Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебное пособие по своему содержанию непосредственно примыкает к знаменитой работе А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения». Кратко напомним основные результаты этой работы. А. М. Ляпунов сводит задачу об устойчивости к исследованию устойчивости нулевого решения хх = х2 = ... = хп~ 0 системы обыкновенных дифференциальных уравнений
= fs (^.... хп, /) (S=l„(1)
правые части которых — степенные ряды переменных хп ... ..., хп без свободного члена, сходящиеся в окрестности Xi = хг = ... = хп = 0.
Если правые части, т. е. коэффициенты упомянутых рядов, не содержат /, то, как отмечал А. М. Ляпунов, можно говорить об установившемся движении (автономная система). При общем исследовании устойчивости нулевого решения (1) он применил два созданных им метода: разложение решений системы (1) в ряды специального вида и использование функций V (хъ ... хп, t), которые вместе со своими производными по /, вычисленными в силу (1):
Г(х1...,х„,0=—= —+ 2 —/s,
V 1 n 7 dt dtdxs ,s*
обладают некоторыми свойствами как функции ^хъ ..., хп) t). Эти функции, если они построены, дают достаточные условия устойчивости или неустойчивости. При построении такого рода функций А. М. Ляпунов использовал доказанную им общую теорему о решении систем уравнений с частными производными, не удовлетворяющих условиям известной теоремы С. В. Ковалевской. Функции V, которые уже упоминались выше, будем называть функциями Ляпунова, а последнюю теорему называть вспомогательной теоремой.
В работе А. М. Ляпунова установлены условия, при которых одни линейные члены уравнений (1) решают вопрос
об устойчивости, и рассмотрен ряд важных частных случаев, когда этот вопрос можно решить только рассматривая члены высших порядков (сомнительные случаи). В одном из сомнительных случаев автономной системы (1) дан прием построения периодических решений. При дальнейших исследованиях отвлекались от систем дифференциальных уравнений и рассматривали точки Р п-мерного пространства, двигающиеся при изменении t по определенным законам, — динамические системы. Такие системы рассматривались далее не в n-мерном эвклидовом пространстве (хп ..., хп), а в каком-либо метрическом пространстве.
В первой главе пособия рассматриваются динамические системы в метрическом пространстве и вопрос об устойчивости (в различных смыслах) инвариантных множеств, т. е. множеств, состоящих из траекторий. При применении второго метода Ляпунова функции V заменяют функционалами. Исследуется поведение траектории в окрестности инвариантных множеств при наличии устойчивости и в некоторых случаях характеризуется вся область асимптотической устойчивости с помощью соответствующего функционала. Эта глава носит чисто теоретический характер и не содержит конструкций соответствующих функционалов.
Во второй главе результаты главы первой применяются к системам дифференциальных уравнений вида (1). В частности, рассматривается тот случай, когда правые части суть однородные функции (х„ ..., хпу Указывается в этом случае необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости.
Далее для случая аналитических правых частей уравнений (1) и автономных систем рассматривается тот сомнительный случай, когда характеристическое уравнение первого приближения имеет к нулевых и к пар одинаковых чисто мнимых корней с простыми элементарными делителями, причем остальные корни имеют отрицательную вещественную часть. Дается условие существования к голоморфных интегралов, что приводит к достаточному условию устойчивости нулевого решения. Дается также достаточное условие асимптотической устойчивости. При отсутствии нулевых корней строится семейство ограниченных решений (аналогично семейству периодических решений у А. М. Ляпунова, о чем было сказано выше). Автор рассматривает и тот случай, когда правые части уравнений (1) содержат t.
Третья глава связана в основном с обобщением вспомогательной теоремы А. М. Ляпунова о системах уравнений с частными производными и применением его первого мето-
да. Упомянутый результат приводит, естественным образом, к обобщению известных результатов Врио и Буке, а также Пуанкаре, касающихся построения решений дифференциальных уравнений в окрестности особых точек. Рассматриваются автономные системы (1), правые части которых голоморфны и не содержат линейных членов. При некоторых дополнительных предположениях строятся интегральные кривые, стремящиеся к началу координат при /->+°°- Если это начало — точка асимптотической)устойчивости, то таким путем получаются все интегральные кривые. В некоторых случаях даются необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости.
' В четвертой главе обобщается понятие динамической системы в метрическом пространстве с той целью, чтобы получить схему, подходящую для исследования устойчивости в том или ином смысле для задач, связанных с уравнениями в частных производных. Как и в первой главе, строится аналог второго метода Ляпунова. Кроме того, даются оценки расстояния движущейся точки до исследуемого инвариантного множества. В применении к системам обыкновенных уравнений это дает новые результаты.
В пятой главе результаты предыдущей главы применяются к уравнениям в частных производных.
В предисловии к работе «Общая задача об устойчивости движения» А. М. Ляпунов писал: «В этом сочинении я имел лишь в виду изложить то, что пока удалось мне сделать для решения поставленной мною задачи и что, может быть, может послужить точкою отправления для дальнейших изысканий такого же характера».
Эти слова оправдались в широкой мере. В печати появились сотни работ, непосредственно связанных с исследованиями А. М. Ляпунова. В настоящем учебном пособии эти исследования получили существенное обобщение и развитие.
Лкад. В. И. Смирнов
ВВЕДЕНИЕ
В принятом на XXVI съезде КПСС программном документе «Основные направления экономического и социального развития СССР на 1981—1985 годы и на период до 1990 года» в частности, указывалось: «... сосредоточить усилия на решении следующих важнейших проблем: развитие математической теории, повышение эффективности ее использования в прикладных целях ...». В свете этих задач является актуальным развитие и обобщение современной теории устойчивости движения, восходящей еще к работам классиков естествознания — трудам А. М. Ляпунова и А. Пуанкаре.
Цель книги — познакомить читателя с новыми результатами, полученными в теории устойчивости движения, а также подытожить некоторые исследования автора в этой области математики. Известно, что задача об устойчивости сводится к исследованию не только систем обыкновенных дифференциальных уравнений, но и систем уравнений с частными производными. Поэтому в настоящей работе теория излагается так, чтобы ее можно было применять для решения задач об устойчивости как в случае систем обыкновенных дифференциальных уравнений, так и в случае систем уравнений с частными производными.
Приведем краткое содержание пособия. Книга состоит из пяти глав. В § 1—5 гл. 1 даны основные сведения, связанные с понятием метрического пространства, а также выяснен смысл терминов, используемых в пособии; § 6 й 7 подготовительные, в них содержатся примеры динамических систем в различных пространствах. В § 8 дано определение понятия динамической системы в метрическом пространстве, а также приведены основные теоремы из [5]. В § 9—10 даны основные определения, связанные с понятием устойчивости по Ляпунову инвариантных множеств динамической системы, а также исследованы свойства некоторых устойчивых инвариантных множеств. В § 11 ре-
шается вопрос о качественном строении окрестности устойчивого (асимптотически устойчивого) инвариантного множества. В частности, установлено, что для устойчивости, по Ляпунову, инвариантного множества М динамической системы / (р, 0 необходимо, а в случае наличия достаточно малой компактной окрестности множества М и достаточно, чтобы не существовало движений / (р, /), р £ М, имеющих a-предельные точки в М. Полученные здесь результаты являются новыми даже для теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
В § 12, 13 даны критерии устойчивости и неустойчивости инвариантных множеств при помощи некоторых функционалов. Эти функционалы являются аналогом функции Ляпунова и поэтому изложенный здесь метод можно считать некоторым развитием второго метода Ляпунова. Все результаты этих параграфов носят локальный характер. Приведем, например, один из них. Для того чтобы инвариантное множество М было равномерно асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности S (М, г) множества существовал функционал V, обладающий следующими свойствами:
по числу q > 0 можно указать сг > 0 такое, что V (р) > с2 при р (р, М) > ср,
V (р) -> 0 при р (р, М) ->• 0;
функция V ^ (р, /)) не возрастает при / (р, /) С S (М, г) и V (f (р, ф->0 ПРИ /->+°о равномерно относительно р £ S (М, 6^, где 6Х — некоторое число такое, чтоО < 6Х < < г.
В § 14 изложена одна из центральных теорем, носящая нелокальный характер. Здесь показано, что, для того чтобы инвариантное открытое множество А, содержащее достаточно малую окрестность множества М, было областью асимптотической устойчивости равномерно асимптотически устойчивого и равномерно притягивающего множества М, необходимо и достаточно, чтобы существовали два функционала V (р) и Ф (р) таких, что:
V (р) задан и непрерывен в Л, Ф (р) задан и непрерывен в R, Ф (р) = 0, р £ М, при этом — 1 < V (р) < 0 при р 6 Л; Ф (р) > 0 при р (р, М) 0;
по у2 > 0 мож но указать ух и аь что V (р) < —уь Ф (р) > при р (р, Л4) > у2; .
V 0 и Ф -> 0 при р (р, Л4) -> 0;
" = Ф(1 + И;
5)V(p)->—1 при p (/), ?)-*0, p^A, q^A\A и q £ M.
Здесь, как и выше, р и q — элементы пространства R, а р (р, М) — метрическое расстояние точки р до множества М.
В § 15 содержится метод, позволяющий оценивать расстояние от движения до исследуемого инвариантного множества. Теоремы, полученные здесь, можно рассматривать как дополнение к § 12—14; § 1—15 исчерпывают содержание первой главы, посвященной исследованию инвариантных множеств динамических систем.
В гл. 2 дано развернутое применение идей и метода гл. 1 к теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В § 1 гл. 2 для стационарных систем дифференциальных уравнений изложена теорема § 14 гл. 1, при этом показано, что функция Ляпунова V может быть выбрана дифференцируемой до того же порядка, что и правые части системы. В этом же параграфе дано представление этой функции при помощи криволинейного интеграла и решена задача об аналитической структуре правых частей системы, имеющих наперед заданную область асимптотической устойчивости. В § 2 гл. 2 рассматривается случай голоморфных правых частей. Функция V в этом случае, существование которой установлено в § 1 этой главы, представлена в форме сходящихся рядов, аналитическое продолжение которых позволяет получить функцию во всей области асимптотической устойчивости. Метод построения таких рядов можно использовать для приближенного решения некоторых нелокальных задач совместно с построением ограниченных решений в виде рядов, сходящихся либо при / > О, либо при / £ (— оо, + оо). Эти ряды получены из факта, что любое ограниченное решение описывается функциями, аналитическими по t в некоторой полосе или полуполосе, содержащей вещественную полуось. В § 3 гл. 2 развивается теория уравнений с однородными правыми частями. В частности показано, что для того чтобы нулевое решение системы было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно существования двух однородных функций: определенно положительной W порядка т и определенно отрицательной,,V порядка (m + 1 — р) таких, что dV/dt = W, где'ц — показатель однородности правых частей системы. Если правые части системы дифференцируемы, то эти функции удовлетворяют системе уравнений в частных производных, решение которой можно найти в замкнутой форме. Это обстоя-
тельство позволяет дать необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости в случае, когда правые части являются формами степени р непосредственно на коэффициенты этих форм. В § 4, 5 гл. 2 рассмотрены сомнительные случаи: к нулевых корней и 2£ чисто мнимых. Здесь получен ряд результатов об устойчивости, а также о существовании интегралов системы и семейства ограниченных решений. В § 6 гл. 2 теория, развитая в гл. 1, применена к теории нестационарных систем уравнений. Здесь сформулированы теоремы, вытекающие из результатов § 14, а также предложен способ исследования периодических решений.
В § 1 гл. 3 решена задача об аналитическом представлении решений уравнений в частных производных в случае, когда не выполнены условия теоремы С. Ковалевской. Полученные здесь теоремы применены в § 2 гл. 3 к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Это дополнило исследования Врио и Буке, А. Пуанкаре, Пикара, Хорна и других и дало возможность в § 3 гл. 3 изложить способ построения рядов, описывающих семейство 0-кривых для системы уравнений, разложение правых частей которых не содержит членов, линейных относительно искомых функций. Способ построения таких рядов позволил дать другой подход к решению вопроса об устойчивости в случае систем, рассмотренных в § 3—5 гл. 2, и сформулировать теоремы об устойчивости, опирающиеся на свойства решений некоторых систем нелинейных алгебраических уравнений. Таким образом, гл. 3 представляет собой попытку решения вопроса об устойчивости при помощи первого метода Ляпунова.
В гл. 4 снова рассмотрены метрические пространства и семейства преобразований в них. В § 1 гл. 4 вводится понятие общей системы в метрическом пространстве.
Общая система есть двупараметрическое семейство операторов из R в R, обладающих свойствами, подобными тем, которые имеются у решения задачи Коши и смешанной задачи для уравнений в частных производных. Таким образом, общие системы являются абстрактной моделью этих задач. Здесь также развито понятие устойчивости инвариантных множеств общих систем. В § 2 гл. 4 второй метод Ляпунова распространяется на решение вопросов об устойчивости инвариантных множеств общих систем. Полученные теоремы являются необходимыми и достаточными. В основе их лежит метод исследования двупараметриче-
ских семейств операторов при помощи однопараметрических семейств функционалов. Здесь же предложен общий метод оценок расстояния движения до инвариантного множества. В § 3 гл. 4 даны некоторые применения развитой теории к задаче Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом получены результаты, не встречающиеся в известной литературе.
Гл. 5 посвящена некоторым применениям развитой теории к исследованию вопроса об устойчивости нулевого решения систем уравнений в частных производных в случае задачи Коши или смешанной задачи. В § 1 гл. 5 изложены общие теоремы, содержащие метод решения задачи об устойчивости и носящие ориентировочный характер. В § 2, 3 гл. 5 приведены конкретные системы уравнений в частных производных, для которых найдены критерии асимптотической устойчивости. В § 3 исследование устойчивости решения задачи Коши для линейных систем уравнений ведется с помощью однопараметрического семейства квадратичных функционалов, заданных в W^. Здесь получены критерии устойчивости по норме W^. Однако теоремы вложения позволяют выделить те случаи, когда устойчивость будет по норме в С. В этом же параграфе приведен ряд примеров исследования устойчивости в случае смешанной задачи.
Содержание второго издания учебного пособия по сравнению с первым, вышедшим в 1973 г., подвергнуто незначительной переработке, что позволило избавиться от некоторых погрешностей изложения. Дополнительно приведены новые результаты, дающие представление о прикладном значении развиваемой теории.
Для успешного понимания всего изложенного материала необходимо иметь знания по математике в объеме трех курсов университета. Однако в некоторых местах требуются также дополнительные знания.
Некоторые проблемы, рассмотренные в пособии, были сформулированы в беседах с Н. П. Еругиным и В. В. Не- мыцким, а также в работе семинара под 'руководством Н. П. Еругина. Идеи и методы решения этих проблем были почерпнуты прежде всего в трудах А. М. Ляпунова, Н. П. Еругина, Е. А. Барбашина, Н. Н. Красовского, В. В. Немыцкого и акад. С. Л. Соболева.
Автор приносит сердечную благодарность акад. В. И. Смирнову и доц. А. П. Тузову за внимание, проявленное к настоящей работе.
ю
Основные определения и понятия методов Ляпунова. Теория устойчивости движения как отрасль математической науки была создана трудами, великого русского ученого акад. А. М. Ляпунова [1] в конце XIX в. В последние годы наблюдается бурное развитие этой теории, вызванное потребностями развивающейся техники и особенно автоматического регулирования. Теория устойчивости движения развивается по двум путям: расширением круга задач и созданием новых и усилением уже известных методов исследования. Приведем краткую характеристику предмета и основных методов этой теории.
Пусть дана система дифференциальных уравнений
^- = fs(X1>..., хп, t) (s=l„...n),(1)
правые части которой заданы в области ^х2 < Я, / > О, s= 1
и удовлетворяют там некоторым условиям, которые гарантируют существование системы непрерывно дифференцируемых функций xs = xs (t, Xi^, .... xk°\ Q (s = 1, •••,«)> удовлетворяющих системе (1) и обращающихся при t = t0 п
в величины хк°\ где 2zs0)2 < Н, t0> 0. Предположим, что S — 1
f8 (0, ..., 0, 0 = 0 при t > 0, так что система (1) имеет нулевое решение хх = 0, .... хп = 0.
Определение 1. Нулевое решение системы (1) назовем устойчивым по Ляпунову, если по любому е > 0 и для данного /0 > 0 можно указать 6 >■ 0 такое, что S^s (t, Xi0>, ..., хк°\ /оХ е при ^s0’2 < 63 будет, если s= 1s= 1
to < t. n
Если, кроме того, УХ (7, *i0)> • ••, х»\ ^о)0 при
s = 1
4-оо, то нулевое решение системы (1) называется асимптотически устойчивым.
Определение 2. Однозначную непрерывную п функцию V (хъ ..., хп, t), заданную в области 2Х ^ Нъ s = 1 t > Т, назовем положительно определенной, если выполнены следующие условия:
1/(0, ..., О, /) = 0;
существует функция Ei(xlt ..., х^ такая, что Vx (0, ... п
.... 0) = 0 и У1> 0 при 2х$ < Нъ причем V (xv ....
s — 1
.... х„, t) > Vt (хъ .... х^.
При выполнении условия 1 функцию V (х^ ..., хп, t) называют отрицательно определенной, если V \хъ ..., ..., хп, I) ^ Их (хх, ..., хпУ
Определение 3. Будем говорить, что функция V (х^ .... хп, /) допускает бесконечно малый высший предел, .п
если V (хъ ..., хп, t)->0 при ^Xs -> 0 равномерно при
S— 1 < > т.
Определение 4. Производной функции V(xx, ... .... хп, t) вдоль интегральной кривой-
(хД^, Х10),..„ х<°>, /0), ..., Х„(/, Х10),..., Х(„\ /о))
системы (1) назовем выражение
^-Wt. ^...„х™^x.<t,x?'х™,«,1\
Если функция V непрерывно дифференцируема по всем своим аргументам, то полной производной функции V в силу системы (1) будем называть выражение
dV dV . v SV ,,x
-77=^-+ 1 -T— fi = W (xv..„ xn, t). at ot . , oxi
'1= 1
- Как показал A. M. Ляпунов, общая задача об устойчивости движения для некоторых величин может быть сведена в большинстве случаев к решению вопроса об устойчивости нулевого решения системы (1). Для решения вопроса об устойчивости нулевого решения системы (1) А. М. Ляпунов предложил два метода. Кратко изложим эти методы.
Теорема 1. Если система дифференциальных уравнений (1) такова, что можно найти положительно определенную функцию V, производная которой W, вычисленная на основании системы (1), удовлетворяла бы неравенству W < 0, то нулевое решение системы (1) устойчиво.
Теорема 2. Нулевое решение системы (1) будет асимптотически устойчивым, если выполнены условия теоремы 1 и, кроме того, функция IF определенно отрицательна, а функция V допускает бесконечно малый высший предел.
Теорема 3. Если система (1) такова, что можно найти функцию V, которая обладала бы в силу этих уравнений положительно определенной производной W, притом до-
пускала бы бесконечно малый высший предел и была бы такова, что при всяком t> Т (Т — достаточно большая величина) надлежащим выбором сколь угодно малых величин xs (s = 1, ..., п), ее можно было бы сделать положительной, то нулевое решение неустойчиво.
Теорема 4. Если система (1) такова, что можно найти ограниченную функцию V при достаточно малых |xs| и t>T, производная которой на основании системы (1) приводилась бы к виду ^ = XV + W, где X — положительная постоянная, a W > 0, и если в последнем случае найденная функция V такова, что при всяком t ^ Т надлежащим выбором величин xs (s = 1, .... п), численно сколь угодно малых, ее можно сделать величиной одинакового знака с IV, то нулевое решение системы (1) неустойчиво.
Эти четыре теоремы составляют основное теоретическое содержание второго метода Ляпунова в его первоначальной форме. Функцию V (хь ..., хп, /), позволяющую решить вопрос об устойчивости нулевого решения системы (1), называют функцией Ляпунова. В связи с этими теоремами возник ряд вопросов:
являются ли достаточные условия, сформулированные в этих теоремах, также и необходимыми;
можно ли с помощью функции Ляпунова отыскать область изменения начальных значений х)0>, .... хк°\ t0 таких, что 5Х$ (^ xi0)> • ••, ^л0)> U О ПРИ /~>+°°;
s = 1
можно ли с помощью функции Ляпунова указывать те или иные оценки функций xs (t, xi0), ..., Хп \ ^о), отвечающих достаточно малым |%i0)|, ..., |^0)|.
Эти основные проблемы являлись и являются предметом исследований ряда крупных советских и зарубежных математиков. В настоящей работе второй метод Ляпунова изложен применительно к изучению вопроса об устойчивости инвариантных множеств динамических систем и двупараметрических семейств преобразований в метрическом пространстве.
Для большей ясности изложения отмстим следующее: если функция Ляпунова V (хх, ..., хп, f) удовлетворяет условиям теоремы 1 и, кроме того, допускает бесконечно малый высший предел, то для любого е >» О можно указать п
число 6 > 0, не зависящее от /0 > Т, такое, что при ^s0^ <
S=1
п
< 6 для любого t0 > Т имеет место неравенство 2xs (t, x{0), .... 4”, Q<e при t > t0.
Действительно, не ограничивая общности, возьмем е > 0 и е < Нх и положим X = inf V (хп ..., хп, t) при 2х,? = 8,
Функция V (х1( ..., хп, t) имеет бесконечно малый высший предел, поэтому можно указать 6 > 0 такое, что при п
2Х$ < 6 будет V (х^ ,.., хп, t) < X, t > Т. По условию, S= 1
полная производная функции V в силу системы (1) неположительна, следовательно, V (xlt ..., хп, t) ^ V (лд0*, ..., .... х^\ t0) < X при t > ty, где t0 > Т и ^s0*2 < 6.
s — 1
Здесь аргументы xv ..., хп функции V представляют собой функции, удовлетворяющие системе (1), т. е. xt = xt (t, п
Xi0), .... х^, to). Поэтому имеем 2х» < 6 ПРИ ^ > ^о- Итак, S = 1
нулевое решение системы (1) в этом случае устойчиво и, кроме того, для каждого е > О число 6 >> О можно выбрать нс зависящим от /0 > Т. Такую устойчивость будем называть равномерной [41] относительно /0. Всюду в дальнейшем, когда речь идет об устойчивости нулевого решения системы нестационарных уравнений, будем считать, что подразумевается устойчивость, равномерная относительно /0, а термин «неустойчивость» означает факт, противоположный устойчивости, равномерной по /0. Следует отмстить, что в случае, когда правые части системы нс зависят явно от времени, из устойчивости нулевого решения следует устойчивость, равномерная по /0 >—оо.
Кратко опишем первый метод Ляпунова. Предположим, что правые части системы (1) разлагаются в ряды по степеням величин xs, сходящиеся при достаточно малых |xs| (s = 1, ..., и) и всех t > 0. Первый метод решения вопроса об устойчивости состоит в построении общего решения в виде рядов, сходящихся при / > 0, по виду которого устанавливают факт устойчивости или неустойчивости. Поясним этот метод подробнее.
Рассмотрим систему уравнений
S psixi + Xs(x1,...,xn).(2)
Будем предполагать, что функции Xs разлагаются в ряды по степеням чисел хъ ..., хп, сходящиеся при достаточно ма14
лых |х5| и не содержащие членов линейных относительно xv .... хп. Обозначим через Х{ (i = 1, ..., п) корни уравнения |Р — ХЕ| — 0, где Р = llpull- Пусть Re Хг < О при I < к. Тогда, как показал Ляпунов, система (2) имеет семейство решений в виде рядов
mt-V
сходящихся при |о^| < а и / > О, где а > О постоянная. Отсюда следует, что при k = п нулевое решение системы (2) асимптотически устойчиво, т. е. нс зависит от выбора голоморфных функций Xs (хъ .... хп) (s = 1, ..., п\
Если среди чисел Х^ существует по крайней мере одно число К3 такое, что Re (Kj) > 0, то система (2) имеет се4-оо (тл,.
мейство решений в виде рядов xs = 2 А-/ (О ape i mi, сходящихся при |а,| < ct, t < 0, следовательно, xs -> 0 при 1-4—оо; тогда нулевое решение системы (2) неустойчиво и независимо от выбора голоморфных функций Xs [6].
Если среди чисел Хг (i = 1, ..., п) нет чисел с положительными вещественными частями, но существуют такие, что Re Xj = 0, то вопрос об устойчивости нулевого решения системы (2) решают, рассматривая члены разложений функций Xs. Этот случай особенно труден.
Случаи, когда Re X, <0 при i = 1, ..., п и существуют Х;- такие, что Re Хг = 0, называют сомнительными. А. М. Ляпунов детально рассмотрел некоторые из этих сомнительных случаев, а именно: случай одного нулевого корня, случай двух нулевых корней и случай двух чисто мнимых корней. При исследовании случая одного нулевого корня Ляпунов впервые применил следующее утверждение.
Теорема. Пусть дана система уравнений в частных производных вида
пд
S (Л1 ^1 + ••• 4-Psn хп + Xs) -~- =9X8
= Чаг1~г-.. "VqjuZh + Zj (/=1к"),(3)
где Хъ .... Хп; Zlt ..., Zk — голоморфные функции переменных хь х2, ..., хп, zx, z2, ..., zh, обращающиеся в нуль,
* Функции As А (/) являются, вообще говоря, полиномами по степеням t.
если все эти переменные равны нулю; функции Х8 не содержат в своих разложениях членов ниже второго порядка, а функции Zj, если и содержат члены первого порядка, то только не зависящие от величин 2Ъ ..., гк. Коэффициенты ps0, qjt — некоторые постоянные. Тогда, если хь ...
хп — корни уравнения
Ри — X, Р1^Pin
PnV Рп2' • • •> Рпп ^PnV Рп2' • • •> Рпп ^Р’2Ъ Р22^, • • •>?2п
PnV Рп2' • • •> Рпп ^
PnV Рп2' • • •> Рпп ^
а Хь ..., Х&— корни уравнения
411^,912’• • •> Яш
921’922^’• • •>9271
4т»9п2>• • •’ 9пп ^
если, кроме того, вещественные части всех xs отличны от нуля и одного и того же знака и между величинами xs и X; не существует соотношений вида т-^ + /тг2х2 + ... + + mnzn = Kj у = 1, ..., к\ где все т8 (s = 1, ..., м) были бы целыми неотрицательными числами, удовлетворяющими условию ^т8 >» 0, то всегда найдется одна определен- S — 1
ная система голоморфных функций Zx, ..., Zk переменных ^1» •••, ^п, удовлетворяющих уравнениям (3) и обращающихся в нуль при хг = ... = хп = 0.
В данной книге рассматривается также вопрос об устойчивости в сомнительных случаях, а именно, когда среди величин Xz имеются к с нулевыми вещественными частями или когда среди величин Xz- имеются 26 чисто мнимых, а остальные имеют отрицательные вещественные части. Это исследование ведется с помощью второго метода и некоторых вспомогательных теорем, аналогичных вспомогательной теореме Ляпунова. Уделено также внимание построению решений и их оценкам.
Теоремы второго метода, полученные при исследовании инвариантных множеств в метрических пространствах, применяют при исследовании вопроса об устойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений в частных производных.
Глава 1
УСТОЙЧИВОСТЬ ИНВАРИАНТНЫХ МНОЖЕСТВ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Определение 1. Множество R элементов р, природа которых безразлична, назовем метрическим пространством, если любым двум элементам р С R и q g R соответствует вещественное неотрицательное число р (р, q), удовлетворяющее следующим условиям:
р (р, q) = 0 лишь при р = q;
Р (р, q) = Р (<?, р);
р (р, q) < р (р, г) + р (z, q) при любом z £ R.
Число р (р, q) обычно называют метрическим расстоянием, или просто расстоянием от элемента р до элемента q, а элементы пространства R — точками.
Определение 2. Точку р С R называют пределом для последовательности ръ ..., рп, ... С R, если р (рп, р)~*0 при ц-*+°°. Если последовательность Ри € R, п = 1.2,..., имеет предел, то, как легко убедиться, она обладает следующими свойствами:
любая бесконечная подпоследовательность последовательности ру, ..., рп, ... также имеет предел;
предел единствен, т. е. если рп -* р, рп -> ^, то р = q.
Определение 3. Множество всех точек р 6 R, обладающих свойством 0 < р (р01 р) < г, называется г-ок- рестностью точки р0. Здесь г — положительное число.
Определение 4. Множество X с R называется открытым в R, если из р0 С X следует, что существует такая окрестность точки р0, что любая точка р из нее содержится в X.
Определение 5. Точка р0 называется предельной для множества X с: R, если существует последовательность ръ ..., рп, ... ^ X такая, что рп~^ Ра при п-* —> 4-00.
Определение 6. Множество X с R, содержащее все свои предельные точки, называется замкнутым в R. Легко показать, что множество Y с: R, служащее до-
Полнением открытого множества X cz R, до всего пространства R, является замкнутым в R, и наоборот.
Определение 7. Множество, которое получается из X присоединением всех его предельных точек, называется замыканием X и обозначается X.
Определение 8. Границей открытого множества А называется множество А \ А.
Определение 9. Последовательность рп^ R называется сходящейся в себе, если для каждого е > О можно указать величину Na такую, что при п> Na и т> Ne будет р (рп, рт) < е.
Последовательность, имеющая предел, сходится в себе.
Определение 10. Пространство R называется полным, если любая сходящаяся в себе последовательность рп € R имеет предел. Легко видеть, что любое замкнутое множество X, содержащееся в полном R, является в свою очередь полным пространством (по отношению к расстоянию, индуцированному из R).
ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ
Пусть X и Y — два множества, содержащиеся в R.
Определение 11. Если дан закон, ставящий в соответствие каждому элементу р ^Х некоторый элемент q С Y, то говорят, что в множестве X задан оператор F такой, что q = Fp. При этом множество X называется областью задания оператора F.
Определение 12. Оператор F называют непрерывным в точке р0 € X, если по любому е > 0 можно указать число 6 > 0 такое, что при р (р0, р) < 6, р С X будет р (Гр, Fp^ < г. Рассматривают также семейство операторов, зависящее от параметра т, являющегося элементом множества Z, природа которого безразлична.
В дальнейшем будем изучать свойства таких семейств операторов, для которых множество Z является подмножеством множества вещественных чисел или подмножеством множества пар вещественных чисел.
Определение 13. Если дан закон, согласно которому любому элементу р £Х соответствует вещественное число V (р), то говорят, что на множестве X задан функционал V.
По аналогии с определением 12 можно ввести понятие непрерывности функционала V в точке р0 £ X.
Рассматриваются также семейства функционалов, зависящие от некоторого параметра т 6 Z. Ясно, что VT (р) 18
при закрепленном р ^Х определяет функционал на множестве Z. Далее рассмотрим семейства функционалов, зависящие от вещественного параметра т, так что при закрепленном р Е X выражение Ут (р) определит вещественную функцию вещественного аргумента т. Эти семейства функционалов применены далее при изучении некоторых свойств семейства операторов. Такой подход к изучению свойств семейств операторов, заданных в метрическом пространстве R, составляет основное содержание второго метода Ляпунова в абстрактной форме. В дальнейшем будет приведена более точная характеристика этого метода.
ОКРЕСТНОСТЬ МНОЖЕСТВА
Рассмотрим множество X cz R. Пусть р и q — две точки такие, что р Е R, a q С X. Величина р (р, q) ограничена снизу при любом q С X, поэтому существует inf р (р, q).
qEEX
Определение 14. Расстоянием от точки р до множества X назовем inf р (р, q) и будем обозначать р (р, X).
qex
Ясно, что р (р, X) является функционалом, заданным при р 6 R. Покажем, что этот функционал непрерывен в любой точке р0 £ R. Действительно, возьмем любые точки р С R и q £ X; тогда р (р, q) < р (р, р0) + р (р0, q\ откуда inf р (р, q) < inf р (р0, q) + р (р, р0) или р ^р, X) <
Q^:Xq^X
< Р (ро, А) + р (р, PoY Аналогично из р (р^ q) < р (р, pQ) + + р (р, q) имеем р (j)0, X) < р (р, р0) + р (р, X). Сопоставляя оба неравенства, получим |р (р, X)— р (р0, Х)| < < р (р, р0), откуда следует сделанное выше утверждение.
Определение 15. Под г-окрестностью множества X С R будем понимать совокупность всех точек р ER, обладающих свойством 0 < р (р, X) < г, где г > О — некоторое число. В дальнейшем эту окрестность будем обозначать через S (X, г).
Определение 16. Множество X a R называется ограниченным, если sup р (р, q) < +оо для некоторого
q^X
PER.
Следует отметить, что из ограниченности множества aS (X, г) нс следует ограниченность множества X.
КОМПАКТНОСТЬ
Определение 17. Множество М cz R называется компактным в R, если из любого бесконечного подмножества Y cz М можно выделить бесконечную сходящуюся последовательность.
Если предел любой выделенной таким образом последовательности содержится в М, то множество М называется компактным в себе. Если само пространство R компактно, то легко показать, что оно полно. Можно также установить следующее: непрерывный функционал, заданный на компактном в себе множестве, ограничен и достигает своих точной верхней и точной нижней границ.
Определение 18. Множество Y a R называется е-сетью множества X a R, если для каждого р ЕХ можно указать q Е V такое, что р (р, q) < бе.
Теорема Хаусдорфа. Для того чтобы множество X cz R было компактным, необходимо, а в случае полного R и достаточно, чтобы существовала при любом е > О конечная е-сеть множества X. Отметим, что компактное множество является ограниченным.
Определение 19. Метрическое пространство R называется сепарабельным, если существует счетное множество элементов G cz R такое, что, какие бы 8 > 0 и р Е R ни взять, найдется q6 EG такое, что р (р, q^ < н. Из теоремы Хаусдорфа и определения 17 непосредственно следует, что компактное пространство сепарабельно.
ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Определение 20. Множество G называется группой по сложению, если выполнены следующие условия:
любым х, у Е G сопоставлен г EG, который обозначим г = х + у,
х + (у + г) = (х + у) + г;
существует правый нулевой элемент 0 такой, что х + 0,= х;
существует правый противоположный элемент (—х) такой, что х + (1—х) = 6.
Группа называется абелевой, если х + У = У + х.
Определение 21. Множество L называется линейной системой, если оно есть абелева группа по сложению и если определено умножение элементов этого множества на комплексные числа, т. е. из х € L и X — комплексное число следует Хх € L, при этом указанное умножение обладает свойствами ассоциативности и дистрибутивности.
Определение 22. Множество Е называется линейным нормированным пространством, если Е — линейная система и если каждому элементу х 6 Е ставится в соответствие неотрицательное число | [х|| — норма. При этом выполняются следующие условия:
]1хЦ = 0 только при х = 0;
||ах|| = |а| ||х||, а — комплексное число;
||л:+1/|| < 11%П + ПОН
ЕСЛИ положить р (х, у) = ||х— у ||, то мы определим в множестве Е метрику. Таким образом, линейное нормированное пространство — частный случай метрического пространства. Если линейное нормированное пространство Е .полно, то его называют пространством Банаха или типа В.
Приведем примеры линейных нормированных пространств и отметим их основные свойства.
Рассмотрим пространство непрерывных функций Ф (хъ ..., хп), заданных в Еп, таких, что sup |ф|< +оо.
хевп
Пространство, полученное из совокупности этих функций в результате введения нормы ||ф|| = sup |ф|, является ли- ХеЕп
нейным типа В.
Рассмотрим совокупность функций ф (хь .... хп), заданных в конечной области $2 пространства ЕП1 суммируемых по Й вместе с |ф|р, р"> 1. Положим ||ф||={[ |ф|рс!й р/Р.
й
Можно показать [3], что это равенство определяет норму. Соответствующее пространство обозначают через Ер.
Пространство n-мерных комплексных векторов X = = (xlf .... хп), в котором положено
ПХ|| = 1/ £ х^,
является наиболее простым примером пространства типа В.
§ 6. ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА В п-МЕРНОМ
ЭВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Рассмотрим систему п дифференциальных уравнений ^ = /8(хь .... xn) (s=l, .... п).(1.1)
at
Предположим, что функции Д (хХ1 ..., хп), ..., fn (хъ ..., хп) заданы при —oo<zs<+oo и непрерывны там. Если, кроме того, эти функции удовлетворяют условию Липшица по переменным хъ ..., хп в любой конечной области g пространства Ет т. е.
I fs (-^D • • • > ^п) fs (-^1? • • •» ^п) I ^ Lg | 2 l-^i ^i | )
V==l/
(Lg — постоянная, s = 1, .... n); (xn ..., x^^g, (xb ...
Xn) Eg> то система (1.1), как известно [4], определяет в Еп семейство интегральных кривых.
Ради краткости интегральную кривую, проходящую через Х<0) = (х?>, ..., х„0)) при t = 0, будем обозначать через X = X (t, Х^\ где X — вектор (Xjх„). Вообще говоря, не всякая интегральная кривая X = X (t, Х^) системы (1.1) может быть определена при всех значениях аргумента t. Однако существуют условия для функций /5 (хп ... ..., xn), s = 1, ..., п, при выполнении которых любая интегральная кривая системы (1.1) определена при всех / £ 5 (—сю, 4-оо). Одним из таких условий является ограниченность правых частей системы (1.1). Действительно, пусть
IA (xlt .... xn)| < т (s = 1, .... п) (1.2) при X Е Еп. Установим, что любая интегральная кривая системы (1.1) в этом случае определена при всех / ^ (— сю, Ч-оо). Покажем, например, что интегральная кривая X = — X (t, А?0)) определена при Е> 0. Возможны два случая: либо эта интегральная кривая ограничена при / > 0, либо не ограничена. В первом случае, последовательно применяя теорему существования [5], можно показать, что интегральная кривая определена при всех / > 0. Во втором случае предположим, напротив, что интегральная кривая определена лишь при t С Т <_ +<ю. Тогда, как следует t
из равенства xs = x(s0) + J A (Xi, .... x,^ dx, получим оцен- o
ку |xs (A Х«») — х$°*| < mT (s = 1, ..., n), что противоречит предположению о неограниченности интегральной кривой. Условиям (1.2) всегда можно удовлетворить, вводя в систему (1.1) новое независимое переменное, например, по формуле
dx = dt fl+ 2\ z = i/
Любая интегральная кривая X = X (т, Х(0)) вновь полученной системы
dxs f§ (Xi, ■ • •, Хп)/1 ।,х
dx"' "
1 + 2 fi х^
l= 1
определена при всех значениях х £ (— сю, 4-сю). Однако гесметрически интегральные кривые систем (1.1) и (1.Г) будут совпадать.
Отметим, далее, что если_Х (т, Х<°>) — интегральная кривая, то любая функция X (т + с, Х^), где с —вещественная постоянная, также удовлетворяет системе (1.Г). Таким образом, в пространстве Еп с помощью системы (1.1) удалось определить семейство интегральных кривых X = X (т, Х(0)), обладающих следующими свойствами:
при любой конечной величине Х^ векторная функция X (т, Х(0)) определена при всех т € (—оо, +оо), при этом X (О, XW) = XW; _
векторная функция X (т, Х^ непрерывна по совокупности своих аргументов, что следует из теоремы о непрерывности по начальным данным [1];
для любых величин т и тх имеет место равенство-
X (т + ть Х№) = Х(х, X (ть ХО))). (1.3)
Действительно, на основании сделанного выше замечания левая часть равенства (1.3) является решением системы (1.1')- При этом при т = 0 имеем равенство X (ть Х<°>) = = X (О, X (tl Х(0)), которое справедливо в силу п. «а»; тогда по теореме единственности [1] равенство (1.3) справедливо ДЛЯ ЛюбОГО Т 6 (—ОО, +°°) И ДЛЯ ЛЮбОГО Тд б € (—00, +оо). _
Векторную функцию двух аргументов X (т, Х<°>) можно рассматривать как однопараметрическое семейство операторов, заданных в Еп, или как однопараметрическую группу преобразований пространства Еп на себя. Действительно, элементами группы являются преобразования X (т, Х(0>), соответствующие данному т, Х(0) 6 Еп. Каждым двум таким преобразованиям X (tu Х<°>) и X (т2, Х(0>) отвечает их. суперпозиция — сумма X (тп X (т2, Х<°>)) = X (тх + т2,. Х(0>). Действие сложения преобразований ассоциативно. Кроме того, имеется нулевой элемент [тождественное преобразование X (О, Х(0)) — Х(0)] и каждому преобразованию X (т, Х(0)) отвечает обратное преобразование Х(—т, Х<°>).
Однопараметрическую группу преобразований пространства Еп на себя, обладающую свойствами, указанными в п. «а», «б», «в», называют динамической системой в Еп и изучают независимо от конкретного вида функций fs (хи .... хп), порождающих ту или иную динамическую систему.
ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Рассмотрим линейное уравнение в частных производных
(1.4) dtz=i dxt
где а, Ьъ ..., Ьп— вещественные постоянные. Образуем пространство Ф непрерывно дифференцируемых функций Ф (хх, ..., хп), заданных при X € Еп и таких, что ф (хъ ... .... хп) -> Аф при ||Х2|| +оо, где £ф — конечная вещественная постоянная. Положим
|| Ф || = sup |ф|.
Х6Еп
Для любой функции ф Е Ф можно найти решение уравнения (1.4) и (ф, f), обладающее свойством и (ф, 0) = ф (хь ... ..., хп). Легко проверить, что,
и (ф, /) = еа< ф (хх + bit,..., хп + bnt). (1.5) Совокупность решений (1.5) уравнения (1.4) при ф Е Ф представляет собой однопараметрическое семейство преобразований пространства Ф на себя, порожденное однопараметрическим семейством операторов ut (ф) = и (ф, t\ Это семейство преобразований обладает следующими свойствами:
и (ф, /) непрерывно в любой точке (£ ф) по обоим аргументам, т. е. по любому е > 0 можно указать величины 6Х и 62 > 0 такие, что при |£ — /2| < 6Х и ||фх — ф2|| < < 62, имеем ||м (фь ^ — и (ф2, /2)П < е- Действительно,
и (Фь А) — и (ф2, /2) = eati фх (хх + bik, .... хп +
+ bnt^ — ^ ф2 (хх + bit2, .... хх + bnt2) =
= еа<* [фх ^ + biti) — ф2 to + Ь»^i)I +
+ (e0'1 — eatk [ф2 to + ^z)l + 60111фг (xt + kbi) —
— ФаС^ + ^Н-(!-6)
Здесь ф (xx + b^, .... xn + ^nO = Ф to + btt\
Отметим, что из |£ф| < +°o следует, что любая функция ф € Ф равномерно непрерывна во всем пространстве Еп и ограничена там.
Функция ф2, равномерно непрерывна, поэтому по е >■ 0 можно указать 6Х > 0 такое, что при |/х — /2| < 6Х имеет место неравенство е°4* |ф2 to + kb^ — Фа kxt +
+?2 6,)|<е. Функция ф2 ограничена, следовательно, можно выбрать столь малое 62 > 0, что (е0'* — е0^) Нф21К 8 при И1 — 41 < 62. Можно также указать величину у > О такую, что ^ ||Ф1 —ФзМСк при ||фх — ф2Ц < Т- Положим 6 = min (6П 62). Оценивая правую часть равенства (1.6), получаем ||м (фъ 0) — и (ф2, 4)11 < Зе при |0 — 41 < <6 и ||ф1 — ф2|| < ?. Следует отметить, что полученная оценка не является равномерной относительно tx и ф, т. е. 8V = 81 (0. ф). 62 = 62 (4, ф);
непосредственной проверкой легко убедиться, что и (и (ф, 4), 4) = “ (ф. 4 + 4)- Это также следует из того, что любая функция и (ф, / + С), где С — вещественная константа, является также решением уравнения (1.4) и п. «в» § 6;
для любой функции ф (хъ ;.., хп) 6 Ф существует единственное решение и (ф, 0, непрерывно дифференцируемое по всем аргументам (хъ ...; хп, t) уравнения (1.4), определенное формулой (1.5) и такое, что и (ф, 0) = ф.
Однопараметрическое семейство операторов и (ф, 0, обладающее свойствами «а», «б», «в», назовем динамической системой в функциональном пространстве Ф. Это семейство операторов при всех / £ (—оо, +00) дает группу преобразований пространства Ф на себя.
Приведем другой пример динамической системы в функциональном пространстве.
Рассмотрим систему уравнений
дм дуду дм ., ., i / х /1
-т-= —, «!< = о = ф(х), у|< = 0 = ф(х). (1.7) ot ox at ох
Образуем пространство V пар функций ф (х), ф (х), х £ 6 (—оо, +оо), каждая из которых непрерывно дифференцируема и имеет конечные пределы яри х-> +°° и х-> -э—оо. В множестве функций Чт введем норму, положив ||(ф, Ф) 11 = sup |ф| + sup №1, х Е (—оо, +°°). Можно проверить, что пара
и (ф, ф, О = [ф (х — 0 + ф (х + 0 + Ф (х + t) —
(1.8) и (ф, ф, t) = [ф (х — 0 + ф (х + f) + ф (х + 0 —
— Ф (х — 01/2
является решением системы (1.7), удовлетворяющим начальным данным Коши: и (ф, ф, 0) = ф (х), и (ф, ф, 0) = = Ф (х).
Формулы (1.8) дают однопараметрическое семейство преобразований пространства ¥ на себя. Непосредственно
можно установить следующие свойства этого семейства преобразований:
и (ф, гр, /) ) определены при всех t 6 (—оо, +оо), v (<р, гр, /) J для любой парй (ср, гр) g V.
При этом (и (ср, гр, 0), и (ф, гр, 0)) = (ф, гр);
непосредственной проверкой можно показать, что: и (и(ф, гр, /]),и (ф, гр,у,t^ — и (ф,гр, tx + /2),
у ^и,(ф, гр, у,и (ф, гр,t^,t^ = У (ф,гр, tx + /2);
прих ~>+оои х-эоофункции,являющиеся
элементамипространства Т, имеютпределы, поэтому мож
но утверждать, что ф (х) и гр (х) равномерно непрерывны при х £ (—оо, +°°), если (ф, гр) g Т. Используя это, по аналогии с приведенным выше примером можно установить, что и (ф, гр, /) и v (ф, гр, ^) — непрерывные функции своих аргументов (ф, гр, /).
Семейство преобразований пространства ЧГ на себя, обладающее свойствами «а», «б», «в», называется динамичёской системой в пространстве Т.
Можно изучать различные свойства динамических систем в пространстве Ф или в пространстве Ч7 независимо от уравнений, порождающих эти динамические системы.
ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Определение 1. Динамической системой в метрическом пространстве R называется однопараметрическое семейство операторов Ft) t 6 (—оо, +оо), заданное в R и обладающее следующими свойствами:
на любом элементе р £ R семейство операторов Ft принимает значения Ft (р) £ R при t g (—оо, +оо) так, что ^о (р) = р;
значение оператора Ft (р) является непрерывной функцией по совокупности (t, р), т. е. по любому е >» О можно указать величины 6j > 0 и 62 > 0 такие, что р (Ft, (р), ^, (?)) < F при р (р, q) < 6i и |^ — ^2|<62. Здесь 6i = 61 (/п /?1), 62 = 62 (/2, руу,
Ftl (Ft, (р)) = Ftl + ,, (рУ
В учебной литературе принято Ft (р) обозначать через / (р, ty Последнее свойство семейства операторов позволяет рассматривать динамическую систему как однопараметрическую группу преобразований пространства R на себя. Действительно, элементами этой группы являются преобразования / (р, /), р Е R- Двум таким преобразова- 6
ниям Кр, ^i) и tkp, ^2) отвечает их сумма /(/ (р, ^), /2) = = / кр, ^i + 4)- Это действие сложения преобразований ассоциативно. Кроме того, имеется нулевой элемент группы преобразований / (р, 0) = р (тождественное преобразование). И далее, каждому преобразованию / кр, /) пространства R на себя можно указать обратное f кр, —/), так что / (/ кр, 0, —0» = / кр, 0) = р. Функцию / кр, 0 ПРИ фиксированном р назовем движением. Множество всех точек / (р, t), t € (—оо, +°о), где р фиксировано, назовем траекторией динамической системы.
Если / (р, /) = р при / g (—оо, +оо), то точку р назовем точкой покоя динамической системы.
Если / кр, < + т) = f (р, /) =£ р, то движение / кр, 0 назовем периодическим с периодом т.
Теорема 1 [5] (о непрерывной зависимости движений по начальным данным). Рассмотрим движение / кр, ty По любому е > 0 (сколь угодно малому) и по любому 7 > 0 (сколь угодно большому) можно указать величину 6 > 0 столь малую, что при р (р, q) < 6 будет р (/ (р, /), / (<7, /)) < < е при t 6 [0, 7].
□ Предположим, что утверждение теоремы "неверно. Тогда существуют две последовательности qn ->■ р, tn ЕЮ, 7] такие, что для некоторого е > 0 и 7 > 0 имеем Р к! кр, tn), f кЧп> tnY > е. Выберем из ограниченной последовательности tu сходящуюся подпоследовательность tnk~*- -> t0 при к -> +оо, ^0 £ [0, 7]. Тогда получаем qn~^-p, tnh to, но р (/ кр, tnhY f кЧпъ tnhY > в, чт0 Противоречит свойству непрерывности функции / (р, f) в точке (р, /0). Тем самым теорема доказана полностью.
Определение 2. Множество М с R называется инвариантным по отношению к динамической системе / (р, /), если оно состоит из траекторий этой динамической системы, т. е. из р 6 М следует / (р, Г) £ М, t £ к—°°> +°°)-
Теорема 2 [5]. Замыкание инвариантного множества М является инвариантным множеством.
□ Возьмем точку р С М. Если при этом окажется, что р 6 М, то / кр, t) также £ М при t 6 (—00, +00), а значит и ^ М. Если же р € М \ М, то существует последовательность рь ..., рп, .... Е М такая, что рп р. Тогда и / (рп, О -> / кр, ty Следовательно, / (р, t) Е М при t ^ (—оо, 4-оо). Ясно, что / кр, t) при этом 6 М \ М.
Следствие. Граница открытого инвариантного множества состоит из (целых) траекторий динамической системы / (р, ty
Определение 3. Точка q называется ©-предельной точкой движения / (р, /), если существует последовательность чисел /„-*• +°° при /г-*+оо такая, что / (р, t^-^-q при п->4-оо. Точка q называется а-предельной, если существует последовательность tn -> —оо такая, что / {р, k^->q при п-^+оо.
Теорема 3 [5L Если движение / (р, /) имеет ©-предельные (a-предельные) точки, то множество всех ее ©-предельных (a-предельных) точек инвариантно и замкнуто.
□ Обозначим множество всех ©-предельных точек движения / (р, /) через й. Покажем, что й инвариантно. Пусть q0 Е й, тогда существует последовательность tn -> +<х> при п->4-оо такая, что рк = Нр, tn")->q0 при п-^+°°. Ясно, что / (рп, t)-^ f (q0, t), поскольку функция / (р, О непрерывна по аргументам t, р. Тогда точка / (q0, /) Е Й при любом t Е (—°°, +°о), ибо существует последовательность tn + t такая, что f (р, tn + 0/ (</0, /). Итак, мно
жество й инвариантно. Покажем, что оно замкнуто. Действительно, пусть q — предельная точка множества й. Тогда существует последовательность qn Е й, qn-> q при п->+оо, Используя свойство метрического расстояния, найдем: р (/ (р, t), q) < р (q, q^ + р (?n, / (р, /)). По любому е >> О можно указать величину пе такую, что р (q, qn) •< < е/2 при п > пе. Так как qn Е й, то можно указать такое 4, что р (qn, f (р, У) < е/2. Выбирая последовательность ti -* 0 можно построить последовательность тг такую, что тг -> +оо и f (р, Tj) -> q. Это означает, что Й замкнуто в R.
Замечание. Если движение / (р, /) при /> 0 остается в некотором компактном в R множестве G, то это движение имеет ©-предельные точки и при этом их множество й с G.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ИНВАРИАНТНЫХ МНОЖЕСТВ. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Определение 1. Замкнутое в R инвариантное множество М называется устойчивым по Ляпунову, если по любому е > 0 можно указать величину 6 > 0 такую, что при р (р, М) < б имеет место неравенство р (/ (р, /), /И) < е при t > 0. Если, кроме того, р (/ (р, /), /И)0 при
;-> -j-oo, то замкнутое инвариантное множество М называется асимптотически устойчивым.
Поясним это определение на примерах.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
(1.9)
где Д (О, ..., О) = О (s= 1, ..., и). Предположим, что совокупность этих уравнений определяет динамическую систему в Еп> тогда X = 0 — точка покоя этой динамической системы; X = 0 — замкнутое инвариантное множество. Согласно определению 1 (см. «Введение») оно устойчиво по Ляпунову, если по любому е > 0 можно указать 6 > 0 такое, что при ] |Х<°> 11 С б будет ||Х (/, Х(0>) 11 < Е при t > 0. Таким образом, определение 1 в этом случае дословно совпадает с определением устойчивости по Ляпунову нулевого решения системы (1.9). Допустим далее, что система (1.9) имеет периодическое решение X = X (t, Уо) = X (/ + го, У о); 0< со < +оо. Это решение образует замкнутое инвариантное множество динамической системы X (t, Х(0)), которое согласно определению 1 устойчиво, если по любому е > 0 можно указать величину б > 0 такую, что при
inf ||Х<°>— X (t, У0)||<б имеет место неравенство /Е[0,(0]
inf ||Х (/, Х«») — X (т, Го) IJ < 8 при t > 0. те[О,со]
Рассмотрим систему уравнений в частных производных
ди,£ /das \
—^-=/5 Хъ..., Хк, иъ..„ Un, —S-Ot\OXj /
(s = !,...,«;/== 1nY (1.10)
Предположим, что правые части системы (1.10) являются аналитическими в некоторой области G пространства, в которой изменяются аргументы ее правых частей. Предположим также, что в некотором функциональном пространстве Е совокупность этих уравнений определяет динамическую систему с точкой покоя U = 0, так что U = 0 — решение системы (1.10). Согласно определению 1, для устойчивости решения U = 0 необходимо, чтобы по любому е >■ 0 можно было указать величину б > 0 такую, что ||(/ (ф, /)||< <е, Z С (0, +°о), <р Е Е при ||ф||<6-
Рассмотрим систему
^-1з(Хз.,...,хп,0 (s=l/г).(1.11)
Предположим, что функции Д (X, /) заданы в области | |Х 11 < h, t > 0 и непрерывно дифференцируемы там. Следовательно, при этих предположениях через любую точ-
ку (Xw, /0) указанной области проходит единственная интегральная кривая системы (1.11). Пусть f8 (О, .... О, t) = О при s = 1, .... п. Нулевое решение системы (1.11) называется устойчивым по Ляпунову [1] равномерно относительно /0 > 0, если по любому е > О можно указать величину 6 > О такую, что при ||Х(0>||<6 имеем ИХ (/, Х(0>, /0) 11 < е при 0 С t0 < t.
Покажем, что можно построить динамическую систему в пространстве (X, /), соответствующую уравнению (1.11), так, чтобы из устойчивости нулевого решения системы (1.11) следовала устойчивость инвариантного множества X = 0, и обратно. Для этого положим
fs(xv,...s хп, t) =
fs^,..., хп, t) при />1 и ПХП^ЛхСЛ,
О при /=С— 1 и ||Х||< + оо,
^(,+ 1)4(HD-
при /£(-1.1) и ЦХ1КЙ,.
Продолжим функции fs, сохраняя непрерывную дифференцируемость в область t >—1, ||Х|| > Аъ причем так, чтобы Д s 0 при |]Х|| > hv Система уравнений
atat(1.12)
at
at
имеет решение X = X (/, Х(0), /0), непрерывно зависящее от начальных данных (Х<0), 4) и определенное для любых вещественных значений X®, /0. Произведем в этой системе замену независимой переменной по формуле ds — dt /1+& тогда система
определит в пространстве (X, О динамическую системуопределит в пространстве (X, О динамическую систему
определит в пространстве (X, О динамическую систему
определит в пространстве (X, О динамическую систему
X = X ($, Х«», /0), t = t (s, Х<°>, /0),(1.14)
для которой ось X = О является инвариантным множеством, так как совпадает с движением Х = 0 и / = s, sE (—оо, 4-оо). Покажем, что из устойчивости нулевого решения системы (1.11), равномерной по t0 > 0, следует устойчивость инвариантного множества X = О динамической системы (1.14).
В силу устойчивости нулевого решения системы (1.11), равномерной по /0 > 0, можно указать величину 6 > О такую, что ||Х (/, XW, /0)|| < е (0 < /0 < О при ||Х<°)|| < <; 6. По найденному 6 > 0 на основании непрерывной зависимости движения динамической системы (1.14) от начальных данных можно указать столь малую величину 6j > О, что имеет место неравенство ](X (s, Х(0>, /0)11<8 при ||Х<0)|| < §! и s 6 IO, 3], t6 = —1. При этом величину 3 можно выбрать столь большой, чтобы было / (3, Х(о>, —1) > > 1. Покажем, что найденная величина 6Х > 0 отвечает взятому е согласно определению 1. Действительно, при ||Х(0)|| < 61 для t0 < —1 имеем ||Х|| = ||Х<°>|| < е, пока t (s, Х(0>, /0) < — 1. При t (s, Х(0), 4) > — 1 это же неравенство имеет место в силу выбора величины 6Р
Таким образом, величина 6j является искомой. Обратное утверждение очевидно. Легко показать также, что нулевое решение системы (1.11) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда асимптотически устойчиво инвариантное множество X = О динамической системы (1.14).
Определение 2. Замкнутое инвариантное множество М динамической системы / (р, /) называется неустойчивым по Ляпунову, если существует число е > 0 такое, что для любого 6 > О можно указать по крайней мере одну точку р € 3 (М, 6) такую, что р (/ (р, t), /И) > е для некоторого />0. Смысл этого определения можно выяснить на приведенных выше примерах.
Определение 3. Если замкнутое инвариантное множество М динамической системы / (р, t) асимптотически устойчиво, то совокупность А всех точек р £ R и р £ М, обладающих свойством р(/(р, О- А4)->0 при /->+оо, называется областью асимптотической устойчивости этого инвариантного множества.
Теорема 4. Область асимптотической устойчивости инвариантного множества М динамической системы / (р, /) является открытым множеством, содержащим достаточно малую окрестность М,
□ Пусть инвариантное множество М асимптотически устойчиво. Тогда по любому р > 0, согласно определению 1, можно указать величину 6 > 0 такую, что при р (р, А4) < 6
будет р (J (р, О» /И) < е при / > 0 и р (/ (р, /), М) -> О при /->4-оо, откуда следует, что любая точка множества S (М, 6) содержится в А. Таким образом, А содержит достаточно малую окрестность множества М. Покажем теперь, что множество А открыто. Пусть р 6 Л. Возьмем е>0 такое, что S (М, е) с А. По взятому е > О можно, согласно определению 1, указать величину 6 > О, по которой, в свою очередь, можно определить величину Т > 0 такую, что р (/ (р. 7), А1) < 6/2. Величина Т существует, так как р ^ А. По теореме о непрерывной зависимости по начальным данным для величин 7 и et > О можно указать у > О такую, что р (/ (р, 7), / (</, 7)) < et при р (р, р) < у. В силу непрерывности функционала р (р, М) (см. § 3) величину Ei можно выбрать столь малой, что р (/ (р, 7), М) < 6. Тогда р (/ (<?, /), /И) -> О при 4-°°, где q = / (р, 7). На основании свойства 3 динамической системы / (д, /) = = / (q, t 4- 7), отсюда имеем р (/ (q, t), /И) -> О при t -> 4-°°. Следовательно, q^A при р (р, q) < у. Тем Самым теорема 4 доказана полностью.
Определение 4. Границей области асимптотической устойчивости называется непустое множество всех точек q^. Л\Ли q £ М. Как следует из теоремы 2, множество (Л \ Л) \ (Л с /И) инвариантно. Следовательно, граница области асимптотической устойчивости также является инвариантным множеством.
Задача настоящей главы состоит в том, чтобы: 1) указать условия устойчивости некоторого инвариантного" множества М динамической системы / (р, /); 2) дать способ отыскания границы области асимптотической устойчивости; 3) дать методы, позволяющие оценить функцию р (/ (р, /), Л4), / > 0. В дальнейшем эти задачи будем считать основными.
РАВНОМЕРНО АСИМПТОТИЧЕСКИ УСТОЙЧИВЫЕ И РАВНОМЕРНО ПРИТЯГИВАЮЩИЕ ИНВАРИАНТНЫЕ МНОЖЕСТВА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Определение 1. Асимптотически устойчивое замкнутое инвариантное множество М динамической системы f (р, /) называется равномерно асимптотически устойчивым, если можно указать величину 6г > 0 такую, что для любого Н > 0 существует 7 (Н) > 0, обладающее следующим свойством: при р (р, М) •< 6j и при t > 7 р (/ (р, /), М) < Н. Выясним смысл этого определения на конкретном примере. Рассмотрим уравнение х = g (/) х. Функция g (t) задана при / ^ (—оо, 4-°°) и непрерывна там, g (/) < О, 32
t
Г g (0) d9 -> — oo при ^->+oo. Введем новую независи- *dx
мую переменную по формуле dx — dt. Система^ = g (О х, ^- = 1 определит динамическую систему
to + т
х=хоехр ^ g(9)d9, / = т + /0(1-15)
to
на плоскости (х, /). Ось х = 0 является асимптотически устойчивым инвариантным множеством этой динамической системы.
Для того чтобы это инвариантное множество было равномерно асимптотически устойчивым, в данном случае необ- to +
ходимо и достаточно, чтобы J g (9) d9 -»—оо при т -*- +оо
равномерно относительно t0 € (—оо, +<»), Если, например, g (0 = —1/(1+ |/1), то х = х0/0/(/0 + т + 1) и / = t^ + т, /о ^-0, т > 0. В этом случае |х| -> 0 при т-> +оо, но неравномерно относительно /0.
Теорема 5. Если замкнутое инвариантное множество М динамической системы / (р, /) равномерно асимптотически устойчиво, то существует при t 6 (—оо, +оо) непрерывная функция L (0, строго монотонно убывающая от +оо до О при возрастании t от —оо до +оо, и такая, что р (/ (р, t), М) С L (/) при t > 0 и р (р, М) < 6Ъ 6г — величина из определения 1 этого параграфа.
□ Положим X (0 = sup р (/ (р, /), М). Из определения pEES^M, 6i)
1 настоящего параграфа следует, что функция X (/) задана при t > 0, X (/) > 0 и X (/) -> 0 при t-* +оо; X (/) < е^ при / 6 (0, +°о), где Ei < + оо. По величине ех/2к можно указать величину th такую, что при t > th получим X (0 < < е^. При этом величины th можно выбрать так, что th -*+оо. Положим 1к (0 = 126!^+! — Ei (th + + 0И2* (tk+1 — /fe)J при t € [/a, ^+1] и к > 1.
Ясно, что К (0 > X (/) при t Е [б» /ft+J. Будем считать функцию /х(/) заданной при t^. (—оо, t^. Положим L(0 = = th (0 при t 6 [/ft, /й+1). Здесь к > 1 и L (t) = lt (t) при t 5 (—oo, t^). Функция L (/) удовлетворяет всем условиям теоремы 5.
Определение 2. Асимптотически устойчивое замкнутое инвариантное множество М динамической си-
стемы f (р, t) называется равномерно притягивающим, если можно указать число 62 такое, что для любого 0 < h < 62 существуют числа Т > 0 и а > 0 такие, что при h<Z р (р, М) -< 83 и при t 5 (0, 7] имеет место неравенство р (/ (р, /), М) 2> а. Поясним это определение на примере, приведенном выше. Для того чтобы асимптотически устойчивое замкнутое инвариантное множество X = 0 динамической системы (1.15) было равномерно притягивающим, необхо- /о
димо и достаточно, чтобы [ g (6) d9 при любом конечном т > 0 был равномерно ограничен снизу относительно to € (—оо, +°о). Положим £ (/) = — |/|. Тогда при /0 > О ит >0 получим х = Xoe-Tt«-1c1/2, / = т + /0. Ясно, что |х| ->- 0 при /0 -> +°о, каково бы ни было т > 0. Это означает, что инвариантное множество х = 0 не является равномерно притягивающим.
Теорема 6. Асимптотически устойчивое замкнутое инвариантное множество М динамической системы / (р, t), имеющее достаточно малую компактную окрестность, является равномерно асимптотически устойчивым и равномерно притягивающим.
Покажем сначала, что М равномерно асимптотически устойчиво. Предположим противное. Тогда, какое бы 6j > 0 ни брать, существует по крайней мере одно число Н > 0 такое, что можно указать две последовательности Рп и ^ такие, что р (рп, Л1) < бх и р (/ (р^, t^, ЛД > Н, tn -*• -poo. Величину бх можно выбрать столь малой, что из последовательности ръ ..., рп, ... можно выбрать сходящуюся подпоследовательность р^. Пусть рпк -*• р0 при к -*• —4-°°.
Ясно, что ро Е А — области асимптотической устойчивости множества М. Поэтому можно указать величину Т (Д) такую, что р (/ (р0, Т), М) < б (Д), где величина 8 > 0 выбрана по Д в соответствии с определением 1 § 9. По величине 7 (Д) и гг> 0, в силу теоремы о непрерывности по начальным данным, можно указать величину /у > О такую, что при "р (р0, q) < гг имеем р (/ (pQ, t), f (q, f)) < < r2 при t E [0, 7]. Используя непрерывность функционала p (_p, Af), ■ величину r2 можно выбрать столь малой, что p(f(q, 7), М) < 6 (Н). Тогда р (Hq, t), М) < Н при р (ро, я) < ri и t > Т. Выберем, далее, номер к так, чтобы было tnh > 7 и р (р0, pnh) <Z rlt тогда, по предположению, имеем р (Црпк, к,), М)> Н и поэтому р Q (рПк, tn^ 7И) < < Д. Полученное противоречие доказывает теорему.
Покажем теперь, что М является равномерно притягивающим. Предположим противное, т. е. какое бы ба ни взять, существует по крайней мере одна величина й> О такая, что для любого Т > О
inf р(/(р, О, М) = 0.
Щ[0, Т]
h<p(p, М) < 63
В этом случае можно указать последовательности рп и tn, ап такие, что tn 6 [О, Л, h < р (рп, М) < 62, ап > О и ап О, п -> +оо, а р (/ (рп, tn), Л1) < ап. По предположению, множество М имеет достаточно малую компактную окрестность, поэтому величину 62 можно считать столь малой, что из последовательности рп можно выбрать сходящуюся подпоследовательность рпк. Положим рпк -*■ р0, a tnk -* -> t0 € [0, Л, тогда !<Рпк, tnk)f (.Ро, to)- На основании этого и в силу непрерывности функционала р (р, /И) можно утверждать, что р (/ (р0, to), М) = 0. Следовательно, / (ро, to) € М, что невозможно, так как р (р0, УИ) > /г>0 и М инвариантно, т. е. из / (р0, t6) € М следует / (/ (р0, t0) t) $ £ М. При t — — t0 имеем р0 6 М.
Полученное противоречие показывает, что сделанное выше предположение неверно. Тем самым теорема доказана полностью.
Замечание. Эта теорема показывает, что необходимые и достаточные условия того, чтобы замкнутое инвариантное множество М было раномерно асимптотически устойчивым и равномерно притягивающим (см. определение 2 § 10), являются в то же время необходимыми и достаточными условиями асимптотической устойчивости замкнутого инвариантного множества М, имеющего достаточно малую компактную окрестность..
§ И. КАЧЕСТВЕННАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ, ОКРЕСТНОСТИ ИНВАРИАНТНОГО МНОЖЕСТВА
Теорема 7. Необходимым и достаточным условием устойчивости по Ляпунову для замкнутого инвариантного множества является то, что
6(e) = inf р(Цр, t), М.) >0 t ^ о
р(р. М^ь
при любых достаточно малых е > 0.
Необходимость. Из определения устойчивости по Ляпунову следует, что существует функция' 6 (е), удовлетворяющая следующим условиям;
6 (в) > О для достаточно малых в > 0;
р (/ (р, t), М)<е для t >0 при р (р, Л1) < 6 (е).
Докажем, что 6 (е), определенная в формулировке теоремы, такова, что 6 (в) > 6 (в) для любого достаточно малого в > 0. Пусть это не так; тогда существует по крайней_мере одно достаточно малое в > 0, такое, что 6 (в) <6 (в). А тогда существуют такие р и момент t, что р (р, М) = в, / < 0, что точка Q — f (р, t) удовлетворяет условию р (Q, Л1)< 6 (в) и р (/ (Q, —f), М) = в. Это условие противоречит свойству устойчивости, согласно которому р (/ (Q, 0, М) < в для t > 0. Полученное противоречие и показывает, что 6 (в) должно быть положительным при любом достаточно малом в > 0.
Достаточность. Пусть выполнено заключение теоремы 7. Покажем, что замкнутое инвариантное множество устойчиво по Ляпунову. Подчиним произвольную функцию 6 (в) следующим двум условиям:
Ъ (е) определена для произвольного достаточно малого в > 0 и положительна;
6 (в) < 6 (в) для всех таких в, для которых 6 (в) определена.
Теперь следует показать, что 6 (в) для упомянутых в > 0 входит в определение устойчивости по Ляпунову множества М, т. е. р (/ (р, /), М) < в для t > 0 при р (р, М) < 6 (е).
Положим, что существует по крайней мере одна точка р и по крайней мере один момент 7> 0, что р ip, Л4) < 6 (е) и р (f (р, t), М) = в, для некоторого в > 0, достаточно малого; тогда точка Q = f (р, f) обладает тем свойством, что р (Q, М) = в, р (f_(Q, —Т), М) < 6 (в), и для этого в получаем: 6 (в) С 6 (в), что противоречит выбору функции 6 (в). Это противоречие показывает, что М устойчиво в смысле Ляпунова и т. д.
Замечание. Заключение теоремы 7 состоит в выполнении неравенства 6 (в) > 0 для произвольного достаточно малого в > 0. Это эквивалентно отсутствию движения f (р> 0» Р (Р, М) = в, имеющего a-предельные точки в М при добавочном условии, что множество М обладает достаточно малой компактной окрестностью, которая не содержит целых траекторий динамической системы. В самом деле, положим, что существует достаточно малая компактная 36
окрестность М, не содержащая целых траекторий динамической системы fjp, t\ Если не существует движения / (/М) такого, что р £ М. и / (р, t) не имеет a-предельных точек, принадлежащих М, то 6 (е) > О для любого достаточно малого е > 0. Обозначим через 6 (р, е) функцию, определенную условием 6 (р, е) = inf р (/, (р, t), M)t где р удов
летворяет условию р (р, М) = е. Тогда в силу отсутствия a-предельных точек в множестве М для любого движения 6 (р, е) > 0 для е > 0. Ясно, что 6 (е) = inf 6 (р, е).
р(р,М)=е
Если 6 (е) = 0 для некоторого е > 0, то существует последовательность точек pN, для которой выполняются следующие условия: 1) 6 (рк, е)-»-0, N->+°°; 2) Р (рм, М) = в, N = 1, 2, ... Для произвольной полутраектории / (pn, t), t < 0, которая оставалась в е-окрестно- сти множества М в силу предположения компактности этой окрестности, необходимо существует по крайней мере одна целая траектория, принадлежащая a-предельному множеству полутраектории и содержащаяся полностью в ранее упомянутой окрестности. Таким образом, произвольное движение / (pN, t) покидает множество р (р, Л1) < е в конечное время и, следовательно, существует последовательность In такая, что f^< 0 и р (/ (pn, InY М) = 6 ip к, е). Далее, эта последовательность In, коечно, обладает свойством In-*-—оо, в противном случае существует ограниченная подпоследовательность этой последовательности и в силу компактности выбранной окрестности множества М существует движение, начинающееся в точке р0, р (р0, Л1) = е, которое достигает множества М в конечное время, что противоречит инвариантности этого множества. На основании свойства последовательности In и компактности выбранной окрестности существует точка Qo со следующими свойствами: 1) р (Qo, М) = в; 2) р (/ (Qo, f), М) С в, t < 0. Точка Qo■— одна из предельных точек последовательности Qw, Qn — f (PN, InY
Эта полутраектория должна покидать замыкание е-ок- рестности множества М, иначе движение, начинающееся в достаточно малой окрестности Qo, также покинет замкнутую окрестность Qo в конечное время, так как есть движения, проходящие через точки р^, орицательные полутраектории которых остаются произвольно долгое время в е-окрестности.
Таким образом, предположение 6 (е) = 0 для е > 0 приводит к существованию движения / (Qo, 0 такого, что
Р (/ (Qo, О, М) 8 Для ^ О и р (Qo, М) = е. Последнее противоречит предположению, что целые траектории динамической системы отсутствуют в этой окрестности. Обратное утверждение очевидно: если 6 (е) > 0 для s > 0, то 6 (р, е) > 0 и, очевидно, не существуют движения, предельные точки которых лежат в множестве М. ■
Доказанное утверждение будем считать видоизменением теоремы?: необходимое и достаточное условие устойчивости по Ляпунову для замкнутого инвариантного множества Mf имеющего достаточно малую компактную окрестность, не содержащую целых траекторий, состоит в том, что не су? ществует движения f (р, /), р^М, имеющего а-предельные точки, принадлежащие М. В последующих теоремах будет использовано видоизменение теоремы 7.
Теорема 8. Для того чтобы замкнутое инвариантное множество М динамической системы / (р, t) с достаточно малой компактной окрестностью было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
не существует движения / (р, /), имеющего а-предельные точки в М, р М;
существует достаточно малая окрестность множества М, не содержащая ■ траекторий динамической системы f(p. О- '
□ Необходимость. Пусть замкнутое инвари- риантное множество М асимптотически устойчиво, тогда оно просто устойчиво. Поэтому условие 1 выполнено в силу теоремы 7. Покажем, что выполнено также и условие 2. Пусть, напротив, какую бы окрестность М ни взять, в ней найдется по крайней мере одна точка р такая, что движение / (р, t) остается в этой окрестности при t 6 (—оо, +°°). Возьмем любую последовательность /„-»—оо. Тогда из последовательности рп = f (р, tn) можно выбрать сходящуюся подпоследовательность pnh в силу компактности достаточно малой окрестности множества М. Пусть рПь -> ро- Условие 1 выполнено, поэтому имеем inf р (/ (р, t), М) —
_ _ ' <9
= 6 (р) > 0. По величине е = 6 (р), согласно определению 1 § 9, можно указать некоторую величину 6 > 0. Зная 6 укажем величину Т > 0 такую? что р (/ (pQ, Т), М) < 6. Далее, согласно теореме о непрерывности по начальным данным, по величинам Т и гх > 0 укажем величину г2 > 0 такую, что при р ^рд, q) < г2 имеем р (/ tp6, Т), f (q, Т)) <
< rv На основании непрерывности функционала р (р, М) величину гх можно выбрать столь малой, что р (/ (р, 7), 44) < < 6 при. р (р0, р)О2- По величинам r^viT можно указать пк столь большое, что Т + tnk < 0 и р (р0, р„к) < га. Тогда, с одной стороны, р (/ (рпк, Т), М) ■< 6, с другой стороны, / (рпк, Т) = f (р, Т + tn^. Поэтому р (/ (Рпк, Г), 44) > 6 (р). Полученное противоречие показывает, что сделанное предположение неверно. Следовательно, условие 2 выполнено. Таким образом, необходимость условий доказана полностью.
Достаточность. Пусть условия 1, 2 выполнены. Покажем, что 44 асимптотически устойчиво. Как было показано в теореме 7, при выполнении условия 1 множество М устойчиво. Следовательно, по любому достаточно малому е > 0 можно указать соответствующее 6 > 0 такое, что при р (р, М) < 6 имеем р (/ (р, t), М) < в, 7 > 0. Покажем, что при этом также р (/ (р, 7), М) -> 0 при 7-*- 4-°°. Пусть это не так. Тогда существует точка р такая, что р (р, М) < 6 и р (/ (р, t), 44) т^- 0 при 7-*- 4-оо. В силу компактности достаточно малой е-окрестности множества М в этом случае можно указать последовательность tn -> 4-00 такую, что рп = / (р, tn) -*• <7 при п -> 4-°°, Р £ М и р (р, М) 6.
Движение f (q, t) целиком состоит из to-предельных точек движения f (р, I). Следовательно, расстояние р (/ (р, t), М) С 6 при 7 5 (— оо, 4-оо). А тогда в е-окрестности множества М содержится траектория динамической системы / (р, 7), что противоречит условию 2. Таким образом, Р (/ (Р> t), 44)-»- О при 7-»- 4-оо какова бы ни была точка р, р (р, М) < 6. Теорема доказана полностью.
Лемма. Для того чтобы замкнутое инвариантное множество М с достаточно малой компактной окрестностью, не содержащей траекторий динамической системы / (р, 7), не_ имело a-предельных точек для некоторого движения р С М, необходимо и достаточно, чтобы не существовало движения / (р, 7) такого, что р £ М, а р (/ (р, 7), 44) -> О при 7-»—оо.
_□ Необходимость. Если существует точка р, р ^ М, такая, что р (/ (р, 7), 44)-> 0 при 7-^оо, то существует последовательность 7П -э—оо такая, что р (рп, 44)-> 0 при п-> 4-°°, рп — f (р, tn). Из последовательности рь .... рп, ... в силу компактности достаточно малой окрестности множества 44 можно выбрать сходящуюся под-
последовательность Pnh-*q. Тогда q^M, p(q, f (p, tnkY~*O при nh -*• +oo. Следовательно, точка q является a-предельной точкой движения f (р, tY Таким образом, если существует движение / (р, tY р £ М, обладающее свойством р (/ (р, tY М) -* 0 при t-*- —оо, то это движение имеет а-предель- ные точки, содержащиеся в М. Необходимость условия можно считать доказанной.
Достаточность. Предположим, что не существует движения / (р, /), р £ М, р (/ (р, tY М) -> 0 при /г-> -^— оо. Покажем тогда, что не существует движения f (р, О, имеющего a-предельные точки в М. Пусть, напротив, существует такая точка р £ М, что некоторые из а- предельных точек движения / (р, t) содержатся в М. Тогда для любого достаточно малого в > О равенство р (/ (р, tY М) = в имеет место для сколь угодно больших значений |/|. Возьмем две последовательности tn и th, th < tn, такие, что tn-* —оо, Р (/ (р, tnY М) = в, р (/ (р, thY _М) = в, и р (/ (р, tY М) < в при t 6 (tn< Q, inf p (f (p, tY M) =
= Pn 0 при n -* +oo. Положим pn = f (p, tnY На основании компактности достаточно малой окрестности множества М последовательность tn можно считать выбранной так, что рп -* ро при п -* +оо. Используя теорему 1 о непрерывной зависимости по начальным данным, покажем, что р(/ (ро, tY М)< в при t^O. Затем покажем, что движение / (q, tY где q есть a-предельная точка для движения / (р0, tY q € М, обладает свойством р (f (q, tY М) < е при t £ (—оо, +оо), что приводит к противоречию с условием леммы, так как в > 0 с самого начала было выбрано любым сколь угодно малым.
Для этого покажем сначала, что th — tn -* —<» при п-*+оо. Пусть, напротив, th — tn 7*—00. Более того, пусть th—tn > N, N >—00. Выберем величины тп так, чтобы р (/ (р, tn + тп), М) = рп. Ясно, что тп удовлетворяет неравенствам N < тп < 0. Из последовательности тп поэтому можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Будем считать, что тп с самого начала таково, что тп -* t0. Тогда из рп -> р0, тп -> t0 имеем: / (рп, т„) -^- / (р0, t0) = q0. Откуда следует, что,_с одной стороны, q0 € М, ас другой / (<7о, —^о) = Ро, Ро Е М» что невозможно, так как множество М инвариантно. Таким образом, сделанное предположение th — tn > N неверно. Более того, это не имеет места также для любой бесконечной подпоследовательности
tnh— t"K Следовательно, tk—tn-4—oo. Покажем далее, что p (/ (po. t\ M)<e при КО. Действительно, если существует конечная величина Т< О такая, что р (/(р0, Т), Му> ■> е, то при достаточно больших значениях п в силу непрерывности по начальным данным имеем p(f(pn, Т), М)> ■> е, что невозможно, поскольку р (/ (рп, t), М) < е при t 6 IO, tn — U- Таким образом, р (/ (pOl t), М)^е при t С 0. На основании этого и в силу компактности достаточно малой окрестности множества ЛГ существует точка q^M, являющаяся a-предельной для движения / (pOl t). Движение / (q, /) состоит из а-предельных точек движения / кр»» 0> следовательно, р (/ (о, /), М) < е при t £ (— оо, Н-оо), что противоречит сделанному в теореме предположению об отсутствии в достаточно малой окрестности траекторий динамической системы. Лемма доказана полностью.
Теорема 9. Для того чтобы замкнутое инвариантное множество М с достаточно малой компактной окрестностью было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия:
не существует движения / (р, t), р ^ М такого, что р (/(р, 0, А1)->0 при t-»оо;
существует достаточно малая окрестность множества М, не содержащая траекторий динамической системы Цр, 0-
Из леммы следует, что условия 1 и 2 теоремы 9 выполнены тогда и только тогда, когда выполняются условия 1 и 2 теоремы 8. Таким образом, теорема 9 представляет собой другую формулировку теоремы 8.
При этом следует отметить, что теорема 9 позволяет делать конкретные выводы о наличии асимптотической устойчивости инвариантных множеств динамических систем, определенных системой дифференциальных уравнений.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
Sr^fs^х„).(1.16)
at
Предположим, что функции fs (хи .... хп^ заданы в Еп и удовлетворяют там некоторым условиям, гарантирующим существование единственного решения X = X (t, Х^), непрерывного по XW, t, проходящего при t = 0 через точку XW, и fg = (0, .... 0) = 0.
Теорема 10. Для того чтобы нулевое решение системы (1.16) было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
не существует интегральной кривой системы (1.16) X = X (t, Х^), |AW | += 0 такой, что |Х| -> 0 при t —>- —оо;
существует достаточно малая окрестность точки X = = 0, не содержащая никакой интегральной кривой X = = X (t, Х^), t 6 (-оо, +оо), |Х<°>| # 0.
При помощи замены независимого переменного по формуле
ds = dt"\f 1 + 5 fl
построим систему уравнений
(к=\,...,п\(1.17)
У 1+2/7
Система (1.17) определяет в пространстве Еп динамическую систему X = X (s, Х<0>), для которой точка X = 0 является замкнутым инвариантным множеством. Применяя теорему 9 к этой динамической системе и считая, что множество М совпадает с X = 0, мы без труда можем установить справедливость теоремы 10.
Рассмотрим систему (1.16) при п = 2. Предположим, что точка хт = х2 = 0 для системы (1.16) в этом случае является изолированным положением равновесия.
Теорема 11. Для того чтобы точка х3 = х2 = 0 для системы (1.16) при л = 2, являющаяся изолированным положением равновесия, была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
не существует интегральной кривой системы (1.16) X = X(t, Х^), |Х<°>1+=0 такой, что |Х|->0 при t-> -*- —оо, п = 2; ■
существует по крайней мере одна интегральная кривая X = X (I, Х^) системы (1.16) такая, что |Х| -> 0 при / _^_ +оо, п = 2.
Рассмотрим динамическую систему, определяемую системой дифференциальных уравнений (1.17) при п = 2. Покажем, что при выполнении условия 2 теоремы 11 существует достаточно малая окрестность точки хх = хг = = 0, не содержащая траекторий динамической системы X = X (s, Х<°>), s £ (—оо, +оо). Предположим противное, что в любой достаточно малой окрестности xt = х2 = 0 существуют траектории динамической системы. Тогда существует периодическое движение, охватывающее эту точ-
ку [5]. Этот факт следует из того, что точка Xj = х2 = О является изолированным положением равновесия для системы (1.17) и условия 1 теоремы 11. Однако наличие периодического движения в сколь угодно малой окрестности точки Хц = х2 — О противоречит условию 2 теоремы 11, поскольку тогда имеет место нарушение единственности, а именно: интегральная кривая X (/, Х(0)) -> 0 при t-> +<х> пересекла бы все такие периодические решения, что невозможно. Таким образом, существует достаточно малая окрестность точки Xj = х2 = 0, не содержащая траекторий Х — Х (s, XW), s $ (—оо, +оо). Отсюда следует, что выполнение условий 1 и 2 теоремы 11 влечет выполнение условий 1 и 2 теоремы 10, откуда следует справедливость теоремы 11.
Этот чисто качественный анализ поведения движений динамической системы в окрестности инвариантного множества позволяет для некоторых систем дифференциальных ураьнений вида (1.16) дать конкретные достаточные признаки асимптотической устойчивости нулевого решения, а также его неустойчивости. Впервые достаточное условие неустойчивости нулевого решения системы (1.16) приведено в работе [6] и заключается в наличии интегралвной кривой X = X(i, XW)->0 при /->—оо.
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
Теорема 12. Для того чтобы замкнутое инвариантное множество М было устойчиво по Ляпунову, необходимо и достаточно, чтобы существовал функционал V, заданный в достаточно малой окрестности S (М, г) множества М, обладающий следующими свойствами:
для любой достаточно малой величины Cj > 0 можно указать величину С2 > 0 такую, что V (р) > с2 при р £ € S (М, г) и р (р, М) > q;
для любой сколь угодно малой величины у2 > 0 можно указать величину Yi > 0 столь малую, что V (р) ^ ^ у2 при р (р, М) < Yi!
функция V (f ^р, t)) является невозрастающей при t > 0, р € S (М, г), для всех /, пока / ^р, /) € S (М, г).
□ Необходимость. Пусть замкнутое инвариантное множество М устойчиво по Ляпунову. Покажем, что условия теоремы 12 выполнены. Возьмем некоторое е> 0. Согласно определению 1 § 9, ему отвечает некоторая величина 6 > 0 такая, что при р (р, 7И) < 6 имеет место неравен-
ство р (/ (р, ty М) < е при f > 0. Следуя работе [7], положим V (р) = sup р (/, (р, ^), М). Этим самым функционал t ^ о.
V (р) определен в 8 (М, 6). Функционал V (р) удовлетворяет условию 1, так как V (р) > р (р, МУ откуда следует, что при р (р, Л4) > q и р (р, М) < 6 будет V (р) > с2, ^ = с2.
Покажем, что имеет место условие 2. По величине у2 > > 0, согласно определению 1, можно указать величину Т1 > 0 такую, что при р (р, М) ■< у2 справедливо неравенство р (/ (р, 0, М) <_ у2 при / > 0. Следовательно, sup р (/ (р, t), М) < у2, тогда V (р) $5 у2 пРи р (р, М), < t > 0 < уг. Таким образом, показано, что функционал V (р) удовлетворяет условию 2. Покажем далее, что V (р) удовлетворяет условию 3. Пусть точка р € 8 (М, 6), тогда / (р, /(5 8 (М, 6) для всех значений t 6 [0, 7)- Следовательно, определено значение функционала в любой точке / (р, /), t С [0, Ту Ясно, что
V = ki (Р> iy = sup р У (Др, Ту t), М = sup р (р, t + Ту М) = t>0t>0
= sup_p(/(p, ty муt>t
Таким образом,
^(f^P, O) = supp(f(p, tyM)^supp(f(p, ty M) = V(py t^T<>»
Итак, V (f (p, ty < V (p) при любом достаточно малом f> 0. Этим необходимость условий 1—3 теоремы 12 доказана полностью.
Достаточность. Пусть в некоторой окрестности множества 8 (М, г) существует функционал V, обладающий свойствами 1, 2, 3. Покажем, что замкнутое инвариантное множество М устойчиво по Ляпунову. Возьмем е > 0 и е < г и положим, следуя Ляпунову, % = inf V (р) при р (р, А1) = е. В силу свойства 1 X>0. На основании свойства 2 по величине X можно указать величину 6 > 0 такую, что V (р) <. X при р (р, М1) < 6. Покажем, что найденная величина 6 > 0 соответствует взятому е > 0 согласно определению 1 § 9, т. е. при р (р, М) < 6 справедливо неравенство р (/ (р, 0 М) < е при t > 0. Предположим противное, а именно: пусть существует точка р € 8 (М, 6) такая, что при некоторой конечной величине t > 0 имеет место равенство р (/ (р, ty М) = е. Тогда V (f (р, 7)) > X. Но в
силу свойства 3 V (f (р, /)) < V (р) < Л. Таким образом, получено противоречие, которое показывает, что сделанное предположение неверно, и, следовательно, инвариантное множество М устойчиво по Ляпунову.
Теорема 13. Для того чтобы замкнутое инвариантное множество М динамической системы /(р, <) было асимптотически устойчиво по Ляпунову, необходимо и достаточно, чтобы существовал в некоторой достаточно малой окрестности 3 (М, г), г > О, множества AI функционал V, обладающий всеми свойствами 1—3, указанными в теореме 12, и, кроме того, V (f (р, /))~*0 при <-*+оо для любого движения / (р, /) € 3 (М, г), при t Е [0, +<»).
□ Необходимость. Пусть Af асимптотически устойчиво. Тогда множество М устойчиво по Ляпунову и, следовательно, в некоторой достаточно малой окрестности 3 (М, 6) можно построить функционал V (р), удовлетворяющий условиям 1—3 теоремы 12. В силу асимптотической устойчивости М все движения / (р, t\ начинающиеся в ^-окрестности множества М, остаются в 3 (А1, 6) при t > 0. Пусть / (р, 0 — одно из этих движений. Покажем, что V (f (р, 0) -*-0 ПРИ ^~* +°о. По е' > 0 укажем величину Т > 0 такую, что р (/ (р, f), М) <. е', при t > Т. Существование величины Т, обладающей указанным свойством, следует из факта асимптотической устойчивости.
Ясно, что V (f (р, 0) = sup Р (/ (р> t + t), Al). Из т ^ о
р (/ (р.Т + т), М) < е' при т ^ 0 следует, что V(f(p, t)) ^ е' при t^T. Таким образом, V (f (р, 0) -* 0 при <-»-+ оо. Этим необходимость условий доказана полностью.
Достаточность. Пусть условия теоремы 13 выполнены. Докажем, что инвариантное множество М асимптотически устойчиво. Из выполнения условий теоремы 13 следует, что в окрестности 3 (М, г) существует функционал V (р), удовлетворяющий условиям 1—3 теоремы 12. Следовательно, множество М устойчиво по Ляпунову, т. е. для любого е > 0 можно указать величину 6 > 0 такую, что р (/ (р, /), А1) < к при р (р, А!) < 6. Покажем, что величину 6 можно, вместе с тем, выбрать так, что р (/ (р, 0, М) -> 0 при t -> +оо и при р (р, М) < 6. Действительно, по найденной величине 6 > 0 указанным в теореме 12 способом построим (как по е) величину 6Ъ такую, что при р (р, А1) < 6t имеет место неравенство p(f(p, /), М) < < 6 при / > 0. Ясно, что V (J (р, 0) задана при t Е [0, +оо) для любого р Е 3 (Л4, бх). Покажем, что величина 6j искомая. Действительно, пусть это не так, т. е. существует по край-
ней мере одна точка р б S (М, 6,) такая, что р (/ (р, f), МУ>Т1>0 ПРИ t >0. Тогда V Q (р, 0)>?2>0 согласно свойству 1, что противоречит условию V (f (р, /)) -> 0 при /->+°°. Этим теорема доказана полностью.
Замечание. При доказательстве теоремы использован следующий легко устанавлир^емый факт: при устойчивости множества М условие ; (/ (р, /), М) А 0 при /->+оо равносильно р (/ (/;, /), М) > ^ > О при /б СЮ, +оо).
Теорема 14. Для того чтобы замкнутое инвариантное множество М было равномерно асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности S (7И, г) множества 7И существовал функционал У, удовлетворяющий всем условиям теоремы 13, и, кроме того, чтобы существовала величина 6Т > 0 такая, что V (/ (р, /))->0 при +°° равномерно относительно р б S (М, 6,).
Необходимость. Пусть множество М равномерно асимптотически устойчиво. Покажем, что условия теоремы 14 выполнены. Как следует из определения 1 § 10, инвариантное множество М асимптотически устойчиво. Поэтому существует функционал V, удовлетворяющий условиям теоремы 13. Согласно определению 1 § 10 существует величина 6t > 0 такая, что для любой величины Н > 0 можно указать величину Т (Н) > 0 такую, что Р (f (Р> 0. М) < Н при t > Т (Н) для р Е S (Д4, 6J. Из определения функционала имеем V (f (р, ^)) = sup р (/ (р, / +
Т ^ О
+ т), Му При р £ S (7И, 6J получаем V (f (р, t)) = sup р х в t
X (f (р. 6), М)<Н при 1>ТЩУ Таким образом, V (f (р, f)) -4-0 при t -4- 4-оо равномерно относительно р Е S (Л4, dj.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Как следует из теоремы 13, при выполнении условий теоремы 14 множество М асимптотически устойчив о. Поэтому по 8> 0 и е < г можно указать величину 6 > 0 такую, что при р (р, Л4) < 6 будет Р V (Р» ty Л4) < е при t > 0, р (/ (р, О» М) -4- 0 при t-*- -4- ф-оо. Предположим, что М неравномерно асимптотически устойчиво. Тогда существует по крайней мере одна величина Н > 0 такая, что какую бы величину Т > 0 ни взять, существует точка p^.S(M, 6) такая, что р (/ (р, ТУ М) > Н. Согласно условию 1 теоремы 12, по величине Н можно указать величину с2 > 0 такую, что V (р) > с^ при р (р, М1) > Н, так что имеем V (f (р, ТУ > с2. Это противоречит равномерному стремлению к нулю И (/ (р, 0)
при р С 5 (7И, 6t). Поскольку величину 6 > 0 можно выбрать столь малой, чтобы было 6 < 6Р Тем самым теорема доказана полностью.
Теорема 15. Для того чтобы замкнутое инвариантное множество М динамической системы / (р, /) было равномерно притягивающим, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены все условия теоремы 13 и чтобы, кроме того, для любой величины Л > О можно было указать две величины 7 > 0 и а > О такие, что при р (р, М) > h V (f (р, t)) > а, /ЕГО, 71.
Необходимость. Пусть множество М является равномерно притягивающим. Тогда, согласно определению 2 § 10, множество М асимптотически устойчиво. Таким образом, в некоторой окрестности 5 (7И, г) множества М существует функционал И, удовлетворяющий всем условиям теоремы 13.
Из определения 2 § 10 следует, что для любого Л> 0 можно указать величины 7 > 0 и а > 0 такие, что при h < р (р, /И) < 62, где 62 — некоторая величина, соответствующая, по определению 1 § 10, некоторому г2 > 0, имеет место неравенство р (/ (р, /), М) > а при / € 10, 7]. Функционал V удовлетворяет условию 1 теоремы 12. Итак, по величине а можно указать величину с2 > 0 такую, что V (р) > с2 при р (р, 7И) > а. Следовательно, V (/ (р, /)) > с^ так как р (/ (р, /), УИ) > а при / 6 [0, 7]. Тем самым необходимость условия доказана.
Достаточность. Предположим, что условия теоремы выполнены. Покажем, что множество М является равномерно притягивающим. Действительно, из условий теоремы следует, что множество М асимптотически устойчиво. Поэтому для любого е > 0 можно указать величину 6 > 0, такую, что р (/ (р, /), УИ) < е, / > 0 при р (р, УИ) < < 6. Предположим, что множество М не является равномерно притягивающим. Тогда найдется по крайней мере одна величина 0 < h <_ 6 такая что, какую бы величину 7 > 0 ни взять, найдется последовательность pn, п-> +°°, обладающая свойством /i<p(pn, М) < 6, a inf р (/(рЛ, t ею,п
/), УИ) = 0, п = 1, 2, ... Следовательно, по любому q > 0 можно указать две величины т С [0, 7] и пк > 0 такие, что Р (/ (Pn^Y М) < cv\ тогда согласно условию 2 теоремы 12 имеем: V Q (рпм т) < с2, при этом величина с2 сколь угодно мала, если сх достаточно мало. Таким образом, получено противоречие. Следовательно, сделанное выше предположение неверно. Тем самым теорема доказана полностью.
Установим связь теорем 12 и 13 с достаточными признаками устойчивости и асимптотической устойчивости нулевого решения системы (1.11), равномерной по /0 (см. «Введение»).
Как было показано в § 9, используя систему (1.11), можно в пространстве (X, /) построить динамическую систему X = X (s, XW, t0), t — t (st XW, /0), определяемую системой уравнений (1.14), (1.13), так что вопрос об устойчивости нулевого решения системы (1.11) будет эквивалентен вопросу об устойчивости инвариантного множества X = 0.
Теорема 16. Для того чтобы инвариантное множество X = 0 динамической системы (1.14) было устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области 0 < < |Х| < г, / £ (—оо, Н-оо) существовала функцияУ(Х, 0» обладающая следующими свойствами:
для любой достаточно малой величины сг > 0 можно указать величину с2 > 0 такую, что V (X, t) > с2 при |Х|><у,
для любой сколь угодно малой величины у2 > 0 можно указать величину у2 > 0 столь малую, что V (X, t) < <у2 при |Х| < уг;
функция V (X ($, Х(0>, /0), / (s, Х(0>, /0)) является невозрастающей при всех s>0, пока |Х (s, Х<°), /0)| < г. Условие 3 теоремы 16 означает, что функция V (X (s, Х(0), ^о), t (s, XW, t^ дифференцируема вдоль интегральных кривых системы (1.12) почти для всех s, и при этом имеет место неравенство dVtds ^ 0 (по теореме Лебега о диференцируе- мости монотонной функции [34]). Это же утверждение справедливо и для функции V (X (/, Х(0), /0), /), причем dVidt < <0 почти везде для t > 1й1 пока |Х (/, Х<°>, /0)|<г. В достаточном признаке устойчивости нулевого решения системы (1.11), предложенном Ляпуновым, условие 3 теоремы 16 заменено более жестким, а именно: предполагается, что функция V (хъ ..., xn, /) имеет непрерывные частные производные по всем своим аргументам и функция
+ (1-18) dt ,=1 dxi
Однако в доказательстве А. М. Ляпунова условие (1.18) нужно лишь для того, чтобы имело место условие 3 теоремы 16. Таким образом, достаточный признак Ляпунова является, как показывает теорема 16, в то же время и необходимым.
Условия асимптотической устойчивости нулевого решения системы (1.11), данные А. М. Ляпуновым, являются, как показывает аналогичный анализ, только достаточными. Однако при доказательстве требуется лишь, чтобы выполнялись условия 1—3 теоремы 16 и чтобы, кроме того, V (X (s, Х<°>, Q, t ($. Х<0), /о))-* 0 при s —>- 4-оо для любых (Х(0>, /0) таких, что |Х (s, Х<°>, УК'- Таким образом, достаточные условия Ляпунова по существу являются также и необходимыми.
§ 13. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
Рассмотрим некоторый функционал V (р), заданный при p^MxcR.
Определение. Если величина V (f (р, t)) — V (р) определена при всех достаточно малых t и если существует Ит2ЧНМЬ^_^() = ^(р) t-o tat ’
то он называется производной функционала V в точке р вдоль движения / (р, t).
Теорема 17. Для того чтобы замкнутое инвариантное множество М динамической системы / (р, t) было неустойчиво, необходимо и достаточно, чтобы существовал в некоторой окрестности S (.М, г) множества М функционал V, обладающий следующими свойствами:
функционал V ограничен в S (М, г);
в сколь угодно малой окрестности множества М существует по крайней мере одна точка р такая, что V (р) > > 0;■
для любой точки р 6 5 (М, г) имеет место равенство
—=W4- w,at
где X > О, a W — неотрицательный функционал, заданный в 5 (М, г).
Необходимость. Пусть множество М неустойчиво. Тогда существует по крайней мере одна величина е > 0 такая, что в любой сколь угодно малой окрестности S (М, 6) множества М существует точка р такая, что р Q (Р» О, М) = е при некотором t > 0. Возьмем точку р 6 5 (М, е). Возможны два следующие случая:
р (/ (р, О» Af) < е при t > 0;
существует величина / (р) такая, что р (/, (pt (р)), М) = е и р (/ (р, О» Af) < е, когда / 6 10, t (р)). Положим
В первом случае V (?) = О, во втором случае V (/?) = е-1^. Таким образом, функционал V (р) определен в любой точке множества S (Л1, е) и ограничен там: V (р) ^ 1. Как было отмечено, точки р второго типа существуют в любой сколь угодно малой окрестности S (М, 6) множества М. Поэтому построенный выше функционал удовлетворяет условию 2. Покажем теперь, что функционал V удовлетворяет также условию 3. Действительно, если точка р £ S (М, е) относится к первому типу; то V (j (р, /)) s 0, пока / (р, t) € S (М, t), поэтому dVldt = V вдоль любого такого движения.
Если точка р — точка второго типа, то V (f (р, /)) = = e<~'(p)t откуда dV!dt= V. Таким образом, условие 3 выполняется вдоль любого движения Нр, /) Е S (УИ, е) при X = 1 и W = 0.
Достаточность. Пусть в некоторой окрестности замкнутого инвариантного множества М существует функционал V, обладающий свойствами 1—3. Покажем, что множество М неустойчиво. Пусть, напротив, множество М устойчиво. Тогда по любому е > 0, согласно определению 1 § 9, можно указать величину 6 > 0 такую, что при р (р, М) < 6 получим р (/ (р, t), М) < е < г, t > 0. В этом случае на любом движении / (р, t) функция V (f (р, /)) ограничена при t >0 и р Е S (Л4, 6), так как это движение лежит в области задания функционала V. Согласно условию 2, в S (М, 6) существует точка р такая, что V (р) > 0. Функция V (f (р, /)) удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению ^ V (f (р, /)) = ХУ (/ (р, /)) + + W (f (р, /)) с начальным данным условием V У (р, 0)) = = V (р). Интегрируя это уравнение и переходя к неравенству, имеем V (f (р, t)) > V (р-) Iм при / > 0, что противоречит ограниченности функции У(/, \р, /)). Полученное противоречие свидетельствует, что множество М неустойчиво.
Применим теорему 17 к отысканию условий неустойчивости нулевого решения системы (1.11).
Теорема 18. Для того чтобы нулевое решение системы (1.11) было неустойчиво по Ляпунову, необходимо и достаточно, чтобы существовала функция V (X, t), заданная в области t > Т, 0 < |Х| < h [область В (Т, А)], обладающая следующими свойствами:
функция V (X, t) ограничена в области В (Т, К);
существуют точки (X, f) С В (Т, h) (|Х| сколь угодно мало) такие, что V (X, t) > 0;
V (X (Z, XW, Zo, 0 = W (X ^ XW, t6\ Z) + + IF(X (Z, XW, t0, t), X >0, W> 0 задана в области В (Г, h).
Для системы (1.11), как было показано выше, можно построить динамическую систему X = X (s, Х№, Zo), t = = t (s, Xw, Zo) в пространстве (X, Z). Для того чтобы инвариантное множество X = 0 этой системы было неустойчиво, необходимо и достаточно, чтобы существовала функция V (X, Z), заданная в области В (—оо, В), обладающая следующими свойствами:
V (X, f) ограничена в В (—оо, /?);
существуют такие точки (X, Z) (|Х| сколь угодно мало, Z > Т\ что V (X, t) > 0;
^- = XV+F.
Кроме того, не нарушая общности, V (X, f) можно считать неотрицательной.
Условия 1 и 3 следуют из теоремы 17, а условие 2 можно установить с помощью теоремы 17 и определения неустойчивости.
Вдоль интегральной кривой X = X (/, Х<°\ /0), остающейся при некоторых / > /0 в области В (Т, h\ имеем
dV dtdV dt1 4- S fl , Z=11 4- S fl , Z=1
dV dt
dV dt
1 4- S fl , Z=1
1 4- S fl , Z=1
откуда
^L = xv-vwx,dt
где Wx — неотрицательная функция,
Wx-wy 1 + sfi + xvly 1 + 2/z-i V"Z=1v /=1/
Таким образом, функция V (X, Z), существующая в силу теоремы 17 для динамической системы, отвечает всем условиям теоремы 18. Тем самым теорема доказана полностью. Заметим, что Ляпунов дал достаточный признак неустойчивости, в котором имеются все условия теоремы 18. Однако он требовал наличия частных производных от V (X, Z) по переменным хп ..., хп, t. Это требование было нужно
лишь для того, чтобы существовала производная функции V (X, 0 вдоль интегральных кривых системы (1.11), т. е.
dV(X(t, Х«», t0), О
dt
Таким образом, по существу, 2-я теорема Ляпунова о неустойчивости содержит необходимое и достаточное условие неустойчивости нулевого решения системы (1.11).
Впервые необходимость условий 2-й теоремы о неустойчивости для стационарных систем установлена в работе Н. Н. Красовского [8]. Он же исследовал для случая стационарных уравнений условия обращения 1-й теоремы Ляпунова о неустойчивости.
Замечание. При доказательстве теорем, содержащихся в § 12 и 13, не были существенно использованы свойства непрерывности динамической системы f (р, Z) по обоим аргументам. Групповое свойство динамической системы было использовано только для t > 0, поэтому полученные здесь результаты имеют место для более общих семейств преобразований R на себя, чем динамическая система.
В гл. 4 рассмотрены такие общие системы, для которых остаются в силе сформулированные результаты.
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ РАВНОМЕРНО АСИМПТОТИЧЕСКИ УСТОЙЧИВЫХ И РАВНОМЕРНО
ПРИТЯГИВАЮЩИХ ИНВАРИАНТНЫХ МНОЖЕСТВ
В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия того, чтобы открытое инвариантное множество Л, содержащее достаточно малую окрестность замкнутого инвариантного множества М, было областью асимптотической устойчивости равномерно притягивающего инвариантного множества М. Эти условия принципиально позволяют указать границу области асимптотической устойчивости.
Теорема 19 [9]. Для того чтобы открытое инвариантное множество А с R, содержащее некоторую окрестность замкнутого инвариантного множества McR, было областью асимптотической устойчивости равномерно асимптотически устойчивого и равномерно притягивающего множества М, необходимо и достаточно, чтобы существовали два функционала V (р) и Ф (р), обладающие следующими свойствами:
функционал V (р) задан и непрерывен в А, функционал Ф р) задан и непрерывен в R;
—1 < V (р) < 0 при р С А; Ф (р) > О при р G R, р (р, УИ) ^ О и Ф (р) = О при р Е М;
по любому достаточно малому уа > 0 можно указать величины ух и ах такие, что V (р) < —ух при р (р, /И) > у2; Ф (р) > ах при р (р, М) > у2;
функционалы V и Ф стремятся к 0 при р (р, УИ) ->- О;
если существует точка q $ М, q С А \ А, то Пт У (р) = —1;
Р(Р.»)-*О,
№ =ф(р)(1+У(р». \ dt ]t = 0
□ Необходимость. Инвариантное множество М по условию теоремы равномерно асимптотически устойчиво. Поэтому существуют число 6Х> 0 и непрерывная строго монотонно убывающая от +оо до 0 функция L (/), обладающая свойством р (f (р, I), М) ^ L (У) при р (р, Л4) < < 6Х, (см. теорему 5). Рассмотрим функцию Ф (х) = xe-L~^x\ где L-1 (х) — обратная функция по отношению к L (t) и х > 0. Функция Ф (х) положительна, непрерывна и Ф (х)0 при х 0.
Если х > ах > 0, то Ф (х) >■ а2 (ах) > 0.
Таким образом, функционал Ф (р (р, УИ)) = Ф (р) обладает требуемыми свойствами. Положим
/ +00\
(1.19)(1.19)V(p) = expl — J ФУ/(р,/))</м—1,V о/
(1.19)
(1.19)
где Ф (/ (р, /)) = Ф (р (/ (р, 0, УИ)). Покажем, что из формулы (1.19) следует равенство
1 + V Q (р, У)) = (1 + V (р)) ехр ()Ф (/ (Р, П) dt'). (1.20)
Из (1.19) имеем
14-IZ(p) = expf — уФ (f(p, t'))dt'— j* Ф(/(р,У'))с?У'\ Votj
откуда
(1+7(р))ехр^Ф(/(р,/'))^' U\o/
/+°o\
= exp I — f Ф (/ (p, t + t)) dr I =
Vo/
= expf— j Ф(Пр,/), т)с?т^=1-^У(/(р,/)).
Здесь использовано свойство «Б» динамической системы. Таким образом, функционал V (р) определен формально выражением (1.20) вдоль всего движения f (р, /). Покажем теперь, что интеграл
"j Ф(Г(Р,Л)а1'С)
о
‘сходится при р Е А, так что формула (1.19) определяет некоторый функционал при р £ А. Если р € А, то можно указать величину Т (р) > 0 такую, что р (/ (р, t), М) ■< бх при t > Т (р). Разобьем интеграл (*) на два:
YФШМ^М^^ Ф(/(р,Г))^'. оот
В интеграле [ сделаем замену переменной интегрирования: т
7 ~ т + 7, тогда получим
"j ФА' = ^ ®(/(p,T + T))dr=+J Ф(/(Нр,Т),т))Л. тоо
Так как р (рг, М) < 6Ъ где pi = f (р, Г), то
(0 > Р (/ СМ), М) при t > Т (р)(1.21)
(см. теорему 5). Из неравенства (1.21) следует t <_ < L-1 (р (/ (pi, 0» М>\ откуда
р (/ (ръ 0, М) е-' »(f (Pl, 0, ^) exp [—I-1 X
X (Р^^, 0, ^))] = Ф(/(Р1, 0).(1.22)
Применяя (1.22) к оценке интеграла f Ф (/ (рп т)) dr, по- о
лучаем
J Ф(/(Р1. t))dT< С p(f(pi,t), M^e-ldt<bv о"о
Таким образом, сходимость интеграла (*) доказана. Из непрерывности функционала In (1 + V (р)) = Vy (р) следует непрерывность функционала V (р) при р Е А. Из формулы (1.19) имеем:
УДр^-"] ф^р,^'.о
Покажем непрерывность функционала VT (р) при р Е А:
\УЛр)-УЛя)\-=\УЛр)-УЛя)\-=(Ф^р^-ФЩда^си. (1.23)(Ф^р^-ФЩда^си. (1.23)
\УЛр)-УЛя)\-=
\УЛр)-УЛя)\-=
(Ф^р^-ФЩда^си. (1.23)
(Ф^р^-ФЩда^си. (1.23)
Так как р, q Е А, то можно указать величину 7 > О такую, что
-{- оо-{- ОО
J WUM^dKe,. и J Ф (f(q, t^dt < Bp тт
где вх—некоторая положительная величина. По величинам 7 и г2 > 0 можно выбрать Г1>0 (теорема 1) такое, что при р (р, q) < t\ имеем: р (/ (р, /), / (9, /)) < Н при t Е 10, 7]. Далее, г2 можно выбрать столь малым, чтобы |Ф (/ (р, ()) — — Ф (/ (q, /))| < 6^7 при / Е ГО, 71; тогда из выражения (1.23) получаем-
|Vi (р) — У1 (9)! < 3si при р (р, 9) < гР (1.24)
Таким образом, по Bj указано 1\ такое, что имеет место неравенство (1.24). Это означает, что функционал V (р) непрерывен в А.
Покажем, что по величине у2 > 0 можно указать величину 71 > 0 такую, что V (р) < —ух при р (р, М) > у2. Так как множество М является равномерно притягивающим, то по любой величине с2 > 0 можно указать 7 > 0 и а > 0 такие, что р (/ (р, /), Л4) > а при t Е Ю, 71 и р (р, Л4) > с2. Тогда можно указать величину Р > 0 такую, что Ф (/ (р, /)) > Р при / Е [0, 71. Из формулы (1.19) следует
г
V(p)<e °—1<—Ср
где Ci > 0. Покажем теперь, что V (р) -> 0 при р (р, Л4) -> ->0.
По достаточно малому ех > 0 укажем, согласно опре- +00
делению 1 § 9, 6 (ej > 0 такое, что f Фй1 < gj при 'о
р (р, М) < 6 (bj) в силу (1.22). Таким образом, У (р) > > е~е*— 1 при р (р, Л4) < 6 (ei), где вх достаточно мало и, следовательно, V (р) -> 0 при р (р, Л4) -> 0.
Покажем теперь, что lim V (р) = —1 при р (р, q)-+0, где q 6 Л \ Л и q g М.
Возьмем е > 0, по нему введем 6 (е) > О согласно определению 1 § 9. Выберем далее последовательность точек рп такую, что рп € Л, рп -> q и р (рп, /И) > 6 (е) при всех п. Обозначим через тп величину, обладающую следующими свойствами: р (/ (рп, /), М) > 6 (ь)/2 при / С 10, тп) и Р (/ (Рп, ^n), М) = 6/2. Покажем, что тп -> 4-°° при п-> 4-00.
Предположим, что тп<т<4-°° при n = 1, 2, ... По величинам т и г, > О можно указать величину га > О такую, что при р (q, q^ < гг имеем р (/ (q, /), / (qu /)) < г2 при t € [0, т]. Заметим, что р (/ (<?, т), Л4) > 6, в противном случае q ^ А. Поэтому величину г2 можно выбрать столь малой, чтобы р (/ (^ъ /), /И) > 6/2, / 6 [0, т]. Выберем число N столь большим, что при п > N р (рп, q) < гъ тогда
р(/(Рп, тп), М)>у при n>N,
что невозможно. Итак, последовательность тп неограниченна, и тогда не может иметь ограниченной подпоследовательности, что следует из приведенного выше рассуждения.
Таким образом, тп-* +°° при п-* 4-°°- Из формулы (1.20) имеем
/тп\
(l + V(f(pn,Tn)) = (14-V(pn))exp J O(f(p,/'))df . (1.25) Vo/
Величину е > 0 , ас ней и 6 (е) можно выбрать столь малой, чтобы V^">—1/2 прир(р, М) = 6(е)/2 (по свойству 4, настоящей теоремы), при этом также V (р) <— сг < 0.
J Ф(/(рп,/'))^/' ОJ Ф(/(рп,/'))^/' ОИз выражения (1.25) имеем
J Ф(/(рп,/'))^/' О
J Ф(/(рп,/'))^/' О
HV(Pn)<
/ тп
(1.26)(1.26)<(1 — Cj)exp [ — |“ Ф(Црп, ('))(!('-
(1.26)
(1.26)
При сделанных предположениях справедливо неравенство
Ф (/ (Рп, /')) > а > 0 при Г 6 [0, т„].(1.27)
Отсюда и из неравенств (1.26) следует, что 1 4- V (Рп)-*- О при п->4-°°. Необходимость доказана.
Заметим теперь, что V (f (р, 0) -*- 0 при /-> +оо строго монотонно при р £ Л.
Из выражения (1.20) имеем
-^^-1 = Ф(р)(Ц-У(р))-(1.28)
Из формул (1.28) и (1.19) следует, что V (/ (р, /)) строго монотонно возрастает от —1 до 0 при строго монотонном изменении t от — оо до +<х>. Тем самым необходимость условия доказана полностью.
Достаточность. Покажем, что множество М асимптотически устойчиво по Ляпунову. По б > 0 найдем X = sup V (р). По найденному X можно указать 6 > 0 та- р(р,М)=е
кое, что V (р) > X при р (р, М) < 6 (свойство 3). Из условия 6 настоящей теоремы следует, что V (f (р, /)) > V (р) при <>0.
Если р (р, М) < 6, то необходимо р (/ (р, /), М) < е при t > 0, так как V (f (р, /)) > X при t > 0.
Покажем теперь, что р (/ (р, 0» М) -*- 0 при t-* +<» и при р (р, М) <. 6. Действительно, по е' > 0, б' < 6, можно указать по приведенному выше правилу 6 (б').
Предположим, что р (/ (р, /), М) >■ 6' при t > 0, тогда
Ф(Ж 0)>Р(6').Ф(Ж 0)>Р(6').(1.29)(1.29)
Ф(Ж 0)>Р(6').
Ф(Ж 0)>Р(6').
(1.29)
(1.29)
Применяя (1.29) к условию 6, получаем
(1.30)(1.30)1 + V (f (р, 0) > (1 + X) е*
(1.30)
(1.30)
откуда следует, что V Q (р, 0)~>+°° при <->+оо, что невозможно*. Таким образом, р (f (р, /), М) -> 0 при /-*+оо, где р (р, М) < 6, поскольку существует такое Т (в') > 0, что при f> Т (е') имеет место неравенство Р (f (Р* 0« М) < б'. Вместе с тем р (f (р, f), М) стремится равномерно к нулю относительно р, р (р, М) < 6, так как неравенство (1.30) справедливо для любых р, обладающих свойством р (р, М) < 6.
Покажем далее, что множество М является равномерно притягивающим. По величине L > 0 можно указать е > 0 такое, что Ф (р) < L при р (р, М)< б в силу того, что Ф (р)->-0 при р (р, М)-> 0. Возьмем 0</i<6(e). По
•Условие 6 вдоль движения f (р, t) превращается в линейное дифференциальное уравнение, определяющее для любого р £ А t
функцию V (J (р, t)) = (1 + V (р)) ехр ( ,( Ф (/ (р, u'^du') — 1. о
h можно указать таксе сг кН), что при р (р, М) > А имеем V кр) < — С] (А), С) (А) > 0. Выберем т > 0 такое, что (1 — ci W) е6т = 1 — у, где у > 0.
Ре с смотрим множество точек
А < р (/?, М) < 6.(1.31)
Из условия 6 для точек множества (1.31) имеем 1 + V kf (р, 0) С (1 + У (/?)) eLT при / 6 [0, т], откуда V к} кр, /)) < < — у. Значит, существует а > 0 таксе, что р (/ кр, t), Л4) > а > 0 при / g [0, т], откуда следует, что множество М равномерно притягивающее. Покажем далее, что открытое множество А является областью асимптотической устойчивости. Пусть р 6 А; тогда из условия 6 получим соотношение (1.20).
Покажем, что р (/ кр, /), /И) -> 0 при t-* -|-оо. Действительно, пусть это не имеет места, тогда р (/ кр, t), М) > > 6 (е) при /> 0. В этом случае
Ф (/ кр, 0) > ₽ (8) при t > 0.(1.32)
Применяя неравенство (1.32) к выражению (1.20), получаем: 1 + V (р) = 0, что невозможно. Таким образом, при Р Е А Р (А кр, t), М) ->0, /-> +°°. Пусть рх Е R и рх g М. Покажем, что если р (/ kpi, t), /И)0 при /-*+°°, то рх £ А. Действительно, так как р (f (рх, t), М)-*- 0, то на траектории / (рх, /) найдется точка рг такая, что р кр^ М) < < 6 (е); тогда вся траектория / kpi, t) € А, что следует из инвариантности А. Тем самым теорема доказана полностью. Замечание 1. Если в динамической системе / кр, 0 возможно допустимое преобразование s = J ip (/ (р, t')) dt*, о
где ф кр) — некоторый непрерывный положительный функционал, заданный в R, такое, что замкнутое инвариантное множество М вновь полученной динамической системы F кр, $) будет равномерно асимптотически устойчивым и равномерно притягивающим, то для динамической системы / кр, 0 можно дать необходимое и достаточное условие того, что инвариантное множество А, содержащее некоторую окрестность множества М, было областью асимптотической устойчивости равномерно асимптотически устойчивого и равномерно притягивающего множества М динамической системы F кр, s).
Замечание 2. Уравнение 1 + V кр) ?= ^ при любом X ^ (0, 1) определяет множество точек, являющееся сечением открытого инвариантного множества А, т. е. любая траектория, лежащая в А, лишь один раз пересекает мно- 58
жество, заданное уравнением 1 + У = X при закрепленном X, что следует из (1.20).
Замечание 3. Совокупность S точек q, если они существуют, обладающих свойством V (р) ->— 1 при р —> q, составляет границу области асимптотической устойчивости. Таким образом, с помощью функционала V (р) можно всегда принципиально решить задачу отыскания границы области асимптотической устойчивости.
Если множество граничных точек области асимптотической устойчивости пусто, то множество М назовем асимптотически устойчивым в целом.
Как следует из доказательства необходимости, в этом случае V (рп) -»—1, где рп — некоторая последовательность, обладающая следующими свойствами:
1) рп е Л, р (рп, М) > 6 (е);
2)тп->+°о при п->+оо (см. доказательство необходимости теоремы 19).
Если последовательность рп не содержит подпоследовательности, сходящейся к точке, которая лежит на границе Л, то она вообще не содержит никакой сходящейся подпоследовательности. В случае наличия компактности у достаточно малой окрестности множества М и устойчивости в целом тп -> +оо тогда и только тогда, когда последовательность рп не содержит никакой сходящейся подпоследовательности.
§ 15. МЕТОД ОЦЕНКИ
Теоремы, сформулированные в § 12—14, составляют основное теоретическое содержание второго метода Ляпунова применительно к исследованию устойчивости инвариантных множеств динамических систем, заданных в метрическом пространстве.
Однако второй метод Ляпунова позволяет также получить метод оценок расстояния движения / (р, I) до инвариантного множества М, что и делается в настоящем параграфе.
Рассмотрим замкнутое инвариантное множество М. Предположим, что вне этого множества задан функционал V (д), обладающий следующим свойством. Существуют две функции Шх (х), и т2 (г), заданные при х ^ 0, непрерывные, строго монотонно возрастающие от 0 до +°° при х 6 [0, +оо], такие, что
пч (р (р, М)) < V (р) < пч (р Ш М)). (1.33)
Если известна функция V (/ (р, /)) при некотором р, то используя неравенства (1.33), всегда можно дать оценку для функции р (/ (р, t), Af). Действительно, из неравенства (1.33) имеем mx (р (/ (р, f), Af)) < V (f(p, /)) <тг (f (р, t), М)). Отсюда получаем р (/ (р, f), М') < тТ1 (V Q (р, /))) и т^"1 (V (/ (Р, 0)) < Р (/ Uk 0» М\ Следовательно,
тГ1 (V) ^ р (А М) < /пг1 (V).(1.34)
Таким образом, если функционал V (р) удовлетворяет условию (1.33), то с его помощью можно получить оценку (1.34). Всюду далее через V (р) будем обозначать функционал, удовлетворяющий неравенствам (1.33). Предположим, что в некоторой окрестности S (М, г) множества М заданы два функционала К и W, обладающие следующими свойствами:
функционал Ej удовлетворяет неравенству
аг V11 < Vi < a2Vz= при р С S (Л4, г),(1.35)
где at, к (i = 1, 2)— положительные постоянные;
функционал W удовлетворяет неравенствам
— b^ CW <— b2Vfe« при p^S (М, г),(1.36)
где bit kt (i = 1, 2)— некоторые положительные постоянные;
функция Vi (/ (р, t)) непрерывно дифференцируема по / при / (р, f) £ S (М, г), и, кроме того,
dtdt(1.37)
dt
dt
величины kt и It связаны соотношениями
Хг =Хг =кк> 1> 1(»= 1, 2).(»= 1, 2).
Хг =
Хг =
к
к
> 1
> 1
(»= 1, 2).
(»= 1, 2).
Возьмем Х>1. Умножая обе части равенства (1.37) на функцию VT (f (р, /))~х и интегрируя затем в пределах от 0 до t, где величина I выбрана так, что / (р, 0 Е S (М, г), получаем
Vi(/(р, 0) = —■/-■=■■^-— V1 (Р) , -■■- :.=.(1.38)
у l-Kl-MV?-1 (Р)^(Р, ^Vrxdt
Выберем сначала ^ > 1 и Хй > 1. В этом случае, применяя к (1.38) неравенства (1.35) и (1.36), получаем
V1 (Р)/ у
V"i+(^i—о ^i1(р) ^i°i
(1.39)(1.39)
(1.39)
(1.39)
М-1
И i+^-d^-1 (р) мг*8'
WHp, 0)^WHp, 0)^Применим к неравенству (1.39) неравенство (1.35); тогда
WHp, 0)^
WHp, 0)^
-1К1 + (Х1-1)(а2 Р'^*-1»! а?хЧ
Т/Т+сх^ТйаГ^
Положим далее Xj = 1, Х2 > 1. В этом случае, умножая равенство (1.37) на функцию V (/(/?, О)”1 и интегрируя, получаем
J WT-l du
Vi^l^V^e0 .(1.41)
Применим далее к неравенству (1.41) неравенства (1.35) и (1.36); тогда получим
Va^W-t^e-b^t^V^f^p, f)^g(p, t), (1.42) где через g (р, /) обозначена правая часть неравенства (1.40). Пусть теперь Хх = Х2 = 1; тогда, применяя к равенству (1.41) неравенства (1.35) и (1.36), имеем
gi(p, О^уш n^V^ayv^pT^^. (1.43)
Через gT (р, t) обозначена левая часть неравенства (1.42).
Теорема 20. Если в окрестности S (М, г) замкнутого инвариантного множества М динамической системы / (р, /) существуют два функционала Vj и W, обладающие свойствами 1—4, то инвариантное множество М асимптотически устойчиво. При этом для любого движения / (р, О 6 S (Af, г) имеют место следующие неравенства:
при Xj > 1, Х2 > 1;
при Xj = 1, Х2> 1;
при Хх = Х2 = 1.
□ Функционал Ух удовлетворяет всем условиям теоремы 12. Действительно, условия 1, 2 теоремы 12 следуют из
неравенств (1.35) и (1.33); условие 3 теоремы 12 выполнено в силу (1.37). Таким образом, по е < г можно указать 6 > О такое, что если р (р,.- М) < 6, то р (/ (р, t), М) < < е при t > 0. Таким образом, f (р, t) Е 8 (М, г) при р Е S (М, 6). Поэтому при Xt > 1, как было показано выше, для всех / > О имеем вдоль таких движений оценки (1.39) и (1.40), при Xj = 1, Х2 > 1— оценку (1.42), при Хх = = Х2 = 1 — оценку (1.43). Таким образом, теорема 20 доказана полностью.
Приведем необходимые и достаточные условия, при выполнении которых замкнутое инвариантное множество М асимптотически устойчиво и притом р (/, (р, i), Л4) удовлетворяет оценкам определенного вида.
Теорема 21. Для этого чтобы замкнутое инвариантное множество М было асимптотически устойчиво и при этом имели место неравенства:
при / > 1
j-A C1V(PV .-^УЩ^^(1.44)
/ 1-V^tV^i-i/1+^V
при / = 1
pvV(p)e-P^ W(P, OW^1*,
t > 0, p (f(p, t), M) < r,(1.45)
где Ct, pb di, qi — положительные постоянные (i = 1, 2), необходимо и достаточно, чтобы существовали в некоторой окрестности S (М, г) множества М два функционала ^ и W, удовлетворяющие следующим условиям:
axV (р) < Vx (р) ^ а2 V (р);(1.46)
- bxV» W < Г (р) ^ - Й2Р (р)(1.47)
(/ > 1; аи bi>oy,
функция ^ (/(р, 0) непрерывно дифференцируема при / (р, 0 € 5 (Л1, г) и, кроме того, dVx/dt = W.
Необходимость. Пусть замкнутое инвариантное множество М асимптотически устойчиво, и при этом выполнены оценки (1.44) или (1.45). Покажем, что существуют два функционала Vx и W, заданные в S (М, г) и удовлетворяющие условиям 1—3. Действительно, положим W = — V1. Возьмем е > 0, е < г. По нему, согласно определению 1 § 9, можно указать 6 > 0 такое, что если р (р, М) < 6, то / (р, 0 Е 8 (М, г) при t > 0. Следовательно, для таких двжений имеют место неравенства (1.44) или (1.45). Положим
V^p)- J V1 а(Р, П) dl при PQS(M, b\ (1.48) О
Пусть Z> 1. Применяя неравенства (1.44) к (1.48), получаем
c\yi = J (1 саt y/-i)//(/-D dt < Уг(р) < 9
<d\V4p^ (1 +^2 tV (р)1-1 y/U-Mt. (1.49) О
Полагая в неравенстве (1.49) 1 4- c2lVl"x = 0Ь 1 +
-k d^tV (р) /~1 = 02, имеем
«tr^jof^ do.cv.^^vtp)^;^d^. (1.50) оо
Из неравенства (1.50) очевидным образом следует, что построенный функционал ^ (р) удовлетворяет условию 1 теоремы 21. Покажем, что этот функционал обладает так» же свойством 3:
V(f(p,W(f(f(p,t),x))dx~
о
= — $ W(f(p,t + x))dx.(1.51)
6
+ 00
Из выражения (1.51) имеем V ([ (р, 0) = — J W7 (7 (р, 9)) d0, откуда с очевидностью следует, что dV/dt = W. Тем самым необходимость условий доказана для случая Z > 1. Случай / — 1 является более простым и может быть получен дословным повторением изложенного выше.
Достаточность. Пусть в некоторой окрестности S (М, г) множества М существуют два функционала ^ и W, удовлетворяющие условиям 1—3 настоящей теоремы. Эти функционалы являются частным случаем тех, о которых идет речь в теореме 20, а именно: если в теореме 20 положить Zj = /2 = 1, кг к2 — I, то получим случай, рассматриваемый в теореме 21. Таким образом, достаточность условий 1—3 следует из теоремы 20 и не нуждается в специальном доказательстве.
Глава 2
ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В настоящем параграфе приведены различные случаи применения теоремы 19 к системам дифференциальных уравнений, правые части которых не зависят явным образом от времени.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
-^ = Ш,...,хп) (s = 1, 2,..., п),(2.1)
at
правые части которой заданы в Еп и непрерывно дифференцируемы там по всем своим аргументам до порядка v включительно, v > О.
Будем считать, что при v = О правые части системы (2.1) непрерывны и, кроме того, удовлетворяют некоторым условиям, гарантирующим единственность решения X = = X (Х^, t), проходящего при t = 0 через точку Х(0>. Таким образом, через каждую точку X ^ Еп проходит лишь одна интегральная кривая системы (2.1). Известно, что функция X = X (t, Х<°>) непрерывно дифференцируема по переменным ^0), ..., .Vn0) до порядка v включительно. Предположим далее, что система (2.1) имеет нулевое решение, т. е. fs (0 0)= 0.
Теорема 22. Для того чтобы область АсЕп, содержащая достаточно малую окрестность точки X = 0, была областью асимптотической устойчивости нулевого решения системы (2.1), необходимо и достаточно, чтобы существовали функции V (х) и ср (X), обладающие следующими свойствами;
функция V (X) задана и непрерывна в А, функция ср (X) задана и непрерывна в Еп;
— 1 < V (X) < 0 при Х^А, ср (X) > 0 при Х^ еЕп, |Х|^0;
по любой величине у2 > 0 можно указать величины Ь и «! такие, что V (X) < — уг при |Х| > у2, ср |Х| > аг при |Х| > у2;
функции V(X) и <р (X) стремятся к 0 при |Х|->0;
если Y 6 А \ А и |Г| ^ О, то lim V (X) = — 1, Х^У
а если |Х | -> +°°, X 6 А, то V (X) -> —1;
pH (Л ( °°=ф (X) (1 + у (X)) -^ 1 +2//-
При этом функцию ф (X) всегда можно выбрать так, что функция V (X) будет непрерывно дифференцируема по всем своим аргументам в области А до порядка v включительно.
Прежде чем перейти к доказательству, заметим, что с помощью уже известной замены
систему (2.1) можно преобразовать к виду
■==== = g^ (xv..., xn). (2.2) п
1 А-^Пi—\
Совокупность уравнений (2.2) определяет в пространстве Ек динамическую систему*. Если инвариантное множество X — О этой динамической системы асимптотически устойчиво, то множество всех точек Х<°>, обладающих свойством |Х (s, Х<°>I -> 0 при s —> +оо, |Х| =# О было названо ранее областью асимптотической устойчивости инвариантного множества X = 0 и обозначено через Л. Было также показано, что множество Л открыто. В данном случае оно к тому же и связно, следовательно, является областью. Эту область Л в дальнейшем и будем называть областью асимптотической устойчивости нулевого решения системы (2.1).
□ Точка X = 0 имеет компактную окрестность. Следовательно, если нулевое решение системы (2.1) асимптотически устойчиво, то инвариантное множество X = О динамической системы (2.2) является равномерно асимпто-
тически устойчивым и равномерно притягивающим инвариантным множеством. Поэтому в этом случае применима теорема 19. Условие 6 по теореме 19 принимает вид dVIds = = Ф (1 + У). Переходя вновь к независимой переменной t, получаем
dV!dt = ^(\-VV^dV!dt = ^(\-VV^
dV!dt = ^(\-VV^
dV!dt = ^(\-VV^
Таким образом, теорема 22 будет доказана полностью, если установить дифференциальные свойства функции У. На основании теоремы 5 существует функция L (s) непрерывная, положительная при s 6 (—°°, +°°), строго монотонно изменяющаяся от 4-оо до 0 при s->+oo, такая, что L (s) > Xй (s, Х<0>) при s > 0 и |Х<°>| < 6^ где величина 6j соответствует, согласно определению 1 § 9 гл. 1, некого* рому в > 0. При этом X = X (s, Х<°>) — динамическая система, определяемая совокупностью уравнений (2.2). Положим
Ф (х) = ^... v ...^е—BL г<^ ^У1о о
где В — некоторая положительная величина. Функия ф (х) непрерывно дифференцируема до порядка v включительно, и любая ее производная dk^ldxk, к < v, является строго монотонно возрастающей функцией от 0 до +оо при х -► +оо, Ф (х) задана при х > 0. Кроме того,
dk фdxkdk фdxk^Х^х_ке-В1. Vw,^Х^х_ке-В1. Vw,
dk фdxk
dk фdxk
^Х^х_ке-В1. Vw,
^Х^х_ке-В1. Vw,
что нетрудно установить с помощью теоремы о среднем. Положим
4-00
УДХ^))^ $ V(X(s,X(°)))ds.(2.3)
о
Ясно, что функция У (Х(0>) — е-vaxw’i—], где у— функция, о которой идет речь в теореме 22. Из дифференцируемости функции Ух следует дифференцируемость функции У, и наоборот. Покажем, что функция Ух (Х<0>) непрерывно дифференцируема по переменным xV*, .... х^\
дх}°>дх}°>Действительно,
дх}°>
дх}°>
Чтобы показать сходимость интеграла в формуле (2.4), следует оценить функции дх^дх^Ч Эти функции удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, получаемой дифференцированием системы (2.2) по переменной х)0'. Действительно, подставим в систему (2.2) решение X = X ($, Х(0>). Продифференцировав полученное тождество, имеем
,2'б>
Функции dgk1dxs в системе (2.5) при достаточно малом |Х<°>| ограничены при всех s > 0. Поэтому имеет место оценка
где сир — некоторые положительные постоянные. Оценим теперь интеграл в формуле (2.4):
dtp (X2) dX»dtp (X2) dX»г"у х„„ dsj dX- Д,,,}»г"у х„„ dsj dX- Д,,,}»^)ve-BL-i <Х2)-2^)ve-BL-i <Х2)-24 (s, XWyce^ds.4 (s, XWyce^ds.
dtp (X2) dX»
dtp (X2) dX»
г"у х„„ ds
j dX- Д,,,}»
г"у х„„ ds
j dX- Д,,,}»
^)ve-BL-i <Х2)-2
^)ve-BL-i <Х2)-2
4 (s, XWyce^ds.
4 (s, XWyce^ds.
Используя далее свойства функции L и выбирая число В столь большим, чтобы было В > р, получаем
^ dtp (X2)3 dX» о^ dtp (X2)3 dX» о2с (Х2/^ 2 e<p-^sds,2с (Х2/^ 2 e<p-^sds,
^ dtp (X2)
3 dX» о
^ dtp (X2)
3 dX» о
2с (Х2/^ 2 e<p-^sds,
2с (Х2/^ 2 e<p-^sds,
откуда следует, что формула (2.4) определяет частную производную функции V по переменной х/0)при достаточно малом |Х<°)|. Таким образом, V имеет производную по х^ во всей области Л, так как интеграл, которым определяется производная, всегда можно разбить на два, один из ко*
торых взят по конечному промежутку и заведомо существует, а другой, взятый по бесконечному промежутку, может быть оценен аналогично.
Используя примерно тот же ход рассуждений и тот же метод оценок, можно показать при достаточно большом В > 0, что функция Vx (Х<°>), а следовательно, функция V (Х<°>) является непрерывно дифференцируемой по всем своим переменным до порядка v включительно во всей области А. Таким образом, теорему 22 можно считать доказанной.
Следствие 1. Рассмотрим множество всех точек X таких, что 1 + V (X) = X, X € А, X £ (0, 1). Это множество представляет собой замкнутую поверхность Sx, ограничивающую область Gx, которая содержит точку X = = 0. При этом поверхность Sx при любом X £ (0, 1) образует сечение области Л, т. е. любая интегральная кривая системы (2.1) X = X (t, Х(0>) пересекает при X <°>^Л5х лишь один раз, переходя снаружи области Gx внутрь. Поверхность So* является границей области A, ST совпадает с точкой X = 0. Поверхность состоит из целых интегральных кривых систем (2.1) [101. Таким образом, уравнение V = —1 дает всю поверхность So. Это позволяет утверждать, что уравнение границы области асимптотической устойчивости нулевого решения (2.1) принципиально найдено.
Следствие 2. Нулевое решение системы (2.1) называется асимптотически устойчивым в целом, если область А = Еп, т. е. X (t, Х<°>) -> 0 при t-*- +°° для любого Х<°>, и нулевое решение системы (2.1) асимптотически устойчиво.
Теорема 22 дает необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости в целом. Сформулируем их отдельно. Для того чтобы нулевое решение системы (2.1) было асимптотически устойчиво в целом, необходимо и достаточно, чтобы существовали две функции Ух (X) и ф (X), обладающие следующими свойствами:
функции Уц (X) и ф (X) заданы в Еп и непрерывны там: VT (0) = ф (0) = 0;
V] < 0 при Х^0 и Vr-t—оо при ]Х|3 -*■ +°°, а Ф (X) > 0 при X #= 0; '
по любой величине у2 > 0 можно указать величину Yi такую, что ф (X) > Yj при |Х|>у2;
Нужно отметить, что впервые необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости в целом были даны Барбашиным и Красовским [11]. Применительно к системе (2.1) эти условия сформулированы ими только при v > 1.
Необходимый анализ функции, разрешающей вопрос об асимптотической устойчивости в целом , был проведен также в работе. Н. П. Еругина [12].
Следствие 3. Если v > 1 и если нулевое решение системы (2.1) асимптотически устойчиво, то уравнение
= ф(хь ...,хп)= ф(хь ...,хп)А2 (хъ...,хл)(1+У)А2 (хъ...,хл)(1+У)
= ф(хь ...,хп)
= ф(хь ...,хп)
А2 (хъ...,хл)(1+У)
А2 (хъ...,хл)(1+У)
(2.6)
имеет единственное непрерывно дифференцируемое решение, определенное условием V (0) = 0, заданное при X £ Л и удовлетворяющее условиям теоремы (22) не при всякой функции <р (хъ ..., хп). Для того чтобы уравнение (2.6) имело такое решение, достаточно, чтобы функция ф (X) обла-
4- ОО
дала свойством: J ф (X (Z, XW^dt < +°° при достаточно о
малых |Х<°>|. Таким образом, функция ф, при которой уравнение (2.6) разрешимо при условии V (0) = 0, зависит от характера убывания функции X (/, Х<°>) при t-* +°°. Поэтому, если из каких-либо соображений известен примерный порядок убывания функции X (/, XW), то функцию Ф (X) всегда можно построить. Например, при |Х (t, Х(0)) ^ < ce_pt, с> 0, р> 0 ( |Х<°>| достаточно мало) функцию Ф можно выбрать в виде формы чисел хъ ..., хп или вообще так, чтобы было Ф (X) < |X|m, т>0. Если, например, [X (t, Х<0))| < /_“, а > 0 при t > Т, то m можно выбрать так, чтобы было ma > 1; тогда уравнение (2.6) при любой Ф < [XI"1 имеет решение.
Приведем ряд примеров, иллюстрирующих изложенные результаты.
«-x-Wy; -^ = -9. atat
Соответствующее уравнение в частных производных имеет вид
- У) - и- + У"-) (I + V).
охоу
Его можно получить из формулы (2.6), если положить
1 А-^П 4>(х, у) — х2 + у2.
/=1
Легко проверить, что
V(x, г/)^-^2/2-л- 12 (1 -AV/)J _ 1
— решение этого уравнения. Из вида этой функции следует, что кривая ху = 1 образует границу области устойчивости.
-"к (X, у) = - Зх + За [х/а]2 /3 [у/6]1 /3 +
+ 3а[х/а]5/3 + 3х[у/6]2/3, dy
± =Ш yV--3y-3bVyibW4xjaW3 + 3My/b]6/3 ++ 3у[х/а]2/3.
Соответствующее уравнение в частных производных возьмем в виде
^fMyH^fMy)=W№Hly!b\^ ахоу
Его непрерывное решение V (х, у), определенное условием V (0, 0) = 0, имеет вид
V (х, у) - [1 — (х/а)2/3 — (yib)W — 1, откуда следует, что интегральная кривая, ограничивающая область устойчивости, задается уравнением (х/а)2/3 + + (у/&)2/3 = И Семейство сечений области асимптотической устойчивости имеет вид
[1 — (х/а)^ — (y!b)W = X; X 6 (0, 1).
dx _ (1-^ + ^)2х dy j-xHy2_ ^у
• dt (я+1)2 + гdt "2
Соответствующее уравнение в частных производных имеет вид
дУ / (1-х2+у2)2х’
, дУ Л—х2+у2ду \2, дУ Л—х2+у2ду \24х2у(1+х)2+у24х2у(1+х)2+у25V дх5V дхfi (х, у)fi (х, у)дУ дУдУ дУfAx, у)=2fAx, у)=2(х-ХУ+У2 (х+1)2 + у2(х-ХУ+У2 (х+1)2 + у2(1+V).(1+V).дх (, (1+х)2+у- У
, дУ Л—х2+у2ду \2
, дУ Л—х2+у2ду \2
4х2у(1+х)2+у2
4х2у(1+х)2+у2
5V дх
5V дх
fi (х, у)
fi (х, у)
дУ дУ
дУ дУ
fAx, у)=2
fAx, у)=2
(х-ХУ+У2 (х+1)2 + у2
(х-ХУ+У2 (х+1)2 + у2
(1+V).
(1+V).
В рассматриваемой системе точка покоя имеет координаты (1, 0). Нетрудно проверить, что
V и, у) =V и, у) =_y-l)4f_ (х+1)2+у2_y-l)4f_ (х+1)2+у2
V и, у) =
V и, у) =
_y-l)4f_ (х+1)2+у2
_y-l)4f_ (х+1)2+у2
— непрерывное решение, определенное условием V (1, 0) = = 0. Положив V (х, у) + 1 = 0, получим, что границей области асимптотической устойчивости решения х = 1, у = 0 системы является прямая х = 0, а область устойчивости совпадает с правой полуплоскостью. Найдем уравнение семейства сечений, заполняющих область асимптотической устойчивости. Для этого положим V (х, у) = X — 1, где X (0, 1); тогда будем иметь (х + 1 — 2/ху + у2 = = (1 — 2/ХУ— 1. Следовательно, замкнутые кривые, заполняющие область асимптотической устойчивости, являются окружностями.
4. -^ = s(x) + ofy);
(2.7)
^-=6(х).dt ’
Правые части (2.7) заданы при любых х и у и удовлетворяют условиям, гарантирующим существование единственного решения х (Z, х(0\ у^У у (/, х<°>, yW^ при любых конечных значениях х<°> и у^\ и имеют единственную точку покоя х = у = 0. Предположим, что знаки 6 (х) и s (х) противоположны знакам х, а о (у) имеет тот же знак, что и у.
Рассмотрим соответствующее системе (2.7) уравнение в частных производных
-^-(s + o) + ^6^6(x)s(x)(l+V).(2.8)
дхду
Функция
(
XУ\
8 (х) dx—^ о (у) dy I — 1
00/
является решением уравнения (2.8). Если интегралы X У
Г b^dx и f c^dy стремятся к оо при |х| -> + ею и о 'о
\у\ ->- 4-оо, то нулевое решение системы (2.7) асимптотически устойчиво в целом.
В этом примере в качестве функции ф (х, у) взято выражение s (х)6 (х), откуда следует, что при х = 0 ф (0, у) = = s (0)6 (0) = 0. Однако это обстоятельство нс мешает применить к уравнениям (2.7) развитую выше теорию, так как легко показать, что теорема 22 для уравнения (2.8) остается в силе, если при этом правые части системы (2.7) таковы, что решения х (/, х(0), у(0>), у (/, х(0\ у^ определены при t £ (—°о, +°о). Теорема 22 позволяет решить вопрос об инвариантности границы So области Л относительно малых изменений функций Д (хь ..., хп).
Известно, что всякий раз, когда система (2.1) получена при решении практической задачи, то функции Д (хь ..., хп) известны лишь приближенно.
Выясним, насколько точно полученные факты совпадают с действительностью, т. е. устойчива ли полученная качественная картина по отношению к малым изменениям функций fs (хь ..., хп\ Рассмотрим систему п уравнений:
= fi(x1,...,xn) + Ri(x1,...,xn,t) (i=l,...,n). (2.9) at
Предположим, что функции ft (хь ...» хп) непрерывно дифференцируемы, Ri (хъ ..., хп, /) — некоторые непрерывные функции такие, что система (2.9) удовлетворяет условиям существования и единственности.
Теорема 23. Если система (2.1) имеет асимптотически устойчивое нулевое решение, обладающее некоторой областью асимптотической устойчивости Л, то можно назначить для функций Ri (хь ..., хп, /) такой высший предел R (X), что при |7?j (хь ...» хп, t)\ < R (хь ..., хп) система (2.9) будет обладать асимптотически устойчивым нулевым решением с той же областью асимптотической устойчивости.
□ В силу сделанных предположений относительно системы (2.1) существует функция Ляпунова V (хъ ..., хп), обладающая свойствами
Уу-Ж -,xn)=W(<x1)...,xn),
Я dxi
где W (хь ..., хп)— определенно отрицательная, непрерывно дифференцируемая функция, W (х1э .... хп) < п
<_ —а (Р) < 0 при У xi > р > 0, причем V (хъ ..., х^ -*■ i = 1
-> 4-оо при (хх, ..., х^ -*■ М* 5 Л \ Л, М* ^ 0. Соста
вим производную от функции V в силу системы (2.9):
На основании неравенства Буняковского получимНа основании неравенства Буняковского получим
На основании неравенства Буняковского получим
На основании неравенства Буняковского получим
Выберем функцию R (хх, ...» хп) такой, чтобы
V nR (X)V nR (X)*п)|№(*1,-,*n)|r*п)|№(*1,-,*n)|r
V nR (X)
V nR (X)
*п)|№(*1,-,*n)|r
*п)|№(*1,-,*n)|r
Х(хх,..., Xn)\W (xt, ..., xn) IХ(хх,..., Xn)\W (xt, ..., xn) I
Х(хх,..., Xn)\W (xt, ..., xn) I
Х(хх,..., Xn)\W (xt, ..., xn) I
Положим, например,
R (хъ .... х„) =
При такой функции R (хх, ..., хп) функция dVldt, вычисленная в силу системы (2.9), будет определенно отрицательной при всех хг, ..., хп:
— < — ах< 0 при У*х?>р> 0. (2.Ю) dt ■
Таким образом, построена функция V (хп ..., хп) для системы (2.9), обладающая следующими свойствами:
О < К (хъ ..., хп) < +оо, (хь ..., хп) 6 Л; V (хь ..., хп) ->
+оо при (хь ..., хл)-> М* £ Л\Л, а производная от функции V (хь ..., хп\ вычисленная на основании системы (2.9), обладает свойством (2.10).
Тогда по теореме 22 область Л является областью асимптотической устойчивости нулевого решения ^ ~ ... = хп =
~ 0 системы (2.9). Тем самым теорема доказана полностью.
Замечание 1. Если функции Ri (л^, ..., хП1 /) таковы, что |7?4 < R (хъ ..., хп) лишь в области Л, то утверждение теоремы остается в силе.
Замечание 2. Если область Л совпадает со всем пространством, то нулевое решение системы (2.9) также асимптотически устойчиво в целом.
Доказанная выше теорема даст некоторый способ исследования систем дифференциальных уравнений. Поясним это на примерах.
Рассмотрим систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами:
4f = ^PSiXi(.s= 1, .;,п), psi = const. (2.11) Z=1
Пусть корни уравнения
|Р-^| = 0, pik = {Pik},(2.12)
имеют отрицательные действительные части.
Рассмотрим далее систему
^^Р^уХАх^...^.(2.13)
Z=1
Выясним, при каких функциях Ха (хъ .... хп) нулевое решение хг = ... = хп = 0 системы (2.13) будет асимптотически устойчивым в целом. Воспользуемся теоремой 23.
Построим для системы (2.11) функцию V (хъ ..., хп) в виде определенно положительной квадратичной формы
п
^-^W(X1,„„xn), at^-^W(X1,„„xn), atv= 2 aikXiXh, aih= const, i,k=4
^-^W(X1,„„xn), at
^-^W(X1,„„xn), at
где функция W является определенно отрицательной квад- п
ратичной формой: W = 2 Ьц^х^, Ь1к = const. Составим i,k=V
функцию
п ..w,,х dV fl , / dV V
/?,. (хь ...,x„)= —a«7 (xn ...,xn) — 1 + —
ox^ I \ ихi j
nГ( n
Ri (^1> •••> ^n) CcW' ^ik Xh 1 + ^ik ^k
6=1L\*=i
где a — некоторая функция от хь ..., хп, —I <. а < I, 1< 1/ (2п). Если 1Х; (хь ..., хп)| < |7?; (Х)|, то нулевое решение системы (2.13) асимптотически устойчиво в целом. Если функции Xi (хь ..., хп) разлагаются в ряды, то последнее неравенство дает оценку коэффициентов этих рядов через произвольные величины bih и через коэффициенты системы (2.11) pgi, причем константы bih связаны неравенствами Сильвестра:
6ц < О,6ц < О,6ц 612621 6226ц 612621 622>о, ..,(-1)">о, ..,(-1)"6ц 61261пбгцбпг-'-бпп6ц 61261пбгцбпг-'-бпп>0.>0.
6ц < О,
6ц < О,
6ц 612
621 622
6ц 612
621 622
>о, ..,(-1)"
>о, ..,(-1)"
6ц 61261п
бгцбпг-'-бпп
6ц 61261п
бгцбпг-'-бпп
>0.
>0.
6. — dt6. — dt
6. — dt
6. — dt
= — х + у + х(х2 + у2Н ф(х, у),
(2.14)
•3-= — X—у + у(х2 + у2) + ф(х, у).
Система «первого приближения», полученная отбрасыванием функций <р (х, у), ф (х, у), имеет предельный цикл хй + У2 = 1- Построим функцию Ляпунова V для системы первого приближения: V = —In (1 — х2 — у2), dV/dt = = —2 (х2 + у2). Возьмем
R(x, у) = (х2 + у2) 1 4 — + —, ИЛИ
_\ дх /\ ду J
R (х, у) = (х2 + у2) (1 — X2 — у2^ (1 + X2 + У2)-1.
Тогда, если |ф (х, у)| < |7? (х, у)|, |ф (х, у)| < |7? (х, у)|, то система (2.14) имеет также предельный цикл. Отмстим, что вместо R (х, у) можно взять всякую другую функцию, удовлетворяющую условиям теоремы 23.
Если нулевое решение системы (2.1) асимптотически устойчиво, то любое решение X (t, Х<°>) при Х^ £ А определено при / ЕЮ, +°°L Воспользовавшись теоремой 22, можно выяснить, при каких условиях эти решения будут определены также при / Е (—00, 0).
Теорема 24. Для того чтобы любая интегральная кривая X = X (/,;Х<°)), Х<°> Е А системы (2.1) была определёна при / Е (—°°> +°°)> необходимо и достаточно, чтобы были
выполнены все условия теоремы 22 и, кроме того, чтобы выполнялось двойное неравенство
□ Необходимость. Пусть все интегральные кривые продолжимы по t С (—оо, +оо). Покажем, что условия теоремы выполнены. Действительно, нулевое решение системы (2.1) асимптотически устойчиво. Поэтому существует область А асимптотической устойчивости. В этой области задана динамическая система X = X (^ Х^). Следовательно, при доказательстве теоремы 24 нет необходимости вводить, например s, так что все проведенные рассуждения можно осуществить в терминах независимой переменной t. Кроме того, функцию ср, о которой идет речь в теореме 22, можно выбрать так, чтобы
/ п
поскольку суть доказательства не требует неограниченности функции ф у/" 1 + 5 Гь
Достаточность. Пусть условия теоремы 24 выполнены. Покажем, что любая интегральная кривая X = = X (t, Х<°>) определена при всех / £ (—°°, +°°)- Действительно, пусть это не так, т. е. существует по крайней мере одна точка Х(0> 7^ 0 и Х(0) € А такая, что интегральная кривая X (t, XW) определена лишь при t > Т ">—оо. Тогда вдоль нее имеем
1+У(Х(/, Х^ =
= [1+У(Х<0))]ехр^ф(Х)-| / 1 А-^П
откуда следует, что V (X (/, Х<°>)) > [1 + V (Х(0>)1екг — — I > — 1 + е, г > 0. С другой стороны, рассматриваемая интегральная кривая неограниченна при i < 0 в силу непродолжительности. Поэтому существует последовательность величин tk ^ 0 такая, что |Х (1к, Х(°>)|-> +оо. Тогда V (X (th, Х<°>)) -»1, что противоречит полученному выше неравенству. Таким образом, любая интегральная
кривая X (t, XW), Х^ £ А определена при всех t £ (—оо, +оо).
Возникает далее вопрос, как определяют область асимптотической устойчивости нулевого решения системы (2.1) ее правые части и, наоборот, как по правым частям системы (2.1) определить область А. Теорема 22 позволяет установить аналитический вид правых частей системы (2.1), имеющей наперед заданную область А.
Пусть задана любая область Л, содержащая достаточно малую окрестность точки X = 0. Границу этой области обозначим через S. Предположим, что граница S такая, что можно построить непрерывно дифференцируемую функцию V (X), заданную в Л и обладающую свойствами:
V (0) - 0, — 1 < V (X) < 0 при X € А;
уравнение 1 + V = X, X £ (0, 1) определяет замкнутую поверхность S^ ограничивающую область Gx, заданную условием У > X — 1;
1/^-1 при |Х — Х|->0, где Х^А \ Л, Х#=0. Определим правые части системы (2.1) из линейных уравнений:
п
2 Psi (X) h (X) = qs (X) (s = 1,..., n), (2.15) i=l
где рц = dVldxt и ^ = фх (1 + У). Функция срг задана в Еп, Ф1 (0) = 0, фх > а > 0 при |Х| > Р > 0. Пусть функции psil qsi (s > 2; i = 1, ..., n) выбраны так, что система (2.15) имеет решение fs = fs такое, что система уравнений
^- = fs(x1,...,xn)(2.16)
имеет нулевое решение и удовлетворяет условиям существования и единственности в Л или в Еп, если V задано в Е..
Теорема 25. Нулевое решение системы (2.16) имеет область асимптотической устойчивости Л, и наоборот, если система дифференциальных уравнений (2.1) имеет асимптотически устойчивое нулевое решение с областью асимптотической устойчивости Л, то ее правые части можно отыскать из линейной системы вида (2.15).
□ Система (2.16) имеет нулевое решение. Кроме того, существуют функции У и ср, обладающие теми же свойства-
*Считаем, что S^ не пересекаются; если Хп ^Л, ||Xn|| -> +оо при п +оо, то V (Хп) -> —1.
ми, что и в теореме 22, так как
dt ^ дх/
Следовательно, область А по теореме 22 является областью асимптотической устойчивости нулевого решения системы (2.1).
Покажем, что имеет место также обратное утверждение. Пусть А — область асимптотической устойчивости нулевого решения системы (2.1), v > 1. Тогда существуют функции V и ф, обладающие свойствами, указанными в теореме 22. Положим в системе (2.15):
pSj = 0, s ^ /, s > 1, pss = 1, s > 1,
q8=hUiхп), s>i, рц=—,
дх.
91=Ф1/ 1+2/ми-у).
УZ=1
Здесь V и ф те же функции, что и в теореме 22. Полученная таким образом система (2.15) определяет правые части системы (2.1).
Следствие. Если функция ф ограничена, то все решения системы (2.16) при Х<°> С А будут определены при t £ (—ОО, +°°).
Приведем пример к теореме 25.
Рассмотрим кривую S (х, у) = 0, ограничивающую область А : (0, 0) € А и S (х, у) < 0 при (х, у) 6 А. Если S (0, 0) #= 0, то можно считать, что S (0, 0) = —1. Общий вид систем, для которых кривая S (х, у) = 0 является интегральной кривой, был выведен Н. П. Еругиным [14], а именно:
х=к(х,у, S)— -^-М(х, у),
Г^М(м)ШмА(2.17)
дх
где М — любая непрерывная функция, a /t = /2 = 0 при 5 = 0. Выделим из этого множества систем класс, для которого точка х = 0, у = 0 асимптотически устойчива и кривая S (х, у) = 0 служит границей области асимптотической устойчивости. Для этого положим
М (х, у) = —у (х, у> (х, у),
fl (х, y,S) = S (х, у) I —7 (х, у) -^ + 3 (х, у) dt (х, у)],Lдуj
/з и* У, S)=>S (х% у) ^ (х;у) -^—S^x.y^ (Х, у) da (х, у)
где <р (0, 0) = ш (О, 0) =11= О.
дх |x = y = 0ду |^ = |/ж=О
Функции ф (х, у) и w (х, у) являются положительно определенными функциями на всей плоскости, у (х, у) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция, а функции dx (х, у) и da (х, у) удовлетворяют соотношению
АЛх, у) 3(х, у) ——W —[дх дх J
—d2 (х, у) |з (х, у) 4^—^" ^ = 1.
оставаясь в остальном произвольными непрерывно дифференцируемыми функциями. Также предполагается, что функции 3 (х, у) и w (х, у) непрерывно дифференцируемы при любых значениях х и у. Рассмотрим уравнение
4г [S <х> У) (—Y (х> ^) -?- + S (х, у) Ф (х, у) dx (х, у)} +, 6S . х 1 , 5И Г dS , х ., ,
+ —Т(^ У)^ +-т-—^(x,y)w(x,y) +дуJ ду [ дх
•VSkx.y^U(х,у) ^-—S (х, у) ф (х, у) da(х, у))] =
= ф(х, у)[1 +V].
Оно имеет единственное непрерывное решение, определенное условием V (0, 0) = 0; 1 + У (х, у) = е™^'^/5^-»). На основании предыдущих теорем можно утверждать, что нулевое решение системы (2.17) асимптотически устойчиво и кривая S (х, у) = 0 служит границей области Л. Любое решение системы (2.17), начинающееся в области асимптотической устойчивости, продолжимо на полуось / Е (—оо, 0), если функцию ф (х, у) считать ограниченной. Приведенный класс уравнений можно существенно расширить, если везде в предыдущих формулах заменить S (х, у) на F (х, у, S), где функция F (х, у, S) непрерывно дифференцируема, F (0, 0, S (0, 0)) < 0 и F (х, у, S (х, у)) = 0 при 3 (х, у) = = 0. В области, ограниченной кривой 3 (х, у) = 0, содержащей начало координат х = у = 0, функция
F (x, у, S (x, у)) Ф 0. Как следует из изложенного выше, важно знать методы отыскания функции V (X), устанавливающей факт асимптотической устойчивости нулевого решения системы (2.1) и позволяющей определить всю область А. В теореме 22 (см. теорему 19) функция V (X) была построена в виде
l+V(X<°)) = exp( — $ <р(Х) dsY\ о/
+ °°
Интеграл J у (X^ds является криволинейным интегра- о
лом первого рода, взятым по положительной полутраектории, выходящей из точки Х<°\ Преобразуем его к криволинейному интегралу второго рода. Для этого возьмем непрерывно дифференцируемую функцию Н (х, ..., хп) и составим полную производную
в силу системы (2.2), или
ds-dHds-dHЗаменяя ds на это выражение, получаемЗаменяя ds на это выражение, получаемdH. (2.18)dH. (2.18)
ds-dH
ds-dH
Заменяя ds на это выражение, получаем
Заменяя ds на это выражение, получаем
dH. (2.18)
dH. (2.18)
Криволинейный интеграл берется здесь по пути, являющемуся интегральной кривой системы (2.1), проходящей при t > 0 через точку Х<°) и определенной при t > 0. Интересен случай, когда этот интеграл не зависит от пути интегрирования, так как тогда нетрудно определить функцию V (X) вдоль всякого луча. Этот интеграл всегда можно сделать таким, положив Н = Н (К).
Допустим, что Н (X) — произвольная данная функция. Тогда для независимости интеграла от пути интегрирования достаточно, чтобы
(2.19)
была произвольной непрерывной функцией Н. Тем самым выделен класс систем дифференциальных уравнений, обладающих свойством: при заданной функции Н (X) и при любой положительно определенной функции <р (X) интеграл
не зависит от пути интегрирования. Пусть система дифференциальных уравнений dxjdt = Д (хъ ..., xn) (i =
= 1, ..., и) — принадлежит указанному классу.
Тогда Н (X) — соответствующая ей функция Ляпунова
V (х), являющаяся решением уравнений (2.3).
Из (2.19) имеем
6^) 2"^"f,=4<p(X)]/1 + ^хп-
Умножим обе части равенства на функцию 1 + V (X). Тогда
[i + V(X)]9(H)-^-V^A =dK дх1
= [1+У(Х)]ф(Х)1 +^п.
Из этого равенства следует
[1 + V (X)] 9 (Л)-^ = 1.
Получаем, что функция Ляпунова V (X) является функцией Н. Если теперь функцию Н выбирать произвольной вместе с функцией 9 (Л), то для любой системы (2.1) всегда можно их подобрать так, что интеграл (2.18') не будет зависеть от пути интегрирования.
Эти рассуждения могут оказаться полезными в случае, когда рассматривается какая-либо конкретная система дифференциальных уравнений вида (2.1).
СЛУЧАЙ АНАЛИТИЧЕСКИХ ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ СИСТЕМЫ (2.1)
Рассмотрим сначала линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
"Ур»^ (s=l,...,n).(2.20)
at
Z=1
Коэффициенты pSi правых частей системы (2.20) будем считать произвольными комплексными числами.
Обозначим через Хъ ..., Х„ корни характеристического уравнения |Р — ХЕ| = 0, где Р = VPihY Рассмотрим всевозможные комплексные решения системы (2.20):
X (t, Х^) = ep‘XW.(2.21)
Равенство (2.21) определяет в комплексном «-мерном пространстве динамическую систему.
Теорема 26. [16]. Если Re (Хг) < 0, то существуют две эрмитовы формы V и W, обладающие свойствами:
формы V и —1Г определенно положительны;
полная производная формы V, вычисленная в силу уравнений (2.21), удовлетворяет равенству dV/dt = W.
Возьмем любую определенно отрицательную эрмитову форму № : W (X) = ХСХ*, где С — матрица, обладающая свойством С* = С. Положим
+°°
(XW)= J — W(X(t, XW^dt.(2.22)
о
Подставляя в равенство (2.22) форму W, вычисленную на решении (2.21), имеем
(X«») = —(Х«»)* J ePMCePiXWdt. (2.23) о
Покажем сначала , что интеграл в формуле (2.23) сходится. Пусть S — матрица, преобразующая Р к канонической форме, т. е. SPS-1 = Л. Пусть X = sup Re (Х;), тогда из формулы (2.23) получимZ=1п
+°°
V (XW) = (XW)* eMB^Xwdt.о
Элементы матрицы
(л*—- £-Ъ—
B^ = S*-xe\ 2 ) S*CSe\ 2 , S-1
ограничены по абсолютной величине при всех t > 0. Поэтому интеграл в формуле (2.23), сходится и, следовательно, определяет квадратичную форму V (ХЮ).
Покажем теперь, что эта форма эрмитова. Положим + ®0_
D = $ eP4Ceptdt.О
Установим, что D* = D. Действительно,
= ^eptY С*^ер*хУ dt^D, так как о
С* = С. Из формулы (2.22) следует, что эрмитова форма V (X) является определенно положительной. Покажем теперь, что выполнено условие 2. В самом деле, +°°
V^X^XW^ $ —Г(Х(т, Х(/, X(°))))dx = о 4-00
= $ _Ц7(Х(т+/, X^))dr.
"о
Полагая в последнем интеграле т + / = 0, получаем 4-00
v (х (/, х<°))) = 5 —^ (* (0, х(о))) de.
Дифференцируя полученное равенство, имеем dVldt = W. Таким образом, существование эрмитовых форм V и W, удовлетворяющих условиям 1 и 2, доказано. Как следует из теоремы 19 (что ясно было и ранее), нулевое решение системы (2.20) асимптотически устойчиво в этом случае, и область асимптотической устойчивости А совпадает со всем комплекнсым n-мерным пространством.
Теорема 27. Если среди величин Хъ ..., Хп имеются А > 0 с положительными вещественными частями, а п — к с отрицательными, то существуют две эрмитовы формы V и W, обладающие следующими свойствами:
форма W— определенно отрицательная, форма V— знакопеременная;
полная производная, вычисленная от формы V в силу системы (2.20), удовлетворяет уравнению dv/dt=W.
□ Сделаем линейное преобразование в системе (2.20) с неособой матрицей S, X=^SY так, чтобы иметь
-^=е5-1У8-1 + ^У» (s-hп), ео=О. (2.24)
at
Величины е^ являются либо единицами, либо нулями. Возьмем первые к уравнений. Используя их, построим эрмитову форму
= [ -WMV, yV\ .... У1Л,уМ у\й)уПШ, о
где WT — определенно отрицательная эрмитова форма величин Уъ ..., у^. Будем считать, что Re (Ху) < 0 при / = 0, 1, ..., к. Форма Vt эрмитово отрицательна. На основании теоремы 26 и в силу первых к уравнений системы (2.24) имеем d^/d/ = Wv Возьмем далее определенно отрицательную форму 1Г2 величин yh+i, ..., уп и, используя последние уравнения системы (2.24), построим, следуя
+ 00
теореме 26, эрмитову форму Vo = ( — W^\t. В силу по" 'о
следних п — к уравнений системы (2.24) имеем dV2/d/ = - IV2. Положим V = Vt + V2 и № = ^ + IV2. Тогда, перейдя вновь к старым переменным, получим две эрмитовы формы, удовлетворяющие всем условиям теоремы.
Замечание. Если коэффициенты в системе (2.20) вещественны, то формы V и IV в теоремах 26 и 27 можно выбрать просто квадратичными с вещественными симметричными матрицами.
Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений
/ = 1п
. 2> 1
I = 1 R
= Fs(xb ..., xj (s=l, ..., n),(2.25)
правые части которых голоморфные функции по хъ ..., хп. Предположим далее, что коэффициенты psl и Ps™1т^ вещественны и вещественные части корней характеристического уравнения \Р — Х£| = 0 отрицательны. Рассмотрим уравнение в частных производных
ппп аГ п -
п
п
(2.26)(2.26)S ^-Ft = ^X) 1+ ^ Ft (1 + V),
(2.26)
(2.26)
- , дх1
соответствующее системе (2.25). Здесь функция ф (хп ..., хп) — положительно определенная квадратичная форма хъ ..., хп. В качестве функции ф (X) можно также брать любую голоморфную положительную функцию, в разложении которой по целым положительным степеням вели-
чин xn ..., хп наинизшие члены образуют положительно определенную форму степени 2/тг, т > 1. Легко показать (см. теорему 22), что при выбранной таким образом функции Ф (X) уравнение (2.26) имеет решение, удовлетворяющее всем условиям теоремы 22.
Как следует из теоремы А. М. Ляпунова [11, при таком выборе функции ф (X) функция У (X) может быть получена единственным образом в виде степенного ряда, сходящегося при достаточно малых |xs| и обращающегося в нуль при X = 0. Будем искать решение V (X) в виде ряда
V (X) = У2 (X) + Уз (X) + ... + Vm (X) + .... (2.27) где Vm (X) — однородная форма т-й степени относительно величин хъ ..., хп. Подставляя (2.27) в (2.26), получаем для определения форм Vm (X) систему уравнений:
S 4^ I S *п).
, , OXi I
1=1 U=1 7 (2.28)
где Rm — известная форма т-й степени, если уже найдены
Из системы (2.28) найдем последовательно формы У2, У3, ... . Как следует из теоремы 26, форма У2 (X) является определенно отрицательной.
Известно [1], что ряд (2.27) сходится в некоторой достаточно малой окрестности начала координат. Сделаем несколько замечаний относительно свойства ряда (2.27).
Теорема 28. Если правые части системы (2.25) представляют собой ряды, сходящиеся при любых конечных значениях величин хъ ..., хп, то в достаточно малой окрестности точки Х<°> С А функция V (X) может быть представлена в виде ряда
У(Х^-1+2тЛхг-хП^-ЛХп-О^,
пп"
2 »ч>о
i = 1
сходящегося при |Х — Х<°> |2 < г2 (Х<°>).
□ Построим решение X (t, Х(о)) системы (2.25), проходящее в момент / = 0 через точку Х^ Е А. Сделаем замену в системе (2.25):
X - X (/, Х«») + L т. е. xt - xt (/, Х«») + ^(2.29)
0 = 1,...,».
Тогда система (2.25) принимает вид к=\п
2 *Ч> 1
Z = 1
Решение этой системы можно представить в виде рядов [1]
^= 2 фГ1
где |(0) — точка, через которую в момент ^ = 0 проходит решение £ (/, £(0>). Таким образом, £(0) = X — Х(о\ Эти ряды сходятся при достаточно малых величинах ^°\ Подставляя (2.29) в правую часть равенства
l + V(X) = expl + V(X) = expdtdt
l + V(X) = exp
l + V(X) = exp
dt
dt
получаем требуемое.
Следствие. Функция V (^, ..., хп) = V (X), определенная как решение (2.26) в виде сходящегося ряда в достаточно малой окрестности начала координат, может быть аналитически продолжена вдоль любого луча, исходящего из начала координат вплоть до границы области устойчивости.
Отметим, что выбор функции ф (X) в уравнении (2.26) влияет на область сходимости ряда (2.27), например урав
нение
пZ=1пZ=1дУdxtдУdxt= <р(Х)(14-У) при <р = 2 2Z=1= <р(Х)(14-У) при <р = 2 2Z=1X?X?
п
Z=1
п
Z=1
дУ
dxt
дУ
dxt
= <р(Х)(14-У) при <р = 2 2
Z=1
= <р(Х)(14-У) при <р = 2 2
Z=1
X?
X?
имеет решение
Если в этом примере V (X) искать в виде ряда, то областью его сходимости в первом случае будет все пространство, тогда как во втором — лишь его ограниченная часть. Рассмотрим уравнение первого порядка dyldt = f (у), где f (у) — целая функция, не имеющая вещественных корней,
отличных от х = 0. Уравнение для функции V имеет вид / (у)^ = ф (у) (1 + ^ ^ "~ ^’ Нетрудно показать, что при ср = р функция V также целая, более того, если / (у) не имеет линейного члена в своем разложении по целым степеням у, выбором функиии ф можно добиться того, чтобы и в этом случае V получилась в виде ряда.
Эти вопросы следует решить для случая системы уравнений. Построенная здесь функция V позволяет отыскать некоторую область, целиком погруженную в А.
Приведем теперь метод отыскания области, целиком погруженной в область А. Рассмотрим семейство поверхностей У2 (X) = —р [см. (2.27)1, где р 6 (0, +оо), р = const. Если поверхность 3 есть граница области Д, то найдется такое значение р = р, что поверхность И2 (X) — —р будет касаться в некоторой точке поверхности 3. Действительно, так как семейство поверхностей У2 == —Р заполняет все пространство, то найдется такое значение р, при котором У2 ^ —Р пересекает поверхность 3. Обозначим через —р наибольшее значение V2 (X) на куске поверхности 3, заключенном внутри поверхности У2 = —р. Тогда У2 (X) = = —р будет касаться 3.
Как было показано раньше, поверхность 3 имеет уравнение 1 + V (X) = 0. Тогда в точке касания X будем иметь
дУдУдУ
дхг дх2 дхп
~дУГ^~ дУ2 *
дхх•дх2дхп
откуда* У Ft —2- = 0.
0x1
Заметим, что V2 (X) является функцией Ляпунова для системы (2.25). Найдем dVJdt в силу системы (2.25):
,V^ у р("Чmn)X'"* Хт» I.
i=l 1\mi+...+mn> I/
Функция W — определенно положительная. Найдем множество точек X, удовлетворяющих уравнению W (X) = О, и обозначим его через 1FO, считая, что точка X = 0 не принадлежит множеству Wo. Найдем наибольшее значение функции V2 (X) на множестве IFO и обозначим его через —р0. Значение р0 > 0, так как W (X) определенно положительная функция.
Теорема 29. Поверхность V2 (X) = —р0 целиком содержится в области Л.
□ Предположим противное, что поверхность V2 (X) = = —р0 частично содержится в области Л. (Это следует из свойства р.) Тогда существует на куске поверхности S точка, в которой функция V2 (X) достигает наибольшего значения —р0 и, как было показано, IF = 0 в этой точке, что невозможно, так как —р0 есть наибольшее значение V2 (X) на множестве IFO. Следовательно, значение —р0 не может быть наибольшим для функции V2 на множестве IF0, что и требовалось доказать. ■
Отметим, что в приведенных рассуждениях функция <р является произвольной определенно положительной квадратичной формой. Таким образом,
V2 (X) = -р0(2.30)
есть семейство кривых, зависящих от параметров aih = = фх^- Используя это, можно сформулировать ряд признаков для установления характера области устойчивости.
Теорема 30. Для того чтобы область устойчивости была ограничена, необходимо, чтобы семейство поверхностей (2.30) было ограниченным, а для неограниченности области устойчивости достаточно, чтобы это семейство было неограниченным. (Доказательство очевидно.)
Для практического применения указанного метода можно с успехом использовать семейство поверхностей
Зп = -р, (2.31)
где Sn = v2 (X) + ... + уп (X), причем считаем, что Sn = = —р ограничивает область Sn > —р, содержащую начало координат X = 0. Определим для этого семейства аналогично функцию Wn (X), Wn (X) = dSnldt и множество ее нулей WOn, причем X = 0 не принадлежит !FOn- Для семейства (2.31) можно определить величины —рОп, пред-
ставляющие наибольшее значение функции Sn на множестве WOn. Как и раньше, можно показать, что поверхность Sn = —цОп целиком содержится в области устойчивости, и сформулированные выше выводы можно перенести на семейство (2.31). Таким образом, предложен метод построения семейства областей, целиком принадлежащих области А.
Идея построения некоторой области, которая целиком принадлежит А, основанная на использовании функции Ляпунова, была применена самим А. М. Ляпуновым, а затем в различных формах и другими авторами. В настоящем параграфе эта идея используется в иной форме.
Вообще говоря, при увеличении п семейство Sn = —цОп все более точно представляет границу области А. В этой работе предложен способ построения малого решения в области А и применен в комбинации с вышеизложенным методом аналитический аппарат, позволяющий строить любые решения в области А для исследования некоторых нелокальных проблем.
Перейдем теперь к построению [39, 40] любого решения области асимптотической устойчивости. Допустим, что задана система дифференциальных уравнений
^- = А(ХЪ ...,хп), (2.32)
где функции fi голоморфны в некоторой области G, т. е. если точка (х?’, ..., х«0)) ЕС, то
/I (^1>^п) ”
=2Р^1m»4xi-x№ .Дхп-х<п6Тп
/«!+...+mn = o
—ряды, сходящиеся в области |хг— x*”|<p (i = 1, ..., п). Пусть некоторая интегральная кривая X (t, Х(о>) системы (2.32) остается в ограниченной области Gv целиком погруженной в G. Тогда она продолжима на все значения / ^ (—оо, -фоо). Какова бы ни была точка (xV1, .... х”’) 6 € Gv найдутся такие числа М и р, что функция
F^-MF^-M1"'1"'
F^-M
F^-M
1"'
1"'
№) =№) =является мажорантой рядов
№) =
№) =
=2 РТ1”Wi-x?>...(xn-x<*>rn.(2.33)
/7Z1+...+/7?n=O
Система дифференциальных уравнений dXildt = F (X) является мажорантной для (2.32). Пусть интегральная кривая X (/, Х<°>) в момент 1 = 1г достигает точки Xv Тогда по теореме Коши решение X (/, Х<0>) можно представить в виде рядов
х—х^ = 2 MX^t-t^ (Z-1, ..., п\ (2.34) к = 1
сходящихся при \1 — tx\*<h. Построим для этих рядов соответствующую мажорантную функцию. Для этого найдем решение уравнения (2.33) в предположении, что при 1 = 1г Xt = х(1ь тогда xt — х^ = г будет удовлетворять уравнению
dz М dt1—nz/p *
Проинтегрировав его в предположении г = 0 при 1 ^ ^, получим
[1—1/-.
n L Г р J
Из вида этой функции следует, что ряды (2.34) сходятся при |/— ^| < р/ (2Л4п) = h независимо от точки Х^), лежащей на интегральной кривой X (t, Х<9>). Итак, доказана теорема.
Теорема 31. Если интегральная кривая системы (2.32) остается в ограниченной области, погруженной вместе с границей в область аналитичности правых частей системы (2.32), то функции, описывающие эту интегральную кривую, являются регулярными в полосе шириной 2Л, содержащей вещественную ось I.
Следствие. Если интегральная кривая X (I, Х<°>) остается в области GT при t Е [0, +оо], то функции Xt (t, xV”, ...» Хп0>) будут регулярными в полуполосе шириной 2ft, содержащей вещественную положительную полуось / £ 10, +<х>).
Допустим, что X (/, Х<°>) — решение системы (2.32) остается в ограниченной области Glf целиком погруженной в G. Тогда, как было показано, функции Xi (^, х?’, ..., Хп0>) регулярны в полосе шириной 2h. Отобразим эту полосу конформно на круг |у| < 1, ставя в соответствие t = 0, у = 0. Тогда получим
у=^цн_ 1)/(е"'/'Ч-1). (2.35)
Сделаем теперь замену (2.35) независимой переменной в системе (2.32):
-5"-ir = f-^i’->^)-(2.36)
ay at
Нетрудно видеть, что
-^- =- -^- (1 — z/2) = х (1 — у2), где х — -2-.dt 2h к ' v 9 '2h
Решение системы (2.36), проходящее в момент у = 0 через точку Х(0>, будет регулярным в круге |у| < 1 и поэтому может быть представлено в виде сходящегося ряда
Xt-x^-V ^ Aki(XW)y>= (t=l, .... я),(2.37)
к= 1
область сходимости которого \у\ < 1 или —ОО <_t<_ +оо. Дадим фактическое определение коэффициентов этих рядов. Подставляя их в систему (2.36) и приравнивая члены при одинаковых степенях у, получаем следующие уравнения: х (^ + 1)Лк+1.{ — х (6 — 1) АК_1Л = фм (^ = 2, 3, ...), (i=l, ..., п), где ф^- — полиномы относительно А^ук^к) с коэффициентами, являющимися комбинациями коэффициентов разложений функций ft (X) по степеням (xt — 40)) У = 1, ..., п^ и целых положительных чисел, причем нетрудно показать, чтоф^ = ^ (%(i0), .., Хп^. Пусть у системы (2.36) существует асимптотически устойчивое нулевое решение. Будем предполагать, что область его асимптотической устойчивости А ограничена и целиком погружена в область G вместе с границей.
Каждое решение, лежащее в области Л, можно представить рядами вида (2.37), сходящимися при t Е (—оо, +оо).
Теорема 32. Общее решение в ограниченной области асимптотической устойчивости А системы (2.32), целиком погруженной вместе с границей в область G, может быть представлено в виде рядов (2.37), сходящихся при —оо < </<+оо. (Доказательство очевидно.)
Пусть теперь область А имеет произвольный характер. Тогда любое решение X (/, Х<°>), начинающееся в ней при t £ [0, +оо), остается в ограниченной области Gb и поэтому функции X (t, Х^\ У(0)), V у, Х^\ У(о>) регулярны в полуполосе шириной 27г, содержащей полуось t Е [0, +оо). Отобразим эту полу полосу на круг |£| < 1 и сделаем замену независимой переменной в системе (2.32). Тогда получим систему
=(238)
ас, at
Решение этой системы, проходящее в момент £ = О через точку XW € А, может быть представлено в виде рядов
Xt = x^+ 5 bth(X)^ (t = !,...,«),(2.39)
к — 1
сходящихся при |^| < 1. Конформное отображение полуполосы на круг осуществляет функция
£ = /sh — — l)/(sh—+11
\ 2Л Н\ 2й /
, л/ 1+^ отсюда sh=г.
2 Л1-^
Дифференцируя это равенство по /, заменяя
ch — =1 / 1+sh2-^
2/i V2h
и полагая л/ (2/г]Л2) = со, получаем
A=(o(i_gKr+F:
at
Разложим правую часть этого равенства по степеням £: ^. = «>.^0^,(2.40)
где С/ — известные постоянные. Подставив выражение (2.40) в формулу (2.38), получим систему
+ У СлЛ=Ь(хъ .... xnk
Подставляя ряды (2.39) в последнюю систему, получаем возможность последовательно определить коэффициенты этих рядов. Сделаем замену независимой переменной в системе (2.32): / = т + (Л/л) In (1 + ]/2). Тогда значению т = 0 отвечает значение t, = 0. Следовательно, решение, проходящее в момент т = 0 через точку Х<0\ может быть представлено в виде рядов (2.39), сходящихся при всех t еЮ, +оо).
Теорема 33. Если система уравнений (2.32) имеет асимптотически устойчивое нулевое решение и правые части ее голоморфны в любой точке Х<°> е А» то любое решение
X (t, Х^^Х^ £ А, может быть представлено рядами (2.39), сходящимися при |£| <1 или t 6 [0, +°°).
Замечание. 1. Рядами (2.39) и (2.37) можно пользоваться не только в области асимптотической устойчивости. Например, ряды (2.39) могут применяться для приближенного представления предельного цикла вне области Л.
Замечание 2. Ряды (2.39) и (2.37) обладают тем преимуществом перед рядами, представляющими общее решение в окрестности начала координат, построенными А. М. Ляпуновым, что они, во-первых, не требуют отрицательности или положительности вещественных частей всех корней уравнения \Р— ХЕ| = О, во-вторых, сходятся при любых конечных значениях Х(о> g Л, в то время как ряды Ляпунова сходятся в достаточно малой окрестности начала координат, в-третьих, в случае ограниченной области А ряды сходятся при всех t 6 (—оо, +°°)-
Замечание 3. Если решение остается ограниченным при t 6 (—оо, 0], то рассуждая как и в случае, когда решение остается ограниченным при / С [0, +оо), можно прийти к таким же рядам (2.39), но только сходящимся при t € [0, —оо), следовательно, если решение ограничено при всех t 6 (—оо, +оо), то этими рядами можно представлять как положительную, так и отрицательную полутраектории.
Вообще говоря, можно указать много способов построения общего решения в области асимптотической устойчивости, поэтому прием, использованный здесь, нельзя считать единственным. Различные виды общего решения можно получить отображением полос с криволинейной границей на круг.
Если при отображении полосы шириной 2h на круг |у| < 1 сопоставить точке у = 0 точку t — +оо, то получим общее решение в виде некоторых других рядов, которые можно применять при решении различных задач с большим успехом (см. Дополнение 1).
Применим теперь развитую теорию к задаче отыскания предельного цикла.
Рассмотрим систему двух уравнений
-^-ti^x^ (/=1,2),(2.41)
правые части которой разлагаются в ряды:
(2.42)(2.42)4-00
(2.42)
(2.42)
h = S
mt, т2= 1
сходящиеся при любых конечных значениях величин ^, х2, и все корни уравнения |Р — ХЕ | = 0 имеют отрицательные вещественные части.
Найдем функцию Sn (хт, х2) = V2 (xlf х2) + ... + Уп (хь х2) и предположим, что ряд
у2+ Уз+ ... + Vn+ ...(2.43)
сходится в некоторой области, содержащей границу области А. Тогда семейство 8п (хъ х^ = —1, ограничивающее область Sn >—1, содержащее точку (0,0), будет сколь угодно точно представлять границу области Л.
Если предельный цикл существует, то кривая Sn (хъ х2) = —1 сколь угодно точно дает его представление.
Если же, наоборот, окажется, что Sn = —1 ограничена при п ->■ +оо и в достаточно малой окрестности этой кривой не оказывается точки покоя системы (2.41), то предельный цикл существует и может быть приближенно представлен уравнением Sn = —1.
Допустим теперь, что область сходимости ряда (2.43) неизвестна, тогда для отыскания предельного цикла и его приближенного представления можно рекомендовать следующий метод. Строим кривую Sn (хь х2) = —роп, как это было показано выше. Область Sn >» —роп, содержащая точку (0, 0), целиком погружена в область Л. Возьмем какую-либо точку на кривой Sn = —рОп. Выпустим из этой точки отрицательную полутраекторию, представив ее в виде рядов (2.39).
Если предельный цикл существует, то траектория ограничена и делает бесчисленное число оборотов, приближаясь к нему, и поэтому ряды (2.39) могут сколь угодно точно при достаточно больших t представлять предельный цикл. И, наоборот, если окажется, что решение в виде рядов (2.39) ограничено и траектория делает бесчисленное число оборотов вокруг начала координат, то предельный цикл существует и указанные ряды при достаточно больших значениях t дают сколь угодно точное его представление. Однако в этом случае возможно, что границей области А является замкнутая кривая, на которой лежат точки покоя системы (2.41).
Можно сформулировать другой принцип, требующий меньших вычислений. Рассмотрим кривую Sn = —1, ограничивающую область Sn>—1, содержащую точку (О, 0), и возьмем на этой кривой точку. Выпустим из нее траекторию, пользуясь рядами (2.37). Если эта точка принадлежит ограниченной области устойчивости, то при t->
-> + 00 решение (2.37) стремится к нулю, а при /-^оо по поведению рядов (2.37) можно судить о том, является ли граница предельным циклом. Именно, если ряды описывают траекторию, делающую бесчисленное число оборотов вокруг начала координат, то предельный цикл имеется. Если же указанная точка не принадлежит области устойчивости, то используя ряды (2.39), можно отыскать предельный цикл.
Однако не всегда изложенный второй принцип может давать эффективный результат, так как он основан на соображении, что Sn = —1 близка к границе области устойчивости, что можно гаранитировать лишь в случае, когда область асимптотической устойчивости погружена в область сходимости ряда (2.43).
Ранее было показано, что V (х19 х2) в окрестности каждой точки (%i0), х^) Е А разлагается в сходящийся ряд
2 c^i-xYWt-xW (2.44) а, /=о
Используя это свойство V (х^ х2), каждый раз можно путем аналитического продолжения сколь угодно близко подойти к границе А. Это аналитическое продолжение можно со» верщать вдоль какого-либо луча kxt1 начиная с точки (0, 0), В случае, когда существует предельный цикл, можно с успехом совершать аналитическое продолжение вдоль координатных осей х2 или xv
При приближении к границе, как было показано, функция У->1. Учитывая этот факт, аналитическим продолжением можно обнаружить точки, расположенные вблизи границы области А.
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНОРОДНЫМИ ПРАВЫМИ частями
Определение. Функцию f (хь ..., хп), заданную в Еп, называют однородной порядка р = p/q. где р и q — натуральные числа, причем q нечетно, если имеет место равенство
/ (схь .... схп) = c^f (хъ ..., х^\(А)
ср^ положительно при р четном, при р нечетном sign ср^ = = sign с. При этом функцию f (хъ .... хп) будем называть положительно однородной, если с > 0, р — любое.
Если однородная или положительно однородная функция / (хъ ..., х^ непрерывно дифференцируема по всем
своим аргументам до порядка v включительно, v > 1, то она удовлетворяет [15] линейному уравнению в частных производных:
z=o 1
где ц — показатель однородности функции f. Если v > 2, то функция dfldxj также является однородной порядка ц— 1, что легко можно установить с помощью дифференцирования по переменной х$ соотношения (Д).
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений ^- = Х^(Х1,...,хп\(2.45)
dt
Правые части при v = 0 будем считать удовлетворяющими некоторым условиям единственности. Предположим, что функции Х^* заданы в Еп, непрерывно дифференцируемы там по всем своим аргументам до порядка v > О включительно и являются однородными порядка р, р > 0. Будем считать, что случай v = 0 соответствует непрерывным функциям Х<**). Система (2.45) имеет нулевое решение X = 0. Исследуем его с точки зрения устойчивости по Ляпунову.
Теорема 34. Если система дифференциальных уравнений (2.45) имеет интегральную кривую X = X (/, Х<°>), то любая кривая семейства
Y = сХ ^-Ч, Х«»)(2.46)
является также интегральной кривой системы (2.45); при этом
сХ (с^-Ч, Х№) = X (/, cXW\(2.47)
□ Пусть функция X (/, Х(0>) является решением системы (2.45). В этом случае имеем тождество
= ^’ (xj Ч, XW), ..., х8 (t, Х<»>), .... хп V, Х(0))). Вычислим производную от семейства (2.46) по переменной t. Тогда получим
^Ь-^ — Хзкхс»-', XW) ^Х^^ (^-*, Х<°>), ...
dt dt
.... x^tc»"1, Х^=Х^ЧсХи .... схл), откуда -^- = Х^>(yv .... z/n).
dt'
Таким образом, семейство функций (2.46) образует семейство интегральных кривых системы (2.45). Покажем теперь, что имеет место (2.47). Действительно, при t = 0 равенство (2.47) имеет место, а при /=/= О оно выполняется в силу единственности решений (2.45).
Следствие. Если X = X (£, Х(0)) — интегральная кривая системы (2.45), то семейство интегральных кривых (2.46) заполняет коническую поверхность, вершина которой лежит в точке X = 0, а направляющим множеством является интегральная кривая X = X (£, Х(0)).
Теорема 35. 1. Нулевое решение системы (2.45) нс может быть асимптотически устойчивым при р = 2/г, где к — натуральное число.
Нулевое решение системы (2.45) при р > О, р ^2k и p=# 1 может быть асимптотически устойчивым лишь при вещественных возмущениях.
Нулевое решение системы (2.45) при р = 1 может быть асимптотически устойчивым при любых комплексных возмущениях. (Ср. теоремы 26 и 27.)
1-.й случай. Пусть р = 2k и нулевое решение системы (2.45) асимптотически устойчиво. Тогда существует интегральная кривая X = X (/, Х<°>) этой системы, обладающая свойством X (/, Х(0))->0 при t~> +оо. Рассмотрим интегральную кривую X (/, —Х(0)). В силу соотношения (2.47) имеем X (/, — Х«») - (—1)Х (
Х(о)) = —X (—/, Х<0)), откуда следует, что интегральная кривая X (/, —Х(О0 обладает свойством X (^, —Х<0)) ->• О при —оо, что противоречит наличию асимптотической устойчивости нулевого решения системы (2.45) [6]. Таким образом, при р = 2k нулевое решение системы (2.45) не может быть асимптотически устойчивым.
2-й случай. Пусть р 2k и р =^ 1. Предположим, что существует такая система вида (2.45), для которой нулевое решение асимптотически устойчиво при любых комплексных возмущениях. Пусть X (/, Х<0>) ->• 0 при 4~°°- Положим 8 — у—1. Рассмотрим интегральную кривую X = X (/, еХ(°)). В силу соотношений (2.47) получим еХ ( — /, Х<°)) = X (/, еХ^0)), откуда следует, что рассматриваемая интегральная кривая обладает свойством X (/, еХ<0>)->0 при /->—оо. Итак при/7^2^, р=#1 нулевое решение любой системы вида (2.45) может быть асимптотически устойчивым лишь при вещественных возмущениях.
В 3-м случае возможна асимптотическая устойчивость при любых комплексных возмущениях, что следует из соотношения (2.47).
4 Зак. 49 97
Следствие. Если нулевое решение системы (2.45) устойчиво (асимптотически устойчиво) при достаточно малых возмущениях, то все решения системы (2.45) ограниченны при / € 10, +<»), т. е. |Х (/, Х<°>)| < К (Х«») < +<х> при t > 0 (имеет место асимптотическая устойчивость в целом). Этот вывод был получен В. С. Новоселовым. Если нулевое решение системы (2.45) асимптотически устойчиво, то для достаточно широкого класса систем можно показать, что имеет место неравенство
|Х & Х<®>)| < Л^-» при t > Т и |Х<°>| = 1,(2.48)
где Аг — достаточно большая постоянная (Лг > 0), а — достаточно малая (а > 0). Представляет интерес показать, что при наличии асимптотической устойчивости нулевого решения системы (2.45) всегда имеет место неравенство (2.48). Если это утверждение считать доказанным, то везде в последующих теоремах условие (2.48) можно заменить требованием асимптотической устойчивости нулевого решения системы (2.45).
Теорема 36. Если система (2.45) такова, что ее решения удовлетворяют неравенству (2.48), то существуют две функции V и W, заданные в £п и обладающие следующими свойствами:W
функции V и — W — положительно определенные;
функция W — положительно однородная порядка ш, функция V — положительно однородная порядка /и + 1 — — ц, где m — достаточно большое положительное число;
функция V непрерывно дифференцируема вдоль интегральных кривых системы (2.45), т. е. V (X (/, Х<°>)) имеет непрерывную производную и dV/dt = W.
□ Положим W = —|Х|т, где /п> 1/а и
4-00
К(Х<°)) = J — №(Х(/, XW^dt. (2.49) о
Покажем, что формула (2.49) определяет некоторую функцию, заданную в Еп. Действительно, пусть |Х<°>| = 1, тогда для интегральных кривых системы^(2.45) имеет место неравенство (2.48). Оценим интеграл,’’ входящий в правую часть формулы (2.49), с помощью (2.48). Получим
У(Х<°))С у|Х|т^ + +f A^t-^dt,от
откуда следует,г,что формула (2.49) определяет при |Х<°>| = ■= 1 функцию V (Х<°>).
Пусть теперь Х(0> — любая точка Е п, Х<°> ^ О, Х<°> = = |Х<°>|К<°>, где У(о) — единичный вектор |FW| = 1. Из соотношения (2.47) имеем
X (t, Х^) = | Х№ | X (| XW |и-1 /, у<о))_(2.50)
Используя равенство (2.50) и неравенство (2.48), получаем
|Х(/, Х<°)) I =С| Х<°> р-'^ (^"D Л! ^-« при t>T. (2.51)
Неравенство (2.51) позволяет, как и в случае ]Х<°>| = 1, показать, что интеграл, стоящий в правой части формулы (2.49), сходится. Таким образом, формула (2.49) определяет функцию, заданную в Еп. При этом V (0) = 0. Сделаем теперь под этим интегралом замену, используя соотношение (2.50). Имеем
4-00
У(Х<°>) = J |Х«»|тХ(|Х<0)^-Ч, YW^mdt = О
4-оо
= [ |Х(»)|'”+1-и|Х(т,У«”)|"!йт, о
откуда следует
V (Х«») =| Х«» |т+1 -и у (у(о>).(2.52)
Равенство (2.52) показывает, что построенная функция является положительно однородной порядка т + 1 — р. Покажем теперь, что функция V удовлетворяет условию 2. Действительно, из формулы (2.49) имеем
4-00
У(Х(/, Х«»)) = J |Х(т, X(/,X(°)))|mdT^
О
4-оо
[ |Х(? + т, XO»)^^.
О
4- 00 Полагая 6 = t + т, получаем V (X (t, Х<°))) = J |Х (6, Х^^р d6. Дифференцируя обе части полученного равенства, имеем dV/dt = — IX^0)^ = W. Таким образом, функция V удовлетворяет условию 3.
Теорема 37. Если система (2.45) такова, что ее решения удовлетворяют неравенству (2.48), то имеют место следующие неравенства:
при р с (О, 1)
"р а, | Х(0) ||-ц~ а2/ < | X (/, Х<°>) | ‘-^IX*0)!1-^ —62/, / > о.
где X = X (/, Х(0>) ^= О — любое решение системы (2.45) при /ею, TJ, Тг = ^ [Х^р-и;
при р = 1
pJX’o-le-p^^lX^, XW)\^q1\XW\e-<’=i, t>0;
при р > 1 и р ^= 2k
ц — 1 <:гV 1+с2/|Х(0) |Р-1ц — 1 <:гV 1+с2/|Х(0) |Р-1^|Х(/, Х<°))|<^|Х(/, Х<°))|<
ц — 1 <:г
V 1+с2/|Х(0) |Р-1
ц — 1 <:г
V 1+с2/|Х(0) |Р-1
^|Х(/, Х<°))|<
^|Х(/, Х<°))|<
, /<о,, /<о,dt I Х<»> |^-У^1+ d2 Z | Х<0> j^-1
, /<о,
, /<о,
где ср, bi, р,, Ci, ct, dt (i = 1, 2) — некоторые положительные постоянные.
□ Покажем, что имеют место оценки 2 и 3. Если уело» вие (2.48) выполнено, то, как показано в теореме 36, существуют две функции V (X) и Й7 (X), удовлетворяющие трем условиям, сформулированным в теореме 36. При этом IF (X) = —|Х|т, а функция V (X) в силу неравенства (2.52) удовлетворяет неравенствам
а[ | X М+1 -» < V (X) ^ «21X Г+1 -Р,(2.53)
где а[ = inf V (X), аг = sup V (X).
|Х|=1|Х| = 1
Обратимся к теореме 20. Положим V (р) = |Х|, где V (р ) — функционал, о котором идет речь в этой теореме. Полагая в теореме 20 I, = Ц = m + 1 — р, ^ = ^2 = т> получаем из оценки (1.40) утверждение 3, а из оценки (1.43) — утверждение 2 настоящей теоремы. Покажем теперь, что имеет место утверждение 1.
Пусть р Е (0, 1) вдоль интегральной кривой X = = X (/, Х<°>) системы (2.45) мы имеем dVldt = W, где V и W — функции, построенные в теореме 36. Предположим, что X (/, Х<°>) =# 0, тогда определена функция V-K (X (/, Х<°>)), % > 0. Домножим равенство dVldt = W на эту функцию и проинтегрируем в пределах от 0 до /0. Тогда получим
V(X(t, Х(°>)) =
л Г t
= "]/ Ktxto^-Htl-M f №(Х(т, Х<°)) V-xdT.
Используя неравенства для функции V (X), учитывая вид функции IF (X) и полагая X = ml (m + 1 — ц), имеем 1 "^(^^^ЧА^м^й^х^^ < v (X (/, х< °>))
Применяя снова неравенство, которому подчинена функция F, получаем, что имеет место утверждение 1 настоящей теоремы.
Следствие 1. Теорема 37 показывает, что если нулевое решение системы (2.45) асимптотически устойчиво и имеет место оценка (2.48) при сколь угодно малом сс > О, то в действительности любая интегральная кривая системы (2.45) удовлетворяет неравенствам, указанным в п. 1—3.
Следствие 2. Оценки, содержащиеся в п. 1—3 теоремы 37, являются точными, т. е. метод вычисления констант таков, что в конкретных примерах эти неравенства превращаются в равенства, что показывает, например, интегрирование уравнения х = —х^, ц = 2й + 1, а именно: оценка, получающаяся согласно п. 2 и 3, является точной, т. е. неравенства переходят в равенства. Сделанное утверждение не основывается только на этом очевидном примере, а следует из сущности метода.
Следствие 3. Как показывает вывод, оценка в случае ц £ (0, 1) имеет место лишь до тех пор, пока |Х (/, Х<°>) | ^ 0. В силу асимптотической устойчивости нулевого решения системы (2.45) интегральная кривая, вошедшая в точку X = 0 при t = Т, остается там при t > Т, т. е. X (/, Х(о)) = 0 при t "> Т. Как показывает оценка в случае ц 6 (0, 1), любая интегральная кривая системы (2.45) входит в точку X = 0 в конечное время Т (Х<°1), так что при / £ [0, 71 имеет место оценка, данная в п. 1 теоремы 37, а при t > Т (Х<°)) X (/, Х<°>) = 0. Эта возможность отмечалась уже в работах [17, 181.
Теорема 38. Если система (2.45) такова, что ее решение удовлетворяет неравенству (2.48), то существуют две функции V (X) и W (X), удовлетворяющие всем условиям теоремы 36, и, кроме того, функцию W (X) можно выбрать таким образом, что функция V (X) будет непрерывно дифференцируемой по всем своим аргументам включительно до того же порядка v, что и правые части системы (2.45). При этом
функции F и IF при v > 1 удовлетворяют системе уравнений в частных производных
У ^LX^ = W, у-^_хг=(/и-ц+1)У, (2.54)
ОХ;ОХ;
где пг — показатель однородности функции IF, достаточно большое положительное число.
Пусть условие теоремы выполнено и v > I; тогда обязательно р 1. При выполнении этих условий справедливы утверждения теоремы 37. Поэтому любая интегральная кривая системы (2.45) удовлетворяет либо неравенству п. 2 теоремы 37, либо неравенству п. 3 при р > 1 и р #= 2/?. Положим IF (X) = —Хт; тогда как было показано в теореме 36, существует функция V (X), определяемая формулой (2.49): V (XW) = J |Х ((, Х<°>)|m dt, X 6 Еп. Покажем, что
О
величину т всегда можно выбрать столь большой, что функция V будет непрерывно дифференцируемой по всем своим аргументам до порядка v включительно. Продифференцируем формально это равенство по переменной х(/0)- Тогда получим
dVдх^ ”
= С |Х(/, Х^\^т 5 x^t, 4°’, ..., x^XlV’^ dt.
J.■*Mo)
ol =11
(2.55)
Покажем, что интеграл, стоящий в правой части формулы (2.55), равномерно сходится, и тем самым эта формула определяет частную производную функции F по аргументу Xj. Для этого найдем прежде всего те оценки, которым удовлетворяют функции dxJdx^V Эти функции удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами вида
, п
(2.56)
где
Покажем, что это действительно так. Подставляя решение X = X (Л Х<°>) в систему (2.45), получаем тождество. Дифференцируя его по переменной ^0,, имеем
d dxs(t, Д0*, ..., х^) _ ~dt
"dxlt х<»)х<0,1
..dxiU,XW\
А это и означает, что функции ■ “^—- удовлетворяют линейной системе (2.56). Коэффициенты p8i системы (2.56) являются однородными функциями величин х8 У, Х(0>) порядка р— 1, поэтому при р = 1 имеем |/?вг, < X < +°о, / > 0. При р > 1 и р #= 2^ имеем
\psi(t, х)0’, ..„х^КХ^, Х<о>)МХ^
где d2 — положительная константа, о которой идет речь в теореме 37. Умножая s-e уравнение системы (2.56) на у8 и суммируя по s от 1 до п, получаем
iyi^-m=2 -^у^УгУрi, 0
/ п
где |У| = 1/ ^yV Используя оценки, которым удовлетво- V 1= 1
ряют функции psi (t, XW), при р = 1 найдем
|У|-£|У|^Кп2|У|2,
at
а при р > 1 и р #= 2^ имеем
m4-iyi<atm4-iyi<atKn»\Xw\*-X I I2l+d2/|X<°’p-1 ’
m4-iyi<at
m4-iyi<at
откуда в первом случае имеем |У| < lyc0)!^"4, а во втором случае |У| < |У<°>| (1 + ^^Х^)^-1^2/^. Оценим теперь интеграл, стоящий в правой части формулы (2.55) при р = 1. Имеем
П
J |Х(Л X<(»)|m-2/n2xi(z- Х(0>)-^^Г^" dt оz==17
+ °оо
Отсюда, выбирая величину т достаточно большой, получаем, что интеграл в формуле (2.55) сходится равномерно и формула (2.45) определяет частную производную функции V по переменной х(/0). Покажем теперь, что этот интеграл также сходящийся при р > 1 и р Ф 2k, если т выбрать достаточно большим. Действительно,
+ °о+ °оJ т\Х<1,Х^Д™-^ x^t, Х^)^^^^оz
+ °о
+ °о
т— 1
Ml +- </2/|Х<°> |И-1)-^^Т
о
X(l + ^/l^0)^-1)^/^ dt.
Из этой оценки следует, что величину т можно выбрать столь большой, что интеграл (2.55) будет сходящимся. Таким образом, при v > 1 функция V имеет частные производные первого порядка. Пусть v > 2; в этом случае, незначительно видоизменяя приведенные выше рассуждения, можно показать, что существуют вторые производные функции V. При этом оценки функции —легко получить дх j ’дхЧ
из линейных неоднородных уравнений, которым они удовлетворяют. Эти уравнения можно получить, повторно дифференцируя по переменным Xj°\ х*^ системы уравнений (2.45). Принимая это во внимание, считаем, что величину т можно выбрать столь большой, что функция V будет непрерывно дифференцируемой по всем своим аргументам до порядка v включительно.
Из теоремы 36 следует, что dVldt = IF, откуда
Кроме того, функция V является однородной порядка т — р + 1, поэтому имеет место соотношение
Таким образом, функция V удовлетворяет системе (2.54).
Следствие. В случае п = 2 функцию V (гь х2) при v > 1 можно всегда найти в замкнутой форме. Действительно, найдем из системы двух уравнений
xw + 2L дм -Г; xv +х2 = (т - И+1) V
охудх2охх дх2
частные производные дУ/дхх и дУ/дх2; тогда получим:
VXl = А (хх, x2)V + В (хь х2);
Ух, = С (хъ x^V + D (хъ х2),(2.54')
где
А(хх, х2)А(хх, х2)-(m+l-tOxV0. о/ ^Wx2 .
А(хх, х2)
А(хх, х2)
_ —V !Г£—2_; В (хх, X») =-
х2Х^—ххХ^ХаХ^ — ХгХ^
С (хх, х2)С (хх, х2)-(т^Х-^Х^ . х1Х^-хгХУ *-(т^Х-^Х^ . х1Х^-хгХУ *D(xvx2)D(xvx2)
С (хх, х2)
С (хх, х2)
-(т^Х-^Х^ . х1Х^-хгХУ *
-(т^Х-^Х^ . х1Х^-хгХУ *
D(xvx2)
D(xvx2)
Первое из уравнений (2.54') является линейным относительно V, при этом переменная х2 в него входит как параметр. Поэтому его общее решение имеет вид
Ф(х2) +Ф(х2) +V = exp[ С A(^,x2)d^\х<0)
Ф(х2) +
Ф(х2) +
Л (т], x2)dT] dgЛ (т], x2)dT] dg+ ( 6 (^’ ^) ехР ~ J4°’\ 40>
Л (т], x2)dT] dg
Л (т], x2)dT] dg
Выберем функцию ср ^х^ так, чтобы построенная нами функция удовлетворяла второму из уравнений (2.54') и, кроме того, чтобы V (%!, х2) = 0 при хг = х2 = 0. Положим
гдегдеВ (£, х2) ехрВ (£, х2) ехрd^-M2.d^-M2.
где
где
В (£, х2) ехр
В (£, х2) ехр
d^-M2.
d^-M2.
Подставляя функцию V = УИгф (х2) + М3 во второе уравнение системы (2.54'), получаем
dx2
где NT = С(х1,х2)М1где NT = С(х1,х2)М1дМг "дх2 .дМг "дх2 .Mf-,Mf-,
где NT = С(х1,х2)М1
где NT = С(х1,х2)М1
дМг "дх2 .
дМг "дх2 .
Mf-,
Mf-,
М2 = [с (xv х2) М2 + D (хь Х2)- МГ.
LvX^ J
Легко установить, что
JWi = dN» —одхк дх2
Общее решение уравнения для функции <р имеет вид Ф М = yPi ta) + ?а (я2), где у — произвольная постоянная. Положим у = —(Р2 + МгМгЧРг1 при хг = х3 = 0. Тогда функция V (х^ х2) = уМ^ + МгР3 + М3 будет удовлетворять при п = 2 системе (2.54') и условию V = 0 при хх = х2 = 0.
Построенная функция дает необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости нулевого решения системы (2.45); оно асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда функция V (хъ х2) определенно отрицательная. При этом подразумевается, что функция W (хъ х2) является определенно положительной, однородной порядка т > р — 1.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
^--Х^^, ...,xn) + Fa(xr, ...,xn,/)(s=l, ...,п). (2.57) at
Функции Fs (хъ .... хп, t) будем считать такими, чтобы существовало решение X = X (t, XW, t0) при любом Х<°> и /0 > 0. Решение системы (2.57) называют ограниченным при / > t0, если имеет место неравенство |Х (/, Х<°>, /0)| < < К (t0, Х«») < +оо при t > t0.
Теорема 39. Для того чтобы любое решение системы (2.57) было ограниченным при t > t0 при любом выборе функций Fs (хп ..., xn, t) таких,что
Fs (X,t)I^CIX^Fs (X,t)I^CIX^(2.58)(2.58)
Fs (X,t)I^CIX^
Fs (X,t)I^CIX^
(2.58)
(2.58)
при |Х | > R, X < р, р > 1, где R — достаточно большая положительная величина, С — положительная величина, которая достаточно мала при X = р в случае v > 1, необходимо и достаточно, чтобы решения системы (2.45) удовлетворяли условию (2.48).
□ Необходимость. Пусть любое решение системы (2.57) при t > /0 ограниченно при любом выборе функций Fs (хп ..., xn, /), удовлетворяющих неравенствам (2.58). Покажем, что решение системы (2.45) удовлетворяет неравенству (2.48). Рассмотрим систему
^- = xs + X?>dx
при р > 1. Функции Fs = xs удовлетворяют условию (2.58). Поэтому любое решение этой системы ограничено при т > 0. Кроме того, эта система имеет нулевое решение, асимптотически устойчивое при т->—оо. Возьмем достаточно малое Х<°>. Тогда решение X = X (т, Х<°>) этой системы ограничено при т 6 (—оо, +оо). Рассмотрим функцию
X - 2 ^Х (— In 2, х<°)),(2.59)
где 2 (/) — положительная функция аргумента /, удовлетворяющая уравнению dzldt = —Ясно, что
z = z^
Продифференцируем обе части равенства (2.59) по переменной t. Тогда получим
=— inz, Х<°^— Х( —Inz, Х<°>) — ==
dt dt' dxdt
= —zn/x(—Inz, X«»)— X(— Inz, X(°))\
\dx)
откуда следует, что dxjdt = z^ (X^^ .... xn)) = = X^ (хъ ..., xn). Таким образом, функции (2.59) удовлетворяют системе (2.45). Так как функция X (—In г (/), Х<0>), при / g [0, +<х>) ограничена, то решение системы (2.45) удовлетворяет условию (2.48). Итак, для р > 1 необходимость условия теоремы доказана полностью.
Положим теперь р = 1. Рассмотрим систему dxjdt = = сх8 + Х^, где с — достаточно малая положительная величина. Функция X = e~ct X~(t, Х<°>), где X (t, Х(о>) — решение упомянутой системы, ограниченное при t > 0, удовлетворяет системе (2.45), а следовательно, имеет место оценка |Х| < A^-Ct < Axt~a при |Х<°>| = 1 и t > Т. Таким образом, и в этом случае решение системы (2.45) удовлетворяет условию (2.48).
Отметим, что при доказательстве необходимости условий теоремы свойства дифференцируемости функций Х^' нигде нс использовались.
Достаточность. Правые части системы (2.45) дифференцируемы, v > 1, и решения этой системы удовлетворяют неравенству (2.48). Следовательно, по теореме 38 существуют две функции V и W, обладающие всеми свойствами, указанными в теореме 38, и удовлетворяющие системе уравнений (2.54). Вычислим полную производную функции V в силу системы (2.57). Тогда получим
4л=2+ хп. t^ = W^Wv
dtдх;
где Г^У ^Lp^X^Y
8X1
Оценим функцию fl7p IlFil IXI^-^^^ СВ при |Х|>/?. Существует величина RT такая, что W + СВ|Х|т+Л~^ <_ О при |Х| > /?ь так как W (хъ ..., хп) является однородной функцией порядка т > т + X — р, а при X = ц величина С достаточно мала. Положим Vx = max V (X). Если точка 1X1 =Rt
Х<°) такова, что V (Х<°>) > Уь то V (X (/, Х^, /0)) < < V (XW) при t > tQ, поскольку ^< 0. Следовательно, Ах |Х (t, Х^, /0)| "^НЛ ^ ^IXtoT"^1,
где А’х = inf V(X<°>), А^ sup V(X<°)).
|Х(0)| = 1|х(0)|=1
Таким образом, если решение системы (2.57) начинается при V (Х(о>) > Vx, то оно ограничено; если при таком Х<°>, что V (Х<°)) < Vlt то остается в области V (X) < Ух, ибо все интегральные кривые пересекают поверхность У = Ух снаружи внутрь. Таким образом, теорема доказана полностью.
Следствие 1. Если предположить, что система дифференциальных уравнений (2.45) обладает свойством (2.48) и правые части ее непрерывно дифференцируемы, то можно указать ту область G пространства Еп, в которую входит любая интегральная кривая системы (2.57) при t~^+°° и остается там. Действительно, возьмем величину Rlt указанную при доказательстве теоремы 39, и вычислим Уг = = sup V (X). Область V (Х)^ VT обладает указанными свой- 1X1=^!
ствами. Действительно, в теореме было показано, что все интегральные кривые, начинающиеся в ней, остаются там 108
при t ^ /0. Рассмотрим точку Х(0) вне этой области и предположим, что интегральная кривая X = X (t, Х^, t0) системы (2.57) не попадает в область G: V (X) < Vx. Тогда вдоль этой интегральной кривой имеем V (X (t, Х<°>, /^)) > > Рр Обозначим через F2 = sup (Ц7 + И?,). Ясно, что 1Г3 •< 0. Тогда вдоль указанной интегральной кривой имеем < U72, откуда V (X (Л Х(0>, /0)) < V (Х<°>) + + И^2 (/ — t«Y Последнее неравенство показывает, что существует положительная величина Т такая, что V (X (/, Х(о), t0Y < 0 при / — /0 > 7. Это невозможно, так как по предположению V (X (/, Х(0), t0Y > Vx при / > /0. Таким образом, существует величина Тх такая, что V (X U, Х(о>, /0)) < Hi, при /— /0 > 7Ъ т. е. интегральная кривая попадает в область G и остается там.
Следствие 2. Если правые части системы (2.45) дифференцируемы и имеет место неравенство (2.48) для решений системы (2.45), то любая интегральная кривая X (/, Х<°>), начинающаяся вне области G, остается там некоторое время / — /0 <7 (Х<°>). На этом промежутке времени она будет удовлетворять следующим неравенствам: при р = 1
р'х | XW | е~^ и~^ ^| Х(/, Х<°), у | ^ <Л IXW le""7^ ('~w; при р > 1 и р =^ 2&
__£dx^^ | X (/,/0) I с
Kl+c2T|X<0>r-*К14-^ат|Х<°) |и-1
V (XW) > Еъ т = t — t0 ^ Тх (Х<°)),
где 71 (Х(о)) — такая величина, что V (X (Тх (Х(0)), Xw, to)) = Vi- Покажем это. При |Х| > Rx функция W + Wx удовлетворяет неравенствам
—б^ХГ < Г + Wx < — МХ|"',(2.60)
а функция V — неравенствам
д;|Х|'" + *-ч^ V ^ Л; | Xl^ + t-^.(2.61)
Вдоль интегральной кривой X = X (/, Х(о>, /0) имеем Е(Х(/, Х^Д^ =
- -. (2.62)
1/ 1 + U-A) VCY^)^-1 f (W-WV-4x
Это равенство справедливо при всех / > /0. Мы будем его рассматривать только при t— /0 ^ Тг ^X^Y В этом случае вдоль интегральной кривой будут выполняться неравенства (2.60) и (2.61). Применяя их к формуле (2.62) и полагая X = ml (m + 1 — р), получаем, как и в теореме 20, требуемое неравенство, которое имеет место лишь при to < / < to + Тг (X^Y
Теорема 40. Если правые части системы (2.45) дифференцируемы и для решений этой системы имеет место неравенство (2.48), то для любых функций Fs таких, что
1^1 ^ с |Х«»|Ь при |Х| < h, X > р,(2.63)
где h — достаточно малое положительное число (при X = = р с достаточно мало), нулевое решение системы (2.57) будет асимптотически устойчивым. При этом любая интегральная кривая X = X (t, Х^°\ /0) системы (2.57) при достаточно малых |А'<°> | удовлетворяет следующим неравенствам:
при р = 1
p;ix«»|e Рг<< /0)^|Х(/, x(M0)i<<7;ix<°>k qiV to) при р > 1 и р Ф 21г
<| X (Л XW, t0) |С
Уг^ТТх^М /1 + ^т|Х<°> М
□ Предположим, что система (2.45) имеет дифференцируемые правые части и что ее решение удовлетворяет условию (2.48). Следовательно, по теореме 38, существуют две функции V и IF, удовлетворяющие всем условиям теоремы 36 и системе (2.54). Вычислим полную производную от функций V в силу системы (2.57). Имеем
dt dxi х 1 '
ио
где
дх‘
Оценим функцию Wv |№i| < CiB2|X|"’~lx+\ m — p 4* + X > m. При p = X с достаточно мало, поэтому в достаточно малой окрестности точки X = О можно указать положительные числа Ьг и 62 такие, что —&i|X|m С W + + Fi ^ —/>2|Хр" при
\X\ChY<h.(2.64)
Функция V является однородной, поэтому она удовлетворяет неравенству
Л^|Х|т- “+> ^ У(Х)^Л;|Х|'”+1-», следовательно, применим метод доказательства теоремы 20. в которой следует положить кг = к2 = т, 1Х = Ц = т — — р 4- 1, а вместо функционала V (р) взять функцию |Х|. Следовательно, нулевое решение системы (2.57) асимптотически устойчиво и оценку интегральной кривой можно получить, следуя теореме 20; таким образом, умножая обе части равенства dVldt = \V + IFX на V~x и интегрируя в пределах от /0 ДО Л получаем равенство (2.62). Применяя к нему неравенство (2.64) и неравенство, которому удовлетворяет функция V, при X =; т! (т + 1 — р) получаем оценку, данную в теореме, соответствующую случаю р>1 и р Ф 2к. Если теперь равенство dVldt = W + Wx домно- жить на V-1 и проинтегрировать в пределах от t0 до t, то получим
\
. (2.65)
Применяя к (2.65) неравенство, которому подчинены функции V и W, найдем требуемую оценку для величины |Х (/, Х<°>, /0)|- Таким образом, теорема 40 доказана полностью.■
Следствие. Пусть V2 = inf V (X); область IX =nt
V < V2 целиком лежит в области асимптотической устойчивости нулевого решения системы (2.47). Действительно, если V (Х<0)) < V2, то при t > tQ имеет место неравенство dv<x(t,xw,t^ 0 dt*
а значит, V (X (F X<°\ /0)) < V (X<°>) < V2, ПРИ ^ > k> откуда следует, что интегральная кривая системы (2.57), начинающаяся в области V (X) < 1/2, остается там при t > tOl и, кроме того/ |Х (/, Х^о\ 4)1 “^ О ПРИ ^“^ +°о. Таким образом, теорема 40 позволяет указывать также некоторую область, целиком содержащуюся в области асимптотической устойчивости нулевого решения системы (2.57). Используем теперь при изучении системы (2.45) теорему 22. Положим р> 1. Все решения системы (2.57) при любом выборе функций Fs (хъ ..., хт /), удовлетворяющих условию (2.58), по теореме 39, ограничены при t > t0 тогда и только тогда, когда любое решение X X (/, Х(0>) при |Х(0)| = 1 системы (2.45) удовлетворяет неравенству (2.48). Положим в системе (2.57) Fs = xs, тогда получим систему
'^=x, + XW (S=:l,(2.66)
В теореме 39 было показано, что из ограниченности решений этой системы следует выполнение условия (2.48) для решений системы (2.45) и, наоборот, из выполнения условия (2.48) для решений системы (2.45) имеем, что все решения системы (2.66) ограничены при t > 0. Нулевое решение системы (2.66) асимптотически устойчиво при t-^оо, поэтому если все ее решения ограничены, то область асимптотической устойчивости А для системы
^=-xs-Х^ (5=1,2,, п) (2.67)
ограничена. Если область асимптотической устойчивости А нулевого решения системы (2.67) ограничена, то любое решение системы (2.66), начинающееся при достаточно малом |Х(0>|, ограничено при / С (—оо, +°°), а тогда, как было показано в теореме 39, любое решение системы (2.45) X = X (/ Х<°>) при |Х<°>| = 1 удовлетворяет условию (2.48). Таким образом, получено следующее утверждение.
Теорема 41. Для того чтобы любое решение X = = X (/, Х(0)), |Х<°>| = 1, системы (2.45) удовлетворяло неравенству (2.48), необходимо и достаточно, чтобы область асимптотической устойчивости А нулевого решения системы (2.67) была ограничена.
Следствие. Рассмотрим уравнение в частных производных
= ф(Х)(1 + У)У 1 + .2 (^ + ^)2 •(2.68)
Легко убедиться, что любое решение системы (2.67) удовлетворяет неравенству \Х (/, Х<°>)| ^ |АГ<°>|е—“*, a 6 (0, 1), t >0 (при достаточно малых |Х<0>|). Поэтому при любой определенно положительной функции ф (X) такой, что Ф (X) < фх (|Х|), где фг (|Х|) строго монотонно стремится +00.
к 0 при |Х|0 и J фх (ДХ^Це-^уМ сходится. Как следует
о
из теоремы 22, уравнение (2.68) имеет решение V (X), удовлетворяющее всем условиям упомянутой теоремы. Известно (см. теоремы 19 и 22), что область А совпадает с областью, в которой имеет место неравенство —1 < V (X) < 0, поэтому справедливо следующее утверждение.
Теорема 42. Для того чтобы решения системы (2.45) удовлетворяли условиям (2.48), необходимо и достаточно, чтобы уравнение (2.68) имело решение V (X), обладающее следующим свойством: область, где имеет место неравенство — 1 < V (X) < 0, содержащая достаточно малую окрестность точки X = 0, ограничена.
Следствие. Если функции Х^ являются формами нечетной степени, а функция ф (Ф) в уравнении (2.68) — аналитическая, то, как было показано в § 2 гл. 2, функцию V можно получить в виде рядов, сходящихся при достаточно малых |xs|, которые можно аналитически продолжить на всю область А. При этом для выяснения ограниченности области А полезно применить метод построения областей, целиком погруженных в Л, предложенный в § 2 гл. 2.
Развитая в этом параграфе теория позволяет решить, как было отмечено, ряд локальных и нелокальных проблем. В следующем параграфе рассмотрено применение этой теории к решению вопроса об устойчивости в малом нулевого решения системы дифференциальных уравнений в некоторых сомнительных случаях.
Приведем теперь пример, иллюстрирующий развитую теорию. Рассмотрим систему двух уравнений
dx dtdx dtX а« хк у1 ,^ + / = 0X а« хк у1 ,^ + / = 0
dx dt
dx dt
X а« хк у1 ,
^ + / = 0
X а« хк у1 ,
^ + / = 0
-47 = У bklxky‘ , р, = 2п+1, dt к+1^
а также систему соответствующих уравнений в частных производных:
^- S aklxky‘+^ 2 bhlxkyl = ТМ, дх k+l^ ду
dV . dV ., ,. „
X^--Vy— =(m+l— p) V, dx dg
где Ww — определенно отрицательная однородная функция порядка tn. Как было отмечено выше, можно найти функцию V, удовлетворяющую этой системе в конечном виде. Если найденная указанным способом функция V (х, у) является определенно положительной, то все решения системы двух уравнений будут ограничены при t С [0, +оо) (теорема 39), поскольку функция V однородная порядка m + 1 — р, а тогда выполнены условия (2.48) для решения системы
£ Ьк1хку1,
следовательно, выполнены достаточные условия теоремы 39.
Если рассматриваемая система имеет нулевое решение («оо = ^оо = 0) и не существуют другие точки покоя, то при Яю + Ь01 > 0 система имеет предельный цикл.
dV dtdV dtdV viь ;— 2j амх у1ОХ k-HSdV viь ;— 2j амх у1ОХ k-HSЕсли найденная функция V (х, у) является знакопеременной и ограниченной при |х| + |у| < +оо, то все решения системы двух уравнений не могут быть ограниченными. Действительно,
dV dt
dV dt
dV viь ;
— 2j амх у1
ОХ k-HS
dV viь ;
— 2j амх у1
ОХ k-HS
^- у Ьк1хку‘ = W+WV 9у ^о
При достаточно большом R имеет место 1^1 < сгт-\ если г > R, г = К^Ту2- Выберем Rx столь большим, чтобы было W + Wi < 0 при г > Rv Положим inf (IT + W^ = r>Ri
= а и p = inf V (x, у). Возьмем точку x0, y0 такую, что r=Ri
r0 > Rt и V (x0, y0) < 0. Тогда из dVIdt = W + Wt имеем V (t, x0, y0) < V (x0, y^ + at. Если V (хй, ув) < p, то V (t, x0, Уо) < P + a^ ПРИ t >0.
Следовательно, интегральная кривая x (t, x0, y0), У V, x0, y0) лежит вне круга радиуса Rx. Если предполо-
жить, что она ограничена, то, как следствие, получим, что она определена при всех t > 0, и тогда, с одной стороны, функция V (х, у) на ней должна быть ограничена, а с другой стороны, оказывается, что V (t, %0, у0) -^оо при /-^+оо. Таким образом, взятая интегральная кривая не является ограниченной.
Выше было приведено условие существования предельного цикла. Если воспользоваться конкретным видом функции V (х, у) и предположить, что точка х = у = О асимптотически устойчива при /-)оо, то, используя метод построения областей, целиком принадлежащих Л, можно указать кольцо, содержащее предельный цикл. Н. Н. Красовский рассмотрел систему вида (2.45) в случае, когда функции Х^ являются однородными формами величин хъ ..., хп порядка р [191. В этой работе решается вопрос о существовании функций, разрешающих задачу об устойчивости и удовлетворяющих оценкам определенного вида. В ней же показано, что условие асимптотической устойчивости нулевого решения эквивалентно выполнению неравенства (2.48) при а = 1/ (р— 1). Легко установить, что этот результат остается справедливым и для системы (2.45) в случае, когда функции А^ непрерывно дифференцируемы. Поэтому условие (2.48) эквивалентно асимптотической устойчивости.
СЛУЧАЙ & НУЛЕВЫХ КОРНЕЙ
Рассмотрим систему
Л у
-^- = Хз (^1, ■■• , Хк, уг, . . ., узг) (8=1, ...Л), at
dut
5 Ра yt + Yj (xv ..., xk, yv ..., yn)(j = !,...,»). (2.69) dt, = i
Функции Xs и Yj разлагаются в ряды по целым положительным степеням величин х1э ..., хк, у^ ..., уп, сходящиеся при-достаточно малых |xs| (s = 1, ...,&) и \Уз\ U = 1, ...» п) и не содержащие членов, линейных относительно хъ ..., хк, уъ ..., ук. Предположим далее, что собственные числа А^..., Ап матрицы Р = Il/^ji11 имеют отрицательные действительные части. Заметим, что неособым линейным преобразованием над искомыми функциями любая система п + к дифференциальных уравнений с голоморфными правыми частями может быть приведена к виду (2.69), если
характеристическое уравнение имеет к нулевых корней, которым соответствуют простые элементарные делители.
Рассмотрим систему уравнений
2 PnUt-VY3 <хх,..., хк, yv ..., уп) = 0. (2.70)
Система (2.70) определяет совокупность неявных функций у;-= Uj (%!, ..., Х^ (j = 1, ..., п\ ФуНКЦИИ Uj (х1х .... хк) являются голоморфными при достаточно малых |xs| (s = - 1, ..., к).
Теорема 43. Если Х8 (хъ ..., хк, иъ .... ип) = 0, то система (2.69) имеет к не зависящих от / голоморфных интегралов.
□ Сделаем в системе (2.69) замену: yj = Uj + ^j (j = = 1, ..., n), где Лу — новые искомые функции. Тогда система (2.69) принимает вид
' dx
-^- = Х8 (Хр ... , Хк, UX-+ ТЦ, ... , Ып + Пп). at
«(2.71)
— = 2 РИ + Vi ^1’ - -’ ^n),
где V3= 2 PnUj + Yз(хь..., xft. «i + 4v-,Un-ЬЛп)— 1
^uj
.dL д^, ^i (^1’ * * • ’ 4> ^1 + Л1» • • • > ^n Лп)*
Функции Vj являются голоморфными при достаточно малых |xs|, |л;|, и разложения их по целым положительным степеням хъ ..., хк, Ль • ••, ^п не содержат членов, линейных относительно этих величин.
Рассмотрим систему уравнений в частных производных
=- Xs Uv •••, Ч. Л1 + ^ь •••, Лп + ^n) (s= 1,, к). (2.72)
Сделаем в системе (2.72) замену xs = cs + /s, где fs — новые искомые функции, a cs (s = 1, ..., к) — достаточно малые произвольные постоянные. При этом система (2.72) принимает вид
П( П\
S -^-1 5 (дги^)^+^ч=
не
= 5 bi ni + ^S (/1. •••, fh. Til,... , Лп> cv ..., ckV (2.73) i = 1
так как Xs (xn ..., xn, iix, .... un) = 0; здесь Сц и ysi — голоморфные функции относительно съ ..., ск, обладающие следующими свойствами: сц = 0, у8; = 0 при сх = сг = ...= = ск = 0, / = 1, ..., п, i = 1, ..., п, s = 1 , ..., к. При достаточно малых |cs| (s = 1, ..., k) существует система голоморфных функций [1] Д = Д (г]ъ ..., т)„, сх, .... ск\ удовлетворяющая системе (2.73). Каждая из этих функций обладает свойствами
Д = 0 при гц = ••• = Пп = 0 и
(2.74)
Д в 0 при Сх-= сг= ... = ск = 0 (s = 1, ..., к\
Возвращаясь к прежним искомым функциям, получаем
Xs = cs 4- Д (ill, .... Пп, Сх, .... ск) (S = 1, .... к). (2.75)
Система (2.75) в силу свойств (2.74) разрешима относительно Сх, .... ск, так что
Cs = Xs + ф8 (хъ .... хк, Т1г, ..., T]n) (s = 1, ..., к\ (2.76)
Полагая в (2.76) г|, = у3 — Uj (хъ ..., хк) (j = 1, .... п), получаем систему голоморфных интегралов для системы (2.69)
Cs = Xs + ф8 <Хх, .... хк, Ух — иъ .... Уп — UnY (2.77)
Тем самым теорема доказана полностью.
Перейдем к решению вопроса об устойчивости. Используя соотношения (2.75), исключим из 2-й группы уравнений в системе (2.71) величины xs (s = 1, ..., kY Тогда получим для определения функций ^ (/ = 1, ..., п) систему уравнений
4^ = f ^«i + Csi) 4i + v; (Cxck, m, ..., T]n).(2.78)
Нулевое решение системы (2.78) асимптотически устойчиво равномерно по отношению к величинам^ (s= 1, ...Л^ что означает следующее: по любому t > 0 можно указать такое 6 > 0, что при всех достаточно малых |cs| будет
2 И; (к nl0)> ••• - П^) < e2 при 2 T|<°> 2< 62 t =11=1
n
и S о при + °°.
Действительно, найдем положительно определенную квадратичную форму величин т]ь ..., т]п как решение уравнения
П .../ П\п
/=1 ^.= 1 ) Z=1
При достаточно малых h;l (/ = 1. ..., и) и |cs| (s = 1, ...,&)> имеет место неравенство
2’
Z = 1
откуда и следует утверждение. Таким образом, любое решение системы (2.71) при достаточно малых |cs| (s= 1, ..., &) и М/о)| (/ = 1, • и) обладает свойством г); (У, Hi0>,..., i]n”)~> -> О при / -> +°° и xs -> с8, а значит, у3 -> Uj (Cjс^ при (->+°°- Таким образом, при выполнении условий теоремы нулевое решение системы (2.69) устойчиво. Выберем теперь достаточно малые величины x^0)(s = 1, ..., k) и т)^” (/ = 1, ..., и); тогда из (2.73) определим единственную систему величин сУ^ = xi0) + ф5 (х)0’, ..., xV1, И^, •••> Пп01)- Из (2.76) имеем xj0) =cs<0)4~Л (пТ, •••, Ил”, с(®’, .... с^) (s = 1, ..., к). Итак, х\°\ ..., х^' можно рассматривать как функции величин т]1°\ ..., т^0>. Если при этом eV” (s = 1, ..., k) достаточно малы, то любое решение системы (2.71) обладает свойством х8 (t, х^\ ..., х*^, r|<i),..., .... T]<”>) = xs (Л сЧЧК №\,.... п^,с^, ...,с^, ...,сТ + + к (^v,..., т]<»), с<?\..., гкч vr,.... ^) ло), пг (л Н*!', •••, И*^, с(”\ •••, 0*°*) -> 0 при /->4-оо, а следовательно, уз (t, ...)->■ Uj (с^^ ..., с1^) при /->4-°°- Итак, доказана следующая теорема.
Теорема 44. Если Xs (хъ ..., xhl и^ .... и,^ = 0, то нулевое решение системы (2.69) устойчиво по Ляпунову, при этом любое решение этой системы xs = cs. у3 = = Uj (съ .... ch) условно асимптотически устойчиво.
Рассмотрим теперь общий случай, когда
Х8 (хп .... xh, иъ ..., и^ = Х^01 (хь ..., хп) #= 0. (2.79) Сделаем в системе (2.69) замену: у, = И/ + ui to> •••• хн) (j = 1, .... п). Функции Uj (хъ .... Xfe), являющиеся реше- 118
нием системы (2.70), разлагаются в сходящиеся ряды по степеням величин хъ ..., хй, при этом их разложения не содержат членов, линейных относительно хь ..., хь. Обозначим через р наинизшую степень форм, с которых в действительности начинается разложение функций: Х^ = = Х^и + Х^^^1) + ..., через v — наинизшую степень форм, с которых в действительности начинается разложение функций: У(р = Vj (xlf ..., xh, 00).Тогда
будем иметь У)о) = V^w + ухох^ч-*) 4-... Из вида функции Уj следует, что v > р + 1. Положим, далее, в системе (2.71) xs = ^5 + (ps (41, .... Чп), где функции ф8 (цъ ..., чп)— голоморфное решение системы уравнений.
У -г-2-! 2 РлЧ. + ^ =^(^1.-, ^“i + fli.-, “п + Чт»)- V=i )
Ясно, что ф8 = 0 при Чу — 0 (/ = h •••> nY После этой замены система (2.71) принимает вид
-^ = ид^,...Ли, 41Чп), at
~Д^^Рн чг+УуГ^»..., ^»Ч1Чп) (2.80)
• (s = 1, .... k), Ц = \, ...» п\
Ясно, что Us г 0 при ^ = ... = £й = 0. При такой замене имеют место следующие равенства: U^ = = Х^Г &,Ь), V^ = Vf (^, .... Ы- Положим:
Us= ^UW + U<»)^^,V^=
N= 1
= s Т’+Т &^
N — 0
где функции UM и УМ — однородные формы величин L> •••. ^к порядка N с аналитическими по чъ ..., ч» к0' эффициентами, уничтожающимися при 41 = Ча — ••• ^ = Чп = 0. Далее указывается преобразование, которое систему (2.79) приводит к виду
^Г = Х»'-Г=^Р^А-¥ь(2.81)
Сл Idij j
где Xs = 2 Х^ + **0> to, • • • >, r> =
w=n+i
a X^ Y^s =l,...,^),(/=
— однородные формы степени N относительно величин хъ ..., xh с аналитическими по т^, .... т]п коэффициентами, уничтожающимися при r|i = ... = т\п = 0.
Сделаем в системе (2.71) замену искомых функций, не нарушающую вопроса об устойчивости, по формулам
(2.82)
N = 1
Функции U” представляют собой формы относительно величин хтхк порядка N с коэффициентами, аналитическими по т^, ..., т]п, которые подлежат определению. Подставляя формулы (2.82) в систему (2.80), получаем 1]' = dXs । X1 X1 d^sN^ tlx, $ dt ££> dx'< dl
n n avW / *\
+ 2 2-^- 2 m +,(2.83)
-^^PaWa-V’.(2.84)
i — 1
Здесь через Ui (s = 1, ..., &), V/ (j = 1, ..., n) обозначен результат, получающийся при подстановке в функции Us и V, величин £s по формулам (2.82). Далее, приравнивая слева и справа в равенстве (2.83) формы одного измерения относительно величин хъ ..., xh, не содержащие dxjdt, получаем систему уравнений, из которых последовательно определим коэффициенты форм р^* (s = 1,...,^; N = = 1, ..., р— 1). Пусть N = 1. Положим
рГ’ = 2 ^ to- . Пп) X, и и^^ = 2 gsi ii.i=\i=l
Функции gsi являются известными аналитическими функциями относительно т)2, ..., т]„, уничтожающимися при
гр = ••• = Лп = 0. Положим далее V^'V/ [^...^^о. Приравнивая формы первой степени относительно величин хъ ..., хк слева и справа в (2.83), имеем
(2.85)(2.85)
(2.85)
(2.85)
(/= 1, ..., к; /=1, ..., к),
где 6/s — символ Кронекера.
Система (2.85) определяет единственную совокупность к2 голоморфных функций фо- (тц, ..., т]п), уничтожающихся при т]/ — 0 (/ — 1, ..., и), что непосредственно следует из вспомогательной теоремы А. М. Ляпунова.
Таким образом, коэффициенты форм P(V (s = 1, к) определены полностью. Приравнивая формы 2-го порядка в равенствах (2.83), стоящие слева и справа, получаем систему уравнений, из которых на основании вспомогательной теоремы Ляпунова единственным образом определим все коэффициенты форм Р(Р (s = 1, ..., k) в виде голоморфных функций относительно величин гц, ..., цп, обращающихся в нуль при тц, ... = т]п = 0. Аналогично можно найти единственным образом коэффициенты всех форм PW (А ^ р — 1) в виде голоморфных функций относительно тц, ..., т]п, обращающихся в нуль при тц = ... = = т)^ = 0. Перенесем все члены, содержащие формы р-й степени относительно хь ..., хп, в левую часть (2.83). Получившуюся в результате этого форму р-й степени относительно хъ ..., хк обозначим через Uv^\ Коэффициенты форм Р^ можно выбрать в виде голоморфных функций, уничтожающихся при гц, = ... = т)п = 0, таким образом, что коэффициенты форм * U^ будут наперед заданными аналитическими функциями величин гц, ..., тц, уничтожающимися при тц — ... — т)п — 0. Разрешим равенства (2.73) относительно величин dxjdt; тогда получим
-^ = Xs(xv..., хй, П1,..., Т]„)2 Х^ = Х*0)( хь..., х„), dtN = y.
dV” d4jdV” d4j2 ^(m+v;)Z=12 ^(m+v;)Z=1|Ll П
dV” d4j
dV” d4j
2 ^(m+v;)
Z=1
2 ^(m+v;)
Z=1
где Х^ = Х<0)- 2 2
^—1 /=1
при тц^.-.^Пп^О.
Легко проверить, что коэффициенты функций и^ можно выбрать так, что Х<|1) = 0. Итак, преобразование (2.82) можно выбрать так, что в результате применения его к системе (2.80) получаем систему (2.81).
Теорема 45. Если нулевое решение системы 1г уравнений
(2.86)(2.86)^«. — ^(О) (ц)
(2.86)
(2.86)
at 5
где функции Х*0^' — однородные формы степени р относительно величин хь ..., xk и являются первыми формами в разложении функций Х5 (хъ ..., хк, иъ .... м„), асимптотически устойчиво, то нулевое решение системы (2.69) также будет асимптотически устойчивым. При этом любое решение системы (2.81), начинающееся в области
|х«»|=1/ 2 ^(0)2 + 2 п/0)2r s=l7=1
удовлетворяет неравенствам
Рх I Х<°> I е-^ ' < | X (/, Х(°)) К——£112^. (2.87)
□ Нулевое решение системы (2.86) асимптотически устойчиво. Тогда, как было показано в § 3 этой главы, существуют две однородные функции V и W, обладающие следующими свойствами:
функция V определенно положительна, функция W определенно отрицательна;
функция W имеет порядок т, функция V — порядок т + 1 — р;
функция V непрерывно дифференцируема по всем своим аргументам, и имеет место равенство
2-^- х!°> w=u7.г = 1 dXi
’ п2 Ра1''} /=1’ п2 Ра1''} /=1’ Выберем далее функцию ^ в виде определенно положительной квадратичной формы, удовлетворяющей уравнению
’ п
2 Ра1''} /=1
’ п
2 Ра1''} /=1
2 nh
что всегда можно сделать на основании теоремы Ляпунова. Положим U = V -V Vb V — V (хь ..., х^, Уг = = ^1 (Л1> •••, Лп)- Вычислим полную производную функции U в силу системы (2.81). Тогда получим
откуда следует, что
Функция -^ является однородной порядка т — р, поэтому при достаточно малых |xs| и hjl (s = 1, .... к; j = 1, ... ..., п) имеем
Оценим теперь вторую сумму в выражении (2.88):
/=1^ \^ = l
кппк
s=li—\t—1 S—1
Положим теперь /п = р + 1. Ранее было показано, что v > р + 1, поэтому функция dUldt = Wx является отрицательно определенной, следовательно, нулевое решение системы (2.81) асимптотически устойчиво, а тогда нулевое решение системы (2.69) также асимптотически устойчиво, поскольку все замены, которые приводят систему (2.69) к виду (2.81), не меняют вопроса об устойчивости.
Покажем теперь, что имеет место оценка (2.87), в которой X (t, Х№) = (xj (/, Х^, ..., хк (t, Х<°>), П1 (A XW), ..., т]п (Л Х*0))), где X (t, Х№) — решение системы (2.81). Положим V (р) = |Х|, где V (р) — функционал в теореме 20. Функция U удовлетворяет следующим неравенствам: aJX]2 < U < аг |Х(2, так как V является при выбранном
т положительно определенной однородной функцией 2-го порядка. Функция U^ удовлетворяет при достаточно малом |Х| неравенствам:
— ^ХК1 ^ Г^—^IX^+L (2.89)
Здесь | X | = ]/ 2 хТ + 2 Л/ .
Применим к этому случаю теорему 20 (см. § 15 гл. 1). Положим в ней /1 —/2 = 2, ^=2, &2 = р + 1; тогда имеем Xj = 1, Х2 = (р + 1)/2> 1, откуда с помощью оценки (1.42) получаем оценку (2.87). Возвращаясь к старым переменным, получим, что решение системы (2.81) удовлетворяет оценке (2.87) при всех / > 0 для любых достаточно малых 1х(®> | (s = 1, .... к\ |т|(®)| (/ = 1, ..., п\
Примеры свидетельствуют, что оценка является точной в том смысле, что в каждом конкретном случае можно изменить лишь величины констант pt > 0, с, > 0.
Замечание. Величина т при доказательстве теоремы 45 выбрана таким образом, что m = р + 1. Это вызвано тем, что v > р + 1, где v — порядок форм, с которых в действительности начинается разложение функций V^ по степеням величин хъ ..., xh. Однако, как было показано в §3 этой главы, функция V (хъ .... xh) в доказательстве теоремы 45 дифференцируема только при достаточно больших значениях т. Полученное противоречие является в действительности лишь видимым, так как величину v на самом деле можно сделать сколь угодно большой. Покажем это. Определим систему аналитических функций и^У (хь ..., хй) так, чтобы они удовлетворяли системе уравнений:
к_
^Pii^-VYj^y^X,...,^,(2.90)
если t]j заменить функциями и*}-’ (хъ ..., хй). Разложения функций U^p в ряды по целым положительным степеням величин хъ ..., Хд начинаются формами порядка v, что легко установить при отыскании функций U^p в виде произвольных степенных рядов, удовлетворяющих системе (2.90). Сделаем в системе (2.81) замену т], = у, + иАр (хь .... хй); тогда имеем
^ = ХДхи....хч, у^и^,..., Уп + и^),dt (2.91)
—S ph yi + Y:(i=\,...,n),
где функции Yj имеют вид
Yi= 2 Ра и 1* + Yj (х^..., xh, уг + и‘1), ..., yn + u^ 1) — z=i
к du!‘> _
5j ~t" Xs (^ii > xk, Ui > + t/i,..., Un * + t/n), (2.92) s=l dXs
^' = Y-j при У1 = уг = ... = уп = 0.
Из формулы (2.92) следует, что разложение функции У(°/' по целым неотрицательным степеням величин хъ ..., х& начинается с форм порядка Vj = v — 1 + р. Произведя это преобразование над системой (2.91), получаем некоторую новую систему дифференциальных уравнений, для которой величина v2 = v + 2 (р — 1). Будем считать, что над системой (2.91) указанное преобразование произведено / раз. Тогда разложение функций V^ по целым неотрицательным степеням величин хъ ..., хк начинается с форм порядка v; = v + / (р — 1). Тем самым сделанное утверждение доказано. Таким образом, при доказательстве тео-4 ремы 45 величину v можно считать сколь угодно большой. Соответственно величину т можно выбрать достаточно большой.
Далее изложим общую теорему о неустойчивости, опираясь на которую можно сформулировать условия неустойчивости нулевого решения системы (2.69) относительно коэффициентов форм Х^хн), которые приведены в следующей главе.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
%- = х« (%!,..., хк, t) + xs (х^ ... ,хк,у1Уп, t), at
dy}(2.93)
— = Yj (xv ..., xk, yv ..., yn) t\
Предположим, что функции, стоящие в правых частях системы (2.93), заданы в области
к«| < Л, \yj\ ^h,t>O(j = 1, .... п; s = 1, .... 6) (2.94) и удовлетворяют там некоторым условиям, при которых существуют решения системы (2.93), проходящие через лю-
бую точку (x(V, У(?, ^о) области (2.94). Предположим далее, что в области
к! <ЛЪ kl <hvt>O(s = 1, ..., к; j = 1, ..., n)(2.95)
функции Xs удовлетворяют неравенству
|Х8 (хъ .'.., xh, уъ ..., уп, 01 ^ Gs (хъ хь t). (2.96) Рассмотрим также систему
-^—Xgkxn,tH FS(X1,.0-(2.97)
at
Теорема 46. Если система (2.93) имеет нулевое решение Ху = ... = хк = у у = ... = уп = 0, то оно будет неустойчивым при выполнении следующих условий:
при любом выборе функций Fs, удовлетворяющих неравенству
|ES| < Gs (X, 0 при |xs| < hx,(2.98)
система (2.97) имеет неустойчивое нулевое решение ($ = = 1, .... к);
существует множество В (k + 1)-мерного пространства точек х*”1, ..., хЧ\ t0 со следующими свойствами:
а)_по любой величине 6>0 найдется точка (х*?*, ••• «... х а0, /0) € В такая, что
|/ 2 х<0)-2 < 6;
интегральная кривая xs = xs (t, х^\ .... хТ, /0) системы (2.97) при любом выборе функций F8, удовлетворяющих неравенству (Eg) < Gs при |xs| < hx и t>- 0, обладает свойством: по у> Оможно указать величину Т(x(i\ ... х&0), t0, у) такую, что
/ й_
У ^хЦ1,Х^,10)
при t = to + Т, |Х0| < у и (Х<°>, /0) g В, где е — некоторое положительное число.
□ Пусть нулевое решение системы (2.93) устойчиво. Тогда по величине е > 0 можно указать величину 6 > 0 такую, что при |х(”’ | < S, l^/’ICS (s = 1, ..., к; j = — 1, ..., га) имеет место неравенство jxs (Z, XW, Y^, /0)| < < 8 и \у, (t, XW, YW, /0)| < 8, t > to > О, где XW = = (x(i), ..., х^), YW = (уЧ1, ..., y^Y Подставляя в первую группу системы уравнений (2.93) функции у, (t, Х<°>,
Y^Y 4). получаем систему дифференциальных уравнений вида (2.97). Если е выбрано так, что е < Нъ то из неравенства (2.96) следует выполнение неравенства (2.98). Совокупность функций х8 (/, XW, YW, 4) (s = 1, ..., к) удовлетворяет системе (2.97) и, кроме того, точку (Х<°\ 4) можно выбрать так, чтобы имело место (XW, 4) 6 В, тогда, выбирая е < е, в силу п. «б» условия 2 теоремы 46 получаем \Х (t, XW, YW, 4)| > е при t = 4 + Т, Т< +оо. Следовательно, предположение об устойчивости нулевого решения системы (2.93) неверно.
Отметим, что теорема 43, доказательство которой приведено здесь полностью, может быть непосредственно получена из теоремы Ляпунова, содержащейся в [1, §65].
СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ ПАР ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ
Рассмотрим систему
dtdys _ dtd2jdt ~dtdys _ dtd2jdt ~— Xs ys + Xs (xD ..., хк, уъ ..., yk1 zv ..., zn)
dt
dys _ dt
d2j
dt ~
dt
dys _ dt
d2j
dt ~
(s— 1, ..., к),
(2.99)
Xs Xs + ^s ^1, ••• > Xh, уъ ... , yh, Zb ... , Zn),
г}(хъ , xk, y^, ..., yk, Zv ...,Zn)+ f fjiZi
Z=1
(i = 1,.... ny
Предположим, что функции XS1 Y8) Zj разлагаются в сходящиеся степенные ряды относительно хь ..., хк1 Уъ •••, У к» ^ь •••> 2п» не содержащие линейных членов. Будем считать, что правые части системы (2.99) вещественные, величины Xj, ..., Хк положительны и такие, что
к
5ргХг^О(2.100)
Z=1
при любых целых к
Р1.-,Рл, 2 Iрг 1¥=о.
Система
S -^f 2 rH Zi+zX=-Ky8A-x8,
/-1/(2.101)
S S гнг^гД = Х8х8 + У8
имеет решение x8 = u8 (zu ...,ln), y8 = Vgjzj, ..., zn), голоморфное в окрестности точки zx = ... = zn = 0. Сделаем преобразование
х^ х8 -У и8, ys — ys “I- v8(2.102)
в системе (2.99). Тогда получим
.,^s Us"VX8 (xp..., xk, y^,... , yk, z^,..., zn),
(2.103)
dz j—
— = S rjiZi-V-Zj.at . ,
Ясно, что X81 Ys, Zj обладают теми же свойствами, что и исходные Xs, У5, Zj, кроме того, Х8 = Ys = 0, когда х8 = = у" = 0 (s = 1, ..., к\ Произведем далее в системе (2.103) замену_
х, = г» cos О»,
_8(2.104)
ys = r8 sin 08,
в результате получим систему
d7. «_ _ (2J05)
-7у-= S r)lZi+Pj(rv...,rk, »!„.., ft^Zv... ^ dt .
(s =к),
где Rs = cos OSXS (r^ cos O1L ..., rh cos ^h, rt sin йь .... ..., rft sin Од, Zi,_..., zn) + sin ОдУз^соз Op ..., rk sin Oft, Zp .... zn), 6g = ( cos OsУ5 — sin Os Xs)/rs, Pj = Zj (^COS Op ..., Zp ..., zn). Функции /?5 и P^ голоморфны в окрестности гг = ... = rh = zt = ... = zn = 0. При этом Rg s 0 при гг = ... = rft = 0. Коэффициенты в
разложениях функций Z?s и Pj — периодические функции относительно ^ (i = 1, ...,&). Будем предполагать далее, что функции 6S обладают теми же свойствами, что и Rs и Р3. Заметим, что условия (2.100) позволяют выполнить преобразование системы (2.103), после которого функции 9S формально будут разлагаться в ряды по степеням гь ..., гк, z^ ..., гп. Будем искать решение системы (2.105) в форме рядов:
rs =CS 4- 2 Г^ (»ь ... , »к, Ср ... . Ck\
",=2(2.106)
Zj = 2ck\
m — 1
Функции fW и z^ являются однородными формами относительно съ ..., ск степени т с периодическими коэффициентами относительно Фь ..., -9к, подлежащими определению. Исключим параметр t в системе (2.105). Тогда получим
к
S -^(^ + ®i) = ^ (s= 1,,A),
Z=1' •(2.107)
кп _
2+2 r^z^Pi (/=!,...,»).
Подставляя ряды (2.106) в систему (2.107) и приравнивая формы одной степени относительно величин съ ..., ск, имеем систему уравнений
к дг<т)
5 -^-^ = ^m) (s=h-^).
= 11(2.108)
кп
S = 2 Гцг^+Р)"’ (/=1”)■
Формы RW и /Чт-1> определены, если найдены функции г^ и г("!г), т!<т, т2<т—1. Предположим, что функции (2.106) определены из системы (2.108) периодическими относительно Ор ..., -0-А и представляют собой при достаточно малых |cs| решение системы (2.107). Пусть построение рядов (2.106) осуществлялось так, что г^ = 0 при /п > 2 (^ъ .... Од. = 0). Исследуем в этом особом случае
вопрос об устойчивости нулевого решения системы (2.99). Сделаем в системе (2.105) замену
rs^Ps+f г^^.-Л^РхркУ (2.109) т = 2
где Piрк — новые искомые функции. Тогда получим
^„R1, ^-Х, + 5„ ^-_ 5 г^А-Р,. (2.110) 1= 1
Система (2.110) имеет семейство решений ps = cs (s = = 1, ..., ку Zj = 0 (/ = 1, .... ку Далее можно показать, что система
п/ п\ к
-^ S r^z^Pj +S ^MxtA-^ = Rs (2.111) 925 \l=x) i=x ^i
имеет семейство решений
Ps = cs + Fs (zlf .... zn, ^»к1сг, ..., ck^
(s=\,...,ky(2.112)
Функции Fs разлагаются в сходящиеся степенные ряды относительно zu ..., zn, с^ .... ск при достаточно малых |zy| и |с8|, при этом fs = 0 при гг = ... = zn = 0. Используя равенства (2.112), исключим величины ps из 3-й группы уравнений (2.110). Тогда получим систему для определения функций Zj, из которой следует, что при всех достаточно малых |cs| и при любом выборе непрерывных вещественных функций О, (/), ..., Ofc (/), Zy (/)-> 0 при_/->4-°° равномерно относительно сх, ..., ск, как только \г3 (0)| достаточно малы. Отсюда и из (2.112) слёдует, что ps-*-cs при /->4-оо, а значит, нулевое решение системы (2.99) устойчиво. Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 47. Если система (2.105) имеет семейство ограниченных решений (2.106), то нулевое решение системы (2.99) устойчиво по Ляпунову.
Разрешим равенства (2.112) относительно величин q, .... ск, тогда получим
с. = Р» 4- Ф« №, ^2, -. ^fe. Pi. •••, Рл» ?i, .... г^ (s=l, ..., ку(2.113)
Перейдем в равенствах (2.113) к величинам гъ ..., гк и на основании_(2.104) имеем
с$ = xt + У® Н-'Фе (хъ хк,уъ ..."yh"Z1, .... zn)
(s = I, ...,£).(2.114)
Можно показать, что функции ф8 разлагаются в сходящие* ся ряды по целым положительным степеням величин xs, ys, Z}. Таким образом, равенство (2.114) дает к голоморфных интегралов системы (2.103), при этом
xl + у$ + ф5 =rs + i|)s(fl’1,...,fl'ft,r1,...r,i,z1,...,zn),
(2.115)
где ф5 голоморфно в окрестности точки гх = г2 = ... = г к ~ = 21 = ... =г“ = 0.
Теорема 48. Для того чтобы система (2.105) имела семейство ограниченных решений (2.106), необходимо и достаточно, чтобы существовало к голоморфных интегралов системы (2.103) вида (2.114), обладающих свойством (2.115).
Необходимость условия установлена выше, а достаточность можно вывести, проводя обратные преобразования над интегралами (2.115).
Перейдем к анализу общего случая. Предположим, что г^\т <_ р) получены периодическими, а ср©и функций r^> (s = 1, ...,&) по крайней мере одна не определяется как периодическая. Положим в системе (2.107)
R^ =2 RT """^- ^к№С^к,
где к
тк щ^/-l 3 \
2 | ц; |<м7=1.
Ясно, что
R^'^^’Ц1^^0 при 2 |р,-| = 0. /=1
Обозначим через /^°>w форму
mt-V...A-tnH = \>. sк '
а через r^' периодическое решение системы
2 Xi —^- = RW - RW W. (2.116) ,=1
Сделаем в системе (2.105) замену:
r» = ps+ 2 rs<m> (»р ..... О'/,, р,.,рА),
zi= s ?)Ф^р.--,Фй, Рр-.., pk) 44, (Ф1,•••,»);
т = 1
тогда получим-^-=^(^,...,^. РР....Р,), atтогда получим-^-=^(^,...,^. РР....Р,), atd^sdtd^sdtXs -[~ 0S,Xs -[~ 0S,d^jdtd^jdtn _X rji Zi + Pj-i—ln _X rji Zi + Pj-i—l(2.118)(2.118)
тогда получим
-^-=^(^,...,^. РР....Р,), at
тогда получим
-^-=^(^,...,^. РР....Р,), at
d^sdt
d^sdt
Xs -[~ 0S,
Xs -[~ 0S,
d^jdt
d^jdt
n _
X rji Zi + Pj-
i—l
n _
X rji Zi + Pj-
i—l
(2.118)
(2.118)
Разложение функций Rs в ряды по степеням величин рх, ..., pft начинается с форм ^<°>(и) (Р1> ..., pft), а разложение функций Pj при Si = ... = Сп = 0 с форм
p(0)(v) (фь Oft, ръ _ рд v > р + 1.
Теорема 49. Если нулевое решение системы
'-^ = RW W (Рр ..., рй) (s= 1,..., к) (2.119)
асимптотически устойчиво, то нулевое решение системы (2.99) также асимптотически устойчиво. При этом любая интегральная кривая системы (2.118), начинающаяся в достаточно малой области ]xs| ^ Л, |z/s| < h, |г7-| < Л, удовлетворяет неравенствам
pY । х<°> । е-р^ < | х (/, х<°)) । ^ ——Ia!!LL£i,
КГ+сТф^П^1
(2.120)
при t > 0, где X (/, Х<°)) = (рр ..., Рк> ?р ... ,zn), XW = фр(0),...,р(0),г<°),...,г(0)).
Нулевое решение системы (2.119) асимптотически устойчиво, поэтому существуют две однородные функции V и W, обладающие следующими свойствами:
функция V — определенно положительная, W — определенно отрицательная;
функция V имеет порядок m + 1 — р, функция W имеет порядок т;
3) У — RW (ю = W.3) У — RW (ю = W.(2.121)(2.121)
3) У — RW (ю = W.
3) У — RW (ю = W.
(2.121)
(2.121)
Построим определенно положительную квадратичную форму Vi, удовлетворяющую уравнению
= - S У- (2.122)
/ = 1 а^ ;=1< = 1
Положим U = V + Vv Вычислим полную производную функции U в силу системы (2.118), тогда получим
dUdVdVt dtdtdtdUdVdVt dtdtdtw-il^Hi= 1w-il^Hi= 1
dUdVdVt
dtdtdt
dUdVdVt
dtdtdt
w-il^Hi= 1
w-il^Hi= 1
+ i ^-(R.-R,'"’ “”) + 2(2.123)
s = l ^/=1 ^
(2.125)(2.125)
(2.125)
(2.125)
Оценим обе суммы, стоящие в выражении (2.123). Имеем
2 -^.(R-RW^ <а 3=1 ^
к"1т+1
SI Psiи (2.124)
_s= 1
Неравенства (2.124) и (2.125) имеют место при достаточно малых |ps| и |£>| (s = 1, .... ^; i = 1, .... п) и при всех vs, fl’s ^ (—оо, ф-оо). Функция U определенно положительная, а ее производная dU/dt, вычисленная на основании системы (2.118), является определенно отрицательной функцией при т = р + 1, следовательно, решение ps = 0 (s = = 1, .... /г), = 0 (/ = 1, ..., п\ ^ = XSZ системы (2.118) асимптотически устойчиво. При т = ц + 1 функция U удовлетворяет следующим неравенствам:
Функция dUldt в указанной выше области удовлетворяет неравенствам:
SIpsP+S^
6=1/=1/
■(кп _ \(ц+1)/2
С-М SlPsM- 2 У\S=1/=1/
Применим теперь к указанному случаю теорему 20, для чего положим
/к п _v^=V 2Ш2+2^>
' s = 1 / = 1
где V (р) — функционал, о котором идет речь в этой теореме. Используя далее те же рассуждения, что и при доказательстве теоремы 45, получаем, что оценка (2.120) имеет место для решений системы (2.118).
Замечание. При доказательстве теоремы 49 было положено т = р + 1. Это было необходимо, так как v > ц + 1. Однако при доказательстве использованы дифференциальные свойства функции V (ри .... р^), которые имеют место при достаточно больших значениях т (см. § 3 этой главы). Полученное противоречие можно устранить тем же способом, что и в § 2, поскольку величину v можно сделать сколь угодно большой. ’
. В следующей главе будут приведены условия для коэффициентов форм RWW, при выполнении которых осуществляются все требования теоремы 46. Таким образом, получены условия неустойчивости нулевого решения системы (2.99). '
СИСТЕМА НЕСТАЦИОНАРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В настоящем параграфе теорема 19 применяется при изучении вопроса об устойчивости нулевого решения нестационарных систем, а также об устойчивости периодических решений. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
=(s=l,...,n),(2.126)
at
правые части которой заданы при xs Е (—оо, +оо), t £ Е (—оо, +оо), (s = 1, ..., и) и удовлетворяют некоторым
условиям, при которых существует единственное решение
X = X (t, Х«, /0), X (/0, XW, Q = XW,to 6 (-оо, +оо), XW 6 Еп.
Будем считать, что функция X (t, Х^, /0) непрерывно зависит от начальных данных Х<°>, t0. Предположим далее, что система (2.126) имеет нулевое решение X = 0, т. е. МО, ..., 0,0 = 0 (s = 1, ...,п).
Определение!. Нулевое решение системы (2.126) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого е > 0 можно указать величину 6 > 0 такую, что |Х (t, XW, /0)| < е, / > /0 при |Х<°>| < 6, t0 е (—оо, +®о). Если, кроме того, \Х (t, Х<°\ /0)|->0 при t-* +оо, то нулевое решение системы (2.126) называется асимптотически устойчивым. '
Определение 2. Если нулевое решение системы (2.126) асимптотически устойчиво, то множество всех точек (Xw, t0), обладающих свойством |Х(/, Х(0>, /0)| 0 при /->4-оо, называется, областью Л асимптотической устойчивости (|Х<°>| Ф 0).
Определение 3. Асимптотически устойчивое нулевое решение системы (2.126) называется равномерно асимптотически устойчивым, если |Х (/, Х^, /0)|->0 при t—/0->4*°9 равномерно относительно t0 € (—00,4-00) и |Х<°>| < 6, где 6 > 0 соответствует на основании определения 1 некоторому фиксированному е > 0.
Определение 4. Асимптотически устойчивое нулевое решение системы (2.126) называется равномерно притягивающим, если для любого h > 0, h < 6 можно указать величины Т > 0 и а > 0 такие, что |Х (/, Х<0), /0)| > а при t (t0, t0 + 74 для любого- t0 6 (—оо, 4-о°) и при h < |Х<°>| < 6. '
Если любое решение системы (2.126) существует при всех t 6 (—°°, +°о)> то с ее помощью можно определить динамическую систему X = X (т 4- t0, Х<°>, /0), t = t0 44- т. В этом случае все приведенные выше определения являются частным случаем данных в § 9 и 10 гл. 1. Если любое решение системы (2.126) определено при всех /^ б (—оо, 4-0°), то для исследования вопроса об устойчивости нулевого решения системы можно применить теоремы § 12—14 гл. 1 и, в частности, теорему 19.
Теорема 50. Если любое решение системы (2.126) определено при t € (—оо, 4-°°). то для того чтобы область Л, содержащая достаточно малую окрестность множества
X = 0, t Е (—°°, +°°), была областью асимптотической устойчивости равномерно асимптотически устойчивого и равномерно притягивающего нулевого решения системы (2.126), необходимо и достаточно, чтобы существовали две функции V (X, /) и ф (X, /), обладающие следующими свойствами:-
функция V (X, /) задана и непрерывна в А; функция Ф (X, f) задана и непрерывна в / Е (—оо, +°о), X Е Еп; 2) — 1 < V (X, 0 < 0 при (/, X) Е Л; ф (X, 0 > О при X £ Еп; ZE(-oo, +оо) и |Х|^0;
по любой величине у2 > 0 можно указать величины Yi и ат такие, что V (X, f) < —ух и ф (X, /) > аъ при |Х| > у2 и t Е (—<х>, +°о);
функции ф (X,/) и V (X, /) равномерно [по
/Е(—оо, +оо)[ стремятся к нулю при |Х|->0;
если (X, /) — точка границы области А, (X) ^ 0, то lira V (X, О = —1 при (X, t) Е А, |Х — Х| 0, (t — 7) ^0;
полная производная функции V, вычисленная в силу системы (2.126), удовлетворяет соотношению
^L=T(X,O(1+V(X, /1). .at
□ (см. теорему 19).
Произведем теперь в системе (2.126) замену независимой переменной t по формуле
i+ 2
s = 1 в результате получаем систему .
’ dxh Хп, 0
dt1dt1
dt1
dt1
Совокупность дифференциальных уравнений (2.127) определяет в пространстве (X, /) динамическую систему
X = X (s, Х«», ty), t = t(s, XW, t0). (2.128) Если инвариантное множество X = 0, t = s, s E (—00, +°°) 136
асимптотически устойчиво, то оно в то же время является равномерно притягивающим. Действительно, введенная в систему (2.126) новая независимая переменная s является длиной дуги интегральной кривой этой системы, рассматриваемой в (п + 1)-мерном пространстве (X, /), так как
ds = dtds = dtпdP 2 dx? .пdP 2 dx? .
ds = dt
ds = dt
п
dP 2 dx? .
п
dP 2 dx? .
Предположим, что |Х(04 > к. Возьмем величину а такую, что а > 0 и а < к. Тогда имеем: |Х (s, Х(0), /0) ^ а при s С (О, S1, где величина S > О такова, что S ^ к — а, ибо интегральная кривая при переходе с поверхности цилиндра |Х| = к на поверхность |Х| = а имеет длину, не меньшую, чем к — а. Таким образом, если решение X = О, t = s асимптотически устойчиво, то нулевое решение системы (2.127) является равномерно притягивающим. Если решение X = О, t = s системы (2.127) равномерно асимптотически устойчиво, то нулевое решение системы (2.126) также равномерно асимптотически устойчиво, что следует из неравенства
Если же функции fs (хъ ..., хп; /) ограничены при / С С (—оо, 4-оо) и |Х| < Н, то из равномерной асимптотической устойчивости нулевого решения системы (2.126) вытекает равномерная асимптотическая устойчивость решения X = 0, t = s системы (2.127). Действительно, пусть
^КМ при /е(—оо, +оо), |Х|<Л, (2.129) i= 1
тогда имеем:
откуда 0 < s < (/ — t^V 1 + М. Отсюда следует приведенное выше утверждение.
Теорема 51. Для того чтобы некоторая область Л, содержащая достаточно малую окрестность оси X = О, / £ (—оо, 4"°°), была областью асимптотической устойчивости равномерно асимптотически устойчивого нулевого
п
решения системы (2.126), достаточно, а в случае 2/2 < М, z=i
/ £ (—оо, +оо), |Х| < h, М < +оо, h > 0 и необходимо, чтобы существовали две функции V (X, /) и ф (X, /), обладающие следующими свойствами:
выполнены условия 1—5 теоремы 50;
полная производная функции V (X, /), вычисленная в силу системы (2.126), удовлетворяет равенству
Необходимость. Пусть нулевое решение системы (2.126) равномерно асимптотически устойчиво. Тогда, как было показано выше, при выполнении неравенства (2.129) решение X = 0, / = s системы (2.127) является равномерно асимптотически устойчивым, и, кроме того, равномерно притягивающим. Тогда на основании теоремы 19 существуют две функции V (X, 0 и ф (X, /), удовлетворяющие условиям 1—5 теоремы 50 и, кроме того, условию dV!ds= ф (1 4- V), где dVlds— полная производная функции I/, вычисленная вдоль движения X = X (s, Х<°>, /0), t = t (s, Х(°\ ^0) динамической системы (2.128). Тогда
откуда следует условие 2 теоремы 51.
Достаточность. Пусть существуют функции V и ф, удовлетворяющие условиям 1—2 теоремы 51. Условие 2 теоремы можно записать в виде
^L=<p(l+V);
ds
тогда выполнены достаточные условия теоремы 19 для инвариантного множества X = 0, t = s, s Е (—оо, +°о) динамической системы (2.128). Следовательно, это инвариантное множество является равномерно асимптотически устойчивым и, как было показано выше, равномерно асимптотически устойчивым будет также нулевое решение системы (2.126), что и требовалось доказать.
Замечание. Допустим, что
m(0 = sup 2 1№, 01,I X |<А 1=1.
число h > 0 и достаточно мало. Функция т (t) неотрицательна и непрерывна. Сделаем в системе (2.126) замену независимого переменного t по формуле dx = dt (1 + m (/)), тогда получаем
(2.130)(2.130)dx8 _ fS (^1 , • • • , ^n » 0/$ |\
(2.130)
(2.130)
dx!+«(/)’ ’ '
При т ^ (—oo, +°°) имеем t € (—oo, +«>), и наоборот. И кроме того, dxldt > 1 > 0, следовательно, t = тх (т), где тх (т) — неявная функция переменной т, и в системе (2.130) t следует заменить на тг (т). Правые части системы (2.130) удовлетворяют условию (2.129), так как они ограничены при т 6 (—оо, +°°) и |Х| < А, поэтому имеет место следующее утверждение.
Теорема 52. Для того чтобы область Л, содержащая достаточно малую окрестность оси X = 0, / € (—°°, +«>), была областью асимптотической устойчивости равномерно асимптотически устойчивого нулевого решения системы (2.130), необходимо и достаточно, чтобы существовали две функции V (X, 0 и ф (X, f), удовлетворяющие следующим условиям:
выполнены 1—5 условия теоремы 50;
полная производная функции V, вычисленная в силу системы (2.126), удовлетворяет равенству
dV •^-V(1+V)dV •^-V(1+V)|/~ (I+m(0)’+ % fl.|/~ (I+m(0)’+ % fl.
dV •
^-V(1+V)
dV •
^-V(1+V)
|/~ (I+m(0)’+ % fl.
|/~ (I+m(0)’+ % fl.
В системе (2.130) сделаем замену независимой переменной по формуле
dTi/ 1+У Г] = ds,
у ,^1 НтрМт» _
тогда решение X = 0, t = s системы
dx dsdx dsft| (m+D2ft| (m+D2(2.131)(2.131)
dx ds
dx ds
ft
| (m+D2
ft
| (m+D2
(2.131)
(2.131)
является равномерно притягивающим, если нулевое решение системы (2.126) асимптотически устойчиво. Кроме того, из факта равномерной асимптотической устойчивости решения X = 0, т —s системы (2.131) следует равномерная асимптотическая устойчивость системы (2.126), и наоборот.
Применяя теорему 19 к системе (2.131), получаем, что, для того чтобы множество А было областью асимптотической устойчивости равномерно асимптотически устойчивого решения X = 0, т = s системы (2.131), необходимо и достаточно, чтобы существовали две функции V (X, /) и ф (X, I), удовлетворяющие 1—5 условиям теоремы 50 и соотношению dV/ds = q> (1 + К), откуда
Переходя к переменной /, получаем
dV dtdV dt(1+/и1/))2+£ А\Z = 1(1+/и1/))2+£ А\Z = 1
dV dt
dV dt
(1+/и1/))2+£ А\
Z = 1
(1+/и1/))2+£ А\
Z = 1
Тем самым теорема доказана полностью.
Замечание. Если предположить, что правые части системы (2.126) непрерывно дифференцируемы по всем своим аргументам до порядка v включительно, то можно показать точно так же, как это было сделано при доказательстве теоремы 22, что функцию ср (X, t\ можно выбрать таким образом, что функция V (X, /) будет непрерывно дифференцируема по всем своим аргументам до порядка v включительно. Если v > 1, то производная функции V, вычисленная в силу системы (2.126), имеет вид .
dV dtdV dtdV dtdV dt
dV dt
dV dt
dV dt
dV dt
Это замечание относится ко всем трем доказанным в этом параграфе теоремам. Из этого следует, что функцию V мож-
но найти как решение уравнения
1 -у-/= + -^- = ф(1 + V), = i dxt dt
(теорема 50), определенное условием V (0, ..., 0, t) = 0. Для функции ср, при которой существует подобное решение, справедливы замечания, сделанные в § 1 этой главы. Вместо функции V (X, 0 можно рассмотреть функцию Vt = = In (1 + V). Тогда во всех теоремах условие V->—1 следует заменить требованием V -эоо при (X, /) 6 А и (X, /) -> (X, f) С Л/Л и, кроме того, dV-Jdt = q> (теорема 50).'
Если область Л совпадает со всем пространством (X, /), исключая X = 0, /6 (—оо, Доо), то нулевое решение системы (2.126) называется асимптотически устойчивым в целом.
Приведенная выше теорема содержит случай, когда равномерно асимптотически устойчивое нулевое решение системы (2.126) асимптотически устойчиво в целом. Условия асимптотической устойчивости в целом были впервые сформулированы для непрерывно дифференцируемых правых частей системы (2.126) Е . А. Барбашиным и Н. Н. Красовским (см. § 1 гл. 2).
Рассмотрим систему
х„, tHrAxi,..., Хп, 1) (s=l,..„ п\ (2.132)
Функции rs будем предполагать такими, что выполняются условия, при которых существует единственное решение X = X (/, Х<°>, /0), /0 с (—ОО, +оо), Х<») 6 Еп. Если функции Д непрерывно дифференцируемы по всем своим аргументам и нулевое решение системы (2.126) равномерно асимптотически устойчиво, то можно указать верхний предел для rs (хъ ..., хп, /) такой, что при |rs| < г (хъ ..., хп, t) нулевое решение системы (2.132) является асимптотически устойчивым и имеет ту же область асимптотической устойчивости, что и нулевое решение системы (2.126). Это утверждение может быть установлено тем же методом, что и соответствующее утверждение в §1 гл. 2.
Теорема 53. Если нулевое решение системы (2.126) равномерно асимптотически устойчиво, выполнено условие (2.129) и имеется асимптотическая устойчивость в целом, то при наличии непрерывных производных правых частей системы (2.126) по переменным (X, /) можно указать функ-
цию 7?j (X, f) такую, что для любых .функций г, (X, t) любое решение системы (2.132) будет ограничено при |rj <
< Rx (xlt .... xn, /), |X| > H и t £ (—00, +00).
□ Нулевое решение системы (2.126) равномерно асимптотически устойчиво и при этом имеет место асимптотическая устойчивость в целом. Поэтому существуют две функции Vx (X, t) и W (X, f), обладающие свойствами:
Г=ср(Х, ОГ=ср(Х, Оии^L_= W dt^L_= W dt
Г=ср(Х, О
Г=ср(Х, О
и
и
^L_= W dt
^L_= W dt
Если составить полную производную функции VT (X, /) в силу системы (2.127), то получим d.Vxlds = <р, откуда
^«Мо)^ -wds.о^«Мо)^ -wds.о(2.133)(2.133)
^«Мо)^ -wds.о
^«Мо)^ -wds.о
(2.133)
(2.133)
Из формулы (2.133) следует, что
supVx(X,f) = M(R) и inf ^(Х.О-тДО
Щ( — ”. +“)<6( —”, +”)
|Х|=Я. IX|=R
обладают свойствами М (R) -»—оо и т (R) -»—оо при R+оо. Составим теперь полную производную функции Ei в силу системы (2.132). Тогда имеем
-^" = 5 ^^ + ^ + ^7- = ^+ Spr^W; dt /=1 dxtdt“t dxt
Оценим функцию Wx.
•VnRU, /).•VnRU, /).
•VnRU, /).
•VnRU, /).
Выберем функцию R (X, t) так, чтобы имело место неравенство Ц7 + Wx > а при |Х| > Hv Рассмотрим поверхность Vx (X, t) = тНх. Она заключена между двумя цилиндрическими поверхностями, а именно: [X | = Нх и |Х|= = /Z2, где Н2 выбрано так, что М (Н2) = т. ф^. Любая интегральная кривая системы (2.132) пересекает поверхность Vx (X, t) = т (Нх) снаружи внутрь, поэтому каждая интегральная кривая системы (2.132), начинающаяся в об-
ласти ^ (X, t) > т (Н^, остается ограниченной при /-)-+оо. Покажем теперь, что любая интегральная кривая системы (2.132), начинающаяся внутри области Ух (X, 0 < т (Н^, входит в область Ух (X, t) > т Щ^ и остается там и," следовательно, является ограниченной при t-* +оо. Пусть это не так, т. е. существует точка (Х(0),/0)| ^i (Х(0), ^о) < т (^i) такая, что интегральная кривая системы (2.132) X = X (/, Х<°>, t^ остается при t > t0 в области Ух (X, I) < т (Н^. Тогда вдоль рассматриваемой интегральной кривой будем иметь d\\ldt > а, откуда Ух (X (t, XW, t0), t) > Ух (Х«», t0) + a (t - t0), что невозможно при всех t > t6, поскольку Ух (X (/, Х<°>, t0), t) < 0 при t "> t0, что и требовалось доказать.
Вернемся теперь к рассмотрению стационарной системы дифференциальных уравнений.
^—№)(s=\,...,n).(2.134)
at
Предположим, что система (2.134) имеет периодическое решение X = X У, Х<°>). Рассмотрим вопрос об устойчивости этого периодического решения. Если в системе (2.134) сделать замену х3 = L + xs (t, X<°)) (s = 1, .... n), то получим систему уравнений в виде (2.126), правые части которой являются функциями, периодическими относительно аргумента t, и, кроме того, эта система будет иметь нулевое решение. Вопрос об устойчивости этого нулевого решения эквивалентен вопросу об устойчивости периодического решения системы (2.134), и поэтому можно применить теоремы 50—52. Однако теоремы, сформулированные в § 12 —14, позволяют непосредственно дать условия устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости периодического решения системы (2.134) без сведения к системе (2.126). Применим теорему 19 для изучения вопроса об асимптотической устойчивости периодического решения системы (2.134).
Теорема 54. Для того чтобы открытое множество А пространства Еп, содержащее достаточно малую окрестность замкнутой кривой X = X (t, Х<°>), было областью асимпто- - тической устойчивости периодического решения X = = X (/, Х<°>) системы (2.134), необходимо и достаточно, чтобы существовали две функции V (X) и ф (X), удовлетворяющие следующим условиям:
функция V (X) задана и непрерывна в А, функция Ф (X) задана и непрерывна в Еп;
— 1 < V (X) < 0 при X € Л; <р (X) > О при X 6 Еп
и X = X (/, Х<°>);
по любой величине у2 > 0 можно указать величины ух и 04 такие, что V (X) <_ —у, и q> (X) > ах при
inf |Х — X (/, Х<«>)| > у2;
te[o,Q]_
<р->0 и V->0 при inf |Х —X (/, Х«»)|->0, где _ t6[0,fi]
□ — период решения X (/, Х<а));
если X есть точка границы Л и X =# X (/, Х<°>), то lini . V(X)= -1;
| Х-Х |4о
полная производная функции V, вычисленная в силу системы (2.134), удовлетворяет соотношению
^=Ф(Х)(1 + У(Х))-|/ 1 + У//(Х).Wz = 1
□ Произведем в системе (2.134) замену независимой переменной по формуле ds = dt ^ 1 + 2 Л*> тогда совокупность дифференциальных уравнений
^ь .fh (^)}^ 135)
б/sг п^s/ п
у Н$1ПV i+^n
определит в пространстве Еп динамическую систему, для которой замкнутая кривая А = А (/, Х(0>) является периодическим движением и представляет собой инвариантное множество. Некоторая окрестность этого инвариантного множества компактна, поэтому на основании теоремы 6 из асимптотической устойчивости следует, что это множество является равномерно асимптотически устойчивым и равномерно притягивающим, поэтому применима теорема 19, по которой существуют функции V и ф, удовлетворяющие условиям 1—5 теоремы 54 и соотношению dVlds = ф, где dVlds — полная производная функции V, вычисленная в силу (2.135). Переходя в этом соотношении к параметру t, получаем, что функция V удовлетворяет условию 6 теоремы 54, что и требовалось доказать.
Замечание. Если функции ft (X), стоящие в правых частях системы (2.135), непрерывно дифференцируемы, по
всем своим аргументам до порядка v включительно, то функцию ср можно выбрать так, что функция V будет непрерыв,- . но дифференцируема по всем своим аргументам до порядка v включительно. Если v > 1, то условие 6 теоремы 54 можно записать в виде
2Дш>=Ф(1+ууЛ1+.|х
Приведем пример, поясняющий теорему 54. Рассмотрим систему двух уравнений х = х + у — х (№ + у2) = = t i^yY у = —х-V у — у (х2 + У2) = /2 (х, yY Положим q> (х, ijyV 1 + Л + /г = 2 (1 — х2 — z/2). Составим уравнение в частных производных, соответствующее этой системе:
тт- Л (х- У) + ^- f» (х> У)=Ф (х, У) (1+V (х, уу КГ+7Г+Ж
дх оу
Функция V, удовлетворяющая этому уравнению в частных производных, имеет вид V = (х2 + у2)^1"*2-^2 — 1 при условии V = О (V = 0 при х2 + у2 = 1). Окружность х2 + у2 — 1 является периодической интегральной кривой. Построенные функции V и ср удовлетворяют всем условиям теоремы 54, откуда следует, что областью асимптотической устойчивости является, в этом случае вся плоскость, за исключением точек х = у = 0 и тех, которые лежат на окружности х2 + У2 = 1. В этом случае область асимптотической устойчивости — открытое несвязанное множество.
Заметим, что с помощью метода, приведенного в § 1 этой главы, можно построить все множество систем вида (2.126), имеющих равномерно асимптотическое нулевое решение с наперед заданной областью А асимптотической устойчивости, а также множество всех систем вида (2.135), имеющих данную замкнутую кривую своим периодическим асимптотически устойчивым решением с наперед заданной областью А асимптотической устойчивости.
В [30] приведены необходимые и достаточные условия равномерной асимптотической устойчивости. Однако анализ этих условий показывает, что при их выполнении нулевое решение системы дифференциальных уравнений является также равномерно притягивающим. Кроме того, эти условия носят локальный характер. Следовательно, подводя итог сказанному выше, можно утверждать, что эти условия являются частными по сравнению с предложенными в настоящем параграфе.
Глава 3
ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРЕСТНОСТИ НУЛЕВОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ЛЯПУНОВА "
§ 1, ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ИЗ ТЕОРИИ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Рассмотрим систему уравнений
, n / п ' ^- + 2 я 5 P^Vi^XAt, XV..„ хп, 2Ъ..., zh) 9t s=i 8x* \£v .
кn
(3.1)(3.1)= 5 Ял(0 Zj + 5 rn (0 Xt + Zj (t, xv..., Xn, 2!,..., zk) i=lZ = 1
(3.1)
(3.1)
(/=!»..,£).
Функции X8 и Zj разлагаются в ряды по целым положительным степеням величин хъ ..., хп, гъ ..., zk, сходящиеся при всех f € [0, +оо) при достаточно малых |xs|, |zy|. Коэффициенты в разложениях функций Х8 и Zj, а также коэффициенты psi (I), Яц (0, гр (0 заданы при t € [0, +°°), вещественны, непрерывны и ограничены. Будем предполагать далее, что разложения функций Xs, Z/ не содержат членов, линейных относительно величин хъ ..., х„, гъ .... гк. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующую системе (3.1):
= 2 Р»А0Х1А-Х8 (S —
(3.2) , кп
-^-=2 431 ^ Zi + ^ rjl (0 Xi-V-Zj и hY
Обозначим через р^ .... рп+к характеристичные числа линейной системы, образующей первое приближение для системы (3.2). Будем считать, что р^ .... рп — характеристичные числа системы
dr Л ■
PsiWxt (s=l,...,n),(3.3)
i = 1
a цп+ъ •••» ^n+h — характеристичные числа системы
(3.4) at
I — 1
Теорема 55. Если выполнены следующие условия:
1) рг > 0, i < п; 2) pi = pn+i, i < I; 3) системы (3.3) и (3.4) правильные, то система уравнений (3.1) имеет семейство решений, зависящее от I произвольных постоянных, представимое в форме .рядов
f z;m)(/,c1,...,ci,x1,...,xn) (/= 1,..., А), (3.5) т= 1
сходящихся при |cs| < с0, |xs| < х0 (0. где с0 > 0 — постоянная, а х0 (/) — положительная функция, вообще говоря, достаточно быстро стремящаяся к нулю при 1-*- +оо. Функции г^ являются однородными формами степени т относительно величин хх, ..., хп, коэффициенты которых суть непрерывные функции t, заданные при / > 0 с неотрицательными характеристичными числами, и одновременно полиномы по сх, ..., с^.
□ Для системы (3.2), следуя А. М. Ляпунову [11, построим семейство решений, соответствующее характеристичным числам рг, i < п + I. Имеем:
п-Н
, nit»..., т_. t «1 = 1• tri— I •
*3 =5 Ls +l(t)e а^.-.ап^1*
(3.6) n-^-l
-t 5
zi— 2a Mi n+l(i)ea^-...art+i
(/-1,...,6).(3.7)
Ряды (3.6) и (3.7) сходятся при / > О, если |а; | < а, i = = 1, ..., п + I (а — достаточно малое число); при этом характеристичные числа функций
неотрицательны. Положим
^n+i ^i^i, ^ ^ Л Ps " ^5 * О-з» $ ^ П.(3.8)
Якобиан функций (3.6) по величинам (3.8) при ps = О (s = 1, .... п) совпадает с определителем фундаментальной системы решений для системы (3.3), если последний умножить на ^-+•••+'4)...
/ п
J S (PssW+^s)6» £_(51lj^_l^L= CeOs=i, (3.9)
D №P„) p1=...=pn=o’ v *
где С #= 0. Разрешим (3.6) относительно величин (3.8), что возможно в силу (3.9). Имеем
Ps = Фз (Л Съ •••> сь хъ .... xn) (s = 1, .... п\ (3.10)
Используя соотношение (3.10), исключим ps (s < п) из системы уравнений (3.7). В результате получим семейство решений (3.5) для системы (3.1).
Замечание 1. Рассмотрим случай, когда все коэффициенты в разложениях функций Xs, Z, и величины Psi, Яп, гн постоянные. В этом предположении систему (3.1) будем обозначать через (З.Г). .
Пусть Хъ ...Ап — корни уравнения |Р — ХЕ| = О, №k} = Pih Ц, к = 1,«). а хь ..., xft — корни урав
нения |Q— хЕ| = 0, VO^M ~ Яи 0> / = Ь •••> h\ Ясно, что |Л< = —Re (X,), I C n, pn+i = —Re (x;), i < к. Если выполнены условия теоремы 55 для системы (3.1'), то коэффициенты форм z<m> (/, съ ..., cb хъ ..., хп) можно представить в виде полиномов по t, съ ..., сь коэффициенты которых, в свою очередь, являются тригонометрическими многочленами. Эти тригонометрические многочлены будут периодическими функциями t, если величины Хг — хг (i < /) соизмеримы. В противном случае они являются почти периодическими функциями. Если Хг — хг = 0 (i < /), то коэффициенты форм г(ш) — полиномы по сг, ..., cb t.
Замечание 2. Систему (3.1') можно неособыми линейными преобразованиями над искомыми функциями 148
zb ..., z/t и над независимыми переменными хь ..., хп привести к виду
dt s=i dxs
^б,-, z/_i +х7- Zj+ 2 rn XtVZj Ц=\£),(3.11) i = i
где е0 = 60 = 0, a es, б7- равны О либо 1.
Если Re (Xs) < 0, (s < п) и А.г (i < /), то система (3.11) имеет семейство решен
^=5 ^тЧ<,стМ^х^иЛ (3.12)
Положим в (3.12) / = (1/AJ In хх и вновь полученные функции обозначим через о, (j = 1, ..., k). Функции
6, = ^wPn^, clt .... с„ ^ хп) (/=1 к)
(3.13) удовлетворяют системе уравнений
" до,- .——— .__.
li ——(e$-i x$-i +XS xs + Xs (хъ ..., xn, ot, ... ,ah)) =
s = 1 ®xs.
= 6H oH + Kj Oj + 2 Гц Xi + Zj (xb ..., xn, о^, ..., aj .
< = 1(3.14)
Теорема 56. Если выполняются следующие условия: 1) Re (Хг) < 0, / < п; 2) х, = Xb I < /, то система уравнений (3.14), (3.11) имеет семейство решений (3.13), зависящее от / произвольных постоянных. При этом коэффициенты форм z)m) являются полиномами относительно сь ... .... cb In xv Ряды (3.13) сходятся при -
где х0 — функция, о которой идет речь в теореме 55, Ixjl достаточно мал.
Рассмотрим далее случай, когда функции (3.13) не зависят от In xv'
Теорема 57. Если выполняются следующие условия:
Re (Х;) < 0, i < п; 2) Xj = х;, i < /; 3) ег = 6г, i < I —
— 1; 4) ег = 0, r3l = О, i, / ^ /; 5) не существует соотно- ' п
шения вида 2mA; ~ х>- / ^ к ПРИ любых целых неотри- ' Z = 1
цательных mi (^т. > 1), за исключением случаев Xt = z= 1
= иь i < I. то система (З.Г), (3.11), (3.14) имеет семейство голоморфных решений, зависящее от I произвольных постоянных, представимое в форме рядов
z,= 2 {съ ..., си х,х„) U= 1.... .к), (3.15) т — 1■
где 2jm) — однородные формы степени т относительно хп .... хп, коэффициенты которых являются полиномами по сг, ..., cv Ряды (3.15) сходятся при |cs| ^ с0, |xs| < г, г > О, с0 > 0.
□ Проведем доказательство для системы (3.14). Подставим в (3.14) ряды
о3 = 2 ^(хь-.-.х») (/=1,...,^),(3.16)
т= 1
где о^ — однородные, формы степени т относительно хъ ..., хп с коэффициентами, подлежащими определению.
Приравнивая формы одинаковой степени, получаем систему уравнений для определения о<т>:
т ап(т)
2(e$-i xs_1 + Xsx6)=6/_1 of^ + x3c^4Rp'.
s=l dxs
(3.17) Функции R^ являются однородными формами степени т относительно хп ..., хп, зависящими от разложений функций Xs, Z3 и от форм а^, j = 1, ..., к, р = 1, ..., т— 1.
Если функция R^.m) при т > 1 определена, то из условия 5 настоящей теоремы следует, что система (3.17) имеет [11 единственное решение в виде форм о(т) (хъ .... xn), j = = 1, .... к. Покажем, что система (3.17) при т = 1 имеет решение в виде системы линейных форм ouj\ зависящих от / произвольных постоянных. Положим
о*/1’ = У^Р + у(Р, i = I/.(3.18)
где у^ — линейная форма относительно хь .... хъ уУ^— линейная форма относительно х1+1, .... ха. Для определения этих форм имеем уравнения:
5 -^-(es-ixs-i + ^s^ = 6/-i УУ1хЛ-^уу> (3.19) s = l дх»
S — (®s—i х$—14- Xs xs) = 6/—i y;—[ 4* s=z-H ^xs
-^уТЧ 5 7jtxt (/ = / + l,...,n). (3.20) z = / + l
Из условий 4 и 5 настоящей теоремы следует, что система (3.20) имеет единственное решение в виде системы линейных форм уУ\ Пусть функция хг = (^е^ИД является решением системы.
-^-=8,.-! х,._1 + Хгхг (1=1, ...,/).(3.21)
Тогда матрица фундаментальной системы решений для (3.21) имеет вид
*100 ...0*2*10 ...0Ч-i^-2Х10^а+2Х1*100 ...0*2*10 ...0Ч-i^-2Х10^а+2Х1Х(/) =Х(/) =00xAa+i ... 0xAa+i ... 0оооо•’• Ч+1•’• Ч+1
*1
0
0 ...
0
*2
*1
0 ...
0
Ч-i
^-2
Х1
0
^а+2
Х1
*1
0
0 ...
0
*2
*1
0 ...
0
Ч-i
^-2
Х1
0
^а+2
Х1
Х(/) =
Х(/) =
0
0
xAa+i ... 0
xAa+i ... 0
о
о
о
о
•’• Ч+1
•’• Ч+1
Векторная функция
У (0 = X (0 С,У (0 = X (0 С,(3.22)(3.22)
У (0 = X (0 С,
У (0 = X (0 С,
(3.22)
(3.22)
где С — (сг,.... с^, У = (i/i1), ..., У/1>)т, дает общее решение системы (3.21), и в то же время функции у^13 (j = J, ..., /), рассматриваемые как линейные формы величин хг (t = 1, ..., /), являются решением системы (3.19). Таким образом, линейные формы о)1* при j = 1, ..., / определены. Формы
°?\ j > I + 1, определяются единственным образом из системы (3.17) при т = 1. Тем самым система формальных рядов (3.16) определена полностью. Сходимость рядов (3.16) следует из теоремы 55.
§2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ
Рассмотрим систему
п
2 -7- = 2 Psi (?) Уг + ps (?) г + Ys (z, уъ..., уД (3.23) dz i=\
(s — 1,..., n).
Функции Ys разлагаются в ряды
Л =2 Pf-т'т^ (z) г- у^ ... у’> (3.24)
^ + ni14-... + mn>2
(s = 1,и),
сходящиеся при |z| •< гъ где г, > О — постоянная и |г/,| < <Уо (/ = 1, •••, «)• Функции psi(z), ps (z), РД-m"mn)(z) заданы при 2 6 (О, 1], вещественны, непрерывны и ограничены. Для системы (3.23) в точке ^ = ... = уп = 0, 2 = О не выполнены условия существования решения. Поэтому возникает вопрос, при каких условиях существует решение системы (3.23) ys = у8 (2) (s = 1,..., п) такое, что у8-^0 при 2 -> 0. Далее выведены эти условия и дано аналитическое представление таких решений.
Обозначим через 1, pb ..., рп характеристичные числа сйстемы
(8=!,...,«). (3.25)
"77 = — [ 2 Р^ Уг4рДе-^г
dt L»=iJ
Теорема 58. Если выполнены условия: 1) ц, > 0 при i < /; 2) система (3.25) правильная, то система уравнений (3.23) имеет семейство решений, зависящее от / произвольных постоянных, представимое в форме рядов
У8=2 K(m'm0 (г) х
m-Vnix-V* ,. + m^^l
xz'"+-n1ti1+.-V-mllilcm1 cmt (s=lj „),(3 26)
СХОДЯЩИХСЯ ПрИ |z| ^Zo, |fZ| C Co U = 1, •••. 0. ПРИ ЭТОМ 20 < p, где (3 — достаточно малая постоянная, f0 > О и 20 > 0 — постоянные. Функции КТ’ mi^ (г) обладают свойством КТ' т'т^ (?) 2а -> 0 при г -> О, где а > 0 — постоянная.
□ Рассмотрим систему уравнений
ду8^у§ дуз
~ ^ 71?И; х~г"17 + It ^ Psi (е ^у"
-рДе-^ z-Ys.(3.27)
Для системы (3.27) выполнены условия теоремы 55. Поэтому существует система функций
ys (t, съ ..., сь %!, ..., хь г) =
^2 ^"° (^^ ..., cz хх,..., xz, г) (s-= 1,... ,п), (3.28) т = 1
удовлетворяющая системе (3.27). Формы у7' имеют вид у^ =2К^11--'^г7п Х7...Х?1 с?1...с71
т + т! + — + ^ = m
(3.29)
(8 = 1, ... , tl),
где m ^ 1. Положим
х, = z/, t — — Inz.(3.30)
Тогда получим семейство решений (3.26), удовлетворяющее системе (3.23), в чем можно убедиться непосредственной подстановкой.
Замечание 1. Пусть функции (3.24) являются вещественными постоянными. В этом случае систему (3.23) будем обозначать через (3.23'). Пусть, как и выше, Х1, ... ..., Х„—корни уравнения |Р — Х£| = 0, {PZZl} — pik- Легко показать, что для системы (3.23') рг = Re (к^. Таким образом, при Re (Хг) > 0, г < /, система (3.23') имеет семейство решений (3.26). При этом функции КТ'011трк^ являются полиномами относительно In г, коэффициенты которых — тригонометрические многочлены.
Замечание 2. Приведем в системе (3.23') матрицу Р к каноническому виду/ Тогда получим
2 ~уS = 8s-l Уз — 1 + Us Ps ^s (s = 1,, rt), (3.31)
az
где e0 = 0.
Рассмотрим систему уравнений с частными производными, соответствующую (3.31):
^х дхз 18/-^/->+^~г дг —
= — (es_i ys_i+Xs^+F84Az). (3.32)
По теореме 56 эта Система имеет решение в виде сходящихся рядов
Уз =2 Кзт'т*' "^ (г, сь... , ct)zm Х^.-.Х^
m-Vtnx-V ...Л-^1= 1
(3.33)
(s= 1,..., и),
где КТ*т'т^ — полиномы по степеням )п г. Если т + i
+ ^ rnikt ^=Kj (j = I, I) при любых целых неотрицательных т, тг, ..., mt таких, что т + mx + ...+ тг ^ 2, то величины /(jm'mi^ являются постоянными. Положим'
,(3.34)
где постоянные lj выбраны так, что функции (3.34) удовлетворяют системе
dxj.
2 -= 6j — 1 Xj— 1 ~j- ^»j X p
az
Если функции (3.34) подставить в ряды (3.33), то получим семейство решений системы (3.31).
Теорема 59. Если среди собственных чисел матрицы Р в системе (3.23') имеется I с положительными вещественными частями, то существует семейство решений системы (3.23'), представимое в форме рядов .
у,=^<*т1m,)(ln2)X
т4-т1 + -.. + ^/>1
I m-V 2 m^ X^ S in I
XZ i=x (lnz),=l c^...c74s=\,.,.,n), (3.35)
сходящихся при |z| < z0; |c;| < c0 (j = 1,..., /); z0<P, где Nsm‘ m*m,) (In z) — полиномы относительно In z.
ii
Если же m + 2 mi^i ^ ^J U~ *, 0-пРи m + S m< ^ i—\/=1
^ 2 и Xj ^ 1 при j $4 /, где I — число всех величин X-t таких, что Re (XJ > 0, то величины Nsm*mim,) являются постоянными.
Рассмотрим систему
zN,^^ 2 p8iyi+psz + Ye(z,y1,...,yn) az . , t = 1
(s=lи).(3.36)
Будем считать далее, что правые части системы (3.36) такие же, как и в системе (3.23'). Пусть гъ г2,..., г^, ... такая последовательность, что |г,|-> 0 при /-> + <», a |arg z>| < ^ с< + оо.
Установим, существует ,ли решение у8 = у3 (г), s = 1, .... и, системы (3.36), обладающее свойством
l^(z;)|->0 при /-> 4-оо.(3.37)
Если такое решение существует, то поставим задачу его отыскания и аналитического представления при N =/= 1.
Пусть N <Z 1, N = p/q, р, q— натуральные числа.
Теорема 60. Система (3.36) в случае N = p!q имеет единственное решение, обладающее свойством (3.37), представимое в виде ряда
к
у8^=^ a^z^ (s=l,...,»).(3.38)
к = 1■
D В системе (3.36) положим z — ^’. Тогда имеем ^-'+1 -^-=L (^, Уъ..., Уп) (s= 1»),
откуда
-%- = ^-р-,Г8а».Уь....Уп).(3.39)
Применяя к уравнению (3.39) теорему Коши, получаем требуемое.
II. Пусть N > 1.
Рассмотрим случай, когда
аг
Выберем некоторую функциюф, удовлетворяющую уравнению
zNd^ — ^dz — 0.(3.40)
Теорема 61. Если в системе (3.36) среди собственных чисел матрицы Р, {Pij} = рц, имеется / чисел с положительными вещественными частями: Хр..., Хь то существует решение в виде рядов
и. И- 2с!”'""'’Мх
X Ф 1-1С”1- ... с™1 (s= 1,..., п),"
сходящихся при |сг| < с0, |ф| <ф0, где с0) % — некоторые положительные постоянные.
Доказательство следует из теоремы 59.
Область |ф (г) | < ф0 на плоскости комплексного переменного г не содержит, вообще говоря, никакого круга с центром в начале координат. Поэтому ряды (3.41) удовлетворяют условию (3.37) лишь для некоторых специально выбранных последовательностей zT, z2, ..., zk,...;|ф(2;)|<ф0-
Решим теперь вопрос для особого случая. Если КеХг < С 0, i = 1, .... п, то приведенный выше способ построения решений, обладающих интересующим нас свойством, непригоден. Если даже ReX, > 0 при I = 1, ...,/, то может оказаться, что решение с нужными начальными данными не входит в семейство решений, построенных в виде рядов.
Теорема 62. Если система (3.36) при N = 1 имеет решение Уз = Уз (z) (s = 1, ..., и), которое обладает свойствами у (z)^0 при z^ 0, z> 0, ys^ = yV\ z0> 0, (3.42) то функции уз (г) являются аналитическими в круге |z| < < г] (г0) с вырезом по сектору, содержащему отрезок отрицательной вещественной полуоси — i] (z0) < г < 0, где Я (го) — достаточно малая положительная величина.
Доказательство можно получить, видоизменяя доказательство теоремы 25 [12].
Из предыдущей теоремы имеем следующее утверждение.
Теорема 63. Если существует решение ys = у8 (г) системы (3.36) при N = 1, обладающее свойствами (3.42), то оно может быть построено в виде рядов
Уз (г) = 5 V (г0, ^“^, У^ Vm ^ (s- 1,..., »), т = О
сходящихся при |У (г) | < 1, где Ч^"0 — некоторые известные функции, а V (г) — функция, отображающая круг |г| < 1] (?о) с указанным выше вырезом на круг |У| < 1.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О-КРИВЫХ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений -^=1 X<-)(/,x1,...,xn)(S=l,...,n),(3.43)
' т = ц
где функции Х^ — однородные формы степени т относительно хгхп с вещественными, непрерывными ограниченными коэффициентами, заданными при t 6 (— °°, +оо). Будем предполагать также, что ряды, стоящие в правых частях системы (3.43), сходятся при достаточно малых |х3| и всех — оо < t < + оо, а коэффициенты форм Х1^ — вещественные постоянные. Интегральная кривая X (t, Х(0>) системы (3.43) называется О-кривой, если X (t, Х^)->
0 при t->. + оо (/^— оо). Рассмотрим систему уравнений
-^=Х^ (s=l,...,n).dt s
Правые части этой системы являются однородными формами порядка р. Следовательно, к ней применима теория, развитая в § 3 гл. 2. Напомним, что нулевое решение этой системы может быть асимптотически устойчивым при р = = 26 4- 1 лишь для вещественных возмущений, а при р = = 26 оно не может быть асимптотически устойчивым. В § 3 гл. 2 были даны необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения этой системы с помощью функции Ляпунова. В настоящем параграфе выводятся условия асимптотической устойчивости, связанные с некоторыми алгебраическими свойствами форм Х^,
а также условия неустойчивости, которые будут применены для исследования сомнительных случаев, разобранных в в § 4,5 гл. 2.
Рассмотрим систему
-^ = x, + aXW(s= !,...,£),(3.44)
Оф
где а = + 1 либо а = — 1. Пусть
xs = xs (ф, a) (s = 1, ..., п)(3.45)
—решение системы (3.44), определенное при ф С (—оо, +оо).
Обозначим через р1?..., рп характеристичные числа системы
Psi^aVAs=X,.^n\ (3.46)
где
Psi (ф> ^) " ^si4-a —-xt = xt (ф, а) •
хп=хп (Ф- °)
Пусть 1, рь ..., р,п — характеристичные числа системы
dz
— = —z,d<p
dx "^
—r-^^Psi ^,a)xt-\-zpe^a) (s = 1, ...,n).
“Ф /=1
Вид функций p8 (ф, а) будет приведен далее.
Теорема 64. Если выполнены следующие условия:
система (3.44) имеет ограниченное при ф 6 (—оо, 4-оо) решение (3.45);
система (3.46) правильная;
среди чисел ръ..., рп имеются / положительных: рг > 0 при г < /, то система (3.43), имеет два семейства решений, каждое из которых зависит от / произвольных постоянных и представимо в форме рядов:
х^ =z (а/) £( —1/+1 Хд (ф, а) +
+2ЕУ'т’т,"1т')(г)сГ/,...^2т+т1Ц1+--+т^"
m + mi + ... + mz>l7
(3.48)
(s = 1, .... n; / = 1,2),
сходящихся при |z| < z0, |со | < c0, z0 < p, где z (a/) — — некоторая положительная функция, удовлетворяющая уравнению
■4г = — azn,(3.49)
at
Ф = — In z.(3.50)
ФуНКЦИИ Fs'm’miт^ ТаКОВЫ, ЧТО zaf</. m-mimP_> -> 0 при z-* 0 и любом a > 0.
С помощью уравнения (3.49) произведем в системе (3.43) замену независимой переменной, а затем замену искомых функций по формулам
х8° = z (а/) [х8 (ф, а) (—1)/ + 1 + у^]
(s = 1п; j = 1, 2),(s = 1п; j = 1, 2),(3.51)(3.51)
(s = 1п; j = 1, 2),
(s = 1п; j = 1, 2),
(3.51)
(3.51)
где у$п — новые искомые функции. Для определения у8^ получим систему
Й^ z dzЙ^ z dz' п1
Й^ z dz
Й^ z dz
2 Psi (ф> a) tit А-Рв (ф, a) z + *7* (3.52)
Lf=iJ
(s=l,...,»;/= 1,2).
К системе (3.52) можно применить теорему 58. В результате получим два семейства решений, каждое из которых зависит от I произвольных постоянных и представимо в форме рядов, которые благодаря замене (3.51) определят семейство (3.48). Тем самым теорема доказана полностью.
Замечание 1. Из уравнения (3.49) следует, что z(aZ) = z0 (1 + 2^cZz2*)_1/2ft. Поэтому.при достаточно малой величине z0 "> 0 ряды (3.48) будут сходиться при всех at € [0, +°°). Таким образом, любая интегральная кривая, входящая в семейство (3.48), является О-кривой, при этом она будет О+-кривой при a = 1 и О~-кривой при a = — 1. В последнем случае имеет место неустойчивость.
Замечание 2. Пусть функции (3.45) являются постоянными: х8 (ф, a) = а8 (s = 1,..., п). Тогда любая интегральная кривая, входящая в семейство (3.48), обладает свойством .
1)/+1 при al-^+oo. (3.53)
В этом случае величины p8i (ф, а) = p8t (о, аъ .... ап). являются постоянными. Перейдем к подробному анализу ок-
рестности положения равновесия системы (3.43). Рассмотрим систему алгебраических уравнений
х8 + ^ц) (Xj,..., хп) = 0 (s = 1, .... м),(3.54)
ц = 2А + 1, А — целое положительное. Рассмотрим матри-
цуР (хъ ...,х„):
Р(хъ..., хп) =Р(хъ..., хп) =дХ^>dxtдХ^>dxt^si^si(i, s = 1(i, s = 1•, ny•, ny
Р(хъ..., хп) =
Р(хъ..., хп) =
дХ^>dxt
дХ^>dxt
^si
^si
(i, s = 1
(i, s = 1
•, ny
•, ny
Собственные значения этой матрицы обозначим через Хг- (хь .... хп). Если система (3.54) имеет решение xs = =as (s = 1, ..., пУ то она имеет решение х8 = — а8 (s = 1,..., ..., п). При этом Хг («!,..., а^ = Хг (—а1( ..., — апу Действительно, система (3.54) не изменяется при замене х8 на — х8. Поэтому вместе с х8 = а8 она имеет решение х8= —а8.
dx^
Функции -^- являются формами степени 2к относительно xzхп, поэтому элементы матрицы Р не меняются при замене xs на —х8, откуда и следует, что Хг (аъ .... ап) = = X, (— аь .... — an) (i = 1,..., пУ
Теорема 65. Если система (3.54) имеет вещественное решение х8 = а8 (s = 1, ..., ri) и среди величин Хг (alt..., ап) (i = I,..., и) имеются I с положительными вещественными частями: КеХг > 0 при I < /, то существуют два семейства решений системы (3.43), каждое из которых зависит от I произвольных постоянных и представимо в форме рядов:
x^ = z(as +2, к^.м,,. , ^)(inz)x
/
Хс^...^ i='j(s=\, ..„n),(3.55)
x^ = z(-as+ 2^'M- 1 ^)(lnz)x
S Mixi\
X^.^1г),(3.56)
сходящихся при |z|<z0, |cf | < c0, |Vi|<Vo, где функции ^(M, Mlt. ., м;) и ^(М.м,^i1 (s= 1, п) являются,
вообще говоря, полиномами относительно In z, если коэффициенты форм Х$М) (М ^ р) постоянны. Величина z — функция аргумента t, удовлетворяющая уравнению
(3.57)(3.57)_zu-
(3.57)
(3.57)
at ’
c^t — произвольные постоянные, c0, y0, z0 > 0.
Доказательство следует из теоремы 64, так как теорема 65 является ее частным случаем.
Теорема 66. Если система (3.54) имеет вещественное решение х8 = as (s= 1,..., ri), то среди величин Xt (t =1, ... ,.., ri) имеется по крайней мере одна с положительной вещественной частью.
Рассмотрим систему линейных форм
vs= 2 Pei^’ •••»an)xi(s = lri).
i=l
Положим xs = aS) тогда
nn^(«i, . .., Дп).дхг^(«i, . .., Дп).дхг"Ь ^si J ^г"Ь ^si J ^гZ=1Z=1дХ^ (Ol ..., оп)дх^дХ^ (Ol ..., оп)дх^
n
n
^(«i, . .., Дп)
.дхг
^(«i, . .., Дп)
.дхг
"Ь ^si J ^г
"Ь ^si J ^г
Z=1
Z=1
дХ^ (Ol ..., оп)дх^
дХ^ (Ol ..., оп)дх^
По теореме Эйлера,
^ dxi^ dxi
^ dxi
^ dxi
Из системы (3.54) имеем Х^ = — а8. Сравнивая последние равенства, получаем z/8 = 2Ха8; отсюда следует, что вектор (аь..., йп) является собственным вектором матрицы Р, а 2^ — собственным числом. Положим Xj = 2Х. Тем самым теорема доказана.
С л е д с т в и е. Если система (3.54) имеет вещественное решение х8 = а8, то существуют два семейства интегральных кривых системы (3.43), каждое из которых зависит по крайней мере от одной произвольной постоянной и представимо в форме рядов:
x^^z^H- 2 /((^^^(Inzjc^z^+^Y (3.58)\ м+м, > 1 J
x^=z(—a.-V 2 L^‘Мд On z) у". гМ+^Л (3 59) \ м-нщ > 1 /
сходящихся при |с| С с», 1т1 < То, < € [0, + оо). Каждая кривая семейства (3.58) и (3.59) обладает свойством l^s0! 0 при t -> + со, i=l,2.
Замечание. В случае, рассмотренном выше, любая интегральная кривая семейства (3.55) входит при <-»- -> + оо в точку Х=0, касаясь луча xs = ias (s = 1, ...,м; т> 0). Любая кривая семейства (3.56) входит в точку X = 0 при t-* + оо, касаясь луча х8 = — та$ (s = 1,... ..., и; т > 0).
Рассмотрим далее систему алгебраических уравнений х8 = Х^\(3.60)
Введем в рассмотрение матрицу
Собственные числа Q обозначим через р,- (хп ..., хп (i = 1, ..., и). Если система (3.60) имеет решение х8 = = b8 (s = 1, ..., п), то она также имеет решение х8 =— b8. При этом Hi (Ьь ..., Ьп) = рг (—Ьъ ..., — Ь^.
Теорема 67. Если система (3.60) имеет вещественное решение х8 = Ь8 и среди величин рг (Ьь..., Ьп) имеются / с положительными вещественными частями: Rep; > Опри I < ^ /, то система (3.43) имеет два семейства решений, каждое из которых зависит от / произвольных постоянных и представимо в форме рядов:
x^-ytba 2К1^1^ЧХпу^х
(м+м,+...+мг>1 s
ХсМ1...с^1уг='),(3.61)
х^ = у(-bs+2 Дм'м^)(lnp)x
I
Х^...^у' J,(3.62)
сходящихся при |у| < у0, |сг| < с0, |уг| < у0. Величины К8'Ml* L^”"’ Mi представляют собой, вообще говоря, полиномы относительно In у, где у — положительная функция аргумента /, являющаяся решением уравнения ^
-^-=у^.(3.63)
at
Величины с0, у0, у0 — положительные постоянные.
Заменим в системе (3.43) t на— /, тогда доказательство настоящей теоремы сводится к доказательству теоремы 65.
Следствие. Общее решение уравнения (3.63) имеет вид
У = У! V Х—Шу^ ,
откуда следует, что положительное число у можно выбрать столь малым, что \у (/)| ^ у0 при t <. 0. Таким образом, если система (3.60) имеет вещественное решение и среди величин р; имеются / с положительными вещественными частями Re рг > 0, t ^ /, то система (3.43) имеет два семейства решений, представимых в форме рядов (3.61) и (3.62), сходящихся при |q| < с0, |уг| < уо, t ^ [0, —оо). Любая интегральная кривая семейства (3.61) обладает свойством Ix^l -■ 0(s= 1, ...,п) при t-»—оо. При этом она входит в точку X = 0, касаясь луча xs = тЬ8. Любая интегральная кривая семейства (3.62) обладает свойством (хр^-^-О (s=l,... ..., и) при t-»— оо. При этом она входит в точку X = 0, касаясь луча х8 = — тЬ8. Если система (3.60) имеет вещественное решение х8 = b8 (s = 1, .... п), то, как и выше (см. теорему 66), можно утверждать, что среди величин рг (Ьъ ... ..., Ьп) имеется по крайней мере одна с положительной вещественной частью pi = 2^.
Теорема 68. Если алгебраическая система (3.60) имеет вещественное * решение, то нулевое решение системы (3.43) является неустойчивым при любом выборе форм Х^, /И >р.
Если система (3.60) имеет вещественное решение, то Р! (blv.., Ьп) = 2й, а тогда можно утверждать, что существуют два семейства решений, каждое из которых зависит от одной произвольной постоянной и представимо в форме рядов:
х^°=у(Ь3+ 2 K^'^VXny^c^yWMA (3.64) м-^мх>\у’
х^=у(-Ь, +2 Ь^'^ЧУпу^уМ+^Л (3.65)
IM-VMt > iг
сходящихся при |с| < с0, |у| ^ у0, / € (— °°> 0]. Согласно следствию из теоремы 67 любая интегральная кривая семейства (3.64) обладает свойством |Xs1) | —^ 0, t->-—оо, s=l,...
п. Аналогично имеем |xs(2) |-> 0,оо, 1, ..., п.
Тогда на основании теоремы 10 можно утверждать, что нулевое решение системы (3.43) неустойчиво при любом выборе ХзЦ), М > р. Это следует из определений § 6 гл. 2 и доказательства необходимости теоремы 7, в котором нс была использована компактность окрестности инвариантного множества.
Приведем пример. Рассмотрим систему
= 2 ^($=1П\ (3.66)
Л1=2^+1
где функции Х^ являются однородными формами степени М относительно величин хг, .... хпс вещественными коэффициентами. Предположим, что Л^гггО при хг = 0(з = 2,... ..., п; / = 2, ..., /г); это означает отсутствие в этих формах члена х^. Предположим, что ряды в правых частях системы (3.66) сходятся при достаточно малых |xs| (s = 1, ..., п). Обозначим через р коэффициент при х^ в форме Х^. Построим для системы (3.66) алгебраические уравнения (3.54) и (3.60). Если р < 0, то система (3.54) имеет решение х3 = 26
= V— lip, хг = 0; i = 2, .... п. В этом случае система (3.66) имеет два семейства решений, каждое из которых зависит от одной произвольной постоянной и представимо в форме рядов (3.58) и (3.59), где следует положить аг = 26
= V— Up, at = 0, i = 2, .... п. При этом каждая кривая семейства (3.58) входит в точку X = 0, касаясь положительной полуоси хъ а каждая кривая семейства (3.59) — касаясь отрицательной полуоси xv Если р > 0, то система (3.60) 2k
имеет решение х1='|/1/р, хг = 0, i = 2, ..., п. Тогда существуют два семейства интегральных кривых, каждое из которых зависит от одной произвольной постоянной и пред- 26
ставимо в форме рядов (3.64), (3.63), где bY = VUp, bt = 0; i = 2,..., n. Каждая интегральная кривая семейства (3.64) входит в точку X = 0, касаясь положительной полуоси хг при t-t— оо. Аналогично, любая интегральная кривая семейства (3.65) входит в точку X = 0, касаясь отрицательной полуоси хг = 0 при t-* —оо. На основании теоремы 68 при р 2> 0 нулевое решение системы (3.66) неустойчиво при любом выборе коэффициентов форм Х$М); Л4 = и + + 1, ... •
Теорема 69. Если система (3.54) несовместна в поле комплексных чисел, то система (3.60) также несовместна в поле
комплексных чисел.
□ Если система (3.60) имеет решение xs = b8 (s = 1, ... ..., /г), то система (3.54) имеет решение х8 = b8V— 1 (s=l, ..., п^ в чем легко убедиться непосредственной подстановкой.
Следствие Если система (3.54) не имеет решений
вида х8 = b8 V— 1 (s = 1,..., /г), где Ь8 вещественно, то система (3.60) не имеет вещественных решений.
Определение 1. Будем говорить, то интегральная кривая системы (3.43) х8 = xs (/) (s = 1, ..., п) имеет определенное направление, если lim|^ = 6Zs при at-^- +оо (s = I,..., /г), где аъ ..., ап— вещественные постоянные.
Величины а^ ..., ап являются вещественным решением ал
гебраической системы.
xs + аХ^ = 0 (s = 1, ..., пу (3.67)
Всякое вещественное решение системы (3.67), отличное от нулевого, будем называть направлением.
Определение 2. Направление аи ..., ап назовем асимптотически устойчивым, если Re (Х3 (а, аъ ..., ап))>0 (s — 1, ..., п). Здесь, как и выше, либо а = -j- 1 [случай системы (3.54)], либо а = — 1 [случай системы (3.60)1.
Сделаем в системе"
-^_ = Х^ (s = l,..., п)dt
замену xs = г (0 [а3 + Уз (01 (s = h •••. n\ т№ Уз W — новые искомые функции, величины аъ ..., ап — асимптотически устойчивое направление, соответствующее а = 1.
Полагая гр = — In z (0, получаем следующую систему для определения функций ys (ty
^s ~ Уз~У аз~У Х^’ (У1 + tii> Уг + й2> •••• Уп + йп) = аф
= 2 Р*’ °2' a^ti^ <3-68) i= 1
+2 рто (s-i-I.
«1+ ••• +^ = 2
Нулевое решение системы (3.68) асимптотически устойчиво при 1->+оо. Обозначим через Л (аъ а^.... а^ область асимптотической устойчивости нулевого решения системы (3.68). Положим
В (а^ ..., а^ = (аь «2,..., а^ + (db ..., dn), (3.69)
где точка ^dlt d2, ...,dn) Е Л. Рассмотрим случай, когда система (3.43) асимптотически устойчива и при этом каждая О+-кривая имеет определенное направление. Тогда возможны два варианта:
существует конечное число вещественных решений системы (3.67) при а = 1;
существует бесконечное число вещественных решений системы (3.67) при а = 1.
В этих случаях система (3.67) нс имеет вещественных решений при а = — 1.
Теорема 70. Для того чтобы нулевое решение системы (3.43) было асимптотически устойчивым при любом выборе форм XksM^> М > р и чтобы любая интегральная кривая имела направление, причем число таких направлений было бы конечно, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
система (3.67) имеет конечное число вещественных решений при а =-- 1;
замыкание суммы областей В (а^ ..., ак\ распространенной на все асимптотически устойчивые направления покрывает /г-мерную сферическую окрестность точки ^ = = Х2 = ...= хп - 0.
Доказательство следует из теоремы 65 и предыдущих рассуждений.
Замечание. Если функции (3.45) ограничены при Ф Е (— оо, +оо), то существует О-кривая системы (3.43) и, более того, среди величин ръ ...,рп имеется по крайней мере одна положительная рг = 26.
Решим вопрос об устойчивости для системы двух уравнений.
Теорема 71. Если система уравнений (3.67) при а = 1, п = 2 имеет вещественное ненулевое решение, то для асимптотической устойчивости нулевого решения системы (3.43) при п = 2 необходимо и достаточно, чтобы система (3.67) при п = 2, tz — —I не имела вещественных решений, отлич-
1, ..., рп — характеристичные числа системы (3.46), которую здесь считаем приводимой.
ных от нулевого, и, кроме того, чтобы нулевое решение системы (3.43) было изолированным, т. е. чтобы система
4=Х^^ х^,atat
имела единственное положение равновесия хй = хх = 0.
Доказательство настоящей теоремы может быть получено из теорем 65 и 11.
Рассмотрим систему
5^=Х^ <1 = \Д\(3.70)
По предположению, эта система имеет, как следует из теоремы 64, семейство интегральных кривых, входящих при /-»- —|—оо в точку хй = хг = 0, причем каждая интегральная кривая этого семейства имеет определенное направление. Если система (3.70) имеет интегральные кривые, входящие в точку х2 = Xt = 0 при t-=>— оо, то либо эти интегральные кривые имеют определенное направление, либо являются спиральными кривыми. Первое невозможно в силу предположения, второе — на основании единственности решений системы (3.70), так как спиральные кривые пересекались бы с интегральными кривыми, входящими в точку х2 = х2 = 0 при /-> + оо. Тогда, как следует из теоремы 11, нулевое решение системы (3.70) асимптотически устойчиво. Отсюда имеем, что нулевое решение системы (3.43) при и = 2 также асимптотически устойчиво (см. § 3 гл. 2).
Вернемся теперь к вопросу об устойчивости в сомнительных случаях, о которых шла речь в § 4, 5 гл. 2.
Предположим, что алгебраическая система (3.67) имеет вещественное решение xs = bs (s = 1, ..., п), которое является асимптотически устойчивым направлением. Всюду далее будем считать, что правые части системы (3.43) заданы при / g (—оо, +оо). При этих предположениях система (3.43), как это было показано в теореме 69, имеет семейство интегральных кривых, представимых в форме сходящихся рядов (3.61) и (3.62) при I = п. Положим, например, в (3.61) Ci = с2 = ••• — сп = 0. Полученные в результате этого функции обозначим через х3 (/). Сделаем в системе (3.43) замену х3 = |s + х3., Тогда для определения функций gs получим систему уравнений
1 = 1^1+- • • +'^ = 2
(3.71)
Система (3.71) имеет нулевое решение, асимптотически устойчивое при t-^оо равномерно по /0 < 0. Функции Qs™'m,l) (0 заданы, вообще говоря, лишь при / 6 £(—оо, т], 0 < т< + °о. Модули этих функций претерпевают сколь угодно малые изменения, если коэффициенты форм Х$т) (т > р), стоящих в правой части системы (3.43), изменяются на достаточно малые величины. Поэтому вне зависимости от малых изменений коэффициентов форм Х^ можно указать область |S | < г, Z < 0, г > 0 такую, что любая,интегральная кривая системы (3.71), начинающаяся в этой области, обладает свойством В (/, Н<°>, /0) -> 0 при ^-»—оо. Следовательно, какую бы величину 8 < г ни взять, по величине /0 < 0 можно указать 6/0 > 0 такое, что в области |Е|<6/0 существуют точки такие, что |Е(/, Е(о\ /0)| = е при / = 0. При этом б;0 -> 0 при /0-»—оо. Положим
при f = 0.при f = 0.
при f = 0.
при f = 0.
Из приведенных выше рассуждений следует, что по любому е >0, е < е, е < г и для любого /0 < 0 в области \Х — — Х| < 6f0 можно указать точки Х^, что \Х (t,X(0\ /°)| ^ ^ е — е, где X (t, Х^, /0) — решение системы (3.43). Из этого следует, что какое бы 6Х > 0 ни взять, можно указать точки Х<°> такие, что |Х<°>| < бь и такие значения t0, что X (/, Х<°\ Zo) > е/2 при /=0. При этом множество таких точек Х(о> и значений параметра t0 можно считать неизменным при достаточно малых изменениях коэффициентов форм ХТ\ т. > р. Рассмотрим теперь вновь систему (2.69), которая в § 4 гл. 2 преобразованием, не нарушающим вопроса об устойчивости, была сведена к системе вида (2.81). Из приведенных выше рассуждений и теоремы 46 получим следующее утверждение.
Следствие. Если система алгебраических уравнений xs =- Х*0,(ц) (s — 1,..., /г) имеет вещественное решение, которое является асимптотически устойчивым направлением, то нулевое решение системы (2.69) неустойчиво. Тот же результат имеет место для системы (2.99), если система уравнений ps = R^w (ръ ..., pft) (s = 1, ..., &) имеет вещественное решение, которое является асимптотически устойчивым направлением. Сформулируем теперь ряд общих замечаний, относящихся к решению вопроса об устойчиво-
сти нулевого решения систем (2.69) и (2.99). Рассмотрим вновь систему (2.69). Будем считать, что она приведена к виду (2.71). Сделаем теперь над системой (2.71) преобразование, не нарушающее устойчивости
x,-2s+ 2 Z^ (s= 1, ..., к), (3.72) m = 0
где функции Z^ являются однородными формами степени т относительно новых искомых функций zb..., zh с произвольными аналитическими коэффициентами относительно Ль-.., Лп, подлежащими определению и обращающимися в нуль при t]i = i]n = 0. Как следует из рассуждений, приведенных в § 4, гл. 2, систему (2.71), выбирая коэффициенты форм Zsm\ можно привести к виду •
dzsdtdzsdtх<«ц21, ...,4) + 2 ^m) m — N-Vlх<«ц21, ...,4) + 2 ^m) m — N-Vld^j _ dtd^j _ dtn'21Pji4i-VVj(z1,...)zk,T\u i—\n'21Pji4i-VVj(z1,...)zk,T\u i—\-Чп)-Чп)(з= 1kY(3.73) (/=!")•(з= 1kY(3.73) (/=!")•
dzsdt
dzsdt
х<«ц21, ...,4) + 2 ^m) m — N-Vl
х<«ц21, ...,4) + 2 ^m) m — N-Vl
d^j _ dt
d^j _ dt
n
'21Pji4i-VVj(z1,...)zk,T\u i—\
n
'21Pji4i-VVj(z1,...)zk,T\u i—\
-Чп)
-Чп)
(з= 1kY
(3.73) (/=!")•
(з= 1kY
(3.73) (/=!")•
Если положить N =+oo, то получим, что первая группа уравнений в системе (3.71) принимает вид
= Х<» (zv ...,zh)(s=Y kY (3.74)
Функции V}0) = Vj (?!,..., zh, 0, .... 0) являются формально аналитическими относительно величин Zi,..., zh. Их разложения в действительности начинаются с форм порядка v ^ ^ ц + 1. В § 4 гл. 2 было показано, что в результате ряда преобразований можно получить из системы (3.73) систему, в которой Vj = v + / (р — 1). Полагая / = -j-oo, получаем преобразование
П) = Hi + 2 “я ^ь -. zkY(3.75)
которое вторую группу уравнений в системе (3.73) преобразует к виду
^-=2 р^У1 + 2 Y^ ^ -*у-г^ --г^’ (3-76) /=1т=\
где функции У^ — однородные формы степени т относительно величин У1,..., Ут коэффициенты которых представ
ляют собой ряды по степеням величин 2Ь..., 2к. Функций Ujt в преобразовании (3.75) являются аналитическими относительно 2Ь .... 2к и удовлетворяют некоторым алгебраическим уравнениям, приведенным в § 4 гл. 2. Если преобразования (3.72) (N = +°°) и (3.75) не формальные, т. е. ряды сходятся в некоторой достаточно малой окрестности точки гх = ...^ 2к = тц = ...= т]п = 0, то ряды в правых частях системы (3.76) также сходятся. В этом случае нулевое решение системы (2.69) является устойчивым, асимптотически устойчивым, неустойчивым тогда и только тогда, когда будет соответственно устойчивым, асимптотически устойчивым, неустойчивым нулевое решение системы (3.74).
Для системы (2.99) можно указать такие же преобразования, приводящие задачу об отыскании устойчивого нулевого решения этой системы к задаче того же вида для системы (3.74). Таким образом, теперь возникает задача показать, что преобразования (3.72) и (3.75) не являются формальными, или указать те условия, при которых эти преобразования не будут формальными. Впервые на факт зависимости решения вопроса об устойчивости нулевого решения систем (2.69) и (2.99) от решения аналогичного вопроса для системы (3.74) указывал А. М. Ляпунов. Ряд общих теорем был сформулирован проф. И. Г. Малкиным [27].
Глава 4
ИССЛЕДОВАНИЕ ВОПРОСА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ИНВАРИАНТНЫХ МНОЖЕСТВ ОБЩИХ СИСТЕМ
§ 1, ОБЩИЕ СИСТЕМЫ. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
777" =7* Ui%„,/) (S(4.1)
at
правые части которой заданы при / > 0 и X g Еп и удовлетворяют некоторым условиям, при которых существует решение Х^Х (/, Х(0\ /0) и /^/о^О> ^(0) € Еп. Будем считать, что каждое такое решение определено при всех t^ t0 и таково, что X (^ Х<°> t0)->X^ при /->/о+О, при этом через точку (Х(0), /0) может проходить бесконечное множество решений системы (4.1), обладающих указанными свойствами. Условимся далее через р\й ^Х^^ обозначать совокупность точек, принадлежащих всем таким решениям в некоторый фиксированный момент t ^ /0. Пусть Ft0 ^Х^ ->- Х<°> при + 0.
Будем F1^ (Х(0)) называть движением, а совокупность всех точек, принадлежащих этому движению при t ^ /0,— траекторией этого движения. Приведем основные свойства, которыми обладает движение.
Для любого Х(0> Е Еп множество элементов F^ (Х<0)) Е Еп определено при любом / ^ /0.
° 2) ^0 (Х<0>) -> XW при /0 + 0.
Пусть Х(1> — некоторая точка множества Г/* (Х<0>), тогда согласно свойству 1 определено движение F^ (Х(1>), при этом ^ Fl ^Х^ = Fl (Х<°>) при 1^1г по Ж1» €
Третье свойство движения следует из определения самого движения как совокупности концов интегральных кривых, рассмотренных в момент /, каждая из которых проходит через точку (XW, t0).
Совокупность движений Ft, (Х<°>) изображает двупараметрическое семейство преобразований Еп на себя, определенное при всех / ^ /0 ^ 0 и обладающее свойствами 1—3. Такое двупараметрическое семейство преобразований Еп на
себя будем называть общей системой в Еп. Если правые части системы (4.1) непрерывны, то она имеет решение X = = X (t, Х(0), ^0) при любом Х^ £ Еп, определенное при некоторых / ^ /0 0. Если каждое решение системы (4.1) существует при всех / ^ /0, то (4.1) определит в Еп общую систему. Если окажется, что при непрерывных правых частях системы (4.1) не все ее решения определены при /> ^ /о ^ 0, то> выполняя замену независимой переменной по формуле
ЦХ(т, X^J^dx,
dxkdsdxkdsк(хъ ..., хп, t),к(хъ ..., хп, t),(4.2)(4.2)получаем систему
dxkds
dxkds
к(хъ ..., хп, t),
к(хъ ..., хп, t),
(4.2)
(4.2)
правые части которой определены при / ^ 0 и X С Еп. При этом любое решение системы (4.2) определено при всех s ^s0 ^ 0. Таким образом, система (4.2) определит в пространстве Еп двупараметрическое семейство преобразований К, (Х<°>), обладающее свойствами 1—3. Следовательно, если правые части системы (4.1) непрерывны, то с ее помощью всегда можно определить общую систему в Еп. Приведем теперь пример двупараметрического преобразования функционального пространства на себя. Рассмотрим для этого систему дифференциальных уравнений в частных производных
т" = fs I ^i, • • ч ^л> “i> ..ч ^п, —-,...,/)(4.3)
at \ох, /
(s = 1, ..., п; i = 1,..., п; j = 1, ..., к\
правые части которой заданы при / ^ 0 и при
где G — некоторая область Af-мерного пространства. Предположим, что существует некоторое функциональное пространство Ф векторных функций ф = (фх (хь ..., х^, ..., ...,фп (х!,...,^)) таких, что приф £ Ф система'(4.3) при любом /0 ^ 0 имеет решение U (t, ф, /0), определенное при / ^ /0, U (t, <р, /0) € Ф при Е> t0, U (t, ф, /0) -> ф при / -> /0 +
+ 0. Элемент ф пространства Ф и положительная величина /0 могут определять не одно решение U (/, ф, /0), обладающее указанными выше свойствами. Каждое такое решение в некоторый момент t ^ t0 принимает определенное значение из Ф. Совокупность значений, принимаемых всеми такими решениями, обозначим через Ft, (ф), т. е. какое бы решение системы (4.3) U (t, ср, /0), определенное условием U (t, ср, ^о) Ф ПРИ ^ ~ ^о + 0, ни взять, окажется, что U (t, ф, 4) £ F\, (ф) при любом t ^ /0. Будем Ft, (ф) называть движением, а множество всех точек Ft, (ф), t € [/0,4-°°) — траекторией этого движения. Отметим основные свойства движения:
для любого ф С Ф и любого /0 ^ 0 определено множество Ft, (ф) 6 Ф при всех / ^ 4;
Ft, (ср) Ф при 4 + 0;_
пусть ф — точка пространства Ф такая, что ф £ ^р\\ (ф), тогда определено движение Ft, (ф) такое, что ^Ft, (ф) = F\, (ф) при t > tx по ф 6 FV, (ф).
Покажем, что имеет место свойство 3. Действительно, множество F^ (ф) представляет собой совокупность точек пространства Ф, расположенных на решениях задачи Коши для системы (4.3), определенных следующими условиями: U (t, ф, 4) Ф при t-> t0 + 0, U (/, ф, 4) -> ф при t-*- ->4 + 0. Множество Ft, (ф) представляет собой совокупность точек пространства Ф, принадлежащих решениям задачи Коши для системы (4.3), определенных только условием U (t, ф, 4) -> ф при t-> t0-V 0. Поэтому имеет место соотношение (J Fltl (ф) = F/o (ф) при t ^ tx по ф Е Ft‘ (ф). Совокупность движений F*, (ф) представляет собой двупараметрическое семейство преобразований пространства Ф на себя. Это семейство преобразований, обладающее свойствами 1—3, будем называть общей системой в пространстве Ф. Перейдем к изложению теории в общем случае. -
Определение 1. Будем говорить, что в метрическом пространстве R задана общая система, если определено f <0 — двупараметрическое семейство преобразований R на себя, обладающее следующими свойствами:
для любого р Е R и t0 ^ 0 определено множество Ft, (р) <= R при t ^ t0, Ft, (р) не пусто;
Ft, (р) -> р при t-* t0 + 0*;
для любого элемента рх ^ F1^ (р) определено множество F*. (рг) такое, что
^F((i(p1) = Fttt(p) при^^ по Px^F^pY
Будем в дальнейшем Ft, (р) при закрепленном р называть движением, а совокупность всех точек, принадлежащих движению при / ^ /0 — траекторией этого движения. Множество М cz R назовем инвариантным множеством общей системы, если М состоит из траекторий общей системы. Дадим более точное определение инвариантного множества.
Определение 2. МножествоМ называется инвариантным по отношению к общей системе, если из р С М следует, что F (t0, р) cz М при любом /0 ^ 0. Здесь через F (/0, р^ обозначена траектория движения Ft, (р). Положим далее
Р(Л Ро, М = SUP Р(Р М).
Введем понятие устойчивости инвариантного множества общей системы, расположенной в метрическом пространстве.
Определение 3. Инвариантное множество М общей системы в R называют устойчивым, если для любого е > 0 можно указать величину 6 > 0 такую, что при р (р0, Л4) < б имеет место неравенство р (Л р0, t0) <_ е при t ^ ^ /0 ^ 0. Если, кроме того, р (/, р0, /0) -* 0 при / -> + оо, то инвариантное множество М называют асимптотически устойчивым. ,
Определение 4. Асимптотически устойчивое инвариантное множество М общей системы в R называют равно» мерно асимптотически устойчивым, если существует величина бъ соответствующая некоторому ех (определение 3), такая, что р (/, р0, Q -> 0 при / — /0 -> + оо равномерно по tQ ^ 0 и р (р0, Л4) < бх.
Замечание. Точно так же, как это было сделано в § 10, можно показать, что существует непрерывная строго монотонно убывающая от + оо до 0 функция L (т), заданная при т € (— оо, + оо) и такая, что р (/, р0, /0) < А (/ — /0) при р (р0, At) < бх. Действительно, положим X (/ — /0) = = sup р (t, р0, toy
р (р„. М) <61
Ясно, что X (/—t^ -> 0 при / — /0 ->- + оо. Используя тот же прием, что и в §10, можно построить функцию L, обладающую указанными выше свойствами.
Определение 5. Асимптотически устойчивое инвариантное множество М называется равномерно притягивающим, если для любого А > 0 можно указать величины Т > 0 и а > 0 такие, что р (7, р0, /0) > а при 0 < / — — 70 ^ Т и h ^ р (р0, УИ) ^ 62, где б2 — положительная величина, соответствующая некоторому е2 > О (определение 3).
Определение 6. Инвариантное множество М называется неустойчивым, если существует некоторая величина е > 0 такая, что при любом 6 > 0 можно указать точку ро и число 4 > 0 такие, что для некоторого / > 70 имеют место неравенства р (р0, М) < 6 и р (Z, р0, /0) ^ е.
В настоящей главе будут приведены условия, при которых инвариантное множество 714 обладает тем или иным свойством устойчивости или неустойчивости, а также дан метод, позволяющий оценивать функцию р (f, р0, tb\ Первое свойство общей системы, вообще говоря, довольно жесткое, так как при решении, например, задачи Коши для систем уравнений в частных производных имеет место иногда следующий факт: задача Коши разрешима, например, для системы (4.3) при ф £ Ru где ф — векторная функция переменных %i,..., хк1 которой отвечает решение U = U (ф, /, /0) системы (4.3), обладающее свойством U -> ф при /0 + 0. Однако U (ф, /, /0) 6 R ПРИ t > t^ гДе R — некоторое функциональное пространство, содержащее в себе совокупность функций Rv В случае общей системы имеем R = 7?Р Поэтому далее будем рассматривать также такие двупарамет* рические семейства операторов Т7^, которые определены при t ^ /0 на любом элементе р0 £ Rb а значения их попадают в R, где R — некоторое метрическое пространство, RT cz R— его подмножество. Такие двупараметрические семейства операторов будем называть в дальнейшем неполной общей системой, так что неполная общая система обладает вторым и третьим свойствами общей системы. Для случая неполной общей системы инвариантное множество М будем считать подмножеством R^ Все определения, данные в этом параграфе об устойчивости инвариантного множества, непосредственно переносятся на случай неполной общей системы. В этих определениях каждый раз следует лишь оговаривать, что движения р\й (р0) существуют лишь при р0 £ 6 R^ или же ро € Н, (pi).
§ 2. УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ ИНВАРИАНТНОГО МНОЖЕСТВА М ОБЩЕЙ СИСТЕМЫ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В настоящем параграфе будут приведены условия, при которых инвариантное множество М обладает свойством устойчивости или неустойчивости, а также предложен способ, позволяющий для некоторых общих систем оценивать функцию pj/, р0, t0) с помощью семейства функционалов. Рассмотрим однопараметрическое семейство функционалов Vt, зависящих от параметра / ^ 0. Предположим, что для любого элемента р 6 G с: R определена функция Vt (р) вещественного переменного t, заданная при / ^ 0. Пусть, далее,
V(t,p0,t0^ sup Vt(n). (4.4)
PGP* (p0)
Теорема 72. Для того чтобы инвариантное множество М общей системы в R было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы существовало однопараметрическое семейство функционалов Vt, обладающее следующими свойствами:
на любом элементе р из некоторой окрестности S (М, г) множества М определена функция Vt (р) вещественного аргумента t, заданная при / ^ 0;
для любого достаточно малого сх > 0 можно указать величину с2 > 0 такую, что Vt (р) > с2 при р (р, М) >- сх и всех t > 0;
Vt (р)-*- 0 равномерно относительно / ^ 0 при р (р, М) 0;
функция V (t, р0, /0) не возрастает при всех t ^ /0, для которых она определена.
Необходимость. Предположим, что множество М устойчиво. Тогда по е > 0 можно указать величину 6 > 0, такую, что при р (р0, М) < 6 будет р (/, р0, /0) < в при / ^ /0- Положим
Vr.(p0)«sup p(t,p0, /0)Vr.(p0)«sup p(t,p0, /0)(4.5)(4.5)
Vr.(p0)«sup p(t,p0, /0)
Vr.(p0)«sup p(t,p0, /0)
(4.5)
(4.5)
при р (р0, М) < 6. Равенство (4.5) определяет семейство функционалов, зависящее от одного параметра / ^ 0, которое на любом элементе р0 € 8 (М, б). Из (4.5) следует, что Vto (ро) ^ Si при р (ро, М) < 6Ъ где 6j < б — некоторая положительная величина, соответствующая, согласно определению 3 § 1 гл. 4, взятому ех > 0. Отсюда имеем, что семейство функционалов Vt, определенное равенством (4.5), обладает свойством 3. Кроме того, Vt0 (р0) ^ Р (Ро> М),
следовательно, семейство функционалов Vt обладает также свойством 2. Покажем теперь, что имеет место свойство 4. Возьмем некоторую величину ^ > /0. Рассмотрим выражение р (/, р, у, где р £ F^ (р). В силу свойства 3 общей системы имеем Ft, (р) с: Ft, (р0) при / ^ ^ и любом р 6 Ft* (р0)- Поэтому Р (/, Р, t^ ^ Р (/, р0, /0) При t"^ tx и любом Р € Р** (р0). откуда получаем Vt, (р) = sup р (t, р, У ^
^ sup р (/, о0, /0) < Vt (рЛ, Таким образом, при любом t^t,
элементе р ^ р\*, (р0) имеем Vt, (р) < Vt, (р0), откуда
sup Vt, (р) = V Ux, р0, t0) ^ Vt, (р0)
Р е f4 (р„)
<0
при любом tx ^ /0- Отсюда следует, что построенное семейство функционалов обладает также свойством 4.
Достаточность. Предположим, что существует семейство функционалов Vt, зависящее от параметра / ^ О и обладающее свойствами 1—4, приведенными в теореме 74. Покажем, что инвариантное множество М устойчиво. Возьмем е >» О и е < г/2. Положим X = inf Vt (р) при р (р, Л4) ^ е и р (р, М) С г/2. Выберем величину 6 так, чтобы при р (р, Л4) < 6 и / ^ О имело место неравенство Vt (р) < X. Покажем, что величина 6 соответствует, согласно определению 3 § 1 гл. 4, выбранному е. В силу условия 4 имеем Vt, (р0) ^ V (t, р0, /0), откуда следует, что при р (р0, Л4) < 6 справедливо неравенство V tt, ip, ро) < X при t ^ 1й. Пусть существует момент t > > tQ такой, что р (/, ро, t0) "/5s е. Тогда при этом V (t, р0, to) > X, что невозможно, так как имеет место противоположное неравенство при любом выборе величины t ^ tQ и для любого ро € S (М, 6). Таким образом, теорема доказана.
Замечание. Функция трех аргументов р (t, р6, t^ может не быть, вообще говоря, непрерывной при t ^ t0, поэтому может не существовать таких значений t, при которых е < р (t, р0, t0) ^ г/2 для некоторого р0 € S t,M, 6). В этом случае доказательство теоремы останется в силе, если считать, что семейство функционалов определено и вне множества S (УИ, г/2). Например, можно положить Vt (р) = 1 при р ^ S (М, г/2), р £ М и Vt (р) = 0 при р ЕЛ4. Таким же образом можно распространить на все пространство R семейство функционалов, построенное при доказательстве необходимости условий 1—4 теоремы 72.
Теорема 73. Для того чтобы инвариантное множество М общей системы в R было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы существовало однопараметрическое семейство функционалов Vb обладающее следующими свойствами:
выполнены все условия теоремы 72 для семейства Vt\
функция V (t, pQ, /0) -> 0 при /->- + 00 для любого Ро € S (Л4, 6), где 6 — некоторая положительная величина.
□ Необходимое ть. Пусть инвариантное множество М асимптотически устойчиво. Тогда оно просто устойчиво. Поэтому, как следует из теоремы 72, существует семейство функционалов, определенное равенством (4.5), обладающее свойствами 1—4 этой теоремы. Покажем, что построенное с помощью равенства (4.5) семейство функционалов удовлетворяет условию 2 настоящей теоремы.
По числу^е > 0 укажем 6 > 0 такое, что при р (р0, М) < < 6 имеет место неравенство р (/, р0, /0) < 8 при ^ ^о и, кроме того, р (/, р^ /о)~^О ПРИ ^->+ 00• Поэтому для любого 6Х, соответствующего некоторому ех на основании определения 3 § 1 гл. 4, укажем величину 7 > О такую, что Р (^, Ро, ^о) < ^ при t — T. Тогда р (/, р, Т) < ех при t^T ддя любого р б Ft0 (poY следовательно, Vt (р) = — sup р (р р, 7)^ 8Ь поэтому V (/, р0, /0) = sup V? (р) < еи
t^T
при р ^ F1^ (р0), t=T, тем более это неравенство имеет место при t ^ Т, так как установлено, что функция V (/, р0) /0) не возрастает. Таким образом, условие 2 выполнено.
Достаточность. Пусть условия теоремы выполнены, тогда, как следует из теоремы 72, множество М устойчиво. Поэтому по величине е > 0 можно указать величину б > О такую, что при р (р0, Л4) < 6 имеет место неравенство р (р р^ /0) < е при t ^ /0. Далее, возможны два случая: *
^ 1) либо р (/, Ро, /0) 0 при + оо;
; 2) либо р (/, р0, ^о) > У (Ро) > ° ПРИ t ^ ^о*
• Действительно, пусть последнее не имеет места. Покажем тогда, что р (/, ро, /о) 0 при /-> + оо. По величине е/укажем 6г такое, что р (f, р0, /0) < 8ь ^ ^ ^о при р (р0, М)< < 6р По величине 6Ь можно указать величину Т > 0 такую, что р (Т, pQ, /0) < Sf, тогда р (/, р, Г) < ?! при t ^ Т для любого р ^ F^ (ро). В этом случае р (/, ро, ^o)^8i при t > Т. Таким образом, р -> 0 при ^-> + оо. Предположим теперь, что существует движение общей системы Р^ (р0) такое, что
Р4, Ро, 4) > Т (Ро) > о. Тогда V (/, р6, /0) > V1 > 0, что противоречит условию 2 настоящей теоремы.
Теорема 74. Для того чтобы инвариантное множество М было равномерно асимптотически устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы существовало однопараметрическое семейство функционалов Vt, обладающих следующими свойствами:
выполнены все условия теоремы 73;
функция V (/, ро. t^ -> 0 при / — /0 -> +оо равномерно относительно /0 ^0 и при р (р0, М) < 6.
Необходимость. Пусть инвариантное множество М равномерно асимптотически устойчиво. Тогда множество М устойчиво. Поэтому существует семейство функционалов, определенное равенством (4.5). Покажем, что И (Л Ро» 4)0 при t — /0 -> 4- оо равномерно относи
тельно /0 ^ 0 и р (/?0, Л4) < 6. Напомним, что
sup VM-
ре pt (р^
По условию теоремы, функция р (/, pOl tQ) -> 0 при t — — ^о-^4* 00 равномерно относительно ^0 ^0 и р (р0) М) <6. В силу этого по величине ех > О можно указать величину 6] > 0, соответствующую е^ согласно определению 3 § 1 гл. 4, такую, что р (/, р0, /0) < 6Х при t — Т 4- ^о- Тогда Р (4 Р, Т + /0) < 8! при t > Т + 4 И любом Р Е ^ГЛ'" (рйУ На основании этого р (4 р0, /0) < ех при t ^ Т + 4- Но
Г(4р0, 4) = supVt(p)= sup sup р(т,р,О.
pe f1 vp^ре е1 tp„^>t>T+t6
tot0
Отсюда V (/, po, 4) < 8i ПРИ / ^ T + 4- Таким образом условие 2 настоящей теоремы выполнено.
Достаточность. Пусть условия теоремы выполнены. Покажем, что множество М равномерно асимптотически устойчиво. Пусть функция р (4 р0, t0) -*■ 0 при /—(0-> + со, но неравномерно относительно 4^0 при р (р0, /И) < бъ где 6t — достаточно малое положительное число. Тогда существует по крайней мере одна величина h > 0 такая, что можно указать последовательность точек рок Е S (М, 6J, последовательность величин tOh ^ О и последовательность th > ^oft ^ 0 таких, что р (/, Рок» ton) > h при t Е [^оа, 4L 4 — tou -> + 00, ^ -> + °°; тогда V (t, рок, toh) > hi>0 при / E (4. 4L что невоз-
можно, поскольку V (t, р0, /0) -*■ 0 равномерно относительно /0 > 0 и р (ро, М) < 6.
Теорема 75. Для того чтобы инвариантное множество М было равномерно притягивающим, необходимо и достаточно, чтобы существовало однопараметрическое семейство функционалов, обладающее следующими свойствами:
выполнены все условия теоремы 73;
по любому достаточно малому к 2> О можно указать величины 7 > О и а > О такие, что V У, р0, t0) > а при t € € 1^о» ^ + 7], /0 ^ О и к < р (ро, М) < 6, где 6 > к — достаточно малая величина.
Необходимость. Предположим, что множество М является равномерно притягивающим. Тогда множество М асимптотически устойчиво. Поэтому равенство (4.5) определяет семейство функционалов, обладающих всеми свойствами, указанными в теореме 73. Кроме того, по величине к в силу определения 5 § 1 гл. 4 можно указать величины 7 > 0 и а > 0 такие, что р (t, р0, 1^ > а при t £ (to, t0 + 71 и р (р0, /И) ^ к. Из (4.4) имеем
V(t,p0,tti)= sup sup р(т, р, /)^а ■ Р Е F< (Ро)
при t — t0 < 7, откуда следует выполнение условия 2 теоремы 75.
Достаточность. Пусть существует однопараметрическое семейство функционалов Vt, удовлетворяющих всем условиям теоремы 75. Из условия 1 следует, что множество М асимптотически устойчиво. Покажем, что оно является также равномерно притягивающим. Пусть это не так. Тогда существует по крайней мере одна достаточно малая положительная величина к такая, что можно указать последовательность точек рок, р (рок, М) ^ к и последовательность чисел tOk и Тк таких, что р (7ft + toh, Рок, tnh)-^Q при к-*- + оо. При этом Тк < 7, где 7 может быть любой сколь угодно малой положительной величиной. Тогда, поскольку Vt (р) ->- 0 равномерно относительно t ^ 0, при р (/?, М) -> О имеем V (tok + Тк, рок, tOk) 0 при к +оо, что противоречит условию 2 теоремы 75, так как р (j)Ok, М) ^ "^ к, а Тк <L Т. Тем самым теорема 75 доказана.
Пусть теперь общая система, определенная в R, такова, что Flt0 (р) при любом t ^ t0 есть одноточечное множество и непрерывно по t. _
Теорема 76. Для того чтобы инвариантное множество М было равномерно асимптотически устойчивым и равномерно притягивающим, необходимо и достаточно, чтобы существо-
вало два семейства функционалов Vt и Фь обладающих следующими свойствами:
при любом р Е S (М,^, г>0, достаточно малом, определены величины Vt (р) и Ф< (р), являющиеся функциями вещественного аргумента t ^ 0;
при любой достаточно малой величине q > 0 можно указать положительные величины с2 и с3 такие, что Vt (р) < < — с2, а Фг (,р) > с3 при р (р, М) > сг и ^ 0;
Vt Со) -*■ 0 и Ф( (р) -> 0 при р (р, /И) 0 равномерно относительно / ^ 0;
4)4-V(t,Po,^= Ф(Рро,<о). (4.6) at
Необходимость. Пусть множество М является равномерно асимптотически устойчивым и равномерно притягивающим. Тогда, как было показано, существует функция L(t), заданная при т Е (—00, +°°), непрерывная, строго монотонно изменяющаяся от +°° до 0 и такая, что при р (р, М) < 6ц имеет место неравенство L (/ — /0) > > р (Л Ро» to) при t ^ Zo. Построим функционал Ф = = р (р, М) e~L (р(р‘ М)\ Этот функционал обладает всеми свойствами, указанными в теореме. Положим далее
v(F‘te(Ро), t)=- "j"Ф(F£ (р0))dr и t > t6.(4.7)
t
Формула (4.7) определяет вдоль движения р\й {р^ функционал, обращающийся при / = /0 в ^0 (Ро) при р (ро) М) ^ 61в Действительно, V (Ft0 (р0), t) ^ — ех ^о-^, где 8г — некоторая положительная величина, которой соответствует 6Х согласно^ определению 3 § 1 гл. 4. Из полученного выше неравенства следует, что Vto (ро)>—ei при /0 ^ 0 и Р (Ро» М) <_ дь что означает выполнение условия 3 теоремы 76.
Из выражения (4.7) имеем
-^v^p,), t)=O(F‘e(Pti)\
Покажем теперь, что семейство функционалов Vt, определенное формулой (4.7), удовлетворяет условию 2 теоремы 76:
VtAPo)^ - J Ф(^о(р0))4/т^— J Ф(^о(р0))(/т. to to
По величине Л, в силу того что множество М является равномерно притягивающим, можно указать величины Тиа такие, что р (/, р0, /0) > а при t £ [/0, /0 + Г), и р (р0, М) ^ > h. Тогда Ф (Ft0 (р0)) > р при t € [/0, /0 + 7], где Р — достаточно малая положительная постоянная. Тогда имеем Vt, (р0) ^ — р7 при р (р0, М)>» h и для любого / ^ 0. Тем самым необходимость условий доказана.
Достаточность. Пусть существуют два семейства функционалов, удовлетворяющих условиям теоремы 76. Семейство функционалов — Vt удовлетворяет всем условиям теоремы 72, поэтому множество М устойчиво. Пусть существует движение 7', (р0), Р (р0, М) <6, где 6 > 0 достаточно мало и соответствует некоторому к > 0 в силу определения 3 § 1 гл. 4 такое, что р (/, р0, ^) > Y > 0- Тогда на этом движении имеем неравенство Ф (/, р0, /0) > 0 > 0 при / ^ t0. Далее имеем V (t, р6, /0) > (* — 4) ₽ + Vt, (/?0), что невозможно, так как V (t, р0, t0)-< 0 при t ^ /0. Отсюда следует, что любое движение 7<0 (р0) обладает при р (р0, Л4) < 6 свойством р (/, рй, /0) -> 0 при t — tQ -> + оо и притом равномерно относительно t0 ^ 0 и р (р0, Л1) < 6. Покажем теперь, что множество М является равномерно притягивающим. Пусть это не так. В этом случае существует достаточно малое число /г>0 такое, что при р (р0, M)>-h. и любом 7 > 0 имеем
inf p(t, РоЛ^—О, t0>0, р(р0, M^h, t Е [/„, f„+T]
и существуют последовательности tok, tk, рок такие, что Р Vk» Pohi toh) 0 при к-* +оо. Из формулы (4.7) имеем
4-00
Vt. (ро) = J — ф (т, р0, /0) йт.
Положим t0 = t9k, pg = рок. Разобьем интеграл в правой части на три интеграла
Vtjpo) = J —Ф(т, Ро, t^dx-Vf — Ф(т, р0, t0)dx.
ioto+T Т,
Эти интегралы можно сделать сколь угодно малыми: первый — в силу выбора числа Т; второй — выбирая рок, tok с достаточно большим номером к; третий — выбирая Тг достаточно большим. Тогда получим, что существует величина к0 (е), обладающая свойством: — V( ft ipou) < в при к ^
^ &о (е) и Р (Рок, M^>h, а это противоречит свойству 2. Таким образом, теорема доказана.
Замечание. В случае, когда общая система в метрическом пространстве обладает только свойствами 1—3 (см. определение 1 § 1 гл. 4), можно также сформулировать теорему, аналогичную теореме 76.
Теорема 77. Для того чтобы инвариантное множество М было неустойчиво, необходимо и достаточно, чтобы существовали два семейства функционалов Vt и Wt, обладающие следующими свойствами:
на любом элементе р € 5 (Л4, г), г >> 0 определены функции Vt (р) и Wt (р) при / > 0;
функция Vt (р) ограничена при / б Ю, +°о) и р 6 € S (М, г);
для любого 6 > 0 можно указать точку р0 и значение параметра t0 такие, что Vt. (р0) > 0, р (р0, М) < 6;
^ V (/, р0, /0) = XV (/, р0, /0) + W (t, р0, Q, Wt (р) > ^ 0, X = const > 0.
Необходимость. Возьмем е > 0, о котором идет речь в определении неустойчивости множества М. Пусть точка р 6 S (М, е). Если р (t, р, /0) < е при t ^ /0, то определим Vt (р) так, чтобы имело место равенство Vfo (р) = 0. Если существует величина /р такая, что р (/, р, t0) ^ е при t = /р, р (t,P, to) < е при t 6 [/0, /р), то положим Vt (F^ X X (р0)) = е-‘р= V (t, ро, t0). В первом и втором случаях имеем равенство dVldt = V. Кроме того, семейство функционалов Vt ограничено. Далее, в силу определения неустойчивости для любого 6 >> 0 можно указать точку_р и значение параметра t0 такие, что р (/, р, /0) ^е ПРИ t= = tp. Поэтому Vio (р)>0 при р (р, М) < 6. Таким образом, построенное семейство функционалов удовлетворяет всем условиям теоремы.
Достаточность. Пусть условия теоремы выполнены. Тогда, какую бы величину 6 > 0 ни взять, можно указать р0, р (р0. М) < 6 и значение параметра t0 такие, что Vto (ро) > 0- Функция V (t, ро, to) удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению
^L=.-XV+Wat
и начальному условию V (t, р0, t0) = У<0 (р0) при t = /0. Тогда имеем:
V Ц, Ро, to) > vt6 (Ро) е^-(4.8)
Если теперь предположить, что множество М устойчиво, то окажется, что, с одной стороны, движение F*o (р0) при ' t^ t0 целиком лежит в области задания семейства Vt и, * следовательно, V (/, р0, /0) ограничено при / ^ /0; а с другой стороны, вдоль этого движения имеет место неравенство (4.8), противоречащее сделанному предположению об устойчивости. Таким образом, множество М неустойчиво.
Замечание. Аналогичную теорему можно доказать в общем случае» когда множество Ft0 (р0) не является одноточечным.
Изложим теперь метод, позволяющий для некоторых общих систем оценивать функцию
р(^Ро^о) = sup р(р, М).
Р^рц iPo)
Рассмотрим две функции Мг (х) и /И2 (х), заданные при х ^ 0, непрерывные, строго монотонно изменяющиеся при х С [0, + оо). Рассмотрим однопараметрическое семейство функционалов Rt> заданное в некоторой окрестности S (М, г) инвариантного множества М, зависящее от параметра / ^ 0. Предположим, что имеют место неравенства
Mt (р (р, М)) <Rt(p)< М2 (р (р, М))(4.9)
при t € [0, +<»). Тогда функцию р (/, рй, Zo) = р (ft, (р0), М) всегда можно оценить снизу и сверху, если известна функция Rt (f^ (/?0)) = R (/, ро, /0) или известна какая-либо оценка для этой функции. Действительно, из неравенства (4.9) имеем р (Z, р0, t^ < Л4Г1 (R (t, р0, ^0)) и М^1 (R(t, р0, ^о)) < Р Уу Ро, ^о), гДе М?1, М^1 суть обратные функции. Обтединяя последние неравенства, получаем требуемую двустороннюю оченку для функции р (/, р0, t0). Предположим, что в некоторой окрестности S (М, г) инвариантного множества М заданы два однопараметрических семейства функционалов Vt и Wt, обладающих следующими свойствами:
для любого элемента р 6 S (М, г) определены функции Vt (р) и Wt (р) при всех t Е [0, +<х>);
семейство функционалов Vt удовлетворяет неравенству
(4.10)
семейство функционалов Wt удовлетворяет неравенству
-^i^RV^t^-^R^,(4.11)
функция V (t, р0, /0) непрерывно дифференцируема при всех t ^ /0, пока она определена, и удовлетворяет соотношению.
.4-V^p6,t^=Wkt,p»,t0Y(4.12)
at
Короче, jtVt= Wt. Здесь Фг (() и Тг (/) (i = 1,2) — непрерывные положительные функции, заданные при / ^ О, к^ h У = 1,2) — положительные постоянные. Функции S', (/) могут также принимать и нулевые значения. Положим далее к Jit = Х;, /г (Х;, /) = Чгг (/) Ф, Х' (/). Пусть X > О — некоторое число, а (^ /0 таково, что V (t, р0, (0) ^ 0. Умножим обе части равенства (4.12) на И-х (t, р0, t^ и проинтегрируем в пределах от ^ до /> tOl тогда при X £ (0, 1) получим
-X //
= ]/ Vt, (рву-Ч (1-Х) J W(т, р„, ^1/-х(т, p0, te)d%.
°(4.13)
При X = 1 имеем
t
[ WV-ldT
V^Po,^)=V(o(p0)A;(4.14)
при X > 1
V((, Ро, /о)=(4.15)
у H-^JPo^-^l-XlJW'V-^dT
Рассмотрим некоторые случаи.
Хг > 1 (I = 1,2). Используя неравенства (4.10) и (4.11), приведем неравенство (4.15) к виду
Vt„MVt„Mt1 J /1(Х1, Т) dT tot1 J /1(Х1, Т) dT to^ V (t, Ро, to) <^ V (t, Ро, to) <
Vt„M
Vt„M
t
1 J /1(Х1, Т) dT to
t
1 J /1(Х1, Т) dT to
^ V (t, Ро, to) <
^ V (t, Ро, to) <
(4.16)
На основании неравенства (4.16) неравенство (4.10) можно записать так:
ФН^Фг-ЧО Rt, (РоУ1
1+^-1) (ФИ^^/РоУ*)^-1 \к^' № to
(4.17)(4.17)^RR, t6) p0)^
(4.17)
(4.17)
Фз^ФГЧО^ЧРо)'*
1+(X2—1) (Ф1 M Rt (РоУ*)^"1 J h (X2, T)dT to
Здесь и далее Rt — семейство функционалов, обладающих свойством (4.9). Будем далее через Мг (/, р0, /0) обозначать левую часть неравенства (4.17), а через N^ (t, р0, t0) — его правую часть.
Пусть Хх = Х2 = 1. В силу неравенств (4.10), (4.11) соотношение (4.14) запишем в виде
(
t\
— J^(т, l)drj<to/
^V(t, р0, /0)< V/o (p0) exp f — р2(т, l)thj. (4.18)
Вновь используя неравенство (4.10), запишем неравенства (4.18) в виде
1-^ Оо) R<6 (PoY* ерх1-^ Оо) R<6 (PoY* ерх- J А(т, 1)^ <to'
1-^ Оо) R<6 (PoY* ерх
1-^ Оо) R<6 (PoY* ерх
< R (/, pg, I»)
Ф1 (О-1 Ф2 Vo) Rio (PoV1 expФ1 (О-1 Ф2 Vo) Rio (PoV1 exp— J As (т, Ddt). (4.19) to'
Ф1 (О-1 Ф2 Vo) Rio (PoV1 exp
Ф1 (О-1 Ф2 Vo) Rio (PoV1 exp
Обозначим левую часть неравенства (4.19) через Pt (t, р0, Zo), а правую часть — через Р2 (I, р0. М-
Пусть 0<Хг< 1 (i= 1,2). На основании неравенств (4.10), (4.11) соотношение (4.13) перепишем так:
1-Х, /—t
to
^V«, p0, t0)^
^ У V-.W-^l-MpHr.^dr. (4.20)
Последнее неравенство имеет место, если подкоренное выражение положительно и V (t, р0, /0) # 0. Применяя к (4.20) вновь неравенство (4.10), имеем
1—х, /t
«МГ у k®ikto)RM41-^^
^Rkt,Po,to)^(4.21)
В тех случаях, когда в неравенствах справа стоит Q2 или слева Оъ движение Ft, (р0) может в конечное время войти в инвариантное множество М. Обозначим через S, (t, ро, to) функцию, стоящую в правой части неравенства в /-м случае (/ = 1, ..., 9), т. е. St = Na, Sa = Ра, S3 = Qa и т. д.
Теорема 78. Если по любому е > 0 можно указать число 6 > 0 такое, что при некотором / имеет место неравенство S; (t, Ро, to) < 6 при t^to^O, и р (р0, Л1) < 6, то инвариантное множество М устойчиво и любое движение F*, (р0) при достаточно малом р (р0, М), а именно таком, чтобы р (р0, М) < 6 (е), где с < г, будет удовлетворять оценкам, соответствующим /-му случаю, до тех пор пока V (t, pg, t0) N= 0 и подкоренные выражения неотрицательны. Величину г можно указать эффективно, используя неравенство (4.9).
Доказательство следует из приведенных выше рассуждений. Приведем теперь необходимые и достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости, при которых выполнены оценки определенного типа. Предположим, что существуют два однопараметрических семейства функционалов Vt И Wt, обладающих свойствами 1—4 при I, = 1 (i = 1,2), ki = 1(1 = 1,2), Фг (0 = агФ (0, Vf = b^ (t), где at, b, — положительные постоянные, а Ф (Z) иТ (t)"— непрерывные положительные функции, заданные при t > > 0. Впрочем, функция ¥ (/) может также принимать и нулевые значения. Вдоль любого движения Ft, (ро) пока F*, (ро) € S (М, г) и V (t, ро, t0) =7^0, имеют место неравенства при t ^ t0, I € (0, 1):
Ф (t)"1 J/^ «г (Ф (t0) Ri, (Ро))х-1-^ j V (т) Ф (т)-Мт
^R(t,Po,to)^(4.28)
^r^'/МФ^^М)1-'^^’
при I > 1
^Ф^-’Ф^о)^, (Ро)/ПН-— ■tк V’ р°’to’
У 1 +?2 (Ф (/о) Ri, (Ро))1-1 J Y (т) Ф (т)-/ Л
z-i /t’ v • /
V 1 +62 (Ф M Rt>W^ J V (т) Ф (T)-< dr
при / = 1
82 j* v (т) Ф (т)-1 б/т)^to/
^R(t,p0, Zo)^(4.30)
(t\
a2 pF (т) Ф (t)-1 dx .
Предположим далее, что t
J V (т) Ф (t)~z di -*■ +00 при t ->-+00(4.31)
to
для некоторого Z > 0.
Теорема 79. Если условие (4.31) выполнено для некоторого Z, то, для того чтобы существовали два семейства функционалов Vt и Wf, обладающих следующими свойствами:
для любого элемента р £ М определены функции Vt (р) и Wt (р), заданные при Z ^ 0;
семейство Vt удовлетворяет неравенствам
агФ (Z) Rt < Vt^ а2Ф (Z) Rt;
семейство Wt удовлетворяет неравенству
- b^ (Z) Rlt < Wt ^ - b^ (Z) RV,
функция V (Z, ро, Zo) непрерывно дифференцируема и имеет место равенство ^ Vt = Wt, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены неравенства (4.30), если Z =1, или (4.29), если Z> 1, или (4.28), если Z € (0,1), где аг, Pi, Yi, 6г, ег-, аг (Z = 1, 2) — некоторые положительные постоянные.
□ Необходимость. Пусть существуют два семейства функционалов Vt и Wt, удовлетворяющие условиям 1—4 настоящей теоремы. Тогда, как было показано, выполняется одно из неравенств (4.28) — (4.30) в зависимости от того, будет ли Z > 1, Z = 1, Z < 1.
Достаточность. Пусть указанные неравенства выполнены. Положим Wt = — XF (t^Rt и
(4.32)(4.32)V(o (A>) = — J №(t, Po, t^d-x.
(4.32)
(4.32)
t0
Положим / > 1. Подставляя в соотношение (4.32) неравенства (4.29), получаем
т{Ф(О-* <$>MtRl(AP»^W ^/IZ
Ц-Т^ФМ^^^о))'-1 J Y(t)®(t)-Ut z-i
(4.33)
Интегралы в обеих частях неравенства (4.33), взятые по промежутку [/0, +оо), можно вычислить с помощью замены t
0 = J XF (/) Ф (/)~z dt. В результате имеем аг Ф (Zo) Rto <
< Vte < а2Ф М Rt,» где аъ п2 — положительные константы, связанные определенным образом с величинами у; и 6г. Покажем теперь, что ^ Vt = Wt. Действительно,
+00
V (Л Ро» /о) = § — ^ (т, Ро, to) dr, t
что следует из равенства (4.32), откуда получаем -^ = Wt. Таким образом, семейство функционалов Vt, определенное с помощью равенства (4.32), удовлетворяет всем условиям теоремы. Пусть теперь I = 1. Подставляя в (4.32) неравенства (4.30), имеем
8' 5 Ф^-'ФОТ^^Л^х
х ехр | —е2 /1 ТЛ) Ф (т)-1 dx j dt ^ Vt, (.Ро) ^ \ to/
^о\0)(t)-^(toyW(t)R=e(Po) X
to (l\
(4.34)(4.34)— о21J Т (т) Ф (т)-1 dx j dt.
(4.34)
(4.34)
Вычисляя интегралы в неравенстве (4.34), получаем atX ХФ(/О) Ru < К( < а^Ф (/0) Rt„ где аъ а2 — положительные постоянные, определенным образом связанные с ег, о, (i = 1,2). Как и выше, легко показать, что и в этом случае dVt!dt = Wt. Пусть теперь 0< /< 1. Подставляя в (4.33) неравенства (4.28), имеем
J Ф ^-1 а, (Ф (Q Rt, №~1 —а2 j Т (т) Ф (т)-' di to-to
XW^dt^MPo)^^^1 XtoXW^dt^MPo)^^^1 Xto(4.35)(4.35)
XW^dt^MPo)^^^1 Xto
XW^dt^MPo)^^^1 Xto
(4.35)
(4.35)
^‘W^dt.^‘W^dt.
^‘W^dt.
^‘W^dt.
XXPl (Ф W Rt. №-1- 02 J V (T) Ф (T)-' dTto
X
X
Величины tx и 1г выбраны так, чтобы левая и правая части неравенства (4.28) обращались в нуль соответственно при t=ti, / = /2(/2 ^/J. В этом случае интеграл в равенстве (4.32) берется лишь в конечных пределах, соответствующих случаю R (t, р0, /0) =# 0. Вычисляя интегралы в неравенстве (4.35), получаем ^Ф (/0) Rto < Vt„< а2Ф (/0) Rh* где а2 и ai — положительные постоянные, известным образом связанные с аг, 0г (i = 1, 2).
Следствие 1. Обозначим через U (/, р0, /0) правую часть одного из неравенств (4.28) — (4.30).
Если по любому е > 0 можно указать 6 > 0 такое, что при р (р0, М) < 6 имеет место неравенство (/ (/, р0, ^) < < е при / ^ /0 ^ 0, то инвариантное множество М устойчиво. Если, кроме того, U (/, р0, /п)0 при /->+<», то инвариантное множество М асимптотически устойчиво.
Следствие 2. Если при I € (0,1) множество М устойчиво, то любое движение входит в множество М в конечное время и остается там.
Следствие 3. Если множество М устойчиво (см. следствие 1), то при наличии двух семейств функционалов Vt и Wt, заданных в областях S (Л4, г), г> 0 и удовлетворяющих условию теоремы 79 для любого движения р\„ (р0), начинающегося при достаточно малом р (р0, М), имеет место одна из оценок (4.28) — (4.30) при любом / ^ /0 до тех пор, пока V (/, р0, t^ N= 0 в случае / € (0,1), / < tv Сделаем теперь ряд общих замечаний. ^ 11
Замечание!. Первая теорема Ляпунова о неустойчивости позволяет сформулировать достаточные условия
неустойчивости инвариантного множества М в случае общей системы.
Теорема 80. Если существуют два однопараметрических семейства функционалов Vt и Wt, обладающих следующими свойствами:
. при любом р Е S (М, г), г > 0, М — некоторое инвариантное множество общей системы или неполной общей системы, определены функции Vt (р) и Wt (р) вещественного переменного t;
для любого сх>- 0 можно указать сг > 0 такое, что при р (р, Л4) > сг справедливо неравенство Wt (р) > с2, t Е Ю, + °°);
Vt (р) -*■ 0 при р (р, Л4) -> 0 равномерно относительно / ^ 0;
по любой величине 6 2> 0 можно указать точку р0 Е Е Ri или в случае общей системы р0 Е R и такое значение параметра t0 ^ 0, что Vt„ (р0) > 0, р0 Е <$ (М, 6);
функция V (I, р0, t0) непрерывно дифференцируема, и имеет место равенство:
= w (t, ро, /о) при всех t> t0, at
пока функция V (t, р0, /0) определена, то инвариантное множество М неустойчиво.
Доказательство этой теоремы можно получить непосредственно, применив тот же метод, что и в работе [11.
Замечание 2. Теорема 72 остается в силе и в случае неполной общей системы. При этом доказательство достаточности условий, сформулированных в теореме, сохраняется дословно с дополнительным упоминанием о том, что движение Ft, (р0) определено при р0 Е Ri- При доказательстве необходимости в случае неполной общей системы формула (4.5) определяет искомое семейство функционалов не во всей окрестности множества М. Однако определенный с помощью (4.5) функционал можно распространить на некоторую достаточно малую окрестность множества М, например, следующим образом. На множестве точек р таких, что р (р, Л4) = е', положим
VtAp^= inf VtJpu\Р (Рое М)=8*
где inf берется по тем точкам р01 в которых Vto (ро) уже определено. Изменяя е' непрерывно до 0, таким образом определим семейство функционалов Vtl заданное в некоторой окрестности множества М.
Легко видеть, что построенное таким образом семейство функционалов будет удовлетворять всем условиям теоремы 72.
Замечание 3. Теоремы 73, 74 и 75 также сохраняют силу для случая неполных общих систем. При этом доказательства достаточности условий, сформулированных в этих теоремах, остаются справедливыми. При доказательстве необходимости следует учитывать замечание 2.
Замечание 4. Теоремы 76 и 77, как и предыдущие, переносятся на случай неполных общих систем. При этом доказательство достаточности условий, как и выше, остается неизменным. Функционалы, построенные при доказательстве необходимости в этих теоремах, в случае неполной общей системы определены не во всей достаточно малой окрестности множества AL Однако их можно доопределить таким образом, чтобы выполнялись все условия этих теорем.
Теоремы 78 и 79 основаны на знании поведения функционалов лишь вдоль движений, поэтому они также сохраняют силу и в случае неполной общей системы. Аналогичные результаты, связанные с оценками, получены также в [38].
3. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К НЕСТАЦИОНАРНЫМ СИСТЕМАМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
=(s=!,...,»),(4.36)
at
правые части которой заданы при / ^ О и X € Еп. Пусть X = О — решение системы (4.36) и функции f„ (X, f) непрерывны. Предположим, что любое решение X = X (/, Х(0>, /доопределено при / ^ /0 ^ 0. Тогда, как было показано, совокупность уравнений (4.36) определяет в Еп общую систему. Пусть X = 0 — инвариантное множество этой системы, т. е. любая интегральная кривая X = X (/, Х(0>, /0) системы (4.36), определенная условием Х(0> = 0, обладает свойством X (/, Х<0), /0) э 0, при t ^ /0.
Теорема 81. Для того чтобы инвариантное множество было устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы существовала функция V (X, /), заданная при / ^ 0, |Х| ^ г, обладающая следующими свойствами:
V (X, /) определенно положительна;
V (X, /) —> 0 при |Х|-> 0 равномерно относительно />0;
. 3) функция V (X (t, Х^\ t0), t) не возрастает при t > /0, где |Х(<, Х<°), *0)1 <г'
Если, кроме того, К -> 0 при ^-> + оо, |Х(0>| < 6, то множество X = 0 асимптотически устойчиво. "'
Доказательство следует из теоремы 72 и 73, так как она является их частным случаем.
Отметим, что достаточность теоремы 81 получена в [1], а необходимость в [7].
Замечание. Если условия теоремы 81 выполнены, то, для того чтобы X = О было равномерно асимптотически устойчивым и равномерно притягивающим, необходимо и достаточно, чтобы V (X (/, Х<°>, /0), /) -> О при t—/0-> + оо равномерно относительно ^0 и |Х(0>| <6 и чтобы для любого ft > 0 (ft — достаточно мало) можно было указать величины Т > 0 и а > О такие, что V (X (/, Х(0>, /0), $>ос при t0 < t С t0 + Т и |Х<0> | > ft. Это утверждение следует из теорем 74 и 75.
Отметим, что теорема 76 позволяет сформулировать необходимые и достаточные условия того, чтобы точка X = О была равномерно асимптотически устойчивой и равномерно притягивающей. Рассмотрим теперь, как применяется метод, позволяющий оценивать величину |Х (/, Х<°>, /0)|. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
dx«
-^ = рДхъ .... хп, t) (з=1, .... п)(4.37)
Функции р8 (X, /) определены при / ^ О, |Х |2 < Я и удовлетворяют там некоторым условиям, при которых система (4.37) имеет решение X = X (/, Х<е>, /0) при любых конечных (Х(0), /0), принадлежащих области /0 ^ О, |Х(0>|2< < Н. Далее будем предполагать, что р8 (X, t) = 0 при X = 0 и при всех t > 0. Рассмотрим две непрерывные положительные функции ф (/) иф (0- Предположим, что они заданы при / ^ 0 и таковы, что величина
х (Л /о. &г) = ^ф (^)Ф_-(0 exp I —J ^2 ^ Ф-1 ЯИ 0, \/
t
I* Ф ф-1+ оо
при t -> + оо и ограничена при всех / ^ /0 ^ 0, где к и к2 — некоторые положительные постоянные.
Теорема 82. Для того чтобы нулевое решение системы (4.37) было асимптотически устойчиво и любое решение, на-
чинающеебя в достаточно малой окрестности . полуоси X = 0, / ^ 0, удовлетворяло неравенству L^x (t, t0, ^ х X |Х<°>|2 <|Х (/, XW, UI2 < Л2х (л /0, ^)|Х(°)|2, необходимо и достаточно, чтобы существовали две функции
п
У = (|Х|2)М0 2 ^ДХ,/)^^, i, /=1.
— ^(^axiv 2 ь^х,^^,
1=1
обладающие следующими свойствами:
V и W заданы и непрерывны при |Х|2 < 6t, / ^ О, где 6л > 0 — достаточно малая величина;
ai|X|2< 2 duXiXt^a4\X\\
I, /=1 ■
Ь1|Х|2<2 Ьих1Х1^\Х\\,
I, z=i
где аь bt (i — 1,2) — некоторые положительные постоянные;
функция W непрерывна и W = dV/dt..
Доказательство этой теоремы может быть получено из теоремы 79, в которой следует положить Rt (р) = |X|2fc+2, при / = 1, где Rt — семейство функционалов, о котором идет речь в § 2 гл. 4. Приведем примеры.
Предположим, что для системы (4.37) существуют ’функции V (X, t) и W (X, /), удовлетворяющие условиям теоремы 82, при этом <р (/) = (/ + 1)“, ф (О = (/ + 1)$, где а ^ 0, р ^0, (они могут быть и отрицательными). Тогда *
X (/, /о, k2) = (tu?tr^+^{
где у = Р — а + 1 ^ 0, а если у = 0, то
Xi(/, t0, к^ = ^оПТ11^^*4.
Таким образом, при у #= 0 любое решение системы (4.37), начинающееся в достаточно малой окрестности полуоси ^ 0, X = 0, удовлетворяет неравенствам:
U (Х<°>)2 х (/, 4, к^ X2 < U (Х<°))2 х <t, t0, к^, а при у = 0 — неравенствам Lv (Х<0))2 х2 (t, t0, k^ X2 < < L2 (Х(0>)2 Xj (t, t0, к-2). Исследуем подробнее харак- 7*-
тер асимптотической устойчивости в этом случае. Для этого рассмотрим функции
(/о/Оа' и ?^'V_f°)/\'
Зададим достаточно малое Н > 0 и рассмотрим урав
нения
(4.38)(4.39)(4.38)(4.39)(= Я,(-<У?) _
(4.38)
(4.39)
(4.38)
(4.39)
«1
Из уравнения (4.38) находим t — /0 = /0 (1/ VH — 1), откуда следует, что / — /0 -> 4- оо при /0 ->4-оо. Таким образом, функция (/о^)“' *** 0 при at>0 и <->-4-оо неравномерно относительно t0. Из уравнения (4.39) имеем
tto = totto = toylnH^h 1W “ Ч*ylnH^h 1W “ Ч*(4.40)(4.40)
tto = to
tto = to
ylnH^h 1W “ Ч*
ylnH^h 1W “ Ч*
(4.40)
(4.40)
при у б (0, 1) t— /0->-4-оо, /0->-4-оо, что следует непосредственно из формулы (4.40). При у >» 1 имеет место t — to-*O, t0 -*• + оо; при у = 1 получаем t — t0 = — (in Я) /к2.
ТXЖЛ
Таким образом, функция е► 0 неравномер
но при у 6 (0, 1). Из приведенного выше следует, что при у < 1 нулевое решение системы (4.37) не является равномерно асимптотически устойчивым, а при у > 1 оно не будет равномерно притягивающим. Только при у = 1 нулевое решение равномерно асимптотически устойчиво и равномерно притягивающее. Таким образом, устойчивость такого свойства является в некотором смысле исключительной.
Рассмотрим систему уравнений .{пп
-^-=t»'2iP.lxl-V^pUkX1t)xl (s=l,...,n), (4.41) i=l«=1’
где Р > — 1. Величины psl в системе (4.41) постоянны и вещественны, а функции psi (X, f) таковы, что p'$i (X, t) Z~P -> -И) при /-*+00 и X—>0. Будем предполагать также, что функции p‘8t (X, f), t ^ 0, X2 < Я, обладают некоторыми свойствами, обеспечивающими существование решения X = = X (1, Х(0>, to) системы (4.41) при любых Х<°>, t0 из указанной области. Пусть собственные числа матрицы P=||pSin имеют отрицательные действительные части. Найдем решение уравнения
yi дУ^ дх*yi дУ^ дх*’ п\пPsi5jЛ=1)i=\’ п\пPsi5jЛ=1)i=\(4.42)(4.42)
yi дУ
^ дх*
yi дУ
^ дх*
’ п\п
Psi5j
Л=1)i=\
’ п\п
Psi5j
Л=1)i=\
(4.42)
(4.42)
в виде квадратичной формы
п
V 2 +h ^i ^k-
i, 6=1
Можно указать величины Т > О и б! > О такие, что при t ^ Т и |Х|2 < 6j имеет место неравенство
P&i|X|2<P&i|X|2<<^62|Х|а.<^62|Х|а.
P&i|X|2<
P&i|X|2<
<^62|Х|а.
<^62|Х|а.
В этом случае к = 0 и а = 0, следовательно, любое решение, начинающееся из достаточно малой окрестности полуоси X = 0, / ^ О, удовлетворяет неравенствам
L^XW^expL^XW^exp^iР+1^iР+1(/₽+1 —/₽+!)’(/₽+1 —/₽+!)’< | X (Л Х<«>, /о) |2С Ц (Х^У ехр< | X (Л Х<«>, /о) |2С Ц (Х^У ехр—Лг^'-^1)Р+1.—Лг^'-^1)Р+1.
L^XW^exp
L^XW^exp
^i
Р+1
^i
Р+1
(/₽+1 —/₽+!)’
(/₽+1 —/₽+!)’
< | X (Л Х<«>, /о) |2С Ц (Х^У ехр
< | X (Л Х<«>, /о) |2С Ц (Х^У ехр
—Лг^'-^1)
Р+1.
—Лг^'-^1)
Р+1.
Как следует из изложенного, нулевое решение системы (4.41) неравномерно асимптотически устойчиво при 0 € £ (— 1, 0), а при 0>О не является равномерно притягивающим, только при 0 = 0 оно и равномерно асимптотически устойчиво, и равномерно притягивающее. Положим
«2 V» t6c^ =«2 V» t6c^ =^У фм Ф-1 (о^У фм Ф-1 (о(4.43)(4.43)
«2 V» t6c^ =
«2 V» t6c^ =
^У фм Ф-1 (о
^У фм Ф-1 (о
(4.43)
(4.43)
где к, I, с — некоторые положительные постоянные, причем / ^ к. Предположим, что х2 -* 0 при t ->+оо и ограничено при / ^ t0 ^ 0 и с ^ 0. Предположим также, что величина
(4.44)(4.44)0 = J <р*"ЧЛр—У + 1)(Z/) dt'
(4.44)
(4.44)
обладает свойством 0->+оо при /-> + оо.
Теорема 83. Для того чтобы нулевое решение системы (4.37) было асимптотически устойчивым по Ляпунову и для любого решения, начинающегося в достаточно малой окрестности полуоси X = 0, ^ ^ 0, было выполнено неравенство
Л41|Х<°)|2х2(^ /о, Af^XIX^, XV\ t0)|2<
<ЛГх|Х<°>|2х2(/, /0, N^,<ЛГх|Х<°>|2х2(/, /0, N^,(4.45)(4.45)
<ЛГх|Х<°>|2х2(/, /0, N^,
<ЛГх|Х<°>|2х2(/, /0, N^,
(4.45)
(4.45)
'* + iif-*
где с =где с =<|х«»|)« Кф(М J
где с =
где с =
необходимо и достаточно, чтобы существовали две функции V (X, 0 и V (X, 0, обладающие следующими свойствами:
функции V (X, t) и W (X, t) заданы и непрерывны в области / ^ О и |Х |2 < 6Х < Н;
V=(|X.|V<p(0 2 a^X.tViXp ■ z./=i
iy=-axivt(o 2 w 1м
i. i=\
где ац (X, /) и Ьц (X, О таковы, что существуют положительные константы at, bt (i = 1, 2) такие, что ах|Х|2 < ^^ац xtx} < a2|X|2 и bx|X|2 < 26iXxzAj < b2IX|2;
полная производная функции V (X, f), вычисленная в силу системы (4.37), удовлетворяет уравнению dVldt = W.
Доказательство этой теоремы может быть получено из теоремы 79, если положить Rt (р) = |X|2fc+2, где Rt — семейство функционалов, о котором идет речь в § 2 гл. 4.
Рассмотрим положительно определенную функцию Vt (X), заданную в некоторой окрестности точки X = 0. Построим строго монотонно убывающие до нуля (с убыванием |Х|) положительные функции Yt (|Х |2), У2(|Х|2) такие, что Ух < Vi (X) < У2. Если система (4.37) имеет решение X (/, Х(0), /0) такое, что |Х|2->0 при /-»-4-оо, то и Vx (X (t, Х<°>,/0))-э-0 при /-> + оо. Тогда, зная скорость убывания функции Ух вдоль рассматриваемого решения, можно дать оценку убывания |Х (ЛХ(0), /0)|2. Действительно, вдоль этого решения имеем неравенство Ух (|Х|2)^ < У, (X (I, XW, t0^ ^ У2 (|Х |2), откуда У21 (Vx (X (t.XW, t0W < |Х (^,Х(°>,/0)|2 < УГ1 (Уг(Х У, XW, /0))). Положим
х3(^, /0, с/)=<р(/0) ф-ЧОх3(^, /0, с/)=<р(/0) ф-ЧОфф-' dt',фф-' dt',(4.46)(4.46)
х3(^, /0, с/)=<р(/0) ф-ЧО
х3(^, /0, с/)=<р(/0) ф-ЧО
фф-' dt',
фф-' dt',
(4.46)
(4.46)
что х3 обладает свойст-что х3 обладает свойст-где / > 1, с ^ 0. Предположим, Вами:
что х3 обладает свойст-
что х3 обладает свойст-
хз -*• 0 ПРИ ^-* + 00;
х3 ограничена при / ^ Zo ^ 0 и с ^ 0. Положим
т = J фф-' dt* -> + оо При/->+ 00.(4.47)
Теорема 84. Для того чтобы нулевое решение системы (4.37) было асимптотически устойчивым и любое решение, начинающееся в области |Х<°>|2 ^6, /0 ^ 0, гДе 6 > 0— достаточно малое число, удовлетворяло неравенству Af^ (Х<°0 х3 (Z, /0, М2с (/), /) < Vx (X (/, Х<°), /0)) < < NXVX (Х<°0х3 (/, t0, N^ (Z), Z), где с (l)= (ф(^о) Vi (X^)]'-1, необходимо и достаточно, чтобы существовали две функции V (X, t) и W (X, t) удовлетворяющие следующим условиям:
" функции V (X, /) и W (X, Z) заданы и непрерывны в достаточно малой окрестности полуоси t ^ О, X = 0;
а^ ^ Иг (X) < V (X, Z) < а2 Ф (Z) ^ (X),(4.48)
^ = —ф^, где Wx удовлетворяет неравенствам
ЬзУ^ < Г, < Ь^.(4.49)
Величины ab bt положительны; dV/dt = №.
Доказательство следует из теоремы 79, если положить Rt (р) = V, (X).
Теорема 85. Если существуют две функции V (X, /), № (X, Z), обладающие следующими свойствами:
функции V (X, f) и W (X, Z) заданы и непрерывны в области t ^ 0, |Х |2 < 6, 6 > 0 — достаточно малое;
V (X, Z) и № (X, /) удовлетворяют неравенствам axVx (X) < V (X, 0 [Ф (Z)M < агУх (X),
bxVV, (X) ф (t)^ - W (X, f) ^ b.VU (X) ф (Z), (4.50) где 1 < /г С Z2;
dVldt = U7, то нулевое решение системы (4.37) асимптотически устойчиво и любое решение, начинающееся в достаточно малой окрестности полуоси X = 0, t^ 0, удовлетворяет неравенствам.*
^ (Х<°>) Mxx3 (/, Zo, Мгс (Z,), I,) < Уг (X (Z, Х<°>, Zo)) С < NXVX (Х(»))х3 (/, /0, N2c (Z2), Z2),(4.51)
где с (Z) = [Ф (Zo) Vx (X («ОР-1.
Доказательство этой теоремы следует из теоремы 78, если положить Rt (р) = Vj (X).
Замечание. При lx = 1, Z2 > 1 утверждение тео- ■ ремы остается в силе, если неравенства (4.51) заменить следующими:'
Ml v, ОТ ф (4) [ф (ОН ехр (-м. f -^-dZ V
^ Vx (X (Z, Х«», /0)) < Nt Vr (Х«») х8 (0О, Х2 с (/2), /2).
При 4 = /2 = 1 теорема остается справедливой, если неравенства (4.51) заменить следующими:
Mt V, (Х> (t0) [ф (/)]-! exp (-Ма f 2LS- d/) ^
<У1(Х(4Х«»,4)Х(4.52)
< Nx Vx (Х«») ф (Q [ф (Z)]-1 exp (—N^ f 2^ dzY
При исследовании общего случая, когда имеется один нулевой корень, А. М. Ляпунов [1] для системы
-^-=Х(х,х1х„),
at
= У Psi Xi + xs (х, хх,..., xn) (s= 1,..., п),
где функции X, Х8 являются голоморфными, а их разложения по целым положительным степеням величин х, хь ..., ..., хп не содержат членов, линейных относительно этих величин: X (х, 0,..., 0) = gxm + ..., Х8 (х, 0, .... 0) = gsxT4 + + ..., где т8 ^ т, построил функции V (X) и W (X) в виде
V = 2 «iAiXy + у х24-£/, ^ = ^+4- /./=1
~Ь ^i (хх, • • •, х;1) S (хх,..., хп, х),
гДе ТР^ (х1(..., хп) — определенно отрицательная квадратичная форма. Пусть g< 0, т = 2р. + 1, где р. — целое положительное. При этих условиях нулевое решение рассматриваемой системы асимптотически устойчиво. При достаточно малых |Xi|,..., |хп| функции V и W удовлетворяют неравенствам
Полагая, lv= 1, /2 = р + 1, получаем, что любое решение, начинающееся в достаточно малой окрестности точки xL = ...= хп = х = 0, удовлетворяет неравенствам
Мг е~м^ । х(0>2 + 5 XV^ | ^ я2 (^ ^(0), -40), ..., ^п0)) +
+ f хЦ1, xW, xL ...,х^^мДх^ + f х/0,Чх
Z=1\Z=1/
— ц //П\ ц
X '■/ H/V2 x'°)2 + S х?^ / •
Г X.
Чтобы судить о точности этой оценки, рассмотрим систе
му -^- =—л;2^+*, -^..^ У ps. Xi. В результате непо- didt . .
средственного интегрирования получаем
хх• У l-2vix<^^t• У l-2vix<^^t0,6”^ и0,6”^ и
х
х
• У l-2vix<^^t
• У l-2vix<^^t
0,6”^ и
0,6”^ и
£ х^2£ х^2
£ х^2
£ х^2
cqe-^, что соответствует данной выше
оценке.
Рассмотрим систему
Psi^X.^Xi (S= I,...,»).
Возьмем определенно положительную квадратичную форму п
Z, /=1
Предположим, что функция
w-£-^-(£ psi(x,nxAs=l s \z=l/
удовлетворяет следующим неравенствам:
frifs -^A i|5(0^ — W^bd^ x,A ip(0;
\Z=1/\Z—1 /
тогда любое решение рассматриваемой системы будет удовлетворять оценке (4.51). В случае /1 = /2 = 1, который был рассмотрен в [18], имеем оценку (4.52).
Глава 5
РЕШЕНИЕ ВОПРОСА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в частных производных:
dtlgt (dill\/С 1 \
vt\их j/
(t, s = 1, ..., п) (j = 1,..., Й)
и предположим, что ее правые части заданы и непрерывны в некоторой области G изменения всех своих аргументов, содержащейся в М-мерном эвклидовом пространстве. Рассмотрим функциональное пространство Ф, элементами которого являются векторные функции ф = (фъ ..., ф„), где фг (хп .... xj— некоторые функции; заданные в Ек. Функциональное пространство Ф будем считать метрическим, или линейным нормированным. Предположим, что для -любого элемента ф € Ф можно построить решение U = = U (ф, f) системы (5.1), где U = (иь.... м„) такое, что U (ф, /) определено при всех /С (—оо, +°°). и U (ф, /) Е Ф при t Е (—оо, +°о), U (ф, 0) = ф. Кроме-того, U (ф", ^) непрерывно по обоим своим аргументам. Пусть, далее, при Ф = 0 U (ф, 0 = 0. Таким образом, система (5.1) имеет нулевое решение. Поставим вопрос об устойчивости этого решения. Если сделанные выше предположения относительно системы (5.1) выполнены, то в функциональном пространстве Ф определена динамическая система U (ф, /), и точкаф =0 является замкнутым инвариантным множеством этой системы. Напомним основные определения, относящиеся к этому случаю.
Определение 1. Решение U = 0 системы (5.1) называется "устойчивым, если по любому е > 0 можно указать 6 > 0 такое, что. при р (ф, 0) < 6 имеет место неравенство р ф (ф, 0, 0) < е при / ^ 0. Если, кроме того, р (t7 (ф, /), 0) -> 0 при /-> + оо, то решение U = 0 называется асимптотически устойчивым. Здесь и в дальнейшем р (ф. 0) — метрическое расстояние между элементами ф и 0.
Определение 2. Множество всех точек ф Е Ф, обладающих свойством р (^(ф, f), 0) -> 0 при f-> + оо, 202
будем обозначать через Л. Если решение U = 0 асимптотически устойчиво, то множество Л называется областью асимптотической устойчивости нулевого решения системы (5.1), О Ё Л.
Определение 3. Асимптотически устойчивое решение U = 0 системы (5.1) называется равномерно асимптотически устойчивым, если р ((/ (ф, /), 0) -> 0 при /->-}- оо равномерно по ф, р, (ср, 0) < 6^
Определение 4. Точка U = 0 в случае асимптотической устойчивости называется равномерно притягивающей, если по любому достаточно малому h > 0 можно указать величины Т > 0 и а > 0 такие, что р ((7 (ф, /), 0) ^а, когда / Е [0, Т], а р (ф, 0) ^ к.
^^Теорема 86. Для того чтобы открытое инвариантное множество Л, содержащее достаточно малую окрестность точки Ф = 0, было областью асимптотической устойчивости равномерно асимптотически устойчивого и равномерно притягивающего нулевого решения системы (5.1), необходимо и достаточно, чтобы существовали два функционала V (ф) и W (ф), обладающие следующими свойствами:
функционал V (ф) задан и непрерывен в Л, функционал W (ф) задан и непрерывен в Ф;
— 1 < V (ф) < 0 при ф € Л; №(ф)> 0, ф (Ф и р (ф, 0) > 0;
по любой величине у2 > 0 можно указать величины 7х и ах такие, что V (ф) < —ух при р (ф, 0) ^ у2; ^ (ф) > > аг при р (ф, 0) ^ у2;
Г (ф)-> 0 и V (ф) -> 0 при р (ф, 0) -> 0;
если ф есть точка границы области Л, р (ф, 0) ^= 0, то
' lim_ У(ф)=— 1;
ф 6 Л, р (ф, ф)-»0
полная производная функционала V (ф), вычисленная на движении U (ф, /), удовлетворяет соотношению
™^ = W(U (ф> /)} (1 + у w (ф> ^ at
или, короче,
' ^L = U7(1+V).
dt
Доказательство этой теоремы следует из теоремы 19, так как система (5.1) определяет динамическую систему, имеющую ф = 0 своим инвариантным множеством.
Замечание. Множество элементов ф ЕФ, удовлетворяющих соотношению V (ср) = X, X Е (— 1, 0), образует сечение А в том смысле, что любое решение U (ср, /), ф Е Л имеет с этим множеством общую точку и притом только одну. Заметим, что любая теорема, доказанная в гл. 1 и относящаяся к динамической системе / (р, t) в R, может быть переформулирована для рассматриваемого здесь случая.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в частных производных:
д U qр , i. Oil;\/г
s U, xt,xh,ut1 .,.,»„), —-I-,...(5.2)
(9/Oxj /
(s,, i = 1, ..., n; 1, ..., /г),
правые части которой заданы и непрерывны при / ^ 0 в некоторой области G изменения своих аргументов хъ...,хк) ди;
иъ ..., ип, , ... Д'-мерного эвклидового пространства.
Предположим, что для любого элемента ф Е Ф и /0 ^ 0
можно построить решение системы (5.2) U = U (ф, /, /0), обладающее свойствами:
для любого ф Е-Ф U (ф, t, t^ определено для всех / > /0 и U (ф, X /0) Е Ф для всех t ^ t0 ^ 0;
U (ф, /, /0) = ф при t = /0.
Взятому элементу ф Е Ф и величине /0 ^ 0 может, вообще говоря, отвечать не одно решение, обладающее указанными выше свойствами. Однако будем рассматривать только те решения системы (5.2), которые обладают указанными свойствами. Если любое решение системы (5.2) определено при t ^ /0, то совокупность уравнений (5.2) определяет в пространстве Ф общую систему.
Предположим, что система (5.2) имеет нулевое решение U = 0, являющееся инвариантным множеством этой общей системы, т. е. из ф = 0 следует
(5.3)(5.3)и (ф, /, /о) = 0 при t ^ to
(5.3)
(5.3)
Напомним основные определения, относящиеся к этом случаю.
Определение 5. Инвариантное множество U = = 0 называется устойчивым, если по любому 8 > 0 можно указать 6 > 0 такое, что при р (ф, 0) < 6 будет р (U (ф, /, /0), 0) < 8, 0 ^ to < t. Если, кроме того, р ((/ (ф, t. /0) 0)-> -> 0 при t->- +оо, то решение U = 0 называют асимптотически устойчивым.
Теорема 87. Для того чтобы решение U — 0 системы (5.2), обладающее свойством (5.3), было устойчивым, необ-
ходимо и достаточно, чтобы существовало такое однопараметрическое семейство функционалов, что:
на любом элементе ф £ 8 (О, г) определена функция Vt (ср) вещественного аргумента t, заданная при 1^0, где 8 (0, г) — совокупность функций ср таких, что 0 < < Р (ф. 0) < г;
для любого достаточно малого ^ > 0 можно указать величину с2 >• О такую, что Vt (ф) > с2 при р (ср, 0) > сг и всех t ^ 0;
У<(ф)-*0 равномерно относительно / ^ 0 при Р(Ф, 0)->0;
функция Vt (U (ср, I, /0)) не возрастает при всех t ^ ^ /0, для которых она определена;
если, кроме того, функция Vt Ш (ф, I, /0))->0при t -> 4-оо при всех /0 ^ 0 и р (ср, 0) < 6Ъ где 6Г > О достаточно мало, то решение U = 0 системы (5.2), удовлетворяющее условию (5.3), будет асимптотически устойчивым и, обратно, если решение U = 0 асимптотически устойчиво, то имеет место пункт 5.
Доказательство теоремы 87 следует из теорем 72 и 73.
Определение 6. Асимптотически устойчивое нулевое решение системы (5.2) называется равномерно асимптотически устойчивым, если р (£7 (ф, t, t^, 0) -> О при t — —to ->4-оо равномерно относительно /0 ^ О при р (ф, 0) < < 62, где 62 > О достаточно мало. *
Определение 7. Асимптотически устойчивое нулевое решение системы (5.5) называется равномерно притягивающим, если по любой достаточно малой величине h >0 можно указать величины Т"> 0 и а > 0 такие, что р (U (ф, t, t0), 0) > а при Octo^t^to-VTH р (ф, 0) > > h (для всех /0 ^ 0).
Теорема 88. Пусть решение задачи Коши для системы (5.2) в пространстве Ф единственно.
Для того чтобы нулевое решение системы (5.2), обладающее свойством (5.3), было равномерно асимптотически устойчивым и равномерно притягивающим, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие два семейства функционалов Vt и Wt, что:
при любом ф € S (0, г) (г > 0 достаточно мало) определены величины Vt (ф) и Wt (ф), являющиеся функциями вещественного аргумента t ^ 0;
по любой достаточно малой величине Cj > 0 можно указать положительные величины с2 и са такие, что Vt (ф)> > —с2, Wt (ф) > са при р (ф, 0) > Ci и t ^ 0;
И< (ф) -*• 0, Wt (ф) -> О при р (ф, 0) -> О равномерно относительно t 0;
yt V t (U (ф, t, t^ = Wt (U (Ф, t, U\
Доказательство теоремы следует из теоремы 76.
Приведем теорему о неустойчивости нулевого решения системы (5.2).
Теорема 89. Пусть система (5.2) удовлетворяет условиям единственности решения задачи Коши в пространстве Ф.
Для того чтобы нулевое решение системы (5.2) было неустойчивым, необходимо и достаточно, чтобы существовали два семейства функционалов Vt и Wt, обладающие следующими свойствами:
на любом элементе ф€5(0,г), г>0 определены функции Vt (ф) и Wt (ф) при /0;
функция Vt (ф) ограничена при / 6 Ю, +°о), и ф £ € 5 (0, г);.
для любого 6 > 0 можно указать точку ф0 и значение параметра t0 такие, что У(о (ф0) > 0, р (ф0, М) < 6;
^ Vt ф (Ф, t, Q) = XVt (U (ф, t, /„)) + Wt (U (фЛ t0), Wt (ф) > 0, X = const > 0.
Доказательство следует из теоремы 77.
Замечание. Достаточность условий в теоремах 88 и 89 устанавливается без использования условий единственности решения задачи Коши для системы (5.2) в пространстве Ф. Необходимость условий также можно доказать, не используя эти условия, незначительно усложняя те рассуждения, которые были проведены при доказательстве теорем 76 и 77. Поэтому требование единственности в теоремах 88 и 89 является несущественным и может быть снято.
Отметим, что общая теория, развитая в гл. 4, позволяет ставить вопрос об устойчивости решений систем уравнений с частными производными в случае не только задачи Коши, но и различных смешанных задач для систем уравнений высшего порядка. В последующих параграфах будет приведен ряд конкретных примеров решения вопроса об устойчивости для систем уравнений с частными производными.
2. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в частных производных:
^*....«п)+£б*-^- (s=l,(5.4)
где fg^Ut, .... ип)— непрерывные ограниченные функции, заданные в Еп; bt (I = 1,..., Л) —вещественные постоянные.
Рассмотрим линейное нормированное пространство Ф, элементами которого являются векторные функции ф = = (фц..., фп). Составляющие вектора Ф — непрерывно дифференцируемые функции переменных хъ..., xk, заданные в Ен и ограниченные там вместе со своими производными. Пусть
Предположим, что система (5.4) имеет решение V = О, U = («!,..., ип). Поставим вопрос об устойчивости этого решения.
Теорема 90. Если функции ft непрерывно дифференцируемы в Еп, то для любого элемента ф € Ф существует семейство функций U^, f), обладающих следующими свойствами:
семейство U (ф, 0 задано при t € (—оо, +<») и U (ф, 0 € Ф при любом /;
U (ф, /) непрерывно по обоим своим аргументам, т. е. U • (Ф1. 4) — U (ф2, /2)0 при (,tv — /2) -> 0, (/2) <
<+ОО И Цф! — ф2||->0;
U (ф, 0 = ф при / = 0;
функция U (ф, /) удовлетворяет системе (5.4).
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
=(5.5)
at
Правые части этой системы заданы в Е^ ограничены и непрерывно дифференцируемы по всем своим аргументам. Поэтому существует единственная векторная функция от двух аргументов (/, ^<0)), обладающая следующими свойствами:
функция U (t, 1/<°>) задана при L/(0) £ Еп и t € (— °о, 4-оо), U V, t/<°>) е £„;
функция U (t, U^) непрерывна по обоим аргументам, т. е. [(/(^ U^)— 1ЦЦ, t/io))|-^O при 1^ —/2|^-0 и
1^°?-^0)|= ]/ S (t/^-LW ->о,
и непрерывно дифференцируема по параметру t и компонентам вектора £/(0);'
U (t, U(®>) удовлетворяет системе (5.5) и (/ (t, U^ = = UW при / = 0.'
Отметим, что свойства 2 и 3 следуют из теорем существования и единственности для обыкновенных дифференциальных уравнений. Первое свойство означает, что любая интегральная кривая системы (5.5) определена при всех t £ (—оо, -f-oo); этот факт следует из того, что функции fs ограничены, что является достаточным условием продолжимости любого решения системы (5.5). Рассмотрим векторную функцию U = U (/, <р (xi + 61/, .... хк + 6^/)). Эта функция при Ф 6 Ф непрерывно дифференцируема по переменным хь... .... хк, t. Покажем, что при любом конечном значении параметра / эта функция ограничена вместе с производными первого порядка по переменным хь ...,хк. Действительно, возьмем s-компоненту- этой функции us = us У, фь ... ...,фп(хг + tbt))(s = !-•••, «). (J’> =h •••, к\ Дифференцируя по переменной Xj, получаем'
dus __ А ди$Оф;
5х/,=1 дфгdxj '
Значения векторной функции ф (х, + tb^ попадают в ограниченную область G пространства Еп. Поэтому при закрепленном / каждой совокупности величин хъ..., хк можно сопоставить вектор t/(0> 6 G так, что U (t, U^ ) = U (t, Ф (хг + tb^, откуда в силу продолжимости решения системы (5.5) на все значения / 6 (— оо, + °°) в силу ограниченности области G и ограниченности функций dtpjdxj следует это утверждение. Таким образом U (/, ф (х, + tbi)) £ Е Ф при всех / 6 (— оо, +оо). Отметим, что U (t, ф) = ф при / = 0 в силу свойства 3, которому удовлетворяет функция U (/, (/(0)). Покажем теперь, что U (t, ф (х; + /6,)) непрерывна по обоим своим аргументам. Из свойства 2 для функции U (t, U^) получаем: | U (/п Ф1 (х; + ^6/)) — — U Цг, ф2 (xz + /26z)) | -* 0 при |/2—/11 0 и |Ф1 (xz + + t^btj — ф2 (xz + tjbi) I -> 0, откуда имеем
|ф1(Х; + /16,)—ф2 (хг + /26г)1^
^ | ф1 (XZ + /i bi) — ф1 (X; + /2 bt) | +
+1Ф1 (Xi + (2 &i) — ф2 <Xt + /2 bi) I ^ II Ф1—Ф2|| -|-
+ у S 1Фе1 (Xi + G bi)—фя (Xj + Z2 6i)]a • S=1
Применяя теорему Лагранжа о конечных приращениях, получаем |ф! (хг + kbi) — ф2 (х< + t2bt) | С M \t2 — /т| + + Цф1 — ф2|, гДе М — величина, определяемая максимумом "модуля величин д^8Х1дх}, Отсюда следует, что при |/2— М->0 и Пфх —ф2||->0
11^ №, Ф1 (хг kbt)) — U (^2, ф2 (х{ + /Д))||-*0.
Покажем теперь, что функция U (t, ф (xb + tbt)) является решением системы (5.4). Действительно,
к
0us _( ди8 | I У ди8d^i
at at )л tLx dhat ’
где ^^ — производная, вычисленная в предположении, что ф = const, а £г = Xi + tbi. Из этого соотношения имеем
-^-=m«i, ...,«»)+s bi -^-^!,...,»). dt•dxi
Тем самым теорема доказана.
Замечание 1. Требование ограниченности функций f8 (Ui,..., ип) использовано только для того, чтобы решения системы (5.5) были продолжимы на все значения t € €(—оо, +оо). Поэтому требование ограниченности можно заменить требованием продолжимости решений системы (5.5).
Замечание 2. Теорема 90 показывает, что система (5.4) в пространстве Ф определяет динамическую систему.
Решим теперь вопрос об устойчивости нулевого решения системы (5.4). Предположим, что нулевое решение системы (5.5) асимптотически устойчиво. Тогда, как следует из теоремы 22, существуют две функции V (иъ..., ип) и W («1,... ..., ип), обладающие следующими свойствами:
функция V задана в области А асимптотической устойчивости нулевого решения системы (5.5) и удовлетворяет там неравенствам — 1 < V < 0.
Функция W задана в Еп и такова, что'по любому а > 0 можно указать р > 0 такое, что при |i/| > а будет W > > Р, У (0,..., 0) = Г (0, .... 0) = 0;
полная производная функции V, вычисленная в силу системы (5.5), удовлетворяет соотношению dV/dt = № (1 + + V);
У->-1 при |(Г— G|->0, U^A, U^AIA, |Z7|#=0.
Как следует из теорем 19 и 22, условие, что W задано в Еп, не является необходимым. Достаточно, чтобы V была задана в Л. Множество точек области А, обладающих свойством 1 + V (иъ ..., мп) = X, обозначим через Sa, X £ (0,1). Множество точек 8х образует замкнутую поверхность, ограничивающую область G%, содержащую достаточно малую окрестность точки иг — ... = ип = 0. Перейдем к построению области асимптотической устойчивости нулевого движёния Ф - 0 динамической системы, определяемой совокупностью уравнений (5.4). Функцию ф Е Ф отнесем в класс фа, если все значения функции ф попадают в область Ga. При этом имеется по крайней мере одна точка (^, ..., £ft) такая, что G(0> = ф (Bi, ..., ^к) € S1. Таким образом,, установлено соответствие между функциями класса фа и точками замкнутой поверхности Sa, т. е. каждому U^ Е Sa отвечает функция ф0 Е фх такая, чтоф0 (I,,..., £ь) = UW, и, наоборот, любой функции ф0 € фа отвечает по крайней мере одна точка UW Е Sa. Благодаря этому соответствию с помощью функции V (иъ ..., ип) можно определить функционал Й1(ф)=У(Ы?),..., Мпо)),где ф Ефх> GW ESa—точка,соответствующая функции ф. Положим X (<) = V (U У, U^)) + 1 и покажем, что из ф Е фх следует, что U (/, ф (х;+ ^г))€фхщ- Действительно, при любом фиксированном значении t положим Kt = Vt — tbi. Тогда U (t, ф) = U (t, UWY откуда имеем, что функция U (t, ф (хг + tb^ принимает значения, лежащие на поверхности 8^. Нетрудно показать, что остальные значения этой функции лежат в области Ga «>. Таким образом U (t, ф(хг + tbtY Е Фа «), если ф Е фх- Благодаря этому функционал, определенный на функциях класса фа, может быть вычислен вдоль всего движения U (I, ф (х; + tbty) с помощью формулы V (U У, U^)) = = Vx (U (t, ф (х/ + tbt^Y Отсюда
=^- = WH, u^Y (1+VY.
* В классе ф^ отнесем также те функции, замыкание множества значений которых строго содержится в G^.*
Положим W (l/<°>) = Wx (ф). Тогда имеем dV^dt = «^(l + Vj). Обозначим через Л ф теоретико-множественную сумму фь, т. е. Лф = 2 фх.
0<Х<1
Теорема 91. Для того чтобы нулевое движение ф = О динамической системы, определяемой совокупностью уравнений (5.4), было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы было асимптотически устойчиво нулевое решение системы (5.5). При этом область асимптотической устойчивости Лф движения ф = 0 системы (/={/(/, Ф (х^ + tbt^ состоит из тех функций ф, замыкания множества значений которых попадают в Л-область асимптотической устойчивости нулевого решения системы (5.5). И наоборот, область Л состоит из тех и только тех точек Uo, которые являются значениями функций ф £ Лф.
Необходи м о с т ь. Пусть нулевое движение асимптотически устойчиво. Заметим, что Е„ а Ф*, поэтому U (t, t/(0>) -> О при t-> + оо для всех достаточно малых 1t/(0>|. Здесь ф (хх,..., х^ = U0. Отсюда следует, что нулевое решение системы (5.5) асимптотически устойчиво. Обозначим через Л область асимптотической устойчивости нулевого решения системы (5.5), и пусть ф Е Лф. Положим, что существует точка 51» • ••» £х такая, что ф (51, ...» 5x) = U^ и U^ £ Л. Тогда для xt = |г — tbt будем иметь U (t, Uw) = U (t, ф (х^ + tbiY) т4- 0 при /-»-4-оо. Следовательно, Ф £ Лф. Обратное очевидно.
Достаточность. Пусть нулевое решение системы (5.5) асимптотически устойчиво. Тогда, как было показано, существует множество Лф = 5 Фх» которое обладает 0<Х<1
следующими свойствами:
Лф есть открытое множество;
если ф Е Лф, то U (^, ф (х, + /6г)) Е Лф при t Е (—оо, +оо) и, кроме того, в множестве Л ф. определены два функционала Ух (ф) и Wx (ф) такие, что выполняются условия:
— 1 < Vx (<р) <. 0 при ф Е Лф. Для любого а > О можно указать Р>0 такое, что при ||ф|| >а будет||№'1||> >9;
dVxfdt = Wx (1 + VO-
Отсюда на основании теоремы 87 можно установить, что множество. Лф является областью асимптотической устойчивости нулевого движения'ф = 0.
♦Вектор (фь .... фп) У.Еп, если ф, = const при X £ Ен.
Рассмотрим систему уравнений о частными производными:.
^ц)+ У bidt. dxi^ц)+ У bidt. dxi(5.6)(5.6)
^ц)+ У bi
dt. dxi
^ц)+ У bi
dt. dxi
(5.6)
(5.6)
т 7 ( И") т 7 ( И")где U^ — однородные функции порядка р ^ 1 переменных tib..., ип (р — p/q, q — нечетное, р + ЧП). Как следует из теорем § 3 гл. 2, необходимым и достаточным условием того, чтобы нулевое решение системы
т 7 ( И")
т 7 ( И")
(5.7)
было асимптотически устойчивым, является существование двух положительно однородных функций V (и^..., ип) порядка т— р + 1 и F («1,..., «п) порядка т, где W < О при U N= 0, а И > 0 при V =^ 0, и dVldt = W. Обозначим через Sk поверхность V = X, через Ч^—совокупность функций <р таких, что все значения функций ср попадают в область Gx, ограниченную поверхностью 2% так, что существует по крайней мере одно значение функции ф (£],..., £п) = = (/(°) такое, что [/<°> £ 2Х. Положим VT (ф) = X при ф € Ч^, Кх (ф) = V (t/(0)). Тогда, как и выше, имеем К ((/ (/, U№» = Vt (U (I, ф (xt +tbi))) (I = К-, ^, откуда
^5^=W(U(t, U^)) = W^UV, ф)).
Функционалы Kj и ^ удовлетворяют следующим неравенствам:
«1IIФ ||т-ц+1 < ^ (ф) < п2 II Ф Ц"1 “ +1,-Ml U (t, Ф) Г ^W^U (t, Ф)) < -Ь21| U (I, ф) |Г.(5.8)
Применяя теорему 20, при р > 1 получаем неравенства
^Ц^(/.Ф)11<^Ц^(/.Ф)11<ииф II ф IIl+dat^l^""1ф II ф IIl+dat^l^""1C1 V ф II
^Ц^(/.Ф)11<
^Ц^(/.Ф)11<
и
и
ф II ф II
l+dat^l^""1
ф II ф II
l+dat^l^""1
Ц—1 г.1
V Нс^ИфГ-1
при f> 0, где Ci, d{ — положительные константы, связанные известным образом с положительными константами аь bt (i = 1, 2). Если р = 1, то оценка имеет экспоненциальный вид
PiWU-pit<\\U V, Ф)К911^116-^ (Pt, qt>0).
§ 3. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ НУЛЕВОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
В настоящем параграфе теория, развитая в гл. 4, применяется к исследованию систем линейных уравнений с частотными производными. Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений с частными производными
,«!+... 4-аь
ЛУ (5.9)ЛУ (5.9)- “а) (/) 2^ (S= 1
ЛУ (5.9)
ЛУ (5.9)
дх^1.. .dxak1 к
к
Суммирование ведется по всем 2 от 0 до тх. Предположим, что коэффициенты а^Х1,,,> а^ (I) являются вещественными функциями переменного /, заданными при / ^ 0 й непрерывными там. Эту систему уравнений можно записать в более компактной форме следующим образом. Положим U = = (иъ ..., zzn) ns, = ^, так что sj0^ =- 1. Тогда имеем
где ЛИ1ад — квадратные матрицы элементов а^'“к\
Рассмотрим линейную систему векторных функций ф = = (<р1( ..., фп) где фг (хъ..., хь) — функция, заданная в Ек и имеющая там все обобщенные производные до порядка т2 включительно и суммируемые с квадратом по Ек. Эту линейную систему векторных функций будем обозначать в дальнейшем через W^. В этой линейной системе можно ввести норму так, что линейная система W^ станет линейным нормированным функциональным пространством [3]. Рассмотрим также линейную систему векторных функций У = (Ф1, ..-,Фп), гДе ф, (xt,..., хк) задана в Ек) непрерывно дифференцируема там по всем своим аргументам до порядка т3 включительно и отлична от нуля только внутри некоторой конечной области б^. Эту линейную систему будем обозначать через Ст,. При /и3 ^ т^ имеем Ст, с W^. В пространстве W^ определим семейство функционалов вида
и#(ф)= J f vtl,AdQ, (5.Ю)
где Vp,pft— квадратичная форма величин s^.-.s^Ut = — уь так что
V6 6h=Y*CB 6..Y,(5.11)
где Ср,ph — симметричная квадратная матрица, элементами которой являются непрерывно дифференцируемые функции аргумента t, заданные при / ^ 0. Найдем решение системы (5.9) U = U (ф, 1, /0) такое, что U (ф, t, t^ = ф при t = t0.
. Вычислим на этом решении рассматриваемое семейство функционалов, а затем найдем от полученной функции переменного t производную по t. Тогда имеем
.■АГ
-^V^U^tJo^- \2Гр„..рй</12 +
Eftp,+ ...+Pft=0N
+J22»„+
£h кк
д^0 Д^'=о
WHL..Pft,«......a,Jd£2,(5.12)
где Wp,pft — квадратичная форма выражений s£>,... .... s^uj = Уг так что Fp,рй = У*Вр,рйУ, где Dp,pft — квадратная симметричная матрица, выражающаяся равенством
^Pipft = Л*Ср,pft +Ср,рйЛ + -^- Cp„...,pft. (5.13) Здесь Л = Ла,айпри ^(Xj=O. Функции Wkal'l — “ah* ₽‘РА представляют собой билинейные формы величин
gat + Pigtti + P, ...s^h^h Ui = yt И S^‘... S^Ut = Zu T. e.
^V. P,Ph = ^Ba,aftlp.pft2, (5.14) где Ba,aft. Pi^ = Ла„. ..aftCp,pft. Функции ^Pi? ...PA. a,,...,ak— билинейные формы тех же величин, т. е. ^....aft,P.....pft = 2*BS,чЛ^Y.(5.15)
Из формул (5.14) и (5.15) следует равенство ^^....а^ р,pft= •= ^^....рд, m,..:,ah. Таким образом, имеем dVt/dt = 214.
(5.16)(5.16)= Wt + '^'<1,> где Wt— семейство функционалов, определяемое равенством
(5.16)
(5.16)
E^ Pi + • • • +Рд — о
Семейство функционалов Wt1^ определяется равенством
-ч-ч(5.17)(5.17)in-/"-; 22 sK.^u-c,
-ч
-ч
(5.17)
(5.17)
Еъ кк
■ К 22 ^ = °
/=1/=1
ХЛВ1«/^...S^^U d&.
В семейство функционалов Wt1^ входят производные от функций ut до порядка (N + т^ включительно. Предположим, что функции Ui и все их производные до порядка (Af + + т^ включительно при любом конечном t "> t0 таковы, что имеет место формула интегрирования по частям:
J s?1... s^ftMisT,+pl... $“ь+рь UjdQ = (— 1)A 'x 4
x ^s^'.-.s^kuis^ ...s^UjdQ. (5.18)
4
Применяя формулы (5.18) к семейству функционалов (5.17), получаем
№=j 22 (-пА^^...^**
Еъ кк
2 «,=* 2 е,=°
/=1/=1
X t/*CPlчАах s»k UdQ =
к
пчNV а.
=122 (-1)'-1 s^-sS*^^«» х
кк
* 2 ^ГХ 2 Pj=° /-1/=1
хСр„ pft sT*+₽'... s“h+pk UdQ. (5.19)
Из равенств (5.19) и (5.17) имеем
5£0ММdt
X ...s^*Ga,^ Р1^^ ...5ак^иай, (5.20)
гдеGa,,„ ,Oft,ррь =
к
= (—1)/d1 Л* „ Ся й ф Cft й Л„ „ )/2.
(5.21)
Если матрицы Ср,p^ выбрать так, что
Gai,...,aft, pi, ...р^ — О,(А)
то производная семейства функционалов Vb вычисленная на решении U (ф, I, /0) системы (5.9), имеет вид
^-=Wt.(5.22)
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
-^-=AU.(5.23)
Пусть X (<, /0) — матрица фундаментальной системы решений системы уравнений (5.23) такая, что X (/, /0) = Е при t = t0. Легко установить, что векторная функция U — = X (t, /0) ^(0), Uw € Еп удовлетворяет системе (5.9). Поэтому для асимптотической устойчивости нулевого решения системы (5.9) в терминах какой-либо нормы необходимо, чтобы нулевое решение системы (5.23) было также асимптотически устойчиво (это же утверждение относится к случаю устойчивости и неустойчивости). Предположим, что нулевое решение системы (5.23) асимптотически устойчиво, при этом существуют две положительные функции фг (?) и ф1 (0, заданные при < >0 и непрерывные там, такие, что имеет место неравенство
(
t.
—р J % (^Ф1 (т)-1 аЛ^
^|t7(/,/0, t/<°))|^
^(0) I Ф1 (О-1 Ф1 M^xpf —^2J ф1(т)ф1(т)-1 drY
(5.24) где U = U (/, /0, [/<°>) — решение системы (5.23). Тогда, как было показано в теореме 82,. существуют две квадратичные формы
cuW Xi xj и Wx = 2 dn (/) х, xj, i. j = Xi,j=l
где Cij (/) и dij (Z) — непрерывно дифференцируемые функции аргумента t, заданные при / ^ 0, и такие, что имеют место неравенства
<Wi (О IX|2 < У^«2Ф1 ^ IXI2,(5.25)
- Mi (О IX |2 < Г2 < - 6гФ1 (/) |Х |2,(5.26)
где dV^dt — полная производная квадратичной формы Vn вычисленная в силу системы (5.23). Из выражения (5.27) имеем
Х*Гд*С + СД+ —Ax--X*DX, [dt J
откуда
Д*С + СД + — = D.dtД*С + СД + — = D.dt(5.28)(5.28)
Д*С + СД + — = D.dt
Д*С + СД + — = D.dt
(5.28)
(5.28)
Из сказанного выше следует: при любой квадратной симметричной матрице D= 1№Х0П такой, что выполнены неравенства (5.26), уравнение (5.28) имеет решение С = ||ci2||, причем выполнены неравенства (5.25), в которых сц > О, bt > 0 — константы. Будем далее матрицы Ср,pft выбирать так, чтобы они удовлетворяли уравнению (5.28), где D = Dp,.... pft— матрица, удовлетворяющая неравенствам (5.26). Матрицы Ср,pfe будем выбирать таким образом, чтобы по возможности удовлетворить соотношениям (А). Положим далее
я= г 2 2 И‘-Ф"02 йй*
где R — функционал, о котором идет речь в теоремах 78 и
79. Из равенства (5.22) имеем
Фх (О <\ R ф (ф, t, t6)) < V (U (ф, t, t^ ^ фх (Z)c2X
ХУ? (С/(ф, t, /0)),(5.29)
- ^ (/) R ф (ф, /, /„)) ^ф (ф, t, /0)) < ^-dMt) Rф ^, t, to)),(5.30)
откуда получаем
(
t\
—р^ Фх(т)Ф1 (т)-’Л ^
t, /0))^
\
— Я2 J Ф1 (т) ф! (т)-1 Л]и/
(5.31) при Z>Z0 (см- теоремы 78 и 79), где ct, dit pt, q, (Z = 1,2) — некоторые положительные константы, связанные между "собой известным образом. Можно положить [31] ||{/l|^w> = = Vr ((/), где U — любая функция из W^P, тг ^ N. Из этого следует, что неравенства (5.31) показывают наличие асимптотической устойчивости нулевого решения системы (5.9) по норме IF^’. При этом дается оценка скорости убывания нормы любого решения. Как следует из теоремы вложения Соболева, при к < 2N из неравенства (5.31) можно получить оценку скорости убывания
Il U (ф, t, /0) ||с при t > t0, || U Цс = max | U |. .^*л) GEh
При исследовании было сделано два важных предположения: одно о существовании решения системы (5.9) U (ф, t, t0) при Ф € Сщ„ Другое о выполнении формулы интегрирования по частям (5.18). Отметим, что оба эти требования выполняются при известных предположениях относительно коэффициентов системы (5.9) [32], а именно при достаточно большом значении величины т3 можно гарантировать существование решения U (ф, t, t0), имеющего все производные до порядка ф + mJ включительно. При этом выполнена формула (5.18) Из полученных выше результатов следует утверждение. Теорема 92. Если нулевое решение системы (5.23) асимптотически устойчиво и при этом выполнены неравенства (5.24), то при выполнении условий (А) пулевое решение си-
стемы (5.9) асимптотически устойчиво в смысле нормы в IT^, при этом выполняются неравенства (5.31). Далее, величину тг можно выбрать столь большой, что будет иметь место вместе с (5.31) неравенство
II U (ф, t, Q ||с < qi ||ф l^w Ф1 (О-1 Ф1 (/о) х 2
—^2 J % (т) ФГ1 (т) dr I
при t ^ /0, где ф € Ст>. При этом предполагается, что выполнены условия существования решений, сформулированные в [321. Следует отметить, что устойчивость решения для линейных уравнений с частными производными являлась также предметом исследований в [331. Покажем теперь, что условия (А) можно заменить более общими, так что теорема 92 останется в силе. Рассмотримте матрицы GOli,.. ,а р,рЛ для которых 2аг + Pi = 2ум где у; — целые числа. Обозначим через fV1,..., Tft диагональную матрицу, состоящую из диагональных элементов матрицы Ga,„к> р,pft» для которой 2аг + Pi = 2?ь Положим
кS Р,/2
Если матрицы Р“«?..., тк удовлетворяют условию (5.28) и °»*.-,ак-^»к=0при 2а(-+ ^ #= 2уг по крайней
мере при одном значении i = 1, .... A, Ga,aftiptph = = FVtVft при 2a< + Р< = 2уг (i = 1, ..., &), то условия теоремы 92 остаются в силе. При этом, как следует из [32], при выполнении этих условий существует решение системы (5.9) U = U (ф, t, t^, ф € Ст,, удовлетворяющее услови - ям (5.18).
Общие системы являются также абстрактной моделью смешанной задачи для систем уравнений с частными производными. Поэтому теория устойчивости инвариантных множеств, развития в гл. 4, может быть применена к исследованию вопроса об устойчивости решений смешанной задачи. Покажем это на ряде простых примеров. Рассмотрим уравнение
8UVМаг tX ди \\
а, "= 2a *7—\Qtj w,... • хп, i) н-
dtdXiд 1'
+ S at-^--YakX, n u,(5.32)
/=!
где функции ai5 и а заданы при X g D, t С Ю, + oo), at — вещественные постоянные и для всех значений аргументов X £ D выполнено условие
пп
2 аи (X, t) ^ ^ ^а^У,(5.33)
ij=i1 = 1
где а (0 — положительная непрерывная функция, заданная при ^ ^ 0. Предположим, что уравнение (5.32) имеет решение U (X, /), обладающее свойствами U (X, 0 = Ф W при Z=/o^O, U (X, /)=0 при X £ S, где S—граница области Q ст D и<р (X) — элемент некоторого пространства Фд. При этом будем считать, что U (X, Z) £ L2 (Q) при t ^ t0 и —^—- существует в смысле l2 (S2). Возьмем функционал V= | U4ti. Этот функционал определен в L2 (Q). Вычислим полную производную этого функционала в силу уравнения (5.32):
а(Х,^и dQ;а(Х,^и dQ;
а(Х,^и dQ;
а(Х,^и dQ;
dV dtdV dtdV dtdV dt— 2а— 2аппЙЙ
dV dt
dV dt
dV dt
dV dt
— 2а
— 2а
п
п
Й
Й
интегрируя по частям, получаем
aU4 dQ;
на основании неравенства (5.33) имеем
Если функция а^ХЛ) неположительна, то dV/dt < 0 и нулевое решение уравнения (5.32) устойчиво. Используя известное неравенство
сДимй^^ ^(^d^i,
JJ , \ Sxt /
йй ' = 1
получаем
4^ —2а (Л С b (X, О U2 d^, atJ
Q
где b (X, /) = С] — а*1 (/) а (X, t). При b (X, <) > с2 > О нулевое решение систем (5.32) асимптотически устойчиво и удовлетворяет оценке вида
|1 и lit (Q) < IIФ HL № exp [ — 2сг^ а (т) dr),
где J а (т) dr+оо при t ->4~ оо.
Вернемся к системе уравнений. В [351 показано, что смешанная задача в области Q X [0 ^ t < + оо ) для сильно параболической системы
dU , / д— L X, иdt\ дх )
разрешима, если U и все ее производные по всевозможным комбинациям х до (т — 1)-го порядка включительно на границе области Q обращаются в нуль при любом Z Е Ю, + °°) и U (X, 0к=о = Ф W, Ф W — векторная функция такая, что Ф (X) Е L2 (X).
В [36] показано, что нулевое решение этой системы асимптотически устойчиво в L2 (^)- При этом за основу взят функционал
V = f 2 u?dQ
и использовано условие (U, LU) ^ а ((/, [/); а = const>0,
где (U,2 и^ ^*
Отметим еще, что известное продвижение в вопросе об устойчивости решений смешанной задачи для уравнений с частными производными было дано Д.М. Волковым [37]. Его результаты, как и примеры, приведенные выше, можно получить также с точки зрения общей теории, изложенной в гл. 4.
В заключение отметим, что развитая в гл. 4 теория имеет большое ориентирующее значение, однако не может служить универсальным средством для решения всевозможных задач такого рода.
ДОПОЛНЕНИЕ 1
Решение проблемы интегрирования уравнений движения тяжелого твердого тела
Рассмотрим тяжелое твердое тело, движущееся вокруг неподвижной точки 0. Пусть правая декартова система координат Охуг неизменно связана с этим телом. Условимся считать, что ее оси направлены по главным осям интеграции тела, так что оси. Ох соответствует момент инерции А, оси Оу — момент инерции В, оси Oz — момент инерции С. Пусть центр инерции тела находится в точке О, имеющей координаты xq, ya, zg- Через Го будем далее обозначать радиус-вектор этой точки относительно точки О.
Введем в рассмотрение также правую декартову систему координат 0^^ и будем считать ее неподвижной. Пусть ось О£ этой системы координат совпадает с направлением, обратным направлению поля силы тяжести, которое считается постоянным в каждой точке пространства. При этих предположениях уравнения вращательного движения тела можно записать в виде
Ар -V (C — B)qr = mg (yaz — Zoy),
Bq + (Л — C) pr = mg fox — xgz),
. Cr + (В — Л) pq = mg (xGy — Уох\(1)
x = ry — qz, у = — rx + pz, z = qx — py.
В системе (1) величины p, q, г представляют собой проекции мгновенной угловой скорости о тела на оси Ox, Оу, Oz. Величины x,y,z — проекции орта оси ОС на те же оси, т — — масса тела, g — ускорение свободного падения. При сделанных предположениях g <_ 0.
При изучении движения твердого тела возникают следующие задачи:
найти аналитическое представление решений системы (1) при / € (— °°, + °°);
изучить аналитическую природу функций, представляющих решение системы (1);
дать качественное исследование поведения решений системы (1).
Исследование решений системы (1) тесно связано с изучением движения твердого тела, так как, зная решения этой системы, можно однозначно определить положение тела в пространстве и его мгновенную угловую скорость с помощью квадратур, вычисляемых от функций, которые описывают упомянутое решение. Положение тела в пространстве однозначно определяется в случае, когда задано его начальное положение.’
Рассмотрим историю развития теории движения тяжелого твердого тела. Система (1) имеет во всех случаях три первых интеграла, а именно:
хй + у1 + г2 — 1,
Арй + Bq4 + Cr2 — 2mg (xGx + yGy + zGz) = Clt
Арх + Bqy + Crz = C2..(2)
В случае Эйлера, когда xG = yG = zG = 0, любое решение системы (1) можно представить либо элементарными, либо эллиптическими функциями, так как его можно выразить с помощью функции г, удовлетворяющей уравнению
г + кг + /г3 = 0.(3)
В случае Лагранжа, когда А = В и xG = yG = 0, решение (1) также выражается либо через элементарные, либо через эллиптические функции, так как оно может быть выражено через функцию z, которая удовлетворяет уравнению
z + aoz2 + axz + «2 = 0.(4)
Функции г и z .являются решениями уравнений второго порядка вида .
ф = Ри 1®Y(5)
где рк (рв) — полином степени к относительно а1. Все функции, удовлетворяющие такому уравнению при к < 3 и не сводящиеся к элементарным, называются эллиптическими. При ^>3 такие функции называются гиперэллиптическими, если они не сводятся к элементарным. Таким образом, уравнения (3) и (4) в общем случае могут быть проинтегрированы только в эллиптических функциях.
В случае Эйлера и в случае Лагранжа решения системы (1), рассматриваемые как функции комплексного переменного t, на всей комплексной плоскости являются однозначными эллиптическими. С. В. Ковалевская дала утвердительный ответ на вопрос о том, существуют ли другие случаи, когда все решения системы (1) являются однозначными
эллиптическими на всей плоскости комплексного переменного I. Это имеет место в случае А = В ^^С и у а = zq = 0. При решении поставленной задачи основное затруднение возникло при выяснении аналитической природы функций, описывающих решения, и при аналитическом представлении этих решений. Было показано, что любое решение системы (1) выражается в общем случае через гиперэллиптические функции.
Рассмотренное направление развития теории, движения тяжелого твердого тела можно считать завершенным. Однако поставленные выше задачи решены только в указанных трех случаях. Изложим другой подход к решению упомянутых задач. Для задач механики характерно изучение движения при вещественном значении независимой переменной t £ £ (—оо, -j-oo), поэтому далее будем изучать решение системы (1) в вещественной области и использовать плоскость комплексного переменного там, где это необходимо.
Теорема 1. Любое вещественное решение системы (1) существует при / Е (— оо, +°°), и функции, представляющие это решение, являются голоморфными в полосе шириной 2/г (К*> 0) на плоскости комплексного переменного, симметричной относительно вещественной оси / 6 (—оо, + °о).
□ Пусть задано некоторое вещественное решение системы (1)
р = р (0. я = я (0. г = г (0,
X = X (t), У = У (0, 2 = 2 (0, (6)
отвечающее начальным условиям
Р (0) = Ро, Я (0) = Яо. г (0) = Го, х (0) = х0, у (0) = у0, г (0) = z0.(7)
Теорема будет доказана, если установить, что при любом т 6 (— оо, 4-оо) функции (6) являются голоморфными в круге |/—т|<й. Покажем это. Первые интегралы (2) принимают на заданном движении (6) определенное значение, тогда из интегралов х2 + y2+z2 =1, Л^2 4- S^2 44- Сг2 — 2 mg (хох + уоу 4- 20z) = Ар20 4- Bqo + Оо — — 2mg (xgx0 4- Ус у о + 2о2о) можно установить, что функции (6) равномерно ограничены при t £ (— оо, +°°). Отсюда вытекает, что существует А > 0, возможно зависящее от величин (7), такое, что функции (6) будут разлагаться в степенные ряды по степеням величины t — т, сходящиеся при \t — т| < h для любого т € (— оо, 4- оо).
Теорема 2. Любое вещественное решение системы (1) может быть представлено в виде рядов
Р Ц) = Ро + 2 Ph ^ • Я 9о + 2 Як Ф* > r ^ = r0-V
А=1*=1
+ 2 rh ^ ’(8)
к= 1
Х^ =Х0+ 2 Ч - У ^ = уо+ 2 Ук Ф* . 2 (0 = ?о + 6=1
+ 2 Zk Ф* ’к= 1
где ф — (еМ — 1) (ew + I)-1, X = л/(2/г), /t > О — некоторая постоянная. Ряды (8) сходятся при / £ (— °°> + °0).
Рассмотрим способ построений рядов (8). Для этого в системе (1) сделаем замену независимой переменной t по формуле ^ = 4 hi |i^ , откуда ^ = у fz^ ■ После такой замены систем (1) примет вид
ДХ (1—ф2) -^- + 2 (С—В) qr^2mg (yaz—zoyY
ВХ (1 —ф2) — +2 (Д —С) pr = 2mg (zqx—XgzY
СХ (1—^-\-2 (В — А^ pq = 2mg (,xG у—уо х),(9)
■X^-^^L^ry-qzY
K^-^-^- = 2(-rx+pz),
X(l— ф2)-^- =2 kqx—pyY
Подставляя ряды (8) в систему (9) и приравнивая затем коэффициенты при одинаковых степенях ф, найдем уравнения для определения коэффициентов рядов (8). Приравнивая свободные члены, получаем
ДХрх = — 2 (С — В) qoro + 2mg (yGz0 — zGy0Y
BXqx = — 2 (Д — C) p0 r0 + 2mg (zGx0 — xGz0\ (10)
CXrt = — 2 (В — Д) poqo + 2mg (xGy0 — yGx0\
Ххх = 2(r0z/0 — q^, Хуг = 2(— Vo + p^,(10)
^i = 2 (<70x0 — poyQ\
Приравнивая в (9) члены, содержащие первую степень ip, найдем
ЛХ/?2 = — (С — В) (Vi + Vo) + mg^o^ — гоу^,BXq2 = — (А-С^ро^ + р/о) + mg (^ — x0?i),СХг3 = — (В — Л) (р^ 4- piQo1) + mg (xGyi — уох^ (10а)Хх2 = (ГоУ1 + гхуй — q^ — q^,Ху2 = (— Vi — Vo + р^х + PiZ0),Xz2 = (<?о М 4- Vo — Р0У1 — РгУоУ
И, наконец, приравнивая члены при -ф*, находим
ЛХ (^4-1) рк+1 = АХ (k— 1) pk-i—2 (С— В) 2 Ч^зА- ч
i-Vi<k A-^mg (yGzk~zGyk),
ВХ(^4-1)^+1 = ВХ(^-1)^_1-2(Л-С) 2 Plr5A- id
i-Vi<k
+ 2mg ^Gxk — xGzkY
СХ(^+1)^+1 = СХ(^-1)г^1~2(В-Л) 2 Piqj +
i-VKU
-V2mg (xoijn—yoXh),(11)
X (A + l) ^+i = X (&— 1) xk-^x + 2 Vtyj—qt^j^ i^i<k
x(^+i)^+i- к (&— i) №-i+ 2 (—ri ^j+P/2j),
i-VKk x(^+i)z^+i = x(^~i)z^i + 2 kqiXj—PiyjY
I +i<k (k = 2,
Формулы (10), (10a) и (11) позволяют последовательно строить ряды (8).
Теорема 3. Матрица ориентации связанной системы Oxyz по отношению к абсолютной системе О^г|^ определяется единственным образом, если известно ее начальное значение и решение системы (1), а именно первые три функции (6).
При этом матрица ориентации представляется в виде ряда
Л = Ло + 2 ЛАф*. сходящегося при / ^ (— 00 > +°°).
Л» 1
□ Напомним, что i-й столбец матрицы Л (7) состоит из компонент f-ro орта системы О£т]£, разложенного в системе Oxyz. Пусть е3— вектор с компонентами (0, 0, 1). Тогда (х, у, z)T = Ле3. Первую группу уравнений (1) можно при этом переписать в виде
0® + ю X 0 ® = mq (го X Ле3),(12)
ную матрицуную матрицу, о» — вектор мгновенной угловой, о» — вектор мгновенной угловойгде 0— тензор инерции, представляющий собой диагональ- 4 0 0 о В о о о с
ную матрицу
ную матрицу
, о» — вектор мгновенной угловой
, о» — вектор мгновенной угловой
скорости тела. Далее, любой орт системы О^т)^ вращается по отношению к системе Oxyz с угловой скоростью — to. • Поэтому
Л = - to X Л.(13)
Будем искать решение системы уравнений (12), (13) в виде рядов
го = Юо+2 to;,^, л = ло+ 2 Лдф6 .(14)
к=1к=\
Сделаем в уравнениях (12) и (13) замену независимой переменной по формуле dt = dtp /[Х(1 --ф2)]. Тогда получаем систему
Х(1—ф2) 0 -^4-2(0 х 0o)=2/7i^(rG х Ле3),
X (1—ф2) — = —2ю х Л.(15)
Подставляя ряды (14) в систему (15) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ф, находим
ХЛх = .— 2<в0 X Л о, ХЛг = — (to0X Лх + tot X Л о),
X (^+ 1) Аь+ 1 = X (^— 1) Ak—1 —
i-V) = k
-2 2 ®гЛД^ = 2,3,...).(16)
t.i=o
Формулы (16) дают возможность определить единственным образом матрицу ориентации, если известны Ло и векторы tot = (рь qt, rty. Матрица Ло дается начальной ориентацией, а векторы «г единственным образом определяются из уравнений (10), (10а) и (11). Решения уравнений (12), (13) представляются функциями, голоморфными в полосе шириной 2й, симметричной относительно вещественной оси t €
£ (— оо, +оо), так как система (12) — (13) имеет интегралы (о, 0 о) — 2 (го, Аеа) = Сь ААТ = Е, где Ат — матрица, транспонированная по отношению к Л, а Е — единичная матрица. Из этого вытекает, что вещественные решения системы (12), (13) ограничены, но тогда их можно представить функциями, голоморфными в упомянутой полосе. Установлено, что такие решения представляются сходящимися рядами указанного в теоремах 2 и 3 вида.
ДОПОЛНЕНИЕ 2
Расчетные движения и расчетная устойчивость
В свое время проф. В. В. Немыцкий выдвинул задачу изучения свойств устойчивости решений систем дифференциальных уравнений в окрестности некоторых движений, не являющихся, вообще говоря, решениями рассматриваемых систем. Пусть дана система
х = F (я, /), х Е Еп,х = F (я, /), х Е Еп,(1)(1)
х = F (я, /), х Е Еп,
х = F (я, /), х Е Еп,
(1)
(1)
где функция F (х, /) определена и непрерывна по совокупности аргументов при ||х|| < R, Z ^ 0 и удовлетворяет локальному условию Липшица по х при !М1 < R» гДе R > О — число или символ + оо, ||. || — эвклидова норма в Еп. Возникает задача изучения поведения решений системы (1) в окрестности точки х = 0 без предположения о выполнении равенства F (0, /) = 0 при всех t ^ 0. В этом случае х = 0 может не являться решением системы (1), такое движение для рассматриваемой системы будем называть расчетным.
Определение. Движение х — 0 для системы (1) называется расчетно устойчивым, если для произвольного е >> 0 существуют такие 6 (в) >> 0, Т (в) ^ 0, что для любых х0, Zo, Ikoll < б (е), Zo ^ Т (в) получим ||x(Z, ^о, х0)|| <8 при всех Z^ Zo. Если, кроме того, ||х (Z, t^x^ ||->0 при /-> + оо, то движение х = 0, для системы (1) называется асимптотически расчетно устойчивым. Движение х = 0 для системы (1) называется расчетно неустойчивым, если существует в > 0 и для любых 6> 0, Т ^ 0 можно указать такие х0, Zo, ||xol| < 6, Zo^ Т, что при некотором tx >> > Zo получим I \х (/ъ Zo, х0) 11^8.
При анализе свойств устойчивости расчетного движения х = 0 системы (1) оказывается применимым второй метод А. М. Ляпунова.
ЛИТЕРАТУРА
Ляпунов Л. М. Общая задача об устойчивости движения. М., 1950.
Люстерник Л. Л. и Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.—Л., 1965.
Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л., 1950.
Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск, 1974.
Немыцкий В. В. и Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.—Л., 1949.
Еругин Н. П. О некоторых вопросах устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений в целом. ПММ, т. XIV, вып. 5, 1950.
Joshizawa. On the stability of solutions of the differential equation. Mem. Col. Sci. Kyoto Univ., № 1, 1955.
Красовский H. H. Об обращении теорем A. M. Ляпунова и Н. Г. Четаева о неустойчивости для стационарных систем дифференциальных уравнений. ПММ, т. XVIII, вып. 5, 1954.
Зубов В. И. К теории второго метода А. М. Ляпунова. ДАН, т. 100, № 5, 1955.
Еругин Н. П. Некоторые общие вопросы теории устойчивости движения. ПММ, т. XV, вып. 2, 1951, с. 227—236.
Барбашин Е. Л. и Красовский Н. Н. О существовании функций Ляпунова в случае асимптотической устойчивости в целом» ПММ, т. XVIII, вып. 3, 1954.
Еругин Н. П. Об одной задаче теории устойчивости систем автоматического регулирования. ПММ, т. XVI, вып. 5, 1952.
Барбашин Е. Л. Метод сечений в теории динамических систем. Минск, 1979.
Еругин Н. П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую. ПММ, т. XVI, вып. 6, 1952.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.—Л., 1947.
Курцвейль Я- Устойчивость решений дифференциальных уравнений. Лекция. Прага, 1956.
Еругин Н. П. О продолжении решений дифференциальных уравнений. ПММ, т. XV, вып. 1, 1951.
Зубов В. И. Некоторые достаточные признаки устойчивости нелинейной системы дифференциальных уравнений. ПММ, т. XVII, вып. 4, 1953.
Красовский Н. Н. Об устойчивости по первому приближению. ПММ, т. XIX, вып. 5, 1955.
Briotet Bouquet. Recherches sur les proprietes des fonctions definies par des equations differentiel 1 es. I. Ecole Polytech. vol. 21, 1856.
H. Poincare. Sur les proprietes des fonctions^definies par les equations differentielles. I. Ecole Polytech., Cahier/45, 1878.
E. Picard. Traite d’Analyse, t. 3, 1896.
I. Horn. Gewohnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung. Leipzig, 1934.
Еругин H. П. Аналитическая теория нелинейных‘обыкновенных дифференциальных уравнений. ПММ, т. XVI, вып. 4, 1952.
Шестаков А. А. Некоторые теоремы о неустойчивости в смысле Ляпунова. ДАН СССР, т. 79, № 1, 1951.
Зубов В. И. Вопросы теории второго метода Ляпунова построения общего решения в области асимптотической устойчивости. ПММ, т. XIX, вып. 2, 1955.
Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М., 1966.
Еругин Н. П. Рецензия на книгу Малкина «Теория устойчивости движения». Вести. ЛГУ, 1953, № 5.
Дыхман Е. И. О принципе сведения. Изв. АН Казахской ССР, 1950, № 7, сер. мат. мех., вып. 4.
Малкин И. Г. К вопросу об обращении теоремы А. М. Ляпунова об асимптотической устойчивости. ПММ., т. XVIII, вып. 2, 1954.*,
Михлин С. Г. Проблема минимума квадратичного функционала. М. — Л., 1952.
Петровский И. Г. О проблеме Cauchy для систем линейных уравнений с частными производными в области неаналитических функций. Бюлл. МГУ, сер. А., т. 1, вып. 7, 1938.
Гусарова Р. С. Автореф. канд. дисс. МГУ, 1952.
Рисе Ф. и Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М., 1979.*
Лянце В. Э. Об одной задаче для параболических систем дифференциальных уравнений с правой частью. Матем. сб., 35, 2, 1954.'
Вишик М. И., Ладыженская О. А. Краевые задачи для уравнений в частных производных и некоторых классов операторных уравнений. УМН, т. XI, вып. 6, 1956.
г 37. Волков Д. М. Труды III Всесоюзного математического съезда, т. Ill, М., 1956..•
Красовский Н. Н. Обращение теорем 2-го метода Ляпунова и вопросы устойчивости движения по первому приближению. ПММ, т. XX, вып. 2, 1956."
Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М., 1947.
Персидский К* П. К устойчивости движения. Матем. сб. т. XI, II вып. 1, 1935, с. 37—42.-
Персидский К* П. К теории устойчивости решений дифференциальных уравнений. Успехи матем. наук, т.' I, вып. 5—6 (новая, серия), 1946,
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие3
Введение . . . . .....,.-. 6
Глава 1. Устойчивость инвариантных множеств динамической системы в метрическом пространстве . . 17
Метрическое пространство. Основные определения 17
Операторы и функционалы..•••• 18
Окрестность множества19
Компактность ,19
Линейные нормированные пространства20
Динамическая система в л-мерном эвклидовом ■ пространстве 21
Примеры динамических систем в функциональных пространствах 24
Динамическая система в метрическом пространстве 26
Постановка задачи об устойчивости инвариантных множеств. Основные определения28
Равномерно асимптотически устойчивые и равномерно притягивающие инвариантные множества динамической системы . '.32
Качественная характеристика, с точки зрения ус-
• тойчивости по > Ляпунову, окрестности инвариантного множества •35
Необходимые и достаточные условия устойчивости 43
Необходимые и достаточные условия неустойчивости 49
Необходимые и достаточные условия существования равномерно асимптотически устойчивых и равномерно притягивающих инвариантных множеств52
Метод оценки . * * * 59
Глава 2. Исследование задачи об устойчивости движения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений 64
Стационарные системы дифференциальных уравнений 64
лучай аналитических правых частей системы (2.1) 81
Системы дифференциальных уравнений с однородными правыми частями. . 95
Случай к нулевых корней115
Случай нескольких пар чисто мнимых корней. . . 127
Система нестационарных дифференциальных уравнений 134
Глава 3. Исследование окрестности нулевого решения системы дифференциальных уравнений с помощью метода Ляпунова . 146
Вспомогательные теоремы из теории уравнений с частными производными146
Представление решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности особой точки152
Аналитическое представление 0-кривых системы дифференциальных уравнений специального вида-157
Глава 4. Исследование вопроса об устойчивости инвариантных множеств общих систем171
Общие системы. Основные определения171
Условия устойчивости и неустойчивости инвариантного множества М общей системы в . метрическом пространстве 176
Некоторые приложения к нестационарным системам обыкновенных дифференциальных уравнений 193
Глава 5. Решение вопроса об устойчивости для системы уравнений в частных производных ...... 202
Некоторые общие предложения- . . . . 202
Устойчивость решений квазилинейных систем специального вида206
Об устойчивости нулевого решения систем линейных уравнений с частными производными. . 213 Дополнение 1. Решение проблемы интегрирования уравне- ’ ний движения тяжелого твердого тела. . . 222 Дополнение 2. Расчетные движения и расчетная устойчивость 228
Литература229
Владимир Иванович Зубов
УСТОЙЧИВОСТЬ движения
(методы Ляпунова и их применение)
Зав. редакцией литературы по физике и математике Е. С. Гридасова. Редактор Ж. И. Яковлева. Мл. редакторы С. А. Доровских. Н. П. Майкова. Художественный редактор В. И. Пономаренко. Художник В. Н. Хомяков. Технический редактор Р. С. Родичева. Корректор В. В. Кожуткина
ИБ 4685
Изд. № ФМ-785. Сдано в-набор 19.01.84. Подп. в печать 12.09.84.
Формат 84X108732. Бум. тип. № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 12,18 усл. печ. л. 12,29 усл. кр.-отт. 11,80 уч.-изд. л.
Тираж 4000 экз. Зак. № 49 Цена 45 коп.
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14 Московская типография № 4 Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли 129041, Москва, Б. Переяславская ул., д. 46
_**Функцию V (X) можно доопределить по непрерывности в А.
Обозначим через Qj (/, р0, t0) левую часть неравенства (4.21),
а через Q2 (Л Ро. ^о) — его правую часть.
4. Пусть Х2 = 1, Xj > 1; тогда, применяя к соотношениям (4.14) и (4.15) последовательно неравенства (4.10) и (4.11), получаем
Ni (/, рв, У < R kt, Ро, М < ^2 V, Ро, ^о).(4.22)
5. Пусть Хг — 1, Х2 > 1. Применяя к соотношениям (4.14) и (4.15) неравенства (4.10) и (4.11), имеем
Pi (i, Ро, io) < R (i, Ро, to) < N2 (t, p0, t0). (4.23)
6. При kx > 1, X2 < 1
Nt (/, Po, to) < R V, Po, to) < Q, kt, Po, to). (4.24)
7. При Xt < 1, X2 > 1
Qi kt, Po, to) R t.t, Po, to) < N2 (t, po, to). (4.25)
8. При Xx = 1, X2 < 1
Pi (t, Po, to) ^ R kt, Po, to) ^ Qa kt, Po, to)- (4.26)
9. При X2 = 1, Xx < 1
Qi kt, Po, to) R kt> Po, to) Рг kt, Po, to)- (4-27)
Замечание. Все полученные здесь неравенства имеют место до тех пор, пока выполнены следующие условия: 1) определена функция V (t, р0, t0); 2) для всех t "^ t0, пока V (t, ро, t0) N= 0; 3) подкоренные выражения, встречающиеся в оценках, неотрицательны.
И. ЗУБОВ
УСТОЙЧИВОСТЬ
ДВИЖЕНИЯ (методы Ляпунова и их применение)
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов механико-математических специальностей университетов
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1984
ББК 22.2
3-91 УДК-531.01
Рецензенты:
кафедра теоретической механики Московского физико-техни^- ческого института и д-р физ.-мат. наук М. С. Никольский (ордена Ленина Математический институт им. В. А. Стеклова)
Зубов В. И.
3-91 Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение): Учеб, пособие для мех.-мат. спец, ун-тов). — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш, шк., 1984. — 232 с.
45 к.
В книге (1-е издание вышло в 1973 г.) излагаются основные проблемы современной теории устойчивости для систем, определенных в эвклидовом и функциональном пространствах и методы их решения. По содержанию данное пособие примыкает к знаменитой работе академика А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения». За последние годы наблюдается бурный рост этой науки, вызванный потребностями развивающейся техники и особенно потребностями автоматического регулирования.
„ 1703000000-441ББК 22.2
^ёк.о-м ^531
8
Издательство «Высшая школа», 1973 Издательство «Высшая школа», 1984, с изменениями