Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ГРУППОВЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Посвящена новому эффективному методу построения явных решений широкого класса двумерных (одномерных) интегрируемых динамических систем в самых различных областях современной теоретической и математической физики.
Приведено большое число конкретных нелинейных систем и их решения. Обсуждается также задача квантования рассматриваемых систем в представлениях Гейзенберга и Шредингера. В вводных главах приведены сведения из теории градуированных алгебр Ли и их представлений.
Для специалистов в области теории нелинейных систем и их физических приложений, теории алгебр и групп Ли и их представлений, дифференциальной и алгебраической геометрии, для аспирантов и студентов старших курсов
соответствующего профиля.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие3
Введение5
Глава I. Необходимые сведения из теории алгебр и групп Ли и их10
представлений
. Группы и алгебры Ли11
Основные определения (11). 2. Функциональные группы (16).
Градуированные алгебры Ли и их классификация18
Основные определения градуированных алгебр Ли (18). 2.
Полупростые, нильпотентные и разрешимые алгебры Ли. Теорема Леви — Мальцева (19). 3 Простые алгебры Ли конечного роста: классификация и схемы Дынкина ——Кокстера (22). 4. Корневые системы и группа Вейля (27). 5. Параметризация и упорядочение корней конечномерных комплексных простых алгебр Ли (29). 6. Вещественные формы комплексных простых алгебр Ли (35).
Трехмерные подалгебры алгебр Ли39
Вложения За-подалгебры в алгебры Ли (39). 2. Бесконечномерные градуированные алгебры Ли, связанные с вложениями 3d -подалгебры в конечномерные алгебры Ли (42). 3. Явная реализация конечномерных простых алгебр Ли для минимального вложения (44).
Супералгебры Ли49
Вводные замечания и общие определения (49). 2. Конечномерные простые супералгебры Ли (51). 3. Алгебры Грассмана (52).
Строение представлений55
Терминология (55). 2. Присоединенное представление (57). 3.
Регулярное представление и операторы Казимира (58). 4. Базис в пространстве представления (60). 5. Фундаментальные представления (61).
Параметризация элементов групп Ли62
7272838994101ПО 114114124131 1337272838994101ПО 114114124131 133
72
72
83
89
94
101
ПО 114
114
124
131 133
72
72
83
89
94
101
ПО 114
114
124
131 133
Старшие векторы неприводимых представлений полу простых групп Ли
Общие определения (67). 2. Выражение старших векторов через матрицу присоединенного представления (68). 3. Формальное выражение для старших векторов фундаментальных представлений (68). 4. Рекуррентные соотношения для старших векторов фундаментальных представлений (69). 5. Старшие векторы неприводимых представлений в обобщенных углах Эйлера (70).
Глава П. Представления комплексных полупростых групп Ли и их вещественных форм
IL1. Инфинитезимальные операторы сдвигов на полупростых группах Ли 1. Общие выражения для инфинитезимальных операторов (72). 2. Асимптотическая область (80).
IL2. Операторы Казимира и спектр их собственных значений
Общая постановка задачи (83) 2. Квадратичные операторы Казимира (85). 3. Построение операторов Казимира полупростых групп Ли (87).
§ IL3. Представления полупростых групп Ли в целом
Интегральная форма реализации операторно-неприводимых представлений (89). 2. Матричные элементы конечных преобразований (93).
IL4. Сплетающие операторы и билинейная инвариантная эрмитова форма 1. Связь сплетающих операторов с вопросами приводимости, эквивалентности и унитарности представлений (94). 2. Построение сплетающих операторов (98).
П. 5. Гармонический анализ на полупростых группах Ли
Общая формулировка метода (101). 2. Мера Планшереля основной непрерывной серии унитарных представлений (104).
§ П. 6. Векторы Уиттекера
Глава Ш. Интегрирование двумерных нелинейных систем: описание общего метода
1. Общая формулировка метода
Представление типа Лакса (114). 2. Некоторые примеры (117). 3. Построение решений (120).
III.2. Системы, порождаемые локальной частью произвольной градуированной алгебры Ли
Точно интегрируемые системы (124). 2. Системы, связанные с бесконечномерными алгебрами Ли (127). 3. Гамильтонов формализм (128). 4. Решения точно интегрируемых систем (задача Гурса) (129).
Ш.З. Обобщение для систем с фермионными «полями»
III.4. Представление типа Лакса как реализация условия автодуальности цилиндрически-симметричных конфигураций калибровочных полей
Глава IV. Нелинейные динамические системы, связанные с конечномерными алгебрами Ли, и их интегрирование
§ IV. 1. Обобщенная (конечная непериодическая) цепочка Тода139
1. Вводные замечания (139). 2. Построение точных решений на основе
общей конструкции гл. III (141). 3. Простейшие примеры (144). 4. Построение решений без использования представления типа Лакса (145). 5. Одномерная обобщенная цепочка Тода (153). 6. Граничная задача (инстантонные и монопольные конфигурации) (160).
IV.2. Двумеризованная система уравнений Вольтерра (разностных КдФ)164
как преобразование Беклунда цепочки Тода и их полное
интегрирование
IV. 3 Случай алгебр Ли общего положения170
IV.4. Суперсимметричные уравнения172
IV.5. Формулировка одномерной системы (IIL2.13) на основе175
функциональной группы
Глава V. Применение методов теории возмущений для нахождения 177 явных решений точно интегрируемых систем
V.I. Канонический формализм177
V.2. Теория возмущений в формализме Янга ——Фельдмана178
V.3. Методы теории возмущений в одномерной задаче181
V.4. Интегрирование нелинейных систем, связанных с184
бесконечномерными алгебрами Ли
V.5. Представление типа Лакса систем (IIL2.8) и явное решение для них 190 задачи Коши
Глава VI. Аппарат скалярной £Л-пары и солитоны обобщенной192
периодической цепочки Тода
VI. 1. Групповой смысл спектрального параметра и уравнения для192
скалярной £Л-пары
VL2. Солитоны уравнения синус-Гордона201
VL3. Обобщенные потенциалы Баргманна208
VL4. Солитоны векторного представления алгебры Аг218
Глава VII. Точно интегрируемые динамические системы в квантовой 229 области
VIL 1. Гамильтонова формулировка (канонический формализм) и метод 230 Янга ——Фельдмана
VIL2. Необходимые сведения из теории возмущений232
VIL3. Одномерная обобщенная цепочка Тода с закрепленными концами 240
VIL4. Уравнение Лиувилля250
VIL5. Многокомпонентные двумерные модели (I)255
VIL6. Многокомпонентные двумерные модели (II)265
Заключение270
Список литературы272
ПРЕДИСЛОВИЕ
Монография посвящена исследованию проблемы интегрируемости широкого класса нелинейных двумерных и одномерных динамических систем, обладающих нетривиальной группой внутренних симметрий. В ней дается последовательное изложение нового алгебраического метода построения интегрируемых систем, ассоциируемых посредством представления типа Лакса с алгебрами и супералгебрами Ли. Предлагаемая групповая конструкция позволяет получать явные решения соответствующих диф [.еренциальных уравнений, определяющиеся запасом произвольных функций, достаточным для постановки задач Коши и Гурса.
Для уравнений, связанных с бесконечномерными алгебрами Ли конечного роста, на примере периодической цепочки Тода разработан простой метод получения солитонных решений. В отличие от метода обратной задачи рассеяния, он не апеллирует к явной матричной реализации операторов Лакса.
Для динамических систем, связанных с конечномерными алгебрами Ли, развита также процедура квантования в представлениях Гейзенберга и Шредингера.
Первые позитивные результаты, находящиеся непосредственно в русле тематики книги, в основном были получены на протяжении последних пяти лет и по этой причине данное направление нельзя считать полностью завершенным. Тем не менее здесь накоплено такое количество конкретных результатов, которые уже сейчас требуют хотя бы предварительной систематизации. Именно эту цель и ставили себе авторы при написании книги.
В книге содержится рассмотрение большого числа конкретных уравнений, описывающих нелинейные явления самых различных областей современной теоретической и математниеско访 физики. Прежде всего, она рассчитана на физиков, специалистов в области теории поля и физики элементарных частиц, плазмы, и математиков, занимающихся нелинейными дифференциальными уравнениями, дифференциальной геометрией и алгеброй, теорией алгебр и групп Ли и их представлений, а также на студентов и аспирантов соответствующего профиля. Надеемся, что книга будет полезна и специалистам в области гидродинамики, физики твердого тела, электрофизики, биофизики и физики Земли.
丨 Перейдем теперь к рекомендациям читателю.
Первые две главы посвящены отдельным вопросам теории алгебр и групп Ли и их представлений, преподанной в той форме, которая необходима для понимания основного текста. Они ни в коей мере не претендуют на систематичность изложения теории, достигшей в большинстве своих разделов полного совершенства, и носят вспомогательный характер. Вместе с тем некоторые из приведенных в главах I и II результатов являются оригинальными и ранее не находили отражения в соответствующей математической литературе. Поэтому советуем читателю, знакомому с теорией алгебр и групп Ли, начать изучение книги с третьей главы и по мере надобности обращаться к вводным главам.
Для формул в рамках отдельной главы принята двузначная нумерация: вначале указан номер параграфа, а затем ——порядковый номер формулы. При ссылке на формулу из другой главы нумерация становится трехзначной (номер главы, параграфа, формулы).
Литература, относящаяся к данному параграфу или пункту, приводится, как правило, в виде сноски после его заголовка. В целом библиография является заведомо неполной. Для вводных глав (I и II) ссылки даны в основном на монографии или учебники, в отдельных случаях цитируются также оригинальные работы. Что же касается основного текста (главы III—VII), то, развивая обсуждаемые проблемы в рамках единого подхода, мы сочли нецелесообразным приводить в нем отдельные результаты, полученные другими авторами с помощью различных методов, носящих специальный характер, и посвященные тем или иным конкретным физическим задачам. Следует отметить, что предварительно составленный список литературы в окончательном варианте был дополнен ссылками на работы, которые приведены под номерами 101 —140.
Отсутствие предметного указателя искупается, как нам кажется, полнотой вынесенного в оглавление перечня обсуждаемых вопросов.
4 л. Лезнов, М. В. Савельев4 л. Лезнов, М. В. СавельевВыражаем глубокую признательность Б. А. Арбузову, Д. А. Киржницу, А. А. Кириллову, Д. А. Лейтесу, А. А. Логунову, Ю. И. Манину, В. И. Манько, М. А. Мествиришвили, С. П. Новикову, В. Г. Смирнову, Л. Д. Соловьеву, В. Я. Файн- бергу, И. А. Федосееву, О. А. Хрусталеву и А. Б. Шабату за полезное обсуждение вопросов математического и физического характера, затрагиваемых в данной монографии.
4 л. Лезнов, М. В. Савельев
4 л. Лезнов, М. В. Савельев
Протвино — Москва, январь 1983 г.
ВВЕДЕНИЕ)
Возникающие в рамках развиваемого в книге подхода системы нелинейных уравнений порождаются посредством представления типа Лакса в двумерном пространстве элементами градуированных алгебр или супералгебр Ли. В зависимости от выбора адекватной алгебраической структуры и градуировки в ней они описывают широкий класс нелинейных явлений в самых различных областях теоретической и математической физики: в физике элементарных частиц (калибровочные поля и монопольные конфигурации), в твердом теле и плазме, теории электролитов, нелинейной оптике, аэродинамике, космологических моделях, проблемах экологии (динамика сосуществования видов), в радиотехнике и т. д.
Все изучаемые системы объединяет наличие нетривиальной группы внутренних симметрий, генерируемой алгеброй Ли —■ Беклунда. Это, в конечном счете, и позволяет получить их явные решения в терминах теории представлений алгебр и групп Ли, которая играет существенную роль для всех без исключения точно интегрируемых динамических систем.
Групповые методы исследования составляют неотъемлемую часть математического аппарата современной теоретической физики. Ясность и относительная простота теоретико-группового подхода, а главное — адекватность рассматриваемым проблемам, которые связаны с основными закономерностями физических процессов, выражающихся в различного рода симметриях, выделяют этот аппарат и ставят его на особое место среди других методов исследования. Однако лишь в последние десятилетия удалось на качественно новом уровне осмыслить (впрочем, по-видимому, еще не в достаточно полной мере) важность теории представлений алгебр и групп Ли для изучения интегрируемых динамических систем и сформулировать эти представления в конструктивном виде.
Конкретная связь между теорией представлений и точно интегрируемыми нелинейными динамическими системами была установлена и эффективно использована для интегрирования этих систем также сравнительно недавно. Вместе с тем сама
идея применения теории групп для этой цели восходит еще к пионерским работам Софуса Ли, который предвосхитил определяющее значение групповых методов как мощного средства интегрирования дифференциальных (в особенности нелинейных) уравнений. Согласно его концепции группы преобразований дифференциальных уравнений играют ту же роль, что и группы Галуа для алгебраических. При этом возможность построения их решений в том или ином представлении и той или иной степени общности, а также само описание группы внутренней симметрии определяются свойствами алгебры соответствующей группы.
Этому кругу вопросов, применительно к динамическим системам, были посвящены исследования Лиувилля, который установил общий критерий полной интегрируемости этих систем. Этот критерий заключается в требовании наличия необходимого числа (равного рангу системы) функционально независимых глобальных интегралов движения в инволюции. Важно отметить, что даже для одномерного случая знание вида такнх интегралов не всегда позволяет явно проинтегрировать соответствующую систему в обычном смысле, т. е. описать в замкнутой форме ее эволюцию по начальным данным. Аналогичное утверждение имеет место и для двумерия: задача Коши зачастую не имеет явного решения, тогда как явные выражения для динамических переменных системы могут быть получены в терминах асимптотических (или свободных) полей — ее динамических характеристик в бесконечно 《прошлом》 или в бесконечно «будущем». Сказанное требует некоторого разъяснения.
Обычно гамильтониан системы тем или иным образом представляется в виде суммы кинетического члена (свободного гамильтониана) и взаимодействия с некоторым «параметром малости» X. При этом полное решение квантовой задачи для гейзенберговских операторов выражается в виде функционалов операторов свободного поля. Подобная ситуация имеет место и в классической области, где полное решение нелинейной системы выражается через решения линейных (свободных) уравнений с X = 0, т. е. через асимптотические значения полей в теоретикогрупповом смысле.
В случае точно решаемых систем гейзенберговы операторы определенного вида оказываются конечными полиномами по постоянной 九，что, естественно, сохраняется и после перехода к классическому пределу. Последнее обстоятельство может быть связано с полученными в конце прошлого века результатами исследований Беклунда, который изучил ряд нелинейных уравнений с помощью преобразований, приводящих их к линейному виду. С другой стороны, с точки зрения теории групп это обстоятельство допускает интерпретацию на языке операции сжатия Инони ——Вигнера и ее обобщений с параметром сжатия \с. При этом параметр групповой (алгебраической) деформации £с совпадает с постоянной взаимодействия 儿 В пределе 入т 0 исход-
ная система переходит в линейную систему свободных уравнений.
Поскольку интегралы таких деформаций совпадают с интегралами движения, то при достаточном их количестве удается провести полное интегрирование соответствующей динамической системы и построить ее решения с помощью аппарата теории возмущений. Указанная групповая основа связи гейзенберговых полей точно решаемых моделей с асимптотическими значениями этих полей позволяет применить к их построению прекрасно разработанный аппарат квантовой теории поля. Согласно этой теории асимптотические поля связаны с гейзенберговскими посредством унитарного преобразования, реализуемого половинной 5(/;——оо)-матрицей Мёллера. (Напомним, что в одно- и двумерных случаях не происходит тривиализации соответствующих моделей, обусловленной теоремой Хаага, и поэтому оператор S имеет смысл и может быть построен.)
Половинная S-матрица определяется рядами теории возмущений по постоянной взаимодействия 九 и приводит к явным выражениям для динамических величин определенного вида, оказывающихся конечными полиномами по Z в точно решаемых случаях. Аналогичная ситуация имеет место и в классической области, где роль унитарной S-матрицы выполняет функция, осуществляющая соответствующее каноническое преобразование Беклунда. Данное утверждение применимо как к одномерным, так и к двумерным моделям.
Таким образом, мы имеем два совершенно разных подхода к построению решений точно интегрируемых нелинейных динамических систем, а именно: метод в классической области, основанный на представлении типа Лакса и техника обычной теории возмущений в классической и квантовой областях.
Подчеркнем, что теория возмущений используется при этом не для получения каких-либо приближенных результатов, а для непосредственного построения точных решений соответствующих уравнений в виде конечных рядов.
Как уже отмечалось выше, многие из рассматриваемых в книге одно- и двумерных систем как в классической, так и в квантовой областях имеют непосредственное отношение к конкретным задачам теоретической физики. Они описывают физические явления в реальных трех- или четырехмерном пространствах при определенных дополнительных условиях инвариантности, в таких, например, как сферическая симметрия стационарных конфигураций (одномерная задача) и цилиндрическая симметрия (двумерный случай). Кроме того, в многомерном случае существуют объекты, двумерные по своей природе (например, двумерные поверхности), описание которых приводит к точно интегрируемым двумерным динамическим системам.
С физической точки зрения исследование одно- и двумерных динамических систем, допускающих полное интегрирование.
представляется важным не только в методическом и модельном отношении, но и для упомянутых задач с дополнительной симметрией определенного типа. Пожалуй, наибольший интерес к таким исследованиям связан с возможностью распространения развиваемых при этом методов на пространства с большим числом измерений и с надеждой найти при этом критерии полной интегрируемости, в первую очередь в реальном четырехмерном случае, на групповой или еще более общей основе. При этом a' priori нельзя исключить и такую возможность, что обсуждаемые системы в пространствах больших размерностей также обладают соответствующей группой внутренних симметрий, наличия которой, однако, оказывается недостаточно для их полного интегрирования.
Данная ситуация подобна ситуации в калибровочных теориях в четырехмерном евклидовом пространстве R4, где двумерные уравнения, описывающие цилиндрически-симметричные автодуальные конфигурации полей Янга — Миллса, полностью интегрируются, тогда как без наложения этих симметрийных соображений удается построить лишь инстантонные (параметрические) решения в подстановке Атья ——Дринфельда ——Манина——Хитчина. Эти решения (равно как и солитонные образования для периодической цепочки Тода, для эволюционных уравнений типа Кортевега ——де Фриза и для других систем) не обеспечивают полного решения соответствующей задачи в смысле зависимости от необходимого числа произвольных функций, заданных на характеристиках. Они отвечают только подклассу общих решений, выделяемому определенными граничными условиями и зависящему от соответствующего набора числовых параметров.
Задачи такого типа впервые возникли при изучении изоспек- тральных деформаций для ряда нелинейных задач математической физики. В случае обратимости соответствующих преобразований в рамках данного подхода был развит метод обратной задачи рассеяния (см., например, [1, 33, 85, 87, 115]), позволивший для некоторых нелинейных волновых уравнений типа Кортевега ——де Фриза (КдФ) и его модификаций, уравнений Кадомцева ——Петвиашвили, нелинейного уравнения Шредингера, уравнений синус-Гордона и др., получить специальный подкласс солитоноподобных решений. Этот метод по сути дела является нелинейным обобщением анализа Фурье и может рассматриваться как нелокальная линеаризация исходных нелинейных волновых уравнений, ассоциируемых с заданной линейной задачей на собственные значения посредством условия интегрируемости пары дифференциальных уравнений в частных производных. В дальнейшем уравнения, обладающие решениями такого сорта, полученными в рамках метода обратной задачи или эквивалентных ему, будем условно называть вполне интегрируемыми. Термин точной интегрируемости сохраним для систем, решения которых выражаются в квадратурах и определяются
набором произвольных функций, необходимым для полного решения соответствующей задачи Гурса или Коши.
К настоящему времени существует гипотеза о связи между свойствами группы внутренней симметрии и критериями интегрируемости. Именно: система точно интегрируема, если алгебра Ли — Беклунда конечномерна, и вполне интегрируема, если алгебра бесконечномерна, но обладает конечномерными (вырожденными) представлениями. Все рассмотренные в книге примеры не противоречат этой гипотезе.
Развиваемый в книге подход связан с методом обратной задачи рассеяния, грубо говоря, следующим образом. Как уже отмечалось выше, точно и вполне интегрируемые системы существенно различаются по свойствам их групп внутренней симметрии. Следствием этого является то обстоятельство, что в тех случаях, когда в представлении типа Лакса спектральный параметр исключается преобразованием из группы внутренней симметрии, метод обратной задачи рассеяния оказывается бессилен, тогда как развиваемые в этой книге методы приводят к успеху. Справедливо и обратное: если спектральный параметр нельзя исключить указанным способом, то методы обратной задачи рассеяния приводят к нетривиальному спектру солитоноподобных решений, а развиваемый нами подход позволяет получить решение задачи Гурса соответствующей системы в виде бесконечных абсолютно сходящихся рядов.- Вопрос о выделении солитонных решений (из общих) при этом остается открытым. Таким образом, эти два подхода являются взаимодополняющими.
Целый ряд нелинейных дифференциальных уравнений типа рассматриваемых в этой книге допускает непосредственную геометрическую интерпретацию. В частности, в таком виде можно переформулировать уравнения Гаусса, Петерсона—Кодацци и Риччи н, таким образом, через их решения выразить компоненты метрического тензора, векторов кручения и тензоров вторых квадратичных форм двумерных минимальных поверхностей. В целом данная интерпретация связана с внутренней геометрией поверхностей в евклидовом, псевдоевклидовом или аффинном пространствах (минимальные поверхности и двумерные поверхности постоянной кривизны). Простейшие из этих уравнений (в частности, уравнения Лиувилля, синус-Гордона и Лунда —— Редже) впервые возникли именно в задачах дифференциальной геометрии.
ГЛАВА ：
НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ АЛГЕБР И ГРУПП ЛИ И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Первые две главы настоящей книги не следует рассматривать как последовательное изложение основ теории групп Ли и соответствующих им алгебр. Скорее, это перечень разделов и результатов теории алгебр и групп Ли и их представлений, необходимых для понимания основного текста, содержащегося в последующих главах ——группового метода интегрирования широкого класса нелинейных уравнений теоретической и математической физики. Для более глубокого и детального ознакомления с теорией и ее дальнейшим развитием мы отсылаем читателя к превосходным монографиям в этой области математики (см., например, [12, 24, 29, 30, 41, 78, 82, 84, 96—98]).
Первые главы книги рекомендуем тем, кто интересуясь конкретными результатами по интегрированию нелинейных динамических систем, имеет нулевой или почти нулевой «словарный запас》в теории алгебр и групп Ли. Вместе с тем, ставя перед собой цель дать возможность читателю не только разобраться (без обращения к какой-либо дополнительной литературе) с идейной стороной рассматриваемой проблемы, но и научиться самому интегрировать конкретные нелинейные уравнения, мы были вынуждены изложить соответствующие разделы теории алгебр и групп Ли именно под требуемым углом зрения.
Кроме того, по ходу развития самого метода интегрирования зачастую возникала потребность в специальном исследовании ряда разделов теории Ли, что привело, в частности, к новому способу упорядочения корней простых алгебр Ли и асимптотическому методу в теории представлений некомпактных групп Ли [50]. Благодаря этому удалось получить явные выражения для многих алгебраических и групповых величин теории, такнх, как, например, мера Хаара на компактных группах и старшие векторы их неприводимых представлений, инфинитезимальные и инвариантные операторы, векторы Уиттекера и мера Планше- реля полупростых групп Ли, сплетающие операторы и другие. Многие из этих результатов, полученных сравнительно недавно и не нашедших пока отражения в литературе (помимо оригинальных статей), существенным образом используются при изучении нелинейных динамических систем.
§ LL Группы и алгебры Ли
Основные определения ). Абстрактно группа G задается своими элементам^g{a) и правилом, по которому каждым двум из них, скажем ga и g^, ставится в соответствие третий, символически: gagR = g(a+0)・
Групповой закон композиции подчинен условию ассоциативности
(gag。) gy =ga(gfigY)； среди элементов группы должен существовать единичный элемент go, такой, что
SoSa ~ SaSo = Sa
для любого элемента ga из G. Кроме того, с каждым ga связан элемент g— группы, обратный данному, а именно
gag-a = S-aSa = go・.
Индекс a, нумерующий элементы группы, может быть как дискретным, так и непрерывным, и принимать конечное или бесконечное число значений. В соответствии с этим, группы бывают дискретными (подобно группам перестановок, обладающим конечным числом элементов) и непрерывными (как, например, группа вращений 3-мерного пространства). В дальнейшем нас будут интересовать в основном непрерывные группы, которые при наложении некоторых дополнительных условий введены в 90-х годах прошлого века норвежским математиком Софусом Ли (и теперь носят его имя). Здесь особенно примечательно отметить, что они были введены именно с целью облегчить задачу интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных.
Элемент группы Ли G (конечномерной) задается набором непрерывных параметров aa с индексом а, пробегающим значения от 1 до^ ——размерности группы. При этом групповой закон композиции есть не что иное, как правило сложения (вообще говоря, некоммутативное) групповых параметров, по которому паре наборов непрерывных параметров aa и 廿« ставится в соответствие третий, у=(а + 6), причем (a + Р), вообще говоря, не равно (В + “)• Если (a + Р) s (Р + а) для всех аир, группа называется абелевой или коммутативной. В тех случаях, когда основное групповое соотношение, абстрактно записываемое в форме gag§ = ga+в，разрешимо в явном виде, говорят о реализации, т. е. о представлении элемента g& группы G на том или ином пространстве линейными операторами. (В случае матричной реализации величина ga = g(a) является матрицей определенного вида и размерности, фиксированным образом зависящая от набора параметров aa. В результате матричного перемножения элементов g(a) и g(0) возникает снова матрица того
же вида, зависящая от набора параметров (а + Р). Представление может быть реализовано на пространстве функций определенного вида, зависящих от соответствующего числа независимых переменных. Тогда преобразованная под действием элемента ga группы функция удовлетворяет тем же дополнительным условиям; последовательное проведение двух таких преобразований с параметрами аир эквивалентно действию элемента g(a+B)И Т. Д.)
Выбирая в основном групповом соотношении параметры одного из элементов, скажем, ga, близкими к нулевым, а = 0 +
+а ■с бесконечно малым параметром 8 преобра
зования, получаем с точностью до членов в
"0、
1 + X歹(1-1) a —I/
е. 6g = X 歹а * % • g • & где (касательные) операторы 歹。 действуют в пространстве рассматриваемого представления группы как операторы левых сдвигов на G и являются образующими алгебры Ли этой группы. Закон композиции на языке алгебры группы Ли формулируется в виде системы коммутационных соотношений для ее генераторов. Последнюю можем получить из о
полагая В = О + 6・е' и рассматривая разность двух бесконечно близких к единице элементов, g(a+s)и g(R+a), а именно
о о
g/О о、— g/o о、= Е【歹а，歹ь]
Icu+Be/丿〈Ве'+ае丿 а. b
Возможность разложения в ряд Тейлора элемента g(a+p) из группы Ли (т. е. функции композиции) вблизи нулевых значений параметров аир, имеющего с точностью до членов ее' вид
&а+в产 go + Е + pdez + X歹а,
d \么ь/
где
斤产(а + Р)小小恥а,0｝ = ｛。，0｝，
с учетом предыдущей формулы окончательно дает
[歹歹b] = X cab^d，(1.2)
здесь Cab (= Dab ~ ^ьа) называются структурными постоянными. Согласно определению структурных постоянных они являются вещественными числами, удовлетворяющими условиям
瑜=—唸(антисимметричности),(1.3)
吟*3+ 瑜卢為 + 吟产説=° (тождество Якоби), (1.4)
первое из которых очевидно, тогда как второе является прямым следствием ассоциативности закона композиции. Для коммутативных групп 唸 мО.
Подытоживая приведенные выше условия, которым удовлетворяют операторы 歹,дадим теперь общее определение алгебры Ли S как векторного пространства S над полем Ф (вообще говоря, любым), в котором задан билинейный закон умножения элементов F из @J(F,尸')一> [尸，尸‘], подчиняющийся условиям 因尸]=0,(1.5)
[[F, Г] +【[卩，"J F] +【仍"，用卩]=0.(1.6)
Очевидно, что из (1.5) вытекает антикоммутативность билинейной операции, [F,尸1 =——[F‘，F]. В дальнейшем поле Ф, над которым рассматриваются все алгебры Ли и векторные пространства, считаем полем нулевой характеристики, если специально оговаривается ——полем вещественных R, или комплексных С чисел (в этих случаях алгебру S называют вещественной или комплексной алгеброй Ли). Для конечномерных алгебр Ли в координатном преаставленнн (尸：=X 尸/) в котором элементы базиса 尸° в пространстве @ подчинены коммутационным соотношениям вида (1.2), структурные постоянные вследствие условий (1.5) и (1.6) удовлетворяют соотношениям (1.3) и (1.4).
Вопрос о полной классификации конечномерных алгебр Ли сводится к нахождению всех возможных наборов структурных постоянных, удовлетворяющих указанным выше условиям (и вполне определяющих закон композиции в некоторой окрестности соответствующей группы Ли). Иначе говоря, описание всех типов алгебр Ли эквивалентно нахождению всех решений тождества Якоби на классе вещественных тензоров третьего ранга с одним контравариантным и двумя ковариантными индексами, по последним из которых он антисимметричен. В полной мере эта задача до настоящего времени своего решения не получила.
Введем некоторые понятия теории алгебр Ли, необходимые для понимания последующего материала.
Определим подалгебру Q, идеал b и центр с алгебры Ли ® как векторные ее подпространств а, удовлетворяющие соотношениям
[a, a]uci,也 g]ub я [с, g]=0,
где через [<S‘, Sz/] обозначена линейная оболочка всех векторов [戶，尸"],F ®\ 尸"三Очевидно, что идеал является подалгеброй, а центр — коммутативным идеалом.
Если алгебра Ли ® как векторное пространство разложима в прямую сумму векторных подпоостранств ®i и ®2, причем [囹，對 и 阳「『де /=1, 2, a [@lf @2] = 0 ([®ь @2] о @2), то @
называется прямой (полупрямой) суммой алгебр @i и @2, т. в. ® = Si ® @2 (S = @2 ® Si).
Будем называть отображение о алгебры Ли S в @Л над полем Ф гомоморфным, если
р^e %%)=X cao(Fa), 0([%，尸加=口(几)，a(巳)】
для всех Fa ^ S, % 三①；изоморфным, — если оно гомоморфно и взаимно-однозначно, и автоморфным, — если оно осуществляет изоморфное отображение @ в @.
Согласно общим теоремам Ли ——Энгеля существует взаимо' однозначное соответствие между алгебрами Ли и груннамн Ли: алгебра Ли определяет группу Ли с точностью до взаимно-одно' значного отображения между окрестностями единиц групп, переводящего единичный элемент в единичный и сохраняющего закон композиции вблизи единичных элементов (т. е. с точ^ ностью до локального изоморфизма). Поэтому классификация групп Ли в известном смысле эквивалентна классификации соответствующих им алгебр. Следует, однако, подчеркнуть, что если нз наличия некоторой группы Ли вытекает существование отвечающей ей алгебры Ли (согласно теореме Картана каждая алгебра Ли является алгеброй Ли некоторой группы Ли), то процедура «интегрирования» или «экспоненциирования», т. с. перехода от реализации алгебры Ли к реализации группы Ли, встречается с определенными сложностями и, вообще говоря, не всегда возможна. Не всякая алгебра Ли может быть проинтегрирована до группы Ли. Кроме того, утверждения о том, что всякому линейному представлению алгебры Ли S группы Ли G соответствует линейное представление^О и всякой подалгебре ⑥’из S соответствует замкнутая подгруппа Gz из G с @z в качестве своей алгебры, являются, вообще говоря, несправеД' ливыми.
В алгебрах Ли можно определить операцию сжатия, впервые введенную применительно к группам Ли и их представлениям в работах Инони и Вигнера [37]. Для ее формулировки воспользуемся тем, что алгебру Ли ® можно задавать в различных базисах, переход между которыми осуществляется с помощью некоторой матрицы Q, преобразующей линейным образом базисные элементы S и, соответственно, структурные постоянные, а также групповые параметры,
^ а =鹤夕5，% =就3,^ а =鹤夕5，% =就3,工國=6宮e器二q泪短网公工國=6宮e器二q泪短网公
^ а =鹤夕5，% =就3,
^ а =鹤夕5，% =就3,
工國=6宮e器二q泪短网公
工國=6宮e器二q泪短网公
При этом в случае невырожденной матрицы Q возникающая алгебра (группа) Ли изоморфна исходной.
Предположим теперь, что элементы Q зависят от некоторого числа непрерывных параметров 储，…，九§, при устремлении которых к определенным значениям 九;，•…，九! матрица Q становится сингулярной, тогда как структурные постоянные остаются конечными. Получаемая в результате такого предельного
(вырожденного) перехода алгебра Ли Sz (группа Ли), элементы которой удовлетворяют соотношениям (L5) и (1.6), называется сжатой, а сама операция ——сжатием. (Забегая вперед, заметим, что сжатие полупростой алгебры Ли дает уже неполупростую алгебру Ли.) Наиболее естественная реализация сжатия алгебры Ли S заключается* в умножении ее элементов на произведение параметров 兀，1 W，W s V оо, в некоторых (целых) степенях и независимом их устремлении к предельным значениям Л^. В простейшем случае, когда матрица Q диагональна и зависит лишь от одного параметра 九 с 九°= 8, имеем
& Н尢7 X 6济才+ x 6Х m^n,
1 ^ 1 < МM+1EI1&N
а соотношения (1.2) для алгебры О'(%) переписываются в видеЕ，歹0X圖歹7 +「X備歹*
k以
gv】=X编歹Z +九7 2次歹№
[歹p,歹v]=人X Cpv歹尼+ X或V歹卩,
1&厶 j,々&M, М + 1 ^ ц, V, р ^N.
Если 唯=0 для всех 1 W 々 W Л1, М + 1 W 卩，v & N, то в пределе 九-> 8 совокупность ｛歹'｝ = ｛夕J 1 & 力 & Л1;歹从，М + 1 & W 卩 & N｝o6pa3yeT алгебру Ли ®7, являющуюся сжатием исходной алгебры Ли @ с элементами ｛歹｝ = ｛夕口，1 W a W А『｝. Алгебра Ли 山'имеет структуру полупрямой суммы, ®л — ®z (^-)Э 9 (5‘(歹 J и абелева при М = N. Очевидным непосредственным обобщением указанной операции (Инони — Вигнера) является многократное применение ее для различных значений чисел М и параметров 九. При этом совокупность элементов исходной алгебры @ разбивается на подсистемы｛^^\ 1 Ka W 左｝ размерности Ма ——Afa—i, Alo = 0, Mk = N с матрицей
XXп縞п縞1 ^а < A l&g《s1 ^а < A l&g《s噌 X 添4.k + DK %噌 X 添4.k + DK %
X
X
п縞
п縞
1 ^а < A l&g《s
1 ^а < A l&g《s
噌 X 添4.k + DK %
噌 X 添4.k + DK %
Тогда соотношения (1.2) для алгебры О'(九)принимают вид
Устремляя независимым образом параметры 九卜 一 •，九s к их предельным значениям, скажем к бесконечности, и накладывая условия типа 加^仇丫)曰/л『 十 /増)一加』》0 либо требуя равенства нулю структурных постоянных при членах с т^- ^-^ < О, получаем сжатую алгебру ®z. Забегая вперед, заметим, что
когда m^' 6宀)=0, у0 фиксирована, 1 & g W s〔c、, =0, y^Yo* Ука* занное разбиение эквивалентно снабжению алгебры Ли @ градуировкой.
Функциональные группы. В дальнейшем при изучении нелинейных динамических систем, в особенности процедуры перехода от квантовых к классическим, нам окажется полезным понятие функциональной группы G尸，введенной Ли и Энгелем. (Дальнейшее ее развитие как пуассоновой структуры см., например, в [41].) Прежде чем привести общее определение и основные свойства, поясним, забегая вперед, постановку интересующей нас задачи, решение которой приводит к этой группе.
С этой целью рассмотрим квантовую систему, динамические величины которой удовлетворяют коммутационным соотношениям некой полупростой алгебры Ли @, а интегралами движения являются инвариантные относительно ® операторы (Казимира), построенные из ее элементов (см. п. 3, § I. 5). Переходу к классической системе отвечает замена коммутаторов [Fa,凡] в ® на соответствующие скобки Пуассона {尸^,尸匕}, а самой алгебры S ——на функциональную группу элементами Fa которой являются функции /^ (储 р}, заданные на фазовом пространстве 2^ переменных ха и 僚，1 W а, В W W (обобщенные координаты И импульсы {Xa, хр} = {pa, Ppj =0, {pa, X§} =6ap). При этом скобка Пуассона определяется формулой
[p 尸]——У["。f a °Fb —0尸 a .。尸 b ]
a
и, как нетрудно убедиться с помощью непосредственных расчетов, любые три функции Fa, Fb и Fc удовлетворяют тождеству (ср. с (1.6)):
{{%，&}几} + {{&, &} %} + {{&, %} Fb} = 0. (1.7)
Заметим, что гамильтониан (или лагранжиан) классической динамической системы от циклических координат не зависит явным образом, а сопряженные им импульсы постоянны.
Не боясь излишних подробностей, еще раз поясним сказанное выше. Элементы Fa групповой алгебры могут быть, как уже отмечалось в п. 1, реализованы операторами сдвига на соответствующей группе, линейным образом выражающимися через производные по групповым параметрам aa? I £ а £ N. При переходе к функциональной группе пространство гр)гпповых параметров как бы раздваивается: переменные aa играют роль обобщенных координат, а переменные aa ^ д/даа — роль сопряженных им импульсов 2г¥-мерного пространства. При этом имеется г циклических координат a(, 1 W，&厂(где г ——ранг S), не участвующих в игре, а сопряженные им импульсы а^ перестановочны (в смысле скобок) со всеми элементами GF и через полиномы от них выражаются инвариантные операторы G^ и собственные значения этих операторов для @, один из которых
(квадратичный) совпадает с гамильтонианом системы. Таким образом, минимальное фазовое пространство состояний классической системы задается 2(^ — г) обобщенными координатами и импульсами 兆с н Q% г W a W М и, помимо них имеется г «постоянных» импульсов 宪，1 W，W г, причем
{Qa> Qp} = °* 设а，夕ь} = °， {夕a，QJ = %丁 (L8)
В общем случае GF определяется как алгебра Ли, элементами которой являются функции Fa(x\ р), заданные на пространстве 2^ переменных ха и ра, 1 W а W W, с билинейным законом умножения в виде скобок Пуассона,
{%，a}=%八f)，(1.9)
При ЭТОМ функция КОМПОЗИЦИИ Fab(F], ..., FQ (― — Fba) удовлетворяет условиям, накладываемым тождеством Якоби на ее функциональную зависимость от элементов 凡，1 W a W Nf 三 三 dim GF, ввиду тождества
[① 1，①2} = Z 爵禁{a，%}，0>=叭尸" •••，尸处).(1-10)
b
При этом нетрудно показать, что функции Fab= X。^尸内 где
Cab ~ постоянные, удовлетворяющие (1.3) и (1.4), определяют функциональную группу с соотношениями типа (1.2), в которых коммутатор заменяется на скобку Пуассона. Очевидно также, что скобка любых двух функций 尸аь тождественно удовлетворяет уравнениям
%В縦+%。笋+尸ad欝=0(l.H)
qor aor a
и, наоборот, если Fab( = —Fba) являются заданными функциями 尸1， .. •, Fn『 для которых справедливы (1.11), то существует такое N, что функции Fa выражаются через 2N переменных н Pa, 1 & a W М 以 образуют G尸，причем Fab = {凡，凡}.
Следуя Эйзенхарту [98], описание конструкции G尸 можно свести к построению последовательности вложений G⑴ и и G(2)и ... и Ggf GF со следующим правилом рекурренции: G«+i)= G(t)U {G⑺，G(q}, 1 W i W 々一1, где через {G(i), G⑴} обозначена линейная оболочка элементов {尸，尸'} с 尸，尸'wG(/k Здесь G(I) образован 帛】независимыми функциями 尸卜...，FSl> z G(+)— набор 帛屮 независимых функций, получаемых присоединением к G⑶ тех скобок {F, F'} элементов G«), которые не являются ' ункциями исходных из G(j). В результате приходим к Nf независимым функциям Fa, Si & $2 & ... W s々三 Nf, образующим группу GL
Из тождества типа (1.10) можно показать, что требование инволюции некой функции ①(尸”...,尸掘尸)со всеми элементами GF({O, Fa} = 0 для всех Fa из GF) эквивалентно следующей
полной системе уравнений ，｛Fa,尸力｝ -^- = 0. Поэтому число ь
инвариантов, построенных из элементов группы GF и находящихся с ней в инволюции, в точности равно ее рангу г.
Согласно основной теореме Ли — Энгеля о функциональной группе, существует такой базис, образованный элементами 乡％ 1 & a W %, и ©а, г W а w %, для которого выполняются соотношения (1.8) [98].
Градуированные алгебры Ли и их классификация )
L Основные определения градуированных алгебр Ли. Введем важное понятие градуировки алгебр Ли S, являющееся, в частности, весьма полезным и конструктивным как для выяснения структуры и описания их классификации, так и решения проблемы вложения подалгебр ®л из S в S. Назовем градуировкой алгебры Ли S ее разложение как,пространства в прямую сумму конечномерных подпространств,
0=三㊉吼，dimG^wdaVoo,(2.1)
для которого выполняется условие
[皂，臨 1 U ®а+ь.(2.2)
Иначе говоря, соотношение (2.2) означает, что отличный от нуля коммутатор любого оператора из подпространства ®ь с любым оператором из So лежит в подпространстве @0+&. Алгебры Ли, снабженные такой градуировкой, называются градуированными алгебрами Ли. В частности, любая алгебра Ли ®~в целом может рассматриваться как градуированная алгебра Ли, состоящая только из подпространства @0 в (2.1).
В этих терминах, накладывая требования существования в алгебре Ли той или иной градуировки, иначе говоря, распоряжаясь определенным образом структурой разложения (2.1) при соблюдении условия (2.2), можно ввести основные определения теории алгебр Ли.-
Согласно соотношению (2.2) подпространство @0 замкнуто относительно операции коммутации в ®, [®0, ®о] и @о, и является подалгеброй @. При этом соотношение [So, Sa] cz ®а индуцирует линейное представление Та алгебры. Ли @0 на про- 0 а0а
странстве®а, Та (尸)尸=[F^ F^ 尸三 凯，尸 е ®а, (В дальнейшем градуированную алгебру Ли ® будем называть неприводимой, если неприводимо представление 亍т.)
Если в алгебре Ли существует градуировка, содержащая только подпространства с неотрицательными индексами.
®= Z ㊉⑤/нлн неположительными ®= £ ㊉⑤ J то подпроа >0 I а《0 /
странство ⑤'=g㊉.(呼三区㊉虱) будет идеалом в @; ,(@\ S] cz @Л в соответствии с (2.2). Очевидно, что он коммутативен, если ® = ®0 Ф ®i (® — S-i ® ®о) •
В дальнейшем будут рассматриваться градуировки с целочисленными индексами. Для широкого их класса, во всяком случае, для всех используемых ниже, можно определить понятие порядка ра подпространства @а в разложении (2.1) относительно некоторого оператора градуировки $,
悔，尸]=2р/, Ра+1 > Ра，Ро 三 0 (2.3)
для любого элемента 尸 из ®а. Этот оператор, как будет видно из последующего, может как принадлежать алгебре S, так и быть вне ее, в зависимости от некоторых ее свойств. Подпространство So, элементы которого имеют порядок 0 относительно
будем называть подалгеброй инвариантности.
Обычно к приведенному выше определению градуированной алгебры Ли дополнительно добавляется требование порождае- мости ее в целом своей локальной частью ® = S-! Ф @о ® @ь В координатном представлении образующие ^(^ ®0> 1&а& &dj и Ха (w&±i, 1 &aWd±i) последней подчиняются коммутационным соотношениям:
[X* х£] = X вМ, [it хК = X с款備’
[х+, Хр ] = S 爲М (竭=-(2.4)
При этом структурные постоянные А, В и С полностью определяют строение максимальной алгебры Ли @ (с такой локальной частью) в целом и удовлетворяют следующим условиям, вытекающим из тождества Якоби (1.6):
[凡,反] = _ X BibBd, [c^,若]=一 ё 确盘，d d
С^ЛЬ + АьСа =营 BadAd- (2.5)
Здесь 4a, Ba и Cj определяются своими матричными элементами (4卷三*6，(凡)必三此公 (0»耶三0栽，в частности, для тривиальной градуировки (® = ®0) Ла ^ 0, С? ^ 0.
Полупростые, нильпотентные и разрешимые алгебры Ли. Теорема Леви ——Мальцева. Первоочередной фундаментальной задачей структурной теории алгебр Ли является классификация всех неизоморфных алгебр Ли, которые в известном смысле сводятся благодаря теореме Леви ——Мальцева к двум взаимодополняющим типам — разрешимым и полупростым. Разрешимыми
называются такие алгебры Ли, для которых существует градуировка, содержащая только подпространства с неотрицательными (или неположительными) индексами в (2.1) с коммутативной подалгеброй @0. Если, к тому же, в разложении (2.1) отсутствует и коммутативное подпространство @0, то такой подкласс разрешимых алгебр Ли называется нильпотентным. Очевидно, что любая подалгебра разрешимой алгебры Ли разрешима и любая разрешимая алгебра Ли содержит коммутативный идеал. Максимальный разрешимый идеал, содержащий любой другой разрешимый идеал, будем называть радикалом т* Алгебра Ли @ называется полупростой, если она не имеет нетривиальных коммутативных идеалов; при наложении на нее дополнительного требования отсутствия идеалов кроме самой 密 и {0} она становится простой. При этом полупростая алгебра Ли @ имеет центр {0} и представима в виде прямой суммы простых идеалов. В дальнейшем нам также понадобится понятие подалгебры Картана $ полупростой алгебры @, которая определяется как максимальная абелева подалгебра в @, операторы линейного преобразования ad$ которой (®->[§, ®]^ad@§) диагонализируемы. Размерность алгебры $ равна рангу @.
Теперь мы подготовлены для того, чтобы сформулировать теорему Леви ——Мальцева, согласно которой любая алгебра Ли @ может быть разложена (как линейное пространство) в прямую сумму своего радикала t и полупростой подалгебры Ss>
⑤=Y㊉QK (2.6)
являющейся максимальной полупростой подалгеброй в алгебре 松，и определяется с точностью до автоморфизма. При этом в силу соотношений коммутации
岡s，®J и ®s， [г，т] и г, [г, ®s] и Г (2.7)
алгебра S является полупрямой суммой t £) ®s.
Все приведенные выше определения теории алгебр Ли практически полностью переносятся на группы Ли. В частности, связные группы Ли называются полупростыми, простыми, нильпотентными и разрешимыми, если таковыми являются их алгебры Ли. В полной аналогии с понятием прямой и полупрямой сумм алгебр вводятся определения прямого и полупрямого произведения групп в соответствии со свойствами инвариантности групп-сомножителей относительно внутренних автоморфизмов, именно:
при gg'gT и Gi и hhfh~x cz G2, G = Gi@G2, если ghg7 = h> a G == G2 J) Gb если ghg~x e G2 и =# Л;
M g, Gi,瓦 Ы e G2.
Теорема Леви ——Мальцева для связной группы Ли G устанавливает ее локальный изоморфизм полупрямому произведению связных подгрупп R н G§ группы G, отвечающих подалгебрам
t и @s алгебры Ли S группы G, входящих в разложение (2.6), G = R &Gs.
При этом для односвязных групп Ли G данное представление однозначно и подгруппы R и G§ также односвязны.
Таким образом, теорема Леви ——Мальцева позволяет свести задачу классификации всех алгебр Ли к классификации слагаемых разложения (2.6). Сразу же отметим, что для разрешимых алгебр Ли продвинуться далеко в этом направлении пока не удалось.
В свою очередь, классификация всех полупростых алгебр Ли сводится к классификации простых алгебр Ли, так как согласно теореме Картана любая полупростая алгебра Ли единственным образом представима в виде прямой суммы попарно ортогональных простых подалгебр. Для простых алгебр Ли удается полностью решить систему уравнений Якоби (1.4) для структурных постоянных на соответствующем классе тензоров и тем самым описать все эти алгебры. В конце прошлого века Киллингом и Картаном были классифицированы комплексные простые алгебры Ли, и менее чем через четверть века после этого Картан установил все их вещественные формы. Знания последних достаточно для перечисления всех вещественных простых алгебр Ли ввиду возможности редукции вещественного случая к комплексному путем комплексного продолжения.
Все эти замечательные результаты были получены для конечномерных алгебр Ли. Вместе с тем такие алгебры представляют собой частный случай существенно более широкого класса простых алгебр Ли, объединяемых требованием конечности роста алгебры. Это понятие является важной качественной характеристикой градуированных алгебр Ли, позволяющей провести их классификацию и не зависящей от градуировки, и определяется следующим образом.
Рост R (@) градуированной алгебры Ли S выражается через： размерности подпространств в разложении (2.1) формулой
_InR険)=而 .
В соответствии с этим имеют место следующие три характерных случая.
Начиная с некоторого a = а^ах (« — йт)п) подпространства @±а с а > amax (а > amin) оказываются пустыми, т. е. алгебра @ конечномерна и ее рост равен нулю.
Разложение (2.1) не обрывается ни при каком значении индекса градуировки, т. е. алгебра S бесконечномерна, однако предел в определении R (⑥)существует и равен некоторому конечному числу.
Разложение (2,1) содержит бесконечное число подпространств @±а, т. е. алгебра ® бесконечномерна, и ее рост R (協)равен бесконечности.
Таким образом, первые две возможности отвечают алгебрам конечного роста. В случае простых градуированных алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 случаю 1 отвечают «обычные» конечномерные комплексные простые алгебры Ли из списка Картана, тогда как второй случай приводит к уже качественно иному типу алгебр Ли конечного (ненулевого) роста, в описании которых менее двадцати лет назад был достигнут значительный прогресс [38, 77]. Для таких алгебр размерность подпространств @й растет, как степенная функция \а\т с ростом а, и, соответственно, ^(®)=加 + 1. Очевидно, что такие алгебры являются в известном смысле исключительными, так как размерность подпространств @й градуированных алгебр Ли «общего положения» растет, вообще говоря, экспоненциально с ростом а.
В заключение приведенного выше вводного описания простых алгебр Ли отметим, что после пионерских работ Киллинга и Картана было предложено большое количество различных методов решения проблемы их классификации в конечномерном случае как для комплексных групп (Вейль, Ван-дер-Варден, Дынкин и др.), так и их вещественных форм (Гантмахер и др.). Как это ни парадоксально, существует еще один, не известный до последнего времени вывод классификационной теоремы, основанный на требовании разрешимости в квадратурах некоторой системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с экспоненциальными нелинейностями.
Простые алгебры Ли конечного роста: классификация и схемы Дынкина——Кокстера. В этом разделе, следуя работе [38], мы опишем алгебраическую конструкцию, позволяющую с единой точки зрения изучить строение и провести классификацию градуированных простых неприводимых алгебр Ли конечного роста (как конечно-, так и бесконечномерных) над алгебраически замкнутым полем характеристики 0. Эта конструкция является непосредственным обобщением стандартной схемы построения конечномерного случая через канонические образующие.
Рассмотрим алгебру Ли ® ранга г, снабженную градуировкой (2.1), для которой подпространство ® = @_t ® So ® ®i порождает ®. Выберем, далее, так называемую каноническую градуировку, в которой подпространства @±! и ®0 порождаются каноническими образующими 宪土/ и %•, 1 & / W 广，соответственно, удовлетворяющими коммутационным соотношениям вида
也也[:=0,他密土/] = 士左"%土〃 [纭力纾T] = 6/也- (2.8)
с некоторой, пока произвольной, числовой матрицей k. Матрицу 力，определяющую структуру алгебры @, введем в ее обозначение, ® ^ @(й). В данной градуировке оператор 6 определяется 22
условиями
[6,箔±/] = 士 2军士/,闻，乙]=0, 1 </<f,
и, таким образом, каждое подпространство ®±й, а > 0, порождается всеми отличными от нуля коммутаторами образующих 密土『кратности а. При этом р& = а; ^ = Л = ^ 曲力戸 где 財三 三 2 X (^~')(/ для невырожденных матриц 々.В случае, когда det /г = 0, эту алгебру ® (/г) можно так вложить в алгебру Ли О(Н), det k" #= 0, что все канонические образующие ® (^) будут входить в систему канонических образующих @(/ez)- В этом нетрудно убедиться, взяв, например,尼=j_2〔 2i ' где п натуральное число, не собственное для k.
Элемент подпространства @л («-кратный коммутатор операторов 纺+/ или их линейная комбинация) считается отличным от нуля и соответственно принадлежит алгебре @, если его коммутатор хотя бы с одним элементом @_] не равен нулю. При этом элементы [@й, @_i] с: @й_1 легко вычисляются в явном виде с помощью соотношений (2.8).
Нетрудно показать, что центр алгебры @(й) состоит из элементов 2 0/г〃 где постоянные 力 определяются системой
2 自.q = 0. Очевидно, что он отсутствует, если det 々，0.
На алгебре @(й) определим симметричную билинейную форму (,), инвариантность которой обеспечивается требованием выполнения равенства
([尸，F1,f")=(尸，[尸‘，f"])(2.9)
для любых трех ее элементов, F, F‘, F". Процедура введения такой формы на градуированной алгебре Ли, порождаемой своей локальной частью ®, заключается в задании ее на S с последующим расширением на всю алгебру @. Иначе говоря, инвариантная форма определяется вначале на образующих ®: {х^ Xj; 1 ^a^d% \ ^a^d±i} с условием (@z,勖)=0 при I + J =# 0, —1&力，/ ^ 1, и затем исследуется возможность ее продолжения до инвариантной формы на @ с (@я, @&) = 0 для а + & =# 0. При этом из (2.9) в соответствии с (2.4) имеем
X 爲0 (xL xj = — X。募(X^, X；).(2.9,)
bV
Тем самым, если задана форма для элементов подпространств ®±ь условием инвариантности в виде (2.9) фиксируется форма на @0. Применительно к канонической градуировке, когда © = ={宏土力 %、1 W j W г}, полагая
(纺十门纺./) = %%(2.10>
где Vi ——элементы диагональной г X г матрицы У, симметри- зующей матрицу 龙， Vk = kTV, легко убедиться, что для инвариантности формы на @(fe) достаточно, чтобы
(Ло h^Vikif.(2.11)
Форма на произвольных векторах из подпространств ®±а вычисляется с помощью соотношений (2.8) и условия нормировки (2.10) при учете равенств (2.9).
Таким образом, для выделения из всей совокупности алгебр Ли @(й) интересующих нас здесь алгебр следует конкретизировать рассматриваемую алгебраическую конструкцию, наложив условия простоты (в виде обобщенного критерия Картана невырожденности формы) и конечности (/?(@)) роста алгебры. Это приводит к жестким ограничениям на вид матрицы k. Именно, все ее элементы вне (на) главной диагонали ——неположительные (положительные) целые числа, причем из k；j = 0 следует 々〃=0. (Отметим, что если бы мы допустили возможность ku = 0 при некотором I, то в силу тождества Якоби и соотношений (2.8), это повлекло бы за собой обращение в нуль всей £-й строки и, соответственно, f-го столбца.) Кроме того, для любого набора натуральных чисел и, ..., и, не превосходящих г, справедливо равенство
瓦& ,比2% "…~*(，(2.]2)
Далее, как нетрудно убедиться из соотношений (2.8), при замене 力if 九力八 凭Tf 入究—t,九三①，i~访столбец матрицы々умножается на 九.Поэтому образующие hi,衫士》можно выбрать так, чтобы в определяющих соотношениях (2.8) все диагональные элементы были равны, скажем 2. Заметим также, что условия (2.12) и kij = 0 ^ ku = 0 обеспечивают возможность однозначно определить форму на ©(月)и, следовательно, на 協(々)с помощью соотношений (2.10) и (2.11), и справедливость соотношений
(ad^*i)T〃+i^+/ = (ad^_jj〃+i^7 = 0, ，* j. (2.13)
Естественно также наложить дополнительное условие нераспа- даемости на матрицу Л, так как в противном случае (т. е. когда она принимает кусочно-диагональный вид fe = ||^' ； ]) алгебра @(й) есть прямая сумма алгебр ⑤(％)㊉⑤(々2).
В случае det^ = O исключение центра алгебры @(^) приводит к условиям
f＞也=0,(2.14)
1 = 1
X財円(2.15)
Наконец, конечность роста алгебр ®(^) обеспечивается неотрицательной определенностью симметризованных матриц У幺
удовлетворяющих перечисленным выше требованиям, и в соответствии с результатами Кокстера о дискретных группах, порожденных отражениями, приводит уже к строго определенным матрицам 龙(с точностью до умножения справа на диагональную матрицу с произвольными ненулевыми элементами), которые будем называть картановскими. Как видно из приведенных рассуждений, матрица Картана полностью определяет строение подпространств @±а, и тем самым ——строение всей алгебры @(й) в целом.
Описанная конструкция исчерпывает (с точностью до изоморфизма) все простые неприводимые градуированные алгебры Ли конечного роста над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 за исключением четырех серий фильтрованных алгебр Ли, соответствующих простым псевдогруппам преобразований Картана. (Рассмотрение последних в наши планы не входит.) Всего имеется четыре классические серии, 4, Вг, &, Dr, и пять особых картановских, С2,尸4,石6,石九 七8, конечномерных простых алгебр Ли @ (R(®) = 0). В бесконечномерном случае присутствуют следующие алгебры конечного роста (можно показать, что их рост равен 1, R (協)=1):
4, 4.1, 5-1， a一1， 2-1； G2, %,?6，七7，稣；84，ВЛ2г_2» BDr, СЛ2г_з， FEg, GD4.
В дальнейшем, когда требуется выделить эти алгебры от простых алгебр Ли роста 0, будем их обозначать S, сохраняя за конечномерными тот же символ.
Отметим особо некоторые характерные отличия матриц Кар- тана алгебр @ и @. Для первых определитель матриц k отличен от нуля, они положительно определены и имеют положительными все собственные значения и все элементы обратных им матриц 々-I Элементы матрицы Картана по модулю не превышают 3. Матрицы Картана алгебр @ вырождены, имеют все положительные собственные значения кроме одного нулевого, а их элементы по модулю не превышают 4.
Несмотря на эти различия, алгебры @ и S теснейшим образом взаимосвязаны, что можно проследить, рассматривая один из возможных способов непосредственного построения подпространств @, исходя из @ (такой способ приведен в § 1.3).
Компактной взаимооднозначной формой записи матриц Картана являются схемы Дынкина ——Кокстера (см. табл. I), представляющие собой совокупность г точек на плоскости, каждые две (г и /) из которых соединены 月订月〃 отрезками. Стрелки на этих отрезках указывают на z-ю точку, если \ka \ >\ka\. Каждой точке на схеме приписывается некоторое число &. Для алгебр конечного ненулевого роста @ оно совпадает с коэффициентом и в формуле (2.14). Для конечномерных алгебр оно равно кратности вхождения образующей 箔土》в многократный
Таблица Т. Схемы Дынкина — Кокстерадля простых алгебр Ли конечного роста
Конечномерный случаи
7777
о о . ■ ■ - ' ' о -…。
32
0^0
7222
оо • - ■ с—
£4^ J 2
坛
0=^=0
Е$
у■
72\3 21
006- 00
鹏2
2227
00О<=0
g j4
"尸学3
7 22 Г
с о- - оо2
23 45Z
0000б2—00
беаконе 廿номернь心 случай
32 7
оф^0
Ai
2 4327
00^=00~—0
"尸7
7221
О0000
盛7
V/
以2厂一2
ва2
2 7
/2345'б42
0О00о0оо
BDr
乙 77 J
72、3 2 了
СА?г一з
吗
727
:Q，0
коммутатор 箔土/. Иначе говоря, согласно вводимой в следующем пункте терминологии, числа с в конечномерном случае совпадают с коэффициентами разложения максимального корня m по простым корням, т = £ с严八
Для приведенного выше краткого изложения результатов классификационной теории алгебр Ли было вполне достаточно введенных ранее определений. Однако при более детальном рассмотрении данной задачи, а тем более при изучении структуры
подпространств @а алгебр Ли S и при описании основных свойств этих алгебр, отвечающих им групп Ли и их представлений, нам потребуется более универсальный и конструктивный язык инвариантных корневых систем.
Корневые системы и группа Вейля. Как отмечалось выше, структура алгебры Ли 協(々)полностью определяется коммутационными соотношениями (2.8) для образующих 纺土/ и Л/, 1 W j W 广，порождающего подпространства 卤(々)и видом ее матрицы Картана k. Все остальные образующие алгебры @(/г) получаются последовательной коммутацией операторов 缪土〃 1 W j W г, не обращающейся в нуль на промежуточных этапах (что легко соблюсти при непосредственных расчетах учетом соотношений (2.13)). Вместе с тем, каноническая градуировка в общей постановке классифицирует подпространства @±а,。＞ 1, лишь по кратности вхождения любого из операторов 缪土『в многократный коммутатор и не идентифицирует элементы внутри @±а.
С этой целью следует вместо одномерной градуировки (по порядку /?а) ввести многомерную, учитывающую специфику вхождения в многократный коммутатор операторов 纺土j с различными 1 W j W 匕 Такая градуировка ) О ：=£ ㊉ * опреде- а
ляется векторными функциями (весами) а, задаваемыми на подпространстве ®0 соотношениями [h, 纺cj = a(/z)纺* для произвольного Л из ©о, проекции которых согласно (2,8) равны m(hj) = kij при 範 а,Е 纺％ 1£厶 j W 广・ Линейные функции а называются корнями (@ относительно @о), если @а ^ {0}, а ®а — корневым пространством, отвечающим корню а. /Множество R всех корней будем называть корневой системой алгебры ®(k). Так как @о является максимальной абелевой подалгеброй S, то отвечающее нулевому корню а = 0 пространство @° — @0. Из тождества Якоби следует, что [Sa,您B]u(^a+R для любой пары корней a, р и a + р
Корни a/( = ni), 1£力£广,называются простыми, а элементы 箔土/ и hj — соответственно корневыми векторами и образующими ©°, отвечающими простым корням. Из построения видно, что любой корень а из ^ есть линейная комбинация простых корней со всеми неотрицательными (или неположительными) целыми коэффициентами, а ~/ул;; величина |2/；| назы
вается высотой корня а. При этом корневое пространство Sa, а ^ 0, натянуто на всевозможные векторы:
統曰[[…[缙土%经%]…纺土%] e a = ± 2r%; (2.16)
для ненулевого корневого вектора 衫* корни а называются положительными (а > 0) или отрицательными (а V 0) и их совокупности обозначаются R±. Иначе говоря, корень а называется положительным, а > 0, если первый из ненулевых коэффициентов // положителен. Нетрудно показать, что матрица Кар- тана непосредственно выражается через билинейную симметричную форму на векторном пространстве ^ (над полем рациональных чисел) с базисом из простых корней по формуле
ktj = 2g, лД(2.17)
Таким образом, в корневом пространстве алгебры @(/г)= =®° ф 2 ф ®а, являющемся обобщением базиса Картана —
Вейля конечномерного случая, имеют место следующие определяющие соотношения:
"ав纺а斗 в，a+RwR；
[猊，瑞]=« О,а + Р ^ о, а + 3 亥 R； (2.18)
啞 а + § = 0;
也，А/] = 0; [Л(,纺土 а] = ± а 仇» 纺土 а;
а/(儿)三岗公(®а, ®Р)==0, а+р 啜 0,
где N^{ =——Zea)—постоянные, отличные от нуля. Эти постоянные определены неоднозначно и зависят от выбора корневых векторов 箔0t. В конечномерном случае, в частности, существует нормализация Шевалле, для которой |”аб| = р+1, где р —— максимальное из чисел, когда Р ——pa w R и 介^^ = —Д^_а, 一廿. Кроме того, имеют место следующие простые, но довольно полезные соотношения:
(% Y尸猫产(a, a)-1 ^v = (p,旷 м0, a+0+ Y = 0；
(Y + 6, Y + 6) ‘猫/Y6 + (a+ 6, a + 6)为0Y"(16 +
+ (6+。，В + 6) ' "丫”傥=0,
а + В + Y + 6 ^^ 0，
и сумма любых двух корней не равна нулю.
Определим группу Вейля 1^(^) алгебры 協(归)как совокупность линейных преобразований пространства 原，порожденных отражениями (о(,1 & i W 广, относительно гиперплоскости
{а: а(Л() = 0},
со» (а) =а — a(/ij 乳^ =а — 2、 %・(2.19)
Важным свойством преобразований из группы Вейля является инвариантность относительно них корневой системы R алгебры @(А) и билинейной симметричной формы на <^.
На основе этого определения можно установить характерное отличие корневых систем конечно- и бесконечномерных про-
стых алгебр Ли, последние из которых для краткости мы опять будем помечать «тильдой». Для алгебр @(/г) любой корень а из R может быть преобразован в простой под действием некоторого элемента з из 1^(@),(о(а) = п〃 (аа)>0. Однако такого не происходит в случае @(й), так как помимо корней, отвечающих подматрице Картана k алгебры @(^) матрицы й (см., например, конструкцию § 1.3.2), ее корневая система содержит корень е 三 2 c严/ (ZE"S = O), который не переводится в
простой никаким преобразованием из W (@), причем (明冗?) = 0, 1 W，W А и (&,£)& 0. Согласно принятой терминологии такие корни называются мнимыми (в отличие от «обычных» действительных). Наличие мнимого корня в свою очередь влечет за собой появление как бесконечного числа действительных корней, так и бесконечной серии /е мнимых корней при любом целом 厶 Вместе с тем, все действительные корни а алгебры &(后)обладают характерными свойствами корневых систем конечномерных алгебр, а именно: /awR (无) только при / = 0, 士 1; dim Sa = 1; р + /а 三 R (初，§ 三 R (足)тогда и только тогда, когда —р £ / W g, р —q = 2(«р)/(аа); и т. д. .
Параметризация и упорядочение корней конечномерных комплексных простых алгебр Ли. В настоящем разделе, имея в виду практические приложения общих результатов последующих глав применительно к конкретным типам конечномерных алгебр Ли @, приведем необходимую для этих целей информацию справочного характера об их корневых системах. Попутно мы введем также некоторые определения, характерные именно для конечномерного случая.
Как отмечалось выше, каждый корень из R+(R-) можно разложить по системе простых корней, образующих базис в пространстве 或.(Заметим, что каждый простой корень щ встречается в системе R+ ровно 2 多 раз.) Для классических серий ) Аг, Вг, С7, Dr и особых картановских алгебр G2,尸4 и Еб,石7,七8 соответствующие выражения содержатся в табл. II. В свою очередь, простые корни этих алгебр могут быть записаны через элементы е】,^2,ер ортонормированного базиса р-мерного евклидова пространства, р ^ г.
£7
0
V
+
E 工
+
V
V V V
—+
wi内口内?
1+
у V
V
才
%7
КV/J
+ ~ +
% 白之
映 м2
-VV
『Г5
А
心
м 弓 a^wus xsI°odu X3HJXQFUSOH x3Hd8K°HhQH0H ss^ow «3sx4w^s^oe-©E UI л Д s e- ю л H
Dr^
q —勺=£%,1 < / < / < П
i不九工/T
i^k^.r-2
Q + С/ = X 耿+2 е 冗汽+冗， _ 1 +冗尸1忘fVj《r-1
2л—Tti —jtr—11■■—n「
%=%—Q+1，［《f《r — l；
G2
3Л1 + 2冗2 三(32)
n1 = 6 - ?2；
冗2 n — 2e】+散+ *
凡
勺 士 е『，1 & j V / 4 4;
% (q 土 出 土 用 士 e"
2nl + зЛ? + 4h3 + + 2冗4 三(2342)
n1 = * - е3；
冗2 =用-%；
冗 3 —1 04；
冗4 = */г(5 一 02 一 Сз — 04)
E§
土 气 + е『1 & f V j & 5;
%08一07-6+,e(-1尸⑺ e)
5
v (z) — четно
(122321)
7
冗 2 = % + &；
%е：一 с,—?, 3 ^^ /《6
1-
FEEF
tTss'
R
+
¥；9з工1
+1° Hl
v 7爰
f -Ml 3
i上^«
II ・V9DI anM2*yoQodu ^
■ При составлении табл. II возникает вопрос о том, как расположить корни R+ друг относительно друга. Известны различные способы упорядочения корней, в частности, лексикографический, согласно которому больший корень а располагается на прямой, правее меньшего р； при этом считается, что а > 0, если а ——р > 0, т. е. а——р ——положительный корень из R+. Такой выбор, естественно, является неоднозначным, так как ни в коей мере не регулирует относительное расположение, например, корней одинаковой высоты.
Из анализа структуры системы положительных корней простых алгебр Ли (см. табл. II) следует существование такого упорядочения, при котором каждый суммарный корень располагается между своими составляющими. Фиксированное этим принципом расположение корней S (вообще говоря, не единственное) будем называть 2+-упорядочением. Оно обладает следующим важным свойством. Именно, совокупность положительных (отрицательных) корней, расположенных правее любого наперед взятого корня в £+, и отрицательных (положительных) корней, расположенных левее его, образует корневую систему подалгебры S. (Действительно, из определения £+-уп。- рядочения с очевидностью вытекает, что сумма р + ^ е= /?+ любых двух положительных р и у корней, лежащих левее некоторого корня а, расположена между р и у и, следовательно, левее а.) Это упорядочение играет выделенную роль среди других способов расположения корней (не только по причине наиболее жесткой их фиксации). Оно обладает целым рядом замечательных особенностей, в частности, как мы увидим в дальнейшем, приводит к универсальной параметризации элементов всех компактных простых групп Ли % в обобщенных углах Эйлера, которая позволяет довольно просто получить факторизованные по этим углам выражения для инвариантной меры Хаара на 北，старших векторов их неприводимых представлений, и т. п.
Среди всех положительных (отрицательных) корней простых алгебр Ли ® ранга 广 существует совокупность 已+ фундаментальных старших корней s】,...,s「, сумма каждого из которых с любым простым корнем (если сама она является корнем) совпадает с корнем опять из S+, расположенным правее исходного, Т- е. si + л； ^ Si+b 1&工 /W 尸,и следовательно, s，+ a^S£+i для любого а е £+. Очевидно, что sr + а ^ /?+ ни при каком корне а из R+. Такой корень sr(^m) называется максимальным; т=£ с 产з где числа с『приведены в схемах Дынкина (см. табл. I) для всех алгебр S. (Напомним, что свойство перестановочности отвечающего ему корневого вектора со всеми остальными векторами ®а, а > 0,[纺十加,密а] = 0, уже использовалось выше. Одна из возможных систем линейно-независимых старших корней для всех типов алгебр Ли @ дана в табл. III.
98982 А. Н. Лезнов, М. В. Савельев
98
98
Т а б л и ц а Ш. Последовательности старших корней, расположенных в порядке возрастания высоты
4r>1
г
Лр % +冗才 * .., 皿三£ Пу
/ = 1
я, л + П「， Л 十 Лг—】十冗г, . ♦—
п, 冗 + П「一1, п + П「一1 + 冗г—2, .. 2л — Л/-
〃》3
Я 一 Лг—1, П — Л/-, Л, Л + 冗г—公 П + Лг—з 十 Л「一2,2л — Лг—1 — Jtf — Jt]
G?
(13). (23)
尸4
(1232), (12 42), (1243), (2243)
&
(101212), (112211), (111212), (112212), (112312), (112322)
е7
(1112322), (1212322), (1212313), (1212323), (1212423), (1213423), (1223423)
&
(12324524), (12323534), (12324534), (12324634), (12324635), (12424635), (13424635), (23424635)
Приме
ч а н и е： В целях упрощения записи для старших корней особых картановских алгебр выписаны только коэффициенты разло-
жения по простым корням.
В дальнейшем нам также понадобится понятие фундаментального веса ю/, 1 ^ / ^ г, который определяется формулой 6尸Z力斤‘冗/ и имеет высоту 2龙i J = %龙Г
〜Каждому простому корню л( (или фундаментальному весу &。алгебры S можно сопоставить переменную 夕 и определить а(у) выражением а(у) = Х%；У/, где набор // отвечает разло- х<ению корня а.
Вещественные формы комплексных простых алгебр Ли. Классификация конечномерных вещественных простых алгебр Ли может быть получена с помощью понятия инволютивного автоморфизма <т, т. е. автоморфизма алгебры, удовлетворяющего условиям а2 = 1, о■十=о. (Здесь 《十》——символ эрмитова сопряжения.) При этом вещественные формы комплексных простых алгебр Ли @ выделяются требованием
0(f十)=一尸(2.20)
на их элементы, и для полной классификации форм достаточно перечислить все возможные инволютивные автоморфизмы.
Предварительно разобьем элементы @ на компактные 尸(三—尸十)н некомпактные ①(=①十).Алгебры (подалгебры) Ли, генерируемые операторами F, будем называть (максимально) компактными.
Произвольный элемент алгебры @ над полем С вида
й (а)= X 威纺+а + f а% + X а；^-а.(2.21)
а > 0/ = 1а <0
где а土，° ——комплексные числа, определяет бесконечно малое преобразование соответствующей комплексной простой группы, число параметров которой совпадает с удвоенной размерностью @. Заметим, что посредством некоторого канонического преобразования корневые векторы 缙土а и образующие %• картанов- ской подалгебры © нз 協 могут быть подчинены соотношениям сопряжения
纺，二宓-а, /=如(2.22)
Если выбрать параметры а±，° в (2.21) чисто вещественными, то как нетрудно убедиться, параметры, входящие в коммутатор двух элементов алгебры 9i(a) и 呪(。‘)также являются вещественными числами. Тогда говорят, что выражение (2.21) реализует бесконечно малое преобразование естественной вещественной формы. В общем случае при соблюдении определенных соотношений между G，° параметры [9J(a), 8?(а')] удовлетворяют тем же свойствам, и тогда речь идет о выделении произвольной вещественной формы, т. е. условие (2.20) переписывается в виде
и 彼十(q)) = -81(q)・(2.23)
В частности, при <т 三 1 имеем '
аа =—威，а； = — ар(2.24)
что отвечает в соответствии с разложением (2.21) компактным алгебрам Ли. Автоморфизм вида <т(^+а)= —纺_«, 0(用/)= —历 дает соотношения
а^ =若，^/ = л/»(2.25)
приводящие к естественным формам.
Таким образом, в общем случае решение задачи выделения вещественных форм приводит к необходимости рассмотрения действия инволютивного автоморфизма на корневом пространстве @, относительно которого имеют место следующие три различных типа корней:
и(^+а)= %-в，а，р・(2.26J
Такой корень называется двукратным и с помощью него строятся четыре оператора алгебры:
компактныенекомпактные
绪+a -缙-а + 0 (纺+а -缙一Ji 侬"-貌-a + 0(缙+a-缙-a)｝，
方 ｛能+a + 缙 .a + <T (绪 +a + 能一J，纺+a + 绪.a +0(能+a + 缙.J
(2.26J
o(纺+a)=£纺-a，£ = ± L(2.27()
Корень называется однократным и порождает два оператора алгебры:
компактныйнекомпактный
，(纺+а +宓-а)，8=1，，(宓+а 一宓-а)，®=1,
(2.27J 纺—纺-а， е — 一1，纺±а+纺-а，е ~ 一1・
(Вид операторов (2.272) формально вытекает из общей формулы (2.262)при условии (2.26[).)
U(^+a)=^+a・(2.28)
Корни называются нуль-кратными, и их совокупности, инвариантной относительно автоморфизма <т, отвечает подалгебра инвариантности.
Этим мы завершаем краткий набросок основных этапов описания вещественных форм конечномерных комплексных простых алгебр Ли и в заключение приводим в виде табл. IV их полный список для классических серий, указав матричную реализацию, некоторые основные характеристики (в том числе, для сравнения, и для комплексных алгебр Ли).
36
Таблица IV. Характеристики некомпактных групп Ли
rank %
dim
Na
常
r%
厶(%, e) (Л)
2%
2出
—
US)
Л
厶(%, R) (%)
%
泊
ст (X) = X*
。⑺
圉
U* (2力(Лн)
2"
4%2
G(X) = 〃X%1
Sp (2%)
n
U (", 9)(Лш)
9， р+ q ="
n
n2
or (X)=
=—/ pqX 斗 J pg
U (p) ® U (g)
О 5, С) (8,0)
2圉
"("—1)
—
0(%)
園
。率(2〃)(Z)ni)
n
n (2n — 1)
о(Х) = 〃Х*/^
u⑷
n
。("，9)El) 心％ "+ g ="
圉
"(〃 一1) 2
G(X) = JpqX*Jpq
。(p) ® 0 (g)
圉
Sp(2〃,C) (С)
2汽
2n (1 + 2n)
—
Sp (2")
n
Sp(2〃，R) (CI)
n
n (1 + 2汽)
О (X) = X*
u⑺
Sp (2p, 2g) (CII) "》9，
и
"(1 + 2n)
a (X) =
=—IpqX” pq
Sp (2p) ® ® Sp (2g)
n
^ = 7 (t)
—00 V( <8
7
L(〃, C) (4)
出
exp т
n
厶(小R) (%)
/z (汽一1) 2
exp т
0(2/i) (4i)
n (1 + 2n)
/ exp т 0 、
\ 0 exp т 丿
n
U (p, g) (Лш) P> q, p + g = %
綻+炉
/ ch т sh т \ 〈sh т ch т /
g
0(%, C) (8, Q)
"(% — 1) 2
/ ch т / sh r \ 〈一z sh т ch r /
囹
1 G =
—8 V( V8
0*(2/г) (%[)
紋
j ch т i sh т 00
—/ sh т ch r 00
100chr — Z sh r
100 i sh т ch т
圉
。("，q) (BQ])
2十
« (« — 1) 十2
/ ch r sh r \ \ sh т ch r /
g
Sp (2n, С) (C)
n (1 + 2")
/ exp т0\
I 0 exp (—r) /
n
Sp (2n, R) (CI)
紋
/ exp т0、
\ 0 exp (—r) 7
Sp (2p, 2g). (CH) 心 g, p + g = "
"(2"+ i) + + g(2g + D
ch т sh т 00
sb т ch r 00
00chт sh т
00shт ch т
q
G =找次优
1，
Ng
厶(n. С) (Л)
u⑴N .二NU⑴ h
n
n
lm,及)и0
能区［二区名2
—
—
U*(2〃)(Лн)
SU⑵<g)…区SU⑵
3/7
U(p, g) (Лш) p-\-q = n
и (p—g) ® и ⑴齿....® и ⑴
p
(p一?)- + 9
o(", C) (8, D)
111
ш
我
Ng
0*(2") (Dg)
SU⑵纟…g) SU⑵ fe, п=2й
k
3左
SU ⑷® …色 SU (2) g u (1)
A, n^2k — 1
左+ 1
3左+ 1
O(p,q) (BQ)
q^n
0 (p - g) g w2 区.二 <8)定4
M
(p — q)(p — q — i) 2
Sp (2n, С) (C)
U⑴е…зu⑴
n
n
Sp(2〃,R) (CI)
w2@ • . . ® ^2
——
—
Sp(2p,2g) (CH) p+ q = n
sp (2p — 2q) ®
® Sp⑵㊁…N Sp (2)
p
(P — 9)X XQp —2g + l) + 3g
Ipq =
\U —1^ /\—1д U /
1 0 . . . 0)
Ip0000 10 …0
0—1 q00. 00
00 [p0，L .
00 0 —1g0
.0 0 . . . 1 J
Трехмерные подалгебры алгебр Ли
Вложения Зй-подалгебры в алгебры Ли. Задача классификации всех неэквивалентных полупростых подалгебр @z конечномерных простых алгебр Ли @ полностью решена в работах [28], где, в частности, перечислены все типы трехмерных (3d)・ подалгебр 4 комплексных простых алгебр Ли @. (Рассмотрение вещественных форм сводится к комплексному случаю путем аналитического продолжения и потому принципиальных вопросов не вызывает.) При этом согласно теореме Гантмахера [16], для любого вложения @z в © картановскую подалгебру $ из ®
можно выбрать таким образом, чтобы картановские элементы принадлежали
Нас в дальнейшем будет интересовать случай, когда б качестве 砂 рассматривается алгебра А\ с образующими Н, /+, J_, удовлетворяющими соотношениям [Н, /±] = ±2/土, [/+, J_] = Н. Тогда все неэквивалентные (относительно внутреннего автоморфизма ®) вложения 力 1 в полупростую конечномерную алгебру Ли ® определяются заданием вектора вложения 右(九),компоненты которого выражаются через коэффициенты разложения карта- новского элемента по образующим подалгебры $ алгебры ®i
"九)三(//,力‘)，"==Z k(h)hr
С помощью картановского элемента Н может быть введена градуировка алгебры ® = ^ Ф ®а, где все образующие подпространства @д имеют фиксированное значение порядка, т. е. Н из Л1 сг @ играет роль оператора градуировки. (Сразу же отметим, что для бесконечномерных простых алгебр Ли S оператор градуировки, вообще говоря, не лежит в самой алгебре.) Иначе говоря, при такой градуировке все элементы алгебры ® классифицируются (т. е. объединяются в мультиплеты) по неприводимым представлениям ее si (2) -подалгебры. В зависимости от выбора того или иного вложения подалгебры инвариантности ®0, образованные, как мы уже говорили, элементами S, перестановочными с оператором градуировки Н, могут быть различными.
Задав определенным образом вложение (градуировку), требуется реализовать для него всю алгебру Ли. Обычно для параметризации элементов ® используется либо корневой базис Картана ——Вейля, универсальный для всех простых алгебр Ли (однако, недостаточно распространенный и не всегда наглядный для физических приложений), либо довольно громоздкие тензорные обозначения (применимость которых ограничена классическими сериями). Используемая здесь классификация элементов алгебр Ли ® занимает в некотором смысле промежуточное положение, так как в ее рамках общность корневого языка дополняется наглядностью мультиплетной структуры, привычной и удобной для физиков.
Рассмотрим произвольную алгебру Ли ®, содержащую подалгебру Ль {J±, Н}, некоторым образом в нее вложенную. Тогда все элементы алгебры S объединяются в мультиплеты по конечномерным неприводимым представлениям подалгебры Ль компоненты 尸/』которых нумеруются значением углового момента / (веса представления), его проекции т и индекса vz, характеризующего кратность данного / во всем их спектре. Этот спектр {/} 三 {厶,...,厶} фиксирован для каждого вложения.
Обозначим через ®0 коммутативную с Н подалгебру [{Я, ®0] = 0 ) и выделим в ней подалгебру ®о, инвариантную относительно 4,[/土，®^] = 0, элементы которой являются скалярами по 4・ Фактор-алгебру ⑤°/晩 обозначим 餌 и классифицируем ее элементы 尸:』(/ > 0) по неприводимым представлениям 力 1 веса /:
口+卩一,a’門]=/(/十1)户产.
Это соотношение инвариантно относительно 稣，вследствие чего идентификация по индексу V/ элементов алгебры S осуществляется по неприводимым представлениям ⑤；. Очевидно, что для полного описания элементов алгебры S при определенном вложении в нее Зй-подалгебры достаточно задать ее образующие, отвечающие нулевым значениям т, т. е. элементы So- Тогда применением к последним (точнее к 尸;'>,/ > 0)повышающих и понижающих операторов, построенных из 厶，т. е. /n-кр атной коммутацией с J土，могут быть получены все остальные элементы S.
Таким образом, в алгебре S может быть проведена градуировка (2.1) по собственным значениям m картановского элемента Н. При этом в m-е подпространство объединяются все элементы S с одинаковыми индексами т, и для целочисленных вложений в качестве градуировочного индекса удобно взять величину т/2. В частности, подпространства S±i локальной части @ алгебры S образованы элементами вида [/±, ^'V/}- Важно отметить, что их размерности d±i совпадают при такой конструкции с размерностью dj фактор-алгебры ⑤% (Последнее утверждение является отражением того, что все целочисленные мультиплеты с / > 0 содержат компоненты как с m =0, так я с m = ±1.)
Применительно к простым алгебрам Ли данный подход позволяет описать все возможные вложения Зй-подалгебры в @. При этом каждое вложение однозначно (с точностью до эквивалентности) задается структурой разложения Н по образующим ⑥ алгебры ®. Искомые структурные постоянные с； вложения, в свою очередь, определяются следующей конструкцией ). Система положительных простых корней (л-система) конечномерной простой алгебры ® дополняется минимальным корнем, в результате чего возникает расширенная л-система, канонические образующие которой удовлетворяют коммутационным
соотношениям:
[Л/Л/] = 0,[力厶纥t j] = ± Е〃宓土 j, \9BiSB-i\ = 6/7^7, (3.1)
-1《/, /<г+ 1.
Здесь 无——обобщенная матрица Картана,局/三居八 1《i, j《г, имеющая одно нулевое собственное значение; ^±(r+i)三纺干m・ Далее из расширенной л-системы выделяется совокупность 尸(s) = {pi, t,. t ps; s ^ г) любых корней, отвечающих некоторой полупростой подалгебре @(§)ранга %《г исходной алгебры S, Тогда искомый элемент //= £ с% находится из условия 因，纺pj = 2纺％ Таким образом, выделенную роль играет такое вложение ) З^-подалгебры в простую алгебру Ли S, для которого картановский элемент принимает одинаковые значения (равные 2) на корневых векторах всех простых корней ®,
[Я,纺门=2纺小l《i《r；
соответствующая З^-подалгебра называется главной. Действительно, описание практически всех вложений А] в простую алгебру Ли S сводится к рассмотрению главных Зй-подалгебр во всех алгебрах ®(s). (Исключение составляют [(г — 2)/2] вложений для серии 3 и [(< — 3)/2] — для алгебр Ет^ тг = 6, 7, 8, на которых мы останавливаться не будем, отсылая к работам [28].) При этом структурные постоянные с； очевидным образом выражаются через элементы матрицы 万 с помощью соотношений (3.1).
Подчеркнем, что приведенная выше схема позволяет описывать как целочисленные вложения, так и вложения, приводящие к спинорным мультиплетам.
2・ Бесконечномерные градуированные алгебры Ли, связанные с вложениями Зй-подалгебры в конечномерные алгебры Ли. Каждому вложению 乂】в произвольную конечномерную алгебру Ли S можно сопоставить бесконечномерную градуированную алгебру Ли, в том числе и конечного роста. Описываемая ниже конструкция представляет собой специальный случай более широкой схемы построения алгебр Ли конечного (ненулевого) роста, связанных с произвольной, вообще говоря, конечномерной алгеброй Ли, снабженной градуировкой и полностью определяемой своей локальной частью ®.
Решение задачи заключается в расширении подпространств ©о и ®±i конечномерной алгебры Ли ® с элементами Х°, Х± (2.4) путем включения в них некоторого числа дополнительных образующих 歛 и ”土 таким образом, чтобы запасы конечномерных представлений у исходной алгебры S и строящейся на
ее основе бесконечномерной алгебры @ совпадали. С этой целью рассмотрим старшие и младшие компоненты 尸；? мультиплетов элементов ® по Д1 при фиксированном вложении с максимальным значением момента /тах = L из спектра {/}, т. е.尸汽丄三尸：, 1 ^ v ^ vL. Они удовлетворяют коммутационным соотношениям:
仍1尸方］=2 К*,m，"］=z Q#舟，(3.2)
где V?——некоторые линейно независимые комбинации элементов ®о, ，?三2 仇аХ^ Расширим подпространства ®± i до G±「 добавив к образующим Х^, 1《а《d士匕 элементы 缪^,1 & v ^vl, t. e. ®±i = {Ха, ^Vv} с dim⑥土 1 三2±i =d土1 + 也,и подчинив их соотношениям
【寫，缘」=0, ［X］ <Vv］ = 0,因，"习=? R* (廟+ ь?).
'(З.З)
При этом элементы 韜，возникающие в результате коммутации (3.3), присоединим к подпространству @о. Постоянные R1^ определяются в соответствии с (3.2). Во всех дальнейших по- строенйях будем постоянно следить за тем, чтобы все вводимые коммутационные соотношения между элементами расширенной локальной части © допускали конечномерные (вырожденные) представления. Для последних 缉^ =尸^ и все дополнительные образующие ©0, т. е. элементы 缉? из ®о/®о, обращаются в нуль. Так, при написании (3.3) мы учли эти условия; очевидно, что согласно (3.2) они выполняются для *V^ = ^. Далее, определим
協齊］=х Q^v'*，(3.4)
где постоянные Q^" задаются соотношением (3.2). Соотношения, аналогичные (2.5) и вытекающие из тождеств Якоби для ®, выделяют ненулевые элементы ^?, т. е. требования совместности автоматически ограничивают набор таких (не равных тождественно нулю) образующих ®о/@о. Таким образом, из (2.5) следует, что 缉，(关 0) образуют центр ®0,
［銘，xК = ［%，筑］=［解 X北=［韜,骑=0,(3.5)
равно как и всей алгебры ®. Процедура восстановления алгебры ® в целом основывается на введении билинейной инвариантной симметричной формы на ® с последующим ее расширением на всю алгебру ® (см. п. 3, § I. 2).
Таким образом, коммутационные соотношения (2.4), (3.2)— (3.5) определяют структурные постоянные бесконечномерной
алгебры Ли ® с локальной частью ®_i Ф @0 © ®i и играют ту же роль, что и соотношения (2.4) для конечномерной алгебры ®, расширением которой является ®. Полученная алгебра ® по построению заведомо обладает серией представлений исходной алгебры S (в частности, конечномерных) и поэтому вопрос о непротиворечивости (3.2) — (3.5) снимается автоматически.
В случае вложения главной Зй-подалгебры Ai в произвольную конечномерную простую алгебру Ли @, ее локальная часть (2.8), согласно приведенной выше общей схеме, дополняется элементами 缉一，%° =［缉+,缉一］и 缉+. Образующие локальной части S_i Ф So ® ®i расширенной алгебры @ удовлетворяют соотношениям (3.1), причем 2%/力/ принадлежит центру ®,
где 九 м {九/}——собственный вектор матрицы Картана 后 с нулевым собственным значением: X Е/九/ =0. При этом данная 1</<г + 1
конструкция приводит к одному из возможных вариантов простых алгебр Ли конечного роста.
Отметим, что поскольку в конечномерных (вырожденных) представлениях алгебры ® =£ ф®а каждое подпростран
—оо V а V 8
ство @а не может содержать элементов больше, чем размерность исходной алгебры Ли S в целом, то алгебра ®, построенная указанным способом, по-видимому, всегда имеет конечный рост. Во всяком случае величины (например, операторы представления типа Лакса, см. гл. III), принимающие значения в этих алгебрах ®, могут быть реализованы конечномерными матрицами, что, как известно, достаточно для нахождения солитоноподобных решений соответствующих динамических систем методом обратной задачи рассеяния.
Явная реализация конечномерных простых алгебр Ли для минимального вложения. Как уже отмечалось в п. 1, для всех конечномерных простых алгебр Ли S существует такое выделенное универсальное вложение главной 3^-подалгебры, при котором число возникающих мультиплетов по 5/(2) в точности равно рангу ®, а подалгебра инвариантности @0 абелева:
®о= e㊉"⑴.
Это вложение будем называть минимальным, имея в виду, что число мультиплетов при других способах вложения Л］ в ® всегда больше ранга S. (Имеются и другие названия для него, как-то: главное, максимальное и т. п. в зависимости от тех или иных его характеристик, принятых за основу. Нам представляется предпочтительным термин «минимальное».) Отметим, что спектр значений I углового момента для минимального вложения совпадает с показателями собственных значений exp 2п11,/с преобразования s 三《и ... to? группы Вейля 步⑤，где с ——порядок элемента(о (число Кокстера) .
Здесь мы подробно рассмотрим задачу явной реализации конечномерной простой алгебры Ли, градуировка которой определяется картановским элементом главной 3d-подалгебры Дь По отношению к последней, генерируемой операторами Н =多財瓦 /士 = £ 局72宓土 / (財=2 Z 々尸—высота фундаментальных весов, см. п. 2, § 1.3), элементы ® разбиваются в систему мультиплетов, строение которой можно изучить с учетом очевидного соотношения
[Я,纺士 а] = ±/И (а)宓土 а,где т(а) — порядок а-го корневого вектора, т. е. число простыхкорней (с учетом кратности), из которых данный корень а со-ставлен. Таким образом, всем корням S одного и того же по-рядка отвечает одно и то же число m (базисный индекс), а опре-деленные их линейные комбинации принадлежат различныммультиплетам. Заметим, что индекс максимального (по /) муль-типлета совпадает с порядком максимального корня алгебры.
Для полного восстановления мультиплета достаточно знания хотя бы одного его члена, все остальные можно найти с помощью повышающих и понижающих операторов, построенных из /+ и соответственно.
Оператор Казимира 4 (см. общее определение в § 5) должен принимать на этом элементе значение /(/ + 1), т. е.
卩+"一，嵐]= /(/+1)必 или Z 比间17/7 = / (?+ 1)//?，
'(3.6)
где尸｛三多Н = Fo,，厂曰电.
Таким образом, мультиплетная структура вложения полностью определяется собственными значениями /(/ + 1) матрицы Р, где Pq ^ kikij, входящей в формулу (3.6). (Это, в свою очередь, позволяет выразить показатели группы Вейля непосредственно через матрицу Картана.) Матрица Р, как и матрица 幺 является, вообще говоря, несимметричной, и ее собственные векторы можно нормировать с помощью матрицы 夕 такой, что 9Р = ртд. Матрица 夕 для всех простых алгебр Ли диаго- нальна; s. = ^^х (см. (2.10)), причем для алгебр с симметричной матрицей Картана (力「，Dr, £6 7 8), si = ckr\ где с — произвольная постоянная. Отметим, что среди решений системы (3.6) кратные собственные значения появляются лишь при четных 尸 для алгебр Dr, = 1г —г ——1.
Собственные векторы "俨 матрицы Р удобно нормировать соотношением'
£〃％“ = [/(/+ 1)「2 6“,.
от
Спектр 1
4
m
1 & m & г
^а = « (г — а + 1)
1
/а — 1
第 R 1；方上 = %-1/口% 2 <а<г
Вг
2m — 1
1 & m & г
々а = а (2г — а + 1), 1 & а & г — 1:
3 =广(Г+1)/2
1, 1,…，1,2
^а = Да-1/Пй0> 1<；а<г-1： ^r = V Лг-1/П ЙЙ
Сг
2m — 1
1《/п & г
々а = а (2г — а)
1, L 1, 1/2
/а-1
方上=*一1/ n ^3
Dr
2 他 一 1,
1 w加《尸-1; г — 1
Аа = а (2г — а — 1), 1 W а & 厂 一 2： 左Г一］=走r=r(r- 1)/2
1
/ * г 一 1 (2々尸 ~ / (/ + 1) = г (Г - 1) - / (/ + 1) 7^= 0) /а-1
方2 =口*0， 1аа&Г 一 2;'
Г 一 3
方匕 Лг-з/［2^г + 力］П 々中 a~r — 1, г
/ = г — 1, 厂一нечетно
方广=0, 10aкг一2;帚7 = 一方U: = 1
/ = r一1, г — четно.
Момент (г — 1) двукратно вырожден и второй вектор с / = г — 1 есть
麓" =丘 ％，1《а《г-2;
ь:二:=-4一/口 %；后:Т = 0.
Таблица V. Характеристики минимального вложения
Ее
1,4, 5,7,8,11
16,22,30, 42, 30, 16
1
方I~1々2 行+ 2 （电+財）勿+ 3在彼3
%一1，% —2翅+力咐3，
方J 2'1 +力 仔工+ 2 （々1 +々3）Bz + 3论］々3
"3一 也，%一自左3，
1,5,7, 9, 11, 13,17
34, 49,66, 96,75, 52,27
1
Н~, 1 ^ а ^ 4, определяются соответствующими формулами случая £б;
方，=A1 方2 — % 方Z 一 a6
5 辐‘ 6 走晶，/ k4k5k&
七8
1,7,11,13, 17, 19,23, 29
2 • (46, 68,91, 135, ПО, 84,57,29)
1
碌1《a & 4, определяются соответствующими формулами случая Еб；
现=今，现=备；
/ 々4也5也6々4也5备论7
尸4
1,5,7,11
2-(11,21,15,8)
1/2, 1/2, 1, 1
方七пАсс-1/П电
g2
1,5.
2 • (3, 5)
3, 1
Примечание： Да~главные миноры а-го порядка матрицы 咒三 Р + 力1, где “ 三—/ 0 + 1),1^^ = ба^.
Векторы ортонормированного базиса определяются выражением 呜s^l (/ + 1) Н{[ \ причем имеет место соотношение
拓尸"(佝)二"2 £ /(/ +1)н\н1г
Остальные элементы /-го мультиплета получаются из 尸; применением повышающих и понижающих операторов по формуле
尸院= [(?-加)!/(2 +间!产匹上生上业三阉加(3.7)
Коммутационные соотношения в базисе (3.7) имеют вид
[尸A, Fn] = X a 仏，为，厶)e (厶，ь丄；n)F^ (3.8)
где с(А,阮 厶；"z, n)——коэффициенты Клебша — Гордана группы SU(2)([尸^,尸^] содержится в разложении прямого произведения неприводимых представлений 厶 и /2 группы SU(2)); а (/1, /2, А) — набор структурных постоянных, не зависящих от индексов базисных векторов; суммирование в формуле (3.8) распространяется на весь мультиплетный спектр ®.
Для нахождения явных выражений a (Zi, /2,厶) положим в формуле (3.8) m = 1 и /г = 0, тогда
倒,匍=3 (人 +1)]-1/2 [卩+%]m1 =
= ea(h勾，厶)e仏，а厶1,0)卩+,并]忆(厶+ 1)「吟
откуда
[/1 (/1 + 1)『力仇 + 1) н'^н^ =
=e [厶亿+D产a(厶，瓦厶)e(厶，?2,61, 0)方匕.
Используя соотношение нормировки 〃馬 находим a(h为，u=卜罐卦一门2&+ 1) X
X Z НЖ^8тН^г [c (几 /2,丄；1, 0)£ 麓s“筋『•(3.9)
tnn
Таким образом, формулы (3.8) со структурными функциями (3.9) решают задачу построения коммутационных соотношений конечномерной простой алгебры Ли в базисе (3.7). Величины 必,Кт, Sm и спектр значений / (непосредственно определяемые матрицей Картана соответствующей алгебры), необходимые для конкретных расчетов в базисе (3,7), для всех типов простых алгебр приведены в табл. V. Доказательства справедливости формул, приведенных в таблице, могут быть легко получены по индукций, и мы их здесь не приводим [16, 28, 38, 42, 96].
Конкретные примеры, иллюстрирующие описанные в этом параграфе результаты, приведены в главах III и IV.
48
Супералгебры Ли )
Вводные замечания и общие определения. В определениях теории групп Ли, приведенных в § I. 1, подразумевалось, что функции, реализующие параметрическую зависимость элементов группы, задаются на обычном пространстве (т. е. принимают коммутирующие значения), в соответствии с этим и формулировались определяющие соотношения соответствующей алгебры. Вместе с тем, ничто нам не запрещает поставить аналогичную задачу для групповых параметров, принимающих значения в некоторой алгебре Грассмана (см. п. 3). При этом возникают так называемые формальные супергруппы Ли и супералгебры Ли, получившие в последние годы широкое применение в физике (в частности, суперсимметричный подход в теории элементарных частиц и гравитации) благодаря своей более богатой по сравнению с обычным случаем алгебраической структуре.
Действительно, в супералгебре Ли ®s размерности 乂 + N в дополнение к образующим 尸1 0 а 0 А\ алгебры S (четные элементы ®s) с коммутационными соотношениями (1.2) вводится набор элементов Qa, 1 W a W М (нечетные элементы ®s), удовлетворяющих соотношениям
[尸О, Qa]н或aе6， [Qa, 0]+=e&6尸a,(4.1)
и обобщенным тождествам Якоби
[尸 а Е4] ] + [Qa [FaFb]] + 匹【&尼1 ] - О,
[Fa ад]+] +【仁几]&】+ + [【4尼]&]+ = 0,(4.2)
[4【4心]J + $ 0国1 J + / 匕以]+1 = 0.
Здесь символом [, ]+ обозначен антикоммутатор соответствующих элементов. Из (4.2) вытекают следующие соотношения для структурных постоянных, являющихся четными с^з，壮纟仪 и нечетными 唸 элементами алгебры Грассмана:
^-d^+d^d^^
脸々—day^a 一 ^арЕуа = 0,(4.3)
喰%+%%+唸% = 0.
(Очевидно, что в абелевой супералгебре Ли 虚c = d^j 三 0.)
В соответствии с этим дадим общее определение супер алгебры Ли. Будем называть супералгеброй Ли ^2 градуированную алгебру
О$ =伙㊉⑤[([&, ®е/] с: ®е+е,; е,鼠已能三先/2先三{6 Т})
с правилом умножения ［, ］ элементов 尸 из @3, удовлетворяющим условиям
［尸，尸］=一(一1 严尸，尸］;(4.4)
(一1产［［尸尸］尸"］+ (-1产［［尸尸"］用+ (-1严‘［［尸"尸］尸］=0, (4.5) 尸e翫，尸w 吼，，F"三 亂"；
(ср. с (1.5) и (1.6)); Sgобычная алгебра Ли. При этом скобку ［,］ естественно определить формулой ［F, F］=FF‘ 一 —(—1)ее 尸尸.В дальнейшем для краткости будем писать е 三 &广, если F е ®е.. Поле Ф, над которым рассматриваются алгебры и пространства, считаем алгебраически замкнутым характеристики 0.
Основные понятия теории супералгебр Ли ——такие, как подалгебра, идеал, прямая (полупрямая) сумма, разрешимые, нильпотентные, простые (полупростые) супералгебры ——опреде* ляются в полной аналогии с обычным случаем. Вместе с тем имеются и существенные различия. В частности, для супералгебр Ли отсутствует аналог теоремы Леви — Мальцева. В то же время фактор супералгебры Ли &$ по радикалу 位§ является полупростой супералгеброй Ss/Ss, и в определенном смысле изучение супералгебр Ли сводится к рассмотрению полупростых и разрешимых частей. Далее, полупростая супералгебра Ли уже не есть прямая сумма простых, хотя и допускает описание через них в рамках некоторой схемы.
На супералгебрах Ли можно задать самосогласованную билинейную суперсимметричную форму (,), удовлетворяющую условию
伊，尸)=(一1产5‘(尸，尸)，F s吼，尸's慘『，(4.6)
и обращающуюся в нуль, когда 尸 к 尸‘ не принадлежат одновременно ⑤不 или ®-. Она является инвариантной, если (［尸，尸1,尸〃) = (尸，［尸，方〃］)(ср. с (2.9)). В полной аналогии с приведенным в п. 1, § 1.2 определением вводится понятие {^-) градуированной супералгебры Ли как разложения в прямую сумму конечномерных ^2-градуированных подпространств:
®s= X①固，［醜，脫］U战+b・(4.7)
При этом такая градуировка называется согласованной с ^2- градуировкой, если
®0 = Х®®^ ®T^S®®2a+r(43)
аа
Таким образом, для градуированной супералгебры Ли подпространство (Появляется подалгеброй и соотношение ［®о,⑤^］ и и 靦 индуцирует линейное представление супер алгебры 靦
на пространстве ®а- Определение неприводимости градуированной алгебры Ли и утверждение об инвариантной форме на ней, сформулированное в п. 2, § 1.2 после (2.9), очевидным образом переносятся на градуированную супералгебру Ли.
Конечномерные простые супералгебры Ли. В настоящем разделе мы приведем, следуя [39], классификацию конечномерных простых супералгебр Ли, ограничившись рассмотрением тех из них, которые могут быть получены в рамках алгебраической конструкции, являющейся прямым обобщением канонической градуировки (см. п. 2, § I. 2).
С этой целью рассмотрим градуированную супералгебру Ли ®s ранга 厂您三&$(々))，порожденную подпространством ®5 = =®ti ㊉⑤方㊉ О； в (4.7), образующие h, и 纺土/, 1 W / W 匚 которого удовлетворяют следующей системе соотношений:
[也，乙]=0,回，然jj Н 士同任±/,陷，乳/] = 4也，
0,力柒s,1, ias,0,力柒s,1, ias,(4.9)(4.9)
0,力柒s,
1, ias,
0,力柒s,
1, ias,
(4.9)
(4.9)
где s ——некое подмножество множества целых чисел от 1 до г. При этом данную градуировку можно доопределить таким образом, что
£符=—%т=1 для всех 1 ^ f < г, (4.10) т. е. считать все образующие 兆土i подпространств ®± i нечетными элементами ®s. Матрицу k (&〃 R Ф) будем называть матрицей Картана супералгебры ®s(4) при наложении на нее некоторых дополнительных условий. Очевидно, что при 5 = 0 система (4.9) переходит в определяющие соотношения четного случая (2.8). Подалгебра ⑤^(wg) является подалгеброй Кар- тана ®-； из ®s(k). Центр Cs супералгебры ®s образован элемен- гг
тами X S饱，где £ 財臼=0・ i = 1/ н 1
По тем же соображениям, что и ранее (см. п. 3, § I. 2), диагональные элементы 々万 матрицы 々 можно положить равными 2, если 自了 * 0, и ограничиться рассмотрением нераспадающейся матрицы k.
Необходимым и достаточным условием простоты супер алгебры Ли ®s(k)/Cs является требование на элементы ее матрицы Картана, согласно которому для любых i, / ^ [1, г] существуют такие 必 е fl, г], что
kixfki2ix ...归/ * °*(4.11)
По аналогии со случаем простых алгебр Ли вводится корневая система Rs и корневое разложение
⑤一竹=后㊉e㊉院(4.12)
супералгебры @s. Корневые векторы 纺а подпространства
陇={吼自®s, [Л,缀]=a (Л)纺a,九三®}
строятся по обычным правилам из образующих 纺士『,отвечающих простым корням л/, 1 W / W 厂,
纺土。 =[…[[纺士产土 ％]能±%]…宓士小a = g > °"
При этом Rs = RoURi, где Ro — корневая система 跳(четные корни), a R — система весов представления ®б в ®у (нечетные корни); 8(加)=总, и при выборе (4.10) здесь %三火1, 10，w儿
Указанные выше условия на матрицу Картана приводят в рамках рассматриваемой конструкции к следующим семи типам простых супералгебр Ли, которые, как и ранее, удобно представить в виде схем Дынкина. При этом, в отличие от обычных конечномерных комплексных простых алгебр Ли, эти схемы содержат помимо точек (кружков °) для образующих с индексами 混 s также структуры ® и •, отвечающие индексам iws и kit = 0 или ku = 2 соответственно. В табл. VI даны схемы Дынкина для супералгебр Ли ранга 1 и 2, а также произвольного ранга г с указанием коэффициентов разложения максимального корня по простым корням. При этом ввиду того, что для каждой из приведенных супералгебр Ли подмножество s можно выбрать состоящим из одного элемента, в табл. VI содержатся именно такие простейшие схемы.
Корневые пространства всех перечисленных супералгебр Ли за исключением Л (1, 1) одномерны (dim ®а = 1),(⑤:，稣)=0 при а + р =^ 0, [®а, ®р] =/= 0, только если а, 0 н а + В принадлежат Rs. Кроме того, системы R。и Ri инвариантны относительно группы Вейля /(⑤а). Для того чтобы в дальнейшем к этому не возвращаться, заметим, что для этих супералгебр Ли существует единственный (с точностью до постоянного множителя) вектор в пространстве конечномерного представления, который является собственным для образующих 力/ из $ и аннигилируется всеми корневыми векторами 兆+/, отвечающими простым корням.
Для всех рассмотренных комплексных простых супер алгебр Ли можно перечислить соответствующие вещественные формы.
Алгебры Грассмана. В дальнейшем при исследовании суперсимметричных обобщений нелинейных динамических си" стем нам потребуются величины, задаваемые над конечномер' ным суперпространством, такие, как суперполя, операторы су- чердифференцирования и операторы, принимающие значения в ?упералгебре Ли. При этом точки суперпространства рассматриваемых систем характеризуются значениями координат зц. г_ 2-мерного евклидова пространства и г антикоммутирующими майорановыми спинорами 0±> /, 1 W i W г； вместо компонент 0±д
Таблица VI. Схемы Дынкинадля конечномерных контрагредиентных супералгебр Ли
Ранг /
4
о
s〃")
80#
•
Ранг 2
“2
00
4仇。）
® о
4(*0
®®
坛
0=^*0
8(川)
如->0
8(/,/；
8(0,2)
а=Фю
办也〃0 случаи
S
77711
0 о ，• • • • —“ ®• - • о
切+7
日份，〃丿 тп>0
22222 2
77
вМ
22222
ОО00=>«
77
£S)
П>2
? 22 2 7
« 0 о о<=о
7
卫例创
9/
2 22 m°
п
о7
尸国
2327
~о<=оо
；
SG)
2 4 2
/
“2,7; а)
о/
о 1
7
иногда будет удобно использовать 仇=(J' ) и 田=(—8一宀
Переменные 0а являются образующими конечномерной алгебры Грассмана in (в данном случае и = 2г, а = 士，i) размерности 2rt, удовлетворяющими соотношениям
0аОй + 8也=0,(4.13>
базис в которой обычно выбирается в виде
1; 0а, 1 ^a^n; 0а0&, 1《а V 匕 & 也；・・・；6出2 • • • %• /4.14》
Произвольный элемент 0(0) представим суммой своих четной 0О(0) и нечетной 01(0) частей, 0 = 0О + ®ь
©О (Q) = ф + £ ^ififij + • • • >
@1 (8) = Z Ф1^Х + X ①i”44仇 +
где коэффициенты ф(/... g считаются антисимметричными по всем индексам для однозначности разложения. Очевидно, что такой ряд для 0(0) является конечным, так как в силу (4.13) 8^ = 0. На грассмановой алгебре можно построить дифференциальное и интегральное исчисление, определяя левые и правые производные ^-@(8) и ®(е)^|~, которые достаточно задать на элементах базиса (4.14),
备熊=(—i)J仇％^7=
= £(—1 尸3円••• 0^ •••九，(4.15)
а также дифференциалы dB：, удовлетворяющие соотношениям
d& dBj + d» t/仇=仇 d0y + 曲/仇=0.(4.16)
Здесь 0(z означает отсутствие соответствующего множителя в сумме (4.15). Не останавливаясь на подробностях, приведем лишь некоторые нужные нам формулы:
i (叩')=(悬 ®0 日 ± 0?(W ®),
(配‘)熹П统(@‘备)+ 0。费)®'，(4」0
(Q^J ^?=⑶ R 蚩)-(日 含)@1；
Произвольный элемент алгебры 0$ =跳㊉堡
□「Л о
31 (a, 8)= X 0a纥i+ Z %綴+2a也 (4.19)
(X 曰 Roa w Ri/ == 1
определяет бесконечно малое преобразование супергруппы, дей-
ствующее в пространстве соответствующего представления, причем операторам 宏&, а 三 Ro и hj из @^ сопоставляются четные элементы (〃а) алгебры Грассмана, а операторам 兆仪，awRi,— нечетные (е).
Строение представлений )
В этом параграфе рассматриваются конечномерные алгебры и группы Ли. Многие построения и формулировки, вместе с тем, сохраняются и в бесконечномерном случае.
Терминология. Введем основные понятия и определения теории представлений.
Представлением алгебры Ли ® в линейном пространстве » будем называть гомоморфное отображение 尸一＞ f (戸)алгебры ® в множество линейных операторов в ю. При этом очевидно, что благодаря свойству гомоморфизма,[尸，尸[f 上(尸)，f(尸')], тождество Якоби (1.6) удовлетворяется для /(戸) автоматически. Аналогичным образом определим представление (непрерывной) группы Ли G, gf T(g), g ^ G, в линейном пространстве 劣 как непрерывную функцию 7(g) на G со значениями в группе невырожденных непрерывных линейных преобразований 每，являющуюся решением функционального уравнения
T(gi)T(g2)= T(g®)・(5.1)
Как следствие этого уравнения Т(g-1) = Т~^ (g) и T(gQ)— 1, где 1—тождественное преобразование в 倣 Пространство 例 и его размерность называются пространством и размерностью представления. Представления T(g) и T'(g) эквивалентны, если существует линейный обратимый оператор В (сплетающий),. отображающий пространство представления T(g) на пространство представления 7V (g), такой, что
T'(g) = 5T(g)gT.(5.2)
Очевидно, что размерности эквивалентных представлений совпадают.
Для унитарности представления T(g) необходимо наличие билинейной положительно определенной инвариантной эрмитовой формы. С этой целью введем невырожденное скалярное произведение (fh ,2) в пространстве представления и наложим на него условия:
эрмитовости
优，％)= (%/)*；(5.3)
инвариантности относительно действия T(g)
(T(g)八 T(g)%) =(九 ％)，⑸4)
для всех g и G н 厶，％ 募例；
положительной определенности
(A D>0. (5.5)
Иначе говоря, представление является унитарным, если операторы T(g) унитарны, T+(g)T(g) = l при любом g н3 G относительно соответствующей формы в В. Нетрудно убедиться, что если T(g) является представлением, то и эрмитово сопряженное ему 彳(g)三 Т十(g-i)——также представление, совпадающее с исходным для унитарных.
Указанные условия (5.3)——(5.5) весьма ограничительны, и задача выделения всех унитарных представлений является, вообще говоря, достаточно сложной для произвольных групп Ли. Вместе с тем заметим, что для компактных групп всякое конечномерное представление унитарно относительно соответствующего скалярного произведения.
Пространства представлений групп Ли могут иметь весьма сложную структуру, изучение которой требует введения понятия топологической приводимости представления. Будем называть подпространство 例'пространства 必 представления инвариантным, если все операторы представления T(g) переводят каждый элемент 例'в элемент этого же подпространства, т. е. 7(g)必'и 例'для любого g из G. Тривиальные примеры инвариантных подпространств, естественно, дают нулевое подпространство и все пространство 鳳 В соответствии с этим представление 7(g) называется неприводимым (приводимым), если его пространство не содержит (содержит) нетривиальных подпространств. Можно показать, что в пространстве любого пред- ■ставления содержится не менее одного неприводимого подпространства. Если инвариантное подпространство 務 имеет инвариантное дополнение 毋"，例=缪缶例〃，то T (g) однозначно •определяется представлениями Tf (g) и Т"(g) в 冒'н 毋"соответственно, т. е. сужениями T(g) на эти подпространства. Тогда говорят, что представление T(g) есть прямая сумма「(g) и T"(g), и является вполне приводимым, если оно представимо в виде прямой суммы неприводимых. Заметим, что все унитарные представления вполне приводимы.
Существенно менее жесткой по сравнению с топологической (совпадающей с ней только для унитарных представлений) является операторная неприводимость -представления. Она выражается в требовании кратности тождественному оператору (1) любого перестановочного с представлением T(g), BT(g)= =Т(g)B, линейного ограниченного оператора в 扇，т. е. В = —const-1. Операторная неприводимость конечномерных представлений является одним из следствий очень полезной и упо- требимой в теории представлений леммы Шура. Ее можно сформулировать следующим образом.
Определим линейный оператор В, отображающий пространство конечномерного представления Т (g) в пространство
конечномерного представления 7V (g) :
ВТ (g) ^r(g)B. (5.6)
Тогда, если эти представления эквивалентны, то оператор В определяется с точностью до числового множителя, в противном случае В = 0.
Для решения целого ряда задач теории представлений и конкретных ее приложений в физике полезно перейти от определения представления T(g) группы G как операторных решений функционального уравнения (5.1) к обычным функциям с числовыми значениями. Таковыми являются матричные элементы представления 7(g), а именно функции
D(g) = (T(g)九 ％)， (5.7)
где /\, ,2 — произвольные элементы пространства представления. В частности, выбирая в пространстве представления базис ei, ..., е^、..., получаем Т (g)⑦ = £ 4, (g) е». Это означает, что каждому оператору 7(g) можно поставить в соответствие матрицу d“(g) = (T(g)ej, %), где et ——элементы базиса в 例. (Эта матрица является бесконечномерной для бесконечномерного представления.) Из уравнения (5.1) при этом вытекают соотношения
hi (glg2)= § 3 (gl) th］ (g2)・ (5.8)
Присоединенное представление. Произвольная конечномерная алгебра Ли ® обладает по крайней мере одним конечномерным представлением. Действительно, рассмотрим отображение Fa~^t(Fa)^ Ха алгебры Ли S с коммутационными соотношениями (1.2) в множество NXN матриц Ха, элементами которых являются структурные постоянные алгебры. Тогда благодаря условиям (1.3) и (1.4)
［心乙］=多唸(5.9.)
и, следовательно, это отображение является представлением алгебры S, которое называется присоединенным. При этом соотношения (5.9) совпадают с тождеством Якоби (1.4). В случае, когда S——алгебра Ли связной группы Ли G, такое представление можно всегда продолжить до представления G.
Для построения матричных элементов конечных преобразований присоединенного представления группы Ли G введем пространство, дуальное линейному пространству алгебры ®, ,с образующими X。, причем (X。, Хь) = 6。排 Поскольку Ха — числовые 乂 XN матрицы, то и Ха можно представить матрицами той же размерности, а скалярное произведение (X。，Хь) определить как след произведения этих матриц, т. е. (Ха, Х&)= Sp(XaX&). В этих обозначениях матричные элементы произвольного преобразования с заданным групповым элементом g записываются
в видев виде(a\g]b') = (Xa, g/L) = Sp (XagXbS~l),(a\g]b') = (Xa, g/L) = Sp (XagXbS~l),(5.10)(5.10)
в виде
в виде
(a\g]b') = (Xa, g/L) = Sp (XagXbS~l),
(a\g]b') = (Xa, g/L) = Sp (XagXbS~l),
(5.10)
(5.10)
н, аналогично (5.8), имеем соотношение
〈。I §1^21 匕〉=£ ⑷ g J S S I g2 ® = Sp (xagigM&gJgJ).
Здесь для обозначения элементов базиса в пространстве представления используются символы 《бра》〈о| и 《кет》|6〉 (первая и вторая части английского слова «скобка» ——《bracket》) с базисными индексами {о}, {Ь}\ эти символы были введены Дираком для квантовомеханических векторов состояния, нумеруемых набором {а} и {Ь} собственных значений взаимокомму- тирующих операторов, отвечающих одновременно измеримым наблюдаемым. Бра-вектор определяется как дуальный (или сопряженный) кет-вектору независимо от того, заданы ли они в пространстве конечного или бесконечного числа измерений, и единственно тем условием, что их скалярное произведение〈@|匕〉 дает заданное число. При этом <а | Ь) линейно по |Ь〉и антилинейно по I а〉，〈а I %〉=〈匕]а〉*, т. е.〈а | а〉^ 0; бра-вектор, сопряженный Х\Ь} есть〈力|*十，где X ——некий оператор.
Матричные элементы присоединенного представления группы Ли G играют важную роль во многих разделах теории представлений. Как будет видно из дальнейшего, они связывают между собой инфинитезимальные операторы левых и правых сдвигов на G, через них выражается весовая функция инвариантной меры Хаара на G. Для полупростых групп Ли с их помощью строятся старшие векторы неприводимых представлений, полностью определяющие структуру пространства представления G.
Регулярное представление и операторы Казимира. Рассмотрим группу Ли G как группу сдвигов и соответственно ее представления операторами левых L(g) и правых R(g) сдвигов на пространстве функций, заданных на самой G,
L(g0)f(g) = f (golg), ^ (g0) f(S)= f (ggo)> g，g()wG. (5.11)
Под функцией на группе Ли f(g) понимается функция, зависящая от набора групповых параметров, через которые выражается элемент g из G. Можно показать, что любое неприводимое представление G эквивалентно представлению операторами сдвига в некотором пространстве функций на G. В зависимости от условий, накладываемых на функции из пространства представления, возникают те или иные их типы, конкретизация которых требует введения инвариантной меры на группе G. Реализация G как группы сдвигов приводит к следующему определению лево-и правоинвариантных мер d[i{g):
\ 恥(g) f (g) = \ &M (g) f &圾)，\ dnR (g)f (g) = \ dl (g) f (ggj
(5.12)
дл* всех go из G. Если на группе G есть инвариантная мера d|t(g), то в качестве пространства представления можно, в частности, выбрать пространство функций с интегрируемым квадратом по этой мере, задавая билинейную форму в виде
(%，%) = J dp, (g) f； (g) %(g)・(5」3)
В этом случае говорят, что L(g) и R(g) являются соответственно левыми и правыми ^регулярными представлениями группы G. В соответствии с условиями (5.3)——(5.5) они являются, как нетрудно убедиться, унитарными. Отметим, что для целого ряда групп, в том числе всех компактных, все неприводимые представления содержатся в разложении регулярного. Неприводимые унитарные компоненты регулярного представления называются унитарными представлениями основной серии.
Инфинитезимальные операторы сдвигов на G,尸厶，弋 задаются линейными формами производных по групповым параметрам си в виде.
尸々 = -X*(g)d/d%，尸名=£&八由恥％, gwG, (5.14) bb
где матрицы L, R — невырожденные и являются такими функциями g = g(ai, ...,...), что любой оператор FL переста
новочен с любым Ft Благодаря невырожденности матриц L и R эти операторы связаны между собой соотношениями
尸々=—X 3ab(g)尸々，尸^ = — Е 9試(g) 4,(5.15)
где s w LR-i — матрица присоединенного представления G.
Весовая функция g(g) (лево-) правоинвариантной меры на группе G выражается определителем матрицы (Lab)Rab операторов сдвигов,
HL (g) = det L^ (g), /(g) = detR£hg), (5.16)
и из условия равенства этих мер следует, что
|detLa6| = |det Rab\, | det (/?「％/ = 1.(5.17)
В дальнейшем при построении явных выражений для инфинитезимальных операторов сдвигов на группе Ли в той или иной параметризации ее элементов, мы будем исхоХить из соотношений
Mg = g歹，FLg = 一 歹g,(5.1 安
где в качестве касательных операторов 歹 могут рассматриваться, в частности, числовые матрицы в соответствующем матричном представлении G.
Введем понятие центральных образующих или операторов Казимира К〃 1 0 t 0 г (рассмотревшего впервые задачу их вычисления для полупростых алгебр Ли) как элементов алгебры
59
всех дифференциальных операторов на G, порожденных левыми (правыми) сдвигами на G, и перестановочных с ними, [Ki,尸，]= = О ([Л/, FR] — 0), т. е. инвариантными относительно соответствующих представлений. В силу леммы Шура для неприводимых компонент эти операторы кратны тождественному. В конструкции Гельфанда совокупность операторов Казимира ® отождествляется с алгеброй всех полиномов над ®, инвариантных относительно присоединенного представления. Согласно Ше* валле, это утверждение также может быть продолжено до отождествления с алгеброй всех полиномов над $ из @, инвариантных относительно группы Вейля 取(⑥).При этом задачу их построения можно сформулировать как нахождение решений некоторой системы уравнений на классе функций операторов соответствующего представления ® (например, на языке функциональной группы, см. § I. 1). Для произвольной группы Ли она в явном виде до настоящего времени не решена. В гл. II мы приведем ее решение для полупростого (или редуктивного) случая. Следует отметить, что в большинстве физических приложений теории представлений возникает задача нахождения спектра собственных значений и собственных функций операторов Казимира рассматриваемой при этом группы.
Базис в пространстве представления. Неприводимые представления (не обязательно конечномерные) комплексных полу- простых алгебр Ли ® ранга г удается полностью описать и классифицировать путем наложения требования существования в базисе пространства представления ⑨ элемента ^Lh удовлетворяющего уравнениям
能咫"=0, 喳 3 = 4р, 1</<г, (5.19)
и порождающего преобразованиями из ассоциативной оболочки ® над С все пространство 例.При этом ^厶卜(三]£〉) называется старшим элементом базиса, а набор чисел {LJ, вообще говоря, комплексных, (£(九)，L(/h)m Lj ——старшим весом соответствующего представления. Элемент |L> определяется из (5.19) однозначно (с точностью до нормировки). Очевидно что и все корневые векторы 纺a, tzfR+, алгебры ® аннулируют |L〉，тогда как понижающие операторы 户一，построенные из 宓_&, воспроизводят при действии на него все остальные элементы базиса. Каждый вес {/} подалгебры $ нз ⑥ выражается через старший по формуле
乙=厶一n 也产(5.20)
где п,——неотрицательные целые числа, и кратность его в 例 конечна. Таким образом, старший (вес) элемент базиса полностью определяет (с точностью до эквивалентности) соответствующее представление.
В соответствии с определением (2.19) совокупность всех весов представления с неотрицательными целыми компонентами
старшего веса инвариантна относительно группы Вейля U7(@). Необходимым и достаточным условием конечномерности представления со старшим весом {L} является целочисленность и неотрицательность его компонент L(. Свойство конечномерности гарантирует, что процедура восстановления всего базиса пространства представления путем действия на |L〉корневых векторов 宓_/ с последующим выделением линейно-независимых комбинаций (условно градуирующая базис по кратности вхождения 宓_/, 1 W j W г, в соответствующие понижающие операторы 戶-)обрывается на некотором шаге. Иначе говоря, существует младший элемент базиса 尹"(w|L〉J такой, что
宓 _月"=。，h^L} = -L^\ 1&/&г・ (5.21)
(Очевидно, что в приведенной конструкции в качестве первородного вектора с тем же успехом мог быть взят младший элемент, порождающий весь базис пространства представления.)
Скалярное произведение (fi, f2) различных элементов пространства конечномерного представления fq—Fq \ Л), например, 〈L\%例_j\L〉, легко вычислить в явном виде, используя коммутационные соотношения между образующими алгебры, определение (5.19) и условие нормировки типа〈L|L〉= 1.
Для некоторых типов полупростых алгебр Ли классических серий, например, для компактных форм и(п) и so(n), процедуру выделения линейно-независимых комбинаций 戶一|丄〉удается выполнить в явном виде и получить конкретные формулы, реализующие элементы алгебр Ли в соответствующем базисе (в так называемой схеме весов Гельфанда — Цетлина). Общего метода конструктивного решения этой задачи, который основывался бы, например, на универсальной для всех полупростых алгебр Ли корневой технике, пока не существует.
Фундаментальные представления. Среди неприводимых представлений простых алгебр (групп) Ли ранга г выделенную роль играет набор г так называемых фундаментальных представлений, каждому из которых отвечает старший фундаментальный вес fi(h), 1 ^ f ^ г, обозначаемый {1}上三{。，•••，0, 1,
О, . • •, 0}三{，}. При этом неприводимые представления со старшим весом L(h) строятся из фундаментальных, причем 厶(九)三
В дальнейшем для нас будут важными следующие свойства фундаментальных представлений, справедливые как для конечно-, так и для бесконечномерных простых алгебр Ли.
Старший элемент базиса фунд а ментального представления I {1}»〉= [i〉удовлетворяет условиям
纺/10 = 0,句。= %|» l《j《r; (5.22) 箔_/| i〉= 0 При 4 力 /,
из которых первые два вытекают из (5.21) с учетом равенства fi(hj) = 8if для компонент 厶(九).В справедливости третьего условия легко убедиться из вычисления нормы вектора 宓_『|『〉,а именно:
Второе существенное свойство фундаментальных представлений касается скалярного произведения элементов, получаемых действием понижающих операторов на старший элемент базиса. Все построенные таким образом формы неотрицательны, в частности
а I第+/落+% • • •宓+儿宓-%宓-%т…宓f⑴》о・(5.23)
Для них может быть получено явное выражение, полностью определяемое структурой матрицы Картана соответствующей алгебры Ли. Действительно, из условий (5.22) вытекает, что эта форма (матричный элемент) отлична от нуля лишь при 厶=九=，н R = %(力 1 Ws Wm, где(о —любая перестановка чисел от 1 до т. Обозначим через 5； наименьший элемент из набора {1,加}, при котором 厶,曰厶(“)=力. Пусть /т — набор значений /①⑴,，叭俏),а /^ — поднабор /т, содержащий значения s(S/+l), ..., з(/п) за вычетом 3(5门)，и Тогда с учетом коммутационных соотношений (2.8) по индукции получаем
41纺^U)=
I +/m +Л ―厶⑴~^{mY z
=g (4二%)产 М科…)，(524 J
или, в эквивалентной форме,
"啰+…••箔+/俨f(向…能也(屮〉曰QU，叫= f 前画(1 +%一闻「2点一画/&⑴一з孙(5.242〉 где.
犷{:при zN/”％)){£:
Параметризация элементов групп Ли *)
Элемент g группы Ли G представим в виде экспоненты ее алгебры Ли ®:
g = «ехр ®» = exp £ (а。•凡)，(6.1)
一0
где скобка под знаком экспоненты в (6.1) обозначает скалярное произведение всех векторов подпространства % из (2.1) на соответствующие им групповые параметры в G. При этом элементы Fa из ®а играют в (6.1) роль касательных векторов к кривым exp al - Fa в точке 成=0 соответствующих однопараметрических подгрупп.“-
Следует отметить, что такое экспоненциальное отображение S в G накрывает всю группу отнюдь не всегда. В частности, выражение (6.1) справедливо для произвольного элемента полной линейной группы над С(Ь(п, С)) и компактных связных групп Ли, тогда как, например, для L(nt R) при этом накрывается лишь ее часть.
В дальнейшем, говоря о некотором разложении G, будем называть элементы g из G регулярными, если они допускают соответствующее разложение, и сингулярными в противном случае. Пользуясь формулами типа Кемпбелла ——Хаусдорфа, выражающими экспоненту суммы операторов через экспоненты отдельных слагаемых и их коммутаторов, максимальная кратность которых связана с размерностью соответствующей алгебры, представление (6.1) можно конкретизировать при тех или иных условиях на вид алгебры @. В частности, при наличии у @ некоторой подалгебры ®0 имеем g = gog-, где в соответствии с (6.1) элемент g0 представйм экспонентой алгебры ®о, а экспоненциальная запись g_ содержит все оставшиеся элементы @. Отсюда следует, что для градуированной алгебры Ли ® регулярный групповой элемент допускает форму
g = g+gog- или g = g「g/gl・(6.')
Это представление получается в два этапа. Вначале из @ выделяется идеал, отвечающий подпространству £ ©®а в (2.1), а<0
а затем оставшееся подпространство X ㊉⑤《 разбивается на подалгебру @0 и ^ ф@а. В результате приходим к формуле а>0
которую будем называть модифицированным разложением Гаусса, соответствующим выбранной градуировке. Его также можно переписать в виде
g^g+g-g0 или g = g「g；g〔(6.3)
(естественно, параметры элементов в (6.3) отличаются от групповых параметров g± 0 н g； ° в (6.2)), откуда вытекает полезное для дальнейшего тождество:
(6.4)
Согласно теореме Леви ~ Мальцева (2.6), элемент g произвольной связной группы Ли G представим через элементы gs и 4 своих максимальной полупростой связной и инвариантной
подгрупп Gs и R, соответственно, причем в случае односвязности G разложение
g = 4gs (6.5)
однозначно и справедливо для любого g из G. Для полупростых конечномерных групп Ли, которые, как уже говорилось выше, полностью описаны, имеют место несколько различных разложений (параметризаций их элементов) в соответствии с входящими в них типами подгрупп.
Разложение Гаусса произвольного регулярного элемента g связной полупростой комплексной группы Ли G имеет вид
g = z+az_ или g = £/厶 (6.6) где а принадлежит максимальной абелевой (картановской) подгруппе ^ из G, а 2± ——максимальным односвязным нильпотентным подгруппам Z- группы G, натянутым на положительные (отрицательные) корневые векторы @. Множество сингулярных элементов замкнуто и имеет меньшую размерность, чем G; элементы z± н 〃 из (6.6) являются непрерывными функциями g и их групповые параметры — это произвольные комплексные числа.
Разложение в форме (6.6) справедливо и для естественных вещественных форм G. При этом параметры г± и а — вещественные и связаны определенными условиями, вытекающими из свойств инволютивного автоморфизма, выделяющего соответствующую вещественную форму. Разложение (6.6) сразу может быть сформулировано непосредственно для редуктивной связной комплексной группы Ли, алгебра которой представляет собой комплексную оболочку компактной алгебры. Сами связные компактные полупростые группы Ли Ж не допускают разложения Гаусса, так как не содержат разрешимых подгрупп типа Z+施 и ^Z-. Вместе с тем, для некомпактных полупростых групп Ли G над R разложение (6.6) можно переформулировать для регулярных элементов в виде
g = z+akz_ или g = z：a[z；, (6.7) где ak принадлежит прямому произведению односвязной абелевой подгруппы и 方，а г± ——односвязным нильпотентным подгруппам G.
Инвариантная мера на G в разложении Гаусса записывается в виде
dp- (g) к 如 Q+) d[i (s„) d卩(a). (6.8)
Разложение Ивасава для произвольного элемента связной полупростой комплексной группы Ли G однозначно представимо в виде
g = каг± или g = z£d, (6.9) где к принадлежит максимальной компактной подгруппе Л из G, a a • г± {^^^ — максимальной односвязной разрешимой под-
группе (т. е. а лежит в максимальной абелевой некомпактной подгруппе 垓 в G). Это разложение обобщается на все связные редуктивные комплексные группы Ли и на произвольную вещественную связную группу Ли. Инвариантная мера на G в разложении Ивасава имеет вид
小(g)=小的加(a) dp(2土). (6.10)
Разложение Картана регулярного элемента произвольной полупростой группы Ли в обозначениях (6.9) записывается в виде
g = к • а • к'・ (6.11)
При этом для того, чтобы сделать это представление однозначным, параметры элементов ^,(^) (связанные с так называемым централизатором 9 подгруппы Л в Ж}, перестановочные с о, следует считать включенными в 先(а/). Инвариантная мера на G в разложении Картана имеет вид
d快(g) — d[t (к) dpi (U) dpi (a). (6.12)
При конкретных расчетах в рамках приведенных разложений необходимо знать структуру соответствующих нильпотентных н компактных подгрупп и опять же уметь удобным (для вычислений) образом параметризовать их элементы.
Для полупростых групп Ли G существует универсальная параметризация, позволяющая в явном виде учесть зависимость произвольного элемента G от полного набора параметров, от которых он зависит. Ее эффективность и очевидные преимущества по сравнению с другими определяются выделенными свойствами Е+-упорялочения корней простых алгебр Ли, введенного в п. 5, § I. 2.
Представим произвольный элемент g комплексной простой группы G в виде последовательного произведения элементов своих трехмерных подгрупп
g= П ga，ga^Ga，dim R* = М (6.13>
которые генерируются корневыми векторами 纺専，宓_a и йа == =[密a,衫-a]・ При ЭТОМ
统=exp %①a exp (猊 + 纺一a) ©a exp 瓦K， (6・ 14) и число параметров {①,0,屮} из С, входящих в разложение (6.13), равно 3/V, что, вообще говоря, превышает полное число 2^ + г групповых параметров G. Однако, пользуясь коммутационными соотношениями (2.18), все элементы однопараметрических подгрупп из Ga, связанные с ^, могут быть перенесены в правую часть разложения (6.13), в результате чего получим
6s6sg= u exp 瓦我 exp (圆+ 宓_a) 色 立 exp "屮). (6.15)，
6s
6s
3 А. Н. Лезнов, М. В. Савельев
Считая расположение множителей в (6.15) согласованным с 2+-упорядочением корней и обозначая это символом 口工十， приходим к универсальной параметризации элементов группы. В этой параметризации элемент к произвольной компактной группы 囂 представим в виде
& = exp /Ла exp / (^а + ае^ ^^^- JJ exp ihj ^, (6.16)
О<0а < л, 0^(ра < 2л, 0《屮/ V 4л,
где нормировочные множители (аа) при параметрах введены для удобства последующих расчетов. Используя формулу типа Кемпбелла ——Хаусдорфа применительно к корневым векторам простых алгебр Ли,
ехР 3 ^ЖГ М =еХР 卜“台且三J X
X exp [咼 In cos* 兀卜xp 卜 д/譌 tg%纺J，(6.17)
можно показать непосредственным вычислением, что инвариантная мера 办(&) на £ в параметризации (6.16) имеет вид
2 (аро) _1г
如(К)=П (cos*)砌 Sin 务曲 а%]рУ/, (6.18) а>0/I
,a巨r+
Для подгрупп Ж естественных вещественных форм комплексных простых групп Ли, генерируемых операторами 衫仪一纺一仪, элементы параметризуются выражением
П = IT* exp (統-纺_a) ea(6.19)
a> 0
с инвариантной мерой
a'N (九)=П (sin 0a)' 砌"dQa.(6.20)
a>0
Следует отметить, что разложения типа (6.16) и (6.19) являются естественным обобщением известных параметризаций элементов унитарной и ортогональной групп, соответственно, на случай произвольной компактной формы комплексных простых групп Ли, а параметры 0а, (ра,中/ играют роль обобщенных углов Эйлера. Факторизуемость выражений для инвариантной меры есть первое (но отнюдь не последнее) проявление замечательных свойств универсальной параметризации, о которых уже говорилось выше.
би
Старшие векторы неприводимых представлений полупростых групп Ли )
В этом параграфе будут рассматриваться конечномерные полупростые группы Ли, хотя некоторые результаты и выводы справедливы и в бесконечномерном случае.
Общие определения. Базис рассмотренных в § I. 5 неприводимых представлений полупростых алгебр Ли ® задавался своим старшим (младшим) элементом, из которого остальные элементы базиса получаются применением понижающих (повышающих) операторов, построенных из корневых векторов, с последующим выделением линейно-независимых взаимно ортогональных компонент. В принятых ранее обозначениях матричные элементы конечных преобразований группы G записываются в виде 〈а|7“ (g)|b〉 или (a \g\b}, где групповой элемент g берется в соответствующем представлении, Для дальнейших приложений нам потребуются матричные элементы между старшими базисными бра- и кет-векторами, т. е.
尹} (g) = Q|glD.(7.1)
Матричные элементы между произвольными базисными состояниями строятся из выражения (7.1), реализующего старший вектор неприводимого представления G со старшим весом {£} действием понижающих и повышающих операторов представления, построенных из инфинитезимальных операторов правых и левых сдвигов на G, соответственно. Для краткости будем называть 尹} (g) старшим вектором.
В соответствии с (7.1) и (5.19)
聲约(g) = a I g线 IП = о, XL4" (g)=〈厶 I ^_ag I “ = o, h^ (g)=〈厶 I g% \ L〉= 4諛(g)= — h^ (g)= — (L I %g I",(7・2)
где X£(2 и h^{L} — инфинитезимальные операторы правых (левых) сдвигов на G, отвечающие корневым векторам 纺土仪 и образующим hj картановской подалгебры алгебры Ли S, соответственно. Отметим, что уравнения (7.2) представляют собой независимое определение старшего вектора 自〈'卜(g), задаваемого формулой (7.1). Из системы (7.2) вытекает, что
^(§) = П[|Ш/(^)]£/.. (7.3)
где 3力(g) — старшие векторы фундаментальных представлений со старшим весом (1}/ (1/(比)三8*).
Таким образом, для построения старших векторов неприводимых представлений G достаточно знания их для фундаментальных.
Выражение старших векторов через матрицу присоединенного представления. Старшие векторы неприводимых представлений могут быть представлены в виде алгебраических функций от определенных матричных элементов присоединенного представления三 Sp (吼ag絕g-i), где 纺-а и 衫в — корневые
векторы соответствующей алгебры.
Нетрудно убедиться непосредственным расчетом, что главные миноры Di(a) матрицы присоединенного представления а3.ч^ где 1 W i, / ^ г ($•——3+-упорядоченные фундаментальные старшие корни алгебры S, см. п. 5, § I. 2), отсчитываемые от максимального корня sr( = m), удовлетворяют уравнениям
X，2(a)=。’ X3Q(a) = 0,衅％ (a)=-竹与⑷=»?2 (心
(7・3J где
Sr
呼)= Z a®).(7.4)
a=Sr-l+l
оператора Х^оператора Х^a + s/三 M,a + S/ 若 m+,a + s/三 M,a + S/ 若 m+,Действительно, из определения as.s. и линейности следует, что
оператора Х^
оператора Х^
a + s/三 M,a + S/ 若 m+,
a + s/三 M,a + S/ 若 m+,
X也円=Sp (乳s,g ［线纥"gT) = { "as* E/'
формулы 唯％ $；=宵(Лк) as s . (Соответствующие урав- связанные с действием X* и 九}, доказываются пол- аналогично.) •формулы 唯％ $；=宵(Лк) as s . (Соответствующие урав- связанные с действием X* и 九}, доказываются пол- аналогично.) •ствиемнения, ностьюствиемнения, ностьюи нильпотентный характер этой операции (a + s/>s『 при a + s’•三日+) с очевидностью обеспечивает выполнение первой подсистемы в (7.32). Выражение (7.4) является прямым след-
формулы 唯％ $；=宵(Лк) as s . (Соответствующие урав- связанные с действием X* и 九}, доказываются пол- аналогично.) •
формулы 唯％ $；=宵(Лк) as s . (Соответствующие урав- связанные с действием X* и 九}, доказываются пол- аналогично.) •
ствием
нения, ностью
ствием
нения, ностью
Таким образом, из определения старшего вектора У (g) как решения системы (7.2) следует, что
护(g) = ft【4⑷也护(g) = ft【4⑷也(7.5)(7.5)
护(g) = ft【4⑷也
护(g) = ft【4⑷也
(7.5)
(7.5)
При этом линейная независимость системы фундаментальных старших корней позволяет подобрать степени ц； главных миноров D/(a) таким образом, чтобы получить старшие векторы произвольного неприводимого представления G со старшим весом {L} из условия £ 出九「= L「
Формальное выражение для старших векторов фундаментальных представлений. Существует другой, более непосредственный по сравнению с приведенным в п. 2, способ явного нахождения замкнутых выражений для старших векторов фундаментальных представлений, формально применимый и для бесконечномерных простых алгебр Ли. С этой целью введем в рас-
смотрение «генераторы старших векторов》R声 фундаментальных представлений простой алгебры Ли, подчинив их следующей системе коммутационных соотношений:
［＞+，，/?；］ = О,［宓_,/?；］ = о,也，R：］ = ±4/；, (7.6)
и условию ортонормированности
(/?( , R扌)=6仃. (7.7)
Тогда нетрудно убедиться путем прямой проверки с использованием соотношений (2.8) для образующих 儿・ и 纺土/, 1 W i W 厂, из S и (7.6), что билинейная форма(R「，gRjg-‘) с gw G удовлетворяет уравнениям (7.2), определяющим с учетом (5.22) старший вектор (g) фундаментального представления, т. е.
叫/(g) = Sp(R 厂 g&g7). (7.8)
Последнее выражение наиболее удобно для практического применения, если элемент g представйм в виде разложения Гаусса (6.6), в рамках которого для 自“〃 (g) имеем эквивалентные формы записи:
自⑴/ (g) = Sp (z；R汴产_R；宀т)=
n Sp (之:7R［之］?"之:火：之；1一6)=Sp(RJe/R：e-") = e\ (7.9) где e” = Q, eH，= H = £ 弋也, ”'=乡守力/・ Это выражение может быть расписано в виде ряда £ по скалярным произведениям векторов
которые вычисляются с использованием тождеств Якоби и соотношений (2.8) и (7.7). Этот ряд является (конечным) бесконечным для (конечно-) бесконечномерных простых алгебр Ли. Подчеркнем, что поскольку для бесконечномерных алгебр Ли понятие группового элемента, вообще говоря/ теряет смысл в привычном понимании, то выражения (7.8) и (7.9) являются сугубо формальными. Исследование вопроса об абсолютной сходимости представления (7.9) в виде ряда будет рассмотрено в дальнейшем для интересующих нас случаев.
Рекуррентные соотношения для старших векторов фундаментальных представлений. Старшие векторы фундаментальных представлений связаны между собой рекуррентными соотношениями, позволяющими последовательно выразить их все через старший вектор 《первого》， который связан с простым корнем, соответствующим левому концу схемы Дынкина, скажем с т*
ссэтой целью рассмотрим определительэтой целью рассмотрим определитель2-го порядка матрицы2-го порядка матрицы
с
с
этой целью рассмотрим определитель
этой целью рассмотрим определитель
2-го порядка матрицы
2-го порядка матрицы
〈i I缙河丨0〈"獨g缙_//〉＞〈i I缙河丨0〈"獨g缙_//〉＞(7.10)(7.10)* xL^i I , <(.lglz>
〈i I缙河丨0
〈"獨g缙_//〉＞
〈i I缙河丨0
〈"獨g缙_//〉＞
(7.10)
(7.10)
x3自 ⑴，x"旣缙-川〉
который обозначим А/. Тогда из его определения с учетом соотношений (2.8) и (5.22) и перестановочности инфинигезималь- ных операторов левых и правых сдвигов имеем
Х^ 自 — x『a = 0,力結£=-无?与=(2"了 一也/ ДР 1 &厶/ & г
(напомним, что ku 三 2), откуда &="口［卅收)］
С учетом очевидного равенства 3”"(1) =〈/|1 |"曰 1, где 1 —единичный элемент группы, легко показать, сравнивая обе части последней формулы, что множитель пропорциональности с в ней равен единице. Таким образом, приходим к выражению
& ^= det& ^= det"" (g)朽卅(Qx3/(g)中3广""" (g)朽卅(Qx3/(g)中3广"= H"g『"= H"g『"(7.11)(7.11)
& ^= det
& ^= det
"" (g)朽卅(Qx3/(g)中3广"
"" (g)朽卅(Qx3/(g)中3广"
= H"g『"
= H"g『"
(7.11)
(7.11)
которое представляет собой искомые рекуррентные соотношения.
5* Старшие векторы неприводимых представлений в обобщенных углах Эйлера. Приведенные в предыдущих пунктах этого параграфа выражения для старших векторов справедливы для любого разложения элемента группы. Вместе с тем именно в рамках универсальной параметризации (см. § 1.6) для них удается получить факторизованные по групповым параметрам формулы.
Рассмотрим случай компактных групп Ли Ж и параметризуем их элементы в виде (6.16). Тогда в разложении Гаусса к = z^• а ■ г+ комплексной оболочки группы Ж элемент а максимальной абелевой подгруппы «факторизуется» в параметрах фа, 0а> W； и имеет вид
а = JJ ехр 卜諡几—2〃n cos 号］｝ 口 exp(叫号)• (7-12) а>01
Доказательство данного утверждения непосредственно вытекает из приведенного в п. 5, § 1.2 свойства ^^-упорядочения и формулы (6.17). Параметризуя матрицу присоединенного представления 4zap — Sp (^-ак^д№1) с помощью такого разложения для к и учитывая нильпотентность z± и свойства системы старших корней, находим
Q⑷=U exp血)嶋丹(cos更M立exp (*学).
a>0/-1
(7.13)
Окончательное выражение для старшего вектора неприводимого представления компактной группы Ли £ со старшим весом {L}, получаемое подстановкой (7.13) в (7.5), имеет вид 卅(К) = П ехр [С 黑)屮а] (cos £)3 j exp (% 与).(7.14) а>0j = l
Аналогичным образом приходим к формуле для подгруппы X естественной вещественной формы компактной простой группы Ли в параметризации (6.19):
自⑷仇)=II (Sin%)砌.(7.15)
a>0
Таким образом, универсальная параметризация, основанная на ^^-упорядочении корней простых алгебр Ли, приводит к факторизованным в обобщенных углах Эйлера выражениям для старших векторов неприводимых представлений, что позволяет значительно упростить вычисление целого ряда важных величин теории представлений. ,
Для иллюстрации получим формулу для размерности Nl неприводимого представления L произвольной компактной группы, которая обратно пропорциональна нормировочной постоянной его старшего вектора:
= d|x(K)国"(к)『],,dN(K)= l.
Поэтому, нормируя инвариантную меру (6.18) на единицу, используя (7.14) и проводя элементарное интегрирование, немедленно приходим к известной формуле Вейля:
"=П a>d
(Ct, 2厶十 po)
QU~
(7.16)
ГЛАВА II
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ПОЛУПРОСТЫХ
ГРУПП ЛИ И ИХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ФОРМ
Все алгебры и группы Ли, рассматриваемые в этой главе, являются конечномерными; в раде случаев, специально не оговариваясь, речь будет идти о редуктивных группах Ли, факторгруппа которых по центру полупроста.
1. Инфинитезимальные операторы сдвигов
на полупростых группах Ли [50]
. Общие выражения для инфинитезимальных операторов. При преобразованиях левых и правых сдвигов на группе Ли G множество групповых параметров преобразуется согласно определению (1.5.11) следующим образом:
gL=g「g，gR = ggs(1-0
или, в инфинитезимальной форме
%g・gT = - £ 喏歹^-'6^= Е ^а^-(L2)
Выражение (1.2) символически можно представить в виде gg-i =—歹，g-ig = 9" (ср. с (I. 5.18)). Здесь g — элемент группы G в произвольном представлении, ^а — генератор бесконечно малого касательного преобразования с параметром ш^ де.
Параметризуя элемент g набором ад, 1 W о W М с помощью уравнений (1.2) можно вычислить значения производных &。三 = daa/d& по бесконечно малому сдвигу бе в «направлении» 呜 R и представить инфинитезимальные операторы сдвигов на G (в дальнейшем, для краткости, просто генераторы) в виде (см. (1.5.14))
产=У daa(公)& 一,尸口 = У %(№)°.
deдаа (①£) '2 d£Octa (①欠)*
Генераторы, отвечающие касательной матрице 歹а в (1.2), получаются из общего выражения (1.3) при 吟 l = 6曲 \ &b &N*
т. е.
где 厶 r&£)являются решениями системы (1.2) при 喝，欠=6«办
Согласно определению (1.3) и уравнениям (1.2) генераторы левых и правых сдвигов коммутативны и связаны между собой, как уже отмечалось в п. 3, § I. 5, матрицей присоединенного представления, т. е. §Lgg-' 曰 g(g-%Rg)g7 и, следовательно,
此=一 £(歹a, g歹"gT)F§・ (1.5) b
Элементы с верхними индексами (歹力)принадлежат пространству, дуальному алгебре ® группы G, а билинейная форма (,) выбирается согласованной с нормировкой
紡(1.6)
Все приведенные выше соотношения справедливы для групп Ли общего положения. Использование конкретных разложений полупростых групп Ли G в виде разлол^ения Гаусса, Ивасава и Картана (см. § I. 6) позволяет получить явные выражения для генераторов сдвига в соответствующей параметризации групповых элементов. При этом процедура расчетов и структура окончательных выражений носит в известном смысле рекуррентный характер. Генераторы сдвигов на G записываются через генераторы сдвигов и матрицу присоединенного представления на подгруппах G, содержащихся в соответствующем ее разложении (т. е. максимальных нильпотентных, компактной и абелевой подгруппах G). Техника расчетов является совершенно одинаковой для всех этих параметризаций. Поэтому мы проиллюстрируем ее на примере разложения Ивасава (1.6.9), тогда как для остальных приведем лишь окончательные выражения. Все вычисления для определенности проведем для генераторов левых сдвигов; правые находятся аналогично.
В разложении Ивасава (g = ксхр(%(т))2+, к^Х. 之+wZ牟， схр 九(т)三莞，т ——вещественные групповые параметры 舒)левая часть формулы (1.2) переписывается в виде
一歹=gg~l 2=获7 + 8力(T) Aг‘+kexp (力(T))2十2二 exp (一九"))%一) или, эквивалентно,
—к"1^№ к-1 • /с + Л(г) + ехр 伍(т)) г^г+^хр (—Л (г)). (1.7) При этом генератор левого сдвига на G, отвечающий касательному преобразованию 歹，определяется формулой
丹=X("%, %)歷+£ (Л ⑺，川)誥 + 2 G+z= Z") z£, (1.8) a / / a
здесь Y(Z忆)一генераторы правых (левых) сдвигов на J^(Z^)f a J^a(Za) — соответствующие им касательные операторы в дуальном пространстве. Таким образом, задача заключается в нахождении коэффициентов разложения к~хк, h (т) и 之+之工' по образующим соответствующих алгебр. Ясно, что генераторы ZL действуют как дифференциальные операторы на параметры элементов 之+, тогда как 代一на параметры из к.
Рассмотрим случай комплексных полупростых групп Ли и их естественных вещественных форм. Величины 长一‘长， h(x) и 之+之工| согласно (1.2) разлагаются по элементам корневых пространств алгебр к, $ н соответственно:
g 3a齡 + 3一讚-a) + Z 8也，
К'(1-9)
力出=Z t也，2+耳1 = - g %线，
где суммирование по а распространяется на все положительные корни алгебры Ли ® группы G ранга г* При этом поскольку максимальная компактная подалгебра комплексной полупростой алгебры Ли образована элементами 衫口一第一仪，2(然 + 密—a) и i"j, а ее естественной формы ——элементами (纺口 —— 密_口)，то параметры w±a, co； в (1.9) в этих случаях подчинены условиям
①—a =_冤，3/三例，9；=中，(1-Ю1)
%=吗尸一①一m 7 = 0(1.1仇)
соответственно. Подставляя разложения (1.9) в формулу (1.7), с учетом соотношения exp/i(T)^*a ехр(—йт)= ехр а(г)^а получаем
-кУк = Е 3严a + %終 a) +多(3 + 叫)％ —
-S ехр(а(т))еа^а. (1.11) a>0
Дуальное пространство для полупростых алгебр Ли натянуто на образующие 纺±“ и 帆 которые в соответствии с нормировкой (1.6):
(寐，終) = 6a+B，0,(歛%)=w，徐) = 0,(九‘，%) = 6订,(1-12) связаны с корневыми векторами 宓土専 и образующими 力『из 0 соотношениями
绥士。=%"。，川=多(叫訓(1/3)
(см. (1.2.10), (1.2.11)). Числа 少& определяются с точностью до постоянного общего множителя и могут быть выбраны, например, в виде %=(% a)-1, при этом они выполняют свое пред-
74
назначение симметризовать матрицу Картана с а = л,, 1W，W「, в соответствии с выражением (1.2.17).
Система (1.11) с учетом соотношений (1.12) дает возможность найти интересующие нас значения коэффициентов разложения (1.9) через элементы матрицы присоединенного представления максимальной компактной подгруппы У£ группы G:
s_a = -(衫。, 8~бk),久 一 exp (a ⑴)% =-(纺「★7夕8)，
(1.14)
Т/ +，年/ =(九(长一‘5rк).
Используя условия (1.10) и подставляя решения (1.14) в (1.9), приходим в соответствии с формулой (1.8) к следующим окончательным выражениям для генераторов левых сдвигов:
на комплексной полупростой группе
cFf = e (纺「*一夕7)剧 一 2 (缙а, УьК)xз 一 а>0а>0
一 2 eхр(- а⑴)(绪"Л 仁1 (歹+等十)k) Z上- а>0
-1e(w K-1 (歹 + ^) K)^+^i^ (川，rT (夕一夕') К) ^.
(1.15) и на ее естественной вещественной форме
解夕=2 (家，КТ歹行)(碱-灸。) — £ (序，К一歹月)言一 а>0//
-£ (^а + ^~а, K~l^K)exp (- а (т)) Z«.(1.16)
а>0
отвечающих касательному преобразованию 夕.Здесь 逍а и Xf — комбинации генераторов правых сдвигов на,£, отвечающие корневым векторам 衫土仪 и образующим % из 5; Z；三 х£.
В разложении Гаусса (1.6.7) (g = z_exp(/z(f))之+, z土三 Z土， exp 九(/)w 非' / ——групповые параметры 施，вообще говоря, комплексные) ,в полной аналогии с приведенной выше схемой приходим к выражению для генераторов левых сдвигов на комплексной полупростой группе Ли и на ее естественной вещественной форме:
с. nFg=- £ (家,z二夕2—)x3— Zexp(-a(?))X a>0a>0
乂 (究一a, z二夕z-)x±- e(w,Z二Ig2.)0/沁，(1.171)
где X，(X£) —операторы правых (левых) сдвигов на нильпотентной подгруппе Z~(2+), отвечающие отрицательным (поло-
жительным) корням @. Параметры этих подгрупп вещественны, равно как и t. /* 曰七了 для вещественных форм.
Как уже отмечалось в § I. 6 разложения Ивасава и Гаусса применимы в буквальном смысле слова к комплексным полу- простым группам Ли и их естественным вещественным формам. Действительно, при рассмотрении компактной формы разложение Ивасава переходит в тождество (максимальная компактная подгруппа в этом случае совпадает со всей группой), а в разложении Гаусса элементы г± лежат в комплексной оболочке соответствующей компактной группы и связаны соотношением 之:=之二 1. Разложение Картана (I. 6.11) является более универсальным. Для него g =及1 ехр (用(七))冗2, где к】，к? принадлежат максимальной компактной подгруппе 勿 группы G, а ехр(Л(т))—— максимальной абелевой некомпактной подгруппе группы G.
Соотношение тапа (1.7) в параметризации Картана имеет вид
—кГ^К) = к? ^1 + Л (т) + ехр (九(т)) как^ехр (―力(т)). (1.18)
В случае комплексных полупростых групп Ли вычисления наиболее просты, максимальная компактная подгруппа совпадает с соответствующей компактной формой, централизатор является абелевым U(1)8U(1)® ... &〃(1) и соответствующие ему параметры фр\ 吟 из 勺 и 犬2 можно считать включенными в h^.t^^'X^ i^p 中/三屮,)+ 中了 Тогда с учетом условий типа
К「工 1 =2о (%纥-з證一а) + j 多 ^h^ h (т) =多 W exp h (т) №кГ1ехр(— h (t)) =(1.19)
=-£ & exp (« ⑴)纺& - 8； exp (- a (t))宓 + i £ 吟％ a>0/』J
и, следовательно,
-叮夕也=g (%然一%卷…) + w①+例)勺一
—go (力 exp (а (т))宓a - 9： exp (- a ⑺)纺_J, откуда
8a = }sh%7r)(宓「«Г1 [exp (—а (т)) ^ + exp (a ⑴)夕十]К1),
%=.2 shL B (卷一"'疝'(歹 + 歹’)也)'"*"
Т/ +廂=-(",8 J歹修).
Подставляя решения (1.20) в (1.19), получаем следующее окончательное выражение для генераторов левых сдвигов на комп-
лексной полупростой группе:
С况=2 2sh；（T）（宓' 行"exp （-a ⑴歹+ехр （а ⑼歹十]kJ X”
-2 為而Г （笏"，к"^ + 歹'）也）xз -
一%2（"，疝1（歹+夕‘）№）£+^2（歩，к」（歹一歹干）<^-,
где Х^（х£）— комбинации генераторов правых （левых） сдвигов на X, отвечающие корневым векторам 纺仪・ Следует отметить, что все а（т） отличны от нуля, так как в противном случае существовал бы перестановочный с 6 корневой вектор 衫《, что невозможно. В соответствии с разбиением элементов алгебры S на компактные F и некомпактные Ф （см. п. 6, § I. 2）, касательные операторы 夕 разделяются на таковые же и связаны с корневыми векторами 宓土仪 и образующими hj из £ соотношениями
% =l纥一（-尸卷-а，歹尸％
22）
丸=广线+（一讨纥a，吗=々；g=1,2.-
Поэтому генераторы левых сдвигов на G, связанные с компактными касательными операторами 歹а/ тождественно совпадают с генераторами левых сдвигов на J^ и формула （1.21） для них выражает собой связь генераторов левых и правых сдвигов на 削 типа （1.5）,
-К‘= Е（у", кТ歹к）к£,
где в качестве полной системы использованы элементы У^ 三 曰{^а,纺-а；川}, |i = 土 а, j, т. е.
— к' = £（歩，у夕к）/г『+ £ [（家，/тУк）хЗ + /а>0
+ （矿％ /Г夕К）ХЗ].
Заметим, что если рассматривать действие этого соотношения на старший вектор в пространстве представления с весом {£} группы £ по отношению к правым сдвигам, то оно примет вид
-к£ == £ （歩，公夕卜）Lj+ ^ О* X，.（1.23）
/а>0
В случае естественных вещественных форм касательное пространство компактной подгруппы натянуто на корневые векторы 箔а ——宓_а, параметры &['hi и ткг 1 удовлетворяют условиям
77
(1.102) и поэтому
n』(箔一"，[exp (-a ⑼歹+exp (a (T)) LJ k J 腔一 一E 帚而3「kJ (歹+歹‘) QxJ2(W К1ь⑴計.
(1.24)
В общем случае систему (1.18) следует решать с учетом свойств инволютивного автоморфизма о соответствующей вещественной формы (L2.20), которые в случае компактных касательных преобразований записываются в виде 歹=о(夕),а для некомпактных ——в виде Ф =——а(Ф). Под действием инволютивного автоморфизма картановская подалгебра соответствующей компактной алгебры разбивается на две совокупности: ihj — образующие компактной картановской подалгебры и Л§ — некомпактной. Полная система некомпактных элементов получается в результате коммутации образующих hs с элементами максимальной компактной подалгебры данной вещественной формы. В свою очередь, инфинитезимальное преобразование максимальной, компактной подгруппы разлагается по системе корней компактной группы, из которой получается данная форма. Принимая во внимание эти свойства, а также наличие трех типов корней (I. 2.26), (I. 2.27) и (I. 2.28) для касательного преобразования максимальной компактной подгруппы Ж произвольной вещественной формы G получаем
КГ'К1=/Е Ф/勺 + £ 回(跣 +。(宏a)) — ％ (能—a +。(吼a))] + 00
+ §[% 宓V —叫宓(1.25)
.-10
и аналогичное выражение для к2M2 с заменой Qa, со*, ©『на 0а> о，
0V, ф) Здесь правая сумма распространяется на образующие картановской подалгебры максимальной компактной подгруппы G, вторая ——на все различные одно- и двукратные корни, причем последние учитываются единожды. Третья сумма берется по инвариантным относительно инволютивного автоморфизма корням, отвечающим подалгебре инвариантности алгебры Ли соот- о
ветствующей вещественной формы G. Параметры 0V и <р； связаны с централизатором и могут быть включены в набор параметров со* и фр Элемент h (t) разлагается по элементам Лэ максимальной некомпактной картановской подалгебры.
Решение системы (1.18) с учетом разложения (1.25) имеет вид
% =—侬г，斤‘歹％), ф/ = I (h!, к”歹片}
% = —(As, кГ1^к) 0а = 5s}i%)'(宪「к J (歹—<y (歹))К1),
(1.26)
®a== - 3否品[exp(а (0(宪一"，Кг,h (夕)也)-
—exp(—a(t))(纺/ 疝夕kJ],
откуда для генераторов левых сдвигов получаем
rFc = - ? (优k/歹К) ^^ + 2 (川,K1 讶kJ ftf -
-2 (缙 7, K「夕 kJ X6- X 34*力(纺 f，kr (A一。(歹))Q)X
V至Ja三0
X^a- У "exp.(a(t))(纺F, К% (歹)G)_
—exp (— ct (t))(纺 a, Ki '夕Ki)] X^・(1.27)
Здесь сумма no a распространяется на все различные однократные (6a = 1/2) и двукратные (6а = 1) корни вещественной формы, сумма по V — на все корни подалгебры инвариантности. Операторы Ха ——это генераторы правых сдвигов на компактной подгруппе, возникающие при сужении алгебры вещественной формы на максимальную компактную, Ха генераторы левых сдвигов, связанные с параметрами из 长2・
Таким образом, генераторы вещественной формы комплексной полупростой группы Ли получаются из генераторов последней сужением максимальной компактной подгруппы комплексной группы на максимальную компактную подгруппу соответствующей вещественной формы.
Генераторы правых сдвигов на G выражаются формулами, аналогичными приведенным выше с очевидной заменой 勺 на к? и Х& на Х4
В заключение приведем выражение для инфинитезимальных операторов левых сдвигов на некомпактной вещественной форме rG комплексной полупростой или редуктивной группы Ли <?G с алгеброй Ли S, снабженной градуировкой
⑤=(名㊉限)㊉⑤。㊉
Предварительно обозначим через a, a0, aj, a и a положительные корни, отвечающие соответственно подпространствам ®о, ®о,靦，Z ф ®+а и ®р а наборы корней a, ao, а и a — через
凡，№，R+ и R] Элементы ®0, т. e. совокупность картановских элементов /% 1 & / & 广，и корневых векторов 彩土& обозначим через宓財
Аналогично (1.12) элементы 彩 * и 彩 ° образуют базис дуальных подпространств @±а, а ? 1 н @°, который можно нормировать соотношениями
(彩頂纺一3=6邱，(死勺)=6"，(纺\纺一6)= 6確и г д*
В соответствии с (I. 6.2) модифицированное разложение Гаусса для произвольного регулярного элемента g группы rG представимо в виде g = 2_go£+, где go 三 Go, £土 генерируются элементами 彩土a； Go — подгруппа rG, генерируемая элементами 缘,. Тогда генераторы левых сдвигов на rG, отвечающие касательному преобразованию 歹 из @, даются формулой
Л = e (蔘,笺夕2.)Z^ + ё岁,汇夕2一)聲,+
+ £ (蔘,g/_eg「)(X3 2m_)z：, (1.172)
где Z^a (Za) — генераторы правых (левых) сдвигов, связанные с корневыми векторами 纺“(纺 j F^o — генераторы правых сдвигов на Go, отвечающие элементам 缘°.
Асимптотическая область. Построенные в предыдущем пункте инфинитезимальные операторы левых (правых) сдвигов на комплексных полупростых группах Ли и их вещественных формах позволяют, в принципе, решить задачу нахождения матричных элементов неприводимых представлений соответствующих групп, выделить унитарные компоненты и вычислить основные характерные величины теории. С этой целью из генераторов следует построить систему взаимокоммутирующих операторов Казимира (см. п. 3, § I. 5) и найти их общие собственные функции, выделяя таким образом операторно-неприводимые представления, задаваемые собственными значениями операторов Казимира.
Вместе с тем уже в самих генераторах (1.21) и (1.27) заложена вся необходимая информация о весовой структуре соответствующих представлений группы, для извлечения которой осуществим в этих выражениях предельный переход к асимптотическим значениям некомпактных параметров {%}, а(т)-> «э
(т. е. в так называемой положительной камере Вейля с а(т) > 0), 一 e喪=-2 (宓К一歹7) £+2 (缪\ КрК)魯 +
а>0а>0.
+ % 2 W, Кт(歹十歹十)К)备十% 2 (W Кт(歹-分十)К)殆，
(1.28)
-R洗=£ M (箔-а, К% ⑺ К)£ 十 £ М (缪*，Q夕к) Yu 十 а>0а>0
+ Z (hs, к-{^^ 詮 + 2 (歩，К一夕左)状 +
+ £ (^-v, к^Тк^Х^ (1.29)
К三及1， 力『鼻一/Й/^ф.
Из непосредственного сопоставления формул (1.21), (1.27) и (1.28), (1.29) видно, что весьма сложная аналитическая зависимость первых от групповых параметров кь к2 и {т} значительно упрощается в асимптотической области. А именно зависимость генераторов от некомпактных параметров содержится лишь в виде тривиальных производных d/dxSt а от параметров к2 (勺 в случае правых сдвигов)——отсутствует вовсе. Это обстоятельство легло в основу асимптотического метода построения представлений полупростых групп Ли, основанного на их асимптотических свойствах, суть которого заключается в описанном выше предельном переходе..
В этой связи представляется полезным упомянуть об интересной аналогии между данным методом и потенциальной теорией рассеяния. Хорошо известно (см., например, [3]), что вся необходимая информация динамического характера потенциальной теории заложена в S-матрице, которая является отношением функций Иоста ——предэкспоненциальных множителей в асимптотическом выражении для шредингеровской волновой функции. Реджевское поведение амплитуды потенциального рассеяния является следствием степенной (экспоненциальной) асимптотики функций Лежандра (матричных элементов некомпактной группы SU(1, 1)) по энергии. В теории представлений некомпактных полупростых групп Ли имеет место аналогичная ситуация, причем роль функций Иоста играют коэффициенты при главных членах асимптотического разложения матричного элемента соответствующего представления, имеющих экспоненциальный характер в области бесконечно больших значений некомпактных параметров. (Более подробно, см. § II. 3, § II.4.)
Операторы А/От§, 1《§《/>, и операторы правых сдвигов X?, X，，образующие подгруппу инвариантности 夕(централизатор 解 в X) ранга /■夕 группы G, с очевидностью коммута-
тивны со всеми генераторами левых сдвигов (1.28) или (1.29) «предельного» представления. Поэтому в качестве параметров, определяющих построенное представление алгебры с элементами (1.28) или (1.29) удобно выбрать собственные значения р§ операторов d/dxs и веса {/} неприводимых представлений подгруппы 歹，количество которых в точности равно рангу рассматриваемой группы G,「三 N+г夕.Через эти параметры {р, /} выражаются собственные значения операторов Казимира рассматриваемых групп, построенные из генераторов сдвига на них (см. § II. 2). Таким образом, представление алгебры, задаваемой генераторами (1.28) или (1.29), может быть реализовано на пространстве функций
ф (t, к)三 exp ( Z %ps)①"} (к),(1.30)
где набор целочисленных параметров {/} фиксирует неприводимое представление группы 夕
Отметим, что на языке функциональной группы (см. § I. 1, п. 2) предельный переход, в результате которого генераторы сдвигов приобретают максимально удобный для построения неприводимых представлений групп* Лк вид, связан с некоторым каноническим преобразованием в фазовом пространстве. В новых переменных неприводимым представлениям сопоставляются движения в фазовом пространстве по специальным поверхностям, фиксированным значениями набора канонических импульсов, сопряженных циклическим переменным (например, для комплексных групп ими являются параметры (р『и т/, а соответствующими импульсами — операторы «•三 汕沦Р『，р/ 曰 д/дх, в (1.28)).'
В качестве функций 中用(&) в (1.30) удобно выбрать векторы, удовлетворяющие условиям
Х$(р⑴(к) = 0, ^(p(;)W = v(/)(p<z)(k),(1.31)
т. е.《старшие» относительно правых сдвигов подгруппы 俨. Действие генераторов (1.29) на базисные функции (1.31) реализуется в виде
+ X M (箔「K~。⑺ K)x3+ Z 6a (欽，У 夕K)X，.( 1.32) a>0a>0
Последнее выражение может быть переписано следующим образом:
一卞=(р &) + /(», К-夕К)+ X М (欢，К-夕К)Х?а, (1-33) а>0
где б* = 1 для нуль- и двукратных корней, 6а = 1/2 —для однократных. При переходе от (1.32) к формуле (1.33) дополнительно учтено, что о(^-а) является корневым вектором, отве-
чающим положительному корню рассматриваемой алгебры ® (см. § 1.2, п. 6), причем суммирование в (1.33)идет по всем положительным корням ®. Это выражение справедливо также и для комплексных полупростых групп Ли, все корни которых
двукратны, а подгруппа инвариантности^ = Ц®/7(1), г抵曰勺
Генераторы предельного представления (1.33) теснейшим образом связаны с инфинитезимальными операторами левых сдвигов на компактной вещественной форме. Действительно, из сравнения (1.23) с выражением (1.33) в случае комплексной полупростой группы Ли (6а = 1, Р ①)+ 2 (/г) = g % (р, + 川)видно, что генераторы предельного представления получаются из (1.23) заменой старших весов L (九)неприводимых представлений компактной группы (L； — целые числа) на веса p(/i)+ /(ft), компоненты которых — произвольные комплексные числа. Генераторы вещественных (] орм получаются последующим сужением на максимальную компактную подгруппу соответствующей вещественной формы. Отмеченная взаимосвязь генераторов предельного представления с выражением (1.23) для генераторов сдвигов на компактной подгруппе окажется существенной при интегрировании представления полупростой алгебры с элементами (1.33) до операторно-неприводимых представлений соответствующей группы (см. § II.4).
В заключение отметим, что до тех пор, пока представления не конкретизированы, т. е. от них не требуется унитарности, псевдоунитарности и т. д., параметры {р} являются произвольными комплексными числами. Наложение соответствующих условий ) (см. (I. 5.3)——(I. 5.5)) приводит к ограничениям на вещественные и мнимые части этих параметров. Требование интегрируемости с квадратом для функций, заданных на максимальной компактной подгруппе Ж из G, из пространства (регулярного) представления операторами сдвига на G, приводит к однозначности этого представления при условии целочисленности весов 1(h). Как будет показано в § II. 4, построенные выше представления — операторно-неприводимые, выделение топологически неприводимых компонент из которых основывается на изучении аналитических свойств ядер сплетающих операторов.
2. Операторы Казимира
и спектр их собственных значений)
Общая постановка задачи. Как уже отмечалось в § I. 5, п. 3, операторы Казимира произвольной полупростой группы Ли
выражаются через следы последовательных степеней матрицы генераторов соответствующего представления:
к(R)= z 尸，R%, (2.1)
где У@ 曰{彩а,纺一а； Л/} образуют полный набор образующих, нормируемых соотношениями (1.12), (L13),尸七依)=(У\ 疗丄(*')• Для операторно-неприводимых представлений эти операторы сводятся к числовым функциям их старших весов, которые будем в дальнейшем называть собственными значениями, являющимися полиномами от компонент веса. Важными свойствами операторов Казимира являются наличие для любой полупростой алгебры Ли ранга г ровно г независимых операторов Казимира и однозначность определения неприводимого представления их собственными значениями. В случае классических серий ввиду наличия матричной реализации соответствующие расчеты можно провести в тензорном базисе Картана — Вейля, тогда как для особых картановских эта возможность исключается.
Конструктивное решение задачи на собственные значения и собственные функции полного набора операторов Казимира требуется для целого ряда физических приложений теории представлений групп, в том числе при изучении квантования нелинейных динамических систем, ассоциируемых с алгебраической структурой полупростых групп Ли (см. гл. VII). При этом выбор того или иного разложения группы через ее подгруппы приводит, вообще говоря, к физически неэквивалентным квантовым системам, гамильтонианы которых отождествляются с квадратичными операторами Казимира, а волновые функции — с собственными функциями последних.
Построение системы уравнений для собственных функций операторов Казимира как динамических величин, находящихся между собой в инволюции, требует реализации их в виде дифференциальных операторов по групповым параметрам с последующим переходом к переменным фазового пространства и отыскания спектра собственных значений этих операторов. Для квадратичного оператора Казимира произвольной полупростой группы Ли G собственные значения даются замечательной по простоте и изящности формулой Рака:
% (/) = £[(" + %Р^)2 — ％ (р)]， (2.2)
где 1/ и Pj — компоненты старшего веса неприводимого представления и суммы положительных корней G. В случае операторов Казимира произвольного порядка (в смысле степени полинома по генераторам) изучение спектра их собственных значений может быть в принципе проведено в рамках общего подхода
Хариш-Чандра, а также на основе дифференциальной формулы Березина, которые весьма сложны для практических применений. Вычисление собственных значений как функций весов неприводимых представлений допускает в ряде случаев привлечение упрощающих расчеты соображений типа традиционного метода применения операторов Казимира к старшему вектору. Однако он применим лишь тогда, когда среди неприводимых представлений рассматриваемой группы содержится хотя бы одно конечномерное невырожденное нетривиальное (с простым спектром).
Очевидно, что наиболее прямой способ нахождения спектра- собственных значений операторов Казимира любого порядка в явном виде для произвольного неприводимого представления (з том числе, неунитарного и бесконечномерного) комплексной полупростой группы Ли и ее вещественных форм состоит в непосредственном вычислении следов степеней генераторов сдвигов, содержащих наиболее простую параметрическую зависимость от весов представления.
Полученные в предыдущем параграфе генераторы в асимптотической области, реализующие произвольное неприводимое* представление с весом {р, /} соответствующей алгебры, позволяют выполнить эту программу до конца. При этом предельный переход к бесконечно большим значениям некомпактных параметров фактически реализует каноническое преобразование в фазовом пространстве, обеспечивающее выбор наиболее удобной для вычислений системы координат, в которой операторы Казимира и их собственные значения можно довести до конкретных формул. Получаемые результаты справедливы вне зависимости от того, является ли представление вырожденным или невырожденным, конечно- или бесконечномерным. Они справедливы в соответствии с п. 2, § IL 1 и для конечномерных унитарных представлений, в том числе вырожденных, компактных групп.
Квадратичные операторы Казимира. В дальнейшем при изучении задачи квантования нелинейных динамических систем нам потребуются явные выражения для операторов Казимира 2-го порядка естественных вещественных форм комплексных полупростых групп Ли G. Вычислим их здесь для различных параметризаций группового элемента.
В разложениях Гаусса, Ивасава и Картана матрица генераторов левых сдвигов (2.1) на естественной форме дается в соответствии с формулами (1.17), (1.16) и (1.24) в виде
а>Э
+ 2 ехр( — а(т))(2_宓-匕二 1)х£ + X(z-川2二'
а>0 / '
-廿/= 一 2 а歛1Кт)(х3 - ю+ а>0
+ 2 exp (— а⑴)(к (能а + 衫-а) к-1) X» + 2 (鮪仁|)言,
-砂С = 一 E Isfa (T)【exp (- a ⑴)(k能-%7)十
+ exp (а (t)) (к密％ ')](X? —+
тде X^(DX勺『——генераторн правых (левых) сдвигов на £, т. е.陋(口 = X% — Х4俨• С учетом того, что в этих разложениях действие генераторов сдвигов на подгруппах Z- н 箔 определяется соотношениями
(G)：w2-=0, Х±/. =2.箔_a(X4户丁 = 一能一产「)
(2.3)(2.3)(/)： X* = 0,X斬=?<%。,
(2.3)
(2.3)
(С)： Х£к — О,X 斬=汇箔a，
матрицы генераторовматрицы генераторовможно переписать следующим образом:
матрицы генераторов
матрицы генераторов
-^Q = z\ £ 倒 。Х\ + 笏能_a + exp ( - a ⑺)能-号]+
+ ”'舟卜二(24)
一死=q £ [一歛1 (Xf - x0a)-麥(纥-能.a) +
+ exp (-a⑴3 +纺书£] +，'号卜丿 (24)
一疗С = k ( e 亍shZ(B[一 (exp (一 a ()衫一a+
(a>0
+ exp (a (т))砂)(Xf - XfJ + (%。+ 能书(X? - X^ -
一 (exp (- a (砌能.a + exp (а (T))多a)(线-^_j] + ?〃 ±卜?
(2.43)
Отсюда, используя определения (2.3) и соотношения (1.12) и (1.13), имеем окончательные выражения для квадратичных опе-
田6
раторов Казимира К2 m 4"‘Р 科：
К： =42(峭片(詣 + 3)訂十 Z4'exp(_<x(T))xRX，(2.5) i, /*/a>0
此=^ 自(峭7 (詣+ 6 J号+
+ X ^a 1 [-exp (- a (т)) к^ + exp (- 2a W)X^],(2.52)
噸=4 3 (叫I (詣+"•⑴)言+
+ 2 %1吊司[抬璃-2^а")心抬+抬抬],⑵53)
где
心(т) = — X % cth a (r) Sp(Ла,①)，
Z vaSp(fta,a>0a (t)-* —oo
В модифицированном разложении Гаусса (1.6.2) в соответствии с формулой (1.172) после очевидного канонического преобразования, исключающего члены типа бг, имеем
K# = к° + S (蔘,g^-g^Z^,(2.5J
a, Р-
где Ко — квадратичный оператор Казимира Go.
Построение операторов Казимира полупростых групп Ли. Вначале опишем подробно вычисление собственных значений операторов Казимира в случае комплексных полупростых групп Ли, и из соображений общности используем разложение Кар- тана. С этой целью нам будет удобно разбить операторы (1.2*： на две совокупности 尸土，отвечающие взаимокоммутирующим. системам касательных матриц:
歹士三一%(0士炉))，严+，多」=0,
尸士 =多(川,K-^d±!±^±a, Q做)X* (2-6)
где d±j 三 i/式pj 士 к). Алгебра генераторов 尸士 представляет по” своим коммутационным свойствам прямую сумму алгебр соответствующей компактной подгруппы. Поэтому операторы Казимира комплексной полупростой группы Ли разбиваются на две подсистемы операторов Казимира К； соответствующей компактной группы, построенных из 尸 + и 尸一，соответственно. Рассмотрим для определенности расчет К：・(Операторы К； вычисляются в точности так же.)
Матрицу 完+ генераторов 尸+ = (丫加，多十)запишем в виде
吟=К[多 hid^l + go侬“彩-а + Л-а)]/с^.(2.7)
При этом мы учли определение правого сдвига типа формул (2.3), т. е. X4i = K%—a・ Оператор Казимира К： выражается через след /-й степени матрицы (2.7):
к； = Sp 夕[=Sp к屮｝7,(2.8)
屮=e力d + ё (冢宓一。 +能北)
/а>0 4
Дальнейшее приведение правой части (2.8) связано с перестановкой к" справа налево, т. е. последовательной коммутацией 『1 с 屮，результат которой представим равенством
七&仁嵋=依丿中必+ z依一嶋%期 (2.9)
恥；—aSQ (^°)a6 (宓-Jm・
Поскольку след произведения, содержащего любое (ненулевое) число корневых векторов с образующими подалгебры 6 равен нулю, то из (2.8) с учетом (2.9) получаем
K；=MW：b(ZWdj ,(2.10)
где матрица D имеет два двойных индекса — начальный (ab) и конечный (ес):
оо
^-^ае + ^сЬ，*产斗%+岂侬'况.底 ⑵") Во всех приведенных выше формулах представление элементов (матриц)也，纺士口 ничем не фиксировалось и их свойства ■также не использовались. Реализуя действие матрицы D на «столбце» U, имеющем два индекса (т. е. на матрице), находим
DU = BU — £ ^W_a>
a>0
откуда вытекает коммутативность двухрядного столбца DU с матрицей А из $, если [U, h] = 0. Поэтому введем полную《орто- нормированную» систему матриц S(, Sp StS‘ = 6厶 перестановочных с Тогда имеем
人:=%多无4+2产腕4/[沙叽，(2」2) где Л — числовая матрица с элементами
^₽9 = 2 Sp (S^h1) di + 2о Sp (S^^a?^ 4
0+ Z Sp(^aSp^aS^. (2.13)
В случае классических комплексных полупростых групп Ли- размерность матрицы А совпадает с размерностью представления (невырожденного) /?,彩士仪 и последняя^ формула переписывается в виде суммы элементов матрицы А соответствующей степени:
к； = 2 ("% (2.14)
где
о
=屮/g + %д; др・ (2.15) Это выражение справедливо и для конечномерных унитарных представлений, в том числе вырожденных, компактных групп. Таким образом, операторы Казимира бесконечномерных представлений с весами 2土/ комплексных полупростых групп Ли получаются формальной заменой целочисленных компонент весов /；■ на d土/ в операторах Казимира соответствующих компактных форм.
Основные этапы расчета, приводящего к формулам (2.10) и (2.11), не претерпевают существенных изменений при переходе к вещественным формам комплексных полупростых групп Ли. Действительно, как видно из (1.33), отличие состоит в необходимости сужения максимальной компактной подгруппы комплексной группы на максимальную компактную подгруппу ее вещественной формы. Поэтому след степени матрицы генераторов и для вещественных групп представим суммой элементов числовой матрицы.
Для удобства при практических расчетах в табл. VII приведен явный вид матрицы А для всех классических комплексных полупростых групп Ли и их вещественных форм.
3. Представления полупростых групп Ли в целом [50]
Интегральная форма реализации олераторно-неприводи- мых представлений. Задача построения представления группы Ли G на основе ее алгебры, иначе говоря, задача интегрирования последней (в тех случаях, когда это возможно), эквивалентна в известном смысле решению системы уравнений Ли типа (1.1), связывающих исходные групповые параметры с получающимися в результате действия произвольного преобразования из группы. Явный вид инфинитезимальных операторов (1.33) позволяет провести интегрирование этих уравнений и получить явные выражения для интегрального оператора Т°' "(g)» реализующего представления полупростой группы Ли с весом {р, /}. Знания закона преобразования групповых параметров оказывается достаточным для нахождения таких важных характеристик представления группы, как матричные элементы конечных преобразований (1.5.7) в некотором базисе, характеры неприводимых представлений и их мера Планшереля, определенные в § II. 5, и т. д.
ggТаблица VIL Операторы К^зиМира
g
g
G
A
L （n, C）
Aab ==== ^ab^aa — 8 （°，匕），
«±a = y （Pa±Xa）
厶（"，R）
% = Pa
U* （2N）, n = 2^
Лоа = /п。+ /г — a,
W24 = l（Pj- %），^24-1 =4（P* + %）'
U （p・ g）, P》q, р-Й9 = /г
1 & a & /г
%T（P@ + %）'l《a《g，
о （M C）, N = 2/i
^ab n ^ab^aa 一 ®（。’ 匕）（1 一 ％, 2n —a+1）»
m^=Pi士看，m一,0一加£, i^i^n
0* （2* 几=2々i
工幫==加：+ 几（Ej — 1） — （i + 1）,
"% = ^（pl“' /1 = ±旧 + 七）i《ye m_『一% mk + l = xk+v 〃 = 2R+1
p - 0 = 2 比 p + q h■九
(a — 2〃 一 1, a > 几 + 1
о (М С), "=2 九 + 1
4ab = ^abAaa -6(。,b)0 - % 2-+2)，
о (л g), р—0 = 2々+1, p + q = n
=勺 + 5 + 1/2) (J — 1) 一《 + 1),
1 a 2汽 一 2, a 几 + 1
g+1 《 i &歹（北一 1）
Sp (2n, C)
Aab = ^аьааа -0 @ 6)(1 + 60. 2 …+ 1)
〃咛=Pf 士々，"Z — £三色，l《£《/l
Sp (2% R)
Sp (2p, 2g), 心 9, p+ 9 = n
4, — m. + (n + 1)(% + 1) —
(a —一 1, a》几 + 1
1 ,、
"% =万伍一也），
—1 =万（也十％），
1nlt-i*j =厶，、Wp — q
la华》瓦 1 1一
I, z>0,
1, i <0
Как уже отмечалось в § II. 1, построенные представления ■полупростой группы Ли G в разложении Картана реализуются на пространстве 0°} дифференцируемых функций, заданных на максимальной компактной подгруппе 箔 группы G:
(3.1)
где Rj s ехр(т；——и), а групповые параметры кит получаются из исходных 及 н 工 под действием преобразования g из G. При этом формулы, связывающие исходные и преобразованные параметры, находятся из решения уравнений Ли с генераторами (1.33). Представление (3.1) является приводимым, поскольку его генераторы коммутативны с преобразованиями подгруппы инвариантности 乡 (централизатора 必 в £).
Для выделения операторно-неприводимых компонент разложим функции f из б*' по матричным элементам 乡.Представим элемент к из 螢 в виде к = &_$$, где sw?,代_§ 三%/? (т. е. групповые параметры 箔 за вычетом параметров из 9). Инвариантность М (g) по отношению к подгруппе 夕 означает, что при произвольном преобразовании группы G элемент s претерпевает сдаиг, s = sN(K^sg}, где 7VHз 夕 не содержит параметров s. Учитывая это обстоятельство, получаем
小 “ (g) %} (J) = П 因(J，g)%3 喟,{句(M &} &s)， (3.2)
где D^}i {m,} (^ = (m I ^ I mz) ~ матричный элемент неприводимого представления веса {/} группы 乡 между состояниями |т，〉 и <т|. Выражение (3.2) является интегральной формой реализации представления {р, /} группы G, отвечающей построенной в § II. 1 алгебре с элементами (1.33). Доказательство операторной неприводимости представления {р, /}, задаваемого формулой (3.2), будет дано в § II. 4 в соответствии с леммой Шура на основе изучения ядер сплетающих операторов. (Напомним, что для бесконечномерных представлений операторная неприводимость и отсутствие нетривиальных инвариантных подпространств, т. е. топологическая неприводимость, вообще говоря, не есть эквивалентные требования.)
В соответствии с реализацией (3.2) оператор № "(g) можно рассматривать как интегральный оператор с сингулярным ядром:
匸М兀，} (J，幺)=巾因(g，к_)『 С*}, {加} (М • 3 (乙• )
(3.3)
гдегде6(汇_$长_；) — б-функция на Jif/夕，определяемая формулой \ 如(<s) f (乙)6 (к，к二)=f (J)，
где
где
&“(★_$)—инвариантная мера на Ж/^.
Матричные элементы конечных преобразований. В качестве базиса в пространстве D[p' ^-представления удобно выбрать матричные элементы D^}(к) неприводимых унитарных пред-
{М}. {^}
ставлений подгруппы Ж между состояниями с квантовыми числами {214} и {W}, являющиеся собственными векторами 乡. Тогда из формулы (3.1) вытекает следующее интегральное представление для матричных элементов О’"’ {“ (g) представления {р, /} группы О:
_t(gf[，如出口因几g)『B傷 ⑨仪?}(K).
I .ИЛЧ.1 М\ ^J/ = 1{MJ, {^/}{№},{№}
'(3.4)
где Nl ——размерность представления {L} группы Ж, а r/ц(^) =〃А(к_s)d^(s)——нормированная на единицу инвариантная мера на 筋 При этом число непрерывных параметров введенного дискретного базиса равно числу квантовых чисел, включая компоненты веса представления.
Для дальнейшего приведения и конкретизации полученного выражения для матричных элементов операторно-неприводимых представлений группы G требуется знание явной зависимости преобразованных параметров к в 彳 от g, к н т. Начнем с рассмотрения комплексных полупростых групп Ли. Из сравнения формул (1.23) и (2.6) следует, что вектор
^\т}т)三ехр 。；2}、〃} (к)’(3・5)
являющийся старшим по отношению к правым сдвигам на 箔, X*開=0, а>0, hfE^l^,
в соответствии с (3.1) преобразуется по конечномерному неунитарному представлению, т. е.
£值}(&，Е)= Е ^{m}, {т,} (g) ' £“，}(К, Т)*(3.6)
{心}
Используя условия ортогональности матричных элементов неприводимых представлений подгруппы 笼，приходим к следующим равенствам, вытекающим из определения (3.5) и формулы (3.6),
mR/(К,Q▽=[{3}133,{,回)|『，(3.7)
“2, {С} (к -力)=。也⑴(к%к)/区J。偽，⑴(gK) |j"2.
Отсюда, выбирая в качестве {/} систему фундаментальных представлений соответствующей группы, нетрудно полупить соотношения связи преобразованных 及，彳 н исходных 汇,т параметров. В асимптотической области бесконечно больших значений некомпактных параметров е； из g обе правые части в (3.7) значительно упрощаются % в частности, для g- = ехр g %% е 必 выражаются через старшие векторы 尸}(&)三 О#{⑴依)coot ветствующих представлений Ж. В рамках универсальной параметризации элементов компактных групп (I. 6.16), т. е. в обобщенных углах Эйлера, задача, таким образом, решается в явном виде благодаря выражению (L 7.14).
В случае вещественных форм комплексных групп соотношения (3.5) и (3.7) сохраняют свой вид. При этом 石,纟}(及,т) преобразуются по конечномерным неунитарным представлениям соответствующей вещественной формы, причем не все параметры т в (3.5) линейно независимы и отличны от нуля, а к принадлежит максимальной компактной подгруппе соответствующей вещественной формы.
Таким образом, полученные соотношения полностью решают задачу интегрирования системы уравнений Ли в случае произвольной полупростой группы Ли. Для классических серий, допускающих матричную реализацию, эти соотношения можно записать в тензорном базисе.
В дальнейшем нам потребуются соотношения типа (3.7) для естественных форм в случае, когда в качестве преобразования g из G выбран элемент exp £/г卢产匣(非)・ Они имеют вид
/?/ (к, е) = g<1}/ f/c-1 exp (2Л (е)) к), - (3.8) J}/ 出= ехр 喈⑴及)(汇7 exp (2Л (е)) •汇尸々
где ^1}/ — сужение (на *) старшего вектора фундаментального представления G.
§ II.4. Сплетающие операторы и билинейная инвариантная эрмитова форма *)
Связь сплетающих операторов с вопросами приводимости, эквивалентности и унитарности представлений. Одной из наиболее кардинальных проблем теории представлений полупростых групп Ли является описание всех неприводимых унитарных представлений. В случае вещественных форм данная задача особенно сложна ввиду характерных особенностей их представлений (отсутствующих для комплексных групп). Причина этого заключается, в частности, в существовании нескольких типов основных серий унитарных представлений, что находится в тес
ной связи с наличием у вещественных групп Ли неизоморфных картановских подгрупп, и представлений, реализующихся в пространствах аналитических функций многих комплексных переменных со сложной топологией.
Среди различных подходов, использующихся при построении унитарных представлений полупростых групп Ли G, наиболее конструктивными, по-видимому, являются исследования асимптотических свойств матричных элементов и ядер эрмитовых форм. Обе эти задачи в свою очередь можно связать с изучением аналитических свойств сплетающих операторов (1.5.2) в пространстве весов представления. Кроме того, к сплетающим операторам приводит и исследование вопроса приводимости и эквивалентности представлений (см. § I. 5). Нахождение явных выражений для меры Планшереля основной серии (см. § II. 5) наиболее просто проводится с помощью формализма сплетающих операторов. Следует также отметить, что эти операторы играют важную роль при изучении квантовых динамических систем как в рамках подхода, развиваемого в настоящей книге, так и в методе квантовой обратной задачи рассеяния.
Исходным пунктом при построении явных выражений для сплетающих операторов и при выяснении взаимосвязи их с перечисленными выше задачами теории представлений является сплетающее свойство этих операторов (I. 5.6), т. е.
》{s,A}T{A}(g) = T{A，}(g)Ag,A}, (4.1)
для представлений Т^ (g) и Г{А，} (g), которые задаются весами {Л} и {А'}, связанными преобразованиями группы Вейля %, {%} =е{А}.
Оба, вообще говоря, неэквивалентных (для бесконечномерных представлений), требования операторной и топологической неприводимости можно связать, как уже говорилось выше, с аналитическими свойствами сплетающих операторов в пространстве весов, являющихся решениями уравнения (4.1). Для того чтобы пояснить это утверждение, удобно реализовать 5 как интегральный оператор на функциях из пространства соответствующего представления группы G в разложении Картана, заданных на箔，
反8, a} / (/)=f 如他)a}的，К?) f 的)， (4.2)
ядро которого является, вообще говоря, распределением. Тогда операторная неприводимость (в смысле отсутствия оператора, перестановочного с представлением #"(g), помимо кратного единичному) означает на языке 8{①'^'(кз 及2), что при тождественном преобразовании со 三 1, {/V}曰{Л}, ядро пропорционально 6 (汇£风).
При целочисленных значениях компонент веса {Л} (или некоторых их линейных комбинаций^ представление Т” (g)
является, вообще говоря, топологически приводимым. При этом возможность выделения вполне неприводимых представлений в рамках данного подхода основана на исследовании аналитических свойств сплетающих операторов в пространстве весов представления T”"(g) группы G в базисе квантовых чисел представления Г<" (к) ее максимальной компактной подгруппы Ж\
纽也А} = f 办(к) 8{①'А} (к)方{£} (к),(4.3)
где Г/、'(及)一матричный элемент严)(к). Ядро (К|, К2), как будет объяснено ниже, зависит лишь от xi^i = ^. Отметим, что для исследования явной аналитической зависимости сплетающих операторов от весов представления, удобно перейти к операторной форме выражения (4.3), т. е.
『зал = \ 加（К）в®, a（К）及,『зал = \ 加（К）в®, a（К）及,(4.4)(4.4)
『зал = \ 加（К）в®, a（К）及,
『зал = \ 加（К）в®, a（К）及,
(4.4)
(4.4)
в которой компактные генераторы i(宓仪 +宓一а) и ihb входящие в элемент & (см. 1.6.16), имеют вполне определенный целочисленный спектр собственных значений.
Исследование вопроса об эквивалентности представлений с весами {Л} и {А'} сводится к установлению условия изоморфности отображения пространства представления /){厶‘ на пространство С。。под действием сплетающего оператора В&‘叫 {Д'} = со {Л}, и, в конечном счете, определяется свойствами нормировочной постоянной этого оператора. В случае неизоморфного отображения операторы В являются операторами частичной эквивалентности.
Как уже говорилось, сплетающие операторы входят также и в такую важную характеристику представлений некомпактных групп, как асимптотика матричных элементов, что в операторной форме можно записать следующим образом:
#"(g) f 2 (加3,а%Xp2T洒(声")尸)月也 a},{т} -> ОО Q) е IFq \ / /
' (4.5)
где(о отвечает полной перестановке всех компонент веса {Л}.
Асимптотическое разложение матричного элемента-оператора представления ?{Ai (g), взятого между состояниями с фиксированными значениями квантовых чисел (включая вес) 7^(^), с очевидностью вытекает из (4.5). При этом коэффициенты при экспонентах выражаются через функции (4.3) и несут полную информацию об унитарных компонентах представления {Л}, матричные элементы для которых убывают в асимптотической области определенным образом. В частности, основным сериям унитарных представлений {Л}曰{р, /} отвечают матричные элементы, квадратично интегрируемые с инвариантной
мерой (1.6.12)'
加(g) = d[i (к) dg (л/) D (т) П dt/ в разложении Картана для G,
D(t)f ехр(2 Z A/TyJ,
где 2А/ ——коэффициенты разложения суммы положительных корней ро по элементам канонического базиса е； в пространстве корней.
В зависимости от спектра значений компонент (или их комбинаций) веса р〃 1 W /《 厂及，представлений основной серии, последние называются непрерывной (все р,- принимают непрерывные значения), дискретной (все р； дискретны) и полудискрет- ными (часть из р； непрерывна) сериями. Вклад в асимптотику для основной непрерывной серии (р『=—А, +/и」. а; ~ aj, —оо < а. < 8)дают все члены ряда (4.5), тогда как для полу- дискретных и дискретной серий (если таковые имеются у данной группы) отсутствие членов в сумме (4.5), убывающих медленнее ехр——(ZA『Tj) (или растущих), обеспечивается требованием равенства нулю соответствующих функций В.
Условие зануления соответствующих функций непосредственно определяется их аналитическими свойствами (расположением нулей в весовом пространстве). Именно в этом пункте наиболее наглядно прослеживается упомянутая в п. 2, § II. 1 аналогия асимптотического метода в теории представлений некомпактных групп и потенциальной теорией рассеяния, в которой роль В играют функции Иоста. При этом исследование аналитических свойств (полюсов и нулей) в комплексном пространстве {р}, выделяющее вполне неприводимые и унитарные представления, подобно изучению связанных состояний, резонансов н т. д. на основе аналитических свойств функций Иоста f(九，р) в комплексной p-плоскости и их физической интерпретации (см., например, [3]).
Задачу построения ядер билинейных инвариантных эрмитовых форм, позволяющих в тех случаях, когда они существуют, выделять псевдоунитарные и унитарные представления согласно условиям (I. 5.3) — (I. 5.4) и (1.5.3) — (I. 5.5), соответственно, можно свести к нахождению ядер отвечающих им сплетающих операторов.
Таким образом, для эффективного использования сплетающих операторов в перечисленных выше задачах теории представлений полупростых групп Ли требуется, во-первых, знание их явных аналитических выражений (или, эквивалентно, полная информация об их аналитических свойствах) и, во-вторых, диагонализация функций B^jA\ являющихся конечномерными по квантовым числам максимальной компактной подгруппы матрицами.
4 А. Н Лезнов, М. В. Савельев 97
Решение первого вопроса рассматривается ниже, где получены единообразные выражения для ядер сплетающих операторов полупростых групп Ли и операторнозначных функций (4.4.). Диагонализация матриц вида (4.3) в общем случае представляет собой существенно более сложную задачу. В ряде частных случаев она, тем не менее, решается в явном виде, например для группы U(m, 1), и техника сплетающих операторов позволяет получить полный ответ на указанный круг вопросов.
Построение сплетающих операторов. Перейдем к непосредственному построению сплетающих операторов для представлений полупростых групп Ли в рамках изложенного выше асимптотического подхода. С этой целью перепишем уравнение (4.1) в инфинитезимальной форме с учетом реализации (4.2):
[]f{г} - 2f7 {a}]*①，А)(七，及2)— 0. (4.6)
Индексы 1 и 2 у генераторов сдвига 尸 указывают переменные (к】 или &2), на которые они действуют. Из подсистемы, связанной с генераторами, отвечающими компактным преобразова- нням G, вытекает, что ядро зависит только от к = k^^j. Тогда, используя выражение для некомпактных генераторов G в асимптотической области (см. п. 2, § II. 1), оставшиеся уравнения можно сформулировать в явном виде.
В качестве примера проведем построение для случая комплексной группы cG. При этом в соответствии с (2.6) имеем следующую систему уравнений для ядра В(к):
纟?卜7 {也卜呪)x3 + + | "г ~Д/|]^(«)==0> (4-7)
где Д； — коэффициенты разложения суммы положительных корней по каноническому базису е； в корневом пространстве, Po = 2g А/С「 (Для вещественных групп система для ядра В(к) получается из (4.7) сужением максимальной компактной подгруппы CG на максимальную компактную подгруппу соответствующей вещественной формы &G группы CG и заменой {Л; CG} на {Л; rG}.)
В параметризации (I. 6.16) ядро сплетающего оператора для cG содержит 6-функции по параметрам {8% фр}： 6三£一°(о(£—)} и с точностью до множителей, отвечающим этим параметрам, имеет вид
А} (к) ~ П [cos (0а/2)]2(ар)/(аа)ехр 17% (а/)/(аа)] X
• ае2+П<о (S'")
ХПехр [z^； (лу/)/2], / {//}, р 三一{р/ + 2~}： (4.8)
Подставляя выражения (1.6.16), (1.6.18) и (II. 4.8) в формулу (II. 4.4) с учетом 6-образных множителей в (II. 4.8), получаем с『3 = П 6 也一(а/)1」а 1宓土 а, р] П 6 [% —(冗，)], (4.9) aeS+f](d(2~)j
где
4 [老士 а,р]三 \ 叫[Sin (0а/2)] [COS 包/2)产У 十。маа)1 *
X exp [凡(爲 + 宓一а)/д/2 (аа)]・ (4.10)
В силу редукционного характера формулы (4.9) ее можно представить в следующем виде:
/3,А} = £/(%、}, 了三 П д [Ла - (а/)] X
X Цб [Л/ —咽I， (4.11)
где С公*宀一соответствующий оператор для группы сС(-2). Последняя получается из CG вычеркиванием из схемы Дынкина двух простых корней в】и 方门 при этом 工(三刁= £+/£$. Сплетающие операторы естественных вещественных форм Л0 выражаются формулами, аналогичными (4.9) и (4.11) соответствующего комплексного случая, и не содержат множителей, связанных с весами централизатора CG-
В качестве примера сплетающих операторов для произвольной вещественной полупростой группы Ли приведем их выражения для вещественной формы классического типа АШ, точнее——редуктивяой группы U(р, q), р q, отличающейся от SU(z q) только центром. В этом случае интегральная формула
(4.4) принимает следующн!! факторизованный вид:
{"2=支底龙(4.12) где 7211 — аналогичные 七口 с『 выражения (4.11) с очевидной заЗ-н^ной S+ на S+ и 能上 а一 на 範土 а 十 %土g (元产%+”产 l4j, / W 扌一1); Ju — оператор, отвечающий подгруппе U(p—什1, i), a u.p—i, q—1)『®——сплетающий оператор для подгруппы U(卩一1, q—l)uU(p, q), не содержащий величин с индексом 1. Поэтому в случае лсевдоунитарной группы U(р, q) задача сводится к нахождению оператора『и для группы U(т, 1), т = р — /+ 1, вещественного ранга 1. Эта группа занимает особое место среди псевдоунитарных групп, так как в сужение ее неприводимого представления на максимальную компактную подгруппу U(т) ® С7(1) неприводимые представления последней входят не более одного раза, что позволяет диагонализовать ядро сплетающего оператора в форме (4.3) и получить на этой основе полное решение перечисленного выше круга вопросов.
4*4*9》
4*
4*
Рассмотрим более подробно группу U(m, 1), и проиллюстрируем на ее примере общие рассуждения из предыдущего раздела. Ядро сплетающего оператора представления {р, х; рь ... ...,Pm^i} (здесь {рь •.., рт-1} и х — веса представлений подгрупп U(m—1) и [/(1) централизатора ^—U^m—1) ® t/(l)) в случае нетривиальной вейлевской подстановки имеет вид В^±; = [exp zqp —届「(人+伍)[ехр(— fqp) — ml]("++”)x
衿1Pl-pj+i
X П (det/历) ’
历^ =呻+ 叫喺/[ехр(йр) 一词],(4.13)
2《а, §《团，pm = О,
d土曰(р 士 乂)/2, 鹏 wU (m), exp (f(p)三 U (1), где det；m — «главные» миноры матрицы m:
det1m = m^, det2m = m^m^"} — ^-1^^! и т. д.
Отметим, что веса Ла-представления связаны с параметрами d± и pi соотношениями
Ai =d± + т, А»” = 〃 + m — i, 1 <z<m— 1, A^i = — d_.
В соответствии с (4.13) диагональный по квантовым числам 夕 матричный элемент (4.3)
6,广"} ="力 \ dm \ d①铲±，p)(m,①)力肮同(m) exp (— ir^),
(4.14)
имеет вид tn £ %
国％X"} =(— 1)1 N"}F(—d+ — d — —/n)rT (—厶-
-2加)厂‘(一^++/m-m4-l) П (一d+ + % —a尸 b (-% 一
—/и + ct, — d* + pa — a + 1) В"-1 (— d_ — /a — /72 + a, — d+ +
+ %a — a + 1).
(Подробный вывод формул (4.13) и (4.14) приведен в работе [50].)
Аналитические свойства выражения (4.14) непосредственно определяются для целочисленных d± знаками аргументов входящих в него Г-функций, что позволяет перечислить все вполне неприводимые компоненты, в том числе и «странные» серии. Матричная форма записи асимптотического разложения (4.5) для некомпактного преобразования с параметром t группы
U(m, 1) при максимальном заполнении по квантовым числам 俨 имеет вид
川％力⑴—^ехр (тр) 8伝ims} 0 (Re P + m) +
+ exp (— t (p + 2m)] (— 1)1 团?产 0(— Re p — m), (4.15) e(x)= to, x<o,
где коэффициенты 8j?『} при главных член ах асимптотического разложения определяются формулой (4.14). Это позволяет выделить все унитарные представления, исходя из структуры аргументов Г-функций.
Факторизуемость выражений (4.11) и (4.12), сводящихся к произведению соответствующих операторов для групп ранга 1, является конкретной реализацией предложения Шиффмана о возможности сведения задачи рассмотрения сплетающих операторов группы произвольного ранга к группам вещественного ранга 1. Однако в отличие от абстрактной формы записи сплетающихся операторов в виде свертки (в общем случае ——многократной) соответствующих операторов для простых отражений, здесь приведено явное выражение для произвольного преобразования вейлевской группы. При этом операторы (4.4) представимы в виде произведения известных функций типа (4.9) от генераторов компактных подгрупп, имеющих известный (целочисленный) спектр собственных значений.
Отметим, что операторная неприводимость построенных в § II. 3 представлений {р, s} непосредственно вытекает из проведенного анализа. Действительно, выбирая преобразование вейлевской группы тождественным, т. е. {Л'} = {Л}, получаем, что ядро В’А} (к) имеет б-образный вид, так как в этом случае S+ Г)(o(S~) — 0, если веса {Л} не подчинены дополнительным соотношениям связи.
5. Гармонический анализ на полупростых группах Ли )
Общая формулировка метода. Одним из основных аспектов приложения теоретико-группового подхода к изучению динамических систем является метод гармонического анализа на группе (или на однородном пространстве с данной группой движения) .В качестве обобщения классического анализа Фурье он оказывается особенно полезным и эффективным применительно к квантовым системам, у которых основными объектами выступают волновые функции и разложения по ним. Эти функции задаются на группе G (или на однородном пространстве),
адекватной рассматриваемой физической задаче. Они являются собственными для операторов Казимира соответствующего ее представления и квадратично интегрируемы на G с инварибитной мерой Хаара d^(g), т. е. принадлежат пространству 厶气g;n).
В соответствии с этим основной задачей гармонического анализа на группе Ли G является построение обобщенного анализа Фурье для функций f(g) из плотного в P(G; ц) подпространства,
f (g) = \ d①(А) X f {佝(А)е{佝(A, g),
fw (A) = \ dy (g) f (g) ^{jo (A, g), G
удовлетворяющих формуле Планшереля
\dN(g》(g)/2(g)=\ds(A) £ }xw (A)/^o (A).(5.2)
GA{佝
Здесь через {А} обозначены веса неприводимых представлений, входящих в разложение регулярного, через которые выражаются собственные значения операторов Казимира, а {及} —множество остальных квантовых чисел (базисных индексов), характеризующих базисные векторы е^,} (A, g) представления {А}. Пера d①(А) на спектральном множестве {Л}, которое включает, вообще говоря, как непрерывные, так и дискретные компоненты, называется мерой Планшереля. Символ интеграла в (5.1) и (5.2) означает интегрирование по непрерывной и суммирование по дискретной частям спектра (как, впрочем, и сумма по {.<}).
Для векторов базиса имеют место соотношения полноты и ортогональности:
J ds (Л) £ %{"} (Л, g) е{聞(Л, g') = б (ggl),(5.3)
a{佝
\ d卩(g)。％%} (А，由 J%} (А ‘ ^)~ю ' (А) 6 (Л—Л )。{北}, {加},(5.4)
G
где 6 (Л ——А‘)——6-функция по непрерывным и 6—■ символ Кронекера по дискретным компонентам спектра.
Следует отметить, что математически строгая формулировка приведенных выражений, являющаяся обобщением теорем Петера——Вейля в случае компактных групп, требует привлечения ядерной спектральной теории для полупростых групп Ли. Так как мы преследуем цель сообщить краткие сведения конструктивного (прикладного) характера, то ограничимся лишь констатацией того-, что все возникающие интегралы следует понимать в смысле регулярных распределений, а интегралы в соот-
ношениях (5.3) и (5.4) — в смысле произведения распределений на соответствующем классе. При этом в дальнейшем будем считать векторы базиса регулярными распределениями, а меру Планшереля — абсолютно непрерывной относительно меры Лебега, т. е. ds(A) = s(A)dA с непрерывной весовой функцией (о(А). (Последнее, в частности, используется в (5.4).) Формула (5.1) реализует разложение регулярного представления- по "не- приводимьш унитарным компонентам основной серии.
В качестве базиса е{佝(A, g) можно выбрать матричные элементы неприводимых унитарных представлений основных серий, т. е. в разложении Картана для G выражения типа (3.4) при соответствующих ограничениях на веса {Л} = {р, /}, которые для краткости обозначим через Р{^),)^з (g). (Отметим, что в некоторых приложениях разложения соответствующих величин удобно проводить по производящим функциям матричных элементов, имеющих зачастую более наглядную аналитическую структуру и простые свойства.) При этом матричные элементы в соответствии с (3.4) нормируются условием 八［^入{毋‘} (1)= =6{⑨}，{纟，}， и для них выполняются условия полноты и ортогональности в виде (5.3) и (5.4), а также соотношения сопряжения и суммирования:
N丸{?} (g~) = 6f》}, {纟} (g)， (5.5) {屮} (glg2)= /}。図(gi) 3》}, (g2)・ (5.6)
Таким образом, для эффективного использования в приложениях метода гармонического анализа необходимо знать в явном виде основные ингредиенты формул (5.1) — (5.4), т. е. матричные элементы конечных преобразований основных серий унитарных представлений G, инвариантную меру Хаара на G и меру Планшереля. В ряде случаев для информации об отдельных свойствах физической системы оказывается достаточной формулировка метода, в которой зависимость от квантовых чисел {^} просуммирована, в частности,——спектральный состав разложения «единицы^, т. е. (5.3) в виде
\ d3(A)jr{A}(g) = 6®. (5.7)
О}
Здесь л{Л} (g) = X О園, {纟} (g) — так называемый характер неприводимого представления, понимаемый в смысле распределения на G и являющийся фундаментальным понятием теории представлений. Отметим, что свойства характеров существенны также при формулировке некоторых результатов для неьчиней- ных динамических систем.
Приведем вывод явных выражений для меры Планшереля основной непрерывной серии исходя из интегрального представления (3.4) для матричных элементов конечных преобразований.
ЮЗ
Мера Планшереля основной непрерывной серии унитарных представлений. Знание выражений для матричных элементов конечных преобразований полупростых групп Ли G позволяет вычислить весовую функцию меры Планшереля основной серии унитарных представлений, которая в соответствии с формулой (5.4) обратно пропорциональна их нормировочной функции.
В случае основной непрерывной серии (р；=——А； + /и；, 1 £ j £ Гл), для которой соотношение ортогональности (5.4) переписывается в форме
G
=6{円}, {必}6{0}, {wag}, {J} II6(S - 6)(d ?),(5.8)
соответствующие расчеты удается выполнить до конца с по мощью метода, примененного Фоком при расчете нормировочной постоянной непрерывного спектра атома водорода. Суть этого метода состоит в возможности перехода к асимптотике для подынтегральных функций под знаком интеграла, относительно которого известно, что он заведомо имеет 6-образный вид по непрерывным параметрам. После этого в рамках разложения Картана для группового элемента g остается провести интегрирование лишь по параметрам максимальной компактной подгруппы У£ из G, что существенно облегчает все расчеты, позволяя довести их до конкретных выражений. В соответствии с параметризацией Картана элемента g полупростой группы Ли G (I. 6.11) и инвариантной меры на ней (I. 6.12) получаем
\ 如(g) f (g) = \ JJ dt/D (т) \ du (к) \ dp, («Э f (ка (т)心，(5.9) Л / = 1
причем в асимптотической области, задаваясь определенной упорядоченностью по т/, например
— T/ + 1->оо при 1wj0的 ％+1三0, имеем
D (т) ехр 2 £
/
Инвариантные меры на Ж нормируем на единицу. Поскольку нормировочная постоянная о»-1 (сг, /) в (5.8) не зависит от квантовых чисел {①1} и {2?} базисных векторов представления, то для ее нахождения удобно брать некоторый определенный набор {①1} = {①2}, удовлетворяющий необходимым требованиям, вытекающим из наличия централизатора 9, т. е. набор, согласованный с условиями (I. 3.1) на матричные элементы %.
{° Выберем, например, в качестве матричного элемента D {厶} (к) максимальной компактной подгруппы, входящего в интегральное представление (3.4) для £)}^^ {^2)(g)( матричный элемент, взятый между старшими векторами базиса соответствующего представления, т. е. положим {①} * { ^ }三{ j }. При этом появляется возможность для вычисления интегралов типа (5.8) использовать явные выражения (I.7.I4) для старших векторов неприводимых представлений компактных групп и (1.6.18) для инвариантной меры; или соответственно, (1.7.15) и (I. 6.20)——для случая естественных вещественных форм.
Асимптотическое выражение матричных элементов Z)倂：%} (g) находится из формулы (3.4) обычными методами и имеет вид
。后严{/} (g)f ехр「—£ т/&] £ ехркр/х
X $郎出口 [用叩5犯⑴(К)3*⑴(寸))，(5.10)
где индекс а означает асимптотическое значение соответствующих величин. Явные выражения для R(&)и к(")непосредственно вытекают из формул (3.7). Подставляя в (5.8) асимптотические значения матричных элементов (5.10), проводя с учетом (5.9) интегрирование по т/, приводящее к 6-функциям в правой части (5.8), получаем
3-‘ (о, Z)= (2л尸 \ 办(к),加(心 Н [rT} (к)竹 х
X [Rw(QF；D；出⑴(6%)0例，⑴((/⑷尸妙))• (5.11)
Дальнейшее упрощение формулы для o)((r, /) связано с использованием свойств максимально заполненных матричных элементов £){；}.⑴ (т. е. старших векторов) и наличием централизатора 乡.Разлагая 八[8，口}(公一％) по полной системе согласно формуле (5.6) и интегрируя по параметрам В, из (5.11) имеем
г2
3Т(0, ?)=-^厂 \ 加的口口户依产力{%}{,}(碑工)，(5.12) Xl^ /=1
где М — размерность представления {/} централизатора, выражающаяся формулой (I. 7.16) через вес {/}.
Таким образом, задача вычисления меры Планшереля основной непрерывной серии унитарных представлений полупростых
ЮЗ
§§Таблица VIII. Весовые функции меры Планшереля основной непрерывной серииунитарных представлений кжсс汙веских групп Ли
§
§
L {«, с)
П ® 一。产+ （七一刁），
Р$ н — (〃 一 2s + 1) + / %
L (% R)
口（5 一〉）th T^ 一匕）
Ps_2 +S+小
0s Q Os 十注S，久 у L
*0 (2%)
n收一 3）2 +⑴一炉］［（ь一 。户2 + （七+ ） +呐
Ps — 2м + 4s — 2 + /2%
U 3 g), р&д
П 5 th T 弓 II [® -。广 +(Xi _ X^ K(Ti + °1У' +
+ (Z - х严]JI h [al+ (/ 一 %)1
Ps = —(P + 4 — 2s + 1)十 i2Gs
0 (% С)
П【(％ +。尸 + (% +，)11(s-aj)' +(xi-x^
ps = — 2" + 2s + a
〃 =2左 + 1
II [d + 以 II l(ai + 0j)2 + (xi + xif][(ai~~aif + (修『1
p§ e — 〃 + 2s + ias
0* (2n)
л = 2笈
k
П % th》？s П收一吁+ (Z -巧)1【(5 -吩+
+ (% + X/+ 1 产][(S + Г)' + (々一 Xj)"] [(5 + 0/У + (% + 七 + DI
Ps = — 2/1 — 1 + 4s + 220rs
л = 2左 + 1
U % th 多 Q [^ + (% + 1/2)1 衣 + (x + & + 1/2)1 X
X П[(% 一 °02+(七一马)1 [9一。户+ (七+ Xi + 1月H% +0广+
十(七一統1 [(S + 0/)2 + (七 + 打+ 1)1
Ps — 2注—1 + 4s 十 Z2(jy
。（p，g）, p《g
q — p —2k
U № + a/) [th 多(弓 + 5/)] (% — %) [th -y (G — 5/)] X
Ps —2 十 $ + Ss
Прадо жжение табл. VIII
4 — p == 2左 + 1
Д(J5 th i ds 口 (J + Uj) [th (% + 丐)卜力一咽 X
X [th — (а; - a;)] Ц [as + (/a +?" a)
Ps —■ 2 - + s + lQs
Sp (2小 R)
Il 耍哈 Q [[ (% + %) [th ^ 3s + Sfe)] (% -咽[th 扌色 - ％)]
—一 s +1)+ a
Sp (2м, С)
p§ = — 2 (几一s + 1) + ias
Sp (2小 2m 注& m
][%也^①优+色+1/2)1 [[[也-ajf+(Xi~x.)2\x
X [色 一。/)2 + (% + Xj + 1)1 [(S +。广 + (七 一 ,)1 [向 + >)2 +
+ (七 + xi + 丁] П [建 +(仆 + 1/2 - 〃)/ 0： + (，“ + U2 + / J1
р6k - 2(/z - S+1) + 25
групп Ли сводится к взятию интегралов типа
/((Т, /)- )如(К而力的产力也⑴(經\)，(5/3)
宽/夕1
при р/ =——Aj +，0/, которые следует, строго говоря, понимать в обобщенном смысле, так как интегрирование происходит на пределе сходимости.
Проиллюстрируем вычисление интеграла (5.13) на примере комплексных групп. В этом случае (5.13) переписывается в виде
/ (о, /) = \ d快依)RI det;. к I1'(°,
в котором подынтегральное выражение есть не что иное, как аналитическое продолжение квадрата модугж старшего вектора представления {L} максимальной компактной подгруппы в область комплексных значений ，2(厶+ 2/) весов соответствующего представления. Поэтому весовая функция меры Планше- реля имеет вид
(o(d /) = (2冗)-叫必 I%} м{岑£}，(5.14)
где Nl — размерность неприводимого представления Ж, определяемая формулой (I. 7.16).
В случае произвольной полупростой группы Ли весовая функция для основной непрерывной серии представима формулой
3(0, /) = (2*^М"1/(。，/)Р，(5.15)
где.
/", /)= Ц'8 院/2, (а, (р + р°/2))]/8 風/2, (а, р/2)], а>0
где произведение распространяется по всем положительным корням (за вычетом корней централизатора), для которых все I (а, р + ро) I различны; еа — кратность соответствующего корня. Явные выражения весовой функции о)(а, /) для классических серий приведены в табл. VIII.
Отметим, что для представлений класса 1 (в случае римановых симметрических пространств неположительной кривизны) выражение для весовой функции (5.15) может быть получено существенно проще [20]. Формула (5.15) справедлива также и для произвольной (не обязательно классической) комплексной полупростой группы Ли.•
Найденные выражения для весовых функций меры План- шереля основной непрерывной серии унитарных представлений полупростых групп Ли являются аналитическими функциями параметров представления р, обладающими полюсами не выше первого порядка (за счет гиперболических тангенсов). Расположение полюсов и их количество находится в однозначном
соответствии с запасом основных серии унитарных представлений рассматриваемых групп. По-видимому, мера Планшереля полудискретных и дискретной серий, наличие которых связано с возможностью существования у вещественных полупростых групп неизоморфных картановских подгрупп, определяется вычетами в полюсах весовой функции для основной непрерывной серии, рассматриваемой в комплексной плоскости параметров {о}. Существующие примеры вещественных групп, для которых мера Планшереля вычислена полностью, т. е. для всех имеющихся у них типов основных серий, не противоречат высказанному предложению. Если этот факт подтвердится в общем случае и будет доказан независимо, то формула (5.15) полностью решает задачу разложения регулярного представления на неприводимые компоненты (или задачу разложения квадратично интегрируемых функций по матричннм элементам основных серий унитарных представлений полупростых групп Ли). Удивительная простота окончательного результата (5.15) является отражением наличия чисто алгебраического вывода для весовой функции на основе ядра сплетающего оператора и его факто- ризационных свойств при ^^-упорядочении корней.
§ II. 6. Векторы Уиттекера *)
В дальнейшем при изучении задачи квантования обобщенной цепочки Тода потребуются явные выражения для так называемы?; векторов Уиттекера, введенных Костантом. Канонически они определяются как собственные векторы оператора сдвига основной серии унитарных представлений полупростой (или редуктивной) группы Ли G,
(2)ф+= Л(Л>(2)ф+,(6.1)
где Z принадлежит максимальной нильпотентной подгруппе G. В инфинитезимальной форме система (6.1) переписывается (для левых сдвигов) в виде
Za 中+ ^^б/а中十，(6.2J
или, в силу линейности 2^ по производным групповых параметров G,
Za 1п фц- = ^5/а'(6.22)
Здесь символ 6加 означает, что операторы бесконечно малых левых сдвигов аннулируют вектор Уиттекера при всех значениях а, отличных от простых корней соответствующей алгебры.
Для наших целей пока что достаточно ограничиться рассмотрением естественных вещественных форм комплексных полупростых групп Ли G, параметризуя их разложением Ивасава. При этом векторы (р+ задаются на максимальной компактной
*). [22, 43, 91].
подгруппе 徵 группы G,①十=①+(犬)，а генераторы 彌 согласно формуле (II. 1.16) в асимптотической области определяются выражением
Za= Z (埶 Q©aK)(X3-X，)「£ (川，"馭К)Р/・(6.3) 6>0f
Оператор 2七 вида (6.3) представляет собой в соответствии с формулой (II. 1.23) аналитическое продолжение (по весу) инфинитезимального оператора левого регулярного представления 彩,отвечающего положительному корню а. Поэтому в силу определения (1.7.2) и соотношения (1.7.3) решение однородной части уравнения (6.2) дается логарифмом функции 自(к)= =HF"(K)№ где 自“"一 сужение (на %) старшего вектора /-го фундаментального представления G. Очевидно также, что 6-образная неоднородность в (6.22) порождается членами в In(р+, полученными из In ^{1}/ (к) действием понижающих операторов, отвечающих корневым векторам отрицательных простых корней. (Как нетрудно убедиться непосредственной проверкой, элементы пространства представления {Л}, возникающие при действии на 自"〃 понижающих операторов большой длины по простым корням, системе (6.2) не удовлетворяют.)
Подставляя линейную комбинацию 屮宀三 Хз冗中^(к)巾инк-
ЦИЙ ^ik = X^i In 自⑴气к), в которой в силу условия 又匕自⑴々(&) — О при ，=Н=々 достаточно учесть лишь члены с £ =々(cik di^Ci ), в систему (62), получаем согласно (1.5.22) цепочку равенств: 2紡+三受屮+ = e ckXaX-k\n自⑴气о =
=X 46a在能In自⑴气К)—2
Следовательно,屮十 удовлетворяет рассматриваемым уравнениям, когда все постоянные ck равны мнимой единице (i).
Таким образом, нормируя 中+(к) на единицу при к = 1, приходим к следующему окончательному выражению для вектора Уиттекера:
<Р+ (к) =g{pJ (к) expi 2 欠勺111尹％』 /
(k)eхp{ - ig 用111自⑴/}, (6.4) 儲三田一发勺.
Как мы увидим в гл. VII, при квантовании системы (IIL 2.8) в представлении Шредингера, содержащей конечную непериодическую цепочку Тода в качестве простейшего частного случая, роль базисных функций в пространстве представления
соответствующей вещественной группы играют обобщенные векторы Уиттекера. Для их построения рассмотрим разложение Ива- сава (I. 6.9) для произвольного регулярного элемента g некомпакт- НОЙ группы rG, g = K?(T)2+，7(т) = exp (Z %Т/),
V ранг 祕 В этом элементе параметры централизатора В будем считать исключенными из к е J^ и присоединим нх к Т(т), g = =K-s exp(B)z+ (см. п. 1, § II. 3). При этом к_§ содержит только групповые параметры, отвечающие корням ®/®0, тогда как В принимает значения в So и обладает в дополнение к {и} параметрами %s, 1 W s W do ——兀 В такой параметризации выражение для квадратичного оператора Казимира принимает вид (см. п. 2, § II. 2)
К = Ко — £ 04 ехр В纺…ехр( - В)) %^ Z& +
+ 2 (exp( — 8)%9exD8, ехр 8密一纟 ехр ( — В)) Z^Z}，(6.5)
где J^a—генераторы правых сдвигов на Jf, отвечающие корням
Подчиним действие оператора (6.5) с exp 2В = g0 ^ Go на его собственные функции Чг условиям
先^屮=0,(6.61)
z£w= Z 2%屮(6.62)
一—
и, кроме того, исключим из Ко члены, связанные с элементами S°. Здесь через са обозначены ненулевые коэффициенты разложения элемента /十 трехчленной подалгебры 4 в ®, картанов* ский элемент Н которой осуществляет рассматриваемую градуировку алгебры @.
Ввиду того, что в дальнейшем функции 4r будут интерпретироваться как волновые функции квантовомеханической системы и по этой причине должны быть нормируемы, они преобразуются по некоторому неприводимому унитарному представлению rG. Таким образом, согласно приведенным выше условиям функции 屮 являются матричными элементами основной непрерывной серии унитарных представлений, взятыми между состояниями, инвариантными относительно правых сдвигов 方^・ В свою очередь, матричные элементы перехода между состояниями с векторами 中土(к) в соответствии с реализацией (3.1) определяются формулой〜
\ dp. (к)ф_ (к) П [R/ 依，g)户 ЧР+ (к)>
где для выделения операторно-неприводимых компонент функции (р±(к) должны преобразовываться по унитарным представ-
лениям {/} централизатора, см. (3.2). Поэтому для получения искомых волновых функций 屮 следует построить выражение для функций (р+(к), удовлетворяющих указанным выше условиям и являющихся скалярными относительно преобразований генерируемых S^, с 中_(长)|帘野=1 согласно (6.6j.，
Удовлетворим формально вначале условиям (6.62) без правой части, /^афч- ~ 0 VgwR+， а затем учтем неоднородность. Очевидно, что для заданного представления {р, /} группы rG функции 中］ являются матричными элементами 〈|汇|〉，взятыми между старшими состояниями |/>, 1 忘 / 忘 г, фундаментальных представлений S, а также между всеми такими состояниями базиса этих представлений, которые аннигилируются под действием элементов 務，ccwR_p Поэтому ①：есть сужение (на 變) матричных элементов 日°' “ фундаментальных представлений rG, являющихся «старшими векторами» относительно элементов @/@о. Неоднородная часть (6.62) может быть восстановлена, если снабдить функцию ES，Q множителем ехр (/£ In gz). Здесь /^ определяется разложением/^ = X с-аХ-а. где XL——генерато- а
ры левых сдвигов на 宏,отвечающие отрицательным корням (—а);
自'三口 В,泾厶；
/0 ——поднабор индексов {1, •…，г}, соответствующий значениям 君 三 厶 с hi w 怨 Окончательное выражение
(р+ 三 呼SJ} =S^1^ exp (乃.In F)(6.7)
с очевидностью переходит в вектор Уиттекера (6.4) для естественной вещественной формы &G, снабженной канонической градуировкой. По этой причине естественно называть функцию И/'"' ", определяемую формулой (6.7), обобщенным вектором Уиттекера.
ГЛАВА Ш
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДВУМЕРНЫХ
НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ:
ОПИСАНИЕ ОБЩЕГО МЕТОДА
В этой главе будет показано, что с каждой градуированной алгеброй Ли ® связана целая серия систем уравнений в двумерном пространстве, допускающих полное интегрирование в смысле задачи Гурса с начальными данными, задаваемыми на характеристиках. При этом явный вид возникающих нелинейных систем существенным образом зависит от структуры рассматриваемой алгебры и выбора в ней градуировки. Процедура интегрирования теснейшим образом связана с теорией представлений соответствующих алгебр (групп) Ли. Критерий полной интегрируемости систем с нелинейностями определенного типа реализуется в виде условий на алгебру Ли — Беклунда, допускаемую этими уравнениями, и эквивалентен в известном смысле решению классификационной проблемы теории алгебр Ли.，
Решения соответствующих одномерных систем (обыкновенных дифференциальных уравнений) получаются из общих решений двумерного случая при наложении определенных условий симметрии на зависимость их от своих аргументов (г+ и г_), например, в виде 之+士 之_, г+г_ и т. д. Здесь и в дальнейшем под %+, 2_ понимаются две независимые переменные двумерного пространства, на котором задаются решения динамических систем.
Развиваемый метод интегрирования допускает непосредственное обобщение на суперсимметричные системы, динамические величины которых принимают значения в алгебре Грассмана, ассоциируемые с соответствующими супералгебрами Ли.
扌 III. 1. Общая формулировка метода )
Представление типа Лакса. В основе метода ле'泳ат общие свойства градуированных алгебр Ли © и представление типа
Лакса,
[0/次+ + 4<, 0，夾一 + 4」三4一—，4+,之_+[/1 +，｛」=0,
(1.1)
реализованное парой операторов Л±, принимающих значения в ®. С этой целью определим операторы 4± следующим образом:
4土 = e； + XE*m(eo 犯土)+X (碧 Л)，(1.2)
где Е[ и Е* принимают значения в конечномерных подпространствах @0 и ®±д, 1 W а & т土, разложения (I. 2.1) градуированной алгебры Ли @, соответственно, а е。и е； векторы из этих подпространств. Суммирование компонент в скалярных произведениях ( ,) векторов е0, е* и векторных функций 以亠(之十，之一)，f*(之十，之_), зависящих от аргументов W+,e一，проводится по внутреннему индексу ого подпространства, пробегающему значения от 1 до размерности ®а. При этом т+ и т_ не превышает, естественно, максимального Л1+ и минимального 財—значений индекса градуировки непустого подпространства в (I. 2.1) для конечномерных алгебр Ли.
Подставляя выражения (1.2) в представление (1.1), с учетом свойства (1.2.2) получаем определяющую систему уравнений,
£-,г+-£+,,_ + [£+. £-]+£ 因，叫=0,
1《а《min (加+，
(1.3)
2｛瑞,旺+咼，琏]｝-X因，闾=o.
Три типа подсистем, входящие в (1.3), принимают значения в подпространствах с нулевым, положительными и отрицательными градуировочными индексами, соответственно. Приравнивая в ней нулю коэффициентные функции при каждом линейно независимом элементе из S, приходим к системе дифференциальных уравнений в двумерном пространстве для векторных функций 或土(％,之-)и f工(j,之一)：
十 Z ^ijti^iU-j + Z Л9/-卩程/上卩=0’ 1 E 厶 j《％1《a《min (f〃+，)
I ^S a, 6 M d土 a
(l&s&do),(1.4)
115
+2干9Md土°+2干9Md土°干 21 С Ь(Ь > а+1)
+2干
9Md土°
+2干
9Md土°
(lWct《d士小 1 <a^m±),
где “ 一 структурныегде “ 一 структурныепостоянные алгебры Ли ®, определяющие
где “ 一 структурные
где “ 一 структурные
не瓦囿，吗= ”；В吟;они рав・не瓦囿，吗= ”；В吟;они рав・коммутационные соотношения вкоммутационные соотношения вны нулю, если e^^®ccz ®. Как будет показано ниже, система (1.4) полностью интегрируема; ее решения задаются необходимым количеством произвольных функций, зависящих от 乞十，на характеристике г_ = const и от z_ при г+ — const, т. е.屮:^｛之十) и qpb р (2-)> 1 W о W 小+, 1 & 力 V m_, 1 w a W 4”，1 WBWd—匕.
не瓦囿，吗= ”；В吟;они рав・
не瓦囿，吗= ”；В吟;они рав・
коммутационные соотношения в
коммутационные соотношения в
Представление (1.1) форм-инвариантно относительно преобразований подгруппы инвариантности, генерируемой образующими подалгебры ®0, т. е.
』士-»&；/士g*+ S^gVtZ±』士-»&；/士g*+ S^gVtZ±(LA(LAгде gn = exp(e(), z(z+, z_)). Это свойство называется калибровочной инвариантностью. В силу условия градуировки (1.2.2) общая структура операторов А± в смысле подпространств ®±[7, О V о V т± (в дальнейшем именуемая спектральный *) состав 4丄),на которых они принимают значения, не меняется при таком преобразовании. Благодаря этому сохраняется также спектральный состав системы (1.3) и, естественно, уравнения для калибровочно инвариантных величин, построенных из функтш «± и 上.
』士-»&；/士g*+ S^gVtZ±
』士-»&；/士g*+ S^gVtZ±
(LA
(LA
Подавляющее большинство двумерных динамических систем, встречающихся в теоретической и математической физике при описании нелинейных эффектов, отвечают в рамках рассматриваемой конструкции выбору т+ = ш_ — 1. В этом случае уравнения (1.4) существенно упрощаются:
U~s,z^ ~~ U+s,z^产+№-/+ W rf+J — B =。，
В частности, для простых алгебр Ли ранга г в канонической градуировке (см. п. 3, § I. 2), при которой
力土 =(九〃±) + (宓土f土)м X (hju± / + <^± /f± /),(1・7)
система (1.6) с учетом соотношений (1.2.8) приводится к виду 现+了,z_ _(E")4 =干(々%),，(1-8)
“ *) Под спектром операторнозначной величины понимается отвечающий ей спектр собственных значений оператора градуировки.
116
где k — матрица Картана @, a (R〃土)/三 X 々“〃土入 Отсюда^ вводя калибровочно инвариантные (в смысле (1.5) с 寄三九卜 функции р/ 三 In /+；f-/, приходим к системе
Ра之+乞―=I一 々〃exppj，IWj&a(1.9У
которую в случае невырожденных матриц Картана можно тождественно переписать в виде
-Г/,г+г_ =ехр (kx)it Xi 三仅一七)「(1.10}
В заключение подчеркнем следующие два обстоятельства.. Во-первых, при выводе систем (1.3) и (1.4) условие конечномерности алгебры ® не накладывалось. Однако в отличие от конечномерного, в бесконечномерном случае интегрирование возникающих систем в конечном виде невозможно; как будет показано в гл. V, решение задачи Гурса для них дается бесконечными формальными рядами, исследование сходимости которых- требует дополнительного рассмотрения с привлечением свойств： алгебр ® типа конечности роста. Во-вторых, представление (1.1) применимо также и для суперсимметричных динамических систем, когда операторы 4± вида (1.2) принимают значения в соответствующей супералгебре Ли ®s = ®- ф ®^, снабженной градуировкой (1.4.7). При этом в соответствии с (1.4.20) четным' (нечетным) образующим подалгебры %(新)в скалярных произведениях сопоставляются функции 斗，z一 с коммутирующими (антикоммутирующими) значениями. Как и в случае алгебр Ли- системы уравнений, ассоциируемые с конечномерными супералгебрами Ли, интегрируемы в конечном виде, тогда как для' бесконечномерных супералгебр Ли ——в формальных рядах.
Некоторые примеры. Для иллюстрации рассмотренной выше общей алгебраической конструкции получим на ее основе ряд конкретных двумерных нелинейных уравнений. На их примерах наглядно прослеживается проявление специфики структуры различных типов алгебр Ли и выбора градуировки. С этой целью для каждой из систем выпишем ассоциированную с ней алгебру и явные выражения для принимающих на ней значения операторов Л±, подстановка которых в представление (1.1) дает искомые уравнения. Здесь же мы для удобства приведем необходимые коммутационные соотношения или сошлемся на соответствующие формулы гл. I.
Уравнение Лиувилля
X. 2十2一 — exp 2%(1.11
связано с конечномерной простой алгеброй 41 = {力，绪土； см„ (I. 2.8) при r=l, k~2}; A± = u±h + f±^±\ x — V2 In f+f—
Уравнения синус-Гордона (e == 0) и Було ——Додда (е = D
= (1 + e) exp ((2 — e) x) — exp( — 2%)(1.12)
(см. (1.2.8) при г = 2,々r(см. (1.2.8) при г = 2,々rсвязаны с бесконечномерными простыми алгебрами 左i и ВЛ2
(см. (1.2.8) при г = 2,々r
(см. (1.2.8) при г = 2,々r
конечного роста, соответственно 一(2一(2 一 8))>
一1一2(1+8)2丿)，
4土= £ ("土也+ f±储士力./ = 1, 2
При ЭТОМ ((1 +Е)р! + р2), г+г_ = О С pj w In 厶/_/, ТЗК ЧТО р2 = — (1 + £)Pi + (2 + е) In (叫(z+)①一传_)),
где ф+ и ф_ ——произвольные функции. Полагая р】 三(2 ——£)% + 4- In Ф+ф_ и выполняя в уравнении для х соответствующее конформное преобразование, приходим к виду (1.12).
Суперсимметричное уравнение Лиувилля
% zy =ехр 2% + ①+①一 ехрх, со纟干=(о干 exp х (1.13) связано с конечномерной простой супералгеброй В (0, 1) = {/г, 老士，缘士；色碑土］_ 二 士缘士，［缘十，缘一］卜=力，［衫士，缘士L = o, 庭土，缘乎：L =当土，［缘士，缘士］+=干2缪士},
4士 = Uji +厶密士 +屋缘士，尤三% In f J一, S±三(屋厂吋1
Здесь s土 (之十，z_) и ff± (г+,乞一)一майорановн спиноры функций с антикоммутирующими значениями. Система (1.13) представляет собой компонентную форму записи суперсимметричного обобщения уравнения Лиувилля
®-®+Ф =ехр ①， (1.14) отвечающего действию вида
\ dz^ dz_ d®+ d8一 (一 ％ Ф1)_®+Ф + exp Ф),
где Ф =①(2土, 6土)=尤 Q土) - 9(0 (2土) 一 Vo 09尸(之土) - суперскалярное поле, состоящее из двух скалярных полей х и F и майо- ранова спинора ①土, зависящих от координат z± двумерного пространства и грассмановых переменных 8 三(^} ) ; 6 三(一8_, 6Q.
Через S)± обозначены операторы супердифференцирования: ®± 三 干 д)д^± + 8±d/庆士，®± =千 d/庆土，®+®- ~ — ®-®+.
В компонентах суперполя ①(F = expx) уравнение (1.14) принимает вид (1.13) и в случае(о± = 0, естественно, переходит в обычное уравнение Лиувилля.
Система
—七 г+г_ = exp 2% + 尹旷 exp x,幺专干=干 %У* expx (L15) (где в отличие от (1.13) функции у土, как и х, являются обычными функциями своих аргументов) связана с бесконечномерной алгеброй Вирасоро конечного роста, не удовлетворяющей
условиям (L2.8), с элементами
%, i = 0, ± 1, ± 2,…；®, О/] = (j — i) с+/；
4 土 =a±C)+ f±lC±i + f±2C±2；
X — % In 4f+2,-2, y± = f±\ (f±2)-"2.
Система
匕 z 产一 =exp 2x, У,乞产―=2 (% + Dy exp 2x}(1.16)
связана с неполупростой алгеброй A^t^, где X')комм)^та- тивный мультигиет по §〃(2);
[〃，₽.п] =： 2mRm, {纺土，Rm] = [(/ 干 m) " 土①十 I)]1,2 Rm 士 I；
= u±h + f土纺土 + flRo + flR士 i；工三 ％ 】n宀* (f+『T(f—)T.
6a) Снстема
xt, 2+2一 exp (2,vi - 2也),尤2,之十之_ :x:::: exp (Xi + 2x2) (1.17) связана с минимальным вложением Л] в В2 (картановский элемент вложения " = 3% + 4Л2； ®о = {R,九2})；
4±= ? (配±也+ f±/±了)；%了= %由几/一]
66) Система
Xj, z+z_ =exp 2xj +
+ (一 I)7th [(修一跄)/2] ch-"% 一 貶)/2]夕z+乱"，(1.18)
(th2 [⑸一也)/2] •4 j), z+ + (th2[⑴一喲/2] 乂 z+), 2_ = 0 связана с неминимальным вложением Л] в В2 (Н = 2h\ + Л2г ®о = h\\ %2,第±2})； в подходящей калибровке
4土 = X (卫士也 + f±必± j) + f 土3兆± (死+2冗2)+ f土 座干 2；
/ = 1, 2
修 w 1/2 lnf+if-b 冷三 ％ In f+3f-3；
从 Z土三 2 exp (猊—Xi) ch2 [(X2 — Х1)/2] f士 2隹伝咒
Для вывода (1.18) из (1.1) используются коммутационные соотношения элементов
62^ {能 士冗广 Л Пу» jnl, 2；宓土(Л]+П2),% 土0[+2 Л 2)}
вида (1.2.8) при г = 2, 々 = (，]"2 ^, и
[宓—冗2，^-Л1] === ^-(^14-^2)»[纭死十2冗2，^—Ла] ^^ —纺冗i+з
[卷к%nj=%m+82,[密m,%一g+2Л2)] =-纺一的十几2)，
[电"密士(%+2Н2)] == ± 26£2彩± (Л[+2Л2)，[%%+2” %7%+2Л2)] = 〃% + 九冗2，
Из последних двух примеров видно, насколько сильно влияет выбор градуировки одной и той же алгебры на вид возникающей
при этом системы.
Естественно, что уравнения (1.11), (1.12) и (1.17) являются частными случаями системы (1.10) при 々 = 2;(
(一42 J и I — 12 丿’ соответственно.
Построение решений. Представление (1.1) выражает собой условие градиентности вектора с компонентами А+ и 4_,
т. е.т. е.4土=g一收 г±,4土=g一收 г±,(1.19)(1.19)
т. е.
т. е.
4土=g一收 г±,
4土=g一收 г±,
(1.19)
(1.19)
где g ——элемент комплексной оболочки G группы Ли G с алгеброй Ли @. Именно на этом этапе проявляется существенное различие между конечномерными алгебрами Ли, которые в известном смысле могут быть проинтегрированы до группы, и бесконечномерными, не всегда обладающими этим свойством.
Вначале рассмотрим построение общих решений интересующих нас систем (1.3) или (1.4) в конечномерном случае, а затем обсудим модификацию метода при переходе к бесконечномерным алгебрам. В соответствии с (1.19) решение этих уравнений эквивалентно нахождению группового элемента g, такого, что спектральный состав элементов ® в (1.19) и (1.2) был (бы одинаков. Иначе говоря, требуется, чтобы оператор А+ в (1.19) не содержал элементов подпространств ®f) из разложения (I. 2.1) с а < 0 и а > m+, а 4_ — а > 0 и 〃V——m_, символически:
工+П 阮VO = 0, Д- П ®а>о = 0.(1.20)
а>т+а<-т^
Используя для элемента g модифицированное разложение Гаусса в виде (1.6.3) и подставляя его в формулу (1.19), получаем
-Л+ = giLi；(贫」jr,z+)gg。+ 辰(4*%+,z+)g。— +
+ g『」gf+，d-211)
Л- = g^/亭(4尸贫+, 2_) #—go+ + gU (彳二I彳一，z_)go+ +'
+ go+go+, г_-(1.212)
Вспомним теперь, что 及+ и Л3+ порождаются только элементами из подпространств @а с а > 0;及—и JK— — с а < 0, а ,g0+ и go- — из ®о, причем калибровочное преобразование операторов А± не меняет их спектральный состав. Поэтому в соответствии с тем, что согласно (1.2) (или (1.20)) оператор Дх(Д_) не содержит элементов из подпространств ®а при а V 0 (& > 0), ■из соотношений (1.21) с учетом свойства (1.2.2) имеем:
Л^Лг+ = 0,儿二必+,2_ = О, откуда
Мт. е.=、收一(z_),淡+ = j〃+ (之+)・
(1.22)- Таким образом,
4十=g『J (Л9二2 ) go— + g^go「屮 (1.23/
Благодаря тождеству (1.6.4) групповые параметры элементов j『_, /『十 и go 三go+gjJ являются (в силу однозначности разложения (1.6.3) для регулярных g) функциями параметров элемента 国二WЭто обстоятельство позволяет переформулировать условия отсутствия в выражениях (1.231) и (1.232) членов, отвечающих подпространствам % с а >> т+ и 〃V—疗z_, соответственно, через элементы 沈+ и 風_、сведя окончательно задачу к определению последних.
Действительно, наложение в соответствии с (1.2) условий 』+ П ®а>т+ =0, 4- П ®а< -巾_ = 0 означает, что имеет место X dq дифференциальных уравнений, связы
вающих между собой параметры элемента /%, н £ d_a
厅J+1 & a《 уравнений для элемента 4_, которые должны выполняться при произвольных значениях аргументов 之一 и г+. В частности, реализация в (1.231) соотношения
”Л9 +%"+.斗 fl ®а>т+ —。(*)'
не зависит от элемента 沈_, который можно положить равным, например, единице. Тогда тождество (I. 6.4) перепишется в виде 儿工‘匸斤一且。％1 二 так что и элементы 我—и go в нем становятся также единичными и поэтому 我十 в условии (*) можно заменить на 風V Аналогично, элемент в соотношении 彳*二1斤_,之_0 П®а<-т_ = 0 заменяется на 風_. В результате условия (1.20) эквивалентно переформулируются в виде
加 + (2 + )(沈+ Q + )), 2+ Я ®a>m+ - 0,
•我二"z—)(沈一 Q—)), z_ n ®a<_m_ - 0.(1.24)
Благодаря этому все X 厶(£ d_aA параметров
'風人風А связаны X d@ ( X d-a) уравнения- m^ + l <a<Af+\m_+ 1 < a <,4_丿
ми, и, следовательно, каждый из элементов ^+ и 血一 зависит от 叫三 X "a н "—w X d — a Произвольных фуНКЦИЙ
<а^т^_I <a
嗯a (%+) и(р匕Р (之一), где 1 0 a W m+, 1 W a W 九 1 V 6 W 僞一，
W 6 W d-ь, соответственно. Иначе говоря, получаем, что элементы „<+ и JK_ удовлетворяют следующим уравнениям:
И+ (г+)),匕=原+ 佟+) ] V (ej% (z+))+厶+，
弋 +(1.25)
(4_ (z_)), z_ =贫-(2一)1Vzm (叱也(z_)) M 及_厶
Решение уравнений (1.25) аналогично уравнению для матрицы рассеяния в квантовой теории поля (см., например, [9, 10]) dS/dt = S(t)L(t) представимо в виде мультипликативного интеграла, т. е. бесконечного ряда кратных интегралов от «запаздывающих» произведений,
5= 1 + £ [(-1)7»!]卜\ П "/(//—/")L (幻 …丄厶)， n> 1/ = 1
или, символически, анти-纪土-упоряпоченной экспоненты с 《на・ гранжнаном》上土，
г+ '. J
Л^ = ^+ ехр \ 血1£*(2；), Л_ = £_ exp \ dzf L^ (^1). (1.26)
Это выражение можно переписать через единую экспоненту, показатель которой является суммой определенным образом упорядоченных запаздывающих коммутаторов,
虑••• \L±lm-^ L±lm vr lmf
£±,.三£土(理)，^^z±i
.Л± = exp £ [(—1严/础 \ …
1 < m<oo
J П d理e(2空 一 zgD) R^ 02, zg). (1.27)
Например,
Rf = L土1,
R^ = [£土 I,厶土2]'
我丰=[厶±1 亿土2, £±з]1 + 忆±3【£±2, £±1]],
~^[L±\[L±2[L±s, ^±4]]] + 2 [Д±з [L±2 [A±4, ^±i]]] +
+ 2 [A±4 [L± 1 [А±з, А±2)]] + 2[A±4 [L±3 [Aii, £±2]]].
При этом ввиду конечномерности рассматриваемых здесь алгебр Ли ряд в показателе экспоненты (1.27) содержит конечное число членов.
Следует также подчеркнуть, что реализация действия элементов вида (1.26), т. е. бесконечной суммы, на базисные со- ；22
стояния конечномерного представления обрывается на некотором члене и вклад в соответствующие матричные элементы дает конечное число членов.
Таким образом, формула (1.26) или (1.27) дает возможность восстановить элемент g и, следовательно, найти явный вид операторов А±у удовлетворяющих условиям (1.20), с помощью равенств (1.19). Действительно, зная элементы %+ и。壅_, из тождества (I. 6.4) можно выразить через них групповые параметры оставшихся элементов #+,及一 и go и, тем самым, из (1.6.3) с точностью до калибровочного произвола go+f go+gs go-f ->go_gu, gp w Go ——искомый регулярный элемент g.
Полезно привести еще один вывод спектрального состава группового элемента g—g, z土，соответствующего формуле (1.2), непосредственно из тождества (I. 6.4). Дифференцируя последнее с учетом условий (1.22) на элементы Л+ и 及_, вначале, например, по г_, имеем
#一,-go4二 + 4.go, 一片丁 + 4.gM"Iz- =調;風一、
Умножая это соотношение слева на </T+g「#二'鼻,〃二二十，получаем
/+g「(h二l亠)g。斤二 + "+ (g「g。, Z.) /T + 严+#二2一 =
=с 应—jit — , N _ == L 一， или, окончательно,
g「(.У二|"一, N_) * + g「g), ” 一 斤二尸+, z_ =工qL尸+•(1.28J
Эле?ленты из подпространств ®й из S с а <С 0 содержатся лишь в первом члене формулы (1.281) и в правой ее части. Поскольку градуировочный индекс в £_ не превышает согласно (1.25) зна~ чения (—"%_), то выражение gji (/『二 1『_,之一)gj также не содержит элементов ®G<-m_. Поэтому оператор А_ вида (1,232) удовлетворяет необходимым требованиям спектральности (1.20). Аналогичное доказательство для Д+ вытекает из формулы go (尸二"+, z+) g「 一 g。,«丁 - Л9二%一,匕=#二口+"一•(1.28上
Таким образом, задача интегрирования системы дифференциальных уравнений (1.4) решается в три этапа. Вначале находятся элементы 及+ и Ж_ в виде (1.26) или (1.27) как решения уравнений (1.25); затем с помощью тождества (1.6.4) восстанавливаются элементы /%, N_ и go, параметрлзующие операторы А± (1.23). Наконец, из сравнения разложений (1.23) и (1.2) получаются искомые зависимости функций и± (г+, ^-), /± (之+，之一)от полного набора произвольных функций д± (之土), параметризующих операторы £± вида (1.25). Тем самым,, дается решение задачи Гурса для системы (1.4) по начальным данным на характеристиках, задаваемым функциями <р；.
В* общем случае для произвольной группы Ли не существует ：явных формул, .выражающих групповые параметры элементов 4+, №_ и go через Ж^ и Х_. Однако процедура их вычисления носит чисто алгебраический характер (многократное использо- .вание формул типа Кемпбелла — Хаусдорфа), что дает возможность в каждом конкретном случае выполнить соответствующие расчеты. Вместе с тем, во многих случаях теория представлений .групп Ли G позволяет выразить эти элементы в терминах матричных элементов некоторого представления G от группо- .вого элемента 及二儿―
2. Системы, порождаемые локальной частью произвольной градуированной алгебры Ли [66]
В предыдущем параграфе была предложена общая схема .построения интегрируемых динамических систем в двумерном .пространстве, связанных с произвольной градуированной алгеброй или супералгеброй Ли, и развит групповой метод нахождения их решений. Он позволяет получить замкнутые выражения .для решений, однако, ввиду отсутствия общего способа описа- .ния (определения структурных постоянных) алгебр Ли 《пронз- вольного положения», сами уравнения не всегда удается представить в явной форме, а не в абстрактной (см. (1.4)). Кроме того, формулировка уравнений существенно зависит от выбора калибровочных условий. Вместе с тем нелинейные динамические системы, порождаемые локальной частью произвольной алгебры Ли, градуировка которой согласована с целочисленным вложением в ней Зс?-подалгебры Ль удается записать в компактном виде. Именно такие системы будут рассмотрены ниже.
Точно интегрируемые системы. В соответствии с общей конструкцией, нелинейные уравнения, описывающие точно и вполне интегрируемые динамические системы в двумерном пространстве, получаются путем реализации представления (1.1) парой операторов 4土，принимающих значения в подпространствах ®±й) а》0, произвольной градуированной алгебры Ли ®.
Отправным моментом изучения систем рассматриваемого типа является задание представления в виде
；["决+ + £о+ + 以 + + £九 djdz-. + Ek + E广 + 七「] = 0,(2.1)
где &土， 用土 и Е产(мЕ土 i) принимают значения в подпространствах ®о, ®о и ®± 1 алгебры Ли ®, соответственно;
£?= X 啖 а 3+, г-) w ®а.
Разложение локальной части ® == ®_i ф (®оф®о)ф ®i с учетом свойства (I. 2.2) индуцирует разбиение (2.1) на подсистемы: [д/дг- + 戌一 + 風一，£t] = 0, [dldz+ + 就 + + 瓦+, £_,] = 0, [d/dz+ + £o+ + 風+, d/&- + 筑- + 風[+[Ei, Ет]=0.('
В силу отмеченных в § 1.3 свойств вложения А\ в ® размерности ⑤士 j и ® совпадают (d±i=或)и на подпространствах ®±i реализуется некоторое представление ⑤j,
[®0, ®±1] и ®±1.
Все пространство ®! (S_i) может быть восстановлено из одного элемента /+(/_), заведомо в нем содержащегося, с помощью преобразований из группы Go с алгеброй Ли %, т. е. % = ={§Q^±S^, gowGo. При этом ввиду перестановочности 7± с преобразованиями из группы G^ с алгеброй Ли ⑤^ параметры gu， связанные с ⑤;，в последней формуле фактически отсутствуют, чем обеспечивается выполнение равенства d±i=d£.
Иными словами, поскольку стационарной подгруппой J± является Gg, то элементы q 三 g「g：gu, g； w G：, образуют стационарную подгруппу《точек》подпространства ®±ь % — q%L・ По этой причине соответствующим калибровочным преобразованием оператор Е+} можно свести к /+ и тогда первое из уравнений (2.2) принимает вид [Е；~ + /+] = 0, т. е. [Е厂,/+]=о.
Ввиду того, что любой элемент 簿i может быть получен из соответствующего элемента ®д действием повышающего оператора (/+), последнее соотношение дает £^~ = о. Поэтому система (2.2) переписывается в виде
£-1.г+ + [£о+ + £о+, Е-1]=0,
£j+_+ [£_ь /+] = 0. (2.3)
£о+2_ - £龍+ + [或一，Е壯]曰 \dldz^ + 戌，d/dz+ + £o+] = 0.
Последнее уравнение в (2.3) означает градиентность операторов £胪，т. е. 弊± = (g；『gh土， которые в соответствии с этим подходящим калибровочным преобразованием могут быть исключены из оставшихся уравнений. Таким образом, приходим к следующей окончательной форме записи исходной системы (22):
斗 + [以+, £-i] = 0, Е也—+ [Ет, 4] = 0. (2.4) Разрешая первое уравнение относительно 以+ и подставляя его выражение во второе, получаем искомую систему нелинейных дифференциальных уравнений 2-го порядка для функций 屮工阳，％_)• (Напомним еще раз, чго %=國，а следователь^ но, число функций (pLq и ф*а совпадает.) Для явной реализации этой процедуры раскроем коммутатор
図e」=名У%p?加一
где Саз — матрица представления 幌 в ^ -if [Х*, Х£】：= =£ С^Х；; и вводя матричную функцию R^ 三 £ С：严二，"以一 ставим его в первое уравнение (2.4). Тогда после элементарных алгебраических операций получим
此=-号 R；№t，z*・ (2.5)
С учетом (2.5) второе уравнение (2.4) приводится к виду
多(凡訴二+).= 口邱臨,(2.6)
где матрица 4仪卩 определяется из [х^, /+} = Z ЛарХа, или
屮二,= a кd z一初心"+此小Y屮:)(2.6J
Подчеркнем, что матрица R является невырожденной, и, следовательно, формулы (2.5) и (2.6) вполне корректны.
Система (2.4) может быть представлена в виде одного операторного уравнения 2-го порядка для группового элемента go из Go- Действительно, согласно определению, £__t = g{-^g^\ и первое уравнение (2.4) переписывается в форме коммутатора:
[golg^z+ + g^Ef+gtJ, /_] = 0.
Отсюда следует, что 且丁喧° 之 + g『E『gu三 Е； принимает значения в подалгебре ⑨;и Eg+ = goE^1 — go, Калибровочным преобразованием M)f gog； с g；三 Gj, не меняющим вида £ч, можно обратить элемент Е； в нуль. При этом получим £：+=——Е；П2十go". Последнее равенство означает, что между параметрами элемента g0 и их первыми производными по г+ суидествуюг d； соотношений, которые выполняют роль связей. Подставляя его во второе уравнение (2.4), имеем
(2%)(2%)(g。, z+^7 2_ + [gJ-gL，AJ = °；(2.7,)
(2%)
(2%)
где символ 4三⑤j принимает значения как дополнительное стике, поскольку из на ⑤^ зависят лишьгде символ 4三⑤j принимает значения как дополнительное стике, поскольку из на ⑤^ зависят лишьgo,z+g「三期，
где символ 4三⑤j принимает значения как дополнительное стике, поскольку из на ⑤^ зависят лишь
где символ 4三⑤j принимает значения как дополнительное стике, поскольку из на ⑤^ зависят лишь
означает, что соответствующая величина А в ®q. Здесь (2.72) может рассматриваться (или начальное) условие на характери-
?j,2统?j,2统(2.71) вытекает, что компоненты
?j,2统
?j,2统
от переменной г+. Очевидно, что это усло-
вие тривиально при пустом подпространстве ®q(£q+ ^ 0), и в этом случае системы (2.4) и (2.7) полностью эквивалентны. Система (2.7) очевидным образом может быть также перепи-
сана в виде-
(go %,2一),2 + ［^0 ^+^о» /一］ = 0,(2.8)
密42_巨酿
Системы, связанные с бесконечномерными алгебрами Ли. В соответствии с конструкцией п. 2, § I. 3 локальная часть @ бесконечномерной градуированной алгебры Ли ® содержит в дополнении к образующим Ха, l&a《do, я 篇，1&а0Н±ь подпространства ® исходной конечномерной алгебры Ли (В элементы 參；и 參^, удовлетворяющие соотношениям (I. 3.2)—— (I. 3.5). При этом рассуждения, приводящие к уравнениям (2.4), при соответствующей их модификации остаются в силе.
Аналогично выводу уравнений (2.4), согласно коммутационным соотношениям (I. 2.4), (I. 3.2) — (I. 3.5) из системы (2.2) в рассматриваемом случае получаем
£-!, Z+ + ［以+, £т］ = 0, Ef Z+ + ［風+, F-1］ = о,
Е匕—+ ［Ет, /+］-広 1, ЕтГ = 0,(2.9)
巨第_ 一囱，宫一гНо，瓦一 =0,
где
Ео. ± 1 三 ®o, ± i；負 ± i 三 ®o, ± i/®o, ± i,
［百，万一］三回，忘一Г (三観)+ ［月，Е一Г (三翩/靦)，0土尸 W ф/ I 佟+，Z.)后 ±1,琛三？瞋Z+，г_)<应士尸 ?@M(z+，z.)疗.
В матричной форме система (2.9) переписывается в виде 也…+ + ХС/Ч屮\ = 0，(2」0J
@，z+ + "Q^%@\ = 0，(2-102)
暇 z_+ 歹 ^Ф4- ?V-v=rO (2lav^X VA).(2J°3) К z_ - W猊。二=0 (次w?"怵:J，(2」O0
丸,zL "(2」。5)
(В дальнейшем будем считать, что 10 а, В W d—i, 1 W 卩， v & dL^)
Подсистема (2.100 совпадает с соответствующими уравнениями п. 1 и разрешая ее относительно 哪 получаем формулу (2.5). Из равенства (2.102) следует, что @1^ являются произ-
вольными функциями, зависящими только от г+, которые соответствующим преобразованием можно исключить из остальных уравнений.
Таким образом, подставляя (2.5) в (2.Юз), приходим к искомой системе уравнений 2-го порядка, обобщающей (2.6) на слу чай бесконечномерных алгебр,
中二屮一 =a[凡优2父/二，г++ RaBa#-J 一&《0%貳0l，(2」D где функции 礼卩 в соответствии с (2.102) связаны с 叱自 уравнениями
。二+ = £ 住％*)<₽」+，(2.12)
%三§ Q:：0二
Гамильтонов формализм. Здесь мы приведем гамильтонову формулировку построенных выше основных уравнений (2.8) (или 2.7)) в одномерном случае, когда все неизвестные функции зависят от одной переменной £三之+十之_, и эти уравнения переписываются в виде
(“&")" + [g”+g°, /—] = 0(2.131)
с дополнительным условием
g「go,£ 三硼•(2.13,)
Рассмотрим величину
•&2 = "2K2+Sp(g”+goL),(2.14)
где К2 ——квадратичный оператор Казимира, построенный из инфинитезимальных левых сдвигов L。, 1 & о & do, на Go, К2 ~ 曰X吟Скобка Пуассона & с групповым элементом go в неко- а
тором представлении Go с генераторами Ма имеет вид
｛⑨，g。｝ = g LaMagw ИЛИ 传2, g。｝ g「= J LaMa-
Составляя теперь скобку Пуассона 02 с последним элементом, получаем
｛限 Z LaM^ = Sp ｛g”+gj_, £ LaMa^
=-£ 此 Sp ｛此,[g”+g。, /_]｝ = 一 [g”+g°, /」.
Здесь для простоты мы воспользовались ортонор мированным базисом в пространстве представления Go, S^MaMb = ЬаЬ, и учли перестановочность оператора Казимира со всеми генераторами.
Таким образом, если отождествить оператор ⑨ с гамильтонианом некоторой динамической системы, то описывающие ее 128
уравнения совпадают с (2.13J. При этом условие (2.132) выполняется, если потребовать, чтобы обобщенные импульсы Ма (правые сдвиги) обращались в нуль для элементов g丁ig()f =
2 LaMa, принимающих значения в Q*
Наличие гамильтонова формализма для рассматриваемых динамических систем (2.8) позволяет применить к их изучению стандартный аппарат теории возмущений классической и квантовой механики. При этом роль свободного гамильтониана играет первый член в выражении (2.14), тогда как второй описывает взаимодействие в системе с некоторой постоянной 儿 которой мы снабдим этот член. Ряды теории возмущений в одно- и двумерном случаях оказываются конечными полиномами по 九 и воспроизводят точные решения соответствующих систем, представляющие другую форму записи этих решений, полностью эквивалентную полученным в п. 4..
Решения точно интегрируемых систем (задача Гурса). Представление (2.1) означает градиентность операторов
.4土三戌土+ Е戶+ Е丰 RgT&z土，(2.15)
где g ——элемент комплексной оболочки группы Ли G с алгеброй Ли ®, параметризуемый модифицированным разложением Гаусса:
Здесь v<±, ^+ принадлежат нильпотентным подгруппам G, связанным с подпространствами @±а, а ^ 1, a g吐 W&. В соответствии с общим методом § III. Т подчиним элементы 風七 уравнениями типа (1.25),
4±,z± = W± £<p±a(Z±)X^wW±L±,(2.16)
где 中+«(2+),(p_a(z_)——произвольные функции своих аргументов. Введем далее
= je_g0+g^^,(2.17)
однозначно определяющий (для регулярных g) элементы Л°+， /_ и g^Ngo+g^. При этом их параметры являются функциями групповых параметров элемента 魂\ т. е. Jt+(z^)t 4"_(z_).
Элементы Л±, Л°± и go определяют общие решения системы (2.2). Для доказательства этого утверждения воспользуемся вытекающими из формул (2.17) и (2.16) соотношениями X, 2_ = = %L_, %,2十= —— £+%, или в эквивалентной форме,
#二％「г_ = gQ_g『；g^gQ, z_ -片二厅丸 z_ J ^L-^+ 一 J；
/=go 'L+gu； go,2+g。,+"」"一，阡=一片一L+“-+厶十"
(2.18}
А, Н. Леэ нов, М. В. Савельев129
Для операторов Л± с учетом (2.16) имеем формулу (1.23), сравнение которой с (2.15) показывает, что операторы А+ и 4_ принимают значения в подпространствах ®о ® Si и ®0 Ф ®-i, соответственно, и, таким образом, формулы (2.17) и (2.16) обеспечивают полное решение задачи интегрирования динамических систем с операторной формой (2.2). Отметим, что из соотношений (2.18) автоматически вытекает, что калибровочно инвариантный элемент g0 удовлетворяет уравнению (2.7), тем самым, представляя собой явное его решение.
Для построения решений нелинейной системы 2-го порядка (2.6) с операторной формой (2.4), содержащей d±i неизвестных функций, следует в соответствии с результатами § III. 1 перейти в определенную калибровку, в которой
Л+ = jEo+ + /+» — Е~\. (2.19)
Сравнивая формулы (2.18) и (2.19), убеждаемся, что g°+ г = =0, т. е. go+=go+(%+), “]#+,%+=g」/+g1， и элемент
С учетом этого из соотно-С учетом этого из соотно-(2.20)(2.20)g^go— z принимает значения в 甌 шений (2.18) получаем равенство
С учетом этого из соотно-
С учетом этого из соотно-
(2.20)
(2.20)
L+=g0+J+g^,
определяющее элемент ^0+ с точностью до правых сдвигов из Go, коммутативных с /±. Поэтому будем считать, что параметры, связанные с G；, в g°+ не содержатся, т. е. g)+ gl^ зависит только от d_i параметров, которые в свою очередь задают функциональную зависимость оператора L^ Для элемента g()一 имеем go— = g「gj+.
Из равенств (2.18) и (2.19) следует, что
=Е_]
Используя последнее соотношение (2.18) и формулу (2.20), находим
-g^g。-, Z+ + (/go+尸 (”-go+), z+ =
=-(g訐％-go+尸，+ (g^”_go+)十，+ .
откуда видно, что g011go一 之十 принимает значения в 然 Поэтому рассматриваемая калибровка приводит -к правильным выражениям для операторов А± из (2.19). При этом коэффициентные функции /а разложения оператора 4一 =g；g丄一旦广目叶=
= У f Х~ удовлетворяют интересующей нас системе урав- У 程 j °' °
нений (2.6).
Таким образом, общая схема построения решений динамиче- екой системы, описываемой уравнениями (2.6), следующая.
Вводятся два произвольных элемента g声(之土) комплексной оболочки группы Ли Go с алгеброй Ли ®0-
Строятся операторы 七土 = g声J土 (g言)一* зависящие функциональным образом от d±i произвольных функций ф±а(г±) ； по ним находятся решения двух уравнений S-матричного тнпа,龙土，z± = =^±L±J представимые мультипликативными интегралами по известным формулам (см., напрммер, [9, 10]).
Из равенства (。"+g^尸(4_g J =疗-普/二 #土 三 三(g贪Г】％醋，普尸(g行fgog丁 определяется элемент 备.
Коэффициенты разложения элемента £_i, принимающего значения в подпространстве ®_и Е__х — g'/.^1, по его образующим X/ обеспечивают полное решение рассматриваемой динамической системы.
Отметим, что при выводе приведенных выше соотношений простота алгебры ® нигде не использовалась. Поэтому полученные в этом разделе формулы дают решения динамических систем, ассоциируемых с локальной частью алгебры Ли «произвольного положения», содержащей Зй-подалгебру, относительно которой элементы исходной алгебры объединяются в мультиплеты с целочисленными значениями углового момента.
§ III. 3. Обобщение для систем
с фермионными «полями» [63]
В предыдущем параграфе мы ограничились рассмотрением нелинейных систем, связанных с целочисленными вложениями Зб/-подалгебры А\ в произвольную алгебру Ли, ее содержащую. Однако полуцелочисленные вложения также представляют определенный интерес, поскольку возникающие на этом пути системы могут быть интерпретированы как модели взаимодействия нелинейных бозе- и ферми-«полей». В частности, в случае супералгебр Ли именно такое рассмотрение позволяет интерпретировать грассмановы антикоммутирующие переменные как предельный случай квантованного ферми-поля р(х) в двумерном пространстве при «нулевом значении» постоянной Планка, так как lim {屮(尤)，0(尤‘)} = 0.
Представление (III. 1.1), реализованное операторами /土, принимающими значения в подпространствах ©о ® @±1/2 © ®±i градуированной алгебры Ли, имеет вид
[d/dz+ + £+ + £+ +^Л d/加. + ё鼠 + ёg + 后]=0.(3.1)
(Здесь и в дальнейшем используются обозначения § III. 2.) При этом градуировка ® задается некоторым вложением (в отличие от § III. 2 уже необязательно целочисленным) ^! в S, и подпро-
странства ®а имеют порядок а = т/2 относительно картанов- ского элемента Н вложения (см. п. 1, § 1.3). В соответствии с (L2.2) представление (3.1) может быть переписано в виде
瓦:z+ -Etz_ + [矶2,岡2】+ [友，E「] = 0,(32)
Eg, z+ + 出工 Eg] + [塌2, £Т] = 0,
£%,+ [E鼠 成2]+历欣 讨]=0;°・2"
ё工斗 + [E上E「] = 0, etz_+[E丁，£f] = 0.(3.23)
Решение системы (3.2з) (в калибровке Eq =0) дается, как и в § III. 2, формулами
£；=/_, £： = (g^go)T/+(g®),瓦'=g『go, z_ + g「E：-go，
или, с учетом коммутативности подалгебры О； с элементами Аь
Ео = (g：go) i(g%go), z_・
При этом уравнения (3.22) представимы в виде e应2++ [七忌/-] —0,
£：2, N一 + [go g&Е^] + [禺2go，+&()]=。’
или, после замены Е^/2~^gQlEy2gQ — в симметричной форме
4"+十瓯母，go, /」= 。，
Е/Z_ + 匝£瑟「，/+] = °-
Аналогично из системы (3.2】) получаем
(go g& z__), * + [g。風2gtp 鸟仔]+ [go，+go，/」= 0・(3.3J
Таким образом, система (3.3) представляет собой уравнения для элемента go комплексной оболочки группы Go, содержащего компоненты бозе-полей, и для двух элементов Е克2, принимающих значения в подпространствах ®±i/2 исходной алгебры Ли ®. В случае, когда подпространства с пол)щелыми значениями индекса градуировки соответствуют нечетным элементам супералгебры Ли, коэффициентные функции /^2(2+, а_) в разложении Е书& (III. 1.2) следует считать антикоммутирующими образующими пространства Грассмана. В частности, для супералгебры В(0, 1), у которой подпространства ®о ^ ｛厶｝, <3±i/2 三｛缉土｝ и ®±i 三｛宛土｝ одномерны (см. п. 2, § III. 1), система (3.3) в подстановке go = exp Ах, Е丰2 = s士缉土 приводит к компонентной форме суперсимметричного уравнения Лиувилля (III. 1.13).
Система (3.3) снова может быть переписана в виде представления типа (III. 1.1) уже инвариантным (в определенной калибровке) способом,
竹/也+ + g~'E^g0 + g”+g°, d/dz_ + g04g°, z_ + ER + /_] = 0,
(34)
или, после очевидного калибровочного преобразования, в эквивалентной форме
卩/%+ 一 统,z+gj + 魂 + ，+，0/火一 + goE/gJ + g(/-g「] = 0.
(3.4J
Отсюда вытекает очевидная инвариантность системы (3.3) относительно замены 2十二2一，80^g(i\ /+二/一，Ej^二e6. в случае нулевых значений спинорных полей (элементов 七苗) в начальный момент времени, система (3.3) естественно переходит в систему (III. 2.8), связанную лишь с целочисленными вложениями 4 в
Форма записи (3.4) рассмотренного здесь класса нелинейных систем позволяет в полной аналогии с результатами п. 4, § III. 2 сразу построить явным образом решение задачи Гурса для (3.3) в виде конечных полиномов кратных интегралов от соответствующих произвольных функций и формальное решение задачи Коши для той же системы как некоторый «хронологически» упорядоченный по контуру интеграл. Все расчеты, связанные с этим подходом, приведены в § V. 5.
4. Представление типа Лакса как реализация условия автодуальности цилиндрически-симметричных конфигураций калибровочных полей )
Теория калибровочных полей представляет собой идеальный полигон для приложения общего алгебраического подхода, развитого в первых параграфах настоящей главы. В рамках этого подхода удается провести единое конструктивное описание при произвольном вложении r4(s〃⑵)в компактную калибровочную группу Ли цилиндрически-симметричных инстаптонных и сферически-симметричных монопольных (дионных) конфигураций полей Янга ——Миллса ——основных нелинейных объектов теории. (Отметим, что исследования именно в этой области послужили стимулом и отправным моментом к созданию данного подхода к изучению нелинейных динамических систем, получившего впоследствии значительную общность.) Поэтому представляется полезным для данного физического приложения проследить за
тем, как в нем непосредственным образом возникает представление типа (1.1).
Поле Янга — Миллса над евклидовым пространством /?4 с калибровочной группой Ли G задается своими компонентами Л ц(х), О《卩 0 3, принимающими значения в алгебре Ли ® группы G и являющимися дифференцируемыми функциями х 三 R&. Используя тождество Бьянки, нетрудно показать, что уравнения движения [。/。工卩 +加卩，夕乩丫] = 0, вытекающие из требования стационарности действия ^=—寸好 \ d'x Sp^uvS^^y, выполняются, если поле автодуально или антиавтодуально, т. е. если
Здесь歹以VЗдесь歹以Vs [д/дх^ + <5^ц, d/dxv + ^v] 一 тензор поля, 8цгрт —
Здесь歹以V
Здесь歹以V
по всем индексам тензор, £1230 曰 которую в дальнейшем будемпо всем индексам тензор, £1230 曰 которую в дальнейшем будемдуальности выделяется важныйдуальности выделяется важныйполностью антисимметричный = 1; е — постоянная связи, опускать.
по всем индексам тензор, £1230 曰 которую в дальнейшем будем
по всем индексам тензор, £1230 曰 которую в дальнейшем будем
дуальности выделяется важный
дуальности выделяется важный
Среди решений уравнений
подкласс ——так называемый инстантонный (антиинстантонный), который регулярен во всех точках х ^ /?4, включая бесконечность, и отвечает конечным значениям действия. Последнее пропорционально в этом случае топологическому заряду Q 三 1/(16冗2) \ d4x Sp* 夕山”歹卩丫・(Естественно, что антиинстантоны получаются из инстантонов заменой ориентации пространства.)
Проблема описания всех инстантонов для произвольной компактной классической группы Ли получила полное математическое решение на основе методов алгебраической геометрии [5]. Вместе с тем, было бы очень интересно, хотя бы для дуального подкласса, построить общие (а не только параметрические типа ипстантонных) решения уравнений Янга ——Миллса, определяемые набором произвольных функций, достаточным для постановки задачи Коши (или Гурса). Это удается сделать при наложении дополнительных условий симметрии, упрощающих изучение рассматриваемой системы благодаря редукции полного числа ее степеней свободы к инвариантным относительно некоторой подгруппы конформной группы координатных преобразований. (Напомним, что теория Янга ——Миллса инвариантна относительно прямого произведения последней и калибровочной групп.) Требование цилиндрической симметрии в /?4 позволяет в полной мере решить рассматриваемую задачу и в то же время сохранить ряд основных " изических свойств теории. Именно на этом подходе мы и остановимся более подробно.
Рассмотрим поле Янга ——Миллса 必以(％), цилиндрически- симметричное относительно полного момента Т = J \- L^ где L = —ixXO/dx — операторы пространственных вращений, а J ——элементы некоторой подалгебры su(2) алгебры @ калибровочной группы G, произвольным образом в нее вложенной. Компоненты поля *о и 网 преобразуются, соответственно, как ска-
ляр и вектор относительно преобразований, генерируемых операторами Л (перепутывающими внутренние (калибровочные) и пространственные индексы поля), и зависят только от переменных Г三(%2) 1/2 H f三
Рассмотрим теперь векторное пространство алгебры @, натянутое на перестановочные с Т элементы, зависящие от-точки х трехмерного подпространства R4 и сохраняющие цилиндрическую симметрию конфигураций. Эти элементы образуют алгебру @о калибровочных преобразований двумерного пространства (г, /), являющуюся подалгеброй ® и, естественно, определяемую вложением sw(2) в ®. В соответствии с мультиплетной структурой ® относительно Т они имеют вид 力，> =£ % ⑺尸匕"， где У^(л) — сферические функции аргумента п х/r. Из компонент каждого неприводимого мультиплета Ж1' V/ и единичного вектора п (преобразующегося по векторному представлению SU(2j) согласно правилу сложения моментов можно построить три типа операторных векторных структур:
/；:(3={m/‘' VI,£沪’%, n X ыЛ 丝.
(В случае G = SU ⑵，роль Y^ (n), /', иГ;, ZF; и zi X £犷' играют величины и, (по), л (по) ,пХпипХпХп, соответственно, где ст — матрицы Паули.)
Отметим, что рассматриваются лишь целочисленные вложения rA\ в G, т. е. не приводящие к спинорным мультиплетам. Это связано с тем, что из их компонент и вектора п нельзя построить скаляров относительно Т.
Таким образом, компоненты поля 垓从(х) параметризуются не- тырьмя операторными структурами,^ (г, О ^=S Фц(^> t^W31' "), являющимися скалярами относительно полного момента, [Л Жц] = О:
必о = #о, ^ = rtrL + Uf2 + n X LT3^ (4.1)
Электрическая 鋁 и магнитная 箔 напряженности калибровочного поля вычисляются по обычным правилам и в- системе 门=(0, 0, 1) представимы в виде (因，三夕2，第i w 1/2g"%夕,j
/=% [纱4纱」，%。 =-%出+0-2 ｛次十，r-]+Щ, 疗士 一非士 = 一（4 + 2一尸（纱中/±）,（4.2）
/土 十%土 = （z+ + Z一）T （砂土/土）.
Здесь введены обозначения:
r±^=E(z++z_){[7±, 土，炭2-#3] + (z++z_)T/J,.
Ж1三一犷|干，犷0,
(纱±犷)三产 z土 + [歹[,.У] — ковариантные производные,- f爲，勿口三U爲，维± ‘憑},'"
1窮
%三俸，非./}. Jo 三 H ——картановский элемент вложения, 2г±三『干it.
В соответствии с выражением (4.2) для напряженностей поля, формулы плотности действия ^ ^— л ^ dz+ dz_s и топологического заряда Q 曰 ——(1/16冗)\ dz± dz_q имеют вид
S = Sp { % G+ + Z .)2 (歹:+z_ + f)一(纱+#一)(纱.*+)-
一(2+次+)(勿 _/-)},(4.3)
g = Sp { -(Z+ + Z—)2 歹z+z J + (纫+ 产一)(空r+) 一
一(纱+/+)(纫一/一)}.(4.4)
Таким образом, лагранжиан системы описывает взаимодействие заряженных полей 犷士 и калибровочного поля 毋屮—с само- действием в двумерном искривленном пространстве.
Уравнения движения в терминах этих полей можно получить варьированием функционала действия (4.3):
【纱+,勿」+/± = 土%±, V],
[勿+，歹z+z_]=次+,(勿+"一)]-[/-,("》+ )],( ■
где [,]+ означает антикоммутатор. Уравнения автодуальности представляют собой специальный подкласс этой общей системы:
(纱—#+)н0,(⑦+/-) = (),画+，勿」十[#+,/-] = о, (4.6)
и вытекают из (4.2) в результате приравнивания компонент электрической и магнитной напряженностей поля. Их запись в форме (4.6) требует дополнительной замены 犷：一》#；± 土(///2)(2十 + %_),絞出-»(2十十2_)犷士，«выпрямляющей» пространство (и сокращающей член —*/2(<+ + z_) ~2Н в выражении для 鑑с). Соответствующие уравнения для антиавто^ауальных полей получаются из (4.6) очевидной заменой 产+甘>二
Левые части уравнений системы (4.6) принимают значения в разных подпространствах (@+ь ®_j н @о соответственно) алгебры ®, градуировка которой задается элементом Я подалгебры s〃(2). С учетом этого систему (4.6) можно переписать в виде представления типа Лакса (1.1) с операторами 4± = = #) + #3fc (сравните с (2.1)), принимающими значения в локальной части алгебры ® калибровочной группы при произвольном целочисленном вложении в нее 履4・
Таким образом, общая процедура построения общих решений, развитая в § IIL 1, позволяет получить полное описание цилиндрически-симметричных автодуальных конфигураций . полей Янга ——Миллса. Подчеркнем, что никаких предпо^жений относительно свойств алгебры калибровочной группу ° (типа
компактности, простоты и других), за исключением наличия у нее З^-подалгебры 4* сделано не было. В наиболее простом и наглядном случае минимального вложения Ах в простую алгебру Ли ® эта система в соответствии с результатами § III. 1 сводится к уравнениям (1.9) обобщенной цепочки Тода, подробно изученной в следующей главе.'
Остановимся кратко на задаче вычисления топологического заряда (4.4) автодуальной системы или, что здесь то же самое, ее действия (4.3). С этой целью перепишем заряд с помощью простых алгебраических операций
g=sp н {[J ^^<z++у+1]产二 2+ - n.
+ H(z++Z—)T]}.(4.7)
Ввиду того, что SpH/±wO, в формуле (4.7) можно величину Ж1 тождественно заменить на Л± вида (1.23), откуда
Sp н (県匕-n. z_) = Sp ” 两匕,G J =
= UV£%Sp(M")，(4.8)
где Hj — параметры элемента exp g %Н〕картановской подгруппы в разложении Гаусса для go, которые в соответствии с формулами гл. I выражаются через старшие векторы 自⑺ фундаментальных представлений G:
С учетом этой формулы, подставляя (4.8) в (4.7), приходим к следующему окончательному выражению для плотности топологического заряда автодуальной конфигурации:
д = _ ^ [^ 豆/名二(Z+ + z_)2 + 1 ] а/з匸 X
(4.9)
где с$ — коэффициенты разложения картановского элемента вложения Н по образующим е; Sp (力血力=(1/2)a・论小
Отметим, что в случае минимального вложения, когда с； == А/, эта формула в результате суммирования по f и / может быть переписана в виде
Г 1 д2 ,01 д2 「产(羯％-)1 _
д = - [т dz+dz_(z++z-)+ 叮 &；疋 In [ з + 2_产J R
= 42»/^/ [exp Р/ — Pi[ z+z_> (4-10)
где р/ 三 р/ + 2 1п(г+ + z_) — In 同.
В заключение этого параграфа рассмотрим кратко задачу описания сферически-симметричных монополей (дионов) в пространстве Минковского (с полем Хиггса в присоединенном представлении калибровочной группы) в пределе Богомольного — Прасада — Зоммерфельда. В этом случае плотность гамильтониана & для чисто магнитных, не зависящих от времени решений, дается выражением
痂=% Sp雍2 + % Sp (数)2*% Sp施千多%)2 土 Sp (您效)，
где 雍——магнитная напряженность поля Янга ——Миллса 必拉= = (0, 直)，параметризованного структурами Ж (г) (см. (4.1)), (%()三叫干一［£, у］.
， Любое решение дифференциальных уравнений 雍=0% (卷= ——多％) реализует минимум энергии <5 = } d%$2》\ "% Sp X Х(雍笈Z), определяемый формулой
(4.H)(4.H)2n\ " Sp ｛六(⑦*k一［部+,"［涉，%］｝,
(4.H)
(4.H)
где (⑦/) = %『一［/', %］. Сравнивая выражение (4.11) с интегралом по г от плотности действия s, задаваемого формулой (4.3), в которой функции 犷； и 犷士 удовлетворяют уравнениям автодуальности (4.6) и осуществлен переход к статическому пределу, убеждаемся, что они совпадают при 犷()= % м 步=Ж. Таким образом, прообразы /=% н % = “ статических автодуальных полей (必& %) в /?4 являются монопольными решениями в пространстве Минковского с полем Хиггса в присоединенном представлении G.
Для описания несингулярных магнитных монополей следует перейти к статическому пределу в построенных в § III. 1 общих решениях уравнений (4.3) и обеспечить конечность энергетического функционала (4.11) путем наложения соответствующих граничных условий. При этом решения, определяемые необходимым для постановки задачи Коши числом произвольных функций 它+, 2— переходят в параметрические, в полной аналогии с соответствующей инстантонной задачей (более подробно см. § IV. 1, п. 6).
Заряд магнитного монополя также определяется статическим пределом формулы (4.10). Отметим, что дионные решения могут быть получены из 吻 н % очевидной заменой Wz = Ж, »〔= = sh6x； %' = chOx, где 9 — произвольная постоянная. 一
ГЛАВА IV
НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С КОНЕЧНОМЕРНЫМИ
АЛГЕБРАЛ1И ЛИ, И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
В этой главе в явном виде проводится построение общих решений ряда конкретных двумерных классических нелинейных снеге?л типа (III. 1.4), связанных с конечномерными алгебрами (супералгебрами) Ли. Кроме того, в тех случаях, когда для приложений важны также одномерные (параметрические) решения, проведена соответствующая редукция.
1. Обобщенная (конечная непериодическая) цепочка Тода
Вводные замечания ). Рассмотрим двумерную динамическую систему, описываемую дифференциальными уравнениями с экспоненциальными нелинейностями вида
ехр Р/,-(1.1)
где А — некоторая, вообще говоря произвольная, числовая матрица. Уравнения (1.1) аналогично (III. 1.9) возникают из представления (III. 1.1), в котором операторы А± натянуты на образующие 力八 卷土/ (некоторой, уже абстрактной, алгебры) А± 三 =Z [u±/ (胃+，胃_)々 +，土/ 佟十，之_)衫土/]，удовлетворяющие коммутационным соотношениям (1.2.8). При этом матрица 坛 входящая в последние, считается также произвольной числовой матрицей, а р；三 In f+/f~j.
Заметим, что система (1.1) для матриц Картана k простых конечномерных алгебр Ли S с очевидностью вытекает из (III.2.6) в случае канонической градуировки ® (<3о ={%，}, @±, =母上/}, 1 а y Г, /士 = J 欧非±/,也三 2 y %丿)，когда 弋j = — k“(pL/,屮"мехрр/； /“ = —6力 или из (Ш28) с gu = exp [一 A h闯(p/-ln 瓦)].
Динамические системы подобного типа встречаются при описании многих существенно нелинейных физических явлений. Попытки последовательного учета соответствующих нелинейных эффектов для таких систем восходят, по-видимому, к работам Ферми, Паста и Улама по проблеме теплового равновесия.
Уравнения (1.1) для одномерного случая
d/2 三 Pt = ± 纟也〃 exp " (1.3)
с матрицей 々仃=26〃 ——&+仃——S(/+i впервые были введены и изучались в работе Тода ) [86] при описании экспоненциального взаимодействия между ближайшими соседями («частицами») в одномерной решетке с закрепленными концами, 1 W t, / W г, ро = Рг+1 = —8. Впоследствии доказательству полной интегрируемости и существования дополнительной серии интегралов движения таких одномерных систем были посвящены многочисленные работы как физиков, так и математиков. В частности, была установлена связь системы (1.2) с классической серией Аг и построена так называемая обобщенная цепочка Тода с закрепленными концами, ассоциированная с корневой системой произвольной конечномерной комплексной простой алгеброй Ли G ранга г. И, наконец, при изучении ци- линдрически-симметричных конфигураций полей Янга — Миллса с произвольной компактной простой калибровочной группой Ли % для минимального вложения в нее SU(2) была получена система (III. 1.9)—обобщенная двумеризованная цепочка Тода. (При произвольном вложении SU(2) в УС возникающие уравнения (III. 4.6) содержат систему (III. 1.9) в качестве частного случая и также отвечают градуировке в (III. 1.2) с m十 = m_ = = 1, но, вообще говоря, с неабелевой подалгеброй @0 в 宓，т. е. системе (III. 1.6) (более подробно см. § III.4).)
В этом параграфе, следуя общей конструкции гл. III, мы построим в явном виде общие решения (в смысле задачи Гурса) системы (III.1.9), т. е. уравнений (1.1), в которых матрица % совпадает с матрицей Картана произвольной конечномерной простой алгебры Ли над полем С. Тем самым, будет полностью описана двумерная обобщенная (конечная непериодическая) цепочка Тода. Другой важный частный случай системы (1.1), когда k совпадает с матрицей Картана бесконечномерной простой алгебры Ли конечного роста, связанной с периодической цепочкой Тода, рассматривается в гл. V, VI.
Заметим, что, как это ни парадоксально на первый взгляд, двумеризованный вариант системы (обобщенной цепочки Тода) в классическом и квантовом случаях (последний рассмотрен в гл. VII) допускает существенно более простые по сравнению с соответствующими обыкновенными дифференциальными уравнениями методы решения, т. е. методы явного интегрирования. При этом общие решения одномерных классических систем получаются достаточно просто из двумерных; для квантовых систем ситуация более сложная.
Построение точных решений на основе общей конструкции гл. III *). Согласно общей схеме § III. 2 решение системы (III. 1.9) в случае конечномерной простой алгебры Ли @, описывающей двумерную обобщенную цепочку Тода с закрепленными концами (ро == pr+i =——оо), полностью определяется групповым элементом Ж (III. 1.16). При этом в соответствии с канонической градуировкой @ уравнения (III. 1.25) для элементов 賓土(z土) переписываются в виде
(1.3)
и выражаются формулами (III. 1,26) (или III. 1,27)) рамии выражаются формулами (III. 1,26) (или III. 1,27)) рамиссоперато-операто-丄+ =-宁斗加"=I具，%（Z+） %, 丄旷勿z_ = |vZ『T（Z-）然八丄+ =-宁斗加"=I具，%（Z+） %, 丄旷勿z_ = |vZ『T（Z-）然八(1-4)(1-4)
и выражаются формулами (III. 1,26) (или III. 1,27)) рами
и выражаются формулами (III. 1,26) (или III. 1,27)) рами
с
с
операто-
операто-
丄+ =-宁斗加"=I具，%（Z+） %, 丄旷勿z_ = |vZ『T（Z-）然八
丄+ =-宁斗加"=I具，%（Z+） %, 丄旷勿z_ = |vZ『T（Z-）然八
(1-4)
(1-4)
Здесь через Л5土 и Л± обозначены элементы комплексной оболочки максимальных нильпотентных подгрупп группы Ли G с алгеброй Ли ®; элементы go土 из (III. 2.17) параметризуем через генераторы картановской подгруппы G в виде
g°±=exp 后土，右 ± = ]vZ"；'r "'б
; Как уже говорилось, равенство (I. 6.4) в виде
Л^Л^Л_^ НЛ^, н^н+-н_= ^ "А (1.6) позволяет определить 斤土 и ехр Й и, тем самым, найти функции /±『из (III.1.7), через которые выражаются решения р/^ In Z+/.f_; системы (III. 1.9) или, что эквивалентно, системы (III. 1.10). Однако даже в интересующем нас здесь случае конечномерных простых групп Ли G над С вычисление элементов 斤± в явном виде ——процедура довольно громоздкая и трудоемкая. Вместе с тем оказывается, как мы покажем ниже, что решения системы определяются функциями Н, = Sp (力//?).
Из сравнения (III. 1.7) с (III. 1.23) следует, что (йи+) = Я_ “ (hti_)=百十 n ,т. e. в соответствии с уравнениями (III. 1.8)
(W Q — (к Z+) = 2 fljEXppj = ■—百 у? ,(1.7)
тогда как благодаря тождеству (1.6) и определению (1.5.22) и (I. 7.1) старшего вектора g" (g) /-го фундаментального представления G,
^Hi = ^!｝ (Ж\.(1.8)
Таким образом, из (1.7) и (1.8) получаем
exp р； = — [in g｛,｝(4 J4_)] z+z_.(1-9)
С помощью уравнений (1.3) и (L7.2) можно показать, что старший вектор 自‘"(冗)неприводимого представления G со старшим весом 厶 удовлетворяет соотношениям
5‘)(%)h+ = 一 Z 中+/.(2+)@1獨№；"*)=
/(1.10)
尼⑴(/=乡 %•(-)xl产｝(%).
Рассматривая в качестве 三⑷ в формулах (1.10) старший вектор фундаментального представления 自｛"(”犷；|贫_) и учитывая, что согласно (1.5.22) Х；"" = Х；8" = 0 для всех( =/= /', получаем 店⑺(/]，△=—(р+/1⑺(力，к⑺ml. z_=中一/狷"(%).
Поэтому правая часть (1.9)
[1п 2"，_ *+5么绘⑺)一2三
三(")det｛；｝+
переписывается в виде
一(屮『%〜det(户
I您足八 X%X*屮｝丿
и в соответствии с (I. 7.11) равна
Таким образом, окончательные выражения для решения системы (III. 1.9) имеют вид
expp；(z+，^.尸%⑵中一eг爪丄3乜齊ь一方2(1.11)
ИЛИ, ДЛЯ функций Xi = 2 々斤‘Р/
exp [— 忆(Z+，z_)] = exp { — ] v昊.尼丁也[q)+д>_/]} X
x e"}(贫二贫_),(1.12)
и определяются 2r произвольными функциями ф±/(г±).
Из этих формул можно получить решение задачи Гурса для двумеризованной обобщенной (конечной непериодической) цепочки Тода. Действительно, подчиним элементы 血士 начальным условиям 贫+(々+)=1, М^аД = 1, где 0十 и а_ — произвольные числа. Тогда из (1.11) следует, что
ехрр, (。+，г_)=ф+；(а+)ф_；(г_),
eхрр,е+，a_)=%(2+)忆(a-) и, следовательно, общие решения (1.11) выражаются через начальные данные ехрр»(а+, г_) и ехрр£(2+, а_) на характеристиках 之+ =。十 н z__ = Q—
В дальнейшем, для сравнения со случаем бесконечномерных простых алгебр Ли конечного роста, полезно напомнить, что старшие векторы 自{”(％"；14r_) фундаментальных представлений G могут быть в соответствии с (I. 7.9) записаны в виде скалярного произведения:
自⑴(次二4_) = Sp(4+A；."二•風一笊 JT：W
= WQR；,坦_若盘]、(1.13)
Приведем еще один вывод выражений для решений (1.12), основанный непосредственно на соотношениях (III. 2.18) применительно к рассматриваемому случаю. Для этого введем токоподобные операторы:
*+ 三出:%+.斗=exp (-方)厶+ exp H,
3_ w ”二”+. z_ = HtZ_ + L_- ”二厶
Из условия их совместности в виде ①/夾十十 “ d/dz—十 _3—]= =0 приходим к уравнению
瓦exp (—中厶+ exp 硏，(1.14)
являющемуся частным случаем (Ш. 2.71) при g0 = exp Й, Тогда, используя (1.4) и коммутационные соотношения (1.2.8), а также разлагая /? по образующим й； из $, получаем
员 = S 中+/% [纺“ exp (一 X "丸)缙j exp ( £ 储％)]=
£ Ф+/Ф-/ exp [~ (kH)^ [^_.,匐=
=—£ qp+iT_^xp[— {kH)^ 儿'
'i.Z+J = - ®+，(z+) ф-z(Z-) exp [-(左切 J
Вводя затем функцию
(1」5)(1」5)X^-H^ Wv；喟 In [% (Z+) % (Z_)],
(1」5)
(1」5)
с очевидностью убеждаемся, что функции х/ удовлетворяют системе (III. 1.10) и их экспоненты представимы в форме (1.12).
Простейшие примеры. Для иллюстрации структуры общих решений, построенных в предыдущем пункте, рассмотрим алгебры Aj и Л2. Первый случай вполне очевиден, так как для него показатели экспонент (III. 1.27) содержат лишь один член, а именно
*<+=ехр\ q>+(z])dz]绪+，&=ехр[ ф_ (z'J) dz__3?
и согласно тождеству (1.6)
#± = ехр[\(р± (z^ dzje^ exp (— Я^], exp H = exp "也 居==In [ 1 —,屮十(之；)dz； , <p_ (?二)dz_ j . Таким образом, в соответствии с формулой (1.15)
ехр(—х) = №+(2+)<р_(2_)]""[1 —，(р+ [z^dz^ (р^ (z^dz^,
(1-16)
что совпадает с известным общим решением уравнения Лиувилля (III. 1.11), проинтегрированного Лиувиллем в середине прошлого века.
Менее тривиальным примером является случай алгебры ДаВ соответствии с (1.27) .
原土 нeXр [a±£±"，+ %线m +。±12銓g+m)l，
a±i = \ ①±i(<t)dz；,。±2=\ 也2(z土)dz],
«±12 = 4 J 陷，dzl [ф±1 (г；) <P±2 (zX) - ф±1 (zX) ф±2 (г；)].
Коэффициентные d ункции b± и "丿 в показателях экспонент элементов
”士 = exp [Z2b^±nj + 匕土讚土(吋 “j，ехр 疗=ехр 店纟"％
вычисляются С ПОМОЩЬЮ (1.6) и имеют вид
Ь±1 = (а±1 - а±з%) ехр (-从),
噎=[«±2 + 依上з - а±~±2)。目 ехр (- %),Ь±з = азехР(-wi)>
"i = In (1 - a{a^ + а3а_3),也=In (I - а2а_2 + @\), где
%м 干 а±|2 + %а±/1±2 =%м 干 а±|2 + %а±/1±2 =S dz[\ ^Xi«)T+2^；),
%м 干 а±|2 + %а±/1±2 =
%м 干 а±|2 + %а±/1±2 =
z_2 二
\ d2[\ 之瞑0.2空),
а±3 = ± a±i2 + %q土产土2，
Поэтому из формулы (1.15) получаем
ехр (— хJ = [% 3) ф_! (г_)]~2/3 [%(4)Ф_2(г_)]"1/3Х
Г г+z_z+ z+
X[1 -J Ф+1 (4) d^+ J <PT(z「)dzL + \ dz[\ dz^+t (2^) X Хф+2«) j dz'_ J ^ф_1(г1)ф2(г!)], (1.17) exp (- /) = exp (— %] (q>±| о Ф±2)).
Из приведенных формул видно, что групповые параметры элементов ^± имеют довольно сложную зависимость от параметров Л± даже в таком простом случае, и, следовательно, искомый полный групповой элемент g, определяющий посредством формулы (III. 1.19) функции и±/ и /±/, также весьма сложен. Несмотря на это, интересующие нас в конечном счете решения, связанные с элементами картановской подгруппы в разложении Гаусса, вполне обозримы; они фактически представляют собой полиномиальную форму записи старших векторов фундаментальных представлений через параметры Ж^Л_ группового элемента в соответствии с выражением (1.5.24).
Построение решений без использования представления типа Лакса *). В ряде случаев, в частности для расчетов в конкретных физических приложениях, связанных с классическими сериями простых алгебр Ли, оказывается предпочтительным использовать явные выражения для решений систем (III. 1.9) или (III. 1.10) через определители некоторой матрицы, а не общую формулу (1.11) или (1.12). По этой причине здесь мы
дадим также непосредственный метод построения общих решений, не апеллирующий к представлению типа Лакса (III. 1.1).
4а. Симметричные свойства системы для серий 4, b, С н редукционная процедура. Нам потребуются симметричные свойства рассматриваемой системы, вытекающие из структуры соответствующих матриц Картана, зацепляющих нелинейности. При этом удобнее исходить из уравнений в форме (III. 1.10).
Матрицы Картана классических серий Аг> Вг и Сг имеют единообразную структуру, за исключением элементов правого нижнего 2X2 блока 泛：
ПодставляяПодставляя焉=(一：口)，^s=(_? _2)-反=(一；
Подставляя
Подставляя
тогда как 比7 = 26"，—即+i —1 总 L j W r—2
явномявномвиде.виде.в систему (III. 1.10) матрицы Картана этих серий 】 получаем
явном
явном
виде.
виде.
笛. 2产_ = exp (2xi ——m),
(1-18)(1-18)必匕?一 exp (- M + 2也一х3),
(1-18)
(1-18)
办 г+г_ =е\р(—打т + 2切一勺+1),
右一2, ?+J = exp （一上一3 + 2打-2 -打-I）；
(exp (--%r一2 + 2%「-I -- хj для /h ?+2一 —(exp(-右一2 + 2也-1 — 2/)для{exp (— xr-i + 2打)дляexp (- 2尢- + 2右)для(exp (--%r一2 + 2%「-I -- хj для /h ?+2一 —(exp(-右一2 + 2也-1 — 2/)для{exp (— xr-i + 2打)дляexp (- 2尢- + 2右)для4, &,4, Вг, а；4, &,4, Вг, а；(1.19)(1.19)(1.20)(1.20)
(exp (--%r一2 + 2%「-I -- хj для /h ?+2一 —(exp(-右一2 + 2也-1 — 2/)для
{exp (— xr-i + 2打)для
exp (- 2尢- + 2右)для
(exp (--%r一2 + 2%「-I -- хj для /h ?+2一 —(exp(-右一2 + 2也-1 — 2/)для
{exp (— xr-i + 2打)для
exp (- 2尢- + 2右)для
4, &,
4, Вг, а；
4, &,
4, Вг, а；
(1.19)
(1.19)
(1.20)
(1.20)
позволяющие выразить неизвестные функции ехр(—х；), 2^/^г, через одну неизвестную функцию X 三 ехр(—修).Действительно* первое уравнение в (1.18) дает
ехр(—%2)= — det( х г)三一厶2(%)・
Из второго уравнения имеем
/ XX、z_X. Z-N一 、
ехр(-r3) = - det <n*%2了.区2戸1一 =-&(Х).
X “亠 X“+z_z_ 丿
Продолжая процесс редукции вплоть до (г ——2)-го шага, получаем для всех серий
expf ) = (_『"4(Х),(1.21}
1 </^г для Лг, IWj&r —1 для Вп С，，
где А『(Х)——главный минор /-го порядка матрицы (dldz^f^ X X (dldz^)q X. Заметим, что рекуррентное соотношение (1.21)
вытекает из следующего легко проверяемого тождества:
[1п & (X)L z+z_ = A/т (X) А/+1 (X) А尸(X).(1.22)
Последующие этапы для классических серий Лг, 8「, Сг различны в силу уравнений (1.19) и (1.20). Из (1.19) имеем
)/2Ag = ( ехр(_* для 4, &,
() 「 t exp (— 2хг) для Br. ( * 3)
Последний, r-й шаг для серии Аг дает соотношение
(Х) = (-1)"+"2, (1.24)
представляющее собой нелинейное уравнение 2г-го порядка для определения одной неизвестной функции X, через которую все остальные неизвестные функции ехр(——修)，2&/&乙 выражаются посредством формул (1.21). Для классических серий Вг и Сг уравнения для определения функций X ——существенно более сложные. (Аналогичная ситуация имеет место для Dr и особых картановских алгебр G2, F^ и £б, 7,8-)
Таким образом, приведенная выше редукционная схема дает алгоритм вычисления решений системы (III. 1.10) в виде явных формул для ехр(—巧)，2 & j《 г, выражающихся через одну неизвестную функцию X. Последний этап редукции, определяющий функцию X, является конструктивным лишь для серии Лг, тогда как для остальных простых алгебр Ли (в рамках приведенной в этом пункте схемы) требует более детального анализа структура их корневых пространств. Отметим, что в выделенном положении при этом находятся серии В и С, для которых системы уравнений получаются некоторым предельным переходом из соответствующих уравнений алгебр А.
Действительно, система (III. 1.10) для серии Аг симметрична относительно перестановки 巧= 1 & j W г, и, следовательно, она обладает решениями с 尤/ = %厂_/+1. При этом для четных r(=2s) система в результате приравнивания х, == xr_/+i переходит в соответствующую систему серии Bs (при необходимой дополнительной замене x,s на 2х$, обусловленной удвоением недиагонального элемента предпоследней строки матрицы Кар- тана В по сравнению с серией А). Для нечетных 厂(=2$—1) приходим таким же образом от #2$—i к системе (III. 1.10) для серии С5.
Аналогичная ситуация имеет место и для алгебр G2 и F^ Именно: приравнивая в уравнениях (III. 1.10) для £б функции Xi = хе,无3 =尤5 и делая замену х\-^х^ x2~^xb 尤3 f %з,尤4-> 无2, получаем систему, отвечающую алгебре 尸4； равенство %] = Хз для В3 приводит к системе для алгебры G2-
Непосредственное решение системы (III. 1.10) для серий Лг. В соответствии с приведенной выше редукционной схемой, задача полного интегрирования системы (III. 1.10) для серии Аг сводится к нахождению решений нелинейного уравнения
для единственной неизвестной функции Х(нехр(——к»), через посредство которой остальные функции ехр(——х；), 2&jW厂 выражаются по формулам (1.21). Решение уравнения (1.24) будем искать в виде
Х = Н『Р：(2+)Р：(2_),. (1.25)
где Р：(2士)一 некоторые функции своих аргументов. Заметим, что такой выбор подстановки подсказан общим решением (1.16) уравнения Лиувилля (III. 1.11), которое, как уже отмечалось, является однокомпонентным частным случаем нашей системы, отвечающим алгебре 力i (力= 2). Подстановка (1.25) в определяющее функцию X уравнение (1.24) приводит к факторизации зависимости от z+ и 之_, а именно к произведению двух определителей (「+ 1)-го порядка матриц 戶+ м Р_ с элементами
叫产士，0《а，&&r,
b т. е.
Дг+1 (X) = det Р+ • det Р_ = (-1)г(г+1>/2.(1.26)
Таким образом, существенно нелинейная система г уравнений (III. 1.10) в частных производных второго порядка для серии %г (т. е. (1.18) с 1《j W г) в конечном счете сводится благодаря независимости 力+(户_) от 之_(之+) к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям r-го порядка, определяющим неизвестные функцииР^_ (г+) и P[(z_), например, по известным функциям Р(修+) и Р；(之_), 0WjW「——1, соответственно. При этом, без потери общности, уравнение (1.26) можно переписать в виде уравнений
detP+ = l, det/>_ = (-1)г(г+1)/2>(1.27)
которые затем уже легко решаются по индукции.
Действительно, при г=1 (алгебра 力i) из (1.27) имеем уравнения
'РУ； z+ -г/； = 1，P"L - ^, z_PL к - 1, (1.28)
обладающие частными решениями Р；=%土, P[ = =F1. Благодаря конформной ковариантности уравнения Лиувилля функция X с образующими
吗="土県£，噴=干咤詳，(L29)
где 〃+(之+) и и_(г_) — произвольные " ункцни своих аргументов, также удовлетворяет этому уравнению, в чем, впрочем, нетрудно убедиться прямой подстановкой (1.29) в (1.28). Отметим, что уравнения (1.28) очевидным образом решаются непосредственно (без использования конформной ковариантности исход-
ного уравнения), путем преобразования их к виду(Р^М±) г + — =± (R尸，
N±
理П士喝(吗(3也，
или, после преобразования р]0 ①工"?(2土), z 土
吗=土 [中± (z±)『叮中± (戏)应.
Таким образом, на основе подстановки (1.25), для уравнения： Лиувилля приходим к известному общему решению, содержащему две произвольные функции ф±(^±).
Обратимся теперь к рассмотрению общего случая серии 4c. следуя индукционной схеме. Предположим, что нам известно общее решение для алгебры Аг_ь определяемое 2 (г——1) произвольными функциями <р+/(г±), l&jWr—1, т. е. известны функции к—“Р；, OWaWr—1, удовлетворяющие уравнениям* (1.27) для 片广—i. Тогда имеет место следующее частное решение (1.27) для алгебры Аг, также зависящее от 2(г——1) произвольных функций:'
s%(z土尸 \ dz；”n 叫(吗，(1.30戶
0《a & г "— 1,
8Pl(2±) = 土 I
Очевидно, что система (III. 1.10) и в общем случае конформно ковариантна относительно преобразования 之土f <р土(之土)广 Xj->%j + 1口屮+(之+)屮_ (z_) Z A^1. Поэтому, выполняя данное преобразование над функциями (1.30), приходим к полному решению уравнений (1.27),
<₽± (*±)
\也…叫爲)中±?；±, 0&a4r-1, g暝=土唸?; 士，
и, следовательно, к общему решению системы (III. 1.10) для серии Аг. Последнее посредством квадратур функционально зависит от 2r произвольных функций.
Как следует из редукционной процедуры, явную зависимость. 尸Т (z士) от этих Функций,(р±/ (г±), 1 W j W г, естественно представить в виде
理a)=(±1)骑(z±)a…%，@厂\凡,亡产(i.3i)
тде
《1…%三） dz^± I （理）\ dz效士2 0工）…
（dz敦土 a （曜），（1.32）
a ^ 1, (10)1.
Здесь для удобства дальнейших расчетов сделано переобозначение 巾ункцнн: Q；(之土) =gP；~"(之土). Подставляя (1.31) в раз- .ложеыие (1.25) для искомой функции X, получаем следующее выражение:
+ Е (-1/(1 /)+(1 О (1.33)
В соответствии с формулой (1.21), выражения для ехр(——尤"， ：2 W / W г, представимы суммой взаимных произведений миноров /-го порядка А/(Р土)，построенных из элементов первых / •строк матриц Р士，
exp (—х/) = (—1 产+屮 £△/(「+)△/(Р_), (1.34)
■где сумма распространяется на все возможные наборы / элементов из столбцов соответствующих матриц.
В частности, ехр(—乙)= £ ""疋，где 胃(z±) 一 мнно- ры r-го порядка; они получаются из Р± вида (1.31) заменой 阡士(r—a+1)на 屮土％ (Аналогичная взаимосвязь имеет место и для функций exp (—X/) и ехр (——хг_/+1), отражающая отмеченную в п. 4а симметрию системы.)
Обратим внимание на то, что любая перестановка функций Р； с одновременной перестановкой Pt, при которой сохраняется знак в правой части (1.26), также приводит к полному решению рассматриваемой системы и отражает инвариантность .корневой системы алгебры Аг относительно ее группы Вейля. Такого рода инвариантность применительно к решениям уравнения Лиувилля впервые была отмечена Бьянки. 、
Естественно, что решения, построенные в рамках редукцион- "ной схемы, полностью совпадают с выражениями, вытекающими в случае серни Аг из общей формулы (1.12), полученной на .основе представления типа Лакса. Для того чтобы в этом убедиться, следует воспользоваться явным выражением для старших векторов фундаментальных представлений алгебры Аг в виде полинома от соответствующих кратных интегралов.
В ряде случаев, в частности для расчетов, связанных с явным интегрированием уравнений Вольтерра (см. § IV. 2), нам
потребуется несколько иная («локальная») форма решений для серии 4г, не содержащая кратных интегралов. С этой цельк> обозначим через ①±/(之土) кратные интегралы (1.32).
■ Тогда все функции ф±； можно выразить через комбинации главных миноров Д; (Ф±) матриц ①，土/曰①± 九之土…z土 и по ин
дукции убедиться, что окончательная формула для X представима в следующем виде:
х = &(©+) А,(①_)「"(宀［1 + у% 丿一 1)'①+/ (z+) %(2-)］，
(1.35)
здесь Ф±/ (z土)一 новые произвольные функции своих аргументов. Отметим, что форма решения (1.35) наиболее близка к изначальному виду решения уравнения Лиувилля и совпадает с ним при г = 1.
Приведенный выше способ решения с использованием явного вида матрицы Картана может быть обобщен на серии Вг и Сг, для которых из (1.19) и (1.20) вытекают следующие определяющие уравнения для функции X 三 ехр(——xj :
5： A,+G) = 2(—1)4(X); G： A川(X) = —A—(X).
Однако эти уравнения ——весьма сложные, и для алгебр В и С удобнее воспользоваться симметрийными свойствами систем (III. 1.10), установленными в конце п. 4а. При этом операция приравнивания %； = Хг-/+)для серии Аг приводит к соотношениям (р±/ (z±) =(p±(r_/+n (г±) между функциями, определяющими решения (1.33) и (1.34). Таким образом, получаем в случае четных г — 2s (нечетных г = 2s——1) решения, отвечающие алгебрам Bs(Cs). Этот результат, естественно, также согласуется с решениями для этих двух серий, полученными на основе общей формулы (1.12) с использованием явных выражений для старших векторов их фундаментальных представлений.
4в. Инвариантное обобщение редукционной схемы на произвольные простые алгебры Ли. В описанном в п. 46 методеинтегрирования системы (III. 1,10) для классических серий нигде явно не использовались свойства этих алгебр и теория их представлений. Однако аналогично тому, как форма записи- функций (1.31) очевидным образом связана с соответствующими корневыми системами, так и все определители (1.34), входящие в окончательные выражения для решений системы (III. 1.10), фактически есть не что иное, как мультипликативные комбинации старших векторов фундаментальных представлений этих' алгебр. Только факт простой структуры рассматриваемой системы для серии Л и возможность достаточно элементарного ее сужения на алгебры типа 5 и С позволил провести до конца- все вычисления без непосредственного обращения к теории представлений и свойствам их старших векторов.
Данный метод может быть обобщен и на случай произвольных простых алгебр Ли @; при этом потребуются рекуррентные ■соотношения (1.7.11) между старшими векторами фундаментальных представлений, которые для алгебр Вг, Сг,力「，G?, К и Еб, 7,8 не столь просты, как в серии Ar. С этой целью перепишем систему (III. 1.10) в виде
detX力(电尸 2),(1.36)
где введены, аналогично X ^ ехр (—修)三工1, новые функции X； 士 ехр(—х/), 2 W j W г; Хо w 乂用三 1.
Обратим теперь внимание на полную схожесть (1.36) с рекуррентным соотношением (1.7.11), точнее — с формулой
et (停力(％)), ?+ (缈(宓)),Z + Z一丿 о
=-<₽+№+) %(Z—) 口戶}(勿广"，(1.37) полученной в п. 2 при выводе общего решения (1.12). Проводя в (1.37) элементарные преобразования, нетрудно показать, что функции Yt 三 exp { — 2 左 J Е 屮+/₽7 }""(簿)удовлетворяют той же системе уравнений (1.36), что и функции Х『.Таким образом, 「общее решение (III. 1.10), зависящее от 2r произвольных функций (р±/(г±), дается формулой (1.12), т. е.
X 尸 ехр{—多叫 1п<Р+/<р_/*| 原;(1.38)
Уравнения (1.3), которым удовлетворяют элементы J?±(z土)， обеспечивают возможность провести дальнейшие преобразования этого выражения:
《|jrJjr」D =
=1 + р 2。(一i『(Ps …Pi)+(% …О—х
xai络。...纺。箔"宓У ⑵，(1.39)
где величины (pi ... ps)± определяются формулой (1.32). С учетом (I. 5.24) для матричного элемента (/ \ ^р …方口自_q ...
I z) равенство (1.39) переписывается в виде
Vl/j4.|f〉=
=i + S S(—1『6仇％(% …pj 仇⑴• • • p®(s))_ x
X П I屯p$— 2心矶⑻P/ + 6的6sj $-1]. (L40) 《/&$[ s《/)J
Для доказательства справедливости равенства (L39) достаточно использовать представление решений (1.4) из (1.38) в виде упорядоченных экспонент (III. 1.26),
& =交士 exp \ %(吗 dz；,
и учесть множитель (—l)s, возникающий за счет перехода от 发+ к
Для конечномерных представлений простых алгебр Ли ряд. в (1.39), естественно, обрывается после приведения возникающей квадратичной формы < | > (во всех порядках по числу образующих 纺切)к каноническому виду; полное число членов в (1.39) равно размерности i-го фундаментального представления. Окончательное выражение для решений (III. 1.10) представимо в виде
ехр(_х)=ехр[—]杲/Jln%<p_/]X
X I 1 + S ? ТУ %"%«)(% …Z)+ (%(i)…*
X历科(1.41%
что является эквивалентной формой записи (1.12).
Одномерная обобщенная цепочка Тода*). Здесь мы построим общие решения одномерной обобщенной цепочки Тода* с закрепленными концами, описываемой системами обыкновенных дифференциальных уравнений (1.2) или, что эквивалентно^.
уравнениемуравнением夕『==士 ехр(Лх)/夕『==士 ехр(Лх)/(1.42Ь(1.42Ь
уравнением
уравнением
夕『==士 ехр(Лх)/
夕『==士 ехр(Лх)/
(1.42Ь
(1.42Ь
修,соот-修,соот-(1.43》(1.43》
修,соот-
修,соот-
(1.43》
(1.43》
(где, как и в (Ш. 1.10), А — матрица Картана конечномерной^ простой алгебры Ли @) и исследуем некоторые ее свойства. Для определенности рассмотрим уравнения со знаком плюс (вторая’ возможность сводится к первой при эамене /->//). Лагранжиан 寫 и гамильтониан 6, отвечающие относительному смещению ча
стиц этой динамической системы в переменных р, или ветственно, имеют вид
£ н % X (иб厅 Р.Р/ + ¥。尸 exp Р"
2 = % 4初户用+ § S exp(砌,，
8 = - % g (vk)lipipl + £ nf1 exp p.,
⑥=—% E {vk)~' pipj+ £ vt exp(A:x)“
где pt ——соответствующие р, или Xi обобщенные импульсы. Система (1.42) (или (1.2)) обладает ровно г функционально независимыми интегралами движения, одним из которых является гамильтониан 0 (1.43). Этот факт автоматически следует из представления типа Лакса для системы (1.42):
L^-^IB, Л], (1.44) 8=2ехрР/2(Ь0/](% — ^_/),
л = 2 exp 卩/2 (々х)/](能/ + 能-/) — i g (叫7 "也，
P尸 E (и々)"文…
(Последнее вытекает из представления (III. 1.7) в двумерном пространстве, записанного в свободном от калибровочного произвола виде, в котором функции f±； = exp(Zsx)； и 〃土『=——(i/2)x； .зависят лишь от одной переменной /三——i(z+ — г_).) Здесь •绪土/ и hj ——корневые векторы и образующие картановской подалгебры G, отвечающие простым корням @, в некотором конечномерном представлении ®. Поэтому в соответствии с (1.44) ямеем (d/dt)Sp LQ — 0, т. е. величины 〃(р, х)三 SpH(f) являются интегралами движения.
Исходя из явной реализации {В, А}-пары, можно показать наличие г функционально независимых величин Л?(р, х), находящихся между собой в инволюции, т. е. {/彳,Л} = 0, причем спектр {q} в точности совпадает со значениями порядков операторов Казимира соответствующих простых алгебр ®. Наиболее наглядный способ доказательства вытекает из явного вида ^асимптотики по / решений системы (1.42), зависящих от полного числа (2г) независимых параметров m；, d〃 1 W j W г, по;- ■строенных ниже.
Действительно, из того, что величины Ц(р, х) и их скобки Пуассона являются интегралами движения и, следовательно, не зависят от 厶 следует возможность рассмотрения асимптотических значений входящих в них величин р； и х；. При этом члены ■в выражении для L(f), связанные с корневыми векторами 纺土/, при /-> оо убывают, тогда как Pi^triiVi при выполнении определенных неравенств между параметрами {т}. Последующие вычисления асимптотики интегралов движения вполне тривиальны, и окончательный ответ воспроизводит соответствующие выражения для собственных значений операторов Казимира •алгебр Ли @.
Таким образом, в соответствии с теоремой Лиувилля, система (1.42) вполне интегрируема, так как обладает г функционально независимыми глобальными интегралами движения, находящимися в инволюции. Ниже мы дадим независимое конструктивное доказательство этой теоремы, построив в явном
виде решения системы (1.42), определяющиеся необходимые количеством (2г) произвольных параметров.
Существует другой подход к изучению свойств уравнений. (1.2) или (1.42), особенно существенный при квантовании соответствующей динамической системы. Он является весьма общим и применим также к другим, вполне интегрируемым в смысле теоремы Лиувилля, одномерным динамическим системам. С этой целью будем рассматривать простую алгебру Ли @, заданную инфинитезимальными операторами регулярного представления, как функциональную группу Gf (см. п. 2, § I. 1). Иначе говоря, заменим все коммутационные соотношения между элементами S на классические скобки Пуассона, чему с физической то^кн зрения отвечает переход от квантового случая (алгебра с коммутаторами) к классическому. (Все коммутационные соотношения при стремлении к нулю постоянной Планка Й переходят в скобки Пуассона между соответствующими динамическими величинами.) Вследствие линейности генераторов регулярного' представления по производным параметров группы G такой переход каких-либо затруднений не вызывает, и в классическом случае в силу теоремы Ли ——Энгеля фазовое пространство рассматриваемой динамической системы описывается 2(/V ——г) обобщенными координатами и импульсами и, кроме того, г интегралами движения в инволюции, соответствующими г циклическим координатам (здесь г — ранг, а ^ — размерность S).
Оператор Казимира второго порядка для естественной вещественной формы в разложении Ивасава дается формулой (II. 2.52) или, в случае д/дп ^ р：, в виде
凡=% X (у^)^1 PiPj +
+ go «а1 [exp (— а (т))必篇—ехр(— 2a (r))Z^]. (1.45)
Здесь учтены свойства функциональной группы, благодаря чему по сравнению, с изначальной формулой (II. 2.5) отсутствуютг символы &, которые при физической интерпретации (II. 2.5) пропорциональны 力 и поэтому исчезают в классическом пределе. Другими словами, члены с 6» устраняются в результате выполнения канонического преобразования
Ki exp ((6т)/2) /с2ехр (— (6т)/2),(汕三工弓力 i
Величина К? вида (1.45) может рассматриваться как оператор Гамильтона некоторой динамической системы, описываемой г обобщенными координатами т( (превращающимися в циклические в пределе a(t)f 8), г обобщенными импульсами р『》 (^ — г)/2 динамическими переменными Xg и (М —г)/2 динамическими переменными К： с & > °* Скобки Пуассона между
всеми этими величинами задаются соотношениями
{%, Т/} = 6〃，{р“ 此} = {%,心}=仇 登} = {%，*} = 0， {猴，К§} = 0, {码，Х$} = #а./^+0,(1.46)
{心K爵=/，6代+6一"一盟一。.
Здесь постоянные 斤Ct, В и 斤а,—В отличны от нуля лишь при а + р ^ /?+ и а ——0 三 R+ соответственно; а, 0 三公千.Полная система уравнений для этих динамических величин Q 三{р, t, Х\ №} с гамильтонианом (1.45), Q 三的，Q}, имеет с учетом (1.46) следующий вид:
t, =((т)Тр%,
А=2о 嚎 а/ехр (- а (т)) «戏 + 2 exp (- 2а (т)) (^)2],
4 = X 呜“,В【exp (—а (т)) К 酰+р 十.(1.47)
+ ехр(-2а(т))(ХХ+₽ + ^+^)],
К$ = 2 Va 1ехр(— а (т)) Ха(Л9 а, вК^+В — “а, 一0篇一6)・ а>0
Из уравнений (1.47) вытекает, что при наложении начальных условий Л^ = 0 для всех a 巨 火十 и Х^=0 для всех а, кроме простых корней %, К* = °； Х£ (Z) = cj)^ 1 ^ 4 ^ г, где са — произвольные постоянные, которые без ущерба для общности можно положить равными va/2. Тогда оставшиеся уравнения (1.47) принимают вид
幻= ((“)-”)"瓦=£ и倫exp(—2(H)/),(1.48)
откуда при замене д/2 возникает система (1.42), описывающая обобщенную (конечную непериодическую) цепочку Тода. Естественно, что (1.48) являются уравнениями Гамнль- тона 瓦=—。巡己七£, rz =д^>/др. с функцией 6=凡 ПРИ ^a =0, 片=(1/2)展吁，iq・Wr.
Операторы Казимира функциональной группы G『выражаются через обобщенные импульсы, отвечающие г циклическим переменным фазового пространства, иначе говоря, инвариантные полиномы G，представляют собой г интегралов движения системы (1.47) в инволюции, одним из которых является гамильтониан (1.45). Нетрудно заметить, что выбор указанных выше начальных условий не нарушает сделанных утверждений. Таким образом, динамическая система (1.42) имеет г интегралов движения в инволюции, совпадающих по форме с инвариантными полиномами на G『，в которых К^ = 0, Х^ = (1/2) ua6a .
Наиболее простой способ получения явных выражений для решений одномерной обобщенной цепочки Тода состоит в нало- 456
жении дополнительного требования функциональной зависимости общих решений (1.12) двумеризованной системы (III. 1.10) от аргумента f = z+ + г_ (или f, или г+г_). Для этого достаточно выбрать произвольные функции Ф±/(г±) в виде ф±/ = =с±/ exp mjZ±, при котором все кратные интегралы типа (L31) вычисляются явно и окончательные выражения содержат зависимость лишь от 之十 + z_. В результате такой подстановки общие решения (III. 1.10), зависящие от 2r произвольных функций, превращаются в 2г-параметрические решения системы (1.42); 2r произвольных параметров 力唳 г+/С_/ и g, 1 W j W г, играют роль постоянных интегрирования этих обыкновенных дифференциальных уравнений. Проводя почленное интегрирование в величинах (pi ... pt)±, входящих в общую формулу (1.41), с учетом того, что скалярные произведения базисных векторов в ней отличны от нуля лишь при одинаковых наборах индексов {pt • ■ • Pi}； {«1 ■.. д», в экспоненциальной параметризации функций ф±/ получаемжении дополнительного требования функциональной зависимости общих решений (1.12) двумеризованной системы (III. 1.10) от аргумента f = z+ + г_ (или f, или г+г_). Для этого достаточно выбрать произвольные функции Ф±/(г±) в виде ф±/ = =с±/ exp mjZ±, при котором все кратные интегралы типа (L31) вычисляются явно и окончательные выражения содержат зависимость лишь от 之十 + z_. В результате такой подстановки общие решения (III. 1.10), зависящие от 2r произвольных функций, превращаются в 2г-параметрические решения системы (1.42); 2r произвольных параметров 力唳 г+/С_/ и g, 1 W j W г, играют роль постоянных интегрирования этих обыкновенных дифференциальных уравнений. Проводя почленное интегрирование в величинах (pi ... pt)±, входящих в общую формулу (1.41), с учетом того, что скалярные произведения базисных векторов в ней отличны от нуля лишь при одинаковых наборах индексов {pt • ■ • Pi}； {«1 ■.. д», в экспоненциальной параметризации функций ф±/ получаемexp(_%/(Q)= Д ехр(—f (fe"m)f) Xк/ <гЕ(-1У п ^хexp(_%/(Q)= Д ехр(—f (fe"m)f) Xк/ <гЕ(-1У п ^хPi ... & g[…%Pi ... & g[…%1《$《t1《$《tX exp (—г £ трЛV iWf /X exp (—г £ трЛV iWf /工（皋宀认為工（皋宀认為n ^k4l^-?^^[ 1 + e 2(-1)%闕9><К/ <г« Р[% 8n ^k4l^-?^^[ 1 + e 2(-1)%闕9><К/ <г« Р[% 8X п1</</X п1</</
жении дополнительного требования функциональной зависимости общих решений (1.12) двумеризованной системы (III. 1.10) от аргумента f = z+ + г_ (или f, или г+г_). Для этого достаточно выбрать произвольные функции Ф±/(г±) в виде ф±/ = =с±/ exp mjZ±, при котором все кратные интегралы типа (L31) вычисляются явно и окончательные выражения содержат зависимость лишь от 之十 + z_. В результате такой подстановки общие решения (III. 1.10), зависящие от 2r произвольных функций, превращаются в 2г-параметрические решения системы (1.42); 2r произвольных параметров 力唳 г+/С_/ и g, 1 W j W г, играют роль постоянных интегрирования этих обыкновенных дифференциальных уравнений. Проводя почленное интегрирование в величинах (pi ... pt)±, входящих в общую формулу (1.41), с учетом того, что скалярные произведения базисных векторов в ней отличны от нуля лишь при одинаковых наборах индексов {pt • ■ • Pi}； {«1 ■.. д», в экспоненциальной параметризации функций ф±/ получаем
жении дополнительного требования функциональной зависимости общих решений (1.12) двумеризованной системы (III. 1.10) от аргумента f = z+ + г_ (или f, или г+г_). Для этого достаточно выбрать произвольные функции Ф±/(г±) в виде ф±/ = =с±/ exp mjZ±, при котором все кратные интегралы типа (L31) вычисляются явно и окончательные выражения содержат зависимость лишь от 之十 + z_. В результате такой подстановки общие решения (III. 1.10), зависящие от 2r произвольных функций, превращаются в 2г-параметрические решения системы (1.42); 2r произвольных параметров 力唳 г+/С_/ и g, 1 W j W г, играют роль постоянных интегрирования этих обыкновенных дифференциальных уравнений. Проводя почленное интегрирование в величинах (pi ... pt)±, входящих в общую формулу (1.41), с учетом того, что скалярные произведения базисных векторов в ней отличны от нуля лишь при одинаковых наборах индексов {pt • ■ • Pi}； {«1 ■.. д», в экспоненциальной параметризации функций ф±/ получаем
exp(_%/(Q)= Д ехр(—f (fe"m)f) Xк/ <г
Е(-1У п ^х
exp(_%/(Q)= Д ехр(—f (fe"m)f) Xк/ <г
Е(-1У п ^х
Pi ... & g[…%
Pi ... & g[…%
1《$《t
1《$《t
X exp (—г £ трЛ
V iWf /
X exp (—г £ трЛ
V iWf /
工（皋宀认為
工（皋宀认為
n ^k4l^-?^^[ 1 + e 2(-1)%闕9><
К/ <г« Р[% 8
n ^k4l^-?^^[ 1 + e 2(-1)%闕9><
К/ <г« Р[% 8
X п
1</</
X п
1</</
Хехр р e 喲 口( 2 7 2 倘3(* I. (1.49) \ l<l<t / l<9<t \1<а<6 / <8《b&f /
Формула (1.49) решает задачу интегрирования классической одномерной обобщенной цепочки Тода с закрепленными концами, т. е. системы (1.42) со знаком 《плюс». Для решения системы (1.42) со знаком «минус» функции qp±/(z±) следует параметризовать в виде 屮±/(%±) = с土,ехр (土gw土). При этом формула (1.49) сохраняет свой вид с тем лишь изменением, что г заменяется на /, а множитель (—1)' исчезает.
Проиллюстрируем структуру общей формулы (1.49) на примере простых алгебр Ли ранга 1 и 2 в табл. IX, преобразовав ее по соображениям краткости формы записи к виду, зависящему от R 三 2(г+г_)1/2.
Таблица IX. Решения для простых алгебр Ли ранга ? и 2
G2
exp （一修）
尺-Pm【-m?+6 / R4mi+2m&
_。1 r3g+ 2m2 J
m2 （ml + 也2）2
（2他[+ m2） （Wj + /п>）' m\（3mj + m2） （2〃八 + m2）巾；
* 2 平2* 2 平2（3m1 + 2加2）2 （mi十 用£ （2mt +倂y疗成（3m1 + 2加2）2 （mi十 用£ （2mt +倂y疗成Rm^ +Rm^ +（2mj + m2）4 （3m[ + 2m2）2 （3勺 + m<^ （/Hj + 加2『砲;/（2mj + m2）4 （3m[ + 2m2）2 （3勺 + m<^ （/Hj + 加2『砲;/exp （― *2）exp （― *2）j^itni-^Zmi т.Зед時（m1 +小2）2j^itni-^Zmi т.Зед時（m1 +小2）2r5rl+3m2r5rl+3m2
* 2 平2
* 2 平2
（3m1 + 2加2）2 （mi十 用£ （2mt +倂y疗成
（3m1 + 2加2）2 （mi十 用£ （2mt +倂y疗成
Rm^ +
Rm^ +
（2mj + m2）4 （3m[ + 2m2）2 （3勺 + m<^ （/Hj + 加2『砲;/
（2mj + m2）4 （3m[ + 2m2）2 （3勺 + m<^ （/Hj + 加2『砲;/
exp （― *2）
exp （― *2）
j^itni-^Zmi т.Зед
時（m1 +小2）2
j^itni-^Zmi т.Зед
時（m1 +小2）2
r5rl+3m2
r5rl+3m2
ntfm^（Ш] + 疗22）2 （2^1 + 加2）2 （3用 1 + 恤）2 （3% + 2m2）2"君（能 1 + 恤）6 （3 几]+ 2也2）2
Граничная задача (инстантонные и монопольные конфигурации)). Знание явных выражений для общих решений (IV. 1.11) обобщенной цепочки Тода позволяет эффективным образом использовать их при изучении нелинейных эффектов конкретных физических приложений, описываемых уравнениями (III. 1.9) при тех или иных граничных условиях. Здесь мы ограничимся рассмотрением применения этих решений к задаче выделения инстантонных и несингулярных монопольных конфигураций при минимальном вложении А\ в калибровочную группу G.
Как уже отмечалось в § Ш. 4, цилиндрически-симметричные инстантоны образуют подкласс 2г-параметрических решений (III. 1.9), обеспечивающих регулярность поля Янга — Миллса во всех точках R《и конечность значений его действия или, что то же самое, топологического заряда (III. 4.10). При этом конформное преобразование позволяет перейти от решений р；, зависящих от одной переменной, например,之 +芝三『(или гг), к Р/ (z) = p；(g(z)) + In I dg/dz I2, являющимся решениями (IV. 1.9) для произвольной аналитической функции g(z). (Здесь, для удобства,之+ и z_ переобозначены через гиг, соответственно.)
Для выполнения требования конечности при 『=0 функций 0〃 входящих в выражение (III. 4.10) для плотности топологического заряда, необходимо скомпенсировать двойной нуль в этой точке полюсами соответствующего порядка у функции ехр Рр т. е. наложить граничные условия на поведение решения (IV. 1.49) на малых «расстояниях》. Нетрудно убедиться» что для обеспечения этих условий достаточно, чтобы функция Х(ввехр(—xi)) имела корень порядка А】 при 『 = 0. Тогда система (III. 1.9) автоматически гарантирует появление корней ыужного порядка (=同)при г =»= 0 у остальных функций ехр(—х/), 2 С / < г.
Реализация этого требования в виде набора равенств 9/力尸 X I =0, 0《。《財一1, приводит к полному определенно
нию параметров d『,l《j《r, через параметры т〃 При этом решения ехр(—х；) представимы в виде
ехр (— х^ = Л~^к 用屮'(R —1)“II/(R;加) (1.50)
(где П；——конечные положительно определенные и нигде не обращающиеся в нуль полиномы, причем можно считать, что R s 2[g(z)g(z)]1/2 обращается в единицу при подходящем выборе функций g(z).) Кроме того, для обеспечения необходимых свойств аналитичности соответствующих решений следует, вообще говоря, потребовать целочисленности параметров т『.
Перейдем теперь к выяснению условий, накладываемых на функцию g(z) для обеспечения несингулярности решений ураэ-
нении автодуальности, получаемых в результате конформного преобразования. Как уже говорилось, необходимо, чтобы модуль |g(z) I обращался в единицу при『 = 0. Далее следует потребовать, чтобы оставшиеся после сокращения 产 полюсными множителями из ехр х^ функции в ехрр； не имели ни полюсов, ни нулей в правой полуплоскости переменной г. С учетом формулы (1.50) это приводит к тому, что g⑵ должна быть квадратом некоторой аналитической функции, g(之)=G?(w), причем I 0(2)I = 1 при r = 0 и I G(z) I < 1 при r > 0. Наиболее общей аналитической функцией, удовлетворяющей этим условиям, является функция Бляшке
G(z)= П *
где а, — произвольные комплексные числа с положительной вещественной частью. Функция G(z) имеет / нулей и ни одного полюса в правой полуплоскости переменной г. Согласно теореме Стокса формулу для топологического заряда рассматриваемой системы с плотностью (III. 3.10) 齊жно представить в виде линейного интеграла,
(xo 三力，xr ^ г). Ввиду того, что G / dG/dz имеет т；1— 1 нулей в правой z-полуплоскости, каждый из которых дает вклад 2л1 в интеграл, приходим к следующему окончательному выражению:
Q = % X ? 向師/一1). (1.51)
Таким образом, построенные инстантонные решения отвечают топологическому заряду (1.51) и характеризуются помимо / произвольных комплексных параметров a% Re а»〉0, также г дополнительными «квантовыми» числами т：, которые можно интерпретировать как внутренние степени свободы инстантонов.
Отмеченное в § III. 4 соответствие между цилиндрически- симметричными статическими автодуальными полями в /?4 и сферически-симметричными монополями в пространстве Минковского позволяет непосредственно реконструировать точные монопольные решения, исходя из построенных уже решений (IV. 1.42). Последние не имеют сингулярностей в конечном интервале значений г. Для обеспечения конечности плотности гамильтониана необходимо удовлетворить соответствующим граничным условиям на бесконечности и при малых расстояниях. Процедура выделения подкласса решений, имеющих правильное поведение при『f 0, аналогична проведенной в инстантон- ном случае, в результате чего монопольные конфигурации характеризуются набором г параметров т『.Энергия системы задается в пределе Богомольного — Прасада — Зоммерфельда
1611616 А. Н. Лезнов, М. В. Савельев
161
161
выражением (III.4.11), переписываемым с учетом соотношения D爲=0 интегрированием по частям в виде
М = нm 产 С dQSp (制耽).
Матрица магнитного заряда g определяется, как обычно, асимптотикой магнитного поля 瘢 ‘
Жп = 3^г——
f->oo 4兀Г2
Поэтому для вычисления этих величин требуется явный вид асимптотик при『+8 поля Хиггса % и 符，которые для наших решений имеют вид
殯=—(1/2六)乡 kjhi (exp р/ — 1), x = '/2 S 月評箇"
Вследствие граничных условий на бесконечности вклад поля Хиггса полностью определяется показателями предполиноми- альных экспонент соответствующих решений (1.49) (т. е. exp — (k~lm)i г), или R” 向屮/ в (1.50)):
exp р/->0 при г-> оо,
!?=—沙"Нт 卩n ехр(— xj] = 1/2тг
Окончательно имеем
g — 2л冗瓦々订 trif•(1.52)
/к /
В качестве иллюстрации формулы (1.50) приведем соответствующие выражения для простых алгебр Ли 2-го ранга в виде табл. X.
Выражение (1.49) для решений монопольной системы исходя из формулы (1.38) можно переписать в виде [15]
ехр (— Ху) =〈j I 夕⑼ exp [2 (р/г) — (mh) г] 0 (0) | /),(1.53)
где элемент 夕⑵ удовлетворяет уравнению
写黑=夕(2)2 exp(人z)^T
1《у Г
с граничным условием 夕(8)= 1 и связан с 儿一⑶ соотношением
贫一⑶=ехр(— mh)夕(?) exp(mft).
При этом
峻+(2)= ехр (mA)咬—(г) ехр (— т/г),方三(一1户夕十(一1产，nи < 0, pt=-%1П必.
Таблица X. Решения для простых алгебр Ли ранга 2
•4 2
exp (― Xj) = R(-2g-m2+6)/3(R _ 1)2 п4
exp (— x^=.^-^~2^^ (7?— ])2 超，
/71] (^^1 ~H ^^2)
g—； •
в2
exp (- 4)=K-2m一小+6)/2伏一 ])2口3，
exp (-咽=r-g-仙+4 (R _ 1)4 пв
時（2% +切2）
方 =^；
叫
exp (- Х[) = R-2“-恤+6 (R _ 1)6 nG exp (- X^ = R-im'-'2mi+i0 (R- I)10 Ilf,
* (2mt + 他2) (3 飞 + 加2)
G2
6(mi + 依2)m?'
Q — (/П] + 冷 J (З/П1 + 2电)X
謁
X-о
/И； (3/П； + 团2)
Вводя полный набор ортонормированных состояний фундаментального f-го представления (со старшим весом 厶，fi(h,)= =6订)с весами 九⑴ кратности v^fZ), из формулы (1.53) имеем ехр (—芍)=£(—lfzexp [— (^^m) г + 2 (к^р)] X
W" %⑺}
XlF1' \^^^f' (1・54) где 刀/三刀(力 —— 九(/)) определяется соотношением [Н, 箔仪]= =刀口纺а・ Граничное условие на малых расстояниях, согласно которому для сходимости энергетического функционала монопольное решение является регулярной функцией, устанавливает следующую явную зависимость между параметрами di и т： задачи. Именно
g[(-叫7俨严"吗，=1(w"入叫也))•(L55)
Окончательное решение, определяющее монопольную систему с конечной энергией, следующее:
ехр(—%= £ (—Nexpl—8(/)/п)丹 @м/)(/га)П(—乃广°，可"}‘
(1.56)
где Q水/)(т)——полином по m, а р и q——максимальное и минимальное из чисел корневой серии, проходящей через 入(」)：А")— 一9方，…，九⑴一力，a⑺，A⑺+ //, ...,a⑺+ P力.
§ IV. 2. Двумеризованная система уравнений Вольтерра (разностных КдФ) как преобразование Беклунда цепочки Тода и их полное интегрирование )
Обсуждаемая в предыдущем параграфе двумеризованная обобщенная цепочка Тода тесно связана с целым рядом нелинейных дифференциально-разностных уравнений первого порядка по производным. В частности, конечная система вида
Mi-1,~1 (“2W — /V2(-2), “2f, = Mi(”2i + I — “2l)‘(？]) 1 < Z < Г + 1, A/。= N2r+2 =。，
где функции N^ 1 W a W 2r + 1, зависят от двух независимых переменных г+ и z_, может рассматриваться как преобразование Беклунда для системы (III. 1.10) в случае картановской матрицы 々 серии Аг. (В одномерном случае преобразование Беклунда для цепочки Тода бесконечной длины изучалось в целом ряде работ, см., например, [40, 86, 100].)
Систему (2.1) в дальнейшем будем называть двумеризоваН' ными уравнениями Вольтерра, имея в виду, что в одномерном случае, Na == Na(t), f 三 之+ ——г_, она представляет собой специальный вариант уравнений, введенных Вольтерра применительно к проблемам экологии [ 14] (в частности, для изучения динамики сосуществования видов). В физических приложениях эта система возникает при изучении тонкой структуры спектров ленгмюровских волн в плазме и описывает при граничных условиях Na const распространение спектрального пакета ленгмюровских колебаний на фоне теплового шума [34].
В одномерном случае доказано, что вполне интегрируемой (в смысле Лиувилля) является более общая нелинейная система
此=(& + a{Na + 电峭(纥+L 纥 J(2.2)
(где a0, i, 2 — произвольные постоянные), явные выражения для решений которой будут построены в этом параграфе. Подроб' ный обзор различных приложений цепочек бесконечной длины для Na(t) и связанных с ними других нелинейных диффереН' циально-разностных систем, в том числе нелинейных индукционно-емкостных цепей лестничного типа, используемых в радиотехнических схемах, содержится в сборнике [100] (там же приведены известные специальные решения этих уравнений, в частности, солитонного типа, полученные как с помощью преобразования Беклунда, так и путем численных расчетов нэ ЭВМ). Периодическая задача для одномерной цепочки Вольтерра (разностного уравнения Кортевега — де Фриза) рассмотрена в работе [27]. Кроме того, в [70] на основе метода обратной задачи рассеяния развита схема ее интегрирования для быстро у6ы・
вающих начальных условий, найдена лаксова пара операторов и интегралы движения.
В основе предлагаемого метода построения общих решений системы (2.1), зависящих от 2г + 1 произвольных функций, лежит то обстоятельство, что система (2.1) представляет собой преобразование Беклунда для двумеризованной (конечной непериодической) цепочки Тода ). Непосредственно из явного вида системы (2.1) вытекает, что функции
р尸 1п(Л<2?_陷J，Pz = in(A<2iyV2i+1),1 < г <г, (2.3)
удовлетворяют системам.
Pi，z+z一 = 2ехрр； — exppi-1 — exppz+i， Po = Pr+i = — °°.(2・4J
P；,z+z_ = 2expp；—expp；_i—expp；+], p； = p；+i = —(2.42) совцадающим с уравнением (III. 1.10) для серии 4, описывающим двумеризованную цепочку Тода. Таким образом, систему (2.1) можно рассматривать как реализацию преобразования Беклунда, связывающего решения систем (2.4J и (2.4а). При этом, поскольку общие решения каждой из систем (2.4) содержат 2г произвольных функций, тогда как общие решения (2.1) зависят от 2厂十1 произвольных функций, то преобразование Беклунда (2.1) для систем (2.4) обладает функциональным произволом в одну произвольную функцию.
Таким образом, схема интегрирования системы (2.1) заключается в установлении связи между 2r произвольными функциями ①+t(z+) и ф_/(г_), 1 W i W г, определяющими в соответствии с результатами предыдущего параграфа общие решения системы (2.41) для р(, 1 W i W 乙 и 2r функциями Ф^ (г+) и ①二i(z_), задающими решения (2.42) для р：. Нам будет удобно использовать полиномиальный вид решений системы (2.4), в котором, согласно (1.21) в обозначениях п. 46:
X 尸 ехр(—| 旦//% = (—1严+"&(Х),1《уг,(2.5)
где Xi 三 X дается формулой (1.35).
Решения системы (2.1) полностью определяются соотношениями
N況-М, = ехрр/①土)，必也+=ехрр；(①J1《》&г, (2.6)
и, дополнительно, одним из уравнений (2.1), скажем
^1>г+ = -ад(2.7)
(==—exp pi = — exp (^x), = — rh г^г_ = — (In У). г+г_, см. (1.2)), благодаря которому вводится недостающая ((2r + 1)—2г = 1) произвольная функция, возникающая в результате интегрирования (2.7). Действительно, из (2.7) имеем
^ = (1пХ), z^+g(zJt(2.8)
где g (z__) — произвольная функция, реализующая упомянутый выше функциональный произвол (в одну функцию) преобразования Беклунда.
Проиллюстрируем вначале общую конструкцию на примере простейшего случая алгебры 4 (г — 1), для которого система (2.1) имеет вид
№j = —ММ， М._ = М(Мз-М), М-+ = ММ・ (2.9) Подставляя известное общее решение ехр р(= Л^1Л^2) = Ф^., г+ X ХФ-, 2_ (1—Фч-Ф-) ^уравнения Лиувилля в первое из уравнений (2.9) и проводя последовательное их интегрирование, получаем ^ = «-'[1 -ф+(ф_ + «Ф_. г_)](1 - Ф+Ф_)-1,
也=〃①+.г+Ф_,г_(1-①+①_)т [1-Ф+(Ф- + иФ_. z_)『,(2.10)
%з = J①二 г_ (Ф_ + «Ф_, г_) г_(1 - Ф+Ф_) X
Х[1-Ф+(Ф- + иФ-.г_)],
где ①+(马)，①_(z_) и a(z_) — произвольные функции своих аргументов, Таким образом, преобразование Беклунда, реализуемое системой (2.9) и связывающее решения р и р‘ уравнения Лиувилля, приводит к замене произвольной функции ①_(z_) в ехр р на произвольную функцию Ф_. (z_) + и (г_) (Ф_ (z_)), г_ в решении ехр р‘(= А^М).
Обратимся теперь к общему случаю. В соответствии с формулой (2.5) для % приходим к следующему выражению для функции ехрр, = /Х”
ехрp尸;一? (- D"①+九й①j + £ (①①①■+,)х
Тогда из (2.7) с учетом (2.8) имеем
М = ехрР1 [(lnX).z_ + g(z_)『，
получаем выражениеполучаем выражениеоткуда, используя второе из уравнений (2.1), а именно № г-=忆(М —牝丿=ехр р； — ехр Рр
получаем выражение
получаем выражение
ДЛЯ expp： ):
exp P；=(『广{一 § (一 1)'①+，, z+ (①т + «ф_г. z_). z_ +
+ 石(①+◎+/. z+ —①+厶 г+Ф+/) [(Ф-i + «Ф-i, z_) X
X (Ф-/ + йФ-/. г_), г_ — (Ф-/ + 〃①Т г_), z_(% + 〃①-/). z_] }； (2.12)
У，Е 1 + Z (―1/ Ф+/ (Ф-/ + 〃①z_)>
где функция 〃(之_) связана с g(z_) соотношением
g — (l/(r + l))[E&gJ,z_ = aT・ (2.13)
Сравнивая выражения (2.11) и (2.12), приходим к выводу, что результат интегрирования преобразования Беклунда для системы (2.4) представйм в виде
匕=Х,(①十，Ф_),兄= £(<!)+，①—+ а①一 z_)・⑵ 14；
Это позволяет, с помощью соотношений (2.6),
Mi-iMi = exp Pi (Ф+,①_), м也i+1 = exp Pi (①+，Ф_ + "①一,z_), зная общие решения Х,・ и, тем самым, р/, восстановить общие решения системы (2.1), зависящие от 2r + 1 произвольных функций ①+厶 Ф_( и 〃(之一)，i W，W 几 Окончательные выражения для функций ^21-1 и /V2f имеют вид
~, (2.15)
% = " [4 (① 一 )/4 (①-+ "①-,z.)T"+"%一园+](x/广.
Отметим, что уравнения (2.1) могут рассматриваться также в случае четного числа функций Na как преобразование Беклунда, связывающее решения системы (2.4J алгебры Ar с peu_ie- ниями для Ar-ъ что фактически соответствует замене граничных условий ^o = ^2^+2 = 0 на М)= №» = 0.
' С помощью полученных выше решений (2.15) эта процедура сводится к тривиальным операциям: условие 必宀 = 0 приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению Аг (Ф_ + + иФ», г_) = 0, связывающему 2г + 1 функций Ф+/, Ф_( и и, а именно: —[in (@о + g , где 备 и 豆一произвольные постоянные. Получаемые при этом решения системы (2.1) для четного числа функций Na зависят от 2r произвольных функций. (Подчеркнем, что равенство нулюАг(Ф^), обеспечивающее выполнение граничного условия N2r+i = 0, отнюдь не влечет за собой обращения в нуль всех остальных функций, так как наличие в (2.15) общего множителя Аг (Ф1) компенсируется у Na, 1 W a W 2г, соответствующей зависимостью от него функций X；.)
Как и для обобщенной цепочки Тода, решения системы (2.1) в одномерном случае могут быть получены из построенных общих решений (2.15) двумеризованных уравнений Вольтерра путем .выбора произвольных функций (р±/ и и такими, чтобы Na зависели лишь от одной переменной, например, t = z+ ——z_. Этого можно достичь подстановкой (р±/ == с±/ ехр (±m,z±) и а = 〃о = const, при которой общие решения соответствующих одномерных уравнений вида (2.2) с а。=以2』0 задаются 2r + 1 произвольными числовыми параметрами mz, di 曰 c^C-i и w0, 1 & i W г. Функция X, определяющая согласно (2.5) решения X/ и выражающаяся формулой (1.35), переписывается при такой параметризации следующим образом:
xfl + X (—l)fl dQ exp(/m0)1= £ (—l)a ca exp(/ma), (2.16) I l《8《rJ 0《a《r
где Wr ^ Wr (mj ... mr) = Ц (mz — mz) — определитель Вандермонда r-го порядка, r£ = cQdit т^т^ m^ l《i《r;
爲曰[jj^Гd尸;既(叫，…，^r)「""+"，/=-]<纟，勺/(r + D.
Из определения с, и ini с очевидностью следует, что £ та = О < а < г
=0, Г1 са — \ И т^Л , т. е. что между 2(r + 1) пара
метрами са и 饱，0 W a W г, имеют место только эти два соотношения. (Аналогичная (2.16) формула справедлива н для X， с учетом замены в ней d, на d『(l + 〃()/П/), обусловленной тем, что(p：j=c ; Н -^и.т^ ехр (— wf2_).) Остальные функции X；= =ехр(—х/) получаются подстановкой (2.16) в соотношения
168
(2.5), откуда
Х/ = (—1)/…/2E (-irSi W\mSl ms.\cS}
• * * "s/CXp；/ £ 血(2.17)
где индексы 门 …s; в сумме пробегают значения от 0 до г + 1.
Таким образом, искомые решения одномерных уравнений Вольтерра характеризуются 2r + 1 произвольными параметрами &/, "〃 и 〃о и записываются в виде
= п (1+"。勺)『f冗一/園.园尸，
(2.18)
忆，=g[1瓜，(1 +%勺)「北一园+1(/元尸，
где функции Х『представимы формулой (2.17), а X； получаются из них заменой в них 力-> 办(1 + 〃汕『)• В случае четного числа функций Na параметры d/, т： и 〃о перестают быть независимыми.
Одномерные уравнения Вольтерра рассмотренного выше типа ■ тесно связаны со следующей нелинейной дифференциально-разностной системой:
7/ = (l+L)(T/+i-*)，(2.19)
которую при наложении граничных условий Т—i = —7\н = t можно сделать конечной:
Q/ = (l -QD(Q/+i-Q/-i). O&j&r, (2.20)
где Qj = —iT/, Q-i =—Qr+i = 1. (Отметим, что к ⑵ 19) посредством линейного преобразования функций и аргумента сводится система (2.2).) Связь между решениями уравнений Вольтерра и системой (2.20) задается конечным дискретным вариантом преобразования Миуры [73],
3(1+ Q/)(l - Q/-!), У《『・(2.21)
Поэтому, зная решения уравнений Вольтерра, нетрудно по формулам (2.21) с учетом, дополнительно, одного из уравнений (2.20), например, первого (с / = 0), восстановить точные решения системы (2.20). Действительно, уравнение Qo = (1 — Qo) X X(Qi ~ 1) и соотношение М = (1 + Qi)(l — Qo) позволяют исключить Qi и свести задачу нахождения функции Qo 曰尸一1 к интегрированию уравнения / + (М — 4)/ + 2 = 0, решение
которого имеет вид
(1 +Qo)—』/ = -2[l +2(—l)%expgf)『义
X ｛『+ & exp (- M) + £(~1/弋:電冷｝, (2.22)
厶=〃/ — 4, c0 = const.
После этого остальные неизвестные функции Q；, 1 W j W г, алгебраически выражаются согласно (2.21) через известные функннн Nq и Q Окончательное выражение для решений представимо в виде непрерывных дробей
I +Qj = -
2
2:2:/-2/-22 —2 —%-3%-3
2:
2:
/-2
/-2
2 —
2 —
%-3
%-3
2一&，(2.23)
где Qo определяется формулой (2.22). В случае нечетного числа функций Q/ общие формулы (2.23) изменений не претерпевают с точностью до возникновения между параметрами 必，m『и u0 зависимости указанного выше типа.
3. Случай алгебр Ли общего положения *)
Рассмотрим более подробно применение общей конструкции гл. III к нелинейным системам, ассоциируемым с алгеброй Ли S общего положения, разложимой в соответствии с теоремой Леви — Мальцева (как линейное пространство) в прямую сумму своего радикала г и полупростой подалгебры @, @ = t ® Ss (см. 1.2.1). При этом наиболее интересным является случай связной алгебры Ли, обладающей абелевой подалгеброй инвариантности @о и, следовательно, приводящей в канонической градуировке согласно (III. 1.4) к нелинейным системам вида
Ра. z+z_ == ^а(Р)> Ра^РаЗ+，N—)*(3.1｝
Тогда в соответствии с коммутационными соотношениями (1.2.7) структура этой системы носит такой же характер, что и разложение (1.2.6), а именно содержит в качестве подсистемы уравнения типа (III. 1.9), отвечающие подалгебре ®s. Отметим еще раз, что задача выделения градуированных алгебр Ли,
содержащих абелево подпространство ®0, среди всех связных является весьма сложной, и до настоящего времени не существует ее общего решения.
Рассмотрим в качестве @ произвольную простую алгебру Ли ®s ранга г в канонической градуировке с коммутативным мультиплетом e(d = {Hf,缉土厶 1 W j《r}, лежащим в ее присоединенном представлении. Согласно (I. 2.7) элементы t<n удовлетворяют коммутационным соотношениям'
[Яb 缙土/] = 士m•缉士/,[从，/切=0, 也，缘± ,1 = ±/，i 密+,，^-/]=，/分(3⑵
Тогда, подставляя разложение (III. 1.2)
工=^x rK力 + *溼±/ + 0士网 + F±陷.)(3.3)
в представление (III. 1.1), приходим к уравнениям (III. 1.8) для "土/, f土， 0
(尸-"丿 z+ = (” +),, S + *+) J = 一 他0)， U+l z_-U_l,z+=F_if+l + F4f4, 34)
являющимся частным случаем общей системы (III. 1.4) при @ = t⑴ ㊉(8s. Отсюда, вводя функции р/ 三 In “/，-/ и a；三 * F_JJ + F±用у、получаем окончательно (ср. с (III. 1.9)):
P/.Z+Z—= ?々"exppt， °/.z+z_ = g 々户°，ехрр?. (3.5)
Для конечномерных простых алгебр Ли @s в S система (3.5) полностью интегрируется в квадратурах на основе общей схемы § III. 1, так как @ —，(】)ф @s возникает из прямой суммы двух простых алгебр Ли путем операции сжатия (contraction) Ино- ни— Вигнера. По этой причине явные выражения для решений (3.5) могут быть получены из известных решений (IV. 1.11) для двумерной обобщенной цепочки Тода, и мы их здесь не приводим.
Применение операции сжатия простых алгебр Ли @ (как конечно-, так и бесконечномерных конечного роста) позволяет получить целый ряд других нелинейных интегрируемых систем, пользуясь симметрийными свойствами их матриц Картана (см. п. 4а, § IV. 1). Действительно, такая операция соответствует переходу от алгебры @ к ее простой подалгебре @\ снабженной трансляциями, и так как исходная система (III. 1.10) вполне интегрируема, то предельный переход по функциям 勺 и 修，ска~ жем, Ху -> xz = Ху, ху — х. Хр относительно которых система (III. 1.10) — симметричная (х； ^： х(), приводит также к точно интегрируемой системе.
В частности, операция сжатия над алгеброй Dr, связанная с симметрией ее корневой системы относительно замены простых корней jv-i = n，, дает алгебру Вт с трансляциями. При этом
соответствующая система (III. 1.10) для Dr переходит (при xr^i-^xr — xr-\)xr-i~"xr^x3 xisxp lWj&F —2) в следующую:
"Z = exp ("/)/, 1 </<r — 1；
Z+J = 2r exp (- _2 + 2*_1),传・6)
где 々'一матрица Картана В— Последнее уравнение с физической точки зрения (см. интерпретацию п. 1, § IV. 1) описывает r-ю «частицу» во внешнем поле, создаваемом решениями первой подсистемы.
Аналогично, операция сжатия алгебры S3, приводящая к алгебре G? с 7-мерным мультиплетом сдвигов, отвечает предельному переходу по решениям Xi и х3 системы (III. 1.10) для В3 и приводит к интегрируемым уравнениям
X；, г+г_ = ехр (2石-硝，心 qz— = ехр(- Зх； + 2硝，
弘 z+z_ = 2x； exp (2x； — 砲，(3・7)
первые два из которых образуют систему (III. 1.10) для алгебры G2.
В заключение рассмотрим систему (III. 1.16), связанную с алгеброй/1 书М" Представление (III. 1.1) приводит к уравнениям (III. 1.8) для 〃土，f± и
尋"+), z_ =【/(?+ 1)产比，(/V/-). Z+ =口(/ + 1)产 /+.
及,z_ - N 斗=[?(?+1)产(厶？ 一 f一")，(*8)
откуда следует система (III. 1.16). Она, как нетрудно показать, имеет следующие общие решения:
х = % In [屮+, Z+屮z_ (屮+ + 屮-)-]，
y = {^+ + 2 J+I |(-^y)Z [<₽_ (少一)0+ + h)T'+“] +(3.9)
+ (奇"中+(办)仲+ +中一厂"叫}
при целочисленных Z, где 中土(屮土) и 2土(胃土)——произвольные функции своих аргументов. Выражение (3.9) для х является эквивалентной формой записи (IV. 1.16), в которой наиболее просто выглядит решение у.
§ IV. 4. Суперсимметричные уравнения *)
Представление (III. 1.1) для нелинейных систем, динамика которых описывается величинами, принимающими значения в алгебре Грассмана, реализуется операторами Д±, натянутыми
на элементы соответствующей супералгебры Ли 胱=喏㊉晔 При этом элементам &, е土 и е± , а》1, из подпространств @о, ®± 2а и ®±(2a-i) в разложениях (1.4.8), согласованных с ^2-градуировкой, в скалярных произведениях (III. 1.2) сопоставляются соответственно четные и± (之十, z_), f?"'(之十,之_)= 7； 0+，2一)н неиетнне 嘗7(z+，z_)三疔(芬，г_) образующие алгебры Грассмана, т. е.
4土 = (e凡)+X (续图+ X《『心)•(4.1)
В частности, для простых супералгебр Ли в канонической градуировке при т± = т^ = 1 формула (III. 1.7) записывается в виде
A^^hu^ + ^J^ + ^J^,脇三6 旳三 f, (4.2)
и в условии (III. 1.19) градиентности вектора (人，Л_) элемент g принадлежит комплексной оболочке супергруппы Ли G§ супералгебры Ли @s.
Регулярные элементы g представимы разложением Гаусса (I. 6.3), в котором 贫土，，"土 一 элементы комплексных оболочек максимальных нильпотентных подгр^шп G$, натянутых на X土, У土，а Й+, Н- принадлежат картановской подгруппе Gs. Основные этапы развитой в § III. 1 общей схемы интегрирования двумерных нелинейных систем, ассоциируемых с алгебрами Ли, справедливы и для супералгебр Ли. Вместе с тем, последние обладают рядом специфических особенностей, характерных именно для супералгебр Ли. В частности, для решения нелинейных уравнений, например, (III. 1.9), требуется знание элемента ехр И (=ехр(Н+ — /?_)) в (IV. 1.6), параметры которого выражаются по формуле (IV. 1.8) через старшие векторы фундаментального представления, зависящие от элемента 赁J4_. Однако для суперсимметричных обобщений уравнений (III. 1.9) или (III. 1.8), вытекающих из подстановки (4.2) в (III. 1.1)г этого оказывается недостаточно для описания полного их решения.
Мы ограничимся рассмотрением простейшего случая — суперсимметричного уравнения Лиувилля (III. 1.14), связанного с супералгеброй В(0, 1), на примере которого наглядно прослеживаются характерные проявления суперсимметричных систем. Подставляя операторы .
A±-hu± + ^J± + y±r± (4.3)
в представление (III. 1.1) и используя коммутационные соотношения из п. 2, § III. 1, получаем систему
L, z+ = 2u+L. f+,z_ = -2〃」+，
二旺一〃+% = /-/；. /；, Z_ + 〃-* =厶匕 (4-4) 〃“+ 一也2. +，"一+厶片=0，
которая после очевидной замены переменных f+f _ ^ ехр 2х, %= =f?s土 сводится к уравнениям (III. 1.13), реализующим компонентную форму записи уравнения (III. 1.14).
Согласно общей конструкции § III. 1 в рассматриваемом случае из формул (4.3), (III. 1.19) вытекает, что элементы Jf土 представимы в виде
胫土 =eхр (己土密土 + g±学土)，(4.5)
где u+(z+), и_(г_) и e+(z+), 8~(z-) — соответственно обычные (четные) и антикоммутирующие (нечетные) функции своих аргументов. (Выражение (4.5) является прямым следствием формулы (III. 1.26) при учете свойства коммутативности j%+,缉+] = [纺_, @_]二0.) В дальнейшем для простоты примем калибровку Н_ = 0 (8 =月+), в которой 〃+ = 0, /_ 匕=。・ Тождество (IV. 1.6) позволяет определить групповые параметры элементов #± m ехр (仃士纺土 + 巨±4土)и ехР 月 三 ехр hr через произвольные функции и土 и 8±, параметризующие ”士，а именно:
ехp (——T) = 1 - 0+0一 一ё+е", , Е± = (g土 + D土g干)ехpт,
尹=六ехрт.
Подставляя разложение Гаусса с известными согласно (4.5) и (4.6) элементами 4r土，^± и ехрН в (III. 1.19) и сравнивая с (4.3), приходим к окончательной формуле для функций 〃土, f± и皂:
厶=(吃+ + е+е[)ехр 2т, L =叽—+ £ 一叽
«_ == — (е+еЛ_ + y+^S_)exp т, 九三 1 ——v+v~r
厶=厂* 心(「+e+L),国7)
片=匕_ (1 -厂%+g-) + 大一%%_ (e+ + £%+).
Таким образом, общие решения суперсимметричного уравнения Лиувилля, т. е. системы (III. 1.13), имеют вид ехр 2% = (и* + 小£之+)(0%一 + е-е,^_)(1 — v+v~ — s+e_)"2,
+ ，土 I ± ±士 .(4.8)
"=(总土 + € 员2土)L(l-u% ) e.% +
+ (1 - /厂)-2 U^土 (广 + E气干)][1 - 广厂 一 g%[.
Приведенная процедура интегрирования суперсимметричного уравнения (III. 1.14) обобщается естественным образом на системы, связанные с произвольными градуированными супералгебрами Ли. При этом центр тяжести задачи лежит в построении элементов 片土 и ехр Й по известным 腿土, удовлетворяющим, как и в случае алгебр Ли, уравнениям (III. 1.25). Подчеркнем, что даже при канонической градуировке с т± = т^ — 1 знания старших векторов фундаментальных представлений элемента 就QЛ_ простой супергруппы Gs недостаточно для нахождения общих решений. Это проявляется уже в простейшем разобранном выше примере, в котором, исходя только из старшего вектора 占(贫不原一)=1--0+己一——е+е- нельзя восстановить функции exp 2尤 и ①士.
§ IV. 5. Формулировка одномерной системы (HI. 2.13) на основе функциональной группы [91)
Здесь мы применим подход, развитый в п. 5, § IV. 1 (см. формулы (1.45) — (1.48)) для одномерной цепочки Тода, к существенно более общей системе (III. 2.13). С этой целью рассмотрим некомпактную вещественную группу rG как функциональную группу Ли — Энгеля с генераторами Ff, Z& к Z3 входящими в формулу (II. 1.172) и удовлетворяющими соотношениям (ср. с (1.4.6))
{f薪 k}=曝用，{成 z；} = {尸^ Z^}=磔,Z^} = О,
{z^，磔} =4а, gZ%+a {Z-a, Z^s}=斤_匕 _gZ勺？+◎'()
Здесь E；h и Л^а.р —структурные постоянные; {zj, g。}= = {z3, g[)} = 0・ Напомним, что в соответствии с рассуждениями в п. 3, § III. 2 элементы Ff。играют роль обобщенных импульсов, тогда как соответствующие групповые параметры go — обобщенные координаты, {尸3 g^ = — g典。.
Далее, рассмотрим квадратичный оператор Казимира & = 三 K(G') функциональной группы, задаваемый формулой (II. 2.54) как гамильтониан соответствующей классической системы. Тогда из стандартных уравнений Q = {К, Q) для Q, совпадающего с Z3 или ZL пользуясь (5.1), аналогично (1.47) получаем
хм й^хм й^'(攀，g。衫Г&т)组tZ%Za + B，
хм й^
хм й^
(非0，g。非一次厂)斤一？ -5*%+».(5,2)
Благодаря (5.2) величина Za с awR* выражается через генераторы z£+b， отвечающие в силу свойства (1.2.2) элементам
衫a+月 подпространств алгебры Ли S с более высокими градуировочными индексами. Поэтому, выбирая начальные условия в виде Z^(/ == 0) = 0 при gwR+/R；, получаем Z^(/) = 0 для awR+质；и Z^(/) = %)для awR[, где 。⑺一некоторые постоянные. Аналогичное утверждение имеет место и для генераторов правых сдвигов: Z^a (/) = 0 Y.w RJR^ н Z^ ⑺=с 尸 =const.
Определим эти постоянные следующим образом: Z^ = vaca и 2農=%*， 「〃e Ua 胃(纺a,密-a), а c±a совпадают с коэффициентами разложения образующих J± = £ c±a%±a подалгебры А\ алгебры @, градуировка которой задается картанов- ским элементом Н = [/+, /_]. Тогда оставшиеся уравнения для Q = Ff и Q = g° приводят с учетом соотношений (5.1) к искомой системе (III. 2.13). Отметим, что следует также потребовать, чтобы генераторы 尸《，отвечающие элементам подпространства ®э0> тождественно обращались в нуль для обеспечения условия (III. 2.132). При этом очевидно, что формула (II. 2.54) в рассматриваемом случае тождественно сводится к выражению (III. 2.14) для гамильтониана системы (Ш. 2.13). Таким образом, вложение А\ = {Н, /±} в S непосредственно связано с выбором начальных условий уравнений (5.2).
ГЛАВА V
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ЯВНЫХ РЕШЕНИЙ ТОЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
1. Канонический формализм )
В настоящем параграфе методы теории возмущений применяются для построения явных выражений для решений точно интегрируемых динамических систем. При этом важно подчеркнуть, что речь идет не о каких-либо приближенных результатах, а о точных выражениях, возникающих в результате суммирования рядов теории возмущений, которое для рассматриваемых систем удается довести до конца. Тем самым, преобразование Беклунда, осуществляющее связь нелинейной и соответствующей линеаризованной систем, приобретает явную формулировку. Им является каноническое преобразование, связывающее решения некоторой нелинейной динамической системы с решениями системы, возникающей из исходной при нулевом значении постоянной «взаимодействия». (В простейшем случае в роли нелинейной и линеаризованной указанным образом систем выступают уравнения Лиувилля и Лапласа соответственно.)
Для дальнейшего нам потребуются некоторые сведения из теории возмущений динамических систем классической механики и теории поля, которые мы приведем кратко, отсылая за более подробными выводами и доказательствами к соответствующей литературе (см., например, [9, 10]).
Уравнение Гамильтона ——Якоби, полностью описывающее консервативную систему, имеет вид
dS/dt + ^S/dq^ %) = 0, (1.1) где 62 (р； 4)——гамильтониан системы, являющийся некоторой функцией обобщенных координат qa и импульсов ра, 1 ^ а ^ п. Скобки Пуассона динамических переменных ср(р; q) и г|)(р; q) определяются обычным образом:
*5 叨一乙 I 勿a dq& dqa dp J
В частности,
{ра，你} = 6呻，{尸(ф), G (切=尸,9G. {ф, 2}.
Для интегрирования динамической системы требуется найти пол* ный интеграл (1.1) S = S(f; q心 ©а), зависящий от п произвольных параметров ©а・ При этом уравнения движения возникают из и соотношений dS/daa =匕仪，где 匕仪——набор п произвольных постоянных. Когда гамильтониан системы может быть представлен в виде 62 = 5。+ 九©/, где 九一параметр малости (условно), предполагается, что движение системы «не сильно》 отличается от ее поведения при нулевом значении постоянной связи и все динамические переменные записываются в виде разложения в ряд по %. Существует несколько различных эквивалентных формулировок теории возмущений. Для понимания дальнейшего потребуется следующее явное выражение для некоторой динамической переменной(р(р; д) в m-м порядке, т. е. коэффициент при Х'п ее разложения,
[ф(Р； Я)\т = \[[山.® (^а-1 —，а) X
— ступенчатая функция; % ^ /, £а 三— ступенчатая функция; % ^ /, £а 三*{^{£吁1 …{瓦峭(1-2)
— ступенчатая функция; % ^ /, £а 三
— ступенчатая функция; % ^ /, £а 三
гДее(т)-^0> г<0
Е &(р&)； <?&)), ф/ 曰 <Р(Р⑺，7(0)-
Здесь & — гамильтониан взаимодействия, в котором вместо обобщенных координат и импульсов подставлены соответствующие им динамические переменные, зависящие от момента времени /а с траекториями, описываемыми свободной частью гамильтониана $о； аргументы 中力 отвечают этим переменным при гамильтониане $()в момент времени Л Таким образом, с помощью теории возмущений устанавливаются явные формулы, связывающие динамические величины, описываемые гамильтонианами 现 и $о +入&• (На квантовом уровне подобное описание динамических систем отвечает представлению взаимодействия.) При этом, что наиболее существенно, для некоторых из них в точно интегрируемых системах ряды теории возмущений X 九畑[中(р; q)\m является конечными полиномами по 九，что приводит к точным решениям рассматриваемой задачи. Более подробно эти вопросы изложены в § VII. 5.
§ V. 2. Теория возмущений
в формализме Янга ——Фельдмана *)
Аппарат теории возмущений существенным образом опирается на канонический формализм, который может быть сфор-
мулирован не для всех точно интегрируемых систем типа (Ш.2.8). По этой причине удобно обратиться к непосредственному интегрированию соответствующих уравнений
5^7+§о](2.1)
путем разложения их решений в ряд по степеням постоянной взаимодействия, введенной явным образом в систему (III. 2.8), и последовательного вычисления всех порядков теории возмущений. В физических приложениях такой формализм, заключающийся в переписывании дифференциального уравнения в интегральной форме с автоматическим учетом граничных условий, получил название метод Янга ——Фельдмана.
Для реализации этого метода применительно к уравнениям (2.1) разложим искомый групповой элемент go по постоянной взаимодействия 九,рассматривая ее в качестве параметра малости,
go = g『> X =〃产 1，
(2.2)
g『=рт ®閭。『=卩一 +/俯一 4)+…]恒俨
Очевидно, что в нулевом порядке по 九 решение g° (厶= O) = gS‘ имеет вид gе)=力+(2十)力一 (之一), где 力土(之土)——элементы комплексной оболочки группы Ли Go с алгеброй Ли ®о, являющиеся произвольными дифференцируемыми функциями своих аргументов. Подставляя разложение (2.2) в уравнении (2.1) для элемента go, получаем
О\p~'h-囁"|/広+ =九卩-，P"'h^h^J+h+h_p\, или, после элементарных упрощений,
д [pi (й) ^4/巫+ = X [hJ_hZ', (&"*// (й)]曰
曰九[/_ (力一)，р7 (〃) /+ 伍+) р (й)]. (2.3)
Здесь введены обозначения:
加п = кит仁'」+ (h+) = h~xJ+h+, J_ (h^^h_J_h^'.
Приравнивание в обеих частях уравнения (2.3) членов при одинаковых степенях 九 приводит к системе
=卩一(〃一)，2 P^J+(2・4)
Lо < s & 俏―iJ
где р, и p"1—коэффициенты разложения полиномов р(й) и р-'(@), соответственно, при 7/. В частности, для первых двух
179
(2.5)(2.5)⑵6)⑵6)порядков (m = 1, 2) из (2.4) имеем уравнения 山,2+z_ = [/-(九一),/ + (无+)]， 逛2戸一=卩-(九一)，LM%)，山]]+伍*1,2.),办， результат интегрирования которых представим в виде «1 =П 收/一 仅―(2；)), ； dz+J+ (/г+ (z；))], "2 = [，"z]/一 仇一 (z[) [\ "2+」+(仆(z；)), 卜虑:/一(色丝))，f dz^J+(A+ (z-))] ] ] +
(2.5)
(2.5)
⑵6)
⑵6)
+［］恋上® （乙））,『虑"+ （知心）］x
х［\ 疋屮一（吗），f dZ^J+（л+ （г：））］
В конечном счете нас интересуют вполне определенные матричные элементы go, тогда как приведенные выше формулы для членов ряда теории возмущений содержат соответствующие величины, взятые между произвольными состояниями исходной алгебры ®. (В свою очередь, искомый элемент go возникает в результате экспоненциирования подалгебры @0 алгебры Ли ®. При этом входящие в формулы типа (2.6) кратные коммутаторы элементов /一(力_) и /+(й+) подпространств @_! и @+ь соответственно, таковы, что они принимают значения в ®о <= ®о.) Рассмотрим состояния, которые аннулируются под действием элемента /+, /+1)= 0, и, соответственно, <|/_ = 0. Тогда разложение (2.2) для решений системы (2.1) (в смысле указанных матричных элементов) представимо в виде
@〉= J 3) { 1 - N虑4优+ (г；)) ?在/(忆(吗)+
十大2,仁厶(*(喲八d举+(*図))\厶/(員(吗/X , dz：/. 仅.(化))+ • ■ •}力-(z.))y力+ e+) ( 2 (.
/\I m>0
II 血;)成!)8(2,-1)一理)8(史-!)一史))х
1《У m
x/+ 储6+ (嚟))X
X /一 0一竺)))(吼(鸣)｝員(Z_)〉(2.7)(理』z±)，
где правило составления кратных интегралов очевидно.
Конечномерные алгебры Ли обладают набором конечномерных представлений, для которых многократное применение понижающих операторов слева направо (или повышающих справа налево) приводит к аннигиляции базисных состояний. Таким образом, в этом случае ряды теории возмущений обрываются на соответствующем порядке и выражение (2.7) дает эквивалентную форму записи решений точно интегрируемых динамических систем типа (III. 2.8), построенных в гл. III и IV.
Опуская редукционную процедуру, обосновывающую справедливость формулы (2.7), приведем лишь правило построения явных выражений для элементов йт. Оно заключается в последовательном перемещении всех элементов /+(7_) на крайнее правое (левое) положение, в результате чего соответствующие матричные элементы зануляются.
§ V. 3. Методы теории возмущений
в одномерной задаче [91]
В настоящем параграфе рассматриваются точно интегрируемые динамические системы, которые возникают из двумерных типа (III. 2.8) при определенных ограничениях на зависимость искомых функций от своих аргументов, например, g?= =go(z++ 之―=/), и описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений (III. 2.13). Их решения в классической области, как уже отмечалось ранее, могут быть получены из общих решений соответствующих двумерных систем путем подходящего выбора асимптотических функций, приводящего в окончательном выражении к правильной зависимости от одной (временной) переменной. Именно таким образом были получены явные формулы для решений одномерной обобщенной цепочки Тода (IV. 1.49). (В квантовой области ситуация существенно изменяется, поскольку коммутационные соотношения в одномерном и двумерном случаях разные.)
Вместе с тем, сам подбор функций, хотя в принципе и всегда возможен, однако отнюдь не всегда тривиален. По этой причине необходимо иметь аппарат, позволяющий в явном виде строить непосредственно решения соответствующей одномерной системы. Как это ни парадоксально, расчетная сторона вопроса в одномерном случае ничуть не проще, чем в двумерном.
В отличие от двумерного случая, рассматриваемая система
(3.1>
обладает в терминах элемента go группы Go и операторов сдвига на ней гамильтонианом (III. 2.14) с множителем 厶 при потенциальном члене, приводящем согласно п. 3, § III. 2 к уравнению (3.1). По этой причине можно использовать канонический формализм и строить решения (3.1) на основе формулы (V. 1.2) с помощью расчетных формул § V. 2. Однако нам будет проще воспользоваться аппаратом теории возмущений в формализме Янга ——Фельдмана, так как расчеты при этом наиболее близки к двумерному случаю, для которого целый ряд полученных результатов непосредственно переносится в одномерный случай.
Как и в предыдущем параграфе, разложим групповой элемент go") по степеням 九 в виде (2.2), рассматривая его в качестве параметра малости. В нулевом порядке элемент g°(入=0) = gg), удовлетворяющий уравнению
представим формулой
gt= h eXр (户」)=(h exp (户」))九一%=exp (户+г) h,
где 户+ и р_ —не зависящие от f величины, принимающие значения в подпространстве ®о алгебры ®. В введенных обозначениях уравнение (3.1) переписывается в виде
& [^Т[р-1Н ^-g^/dt =大卩一，娜尸厂(〃)牛 3) g')j .
(3.2)
После разложения р(и) в ряд по степеням 入 и приравнивания членов одного порядка в обеих частях равенства (3.2), приходим к системе уравнений последовательных приближений для вычисления неизвестных функций 〃仆 Первые порядки теории возмущений дают
d [鸣尸* g"df =卩一，翦)7 J+gf]，
d [鸡尸(醬i *g$>]=卩一，伍旷 “•
Введем обозначения
/丁 = eхр (户+4"+ exp (一力+耳)，
/} = exp(—户一т_) /一 exp (户一т_),которые позволят сформулировать результат вычислений в бо-
лее компактном виде: о о
% =卜J，公間吃闖尸，4+］，
"产，dj，"J2芯仁1 \仁2卩力，g怨r（g?）7]x
义g，宀（办尸]+
+，仆，仆以步，山步,g，/\（g，）T], g"r @，]]b
(3.3)
Сравнивая (3.3) с выражением (2.6), убеждаемся, что по своей алгебраической структуре эти формулы полностью эквивалентны при очевидной замене упорядочения по г+, z一 на т+, т- и при изменении пределов интегрирования. Поэтому элемент g。, взятый между состояниями, аннигилируемыми под действием /十 слева и /_ справа, /+| > = 0, <|/_ = 0, задается разложением
=2(—厶)可 …、П。(工—工+j ® (Ji〉— J)X
m^Q1 < i < m
X <7^> ... J^gf ЮС-.. . /丁〉三〈府+g? (?) M-\(3.4}
Оо
М+ 曰 т+ ехр 厶 \ dx^P^, М~ 三 t_ exp ,・
Входящие сюда хронологически т±-упорядоченные экспоненты 足+ и М~ не содержат зависимости от временного аргумента. Подчеркнем еще раз, что при выводе последнего равенства мы воспользовались уже известным результатом п. 4, § III. 2 для решений системы типа (Ш. 2.8) в двумерном случае, согласно которому〈g〉=《(國尸 垃二“應-g丁 I》Структура ряда теории возмущений для одномерной задачи приводит именно к такой форме записи интересующего нас матричного элемента g°.
Для того чтобы выполнить интегрирование в (3.4), требуется расписать элементы /丁，/：- с учетом соотношений (1.2.4) и разложения
/土 = ? 嘖 aXJ,户一三(X%)三 ? X:%, 3. 三(X。/).
Введем функции f^ = X C^aP^ f/ = —§。謂Рз・ Тогда
［р+> /十］=X C+a (广Х4*%,［户/_］ = X Ja (厂XQa，aa
откуда
%±= £ Ja(exp(f±%)X )a・
Для вычисления интегралов нам нужно диагонализовать матрнгш 产=?±d± (夕±)т с d肅三 Mb妹 являющиеся собственными значениями операторов 夕^三((尸):尸)a,[冉，殺]= = d^^K [р— ^а ] = — d^Xa » [i?, Ха ] = — ва Ха » ГДв Q 三(X°q), 1г 三 exp q. Окончательный результат представим в виде
^0 ^ ~ 2 (一九产 X 6‘｛；1｝〈》乙]. . j\mgS (/)文a _ m • • ■丸一)曰 m > 0｛а 土｝
三2 / 2 G优｝(就+，iТ〉х
Хехр(Х%)ехр|(Х»)4ехр[—у£_т(а；_$/ + е」)],(3.5)
где
G牆П 口(
С｛а｝= П П e
В частном случае обобщенной (конечной неттериодической) цепочки Тода, кагда /± = g 々?‘纺土1，/吉三X瓦Q订〃三6订(加)了 выражение (3.5) значительно упрощается. В принятой выше форме записи этой системы, xz = X exp (kx) t-, ее решения связаны с элементом gj(E) формулой
gu(f) = ехр[ — 2 hi ^Xi — Z 々才 In kj^ откуда
exp ( — xi) = П 々厂"〃 I go 10,
где 11) — старшее состояние i-го фундаментального представления @, удовле-творяющее соотношениям (1.5.22). С помощью формулы (I. 5.24) матричные элементы〈z]宏十九•..优内依绻-％ • • • ・••宓一外卩〉выражаются непосредственно через элементы матрицы Картана 々，что дает эквивалентную форму записи решений (IV. 1.49), являющуюся конечным полиноглом по постоянной 九.
4. Интегрирование нелинейных систем, связанных с бесконечномерными алгебрами Ли )
Развитые в предыдущих параграфах настоящей главы методы интегрирования нелинейных систем, основанные на теории возмущений по параметру «малости» 入，применимы и для уравнений, связанных с бесконечномерными алгебрами Ли. Однако в отличие от конечномерного случая, когда получаемые на этом пути решения являются конечными полиномами по 入,возникающие бесконечные ряды для бесконечномерных алгебр Ли оказываются, вообще говоря, формальными и доказательство их
абсолютной сходимости требует привлечения условия конечности роста алгебры.
По тем же причинам процедура интегрирования нелинейных систем, основанная на групповом подходе (см. п. 4, § III. 2 и п. 2, § IV. 1), также нуждается в модификации. Дело в том, что для бесконечномерных алгебр Ли теряет общепринятый смысл понятие группового элемента (вместе с тем, их нильпотентные подалгебры могут быть экспоненциированы, и элементы Л± из (III. 2.16) существуют), и поэтому элементу Ж (III. 2.17) нельзя, вообще говоря, придать строго определенный смысл. В силу этого решения уравнений (III. 2.16) следует рассматривать в виде ряда последовательных приближений, снабдив операторы L± или (что то же самое, функции cp+acp_a) параметром 《ма- лости^ 入.Тогда, как и в рамках методов, приведенных в настоящей главе, центр тяжести решения нелинейных систем типа (III. 2.11), связанных с бесконечномерными алгебрами Ли, переносится в область исследования условий сходимости рядов теории возмущений.
В этом параграфе мы рассмотрим задачу интегрирования нелинейных систем, связанных с бесконечномерными алгебрами Ли конечного роста, на примере периодической цепочки Тода, т. е. уравнений (III. 1.10), в которых матрица 月 совпадает с матрицей Картана бесконечномерной простой алгебры Ли @ конечного роста. (Другой способ решения задачи Коши или Гурса, связанный с задачей Римана, указан в [46].)
По указанной выше причине подставим в 《групповой элемент» 勿 вида (III. 2.17) выражения Jl± (IV. 1.3) с точностью до некоторого m-го порядка малости и с той же точностью определим элементы 投七 и ехр Й из соотношения *)
Ж « ^-ехрЯЛ9；1-(4.1)
Отсюда, дословно повторяя рассуждения п. 2, § IV. 1, приходим к выводу, что Н ^ У Н乱 удовлетворяет системе уравнений
反2+之一比[L-, exp H) L+ exp Я ] или "九屮_
q — Ф+/р_/exp [―///),]・(4.2)
Для того чтобы осуществить переход от формулы (4.2) к (III. 1.10), следует учесть, что функции 屮十了， (р_/ связаны соотношениями (см. п. 2, § I. 3):
Z 厶俨 In(р+/ = 0, Z 九，'1口(р_/ = 0,
где 厶歹——набор (левых) собственных векторов матрицы k с нулевыми собственными значениями, (%(5)й), = 0. (Напомним,
*) Здесь и дальше символ и означает, что рассматриваемые равенства выполняются с точностью до членов m-го порядка по степеням ф, у .一 <р , у
что в случае невырожденных матриц Картана, т. е. для конечномерных простых алгебр Ли, все функции 屮土/ являются функционально независимыми.)
Как и в конечномерном случае, для получения замкнутых явных выражений для решений ехр(——/・) системы (III. 1.10) можно использовать «генераторы старших векторов» Rf > удовлетворяющие соотношениям (1.7.6) и (1.7.7). С их помощью нз разложения (4.1) аналогично выводу (IV. 1.13) и (IV. 1.39) имеем
exp Hi = {jt^R^v#+\ 沈_7?^沈」)=
=E ( — 1) (Р/n • • * Pl)+ (^1 * * * Qm)—〈力丨 Pm • • • Pl，7l • • • 7m I '〉，
где (pi ... pm)± определяется кратными интегралами (IV. 1.32), а скалярное произведение векторов q{ . ., qm\i) ^ 6q 丄必一 g q , R打〈力 I Pm • • • Pi 三 6力［纺+p「.. Pm，R「］ вычисляется с испол^- зованием тождеств Якоби и соотношений (L2.8), (1.7.6) и (1.7.7) (ср. с (1.5.24)).
Для решений системы (III. 1.10) в рассматриваемом случае с помощью формул (4.1) — (4.3) получаем следующее формальное выражение, определение области сходимости которого требует дополнительного исследования,
ехр ( — х, = ехр ( — 加叫)In 厶/一0 X '
X exp f - 2 好)1nh二)(贫内”"】，湿-内原二‘)，(4.4) \ "J+ 1《s 忘 r /
где (加⑺％ =。， 1 </<m; (Ws)). = EJJ? /附 + 1 W £ W r, Es =/= 0. Функции 屮土％ входящие в определение (Ш. 2.16), связаны с f±j соотношениями
<P+i<P-i = П (f+J-s)，' (4-5) m+1 & s К г
Из (4.4) можно получить формально? решение задачи Гурса для системы (III. 1.10). Действительно, подчиним решения (IIL 2.16) начальным условиям Л^ = 1 при 乞十=@+,峻_=1 при z_ = a_. Тогда согласно (4.3) и (4.4)
ехр( —Ob =а_ = const, exp『一 £ ^}\nf+l(z+')-
-2 Ms)［n"s(Z + )1
т. e. функции f+八 1 W / & "z, onpeAevaaioTcn значением exp (—修) при фиксированном z_ = а_. Ана;ю门лным образом функции f_j, 1 W j《m, восстанавливаются по значениям ехр(——尤。 при
' В случае алгебр конечного роста, когда k совпадает с их матрицами Картана, для членов m-го приближения в (4.3) можно сделать общую оценку, показывающую, что для произвольных, ограниченных на интервале a^^z^^b^ а_&2_&Ь_ функций 屮土『ряд в (4.3) является абсолютно сходящимся. Для доказательства этого утверждения потребуются следующие два факта из теории представлений градуированных алгебр конечного роста (см. гл. I). Матрица Картана такой алгебры является неотрицательно определенной и обладает ровно одним нулевым собственным значением. Взаимные скалярные произведения базисных векторов фундаментальных представлений, содержащих одинаковое число повышающих (понижающих) операторов ^ЛЛ/2 . m — l^-im- 'h'^ RR也…^曰［绪+儿 Т，б］，СО： храняют знак, будучи положительными при четных т и отрицательными при нечетных, ( — ^m(R7t-t!2 .. ；m,先八力…Q > °-
Обозначим через 卩；единственный собственный вектор матрицы й с нулевым собственным значением, (йц0)；■ = 0. Для всех алгебр конечного роста 卩；〉0, и мы нормируем его условием min ц9 = 1. Система (4.2) заведомо имеет решение вида % = = "；Ни при условии ——W("J,斗―=屮+j屮т Для всех /, т. е.
<Р+/Ф_У^Н/Ф+Ф_ или $+/ =卩；$+， ¥_/ = ¥_. при этом 4 = _ 、 成+中+\ dz_cp_, a 厶+ =g"；纺+№+， 厶_ = =£ 纺_j(p_. Тогда для Л+ получаем конечные выражения:
4+ =ехр£ 必衫+/ \ dz+<p+ = exp 密 + (屮+),(4.6)
Л- = ехр £ 纺_/ \ dz_(p_ =ехр 宏一(<Р_).
Из определения 纺土 имеем
阂宓」=X卩:勿尸石，［成纺士 J = e卩崎衫土广
Подставляя (4.6) в (4.3) и используя свойство кратного интеграла'
находим
exp Hi =（4+RF贫二，J?-R九療二i） =exp （—卩？卜之十屮+jdz_（p_） = = 2（- 1）"［（w2十①+广/m!］［（\位_中一广/加］£^^
山s（R几…个R也…g），
t. e. Z К泌…成(R也…%，砧…厶片(尚^他！
I (勿*1 …夕 i)+ 区[烈(斗-a^mlm\\出％%т，(4-7)I (勿*1 …夕 i)+ 区[烈(斗-a^mlm\\出％%т，(4-7)Для оценки членов m-ro приближения в (4.3) рассмотрим ограниченные на интервалах (仪十，斗)и ) функции ср+； и <рт, для которых |cp-t|^J^-, I 屮十/&加+《卩?加+ (последнее неравенство вытекает из принятой нормировки для вектора N?》l). Для m-кратных интегралов, входящих в (4.3), имеют место очевидные оценки:
I (勿*1 …夕 i)+ 区[烈(斗-a^mlm\\出％%т，
(4-7)
I (勿*1 …夕 i)+ 区[烈(斗-a^mlm\\出％%т，
(4-7)
I I (2一 - &一严阿
Подставляя (4.7) в (4.3) и используя полученное выше правило сумм и упомянутую положительную определенность скалярных произведений базисных векторов, получаем следующее неравенство для m-го члена ряда 夕制：
Таким образом, ряд, определяющий выражения для решений системы (III. 1.10) в случае, когда й совпадает с матрицами Картана бесконечномерных простых алгебр конечного роста, является абсолютно сходящимся и дает решения задачи Гуре а для указанной системы, зависящие от нужного числа произвольных функций. Отметим, что формально ряд (4.3) дает решение рассматриваемой системы и для произвольных матриц /г, однако вопрос об области его сходимости требует дополнительного ис
следования.
Среди уравнений системы (III. 1.10), отвечающих бесконечномерным простым алгебрам конечного роста, наиболее известны уравнения (III. 1.12). Решения этих уравнений, зависящие от двух произвольных функций, являются непосредственным следствием общих формул настоящей главы:
ехр х =喈(z+)噌(z_)"("尸 expx = <p+1(z+)(p_I(z_)獴(X竹aехр х =喈(z+)噌(z_)"("尸 expx = <p+1(z+)(p_I(z_)獴(X竹a-2, ±2=0土I-2, ±2=0土I(8 = 0), (8= 1), j=l, 2,(8 = 0), (8= 1), j=l, 2,(4.8)(4.9)(4.8)(4.9)无三(Jf+R[v<],贫-r)贫]),无三(Jf+R[v<],贫-r)贫]),(4.Ю)(4.Ю)
ехр х =喈(z+)噌(z_)"("尸 expx = <p+1(z+)(p_I(z_)獴(X竹a
ехр х =喈(z+)噌(z_)"("尸 expx = <p+1(z+)(p_I(z_)獴(X竹a
-2, ±2=0土I
-2, ±2=0土I
(8 = 0), (8= 1), j=l, 2,
(8 = 0), (8= 1), j=l, 2,
(4.8)
(4.9)
(4.8)
(4.9)
无三(Jf+R[v<],贫-r)贫]),
无三(Jf+R[v<],贫-r)贫]),
(4.Ю)
(4.Ю)
贫士（2士）=至士 exp \ 厶1 ［（p±i（24）%±i+ 中土2（2；）纺士2ь
Бесконечные ряды в выражениях для X/ являются, как было показано в общем случае простых алгебр конечного роста, абсолютно сходящимися. Выпишем для иллюстрации первые восемь членов разложения >〔 по степеням 屮十工屮一》(>2 получается из X】 очевидной заменой(p±i ч^(р±2):
元=多[(一1)‘?&用 2]=
=1 一⑶ |2 + 2|X2|2-4|X3|2-2|X3|2 + 4|Xf|2 + 8|^|2--8|'Х5|2-8|Х5|2_ 16|х5|2 + 8|Хб|2 + 16|%б|2 +
+ 16|X?|2 + 32|X"2—16|XI|2—16|X；|2_ 16|X；|2_
_ 32 I Xj2 — 64 I Xg I2 + 32 I /12+ 32!玛 |2 + 64 | X； |2 +
+ 64|X8|2 + 64|X||2+ 128|X||2+ ...
Здесь IX片三 X〃XL,; верхний индекс указывает номер приближения, а нижний — порядковый номер члена приближения:
Xj =⑴士，%l(12)士，Х3=(122)±，Х岂 = (121)土，
Х3=(1212)±+(1221)土，咽2=(1221)土，噂尸(12122)±+(12212)上，
噂？ = (12121)± + 2(12211)土，XL = (12211) 土，
XL =(122121) 士+(121221) 土，鹭2 = (121211) 土+ 3(122111)土，
X* 3 = 2(122112)± +(121212) 土+ (122121) 土+ (121221) 土，
鹭4 = (122112)土.
В заключение укажем на еще один возможный подход к решению системы (III. 1.10). Перепишем ее в виде
xi,z+z_ = ^i^-i ехр (归％)〃 £ 2+г_ = [ехр xL+ ехр( — £), Л_],
(4.Н)
где х = X х/^/- будем рассматривать функции 屮内屮一 в (4.11) как малые величины, по отношению к которым будет проводиться итерационная процедура. Разлагая решения 尤才 системы (4.11) по величинам соответствующего порядка малости:
для членов m-ro приближения получаем из (4.11):
£(向,N+Z—H X Г П- 〃!) [[Am-n ' • • *；卜厶+]，
(4.12) где Z jl^ — m — i, a [戈;点二厶*3 厶十]—последовательность 厶,...J；„-广 кратных коммутаторов перестановочных между
189
собой операторов хь ...,叁(切一i)с 厶十.Тогда, пользуясь стандартной техникой, после довольно громоздких расчетов приходим к следующему формальному ряду теории возмущений:
Xi = 2^ ( — 1)т(2〃 …2/П)+ (〃2 …im)-(Ri 纺…纭十份
Переходя от функций х： к экспонентам ехр(—修)，приходим к полученным ранее выражениям для решений системы (III. 1,10). Отметим, чти с физической точки зрения последний переход соответствует учету несвязных диаграмм при вычислении вакуумного среднего от S-матрицы.
§ V. 5. Представление типа Лакса систем (III. 2.8)
и явное решение для них задачи Коши [107]
Для систем типа (III. 2.8) может быть получено явное (формальное) решение задачи Коши, т. е. восстановление элемента go во всем двумерном пространстве по значениям, принимаемым им и его первыми производными вдоль некоторого контура. С этой целью представление (III. 1.1) с операторами Л±, принимающими значения в локальной части @, в калибровке, в которой К，— превращается в элемент /_ (см. § III. 3), перепишем в виде
\djdz г +g”+g(„ d/dz_ + g-lgQ_ г_ + /_] = 0.(5.1)
Как следствие (5.1) возникает система (Ш.2.8) и градиентные соотношения (III. 1.19)
g「gu,z_ + /- = gTg, z_, g(T'/+go = g7g, ?+，(5-2)
откуда
gj-go' = gog-'g，z_g 丁 — go, z_g「= (gg「尸(gg「), z_ 曰
三—(gog-)z一(gogT) —
Рассмотрим набор старших состояний |s), аннигилир)^емых элементами®+1, 宪JJs〉= O. Благодаря тому, что gj纺才g° принимает значения в @+ь они образуют некоторое представление 5，纺^%| s〉=戛(go"】历才go) I s〉= °・ Нз определения старших состояний и соотношений (5.2) вытекает, что состояние g (z+, 21) |s) не зависит от z；. Действительно,
言 g (г+, £) I s〉三 g (g% 4)卜〉в g(g”+g°) I s〉= 0.
Аналогичным образом убеждаемся, что состояние (s I j?n (zl»
I ч _ I / 21 \> о и \ т
zjg""(之十，之一)не зависит от г_:
齐〈S I gogj =^ — (s\(gQJ-g^) gogf = 0・'
Из этих двух утверждений заключаем, что матричный элемент 〈s|go(z3 zL)g7(2；, z'_)g(z+，zips'〉не зависит ни от z； ни от Полагая 2^_ = z^f z[ = zj, приходим к равенству 〈s|gj (z；, zL)gT (z：, z!_)g (z；, /)1 s'〉=〈s|g)(zj, Z-) \ s'〉, (5.3) где〈s|, I s'〉——произвольные старшие состояния алгебры в указанном выше смысле. Соотношения (5.3) связывают матричные элементы групповых структур в трех различных точках плоскости (2+，z_)： p (zj,z匕)，n(之3 z1-) h 8(之3 zL)，причем две последние расположены на пересекающихся в точке Р характеристиках 2_ = const и г+ = const. При этом (5.3) переписывается в виде
<S I go (Р) I s'〉= (s I go (Л) gT (4) g (В) I s'〉.(5.4)
Свяжем точки Л и В некоторым контуром у, вдоль которого согласно (5.2) имеет место соотношение
g 7 嗡外=(g「g> z_ + /-)虑屮十 g”+g。衣?』4 %(5.5)
Последнее соотношение позволяет восстановить g~[ (Л)^(б) как решения уравнения S-матричного типа с гамильтонианом, задаваемым правой частью (5.5):
g~l (Л) g(B) = y ехр Л? dly,(5.6)
где символом у обозначено упорядочение по контуру у.
Таким образом, соотношение (5.4) связывает решение системы (III. 2.8) в произвольной точке Р двумерного пространства с начальными данными на произвольно заданном контуре в нем.
Аналогично может быть получено решение задач Коши и Гурса для уравнений (III. 1.3), порождаемых операторами 4十 и Л_ вида (III. 1.2), которые принимают значения в подпространствах X ㊉ ®+а н 2 ф ®_а, соответственно. При этом следует выбрать определенное калибровочное условие с целью привести в соответствие число уравнений числу неизвестных функций, что необходимо для корректной постановки задач Коши и Гурса для таких систем. Отметим, что описанный подход в частном случае обобщенной цепочки Тода с закрепленными концами предложен в работе [72].
⑼
ГЛАВА VI
АППАРАТ СКАЛЯРНОЙ М-ПАРЫ И СОЛИТОНЫ ОБОБЩЕННОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЦЕПОЧКИ ТОДА
В этой главе предлагается общая схема построения солитонных решений динамических систем без обращения к матричной реализации представления типа Лакса. Если в методе обратной задачи рассеяния, с помощью которого находятся солитонные решения, удачный выбор ЛЛ-пары существенно облегчает все расчеты и, вообще, позволяет их провести, то развиваемая ниже конструкция инвариантна относительно выбора конкретного представления алгебры внутренней симметрии и апеллирует непосредственно к свойствам алгебры.厶4-пара в этой конструкции заменяется системой линейных уравнений высших размерностей на одну единственную скалярную функцию, условием совместности которых и является уравнение исходной динамической системы.
Каждому неприводимому представлению {/} алгебры может быть сопоставлена такая линейная система уравнений, причем число входящих в нее уравнений на единицу превышает размерность представления 府厶 а максимальная степень производной совпадает с Nt. Скалярную функцию Т/, связанную указанным образом с /-представлением алгебры, мы будем называть волновой функцией /-представления, а систему уравнений, которой она удовлетворяет,——скалярной ЛЛ-парой /-представления алгебры.
Предлагаемая конструкция носит общий характер, однако, в целях ее конкретизации мн ограничимся изложением на примере обобщенной периодической цепочки Тода.
1. Групповой смысл спектрального параметра
и уравнения для скалярной LA-пары )
Напомним, что уравнения, описывающие периодическую обобщенную цепочку Тода,
Р/.г+г_ = 2 ^//ехрр/, 1《/, /&Г+1,(1.1)
возникают из общей схемы гл. III при ее применении к беско-
нечномерным простым алгебрам Ли конечного роста S ранга 『三广+ 1. Здесь, й ——матрица Картава @, обладающая, как известно, единственным нулевым собственным значением, отвечающим собственному вектору f, 2 乙居丿=()• Поэтому, согласно (1.1), неизвестные функции р/(а+, г_) удовлетворяют соотношению
В дальнейшем будем считать, что £//Р/曰 0, т. е.
Pr+i = —2 //р/^1 三—2 mm 金一(加• р).
Тогда первые г независимых уравнений системы (1.1) переписываются в виде
Р/,屮_ = Е % ехр р/ + kir+i ехр( — тр), 1 & i, j < г,
где kij 三 无小 1 W t, j W 厂，——(невырожденная) матрица Картана соответствующей конечномерной простой алгебры Ли @ ранга г. Вводя независимые функции 修三 Е 々力Ь/三(々-‘P)z и учитывая свойства общей конструкции алгебр Ли конечного роста (см. § I. 2), получаем
к，z+z_ = exp(^x)£ — mtvYx exp (——mkx)(1.2J
(mz- — коэффициенты разложения максимального корня S по ее простым корням). Всюду в дальнейшем под уравнениями периодической цепочки Тода будем иметь в виду систему (1.2J. В векторной форме записи она имеет вид
К г+г_ = [Х ^+i + 宓-m，exp ( — X)( § 宓_/ + ^ + m^ exp X ],
/
где 宪土/ — корневые векторы простых корней @, а 纺十加(宪一^)— корневой вектор максимального (минимального) корня ®; х = Z hjg (ср. с § V. 4). Уравнения (1.2) являются прямым следствием представления типа Лакса (см. гл. III) в форме
[O/0Z+ + X. Z+ + 九(£[O/0Z+ + X. Z+ + 九(£纭+, +老一口）纭+, +老一口）d/dz_ +d/dz_ +…（多…（多纺техр(^х)/ + ^+mexp ( — mkx)^ = О纺техр(^х)/ + ^+mexp ( — mkx)^ = О(1.3)(1.3)
[O/0Z+ + X. Z+ + 九(£
[O/0Z+ + X. Z+ + 九(£
纭+, +老一口）
纭+, +老一口）
d/dz_ +
d/dz_ +
…（多
…（多
纺техр(^х)/ + ^+mexp ( — mkx)^ = О
纺техр(^х)/ + ^+mexp ( — mkx)^ = О
(1.3)
(1.3)
со «спектральным» параметром 九. Применительно к системе (1.3) название «спектральный параметр» пока не несет никакой смысловой нагрузки, и введено просто по аналогии с терминологией метода обратной задачи рассеяния. Его следует считать
1931937 А. Н. Лезиов, М. В. Савельев
193
193
произвольным (комплексным) ненулевым число?л, при любом выборе которого из представления (1.3) вытекают уравнения (1.2) (не зависящие от 入).
В этом месте уместно остановиться на вопросе о взаимосвязи различных форм представления типа Лакса (Ш. 1.1), а именно реализацией операторов Дх вида (Ш. 1.7) в бесконечномерной простой алгебре Ли @ конечного роста, приводящей к (1. Г), и представлением, связанным с соответствующей конечномерной простой алгеброй Ли @ и ее конечномерны ми представлен иями, приводящими к системе (1.2), которая отличается от (1.1) только конформныги преобразованием. С этой целью вспомним, что 6ec;:c:ie4HO?viepHbie простые градуированные алгебры Ли, используемые в настоящей книге, порождаются своей локальной частью 后三 &一！㊉ @о ㊉ ©；1. Последняя образована 3『элементами 密d, удовлетворяющими комм\гтациопным соотношениям (1.3.1). Если в качестве система простых корней 脇 выбрать совокупность простых корней соответствующей конечномерной простой алгебр Ли ®, дополненных максимальным (минимальным) корнем т. е.
腐一尸｛箔Т，1*，*Г；缕…｝,忘"=｛第七.，1 ^/<Г：
鱼、=｛%, 1 w ， 《 Г；簧m ［子密一小］｝,
то легко увидеть, что коммх^гационные соотношения для элементов ® выполняются автоматически. Кроме того, в каждом подпространстве / алгебры 3 = 2㊉吼 (образованны?л | ^ | - кратными коммутаторами корневых векторов простых корней) не может содержаться элементов больше, чем размерность алгебры S в целом, т, е. рост 密(см. § 1.2) заведомо конечен. Именно на этом пути и были впервые введены бесконечно меры ые алгебры Ли конечного роста. Построенное таким образом представление @ сильно вырождено, так как одним и тем же элементом конечномерной простой алгебры Ли @ 《занумеровано» бесконечное число элементов @. Частячно данное вырожден не может быть снято с помощью введения параметра 入(произволь- гюго комплексного числа) и выбора локальной части алгебры @ в виде
®一］=入｛绣终事g｝,36= ｛%,%｝, 3+［=入｛\/上"究一切｝.
Теперь каждый элемент алгебры & содержит в качествр mfo- жлтеля параметр 入 в соотЕетствующей степени, и, таким образом, все элементы @ начинают различаться друг от доуга. Единственно, что не удается различить с помощью 入，это элемент 二侈 подпространства @0 от суммы картановских образующих простых корней. Представление типа Лакса в форме (1.3) совпа-
дает с его реализацией операторами (III. 1.7), при этом в (1.3)' выбрано некоторое конечномерное вы|)ож21еннос представление алгебры Ли конечного роста, в котором элемент 笼 из @о совпадает с Z hjnifV^- Последнее обстоятельство понижает на единицу ранг системы (12) по сравнению с (1.1).
Таким образом, с алгебраической точки зрения предпочтительнее определить 九 как параметр градуировки (бесконечномерной алгебры Ли конечного роста). Мы, однако, сохраним традиционное название спектральный параметр, смысл которого будет прояснен через несколько страниц.
Представление (1.3) означает, как и ранее, градиентность операторов Лакса, т. е.
g'gT =九7 (Z 绻一/exp(Zjx)/ + 宓+^ехр( — mkx)^ , (1.4,) где g ——элемент комплексной оболочки соответствующей простой группы Ли с алгеброй Ли. (Здесь и в дальнейшем, для краткости, дифференцирование по 之+ и z_ обозначается точкой и штрихом, соответственно.) Проводя преобразование gf ->exp(7zc)g с постоянными параметрами с и исключая таким образом зависимость от 入 при корневых векторах простых корней, переформулируем (14) в виде .
g = У + 多 ％+/ 十大M+U纺i) g,
' (1.4J
『=[Z 纺7 exp (々S + 厂纺+m exp ( — mkx^ g,
где M ——высота максимального корня @. Выражения (1.4) представляют собой систему уравнений для определения элемента g такого, что соответствующие ему токоподобные операторы pg-* g’g-i имеют правильный спектральный состав. Они могут быть переписаны в виде системы уравнений на параметры, определяющие данный элемент g. Так, если параметризовать элемент g разложением Гаусса g = Л°_ ехр (/it)?Г+ (см. (1.6.2)), то после подстановки его в (1.4) между параметрами элементов “± (связанных с корневыми векторами @±а, а ^ 1) и т『возникает сложная нелинейная дифференциальная зависимость.
Замечательным является то обстоятельство, что уравнения для определения функций ехр т； отщепляются от полной системы, все еще оставаясь существенно нелинейными. Вместе с тем, функции ехр Z 価 с произвольными целыми числами // (>0) удовлетворяют линейным уравнениям высших порядков, выделяемым из системы для ехр т；, коэффициентные функции которых зависят от неизвестных функций р, и их производных. Условием их совместности и является исходная система уравнений
периодической обобщенной цепочки Тода. В дальнейшем величины ехр(/т)三 V/ будем называть волновыми функциями, а систему уравнений для них ——скалярной ЛЛ-парой /-го представления алгебры.
Подчеркнем еще раз, что сама система уравнений скалярной пары инвариантна относительно выбора того или иного представления элементов 纺土“ 纺士m,力/ в (1.4). Определение «волновая функция /-го представлениям означает только то, что параметр т/, точнее ——его экспонента, наиболее просто определяется как матричный элемент g между старшими элементами базиса (для краткости — просто старшими векторами) /-го представления, т. е.
屮/ 三 ехр 2 /円=a I g I /〉.
С тем же успехом, хотя и более сложно, этот параметр может быть найден из группового элемента g, заданного в произвольном представлении соответствующей группы.
К моменту написания настоящей монографии не было найдено общего выражения для системы уравнений скалярной пары представления произвольной простой алгебры Ли, и чтобы установить некоторую ясность по данному вопросу, мы рассмотрим примеры классических алгебр 2-го ранга (Л2, В2 4c?). Простейший случай алгебры 4］, приводящий к уравнению синус- Гордона, будет подробно рассмотрен со всех точек зрения в следующем параграфе.
Два фундаментальных представления алгебры Л2 трехмерны. Их базис состоит из элементов
П),纺-ID,纺-纺-JD，(纺*/П = 0,勿|D = 6/J1〉) для первого фундаментального представления и
|2〉，缪一2|2)，衫7衫.2|2〉，(绣*了|2〉= 0, % I 2〉= 6/21 2〉)
——для второго. Вводя ехр 工1 =屮［=〈1 |g| 1〉 и используя (1.42)\ имеем последовательно
中1 =〈1 I他当+海角+能+l+纸+2 +炉纺“)g| 1)=
=爲屮1+⑴缪+心11) или
ехр打(屮I exp (-/))• =⑴密+風1)■
Аналогично, имеем цепочку равенств
ехр Xj (Ф( ехр ( — xj)* = (1 | 纺+皿1>,
ехр(-р)-Р2)5 =A-3(］图+1%+2g ID；
exp (x2 — %i) (exp pt (^ exp (—相))》=(1 丨纺+i纭宀陪 | 1〉，
exp p2 W exp ( — pi — p2))'=厂'〈11 纺+心 I 1｝；
exp ( — x2) (exp p? (exp pt (exp (—修)• Ч^)*)')* =炉質， (exp P2 (5 exp ( — pi — P2))')'=九—％］ exp ( — p J.
Исключая в (1.5) матричные элементы между состояниями базиса, получаем систему четырех уравнений:
(ехр р2 (ехр р】(屮【ехр (—，犷)》=炉潦 ехр 修，
(exp Pi)(屮। exp( — /))・)・=炉呼 exp( — 2马)，
(Pl - 2巧一工2， P2 = 一 %1 + 2%2),
в)(屮 1 ехр( — х{)У =^ ?^3 ехр (2冷一2巧)(屮;ехр(—修一工2))'，
г)i% =入3 exp Pj (exp p2 (exp p,(屮；exp (—修一/)))1
(1.6)
т. e. скалярную пару первого « ундаментального представления алгебры 小・ Как следствие (1.6), имеем
叫—自屮;=屮i exp (xi + %2)，
*一.自明 一 К% =屮1 ехр ( - pi),
屮;=exp 2x2 (exp X2 (屮1 exp ( — Xi — •◎))) ‘
(屮1 exp (—修))• = exp (2& —修)(exp (x2 —修)X
X (exp s (屮 1 exp (—修))•)•)', или
xi ~ exp pi ——exp (——角——fj, X2 = exp 0?——exp (——兄i ——兄 2)，元,三——Х/,
т. е. систему уравнений периодической цепочки Тода алгебры Д2. Уравнения скалярной пары (1.6) проясняют название параметра 入 в методе обратной задачи рассеяния как спектрального: он возникает как параметр соответствующей задачи Штурма —— Лиувилля.
Второе фундаментальное представление алгебры Д2 сопряжено первому, и единственное отличие скалярной пары в этом случае заключается в знаке при 入з в системе (1.6).
Рассмотрим еще один пример, связанный с алгеброй С2 (алгебра В2 ей изоморфна). Первое фундаментальное представление четырехмерно и имеет базисными векторами элементы 11>, 範_］卩〉，影—2纺т|1〉，纺т纺_2纺-i|l〉； второе — пятимерное с базисными векторами 12>, ^_212>, ^^1(^_212〉，纺т%_［绻12〉, 纺—2影-1 纺т纺-2|2〉. При этом, как обычно, ^+j\i) = 0,句 J = =бг/-| />. Система уравнений, связывающая кратные производные с матричными элементами группового элемента g первого
фундаментального представления,
exp.ti (4/Iехр(-修))♦=〈1 | 埶名1 1)，
呼=一 rZxp 2X,(1 I 能+1能+2纺+6 ⑴，
exp(—修十 x2)(expPi (W1exp(— x,))T = (1 |能+i纭+?g 11〉，
(屮;exp(- 2%)y = 一 厂4 exp (— p,) (1 | 宓+書+?g I 1); (17)exp(xi - z2) (expp2(exp p)(屮i exp (一马))))=〈1 | %+佬+?券+工 | 1)，(expP](呼 exp(—2xJ)')'=—大7exp(—p?)〈l |^+1g| 1);(exp Pi (exp P2 (exp pi (exp (—修)•屮J丁厂厂=—储1 屮iexp 修，(exp p,2 (exp p,(呼 exp (— 2看)))丫 = —A,74fl exp(—pj
приводит к пяти уравнениям скалярной пары этого представления. Два из них совпадают с двумя последними уравнениями (1.7]); для трех остальных имеем
(ехр Р| (吗 ехр(— ах》')'==—V ехр (Зх( — 2%)(屮। ехр(— х,))', (exp р2 (ехр Pi (呼 ехр (— Xj))')')" = — V exp(x2 — 3xJ 屮卜(1.72) (吧 exp(— 2xJ)' = — Л~4exp (— З.Г! + 2x2) (expp((exp(—/)甲户)二
В случае второго фундаментального представления соотношения, аналогичные (1.71), и вытекающая из них система уравнений для скалярной пары — следующие:
ехр х2 (Чг2 ехр(—心犷=(2 | 衫+?g | 2),屮；=(1/2)大т〈2 I 衫+?%+|%+|g |2〉ехр2/,ехр pi (eXp ft?(屮2eхp (一出炉)♦=Q I %+?宓+出 12)，(4% exp (- 2%))'=г4 (2 ! 纺+？纭+6 |2)；(exp pi (exp p2(W2 exp (— x。)]) = (2 | 宓+・2第丄i卷+ig 12〉，(exp p,(吗 exp (— 2/))')' = 2九一 exp (— p J〈2 | ^+2g | 2〉； "•&)exp(— pO (exp pi (exp P] (exp p2 (V2exp (— .r2))')')')* ==-
=2大4% +〈2 I绦+2%+i%+]%+2g 12〉； (exp Pi (exp P](吗exp (- 2%))‘)')'=
=2A,"%exp (— p2) + 九一8 exp 2修(2 \S?+2S?+^+l^+2g \^)- a) (exp p2 (exp p】(exp P)(exp р2,(Ф2ехр(— x2))')')')')'=
= 4^exp%2・W；, 6) (exp(— 2xJ (exp p】(exp p】(屮;exp(— 2%)))))=
=4Z,t exp (— %2)(屮2 exp (―冷))'，
z-4expx2 (exp pl (exp p, (exp p, (W./expf —匕)『广，「+'
+ 2 ['Гз exp (—p2) 一 屮? exp2x|]=(L8J
=妇(exp p| (exp p, (gexp (— 2%)/)')',
r) (exp p, (exp p? ” exp (- x2)y)')' = 2；V (屮；exp (— 2xJ),
Д)(exp p, ('Qexp (— 2/))')' = 2厂'exp p2 (屮?exp (— /丿『，
e)(屮：exp(—2%))' =厂'(exppKKexpt—w)).；
Формулы (1.8a) —(1.8e) представляют собой уравнения скаляр- ний £Д-пары второго фундаментального представления алгебрь« Сз Мы не останавливаемся на выводе того, что условия совместности (1.7) и (1.8) приводят к уравнениям периодической цепочки Тода для С2,
——±| =ехр (— р. ) — ехр 2Х[, ——尤；=ехрехр 2/
(p1 = 2%]-" 尤2， p2 = 一' 2修+ 2%2).
Для алгебры S2 первое и второе фундаментальные представления (С?) просто меняются ролями, поскольку матрицы Картава этих алгебр получаются друг из друга транспонированием.
Из рассмотренных примеров алгебр 2-го ранга вытекает общая схема построения скалярной пары произвольного /-го представления размерности М алгебры @. Производные произвольного порядка волновой функции Лго представления линейным образом выражаются через М матричных элементов группового элемента g, взятого между базисными векторами представления 〈〃]и его старшим вектором,〈胃|g|/〉・ При этом коэффициентами пропорциональности являются однородные (по степени производных) полиномы от неизвестных р,, входящие в выражение для многокомпонентной пары (1.3). Таким образом, все матричные элементы 〈胃|g|/〉 могут быть выражены в виде линейной комбинации волновой функции и ее производных вплоть до (М—1)-го порядка включительно (как по отношению к дифференцированию по z丄，так и по 之一).
Приравнивая соответствующим образом полученные выражения, получаем первые ^z——1 уравнений пары. В результате исключения № матричных элементов 〈九|g|/〉 из производных (по г+ и г_) волновой функции до N厂fo порядка, приходим к двум недостающим уравнениям. Следовательно, скалярная ЛЛ-пара /-го представления @ состоит ровно из /V/ + 1 уравнений и максимальная степень производной как по г+, так и по г_, в них равна №• Два из этих уравнений, содержащие дифференцирование только по г+ или по г_ будем называть спектральными
Спектральное уравнение /-го представления алгебры имеет следующую структуру：
Pn J勿)屮『J+5a，lMT (勿)К，
где через Р^(Ф) обозначен дифференциальный оператор, у которого старшая степень производной равна N. Только в том случае, когда размерность представления на единицу превышает высоту М максимального корня алгебры, в правой части спектрального уравнения отсутствует операция дифференцирования. Такая ситуация имеет место лишь для представлений минимальной размерности серий Аг, Сг. Система уравнений, связанная с алгеброй конечного роста ВЛ2, простейшим представителем которой является однокомпонентное уравнение Додда —— Було, также приводит к спектральным уравнениям такого типа. Решения уравнений периодической цепочки Тода, связанной с сериями Сг и ВАГ, получаются из решений для Аг наложением на их параметры некоторых дополнительных условий, совместных со свойствами симметрии матрицы Картана 瓦■. При этом решения, отвечающие Аг, переходят в решения серии ^ (г — 2/е + 1), и BAk при г— 2k (ср. с результатами п. 4а, § IV. 1 нахождения решений для конечной непериодической цепочки Тода серий С左 и Bk на основе слуиая Аг.)
В случае серии Вг (о(2「+1)) при /*》3 высота максимального корня равна 2г — 1, размерность минимального (векторного) представления 2г+1, и, следовательно, оператор в правой части спектрального уравнения содержит первую степень производной. Для серии Dr(o(2r)) при г》4 высота максимального корня 2г ——3, размерность минимального представления 2г, так что полином в правой части спектрального уравнения квадратичен по производной.
Некоторые общие заключения можно сделать о коэффициентных функциях дифференциального оператора левой части спектрального уравнения по отношению к дифференцированию по одному из аргументов, скажем, no z+. С этой целью предположим, что в условиях совместности (1.4) в операторозначных функциях 4土 отсутствуют элементы 宓土巾，т. е. мы имеем дело с обобщенной цепочкой Тода с закрепленными концами (см, § IV. 1). В этом случае волновая функция Т/ = </|^.|/> подчинена условию 屮［,z_ = 0 (〈"缕一三0), а спектральное уравнение по отношению к дифференцированию по z+ совпадает со спектральным уравнением соответствующей периодической задачи формально при нулевом значении спектрального параметра. Поскольку волновая функция 4々 не зависит от аргумента z_, то от него не зависят и все коэффициентные функции уравнения, ее определяющего. Они являются однородными полиномами по отношению к дифференцированию по аргументу 之十，т. е.
以曰以(Р/,“ Р/,外屮• • …乞+> da/dz_ = 0.
Следовательно, а являются функциями решений характеристического уравнения обобщенной цепочки Тода с закрепленными концами, т, е. функциями ее локальных интегралов.
Групповые соображения позволяют сделать определенные заключения о квадратичных комбинациях различных [)ешений уравнений скалярной ЛЛ-пары /-го представления алгебры. Квадратичные комбинации любых волновых функций этих уравнений являются волновыми функциями 2Z-ro представления алгебры.
Действительно, последние по определению равны 叫/ = = ехр2 Z /円5 следовательно, квадрат каждой волновой функции /-го представления есть волновая функция для 2/го. Суперпозиция двух (любых) различных функций /-го представления снова является волновой функцией этого же представления, а ее квадрат,屮"=с；屮；+ с桀+ 2qQW]K (с, J = cons1), — волно вая функция 2/-го представления. Но в силу линейности, 4fl屮& язляется решением уравнений скалярной пары 2/-го представления алгебры, так как такозыми являются Чг[ и 4「； Таки-м образом, произведение любых двух волновых функций l-го пред- стазления есть волновая функция 2/-го представления. Полное число таких квадратичных комбинаций равно М(Л\ +1)/2, тогда как степень спектрального уравнения пары 2/-го представления равна А%/, и оно имеет N2i различных решений. Следовательно, между квадратичными комбинациями волновых функций /-го представления должно существовать 2/(%! + 1)/2 ——^/ линейных соотношений.
Рассмотрим несколько примеров. Векторное представление алгебры Аг имеет размерность 厂+l, 2/-е представление есть симметричный тензор 2-го ранга, имеющий (г + 2) (г 4- 1)/2 компонент. Таким образом, приходим к равенству
(「 + 1)(Г + 2)/2 一(「+ 1)(Г + 2)/2 三0,
т. е. все квадратичные комбинации различных решений скалярной пары векторного представления различны.
Остановимся на алгебре В2. Ее векторное представление имеет размерность 5 (пятимерный вектор), 2/-е представление — это симметричный тензор 2-го ранга с нулевым следом и имеет 14 базисных векторов. Следовательно, между квадратичными комбинациями пяти линейно независимых решений существует одно ((5-6/2)— 14 — 1) линейное соотношение.
Все эти общие свойства спектральных уравнений скалярной АД-пары оказываются полезными при проведении конкретных вычислений, связанных с нахождением солитонных решений периодической цепочки Тода.
§ VI. 2. Солитоны уравнения синус-Гордона)
Простейшим хорошо изученным представителем системы уравнений периодической обобщенной цепочки Тода является уравнение синус-Гордона, на примере которого мы продемон-
стрируем во всех деталях способ нахождения солитонных решений, осиова!шый на скалярной ЛЛ-паре.
Уравнение синус-Гордон а 文'=exp 2工 ——exp(2х) являе гея следствием условия совместности линейной системы
g‘gT =а一 (Ж+ exp 2尤 + 第- exp (- 2廟，
где 宛土，Н ——элементы алгебры Ль Произвольный элемент g соответствующей группы представим в виде разложения Гаусса, g = ехр(а纭+)6xp(/7r)exp(|W_); после подстановки его в (21) возникает система уравнений, связывающая параметры а, т, В：
ggi ="亿 + сфехр (— 2т)) + 子 J& — 2ссг 一 а2р exp (— 2т)) +
+ 纺邙 exp (-2т) = Ях + Л (箔+ + 宓_), или
6 exp (- 2T)=九，aК = x — i, 《=(九？一元十严)也 2三exp(一七).
(22)
Совершенно аналогично
g/g-i = H H + 耶，ехр(_ 2т)) + 衫亠(а‘ — 2ат/ — a2pzexp(^ 2т)) +
+ 老一В'exp (— 2т)=入―(纺+ exp 2x + 纺一 exp (— 2x));
p‘ exp (— 2т) = Л-1 exp (— 2х), аЛ-1 = — т/ exp 2爲 (2‘2) (W exp %)"=(九9 + %"+ %")(少 exp X).
Как следствие (2.2) с учетом условия совместности ((ВУ = (В')) имеем систему трех уравнений:
$ =(九2 -北+戈2)"，
(屮 exp х)" = (АЛ' + 尤"+ л/')(屮 exp x),(2.3)
九 一2 (屮 + 元屮)=2'exp 2%.
Система (2,3) представляет собой ЛЛ-пару единственного фундаментального представления (спинорного, размерности 2) алгебры Л1. Приведенный же вывод есть не что иное, как один из способов нахождения скалярной пары на основе системы уравнений для параметров элемента g, вытекающей из (1.4) (об этом уже упоминалось в предыд)7щем параграфе).
Отметим, что параметры а, р элемента g вычисляются в квадратурах с помощью соотношений (2.2) по известным хит. Однако уже сама система (2.3) в качестве условия совместности требует выполнения уравнения синус-Гордона. Действительно, приравнивая смешанные производные (《)'=(+) из (2.Зв) с учетом (2.3а) и (2.36), приходим к уравнению синус-Гордона.
Используя методы § VI. 1, систему (2.3) можно получить следующим образом. Определим W=〈l|g|l〉, где 11> — млате
ший вектор спинорного преаставления, 衫一［|1〉= 0, /”1〉= =—I 1>. В пара метр изации Гаусса W = RXp(—т), далее,
6 =—戈屮 + 九〈1 I 究一g i 1/,屮'=?「％xp (— 2x) (1 I 纺_g I 1〉， exp(—x)(屮 6xpx)' =入〈1 I 纺_g| 1〉，exp 2x•屮'=九7〈1 I 衫_g I 1〉. Дифференцируя первое и второе уравнения по 之十 и z_, соответственно, и пользуюсь свойствами базисного вектора |1>, приходим к (2.3). Полученная тем или иным способом скалярная пара (2.3) и является исходной для дальнейших расчетов.
Будем искать решение (2.3) в виде
'P = cexpaz++ 厂％_) П (—九 + aJ ехр(—х)= П «а.
с = const.
Здесь 〃а — неизвестные ； ункции независимых аргументов 之+,之_, уравнения для которых возникают после подстановки 】Р в (2.3), и сравнения членов при одинаковых степенях 九，Рассмотрим вначале первое уравнение. Имеем 巾=e+2&wr
中=产 + 2九 27r^ + £^^ +
Lаа■
,у
乙(一九 + a(х)(一九 +。8) a方в
Подставляя 审 в (2.3а) и приравнивая нулю вычеты в полюсах (—九+Оа)-* находим
@а + 2а/а — 2&а £ Г。°，
В* а(2.4：
—2 £ 爺=—北 + 甘‘ 1 & а & % а
("+ 1)-е уравнение системы (2.4) поручается путем приравнивания нулю вычета (2.3а) в бесконечно удаленной точке, оно является следствием первых п уравнений (2.4) и определения х: ехр (— х) = П
Система (2.4) обладает набором п первых интегралов. Их удобно выписать в разрешенном относительно аа виде:
=Рп (°а) И(磯-喲，口产 0, (2.5)
(3 / а
что является прямым следствием (2.4); п постоянных 卩口 выполняют роль п первых интегралов системы (2.4).
Уравнения (2.5) допускают дальнейшее интегрирование, С этой целью рассмотрим симметричную функцию п аргументов 哈Уравнения (2.5) допускают дальнейшее интегрирование, С этой целью рассмотрим симметричную функцию п аргументов 哈пa= 1пa= 12 s "a2 s "aО, 1 & s & л? — 2, I, s = n — 1.О, 1 & s & л? — 2, I, s = n — 1.
Уравнения (2.5) допускают дальнейшее интегрирование, С этой целью рассмотрим симметричную функцию п аргументов 哈
Уравнения (2.5) допускают дальнейшее интегрирование, С этой целью рассмотрим симметричную функцию п аргументов 哈
п
a= 1
п
a= 1
2 s "a
2 s "a
О, 1 & s & л? — 2, I, s = n — 1.
О, 1 & s & л? — 2, I, s = n — 1.
Действительно, после приведения к общему знаменателю функция ①'выражается в виде отношения двух функций, причем знаменатель (определитель Вандермонда) антисимметричен пр и любой нечетной перестановке своих аргументов. Следовательно, числитель должен обладать тем же свойством (①§ снмметрнч-
на), что возможно случае его степень пользу兄 этот факт,на), что возможно случае его степень пользу兄 этот факт,лишь при s^〃一 1, так как в противном окажется меньше степени знаменателя. Ценз (2.5) получаем
на), что возможно случае его степень пользу兄 этот факт,
на), что возможно случае его степень пользу兄 этот факт,
У, 口 (喲"a [
где П(а^ — произвольный полином степени (几——I) с единичным коэффициентом при главном члене. Выбирая его таким образом, чтобы (п——1) его корней совпадали с (п——1) наперед взятыми корнями знаменателя, имеем
『 …戶，>• = —] ИЛИ П ■■ = ехр 2 (— Ц3г+ + vj. (2.6)
Таким образом, п соотношений (2.6) определяют неявную зависимость решения уравнения (2.3а) от 2几 параметров 卩仪，va.
До сих пор проинтегрировано пока только первое уравнение системы (2.3). Для нахождения зависимости «интегралов» pa, va от аргумента 之_ следует воспользоваться двумя оставшимися уравнениями (2.36, в). Учитывая, что ехр(—х)==Паа, находим a
屮 6Xpх = e(-九广 еXр (九Z+ + 九 F_) n (一九7 + W')， 1 < a < n
т. e. по отношению к аргументу z_ функция T ехр х имеет ту же самую структур}7, что и 中 по отношению к 马 с очевидной заменой аа->Па\ Z->Л-1, —х. По этой причине из (2.36) вытекает система, аналогичная (2.4):
-国^Y厶(*)三口暧一吋)，
илиили=_ П 絞避f"（a「）（― 1）".и В n g一喲•=_ П 絞避f"（a「）（― 1）".и В n g一喲•(2・7)(2・7)6哪d6哪d
или
или
=_ П 絞避f"（a「）（― 1）".
и В n g一喲•
=_ П 絞避f"（a「）（― 1）".
и В n g一喲•
(2・7)
(2・7)
6哪d
6哪d
Уравнение (2.Зв), после подстановки всех входяишх в него величин, устанавливает дополнительные связи,
из которых, с учетом (2.5) и (2.7), имеем
乙小)=(一1)"噌%(a「)■
Таким образом, da, а； определяются одними и теми же полиномами п-自 степени, корни которых ц(； не зависят ни от г+, ни от г_, причем ПЦа = (-1)Л- a
Окончательно получаем, что скалярная ЛЛ-пара разрешается следующим образом:
屮=сехр(Лг+ +П (—九 +(2.8)
1 < a n
П = ехр 2(-卩产+ -吋2一 + %)三 ехр 2г₽) a
ехр (— х) = П aa> ПНа = (—If-aa
Входящие в (2.8) параметры 卩自，vg не зависят от г+ и г_.
п соотношений (2.8) позволяют определить элементарные симметричные функции % 三 £ aBav .…旬 из решения
3 * Y ** a
системы:
sh гр ■ sn — 口自 ch 不• sra_, + Up sh 2卩• s— — • • • =0-Q・9)
В частности, находя из (2.9) s« — Ц aa = ехр (— х), приходим к известному лг-солитонному решению уравнения синус-Гордона в виде отношения двух определителей 几-го порядка.
Т(—X). Согласно%) не зависитТ(—X). Согласно%) не зависитМы сознательно привели довольно громоздкий вывод солитонных решений уравнения синус-Гордона для того, чтобы дать читателю полную схему расчета. Теперь же, имея в виду обобщение на случай произвольной алгебры из серии Лг, постараемся привести решение той же задачи, максимально сократив вычисления. В силу инвариантности относительно замены 九一*—九 си* стема (2.3) заведомо содержит наряду с решением 4flm 4f(九)
Т(—X). Согласно%) не зависит
Т(—X). Согласно%) не зависит
呼叫呼叫второе линейно независимое решение, Т2
呼叫
呼叫
уравнению (2.3а) определитель матрицы
от 2+） тогда как из （2.Зв） имеем
/屮1%2、/屮，田2、
det （中］中J =九2exp2x. det （歹=
„/ exp x • ^ 1exp x • 4f. \
Н入 det （（exp X •中J （exp X •，了丿三 b det （呼工），⑵ 10） или, в упрощенных очевидным образом обозначениях,
（W, W） = Л2 exp 2х （W,屮'）=Z2 （exp х • У, （exp х • У）'）三 Л2 （中，中'）.
（2.Н）
Из уравнения （2.36） вытекает, что последний определитель не зависит от 之~, а первый ——от г+. Следовательно, каждый из членов в цепочке равенств （2.11） постоянен. Вычислим в явном виде входящие в эти равенства определители, предполагая, как и ранее, что
Т = ехр （九之+ + Z-12_） □（―九 + %）（° = const = 1）. a
Поскольку （屮，中）не зависит ни от 之十，ни от j имеем
=П（成—炉）Л+У—=
aa
= _°（成—炉）.2%（1 +§^|^） = —2九°⑷一炉）.（2.12）
Таким образом, в п точках 九^-плоскости 九2 =九;，1 & a&??, получаем
и, аналогично, из второго определителя,
При этих же значениях 九，
（甲，中）=（屮，屮’）=0, T. e. m = eч£ e = const.
Отсюда『
中］一，（九）屮2值，2=0,
функции «a определяются из системы п уравнений （2.8）, первые интегралы системы получаются как коэффициенты при степенях полинома по 九2 из （2.12）.
Отметим, что для получения солитонного решения (2.9) никаких алгебраических операций кроме решения /швейной системы уравнений и вычисления соответствующих определителей не потребовалось.
Обратим внимание еще на одно обстоятельство. Вспомним, что функция 屮 равна ехр(—х) и возникла из рассмотрения кар- тановского элемента exp hi гауссовского разложения, где, на самом деле, ехр йт принадлежит алгебре Л i и в вырожденно?^ ее представлении картаыовский эле?лент А появляется лишь с четными степенями X. Отсюда можно сделать вывод, что 屮 как функция 入 должла быть четной, t,巳 中’=e(a)屮1%)+ }с(——九)屮(——九)и условие обращения 屮 в нуль в п точках ^-плоскости означает наличие нуля у ехр (—т) и полюса у ехр т.
Остановимся теперь на вопросе о том, что изменится, если мы будем исходить из скалярной пары векторного (трехмерного) представления алгебры Л i с базисными элементами
丨 2)，绦*12)，吼.卷+丨 2)，(卷 一12)= 0,加 2〉= 一|2〉，
т. е. построим систему уравнений для 屮=纟乂卩(——2т). Техника предыдущего параграфа приводит к следующей линейной системе четырех уравнений:
а 1ехр (— 2х) (Чг ехр 2%)* — Х2ЧГ/ ехр 2%,
б) (ехр (——2х) (ехр(— 2尤)(屮 ехр 2%))厂=4Л2Ф ехр (——2х),
в)尢(ехр (— 2尤)(屮 ехр 2х)У — А? ехр 2尤(屮'ехр 2尤)'=
=2屮(1 -еXр4X),
(ехр 2л (W ехр 2%)')' = 4Л"2 ехр 2工(屮 ехр 2х)\
Уравнение синус-Гордона является следствием только двух уравнений системы (2.13). Действительно, подставляя, например, (中 ехр2х) и (Тл ехр 2х) из (2.13а) в (2.13в), получаем
(Ч;/ ехр 2х)・——ехр 2а： (ехр (——2х) (Чт ехр 2х)*/ = 24r (1 ——ехр 4х),
откуда xz = ехр 2а:——ехр (——2х). Цепочка определителей, аналогичная (2.11) в случае пары (2.13) следующая:
(У,巾，屮)=Гехр4х • (W,巾，4r”)=
=Z6exp 6x •(呼 屮'，中")=炉ехр 2% (屮，屮'，中)=九2(屯 归，中").
Произведение любых двух решений q%, Т2 является волновой функцией скалярной пары с / = 2 (см. § VI. 1), спектральные уравнения которой имеют максимальную степень производной, равную пяти. Следовательно, они обладают ровно пятью линейно независимыми решениями. По этой причине среди шести квадратичных, комбинаций 屮;，Ф^ 屮泰屮丿爲，屮「卩з，中2屮з трех фундаментальных решений (2.13) должна существовать одна линейная зависимость 0 ==£ Сц^^н которая после
1《九/ & з '
приведения квадратичной формы к главным осям принимает вид 屮；=屮+守_, т. е. квадрат одного из решений (2.13) равен произведению двух других его решений. Таким образом, для построения полного решения (2.13) достаточно знать только два решения этого уравнения 4f十,屮_. Два первых уравнения скалярной пары (2.13) после подстановки в них 4f = (4r+4f_)以？ и учета того обстоятельства, что каждая из функций 中十，4f— им удовлетворяет, выполняются автоматически. Спектральные уравнения (2.136, г) приводят к соотношениям, связывающим 屮士, которые удобнее записать для функций 0±, определенных формулами 中+ 三屮_三 8二 именно:
е+6_ - 0_е+ = f 一 (z—), exp 2x(e；0_ - 0：9+) = f+ (z+),
откуда после учета первого уравнения (2.13), получаем
(9, 0)=九2 exp 2х (0, 8，)= с, c — cf = 0,
или
0+/9+ = k/Z, ё^/9+ = 9：/0_, ё^Эехрх.
Условие того, что Чг± ^ 6^. являются решениями спектрального уравнения, дополнительно дает
0+/9+ + х - х2 - X2 = с0；4,
которое совместно с предыдущими соотношениями лишь при с = 0, н для функций 0± мы приходим к системе уравнений скалярной пары спинорного представления (2.3). Таким образом, в каком бы представлении алгебры 儿 мы не выписывали пару, она может быть сведена к ЛЛ-паре спинорного представления, и 2/+ 1 ее решений представимы в виде 4rУ"枝屮£; 〃 = 0, 1, ..., 2/. (Здесь Wi,屮2 ——любые решения ЛЛ-пары спинорного представления.) Структура решений пары /-го представления повторяет конструкцию базисных векторов этого представления, построенных из спинорных компонент.
Отметим, что с групповой точки зрения условие 、р； =屮十七р_ на волновые функции скалярной пары векторного представления означает изотропность вектора трехмерного представления. Оно гарантирует неприводимость представления / = 2, построенного из него, с пятью независимыми базисными векторами (вместо шести, если нарушена изотропность).
VI. 3. Обобщенные потенциалы Баргманна )
В работе Баргманна найдены условия на потенциалы одномерного уравнения Шредингера 中=(炉 +〃⑵)屮，при которых оно имеет решение со следующей аналитической зависимостью
от параметра 九： 1卩= ёхp(九之)。п (аа —九).Эти результаты фак- а= 1
тически воспроизведены (в другой форме) в предыдущем параграфе, где была полностью проинтегрирована система уравнений на неизвестные функции。仪 и получено выражение и = =2£ &а・ Теперь мы обобщим их на линейные уравнения произвольного порядка,
屮 + Е/屮=M+W (3 ^dsW/dzs)t (3.1)
и найдем условия на коэффициентные функции 〃％ О W s W 厂——1, при которых (3.1) имеет решения с аналитической зависимостью от параметра 入 вида W = ехр (Лг) П («а — Z). Как отмечалось в а
§ VI. 1, спектральные уравнения скалярной ЛЛ-пары фундаментальных представлений низших размерностей алгебр』，，Сг, ВАГ приводят именно к уравнениям вида (3.1). Поэтому решвние поставленной выше задачи необходимо для построения простейших солитонных решений для этих серий.
Справедлива следующая теорема:
уравнение (3.1) имеет решение вида ^Р = ехр(九之)口(а«——九), если неизвестные。仪 определяются из условия обращения в нуль функции
Ф— ^ d (九j) ехр(九」2) П (g —九/)(3.2)
/«11 : а ^.п
в 几 различных точках Лг+1-плоскости, Лг+1 — Л/+1; при этом обобщенные потенциалы Баргманна выражаются через элементарные симметрические функции 以才 и их производные формулами (3.11).
(Мы не приводим здесь этих формул, поскольку входящие в ннх величины будет удобно ввести по ходу вычислений.)
Введем (厂+l) линейно независимых функций, определяющих выражение (3.2) для 屮，
% = ехр(»)!!(& —册)，П1И/ = П Ua+1-r+1), (3.3)
где параметр 九 будем считать произвольным числом, а функции а(х определяются условиями теоремы. Для первых производных функций 明 согласно (3.3) получаем
Общие рекуррентные соотношения для производных произвольного (з-го) порядка имеют вид
岂 =Ч5M，吟+』Ф； + <Р；叫，9尸1, 44 mA7+2 或竺亏 (3・4)
Исследуем определитель (г + 1)-го порядка:
G(儿，九宀；a)е(中，甲，%中)=
=П (^a+i — V+I) (1, ф\ ф2,6).(3.5)
a = l
(Вронскиниан (厂十1) функций 屮". Как следует из определения (3.5), он является антисимметричной функцией корней Xj. Единственная функция такого типа есть определитель Вандермонда К, составленный из корней, 1Г = П (九/ -九J, и, следовательно, G = 1歹/(7/十i). Здесь d ункция f симметрична относительно перестановки всех корней и по этой причине совпадает с их произведением 口 九/ = (—1『九Исходя из соотношений (3,4), определяющих tpj, легко находится их аналитическая структура по параметру 猫，
или(3.6)
屮‘=^+2屎炉 + 2^^'Ja
где 8(, 4^— функционально (полиномиально) зависят от "久 и их производных вплоть до s-ro порядка включительно, /1^ = а^
Техника вычисления определителей (3.5) с функциями ф5, заданными формулой (3.6), довольно проста. А именно: из всех -столбцов определителя вычитается первый, при этом возникает общий множитель 口 (九「——九丿；затем из всех столбцов (кроме первого) получившегося определителя вычитается второй столбец, что приводит к выделению множителя Ц (九了一九2)， / * L 2
и т. д. Продемонстрируем данную проненуру расчета на при-
мере определителя 3-го порядка:
(屮.屮，*=1] 1一炉).(1, ф1, Ф2) = Ц(aЗ_^ха = 1a
1I1
X detэ 31в В 2в G s
XdetXdet12 优牛一仆 22 ya3一修 3" V即—大312 优牛一仆 22 ya3一修 3" V即—大3JXJXee"从+ ?而8 一儿）:州一大7"从+ ?而8 一儿）:州一大74(0自一九,J (a5■- A3)4(0自一九,J (a5■- A3)，"+猫+ 2 （作一儿）:"一儿，，"+猫+ 2 （作一儿）:"一儿，『 4『 4
Xdet
Xdet
12 优牛一仆 22 ya3一修 3" V即—大3
12 优牛一仆 22 ya3一修 3" V即—大3
JX
JX
e
e
"从+ ?而8 一儿）:州一大7
"从+ ?而8 一儿）:州一大7
4
(0自一九,J (a5■- A3)
4
(0自一九,J (a5■- A3)
，"+猫+ 2 （作一儿）:"一儿，
，"+猫+ 2 （作一儿）:"一儿，
『 4
『 4
В случае произвольного значения 厂 для определителя получаем
g=步(九1,...,九r+l)][(或~ -九'”)X
(3.7)(3.7)X detp" + 用 + ! /｝尸卜 К2,(炉+)
(3.7)
(3.7)
Здесь величину 8/ следует считать отличной от нуля, если выполняется условие t ^ / + 2, т. е. В\ Bj+! = 0; при этом ненулевые 学 определяются соотношениями (3.6). В силу определения, определитель G представляет собой некоторый полином по степеням корней и согласно (3.7) G = WPn()J^), r/je Рп ——полином степени п от V+1, причем коэффициент при старшем члене равен (—1)п. Далее, из условий теоремы следует, что в 『2 точках ^г+1-плоскости Ф обращается в нуль. % следовательно, между (厂+l) функция ми 4r/ существует нетривиальное
линейное соотношение, откуда
(屮，屮з)打+1 = 0・
Последнее означает, что
G=W^ з+1)!1(大产一m+)
Таким образом, коэффициенты полинома Р〃(九，内)являются интегралами, построенными из функций аа и их производных вплоть до г-го порядка, определяемых условиями теоремы.
Из проведенного анализа вытекает, что
..I'(Г-!)] |-(Г+1)]
G = 0,(屮，屮-…屮，屮)= 0.
Если это соотношение рассматривать как уравнение относи
中，+1三"(приизвестных屮"，товозникает линейноеуравнение(屮,中，…,|・(rf 屮di/ )=明中2 屯2...д？ 中 г学det中】1 -fr+D]5Г-1)] 屮2!-«+1)) 中2l*(r-l)l'•<r+ 1)]缉 |・(r+l)] 缉=0,(3.8)中，+1三"(приизвестных屮"，товозникает линейноеуравнение(屮,中，…,|・(rf 屮di/ )=明中2 屯2...д？ 中 г学det中】1 -fr+D]5Г-1)] 屮2!-«+1)) 中2l*(r-l)l'•<r+ 1)]缉 |・(r+l)] 缉=0,(3.8)тельно любой из неизвестных функций 屮九 например функциительно любой из неизвестных функций 屮九 например функции|-(г+П1|-(г+П1"一2»（乎，屮，"一2»（乎，屮，|・fr+D]屮)|・fr+D]屮)[•什一2" (-(г-1)][•什一2" (-(г-1)]屮屮屮）屮）|"-П]" +|"-П]" +++（中，…，V.（中，…，V.|・T-I)J l-(r+l)l)|・T-I)J l-(r+l)l)屮,屮,中中|•(/■-2)1 [•(-1)]|•(/■-2)1 [•(-1)]1-(Г-2)1缉1-(Г-2)1缉• =0.(3.9)• =0.(3.9)屮.屮.屮 )屮 )которое в качестве своих фундаментальных решений имеет набор функций 屮人 Следовательно, коэффициенты уравнения после сокращения общего множителя (коэффициента при старшей производной ^/5г*"])должны быть симметричными по отношению к перестановке корней 入」，т. е. функциями V41. Разлагая (3.8) по элементам последнего столбца определителя, находим
中，+1三"
(при
известных
屮"，то
возникает линейное
уравнение
(屮,中，…,
|・(rf 屮
di
/ )=
明
中2 屯2
...д？ 中 г
学
det
中】
1 -fr+D]
5Г-1)] 屮2
!-«+1)) 中2
l*(r-l)l
'•<r+ 1)]
缉 |・(r+l)] 缉
=
0,
(3.8)
中，+1三"
(при
известных
屮"，то
возникает линейное
уравнение
(屮,中，…,
|・(rf 屮
di
/ )=
明
中2 屯2
...д？ 中 г
学
det
中】
1 -fr+D]
5Г-1)] 屮2
!-«+1)) 中2
l*(r-l)l
'•<r+ 1)]
缉 |・(r+l)] 缉
=
0,
(3.8)
тельно любой из неизвестных функций 屮九 например функции
тельно любой из неизвестных функций 屮九 например функции
|-(г+П1
|-(г+П1
"一2»
（乎，屮，
"一2»
（乎，屮，
|・fr+D]
屮)
|・fr+D]
屮)
[•什一2" (-(г-1)]
[•什一2" (-(г-1)]
屮
屮
屮）
屮）
|"-П]
" +
|"-П]
" +
+
+
（中，…，V.
（中，…，V.
|・T-I)J l-(r+l)l)
|・T-I)J l-(r+l)l)
屮,
屮,
中
中
|•(/■-2)1 [•(-1)]
|•(/■-2)1 [•(-1)]
1-(Г-2)1缉
1-(Г-2)1缉
• =0.(3.9)
• =0.(3.9)
屮.
屮.
屮 )
屮 )
Вычислению явного вида коэффициентов уравнения (3.9) в об-
тем случае мы предпошлем расчет при значении 广=2. Исполь зуя (3.6), получаем
(中，叫=(1, 0)-
田,中)一(1：m一
= detQ+咖+ 8: + 2^3+8勿 +用+Z^)x
aa/ -
4 Sa _a3)\ ~^歹丿4 Sa _a3)\ ~^歹丿=珞黑=纬此..=珞黑=纬此..
4 Sa _a3)\ ~^歹丿
4 Sa _a3)\ ~^歹丿
=珞黑=纬此..
=珞黑=纬此..
Последние соотношения справедливы благодаря тому, что det (屮 中丿 является симметричной функцией трех корней и не может зависеть от Аз, а это возможно только при написанных. выше равенствах. (Отметим, что соотношение А^ ^И« как раз и представляет собой систему дифференциальных уравнений： 3-го порядка, которой удовлетворяют функции 〃仪，фигурирующие в условиях теоремы.)
Далее,
仲. 中）=（内0） （屮，中）-（1, <T,）
\ a\ a4 g —九 3）、W —炉丿4 g —九 3）、W —炉丿
\ a
\ a
4 g —九 3）、
W —炉丿
4 g —九 3）、
W —炉丿
(При расписывании последнего определителя мы воспользовались уравнениями 4： = 8}4(；.) Таким образом, в случае 厂=2- уравнение (3.9) приобретает вид
^ - в И/ - (/ + вТ： з = о・
Рассмотренный пример подсказывает ход вычислений в общем случае. Сначала, исходя из (3.8), получим уравнения, опре-
деляющие {[• Имеем
0 =(屮，屮，・・.，屮，屮)= (1, 0, .・.，旷+1)=
=(1,九 + 2 ^^^，九一 + 8； + 2 a ; A?+
UgsSr-3aO&s&r-la/
=Г (九)detГ=Г (九)detГ1 у*a aa в1 у*a aa в-I-I(3.10)(3.10)
=Г (九)detГ
=Г (九)detГ
1 у*
a a
a в
1 у*
a a
a в
-I
-I
(3.10)
(3.10)
A^= Al — £ 跳猫.
Цепочка (3.10) возникла после последовательного вычитания из столбцов определителя предыдущих столбцов, умноженных на некоторые множители, и применения / ормулы (3.7) для приведения определителя к симметричной (относительно перестановки корней) форме. Равенства (3.10) должны выполняться по X тождественно, следовательно, уравнения, которым подчинены функции а%, имеют вид Лг+1 = 0. Используя уравнения движения Ar+1 == 0, для коэффициентов (3.9) получаем:
-% =巨;十]三8；+1 - Z 毘+①；，l《s£r - 1,
'〜(3.11)
—乩尸Br+l =民+1 - Z比+ 1瓦
(как и ранее,盟声 0 при p《q + 2).
Потенциалы Баргманна (3.11) проще всего получить, если обратить внимание на то обстоятельство, что \ равнения движения для величин Xs имеют (как следует из (3.1), (3.8), (3.9)) вид /Y”= —2〃s4‘，и сравнить их с полученными зыше
1 < .S < г — 1~
уравнениями 才屮=0. К этому же результату прггводит £ieno- средственное вычисление потенциалов Баргманна, если учесть их определение как отношение двух определителей из (3,9).
При этом коэффициент при нулевой степени производной в (3.9) находится из следующей цепочки равенств:
（с/十’，隼L中;q/T）（с/十’，隼L中;q/T）V+，+ £^+iV + £V+，+ £^+iV + £s=0s=0aa 一九aa 一九
（с/十’，隼L中;q/T）
（с/十’，隼L中;q/T）
V+，+ £^+iV + £
V+，+ £^+iV + £
s=0
s=0
aa 一九
aa 一九
大+ X占，犬+匣+ Z^U，犬+豆+ 2占，… aaa
尢'-' + 8二十 2^^г｝（и + Х^Т，『+屋 +
=一(儿 e + 瓦- e Br+iBs,入 + £ ^ 二?九~’ +
+ 2 占)=Л 就 J. (3.12)
Отсюда следует приведенное выражение для 〃о, с рекуррентными соотношениями,определяющими В^+! = В^\ — X &工,В：
О К s & г — I
Выражения для обобщенных потенциалов Баргманна 〃§, s 声 О, могут быть получены из аналогичной (3.12) цепочки равенств.
Приведем 'еще одно полезное для дальнейших приложений выражение для потенциалов Баргманна уравнения (3.1). С этой целью отметим, что (г + 1) линейно независимых решений уравнения (г + 1)-「о порядка,
["+什-[•川["+什-[•川(3.13)(3.13)
["+什-[•川
["+什-[•川
(3.13)
(3.13)
связаны условием постоянства построенного из ннх определителя Вронского
u三(中，屮，中，…，屮)=1.(3.14)
Уравнение (3.14), рассматриваемое как обыкновенное дифференциальное уравнение на неизвестную функцию 4f叶i при известных 屮九 i W / W г, было решено в § IV. 1, а именно
屮 1 -中], 屮2 — Ф1 ^ 中2，少3 - Ф1、①2 \ 93,，b/'"m =
=6 \ 6 \ …\ 中г+1，(3.15)
где (/*+ 1) функций(ру подчинены единственному условию:
П 5+1=1.(3.16)
^Очевидно, что набор (г + 1) решений уравнения
КМ唄(…(吋(叮№汀…).=0(3.17)
совпадает с (3.15) и, следовательно, коэффициентные функции 4/ уравнения (3.13) выражаются через ср； после выполнения дифференцирований в (3.17). Условие (3.16) гарантирует равен- ство нулю коэффициента при ЧЛ Остается связать функции ф/ с фундаменталья ы мп решениями уравнения (3.13). Имеем 中1 =屮1 三 Qi(V), да/ее,
2工丿 k0l @i\叩2 +①摩丿
Продолжая процесс редукции, приходим к равенству
П qp；+— = 4(Q,(3.18)
'у / & s-
где через ОД]/) обозначены главные миноры s-ro порядка матрицы определителя Вронского (3.14). Условие (3.16) является следствием (3.18) при 5 =厂十1 н эквивалентно равенству (3.14). После подстановки 屮 в (3.17) перепишем его в виде
(0力1(..(I＞「r)力[1仍」川(0/屮).))...). = 0, (3.19) 'Z
представляющем собой обобщение (Фробениуса) теоремы Виетта для линейного дифференциального уравнения произвольного порядка, устанавливающее связь коэффициентов этого уравнения с набором его (尸十1) линейно независимых решений.
Применим теперь (3.19) к рассматриваемому случаю — к уравнению (3.1), обладающему (/*+i) линейно независимыми решениями
Т/ = exp (X/Z) П Sa —大儿(3.20)
& а Е п
•Обобщенные потенциалы Ьаргманна ws, как следует из формулы (3.11), от параметра 九 не зависят и для их вычисления удобно воспользоваться полным набором решений при нулевом значении 九.Согласно общей схеме имеем
6 = RW) I =П%，％ I =恥丨=，，
А. = 0 (XЛ. ™ 0А=«。
（屮2 -屮1）/（九2 -九I））（中2 -％）/&一儿）丿（屮2 -屮1）/（九2 -九I））（中2 -％）/&一儿）丿喩2 = 2U）卜 det（；Xi,厶=01喩2 = 2U）卜 det（；Xi,厶=01к, следовательно, второе фунда ментальное решение при нулевом значении 入 следует выбрать в виде *2=（屮2一屮"/（入2—脑）.一 Тогда
（屮2 -屮1）/（九2 -九I））（中2 -％）/&一儿）丿
（屮2 -屮1）/（九2 -九I））（中2 -％）/&一儿）丿
喩2 = 2U）卜 det（；
Xi,厶=01
喩2 = 2U）卜 det（；
Xi,厶=01
^xdet（K Z9 I
Л2-0
= exp［&+M）z］ Д Sa 一九）（4 -九2）•"2 一 儿）7>< 1 <a <n
入2+?片/（"a _九2））储,入2+?片/（"a _九2））储,Xdetf 「；，
入2+?片/（"a _九2））储,
入2+?片/（"a _九2））储,
（% + Z 4/（Sa — %）, \ a
=exp ［（九 1 + 九2）之］JJ （aa -九 1） （aa ——九2）Xa
+ 2笈（1二死i）］I =n或（1 + 24/成）
- a」猫，A，2~0 a \ a /
Продолжая процесс редукции и используя технику, аналогичную （3.7）, приходим к интересующим нас выражениям:
n 仍7н иm 旷1&,…，九）1/（中，中，屯•••，%上
】< j《$九］，…，大$ -> 0
=П a即st（% + 8；+ 2 心”+1））, Ki, /<г,（3.21）.
где О$ — главные миноры s-ro порядка г X ^ матрицы, Do s 1; В； отличны от нуля при i ^ / + 2 （см. （3.11））. В дальнейшем г X матрицу
&三 М + 民 + Z А1^!^ - М+1） （3.22） a
будем называть матрицей интегралов движения, имея в виду, что сохраняющиеся величины определяются коэффициентами полинома n-й степени аргумента А/+* связанного с определителем этой матрицы соотношением
П （4+1 —M+i）det/“= п （^+1-Лг+1）. （3.23） l<a< п 4 / 1&а&〃
Из полученных выше результатов вытекает, что линейное дифференциальное уравнение （г + 1）-го порядка, коэффициентные функции которого совпадают с обобщенными потенциалами Баргманна, может быть записано в виде
（exppr（exppr^i（. ■ • （exp pi （ехр （—勺）田）°）二..））=九宀 ехр 右•屮・
Здесь введены обозначения:
ехрх! = [I Ga, ехрх2 = /jехр2хь ..., exp%s = /s-i ехр(sxj, где h — главные миноры матрицы интегралов движения (3.22) при нулевом значении 九；ps ^ (^х)5, а k ——матрица Картана серии Аг.
Форма (3.24) уравнения, коэффициентные функции которого совпадают с обобщенными потенциалами Баргманна, наводит на мысль об их связи с алгеброй Аг. Действительно, как будет установлено в следующем параграфе, спектральные уравнения простейшего (векторного) представления Аг совпадают с (3.24). Это обстоятельство будет иметь решающее значение для нахождения простейших солитонных решений периодической цепочки Тода, связанных с такими представлениями в случае серии Аг.
§ VL4. Солитоны векторного представления
алгебры Аг [107]
Настоящий параграф посвящен обобщению результатов § VI. 2, относящихся к уравнению синус-Гордона (алгебра А{) на случай простейших векторных представлений серии Аг. В этом случае удается получить в явном виде уравнения скалярной ЛЛ-пары и извлечь из них необходимую информацию для нахождения солитонных решений.
Для конкретизации общего выражения пары (см. § VI. 1) следует воспользоваться явным видом матрицы Картана Аг и разложением максимального ее корня по простым корням, "? = £ 冗八(mp) = pj -J- Рг； корневой вектор максимального корня запишем в форме
纺=[缙+1 [缙+2 […♦[缙+”D，箔卄J •••]]?
缙_m =彩1=【纺_r [缙fr—D […隅_2，究一J ...]].
Старший вектор базиса 11> рассматриваемого представления Аг подчинен условиям
纺亠 /1 1〉= 0,々 I 1〉= 6“ I 1〉；
(г + 1) базисных векторов данного представления следующие:
II)，缙-J I),能T纺-J D，•…，纺Т •…卷7%-1|1〉
«1 |衫t = o, a i% = 6〃a I； a I,(1 |纾"…，〈11衫+1… 究" соответственно). По общей схеме § VI. 1 выразим матричные элементы </|^| 1> сначала через производные по z+ волновой 218
функции 屮=<11g11> этого представления, именно:
exp 修(屮 exp (—&))• =〈1 丨究+ @ 1*
exp (尤2 — A'i)(exp pi (屮 ехр (— хО)*)' = (1 | 纺+【纺十陪 | 1),
(4.1)
exp(/ — %—i)(exppsT (expps_2(... (4Texp(—修))•.…)・『=
=⑴衫+i密+2…纺+§gl 1〉； 務三)，l&s&r.
Дифференцирование последнего уравнения (4.1) приводит- к спектральному уравнению
(exppr(6xpp—i (... (expp! (VFехр(—%!))*)' ...)*)') = ^r+llPcxpxr. (4.2)
Аналогичный подсчет матричных элементов 〈j|g|l〉 через производные волновой функции по г» дает
'『=СХр(Х| + *Г"+"〈1 I 衫+ |%+2•绻+牆| 1〉，
(屮'ехрXi — xr))z = Z,-(r+l)exp(— pj〈l | ^+1^+2 • • •纺+(i)g| 1〉，
(exp Ps+i (exp ps+2(- • • (exp p「(屮'exp (―修一=
r—s
=入一"+"(1| 衫+疹+2 …纺+sgl 1〉，1 <S^r.(4.3)
Из сравнения (4.3) и (4.2) получаем г уравнений скалярной, пары:
expps+i (ехр р$+2(... (ехрРг(屮'ехр(— х, — /))')'•••)' =
= ?^(r+l,exp(xs — xs_,) X
X (ехр Ps-1 (ехр Ps-2 (• — (ехр Pi (Wехр (— Xi))')* •..)')",(4.4)
Два недостающих уравнения имеют вид
(expd(expp_i .…(ехр р](з вхр (一修))・)’.一)・)・= ~~
==М+Мехрхг,
(ехр р2 (ехр р3(... (ехр р,(屮'ехр (―修一*)')〈..)')'=("42》
=九Tr + D屮 еХр (— р).
Уравнения скалярной пары векторного представления алгебры Аг, согласно их явной форме (4.4), инвариантны при заменах « •)) ^〈С» Q+ 二 z_),
屮—％屮 ехр (—Xj), 九一a 九 \ 修一*■ — Xj, %?—%%/■—无1，
%з -A ^r~\ — %1，• . •， ^S Xr—s+2 —尤1，1 & s & 厂；％r+j 三 о.
т. е. инвариантны относительно вейлевского отражения относительно простого корня Л1 алгебры.
В первом спектральном уравнении (4.42) член с произвол- ной 屮 отсутствует. Действительно, коэффициент при нем, как нетрудно доказать по индукции, равен ——(г + l)xt + rpi -f- + (г——1)Р2 + • - • + pr = 0. Аналогичное утверждение справедливо и для второго спектрального уравнения (4.42), если в качестве волновой функции взять Ф =屮 ехр(—打).(Коэффициент при члене Ф в уравнении для 屮 равен нулю.) Как следствие (4.41) получаем цепочку равенств для определителей (/ + 1)-го порядка:
(屮，屮，屮)= m+%Xp(一Х1 -%,)(屮，屮，屮，屮')=
=V(r+I)exp (pr - 2/-2* (屮，屮，， 屮，屮〃，屮')=
u俨r+%xp(p一+2pГ一3修一3/)(中，中，…，屮，屮〃’，少"，屮')=
=• • • = lstr+i) exp(pr_s+2 + 2p_s+i + …•
•・• + (s 1) pr — s.t] — s j)(屮，屮，…•， 屮，屮，• •・，屮')—.., =：ЛМГ+11 exp(-(/-4- I)X|)(屮，【£ ...,屮〃，屮')= =/…，(屯中,，一，市)(_[)-7-, p …=o.(4.5)
В силу отмеченных выше свойств спектральных уравнений, первый член в (4.5) не зависит от г+, а последний — от z_. Поэтому каждый член в цепочке (4.5) является некоторой постоянной, зависящей, вообще говоря, от параметра X.
Общему изучению следствий формул (4.4) и (4.5) предпошлем рассмотрение частного случая г = 2 и подробно поясним на нем все этапы вычислений. (Отметим также, что с алгеброй 斗2 теснейшим образом связан ближайший партнер уравнения синус-Гордона ——уравнение Додда ——Було, солитоны которого получаются из солитонных решений периодической цепочки Тода алгебры А2 при определенных ограничениях на параметры, их определяющие.) ЛЛ-пара алгебры Д2 состоит из четырех уравнений (1.6) и система равенств (4.5) принимает вид
(屮，ф,中)= ^eXр(一/一4)(屮，中，联)=
= Л6ехр(-Зх1)(Т,屮"，屮')三
三九。(电 巾〃，出，)@=wexp(一/)).(4.6)
Спектральные уравнения (1.6а, г) после выполнения соответ- ствуютнх преобразований переходят в следующие:
Ф 一旷2中-旷3屮=炉中，(4.7)
(exp (-/)中)‘"一吼(exp (-修)屮)‘一取3(еXР (-修)屮)=
==Z~3(exp(—，)屮)，(4.8)
где W г = х^+ х.2 + х^ — xtx2 + х^;郎3 =占 + 尤卩+北£ (比一土?) —интегралы 2-го и 3-го порядков (решения характеристического уравнения, связанного с точно интегрируемой системой уравнений обобщенной цепочки Тода с закрепленными концами).
Уравнение (4.8) получается из (4.7) преобразованием Вейля:
屮—а (ехр (一 %'w)，九一a 九一\
《・〉〉->〈〈'〉〉, 修-а — Xi， %2一*工2 — Х｛， т. е.
蚀/(%” x2) = Wl(— xh 小一x)
Будем искать волновую функцию системы (L6) в «солитонном» виде
= с exp(Zz+ + Z-1z_) 口 & —九)，
I < а С n
где аа — набор неизвестных функций, подлежащих определению. Спектральные уравнения (1.6а, г)——типичные уравнения § VI. 3, и для их интегрирования воспользуемся разработанными там методами. Уравнения (16а, г) будут удовлетворены, а их коэффициентные функции выразятся через обобщенные потенциалы Баргманна, если функции входящие в 屮，определить из условия обращения в нуль функции Ф,
山 w 2 d (&) ехр (九卢屮 + 九/[[ («а—~ 九/),(4.9)
в п точках Х3-плоскости (V = Лр 九；，•••，九：) таких, что □九^=1. Как следствие (4.9), с использование?^ результатов а
3 получаем, что функция 屮=е ехр (九2+ + 九一%一) 口(盛一九) удовлетворяет (относительно дифференцирования по г+) спектральному уравнению (1.6а) при отождествлении ехр %)= 口莪, а
ехр%2 = /[ехр2/ = Х1а；(1 + X ^sas П* Спектральное урав- некие (1.6г) по отношению к волновой функции ф^фехр(——勺) эквивалентно замене 九一»九"，аа~^cia \——xu
入2f 尤2 — %i в (1.6а) и поэтому имеем
ехр(—%j = q*, exp(%2 — /) = IJa「(l 一 2《)，
т. е.т. е.ехр / = П 書，
т. е.
т. е.
ехр.г,= П«,7' (1 - Х«р)=^ПаЦ1 + Е а^2)-
Вычислим теперь определители, входящие в (4.6):'
(屮，巾，巾)=旷&,儿，Л3)n(>Л-Л3) (сМ. (3.7)),а
炉(屮，中，q")=,
=汇1」(潔一r)0' 九+2；三，九一+ 2^T)=
n(成一we，九十 2』，Z叫一九2>也+
+ ? 明+? 為)=/%，^>ыпк-л X
乙0；一入3乙J 一入3
Из последнего равенства вытекает, что Z3(T, 中，T^exp(——.□ —— —%2)(с точностью до 呼)является полиномом n-ой степени по Z3, имеющим согласно (4.9) нули в и точках Л3-плоскости, и, следовательно, с точностью до постоянного множителя, совпадает с полиномом 口 (л4 ——九В* Сравнивая значения этих по
линомов в двух точках Л3-плоскостм (入 =0 н 入 = оо), находим
т. е. система уравнений выполняется при □九吃二］. К этому
же условию приводит требование равенст&а первого и третьего членов цепочки равенств (4,7).
Итак, окончательно, периодическая цепочка Тода алгебры 人 имеет решение
(4.Ю)(4.Ю)ехр%】 = Паа)
(4.Ю)
(4.Ю)
ехр.г^Па；1 (1 - ^а0 = П<(1 + 步(師了)，
где элементарные симметричные функции。/, входящие в (4.10), определяются решением линейной системы уравнений (4.9).
Выражения (4.10) зависят от (3,〃-— 1) Параметров:、2门 значений d&)/d(2”)，d(九з)"(脑)，в точках ；4 = Л：\ 1 W a W 龍, и (п— 1) параметров, так как П 片= 1.
Б общем случае для решений системы уравнений скалярной Л/1-г:ары векторного представления серии Аг справедлива следующая теорема:
система (4.4) обладает решением, волновая функция которого имеет аналитическую зависимость от параметра 九 вида
屮=е ехр (九之+ +入一之一)Г1 (龜一九)，
где 〃a(z+，之一)определяются из условия обращения в нуль функции
Ф — Xd ®) ехр (九卢$ +Ц (& — Л,；)
в 几 точках ^г+1-плоскос1и 乂+* таких, что П 九丁' = L При этом функции %/, удовлетворяющие уравнениям периодической цепочки Тода серии 4, выражаются через элементарные симметричные функции а^ и их производных по формулам
ехр/= П «аехр % = 4-1 П а；=
1^а < п1&а《〃
Здесь Jj (7/)—главные миноры матрицы интегралов движения по отношению к дифференцированию по 之十(z_) при нулевом (бесконечном) значении параметра X, /о ^ 1 (7()= 1). Матрица 7 получается из / преобразованием Вейля.
Для того чтобы функция 屮，содержащаяся в формулировке теоремы, удовлетворяла спектральному уравнению (4.42а), достаточно, согласно формуле (3.24), провести отождествление
ехр/ = /§_1 П а] (4.11)
Для выполнения спектрального уравнения (4.42б) связь межлу х§ и симметричными однородными функциями ед должна осуществляться с помощью соотношений
expA-s = /r+1_s П al (4」2) i С 〃
получаемых из (4.11) преобразованием Вейля. Остается убедиться в непротиворечивости (4.11), (4.12) и выполнимости уравнений (4.4J или, что то же самое, цепочки равенств (4.5).
Определитель (UI 4f,...,斗「) был вычислен ранее.
(屮，中，..明=П (М程一 m+').
Для определения последнего определителя в (4.5) заметим, что
中三屮 exp (一з)=c exp (九2+ + Х-12_) n (1 - АЛ”)三
= (- 1)"мe exp (大2+ + %-7一) П (aа1 -厂)
т. е. Ф (с точностью до множителя (——1)〃АЛ) получается из 屮 формальной заменой 九一>九〃а-Аа^) 《•〉〉->《'〉〉• Это позволяет сразу записать для определителя формулу
0?,联，…，屮)=
=(-1户宀产е)1Г“1(%7) □(%”+*)— 入7用))=a
=(-l)2rt'r+1' 取…]3) (一 1)-^~ 九一"+" 口 (麓+1 - M+1)九”+". a
Подстановка полученных выражений в (4.5) приводит к ограничению на допустимые значения величин 九["，входящих в условия теоремы: 口九Г‘ = 1. Вычисление второго определителя a
дает
M+I(W,可屮，歐)=
=^Г+1 JJ (^a+1—V+1) (1, <p', <p2, . . .,$')=
= H(a”一 M+I)(l,入+ £ aaR 汇'…''+ 28 么。+
a\a0《卩《s-2
+2a金不’广」2 8?-伍° + a0《p《r-3
十2員，大’+23")=吃+з(l)= aa/
=取，+」I (大”-大小)exp (xj + *. (4.13) a
Согласно условиям теоремы 九十(屮,4е, ...» 屮,屮')обращается в нуль в п точках Хг+1-плоскости и, следовательно, может отличаться от полинома Ц(Ла+' — V+1) лишь постоянным
множителем. Для его нахождения достаточно вычислить отношение этих полиномов в какой-либо точке ^г+1-плоскости. Общая схема расчета определителей такого типа (см. § VI. 3) приводит к тому, что Pi(V+1) определяет^ определителем г-го порядка матрицы, элементы первых (г—1) строк которой даются выражением
6"十昆+ 2 а6"十昆+ 2 аа[+1 -尸1а[+1 -尸1
6"十昆+ 2 а
6"十昆+ 2 а
а[+1 -尸1
а[+1 -尸1
а r-я строка ——
В" + £аВ" + £аа〔+1 —犷+1а〔+1 —犷+1
В" + £
а
В" + £
а
а〔+1 —犷+1
а〔+1 —犷+1
(/ — индекс строки, /— столбца). Рассматривая определитель в точке 九=0, получаем
Рп(о)= det_|(6"十出 + £ 篇а”+") = /—,
тогда как на асимптотике 入 f оо
乙仇)-> fl - ^ аЛкп{г+1\-\)п = Kn(r+i\-\)n ]х. Х->оо \а /
Отсюда
eхp (/ + ') = (1 - X 力)=工=II 〃广%”+", т. е.
ехр хг=/] ГТ аа1 = /г-1 П &
Вычислим теперь третий член цепочки (4.5):
42(小)еXp(_%一] _2内)(中，屮，…，中 ,屮"，屮')=
= R<r+i)exp(—Xi)(屮，屮，屮，平〃，屮')=
=V(r+1)exp (- xr_J Д U+1 - Г+，) ^ 1, <Д ...,(p~2, (Г? +
+瓦;+£ 啞占一 Jexpf, (к + £ ^3 厂 Jexp
+2а+2а= ехр(— j= ехр(— j1, ф1,(大1+屈炉+1+1, ф1,(大1+屈炉+1+A^r+' 、—exp(—xj,A^r+' 、—exp(—xj,a】一a】一(M + £ ；：二-卩)exp (— %))• (4.14}(M + £ ；：二-卩)exp (— %))• (4.14}
+2а
+2а
= ехр(— j
= ехр(— j
1, ф1,(大1+屈炉+1+
1, ф1,(大1+屈炉+1+
A^r+' 、
—exp(—xj,
A^r+' 、
—exp(—xj,
a】一
a】一
(M + £ ；：二-卩)exp (— %))• (4.14}
(M + £ ；：二-卩)exp (— %))• (4.14}
(Здесь величины Ла» В； получаются из Ла, В； заменой аа ->а^1 и〈⑴〉-а〈〈'〉〉•) Определитель в последнем выражении сводится к определителю r-го порядка, первые (г ——2) строки
2252258 А. Н. Лезнов, М. В Савельев
225
225
которого даются матрицей интегралов движения (3.22), а две последние — матрицей
% = exp(-%J & 十瓦 + £ 篇w+/(a”D — 厂*))・(4.15)
(Напомним, что индекс i нумерует строки, / — столбцы, В；, В； отличны от нуля только при / I + 2.) При нулевом значении параметра 入 имеет место
/订 I = 6订十尻 + 2 I入=0a
тогда как у 7 отличны от нуля лишь члены на диагонали и выше нее,
『修| = ехр (—Xj)(6；/ + В/).
=0
При бесконечном значении параметра 九，厶/ переходит в нижнюю треугольную матрицу, а
Л7 I =ехр(_/)9〃 + ^ + £“г”+2Л,=оо\a
Возвращаясь к вычислению определителя (4.14), видим, что он представляет собой полином n-ой степени переменной V+I, имеющий нули в п точках V+i-iijiockocth и, следовательно, ог- личается от (屮，叮厶...,Чг) постоянным множителем. Из отношения этих полиномов при А = 0 и л — оо окончательно имеем
еХр 1 =2 И 〃а ==丿2口％ »
aa
где /—2(厶)一главный минор матрицы / (3.22) (7 — (4.15)), отсчитываемый от левого верхнего (правого нижнего) угла. Нетрудно убедиться, что матрицы / и 7 получаются друг из друга в результате соответствующей перестановки индексов и замены %—＞吟、卜》f《N Теперь расчет всех определителей, входящих в цепочку равенств (4.5), очевиден. Из него вытекает
ехр xs = И 诡=『л П &'汽
что и доказывает сформулированную выше теорему.
Приведем еще одну форму записи функции Ф, фигурирующей в этой теореме, и построение с помощью нее элементарных симметричных функций Введем функцию
歹(％)曰 £ d (Л；) ехр (九声+ + X；'z_), 歹(A) = M+i歹(Л).
Тогда для Ф получаем выражение:
Ф = 54A -S”!歹 + Sa2歹一…= 2 6"-a(-1)。歹，6三1.
0 & а &
Система уравнений, определяющих функции sa, имеет вид
X (-l「S“_a% = 0,1<₽<п,
0《а &
где 歹в 三歹(入в) — это 几 не зависящих друг от друга функций, каждая из которых удовлетворяет уравнениям
[•"+1)1[•"+1)1=犷歹,=犷歹,['「+1)1['「+1)1
[•"+1)1
[•"+1)1
=犷歹,
=犷歹,
['「+1)1
['「+1)1
Между элементами строк матрицы интегралов движения при нулевом значении параметра 九 существуют определенные рекуррентные соотношения, позволяющие восстановить всю матрицу исходя из элементов ее первой строки. Для вывода этих соотношений следует обратить внимание на то, что матрица /订 возникает в разложении функций q)s (см. § VI. 3) в ряд Тейлора вблизи X = 0 в следующем виде:
$'=$"+ 2 %#,
九=01^&<оо
т. е.(р$ являются производящими функциями для матрицы интегралов движения при 入=0. Действительно, имеем
屮‘Н炉+ 2 "跳+ ё ^T^=&+2就十儿+
0《j&$-21 ^ a< na
+ 2 m2川。严1)+ £ v^=(po+ ?
1 ^ b<oo aKj<s-21《匕<8
<Pos(Ps I •
Воспользуемся рекуррентным соотношением (см. § VI. 3), связывающим функции ср5 с соседними индексами,
(р$+1 = ф$ 十 ф5д)]=
=喝 +1 KJ* + M + ? &吗(叫 + ? /信)=
=Ф^十噺叫+嘴?几/十&£&仙+ 2^2 几， или
/$十1, b~ J sb +] v2b_[ ‘S'+ 嚼儿十屮工 b・
Последние два члена не дают вклада в главные миноры, поскольку пропорциональны элементам первой и s-й строк. Окончательно, для вычисления главных миноров матрицы J можнс
использовать рекуррентные соотношения вида
(4.16)(4.16)4 + 1,Ь = 4 +X 厶
(4.16)
(4.16)
hl = 61/ +2 йай!а(/+ L ^ 61/ — / I ( X &а
1 ^ а ^ пХа
. 1・S] —2、
в частности, =厶=% = {1 + 乙 •
Аналогичные соотношения, имеющие место при расчете главных миноров матрицы 7, отсчитываемых от правого нижнего угла, возникают из (4.16) при стандартной замене 。口-〉。^*
В заключение настоящего параграфа отметим, что для полученных решений периодической цепочки Тода серии Аг нам не потребовалось никаких операций кроме решения линейных алгебраических уравнений и вычисления определителей известных матриц. Все это, по-видимому, свидетельствует о существовании чисто алгебраического решения данной задачи, значительно более простого, нежели приведенный здесь.
ГЛАВА VII
ТОЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
В КВАНТОВОЙ ОБЛАСТИ
Настоящая глава посвящена изучению квантовых систем, описываемых уравнениями (Ш.2.8). Динамические системы на квантовом уровне могут рассматриваться в различных представлениях, в частности, в шредингеровской и гейзенберговской картинах. Для обсуждаемых систем в одномерном случае решение этой задачи удается найти в обеих картинах.
В шредингеровском представлении волновые функции яв- n^iOTcn матричными элементами основной непрерывной серии унитарных представлений некомпактных вещественных форм комплексных полупростых групп Ли, взятыми между состояниями с определенными квантовыми числами (обобщенными векторами Уиттекера). В 工о же время наличие гамильтонова формализма для рассматриваемых систем (V. 3.1) позволяет, как и в классическом случае (см. § V. 3), применить обычные методы теории возмущений. При этом первый член в гамильтониане (III. 2.14) играет роль свободной части, тогда как второй, снабженный множителем 九，описывает взаимодействие в системе с постоянной X. В полной аналогии с классическим рассмотрением ряды теории возмущений также оказываются конечными полиномами по Z и воспроизводят точное решение соответствующей системы. Используемые построения существенным образом основываются на теории представлений алгебр и групп Ли и для одномерного случая окончательные результаты формулируются полностью в их терминах.
В квантово-полевом (двумерном) случае непосредственная адекватность группового языка описания обсуждаемых систем в значительной мере утрачивается, по крайней мере, в общепринятом смысле. Хотя для большинства точно решаемых систем типа (III. 2.8) (в частности, для двумерной обобщенной цепочки Тода с закрепленными концами) и удается построить явные выражения для гейзенберговых операторов в виде конечнчх полиномов по X, но их формулировка уже не достигается в терминах теории представлений алгебр Ли. Следует также подчеркнуть, что решение, в отличие от классического случая, одномерной задачи нельзя получить исходя из решений
соответствующей двумерной системы. Причина заключается в существенном различии вида коммутационных соотношений обобщенных координат и импульсов в пространствах разных размерностей.
Решения соответствующих классических систем как в одно- мерии, так и в двумерии могут быть получены из квантовых при устремлении постоянной Планка (Й) к нулю и воспроизводят полученные в гл. III и гл. IV классические выражения.
§ VII. 1. Гамильтонова формулировка (канонический формализм) и метод Янга——Фельдмана )
В основе развиваемой в этой главе процедуры квантования систем вида (III. 2.8) как в шредингеровском, так и гейзенберговском представлении лежит гамильтонов формализм. При этом для построения явных выражений для гейзенберговских операторов соответствующих динамических величин используются методы теории возмущений. Как уже отмечалось выше, речь идет не о каких-либо приближенных результатах, а о точных выражениях, возникающих в результате суммирования рядов теории возмущений по постоянной взаимодействия 九，введенной явным образом в уравнение (III. 2.8) в виде множителя перед его правой частью. (В дальнейшем, ссылаясь на. (III. 2.8) и (III. 2.13), будем подразумевать наличие Л в них.)
Существует несколько различных эквивалентных формулировок теории возмущений. В рамках канонического формализма явные выражения для гейзенберговских операторов определяются известной формулой Швингера (2.44). В ряде случаев более удобным оказывается метод Янга — Фельдмана, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих соответствующую квантовую систему, путем переформулировки их в интегральном виде с автоматическим учетом граничных условий и последующего разложения искомых решений в ряд по степеням X.
Обычно квантовомеханический гамильтониан идентифицируется с радиальной частью квадратичного оператора Казимира полупростой группы Ли О в подходящей параметризации. При этом выбор базисных функций в пространстве представления G играет ту же роль, что и выбор начальных условий в фазовом пространстве функциональной группы Gf для классической задачи (см. § IV. 6). Скобки Пуассона, определяющие классическую систему, заменяются на коммутаторы динамических переменных соответствующей квантовой системы. Существует глубокая взаимосвязь между решением задачи квантования и теорией представлений групп, впервые установленная Костан- том для систем типа цепочки Тода, для которых получено интегральное представление однокомпонентных волновых функций
через векторы Уиттекера. Последние и являются упомянутыми базисными функциями. Как мы увидим из дальнейшего, волновые функции для более общих систем (III. 2.13) оказываются матричными элементами основной непрерывной серии унитарных представлений вещественных форм G, взятыми между состояниями с определенными квантовыми числами (обобщенные векторы Уиттекера).
В соответствии с результатами § II. 6 гамильтониан (III. 2.14) системы (V. 3.1) совпадает с квадратичным оператором Казимира основной непрерывной серии соответствующей вещественной формы в базисе обобщенных векторов Уиттекера (II. 6.7). Поэтому ее однокомпонентные волновые функции 屮@"(т, %) выражаются следующим интегральным представлением: 、
屮0" (% х) = ехр (% £ А"/) “ (<т,川办(к)匆'} (к。) X
X g因(％ %；通产(1.1)
Здесь 勿{"(々о) — матричный элемент "о, удовлетворяющий (II. 6.61). Возникновение нормировочных множителей ехр (Дт)/2 (ру = га7 — 1/2А/,——оо < а； < оо, az = а； для основной непрерывной серии) и “(и,/) связано с преобразованием гамильтониана к самосопряженному относительно стандартного скалярного произведения в пространстве рассматриваемого представления виду, отвечающему «физическому» гамильтониану модели. Именно благодаря их наличию последний имеет правильный спектр. Состояния рассеяния реализуются в асимптотической области (а(т)-> 8) положительной камеры Вейля (все а(т)〉0), так как в ней отсутствует взаимодействие между «частицами» системы.
Рассмотрим теперь применение метода Янга — Фельдмана для построения точных решений системы (V. 3.1) в квантовой области в представлении Гейзенберга. С этой целью переформулируем развитую в § V. 3 конструкцию для построения в картине Гейзенберга выражения для квантового оператора динамической переменной go«). (В дальнейшем для краткости индекс 《0》будем опускать, go(t)-> g(t), приписывая его решению этой системы при А = 0, т. е. 風(/)—>&)(/)•)
В соответствии со свободной частью лагранжиана системы (V. 3.1) в квантовой области, &(g) = % Sp(g~l^0)2 с g。(f)= =exp (— X°q), импульсы pa = ^ cap7p канонически сопряжены ，a(f), [Pa,作]=—№6ap. Напомним, что элемент (X°q) принимает значения в ®^, т. е. 1 &a, р ^ t/( = dim ®^, и таким образом, %3曰(％：, X%) — симметричная невырожденная diXdi матрица.
Удобно ввести операторы 九三玄迦呼％，现呻 2 c心，общий вид которых /а — Ла/ + ^а- Здесь Ла и Ва ——произвольные независящие от f операторы, удовлетворяющие коммутационным соотношениям:
儿，珏]=—泊％炉 儿，&] = 0, [Ва, В3] = 0,(1.2)
e^^)ic~l3RT.
Система (V. 3.2) (или одномерный вариант (V. 2.4)) остается справедливой и в квантовом случае, равно как и выражения для решений в форме, аналогичной (V. 2.6). Однако переход к более компактному виду (V. 3.3) перестает быть корректным в силу квантового характера системы, проявляющегося в алгебраической структуре величин
/£” f%%) м 風3％G)j土 (g『「
用3一"•'*』公@"「色)…办(厶)，
— /2 ++ es/s.
Приведение окончательного выражения для решения g(f) к формуле типа (V. 3.4) требует преобразования этих операторов к виду 爲(TJJ土PJ (т) где элементы go(Ts) группы Go уже не сводятся только к go(7\), а содержат множители, зависящие от постоянной Планка. Процедура такого приведения будет продемонстрирована в § VII. 3 на примере обобщенной цепочки Тода.
2. Необходимые сведения из теории возмущений *)
Настоящий параграф носит вспомогательный характер; в нем собраны перестановочные соотношения и другие формулы, которые понадобятся при интегрировании динамических систем, исследуемых в данной главе.
_ Рассмотрим одномерную квантовомеханическую лагранжеву систему из г частиц с потенциальным взаимодействием. Функция Лагранжа имеет здесь вид
^(и, «) = 4 2^ ^арйайэ — V?u (и),(2.1)
а* 6 н 1
где 〃а ——гейзенберговский оператор координаты а-й частицы, точка означает дифференцирование по времени, ka^ — невырожденная симметричная вещественная матрица, ц2(^X)—— константа связи, функция U (иь ..., /) описывает взаимодей-
ствие. Соответствующая функция Гамильтона есть
®2（"，p）= $ 2 （七一歳Р必 + £0⑷，（2.2）
а, р—1
причем канонические импульсы равны ра = ^ 月（^也廿
Уравнения движения в форме Лагранжа и Гамильтона, соответственно, имеют вид
近d+ / X （丁）邱。6（"）= °，U产 dU
° —（2.3）
Л + ^Ua（U）= °> «а= S （^ацР^
Для построения теории возмущений рассмотрим прежде всего систему невзаимодействующих частиц с
①о® Ф）= т£^ФаФз；а, В①о® Ф）= т£^ФаФз；а, В旣&, * =42 а, В旣&, * =42 а, В
①о® Ф）= т£^ФаФз；а, В
①о® Ф）= т£^ФаФз；а, В
旣&, * =42 а, В
旣&, * =42 а, В
Общее решение для гейзенберговых координат фа свободных частиц есть разномерное прямолинейное движение：
中" = “ +，丁 =?&6 纬，
где 々а, Ьа ——не зависящие от времени операторы. Канонические перестановочные соотношения （при равных временах）
咸'，喇=一历%，[成，p『]П回，喇=0
в терминах операторов 5, 5 записываются в виде
同，5J = 一访国，"]=瓦，^] = 0-
В дальнейшем нас будут интересовать функции взаимолей- ствия, зависящие от своих аргументов через посредство линейных комбинаций 以;= 2 ^ui^ me 々—матрица, связанная c k формулой
-2aB = %&в，（2-4）
% — некоторые положительные числа. В связи с этим введем новые операторы
^а^ ^ ka^^aat + &а>（2.5）
через которые старые выражаются по формулам
<₽а = 5 6'）аВ 恥，"S' = %%（2・6）
9 А. Н Лезмов, М В, Савельев233
временах)временах)Перестановочные соотношения (при произвольных имеют вид
временах)
временах)
гдегде1аa，ь6]=一’力бa6，[^a» "]=[瓦，^pl ~。，伸a ⑺，* (/')]=一订夜邛 " - ，')，[фа(0, 2№)]=-订嗚%(/一门，1аa，ь6]=一’力бa6，[^a» "]=[瓦，^pl ~。，伸a ⑺，* (/')]=一订夜邛 " - ，')，[фа(0, 2№)]=-订嗚%(/一门，(2.7)(2.7)瓦Sm储60J.瓦Sm储60J.(2.8)(2.8)
где
где
1аa，ь6]=一’力бa6，[^a» "]=[瓦，^pl ~。，
伸a ⑺，* (/')]=一订夜邛 " - ，')，[фа(0, 2№)]=-订嗚%(/一门，
1аa，ь6]=一’力бa6，[^a» "]=[瓦，^pl ~。，
伸a ⑺，* (/')]=一订夜邛 " - ，')，[фа(0, 2№)]=-订嗚%(/一门，
(2.7)
(2.7)
瓦Sm储60J.
瓦Sm储60J.
(2.8)
(2.8)
Поскольку в данной главе в основном рассматриваются взаимодействия экспоненциального типа, то нам понадобятся также правила перемножения и распутывания операторов типа ехр 屮& и связанных с ним и. Приведем общие формулы, позволяющие совершать такого рода операции. Во-первых,
ехр(— Л) В ехр А~В^^^^[В, Д, Д, Л],(2.9)
где введено обозначение для кратного коммутатора:
[Л, В, С, М]^[... [[Л, В], С], ...], М].(2.10)
Далее,
ехр Л ехр В == Г ехр | ^ dr (Д + ехр (тЛ) В ехр (— тЛ)) |, (2.11)
где знак «Т-экспоненты» означает упорядочение по параметру т в экспоненциальном ряде:
Т ехр I t/r У (т) > = 1 + £ , ^т J dr2... j dxn Y (q) Y (r).・• la丿〃一la aa
...Y(x^, (2.12)
Если подынтегральные выражения в (2.11) при разных т коммутируют друг с другом, то, очевидно, знак Г-упорядочения можно отбросить. В частности, как видно из (2.9), это можно сделать, когда все кратные коммутаторы [В, Д, ..., А] коммутируют друг с другом и с (4 + 8). Если, более того, [Д, В] коммутирует с Л м с В, то имеем
ехр Д • ехр В = ехр [% [Л, В] ] ехр (5 + 8) = ехр [Л, В] ехр В ехр А.
'(2.13)
Формулы (2.9), (2.11) в смысле равенства соответствующих формальных рядов справедливы всегда, однако их применение в конкретных физических моделях для получения осмысленных операторов требует надлежащего анализа сходимости.
Учитывая (2,7), можно теперь с помощью (2.13) сразу получить формулы перемножения:
ехр (2а «)) ехр (% (/))=
=ехр(—访％ (г — /')) ехр (必(Г)) ехр (% (0), ехр (к ⑺)ехр (% (Г)) =(2.14)
=ехр (—访и；% (/ —，)) ехр (% (/')) ехр (% (/)),
2 также формулу расщепления на операторы, зависящие только от а н только от Ь:
ехр (少а (/)) = ехр (% + 4"闕工)ехр Ьа =
(2.15)(2.15)=ехр Ьа ехр (аа — ~ 闕/)， или, более общо,
(2.15)
(2.15)
ехр (Фа,(厶))... ехр (屮а“ ％))=
=Д ехр 6ат Д ехр( aas - 1- Гг^ - /Й 乞 = Л1・1sT \Z—S+1/
nrtZп.
=Д ехр (фат (О) Пехр( flas - -^ hkasas - th 2 ^saA(ts-l).
“(2.16)
Отметим еще формулу
eхр ( ?厶也)а" ехр (- ? /小)=a"十汴(?点"。)⑵⑺
(/а ——произвольные константы), которая получается с помощью (2,7) из (2.9), причем ряд в (2.9) обрывается на первом члене. Отсюда находим также общую формулу для произвольной функции f(a) операторов &[,..., аг, разлагая последнюю в ряд, а также используя (2.17) в каждом члене и затем вновь сворачивая ряд:
ехр (g АЖ)/(ац)ехр (— £ 厶恥)=f (% + %力 £ k^l^ . (2.18)
Точно так же получается
ехр ( ? /афа^ / (%) ехр ( — ? /а%) = f (® + ihv^l^, (2-19>
откуда видно, что ехр фц является оператором сдвига по «и : ехр фц = ехр(iTw^d/daJ^ что, впрочем, ясно уже из (2.6).
Решения задачи для взаимодействующих частиц можно строить с помощью формальных рядов теории возмущений в гейзенберговом представлении. Предположим, что существуют асимптотические пределы («ин-операторы») q)(/)« и1П (/)=
=lim u[t\ удовлетворяющие соотношениям для операторов свободных частиц. Введем《5~матр【щу для конечных времена:
S ⑴曰 7ехр|М 5 dxU{^, .... фг)(2.20)
Тогда для любой функции 4(况)операторов 〃卜...,uf (взятых в один и тот же момент времени t) можно записать
л(« (/)) = S+(/)/@(/))S(/).
Подставляя А(и) в виде ряда
А = Е \^nAn, имеем ，
儿三 Л (ф (/)),
4(/) = \ …\ 口 4^。"吁1(4 (qp (/)), U^ ..J)
—оо — оо mi
где 9(f)——обычная ступенчатая функция, % 曰 /, Um = U(ф (Zm)).
При рассмотрении экспоненциальных взаимодействий {U —— линейная функция ехр 2а) мы будем вычислять операторы типа ехр(/иа). Как видно из (2.21), для этЪго понадобятся коммутаторы вида [ехр (/фа), ехр 屮в，..., ехр i^Y]. Для их вычисления выстроим в каждом слагаемом коммутатора экспоненты в порядке убывания временного аргумента слева направо с помощью формул перемножения (2.14), что приводит к появлению числовых множителей. Вынося затем произведение экспонент за скобку, имеем
jexp(/qpa(/))，ехр 屮包(厶)，...，ехр ^(/„)] =
==ехр (® (0) ехр (2% (幻)X • • • X ехр (少“ (/“))X
X JJ I 1 — &xp 6叫 “ —%) + 访}自6 科 §(“ 一 tj j . (2.22)
Далее можно с помощью формулы (2.16) вынести всю зависимость от параметров Л, ..., tn вправо (в произведение коммутирующих множителей), после чего интегрирование по 力 проводится элементарно.
Рассмотрим теперь аналогичную модель в двумерном пространстве-времени 尤乩=(厶光)с г скалярными эрмитовыми полями иа. Удобно ввести переменные z土三 i/2(f±x), так что
Будем считать, что пространственная координата либо пробегает весь бесконечный интервал, либо является циклическойБудем считать, что пространственная координата либо пробегает весь бесконечный интервал, либо является циклической(так что поля 〃a обладают(так что поля 〃a обладаютсвойством периодичности, (/,尤十 2L) = 〃a(厶 ％)). Первый случай можно формально рассматривать как предельный случай второго при Zf оо.свойством периодичности, (/,尤十 2L) = 〃a(厶 ％)). Первый случай можно формально рассматривать как предельный случай второго при Zf оо."a"aЛагранжиан имеет видЛагранжиан имеет вид^=7 e ”(，a, ₽ = 1^=7 e ”(，a, ₽ = 1dz丁 dz~ dz~ dz十dz丁 dz~ dz~ dz十)—(?U(И1，..., aj (2.23))—(?U(И1，..., aj (2.23)
Будем считать, что пространственная координата либо пробегает весь бесконечный интервал, либо является циклической
Будем считать, что пространственная координата либо пробегает весь бесконечный интервал, либо является циклической
(так что поля 〃a обладают
(так что поля 〃a обладают
свойством периодичности, (/,尤十 2L) = 〃a(厶 ％)). Первый случай можно формально рассматривать как предельный случай второго при Zf оо.
свойством периодичности, (/,尤十 2L) = 〃a(厶 ％)). Первый случай можно формально рассматривать как предельный случай второго при Zf оо.
"a
"a
Лагранжиан имеет вид
Лагранжиан имеет вид
^=7 e ”(，a, ₽ = 1
^=7 e ”(，a, ₽ = 1
dz丁 dz~ dz~ dz十
dz丁 dz~ dz~ dz十
)—(?U(И1，..., aj (2.23)
)—(?U(И1，..., aj (2.23)
(см. (2.1)). Соответствующие уравнения движения:
dz+ gz~ ■i" ^ E 3 )邱/(")，九三五/ (2.24)
Для проведения процедуры квантования по теории возмущений рассмотрим прежде всего свободную систему с лагранжианом в виде кинетической части (2.23):
4 勺рdz / a,
Общее решение соответствующих уравнений движения есть
Фа(г+, z~) =(pj (z+) +(p- (г-),(2.25)
где фц (з±) — произвольные операторные функции. Наложение условия периодичности по х ограничивает вид (2.25) следующим выражением:
«Ра = Q" + 言尸"矗 XT ［干 exp (-晉 z+)十
+ Д；аехр(-^г-)］,(2.26)
где Q\ Р\ ^п^ произвольные пока что операторы. Эрмито- вость полей q)a означает
(Qa)+ = Qa,行)+=内，(片»=尤:.(2.27)
Лагранжиану 2。соответствует гамильтониан
а, В — L
=2飯［等+金е ［仁М十4*:公•(2.28)
Стандартная процедура канонического квантования приводит к перестановочным соотношениям:
［Q。，尸斗=话(&’)吁［/言/廿］=切g«,r(咨%f，(229)
остальные коммутаторы равны нулю. Отсюда находим:
風(z), Фр (?')]=—鋒(々т )ag D (z — /), где перестановочная функция
(2.30)(2.30)。⑶£ [&(2十—^i) + в(г~ —几L)].
(2.30)
(2.30)
Здесь е(г)—знаковая функция, а сумма понимается в смысле главного значения. Из (2.29) видно, что операторы (ра могут быть представлены в гильбертовом пространстве
歹=歹。㊉歹十㊉/一,
где 歹о ——пространство одномерной r-частичной квантовомеханической задачи (см. начало этого раздела), а 歹士 ——фоковские пространства (с г сортами частиц), в которых операторы рождения (уничтожения) выражаются через 4：；(4±；), п > 0.
Как и в (2.5), введем новые операторы ^а — Х^Фз* Для них
(2.31)(2.31)№3), % (z7)] = — ^ka&D (г — гЭ, 伸a⑶，Фэ ①]= -/-£-6亚(z — i).
(2.31)
(2.31)
Следующие формулы мы приведем лишь для однокомпонентного случая,厂=1 (左= о). Они получаются совершенно так же, как и формулы (2.14) — (2.20), и их обобщение на многокомпонентную систему не представляет каких-либо трудностей. Имеем
ехр (— 6(р (г)) ехр (шр Q')) ехр (6 (<р (z)))=
(2.32)(2.33)(2.34)(2.35)(2.32)(2.33)(2.34)(2.35)=ехр (iabhv~lD (г — z')) ехр (a屮(z')),exp (aP + 师)=exp (a(P ~H罂))exp (M>exp(— 6(p) f (P) exp (&(p) = / (P — г 4 6) •
(2.32)
(2.33)
(2.34)
(2.35)
(2.32)
(2.33)
(2.34)
(2.35)
Нам понадобится также оператор
Ф(г) = \ dz^ \ dz~ ехр(2ф(г)),z+一 厶г-_£,
для которого из (2.32) — (2.34) получаются перестановочные соотношения:
ехр (— 6q)) Фехр(&ф) — ехр (^6)Ф,(2.36)
①/(「)=/(尸十粤)(Р.①/(「)=/(尸十粤)(Р.(2.37)(2.37)
①/(「)=/(尸十粤)(Р.
①/(「)=/(尸十粤)(Р.
(2.37)
(2.37)
Приведем без доказательства редукционную формулу
\ dW+ \ dz~ ехр(2ф(г)) Фга-1 (з) ~ z+-L z~-L
一 (1 - exp (靖广1)产(1 - exp (- tiP 一 话/г%一1))2, 只)
(1 — exp (ihnv~ *))2 (1 —exp (― P — ihnu~[))2 ， i
которая проверяется путем подстановки в обе части явного выражения (2.35) для Ф и перестройки областей интегрирования с учетом свойств ср (г+, г-) при сдвиге его аргументов на L (см. (2.26)).”
В случае бесконечного пространства (формально L->o©) операторные функции в (2.25) произвольны; при этом перестановочная функция, получаемая каноническим квантованием, принимает вид
=+(2.39)
Хотя в этом случае, как известно, возникают трудности с реализацией операторов(ра в гильбертовом пространстве (см., например, [9, 10]), мы однако выпишем некоторые алгебраические соотношения для них, которые понадобятся нам в § VII. 5: m㈠，婿(叫^此产俨一^),
(2.40) he 8±)，喏(尹)]=o,
exp (a崂 Q±)) exp (崎(г±)) =
=exp (-曙应af)e (z± — 尹))exp 仅懵(尹))exp (a崂(z±)).
Вводя многоиндексные операторы
N 土Zi 土
①森…(尹)m \ /eхр (時(z：)) 、 dzKxp (時(玻))...，(2.41)
которые носят характер запаздывающих функционалов от полей (ра, получаем для них соотношения, аналогичные (2.36): ехр (а時)？(％「. ％)ехр (_ а帽)=
"(ехр(一需 士小)%宀).(2.42)
С помощью формул (2.40) имеем для Ф^... следующие соотношения эрмитовости:
К- a J = eхр (祭 i 忆)喝…(2・43)
Переходя теперь к построению решений (2.24) как функционалов полей фа, можно снова воспользоваться общей формулой (2.21), где теперь в качестве Л берется локальная функция полевых операторов, а возмущающая функция U(f) есть интеграл своей плотности И(/, х):
U (/)= dxV (中(厶 х)).
Иначе говоря, n-й порядок теории возмущений для локального оператора А (и) дается формулой Швингера:
ОО L
4(/, х) = \ рд(屮(/,戏，匕，...，1/„]Пе^-М,
(2.44)
Vi^V （中（力，修）），
Другой вариант построения теории возмущений ——использовать уравнение Янга — Фельдмана, т. е. интегральную форму уравнения (2.24):
% (f，X)= Фа (Л 尤)+，” \ d』Q‘" (/ — /, % — х‘)九(/',%'),
(2.45)
где фа — свободные поля, DTel(ty х) — Q(t)D(t, х), D — перестановочная функция (2.30). В данном случае
^а = - Н2 X (々Г 呻厶(〃)•
Уравнение (2.45) для 〃а можно решать итерациями, взяв фа в качестве нулевого приближения. Тем самым, для 辽仪 получается ряд теории возмущений по константе связи 卩乙
§ VII. 3. Одномерная обобщенная цепочка Тода с закрепленными концами )
В этом параграфе мы применим общую конструкцию § VII.. 1 для важного частного случая системы (III. 2.13) — обобщенной (конечной непериодической) цепочки Тода, описываемой системой уравнений
Hi — Z exp (ku)h 1《》&г (九三卩?)，(3.1)
гамильтониан которой имеет вид*
吼=^ 2 (。初十九2 uf exp (to)r(3.2)
Она с очевидностью вытекает из (III. 2.13) при выборе канонической градуировки конечномерной простой алгебры Ли ® с матрицей Картана 左 в подстановке
g = exp { — ?力w (/ — J k^1 In 財)卜 /± =.々产禺土нKo=Sp(Z*〃)，生=2z6了，
и с учетом соотношений (П. 1.12) и (II. 1.13). Здесь р» и и(—— обобщенные импульсы и координаты. Последующее рассмотрение проводится как в представлении Шредингера, так и в представлении Гейзенберга.
Картина Шредингера. Оператор Казимира второго порядка для естественной вещественной формы G в разложении Ива- сава дается формулой (11.2.52), или, обозначая в ней 0/0т,・= =р/ и выполняя каноническое преобразование ^->exp(l/26т)X ХКехр(—%飢)，получаем выражение
K = ^»u“PjPj +
+ £ 吟［ехр(—а ⑴)KfZ； — exp(—2а (初 Z：Z" (3.3> а>0
Действие оператора (3.3) на его собственные функции, подчиненные условиям (II. 6.6), с точностью до очевидных замен, приводит к выражению (3.2). Иначе говоря, роль базисных состояний для рассматриваемой задачи играют векторы Уиттекера (II. 6.4).
Если в качестве собственных функций оператора (3.3) рассмотреть величины, преобразующиеся по некоторому конечномерному представлению {/} размерности ^^ подгруппы X группы G, и наложить на них условия (II. 6.6), то этот оператор можно привести к виду
К = ^Х(哨『P/j +
+ £ 財佟［exp ((—々砧)К： — j財2exp ((— 2屉)0］ (3.4) где /ff -— генераторы представления {/}. Тогда выражение (3.4) отвечает точно интегрируемой квантовомеханической системе с М-компонентной волновой функцией, переходящей в од* покомпонентном случае (т. е. когда собственные функции $2 одномерны по ^ и инвариантны относительно правых сдвигов, на X: {/} == 0, /С^(р = 0) в обобщенную цепочку Тода при замене / = ——％% +%Z 々7 Е (——&)• Заметим, что в простейшем случае группы SL(2, R) формула (3.4) воспроизводит
^потенциал Морзе, описывающий осцилляции двухатомной молекулы, и тем самым реализует его теоретико-групповую интерпретацию.
Таким образом, при изучении многокомпонентного варианта обобщенной квантовой цепочки Тода в качестве начального состояния (ф+(^)) следует взять вектор Уиттекера (II. 6.4), тогда как конечным (ф_(к)) является произвоьчьный вектор пространства левого регулярного представления % т. е. 屮_(к) =(盲勿俏，⑺的 П{“},廿{%“}}- произвольный число- ^вой вектор, (В однокомпонентном случае, естественно,屮_(&} =
—т|{о).) Тогда для некомпактных преобразований G,
ехр £ h产尸必，即} (6 = ехр(тр) 口 R；粧m (к),
•с учетом формулы, вытекающей из (II. 3.8), получаем следую- .щее интегральное представление искомой волновой функции:
W；紹(т) = ехр «(⑺)片(。)£ \ dll (к) №> 依)х
х 刻需，⑺(«)exp { - i у к； In 纤(«)卜⑺(3.5)
(ср. с (1.1)). Здесь символ «тильда» над показателем экспоненты означает, что все входящие в него величины зависят от преобразованных под действием g(t) параметров ке%
При устремлении а(т) к бесконечности асимптотика волновой функции (3.5) определяется выражением
此}"⑴=Z ехр (，(％)) • ” (啕 £ 硼} {.} &)】“},(3⑹
тде*
R得⑺(р)三，如依)勿靠} {"}依)#"}依)，(3.7)
£ означает сумму по перестановкам из группы Вейля G. Следует отметить, что, строго говоря, доказательством корректности данного асимптотического перехода, мы не располагаем. Основанием считать окончательное выражение (3.6) правильным может служить лишь совпадение получаемой на его основе известной формулы для меры Планшереля основной непрерывной серии G, и, самое главное, аналогия с методом Фока. Дело в том, что интегралы в (3.5) берутся на пределе сходимости, и выполнение предельного перехода, аналогичного процедуре, выполненной в п. 3, § II. 5 и использующей метод Фока, требует в подынтегральном выражении более аккуратного анализа свойств функций как распределений соответствующего класса.
Величину (3.7) мент оператораВеличину (3.7) мент оператора左三"n依)胆} (к) k.左三"n依)胆} (к) k.(3.8)(3.8)удобно рассматривать как матричный эле-
Величину (3.7) мент оператора
Величину (3.7) мент оператора
左三"n依)胆} (к) k.
左三"n依)胆} (к) k.
(3.8)
(3.8)
где к — элемент Ж вида (I. 6.19), в котором образующие 纺土а берутся в представлении {/}. При этом (унитарная) матрица рассеяния
f^^R^y' (3.9)
совпадает со сплетающим оператором полного вейлевского отражения соответствующей группы, тогда как RR+ — единичный оператор с коэффициентом, обратно пропорциональным весовой функции со(р) меры Планшереля основной непрерывной серии G. Величины *；?} {唱 играют роль функции И оста для однокомпонентной задачи, когда
К；； {0}三 с (р) = \ 如(к) ?"}(к)・
Мспользуя универсальную параметризацию (1.6.19) элемента к и формулы (1.6.20), (1.7.15) для старших векторов и инвариантной меры на % с точностью до несущественных числовых множителей имеем:
П Р#МТехр［-^а — К］Х
х线回為汕一員然一宓")，气抖h4(齡一終а)］， (3.10) где В ——бета-функиия Эйлера. Отсюда, в частности, вытекают следующие выражения для функций с(р) и амплитуды рассеяния £(р) в однокомпонентном случае:
с(Р)= 1］嗯,*■ —器 Т),
®)=И 嗚，卫价7)х(З.И)
а
丄 (a, ；+&L_ 丄］人 12， (аа) 2 丿，
и весовой функции:
叭。=屮黑Т)в-у，^^Й^-Йх
絵产 Т (3.12)
Существует еще один (альтернативный изложенному выше) подход к построению волновых функций рассматриваемых
систем и к исследованию их аналитических свойств. Он заключается в непосредственном вычислении волновых функций как собственных функций полного числа функционально независимых операторов в инволюции (интегралов движения), заданных на фазовом пространстве соответствующей G функциональной группы. Проиллюстрируем этот подход на примере обобщенной цепочки Тода. В этом случае такими операторами являются функционально независимые слепы последовательных степеней оператора L(t):
厶(〃 Р)Е Spr7"),
(см. п. 5, § IV. 1), причем % =。/[储，[卩田]=6〃(力=1). В частности, для серии Аг собственные значения Iq операторов
равны
X П//> m 产
皿]V/2V …V，r+1 j = l
Таким образом, задача состоит в решении системы уравнений 北①=厶①，1 《g&r.
Ее удобно решать в импульсном представлении, полагая р；= = ^д/др； и приходя, тем самым, к системе дифференциальноразностных уравнений, например,
А： [р2 — ехр (— д/др)]①—У4/п2Ф,
4： [Р? + 而—凸比—ехр(— д/др^ — ехр(— д/др^] Ф =
=% (時 + "考+ 叫小2)①,
[pg (Pl — P2)— P2 exp (— d/dpi) + Pl exp (— д/др^] Ф =
=—%7 (2g 十 恤)("А + 2ffi2)(叫—恤)Ф, C2： [%诉 + Pi~ PR? — 2 exp( — д/др^ — exp(— д!др^] Ф =
=w:十团1恤+%佬)ф,
[―%6诉(凡一2P2)2 + 1/2P1(P| — 2P2) exp( — д/др^ 十
+ %P；exp (— д/др^ — ехр(— 2д/др^] Ф =
=—%б (2% + т2)2 叫①.
Эти уравнения удается решить достаточно просто лишь для Л1 и Л2: решения выражаются очевидным образом через произведения и отношения Г-функций типа Г(Р1 + а* + 1), Г(Р2 —— —а( + 1), ai = a,・(m), тогда как в других случаях мы сталкиваемся с разностными уравнениями со сдвигами больше единицы, общие методы решения которых отсутствуют.
Знание явного вида волновых функций (3.5) позволяет вычислить их квазиклассический предел и таким образом получить еще одним способом точные выражения для решений соответ-
ствующей классической задачи. Проиллюстрируем эту процедуру на примере однокомпонентного варианта обобщенной цепочки Тода с
хр{р} (т) — exp (i (та)) Л9 {а) J с/ц (к) g{p} (к) X
ХехрХехр(3.13)(3.13)
Хехр
Хехр
(3.13)
(3.13)
и пркменнм к ней метод перевала. Показатель быстро осциллирующей функции в подынтегральном выражении (3.13) имеет вид
S = ?旧in自⑴+呼而両+尸円+ " £雜层尸尸八.
''，(3.14)
Стационарные точки последнего выражения определяются из условия зануления его производных по всем групповым параметрам элемента ^(0a) из 勿,что эквивалентно уравнениям
^S = 0 и / или К影=0, YurRi(3.15)
, dSlnc/= dp;, dSlnc/= dp;Для нахождения классических траекторий, дающих точные решения (3.1) (卫,・=—2七°, следует приравнять производные действия системы по произвольным параметрам Р/, определяемые в соответствии с условиями (3.15), некоторым произвольным постоянным In С/, именно:
, dS
lnc/= dp;
, dS
lnc/= dp;
詼7十乙呜=
(3.16)(3.16)=磊=in к" + %勺 + v2 £p^.
(3.16)
(3.16)
Отсюда следует, что
自仃} (к) = cJ exp (a/ — uj, <3.17； где ctj 三——Z (ик)^1р厂 (Отметнм, что члены 05/08% равны нулю в силу экстремальности действия.) Таким образом, мы приходим к известным выражениям (см. п. 5, § IV. 1) для решений рассматриваемой задачи, которые удовлетворяют системе (1.4) при выполнении условий (3.15) на групповые параметры элемента к.
Для иллюстрации процедуры реализации этих условий рассмотрим более подробно случай группы SL(3, R), т. е. цепочку Тода, связанную с алгеброй Л2- Обозначим через 犬纟，l&a, В 忘 3, элементы 3X3 ортогональной матрицы 50(3); при этом {{"=£,自{2} =&;聘—к“：曰碌 Тогда, с учетом формулы
(3.18)(3.18)(II. 6.3), система (3.15) перепишется в виде
(3.18)
(3.18)
K^ni+^s =
=В> 崂十 ехр(『)俳+ exp(Y)占=0,
где Л1, Л1 + Л2,乳2 ——положительные корни Л2. Учтя, что
К； = С, ехр (—^-Х 曜=qexp (，丁?)(а1 曰一7з (2р + 尸2)，а2 ~ —'/з (Р + 2P2))
и, следовательно (из (3.18)),
/4 = PLr%exp (吋"),着= - рг%eт%хp(但二号广也),
а затем используя соотношение ортогональности
3
X — 0, находим
«3 =(Pi + 尸2) РГ^Г1 ехр彳二2*),
К；= (p+ 2厂后田呻(一号二生). 3
С учетом этих формул, а также соотношений £(&?)?= 1, 2(噺=1, приходим к явным выражениям для искомых классических траекторий для цепочки Тода в случае Дг (см. п. 5, § IV. 1).
Картина Гейзенберга (канонический формализм). Для явного построения гейзенберговских операторов ехр(—⑷)в рамках гамильтонова подхода воспользуемся формулой Швингера (2.44) с A(t)= ехр(—(р/(0) и U『=Zsexp 屯(乙)вида (2.5), а также соотношениями (2.16) и (2.22), благодаря которым
поручаем
[exp（ — zz£-ехр （ 一中）
（3.19>
L e v!
[exp（-/）]“》= exp（ — 6） 工 П Tn"exp ^tl（t） /л，…，加
8П
乙「"尸 \ • • • \ И di^ （厶一 —&） exp [%（&-/）] x —OO "g
X 1-eкp/力 2 局“=
=2（ - у EП EM + %M + …+勺“⑷「，•
（3.20>
C/）访 £D（L s） J» + % & - g £. J]
8〃8〃=，,味，a^aim-i A kim,m T,皇，“
8〃
8〃
Дальнейшие анализ и упрощение решений в форме （3.20） достаточно сложны. Поэтому мы перепишем их в несколько ином виде, приведя предварительно для иллюстрации выражения для первых трех порядков:
厶⑷）尸一（旷+访J厂』麻仃同）®J +威Q『，
+[⑷）+屮）+俐"十怵Q （⑷）+加" 一访自,）「一
一[⑷叶⑷）+访^） （"）+ 1^П 一访0"）『曰
三（访）2才力%订（26m 一也）（端+a？尸X
X （力"+ af）+?施" + i力8"）’ （a?） （af）+ 访8"-i方6"）； J"m《力厂%/ = 6订（嗣„）7 （破m+访з/尸（曲:尸（*尸一6仃（a%十 十2力$"尸（a编+访8a +力渔,尸（a*+ ihbii 一 z力/"尸（力/）'-
-6仃（碍匕+，力8切）‘（a分T，方3/+ ‘冇3制）‘（a器+访8，m一
+订6m)T (叫+访3 +访3 +订血т尸(a* +片6," 一订南，" +
4M — 4" + С"十叫，a"』4"十a?・
Введем величину
(—访)-ViViVml"勿=bij(26也 一 kji) (b/m - kjm -后/小)X
X (壮，尸(/% +加订 + i^a + ihb^4a^(a^ X
X (力,L + ibiil - 访Z?n + 论3m - ip.kjm)(附 +/您订也一ihkjr4 -
—第А%， + 6订(25〃 一 kji) (2d/m — kjrn) (ацт){山"J，X
,X {^Im + 茄5" +，存5" + /加/П) (/‘)(，匕 4- lilbii -■/2” 十
Разность &户——/仆 антисимметрична по индексам / и т. По- 9ToMу результат умножения ее на c;ymexp ij?i(/)exp ipm(O с последующим суммированием по / и /?? обращается в нуль, так что.
1екр ( 一 "，и 3 = ехр ( 一 电) / 也/*" vjV[vm exp 3/ exp 如 exp 也/"h
Окончательный вид решения может быть записан в следующей компактной форме (ср. с (V. 3.4)):
охр ( — Ui (/))=〈力 I 庞(/)exp(—屯⑴)龙'(力 I 2〉，(3.21)
龙")=2'" X*八…%"厶…•缙外пг пт - 1
®「.『Й>хр (等)•
(Отметим, что множитель Хп в разложении для ^^ отсутствует.) Матричный элемент раскрывается по формуле (I. 5.24), причем 纺+『рассматривается в представлении, где ^у = ,^_Л Первые три порядка в разложении по 入 совпадают с приведенными выше выражениями. Для произвольного 〃-го порядка имеем
]ехр (—〃№))]“ = ехр ( —0).2 * Ц_ехр 屮睨 X
x?H [%(1 + М-Ч- £2統/『优⑴一阪w)l夕忆厶，
(3.22)
где суммирование по со проводится по всем перестановкам индексов (2, ..., n)^(j2iА),
(3.23)(3.23)尸一 Г П -1—1
(3.23)
(3.23)
喫三咪+ g4 T唱啞+访J+/^-
Переход к классическому пределу (力一>0) сводится к тривиальной замене ^ —>а^ и в случае, когда 々 совпадает с матрицей Картана конечномерной простой алгебры Ли, окончательный результат воспроизводит эквивалентную форму записи известных классических решений п. 5, § IV. 1 одномерной обобщенной (конечной непериодической) цепочки Тода. При этом алгебраическая структура решений (в смысле их зависимости от матрицы Картана) в классическом и квантовом случаях одинакова. Поэтому множители, зависящие только от элементов kij в классической области, обеспечивают обрыв рядов теории возмущений по X и для соответствующей квантовой задачи. Таким образом, решения (3.21) — (3.23) представимы конечными полиномами по постоянной взаимодействия Л.
Картина Гейзенберга (формализм Янга — Фельдмана). Общее рассмотрение § VII. 1, касающееся применения формализма Янга ——Фельдмана для нахождения гейзенберговых операторов, в случае обобщенной цепочки Тода может быть доведено до окончательных явных выражений (3.21)——(3,23). В этом случае
也=(初)才，go (/) = exp [ — (hk~la) / — (hk~lb)], причем
[电(G,电仿"=-论e了 (Л 一切
(см. обозначения § VII. 2). Можно показать, что
/$Г％'s) = gfs) (Ts) /+ (或s)亿)尸，(3.24)
где
g严(?)三 g°(T), g『)(T)』exp [ - (hka) T +，今(的％尸)f],@j 三a/十/叮1
Аналогичная формула для J(^~t^— ^3) получается из (3.24) с применением эрмитова сопряжения (?) и учетом соотношений 宓力=纺—尸 竹=% (Напомним, что в рассматриваемом случае /土 = Е 々?‘衫±/・) Доказательство (3.24) может быть получено при использовании редукционной процедуры и
249249Ю А. Н. Лезнов. М. В. Савельев
249
249
непосредственного расчета для s = 2. Действительно,
/肾f = g°&)你用/2ехр%0)阳g「(A) =
三多々产[go(九)exp切出)g『仏)][go (a)老店『 (厶)]=
=§ S'{exp [ih (Ли-1)/^] ехр ⑦仇)} {ехр (—切(厶))叫=
=Z E'exp :访(力оT)/?2] еXp {怖/ (%) - 3/ (九)]-访0[力}%/ 三
= #)(△〃+ (gLE))」
Подстановка этих соотношений 口ля /(「一办…’％%) в соответствующие формулы для um(t) приводит к выражениям (3.21)—» (3.23), если учесть, что ехр ( — %) = П fe,订〈力丨 g (/) | i〉・
§ VSI. 4. Уравнение Лиувилля [89]
Рассмотрим гейзенберговское поле u(t, х) в двумерном пространстве-времени цилиндрического типа; другими словами, и определено на всей прямой ——оо V f V 8, а по координате 尤 обладает свойством периодичности;
〃(厶 х + 2£) = 〃(力 х).(4.1)
Выберем лагранжиан в виде
где w ——константа размерности действия, благодаря которой поле и становится безразмерной величиной, a jj2 三九——константа самодействия. Соответствующее уравнение движения есть уравнение Лиувилля:
—+ 九 exp 2u = 0.(4.3)
dz dz
Будем искать поле и как функционал от асимптотического поля ф(/,尤)三瓦也= lim а(/, х), явный вид которого дается
/ -> -ОО
разложением (2.26). Для этого воспользуемся уравнением
250
Янга — Фельдмана, которое в данном случае принимает вид
оо ' L
u (z) — ф (г) — Л \ ” § dxfD^x (г — 2Z) exp 2u(2Z)=
ooZ~Z^~IL
= <р(г) — Л 2^ (Z + 1) \ dz~ \d2+exp2"(2). (4.4)
/=0z~-Lz+~(Z+1) L
Мы разбили здесь полную область интегрирования на подобласти, на которых запаздывающая функция Грина постоянна, и использовали свойство периодичности и по х. Будем решать это уравнение итерациями, рассматривая 入 как параметр малости. В первом приближении вместо и подставляем в правую часть ф. После этого область интегрирования по г можно разбить на отрезки длины Л и, используя формулы перемножения из § VII. 2, свести все интегралы к интегралу по стандартному промежутку (z土, z土 ——Л). Элементарное суммирование возникающих рядов приводит окончательно к формуле
以i = 一 (1—exp(-p一力)7 ①，①三 \ dz~ \ d / exp2$(N). z~-L z+-L
Здесь и далее мы опускаем для простоты множитель 力/з при 工 восстанавливая его только в окончательном ответе.
Для получения второго приближения в правую часть (4.4) следует вместо и подставить ф + «ь Формулы перемножения операторных экспонент (2.13) и редукционная формула (2.38) показывают, что 〃2 пропорционально Ф2, причем множитель пропорциональности зависит только от оператора Р. И, вообще, можно записать
〃 = $ + & = $+ £ Nui = <р + ® # 力(?)①(4.5)
Подставим это разложение в уравнение (4.4). Запишем exp (2и) = ехр (2(р) [ехр ( — 2(р) ехр (2〃)]=
-=ехр (2ф) • Г ехр \ dt ехр ( — 2砌 й ехр (2軍/). о
Используя формулы (2.34), (2.36), вычисляем
ехр ( - 2з)ut ехр (2ф力=力(尸—2汾 ехр (2"力①
Интегралы no z берутся с помощью редукционной формулы (2.38). Наконец, с помощью перестановочных соотношений для Ф с функциями от 尸(2.37), все Ф в правой части (4.4) могут быть пронесены вправо. После этого, приравнивая коэффициенты при равных степенях X, получаем рекуррентное
соотношение для 九(Р):*—(」一ехрсоотношение для 九(Р):*—(」一ехр[1 一 exp z (/ + I)]2 [1 ~ exp ( - P - z (/ + I))]2[1 一 exp z (/ + I)]2 [1 ~ exp ( - P - z (/ + I))]2XX
соотношение для 九(Р):
*—(」一ехр
соотношение для 九(Р):
*—(」一ехр
[1 一 exp z (/ + I)]2 [1 ~ exp ( - P - z (/ + I))]2
[1 一 exp z (/ + I)]2 [1 ~ exp ( - P - z (/ + I))]2
X
X
11
Х£ 2m £ 卜厶 ехр (2〃也)力,(Р - 2/7,十 2i) X m = l厶,•••, lm °
m—1
(4.6)(4.6)X J dtm exp (2/7^^) fim (P - 2itm + 2U{ + • • • + ^lm + 2/). о
(4.6)
(4.6)
Заметим, прежде всего, что при Р->8 функции 力(Р) принимают вид
(4.7)(4.7)卅)_ ( — 1)" (exp (i) — 1)
(4.7)
(4.7)
h一产 exp而二7
В этом можно убедиться, не обращаясь к рекуррентным соотношениям, а заметив, что при Р-> оо Г-экспонента в выражении для ехр 2и превращается в обычную экспоненту (поскольку подынтегральные выражения при любых значениях параметра f коммутируют), после чего 力 определяется элементарно. Решение же соотношений (4.6) имеет вид
2/-1
力=^0)1 - ехр ( - Р - /7) П1 1 — ехр ( — Р — tm)， (生8) в чем мы убедимся непосредственной подстановкой в уравнение Лиувилля. Для вычисления _ воспользуемся формулами дифференцирования:
dz dz dz dz dz dz 仁、 dz dz
н 2 〃力(P)；三雪(黯(1 - exp (-尸一〃))2 exp (2<p). Ф^'1
=exp (2Ф) £ 应，仍-2/) ^^ X
X (l-ехр(一p + 2i一〃))2Ф^'=
— еХр ©屮)(ехр (z) —1)(1—ехр(—?+()) *
X £(ехр(〃)一 1)(1 —ехр( —P + 2i — 〃))X
X [认(ехр (i) — 1)(1 — ехр( — P))~ (1 — exp( — P — /))~* Ф]/-! ^
=exp 的)(exp 而 =n"」exp (—户+，•)){(1 +exp (— P+2/)) -^-
一 exp ⑴ 1 丄 丿— exp PJ 1 =
尸'‘1+Хехр") 尸' 1 '1+Xexp( —i)j
—exp ( Ф) 1 — exp (— P + i) (1 + X exp (—f) T+ X exp (t) J「1 + X，
(4.9)
где X 三彳(exp(i) — 1) (I — exp( — P))-1 (1 — exp( — p — /))~*ф (здесь использованы перестановочные соотношения для F(P) и Ф, а также явный вид 厶(Р) (4.7), (4.8)). С другой стороны, вычислим оператор ехр (—и). Имеем
ехр ( —— 〃)= ехр (——ф) [ехр ($) ехр ( — 〃)] = ехр ( — ф) 7?, где
R = R 伍]=Т ехр { — \ 由 ехр (ф/) й ехр (—砌}.(4.10)
Повторяя аргументацию, использованную при решении уравнения Янга ——Фельдмана, можно записать
R = e#Q (p)①'•/=0R = e#Q (p)①'•/=0(4.И)(4.И)
R = e#Q (p)①'•/=0
R = e#Q (p)①'•/=0
(4.И)
(4.И)
Сравнивая выражение (4.11) с (4.9), получаем
®=2(-m—1®=2(-m—11Л
®=2(-m—1
®=2(-m—1
l)m 2、成1eXp ( 一 "也)九(尸十侑)\山2x
zi小。
Xexp(- U^fiAP + 弘 + 2%) X •••
-• • X \ dtm exp ( - ilm睛 flm (p + "m + 2"[+…+ 2a加一 1),
0
»1.(4.12)
Непосредственным вычислением находим
р _ 1 р 一 ехр ⑴ 一 1J
勺一丄， Е— fexpG) (l-exp( — P-i))(i-exp(-P-2，))'
(4.13)
/?2= °・
Кроме того, в пределе Р-> оо имеем R?)= 0 (/》2) (что снова легко получается с учетом того, что Т-экспонента превращается в обычную экспоненту).
Перейдем в (4.12) от интегрирования по % к интегрированию по Zi 三 Р + 让门 При этом выделится множитель ехр(/Р), а в остальном зависимость от Р останется лишь в пределах интегрирования, После этого легко провести дифференцирование
по Р, причем остающиеся интегралы сводятся к R』с меньшими значениями /. В результате получаем
ехр (/尸)磊[Q ехр ( — /Р)] = i £ [ехр ( — ш) * (尸 + z) X
X Ri-n (p+ 2工啕一加(尸+ 2" 一 2沈)以5 (Р)].
Докажем по индукции, что Я/ = 0 (/ ^ 2), Предположим, что R2 = • • • = Ri-\ = 0. Тогда
ехр 仍鳥风 ехр ( — /Р)] = ехр(-汾力(尸 + Z) — 力(Р) +
+ ехр (-/(/-1)) Л_,(尸 + 0 R (尸 + 2/ (/ — 1)) 一 力-(Р + 2" & 仍).
Вычисление с помощью (4.8), (4.13) дает: ехр (/Р) ~- [7?/ ехр X Х(—/Р)] = 0, т. е. Ri = с ехр (/Р). Поскольку при Рт оо должно быть R f 0, То с = 0. Итак,
ехр ( - w) = ехр ( - <р) [1 + -^ sin 藹 ехр ( — 罢)X
Х(1-ехр(-Р-吟))(1 _exp( — P — 2i^)) Ф].
(4.14)
Теперь находим: ехр 2〃 = R— ехр (ф)/?-1 ехр ф = ехр(2(р)Х XR-i (户一2QR-1 (尸一i). Сравнивая это с (4.9), видим, что (4.5) (где f/(P) даются формулами (4.7), (4.8)) действительно удовлетворяет уравнению Лиувилля. Важнейшей особенностью полученных решений является то, что ряд теории возмущений для ехр (—и) обрывается; конкретно в данном случае, ехр (—и) — линейная функция X.
Мы можем совершить формальный переход к полю в бесконечном пространстве, вводя Р? = L72P и устремляя Lf оо; здесь 力=卅 н
ёхp ( 一 〃) = eхp (一中)I 1 + ^^ sin 言 ^p (一藹)①j .
“(4.15)
Однако, если операторы ф(/, х) в периодической по х задаче хорошо определены, то соответствующие операторы для задачи в бесконечном пространстве трудно интерпретировать физически; как известно [9, 10], они не могут быть реализованы в фо- ковском пространстве. Для бесконечного пространства можно, однако, использовать в качестве регуляризационной процедуры переход к конечному интервалу.
Выражение (4.15) имеет правильный классический предел. Действительно, устремляя Й к нулю, получаем одну из форм общего классического решения Лиувилля, выраженного через две произвольные функции, заданные на характеристиках.
Мн решили квантовое уравнение Лиувилля с помощью формализма Янга — Фельдмана. То же решение может быть полу- иено и с помощью канонического формализма, с использованием половинной S-матрицы, Мы продемонстрируем это для случая бесконечного пространства (который технически проще, чем случай конечного интервала). Используя формулу Швингера (2.44), ряд теории возмущений будем строить для оператора ехр(—«). В нулевом порядке ехр (—и) = ехр(—<р). В первом порядке
{ехр (—叫1 = L \ dX8 (/ — У) [ехр ( — <р ⑶)，ехр 2(₽ (i)].
Используя перестановочное соотношение (2.32), а также легко проверяемую формулу-
9(/-/z)[l 一淤⑵-*] = (1 - ^(z-zf\ находим
【ехр ( - и)],=争 sin ^ ехр ( - ^) ехр ( - ф) • Ф.
Все последующие порядки обращаются в нуль (см. общее доказательство в § VII. 5). Таким образом, мы, действительно, снова пришли к формуле (4.15),
§ VII. 5. Многокомпонентные двумерные модели (I) [89]
Перейдем теперь к обобщенным моделям Лиувилля, а именно к моделям с лагранжианом вида (2.23), где взаимодействие имеет экспоненциальный характер:
и (и) = X % ехр Z kaM„. -(5.1)
а = 137 卩'
Тогда уравнения движения примут вид
辞^ 十卩2 еХр ( 2^ 饱0伟)=о.(5.2)
(Относительно обозначений см. § VII. 2). Вычисление гейзенберговских полевых операторов будем проводить с помощью формулы (2.44). Хотя, как отмечено в § VII. 4, в случае бесконечной координатной прямой х интерпретация полей ①仪 неясна, мы проведем вычисления именно на этом примере, чтобы нзб扌 жать дополнительных алгебраических осложнений, возникающих в задаче с циклической координатой х.
Общая структура взаимодействия (5.1) позволяет замечательным образом преобразовать формулу (2.44). Введем «двухточечные операторы поля», *ф^ s ^ ^) + ^0 (27)» перестановочные соотношения для которых вследствие (2.40) имеют вид
[-ф?/» ^п1] = — -^к^[^Ы — z^) + e(zf—zf)]< ,(5.3)
Определим операторы
Vn = V (г?\ ")曰 X 2%ехр%，(5.4)
а
так что в (2.44)匕=% 匕几 Из (5.3) и (2.13) следуют перестановочные соотношения для Vij：
[Vif, Vni] = ^ 4yav0 ехр ^j • ехр ipnz X
a, 0
X {1 — exp 咛 ka^ (e 冲 一 2力 + e (z『一”))]}.(5.5)
Отметим, что дальнейшие рассуждения основаны, по существу, не на экспоненциальном характере взаимодействия, а на алгебраической структуре соотношений (5.5), выраженной С-число- выми множителями в правой части. В частности существенно, что■
[匕/，и" = 0 прн (寸一z力(丐-г-)<0(5.6)
(поскольку аргументы е-функций при этом имеют противоположный знак и все экспоненты обращаются в единицу). Выберем в качестве А [и] функцию exp(g〃a)・ Переходя от интегрирования по dh dxi к интегрированию по dz产 dz扌dz;, мы можем переписать формулу (2.44) в виде
[ехр (g辽a)]zt ==:(访产 ^ •■ • • \ dZ] ... dznB (/ —幻• • • 0 (/^― i —")义
X [exp (g(Pa)，%1，^nn],(5.7)
В нулевом порядке [ехр (gu^ ] о = ехр (gq)a). В первом порядке нз (5.7) получаем последовательно:
[exp(g〃a)h=~^ \ dzfi (/ — ^) [ехр (g<pa), 7ц]=
=击 \ c/z^ (z — zj [ехр (^cpa), Иц], (5.8) 0(%——2[)=8(之十--2j)8(2一
Последнее равенство следует из того, что в силу (5.6) подынтегральный коммутатор отличен от нуля лишь при(и+ -— а+)Х X (и- -— г~) < 0, в области же а+ < z+, 2一 V 2「обращается В нуль 0(/— /1) (поскольку f — А =2+ — 2j + 2- 一 2[). Именно этим условием и определяется причинная зависимость членов первого приближения (5.8). Используя определения (2.41) и (5.4), приходим к окончательному результату:
[exp(g%)h = exp(gq)a) •祭■ [1 — ехр (罂)[時①鼠(5.9)
Во втором порядке можно записать
[ехр (g%)】2 = тт^т \ dz2 X
X 9 (z — zj 0 (Л — Q [ехр (^<ра (г)), Иц,匕J. (5.10)
Здесь мы вновь воспользовались свойством исчезновения коммутатора [exp(gq)a), ^п] и наличием 0(/ — 6) для введения 6(z — zj ^0 (z+ ~z^Q{z^ —z~^ в подынтегральное выражение (5.10). Для перестройки в Z-упорядоченную форму введем еще в подынтегральное выражение тождественно равный единице множитель
三[®(zf -z+) + 0 (閥一4)][е(гг -z『)+ B(z『-z-)]. (5.11).
Из четырех слагаемых, возникающих при раскрытии квадратных скобок, одно, 8(之成—— ％『)6(2£——2「)， на совместимо с 6(厶 ——办) и отбрасывается; другое, В 佟扌之^) 8 佟厂27), сразу дает Z-упорядоченную структуру; остальные два дают в подынтегральное выражение вклад
e(z-z1)0(z+ + z1--z+-z^)[exp(g<pa), V11； V22] X
X[9(zf-z+)0(2- -z-)4-e(zt+- -г+)0(22- -27)]. (5.12)
В первом из слагаемых (5.12) произведем переобозначение переменных интегрирования 之^二咕 а во втором 2£Ж после чего имеем
е (z - zj е(Z] — г2) {0 (z+ + z--z+- Z；)[exp(g<pa), V21> 712] +
+ 0(г++z^-z+-z,-)[exp(ff<pa), 712, V21], (5.13)
Поскольку теперь (之扌——之応)(2家——之「) V °, то из (5.5) следует IVi2, V21] = 0. Тождество Якоби приводит тогда к равенству [ехр (^(pa), Ui2, V21] = [ехр (g$a), U21, 7j2] , двойной коммутатор в (5.13) выносится за скобку, а остающиеся в скобках 0-функции объединяются в единицу. Итак, для членов второго порядка приходим к Z-упорядоченному выражению:
[ехр (g〃a)】2 = ^ут，dz、\ %е (z — %) е ⑵—&) х
1(5.14)
X{[exp(g<p)a，匕 1，%] + [exp(g(p)a，%1，%2】}・
Упорядоченность обусловлена тем, что запаздывающая функция двумерного оператора Лапласа имеет вид
D^(zt 习=% 8(2 一 习三 % 8(2十-计)0 (z-一乏一)，
т. е. отлична от нуля лишь в области f>2 ((2+ — z+) + +(2一 —— 乞一)> 0) внутри светового конуса (t ——iy> (х —х)2 ((г+ — 2+)(2- 一 z~) > 0) •
При вычислениях в n-м порядке исходим из формулы (5.15). Для выявления Z-упорядочения введем в подынтегральное выражение два тождественно равных единице множителя:
…之 in}W^-rz^=^
где сумма распространяется на все п! перестановок индексов Л, …，in (см. аналогичное (5.11)). Кроме того (как и в первых порядках), в силу свойств коммутаторов и наличия временных 0-функций, в подынтегральном выражении фактически присутствует множитель
立 e(z —zj
т. е. z+ > zt, 2~ > z^ (z = 1, 2, ..., п). После раскрытия произведения возникает ровно n! X 孔！ слагаемых. Соответствующей заменой переменных 之小壮之^,之‘^之曜(своей для каждого из слагаемых) подынтегральное выражение приводится к виду, где установлен «нормальный» порядок интегрирования,之土 三 z±> >Z产>…>г±:
Х中(%卢2二-2Lz/ (5.15)
Здесь содержится n! X ^! слагаемых; второе из произведений 0-функций ——это переписанный в новых переменных множитель 0(/1 — /2)Х • • • Х6(^-1 — tn) из (5.7), первое же слагаемое задает Z-упорядочение. Выражение (5.15) во втором порядке соответствует (5.13).
Рассмотрим какое-либо из слагаемых (5.15), Пусть Vqm一 любой из «гамильтонианов», стоящих в кратном коммутаторе левее «гамильтониана» Vi； с единичным первым индексом. Временные В-функцми дают 之 j + 之丁 一 之^ 一 之7 <。， но в силу Z-упорядочения г+——2^ > 0, так что Z7 — г~ < 0. Таким образом, (规一芬j(2f — 27) V °，а поэтому [Vih VQrn] = О (5.6). С помощью тождества Якоби можно, следовательно, пронести V\j в кратном коммутаторе на самое левое место, непосредственно справа от ехр(^фа). Точно так же V^q можно пронести на место справа от 京-и т. д. Итак, каждый из кратных коммутаторов в (5.15) можно привести к стандартному виду:
[ехр (§фа),力"214"J
Теперь (5.15) представляется в виде линейной комбинации независимых n-кратных коммутаторов, коэффициент при каж* 258.
дом из которых представляет собой сумму п! произведений 6-функций типа
(5.16)
Такая сумма, однако, тождественно равна единице, поскольку представляет собой разбиение области г+ > zt, z^ > zr на непересекающиеся подобласти. В результате для n-го порядка получаем:
{ехр (g% ⑵)]“ =J J Д 出"2力一^ * m=l
X 2[exp(g(pa ⑶)，叭％,…，U"gJ (5.17)
3 ((?],*♦♦* gQ
На этом завершается первый этап, на котором выражение сводится к Z-упорядоченной структуре.
Далее подставим в (5.17) явные выражения для ，订(5.4), в результате чего возникает n-кратное суммирование по индексам р( (1《，《м), и воспользуемся для вычисления кратных коммутаторов перестановочными соотношениями (5.5). Имеем [exp(gq)a)/q%qJ = ехр (g%)£ exp 稣⑴)…
ехр (响⑺)ехр (咽(％)) • • • ехр (叮“ (％)) X
Х@2%{1—ехр [器“S —IХ@2%{1—ехр [器“S —I'叫(е+(°，s) + e- (0, J)) +'叫(е+(°，s) + e- (0, J)) ++ ? 2 0比%(e+(厶 s) + 6-(7/+ ? 2 0比%(e+(厶 s) + 6-(7//=1/=1,柒))).(5.18),柒))).(5.18)
Х@2%{1—ехр [器“
S —I
Х@2%{1—ехр [器“
S —I
'叫(е+(°，s) + e- (0, J)) +
'叫(е+(°，s) + e- (0, J)) +
+ ? 2 0比%(e+(厶 s) + 6-(7/
+ ? 2 0比%(e+(厶 s) + 6-(7/
/=1
/=1
,柒))).(5.18)
,柒))).(5.18)
В целях упрощения записи в (5.18) обозначено: 噹(9。曰 三 時(若)и ?± (/, s)三e (之声 -- 亭)； 芍 曰 z±. Расположим далее в (5.18) множители ехр ф^ (^z) в нормальном порядке следования аргументов zp, ..., z^; использование формул (2.40) приводит к результату
ехр (咽(％))…ехр (叽(О)=
=exp (:尸j еxр (中g九⑴)…exp (咽"(九))， причем подстановка со: (1, 2, ..., n)->(/i, /2, ..., jQ, очевидно, обратная к подстановке (1, 2, ..., м)—>(д】,...,q^t а
凡（6,昨出/川/（尸碣;凡（6,昨出/川/（尸碣;(5.19)(5.19)
凡（6,昨出/川/（尸碣;
凡（6,昨出/川/（尸碣;
(5.19)
(5.19)
индекс со означает, что 尸 является функцией подстановки; кроме того, она зависит от самих индексов ① и от матричных элементов матрицы k.
Ввиду наличия множителей—2/), обеспечивающих
Z-упорядочение, отдельные члены в показателях экспонент в (5.18) принимают определенные значения:
е+ (0, s) + е" (0,柒)=2,
u, qi > qs，
To же самое можно переписать в терминах перестановки индексов Pt, которая, как уже указывалось, обратна к перестановке индексов Zi：
2, е+(/, s) + e~ (qh %) = •О2, е+(/, s) + e~ (qh %) = •Оесли ®(/),(o(s)) следуют в том же порядке, что и (/, s),
2, е+(/, s) + e~ (qh %) = •
О
2, е+(/, s) + e~ (qh %) = •
О
в противном случае,
т.
е+(/, s) + е-(力，q^ = 20 (<о (s) —(о (Z)).
Имея в виду все сказанное, можно переписать (5.18) в виде
[exp(gn),匕％Vnq^ = exp (g<po) 2 exp (喷 ⑴)
X П 2叽[1 — expX П 2叽[1 — exp…exp (喷⑺)exp您"“⑴⑴)... exp (唸⑺⑺)X义exp (子儿(瓦左))义
X П 2叽[1 — exp
X П 2叽[1 — exp
遇6嶼 + 亨•工瓯f(3(s) — з(/))]} . (3.20)
Проводя Z-упорядоченное интегрирование (5.20), с учетом определения (2.41) получаем для членов 几-fo порядка:
соответствующих п! перестановкам индексов Р(, в окончательном же ответе мы будем иметь сумму (и——1)! структур. Общему рассмотрению предпошлем расчет членов третьего при-соответствующих п! перестановкам индексов Р(, в окончательном же ответе мы будем иметь сумму (и——1)! структур. Общему рассмотрению предпошлем расчет членов третьего при-[exp (g%)】“ =exp (gq^) £[exp (g%)】“ =exp (gq^) £2 exp(^<o(P> ^))X2 exp(^<o(P> ^))X
соответствующих п! перестановкам индексов Р(, в окончательном же ответе мы будем иметь сумму (и——1)! структур. Общему рассмотрению предпошлем расчет членов третьего при-
соответствующих п! перестановкам индексов Р(, в окончательном же ответе мы будем иметь сумму (и——1)! структур. Общему рассмотрению предпошлем расчет членов третьего при-
[exp (g%)】“ =exp (gq^) £
[exp (g%)】“ =exp (gq^) £
2 exp(^<o(P> ^))X
2 exp(^<o(P> ^))X
ближения, на примере которого проясняются критерии объединения слагаемых для произвольного значения п. Для простоты ПОЛОЖИМ g =——力аа/2・
Вводя функцию П^)= [1 — ехр721йх]/1й, и опуская знак суммирования по 卩？， переписываем (5.21) для 3-го порядка (с точностью до общего множителя) в виде
%m (a卽阿+{里他加厂f (0也瓦+麻币3 - %6аВт(ш) X
X 〃筋他-%0珅2品(1) + ехр (1/"嬴他)(Р2₽1Рз)- х
X f (我6币3 + 麻233 - %。*应aa) f (-%6邱2闕(1) +
+ exp (//嬴0) (6/3阿一 f (麻自一%儿仇品風)X
X f (0团62 - %6邱底a) + exр е//方(赢也+ 3市3))(加加氏)-X
X / (屁0 一 %м6з闕a) f (-%m国品(1) + exp(l/4访(0国自+林自))X
X (Р3в1p2)- f (-%6авз屍a) f (麻不2 -%氟包品風)+(вз^Р1)-X
X eхр(1/4访(麻饱 + /生鱼 + 龙国自))f (~-1Ma33^aa) f (-%6响啞)}, (5.22) где временно переобозначено ①泵 三(邮丫)±・
Объединим сначала два первых члена (5.22), учитывая, нт® во втором слагаемом можно заменить р2 на а, а 历一на 仇(поскольку a =財=02)：
6aM (a4同十 @6263)1 f (脑2自 + /003 - %6呻3我aa) X
X【〃麻辰一％6a§20aa) + exp CKihkM^ f (一％6邱爲a)j =
~ 6ap, (ар2Рз)+ (аРгРз)- f (应仇自 + 贏品 一 ％6邱3应aa) f (麻他一^аЗз^аа)-
Аналогичным образом четыре оставшихся члена (5.22) после очевидных замен переменных (индексов) приводятся к одной структуре:
儿仇(«₽2рз)+ (арзРз)- ехр (%访屍国)X
X f (麻低 一 баВз^сш) f (麻*2 — 6apa^aa)-
Таким образом, вместо 3!(三6) слагаемых в (5.22) мы привели третий порядок к двум независимым структурам. При этом числовые коэффициенты этих структур совпадают с коэффициентами (5.21) при % ⑴ = М = а, модифицированными следующим образом: множители, в экспоненте которых сумма Z 应LB 8® (s)—①.))содержит единственный член 嬴体§ =应邱§ (мы будем в дальнейшем называть их аномальными), заменяются, согласно (5.21) — (5.22), на модифицированные множители
/ (焼％ — %6a%0aa) f (屍厶一^s^aa)f остальные же множители остаются без изменений.
Теперь приступим к перегруппировке слагаемых в (5.21) в общем случае для получения окончательного выражения для “-го порядка. Прежде всего, определим общее число ат перестановок индексов (не затрагивающих индекс Pi), которым соответствует ровно т аномальных множителей. При т = п——1 все п—1 множители должны быть аномальными, что означает s(s) —(o(/)V0 при I <Z s (2 W s, /《九)；иными словами, это условие удовлетворяется лишь для одной (зеркальной) подстановки (2, 3, ..., п)->(п,3, 2), так что 仪气一】=1. Число
а п-2 есть число подстановок, отличающихся от зеркальной тем, что какой-либо из индексов перемещен на любое место правее исходного; для рл имеется (п ——2) таких возможностей, для P^-i—(и — 3) и т. д. Таким образом,
ап-2 = X /= % (冷 一 1)5 — 2)・
Аналогично, а^-з — есть число подстановок, отличающихся от зеркальной тем, что какой-либо из индексов перемещен на любое место правее исходного, а какой-либо другой индекс, стоявший первоначально левее первого, перемещен на любое место правее исходного, но не правее первого индекса. Перечисление таких возможностей дает
п-2
源-з = 2 /厶=%4 仇一1)(九一2) (n — 3) (Зп — 4).
Каждый следующий случай легко рассчитывается редукцией к предыдущему, в результате чего находим п — 2т-1
XИ
IW^VZ2V •••<%_，1 /G
В частности, 的 =(九一1)!. Заметим, что ат — это число всех тех Подстановок (и—1) элементов, для которых схема Юнга имеет ровно т строк. Поэтому совокупность ат исчерпывает все (九一1)! различных подстановок:
л — 1
что, впрочем, тривиальным образом вытекает из их определения.
Пока что мы классифицировали по числу аномальных множителей подстановки, не затрагивающие 阮；теперь покажем, как группируются все остальные подстановки. Рассмотрим слагаемое, соответствующее подстановке (BiB^ ... 0$ ... 02), где имеется единственный аномальный множитель, отвечающий индексу 0$: / (0%% — %。叫0аа)・ Тогда слагаемое, соответствующее подстановке (6也...氏 … 良)будет отличаться от него только заменой этого множителя на ехр (I/4Zft^p1pJ) / (—Уг^а^^аа) 262
(это следует из того, что оно содержит 6邱§, а множитель, отвечающий М, содержит 6明，так что 母 и ps можно переобозначить). Эти два слагаемых мы объединим в одно, заменяя просто в члене (%% ps 限)аномальный множитель на модифицированный (как в (5.22)):
X Z 2 exp (/访尸3)Ф羸… 羯"*" В" W(Р>Xf(— 6%明0аа + %明 + 2где бш = 1, если сумма по / равна ных случаях.%①郊п 8 口 2叽X n р W(2)-" р W(n)s=2$:羸f(s(s)-s(/)))， (5-23)нулю, и 6W = 1 /2 в осталь-X Z 2 exp (/访尸3)Ф羸… 羯"*" В" W(Р>Xf(— 6%明0аа + %明 + 2где бш = 1, если сумма по / равна ных случаях.%①郊п 8 口 2叽X n р W(2)-" р W(n)s=2$:羸f(s(s)-s(/)))， (5-23)нулю, и 6W = 1 /2 в осталь-[ехр(—%&a%)L = exp(—力左^%) • 2uJ(—%孤J X[ехр(—%&a%)L = exp(—力左^%) • 2uJ(—%孤J X
X Z 2 exp (/访尸3)Ф羸… 羯"*" В" W(Р>
Xf(— 6%明0аа + %明 + 2
где бш = 1, если сумма по / равна ных случаях.
%①郊п 8 口 2叽X n р W(2)-" р W(n)s=2$
:羸f(s(s)-s(/)))， (5-23)
нулю, и 6W = 1 /2 в осталь-
X Z 2 exp (/访尸3)Ф羸… 羯"*" В" W(Р>
Xf(— 6%明0аа + %明 + 2
где бш = 1, если сумма по / равна ных случаях.
%①郊п 8 口 2叽X n р W(2)-" р W(n)s=2$
:羸f(s(s)-s(/)))， (5-23)
нулю, и 6W = 1 /2 в осталь-
[ехр(—%&a%)L = exp(—力左^%) • 2uJ(—%孤J X
[ехр(—%&a%)L = exp(—力左^%) • 2uJ(—%孤J X
Точно так же от слагаемого (PiP« ...仇...仇...版)с двумя аномальными множителями слагаемые.
(Р/Рп • • • Р1 • • • Ps • • • 62)， (PsB 拉...Р/ . . . P| . . . §2),
(P/Pn • • ' Ps • • ' Pl ' • • §2)
отличаются лишь видоизменением этих множителей; все эти четыре слагаемых объединяются в одно.
В общем случае со слагаемым (Pi • • • Р^ ・• • Р^ .. .), имеющим т аномальных множителей, объединяются т слагаемых
(6%• Pi • • •(筋加 * * * 6% •…Pi • • •
где Pi переставлено с каким-либо из §勺；Cm слагаемых, получающихся из предыдущих перестановкой 氏 с каким-либо из аномальных индексов, стоящих правее него, и т. д. Всего 1 +С>+С%+ +с 北=2执 слагаемых. Такой процедурой мы исчерпываем все п! перестановок п индексов, т. е.
п — 1
Е ат-2т = п\m = 1
Эта формула соответствует редукции группы подстановок Sn по подгруппе Si.
Итак, мы свели сумму 初 структур к сумме (п——1)! структур. В результате получается окончательное выражение для 九-ro порядка теории возмущений в виде一
С целью анализа свойств ряда теории возмущений перейдем к классическому пределу h-^0:
[ехp (- %鳥。%)]" = ехр (-%瓦a") X
-归明—区々生瞰(3(s)-①(2))• (5.24)
Это есть другой вид полученных в гл. IV классических решений. В той форме, однако, по построению ясно, что ехр(——'[曲^山力 являются полиномами по константе связи X(^|i2) тогда и только тогда, когда 々邱一матрица Картана простой группы Ли. На языке выражения (5.24) это означает, что коэффициенты при
Фсф...Фау... — все обращаются в нуль, начиная с некоторого п. Но это означает, с учетом явного вида функции 力 что при этом и коэффициенты в (5.23) обращаются в нуль, начиная с этого п, так что в квантовой задаче ряд тоже обрывается. Обратно, если ряды (5.23) обрываются, то это верно и в классическом пределе, так что 々邓一матрица Картана. Итак: операторы ехр(——i/2^aa"a) имеют вид полиномов по константе связи 入 тогда и только тогда, когда 々《в является матрицей Картана простой группы Ли.
В иллюстративных целях приведем конкретные выражения для гейзенберговских операторов в случаях, соответствующих матрицам Картана k простых классических алгебр Ли второго ранга:
4：々 = (_]2)， ％ = и/2，
ехр(— %) = ехр (— ф() [1 + 入刀①扌ФГ + 入2n2①玄①i^],
exp(- u2) = exp(-屮2)[1 +入n①击ФГ +九守①立①以],
当：々=(_； U)，饱｝ =。(1/2, 1).
exp (― «J = exp (— %) [1 + А^Ф^ФГ + 2九S]?①古①^ +
+《А3^ ехр (霄)Ф122Ф122 + 4入S]"eхр 咸) Ф 1221Ф 1221^|»
ехр (- u2) = eхр (一(p2) [ 1 +入限①扌ФГ +产g'①才①五+
+九&П(П‘)①丈2①212】.
Здесь
n三sin (右)exp (一而)，n三万sin (石)exp L 石).
§ VII. 6. Многокомпонентные двумерные модели (II)
Здесь мы кратко остановимся на квантовании системы (5.2) с циклической пространственной координатой %. Частный случай (г = 1) подробно разобран в § VII. 4. Характерные особенности этого случая сохраняются и для произвольного г. А именно, мы видели, что при переходе к циклической координате в функционале Ф интегрирование, соответственно, идет в конечных пределах, а перед Ф появляется множитель, зависящий лишь от оператора Р «нулевой моды». При этом остается неизменным коэффициент, явно содержащий 力，алгебраические свойства которого фактически и обеспечивают обрыв ряда теории возмущений для ехр (—и).
Мы не будем здесь заниматься общим доказательством соответствующих формул, которое заметно усложняется по сравнению с предыдущим параграфом, а приведем схему вычисления двух первых порядков теории возмущений и покажем соответствие с другими рассмотренными выше задачами путем предельных переходов. Вычисления будем проводить с помощью уравнения Янга ——Фельдмана (2.45), где в данном случае
ja = -%ехр(£]%〃0).
Расчет первого порядка по сути ничем не отличается от приведенного в § VII. 4 для уравнения Лиувилля; имеем
[%11 = [1 —ехр (— % (% + 券 ^аа))]①々;а， (6・1) где
Фа; а= \\ ехр 恥⑵，
Z--L(6.2)
рa§ 焼0p0，% 岁左呻q0，@" 尸瓦6<" •
Второй порядок вычисляется по схеме § VII. 5, где вместо (2.34) — (2.36) используются точно так же доказываемые формулы,
ехр(— b^fipa) ехр (匕也)==f (ра —访力应呻I(6 3)
ехр (ара+匕%) = ехр (叩а+ 券曲/呼)ехр (匕*).
Далее полная область интегрирования разбивается на подобласти постоянства /)呪 интегралы по которым с помощью тождества
ехр (— Ь^) Фа; а ехр (匕屮卩)=ехр (号 bkd^j Фа; а» (6.4)
265
обобщающего (2.36), сводятся к интегралам по стандартной области
\ dz" j dz~ ехр 屮а(2)•①々；в传)，(6.5)
коэффициенты при которых зависят лишь от операторов р. Получающийся ряд коэффициентов сворачивается, интеграл же (6.5) с помощью элементарных преобразований (подобных проведенным в § VII. 5), в подробности которых мы здесь не будем вдаваться, сводится к интегралу
ФаЗ; \ 虑:\z+-L z~-LВ результате находимФаЗ; \ 虑:\z+-L z~-LВ результате находим2i2i
ФаЗ; \ 虑:\
z+-L z~-L
В результате находим
ФаЗ; \ 虑:\
z+-L z~-L
В результате находим
dz「exp%(2]) , dz^ , dz^exp^Ka).
(6.6)
k]2 = $ ? 2u/exp (号*) - 1 ] X
X [i — exp (一 у (pa + -у- ^aa + Pp + ■у' ^陣 + 麻呻))] X
X [1 - ехр (- - (a + "^0 睥 + 欣 aj)] X
X [1 — exp (一 ^ @ +券啞))]①£生 сф.
Как и в случае бесконечного пространства, удобно перейти к операторам ехр(—V2^aaua). Это делается по общим правилам, изложенным в § VII. 2, с помощью формул (2.27) —(2.28) и приводит к.
[ехр (—扌瓦a〃a)] exp (— у 々aaSa) ^1 [1 一 ^Xp (— ^~)] X
X [1 — exp (—^ (% +笄鼠))] X
X [1 _ exp (— Xpa + "^ + 导 &aa))] 1 喊 a； [exp (- 4 йаойа)]2 - exp (一 第脚1 答[1 _ exp (一蒜)]X X 2 -^[1 - exp (4 ^з)]!1 - exP (- 4 G₽ + ■?■ ^)) ]1X 8小a
X [1 — exp (— у (叁 + 萼 006 + 欣aj)] X
X [1 — exP (- 4 (pa + ^ + 号~0aa +p0 十号龙部 + 访晒))]X ><[1 -exp ^-у (% +岁啞+a十手%0+访 040))] Фa?; аР*
Вычисление следующих порядков не имеет каких-либо принципиальных особенностей, и мы приведем без доказательства окончательный результат:
[ехр （― ^ 鳥№）[ = ехрТР ? X X
X Кв； 3 （6）S才％3（р>Фар2 ... % аз（%） ... （О （%）,（6.7）
где второй знак суммы означает суммирование по всем подстановкам индексов （§2, ..., Ри）, а суммирование по каждому } идет от 1 до г. Здесь функционалы”
z+z~z『2'
三 \ dzf，dz； exp^^J J dz+，dz]exp恥丫 （&） X…;
屮叩三金+崂（广）+ P1（Z"）.
時ё圭PM± +席 е зауехр（_普吗， являются аналогом функционалов
①%2…%①a①（阮）…①（%）
из формулы （5.23）; функционалы
s 群J 山1 - exp （— 1 觴 + 城+1 ++ 噫））「，
Bi三国
.偌s三%十万0?s + '亢2 %k®8）
/7+1
p^p»s+4+访E龙眦‘+拆修
являются функциями лишь от операторов 《нулевой моды» рц; коэффициенты же
п
服 3（0）三2?"（-/焼（1）eхp ["^•尸 j • JJ 2叫 X
X f （一 6%明闕a + ^ + ”），（6.9）
器曰2嬴也°（s（s）-sa））, 6м:二:’
ь2I /2，a于 U,
/ W三[1 - exp （号 4）]/访，
где 尸g определяется формулой (5.19), в точности совпадают с коэффициентами в формуле (5.23).
Таким образом, по сравнению со случаем бесконечного пространства, формулы для гейзенберговских операторов модифицируются следующим образом: функционалы ф свободных полей заменяются на аналогичные функционалы, имеющие вид стандартных интегралов по конечной пространственно-временной области, причем перед ними появляются множители, несущие явную зависимость от операторов 《нулевой моды». Поскольку коэффициенты (зависящие лишь от 力 н от элементов матрицы k) остаются теми же, то можно сразу сделать вывод, что обрыв рядов теории возмущений, который обусловлен алгебраическими свойствами коэффициентов, происходит в рассматриваемой задаче в тех же случаях, что и в задаче с бесконечным пространством, а именно — тогда и только тогда, когда матрица k является матрицей Картана простой алгебры Ли.
Формальное соответствие с задачей в бесконечном пространстве может быть установлено следующим образом: вводим новые операторы р^^ L~b2pa и устремляем оо； тогда ряд Фурье в (6.26) переходит в интеграл Фурье, операторы же р； становятся перестановочными со всеми операторами, вследствие чего можно положить 〃： = 0； тогда- гамильтониан (2.28) переходит в соответствующий гамильтониан бесконечной задачи. Действительно, производя соответствующий предельный переход в (6.7), возвращаемся к формуле (2.23).
Далее, обратим внимание, что структура показателей экспонент в (6.8) сходна со структурой знаменателей, появляющихся в решении (§ VII. 3) для одномерной задачи. Это не случайно: действительно, из (2.26)——(2.29) видно, что если положить а& 三(2£)т?а，v[w2LVq и устремить L -> оо, то а^а становятся коммутирующими, после чего можно положить。产=0； в результате гамильтониан (2.28) переходит в гамильтониан одномерной задачи. Для проверки перенесем в (6.7) Ф влево от S, используя формулу (6.4), затем положим ра = 2Lcia> va = и перейдем к пределу £-> оо. Тогда ①丄 перейдет в ①菰& ①誌(％)…з(%) (с выделением множителя L2n), экспоненты (6.8) и (6.9)—в линейные функции (с выделением множителя L~2n) и в пределе для гейзенберговских операторов действительно получаем формулу (5.7).
Переход к классическому пределу 力->0 в (6.7) ничем не отличается от соответствующего перехода в § VII. 5. Выполнение принципа соответствия можно проверить, подставляя в известные классические решения гл. IV (см. также (5.24)) периодические по % функции 4а и сводя функционалы ф к интегралам
по стандартной области с выделением зависящего от 卩乩 множителя.
В заключение приведем в качестве иллюстрации операторы, модифицирующие ф°РмУлы (5.25) для простой алгебры А^ S+b1 =[1—ехр(—/(Р1 + 警))「Х
Х[1 —ехр(—^Е [
S尸S厂= S+V I [1 - eXp (- } (pi +/2 十^*))] X pl~>p?
X [1 - exp (一 ^ (〃 + 十学))]:
s+2s-2 = s+is- I , S产sj = s^s『I .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
По времени написания, Введение и основной текст настоящей монографии отделены от Заключения примерно трехлетним сроком. Естественно, что за зтот период получен ряд новых результатов, не нашедших отражения в книге. Кроме того, в связи с ограниченным объемом рукописи авторы были вынуждены опустить главу, посвященную методам изучения и нахождения алгебры внутренней симметрии наперед заданной динамической системы. Направление этих исследований в известном смысле противоположно развиваемому в книге, т. е. идет от системы уравнений к алгебре внутренней симметрии, представлению типа Лакса и решениям, а не наоборот. Поэтому здесь перечислим кратко некоторые результаты, которые авторы, не будучи ограничены временем и объемом, включили бы в монографию.
Для вполне интегрируемых систем получена столь же последовательная и законченная конструкция решений (в сборниках «Труды ФИАН», 1985, №№ 165, 167), как и в случае точно интегрируемых систем, что позволило найти явные выражения для решений с произвольным числом солитонов. Эти системы связаны с бесконечномерными алгебрами рациональных функций, причем свойства алгебры «закодированы» парой функций, рациональным образом зависящих от спектрального параметра. Операторы Лакса строятся с их помощью путем чисто алгебраических операций — решения линейной системы алгебраических уравнений. В этом же ключе проводятся исследования японской группы М. Сато, М. Джимбо, Т. Мива и др., существеннейшим образом использующей теорию представлений бесконечномерных алгебр Ли конечного роста (см. обзор в Publ. RIMS. — Kyoto University, v. 19, 1983).
Значительное продвижение достигнуто в решении задачи построения систем уравнений, обладающих нетривиальной алгеброй внутренней симметрии. Здесь для однокомпонентного случая приведен полный список таких уравнений, а для двухкомпонентных -систем классификационная теорема доказана при некоторых дополнительных предположениях относительно их вида, в частности порядка входящих в них производных (см. [62, 107, 109, 111] и работы А. В. Михайлова и А. Б. Шабата в ТМФ, 1985). Данное направление имеет окончательной целью перечисление всех систем, обладающих заданной* алгеброй вутренней симмет-
рии и представляется весьма перспективным. Хочется надеяться, что в дальнейшем все алгебраические операции, используемые при построении точных решений интегрируемых систем, удастся описать, опираясь только на свойства их алгебры внутренней симметрии, подобно тому, как это имеет место в теории Галуа о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах.
Алгебраические понятия и методы, изложенные в монографии, оказались хорошо приспособленными для решения задачи описания интегрируемых вложений (2 + 2Л7)-мерных супермногообразий, вложенных в объемлющие суперпространства. При этом матричная структура коэффициентов третьих фундаментальных форм двумерных многообразий адекватным образом отражает алгебраические требования градуировки и спектрального состава операторов Лакса [131].
Получено суперсимметричное расширение системы (III. 2.8) в виде
£+(g-dg)= [%_, gT%+g]+,
где g (г±; 0±) — функция на грассмановой оболочке группы Ли Go с алгеброй Ли @0. (Остальные обозначения см. на с. 118.) Эта система порождается операторами Лакса, принимающими значения в локальной части конечномерной супералгебры Ли @,宅* градуировка которой, @ = ®® д (согласованная с ^-градуиров
кой) осуществляется картановским элементом ее osp(112) под
супералгебры. Простейшим частным случаем данной системы является Д^= 1-суперрасширение обобщенной цепочки Тода с за
крепленными концами (см. ТМФ, 1984, т. 61, № 1).
Изучение автодуальных полей Янга ——Миллса стимулировало
применение групповых методов интегрирования и нахождения алгебры внутренней симметрии нелинейных динамических систем в реальном четырехмерном пространстве-времени. Однако основные позитивные результаты в этой области (см. монографию Ю. И. Манина «Калибровочные поля и комплексная геометрия».——М.: Наука, 1984) получены методами алгебраической геометрии, а не путем непосредственного интегрирования уравнений автодуальности. В частности, теоретико-групповая основа инстантонных и монопольных решений до настоящего времени четко не установлена, как, впрочем, и вопрос об интегрируемости уравнений типа Янга на соответствующем классе произвольных функций.
* *
Авторы заранее признательны всем читателям, которые сочтут возможным поделиться с нами критическими замечаниями по поводу содержания монографии.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Абловиц М. Ю., Кауп Д. Ю., Невел А. К, Сегур X. (Ablowitz М. Ксшр D J., Newell А. С., Segur //.). — Studies in Appl. Math., 1974, v. 53, p. 249—315.
Адлер M. (Adler AI.). — Inventiones Math., 1979, v. 50, p. 219—248.
де Альфаро В., Редже T. (de Alfaro V., Regge T.) Потенциальное рассея- ние./Пер. с англ. — М.: Мир, 1966.
Арнольд В. И. Математические методы классической механики.——М.： Наука, 1974.
Атья М. Ф., Хитчин Н. Ю„ Дринфельд В. Л, Манин Ю. И. (Atiyah AL Е, Drinfeld V. G., Hitchin M J., Manin Ум. /.). — Phys. Lett., 1978, v. 65A, p. 185—189.
Барбашов 5. M., Нестеренко В. В., Червяков А. М. (Barbashov В. M.t Nesterenko V. V., Chervyakov A. M.). — Comm. Math. Phys., 1982. v. 84, n. 471—479; Барбашов 5. M.; Нестеренко В. В. (Barbashov В. М., Nesterenko V. V.). — Fortschritte der Pliysik, 1980, v. 28, p. 427—464.
Барут А, Рончка P. (Barut A. O., Raczka R.). Теория представлений групп и ее применения./Пер. с англ. — М.: Мир, 1980.
Березин Ф. Л. Метод вторичного квантования.——М.: Наука, 1965.
Боголюбов Н. Я., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля.——М.: Наука, 1969.
Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. —М.: Наука, 1976.
Богоявленский О. И. (Bogoyavlensky О. /.). — Commun. Math. Phys., 1976, v. 51, p. 201—209.
Бурбаки ". Группы и алгебры Ли./Пер. с франц.—М.: Мир. гл. I—III, 1976; гл. IV—VI, 1972; гл. VII—VIII, 1978.
Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений.——М.: Наука, 1965.
Волътерра В. Математическая теория борьбы за существование. — М.: Наука, 1976.
Ганолис Н., Годдард П., Олив Д. (Ganoulis М, Goddard R, Olive D.).— Nucl. Phys., 1982, v. B20 5, p. 601.
Гантмахер Ф. P.——Матем. сб., 1939, т. 5, с 101 —146; 217——249.
Гарднер К С., Грин Ю. М, Крускал М. Д., Миура Р. М. (Gardner С. S., Greene J. М, Kruskal М. D., Miura R. М.). — Phys. Rev. Lett., 1967, v. 19, p. 1095—1097.
Гельфанд И. M., Граев М. И., Виленкин Н. Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений.——М.: Физматгиз, 1962.
Гельфанд И. М., Наймарк М. Л. Унитарные представления классических групп. — Тр. МИАН СССР, 1950, т. 36.
Гиндикин С Г., Карпелевич Ф. И. — ДАН СССР, 1962, т. 145, с. 252— 254.
Годдард П., Олив Д. (Goddard Р., Olive D). — Rep. Progr. Phys., 1978, v. 41, p. 1357.■
Гудмен R, Валлах H. P. (Goodman R., Wallach M R.). — J. Funct. Analysis., 1980, v. 39, p. 199—279; Comm. Math. Phys., 1982, v. 83, № 3, p. 355—386.
Джакив Р. (Jackiw Я). —Rev. of Mod. Phys. 1977, v. 49, p. 681—706; Джакив P., Ноль К, Ребби К (Jackiw R, Nohl C, Rebbi C). — Classical and Semiclassical solutions of the Yang — Mills theory. — N. Y.; Plenum Press, 1979.
Джекобсон H. Алгебры Ли. — M.: Мир, 1964.
Дирак П. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979.
Дринфельд В. Л, Кричевер И. AL, Манин Ю. Я., Новиков С П. (Drin- feld R. G., Krichever /. M, Manin Ум. /., Novikov £ P.). — Sov. Science Reviews, Phys. Rev. 1978.
Дубровин Б. А, Новиков C. /7., Фоменко A. T. Современная геометрия.—M.: Наука, 1979.
Дынкин £. 5. — Тр. Моск, матем. об-ва, 1952, т. 1, с. 39—166; Матем. с6., 1952, т. 30, с. 349—462.
Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления. — М.: Наука, 1970.
Желобенко Д. П. Гармонический анализ на полупростых группах Ли.— М.: Наука, 1974.
Жибер А. В, Шабат А 5. — ДАН СССР, 1979, т. 247, с. 1103—1107; Жибер 4 В., Ибрагимов Я. X., Шабат А. 5. — ДАН СССР, 1979, т. 249, с. 26—29.
Захаров В. £. (Zakharov V. £._). — Lecture Notes in Math. — N. Y.: Sprin- ger-Verlag, 1978.
Захаров В. E., Манаков С. В., Новиков С. 〃.，Питаевский Л. П. Теория солитонов: Метод обратной задачи.—М.： Наука, 1980.
Захаров В. £, Мушер С. Л., Рубенчик А. М. — Письма в ЖЭТФ, 1974, т. 19, с. 249—253.
Захаров В. Е, Шабат А. 5. — Функц. анализ, 1974, т. 8, с. 43—49； 1979, т. 13, с. 13—22.
Ибрагимов Н. X., Шабат А. 5. — ДАН СССР, 1979, т. 244, с. 56—61; Функц. анапиз, 1979, т. 13, вьш. 4; 1980, т. 14, с. 25—36.
Инони £\, Вигнер £. П. (Inonu Е., Wigner Е Р.). — Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1953, v. 39, p. 510—524.
Кац В. Г. — Изв. АН СССР, сер. матем., 1968, т. 32, с. 1323—1367.
К&4 В. Г. (Кас V. G.). — Advances in Math., 1977, v. 26, p. 8—96; Lecture Notes in Math., 1978, v. 676, p. 597—626.
Ксщ M., ван Мербеке П. (Кас М., van Moerbeke Р.). — Advances in
Math., 1975, v. 16, p. 160—169.
43.44.45.46.43.44.45.46.Кириллов А. А. Элементы теории представлений.——М.: Наука, 1972. 42. Костант 5. (Kostant В.). — Amer. J. Math., 1959, v. 81, p. 973—1032.
43.
44.
45.
46.
43.
44.
45.
46.
Костант S (Kostant 8.). — Inventiones Math., 1978, v. 48, p. 101—184. Костант Б, (Kostant В.)—Lecture Notes Series. — London Math. Soc., 1979, v. 34, p. 287—298; Lecture Notes in Math., 1970» v. 70, p. 80—94. Костант 5. (Kostant 8.). — Advances in Math., 1979, v. 34, p. 195—338. Кричевер И. M—ДАН СССР, 1981, т. 253, с. 288—291; Кричевер И. М., Новиков С. П. — УМН, 1980, т. 35, с. 47—69.
Крускал Af. Д. (Kruskal М D). Lecture Notes in Physics. — N. Y.: Springer-Verlag, 1975, v. 38, p. 310—354.
Лакс Л. — Математика, 1969, т. 13 : 5, с. 128—150.
Лезнов 4 Н., Савельев М. В. — Функц. анализ, 1974, т. 8, с. 87—89.
Лезнов А. "., Савельев М. В. Физика элементарных частиц и атомного
ядра, 1976, т. 7, с. 55—107.
Лезнов А. Н., Малкин И. 4, Манько В. И.—Тр. ФИАН СССР, 1977, т. 96, с. 24—71.
Лезнов А. //., Савельев Af. В. (Leznov А. М, Saveliev М. V.)- — Phys. Lett., 1978, v. 79 В, р. 294—296.
Лезнов А. Н., Савельев М. В. (Leznov А, М, Saveliev М. V.). — Phys. Lett., 1979, v. 83В, р. 314—316.
Лезнов А. Н., Савельев М. В. (Leznov А. М, Saveliev М. V.). — Препринт ИФВЭ 78—177, Серпухов, 1978; Lett. Math. Phys., 1979, v. 3, p. 207—211;
Лезнов 4 H. — ТМФ, 1980, т. 42, с. 343—349.
Лезнов А. Н., Савельев Л£ В. — Функ, анализ, 1980, т. 14, с. 87—89; Physica, 1981, v. 3D, р. 62—72.
Лезнов 4 Н, Савельев AL В. {Leznov 4. М, Saveliev М. V.). — Comm. Math. Phys., 1980, v. 74, p. 111 — 118.
Лезнов A. H., Сазельев M. B. — Физика элементарных частиц и атомного ядра, 1980, т. 11, с. 40—91.
Лезнов А. Н., Лейтес Д. 4, Савельев М. В. — Письма в Ж.ЭТФ, 1980, т. 32, с. 85—87.
Лезнов 4 〃.，Савельев М. В. — Физика элементарных частиц и атомного ядра, 1981, т. 12, с. 125 —161.
Лезнов 4 Н.、Савельев М. В., Смирнов В. Г. — ТМ①，1981, т. 48, с. 3—12.
Лезнов А. Н., Савельев М.艮，Смирнов В. Г. — ТМФ, 1981, т. 47, с. 216—224.
Лезнов 4 Н., Смирнов В. Г., Шабат А. 5. — ТМФ, 1982, т. 51, с. 10—2L
Лезнов 4 Н. — Препринт ИФВЭ 83—7, Серпухов, 1983.
Лезнов 4 Н., Хрущев В. В — В кн.: Теоретико-групповые методы в фн・ зике. — М.: Наука, 1983.
Лезнов А. И. — Препринт ИФВЭ 82—169, Серпухов, 1982.
Лезнов А. Н., Сазельев М. В. (Leznov А. ^., Saveliev М. V.). — Comm. Math. Phys., 1983, v. 89, d. 59—75.
Лейтес Д. А—УМН, 1980, t. 35, p. 3—57.
Лунд Ф., Редже 厂(Lund E, Regge T) — Phys. Rev., 1976, v. D14, p. 1524.
Малкин И. А., Манько В. И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем.——М.: Наука, 1979.
Манаков С. В. —ЖЭТФ, 1974, т. 67 : 2, с. 543—555.
Манин Ю. И. Итоги науки и техники. Сер. проблемы мат” 1978, т. 11,
Мансфилд П. (Mansfield Р.)—Nucl. Phys., 1982, v. B208, p. 277—300.
Muypa P. M. (Miura R. MJ. — J. Math. Phys., 1968, v. 9, p. 1202.
Михайлов A. B. (Mikhailov A. V.). — Physica, 1981, v. 3D, p. 73—117.
Мозер Ю. (Moser 丄)一Advances in Math., 1975, v. 16, p. 197—220; Lecture Notes in Phys., 1976, v. 38, p. 97—134.
Монополи (Monopoles in quantum field theory). — Proc, of the Monopole meeting. — Trieste (Italy), 1981.
Муди R B. (Moody R. V.). — Bull. Amer. Math. So&, 1967, v. 73, p. 217—221; J. Algebia, 1968, v. 10, p. 211—230.
Наймарк AL А. Теория представлений групп.——М.: Наука, 1976.
Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений.—— М.: Наука, 1978.
Ольшанецкий М. 4, Переломов А. М. (Olshanetsky М. 4, Perelomov А. М.).— Inventiones Math., 1979, v. 54, p. 261—269; Phys. Repts., 1981, v. 71, 313—400.
Поляков A. AL (Polyakov А. Л1.)—Phys. Lett,, 1981, v. 103B, p. 207— 212.
Понтрягин Л. С. Непрерывные группы.——M.： Гостехиздат, 1954.
Рейман А. Г., Семенов-Тян-Шанский М. A. (Reyman A. G., Semenov- Tian-Shansky М. Д.)—Inventiones Math., 1979, v. 54, p. 81 —100;
Рейман 4 Л, Семеное-Тян-Шанский М. Д., Френкель И. Б.— ДАН СССР, 1979, т. 247, с. 802—805.,
Серр Ж. /7. Алгебры Ли и группы Ли./Пер. с англ.—М.: Мир, 1969.
Скотт 3, Чу Ф., МакЛафлин Д. В. (Scott А. С, Chu Е У. Е, McLangh- tin D. W.)—Proc. I. E. E. E., 1973, v. 61, p 1449—1472; В кн.: Солитоны в действии/Под ред. Лонгрена К., Скотта Э. — М.: Мир, 1981.
Тода М. (Toda М.). — Phys. Repts, 1975, v. 18C, p. 1.
Фаддеев Л. Д. — Итоги науки и техники. Сер. проблемы мат., 1974, т. 3, с. 93—180; Sov. Scientific Reviews, 1981, v. IC.
Фаддеев Л. Д.( Корепин В. E. (Faddeev L. D, Korepin V. £.). — Phys. ” Repts., 1978, v. 42C, p. 2—32.
Федосеев И. Л., Лезнов А. Н. (Fedoseev /. Л., Leznov 4 N) — Prpnrint IHEP 82—15; 81—52, Serpukhov (1981); 82—45, 82-169 1982-芯^ 1982, т. 53, No 3, с. 358—373; Phys. Lett, 1984, v. 141B No'1 9 n inn— 103.，，…
Федосеев 勿.Л., Лезнов А. Н., Савельев М. В. (Fedoseev / 4 [ nov Л. М, Saveliev М.匕).一Phys. Lett., 1982, v. 116B, p. 49.*
Федосеев И. А, Лезнов Л. Я., Савельев М. В. {Fedoseev /. л де2_ nov А. М, Saveliev Л1. V'.). — Nuovo Cim., А, 1983, v. 76, р. 596—612
Филиппов А. Т. — Физика элементарных частиц и атомного ядра 1980 т. 11, с. 735—776.''
Фок В. А. Начала квантовой механики. — М.: Наука, 1976.
Френкель И. Б., Кац В. Г. (Frenkel /. 8r Кас V. G.). — Inv^ntiones Math., 1980, v. 62, с. 23."
Хариш-Чандра. Автоморфные формы на полупростых группах Ли./Пер. с англ. — М.: Мир, 1971.
Хелгасон С. (Helgason S) Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces. — N. Y.: Acad. Press, 1978.
Шевалье К. Теория групп Ли, т. I. — М.: Изд-во иностр, л-ры, 1948; т. П, Ш. — М.: Изд-во иностр, л-ры, 1958.
Эйзенхарт Л. П. Непрерывные труппы преобразований. М.： Изд-во иностр. л-ры; 1947.
Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия, Изд-во иностр, л-ры, 1948.
Suppl. Prog. Theor. Phys., 1976, v. 59.
Браатен E, Куртрайт T., Ландур Л, Торн & (Braaten Е, Cartright Т., Ghandour G., Thorn C.). — Preprint UFTP 83—5, 83—9, 1983.
Браатен £., Куртрайт Т., Торн /С (Braaten Е, Curtright Т., Thorn С.).— Preprint UFTP 82—27, 82—48, 1982; Phys. Lett, 1982, v. 118B, d. 115— 117.
Жерве Ж. 〃•，Невье A. {Gervais 丄 L., Neueu 4). — Nucl. Phys., 1982, V. В199, p. 59; 1982, v. B209, p. 125; Phys. Lett., 1983, v. 123B, p. 86.
Куртрайт T., Торн R (Curtright T., Thorn C.). — Phys. Rev. Lett-, 1982, v. 48, p. 1309—1312.
Лезнов A. /7. — ТМФ, 1984, t. 58, No 1, c. 156—160.
Лезнов A. H. — Lett. Math. Phys., 1984, v. 8, No 1, p. 5—8
Лезнов A. H., Савельев At B.——Итоги науки и техники. Сер. пробл. мат., мат. анализ, 1984, т. 22, с. 101 —136.
Лезнов А. Н., Федосеев И. Д. — ТМ①，1982, т. 53, № 3, с. 358—372.
Лезнов А. Н., Шабат А. 5 —В кн.: Интегрируемые системы. — Уфа： Изд-во Башкир, филиала АН СССР, 1982, с. 34—45.
НО. Савельев А工 В. — Препринт ИФВЭ 83—32, 83—58, Серпухов, 1983; ТМ①, 1984,u 60.No 1, с. 9—23.
Шабат А. К, Ямилов Р. И. Экспоненциальные системы. — Уфа; Изд-во Башкир, филиала АН СССР, 1981.
Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике.— М.: Наука, 1983.
Лезнов А. Савельев М. В. — ТМФ, 1983, т. 54, № 3, с. 323—337.
Ньютон Р. Теооия рассеяния волн и частиц./Пер. с англ.——М.: Мир, 1959.
Солитоны/Под ред. Р. Буллафа, Ф. Код1PH. — М.： Мир, 1983.
Чередник И. В. Итоги науки и техники. Сер. проблемы мат., 1981, т. 18, с. 73—150.
Адлер М., ван Мербеке П. (Adler М., van Moerbeke 尸.)•一 Invent. Math., 1979, v. 50, p. 219—248.
Байс Ф. 4, Велдон X. 4 (Bais F. Л., Weldon H. Л.)- — Phys. Lett. В, 1978, v/79, p. 297—300; Phys. Rev. Lett. 1978, v. 41, p. 601—604.
Баргманн В. (Bargrnann К). — Rev. Mod. Phys. 1949, v. 21, p. 488—491.
Белавин .4. 4, Поляков A. M, Шварц 4 С, Тюпкин Ю. С. (Belavin А. 4, Polyakov .4. AL, Schwarz A. S, Tyupkin У〃. S). — Phys. Lett, В, 1975, v. 59, p. 85-87.n c
Калоджеро Ф. (Calogero E)—Nuovo Cim. B, 1978, v. 43, p. 177—24厶
Чайчиан М, Кулиш. П. 77. (Chaichian М, Kulish Р. Р.) — Phys. Lett. В, 1978, v. 78, р. 413—416..
Крютер Р. Ж. (Crewther R. J ). — Acta Phys. Austr., 1978, v. 19, p. 47— 153 (Suppl).
Фаовелл P. С., Минами M. (Farwell R. £, Minami M) — Progr. Theor. Phys., 1982, v. 69, p. 1091 — 1099.
Форди A. P.f Гиббонс Ж.(尸ordy 4. P, Gibbons /.). — Comm. Math. Phys., 1980, v. 77, p. 21—30.
Хенон M. (Нёпоп MJ.— Phys. Rev. B, 1974, v. 9, p. 1421 — 1423.
Лезнов 4 H、(Leznov A. M). — In: Proc, of the Internat. Workshop on Nonlinear and turbulent processes. N. Y.: Gordon Breach, 1984.
Марченко В. A. (Marchenko V. A.).——Ibid.
Олив Д., Турок H. (Olive D, Tur ok M). — Nucl. Phys. B, 1983, v. 215, p. 470—4 86; Preprint ICTP(8)81 —1, Trieste, 19 81.
Ольшанецкий M. 4 (Olshanetsky M. A). — Comm. Math. Phys., 1983. 88, p. 63—76.
Савельев M. B. (Saveliev At V.). — In: Proc, of the Internat. Workshop on Nonlinear and turbulent processes. N. Y.: Gordon-Breach, 1984: Comm. Math. Phys., 1984, v. 95, p. 199—216.
Тернг С. Л. (Terng C. L). — Ann. Math. 1980, v. Ill, p. 491—510.
т'Хофт (7 Hooft G) —Nucl. Phys. B, 1974, v. 79, p. 276—284.
Тода M, Вадати M. (Toda M., Wadaii M.). — J. Phys. Soc. Japan, 1975, v. 39, p. 1204—1247.
Вадати M. (Wadati AL). — J. Phys. Soc. Japan, 1975, v. 38, p. 673—686.
Вилкинсон Д., Байс Ф. A. (Wilkinson D, Bais Е Д.)-一Phys. Rev. D, 1979, v. 19, p. 2410—2415.
Вилкинсон Д., Голдхабер А. С. (Wilkinson D.t Goldhaber А, £). — Phys. Rev, D, 1977, v. 16, p. 1221—1231.
Вилсон Г. (Wilson G.). — Ergod. Theory and Dyn. Syst., 1981, v. I, p. 361—380.
Виттен 3. (Witten E.). — Phys. Rev. Lett., 1977, v. 38, p, 121—125.
Флашка X. (Flaschka H.). — Phys. Rev. B, 1974, v. 9, p. 1924—1925.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие3
Введение 5
Глава I. Необходимые сведения из теории алгебр и групп Ли и их представлений 10
§ I. 1. Группы и алгебрыЛи .11
Основные определения (11). 2. Функциональные группы (16).
§ I. 2. Градуированные алгебры Ли и их классификация18
Основные определения градуированных алгебр Ли (18). 2. По- лупростые, нильпотентные и разрешимые алгебры Ли. Теорема Леви — Мальцева (19). 3 Простые алгебры Ли конечного роста:
классификация и схемы Дынкина — Кокстера (22). 4. Корневые системы и группа Вейля (27). 5. Параметризация и упорядочение корней конечномерных комплексных простых алгебр Ли (29).
Вещественные формы комплексных простых алгебр Ли (35).
Трехмерные подалгебры алгебр Ли . . .. 39
Вложения З^-подалгебры в алгебры Ли (39). 2. Бесконечномерные градуированные алгебры Ли. связанные с вложениями З/подалгебрн в конечномерные алгебры Ли (42). 3. Явная реализация конечномерных простых алгебр Ли для минимального вложения (44).
Супералгебры Ли . . . - .. ,.49
Вводные замечания к общие определения (49). 2. Конечномерные простые супералгебры Ли (51). 3. Алгебры Грассмана (52)
Строение представлений ... .55
Терминология (55). 2. Присоединенное представление (57)
Регулярное представление и операторы Казимира (58). 4. Базис в пространстве представления (60). 5. Фундаментальные пред
ставления (61).
§ L 6. Параметризация элементов групп Ли .^. . . .. 62
§ I. 7. Старшие векторы неприводимых представлений полупростых групп
Ли .-. ..' . .67
Общие определения (67). 2. Выражение старших векторов через матрицу присоединенного представления (68). 3. Формальное выражение для старших векторов фундаментальных представлений (68). 4. Рекуррентные соотношения для старших векторов фундаментальных представлений (69). 5. Старшие векторы неприводимых представлений в обобщенных углах Эйлера (70).
Глава II. Представления комплексных полупростых групп Ли и их вещественных форм . . . 72
§ II. 1. Инфинитезимальные операторы сдвигов на полупростых группах
Ли72
Общие выражения для •инфинитезимальных операторов (72).
Асимптотическая область (80).
2. Операторы Казимира и спектр их собственных значений . . . 83
Общая постановка задачи (83) . 2. Квадратичные операторы Казимира (85). 3. Построение операторов Казимира полупростых групп Ли (87).
§ П. 3. Представления полупростых групп Ли в целом . 89
Интегральная форма реализации операторно-неприводимых представлений (89). 2. Матричные элементы конечных преобразований (93).
§ II. 4. Сплетающие операторы и билинейная инвариантная эрмитова форма .94
Связь сплетающих операторов с вопросами приводимости, эквивалентности и унитарности представлений (94). 2. Построение сплетающих операторов (98).
II. 5. Гармонический анализ на полупростых группах Ли . . . . 101 1. Общая формулировка метода (101). 2. Мера Планшереля основной непрерывной серии унитарных представлений (104).
II.6. Векторы Уиттекера110
Глава III. Интегрирование двумерных нелинейных систем： описание общего метода114
Ш. 1. Общая формулировкаметода114
Представление типа Лакса (114). 2. Некоторые примеры (117).
Построение решений (120).
2. Системы, порождаемые локальной частью произвольной градуированной алгебры Ли 124
Точно интегрируемые системы (124). 2. Системы, связанные с бесконечномерными алгебрами Ли (127). 3. Гамильтонов формализм (128). 4. Решения точно интегрируемых систем (задача Гурса) (129).
§ Ш. 3. Обобщение для систем с фермионными «полями»131
§ Ш. 4. Представление типа Лакса как реализация условия автодуальности цилиндрически-симметричных конфигураций калибровочных полей133
Глава IV. Нелинейные динамические системы, связанные с конечномерными алгебрами Ли, и их интегрирование .139
1. Обобщенная (конечная непериодическая) цепочка Тода . . . . 139 ■ 1. Вводные замечания (139). 2. Построение точных решений на основе общей конструкции гл, III (141). 3. Простейшие примеры (144). 4. Построение решений без использования представления типа Лакса (145)” 5. Одномерная обобщенная цепочка Тода (153). 6. Граничная задача (инстантонные и монопольные конфигурации) (160).
2. Двумеризованная система уравнений Вольтерра (разностных КдФ) как преобразование Беклунда цепочки Тода и их полное интегрирование164
3Случай алгебрЛиобщегоположения170
4Суперсимметричныеуравнения172
5.Формулировкаодномернойсистемы(Ш. 2.13) на основе функ
циональной группы173
Глава V. Применение методов теории возмущений для нахождения яв* ных решений точно интегрируемых систем177
1- Канонический формализм . . 177
2. Теория возмущений в формализме Янга — Фельдмана178
3. Методы теории возмущений в одномерной задаче181
4. Интегрирование нелинейных систем, связанных с бесконечномерными алгебрами Ли 184
5. Представление типа Лакса систем (Ш. 2.8) и явное решение для
них задачи Коши190
Глава VI. Аппарат скалярной £Д-пары и солитоны обобщенной периодической цепочки Тода . 192
1. Групповой смысл спектрального параметра и уравнения для скалярной Ы-пары192
§ VI. 2. Солитоны уравнения синус-Гордона201
§ VI. 3. Обобщенные потенциалы Баргманна:: 208
§ VI, 4. Солитоны векторного представления алгебры Лг .... * *218
Глава VII. Точно интегрируемые динамические системы в квантовой области
1. Гамильтонова формулировка (канонический формализм)玄 метод Янга ——Фельдмана
2. Необходимые сведения из теории возмущений
3. Одномерная обобщенная цепочка Тода с закрепленными концами
4. Уравнение Лиувилля
5. Многокомпонентные двумерные модели (I)
6. Многокомпонентные двумерные модели (II)
292923232323о 2о 20 0 5 54 5 5 62 2 2 20 0 5 54 5 5 62 2 2 2Заключение 270
29
29
2323
2323
о 2
о 2
0 0 5 5
4 5 5 6
2 2 2 2
0 0 5 5
4 5 5 6
2 2 2 2
Список литературы272
（2叫 + m?）4 （3m! + 恤）2 （码 十 ^?）2（mj + m.^ （2叫 + m2）4 m（ （3m）+ 2m£
]"我力1十m2 _ J_f Rg +
m：g + 他2）4 （2叫 + 股）4（3"ь + ^2）2 （3他1 + 2m2）"m：（2Г"| + 7?-2）6 （3m| + 你分4 （3% + 2闯2
6 4/C2
碣（/n[ + 他2）6 （2他1 + 加2）6 （3他 1 + 2他2）4 （3斤" + 他2）2
А.Н.Лезнов, М.В.Савельев