинамика. — М. — Л.: Гостехиздат, 1947.)

Zabusky М /., Hughes М. "., Roberts К.匕(В печати.)

Краткая биография Джона Скотта Рассела

До недавнего времени сведения о жизни Скотта Рассела можно было найти лишь в отдельных некрологах, в которых перечислялись немногие основные факты. Этот пробел был недавно восполнен выходом в свет книги Дж. Эмерсона «Джон Скотт Рассел — великий инженер и кораблестроитель викторианской эпохи» (изд-во «Джон Мюррей», Лондон, 1977). Благодаря своему усердию и мастерству профессор Эмерсон создал замечательную биографию, несмотря на «бедность первоисточников и обескураживающе сильное стирающее влияние времени», которые отпугивали других желающих взяться за эту задачу. В качестве «закуски» перед более существенной «пищей» мы предлагаем читателю следующую статью из 9-го издания Британской энциклопедии (1886 г.).

Рассел Джон Скотт (1808—1882) родился недалеко от Глазго в семье священника. Желание его отца видеть сына пастором не осуществилось вследствие рано обнаружившейся склонности мальчика к практическим наукам. Он учился в университетах Сент- Андруса, Эдинбурга и Глазго и получил в последнем степень бакалавра в возрасте 16 лет. После двух лет работы на фабрике он стал преподавателем в Эдин* бургском университете, где его лекции вскоре стали пользоваться большим успехом у студентов. В 1832— 1833 гг. ему предложили читать курс лекций по натурфилософии вместо умершего Лесли. В следующем году Рассел начал свой замечательный цикл наблюдений за волнами, результаты которых, имевшие выдающееся значение для науки, сыграли важную роль

и в его собственной карьере. Когда к нему обратились за консультацией относительно возможности организации парового судоходства по каналу Эдинбург— Глазго, он ответил, что этот вопрос нельзя решить без экспериментов и что он готов ими заняться, если часть канала будет предоставлена в его распоряжение. Результаты этих исследований можно найти в XIV томе Трудов Королевского общества Эдинбурга и в Докладах Британской Ассоциации (VII заседание). О значении этих исследований достаточно сказать, что именно в них было обнаружено существование длинных волн, или волн трансляции, и изучены их наиболее важные свойства, а также (и это лишь одна простая иллюстрация ценности работы) было ясно указано, почему существует определенная скорость (зависящая от глубины воды), при которой лошадь затрачивает наименьшие усилия для буксировки баржи. Элементарная математическая теория длинных волн очень проста; она вскоре была создана комментаторами работ Рассела; впоследствии более полное исследование было проведено Стоксом, и теперь этот вопрос безусловно следует считать лишенным каких-либо тайн. Рассел придерживался противоположного мнения, и это привело его к ряду экстраординарных и необоснованных предположений, часть которых была опубликована в книге 《Волны трансляции^, вышедшей уже после его смерти в 1885 г. На основе своих наблюдений он предложил и экспериментально опробовал новую систему конструирования кораблей, которая известна под названием волновой системы. Кульминационной точкой этой работы была постройка громадного уникального судна «Грейт Истерн», о котором один компетентный специалист недавно заметил: «...возможно, что если бы сейчас потребовалось строить новый «Грейт Истерн», то мы бы точно следовали системе конструирование, которой пользовался мистер Рассел».

Хотя известность Скотта Рассела будет связана главным образом с двумя крупнейшими достижениями, упомянутыми выше, его активность и изобретательность проявлялись и во многих других областях — разработка паровых дорожных экипажей, усовершен-

ствование паровых котлов и двигателей кораблей, создание огромного железного купола здания Венской выставки, изобретение ячеистых двойных днищ для железных кораблей и т. д. Вместе с мистером Стаффордом Норткотом (лордом Иддли) Рассел был секретарем Большой выставки 1851 г.; он был также одним из главных основателей Института кораблестроения, из XXIII тома Трудов которого мы извлекли большую часть того, о чем написано выше. Расселом написаны статьи «Пар», «Паровой двигатель», «Паровое судоходство» и др. для 7-го издания Британской энциклопедии. Он умер 8 июня 1882 г. в Вентноре.

Как сказано в книге Эмерсона, последний труд Рассела «Волны трансляции в океанах воды, воздуха и эфира» (изд-во «Трюбнер и К°》，Лондон, 1885 г.) как книга оказался мертворожденным. Его нелегко найти в США, однако один экземпляр имеется в библиотеке Корнеллского университета. Чтобы получить представление о соотношении между «экстраординарными и необоснованными» предположениями, представленными в этой книге, и современным развитием физики солитонов, интересующемуся читателю следует обратиться к статье Робина Буллафа «Солитоны» (R. Bullough, Phys. Bull о 1978, р. 78), а также к статье А. Либхабера и Г. Тулуза «Возвращение солитонов» [4 Libchaber, G. Toulouse, La Recherche, 7, 1027 (1976)].

Элвин Скотт

ДОПОЛНЕНИЕ

При переводе для большей ясности были добавлены (с любезного разрешения автора) рис. 20, 25 и 26 из статьи Фултона (Fulton Г. А.——В кн.: Superconductor Applications: SQUIDs and Machines, eds. В. B. Schwarz, S. Poner, Plenum Press, New York, 1977, p. 125), на которые имеются ссылки в гл. 8 (стр. 198 и 201 данной книги).

"川川山山2"川川山山2田NW 〃川NIW田NW 〃川NIWРис. 20. Малые (плазменные)колебания в цепочке маятни-ков —модели одномерного кон-такта (вид сбоку).а—на длине контакта укладываетсяполовина длины волны; 6—на длинеконтакта укладываются две длиныволны.Рис. 20. Малые (плазменные)колебания в цепочке маятни-ков —модели одномерного кон-такта (вид сбоку).а—на длине контакта укладываетсяполовина длины волны; 6—на длинеконтакта укладываются две длиныволны.

"川川山山2

"川川山山2

田NW 〃川NIW

田NW 〃川NIW

Рис. 20. Малые (плазменные)колебания в цепочке маятни-ков —модели одномерного кон-такта (вид сбоку).

а—на длине контакта укладываетсяполовина длины волны; 6—на длинеконтакта укладываются две длиныволны.

Рис. 20. Малые (плазменные)колебания в цепочке маятни-ков —модели одномерного кон-такта (вид сбоку).

а—на длине контакта укладываетсяполовина длины волны; 6—на длинеконтакта укладываются две длиныволны.

可加山山山出1可加山山山出1ЛЛ

可加山山山出1

可加山山山出1

Л

Л

Рис. 25. Собственная мода, отвечающая распространению одного флюксона.

Показаны ггять поел едова тельн ых конфигураций, соответствующих отражению от конца. Сплошная линия — вид спереди [функция — cos(р(*)], штриховая линия — функция У(х).

ЩШШПШПШ'

Рис. 26. Собственная мода, от、вечающая распространениюдвух флюксонов.

Показаны пять последовательных конфигураций： бив — отражение от конца, е н d — столкновение в центре. Сплошная лмн^л — Ьйд спереди [функция —cos ф(«)1, штриховая линия — функция V(x),

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

—в связанных волнах 180T82—«затемнения» 179, 180_—огибающей ‘一 一—一—в связанных волнах 180T82—«затемнения» 179, 180_—огибающей ‘一 一—一Столкновение 112, 148, 149, попутноеСтолкновение 112, 148, 149, попутное

—в связанных волнах 180T82

—«затемнения» 179, 180_

—огибающей ‘一 一—一

—в связанных волнах 180T82

—«затемнения» 179, 180_

—огибающей ‘一 一—一

Столкновение 112, 148, 149, попутное

Столкновение 112, 148, 149, попутное

Автомодуляция 175

Ангармоническая цепочка атомов 271, 277

Антисолитон 78, 90, 196

Антифлюксон 195, 200, 212, 238

Безотражательный потенциал 26,

38, 80, 82, 96. 98

Бион 212, 214

Бризер 78, 90, 98, 196, 199, 213, 241, 259

Буссинеска уравнение 18, 303

Бэклунда преобразование 26, 53, 57, 195, 252, 254—259

Бьянки теорема 28, 53

Вихревая пелена 303

Вихрь Кирхгофа 289

—точечный 289, 290, 300, 303

Возврат ФПУ 107, 116, 124, 129, 154, 175'

ВОКП (вихревые области конечной площади) 289, 300

Волновой пакет 105, 107, 109, 112, 275

Волны гравитационные 105—107

—ионно-звуковые 163, 165, 175

—кноидальные 14

— ленгмюровские 163—165

—трансляции 117, 18, 307

—уединенные 14—18, 28, 162, 271, 279, 281-285

Галилея преобразование 22 Гамильтонова система 26, 77, 287

Гарднера уравнение 20, 21

Гельфанда — Левитана — Марченко уравнение 23, 25

Гордона синус-уравнение 72, .187. 190, 212, 215, 243, 255

обобщенное 63, 78

Данные рассеяния 22, 24, 25, 32

—спектральные 32, 35, 37, 39, 40

Деррика теорема 75

Джозефсона эффект 188

Дисперсионное уравнение 105, 165, 166, 291

Законы сохранения 18, 48, 50, 53, 58

Инстантон 46, 67

Кадомцева — Петвиашвили уравнение 304

Кинк 57, 61, 74, 77, 79, 83, 86, 211

Кластер 76

Клейна — Гордона уравнение 252, 265

Когерентность 128—136

Контурная динамика (КД) 289, 291— 296

Кортевега — де Вриза уравнение 14, 32, 43, 49, 52, 57, 142, 170

———модифицированное 19, 21

Коэффициент отражения 22, 23, 34, 38, 211

—прохождения 23. 34

Лакса уравнения 67

Ландау затухание 165, 166

Ли алгебра 49—53, 61, 63

—группы 48, 50—52, 61—63

Лиувилля уравнение 27

Лоренца преобразование 196, 213, 253

Марковские цепи 32, 41

Метод обратной задачи рассеяния

52, 195, 210

Мнкрозакоротка 215, 216, 229

Морса потенциал 272, 273, 287

Неустойчивость Бенджамина—Фей-

ра 107, 115, 129, 131

—модуляционная 157, 177, 178

Нить завихренности 298, 299, 303

Полная интегрируемость 49

Риккати уравнение 21, 56, 58—60

Связанные состояния 84, 88, 89, 145, 172, 196

Солитон, определение 16

107, 122, 156, 175 солитонов встречное

159, 173

148, 150, 159, 173

Термализация энергии 13, 128, 286, 287

Годы цепочка (решетка) 67, 78, 85, 98, 287

Точки заострения 297, 302, 303

Уравнение эволюционное 24, 25

Устойчивость топологическая 76, 79

Фазовый сдвиг 18, 80, 112

Фи.ллипса диаграмма резонансная 124

Флюксон 185, 212, 225, 238, 246, 260

Функции Поста 34, 38, 39

—псевдособственные 35, 36

—собственные 22, 34, 40

—Эйри 168

Хвосты солитонов 15, 89, 107, 112, 151

Шредингера уравнение 22, 23, 52, 80, 121, 146, 154

двумерное 128

радиальное 35

нелинейное 107* 124, 125, 129,

157, 176

993 357 8156991 111 1222223 357 8156991 111 12222232323337404244323233374042444545485045454850

9

9

3 357 815699

1 111 122222

3 357 815699

1 111 122222

32323337404244

32323337404244

45454850

45454850

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редакторов перевода

Предисловие к русскому изданию

Предисловие

Глава 1. Введение в теорию солитонов и метод обратной задачи рассеяния на примере уравнения Кортевега — де Вриза (А Миура) . •

Введение

Солитоны

Солитоны и наблюдения Дж. Рассела ...

Законы сохранения и нелинейное преобразование

Метод обратной задачи рассеяния

Солитонные решения

Преобразование Бэклунда

Обобщение и дальнейшее развитие теории Литература

Глава 2. Обобщение обратной задачи рассеяния для одномерного уравнения Шредингера и соответствующие приложения к уравнению Кортевега — де Вриза. Вариационный принцип (Г. Мозес)

Введение

Обобщенное уравнение Гельфанда — Левитана § 3. Приложения

«Пути» и их использование § 5. Вариационный принцип Литература

Глава 3. Продолжения, преобразования Бэклунда и теория Ли как средства для изучения нелинейных дифференциальных уравнений (А Герман)

Введение

Обобщенные законы сохранения для нелинейных волновых уравнений

Уравнения продолжений, ассоциированных с обобщенным законом сохранения

Уравнения продолжений и обратная задача рассеяния для уравнения Кортевега — де Вриза

Общие утверждения о преобразованиях Бэк- лунда, солитонах и суперпозиции Бьянки . . 53

Преобразование Бэклунда для уравнения Кортевега — де Вриза57

Формула суперпозиции Бьянки — Уолкви- ста—Эстабрука в случае уравнения Кортевега —де Вриза59

Общий (хотя и спекулятивный) дифференциально-групповой подход к теории двумерных солитонов. Кинки61

Обобщенное синус-уравнение Гордона . . . 63

Заключительные замечания и взгляд в будущее ..'65

Литература 70

Глава4. Солитоны и физическиевозмущения(4 Бишоп}72

Введение 72

Детерминированныевозмущения79

Классическая статистическая механика . . . 94

Заключение100

Литература 101

Глава5. Теория нелинейных волнв приложениикволнам

на глубокой воде (Г. Юэн, Б. Лэйк) . . . . . . 103

Введение 103

Исходные уравнения104

Эволюция одномерных нелинейныхволн . . .107

Эволюция двумерных нелинейныхволн . . .120

Понятие когерентности128

Заключительные замечания136

Литература 136

Глава G. Экспериментальные исследования солитонов в нелинейных линиях передачи с дисперсией (К. Лон- грен) . . . . •138

Введение 138

Линия передачи139

Эксперименты142

Численные эксперименты157

Заключение158

Литература 160

Глава 7. Экспериментальное исследование солитонов в плазме (X. Икези)163

Введение 163

Волны малой амплитуды163

Схема эксперимента166

Ионно-звуковые солитоны168

Нелинейная автомодуляция и ионно-звуковые

солитоны огибающей175

Солитоны в связанных волнах _180

Заключение 183

Литература .183

Глава 8. Флюксоны в распределенных джозефсоновских конТактах (Л Парментье)185

Введение 185

Вывод уравнений187

Решения синус-уравнения Гордона193

Влияние диссипации и токасмещения . . . 202

Заключительные замечания207

Литература 208

Глава 9. Многосолитонная теория возмущений (Д. Мак-Лафлин, Э. Скотт)210

Введение 210

Энергетическийанализ215

Схема теориивозмущений . *218

Исследование динамики одиночного флюксона методом теории возмущений 225

Взаимодействие флюксонов 238

Функции Грина для излучения, испускаемого флюксоном246

Излучение флюксона260

Литература 267

Глава 10. Распространение солитонов в одномерной цепочке

при ударном сжатии (Дж. Беттех, Дж. Пауэлл) 269

Введение 269

Модель распространения ударной волны в одномерной цепочке. Уравнения движения . . 272

Первоначально не возмущенная цепочка . . 274

Цепочка, термализованная в начальный момент 279

Заключительныезамечания286

Литература 288

Глава 11. Стационарные V-состояния, их взаимодействие^ воз

врат и разрушение (Г. Дим, Н. Забуски) .... 289

Введение 289

Метод контурной динамики291

Стациойарные V-состояния292

Взаимодействия поверхноспгых мод .... 297

Взаимодействие ВОКП между собой и с точечным вихрем300

Заключительные замечания303

Литература 304

Краткая биография Джона Скотта Рассела305

峡 нолненне 308

иетныи указатель309

§ 2. ОБОБЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕГЕЛЬФАНДА — ЛЕВИТАНА

Рассмотрим гамильтониан '

"尸-备* 匕⑶(—оо < х < оо), (2.1)

где V/ (х) принадлежит к классу рассеивающих потенциалов. Мы предполагаем, что Vj(x) убывает достаточно быстро с ростом |х| и, следовательно, применима обычная теория рассеяния. Тогда Hj имеет непрерывный спектр, который простирается от 0 до

】)В отличие от «псевдособственных» (см. ниже) функций 力(尤 I 頁),которые будут лишь обобщенными собственными функциями, поскольку они не являются квадратично интегрируемыми. —Прим, перев.

§ 5. ОБЩИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

§ 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЭКЛУНДА

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА — ДЕ ВРИЗА

Основным источником здесь опять служит статья Эстабрука и Уолквиста [9]. Мы будем следовать их идеям и обозначениям. Запишем уравнение Кортеве-

§ 7. ФОРМУЛА СУПЕРПОЗИЦИИ

БЬЯНКИ — УОЛКВИСТА — ЭСТАБРУКА

В СЛУЧАЕ УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА — ДЕ ВРИЗА

Будем пользоваться и далее обозначениями § 6. Пусть g, W2 — «потенциальные» функции двух 1-солитонных решений уравнения Кортевега ——де Вриза (в качестве примера мы рассмотрим формулу супер-

1) В работе Хироты и Сасумы [58] аналитически показано, что наблюдавшиеся в работе [41] осцилляции при столкновении солитонов связаны с ошибками численных расчетов.——Прим. пе・ рев. '

§ 5. НЕЛИНЕЙНАЯ АВТОМОДУЛЯЦИЯ

И ИОННО-ЗВУКОВЫЕ СОЛИТОНЫ О「ИЕАНЭЩЕР1

Рассмотрим нелинейную ионно-звуковую волну вида

0 (/ 0 =出丄p，=少(X, /) exp (恤% 一沁)()/)(24)

§ 3. СХЕМА ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

В этом параграфе мы покажем, как можно описать изменение «чисто» многосолитонного в начальный момент решения под действием структурного возмущения общего вида ef. Более подробно данная схе-

§ 4. ЦЕПОЧКА, ТЕРМАЛИЗОВАННАЯВ НАЧАЛЬНЫЙ МОМЕНТ

Рассмотренные в предыдущем параграфе уединенные волны, распространяющиеся в окрестности фронта ударной волны, представляют собой лишь частные решения основных уравнений движения частиц цепочки. Следовательно, важно определить, сохраняются ли они при более близких к реальности начальных

**) Norman /. Zabusky, Department of Mathematics and Electrical Engineering, University of Pittsburgh, Pittsburgh, Pennsylvania 15260.

солитоныВ ДЕЙСТВИИ

Под редакцией

К. ЛОНГРЕНА и Э. СКОТТА

Перевод с английскогопод редакцией

академика А. В. Гапонова-Грехова

и д-ра физ.-мат. наук, проф.

Л. А. Островского

Издательство «Мир»

Москва 198t

Solitonsin Action

Edited by

Karl Lonngren

Electrical and Computer

Engineering

The University of Iowa

Iowa City, Iowa

Alwyn Scott

Efectrical and Computer Engineering

Th・ University of Wisconsin Madison

Madison, Wisconsin

Proceedings of a Workshop

Sponsored by the Mathematics Division, Army Research OfficeHeld at Redstone Arsenal, October 26-27, 1977

Academic PressNew York • San Francisco • London 1978

A Subsidiary of Harcourt Brace Jov»novichM Publishers

УДК 539.2

Авторы: Р. Миура, Г. Мозес, Р. Герман, А. Бишоп, Г. Юэн, Б. Лэйк, К・ Лон- грен, X. Икези, Р. Парментье, Д. МакЛафлин, Э. Скотт, Дж. Беттех, Дж. Пауэлл, Г. Дим, Н. Забуски

Коллективная монография, посвященная одному из самых плодотворных понятий современной физики —понятию солитона, т. е. нелинейной уединенной волны, свойства которой близки к свойствам частицы. Рассмотрены математическая теория солитонов и связанные с ними физические проблемы: коллективное поведение солитонов, колебания нелинейной кристаллической решетки, локализованные вихревые движения в жидкостях и газах, волны в плазме и т. д.

Для физиков-теоретиков и математиков, занимающихся нелинейными задачами в электро- и ра- Йизике, гидродинамике, физике плазмы, физике и и других областях, а также для аспирантов и студентов соответствующих специальностей.

Редакция литературы по физике

СОЛИТОНЫ В ДЕЙСТВИИПод редакцией К. Лонгрена и Э. Скотта

Научн. редактор Е. С. Куранский. Мл. научн. редактор В. Н. Цлаф. Художник А. В. Шипов. Художественный редактор Л. Е. Безрученков.

Технический редактор & И. Резник. Корректор А. Я. Шехтер.

ИБ № 2471

Сдано в набор 08.08.80. Подписано к печати 16.04,81. Формат 84Х108/32. Бумага типографская №2* Гарнитура латинская. Печать высокая. Объем 4,88 бум. л. Усл. печ. л. 16,38. Усл. кр. отт. 16.59. Уч.-изд. л. 14,87. Изд. № 2/0984 Тираж 8200 экз.Зак. 784. Цена 1 р. 10 к.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР> Москва, 1-й Рижский пер.» 2.

Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома прй Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.

1704020000

e理嘿%7-81戸.1e理嘿%7-81戸.1Copyright 1978, by Аса- mic Press, Inc.

e理嘿%7-81戸.1

e理嘿%7-81戸.1

© Перевод на русский язы^ 《Мир》，1981

Эта книга посвящена солитону — одному из самых красивых и универсальных объектов современных научных исследований. Нелинейная уединенная волна в виде импульса, способного распространяться без изменения формы и без потерь (или приобретения) энергии, открытая Дж. Расселом почти 150 лет тому назад, обрела новую жизнь под именем солитона в середине 1960-х гг., когда выяснилось, что такие волны (по крайней мере некоторые из них) способны сохранять свою структуру после нелинейного взаимодействия с себе подобными, т. е. в определенном смысле вести себя, как частицы. 、

Книга «Солитоны в действии» убедительно демонстрирует глубокие связи современной «солитоники» с разнообразными проблемами математики, теоретической и прикладной физики и даже техники. Для «чистого» математика будет интересна связь между свойствами солитонов и фундаментальными характеристиками нелинейных уравнений в частных производных (полная интегрируемость, геометрическая интерпретация), а также точными методами решения таких уравнений (метод обратной задачи рассеяния, преобразование Бэклунда). Для физика и «прикладного» математика весьма важны, по нашему мнению, главы, связанные с теорией возмущений для солитонов, использование которой позволяет существенно приблизиться к описанию реальных физических ситуаций. Однако особенно привлекательным для физика представляется то, что в книге широко представлены результаты «солитонных》、экспериментов, физических и численных. Волны на воде, в плазме, в твердом теле, в сверхпроводниках, в электромагнитных линиях передачи ——демонстрация солитонов во всех этих ситуациях производит внушительное впечатление. В ряде случаев можно говорить и о «прикладной солитонике» — все чаще обсуждается возможность применения электромагнитных солитонов (в джозефсоновских и полупроводниковых линиях передачи) для запоминания, обработки, кодирования информации.

Несмотря на широту и разнообразие материала, включенного в книгу, она, конечно, не охватывает всех основных вопросов «со- литоники», а в некоторых случаях отражает уже пройденные этапы. Так, конкретные математические построения сосредоточены почти полностью около трех простейших, ставших уже почти

классическими интегрируемых модельных уравнений: уравнения Кортевега ——де Вриза, синус-уравнения Гордона и нелинейного уравнения Шредингера. Почти ничего не говорится о двух- и трехмерных солитрнах, о коллективных взаимодействиях солито* нов и т. д Вместе с тем заметное место в книге занимают новейшие разработки и -открывающиеся перспективы. Достаточно yng- 卜 мянуть «машинное открытие» двумерных квазисолитонных вихре- & вых структур (У-состоянйй) в несжимаемой жидкости, которым а посвящена последняя глава._

Конечно, книга из 11 глав, написанных различными авторами, не могла быть вполне однородна по качеству; в ней встречаются и слишком формализованные главы, и, наоборот, несколько по- верхностные, почти рекламные «заявки на будущее». Однако в целом книга выгодно отличается, если можно так выразиться, заботой о читателе ——в большинстве глав наряду с новым содержанием излагается история вопроса и дается обзор основных идей. Здесь ощущается большая работа редакторов американского издания — К. Лонгрена и Э. Скотта.

Нам кажется, что эту книгу можно рекомендовать широкому кругу специалистов и студентов — математиков и физиков, кото* рые занимаются, хотят заниматься или просто интересуются со* временными исследованиями нелинейных волновых процессов.

На русском языке пока что вышло совсем немного книг и обзоров, в которых сколько-нибудь подробно рассматриваются солитоны (см., например, книги [1—4]). В самое последнее время состоялось несколько симпозиумов, заседаний рабочих групп и т. д., специально посвященных новейшим исследованиям соли* тонов, материалы которых в ряде случаев опубликованы или будут опубликованы на английском языке. Так, труды Симпозиума по солитонам в Гётеборге (1978) изданы в специальном номере журнала Physica Scripta, 1979, т. 20, № 3/4, а материалы советско-американского симпозиума по солитонам (Киев, сентябрь 1979) выпускаются издательством North-Holland в виде сборника.

Перевод выполнили М. А. Антонец (гл. 2, 3), А. С. Пиков- ский (гл. 4, 8, 9) и О. Ф. Степанянц и Ю. А. Степанянц (предисловие, гл. 1, 5——7, 10, И, Краткие биографические сведения о Джоне Скотте Расселе).

А. В. Гапонов-Грехов

Л. А. Островский

Литература

[.Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. — М.: Со*, радио, 1977.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир 1977

^^нейнна волны/Под ред. А. В. Гапонова. — М.: Наука；

Теория солитонов: метод обратной задачи/Под ред. С. П Новикова.—М.: Наука, 1980."