ГЛАВА 1

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ГАМИЛЬТОНОВОЙ МЕХАНИКИ

Кватернионы. Матрицы Паули

Что может быть проще и лучше?

Из письма У. Гамильтона л 〃. Тэту [/3J

Если Ты за это время получила толстейшую книгу Гамильтона о кватернионах, то, я думаю, уже ее внешний вид. отпугнул Тебя от ее обстоятельной проработки. Впрочем» по моему мнению, это было бы напрасной потерей времени;^ Из письма К. Вейерштрасса л С. Ковалевской [14]

16 октября 1843 г. У. Р. Гамильтон (1805—1865) открыл кватернионы 2.

Долго и безуспешно пытался Гамильтон ввести умножение векторов трехмерного пространства. Он рассматривал обобщенные комплексные числа вида а + bi cj с двумя мнимыми единицами i и j (/ — /2 = 一1) и никак не мог удовлетворительным образом определить произведение ij. Но, наконец, счастье улыбнулось Гамильтону: он понял, что для описания вектора трехмерного пространства* естественнее ввести не две, а три мнимые единицы ij и k (i2 = /2 = =必 = —1), и тотчас же сообразил, как можно перемножить эти. три единицы:

i/ = — L(I.I)

Предположив, что умножение ассоциативно: АВС = Л (ВС)= =(ЛВ) С, он сразу же получил из (1.1) таблицу умножения:

，2 =尸=居=—1,一 2 ，

ij = — jt = k.

[5 3 Подробности, связанные с историей кватернионов, можно иаЙти в работах

两=s — k] == f,

必=一義=j.(1.2)

Величину'

Q = а 十 bi 十 cj + dh,(1.3)

где а, б, с и d ——вещественные числа, Гамильтон назвал кватернионом, величину Q = а ——bi — cj—dk — сопряженным кватернионом. Операция сопряжения характеризуется следующим свойством:

Q1Q2 = Q2 Qr(L4)

Легко видеть, что:

QQ н QQ =废十护 + ,2 + *…(1.5)

т. е. любой кватернион имеет обратный ему, и, таким образом, кватернионы представляют собой алгебру с делением над полем вещественных чисел.一 '

Кватернионы оказались идеальным средством для описания поворотов трехмерных векторов. В 1844 г. Гамильтон получил формулу m十力+ z”“a‘+^+z/)Q ,(].б)

где Q — произвольный кватернион, (х, у, z) и (х\ у', z‘) —— компоненты первоначального и повернутого векторов. Совокупность всех кватернионов, для которых QQ = 1, описывает все возможные повороты в трехмерном пространстве.

Гамильтон был глубоко убежден, что, открыв кватернионы, юн сделал математическое открытие чрезвычайной важности, что после «Начал» И. Ньютона (1643—1727) появление кватернионов — самое значительное событие в науке. Увы, в этом Гамильтон ошибался. Он не знал, что кватернионы уже были известны К. Ф. Гауссу (1777—1855) в 1819 г. и Л. Эйлеру (1707—1783) в 1748 г. и что Эйлер «ще в 1776 г. пользовался формулой (1.6) для описания вращения твердого тела (18—20]. Если бы кватернионы действительно были столь важны для математики, как это считал Гамильтон, то Гаусс и Эйлер смогли бы это заметить.

Но в одном Гамильтон оказался прав. Он считал, что кватернионы необходимы для описания Вселенной. И, действительно, впоследствии кватернионы (и их обобщение на случай комплексных чисел ■, 6, & d — бикватернионы) заняли прочное место в квантовой теории электрона и других элементарных частиц, однако в другом виде — 2 X 2-матриц и под другим названием — спинорных представлений группы вращений (и собственной группы Лоренца).

В 1858 г. в «Мемуаре о теории матриц» [21], в котором впервые было введено слово «матрица» и заложены основы матричного исчисления, А. Кэли (1821—1895) отметил, что алгебра кватернионов эквивалентна алгебре 2 X 2-матриц определенного вида. Позднее Кэли указал явную реализацию кватернионных единиц 2 X 2・

матрицами:матрицами:1О1О：）：）(1.7)

матрицами:

матрицами:

1

О

1

О

：）

：）

” В 1927 г. В. Паули (1900—1958) в статье «К квантовой механике магнитного электрона» [22] впервые описал электрон двухкомпонентной волновой функцией, позднее названной спинором. Для описания внутреннего момента количества движения электрона — спи* на ——он ввел три 2 X 2-матрицы:

(1.8)

Как отметил Паули в своей статье, П. Иордан (р. 1902) обратил его внимание на то, что матрицы ——^,——ш2 и —(а3 подчиняются той же таблице умножения, что и кватернионные единицы i, /, k. В этом легко убедиться с помощью соотношений-

.,.尤= £ = ^ = /,.、

j= —Оз% =也，(i・9)

* j, О3О1 = — О](Уз = ig./1

Испш^Й матрицы Паули (1.8), будем сопоставлять кватерниону Q 2 兴 2*матрицу1

Q = а/ — ibO] — icg —沮％. 乃厂"：(1.10)

Поскольку матрицы Паули эрмитовы, матрица, соответствующая сопряженному кватерниону Q, как нетрудно видеть, совпадает с эрмитово сопряженной 2 х 2-матрицей Q+：

Q = Q+ = а/ + ib“ 十历& +，而3・ (1.11)

Отметим еще один способ получения матрицы сопряженного кватерниона. Введем антисимметричные 2 X 2-матрицы

ТогдаТогдаQ =「У%.Q =「У%.(1.12)(1.13)(1.12)(1.13)

Тогда

Тогда

Q =「У%.

Q =「У%.

(1.12)

(1.13)

(1.12)

(1.13)

Равенство (1.13) справедливо и в случае комплексных а, 6, с и d. Из соотношений (1.11) и (1.13) легко следует свойство операции сопряжения (1.4).

С иомшц好 кватернионов введем симнлюкт^кжую группу, оказавшуюся, как увидим» очень важной дл^ классической механики.

Симплектическая группа

С тех пор как существует квантовая теория, не прекращав ется борьба между любителями и профессионалами в теории групп. Любители утверждают, что все, что можно получить с помощью теории групп, может быть получено само собой, если знать, как умножить две матрицы.

А. Салам [23]

Рассмотрш л-компонентный вектор

Пусть и величин At преобразуются в и величин 4； с помощью квадратной матрицы А俏：

Пусть такое преобразование сохраняет инвариантной сумму

44 + 44 + • • +44 = 44

(впредь всегда по повторяющимся индексам будем производить суммирование, не оговаривая этого):

AiAi — AtAh(2.1)

Где 才j у ^^лиинна, сопряженная 4广 В трех случаях, когда Лг — вещественные числа, комплексные числа и кватернионы, матрицы А候 представляют собой следующие классические группы: ортогональную, унитарную и симплектическую з, обозначаемые соответственно О (л), U (л) и Sp (л) [25]. В табл. 1 SO (л) и SU (л) — «специальная ортогональная» и «специальная унитарная» группы. Символ S («специальная») свидетельствует о том, что определители соответствующих ортогональных и унитарных матриц равны единице

3 Греческое прилагательное «симплектическая» (от oup.nXexrixoS -- сплетающий, соединяющий), родственное латинскому «комплексная»» введено Г. Вейлем (1885—1955) в работе [24].

4

&

Классическая группа

a

0("), SO(")

a + bi

a — bi

U ⑻，SU (n)

а + bi * cj + dh

a — bi — с/ —dk

Sp(n)

(матрицы унимодулярны); 2n X 2п-матрицы симплектической группы, как увидим, всегда унимодулярны.

В 1878 г. Ф. Г. Фробениус (1849—1917) доказал теорему, объясняющую, почему Гамильтону не удавалось ввести комплексные числа с двумя мнимыми единицами: единственные ассоциативные алгебры с делением над полем вещественных чисел — это сами вещественные числа, комплексные числа и кватернионы [26]. Теорема Фробениуса поясняет также исключительность построения, с помощью которого введены классические группы О (и), U (и) и Sp (и).

Рассмотрим более подробно, что представляет собой симплекти- ческая группа Sp (и). Согласно определению, матрицы А木 группы Sp (и) — это и X п-кватернионные матрицы, сохраняющие форму 44：,

Ai — KikA^' r '

：-.AiAt-^ AiAi= AiAh(2.2)

Ho_ _

厂 *AiAi = AijAjAikAk == AjAifAikAk.J ；

Ясн^, что (2.2) будет выполняться, если.；-〔

，AqA 饅=6候.、(2.3)

Нетрудно убедиться в том, что (2.3) не только достаточное, но и необходимое условие выполнения (2,2).

Будем считать теперь, что кватернионные элементы матрицы А候 представляют собой 2 X 2-матрицы вида (1.10). Вместо и-ком- понентного кватернионного вектора At введем 2и-компонентный вектор (屮Jet, где (血)《 — комплексные числа, и пусть теперь матрица (А加纟 действует на вектор (屮/а：

(屮i)af (电)а = (А»2 (5)в・(2.4)

Убедимся в том, что преобразование (2.4) сохраняет две формы: эрмитово симметричную форму

州)a е)a =(屮(?),(屮9产=(9屮)(2.5)

и антисимметричную билинейную форму

一eа8(屮也(9加三(屮(p〉，(屮9〉П—(9屮〉，(2.6) где ((p)a преобразуется так же, как и (屮Ja； ^ =—或&；叁 =1; * обозначает комплексное сопряжение. Опуская индексы, обозначен-

ные греческими буквами, получаем

屯w-屮；中;=屮;A才A决%=屮aа々佻=屮:⑦.

Используя (1.12) и (1.13), находим

屮声牝一＞ 屮m； = ^A^bAtk^k = 曲仄订人:畋h=,•

=屮声也.

Введем бикватернионные матрицы Л^, т. е. матрицы, элементы которых, в свою очередь, являются произвольными 2 X 2-комплекс- ными матрицами вида (1.10), где a, b.cnd — произвольные комплексные числа. Пусть матрицы Л^ по-прежнему удовлетворяют соотношению (2.3), где величина А^ определяется с помощью (1.13) (но не с помощью (1.11)). Ясно, что преобразование (2.4), осуществляемое 2n X 2/г-комплексными матрицами, удовлетворяющими соотношению (2.3), по-прежнему сохраняет антисимметричную билинейную форму (2.6). Группа таких матриц называется группой Sp (и, С).

Как было показано, матрицы группы Sp (л) сохраняют сумму квадратов модулей величин (2.5), т. е. являются унитарными матрицами. Таким образом, группе Sp (л) принадлежат те матрицы из U (2л), которые одновременно принадлежат группе Sp (и, С), или, иными словами, Sp (л) — это пересечение Sp (и, С) н U (2п): Sp (л) = Sp (л, 0) f| U (2л).

Подгруппа группы Sp (л), состоящая из вещественных матриц, сохраняющих антисимметричную форму (2.6), где в этом случае (屮/)а и ((р()а —— вещественные числа, называется группой Sp (л, R).

Вместо двойных индексов i и а удобнее ввести один индекс. Это можно сделать следующим образом. Вместо векторов (屮，《 и (%)а (i = 1, 2,…，/г; а = 1, 2) введем векторы 屮° к % (а = 1, 2,… …，2a):

(屮/)1 =屮2f-l,(屮i)2 =屮2厶(也％ = ф2；-1, (б% =屮2〃

(2.7)

Тогда симплектический инвариант (2.6) примет вид

〈屮⑺=Eab^b,(2.8)

где 2孔 х 2и-матрица Eab = — Eba имеет следующий вид (изображены все элементы, отличные от нуля):一

Кроме ковариантных векторов 也 и 乳 можно ввести произвольные тензоры ①：^ с таким законом, преобразования:

①:二纟—吟士• = a跳7)就a (A--,)i …X、 x①：…

(индексы с точкой возникают в случае комплексных матриц Л) Запишем теп叩ь условие инвариантности величины (^)=〈屮'q/〉：

,严"屮例=E^a^b = Eab AcaAb^d,

или 〉「『

откуда, так как 屮。и 也一произвольные векторы, следует, что еаЬ = £4岛

Последнее соотношение можно представить также в виде

Ecd = (Л-^^Л-1)^^.(2.10)

Соотношение (2.10) можно интерпретировать следующим образом: величина Е”, будучи преобразована как тензор с двумя контрава- риантными индексами, не изменяется при таком преобразовании, т. е. тензор ЕаЬ инвариантен..

Кроме инвариантного тензора ЕаЬ введем еще один инвариантный тензор £о&* определяемый соотношением

ЕасЕЬс =氏(2.11)

где 6д = (о；5&- Матрица Е», как и матрица Е叱 имеет вид (2.9).

Теперь определим симплектическую группу Sp (и, С) (Sp (л, /?)). Группа комплексных (вещественных) 2л х 2л-матрицЛ называется симплектической, если преобразования этой группы оставляют инвариантным антисимметричный тензор второго ранга £曲= =—Eba вида (2.9). Аналогично можно определить ортогональную и унитарную группы: ортогональные комплексные (вещественные) и X n-матрицы группы О (л, С) (О (п)) оставляют инвариантным симметричный тензор второго ранга 6而 = ^а вида

6 = /,(2.12)

унитарные комплексные п X n-матрицы группы U (п) ——эрмитов тензор второго ранга 卩。匕=^Ьа вида

В = /,(2」3)

где / ——единичная п х л-матрица. В случае группы Sp (л, С) кроме тензоров ЕаЬ и Еаь инвариантны также антисимметричные тензоры Е^ и % (все тензоры £ имеют вид (2.9)). В случае группы

q (孔)Кроме тензора 8必 инвариантен также симметричный тензор 6а料 а в случае группы О (л, С) инвариантны также симметричные тензоры 6而 и 脇(все тензоры 6 имеют вид (2.12)). В случае группы U (л) кроме тензора 卩曲 инвариантен также эрмитов тензор ④(оба тензора § имеют вид (2.13)).

Унимодулярные матрицы специальных групп SO (л, С), SO (и) оставляют инвариантным полностью антисимметричный единичный тензор ранга п га^..^ ^⑵仙=1. Действительно, тензор

как легко видеть, также полностью антисимметричен, а следовательно,

, Еда»”。/, = £12 …/18%。* …а紋 7

где : - - - ■ ' '

ei2...n = Л^Лз8 ... А%е瓦坛…勿$

Последняя величина, по определению, представляет собой определитель матрицы Л. Таким образом,

в%%...% = I А I (2.14)

Соотношение (2.14) показывает, что унимодулярность матрицы Л — необходимое и достаточное условие инвариантности полностью антисимметричного тензора %冋

Теперь нетрудно убедиться в том, что матрицы Л групп Sp (и, С), Sp (и, R) и Sp (и) унимодулярны. Все эти группы матриц оставляют инвариантным антисимметричный тензор Е曲.Рассмотрим тензор ранга 2и ,

Та^.^а^п^а2п ~ е4%…e殁门一1°2ё '

Ясно, что полностью антисимметризованный тензор \Та^^_ха^ с точностью до численного множителя N совпадает с поЛВО^Ыо аНТИСИММеТрИЧНЫМ еДИНИЧНЫМ ТеНЗОрОМ ^а^...а2п^а^

品投2 …国2"-1。2京=1% (2.15)

Но левая часть соотношения (2.15) инвариантна, следовательно, инвариантна и правая, а инвариантность последней согласно (2.14) означает унимодулярность матриц Л.

Линейное векторное пространство со скалярным произведением, определяемым формулой (2.8), называется симплекпгическим пространством.

Подобно тому как произвольную неособенную симметричную матрицу g优=gE (八々=1,2, ...» n) можно представить как совокупность скалярных произведений п линейно независимых векто- 26

^pOB d,炉,唸^Н^-мерного евклидова прос^истм-

' ^к = (а1ак) = Ь^аааь, ,•

произвольную неособенную антисимметричную матрицу (jk = —d* (i, ^ = 1,2,…，2n) можно представить как совокупность скалярных произведений 2 п линейно независимых векторов Л1, Л2, ... .・・,А2п 2л-мерного симплектического пространства*

Gik = < 才屋 > =ЕаЬ^а^

Выбрав векторы с^ и А1 в качестве «косоугольных» базисных наборов векторов, получим следующие выражения для соответствующих скалярных произведений:、，

(xg) = glkXiyk, (ху) = G%必.「

Рассмотрим величину'

■—₽, , ,, Л^ AhД^п—1 Л^пра1а»ра2п—\а2п

一Uj…」Zm—Uz/iA/Ha»Ла2п—1 a2n *"匸*

(2.16)

называемую пфаффианом в честь И. Ф. Пфаффа (1765—1825), исследования которого, опубликованные в 1815 г. [27J, положили начало глубокому изучению антисимметричных билинейных форм. Так как 如…3组组4凱=1風坛也..%:"…

ТО ,-

Pf(G)^\Aa\Pf(E).「(2.17)

Вычисляя определитель матрицы G,：t」

|G| = |£|.|^ I2,」•：

и учитывая формулу (2.17), получаем,

|G|/|E| = (P/(G))2/(P/(E))2.,<

Из явного вида матрицы £, определяемого (2.9), следует, что 'У

IЕI = 1, PRE) = 2%1 (— 1)\(2.18)

и окончательно находим соотношение, справедливость которого доказана Кэли в 1848 г. [28]:

(P/(G))2 = 22n(n!)2]G|.(2.19)

В табл. 2 приведены основные свойства рассмотренных симплекти- ческих групп.

В дальнейшем будет показано, что в классической механике большое значение имеет группа Sp (и, R). А сейчас рассмотрим группы Sp (1), Sp (1, С) и Sp (1, R).

Группа

Уиимодулярные матрицы

Инвариант группы

Инвариантный тензор второго ранга

Spg С)

Комплексные

〈屮中〉

=_（研）〉

e而,

Е而

Eab'

Е°*

Sp (")

То же

（屮中）

（2中）

=—〈中2〉

-（中2）*

Е。” Е“"，

Eab'

E访

俨"

Sp(a, R)

Вещественные

〈屮屮〉

=一（部〉

Группа Sp (1), по определению, есть подгруппа SU (2). В действительности, Sp (1) совпадает с SU (2) : Sp (1) = SU (2). Согласно формуле Эйлера ——Гамильтона (1.6) всякой матрице Л g Sp (1) сопоставляется некоторое вращение в трехмерном пространстве £ SO:

xi = L优/.(2.20)

Справедливо и обратное: произвольному вращению 厶饅 £ SO (3) по формуле (1.6) сопоставляется с точностью до знака некоторая матрица А € Sp (1). Формулу (1.6) можно представить в эквивалентном виде

Г^Л^Л-1 = аь(2.21)

где s — матрицы Паули. Формула (2.21) свидетельствует о том, что матрицы Паули (oj纟 представляют собой инвариантные объекты, т. е., будучи преобразованы по всем своим индексам, не изменяются. Соотношение (2.21) устанавливает соответствие

S^1) = S"2)~SO(3),(2.22)

где ~ означает двухзначное соответствие между матрицами L и Л. Как только установлено соответствие (2.21), векторы 屮《, преобразующиеся е помощью матриц Л,曰

屮a f 也=A^Wb :」；；(2.23)

становятся спинорами трехмерного евклидова пространства, а матрицы Л —— матрицами спинорного представления группы вращений трехмерного пространства. Спиноры открыты Э. Ж. Картаном (1869—1951) в 1913 г. [29] и независимо введены для описания нерелятивистского электрона Паули в 1927 г. [22].

Группа Sp (1, С) совпадает с группой комплексных унимодуляр- ных 2 X 2-матриц SL (2, С) : Sp (1, С) = SL (2, С). Согласно формуле (2.21) произвольной матрице А £ Sp (1, С) сопоставляется некоторое вращение в трехмерном комплексном пространстве L诡 С

6 SO (3, С). Группа SO (3, С) находится во взаимно-однозначном соответствии с собственной группой Лоренца SO*(3, 1). (Здесь (3,1) означает, что преобразования из SO‘(3,1) сохраняют форму 炉 4* У + z?——。咁；十 означает, что направление времени не изменяется на обратное. В существовании изоморфизма SO (3, С) « 比 SO*(3, 1) можно убедиться, воспользовавшись релятивистской инвариантностью квадрата трехмерного комплексного вектора (Е + + /Н)2 = Е2 — Н2 + 2i (ЕН), где Е и Н ~ векторы электрического и магнитного полей). Таким образом, приходим к соответствию

Sp (1,С) = SL (2, С)〜SO (3, С)比 SO 十(3, 1 )•

(2.24>

Соответствие (2.24) представляет собой основу теории спиноров псевдоевклидова пространства-времени, введенных П. А. М. Дираком (р. 1902) для описания релятивистского электрона в 1928 г. [30].

Группа Sp (1, R) совпадает с группой вещественных унимоду- лярных 2 х 2-матриц SL (2, R), Sp (1, R) = SL (2, R). По формуле (2.21) произвольной матрице A G Sp (1, /?) сопоставляется некоторое собственное преобразование Лоренца в трехмерном псевдо- евклидовом пространстве L/£SO‘(2, 1). Таким образом, имеем соответствие

Sp(l, R) = SL(2, R)影 SO' (2」)・、(2.25)

Соответствие (2.25) используем в дальнейшем при расййИ|*ении задачи об осцилляторе с частотой, зависящей от временах：'*

Инвариант Лагранжа и канонические уравнения. * 二亲餐 Скобки Лагранжа户“幻，Н ■

:，，产 .г： С 1788 года механика стала симплектической.

•「‘水.м. Сурье [з〃

В 1788 г., через 101 год после появления «Начал» Ньютона, в Париже была издана «Аналитическая механика» Ж. Л. Лагранжа (1736— 1813). «Механика стала новой наукой в руках Ньютона»,— писал Лагранж о «Началах» в своей книге. Эти же слова применимы и к «Аналитической механике». Механика стала новой наукой в руках Лагранжа: из физической теории она превратилась в раздел математического анализа. В 1811 г. и в 1813 г. вышли две книги второго переработанного и дополненного издания «Аналитической механики»,

которые переведены на русский язык [32]4. Обратимся к тому месту. «Аналитической механики», где изложено свойство движения материальных точек, благодаря которому в настоящее время механика стала одним из разделов дифференциальной геометрии [35, гл. III, § 7].

Пусть pt в q( — импульсы и координаты ^ точечных частиц, движущихся по законам механики Ньютона. Рас-

р смотрим три бесконечно близкие одна к другой траектории в р, д-пространстве (рис. 6). Пусть 6р, 6?, Др и Ад обозначают вариации р н д в фиксированный момент времени. Тогда, согласно Лагранжу ([32], часть II, раздел V, § 1), величина

6q№ — 6p4qi(3・1)

яе зависит от времени, т. е.' ：； 二个爲‘

备(ММ —汕Ag,) = 0. 乩：(3.2)

Прежде чем доказывать постоянство величины (3.1), заметим, что (3.1) есть не что иное, как рассмотренный инвариант симплектиче- ской группы. Действительно, введя обозначения

Pi^x2l~\ 仇三％%' (3.3)

можно представить величину (3.1) в виде ・

(6хДх) s Eab^^xb,• ”： (3.4)

где Eab — 2九 X 2и-матрица вида (2.9).

Докажем, что величина (3.1) постоянна. При этом мы убедимся в том, что из инвариантности (3,1) во времени следует существование гамильтониана и канонической формы уравнений динамики. Полагаем, что pi и q( могут принимать произвольные вещественные значения и уравнения движения рассматриваемой динамической системы имеют вид

風=g, (р, q> 0. 7r =—力(p, <7. /)，】(3.5)

& В год рождения Лагранжа в истории механики произошло еще одно значительное событие： в Петербурге вышли два тома «Механики» Эйлера [33], появившиеся через 99 лет после «Геометрии^ Р. Декарта (1596—1650). «Эйлер сделал для механики то, что Декарт сделал для геометрии — освободил механику от оков синтетического изложения и сделал ее аналитической. «Начала» Ньютона могли бы быть написаны Архимедом, «Механику» Эйлера не смог бы написать ни один грек» [34].

где ft и gt — произвольные функции р, g, £ ВбЭДГ, (Назначения 力 е F^t, g(=巳厶 представляем (3.5) в виде

必=EabFb,(3.6)

где Eab — 2n X 2小матрица вида (2.9). И^ (3.6) получаем

6? = Eab (dFb/dxc) 6/, Д? = £а6 (dFb/dxc) Дхс.

Дифференцируя (бхДх) по времени, учитывая при этом, что (6%)'= =6%, (А%)' = Ах, и используя соотношение ЕасЕЬс = ба, находим 备(Еаь8ха^хь) = (dFb/dxa — dFJdx^ 6хаДхь.

Так как вариации 6хо и Ах* произвольны, из условия постоянства (6хДх) во времени окончательно имеем

dFb/dxa — dFa/dxb = O.(3.7>

Легко видеть, что векторное поле Fb безвихревое, а следовательно, существует скалярная функция ", такая, что

Fb = 3HI3xb.(3.8>

Подставляя (3.8) в (3.6), получаем .г ；

ха = ЕаЬ0Н1д, ["、

или согласно (3.3)

Pi = — dH/dqh qt = дН/дрь(3.9>

Таким образом, мы доказали, что для постоянства симплектического инварианта Лагранжа во времени необходимо и достаточно, чтобы уравнения динамики имели гамильтонову форму в.

Инвариант Лагранжа тесно связан со скобками Лагранжа. Пусть р и q, а тем самым и х определяются набором произвольных постоянных и, и,・・，Тогда, если 6无 = 籌 6〃 м А% =警 Др, то

.,〈6皿〉=〈^^>必и.

Величина .

.岡。(з.10> 1\du dv / dv ди ди ди、' 尸

называемая скобками Лагранжа, введена Лагранжем в 1808 г. в- «Мемуаре о теории вариаций элементов планет и, в частности, вариаций больших осей их орбит» [36]. Метод вариации произвольных постоянных, разработанный Лагранжем и подробно изложенный им- во втором издании «Аналитической механики», предполагает, что решены уравнения движения невозмущенной механической системы

6 В случае неодносвязного фазового р,「пространства могут возникнуть затруднения при распространении локального гамильтониана на все фазовое- пространство (см. [1, §40»

«я что величиныха (а = 1,2,..., 2и) — известные функции 2п произвольных постоянных vu v2, ...» и2n и времени t : х* = х。(s，f) 〃 =1, 2, ..., 2/1). Возмущенное движение описывается теми же функциями %° (s，f), но при этом полагается, что величины 虫 зависят от времени: vz = vf (/). Если гамильтониан невозмущенной системы равен%, а возмущенный гамильтониан Н = //0 + Q, то, подставляя функции ха (0 =庶[虫 ⑴，t] в уравнения движения (3.9) и используя уравнения невозмущенного движения, получаем

(dxa/dvi) и, = ЕаЬд^!дх.(3.11)

Умножая (3.11) на Е^дх^ди卜 используя определение скобок Лагранжа (3.10) и соотношение (2.11), находим уравнения для определения зависимости величин 虫 от времени:

旧,uj 近=—OQ/d%(3.12)

По поводу формул (3.12), составляющих сущность теории вариа- дии произвольных постоянных Лагранжа, заметим следующее (подробнее об этом см. статьи Н. И. Идельсона и М. Ф. Субботина в сборнике [37]): при выводе формул (3.12) Лагранж впервые в истории механики использовал каноническую форму уравнений движения; формулн (3.12) для частного случая вариаций эллиптических элементов планет одновременно с Лагранжем были найдены П. С. Лапласом (1749—1827), мемуары Лагранжа и Лапласа были доложены на одном и том же заседании Академии наук (Института Франции) 22 августа 1808 г.

§ 4. Скобки Пуассона, и:

Теорема Пуассона

'，飞； 「 ： Теорема, о которой идет речь, представляется мне самой ； £ Важной теоремой механики.

К. Г. Якоби [38]

В 1809 г. в «Мемуаре о вариации произвольных постоянных в вопросах механики» [39] С. Д. Пуассон (1781—1840) привел формулы, в определенном отношении обратные формулам (3.12) Лагранжа. Пуассон, в отличие от Лагранжа, не считал • известными решения невозмущенной задачи ха = xa (vh f). Напротив, он полагал, что «звестны 2п интегралов невозмущенного движения у； = vz (ха 〃)，2). Если гамильтониан возмущенного движения // = //0 + Q, то величины s становятся функциями времени, причем, как нетрудно видеть,

吁匕X。"「(4」)

Определив скобки Пуассона一у

/、ди dv , dv ди . dv ди

.(u,v) = £ г——згз—, (4.2)

亠' 丿 дха дхь . * dPi 皿；°例 dPi

представим (4 1) в виде

S = (Vf, Q)・(4.3)

Скобки Пуассона (и〃 и/ и скобки Лагранжа [и『,и&] взаимно обратны: (S，4)[У/. %1 = [V/, %J(S；%) = 6".(4.4)

Умножив (3.12) на ⑨,и；) и воспользовавшись (4.4), получим

(%u力1回 闻 九+ 崙｝ = - W十 何,Q) = 0.

Таким образом, мы убеждаемся, что формулы Пуассона (4.3) следуют из формул Лагранжа (3.12).

Сопоставление паре функций 〃 и и некоторой третьей функции — скобок Пуассона (弘 и) — можно рассматривать как билинейный закон неассоциативного умножения, удовлетворяющий следующим условиям билинейности (а ——константа):

…处у…г (и]+ и2, ")= (%, ")十(^2» 〃)，/

J :(〃/1 + 内)=(%01) + (〃，色)，:f：*

'仁 a (u, v) = (au, u) = (u, av),— '、(4.5)

условию ＞；/佇h丁工中f心中？彳？ • 一

(u, u) = 0'_(4.6)

и тождеству Якоби

3 и), w) + ((“ 吼 〃)+ (他，и), и)二 0. г (4.7) Кроме условий (4.5) — (4.7) справедливы также соотно0ння

(力％, и) = (% u) v2 + vjv2, 〃)，％(4 8)

(〃，办办)=(u, uj 内 + S (〃，办)，

Алгебра над полем вещественных (или комплексных) чисел g законом умножения, удовлетворяющим условиям (4.5) — (4.7), есть, по определению, алгебра Ли (см., например, [40]). Таким образом, совокупность функций от импульсов и координат с обычными операциями сложения и умножения на константы и с билинейным законом умножения — скобками Пуассона — представляет собой алгебру Ли.

Если F — некоторая функция х и / : F = F (х, 0, то из уравнений движения (3.9) следует, что

F = dF/dt + (F, //). •一(4.9)

Пусть F н G — два интеграла движения, т. 2•户=6 = 0. В упомянутом выше мемуаре Пуассон доказал следующую теорему: если 戶〃 G — интегралы движения, то скобки (户，G) также интеграл движения. Теорема Пуассона была открыта заново К. Г. Якоби (1804——1851). Приведем слова Якоби из его «Лекций по динамике» [41]： «После того, как я нашел эту теорему., я сообщил об этом академиям в Берлине и Париже, как о совсем новом открытии. Но скоро

после этого я заметил, что эта теорема уже была открыта, но в течение 30 лет оставалась в неизвестности, так как не подозревали ее истинного смысла... Тому, что никто не распознал важности открытой теоремы, способствовало одно своеобразное обстоятельство. Именно, случаи, в которых ее применяли, были как раз такие, что вновь образованное выражение не давало нового интеграла и результат становился либо тождественно равным нулю, либо равным числу, отличному от нуля, например единице» Якоби понял, в чем причина того, что не удавалось получить новые интегралы: как правило, скобки Пуассона образовывались из интегралов движения, следующих из общих принципов симметрии, а не из частной симметрии данной задачи. Совокупность же таких интегралов образует замкнутую подалгебру в полной алгебре Ли всех интегралов движения. В следующем параграфе мы рассмотрим в качестве нетривиального примера бесконечномерную гамильтонову систему (уравнение Кортевега — де Фриса) и увидим, как в этом, несколько необычном случае, теорема Пуассона приводит к новым интегралам движения.

§ 5・ Гамильтонова механика в произвольных переменных 仆学袋

Значение скобок Пуассона в классической аналитической механике особенно подчеркивалось П. А. М. Дираком. Ему же принадлежит полное аксиоматическое описание скобок Пуассона. Самое удивительное то, что, по-видимому, первым (по крайней мере среди физиков), обсудившим эти аксиомы, был В. Паули.

Р. Йот [42]

Аксиомы, определяющие скобки Пуассона, были введены Дираком в 1925 г. в статье «Основные уравнения квантовой механики» [43]. В 1953 г. Паули исследовал эти аксиомы: в статью «О гамильтоновой структуре нелокальных теорий поля» [44] он включил параграф «Аналитическая механика со скобками Пуассона в произвольных переменных. Существование канонических переменных».

дит в метрический тензор g曲(炉)=дит в метрический тензор g曲(炉)=О каких произвольных переменных идет речь? Поясним это на примере евклидового пространства. От евклидовых координат х° можно перейти к произвольным координатам 尤"=ха (х). При этом тензор 8曲=(/)必,определяющий евклидову метрику, перехо

дит в метрический тензор g曲(炉)=

дит в метрический тензор g曲(炉)=

—т-. Однако можно с са- дха дхь

мого начала пользоваться произвольными координатами и метрическим тензором gw (£) и сформулировать условие евклидовости пространства в виде требования обращения в нуль тензора кривизны, построенного из метрического тензора и его производных. Равенство нулю тензора кривизны дает возможность от произвольных координат перейти к евклидовым, в которых тензор gab (х) превра-

щается в тензор 3曲.Аналогично в классической механике можно пользоваться произвольными переменными и в этих произвольных переменных сформулировать условие, позволяющее переходить к каноническим переменным, в которых симплектический инвариант Лагранжа определяется с помощью тензора Еаь, имеющего вид (2.9). Рассмотрим этот вопрос, следуя упомянутой выше работе Паули.

Аксиомы, полностью определяющие скобки Пуассона,— это соотношения (4.5) — (4.7). Вычислим скобки Пуассона двух функций 〃 и и вида

〃 =£…啲■产淄.•.%吗 [

、#=0

Используя все аксиомы, кроме тождества Якоби, получаем

」'")"%)备备，,(5.1)

где一

Gab ^_Gba^ (%й(势.(5.2)

Предположим, что тензор G^ имеет обратный: Gab = — G〃,

G© =秘.(5.3)

Последнее возможно только в случае, когда число переменных ха четно (а =1,2, ...» 2м). Выясним, какое ограничение на тензоры Gab(X)И Саб(Х) налагает тождество Якоби. Дифференцируя (5.3) по а/ и умножая результат на G°" (х), имеем

36ab/а/ = — G^QbddGcd/dxft(5.4)

Согласно (5.1), (5.2) и (5.4)

((х* 〃)吟=IdG叫д? = (T^Ci'dGikldx.,： Используя тождество Якоби

((хО, /),产)+((* 产)，冰)+((麻，公)，a)=0,

dGkl+小dGkl+小=0.「=0.「находим соотношение

dGkl

+小

dGkl

+小

=0.「

=0.「

QaiQbkQcl

уравнениям °уравнениям °Таким образом, тождество Якоби эквивалентно дифференциальным

уравнениям °

уравнениям °

(5.5)(5.5)。伉匕! 8Gbe I ^ca c№十五厂十k" =

(5.5)

(5.5)

Переход к произвольным переменным задолго до Паули исследовал С. Ли. В частности, соответствующие соотношению (5.5) дифференциальные уравнения для тензора 6ab получены Ли в 1888 г. [45].

Введя тетзорную плотность *

將"=б^/ВЛ ,(5.6)

можно показать, что из (5.5) следуют уравнения

&^ь1дх = 0,(5.7)

более слабые, чем (5.5), так как (5.5) нельзя вывести из (5.7).

Уравнения (5.5) аналогичны условиям обращения в нуль тензора кривизны в евклидовом пространстве. Эти уравнения позволяют перейти к каноническим переменным, в которых тензор G曲 принимает вид (2.9). Убедимся в этом. Согласно (5.5) тензор Gab можно выразить через вектор-«потенциал» %:

Gab == д^а1дхъ — 6牝/6户(5.8)

Теперь воспользуемся теоремой, доказанной Пфаффом в 1814 г. [27]. Пфафф доказал, что линейную дифференциальную форму 仇(*) dxa преобразованием переменных всегда можно свести к нормальной форме, которая (в случае четного числа переменных) имеет вид

凸 d% + p2d 仇+ ••• + pndqn.

Учитывая, что вектор %。имеет компоненты (см. (3.3))г；*: ? ：。

Х =(Р1» %, %, %，•…，Ре %)，

и записывая соответствующие компоненты вектора % (*):, *

(PW = (0, рп 0, р2, ... , 0, р^；

легко видеть, что определяемый (5.8) тензор Gm действительно принимает канонический вид (2.9).

Уравнения (3.9) ковариантны относительно произвольного преобразования переменных. В произвольных переменных

У = GabdH/dxb.(5.9)

Докажем теперь постоянство во времени симплектического инварианта Лагранжа (3.4), принимающего в произвольных переменных вид

<6хДх> = Gab (х) 6хаДхь.(5.10)

Дифференцируя (5.10) по времени и пользуясь коммутативностью операции dldi с операциями 6 и А, получаем, выполняя громоздкие, но тривиальные преобразования:

/ [Gab (х) 6%咽叫=j*

=一罟Ged (蚪+ % +告)3*咽/. dxd у дхс дха дхь 丿

Таким образом, сохранение симплектического инварианта во времени есть следствие тождества Якоби и вытекающих из него соотношений (5.5).

Заметим, что сходство уравнений (5.5) со второй парой уравнений Максвелла не только чисто внешнее. Так, в случае движения заряженной точечной частицы в зависящем от координат магнитном поле Н (q) симплектический инвариант Лагранжа (3.1) принимает вид

М,5 — 6"△/ — ~ Fik (q) 6仇厶仇，(5.11)

где Fik (q) = ^tkiHi (q).

Соответствующие (5.11) матрицы Gab и Gfl* таковы:

0_\丁

火 е р IJ (5.12)

При Я =■ PpU + mV + 绅 из уравнений (5.14) сл^^ЮТ уравнения движения заряженной релятивистской точечн<ЙгЧйКлгицы в электромагнитном поле (— grad <р = Е):

р = ес гр X Н] + еЕ,

.:MpU + /n2d

「q _ У p2c2十加声■

Таким образом, в рассмотренном случае в тензор 6必 входят компоненты тензора электромагнитного поля 尸找，причем уравнения (5.5) переходят в одно из уравнений Максвелла: div Н«0. Тензор Fik входит и в выражения, определяющие скобки Пуассона, которые согласно (5.1) будут

'dpi dqt dqi др{ '」 丁 …

—土?- (5.15)

c dpi 8ph''

В частности, скобки Пуассона, образованные из координат и импульсов частицы, таковы:

(Як ?л) = °> (?<» Pk) = s^> (Рг> Pk) = Fik'

二(5.16)

Переход к каноническому импульсу Р осуществляется известной подстановкой Р = р + уА, где А ——векторный потенциал (rot А = = Н). Гамильтониан при этом приобретает вид

Я = р/^(Р —^ А『с2 + 加％4 + ^<р.

В качестве другого примера использования неканонических переменных рассмотрим движение нерелятивистской точечной частицы в потенциальном поле U (q). Движение частицы будем рассматривать относительно системы отсчета, вращающейся g угловой скоростью ш (переход во вращающуюся систему отсчета подробно исследован в § 7). Неканонические уравнения движения частицы можно записать в виде (см. (7.20))

一C = 2[pxs]一备仅(q, ,)_*), (5.17)

q = — р..

где U (q, Z) — потенциал U (q), преобразованный во вращающуюся систему отсчета. Уравнения (5.17) можно представить в виде (5.14), если положить в (5.14)

- Flk = 2侬*/®/,"=若 + 讶(q, /)-罟咨.

(5.18) Следовательно, сила Кориолиса 2 [p X 矶 возникающая во вращающейся системе отсчета, эквивалентна силе Лоренца, создаваемой магнитным полем Н = —(о (теорема Лармора (1857—1942)).

Результаты анализа классической аналитической механики Паули применил к классической теории поля. Переходя от дискретной переменной а к непрерывной х, от вектора %。(/) к многокомпонентной функции 屮а (х, f) (х — и-компонентный вектор):

ха (0 -> г|)а (х, /),

Паули полагает скобки Пуассона (屮仪(х, /),屮。(у, /)) равными

(吸％ 2),屮(у, /)) = G*，"仲)，(5.19)

где GaP,x,y — функционал от 屮.

Теперь скобки Пуассона двух произвольных функционалов 〃(屮)н и (屮)принимают вид

(“，u) = lG—帥)侖病rd"dW (5.20) Здесь 3/5炉6 — функциональная производная (для вычисления функциональных производных достаточно знать, что

J :6 屮a(x)/6产(у) = 6言"(х — у),(5.21)

38，

где 6Л (х — у) — дельта-функция Дирака, и что правила обращения с функциональными производными такие же, как и с обычными производными). Согласно (5.19)

Gap,x,y (屮)=—G^'x (屮 J：(5.22)

Введя величину G^iXty (ip)=——G₽a(yiX(^), удовлетворяющую соотношению

j Ga%x,z 伴)(屮)dnz =歌"(X — у),(5.23)

можно представить условие, налагаемое на Gap(x(y тождеством Якоби, в виде

»°ab,x,y , 处YT,z , 6%%z,x°/5 24)

6屮Y⑵十耻(X)十6M (у)I)

Вводя гамильтониан-функционал /7(屮)，можно записать уравнения движения следующим образом:

号屮a(X, /)=▽3"帥)_^_典.(5.25)

Из (5.25) следует уравнение, по виду не отличающееся от уравнения (4.9), описывающее изменение во времени произвольного функционала 尸(山，f):

户=礬 +(尸，")•(5.26)

Действительно,:」

'」=雾+6邺川仲)6/7 一必d%.

-dfJ 6屮(x, /)6歐(у, /)

Последний интеграл согласно (5.20) и есть (尸，Н). Выражение для симплектического инварианта в случае теории поля приобретает вид

<6屮△屮> =f GafJ,x,y(W) 6屮a(X, »)АрВ(У, t)dnX d"y.

(5.27)

Рассмотрим в качестве примера бесконечномерную гамильтонову систему, описывающуюся однокомпонентной функцией 屮(x, Z) [46—49]. Пусть скобки Пуассона

(屮(X, 0.屮(9,力=6'(% -9),-(5.28)

GX、』GXT = 8(x — y),

3’ — производная от дельта-функции Дирака. Нетрудно убедиться в том. что определяемая (5.23) функция Gx,yi с помощью которой

(5,29)(5,29)задается симплектический инвариант (5.27), будетG*,g = Gx—У =^"e (* 一 y)，

(5,29)

(5,29)

гдегдеe(% — g) = [/；,e(% — g) = [/；,X < //. 仆X < //. 仆

где

где

e(% — g) = [/；,

e(% — g) = [/；,

X < //. 仆

X < //. 仆

Согласно (5.20) и (5.28) скобкиF и G таковы：Согласно (5.20) и (5.28) скобкиF и G таковы：Пуассона двух^^нкционаловПуассона двух^^нкционалов

Согласно (5.20) и (5.28) скобки

F и G таковы：

Согласно (5.20) и (5.28) скобки

F и G таковы：

Пуассона двух^^нкционалов

Пуассона двух^^нкционалов

(F, G)=(F, G)=f6戶f6戶d 6Gd 6GJ 6屮(x) дх 6屮(х)J 6屮(x) дх 6屮(х)d%.d%.(5.30)(5.30)

(F, G)=

(F, G)=

f6戶

f6戶

d 6G

d 6G

J 6屮(x) дх 6屮(х)

J 6屮(x) дх 6屮(х)

d%.

d%.

(5.30)

(5.30)

Изменение Ю времени функции г|)(х, /) определяется уравнением

(5.31)(5.31)祭=(屮,"),

(5.31)

(5.31)

где Н = // (屮)一гамильтониан. Согласно (5.30) ураМЙнне (5.31.) можно представить в виде… …

CO

(5.33)(5.33)Найдено бесконечное количество функционалов вида /% =『Рп X X (屮，-|^~, ~^~ ,…)dx (Рп—полином со старшим членом 屮"), скобки Пуассона которых друг с другом обращаются в нуль:

(5.33)

(5.33)

(% Лп) =。

(предполагается, что 屮(х, f) -> 0 при *-> 土 оо). Первые из этих функционалов имеют вид (пределы интегрирования 土 оо опущены)(предполагается, что 屮(х, f) -> 0 при *-> 土 оо). Первые из этих функционалов имеют вид (пределы интегрирования 土 оо опущены)

(предполагается, что 屮(х, f) -> 0 при *-> 土 оо). Первые из этих функционалов имеют вид (пределы интегрирования 土 оо опущены)

(предполагается, что 屮(х, f) -> 0 при *-> 土 оо). Первые из этих функционалов имеют вид (пределы интегрирования 土 оо опущены)

(первые 12 интегралов /п найдены в работах [50, 51]). Если какой- нибудь из функционалов 1п выбрать в качестве гамильтониана Н, то вследствие (5.33) остальные 1п будут представлять собой интегралы движения соответствующей гамильтоновой системы. Выбирая в качестве Н функционалы /п /2, /3, получаем из (5.32) следующие

уравнения:

~дГ = 5 寸=， k =屮石+ w

(5.35)

Уравнение (5.35), известное как уравнение Кортевега — де Фриса, в последние годы привлекло большое внимание, в частности как пример бесконечномерной гамильтоновой системы [46, 47]. Соотношение (5.33) — тривиальный случай теоремы Пуассона: скобки Пуассона двух интегралов движения—т&к*е интеграл движения. Однако, как мы сейчас убедимся, уравнение Кортевега — де Фриса имеет интеграл движения G [51], скобки Пуассона которого с каким- либо другим интегралом движения F образуют в общем случае новый интеграл движения [49]. Существование интеграла движения G следует из легко проверяемого соотношения

一嚮屮»屮备_}/(嘉)7(5・36) сохранение величины

G= j卜屮+4-绅2卜居, (5.37)

Скобки Пуассона интеграла движения G с др у r|^ Jtpt^rf^ifM движения F согласно (5.30) таковы:.

где 屮肉 =》屮/6лЛ Используя (5.39) и выполняя инте印нр^анне по

частям,

получаем

3

7詳产二

黑—罂窯 〃.0.40)

Если Р не зависит явно от %, то

，落欧=［黑dx*, б叫

—интеграл движения. Если Рп 一 плотность полиномиального интеграла /л, то из (5.41) следует, что

В случае, когда Р явно зависит от х, из (5.40) и (5.41) получаем следующий результат: если Р — плотность интеграла движения, то

—также плотность интеграла движения.,*

一… ‘;§ 6・ Касательные преобразования Ли

" J * ■「 и канонические преобразования

Тем временем в Париже Софус Ли открыл касательные ： ：преобразования и тем самым ключ ко всей гамильтоновой

「二制динамике, как части теории групп.

Д. Я. Стройк [52]

«Около 1830 г. во Франции засияла неожиданным блеском новая звезда на математическом небосклоне... Это был Эварист Галуа» [16]. Благодаря Э. Галуа (1811——1832) обрела жизнь теория групп — замечательная математическая теория, элементы которой встречаются еще у Лагранжа. С гениальной прозорливостью Галуа первый оценил важность теории групп для математики. Введенные им основные понятия теории групп Галуа применил к решению задачи о том, разрешимо или нет заданное алгебраическое уравнение произвольной степени в радикалах. Он доказал, что решение указанной задачи сводится к исследованию группы подстановок, связанной с данным уравнением [53]. Задача, решенная Галуа, была первым примером, показавшим, сколь велика может быть роль теории групп при решении математических проблем. Значение работ Галуа было понято только во второй половине XIX в. В 1870 г. К. Жордан (1838——1922) опубликовал обширный «Трактат о подстановках и алгебраических уравнениях», который считал комментарием к работам Галуа. Книга Жордана способствовала широкому распространению понятия группы. В 1870 г. Жордана посетили два молодых математика —Ф. X. Клейн (1849—1925) и С. Ли (1842—1899). Под влиянием Жордана оба увлеклись идеями Галуа, и их дальнейшая научная деятельность была связана с теорией групп. В 1872 г. Клейн выступил со знаменитой «Эрлангенской программой» [54], в которой объявил основной задачей геометрии изучение инвариантов соответствующей группы преобразований. Различные геометрии, по Клейну, связаны с различными группами преобразований, и в этом основное отличие геометрий одна от другой. Ли распространил идеи Галуа на решение дифференциальных уравнений ——обыкновенных

и в частных производных. Это потребовало создания теории групп непрерывных преобразований, названных впоследствии группами Ли.

Одной из первых непрерывных групп, изученной Ли, была группа касательных преобразований. В «Эрлангенской программе» Клейн рассказывает об этих исследованиях Ли и на примере трехмерного пространства поясняет, что такое касательные преобразования. Рассмотрим, следуя Клейну, поверхность г = г (х, у). Соотношение

dz—^d»—^dg = 0(6.1)

свидетельствует о том, что вектор с компонентами ^-^-> -^-, — 1) ортогонален к поверхности в точке (х, у, г). Введем обозначения dz/дх = р, dz/ду э q. Тогда (6.1) принимает вид

dz ——pdx — qdy = 0.:

Рассмотрим теперь преобразования宀

'»' = х'(х, у, г, р, д), у' = у' (х, у, г, р, д), 1 "

z' = z' (х, yt г, р, д),(6.2)

Р'=Р'(х, У, z, р, g), g' = g'(x, у, z, р, д).

Преобразования (6.2) будут касательными, если

；.一 、(dz' —“d%‘一 q'dy') = р (芻 у, z, р, q) X

X (dz — pd% — qdy)(6.3)

(название объясняется тем, что при преобразовании (6.3) касающиеся поверхности переходят в касающиеся). Рассмотрим случай касательных преобразований, для которых р = 1・ Тогда

prdxr + qrdyf ^ pd% + qdy + dV,(6.4>

где dV = dz' — dz. Обобщение (6.4) на случай пространства (п + 1) измерений с координатами (夕卜夕纟，・•・，夕小 z) и вектором нормали к поверхности с компонентами (ръ р2, ..., рп, —1) приводит к следующему обобщению определения касательного преобразования:

p^dq^p^ + dV.(6.5)

Ли, исследуя касательные преобразования, в 1873 г. заметил [55], что задача об определении касательных преобразований вида,

Р； = Р：(Р，g), 4 = 4(Р, 9)(6・6)

эквивалентна задаче об определении канонических преобразований, переводящих канонические уравнения

向=向=дН е дН_5^7，% = dptдН е дН_5^7，% = dpt

向=

向=

дН е дН_

5^7，% = dpt

дН е дН_

5^7，% = dpt

в каноническиев канонические

в канонические

в канонические

дНгдНгдНг

дНг

дНг

где'〕

"，(“，力= "(р, q).

Однако в 1877 г. Ли пришлось написать подробную статью [57], в которой он вновь доказал сформулированную выше эквивалентность, объясняя это тем, что «даже выдающиеся математики не поняли» обнаруженной им связи между касательными и каноническими преобразованиями.

Убедимся в существовании связи, обнаруженной Ли . Найдем явный вид бесконечно малого касательного преобразования

Р； = Р, + М， «у； = <?,. 4- Д,-.： .(6-7)

Подставляя (6.7) в (6.5), получаем.“ -

Md% — A〃z = —ete, _：(6・8)

где е (р,夕)-=pd — V— произвольная бесксйечиб ЙЙая функция.&、

Из (6.8) и (6.7) следует'

Р； = Pl*、G =仇 + 盜，(6.9)

Для того чтобы найти явный вид бесконечно малого канонического преобразования, представим канонические уравнения в форме (3.9):

Y = ЕаЬ °" — дха '

Понятно, что каноническими преобразованиями будут такие преобразования переменных, которые оставляют инвариантным тензор

Eab-^^ECd-^^

Подставляя в (6.10)ш . 门 Л 2

xfa = ха + EabAb9 ；/Чч\ч^ \ /(6.11)

находим

詣 м--^г& =。，

I

откуда А6 士 д&д十、где в (尤)一произвольная бесконечно малая функция. Подставляя А^ в (6.11), окончательно получаем формулу

、Х'а = X。+ Eab 瑞，(6.12)

совпадающую, если учесть (2.9) и (3.3), с формулами (6.9).

t Из (6.12) легко найти выражение для изменения при канониче-

Е ских преобразованиях произвольной скалярной функции 尸'(％')=

I = F (х (/)):

尸⑴f尸⑺=(1 +用。券為户0. (6.13)

丨 С помощью 偉.13) легко понять, что преобразование

卜S尸'(х)=1而(1+}"崇备了尸(х)=

.£Ob P ° —/.

=e a*11 0g 尸(％) =■'-

=\+E^b^Л '

；'.dxQ dxb*

• ' T俨誥許；+(6」4)

также является каноническим. Заметим, что соотношения (6.12)— (6.14) можно записать с помощью скобок Пуассона (такой записью в своих исследованиях широко пользовался Ли):

，хГа = ха + (ха, е),(6.15)

:…Г (V) = F +(8, F),' .(6.16)

.^(%)= f(%)+(u, f)+4-(w> (m. Л)+

(6.17)

Аналогично (6.17) может быть записано также конечное каноническое преобразование величин ха:

£а =庶一(％ Xй) + 扌仅，(〃，d)) + … (6.18)

Докажем эквивалентность касательных и канонических преобразований для общего случая конечных преобразований. Введем для этого вектор-потенциал 屮。(х), такой, что

©Фа ©<Рь д#ь — ©Ха

(6.19)

Где Еаь оживляется (2.9). Введем векторы фа (х) и 而。(炉)е-компо- Найтами・

而⑴= (0, %, 0,卩2,…，0, р) (6.20)

т '而 3) =(о, К，о, % …，о, %). ”

При каноническом преобразовании вектор《(х) переходит в вектор д/ (%'), причем согласно определению преобразования ковариантного вектора

而］(%') dx，a = фа (х) dxa.(6.21)

Так как каноническое преобразование сохраняет инвариантным тензор Em, т。

.: 遢一風=Eab

0与 OXQ

'оOz!

Таким образом, два вектора-потенциала ①。(х ) и(ра (х ) определяют одно и то же «поле» Eabt а следовательно, могут быть получены один из другого с помощью «калибровочного» преобразования

& (£)=屮а 3) - 果;Q(6*22)

Подставив (6.22) в (6.21), найдем'

фа (%，) dx，a =(ра (х) dxa + dV.(6.23)

Из явного вида фа (х) и фа 侬)(6.20) следует, что (6.23) совпадает с (6.5), а следовательно, определяет касательное преобразование.

Вектор ср。(х) сходен с электродинамическим вектором-потенциалом еще в одном отношении, а именно в том, как вектор фа (х) входит в вариационный принцип, приводящий, как мн сейчас покажем, к каноническим уравнениям:

6 j (<ра (х) dxa — Н (х, t) dt) = 0.(6.24)

(Вариации на границе интегрирования считаются равными нулю: 6х 伉)=5% (f2) = 0.) Представим вариационный принцип (6.24) в виде

5 j L (%, %, f)山=0, где функция Лагранжа

А = фа(X)Ха — Н(X, /).。

Уравнения Лагранжа

как легко убедиться, воспользовавшись (6.19) и (2.11), совпадают с каноническими уравнениями (3.9).

46

"§ 7- Канонические преобразования, ■

\зависящие от времени

'“’ Следуя по пути, открытому «Аналитической механикой»

Лагранжа, бессмертные твсфения которого никогда нельзя ' переоценить, Якоби создал теорию, которая представля-

,：上 、.' лась самой совершенной частью Динамики...

Г. Дарбу [60]

Сравним бесконечно малое каноническое преобразование (6.12) с бесконечно малым изменением величин 尤° (f) со временем, следующим из канонических уравнений (3.9):

冰(/ + 也)=炉⑺ + Eab6t 嘅;. (7.1)

Мы видим, что преобразование от ха (f) кха (t + &) — каноническое с е = НЫ. Таким образом, изменение величин %° (f) со временем представляет собой непрерывное каноническое преобразование. В связи с этим изучение канонических преобразований, зависящих от времени, приобретает особый интерес. По-прежнему будем называть каноническими преобразования переменных ха = ха (х, f), которые не изменяют тензоров Е°" и ЕаЬ (назовем такие преобразования симплектическими). Как будет показано, симплектические преобразования, зависящие от времени, сохраняют каноническую форму уравнений движения, но изменяют гамильтониан Н (х, f), причем можно так выбрать каноническое преобразование, что преобразованный гамильтониан обратится в нуль и тем самым задача об интегрировании уравнений движения будет решена. Гамильтон [611 и Якоби [58] первыми заметили особые преимущества, которые дает каноническая форма уравнений динамики при интегрировании этих уравнений, в связи с чем канонические уравнения часто приня- 70 называть уравнениями Гамильтона, несмотря на то что уравнения динамики в канонической форме использовались еще Лагранжем и Пуассоном. В 1837 г. Якоби писал об этом так: «Форма, которую Лагранж придал дифференциальным уравнениям динамики, до сего времени служила только для того, чтобы с изяществом выполнять различные преобразования, для которых пригодны эти уравнения, и для того, чтобы с легкостью и притом во всей их широте выводить общие законы механики. Однако из этой же формы можно извлечь важную выгоду с точкц зрения самого интегрирования этих уравнений, что, как мне кажется, добавляет новую ветвь к аналитической механике» [41].

Выясним, как изменяется формула (6.23), если симплектические преобразования, связывающие переменные % и х\ зависят от времени;

х，а = х/д (х, f), ха = ха (х\ t).

Появление зависимости от времени приводит к двум изменениям в выводе формулы (6.23). Во-первых, так как

Фа W dX° = фа (Х) "^ dX，b + фа (X)-gy-山， изменяется и приобретает следующий вид соотношение (6.21):

ООЛуОО-

<р；(х', 0dx'a + фа(х(xz, О)-gy-^ = фа(х)dxa, ”

где % (%'f) = - ~q-屮匕(％ (х\ /))• Во-вторых, у；^- dx。 теперь не полный дифференциал, а отличается от него на ^-df. Учитывая эти изменения, получаем вместо (6.23) соотношение

За (V) dX，a + [ф0(Х(X’，0) -^- + 告卜/ =

—За (х) dxa + dV.(7.2)

Заметим, что мы использовали симплектичность преобразования переменных только в соотношении (6.22). Воспользовавшись (7.2), найдем вариационный принцип (6.24) в преобразованных переменных:

5J($a3)"a —幵3,，)必)= 0,(7.3) где. "' ' f

”"‘(%‘，0 = Н (х(х\ f), 0 — °"；，Ql?z 一 j

"/))2胆. (7.4)

Таким образом, мы доказали, что симплектическое преобразование, зависящее от времени, действительно сохраняет каноническую форму уравнений движения, причем преобразованный гамильтониан имеет вид (7.4). Воспользовавшись (7.4), представим (7.2) в виде

?а (%‘)dx，a — Hf (xz, t)dt ==辞

—(pa (x) dx —H (x, f)必+ d^3, 0»(7.5)

или в переменных 夕‘一

p；dq；— Hrdt — Ptdqt-^ Hdt + dV (//, g‘，，).(7.6)

Формула (7.6) определяет каноническое преобразование также в случае, если в ней считать V произвольной функцией не р‘ и д', а любых 2/1 независимых переменных, выбранных из набора 4п переменных “，/, р, q (так^как при подстановке (7.6) в вариационный принцип 6 jdV = 8V (4) — 5V (幻 обращается в нуль). Полагая

У = —S (g, g‘,力 0 требуя выполнения условия

<^ J岛 *。，О。

приходим к важному классу канонических преобразований, введенных Якоби [621 и определяемых соотнешением

p；dg； — H'dt = Pjdqt — Hdt — dS(q, g\ f). (7.8> Из (7.8) получаем

瓦*(7•分

г犷-:(7.10)

'”幵=” + *・ п(7.11)

При выполнении условия (7.7) соотношения (7.9), (7.10) дают возможность определить р' и ^ по р и g (и наоборот). Соотношение (7.11) выражает преобразованный гамильтониан через непреобразованный. Если 〃‘ — 0, то, очевидно, // и д' не зависят от времени, и, если известна функция S (д, q', f), соотношения (7.9), (7.10) позволяют определить р( и д, как функции времени и 2п постоянных интегрирования р； и д；. Соответствующая функция S (% д', f) является, согласно Гамильтону и Якоби, полным интегралом (содержащим п постоянных интегрирования д；) следующего уравнения в частных производных (уравнения Гамильтона — Якоби):

曽+"(£■，％/) = 6(7•⑵

Применим каноническое преобразование, зависящее от времени, к уравнениям движения трех взаимно притягивающихся по закону Ньютона материальных точек, которые условно назовем Солнцем (S), Землей (Т) и Луной (L). Начало координат поместим в центр тяжести системы Солнце — Земля — Луна, т. е. будем считать, что

/ns「s + ттГт + 团厶『厶—0.

Введя центр тяжести системы Земля — Луна R =(团丁仃 + + 团厶「厶)/(团丁 + mJ, представим последнее соотношение в виде

tnsrs + (团丁 + 加力 R = 0., f

Учитывая, что

「L一仃=(1 + 卜厶-R)，

записываем (пока еще точные) уравнения движения Луны (G —г^ витационная постоянная):'

второй случай можно формального приема:второй случай можно формального приема:свестивведемсвестивведем(далее полагаем G = 1). В двух случаях можно считать, что точки rs и R движутся по эллиптическим кеплеровским орбитам: 1) если 加乙=0 (случай ограниченной задачи трех тел); 2) если I " — гг I《I R I (случай реальной системы Солнце — Земля ——Луна). Как было показано Эйлером в «Новой теории движения Луны» (1772) [63], к первому с помощью следующего(далее полагаем G = 1). В двух случаях можно считать, что точки rs и R движутся по эллиптическим кеплеровским орбитам: 1) если 加乙=0 (случай ограниченной задачи трех тел); 2) если I " — гг I《I R I (случай реальной системы Солнце — Земля ——Луна). Как было показано Эйлером в «Новой теории движения Луны» (1772) [63], к первому с помощью следующегонаты фиктивной «Луны» гл, такие, что (рис. 7)наты фиктивной «Луны» гл, такие, что (рис. 7)вместо координат Луны『乙 коордивместо координат Луны『乙 коорди

второй случай можно формального приема:

второй случай можно формального приема:

свести

введем

свести

введем

(далее полагаем G = 1). В двух случаях можно считать, что точки rs и R движутся по эллиптическим кеплеровским орбитам: 1) если 加乙=0 (случай ограниченной задачи трех тел); 2) если I " — гг I《I R I (случай реальной системы Солнце — Земля ——Луна). Как было показано Эйлером в «Новой теории движения Луны» (1772) [63], к первому с помощью следующего

(далее полагаем G = 1). В двух случаях можно считать, что точки rs и R движутся по эллиптическим кеплеровским орбитам: 1) если 加乙=0 (случай ограниченной задачи трех тел); 2) если I " — гг I《I R I (случай реальной системы Солнце — Земля ——Луна). Как было показано Эйлером в «Новой теории движения Луны» (1772) [63], к первому с помощью следующего

наты фиктивной «Луны» гл, такие, что (рис. 7)

наты фиктивной «Луны» гл, такие, что (рис. 7)

вместо координат Луны『乙 коорди

вместо координат Луны『乙 коорди

(7.13)(7.13)ГЛ-К = ГД-Гг-

(7.13)

(7.13)

Учитывая условие |「乙 ——「丁 |《| R |, получаем следующие уравнения движения безмассовой «Луны»:•

■■ • " ■Гд — г^г * —■ R

；一(侬 +叫ТТН

■(7.14)

От величин гл нетрудно с помощью (7.13) перейти к величинам「厶. Будем считать вначале, что точки rs s г и R описывают окружности

RJt) = R cos з/, Ry (/) = R sin(o九 R2 (0 = 0,

'京.rx (f) = — r cos(0^, ry (t) = —r sin W,厶(f) = 0.

(7.15) Введя обозначения гд = Q, ms = M, 团丁 + 加乙 = 卩,представим уравнения (7.14) в виде

О —，仅 Q —u Q-RC) /7 ic

Уравнения (7.16) совместно с соотношениями (7.15) представляют уравнения круговой ограниченной задачи трех тел. Перейдем в систему отсчета, вращающуюся вместе с векторами R (/) и г (f)c угловой скоростью со вокруг оси Oz. Координаты Q выразятся через координаты во вращающейся системе отсчета:.

Q« = 〃 ⑴仇(％(7.17)

где L(k — ортогональная 3 х 3-матрица, имеющая вид

£(/) =£(/) =COS (Of sin 3f0COS (Of sin 3f0—sin 3f 0、cos(of 0

£(/) =

£(/) =

COS (Of sin 3f

0

COS (Of sin 3f

0

01>

^ффер^щируя L (0 no времени, находим

工⑴=QL (f) = L (f) Q.

Здесь v ，：^：М •尸 毕户.

「二00/「 一 ：…

Матрицу Qt 血 нетрудно видеть, можно 百j^q^HR 串 ваде

где (о — вектор угловой скорости вращающейся системы отсчета с компонентами (0, 0, ю). Дифференцируя (7.17) по времени и используя (7.18), (7.19), получаем из (7.16) уравнения

q+2з X q+ ® X (со X q) = —Мр^р^ —

(7.20)(7.20)q — Rn"iq — Rn |з.

(7.20)

(7.20)

где n — вектор с компонентами (1, 0, 0). Уравнения (7.20) являются уравнениями ограниченной круговой задачи трех тел во вращающейся системе отсчета.

Учтем теперь эллиптичность орбит точек г и R. Перейдем в систему отсчета, вращающуюся (вокруг оси Oz) вместе с большими полуосями указанных эллиптических орбит. Так как теперь угловая скорость вращения системы отсчета зависит от времени, в уравнениях (7.20) слева возникает дополнительное слагаемое ① X q. Кроме того, функциями времени станут также величины г и R^ Таким образом, получим следующие уравнения:

х - 2(ду 一. 6y — d% = _ 附 三¥-卩 七f，：

У + 2со% + з% -咦/ = 一 m *一卩普，(7.21)

〃 = ]/(% + zf + у + *.

to, г и 7? — функции времени (при эксцентриситете е, стремящемся к нулю):-

(о = 1 4- 2s cos / 4- е2 cos 2/ + • • •,

2(7.22)

-^- н -^- = 1 — 8 cos t — -^- s2 (cos 2/ — 1) + • • •

Заметим, что в (7.22) использованы единицы массы и времени, в которых М + Н я 1 и средняя частота обращения по эллиптическим орбитам равна единице.

Уравнения (7.21) при произвольной зависимости частоты от времени выведены Эйлером в «Новой теории движения Луны» [63]. Он использовал эти уравнения для перехода в систему отсчета, вращающуюся со средней угловой скоростью движения Луны вокруг Земли. Полученные Эйлером «фиктивные» силы ——2 (<о X q) м 一 小 х q в 1831 г. были введены Г. Г. Кориолисом (1792—1843) в общем случае, когда от времени зависит не только абсолютное значение вектора угловой скорости, но и его направление. i，i

Что нового при переходе во вращающуюся систему отсчета даст применение канонического преобразования? Убедимся, что в случае круговой задачи в дополнение к уравнениям (7.20) мы получим интеграл движения этих уравнений, найденный впервые Якоби в 1836 г. [64L I

Уравнения (7.16), как легко видеть, можно записать в гамильтоновой форме

尸尸 дог，Qf = ~дрг

с гамильтонианом挑(Р, Q, 9 =с гамильтонианом挑(Р, Q, 9 =Р2Р2мм2 IQ — r(f)|2 IQ — r(f)|iQUr«)i •iQUr«)i •Каноническое преобразование, зависящее от времени, Pi = Lih (0 рл, Qi = Uk (0 弘 приводит к гамильтоновым уравнениям匚•дН •дН 匚，н—丁' l‘如'寸‘0p，Каноническое преобразование, зависящее от времени, Pi = Lih (0 рл, Qi = Uk (0 弘 приводит к гамильтоновым уравнениям匚•дН •дН 匚，н—丁' l‘如'寸‘0p，(7.23)(7.23)ftp ■ Д.f(7.24)ftp ■ Д.f(7.24)где новый гамильтониан Н (р, q) определяется соотношетием (7.4) с V = 0:七 〃(р, q) = %(P(p, f), Q(q, /), /) —，> —P(P, f/QS, f) = ^|q母祈-где новый гамильтониан Н (р, q) определяется соотношетием (7.4) с V = 0:七 〃(р, q) = %(P(p, f), Q(q, /), /) —，> —P(P, f/QS, f) = ^|q母祈-

с гамильтонианом

挑(Р, Q, 9 =

с гамильтонианом

挑(Р, Q, 9 =

Р2

Р2

м

м

2 IQ — r(f)|

2 IQ — r(f)|

iQUr«)i •

iQUr«)i •

Каноническое преобразование, зависящее от времени, Pi = Lih (0 рл, Qi = Uk (0 弘 приводит к гамильтоновым уравнениям匚

•дН •дН 匚，

н—丁' l‘如'寸‘0p，

Каноническое преобразование, зависящее от времени, Pi = Lih (0 рл, Qi = Uk (0 弘 приводит к гамильтоновым уравнениям匚

•дН •дН 匚，

н—丁' l‘如'寸‘0p，

(7.23)

(7.23)

ftp ■ Д.f

(7.24)

ftp ■ Д.f

(7.24)

где новый гамильтониан Н (р, q) определяется соотношетием (7.4) с V = 0:

七 〃(р, q) = %(P(p, f), Q(q, /), /) —

，> —P(P, f/QS, f) = ^|q母祈-

где новый гамильтониан Н (р, q) определяется соотношетием (7.4) с V = 0:

七 〃(р, q) = %(P(p, f), Q(q, /), /) —

，> —P(P, f/QS, f) = ^|q母祈-

exp, -(7.26)exp, -(7.26)(7.27)(7.27)

exp, -(7.26)

exp, -(7.26)

(7.27)

(7.27)

I q — R (0) I + (P x q) 8.

Из 口窜В и (7.22) находим”

fм q-м。)”Rei

P|q-r(0)|3 |q — R(0)|3.

q = p —① X q.

Исключая из (7.26) p с помощью (7.27), получаем уравнения (7.20).

Поскольку гамильтониан Н явно не зависит от времени, то // = 0. Исключая р из (7.25), имеем следующий интеграл движения:

G q》一(си х q)2М• 卩

н 2 lq — r(0)「— Tq-R(0)| •

/「(7.28)

Это и есть «знаменитый интеграл Якоби, который имеет разнообразные приложения, из которого выводятся разнообразные интересные и полезные результаты и которому с давних пор посвящено множество исследований астрономов и математиков во всех частях

земного шара» [65].

В заключение приведем уравнения (7.21) для случая плоской круговой ограниченной задачи трех тел (рис. 8):

—- х — 2у — х -|—ч— = 0,•

才…亠 Sз,(7.29)

где У = — Ц^ — -^-, и = М(х + 卩产 + 乡2, и = V(x + "-l)2 + y2.

Уравнения движения (7.29) имеют интеграл движения —— интеграл Якоби (7.28)

c = ；№ +庐一炉一力）一宁一号.（7.30）

Вводя координаты X = х + ц —— 1, У = ун рассматривая предел соотношений (7.29), (7.30) при 卩 f 0, X f 0, У ->0, получаем

уравнения

(7.31)(7.31)(7.32)(7.32)."N —2y+ ( / " . _з)х = о,

(7.31)

(7.31)

(7.32)

(7.32)

~ У + 2Х + z и - У = О .

、Г(Х2 + У2)з

И йэМШЙ<^В$^рШ自 интеграл Якоби

-二“С，= ；(* + С + ЗХ2)—歹"

Соотношения (7.31), (7.32) лежат в основе «Исследований по лунной теории» (1878) [66] Дж. У. Хилла (1838—1914).,

: f § 8・ Конкурсный мемуар Пуанкаре 三 «О проблеме трех тел

,и об уравнениях динамики» •

Г" ” ;[ ...Якоби создал теорию, которая представлялась самой со-. вершенной частью Динамики. 50 лет жили мы теоремами

к ，.• прославленного немецкого геометра, применяя и изучая

-. их со всех сторон, но не прибавив к ним ничего существен-

■」， ного. Пуанкаре первый разбил эти жесткие оковы, в кото.рые, казалось, была заключена теория...

Г. Дарбу [60]

В 1885 г. в журнале «Acta Mathematica» появилось объявление о том что король Швеции и Норвегии Оскар II решил присудить в день своего шестидесятилетия — 21 января 1889 г.— премию за важное открытие в области математического анализа. Победителями конкурса оказались французские математики Ж* А. Пуанкаре (1854— 1912) и П. Э. Аппель (1855—1930). Премированные работы были опубликованы в 13-м томе «Acta Mathematica» в 1890 г.「

В условиях конкурса предлагались четыре конкурсные темы? Одна из них, послужившая основой работы Пуанкаре, была предложена Т. В. Вейерштрассом (1815——1897) и сформулирована следующим образом: «Пусть имеется система произвольного числа материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона. Предполагая, что две точки никогда не сталкиваются, представить координаты каждой точки в виде рядов по некоторым известным функциям времени, равномерно сходящихся для всех вещественных значений этой переменной».

Вейерштрасс был уверен, что поставленную задачу сможет решить только Пуанкаре. Но он ошибся. Конкурсная задача не была решена Пуанкаре. Через 20 лет эту задачу (для случая трех материальных точек) решил К・ Ф. Сундман (1873—1949) в работе «Заметки о проблеме трех тел》[67]. «Хотя можно без преувеличения сказать, что эта работа Сундмана является одной из замечательнейших работ о проблеме трех тел, которая когда-либо была сделана» [681, она не оказала такого глубокого влияния на развитие механики и математики, как конкурсная работа Пуанкаре. 15 ноября 1888 г. Вейерштрасс писал М* 「. Миттаг-Леффлеру (1846—1927) о работе Пуанкаре: «...хотя мемуар, о котором идет речь, и нельзя считать решением поставленной конкурсной проблемы, я убежден в том, что значение этого мемуара таково, что его появление открывает новую эпоху в истории небесной механики» [69].

Вейерштрасс многие годы глубоко интересовался проблемой устойчивости Солнечной системы. Одно из его писем (от 14 июня 1882 г.) к С. В. Ковалевской (1850—1891) поясняет, на что он надеялся, предлагая тему для конкурса. В упомянутом письме, обсуждая работы Пуанкаре об интегрировании дифференциальных

уравнений механики, Вейерштрасс говорит о том, что ему удалось доказать «следующую теорему; Если любое число материальных течек взаимодействует по закону Ньютона... и начальные условия движения таковы, что две точки никогда не сходятся и никогда не удаляются друг от друга в бесконечность, то координаты движущихся точек представляют собой аналитические функции времени /... Если Пуанкаре в состоянии действительно определить коэффициенты ряда, в который раскладываются координаты при условии устойчивости системы, то можно установить условия, при которых ряд сходится, и это были бы условия устойчивости» [14]. Однако все оказалось значительно сложнее, причем общие трудности проявились уже в задаче, когда число материальных точек равно трем.

В упомянутой нами «Новой теории движения Луны» [63] Эйлер охарактеризовал «знаменитейшую задачу о движении трех взаимно притягивающихся тел» как задачу, «полное решение» которой «оказывается превосходящим силы анализа, несмотря на величайшие усилия геометров». В 1772 г. опубликовано знаменитое исследование Лагранжа «Очерк о проблеме трех тел» [70], и «задача трех тел — с физической точки зрения столь элементарная ——предстала после появления мемуара Лагранжа как некий вызов, брошенный природой человеческому уму» [71]. Эйлеру и Лагранжу были известны все - десять интегралов, допускаемых задачей трех тел. В 1887 г. Г. Э. Брунс (1848—1919) доказал, что любой интеграл задачи трех тел, содержащий координаты и импульсы алгебраически, представляет собой алгебраическую комбинацию десяти классических интегралов. В конкурсном мемуаре Пуанкаре идет еще дальше. «Кроме уже известных интегралов задача трех тел не допускает никакого аналитического однозначного интеграла... Отсюда можно сделать вывод, что различные предложенные до сих пор разложения расходятся, так как из их сходимости следовало бы существование однозначного интеграла»,— писал Пуанкаре в 1891 г. в кратком реферате конкурсной работы [72]. Таким образом, с одной стороны, теорема Брунса означала, что единственный способ получать аналитические результаты в небесной механике — зто работать с бесконечными рядами, а с другой, как выяснил Пуанкаре, ряды теории возмущений, используемые в небесной механике Лапласом, Лагранжем, Пуассоном и многими другими, в общем случае расходятся. (Мы подчеркиваем, что ряды расходятся в общем случае, так как вполне определенные задачи, такие, как задача о движении Луны, приводят к хорошо сходящимся рядам, что связано в случае движения Луны с конкретными особенностями лунной орбиты. Например, как было показано А. М. Ляпуновым (1957—1918) в 1896 г. [73], равномерная сходимость рядов Хилла в теории Луны обеспечивается тем, что отношение лунного месяца к земному году Меньше %.) Пуанкаре развил теорию расходящихся (асимптотических) рядов и показал, что для конечных (и практически очень больших) промежутков времени с помощью расходящихся рядов можно получать вполне удов-

летворительные результаты, однако для того, чтобы делать достоверные заключения о поведении небесно-механических систем при сколь угодно больших временах в общем случае, необходимы новые, качественные методы. Конкурсный мемуар Пуанкаре положил начало новому, качественному перио-

механике и в меха-механике и в меха-ду в небесной нике вообще.

механике и в меха-

механике и в меха-

В конкурсном мемуаре и в последовавших за ним «Новых методах небесной механики» (1892, 1893, 1899) [741 Пуанкаре много внимания уделил поискам и исследованию периодических решений задач небесной механики. Он предполагал, что любое движение динамической системы можно аппроксимировать е помощью периодических движений и считал чрезвычайно важной задачей выяснение того, насколько плотно периодические движения распределены среди всех возможных. (Примером, свидетельствующим о практической ценности периодических движений, является теория движения Луны, развитая Хиллом и используклцая периодическое решение уравнений (7.31) как первое приближение к действительному движению Луны. Вычисления в теории Хилла более быстрые и точные, чем вычисления в теориях, известных ранее.) Пуанкаре разработал метод построения периодических решений динамических систем, содержащих малый параметр 卩 и имеющих периодические решения при 卩 = 0. Метод Пуанкаре широко применяется в теории нелинейных колебаний, изучаемых в различных разделах физики (см., например, [75, 76]). Однако Пуанкаре развитый им метод не удовлетворял, и он искал все новые пути к построению периодических решений, не ограниченные малостью входящего в уравнения параметра. Пробным камнем исследований Пуанкаре избрал простейший нетривиальный случай динамической системы с двумя степенями свободы —— плоскую круговую ограниченную задачу трех тел, описываемую уравнениями (7.29). Незадолго до смерти он доказал, что уравнения (7.29) имеют бесконечное число периодических решений при любых значениях параметра 卩(а не только малых или близких к единице). Доказательство Пуанкаре основывалось на геометрической теореме, которая ярко характеризует новые методы, введенные в механику Пуанкаре: пусть непрерывное обратимое преобразование Т переводит само в себя кольцо R (рис. 9), ограниченное концентрическими окруэюностями Са и Сь радиусов соответственно a ub (а > b > 0). Если при этом преобразовании точки окружностей Са и Сь движутся в противоположных направлениях и сохраняются площади, то преобразование Т оставляет неподвижными внутри кольца по крайней мере две точки. В течение двух лет Пуанкаре безуспешно пы

тался доказать сформулированную теорему и в декабре 1911 г. принял решение отослать в печать неоконченную работу [77], так как, по его мнению, «значение предмета слишком велико, а совокупное! ь уже полученных результатов слишком значительна», чтобы можно было решиться «бесполезно забросить их». Пуанкаре умер 17 июля 1912 г., а 20 октября того же года Дж. Д. Виркгоф (1884— 194-J) отослал в печать полученное им доказательство последней теоремы Пуанкаре [781.

:二宀「 ； ： § 9. Интегральные инварианты.二：% Пуанкаре — Ли — Картана

В случае уравнений динамики легко составить большое чис. 一 ■ ло интегральных инвариантов. 「「

Л. Пуанкаре [74]

Одним из важных понятий, введенных в конкурсном мемуаре Пуанкаре, было понятие интегральных инвариантов. В случае гамильтоновых систем интегральные инварианты являются прямым следствием симплектической структуры гамильтоновой механики. Ранее упоминалось о том, что симплектичность канонических преобразований приводит к установленному Якоби (1837) и Ли (1873) соотношению (6.5). Интегрируя это соотношение по замкнутому контуру в фазовом пространстве, получаем один из интегральных инвариантов, обнаруженных Пуанкаре:

§ P；dq； = § р№(9.1)

Познакомившись с работами Пуанкаре, Ли был несколько удивлен, что интегральный инвариант считается чем-то новым. Ему казалось, что (9.1) — совершенно очевидное следствие (6.5). В 1897 г. Ли писал, что в старых работах он интересовался, в частности, случаем, когда dl7 = 0 н когда инвариантен ^pidqi, взятый по произвольному контуру. «Это свойство я не нашел нужным формулировать в явном виде,— объяснял Ли [79].——Мои работы, особенно мои старые работы, не были рассчитаны на читателя, которому не очевидно, что каждое преобразование, оставляющее инвариантным дифференциал dco, одновременно оставляет инвариантным соответствующий интеграл Jdco. «Ли написал три большие работы [79—81], в которых трактовал теорию интегральных инвариантов как следствие развитой им общей теории инвариантов непрерывных групп преобразований, примененной к дифференциальным уравнениям динамики. Последняя работа Ли по интегральным инвариантам была опубликована в 1902 г. после его смерти. Отстаивая свою причастность к созданию теории интегральных инвариантов, Ли высоко оценивал работы Пуанкаре, считая свои старые работы находящимися в таком отношении к теории Пуанкаре,《в каком исследования Лагранжа

алгебраических уравнений третьей и четвертой степеней относятся к общей теории алгебраических уравнений [791》.

，一 Рассмотрим подробнее интеграль- 彳 ный инвариант (9.1). Интегральный

产、инвариант*

связан с симплекти-связан с симплекти-непосредственнонепосредственно(9.2)

связан с симплекти-

связан с симплекти-

непосредственно

непосредственно

ческим инвариантом Лагранжа (3.1). В случае одной степени свободы / =

представляет собой площадь S, ограниченную замкнутым контуром С в фазовой плоскости (рис. 10): ；

(9.3)(9.3)dpdq.

(9.3)

(9.3)

В этом легко убедиться, воспользовавшись формулой Грина (1793—— 1841) и Стокса (1819—1903).〜

§f(P，q)dp+ g(p, q)dq= 「

=、 册一黑)dpdq." (9.4)

В случае 1 степеней свободы введем с помощью (3.3) вместо величин Pi и % 2п-компонентные величины %". Кроме того, согласно (6.20) введем вектор-потенциал <ра. Тогда интеграл (9.2) примет вид

(9.5)(9.5)/ = , ср。(х) dxa.

(9.5)

(9.5)

С помощью обобщенной формулы Грина —Стокса

фа (х) dxa = j -^- <ра (х) dSba,(9.6)

s

где dSab = —dSba — элемент поверхности в фазовом х-пространст- ве, преобразуем интеграл (9.5) к виду'■

/ =，Фа (%) dxa ^ J EabdSab(9.7)

(мы учли соотношение (6.19), где Е0b — инвариантный относительно симплектических преобразований тензор (2.9)). Элемент двухмерной поверхности, параметризованной двумя параметрами и и V, представляет собой тензор вида

時ь =(醬端—端弯^dudu' (9.8)

(сама поверхность является совокупностью точек фазового пространства х° = ха (u, V)). Подставляя (9.8) в (9.7), получаем

/ =(9.9)

На основании определения скобок Лагранжа (3.10) можно записать (9.9) в виде

:/ = _ J [Ы) и] dudv.(9.10)

Введя обозначения -^—d以= 6х“ и —^-d0 = A%a, представим интегральный инвариант (9.9) следующим образом:

7 = — У Еаь^а^хь = j 传"厶％ — SqM). (9.11)

Итак, мы убедились, что интегральный инвариант Пуанкаре (9.1) представляет собой интеграл от симплектического инварианта Лагранжа (3.1).

Представив интегральный инвариант Пуанкаре в виде поверхностных интегралов (9.7) — (9.11), мы сделали симплектическую инвариантность инварианта Пуанкаре совершенно очевидной. Поскольку симплектическая инвариантность означает инвариантность относительно канонических преобразований, а изменение переменных "/ и q『во времени является непрерывным каноническим преобразованием, ясно, что интегральный инвариант Пуанкаре не изменяется во времени. В § 3 было показано, что из постоянства во времени симплектического инварианта Лагранжа следует гамиль- тоновость уравнений механики. Исходя из равенства

，Pidq尸、®pAq, — BqAp) . (9.12)

и выбирая замкнутый контур С и ограниченную им поверхность S бесконечно малыми, можем сделать вывод, что из постоянства во времени инварианта Пуанкаре следует постоянство симплектического инварианта Лагранжа, а следовательно, гамильтоновость уравнений механики.

Введем теперь, обобщив (9.8), элемент Д/-мерной гиперповерхности, образуемой точками %" — х“ (u1? и2,…，〃川)：

dS-J匚- I)。*若

@〃du I dn^ ■ • * d〃N@〃du I dn^ ■ • * d〃N(9.13)(9.13)

@〃du I dn^ ■ • * d〃N

@〃du I dn^ ■ • * d〃N

(9.13)

(9.13)

(суммирование распространяется на все перестановки индексов 。1，а2, ...» cig " —четность перестановки). Так как сумма в (9.13) представляет собой не что иное, как определитель, (9.13) можно

записать в виде

…I 學I da 血血 N,；(9.14)

или■'

d5ag…"=<〃""产..."空，(9.15)

где скобки означают, что (9.15) — это не произведение дифференциалов, а антисимметричный элемент гиперповерхности.“

Приведем интегральные инварианты гамильтоновых систем, най* денные Пуанкаре:1•

/2т_! (М2"1-1)=/2т_! (М2"1-1)=(一 I)*1(一 I)*12А12А1尸,^aia2"*a2m—1•''七敗巾一2a2zn—I°D尸,^aia2"*a2m—1•''七敗巾一2a2zn—I°D少 Pi^dqidpi.dq^ ... dpim_^ 附 2m-l少 Pi^dqidpi.dq^ ... dpim_^ 附 2m-l1i^1X (9.16)1i^1X (9.16)

/2т_! (М2"1-1)=

/2т_! (М2"1-1)=

(一 I)*1

(一 I)*1

2А1

2А1

尸,^aia2"*a2m—1

•''七敗巾一2a2zn—I°D

尸,^aia2"*a2m—1

•''七敗巾一2a2zn—I°D

少 Pi^dqidpi.dq^ ... dpim_^ 附 2m-l

少 Pi^dqidpi.dq^ ... dpim_^ 附 2m-l

1i^1X (9.16)

1i^1X (9.16)

/2/п(М^) =( 2 ” / Е。，

2附如

PX“№…“2/n

•・• £a2m_Ia2OT^

小、二期殳介Т.或＞ N小、二期殳介Т.或＞ N,,,,,」干，丄

小、二期殳介Т.或＞ N

小、二期殳介Т.或＞ N

<d%d%如屈% ... dp［承6 ,Я 0.!7)

m = 1, 2, ... t n.

Симплектическая инвариантность интегралов 1^ очевидна. Используя обобщенную Пуанкаре формулу Грина —Стокса — Остроградского — Гаусса

(9.18)(9.18)

(9.18)

(9.18)

где Tatat...al ——произвольный тензор, и учитывая (6.19), можно все интегралы /加一1 выразить через интегралы %:

^2/п—I = ^2т*

Таким образом, мы видим, что в 2п-мерном фазовом пространстве существует £九 симплектически инвариантных, а следовательно, постоянных во времени интегральных инварианта. Интегралы по замкнутым (2/и — 1)-мерным гиперповерхностям，2m_i Пуанкаре назвал относительными инвариантами (инвариантами относительно замкнутых многообразий), интегралы /2т по произвольным 2仆 мерным областям — абсолютными инвариантами. Как мы видели,

каждому относительному интегральному инварианту ，2m-i соответствует равный ему абсолютный интегральный инвариант 厶/n. Каноническая инвариантность интеграла /2〃 была установлена в 1838 г. Ж- Лиувиллем (1809—1882), Этот инвариант, имеющий фундаментальное значение для статистической механики, представляет собой, с точностью до множителя, объем некоторой области в фазовом пространстве:

「 f <dx1dx2 .. . dx2n> =

=и! j <dpidq#p2dq良...dp^q^ == n! j dK

Для доказательства канонической инвариантности элемента фазового объема достаточно использовать установленное в § 2 свойство

симплектических преобразований. Дейст-симплектических преобразований. Дейст-унимодулярности матриц вительно.

симплектических преобразований. Дейст-

симплектических преобразований. Дейст-

W =W =dxfadxfadV.dV.Л,Л,

W =

W =

dxfa

dxfa

dV.

dV.

Л,

Л,

Но условие каноничностиНо условие каноничностипреобразования xa — xa (%) заключается

Но условие каноничности

Но условие каноничности

в том, чтобы матрица дх а/д^ была матрицей симплектическога преобразования (определитель этой матрицы равен единице) и фазовые объемы dVf и dV были равны.

Интегральные инварианты Пуанкаре (9.16), (9.17) легко записать и в случае, если вместо канонических переменных воспользоваться произвольными переменными, которые введены в § 5. Для этого необходимо в соотношениях (9.16), (9.17) заменить все тензоры Е必 на Gm, определяемые (5.2), (5.12), и вектор <ра— на вектор ^а. Так, согласно (5.12) интегральные инварианты частицы, движущей-

ся в магнитном поле, имеют следующий вид (р —ся в магнитном поле, имеют следующий вид (р —mqmqМ1 — q2/c2М1 — q2/c2ии

ся в магнитном поле, имеют следующий вид (р —

ся в магнитном поле, имеют следующий вид (р —

mq

mq

М1 — q2/c2

М1 — q2/c2

и

и

канонические переменные :

厶:g伍+善"）對ь

/2 = J <dpidqi> - &Fm 3%齒5「：，卡》19>

厶=6! j <dp1dp2dp3dqJdqidq3>.

Выясним, рассмотрев общий случай произвольного тензора Gab (冷 и 2и степеней свободы, почему в выражении для /в исчезла завися* мость от магнитного поля:

厶也=丄 2?- j Gaia2 • . • 仇21敗m5'"…"2"

НО У •

宓叩，・••咏_萨仆…%〈公以炉... d/〉,: J

где £*"含…敗九—единичный полностью антисимметричный тензор, е12'"2л ^ 1. Вводя обозначение

P/(G) =产…%7啾，

получаем, что.

瓜=(：)• j Pf (G) <dxydx2 ... %〉.

(9.20)

Учитывая соотношение (2.20) и считая, что Gab (%) непрерывно связано с ЕаЬ (что означает положительность величины (—1)" Р/ (G)), находим

"=/г! j М| GI а%®/ ・・・厶Q・ (9.21) Легко видеть, что в случае частиц, движущихся в магнитном поле, определитель матрицы G не зависит от магнитного поля и равен единице. В этом случае

Ап =几！ j а//#% .・.d%〃>・ (9.22)

Таким образом, мы пришли к известному утверждению, что в случае частиц, движущихся в магнитном поле (или во вращающейся системе отсчета), теорема Лиувилля о постоянстве фазового объема справедлива при использовании обычных координат и импульсов, не являющихся каноническими переменными [82].

В 1902 г. Картан при изучении дифференциальных уравнений, инвариантных относительно непрерывных групп преобразований, ввел интегральные выражения, которые оказались тесно связанными с интегральными инвариантами Пуанкаре. Интегральные выражения Картана инвариантны в более широком смысле, чем инварианты Пуанкаре, и содержат инварианты Пуанкаре как частные случаи. В 1920—1921 гг. Картан подробно изложил теорию новых интегральных инвариантов в курсе лекций, прочитанных на физико-математическом факультете Парижского университета [83]. Основной интегральный инвариант Картана имеет вид

J = $ (Pidq； — Hdt), (9.23)

где интегрирование проводится по замкнутому контуру в расширенном фазовом пространстве (обычном фазовом р, ^-пространстве, дополненном временной координатой 0. Для того чтобы выяснить, что означает инвариантность величины J, рассмотрим случай одной степени свободы (рис. 11). Пусть в момент времени / = 0 на р, ^ плоскости проведен замкнутый контур Со. Траектории, выходящие из точек этого контура, образуют трубку в расширенном фазовом пространстве. Инвариантность во времени интегрального инвариан-

та Пуанкаре / =虫 pdq означает, что если в мо- Г|J

мент времени t рассечь трубку траекторий | плоскостью, параллельной р, g-плоскости, тоI

интегралы / = fpdq, взятые по контурам СоI

и Ср не будут отличаться один от другого. Ин- /*Jz

вариантность же интеграла Картана J означает, что этот интеграл неизменен, как бы мы не деформировали (не покидая трубки траекторий) совершенно произвольный контур, по которому проводится интегрирование в (9.23). В частности, первоначальный контур может быть выбран так, что он не охватывает

трубку траекторий, а лежит на ней (контур С на рис. 11). Ясно, что интеграл (9.23) по такому контуру должен равняться нулю, так как этот контур может быть деформирован таким образом, что он вообще исчезнет (интеграл же J при этом, согласно Картану, не изменяется).

Докажем, что требование инвариантности интеграла (9.23) в указанном выше смысле эквивалентно существованию уравнений движения в гамильтоновой форме (с гамильтонианом 〃)・ Для этого выберем бесконечно малый контур в расширенном фазовом пространстве (рис. 12) так, чтобы точки /, ^ и точки 2, 3 лежали на фазовых траекториях, а моменты времени, соответствующие точкам /, 2 (и точкам 3、4), совпадали. Интеграл (9.23) по такому контуру» как отмечалось, должен равняться нулю. Приведем значения импульсов и координат, соответствующих четырем точкам, опустив индексы степеней свободы: . ；；. 、— .

(a, %) = (z д), ” :

(内，%) = 9 + аР,g + △9),.:

(Рз，7з) = (р + Др + 0А/, g + М.+ 遍并； 仇，内)=(p + p^t, g + 必/).■'. ■

Использовав формулу『/ (%) d% =皆(/ (а) + / (&)) (b — а), вычислим интеграл (9.23) с точностью до бесконечно малых второго порядка:

•,(p對一Hdt)e(Рз_ 22 + 见 — Pi)Aq +

+ 扌(％ — Pi + Рз — PjqNt—出

’^~("2 —"1 + "3 _ "J Af =

= (-pAq + qdp_%Ap-*Aq)At = ^24

где На — значение гамильтониана в точке 〃・ Поскольку Ар, Ад произвольны, из (9.24) следует, что

дН • дН

Таким образом, мы видим, что из инвариантности интеграла Картана (9.23) следуют канонические уравнения, определяющие р, и qt как функции времени.

Интегральный инвариант Картана (9.23) представляет собой обобщение интегрального инварианта Пуанкаре

(9.2). Аналогичные обобщения остальных интегральных инвариантов Пуанкаре (9.16) и (9.17) имеют вид

-*^2/п—*1 =，Ри <對/夕％歯仏1 • • • ^Рм-m—l^^m—l^*

:(9.25)

」J21n = \ <dp11dql1dpl1cqM ... dp^q^, (9.26)

где p^ и q“ — (n + 1)-компонентные величины с компонентами (厂0,比，…，p„), Q, %,…，％), Po = — H, q0 = t. Интегральный инвариант Картана 厶 содержит в качестве подынтегрального выражения инвариантную антисимметричную форму, обобщающую симплектический инвариант Лагранжа (3.1):

Sph — bq^Pi — BHAf + &А〃.(9.27)

На рис. 13 показана разница между симплектическим инвариантом Лагранжа и инвариантом Картана (9.27). В обоих случаях точки 1—3 и Г—3' лежат на бесконечно близких фазовых траекториях, но в первом случае моменты времени, соответствующие выбранным точкам, обязательно совпадают, во втором — необязательно. Инвариант Лагранжа не изменяется при сдвиге точек /——3 вдоль траекторий на одинаковые промежутки времени, инвариант Картана не изменяется при сдвиге точек /—3 на произвольные промежутки времени.

Обратим внимание на то, что если точки /—3 лежат не на произвольных фазовых траекториях, а на траекториях, соответствующих одному и тому же значению гамильтониана Н, то инвариант Картана (9.27) превращается в инвариант Лагранжа

МДл — ^Ар(-

Однако в этом случае инвариант Лагранжа, очевидно, инвариантен относительно произвольных смещений точек /—3 на фазовых траекториях.

Время как каноническая переменная. Гамильтонова форма механики одной частицы в релятивистском

и общерелятивистском случаях

Иногда оказывается чрезвычайно выгодным превратить время / в механическую переменную... В релятивистской механике этот переход абсолютно необходим.

К. Ланцош, [84]

Чтобы понять, как можно получить интегральные инварианты Кар- тана (9.25), (9.26), будем считать время t канонической координатой, которую обозначим qQ. Соответствующий канонически сопряженный импульс обозначим р0- Введем новый параметр т, который свяжем со временем следующим образом [84, 85]:

石■三答=g(Po,见，％，%)， . . (10.1)

где g — некоторая функция обычных канонических переменных ph qh i = l,2, ..., п, и двух новых р0, qQ. Переменные р, и 仇 удовлетворяют обычным каноническим уравнениям

必 dq「 di dpi 二 {■/)

Переходя от дифференцирования по t к дифферен^рованию по т.

получаем

dpt ~dxdpt ~dxdHдНdHдН，‘:户上 7 >■八—总dpi、，‘:户上 7 >■八—总dpi、d%dtd%dt(10.3)(10.3)

dpt ~dx

dpt ~dx

dH

дН

dH

дН

，‘:户上 7 >■

八—总dpi、

，‘:户上 7 >■

八—总dpi、

d%dt

d%dt

(10.3)

(10.3)

Что такое p。, мы пока не знаем, но ясно, что от введения новых обозначений qQ и р0 число независимых переменных, характеризующих состояние системы, не может измениться, поэтому % должно как-то выражаться через остальные переменные. Эту связь установим следующим образом: введем новый гамильтониан

^ = g(" + %), (10.4)

зависящий от (2几 + 2) канонических переменных, и положим 先=0.(10.5)

Убедимся, что канонические уравнения (дифференцирование по т обозначим точкой)

(10.6)(10.6)

(10.6)

(10.6)

вместе с дополнительным условием (10.5) дают уравнения (10.3), эквивалентные первоначальным каноническим уравнениям (10.2). Действительно, из (10.6) имеем.

: 向=_器("+p。)一8器，

加二器(" + %)+g 瑞，。(10.7)

% =一丽("+p。)-8 丽，

「％ = "^" (" + %) + g・

Поскольку условие Ж = 0 означает, что 二：”,

" + % = 0,'(Ю.8)

ясно, чю (10.7) определяет уравнения (10.3), причем уравнение для р@ теперь известно:-..

d%дН

k—g 丽，

или 」八'

■dp。 ЗН[”

Из последнего уравнения следует, что % = —Н + const, т. е. видно, что дополнительное условие (10.8) согласуется с уравнениями движения (10.7). Дополнительное условие налагает ограничения на начальные условия: из уравнений (10.6) следует, что л = const, начальные же условия должны быть такими, чтобы 比 = 0.

Теперь легко понять, как получить интегральные инварианты Картана: инварианты Картана — это интегральные инварианты Пуанкаре гамильтоновой системы (70.6), ограниченной условием (10.5).

Рассмотрим несколько подробнее симплектический инвариант Картана (9.27), который представим в виде

6Pqq» —МуДри，卩=0, 1n. (Ю.9)

Вариации 6рц и Ар^ в (10.9) непроизвольны, а подчиняются условию

"+% = 0.(10.10)

Переходя от переменных р^ и ^ к произвольным переменным ха (а = =1, 2,…,2〃 + 2), получаем вместо (10.9), (10.10) инвариант Картана в форме (5.10):

G/尤咽/(10.11)

и некоторое дополнительное условие, ограничивающее допустимые вариации, которое запишем в виде

光(%) = 0・(10.12)

Покажем, что-из требования инварийт^)С1^ (10.11) п^| дополнительном условий (10.12) следуют уравнения (5.9):,

ха = Gab -~,-(.10.13)

где(Тъ определяется условием (5.3), точкой обозначено дифференцирование по некоторому определенным образом выбранному параметру.

В §9 говорилось о том, в каком смысле постоянен инвариант Кар- тана (10.11) (см. рис. 13). Если мы поместим точку 2, на ту же фазовую траекторию, что и точку /\ т. е. будем считать, что

6庶=xadx,

то инвариант Картана обратится в нуль (поскольку он не должен измениться, если мы положим dr = 0). Таким образом, имеем

GabXa^Xb = 0,(10.14)

где вариации Д/ ограничены условием (10.12), а ха характеризует изменение х° вдоль фазовой траектории. Из (10.12) следует ограничение на вариации

空 3 = 0.(10.15)

дхР

Из сравнения (5.3) и (10.14) получаем

Gabia = f (х)(10.16)

где / (х)—некоторая функция.二

Поясним вывод соотношения (10.16). ЗддИ1Ю№Н у^лорие (10.14)

в виде,•.二

А^ха = 0.':'(10.17)

Здесь Аа — некоторый неизвестный вектор. Ограничение на допустимые вариации Дха представим в виде

Ва^ха = 0.

Вводя вектор g* такой, что Ва^ 声 0, мы можем выразить допустимую вариацию Дха через произвольную вариацию А，：

八庶=厶父一-^^g。.(10.18)

Подставляя (10.18) в (10.17) и пользуясь произвольностью А^°， находим

4 =後线.

Это и есть соотношение (10.16). Из (10.16), используя (10.13), получаем

a =(10.19)

Предположим далее, что одна из переменных ха имеет смысл времени f и что t всегда увеличивается вместе с ростом параметра т. Это означает, что / =/= 0, а следовательно, нУ =/= 0・ Последнее означает, что функция / (х) не обращается в нуль. Вводя новый параметр т\ такой, что dV/dt = / (х), можно избавиться от функции / (х) в (10.19), т. е. получить уравнения (10.13).

Обсудим подробнее инвариантность величины (10.11). В § 5 было показано, что

击(Gm⑴舐 5/) = 0,「.(10.20)

если фазовые траектории определяются уравнениями (10.13) и выполняется условие (5.5), означающее сводимость уравнений (10.13) к гамильтоновой форме. Однако выше использована инвариантность величины (10.11) в более широком смысле, чем тот, который заключен в соотношении (10.20). Это связано с условием 尤(％) = Ои может быть пояснено следующим образом. Уравнениям (10.13) соответствует инвариант Картана

Gabbxa^xb — 6〃 At + 玩 АН,(10.21)

не изменяющийся при произвольных смещениях точек /—3 на фазовых траекториях (см・ рис. 13). Но поскольку фазовые траектории необходимо выбирать так, чтобы 6" = АН = 0, то в этом случае соответствующий уравнениям (10ЛЗ) инвариант Лагранжа инвариантен в том же смысле, что и инвариант Картана (10.21).

Применим развитый нами формализм к гамильтоновым уравнениям свободной релятивистской частицы, движение которой характеризуется гамильтонианом (будем считать, что скорость света с = 1) " = у р2 + /и2. Введем собственное время т с помощью соотношения

由三色1 =h户+ m2 - %、，..，

——2/n*.

Формула (10.4) определяет новый гамильтониан

Введя метрический тензор {" с отличными от нуля ксшпонентами g诔=6饅，g00 =з —1, представим 尤 в виде *

;〕(Ю.22)

Считая, что ковариантные компоненты 4-импульса p^t равны 卩力 р2> р3, % = — /р2 + 瓜 и контравариантные компоненты 4-вектора координат — времени д" равны д】=%, d = % ?3 —彰，q。= t, можно записать релятивистские гамильтоновы уравнения свободной частицы и соответствующее дополнительное условие в виде

m=-第，办=瓷，光=。. (10.23)-

Рассмотрим частицу, взаимодействующую с электромагнитным полем, описываемым тензором F^ =—户研 и гравитационным полем, характеризуемым метрическим тензором g^v = g^v (?)• Пусть гамильтониан частицы по-прежнему определяется формулой (10.22). Нетрудно убедиться в том, что уравнения движения часттшы можно представить в виде, аналогичном (5.14):

—^"{gvp,。+gw,p— gp°,v) 9Pq4''(10.25)—^"{gvp,。+gw,p— gp°,v) 9Pq4''(10.25)

—^"{gvp,。+gw,p— gp°,v) 9Pq4''(10.25)

—^"{gvp,。+gw,p— gp°,v) 9Pq4''(10.25)

Выясним смысл дополнительного условия 尤=0. Согласно (10.24)

Р@ = mg“zq" •(10.26)

Подставляя (10.26) в (10.22), находим“

^v??+l = 0.「

Последнее соотношение можно записать в виде

(10.27)(10.27)dt = р — g@vdq"dq”・

(10.27)

(10.27)

Таким образом, мы убеждаемся, что дополнительное условие 尤=0 определяет выбор собственного времени т в виде (10.27).

Уравнения (10.24) имеют вид (10.13). Соответствующая 行" матрица G必 аналогична (5.12):

(10.28)

В § 5 получено условие (5.5) сводимости уравнений типа (10.13) к обычному каноническому виду. В случае матрицы Gabt определяемой (10.28), условие (5.5) определяет вторую пару уравнений

Максвелла

尸 uv 冷 + PvpiH + 尸 pu,v = 0・(10.29)

Согласно (10.29) &v можно выразить через вектор-потенциал

尸Uv = %v,u — ^u.v*

Теперь можно перейти от уравнений (10.24) к обычным каноническим уравнениям

a=一醬，或=新・ (ю.зо)

Для этого вместо кинетического (неканонического) импульса (10.26) введем обобщенный (канонический) импульс

一 乙=a +e4・一 (Ю.31)

При этом

•%二产(乙一叫):?一叫)+加.(10132)

В заключение этого параграфа приведем инвариант Лагранжа — Картана Gab б^Дхй:

6母А9觊—6guA/?u + e凡У"必炉.(10.33)

Требование инвариантности (10.33) совместно с дополнительным условием g^p^Pv + /и2 = 0 полностью определяет движение частицы в электромагнитном и гравитационном полях.

叮歹 kF § 11 _ Интегралы движения ”

• ，“и симметрии- «Скрытая»

симметрия атома водорода и спинорная регуляризация кеплеровского движения

■ Следы геометрии запечатлены в мире так, словно геометрия ',была прообразом мира.

'；И, Кеплер [86]

、，乙 Чудесная загадка соответствия математического языка за-

&конам физики является удивительным даром, который мы

не в состоянии понять и которого мы, возможно, недостойны. Мы должны испытывать чувство благодарности за этот дар.

-Е. Вигнер [87]

Как показано в § 6, любая функция и (х) в фазовом х-пространстве генерирует некоторое каноническое преобразование (6.18). При этом гамильтониан Н (х) преобразуется согласно (6.17) следующим обра-

70

「/Г(Х) = Н(%(Н))=， ‘

= "(*，) + (〃，")+』(“，(и, Я))+... (11.1)

Если скобки Пуассона人 八

":似，")= 0,'":](11.2)

ТО ■/；

"，(/) = "(£).(11.3)

Последнее означает, что канонические уравнения движения

xfa =(小，н,)了

по виду не отличаются от канонических уравнений '

Xa =(%久").

Таким образом, условие (11.2), свидетельствующее о том, что и (х)— интеграл движения, означает существование канонического преобразования (6.18), не изменяющего вида уравнений движения. Иными словами, существование интеграла движения 〃 (х) означает симметрию уравнений движения относительно преобразования (6.18). С другой стороны, поскольку согласно (6.12) любое бесконечно малое каноническое преобразование можно представить в виде

%” = %a_(q х«),(11.4)

и при этом2

"'(%') = 〃(£)+® Н),(11.5)

то симметрия уравнений движения относительно (11.4) означает, что е (%) — интеграл движения.

Совокупность всех преобразований, не изменяющих вида уравнений движения, образует группу симметрии уравнений. Удачным выбором соответствующих интегралов движения 厶，/2,…，/% можно добиться того, что преобразованиями вида (6.18) с

=工 а/(%)< (1 L6)

и всеми допустимыми значениями численных параметров % будут исчерпываться все преобразования группы симметрии уравнений движения.

В качестве иллюстрации связи между интегралами движения и группами симметрии рассмотрим найденную Фоком в 1935 г. «скрытую» О (4)-симметрию, объясняющую случайное вырождение энергетических уровней атома водорода [88]. В 1936 г. Баргман [891 отметил, что «скрытая» симметрия атома водорода связана с тем, что кроме момента количества движения частица, движущаяся в потенциале —а/r, имеет три дополнительных интеграла движения,

обнаруженные еще Лапласом [90] (т — масса частицы):'

А == ~М х р + а-^-.(Н.7)

Канонические преобразования, генерируемые вектором момента М, представляют собой обычные вращения в трехмерном пространстве, канонические преобразования, генерируемые вектором Лапласа А (более известным как вектор Рунге — Ленца [91, 92]), изменяют не только положение орбит в пространстве, но и вид орбит (сохраняя при этом энергию частицы Н неизменной). Скобки Пуассона величин М/ и А\ = A“一^i (при Н < 0) задают билинейный закон умножения алгебры Ли группы вращений четырехмерного пространства SO (4):

(此，NJ = 5mNи■(И.8)

(M, M)= e^/Mz.

Соотношения (11.8) и приводят к тому, что совокупность всех канонических преобразований вида (6.18) с .

〃 (Р, г) = фМ (р, г) + XN(p, г),；

изоморфна группе SO (4).

Открытие в начале 60-х годов унитарной SU (З)-группы внутренней симметрии элементарных частиц вызвало новый интерес к «скрытой» симметрии атома водорода. В 1964 г. была высказана идея о группах динамической симметрии, которые дали бы возможность объединить различные мультиплеты элементарных частиц в единые супермультиплеты. Была найдена динамическая группа атома водорода О (4, 2), позволившая объединить все уровни дискретного спектра в единый мультиплет (О (4,2) — группа, действующая в пространстве шести измерений и сохраняющая форму xf + х| + + Хз + %4 — %5 —廟.Выяснилось, что с помощью динамической группы О (4,2) можно не только найти энергетический спектр атома водорода, но и описать различные взаимодействия атома водорода с внешними полями. Атом водорода начали рассматривать как прекрасный пример «релятивистской элементарной частицы», все свойства которой можно получить на основе теоретико-групповых рассмотрений. (Подробное обсуждение «скрытой» и динамической симметрий' атома водорода и соответствующие литературные ссылки можно найти в работах [93—96].)

В 1964 г., когда возник интерес к атому водорода как к «элементарной частице» с замечательными групповыми свойствами, появилась работа Кустаанхеймо «Спинорная регуляризация кеплеровского движения» [97]. Эта работа привлекла внимание специалистов по небесной механике к О (4)-симметрии задачи Кеплера, атак как симметрия задачи Кеплера тождественна симметрии задачи об атоме водорода, после появления указанной работы предстала в новом све-

те и симметрия атома водорода. (Об-у

ратим внимание на то, чю в книге, .

[85], посвященной применению О/1^——^Г4

(4)-симметрии задачи Кеплера в「/^[х небесной механике, нет ни одной ссылки на работы по О (^-симметрии атома водорода. В свою очередь в работах об атоме водорода, за очень редкими исключениями [98, 99], практически не упоминается о работе Кустаанхеймо.) Используя «спинорную регуляризацию» Кустаанхеймо, рассмотрим О (4)- симметрию задачи Кеплера, пред

варительно остановившись на необходимых для дальнейшего изложения свойствах кеплеровского движения.

В 1609 г. в Праге было опубликовано сочинение И. Кеплера (1571—1630) «Новая астрономия, основанная на причинах, или физика неба, представленная исследованиями движения звезды Марс согласно наблюдениям дворянина Тихо Браге». Многолетние исследования орбиты Марса дали возможность Кеплеру написать: «Путем исключительно кропотливых доказательств, обработав очень много наблюдений, я нашел, что путь планет на небе— не круг, а овальная, точнее, эллиптическая орбита» [12]. В указанной работе были сформулированы два первых закона Кеплера: 1) планета описывает эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце; 2) прямая линия, соединяющая планету с Солнцем, описывает равные площади в равные промежутки времени.

Важным моментом в исследованиях Кеплера оказалось то, что при описании положения планеты на орбите он использовал угловую переменную £, известную под названием «эксцентрическая аномалия» (рис. 14). Уравнение эллипса было установлено Кеплером в виде宀入一宀

r = a(l—ecos£),…(1L9)

где г — расстояние от Солнца до планеты, е — эксцентриситет эллипса, е2 = (。？ 一 b^/a2, а и 力——большая и малая полуоси эллипса. Учтем теперь то, что эллипс представляет собой сжатую в вертикальном направлении окружность радиуса а (все г/-координа- ты окружности при умножении на & = 卜1 — е2 переходят в соответствующие //-координаты эллипса), а также расстояние от геометрического центра эллипса до его фокуса равно еа. Тогда

# = a(cos£ — в), y = apl—e2sin£. (11.10)

его на(И.Н)(11.12)эллипсом,его на(И.Н)(11.12)эллипсом,

его на

(И.Н)

(11.12)

эллипсом,

его на

(И.Н)

(11.12)

эллипсом,

Воспользуемся вторым законом Кеплера (законом площадей). Площадь dS, описываемая концом вектора г при смещении его на dr,

dS = } I г х dr I = } I %dy — yd% I =

=% о? /1 — *2 ° — 8 cos E) dE.

Согласно закону площадей> с

dSd/

где S = лай = no2 /1 ——e2 — площадь, ограниченная

т — период обращения планеты вокруг Солнца. Используя (11.9) — (11.12), получаем связь между временем t и эксцентрической аномалией £:

dt = -^(1 —&cosE)dE =rdE.(11.13)

Интегрируя (11.13), находим уравнение Кеплера

f =礒(£ —&sinE)♦(11.14)

(считаем, что при t = 0 планета находится в перигелии). Соотношения (11.10) и (11.14) полностью определяют кеплеровское движение. Заметим, что именно использование эксцентрической аномалии Е позволило нам (вслед за Кеплером) описать кеплеровское движение столь простым образом.

Приведем формулы, выражающие энергию кеплеровского движения

орбитальный момент

и константу а, входящую в закон тяготения, <1揖8 определяющие кеплеровское движение постоянные а, е и т:~

昌二—2#团02片2,J

—.M = 2ntna2 У 1 ——е2/т,(1L15)

.a й 4几2m03几2..

Эти формулы понадобятся нам в дальнейшем.

« Легко видеть, что (11.10) можно представить в виде

3整+ i/1 + Esin3整+ i/1 + EsinЕ \z万丿.

3整+ i/1 + Esin

3整+ i/1 + Esin

(11.16)

Введем вместо эксцентрической ан№й*5В ：呷**$ = т£72па и запишем (11.13), (11.16) в виде…」小

df = r曲，"::(11.17)

% + % = (〃 +加)2.-―(11.18)

Преобразования (11.17), (11.18) введены Т. Леви-Чивитой (1873— 1941) в 1903 г. 1100]. С помощью преобразований Леви-Чивиты уравнения плоского кеплеровского движения сводятся к уравнениям гармонического осциллятора

〃 4- о)2〃 = °, j'+ з% = ° (11.19) (точками обозначено дифференцирование по s5(о = ла/т), Преобра- зования Леви-Чивиты называются регуляризирующими, так как они задачу о движении в потенциале, стремящемся к бесконечности при г -> 0, сводят к уравнениям без каких-либо особенностей. Убедимся в том, что любое решение уравнений (11.19)

и+ iv = ae 2 — ре 2 , (11.20) где а н В — произвольные комплексные числа, описывает кеплеров^ ское движение^ Представив а и в виде

”7N+X

а = |а|в , В = |Р|е 2 ；

из (11,20)из (11,20)сспомощью элементарных преобразований получимпомощью элементарных преобразований получимЗдесьЗдесь% + % =(〃 + »〃)2 ==е仰а ()/1 — & cos ?弓丄 土± WE sin与吓% + % =(〃 + »〃)2 ==е仰а ()/1 — & cos ?弓丄 土± WE sin与吓~ .g户+住产 a =^~ .g户+住产 a =^е ее е2|^IIPI _1£户+ 101г2|^IIPI _1£户+ 101г(11.21)(11.22)(11.21)(11.22)

из (11,20)

из (11,20)

с

с

помощью элементарных преобразований получим

помощью элементарных преобразований получим

Здесь

Здесь

% + % =(〃 + »〃)2 =

=е仰а ()/1 — & cos ?弓丄 土

± WE sin与吓

% + % =(〃 + »〃)2 =

=е仰а ()/1 — & cos ?弓丄 土

± WE sin与吓

~ .g户+住产 a =^

~ .g户+住产 a =^

е е

е е

2|^IIPI _1£户+ 101г

2|^IIPI _1£户+ 101г

(11.21)

(11.22)

(11.21)

(11.22)

знаки 圭 совпадают со знаками величины | а | — | 0 |. Сравнивая (11.21) с (11.16), видим, что и + iy, определяемое (11.20), действительно описывает движение по кеплеровскому эллипсу. Формула (11.21) свидетельствует о том, что эллипс как целое повернут в х, (/-плоскости на угол ф и начало отсчета угловой переменной £ сдвинуто на величину X. Знаки — и + соответствуют движению по кеплеровскому эллипсу в направлении и против направления движения часовой стрелки.

Леви-Чивита безуспешно пытался обобщить свои преобразования на трехмерный случай. Это удалось сделать Кустаанхеймо, однако, в то время как преобразование Леви-Чивиты (11.18)—простой переход от декартовых координат %, у к параболическим координатам и, и, преобразование Кустаанхеймо осуществляет переход от трех

декартовых координат х. у, z к четырем вещественным переменным 〃力 ％, 〃з, %, связанным соотношениями

21 = 〃i + i〃2， 屮2 = 〃嚣 + »〃4(11.23)

с компонентами двухкомпонентного спинора 屮.С помощью матриц Паули (1.8) полученное Кустаанхеймо обобщение преобразования Леви-Чивиты (11.18) можно представить в виде

г =屮 *бр・(11.24)

Преобразование (11.18) получается из (11.24), если положить

5 = (u— iv)/y2t 屮2 = (〃 + ^)/V2.(11.25)

Убедимся в том, что спинорное уравнение

0 + 炉屮=0: (11.26)

при некоторых дополнительных условиях, налагаемых на его решения, описывает кеплеровское движение, определяемое уравнением

m "^ += 0.(11.27)

Будем исходить из того, что уравнение (11.27) эквивалентно требованию, чтобы вектор момента количества движения *

M = T(rxJ)二&(И.28)

и вектор Лапласа，队у(

А = ；М х J + a^ "'(11.29)

были интегралами движения. Если подставить в (11.28) и (11.29) г = *ф*огр и г =(屮*и屮)、то уравнение (11.26) будет описывать кеплеровское движение при условии, что М и А выразятся через интегралы движения уравнения (11.26). Легко проверить, что уравнение (11.26) имеет следующие интегралы движения:

:以川， 1: ?：(И.30)

3 厶=0*0 + 炉屮*屮，-

「…12 = 0打0 +炉屮*(7屮.

Исполову#Тождества, справедливые для любы^ сданоров^, <р, 0 и X:

,(屮*U(P)2 =(屮*中)2,: }'

w 1(if*a(p) X(е*оХ) = 1(1|)*оХ)(е*ф)—i^XJfO^ocp),

gaxW- ，

те*

Момент М будет интегралом движения, если

厶=0.,(11.31)

Тогда

L = %M.J (11.32)

Считая, что /] = 0, получаемi

:A = _2m^^,2-甸+ 2矶.；

Если..

y阡§「:普$匕否？3:处4麻

”(11.34)F^呱I喃0』1<ения”(11.34)F^呱I喃0』1<ениято

”(11.34)

F^呱I喃0』1<ения

”(11.34)

F^呱I喃0』1<ения

т. e. A — интеграл движения. Энергия

выра^ЮТСЯ 9ефез спиноры 屮 н « следующим образом:

2 仲*2)22 仲*2)2

2 仲*2)2

2 仲*2)2

Мы видим, что если выполняются условия (11.31), (11.33), то энергия —интеграл движения:

*=-2炉九(11.36)

Итак, мы убедились в том, что если выполняются дополнительные условия (11.31), (11.33), то уравнение (11.26), действительно, описывает кеплеровское движение со следующими моментом, вектором Лапласа и энергией:

М = — ML, А = 2m【2，卷=—2w2m.

Появление условия (11.31) связано с тем, что вместо шести переменных г и г мы используем восемь:屮 и 血 Это условие устраняет одну лишнюю переменную, оставшаяся лишняя переменная может быть устранена соглашением о выборе фазы спиноров 屮 и 加 При таком описании кеплеровского движения О (4)-симметрия задачи Кеплера становится почти очевидной. Введем биспинор

ф=/¥(_и (UM

Легко проверить, что уравнение (11.26) эквивалентно уравнению

」Ф =血丫5①，•」一…(11.38)

где 也=(° 丁；) — 4 х 4-матрица из алгебры матриц Дирака (см., например, [101]). Уравнение (11.38) инвариантно относительно преобразований вида

ф^ф7 =抑①,

где Q — 4 X 4-матрицы, коммутирующие с у6. Кроме единичной матрицы и матрицы 禽 с у6 коммутируют матрицы

Siv = 4~(YrYv — YvYn)> Ш ” == 1, 2, 3, 4*

представляющие собой инфинитезимальные операторы'группы SO (4). Таким образом, уравнение (11.38) инвариантно относительно преобразования

①f①』小小①，(11.39)

где 0Цу — ч ислен ные п араметры.二

Введем «дираковски сопряженный» биспинор

® =(D*Y5= М警(_庙屮 *, — 2(11.40)

и определим скобки Пуассона

(П.41>(П.41>(11.42)(11.42)(11.43)(11.43)/、. I ди dv du dv

(П.41>

(П.41>

(11.42)

(11.42)

(11.43)

(11.43)

W ")=1而武一而a 2

Введя гамильтониан

Н =(оФу5Ф, представим уравнение (11.38) в виде

Ф = (Ф, Н).

Легко видеть, что уравнение (11.38) имеет следукй^Й интегралы движения:'"

ФФ = 2沂(0*屮一唄^) = 2im/n

①YM) =等④*而+3绯*屮)=等厶，(11.44)

ФОцуФ = — / uv・

Поскольку матрицы 恥 выражаются через матрицы Паули:

1 M1 /0 叫

otk = — elkl^ J, Ом = -<т« = —^ J.

/係=—im&iki (^*0^ —屮*必心=—im&iki (/J；,

Как известно, уравнение (11.38) описывает кешйртюкое движение» если его дополнить инвариантными относнтел^) преобразования (11.39) дополнительными условиями,,

ФФ = 0, Н =(оФу6Ф = а.(11.46)

Согласно (1.33) и (1.35) при выполнении дополнительных условий (11.46) величины /убудут

(11.47)(11.47)(11.48)(11.48)'i 在=g 削М/,

(11.47)

(11.47)

(11.48)

(11.48)

/« = — /4^ = V m.Air]f —28 =s N,

Скобки Пуассона

'(/吟 /ри) = SupZVa + byu/jp —^0Ivp —

—бур^ца»；

отпадающие ю скобками Пуассона (11.8), легко можнолилчислить, если воспользоваться следующей из (11.41) формулой

' (ФДФ, ФВФ) = /Ф (АВ — 84)①，

где Л и В — произвольные 4 х 4-матрицы, и коммутационными соотношениями，

OjrvOpu — О'раОцу = i (bjpdvu + 6уа(Уцр — ^цдОур —

—бурПца).

Таким образом, SO (4)-симметрия кеплеровского движения заключается в инвариантности уравнения (11.38) и дополнительных условий (11.46) относительно преобразования (11.39), генерируемого интегралами движения (11.47).

Заметим также, что если мы рассмотрим канонические преобразования, генерируемые функциями вида

〃 =ОцуФ^цуФ + 05Фу5Ф + 汾从①W① + " ;■

+ 85 pl① HYrR

где 0—вещественные параметры, то такие преобразования, оставляющие инвариантной величину ФФ, изоморфны динамической группе задачи Кеплера SO (4, 2). Итак, свойства кеплеровского движения могут быть полностью отражены с помощью спиноров шестимерного пространства. Спиноры шестимерного пространства подробно описаны в работах [102—104].

Скобки Пуассона и переход от классической механики к квантовой

:Я обычно по воскресеньям совершал в одиночестве далекие

"Г прогулки... Именно в одной из таких прогулок меня осенила мысль о возможной связи между коммутаторами И ■ г скобками Пуассона. Я не знал тогда достаточно хорошо, что такое скобки Пуассона, и поэтому не был уверен в справедливости этой идеи. Вернувшись домой, я обнаружил, что у меня нет ни одной книги, объясняющей скобки Пуас-

、 сона. Пришлось нетерпеливо дожидаться открытия библиотеки на следующее утро, чтобы проверить идею,

/7. 4 М. Дирак [105]

В 1925 г. В. Гейзенберг (1901—1976) в статье «О квантовотеоретическом истолковании кинематических и механических соотношений» [106J изложил новый взгляд на соотношение между классической и квантовой механикой: не уравнения классической механики ошибочны, а требуют видоизменения математические операции, посредством которых из уравнений выводятся физические результаты. Отталкиваясь от теории Гейзенберга, Дирак пришел к выводу [43], что «разность гейзенберговских произведений двух квантовых величин равна скобке Пуассона этих величин, умноженной на 访/2п». Фундаментальная работа Дирака «Основные уравнения квантовой механики» [43], опубликованная в 1925 г., содержала полную схему квантовой механики. Исходя из того, что коммутаторы Гейзенберга удовлетворяли условиям (4.5) —— (4,8), которым подчиняются скобки Пуассона в классической механике, Дирак ввел новые скобки —— «квантовые скобки Пуассона», подчиняющиеся тем же условиям, что и классические. Согласно Дираку, классическая (квантовая) гамильтонова система описывается 2九 классическими (квантовыми) переменными %" (/). Если переменные %" (f) канонические, то их классические (квантовые) скобки Пуассона будут

(М,吟=£叱(12.1)

где ЕаЬ — 2九 х 2п-матрица вида (2.9). Развитие системы во времени определяется гамильтонианом Н (х, f): 孑 …

/(/) = (* Н).1(12.2)

Квантовые переменные %" (/) могут быть реализованы линейными операторами в гильбертовом пространстве. Тогда квантовые скобки Пуассона представятся коммутатором линейных операторов

ifi (%а, 0) = [ХаХЬ]=状炉一ХЬХ°.(12.3)

Рассмотрим канонические преобразования классических переменных %", т. е. преобразования, сохраняющие соотношение (12.1).

Такие преобразования, как мы видели, могут быть записаны с помощью скобок Пуассона в виде разложения (6.18). Но эти же соотношения определяют канонические преобразования квантовых переменных %* если скобки Пуассона в них понимать как квантовые. В частности, если квантовые скобки ПуассЪна определяются формулой (12.3), то каноническое преобразование (6.18) приобретает вид

[〃似%叩+•一

；/(124)

Согласно (Г2^ .二匸匕工;

您：н 庶(f + &)=庶 + (庶，H) 6九г. г ：(12.5)

Из (12.5) следует, что изменение величин х“ (％) со временем можно рассматривать как каноническое преобразование классических (или квантовых) переменных лЛ

Рассмотрим еще один важный вопрос, возникающий при переходе от классической механики к квантовой. Как следует из предыдущих параграфов, в классическом случае может оказаться довольно полезным введение избыточных переменных. Последние дают возможность проще сформулировать теорию, помогают выявить симметрию уравнений. Но теория может содержать избыточные переменные и в первоначальной формулировке, а исключение избыточных, лишних переменных может быть сложным (и не всегда нужным) делом. Теория, использующая избыточные переменные, содержит связи» в неявной форме исключающие лишние переменные:

取(％) = 0,1=1, 2, ... , М.

Если связи q\ таковы, что классические скобки Пуассона любых двух связей линейно выражаются через остальные связи

(9、Фл) = С^Ф;.(12.6)

то такие связи называют связями первого рода. Кроме связей первого рода могут быть не сводимые к ним связи второго рода

% (%) =。，

скобки Пуассона которых. ч

(%,儿)= С%" 7 (12.7)

образуют неособенную матрицу, имеющую обратную;

C^Ckf = Sfe.(12.8)

(Так как Clk = —С跳，то число связей второго рода должно быть четным.) Квантованию систем со связями много внимания уделил Дирак [107, 108]. Связи первого рода приводят к дополнительным операторным уравнениям вида

j -(р/ у)=0,一 .(12.9)

где I Т)——квантовомеханический вектор состояния системы. Для связей второго рода ввести аналогичное условие нельзя, так как %/ 屮'〉=0 означало бы, что | Y) = 0. Связи второго рода означают, что некоторые переменные нужно исключить из рассмотрения, прежде чем проводить квантование. В 1950 г. Дирак ввел новые скобки Пуассона [107]

也，и)* = (u, v)-Cik(u,猫®,福， (12.10) в неявной форме проводящие все необходимые исключения переменных. Скобки Пуассона (12.10) удовлетворяют всем : условиям (4.5)— (4.8) и, согласно Дираку» должны быть положены в основу перехода от классической теории к квантовой.

Впервые задача о квантовании систем со связями возникла при квантовании электромагнитного поля, описание которого вектором- потенциалом представляет типичный пример использования избыточных переменных в теории поля: при калибровочных преобразованиях 力伐一＞ 力伐 + дА/дх^, тензор поля 尸冲 =-дА^дх^ — dA^/dxv не изменяется. Это свидетельствует о том, что вектор-потенциал 4伐 содержит избыточные переменные. Все калибровочно-инвариантные теории (в том числе и теория гравитационного поля) являются важными случаями систем с бесконечным числом степеней свободы, имеющих связи. В последние годы квантование систем со связями приобрело особый интерес в связи с появлением калибровочно-инвариантных моделей единых теорий сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий. Значительные успехи в квантовании систем со связями достигнуты с помощью фейнмановского континуального интегрирования [1091.

В качестве иллюстрации связи между классическими и квантовыми скобками Пуассона рассмотрим изложенное в предыдущем параграфе описание кеплеровского движения, которое мы описывали биспинором Ф, удовлетворяющим уравнению

Ф = (Ф, Я)(12.11)

м дополнительным условиям”〕

ФФ = 0,(12.12)

Я = соФу5Ф=(оФ*Ф = а.(12.13)

Согласно (11.41) скобки Пуассона -

(Фа, Ф₽) = ^.(12.14)

Переходя от скобок Пуассона к коммутаторам согласно (12.3)

ih(u, v)~^(uv]t(12.15)

получаем из (12.14)

[ф^] = — fifiP.(12.16)

Коммутационным соотношениям (12.16) можно удсшлегворить, пред-

исНвив Ф и Ф в виде/

,■ ф=/4р++6 ,.‘

'•.币=]/■|(а — ь+, —а-办 '(12.17)

где а+, b+, а, b —операторы рождения и уничтоженм, удовлетворяющие перестановочным соотношениям"

[ааа^] = [bab^] = 6а₽(12,18)

(все остальные коммутаторы равны нулю). С учетом (12»17)гамиль* тониан " приобретает вид

"=①①+①=Его (а+а + b+b + 2),(12.19)

*а симметризованное условие (12.12) согласно (12.9) приВбДйт к ураа' нению .，，/

--1- (ФФ + ФФ) I Т) = Й (а+а — b+b\U)^ 0.

"(12.期

Из (12.19), (12.20) и (12.13) находим'

иа| Y) = 2Йсо (а+а + 1) | Y) = 2Йсоп | 屮〉，

i откуда с учетом того, что энергия кеплеровского движения е г ! 匸—2炉加，получаем выражение для уровней энергии‘ г

；■.蜀一篇， “=1, 2,…(12.21)

S' Мы кратко рассмотрели связь между классической и квантовой ；механикой для того, чтобы отметить, что именно симплектическай структура механики, заключенная в скобках Пуассона, приводит к ]возможности квантования классических гамильтоновых систем. ‘ В заключение параграфа приведем слова Дирака, сказанные им ；в 1963 г. [1101: «Сходство скобок Пуассона — вещь более сильная-,

:чем просто намек. Именно в этом пункте мы имеем очень теснук^, ；связь между классической и квантовой теориями. Вы не можете ；изменить определение квантовых скобок Пуассона, оно однозначнч^ ；диктуется аналогией с классическими скобками Пуассона». ”

Механика Намбу.

Квантовомеханический волчок

Недавно Намбу предложил очень интересное обобщение классической гамильтоновой механики..

Я. Мукунда, 3. К. Г. Сударшан [111]

Прошло почти полтора века с тех пор, как астроном Джон Гершель назвал волчок инструментом философа, но и до сих пор волчок не утратил своих чар.

К. Магнус [112]

Может оказаться, что состояние механической системы определяется нечетным числом переменных. В таком случае совокупность переменных, описывающих систему, не может быть наделена симплек- тической структурой, нельзя ввести скобки Пуассона, канонические преобразования, и все то, что мы знаем о гамильтоновых системах, становится бесполезным. Можно, однако, воспользоваться известным еще Лиувиллю [113] очень простым способом превращения любой динамической системы в гамильтонову. Рассмотрим в качестве примера систему, описываемую следующими уравнениями:

ql = f\q, 0. i= 1,2,3. (13.1)

Уравнения (13.1) — простейший из возможных законов движения {закон динамики Аристотеля): скорость тела пропорциональна действующей на него силе. Введем три лишние переменные ръ р2, Рз и гамильтониан

H = f@ t)P{. ；「： (13⑵ Видно, что второе из уравнений Гамильтона J

向=—dH【dq\ q{ = дН/др{ " (13.3)

является уравнением (13.1). (Заметим, что, не меняя уравнений (13.1), можно было бы ввести гамильтониан Н = f 匂,fj р± + g (q, 0, где g (q, f) — произвольная функция q,九)Гамильтонову систему {13.3) нетрудно проквантовать. Сопоставляя импульсам р{ операторы # д/dq1 и симметризуя гамильтониан Я, можно записать уравнение Шредингера, соответствующее рассматриваемой гамильтоновой системе:

加鲁=*(尸訪+备尸)电 (13.4)

Уравнение (13.4) не приводит к новой физике, о чем свидетельствует то, что уравнение (13.4), по существу, не содержит постоянную Планка. Однако в одном отношении уравнение (13.4) существенно отличается от уравнения (13.1). Уравнение (13.4) отражает свойства

гамильтоновой системы, при квантовании которой оно получено, и, как в классическом, так и в квантовом случае, симметриям гамильтониана Я соответствуют интегральные движения: если " не зависит от времени, сохраняется энергия 昌=/7; если гамильтониан Н не зависит от координат или сферически симметричен, сохраняются импульс р или момент импульса М = г х р. Но этих интегралов движения нет и не может быть у первоначальной системы, описываемой уравнениями (13.1), так как импульсы р( никакого отношения к этой системе не имеют. Рассмотренная нами система анализировалась Е. П. Вигнером (р. 1902), и вслед за ним мы повторим: «Приведенный нами пример должен послужить предостережением против легкомысленного отождествления симметрии и законов сохранения. Он напоминает нам о том, что для существования связи между симметрией и законами сохранения в обычной механике последнюю необходимо сформулировать в гамильтоновой форме...» [114]. Поскольку сущностью гамильтоновой механики является ее симплектическая структура, связь между симметриями и законами сохранения схематически можно изобразить следующим образом:

++++Симплектическая структураСимплектическая структураСимплектическая структураСимплектическая структура

+

+

+

+

Симплектическая структура

Симплектическая структура

Симплектическая структура

Симплектическая структура

Рассмотрим реальную физическую систему, описываемую тремя сменными

■31 =厶//1，32 =衣/厶，①3=/3а3，(13.5)

Изменение которых во времени определяется уравнениями .

dco；,,

厶 + (% —厶)gg = 0,

‘2~5Р + (厶一/з)9® = 0» .‘2~5Р + (厶一/з)9® = 0» .(13.6)(13.6)

‘2~5Р + (厶一/з)9® = 0» .

‘2~5Р + (厶一/з)9® = 0» .

(13.6)

(13.6)

厶一^ + (/2 — Л)① 182 = 0.

Уравнения (13.6), найденные Эйлером' в 1758 г., описывают свободное вращение твердого тела, компоненты угловой скорости которого на подвижные оси, направленные по главным осям тензора инерции, равны 创，со；,(о；・ Определяемые (13.5) /；, /；, /3 — это компоненты вектора углового момента тела, /А, /2, ，8 —главные моменты инерции.

В 1973 г. Й. Намбу (р. 1921) обнаружил, что уравнения (13.6) можно записать в форме, в некотором смысле аналогичной уравнениям обычной гамильтоновой механики в двухмерном фазовом пространстве [115]:

.ха+еаР__ = 0, (13.7)

где х1 = р,炉 н % еаР = — е₽а, в12 = 1. Введем два «гамильтониана»

(io.о)

•дН八•дН八(13.9)(13.9)УрЯЦЕ^Й (13.6) представим в виде, аналогмцбй (13.7)

•дН八

•дН八

(13.9)

(13.9)

Где х1 = 4(0； = /1,炉=/2(о2 = /г, X3 =厶①з = /з, ea₽v — единичный полностью антисимметричный тензор, е123 = 1.

Намбу ввел также очевидное обобщение (13.9) на случай п-мерного фазового пространства (в этом случае необходимо ввести (п —1) «гамильтонианов»):

……醬醬…卡^ ©I。）

Аналогично тому, как (13.7) обобщается на случай 2^-мepнaгo фазового пространства (еа^ переходит при этом в ——Е曲,определяемое (2.9)), (13.9) и (13.10) легко обобщить на случаи 3"・ и пА^-мер- ного фазовых пространств. Так, в ЗМмерном случае вместо (13.9) получим уравнения 厂

(13.11)(13.12)(13.11)(13.12)_ ьаЬс дН JG：

(13.11)

(13.12)

(13.11)

(13.12)

Уде Eabc отлично от нуля, если’

a = Зп + a, b = 3〃 ； 0, с = 3n + 丫

(n = 0, 1, ..., ^ — 1), a a, P и у принимают значения от единицы до трех. При выполнении условий (13.12)

ЕаЬс = 一 ％・

Механика Намбу очень похожа на обычную гаМйЛьтонову механику. В ней существует сохраняющаяся величина, аналогичная симплек* тическому инварианту Лагранжа (3.4):*

Eabc^^dx0,二 (13.13)

где Еаьс — тензор такого же вида, как и Е^.з'

工

В механике Намбу можно ввести скобки Пуассона ^х функций 〃，и Н 9：

/d加 dw

(〃,…)=Е 声五“•(13.14)

Скобки Пуассона (13.14) удовлетворяют условиям, аналогичным условиям (4.5) — (4.8), тождество Якоби (4.7) обобщается следующим образом [124]:

((% и,叫 у, z) = ((% 协 * и, 9)+ (и, (у,协 * 9)+

(13.15)(13.15)+ («, 5 (电协 z)).

(13.15)

(13.15)

Если F — некоторая функция х и /, то из уравнений движения следует, что

户=察 + (% G, Я). (13.16)

Из (13.16) и (13.15) следует теорема Пуассона: если Л, В и С — интегралы движения, то скобки Пуассона (Л, 8, С) тоже интеграл движения. Аналогичное (6.15) преобразование координат

心=炉+式炉"，g) (13/7) является каноническим, т. е. оставляет инвариантным тензор Е^ и не изменяет вида уравнений движения (f и g — функции, не зависящие от времени, | в |《1 — численный параметр). Отметим также, что уравнения движения не изменяются, если «гамильтонианы» Я и G заменить новыми «гамильтонианами» Н‘ =» Н‘ (Я, G), G'匸 =G), такими, что

дН1 00 ОН' dGf

Намбу пришел к обобщению гамильтоновой механики, потребовав, чтобы в трехмерном фазовом пространстве выполнялась тес рема Лиувилля об инвариантности фазового объема. Таким образом, уравнения Намбу имеют интегральный инвариант — объем в фазовом пространстве. В механике Намбу можно ввести и другие интегральные инварианты, аналогичные инвариантам Пуанкаре (9.16), (9.17). Простейший инвариант ——это относительный инвариант, представляющий собой интеграл по замкнутой двухмерной поверхности М2:

/2(М2) = ффог45а\ (13.19) где

Фай = ЕаЬсХс. (13.20) С помощью обобщенной формулы Стокса (9.18)относительный инвариант (13.19) сводится к абсолютному >

/8(М) = J EabcdSabe. 一 (13.21)

Л4»

Нетрудно получить выражения и для других относительных 厶，/8, /и, ... и абсолютных /в, Z9, /12, ... интегральных инвариантов.

Приведем для сравнения некоторые формулы гамильтоновой механики и механики Намбу (в kN-мерном фазовом пространстве): уравнения движения

Eab •，叱,% = Е“‘Eab •，叱,% = Е“‘tbc…d dH dGtbc…d dH dG3F3Fдхь дхс ' *< ； ] д^ % &дхь дхс ' *< ； ] д^ % &симплектический инвариант и его аналогEab^Xa\Xb, Eab.„c&Xa^Xb . . . d乃; скобки Пуассонасимплектический инвариант и его аналогEab^Xa\Xb, Eab.„c&Xa^Xb . . . d乃; скобки Пуассона(w, u) = Eab(w, u) = Eab0〃 加0〃 加dx° dxb *dx° dxb *

Eab •，叱,% = Е“‘

Eab •，叱,% = Е“‘

tbc…d dH dG

tbc…d dH dG

3F

3F

дхь дхс ' *< ； ] д^ % &

дхь дхс ' *< ； ] д^ % &

симплектический инвариант и его аналог

Eab^Xa\Xb, Eab.„c&Xa^Xb . . . d乃; скобки Пуассона

симплектический инвариант и его аналог

Eab^Xa\Xb, Eab.„c&Xa^Xb . . . d乃; скобки Пуассона

(w, u) = Eab

(w, u) = Eab

0〃 加

0〃 加

dx° dxb *

dx° dxb *

口 ab …с 0〃 dv …нзмемедм加 времени функции Ф口 ab …с 0〃 dv …нзмемедм加 времени функции Фdw dxcdw dxc

口 ab …с 0〃 dv …

нзмемедм加 времени функции Ф

口 ab …с 0〃 dv …

нзмемедм加 времени функции Ф

dw dxc

dw dxc

6=票+(6回，"теорайу Пуассона6=票+(6回，"теорайу Пуассона穿+ (a購❷工& ¥耳穿+ (a購❷工& ¥耳Л = В = 0, % =力=• • • = с,Л = В = 0, % =力=• • • = с,备(4 8) = 0,含(4 в，…，с)= 0〃； W 二备(4 8) = 0,含(4 в，…，с)= 0〃； W 二

6=票+(6回，"

теорайу Пуассона

6=票+(6回，"

теорайу Пуассона

穿+ (a購❷工& ¥耳

穿+ (a購❷工& ¥耳

Л = В = 0, % =力=• • • = с,

Л = В = 0, % =力=• • • = с,

备(4 8) = 0,含(4 в，…，с)= 0〃； W 二

备(4 8) = 0,含(4 в，…，с)= 0〃； W 二

канонические преобразования

心 н 炉 + в (炉，/), N。=庶 + £ &, f, g,…'，Л).

Покажем, что свободно вращающееся твердое тело не единственный пример системы, подчиняющейся механике Намбу. Рассмотрим динамическую систему, поведение которой описывается следующими уравнениями:

忌=/“ (х), 07a/дх^ = 0, а = 1, 2, ... , п.

(13.22)

Условие d/a/d» — о означает, что выполняется теорема Лиувилля о постоянстве фазового объема. (Ясно, что и гамильтоновы системы относятся к системам вида (13.22).) Докажем теперь, что система (13.22) подчиняется механике Намбу. Пусть известен полный набор интегралов движения системы 兜工,"？, •••，Hi. Соотношения

票产=0,染产=0,・・•，第4。 = 0 дхдхдх

(13.23) свидетельствуют о том, что в n-мерном пространстве вектор 产 ортогонален (п—1)-му вектору дК、1д/, dH2/d^t ..., 8Hli8/. Урав-

88

т. е. М — интеграл движения и каким-то образом выражается через полный набор интегралов, М = М (卅】,"纟，•••，”门一i). Вводя вместо 先 1 новый интеграл движения Нъ такой, что

十 М (宛 1，Я2, %—1) ' УЭД"；М

получаем из (13.24) и (13.22) уравнение механики Намбу (13.10). Как отмечено в статье [116], то, что мы доказали, представляет собой хорошо известный результат в теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка [117].

Намбу не удалось найти квантовый аналог введенных им скобок Пуассона (и, и, w) и получить квантовомеханическое описание вращения твердого тела. Однако квантовая теория вращающегося твердого тела (будем называть его волчком) давно н хорошо известна (см., например, [118, 119]), и мы ее кратко рассмотрим.

Прежде всего отметим, что негамильтоновость уравнений Эйлера (13.6) связана не с тем, что волчок ——негамильтонова система, а с использованием неголономной системы координат, связанной с вращающимися осями [120]. Как мы увидим, в неподвижной системе координат уравнения движения волчка можно записать в обычной гамильтоновой форме [1211.

Как правило, состояние волчка описывают тремя углами Эйлера а, Р, у и тремя обобщенными скоростями а, 6, у. Будем описывать волчок двухкомпонентным спинором 屮,используя то, что спинор, с точностью до знака, эквивалентен паре ортогональных векторов одинаковой длины а и b [122]. Введем жестко связанную с волчком систему координат. Направив определяемые спинором гр векторы а и b по осям Г и 2‘，можно задать положение системы координат, а тем самым и волчка, с помощью спинора 屮(рис. 15).

Если подвижные оси /'—3’ совпадают с неподвижными /——3, то спинор 屮 имеет вид

•. ' .屮。=(о

При вращении волчка, определяемом углами Эйлера а, р, у, спинор Wo пойдет в спинор 屮：

一(13.25)

Компоненты (13.25) спинора ?, известные как параметры Кэли — Клейна, давно и успешно применяются для описания вращения твердого тела [1231, но свое название (спинор) величина 屮 получила сравнительно недавно [124].

Движение волчка определяется двумя законами сохранения: углового момента

/(- ~ hk^k _ '(13.26)

и кинетической энергии

Т ™ "5" hk^i^k^.(13.27)

где Iik — тензор инерции волчка, со,—— вектор угловой скорости.

Рассмотрим симметрический волчок, т. е. считаем, что главные моменты инерции 厶 и /2 совпадают:厶=/2. Введем единичный вектор с, направленный по оси 3’ подвижной системы координат и связанный со спинором 屮 соотношением

с = гр*(лр(13.28)

(мы считаем, что спинор 屮 нормирован условием 屮*屮=1). Тензор инерции симметрического волчка можно представить в виде

厶=厶臨 + (/8 -厶)力%.(13.29)

Используя (13.29), получаем из (13.26) и (13.27) соотношения

.j = /型 + (厶一/1)(c8)c,

(13.30)

(13.31)

，с помощью Котс^мйх находим

T = 4■传+住-七）©力

(13.32)

Поскольку / и Т — интегралы движения, из (13.32)

следует, что

в случае симметрического волчка сохраняется' также проекция век

тора углового момента на ось симметрии волчка:

/3 - Cj.(13.33)

Из соотношения

0 =，•粤屮(13.34)

следует, что.

①="《*0ф-屮%e).(13.35)

С помощью (13.35) выразим через спинЬр ф интегралы движения j, Г, /з и(о2:£厶

j = % (@*оф —屮■

.;■ .+ "厶一厶)("*2一屮*")(2*0屮)，，上 (13.36)

T = 2厶你*0) 一 扌(厶一厶)(0*屮 一 t*旷，(13.37) /з = i (0* 屮—2*0),(13.38)

s2 = 4®*《).(13.39)

Приведем уравнения движения симметрического волчка в спинорной форме

40 + (炉0) 2 - g 一厶)&*2-2*0) 6 = 0,

屮 *2=1,(13.40)

и общее решение этих уравнений

屮(0 =卜хр -у- [± j。+ ^^ /з “ 屮(0).

(13.41)

Найдем с помощью (13.41) зависимость от времени проекций угловой скорости со на движущиеся оси координат. Проекция со； =(ос представляет собой интеграл движения: сиз = /з//а. Для того чтобы найти ® =(оа н g = sb, воспользуемся условием а + /Ь =屮 £бр「，

/ 0

где е = ( — j q) . Согласно (13.35)-

со (а + ib) = i (《％屮一屮*оф)(屮в(лр) = — 2i (屮в《)， откуда, используя (13.41), находим

8； + ЙО2 = е‘住厶(8；(0) +加貝 0)). (13.42)

Формула (13.42) описывает открытую Эйлером в 1765 г. прецессию мгновенной оси вращения вокруг оси симметрии волчка с частотой

Q=区声血.

Согласно Эйлеру, географические широты на земном шаре должны изменяться с периодом т = IJ(h — /8) сут, равным примерно Юмес. Периодическое изменение географических широт с периодом около 14 мес. обнаружено Чандлером (1846—1913) в 1891 г. и известно как чандлеровское движение полюсов Земли. Отличие периодов

91

Эйлера и Чандлера объясняют тем, что «волчок» Земля не абсолютно твердое тело, и связывают его с упругими свойствами Земли и подвижностью океанов [125].

Введем волновую функцию волчка Ф （屮ф*）・ При вращении системы координат на угол 6ср волновая функция преобразуется следующим образом:

①（屮，"*）—>①'（屮，屮*）=

=[”等儿网+粤）卜:存

':=（l+，gj）R〔:J .

где оператсф узлового момента :J ,.:

"}（"*。普_阿哥）■"（13.43）

Из （13.43） следуют выражения для оператора квадрата момента /и проекции момента на ось симметрии волчка /з = %*十 j:

二j2 =（/l + /2）（71 + /2 + 1） - №4） （^ ^）.

「1 小：,*■『行疗（13.44）

где .：.. '

k/1=T2-^丁，?2=T屮碗（13.45）

Волновая функция волчка с определенным моментом^ :|фоекцией т на неподвижную ось 3 и проекцией mz на ось симшя^м 3‘，как нетрудно убедиться, будет《警;:

I »①如,"件，峭=

,—aia2...a2/—i«2/7 7：心 .' WQdQ

=Ф/m"a押网"一"a2/-1 屮a2/，（13.46）

一一二疗.

где q）^-a2/ 一 полностью симметричный спинтензор, описывающий частицу со спиновым моментом / и проекцией /и на ось 3, “a = eap^*₽- Действуя на волновую функцию （13.46） гамильтонианом 方，равным согласно （13.32）

〃 = }[£ +（吉-^必]， （13.47） определяем уровни энергии симметрического волчка （с учетом постоянной Планка, которую мы до сих пор считали равной единице）,

L二昌川"=果t21^ + （公一书（加H •

」V九I二（13・48）

В заключение параграфа найдем гамильтонову форму уравнений движения симметрического волчка, перейдя с помощью (13.25) or спинора 3 к углам Эйлера а, Р, у. Из (13.37) следует выражение для кинетической энергии 7:

т =^{1^ + a2sin2₽) + 1^ + acosp)2]. (13.49>

Из (13.49) получаем выражения для обобщенных импульсов: & Ра =妥=(/1 sin2 В + /3 cos2 Р)а + (/3 cos В) у, 用=* = /乱(13・50У

Pv == /3(V + a cos Р).•.

Используя (13.36) и (13.38), нетрудно найти, что 、

Ра = 3, Ру = /з,(13.51 У

т. е. о® н рт — интегралы движения. Исключая с помощью (13.50) a, Р и у из (13.49), получаем гамильтониан

‘：" =7 =击[就+(匹*)"易 (13.52> и в дополнение к (13.50) следующие уравнения движения:

Ра = 0,

1 (% — Ру 8s В) g — Ра COS В)

р? = 0.

Ншф^ш вштор момента волчка по оси 3, придем к соотношению^ /Ру = Pa COS р,(13.54)

поскольку /?у и % —интегралы движения, очевидно, и Р — интеграл движения, что означает согласно (13.50) равенство рв нулю. Используя (13.54) и полагая рв = 0, находим из (13.52) гамильтониан

"=-^-成+ }(* —*)嵐(13.55〉

Изменение во времени any описывают следующие урайшения:

科=力加2（*_六）…科=力加2（*_六）…(13.56>(13.56>

科=力加2（*_六）…

科=力加2（*_六）…

(13.56>

(13.56>

*К^Г 呻a费М (считаем, что а (0) = 0, 丫 (0) = 0),、

-a = 7>, Y = (+一力)拉. [ (13.57)

Для спиисфа (13.25) получим из (13.57) выражение

естественно, согласующееся с выражением (13.41).

ГЛАВА 2

ОТ АДИАБАТИЧЕСКИХ ИНВАРИАНТОВ БОЛЬЦМАНА ДО АДИАБАТИЧЕСКОЙ ГИПОТЕЗЫ ЭРЕНФЕСТА

Второе начало термодинамики и адиабатические инварианты Больцмана

Редкое развлечение смотреть, как эти ученые немцы спорят по поводу приоритета открытия, будто второй закон термо'/динамики есть не что иное, как принцип Гамильтона.

Из письма Дж. К. Максвелла к П. Тэту [/26}

Дж. У. Гиббс (1839—1903) считал, что термодинамика как наука возникла в 1850 г., когда была опубликована работа Р. Ю. Э. Клаузиуса (1822—1888) «О движущей силе тепла» [127]. По мнению Гиббса, до 1850 г. учение о теплоте представляло собой «беспорядочную- смесь истин и заблуждений», и только после появления работы Клаузиуса стали справедливыми слова Дж. К. Максвелла (1831 — 1879), сказавшего в 1878 г. о термодинамике, что это «наука с надежными основаниями, ясными определениями и четкими границами». Клаузиус в упомянутой работе сформулировал второе начала термодинамики: «Теплота не может переходить сама собой от более холодного тела к более теплому». В 1851 г. У. Томсои (впоследствии лорд Кельвин) (1824—1907) дал другую эквивалентную формуляров* ку второго начала (128] . В 1857 г. Клаузиус опубликовал работу «О природе движения, которое мы называем теплом», положившую начало статистической физике. Работы Клаузиуса вызвали интерес Максвелла к молекулярно-кинетической теории. В 1860 г. он опубликовал работу «Пояснения к динамической теории газов» [130]> в .которой вывел закон распределения скоростей газовых молекул. В 1865 г. Клаузиус ввел новую функцию состояния физической системы — энтропию. Согласно Клаузиусу, при обратимых процес-

方+3方+3сах изменение энтропии dS тела, абсолютная температура которого Т, определяется количеством тепла dQ, подведенного к телу (или отведенного от него):

方+3

方+3

dS =学.(14.1)

С введением энтропии второе начало термодинамики получило новую формулировку: энтропия замкнутой системы либо остается постоянной, либо возрастает.

К середине 60-х годов молекулярно-кинетическая теория до

стигла высокой степени развития. Успехи теории в чисто механическом объяснении различных термодинамических свойств газов сделали насущной задачу механического обоснования второго начала термодинамики. За решение этой задачи взялся Л. Больцман (1844—1906). В 1866 г. он опубликовал работу «О механическом смысле второго начала теории теплоты» [131], в которой «был разработан оригинальный вариационный принцип, приложимый для обобщенной механической системы, и который приводил к поразительной аналогии с уравнением термодинамики dQ/T = Ds» [132]. Много лет спустя Больцман детально обсудил упомянутую аналогию {и границы ее применимости) в «Лекциях о принципах механики» 1133] (имеется русский перевод [134]). Независимо от Больцмана, но несколько позднее его за обоснование второго начала на основе принципов механики взялись Клаузиус и К. Чили (1838—1924). (Работы Больцмана, Клаузиуса и Чили обсуждаются в книге [17].) Ниже мы воспользуемся анализом работы Больцмана, содержащимся в статье [136].

Больцман не был удовлетворен своей работой, опубликованной в 1866 г., и вскоре, как и Максвелл, стал считать, что второе начало термодинамики имеет статистическую природу и не может быть выведено из принципов механики [126]. Тем не менее упомянутая работа Больцмана представляет для нас большой интерес: в ней впервые появились адиабатические инварианты.

Выведем формулу Больцмана, устанавливающую аналогию между поведением механической системы и вторым началом термодинамики. Пусть состояние механической системы определяется совокупностью обобщенных координат и скоростей д', д', / = 1, 2, ..., N. Введем функцию Лагранжа

L = T — Vt(14.2)

где Т и V — кинетическая и потенциальная энергии, Т =

Энергия системы Jf ~ ■

" = Т + У ' - ' (14.3) не является интегралом движения, так как предполагается, что кроме потенциальных сил dV/dql есть еще необязательно потенциальные и, возможно, зависящие от времени сйлы £(. Уравнения движения системы таковн:

"丽=环十卅・ (14.4) Рассмотрим два бесконечно мало отличающихся движения системы: одно из точки 71,友 в точку 成 勾，другое из точки d + 6^,友 + 5友 в точку 位 + 672,勾 + *2 (рис. 16). Вычислим изменение интеграла действия при переходе от одного движения к другому:

где pi ^ dL/dqL При выводе (14.5) мы использовали (14.4) и учли разницу между W (幻 и 6%

М = 6^(幻 + Гм

и такую же разницу между 6d (为)и 6成 Складывая (14.5) с，

8^Hdt = [H8t]l+^8Hdt "，

и учитывая (14.2) и (14.3), получаем

6 J 2Т6^ = [pfiq1^ + J (6/7 — Ffiq>) dt. ' (14.6)

Определим теперь, следуя [136], систему Больцмана как систему с двумя типами координат, тремя типами сил и двумя типами эволюции.

Координаты первого типа q* i = 1, 2,…，п, — это быстро изменяющиеся координаты. Координаты второго типа, изменяющиеся медленно, обозначим буквами аР, р = n + I, п + 2, ..., У.

Силы первого типа ——это силы, не зависящие от экспериментатора (например, силы взаимодействия между молекулами газа или сила тяжести). Предположим, что эти силы имеют потенциал V(7, а). Силы второго типа — это внешние силы Лр, подвластные экспериментатору. Не предполагается, что эти силы потенциальные или не зависят от времени. При изменении координат «р силы Лр совершают работу Apdo^. Силы Лр не обязательно изменяются столь

же медленно, как координаты М. Например, если очень медленно изменять длину нити быстро колеблющегося маятника, то при этом придется преодолевать действие силы, изменяющейся с частотой колебаний маятника. Силы третьего типа — «тепловые» — подвластны экспериментатору, но под действием этих сил изменяются только координаты д'. При изменении состояния системы внутренняя энергия системы

Е = Т + V 」「，却 изменяется на величину , Г 〜

6Е - ЛрбаР + 6Q, ' (14.7)

где количество тепла 6Q, поглощаемое системой, и представляет собой работу тепловых сил.

Первый тип эволюции системы — чисто механический, иначе адиабатический, т. е. такой, что система не поглощает и не отдает тепла. Эволюция системы в этом случае происходит под действием сил первого и второго типов. Тепловых сил нёт. Второй тип эволюции — термодинамический, не адиабатический, в котором тепло поглощается или отдается системой.

Рассмотрим эволюцию системы из точки %,友 в точку %, %• Пусть координаты &р изменяются бесконечно медленно и с постоянной скоростью. Тогда изменение внутренней энергии системы

р + AQ = apJ /pd/ + AQ =

=се。仇一幻彳p + AQ =彳pAM + AQ, (14.8) где Ар —усредненные по времени силы Лр. Из (14.8) получаем соотношение

AQ = АЕ—ЛрАар. ' (14.9)

Применим формулу (14.6) к системе Больцмана. Будем считать, что каждое из двух бесконечно близких движений системы, которые мы рассматривали, выводя формулу (14.6), является адиабатическим и происходит при постоянных значениях координат «р. Это означает, что внутренняя энергия Е системы при этих движениях не изменяется, а следовательно, 8Н = 6Е не зависит от времени. Поскольку За。тоже не зависят от времени, то, используя (14.6), находим

， 、6 j 2T8t = [Pi^q1 + Jt,o6aP]f +，(bE — Лр6аР) dt =

=1〃М‘ + Прба 哨 + «2—幻(ЗЕ —456).(14.10) Здесь Пр = дТ/даР — импульсы, соответствующие координатам 6. Будем считать, что кинетическую энергию Т можно представить 98 ,

в виде суммы двух слагаемых

Г =禽 + Та,

квадратичных по скоростям ql и ар. Так как рассматриваемые движения системы происходят при постоянных ар, то Та и лр равны нулю. Учитывая это и используя соотношение (14.9), получаем из (14.10) формулу Больцмана

'：二7r ["AH； + 6Q. (14.11)

Использование соотношения (14.9) необходимо пояснить. Это соотношение справедливо, когда при эволюции системы координаты ар изменяются (бесконечно медленно и с постоянной скоростью), формула же (14.10) связывает два движения системы Г и Г\ происходящие при постоянных ар. Поэтому 6Q в формуле (14.11) представляет собой количество тепла, поглощенное (или отданное) системой при переходе от движения Г к движению Г' (штриховая кривая на рис. 16).

Предположим, что при постоянных ар движение системы периодическое, причем /2 ——^ = т и /2 + 6/2 —— 友——6/j = т + 6т ——периоды соответствующих движений. В этом случае вариации на обоих пределах равны и формула (14.11) принимает вид ， 〜

6Q = 7 丄7 6 § 2Tdt = 2 -^^~ 宀 (14.12)

(индекс q у Tg опущен). Из (14.12) Больцман получил формулу 早=2区共=61n (⑦.(14.13)

После формулы (14.13) в «Механике» Больцмана [134] следует: «Налицо почти полная аналогия со вторым законом термодинамики». В 1866 г. Больцман считал, что им «доказана теорема чистой механики, которая в такой же степени соответствует второму основному закону, в какой принцип живых сил соответствует первому основному закону...» Однако уже в 1871 г. он оценил несовершенство найденной им аналогии, целиком основанной на предполагаемой периодичности движения атомов. «Если, однако, траектории атомов не являются замкнутыми,— писал Больцман,— то остается неопределенной вероятность различных положений атомов и можно обнаружить специальные случаи, когда 8Q/T не является полным дифференциалом» [126].

Обратимся к случаю, когда состояние системы изменяется адиабатически, т. е. к чисто механическому случаю, когда 6Q = 0. Из формулы Больцмана (14.12) следует, что величина

/ = 2疗：(14.14)

представляет собой адиабатический инвариант. Согласно изложенному выше, адиабатическая инвариантность величины / = 2тГ означает следующее. Пусть состояние системы определяется совокупностью обобщенных координат и скоростей qlt qlt а также параметров ар. Пусть при фиксированных значениях параметров координаты ql изменяются периодически с периодом т. Если параметры ар изменяются бесконечно медленно и с постоянной скоростью и при этом не поглощается или не выделяется тепло, то величина / = 2七7 остается постоянной (Т ——средняя за период колебаний кинетическая энергия, Т квадратично выражается через обобщенные скорости qf).■■ -■

Давление колебаивй<

、 …и адиабатические инварйанты

[ Рэлея-.:

二"I С реди 446 статей лорда Рэлея -нет ни одной тривиальной -Из речи Дж. Дж. Томсона на похоронах Рэ лея [137]

В конце 1607 г. Кеплер любовался великолепным хвостом кометы Галлея . В трактате «О кометах» (1619), касающемся кометы Галлея и трех других комет, наблюдавшихся в 1618 г., Кеплер высказал предположение о том, что лучи света оказывают давление на тела, на которые они падают. С помощью этого предположения ему удалось дать простое объяснение характерных свойств кометных хвостов. Представление Кеплера о световом давлении вскоре стало общепринятым, но величина давления сильно преувеличивалась. Так, в конце XVII в. для доказательства существования светового давления ссылались на свидетельство путешественников по берегам Дуная, утверждавших, что «течение вод Дуная значительно медленнее, когда лучи солнца противодействуют его движению (утром), и делается более быстрым после полудня, когда лучи солнца помогают его течению». Несмотря на столь убедительное свидетельство, экспериментальные попытки обнаружить давление света в течение XVIII и в начале XIX в. были безуспешными [1381.

Впервые экспериментально доказать существование давления света удалось П. Н. Лебедеву (1866—1912) в 1900 г. В августе того же года на Международном конгрессе физиков в Париже он выступил с докладом «Максвелло-бартолиевы силы давления лучистой энергии» [139]. Вначале он привел слова Максвелла, впервые вычислившего величину давления и написавшего в своем «Трактате об электричестве и магнетизме» (1873): «В среде, в которой распространяются

волны, существует давление в направлении, нормальном к волне, и численно равное количеству энергии в единице объема». Затем упомянул о существовании другого вывода величины давления света, основанного не на электромагнитной теории света, а на рассуждениях, которые, совершенно не касаясь механизма световых колебаний, сводятся ко второму началу термодинамики. Термодинамический вывод величины давления света был дан А. Дж. Бартоли (1851—1896) в 1876 г. и Больцманом в 188 4 г. Позднее, в 1910 г., П. Н. Лебедев отметил [140]: «Бартоли указал на то, что всякое тело испускает лучи и что, в принципе, вполне возможно построить машину, состоящую из полого абсолютно зеркального цилиндра с перемещающимся в нем зеркальным поршнем; при помощи этой машины могли бы, выдвигая поршень, всасывать в цилиндр лучистую энергию холодного тела, потом, перенеся цилиндр к теплому телу, переводить в это последнее лучистую энергию, вдвигая поршень подобно тому, как при помощи садового насоса мы можем всасывать воду и выпрыскивать ее на значительную высоту». Единственная возможность избежать противоречия со вторым началом термодинамики —это сделать заключение о том, что «перемещение поршня должно преодолевать некоторую силу, обусловленную давлением лучей на поршень».

Развивая соображения Бартоли, Больцман в 1884 г. исследовал зависимость давления излучения абсолютно черного тела от температуры. Из требования выполнения второго начала термодинамики Больцман вывел экспериментально установленный в 1879 г. Й. Стефаном (1835—1893) закон, согласно которому полное излучение абсолютно черного тела пропорционально четвертой степени его абсолютной температуры:

U ~Т»(15.1)

(В 1907 г. X. А. Лоренц (1853—1928) назвал этот результат Больцмана «настоящей жемчужиной теоретической физики» [141].)

В 1893 г. В. Вин (1864——1928) доказал, что свойства излучения абсолютно черного тела согласуются со вторым началом термодинамики только в случае, если зависимость спектральной плотности энергии излучения от температуры имеет вид

一5g)(/_),； /(15.2)

где 九 —— длина волны излучения,① ——некоторая функция. Из формулы (15.2), называемой законом смещения Вина, немедленно следует закон Стефана — Больцмана (15.1) для интегральной плотности излучения U J 〃九dA.

В 1896 г. Вин получил формулу

.(15.3)

(с — некоторая константа), как казалось, хорошо согласующуюся с опытом. Эмпирическая формула

7|软=『小7― ] *(15.4)

/ J содержащая две константы, была найдена / I М. К. Э. Л. Планком (1858—1947) после того, как 7 / IQ оказалось, что измерения длинноволновой части спект- /' ра излучения не согласуются с законом излучения

/'Вина (15.3). 19 октября 1900 г. Планк выступил на

尸、Jзаседании Немецкого физического общества с док-

(){ладом «Об одном улучшении закона излучения Вина»

[142], в котором сообщил о полученной им формуле (15.4). 14 декабря того же года он сообщил Немецкому физическому обществу о введении им элементов энергии

е = hv,(15.5)

с помощью которых можно получить формулу (15.4) теоретически [143]. Рождение квантовой теории, как мы видим, тесно связано с исследованиями светового давления и термодинамических свойств электромагнитного излучения.

П. Н. Лебедев чувствовал, что сходство «между световыми, звуковыми и гидродинамическими колебаниями не ограничивается только кинетической стороной явлений, а идет гораздо глубже и захватывает их динамические свойства» [138]. В письме к Н. П. Кастерину (1869—1947) от 30 января 1902 г. он писал: «...опыты с пондеромо- торными силами самых разнообразных по своей физической природе волн, их действия на резонаторы и стенки всегда сводятся к энергии, к скорости распространения волны и в случае резонаторов еще к отношению колебаний. В окончательные формулы входят только эти величины, значит, только они необходимы и на протяжении всего рассуждения; все до сих пор известные «доказательства» похожи, таким образом, на доказательство закона Архимеда, сделанное, если не ошибаюсь, покойным Вейнбергом (окружным инспектором), который исходил из нескольких разных гипотез о строении атомов воды, об их взаимодействиях, о пространственном распределении в виде сеток и всякой другой ерунды, которая его потом логическим путем приводила к закону Архимеда для воды и только... Нам рассуждения Вейнберга смешны, а мы сами световое давление выводим двумя путями... и звуковое —— третьим, а гидродинамическое —— четвертым и т. д. Все это — не подобия только, а тождества с точки зрения физики ... тождество результатов показывает, что есть какой- то общий принцип, из которого можно и нужно исходить» [144].

В том же 1902 г. была опубликована статья Дж. У. С. Рэлея (1842—1919) «О давлении колебаний» [145]. Начиналась статья с замечания, что важность следствий, полученных Больцманом и Вином из представлений о давлении излучения, увеличила интерес к этому предмету. Отметив, что существование светового давления было не-

давно подтверждено П. Н. Лебедевым, Рэлей высказал мнение, что представляет интерес выяснить, приводят ли другие виды колебаний к давлению, и, если возможно, дать общую теорию явления. Он показал, что любая волна, распространяющаяся в среде, оказывает давление на препятствия, возникающие на ее пути. П. Н. Лебедев с большим интересом воспринял результаты Рэлея и не раз упоминал об «общей теореме лорда Рэлея, что не только свет, но что вообще всякое волнообразное движение при его распространении оказывает давление на тела, на которые оно падает, и что, в согласии с законами, которым подчиняется световое давление, давление всякого волнообразного движения прямо пропорционально величине падающей энергии и обратно пропорционально скорости распространения его колебания» [140] .

В начале статьи Рэлей рассмотрел маятник с медленно изменяющейся длиной нити，(рис. 17). Такой маятник часто называют маятником Рэлея (или маятником Лоренца — Эйнштейна, см. § 17). Применим к маятнику Рэлея формулу Больцмана (14.14). В случае малых колебаний (8 々 1) н при фиксированной длине нити I

0 = Д cos (о/ + ср) (15.6) где А ——амплитуда колебаний,屮。一начальная фаза, o)= ]/g// —— угловая частота, g — ускорение силы тяжести. Потенциальная энергия маятника

V = iigl(l-cosQ) = iigl~+ ・・• (15.7)

(卩一масса груза). Среднее значение потенциальной энергии

V =卩 g/G2/2 =阳/不図=Е/2, (15.8)

где Е = Т + V ——полная энергия. Так как Е = Е = Т + V, то Т = £72. С учетом периода колебаний т = 2n/s = 1/v получаем, что для маятника, совершающего гармонические колебания, адиабатический инвариант Больцмана / = 2тТ будет

/ = -^. № (15.9)

Рэлей также доказал, что величина (15.9) не изменяется при очень медленном изменении длины нити маятника. Рассмотрим доказательство Рэлея.

Будем изменять длину нити с помощью кольца, скользящего по нити в вертикальном направлении. Считая, что напряжение нити равно весу груза (за счет малости 0), находим силу, действую-

(15.10)(15.10)щую на кольцо вертикально вверх: 尸=Ng (1 — cos 6)

(15.10)

(15.10)

Учитывая (15.7) и (15.8), получаем вьфажение дпя я)едней силы .戸= Р// = Е⑵「J 一 ： (15.11)

(предполагается, что кольцо движется столь медленно, что усреднение в (15,11) имеет смысл). При движении кольца вверх (или вниз) производится (или затрачивается) работа Fdl, которая сопровождается уменьшением (или увеличением) энергии Е:

dE = —Fdl = — Edi ⑵.(15.12)

Из (15.12) следует постоянство величины 「七电；小匸号 宴告，” (15・13)

что, очевидно, эквивалентно постоянству адиабатического инварианта Больцмана (15.9).

После маятника Рэлей рассмотрел колебания струны длиной /, колеблющейся в плоскости Оху (рис. 18). Уравнения колебаний струны 「’\

(15.14)струны)(15.14)струны)@2у@2у厂一

(15.14)

струны)

(15.14)

струны)

= и ,.、

(с ——скорость распространения поперечной волВД Щмь следуют из вариационного принципа ,.,

8^Ldt = 8^T — V)dt = O, , где

(15.15)(15.15)r = pf(零)v = w\^dXоо

(15.15)

(15.15)

——кинетическая и потенциальная энергия струны (р — плотность, 取=pd ——постоянное натяжение струны). Сохранение полной энергии струны Е = Т -}- V следует из соотношения

[(器г” (君)1 =如备(黑黑).

РаадЫякЙм у в рйд Фурье：'

y = O)isin 子+①2@п毕 + •••(15.16)

Тогда 、-

「' 力=s sin 等十 a sin 丄手 + …(15.17)

Из (15.16) и (15.17) получим следующие выражения для кинетической и потенциальной энергии:

T^-^plY^ b=；取2£ /吠(15.18) ss

Будем теперь изменять длину струны с помощью кольца, медленно скользящего по струне в направлении оси Ох. При угле отклонения струны вблизи кольца 0《1 получаем выражение для силы, действующей в положительном направлении оси Ох:

f=:取中.(15.19)

Используя (15.16), находим*

•尸=4■刃普(一R + 2①2 — 3R+ -У —

(15.脸

Усредняя (15.20) по времени, имеем,「

戸=｝刃】*欣.(15.21)

Учитывая, что для струны также справедливо сооЫошевие Р = £72, приходим к формуле, аналогичной (15.11):.;

F = 2V/Z = ЕН..(15.22)'

Таким образом, сила, действующая на колыю9 численно равна продольной плотности энергии. Из дифференциальногр уравнения

dE = —Fdl = — EdUl '】

находим адиабатический инвариант

現三黑，(15.23)

где V = с/2/ ——частота основного тона колебаний струны.胃

Далее Рэлей рассмотрел одномерные колебания воздуха в ци- линдре. В этом случае усредненная по времени сила, действующая на поршень, сжимающий воздух в цилиндре, равна, как и в случае ‘ струны, продольной плотности энергии, т. е.『

戸=單厶,(15.24) ■

，105

Формула (15.24) свидетельствует о том, что дополнительное давление, связанное с продольными колебаниями воздуха в цилиндре, равно объемной плотности энергии. Рэлей отметил, что этот результат существенно связан с одномерностью колебаний. Если колебания воздуха равномерно распределены по всем направлениям, давление равно одной трети объемной плотности энергии, как и в случае излучения абсолютно черного тела.

Проанализировав приведенные примеры, Рэлей рассмотрел задачу об определении давления колебаний в общем виде. Кратко изложим рассуждения Рэлея. Рассмотрим одно из уравнений Лагранжа

L dt \ Si ) 0/

где I — одна из координат, фиксирующих конфигурацию системы (бесконечно медленно изменяющаяся),尸 ——сила, подлежащая определению. Усреднив обе части равенства (15.25) по времени, получим

(15.26)(15.26)

(15.26)

(15.26)

(первое слева слагаемое в (15.25) исчезло, так как предполагается, что дТ/dl конечно, а % —匕 достаточно велико). Если V и Т — однородные функции I : V Г, Т Г, то из (15.26) найдем

• F = -j-(mV— пТ). ••— ,(15.27)

Для маятника一 、

y = ；Ng吃，7 = +.p継七卜「小，.…；宀：［

т. e. = 1, n = 2. Сила

戸=;俨一2力=一~…

Струна представляет собой довольно общий случай (соответствующий «общей теореме» Рэлея, упоминаемой П. Н. Лебедевым), для которого согласно (15.18) m = —1, п = 1 и соответственно

尸=一十3十Т)=一十e

Общность случая, представляемого струной, следует из того, что выражения (15.15) для кинетической и потенциальной энергии струны вытекают только из волнового уравнения (15.14). Именно линейное волновое уравнение, одинаковое для любых волн малой амплитуды (электромагнитных, звуковых, гидродинамических и др.), определяет соответствующие степени однородности кинетической и потенциальной энергии. Таким образом, заключение о том, что

давление волны, распространяющейся в одном направлении, равно объемной плотности энергии, есть следствие линейности волнового уравнения, описывающего волны малой амплитуды»

.•§ 16. Адиабатические инварианты

“зв «Лекциях о космогонических

, гипотезах» Пуанкаре

у* 1，' 总 *■' Лекции о космогонических гипотезах, без сомнения, одна :— из самых замечательных книг по астрономии, когда-либо

< написанных.

'О. Струве. 6. Зебергс [147]

Жизнь Пуанкаре была тесно связана с астрономической наукой: он был членом Бюро долгот и директором Парижской обсерватории, профессором астрономии в Политехнической школе и президентом Французского астрономического общества, с 1896 г. и до самой смерти возглавлял кафедру математической астрономии и небесной механики в Парижском университете (Сорбонне). В 1900 г. Пуанкаре была присуждена золотая медаль Лондонского королевского астрономического общества. В своей речи по этому поводу президент общества Дж. X. Дарвин (1845—1912) отметил основные теоретические исследования Пуанкаре: математическое изучение приливов, труд о фигурах равновесия вращающихся жидких тел, фундаментальные работы по небесной механике [147]. Последними из многочисленных лекций Пуанкаре, прочитанных им в Сорбонне, были опубликованные в 1911 г. «Лекции о космогонических гипотезах» [148], в которых «с удивительным мастерством, нередко значительно яснее, чем даже сами авторы, Пуанкаре излагает гипотезы, выдвинутые для объяснения происхождения солнечной системы» [147]. В лекциях Пуанкаре несколько раз встречаются адиабатические инварианты, понадобившиеся ему для пояснения некоторых излагаемых теорий. Это было первое применение адиабатических инвариантов при решении важных задач небесной механики и астрофизики. Найденные Пуанкаре инварианты — это адиабатические инварианты кеплеровского движения и гармонического осциллятора. Рассмотрим физические задачи, в которых Пуанкаре применил эти инварианты.

Собственное вращение планет и гипотеза Фая о происхождении солнечной системы. Лапласа поражали замечательные особенности солнечной системы: известные ему семь планет и четырнадцать спутников обращались вокруг Солнца в одном и том же направлении, Собственные вращения планет и спутников вокруг своих осей совершались в том же направлении. Все эти вращения и обращения происходили почти в одной плоскости, орбиты всех обращений были почти круговыми. (Обратное обращение спутников Урана, происходящее в плоскости, почти перпендикулярной плоскости эклиптики.

еще не было известно Лапласу.) Лаплас пришел к выводу, что эти совпадения не случайны и свидетельствуют об общем происхождении всех тел солнечной системы. В 1796 г. в «Изложении системы мира» Лаплас сформулировал небулярную гипотезу, согласно которой солнечная система образовалась из первичной вращающейся туманности, постепенно сжавшейся под действием сил тяготения. При сжатии от туманности отделились кольца, из которых впоследствии образовались планеты. «Изложение системы мира», увлекательно написанное и совершенное в литературном отношении, было странным произведением для такого математика, как Лаплас,——в нем не было ни одной формулы, ни одного геометрического чертежа. Умозрительные построения Лапласа не казались ему такими убедительными, какими они стали для его последователей. Отношение самого Лапласа к своей гипотезе лучше всего характеризуют его слова: «Это догадки об образовании звезд и солнечной системы,-- догадки, которые я излагаю со всем сомнением, какое должно нам внушать все, что не является результатом наблюдения или вычисления» [149].

Прямое собственное вращение планет и прямое обращение спутников Лаплас объяснял тем, что в результате трения туманность вращается, как твердое тело, т. е. все частицы туманности вращаются с одной и той же угловой скоростью (рис. 19, а). Не зная других вращений и обращений, кроме прямых, Лаплас был уверен, что любая вновь открытая планета (или вновь открытый спутник) будет иметь прямое вращение (или обращение). Но он ошибался. В 1846 г., сразу же после открытия Нептуна, был обнаружен его спутник Тритон с обратным направлением обращения. (Можно представить, как был бы поражен Лаплас, если бы узнал, что наша ближайшая соседка Венера вращается вокруг своей оси в обратном направлении [150].)

С течением времени представления о туманности Лапласа менялись, стало ясно, что, как твердое тело, она вращаться никак не может и что скорости движения частиц туманности определяются, скорее, равенством сил тяготения и центробежных сил:

f(r) = ^r,(16.1)

Если основная масса туманности находится, как считал Лаплас, в центре туманности, то / (г) ~ г-2 и о (г) ~『т\ а скорость частиц V (г) ~ L/九 Таким образом, скорость частиц убывает к краям туманности, и, следовательно, прямое вращение планет не подтверждает, а опровергает гипотезу Лапласа (рис. 19, б). В 1884 г. Э. А. Фай (1814—1902) в книге «О происхождении мира» видоизменил небулярную гипотезу Лапласа так, чтобы она приводила к прямому вращению планет. Для этого он предположил, что вначале масса распределена по туманности более или менее равномерно и сгущение йочти всей массы в центре туманности происходит уже после того,

?

ак образуются планеты. Описывая силы тяго^ния > ,т#1Й)й туман- ости формулой产 汽

f(r, i) = a(t)r + ^-,(16.2)

из (16.1) получаем宀 ％

о(г)= У а产+ g .: "(16.3)

Вращение образовавшейся планеты будет прямю< Й1^ обратным в зависимости от знака производной dv/dr, Иэ (16.2) одедует, что пока выполняется соотношение,宀

2a (/)>嘗，(16.4)

из отделяющихся колец будут образовываться планеты с прямым вращением. Если же планета образуется после того, как неравенство (16.4) изменит знак, вращение планеты будет обратным.

Подробно изложив гипотезу Фая в своих лекциях, Пуанкаре отметил, что она не в состоянии объяснить обратное обращение некоторых спутников Юпитера и Сатурна и приводит к различным странным заключениям (например, такому, что возраст Земли превышает возраст Солнца) и что, следовательно, эту гипотезу нельзя признать удачной. Несмотря на это, Пуанкаре рассмотрел некоторые формальные вопросы, связанные с гипотезой Фая, в частности, он показал, что если поле тяготения (16.2) изменяется со временем очень медленно, то близкая к круговой орбита планеты, движущейся в таком поле, и остается близкой к круговой. Более подробно Пуанкаре рассмотрел случай, когда поле тяготения изменяется по закону fir, 0 = -^--(16.5)

Считая, что Ь (/) изменяется бесконечно мало за период кеплеровского движения, Пуанкаре доказал, что «орбита планеты — нет необходимости предполагать ее эксцентриситет малым — все время остается подобной самой себе». Таким образом, он доказал, что при изменении поля тяготения по закону (16.5) эксцентриситет кеплеровской орбиты представляет собой адиабатический инвариант.

Рассмотрим доказательство Пуанкаре. (Мы будем пользоваться обозначениями и соотношениями, приведенными в § 11, в котором рассматривалось кеплеровское движение.) Уравнения движения планеты в изменяющемся со временем ньютоновском поле тяготения имеют вид (см. (11.27))

d2r .г

=0.

(16.6)

При постоянном а уравнения (16.6)

имеют интегралы

движения

(16.7)

,卷=T\dT 丿一

(16.8)

Если планета движется по эллиптической орбите, лежащей в плосг кости Оху, то движение планеты описывается формулами Кеплера (11.11), (11.5), используя которые, находим

Mz = сшт (1 — е2),.仆(16.9)

- 卷=一金， Я(16.10)

где а — большая полуось эллипса, е— эксцентриситет (см. рис. 9). В случае, когда а зависит от времени, момент М по-прежнему остается точным интегралом движения, а зависимость S от времени определяется соотношением

dg^ 1

Считая, что а изменяется со временем настолько медленно, что имеет смысл говорить о большой полуоси орбиты и о периоде обращения планеты, представим (16.11) в виде

d ( а \ da 1 一

и проинтегрируем последнее соотношение по периоду 安 门 *

J*(嗡矍肾 『々16.12) 0О-

(считаем, что изменением da/dt за период можно пренебрмь). Учитывая (11.14), получаем:

А(嗡■卜符=(16.13)

где Д означает изменение величины за период обращений Из (16.13) следует, что；

&Асс + аДа = 0；

е. aa — адиабатический инвариант. Так как согласно (16.9) aa (1 — е2) —— интеграл движения, ясно, что эксцентриситет эллиптической орбиты представляет собой адиабатический инвариант кеплеровского движения.

Отметим, что можно сделать вывод об адиабатической инвариантности эксцентриситета, не прибегая к вычислениям, выполненным Пуанкаре, а используя то, что в § 11, следуя Леви — Чивите, мы свели задачу о плоском кеплеровском движении к задаче о двух осцилляторах (см. (11.16)):

“ =pa (1 — е) cos от, и = pa (1 + е) sin от, где сот — эксцентрическая аномалия. Согласно формуле Больцмана (14.14) величины

丁 =*a(1_6)8, 丁 = 4■a(1+6)①.

представляют собой адиабатические инварианты. Адиабатическая инвариантность отношения

свидетельствует о том, что эксцентриситет кеплеровской орбиты — адиабатический инвариант.

Падение метеоритов на землю и вековое ускорение Луны. В 1693 г. Э. Галлей (1656—1742), сравнивая современные ему наблюдения Луны и данные по затмениям, описанным К. Птолемеем (ок. 87—165) и арабами в IX в., заметил, что одни не согласуются с другими. Он предположил, что это объясняется незначительным возрастанием угловой скорости движения Луны вокруг Земли [149]. В «Новой теории движения Луны» (1772) [63], о которой мы упоминали в § 7, Эйлер безуспешно пытался объяснить это вековое ускорение «упрямейшей из планет» Луны, но только пришел к выводу, что оно не может быть следствием взаимного притяжения Земли, Луны и Солнца. Однако Эйлер сделал опрометчивый вывод, что вековое ускорение не может быть приписано и действию «какого-либо другого небесного тела». Он был вполне удовлетворен полученным результатом, так как считал, что нашел прямое доказательство существования эфира: «Таким образом, не остается больше никакого сомнения, что наблюдаемое вековое ускорение Луны является следствием сопротивления той среды, в которой происходит движение небесных тел». (Вспомним, что спутник, тормозясь в атмосфере, ускоряет свое движение [151].) Эйлер был уверен, что нанес решительный удар нелюбимой им ньютоновской теории света и не искал других возможностей объяснить вековое ускорение Луны [152]. В 1774 г. вековое ускорение пытался объяснить Лагранж, «но потерпел столь полную неудачу, что даже усомнился в подлинности ранних наблюдений, на основании которых рассматриваемое явление считали существующим» [149]. Триумфом науки конца XVIII в. было объяснение векового ускорения Луны Лапласом, показавшим в 1786 г., что ускорение среднего движения Луны — следствие уменьшения эксцентриситета земной орбиты. Изменение же эксцентриситета земной орбиты, как показал Лагранж в 1774 г., вызывается косвенным влиянием планет и является долгопериодическим с периодом в 24 000 лет. (В § 34 найден адиабатический инвариант движения Луны во вращающейся системе отсчета и показано, что сохранение этого адиабатического инварианта эквивалентно вековому ускорению Луны.) Вычисленная Лапласом величина ускорения 10", 18/век2 хорошо согласовывалась с наблюдаемым ускорением 107век2, однако в 1853 г. Дж. К. Адамс (1819—1892) показал, что Лаплас ошибся, разлагая вековое ускорение в ряд по степеням s/Q (о и Q — средние угловые скорости движения Земли вокруг Солнца и Луны вокруг Земли) и удерживая только первое отличное от нуля слагаемое, составляющее значение порядка (s/R)®. Удержав члены до ®/С)7, Адамс получил величину ускорения 5", 72/века. В 1860 г.

Ш. Э. Делонэ (1816—1872) подтвердил результаты Адамса, однако результаты Адамса и Делонэ долго не были приняты в астрономической науке, как противоречащие опыту. В 1865 г. Делонэ предположил, что расхождение между расчетами и опытом объясняется приливным треннем, замедляющим вращение Земли и приводящим к кажущемуся ускорению движения Луны. Так и принято считать в настоящее время [125].

После работ Адамса Н Делонэ необъясненную часть векового ускорения пытались связать с увеличением массы Земли за счет падения на нее метеоритов. В частности, этой задачей занимался И. В. Мещерский (1859——1935), исследовавший движение тел переменной массы в работах «Динамика точки переменной массы» (1897) и «Уравнения движения ючки переменной массы в общем случае» (1904) [153]. Он показал, что в случае определенных зависимостей

a (f) от времени уравнений движения допускают частные решения, для которых адиабатический инвариант Пуанкаре аа является точным инвариантом [154].

В своих лекциях Пуанкаре остановился на попытке объяснить недостающее вековое ускорение Луны падением метеоритов на Землю. Если масса Землй медленно увеличивается, то соответствующий рост величины а приводит к изменению средней частоты обращения 〃уны

(16.14)

a2a2)/4m (aa)3)/4m (aa)3~ a2.~ a2.(16.15)(16.15)(16.16)(16.16)Поскольку da — адиабатический инварнаят； та ：

a2

a2

)/4m (aa)3

)/4m (aa)3

~ a2.

~ a2.

(16.15)

(16.15)

(16.16)

(16.16)

Из (16,15) АМуМаем

：◎9 « _ 9 M 打

где ц — масса Земли. Падение метеоритов, увеличивая массу и радиус Земли, замедляет ее зращение и приводит к дополнительному кажущемуся вековому ускорению, по порядку величины равному

◎〜(16.17)

Здесь Q — угловая скорость вращения Земли вокруг своей оси. Считая, что за сутки на Зем〃ю выпадает 400 т метеоритного вещества [155], из формулы (16.17), определяющей основной эффект, находим, что дополнительное вековое ускорение, вызываемое увеличением массы Земли, равно примерно 0", 00005/век2, т. е. намного меньше наблюдаемого ускорения (заметим, что вековым ускорением принято называть не Q, а Q/2; согласно современным наблюдениям 0/2 = =12", 36/век2 [156]).

Адиабатический инвариант гармонического осциллятора и самосплющивание туманностей. В 1897 г. вышла книга Лигондеса

«Механическое возникновение системы мира», в которой излагалась метеоритная гипотеза образования солнечной системы: метеоритные частицы, составляющие первоначальную туманность, хаотически двигаясь, сталкиваются одна с другой, слипаются, теряют кинетическую энергию и приближаются к центру тяжести туманности. При этом частицы, движущиеся в плоскости, ортогональной моменту количества движения туманности, сталкиваются реже за счет упо* рядоченности движения в этой плоскости, и сжатие туманности происходит в большей степени в направлении оси вращения туманности, т. е. туманность сплющивается во вращающийся диск, из которого в дальнейшем и образуются планеты.

Пуанкаре, разбирая гипотезу Лигондеса, заметил интересную^ особенность процесса сжатия туманности: начавшееся сплющивание в каком-то направлении увеличивает интенсивность сплющивания в этом направлении.

Пусть первоначальная туманность —— однородный эллипсоид. Компоненты силы тяжести, действующей в однородном эллипсоиде, имеют вид (см., например, [157]):

尸* =乙=一附，Fz = -fz. (16.18)

Под действием силы (16.18) частица единичной массы движется по траектории

X — Xq COS (af + ф0)

(будем рассматривать движение только вдоль оси Ох). Энергия движения вдоль оси Ох

氏=Т + У = 2Ц^

перестает быть интегралом движения, если а начинает зависеть от времени, т. е. если эллипсоид сжимается. Зависимость от времени определяется соотношением

dtdtdddd2・2・(16.19>(16.19>

dt

dt

dd

dd

2・

2・

(16.19>

(16.19>

(16.20)(16.20)(16.21)(16.21)

(16.20)

(16.20)

(16.21)

(16.21)

Пусть а изменяется со временем настолько медленно, что имеет смысл говорить о периоде движения частицы. Используя то, что при постоянном а К = а2*/2, где х0 — амплитуда колебаний, представим (16.19) в виде

Интегрируя (16.20) по периоду, находим

A a端…

A —2— = Aa1 -^- = Aa2 -^—,

где Д — изменение величины за период (считаем, что изменением сйх?/出 за период можно пренебречь). Из (16.21) получаем

Дахо + aAxo =0,

т. е. ахо——адиабатический инвариант, как легко убедиться, совпа* дающий с адиабатическим инвариантом Больцмана (14.14) тТ/2. Таким образом, сплющивание вдоль оси Ох (уменьшение х0) означает увеличение компоненты силы тяжести Fx (увеличение а), т. е. начавшееся сплющивание туманности само себя усиливает.

I Сольвеевский конгресс. 丁 Маятник Лоренца — Эйнштейна -

Недавно в Брюсселе состоялся конгресс, на котором собралось около двадцати физиков различных национальностей; здесь постоянно можно было услышать разговоры о механике новой, которая противопоставлялась механике старой. ... здесь старой уже считалась механика принципа относительности, та, которая менее пяти лет назад еще считалась верхом смелости. '

' А, Пуанкаре [158]

В 1863 г. 25-летний бельгийский изобретатель Э. Г. Сольве (1838— 1922) разработал аммиачный способ промышленного производства соды и основал международный концерн Сольве. Предприятия Сольве производили соду в Бельгии, Франции, Германии, России, Англии, Соединенных Штатах Америки и в других странах. В 1902 г. концерн Сольве вырабатывал 50% производимой в мире соды.

Но не одна сода интересовала Сольве. «Один из самых благородных граждан Бельгии», Сольве был «твердо убежден, что более глубокое познание законов природы и общества в конечном итоге приведет человечество к счастью» [159]. Свое огромное состояние Сольве щедро использовал для развития науки и культуры. Осенью 1911 г. он созвал в Брюсселе I Международный Сольвеевский конгресс физиков, руководство последующими Сольвеевскими конгрессами поручил основанному в 1912 г. Международному институту физики, для которого предоставил капитал в миллион франков. (Сольве были основаны также Институт психологии, Институт социологии, Институт химии и многие другие учреждения.)

I Сольвеевский конгресс был посвящен теме «Теория излучения и кванты». Среди 22 участников конгресса были Пуанкаре, Планк, Вин, Зоммерфельд, Резерфорд, Эйнштейн. Председательствовал Лоренц. В своем вступительном слове Лоренц сказал, что важные вопросы, подлежащие обсуждению на конгрессе, «касаются самих принципов механики и самых глубоких свойств материи». Напомнив присутствующим о том, что «сейчас мы далеки от того полного удовлетворения духа》, которое физическая теория «могла дать двадцать или даже десять лет назад», Лоренц продолжил: «Теперь же нас не покидает чувство, что мы находимся в тупике; старые теории

оказываются все менее способными проникнуть во тьму, окружаю* шую нас со всех сторон». Далее он сказал, что идея Планка об элементах энергии «поистине была лучом света», и что теперь необходимо построить новую механику, из которой идея Планка вытекала бы как следствие. Лоренц отметил, что- новую механику можно установить только либо «терпеливым нащупыванием, либо некоторым счастливым вдохновением». Хорошо понимая всю трудность построения новой механики, он сказал: 《...мн будем очень счастливы, если нам удастся хоть немного приблизиться к той будущей Механике, о которой идет речь...» [160].

На конгрессе было заслушано 12 докладов. С докладом «Применение теории кванта действия к молекулярным непериодическим феноменам» выступил А. И. В. Зоммерфельд (1868—1951). В этом докладе он изложил свою теорию, согласно которой атом поглощает энергию падающего на него электрона (или света) до тех пор, пока полное действие『(Т ——U) dt не достигнет значения h (в этот момент о

происходит излучение фотона, или эмиссия электрона). «Зоммерфельд предложил теорию,——писал о докладе Зоммерфельда Пуанкаре,—— которую он хочет связать с теорией Планка, хотя единственное общее у них ——буква 瓦 входящая в формулы обеих теорий, и название «квант действия», которое они дают весьма различным величинам, обозначенным этой буквой... Когда электрон встречает препятствие, он останавливается тем быстрее, чем больше его- скорость (если бы этот закон был применим к железнодорожным составам, то проблема их торможения предстала бы в новом свете)» 1158]. После доклада Зоммерфельду было задано много вопросов, на которые ему трудно было ответить. Например, один из вопросов Пуанкаре был таким: «Функция U определена с точностью до постоянной, выбор которой произволен. Как нужно делать этот выбор?» [161]. Эйнштейн сказал, что согласие теории Зоммерфельда с опытом еще ни о чем не говорит, так как эти опыты можно объяснить и по- другому. В общем, теория Зоммерфельда не была признана удачной. Тем не менее после введения квантов энергии Планком и появления фундаментальных работ Эйнштейна по световым квантам (1905) и квантовой теории теплоемкости (1907) Зоммерфельд был первым, кто попытался столь радикально применить квантовые представления к атомным взаимодействиям.

Пуанкаре задавал на конгрессе много вопросов. Как писал в 1916 г. Планк, после одного «каверзного вопроса» Пуанкаре «возникло серьезнейшее препятствие для дальнейшего развития теории» [162]. Пуанкаре спросил, как квантовать изотропный осциллятор «с одинаковым периодом по всем трем осям. Если разложить движение по трем осям, то х-компонента должна иметь энергию a/iv, //-компонента ——^hv и г-компонента ——yhv, где а,瓦 у——целые числа. Теперь возьмем другие оси； тогда в новых направлениях энергии будут ahv, ^rhv, у%% причем а\ 卩* у' должны быть целыми числами

при любом выборе осей, что невозможно». Планк ответил на этот вопрос, что он не думает,《что это невозможно сделать» [163].

' Последним на конгрессе был заслушан доклад А. Эйнштейна (1879——1955) «К современному состоянию проблемы теплоемкости». В конце обсуждения доклада Эйнштейна был затронут важный вопрос, касающийся связи квантовой теории и адиабатических инвариантов. Приведем соответствующее место из материалов I Соль- веевского конгресса [164]:

«Лоренц: Я вспоминаю беседу, которую я недавно имел с Эйнштейном. Мы говорили о простом маятнике, который можно укорачивать, сжимая нить двумя пальцами и передвигая их вдоль нее. Если вначале маятник имел элемент энергии, точно соответствующий ■периоду его колебаний, то к концу опыта его энергия, очевидно, будет меньше, чем элементы энергии, соответствующие его новой частоте.

Эйнштейн: Когда длина маятника изменяется бесконечно медленно и непрерывно, энергия колебаний остается равной /rv, если вначале она была равна Av; энергия колебаний изменяется пропорционально V. То же самое относится к незатухающему электрическому контуру и к свободному излучению.

Лоренц: Этот в высшей степени странный результат устраняет упомянутую трудность».

В приведенных словах Лоренца и Эйнштейна содержится важное утверждение: квантование энергии колебаний осциллятора возможно потому, что отношение энергии к частоте колебаний ——адиабатический инвариант. Это утверждение ——частный случай применения адиабатической гипотезы Эренфеста: квантовать можно только те величины, которые являются адиабатическими инвариантами (см. § 19).

После I Сольвеевского конгресса маятник с изменяющейся длиной называют маятником Эйнштейна, или маятником Лоренца, или маятником Лоренца ——Эйнштейна.

Как отмечалось в § 15, после работы Рэлея, опубликованной в 1902 г., такой же маятник называют маятником Рэлея. (К сожалению, Рэлей не присутствовал на I Сольвеевском конгрессе, хотя и был приглашен.)

，/ 不 § 18. Атом жрдорода по Бору

и Зоммерфельду

Работа Бора ... приводит меня в отчаяние: если формулу

,.…Бальмера можно получить таким образом, то я должен

. выбросить всю физику на свалку (и сам отправиться ту.

”да же).

‘；Из письма /7. Эренфеста к А. Ф. Иоффе [165]

Зоммерфельд не только умел рассчитывать кеплеровские эллипсы, но и обладал кеплеровским образом мысли... Я, не колеблясь, напишу над всеми трудами Зоммерфельда 、，；' общее название труда жизни Кеплера: «Harmonicus mun-

di》％

В. Паули [166]

Весной 1912 г. Н. Бор (1885—1962) переехал из Кембриджа, где- он работал в Кавендишской лаборатории у Дж. Дж. Томсона, в Манчестер к Э. Резерфорду (1871—1937). Лаборатория Резерфорда была еще под впечатлением волнующего события ——открытия Резерфордом в 1911 г. атомного ядра. От Резерфорда Бор узнал о Сольвеевском конгрессе и о сложившемся у участников конгресса общем мнении, что системы атомных размеров не могут быть описаны классической электродинамикой. Работая у Резерфорда, Бор, не переставая, думал о том, как устроен атом, состоящий, согласно Резерфорду, из положительно заряженного ядра и окружающих его электронов, удерживаемых силами притяжения ядра.

В 1885 г. И. Я. Бальмер (1825—1898) нашел простую зависимость, описывающую видимую часть спектра атома водорода:

寻, 孔=3, 4, 5, ... , (18.1)

где (принятое в настоящее время) v0 = 328 984 X 1О1о/с. В начале 1913 г. Бор увидел формулу (18.1). «Как только я увидел формулу Бальмера, мне все сразу же стало ясно»,— не раз говорил он потом [167]. В июле, сентябре и ноябре того же года были опубликованы три части знаменитой статьи Бора «О строении атомов и молекул» [168]. В этой статье, исходя из введенных им постулатов о стационарных состояниях и о том, что частота излучения при переходе атома из одного стационарного состояния в другое определяется формулой

九"=岗——昌2，'

Гармония мира (лат.).“

(18.2)(18.2)где Sj и 52 — энергии стационарных состояний, Бор получил формулу

(18.2)

(18.2)

V =

(〃1 и и2 — целые числа), описывающую как серию Бальмера (18.1), так и другие, уже известные в то время и еще неизвестные спектральные серии атома водорода. Стационарные состояния Бор определял из условия

М = nh.

Здесь М ——орбитальный момент электрона, движущегося вокруг ядра по круговой орбите, и = 1, 2, 3, ... — целое число, характеризующее данное стационарное состояние. Позднее, в 1918 г. [1691, Бор сформулировал правило, с помощью которого можно определять стационарные состояния и в случае эллиптических орбит:

-у 2 ) Tdt =孔瓦, 二小潜；"(18.3)

где Т — кинетическая энергия рассматриваемого периодического движения, т ——период движения. Мы видим, что левая часть формулы (18.3) содержит адиабатический инвариант Больцмана (14.14) / = 2x7". Таким образом, условие квантования периодических движений можно представить в виде

:"沁（18.4）亩畢&史储誑酬j:"沁（18.4）亩畢&史储誑酬j/ = 21T = nh.

:"沁（18.4）

亩畢&史储誑酬j

:"沁（18.4）

亩畢&史储誑酬j

Используя теорему вириала (Клаузиус, 1870)

у忆

где ^ — степень однородности потенциальной энергии, находим, что в случае атома водорода (при N = —1)

(18.5)(18.5)昌=—т = — nh/2x.

(18.5)

(18.5)

Но период кеплеровского движения связан с энергией S согласно (11.15) соотношением

Из (18.5) и (18.6)Из (18.5) и (18.6)2 _几2/nd一полагая а = * 取血如32 _几2/nd一полагая а = * 取血如3昌=一昌=一2#侬$九2也2#侬$九2也(18.6)(18.7)(18.6)(18.7)

Из (18.5) и (18.6)

Из (18.5) и (18.6)

2 _几2/nd一

полагая а = * 取血如3

2 _几2/nd一

полагая а = * 取血如3

昌=一

昌=一

2#侬$九2也

2#侬$九2也

(18.6)

(18.7)

(18.6)

(18.7)

Таким образом, квантование адиабатического инварианта (18.4) привело нас к формуле Бора, справедливой для эллиптических орбит с любым эксцентриситетом.

Но как быть, если движение непериодическое, например в случае релятивистского атома водорода? Первым эллиптические орбиты атома водорода (в том числе и релятивистского) исследовал в 19151916 гг. Зоммерфельд. Метод, примененный Зоммерфельдом, пригоден и в случае непериодических движений специального типа.

Работа Зоммерфельда «К квантовой теории спектральных линий» [170] (1916) вызвала огромный интерес, «ее удивительный успех стимулировал физиков во всем мире в их исследованиях по дальнейшему развитию квантовой теории...», «Учитывая важность вклада, сделанного им в развитие старой квантовой теории атома, можно утверждать, что он занимает второе место после Бора» [171 ].

Исследуем формулу (18.3). Поскольку кинетическая энергия Т (в нерелятивистском случае) предполагается квадратичной формулой от обобщенных скоростей, то z 』

Т = f X ^~才=X ；Р(18.8)

Учитывая (18.8), представляем условие квантования (J8.3) в виде

》§Pidqt = nh. (18.9)

Условие квантования (18.9) предпочтительнее условия (18.3), потому что оно применимо и в случае, когда движение не периодическое, а условно периодическое (иначе многократно периодическое), т. е. такое, что изменение каждой координаты периодическое, но со своим собственным периодом. В последнем случае интеграл (18.9) нужно понимать как сумму интегралов, каждый из которых вычисляется по соответствующему замкнутому контуру. Кроме того, условие квантования (18.9) применимо также и в релятивистском случае, в отличие от условия (18.3). Однако, как оказалось, условие (18.9) недостаточно для определения стационарных состояний и должно быть заменено N условиями

$ р幽=%% I = 1, 2, .. . , X. (18.10)

В случае специальных, вырожденных систем уровни энергии могут быть определены из меньшего чем N числа условий квантования. Так, в случае нерелятивистского атома водорода уровни энергии определяются одним условием (18.9).

Условия квантования (18.10) имеют одну неприятную особенность: результат квантования зависит от того, как выбрать координаты j Условие же (18.9) не зависит от способа выбора координат. Действительно, согласно (7.9)

J $ Pidqi=》§ 端 dq】 = §dS, (18.11) т. е. представляет собой изменение скалярной функции —— действия S — при обходе замкнутого контура в пространстве координат(/，

Условие применимости соотношений (18.10) заключается в том, чтобы координаты были разделяющимися, т. е. чтобы в этих координатах решение уравнения Гамильтона — Якоби (7.12) имело вид

5(7)= S 5 (<?,). (18.12)

Условия квантования (18.10) исследовались не только Зоммерфель- дом, а также Вильсоном (1915), Дебаем, Эпштейном, Шварцшильдом (1916) [172]. В 1917 г. новый подход к условиям квантования (18.10) был предложен Эйнштейном [173]. Он начал статью словами: «Теперь вряд ли можно сомневаться в том, что для периодической механической системы с одной степенью свободы выполняется квантовое условие (Зоммерфельда и Дебая): \pdq = ,Р^ d/ = n/i». Далее Эйнштейн отметил, что «работы Зоммерфельда по теории спектров бесспорно доказывают» необходимость выполнения условий квантования (18.10). Однако Эйнштейн считал, что условие разделя- емости координат (18.12) «ни в коей мере не связано собственно с квантовой проблемой» и что необходимость обращаться к этому условию является недостатком теории. Видоизмененная Эйнштейном формулировка условий (18.10) основывалась на следующих соображениях. В каком случае 步 dS, взятый по замкнутому контуру, может быть отличен от нуля? Поскольку величина，dS не изменяется при непрерывных деформациях контура интегрирования, ясно, что 步dS 片 0 только в случае, если пространство неодносвязно и контур не может быть стянут в точку. Эйнштейн считал, что число непереводимых друг в друга контуров в общем случае должно равняться числу степеней свободы. Если число таких контуров меньше, то это означает, что имеется вырождение. Таким образом, согласно Эйнштейну, условия квантования (18.10) можно представить в виде

' ■ ¥ $ 厶时=%瓦产”总(18.13)

где & — различные непереводимые друг в друга контуры. Формулировка Эйнштейна имеет то преимущество, что условия (18.13) справедливы при любом выборе координат. Метод разделения координат, использованный Вильсоном, Зоммерфельдом, Дебаем, Эпштейном и Шварцшильдом, можно рассматривать как один из способов нахождения контуров С” указанных Эйнштейном.

Применим условия квантования (18.10) к атому водорода. Рассмотрим плоское кеплеровское движение. Разделяющимися будут полярные координаты г и <р. Кинетическая энергия Т в этих координатах будет

T =号（，+产/

Соответствующие импульсы 卩屮 и рг таковы：.，

. г:

'дТ ■「’

dr丿

где М ——сохраняющийся орбитальный момент. Mw：^noBH宓 квантования имеем•

，网pd(p = %р%prdr = nrh. " '(18.14)

Складывая условия (18.14), получаем；'

^ prdr + ^ р^ = ^ pxdx + j р^у = j 2л

= 3-加出 f (1 + ecos£) dE = &? ma?=

」’.'=(吃 + 闯九(18.15)

(мы воспользовались уравнениями Кеплера (11.10), (11.14)). Согласно (11.15)

(18.16)Зоммер-(18.17)(18.16)Зоммер-(18.17)幺т2a2

(18.16)

Зоммер-

(18.17)

(18.16)

Зоммер-

(18.17)

& =2 (2л)2 /па* •

Из (18.15), (18.16), полагая a = е2, находим полученную фельдом формулу для уровней энергии атома водорода:

2几2加24

Формула Зоммерфельда (18.17) отражает «скрытую» симметрию атома водорода, о которой мы упоминали в § 11: различным ссстояниям с одной и той же суммой пф + пг соответствуют одинаковые энергии. Зоммерфельд учел то, что атом водорода — неплоская система и ввел для описания стационарных состояний не два, а три квантовых числа, т. е. полный набор квантовых чисел. Но самым замечательным успехом теории Зоммерфельда было объяснение им тонкой структуры спектральных линий атома водорода. Рассмотрев релятивистскую задачу Кеплера и применив к ней правила квантования (18.14), Зоммерфельд получил следующую формулу для уровней энергии атома водорода:

*寸 + ——-^==-)-1/，.(18.18)

Здесь a = -^-постоянная тонкой структуры, введенная

Зоммерфельдом. Удивительно то, что эта формула совпадает с соответствующей формулой, полученной позднее из релятивистской теории Дирака, если в ней положить 孔屮=/ + х/2, где / ——полный (орбитальный плюс спиновый) момент электрона в теории Дирака.

Поскольку в теории Зоммерфельда п^ = 1, 2, ... и в теории Дирака / + % = 1, 2,…，теория Зоммерфельда так же хорошо' описывает наблюдаемый спектр атома водорода, как и теория Дирака. В 1925 г. Э. Шредингер (1887—1961) написал релятивистское волновое уравнение и применил его к электрону в атоме водорода. Формула для уровней энергии, которую он получил, не была похожа на формулу (18.18), т. е. не совпадала с опытом. Шредингер был очень разочарован, решил, что его метод никуда не годится, и несколько месяцев не занимался волновым уравнением. Затем он вернулся к нему, но уже рассмотрел только нерелятивистское приближение. Так возникло нерелятивистское уравнение Шредингера. А релятивистское волновое уравнение стало уравнением Клейна — Гордона ——Фока. «Теперь мы знаем, что метод Шредингера вполне корректен,— писал много лет спустя Дирак,——и что расхождение обязано исключительно тому, что в своих расчетах он не учел спин электрона. Но в то время спин электрона не был известен» [174]. Но ведь спин электрона не был известен и Зоммерфельду, и то, что. релятивистская формула Зоммерфельда совпала с опытом, поистине удивительно.

§ 19. Адиабатическая гипотеза 宀 Эренфеста/

Эренфест имеет огромную заслугу перед квантовой теорией, установив постулат, позволяющий дать определение квантовым величинам.

М. Борн [129}

В конце 1912 г. П. Эренфест (1880—1933) начал понимать важность адиабатических инвариантов при решении вопроса, что и как следует квантовать. (Слова «адиабатический инвариант» были введены Эренфестом.) 20 февраля 1913 г. он писал А. Ф. Иоффе (1880— I960): «К рождеству мне удалось доказать следующую необычайно простую и удивительную теорему.

Допустим, что задана консервативная система с п степенями свободы. В функции Лагранжа для этой системы кроме п координат q и скоростей q могут встретиться еще какие-либо параметры 〃口 。2，...»。广 При всех значениях параметров а。а2, ..., аг и при любых начальных значениях g н g система может совершать периодическое движение. (Период 0 будет как-то зависеть от q^ qQ и от а> а2,...» аг.) Под «адиабатическим» изменением системы будем понимать следующий процесс: при фиксированных значениях 〃口 а2, ..., аг в системе происходит какое-то из возможных для нее периодических движений (с периодом 0).

Будем бесконечно медленно изменять параметры а】,а2, .... а,, пока они не примут значения а】，底 …，а；, и далее снова зафиксируем эти величины. Теперь в системе будет происходить другое периодическое движение с периодом 0\

Обозначим «частоту» 1/0 через v и 1/6’ через v\ Далее обозначим среднюю кинетическую энергию первого движения через ^, а второго ——через К'・ Тогда из моей теоремы следует, что

При адиабатическом изменении нашей системы ее средняя кинетическая энергия пропорциональна частоте» [165].

Мы видим, что Эренфест доказал адиабатическую инвариантность инварианта Больцмана (14.14). Это сразу же увидел и сам Эренфест. Но он сумел дать адиабатическому инварианту Больцмана новую жизнь. Эренфест предположил, что гипотезу Планка о квантах энергии можно обобщить следующим образом:

Т nhv/2 (19.1)

(мы обозначили кинетическую энергию, как и ранее, буквой Т). В начале 1913 г. предположение Эренфеста было очень смелым шагом. Эренфест предположил общее правило квантования (19.1) еще до того как Бор рассмотрел квантование круговых орбит в атоме водорода. Правила квантования Бора содержатся в формуле Эренфеста. (Заметим, что квантование орбит —— это еще не вся теория Бора. Вспомним, что теория Бора, означавшая полный разрыв с классической физикой, привела Эренфеста «в отчаяние» (письмо к Иоффе от 28 августа 1913 г. [165]).) До Эренфеста квантовали только гармонические колебания. Формула Эренфеста (19.1) позволяет проквантовать любое периодическое движение. Совпадение формулы (19.1) с правилом квантования 昌 = nhv в случае гармонических колебаний (когда Т = V } (7 + V)=昌)не единственное обоснование формулы Эренфеста. Эренфест обосновал формулу (19.1) с помощью введенной им адиабатической гипотезы: всякое определенное с точки зрения квантовой теории состояние переходит при адиабатическом изменении параметров системы снова в определенное состояние, характеризующееся теми же квантовыми числами. (Выражение «адиабатическая гипотеза Эренфеста» было впервые употреблено в 1914 г. Эйнштейном в докладе «К квантовой теории» [177].) Из адиабатической гипотезы Эренфеста следует, что любое движение, которое можно адиабатически получить из гармонического, квантуется по формуле (19.1). Согласно адиабатической гипотезе, квантовать можно только адиабатические инварианты. Таким образом, задача о квантовании свелась к задаче, решаемой методами классической физики: какие адиабатические инварианты имеет данная механическая (или немеханическая) система. До адиабатической гипотезы Эренфеста при применении квантовой гипотезы

«физическому чутью исследователя» предоставлялся «широкий или, вернее, полный произвол. Решение «адиабатической» задачи уменьшает этот произвол настолько, что во многих случаях его можно считать исчезающим... Всякая попытка квантовать не адиабатические инварианты должна быть без всякого обсуждения отброшена». (Мы привели слова из обзора «Адиабатические инварианты й их применения в теоретической физике» [10], написанного в 1921 г. учеником Эренфеста Ю. А. Крутковым (1890—1952). Подробный и содержательный обзор Ю. А. Круткова во многом основывался на его собственных исследованиях по теории адиабатических инвариантов. О Ю. А. Круткове см. [178].)

Первым применением правила квантования Эренфеста был вывод формулы для уровней энергии двухатомной молекулы, рассматриваемой как твердое тело, вращающееся с постоянной угловой скоростью ① = 2nv, вокруг оси с моментом инерции / [179]. В этом случае

8 = T =亍=『⑵=182 =曲9吃「 •

откуда -

', 卷二导庐 ： . ,(19.3)

(Отметим, что согласно современной квантовомеханической теории вращения твердого тела п в формулах (19.2) и (19.3) должно принимать не только целые, но и полуцелые значения (см. § 13).)

Свою адиабатическую гипотезу Эренфест применил к исследо- езнию твердого электрического диполя (с дипольным моментом d, моментом инерции /), подвешенного так, чтобы он мог свободно вращаться вокруг некоторой оси [180]. Перпендикулярно этой оси действует сильное электрическое поле (пусть поле однородно и напряженность его равна Е). Уравнение движения диполя имеет вид

/ё + £d sin е = О (19.4)

(0 ——угол между направлениями электрического поля и дипольного момента). Пусть вначале диполь совершает малые колебания с угловой частотой w = YEdiL В этом случае формула Эренфеста

приводит к правилу квантования Планка

& = 2亍=nhs. (19.5)

При бесконечно медленном уменьшении электрического поля частота колебаний постепенно уменьшается, а амплитуда колебаний увеличивается. При некотором значении поля £s (зависящем от п) амплитуда колебаний достигает значения л и колебательное движение диполя переходит во вращательное. Однако при подходе к точке перехода период колебаний стремится к бесконечности и на-

рушается условие адиабатичности, требующее, чтобы поле £ изменялось бесконечно медленно, или, другими словами, чтобы поле изменялось бесконечно мало за период движения системы. Нарушение условия адиабатичности сопровождается радикальным изменением характера движения и уменьшением в два раза адиабатического инварианта. Действительно, адиабатический инвариант 277” можно представить в виде

2f/v = J /о2л = ^ /1 ё I de, \ г о

где последний интеграл берется в пределах, пробегаемых углом ① за период т. Но непосредственно перед переходом от колебаний к вращению 0 пробегает за период угол 4л, а сразу же после перехода —угол 2л. Попробуем закрыть глаза на то, что рассматриваемая система испытывает структурный переход (подробно это явление рассмотрено в § 31), и проследим за рассуждениями Эренфеста. Эренфест исходил из того, что в окрестности точки перехода «полному качанию» соответствует «двойное вращение» диполя. Поэтому он решил, что периодом вращения нужно считать время поворота диполя не на 2л, а на 4л. При этом адиабатический инвариант как бы сохраняется при переходе и использование адиабатической гипотезы дает правило квантования равномерного вращательного движения

Т = пйо)/4. (19.6)

Из (19.6) получим отличающееся от (19.2) правило квантования момента:

丨/| =成/2. (19.7)

Как видно, согласно этому правилу момент может принимать как целые, так и полуцелые значения (если в качестве единицы измерения момента выбрать постоянную Планка 用).

Этот, вообще говоря, случайно полученный Эренфестом результат, как мы теперь знаем, верен (если его применить к твердому телу), а предположение Эренфеста о том, что период вращения твердого тела определяется не одним, а двумя оборотами вокруг оси,, не такое странное, как может показаться на первый взгляд: в теории группы вращений хорошо известно глубокое различие между поворотами на 2л и на 4л в трехмерном пространстве [119].

Получив формулу (19.7), Эренфест вначале решил, что ранее полученная им формула (19.2) неверна, но вскоре, напротив, отказался от формулы (19.7), объяснив это тем, что применение адиабатической гипотезы при переходе от колебательного вращения к вращательному совершенно неприменимо из-за нарушения условия адиабатичности [181 ], Он предложил другой способ перехода от колебательного движения к вращательному, при котором не нарушается условие адиабатичности: пусть диполь подвешен так, что его

дипольному моменту можно придать произвольное направление; постепенно вводя магнитное поле, направленное вдоль электрического поля, и уменьшая до нуля электрическое поле, мы приходим к равномерному вращению диполя в магнитном поле. Однако Эренфест не проанализировал описанный переход от колебаний к вращению. Формула Эренфеста 277V = § pdq = nh неприменима в случае магнитного поля. Правило квантования движения заряда в магнитном поле

$(р+£ A)dq = “/i (19.8) было получено Вильсоном в 1922 г. [182]. Адиабатические инварианты при наличии магнитного поля были рассмотрены Дираком в 1925 г. [183].

Успехи теории атома, развитой Бором и Зоммерфельдом, показали, что правило квантования Эренфеста (19.1) недостаточно для полного описания стационарных состояний атома водорода, а в случае более сложных атомных структур (например, релятивистского атома водорода), когда движение непериодично, формула Эренфеста вообще неприменима. В § 18 с помощью правила квантования Эренфеста мы нашли уровни энергии атома водорода в случае произвольных эллиптических орбит, однако при этом описали стационарное состояние атома одним квантовым числом м вместо трех необходимых для полного описания. Как известно, в 1915-1916 гг. была развита теория квантования условно периодических систем (см. формулу (18.10)). Если адиабатическая гипотеза Эренфеста верна, то интегралы, стоящие в правых частях условий квантования (18.10) должны быть адиабатическими инвариантами. Таким образом, возникла следующая задача: доказать, что интегралы

li = 0pdq\ i= 1, 2,М (19.9)

—адиабатические инварианты. Эта задача была решена в 1917 г. учениками Эренфеста и И. Бюргерсом (р. 1895) и Ю. А. Крутковым [184, 185]. С современной точки зрения доказательство адиабатической инвариантности величин (19.9), данное Бюргерсом и Ю. А. Крутковым для невырожденных условно периодических систем, нельзя признать удовлетворительным, тем не менее мы рассмотрим это доказательство (справедливое в случае одной степени свободы), так как при этом ясно видны трудности, возникающие в случае, когда степеней свободы больше одной.

Следуя Бюргерсу (см. [186]), перейдем от канонических переменных /?八 q к новым каноническим переменным 厶，q/. Каноническое преобразование, которым мы воспользуемся, будет зависеть от параметра а, а тем самым и от времени. Если зафиксировать бесконечно медленно изменяющийся параметр а, входящий в гамильтониан системы, то новые переменные Ih 屮"превратятся в хорошо известные в механике переменные действие —— угол. Пусть известно

решение уравнения Гамильтона — Якоби (7.12), описывающее условно периодическое движение рассматриваемой системы при фиксированном а:

S =-廃+ £s©, &,，Gv, а), (19.10>

где С\ m 昌，。纟，…，°% — постоянные. Согласно (19.10) интегралы

'*/, = j Pjdqi = j dS (寸，Cj, C2, ,. . , См a)=

= ，(&,•・・,Cn, a)(19.11)

зависят только от постоянных Cz. Переходя от постоянных С1Э С2,... ...» С& к новым независимым постоянным 1Ъ /2>..., /&, представляем действие (19.10) в виде

S = -S(/b /2,, /м a)Z +

+ J S (д',厶,/?, •・•，//V, а).(19.12>

Координаты(/ можно выразить через угловые перемшцсе д/ с помощью соотношений'

(优厶，厶，…m a)

q/ =死!——.藻■(19.13>

Введем функцию、

取=厶9’一S(优厶，/2, In. a)e ， 「

=W (/, ф, a)., /(19.14》

Легко убедиться в справедливости соотношения

厶阿=pjdqt + dW.(19.15)*

Таким образом, функция W представляет собой производящую* функцию канонического преобразования от переменных 〃，д' к переменным 1Ь д/. В новых переменных гамильтониан не зависит от угловых координат 屮‘ и канонические уравнения имеют вид

•「"驾;°0 =«(/, а),… 一 (19.16>

где V (/, а)—частоты, определяющие изменение во времени координат q/：二

d⑴= w" + q/(0).(19.17>

Наша цель ——убедиться в адиабатической инвариантности (если она есть) величин 厶 относительно бесконечно медленного изменения параметра а. Если а зависит от времени, то уравнение (19.15) заменяется следующим:

/幽？ = Pidqt ——|— ad/ + dW ——霄~&й (19.18〉

1^ —先必=Pjdqt — Hdt + dWt

(19.19)

находим новый гамильтониан 先：

*

况一"(/, а) р» 訪 a m 以

(19.20)

Вводя обозначение

尸=〃忘"+ 西，

(19.21)

получаем уравнения

н M,

.(19.22)

откуда находим.

г -

M^I^-I^^^-^dL 0

(19.23)

Полагая а постоянной величиной, из (19,23) имеем

А/ • = Да,

(19.24)

тде

dF ^Ф^

(dq‘ и dW в (19.18) — полные дифференциалы). Зап^шв^Я (19.18) в виде (7.8)-

о

движение,движение,Поскольку мы рассматриваем условно периодическое

движение,

движение,

функцию 尸(при фиксированном а) можно представить в виде 尸 = e0小m / (/ a) g2加(m15+巾2sHЬw^Ф^)

(19.25) где суммирование распространяется на все целочисленные (положительные и отрицательные) значения тъ /п2, ..., 丽・ Используя (19.25), окончательно получаем формулу для изменения А/:

, Т 乙 WjV1 + ^2v2 + …+ 加&5

X ^2л/(тЛН\-mNvN) — ])$加(т,Н切帯〉

(19.26)

■Мы видим, что при бесконечно медленном изменении параметра а (Т f оо) величина /, сохраняется (A/f 0), если только один из знаменателей в (19.26) не обращается в нуль. Однако частоты v1,

v2,...,屮*, изменяясь вместе с изменением параметра а, не могут не попадать в резонансные точки, в которых какие-нибудь из знаменателей в (19.27) равны нулю. Возникает вопрос, насколько опасны такие точки и к каким изменениям величин 厶 они будут приводить. Этот вопрос исследовался Дираком [187] и Лауэ [188] в 1925 г., которые показали, что резонансные точки могут быть неопасными, но могут приводить и к значительному изменению величин 1Ь в зависимости от того, как скоро резонансные точки проходятся системой. В общем случае адиабатическая инвариантность величин нарушается, но, как выяснилось сравнительно недавно [189], для большинства начальных условий величины 乙 изменяются незначительно. Поэтому их принято называть почти адиабатическими инвариантами. (Подробнее о многомерных системах см. § 31, 32.)

Можно привести примеры условно периодических систем, имеющих адиабатические инварианты. Один из примеров — релятивистское кеплеровское движение в поле массы, медленно изменяющейся со временем. В этом случае один из интегралов j р屮d(p = 2лМ, где /И — момент количества движения, сохраняется точно, поэтому второй интеграл prdr ——адиабатический инвариант. Второй пример—симметрический волчок, моменты инерции которого медленно изменяются во времени, а их отношение остается постоянным. Пусть вектор момента волчка направлен вдоль третьей оси. Из двух интегралов /z один $ pads = 2л/3 сохраняется точно, второй , Pydy — адиабатический инвариант (раи р? определяются формулами (13.50)). Адиабатические инварианты симметрического волчка рассматривались Ю. А. Крутковым в 1921 г. [10]. Из условий квантования условно периодического движения

(19.27)(19.27)Pada = nh, j pydy = nrh у：；

(19.27)

(19.27)

Й'ф^йулы (13.55) следует формула для уровней энергии симмет- 血沁瞅Г修整олqка

Кп- = 4~ ("V + (^ — 7Г)(п，)2) •(19・28)

полученная Планком в 1916 г. [174]. При пип7 намного больших единицы формула (19.28) совпадает е точной формулой (13.48), если считать (вспомним предположение Эренфеста о том, что твердое тело возвращается в исходное состояние через два полных оборота вокруг оси), что пип' могут принимать не только целые, но и полу- целые значения.

Наш рассказ об адиабатических инвариантах Эренфеста будет неполным, если мы не упомянем о том, что Эренфеста к его адиабатической гипотезе «привели закон излучения Больцмана и закон смещения Вина, вернее, та тайна, которая скрывалась за изящными электродинамически-термодинамическими выводами этих законов»

. (О законе излучения Больцмана и законе смещения Вина упоминалось в § 15 (формулы (15.1), (15.2)).) Эренфеста поражало то, что закон смещения Вина, основанный на принципах классической физики, сохранился и в квантовой теории. Для вывода закона Вина существенно, что при адиабатическом изменении объема полости с зеркальными стенками остаются инвариантными отношения 8s/vs? где 8S и vs — энергия и частота s-ro собственного колебания в полости. Но эти же отношения очень важны и в квантовой теори-и: они квантуются. Эренфест задумался над тем, не имеют ли другие адиабатические инварианты, аналогичные отношениям es/vs, столь же важное значение при переходе от классической теории к квантовой. Так он пришел к адиабатической гипотезе.5

В заключение параграфа выведем закон смещения Вина и увидим, где и как в этом выводе используется адиабатический инвариант e/v. Будем следовать работе самого Вина, частично пересказанной Эйнштейном в знаменитой статье о световых квантах [191 ] (1905).

Рассмотрим излучение, занимающее объем- и. Предположим, что свойства излучения полностью определены, если известна спектральная плотность энергии излучения и (v). Выразим энтропию излучения следующей формулой:

S = и J ср (〃，у) '(19.29)

о

Пусть излучение находится в полости с зеркальными стенками. Если объем полости адиабатически изменяется, то энтропия S остается постоянной (энтропия ——адиабатический инвариант). Число колебаний, приходящихся на интервал частот dv, пропорциональное uv^dv, также не изменяется при изменении объема полости. Энергия, приходящаяся на интервал частот dv, по определению равна vu (v) dv. Понятно, что

ш(V)dv 〜& (v) w2dv,(19.30)

где 8 (v) —энергия колебания с частотой v. Согласно (19.30)

«(V)8(V)

V8V ,

т. e. u (v)/v3 ——адиабатический инвариант. Представляя энтропию (19.29) в виде

S = J 迎:;丄"dv,(19.31)

убеждаемся, что ф (“, v)/v2 —— адиабатический инвариант, а следовательно,.

(р(〃, v)=v2尸(亲)(19.32)

(尸一некоторая функция).•

Воспользуек^ тепе^ Ш(, ^ для излучения черной тела и есть такая функция v, ^го энтрбпия при заданной энерНШ максимальна, т. е.

6 j<p(u, v)dv= j 需 6減=0(19.33)

При •■ _л.、

,6 j udv = j 6udv = 0. ';(19.34)

Из (19.33) и (19.34) следует, что d^ldu не зависит от v. Пусть температура излучения увеличилась на величину dT. При этом энтропия изменится на величину

dS = \吟 dud、=鵠 \ dud” =某dQ, (19.35)

(19.36)(19.36)где dQ — тепло, поглощенное излучением. Согласно (19.35) d(p 1

(19.36)

(19.36)

右=Т・

Из (19.32) и (19.36) следует, что

(19.37)(19.37)откуда приходим к закону смещения Вика u(v, T) = vsl^)■ •

(19.37)

(19.37)

С — некоторая функция).， '

§ 20. Доказательство адиабатической гипотезы

*для невырождающихся систем

/•

Адиабатическая гипотеза Эренфеста сохранила свое зна- -чение и в волновой механике,

'В. Паули [792]

После опубликования работ Шредингера по волновой механике возник вопрос, можно ли вывести адиабатическую гипотезу Эренфеста из новой волновой механики. Первые несовершенные доказательства адиабатической гипотезы были опубликованы в 1926 г. Борном [193], Ферми и Персико [194]. В 1928 г. Борн и В. А. Фок, исследовав вопрос более полно, дали доказательство адиабатической гипотезы для невырожденных систем [195]. Как мы увидим дальше» Доказательство Борна и В. А. Фока справедливо только для невырождающихся систем, т. е. когда уровни энергии первоначально невырожденной системы не сливаются в один уровень.

Следуя Борну и В. А. Фоку, рассмотрим квантовомеханическую систему, эволюция которой во времени описывается уравнением (будем считать, что 九 =1)

i图=的， . ,(2。」)

где гамильтониан Н ~ Н (t) бесконечно медленно изменяется со временем. Фиксируя момент времени 厶 находим собственные функции гамильтониана Н (/):

"⑺必⑴=马⑴必(f)・ (20.2)

Пусть энергетический спектр (при любом /) невырожден, а образующие полный набор функции ⑶厶 ортонормированы:

(Фт> Фн) = 6切小(20.3)

Налагаем еще одно дополнительное условие на функции (рп. По

скольку (屮小(рп) = 1, то•'.

(§ %, Фп) +(Фл» 3 Фн) = 0, * '，J 2

т. е. величина (⑶小备(рлт. е. величина (⑶小备(рлскалярное произведениескалярное произведениеJ чисто мнима. При замене фп -> фя ехр 0П (S，备必卜(必，导必)+抬".Ясно, что

т. е. величина (⑶小备(рл

т. е. величина (⑶小备(рл

скалярное произведение

скалярное произведение

соответствующим выбором фазы а (/) можно добиться обращения в нуль величины (фя,(рп). В дальнейшем будем считать, что

：(20.4)

Разложим волновую функцию системы 屮(f) по функциям “

Фп (0 ехр (—i) Endf j :Фп (0 ехр (—i) Endf j :

Фп (0 ехр (—i) Endf j :

Фп (0 ехр (—i) Endf j :

(20.5)(20.5)Фп / °Фп / °*：(20.6)*：(20.6)

(20.5)

(20.5)

Фп / °

Фп / °

*：(20.6)

*：(20.6)

1卜卢

屮(/) = £c"(/)g(/)e 6.

ПожшиМ1Я ^&5) в (20.1), получаем

огкуд* с использованием (20.3) находим

Покажем, что при т 耍 п:/

/ дН \7

Действительно, согласно (20.2)'.；

号"屮" + "胃=■= 号■g十当警■(20.8)

получаемполучаемУмножая (20.8) скалярно на(pm и учитывая (20.2) и (20.4),

получаем

получаем

Считая, что гамильтониан Н зависит от одного бесконечно медленно изменяющегося параметра а, представляем уравнение (20.6) в виде

дНдН爆=2 aп^т爆=2 aп^тЕщ — ^лЕщ — ^л，J (Emf)*e 0.(20.9)，J (Emf)*e 0.(20.9)

дН

дН

爆=2 aп^т

爆=2 aп^т

Ещ — ^л

Ещ — ^л

，J (Emf)*

e 0.(20.9)

，J (Emf)*

e 0.(20.9)

Полати,«й&к постоянная величина, из (20.9) находим

*о*о/ dн左一Ет—Еп/ dн左一Ет—Еп-е 0 dt.-е 0 dt.

*о

*о

/ dн

左一Ет—Еп

/ dн

左一Ет—Еп

-е 0 dt.

-е 0 dt.

(20.10)

Из соотношения (20.10) видно, что мы, как и в классическом случае (см. (19.26)), сталкиваемся с трудностью, связанной с малыми знаменателями, так как, вообще говоря, разности Ет — Еп могут обращаться в нуль (случай вырождения). Если же ни один из знаменателей нигде не обращается в нуль, то осциллирующая экспонента под знаком интеграла приводит к тому, что при адиабатиче- т

ском изменении параметра j Е (...) df остается ограниченным, а по- о

скольку конечность Да при бесконечно медленном изменении а означает, что Т -> оо, окончательно приходим к выводу, что

(20.11)(20.11)Aj = 0.

(20.11)

(20.11)

Таким образом, если в начальный момент времени система находилась на п-м энергетическом уровне (с^ = 1, остальные с^ равны нулю), то при адиабатической эволюции система продолжает находиться на том же уровне, хотя сам уровень и изменяется. Это означает, что для невырожденных (и невырождающихся) систем адиабатическая гипотеза Эренфеста вытекает из квантовой теории.

Представляет интерес исследование того, с какой точностью справедлива адиабатическая гипотеза, т. е. каковы по величине вероятности перехода с первоначального уровня на другие. (Этот вопрос подробно рассмотрен в § 38 на примере квантовомеханического осциллятора с частотой, зависящей от времени.)

Борн и В. А. Фок считали, что они доказали справедливость адиабатической гипотезы также в случае, когда система конечное число раз проходит через вырожденное состояние. При этом они основывали свое заключение на, казалось бы, правдоподобном утверждении, что величина 卜⑺,^ 必)при бесконечно медленном изменении гамильтониана всегда ограничена. Однако это не так. При бесконечно медленном (и непрерывном) изменении гамильтониана в момент слияния уровней энергии вектор ⑶厶 может измениться скачком, a d&JGt при этом обращается в бесконечность. Рассмотрим на простом примере, как это может произойти. Пусть частица со спином %, имеющая магнитный момент, помещена в магнитное поле, и пусть в начальный момент времени магнитный момент (и спин частицы) направлены по магнитному полю. Адиабатически уменьшим напряженность магнитного поля до нуля, а затем начнем ее вновь увеличивать, но при этом изменим направление магнитного поля. При обращении поля в нуль уровни энергии частицы вырождаются, а функции 以и 以2, описывая состояния частицы с определенными проекциями спина на направление магнитного поля, изменяются скачком. Но функции их и «2 — это вспомогательные функции. С настоящей волновой функцией 屮(/), определяемой уравнением (20.1), в момент вырождения ничего не происходит, так как она изменяется во времени непрерывно. Это означает, что в приведенном примере адиабатическая гипотеза Эренфеста нарушается. Состояние частицы, спин которой в начальный момент был направлен по магнитному полю, пройдя через вырождение, превратится в суперпозицию состояний с положительной и отрицательной проекциями спина на направление магнитного поля.

Адиабатическая гипотеза Эренфеста с квантовомеханической точки зрения неоднократно рассматривалась и после работы Борна и Фока (см. работы [96, 196]). .

юрия и применение адиабатических инвариантов

ГЛАВА 3

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ

「МНОГООБРАЗИЯ

И АДИАБАТИЧЕСКИЕ

ИНВАРИАНТЫ

% ” ； § 21. События, системы, • [уравнения движения

Большинство происходящих в природе событий и явлений крайне слабо связаны между собой, что дает возможность рассматривать их как независимые. С другой стороны, если проследить за событиями, происходящими в различные моменты времени, то легко обнаружить сильную взаимосвязь между отдельными событиями. Иногда такая взаимосвязь настолько сильна, что если в момент /0 происходит событие а。，то в момент 匕 почти с неизбежностью происходит событие @1 и т. д., так что можно выделить цепочку взаимосвязанных событий

%(%), % (А), @2 (%)，…， (21.1) происходящих на фоне всех остальных и в пренебрежимо малой степени от них зависящих.

Каждое событие происходит в некоторой системе физических объектов, состояние которой характеризуется набором поддающихся измерению физических величин, среди которых только часть независимые, т. е. такие, которые нельзя однозначно выразить через другие. Набор независимых физических величин называют динамическими переменными. Их может быть как конечное, так и бесконечное число. Выбор динамических переменных неоднозначен и диктуется соображениями удобства. Набор динамических переменных является полным, если с его помощью можно получить все поддающиеся измерению физические величины, характеризующие систему и происходящие в ней события.

Пусть п — число динамических переменных системы, набор которых обозначим через и = иъ 以？， •••，以厶・ Цепочка происходящих в системе событий (21.1) восстановлена, если известно, как изменяется со временем каждая из динамических переменных ui = =〃t «), f = 1, ...» 孔.Эволюция системы подчиняется физическим законам, с помощью которых можно установить взаимосвязь между

событиями, происходящими в различные моменты времени. Соотношения, устанавливающие такую взаимосвязь, называются уравнениями движения. Как правило, состояния физических систем мало изменяются за малый промежуток времени. Это дает возможность придать уравнениям движения дифференциальную форму

魯= %(〃)， i=ln. .(21.2)

Вид уравнений (21.2) достаточно общий: он свидетельствует о том, что изменение состояния системы однозначно определяется ее состоянием в текущий момент, что согласуется с принципом причинности. Наряду с уравнениями вида (21.2) встречаются уравнения, в которых правые части зависят явно от времени или от параметров, т. е.

器=吊(〃，0, ' «= 1,- ... , 〃, ： . (21.3)

ИЛИ

■■.魯=吊("，a), i= 1П,」⑵.4)

где а = cq, а2, ..., а「一 набор параметров.

Уравнения вида (21.3) и (21.4) являются частными случаями уравнений вида (21.2). Действительно, их можно представить в виде (21.2), увеличив число динамических переменных:

*号"и尸f (〃，〃叶1),i = 1,・・・，孔+ 1,

尸厶+i (% 〃"+° ~ 1) Мд+i == f(21.5)

4т- = Fi (ы), ы = «!，и2, Un+r, Fn+k (ы) « О,

.- г I ；^ = 1, ... , г, w^ = ос^.(21.6)

Практический интерес, однако, при аналитическом описании системы представляет сокращение числа динамических переменных, подлежащих исследованию. Если правые части одной или нескольких динамических переменных не зависят (на практике это означает — пренебрежимо мало зависят) от остальных переменных, эти уравнения поддаются интегрированию и от уравнений вида (21.2) приходим к уравнениям вида (21,3) с меньшим числом переменных. Аналогично уравнения вида (21.4) получаются из уравнений (21.2), если часть динамических переменных пренебрежимо мало изменяется &а промежуток времени, на котором изучаются происходящие в системе события.

」啓 宀 § 22. Фаговое пространство, ^л интегральные кривые,?九

фазовые траекторииь

Набор значений динамических переменных (以^ и2, ...» un), описывающих состояние системы, можно рассматривать как координаты n-мерного пространства динамических переменных, которое называется фазовым. Динамические переменные могут принимать некоторое множество значений, соответствующих допустимым или реализуемым состояниям системы. Например, скорость движения системы или какой-либо ее части не может превышать скорости света, а температура тела принимает только положительные значения. Это множество допустимых значений образует область определения уравнений движения, которую обозначим Du. Заметим, что область определения уравнений движения может быть более узкой вследствие неполного знания физических законов, что не дает возможность распространить их на всю область Du при выводе уравнений движения, либо приближенного вывода последних. Например, широко используемые уравнения ньютоновой механики справедливы, только если скорости движения тел намного меньше скорости света с, хотя допустимы скорости, сколь угодно близкие к с. При скоростях, сравнимых со скоростью света с, следует пользоваться более точными (но и более сложными) уравнениями релятивистской механики.

С течением времени изменяется состояние системы и фазовая точка и описывает некоторую траекторию 〃 = 〃(/) в расширенно^ (п + 1)-мерном фазовом пространстве, представляющем собой п-мер» ное фазовое пространство, дополненное еще одним измерением — временем t. Таким образом, эволюция системы описывается траекториями в расширенном фазовом пространстве 仅(/), /), которые называются интегральными кривыми. Очевидно, интегральные кривые лежат в области D = D^ х R、t& R、расширенного фазового пространства. Через R обозначим временной интервал, конечный или бесконечный.

Проекция интегральной кривой на фазовое пространство называется фазовой траекторией (рис. 20). Фазовая траектория показывает, через какие состояния проходит система, какие события с ней происходят в процессе эволюции, хотя по ней невозможно определить, в какие моменты времени эти события происходят.

Зачастую представляет интерес поведение во времени только некоторых динамических переменных 修=и( (/), а не всего набора 以=% (0，*.., «п (0- Проекции интегральных кривых (〃(£), 0 на плоскости (〃订 /) называются графиками функций % = щ (/). На рис. 20 / — интегральная кривая, 2 ——фазовая траектория, 3 — график функции % = 〃丄(/). Важное свойство интегральных кривых и фазовых траекторий вытекает из вида уравнений движения: в силу теоремы единственности через каждую точку расширенного фазового

пространства проходит только одна интегральная кривая. Это свойство отражает детерминированность системы, а именно в детерминированной системе за событием а0 неминуемо следует событие 的 и т. д., так что воспроизводится вся цепочка событий, если установлено соответствующее начальное состояние системы а。. Интегральные кривые не пересекаются. Это же свойство имеют фазовые траектории ,если уравнения движения принимают вид (21.2), т. е. если правые части 巴(〃)не зависят явно от

кW尸i (〃)~ 戸2(〃)кW尸i (〃)~ 戸2(〃)• dUn• dUn尸n(〃)•尸n(〃)•времени. Чтобы убедиться в этом, достаточно исключить /из (21.2) и получить уравнения для фазовых траекторий в виде

кW

尸i (〃)~ 戸2(〃)

кW

尸i (〃)~ 戸2(〃)

• dUn

• dUn

尸n(〃)•

尸n(〃)•

Ясно, что когда правые части уравнений движения зависят явно от 力 фазовые траектории могут пересекаться. Интегральная кривая и фазовая траектория однозначно определяются уравнением движения и начальным значением и0, т. е. координатами точки, через которую проходит интегральная кривая в момент / = %. Запись 〃 = 〃(/; и0)» 以о = 〃 (%) фиксирует начальное значение.

§ 23. Динамические и интегральные функции

Зачастую нас интересует эволюция не самих динамических переменных, а величин, выражающихся через них. Поскольку найти решения уравнений движения удается крайне редко — для сравнительно простых систем, приходится иметь дело с эволюционными уравнениями для интересующих нас величин, вытекающими из уравнений движения (21.2). Рассмотрим уравнения движения для динамических и интегральных функций, вытекающие из уравнений движения (21.2).

Динамической называется функция от динамических переменных g = g(u)=g («!，“2,…，％. (23.1)

Значение динамической функции изменяется с изменением ее аргумента, подчиняющегося уравнениям движения (21.2). Из (23.1)t (21.2) вытекает уравнение движения для g:

署=£山瑞=£吊患曰 £(“)g，(23.2)

ое решениеое решениечиа, то для нёе в сйлу (23.2)чиа, то для нёе в сйлу (23.2)Если динамическая функция g аиал справедливо соотношение

ое решение

ое решение

чиа, то для нёе в сйлу (23.2)

чиа, то для нёе в сйлу (23.2)

岑=為，

воспользовавшись которым можно получить уравнения (23.2) в виде

•» e%,(23.3)•» e%,(23.3)g信go)=g。+孝』■(需)i

•» e%,

(23.3)

•» e%,

(23.3)

：go = g [« (0)]./

В частности, выбирая в качестве динамическо#；||^^Ции какую- либо из динамических переменных, получаем решение уравнений движения:

/«； 〃о) = Т戒 J0)・

A = e&A = e&Здесь

A = e&

A = e&

(23.4)

—оператор сдвига вдоль траектории. Легко убедиться, что операторы сдвига вдоль траектории образуют группу (полугруппу). Из (23.3) и (23.4) вытекает соотношение,

gt~TtgQ = Тtg [и (0)] = g [и (/； %)] = g [7山(0)].

(23.5)

Интегральные кривые можно рассматривать как элементы некоторого пространства, подобно тому как фазовые точки рассматриваются как элементы фазового пространства. Поскольку для определения интегральной кривой достаточно знать хотя бы одну принадлежащую ей точку (以°, /0) (и уравнения движения или оператор сдвига 7J все интегральные кривые можно параметризовать, задавая их координаты в некоторый момент времени /ои.

Наряду с динамическими функциями определим и интегральные функции, заданные в пространстве интегральных кривых. Интегральная функция ставит в соответствие каждой интегральной кривой число (или m-компонентный вектор)

/ = / [〃 (/),力=f ("о, %)三 /о ("о)・(23.6)

Из определения интегральной функции видно, что она порождает поле значений (постоянных вдоль интегральной кривой) / = /(«, 0 в расширенном фазовом пространстве, связанное с /0 соотношением /(«, /) = %("%) = "%(〃)•(23.7)

14 Другими словами, пространство интегральных кривых гомеоморфно фазовому пространству, т. е. взаимно однозначно и взаимно непрерывно отображается на фазовое пространство.

Последнее.рабство следует йз (23.5). Из (23.7) следует, что поле /(〃，f)血侬шлется уравнению с частными производными

' 包号？ =_£f(u,t) =—斗 F,包鵲》. (23.8)

Характеристики этого уравнения определяются системой обыкновенных дифференциальных уравнений

d如他d如他d〃/1 .j/d〃/1 .j/

d如他

d如他

d〃/1 .j/

d〃/1 .j/

являющейся не чем иным, как системой уравнений движения (21.2). Таким образом, характеристиками уравнения (23.8) являются интегральные кривые системы (21.2). Поэтому (21.2) и (23.8) — эквивалентные описания движения системы. Отметим, что уравнение (23.8) линейно в отличие от системы (23.8), которая в общем случае нелинейна. В гамильтоновой динамике уравнение (23.8) называется уравнением Лиувилля (см. § 25).

「 丁§ 24. Интегральные инварианты ，

Интегральный инвариант ——это величина, связанная не с одной интегральной кривой, а с некоторым множеством кривых (интегральным многообразием), подобно тому как интегральная функция связана с одной интегральной кривой. Теория интегральных инвариантов, основы которой заложены Пуанкаре (см. § 9), широко применяется в теории динамических систем и, как будет показано, имеет прямое отношение к теории адиабатических инвариантов.

Рассмотрим некоторое многообразие Мт размерности 加，вложенное в область /1-мерного фазового пространства Du (加&九). (Под многообразием понимаем любое непрерывное множество точек.) Не прибегая к формулировке исчерпывающего определения (см. например, [189]), будем считать, что Мт представляет собой связанную геометрическую фигуру размерности т (например, отрезок кривой, кусок двухмерной (加-мерной) поверхности и т. д.). Под действием оператора сдвига вдоль траекторий Мт переходит в многообразие той же размерности Ad} = TtMm. Интеграл от динамической функции g (и) по многообразию Мт является интегральным инвариантом, если его значение не изменяется при сдвиге вдоль интегральных кривых, т. е. если он совпадает со значением интеграла от gt = Ttg по многообразию Mh при всех значениях /.

Например, если g, (w), gik (汉),g (w), i, k = 1, 2,...,九,——некоторый набор динамических функций, то интегралы

л = /(М1) = j (gid〃i + g#a& + ••• + gnd")

厶=/ (ЛР)= у gikdUidu^

распространенные соответственно вдоль линии Л41, куска поверхности 7И2, по объему л-мерной фигуры Mnt являются интегральными инвариантами, если их значения совпадают со значениями интегралов‘

-:/i(o =/И)= J 工

-/2(0 = /И) = J Ygikdu^k, ■

'一 /“(/) = /(〃?)= J g(u)du, 5I ■

т. е. если 厶(0 =厶，厶(0 =厶，/〃 (0 " ^п*'，~

Поскольку многообразие Мт гомеоморфно отображается на мно・ гообразие Мт в пространстве интегральных кривых (каждой точке «о £ М" ставится в соответствие интегральная кривая (〃 (/; п0), /)), можно утверждать, что интегральный инвариант является величиной, сохраняющей постоянное значение на многообразии интегральных кривых Mmt Интегральные кривые, исходящие из Mmt заполняют некоторую (т + 1)-мерную область в расширенном фазовом пространстве, которая называется интегральным многообразием (обозначим его через Zm^), На рис. 21 изображена часть двухмерного интегрального многообразия Z2 и одна из интегральных кривых на нем. Сечениями (имеется в виду сечение плоскостью f = const) многообразия Z2 являются многообразия М% Из определения интегрального многообразия следует, что интегральная кривая полностью лежит на интегральном многообразии, если на нем лежит хотя бы одна точка, принадлежащая этой кривой. Интегральный инвариант сохраняет свое значение вдоль интегрального многообразия подобно тому, как интегральная функция не изменяется вдоль интегральной кривой.

Построение интегральных инвариантов сводится к отысканию динамических функций g, обеспечивающих постоянство указанных выше интегралов. Такие функции принято называть инвариантными (по отношению к действию оператора сдвига 7\) элементарными мерами на Мт. Рассмотрим один из широко используемых интегральных

инвариантов. Пусть Л (〃) —Интегрирующий множитель уравнений (21.2), т. е./

?夕尸2+月？%)+=0. (24.1)

ди{ 1*1 дип''

Тогда 干

‘“ ⑴=/(м‘)= j 4 (“) d〃i •・• dun = /п (0).

(24.2)

Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, проследим за изменением 1п (/) при малом приращении времени dt. Используя замену 齿= 〃/(/ + 力)=% + Fidt + …，преобразуем выражение для In (/ + dt) следующим образом:

''/„ (/ + dt) = J A[u(t + dt)}du'一

* ： ：= Sn[л(u)+ S d^~^^ + x ' :

丿 一；(X.3)

II d 31， . . . » «n) I，

Второй сомножитель под знаком интеграла ——якобиан использо* ванной замены переменных. Нетрудно показать, что с точностью до слагаемых, пропорциональных df, справедливо соотношение

济+由£(24.4)

С той же точностью, подставляя (24.4) в (24.3), имеем 〃(/+ df) = 〃 (f) +乂： у

+ Ц [f， 当*" + " (") "f^"]dudt- (24。5)

Но второе слагаемое в правой части равенства (24.5) в силу (24.1) равно нулю. Поэтому /п (/ + dt) = /л (/), т. е. интеграл (24.2) является интегральным инвариантом, чго и доказывает высказанное утверждение.

Как видно, (24.1) является дифференциальным уравнением для функции Л (и). На основании теоремы существования для уравнений такого вида можно придти к заключению о существовании интегральных инвариантов для динамических систем (21.2).

По аналогии с рассмотренными интегральными инвариантами порядка п можно получить уравнение для весовой функции Л (и) интегрального инварианта произвольного порядка.

Если уравнения движения имеют вид (21.3), то уравнение для весовой функции Л (w, /) инварианта n-го порядка приобретает следующий вид:«

券 + ¥ 喈~ =。. .(24.6；

Чтобы убедиться в этом, достаточно воспользоваться уравнениями (21.5), эквивалентными системе (21.3). Заметим также, что если

2器=。，(24.7)

то фазовый объем многообразия Мп является интегральным инвариантом. .:

§ 25. Гамильтонова динамика

В физике и механике исключительное значение имеют гамильтоновы динамические системы. Система называется гамильтоновой, если она описывается 2п динамическими переменными, которые можно разбить на пары 伪订 q，i = 1, 2, ..., п, и при этом существует такая динамическая функция Н (/?, g) = Н 伪範 …，рп、%,…，％) (га* мильтониан системы), что уравнения движения приобретают вид

■ дН (р, <?)• _ дН (р, q)§

Вид уравнений (25.1) называется каноническим, а пары динамических переменных (ph gj — канонически сопряженными переменными. Гамильтониан системы может явно зависеть от времени или от параметров.

Специальный вид уравнений движения гамильтоновых систем приводит к ряду важных следствий, выделяющих этот класс систем. Подробное обсуждение особенностей гамильтоновых систем содержится в гл. 1. Здесь отметим важные для дальнейшего изложения свойства гамильтоновой динамики.

С учетом (25.1) уравнение движения для динамической функции g д) (23.2) приобретает вид (4.9):

?(器器一备黑) 三 &")•(25Z

Выражение в правой части этого уравнения представляет действие оператора £ (см. (23.2)):

;『(...，〃)

宁〈dp, dqt dqi M 丿' '

* _(25.3)

на фушшп> g 3 g)・

Оператор сдвига вдоль траекторий 看網卓 * гавйл&тоновой дии яамике приобретает вид，

.п=/*=染…用)，■ -.(25.4)

так что

• / gt® 9)=加…用)g3 办 ：'(25.5)

'Что касается эволюции интегральных функций; ТО они в гамильто- / новой динамике подчиняются уравнению, вытекающему из (23.8) и (25.2):.

«М = —(/，〃)•.二 (25・6)

"Уравнение (25.6) называется уравнением Лиувилля и широко но пользуется в статистической механике. Формальное решение уравнения Лиувилля, удовлетворяющее начальному условию/ (р,仇 0)= = /0 (р, q), имеет согласно (23.7) следующий вид:

/ (", % /) = fEp,T「q) = 77% (",办(25.7) Характеристиками уравнения Лиувилля являются интегральные кривые уравнений движения (25.8).

Едва ли не наиболее важное свойство гамильтоновой динамики —— наличие семейства интегральных инвариантов (см. § 9), среди кото* рых фазовый объем замкнутого многообразия /ИГ = TtM^. Что* Зы убедиться в этом, заметим, что согласно (25.1)

=(25.8)

Y dui 宁〈dpidqi dqidpi，

следовательно, константа является интегрирующим множеством системы (25.1) и

“"二％(м”) = J dpdq = /2“(М粉(25.9)

-—интегральный инвариант порядка 2п. Сохранение фазового объема при движении вдоль интегрального многообразия составляет

-содержание теоремы Лиувилля.

Существуют алгебраический и геометрический подходы при •описании свойств гамильтоновой динамики. Алгебраический заключается в следующем. Рассмотрим пространство динамических функ- “ ций G с определенными в нем операциями сложения, умножения и умножения на константу,т. е. еслиguh ——функции из G,to функции f =^ g + ht и = gh, w = eg(25.10)

также принадлежат G. Для гамильтоновых систем кроме указанных операций существует еще одна — скобки Пуассона:

u = (g，用)，。£a(25.11)

со свойствами (4.5) — (4.8).,「，

Множество с заданными на нем операциями (25.10), (25.11) образует алгебру Ли (см. § 4, 9). Эволюция динамических функций определяется оператором сдвига Tt. Напомним, что операторы сдвига образуют однопараметрическую непрерывную группу преобразований. Динамическая функция ", входящая в определение оператора 7\ (25.4), называется генератором (производящей функцией), a t —— параметром группы.

Рассмотрим теперь тот же набор динамических функций в момент /, получающийся при сдвиге вдоль траекторий: Gt = Т/?, т. е. gt = Tg и т. д. Оказывается (см. § 4, 9), что для них сохраняются соотношения (25.10), (25.11), т. е. эти соотношения инвариантны относительно действия оператора Tt, Таким образом, для гамильтоновых систем оператор Tt отображает пространство динамических функций в себя, не нарушая алгебраической структуры (25.10), (25.11). Такие отображения принято называть автоморфизмами.

При геометрическом подходе основное внимание обращается на геометрическую структуру, которая может быть введена в фазовом, пространстве и сохраняется при автоморфизмах, осуществляемых оператором 7/. В фазовом пространстве гамильтоновой системы естественным образом вводится симплектическая структура (см. гл. I), поэтому многообразия в Du приобретают структуру симплектиче- ских многообразий, а гамильтоновы уравнения движения задают фазовый поток на симплектическом многообразии. Прямым следствием сохранения симплектической структуры под действием оператора Tt является наличие семейства интегральных инвариантов Пуанкаре — Картана (9.16), (9.17) и (9.25), (9.26). ；

§ 26. Топология интегральных кривых

Чаще всего при описании системы нас интересуют вопросы, касающиеся ее поведения в целом, например, через какие состояния она пройдет, если начальные условия принадлежат некоторой выделенной области, как часто система попадает в то или иное состояние или как изменится ее эволюция при заданном изменении начальных условий. Чтобы ответить на подобные вопросы, недостаточно знать, как ведет себя отдельная интегральная кривая или даже некоторое конечное множество интегральных кривых. Для этого необходимо располагать сведениями относительно поведения всех интегральных кривых в интересующей нас области расширенного фазового пространства. Интегральные кривые представляют собой как бы линии тока жидкости в (九 + 1)-мерном пространстве (для гамильтоновых систем «жидкость» несжимаема). Как они устроены? Нельзя ли охарактеризовать как-либо весь поток, не прибегая к полному интегрированию уравнений движения?

Впервые анализ топологии фазовых траекторий динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями первого и

второго порядков, был выполнен Пуанкаре в трактате [197] и затем развит в «Новых методах небесной механики» [74]. Эти работы положили начало плодотворной качественной теории дифференциальных уравнений, центральным вопросом которой является изучение топологии интегральных кривых и фазовых траекторий. Не останавливаясь на вопросе об отыскании решений уравнений движения, качественный анализ изучает топологию фазовых потоков и интегральных многообразий динамических систем. Качественный анализ легко провести, располагая общим решением уравнений движения, т. е. полным набором первых интегралов системы. Однако значение качественных методов заключается в том, что они дают возможность изучать системы, не прибегая к известным до Пуанкаре аналитическим методам. В приведенных ниже примерах изучается топология интегральных кривых простых динамических систем, которые не являются «типичными», поскольку они интегрируемы. Основная цель рассмотрения этих примеров — создать у читателя конкретное представление о предмете на простом иллюстративном материале.

Пример 1. Рассмотрим гармонический осциллятор, уравнения движения которого имеют вид「*

Посредством замены переменных

犷=Qauf + 吟 Ф = arctg

(26.1)

(26.2)

являются направляющими цилиндрических интегральных поверхностей (рис. 22).являются направляющими цилиндрических интегральных поверхностей (рис. 22).

являются направляющими цилиндрических интегральных поверхностей (рис. 22).

являются направляющими цилиндрических интегральных поверхностей (рис. 22).

Семейство фазовых траекторий задано представляют собой эллипсы, с общим и

уравнения движеншг 偉В」) 1феобразу- ются к виду

?步=0j 屮=(о.(26.3)

“ Отсюда видно, что интегралаш движения являются

■' <р0 — arctg (u^QUj) — W, т (26.4)

” = g)2曲十畛(26.5)

Соотношения (26.4), (26.5) определяют семейства двухмерных интегральных многообразий в расширенном фазовом пространстве, 犷 и (р — вещественные величины, параметризующие эти многообразия . Интегральная кривая, проходящая через точку 旷=%, ф (0) =(р0, лежит на пересечении интегральных многообразий (26.4), (26.5). уравнением (26.5). Фазовые траектории нтром и одинаковыми эксцентриситетами и

二 Уравнения двяжеиия, как и интегральные многообразия, имеют свойства симметрии： многообразия (26.5) инвариантны относительно группы преобразований Рр, а многообразия (26.4) — относительно группы преобразований Р^, представляющих собою сдвиги по ф и по 犷：

% ”，ф) 6(% ф + W), Pw (吃屮)—(犷 + 叫 Ф). (26.6)

Интегральные многообразия, ямеющие свойства симметрии, называются инвариантными (по отношению к указанным группам преобразований).

В рассматриваемом примере топология интегральных кривых крайне проста: они представляют собой винтовые линии с постоянным шагом по /, равным 2л/з, лежащие на инвариантных относительно групп преобразований (26.6) интегральных многообразиях, причем каждая из интегральных кривых последовательным действием операторов 尸屮 и Pw может быть преобразована в любую другую интегральную кривую.

С каждой фазовой траекторией (26.5) можно связать два многообразия: одномерное, М1 (F)——фазовая траектория, и двухмерное, М2 (W) ——участок фазовой плоскости, охватываемый фазовой траекторией. На каждом из многообразий можно ввести элементарную инвариантную меру и построить интегральные инварианты:

；： ' —呼)小血& .、［ I， . (26.7) 2 二 厶(呼)=§ du^. : : ； (26.8)

(B (26.7) под знаком интеграла Z — длина фазовой траектории.)

Пример 2. Несколько видоизмененные уравнения (26.1) описывают ^ижение гармонического осциллятора с треиием ％ 小 %

〃i= 勺，〃2 = -2Y出一0)2心..，，；(26.9)

Производя замену переменных.,'.

Ьривйдам систему 供・9) к виду、「；「

■-历=—2 涉，, = &;； '(26.10)

как видно, незамкнуты и представляют тягивающий фокус 玄i =玄纟=0.как видно, незамкнуты и представляют тягивающий фокус 玄i =玄纟=0.Интегрируя (26.10), получаем уравнения, определяющие семейства интегральных многообразий

как видно, незамкнуты и представляют тягивающий фокус 玄i =玄纟=0.

как видно, незамкнуты и представляют тягивающий фокус 玄i =玄纟=0.

К = %ехр(—2丫/),(26.11)

Фо = arctg (出/①勺)-①九 (26.12)

Исключая f из (26.11), (26.12), находим уравнение для фазовых траекторий. На рис. 23 показаны два интегральных многообразия системы (26.9)： инвариантное относительно поворотов Р^ многообразие (26.11) и инвариантное относительно сдвигов по f цилиндрическое многообразие, направляющей которого является фазовая траектория. Изображена также интегральная кривая, являющаяся линией пересечения этих двух многообразий. Фазовые траектории, собой спирали, навивающиеся на при-

В рассмотренных примерах удалось найти п (п = 2) первых интегралов системы, восстановить семейства интегральных многообразий, заполняющие все расширенное фазовое пространство, а также поведение интегральных кривых на многообразиях и фазовых траекторий. Аналогичную процедуру можно выполнить с каждой системой уравнений, допускающей отыскание п первых интегралов (такие системы называются интегрируемыми). К сожалению, интегрируемые системы весьма немногочисленны, т. е. только для небольшого числа динамических систем удалось найти все интегралы движения.

Напрашивается вывод, что в общем случае не существует гладких и даже непрерывных интегралов движения и соответственно инвариантных интегральных многообразий. Две знаменитые теоремы Пуанкаре [74] проливают свет на этот вопрос.

Сформулируем теорему возврата: в гамильтоновой системе, остающейся все время в некоторой ограниченной области фазового пространства, первоначальное состояние должно повторяться с любой степенью точности бесконечное число раз. Следовательно, если фазовая траектория остается все время в некоторой области Du, то она либо замкнута, либо всюду плотно покрывает некоторую область d и Du. Например, система (26.1) гамильтонова, ее фазовые траектории замкнуты и любое начальное состояние системы периодически с периодом 2л/з повторяется бесконечное число раз.

Другая теорема о несуществовании аналитических однозначных интегралов (она относится, как и теорема возврата, к гамильтоновым системам) показывает, что в общем случае не существует аналитических по р, q интегральных многообразий, кроме (M2n~l (F), N связанного с гиперповерхностью постоянной энергии М^п~х (取), определяемой равенством Я (р, д) == F. Очевидно, каждую гипер*

поверхность M?"-' (F) можно разбить на множества Mm, 1《 加《 & 2几一1, каждое из которых всюду плотно покрывается любой начинающейся на нем траекторией. Такие множества называются транзитивными. .

Упомянутая теорема была сформулирована Пуанкаре при рассмотрении систем вида

〃 (р, д) = Но 3 д) + 叫(р, q\ (26.13) где Но 伪，q)——гамильтониан полностью интегрируемой системы, е ——малый параметр, Ях ——возмущение общего вида.

Более точная формулировка теоремы такова: не существует аналитичных и однозначных по /?,(7 и 8 (даже при малых значениях е) отличных от Н (р, q) первых интегралов уравнений движения с гамильтонианом (26.13).

Приведенное в работе [74] доказательство не является достаточно строгим. (Об интегрируемости гамильтоновых систем вида (26.13) см. работы [189, 198, 199], а также § 29.) Существование неаналитических интегралов для систем (6.13) с двумя степенями свободы вытекает из теоремы Колмогорова [200, 201], доказательство которой дано в работах [202, 203]. Для систем большего числа степеней свободы, по-видимому, невозможен даже непрерывный интеграл.

О разбиении изоэнергетической поверхности на транзитивные множества Мт и о структуре последних в общем случае мало что известно. Существует выделенное семейство интегрируемых систем, фазовые траектории которых лежат на инвариантных торах (подробнее см. § 29), заполняющих всю поверхность М^п~х (取，и могут быть замкнутыми или незамкнутыми. У близких к ним систем наряду с множеством инвариантных торов, всюду плотно заполненных фаговыми траекториями, существуют также области разрушений, которые всюду плотны и, если число степеней свободы больше двух, имеют довольно сложную конфигурацию. Поведение фазовых траекторий в областях разрушения не поддается простому описанию, однако построен пример довольно общего вида [204], из которого ясно, что у систем (26.13) с числом степеней свободы больше двух появляются транзитивные многообразия размерности 2п — 1 (2п ——размерность фазового пространства), причем поведение фазовых траекторий на них стохастично.

Транзитивные множества Мт принято различать по качеству заполняющих их траекторий. Траектории делятся на регулярные й стохастические. Формальным признаком, разделяющим эти два вида траекторий, служит автокорреляционная функция

R("o；T)=""療患試出纥 二(26.14)

Если R (u0, т) стремится к нулю за время порядка т^ и остается в дальнейшем малой (| 7? | < е при всех т), то траектория и (/; и0) стохастична, а Та@ ——время автокорреляции.

Аналогично можно ввести парную корреляционную функцию R % w2> т) = •〈"的4)”-т； ”2» , (26.15) 12КС(/; a)〉"”*； “J〉,]% '''

которая показывает, насколько скоррелировано движение системы при различных начальных условиях 〃工 и w2. Если 〃】=u2 = w0, то (26.15) переходит в (26.14). Если R (w1( u21 т) становится и остается пренебрежимо малой через характерное время тс =(〃力 u2), то это означает, что поведение системы с начальным состоянием 〃工 утрачивает всякую связь с поведением при начальных условиях 〃2, когда t > т@. Следовательно, зная и (f; %), ничего определенного нельзя сказать о поведении и (/; 〃2)，если / > тс.

Оказывается, что системы, имеющие транзитивные многообразия, заполненные стохастическими траекториями, широко распространены в природе. Доказательство существования стохастических траекторий динамических систем составляет самостоятельную задачу. На пути ее решения получен ряд существенных результатов. В частности, показано, что у бильярда с тремя шарами все (за исключением множества меры нуль) фазовые траектории стохастичны [205, 206]. Другой простой системой с небольшим числом степеней свободы и стохастическими траекториями является система трех тел с притягивающим кулоновским взаимодействием [207, 208]. Мера стохастических траекторий в последнем случае невелика. (О других динамических системах со стохастическими траекториями см. работы [209—212].)

Выделенными являются динамические системы, у которых все фазовые траектории стохастичны, так что каждая фазовая траектория всюду плотно покрывает всю энергетическую поверхность. Это системы с перемешиванием. К ним относится, например, упомянутый бильярд и все термодинамические системы.

Мы видим, что топология интегральных кривых и фазовых траекторий в общем случае довольно сложна, поскольку одна и та же система может иметь регулярные и стохастические траектории. Картина заметно упрощается только в предельных случаях для полностью интегрируемых систем, с одной стороны, и перемешивающих — с другой. Эти два типа систем со столь разительно отличающимся поведением интегральных кривых поддаются довольно полному описанию. Все остальные системы неинтегрируемы 1в, но практически для каждой из них можно найти близкую (уравнения движения которой мало отличаются) интегрируемую систему, во всяком случае для некоторого выделенного множества начальных условий. Это обстоятельство выдвигает на первый план теорию возмущений, за-

16 Перемешивающие системы тоже иеиитегрируемы, но к ним можно применить методы статистической механики, дающие полное статистическое описание системы.

дача которой заключается в том, чтобы подобрать интегрируемую систему, интегральные кривые которой мало отличаются от интегральных кривых интересующей нас (неинтегрируемой) системы на достаточно длинном интервале времени. В последующих параграфах этой главы излагаются методы теории возмущений применительно к системам с медленно изменяющимися параметрами.

§ 27. Струк1у|>иая уйтойчивоеть

При изучении топологии интегральных кривых и фазовых траекторий естественно возникает вопрос: какие различия присущи фазовым портретам двух систем, уравнения движения которых мало отличаются? Размышления над этим вопросом приводят к понятию структурной устойчивости систем, впервые сформулированной А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным [213].

Структурно устойчивыми называются динамические системы, фазовые портреты которых мало изменяются и остаются топологически эквивалентными при достаточно малом возмущении уравнений движения. Чтобы пользоваться приведенным определением, необходимо определить топологическую эквивалентность фазовых портретов и уточнить, что подразумевается под достаточно малыми возмущениями уравнений движения. Возмущения уравнений движения представим в виде добавок к правым частям уравнений F{ f F(= =Ft + 6F, (здесь F{ (〃)一 правые части возмущенных уравнений движения, 6户,(〃)一возмущения). Для гамильтоновых систем, если желательно, чтобы возмущения сохраняли гамильтоновость, удобнее вводить их в гамильтониан: Н (р, q) Н (р.夕)="(р,夕)+ + в"] (р, 7), в《1, в"1 (р, 7)——возмущение. Пространство динамических вектор-функций 户(и) (правых частей уравнений движения) определяет пространство динамических систем. Чтобы выяснить, какие возмущенные системы близки к данной динамической системе, т. е. чтобы определить малую окрестность системы, необходимо ввести метрику в этом пространстве . Как правило, используется ^-метрика, определяемая следующим образом:

d{F,G)^s^F-G\ + ^^r-^,

“(27.1а)

где F = F (w) и G = G (〃)一 динамические функции.

Если F и G ——вектор-функции:尸= Fx, ..., Fm, G = Glt ...» G^, TO

d(F, G) = ^p{j \Fk-Gk\+ :

+ S|4^-<|]}- (27.16) Введенная метрика имеет смысл в пространстве дифференцируемых функций (^-пространстве). Поэтому топология, определяемая метрикой (27.1), называется Сктопологией. е-Окрестность динамической системы в ^-топологии включает в себя все динамические системы, отличающиеся на величину не более чем е в ^-метрике: d (F, G) <

Топологическая эквивалентность фазовых портретов двух систем определяется следующим образом. Фазовые портреты топологически эквивалентны, если существует взаимно-однозначное отображение (гомеоморфизм) одного фазового пространства на другое (точнеег некоторого компактного многообразия на другое), переводящее ориентированные фазовые траектории первой системы в ориентированные фазовые траектории второй. Ориентация фазовой траектории задается направлением смещения фазовой точки вдоль траектории под действием оператора сдвига Tt (т. е. при эволюции системы). Топологически эквивалентные фазовые портреты отличаются мало, если указанный гомеоморфизм близок к тождеству.

Как видно из приведенных рассуждений, структурная устойчивость систем определена через свойства фазовых траекторий. Полезно уяснить, какие ограничения на топологию интегральных кривых налагает требование структурной устойчивости. Ввиду инвариантности уравнений движения относительно сдвига по / каждая фазовая траектория определяет инвариантное интегральное многообразие, представляющее собой двухмерную цилиндрическую поверхность в расширенном фазовом пространстве, образующие которой параллельны оси % а направляющей является фазовая траектория (см. рис. 22, 23). Поэтому топологическая эквивалентность фазовых портретов означает топологическую эквивалентность семейств инвариантных интегральных многообразий. Что же касается интегральных кривых, принадлежащих различным семействам, то их поведение может значительно отличаться. На рис. 24 показаны интегральные многообразия двух систем с топологически эквивалентными фазовыми портретами и существенно отличающимся поведением интегральных кривых на цилиндрических интегральных многообразиях.

Таким образом, структурная устойчивость означает согласованность выделенных семейств интегральных многообразий (но не интегральных кривых) близких систем. Под действием малого возмущения инвариантные относительно сдвигов по t интегральные многообразия структурно устойчивых систем лишь слегка деформируются, но не разрушаются. -

Структурная устойчивость уравнений движения в теоретической физике крайне важна. Дело в том, что малое возмущение структурно неустойчивых уравнений приведет к существенному изменению фазовых траекторий, т. е. совершенно изменит ход событий в системе при одних и тех же начальных условиях. А поскольку уравнения движения (в частности, входящие в них параметры) известны лишь 卜 с некоторой точностью и зачастую сознательно огрубляются, то же” } лательно знать, в какой степени они пригодны для описания физи- f ческих явлений. В случае структурной устойчивости можно быть Г уверенным, что малые погрешности в уравнениях движения повле- * кут за собой незначительные упущения в предсказании хода событий.

Обратимся к двум широко используемым в различных теоретических моделях системам (25.1) и (25.9), рассмотренным в предыдущем параграфе. Их фазовые портреты существенно отличаются при сколь угодно малых у и никаким отображением, близким к тождественному, эллипс (см. рис. 22) не может быть преобразован в спираль (см. рис. 23). Отсюда ясно, что система (25.1) структурно неустойчива. Что касается системы (25.9), то она, как можно показать, структурно устойчива (см., например, [214]).

Следовательно, множества структурно устойчивых и неустойчивых систем не являются пустыми . Возникает вопрос, как устроены эти множества в пространстве динамических систем, и прежде всего, является ли множество структурно устойчивых систем всюду плотным? Ответ на этот вопрос, как выяснилось, существенно зависит от -числа измерений фазового пространства. Его можно сформулировать следующим образом: при п ^ 2 множество структурно устойчивых

"]=="2，〃2 ^3Y"1"]=="2，〃2 ^3Y"1叩(％)叩(％)P(〃1)P(〃1)叫 I以；叫 I以；(27.2)(27.2)

"]=="2，〃2 ^3Y"1

"]=="2，〃2 ^3Y"1

叩(％)

叩(％)

P(〃1)

P(〃1)

叫 I以；

叫 I以；

(27.2)

(27.2)

систем всюду плотно в ^-топологии, а при п > 2 — не является всюду плотным.

Признаки структурной устойчивости на двухмерных многообразиях и то, что их множество является всюду плотным, установлены в работах [214—218] (см. также обзор в работе [189]). Это множество устроено следующим образом. Каждая структурно устойчивая система имеет некоторую открытую окрест

ность в пространстве динамических систем, в которой фазовые портреты топологически эквивалентны, т. е. принадлежат островку структурной устойчивости. Структурно устойчивые системы с топологически различными портретами, очевидно, принадлежат различным островкам. Границы, разделяющие островки структурной устойчивости (и включающие замыкание последних), заполнены структурно неустойчивыми системами. При 九 & 2 множество островков устойчивости всюду плотно. На рис. 25 для этого случая схематически изображены островки устойчивости и перегородки между ними, заполненные структурно неустойчивыми системами в пространстве динамических систем 环. Сколь угодно малое шевеление структурно неустойчивой системы переводит ее на один из смежных островков устойчивости. *

Рассмотрим следующий пример. Уравнения вида ；

где a — вещественный параметр, определяют однопараметрическое семейство динамических систем на плоскости (〃〔，w2)- Ограничимся рассмотрением возмущений, не выводящих системы из этого семейства. Они сводятся к вариациям параметра a: 6Fj = 0, 6尸2 = 6а X xdF2/da = 6а〃「Топология фазовых портретов семейства зависит от параметра а. При а > 0 (рис. 26, а) имеется только одна особая точка 19 ——устойчивый фокус с координатами 〃】=〃？ = 0. При a > 0 (рис. 26, б) эта точка превращается в седловую и появляются два устойчивых фокуса с координатами 〃】=士/—a, 〃2 =。・ При a = 0 особая точка ut ~ и2 = 0 является вырожденной. Малое изменение параметра а переводит ее в притягивающий фокус или седло, являющиеся невырожденными особыми точками. Таким образом, рассмотренное семейство разбивается на две области структур-

ной устойчивости а < 0 и а > 0, разделенные точкой а = О (рис. 26, б). При а == 0 система структурно неустойчива, поскольку малое изменение параметра а переводит ее в одну из смежных областей устойчивости с топологически различными фазовыми портретами.

Изменение топологической структуры фазового портрета (структурный переход) всегда связано с появлением или исчезновением особых точек, или изменением их характера. Чтобы показать это, рассмотрим две двухмерные системы с правыми частями уравнений движения F и F = F + 6尸,решения которых таковы:

〃《 = 〃/(/；%, ■.■(27.3>

(27.4>

Будем искать отображение 〃〔,2 = 〃i.2 ⑷，близкое к тождественному, переводящее фазовые траектории (27.3) в фазовые траектории (27,4). Рассмотрим фазовые траектории обеих систем в окрестности какой-либо точки w0:

(27.5>(27.5>〃 =% + 备 I (/ — %)+ ・•・,

(27.5>

(27.5>

〃 =〃o + 一2厂~(/ — %)+ ・・・・

Исключая в (27.5) t ——4, получаем первый член разложения искомого отображения、>

j"_% 二@_“0)县绚_.(27.6>

« («0)'.

Отображение (27.6) не является взаимно-однозначным, если 〃 (w0) обращается в нуль, в то время как и в малой окрестности 〃о в нуль не обращается, и наоборот. В рассмотренном примере (см. также

。.夕。.夕§ 28, пример 1) при переходе параметра а через 0 появляются или исчезают две особые точки — фокус и седло. Фазовые траектории в окрестностях этих точек при а < < 0, как видно из (27.6) (см. также рис. 26), нельзя отобразить в фазовые траектории системы при а > 0 с помощью гомеоморфизма, близкого к тождественному.

。.夕

。.夕

В примере 2 (см. § 25, (25.9)) структурный переход совершается, если у изменяет знак, проходя через 0. При у = 0 систе-

ма (25.1) структурно неустойчива. При этом число и положение особых точек постоянны, но изменяется характер одной из них: устойчивый фокус (у > 0) (фазовые траектории ——приближающиеся к фокусу спирали) переходит в центр при у = 0 (фазовые траектории — эллипсы), и в неустойчивый фокус —— при у < 0.

После того как Смейл [219, 220] (см. также [189, 221]) построил динамическую систему с п = 3, в окрестности которой нет ни одной структурно устойчивой системы, стало ясно, что при числе независимых динамических переменных больше двух структурно устойчивые системы нигде не плотны. Следовательно, при п > 3 множество структурно устойчивых систем не является всюду плотным и островки структурной устойчивости окружены морем структурно неустойчивых систем (рис. 27). В этом случае установить, какие системы структурно устойчивы, становится труднее. Этот факт должен был бы вызывать беспокойство у физиков при выборе теоретических моделей, их всевозможных упрощениях и, наконец, при отыскании решений. Можно было бы не бояться неприятностей, если бы все представляющие интерес динамические системы принадлежали островкам структурной устойчивости. И действительно, есть много таких систем. Например, перемешивающие системы, важный класс которых (У-системы) открыт Д. В. Аносовым [222], являются струк* турно устойчивыми. К системам такого вида принадлежит совокупность упругих шаров в ящике, число которых больше двух, и, по* видимому, среды в условиях, когда реализуются турбулентные со* стояния движения, например жидкость или плазма в турбулентных состояниях. Однако далеко не все теоретические модели имеют свойство структурной устойчивости. Заведомо структурно неустойчивы, например, уравнения движения, описывающие системы невзаимодействующих частиц, однако почти всякая теория возмущения, применяемая для описания таких систем, основана на том, что в качестве нулевого приближения выбираются состояния движения невзаимодействующих частиц, которые затем подправляются отысканием поправок в последовательных приближениях. Как правило, эта процедура с удовлетворительной точностью дает желаемый ре-

зультат. Однако нередки случаи, когда такая процедура не приводит к желаемым результатам. Например, система электронов в металле при учете весьма слабого взаимодействия с фононами переходит в сверхпроводящее состояние, не имеющее ничего общего с состоянием движения газа невзаимодействующих электронов. Далеким аналогом происходящего при этом является рассмотренный выше пример (см. рис. 26), когда малое изменение параметра а в окрестности точки а == 0 приводит к тому, что устойчивое состояние движения 〃i = 〃2 = 0 становится неустойчивым и одновременно появляются другие устойчивые состояния. Включение слабого взаимодействия электронов с фононами, как принято говорить, привело к спонтанному нарушению симметрии основного состояния системы. Такая ситуация типична также для полевых теорий элементарных частиц и возможна только ввиду структурной неустойчивости невозмущенной системы. Более полное представление об упомянутых системах можно получить, ознакомившись с приведенными в § 28 примерами.

Успехи использования структурно неустойчивых моделей и построенных сих помощью рядов теории возмущений основаны на том, что, во-первых, при структурном переходе зачастую не все, а только малая доля фазовых траекторий испытывает кардинальную перестройку и, во-вторых, ввиду малости возмущений, очень длинные участки фазовых траекторий с разными топологиями остаются близкими, если начальные состояния совпадают.

Примеры、

Рассмотрим простые примеры, которые дают возможность глубже познакомиться со свойством структурной устойчивости динамических систем и некоторыми ее следствиями.

Пример 1. Гамильтонова система с одной степенью свободы. Имеем систему вида.宀

«2 = —«i + e/(«i),

в области D：(吟十 吗)< г, где f (%) — некоторая мцдаал фуикцм*. 8 — параметр. Динамические системы вида (28.1) гамнльтожнвы и ОПНСЫНЮТ движение частицы в потенциальной яме：，

» =F *戶(以)尸=j / (〃i)他・

Система (28.1) имеет интеграл движения (гамильтониан)

"S, g) = -^— + V (g), g = 〃力 р = 〃室 (28.2； который определяет однопараметрическое семейство фазовых траекториА. на плоскости (р, д)：

g) = К・...(28.3>

Все изучаемые здесь системы отличаются только видом потенциальной энергии У (д). Будем рассматривать потенциальные ямы с одним минимумом (например, осцилляторный потенциал Vo = ^2/2) и близкие к ним в ^-метрике системы：

у (д)=九(<?) +е% (<?)•

Степень близости систем определяется величиной || £f (д) |卜鼠

p = 11时庙=e sup (⑺ + |厂［),f =%(办 (28.4)

■Фазовые портреты невозмущенной и возмущенной систем топологически эквивалентны, если существует близкий к тождествен ному гомеоморфизм

q ~ h (q)t р = pt； ；、* %(28,5)

такой, что:

V(h(q)) = V0 (^).■.(28.6)

Чтобы отображение (28.5) было взаимно-однозначным, очевидно, производная dh!dq не должна обращаться в нуль нли бесконечность. Это ограничивает вид У・ Действительно, из (28.6) имеем

Отсюда видно, что у " нет нулей и особенностей, только если нули н особенности числителя и знаменателя в (28.7) совпадают. Это условие выполнимо, когда V’ имеет ие больше одного нуля и не обращается в бесконечность при конечных значениях q. Покажем, что это условие выполнено (и, следовательно, невозмущенная система (е = 0) принадлежит островку структурной устойчивости), если возмущения малы в О-метрнке, т. е. если р достаточно мало.

Прежде всего заметим, что ограниченность р исключает обращение V (д) в бесконечность. Выясним далее, каким должно быть возмущение, чтобы у Vf (g) появились дополнительные (по сравнению с У］ (д)) нули. Дополнительные простые нули функции V (д) появляются парами (рис. 28) и вторые производные Р" (д) в соседних нулях отличаются знаками. Пусть Р" отрицательна в точке ^0 (Р‘ (д。)= =0). Раскладывая V по степеням q — g°, получаем

广⑷=1 + 旷(%)(9 一 %)+ ....

Отсюда видно, что если sup | е/г | < 1, то не может стать отрицательной. Следовательно, при достаточно малых в ^-метрике возмущениях, когда ］財 | конечно и W| < 1 прн всех g £ D, фазовые портреты возмущенной и невозму* щенной систем топологически эквивалентны. Таким образом, мы убедились в структурной устойчивости рассматриваемых систем и нашли границы островка структурной устойчивости： р < 1.

Аналогичный результат можно получить относительно любой динамической системы вида (28.1) с произвольным числом нулей у функции 丿(g) (произвольное число минимумов и максимумов у потенциальной ямы V (д)). Границы областей структурной устойчивости приходятся на системы, у которых Р‘ (д) имеет кратные нули (рис. 28, в), исчезающие или расщепляющиеся на два простых при малом шевелении V (д) (ср. рис. 28, в и рис. 28, а, 6).

Полезно уяснить, как изменяется топология фазовых траекторий (и интегральных многообразий) при появлении дополнительных нулей у V (д). Нули V (д) соответствуют экстремальным точкам V (д) н являются координатами особых точек уравнений движения (28.1), лежащих на линии р = 0, причем максимумам V (д) соответствуют седловые точки, а минимумам — центры. Рассмотрим вид потенциальных ям и фазовые портреты систем (28.3) с различным числом нулей R‘(д) (рис. 28, а, 6), показанных на рис. 29. Появление дополнительного макси^ мума и минимума V (д) сопровождается появлением седловой точки S и нового

центра 0工 иа фазовой плоскости. Через седловую точку проходит сепаратриса (она изображена на рнс. 29 утолщенной кривой), разделяющая три топологически различных семейства фазовых траекторий (и связанных с ними цилиндрических интегральных многообразий). В одном из семейств, L。，фазовые траектории замкнуты вокруг центра 0°, во втором,厶小一охватывают центр Оь а в третьем,厶？，——оба центра. Структурный переход здесь заключается в разрушении части фазовых траекторий невозмущенной системы и в перестройке их в семейства с новой топологической структурой, значительно отличающейся от топологии траекторий невозмущенной системы.

Пример 2. Механизм Хиггса в полевых теориях. Рассмотрим пример спонтанного нарушения симметрии при переходе через границу структурной устойчивости, известный под названием механизма Хиггса [223, 224]. Чтобы понять, какие трудности позволяет преодолеть механизм Хиггса, приведем уравнения Прока, описывающие частицы с массой т и спином 1；

Р^ = дА^дХ]1-дА^дх^ ； 、

Из уравнений Прока следует волновое уравнение для векторного Щ)Л玄 й условие Лоренца: J

(□—川)电=0, дА^/дх^ = 0

(использована система единиц, в которой с = h = 1). Ясно, что в пределе zn= О уравнения (28.8) эквивалентны обычным уравнениям Максвелла, описывающим электромагнитное поле. Уравнения (28.8) при /и = 0 и zn =/= 0 существенно различны： в первом случае они инвариантны, т. е. инвариантны относительно кал и б ровочного преобразования

% 今 ％ + ОА/й%, (28.9)

а при m ? О калибровочная инвариантность исчезает. Калибровочная инвариантность уравнений Максвелла приводит к тому, что кванты электромагнитного поля —фотоны — имеют только два состояния поляризации, в случае 加=/= 0 у частиц со спином 1 не может быть менее трех состояний поляризации. Это Свидетельствует о том, что калибровочная инвариантность тесно связана с безмассо- востью векторного поля 4^.

Если электромагнитное поле Л^ взаимодействует с заряженным полем материи (р (будем считать поле ф комплексным скалярным полем), калибровочные преобразования поля 4Ц сопровождаются калибровочными преобразованиями ПОЛЯ ф：

中今/认⑺0 (28.10)

{е ——заряд частиц, описываемых полем ф). Калибровочная инвариантность теории относительно преобразований (28.9) и (28.10) необходима для построения перенормируемой квантовой теории взаимодействующих полей Лц и ф (т. е. теории с конечным числом устранимых расходимостей в рядах теории возмущений).

Но как быть, если поле Лц имеет массу? Казалось бы, лишившись в таком случае калибровочной инвариантности, теряем возможность построить перенормируемую теорию взаимодействующих полей. Но выяснилось, что это не так, благодаря спонтанному нарушению симметрии, которое мы сейчас рассмотрим.

Будем описывать скалярное поле (р нелинейным волновым уравнением

□ф—а(р — Z? j(р21 ф = 0.(28.11)

Очевидно, уравнение (28.11) инвариантно относительно преобразований (р 今/飞)，(28.12)

где а не зависит от х. Найдем функцию (р, соответствующую основному состоянию. Воспользуемся выражением для плотности энергии поля

(Ф) = I @(Р/況 I2 + I 即川尤 |2+а|ф|2+ —|Ф|4. (28.13)

Если (р = const, то два первых положительных слагаемых в (28.13) обращаются в нуль. Имеем

b ^(ф) = а|ф|2+ —|ф I1.

Случаи 6 < 0 и 6 = 0 (при а > 0) рассматривать не будем, так как в этих случаях / (ф) не ограничено снизу. При а > 0,力》0 основное состояние ф = 0 симметрично относительно преобразований (28.12). Если же а < 0, 6 > 0, то симметричное решение уравнения (28.11) (р = 0 неустойчиво (рис. 30), а устойчивому основному состоянию соответствует решение

中。，(28.14)

внимание на «неправильный» знак массового члена ——。屮 уравнения (28.11) привнимание на «неправильный» знак массового члена ——。屮 уравнения (28.11) приa V0.)a V0.)взаимодей-взаимодей-Приведем калибровочно-инвариантные уравнения, описывающие ствие поля 屮 с безмассовым векторным полем Лц:

внимание на «неправильный» знак массового члена ——。屮 уравнения (28.11) при

внимание на «неправильный» знак массового члена ——。屮 уравнения (28.11) при

a V0.)

a V0.)

взаимодей-

взаимодей-

/ d\2

ф — а(р — & I <р |2 <р = О,

□乙=等卜*證-説中)+也中现

(28.15)(28.15)Будем опцсывать скалярное поле новой вещественной функцией 屮，которую определим следукхцим образом：

(28.15)

(28.15)

屮=(1/" -a +屮卜"乙：一:；「(28.16)

Уравнения (28.15) принимают вид「“ - 餐

(口一底)中十••• = 0, J 」 炉厩 J H 蛇：哈 (28.17)

(□-能)% + …=0

(мы не приводим — разумеется, очень существенные — нелинейные члены, ответственные за самодействие поля 屮 и взаимодействие полей 4M и 屮).Отсюда видно, что в результате преобразования (28.16) у скалярного поля появилась масса т$ = =М——2а, а у безмассового векторного поля ——масса 加。=е屮q = е М—alb.

Таким образом, доказано, что перенормируема не только обычная калибровочно-инвариантная теория с а > 0 и массой скалярной частицы ms — ^а, но и рассмотренная нами теория с а < 0 и нарушенной калибровочной инвариантностью.

Пример 3. Механизм Хиггса & сверхпроводимости. Механизм Хиггса, оказавшийся очень важным для построения перенормируемых моделей в теории элементарных частиц, как было замечено [225], имеет также большое значение в теории сверхпроводимости. Переход металла при понижении температуры в сверхпроводящее состояние является фазовым переходом второго рода, представляюЩим собой структурный переход в динамической системе электронов и фононов. Связь структурной устойчивости систем и фазовых переходов второго рода рассматривалась в статье [226]. .

Считая, что ф и 力屮 описываемые уравнениями (28.15), ие зависят от времени, полагая =0 н выполняя замены

g 今 2% (р — ?_ , а — 2та, b 今 2m汕,У tn

получаем из (28.15) уравнения феноменологической теории сверхпроводимости Гинзбурга — Ландау：

1 / д \2

——I -2eAJ tp --a(p --^ | Ф |2 (р = 0»

ДА

Ф* ^― ср Н(р*ф.

(28.18)

、Дли функций *, определяемой (28.16), из (28.18) находим уравнения

>屮 + …=0，/

， (а 一 丁) a + …=。

(нелинейные члены не приведены), где

3 = 1/М— 2та ,九=弋 j

—длина когерентности и глубина проникновения уравнений (28.19), описывающие вихри Абрикосова рода, в случае элементарных частиц описывают так структуру сильно взаимодействующих частиц [227,

(28.19)

1— tn ]/ b

I Фо I У —a

магнитного поля. Решения r сверхпроводниках второго называемую струноподобную 228].

■ § 29. Близкие к интегрируемым гамильтоновы системы

1. Невозмущенные системы. Фазовые траектории гамильтоновой системы с одной степенью свободы определены законом сохранения энергии Н (р, q) = W. При большем числе степеней свободы вопрос о фазовых траекториях и интегральных многообразиях системы столь просто не решается. Рассмотрим интегрируемую гамильтонову ,систему с п степенями свободы, представляющую собой объединение п невзаимодействующих систем вида (28.2):

7 ,

;〃 9, <?）= ¥ %（р“ ％）=?（4■龙+匕（％））；

п первых интегралов этой системы ”

"/ (〃，仇)=吃，i = 1,…

(29.1)

(29.2)

определяют семейство п-мерных многообразий (торов) в 2п-мерном фазовом пространстве, проекции которых на плоскости (ро 夕)—— замкнутые кривые (мы рассматриваем случай финитного движения по всем 仇).Из (29.1), (29.2) имеем

眾=/2 ［吃一匕⑷儿

(29.3)

Интегрируя (29.3), получаем

dg；

(29.4)

Период обращения фазовой точки ^^-^ ~^•"■•^^^ по замкнутой траектории

Выбрав в качестве п независимых переменных Wlt введем также п фаз q)z, / = 1, ..., п, изменяющихся вдоль траектории (29.2):

中,=中，。+彳磊 j而言前.然5

Переменные Wh 屮『не являются канонически сопряженными, лЬ- скольку проведенная замена переменных не каноническая. Канонически сопряженными являются пары (/『,(pz), где■

厶=乙(吃)=，Р幽「j (29.7)

Уравнения движения в новых переменных приобретают вид ' 乙=0,血=①,(%),铀(%)=2h/? (吃).

(29.8) Полезно представить себе топологию фазовых траекторий системы (29.8). Проекции траектории на плотности (ро q〉— замкнутые кривые (29.2), а n-мерные многообразия / =(厶，…，/„) = const представляют собой прямые произведения этих кривых, т. е. п-мер- ные торы. Например, при 几 = 2, когда прямое произведение двух замкнутых кривых —— двухмерный тор (рис. 31), траектория на нем

Ф1 = Ф10 + ① 1 (八)％，屮2 =中20 + ①2 (厶)/

является обмоткой, вращающейся с частотами ①^ и (о2 по углам Ф1 и ф2-

Важной характеристикой, определяющей поведение траекторий на торе, является отношение частот /12 =①丿①？， показывающее, сколько оборотов совершит траектория по 屮心 совершив один полный оборот по ф2. Если &2 ——рациональное число: г12 = njn^ где пь па ——произвольные целые числа, то фазовая траектория замкнется, совершив /г】 оборотов по 屮】и п2 оборотов по ф2. Если же отношение &2 иррационально (говорят, что в таком случае частоты з】и з? несоизмеримы), то фазовая траектория всюду плотно покроет тор. Торы, для которых &2 рационально (иррационально), принято называть рациональными (иррациональными). Какова мера точек на плоскости (^,步？), соответствующих рациональным и иррациональным торам? Поскольку множество рациональных чисел счетно и имеет меру нуль на отрезке, то и мера рациональных торов равна нулю, так что практически все фазовое пространство заполнено

иррациональными торами. Это означает, что, выбирая наугад начальные условия, мы с вероятностью 1 попадем на иррациональный тор. Заметим, однако, что множество рациональных торов (как и множество рациональных чисел на отрезке) всюду плотно, так что в сколь угодно малой окрестности иррационального тора имеется счетное число рациональных торов. Вследствие инвариантности тора относительно поворотов по ф каждая фазовая траектория на нем может быть получена из любой другой с помощью поворотов.

Картина поведения фазовых траекторий системы (29.8) с числом степеней свободы больше двух является простым обобщением рассмотренного случая системы с двумя степенями свободы. Соотношения (29.2) определяют п-параметрическое семейство n-мерных торов. Если частоты (О],(о2, ..., з门 соизмеримы, т. е. если 电+ 左？0^ + ••* .・• + knmn = 0 при каких-нибудь значениях целых чисел 々卜 ^2» ••• ・.・,^„, то тор рационален и траектории на нем замкнуты. При несоизмеримых частотах тор иррационален и всюду плотно покрывается фазовой траекторией. Мера рациональных торов равна нулю. 一

Возмущенные системы. Теорема Колмогорова. Рассмотрим теперь гамильтонову систему, близкую к описанной в п. 1 интегрируемой системе:

"(р, д) = "° (р, q) + с% (р, q), (29.9) где гНу (р, q) — возмущение, не разделяющееся на сумму слагаемых, каждое из которых зависит только от одной из пар переменных ph 仇；е ——малый параметр, обеспечивающий малость возмущения по сравнению с //0 в области D.

Что можно сказать о поведении фазовых траекторий системы (29.9), если иметь в виду, что о системе (29.1) нам все известно и возмущение мало? Учитывая, что гамильтоновы системы с числом степеней свободы и > 2 структурно неустойчивы (и что для них не существует аналитических по е интегралов движения, кроме гамильтониана), можно утверждать, что при сколь угодно малом е фазовые картины системы (29.9) топологически не эквивалентны описанной выше фазовой картине (29.1). В таком случае классическая теория возмущений к системе (29.9) должна быть неприменима. Однако рассмотрение перестройки фазовой картины системы с одной степенью свободы (см. § 28) под влиянием возмущения, нарушающего топологическую структуру, показывает, что при переходе через границу области структурной устойчивости вначале лишь небольшая часть фазовых траекторий разрушается и перестраивается, образуя семейство с новой топологической структурой . Если же эта до-

гадка верна (а она таки верна), то нам остается установить, где расположены области разрушения невозмущенного семейства инвариантных торов, построить возмущенные (но уцелевшие торы) с помощью теории возмущений, выяснить структуру перестроившихся фазовых траекторий и оценить масштабы разрушений, вызванных возмущением е"】(р,办 а именно оценить меру сохранившихся инвариантных торов. Таким образом, применяя теорию возмущений к задаче (29.9), можно построить уцелевшие возмущенные торы (там, где ряды теории возмущений окажутся сходящимися) и установить локализацию областей разрушения (в этих областях ряды теории возмущений не имеют смысла).

Невозмущенный гамильтониан в переменных действие — угол зависит только от действия. Представленный в этих переменных гамильтониан (29.9) зависит от / и ф：

И = Н.(1) + гН1 (/, Ф) (29.10)

(здесь /, ф ——n-компонентные векторы). Причем Н、— периодическая функция (с периодом 2л) по каждой из угловых переменных. Представим Нг (/, ф) в виде разложения Фурье по всем угловым переменным:

"1(/，Ч>) = £ &ехр (炭<р), (29.11)

где ^ ——n-компонентный вектор k = (fen ...,々j, компоненты которого 瓦 принимают целочисленные значения от — оо до оо. Будем искать взаимно-однозначную замену переменных

7as⑴ 丄m , as#丄 •,

(29.12)

Здесь S = S (J,屮)——производящая функция, периодическая по всем угловым переменным ф：

S⑴(J,屮)=£ S* exp (淤屮).：、，(29.13)

Подставляя (29.12) в (29.10), получаем

н0(/) + Е"1(/,屮)=儿⑺ + 叽⑺ +

+ e|-W^* + ^(J,(p)］ + O(e^ (29.14) где hQ — усредненная по всем угловым переменным функция "^ и 方1 = Н、— Ло — ряд (29.11) за вычетом слагаемого с ^ = 0. Замечая, что dHJdh =(о (/J, представляем с учетом (29.13) третье слагаемое в правой части (29.14) в следующем виде:

е，［—，伏з) s& + 阮］ехр (的р),

在=0.,j I，

伏(0)= £ 自g.「，•(29.15)

ПолагаяПолагаяihhihh(29.16)

Полагая

Полагая

ihh

ihh

обращаем зависящие от угловых переменных члены порядка е в нуль. Повторив изложенную процедуру последовательных замен tn раз, построим производящую функцию, исключающую зависимость гамильтониана от новых угловых переменных с точностью до слагаемых порядка £他+l

Эта процедура приводит к желаемому результату, если ряд ； 一 S (J, ф) = eS(1) (J, ф) + e2S(2) (J, ф) + ・・・ =

、 ' = - £ £ 器 exp (决屮)+ … (29.17) сходится. Сходимость этого ряда, как видно из первого члена, возможна, если знаменатели (^(о) не обращаются в нуль ни при каких значениях А и не слишком малы. Во всех высших по е членах разложения также появляются сомножителями скалярные произведения (々з) в знаменателях. Поскольку частоты 3f зависят от /, во всей области значений частот невозмущенной системы существует только счетное множество соизмеримых значений и, следовательно, обращение 伏з) в нуль — событие редкое, однако, так как это мно- жест во всюду плотно, то в сколь угодно малой окрестности несоизмеримых значений частот имеется как угодно много соизмеримых. Поэтому знаменатели, даже если они и не очень малы на первом шаге теории возмущений, могут обратиться в нуль или стать сколь угодно малыми на последующих шагах, и установить сходимость ряда (29.17) не удается.

Из приведенных рассуждений видно, где находятся области разрушения невозмущенных торов, где происходит перестройка топологической структуры фазовых траекторий при включении возмущения: это происходит в окрестности резонансных торов с соизмеримыми частотами. Таких областей разрушения счетное множество, и они всюду плотны в области О. Физическая природа аномальных искажений фазовых траекторий в окрестностях резонансных торов ясна: при включении возмущений ^Нх происходит взаимодействие нелинейных осцилляторов с частотами 3f (/，и это взаимодействие имеет резонансный характер, если частоты соизмеримы, т. е. если 伏з) = 0 при каком-либо k. В резонансе же, как известно, происходит эффективный обмен энергией между осцилляторами, что и приводит к изменению топологической структуры фазового портрета. Чтобы выяснить, каков характер вновь возникающих топологических структур и какова величина областей разрушения, обратимся к случаю резонансного взаимодействия двух осцилляторов, когда их частоты з丄(/。 и (о2 (/2) совпадают при некоторых значениях Ц =厶。и /2 = /20 : 3] (/10) = со? (Ao) = з» Для исследования выбранного резонанса достаточно сохранить в разложении

g〃i (Л» 厶，Ф1» 喲(29.11) лишь слагаемое, описывающее это взаимодействие. Тогда

Н (/,屮)=儿(/) + £% (/, Ф)=儿 1 (厶)+

+ ”02 (厶)+ & ［九 1 exp (—i(q)i —屮2)) +、

*-+ ^1 еХр (^(T1 -中2))】="01(厶)+"02(/2)+

+ 2e I Лх I cos (фх — ф2 + arg h^.(29.18)

В области, где Н (/, ф) « 1Г0 = HQl (/10) + HQi (/20), разложим гамильтониан (29.18) по степеням б/】= /г —— /10 и 6/2 = /2 —— /20 и воспользуемся законом сохранения полной энергии системы "(/,屮)=忆(29.19)

В результате получим,

Я (/, ф) = Го + «об；! + ®067а + 4-^-1 X/ 1 И10»^Я0

X (6/1)2 + I М)2 +

，也 Lo,小

十招丿十招丿-+e|/i! (Ло, /ao)|cos0+ =呼。+ $(翁七

十招丿

十招丿

(6/)2 + e 也(厶)I cos 9 占

r0 + a (Zo) (6Z)2 + e I Лх (Zo) | cos 0,(29.20)

0 — Ф1 —屮2 + arg 九］

Здесь мы учли , что вследствие закона сохранения энергии (29.19) 6步=0 Е со。(8厶 + 6厶)+ …，т. е. 6厶=—6/2, и положил^ б/】=6/.

Полученный гамильтониан (29.20) описывает систему с одной степенью свободы. Из (29.19), (29.20) нетрудно получить уравнения для фазовых траекторий на плоскости (6/, 0):

w = W-W^ = a &) (3/)2 + £ I 厶(厶)I cos 0. (29.2

Фазовый портрет (29.21) показан на рис. 32, а, из которого видно, каков характер изменения топологии фазовых траекторий /х = =const, /2 = const в окрестности резонансных значений /10, /20 при включении возмущения (для сравнения невозмущенный фазовый портрет в переменных 6/, 0 представлен на рис. 32, б). Разрушение и топологическую перестройку претерпевают фазовые траектории внутри сепаратрисы. Ширина этой области по 6/, как видно из (29.21),

Д/ = 2/2е]е |/а. (29.22)

Рассмотренный пример позволил установить, каков размер области разрушения (29.22) и каков характер изменения топологической структуры фазового портрета. Это дает возможность оценить относительную меру всех областей разрушения инвариантных торов в О: она пропорциональна величине

Me = е% £ I 2&/а 1%, (29.23)

где суммирование ведется по всем резонансным в области D значениям k. Величину М£ можно оценить сверху, заменив в (29.23) величину I а 厂％ максимальным значением в D: 、.

МЕ^е1/!зир(|аГ1/!)Е1^Г2- ：；'；； (29.24)

Сумма в (29.24) сходится при достаточно гладких по ф функциях "i (/, ф). В частности, если функция 乩 ——аналитическая, то, как известно, коэффициенты 历 экспоненциально быстро убывают с ростом I k I， I I = I ^i I + I ^2 I + ••• I ^n I- Величина Мг мала, если а (/) нигде в £)не равно нулю. В общем случае условие а 耍 О заменяется следующим: *

det J 統匡。•二' (29.25)

Это условие невырожденности гамильтоновой системы, исключающее возможность длительного резонансного обмена энергией между осцилляторами.

Как видно, относительная мера областей разрушения невелика и большинство нерезонансных торов сохраняется, мало деформируясь, при включении возмущения. Для построения возмущенных торов А. Н. Колмогоров предложил улучшенный вариант теории возмущений, основанный на использовании метода Ньютона, обеспечивающего ускоренную сходимость рядов. В отличие от обычных рядов по степеням е (они называются рядами Линдштедта [229]), первый член которых определяется соотношением (29.16), для получаемых по методу Ньютона рядов удается доказать сходимость. Подробнее подходы Линдштедта и А. Н. Колмогорова обсуждаются в следующем параграфе.

Применительно к гамильтоновым системам (29.9) А. Н. Колмогоровым сформулирована знаменитая теорема: если невозмущ(ннаЯ 170

гамильтонова система невырождена (выполнено условие (29.25)), то при достаточно малом, не зависящем от времени, гамильтоновом возмущении большинство нерезонансных инвариантных торов не исчезает, а лишь немного деформируется, так что в фазовом пространстве возмущенной системы также имеются инвариантные торы,

заполненные всюду плотно фазовыми траекториями, обматывающими их условно-периодически, с числом частот, равным числу степеней свободы.

Указанные инвариантные торы образуют большинство в том смысле, что мера дополнения к их объединению мала вместе с возмущением.t

А. Н. Колмогоров [200, 201] указал путь доказательства этой теоремы. Полное ее доказательство получено В. И. Арнольдом [202, 203] в предположении аналитичности возмущения Н】по ф. Мозеру [230, 231] удалось ослабить это условие, заменив его требованием дифференцируемости Я, (ф) достаточно высокого, но конечного порядка.

Общий вид фазовой картины дан на рис. 33: показано несколько уцелевших торов и области разрушения между ними. Реальная картина отличается от приведенной на этом рисунке тем, что общий объем областей разрушения незначителен (см. (29.23)) по сравнению с объемом, занимаемым торами.

Неустойчивые траектории. Теорема Колмогорова гарантирует устойчивость условно-периодического движения систем (29.9) при малых возмущениях почти при всех начальных условиях (М& f 0 при е -> 0), однако она не затрагивает вопрос о поведении траекторий в областях разрушения, т. е. в областях неустойчивости. Мы получили правильную оценку ширины области разрушения А/ 〜 〜)/£, но построенная в первом приближении топологическая структура фазовых траекторий в резонансных областях претерпевает радикальные изменения при учете высших приближений, становится весьма сложной и плохо поддается изучению с помощью аналитических методов. К настоящему времени средствами анализа и численного моделирования удалось составить связную (хотя и со многими пробелами) картину поведения фазовых траекторий систем вида (29.9) в областях разрушения. Остановимся на кратком описании ее.

При числе степеней свободы % & 2 области разрушения разделяются сохранившимися торами и фазовые траектории в них мало смещаются по / (6/ 〜/ё) по отношению к соседним неразрушенным торам (на которых / = const). При п > 2 не существуют не только аналитические, но и непрерывные интегралы (кроме " (/, ф)), области разрушения больше не разделяются п-мерными инвариантными

торами (как, например, трехмерный объем не может быть разделен на несвязные части прямой) и образуют связную (2п ——1)・мер・ нуюобласть。* на гиперповерхности постоянной энергии М(2п~1)(呼). Область D* включает открытую область d* и D^, всюду плотно покрываемую стохастичными траекториями, так что фазовый поток (29.8) на d* имеет свойство перемешивания. Фазовый объем области & и скорость изменения / при блуждании траектории в d* экспоненциально малы, порядка ехр (— се-。) (с, а ——некоторые постоянные ). Фазовый поток на d* структурно устойчив (в отличие от потока на инвариантных торах). Фазовый объем области d* быстро увеличивается с ростом е и при е 〜1 d* может покрыть почти всю гиперповерхность М2^1 W). Последнее существенно зависит от вида возмущения Н^ (7, ф) и от числа степеней свободы, п > 3 .

При /1 & 2 (2〃 ——1)-мерная гиперповерхность постоянной энергии делится на несвязные области сохранившимися /i-мерными торами, а при п > 2 ——не делится и области разрушения оказываются связанными. Связность областей разрушения необходима для существования траекторий, переходящих из одной резонансной области в другую, но не достаточна. То, что область d*, покрытая фазовыми траекториями, которые могут как угодно далеко уйти по 1 от начального значения, действительно ненулевой меры, показано на модельном примере В. И. Арнольдом [204], им же получена приведенная выше оценка экспоненциально малой скорости ухода траекторий и высказано предположение, что и в общем случае при любых начальных условиях скорость изменения остается экспоненциально малой. Н. Н. Нехорошей доказал, что это предположение оправдано [232, 233]. Так, им рассмотрены системы (29.9), где "о S，«) = "о W，/Л (",⑦="1 (/,屮)，причем "1 — периодическая с периодом 2л по каждой из угловых переменных и аналитическая по /, ср в полосе значений Im / < р, Im ср < 6 функция, ограниченная сверху в D\ I еН\ (7, ср) | < eG, 7, (р f D. Что касается функции Н°, то требуется, чтобы она была крутой. Для этого необходимо, чтобы в £> не было критических точек, таких, в которых градиент HQ обращается в нуль и, кроме того, коэффициенты разложения Но в ряды Тейлора удовлетворяли некоторым алгебраическим неравенствам вроде (29.25) (подробнее см. [232, 233]), причем функции HQ общего положения удовлетворяют достаточным условиям крутизны и, следовательно, некрутые функции — явление в некотором смысле редкое.

Пусть И grad Hq || — ограниченная снизу значением g функция. Тогда справедлива теорема (Нехорошева), дающая оценку сверху скорости диффузии Арнольда: Положим Р = ^Glg 〃 предположим, что Р < Ро, где Ро = Р° (Яо, 6, р) — некоторая константа, не зависящая ни от каких параметров функции //「кроме р 〃 8. Тогда для любого действительного решения гамильтоновой системы (29.9), такого, что / (0) £ d"——d0 (d"——п-мерная область, являющаяся проекцией области D на п-мерное подпространство переменных действия, так что / g d"), справедливо неравенство

|/(/)_/(0)|<do при О&Е&Г,(29.26)

где-

d0=Pb, T = {exp[(%y](29.27)

(а 〃匕一 положительные константы, зависящие только от функции

Для а и 6 получены следующие значения:

а = 2/(12^ + 3п+ 14), b = 2/(а (12g + Зт +14)

1. и а = а(//0)> 1, ^ = ^(н^>п(п + 1)/2.

(29.28)

Заметим, что полученная оценка скорости диффузии Арнольда теряет силу, если нарушаются условия крутизны 方°. При этом появляются фазовые траектории, для которых || /(f) ——/ (0) || 〜ef (см. работы [232, 233]).

Существование у динамических систем стохастических траекторий, движение фазовых точек по которым действительно напоминает диффузию броуновской частицы, интенсивно изучается в последнее время (см., например, [207——212]). Средствами анализа, и особенно численного моделирования, показано, что разрушение устойчивости движения действительно сопровождается появлением неустойчивых стохастических траекторий . Эти результаты важны для обоснования и установления границ применимости методов статистической механики. Не останавливаясь на подробном обсуждении этих интересных вопросов, ограничимся выяснением природы стохастичности некоторых траекторий систем вида (29.9). Наличие стохастических траекторий тесно связано с существованием неустойчивых точек, линий и многообразий более высокой размерности в возмущенной системе. Рассмотрим поведение фазовых траекторий в окрестности седловой точки при наличии возмущений. В п. 2 мы обнаружили, что при топологической перестройке фазовых траекторий в области резонанса в первом приближении появляются седловые точки и проходящие через них сепаратрисы (см. рис. 27).

То, что сепаратриса (а следова- ^^^Х^ \qтельно, и близлежащие траектории)

，(^-^у\/2 // сильно искажается под действи-

〈]夕&^^^ ем слабнх возмущений, расщеп*

Y^^^^У ляется и имеет довольно запутан-

八^^^^ный характер, было известно еще

(\р^^^^^ Пуанкаре (см. [74]). Так, он рас-

\l ^_^^ l/^S" сматривал следующую ситуацию. 、_^^2^^；' Пусть S — седловая точка, поло-

、、 жение неустойчивого равновесия системы, сохраняющаяся при включении возмущения. Это озна- \ d，/чает, что у невозмущенной систе-

&^^^磁g^мы существуют семейства инте-

5^^.#^^^/ гральных кривых, которые асимпто-

^^^^хр><^^^тически при f -> 士 8 стремятся

и； к S. Рассмотрим множество точек пересечения • указанных семейств интегральных кривых с фазовой плоскостью при фиксированном значении f =办 н обозначим их через Г+ (f) и Г_ (f). Г± (办)一множества начальных условий, приводящих интегральную кривую при f -> ± оо к линии (S, f). В отсутствие возмущения Г± (幻一это ветви сепаратрисы (см. рис. 27). Включим периодическое во времени возмущение. Тогда Г± представляют некоторые линии на фазовой плоскости, которые называют возмущенной или расщепленной (поскольку эти линии не совпадают) сепаратрисой. Пуанкаре установил, что эти линии имеют бесконечное число пересечений и очень сложную топологию. Через точки пересечения кривых「十(幻 и Г_ (/()) проходят интегральные кривые, которые при /т ± оо стремятся к S (Пуанкаре назвал такие интегральные кривые двоякоасимптотическими решениями). О степени сложности структуры кривых Г+ и Г_ он писал: «Если попытаться представить себе фигуру, образованную этими двумя кривыми и их бесчисленными пересечениями, каждое из которых соответствует двоякоасимптотическому решению, то эти пересечения образуют нечто вроде решетки, ткани, сети с бесконечно тесными петлями; ни одна из двух кривых никогда не должна пересечь самое себя, но она должна наматываться на самое себя очень сложным образом, чтобы пересечь бесконечно много раз все петли сети.

Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить. Ничто не является более подходящим, чтобы дать нам представление о сложности задачи трех тел и? вообще, всех задач динамики».

Структура расщепленной сепаратрисы была подробно изучена только В. К. Мельниковым [234]. На рис. 34 изображена сеть, образованная линиями Г± для двух случаев с различными невозмущенными сепаратрисами. Чтобы понять причину аномального поведения сепаратрисы и близлежащих к ней траекторий под влиянием

возмущений, рассмотрим систему

Н (р, q, t) = -^- р2 + V (q) +'

+ ^^, q, 0),(29.29)

где /Л — периодическая с перио- ~ дом 2л по 0 функция и 0 = 0О + + <в(Л причем потенциальная энер* гия V (q) имеет вид, показанный на рис. 35, где изображена функ- 4 ция V(7)(а) с двумя минимумами • ” в точках %, % н максимумом при : q = 7S, а также фазовый портрет (6). Точка S (р =0, q =仇)является седловой точкой неустойчивого равновесия, через которую проходит сепаратриса. Последняя разделяет три семейства фазовых тра- * екторий 爲，幺2 и 幺з, причем в окрестности седловой точки траекто- : рии всех трех семейств сближаются * до сколь угодно малых расстояний.

Поэтому достаточно малого воз-用 мущения, чтобы перевести систему ' с фазовой траектории одного семейства на фазовую траекторию,' принадлежащую любому другому семейству. Это легко понять и не- *

посредственно из вида потенциаль

ной ямы. Если система почти покоится в окрестности максимума потенциальной энергии %, то достаточно слабого толчка, чтобы перевести ее в колебательное состояние вокруг только левого или только правого минимума, или же заставить колебаться, проходя через максимум, вокруг обоих минимумов. Если слабые толчки повторять, то система будет изменять режимы колебаний и довольно неупорядоченным образом, независимо от степени регулярности толчков, поскольку решающим является воздействие в окрестности точки останова %, где частоты колебаний системы, с одной стороны, стремятся к нулю, а с другой ——скачкообразно изменяются при малом изменении энергии и перебросе из режима в режим. Поэтому фаза возмущаемых колебаний изменяется весьма нерегулярно, а, поскольку влияние внешнего воздействия определяется относительной фазой колебаний системы и внешней силы, несмотря на периодичность последней, ее влияние стохастизирует движение системы. У возмущенной системы появляется стохастический слой в окрестности сепаратрисы с характерной шириной по W, пропорциональной величине резонансных возмущений в этой области ей也(рис. 35, е).

Фазовые траектории всюду плотно и равномерно покрывают эту область.

Можно было бы предположить, что в окрестности сепаратрисы под влиянием периодического возмущения образуются резонансные области с характерной структурой фазовых траекторий, изображенной на рис. 32. Однако в действительности здесь резонансные области слишком густо расположены и сливаются, образуя стохастический слой. Б. В. Чириковым впервые был сформулирован критерий стохастизации движения системы как условие перекрытия резонансных областей [209], затем это явление изучалось в применении к различным динамическим системам с широким использованием численных экспериментов (см. [209—2121). Убедимся, что перекрытие резонансных областей происходит в окрестности сепаратрисы системы (29.29). Как известно, период колебаний системы в окрестности минимума ямы V (q) V @)

Т\2 = 2л (У"(九2)厂％.(29.30)

При приближении энергии системы к Ws = У (仇)，когда система приближается к точке останова, период удлиняется до бесконечности, так что

Tl,2”f %)Р2л{У'32)「％+

."「+In |^^|}・(29.31)

Ширина зоны резонанса 左恤(取同)=恤(®,2 = 2л/7\』)по W в соответствии с (29.22)

^^[^\л^\； ：(29.32)

а расстояние между соседними резонансами по IV '

(29.33)

① 1,2 ")

Поскольку о/ n со/” 一吃)，сравнивая 8W и AW, находим, что резонансные области перекрываются, если%

sh^^iW^/^iW^)^.

。吧萨变而厶『・〈”34)

Отсюда видно, что перекрытие резонансных областей происходит в полосе 8呼〜ей月 в окрестности сепаратрисы, где W = Ws. Для систем (29.9) ширина этой полосы экспоненциально узкая, 8W 〜exp (— с/]/ё), поскольку отношение частот невозмущенной системы s к характерной частоте изменения / в области резонанса порядка 1/]/ё, следовательно, имеет место резонанс высокого порядка, k 〜1/]/ё. Для аналитических возмущений 〃i коэффициенты %

убывают экспоненциально с ростом | 力 |,力月 〜ехр (— с | k |). От~ сюда и следует приведенная выше оценка ширины стохастической области.

Обобщение на случай неконсервативных гамильтоновых си* стем. Теоремы Колмогорова и Нехорошева обобщаются на случай неконсервативных гамильтоновых систем

〃 = 〃о(/) + е/Л(/,(р,8), (29.35〉

где Н\ — периодическая по ф и 0 с периодом 2л функция и

0 = 0О + со". (29.36>

Рассматривая поведение траекторий в (2〃 + 1)-мерной облает и фазового пространства D = G X 丁叶* / £ G,屮，8 £ T2nвидим, что при е=0 траектории лежат на (п + 1)-мерных торах. При включении взаимодействия резонансные торы разрушаются. Если система не вырождена в D, т. е.

de"醫/。，/£G, ； ； (29.37〉 то почти все нерезонансные торы 7"+】 сохраняются при включении взаимодействия, а мера дополнения к ним мала в D вместе с е. Доказательство этого варианта теоремы Колмогорова строится точно так же, как и для систем (29.9). При п = 1 изменения / в области разрушения малые, порядка ]/е, и фазовые траектории разгорожены сохранившимися торами. При п > 1 области разрушения не делятся (и + 1)-мерными торами, поскольку энергия неконсервативной системы не сохраняется и / может измениться немало, однако имеет место обобщение теоремы Нехорошева, устанавливающей ограничение на скорость диффузии траекторий по / (см. п. 3), причем в (29.28〉 следует заменить и на и + 1.

Интегральные многообразия гамильтоновых систем, близких к интегрируемым. До сих пор речь шла о структуре фазовых траекторий гамильтоновых систем (29.9) и сохранении инвариантных мно~ гообразий (инвариантных торов) при включении малых возмущений. Полезно уяснить, как выглядят при этом интегральные многообра* зия. Каждая фазовая траектория порождает цилиндрическое ин* тегральное многообразие, представляющее собой прямое произве-- дение фазовой траектории на временную ось. Если фазовые траекто* рии лежат на инвариантных торах, то с каждым тором Тп связы* вается интегральное многообразие (T\ f), инвариантное относитесь* но поворотов по каждой из угловых переменных и относительно- сдвигов по t. В случае консервативных систем, как видно из теоремы Колмогорова, инвариантные многообразия заполняют почти весь объем расширенного фазового пространства, а всюду плотные «щели» между ними заполнены многообразиями весьма сложной структуры, о поведении интегральных кривых на них можно судить по оценкам, доставляемым теоремой Нехорошева. •

В случае неконсервативных систем (29.35) — (29.37) интегральные многообразия, как следует из изложенного в предыдущем пункте, не являются цилиндрическими. При этом также сохраняются инвариантные относительно поворотов по 屮，но уже периодические (или условно-периодические, если 0— многокомпонентный вектор, который содержит несколько угловых переменных, 0 = 4,...,阻 Bi = 8川 + s/) no f интегральные многообразия. Так, в случае системы с одной степенью свободы невозмущенные цилиндрические инвариантные многообразия (Т\ /) (рис. 36, а) при включении взаимодействия деформируются или разрушаются. Разрушению подвергаются резонансные многообразия, на которых частота со (7) соизмерима с частотой возмущения соо. Уцелевшие многообразия деформируются (рис. 36, 6), причем деформация периодична по / с периодом 2л/(оо. При п = 1 области разрушения разделяются сохранившимися инвариантными многообразиями, а при n > 1 — не разделяются. Это объясняется тем, что у неконсервативной системы полная энергия не является интегралом движения и не ограничивает движение в фазовом пространстве, так что (и + 1)-мерные интегральные многообразия не разделяют (2m + 1)-мерное пространство на несвязные области. Поэтому при п > 1 области разрушения связаны и интегральная кривая может переходить из одной в другую. Скорость диффузии интегральных кривых по 7 в областях разрушения экспоненциально мала в соответствии с теоремой Нехорошева.

亡 § 30. Асимптотические и приближенные интегральные многообразия

Намечая программу исследования динамических систем, Пуанкаре в трактате [197] писал, что поскольку за редким исключением полное интегрирование уравнений движения невыполнимо, то приемлем следующий путь: изучить топологическую структуру фазовых траекторий и затем отыскать частные и приближенные решения, пригодные для практически необходимого предсказания поведения систем на достаточно длительных промежутках времени. Приближенные вычисления составляют основу теоретической физики и механики . Одним из наиболее употребительных методов нахождения приближенных решений является построение решений в виде разложений по малому параметру, получивших название асимптотических. Асимптотические разложения функций и исчисление асимптотических рядов введены Пуанкаре [74], хотя частные случаи асимптотических разложений были открыты и применялись задолго до этого в небесной механике. С помощью асимптотических разложений можно построить асимптотические интегральные многообразия для систем вида (29.9), (29.35) и других близких к интегрируемым системам^.

Ознакомление с топологической структурой фазовых траектории и интегральных кривых показывает, что их поведение существенно* зависит от начальных условий. Семейства интегральных кривых различных топологий густо перемежаются в расширенном фазовом пространстве, и поэтому сказать что-либо определенное о поведении решения с выбранными начальными условиями можно только на вероятностном языке: с большой вероятностью (стремящейся к 1 при е -> 0) движение будет устойчивым условно-периодическим. Не зная, как близко выбранные начальные условия находятся к области резонанса, можно предпринять попытку построения возмущенных торов, применяя разложения по степеням е по схеме, первый шаг которой проделан в § 29. Согласно этой схеме последовательно выполняется серия замен переменных, исключающих в уравнениях движения слагаемые все более высоких порядков по е. На и-м шаге получим

-/„=■/ + eXj (/, ф) + • • • + епЛп (/, <р),

^л = Ф + e^i (/, Ф)+ • • • + епВ„(7, у).■

При этом исходная система уравнений

/ = 8/(/, ф), ф = соо(/) + eg (/, <р)(30.2)

e новых ЯфШенных приобретает вид * ” •'

Л1 = e"+if叶1 (4 屮)「

/ 心=(厶)十м+圾叶 1 (4“ 一 (30.3)

Поэтому .

I4(f)-4(O)|VC即(30.4)

(C — некоторая константа) на интервале времени 0 & f & 1/е. При построении рядов (30.1) предполагается, что (尼s) У= 0 на любом шаге разложений. Поскольку только счетное множество начальных условий является строго резонансным, т. е. таким, что выполняется условие (йсо) = 0 при целочисленных значениях 力,при произвольном выборе начальных условий вероятность попасть в точный резонанс равна нулю. Ценой отбрасывания множества начальных условий меры нуль получим возможность построения решения в виде рядов по степеням е. Построение решений в виде разложений по степеням малого параметра с отбрасыванием резонансных членов применялось Линдштедтом в задачах небесной механики. Однако Пуанкаре показал, что ряды Линдштедта в общем случае расходящиеся при и -> оо из-за того, что (々s), хотя мы исключаем для них возможность обратиться в нуль, могут стать сколь угодно малыми, поскольку множество резонансных начальных условий всюду плотно. Ряды Линдштедта асимптотические. В отличие от обычных сходящихся рядов, которые дают тем более точное приближение при фиксированном е, чем больше л, асимптотические ряды тем лучше приближают решение (при фиксированном и), чем меньше е. Асимптотические ряды не обязаны сходиться, и даже в тех случаях, когда они сходятся, сумма может не совпадать с точным решением. Из (30.4) следует, что при п-^ оо Jn (f) отличается от Jn (0) на величину, меньше чем константа, умноженная на е в произвольно большой степени, на интервале 0 & f & 1/е. В частности, это отличие может быть экспоненциально малым.

Проиллюстрируем метод асимптотических разложений и его точность на следующих примерах.一

Пример I. (Его приводит Пуанкаре в работе [74].) Функция / (х, е) представлена в виде ряда

—ёр -■(30.5)

абсолютно и равномерно сходящегося при | х ] < 1, е > 0. Разлагая правую часть (30.5) по степеням е, получаем двойной ряд

£ £ (一 1)"е"р”，(30.6)

сходимость 1Ё^|К)!Й1PHe является абсолютной. Пусть

'. fN(x，e)= £E(i)"eV^・

Нетрудно убе雕1ПС% что人

〃х, е)—卜(X, е)」L 」

lim^= 0.■

Следовательно, можно найти такое е0 (зависящее от N), что叩口*V%少a,e) отличается от / (х, е) на величину О(£“+1).

Пример 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение

峻事十〃 =0,'(30.7)

где е《1. Будем искать решение этого уравнения в виде раз40М1Ш1Я по степеням е. В результате получим ряд.

и = 0 • в® -р 0 • в + 0 • № + • • • ,(30.8)

все коэффициенты которого равны нулю. Точное решение уравнения (30.7)

〃 =〃о ехp (- 1/%

отличается от сходящегося ряда (30.8) на величину О(ехр (—1/е)) на интервале 0 W f W1/&. Ряд (30.8) хорошо приближает точное решение при малых е на длительном интервале / ~ 1/е н совершенно непригоден для аппроксимации при i > > 1/е.

Определение. Пусть при е = 0 динамическая система интегрируема и имеет семейство интегральных многообразий 8 области D X /?,(?> 0 — некоторая константа. Назовем многообразие М и и D X R асимптотическим порядка N интегральным многообразием, если можно указать такое е0 (зависящее от с и N), что при е < е0 интегральные кривые (р (f; р0, %), q “； р0, %), f) для любых начальных условий р0, %, принадлежащих М, отстоят от М на величину с е* на интервале времени 0 W f & 1/е-

Например, интегральное многообразие, заданное соотношением

Z (亿 q, f;目=吃"，q£0, f £R,

является асимптотическим порядка N, если можно указать такое е0> что

|Z["(/), q(f), f; е] - Г I < с^

при всех е < е0 на интервале 0 & f《 1/е при условии, что Z ["(0), q (0), 0; е] = Г.

Асимптотические ряды (30.1) порождают асимптотические порядка п интегральные многообразия (Jn (/,屮),f), как это видно из (30.3).

Зачастую нас интересует поведение систем на интервале времени, существенно превышающем 1/е. Так, чтобы ответить на вопрос об устойчивости планетной системы, необходимо иметь сведения о поведении интегральных кривых на бесконечном интервале времени. В таких случаях асимптотические разложения отказывают. Расхо-

димость рядов Линдштедта для произвольных начальных условий указывает на то, что кроме строго резонансных начальных условий, при которых (^(о) = 0, имеется еще множество начальных условий ненулевой меры, для которых делители (々з) приобретают сколь угодно малые значения. Идея А. Н. Колмогорова заключалась в том, чтобы отбросить вместе со строго резонансными начальными условиями, мера которых равна нулю, еще и малые окрестности ненулевой меры, например такие, чтобы выполнялись условия

I但3)| = |£①包|>e1々|7,因=£1句，

-—(30.9)

где С и v — константы, зависящие только от числа степеней свободы. Если V достаточно большое число, v > п + 1, то относительная мера множества отбрасываемых начальных условий мала вместе с С. После удаления резонансных областей по мере (30.9) оставшиеся области в фазовом пространстве будут выглядеть как решето со всюду плотным множеством дыр, суммарная площадь которых, однако, относительно мала. На оставшихся множествах начальных условий строятся инвариантные интегральные многообразия. Для этой цели А. Н. Колмогоров указал метод построения инвариантных многообразий путем итерирования замены (29.12)——метод Ньютона в теории возмущений, обеспечивающий ускоренную сходимость. При последовательных итерациях замены (29.12) на первом шаге мы получим гамильтониан в виде

"⑴=%(人)+产也(/1,5)；(30.10)

повторив эту же процедуру применительно к (30.10), найдем .,"⑵="0 (厶)+ ?4"3 (厶，屮2)，

и т. д. Как видно, с помощью получаемой последовательности приближений вместо обычной (30.1) имеем быстро сходящуюся последовательность* 5

J = / + 必式/, ф) + £2Л2 (/, ф) + 84Л3 (/, ф) + ...,

на каждом шаге которой показатель степени малого параметра удваивается.

Мозер применил другой метод построения инвариантных торов, основанный на использовании операции сглаживания на каждом шаге [230]. Метод Мозера применим для рассмотрения не очень гладких (конечно-дифференцируемых) возмущений гНг (р,办

Построенные таким способом интегральные многообразия точно описывают поведение системы для большинства начальных условий и являются приближенными интегральными многообразиями для всех начальных условий. /，

Определение. Назовем интегральное многообразие М cz D X г (г ——интервал [0, т] из R, Z £ г) ^-приближенным для данной динамической системы, если | М — (р (/), q (/)) | < 卩 при всех f £ г, коль скоро I М — (р (0), q (0)) | < р,0, где(х0 > 0 — некоторая константа, зависящая от р, 26.'

Пусть s-мерное многообразие Ms в (2〃 + 1)-мерном расширенном фазовом пространстве задано соотношениями

:审 Zk (р, ^, t) = Wkt Л = 1, 2, ..., 2n — 1 — s

；，(30.11)

方= f(P, % f), 4 = g(z q, /).(30.12)

Многообразие Ms (30.11) является приближенным интегральным многообразием динамической системы (30.12) на интервале г, если справедливо неравенство

ElZ/eRQ； Ро, %), д(/； Ро, %), t] — Wk\< Ц, k

''(30.13)

коль скоро начальные условия р0, qQ принадлежат 卩旷окрестности многообразия в начальный момент:

§|Z& 仇，д。，О) —吃 |<阿.(30.14)

Приближенные интегральные многообразия можно связать с приближенными интегралами динамической системы. Функция Zk (р, % /) является интегралом уравнений (30.12), если

紋’(30.15)

Назовем, следуя Картану [240], функцию Zk (р, q, f) ^-приближенным решением уравнения (30.12) на интервале времени г, если

y|粤十?(粤%十醬gj <"， ，?r・

I(30.16)

Rcjiht -г- протяженность интервала г, то из (30.16) следует оценка

?|ZaW； Ро, %), 9(/; %, 9о),力一Za So, 9о, 0)1 <

$<%т.(30.17)

20 Я. С. Барнсом и О. Б. Лыковой в работе [239] введено определение приближенных интегральных многообразий с условием близости, отличающимся от при

нятого здесь.

丿一

Из (30.11), (30.13) и (30.17) следует, что 2п + 1 —s независимых е-приближенных интегралов Z^ уравнений (30.11) определяют ^-приближенное s-мерное интегральное многообразие М\ причем 卩=(2〃 + 1 — s) 8 при 卩о = 0. Таким образом, (2п + 1 ——s) е-приблилСенных интегралов движения определяют ^-приближенное (卩=(2〃 + 1 — s) £) интегральное многообразие.

С другой стороны, если известно некоторое ^-приближенное интегральное многообразие (30.11), (30.13), (30.14), то о степени сохранения величин Zk при смещении вдоль интегральных кривых уравнений (30.12), т. е. о правой части неравенства (30.17), ничего сказать нельзя. Как видно, величина правой части (30.17) существенно зависит от величин производных функций Zk (р, % ?), определяющих многообразие (30.11).

Возвращаясь к интегральным многообразиям близких к интегрируемым гамильтоновых систем со многими степенями свободы, видим, что в силу теоремы Нехорошева любая интегральная кривая, отстоящая в начальный момент от инвариантного интегрального многообразия на расстояние 60, впоследствии удалится от него не более чем на 6 = 60 + ^ на интервале времени [0, Т], где

Т = & exp [(1/Р)： Р = eG/g, (30.18)

а и & определены соотношениями (29.28).

Следовательно, каждое инвариантное интегральное многообразие является 6-приближенным для динамических систем вида (29.8) или (29.5) на интервале времени (30.18), причем 6》Рь.

Если число степеней свободы п ^ 2 в случае консервативных систем или 几=1 для неконсервативных систем (29.35), то инвариантные интегральные многообразия (Т^, f) делят расширенное фазовое пространство на несвязанные области и каждое из них является 6-приближенным на бесконечном интервале времени, причем 6 = cj £, где с ——константа, зависящая от "о и

§ 31. Системы с медленно изменяющимися параметрами *

Эволюция систем (29.9) определяется слабым взаимодействием е"1 (р,办 которое, будучи малым по сравнению с HQ 仇 q), изменяется во времени (с изменением р (0, g 〃)) с теми же характерными периодами, что и HQ (р, q). Это является причиной возникновения резонансов, приводящих к наиболее существенным изменениям в поведении системы. Существует широкий класс систем, в которые малый параметр, определяющий эволюцию, входит специальным образом:

Н^Н (р, q, к (е/)), р, g£D, (31.1) %», t£R.

Здесь X — набор медленно изменяющихся параметров. ~

Медленность обеспечивается малостью параметра е и понимается в следующем смысле. Если т —— характерное время изменения 尸 н g при фиксированном значении X, то /

Изменение параметров, будучи медленным, не является в общем случае малым, так что за время / 〜1/е гамильтониан системы может заметно измениться.

Предположим, что система (31.1) интегрируема при е = 0 и при всех значениях параметров 入(0), принадлежащих Du так что известны п первых интегралов (呼】,...,W^, параметризующих интегральные многообразия (Л4“ (/), 2), и п циклических координат ((pi, ...

屮J, ф： = Фгэ + G)3・ Достаточно ли этого, чтобы построить (хотя бы приближенные) интегральные многообразия системы с медленно изменяющимися параметрами (е 抬 0), когда условие (31.2) выполнено? Оказывается медленное изменение параметров приближенно сохраняет инвариантные интегральные многообразия на интервале времени f 〜1/е. С этими многообразиями связаны приближенные интегральные инварианты, получившие название адиабатических.

Системы с одной степенью свободы. Рассмотрим гамильтонову систему с одной степенью свободы и медленно изменяющимся параметром Z — Z (е/)« При фиксированном значении 入 существует первый интеграл、

"(Л % А)=%,(31.3)

определяющий фазовые траектории (и интегральные многообразия). Пусть все фазовые траектории замкнуты в области Dg и D, так что в £>ол система совершает периодические финитные движения с частотами s == s (吃)и

2ns = ф —— = ф諫對， (31.4)

Где интегрирование ведется по замкнутой траектории (31.3). Введем на фазовой плоскости систему координат, связанную с фазовыми траекториями при фиксированном значении 九.В качестве независимых переменных выберем Wk и фазу 屮入一циклическую координату на фазовой траектории:

=中歸+ s (步九)九(31.5)

Заметим, что Wk и 屮入 не являются канонически сопряженными координатами. При е 寸=0 замена координат (31.3), (31.5) зависит от времени через параметр X.

Уравнения движения в переменных Wt ф (в дальнейшем будем опускать индекс 入 при этих переменных) приобретают вид

'器' =黑"喻三m(吃中'%)'(3L6)

… 鲁=3(+ J［缶囁+需卜

…" Х^Г今=3”，簿+ 吆”，ф, Q, (31.7)

-，彳：「入 ~^"=еА(т), Л = дК/дг, т = е/,不 (31.8)

/ W=e・ ；(31.9)

Прежде чем приступить к анализу полученных уравнений движения, полезно провести более глубокий качественный анализ изучаемых систем. Рассмотрим фазовые портреты системы (31.3) при различных значениях параметра 入(рис. 37). Ввиду структурной устойчивости гамильтоновых систем с одной степенью свободы (см. § 27) область изменения параметра 入 можно разбить на открытые интервалы структурной устойчивости, такие, что топологическая структура фазового портрета (31.3) внутри интервала не изменяется. Структурно не-

устойчивым системам соответствует дискретное множество значений меры нуль. Изменение топологической структуры связано с изменением числа особых точек (центров и седел) , координаты которых — вещественные корни уравнений

Р =—Р =—d"(p, g,九)d"(p, g,九)=0;=0;д一 - — u,д一 - — u,

Р =—

Р =—

d"(p, g,九)

d"(p, g,九)

=0;

=0;

д一 - — u,

д一 - — u,

а тип точки определяется топологией фазовых траекторий в ее окрестности. В окрестности центра выполняется соотношение

「\。2〃/〃/ @2〃 \2

.■ у(%w丿 >0

и фазовые траектории являются эллипсами, а в окрестности седловой точки (q, р) < 0 и фазовые траектории локально выглядят как семейства гипербол.

На рис. 37 изображены фазовые портреты некой системы при четырех различных значениях параметра Z. Топологически эквивалентными являются портреты при Z == Zo и Z = Xlt а также при Z = Z2 и Z = %з, однако портреты при 入 =储 и 入 =Z2 не эквивалентны топологически.

С наличием седловых особых точек связаны важные свойства системы. Во-первых, они св и детел ьств у ют о существовании семейств фазовых траекторий различной топологии, разделяемых сепаратрисами, проходящими через седла. Во-вторых, частоты обращения по фазовым траекториям в окрестности сепаратрисы тем меньше, чем ближе проходит траектория к седловой точке. На самой сепаратрисе частота обращается в нуль. Для частоты s (呼)при W Ws можно получить из (31.4) выражение, подобное (29.31):

(Г)«юГ!— Q(rs)ln 力)『，

:(31.10)

где ①°, С (1FJ —— некоторые константы.

Из соотношения (31.10) видно, что в экспоненциально узкой по W области в окрестности Wst а именно при

|Уфехр(—平)，⑶・Н)

критерий (31.2) нарушен. Поэтому, если в процессе эволюции системы при £ # 0 фазовая точка проходит вблизи сепаратрисы, малый параметр задачи исчезает. Эволюция системы при наличии переходов фазовой траектории через области (31.11) рассмотрена в п. 3,

а в этом пункте ограничимся изучением таких эволюционных процессов, на всем протяжении которых условие медленности (31.2) выполнено.

Полезно уяснить характер эволюции системы при медленном в смысле (31.2) изменении параметра. Пусть в начальный момент 入(0) = Хо, р (0) = ро » 9 (0) = ‘о (рис. 37) фазовая точка стартует с фазовой траектории F = Fo. В силу условия (31.2), прежде чем параметр 入 заметно изменится, фазовая точка совершит много полных оборотов по траекториям, мало отличающимся от Н (р, q, Zo) = =Wt так что фаза много раз пройдет все значения от 0 до 2л. Поэтому эволюция системы не чувствительна к изменениям фазы, в частности к выбору начальной фазы, и должна определяться эволюцией, не зависящей от фазы динамической переменной. Другими словами, нечувствительность медленной эволюции к быстрым вращениям фазы означает, что можно ввести динамическую переменную/ = =Z (1Р\ ср, Z), такую, что ее изменение не зависит от угловых переменных (во всяком случае с точностью более высокой, чем е), т. е.

-^- =£h (Z, Z) + О (еп), /i》2.(31.12)

При е = 0 независящей от ф переменной является W. При е * 0 в силу (31.6) W испытывает изменения, зависящие от ф. Разобьем правую часть (31.6) на две части:

产时偿①，九)=仔(吃入)+才"，5%)，(31.13)

где ."

'.2Л'';

"呼，九)=备『/ (吃(p,九)如

0

Первое слагаемое в правой части (31.13) приводит к независящим от ф изменениям W, а второе — со средним значением, равным нулю ——к малым осцилляциям К. Действительно, изменения W за период под влиянием этого слагаемого будут

「=0(吃(31.14)

Если ввести в качестве динамической переменной среднее значение W за период Т = 2л/ю (W)

5/2

{ ^(0 dt,(31.15)

/-Т/2

то для Z из (31.13), (31.14) вытекает уравнение вида (31.12):

务=守(Z, %)+ О d).(31.16)

Сравнивая (31.16) и (31.6), видим, что замена (31.15) эквивалентна замене

•■ Z=W — \ f (W, ф^ Z) d<p\(31.17)

/' у"Фо宀

в которую время явно не входит.

Пусть Z (/,入，呼о)——решение этого уравнения с начальными условиями Z (0) = Wo и W (/,入，呼о) — решение уравнения (31.6) с теми же начальными условиями. Тогда с учетом (31.14):

I 呼伉儿呼J —Z& 儿 r0) I < Се, 0&/&1/“

где С — некоторая константа. Следовательно, уравнение

Я(р,外 ％) = Z(f,入；％)(31.18)

определяет асимптотическое интегральное многообразие первого порядка.

Разделение переменных на быстро и медленно изменяющиеся с использованием усреднения по быстрым переменным в уравнениях движения составляет основу метода усреднения, широко применяемого в механике и физике издавна (см. [242]).

Заметим, что вид зависимости параметра от t здесь несуществен,, важна только медленность изменения Z. Столь большая общность. оплачена потерей точности: можно рассчитывать только на построение асимптотических инвариантных интегральных многообразий, высокого порядка. Метод асимптотических разложений применительно к уравнениям вида (31.6) — (31.9), с помощью которого решается эта задача, хорошо развит в работах Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского (см. [237, 238]). Часто отмечается, что медленность не всегда гарантирует существование приближенных инвариантных многообразий на большом интервале времени, при этом приводится в качестве примера случай, когда X изменяется медленно, но периодически с частотой С, соизмеримой с частотой невозмущенной системы з:

з(%) = ^(31.19}

(k = 1/е 一 целое число).

В этом случае происходит явление параметрического резонанса, однако очень высокой кратности. В случае линейных систем W экспоненциально увеличивается, однако с очень малым инкрементом. В нелинейных системах параметрический резонанс быстро расстраивается из-за изменения частоты с изменением 呼.И в том и в другом случае можно построить асимптотические инвариантные многообразия и даже приближенные интегральные многообразия на всей оси —■ оо < / < оо (см. § 29).

Построение асимптотических инвариантных интегральных многообразий сколь угодно высокого порядка для уравнений вида (31.6) — (31.9) (не обязательно гамильтоновых) проводится по сле-

дующей схеме 鹦.Будем искать замену переменных

Z=Z(W\ ф, X, £),屮=屮(呼，ф, X,唸 такую, что .

/嚼-=£九(Z, %, е),窑• = з (Z, %, e), (31.20)

в виде асимптотического ряда

Z^r + EZ! (Г, ф, K) + ^Z2 (Г, ф, Z)+,

屮=中+ £%"，5入)+ &2%(弘中，九)+..•.

(31.21)

Функции Z (呼，ф, Z, £)и 屮(呼，ф,入，£)периодичны с периодом 2л no tp, причем переменная《，как и ср, циклическая: фазовые точки с отличающимися на 2л координатами 屮 совпадают.

Замена (31.21) условиями периодичности и уравнениями (31.20) определена неоднозначно. В частности, добавление к Z и 屮 произвольных постоянных ничего не изменяет. Кроме того, любая функция от Z (если замена (31.21) найдена) удовлетворяет уравнению вида (31.20) и представима в виде разложения (31.21). Удобно на Z и 巾 наложить дополнительные требования:

Z”，0, 3 £)= Г,屮(吃 0,儿 £) = 0, (31.22)

фиксирующие новую систему координат.

Подставляя (31.21) в (31.20) с учетом (31.6), (31.7), получаем систему уравнений

一、£ 話 f +署 ® + £g) = £九(Z, %, е), (JI.NJ)

M+=e)-

^UpoHHTerpi^y^f эти уравнения no q)c начальными условиями (31.22):

二z = r + ej h(Z, X, е)一~^f(W, ^, X) x

J gо

" I 」 X (O {W, Л) + eg (F, <PZ, X) —W + &U (IF, ф, X, fc), 二屮二 J|Q(Z, X, e)--^-ef (Г,(p\ X)j x -

二二• x蛇(31.24)

'к s(% 九)十 £g”，g 入)'

28 В работе [237] для уравнений вида (31.6) — (31.9), названных системами с быстро вращающейся фазой, подробно изложен метод Крылова — Боголюбова применительно к таким системам. Здесь мы будем следовать эквивалентной, но несколько видоизмененной Крускалом [10] схеме асимптотических разложений для систем с быстро вращающейся фазой.

Из периодичности Z и *ф по q> вытекают соотношения

2лj 卜-孫/)=。,2лj 卜-孫/)=。,(31.25>(31.25>@屮ж@屮жdq/⑴十8gdq/⑴十8g=2л.=2л.

2л

j 卜-孫/)=。,

2л

j 卜-孫/)=。,

(31.25>

(31.25>

@屮

ж

@屮

ж

dq/

⑴十8g

dq/

⑴十8g

=2л.

=2л.

Системы уравнений (31.24), (31.25) пригодны для построения рядов (31.21) и функций h (Z, Z, е), С (Z,儿 е). Будем искать функции h и Q в виде разложений по степеням е:

(31.26>(31.26>h = /l(j + £用1 + Е 统2 + ♦ • ♦,С == (0 + £& 十 82Q2 + ・..

(31.26>

(31.26>

Подставляя (31.21), (31.26) в (31.24), (31.25), можно порядок за порядком восстановить все члены асимптотических разложений, пользуясь уравнениями (31.24), (31.25) как рекуррентными соотнс* тениями. При этом уравнения (31.25) удобно несколько видоизменить, подставив в них вместо Z его выражение через 步 и 屮(31.24):

?Л "2л

{箫 f-

.•оо

一九(呼+叫儿8)一九修入, 8)n 一 如

(31.27) 2л2л,

о0

•「 厂[а(呼 + 8a %, 8)— а(呼，入，£)R 肉/ .

耳㈣удю уедаться, что

T「/i0 (Z) = ^ p (Z, Ф, ^d^^UZ, ^), (31.281

0

Z© =步一J7 ”，U，簿 dq/.

0

Сравнивая (31.28) с (31.16), (31.17), видим, что метод усреднения действительно дает первые члены ряда асимптотических разложений. В этом приближении

Qq(Z, X) == cd (Z, X).(31.29}

Остальные члены рядов (31.21), (31.26) вычисляются следующим образом. Обозначим через Z^k\ 屮(”用伍)и ◎肉 ряды (31.21), (31.26〉

с отброшенными слагаемыми порядка efe+!. Подставляя эти функции в правые части уравнений (31.24),(31.27), находим искомые функции следующего приближения, т. е. найдем Z仅+",屮伏+°,九但+“，Q伏+°. Поэтому знание Z(°),屮叱九叫 Й° (31.28), (31.29) позволит нам вос- -становить все члены асимптотических разложений. При разложении ■соотношений (31.24), (31.27) в ряды по степеням е до 左-ro порядка требуется дифференцируемость входящих сюда функций до 伐 + 1)-го порядка. Это означает, что Н (р, q,九)должна быть бесконечное 'число раз дифференцируемая функция своих аргументов, равно как и 九(т)—достаточное число раз дифференцируемая функция т. При этих условиях ряды (31.21) могут быть обращены, т. е. Ц/ и ф можно представить в виде рядов по степеням е с коэффициентами, ■зависящими от Z 口屮.Для этих целей можно воспользоваться соотношениями (31.24) как рекуррентными, считая функции 九(Z, %, е) и Й (Z, %, е) известными. Заметим, что при малых е отображение, •определяемое рядами (31.21), является близким к тождественному гомеоморфизмом. Однако это не означает, что системы Н (pjq,九) структурно устойчивы (они структурно устойчивы при £= 0 почти при всех 九).Найденный нами гомеоморфизм ставит в соответствие интегральным многообразиям невозмущенной системы асимптотиче- •ские интегральные многообразия возмущенных систем (е ^= 0). Асимптотические интегральные многообразия возмущенных систем определены соотношениями (31.20), (31.21). Действительно, Z优)， “仅)удовлетворяют уравнениям

.W = e/i(i)(Z(i),九，£)+0(/+1), (31.30)

• ”J^_ = Q(6(z(" Z, £)+ оЦ. •(31.31)

Решение уравнения (31.30) определяет асимптотическое инвариантное йнтегральное многообразие 左-ro порядка

Z肉(取，屮，儿 £)= Z^(f; Z。).(31.32)

Обращая замену Z = Z侔)(取，<p, Z, e),屮=屮肉(Wt 屮，Z, e), получаем из (31.30), (31.31) систему уравнений

、考上=Е尸i(Y，* 儿)，(31.33)

考上=3 (W{k\ X) + 也肉 "？ *),m 8).

Индексы у переменных W\ 屮 означают, что они получены обращением замены 左-ro приближения. Очевидно,产(取，ф,儿 e), gk (取， <p,儿 £)отличаются от / и g в уравнениях (31.6), (31.7) слагаемыми порядка еА, т. е..

е| 产一儿 e|g 雨一g| 〜£屮(31.34)

ПоэТОйу

严(Л %, Фо) - ^ 側(/,恥，Фо)1 = 0 (J),

О《1/8, (31.35) и, следовательно, (31.32) действительно определяет асимптотические интегральные многообразия 龙-го порядка.

Поскольку замена (31.21) может быть построена во всех порядках, уравнение

Z”，ф,九)= Z(f, Z°), (31.36) где Z (/, Zo)——решение уравнения (31.20), определяет асимптотическое интегральное многообразие бесконечного порядка. Интегральная кривая, начинающаяся на многообразии (31.36), отклоняется от него на интервале времени 0 ^ / ^ 1/е не более чем на экспоненциально малую величину.

Этим мы завершаем построение асимптотических инвариантных интегральных многообразий для гамильтоновых систем с одной степенью свободы в областях фазового пространства。。入，свободных от седловых особых точек и сепаратрис. Как видно, цилиндрические интегральные многообразия (см. рис. 21) при медленном изменении параметров, деформируясь, сохраняются с высокой точностью на длительном временном интервале (рис. 38).

В заключение отметим, что изложенная схема построения асимптотических интегральных многообразий применима к произвольной динамической системе, уравнения движения которой представимы в виде системы с некоторым набором w = (wlt ...» 叫)медленных переменных и одной (циклической) быстрой, причем при е = 0 эта система приобретает вид

5=0, 6 = 3 (吼 а при &方 0

血=£/ (叫 ①)，①=(о (⑪)+ £g (wt ①)， (31.37) где f и g ——периодические с периодом 2л функции от ф.

Построение замены Z = Z (⑪，屮)，屮 = 屮(wt ф), Z = Zi, ...» Zn, приводящей уравнения (31.37) к виду

Z = e/i (Z),屮=Q (Z), (31.38) проводится так же, как и в случае уравнений (31.6) —— (31.9). Отличительная особенность системы (31.6) — (31.9) заклЮчабтс1я в том, что два последних уравнения имеют требуемый вид (31.38) и необходимо найти только две новые переменные, через которые и два первых уравнения (31.6), (31.7) приводятся к виду (31.38).

Приближенные многообразия на бесконечном интервале времени. Асимптотические интегральные многообразия, которые можно построить при медленном и гладком, а в остальном — произвольном изменении параметра Z, описывают поведение интегральных кривых на большом, порядка 1/е, интервале времени. В ряде важных случаев

дополнительные сведения о характере зависимости Z (т) дают возможность построить приближенные интегральные многообразия на более протяженном интервале. Так, если Z (т)——периодическая (или условно-периодическая) функция, то почти все расширенное фазовое пространство заполнено инвариантными интегральными многообразиями периодическими (или условно-периодическими) по / в соответствии с обсуждавшимся в § 29, п. 4 обобщением теоремы Кол

могорова. Из-за большого различия частот невозмущенной системы и параметра X резонансы в этой системе имеют высокую кратность, I 龙 I 〜1/е, и поэтому объем резонансных областей невелик：九々〜 〜exp (— c/e), 3取 ~ 磁.Таким образом, в этом случае существуют заполняющие почти все расширенное фазовое пространство инвариантные многообразия, с высокой точностью приближающие интегральные кривые при произвольных начальных условиях на бесконечном временном интервале.

В другом часто рассматриваемом случае параметр Z изменяется медленно, монотонно на бесконечном интервале времени от значения 九 1 до значения Z2 : Z (/ -> ± оо) = Zlf2. Как правило, предполагается, что эта зависимость достаточно гладкая. Вследствие того что параметр Z изменяется на конечную величину А九=| 储一Z21 за бесконечное время ——средняя скорость изменения Z равна нулю. Монотонность изменения 九 исключает возможность заметного резонансного воздействия на систему, и построенные по изложенной в предыдущем пункте схеме интегральные многообразия Z (№, ф,九)= = Z (/; Zo) с экспоненциальной точностью приближают истинные интегральные многообразия, совпадающие с приближенными при / —> — ОО：

lim I 取(Z,屮)一昕(f) I < С exp (— CJ^

Эта оценка получена в ряде работ [243—245], а в работе [2451 получен также предэкспоненциальный множитель для систем довольно общего вида.

Переход через сепаратрису. Мы видели (см. § 29), что в окрестности сепаратрисы движение системы весьма чувствительно к влиянию слабых возмущений. Это, в частности, приводит к появлению областей стохастичности в окрестности сепаратрис, а в случае систем с медленно изменяющимися параметрами вблизи сепаратрис нарушается условие медленности (31.2), что делает неприменимым развитый выше метод асимптотического описания эволюции системы в этих областях.

Асимптотические инвариантные интегральные многообразия можно построить всюду в D X D X R, кроме областей (31.11), где усло-

вие (31.2) не выполняется. При этом построенные многообразия являются локальными. Локальными называются интегральные многообразия, определенные в некоторой открытой области расширенного фазового пространства (см. ⑻).Например, кусок интегрального многообразия является локальным интегральным многообразием. Интегральная кривая, лежащая на локальном многообразии, в процессе эволюции достигает окрестности сепаратрисы (31.11). Проведя в этой области, где инвариантные многообразия разрушены, некоторое время, интегральная кривая покинет ее и перейдет на локальное многообразие, принадлежащее другому семейству и имеющее другую топологию. К области (31.11) примыкают три семейства интегральных многообразий различной топологической структуры. Рассматривая положение фазовой точки р (/), q (/) в мгновенной системе координат (取储 q)x), видим, что фазовая точка при переходе пересекает невозмущенную сепаратрису

Н(р, q,» = Ws8 三 Н(р“ q$,N (31.39)

(% q§ — координаты седловой точки).

На рис. 37 изображена координатная сетка (31.3) и одна из фазовых точек р (/), 7 ⑴ в различные моменты времени. Между моментами 勾 и /3 фазовая точка пересекла сепаратрису (31.9) и попала на интегральное многообразие другой топологии. Заметим, что при е у= 0 (31.3) не определяет фазовые траектории, ветви сепаратрисы расщепляются (см. § 29, п. 3) и (31.39) — невозмущенная сепаратриса, лежащая в области разрушения инвариантных многообразий (31.11).

Впервые с переходами медленно эволюционирующей системы через сепаратрису столкнулся Эренфест, исследовавший в связи с проблемой квантования уравнения

х + Z (е/) sin % = О, описывающие колебания физического маятника переменной длиньь колебания электрического диполя в медленно изменяющемся внешнем поле и т. д. (см. § 19). В этом случае переход через сепаратрису

｝炉一入cos % +入=0

означает переход от вращательного движения к колебательному. Описание подобных переходов, часто встречающихся в различных задачах физики, долго оставалось неясным и, например, в работе [12] отмечается как одна из нерешенных проблем. Сокращенное описание переходов через сепаратрису (см. § 31, п. 4) различных медленно эволюционирующих систем развивалось в работах [203, 246—248]. Численными методами проблема изучалась в работах [249, 250]. В работе [9] исследовалась структура интегральных многообразий в переходной области. Эта задача рассматривается и в настоящем пункте. Как будет видно, в области (31.11) можно построить методом асимптотических разложений локальные по фазам 屮

интегральные многообразия, сшивающие инвариантные многообразия различной топологии, примыкающие к области (31.11). Это определяет эволюцию системы при переходе через сепаратрису почти для всех (исключая множество экспоненциально малой меры) начальных условий.

Чтобы глубже понять трудности описания эволюции системы в переходной области, рассмотрим поведение интегральных кривых в ней. Будем искать решения уравнений (31.6)——(31.9) в области (31.11) в виде разложения по степеням /. Вместо W удобно ввести переменную а = W ——Wst для которой из (31.6) вытекает уравнение а = е/ (Ws + а, ср» X, £)—ef (WSi 恥，儿 е),

(31.40) где 屮$ —— угловая координата седловой точки.

Снабдим переменные а и ср индексами i = 1, 2, 3, нумерующими топологически различные семейства фазовых траекторий, разделяемые сепаратрисой. Как видно из (31.11), нарушение условия медленности происходит в области-*

丿)< 明=I W5 exp [— Q")(吃)间 |.(31.41)

Из (31.7) — (31.9) и (31.40) получаются решения в виде рядов по степеням / — f$), f『一момент пересечения траекторий границы области ⑶.41):

а“)一 а$)= е « -限[/(歴)，*, Zs, e)-

—f (取，屮？，統，e)] + 0 (e2), Zs = Z (Q, % = %,

(31.42) *一明=£(/一印)g"s, №,з，8)+0 (e2), 九—九о = £ (/ — /$") А (%),

T — to = £ (/ — /*),

где ts ——момент, в который W (f) = Ws (момент пересечения фазовой точкой сепаратрисы). Из (31.42) следует, что от а$)до 0 (или от 0 до а『)) величина а") изменяется за промежуток времени

а卅(a*, 耍一■咽——,

(31.43)

который экспоненциально мал вместе с а$)(31.41), если только 屮 не слишком &Инзко к 伙；Af“)перестает быть малым, когда

；「mO-MZLWsexpl—Q (吃)/哪読)-：

(31.44)

Если исключить из рассмотрения все интегральные кривые, которые проходят через область (31.41), (31.44), фазовый объем которой

примерно равен 2е-1Г?ехр [-:

二 2Q”"叫⑷/0(p)%L 义 X〃Ps, %；%，R),‘心

где J — якобиан перехода от p, q к W, ф, то для всех остальных интегральных кривых в переходной области можно воспользоваться решениями (31.42).

Решив задачу о сшивке почти всех интегральных кривых в пе

реходной области, поставим вопрос шире: нельзя ли сшить инвариантные интегральные многообразия различной топологии, примыкающие к исходной области? Из проведенного выше рассмотрения ясно, что сшивку многообразий, как и сшивку интегральных кривых, не удается осуществить в малой окрестности седлоВой точки (31.44), поэтому сшивающие многообразия могут быть только локальными по q)(^. Ситуация здесь напоминает построение инвариантных многообразий систем (29.9) (см. § 29, 30), которое удается провести только после исключения из рассмотрения резонансных областей. Чтобы приступить к сшивке интегральных многообразий в переходной области (31.11), необходимо ввести удобную для этого систему координат. При наличии нескольких семейств различной топологии переменные (W,(р(/)) связаны с каждым из них. Переменная W изменяется непрерывно при переходе от траектории к траектории, а угловые переменные 屮⑴ рассогласованы. В качестве одной из семейств координатных линий оставим уровни постоянной энергии Н (р, q,九)— =吼 а для фаз■

необходимо провести согласование, чтобы значения изменялись непрерывно при переходе от одной фазовой траектории к другой вдоль линии постоянной фазы. Это можно сделать следующим образом. Пусть 化")—топологически различные семейства фазовых траекторий (31.3) (рис. 39). Проведем гладкие линии OjS, O2S, соединяющие центры 01 и 02 с седловой точкой S, а также кривую AS, пересекающую фазовые траектории семейства ^(3). Фазы 屮⑴，①‘刀 и ср°) будем отсчитывать от линий OjS, 02s и AS в направлении движения вдоль фазовой траектории (на рис. 39 показано стрелками). Согласование фаз после этого достаточно провести на сепаратрисе, которую можно представить в виде суммы двух ветвей.

化3 (%, О》=处(吃，<р(1)) + 纥”S, <Р⑵).

При обходе левой ветви 化i <р⑴ изменяется от 0 до 2л, a q)<3) — от О До некоторого значения <р£). При обходе правой ветви <р()= =0 + 2л, а 屮⑶=屮，)+ 2л. Поэтому согласовать фазы удобно следующим образом:

离寸*限）.离寸*限）.(31.45)(31.45)2л /з) (2)

离寸*限）.

离寸*限）.

(31.45)

(31.45)

В результате получим удобную для построений координатную сетку (Wt 屮)，покрывающую интересующую нас область плоскости (р, д).

Приступим теперь к построению локальных по 屮 вне области (31.44) интегральных многообразий в переходной области. Для этого удалим из рассмотрения участок фазовой плоскости, определяемый условиями (31.41), (31.44) (на рис. 40 он заштрихован), а в остальной области (31.41) будем искать замену

2 = 5(取，中)，w = G(取，中)，(31.46)

такую, что уравнения (31.6), (31.7) переходят в уравнения

5=屍(2, X), Q = 0(2, Z).(31.47)

Выберем начальные условия, фиксирующие начало отсчета Z и 屮:

2(弘磁)J) =2”，碎，z)= г, (31.48)

Q(Г,砂，X)= <pp G”，О*, Z)=屮『， где

.Ф^ = e'1^ exp [- Й(1) (Г5)/е] I df/d^ Г1,

、(31.49)

，Ф^ = 2л — ^Ws exp [— Й(2)(rs)/e] | dfld^2} f1

—граница области (31.44).

Далее, используя (31.46) — (31.48), по аналогии с (31.24) по

лучаем

(31,50)

2中S)《 屮")& (piij=2n—m".

Здесь.

篇力1畋篇力1畋dqдН/дрdqдН/др叫,硏(31.51)叫,硏(31.51)

篇力1畋

篇力1畋

dqдН/др

dqдН/др

叫,硏

(31.51)

叫,硏

(31.51)

—промежуток времени, за который фазовая точка проходит дугу (础，中間).

Аналогичные уравнения (они получаются из (31.50), (31.51) заменой верхнего индекса 1 на индекс 2 у 屮，(о и Т(2)) можно выписать и в окрестности правой ветви сепаратрисы Ls.

Вместо условий периодичности (31.25) из (31.50) имеем .

i 卜一备力一^-=z(“)一% '

』1, 2,广(31.£Й

ТЕ—需4<^н涼“碘「

，'(31.526)

Как и прежде, будем искать 2,屮，儿 Q в виде формальных разложений по степеням е. Замечая, что величина 屮伊 экспоненциально мала по £, разлагаем правые части уравнений (31.52а), (31.526) в ряды по е и получаем 0 в правой части (31.52а) и 2л в (31.526). С той же точностью при вычислениях пределы интегрирования в (31.50) можно заменить на 0 и 2л.

Существенное отличие уравнений (31.50) —— (31.52) от (31.24), (31.25) заключается в том, что здесь со (取，九)не обращается в нуль при стремлении W -> 取$, в отличие от со (历,九).Возможность такого видоизменения достигается в результате требования, чтобы фазовая траектория системы не попадала в область (31.41), (31.44), т. е. в результате исключения из рассмотрения части интегральных кривых.

Уравнениями (31.50), (31.52) следует воспользоваться как рекуррентными соотношениями для вычисления Z, «,江 6 в виде рядов по степеням е, положив в нулевом приближении

(31.53)(31.53)Z — W у Й =(о.

(31.53)

(31.53)

Повторяя далее все рассуждения, изложенные в § 31, п. 1, следующие после уравнений (31.25), убеждаемся, что уравнения (31.50) —

действительно приводят к построению локальных по 屮 асимптотических интегральных многообразий произвольного порядка по е.

Нетрудно убедиться, что построенные таким образом локальные многообразия действительно гладко сшивают инвариантные многообразия, примыкающие к переходной области. Для этого будем считать (р$'“ зависящими от Ц/ и быстро стремящимися к нулю вне области (31.41) функциями. При стремлении фо,2) к нулю(о")стремится к (о“)и уравнения (31.50) —— (31.52) переходят в уравнения (31.24), (31.25). При этом Z в областях 化i и ^2 переходит в Z, а в области 化з локальные интегральные многообразия Z сшиваются, образуя инвариантное относительно поворотов по 吸 многообразие.

На рис. 41 показаны локальные по W многообразия из семейств £")и £(2), сшитые локальными по 屮 интегральными многообразиями R)и 2⑵ в переходной области (на рисунке они заштрихованы). В области 化з многообразия 2")и 2(?)сшиваются и переходят в инвариантные. На рис. 41 затемнена удаленная область, ограниченная условиями (31.41), (31.44). Эволюция попадающих сюда с Z°‘ интегральных кривых не поддается описанию развиваемыми здесь методами, но доля таких кривых экспоненциально мала. Показаны две интегральные кривые, переходящие в процессе эволюции с Z©) на различные локальные инвариантные интегральные многообразия Z⑴и Z⑵.

Сокращенное описание эволюции. Вероятности переходов. Мы убедились, что, попадая в окрестность сепаратрисы невозмущенной системы, интегральная кривая возмущенной системы совершает переход на одно из соседствующих семейств инвариантных интегральных многообразий. Поскольку вблизи седловой точки сходятся многообразия трех семейств 幺⑷，покидая одно из семейств, интегральная траектория (в зависимости от значения начальной фазы и характера изменения параметра 九)может перейти на многообразие одного из двух других семейств 化").Уравнения (31.20) и (31.47) описывают с достаточной точностью эволюцию интегральных кривых, причем одна из переменных (Z и Z) является медленной, а другая (屮 н 屮)——быстрой. Зачастую реализуются ситуации, когда нас не интересует изменение фазы 屮 или когда мы не располагаем сведениями о ее начальном значении. Наконец, часто встречаются ансамбли большого числа однотипных систем, для которых задается только функция распределения начальных значений фаз и энергий, и существуют процессы, сравнительно быстро перемешивающие фазы без существенного изменения энергии каждой из систем. В таких случаях удобно прибегнуть к сокращенному описанию эволюции системы, исключив из рассмотрения уравнения для быстрых фаз,

т. е. сохранив только первые из пар уравнений (31.20) и (31.47):畸

-J~=№(Z, 2，, I 取一取 s|>%,

(31.54)через сепарат- переход инте(31.54)через сепарат- переход инте普=№(么D , 1取一吃|

(31.54)

через сепарат- переход инте

(31.54)

через сепарат- переход инте

При переходе рису совершается

гральной кривой с многообразия одного семейства на многообразие какого-либо другого семейства, и, чтобы узнать, какого именно, необходимо знать значение фаз в момент перехода. Поэтому сокращенное описание (31.54) замкнуто (т. е. не требует привлечения дополнительных сведений) только до момента перехода. Чтобы замкнуть систему уравнений (31.54), необходимо ввести интегральную величину, не зависящую от фаз и зависящую только от Z, определяющую эволюцию системы в переходной области. Такой величиной яв

ляется вероятность перехода интегральной кривой с многообразия Z(" на многообразие Z优)при достижении переходной области. Вероятность Wik (Z)——это относительная мера всех начальных условий на Z"), приводящих траекторию на многообразие Z(灯 при пере

сечении сепаратрисы.

Введение вероятностей переходов в окрестности сепаратрисы при сокращенном описании медленно эволюционирующих систем применялось в работах [203, 246——249, 251—253]. Подсчет вероятностей, как относительной меры начальных условий, приводящих систему в то или иное конечное состояние, для рассматриваемых здесь систем проводится следующим образом. Рассмотрим сечения интегральных многообразий (Z⑴(/; Zo), f) плоскостями / = const в два близких момента времени / и / + Д/ (рис. 42). Пусть /? — фазовый объем, заключенный внутри сепаратрисы:

•f pdq,辞=2")(吃，ф, X).'

Несмотря на то что 2? не определена при 屮⑴，близких к(р£), будем пренебрегать экспоненциально малой долей начальных условий и замкнем контур интегрирования 2⑴ в малой окрестности седловой точки. Интегрирование в (31.54) ведется по левой (правой) ветви сечения при вычислении /Р (/§)) и по обеим — при вычислении /，). Выделим некоторый участок фазовой плоскости М% включающий в себя сепаратрису. Под действием оператора сдвига вдоль, траекторий он перейдет в Ml^t в момент f + А/. Пусть G0 и М?,

/^•Л^^5g +4±)「二 I = 1, 2, 3 — области в м% за-

，полненные траекториями 纷。

岁《〃//~® Оневидно, фазовый объем ра”

4 I / 丿父^ /4 вен сумме фазовых объемов об- у пастей G「：

m)/ f dpdq =

'•з3-

=N dpdq = £ №").. 「 .(31.55)

С др押M ет^юны,

产2)(G(丿⑵)=/?0(/)..(31.56)

В сиЛу теоремы Лиувилля (/ (腑)一интегральШй инвариант)

'/ (М?+П = / (М力三•

Отсюда с ywtOM (31.55), (31.56) имеем равенство

/?%) +八 2)(f) + W(f)= /,(31.57)

означающее, что сумма площадей областей G")в процессе эволюции не изменяется. Изменение площади /⑴(/) означает, что фазовые траектории покидают эту область, если 川)< 0, или переходят в нее с течением времени с других областей, если /")〉0. Очевидно, изменение площади t-й области за промежуток времени Д/

Пусть, например, /£)уменьшается, /?)< 0, так что фазовые траектории, совершая переходы через сепаратрису, покидают G⑴ и переходят в G(2)и G⑶.Вероятность перехода из G⑴ в G⑵ или G⑻ естественно определить как отношение меры всех переходящих в G⑵(g($) траекторий к мере всех покидающих G⑴ траекторий:

△/§)/(2)(/)

恥2(/)=у^ = ・屮 ，

ss '(31.58)

小a№)*)(/)

W13 (г) = 77Т— = —Г7П~— •

，|Д/(|)||个)(/)1

Из (31.⑺ следует, что"

个）十成）+产）=0.

(31.59)(31.59)7（2）〃）7（2）〃）夕夕一吋（/）*（/）一吋（/）*（/）С учетом этого соотношения выражения для вероятностей переходом, (31.58) приобретают видJ

(31.59)

(31.59)

7（2）〃）

7（2）〃）

夕

夕

一吋（/）*（/）

一吋（/）*（/）

Нетрудно убедиться, что wi2 + ©13 = L

Построение вероятностей переходов по указанной схеме замыкает уравнение сокращенного описания (31.54). Заметим, что при вычислении вероятностей мы пренебрегаем экспоненциально малой долей интегральных кривых, но это приводит лишь к малым погрешностям в предсказаниях.

В качестве примера рассмотрим эволюцию движения частицы в потенциальной яме с двумя минимумами:

н (р, 7, К) =p2 + v(7，X),

профиль которой медленно изменяется (X = X (е/)) [8J. При е = О система имеет три семейства фазовых траекторий 幺⑴，разделяемых сепаратрисой (см. рис. 29, 35). Пусть параметр X изменяется так, что области G⑴，G⑵ расширяются. В этом случае интегральные кривые с Z⑶ переходят на Z⑴ и Z⑵.На рис. 43 изображена область фазовой плоскости в некоторый момент времени, на которой заштрихованы те участки G⑶，с которых фазовые траектории переходят в G⑵(а проходящие через них интегральные кривые с локальных многообразий Z°)переходят на многообразия Z⑵). С незаштрихо- ванных участков G⑹ фазовые траектории перейдут в G⑴.Линии, разделяющие заштрихованные и незаштрихованные участки, являются ветвями расщепленной в результате медленного изменения параметра X сепаратрисы (ср. с картиной расщепления под влиянием быстрого, но малого по величине периодического возмущения, см. рис. 34). Такой характер расщепления сепаратрис также изучал В. К. Мельников [2341.

(31.60)(31.60)Вероятности перехода определяются выражениями вида (31.58)

(31.60)

(31.60)

7「十宵7「十宵叫1= -уЩ-

7「十宵

7「十宵

Структура интегральных многообразий показана на рис. 44, где на Z⑶ заштрихованы те участки, с которых интегральные кривые переходят на Z⑵. .…二…

В качестве примера сокращенного описания эволюции при переходах через сепаратрису укажем также рассмотренную в § 36 задачу о движении заряженных частиц в поле волны с медленно изменяющимися параметрами.

Системы с числом степеней свободы больше единицы. Результаты, изложенные в предыдущих пунктах, легко обобщаются только на случай систем, которые представляют собой совокупность систем с одной степенью свободы, описанных в п. 1:

Н(р, q, » =半屯3, q“ *).(31.61а)

ВкШЯЮне слабого взаимодействия подсистем

'「h = hО(p, % 儿)+ N"1(", " X), 1 = X(e/)

; 工了 ij (31.616)

(здесь 卩——малый параметр и Яо ——гамильтониан вида (31.61а) заметно усложняет общую картину поведения интегральных кривых, изученную при е = 0,卩片 0 н при е 片 0,卩=0. При е == 0 все интегральные кривые лежат на слегка деформированных (величина деформации порядка 卩)торах. Возмущения интегральных кривых в резонансных областях оцениваются соотношениями (29.26) — (29.28) порядка рЛ Частоты условно-периодического движения на инвариантных торах 仰(7,九)несоизмеримы. Пусть теперь е 片 0, так что параметр X, а вместе с ним и частоты ①,(/, X) медленно изменяются со временем. При этом система проходит через резонансные области (они всюду плотны), так что интегральная кривая совершает топологические перестройки, аналогичные тем, что сопровождают рассмотренные в п. 3 переходы через сепаратрису. Если параметр 九 изменяется не только медленно, но к тому же еще и мало: X = =Хо + 卩九1 (е/), где 九 1(£/)——периодическая или условно-периодическая функция, то большинство интегральных кривых остаются на инвариантных интегральных многообразиях. Действительно, в этом случае гамильтониан (31.616) можно представить в виде

н = Но (/, %) + 阳 1 (/, ф, X).

Теперь становятся применимыми теоремы Колмогорова и Нехороше- ва (см. § 29, п. 4) при известных ограничениях на %•

Если же X изменяется хоть и медленно, но значительно, то интегральные многообразия не удается построить. Траектория при этом слишком часто пересекает резонансные области (сепаратрисы),

а при каждом таком переходе изменяется, как мы видели (см. п. 3), топологическая структура траектории, причем характер перестройки весьма чувствителен к значениям фаз. Сокращенное описание поведения траекторий основано на введении вероятностей разнообразных переходов. Можно утверждать, что фазовые траектории систем (31.61) с числом степеней свободы л》2 при медленном, но значительном изменении параметра хаотизируются. Полученные Н. Н. Нехорошевым оценки скорости диффузии по / теряют силу Для систем (31.61) с медленно изменяющимися параметрами.

Стохастизация движения динамических систем (негамильтоновых) с большим числом степеней свободы при медленном изменении параметров обнаружена в работе [254] (изложение этого результата содержится также в работе [8]) в связи с изучением вопроса о возникновении турбулентности. Рассматривалась система с п степенями свободы, уравнения движения которой в отличие от вытекающих из (31.61) содержат малые негамильтоновые добавки, описывающие затухание. При фиксированных значениях параметров такая система имеет т (入)притягивающих инвариантных торов. С появлением таких условно-периодических состояний движения Л. Д. Ландау связывал процесс возникновения турбулентности [255]. Важным свойством динамических систем являются структурные переходы, которые испытывает система с изменением параметров. Благодаря им система имеет различные наборы притягивающих многообразий при различных значениях параметра X. Пусть, например, при 九= 九。 система имеет некоторый набор т (Хо) притягивающих торов (рис. 45, а), так что любая интегральная кривая в D асимптотически стремится к одному из них. Если параметр X начинает изменяться медленно, но значительно, притягивающие интегральные многообразия становятся локальными по /: они исчезают и появляются, изменяется их число. Интегральная кривая, оставаясь вблизи такого локального многообразия на период его существования, после его исчезновения

устремляется в область притяжения какого-либо другого из т (X) притягивающих торов. Поскольку начальные условия, приводящие интегральную кривую к различным притягивающим многообразиям, в общем случае густо перемежаются (см. пример, приведенный в предыдущем пункте), можно говорить лишь о вероятности перехода интегральной кривой в область притяжения того или иного локального многообразия. Поэтому при периодическом медленном, но не малом (чтобы не осталось сохраняющихся при всех значениях X притягивающих многообразий) изменении X интегральная кривая совершает случайные блуждания, переходя от одного локального многообразия к другому. На рис. 45, б изображены притягивающие локальные интегральные многообразия и одна интегральная кривая.

Появление сравнительно быстрой диффузии у медленно эволюционирующих гамильтоновых систем обнаружено Д. В. Аносовым [256], А. И. Нейштадтом [257], изучавшими точность метода усреднения в многочастотных системах, уравнения движения которых имеют вид (ср. (31.6) и (31.9))

/ = е/(/, ф,儿 т), ф = ю (/,九)+ eg(/, ф, X, т)；

尸」 X еЛ(т), т — е,

*:*(31.62)

где / — 1и ..., /„, ф = фъ ...,屮加,функции /ng периодичны с периодом 2л по ф.

Рассмотрим наряду с (31.62) усредненную по ф систему уравнений / = е/(/, X, t), ©=(o(J,九)+ eg(J,儿 т).

(31.63)

Д. В. Аносов доказал, что для любого положительного числа 卩 множество начальных условий (из области D X £)х), для которых

max I / (/) — J (f) I〉卩 при J (0) = / (0), 0</^1/е

(31.64)

стремится к нулю вместе с е.

А. И. Нейштадтом получена следующая оценка для скорости разбегания решений уравнений (31.62), (31.63) при условии, что частоты ①力 …，①用 независимы (т. е. такие, что ранг матрицы (dsjdl) равен /л):

гпах| /(/) — J(/) I < &/е/乂，/ (0) = J(0) (31.65) для всех начальных условий, кроме множества малой меры х. На этом множестве происходит более быстрый уход / (/) от инвариантных многообразий усредненной системы (J (/), /).

Оценка (31.65) допускает истолкование как оценка скорости диффузии по / при медленном изменении параметров. Действительно, характерное отклонение / от J за время / 〜со"1 составляет величину порядка е. Если фазовая траектория стохастизуется за характерное

время %《1, то коэффициент диффузии по /

山=(Д/2)就I 〜е2/т0

и средняя величина расплывания по / за время 1/е пропорциональна (d〃e)% = (е/т0)1/а, * •

что согласуется с (31.65).

Оказывается, однако, что малая часть траекторий может уходить по резонансным областям более быстро. Обусловленная медленной эволюцией структурная перестройка этих траекторий не означает стохастизацию.

6・ Перемешивающие системы. Применимость методов статистической физики и кинетической теории удается обосновать для перемешивающих систем. Свойства перемешивающих систем на физическом уровне впервые были описаны, по-видимому, Гиббсом [258], а их математическая формулировка дана Хопфом [259]. Н. С. Крылов [260] сделал важный шаг на пути обоснования статистической физики: он связал перемешивающие свойства с локальными характеристиками движения, а именно с локальной неустойчивостью движения динамической системы, и показал, что такая неустойчивость ведет к экспоненциально быстрому перемешиванию с характерным временем тс, примерно равным времени развития неустойчивости. Отсюда следует, что пучок фазовых траекторий, начинающихся в некоторой области А фазового пространства за время / 〉тс, где тс ——характерное время перемешивания, покроет всю гиперповерхность однозначных интегралов движения М, образовав тем более плотную структуру на 而，чем больше время /, причем сам этот процесс нечувствителен к положению, форме и даже размерам области при t》tc. Поскольку пучок траекторий всюду плотно покрывает всю гиперповерхность М за время, сравнимое с тс, достаточно малого огрубления, размазки фазовых точек траекторий по малым областям с размерами 6, чтобы оправдать вероятностную трактовку явлений и методы кинетической теории. Экспоненциально большая скорость перемешивания делает несущественным выбор величины огрубления 6.

Несколько позже А. Н. Колмогоров ввел понятие энтропии динамической системы 刀 и понятие /(-системы [261]. /(-системой является перемешивающая динамическая система с экспоненциально быстрым перемешиванием, причем 刀一 一характерное время перемешивания. Как видно, Н. С. Крылов показал применимость методов статистической механики к ^системам.

Д. В. Аносов [222] изучил свойства фазовых потоков на компактных многообразиях, удовлетворяющих условию локальной неустойчивости в каждой точке многообразия (У-системы). Как оказалось, У-системы являются ^-cиcтeмaми, а величина локальной неустойчивости потока естественным образом связана с /(-энтропией. Важным свойством У-систем является их структурная устойчивость (см. § 27). Я. Г. Синай [205, 206] показал, что простые бильярдные

системы (система бильярдных шаров на поверхности с отражающими краями) имеют локально неустойчивые фазовые потоки (за исключением множества траекторий нулевой меры) и являются ^системами. Результаты работ [205, 206, 222,261] дают строгие формулировки и математическое обоснование идеям и результатам Н. С. Крылова.

Перемешивающие системы при фиксированных параметрах определяются следующим образом. Рассмотрим гладкое TV-мерное многообразие М с заданной на нем мерой н сохраняющим меру оператором сдвига 丁尸 Пусть Г (Л4)—— мера многообразия М. Под действием оператора Tt многообразие М переходит в Ммерное многообразие М/. Пусть М инвариантно относительно действия 7\, т. е. Mt = М. Это означает, что проекции всех интегральных кривых (р (f; p^.q^, q (/; р0, %), /), начинающихся на М (р0, q0 £ М), при всех / попадают на М, т. е. интегральные кривые лежат на цилиндре М X R, t £ R.

Рассмотрим области А, В cz М с мерами Г (Л) и Г (В). Пусть область В фиксирована, а область А подвергнем действию оператора сдвига 丁力 преобразующего ее в область At = TtA. Поскольку преобразование Tt сохраняет меру, Г (4) = Г (А). Обозначим через Г (Лz П В) меру пересечения областей At и В. Фазовый поток яв

ляется перемешивающим, если

limr(^limr(^(31.66)(31.66)

limr(^

limr(^

(31.66)

(31.66)

Если В = М то это соотношение выражает сохранение меры множества А при отображении Т广 Наглядное представление о существе перемешивающего потока (М, Т, дает рис. 46. Первоначально небольшая по линейным размерам область А со временем, сплющиваясь в одних направлениях и вытягиваясь в других, размывается так, что ее линейные размеры становятся сравнимыми с размерами всего многообразия М, At все более однородным образом заполняет М, однако при этом площадь Г (4) остается неизменной. Среди реальных систем, характеризующихся свойством перемешивания, прежде всего следует упомянуть жидкости и газы. Соотношение (31.66) определяет вероятность найти в В фазовые точки (проекции интегральных кривых), стартовавшие в А. Соотнсшению (31.66) можно придать вероятностную трактовку. В правую часть не входят другие признаки областей Л и В, кроме их мер, следовательно, свойство (31.66) однородно на всем многообразии М. Относительную меру области В Г (В)/Г (М) можно трактовать как вероятность wb обнаружить выбранную наугад фазовую точку из Л4 в В, если процедура выбора обеспечивает равные вероятности быть выбранными для всех точек из М. Согласно соотношению (31.66) относительная

мера всех фазовых точек, которые стартовали в Л и в момент / на* ходятся в В, при f -> оо не зависит от 4 H равна Wb. Вероятность wb можно связать с одной единственной интегральной кривой, рассмотрев (31.66) в пределе Г (Д) -> 0. Как видно, при / -> оо вероятность обнаружить фазовую точку в В не зависит от начальных координат. '

Вероятность обнаружения в В фазовой точки р (/), q (/), стартовавшей из р0, 70, можно определить также следующим образом. Пусть /в (т; р0, 70) — суммарное время, которое фазовая точка про вела в В на интервале времени 0《/ & т;. Обозначим через Wb (% р0, 4о) отношение % (т; р0, 9о)/т и будем трактовать его как вероятность найги фазовую точку в В на интервале времени 0 ^ / ^ т. Оказывается, что в пределе т-> оо введенная таким образом вероятность не зависит от р0, % и совпадает с сад

limwe", А), %) = lim ‘吐=wB. (31.67)

Это утверждение составляет содержание известной эргодической теоремы и может быть выражено в более общем виде. Пусть g (р, q)— динамическая функция н gf = Tg Тогда '

吧。； jgd %)*= Км) \g(P，q)dpdq =

. о м

'=2(м). (31.68>

Положив g равной единице в В и нулю на всей остальной части ЛГ» из (31.68) получим (31.67).

Усреднение по фазовому пространству часто называют усреднением по ансамблю, имея в виду, что с каждой интегральной кривой можно связать ансамбль точных копий динамических систем, отличающихся только начальными состояниями. Как видно, усреднение какой-либо характеристики по ансамблю совпадает с временным средним для любой системы из ансамбля.

Соотношения (31.66) — (31.68) определяют статистические свсй- ства интегральных кривых на интегральном многообразии (М, /) н пригодны для использования при сокращенном статистическом описании поведения системы, когда мы действительно имеем дело с большой серией испытаний» в которых неизвестно начальное состояние системы, или когда детали временной эволюции системы нас не интересуют и важны только среднестатистические значения физических величин g. И в том и в другом случае мы можем получить средние значения g, воспользовавшись формулой (31.68). Перемешивание потока приводит к стохастизации поля значений интегральных функций / (р, % /), сохраняющих постоянные значения вдоль интегральных кривых. Действительно, в силу (31.66) фазовые координаты интегральных кривых, начинающихся при / = 0 в некоторой области Л, при / оо однородным образом размешиваются по всему многообразию М. Поэтому, если /0 (р, q) = f (р, q, 0) — гладкая

«функция, но не постоянна на 也，то / (р, % /) при f f 8 будет всюду разрывной и в каждой сколь угодно малой области В (Г (В) -> 0) / (р, q, /) пробегает все значения, которые % (р, q) пробегает на М, причем относительная мера точек области В, на которой / (р, q, /) принимает некоторое фиксированное значение а, равна относительной мере множества.на М, где/0 (р, 9)— а. Это свойство выражается соотношением

⑴=理^Г \ f М q，')dpdq =

=\h(P，q)dpdq「「' .! (31.69)

т. e. среднее от интегральной функции при / -> оо по всему многообразию равно среднему по сколь угодно малой области. Поэтому часто говорят, что интегральные функции стремятся к своим средним значениям.

В статистической физике широко используются функции распределения ——неотрицательные интегральные функции, описывающие плотность вероятности нахождения системы в окрестности каждой точки р, q. Стремление функции распределения к своему среднему значению при f -> 8 означает переход системы в равновесное состояние, а однородное на М распределение / (р, % /)=『называется мик- роканоническим.

Эргодическая теорема первоначально рассматривалась как строгое обоснование статистической механики, в которой значения макроскопических (интегральных) величин системы, состоящей из большого числа одинаковых частиц, получаются усреднением по ансамблю. Речь идет о таких величинах, как кинетическая энергия, температура, давление и т. д., через которые выражаются все термодинамические соотношения. Однако соотношения (31.66) — (31.69) совершенно бесполезны для описания эволюции перемешивающих систем 2е. Действительно, ограничиваясь описанием поведения только макроскопических величин 侈”…，％ мы должны получить для них динамические уравнения, зная уравнения для " и q (они заданы оператором 7\). Уравнения для 弘 имеют вид

甞=%(%...,弘)， (31.70)

причем, чтобы описание было замкнутым, правые части не должны зависеть от всех остальных динамических переменных. Однако если 侈》— усредненная по ансамблю динамическая функция, то в силу (31.68) она постоянна и d^Jdt = 0. Поэтому макроскопическая динамика, вывод уравнений которой является основной задачей статистической механики, не может быть получена путем прямого ис-

2。Этот вопрос обсуждается в книге Н. С. Крылова [260] (см. также [262]).

пользования равенства (31.68), левая часть которого не зависит от времени. Для преодоления этой трудности необходимо ввести локальные характеристики перемешивающих потоков. Наиболее важной локальной характеристикой является перемешивание. Перемешивание связано с локальной неустойчивостью интегральных кривых: две сколь угодно близкие кривые расходятся со временем на большое расстояние. Среднюю скорость разбегания траекторий можно определить следующим образом.

Рассмотрим точки некоторой фазовой траектории р (/; р0, %), q (/; р0, 7о)- Окружим каждую точку сферой S (р) малого радиуса р и сдвинем ее вдоль интегральных кривых на малый отрезок времени т: S (р) -> ST (р) = 7\S (р). Поскольку при малых т преобразование 7\ незначительно отличается от тождественного (см. (25.4)), сферам при этом слегка деформируется, сплющиваясь в одних и вытягиваясь в других направлениях, причем объем сферы остается неизменным Г (Sy(p) )= Г (S (р)). Выберем локальную ортогональную систему координат Vj (р, 7),…，0川(р, g) так, чтобы 々+ первых векторов были ориентированы вдоль направлений вытягивания сферы, а последующие 々—векторов — вдоль направлений сжатия .

Назовем /г+-мерное подпространство 7?十 с ортами (% …，％十卜 расширяющимся, а 々—-мерное подпространство R_ с ортами (办十十卜…

。也十+々_) сжимающимся. Для того чтобы близкие траектории с те

чением времени разбегались, необходимо, чтобы эти подпространства были инвариантными относительно действия оператора Тт, т. е. при сдвиге вдоль траекторий векторы расширяющегося (сжимающегося) подпространства в точке р、q преобразовывались в векторы расширяющегося (сжимающегося) подпространства в точке рт = =7\р, gt = 7\g. Если это не происходит, то траектории, сначала удаляясь по некоторому направлению uz, затем начнут сближаться, и в результате далеко не разойдутся, так что движение будет устойчивым и никакого перемешивания не произойдет.

Теперь нетрудно ввести интересующую нас величину средней скорости разбегания фазовых траекторий. Выберем отрезок р^ (р, q), соединяющий поверхность сферы S (р) с точкой ", q и ориентированный вдоль направления 内 £ 7?十 из подпространства расширения. Его длина / (р/), очевидно, равна р. Пусть prt = 7\р/ — отрезок после сдвига вдоль траекторий и /т (р) — его длина. Назовем К- энтропией системы величину

V г г 4 (Р，)V г г 4 (Р，)(31.71а>(31.71а>

V г г 4 (Р，)

V г г 4 (Р，)

(31.71а>

(31.71а>

где черта означает усреднение по времени вдоль интегральной кривой, которое можно заменить средним по ансамблю

Нш АМ\ .(31.716)

p-о Р

/С-энтропия динамической системы 刀 впервые введена А. Н. Колмогоровым . При изменении знака времени f -> — t сжимающееся подпространство становится расширяющимся, и наоборот. При этом, как нетрудно убедиться, величина /С-энтропии

左十+左一』旺+1左十+左一』旺+1

左十+左一

』旺+1

左十+左一

』旺+1

совпадает с (31.716) в силу теоремы Лиувилля: при сдвиге Тх объШ сферы ST (р) пропорционален.

Р“(1 + пт)(1 — n-T)Qp" [1 + (п —П-)т],

и, поскольку он остается неизменным, порядка р , то = т].

Динамические системы с 刀 > 0 называются /С-системами. R_p・ слои области А экспоненциально быстро пропорционально ехр (噌 расширяются и покрывают многообразие М, поэтому перемешивание происходит экспоненциально быстро и величины Wb (0 = =Г (4 п В)/Г ⑷，g-(Т； А), %),〈/ (р, q, f)〉，wB (т, р0, %), входящие в соотношения (31.66) ——(31.69) под знаком lim экспоненциально быстро стремятся к своим предельным значениям, так что равенство (31.68) можно представить в виде

1g (Т； А)，%) — ? (М) I & Ce-竺 ” =NN, (31.72)

где С — некоторая константа. .

Поэтому для 工》q с экспоненциальной точностью можно заменять среднее по конечному интервалу времени средним по многообразию. Аналогично соотношение (31.69) можно представить следующим образом:

q, 0 dpdqq, 0 dpdq< &е"< &е"(31.73)(31.73)

q, 0 dpdq

q, 0 dpdq

< &е"

< &е"

(31.73)

(31.73)

Соотношение (31.73) показывает, что функция распределения стремится к своему равновесному значению / (М) экспоненциально быстро.

Воспользуемся теперь приведенными соотношениями для описания эволюции гамильтоновых /С-систем с медленно изменяющимися

параметрами. Достаточно рассмотреть случай наличия одного такого параметра

Н = Н (р, g, X), X = Х(е/).(31.74)

При е = 0 движение происходит на изоадергетической (2п — 1)- мерной поверхности

"仇 q,九)=k(31.75)

Будем считать, что поток (Л12,1-1, Т^ Tt = exp [(..., Н) f],— перемешивающий. Пусть многообразия (31.75) заполняют область D X Ох,入 Е°九.Введем элементарную инвариантную меру у (W) на м21 (取)：

一 门取/)= ) 7^(Ю = ) 諡%

(31.76) Здась

「""=停圖1(蜀产「了

Мера (31.76) выбрана из следующих соображений. Расфотрим энергетический слой”

W^H(Pi q,入)&取 + А取，(31.77)

при сколь угодно малом А取.Инвариантным относительно сдвигов будет фазовый объем (теорема Лиувилля)

%(叫А取)=%(叫А取)=А取)м2〃一1”)А取)м2〃一1”)) dpdq ==弋冬

%(叫А取)=

%(叫А取)=

А取)

м2〃一1”)

А取)

м2〃一1”)

M2n(Wt^W)

du ")

I grad H \ *:.

2/1 1

du”)I grad ЯТ ・du”)I grad ЯТ ・r(W)= j2n (Г, A取)/A取=r(W)= j2n (Г, A取)/A取=M2n~\W)M2n~\W)v Отсюда свяашная с М (W) инвариантная м^а

du”)

I grad ЯТ ・

du”)

I grad ЯТ ・

r(W)= j2n (Г, A取)/A取=

r(W)= j2n (Г, A取)/A取=

M2n~\W)

M2n~\W)

£ Часто меру (Зр.76) определяют через сингулярную элементарную ['меру в D:

Ir(F) = j6[77(p, q, ^-W\dpdq^

(31.78)(31.78)du (%

(31.78)

(31.78)

IgradHI '

財 21”)

Будем считать, что поток (М2п~\ 7\) — перемешивающий при 入 g Q九 н динамическая система является /С-системой с /С-энтропией

213

刀 = П (步,X). Заметим, что установить, является ли ^-cиcтeмoй та или иная система, и найти ее Л-энтропию,——самостоятельная и зачастую нелегкая задача.

Чтобы перейти к рассмотрению процесса медленной эволюции, необходимо уточнить условие медленности (31,2). Для перемешивающей системы характерным является время перемешивания тс = N/2, поэтому потребуем, чтобы выполнялось условие

吗《1. (31.79)

Последнее означает, что перемешивание в системе происходит быстрее, чем 入 успевает заметно измениться.

Пользуясь условием (31.79), можно построить перемешивающее (2п — 1)-мерное интегральное многообразие, применяя процедуру асимптотических разложений, подобную приведенной в п. 1. Для этого удобно ввести систему координат, связанную с изоэнерге- тическими поверхностями (31.75). Выберем в качестве независимых переменных W = Н (р, qt К) и

，=j udf \^{ptq\Ptq)=『I grad H |—1 dt，=j udf \^{ptq\Ptq)=『I grad H |—1 dt(31.80)

，=j udf \^{ptq\Ptq)=『I grad H |—1 dt

，=j udf \^{ptq\Ptq)=『I grad H |—1 dt

о о .

(/ —— длина фазовой траектории). Интегрирование в (31.80) ведется вдоль фазовой траектории с начальными условиями р, q. Все фазовые траектории перенумерованы с помощью р xq. Поскольку каждая фазовая траектория заполняет всю изоэнергетическую поверхность (всюду плотна на Л12/1-1 ”))и фазовые траектории нигде не пересекаются, то множество начальных условий р, q ^d нигде не плотно. При фиксированных значениях / и W вектор (р, q) содержит только 2п — 2 независимых компонент.

Будем искать замену '

* Z = Z (W,厶 р,办：

(31.81)

такую, что

「:普; m(z,

(31.82)

положив

Z ”，0, p, q, X) = F (p, q, X).

(31.83)

Нетрудно убедиться, что уравнения движения для Z И W представимы в виде

* =琳”，/, р, gj),-(31.84)

* =叭叫 I, 3, G，0(31.85)

где функции /ио — нулевого порйдка по е. Из ⑶・81) 丁 (31.85) вытекает уравнение для Z:/

、」 Z = *j[e噺sq 謁■曰 IF + UA

.о '

(31.86)

Здесь под знаком интеграла отмечена зависимость функций только от переменной интегрирования. Для дальнейшего построения замены (31.81) в виде ряда по степеням е необходимо дополнить (31.86) уравнением, аналогичным (31.25). В перемешивающих системах фазовые траектории не замкнуты, не условно-периодичны, и это создает некоторую трудность при выводе нужного соотношения.

Рассмотрим малые окрестности р〃 (р, q) точек р, q (в которых Z =步)，а именно такие, что

\Z — W\<cnn, н = ^с, р, g£p“(p, q) (31.87) (здесь с — константа), и обозначим через dn объединение всех областей prt (р, д). Ясно, что порядок меры Г (dnl) равен рЛ Фазовая точка независимо от того, где она стартовала, как видно из (31.72), (31,73), за время

т„ Q Т]-1 In [Г(4)/Г (F)] » тГ‘ In 卩(31.88)

успеет побывать в dn. Поэтому справедливо соотношение 、*

，卜一缁/)*<СМ, /〃=§udf.(31.89)

Оо

Чтобы привести (31.89) к более удобному виду, используя (31.86), получаем

：％,炉土叫，”t旧&-「： •0 L

一器4斗<叩П.(31.90)

Стоящий слева интеграл означает усреднение вдоль траектории. Воспользовавшись оценкой (31.72), можем заменить его усреднением .по ансамблю, в результате чего

/

-制票de宀(31.91)

Уравнения (31.86), (31.91) можно использовать как рекуррентные соотношения для отыскания Z и h (F, X) в виде рядов

Z^W + ^iW, /, A z, М+ …，(31 92)

用"，2=历"，九)+ £用2"，%)+…

Правая часть (31.91) содержит величину, быстро убывающую с ростом п. Поэтому, казалось бы, что можно устремить п ^ оо и заменить правую часть нулем. В действительности асимптотические разложения пригодны на интервале времени 0 & f & 1/е. Это означает, что необходимо ограничиться при усреднениях этим интервалом, т, е. потребовать, чтобы тп < 1/е, т. е.

птс In р, < 1/е, п < [—pi In pi]'1.(31.93)

Отсюда следует, что правая часть в (31.91) не может быть меньше чем

牛一1加 in к = qe—1”(31.94)

что является величиной экспоненциально малой, и при вычислении членов ряда правую часть (31.91) во всех порядках по е можно положить равной нулю.

Приведем первые члены разложения (31.92):

Z = Wt A (IF, X) = (/ (р, д, А)“2/1—1”). (31.95)

Перемешивающее (2п ——1)-мерное интегральное многообразие на интервале времени 0 & f & 17е в этом приближении определяется уравнениями

、 Z(p, g, X) = Я (р, q, %)=Z(f),7……Y dZ 」(3 )

Их можно использовать при сокращенном описании эволюции системы, когда игнорируются мелкие детали эволюции и достаточно знания макроскопических величин, в данном случае W.

Изложенный метод построения асимптотических перемешивающих многообразий отказывает, если в процессе эволюции /(-энтропия т] стремится к нулю. Уравнения движения для Z следует рассматривать вместе с уравнением для 刀(Z, X). Для этого воспользуемся соотношением (31.716), в котором усреднение будем проводить по сечению многообразия 2 (р, д,入)= 2 "). В первом приближении в силу (31.96)

9(f) = n”(f)J®))， (31.97)

где п (取，入)—/С-энтропия невозмущенной системы (е = 0).

-Если т] -> 0, то система теряет перемешивающие свойства, что означает нарушение структурной устойчивости потока.

…§ 32. Адиабатические инварианты ;" и их связь

с интегральными многообразиями

Адиабатические инварианты — это интегральные инварианты, естественным образом связанные с асимптотическими и приближенными инвариантными интегральными многообразиями систем с медленно изменяющимися параметрами точно так же, как интегралы движения связаны с точными инвариантными интегральными многообразиями.

Интегральные многообразия и инварианты. С каждым интегральным многообразием гамильтоновой системы

Z(p, g, %) = Z(Z; ZJ:丁。 (32.1)

можно связать элементарную инвариантную меру . , J；

y(Z) = 6[Z(p, q,储一Z(f; ZJldpdq,「(32.2) такую, что интеграл

/(/, Z°) =，6[Z(p, q, ^-Z(t, Z^} dpdq (32.3)

является интегральным инвариантом. Чтобы сделать связь интегральных инвариантов (32.3) с интегральными инвариантами Пуанкаре (см. § 9) очевидной, введем вместо (32.3) интеграл ■

1Z°, AZ°)= J /(f, Z)dZ = -「"

= J dpdq = / (Zo, AZ0).(32.4)

'財汽 Zq,AZ。)

Здесь интегрирование ведется по слою фазового пространства, заключенного между интегральными многообразиями 阂i (Zo) и 乂21 (z。+ AZ) Интеграл / (Zo, AZ0) является интегральным инвариантом. При AZ0 f 0 / (Zo, AZJ I (Zo) AZ»

Для системы с одной степенью свободы, интегральные многообразия которой замкнуты, интегрирование в (32.4) можно распространить на весь поперечник многообразия, т. е. проинтегрировать по площадке, охватываемой сечением многообразия f= const:

，2(Z)= J dpdq = f pdq.(32.5)

Соотношение (32.5) ставит в соответствие каждой интегральной кривой, лежащей на многообразии Z, площадь /2 (Z). При е = 0 интегральные многообразия — цилиндры, все интегральные кривые, лежащие на одном и том же многообразии, проецируются на одну и ту же замкнутую фазовую траекторию, так что площадь, ограни-

ченная этой траекторией, может быть поставлена в соответствие каждой интегральной кривой. При е 声 0 фазовые траектории незамкнуты (см. рис. 38) и связывать с ними, как в случае консервативных систем, инвариантную площадь нельзя. Однако в этом случае каждая интегральная кривая порождает интегральное многообразие при поворотах по циклической координате 屮.

Пусть (р (f; %, %), q (f; %, %), 0— интегральная кривая. Выразим р н q через Z н 屮：

р = р(Z,屮；%, ZJ g = q(Z,屮；屮о，Zo). (32.6)

Под действием оператора поворота на угол Е точка р (f;屮о, ZJ, g (f; % Zo) переходит в точку p (f;屮° + E, Z。)，g (f; % + E, ZJ и при & = 0 + 2л описывает на фазовой плоскости замкнутую кривую, являющуюся сечением интегрального многообразия 2 (f;々J. Таким образом, (32.6) представляет собой параметрическое определение интегрального многообразия (32.1), если 屮()рассматривать как параметр, изменяющийся от 0 до 2л. Инвариантная относительно сдвигов по f площадь сечения этого многообразия / (Zo) и ставится в соответствие каждой интегральной кривой.

Для гамильтоновых систем с п степенями свободы, имеющих интегральные многообразия, сечения которых — л-мерные инвариантные торы

Z = (Zi, • • . , Z)屮=(屮 1，♦ •・，屮J

О & 也& 2л,(32.7)

厶亿。，AZ。) = 2 厶£ (Zg AZqj)=…=2 J dPidqh ；или .厶(Zo) = £ f Pidq£ = £，2i Z)・厶亿。，AZ。) = 2 厶£ (Zg AZqj)=…=2 J dPidqh ；или .厶(Zo) = £ f Pidq£ = £，2i Z)・(32.8)(32.8)можно ввести интегральный инвариант +

厶亿。，AZ。) = 2 厶£ (Zg AZqj)=

…=2 J dPidqh ；

или .

厶(Zo) = £ f Pidq£ = £，2i Z)・

厶亿。，AZ。) = 2 厶£ (Zg AZqj)=

…=2 J dPidqh ；

или .

厶(Zo) = £ f Pidq£ = £，2i Z)・

(32.8)

(32.8)

(32.9)

Выражения (32.8), (32.9) являются простыми обобщениями выражений (32.4), (32.5).

В случае п-мерных гамильтоновых систем с перемешиванием (см. § 31) можно связать интегральные инварианты с перемешивающими интегральными многообразиями,

&(Z。，AZ°)= J dpdq,(32.10)

M2n(Z0,^Z0)

где интегрирование ведется по слою между многообразиями

Z (亿 q,入)= Z«; Z^ и Z(p,仇入)=

'—Z (f; Zq — AZ。).：「

1(p>^ (32.10|J-Йожно ввести также Интегральный ЙНМриант : 二 /2i(Z°)=$-^zT'(32.11)

財 2〃-l(z。) 人

представляющий интеграл по (2п ——1)-мерной поверхности Z (р, % 入)=Z (f; Z())・ При AZ-> 0 инварианты (32.10) и (32.11) связаны соотношением

/2rl (Z, AZ) = /21 (Z) AZ.(32.12)

Инвариант (32.12) можно поставить в соответствие каждой интегральной кривой, лежащей на многообразии, а инвариант (32,10) — слою интегральных кривых, начальные условия которых отличаются значениями Z в указанном интервале.

С асимптотическими и приближенными интегральными многообразиями связаны приближенные интегральные инварианты. Для ^-приближенного интегрального многообразия Z 加 q, Jl)= =2 (毎 Z(>) на интервале времени 0 & f * Т

|Z[p(f; ZJ g(f; Z) "-Z(f; ZJlVfi, (32.13) откуда видно, что интегральная кривая на интервале [О, Т] не покидает слоя многообразий толщиной 卩,следовательно, каждой интегральной кривой, принадлежащей в момент f = 0 приближенному интегральному многообразию, можно поставить в соответствие приближенный интегральный инвариант,

/ (f, Z, AZ) = J dpdq,丁

M2qLz) 」：、

для которого в силу (32.13) справедливо соотношение'

"(f, Z, AZ) —/(0, Z, AZ)| Veg (32.14) где & — некоторая константа.

Асимптотические многообразия n-го порядка являются ел-при- ближенными многообразиями на интервале времени 0 & f & 1/е, и с каждым из них можно связать приближенные интегральные инварианты.

Локальным назовем интегральный инвариант, сохраняющийся только в некотором интервале значений ^ < / < 匕・ Локальные интегральные инварианты связаны с локальными интегральными многообразиями теми же соотношениями, что и интегральные инварианты с интегральными многообразиями.

Адиабатические инварианты. Если медленное изменение параметров системы влечет за собой лишь малое изменение некоторой физической величины за длительный промежуток времени, причем это изменение тем меньше и интервал времени тем длиннее, чем медленнее изменяются параметры, то такая физическая величина называется адиабатическим инвариантом.

Определение. Динамическая функция / (р, д,入)называется адиабатическим инвариантом, если для любой достаточно гладкой

(достаточное число раз дифференцируемой) функции X == 1 (е。〃 любого 卩 > 0 можно указать такое е0, что

|"p(f), g(f), \^t)}-I[p^ g(O), Х(0)]|<Ь

(32.15)

если eV%〃O&f & 1/е.

Обратим внимание на то, что адиабатические инварианты, согласно приведенному определению,——лишь асимптотически сохраняющиеся величины.

Очевидно, приближенные интегральные инварианты, связанные с асимптотическими интегральными многообразиями, будут адиабатическими инвариантами. pi-Приближенные на интервале 0 & & f & Т интегральные многообразия порождают приближенные интегральные инварианты, которые, согласно приведенному определению, являются адиабатическими, только если можно установить зависимость 卩=卩(б), Т= Т (е) и при е -> 0 .р, монотонно стремится к нулю, a lim еТ > 1.

Условие (32.15) может выполняться не для всех начальных условий из D, а только почти для всех, т. е. только для р (0), q (0) из D, не принадлежащих некоторому множеству малой мерыd и D. В этом случае можно назвать динамическую функцию / (р, % X), удовлетворяющую условию (32.15) при р (0), g (0) W d почти адиабатическим инвариантом [189].

Рассмотрим адиабатические инварианты различных гамильтоновых систем, основываясь на результатах, изложенных в § 31.

Гамильтоновы системы с одной степенью свободы. Пусть при £ — 0, р, q W D,入 £ Ох, фазовые траектории замкнуты, частоты со = со ”，入)не обращаются в нуль и е/со ^ 1. Существуют асимптотические инвариантные многообразия произвольного порядка и, следовательно, сохраняющиеся с экспоненциальной точностью на интервале 0 & f & 1/е (см. § 31, п. 1, 2) адиабатические инварианты (32.5)

/?(Z)=，pdq.(32.16)

Действие (32.16)——адиабатический инвариант. Выражение (32.16) является частным случаем интеграла по слою (32.4).

Если система при е = 0 имеет седловые особые точки и сепаратрисы, то при е =# 0 возможны переходы через сепаратрису. При этом существуют локальные (по W) асимптотические многообразия произвольного порядка по е до и после перехода через сепаратрису (см. § 31, п. 1). В переходной области (31.11) существуют локальные по ф асимптотические многообразия произвольного порядка по е, сшивающие примыкающие к переходной области инвариантные относительно поворотов по 屮 многообразия различной топологии. В этом случае система имеет локальные адиабатические инварианты,

значения которых при пересечении сепаратрисы изменяются скачком, но величина изменения может быть указана с экспоненциальной точностью почти для всех (исключая множество экспоненциально малой меры) интегральных, кривых. При сокращенном описании (см. § 31, п. 4) можно найти вероятность, с которой система приобретает одно из двух возможных значений адиабатического инварианта при пересечении сепаратрисы.

При периодическом изменении параметра 入 существует множество инвариантных интегральных многообразий, причем мера дополнения к этому множеству мала вместе с е. Площади сечений этих многообразий —— вечные точно сохраняющиеся адиабатические инварианты. Для произвольных начальных условий площадь, охватываемая кривой Н (р, q,入)=Z, является вечным адиабатическим инвариантом.

Гамильтоновы системы со многими (n > 1) степенями свободы. Для систем, близких к интегрируемым (29.9), при малом периодическом изменении параметра сумма действий

厶=£自(叫)=f Pidq£ (32・17>

является адиабатическим инвариантом, сохраняющимся на интервале времени (29.27) с точностью (29.26).

При произвольном изменении параметра 九(32.17) почти адиабатический инвариант, а именно изменение переменных действия остается по модулю меньшим с。Jе/х на интервале времени 0 & f & 1/е> если пренебречь множеством начальных условий, мера которого не превышает 乂. Медленное изменение параметров приводит к диффузии траекторий по /, причем траектории с начальными условиями, принадлежащими множеству малой меры, уходят по / быстрее, чем на величину порядка Je/乂 за время / 〜 1/е.

Гамильтоновы системы с перемешиванием имеют асимптотические перемешивающие многообразия произвольного порядка (см. § 31, п. 6), поэтому / (Z) (32.11) и / (Z, AZ) (32.10) являются адиабатическими инвариантами, сохраняющимися во всех порядках по

Адиабатические инварианты при использовании неканонических переменных. При решении конкретных физических задач может оказаться удобным использование неканонических переменных (например, использование обычного импульса р = mv вместо канонического Р = znv + — А при описании движения нерелятивистской частицы в электромагнитном поле). При переходе к неканоническим переменным канонические уравнения движения приобретают вид (5.9).

Адиабатические инварианты, выраженные через неканонические переменные, имеют вид, аналогичный интегральному инварианту

Картам» 左仙;§ 9)：

,/(Z)= f %⑶d%a,(32.18)

MS)

где фа определяется соотношением (5.8).

Рассмотрим два примера. Первый —— это адиабатический инвариант движения частицы в переменйом магнитном поле, который согласно (9.20) будет

/(Z)=0(p+^~A)dq. ：(32.19)

Второй — это адиабатический инвариант в случае, когда движение рассматривается в системе координат, вращающейся с угловой скоростью з. Используя (7.27), находим, что

(32.20)(32.20)/ (Z) = ^ (р + т(а х q) dq.

(32.20)

(32.20)

M(Z)

Применение адиабатических инвариантов (32.19) и (32.20) к решению конкретных физических задач будет рассмотрено в § 34, 35.

、丿

ШЛИ 4

ПРИМЕНЕНИЕ АДИАБАТИЧЕСКИХ ИНВАРИАНТОВ

В ФИЗИКЕ

I § 33. Энтропия —адиабатический инвариант

Понятие энтропии применяется к системам перемешивающего типа. Часто говорят, что энтропия —— это количественная характеристика степени беспорядка в системе или степени неопределенности ее состояния, имея в виду следующее. Состояние системы можно опреде^ лить лишь с некоторой точностью А, зависящей от измерительных средств. Существует квантовомеханический предел точности измерения фазовых координат, вытекающий из принципа неопределенности Ар^А^ > 瓦，который можно считать абсолютным пределом, точности измерения фазовых координат. Допустим, мы установили^ что в начальный момент времени фазовая точка принадлежит некоторой области Л (А) с характерными линейными размерами А. Что можно сказать о ее положении в последующие моменты? Из рис. 39 видно, что в перемешивающей системе область Л довольно быстра расплывается по изоэнергетической поверхности (или по энергетическому слою толщиной AW), образуя сеть /九 ячейки которой измельчаются со временем. О положении фазовой точки теперь можно сказать только то, что она находится где-то в слое ”，A IF). Причем* вероятность ее обнаружения в какой-либо ячейке размерами №п согласно (31.66) равна Д2л/Г (Wt ^W)t где Г (Wt &W) — объем энергетического слоя. Поэтому в качестве меры неопределенности состояния системы при достаточно больших / можно выбрать величину

S (旧 ^W) = In Г (Wt ДГ), (33・1> которая называется энтропией системы. Эта величина, как видно, не зависит от начального состояния и размеров области Л.

Величина S (W, Д W) является характеристикой полностью перемешанного потока. Наряду с ней удобно определить энтропию как меру расплывания, перемешивания области А. Поскольку мера

•области At = TtA не изменяется со временем, эту величину нельзя использовать для определения энтропии. Подходящей является Д-огрубленная область At (А). Д-Огрублением области At назовем следующую операцию. Окружив каждую ▲屮нку области At сферой радиуса А, получим объединение всех сфер. Это объединение назовем Д-огрубленной областью и обозначим ее через At (Д). Операция Д- огрубления по существу уже использовалась нами в начале параграфа и связывалась с точностью определения состояния системы. Мера области At (А) увеличивается, вернее, не убывает, со временем. Действительно, с течением времени всякая область расширяется в ■одних направлениях, лежащих в подпространстве расширения (см. § 31, п. 6), и сужается во столько же раз в других. Операция огрубления фиксирует размеры области в направлениях сужения величиной А, позволяя неограниченно увеличиваться в направлениях расширения. Фазовый объем области At (А)

门4 (А) = А2rxp (頂)，Г -(33.2)

где п — К-энтропия системы.'' ■ '■

Это выражение справедливо, если Г (А( (Д)) <: Г (% A W), т. е. на интервале времени..

M =(33.3)

Если р (W)——характерный размер энергетической поверхности, то

, 2л—1 . р ”). р (犷)то 八

= ь.(33.4)

Здесь учтено, что толщина энергетического слоя порядка А. При / > /д, очевидно, Г(4 (А)) = Г (W, AW). Как видно из (33.4), величина /д нечувствительна к изменениям А, т. е. к степени огрубления А, поскольку /д того же порядка, что и те,広〜％ = =(2п — 1 )/т|.

Макроскопической энтропией системы назовем величину

S”，ЛДД))=1пГ(ЛДД)).(33.5)

Как следует из (33.2),

S”，ЛДД)) = (^ + 2п1пЛ, ^/д, ■(33.6)

Наряду с макроскопической можно ввести также микроскопическую энтропию

S(W, %) = Ini1 ⑷.(33.7)

Эта величина с течением времени не изменяется и равна In Г (А), в то время как макроскопическая энтропия увеличивается со временем или не уменьшается:,.

S”, 4(А)) = {М：；； [(33.8)

С ростом энтропии связывается необратимость эволюции динамической системы. Эта особенность поведения перемешивающих динамических систем была предметом длительных споров с момента получения Больцманом его знаменитого кинетического уравнения, которое, казалось, противоречит обратимый уравнениям движения системы. Не останавливаясь на подробном обсуждении этого хорошо известного противоречия и путей его преодоления (см., например, (264, 265]), напомним, что впервые процедура огрубления и ее существенная важность в трактовке необратимости были разъяснены П. Эренфестом и Т. Эренфест [266]. Заметим, что неуменьшение макроскопической энтропии наблюдается и при замене f на ——f. Действительно, в этом случае подпространство расширения становится подпространством сужения и, наоборот, К-энтропия не изменяет своего значения и

S (W.』_/(А)) = S (W\ At (A)). (33.9)

Соотношение (33.9) отражает симметрию эволюции при замене t на —Л

В кинетической теории процедуре огрубления эквивалентна эргодическая гипотеза, используемая при выводе кинетических уравнений и обеспечивающая свойства (33.8), (33.9) макроскопической энтропии (см. (2641).

Покажем, что макроскопическая энтропия системы сохраняется при медленном изменении параметров (31.79) на интервале времени О W / & 1/е в。веех порядках по е. Этот результат следует непосредственно из результатов, изложенных в §31, п. 6 и § 32, п. 2, где показано, что интеграл по слою

^(Z, AZ)= J dpdq (33.10)

является адиабатическим инвариантом. Выберем некоторую область Л, принадлежащую в начальный момент многообразию 2 (р, q,入)= =Z (f; ZJ. Д-Огрубление области At приводит к тому, что At (А) через время f > f& плотно покроет слой Z (/; Zo — AZ) < Z < Z (С Z。+ AZJ и в дальнейшем будет совпадать с этим слоем, фазовый объем которого (33.10) является адиабатическим инвариантом. Поэтому таковым является и энтропия

S (Z, AZ) = In Г (Z, AZ) = In 厶门(Z AZ).

Как видно, медленное изменение параметров не приводит к перемешиванию по W (напомним, что W близко к Z, см. (31.92)). Это означает, что флуктуации энергии системы вокруг среднего значения Z (f) не нарастают при медленном изменении параметров, а эволюция имеет обратимый характер. 一， 、• • • _ •

§ 34. Вековое ускорение Луны

В§ 16, п. 2 упоминалось о том, что значительная часть наблюдаемого векового ускорения Луны объясняется уменьшением эксцентриситета орбиты Земли. Убедимся в том, что величина векового ускорения 10", 18/век2, найденная Лапласом, следует из сохранения адиабатического инварианта, связанного G движением Луны.

Движение Луны будем рассматривать относительно системы отсчета, вращающейся вокруг Солнца вместе с Землей (см. § 7). Зависимость угловой скорости вращения от времени определяется формулами Кеплера (11.10), (11.14) и при эксцентриситете е, стремящемся к нулю, такова:

①(/) = 1 + 2е cos / + 斤 е2 cos 2f + • • •(34.1)

(мы считаем, что, как и в (7.22), средняя угловая частота обращения Земли вокруг Солнца равна единице). Эксцентриситет земной орбиты в настоящее время медленно уменьшается:

е (f) = е0 — ctf,(34.2)

где е0 = 0,016722 [166], а =4,275 * 10~7/год [267]. Считая вращение Луны во вращающейся системе отсчета периодическим, находим адиабатический инвариант движения Луны, который согласно (32.21) будет-

/ = f [р + 加厶3 х q] dq,二[不；通；3； (34.3)

где p =恤岳 /hl — масса Луны. Вычислим интеграл (34.3) в предположении, что Луна движется вокруг Земли по окружности радиуса а и частота обращения Луны равна Q. Подставляя координаты Луны,

X = a cos Q/t Y*=asinQf(34.4)

в интеграл (34.3), получаем'

/ =也也恭一也+ s(X卜Т*胃43]'

，*= 2冗团丄(Q + со) а2.(34.5)

Здесь т == 2n/Q — период обращения Луны. Поскольку частота обращения Луны по круговой орбите определяется формулой

®=亲，(34.6)

где 卩 一 масса Земли (считаем, что гравитационная постоянная 6 = 1), адиабатическая инвариантность интеграла (34.5) означает постоянство величины

£Г%(1+т),. и, (34.7)

где、

'加=■ (34.8)

Из постоянства (34.7) следует, что

Q = c(l+3加 + 3加2 三…)(34.9)

(С — константа, степенями т выше второй будем пренебрегать). Для того чтобы найти вытекающее из (34.9) вековое ускорение Луны, рассмотрим более общую зависимость

Q = С (1 + 咖 + 力团：(34.10)

Введем величину，「 • ,、

孔=卷-…七 1(34.11)

(обозначение Qo означает зна<№ПМММЯЙМ^В'ПИалъный момент》 времени). С помощью элементарКЩ 01ШШ1М1 яриодим от (34.10)〔 к формуле” ： I*

Q (£) в Q()[ 1 + Q (м -• Mq) + (b —犀)(〃2 — По)].

(34 .⑵

К вековому ускорению Луны, т. е. к появлению в долготе Луны

(Р (0 = j Q (f) di「

квадратичного по времени слагаемого, приводит один член из формулы (34.12):

Ф (/) = • • • + (力一”)Qq j n2 (0 dt

(b -炉)(b -炉)• • • +2• • • +2◎оe-出)◎оe-出)0)2 (f) dt0)2 (f) dtJ e2 (/) dtJ e2 (/) dt.—2.—2e0a/2 =・・•e0a/2 =・・•-a-a

(b -炉)

(b -炉)

• • • +2

• • • +2

◎о

e-出)

◎о

e-出)

0)2 (f) dt

0)2 (f) dt

J e2 (/) dt

J e2 (/) dt

.—2

.—2

e0a/2 =・・•

e0a/2 =・・•

-a

-a

Таким о^аэсис» вековое ускорение

(34.13)(34.13)〔'。=-2 . 104 5~^%а.

(34.13)

(34.13)

Для cpaB8eM*> приведем вековое ускорение Луш^ Mti6#№oe Лапласом'

(34.14)(34.14)ад =4-Ю4 -^-« 107век2.2 Щ

(34.14)

(34.14)

С помоЩкЮ (34.14) представим формулу (34.13) в следующем виде:

а =^- (b — а2) 0&а =^- (b — а2) 0&(34.15)(34.15)

а =^- (b — а2) 0&

а =^- (b — а2) 0&

(34.15)

(34.15)

На^дм теперь вековое ускорешю Луны, следующее Нз найденного адн啊Емкого инварианта. Сси^ш^о (Й ^)> (34.10) и (34.15)

о⑴= 8“，’'■(34.16)

т. е. полученное вековое ускорение в 8 раз превышает на访денное Лапласом. Это, разумеется, связано с тем, что приближение орбиты Луны окружностью слишком грубо. Значительно ближе к реальной орбите Луны траектория, описываемая периодическим решением уравнений Хилла (7.31):

X — 2®У + / / W — Зсо?) X = О,X — 2®У + / / W — Зсо?) X = О,У + 2®Х 4У + 2®Х 4(34.17)(34.17)j/(Х2 + уа)зj/(Х2 + уа)зУ=0.У=0.

X — 2®У + / / W — Зсо?) X = О,

X — 2®У + / / W — Зсо?) X = О,

У + 2®Х 4

У + 2®Х 4

(34.17)

(34.17)

j/(Х2 + уа)з

j/(Х2 + уа)з

У=0.

У=0.

С пямМИВЦВМАНннн порядка /и? уравнениям (34.17) удовлетвори• ют пфтЯйММКВе решения [2671, известные еще Ньютону [2681：

,「Х = а[(1^|"团力cos Qf + ^m2cos 3Qf],

' ；；「Y = a [(1 + 叫 sin Qf + 备团2 sjn 3Q“ .

'(34.18)

Из уравнений Хилла следует связь между Qua, аналогичная (34.6):

В0+2m + 4■叫=左.В0+2m + 4■叫=左.(34.19)(34.19)

В0+2m + 4■叫=左.

В0+2m + 4■叫=左.

(34.19)

(34.19)

Адиабатический инвариант (34.3), как нетрудно убедиться, в случае периодического решения Хилла (34.18) такой же, как и для круговой орбиты (34.4). Однако замена (34.6) на (34.19) приводит к тому, что вместо (34.7) сохраняется величина

Qf%(l + m)0+ 2m +等成厂%. (34.20)

Из постоянства (34.20) следует, что

R = С (1 +/л/(1 + 2m + 等川厂"匸

:=C(l 一m + 0团2+…).(34.21)

Из (34,21); Ябйользуя (34.10) и (34.15), находим вековое ускорение

0⑵=等0厶

значительно более близкое к найденному Лапласом, чем (34.16).

Нетрудно понять, почему полученный нами результат расходится с результатом Лапласа. Уравнения Хилла, как показано в § 7, приближенно описывают движение Луны, если эксцентриситет

орбиты Земли равен нулю. Считая, что о в уравнениях (34.17) изменяется со временем согласно (34.1), мы в значительной степени учли эллиптичность земной орбиты, но не полностью. Необходимо еще учесть то, что расстояние от Земли до Солнца также изменяется со временем согласно второй из формул 亿22):

、八/? (О = 1 — е cos /j-e2 (cos 2/ — 1) + ・•・

.「「； . (34.22) (в рассматриваемом нами предельном случае масса Солнца М = 1, масса Земли 卩-> 0). Полагая в (7.21) * = X + R ⑴，у = К, получаем вместо уравнений Хилла (34.17) следующие уравнения:

х -2mУ —ЙУ+-зйа+ 「т [ Мхз + К

+ 2 (d+ 2 (dУ+2соХ + 6Х +У+2соХ + 6Х +Мхз + #Мхз + #

+ 2 (d

+ 2 (d

У+2соХ + 6Х +

У+2соХ + 6Х +

Мхз + #

Мхз + #

О?^3~ 三 4 (% /) = 8 СОв t +

+ -^- е2 (5 cos 2/ + 1).+ -^- е2 (5 cos 2/ + 1).(34.24)(34.24)

+ -^- е2 (5 cos 2/ + 1).

+ -^- е2 (5 cos 2/ + 1).

(34.24)

(34.24)

Решение уравнений (34.23) при постоянных со н R приводит к периодическим решениям, которые можно получить из (34.18), если в них произвести замену

加2-*紋 + /(8, f)/Q2. (34.25)

Изменится также соотношение (34.19). Новая связь между Qua следует из (34.19) с помощью замены

备评f 亲团2一十4佃,f)/Q2.=/ (34.26)

Согласно (34.25) адиабатический инвариант (34.3) для возмущенного периодического решения Хилла, по-прежнему, такой же, как и для кругогой орбиты. Однако вследствие (34.26) теперь вместй (34.21) имеем формулу

Q = С(1 —т + }е2团2 + …) (34.27) (мы не выписываем не приводящих к вековому ускореишд периодических слагаемых). По формуле (34.27) получаем век^ое ускорение о⑶=。& найденное Лапласом. 「

Полученный нами результат справедлив при условии, что функции со ⑴ н R ⑴ изменяются бесконечно медленно по сравнению с частотой обращения Луны, т. е. при условии, что Q 》 1 ・ При том же условии справедлив и результат Лапласа. Как отмечалось в § 16, п. 2, Адамс показал, что ряд по степеням 1/QO для векового ускорения сходится очень медленно и приводит к вековому ускорению, почти в два раза меньшему, чем найденное Лапласом. Можно ли получить результат Адамса, аналогично тому как мы получили ре- вультат Лапласа? По-видимому, да. Поскольку Q » 13, то, прежде всего, мы не должны ограничивать себя условием Q》1. Это вполне возможно. Уравнения (34.23) имеют периодические решения не голько при фиксированных значениях о)и /?, но и тогда, когда со и R зависят от времени. Периодические решения уравнений (34.23) можно было бы найти, например, с помощью метода малого параметра Пуанкаре. Вычислив адиабатический инвариант соответствующих периодических решений (при фиксированном эксцентриситете е), можно было бы найти и вековое ускорение Луны. Постоянство адиабатического инварианта при таком расчете обеспечивалось бы крайне малой скоростью изменения эксцентриситета е.

§ 35. Адиабатическая, 一

, инвариантность、”

магнитного потока

*через орбиту заряженной частицы

Среди адиабатических инвариантов движения заряженной частицы в неоднородных переменных электромагнитных полях поток через орбиту имеет большое значение. Он связан с приближенной пространственной симметрией траекторий частиц в неоднородном магнитном поле и налагает существенные ограничения на траектории частиц. Благодаря сохранению этого инварианта заряженные частицы длительное время удерживаются в дипольном магнитном поле Земли, других планет, а также звезд, образуя ионосферные слои и радиационные пояса.

Отличающиеся от дипольной конфигурации магнитного поля (рис. 47) широко используются в лабораторных условиях для удержания высокотемпературной плазмы в исследованиях, направленных на решение проблемы управляемого термоядерного синтеза. Такие магнитные ловушки, предложенные Г. И. Будкером [269], получили название адиабатических.

В ином виде адиабатическая инвариантность магнитного потока через орбиту проявляется в коллективных движениях электронов в сверхпроводниках второго рода: здесь образуются структуры вихревых нитей с квантованным магнитным потоком. Это явление имеет формальную аналогию с образованием квантовых вихревых нитей в сверхтекучей жидкости (см. § 35, п. 2, 3).

Движение заряженной частицы в неоднородном магнитном поле. Внешние электрическое Е (х, 0 и магнитное В (х, f) поля входят в уравнения движения заряженной частицы как распределенные (зависящие от коор*

дин ат), изменяющиеся во време- ' ни параметры. Пусть поле

Eq = Ео (х, f,九)，Во = В。(х, t9 X), X £ D入

*醬l《i，*醬l《i，(35.1)(35.1)(入一параметр, принимающий значения, принадлежащие области Е), таково, что частица совершает в нем периодическое движение с пространственным периодом / и частотой о), зависящими от начальных условий, а также от Ео и Во. Рассмотрим теперь движение частицы в поле, мало отличающемся от Ео, Во, а именно таком, что

*醬l《i，

*醬l《i，

(35.1)

(35.1)

' 千岩|《i，，= 2m

При выполнении приведенных условий внешние поля медленно изменяются вследствие изменения К при движении частицы, близком к периодическому, для которого существуют адиабатические инварианты. В настоящем пункте рассмотрим движения частиц только в магнитном поле (Е =0).

Адиабатические инварианты заряженной частицы, движущейся в магнитном поле, изучались в связи с проблемой квантования в период становления квантовой механики (см. § 18—20). Позже, изучая характер движения космических частиц в магнитных полях, Альф- вен обнаружил адиабатическую инвариантность поперечного момента частицы (он равен магнитному потоку через ларморов кружок) [270L В 1955 г. Н. Н. Боголюбов и Д. Н. Зубарев [271] (см. также [237]) обобщили метод асимптотических разложений Крылова —— Боголюбова на случай быстро вращающейся фазы и, применив его к уравнения" движения частицы в слабо неоднородных полях, для которых выполнены условия вида (35.1), получили уравнения первого приближения. Йз них следует адиабатическая инвариантность потока через ларморов кружок. Н. Н. Боголюбов и Д. Н. Зубарев отметили, что путем асимптотических разложений можно получить адиабатический инвариант произвольного порядка. Во втором порядке он был найден С. И. Брагинским [272]. Несколько позже Крускал [10] в связи с решением проблемы удержания плазмы в магнитных ловушках также применил метод асимптотических разложений к системам с быстро вращающейся фазой и довольно подробно рассмотрел вопрос о существовании адиабатических инвариантов произвольного порядка для таких систем. В. И. Арнольд [273], применив теорему Колмогорова, показал, что в идеальной осесиммет-

ричной ловушке совершающая двухмерное движение заряженная частица имеет вечно сохраняющийся адиабатический инвариант.

Адиабатические инварианты частиц в неоднородном магнитном поле изучались в ряде работ (см., например, [10, 11, 274]). Отметим особо работу Б. В. Чирикова [275L в которой весьма подробно исследуется точность сохранения адиабатического инварианта частицы в адиабатической ловушке с привлечением теоремы Нехорошева и приводится анализ имеющихся экспериментальных данных.

Если в качестве динамических переменных выбрать пространственные координаты х и импульсы заряженной частицы с зарядом е и массой т, то канонически сопряженными g переменными х являются компоненты канонического импульса: .—.

Р = mv + g А,； г (35.2)

где А ——векторный потенциал электромагнитного поля, v = х — скорость частицы, с — скорость света.

Гамильтониан частицы в магнитном поле,- как известно, имеет вид

в реля^нМ^сгёком случае, а в нерелятивистском пределе

"二,"=嘉@一#『•.., .(35.3)

Отсюда с учетом (35.2) вытекают уравнения движения частицы в магнитном поле

毋=匕-^-=4-[vB], В = rot А, (35.4)

справедливые в релятивистском и нерелятивистском пределах, если полагать

где m0 — масса покоя. • …

Как показано в § 31, 32, адиабатические инварианты связаны с симметрией интегральных кривых. Интересующий нас инвариант связан с приближенной пространственной симметрией траекторий частиц, порождаемой симметрией магнитного поля. Рассмотрим случай однородного постоянного магнитного поля, когда В не зависит от х. Введем декартову систему координат так, чтобы ось Z была ориентирована вдоль магнитного поля. Тогда из (35.4) следует

(35.5)(35.5)替=祭=。，=成+遂

(35.5)

(35.5)

患=恤 0 = arctg 芻，зв = * •

& 丁4 = %)，〃* = %ocose, ^ = v10sin9,

一 . 70 = 00 + *

с , . — : z = z° 十％。厶 % = Xo —sin0,-

■ .-^ =乙一詁3"，(35.7>

…〔 Xo = Xo —『sine。，乙=%+ 計cose。.

Полученные решения показывают, что в однородном магнитном поле движение частиц можно разделить на ларморово вращение с частотой ©в и равномерное поступательное движение вдоль магнитных силовых линий. Пространственные траектории представляют собой винтовые линии с радиусом рв =П®в и шагом /г = 2twJ®в> лежащие на цилиндре с радиусом р^, ось которого (Хо,匕)，z) параллельна Z. При поворотах вокруг оси траектории преобразуются одна в другую. Таким образом, цилиндр — это инвариантная относительно поворотов по 0 и сдвигов по z поверхность.

Пусть теперь магнитное поле пространственно неоднородно, В = В (х), но изменяется мало при смещениях вдоль силовых линий на расстояние 厶 и поперек силовых линий на расстояние р^：

"联 |~рв|¥| = &《1・(35.8>

Здесь V и, V丄—производные вдоль и поперек поля.

Если условие (35.8), являющееся повторением условия (35.1)» выполнено, то при смещении частицы вдоль траектории за один ларморов период магнитное поле изменится мало. Можно ли, пользуясь этим условием, построить поверхности в конфигурационном пространстве, локально мало отличающиеся от цилиндров радиуса р& ориентированных вдоль магнитного поля, инвариантных относительно сдвигов 7\, на которых лежат траектории, преобразующиеся одна в другую при поворотах? Предположим, что ответ на этот вопрос положителен. Выберем точку на инвариантной поверхности. Под действием поворотов по 0 она очертит орбиту^, охватывающую- поверхность. Под действием оператора Tt орбита перейдет в другую- орбиту 化力 лежащую на той же поверхности. Тогда

/(/)= $ Pdl,(35.9>

%

где Р — канонический импульс (35.2) — интегральный инвариант (ем. (9⑵).

Покажем, что методом асимптотических разложений можно построить асимптотические интегральные многообразия, пространственные проекции которых являются приближенными поверхностями с требуемыми свойствами, а связанные с ними интегралы (35.9)—— адиабатическими инвариантами. В первом приближении — это магнитный поток через орбиту.

Зависимость В = В (х) не вполне произвольна: согласно уравнениям Максвелла

divB = 0.(35.10)

Напряженность и ориентация магнитного поля изменяются в пространстве. Удобно ввести систему координат, связанную с магнитными силовыми линиями. Выберем ортогональную локальную систему с единичными ортами е1( е2, е3, так чтобы орт е3 был ориентирован по полю: е3 = В/В, а е2 — перпендикулярны е3 и взаимно перпендикулярны: * = le2e3], е2 = [e3ej. Конкретный выбор ориентации ортов ег, е2 в дальнейшем несуществен.

Чтобы привести уравнения движения (35.4) к системе вида (31.6) — (31.9), введем вместо х переменную

R = х — р = х — eipBsin О + е2PBeos 0,(35.11)

которую называют координатой ведущего центра. При 0 = 0 -? 2л вектор р описывает орбиту, лежащую в плоскости (е】，е2). Кроме того, в качестве независимых динамических переменных выберем Ун = % и丄=(и! + 喲％ и 0 = arctg 网％), положив

V1 = ei (*v) = CR丄 cos 0, v2 = e2 (e2v)=

—J"丄 sin 0,(35.12)

и представим В (х) в виде разложения по степеням р в окрестности R:

B = B(R) + (pV)B+ •••(35.13)

Подставляя (35.11) — (35.12) в (35.4), получаем следующую систему уравнений:

券=(vV丄)(jpE cos9 — e2PB sin 0) + e3v3,

= Vi (excos0 + e2sin 0)e8,1'

$ l「-^- = —1/[| (excos 9 + e2sin 9) e3,「 (35.14)

畧 н зв (R) + (pV) зв (R) + / cos 0 +& sin 0 + 十u句，...--,

&, = (vV) e/e .' .J 一 一 ；

Замечая, что слагаемые, содержащие дифференциальный оператор (vV) в (35.14) порядка е в силу (35.8), видим, что правые части уравнений содержат только малые, порядка е, слагаемые, зависящие от быстрой фазы. К этой системе можно применить метод асимптотических разложений (см. § 31, п. 1) для отыскания такой замены

Z = Z(R,仆，。丄，0), W = “(R, у к，。丄，0)

(35.15)

(здесь Z — пятимерный вектор, компонентами которого в нулевом приближении являются (R, t/ц, и丄),а 屮一угловая переменная), что уравнения движения примут вид

% = e/i(Z), *=R(Z).(35.16.)

Решая (35.16), находим асимптотические инвариантные интегральные многообразия

Z(R, %, 〃丄，8) = Z(f, Z^(35.17)

проекциями которых на конфигурационное пространство являются орбиты 化力 с которыми связаны адиабатические инварианты.

В первом приближении /i (Z) н Q (Z) получаются усреднением правых частей (35.14) по_0, а компоненты Z равны средним за ларморов период значениям (R, и”, и丄)(см. § 31, п. 1). В результате несложных выкладок (подробнее см., например, [11, 237, 271]) после усреднения из (35.14) следует система уравнений

'”…• drВ тс + *)-

к万 + —2%：“ . [BYB], (35.18)

••‘•弋，-广・，:富dunmu2.

「『-：；. m —= — ц? [jB, ц = —2g—, 屮；二 (35.19)

二"攀= #%в,需= зв.,(35.20)

Здесь R = r, 〃n = 砌],。丄= 〃丄，8 = 屮.Напряженность магнитного поля н зв в уравнениях (35.18) — (35.21) берутся в точке г. В этом приближении Z не зависит от 0 и орбитой является ларморова окружность с радиусом р_е (г)= 〃丄/з_е, лежащая в плоскости, перпендикулярной магнитному полю в точке г. Установив вид пространственной проекции асимптотического интегрального многообразия первого порядка и орбиты, можно с помощью соотношения (35.9) вычислить адиабатический инвариант первого порядка:；

/ (Z) — , Pdx —

. 2л

,=j /тш 丄pB(r)d8——^-fA(r+p)dx・(35.21)

Первый интеграл, очевидно, равен 2лпг〃丄рв, а второй преобразовывается в итеграл от rot А по ориентированной площади ларморо- вого кружка. Замечая, что rot А = В, а площадь ориентирована против направления магнитного поля (частица в магнитном поле вращается так, что ее магнитный момент направлен против В), полу- ・ чаем

^- f Adx =^- В (г}лрв = — nmuip^.

'二-(35.22)

Поэтому . . ；； L

1 = 2л/тш 丄 рв — яти^рв =冗 m〃丄 p^・(35.23)

;Как видно из (35.21) — (35.23), адиабатический инвариант по величине пропорционален магнитному потоку через орбиту л Bps и моменту частицы ти^рв = mz/i/^s или магнитному моменту mujB. Под такими названиями он и встречается в литературе.

- Вернемся к уравнениям движения ведущего центра (35.18)— (35.20). Из (35.18) видно, что частица, совершая ларморово вращё- нне, движется со скоростью 以 ц вдоль магнитных силовых линий и дрейфует поперек магнитного поля со скоростью

тс (и n +〃 3) с—с鼠з丄田砌;тс (и n +〃 3) с—с鼠з丄田砌;УДР ^УДР ^〃『+wWgR。〃『+wWgR。

тс (и n +〃 3) с—с鼠з丄田砌;

тс (и n +〃 3) с—с鼠з丄田砌;

УДР ^

УДР ^

〃『+wWgR。

〃『+wWgR。

(35.24)

где R。一 радиус кривизны магнитной силовой линии в точке г. -Как видно, % ~ 以рв/凡，где и — скорость частицы, т. е. величина малая, порядка е, по сравнению с и.

В уравнении (35.19) коэффициент в правой части равен магнит- ；；ному моменту частицы, который в силу (35.23) является адиабатическим инвариантом. Это уравнение можно представить в виде ms + ц "］；：丄)=°・(35.25)

Здесь s — длина, отсчитываемая вдоль магнитных силовых линий, 「丄一поперечные координаты, отсчитываемые на поверхностях, ортогональных в каждой точке магнитному полю. Уравнение (35.25) описывает движение частицы в потенциальной яме 卩В (s, г丄).Ввиду малости t/др будем пренебрегать изменением「丄 и 卩В (s, i•丄)во времени. Тогда интегралом движения будет энергия частицы

+阳(s) = Г. (35.26)

Отсюда видно, что точками отражения частицы являются точки, в которых

；「雜⑻=—^-Г, “(35.27)

т； е. точки, где вся энергия частицы переходит в поперечную кинетическую энергию. Частица колеблется в окрестности минимума магнитного поля, если ее продольная кинетическая энергия mu^/2 меньше, чем максимальные значения цВ. Это условие обычно представляют в виде

(35.28)

где Во и Вт — минимальное и максимальное значения напряженности магнитного поля на магнитной силовой линии.

На рис. 47 показана адиабатическая магнитная ловушка, используемая для длительного удержания заряженных частиц в лабораторных условиях. Напряженность магнитного поля минимальна в* центре ловушки и увеличивается к торцам, образуя магнитные пробки для частиц. На рисунке изображены линии постоянных значений напряженности магнитного поля и участок траектории между точками отражения.

Осциллируя между точками отражения при продольном движении, захваченная в ловушку частица медленно дрейфует поперек магнитного поля. Поперечные координаты「丄 в (35.25) — медленно изменяющиеся параметры, н, следовательно, частица имеет адиабатический инвариант (его называют продольным)

/ и = f mu и ds, (35.29) равный средней кинетической энергии частицы. Магнитный поток не дает вклада в этот инвариант ввиду продольности движения.

Точки отражения частицы образуют линии, по одной у каждого из торцов ловушки. Соединяя эти линии магнитными силовыми линиями, получаем поверхность, которую покрывает траектория в процессе дрейфа. На рис. 48 изображено движение заряженной частицы в дипольном магнитном поле Земли. Показана линия В = =const и поверхность дрейфа частицы (утолщенная линия). С поверхностью дрейфа связан еще один адиабатический инвариант — магнитный поток через сечение поверхности дрейфа. Сечение поверхности дрейфа представляет собой гигантскую (по сравнению с рв) орбиту траектории частицы, и поэтому

/др = § = Adi — Ф (5дР) (35.30) 化

(S4p ——площадь сечения поверхности дрейфа, Ф — поток через него) является адиабатическим инвариантом. Этот инвариант ограничивает дрейфовое движение частицы в случае, когда магнитное поле изменяется со временем. Для заряженных частиц, захваченных магнитным полем Земли, изменение магнитного поля обусловлено вращением Земли и отсутствием осевой симметрии ее магнитного поля. В лабораторных магнитных ловушках часто поддерживается не стационарное, а квазистационарное магнитное поле, например,

при изменениях режимов работы ловушки.

Разделение движения частицы на ларморово вращение, продольные осцилляции и поперечный дрейф возможно только в первом по е приближении. В низшем приближении существуют и адиабатические инварианты (35.23), (35.28), (35.30). Резонансная связь между этими движениями в высших приближениях приводит к разрушению адиабатических инвариантов и диффузии Арнольда (см.

§ 29, 31), а следовательно, и к потерям частиц в ловушках из- за ухода через пробки при нарушении условия (35.28). Степень сохранения адиабатических инвариантов имеет поэтому определяющее значение для Времени удержания частиц в ловушке, от которого зависят условия энергетического баланса термоядерного реактора. Время удержания частиц в магнитном поле Земли определяет структуру и параметры радиационных поясов. Б. В. Чириков [275] тщательно исследовал точность сохранения инварианта (35.23) в адиабатических ловушках. Проведенный им анализ имеющихся экспериментальных данных показывает, что наблюдаемая скорость ухода частиц несколько превышает скорость диффузии Арнольда, оцениваемую по теореме Нехорошева. Из-за экспоненциального характера оценок этой величины и известных погрешностей подставляемых в них параметров экспериментальных установок, а также вклада в диффузию не учитываемых в теоретической модели механизмов обнаруженные расхождения естественны.

О происхождении быстрых космических частиц (теория Ферми). Свойства движения заряженных частиц в неоднородном магнитном поле были использованы Ферми для объяснения происхождения быстрых высокоэнергетичных космических частиц [276]. В космическом излучении наблюдаются быстрые тяжелые частицы, преимущественно протоны с энергией несколько гигаэлектронвольт, а также более тяжелые ядра и значительно уступающие им по энергиям электроны. В космических условиях плотность частиц равна 1 атом водорода в 1 см3, средняя напряженность магнитного поля В 〜 5・ ICT-' гаусс, характерный пространственный масштаб неоднородности магнитного поля равен примерно 1018 см, средняя скорость движения космической плазмы V да 30 км/с. С такой же скоростью перемещаются и магнитные поля в космическом пространстве, поскольку вследствие малой плотности проводимость космической плазмы идеальна, и поэтому магнитные силовые линии «вморожены» в вещество, т. е. перемещаются вместе с космической плазмой . Ферми показал, что в результате столкновений с магнитными

облаками протоны будут стохастически ускоряться, набирая энергию. Рост энергии компенсируется потерями за счет кулоновских столкновений с атомами (энергия при этом расходуется в основном! на ионизацию атомов) и при ядерных столкновениях. Ионизационные потери протонов становятся несуществен-ными при энергиях, превышающих 200 мегаэлектронвольт, а сечения ядерных столкновений сравнительно редки ——средняя длина пробега между такими столкновениями оценивается величиной 7 • 102В см. Частица, движущаяся со скоростью света, пройдет такое расстояние примерно за 60 миллионов лет.

Ларморов радиус протона с энергией порядка гигаэлектронвольта в космическом магнитном поле, равный примерно 1012 см, намного меньше характерного масштаба неоднородностей магнитного поля порядка 1018 см. Поэтому критерий слабой неоднородности магнитного поля (35.8) выполняется и можно воспользоваться приведенными в п. 1 уравнениями дрейфового приближения. Благодаря наличию адиабатического инварианта (35.23) частицы отражаются от областей с повышенной напряженностью магнитного поля (35.27). При движении в статическом магнитном поле такие отражения час* тиц от магнитных облаков не приводят к изменению энергии, однако, поскольку облака движутся (их средняя скорость около 30 км/с)> энергия частиц изменяется. Действительно, в системе покоя магнитного облака полная энергия частицы не изменяется после отражения и отношение продольной скорости к поперечной постоянно на поверхности постоянной напряженности магнитного поля (35.28), так что при пересечении поверхности В = Во после столкновения продольная скорость частицы 〃，)(Во) равна по значению скорости на этой поверхности до столкновения 小，(Во), но противоположна по направлению (имеет место упругое отражение). В системе покоя Галактики магнитное облако движется со скоростью V. В этой системе

小? 一 2 %], где V и — проекция скорости облака по направлению В в области отражения. Энергия частицы изменяется после отражения на величину \W а 2тии Vи. Отсюда видно, что частица приобретает энергию ^W^t сталкиваясь с магнитным облаком, движущимся ей навстречу, и теряет энергию \W- при столкновении с удаляющимся от нее облаком. Из-за изотропии распределения скоростей магнитных облаков средние значения А %, и АН/一 равны, однако частица чаще нии) так, что к моменту / площадка So перейдет в площадку Sf (Sf = T/SOI Т/ — оператор сдвига вдоль линий потока плазмы). Тогда для идеально проводящей плазмы

ф (Sf) = j Bd6 =①(S。).st

Вывод этого соотношения см., например, в работе [277]. Как видно, поток qepe» площадку St является интегральным инвариантом идеального магиитогидроди- иамического потока (ср. с потоком через орбиту, § 31, п. 1),

сталкивается с магнитными облаками, движущимися ей навстречу, чем с удаляющимися от нее. При нерелятивистских скоростях частицы средняя частота столкновений с движущимися навстречу облаками V4- пропорциональна и + V» а частота столкновений с удаляющимися облаками v_ пропорциональна и — V. Поэтому в среднем за столкновение частица приобретает энергию

ДГ«2ти7^^ = 2^,；

так что для изменения средней энергии частицы справедливо урав-

-d〈W〉— 2m〃H…j

где 厶 ——длина пробега частицы между столкновениям# е MSMmlfa^ ми облаками. В релятивистском пределе это уравнение мбдафици- руется:二 --

d<r)=2 <Г) 〃H,_'

Здесь W ——полная энергия, включающая энергию покоя тс2* Полученные уравнения описывают неограниченный рост энергии космических частиц. Если учесть потери энергии частиц из-за столкновений с веществом, то средняя энергия частицы оказывается конечной, а функция распределения частиц по энергиям ——степенной.

Подобный описываемому Ферми механизм стохастического ускорения наблюдается и при взаимодействии заряженных частиц с переменными электромагнитными и электрическими полями. Он детально изучался в разнообразных задачах физики плазмы и использовался для объяснения разнообразных происходящих в ней явлений (см., например, [2781).

Квантование магнитного потока в сверхпроводниках. Квантованные вихри в сверхтекучей жидкости. Старая квантовая механика и правило квантования Эренфеста, утверждающее, что квантовать нужно адиабатические инварианты периодических (или условнопериодических) движений, подробно обсуждались в § 18, 19. Казалось бы, с возникновением настоящей квантовой теории правило Эренфеста стало достоянием истории. Однако это не совсем так. Правило Эренфеста дает возможность предсказывать и приближенно описывать квантовые эффекты в тех случаях, когда полная квантовая теория явления еще не разработана или же настолько сложна, что путь от теории к наблюдаемому квантовому явлению слишком долог и труден. Рассмотрим два примера использования правила Эренфеста: квантование магнитного потока в сверхпроводниках (Ф. Лондон, 1950) и квантование вихрей сверхтекучей компоненты скорости в гелии II (Онсагер, 1948; Фейнман, 1955) [279, 280].

- Замкнутое движение тока в сверхпроводнике или замкнутое движение сверхтекучей компоненты жидкости в гелии II практиче-

ски продолжается неограниченно долго. Указанным замкнутым движениям соответствуют некоторые движения куперовских пар электронов с зарядом 2е в первом случае и атомов гелия — во втором. Траектории куперовских пар и атомов гелия, вообще говоря, не должны быть замкнутыми. Однако можно считать, что движение пар и атомов можно разложить на периодическое движение вдоль линий тока ——движение по орбитам ——и движение, нормальное к ним. К периодическому движению по орбитам применимо правило квантования Эренфеста. Считая, что движение куперовских пар происходит в магнитном поле В = rot Н, имеем

$(2/nv + А ) dx = 乂儿 *(35.31)

Mv dx = ^Я,“ (35.32)

где m и М — массы электрона и атома гелия, vs——скорость сверхтекучей компоненты в гелии II. Введя плотность сверхпроводящего тока j = 2ему (п — плотность пар), представим (35.31) в виде

@^Ч&х + 0)= 2皆.(35.33)

Здесь Ф — поток магнитного поля через контур интегрирования в (35.31). Известно, что ток в сверхпроводниках первого рода течет только вблизи поверхности. Поэтому, если линейные размеры сверх， проводника намного больше глубины проникновения тока внутрь сверхпроводника, можно выбрать контур интегрирования в области, где ток исчезающе мал, и пренебречь слагаемым с током в (35.33). С учетом этого перепишем (35.33) и (35.32) в виде ,.『

①吟， ：二(35.34)

•§Vsdx = N』..；■ (35.35)

Таким образом, мы пришли к квантованию магнитного потока в сверхпроводниках и к квантованию циркуляции сверхтекучей компоненты скорости в гелии II. Если сверхпроводник односвязен и контур интегрирования в (35.31) может быть стянут в нуль, то из (35.34) видно, что магнитное поле не проникает внутрь сверхпроводника первого рода. В случае многосвязного сверхпроводника, например полого цилиндра, поток, захватываемый сверхпроводником, согласно (35.34) квантуется. Но особые области в сверхпроводнике, нарушающие его односвязность, не обязательно области, в которых нет вещества. Это могут быть области, в которых вещество находится не в сверхпроводящем, а в нормальном состоянии. К выводу о существовании таких «нормальных» областей с квантованным магнитным потоком в них впервые пришел А. А. Абрикосов (1953) в развитой им теории сверхпроводников второго рода. Если сверхпроводник второго рода помещается во внешнее магнитное поле, то при Н & HCt магнитное поле выталкивается из сверхпроводника. При Н > "“

в сверхпроводнике появляются вихревые токи, обтекающие «нормальные» области, захватывающие по одному кванту магнитного потока и располагающиеся в виде правильных треугольных или квадратных решеток.

Аналогичное явление наблюдается и во вращающемся жидком гелии II. Л. Д. Ландау (1941) в развитой им квантовой теории сверхтекучести гелия II вывел явление сверхтекучести из предположения, что нормальное энергетическое состояние потенциальных движений сверхтекучей компоненты в гелии II находится ниже нормального состояния вихревых движений. Поэтому он принял, что скорость vs подчиняется соотношению

rot vs = 0. (35.36)

Долгое время считалось, что соотношение (35.36) означает невозможность привести сверхтекучую компоненту гелия во вращение. Однако оказалось, что привести ее во вращение можно и что при этом наблюдаются макроскопические квантовые явления, аналогичные появлению вихрей в сверхпроводниках второго рода. Соотношение (35.35) свидетельствует о том, что если область, занимаемая сверхтекучим гелием II, односвязна, то вследствие (35.36) и теоремы Стокса

§ v§dx = у rot vsdS

циркуляция (35.35) равна нулю. Поэтому если циркуляция скорости vs отлична от нуля, то это означает существование областей, где сверхтекучей компоненты нет. Если сосуд с покоящимся жидким гелием приводится во вращение с угловой скоростью со, то при со & з% vs = 0. При со > соС1 появляются квантованные вихри, обтекающие области, не содержащие сверхтекучую компоненту. Число вихрей увеличивается с ростом угловой скорости вращения сосуда. Как и вихри Абрикосова в сверхпроводниках, вихри в жидком гелии захватывают по одному кванту циркуляции и располагаются в виде правильных треугольных решеток.

Мы видим, что правила квантования Эренфеста, справедливые, вообще говоря, лишь при ^ и ^,, намного больших единицы, дают возможность соприкоснуться с замечательными макроскопическими квантовыми явлениями, полное объяснение которых, конечно, может быть получено только на основе строгой квантовой теории сверхпроводимости и сверхтекучести.

・ § 36. Движение 个 岁 у 丿 заряженных частиц в поле

медленно эволюционирующей волны

Задача о движении заряженной частицы в поле медленно эволюционирующей волны возникает при кинетическом описании распространения волн конечной амплитуды в плазме, а также при исследовании

динамики движения частиц в ускорителях [248—253]. Изменение параметров волны ——амплитуды, фазовой скорости, формы — приводит к тому, что траектории резонансных частиц могут в процессе эволюции совершать структурные переходу, связанные с переходами через сепаратрису (см. § 31, п. 3). Исследуем такие переходы и найдем выражения для вероятностей переходов, появляющихся при сокращенном описании (см. § 31, п. 4).

Уравнения движения заряженной частицы в поле одномерной потенциальной волны имеют вид•

х = у, и = * Е(х,户 (36.1)

где Е — напряженность электрического поля в волне.

Рассмотрим случай, когда поле представляет собой периодическую £ (х + 2л； 0 = £ (х, /) волну с медленно изменяющимися амплитудой и фазовой скоростью. Для определенности рассмотрим случай синусоидальной волны, хотя результаты обобщаются на случай волны произвольного профиля, который также может медленно изменяться (см. [251, 252]). Поле такой волны описывается выражением,-

у » Е(х,/) = а(叨sin(x—，％必).*(36.2)

Здесь о力一фазовая скорость, которая, как и амплитуда а, медленно изменяется со временем.

Вместо переменной х удобно выбрать новую переменную

Е = х —『％出..(36.3)

Уравнения движения при этом примут вид

Е = и —(е/) sin?. 二 广(36.4)

Система (36.4) гамильтонова с гамильтонианом 「屮

〃®,Е) = 3(о —%)2 + *acos& (36.5)

При е = 0 уравнения (36.4) интегрируются. Фазовые.1|Й1ектории при ЭТОМ, ' . J

ИЛИ.ч

u = %±/5W=^Ra 4 = *а (36.6)

имеют вид, изображенный на рис. 49, а, где утолщенная линия соответствует сепаратрисе

扌(и —%)? + 4 cos± =吃，Ws = А.

Она отделяет траектории захваченных частиц 幺'* (они лежат внутри сепаратрисы) от траекторий пролетных частиц 幺(+)и 幺(一),определяемых уравнением (36.6) при W > WS1 причем семейство 幺(+) получается при выборе в правой части (36.6) знака +, а 笈(一)—— при выборе знака —. При — А < W < А уравнение (36.6) определяет семейство траекторий захваченных частиц 幺⑹.

Пролетные и захваченные частицы совершают периодические колебания с периодами

Т（。）”）=Т（。）”）=7（士）"）= 27（士）"）= 2(36.7)(36.7)

Т（。）”）=

Т（。）”）=

7（士）"）= 2

7（士）"）= 2

(36.7)

(36.7)

где К (Ь) —— полный эллиптический интеграл первого рода.

Условия медленности изменения амплитуды и фазовой скорости можно представить в виде

叩，吟 w 1.(36.8)

Эти условия не выполняются при W -> Ws9 когда период, как видно из (36.7), стремится к бесконечности. Область, где это условие нарушено, как следует из (36.7), (36.8), определяется неравенством

吻广 <ехр(_^^).(36.9)

Нетрудно найти действие за период движения частицы:

/(0 (W) = 6，废=

*「2_(36.10)

化£化（士）.化£化（士）.2П%±4/2” + 川 E X[‘

化£化（士）.

化£化（士）.

Здесь E (b)——полный эллиптический интеграл второго рода.

При интегрировании вдоль сегаратрисы получим

1^ = /(0) (Д) = 8УА,

/户=/(±)(4) = %±^/f)=%±4]/1.(36.11)

Действие /(0 (IV) является адиабатическим инвариантом первого порядка, и уравнение

(36.12)(36.12)I(i)[W (t)] = l{i}\W (0)]

(36.12)

(36.12)

определяет локальные асимптотические интегральные многообразия вне.области (36.9), а также переходные, локальные по 己(исключая экспоненциально узкую область по ^ в окрестности седловой точки (см. § 31, п. 3)) интегральные многообразия.

Интегральная кривая, лежащая на многообразии (/("= —/0> [W (0)1, f), совершает переход через сепаратрису, когда /")[取(0)] совпадает с граничным значением (36.11):

/「⑴= /")W(0)]・ (36.13)

Очевидно, траектории покидают область 化⑴，если /? < 0, и переходят в эту область из других смежных областей 纟⑷，々市 i, если /s° > 0. Нетрудно, используя этот факт и соотношения (36.11) между значениями /?, установить, откуда и куда переходят траектории при различных соотношениях между скоростями изменения амплитуды и фазовой скорости. Существует шесть вариантов эволюции траекторий:

при /<0,>2|Уф|,化"化纱）；

при 个&—2|%1,①。）f纟（+）,纷

при 2%《 岁& 0,纟⑼，化㈠f纱+）;

（36.14）

24Ь，24Ь，при 0《守）=2%,化（+）-> 紡。），①一）；

24Ь，

24Ь，

Й+1/**

при - 2/《7（? < 0,/+）,①。）f ①一）;

при О&，，）《一2%,纷-）f 必+）,化”

Запись 化⑴,幺(田-V 幺(” означает, что интегральные кривые, лежащие на многообразиях из семейств 幺⑴，幺仅)，переходят на многообразие из семейства 化⑺.На рис. 49, 6 показан ход фазовых траекторий в окрестности сепаратрисы для случая 4, когда кривые из области 纷+)переходят в 化(°)и 幺㈠.

Теперь, пользуясь соотношениями вида (31.58), (31.59), а также (36.11), нетрудно построить вероятности переходов траекторий для каждого из шести вариантов:

;*、 1)酬+0 (1)=侬一0 (1)1；

抬匕丁2) g+⑵=(2% +可))/2岁，毗72)=

《沁=(/!。)—2%)/2可)；.「 '

」3) ^о+ (3) = ш—_р (3) == 1; ,(36.15)

^+о (4) = 2/(°>/(/<°)+ 2оф), ац_(4) « '

.б =(2уф — /<°))/(2к + /<0)); ： NW

叫_(5)=做一(5) = 1;

[6)*(6) = 2*)/色。)一 2嚼 J，®*一二二

「=(2% + 逑)/(九一啜.

В скобках у каждой вероятности 酬從 указан номер варианта перехода.

Соотношения (36.10) — (36.15) дают полное сокращенное описание эволюции траектории частицы. Применительно к задаче об эволюции плазменных волн это дает возможность определить эволюцию функции распределения частиц бесстолкновительной плазмы (см. [251—253]).

Сокращенное описание колебания электрического диполя в переменном внешнем поле физического маятника переменной длины и других систем, для которых справедливо уравнение движения (19.4), также определяется соотношениями (36.10) — (36.15), если положить в них % = 0.

§ 37. Осциллятор с переменной частотой

Рассмотрим линейную систему с медленно изменяющимся параметром ——осциллятор с частотой, зависящей от времени. Линейные уравнения (в отличие от нелинейных) имеют интегралы движения, аналитические по р, ^ и малому параметру, что позволяет с успехом применять для исследования их общего решения как теорию возмущений, так и точные методы. В связи с изучением системы с одной степенью свободы Лиувиллем, Грином, Стоксом, Рэлеем, а позднее Джеффрисом и другими был развит метод фазовых интегралов (метод ВКБ), пригодный для описания эволюции систем, не испытывающих и испытывающих структурные переходы (в последнем случае частота колебаний в процессе эволюции проходит через нуль). Метод ВКБ применялся и к исследованию осциллятора с переменной частотой [243]. Мы не будем излагать этот широко известный метод и полученные с его помощью результаты (см. [281—284]), а уделим внимание ряду точных результатов, которые способствуют более глубокому пониманию свойств важной физической системы —— осциллятора с переменной частотой — и, с другой стороны, дают возможность проверять точность результатов, получаемых с помощью приближенных методов.

О точном инварианте, близком к адиабатическому. В 1968 г. Льюис указал способ, с помощью которого любому решению уравнения

х +(о2 (0 х = 0,(37.1)

описывающему осциллятор с зависящей от времени частотой со (/), можно сопоставить точный инвариант, связанный с адиабатическим инвариантом следующим образом: при бесконечно медленном изменении частоты з (0 этот инвариант может быть выбран так, что он все время будет бесконечно близким к адиабатическому инварианту. Согласно Льюису [285], для того чтобы построить точный инвариант, нужно решить вспомогательное уравнение

Р + w2 (/) р — р-з = о.(37.2)

Если найдено какое-нибудь частное решение уравнения (37.2), то точный инвариант уравнения (37.1) определяется так:

/=4" Г# + (рх 一 Р%У1・(37.3)

Если р -> 0 и р -> 0, то согласно (37.2) р2 =①一^ и инвариант J принимает вид■

；/ =「(37.4)

е. совпадает с адиабатическим инвариантен

/ = 4'•「(37.5)

где 昌一энергия гармонического осциллятора, описываемого уравнением (37.1) с фиксированной частотой со.

Рассмотрим модель [286], придающую результатам Льюиса очень простой механический смысл и делающую их почти очевидными. Пусть по поверхности гладкого стола без трения движется привязанный на ни

ти шарик единичной массы (рис. 50). Пусть нить продета через отверстие в столе и, протягивая нить через это отверстие, можно изменять расстояние R от отверстия до шарика. Начертим на столе оси Ох и Оу и проследим за изменением координат шарика хи у. Представив хи у в виде х = R cos &, у = R sin ф, найдем, что

了 х =左 cos 屮一2 A屮 sin ф — R ((p)2 cos (p —

—/?(р sin(p.(37.6)

Но при движении шарика, очевидно, сохраняется его момент количества движения

ху — ху = /?2ф = С.、(37.7)

Подставив ip = OY в (37.6), получим урав^енве

入国•(37.8)

Таким образом, мы видим, что если длина'Й^Й 我 Изменяется в соответствии с соотношением”

左+ 炉⑴ r —c2r—3=o,[:(37.9)

то изменение координаты шарика х (f) поДЙйяё1ййг'сравнению (37.1). Определив величину р как

p = L%R(37.10)

найдем уравнение (37.2). Подставив (37.10) в (37.3), будем иметь

J=gc.(37.11)

Таким образом, точный инвариант уравнения (37.1) совпадает с моментом количества движения шарика, катящегося по столу.

Изложенная модель дает возможность указать такую зависимость частоты со (f) от времени, при которой адиабатический инвариант сохраняется точно. Действительно, предположим, что при ,т ± оо длина нити стремится к постоянным значениям

R(±8)f R±.(37.12)

Поскольку согласно (37.8)

• з (f) = J//*"枭,(37.13)

очевидно, что

s(±8)fco土.(37.14)

Но при постоянных R н ① адиабатический инвариант колебаний координаты х совпадает с точным инвариантом — моментом количества движения, а следовательно, сохраняется точно. Однако, если при f f 土 оо к постоянным значениям стремится частота колебаний з (0, то это, разумеется, не означает, что длина нити R также стремится к постоянным значениям. Так, шарик может двигаться с постоянной частотой ① по эллипсу

х = a cos з/, у = b sin з/,(37.15)

при этом длина нити R, очевидно, периодически изменяется,

R = ]/@2 cos2 з/ _|_ 匕2 sjn2 3f.(37.16)

Точно решаемый случай. Рассмотрим вопрос о точности сохранения адиабатического инварианта осциллятора с переменной частотой в случае, когда уравнение осциллятора

х + (Л th2 е/ + В th е/ + С) х = 0 (37.17) может быть сведено к гипергеометрическому уравнению [287]. Константы Л, В и С в (37.17) связаны с асимптотическими значениями частоты ①(士 оо) 三①土 н с。значением частоты ш (0) 三 соо:

(37.18)(37.18)

(37.18)

(37.18)

Сделаем замену переменных

и подстановку

% G ⑵=(一旷(1 一 睽尸(а, В, % Е),(37.20)

где

р. = ± i V — 8 + С/2е,

九=% ± $ Н — 44/d,

a, = n + k + iVA + В + С/2е,(37.21)

А + В + С/2е,・’、

¥ = 1 + 2氏

(37.19)

После преобразований (37.19) — (37.21) уравнение (37.17) сведется к гипергеометрическому уравнению

触-1）靑触-1）靑卜 № +卩 + 1)Е-Т1 X卜 № +卩 + 1)Е-Т1 X

触-1）靑

触-1）靑

卜 № +卩 + 1)Е-Т1 X

卜 № +卩 + 1)Е-Т1 X

(37.22)(37.22)x ~^~ + aPj 尸=0,

(37.22)

(37.22)

решение которого можно представить в виде гипергеометрического рдда …

X 拄件 F 三 2f1@，p； Y； & =

纟邑 a(a+l)・B(B+l) t2i ； 丄十1 • Y G十 1■2 • y・(Y+1) g十

、(37.23)

Если аир отличны от 0, —1, —2, ... (когда ряд (37.23) обрывается) и у #= 0, —1, —2, ...» то ряд (37.23) абсолютно сходится при всех I g I < 1, Согласно (37.19) при t f — оо переменная Е -> 0 (параметр е считаем положительным). Таким образом, при 匕一v + — оо решение уравнения (37.17), выражающееся формулой (37.20), имеет вид

х(/е)) = (-В" = е±'з-‘.(37.24)

Выясним, как выглядит это же решение при / -> оо, когда | 自 | -> оо, воспользовавшись известной в теории гипергеометрических функций [288] формулой

F^ Р； Y； ?)=…

.一，、-г (Р) г (Y - a) (^ 尸(a, 1 —/ + a, 「，

1ft I 1 \ I Г (a — P) Г (y) z^x-3 乂 、J

「.1—P + a, TJ+ T(a)「(Y — B)⑥ X

； X 尸(B, 1 — Y + 6； 1 - a + 0;飞-).■停^步)

Согласно (37,^ при 之 f g

十 T (a) F(Y — 百)(§•.(3/・2b)

Таким образом, при / оо

х ①=工(В — а)「⑺I

з- ПВ)Г(у_а)е+,

:”I 『(а — В)「(Y)/叫，П7 97|

+ 下&" (Y _ B)一 ：07.Z7)

Используя (37.24), получаем

Поскольку формула (37.27) дает нам явный вид коэффициентов / и g, мы имеем все необходимое для точного счисления адиабатических инвариантов осциллятора при f-> 土 8. Произвольное решение уравнения осциллятора при f f — оо можно представить в виде Х(/) = |УRe (а_е-'з」).(37.29)

Согласно (37.28)，

Re(Q_e-g」)f

Re (/a_e~,M+z + gQ_e&+，)=-

Re [(%_ + g*a_) 6一'3+勺.(37.30)

Как легко Bfyfetb, адиабатический инвариант гармоничтекого колебания ；* *

1 = г!^^\а^.、(37.31)

Из (37.31) и (37.30) получим формулу для изменения адиабатического инварианта

|a_|2f |/* + g*a」，屏(37.32)

откуда находим, что「

А 〃/=(/十 _/_)〃_=

=(1%_ + 8*£产一д」2)他_『.一,(37.33)

「Преобразуем выражение (37.33). Подставляя в формулу屮* j —《* 屮=const,

решение уравнения -осцилля-(37.34),,(37.35)решение уравнения -осцилля-(37.34),,(37.35)где 屮 一 произвольное комплексное тора (37.28), находим

решение уравнения -осцилля-

(37.34)

,,(37.35)

решение уравнения -осцилля-

(37.34)

,,(37.35)

:I/F — lg『=L

Вводя обозначение

I/I2 _р

и используя (37.34), получаем

'i$，lV* ©7.36)

где 5i н б? — фазы f и gt Подставляя (37.36) в (37.33) и представляя а в виде а = | а | Г, имеем-

半=咨再土生，(37.37)

где;-、

© = 26 + & + 每.(37.38)

Таким образом, точность сохранения адиабатического инварианта определяется величиной р и фазой <р, зависящей от фазы гармонического колебания при t f— оо.

Поскольку уравнение гармонического осциллятора х + о)耽= О формально совпадает с одномерным уравнением Шредингера, полезно интерпретировать величину р как коэффициент надбарьерного отражения и использовать для вычисления р квазиклассическое приближение, условия применимости которого совпадают с условиями адиабатичности изменения частоты со (/) [243, 289].

Приведем величину р для рассматриваемого нами точно решаемого случая. Согласно (37.27)

门 В) Jy-a) 2Р— 「(a)F(Y-B)

Используя свойства Г-функций и вещественность констант ①十, g, Эккарт [287] нашел, что

ch m (w_i — w_)/e] + cos (л У1 — 4Л/е2)

р = >, (37.40)

ch [л (w_|_ 十 s_)/e] + cos (л У 1 — 4Я/е2)

где согласно (37.18)

(о± = VА ± В -\~ С t(37.41)

Частота з (/) не обращается в нуль, если выполняется условие

4А < ®+ + ①—产-(37.42)

ПрИ 8 -

-> 0 и выполнении условия (37.42)

р = е е (3т & з+),

2Л©_р

.р = е ' е®+ W з_),

(37.43)

屈加

44 < (①+一s-)2,

(37.44)

0

.一Л心++(0—-2YZ]/£

P = e,

• (37.45).

если

44》®+ — 8—)2.

(37.46)

Таким образом, согласно (37.37) в обоих случаях (37.44) и (37.46) неточность сохранения адиабатического инварианта экспоненциально мала

Если условие (37.42) нарушается, то адиабатическая инвариантность полностью нарушается. Рассмотрим в качестве примера случай, когда Д =： 4, В = 4, С = 1. Тогда ①十=3, со_ = 1, н в противоречии с условием (37.42) 4А =(①十 + ①一尸 (частота со (О обращается в нуль, когда th е/ =—〔厶).Формула (37.40) при е -> 0 приводит к значению р = V2. Из (37.37) найдем, что

半=2晔coscp + 1),(37.47)

т. е. никакого постоянства адиабатического инварианта нет.

Осциллятор и группа Лоренца. Известно, что использование группы Лоренца полезно при исследовании осциллятора с переменной частотой [290, 292]. Канонические переменные ряд в случае осциллятора можно считать компонентами спинора в трехмерном псевдоевклидовом пространстве, а каноническое преобразование ряд, осуществляемое оператором сдвига вдоль траекторий,——некоторым преобразованием Лоренца в этом пространстве. Мы увидим, что сохранение адиабатического инварианта осциллятора можно наглядно описать в терминах теории относительности, и получим простую формулу, с помощью которой можно найти точность сохранения адиабатического инварианта и рассматривать адиабатическую эволюцию осциллятора как нерелятивистский предел общего релятивистского случая, соответствующего произвольной зависимости частоты осциллятора от времени. Позволяя взглянуть на классический осциллятор и его адиабатические инварианты несколько с необычной точки зрения, использование группы Лоренца (как будет показано в следующем параграфе) особенно полезно при исследовании свойств осциллятора с переменной частотой в квантовой механике.

Запишем уравнения движения осциллятора с переменной частотой в виде

Р ~ —炉⑴仇 q = р.в (37.48)

Решение уравнений (37.48) можно представить в виде; ； и

8(37.49)

匕⑴ d(o/U(o)/

или в матричной форме: 「

x(t) = R (0 х (0),(37.50)

где х (0 ——двухкомпонентный вектор, %【(f) = р (/), х2 (/)三 q (0- Матрица R ⑴ есть не что иное, как оператор сдвига вдоль траекторий (см. § 23). Изучим его групповые свойства. Матрица R (0 удовлетворяет согласно (37.48) уравнению

R = QRt…(37.51)

где Q — 2 X 2-матрица вида，“

Q = (；一 (37.52)

Убедимся в том, что определитель матрицы R равен единице. Используя правило дифференцирования определителя, находим

4jR| = Sp(ARi)|R| = Sp(Q)|R| = 0,

(37.53) где Sp (й) — след матрицы й. Из (37.33) видно, что определитель матрицы R не изменяется во времени, а так как R (0) = 1, то матрица R унимодулярна, т. е.

|R(f)|=L(37.54)

Унимодулярность матрицы R означает инвариантность величины е0^ = 一 е°а(&1з = 1)относительно преобразования

е«Р -> е'а° = £评(/Г、(/Г帮=ea₽/| R |. (37.55) Таким образом, вещественные матрицы R принадлежат вещественной симплектической группе Sp (1, R), совпадающей с группой уни- модулярных вещественных матриц SL (2, R) и изоморфной (с точностью до знака) собственной группе Лоренца SOf (2.1) (см. (2.25)). Симплектичность матриц R означает постоянство во времени симп- лектического инварианта Лагранжа (3.4)

Еа₽6хаЛхр(37,56)

и приводит к инвариантности скобок Пуассона (4.2)

(2)= -^證券.:■ (37.57)

Здесь еар = — ера, 813 =1.

Введем, следуя [290], величины”

''(37.58)

где (о»)"。= (о)。" — матрицы, связанные е матрицами Паули (1.8) Соотношением

仞产=(S杀吗宀(37.59)

Скобки Пуассона величин J( задают билинейный закон умножения алгебры Ли собственной группы Лоренца SO' (2, 1):

(几厶)=&加厶(37.60)

Величины 厶 выражаются через канонические переменные р н Q следующим образом:

乙=22一也4,

厶=-疗 +d/4,(37.61)

■ J3=—i(pq + qP)/^*

Найдем производящую функцию канонического преобразования

ха ха — (〃，ха) И 方一(〃，(〃，ха)) + • • •,

宀(37.62)

сбСУПИФСГВующего преобразованию (37.50) с произвольной матрицей KeSpUR) =SL(2,穴)・ Пусть матрица R имеет вид

,；■R = e"W2,(37.63)

где а — матрицы Паули, <р — угол поворота в трехмерном псевдо- евклидовом пространстве с вещественными координатами хп х3 и чисто мнимой х2- Матрица R ——вещественна в результате того, что 屮 1, Фз ——чисто мнимые,(р2 ——вещественно. Убедимся в том, что соответствующая (37.63) производящая функция

и = Jq).и = Jq).(37.64)

и = Jq).

и = Jq).

Действительно, вычисляя скобки Пуассона в (37.62), находим

%； = (/ + ш(р/2 + (Sq))2/222l + • • -)а%р =

=(产噌)歸.

От двухкомпонентного вещественного спинора ха полезно перейти

к комплексному спинору Аа

(37.65)

где

(37.66)

Из (37.48) следуют уравнения

(37.67)(37.67)成=3*6冲(-2t j①或)a*, £* = } _^_ exp(2i J co成)a,

(37.67)

(37.67)

решение которых аналогично (37.50) можно предстазэть в матричном виде

(37.68)(37.68)Л (0 = Л (0 A (0).

(37.68)

(37.68)

Поскольку под действием матриц Л пара (а, а*) переходит в новую пару (а〔 а'*), все матрица Л представимы в виде

А=Ю・(37.69)

Из (37.67) следует, что определитель любой из матриц Л равен единице:

|Л| = |сс|2~|Щ2 = 1.(37.70

Легко убедиться в том, что матрицы вида (37.69) образуют группу и при действии на произвольный спинор с компонентами《^ 电方 сохраняют форму | 吶 产 ——| 5 I2» в связи с чем упомянутую группу называют группой St/ (1, 1). Группа SU (1, 1) (с точностью до знака) изоморфна собственной группе Лоренца SO' (2.1). Любую матрицу Л вида (37.69) можно представить в виде

A=产/2, (37.71)

где 0 —угол поворота в трехмерном псевдоевклидовом пространстве с вещественными координатами хь х2 и чисто мнимой х3. Соответственно 0ъ 92 — чисто мнимые, 03 — вещественно. Согласно (37.57) скобки Пуассона

(4, А)=-九*v (37.72)

Аналогично (37.58) можно ввести величины

К» (。严 4<х4,-(37.73)

скобки Пуассона которых* 匕

(勺，KQ = ^/K/・"'(37.74)

Согласно (37.67), если частота осциллятора не зависит от времени, то не зависит от времени и спинор А, а следовательно, постоянна и входящая в (37.69) матрица Л. Найдем матрицу Л, соответствующую переходу частоты осциллятора от постоянного значения со一 к постоянному ①十.Пусть этот переход осуществляется таким образом, что справедлива формула (37.28). Тогда придем к соотношению

7L ・ (a-「®」+ 4二/吟)->' 、

—_^_(а+е" + а*е“)，.g5>

гдегдеИспользуя (37.36)Используя (37.36)с-ьс %*и вводя обозначенияс-ьс %*и вводя обозначения(37.76)(37.76)б】+ ^2 = а, б】一62 = % Jp = th В, (37.77)б】+ ^2 = а, б】一62 = % Jp = th В, (37.77)можно записать матрицу, входящую в (37.46), следующим образом:можно записать матрицу, входящую в (37.46), следующим образом:

где

где

Используя (37.36)

Используя (37.36)

с-ьс %*

и вводя обозначения

с-ьс %*

и вводя обозначения

(37.76)

(37.76)

б】+ ^2 = а, б】一62 = % Jp = th В, (37.77)

б】+ ^2 = а, б】一62 = % Jp = th В, (37.77)

можно записать матрицу, входящую в (37.46), следующим образом:

можно записать матрицу, входящую в (37.46), следующим образом:

Согласно (37.78) соотношение (37.76) можно представить в виде

4+ = e ~e~e ~Л_.(37.79)

Сохранение адиабатического инварианта осциллятора с переменной частотой можно проинтерпретировать на языке теории относительности. Запишем уравнения (37.67) в виде

Л =侬15 + 酬202)4(37.80)

где

(37.81)(37.81)“ “吗=｝尚cos(2 j①成)，

(37.81)

(37.81)

'吗sin(2,3山).

Уравнение (37.80) показывает, что «твердое тело», описываемое спинором А (см. § 13), в момент времени Z испытывает ускорение w. Под действием этого ускорения «твердое тело» приобретает некоторую скорость V, связанную с величиной В，входящей в формулу (37.79), и с величиной р, определяющей согласно (37.37) точность сохранения адиабатического инварианта соотношением

旌=th В = и.(37.82)

Адиабатический инвариант сохраняется, если р = 0. Это означает, что скорость V, приобретаемая «твердым телом» под действием ускорения w, также равна нулю. Скорость v можно найти по формуле, справедливой при и《1:

Приближенность формулы (37.83) связана с тем, что пространство скоростей в теории относительности ——это пространство Лобачевского, в котором несправедлива формула Av =，wdf, использованная нами. Несмотря на то что рассматриваемое нами «твердое тело» подвергается только ускорению, оно приходит во вращение, известное как прецессия Томаса [291]. Этому чисто релятивистскому эффекту соответствуют экспоненты с углами сс н у в формуле (37.79).

Применим формулу (37.83) к случаю, когда

со (0 = /Л th е/ + /С (С > А).(37.84)

Согласно (37.45) при 8 -> 0 находим ，

j 二■ v = W"^ = e 8 » ■、? (37*85)

C noMth^itf W>63) получаем一:

\'； exp0^Л In ch т + КС т)

•「_J cha т (th т 4- /С//Л)

у(37.86)

Переходя от интегрирования по вещественной оси к интегрированию в комплексной плоскости и учитывая вклад в интеграл (37.86) ближайшей к вещественной оси особой точки, находим, что при е -> О формула (37.83) дает для величины и= | vr+iv2 | тот же результат (37.85), что и точный расчет.

§ 38. Квантовомеханический осциллятор с переменной частотой. Вероятности перехода

В настоящем параграфе на примере квантовомеханического осциллятора с частотой, зависящей от времени, выясняется, с какой точностью выполняется адиабатическая гипотеза Эренфеста, т. е. вычисляется вероятность перехода из состояния с фиксированными квантовыми числами в другие квантовомеханические состояния [292, 293].

Убедимся прежде всего, что, зная решение классической задачи об осцилляторе с переменной частотой, можно найти соответствующее решение в квантовомеханическом случае. Это очевидно, если пользоваться гейзенберговским представлением, в котором квантовомеханические уравнения для осциллятора не отличаются от классических уравнений (37.48). Однако нас интересует решение не в виде (37.50) (х (/) теперь операторы)

х (0 = е^х (0), (38.1) а в виде канонического преобразования " 尹 с .

% (/) = u⑴х⑼и (/尸. 7 (38⑵

Согласно (6.18), (12.4), (37.62) и (37.64) (при Й =■ I);

UQ) = ехр (〃⑼屮⑴)， ，' (38.3) где операторы J (0) определяются формулой (37.58) иуддалегеоряют перестановочным соотношениям ：

乙—厶厶=^ikJ /• - (38.4)

Поскольку согласно (37.61) JT и J3 — антиэрмитовы операторы, а 厶 一 эрмитов оператор, учитывая, что компоненты угла поворота Ф1 и ф3 — вещественны, а(р2 —— чисто мнимая, видим, что оператор U унитарен. Из (38.3) следует, что подчиняющаяся уравнению Шредингера волновая функция осциллятора с переменной частотой изме-

няется во времени по закону

W(q, t) = e-lJ^ (q, 0), ' 一 ’ (38.5) где J — операторы вида (37.61) с р = —iOlOq. Экспоненту в (38.5) можно представить в виде

嘖尹⑺优)階+；)「倒叫. (38.6)

где % = ；(— d2/dq2 + юс?2) — гамильтониан осциллятора в мо мент времени f = 0. Каждая из экспонент в (38.6) — это некоторый поворот в трехмерном псевдоевклидовом пространстве, и для того чтобы найти углы X, гр и 0, достаточно знать решение классической задачи об осцилляторе. Действуя (38.6) на 中(仇 0), получаем

屮(g,，)= е 2 尹户骂(е%, 0), (38.7) где 4% (仇 f) — волновая функция осциллятора с фиксированной частотой соо. Более подробное обсуждение решения (38.7) можно найти в работе [289]. Мы же хотели только указать на принципиальную связь между решениями классической и квантовомеханической задач об осцилляторе.

Рассмотрим теперь осциллятор, частота которого при f -> ± оо принимает постоянные значения со±. Введем операторы а (/) и а+ (/), где а определяется (37.66), а а+ — оператор, эрмитово сопряженный к а. Эти операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям

= 1.

Рассмотрим состояние осциллятора, которое определяется формулой

&L)a(_)I п(_)> = n I п(_))(38.8)

(а(±)— значения оператора а (/) при f->•士 оо). Согласно (37.37) при эволюции осциллятора пара операторов а н а+ подвергается преобразованию Лоренца

(£)二产。)• 儆9)

Но преобразование (38.9) можно представить также и в виде, аналогичном (38.2):

-A^} = UA^/J~\(38.10)

" u = ef7-吻一叫fu叫一耳(38.11)

壊e’Kf — оператора, выражающиеся через а(_)и at> следую， Жш Аразом (йвдексы (—) у всех операторов опущены):

:К, = !(о『严 ДхА，(38.12)

или в явном виде

(38.13)(38.13)Ki = (a+2—*/4, K2 = — i(a+? + a^)/4t ^3(а+〃 + м+)/4.

(38.13)

(38.13)

Операторы Л/ удовлетворяют перестановочным соотношениям

KiKh-KhKini&kiKi.(38.14)

Связь между (38.9) и (38.10) следует из общего соотношения 毘

(e “-宀/”.(38.15)

Наша задача заключается в вычислении матричных элементов вида I %—)>,(38.16)

где I /п(+)) определяется следующим образом: „ ,.

0當)也+)I m(+)〉=m I 加(+)>.:(38.17)

Величина : t

1 Wmn= I мтп^ " 二 , 广 : определяет вероятность перехода осциллят(фвНг^НТОЦни貝 | 〃(_)〉 в состояние | 加(+)〉• Согласно (38.10)'，一 -

а^)а(+)= Ua3a(_)f/T.'：二二■(38.18)

Из (38.18) -следует, что

|团什)〉=U I…(38.19)

Используя (38.19) и (38.11), находим

〈/n(+)I %_)〉= (т(_)I t/т I %_)〉.(38.20)

Таким образом, необходимо вычислить матрицныйч ^|^ент

Мтп = </n I 0а“6К@тК" п> …(38.21) (индекс (—) опущен). Поскольку、

^з =(儆+ + а+а)/4 = (2а+а + 1)/4,、

можно представить в видег*「q

(2m+l)a(2 叶 I)yL

Mmn = e 4 e 4 <m | *& । ny Окончательно для вероятности перехода получаем формулу 呼mn = I <m I 那。+2-")/4 I n>『.(38.22)

Матричные элементы, входящие в (38.22), были найдены Баргманом в 1947 г. [2941 и выражаются через гипергеометрические функции. Вероятности перехода (38.22) при произвольных В подробно проанализированы в работе [289]. Мы ограничимся случаем, когда 0т 0,

260

и рассмотрим вероятность того, что первоначальное состояние не изменится, т. е. вероятность,

wmn = I ,<n I *д+2-")/4 I n> I2,(38.23)

которая, как нетрудно видеть, будет -*'

Wпп = 1g~(紋 + 孔 + I) Р + * •»(38.24)

Мы учли, что согласно (37.77) при 0 -> 0 р = /^ где р — величина, определяющая точность сохранения адиабатического инварианта классического осциллятора с частотой, зависящей от времени (см. (37.37)). Таким образом, мы видим, что точность выполнения адиабатической гипотезы Эренфеста непосредственно связана с точностью сохранения адиабатического инварианта классического осциллятора.

§ 39. Рождение пар заряженных частиц ' электрическим полем. Испарение черных дыр

Согласно адиабатической гипотезе Эренфеста (см. § 19) квантовомеханическое состояние с определенными квантовыми числами при адиабатической эволюции остается определенным квантовомеханическим состоянием с теми же квантовыми числами. Адиабатическая гипотеза Эренфеста выполняется не всегда (см. § 20), а если выполняется, то с определенной точностью (см. § 38). Ярким примером, когда физическое явление целиком определяется степенью невыполнения адиабатической гипотезы, является рождение пар частиц —— античастиц внешними полями. Рассмотрим квантовомеханическое состояние I 0), представляющее собой вакуум, т. е. состояние, в котором нельзя уничтожить ни одной частицы,

<2/； I 0> = 0,匕月 I 0〉=。， (39.1)

где ak, bk — операторы уничтожения соответствующих частиц и античастиц. Будем воздействовать на вакуум внешним полем (например, электромагнитным или гравитационным), которое бесконечно медленно увеличим от нуля до конечной величины, а затем бесконечно медленно уменьшим опять до нуля. Согласно адиабатической гипотезе, при таком адиабатическом воздействии вакуум должен остаться вакуумом. Однако в общем случае вакуум не останется вакуумом ——в нем появятся пары частиц — античастиц. Рассмотрим простейший случай рождения пар внешним полем ——рождение пар заряженных бесспиновых частиц — античастиц электрическим полем [295—2971.

Волновая функция заряженной бесспиновой частицы подчиняет-

ся уравнению Клейна ——Гордона

(39.2)(39.2)—ic^^j^j —团2]电 0,

(39.2)

(39.2)

где е — заряд частицы, fi = с ь= 1. В отсутствие внешнего поля Лц частицы описываются положительно частотными решениями уравнения (39.2)

яр (х) = /，& ср (х). (39.3)

Однако в случае постоянного электрического поля уравнение Клейна — Гордона нельзя рассматривать как одночастичное уравнение, положительные и отрицательные частоты (соответствующие античастицам) перепутываются и решения не могут быть разделены на положительно и отрицательно частотные (парадокс Клейна). Проиллюстрируем парадокс Клейна, рассмотрев решение уравнения Клейна ——Гордона с 4-потенциалом Ах — Ау = О, Д2 =——£7/2, До = — Ez/2, описывающим постоянное электрическое поле £, направленное вдоль оси Oz. Решение уравнения Клейна — Гордона

имеет вид

屮(z, 0 = e-佇-z%e/4 (f + z). 2'E . (39.4) Нетрудно понять, что решение (39.4) описывает не только частицы с зарядом е (е > 0), но и античастицы с зарядом ——е. Действительно, точки с координатами 2 f — оо недоступны при f 8 для частиц с зарядом е, волновая же функция (39.4) описывает частицу, с наибольшей вероятностью локализованную вблизи прямой 2= —2 и имеющую возможность при f -> 8 находиться в точках 2 f — оо, доступных только для античастиц с зарядом —е. Обратим внимание на то, что при 加2/。£》1 значения волновой функции в классически недоступных точках / оо, 2 f — оо намного меньше значений в соответствующих классически доступных точках /-> — 8, 2 т оо:

(39.5) (Разумеется, мы могли бы показать, что величина (39.5) намного больше единицы, если бы приняли, что —1 = exp (гл). Это соответствовало бы тому, что волновая функция (39.4) в основном описывала бы не частицу, а античастицу. Рассматривая волновую функцию (39.4) как функцию комплексного переменного W = / + z, можно перейти от положительных значений W к отрицательным, обойдя точку ветвления 取 =0 в комплексной плоскости. В зависимости от направления обхода получим разные знаки в формуле —1 = exp (士 ш)). Волновую функцию (39.4) можно обобщить сле-

дующим образом:

屮(％, t) = eipx~{^eeE X

X [^ +等尸（* +券矶X [^ +等尸（* +券矶2ё£2ё£(39.6)(39.6)

X [^ +等尸（* +券矶

X [^ +等尸（* +券矶

2ё£

2ё£

(39.6)

(39.6)

где р‘, р”р*» !1 — K^amWSK числа. Формула (39.5) при этом переходи® ^ формулу

—л—л(39.7)(39.7)或+吟+£

—л

—л

(39.7)

(39.7)

W (#, У, — 龜一f)

Как мы вскоре увидим, при 紋》?Е квадрат величины (39.7) представляет собой вероятность рождения постоянным электрическим полем пары частица — античастица с квантовыми числами р*, 见 и -网，一ру.

Отметим, что волновая функция (39.6) аналогична полученной в работе [298] волновой функции электрона, движущегося в постоянном магнитном поле.

Рассмотрим теперь, как разрешается парадокс Клейна в многочастичной теории. Пусть влияние включенного, а затем выключенного внешнего поля таково, что положительно частотная волновая функция exp (tpfex —鋭/) переходит в суперпозицию положительно и отрицательно частотной волновых функций

J/т% f f^-^'k1 + gJP/+*'. 一 (39.8) Пусть аналогично

/р/+，踹 _/*е'“х+*‘+ g*/"i 痂.’(39.9)

Удовлетворяющая уравнению Клейна —— Гордона (39.2) волновая функция вторично квантованного поля

согласно (39.8) и (39.9) перейдет в волновую функцию 扌競

炉(x, /)=工—l^Kfa, + g*涼)e%4g +

А И 2V旣

+ (尸涼+ g啕 е'1V+*•+ (尸涼+ g啕 е'1V+*•(39.11)(39.11)

+ (尸涼+ g啕 е'1V+*•

+ (尸涼+ g啕 е'1V+*•

(39.11)

(39.11)

В (39.10) ak — оператор уничтожения частицы с импульсом pk,匕扌 — оператор рождения античастицы с импульсом ——р^. После воздействия внешнего поля операторами рождения частицы с импульсом р& и античастицы с импульсом —р左 будут соответственно величины

.；ak^(fak + g*bt)VWk(39.12)

&?=(产涼 + g 曲 /iUS.(39.13)

Согласно (39.12) и (39.13) средние по вакууму операторов числа частиц &+ 底 и античастиц 京■儿 отличны от нуля: '

Ул= <O|a；+a；|O> = <O|b^b；|O> =当gF

旣(39.14)

(мы учли определение вакуума (39.1), нормировку (0| 0) = 1 и перестановочные соотношения операторов рождения и уничтожения). Соотношение (39.14) свидетельствует о том, что для нахождения числа пар, порождаемых внешним полем, необходимо решить неквантованное уравнение (39.2) и найти коэффициент g в формуле (39.8), ответственный за парадокс Клейна. Следуя [296, 297], убедимся, что последняя задача сводится в случае включаемого и выключаемого однородного электрического поля к задаче об осцилляторе с переменной частотой.

Зависящее от времени однородное поле Е ⑴ будем описывать вектором-потенциалом А (/):

Е(/)=-崇.& -■ •(39.15)

Представляя решение уравнения Клейна ——Гордона (39.2) в виде

屮(％, /) = “/) e”

(39.16)

находим, что & (/) удовлетворяет уравнению Е + з2(/)Е = 0,

款飞氯q

(39.⑺

где一,’

(о2 ⑴—(Р — еА (О)2 + m2.

(39.18)

Рассмотрим случай, когда поле Е (/) направлено по оси Oz и изменяется со временем по закону

； Ez = K/ch2 争■…(39.19)

Соответствр^ций полю (39.19) векторнМ |«^е^йИН1Та酬e направ- лен no оси,伞 н/ 1

■4 =-号-th/* ；、(39.20)

Параметр 7, который мы в дальнейшем устремим к бесконечности, можно интерпретировать как среднее время действия поля £, так как

)邑(/)或=4(—8)—4(aQ)= E7\ (39.21) —OQ

Подставляя потенциал (39.20) в (39.18) и полагая Р2 = р#, Ру = рд. получаем из (39.17) уравнение, рассмотренное в § 37, п. 2:

沁0也号十8巾++(?六=0,(39.22)

犁e」

一 4 = (еЕ7у/4, В = еЕТР»(39.23)

?"■ С =虚 + р； + 用 + 川.

Согласно (ЗйГ.41) при 7 оо и \ Рг \ < е ЕТ/2

(39.24)(39.25)(39.26)(39.27)(39.24)(39.25)(39.26)(39.27).■ 3± = еЕТ/2 ± 匕 + &十步-吃,

(39.24)

(39.25)

(39.26)

(39.27)

(39.24)

(39.25)

(39.26)

(39.27)

К^'мм^М'ко видеть,

j(①+-(0-)2 v 44 V (①++(o一产, 二:；；

Йаюльзуя (39.14) и (37.36), находим' ?二

"M = ^|g|2 = p/(l—p),「‘ “

t%fe р ^ределяется (37.45):《注弋 ，足

При 样》еЕ величина р экспоненциально мала. В этом случае р в знаменателе (39.26) можно пренебречь и величина р определяет собой среднее число родившихся пар, совпадающее в силу малости р с вероятностью рождения одной пары. Не останавливаясь на этом подробнее, заметим, что (при произвольных значениях р) вероятность рождения и пар определяется формулой ,

吃= (1—р)р〃・ (39.28)

Согласно (39.28) точный смысл величины р определяется следующим образом: 取о = 1 —— р представляет собой вероятность того, что в вакууме не родится ни одна пара с соответствующими квантовыми числами. Таким образом, р определяет степень невыполнения адиабатической гипотезы Эренфеста.

Найдем полное число пар, порождаемых электрическим полем (при /и?》еЕ). Для этого умножим величину р, определяемую (39.27), на элемент фазового объема Vdpx dpyP2 /(2л)3 и проинтегрируем по всем допустимым значениям импульсов. Интегрирование по dPz нужно провести в пределах от —еЕТ/2 до еЕ772. Это связано с тем, что полученная нами формула для р справедлива при | 尸2 1V < еЕТ/2. Проанализировав формулу (37.45) при | Рг | > еЕТ/2 и

Т-> оо, можно убедиться, что в этом случае р = 0. Интегрируя» получаем

勺） < ^ =亏г } е еЕ dpxdpydP2 =• ■

（39.29）（39.29）以噜了

（39.29）

（39.29）

Таким образом, среднее число пар, порождаемых постоянным электрическим полем Е в единице объема за единицу времени, будет

"_（eе）2 -石

"^ - 2л3 " °•

' В заключение параграфа рассмотрим популярный в последние годы эффект квантового испарения черных дыр, открытый Хокингом в 1974 г. Этот эффект в принципиальном отношении аналогичен явлению рождения пар заряженных частиц электрическим полем, однако отличается от последнего тем, что одна из частиц рождающейся пары оказывается внутри черной дыры и не наблюдается. Полное объяснение замечательного эффекта Хокинга требует привлечения методов квантовой теории поля в искривленном асимптотически плоском пространстве — времени [299, 300]. Ограничимся анализом решений волнового уравнения, описывающего неквантованное безмассовое поле, и убедимся в том, что, рассеиваясь на черной дыре, это поле ведет себя парадоксальным образом. Эта парадоксальность, не находящая объяснения в рамках одночастичной теории, тесно связана с эффектом рождения частиц черной дырой.

Рассмотрим волновое уравнение, описывающее бесспиновую частицу с массой нуль:

是）=。：（39・3。） в случае, когда метрический тензор g^v соответствует метрике Шварцшильда,

-' ds2 = （i — ^•厂 d产 + 产（sin2 ed（p2 + de2）—

（мы пользуемся единицами, в которых G = с = h = 1）. Будем 欣・ кать решение уравнения （39.30） в виде разложения по сферическим гармоникам.「

工;屮,（，，/）匕е（e, <р）.-

Известно [ЗОН, что уравнение, которому подчиняется функздя V/, можно представить следующим образом:~

[dR2次 2C ，八戸 ~'

■+牛 1))№ = 0, 一 ：(39.31)

где “ f

:R = r + 2M In (л —2M).(39.32)

Вблизи шварцшильдовского радиуса 々=2M (при г ^>2 М + 0) уравнение (39.31) имеет решения

(39.33) ‘(39.33) ‘屮（+）=u8"一R）=（f 一 2му2 Mse_3«一d， 屮（一）^ 0一出什而=（/•一 2m）T2Mse一心（什力

(39.33) ‘

(39.33) ‘

описывающие соответственно расходящуюся и сходящуюся волны (в формулах (39.33) индекс / опущен). Аналитически продолженные внутрь шварцшильдовской сферы решения (39.33) имеют вид (при

—2М — 0)

严=(- 1 产8 (2М — ,f,

屮㈠=(—l)5Ms qm _ ,)_，2M%—侬叶]

Заметим, что процедура аналитического продолжения неоднозначна, так как особая точка г = 2M представляет собой точку ветвления. Мы видели, что в случае движения заряженной частицы в электрическом поле различным направлениям обхода точки ветвления в комплексной плоскости соответствовал различный физический смысл рассматриваемого решения. Для того чтобы сделать процедуру аналитического продолжения однозначной и тем самым придать смысл формулам (39.34), мы, следуя [302], заменим (на время перехода через шварцшильдовскую сферу) величину г — 2M (в 39.33) на г — 2M — Ю. Это соответствует тому, что в (39.34), как и в (39.5), нужно положить (—1) = exp (— in). Рассмотрим теперь (при г -> -> 2M — 0) следующую суперпозицию:

С—2лМсо“(+)+ «лМз<ф(—)

(39.35)(39.35)e~2t [(2М — F)i2Ms 0的，+ (2M — r)T2Ms「sr

(39.35)

(39.35)

=e-f殁(г).

Поскольку функция X (г), входящая в (39.35), вещественна, квантовомеханический поток

внутри сферы Шварцшильда обращается в нуль. С внешней же стороны сферы Шварцшильда поток отличен от нуля. В этом и заключается парадоксальность поведения решений волнового уравнения,

описывающего безмассовую частицу в поле Шварцшильда. Заметим, что согласно (39.33) и (39.35) при нулевом потоке внутри сферы Шварцшильда (интенсивность сходящейся волны)=川皿” X (интенсивность расходящейся волны).

Обнаруженная нами парадоксальность может быть устранена только во вторично квантованной теории и проявляет себя как рождение частиц (античастиц) черной дырой (аналогично тому, как парадокс Клейна устраняется в квантовой электродинамике, приводя к рождению пар частиц — античастиц электрическим полем).

Проанализировав образование шварцшильдовской черной дыры в результате гравитационного коллапса и использовав формализм квантовой теории поля, Хокинг нашел соотношения, аналогичные (39.12) и (39.13), выражающие операторы рождения и уничтожения при f т оо через соответствующие операторы при t f — оо, В результате Хокинг пришел к следующему выводу:

(вероятность поглощения шварцшильдовской черной дырой частицы 6 состоянии с энергией(о) =。8"乂(0 х (вероятность излучения шварцшильдовской черной дырой частицы s том же состоянии). Последнее, согласно Хокингу, означает, что черная дыра является источником теплового излучения с некоторой температурой Т. Действительно, пусть черная дыра помещена в термостат с такой температурой, что вся система находится в равновесии. Тогда температура излучения в термостате совпадает с температурой черной дыры. Отношение вероятности нахождения в термостате (N — 1) фотона с энергией(о к вероятности нахождения N фотонов с той же энергией в случае теплового излучения равно ехр ((о/^Т). Поскольку в равновесии скорость испускания частиц черной дырой должна совпадать со скоростью поглощения, условие равновесия будет выполнено, если

Г = 1/8лШ. (39.36)

Если масса черной дыры порядка массы Солнца, то ее шварцшильдовский радиус 2M р 3 км н Т р 10~6 К. Время жизни таких черных дыр чрезвычайно велико, порядка 1065 лет. Черные дыры с массой около 1015 г имеют ядерные размеры около 10-13 см и характеризуются очень высокой температурой, Т 〜 1011 К. Такие черные дыры живут около 1010 лет и заканчивают существование взрывом, по мощности эквивалентным взрыву 1 млн. мегатонных водородных бомб (последняя цифра значительно зависит от того, какой представляется структура элементарных частиц, например, от того, сколько необходимо кварков для полного описания свойств всех частиц) [303—305].

Обнаруженный Хокингом эффект устранил серьезный парадокс, связанный с термодинамикой черных дыр. До открытия Хокинга было принято считать, что черная дыра способна только поглощать вещество и увеличивать при этом свою массу. Отсюда следовало, что радиус черной дыры q= 2М может только возрастать. Соответ- 268 /

ственно считалось, что площадь поверхности черной дыры 4冗广；= = 16лМ2 способна только увеличиваться. Эю свойство площади по* верхности черной дыры напоминает аналогичное свойство энтропии.. При поглощении вещества черной дырой почти вся информация о веществе утрачивается, и, как мера беспорядка, энтропия черной дыры, что-либо поглотившей, должна увеличиться. Различные соображения заставляли приписать черной дыре энтропию, пропорциональную площади поверхности черной дыры. (Со сферически несимметричной вращающейся черной дырой связаны две поверхности: поверхность бесконечного красного смещения, при приближении к которой скорость'течения всех физических процессов обращается в нуль, и поверхность горизонта событий, ограничивающая область, попав в которую, ничто не может эту область покинуть. В случае рассматриваемой нами сферически симметричной черной дыры эти две поверхности совпадают. В общем случае энтропию черной дыры связывают с площадью поверхности ее горизонта событий.)

Приписывание черной дыре энтропии, пропорциональной площади ее поверхности, приводило к необходимости принять, что черная дыра обладает температурой, обратно пропорциональной ее массе. Это означало, что система, образуемая термостатом с тепловым излучением и помещенной в этот термостат черной «пырой, при 肥” которой отличной от нуля температуре должна находиться в равновесии. Но последнее считалось в принципе невозможным, так как черная дыра определялась как объект, который может только поглощать излучение и не способен что-либо излучать.

Своим открытием Хокинг, устранив возникшие трудности, придал последовательность термодинамической теории черных дыр. Из формулы Хокинга (39.36) следует, что под энтропией сферически симметричной черной дыры S нужно понимать следующую величину;

S =尿仪=4^М2. (39.37)

Из (39.36) и (39.37) найдем, что изменение внутренней энергии черной дыры * = 7И

^ = TdS. (39.38)

(В случае сферически несимметричной черной дыры энтропия S = =М/4, где А — площадь поверхности горизонта событий. В едн， ницах G = с = h = 1 площадь — безразмерная величина.) Формула (39.38) описывает первый закон термодинамики черных дыр. Примечательно, что очень сложные расчеты Хокинга, основанные на квантовой теории и релятивистской теории тяготения, привели к результату, имеющему простой термодина)у ический характер,

Обратим внимание еще на одну особенность процесса Хокинга. Рассмотрим состояние поля излучения до того, как в результате гравитационного коллапса образовалась черная дыра. Это состояние представляет собой вакуум. Вакуум — это чистое квантовоме? ханическое состояние. После коллапса образуется черная дыра, окруженная тепловым излучением, описываемым крантовомехаии'

ческой матрицей плотности. Это необычное для квантовой механики превращение чистого состояния в смешанное связано с тем, что в процессе Хокинга рождение пар частиц возможно только потому, ято одна из частиц пары (наблюдаемая) порождается вне черной дыры, другая же (в принципе ненаблюдаемая) внутри. Усреднение по. характеристикам ненаблюдаемой частицы и объясняет появление матрицы плотности, описывающей тепловое излучение черной дыры.

Предсказанные Хокингом квантовомеханические свойства черных дыр оказались неожиданными и удивительными. В заключение приведем слова Хокинга [3031： «Пожалуй, Эйнштейн ошибся вдвойне, сказав: «Бог не играет в кости». Исследование излучения частиц черными дырами, по-видимому, говорит о том, что бог не только играет в кости, но иногда забрасывает их туда, где их невозможно увидеть». '

список ЛИТЕРАТУРЫ

Арнольд В. И. Математические методы классической механики.— М. ： Наукаг 1974,— 431 с..

Дубровин Б. А., Новиков С. Л., Фоменко А. Т. Современная геометрия.— М.: Наука, 1979.— 760 с.

Abraham R. Foundations of mechanics.— New York; Amsterdam ： Benjamin» 1967.— 296 p.

Stawianowski J. J. Geometria przestrzeni fazowych.— Warszawa； PaAstw. wyd- wo nauk., 1975.— 212 s.

Боголюбов H. H. О некоторых статистических методах в математической физике.—Львов : Изд-во АН УССР, 1945.— 135 с.

Боголюбов Н. H.t Митропольский Ю. А. Метод интегральных многообразий в нелинейной механике.——В кн.： Тр. Междунар, симпоз, по нелинейн. колебаниям. Киев ： Изд-во АН УССР, 1963, т. 1, с. 93—154.

Митропольский Ю. А., Лыкова О. 6. Интегральные многообразия в нелинейной механике.— М. ： Наука, 1973. — 512 с.

Бакай А. С. Асимптотические методы в теоретической физике.— В кн,： Проблемы асимптотической теории нелинейных колебаний, Киев : Наук, думка 1977, с. 17—42.

Круткоз Ю. А. Адиабатические инварианты и их применения в теоретической физике.— Журн. Рус. физ.-хим. о-ва, 1921, 53, вып. 1, с. 83—171.

Крускал М. Адиабатические инварианты.— М. : Изд-во иностр, лит., 1962.— 89 с.

Нортроп Т. Адиабатическая теория движения заряженных частиц.——М.: Атомиздат, 1967.— 127 с.

Кеплер И. Новая астрономия.— В кн.: Жизнь науки. М. : Наука, 1973» с. 45—62.

Bork А. М. Vectors versus quaternions.— Amer. J. Phys,, 1966, 34, N 3r p. 202—211.

Письма Карла Вейерштрасса к Софье Ковалевской.——М. ： Наука, 1973.— 312 с.

Клейн Ф. Вопросы элементарной и высшей математики.—— Одесса : Матезис» 1912.—Ч. 1. 486 с.

Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии.— М. ; Л. : ОНТИГ 1937.— Ч. 1. 432 с.

Полак Л. С. Вариационные принципы механики, их развитие и применение в физике.— М. : Физматгиз, 1960.— 599 с.

Euler L. Formulae generales pro translatione quacunque corporum rigidorum.— Novi Comment. Acad. Petropol., 1776, 20, p. 189—207.

Gauss С. E Mutationes des Raumes.—Werke, Gottingen, 1900, Bd 8, S. 357—362.

Blaschke K. Kinematik und Quaternionen.— Berlin, 1960.— 84 S.

Cayley A. A memoir on the theory of matrices.— Phil. Trans. Roy. Soc. London» 1858, 148, pt 1, p. 17—37...

Pauli W. Zur Quantenmechanik der magnetischen Electrons.— Z. Phys., 1927, 43, H. 9, S. 601—623.

Salam A. The formalism of Lie groups.— In： Theoretical physics. Vienna : IAEA, 1963, p. 173—196.

Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления.— М. : Изд-во иностр, лит., 1947.— 408 с.

Шевалле К. Теория групп Лн.— М. : Изд-во иностр, лит., 1948.— Т. 1. 315 с. "26. Frobenius G. Ober lineare Substitutionen and bilineare Formen.—J. Crelle, 1878, 84, S. 1—63.

Pfaff J. F. Allgemeine Methode partielle Differentialgleichungen zu intergrie- ren.— Leipzig, 1902.— 84 S.

Cayley A. Sur des determinants gauches.— J. Crelle, 1848, 38, p. 93—96.

Cartan E. Les groupes projectifs qui ne laissert invariante aucune multiplicite plane.— Bull. Soc. math. France, 1913, 41, p. 53—96.

Dirac P. A. M. The quantum theory of the electron.— Proc. Roy. Soc. A, 1928, 117, N 778, p. 610—624.

3L Souriau J. M. Geometric symplectique et physique mathematique.— Marseille, 1975,— 43 p.

Лагранж Ж. Л. Аналитическая механика. — М. ; Л. ： Гостехиздат, 1950.— Т. 1—2.

•33. Euler L. Mechanica sive motus scientia analitice.— Petropoli, 1736.— T. 1—2.

Bell E. T. Men of mathematics.— New York, 1937.'— 593 p.

Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии.— M. : Мир, 1970.— 412 с..

Lagrange J. L. Memo ire sur la theorie des variations des elements des planetes et en particulier des variations des grands axes des leurs orbites.— In： Memoires de 1'Institut de France. Paris, 1808, p. 1 —72.

Жозеф Луи Лагранж, 1736 — 1936.— М. ; Л. ： Изд-во АН СССР, 1937.— 141 с.

Jacobi С. G. J. Sur un theoreme de Poisson.— С. г., 1840, 11, N 13, р. 529.

Poisson S. D. Memoire sur la theorie generale de la variation des constantes arbit- raires dans les questions de Mecanique.— J. ecole polyt., 1809, 8, ch. 15, p. 266—344.

Джекобсон H. Алгебры Ли.— M. : Мир, 1964.— 355 с.

8ко6и К. Лекции по динамике.— М. ： ОНТИ, 1936.— 271 с.

-42. Jost R. Poisson-brackets (an unpedagogical lecture).— Rev. Mod. Phys., 1964, 36, N 2, p. 572—579.

43. Дирак П. A. M. Основные уравнения квантовой механики.—— Успехи физ. наук, 1977, 122, вып. 4, с. 611—621.

■44. Pauli W. On the hamiltonian structure of nonlocal field theories.— Nuovo cim., 1953, 10, N 5, p. 648—667.

Lie S. Beitrage zur allgemeinen Transformationstheorle.— Ges. Abh. Leipzig; Oslo, 1927, Bd 6, S. 230—236.

Захаров 8. E., Фаддеев Л. Д. Уравнение Кортевега — де Фриса — вполне интегрируемая гамильтонова система.— Функцион. анализ и его прил., 1971, 5, вып. 4( с. 18—27.

Gardner С* S. Korteweg — de Vries equation and generalizations. IV. The Korte- weg — de Vries equation as a hamiltonian system.— J. Math. Phys., 1971, 12, N 8, p. 1548—1551.

Case k. M・ Integration of linearized evolution equations.— Phys. Rev. Lett., 1978, 40, N 6, p. 351—354.

Tasso H. Poisson's theorem and integrals of KdV equation.— Lett, nuovo cim., 1978, 23, N 5, p. 192—194.

Miura R. M.t Gardner C* S., Kruskal M. D. Korteweg — de Vries equation and generalizations. II. Existence of conservation laws and constants of motion.—— J. Math. Phys., 1968, 9, N 8, p. 1204—1209.

Kruskal M. D., Miura R. M., Gardner C. S. Korteweg — de Vries equation and generalizations. V. Uniqueness and nonexistens of polinomial conservation laws.— J. Math. Phys., 1970,睛，N 3, p. 952—960.

Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики.——М. ： Наука, 1969.一 328 с.

Галуа Э. Сочинения.— М. ; Л. ： ОНТИ, 1936.— 336 с.

Клейн Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований.—В кн.： Об основаниях геометрии. М. ： Гостехиздат, 1956, с. 399—434.

Lie S. Ober partielle Differentialgleichungen erster Ordnung.— Ges. Abh. Leipzig; Kristiania, 1922, Bd 3, S. 32—63.

Гантмахер Ф. P. Лекции по аналитической механике.— M. : Физматгиз, I960.— 296 с.

Ли С. Теория возмущений и касательные преобразования.— В ки.： Вариационные принципы механики. М. : Физматгиз, 1959, с. 404—424.

Jacobi С. G. J. Ober die Reduction der Intergration der partiellen Differential- gleichungen erster Ordnung.— J. Crelle, 1837, 17, S. 97 — 162.

Парс Л. А. Аналитическая динамика.— М. ： Наука, 1971.— 636 с.

Darboux G. filoge historique d'Henri Poincare.— Oeuvres. Paris, 1916, t. 2, p. VII—LXXI.

Гамильтон У. Второй очерк об общем методе в динамике.——В кн.： Вариационные принципы механики. М. : Физматгиз, 1959, с. 234—283.

Якоби К. Заметка об интегрировании дифференциальных уравнений динамики.— В кн.： Вариационные принципы механики. М. : Физматгиз, 1959, с. 289—293.

Эйлер Л. Новая теория движения Луны.—Л. : Изд-во АН СССР, 1934.—208 с.

Jacobi С. G. J. Sur le mouvement d*un point et sur un cas particulier du probkme des trois corps.— C. r., 1836, 3, N 1, p. 59—61.

Дубошин Г. H. Небесная механика : Аналит. и качеств, методы.— М. ： Наука, 1978.— 456 с.

Hill G. Researches in the Lunar theory.— Amer. J. Math., 1878, 1, N 1, p. 5—27; N 2, p. 129—148, N 3; p. 245—261.

Sandman ^. F. Memoire sur le probleme des trois corps.— Acta math., 1913, .36, p. 105—179.

Биркгоф Дж. Д. Динамические системы.— М. ; Л. ： ОГИЗ, 1941.— 320 с.

Mittag-Leffler G. Zur Biographie von Weierstrass.— Acta math., 1912, 35, 一 S. 29—65.

Lagrange J. L. Essai sur le probleme des trois corps.— Oeuvres. Paris, 1873, t. 6, p. 229—324.

Идельсон H. И. О механике Лагранжа.— В кн.： Идельсон Н. И. Этюды по истории небесной механики. М. : Наука, 1975, с. 273—307.

Пуанкаре А. Задача трех тел.— Избр. тр. М. : Наука, 1972* т. 2, с. 445—456.

Ляпунов А. М. О рядах, предложенных Хиллом для представления движения Луны,— Собр. соч. М. : Изд-во АН СССР, 1954, т. 1, с. 418—446.

Пуанкаре А. Новые методы в небесной механике.— Избр. тр. М. ： Наука, 1971, т. 1, с. 9—744; 1972, т. 2, с. 9—356.

Андронов Л. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний.— М. ： Физматгиз, 1959.— 915 с.

Проскуряков А. П. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний.— М.: Наука, 1977.— 256 с.

Пуанкаре А. Об одной геометрической теореме.— Избр. тр. М. ： Наука, 1974, т. 3, с. 775—807.

Birkhoff G. D. Proff of Poincare*s geometric theorem.— Trans. Amer. Math. Soc., 1913, 14, N 1, p. 14—22.

Lie S. Die Theorie der Integralinvarianten ist ein Korollar der Theoria der Diffe- rentialinvarianten.— Ges. Abh. Leipzig; Oslo, 1927, Bd 6, S. 649—663.

Lie S. Ober Integralinvarianten und ihre Verwertung fur die Theorie der Diffe- rentialgleichungen.— Ges. Abh. Leipzig; Oslo, 1927, Bd 6, S. 664—701.

Lie S. Ober Integralinvarianten und Differentialgleichungen.— Ges. Abh. Leipzig; Oslo, 1927, Bd 6, S. 702—749.

Френкель 牙 Я. Статистическая физика.— М. ; Л. : Изд-во АН СССР, 1948.— 760 с.

Картан Э. Интегральные инварианты.——М. ; Л. ： Гостехиздат, 1940. — 216 с.

Ланирш К. Вариационные принципы механики.— М. ： Мир, 1965.— 408 с.

Штифель £., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика.— М.: Наука, 1975.— 304 с.

Паули В. Влияние архетипических представлений на формирование естественнонаучных представлений у Кеплера.— В ки.： Паули В. Физические очерки. М. : Наука, 1975, с. 137—175.

Вигнер Е. Непостижимая эффективность математики в естественных науках.— Успехи физ. наук, 1968, 94, вып. 3, с. 535—546.

Fock V. Wasserstoffatom und nichteuklidische Geometrie.— Z. Phys., 1935, 98, H. 3, S. 145—154.

Bargman 匕 Zur Theorie des Wasserstoffatoms.— Z. Phys., 1936, 99, H. 8, S. 576—582.

Laplace P. S. Traite de mecanique celeste.— Paris, 1798. — F, 1. Livre 2. Chap. 3. 395 p.

Runge C. Vectoranalisis.— Leipzig, 1919.— Bd. 1. 195 S.

Lenz 步.Ober den Bewegungsverlauf und die Quantenzustande der gestorten Kep- lerbewegung.— Z. Phys., 1924, 24, H. 4, S. 197—204.

Попов 8. С. О «скрытой» симметрии атома водорода.— В кн.： Физика высоких энергий и теория элементарных частиц. Киев： Наук, думка, 1367, с. 702——727.

Barut А. О., Rasmussen 步.The hydrogen atom as a relativistic elementary particle.— J. Phys. B, 1973, 6, N 9, p. 1695—1741.

Зайцев Г. А. Алгебраические проблемы математической и теоретической физики.—М. ： Наука, 1974.— 191 с.

Малкин Я. А., Манько 8. Я. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем.— М. : Наука, 1979.— 320 с.

Kustaanheimo Р. Spinor regularization of Kepler motion.— Ann. Univ. Turkuen- sis A, 1964, 73, N 1, p. 3—7.

Boiteux M. The three-dimensional hydrogen atom as a restricted four-dimensio： nal harmonic oscillator.— Physica, 1973, 65, N 2, p. 381—395.二

Sutton B. R. Symmetries of the positive-energy Kvstaanheimo-regularized Kepler problem revisited.— Nuovo cim. B, 1975, 25, N 2, p. 662—€68.

Levi-Civita T. Trajettorie singolari ed urti nel probltma ristretto dei tre carpL— Ann. Math., 1903, 9, N 1, p. 1—27.二

Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика.— М. ： Наука, 1969.— 624 c.

Степановский Ю. П. Алгебра матриц Дирака в шестимерной форме.— Укр. физ. журн., 1966, 11, № 8, с. 813—824.

Степановский Ю. П. Спиноры шестимерного пространства и их применение к описанию поляризованных частиц со спином 1/2.— Пробл. ядер, физики и косм, лучей, 1976, вып. 4, с. 9—21.

Buchdal Н. A. On the calculus of four-spinors.— Proc. Roy. Soc. A, 1968, 303, N 1474, p. 355—379.

Дирак П. A. M. Методы теоретической физики.— Успехи физ. наук, 1970, 102, вып. 2, с. 291—298.

Гейзенберг В. О квантовотеоретическом истолковании кинематических и механических соотношений.— Успехи физ. наук, 1977, 122, вып. 4, с. 574——585.

Дирак П. А. М. Обобщенная гамильтонова механика.— В кн.： Вариационные принципы механики. М. ： Физматгиз, 1959, с. 705—722.

Дирак П. А. М. Лекции по квантовой механике.— М. ： Мир, 1968.— 84 с.

Славное А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей.— М. ： Наука, 1978.— 240 с.

Дирак П. А. М. Лекции по квантовой теории поля.— М. ： Мир, 1971.— 244 с.

Mukunda М, Sudarshan Е. С. G. Relations between Nambu and Hamiltonian meshanics.— Phys. Rev. D, 1976, 13, N 10, p. 2846—2850.

Магнус K・ Гироскоп.— М. ： Мир, 1974.— 526 с.

Аржаных И. С. Развитие теории канонических уравнений аналитической механики.— В кн.： Тр. II Всесоюз. съезда по теорет. и прикл. механике. М.： Наука, 1965, вып. 1, с. 7—15.

Вигнер Е. Законы сохранения в классической и квантовой физике.— В кн.： Вигнер Е. Этюды о симметрии. М. : Мир, 1971, с. 241—245.

Nambu У. Generalized Hamiltonian dynamics.— Phys. Rev. D, 1973, 7, N 8, p. 2405—2412.

Ruggeri G. J. Comments on Nambu mechanics.— Lett, nuovo cim., 1976, 17, N 5, p. 169—171.

i7. Валле-Пуссен Ш.-Ж, Курс анализа бесконечно малых.— Л.; М. : Гостехиздат, 1933.— Т. 2. 464 с.

Casimir Н. В. G. Rotation of a rigid body io.quantum mechanics.— Groningen etc., 1931.— 115 p.

Вигнер £. Теория групп.— М. ： Изд-во иностр, лит., 1961.— 444 с.

Наймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем.——М. : Наука, 1967.— 520 с.

Борн М. Лекции по атомной механике.— Харьков; Киев : ОНТИ, 1934.— Т. 1. 314 с.

Kapmati Э. Теория спиноров.— М. ： Изд-во иностр, лит., 1947.— 224 с.

Klein F., Sommerfeld A. Ober die Theorie des Kreisels.— Leipzig, 1896—1910.— Bd 1—4.

Hara 0., Goto T., Tsai S. Y., Yabuki H. A quantum theory of the rigid body in terms of a two-component spinor.— Progr. Theor. Phys., 1967, 37, N 6, p. 1319—1329.

Манк У., Макдональд Г. Вращение Земли.— М. ： Мир, 1964.— 384 с.

Дорфман Я- Г. Всемирная история физики (с начала XIX до середины XX вв.) — М. ： Наука, 1979.— 317 с.

Gibbs J. W. Rudolf Julius Emanuel Clausius.— Collect, works. New York etc., 1931, vol. 2, p. 261—267.

Томсон У. О динамической теории теплоты.—— В кн.： Второе начало термодинамики. М. ; Л. : Гостехиздат, 1934, с. 161—174.

Монтролл Э. К столетию статистической механики.— Успехи физ. наук, 1965, 87, вып. 2, с. 341—347.一

Максвелл Дж. К. Пояснения к динамической теории газов.— В ки.： Основатели кинетической теории материи. М.; Л. : ОНТИ, 1937, с. 185—220.

Boltzman L. Ober die mechanische Bedeutung des zweiten Hauptsatzes der War- melehre.— Sitzungsber. Wien Akad., 1866, 53, S. 195—220.

Эренфест 77. Людвиг Больцман.— В кн.： Больцман Л. Статьи и речи. М.： Наука, 1970, с. 190—202.

Boltzman L. Vorlesungen uber die Prinzipe der Mechanik.— Leipzig, 1904.— 2. T. 336 S.

Больцман Л. Два отрывка из «Лекций о принципах механики».— В кн.: Вариационные принципы механики. М. ： Физматгиз, 1959, с. 466—496.

Бриллюэн Л. Атом Бора.— Л. ; М. ： ОНТИ, 1935.— 275 с.

Fer F. Quelques remarques sur les systdmes thermodynamiques de Boltzman et les invariants adiabatiques.— J. phys. et rad., 1962,23, N 12, p. 973—978.

Роч Ф., Гордон Дж. Свечение ночного неба.— М. ： Мир, 1977.— 150 с.

Лебедев П. ". Давление света.— Собр, соч. М. ： Изд-во АН СССР, 1963, с. 368—388.

Лебедев 〃・ Н. Максвелло-Бартолиевы силы давления лучиетой энергии.— Собр. соч. М. ： Изд-во АН СССР, 1963, с. 178—183.

Лебедев П. Н. Световое давление.— Собр. соч. М. ： Изд-во АН СССР, 1963, с. 295—298.

Лоренц X. А. Людвиг Больцман.— В кн.： Больцман Л. Статьи и (течи. М.: Наука, 1970, с. 203—234..

Планк М. Об одном улучшении закона излучения Вина.— Избр." тр. М.: Наука, 1975, с. 249-250.

Планк М. К теории распределения энергии излучения нормального спектра,— Избр. тр. М. : Наука, 1975, с. 251—257.

Научное наследство : Естеств.-науч. сер.— М.; Л. : Изд-во АН СССР, 1948,— Т. 1. 835 с.

Rayleigh J. On the pressure of vibrations.—Phil. Mag., 1902, 3, N 16, p. 338—346.

Развитие физики в России.— М. : Просвещение, 1970. — Т. 1. 415 с.

Струве О., Зебергс В. Астрономия XX века.— М. : Мир, 1968.— 548 с.

Poincare Н. Lecons sur les hypotheses cosmogoniques.— Paris, 1911.— 294 p.

Берри А. Краткая история астрономии,— М. : Сытин, 1904,— 606 с, г

Goldstein R. M.t Carpenter R. L. Rotation of Venus: period estimated from radar, mesurements.— Science, 1963, 139, N 3556, p. 910—911.

Белецкий В. В. Очерки о движении космических тел.— М. ： Наука, 1977.— 430 с.

Субботин М. Ф. Астрономические работы Леонарда Эйлера.— В кн.: Леонард Эйлер. М. ： Изд-во АН СССР, 1958, с. 268—376.

Мещерский И. В. Работы по механике тел переменной массы.— М.; Л. : Гос- техиздат, 1949.— 275 с.

Демин В. Г. Судьба Солнечной системы.— М. : Наука, 1975.— 264 с.

Аллен К. У. Астрофизические величины.— М. : Мир, 1977.— 446 с.

Физика и астрономия Лунн.— М. : Мир, 1973.— 318 с.

Кирхгоф Г. Механика.— М. : Изд-во АН СССР, 1962.— 402 с.

Пуанкаре А. Гипотеза квантов.— Избр. тр. М. : Наука, 1974, т. 3, с. 546—558.

Лоренц Г. А. Эрнест Сольве.——В кн.： Лоренц Г. А. Старые и новые проблемы физики. М. : Наука, 1970, с. 199—201.

Лоренц Г. А. Вступительное слово на I Сольвеевском конгрессе.— В кн.: Лоренц Г. А. Старые и новые проблемы физики. М. : Наука, 1970, с. 98—100.

Обсуждение докладов на Сольвеевском конгрессе 1911 г.— В кн.: Эйнштейновский сборник, 1969—1970. М. ： Наука, 1970, с. 331—370.

Планк М. Физическая структура фазового пространства.— Избр. тр. М.: Наука, 1975, с. 339—369.

Планк М. Законы тсплового излучения и гипотеза элементарного кванта действия. Избр. тр. М. ： Наука, 1975, с. 282—310.

Эйнштейн А. К современному состоянию проблемы теплоемкости.— Собр. науч. тр. М. : Наука, 1966, т. 3, с. 277—313.

Эренфест — Йоф(/е. Научная переписка.— Л. : Наука, 1973.— 309 с.

Паули В. Вклад Зоммерфельда в квантовую теорию.— В кн.： Зоммерфельд А. Пути познания в физике. М. : Наука, 1973, с. 250—259.

Розенфельд Л., Рюдингер Э. Годы перелома, 1911—1918.— В кн.： Нильс Бор ： Жизнь и творчество. М. : Наука, 1967, с. 149—186.

Бор И. О строении атомов и молекул.— Избр. науч. тр. М. ： Наука, 1970, Т. 1, с. 84—148.

Bor М On the quantum theory of line spectra.— Kopenhagen, 1918.— 100 p.

Sommerfeld A. Zur Quantentheorie der Spectrallinien.— Ann. Phys., 1916, 51, N 17, S. 1—94; N 18, S. 125—167.

Паулинг Л. АрноЛЬд Зоммерфельд.— В кн.： Зоммерфельд А. Пути познания в физике. М. : Наука, 1973, С. 260—265.

Кудрявцев П. С. История физики.— М. : Просвещение, 1971.— Т. 3. 422 с.

Эйнштейн А. К квантовому условию Зоммерфельда и Эпштейна.——Собр. науч. тр. М. : Наука, 1966, т. 3, с. 407—416.

Дирак П. А. М. Профессор Эрвин Шредингер.— В кн.： Шредингер Э. Новые пути в физике. М. : Наука, 1971, с. ЗЙ7—389.

Эренфест. П. Относительность. Кванты. Статистика.— М.: Наука, 1972.— 359 с.

Френкель В. Я- Пзуль Эренфест.— М. ： Атомиздат, 1977.— 191 с.

Эйнштейн А. К квантовой теории.— Собр. науч. тр. М. ： Наука, 1966, т. 3丿 с. 328-335.

Френкель В. Я- Юрий Александрович Крутков.— Успехи физ. наук, 1970, 102, вып. 4, с. 639—654.

Ehren fest Р. Bemerkung betreffs der spezifischen Warme zweiatomiger Gase.— Verh. Dtsch. Phys. Ges., 1913, 15, S. 451—457.

Эренфест П. Об одной механической теореме Больцмана и ее отношении к теории квантов.— В кн.： Эренфест П. Относительность. Кванты. Статистика. М. : Наука, 1972, с. 51—57.

Ehrenfest Р. Adiabatische Invarianten und Quantentheorie.— Ann. Phys., 1916, 51, N 19, S. 327—352.

Wilson W. The quantum theorie and electromagnetic phenomena.—Proc. Roy. Soc., 1922, 102, N 717, p. 478—483.

Dirac P. A. M. The adiabatic hypothesis for magnetic fields.—Prcc. Cambr. Phil. Soc,, 1925, 23, pt 1, p. 69—78,

Burgers J. M. Die adiabatische Invarianten bedingt perlodiscber Systeme.— Ann. Phys., 1917, 52, N 2, S. 195—202.

Круткоз 戒 А. О «квантовании» условно-периодических систем.— Журн. Рус. физ.-хим. о-ва, 1918, 50, вып. 1, с. 134—142.

Зоммерфельд Л. Строение атома и спектры.—М.: Гостехиздат, 1956.—Т.1.591 с.

Dirac Р. А. М. The adiabatic invariance qf the quantutn integrals.— Proc. Roy. Soc., 1925, 107, N 744, p. 725—734.

Laue M. Zum Prinzip der mechanischen Transformierbarkeit (Adiabatenhyp- hothese).— Ann. Phys., 1925, 76, N 16, S. 619—631.

Арнольд В. Я. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.— М. ： Наука, 1978.— 304 с.

Эренфест 〃. Адиабатические преобразования в квантовой теории и их трактовка Нильсом Бором.— В кн.： Эренфест П. Относительность. Кванты. Статистика. М. : Наука, 1972, с. 58—75.

Эйнштейн А. Об одной эвристической точке зрения, касающейся возникновения и превращения света.— Собр. науч. тр. М. ： Наука, 1966, т. 3, с. 92—107.

Паули В. Пауль Эренфест.— В кн.： Эренфест П. Относительность. Кванты. Статистика. М. ： Наука, 1972, с. 240—246.

Вот М. Das Adiabatenpinzip in der Quantenmechanik.— Z. Phys., 1926, 40, H.3,S. 167—192.

Ферми 3., Персика Э. Адиабатический принцип и понятие живой силы в новой волновой механике.— Науч. тр. М. ： Наука, 1971, т. 1, с. 231—236.

Born М., Fock V. Beweis des Adiabatensatzes.——Z. Phys., 1928, 51, H. 3, S. 165—180.

Malkin /. A., MarCko V. /., Trifonov D. A. Linear adiabatic invariants and coherent states.— J. Math. Phys., 1973, 14, N 5, p. 576—582.

Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.— М.; Л. : ОГИЗ, 1947.— 392 с.

Зигель К・ О существовании нормальной формы аналитических дифференциальных уравнений Гамильтона в окрестности положения равновесия.— Математика, 1961, 5, вып. 2, с. 129—155.

Moser J. On the integrability of area preserving Cremona mapping near an elliptic fixed point.— Boll. Soc. mat. Mex., 1961, p. 176—180.

Колмогоров A. H. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона.— Докл. АН СССР, 1954, 98, № 4, с. 527—530.

Колмогоров А. Н. Общая теория динамических систем и классическая механика.—В кн.: Междунар, мат. конгр. в Амстердаме 1954 г. М. : Физматгиз, 1961, с. 187—208.

Арнольд 8. Я. Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона.—Успехи мат. наук, 1963, 18, № 5, с. 13—40.

Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической и небесной механике.——Успехи мат. наук, 1963, 18, № 6, с. 91—192.

Арнольд В. И. О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы.— Докл. АН СССР, 1964, 156, № 1, с. 9—12.

Синай Я- Г. Классические динамические системы со счетнократным лебегов- ским спектром. II. — Изв. АН СССР. Сер. мат., 1966, 30, № 1, с. 15—68.

Синай Я- Г. Динамические системы с упругими отражениями： Эр год. свойства рассеивающих бильярдов.— Успехи мат. наук, 1970, 25, № 2, с. 141—192.

Алексеев В. М. Квазислучайные колебания и качественные вопросы небесной механики.— В кн.： Девятая летняя математическая школа. Киев ： Наук, думка, 1976, с. 212—341.

Moser Ju. Stable and random motions in dynamical systems.— Princeton ： » Princeton Univ, press, 1973.— 198 p.

Чириков Б. В. Исследования по теории нелинейного резонанса и стохастич- ности.— Новосибирск, 1969.— 313 с.— (АН СССР. Ин-т ядер, физики; Препринт № 267).

Заславский Г. М. Статистическая необратимость в нелинейных системах.— М. : Наука, 1970.— 143 с.

Заславский Г. M.f Чириков Б. 8. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний.— Успехи физ. наук, 1971, 105, вып. 1, с. 3—40.

Chirtkou В. V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems.— Phys. Repts, 1979, 52, N 5, p. 265—379.

Андронов 4. А., Понтрягин 力.С. Грубые системы.— Докл. АН СССР, 1937, 14, № 5, с. 247—254.

Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. Я., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости.— М. ： Наука, 1967.— 487 с.

Baggis Н. de. Dynamical systems with stable structures.— Contrib. theory nonlinear oscillation, 1952, 2, p. 37—59.

Баггис Г. Ф. Грубые системы двух дифференциальных уравнений.— Успехи мат. наук, 1955, 10, № 1, с. 101—126.

Peixoto М. М. Structural stability on two-dimensional manifolds.— Topology, 1962, 1, p. 101—120.

Peixoto M. M. Structural stability on two-dimensional manifolds. II.— Topology, 1963, 2, p. 179—180.

Smale S. Structurally stable systems are not dense.— Amer. J. Math., 1966, 88, N 3, p. 491—496.

Smale S. Differentiable dynamical systems.— Bull. Amer. Math. Soc., 1967, N 6, p. 747—817.

Newhouse S. Nondensity of axiom A (a) global analysis.— In: Proc. Symp. Pure Math. Amer. Math. Soc. New York, 1971, vol. 14, p. 191—203.

Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны.— Тр. Мат. ин-та им. Стеклова, 1967, 90, с. 3—209.•

Илиопулбс Дж. Введение в калибровочные теории.— Успехи физ. наук, 1977, 123, вып. 4, с. 565—596.

Nielsen Н. В., Olesen Р. Vortex-line models for dual string.— Nucl. Phys. B, 1973, 61, N l,p. 45—61.

Тейлор Дж. Калибровочные теории слабых взаимодействий.——М. : Мир, 1978.— 206 с.

Alfaro V. de, Rasetti М. Structural stability theory and phase transition models.—Fortschr. Phys., 1978, 26, N 3, p. 143—173.

Намбу И. Почему нет свободных кварков.— Успехи физ. наук, 1978, 124, вып. 1, с. 147—169.

К.иржниц Д. А. Сверхпроводимость и элементарные частицы.— Успехи физ. наук, 1978, 125, вып. 1, с. 169—194.

Lindschtedt A. Beitrag zur Integration der Differentialgleichungen der Storung- theorie.— Зап. С. Петерб. император, акад, наук, 1883, 30, № 4, S. 1—20.

Moser J〃. A new technique for the construction of solutions of nonlinear differential equations.— Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1961, 47, N 7, p. 1824—1827.

Мозер К). О разложении условно-периодических движений в сходящиеся степенные ряды.—— Успехи мат. наук, 1969, 24, № 2, с. 165一211.

Нехорошее Н. Н. О поведении гамильтоновых систем, близких к интегри* руемым.— Функцион. анализ и его прил., 1971, 5, № 4, с. 82—83.

Нехорошее Н. И. Экспоненциальная оценка времени устойчивости гамильтоновых систем, близких к интегрируемым.— Успехи мат. наук, 1977, 32* № 6, с. 5—66.

Мельников В. К，Об устойчивости центра при периодических во времени возмущениях.—Тр. Моск. мат. о-ва, 1963, 12, с. 3—52.

Джакалья Г. £. Методы теории возмущений для нелинейных систем.— М.: Наука, 1979.— 319 с.

Де Брейн Н. Г. Асимптотические методы в анализе.——М. : Изд-во иностр, лит., 1961.— 247 с.

Боголюбов ”. ".，Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.— М.：①изматгиз, 1963.— 410 с.•

Митропольский Ю. А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний.— М. : Наука, 1964.— 431 с.

Барис Я. С・，Лыкова О. 5. Приближенные интегральные многообразия систем дифференциальных уравнений.— Киев, 1979.— 19 с.——(АН УССР. Ин-т математики; Препринт № 15).

Картан А. Дифференциальное исчисление ： Дифференц. формы.— М.: Мир, 1971.— 392 с.

Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— М. ： Наука, 1971.— 239 с.

Митропольский Ю. Л. Метод усреднения в нелинейной механике.— Киев ： Наук, думка, 1971.— 440 с.

Ды'сне А. М. Квантовые переходы в адиабатическом приближении.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1960, 38, вып. 2, с. 570—577.

Фздорюк М. В. Адиабатический инвариант системы нелинейных осцилляторов и теория рассеяния.— Дифференц. уравнения, 1976, 12, № 6, с. 1012—1018.

Слуцкин А. А. О движении одномерного нелинейного осциллятора в адиабатических условиях.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1963, 45, № 4, • с. 978—985.

Лифшиц И. М., Слуцкин А. А., Набутовский В. А. Об особенностях движения заряженных частиц в переменном и неоднородном электромагнитном поле,— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1961, 41, вып. 3, с. 939—948.

Бакай А. С. Резонансные явления в нелинейных системах.——Дифференц. уравнения, 1966, 2, № 4, с. 473—479.

Бакай А. С. О коэффициенте захвата частиц в ускоритель.——Атом, энергия, 1966, 21, с. 503—504.

Best R. On the motion of charged particles in a slightly damped sinusoidal potential wave.— Physics, 1968, 40, N 1, p. 182—187.

Aamodt R., Jaeger E. Effects of nonadiabatic transitions on invariants of motion.—Phys. Fluids, 1974, 17, N 10, p. 1386—1390.

Бакай 4. С. К теории эволюции волн в бесстол к нов ител ьной плазме.— В кн.： Проблемы теории плазмы ： Материалы II Междунар, конф. Киев, 1976, с. 248—250.

Бакай А. С. Самосогласованная теория эволюции волн в бесстолкновительной плазме.— В кн.： Физика плазмы и проблемы управляемого термоядерного синтеза. Харьков, 1976, с. 51—62. (Вопр. атом, науки и техники; Т. 1).

Истомин Я."・，Кар代ман В. И., Шкляр Д. Р.Нелинейная теория квазимоно- хроматического пакета плазменных волн в неоднородной плазме.——Журн. эксперим. и теорет. физики, 1973, 64, вып. 6, с. 2072—2075.

Бакай А. С. Вопросы теории нелинейных колебаний и их применение в физи* ке.— Харьков, 1971.— 142 с. —(Харьк. физ.-техн, ин-т; Препринт № 14).

Ландау Л. Д. К проблеме турбулентности.— Докл. АН СССР, 1944, 44, № 8» с. 339—342.

Аносов Д. В. Осреднение в системах обыкновенных диффер енци а л ь ны х уравнений с быстро колеблющимися решениями.—— Изв. АН СССР. Сер. мат., 1961, 24, № 5, с. 721—742.

HeUtumadm А. И. Об осреднении в многочастичных системах. II.— Докл. АН СССР, 1976, 226, № 6, с. 1295—1298.

Гиббс Дж. В. Основные принципы статистической механики.— М. ： Гостех- издат, 1946.一 203 с.

Hopf Е. Ergodentheorie.— Ergeb. Math., 1937, 5, N 2, S. 3—87.

Крылов H. С. Работы по обоснованию статистической физики.— М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1950.— 207 с.

Колмогоров А. Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространств Лебега.— Докл. АН СССР, 1958, 119, № 5, с. 861—864.

Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика.— М.: Мир, 1978.—Т. 2. 339 с.

Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической физике.— М. : Гостехиздат, 1946.— 117 с.

Ахиезер А. И., Пелетминский С. В. Методы статистической физики.— М.: Наука, 1977.— 368 с.

Чандрасекар С. Стохастические проблемы в 必знке и астрономии.— М. f Изд-во иностр, лит., 1947.— 164 с.二

Ehrenfest R, Ehrenfest T. Begriffliche Grundlagen statistischen Auffassung der Mechanik.— Encykl. Math. Wiss., 1912, 4, S. 4—91.

Смарт. У. M. Небесная механика.— М. : Мир, 1965.— 502 с.

Идельсон Н. И. Закон всемирного тяготения и теория движения Луны.— В кн.： Идельсон Н. И. Этюды по истории небесной механики. М. : Наука, 1975, с. 205—272.

Будкер Г. И* Термоядерные реакции в системе с магнитными пробками ： К вопр. о непосредств. преобразовании ядерн. энергии в электростатическую.— В кн.： Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций. М. ： Изд-во АН СССР, 1958, с. 3—31. (Вопр. атом, науки н техники; Т. 3).

Альфвен Х・ Космическая электродинамика.——М. ： Изд-во иностр, лит., 1952.— 140 с.

Боголюбов ". "., Зубарев Д. ". Метод асимптотического приближения для систем с вращающейся фазой и его применение к движению заряженных частиц в магнитном поле.— Укр. мат. журн., 1955, 7, № 1, с. 5—17.

Брагинский С. И. К теории движения заряженных частиц в сильном магнитном поле.— Укр. мат. журн., 1956, 8, № 2, с. 119—126.

Арнольд В. И. О поведении адиабатического инварианта при медленном периодическом изменении функции Гамильтона.— Докл. АН СССР, 1962, 142, № 4, с. 758—761.

Морозов А. И., Соловьев Л. С. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях.— В кн.： Вопросы теории плазмы. М. : Атомиздат, 1963, т. 2, с. 177—261.

Чириков Б. В. Проблема устойчивости движения заряженной частицы в магнитной ловушке.— Физика плазмы, 1978, 4, № 4, с. 521—541.

Ферми Э. О происхождении космического излучения.— Науч. тр. М. ： Наука, 1972, т. 2, с. 439—450.

Кадомцев 5. Б. Коллективные явления в плазме.— М. ： Наука, 1976.— 238 с.

Цытович В. Н. Теория турбулентной плазмы.——М. ： Атомиздат, 1971.— 423 с.〜

Петерман С. Гидродинамика сверхтекучей жидкости.— М. : Мир, 1978?— 520 с.

Тилли Д. Р., Тилли Дж. Сверхпроводимость и сверхтекучесть.— М. : Мир, 1977.— 304 с.—

Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ).— М7： Мир, 1965.— 238 с._

Фреман Фреман П. У. ВКБ-приближение.— М. ： Мир, 1967.— 168 8

Маслов В. 77., Федорюк М. В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики.— М. : Наука, 1976.——296 с.

Любарский Г. Я. К теории метода ВКБ. Случай конечного числа близких точек поворота.— Докл. АН СССР, 1978, 241, № 6, с. 1265—1268.

Lewis Н. R., Jr. Class of exact invariants for classical and quantum timedependent harmonic oscillators.— J. Math, Phys., 1968, 9, N 11, p. 1976—19E6.

Parker L. Adiabatic invariance in simple harmonic motion.— Amer. J. Phys., 1971, 39, N 1, p. 24—27.

Eckart C. The penetration of a potential barrier by electrons.—Phys. Rev., 1930, 35, N 11, p. 1303—1309.

Бейтмен Г., Эрдейи Л. Высшие трансцендентные функции.— М. ： Наука, 1965.— Т. 1. 294 с.

Базь Л. И., Зельдович Я- 6, Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике.—— М. ： Наука, 1971.—— 544 с.

Санников С. С* О некомпактной группе симметрии осциллятора.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1965,49, вып. 6, с. 1913—1922.

Смородинекчй 力.А. Геометрия Лобачевского и кинематика Эйнштейна.— В кн.： Эйнштейновский сборник, 1971. М. ： Наука, 1972, с. 272—301.

Попов В. С・,Переломов А. М. Параметрическое возбуждение квантового осцил-

лятора.— Жури, эксперим. и теорет. физики, 1969, 56, вып. 4, с. 1375—1390; 57, вып. 5, с. 1684—1690.

Lewis Н. R., 〃.，Riesenfeld 淤.R. An exact quantum theory of the time-dependent harmonic oscillator and of a charged particle in a time-dependent electromagnetic field.— J. Math. Phys., 1969, 10, N 8, p. 1458—1473.

Bargman V. Irreducible unitary representation of the Lorentz group.——Ann.. … Mith., 194 7, 4 8, N 3, p. 568-642. 亠

Швингер Ю. О калибровочной инвариантности и поляризации вакуума.—— В кн.： Новейшее развитие квантовой электродинамики. М. ： Изд-во иностр, лит., с. 254—283.

Никишов А. И. Образование пар постоянным внешним полем.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1969, 57, вып. 4, с. 1210—1216.

Попов В. С. Рождение пар в переменном и однородном электрическом поле как задача об осцилляторе.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1972, 62, вып. 4A с. 1248-1261.

Jannussis A. Die relativistische Btwegung eines Electrons im auperen homogenea Magnetfeld.— Z. Phys., 1966, 190, H. 2, S. 99—109.

Хокинг С. Рождение частиц на черных дырах,— В кн.： Альберт Эйнштейн » теория гравитации. М. : Мир, 1979, с. 479—509.

. Черные дыры.— М. : Мир, 1978.— 324 с.

Мизнер К, Торн К- Уилер Дж. Гравитация.— М. : Мир, 1977.— Т. 3^ 510 с.

Damour Т., Ruffini Р. Black-hole evaporation in the Klein-Sauter-Heisenberg- Euler formalism.— Phys. Rev. D, 1976, 14, N 2, p. 332—334.

Hawking S.呪 The quantum mechahics of black holes.— Sci. Amer., 1977A 2)5, № 1, p. 34—40.

Фролов В. П. Черные дыры и квантовые процессы в иих.—Успехи физ. наук» .1976, 118, вып. 3, с. 473—503.

Фролов В. П. Физика черных дыр： от Эйнштейна до наших дней.— В кн.х Эйнштейновский сборник, 1975—1976. М. ： Наука, 1978, с. 82—151.

Оглавление )

Предисловие• • • •5

Введение .....：・.】「♦ *； ・ . ・、..・「/ .・，・三;• . \*7

ОТ СИМПЛЕКТИЧЕСКОГО ИНВАРИАНТА ЛАГРАНЖА ДО АДИАБАТИЧЕ-； ”

СКИХ ИНВАРИАНТОВ ЭРЕНФЕСТА 17

Глава 1

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ГАМИЛЬТОНОВОЙ МЕХАНИКИ*19

Кватернионы. Матрицы Паули 19

Снмплектическая группа 22

Инвариант Лагранжа и канонические уравнения. СкобкиЛагранжа29

Скобки Пуассона. Теорема Пуассона 32

Гамильтонова механика в произвольных переменных 34

Касательные преобразования Ли и каноническиепреобразования42

Канонические преобразования, зависящие от времени 47

Конкурсный мемуар Пуанкаре «О проблеме трех тел и об уравнениях динамики» 54

Интегральные инварианты Пуанкаре — Ли — Картана 57

Время как каноническая переменная. Гамильтонова форма механики

二 одной частицы в релятивистском и общерелятивистском случаях . , .65

Интегралы движения и симметрии. «Скрытая» симметрия атома водорода и спинорная регуляризация кеплеровского движения70

Скобки Пуассона и переход от классической механики к квантовой 80

Механика Намбу. Квантовомеханический волчок 84

Глава 2

ЮТ АДИАБАТИЧЕСКИХ ИНВАРИАНТОВ БОЛЬЦМАНА ДО АДИАБАТИЧЕСКОЙ ГИПОТЕЗЫ ЭРЕНФЕСТА95

Второе начало термодинамики н адиабатические инварианты Больцмана 95

Давление колебанийи адиабатические инварианты Рэлея100

Адиабатические инварианты в «Лекциях о космогонических гипотезах» Пуанкаре 107

I Сольвеевскнй конгресс. Маятник Лоренца —— Эйнштейна114

Атом водорода по Бору иЗоммерфельду117

§ 19. Адиабатическая гипотеза Эренфеста ・• . • 122

§ 20. Доказательство адиабатической гипотезы для" невырождающихся систем *131

2

ТЕОРИЯ И ПРИМЕНЕНИЕ АДИАБАТИЧЕСКИХ ИНВАРИАНТОВ135-

Глава 3,

7 7学0-25 丁 394 33344445567 7学0-25 丁 394 333444455679'^79'^ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ И АДИАБАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ

7 7学0-25 丁 394 3334444556

7 7学0-25 丁 394 3334444556

79'^

79'^

События, системы, уравнения движения

Фазовое пространство, интегральные кривые, фазовые траектории

Динамические и интегральные функции

Интегральные инварианты

Гамильтонова динамика

Топология интегральных кривых

Структурная устойчивость

Примеры

Близкие к интегрируемым гамильтоновы системы

Невозмущенные системы (164). 2. Возмущенные системы. Теорема Колмогорова (166). 3. Неустойчивые траектории (171). 4. Обобщение на случай не- консерватнвных гамильтоновых систем (177).5. Интегральные многообразия гамильтоновых систем, близких к интегрируемым (177)

Асимптотические и приближенные интегральные многообразия ...

Системы с медленно изменяющимися параметрами

Системы с одной степенью свободы (185). 2. Приближенные многообразия иа бесконечном интервале времени (193). 3. Переход через сепаратрису (194). 4. Сокращенное описание эволюции. Вероятности переходов (200).

Системы с числом степеней свободы больше единицы (204). 6. Перемешивающие системы (207).

Адиабатические инварианты н их связь с интегральными миогообразия-

Интегральные многообразия н инварианты (217). 2. Адиабатические инварианты (219). 3. Адиабатические инварианты при использовании неканонических переменных (221).

Глава 4

ПРИМЕНЕНИЕ АДИАБАТИЧЕСКИХ ИНВАРИАНТОВ В ФИЗИКЕ223-

Энтропия ——адиабатическийинвариант223

Вековое ускорение Луны 226*

Адиабатическая инвариантность магнитного потока через орбиту заряженной частицы 230

Движение заряженной частицы в неоднородном магнитном поле (231). 2. О происхождения быстрых космических частиц (теория Ферми) (238). 3. Квантование магнитного потока в сверхпроводниках. Квантованные внхри в сверхтекучей жидкости (240).

Движение заряженных частиц в поле медленно эволюционирующей волны ，242

Осциллятор с переменной частотой247

О точном инварианте, близком к адиабатическому (247). 2. Точно решае-

Квантовомеханический осциллятор с переменной частотой. Вероятности перехода 258：

27>27>Рождение пар заряженных частиц электрическим полем. Испарение черных дыр 26上

27>

27>

Список литературы

АЛЕКСАНДР СТЕПАНОВИЧ БАКАЙ ЮРИЙ ПЕТРОВИЧ СТЕПАНОВСКИЙ

АДИАБАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ

Утверждено к печати ученым советом

Харьковского физико-технического ннстктута АН УССР

■Редакторы Г. Г. Бербен, В. М. Чирков Оформление художника В. Г. Самсонова Художественный редактор ". П, Антонюк

Технический редактор А. М. Капустина ^Корректоры Г. Н. Черная. 3. И. Соколинская

у1лмл汴守，泞/ ”产：一

齡5叩嗔乐Y•等:鼠 M:

Информ, бланк №3131

Сдай о в набор 21.08.80. Подп. в печ. 11.02.81. БФ 01016.

Формат 60x90/„. Бумага типогр. № 1. Лит. гарн.”

Выс печ. Усл. печ. л. 17,75. Уч.-изд. л. 17,17. Заказ 1-82.

Тираж 1550 экз. Цена 2 руб. 90 коп.、

Издательство «Наукова думка». 252601, Киев, ГСП, Репина^ &

Книжная фабрика «Коммунист» РПО «Полиграф- кинга» Госкомиздата УССР, 310012, Харьков-12, Энгельса, 11..

7 Довольно часто каноническими преобразованиями называют произвольные преобразования, переводящие канонические уравнения в канонические, и не требуют, чтобы гамильтониан при таких преобразованиях вел себя как скалярная функция. Такие расширенные канонические преобразования соответствуют касательным преобразованиям (6.3) с р, отличным от нуля (см., например, [56]).

18 Особые точки определяются уравнениями иг= и2— 0, а их характер — поведением фазовых траекторий в малой окрестности, что устанавливается из линеаризованных в окрестности особых точек уравнений движения.

АКАДЕМИЯ НАУК

УКРАИНСКОЙ ССР

А.С. БАКАЙ

Ю.П.СТЕПАНОВСКИЙ

АДИАБАТИЧЕСКИЕ

ИНВАРИАНТЫ

^1СЮ «НАУМОВА ДУМКЛ» *、

УДК 531

Адиабатические инварианты / Бакай А. С., Степановскнй Ю. П.— Киев ： Наук, думка, 1981.— 284 с.

В монографии впервые обобщаются сведения об адиабатических инвариантах, прослеживается эволюция теории адиабатических инвариантов от Больцмана и Эренфеста до настоящего времени.

В основу современной теории адиабатических инвариантов положен геометрический подход, в котором используется метод интегральных многообразий. Показано, что сохранение адиабатических инвариантов связано с сохранением инвариашных интегральных многообразий при медленном изменении параметров. Исследован вопрос о поведении адиабатических инвариантов прн прохождении системой особых точек, где условие адиабатичности нарушено. Описаны адиабатические инварианты систем со многими степенями свободы. Рассмотрены различные задачи классической и квантовой физики, связанные с теорией адиабатических инвариантов.

Предназначена для специалистов в различных областях теоретической и математической физики. Может быть полезна преподавателям, аспирантам и студентам физических и механико-математических факультетов.

Ил. 50. Табл. 2. Список лит.： с. 271—281 (305 назв.). . ■

Ответственный редактор А. И. АХИЕЗЕР

РецензентыРецензентыЮ. А. МИТРОПОЛЬСКИЙ, С. В. ПЕЛЕТ№1НСК>#1

Рецензенты

Рецензенты

Редакция 4mзнксяиатематидеско宓 литературы

Б Ri(”i 晔81・ I7«of© Издатеда^#Ь|у『硏噸А |98Г

ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящей монографии излагаются различные аспекты теории адиабатических инвариантов и ее приложений в разнообразных областях физики и механики.

Адиабатические инварианты — это приближенно (но с высокой степенью точности) сохраняющиеся величины, появляющиеся в случаях, когда силы или связи в гамильтоновой механической системе изменяются со временем непрерывно, но очень медленно по сравнению с характерными периодами системы. Своим существованием адиабатические инварианты обязаны двум обстоятельствам. Во- первых, тому, что гамильтоновы системы имеют точно сохраняющиеся величины — интегральные инварианты Пуанкаре— Картана. Во-вторых, тому, что многим системам с медленно изменяющимися параметрами присуща некоторая приближенная симметрия (являющаяся точнойу если параметры не изменяются). Интегральные инварианты связываются с континуумом интегральных кривых, отличающихся начальными условиями, в то время как адиабатический инвариант связывается с одной единственной интегральной кривой. Существует широкий класс медленно эволюционирующих гамильтоновых систем, симметрия которых позволяет с высокой степенью точности сопоставить некоторый интегральный инвариант отдельной интегральной кривой. В таком случае этот интегральный инвариант называют адиабатическим.

На связи между интегральными и адиабатическими инвариантами основывается геометрический подход к теории адиабатических инвариантов, изложенный в монографии. Сущность указанного геометрического подхода кратко описана во введении.

В гл. 1 рассматривается симплектическая структура гамильтоновой механики, приводящая к существованию интегральных» а тем самым и адиабатических инвариантов. Симплектическая структура гамильтоновой механики проявляет себя в скобках Пуассона, в теории канонических преобразований, в связи между симметриями и законами сохранения, в возможности проквантовать гамильтонову механику. В начале главы вводится симплектическая группа и обсуждаются ее свойства. Затем излагаются классические результаты Лагранжа, Пуассона, Гамильтона, Якоби, Ли, Пуанкаре, Картана, в исследованиях которых был разработан математический аппарат гамильтоновой механики. Ознакомившись с содержанием гл. 1, читатель получит некоторое представление о том, почему в настоящее время принято рассматривать гамильтонову механику как раздел дифференциальной геометрии [1—4]. Кроме теории интегральных инвариантов Пуанкаре — Картана, необходимой для построения теории адиабатических инвариантов, в этой главе анализируются некоторые сравнительно недавние исследования, касающиеся принципиальных вопросов классической механики. Так, в § 5 излагается работа Паули, в которой проанализирован переход от канонически1% переменных гамильтоновой механики к произвольным неканоническим переменным, использованный Паули при изучении гамильтоновых систем с бесконечным чис-

лом степеней свободы. В § 11——13 обсуждается принципиальная роль симплекти- ческой структуры гамильтоновой механики при выводе связи между симметриями и законами сохранения, а также при переходе от классической механики к квантовой. В § 13 рассматривается механика Намбу, представляющая собой обобщение гамильтоновой механики.

Гл. 2 посвящена истории адиабатических инвариантов. В § 14—16 освещается доквантовый период этой истории (Больцман, Рэлей, Пуанкаре). В § 17——20 дана роль адиабатических инвариантов в становлении квантовых представлений (маятник Лоренца — Эйнштейна, адиабатическая гипотеза Эренфеста, доказательство адиабатической гипотезы Эренфеста, принадлежащее Борну и Фоку).

Теория адиабатических инвариантов, основанная на применении метода интегральных многообразий [5——8], излагается в гл. 3. Пользуясь этим методом, удается однозначно построить адиабатические инварианты таких различных по своей природе динамических систем, как системы с быстро вращающейся фазой и перемешивающие. В первом случае адиабатическим инвариантом оказывается действие за период, во втором — энтропия системы. Значительная часть этой главы содержит описание общих свойств динамических систем, топологии интегральных кривых интегрируемых и близких к интегрируемым системам (§ 21—30). Анализ топологии интегральных кривых близких к интегрируемым гамильтоновых систем требует привлечения разнообразных методов теории возмущений и выяснения условий их применимости. Среди последних одним из основных является условие сохранения топологической структуры интегральных кривых (интегральных многообразий) в процессе эволюции. Описанию этого важного свойства динамических систем посвящены § 27, 28. Построение и анализ приближенных многообразий разнообразных гамильтоновых систем с медленно изменяющимися параметрами даны в §31. Здесь показано, что для системы с одной степенью свободы такое построение можно выполнить даже в случае, когда в процессе эволюции изменяется топологическая структура интегральных многообразий и в связи с этим нарушается условие медленности эволюции системы. Кроме того, в этом параграфе проведено построение адиабатических инвариантов для перемешивающих систем.

В гл. 4 рассматриваются различные применения адиабатических инвариантов в физике (адиабатическая инвариантность энтропии, вековое ускорение Луны, удержание заряженных частиц в магнитных ловушках, происхождение быстрых космических лучей и др.). Обсуждаются некоторые вопросы, связанные с точностью сохранения адиабатического инварианта осциллятора с переменной частотой. На примерах квантовомеханического осциллятора и рождения пар частиц — античастиц внешними полями проиллюстрирована точность выполнения адиабатической гипотезы Эренфеста.

Появление настоящей монографии в значительной степени связано с практик чески полным отсутствием монографической литературы по адиабатическим инвариантам. Последний из монографических обзоров, посвященных адиабатическим инвариантам, был написан Ю. А. Крутковым в 1921г. [9] и поэтому не включает большого числа важных результатов, полученных позднее. Небольшая книга Крускала [10] достаточно полно освещает только одну из сторон теории адиабатических инвариантов: существование адиабатических инвариантов во всех порядках пэ малому параметру для так называемых систем с быстро вращающейся фазой, а книга Нортропа [11] псювящена некоторым применениям теории адиабатических инвариантов в задачах о движении заряженных частиц. Этим, по существу, исчерпывается монографическая литература по адиабатическим инвариантам. Настоящая монография в некоторой степени восполнит отмеченный пробел. В ней освещены все значительные результаты теории адиабатических инвариантов, начиная с пионерских работ Больцмана и Эренфеста и кончая геометрическим подходом, основанным на использовании метода интегральных многообразий. В монографию включено несколько новых, полученных А. С Ва- каем» результатов： описание медленно эволюционирующих систем при структурных переходах (§ 31, п. 3,4); построение асимптотических интегральных многообразий произвольного порядка для систем с перемешиванием (§ 31, п. 6; §32, п. 1, 2). Авторы надеются, что книга будет полезна широкому кругу читателей.

$ ” Очень может быть, что в глубине души природа совершенно ，也 несимметрична, но в хитросплетениях реальности она иа: чииает выглядеть почти симметричной...

Р. Фейнман

Симметрия динамических систем, классических и квантовых, проявляется в существовании законов сохранения. Каждый из таких законов налагает ограничения на возможные движения системы. Если число законов сохранения достаточно велико, то может оказаться, что они однозначно определяют движение системы. В таком случае уравнения движения динамической системы интегрируемы. Число интегрируемых (точнее, проинтегрированных) систем относительно невелико, однако они имеют большое значение. Это связано с тем, что поведение многих неинтегрируемых систем на достаточно длительных интервалах времени с высокой степенью точности описывается решениями подходящим образом подобранных интегрируемых систем. Последнее означает, что многие неинтегрируемые динамические системы характеризуются приближенной симметрией, порождающей приближенно сохраняющиеся величины. Возникают вопросы: в каких случаях и как можно найти приближенно сохраняющиеся величины, с какой точностью и сколь продолжительное время они сохраняются?

Начиная со второй половины прошлого столетия в физике и механике изучается и широко используется замечательный класс приближенно сохраняющихся величин, называемых адиабатическими инвариантами. Адиабатические инварианты строятся для медленно эволюционирующих систем. Пусть система интегрируема при постоянных значениях некоторого набора параметров а = =а” as, фиксирующих внешние условия и связи, и т ——характерное время изменения динамических переменных. Тогда при медленном изменении параметров а = а (叨，ет《1 (означающем слабое нарушение симметрии внешних условий и связей) для широкого класса систем, движение которых при постоянных значениях а

периодическое (или многократно периодическое), можно построить приближенно, но с высокой степенью точности, сохраняющиеся на интервале времени порядка 1/е величины, которые и называются адиабатическими (или почти адиабатическими) инвариантами.

Развитие теории адиабатических инвариантов можно разделить на два этапа. Первый соответствует времени, когда теория должна была ответить на вопрос: какие величины являются адиабатическими инвариантами? Выяснение этого вопроса оказалось очень важным для решения проблемы квантования в старой квантовой механике, основной постулат которой, сформулированный Эренфестом, заключался в том, что квантовать следует адиабатические инварианты и только их. Второй этап начался в настоящее время, когда основное значение в теории приобрел вопрос: с какой точностью адиабатические инварианты сохраняются? Точность сохранения адиабатических инвариантов определяет такие важные физические характеристики, как, например, время жизни заряженных частиц в магнитных ловушках и в магнитном поле Земли. Достаточно длительное время удержания частиц полем необходимо для успешной работы термоядерного реактора и объясняет существование радиационных поясов Земли.

Первый этап развития теории адиабатических инвариантов был завершен работами Эренфеста и его учеников. В 1913 г. Эренфест ввел новое правило квантования произвольного периодического движения

f 2Тdt = пЛ, (1) 6

где Т — кинетическая энергия, т — период квантуемого периодического движения. До Эренфеста умели квантовать только гармонические колебания, в случае которых формула Эренфеста (1) приводит к планковскому закону квантования

Я = nhv. (2)

Эренфест обосновывал свое правило квантования с помощью одной теоремы механики, доказанной Больцманом в 1866 г. Пытаясь свести второй закон термодинамики к законам механики, Больцман доказал, что интеграл

С 2Tdt у А (3)

имеет замечательное свойство: если состояние движения системы, совершающей периодическое движение, зависит от некоторых параметров, то при бесконечно медленном изменении этих параметров значение интеграла (3) постоянно. Время изменения параметров может быть сколь угодно большим, поэтому каждый из них может измениться на конечную величину. Интеграл Больцмана (3) был назван Эренфестом адиабатическим инвариантом, так как этот ин-

теграл, согласно Больцману, постоянен только в случаях, когда изменение параметров не сопровождается поглощением или выделением тепла, т. е. когда процесс изменения параметров адиабатический. При конечной скорости изменения параметров (но малой по сравнению со скоростью внутренних изменений в системе) адиабатический инвариант Больцмана сохраняется приближенно, но тем точнее, чем медленнее изменяются параметры.

Доказательство Больцмана справедливо для механических систем, уравнения движения которых следуют из вариационного принципа'

阡(Т —У)力=0,(4)

где 7 =十 £ а饅(g,cc) q'qk н У = V (q, а) — кинетическая и потен- циальная энергии,寸 и ql — обобщенные координаты и скорости, а ——изменяющиеся параметры. Вводя обобщенные импульсы

Pi = dT/dq(5)

и гамильтониан

〃(р,д) = 7+ 匕(6)

можно представить уравнения движения, вытекающие из вариационного принципа (4), в гамильтоновой форме

Pi = — дН/dq1, ql = dfi/dpir(7)

а адиабатический инвариант Больцмана — Эренфеста — в виде / = $〃&/,(8)

где интеграл вычисляется по замкнутой траектории, пробегаемой координатами д' за период движения при фиксированных значениях параметров а. Таким образом, согласно Больцману, система с медленно изменяющимися параметрами имеет адиабатические инварианты, если она гамильтонова.

Интегралы вида (8), понимаемые в другом смысле, введены в гамильтонову механику Пуанкаре в знаменитом конкурсном мему а ре о проблеме трех тел, опубликованном в 1890 г., и получили название интегральных инвариантов. Интегральные инварианты Пуанкаре ——точно сохраняющиеся величины, которые связаны с интегральными многообразиями, образуемыми интегральными кривыми (т. е. кривыми (内 ⑴，qt (f), f) в расширенном фазовом пространстве). Исследование поведения интегральных многообразий при медленном изменении параметров системы дает возможность свести изучение приближенно сохраняющихся адиабатических инвариантов к изучению интегральных инвариантов Пуанкаре на приближенно сохра-- няющихся интегральных многообразиях.

Указанная связь между интегральными и адиабатическими инвариантами приводит к возможности построить теорию адиабатиче-

ских инвариантов, широко использующую метод интегральных многообразий. Этот метод, идея которого впервые высказана Н. Н. Боголюбовым ⑸，изложен в основополагающем докладе Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского [6]. Он нашел применение при решении разнообразных задач нелинейной механики и получил затем заметное развитие [7]. В теории адиабатических инвариантов метод интегральных многообразий впервые применен одним из авторов настоящей монографии 〔8]. С помощью этого метода можно уяснить геометрическую природу адиабатических инвариантов, связать их с топологией интегральных кривых динамических систем с медленно изменяющимися параметрами, а также с симплектической структурой гамильтоновой динамики, проявляющейся в существовании интегральных инвариантов Пуанкаре — Картана.

Сущность метода интегральных многообразий в теории адиабатических инвариантов заключается в следующем. В расширенном фазовом пространстве, п р едет а в л я ющем собой фазовое п-мерное пространство, дополненное еще одним измерением — временем, движение системы описывается интегральной кривой (w (/), /) (ц 三

ип —— набор динамических переменных). Пусть а —— некоторый набор параметров, определяющих внешние условия, в которых происходит движение системы. Рассмотрим некоторое множество начальных условий Мо (а), представляющее собой кусок й-мерной поверхности 但 & п) в фазовом пространстве. Начинающиеся на 2Ио (а) интегральные кривые образуют некоторую 他 + 1)-мерную гиперповерхность SR” в расширенном фазовом пространстве, сечения которого плоскостью f = const, очевидно, также являются кусками A-мерной поверхности М? (а). Гиперповерхность SR* = (М*, /)— интегральное многообразие, «составленное» из интегральных кривых. С каждым интегральным многообразием можно связать интегральный инвариант

/(Mf(a))= f gdu,,(9)

если удастся найти такую элементарную меру g (ijt) на Л4*, что

/ (М? (а)) = / (Л4о (а)).，.

Оказывается, что для любой гамильтоновой системы естественно вводятся элементарные меры на многообразиях Mk (они выражаются через симплектические дифференциальные формы), такие, что интегралы (9) остаются инвариантными при произвольных канонических преобразованиях. Поскольку изменение динамических переменных гамильтоновой системы во времени представляет собой непрерывное каноническое преобразование, получаем выражения для интегральных инвариантов Пуанкаре — Картана.

Если известны 力 一几 первых интегралов движения системы

Z( (u, a)=吃，i == 1, ...» A — %(10)

то соотношения (10) определяют не изменяющуюся во времени й- мерную гиперповерхность в фазовом пространстве Mk (а), связанное с ней интегральное многообразие (Af* (a), f) и интегральный инвариант (9), который зависит от W. Пусть 屮「.,.,屮也一набор независимых динамических переменных на "гиперповерхности МЛ (а) и т (а, W) — характерное время их изменения. Как изменяется топология интегральных кривых при медленном изменении параметров а во времени, а = а (е/), ет ^ 1? Величины /, определяемые соотношениями (10), перестают быть интегралами движения и не определяют больше интегральные многообразия. Если рассматривать многообразия (Л4“ ”，а), /) как приближенные интегральные многообразия при е ^ 0, то, очевидно, начинающиеся на этих многообразиях интегральные кривые отклонятся от них очень далеко за время /〜1/е. Однако условие медленности эволюции дает возможность для разнообразных динамических систем построить приближенные интегральные многообразия (Л4* (е, а), /), используя разло- жения (в общем случае асимптотические) по малому параметру ет. Приближенные интегральные многообразия характеризуются тем свойством, что начинающиеся на них интегральные кривые на интервале времени f ^ 1/е отклоняются на величину порядка ел. Показатель степени и определяет степень приближения. Для систем с большим числом степеней свободы (больше одной), как правило, удается построить приближенные интегральные многообразия, которые хорошо аппроксимируют поведение не всех, а только почти всех начинающихся на них интегральных кривых. Вычисленный по приближенному многообразию медленно эволюционирующей системы интеграл (9) является адиабатическим инвариантом.

Существование адиабатических инвариантов, как видно, связано с устойчивостью интегральных многообразий. При медленном изменении параметров они, деформируясь, сохраняются на длительном интервале времени, и даже в случае, когда отдельные участки возмущенных интегральных многообразий претерпевают сильное разрушение, относительная мера таких участков может оказаться малой.

Особый случай представляют перемешивающие системы. При фиксированных значениях параметров а их фазовые траектории всюду плотно покрывают поверхность постоянной энергии Н (р, q)= =W (или гиперповерхность более низкой размерности, если имеются и другие интегралы движения). Поэтому с каждой фазовой траекторией (не считая некоторого множества траекторий меры нуль) можно связать интегральное многообразие (Н (р, q, а) = W, О» называемое перемешивающим. Если перемешивание происходит экспоненциально быстро, с характерным временем расцепления корреляций г,, то можно обобщить метод асимптотических разложений, применив его для построения приближенных перемешивающих интегральных многообразий медленно эволюционирующих систем. Параметром разложения при этом является е = а(0 Va- Таким путем проводится построение асимптотических перемешивающих

интегральных многообразий произвольного (по параметру е) порядка. Связанный с этими многообразиями инвариант оказывается энтропией. Тем самым удается показать, что энтропия является сохраняющимся в любом порядке по е адиабатическим инвариантом .

Проиллюстрируем на примере осциллятора с переменной частотой колебаний связь между поведением интегральных многообразий и сохранением адиабатических инвариантов. Пусть частота s ⑴ осциллятора, описываемого уравнением

(11)(11)9 + (О (/) <7 = О,

(11)

(11)

при f-> 干 оо асимптотически стремится к постоянным значениям ①(— оо) = ①一 и о (оо) 三 й)+ (для определенности примем, что о)+ > о)_). Рассмотрим два способа эволюции осциллятора. Первый, когда частота, изменяется внезапно в момент времени f = f】от значения о一 до о)+・ Второй, когда изменение s (/) =s_ + ①十 происходит монотонно и крайне медленно. В первом случае адиабатических инвариантов нет, во втором адиабатический инвариант существует и равен согласно (3)

/=b = W，—、(12)

где 卷一 н *+ — значения энергии осциллятора при f f 干 de,

(13)(13)絞十g^g2

(13)

(13)

и p = q.

Фазовые портреты осциллятора при f -> 干 8 изо^рШЖеиы на рис. 1. В обоих случаях фазовые траектории являются семействами

эллипсов (13) с одинаковыми эксцентриситетами, определяемыми частотами о)_ (а) и (о+ (б). Фазовая точка 〃о, %, лежащая при % f — оо на эллипсеэллипсов (13) с одинаковыми эксцентриситетами, определяемыми частотами о)_ (а) и (о+ (б). Фазовая точка 〃о, %, лежащая при % f — оо на эллипсеперейдет при / ->перейдет при / ->户+吸д2 2户+吸д2 2(14)(14)оо на эллипсоо на эллипс(15)(15)Энергия S+ представляет собой некоторый Ь^Ьятций от начальныхусловий р0, t?0 функционал от s (f). При эт而片躇>актер зависимостиЭнергия S+ представляет собой некоторый Ь^Ьятций от начальныхусловий р0, t?0 функционал от s (f). При эт而片躇>актер зависимости卷+ =*+ 仇，%, W)})卷+ =*+ 仇，%, W)})(16)(16)

эллипсов (13) с одинаковыми эксцентриситетами, определяемыми частотами о)_ (а) и (о+ (б). Фазовая точка 〃о, %, лежащая при % f — оо на эллипсе

эллипсов (13) с одинаковыми эксцентриситетами, определяемыми частотами о)_ (а) и (о+ (б). Фазовая точка 〃о, %, лежащая при % f — оо на эллипсе

перейдет при / ->

перейдет при / ->

户+吸д2 2

户+吸д2 2

(14)

(14)

оо на эллипс

оо на эллипс

(15)

(15)

Энергия S+ представляет собой некоторый Ь^Ьятций от начальныхусловий р0, t?0 функционал от s (f). При эт而片躇>актер зависимости

Энергия S+ представляет собой некоторый Ь^Ьятций от начальныхусловий р0, t?0 функционал от s (f). При эт而片躇>актер зависимости

卷+ =*+ 仇，%, W)})

卷+ =*+ 仇，%, W)})

(16)

(16)

совершенно различен при быстром и медленном изменениях ①(/). Если при быстром изменении s (/) значение ^+ существенно зависит от всех трех входящих в (16) величин, то при очень медленном изменении s (/) величина 卷+ определяется только значениями 卷一, со_ и(о+ и пренебрежимо мало зависит от явного вида временной зависимости s (/), а также положения точки р0, q0 на эллипсе (14). Так, в случае внезапного изменения частоты в момент времени h в зависимости от того, каковы значения р (幻，q (幻，фазовые точки могут перейти с эллипса (14) на один из эллипсов (15), заключенный между эллипсами с

(рис. 2). В случае очень медленного изменения частоты все фазовые точки, лежащие на эллипсе (14), перейдут в весьма узкую окрестность эллипса (15), соответствующего энергии 卷十，согласно (12)

(17)(17)卷+ =拄

(17)

(17)

(рис. 3). Заметим, что площади эллипсов на рис. 3 совпадают и равны адиабатическому инварианту (12):

Рассмотрим поверхность (Л!^ £), образуемую в расширенном фазовом пространстве интегральными кривыми (р (厶 р0, %), q (/, р0, 9о), 0, исходящими из эллипса (14). Эта поверхность и является интегральным многообразием, от свойств которого зависят существование и точность сохранения адиабатических инвариантов.

костью t = const — один и тоткостью t = const — один и тот炉 + sLg22= ®—1炉 + sLg22= ®—1(18)(18)Асимптотически при f -> — 8, когда о (f) -> интересующие нас интегральные кривые представляют собой винтовые линии, навивающиеся на цилиндр

костью t = const — один и тот

костью t = const — один и тот

炉 + sLg2

2= ®—1

炉 + sLg2

2= ®—1

(18)

(18)

который как бы составлен из интегральных кривых, начинающихся на эллипсе (14)*. Сечение этого цилиндра любой плос- же эллипс.

Связанный с какой-либо интегральной кривой адиабатический инвариант Больцмана — Эренфеста — это интеграл §pdq, в котором интегрирование проводится вдоль пути, пробегаемого переменной q за период т_ = 2л/(о_. Нетрудно убедиться в том, что этот интеграл не зависит от начального значения д, т. е. от начального положения фазовой точки (р0, qOi «) на эллипсе (14) и равен площади участка фазовой плоскости, охватываемой этим эллипсом:

(19)

Но интеграл (19), представляющий собой площадь сечения интегрального многообразия плоскостью f = const, есть величина сохраняющаяся (это интегральный инвариант Пуанкаре). Итак, мы видим, что с каждой интегральной кривой, начинающейся на эллипсе Д4о, можно связать интеграл Больцмана ——Эренфеста, равный по величине точно сохраняющемуся интегральному инварианту Пуанкаре. Если частота осциллятора изменяется во времени, то интеграл Больцмана — Эренфеста, вообще говоря, перестает совпадать с интегральным инвариантом Пуанкаре, и их отличие (а тем самым и степень сохранения адиабатического инварианта осциллятора) определяется геометрическими свойствами интегрального многообразия.

При изменении s (f) скачком от значения о)_ до о)+ в момент f = fi каждая из интегральных кривых, лежащих на многообразии (18) при / < 九 претерпевает излом в момент времени 左 и начинает навиваться на один из цилиндров

'(户=卷+例幻,m)),) , (20) где значения *+ определены соотношением (15). Интегральное многообразие (М}, /) в момент времени f =厶 резко изменяет свою форму (рис. 4), и значения интегралов Больцмана — Эренфеста существенно зависят от того, с какими интегральными кривыми они связываются, а именно их значения равны площадям сечений соответст-

вующих цилиндров (20) и, естественно, не「

совпадают с интегральным инвариантом Пуанкаре (19). (На рис. 4 показано несколько сечений интегрального многообразия при f > 友(штриховые линии). Форма этих сечений повторяется через период 工十=2л7о)+ и совпадает с формой сечения цилиндра (18). Утолщенными линиями на рис. 4, 5 изображено несколько интегральных кривых.)

Совершенно иная картина возникает при очень медленном изменении частоты колебаний осциллятора. В этом случае интегральное многообразие при f -> 8 c высокой степенью точности приближается цилиндром (см. рис. 5)

где ^ определяется формулой (17). Благодаря выполнению условия (21) интеграл Больцмана — Эренфеста (8) при f f оо пренебрежимо мало отличается от интегрального инварианта Пуанкаре, а следователь

но, является адиабатическим инвариантом. Приведенное утверждение далеко не очевидно и требует доказательства (оно приведено в гл. 3).

Ознакомимся более детально со свойствами симметрии движения осциллятора с медленно изменяющейся частотой, ответственной за наличие приближенно сохраняющейся величины (адиабатического инварианта). Именно в результате этой симметрии удается связать интегральный инвариант с отдельной интегральной кривой. Рассмотрим следующее преобразование интегральных кривых (в случае постоянной частоты осциллятора):

■q(Ро» 9о, 0 =

-,и %8S СО (/_") +

+曹s"①("一幻f

f % cos[(o (f— %) —q>] + + —• sin [co (f — %) — ср],

Р ("о, %, О = % COS 8 (/ —幻—8% sin 3(/— %)-> -> Po cos [3 (/ —幻一咽一3<7o sin [3 (/ — /0)—屮].

С помощью этого преобразования можно из одной интегральной кривой получить все остальные кривые, лежащие на одном и том же цилиндре (18). При 0 < (р < 2л получим из интегральной кривой с начальными значениями р0, q0 все интегральные кривые, исходящие из эллипса (14). Иными словами, интегральное многообразие (18) инвариантно относительно преобразования (22).

Введя вместо р и q новую комплексную переменную

а=(23)

представим преобразование (22) в виде

а -> Г%.-(24)

Своим существованием адиабатические инварианты обязаны тому, что симметрия (24), отражающая равноправие интегральных кривых с различными начальными условиями, приближенно сохраняется при медленном изменении частоты осциллятора. Действительно, уравнение движения осциллятора с переменной частотой можно записать в виде

а == — isa +(25)

Очевидно, что если пренебречь вторым слагаемым в правой части (25), то симметрия (24) будет точной. При очень медленном изменении частоты осциллятора симметрия (24) становится приближенной, однако интегральное многообразие на интервале времени (——оо, оо) с высокой степенью точности инвариантно относительно преобразования (22). Это приводит к возможности связать интегральный инвариант Пуанкаре с любой из интегральных кривых, а тем самым к существованию адиабатического инварианта осциллятора

/ = 4па*а =響. (26)

Уравнение (25), казалось бы, довольно сильно нарушает симметрию (24). Тем не менее, оказывается, что его приближенные решения, имеющие симметрию (24), незначительно отличаются от точных решений (при соответствующих аналитических свойствах медленно изменяющейся функции о (/)). Это и обусловливает высокую точность сохранения адиабатического инварианта осциллятора. Доказательство этого замечательного факта (и его обобщений на более сложные системы) и представляет собой цель теории адиабатических инвариантов.

инвариантаЛагранжадо адиабатических

инвариантов

Эренфеста