Глава 1

МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦИИ УПРАВЛЕНИЯ(ПЕРВЫЙ СПОСОБ)

Управляемая механическая система

Рассматривается нелинейная управляемая система, динамика которой описывается уравнениями Лагранжа

= « + Qz,(1.1.1)

dt dqi dqi

где q = (qi, ..., Qn) — обобщенные координаты системы, n — число ее степеней свободы, точкой обозначены производные по времени t. Обобщенные силы состоят из управляющих сил &, подлежащих определению, и из слагаемых Q分，включающих все остальные внешние и внутренние силы, в том числе неконтролируемые возмущения.

Кинетическая энергия системы Г задана в виде квадратичной формы

= 2 £ ^jk(q)qjqk,(1」・2)

где ajk — элементы симметрической положительно-определенной матрицы 4(g) размером п х п. Подставляя (1.1.2) в (1.1.1), приведем уравнения движения к виду

4(q* = U + S(q/，U，(1.1.3)

где U = (Ui,...,%) — вектор управляющих сил, S = (5ь, 5П) — вектор-функция

S(q，0，" = Q(q，0，" - £ ^jk^jik.(I」/)

где Гjk = (Pija；, ..., rnjk) — n-мерные векторы с компонентами

(1.1.5)(1.1.5)

(1.1.5)

(1.1.5)

На управляющие силы наложены ограничения

1«1 WU?, 5= 1,...,八，(1.1.6)

где U?〉0 — заданные постоянные.

Начальные условия для системы (1.1.3) имеют вид

Wo)=q°, 0(方 о)=0°(1.1.7)

и лежат в некоторой заданной области Q в 2п-мерном фазовом пространстве: {q, q} е Q.

Постановка задачи управления

Сформулируем задачу управления.

Задача 1.1. Найти управление по принципу обратной связи U = U(q,@), удовлетворяющее ограничению (1.1.6) и приводящее систему (1.1.3) из произвольного начального состояния (1.1.7) из области Q в заданное состояние с нулевыми скоростями

必)= q*, 0&) =。(1.2.1)

за конечное время {момент времени 力* > 力о не фиксирован).

Упрощающие предположения. Задача 1.1 будет решаться при некоторых упрощающих предположениях (условиях), которые формулируются ниже.

Представим матрицу 4(g) в следующем виде:

4G =月(q)4,

(1.2.2)

B{q) = E^[A{q)-A^A-^A{q)A-\

где 厶* — некоторая постоянная симметрическая положительноопределенная матрица размера п х п, Е — единичная матрица размера п х п. Матрица B(q) является неособенной, поэтому обратная матрица 石T(q) существует. Умножим обе части уравнения (1.1.3) на B~\q) и, пользуясь соотношениями (1.2.2), преобразуем (1.1.3) к виду

A*@ = U + V(q，a，t,U).(1.2.3)

Здесь введено обозначение

『 =『 +『〃，Vf = B-\q)S(q,q,t),

(1.2.4)

Уравнение (1.2.3) с учетом обозначений (1.2.4) эквивалентно исходному уравнению (1.1.3).

Предполагаем, что выполнены следующие условия:

吗=-%(4 公+ %*,

(1.2.5)

М* + %T分=1,…，八，

при всех 方》方о, всех {q, q} е Q и всех U, удовлетворяющих (1.1.6). Здесь V<0 > 0 и А^ > 0 — некоторые постоянные. Если все 入分=0, то условие (1.2.5) переходит в более простое условие:

Ml W(1.2.6)

при всех 方》方о, всех {q, q} е Q и всех U, удовлетворяющих (1.1.6).

Приведем лемму [64], позволяющую судить о выполнении условия (1.2.6). Далее через || • || будем обозначать евклидову норму вектора или матрицы (под нормой матрицы понимается норма соответствующего линейного оператора в евклидовом пространстве).

Лемма 1.1. Пусть для любого п-мерного вектора z при всех t to и всех {q, 0} G С выполнены условия

||42||》〃*||2||,\\[А^)-Аф\\^М

5(q,#)|W〃U?, 5= 1,…，八，(1.2.7)

0V 从 V 从*, Z7 >0，

где 从*, 〃，z/ — постоянные. Тогда для компонент вектора V из (1.2.4) при всех t》方о, всех {q, q} е Q ^ всех U, удовлетворяющих (1.1.6), имеют место оценки

Ml <以？ +〃(从〃)T(l+z/)||U°||,

(1.2.8)

Отметим, что так как 4* — положительно-определенная матрица, то в качестве 从* можно принять любое положительное число, не превосходящее ее наименьшего собственного значения.

Доказательство. Из первого неравенства (1.2.7) имеем

М」2|| W〃」||2||.(1.2.9)

Здесь и далее 2 — любой n-мерный вектор. Введем обозначение

L=[A{q)-A^A~\(1.2.10)

Из (1.2.9) и второго неравенства (1.2.7) следует

Соотношение (1.2.2) для В с учетом (1.2.10) перепишем в виде

Bz = 2 + Lz.(1.2.12)

При помощи (1.2.12), (1.2.11) получим оценку

I 医 2||》||2|| — |%||》(1— 〃〃」)||2||.(1.2.13)

Из условия (1.2.7) леммы следует, что (1 — 〃从£】)> 0. Полагая 2 = gT?/ в (1.2.13), получим

\\В^^\\^(1-^Г{\\^\\.(1.2.14)

Неравенства (1.2.11), (1.2.14) дают

||LB-^|| <м(^-м)-1р||.(1.2.15)

Положим 2 = B~xz' в равенстве (1.2.12):

В-У = У - LBF.(1.2.16)

Используя равенство (1.2.4) для V и соотношение (1.2.16) при zf = S, представим компоненту 匕 вектора『в виде

吗={B^S^i = Si- {LB^S^i, i = 几(1.2.17)

Нижние индексы обозначают компоненты векторов. Из (1.2.17) при помощи третьего условия (1.2.7) и неравенства (1.2.15) получим

IKI < SI + кьв-1^! W 也)+ 〃仙—〃尸ISY

W z/U% +〃(从* — 〃)т^||и°||, г =(1.2.18)

Здесь использовано обозначение (1.2.8) для вектора U°. В соотношение (1.2.4) для вектора V" подставим равенство (1.2.16) при z' = U. Имеем

匕〃 =(B-^U-U^i = -(LB-^U^i, i = 1,...，儿 (1.2.19)

Отсюда при помощи неравенств (1.2.15) и (1.1.6) получим

|%〃| w \{ЬВ-Хи)г\ w \\LB-[U\\ w 〃仙—从)т||U|| w

^^-^-{\\UQ\\, i= 1,…，几(1.2.20)

Из полученного неравенства и (1.2.18) следует утверждение (1.2.8). Лемма доказана.□

Из леммы вытекает следствие.

Следствие. Если в условиях леммы z/ V 1 〃 〃 достаточно мало, то выполнено условие (1.2.6).

Отметим, что в качестве матрицы 厶* следует взять некоторое «среднее» для области Q значение матрицы 4(g). В частности, можно выбрать в качестве 4* матрицу 4(g) при некотором значении вектора q, например, 4(q*), 4(q°) или 4((q° + q*)/2). Тогда, если область Q достаточно мала, то на всех рассматриваемых движениях матрица 4(g) будет мало отличаться от 厶* и число 从 в условии (1.2.7) леммы будет достаточно малым. Таким образом, согласно следствию для данной нелинейной системы (1.1.3) можно обеспечить выполнение условия (1.2.6), если, во-первых, повысить возможности управления, т. е. увеличить постоянные U? в (1.1.6), чтобы имело место условие г/ < 1, и, во-вторых, уменьшить область Q так, чтобы 4(g) было близко к 4*, т. е. уменьшить число 从.

Ниже, в § 1.13, показано, что принятая постановка задачи 1.1 и условие (1.2.5) являются естественными и часто выполняются для манипуляционных роботов с электромеханическими приводами.

Декомпозиция

Обратимся к решению задачи 1.1 при выполнении условия (1.2.5). Предполагаем, что все рассматриваемые движения системы (1.1.3) лежат в области Q.

При условии (1.2.5) система (1.1.3) может быть согласно (1.2.3)(1.2.5) представлена в виде

(4» + %(4 力= иг + У^ 忆=匕* + 匕〃，г=(1.3.1)

В системе (1.3.1) сделаем замену переменных 4(q-q*) = 〃(1-3.2)

где q* введено в (1.2.1). Получим

Уг + ^гУг = Ui + Vi, г = 1,, п.(1.3.3)

Для слагаемых в правых частях (1.3.3) согласно (1.1.6), (1.3.1) и (1.2.5) имеем ограничения

5(1.3.4)

Начальные условия (1.1.7) и граничные условия (1.2.1) после замены (1.3.2) примут вид

у&о) = 4(q° — q*),少(方о) = 40°,(1.3.5)

川 *)=少(方*) = °・(1.3.6)

Задача 1.1 сводится, таким образом, к построению управления U(у, у), приводящего систему (1.3.3) из произвольного начального состояния (1.3.5) в состояние (1.3.6) при ограничении (1.3.4). Система (1.3.3) состоит из 八 подсистем с одной степенью свободы каждая. В каждой из подсистем имеется свое скалярное управление &, удовлетворяющее ограничению (1.3.4). Функцию 匕 в этой подсистеме будем рассматривать как возмущение, стесненное ограничением (1.3.4), а в остальном — произвольное. Тогда полученный результат можно подытожить в виде следующего утверждения.

Теор ема 1.1. Пусть выполнено условие (1.2.5) и все рассматриваемые движения системы (1.1.3) лежат в области Q. Тогда для решения задачи 1.1 достаточно решить 八 задач управления для линейных подсистем (1.3.3) с одной степенью свободы. В каждой из этих задач требуется построить скалярное управление U分(切，济)， удовлетворяющее ограничению (1.3.4) и переводящее г-ю подсистему (1.3.3) из произвольного начального состояния (1.3.5) в начало координат (1.3.6) за конечное время при любых допустимых возмущениях удовлетворяющих ограничению (1.3.4).

Излагаемый подход к декомпозиции управления был впервые предложен в работе [63] для случая А = 0 и в работе [64] — в общем случае при А > 0.

Игровая задача. Рассмотрим г-ю подсистему (1.3.3) и положим в ней〜

Уг = ufx, U% = U?u,忆=(1.3.7)

Тогда эта подсистема вместе с ограничениями (1.3.4) примет стандартный вид

石 +/\近=〃 + о, |〃| W 1, 同 W 0 V 1,(1.3.8)

а граничные условия (1.3.5) и (1.3.6) запишутся в форме:

力⑼=w，定⑼=〃，力(丁)=出(T)= 0.(1.3.9)

В (1.3.8) и (1.3.9) введены обозначения

p = V^/Uf<l,

£ = (U?)f"o) = (U?)T [4(『-q* 儿，

(1.3.10)

A = A^, 丁 =方* —方0, Z = 1, ... , 72.

Без нарушения общности начальный момент времени принят равным нулю.

Рассмотрим задачу о приведении системы (1.3.8) в начало координат за кратчайшее время, т. е. при минимальном 丁 в (1.3.9). Эту задачу будем рассматривать как дифференциальную игру, в которой один из игроков (управляющая сторона) выбирает управление и, а второй игрок (противник) выбирает возмущение о. Воспользуемся подходом теории дифференциальных игр [43] и построим управление по обратной связи (позиционное управление) и(х,±), приводящее систему (1.3.8) в начало координат за минимальное гарантированное время 丁 при любом допустимом возмущении о.

Заметим, что данная дифференциальная игра (1.3.8), (1.3.9) представляет собой линейную дифференциальную игру однотипных объектов. Ее решение, как известно [43], сводится к решению задачи оптимального быстродействия для системы

ж + А± = (1 - р)и, |〃| < 1, 丁 — min (1.3.11)

при граничных условиях (1.3.9). Искомое управление и(х, ±) и минимальное гарантированное время 丁 в игровой задаче (1.3.8), (1.3.9) совпадают, соответственно, с синтезом оптимального управления и временем оптимального быстродействия для задачи (1.3.11), (1.3.9). Отметим, что система (1.3.11) получается из (1.3.8) при возмущении, равном о = —ри, которое представляет собой оптимальное управление «противника», выбирающего возмущение о. Иными словами, наихудшее возмущение в данной задаче можно принять в виде о = —ри.

Таким образом, в результате декомпозиции решение задачи 1.1 сведено к построению синтеза оптимального по быстродействию управления в системе (1.3.11), (1.3.9).

Оптимальное управление подсистемой

Задачу оптимального быстродействия (1.3.11), (1.3.9) перепишем в виде

近1 =政，近2 =—入力2 + ® W = (1 — p)U, |〃| < 1,(1.4.1)

力 i(0)=§,力 2(0)=〃，力 1(丁)=力2(丁) = °,

(1.4.2)

0 < /)< 1, А > 0, 丁一 min,(力 1 = х,力2 =近)•

Решение задачи (1.4.1), (1.4.2) легко получается при помощи принципа максимума [50]. Приведем здесь необходимые соотношения.

Функция Гамильтона для системы (1.4.1) равна (pi,夕2 — сопряженные переменные)

Я =夕 1效 + 夕2【(1 - 0)" - Ах2],\и\ < 1.

Согласно принципу максимума получим отсюда

〃 =sign 夕2 = ±1・(1.4.3)

Сопряженная система имеет вид

力 1 = 0,力2 = -Pi + Ар2.

Интегрируя ее, получим

夕2 = G +。2&" при А > О,

夕2 = С +。2 方 при А = О,

где Ci, G — произвольные постоянные. Отсюда следует, что 夕2(方)— монотонная функция при X 》0, поэтому управление (1.4.3) имеет не более одной точки переключения.

Общее решение системы (1.4.1) при постоянном w = const имеет вид

力 1 = Bi + A-1w(t — г) — У*石2 — /\Т^)[е-丁)— 1],

(1.4.4)

/2 = A-1W + (52 - A-1W)入(力-7)

при А > 0;

/1 = b +g2(方一丁)+ 刨方一丁产，

幺(1.4.5)

/2 =月2 + W(t - 丁)

при А = 0.

Здесь и далее все соотношения даются отдельно для случаев А > 0 и А = 0. Отметим, что случай А = 0 может быть получен предельным переходом при А — +0. Произвольные постоянные Bi, В? в (1.4.4), (1.4.5) выбраны так, чтобы при Bi = В2 = 0 удовлетворялись нулевые граничные условия (1.4.2) при t = т. Исключая 方一丁 пз соотношений (1.4.4), (1.4.5), получим уравнения фазовых траекторий

力1 = R - /\—1数-A-2wln 11 - Aw-1X2|, A > 0,(1.4.6)

力 1 =R + (2^)T^, A = 0.(1.4.7)

Здесь 石‘ —новая постоянная, выражающаяся через В\ и В^. При выводе соотношения (1.4.6) предполагалось, что АВ2 市 w. Если же АВ2 = w, то из (1.4.4) получим уравнение фазовой траектории в виде

力 2 = A-1w.(1.4.8)

Фазовые траектории (1.4.7) при А = 0 суть параболы, симметричные относительно оси х\ и получающиеся одна из другой путем параллельного переноса вдоль оси 力1.

Рис. 1. Фазовые траектории подси- Рис. 2. Оптимальные фазовые тра- стемы при w = const, А > 0ектории

Рассмотрим траекторию (1.4.6) при А > 0, и = 1 и В' = 0. Привлекая еще уравнения (1.4.1), из которых следует w = =1 — р, получим следующие свойства этой кривой 力 1(力2)：

когда 力2 растет от —оо до 0, то х\ убывает от оо до 0 и достигает нулевого минимума при 力2 = 0；

в интервале 力2 G (0, А-1(1 — /))) величина х\ растет от 0 до оо, а в интервале (А-1(1 — р), оо) величина 力i, убывает от оо до —оо. Таким образом, кривая 力 1(力2) состоит из двух ветвей, приближающихся к асимптоте 力2 = А-1 (1 — р). Эта асимптота согласно (1.4.8) сама также является фазовой траекторией при 〃 = 1. Зависимость 力 1(力2)при и = 1, Bf = 0 изображена на рис. 1, где стрелками показано направление роста 方.Фазовые траектории, отвечающие и = 1 и произвольным В' в (1.4.6), получаются из описанной выше кривой переносом ВДОЛЬ ОСИ 力1.

Если в соотношениях (1.4.4)-(1.4.8) одновременно изменить знаки у 力1,力2，w,石1,石2，石‘，то эти соотношения не нарушаются. Следовательно, фазовые траектории, отвечающие и = —1, получаются путем центральной симметрии из описанных выше траекторий, отвечающих и = 1.

Единственными фазовыми траекториями, приводящими при росте 方 в начало координат, являются кривые (1.4.6) и (1.4.7) при В7 = 0 и при и = ±1. Движения вдоль этих кривых описываются соотношениями (1.4.4) и (1.4.5) при В\ =石2=°以〃 =±1・ Пара этих полутраекторий ((1.4.4) при А > 0 и (1.4.5) при А = 0) составляет кривую переключений оптимального управления: на ней происходит единственно возможная вдоль каждой траектории смена знака управления и. В результате приходим к полю оптимальных фазовых траекторий, изображенному

на рис. 2 для А > 0. Здесь жирная кривая изображает линию переключений, стрелки указывают направление роста 方.Поле оптимальных траекторий при А = 0 хорошо известно, см., например, в книге [50].

Синтез оптимального управления, соответствующий описанному выше характеру переключений, можно представить в виде

〃(力 1,政)=sign%(g,/2) при 賑 #。，

(1.4.9)

"(/ 1,/2)= signal = -sign / 2 при %=0,

где 恥(力 1,力2)— функция переключений, равная

20(/1,/2)=一/1 -入一1/2 +

+ A-2(l - p) ln[l + A(1 - 0)Т|/2〔] sign力2, A > 0,(1.4.10)

賑(力 1,政)=—力1 — ж2|ж2|[2(1 - 0)「i, A = 0.

Определим еще время, необходимое для попадания в начало координат в силу оптимального синтеза при произвольных начальных условиях (1.4.2). Пусть, для определенности, начальная точка лежит в области 2P < Q а единственно возможное переключение происходит в момент s е [0, т]. Точка 力i(s),力2(s) лежит, с одной стороны, на фазовой траектории, отвечающей и = —1 и проходящей через начальную точку, а с другой стороны — на кривой переключений при 〃= 1. Приравнивая соответствующие выражения (1.4.5) (на кривой переключений имеем В\ = В^ = 0), получим при А = 0

/i(s) = Bi -月20-X (1 - 0)炉=X (1 -p)炉，

22(1.4.11)

力2($)=石2 + (1 — p)9 = —(1 — /9)仇 6 = T — S > 0.

Запишем еще условие (1.4.2) прохождения фазовой траектории (1.4.5) при и = —1 через начальную точку:

§ = В — В2Т —(1 — О)/,

/(1.4.12)

〃=石2 + (1 — Р)Т.

Исключив из уравнений (1.4.11) и (1.4.12) постоянные В\ и 石2, получим два уравнения для 仇 т. Решая их, найдем

1 Г М『/2

(1.4.13)(1.4.13)Т(w，〃)= ^^42 2一(1-0)§7- W

(1.4.13)

(1.4.13)

7 = signup, A = 0.

Здесь учтено свойство симметрии фазовых траекторий. Функция ⑦。определена в (1.4.10). На кривой переключений, т. е. при ⑦。=0, в качестве 7 в (1.4.13) можно взять любое из чисел 7 = ±1 — значение 丁(£, 〃)при этом будет одним и тем же.

Аналогично получается время оптимального быстродействия при А > 0. При этом вместо (1.4.5) используются формулы (1.4.4). Окончательно имеем (см. [5]):

丁(£，〃)= 2А-11п{Л/1/2 + [М - 1 + А777(1 - 0)—屮/2},

М = ехр[—(入〃 + А20?(1 ~ 0)Т]，(1.4.14)

7 = sign%, А > 0,

где дано формулой (1.4.10) при А > 0.

Соотношения (1.4.9), (1.4.10) и (1.4.13), (1.4.14) определяют синтез оптимального управления и минимальное гарантированное время 丁 в игровой задаче (1.3.8), (1.3.9). Отметим, что если возмущение о отличается от наихудшего (о # —ри), то фазовые траектории также будут отличаться от оптимальных. Однако время приведения системы в начало координат не будет превышать 丁 из (1.4.13), (1.4.14). Заметим, что после попадания фазовой траектории на кривую переключений движение будет проходить по этой кривой вплоть до начала координат при любых допустимых возмущениях. При этом, если о # —ри, то реализуется скользящий режим движения по кривым переключений. Так, если о = 0 на кривой переключений, то управление принимает значения 〃 = ±1 с бесконечно частыми сменами знака, так что «в среднем» имеем и = \ — р или и = —(1 — р) на соответствующих ветвях кривой переключений.

Упрощенное управление подсистемой

В приведенном в § 1.4 способе управления подсистемой не предполагается известным возмущение, т. е. не предполагается известной функция о в системе (1.3.8). Однако его максимально возможное значение (р в ограничении (1.3.8)) считается известным, и синтез управления в форме (1.4.9), (1.4.10) зависит от этого максимального значения.

Возможен и другой подход к построению управления в системе с возмущениями, при котором возмущения вообще игнорируются на этапе построения управления и учитываются лишь при моделировании и отработке управления. Такой подход, вполне естественный в случае малых возмущений, будем называть упрощенным.

Ниже сравниваются оба подхода и выясняется, в какой мере оправдано игнорирование возмущений при построении управления.

Поскольку при условии (1.2.5) согласно теореме 1.1 рассматриваемая система в форме (1.1.3), (1.2.3) или (1.3.3) распадается на 八 подсистем вида (1.3.8), то указанное сравнение обоих подходов достаточно провести для системы (1.3.8).

Если пренебречь возмущением о в системе (1.3.8), то она примет вид

х -\- Хх = и, \и\ < 1.(1.5.1)

Приведем синтез оптимального быстродействия для системы (1.5.1) при граничных условиях (1.3.9). Так как система (1.5.1) совпадает с системой (1.3.11) при 0 = 0, то искомый синтез определяется формулами (1.4.9), (1.4.10), в которых нужно положить р = 0. Получим

"(/ 1,/2)= sign^ol/ 1,力2) при 耽 #0，

〃(力 1,力2)= signal = —sign 力 2 при 2о = 0,

(]5 2)

20(/1,/2)=一/1 一入t力2 + 入一21n[l + */2〔] sign /2,入 > 0,''

耽(力1,/2)=一/1 - ^政1/2丨， A = 0.

Кривая переключений ⑺。=0 рис. 3 жирной штриховой линией.Кривая переключений ⑺。=0 рис. 3 жирной штриховой линией.Рис. 3. Кривые переключений при р > 0 и р = 0Рис. 3. Кривые переключений при р > 0 и р = 0для синтеза (1.5.2) показана на Здесь же для сравнения жирной сплошной линией изображена кривая переключений ^р = 0 для синтеза управления (1.4.9), (1.4.10) при 0 < р < \. Обе эти кривые симметричны относительно начала координат. Уравнение кривой 耽)=0 может быть представлено в виде/1=0(/2),(1.5.3)где 0(力2)— монотонно убывающая нечетная функция своего аргумента. Система (1.3.8) при законе управления (1.5.2) примет виддля синтеза (1.5.2) показана на Здесь же для сравнения жирной сплошной линией изображена кривая переключений ^р = 0 для синтеза управления (1.4.9), (1.4.10) при 0 < р < \. Обе эти кривые симметричны относительно начала координат. Уравнение кривой 耽)=0 может быть представлено в виде/1=0(/2),(1.5.3)где 0(力2)— монотонно убывающая нечетная функция своего аргумента. Система (1.3.8) при законе управления (1.5.2) примет вид

Кривая переключений ⑺。=0 рис. 3 жирной штриховой линией.

Кривая переключений ⑺。=0 рис. 3 жирной штриховой линией.

Рис. 3. Кривые переключений при р > 0 и р = 0

Рис. 3. Кривые переключений при р > 0 и р = 0

для синтеза (1.5.2) показана на Здесь же для сравнения жирной сплошной линией изображена кривая переключений ^р = 0 для синтеза управления (1.4.9), (1.4.10) при 0 < р < \. Обе эти кривые симметричны относительно начала координат. Уравнение кривой 耽)=0 может быть представлено в виде

/1=0(/2),(1.5.3)

где 0(力2)— монотонно убывающая нечетная функция своего аргумента. Система (1.3.8) при законе управления (1.5.2) примет вид

для синтеза (1.5.2) показана на Здесь же для сравнения жирной сплошной линией изображена кривая переключений ^р = 0 для синтеза управления (1.4.9), (1.4.10) при 0 < р < \. Обе эти кривые симметричны относительно начала координат. Уравнение кривой 耽)=0 может быть представлено в виде

/1=0(/2),(1.5.3)

где 0(力2)— монотонно убывающая нечетная функция своего аргумента. Система (1.3.8) при законе управления (1.5.2) примет вид

(1.5.4)(1.5.4)近1 = /2, 近2 = 一入近2 + "(/1,/2)+0， 入》0,

(1.5.4)

(1.5.4)

101 W 0 V 1,(/ 1 =/，力2 =近)•

Чтобы оценить возможное влияние возмущений на движение системы (1.5.4), поставим задачу о нахождении «наихудшего» возмущения.

Задача 1.2. Найти оптимальное управление системой (1.5.4) 6 форме синтеза 。(力1,力2), удовлетворяющее ограничению |v| < р и такое, что фазовая траектория этой системы первый раз пересекает кривую переключений 侬。=0 или х\ = 0(力2), ^- (1.5.2), (1.5.3)) как можно дальше от начала координат, т. е. при максимально возможном |力1| или, что то же самое, при максимально возможном 1/2丨.

Примем для определенности, что начальная точка (£, 〃) лежит в области 帆 < 0. Тогда согласно (1.5.2) имеем на всей рассматриваемой траектории и = —1. Фазовая траектория системы (1.5.4) при этом впервые пересечет ту ветвь кривой переключений, на которой х\ > > 0,力2 < ° (см. рис. 3). В результате задача 1.2 будет описываться следующими соотношениями:

近 1 =力2, 近2 =—入力2 — 1 +。， М < /)< 1,

А > 0,0《方 ， 丁，/i(0)=g,/2(0) = 〃，(1.5.5)

/ 1 (T)=0(/2(T))， / 1(丁)>0, /2(T)V °, / 1(T)ттаX.

Здесь 丁 — момент окончания процесса, который не фиксирован. Функция 0(力2)в (1.5.3), (1.5.5) получается из уравнения ⑦。=0 (см. (1.5.2)), При /) = 0 И Х2 < 0:

0(力2)= -А-1Х2 - А-2 1п(1 - Аж2), А > 0,

0(/2)= ；君，a = 0.

Из этих соотношений следует

0(/2)》0,"(/2)=/2(1 一入力2厂1 v 0,力2 < 0・(1.5.6)

Заметим, что максимизация х\(г) в (1.5.5) эквивалентна минимизации следующего интегрального функционала:

(一/2)必 一 min.(1.5.7)

о

Применим принцип максимума [50] к задаче 1.2. Функция Гамильтона для задачи (1.5.5), (1.5.7) имеет вид

Я =0 1数 + 夕2(0-入力2 - 1) + /2,同 < p，(1.5.8)

где 夕 1,夕2 — сопряженные переменные, удовлетворяющие следующим сопряженным уравнениям:

Pi = 0,力2 =入02一0 1 -1(1.5.9)

и условиям трансверсальности

夕 1(Т)"(力 2(丁))+ 夕 2(т) = о, Я(т) = 0.(1.5.10)

Найдем pi (г) из первого условия (1.5.10) и подставим его во второе условие (1.5.10), пользуясь выражением (1.5.8) для гамильтониана Н. Получим

夕2【(。-Л^2 - 1)“(力2)-力2〕+ 力2“(力2)= 0,方=Т. (1.5.1 1)

Подставляя ф'^х^) из (1.5.6) в (1.5.11), получим после некоторых упрощений

力 2M2® — 2) + 力 2〕=。， t = Т.(1.5.12)

Так как согласно (1.5.5) имеем |о| < 0 V 1 и 力2(丁) < 0, то из соотношения (1.5.12) следует, что

夕2(丁)<0.(1.5.13)

Из принципа максимума и равенства (1.5.8) вытекает, что оптимальное управление выражается в виде

и(力)=.sign 夕 2(力).(1.5.14)

Интегрируя систему (1.5.9), получим

Pi =c1,02 =入一1© + 1) +e2次，А>0,

(1.5.15)

pi = а,夕2 = а — (а +1)方，а = о,

где Ci, G — постоянные. Из (1.5.15) следует, что 夕2(方)—монотонная функция, следовательно, оптимальное управление (1.5.14) имеет не более одной точки переключения.

Так как система (1.5.5) автономна, то ее гамильтониан Н постоянен вдоль оптимальной траектории и в силу (1.5.10) равен нулю. Тогда согласно (1.5.8) получим

Н⑴=(Р1 + 1)力2 + 夕2® -入力2 -1)=0.(1.5.16)

В момент переключения согласно (1.5.14) имеем 夕2 = 0, а тогда из (1.5.16) следует, что в этот момент либо pi = —1, либо 力2 = 0.

Рассмотрим сначала первую возможность. Из (1.5.15) следует, что если pi = — 1, то 夕2(方)не изменяет знака вдоль траектории, и поэтому переключение при pi = — 1 не может иметь места.

Вторая возможность 力2 = ° означает, что управление переключается, когда траектория пересекает прямую 力2 = 0. Так как 夕2(丁) < 0 согласно (1.5.13), то оптимальное управление (1.5.14) отрицательно

при Х2 < 0 и положительно при 力2 > 0. Итак, оптимальное управление имеет вид

。(力1,力 2)= 0 sign 力 2・ (1.5.17)

Оптимальный синтез в области ⑦。< ° построен. Заметим, что система (1.5.5) вместе с соотношениями (1.5.2) инвариантна относительно замены х\ ——力匕 力2 — 一力2,。— 一。・ Следовательно, оптимальный синтез。(力 1,力2)обладает свойством центральной симметрии, а синтез (1.5.17) удовлетворяет этому условию. Таким образом, соотношение (1.5.17) дает решение поставленной выше задачи 1.2 во всей фазовой плоскости 力匕 力2・

Сравнительный анализ результатов

Используем построенное решение (1.5.17) задачи 1.2 для анализа возможных движений системы (1.5.4) при упрощенном управлении (1.5.2). Сначала предположим, что возмущение о дается соотношением (1.5.17). Все траектории системы (1.5.4) при “，заданном в виде (1.5.2), и о, заданном в виде (1.5.17), состоят из дуг парабол, соответствующих постоянным 〃 = ±1 и V = ±0. Уравнения этих парабол определяются формулами (1.4.4)-(1.4.7), в которых нужно положить в соответствии с (1.5.2) и (1.5.17)

1X7 = 〃 + О = sign 2о + 0 sign 力2 • (1.6.1)

Одна из траекторий для закона управления (1.5.2) при возмущении (1.5.17) показана на рис. 3 тонкой штриховой линией. Здесь же тонкой сплошной линией показана оптимальная траектория для управления (1.4.9) при о = —ри. Стрелки указывают направление роста времени. Заметим, что дуги оптимальных траекторий для обоих законов управления совпадают в областях, где следующие три функции:⑦。，⑦。 и (―力2)— имеют одинаковые знаки. Жирные сплошные и штриховые кривые на рис. 3 изображают кривые переключений ⑦。=0 п ⑦。=0 для управлений (1.5.2) и (1.4.9) соответственно.

Для определенности построим оптимальную фазовую траекторию для закона управления (1.5.2), начинающуюся в точке (£,〃) на кривой переключений ⑦。=0 при 〃〉0 п оканчивающуюся в точке (£*,〃*) на другой ветви кривой переключений, т. е. при £* > 0, 〃* V 0. Рассматриваемая траектория лежит в области ⑦。< ° 以 состоит из двух участков, которые непрерывно сопрягаются при 力2 =。・ На первом участке, где 力2 > 0, имеем согласно (1.5.2), (1.5.17) и = —1, v = р. На втором участке 力2 < 0, поэтому в силу (1.5.2), (1.5.17) имеем здесь и = —1, V = —р.

Первый участок траектории проходит через начальную точку (£,〃)， и на нем согласно (1.6.1) w = u + v = —\+p. Следовательно, его уравнение согласно (1.4.6), (1.4.7) представляется в виде (0 W 力2 W 〃)

2 Ф. Л. Черноусько и др.

х\ = В{ — А-1Ж2 + А-2(1 - р) 1п[1 + А(1 - 0)Т/2〕，

В； = < + ；\Т〃 - А-2(1 - р) 1п[1 + Х(1 — 0)т〃]

при А > 0;(1.6.2)

力1 =目一[2(1—)尸唸 B； =w+[2(1—川尸〃 2

при А = 0.

Второй участок траектории проходит через конечную точку (£*,〃*), и на нем w = u-\-v = —l — р. Поэтому из (1.4.6), (1.4.7) получим для второго участка (〃* W 力2 W 0)

力 1 = ^2 - /\ —1力2 + 入一2(1 + р) ln[l + A(1 + Р)~^Х2],

马=г + Х-1^ - A-2(l + р) 1п[1 + А(1 + р)-{^]

при А > 0;(1.6.3)

g =晶一[2(1+川l或 马=w* + [2(1+0)]T(〃*)2

при А = 0.

В точке сопряжения участков имеем 力2 = °, а значения х\ для обоих участков совпадают. Из (1.6.2), (1.6.3) тогда получим

В；=瓦.(1.6.4)

Точки (£, 〃) и (£*,〃*) принадлежат соответствующим ветвям кривой переключений ⑦。=0, причем 〃〉0, 〃* V 0. Следовательно, на основании формул (1.5.2) получим:

£ = -т\Т〃 + А-21п(1 + /\〃)，

Г = - с*-7231—W),Л>0；(16.5)

£ =§* = ；(〃*)2，А = 0.

В равенство (1.6.4) подставим выражения (1.6.2), (1.6.3) для В；,石'， а также формулы (1.6.5), выражающие £, £* через 〃，〃*. В результате после упрощений получим соотношения

[1 + (1 — 0)—j〃]J'(1 + ML =

=[1 + (1+ 川一以〃*]1+°(1 - М*), А>0;(1.6.6)

0(1—0)Т〃2 =(2 + 0)(1+0)—1(〃*)2, Л = 0,

где 〃〉0, 〃* V 0.

Равенства (1.6.6) связывают значения 〃* и 〃. Рассмотрим сначала случай А = 0. При этом связь (1.6.6) приводится к виду

0 < р < \.0 < р < \.(1.6.7)(1.6.7)£ = J о(1+о)

0 < р < \.

0 < р < \.

(1.6.7)

(1.6.7)

〃 --[(1 -0)(2 + 川一

Нетрудно убедиться, что х монотонно возрастает от 0 до оо при изменении 0 от 0 до 1, причем х = 1 при значении р, равном

炉=；(л/^ - 1) ^0.618.(1.6.8)

Число р* представляет собой отношение «золотого сечения». Таким образом, если А = 0, то при р < р" в силу (1.6.7) будет |〃*/〃| < 1, при р = р* имеем \г/^/г/\ = 1, а при р〉р* имеем \г/^/г/\ > 1.

В случае А > 0 соотношение (1.6.6) определяет неявную зависимость 〃* от 小 Для исследования этой связи положим

入〃 = Х〉0, —М*=У〉0(1.6.9)

и представим зависимость (1.6.6) в виде

ФДХ) = ФДУ), Х〉0, У >0, 0<р< 1,

① о(Х) = [1 + (1—0)TX]J。(1+Х) — 1,(1.6.10)

ът = [1-(1+о)т「(1+у).

Отметим некоторые свойства функций Фр, Фр из (1.6.10). Функция Фр определена при всех X > 0 и стремится к нулю при X — оо, а функция Фр определена на отрезке [0, 1 + р] и обращается в нуль при У = 1 + 0. Обе функции равны единице при X = Y = 0. Непосредственным дифференцированием функций (1.6.10) убеждаемся, что ①；(Х) < 0, Ф^(У) < 0, так что обе функции Фр, Фр монотонно убывают. Подсчитаем еще производную

X (1 + Х)(1 — 0?) 1Х[/9 — 1 +d — (1 +/9)Х]. (1.6.11)

Заметим, что выражение р — 1 -\- р2 в (1.6.11) неположительно при р《р* % положительно при р〉р*. Следовательно, при р《р* отношение Фр/Фр монотонно убывает на отрезке [0, 1 + />], и поэтому ФР(Х) < ①о(Х) при 0 V X < 1 + 0. Если же 0〉炉，то W^X) > ①°(Х)

Рис. 4. Функции ①q(X) и Wq(Y) Рис. 5. Функции ФР(Х) и ФР(У) при 0 W о*при р > р*Рис. 4. Функции ①q(X) и Wq(Y) Рис. 5. Функции ФР(Х) и ФР(У) при 0 W о*при р > р*

Рис. 4. Функции ①q(X) и Wq(Y) Рис. 5. Функции ФР(Х) и ФР(У) при 0 W о*при р > р*

Рис. 4. Функции ①q(X) и Wq(Y) Рис. 5. Функции ФР(Х) и ФР(У) при 0 W о*при р > р*

на некотором отрезке О V X，X* < 1 + р, однако Фр(Х) < Фр(Х) вблизи X = 1 + 0, так как

立(1+川=0<公(1+0).

На рисунках 4 и 5 изображены графики функций Фр(Х), 3°(У) для случаев р《р* и р > р* соответственно. На этих рисунках представлена графически связь между значениями X, У, которая устанавливается соотношениями (1.6.10). Из этих соотношений и отмеченных свойств функций Фр, Фр вытекают следующие выводы для случая А>0:

если р < 0*, то всегда У < X и, согласно (1.6.9), |〃*/〃| < 1;

если р > 0*, то при достаточно малых X имеем У〉X, то есть |〃*/〃| > 1, а при достаточно больших X выполняется Y < X, то есть |〃*/〃| < 1. При этом всегда имеет место неравенство У V 1 + 0, то есть |〃*| < (1 + 0)/\Т.

Траекторию, начавшуюся в произвольной точке (£, 〃) фазовой плоскости, можно неограниченно продолжать и после ее пересечения с кривой переключений ⑦。=0 в точке (£*,〃*)• Для этого нужно принять точку (£*,〃*) за начальную и продолжить движение в силу системы (1.5.4), подставляя в нее управление и из (1.5.2) и оптимальное возмущение о из (1.5.17). Полученная таким образом траектория бесконечное число раз пересекает обе ветви кривой переключений, при этом значения ординат 力2 в двух последовательных точках пересечения кривой переключений ⑦。=0 находятся в отношении |〃*/〃|, которое дается формулой (1.6.7) при А = 0 и определяется равенствами (1.6.9), (1.6.10) при А > 0.

Рис. 7. Фазовая траектория при Р = Р*Рис. 7. Фазовая траектория при Р = Р*Характер движения существенно зависит от параметров р, А.

Рис. 7. Фазовая траектория при Р = Р*

Рис. 7. Фазовая траектория при Р = Р*

Положим сначала А = 0. Если р < р*, где 0* определено равенством (1.6.8), то х < 1 в (1.6.7). При этом значения \х^\ в моменты пересечения траекторией кривой переключений ⑦。=0 убывают в геометрической прогрессии со знаменателем х < 1. Поэтому фазовая траектория стремится к началу координат и попадает в него за конечное время, хотя и после бесконечного числа переключений.

Если 0 = 0*, то 〃 = 1 в (1.6.7), и фазовая траектория будет периодической. Она проходит через одни и

Рис. 8. Фазовая траектория при Р> Р*те же точки фазовой плоскостиРис. 8. Фазовая траектория при Р> Р*те же точки фазовой плоскостичерез равные промежутки времени. В этом случае траектория остается в ограниченной области, но не стремится к началу координат.

Рис. 8. Фазовая траектория при Р> Р*

те же точки фазовой плоскости

Рис. 8. Фазовая траектория при Р> Р*

те же точки фазовой плоскости

Если 0〉0*, то 〃〉1 в (1.6.7). При этом фазовая траектория уходит на бесконечность, раскручиваясь как спираль.

Поведение фазовых траекторий изображено на рисунках 6, 7, 8 для случаев р < р*, р = р* и р > р* соответственно.

Обратимся к случаю А > 0. Если при этом р《р*, то согласно

проведенному анализу имеем |〃*/〃| < 1. В этом случае фазовая

траектория стремится к началу координат и попадает в него за конечное время при р < р*. Можно показать, что при р = р* фазовая точка приходит в начало координат лишь асимптотически при 方—оо.

При р > р* фазовая траектория не стремится к началу координат, но остается в ограниченной области. Начиная с некоторого момента времени, имеем |力2丨 W А-1(1 + р) (вследствие неравенства У < 1 + о).

Охарактеризуем теперь возможные движения системы (1.5.4) при законе управления (1.5.2) и произвольном возмущении |о| < р.

Если отношение максимально возможного значения возмущения к максимально возможному значению управления меньше отношения «золотого сечения» (1.6.8), т. е. р < 0*, то при любом допустимом управлении и при любом X》0 закон управления (1.5.2) обеспечивает приведение системы (1.5.4) в начало координат за конечное время. Это следует из того, что такое приведение осуществляется даже при «наихудшем» возмущении (1.5.17), максимально удаляющем систему от начала координат.

Если р = р*, то при А = 0 закон управления (1.5.2) обеспечивает удержание системы в ограниченной области, а при А > 0 — также и приведение в начало координат при 方—оо.

Если же отношение максимально возможного возмущения к максимально возможному управлению превышает отношение «золотого сечения»(0〉0*), то существуют возмущения, при которых приведение системы в начало координат невозможно. Возмущение (1.5.17) в случае А = 0 уводит систему сколь угодно далеко от начала координат, а в случае А > 0 выводит ее из некоторой окрестности начала координат, хотя система и остается в ограниченной области.

Таким образом, упрощенный закон управления (1.5.2), не учитывающий вообще наличия возмущений, достигает цели управления — приведения системы в начало координат — лишь в том случае, когда уровень возмущений достаточно мал. А именно, этот уровень, отнесенный к максимальному уровню управления, не должен превышать отношения «золотого сечения» (0 < 0*).

Иными словами, игнорировать наличие возмущений при построении управления можно, лишь если отношение максимальных уровней возмущения и управления не превышает отношения «золотого сечения» 户 ^0.618.

Напомним, что оптимальное управление, основанное на игровом подходе и заданное соотношениями (1.4.9), (1.4.10), обеспечивает приведение системы (1.3.8) в начало координат за конечное время при любом допустимом возмущении, если р < 1. Таким образом, игровой подход, описанный в § 1.4, имеет более широкую область применимости, чем упрощенный подход, изложенный в § 1.5. Кроме того, игровой подход обеспечивает минимальное гарантированное время приведения системы в начало координат, что вытекает из использования синтеза управления, оптимального по быстродействию. Однако игровой подход, в отличие от упрощенного, требует знания максимально возможного уровня возмущений, т. е. параметра р. По своей структуре оба метода сходны, имеют релейный характер и отличаются лишь кривыми переключений, см. рис. 3.

Управление исходной системой

Перейдем к решению исходной задачи 1.1. Синтез управления в этой задаче получим на основе соотношений (1.3.7), (1.3.2) в следующем виде:

U〃(q，0) = U^u(xi,x2\

力1 =力=(少尸仇=(U?)T[4(L q*儿，(1-7.1)

/2 =这=(U?)TR = (U?)T(4公，公，…，儿

(1.7.2)(1.7.2)Здесь, в случае использования оптимального управления из § 1.4, функция 〃(力 1,力2)определена формулами (1.4.9), в которых ⑦。дается соотношениями (1.4.10). Параметры А, р, фигурирующие в формулах (1.4.10), выражаются равенствами (1.3.10), т. е.

(1.7.2)

(1.7.2)

入=%,Р = ^Jp <1, Z = 1, ... , 72.

Построенное управление (1.7.1) является релейным и принимает предельные допустимые значения U分=士U?, i = 1,..., п. Опишем характер движения при этом управлении. Сначала предположим, что возмущения 匕 в системе (1.3.1) или (1.3.3) принимают в каждый момент времени оптимальные («наихудшие») значения, максимально задерживающие приведение системы (1.3.3) в начало координат. В терминах системы (1.3.8) это означает, что о = —ри, а в терминах системы (1.3.1) с учетом равенств (1.3.7), (1.7.1), (1.7.2) имеем

К = -ри^и = -V^U^U^q), i = 1,…，九 (1.7.3)

При возмущении (1.7.3) движение системы (1.3.3) по каждой координате у^ происходит по траекториям оптимального быстродействия системы (1.3.11) или (1.4.1), т. е. по траекториям рис. 2 при А^ > 0. Связь исходных координат q с переменными у^ и переменными 力1,力2 дается соотношениями (1.3.2), (1.7.1).

Если же возмущения 匕 отличаются от наихудших (1.7.3), как это обычно имеет место, то фазовые траектории для каждой г-й степени свободы в плоскости 力1,力2 отклоняются от оптимальных. При этом движение по кривым переключений происходит в скользящем режиме.

Время 方* приведения системы (1.1.3) (или (1.2.3), (1.3.1), (1.3.3)) в заданное состояние (1.2.1) не превосходит максимального из времен оптимального быстродействия для каждой из подсистем (1.3.3) (или (1.3.8), (1.3.11), (1.4.1)). Имеем:

(1.7.4)(1.7.4)方*，方о + тахт(&,力)，& = (U?)T[4(q° — q*儿, 1 ^i^n

(1.7.4)

(1.7.4)

勿=(U?)T(4*0°)〃， 〃 = 1,…，九

Здесь использованы формулы (1.3.10) для £, 〃. Функция т(£,〃) определена соотношениями (1.4.13) для тех i, для которых А^ = 0, и соотношениями (1.4.14) для таких i, при которых А^ > 0.

Подытожим результаты в виде теоремы.

Теор ема 1.2. Пусть выполнено условие (1.2.5) и все рассматриваемые траектории лежат в области Q. Тогда синтез управления U(q,@), решающий задачу 1.1, дается соотношениями (1.7.1), в которых функция 〃(力 1,力2)определена равенствами (1.4.9), (1.4.10). Данное управление приводит систему (1.1.3) в конечное состояние (1.2.1) не позже, чем к моменту времени 方*, определяемому соотношениями (1.7.4), (1.4.13), (1.4.14). Параметры X, р в указанных формулах для каждой степени свободы даются соотношениями (1.7.2).

Построенное управление можно назвать субоптимальным, так как оно близко к оптимальному по быстродействию и превращается в него при «наихудших» возмущениях.

При использовании упрощенного подхода, изложенного в § 1.5, следует в соотношениях (1.7.1) заменить функцию 〃(力 1,力2)ее выражением согласно формулам (1.5.2). В остальном процедура построения управления исходной системой сохраняется той же, что и для игрового подхода.

Модификация метода декомпозиции

Способ декомпозиции, изложенный в § 1.3, привел к построению управления, решающего исходную задачу 1.1. Это управление представлено в явном виде в § 1.7. Основным допущением, позволившим осуществить декомпозицию, было предположение о существовании такой области Q в 2п-мерном пространстве q, @, в которой лежат все рассматриваемые движения и где выполнены неравенства (1.2.5).

Неравенства (1.2.5) и их частный случай — неравенства (1.2.6)— в силу формул (1.2.4) для V накладывают ограничения на неуправляемые силы Q и на инерционные слагаемые, входящие в S. Как видно из (1.1.4), инерционные слагаемые квадратично зависят от обобщенных скоростей q. Поэтому неравенства (1.2.5), (1.2.6) ограничивают область Q по Q； в то же время построенное управление может приводить систему в область больших q.

С одной стороны, ясно, что для решения поставленной задачи 1.1 необходимо наложить ограничения на неуправляемые силы Q, иначе ограниченные управления U не смогут преодолеть действие сил Q. С другой стороны, из сказанного выше следует, что желательно гарантировать ограниченность величин S分 во время процесса

управления. Указанные соображения легли в основу модификации способа декомпозиции, предложенной в работах [55, 56].

Снова обратимся к системе, описываемой соотношениями (1.1.1)(1.1.7), (1.2.1).

Область D, в которой могут происходить движения рассматриваемой системы, зададим в виде независимых ограничений на координаты 仇：

D = {q ： Q~，仇 W 疗}.(1.8.1)

Сделаем некоторые упрощающие предположения относительно кинетической энергии и обобщенных сил Q%. Предполагаем, что матрица 4(g) из (1.1.3) представима в виде

4G =丿 + 4(«), J = diag(Ji,...,丿冷)， j = const > 0,(1.8.2)

где A(q) — симметрическая матрица, такая, что для любого п-мерного вектора 2 выполнено неравенство

\\A{q)z\\^M 从〉0, ^qeD.(1.8.3)

Здесь 从—достаточно малый параметр, возможные значения которого указаны ниже.

Кроме того, предполагаем, что

W С, С = const > 0, г, j, k = 1,, п, (1.8.4)

и что обобщенные силы Q分 представляются в виде суммы

Qz = G + E,(1.8.5)

где G〃(q，0,方)—ограниченные силы, величины которых удовлетворяют ограничениям

|@| < G?, г = 1,…，八.(1.8.6)

Величины постоянных G? не превосходят постоянных U? в ограничениях (1.1.6) на управляющие силы U〃，т. е.

G? < U?, 5=1,…，八.(1.8.7)

Отметим, что если для некоторых i имеет место неравенство

обратное (1.8.7), то система может быть неуправляемой.

Через £(q，0,方)в (1.8.5) обозначены силы, которые достаточно малы при малых скоростях и удовлетворяют ограничениям

闵I w W(IIOII), z=(1.8.8)

Здесь F°(z/) — некоторая монотонно возрастающая непрерывная функция, определенная при ^ > 0 и такая, что F°(0) = 0. Точный вид функций Gi(q, q, t), £(q,@,方)в (1.8.5) может быть неизвестен.

Умножим обе части уравнения (1.1.3) на JA~{ (матрица J была введена в (1.8.2)). Получим

/总=2 + %，(1.8.9)

Vi = Si- [AA~\U + S)]i.(1.8.10)

Система (1.8.9), (1.8.10) эквивалентна исходному уравнению (1.1.3). Из соотношений (1.1.4), (1.8.4)-(1.8.6), (1.8.8) следует ограничение на компоненты вектора S:

S(q，0，"| WG? + W(0),

〜а(1.8.11)

Предположим, что имеют место неравенства

MY 仙и?,仙 V1,(1.8.12)

где pi — некоторые постоянные. Функции 匕 будем рассматривать в (1.8.9) как независимые ограниченные возмущения, не превосходящие допустимых значений управлений. Тогда исходная нелинейная система распадается на 八 линейных подсистем (г-я подсистема описывается г-м уравнением (1.8.9)), подверженных возмущениям с одной степенью свободы каждая. Таким образом, для решения задачи 1.1 достаточно решить 八 более простых задач управления для подсистем второго порядка.

Анализ управляемых движений

Скалярное управление U〃， переводящее г-ю подсистему (1.8.9) за конечное время из произвольного начального состояния (д?，0?) в конечное состояние (q*,0) при любом допустимом возмущении 忆， удовлетворяющем (1.8.12), зададим, как это было сделано ранее, в форме синтеза (1.7.1), (1.4.9), (1.4.10). При этом нужно в (1.7.1) вместо матрицы 4* подставить матрицу J и в (1.4.10) положить А = 0. После всех преобразований получим

Ui = —U? sign(@ - О， @ # 行;

Ui = —U? sign 5， 5 =行;Ui = —U? sign 5， 5 =行;(1.9.1)(1.9.1)

Ui = —U? sign 5， 5 =行;

Ui = —U? sign 5， 5 =行;

(1.9.1)

(1.9.1)

Чтобы конкретизировать закон управления (1.9.1), надлежит выбратьЧтобы конкретизировать закон управления (1.9.1), надлежит выбратьчтобы выполнялись неравен-чтобы выполнялись неравен-Рис. 9. Множество Q^ и кривая переключенийРис. 9. Множество Q^ и кривая переключенийЗададим в двумерном фазовом пространстве г-й подсистемы множе-Зададим в двумерном фазовом пространстве г-й подсистемы множе-ство Qi (рис. 9):ство Qi (рис. 9):V€（q"=閣（仇+或一q『），V€（q"=閣（仇+或一q『），(1.9.4)(1.9.4)

Чтобы конкретизировать закон управления (1.9.1), надлежит выбрать

Чтобы конкретизировать закон управления (1.9.1), надлежит выбрать

чтобы выполнялись неравен-

чтобы выполнялись неравен-

Рис. 9. Множество Q^ и кривая переключений

Рис. 9. Множество Q^ и кривая переключений

Зададим в двумерном фазовом пространстве г-й подсистемы множе-

Зададим в двумерном фазовом пространстве г-й подсистемы множе-

ство Qi (рис. 9):

ство Qi (рис. 9):

V€（q"=閣（仇+或一q『），

V€（q"=閣（仇+或一q『），

(1.9.4)

(1.9.4)

*Ъ, = 一 (2x/仇一疗 1)1/2 sign (仇一疗)・

Здесь Xi — положительный параметр управления, связанный с константой pi из (1.8.12) соотношением

X” = J(1.9.2)

Выразим в неравенствах (1.8.12) постоянные pi через параметры управления Х〃，используя (1.9.2). Получим

Ml WU? —jXz, i=T,п.(1.9.3)

значения параметров X分〉0 так, ства (1.9.3)

Напомним, что указанное управление получено как оптимальное по быстродействию управление в игровой задаче, в которой U分 п % рассматриваются как управления двух игроков [43]. Это управление релейно и принимает свои предельно допустимые значения:

иг = 士

Кривая переключений

5 =行(仇)

состоит из двух параболических ветвей, которые симметричны относительно точки (*0).

% = ｛（仇,或）：《『W仇W才 若＜ ^ ＜厅｝，

厅m）= *（仇+成一疗）•

Опишем характер движения подсистемы (1.8.9) в случае, когда управление U〃 задано в виде (1.9.1), возмущение 匕 удовлетворяет ограничению (1.9.3), а начальная точка ⑷,尚 лежит в Q^:

(q?M)ed・ (195)

Процесс управления разбивается на два основных этапа. На первом этапе движение совершается при постоянном управлении до тех пор, пока фазовая точка подсистемы не попадет на кривую переключений. Для определенности считаем, что ^ > 2^(q分)；тогда согласно (1.9.1) имеем Ui = -U?. При этом из (1.8.9), (1.9.3) следует

5 (1.9.6)

Заметим, что из равенств (1.9.4) и (1.9.1) вытекает城一三dqiВ области Q^ вдоль траектории рассматриваемой подсистемы согласно (1.9.4), ^ < ⑦^. Поэтому при ^ > 0, учитываяЗаметим, что из равенств (1.9.4) и (1.9.1) вытекает城一三dqiВ области Q^ вдоль траектории рассматриваемой подсистемы согласно (1.9.4), ^ < ⑦^. Поэтому при ^ > 0, учитывая(1.9.7)(1.9.7)и (1.9.7), получимdqi, = qi, <X分dqi Qi 'При ^ < 0 имеем согласно (1.9.6)"或_@)d仇 @iи (1.9.7), получимdqi, = qi, <X分dqi Qi 'При ^ < 0 имеем согласно (1.9.6)"或_@)d仇 @i—；, Qi > °・ d仇—；, Qi > °・ d仇О,О,5 < 0.5 < 0.имеем,(1.9.6)имеем,(1.9.6)(1.9.8)(1.9.8)(1.9.9)(1.9.9)

Заметим, что из равенств (1.9.4) и (1.9.1) вытекает

城一三dqi

В области Q^ вдоль траектории рассматриваемой подсистемы согласно (1.9.4), ^ < ⑦^. Поэтому при ^ > 0, учитывая

Заметим, что из равенств (1.9.4) и (1.9.1) вытекает

城一三dqi

В области Q^ вдоль траектории рассматриваемой подсистемы согласно (1.9.4), ^ < ⑦^. Поэтому при ^ > 0, учитывая

(1.9.7)

(1.9.7)

и (1.9.7), получим

dqi, = qi, <X分

dqi Qi '

При ^ < 0 имеем согласно (1.9.6)

"或_@)

d仇 @i

и (1.9.7), получим

dqi, = qi, <X分

dqi Qi '

При ^ < 0 имеем согласно (1.9.6)

"或_@)

d仇 @i

—；, Qi > °・ d仇

—；, Qi > °・ d仇

О,

О,

5 < 0.

5 < 0.

имеем,(1.9.6)

имеем,(1.9.6)

(1.9.8)

(1.9.8)

(1.9.9)

(1.9.9)

Из неравенств (1.9.8) и (1.9.9) вытекает, что фазовая траектория рассматриваемой подсистемы при любых возмущениях не пересекает кривую ^ = 2^(q 分)и обязательно за конечное время, в силу (1.9.6), попадает на кривую переключений, не выходя из области Q^. При щ < этот факт доказывается аналогично.

Попав на кривую переключений, фазовая точка продолжает двигаться по ней в терминальное состояние. Параболические ветви кривой переключений совпадают с фазовыми траекториями подсистемы (1.8.9) при управлении U〃， выбранном согласно (1.9.1), (1.9.2), и при Vi = —piUi， Если же 匕# 一。分3, то движение все равно происходит вдоль параболического участка, но в скользящем режиме. Управление U〃 в этом случае принимает значения ±U? с бесконечно частыми сменами знака, так что «в среднем» ^ = Х^ или ^ = —Х( для соответствующих ветвей кривой переключений.

Таким образом, если в начальный момент времени условия (1.9.4), (1.9.5) выполнены для всех подсистем (1.8.9), то их фазовые траектории целиком лежат в соответствующих областях Q^, при этом выполняются ограничения (1.8.1), а также имеют место неравенства, вытекающие из (1.9.4), (1.9.1):

風I < max [K(q+)I，1#(^Г)1] =

Вводя новые обозначения и используя выражение (1.9.1) для 收,перепишем полученное неравенство в виде

風I，匕=行(―必)=(2XU)i/2,必=疗—q~.(1.9.10)

На рис. 9 изображена некоторая возможная фазовая траектория подсистемы (1.8.9). Стрелками указано направление роста времени 方.

Как показано в § 1.4, время движения г-й подсистемы (1.8.9) максимально при «наихудшем» возмущении 匕=—piUi и, с учетом обозначений (1.9.2), равно (см. (1.4.13))

4*(, [ 1 (評-羽(砂-1/2 -砂％},

Ъ = -sign [或-*(或儿或#*；ъ = ±1,或=*.

Поскольку время 丁 приведения исходной системы (1.1.1) в терминальное состояние (1.2.1) определяется максимальным из времен управления для каждой из подсистем (1.8.9), то получаем оценку

г < г* = тах^(т*), г = 1,, п.(1.9.12)

Определение параметров

Применение управления (1.9.1) возможно только при выполнении неравенств (1.9.3) (или (1.8.12)) в течение всего процесса управления. Найдем такие параметры управления Х〃，при которых указанные соотношения действительно выполняются.

Сначала оценим модули величин 匕 из (1.8.10). Используя соотношения (1.8.3), (1.8.11), (1.9.10), получим

Ml WG? + 0(y) + 〃||4-1(U + S)||, У = (У1, •••,%)•(1.10.1)

Из (1.8.2) и (1.8.3) для любого n-мерного вектора 2 имеем

Az = Jz + n2,1142|| > Jminhll - Mhll = (Jmin 一从)|厉11；(1.Ю.2)

здесь JmE — наименьшая из величин /. Положим 2 = A~^zf в неравенстве (1.10.2). Тогда при 从 < 几也 получим

Из (1.1.6), (1.8.11) и (1.9.10) вытекают соотношения

|(U + S)z| w \иг\ + 51 w + 30(У) = (U。+ G。)? + 30(У),

и。= (U；,...,碎)，G。= (G?,...,GG.(1.10.4)

Комбинируя (1.10.1), (1.10.3) и (1.10.4), найдем окончательную оценку для возмущений:

Ml WG? +兔(У)+"— ||U + S|| w

W G? + ( 1 + 产—)当(旷)+ 7 IIU。+ G\|. (1.10.5) \ Jmin - 从/Jmin -从

В неравенствах (1.9.3) заменим величины |%| их оценками из (1.10.5). После преобразования получим

JK +)当(У) W7IIи。+ G°||.

\ Jmin - 从/Jmin -从

(1.10.6)

Система неравенств (1.10.6) задает допустимые параметры управления X分 и является нелинейной, так как величины 匕 связаны с X分 при помощи равенства (1.9.10):

(1.10.7)(1.10.7)匕=(2XU)i/2.

(1.10.7)

(1.10.7)

Если параметр 从 достаточно мал, так что выполнено условие

(1.10.8)(1.10.8)mi&(U? - G?) Jmin

(1.10.8)

(1.10.8)

“ minKU? —G?) + ||U0 + G0||'

то выражения в правых частях неравенств (1.10.6) положительны. Поскольку согласно (1.8.11) 5°(У) — 0 при X分—0, то всегда найдутся положительные значения Х〃， при которых выполняются неравенства (1.10.6), а следовательно, и неравенства (1.8.12).

Подытожим полученные результаты в виде теоремы.

Теор ема 1.3. Пусть выполнено условие (1.10.8). Тогда синтез управления U〃(仇，@), решающий задачу 1.1 в области (1.9.4), задается соотношениями (1.9.1), в которых параметры X分 должны выбираться так, чтобы выполнялись неравенства (1.10.6). Это управление переводит систему (1.1.1) из начального состояния (1.1.7) 6 заданное терминальное состояние (1.2.1), если в начальный момент времени выполнено условие (1.9.5). При этом движение системы q(方)лежит в области D из (1.8.1), а время процесса управления 丁 не превосходит величины т*, определяемой выражениями (1.9.11), (1.9.12).

Укажем один из возможных способов выбора допустимых значений X分.Будем искать их в виде

X = Z2 必，(1.10.9)

где di определено в (1.9.10), а величина Z пока неизвестна. Подставим (1.10.9) в неравенства (1.10.6), учитывая при этом (1.10.7), (1.8.11). Выбрав максимальное допустимое значение Z

Z = Zo,(1.10.10)

удовлетворяющее полученным неравенствам, вычисляем по формулам (1.10.9) параметры управления X分.При этом хотя бы одно из неравенств (1.10.6) обращается в равенство.

Пусть, например, ограничение (1.8.8) имеет вид

\Fz\^F^\\q\\) = a\\q\\+b\\q\\\

где а, b — положительные постоянные. Тогда неравенства (1.10.6) приводятся к виду

Z2 + 2giZ^h.,(1.Ю.11)

где g〃，hi — положительные коэффициенты, явный вид которых непосредственно получается из (1.10.7), (1.8.11), (1.10.6). Решение системы неравенств (1.10.11) можно записать в виде

Z < Zo = min小定 + R)"2 —仇］,i = 1,,八. (1.10.12)

Условия (1.10.6), определяющие множество допустимых параметров Х〃，и ограничение (1.10.8) на параметры системы (1.1.1) являются достаточными и далеки от необходимых. Для конкретных систем часто удается произвести более точные оценки возмущений, чем (1.10.5). Подставляя эти оценки в неравенство (1.9.3) вместо 匕，можно получить более широкое множество допустимых параметров управления. Увеличение же значений X分 позволяет расширить области Q^ из (1.9.4), которые ограничивают выбор начальных скоростей для подсистем (см. (1.9.5)), и существенно уменьшить время управления т. Это дает возможность также в ряде случаев ослабить ограничения на параметры системы.

Построенное управление достаточно просто и не требует точного знания нелинейных членов и возмущающих сил в уравнениях движения. Оно мало чувствительно к незначительным вариациям параметров системы и дополнительных возмущений: для того чтобы их учесть, достаточно уменьшить параметры Х^, создав некоторый запас в возможностях управлений соответствующих подсистем.

Случай нулевых начальных скоростей. При построении решения задачи 1.1 предполагалось, что начальное состояние каждой подсистемы —произвольная точка в области Q^, см. (1.9.5). Рассмотрим частный, но важный случай нулевых начальных скоростей @° = 0.

При использования закона управления (1.9.1) в рассматриваемом случае координаты q分 всех подсистем ограничены неравенствами min(或，成)< 仇⑴ < max(或,成).поэтому можно максимально ограничить область возможных движений, положив в (1.8.1)

q『=min(或,q；), 疗=max(或,q；) (1.10.13)

для всех г = 1,..., п. При таком задании области D величины d分= =q^ — q} минимальны, следовательно, оценки, полученные для обобщенных скоростей в (1.9.10) и для возмущений в (1.10.5), наиболее точны. Будем считать, что границы q~, q^ области движения заданы в виде (1.10.13). Оценка (1.9.11), (1.9.12) в этом случае примет вид

(1.10.14)(1.10.14)г < г* = maxi(r*), 建=2，^, г = 1,,п.

(1.10.14)

(1.10.14)

В соответствии с (1.10.9), (1.10.10) и (1.10.14) имеем одинаковые оценки времен приведения подсистем (1.8.9) в терминальное состояние:

(1.10.15)(1.10.15)

(1.10.15)

(1.10.15)

Рис. 10. Видоизмененная кривая переключенийРис. 10. Видоизмененная кривая переключений

Рис. 10. Видоизмененная кривая переключений

Рис. 10. Видоизмененная кривая переключений

Покажем, что при управлении (1.9.1) с любыми другими допустимыми параметрами Х〃，удовлетворяющими (1.10.6), но не связанными между собой равенствами (1.10.9), (1.10.10), оценка времени движения т*, подсчитанная с использованием (1.10.14), будет больше, чем 球.

Действительно, для того, чтобы уменьшить т*, требуется согласно (1.10.14) и (1.10.15) увеличить Х^ при всех г = 1,...,八.Тогда, в силу строгой монотонности левых частей неравенств (1.10.6) по Х〃， все левые части возрастут, и по крайней мере одно из неравенств (1.10.6), которое обращалось в равенство при выборе Z = Z。согласно (1.10.10), нарушится. Таким образом, величина г* = т；, полученная в (1.10.15), минимальна при q° = 0 и управлении (1.9.1).

Видоизмененный закон управления. В случае q° = 0 можно видоизменить закон управления (1.9.1) так, чтобы новая (соответствующая видоизмененному закону управления) оценка времени движения была

меньше, чем полученная в (1.10.15). Для этого переопределим функции 閣 в (1.9.1) так, чтобы кривая переключений @ = V^ (仇) (см. рис. 10) состояла из ветви параболы (при |q 分— —q*\ ^ d*) и прямолинейного участка (при d* V |仇—成 |W W d分).Здесь d* должно быть выбрано так, что d* < d〃2.

Зададим функции 也 в виде

= —(2Х個—疗 1)1/2 Sign (仇—疗)，\Qi-Qi\ < 或；

行(仇)=Ksignm 一公)，或< I仇-公I W必；

成=/，或 4^必・(1-10.16)

Здесь X〃，Yi — положительные параметры нового закона управления, которые уже не связаны между собой равенством (1.10.7).

Если во время движения выполняются соотношения (1.9.3) (или (1.8.12)), то управление (1.9.1), (1.10.16) гарантированно приводит систему в терминальное состояние. При этом скорости движения подсистем ограничены и выполняются неравенства |@/ W 匕，а следовательно, верна и оценка (1.10.5) максимальных абсолютных значений возмущений |%|. Подставляя (1.10.5) в (1.9.3), получим неравенства, полностью совпадающие с (1.10.6). Следовательно, если Х〃，匕 удовлетворяют неравенству (1.10.6), то управление (1.9.1), (1.10.16) решает задачу 1.1 при @° = 0.

Справедливы следующие оценки времени движения:

г < г* = maxi(r*), г * =5=1,…，八，(1.10.⑺

Yi %

где г* — оценка времени движения для г-й подсистемы. Докажем эти соотношения. Время движения г-й подсистемы максимально при наихудшем возмущении 匕=—pR. Все движение распадается на три этапа. Сначала, согласно (1.8.9), (1.9.1), (1.9.2) и (1.10.16), движение будет происходить с постоянным ускорением

@=一X sign(或一公)

до тех пор, пока фазовая точка не попадет на кривую переключений @ = V^(q/・ Далее фазовая точка движется вдоль прямолинейного участка кривой переключений с постоянной скоростью:

或=-Yi sign(^ 一疗)，

а затем — вдоль параболического участка кривой переключений с постоянным ускорением

@=x分 sign(或一公).

Длительности первого и последнего этапов одинаковы и равны Н/Х分. Длительность второго этапа равна (d分—2d^)/匕.Суммируя длительности всех трех этапов и учитывая, что d* = Y^/2Xi, приходим к оценке (1.10」7) для т.

Покажем, что видоизмененный закон управления (1.10.16) позволяет уменьшить оценку времени движения по сравнению с (1.10.15). Для этого рассмотрим конкретный выбор параметров X分 14 HB (1.10.16), полагая

У21

京=唠=^心・(1.Ю.18)

Отметим, что соотношение (1.10.18) отличается от использованной ранее формулы (1.10.7). В этом случае при наихудших возмущениях прямолинейный участок движения отсутствует и соотношения (1.10.17) переходят в (1.10.14). Будем искать параметры X分 в виде (1.10.9), как это было сделано ранее, а параметры 匕 выражать согласно формуле (1.10.18). Выберем максимальное значение Z:

Z = Z^(1.10.19)

удовлетворяющее (1.10.6). Получим, в силу монотонной зависимости левой части (1.10.6) от параметров 匕 и равенства (1.10.18) значение Z(, большее, чем Z。，см. (1.10.10). Поэтому в силу формул (1.10.14) получим новое значение %* оценки времени движения т*:

丁*=т；=%*，%*=2©)т,(1.Ю.20)

которое будет меньше, чем полученное в (1.10.15). Таким образом, видоизмененный закон управления действительно позволяет уменьшить оценку времени движения.

Для этого закона управления (1.9.1), (1.10.16) укажем численную процедуру поиска оптимальных допустимых параметров Х〃，匕, не связанных соотношениями (1.10.18), (1.10.9), при которых оценка времени движения т*, определяемая согласно (1.10.17), минимальна. Будем использовать следующее утверждение.

Если параметры Xi и Yi оптимальны, то величины г* в (1.10.17) одинаковы, т. е.

г* = г*, 5=1,…，八，(1.10.21)

а неравенства (1.10.6) переходят в точные равенства

(1.10.22)

△z= (и? Y — J 〃_/|U0 + G0||)〃T, i=l,п.

Этот факт доказывается рассуждениями, аналогичными тем, которые использовались ранее и приведены после формулы (1.10.15).

Процедура поиска оптимальных параметров Xi и Yi видоизмененного закона управления состоит в следующем. В соответствии с равенствами (1.10.17), (1.10.21) положим в системе (1.10.6)

* =匕2(匕7*一 公尸. (1.Ю.23)

Получим

+Kz0(y) < △”• (1.10.24) 匕T* - di

Выберем некоторое начальное значение г* (например, г* = %* из (1.10.20)) и найдем численно некоторые значения параметров Н, удовлетворяющие (1.10.24). Множество \У~, Y^+], 〃 = 1,…，八， 邑 котором можно производить этот поиск, легко получить, положив S° = 0 в неравенствах (1.10.24). В результате получим

Если какое-либо решение неравенств (1.10.24) для 匕 найдено, то нужно уменьшить значение г* в (1.10.24) на некоторую величину 8т* и повторить поиск допустимых параметров 匕 при новом т*. Минимальное значение т*, при котором неравенства (1.10.24) имеют решение 匕〉0 для всех г = 1,..., п, определяет вместе с формулой (1.10.23) оптимальные параметры Х〃，匕.

Покажем также, что найденная ранее оценка времени движения %* не является минимальной и может быть улучшена с использованием предложенной численной процедуры. Для этого требуется показать, что если в качестве начального значения оценки г* было выбрано %*, то при достаточно малом шаге 8т* предложенный алгоритм на второй итерации обязательно найдет значения параметров Х〃，Н, обеспечивающие еще меньшую оценку времени движения

T* =芯* - S*.

Допустим обратное. Пусть г* = %* из (1.10.20) — минимальная оценка времени движения. Тогда, как указано выше, должны быть выполнены соотношения (1.10.21), (1.10.22). Выберем некоторое значение г (1 < г < п) и, используя равенство (1.10.17), подсчитаем производную Эт*/dYi, считая, что параметр X分 связан с 匕 при помощи первого равенства в (1.10.22):

ат* =或 1 Н ах,ат* =或 1 Н ах,(1.10.25)(1.10.25)При данном г из равенств (1.10.22), в силу монотонности 5°(У) по 匕,При данном г из равенств (1.10.22), в силу монотонности 5°(У) по 匕,см. (1.8.11), имеемсм. (1.8.11), имеемах 7 №у)ах 7 №у)(1.10.26)(1.10.26)

ат* =或 1 Н ах,

ат* =或 1 Н ах,

(1.10.25)

(1.10.25)

При данном г из равенств (1.10.22), в силу монотонности 5°(У) по 匕,

При данном г из равенств (1.10.22), в силу монотонности 5°(У) по 匕,

см. (1.8.11), имеем

см. (1.8.11), имеем

ах 7 №у)

ах 7 №у)

(1.10.26)

(1.10.26)

Значения Х〃，匕，обеспечивающие оценку г* = %*, связаны равенством (1.10.18). Поэтому знак производной из (1.10.25) положителен:

(1.10.27)(1.10.27)加=н ах,

(1.10.27)

(1.10.27)

При выбранном г уменьшим параметр 匕 на некоторую достаточно малую величину 8匕(все 匕，j ^ г, остаются фиксированными) и одновременно увеличим параметры Х〃， г = 1,...,八，для всех подсистем, причем так, чтобы равенства (1.10.22) не нарушились. Очевидно, что при такой вариации новые значения параметров будут удовлетворять ограничениям Y^/Xi < d〃， что и требовалось

Рис. 11. Область Q^ для видоизмененного закона управленияРис. 11. Область Q^ для видоизмененного закона управленияв (1.10.16). При этом в силу (1.10」7) и (1.10.27) оценки времен движения всех подсистем уменьшатся. Таким образом, мы пришли к противоречию, и %* не может быть минимальным значением оценки т*.

Рис. 11. Область Q^ для видоизмененного закона управления

Рис. 11. Область Q^ для видоизмененного закона управления

Отметим, что управление (1.9.1) с видоизмененной функцией переключений (1.10.16) может быть использовано также и в случае, когда @° ^ 0. Соответствующая область Q^ задающая возможные начальные состояния

для г-й подсистемы, описывается соотношениями (1.9.4) и изображена на рис. 11.

Подсистема с нелинейным сопротивлением

Изложенный в § 1.3-1.7 способ решения задачи 1.1 состоит из двух этапов: 1) декомпозиции исходной нелинейной системы (1.1.3) на подсистемы (1.3.3); 2) построения управления для подсистем на основе игрового подхода. При этом в качестве подсистем с одной степенью свободы рассматривались системы с линейным сопротивлением (1.3.8).

Как было показано, возможны видоизменения предложенного подхода на обоих этапах. На первом этапе можно приводить систему к совокупности других подсистем, как более простых, чем (1.3.8), так и более сложных. Наиболее простой подсистемой с одной степенью свободы будет, очевидно, система (1.3.8) при А = 0. Этот случай охватывается приведенными выше формулами, которые при этом значительно упрощаются. В случае А = 0 наложенное условие (1.2.5) заменяется более простым условием (1.2.6), которое можем непосредственно проверить при помощи леммы 1.1 из § 1.2. На втором

этапе необязательно использовать игровой подход для построения управления подсистемами (см. § 1.5).

Рассмотрим подробнее видоизменение изложенного подхода, когда в качестве подсистемы с одной степенью свободы исследуется система с нелинейным сопротивлением. Следующее ниже рассмотрение предложено в работе [65].

Пусть динамика системы с одной степенью свободы описывается уравнением

m@ = R(小+ U + V(qg,0 (1.11.1)

Здесь q — обобщенная координата системы, m > 0 — постоянный инерционный коэффициент (масса), Н(@) — сила сопротивления, U — управляющая сила, 『(q,@,方)—возмущающая сила; точка означает производную по времени t.

Предполагаем, что сила сопротивления R{q) направлена против скорости, а ее величина строго возрастает с ростом скорости и обращается в нуль в состоянии покоя. Функцию R{q) считаем гладкой. Таким образом, имеем

泅0)<。，^® <0 &#0), R⑼=0. (1.11.2)

Управляющую и возмущающую силы предполагаем стесненными геометрическими ограничениями, причем максимальная величина возмущения строго меньше максимальной величины управления. Имеем

(1.11.3)(1.11.3)|U| WUo, \V(q,q,t)\^pUQ, 。V 1,

(1.11.3)

(1.11.3)

где Uq > 0 и р < 1 — постоянные. В остальном возмущение 『(q,@,方) может быть произвольной функцией своих аргументов.

Требуется построить управление по принципу обратной связи U(q,@), приводящее систему (1.11.1) из произвольного начального

состояниясостоянияq&o) = q°, 0(方о)=訳q&o) = q°, 0(方о)=訳(1.11.4)(1.11.4)

состояния

состояния

q&o) = q°, 0(方о)=訳

q&o) = q°, 0(方о)=訳

(1.11.4)

(1.11.4)

в заданное конечное состояние с нулевой скоростью

«&*) = «*,0(方 *)=。«&*) = «*,0(方 *)=。(1.11.5)(1.11.5)

«&*) = «*,0(方 *)=。

«&*) = «*,0(方 *)=。

(1.11.5)

(1.11.5)

за конечное время. Здесь 方°, «°, 0°, «* ——некоторые заданные числа, время 方* не фиксировано.

Пусть / 〉0 — некоторая величина размерности координаты q. Введем безразмерные переменные

zТ0zТ0U £ R1/2U £ R1/2(1.11.6)(1.11.6)

zТ0

zТ0

U £ R

1/2

U £ R

1/2

(1.11.6)

(1.11.6)

После замены (1.11.6) уравнение (1.11.1) примет вид

x + /(±) = " +。(/,x,力).x + /(±) = " +。(/,x,力).(1.11.7)(1.11.7)

x + /(±) = " +。(/,x,力).

x + /(±) = " +。(/,x,力).

(1.11.7)

(1.11.7)

Здесь и далее точкой обозначены производные по безразмерному времени ，， которое в (1.11.7) и ниже обозначено просто через t. Гладкая функция /(х) в (1.11.7) обладает согласно (1.11.2) и (1.11.6) следующими свойствами:

2/(2)〉0,尸(2)〉0 (2#0), /(0) = 0.(1.11.8)

На величины и и о в (1.11.7) наложены ограничения (см. (1.11.3),

(1.11.6))

|〃| < 1,®| < р, р < 1.(1.Н.9)

(1.11.5) после(1.11.5) послеНачальные условия (1.11.4) и конечные условия

(1.11.5) после

(1.11.5) после

замены (1.11.6) примут вид

力⑼=<,±(0)= 〃,力⑼=<,±(0)= 〃,(1.11.10)(1.11.10)

力⑼=<,±(0)= 〃,

力⑼=<,±(0)= 〃,

(1.11.10)

(1.11.10)

力(т) = 0, ±(т) = 0;(1.11.11)

здесь обозначено

с 『一q* Q°t0 方* - t0

Поставленная задача управления теперь может быть сформулирована следующим образом.

Задача 1.3. Построить управление по принципу обратной связи 〃(力，定)，удовлетворяющее ограничению (1.11.9) и переводящее систему (1.11.7) при произвольном возмущении о, стесненном ограничением (1.11.9), из произвольного начального состояния (1.11.10) 6 заданное конечное состояние (1.11.11) за конечное время.

Отметим, что как рассматриваемая постановка задачи, так и применяемый ниже подход к ее решению аналогичны тем, которые изложены в § 1.3-1.6, и представляют собой их обобщение.

Управление нелинейной подсистемой

Игровой подход. Рассмотрим уравнение (1.11.7) с точки зрения теории дифференциальных игр, полагая, что и и v — управления двух противников, стесненные ограничениями (1.11.9). Будем искать такое позиционное управление и(х, ±), которое переводит систему (1.11.7) из состояния (1.11.10) в состояние (1.11.11) за минимальное гарантированное время 丁 при любом допустимом возмущении о.

Это управление и(х, ±), полученное в результате решения дифференциальной игры, будет, как нетрудно видеть, давать решение поставленной выше задачи 1.3. С другой стороны, решение рассматриваемой дифференциальной игры сводится [43, 44] к решению задачи оптимального быстродействия для системы

х + /(±) = (1 - 0)〃；

(1.12.1)

\и\ < 1,0 < /)< 1, 丁 — min

при граничных условиях (1.11.10), (1.11.11). Уравнение (1.12.1) получено из (1.11.7) при условии о = —ри, что соответствует наихудшему для и управлению противника: оптимальные управления игроков таковы, что 〃 = ±1,。=干0 в любой момент времени.

Искомое в задаче 1.3 управление и(х, ±) и соответствующее ему время 丁 получим, решая задачу синтеза оптимального быстродействия для уравнения (1.12.1) при граничных условиях (1.11.10), (1.11.11). Указанную задачу быстродействия перепишем в виде

定1=/2,定2 = 一/(/2)+ (1 - 0)"；1"1 W 1, 0 P < 1,

/1(0)=g, /2(0)=〃， /1(7)=政(7) = 0, T T min,

(/ 1 =/，数=定)•(1.12.2)

Оптимальное быстродействие. Воспользуемся принципом максимума [50] для решения задачи (1.12.2). Функция Гамильтона для задачи (1.12.2) имеет вид

Н = рхх^+р^\ - р)и - f(x2)],\и\ < 1,(1.12.3)

где 夕 1,夕2 — сопряженные переменные.

Сопряженная система имеет вид

Pi = 0,力2 =—⑵ + 尸(力2)夕2・(1.12.4)

Так как система (1.12.2) автономна, то для рассматриваемой задачи оптимального быстродействия имеем первый интеграл

я =夕 1力2 + 夕2【(1 — P)u - /(力2)]=九》。，(1.12.5)

где Д — постоянная.

Согласно принципу максимума при ограничении \и\ < 1 из (1.12.3) получим

Отдельно рассмотрим вопрос о возможности особых участков оптимальной траектории, на которых 夕2 = 0. На таком участке согласно второму уравнению (1.12.4) имеем pi = 0. Следовательно, при наличии такого участка на всей траектории имеем pi = const = 0. Тогда на всей траектории второе уравнение (1.12.4) становится однородным, и, так как 夕2 = 0 на особом участке, имеем 夕2 三 0 на всей траектории. Однако на оптимальной траектории согласно принципу максимума сопряженный вектор не равен тождественно нулю. Полученное противоречие доказывает отсутствие особых участков оптимальной траектории. Итак, равенство 夕2 = 0 может иметь место лишь в отдельные моменты времени (моменты переключения) и, согласно (1.12.6), почти всюду имеем и = ±1.

Рассмотрим сначала участки оптимальной траектории, на которых 夕2 > 0, 〃 = 1・ 0з уравнений (1.12.2) получим для этих участков

*=数［(1- 0)" 一/2)］一.(1.12.7)

Из (1.12.7) следует, что участки оптимальной траектории в плоскости 力1,力2 при 夕2 > 0 суть дуги следующих кривых:

力1 = 0^(力 2)+ с+,(1.12.8)

где с+ — произвольная постоянная, а функция 0^(力2) определена равенством

印 У) = ］ 厶貝 2)'。" L (L12.9) о

Отметим некоторые свойства функции ф^ (у), вытекающие из соотношений (1.12.9), (1.11.8) и необходимые для дальнейшего. При изменении у от —оо до 0 функция 0^ положительна и строго убывает, обращаясь в нуль при у = 0. Точка у = 0 является единственным экстремумом функции ф^(у) и притом ее минимумом.

Если трансцендентное уравнение для 2+

/(2+) = 1—(1.12.10)

не имеет решения, т. е. /(2) < 1 — р при всех 2, то функция 0^(у) строго возрастает при всех у》0. В этом случае ф^ (у) > 0 при всех у # 0.

Если же уравнение (1.12.10) имеет корень 2+, то этот корень положителен и единственен в силу условий (1.11.8). В этом случае в интервале у е (0,?+) функция 0^(у) строго возрастает от 0 до оо, а при у〉2+ она строго убывает. Типичный график зависимости (1.12.8)

в плоскости 力1,力2 при с+ = 0 представлен на рис. 12 для случая, когда уравнение (1.12.10) имеет корень 2+ > 0. Направление роста времени t вдоль траектории, вытекающее из первого уравнения (1.12.2), указано на рис. 12 стрелками.

Совершенно аналогично рассматриваются участки траекторий при 夕2 < 0, которые являются дугами кривых

力1 = (力2)+. (1.12.11)

Здесь, аналогично (1.12.8), с-— произвольная постоянная, а функция ф~ определена равенством, подобным (1.12.9):

Рис. 12. Фазовая траектория при с+ = 0, г+ > 0Рис. 12. Фазовая траектория при с+ = 0, г+ > 0у

Рис. 12. Фазовая траектория при с+ = 0, г+ > 0

Рис. 12. Фазовая траектория при с+ = 0, г+ > 0

匂)= 门 U 0，0V1.(1-12.12)

J -P) - 丿 0

Введем трансцендентное уравнение для ?一，аналогичное (1.12.10):

(1.12•⑶

Если уравнение (1.12.13) не имеет решения 2一，то есть /(2) > р — \ при всех 2, то функция ф^(у) из (1.12.12) строго возрастает при у <0 и строго убывает при у〉0. При этом 0/(у) < 0 при всех у # 0.

Если же корень 2— уравнения (1.12.13) существует, то он единственен и отрицателен (2— < 0) в силу условий (1.11.8). В этом случае функция фр (у) строго убывает при у е (—00, z~\ строго возрастает при у е(2一，0) и вновь строго убывает при у е (0, оо). При у z~ эта функция стремится к —оо, а при у = 0 она имеет локальный нулевой максимум. Типичный график функции 0/(у) можно получить из графика функции ф^⑺,изображенного на рис. 12, путем преобразования центральной симметрии (или, что то же самое, путем одновременного изменения направлений обеих осей 力匕 力2)・

Описанные выше кривые представляют собой траектории, отвечающие р2 > 0 и Р2 < 0 и проходящие через начало координат в плоскости 力1,力2・ Другие кривые, дуги которых могут служить участками оптимальных траекторий, получаются согласно (1.12.8) и (1.12.11) из указанных кривых путем параллельного переноса на с+, с- вдоль оси х\.

/2 = 2+(02 > 0),/2 = 2+(02 > 0),/2 = 2-(°2 < 0)./2 = 2-(°2 < 0).(1.12.14)(1.12.14)Отметим, что если трансцендентные уравнения (1.12.10), (1.12.13) имеют решения, то система (1.12.2) допускает соответствующие решения

/2 = 2+(02 > 0),

/2 = 2+(02 > 0),

/2 = 2-(°2 < 0).

/2 = 2-(°2 < 0).

(1.12.14)

(1.12.14)

Решениям (1.12.14) в плоскости 力匕 力2，отвечают фазовые траектории —прямые, параллельные оси х\. Эти прямые — асимптоты кривых (1.12.8), (1.12.11) соответственно (см. рис. 12).

Таким образом, искомые оптимальные траектории состоят из участков кривых (1.12.8) и (1.12.11) с различными с+, с~, а также, возможно, из участков прямых (1.12.14), если разрешимы соответствующие уравнения (1.12.10), (1.12.13).

Покажем теперь, что на каждой оптимальной траектории имеется не более одной точки переключения управления, т. е. функция 夕2(方) обращается в нуль не более одного раза.

Предположим противное. Пусть функция 夕2(方)обращается в нуль в два момента времени，，方〃，между которыми она положительна. Тогда имеем

夕2⑴ >。，方 е(，,，‘)； 夕2(/)=夕2(方“)=。・(1.12.15)

Из первого интеграла (1.12.5) для моментов времени 方'，I" в силу (1.12.15) получим

0 1/2(/)=0 1/2(方")=九?0.(1.12.16)

Если pi = const = 0, то из (1.12.4) получим для 夕2(方)линейное однородное уравнение, которое при нулевых условиях (1.12.15) в моменты ，，力〃 имеет тождественно нулевое решение 夕2(力)=0. Но это противоречит принципу максимума, утверждающему существование ненулевого сопряженного вектора. Следовательно, pi = const ^ 0, и из (1.12.16) получим 力2 (')=力2(方〃)・ Однако на всех фазовых траекториях, кроме прямых (1.12.14), переменная 力2 либо строго возрастает, либо строго убывает с ростом времени 方.Это следует из приведенного выше анализа фазовых траекторий и видно на рис. 12. Значит, равенство 力2(')=力2(方〃)возможно лишь в случае, если рассматриваемый участок траектории принадлежит прямой (1.12.14), т. е.

/2⑴三 n+, t 6 (，,方〃).(1.12.17)

Подставляя (1.12.17) во второе сопряженное уравнение (1.12.4), получим линейное уравнение с постоянными коэффициентами

力2⑴=-Pi + 例2, k =尸(2+) > 0,

где k > 0 согласно (1.11.8). Общее решение полученного уравнения имеет вид

。2⑴=?+。卢，(1.12.18)

где С — произвольная постоянная. Но решение (1.12.18) монотонно по t и ни при каких pi 7^ 0 и С не может удовлетворять условиям (1.12.15). Таким образом, участок оптимальной траектории, на котором выполняются условия (1.12.15), не может быть отрезком прямой

Тем самым доказано, что оптимальная траектория не может включать участок вида (1.12.15).

Совершенно аналогично доказывается, что оптимальная траектория не может также содержать участок, на котором функция 夕2(方)отрицательна, а на его границе обращается в нуль.

Следовательно, функция 夕2(方)на каждой оптимальной траектории обращается в нуль не более одного раза, т. е. управление имеет не более одного переключения.

Единственными фазовыми траекториями, которые входят в начало координат при возрастании времени, являются ветвь кривой (1.12.8) при с+ = 0, лежащая в квадранте 力i》0,力2 W ° (см. рис. 12), и ветвь кривой (1.12.11) при с- = 0, лежащая в квадранте х\ W 0,力2》0. Эти ветви кривых отвечают управлениям и = 1 и и = —1 соответственно. Совокупность указанных ветвей образует кривую переключений, уравнение которой представим в виде

力1 =賑(力 2)； (1.12.19)

здесь введено обозначение

2P5 = Ф^б Z。；

(1.12.20)

%匂)=0公匂)，g?0・

В силу отмеченных выше свойств функций (1.12.9), (1.12.12) функция 恥匂)из (1.12.20) строго убывает при всех у, а при у = 0 она обращается в нуль и имеет точку перегиба.В силу отмеченных выше свойств функций (1.12.9), (1.12.12) функция 恥匂)из (1.12.20) строго убывает при всех у, а при у = 0 она обращается в нуль и имеет точку перегиба.Теперь нетрудно дать описание торий. Оптимальная траектория, точке фазовой плоскости 力匕 力2, состоит из отрезка кривой одного из семейств (1.12.8) или (1.12.11) и отрезка кривой переключений (1.12.19).Качественно поле оптимальных траекторий показано на рис. 13 для случая существования корней уравнений (1.12.10), (1.12.13). Жирной линией на рис. 13 изображена кривая переключений (1.12.19), а стрелками указано направление роста времени 方.Отметим, что построенная картина поля оптимальных траекторий подобна той, которая имеет место в случае линейного сопротивления, см. § 1.4, рис. 2.Теперь нетрудно дать описание торий. Оптимальная траектория, точке фазовой плоскости 力匕 力2, состоит из отрезка кривой одного из семейств (1.12.8) или (1.12.11) и отрезка кривой переключений (1.12.19).Качественно поле оптимальных траекторий показано на рис. 13 для случая существования корней уравнений (1.12.10), (1.12.13). Жирной линией на рис. 13 изображена кривая переключений (1.12.19), а стрелками указано направление роста времени 方.Отметим, что построенная картина поля оптимальных траекторий подобна той, которая имеет место в случае линейного сопротивления, см. § 1.4, рис. 2.всего поля оптимальных траек-начинающаяся в произвольнойвсего поля оптимальных траек-начинающаяся в произвольнойРис. 13. Оптимальные фазовые траекторииРис. 13. Оптимальные фазовые траектории

В силу отмеченных выше свойств функций (1.12.9), (1.12.12) функция 恥匂)из (1.12.20) строго убывает при всех у, а при у = 0 она обращается в нуль и имеет точку перегиба.

В силу отмеченных выше свойств функций (1.12.9), (1.12.12) функция 恥匂)из (1.12.20) строго убывает при всех у, а при у = 0 она обращается в нуль и имеет точку перегиба.

Теперь нетрудно дать описание торий. Оптимальная траектория, точке фазовой плоскости 力匕 力2, состоит из отрезка кривой одного из семейств (1.12.8) или (1.12.11) и отрезка кривой переключений (1.12.19).

Качественно поле оптимальных траекторий показано на рис. 13 для случая существования корней уравнений (1.12.10), (1.12.13). Жирной линией на рис. 13 изображена кривая переключений (1.12.19), а стрелками указано направление роста времени 方.Отметим, что построенная картина поля оптимальных траекторий подобна той, которая имеет место в случае линейного сопротивления, см. § 1.4, рис. 2.

Теперь нетрудно дать описание торий. Оптимальная траектория, точке фазовой плоскости 力匕 力2, состоит из отрезка кривой одного из семейств (1.12.8) или (1.12.11) и отрезка кривой переключений (1.12.19).

Качественно поле оптимальных траекторий показано на рис. 13 для случая существования корней уравнений (1.12.10), (1.12.13). Жирной линией на рис. 13 изображена кривая переключений (1.12.19), а стрелками указано направление роста времени 方.Отметим, что построенная картина поля оптимальных траекторий подобна той, которая имеет место в случае линейного сопротивления, см. § 1.4, рис. 2.

всего поля оптимальных траек-начинающаяся в произвольной

всего поля оптимальных траек-начинающаяся в произвольной

Рис. 13. Оптимальные фазовые траектории

Рис. 13. Оптимальные фазовые траектории

Синтез оптимального управления, отвечающий построенному полю фазовых траекторий, может быть представлен в виде

/2)= signWol/2)一力1], / 1 市矽0(/2),

"0(/1,/2)= sign/1 = —sign /2, / 1 =恥(/2),

(/ 1 = X,/2 =定)，(1.12.21)

где функция ⑦。 определена соотношениями (1.12.20), (1.12.9), (1.12.12).

Полученный закон управления (1.12.21) по построению дает решение задачи 1.3. Это решение можно назвать субоптимальным, так как оно оптимально по быстродействию (неулучшаемо), если возмущение о является «наихудшим», что предполагается при игровом подходе. При наихудшем возмущении о = —ри движение системы происходит по оптимальным траекториям, см. рис. 13. Если же возмущение о отличается от наихудшего (о ^ —ри), как это обычно имеет место, то траектория движения отличается от оптимальной. При этом движение по кривой переключений происходит в скользящем режиме, а время до попадания в начало координат может лишь уменьшиться.

Упрощенный подход. Выше возмущение не предполагалось известным, однако его максимально возможная величина была задана, и пос

троенное управление от него существенно зависит. В безразмерных

переменных ограничение на возмущение имеет вид 同 < р, см. (1.11.9), и полученный синтез управления (1.12.21) зависит от параметра р.

Рис. 14. Кривая переключений при р = 0 и траектория для упрощенного подходаРис. 14. Кривая переключений при р = 0 и траектория для упрощенного подходаНередко используется другой подход к построению управления при наличии возмущений, когда возмущения просто игнорируются.

Рис. 14. Кривая переключений при р = 0 и траектория для упрощенного подхода

Рис. 14. Кривая переключений при р = 0 и траектория для упрощенного подхода

Этот подход, названный упрощенным (см. § 1.5), в рассматриваемом случае просто означает, что параметр р при построении управления полагаем равным нулю, т. е. возмущениями пренебрегаем. Полученное таким образом управление 〃0(力1，力2) определяется соотношениями (1.12.21), (1.12.20), (1.12.9), (1.12.12) при "О. Кривая переключений для упрощенного управления задается формулой (1.12.19) при р = 0. Она изображена на рис. 14 жирной линией.

Сравним два способа построения управления — игровой и упрощенный. Для этого исследуем динамику системы (1.11.7) при некотором р е (0, 1) под действием упрощенного управления 〃()(力1,力2). Эту систему представим в виде

近 1 =/ 2, 这 2 = 一/(/ 2)+"0(/1,/2)+。，

(1.12.22)

101 W 0 V 1,(/ 1 =/，力2 =近)•

Поставим для системы (1.12.22) следующую вспомогательную задачу о нахождении наихудшего возмущения (см. аналогичную задачу 1.2 в§ 1.5).

Задача 1.4. Найти оптимальное управление。(力腕数)системой (1.12.22), удовлетворяющее ограничению |о| W 0 〃 такое, что любая фазовая траектория этой системы первый раз пересекает кривую переключений 力i = ^0(力2)как можно дальше от начала координат, т. е. при максимально возможном |д| или, что то же самое, максимально возможном \х^\.

Предположим сначала, что начальная точка лежит в области 力1》2о(力2). Тогда согласно (1.12.21) для рассматриваемой траектории имеем 〃о = —1- При этом фазовая траектория системы (1.12.22) впервые пересечет ту ветвь кривой х\ = ^0(力2), на которой х\ > О, 力2 < ° (см. рис. 14, где принято, что начальная точка (§, 〃) лежит на кривой 力 1 = ^。(力？))。Поставленная задача 1.4 при этом описывается соотношениями

近 1 =/2, 这2 = 一/(/2)— 1 +0， 101 W 0 V 1,

g(0)=£,力2⑼=〃，£》耽(〃)，(1-12.23)

/ 1(丁)=仇(/ 2(丁))，/ 1(丁)>0，/ 2(Т)<0,/ 1(t)ттаX.

Момент 丁 окончания процесса не фиксирован. Максимизация 力i(t) эквивалентна в силу (1.12.23) минимизации следующего интегрального функционала:丁

(-力2)dt — min.(1.12.24)

о

Применяя принцип максимума к задаче (1.12.23), (1.12.24), составим функцию Гамильтона

Я =夕 1力2 + 夕2® - 1 - /(力2)] + 力2,(1.12.25)

где 夕i,夕2 — сопряженные переменные. Они удовлетворяют сопряженной системе

(1.12.26)(1.12.26)力1 = 0,力2 =尸(力2)夕2 - Pi - 1

(1.12.26)

(1.12.26)

и условиям трансверсальности, отвечающим граничным условиям (1.12.23):

夕10% (力2)+ 夕2 = 0, я = 0,方=т.(1.12.27)

Из первого условия (1.12.27), применяя соотношения (1.12.20), (1.12.9) при /)= 0 и учитывая, что 力2(丁) < 0 согласно (1.12.23), получим

0 1 =一02 丄二以i = T.(1.12.28)

力2

Подставим (1.12.28) в (1.12.25) и воспользуемся вторым условием трансверсальности (1.12.27). После упрощения получим

я =夕 2® — 2) + 力2 = 0, t = Т.

Так как 力2(丁) < 0 и |о| ^ р < 1, то из полученного равенства следует

夕2(丁)<0.(1.12.29)

Оптимальное управление находим из условия максимума Н из (1.12.25) по \v\ < р:

о = 0sign 夕 2・(1.12.30)

Особые участки траектории здесь невозможны. В самом деле, если Р2 = 0 на некотором интервале времени, то на этом интервале pi = — 1 согласно второму уравнению (1.12.26). Но pi = const, следовательно, pi = — 1 на всей траектории. Тогда второе уравнение (1.12.26) становится линейным и однородным для 夕2, и его решение при начальном условии (1.12.29) не может обращаться в нуль.

Следовательно, особые участки отсутствуют, и равенство (1.12.30) означает, что управление 。(方)имеет точки переключения там, где 02⑴=0.

Найдем кривую переключений в плоскости 力 1,力2・ В силу автономности системы (1.12.23) ее гамильтониан (1.12.25) вдоль оптимальной траектории сохраняет постоянное значение, равное нулю согласно (1.12.27):

Я = (pi + 1)政 + 02® - 1 -貝/2)] = 0.

Отсюда следует, что в момент переключения, т. е. при 夕2 = 0 имеем либо pi = — 1, либо 力2 = 0. Но из равенства pi = —1, как показано выше, вытекает, что 夕2 нигде не обращается в нуль. Следовательно, в момент переключения имеем 力2 = 0, так что кривая переключений здесь есть луч 力2 = 0,力i > 0.

Для того чтобы определить знак управления при Х2 < 0 и Х2 > > 0, достаточно найти этот знак хотя бы в одной точке. В момент окончания процесса 丁 имеем 力2(丁) < 0 согласно (1.12.23) и 夕2(丁) < 0 в силу (1.12.29). Следовательно, v = —р при 力2 < 0.

В результате имеем

0(/1,数)=0sign/2・0(/1,数)=0sign/2・(1.12.31)(1.12.31)

0(/1,数)=0sign/2・

0(/1,数)=0sign/2・

(1.12.31)

(1.12.31)

Оптимальный синтез в области х\ > ф()(х^) построен, построения в области х\ < ^оС力2) отметим некоторые симметрии. При замене /⑶ на g(z) = —/(—2) согласно (1.12.12) имеемОптимальный синтез в области х\ > ф()(х^) построен, построения в области х\ < ^оС力2) отметим некоторые симметрии. При замене /⑶ на g(z) = —/(—2) согласно (1.12.12) имеемДля его свойства (1.12.9),Для его свойства (1.12.9),

Оптимальный синтез в области х\ > ф()(х^) построен, построения в области х\ < ^оС力2) отметим некоторые симметрии. При замене /⑶ на g(z) = —/(—2) согласно (1.12.12) имеем

Оптимальный синтез в области х\ > ф()(х^) построен, построения в области х\ < ^оС力2) отметим некоторые симметрии. При замене /⑶ на g(z) = —/(—2) согласно (1.12.12) имеем

Для его свойства (1.12.9),

Для его свойства (1.12.9),

印у) т -Фр(-у\印у) т -Фр(-у\Ф^5 一一時（一力Ф^5 一一時（一力(1.12.32)(1.12.32)

印у) т -Фр(-у\

印у) т -Фр(-у\

Ф^5 一一時（一力

Ф^5 一一時（一力

(1.12.32)

(1.12.32)

Из (1.12.20) и (1.12.32) следует, что при указанной замене

ФР(у) — —Фр(—у)・ФР(у) — —Фр(—у)・(1.12.33)(1.12.33)

ФР(у) — —Фр(—у)・

ФР(у) — —Фр(—у)・

(1.12.33)

(1.12.33)

Сделаем теперь в системе (1.12.22) замену

/1 —>-> 一/2，

(1.12.34) 0 ---八—2).

При этом согласно (1.12.33) и (1.12.21) 〃о заменится на — 〃о, и система (1.12.22) останется инвариантной. Отсюда следует, что в области 力 1 < ^ol力2)поле оптимальных траекторий и синтез оптимального управления будут теми же, что и в области х\ > ^оС力2), но с заменой /⑶ на д(2)= —/(—2). Так как синтез (1.12.31) не зависит от конкретного вида функции /⑶，то он имеет место и в области 力 1 < ^ol力2). Таким образом, равенство (1.12.31) определяет решение задачи 1.2 во всей плоскости х\,х^.

Анализ фазовых траекторий. Рассмотрим движение системы (1.12.22) под действием упрощенного управления 〃()(力1，力2)， определяемого соотношениями (1.12.21), (1.12.20), (1.12.9), (1.12.12) при /)= 0, и наихудшего возмущения о из (1.12.31). Пусть начальная точка £,〃 лежит на той ветви кривой переключений х\ = ^0(^2), где 力 1 V 0,力2 > ° (см. рис. 14). Исследуем фазовую траекторию вплоть до следующего ее пересечения с той же ветвью кривой переключений. Рассматриваемый отрезок траектории состоит из четырех участков, на каждом из которых 〃о п о постоянны. Эти участки характеризуются следующими граничными точками и управлениями (см. рис. 14):

=0；=0；(f,〃)一(力?,0)， W = -1, V

=0；

=0；

=—，=—，(1.12.35)(1.12.35)2)(吟0) т 6，т/), 〃о = —1,。

=—，

=—，

(1.12.35)

(1.12.35)

=—，=—，(У，?/) т (研,0), 〃о=1,。

=—，

=—，

4)(若,0) - (£*,〃*), 〃о=1,。

Параметры граничных точек (1.12.35) удовлетворяют соотношениям, отражающим их расположение на кривой переключений и осях координат (см. рис. 14):

w =耽(〃)，〃 > 0, f V0；/？ >0；

?=耽(7/), ^ <0, ?〉0;/:<0;(1.12.36)

w* =耽(〃*), 〃*>0, Г <0.

Подставляя 〃о 以 ° нз (1.12.35) в уравнения (1.12.22) и интегрируя их вдоль соответствующих участков траектории, имеем

zdz—1 + 0 — /(2)zdz—1 + 0 — /(2)炉

zdz

—1 + 0 — /(2)

zdz

—1 + 0 — /(2)

、 zdz

.—1 — ” /(2)'

0

zdz f zdz

.1 — 0 — /(2) J 1 +。—貝2)

0

В полученных соотношениях заменим £, §', £* их выражениями (1.12.36) и используем формулы (1.12.20), (1.12.9), (1.12.12) при р = Q. Получим

、zdz”

' zdz _

zdz、

zdz

J IT⑶ J 00

' zdz

-1 - /⑶、

(

、zdz

1一0+ /(2).

)0

'zdz

1 +p + f{zy

、zdz

—1 — /(2),

J IT⑶— J 00

-1+ f^)

.1+。— /(2) 0

(1.12.37)

Напомним, что т/ V 0, 〃〉0, 〃*〉0 согласно (1.12.36). Положим 〃/ = —〃о, ^о > о и преобразуем соотношения (1.12.37) так, чтобы они содержали интегралы лишь по отрезкам положительной полуоси. После упрощений получим

(1.12.38)(1.12.38)① 4(〃°)=储(0)① 1(〃),

(1.12.38)

(1.12.38)

①2(〃*)=储(川①3(〃°)・

Здесь введены обозначения

①1匂）=①+匂；/），①2匂）=①-匂；/）,

(1.12.39)(1.12.39)①3匂）=①+匂；9），①4匂）=①-匂;9）,

(1.12.39)

(1.12.39)

； J （1+6）卩土（1干。尸川’о

/ = /⑶》0, g = —/（—2）》0,

0(1+0) ]1/2(1-0)(2 +。). ,

Рассмотрим трансцендентные уравнения (1.12.38), определяющие 〃° и 〃* по заданным 〃〉0 и р е (0, 1). Для этого отметим некоторые свойства функций Ф^, г = 1,..., 4, из (1.12.39). Напомним, что согласно (1.11.8) имеем /⑶ > 0 при ^ > 0 и /⑶—0 при 2 To.

Знаменатели подынтегральных выражений для функций Ф1 и Фз в (1.12.39) положительны при всех 2》0. Следовательно, функции Ф1 и Фз определены и ограничены при всех у》0.

Если уравнения

/(22)=1+0, д(24)= -/(-24)= 1+0 (1.12.40)

для 22, 24 имеют решения, то знаменатели подынтегральных выражений соответствующих функций ①2,①4 в (1.12.39) обращаются в нуль при конечных значениях 22, 24, равных корням уравнений (1.12.40). В этом случае функции ①2，①4 монотонно возрастают и обращаются в бесконечность при у =汲，У = %4 соответственно. Если же уравнения (1.12.40) не имеют решений, то функции ①2,①4 определены при всех у〉0. В обоих случаях знаменатели подынтегральных выражений для функций ①2,①4 имеют максимумы по /》0 и g》0, равные (2 + 0)2(1 + 0)—1/4. Следовательно, справедливы неравенства

①2匂)》I ①4》；^ = 4(1 + 0)(2 +。)一2.

Таким образом, во всех случаях функции ①2 и ①4 положительны и строго возрастают, принимая при изменении у》0 все значения от 0 до оо.

Отсюда вытекает, что трансцендентные уравнения (1.12.38) при любых 〃〉0 п 0 е (0, 1) имеют единственные положительные решения ту0 > 0 и ту* > 0. Эти решения являются непрерывными и монотонными функциями от 〃.

3 Ф. Л. Черноусько и др.

Продифференцируем равенства (1.12.38) по 小 После простых преобразований получим

(1.12.41)(1.12.41)d^储S)①久〃。)d〃。〃4仿)①4〃0)①:(〃)

(1.12.41)

(1.12.41)

и свойств (1.11.8) функции /⑶ выте-и свойств (1.11.8) функции /⑶ выте-d〃 ①乩〃 *) d〃①乩〃 *)①K〃。)

и свойств (1.11.8) функции /⑶ выте-

и свойств (1.11.8) функции /⑶ выте-

Из соотношений (1.12.39) кают неравенства

幻匂）幻匂）①的)①的)沙> о.沙> о.

幻匂）

幻匂）

①的)

①的)

沙> о.

沙> о.

Используя второе из этих неравенств, получим из (1.12.41)

d〃*d〃*＜步3就匕＜步3就匕〃〉0.〃〉0.(1.12.42)(1.12.42)

d〃*

d〃*

＜步3就匕

＜步3就匕

〃〉0.

〃〉0.

(1.12.42)

(1.12.42)

Можно проверить, что функция х2(р) из (1.12.39) строго возрастает от 0 до оо на отрезке р 6 [0, 1], причем х = 1 при значении р, равном (см. § 1.6)

/ = I (а/5 - 1) ^0.618. (1.12.43)

Предположим сначала, что р < р* и, следовательно, х2(р) < а, где а < 1 — некоторое положительное число. Тогда из (1.12.42) вытекает

〃 > о,〃 > о,(1.12.44)(1.12.44)

〃 > о,

〃 > о,

(1.12.44)

(1.12.44)

и, следовательно,

①2(〃*) Va26(〃)，〃>0.(1.12.45)

Докажем, что 〃* < 小 Предположим противное, а именно, что 〃*》〃.Из (1.12.39) следует ①2匂)> ① 1匂)при всех у > 0. Тогда, учитывая монотонность функции ①2 匂)，имеем цепочку неравенств

①2(〃*)》①2(〃)> ① 1(〃)，

которая приводит к противоречию с неравенством (1.12.45). Следовательно, 〃* < г/.

Преобразуем неравенство (1.12.44), подставляя в него выражения для производных Фр ①$ согласно (1.12.39) и учитывая положительность функции /(2)：

犷 &2〃[1 + /(〃*)]□ — О + 0)Т/(〃*)] %[1 +/(〃*)]°

d〃 〃*[1+/(〃)]□ + (1 — 0)т/(〃)]〃*□+/(〃)] '•

Упростим последнее неравенство, учитывая, что /(〃*) < /(〃) ввиду

монотонности функции /(2)и неравенства 〃* < г/. Получим

Интегрируя данное неравенство при условии 〃* = 0 при 〃 = О, получим (〃*)2 < &2〃2 или 〃*/〃 < а.

Итак, если р < где р* определено в (1.12.43), то 〃*/〃 < а, т. е. фазовая траектория приближается к началу координат, при этом расстояние до начала координат убывает не медленнее, чем в геометрической прогрессии. Поэтому система приходит в заданное состояние за конечное время, хотя и после бесконечного числа переключений управления.

Предположим, что система попала в малую окрестность начала координат, так что 〃 достаточно мало. При этом 〃° и 〃* также будут малыми ввиду их непрерывной зависимости от 小 Так как /(2)— О при 2 — 0 в силу (1.11.8), то в интегралах (1.12.39) при малых у можно опустить члены /(2), д(2), после чего получим в пределе

①心)〜;力，д 一 °，分=1,…，4・

Следовательно, трансцендентные уравнения (1.12.38) при малом 〃 примут вид

(m2 =諸 S)〃2, (〃*)2 =諸仿)(〃。)2.

Отсюда получим

Н =諸(°).(1.12.46)

Пусть р> р" и, следовательно, х2(р) > 1. Тогда вследствие (1.12.46) получим 〃*〉〃，pi фазовая траектория, даже попавшая в малую окрестность начала координат, удаляется от него. Система в этом случае не приходит в заданное состояние.

Итак, в случае произвольной функции /(2), удовлетворяющей условию (1.11.8), упрощенный подход приводит к управлению 〃0(力1,力2), определяемому соотношениями (1.12.21) при р = 0 и обладающему следующими свойствами:

если 0 V 0* ^ 0.618, то при любом допустимом возмущении |v| < р система попадает в начало координат. Время движения при этом конечно, хотя число переключений, вообще говоря, бесконечно;

з*

если же р〉р*, то существует такое допустимое возмущение о, определяемое равенством (1.12.31), при котором система никогда не попадает в начало координат.

Следовательно, упрощенное управление гарантирует решение задачи 1.3 лишь в случае р < р*, т. е. при условии, что отношение максимальных возможных величин возмущения и управления не превосходит отношения золотого сечения.

Конкретизируя вид функции /(2), можно получить более детальную картину движения. Отметим, что изложенные здесь результаты, полученные впервые в [65], обобщают результаты работ [63] и [64], где рассмотрены случаи отсутствия сопротивления и линейного сопротивления соответственно, см. § 1.4-1.6.

Заключение. Предложенный закон управления (1.12.21), основанный на игровом подходе, гарантирует приведение рассматриваемой системы (1.11.7) в начало координат за конечное время при любом виде нелинейности /(2) и при любом неопределенном возмущении, если р < 1. Этот закон управления не требует знания возмущения; необходимо лишь знать его возможное максимальное значение, которое не должно превосходить максимального значения управления.

Подчеркнем различие в требованиях к функциям /(г) и v(x, х, t). Обе эти функции могут быть произвольны в рамках соответствующих условий — (1.11.8) для /(2)и (1.11.9) для V. Однако функция нелинейного сопротивления /(2) должна быть известна при построении управления, а возмущение v(x, х, t) знать не требуется.

Упрощенный подход к построению управления, при котором возмущение вообще игнорируется, оказывается менее эффективным. Он заведомо приводит систему в начало координат лишь при р < р* 0.618. Если же 0〉то существует такое возмущение, при котором попадание в начало координат оказывается невозможным.

В то же время по своей структуре оба подхода сходны и различаются лишь кривыми переключений.

Предложенный способ управления обладает малой чувствительностью к различным возмущениям и вариациям параметров. Эти факторы нетрудно учесть, если увеличить предполагаемый уровень возможных возмущений, т. е. параметр р, создавая определенный запас по этому параметру.

Отметим, что построенное управление субоптимально по быстродействию в том смысле, что оно оптимально при наихудшем возможном возмущении.

Полученные результаты могут применяться к различным динамическим системам, например, для управления электроприводами робототехнических систем. При этом открывается возможность учесть различные законы сопротивления, часто встречающиеся на практике.

Приложение к робототехническим системам

Остановимся на приложении полученных результатов к задачам динамики роботов. Покажем для этого, что постановка задачи 1.1 и условия (1.2.5), (1.2.6) типичны и часто выполняются для роботов.

Рассмотрим манипуляционный робот, имеющий 八 степеней свободы и состоящий из 八 звеньев, соединенных цилиндрическими или призматическими шарнирами. Каждое звено робота является абсолютно твердым телом. Положение г-го звена относительно (г — 1)-го характеризуется относительным углом поворота (в случае цилиндрического шарнира) или относительным смещением (в случае призматического шарнира). Эти углы и смещения примем в качестве обобщенных координат (qi, •••,夕冷),определяющих положение робота. Уравнения движения робота можно представить в виде уравнений Лагранжа (1.1.1), где кинетическая энергия имеет вид (1.1.2). Роль обобщенных сил играют моменты сил относительно осей цилиндрических шарниров и силы вдоль направлений смещения в призматических шарнирах. При этом силы Ui в (1.1.1) — это управляющие моменты или силы, создаваемые двигателями (приводами), a Qi включают все остальные внешние и внутренние силы и моменть匚 силы тяжести, сопротивления, трения, разные возмущения и др.

Рассмотрим теперь динамику робота с учетом динамики приводов. Предположим, что каждый управляющий момент или сила U〃 создается отдельным электродвигателем постоянного тока, г = 1,...

,п, а силы Qi представимы в форме (1.8.5)-(1.8.8). Кинетическая энергия робота Г складывается из кинетической энергии движения звеньев Г1 (q,q) и кинетической энергии движения роторов электродвигателей T«q,q, N), здесь N = (N\,Nn) — передаточные числа редукторов, рассматриваемые как параметры. Считаем, что М》1, инерцией подвижных частей редукторов пренебрегаем. По теореме Кёнига [3] кинетическая энергия г-го ротора 齊 равна сумме кинетической энергии, которую имела бы материальная точка массы, равной массе ротора, расположенная в его центре инерции, и кинетической энергии вращения ротора, т. е.

T^q,q,N.)=T^q,q)+T^q,q,Nz).

Пусть 4, J- — моменты инерции г-го ротора соответственно относительно оси вращения и перпендикулярной к ней оси, проходящей через центр инерции. Тогда, если вектор угловой скорости статора г-го электродвигателя имеет проекцию на ось вращения ротора, равную 以分， и перпендикулярную составляющую, равную то

*(q, q, М) = I [j(N必 + 毎)2 + 加鼻.

Угловые скорости 5, s； — линейные комбинации обобщенных скоростей qi, ...,qn с коэффициентами, зависящими от q. Поэтому кинетическую энергию робота можно представить в виде

Т = £/(25)2 +仍0，G，(1.13.1)

i=l

где B(q, N) — ограниченная симметрическая матрица, такая, что при произвольном векторе 2 выполняется неравенство

\\B(q,N)z\\ < Ар||, А = const.(1.13.2)

Здесь и далее через 7Vmax, Wmin обозначены, соответственно, наибольшее и наименьшее из передаточных чисел N\,..., N^, а А не зависит от Ni，

Подставим (1.13.1) в уравнения Лагранжа в форме (1.1.1). Получим

№45 + Nmax宙(《, №)办=« + &(q, q,方,N).(1.13.3)

Разделим г-е уравнение (1.13.3) на М п сделаем замену переменных

Pi = Niqi，(1.13.4)

В результате получим

丿凉 + NmaxN「fBuN丁讶=Nj(a + £)•(1.13.5)

Учитывая, что N['Ut = М», где М( — момент сил, создаваемый электродвигателем, приведем систему (1.13.5) к виду

{J + B)p = M + S\(1.13.6)

Здесь

J = diag(Ji,…，Jn), В = NmaxH-'BH「М = (Ml,..., МД

S* = H-S, H = diag(Ni,...,Nj(1.13.7)

Следовательно, уравнения движения с учетом замены (1.13.4) и обозначений (1.13.7) представлены в виде (1.1.3), (1.8.2), причем согласно (1.13.2) и (1.13.7) имеем неравенство

I 出 2||W〃||2||,〃 = NmaxN孟入(1-13.8)

аналогичное ограничению (1.8.3). Начальные и конечные условия представимы в форме (1.1.7), (1.2.1).

Рассмотрим различные варианты постановок задач управления.

1°. Пусть на создаваемые электродвигателями управляющие моменты сил Mi наложены ограничения

|М|，М?.(1.13.9)

В этом случае для построения управления можно применить результаты, полученные в предыдущих разделах и подытоженные в теореме 1.3. Неравенство (1.10.8), переписанное в обозначениях системы (1.13.6), определяет допустимые значения параметра 从. Подставив в это неравенство вместо 从 его значение из (1.13.8), получим ограничение на возможные величины передаточных чисел редукторов

Cm > a / | 1阳О+ 公91|、

Nmax Imin〃(Мр 一 NJG?)丿(1.13.10)

M° =

Здесь JmE — наименьший из моментов инерции роторов 丿1,...,丿冷；величины G? введены ранее, см. (1.8.5)-(1.8.7), причем предполагается, что

G? < №М?

для всех г = 1,,八.

2°. Пусть роль управляющих воздействий играют электрические напряжения, подаваемые на обмотки роторов электродвигателей. Дополним уравнения движения (1.13.6) уравнениями баланса напряжений в цепях роторов и соотношениями, связывающими моменты Mi с токами [76]:

厶* +凡九+矿仇="2，m=k*九-Ь戒・ (113.11)

Здесь Li — коэффициент индуктивности, Ri — электрическое сопротивление, kf,k* — постоянные коэффициенты, 〃分—электрическое напряжение в цепи ротора г-го двигателя, член 仇仇 представляет собой момент сил механического сопротивления. Первый член в первом уравнении (1.13.11) обычно мал по сравнению с остальными. Опуская его, имеем из (1.13.11) выражение

М = k^R~\ui - k^pi) - biPi,

(J + 瓦力=и* + S**, S** = S* — Лр,

A = diag(k*kfR」+瓦,...,碎kfiV +К),(1.13.12)

U* =(k产尺小1,...,碍腐1"几).

Пусть на управляющие напряжения наложены ограничения

\т\ «и?.(1.13.13)

Ограничения (1.13.13) преобразуются в ограничения на компоненты вектора U* из (1.13.12):

\U^\^Uf = k^R~^.(1-13.14)

Уравнения движения (1.13.12) снова приведены к форме (1.1.3), (1.8.2).

Неравенства (1.13.14) имеют тот же вид, что и соотношения (1.1.6). Очевидно, что в этом случае применим рассматриваемый способ управления. Согласно теореме 1.3 получим ограничение, аналогичное (1.13.10):

+—NJG?)丿'([ms)

二(U；。,…,и*.

Итак, если передаточные числа приводов и параметры робота таковы, что удовлетворяются неравенства (1.13.10), (1.13.15), то можно построить управление, переводящее рассматриваемую систему из начального состояния в заданное состояние за конечное время. Управление учитывает наличие возмущений и конструктивных ограничений.

Замечание 1.1. Рассматривая непосредственно систему (1.13.3) и переписывая в ее терминах условие (1.10.8), можно получить ограничения на параметры системы в другом виде. Имеем

mi出(ТУ”)1用"。+ 6。||

Nmax》min^NiM^ - G?)

для случая 1° ограниченных электромагнитных моментов “

mi出(NM))] ||HU*o + GO||

NmaxX— G?)

—для случая 2° ограниченных электрических напряжений. Использование этих условий для проверки возможности применения

метода декомпозиции кажется более целесообразным в случае, когда моменты инерции роторов j, г = 1,…，八，сильно отличаются друг от друга, а эффективные моменты инерции N； J% отличаются не очень сильно.

Замечание 1.2. Если элементы матрицы Л велики, то для уменьшения времени управления целесообразно приводить уравнения движения (1.13.12) к форме (1.3.1), где в качестве матрицы 厶* выбрана матрица J, а в качестве коэффициентов % — соответствующие элементы матрицы Л. Для управления полученными подсистемами с линейным сопротивлением можно применить подход, изложенный в § 1.3-1.7.

3°. В последнее время получили распространение безредукторные приводы. Для них имеем М = 1 и j = 0, так что в соотношениях (1.13.6), (1.13.7) нужно положить J = О, Н = Е. Уравнения движения и ограничения снова приводятся к виду (1.1.3), (1.1.6). Однако выбрать матрицу 厶* в виде (1.8.2), (1.8.3) уже нельзя, так как J = 0. Эта матрица должна быть выбрана по-иному, например, в виде 4* = 4(q*) (см. замечания в конце § 1.2). Для применения полученных результатов требуется проверить условия (1.2.5) или (1.2.6), что нужно делать в каждом конкретном случае. В следующем параграфе рассмотрена задача построения синтеза управления двузвенным манипулятором с безредукторными приводами.

Таким образом, полученные результаты могут быть при определенных условиях применены для построения управления манипуляционными роботами.

Синтез управления двузвеннымманипулятором с безредукторными приводами

В данном параграфе рассматривается управляемая динамическая система заданной структуры, которая представляет собой упрощенную модель механического двузвенного манипуляционного робота с абсолютно жесткими элементами конструкции. Двузвенник может совершать движения в горизонтальной плоскости и управляется моментами сил, которые создаются в его шарнирах. На величины управляющих моментов сил наложены геометрические ограничения. Строится ограниченное управление, переводящее систему за конечное время из заданного начального состояния в заданное конечное состояние покоя. Для построения управления применяется метод декомпозиции, который изложен в § 1.8. Указываются достаточные условия, при которых исходную нелинейную систему удается разбить на подсистемы с одной степенью свободы каждая. Затем управление строится отдельно для каждой из подсистем, при этом алгоритм расчета управления по существу аналогичен тому, который приведен в § 1.13, где накладываются ограничения на величины

передаточных чисел редукторов. Главное отличие состоит в том, что система, рассматриваемая в данном параграфе, моделирует движение манипулятора с безредукторными приводами. Поэтому здесь накладываются ограничения на другие параметры системы.

Описание системы. Постановка задачи. Рассмотрим механическую двузвенную систему (рис. 15), состоящую из неподвижного основания Go и двух абсолютно жестких звеньев Gi, G2. Элементы конструкции соединены между собой двумя идеальными цилиндрическими шарнирами Q, Q таким образом, что оба звена могут совершать движения только в горизонтальной плоскости.

Уравнения Лагранжа (1.1.1), описывающие движение данной системы, имеют вид [73]:

(加2疗 + 厶 +А + 2m2l\lg2 cosq2) Qi + (A + 加2厶％2 cos q2) ?2 -

-2m2hlg2 sinq2 负。2 — W^i^2 sinq2 ql = My + Qi, (1.14.1)

(A + m2Zi^2 cosq2) Qi + A ?2 + W^i^2 sinq2 Q? = M2 + Q2-

Здесь введены следующие обозначения: qi Gi относительно основания G°;Здесь введены следующие обозначения: qi Gi относительно основания G°;Рис. 15. Двузвенный манипуляторРис. 15. Двузвенный манипулятор—угол поворота звена «2 — угол между прямыми 01。2 и 02c2, характеризующий положение звена G2 относительно звена Gi (。2 — центр масс звена G2); 1\ — длина отрезка О1О2； ^2 — длина отрезка。2。2；加2 — масса звена G2；厶—момент инерции г-го звена относительно оси шарнира 。分；М^, Qi — моменты управляющих и прочих сил, создаваемые в шарнире 0〃， соответственно; здесь и всюду далее i = 1,2.

Здесь введены следующие обозначения: qi Gi относительно основания G°;

Здесь введены следующие обозначения: qi Gi относительно основания G°;

Рис. 15. Двузвенный манипулятор

Рис. 15. Двузвенный манипулятор

На управляющие моменты накладываются ограничения

\Мг\^М^(1.14.2)\Мг\^М^(1.14.2)0 = 2 厶+me=a0 = 2 厶+me=a(1.14.3)(1.14.3)где МР — заданные постоянные. Перейдем к безразмерным переменным

\Мг\^М^(1.14.2)

\Мг\^М^(1.14.2)

0 = 2 厶+me=a

0 = 2 厶+me=a

(1.14.3)

(1.14.3)

Если у новых переменных，，Q- опустить штрих, то уравнения (1.14.1) примут вид

(а + /3 + 2 cos «2)q\ ++ cosq2)歹2 - (2负@2 + 虚)sin«2 =

= Ui+Qi, (1.14.4)

(/3 + COS «2)5 + /3^2 + 苏 sin «2 =。2 + Q2,

а неравенства (1.14.2) перепишутся в форме (1.1.6). Заметим, что в силу введенных обозначений (1.14.3) выполняются соотношения

а/3 > 1, U? = l.

Таким образом, мы можем рассматривать задачу 1.1 (см. § 1.2) применительно к системе (1.14.4) с ограничениями (1.1.6) на новые управления U〃， считая, что область возможных движений задается соотношениями вида (1.8.1). В этом параграфе считаем, что внешние силы и возмущения отсутствуют, т. е.

Qi = Q2 = 0.

Упрощающие предположения и декомпозиция системы. Для решения рассматриваемой задачи управления манипулятором воспользуемся методом декомпозиции.

Разрешим систему (1.14.4) относительно вторых производных 勿， ?2 и умножим левые части полученных выражений на некоторые положительные коэффициенты 丿腕 办・ Тогда система примет вид (1.8.9), в которой функции 匕 оказываются равными

/3 + COS «2/3 + COS «2Q/3 — COS2 Q2Q/3 — COS2 Q2++V2 = U2[J2V2 = U2[J2Q + /3 + 2 COS «2Q + /3 + 2 COS «2Q/3 — COS2 Q2Q/3 — COS2 Q2+厶+厶炉(负 + @2)2 sin «2 + 出 sin «2 COS g炉(负 + @2)2 sin «2 + 出 sin «2 COS g—1—/2。1—1—/2。1Q/3 — COS2 «2Q/3 — COS2 «2/3 + COS «2/3 + COS «2Q/3 — COS2 Q2Q/3 — COS2 Q2

/3 + COS «2

/3 + COS «2

Q/3 — COS2 Q2

Q/3 — COS2 Q2

+

+

V2 = U2[J2

V2 = U2[J2

Q + /3 + 2 COS «2

Q + /3 + 2 COS «2

Q/3 — COS2 Q2

Q/3 — COS2 Q2

+厶

+厶

炉(负 + @2)2 sin «2 + 出 sin «2 COS g

炉(负 + @2)2 sin «2 + 出 sin «2 COS g

—1—/2。1

—1—/2。1

Q/3 — COS2 «2

Q/3 — COS2 «2

/3 + COS «2

/3 + COS «2

Q/3 — COS2 Q2

Q/3 — COS2 Q2

-/2-/2(В + COS «2)(负 + @2)2 sin «2 +(Q + COS «2)曲 sin «2

-/2

-/2

Q/3 — COS2 Q2

(1.14.5)

Предположим, что имеют место неравенства (1.8.12). Если 匕 рассматривать как независимые ограниченные возмущения, то исходная

нелинейная система распадается на две линейные подсистемы с одной степенью свободы каждая.

Управление для каждой из этих подсистем можно задать соотношениями (1.9.1), (1.9.2). Ниже показано, что условия (1.8.12) действительно выполняются при некоторых ограничениях на параметры системы и константы

Нахождение параметров управления Xi 〃 Х?・ Применение управ

ления (1.9.1), (1.9.2) возможно только при выполнении в процессе управления соотношений (1.8.12).

Наложим на параметры системы (1.14.4) некоторые ограничения и покажем, что существуют такие Х〃，входящие в закон управления (1.9.1), при которых соотношения (1.8.12) действительно выполняются.

. Будем предполагать, что имеет место неравенство

/3 < 1.(1.14.6)

Например, если звено G? представляет собой тонкий стержень длины %2 V 厶 с произвольным распределением плотности 0(力)，то имеем

?1 г\

0 =p^x^dx =—— xd\ p(y)ydy =

加2他2 J加2他2 J \ J

00\ 0/

(

22 力\

. Потребуем, чтобы величины qg,心 в (1.8.1) были ограничены следующими неравенствами:

—arccos(—/3) < ^2~, q^ < arccos(—/3).(1.14.7)

Так как при управлении (1.9.1) выполняется ограничение

打 < q 2 V q 2H

(см. § 1.8), то из (1.14.7) следует, что в течение всего процесса управления

cos g > -/3.(1.14.8)

. Будем считать, что величина U^, ограничивающая управление Ui, удовлетворяет неравенствам

ПосколькуПоскольку

Поскольку

Поскольку

& + /3 + 2/3+1 ct/З — 1

/3+1= /3(/3+ 1)

то выполнения соотношений (1.14.9) можно всегда добиться, накладывая более жесткие ограничения на величину одного из моментов Mi в (1.14.2). Отметим, что в силу (1.14.6) и (1.14.9) имеем U； > 2.

. Константы / в системе (1.8.9) будем выбирать согласно неравенствам

7 ВМ — 17 ВМ — 1< 1,< 1,(1.14.10)(1.14.10)а + /3 + 2оф — 1а + /3 + 2оф — 1< 1.< 1.Используя сделанные допущения а)-г), оценим модуль величины 吒 из (1.14.5). Учитывая неравенства (1.1.6), (1.14.8), (1.14.10), получимИспользуя сделанные допущения а)-г), оценим модуль величины 吒 из (1.14.5). Учитывая неравенства (1.1.6), (1.14.8), (1.14.10), получимV1YU； J 2 Т +丿网,+ с*1 +ар — COS2 «2сф — cos2 «2V1YU； J 2 Т +丿网,+ с*1 +ар — COS2 «2сф — cos2 «2+/1+/1/3(01 +02)2 + 瑞q/3 — 1/3(01 +02)2 + 瑞q/3 — 1_ 丄 T C + cosg — и； В11Q/3 - COS2 Q2_ 丄 T C + cosg — и； В11Q/3 - COS2 Q2I Т 负 + Q2)2 + ^2Используя неравенства (1.9.10), (1.14.9), будем иметьАналогично получим оценку для величины 心：I Т 负 + Q2)2 + ^2Используя неравенства (1.9.10), (1.14.9), будем иметьАналогично получим оценку для величины 心：泾I e 1 +/2泾I e 1 +/2/Зи； + (иу — 2)cos«2 —Q —/3/Зи； + (иу — 2)cos«2 —Q —/3Q/3 — COS2 Q2Q/3 — COS2 Q2+++/2+/2(e+ 1)(负 +02)2 + (a+ 1)心Q/3 — 1(e+ 1)(负 +02)2 + (a+ 1)心Q/3 — 1

7 В

М — 1

7 В

М — 1

< 1,

< 1,

(1.14.10)

(1.14.10)

а + /3 + 2оф — 1

а + /3 + 2оф — 1

< 1.

< 1.

Используя сделанные допущения а)-г), оценим модуль величины 吒 из (1.14.5). Учитывая неравенства (1.1.6), (1.14.8), (1.14.10), получим

Используя сделанные допущения а)-г), оценим модуль величины 吒 из (1.14.5). Учитывая неравенства (1.1.6), (1.14.8), (1.14.10), получим

V1YU； J 2 Т +丿网,+ с*1 +ар — COS2 «2сф — cos2 «2

V1YU； J 2 Т +丿网,+ с*1 +ар — COS2 «2сф — cos2 «2

+/1

+/1

/3(01 +02)2 + 瑞q/3 — 1

/3(01 +02)2 + 瑞q/3 — 1

_ 丄 T C + cosg — и； В11Q/3 - COS2 Q2

_ 丄 T C + cosg — и； В11Q/3 - COS2 Q2

I Т 负 + Q2)2 + ^2

Используя неравенства (1.9.10), (1.14.9), будем иметь

Аналогично получим оценку для величины 心：

I Т 负 + Q2)2 + ^2

Используя неравенства (1.9.10), (1.14.9), будем иметь

Аналогично получим оценку для величины 心：

泾I e 1 +/2

泾I e 1 +/2

/Зи； + (иу — 2)cos«2 —Q —/3

/Зи； + (иу — 2)cos«2 —Q —/3

Q/3 — COS2 Q2

Q/3 — COS2 Q2

+

+

+/2

+/2

(e+ 1)(负 +02)2 + (a+ 1)心

Q/3 — 1

(e+ 1)(负 +02)2 + (a+ 1)心

Q/3 — 1

Далее, используя соотношения (1.9.10), (1.14.9) n U；〉2, получим

МY I + 小^^户+d切а一户—2 +

+ "+℃：尸+现' (1.14.12)

В неравенства (1.9.3) вместо величин |匕| подставим их оценки (1.14.11), (1.14.12):

%2+/3(Н+心)2Х1 +%2+/3(Н+心)2Х1 +V— /3 — I'арV— /3 — I'ар

%2+/3(Н+心)2

Х1 +

%2+/3(Н+心)2

Х1 +

V— /3 — I

'ар

V— /3 — I

'ар

Х2 +Х2 +< а + /3 + 2 — U；(/3 + 1)< а + /3 + 2 — U；(/3 + 1)оф — 1оф — 1(Q + 1)疗 + (/3 + 1) (Н + 心У

Х2 +

Х2 +

< а + /3 + 2 — U；(/3 + 1)

< а + /3 + 2 — U；(/3 + 1)

оф — 1

оф — 1

(1.14.⑶

В силу (1.14.9) выражения в правых частях неравенств (1.14.13) положительны. Выберем 匕 согласно (1.10.7). Тогда 匕—0 при X分— —0, поэтому всегда найдутся положительные Xi, Х2, удовлетворяющие неравенствам (1.14.13), а следовательно, и неравенствам (1.8.12). Заметим, что константы j не входят непосредственно в ограничения (1.14.13), поэтому их конкретные значения не играют роли.

Подытожим полученные результаты.

Пусть выполнены условия (1.14.6), (1.14.7), (1.14.9). Тогда синтез управления U〃(仇，或)，решающий задачу 1.1 применительно к системе (1.14.4), задается соотношениями (1.9.1), в которых параметры X分 должны выбираться так, чтобы выполнялись неравенства (1.14.13). Это управление переводит систему (1.14.4) из начального состояния (1.1.7) в заданное терминальное состояние (1.2.1), если в начальный момент времени выполнено условие (1.9.5). При этом движение системы лежит в области D, заданной (1.8.1), а время процесса управления 丁 не превосходит величины т*, определяемой выражениями (1.9.11), (1.9.12).

Укажем способ выбора допустимых значений X分.Будем искать их в виде (1.10.9). Неравенства (1.14.13) в этом случае принимают вид

——<1+2——丿，

2《а + /3 + 2 - UK(3 + 1)

+2 + 2卩•

Найдя максимальное значение Z, удовлетворяющее полученным неравенствам, вычисляем по формулам (1.10.9) параметры X九

Отметим, что множество возможных значений параметров управления X分 для рассматриваемой системы можно существенно расширить. Для этого следует получить более точные оценки величин |%| в (1.14.11), (1.14.12).

§ 1.15. Примеры

1°. Численное моделирование движений трехзвенного робота- манипулятора. В качестве примера для расчета управления с использованием метода, который описан в первой главе, выбран трехзвенный

механизм с заданными параметрами (рис. 16), который при соответствующих допущениях может описывать динамику руки робота- манипулятора. Рука манипулятора, у которого плечо и предплечье лежат в вертикальной плоскости, крепится к вертикальной колонке, которая опирается на основание.

Момент инерции вертикальной колонки относительно оси вращения равен /，. Звенья руки представляют собой стержни масс 加2, тз и длин %2, %з соответственно. Центры масс плеча и предплечья расположены точно посередине соответствующих звеньев.

Рис. 16. Трехзвенный манипулятор Главные центральные моментыРис. 16. Трехзвенный манипулятор Главные центральные моментыинерции звеньев относительно осей, перпендикулярных стержням, и относительно продольных осей стержней соответственно равны 尊 /『，5 = 2,3.

Рис. 16. Трехзвенный манипулятор Главные центральные моменты

Рис. 16. Трехзвенный манипулятор Главные центральные моменты

Вертикальная колонка, плечо и предплечье снабжены приводами,

включающими электродвигатели постоянного тока с независимым возбуждением и редукторы. Считаем ради простоты, что ось и направление вращения ротора в каждом электроприводе совпадают с осью и направлением вращения соответствующего шарнира. Массы роторов электродвигателей равны mf, i = 1,2,3. Инерцией вращающихся частей редукторов пренебрегаем. В качестве обобщенных координат %,夕2,夕3 выбираем углы поворота в трех

цилиндрических шарнирах манипулятора: угол поворота колонки вокруг вертикальной оси % и углы поворота плеча «2 и предплечья «з вокруг соответствующих горизонтальных осей (рис. 16).

При сделанных допущениях подсчитаем элементы матрицы кинетической энергии 4(g) из (1.1.2)

/ а” 00 \

4(g) =0a22a23•

\0。32。33 /

Получим

а” = j、n£ + J，+ J，+ /，+

+ ^ ^ (加3后 + 球—，A cos 2^2 + (^f —厅)cos 2(^2 + «3)+

+ тзЫз [cos «3 + cos 匂3 + 2q2)]+ тзЫз [cos «3 + cos 匂3 + 2q2)]+++ l+ l

+ тзЫз [cos «3 + cos 匂3 + 2q2)]

+ тзЫз [cos «3 + cos 匂3 + 2q2)]

+

+

+ l

+ l

°22 = J?N& + 厶 + /^ + 1^ +

+ 后(m# + 加3 + ；加2)+ 加3办 @2 COS «3 + ； /з)，

a23 = a32 =厶№ + 婷 + ；m3/3 02 COS g3 + ；办)

a33 =+ ^f + ^ 以

Здесь использованы обозначения для моментов инерции роторов j, J[ и передаточных чисел редукторов М, введенные ранее в § 1.13.

В качестве обобщенных сил Q分 в (1.1.1) будем рассматривать только моменты, создаваемые в шарнирах силой тяжести (силы вязкого и сухого трения не учитываем)

Qi =0,

Q2 = —9.81 %2(。・5m2 + ^f + m3) cos «2 — 9.81 • ； m3Z3 cos (q2 + «з),

Q3 = -9.81 • I 63/3 cos («2 + «3)•

Будем рассматривать случай, когда ограничения накладываются на величины управляющих напряжений (см. § 1.13, случай 2°).

Ниже представлены четыре варианта расчетов (1,2, 3,4) управления в форме (1.9.1) для рассматриваемой системы. Для каждого случая в таблицах 1-7 приведены исходные данные: параметры звеньев и электроприводов, начальные и конечные условия, область возможных движений. Представлены результаты расчетов: значения параметров управления, оценки времени движения для каждой из трех подсистем, реальные значения времени движения, графики зависимости обобщенных скоростей 仇，&, Оз от времени, фазовые траектории подсистем. Для первого набора параметров робота-манипулятора дополнительно проведены три расчета (1а,16,1в) с использованием способа управления, описанного в конце § 1.10. При выполнении расчетов 1а,16, 1в состояния подсистем определялись в дискретные моменты времени (с конечным шагом). В результате движение вдоль кривой переключений происходило с конечной частотой смены знака управления.

2°. Численное моделирование движений двузвенного манипулятора с безредукторными приводами. Расчеты проводились при следующих размерных характеристиках системы (1.14.1):

/1 = 1 м, %2 = 0.5 м, 厶=А = 3.33 кг-м2,

(1.15.1) ш2 = 10 кг, Mf = 2.9 Н-м, 鸣=1 Н-м.

В этом примере полагаем Qi = Q2 = 0 (см. § 1.14). Начальные и конечные условия, а также величины q^, задающие допустимую область движения, были выбраны следующим образом:

q「= q? = -0.1 рад, q^ = q§ = -0.05 рад,

Qi = 02 = Qi = Q2 = Qt = ^2 =。・

В этом случае а = 2.66, /3 = 0.66 < 1, и неравенства (1.14.7), (1.14.9) принимают вид

-2.3 < q~, q+ < 2.3, 2.5 <U^ < 3.2.

Очевидно, параметры системы удовлетворяют этим ограничениям. Выберем безразмерные значения величин Х〃，удовлетворяющие неравенствам (1.14.13). При Xi = 1.82 • 10-2, Х2 = 9.13 • 10-3 получилась размерная оценка времени управления г* = 4.68 с, а реальное время процесса равно 丁 = 3.64 с. На рис. 22 показана зависимость скоростей @1, @2 от времени. На заключительном этапе скорости 负，^2 меняются линейно, что соответствует движениям фазовых точек подсистем (1.8.9) вдоль параболических участков кривых переключений. На рис. 23, 24 показаны фазовые траектории подсистем. Прекращение движения по двум степеням свободы происходит в разное время.

Таблица 1. Параметры звеньев (варианты 1-4)

i

Шг, КГ

Z* м

lgi> М

if, кг-м2

/『，кг-м2

кг-м2

1

-

-

-

-

-

0.2

2

5

0.8

0.4

0.25

0.01

-

3

5

0.8

0.4

0.25

0.01

—

1

-

-

-

-

-

0.2

2

5

0.8

0.4

0.25

0.01

-

3

4

0.64

0.32

0.20

0.01

—

1

-

-

-

-

-

0.2

2

5

0.8

0.4

0.25

0.01

-

3

4

0.64

0.32

0.17

0.086

—

1

-

-

-

-

-

0.2

2

5

0.8

0.4

0.25

0.01

-

3

4

0.74

0.37

0.18

0.009

—

Таблица 2. Параметры электроприводов (варианты 1-4)

i

Н-м/А

Н-м/А

Ri, Ом

Ui, В

6手，

кг

Л, кг-м2

кг-м2

м

1

0.04

0.04

1

27

0.5

0.00079

0.00041

160

2

0.04

0.04

1

27

0.5

0.00079

0.00041

250

3

0.04

0.04

1

27

0.5

0.00079

0.00041

150

1

0.04

0.04

0.7

27

0.4

0.00069

0.00036

120

2

0.04

0.04

0.6

27

0.25

0.00039

0.00022

180

3

0.04

0.04

0.6

27

0.25

0.00039

0.00022

150

1

0.113

0.109

0.7

42

0.4

0.00069

0.00036

150

2

0.1

0.09

0.6

36

0.25

0.00039

0.00022

250

3

0.1

0.09

0.6

36

0.25

0.00039

0.00022

200

1

0.08

0.07

0.7

27

0.4

0.00039

0.00022

120

2

0.06

0.06

0.6

27

0.25

0.00039

0.00022

180

3

0.06

0.05

0.6

27

0.25

0.00039

0.00022

150

Рис. 17. Зависимость обобщенных скоростей от времени и фазовые траектории подсистем (вариант 1)Рис. 17. Зависимость обобщенных скоростей от времени и фазовые траектории подсистем (вариант 1)Таблица 3. Вариант 1: условия начальные (成 或)и конечные (或)，область возможных движений ([q】q”)，параметры управления (X/ оценки времен движения (г*) и реальные времена движения подсистем (т〃)

Рис. 17. Зависимость обобщенных скоростей от времени и фазовые траектории подсистем (вариант 1)

Рис. 17. Зависимость обобщенных скоростей от времени и фазовые траектории подсистем (вариант 1)

i

我С-1

碎

Xz, с-2

7九e

т* с

1

-1

1

0

-i

0

1.060

1.413

1.382

2

-0.3

0

0

-0.35

0.05

0.424

1.682

1.263

3

—1

0

0

—1

0

1.060

1.942

1.467

Таблица 4. Варианты 1а-1в: область возможных движений ([q『，q”)，условия начальные (或，國) и конечные (q*), времена движения подсистем (т/

Рис. 18. Зависимость обобщенных скоростей от времени (варианты 1а-1в)

Рис. 19. Зависимость обобщенных скоростей от времени и фазовые траектории подсистем (вариант 2)Рис. 19. Зависимость обобщенных скоростей от времени и фазовые траектории подсистем (вариант 2)Таблица 5. Вариант 2: условия начальные (成 國)и конечные (或)，область возможных движений ([q】q”)，параметры управления (X/ оценки времен движения (г*) и реальные времена движения подсистем (т〃)

Рис. 19. Зависимость обобщенных скоростей от времени и фазовые траектории подсистем (вариант 2)

Рис. 19. Зависимость обобщенных скоростей от времени и фазовые траектории подсистем (вариант 2)

i

次с-1

碎

X* с-2

7九e

т* с

1

-0.8

1

0

-0.85

0.05

1.392

1.145

1.109

2

-0.3

-0.2

0

-0.35

0.05

0.619

1.788

1.023

3

-1

0

0

-1

0

1.547

1.607

1.172

Рис. 20. Зависимость обобщенных скоростей от времени и фазовые траектории подсистем (вариант 3)Рис. 20. Зависимость обобщенных скоростей от времени и фазовые траектории подсистем (вариант 3)Таблица 6. Вариант 3: условия начальные (成 國)и конечные (或)，область возможных движений ([q】q”)，параметры управления (X/ оценки времен движения (г*) и реальные времена движения подсистем (т〃)

Рис. 20. Зависимость обобщенных скоростей от времени и фазовые траектории подсистем (вариант 3)

Рис. 20. Зависимость обобщенных скоростей от времени и фазовые траектории подсистем (вариант 3)

i

次с-1

疗

X* с-2

7黑e

т* с

1

1

0

-0.2

-0.4

1.1

0.413

3.407

2.413

2

3

0

2

2

3

0.275

3.809

2.697

3

-0.25

0

0.3

-0.5

0.5

0.413

2.825

1.994

Таблица 7. Вариант 4: условия начальные (成，0?) и конечные (q*), область возможных движений ([q】q”)，параметры управления (X/ оценки времен движения (г*) и реальные времена движения подсистем (т〃)

i

必с-1

或

X* с-2

тД с

т* с

1

-1.5

0.7

—1

-1.6

-0.7

0.317

4.052

1.766

2

-0.3

-0.2

-0.2

-0.5

0

0.176

3.332

1.071

3

-0.5

0

-1

-1.3

-0.3

0.352

2.380

1.683

Рис. 21. Зависимость обобщенных скоростей от времени и фазовые траектории подсистем (вариант 4)

Рис. 22. Зависимость обобщенных скоростей от времени

Рис. 23. Фазовая траектория подсистемы 1

Рис. 24. Фазовая траектория подсистемы 2

Глава 2

МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦИИ УПРАВЛЕНИЯ(ВТОРОЙ СПОСОБ)

. Управляемая механическая система

Снова обратимся к системе, рассмотренной в § 1.1, но сделаем несколько иную совокупность допущений. Рассматривается нелинейная динамическая система, описываемая уравнениями Лагранжа

= « + Qz, (2.1.1) dt dqi dqi

Здесь и далее точкой обозначены производные по времени 方，q = (%,... ...,Qn) — вектор обобщенных координат, Г — кинетическая энергия системы, Qi — неуправляемые обобщенные силы, “ — управляющие обобщенные силы. Будем предполагать, что все рассматриваемые движения системы (2.1.1) происходят в некоторой области D в п-мерном пространстве i?n, так что всегда q Е D. Область D, в частности, может совпадать с Rn.

Сформулируем исходные допущения относительно кинетической энергии системы

T(q，0) = 〈4(q)0，G = D £ ^jk{q)qjqk (2.1.2)

(2.1.3)(2.1.3)и обобщенных сил. Здесь 4(g) — симметрическая положительноопределенная (п х п)-матрица с элементами а^, являющимися непрерывно дифференцируемыми функциями q при q J D. Здесь и далее в этой главе скобками 卜，•) обозначено скалярное произведение векторов. Предполагаем, что при любом q G О все собственные числа матрицы 4(g) лежат на отрезке [m, М], где М > т > 0. Таким образом, для любого n-мерного вектора 2

(2.1.3)

(2.1.3)

m{z, z) < {A(q)z, z) < M{z, z), Vq 6 D. Кроме того, предполагаем, что

и что неуправляемые обобщенные силы Q分 в (2.1.1) состоят из трех слагаемых, на которые наложены различные ограничения:

Q” = 4 +凡+ @.(2.1.5)

Здесь Pi(q, q, t) — силы, заданные в виде известных функций обобщенных координат и времени.

Через R〃(q，0,方)в (2.1.5) обозначены диссипативные силы. Точный вид функций Ri(q, q, t) может быть неизвестен. Требуется лишь, чтобы эти силы обладали свойством диссипативности и чтобы они были достаточно малы при малых скоростях. Первое свойство означает, что мощность диссипативных сил неположительна, т. е.

£初(2.1.6)

г=1

для всех q Е D, всех q и всех t 》方о, где 方о ——начальный момент времени. Второе свойство сформулируем следующим образом: существует такое достаточно малое число 内 > 0, что если |^| < z/ < z/o для всех i, то

兄О).(2.1.7)

Здесь 用⑵—некоторые монотонно возрастающие непрерывные функции, определенные на отрезке ^ е [。, ％] и такие, что 用⑼=0.

Через Gi(q, q, t) в (2.1.5) обозначены неопределенные внешние возмущения, вид которых неизвестен, предполагается лишь их ограниченность:

G| WG?(2.1.8)

при всех q G D, всех q и to. Здесь G? 〉0 — заданные постоянные.

Относительно управляющих U〃 в (2.1.1) предположим, что они могут полностью компенсировать заданные внешние силы Q, и, кроме того, остаются еще возможности выбирать управление в некоторой области. Таким образом, силы U〃 представляются и виде

" =一兄g，0，方)+吟(2.1.9)

Вектор w = (wi,..., wn) может выбираться из некоторого множества W, зависящего, вообще говоря, от q, @,方，то есть,

w 6 W(q，0，" С Rn.(2.1.10)

Предполагаем, что множество W при всех q J D, всех q и всех 方》方о содержит некоторую окрестность Wq начала координат:

Множество Wo будем задавать в виде шара радиуса г > О:

卬o = {s |W|，『},(2.1.12)

или в виде прямоугольного параллелепипеда, отвечающего независимым ограничениям на силы w^

Wo = {w : \wi\ < 硝.(2.1.13)

В случае ограничений (2.1.13) полагаем

г = min w^.(2.1.14)

Постановка задачи

Подставляя равенства (2.1.5), (2.1.9) в систему (2.1.1), получим

=凡+ 金 +仍.(2.2.1)

dt dqi dqi

Пусть заданы начальные условия

呎 о) = 4°, /о) = Q°(2.2.2)

и терминальные условия, отвечающие состоянию покоя:

qg=q*, 〃*) =0,(2.2.3)

причем q° G О, q* G D,方* 〉方°・ Сформулируем задачу управления.

Задача 2.1. Найти управление w(q,小,формируемое по принципу обратной связи, удовлетворяющее ограничению

w 6 Wo(2.2.4)

и переводящее систему (2.2.1) из любого начального состояния (2.2.2) 6 заданное терминальное состояние (2.2.3) за конечное (нефиксированное) время. Здесь множество % задано в виде (2.1.12) или (2.1.13) и 6 обоих случаях, в силу (2.1.14), содержит шар ||w|| W г. Кинетическая энергия системы (2.2.1) определена соотношением (2.1.2) и удовлетворяет условиям (2.1.3) и (2.1.4), а силы Ri и Gi в (2.2.1) удовлетворяют ограничениям (2.1.6)-(2.1.8).

Отметим, что если построенное управление w удовлетворяет ограничению (2.2.4), то в силу включения (2.1.11) оно удовлетворяет также исходному ограничению (2.1.10).

Решение поставленной задачи 2.1 сначала построим в частном случае отсутствия диссипативных сил и возмущений в системе (2.2.1), т. е. при Ri = Gi = 0. Затем будет рассмотрен общий случай.

Управление при отсутствии внешних сил

Система (2.2.1) при R% = G% = 0 принимает вид

(2.3.1)(2.3.1)@ 红 _дТ = dt 9仇dqi

(2.3.1)

(2.3.1)

Зададимся некоторым положительным числом £〉0 п обозначим через Qi множество всех точек 2п-мерного фазового пространства (q,@), в которых q е D и |^| > £ хотя бы для одного г. Через Q2 обозначим множество таких точек (q, @), в которых q е О п |@/ < £ для всех г. Таким образом,

◎ 1 = {(q,@) ： q Е D; Зг,血| > е},

⑵3 2) ^2 = {(q,0): q ^ D； Vz,風I w e}.

Ниже построен синтез управления w(q, q) отдельно для областей Qi и С?, а также указано число £. Согласно теореме об изменении кинетической энергии для системы (2.3.1) имеем

dTdtdTdt£仍@ = {w,q). i=l£仍@ = {w,q). i=l(2.3.3)(2.3.3)

dTdt

dTdt

£仍@ = {w,q). i=l

£仍@ = {w,q). i=l

(2.3.3)

(2.3.3)

Выберем управление w в области Qi так, чтобы удовлетворить ограничениям (2.2.4) и обеспечить отрицательность производной (2.3.3). Для этого полагаем

(2.3.4)(2.3.4)w = -rq\\q\\~\ Wi = —iz^sign 血I， г = 1,...,八,

(2.3.4)

(2.3.4)

для случаев (2.1.12) и (2.1.13) соответственно. Подставляя формулы (2.3.4) в (2.3.3), получим соответственно

% = Т曾國.(235)

Учитывая обозначение (2.1.14), для обоих случаев (2.1.12) и (2.1.13) получим

(2.3.6)

Из верхней оценки (2.1.3) для кинетической энергии (2.1.2) имеем

\\q\\ > (5)1/2-(2-3.7)

Подставим (2.3.7) в правую часть неравенства (2.3.6) и учтем, что Г > 0 в области Qi, см. (2.3.2). Получим

W т(22И)т/2.(2.3.8)

Интегрируя неравенство (2.3.8), будем иметь

丁1/2 —球2 < -r(2M)-^\t - t0),(2.3.9)

где To ——значение кинетической энергии в начальный момент времени 方°. Из (2.3.9) следует, что за конечное время кинетическая энергия станет сколь угодно малой. Следовательно, в некоторый момент времени 方i система выйдет на границу областей Qi 14 a2•

Получим нужные для дальнейшего оценки для времени 方i и обобщенных координат q(方1). Согласно (2.1.3) и (2.3.2) имеем для кинетической энергии Т1 в момент 方i оценку снизу

71》；m©0)》；加产.(2.3.10)

Из неравенств (2.3.9) и (2.3.10) находим искомую оценку для 方i

方1 —方о W С,

I 1/2(2-3.11)

丁l=W)l%T[T；/2-(；加)в].

Для того чтобы оценить q(方1), запишем очевидные неравенства

也佑)一砌《J 風依 wJllOlia(2.3.12)

Воспользуемся неравенствами, вытекающими из (2.1.3) и (2.3.9):

11^11 < (Ц) 1/2 < (^) 1/2 [То1/2 - r^M^/\t - t0)] -(2.3.13)

Подставляя (2.3.13) в (2.3.12), получим после интегрирования

(2.3.14)(2.3.14)|q"i) — Qi\ W。(力 1 —力о),

(2.3.14)

(2.3.14)

0(丁)=(卫^) 丁 一 ；r(Mm) - '/2丁2.

Функция。(丁)，как можно проверить непосредственно, строго возрастает на интервале [0, т/, где 丁1 определено в (2.3.11). Так как 方1 —方о W С согласно (2.3.11), то。(方i —方0) W。(丁1), поэтому из неравенства (2.3.14) при учете (2.3.11) получаем

(2.3.15)(2.3.15)叮"1)—出 < 0(c) =(70 - I 加产)•

(2.3.15)

(2.3.15)

§ 2.4. Декомпозиция

Итак, в момент 方i система окажется на границе областей Qi и Q2- Построим управление в С? так, чтобы система, попав в область С?, уже не выходила из нее и попадала за конечное время в терминальное состояние (2.2.3).

Запишем уравнения Лагранжа (2.3.1) в развернутом виде, подставляя в них Г из (2.1.2):

〉]а叮办 +〉: ГijkQjQk =•(2.4.1)

J=i九k=i

Выражение для Г叮卜 дано в (1.1.5), причем Г叮卜 можно рассматривать как компоненты n-мерных векторов

7汴=(口汴Р九汴)•(2.4.2)

Перепишем уравнение (2.4.1) в векторной форме и разрешим его относительно q. Получим

q = Uf + К(2.4.3)

Здесь

=厶—心，『=—£ A^V^qk.(2.4.4)

九k=l

Из условия (2.1.3) вытекает, что собственные числа обратной матрицы 厶一 1 лежат на отрезке [М~{ ,т~{]. Следовательно, для любого n-мерного вектора 2 имеем

\\Az\\ M\\z\\, 114T2|| WmT||2||.(2.4.5)

Наложим на компоненты U- вектора U' ограничения

\U[\ < Uo, Uo = ГМ-"?.(2.4.6)

Выполнение ограничений (2.4.6) влечет за собой выполнение неравенства \\Uf\\ W гМ~{, из которого в силу (2.4.4), (2.4.5) следует ||w|| = ||4U'|| W МЦ^Ц < г. Следовательно, вектор w удовлетворяет наложенному ограничению (2.2.4) в обоих случаях множества 叫， задаваемого в виде (2.1.12) или (2.1.13). Поэтому ограничение (2.4.6) обеспечивает выполнение условия (2.2.4).

Оценим вектор V из (2.4.4), пользуясь вторым неравенством (2.4.5)

Из неравенств (2.1.4) следуют оценки для величин Г打％, введенных в (1.1.5): |Г打•" < (3/2)d. Отсюда и из (2.4.2) имеем

ЦГ^Ц = (ЕГО^ w 齡》/2.

Полученные оценки для Г^, а также неравенства |@/ W £, имеющие место в области С? в силу (2.3.2), подставим в неравенство (2.4.7). В результате получим \\Vf\\ < (3/2)Cn5/2m-1s2. Следовательно, для компонент V- вектора V имеем оценки

Ml WH), % = |e疗/2m-1e2.(2.4.8)

Уравнения (2.4.3) и ограничения (2.4.6), (2.4.8) перепишем в виде

@ = и/ +吗，IblWUo, IKI < И),(2.4.9)

причем Uq, Vo определены в (2.4.6), (2.4.8).

Потребуем, чтобы имело место неравенство

(2.4.10)

и построим управление U- отдельно для каждой степени свободы системы (2.4.9).

При этом будем исходить из того, что 匕 могут быть произвольными функциями, удовлетворяющими наложенным в (2.4.9) ограничениям. Таким образом, используем минимаксный (гарантированный) подход, характерный для теории дифференциальных игр [43].

Рассматривая г-е уравнение (2.4.9), положим

Qi — Qi =力'Qi = ^i = У->

(2.4.11)

= и,吗=о

и перепишем соотношения (2.4.9), (2.4.10) в форме

х = у, у = u + v,

(2.4.12)

|〃| <。0, м < pUQ, 0 < р < 1.

В момент 方1, по предположению, система находится на границе областей Qi и Q2 из (2.3.2). С учетом (2.4.11) имеем следующие начальные условия для системы (2.4.12):

力(方 1)=储=q"i)-公，沙(方i) = J = 5(方 1), I J| < £•(2.4.13)

Терминальные условия (2.2.3) примут вид

力(方 *) =0, g(&) =0.(2.4.14)

Для того чтобы система, попав в момент 方i в область Г^, уже не выходила из этой области, потребуем

|у⑴方〉力.(2.4.15)

Система (2.4.12) подобна системе (1.3.3) при А = 0. Отличие состоит в дополнительном фазовом ограничении (2.4.15).

Таким образом, в области Q2 имеет место декомпозиция задачи 2.1: вместо этой задачи для исходной системы с 八 степенями свободы получаем 八 аналогичных задач для систем с одной степенью свободы каждая. Поэтому для решения задачи 2.1 в области Q2 достаточно решить следующую задачу.

Задача 2.2. Для системы (2.4.12) найти управление 〃(/,у), удовлетворяющее ограничениям (2.4.12) и (2.4.15) и переводящее эту систему из начального состояния (2.4.13) в терминальное состояние (2.4.14) за конечное время при любом, допустимом о, удовлетворяющем ограничению (2.4.12).

Для построения управления можно, как и в § 1.4, воспользоваться игровым подходом и найти решение соответствующей дифференциальной игры с фазовым ограничением. Вместо этого предлагается более простое, хотя и не оптимальное управление вида

M力,y) = Uo sign 砂(力)- у], у，以力)，

(2.4.16)

〃(z,y) = Uosignz = —Uosigny, у =仪力)，

где функция 2(力)определена соотношениями

仪力)=-[2U0(1 - 0)|6 signx, \x\ W /*,

(2.4.17)

2(/)= —bsignz, \x\ > /*.

Здесь 5 > 0 — любое число из интервала 0 < 8 < £, а параметр 力* определен из условия непрерывности функции ф{х). Согласно этому условию из (2.4.17) получим

/* =屏[2。0(1 — 0)]?(2.4.18)

Кривая переключений у = ф{х) для управления (2.4.16), (2.4.17) симметрична относительно начала координат и состоит из двух дуг парабол и двух лучей. Она изображена на рис. 25 жирной линией. Отметим, что параболические дуги кривой переключений те же, что и для кривой переключений, построенной в § 1.4, см. формулы (1.4.10) при А = 0. Так как 5 < е, то кривая переключений целиком лежит в полосе \у\ ^ £ и делит ее на две симметричные части: область Х+, где у < ^(ж) n 〃 = Uq, и область Х~, где у > ^(ж), и = -Uo, см. (2.4.16).

Докажем, что управление (2.4.16), (2.4.17) решает задачу 2.2. В момент 方 1 выполнены начальные условия (2.4.13).

Рис. 25. Кривая переключений и фазовые траекторииРис. 25. Кривая переключений и фазовые траекторииСогласно уравнениям (2.4.12) и закону управления (2.4.16), имеем

Рис. 25. Кривая переключений и фазовые траектории

Рис. 25. Кривая переключений и фазовые траектории

У》。0(1 - 0),(力,g)e х+；

У < 一00(1 - 0),(力,g) e X-.

(2.4.19)

方2 попала на прямолинейный方2 попала на прямолинейныйШирина каждой из областей Х+, Х~ вдоль оси у не превышает £ + 8 (рис. 25), а скорость движения вдоль этой оси согласно (2.4.19) конечна и направлена к линии переключений. Следовательно, фазовая точка никогда не выйдет из полосы |?/| < £ и в некоторый момент 方2 > 方 1 попадет на кривую переключений У = 2(/).

方2 попала на прямолинейный

方2 попала на прямолинейный

Пусть фазовая точка в момент

участок у = ±8 кривой переключений у = ^(х). После этого точка будет двигаться вдоль прямолинейного участка в скользящем режиме. Это вытекает из того, что по обе стороны данного участка фазовые скорости конечны и направлены к кривой переключений. Движение вдоль указанных участков будет происходить с соответствующей постоянной скоростью у =定=±8 в сторону уменьшения \х\. Следовательно, в некоторый момент 方з > 方2 фазовая точка попадет в одну из точек (士力*，干8) на границе прямолинейного и криволинейного участков кривой переключений. Криволинейные (параболические) участки являются фазовыми траекториями системы (2.4.12) при и, выбранном согласно (2.4.16), и при о = —ри. Если о ^ —ри, то движение при выбранном управлении (2.4.16) все равно будет происходить вдоль этих участков парабол, но в скользящем режиме. Поэтому в некоторый момент 方* фазовая точка попадет в начало

координат.

На рис. 25 тонкими линиями изображены некоторые возможные фазовые траектории. Стрелками указано направление роста времени t.

Всё движение от момента 方i до момента 方* распадается на три этапа: движение в области Х+ или Х~, движение по прямым у = ±8 и движение по параболам. Некоторые из этих этапов могут отсутствовать. Например, в начальный момент 方i фазовая точка может лежать на кривой переключений или она может попасть из области Х+ или Х~ сразу на параболический участок этой кривой. Но во всех случаях время движения 方* —方i конечно.

Для оценки этого суммарного времени будем предполагать наличие всех трех этапов, что приведет к искомой оценке сверху. Длительность 方2 —方 1 первого этапа (движение в области Х+ или Х~) оценим,

4 Ф. Л. Черноусько и др.

разделив максимальную ширину £ + 8 этих областей вдоль оси у на минимальную по модулю скорость у из (2.4.19). Получим

方2 — 3 W(£ + 8)[Uo(l —川尸.(2.4.20)

Оценим еще координату 力(方2), используя ограничение (2.4.15) и начальное условие (2.4.13)

力2

1力(方2)一储丨 W \y\dt < £(方2 -方 1).

Отсюда при учете (2.4.20) получим

I力⑸)| < 后|+£(£ + "[Uo(l — о)]-.(2.4.21)

Длительность 方з —方2 второго этапа (движение по прямым у = ± ±8) найдем, разделив расстояние вдоль оси х на скорость, равную по модулю 8:

方3 一方2 = [1力(方2)| 一力*]厂1.

Подставляя в данное неравенство соотношения (2.4.18), (2.4.21), получим

方з —力2 W |力118-1 + £(£ + 8)[Uo(l — 0州「1 — 8[2Uo(l — p)]~^

(2.4.22)

Длительность 方* —方з третьего, последнего, этапа (движение по параболе) можно найти, разделив максимальную по модулю скорость 8 в начале этого этапа на минимальное (по модулю) ускорение, определяемой согласно (2.4.19). Получим

t,-t3 = 6[UQ^-p)]-i.(2.4.23)

Суммируя соотношения (2.4.20), (2.4.22) и (2.4.23), получим оценку сверху полного времени движения в задаче 2.2

&一方1 W 1储1厂1 + (2£2+4£8 + 3屏州一1[2。0(1 一川l. (2.4.24)

Полученный результат подытожим в виде теоремы.

Теор ема 2.1. Управление 〃(/,у), определяемое равенствами (2.4.16), (2.4.17), 6 которых число 力* определено равенством (2.4.18), а 5 — любое число из интервала (0, £), доставляет решение задачи 2.2, т. е. удовлетворяет ограничениям (2.4.12), (2.4.15) и переводит систему (2.4.12) из начального состояния (2.4.13) 6 терминальное состояние (2.4.14) за конечное время 方* —方i, удовлетворяющее оценке (2.4.24).

Построение синтеза управления

Обратимся теперь к решению исходной задачи 2.1 в рассматриваемом случае R〃 = G〃 = 0. Искомое управление w(q,$ в области Qi определено соотношениями (2.3.4), а в области Q2 оно может быть получено из решения и(х, у) задачи 2.2. Для этого достаточно воспользоваться соотношениями w = AU' из (2.4.4), а также обозначениями (2.4.11). В результате получим

^(dO) = A(q)U<q@, U；(仇，5)= 〃(仇一疗，或)・(2.5.1)

Напомним, что решение и(х, у) задачи 2.1 получено при условии р < 1, см. (2.4.10), которое при учете обозначений (2.4.6) и (2.4.8) приводится к неравенству на £：

-(252)

Для оценки полного времени движения 方* —方° нужно сложить времена движения в областях Qi и ^2・ При вычислении 方* —方i учтем, что вместо l^11 в (2.4.24) нужно подставить максимальную по i из разностей |仇(方 1) — q*\, см. (2.4.13), так как система попадает в терминальное состояние тогда, когда все координаты примут терминальные значения. Используя оценку (2.3.15), получим

|М = max|q"i)—公| < max(|q"i)—或| + |或—公|) <

< max1Q- -Q*| + (^)(TQ - ^加产)•

Подставим это выражение в неравенство (2.4.24), которое затем сложим с неравенством (2.3.11):

方* —方о W 厂1 max|q"i)—明 + (2M)1/2r-1 T^ —(皆)£ +

+ (2产 + 4药 + 3/州T[2Uo(l -川尸・(2.5.3)

Параметры Uq и р определены соотношениями (2.4.6), (2.4.8), (2.4.10), причем р < 1 при условии (2.5.2).

Сформулируем полученный результат.

Теор ема 2.2. Задача 2.1 для системы (2.3.1), т. е. при

Ri = Gi = 0, всегда имеет решение.

При любом £ е (0, £о), еОе £о задано формулой (2.5.2), управление w(q，G，определяемое соотношениями (2.3.4) в области Qi {для случаев (2.1.12) и (2.1.13) соответственно) и соотношениями (2.5.1) 6 области Г^, доставляет решение этой задачи, т. е. переводит систему (2.3.1) из любого начального состояния (2.2.2) в заданное терминальное состояние (2.2.3) за конечное время 方* —方о, удовлетворяющее неравенству (2.5.3), при этом функция 〃(/,у) е (2.5.1) определена соотношениями (2.4.16), (2.4.17), в которых параметры Uo, 0,力* заданы формулами (2.4.6),(2.4.8), (2.4.10), (2.4.18), а 5 — любое число 6 интервале (0, £).

Отметим, что с точки зрения уменьшения времени движения целесообразно выбирать 8 как можно ближе к £. Однако при 8 = =£ уже нельзя гарантировать, что система, попав на границу областей Qi и С?, останется в области ^2・ Поэтому 8 выбирается из интервала (0, £). Построенные решения задач 2.1 и 2.2, конечно, не являются единственными. В частности, для построения синтеза в одномерной системе (2.4.12), полученной в результате декомпозиции, можно воспользоваться другими подходами.

Управление в общем случае

Перейдем к решению задачи 2.1 в общем случае системы (2.2.1). При этом ход решения в основном остается тем же, что и в § 2.3-2.5.

Зададимся некоторым £〉0 п снова введем в рассмотрение области Qi и ^2, определяемые соотношениями (2.3.2). Теорема об изменении кинетической энергии для системы (2.2.1) в силу условия диссипатив- ности (2.1.6) для сил Ri примет вид, аналогичный (2.3.3):

广必(2.6.1)

i=l

Управление w в области Qi выберем из условия минимума скалярного произведения (w, q) при ограничении (2.2.4). Для двух случаев множества %, заданного в виде (2.1.12) или (2.1.13), получим снова выражения (2.3.4) соответственно. Подставим эти выражения в неравенство (2.6.1) и воспользуемся ограничениями (2.1.8), а также неравенством Коши-Буняковского. Для случая множества Wq в виде шара (2.1.12) получим

^^-r\\q\\+^G^\^-rM(262)

分=1

где

Для множества 叫 в виде прямоугольного параллелепипеда (2.1.13) найдем

^t®? + G?)國 回. (2.6.4)

i=l

Здесь

广2 = I|w° - G°||, w° = ®У，(2.6.5)

причем предполагается выполненным условие

w?〉G?, 5=1,…，八.(2.6.6)

Таким образом, при выполнении неравенств (2.6.3) в случае шара (2.1.12) и (2.6.6) — в случае параллелепипеда (2.1.13), неравенства (2.6.2) и (2.6.4) переходят в неравенство (2.3.6) с заменой постоянной г > 0 на га > 0. Здесь и далее значения индекса а = 1,2 отвечают случаям (2.1.12) и (2.1.13) соответственно. Поэтому все соотношения § 2.3, относящиеся к области Qi, остаются в силе с точностью до указанной замены.

Обратимся к области ^2・ Наложим условие

в W %,(2.6.7)

при котором в этой области справедливы оценки (2.1.7). Уравнения Лагранжа (2.2.1) снова преобразуем к виду (2.4.3), разрешенному относительно производных

? =『 +『*,(2.6.8)

причем для U' имеет место прежнее соотношение (2.4.4). Вектор V* в (2.6.8) есть

卜* = Vf + A~\R + G).(2.6.9)

Величина V дается формулой (2.4.4), ^ R и G — векторы с компонентами Ri и Gi соответственно.

Используя неравенства (2.4.5) для А-1, (2.1.7) для Н〃， и (2.1.8) для G分，получим оценку

||4T(R + G)|1wm-11医。(e)+ 3。1|,

(2.6.10)

Н(£)= (阳•，感(£))•

В соответствии со сделанными в § 2.1 допущениями относительно функций R?, см. (2.1.7), Н?(£)— монотонно возрастающая непрерывная функция от £, причем Н?(0) = 0.

Из неравенств (2.4.8) и (2.6.10) вытекает оценка для вектора V* из (2.6.9):

\\V^\\^V^ = VQ + m-i\\RQ^ + GQ\\ =

=m-1 I。戸々 + 口砂⑵ + g。]] . (2.6.11)

Наложим на Vq условие, аналогичное (2.4.10)

炉=算 V 1.(2.6.12)

Процедура построения управления в области ^2, а также все проведенные оценки в этой области, остаются теми же, что и в § 2.4, 2.5. Единственные изменения состоят в замене р на р*, а также г на га в оценках (2.5.3) для времени. В формуле (2.4.6) для Uq параметр г нужно оставить без замены: он здесь определен соотношениями (2.1.12) и (2.1.14) для случаев (2.1.12) и (2.1.13) соответственно. Кроме того, изменяются ограничения на выбор £. Вместо неравенства (2.5.2) имеем теперь два условия: (2.6.7) и (2.6.12). В развернутом виде с учетом соотношений (2.4.6) и (2.6.11) получим

£ W %, I。疗/泾？ + ||#(£)+ G°|| V тМ~хгп~х^.(2.6.13)

Итак, предлагаемая процедура построения управления приводит к решению задачи 2.1, если выполнены следующие условия: неравенства (2.6.3) или (2.6.6) в случаях а = 1,2 соответственно, а также оба ограничения (2.6.13) на £. Число £, удовлетворяющее условию (2.6.13), заведомо существует, если возмущения отсутствуют (G° = 0) или достаточно малы:

||G°|| < тМ^гп-^2.(2.6.14)

Это вытекает из непрерывности функции ||Н°(е)||: ||Н°|| 一 0 при £ — 0. Заметим, что для диссипативных сил, пропорциональных скоростям, функции R? из (2.1.7) и Н° из (2.6.10) линейны по

Подытожим полученные результаты.

Т е о р е м а 2.3. Пусть число а равно 1 или 2 соответственно для случаев множества % е виде шара (2.1.12) или параллелепипеда (2.1.13). Предположим, что выполнены условия (2.6.3), (2.6.6) для а = 1,2 соответственно и существует £〉0, удовлетворяющее обоим условиям (2.6.13).

Тогда управление w(q,@), определяемое соотношениями (2.3.4) 6 области Qi {для а= 1,2, соответственно) и соотношениями (2.5.1) 6 области ^2, доставляет решение задачи 2.1 для системы (2.2.1), т. е. переводит эту систему из любого начального

состояния (2.2.2) в заданное терминальное состояние (2.2.3). При этом функция 〃(/,у) е (2.5.1) определена соотношениями (2.4.16), (2.4.17), 6 которых параметры U。，力* заданы формулами (2.4.6), (2.4.18). Параметр р в формуле (2.4.18) следует заменить на 0* согласно формулам (2.6.12), (2.6.11), причем при наложенных условиях имеем р" <\, а в качестве 5 можно взять любое число из интервала (0, £). Время движения 方* —方о конечно и удовлетворяет неравенству (2.5.3), в котором г следует заменить на га (с儿.(2.6.3), (2.6.5)), а р на р*.

Отметим, что полное время движения зависит от величины £. Во-первых, с увеличением числа £ уменьшается время достижения траекторией множества ^2・ Во-вторых, во множестве Q2 прямолинейные участки траектории вдоль лучей у = ±8 из (2.4.16), (2.4.17) система проходит со скоростью \q\ = 5 < £. Следовательно, чем больше £, тем большим может быть выбрано число 8 и тем выше будет скорость движения по этим участкам. Согласно (2.6.13) выбор числа £ определяется, в частности, постоянными Мит, ограничивающими в (2.1.3) максимальное и минимальное собственные числа матрицы 4(g), и константой С из неравенства (2.1.4). Поэтому в качестве области изменения вектора обобщенных координат q целесообразно брать не всю область D, а некоторую ее подобласть Df с D, в которой будет лежать траектория движения. Область Df зависит от начальных и терминальных условий задачи. С уменьшением области Df константы М и С, вообще говоря, убывают, а константа т растет, что и позволяет увеличивать параметр £.

В предложенном подходе величины т, М, С, £, 5, р и 力* выбраны заранее, общими для всего процесса движения. Ясно, однако, что в реальных механических системах собственные числа m(q), M(q) и производные элементов За打(夕)/9夕卜 матрицы A{q) далеко не всегда выходят на границы неравенств (2.1.3), (2.1.4). Поэтому представляет интерес модифицированный закон управления, по которому величины т, М, С выбираются в каждый момент времени в зависимости от текущего состояния матрицы 4(g). Таким образом, если в момент времени t вектор фазовых координат системы равен q, то управление формируется по закону (2.3.4) в области Qi и (2.4.16), (2.4.17) в области 出，где

т = m(q), М = M(q), С = max |

а числа £, 6, р и 力* выбраны в соответствии с (2.4.6), (2.4.18), (2.6.11)-(2.6.13). Моделирование, подробное описание которого приводится в § 2.10, показало, что управляемая по модифицированному закону система приходит в терминальное состояние быстрее, однако для определения области применимости такого подхода необходимы дополнительные исследования.

Обобщение на случай ненулевой конечнойскорости

Обобщим предложенный подход на случай ненулевых терминальных скоростей.

Задача 2.3. Требуется построить управление w(q,@), удовлетворяющее ограничению (2.2.4) и приводящее систему (2.2.1) из произвольного начального состояния (2.2.2) в заданное терминальное состояние

qg = q* G D, 〃*)=亡 方* > 力，(2.7.1)

за конечное нефиксированное время.

Не нарушая общности, мы можем считать, что в конечном состоянии (2.7.1) из всех фазовых координат q*, q* лишь одна @； — первая компонента вектора скорости — не равняется нулю. Действительно, существует такая ортогональная матрица В, ВТВ = Е (Е — единичная матрица), что линейное преобразование q i B(q — q*) приводит условия (2.7.1) к виду

q*=0,芥= ||/|,石=0, z = 2,...,n.(2.7.2)

При этом константы, которые ограничивают компоненты матриц dA/dqk и векторов G и w, а также функции 用，ограничивающие компоненты вектора R, изменятся не более, чем в п1/2 раз. Для простоты изложения будем полагать, что неравенства (2.1.4), (2.1.6)-(2.1.8), (2.1.12) имеют место в системе координат, полученной после указанного преобразования.

Допустим с самого начала, что параметры задачи удовлетворяют соотношениям (2.6.14), а модуль конечной скорости @* достаточно мал, так что число £ удается выбрать, исходя из условий (2.6.13) и дополнительного ограничения

|» <£.(2.7.3)

Следуя методике § 2.3-2.6, решение задачи 2.3 разобьем на два этапа.

Цель первого этапа — понизить фазовую скорость до значений, при которых возможна декомпозиция системы, а именно,國 < £. Для достижения цели первого этапа воспользуемся управлением, построенным в § 2.3, 2.6 в области Qi, определенной согласно (2.3.2).

В области малых скоростей Г^ в фазовом пространстве (q, @) исходная нелинейная система 2п-го порядка (2.2.1) сводится к совокупности 八 управляемых подсистем второго порядка (2.6.8), в которых нелинейные члены трактуются как возмущения. Цель второго этапа — построить для каждой подсистемы (2.6.8) во множестве

|@I < в фазового пространства 仇，@ управление по обратной связи U/, удовлетворяющее ограничению \U-\ < Uq и приводящее соответствующую подсистему из некоторого начального состояния

或) в момент t = ti в заданное терминальное состояние (q*, Q*) за конечное время. При этом начальное состояние и вся траектория должны принадлежать множеству \qi\ ^ s. В § 2.4-2.6 данная задача решена для случая нулевых терминальных условий подсистем. Это же управление можно использовать для приведения каждой подсистемы (2.6.8) с индексами г = 2,..., п в начало координат и удержания ее там.

Теперь построим управление для первого уравнения (2.6.8), отвечающего компоненте % вектора q. Терминальное значение скорости у этой компоненты не равняется нулю. Обозначим

力=%, у = х = qy, 〃 = U；, 。= %*

и приведем рассматриваемое уравнение к виду (2.4.12). Об определении констант Uq и р, фигурирующих в ограничениях на функции и и v в (2.4.12), см. § 2.3-2.6. Рассмотрим вспомогательную задачу.

Задача 2.4. Построить управление 〃(/,у), переводящее систему (2.4.12) из начального состояния

力(力)=%(3)，g(力)=负(力)，1g(h)1，e, (2.7.4)

6 терминальное состояние

x(t^ = 0, 川 *) = g* (2.7.5) за конечное время при любом, допустимом о {фазовые ограничения (2.4.15) пока опущены).

Будем решать задачу 2.4, рассматривая ее как дифференциальную игру, на основе минимаксного подхода. В данной игре сторона, выбирающая управление “，стремится уменьшить время 方* достижения терминального состояния, а вторая сторона — увеличить это время с помощью управления о. В [43] показано, что оптимальное управление и в этой игре совпадает с оптимальным по быстродействию управлением для системы

х = у, У = {^- р)и, \и\ < Uq. (2.7.6)

Система (2.7.6) получена подстановкой оптимального для второго игрока (и наихудшего для первого) управления о = —ри в систему (2.6.8). Построим синтез оптимального по быстродействию управления для системы (2.7.6) с терминальными условиями (2.7.5). Известно [50], что в фазовом пространстве х, у оптимальные по быстродействию траектории системы (2.7.6) состоят из участков двух семейств парабол:

=У2

2(1-о)。。

=У2

—2(1-川00

+ Ь,

+ Ь,

(2.7.7)

где b — произвольная постоянная. Движение по параболам первого семейства происходит в плоскости х, у вверх в сторону возрастания у,

а по параболам второго — вниз

Рис. 26. Кривая переключений фазовые траектории

в сторону убывания у (см. рис. 26). Нетрудно видеть, что лишь две параболы проходят через точку (0,у*) — конечное состояние системы. Следовательно, кривая переключений состоит из дуг этих парабол и описывается соотношениями

=У2 - ,2

—2(l—0)Uo‘

=У2 - ,2

2(1—

У》У*，

У < У*・

и

состоит в следующем: справа

от

(2.7.8)

Так как на каждой оптимальной траектории существует не более одного переключения управления, то синтез оптимального управления кривой переключений (2.7.8) и на ее

верхнем участке (там, где у》у*) имеем и(х, у) = —Uo, а во всех остальных точках фазового пространства и(х, у) = Uq. Каждое оптимальное движение системы (2.7.6) состоит из двух этапов: сначала изображающая точка движется по одной из парабол (2.7.7) до кривой переключений (2.7.8) (см. рис. 26), а затем по этой кривой до точки (0, у*). Если в начальном положении система находится на кривой (2.7.8), то первый этап отсутствует.

Напомним, что движение системы (2.4.12) подчиняется уравнениям (2.7.6) в том случае, если о = —ри, т. е. если второй игрок действует оптимальным для себя образом. Если же управление о выбирается как-то иначе, то и движение до кривой переключений (2.7.8) происходит по иным траекториям, а на участках этой кривой, где у > у* или у < 0, возникают скользящие режимы. Кроме того, на участке кривой переключений, где 0 ^ у < у^, траектория может покинуть эту кривую, вернувшись на нее вновь при у > у*. Затем система придет в терминальное состояние (2.7.5) по верхнему участку кривой (2.7.8). Отметим, что если второй игрок действует неоптимальным способом (о 市—ри), то время движения до терминального состояния может лишь уменьшиться.

— Uq,Uo,— Uq,Uo,Рис. 27. Модифицированная кривая переключенийРис. 27. Модифицированная кривая переключений

— Uq,

Uo,

— Uq,

Uo,

Рис. 27. Модифицированная кривая переключений

Рис. 27. Модифицированная кривая переключений

Используя решение задачи 2.4, построим синтез управления (уже неоптимального) для системы (2.4.12) с учетом фазовых ограничений (2.4.15). Пусть числа 8,力* таковы, что

= (279)

Зададим непрерывную кривую К, расположенную в полосе Q£ = ={(z,g) : \у\ W е} фазового пространства 力，g н проходящую через точку (0, у*). Кривая К состоит из двух лучей

厶={(力，g)：力 W —力*, У = 8}, Ь2 = {(力，у) :х^х*,у = —8},

а также участка кривой (2.7.8), заключенного между прямыми у = ±8 (рис. 27).

Разобьем полосу Q£ на два множества. Через Q- обозначим множество точек Q£, которые лежат выше и справа от кривой К или на том ее участке, где у > у*. Через Q+ обозначим дополнение множества Q- до Q£. Определим в полосе Q£ управление и(х, у) следующим образом:

(力,g) 6

(力,g) 6 Q+.

(2.7.10)

В силу (2.4.12), (2.7.10) производная у на множестве Q- удовлетворяет неравенству

少 (1—川。0 <0,(2.7.11)

а на множестве Q+ — неравенству

少》(1一川00>0. (2.7.12)

Неравенства (2.7.11), (2.7.12) аналогичны неравенствам (2.4.19).

Следовательно, величина у на прямой у = £ отрицательна, а на прямой у = —£ — положительна. Поэтому траектория, попав во множество Q£, уже не покинет его, и условие (2.4.15) будет выполнено.

Покажем, что предложенное в форме (2.7.10) управление приводит систему (2.4.12) в терминальное состояние за конечное время, и проведем оценку этого времени. Пусть в момент времени t = t\ траектория системы (2.4.12) находится во множестве Q- (или Q+), то есть (力i,gi) 6 Q- (или (х1, у1) 6 Q+). Принимая во внимание

(2.7.13)(2.7.13)неравенство (2.7.11) (для множества Q+ — (2.7.12)), можно заключить, что траектория достигнет кривой К за время с, не превосходящее отношения максимальной ширины множества Q- (или Q+) вдоль оси у к минимальной по модулю производной у:

(2.7.13)

(2.7.13)

” "(1-/W

За это время координата х изменится не более, чем на £丁1, так как |±| = \у\ W £. Поэтому

(2.7.14)

где (力(方2), У(方2)) — точка, в которой траектория впервые попадет на кривую переключений. Оценки (2.7.13), (2.7.14) аналогичны (2.4.20), (2.4.21).

Если |力(方2)| > 力*, т. е. точка (力(方2), У(方2)) лежит на одном из лучей L\ или Z/2, то далее движение будет происходить вдоль этого луча в сторону уменьшения \х\ с постоянной скоростью ± = ±8. Этот участок траектории система будет проходить в скользящем режиме, потому что по обе стороны от него фазовые скорости конечны и направлены к кривой переключений. Время движения т? по лучу от точки (力(力2), У(力2)) до точки Ei или 石2 с абсциссой 土力* (рис. 27) равно 丁2 = (I力(方2)| ―力*)/* С учетом (2.7.14) получаем оценку, аналогичную (2.4.21):

仙+『［?—(2.7.15)

Описанный этап движения вдоль лучей Li и 工2 отсутствует, если |у(方2)| W 8, т. е. если точка (力(方2), У(方2)) лежит на части кривой (2.7.8), заключенной между прямыми у = ±8.

Из точки 石1 система движется, возможно в скользящем режиме, вдоль участка у* < у < 6 кривой (2.7.8). Время тз прохождения этого участка определяется следующим образом:

(2716)

Из точки 石2 движение происходит в течение времени 74 вдоль кривой (2.7.8) до точки Ез, лежащей на оси х, и имеет место равенство

Наконец, из точки Е3 система может двигаться по кривой (2.7.8) до терминального состояния (если v = —р U。)，а может сойти с нее (если V ^ —р Uq\ Во втором случае траектория вновь попадет на кривую переключений в некоторой точке 石4 (которая лежит либо

на луче Zq, либо, как показано на рис. 27, на участке у > у кривой (2.7.8)), после чего вдоль кривой переключений придет в терминальное состояние. Время движения 丁5 на этом отрезке пути достигает максимума, если управление о является оптимальным с точки зрения второго игрока, т. е. о = —р Uq. Тогда в силу (2.7.12) получаем

75 <75 <У*У*(1 —。)Uo(1 —。)Uo(2.7.18)(2.7.18)

75 <

75 <

У*

У*

(1 —。)Uo

(1 —。)Uo

(2.7.18)

(2.7.18)

Из (2.7.16) и (2.7.17) вытекает, что тз < 74 и, следовательно, из точки 石1 траектория попадет в терминальное состояние заведомо быстрее, чем из точки 石2, поэтому для оценки т； полного времени движения системы (2.4.12) из начальной точки (х[,у{) в терминальное состояние (0, у*) достаточно просуммировать правые части соотношений (2.7.13), (2.7.15), (2.7.17), (2.7.18). После некоторых преобразований с учетом (2.7.9) получим

/1 = %(方1)./1 = %(方1).(2.7.19)(2.7.19)=匂*+"2+2(£ + “2 剪

/1 = %(方1).

/1 = %(方1).

(2.7.19)

(2.7.19)

1 —2(1 - р) Uo8 8

Отметим, что построенное выше управление может быть использовано также для приведения г-й подсистемы, 5》2, в нулевое терминальное положение и удержания ее там. Для этого нужно положить у* = 0 и п(0,0) = 0 (при этом получим управление, предложенное в § 2.4). Оценку г* времени прихода г-й подсистемы (2.6.8) или (2.4.12) в нуль можно получить, положив у* = 0, ж1 = 仇(方 1) в (2.7.19):

庐+ 2(ё +疗風编I庐+ 2(ё +疗風编I(2.7.20)(2.7.20)

庐+ 2(ё +疗風编I

庐+ 2(ё +疗風编I

(2.7.20)

(2.7.20)

Пусть г* = max分 г*, г = 2,, п. Тогда

max"q"i)|

5， % 2 乙

(2.7.21)

В оценки (2.7.19)-(2.7.21) входят значения координат 仇(方 1) в момент 方 1 выхода системы на границу между множествами Qi и Q2-

Эти координаты могут быть оценены аналогично тому, как это сделано

в (2.3.15). Получим

⑵"1)1 <*

г

(2.7.22)

Оценку (2.7.22) можно подставить в соотношения (2.7.19)-(2.7.21).

В отличие от других подсистем, подсистема, отвечающая первой компоненте вектора q, не может постоянно удерживаться в терминальном состоянии (0, у*). Поэтому при i = 1 система (2.4.3) не остановится, однако ее траектория будет возвращаться в точку (0, у*) через промежутки времени, не превышающие rf.

Вернемся к решению задачи 2.3. Из приведенных рассуждений вытекает, что управление, заданное в форме (2.3.4) во множестве Qi, приводит систему (2.2.1) из начального состояния (2.2.2) на границу, разделяющую множества Qi и Г^, в некоторый момент времени 方i, для которого имеет место оценка (2.3.11). Множества Qi и Q2 определены в (2.3.2), а число £ задается соотношениями (2.6.13).

Во множестве 出 система распадается на 八 независимых подсистем (2.6.8) или (2.4.12). С помощью управления вида (2.7.10) каждая из этих подсистем (2.4.12) с номером i, большим единицы, приводится в начало координат не позднее, чем в момент 方i +т*, и удерживается там. Отметим, что для i > 1 при построении множеств Q- и Q+ следует положить у* = 0.

Подсистема (2.6.8) с г = 1 будет впервые приведена в терминальное состояние (0, у*) не позже, чем в момент 方i +丁；・ Если г* < 丁；， то вся система в целом в этот момент окажется в заданном терминальном состоянии. Если же т*〉т；, то первая подсистема выйдет из терминального состояния и будет снова приведена в это состояние с помощью того же управления (2.7.10). Таким образом, для времени 方* приведения всей системы в заданное терминальное состояние имеем оценку

方*w力 + 7*+疗， (2.7.23)

где 丁； и г* определяются соотношениями (2.7.19), (2.7.21) соответственно.

Итак, если параметры исходной системы (2.2.1) удовлетворяют ограничениям (2.1.3), (2.1.4), (2.1.6)—(2.1.8), (2.1.12), (2.6.14), то система может быть за конечное время переведена из произвольного начального состояния (2.2.2) в ненулевое терминальное состояние (q*,@*), если выполнены условия (2.6.13) и (2.7.3). Эти условия ограничивают выбор параметра £： с одной стороны, он должен быть достаточно мал, чтобы выполнялись неравенства (2.6.13), с другой стороны, требуется выполнение неравенства (2.7.3). Таким образом, реализация предложенного способа управления возможна лишь в случае достаточно малой терминальной скорости 研.Закон управления по обратной связи, решающий поставленную задачу, задается соотношениями (2.3.4) во множестве Qi и соотношениями (2.5.1), (2.7.10) во множестве ^2・ Этот закон управления обеспечивает, при оговоренных выше условиях, приведение системы системы (2.2.1) в терминальное состояние в момент времени 方*, для которого имеет место оценка (2.7.23). Замечания относительно выбора параметра £, приведенные в конце § 2.6, сохраняются справедливыми и для случая ненулевой терминальной скорости, при одном ограничении: здесь должно выполняться условие (2.7.3).

§ 2.8. Задача об отслеживании траекториймеханических систем

Постановка задачи. Следуя [17], применим метод декомпозиции к задаче отслеживания заданной траектории механической системы. Рассматривается система, динамика которой подчиняется уравнениям (2.1.1), (2.1.2), в которых силы Q分 состоят из заданных обобщенных сил 兄(方) и неизвестных обобщенных сил G〃(q,@,方)，называемых в дальнейшем возмущениями:

Qz = Pz + G2.(2.8.1)

Считается, что возмущения G分(方，q,@) удовлетворяют условиям

\G^q,q)\^Gl(2.8.2)

а на управляющие силы U分 накладываются ограничения

|«|WU?, i=l,…，п,(2.8.3)

где U?, G? — заданные постоянные, причем

> G? > 0.(2.8.4)

Предполагается,что собственные числаположительно

определенной симметрической матрицы 4(g) при любых q 6 i?n лежат на отрезке [m, М], где 0 < m < М, т. е. выполнено условие (2.1.3). Предполагается также, что матрица 4(g) дважды дифференцируема и ее частные производные первого и второго порядков равномерно ограничены по норме, т. е.

дА z х сдА z х сд2Ад2Аdqidqjdqidqj(q) WC2, 。1,e2>0, ^j= 1,, n.(2.8.5)(q) WC2, 。1,e2>0, ^j= 1,, n.(2.8.5)

дА z х с

дА z х с

д2А

д2А

dqidqj

dqidqj

(q) WC2, 。1,e2>0, ^j= 1,, n.

(2.8.5)

(q) WC2, 。1,e2>0, ^j= 1,, n.

(2.8.5)

Здесь через || • || обозначена евклидова норма матрицы, т. е. норма соответствующего линейного оператора в евклидовом пространстве.

Как и раньше, векторы обобщенных координат и скоростей q, q предполагаются доступными измерению в каждый момент времени.

Пусть вектор-функции 贸方)，彳(方)задают траекторию движения, которая начинается в момент времени 方=% в точке

訳=沁0),片=沦0)

и реализуется в результате действия на невозмущенную систему заданных обобщенных сил 兄(方)при

U") = °, G分⑴=0,方》方°.

Такую траекторию будем называть в дальнейшем номинальной.

Обозначим через х, ± отклонения фазовых координат и скоростей возмущенной траектории по отношению к номинальной, т. е.

/⑴=q⑴-0⑴，±(t) = 0⑴-0⑴，(2.8.6)

и пусть

力° =力(方о) = q° -訳，x° = ±(to) = 0° - ^(2.8.7)

—начальное отклонение траектории системы от номинальной, где

q° = Wo), q° = 0(方о).

Задача 2.5. Построить управление U = (Ui,…，％) как вектор- функцию фазовых переменных q, q, удовлетворяющую условию (2.8.3), и указать такую область С” С Д2п допустимых начальных отклонений 力°,近°, что любая траектория возмущенной управляемой системы (2.1.1), (2.1.2), (2.8.1), начинающаяся в этой области, через конечное время выйдет на номинальную траекторию и 6 дальнейшем система будет двигаться вдоль этой траектории, каковы бы ни были возмущения G = (Gi,..., G^), подчиняющиеся ограничениям (2.8.2).

Уравнения в отклонениях. Запишем уравнения движения вдоль номинальной траектории в виде

£ а叮匂冇=—£ п汴⑷必亢+ Р"),(2.8.8)

J=1九k=l

а уравнения движения вдоль возмущенной траектории — в виде

^aij^^x^^Xj) = 一 £ n汴伍4力)(心 +用)(运 +飲)+

J=1九k=l

+ 4(方)+ « + @, z =(2.8.9)

Здесь символы Г 打％ определены равенствами (1.1.5). Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

十- m=\

где 7 =彳+ 歹力，0 < ^ < 1, преобразуем левую часть (2.8.9) к виду

它a打伍+力)位• +用)=

Пn71K/—\

=^2+^j + 52a^^ + £ 霏《

Используя равенство

口汴（0+力）=口汴（啰+ £ 9：*何）f = q + ^x, 0 < ^ < 1, m=\

приведем выражение, стоящее в правой части （2.8.9）, к виду

£ ^ijk（g + 力）（办运 + 办泣 + qk^j + XjXj^

= е n汴（①获心+ 5Z n汴（g+力）（心泣+或右+右泣）+= е n汴（①获心+ 5Z n汴（g+力）（心泣+或右+右泣）+n九 kw=ln九 kw=lаn外（可аn外（可dqmdqm力加林.（2.8.11）力加林.（2.8.11）

= е n汴（①获心+ 5Z n汴（g+力）（心泣+或右+右泣）+

= е n汴（①获心+ 5Z n汴（g+力）（心泣+或右+右泣）+

n

九 kw=l

n

九 kw=l

аn外（可

аn外（可

dqm

dqm

力加林.（2.8.11）

力加林.（2.8.11）

Принимая во внимание соотношения （2.8.8）-（2.8.11）, запишем уравнения в отклонениях следующим образом:

53a叮（q + /）右=一5353a叮（q + /）右=一531厶友,7n=11厶友,7n=1

53a叮（q + /）右=一53

53a叮（q + /）右=一53

1厶友,7n=1

1厶友,7n=1

-£ 口汴（0+力）（%欽 + Qk^j +XjXk} + G分 + 3,

a затем в векторной форме:a затем в векторной форме:

a затем в векторной форме:

a затем в векторной форме:

+ К （（4°+ 力匠*）+ ；（*（°+ /）以片）+ G + U. （2.8.12）

Оценим отдельные слагаемые в правой части уравнения (2.8.12). Будем считать, что фазовые скорости и ускорения вдоль номинальной траектории подчиняются ограничениям

同YQ， II矶(2.8.13)

В силу (2.8.5), (2.8.13) и неравенства

£W^||2||, ZWR%(2.8.14)

m=l

справедливы оценки

》4(彳+力) dqk》4(彳+力) dqk<01£血|||训 < Vn C1Q1 II±II , k=l<01£血|||训 < Vn C1Q1 II±II , k=l

》4(彳+力) dqk

》4(彳+力) dqk

<01£血|||训 < Vn C1Q1 II±II , k=l

<01£血|||训 < Vn C1Q1 II±II , k=l

dqkdqkdA(q + 力)工. 〃 j xdA(q + 力)工. 〃 j x< a £成III训 wggqiI⑶I， k=l< a £成III训 wggqiI⑶I， k=l< Ci^2\xk\\\x\\k=l< Ci^2\xk\\\x\\k=l<介a脱仔•(2.8.15)<介a脱仔•(2.8.15)

dqk

dqk

dA(q + 力)工. 〃 j x

dA(q + 力)工. 〃 j x

< a £成III训 wggqiI⑶I， k=l

< a £成III训 wggqiI⑶I， k=l

< Ci^2\xk\\\x\\k=l

< Ci^2\xk\\\x\\k=l

<介a脱仔•

(2.8.15)

<介a脱仔•

(2.8.15)

Из условий (2.8.5), неравенства (2.8.14) и неравенства Коши вытекают соотношения

dqm mJdqm mJq，qq，q^(40+力而^(40+力而wall 汕阳 YGQ1I 阳 I，wall 汕阳 YGQ1I 阳 I，

dqm mJ

dqm mJ

q，q

q，q

^(40+力而

^(40+力而

wall 汕阳 YGQ1I 阳 I，

wall 汕阳 YGQ1I 阳 I，

2 — 1,・・・，ZZ,2 — 1,・・・，ZZ,^(A(q + x)x,x) <Ci||±||2, 。仇

2 — 1,・・・，ZZ,

2 — 1,・・・，ZZ,

откуда получаем

dqm mJdqm mJW ^几e2Q割力II，W ^几e2Q割力II，

dqm mJ

dqm mJ

W ^几e2Q割力II，

W ^几e2Q割力II，

^ ((4(0 + /)0，定)+ ^(4(0 + 力)以定))Н <

(GQ1I倒l + ^GI闺『)• (2.8.16)

Здесь использовано утверждение, справедливое для произвольного вектора z G В71: если \zi\ < h, г = 1,, п, то р|| < ^/nh.

Вновь применяя соотношения (2.8.5), (2.8.14), оценим оставшееся слагаемое в (2.8.12) следующим образом:

Э2А(|) ^Qk^QmЭ2А(|) ^Qk^Qm。W \\q\\ £e2 卜/4 Wk,m=l。W \\q\\ £e2 卜/4 Wk,m=l

Э2А(|) ^Qk^Qm

Э2А(|) ^Qk^Qm

。W \\q\\ £e2 卜/4 Wk,m=l

。W \\q\\ £e2 卜/4 Wk,m=l

< c2\\q\\ £ knl £ 風I < пС2||х||||^||2< 忙2Q割力ll・(2.8•⑺ m=l k=l

Обозначим через 少 сумму всех слагаемых, стоящих в правой части (2.8.12), за исключением управляющих сил U и возмущений G, и запишем уравнения в отклонениях (2.8.12) в виде

A{q + x)x = v + G + U.(2.8.18)

Из соотношений (2.8.15)-(2.8.17) вытекает оценка

IMI < °° (力，近)=(л/^С@ + |nC2Q^ ||ж|| +

+ 3^CiQi||±|| + |^Ci||±||2. (2.8.19)

Декомпозиция системы. Разрешим уравнение (2.8.18) относительно х. Получим

x = Uf + Vf.(2.8.20)

Здесь

[Г = A~^U, Vf =厶-1® + G).(2.8.21)

Будем рассматривать Ur как новый управляющий вектор и наложим на его компоненты ограничения

UI «и。， Uu《rM-'"2,

г = min U?,1 < г < п.

Выполнение ограничений (2.8.22) обеспечивает выполнение исходных ограничений (2.8.3).

Управление U', удовлетворяющее (2.8.22), зададим подобно тому, как это было сделано ранее в § 1.9, в форме синтеза (1.9.1):

U； = -UQ sign(±i -次)，Xi 市 次；

U- = -UQ sign 必，Xi =次；(2.8.23)

次(д,Х/ = -(2Xi\xi\)^2 sign Xi, z = 1,…，八.

Здесь Xi — некоторые положительные параметры управления, подлежащие определению.

Область С力 будем задавать в виде, аналогичном (1.9.4):

с” = Cf X ... х Q^, Q^ = {(Xi,為):x~ Xi 力:

(2.8.24)

也包一力］x/ < ±^ <次包一力:X，}.

Здесь величины х~ < 0, ж^ > 0 неизвестны и тоже подлежат определению.

Если в процессе управления выполнены условия (д,尤)G Q^ для всех г, то имеют место соотношения

ZIW 必，\xi\ < ^, di=x^ - x~, V^ = W(—d〃,X/・(2.8.25)

Используя методику § 1.10, получим систему неравенств (аналогичную (1.10.6)) для определения допустимых параметров X分 и d^, г = =1,..., п, в виде:

Xi + m~rvQ (d, 2dl W。0 -加一 1 ||G°||, г = 1,n,

d=(di,…,%)，沙=Wf，…,四)，(2.8.26)

x =(xi,...,xj g° =(g?,...,gG・

Отметим, что при одном и том же 必 значения х~,力小 могут быть выбраны неоднозначно; нужно лишь, чтобы выполнялись условия х~ < 0,力j〉0,力j —力丁 =必，г = 1,, n.

Выражения, стоящие в левой части системы неравенств (2.8.26), монотонно возрастают по d〃， X分 и при d分=Х〃 = 0 обращаются в нуль. Поэтому решение d分〉0, X分〉0 существует, если возможности корректирующего управления достаточно велики и выполнено условие

Подытожим полученные результаты. Пусть выполнено условие (2.8.27) и найдены положительные параметры d分，Х〃， i = 1,…，八， удовлетворяющие неравенству (2.8.26). Тогда синтез управления U(q，0)， решающий поставленную задачу, задается соотношениями U(q, 0) = 4(彳 + 力)U‘(力，±), (2.8.6) и (2.8.23). Это управление переводит систему (2.1.1), (2.1.2), (2.8.1) за конечное время на номинальную траекторию, если начальное отклонение (力°,近°) лежит в области Q^, задаваемом ограничениями (2.8.24).

Отметим, что если нижняя граница т для собственных чисел матрицы 4(g) мала, то ограничение (2.8.27) может оказаться слишком жестким по сравнению с (2.8.4). В этом случае целесообразно использовать другую модификацию предложенного способа управления. Введем обозначение

(2.8.28)(2.8.28)У = 4G 力 и представим систему (2.8.18) в виде

(2.8.28)

(2.8.28)

У = U + V,

V = G + v-[A{q + 力)-4(引厶一1(彳+ 力)(U + G + о) +

++

+

+

(2.8.29)(2.8.29)

(2.8.29)

(2.8.29)

Учитывая, что

1|4(彳+力)一4GIYG^1| 力 II，

получим, аналогично (2.8.19),

Ml WG? +。。(/，定)+1 同 卜。(/，这)+ |1U。|| + |炉||) +

+ (八。2Q? + ^С心2)11/1| +2GQ1^1闺1. (2.8.30)

Здесь U。= (U，,...，U^) и G° = (G，,…，Gg) — векторы с компонентами, введенными в (2.8.2), (2.8.3). В силу введенного обозначения (2.8.28) и ограничения (2.1.3) верны следующие соотношения:

PII = А-^уPII = А-^у\\x\\ = \\A-\q)y\\^m^\\y\\,

PII = А-^у

PII = А-^у

Заменим величины ||х||, ||±|| в неравенствах (2.8.30) их верхними оценками (2.8.31). Получим

Ml WG?+足匂，办

Конкретный вид функции 沖(у,汾 определяется из (2.8.30), (2.8.31).

Применим закон управления (2.8.23) к системе (2.8.29), заменяя в нем 力分，U- на g〃，Ui соответственно. Для нахождения допустимых параметров Х^ и di = у^ — у~, г = 1,…，八，получим аналогичную (2.8.26) систему неравенств

% + ”(4小)—G?, z = 1,…，八.(2.8.32)

В неравенствах (2.8.32) выражения, стоящие в правых частях, положительны, а функция 沖(d,⑦“)монотонно возрастает по переменным d分，X分 и при di = 0, Xi = 0 обращается в нуль. Поэтому решение d分 > 0, X分〉0 системы неравенств (2.8.32) существует всегда.

Выбрав параметры Х^ > 0, d分〉0, которые удовлетворяют (2.8.32), определяем соответствующие значения у^ < 0, у~ > 0 и допустимое множество С" начальных значений 匂?，務).Отметим, что при одном и том же 必 значения у~, д^ могут быть выбраны неоднозначно; нужно лишь, чтобы выполнялись условия у~ < 0, у^ > 0, у^ — у~ =或，г = 1,, п. Множество Q" определяется теперь соотношениями (2.8.24), в которых х нужно заменить на у. Далее, используя замену (2.8.28) и переходя к исходным переменным х, получаем множество С力 допустимых начальных отклонений (х^, ±^) от номинальной траектории.

§ 2.9. Приложения к робототехническим системам

Построенные выше методы управления могут быть применены к различным управляемым механическим системам. Наиболее интересным представляется приложение этих методов к робототехническим системам и, в первую очередь, к манипуляцонным роботам. Робот-манипулятор имеет несколько степеней свободы, каждая из которых, как правило, управляется своим двигателем. Поэтому число управляющих функций здесь равно числу степеней свободы, как и предполагается в системе (2.1.1). Уравнения движения манипуляционного робота можно сформировать разными способами, в частности, воспользовавшись уравнениями Лагранжа или Гамильтона. Составление системы уравнений вручную сопряжено с громоздкими вычислениями, требующими больших затрат времени и усилий, и не гарантировано от ошибок. Поэтому в настоящее время широко распространено применение методов компьютерной алгебры для составления уравнений движения систем связных тел [40]. Разработан целый ряд программных комплексов, позволяющих

автоматически формировать уравнения движения систем многих тел [32,33,95,96].

Ниже приводится описание схемы формирования уравнений движения голономных систем [28]. Отметим, что для ее реализации не требуется составлять программы на специализированном языке символьных вычислений. Достаточно воспользоваться каким-либо универсальным программным средством, которое позволяет создавать значительно упрощенный пользовательский интерфейс, зачастую не предполагающий специальных знаний по программированию.

Формирование уравнений движения систем связанных твердыхтел методами компьютерной алгебры

Вычисление кинетической энергии. Пусть состояние механической системы с 八 степенями свободы описывается обобщенными координатами 仇，г = 1,, п.

Движение системы N твердых тел рассматривается в неподвижной системе координат OXYZ. Введем последовательно N локальных систем координат 0分力分切2〃， г-я из которых жестко связана с г-м телом так, что оси OiXi, 0彻 и 0分2分 являются главными осями инерции г-го тела, г = 1,...,N. Положение трехгранника 。分力分切2〃 в системе координат OXYZ определяется следующим образом.

Пара {гОгЛ - 1} задает координаты гОг = (хОг, уОг, ЗДг) точки Oi в системе 0{_\Х{_\у{_\%{_\, т. е. в предшествующей локальной системе. Случай г — 1 = 0 соответствует заданию координат точки Oi в неподвижной системе OXYZ.

Ориентация относительно 0一吃_1仇_1々_1 трехгранника О分力分у分2〃 задается последовательностью пар {)i,Ki}, {)2,&}, {)з,Кз}, которая определяет последовательность поворотов трехгранника Oi-iXi-iyi-iZi-i, переводящих его в положение, когда его оси становятся параллельны осям О分力分у分2九 Параметр Kj, j = 1, 2, 3, принимает значения 1, 2, 3, условно обозначающие ось, относительно которой осуществляется поворот. Значениям К\ = 1, & = 2, Кз = 3 отвечают оси 0分一1 力分_i, О一祖0一％_\ соответственно. Первый поворот выполняется относительно оси Ki на угол 71, второй поворот — относительно нового положения оси К? на угол 72, третий — относительно нового положения оси К3 на угол 73.

Для каждого г-го тела формируется матрица перехода из системы координат OiXiyiZi в систему координат OXYZ\

/ gzu g〃i2 ряз П = g〃2i g〃22 g〃23

\ g〃31 g〃32 ргЗЗ

Формирование матрицы Г〃，а также вычисление абсолютной угловой скорости трехгранника О分力分у分2〃 осуществляется последовательно для задаваемой тройки параметров вычисления {%, Kj, г — 1}, j = 1, 2, 3:

Шаг /• % = 1. Рабочей переменной △ присваивается значение

/1

0

0

Л= 1

р

cos 71

—sin 71

\ 0

sin 71

cos 71

Рабочей переменной шг присваивается значение Зг =(71,0,0),

где 71 означает производную по времени от 71. Переход к шагу 4. Шаг 2. К2 = 2. Рабочей переменной △ присваивается значение / cos 72 0 sin 72

Л = О 1 о

\ — sin 72 0 cos 72Рабочей переменной шг присваивается значение=(0,力2,0).

Переход к шагу 4.

Шаг 3. К3 = 3. Рабочей переменной △ присваивается значение/ cos 73 — sin 73 0 \△ = sin 73 cos 73 0.

0

Рабочей переменной шг присваивается значение

Зг = (0,0,7з).

Переход к шагу 4.

Шаг 4. Вычисляются новые значения Г分 и з「

Г i = 「〃△, g 分=s 分 + Г ^cjr.

При первом обращении к процедуре в качестве Г分 n s〃 выбираются Г分—1 и g〃_i, полученные для предыдущего тела, причем для первого тела (когда г = 1) формально полагаем Г° = diag(l, 1,1), а。= (0,0,0). Вычисление абсолютной скорости центра масс г-го тела проводится по формуле

y(291)

где вектор гсг задает координаты центра масс г-го тела в системе OiXiyiZi.

Предполагая моменты инерции г-го тела в системе координат OiX^zc

厶" （x^ + y^dmi叫 （2.9.2）厶" （x^ + y^dmi叫 （2.9.2）

厶" （x^ + y^dmi

叫 （2.9.2）

厶" （x^ + y^dmi

叫 （2.9.2）

известными, вычислим элементы матрицы тензора инерции в системе OXYZ. Из （2.9.2） следует, что

x^dmi = — （1Уг + IZl —厶） l/idmi = — （/& + IZl — /%）‘

тгтг

2汨加分=2（/g +厶一厶） тг

Вводя обозначения

X 分=дц 1 х^ + 仇 12 切 + 仇 1з2〃，

匕=仇21g +仇22%+仇232〃，

Z分=仇31/分+仇32%+仇332分，

где g叮卜，7，k = 1,2,3 — элементы матрицы перехода Г分 для г-го тела, получим искомые велпчпнн:

厶х = ； ［（Р21 + 届1）（4 + 厶—/д）2 + （脇 + 加2）（/g + 厶—4）2 +

+（P23 + 确）（/g +—厶 J［，

厶y = I ［（PH + Pз1）（^г + j-/g）2 + （血 + 窟2）（/g + 厶-/%）2 +

+ （庙3 + 礁）（/g +—厶 Ji，

厶Z = I ［（加 1 + *）（/% + 厶一/g）2 + （加2 + *）（/g + 厶-/%）2 +

+ （加3 +煬3）（几+厶-厶J［，

厶xy = I ［血脸（Ac +厶с - "产 +血脇（/④+厶с - ас у +

厶XZ =；[加2质1(/% + I人-/g)2 + 血窟2(/g + 厶-/% )2 +

+ 血加3(/g + /% —厶 Ji，

厶yz = I [Р22Р31(^г + 厶—/&)2 + 向加2(/g + 厶—/%)2 +

+ 脸脸(/& + 4 —厶 J] • (2.9.3)

Кинетическая энергия г-го тела вычисляется по формуле

= I гп^сг + I(3i」i3i),(2.9.4)

где mi — масса г-го тела; Усг ——абсолютная скорость центра масс г-го тела, вычисляемая по формуле (2.9.1); s〃 — абсолютная угловая скорость трехгранника 。分力分切2〃， 1% — матрица тензора инерции г-го тела в системе координат OXYZ

/ IiX liXY 厶XZ、

厶= liXY IiY liYZ ,

\ hxz Uyz hz /

элементы которой представлены в (2.9.3).

Кинетическая энергия системы N тел равна

(2.9.5)(2.9.5)N

(2.9.5)

(2.9.5)

г=1

Таким образом, процедура вычисления суммарной кинетической энергии подразделяется на несколько шагов.

На первом шаге для каждого тела определяются матрицы перехода из локальной системы координат О分力分у分2〃 в неподвижную OXYZ. Затем вычисляется кинетическая энергия г-го тела по формуле (2.9.4).

На последнем шаге в соответствии с (2.9.5) определяется выражение для кинетической энергии системы Т.

d дТ ВТ[必 dqi dqid дТ ВТ[必 dqi dqi(2.9.6)(2.9.6)Формирование уравнений Лагранжа второго рода. Движение системы связанных твердых тел может быть описано уравнениями Лагранжа:

d дТ ВТ[

必 dqi dqi

d дТ ВТ[

必 dqi dqi

(2.9.6)

(2.9.6)

где обобщенная сила Q分 определяется следующим выражением:

Здесь Fj, j = 1,...,к — действующие на систему силы, точки приложения которых определяются их радиусами-векторами г\,... ,г^.

Вычисляя производные

этэтd ат (а ат .а ат、

9qJа@ 'dt dqi. \dqj dqi ^9%・ 9@丿，

формируем уравнения Лагранжа. Алгоритм получения выражения кинетической энергии Т приведен выше.

Формирование уравнений Гамильтона. Если обобщенные силы выражаются через функцию потенциальной энергии П:

то уравнения (2.9.6) можно записать в виде

(2.9.7)(2.9.7)丄匹L _dL=Q

(2.9.7)

(2.9.7)

dt dqi9仇'

где L = Г — П — функция Лагранжа. Уравнения (2.9.7) преобразуются к уравнениям Гамильтона

厶=Pi =^ = 1,, п.(2.9.8)

В уравнениях (2.9.8) переменные 夕分，вычисляемые как

8L

Pi =

dqi

суть обобщенные импульсы,

fi =力(0,q,力)=5,функция Н есть функция Гамильтона, определяемая соотношениемн = ^Pifi -

г=1

Примеры

1°. Численное моделирование управлениядвузвенным механизмом (с тремя степенями свободы)

Описание динамической системы. Применим рассмотренный в § 2.7 закон управления к системе, описывающей динамику двузвенного механизма, моделирующего транспортные движения манипуляционного робота. Звенья двузвенника соединены между

Рис. 28. Двузвенный механизм с тремя степенями свободыРис. 28. Двузвенный механизм с тремя степенями свободысобой цилиндрическим шарниром, а сам двузвенник прикреплен к неподвижному основанию с помощью двухстепенного шарнира (рис. 28), подвижная ось которого параллельна оси шарнира, соединяющего звенья. Предполагается, что звенья представляют собой однородные тонкостенные прямолинейные стержни кольцевого поперечного сечения с массами g и 加2， длинами 厶 и %2， средними радиусами поперечных сечений Ri и 兄2・ Главные центральные моменты инерции звеньев относительно их продольных осей и относительно осей, им перпендикулярных, соответственно равны办1 и厶2,/1 以j2.

Рис. 28. Двузвенный механизм с тремя степенями свободы

Рис. 28. Двузвенный механизм с тремя степенями свободы

Составление кинетической энергии и уравнений движения. Система обладает тремя степенями свободы. В качестве первых двух обобщенных координат q\ =屮,«2 =夕 выбраны углы поворотов вокруг осей двухстепенного шарнира, третья координата «з = С ——угол между осями звеньев. Управление осуществляется независимо по каждой из степеней свободы, управляющие моменты приложены к осям соответствующих шарниров. Кроме того, на двузвенник действуют из

вестные моменты сил тяжести и неопределенные внешние возмущения G分，г = 1,2,3.

Для определения матрицы кинетической энергии А, собственных чисел А^ матрицы А и составления уравнений Лагранжа двузвенника использовалась система компьютерной алгебры Maple. Процедура получения этих уравнений приведена в § 2.9.

Матрица А имеет вид

гдегдеО О

где

где

°22 °23

a32 033

a11 = ； {(m2/? + J1 - 41) COS 20 + (/2 -办2) cos 2(0 + /3) +

+ 7722/1/2 [cos /3 + COS(2夕 + /3)] + 厶 + 丿2 + 41 + 厶2 + 加2百 г +

+ i {加山(1 + cos2J) + 加2后[cos 2(夕 + /3) + 1]}

a22 =/1 + /2 + 疗（m2 + I m1） + 加2/2 （厶 COS /3 + I 勿），

a23 =/2 + ；m2/2 （厶 COS/3 + : /2）,a32 = °23,a33 =/2 + ;m2以

Собственные числа матрицы А равны

入1 = ^ {（/1 - Jx\ + m2/? + ^ m1次）cos 20 +

+ （丿2 — Jx2 + 4 加2后）COS 2（夕 + /3） + ?722^1 %2〔COS /3 + COS（2夕 + /3）］ +

+厶+/2 + 41 +/2 +m2/?+ :（加1芹+m2%）}, 入2 =；p 1 + 2办 + m2厶（/1 + /2 COS /3） + ；m2后 + :次］+

+ I ［（Ji + rn2l{l2 COS/З）2 + （2丿2 + m2ZU2 cos/З）2 +

+ "I m1疗（/1 + m2次 + 加2%也 COS /3） + 2加2/2（/2/2 + m2笈 COS /3） +

11 1/2

+ 2加2芹厶 + 16mf/f + 加謳 + 加細（/； + Zf cos , а3 =；p 1 + 2办 + m2厶（/1 + /2 COS /3） + ； Ш2^2 + :m1 用一

-I ［（丿1 + m2ZU2 cos /З）2 + （2丿2 + m2ZU2 cos /З）2 +

+ "I m1疗（/1 + m2次 + 加2%也 COS /3） + 2加2/2（/2/2 + m2笈 COS /3） +

11 1/2

+ 2m2，；厶 + 16mf/f + - т^ + 加銘（笈 + 区 cos /3）］.

Уравнения Лагранжа для рассматриваемой системы имеют вид:

^ {/1 +/2 + Al + Jx2 +m2次+ :（加1百+m2后）+

+ （/2 -/2 + :m2后）COS 2（0 + /3） +

+ m2/也[cos /3 + COS(20 + /3)] + (/1 - Jx\ + m2次 + ^ m1百)cos2g}-

_ d j { 02 — Jx2 + ；加2后)sin 2(夕 + /3) +

+ m21Tl2 sin(2夕 + /3) + (厶一Ли + 加2芹 + ；加1疗)sin2e}-

_{(/2 _办2 + :m2后)sin 2(0 + /3) +

+ I 加2%也[sin/3 + sin(2夕 + /3)] } = M^ + Gi,

":（加山+m2层）":（加山+m2层）+ 7712 厶 01 + /2 COS 仍 + 厶 + /2+ 7712 厶 01 + /2 COS 仍 + 厶 + /2++

":（加山+m2层）

":（加山+m2层）

+ 7712 厶 01 + /2 COS 仍 + 厶 + /2

+ 7712 厶 01 + /2 COS 仍 + 厶 + /2

+

+

+ 6 [/2 + ；加2/2 (； /2 + 厶 COS /3)]-(占6加2/也 sin /3 +

+ 2 { 0? - ')2 + Z m2%) sin 2(e + /3) + 加2/1/2 sin(2e + /3) +

+ (厶一J力1 + m2次 + :m1品)sinZe] = Mё + G2,

6 ('2 + :加2考)+ "/2 + ；m2/2 (； /2 + /1 COS /3)] +

+ 占2 ；{(/2 -办2 + :m2%)sin 2(e + 炉)+

+ ；m2川2回11/3 + 点11(20 + /3)]} =M^G3. (2.10.1)

Приведение в ненулевое терминальное состояние. Моделирование проводилось для следующих параметров спстемь匚 массы стержней mi = 8 кг,加2 = 2 кг, длины стержней 厶=0.4 м, 〃 = 0.5 м, средние радиусы колец поперечных сечений R、= R? = 0.05 м.

Рассмотрим один из вариантов начального и конечного состояний:

q° = (0.78; -0.52; -1.74), 訳=(1с-1; -0.7с-1; 0.5с-1),

q* = (0; 0; -1.39), 0* = (0.1с-1; 0; 0).

Рис. 29. Проекции фазовой траектории системы на плоскости (我，或)，/ = 1,2,3Рис. 29. Проекции фазовой траектории системы на плоскости (我，或)，/ = 1,2,3Рис. 30. Поведение фазовойтраектории вблизи терминальногосостояния

Рис. 29. Проекции фазовой траектории системы на плоскости (我，或)，/ = 1,2,3

Рис. 29. Проекции фазовой траектории системы на плоскости (我，或)，/ = 1,2,3

Возмущения G% были заданы в виде

Gi ⑴=cos(10 欣)，G?⑴=2cos(8 朮)，G3⑴=3cos(6 欣)，

(размерность моментов G分(方) — Н-м).

Область D изменения обобщенных координат в рассматриваемом случае имеет вид:

0 < Q1 < 2тг, -7г/2 W «2 W Тг/2,-7Г < Q3 < 7Г.

Напомним, что

% = М «2 =仇 《3 = /3.

Собственные числа матрицы 4(g) при изменении q по всей области D лежат между

m = 2.5 • 10-2 кг-м2 и М = 1.4 кг-м2.

Производные daij (q)/dq^ элементов матрицы 4(g) в области D удовлетворяют неравенству (2.1.4) при С = 1.3 кг-м2. Число г в ограничениях (2.4.6) и параметры £, 8 выбраны с учетом (2.6.13), (2.7.3), (2.7.9) равными

г = 6.5 • 102 Н-м, £ = 0.19сТ, 5 = 0.17с-1.

Согласно (2.4.6), (2.6.11), (2.6.12), (2.7.9) при таких значениях величин т, М, С, г п г получаем р = 0.96, х* = 1.4 • 10-3 рад. Рисунки 29 и 30 иллюстрируют поведение фазовой траектории системы (2.10.1), управляемой во множестве Qi по закону (2.3.4), а во множестве Q2 —— по закону (2.7.10).

На рис. 29 показано поведение всех фазовых координат в целом (на всем интервале движения t е [0,方*]), а на рис. 30 в другом масштабе изображено их поведение вблизи терминального состояния. Каждой обобщенной координате соответствует кривая, помеченная номером координаты. Из рис. 29 видно, что во множестве Qi компоненты вектора обобщенной скорости q быстро убывают по абсолютной величине. Модуль |负| = |^| первой компоненты достигает величины £ последним, после чего траектория попадает во множество ^2, а закон управления (2.3.4) меняется на закон (2.7.10). Далее каждая из кривых представляет собой фазовую траекторию соответствующей подсистемы вида (2.4.12) и ведет себя так, как описано в п 2.7 (см. рис. 30). Время достижения первой координатой терминального состояния с момента начала движения равно 4.67 с, второй координатой — 3.12 с, третьей — 2.07 с. Таким образом, общая продолжительность процесса составляет 4.67 с.

Моделирование динамики двузвенника, управляемого по предложенному закону, было проведено также для случая, когда в качестве области D выбран параллелепипед

-0.61 W «2 W 0.09, -1.83 W 备 W -1.3, 0 < qi < 27г

(от переменной % =⑦ собственные числа матрицы 4(g) не зависят). В этом параллелепипеде неравенства (2.1.3), (2.1.4) выполнены при

т = 0.12 кг-м2, М = 1.08 кг-м2, С = 0.84 кг-м2.

Число £ было взято равным 0.34 с-1, а константу г оказалось возможным уменьшить до 1.3 • 102 Н-м. При таких значениях перечисленных

01,02, Оз01,02, Оз000.50.5g—1g—1Рис. 31. Проекции фазовой траек-тории системы при модифициро-ванном законе управленияРис. 31. Проекции фазовой траек-тории системы при модифициро-ванном законе управленияпараметров поведение траектории системы качественно не изменилось, однако время перехода из начального состояния в терминальное сократилось до 2.63 с.На рис. 31 представлены результаты моделирования движения системы (2.10.1), управляемой по модифицированному закону (см. замечание в § 2.7). В отличие от рисунков 29 и 30, здесь отсутствуют прямолинейные участки движения, что объясняется зависимостью величины 5 от времени. Как и следовало ожидать, данный способ управления привел к цели быстрее предыдущих: полное время перемещения двузвенника из начального положения в конечное составило 1.8 с.параметров поведение траектории системы качественно не изменилось, однако время перехода из начального состояния в терминальное сократилось до 2.63 с.На рис. 31 представлены результаты моделирования движения системы (2.10.1), управляемой по модифицированному закону (см. замечание в § 2.7). В отличие от рисунков 29 и 30, здесь отсутствуют прямолинейные участки движения, что объясняется зависимостью величины 5 от времени. Как и следовало ожидать, данный способ управления привел к цели быстрее предыдущих: полное время перемещения двузвенника из начального положения в конечное составило 1.8 с.

01,02, Оз

01,02, Оз

0

0

0.5

0.5

g—1

g—1

Рис. 31. Проекции фазовой траек-тории системы при модифициро-ванном законе управления

Рис. 31. Проекции фазовой траек-тории системы при модифициро-ванном законе управления

параметров поведение траектории системы качественно не изменилось, однако время перехода из начального состояния в терминальное сократилось до 2.63 с.

На рис. 31 представлены результаты моделирования движения системы (2.10.1), управляемой по модифицированному закону (см. замечание в § 2.7). В отличие от рисунков 29 и 30, здесь отсутствуют прямолинейные участки движения, что объясняется зависимостью величины 5 от времени. Как и следовало ожидать, данный способ управления привел к цели быстрее предыдущих: полное время перемещения двузвенника из начального положения в конечное составило 1.8 с.

параметров поведение траектории системы качественно не изменилось, однако время перехода из начального состояния в терминальное сократилось до 2.63 с.

На рис. 31 представлены результаты моделирования движения системы (2.10.1), управляемой по модифицированному закону (см. замечание в § 2.7). В отличие от рисунков 29 и 30, здесь отсутствуют прямолинейные участки движения, что объясняется зависимостью величины 5 от времени. Как и следовало ожидать, данный способ управления привел к цели быстрее предыдущих: полное время перемещения двузвенника из начального положения в конечное составило 1.8 с.

Приведение в нулевое терминальное состояние. В этом случае были выбраны следующие параметры системы:

厶=%2 = 1 м, mi =加2 = 20 кг, R\ =兄2 = 5 • 10-2 м,

М^ = М^ = M^ = r = 200 Н-м.

Моменты инерции и величины, входящие в выражение для управления, оказались равными:

丿1 =丿2 = 1.67 кг-м2, 办 1 =厶2 = 2.5 • 10-2 кг-м2,

m = 7.5 • 10-2 кг-м2, M = 58.67 кг-м2,

C = 53.26 кг-м2, £ = 9.8 • ICT3 广i,

8 = 8.82・ KT?「I,и。； 1.97 c-2,

0 = 0.81,力* = 1.04 • КГ’

По построению, для всех трех степеней свободы выбраны одинаковые значения параметров 8 п 力*. Поэтому кривые переключений для трех управляющих моментов в области Q? также одинаковы, и на этих кривых переключений лежат заключительные участки фазовых траекторий для всех трех степеней свободы.

Некоторые типичные фазовые траектории системы изображены на рисунках 32 и 33, где различным степеням свободы (углам 认 仇 /3) отвечают соответственно сплошные, штриховые и штрих-пунктирные линии. Здесь показаны заключительные участки траекторий — внутри области С? и вблизи нее.. ..

На рис. 34 представлены зависимости угловых скоростей ⑦，仇 /3 от времени для одного из вариантов расчета. На заключительном этапе движения угловые скорости меняются линейно, что соответствует движению по параболическим участкам кривых переключений в области ^2・ Приход в терминальное состояние для разных степеней свободы происходит в разное время.

2°. Численное моделирование управления двузвенныммеханизмом с двумя степенями свободы

Отслеживание заданной траектории. Моделировалась динамика системы (1.14.1) с параметрами, которые уже использовались ранее и приведены в (1.15.1). В этом примере полагаем Q = Р«) + + G, где P(t) — заданные силы, G — неизвестные силы и возмущения (см. § 2.8). После перехода к безразмерным переменным (1.14.3) исходная система (1.14.1) приняла вид (1.14.4). Номинальная

5 Ф. Л. Черноусько и др.

Рис. 32. Проекции фазовой траектории в случае нулевого терминального состояния

Рис. 33. Проекции фазовой траектории в случае нулевого терминального состояния

Рис. 34. Зависимость угловых скоростей от времени

траектория (或，或)была получена в результате численного интегрирования системы (1.14.4) при

Ui = “ = 0, Gi = G2 = 0,

Q⑴=1 一元⑴一^⑴，佗⑴=1-击⑴-^⑴，

元⑼=击⑼=0.8, ^⑼=0.45, ^2 ⑼=0.15.

Также были найдены конкретные значения констант, введенных в (2.1.3), (2.8.5), (2.8.13). Оказалось, что для такой траектории

加=0.13, М = 5.87, Ci = С2 = 2.41,

\q\^Qi= 0.47, \q\^Q2 = 0.28.

Затем были изменены начальные значения обобщенных координат и скоростей:

% ⑼=«2 ⑼=1.8,仇⑼=1.45, ?2(0) = 1.15.

Система (1.14.4) была проинтегрирована при управлении, построенном в соответствии с методикой, предложенной в конце § 2.8 при X» = U?. При таком упрощенном управлении полностью игнорируются нелинейности и возникающие в системе возмущения:

Gi = —(% - Qi)-(负-Qi),G2 = -(q2 一击)一(02 -备).

Рис. 35. Зависимость фазовых координат от времениРис. 35. Зависимость фазовых координат от времениРис. 36. Зависимость фазовых скоростей от времениРис. 36. Зависимость фазовых скоростей от времени

Рис. 35. Зависимость фазовых координат от времени

Рис. 35. Зависимость фазовых координат от времени

Рис. 36. Зависимость фазовых скоростей от времени

Рис. 36. Зависимость фазовых скоростей от времени

Тем не менее, применение такого упрощенного подхода оправдано, поскольку во многих случаях позволяет привести систему на номинальную траекторию.

На рис. 35 изображены графики зависимости от времени фазовых координат системы, а на рис. 36 — фазовых скоростей. Штриховые линии соответствуют движению вдоль номинальной траектории, а сплошные — движению возмущенной системы. Видно, что приблизительно через 7 с после начала процесса система вышла на номинальную траекторию и в дальнейшем двигалась вдоль нее в скользящем режиме. Таким образом, описанный алгоритм позволяет достигать цели управления и в случаях, когда достаточные условия (2.8.32) не выполнены.

Глава 3

КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

МЕХАНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ В УСЛОВИЯХНЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

. Постановка задачи для склерономной системы

В третьей главе рассматривается лагранжева механическая система (0.1) в предположении, что матрица кинетической энергии 4(g) неизвестна и на систему действуют неизвестные ограниченные силы. Предложен закон управления, переводящий систему из произвольного начального состояния в заданное терминальное состояние за конечное время с помощью ограниченной по модулю силы. В предлагаемом законе используется линейная обратная связь с кусочно-постоянными коэффициентами: коэффициенты увеличиваются и стремятся к бесконечности по мере приближения системы к терминальному состоянию, однако управляющие силы остаются ограниченными и удовлетворяют наложенным на них ограничениям. Алгоритм обосновывается с помощью второго метода Ляпунова.

На примере некоторых двухмассовых колебательных систем показано, что предложенный подход может быть использован для управления системами, у которых число степеней свободы больше размерности вектора управляющих сил. В заключительной части гл. 3 кусочнолинейное управление применено к реономным системам.

Результаты, изложенные в гл. 3, получены в работах [8-10, 13, 14].

В первом разделе данной главы рассматривается, как и ранее, склерономная управляемая механическая система, кинетическая энергия которой представляется в виде квадратичной формы по обобщенным скоростям q с коэффициентами, зависящими от обобщенных координат q:

=(3.1.1)

где 4(g) — положительно-определенная симметрическая матрица инерции системы.

Динамика системы описывается уравнениями Лагранжа второго рода

* = U + Q,(3.1.2)

at oq oq

где U — управляющие силы, Q — другие силы, действующие на систему. Предполагается, что на n-мерные векторы обобщенных сил U и Q наложены ограничения

||U|| WUo, Uo>O,(3.1.3)

IIQII <Qo, Qo>。，(3.1.4)

причем вектор-функции Q(t, q, q) и U也 q,@) таковы, что решения системы уравнений (3.1.2) существуют.

Силы Q будем считать неизвестными и трактовать как возмущения. Наряду с ними на систему могут действовать и другие силы, величины которых известны. Однако предполагается, что ресурсы управления достаточно велики, чтобы компенсировать эти известные силы, а величина Uq — это максимальная допустимая интенсивность управления, оставшегося после такой компенсации.

Будем считать, что непрерывно дифференцируемая матрица 4(g) неизвестна, ее собственные числа при любых q лежат на отрезке [m, М], 0 < m < М, а частные производные матрицы 4(g) равномерно ограничены по норме, т. е.

mz2 W {A{q)z, z) < Mz2, z 6 Rn,(3.1.5)

ll^^ll < D, D>0, i=(3.1.6)

Фазовые переменные q, q считаются доступными для измерений в каждый момент времени.

Задача 3.1. Пусть даны начальные условия q(0) = q*, q(0) = @* и константы т, М, D, Uq, Qo・ Построить управление, удовлетворяющее ограничениям (3.1.3) и приводящее систему (3.1.2) в заданное терминальное положение (д, 0) за конечное время.

Отметим, что терминальное состояние представляет собой состояние покоя невозмущенной системы (3.1.2). Не ограничивая общности, будем считать, что 7 = 0, т. е. терминальное состояние совпадает с началом координат фазового пространства (для этого достаточно взять в качестве вектора обобщенных координат вектор q — 7).

Наглядным примером задачи в данной постановке может служить задача об управлении системой связанных твердых тел, массоинерционные характеристики которых известны неточно. В этом случае неизвестна не только матрица инерции системы, но и действующие на тела силы тяжести. Кроме этих сил на систему могут действовать и другие возмущения.

Задача о перемещении манипулятором груза неизвестной массы представляет собой частный случай рассматриваемой задачи.

Вспомогательное рассуждение

Рассмотрим частный случай Q = 0 и предположим, что управление системой осуществляется на основе ПД-регулятора, т. е. управляющая функция имеет вид линейной обратной связи по фазовым переменным q, q:

U = -aq - й， а,/3〉0.(3.2.1)

Известно, что если а, /3 — произвольные положительные постоянные, то начало координат фазового пространства представляет собой глобально асимптотически устойчивое положение равновесия рассматриваемой системы. Действительно, уравнения движения в этом случае принимают форму

= -两(322)

Первое слагаемое в правой части (3.2.2) выступает в качестве диссипативной силы, а второе — потенциальной. Полная энергия системы 4q，0)=T(q，0) + ^q2

представляет собой положительно-определенную функцию Ляпунова, производная которой в силу системы (3.2.2) удовлетворяет неравенству

Е = -а@2 < о.

Множество {(q,@) 6 岳几：E(q, q) = 0}, очевидно, не содержит целых положительных полутраекторий, за исключением положения равновесия q = q = 0. Следовательно, по теореме Барбашина- Красовского [18,41] начало координат фазового пространства глобально асимптотически устойчиво, т. е. любая траектория приходит в терминальное состояние за бесконечное время.

Помимо простоты управление в виде ПД-регулятора (3.2.1) обладает рядом других важных достоинств. Оно имеет форму синтеза, для его реализации достаточно знать лишь текущее состояние фазового вектора. Это управление робастно, так как не зависит от параметров системы и может быть применено для стабилизации положения равновесия системы (3.2.2) с любой матрицей кинетической энергии 4(g).

В то же время закон управления по обратной связи с постоянными коэффициентами имеет существенный недостаток: вдали от терминального состояния управляющие силы велики и могут не удовлетворять ограничениям (3.1.3), а вблизи него они малы и стремятся к нулю по мере приближения траектории к терминальному состоянию. В малой окрестности терминального состояния ресурсы управления, определенные условиями (3.1.3), используются не в полной мере, что и приводит

к бесконечному времени движения. Кроме того, наличие возмущающих сил Q # 0, вообще говоря, нарушает устойчивость рассматриваемого состояния равновесия.

Для повышения эффективности управления и для ускорения движения системы будем увеличивать скачкообразно коэффициенты а, В по мере приближения траектории к терминальному состоянию. Таким образом, в предлагаемом ниже законе управления используются линейные обратные связи вида (3.2.1), коэффициенты усиления которых представляют собой кусочно-постоянные функции времени. Коэффициенты увеличиваются и стремятся к бесконечности, однако управляющие силы остаются ограниченными и удовлетворяют наложенным на них ограничениям. Траектория системы при этом приходит в терминальное состояние за конечное время даже при наличии некоторых ограниченных силовых возмущений.

Описание алгоритма управления

Переформулируем исходную задачу следующим образом.

Задача 3.2. Пусть даны начальные условия q(0) = q*, 0(0) = О* и константы т, М, D, Uq, Qo- Требуется указать такой закон изменения коэффициентов обратной связи а, р в управлении (3.2.1), чтобы при любых внешних возмущениях Q, удовлетворяющих условиям (3.1.4), траектория системы (3.1.2), (3.2.1) приходила 6 состояние (0,0) за конечное время и вдоль траектории выполнялись ограничения (3.1.3) на управление U.

Введем в рассмотрение функцию

W{q,q)=M^^ Qv + §q2)/(3.3.1)

Величина W(q, q) имеет размерность энергии и характеризует удаленность точки (q, @) от терминального состояния (0,0): множество уровня W(q, q) = С функции W в фазовом пространстве Д2п представляет собой эллипсоид 4cM f + 隔q? = 2C2, который стягивается к началу координат (0,0) при С — 0. Положим

VnDMUQ%

А =% =(332)

и зададим совокупность эллипсоидов

{(q，0)e 心：W(q,q) = Wk},

где индекс к пробегает множество целых чисел (см. рис. 37). Пусть точка (q^,q^), отвечающая фазовому состоянию исходной системы в начальный момент времени t = 0, лежит на эллипсоиде

Рис. 37. Семейство эллипсоидов и фазовая траекторияРис. 37. Семейство эллипсоидов и фазовая траектория{(q,@) 6 兄2冷：W(q,q) = Wk^} или внутри него, но вне эллипсоида {(q，0)eR2九：W(q，0)=曲* + 1}, т. е.

Рис. 37. Семейство эллипсоидов и фазовая траектория

Рис. 37. Семейство эллипсоидов и фазовая траектория

唯*+1 vw(分,旗)WhV

Обозначим через 方統 + i момент времени, когда траектория системы впервые попадет на эллипсоид с индексом к* + 1: {(q,@) 6 G 心：W^q) = Wk* + i}・ Ниже будет показано, что при выбранном алгоритме управления траектория системы стремится к началу координат, поэтому такой момент существует.

Положим q(〃* + i) = %* + i,必九* + 1)=次* + 1・ Обозначим через 九*+2 момент времени, когда траектория системы впервые попадет на эллипсоид с индексом к* + 2: {(q,@) е В^п : W{q, q) = И4*+2}. Положим q(九*+2)=%*+2,0(九*+2)=旗*+2 И ?. Д.

Последовательность {方卜}, к = к* + 1, к* + 2,..., определяет моменты изменения коэффициентов обратной связи а, /3 в управлении (3.2.1). Зададим значения этих коэффициентов на полуинтервале времени ［九，方卜+i) следующим образом:

缘=球=m练・ (3.3.3)

Начальные значения коэффициентов определим по формулам (3.3.3) при к = к*.

В фазовом пространстве q, q траектория движения рассматриваемой механической системы, таким образом, будет состоять из отрезков траекторий различных систем дифференциальных уравнений (рис. 37): k-й отрезок соединяет точки (q^, qk) и (夕卜+1,@卜+1) и отвечает системе вида (3.1.2), (3.2.1), в которой коэффициенты усиления а = &卜，/3 = /Зк постоянны и определяются формулами (3.3.3). Все точки (q^, qk) лежат на соответствующих эллипсоидах {g，0)gr2九：W^q) = wk}, k>k*.

Замечание 3.1. Траектория системы, как показано ниже, стремится к началу координат (0,0), однако функция W, вообще говоря, не является монотонно убывающей вдоль этой траектории. Поэтому наряду с точками (夕卜，@卜)траектория может иметь и другие точки пересечения с эллипсоидами рассматриваемого семейства. Предположим, например, что после назначения новых коэффициентов в момент времени 方卜 траектория системы стала

^удаляться» от терминального положения (0,0) и вновь пересекла эллипсоид с номером к - 1 при некотором f > t^. В момент У индекс к и коэффициенты &卜，13k не изменятся. Они примут новые значения лишь тогда, когда траектория достигнет эллипсоида W{q, q)= =叫+i： индекс к возрастет на 1 и, согласно формулам (3.3.2), (3.3.3), коэффициент а увеличится в д/^ раз, а коэффициент /3 — 6 2 раза.

Замечание 3.2. Сформулированный закон управления не представляет собой синтеза, так как для нахождения управляющей силы 6 каждый момент времени необходимо знать не только текущее фазовое состояние системы, но и поведение траектории 6 прошлом. При заданной матрице кинетической энергии и сформулированном алгоритме изменения коэффициентов обратной связи 6 законе управления (3.2.1) траектория системы (3.1.2) определяется начальным состоянием и поведением возмущающей силы Q(方，q,@). Однако для вычисления управления в каждый момент времени достаточно знать лишь величину индекса к. Действительно, зная индекс к, можно найти по формулам (3.3.2), (3.3.3) коэффициенты &卜，练，а затем и управляющую силу U согласно (3.2.1). Таким образом, управление представляет собой функцию фазовых переменных q,q и целого числа к:

U(q, 0, к) = -akq - 13kq.(3.3.4)

Для реализации предложенного закона управления достаточно измерять фазовое состояние системы и хранить в памяти вычислительного устройства лишь текущее значение индекса к. В каждый момент времени индекс к равен номеру минимального по размеру эллипсоида, на котором уже побывала траектория. Всякий раз, когда происходит изменение коэффициентов, индекс к увеличивается на 1.

Обоснование алгоритма

Изучим поведение траектории к-й системы при некотором к〉к*. Интересующий нас участок этой траектории начинается в точке (q^, qk) в момент времени 方卜 и заканчивается, в соответствии с алгоритмом, в момент 方k+i на эллипсоиде W(q, q) = Wk^\. Так как существование точки пересечения траектории с (к + 1)-м эллипсоидом пока не доказано, будем считать 方卜+i = оо, если такого пересечения нет. Ниже будет показано, что 方卜+i < оо.

Введем в рассмотрение семейство функций Ляпунова

V"q，G) = T(q,@) + ¥? f〈A(q)q®,(3.4.1)

где k — целое число, а параметр £卜〉0 будет определен ниже.

Выражение для функции Vk(q, q) содержит матрицу инерции 4(g), которая предполагается неизвестной. Оценим через известные величины значение этой функции в точке (q,@) фазового пространства.

т(Зкт(ЗкПредположим, что число £卜 удовлетворяет условию

т(Зк

т(Зк

(3.4.2)

Оценим функцию Vk(q, q) снизу с помощью соотношений (3.1.5) и неравенства

следующим образом:

V"q, 0)》^ «2 + ^ 后—£kM\\q\\\\q\\》(^ —亨)q2 + ；产

Отсюда, учитывая (3.4.2), получаем неравенство

忆(q, °) < V"q, 0),乃(q,办=；(缥『+ 加赤. (3.4.3)

Оценим теперь функцию Vk(q, q) сверху, используя соотношения (3.1.5) и неравенство

efelkllll^ll W «2 + g后， следующим образом:

尸匂,0) W «2 + ^ 后 + £kM\\q\\\\q\\ < (臥 +?田)Q2 + Mq\

Так как т < 4М, то из (3.4.2) вытекает е^М < 缥，откуда получаем неравенство

v"q, 0) W 库匂,О), *(q, 0)=缥q2 + м『.(3.4.4)

Установим соотношения, связывающие квадратичную форму 吸(q,@) и функцию W(q, q), множества уровня которой порождают определенное выше семейство эллипсоидов. Покажем, что при любых целых к справедливо равенство

2V^qk) = Wk.(3.4.5)

Для доказательства подставим выражение для коэффициента 练 из (3.3.3) в выражение (3.4.4) для функции 吸.Получим

По построению точка (q^, qk) лежит на эллипсоиде с номером к. Отсюда и из определения (3.3.1) функции W вытекают соотношения

Wk = W(qk,qk) = 2И碓 +碗 + ?成)•

и

U^ql+4WkMql = 2Wl

Из (3.4.6) и последнего равенства получаем (3.4.5).

Равенство (3.4.5) означает, что при любом к эллипсоид с номером к совпадает с множеством уровня квадратичной формы 吸(q, 0), отвечающим значению И4/2.

Пусть в момент времени 方，t^ < t < 方卜+i, система находится в состоянии (q,@). Оценим значение квадратичной формы 吸(q,@) в момент времени t через ее значение V^(qk, qk) в момент времени 方卜，т. е. в момент первого пересечения рассматриваемой траектории системы с k-м эллипсоидом. Напомним, что в силу немонотонного поведения функции W вдоль траектории точка (q, @) может лежать как внутри, так и снаружи k-ro эллипсоида (см. замечание 3.1 в § 3.3). Однако в соответствии с алгоритмом и в силу условия t < 方卜+i точка (q, @) лежит вне (к + 1)-го эллипсоида, а точка (夕卜+1,0卜+1) — на нем, поэтому с учетом (3.4.5) получаем

吸+l(q,@) > +1(矗+i,次+i) =

В силу (3.3.2), (3.3.3) и определения (3.4.4) функции 吸 имеют место равенства

=学，缥+i = 2缥，吸+i(q，0)=缥+“ + Л^2,

следовательно,

屮气，0) = 2练『+ ^2》?

Из приведенных соотношений вытекает

W(q，G》Bkd + yQ2 = | 吃+i(q，0)》*•(3.4.7)

Отсюда, учитывая (3.4.5), получаем следующую оценку значения квадратичной формы 吸(q,@) в момент времени t через ее значение Vf®, @к) в момент времени 方卜：

Обратимся теперь к вычислению производной Vk. Продифференцируем функцию Vk в силу системы (3.1.2), (3.3.4). Получим

匕用g工)=-ekPkq2 -匕用g工)=-ekPkq2 -qк/ 一 £к4g)—^qк/ 一 £к4g)—^P BAI?瓦P BAI?瓦0,00,0

匕用g工)=-ekPkq2 -

匕用g工)=-ekPkq2 -

qк/ 一 £к4g)—^

qк/ 一 £к4g)—^

P BAI?瓦

P BAI?瓦

0,0

0,0

-£卜必匂,0) +〈Q, £k« + 办(3.4.9)

где I — единичная матрица.

Оценим отдельные слагаемые в выражении (3.4.9). В силу (3.1.5), (3.1.6) и (3.3.2) имеют место неравенства

\\ekA(q)\\ < екМ,

п£kD\\\q\\.п£kD\\\q\\.(3.4.10)(3.4.10)

п

£kD\\\q\\.

п

£kD\\\q\\.

(3.4.10)

(3.4.10)

Используя условия (3.1.4), (3.4.2) и соотношения (3.4.4), (3.4.5), (3.4.8) оценим последнее слагаемое в выражении (3.4.9) следующим образом:

\\{Q^kq + q)\\ < QQ\\£kq + q\\ < Qo(5备2 + |后)/ <

1/21/2

1/2

1/2

_a/^Qo吸д，0) < a/^Qo吸д，0) = aAUQo 2 + “.

2皿库g，0) '库(矗，次)" •

(3.4.11)

Подставив (3.4.10), (3.4.11) в выражение (3.4.9) и воспользовавшись неравенством

\\£k^k{q,q)\\ < 武&" + ?后， приходим к оценке

『(q, q) W —£k Bk - £k&k/八亦疗 q

\£k^MWk у

£км - £kDi\\q\\£км - £kDi\\q\\卄)…4⑵卄)…4⑵

£км - £kDi\\q\\

£км - £kDi\\q\\

卄)…4⑵

卄)…4⑵

Зададим параметр £卜 формулой

£к=min£к=minEUgEUg8MVM，16О1*л/Ж8MVM，16О1*л/Ж(3.4.13)(3.4.13)

£к=min

£к=min

EUg

EUg

8MVM，16О1*л/Ж

8MVM，16О1*л/Ж

(3.4.13)

(3.4.13)

и введем в рассмотрение область

G = ^q,q) ： |к|| <G = ^q,q) ： |к|| <2д/2^1U。 J2д/2^1U。 J

G = ^q,q) ： |к|| <

G = ^q,q) ： |к|| <

2д/2^1

U。 J

2д/2^1

U。 J

Лемма 3.1. Пусть выполнено условие

I 16У10М2У10I 16У10М2У10(3.4.14)(3.4.14)

I 16У10М2У10

I 16У10М2У10

(3.4.14)

(3.4.14)

Тогда в тех точках траектории, что лежат в области G, производная функции『卜⑴=yk 匂(方)，0⑴)& силу системы (3.1.2), (3.3.4) удовлетворяет неравенству

4о4о(3.4.15)

4о

4о

Доказательство. Из определения (3.4.13) параметра £卜 вытекает условие (3.4.2), поэтому справедливы соотношения (3.4.3), (3.4.4), (3.4.11) и (3.4.12).

Используя формулы (3.3.3) и (3.4.13), получаем

mUoyW82И 同/2mUoyW82И 同/2m/3k v 迩 4М 'm/3k v 迩 4М '(3.4.16)(3.4.16)

mUoyW82И 同/2

mUoyW82И 同/2

m/3k v 迩 4М '

m/3k v 迩 4М '

(3.4.16)

(3.4.16)

八 7 / a/^Uo 8AЖ八 7 / a/^Uo 8AЖ‘m练_竺"4一 Т‘m练_竺"4一 Т

八 7 / a/^Uo 8AЖ

八 7 / a/^Uo 8AЖ

‘m练_竺

"4一 Т

‘m练_竺

"4一 Т

Из условия (3.4.14) и формул (3.3.3) вытекает

ДЛШ缘 < 俄

(3.4.17)

л/1(ШQo <灰前_竺д/w ' Жж = w

Из равенства (3.4.13) и определения области G следует

^^ilkll <^^ilkll <5戈5戈IkllIkll＜加u0_竺＜加u0_竺(3.4.18)(3.4.18)

^^ilkll <

^^ilkll <

5戈

5戈

Ikll

Ikll

＜加u0_竺

＜加u0_竺

(3.4.18)

(3.4.18)

□□

□

□

Подставив неравенства (3.4.16)-(3.4.18) в оценку (3.4.12), получим

(3.4.15). Лемма доказана.

Лемма 3.2. Пусть выполнены условия (3.4.14). Тогда участок траектории, отвечающий полуинтервалу времени 餘,方卜+i), целиком лежит 6 области G.

Доказательство. Проверим, что начальная точка траектории («к, 0k) лежит в области G. По построению точка (q^, qk) принадлежит эллипсоиду с номером к, т. е.

"成+ ("蹴+号成)=

Следовательно, q* < 2W^/Uq, откуда вытекает (^, ^) e G.

Предположим, что утверждение леммы не выполнено, и пусть У — момент времени, когда траектория впервые достигла границы области G, У〉方к. В силу леммы 3.1 функция Vk в области G строго убывает вдоль решений системы (3.1.2), (3.3.4). Отсюда и из (3.4.4), (3.4.5) получаем

(qS必，))< V\qk,旗)=小3九),以九))W *(%,旗)=亨.

С другой стороны, из соотношений (3.4.3) вытекает неравенство

尸(№)，初

По предположению точка q(tf) лежит на границе области G. В силу определения этой области имеем q2m = 8联/嗝.Отсюда, из (3.3.3) и последнего неравенства следует

小(他,拙))》学・

Полученное противоречие и доказывает лемму.□

Согласно неравенству (3.4.3) при любом к функция Ляпунова (3.4.1) положительно определена, а из оценки (3.4.15) вытекает, что вне (к + 1)-го эллипсоида ее производная отрицательна и отделена от нуля. Из этого можно заключить, что существует такой момент времени 方卜+i < оо, когда траектория попадет на эллипсоид с номером k + 1.

Убедимся, что на участке траектории, отвечающем полуинтервалу времени ［九，方卜+i), управляющая сила (3.3.4) подчиняется ограничениям (3.1.3). Оценим с этой целью норму вектора U, используя формулу (3.3.3) для коэффициента &卜 и неравенство (3.4.3), следующим образом:

\\U(q,q,k)\\2 = \\(3kq^akqf < 2(/3篇2 + 城后)=

=2练(练q2 + m02)= 8缘乃g,0) 4 8f3kVk(q, 0).

Выше было показано, что функция Vk вдоль рассматриваемого участка траектории не возрастает, следовательно, Vk(q, q) <『卜(夕卜，@卜). Учитывая соотношения (3.3.3), (3.4.4) и (3.4.5), получаем

||U(q,@,k)||2 < 8f3kVk(qk,qk) < 8练*(必，旗)=4练％ = ^.

Ограничение выполнено (3.1.3).

Оценка времени движения

Из соотношений (3.3.3), (3.4.13) вытекает

竺_何и0〉

Воспользовавшись этой оценкой, продолжим неравенство (3.4.15) следующим образом:

匕k(q，0) < -于『—中后' -^*g工)w -^尸m办

ПолучимПолучим(3.5.1)(3.5.1)Проинтегрируем данное неравенство на полуинтервале 餘，方卜+i).

Получим

Получим

(3.5.1)

(3.5.1)

Оценим выражение, стоящее под знаком логарифма. Числитель этого выражения, очевидно, удовлетворяет неравенству

尸(外,旗)W *(外,旗)=学.

В силу определений (3.4.3), (3.4.4) квадратичные формы 吸 n g связаны соотношением

=万"2,=万"2,mWk 32ЛГmWk 32ЛГнеравен-неравен-откуда, учитывая (3.4.5) и равенства 练=练+1/2, W^\ получаем следующую оценку знаменателя:

=万"2,

=万"2,

mWk 32ЛГ

mWk 32ЛГ

неравен-

неравен-

『用（必+1，次+1）》忆（外+1,次+1）》言 *（必+1,次+1）=

1 +"虚+1)》*^ **1(%+1，旗+1)

С помощью полученных оценок числителя и знаменателя ство (3.5.1) может быть продолжено следующим образом:

4 I 16М° L

方к+1 —方к W —In,(3.5.2)

т

где число £卜 определено формулой (3.4.13).

Нетрудно видеть, что выражения, стоящие под знаком min в (3.4.13) совпадают при к = 0. Если точка ®,电)лежит вне эллипсоида с номером 0, т. е. к < 0, то

8мТж

а если точка (夕卜，@卜)лежит внутри нулевого эллипсоида или на нем, т. е. к》0, то имеет место обратное неравенство.

Предположим сначала, что к < 0. Подставим выражения для £卜 и Wk в (3.5.2). Получим следующую оценку времени движения вдоль к-го отрезка траектории:

方卜+1 一方卜 W T 。 2一зк/2,方卜+1 一方卜 W T 。 2一зк/2,y/mD\Uo тy/mD\Uo т(3.5.3)(3.5.3)

方卜+1 一方卜 W T 。 2一зк/2,

方卜+1 一方卜 W T 。 2一зк/2,

y/mD\Uo т

y/mD\Uo т

(3.5.3)

(3.5.3)

Следовательно, время движения 丁1 системы от точки (^, ^) до точки (qo,0o), т. е. от эллипсоида с номером к до эллипсоида с номером 0, не превышает величины

(3.5.4)(3.5.4)

(3.5.4)

(3.5.4)

Предположим теперь, что к》0. В этом случае неравенство (3.5.2) принимает вид

九+1 -九 W • 2一ь/2,九+1 -九 W • 2一ь/2,(3.5.5)(3.5.5)

九+1 -九 W • 2一ь/2,

九+1 -九 W • 2一ь/2,

(3.5.5)

(3.5.5)

а время движения 万 от эллипсоида с номером 0 до терминального положения (0,0) не превосходит суммы ряда

(3.5.6)(3.5.6)

(3.5.6)

(3.5.6)

До сих пор предполагалось, что к 〉 к*, и рассматривался отрезок траектории, концы которого лежат на двух соседних эллипсоидах из совокупности эллипсоидов, определенных выше. Неравенства (3.5.3), (3.5.5) дают оценку времени движения системы (3.1.2), (3.3.4) на таком отрезке. Пусть теперь к = к*. В точке (q*,@*), отвечающей начальному состоянию системы, функция W удовлетворяет неравенству

Wk* + i <『6,柒)

Поэтому точка (q*,@*) не лежит, вообще говоря, на эллипсоиде с номером к*. Тем не менее, в начальный момент времени t = 0

определим коэффициенты ак 义 0kB управлении (3.3.4) по формуле (3.3.3) при k = k*. С помощью рассуждений, аналогичных проведенным выше, можно показать, что траектория системы (3.1.2), (3.3.4) попадет на эллипсоид с номером k* + 1, а время движения до этого эллипсоида удовлетворяет неравенству (3.5.3), если к* < 0, и неравенству (3.5.5), если к*》0. Полное время т* движения системы из точки (q*,@*) до терминального положения (0,0) удовлетворяет неравенству т* < 丁1 + 丁2，где величины 丁1 и т? вычисляются по формулам (3.5.4), (3.5.6) при к = к*.

Достаточное условие приведения

Обратимся теперь к ограничениям, наложенным на внешние возмущения Q. Нетрудно видеть, что при к》0, т. е. внутри эллипсоида с номером 0, условие (3.4.14) равносильно неравенству

y/rnUo16У10Мy/rnUo16У10М(3.6.1)(3.6.1)

y/rnUo16У10М

y/rnUo16У10М

(3.6.1)

(3.6.1)

а вне нулевого эллипсоида (3.4.14), т. е. при к < 0, эквивалентно неравенству

(3.6.2)(3.6.2)2км Uo

(3.6.2)

(3.6.2)

16vTom

Вдоль траектории, начинающейся в точке (q*,@*), наименьшее значение индекса к равняется к*. Поэтому если точка (q*,@*) лежит внутри нулевого эллипсоида или на нем самом, то к*》0 п неравенство (3.6.1) представляет собой достаточное условие приведения рассматриваемой системы из этой точки в начало координат за конечное время с помощью сформулированного выше закона управления. Если же (q*,@*) лежит вне нулевого эллипсоида и ^ < 0, то такое достаточное условие дает неравенство (3.6.2) при к = к*.

Предложенные достаточные условия приведения системы в начало координат таковы, что максимально допустимая интенсивность внешних возмущений Qo зависит от начального состояния системы: чем дальше точка (q*,@*) находится от точки (0,0), тем меньше должна быть величина Qo・ Однако эти условия можно ослабить, если модифицировать закон управления. Покажем, что для перевода системы из (q*,@*) в начало координат достаточно выполнения лишь условия (3.6.1).

Выше было отмечено, что в качестве терминального состояния может быть выбрана любая точка вида(5,0) в фазовом пространстве системы. При этом совокупность эллипсоидов, на которых происходит изменение коэффициентов усиления, окажется сдвинутой на вектор 5， параметры же эллипсоидов останутся прежними. Предположим

сначала, что в начальный момент времени скорость системы удовле

творяет неравенствутворяет неравенству(3.6.3)(3.6.3)

творяет неравенству

творяет неравенству

(3.6.3)

(3.6.3)

т.е. точка (q*,@*) лежит на эллипсоиде W(q — q*,@) = Wq или внутри него (это нулевой эллипсоид, центр которого помещен в точку (q*,0)). Применим изложенный алгоритм управления и переведем систему в состояние (q*,0). Из сказанного выше вытекает, что для осуществления такого перевода достаточно выполнения условия (3.6.1).

Выберем конечную последовательность точек (5j, 0) таких, что % = 6,力=。н

(3.6.4)(3.6.4)

(3.6.4)

(3.6.4)

(q*, О*)(q*, О*)GiGi(q, 0) ： q2 >(q, 0) ： q2 >

(q*, О*)

(q*, О*)

Gi

Gi

(q, 0) ： q2 >

(q, 0) ： q2 >

Перевод системы из точки (q*,0) в начало координат осуществим за J шагов, применяя каждый раз алгоритм управления заново. На J-m шаге начальному состоянию системы отвечает точка (%•_],0), а терминальному — точка (5 •,0)

(см. рис. 38). Неравенство (3.6.4) означает, что при любом j точка (豆—1，。) лежит на нулевом эллипсоиде с центром в @・,0) или внутри него. Следовательно, для осуществления перевода из (5j_i，0) в @,0) достаточно, чтобы величина Qo удовлетворяла условию

(3.6.1).

Допустим теперь, что в начальный момент неравенство (3.6.3) не выполнено. К построенному алгоритму управления добавим еще один этап, который

предшествует всем остальным. Цель этого предварительного этапа — снизить скорость движения системы до величины, удовлетворяющей неравенству (3.6.3).

Определим область

и зададим в ней управление следующим образом:

Из теоремы об изменении кинетической энергии системы, условия (3.6.1) и определения области Gi вытекает, что в Gi имеют место оценки

T(q，0)》^2>T(q，0)》^2>nzUo8д/2В1nzUo8д/2В1

T(q，0)》^2>

T(q，0)》^2>

nzUo8д/2В1

nzUo8д/2В1

t(q,q) = (U + Q,q) -(UQ - QM\

< - -<0-

Следовательно, система покинет область Gi за конечное время. В момент достижения траекторией границы области Gi заканчивается предварительный этап управления и начинается реализация описанного выше алгоритма пошагового перевода системы в терминальное состояние.

Таким образом, неравенство (3.6.1) представляет собой достаточное условие приведения системы из произвольного начального состояний (q*,@*) в начало координат.

Замечание 3.3. Сформулированный закон управления не зависит от величины Qo, поэтому он может быть формально применен 〃 в случае, когда неравенство (3.6.1) не выполняется. Компьютерное моделирование динамики различных систем показывает, что предложенный закон управления эффективен далеко за пределами достаточных условий (3.6.1). Это объясняется тем, что условие (3.6.1) гарантирует монотонное убывание функций Vk вдоль траектории системы (3.1.2), управляемой по закону (3.3.4). Однако функции Vk могут быть немонотонными, а траектории системы будут при этом по-прежнему приходить в терминальное состояние. Приведенные ниже результаты моделирования иллюстрируют такое поведение системы.

Результаты моделирования динамикидвузвенника

Предложенный закон управления был применен при численном моделировании управляемых движений двузвенника на неподвижном основании (рис. 15). Предполагалось, что двузвенник перемещается в горизонтальной плоскости, т. е. в отсутствие силы тяжести. В качестве обобщенных координат системы были выбраны шарнирные углы звеньев в неподвижной системе координат.

Матрица кинетической энергии двузвенника имеет вид

4G =4G =Л1Acos(qi -勺2)Л1Acos(qi -勺2)Acos(qi -勺2)4Acos(qi -勺2)4

4G =

4G =

Л1

Acos(qi -勺2)

Л1

Acos(qi -勺2)

Acos(qi -勺2)

4

Acos(qi -勺2)

4

Расчеты проводились при следующих значениях параметров:

А = 13.9 кг-м2, А2 = 2.1 кг-м2, &=4 кг-м2.

Собственные числа матрицы инерции оказались заключены между константами т = 1.8 кг-м2 и М = 14.2 кг-м2, а частные производные матрицы ограничены по норме постоянной D = 3. Максимальная допустимая величина вектора управляющих моментов была выбрана равной Uq = 500 Н-м. При моделировании вектор возмущающих моментов задавался постоянной вектор-функцией Q&) = (0; 30) Н-м.

Двузвенник переводился из начального состояния

q*i = 0.5 рад, q*2 = 1 рад, @*i =柒2 =。рад/с

в положение «горизонтально вытянутой руки»:

«1 = «2 = 01 = @2 =。・

Значение функции W в точке, отвечающей начальному состоянию системы, оказалось равным W(q^,q^) = 395, а величина, определяющая нулевой эллипсоид, равна 叫=837. Так как 叫/4 < W(q^,q^) < 叫/2, то первое значение индекса к равно 1. Начальная точка траектории лежит внутри нулевого эллипсоида, поэтому предварительные этапы управления (торможение и последовательный перевод системы внутрь нулевого эллипсоида с центром в начале координат) отсутствуют.

Достаточное условие приведения (3.6.1) в данном случае принимает вид Qo < 3.47 и при выбранным векторе возмущающих моментов не выполняется. Тем не менее, двузвенник приходит в терминальное состояние за конечное время (см. замечание 3.3 в § 3.7).

Система уравнений интегрировалась методом Рунге-Кутта. Интегрирование прекращалось, когда в фазовом пространстве q, q евклидово расстояние

=(心⑴+届⑴+苏⑴+虚 между текущим состоянием системы и терминальным положением становилось меньше 0.01.

На рисунках 39, 40 представлены графики зависимости фазовых переменных системы от времени. Сплошная линия отвечает обобщенным координатам (рад), штриховая — скоростям (рад/с). Рисунок 39 описывает движение первого звена, рис. 40 — второго.

Сплошная линия на рис. 41 иллюстрирует поведение функции W вдоль траектории. Из рисунка видно, что функция W не зависит монотонно от времени.

На рис. 42 показана зависимость абсолютной величины вектора управляющих моментов от времени (тонкая линия), а также величина коэффициента усиления а (ступенчатая функция). За время интегрирования уравнений коэффициенты обратной связи в управлении (3.3.4) изменились 12 раз.

Рис. 39. Первое звеноРис. 39. Первое звеноРис. 40. Второе звеноРис. 40. Второе звеноРис. 41. Функция WРис. 42. Модуль управляющегомомента и коэффициент аРис. 41. Функция WРис. 42. Модуль управляющегомомента и коэффициент а

Рис. 39. Первое звено

Рис. 39. Первое звено

Рис. 40. Второе звено

Рис. 40. Второе звено

Рис. 41. Функция WРис. 42. Модуль управляющего

момента и коэффициент а

Рис. 41. Функция WРис. 42. Модуль управляющего

момента и коэффициент а

В соответствии с алгоритмом коэффициенты обратной связи и 练 выбираются так, чтобы при любых допустимых реализациях неизвестных параметров — элементов матрицы инерции и компонент вектора возмущающих моментов — вдоль получающейся траектории движения выполнялись ограничения на управление (3.1.3). Для конкретной механической системы область изменения этих параметров значительно сужается и выбор коэффициентов усиления может оказаться заниженным. Видно, что в рассматриваемом случае реализовавшиеся управляющие моменты существенно меньше максимальной разрешенной величины Uq. Поэтому было проведено моделирование движения двузвенника, управляемого по тому же закону, но с коэффициентами &卜 и 缥，вдвое превышающими

предписанные алгоритмом. На рис. 41 штриховой линией изображен график зависимости функции W от времени, а на рис. 42 также штриховой линией — абсолютная величина вектора управляющих моментов при таком способе управления. Время достижения системой терминального состояния сократилось почти вдвое, а управление по-прежнему удовлетворяет ограничению (3.1.3) со значительным запасом.

Управление двухмассовой системойс неизвестными параметрами

Одну из важных областей теории управления механическими системами составляют задачи об управлении системами, содержащими так называемые структурные возмущения. Под структурными возмущениями понимают возникновение дополнительных степеней свободы,

непосредственно не управляемых, оказывающих влияние на движение всей системы в целом и ее управляемой части. При этом целью

управления, как правило, является лишь приведение управляемых координат в заданное терминальное множество, значения же переменных, отвечающих этим дополнительным степеням свободы, несущественно.

Рис. 43. Двухмассовая упругая системаРис. 43. Двухмассовая упругая система"YYV' 加2"YYV' 加2mimiРис. 44. Груз на тележкеРис. 44. Груз на тележкеВ нескольких следующих параграфах рассматриваются некоторые простые системы указанного вида. Первая представляет собой две массы, расположенные на горизонтальной прямой и соединенные пружиной (рис. 43). Обе массы испытывают действие сил сухого трения с переменными, зависящими от положения, коэффициентами. Предполагается, что массы, жесткость пружины и коэффициенты трения неизвестны, но лежат в заданных пределах. К первой (несущей) массе приложена ограниченная управляющая сила. Требуется за конечное время привести несущую массу в заданное терминальное положение (состояние другой массы в этот момент произвольно).

Рис. 43. Двухмассовая упругая система

Рис. 43. Двухмассовая упругая система

"YYV' 加2

"YYV' 加2

mi

mi

Рис. 44. Груз на тележке

Рис. 44. Груз на тележке

Вторая система отличается от первой лишь тем, что здесь одно тело лежит на другом (груз на тележке, рис. 44).

Третья исследуемая система также состоит из двух масс: к несущему телу, перемещающемуся вдоль горизонтальной прямой, подвешено другое тело (маятник на тележке, рис. 45). Исходные предположения и цель управления — те же, что и в первом случае.

Во всех рассматриваемых случаях из-за наличия сухого трения имеются зоны застоя. Вследствие этого существуют участки траекторий, на которых исходную систему можно рассматривать как систему, имеющую лишь одну степень свободы.

Применяемые законы управления основаны на описанном выше подходе и используют линейную обратную связь с кусочно-постоянными коэффициентами.

Рассмотрим систему из двух тел, расположенных на горизонтальной прямой и соединенных пружиной. Массы тел mi и 加2, а также жесткость пружины со считаются неизвестными, но лежащими в заданных пределах:

т < ям,加2 W М,(3.8.1)

с < со < С.(3.8.2)

Первое тело, массы mi, будем называть несущим, а второе, массы 加2， — несомым. К первому телу приложена управляющая сила и. Зафиксируем на прямой неподвижную систему координат и обозначим через х координату первой массы в этой системе. Пусть переменная ф описывает положение второй массы относительно первой, причем положение 0 = 0 отвечает недеформированному состоянию пружины. Таким образом, в каждый момент времени величина ф равняется удлинению пружины.

Предположим, что оба тела испытывают действие сил сухого трения с переменными коэффициентами, зависящими от положения («шероховатость» прямой в различных местах неодинакова). Обозначим силу трения, действующую на несущее тело, через /1, а через % ——силу трения, действующую на несомое тело.

В обобщенных координатах х, ф уравнения движения системы имеют вид

m1石=с0ф + " + 九

(3.8.3) m2(/ +0)=—⑴0+ Л.

Здесь

/1 = 一sign(定)71(力)m1a

Л = -sign(± + @)72(力 +。)加29，

g — ускорение свободного падения. Коэффициенты трения 71 (х) и 72(力 + 0) будем также считать неизвестными, но удовлетворяющими условиям

。V ? W 71(/)，72(/ +0)О，

где 7 и 7 — постоянные. Отсюда вытекают соотношения

1/11，I/2I <^ F/Mg.(3.8.4)

Предполагается, что на управляющую силу и наложены ограничения

|〃| < Uo,(3.8.5)

причем

Uo > ЗЕ(3.8.6)

Фазовые координаты х, ф и скорости х, ф системы считаются доступными измерению.

Задача 3.3. Пусть в начальный момент t = 0 система находится 6 состоянии

/(0) = /о,花(0)=花 °, 0(0) = 0о, 3(0)=加

Требуется за конечное время перевести систему (3.8.3) на терминальное множество

х =/*, 定=0.

Не ограничивая общности, будем предполагать, что терминальному положению несущей массы соответствует точка 力* = 0. Этого можно добиться, выбрав с самого начала на прямой систему координат с полюсом в той точке, в которую должна быть переведена первая масса.

Управление будем строить на основе линейной обратной связи по обобщенным координатам и скоростям (ПД-регулятора)

и = —ах - /Зж,(3.8.7)

коэффициенты а, /3 > 0 считаем пока постоянными. Применение такого закона управления эквивалентно введению в систему пружины жесткости В и вязкого трения с коэффициентом а. Эта пружина соединяет несущее тело с неподвижным основанием, причем пружина недефор- мирована, когда 力=0.

Полная энергия системы с учетом упругой энергии «фиктивной» пружины имеет вид

石(力,х,0, j) = ； (ям* + m2(± + j)2 + /зГи2 + ①/).

Для краткости полную энергию в момент времени t на рассматриваемой траектории будем обозначать через 石(方).Продифференцируем 石(方)в силу системы (3.8.3), (3.8.7). Получим

Ё = -ах2 + /i± + 了2(定 + ф)=

=—ах2 — 71 ｛х)т\д\х\ — 72(力 +(fym^g\x + ф\.

Нетрудно видеть, что полная энергия вдоль траектории системы неотрицательна и не возрастает. Из-за наличия сил сухого трения система имеет зоны застоя, т. е. состояния покоя, в которых обе массы неподвижны, а пружины деформированы. В таких состояниях полная энергия системы 石(方)положительна, а ее производная E(t) равна нулю. Отсюда вытекает соотношение

Jim 石⑴=Е*, Е*》0.(3.8.8)

Докажем несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 3.3. Имеют место равенства

lim ±(t) = 0, lim j⑴=0.(3.8.9)

力TOO力— СЮ

Доказательство. Заметим, что вторые производные ж и ограничены вдоль траектории, начинающейся в точке (力о,定о, Оо, do). Действительно, полная энергия системы удовлетворяет неравенству 石(方) < 石(°),方》°, поэтому траектория системы лежит внутри эллипсоида Е(х,七，ф,ф) = Е(0), а фазовые координаты и скорости ограничены. Следовательно, ограничены правые части уравнений (3.8.3), а с ними и вторые производные х и ф, т. е. существует такое число D > 0, что

図，闷 < D.(3.8.10)

Убедимся, что справедливо первое из равенств (3.8.9). Предположим противное. Пусть существуют такие число 5 > 0 и последовательность ｛方卜｝,方卜 т оо при к — оо, что |定(方卜)| 》8. Отсюда и из (3.8.10) вытекает, что на отрезках времени 厶=\tk, tk + 8/(2。)], k = 1,2,..., выполнено соотношение |±(t)| 》8/2, а производная полной энергии здесь удовлетворяет неравенству

1石⑴ <7^1^-

Следовательно, полная энергия неограниченно убывает, что противоречит равенству (3.8.8). Первое из соотношений (3.8.9) доказано, второе доказывается аналогично.□

Лемма 3.4. Справедливо неравенство

Jim |0⑴ I，-力Co

(число F определено e (3.8.4)).

Доказательство. Предположим противное. Пусть существуют такие число 5 > 0 и последовательность ｛方卜｝,方卜 т оо при k — оо, что

I0(方k)1》H 28.

Выберем произвольное число о〉0. В силу леммы 3.3 найдется такое ，> 0, что |d(方)| W о при t > ，. Тогда при 方卜 > ，на отрезках времени Ik = h，方k + 8/矶 выполнено неравенство

|0⑴I > - + 5.(3.8.11)

Отсюда и из условий (3.8.2), (3.8.4) получаем, что для достаточно больших к при t е Ik справедлива следующая оценка правой части второго уравнения системы (3.8.3):

I —с。。+ /21》colOI — I/2I》3 ^^ + ")—歹》。。"・(3.8.12)

Сила /2 и, следовательно, правая часть второго уравнения (3.8.3) не являются непрерывными функциями времени, а функция 0(方) непрерывна. В силу (3.8.11) при достаточно больших к на каждом из отрезков Д знак непрерывной функции 。(方)постоянен. Из (3.8.12) вытекает, что знак правой части второго уравнения (3.8.3) совпадает со знаком функции 0(方)и, следовательно, постоянен на каждом из этих отрезков. Следовательно, не меняется здесь и знак производной x(t) + 3(方)(которая является, вообще говоря, разрывной функцией времени).

В силу (3.8.3), (3.8.12) имеет место соотношение

卜2 G⑴ + 3⑴)I》0)8,方 G 厶，方k >，•(3.8.13)

Поэтому при достаточно больших к на отрезке времени Д скорость 定(方)+ изменится не менее, чем на величину Со52/(Ш2^). Выбирая число о достаточно малым, приходим к выводу, что неравенство (3.8.13) выполняется на сколь угодно большом отрезке времени, а модуль скорости второй массы |±(t) + 0(方)| может быть сколь угодно велик. Это противоречит ограниченности полной энергии системы. Лемма доказана. □

Лемма 3.5. Справедливо неравенство

2尸

Jim I/⑴I 《

力— ООP

Доказательство. Предположим противное. Пусть существуют такие число 5 > 0 и последовательность ｛方卜｝, tk 一 при k — оо, что

I力依)1》^+48.

Выберем число о из условия 0 < v < (38/а. В силу лемм 3.3 и 3.4 найдется такой момент времени ，> 0, что при 方〉，выполнены неравенства

Тогда при tk >， на отрезках времени 几=［九，方卜 + 8/矶 справедливо соотношение

I力⑴ I》号 + 38.(3.8.15)

Оценим с помощью (3.8.4), (3.8.14) и (3.8.15) правую часть первого уравнения (3.8.3) в момент времени t е 厶，tk > У, следующим образом:

匕0。+ П + /11 = \соф - ах - (Зх + fx \》

》/3|ж| - а\х\ - с0|^| - |/1| > М (3.8.16)

Следовательно, при 方卜 >，на каждом из отрезков времени 厶 верна оценка

侬⑴I》竺(3.8.17)

Сила /1 и, следовательно, правая и левая части первого уравнения (3.8.3) не являются непрерывными функциями времени, а функция 力(方)непрерывна. В силу (3.8.15) при достаточно больших к на каждом из отрезков Ik знак переменной 力(方)постоянен. Из (3.8.16) вытекает, что знак правой части первого уравнения (3.8.3) совпадает со знаком переменной 力(方)и, следовательно, постоянен на каждом из этих отрезков. Поэтому знак функции x(t) также постоянен на каждом из этих отрезков. Отсюда и из (3.8.17) получаем, что скорость ± на каждом из отрезков Д изменяется не менее, чем на величину /3庐/(加1。). Выбирая о достаточно малым, приходим к выводу, что скорость первой массы может быть сколь угодно велика по модулю, что противоречит ограниченности полной энергии системы. Лемма доказана.□

Приведение системы в заданное терминальное множество осуществим в два этапа. Сначала переведем первую массу в некоторую окрестность точки х = 0 на прямой, одновременно уменьшив полную энергию всей системы до достаточно малого уровня. Затем,

рассматривая только первое из уравнений (3.8.3), в котором упругую силу с。。будем трактовать как возмущение, приведем первую массу в точку 力=0. При этом на каждом из этапов коэффициенты а, /3 в управлении (3.8.7) выбираются как кусочно-постоянные функции.

Первый этап движения

Проведем некоторые вспомогательные построения. Положим

GQ, 0, @) = М±2 + М(± + @)2 + С/

и рассмотрим функцию

h(力,以 0, 色) = G + (G2 + 2u託2)1/2.(3.9.1)

Функция Н исполняет ту же роль, что и функция W при построении управления в § 3.3. Величина Н вычисляется вдоль траектории системы, и при достижении функцией Н некоторых заранее заданных значений Н^ происходит изменение коэффициентов усиления в управлении. Отличие от описанной в § 3.3 процедуры изменения коэффициентов состоит в том, что последовательность Н^ не стремится к нулю при к — оо, как это было с последовательностью %.

Пусть

Яо = Н(力 о,定 о,Оо,Зо).

Введем обозначения

_0ь2_ 3ь3e

В силу (3.8.6) число 〃 удовлетворяет неравенству ту < 1.

Предположим сначала, что в момент времени t = 0 выполнено условие

% > %•(3.9.3)

Зададим числовую последовательность Н^:

瓦=£ + (? +〃2母—1)1/2，k= 1,2,.・.•(3.9.4)

Лемма 3.6. Числа Н^ удовлетворяют соотношениям

Но〉Н\〉Н?〉， lim Нк = 9.

Доказательство. Положим

1 -犷1 -犷

1 -犷

1 -犷

и рассмотрим на полупрямой {z е R : z ^ z^} функцию

九⑶=£+(?+ $2屮％

Легко убедиться, что 九(2*) = 2*. В силу определения (3.9.2) числа Н* и условия (3.9.3) справедливо неравенство % > 2*. Используя определение (3.9.2) величины 〃， условие (3.8.6) и неравенство (户 + ^2^2)1/2〉〃？，оценим производную функции 九⑶ следующим образом:

М⑶=〃^(户 + ту2^2)-1/2 < /у < 1.

Отсюда вытекает, что отображение 九⑶ сжимающее, а последовательность точек Но, Hi =九(Но), % =九(Hi),.・・ монотонно стремится к неподвижной точке 2* отображения 九(2). Лемма доказана.□

Опишем алгоритм изменения коэффициентов в управлении (3.8.7) на первом этапе движения системы. Зададим в начальный момент времени t = 0 коэффициенты усиления а° и /3° формулами

仇=Qq = <加仇•(3.9.5)

Обозначим

回Н⑴=HJ, H⑴=H(x(t), ±(t), 0(", j⑴).

Здесь предел вычисляется вдоль начинающейся в точке (力о,定о, Оо, jo) траектории системы (3.8.3), управляемой по закону (3.8.7) с коэффициентами (3.9.5).

Лемма 3.7. Справедливо соотношение

Доказательство. В силу определения функции G(方) = = G(定(方)，0(方)，d("), утверждений лемм 3.3-3.5, условия (3.8.2) и обозначений (3.9.2) имеет место неравенство

Jim G⑴W g, G⑴=G(定⑴,0⑴,3⑴).

Отсюда, из определений коэффициента /3° и числа 〃，а также в силу утверждения леммы 3.5 получаем

Лемма доказана.□

Убедимся, что вдоль начинающейся в точке (力о,定о, Оо, Зо) траектории системы (3.8.3), управляемой по закону (3.8.7) с коэффициентами (3.9.5), выполнено ограничение (3.8.5) на управляющую функцию. Введем для этого обозначения

(力,х, 0, j) = J (Mx1 + M(x + ф)2 + 仇/ +,

(3.9.6)

El (力,±, 0,j) = ^ ^m±2 + т(± + @)2 + 0о化2 + с。?) •

В силу (3.8.1), (3.8.2) полная энергия 石。системы с учетом упругой энергии «фиктивной» пружины жесткости /3° вдоль рассматриваемой траектории подчиняется соотношениям

石。(方)4石°(方)，石:(方).(3.9.7)

Положим Go = G(定о, 0о, jo). Из определений функции Н и числа Но вытекает

Яо = ^о + (^о + 2^о)1/2，

т. е. число Но — корень уравнения z2 — 2G°2 — 2UqXq2 = 0, рассматриваемого как уравнение относительно 2. Следовательно, справедливо равенство

Я^ - 2С0Я0 - 2隔力о? = о.

Разделим это равенство на % и преобразуем его, используя формулу (3.9.5) для коэффициента /3°, к виду

2Go + 2/W =%•

Отсюда и из определений функций G и Е* получаем

4暝(力о,定о,仇,jo) = Яо.(3.9.8)

Оценим теперь управляющую силу “， используя соотношения (3.9.5), (3.9.6) и (3.9.7), следующим образом:

\и^ = |&о定 + 仇力|2 W 2(а詠2 + /3訪2)=

=2/3o(m定2 + /3o力2) < ^Р^Е^х.х.ф.ф) < 4/3oE°(力,以。,@).

Так как полная энергия 石°(方)вдоль траектории системы не возрастает, то оценка может быть продолжена с помощью (3.9.7), (3.9.8) так:

4优ё。⑴《 4仇ё。(0) 《 4%畤⑼=/30Я0 =%

Следовательно, ограничение (3.8.5) выполнено.

В выражение (3.9.1) для функции Н(х, х, ф, ф) входят только известные параметры задачи, а все фазовые координаты и скорости по условию доступны измерению. Следовательно, значение функции Н«) может быть вычислено в любой момент времени. Обозначим через 方 1 первый момент времени, когда значение функции H(t) на рассматриваемой траектории станет равным Н[. Из определения числа Hq и утверждения леммы 3.7 следует, что такой момент существует.

Пусть

力(力)=力1,±(tl) = ±1,Ф^^ = фх, 3(3) =31.

Изменим в момент 方i коэффициенты усиления в управлении (3.8.7). Положим

/31 = Qi =，加仇(3.9.9)

и введем обозначение

皿Н⑴=Н；.

Рассуждая как и выше, можно показать, что вдоль начинающейся в точке (力 1,定 1,例，Ji) траектории системы (3.8.3), управляемой по закону (3.8.7) с коэффициентами (3.9.9), выполнены ограничения (3.8.5) на управляющую функцию и и имеет место соотношение

ЯГ <(3.9.10)

Замечание 3.4. Так как при определении величин 弟 и Н： пределы функции H(t) вычисляются вдоль траекторий с различными начальными состояниями и различными коэффициентами обратных связей в управлении, то эти величины, вообще говоря, не совпадают.

Согласно (3.9.10) найдется такой момент времени 方 2, когда значение функции H(t) на рассматриваемой траектории впервые станет равным »2・ Изменим в этот момент коэффициенты в управлении (3.8.7), определив их формулами

貝2

И т. д.

Траектория движения системы, таким образом, состоит из отрезков траекторий различных систем дифференциальных уравнений: k-й отрезок соединяет точки (xk, хк, фк, фк) и (хк^, хк^,фк^, фк^) и отвечает системе (3.8.3), управляемой по закону (3.8.7) с коэффициентами, задаваемыми выражениями

Числа Нк определяются рекуррентными формулами (3.9.4), причем

Нк = Н(力卜,Х^, фк, @к) = Н(方к), к = 0, 1,....

С помощью рассуждений, аналогичных проведенным выше для к = 0, можно показать, что при любом к〉0 на к-м отрезке траектории управляющая сила удовлетворяет ограничению (3.8.5).

Теор ема 3.1. Пусть выполнено условие (3.9.3). Тогда существует момент времени то, когда на траектории системы (3.8.3), управляемой с помощью изложенного выше алгоритма, функция Н(方) примет значение Я*.

Доказательство. Функция Н«) непрерывна. В силу условия (3.9.3) в начальный момент t = 0 справедливо неравенство Н* < %, а в силу леммы 3.6 имеют место соотношения

Jim Hk < Н*, %〉Hi〉％〉• •. •

Следовательно, найдется такое число к, что Я(^)〉Н*〉Я(^+1) и функция Н«) на к-м отрезке траектории примет значение Н*. Теорема доказана.□

Обозначим через 弋 первый момент времени, когда функция H(t) примет значение Н*. В момент времени т° заканчивается первый этап движения.

Если условие (3.9.3) в начальный момент не выполнено, то первый этап отсутствует. В этом случае Н(т。) < Н*, и, полагая т° = 0, переходим сразу ко второму этапу.

Второй этап движения

На втором этапе движения применим закон управления, предложенный в § 3.3 для приведения в заданное положение лагранжевой системы общего вида с неизвестной матрицей кинетической энергии.

Рассмотрим отдельно движение первой массы. Оно подчиняется уравнению

mix = u + Q, Q = coO +力.(3.10.1)

Величину Q будем трактовать как возмущение.

Как и прежде, будем управлять движением первой массы с помощью закона (3.8.7), в котором коэффициенты усиления являются кусочно-постоянными функциями. Опишем алгоритм изменения этих коэффициентов.

Введем в рассмотрение функцию

W(X,X)= m±2 + (”2产 + 2u彳/)1/2

И положим

Wo =屮(力(丁0),必То)), wk = ^,1,2,….

6 Ф. Л. Черноусько и др.

Зададим в момент времени т° коэффициенты а п /3 с помощью формул%=，a0 =，mBa •

Пусть с — первый момент времени, когда функция W(t), вычисленная вдоль траектории, станет равной Wi. Положим

и?

А = /, &1 = vWi,

обозначим через т? первый момент времени, когда функция W(t) станет равной %, и т. д. Таким образом, последовательность 丁卜， /с = 0, 1,... , задает моменты изменения коэффициентов. В момент времени 丁卜 функция W(t) впервые принимает значение Wk, а сами коэффициенты определяются формулами

Вк = i^ ,=，加/5k , к = 0,,

то есть, каждый раз коэффициент /3 увеличивается в 2 раза, а коэффициент а — в д/2 раз.

Замечание 3.5. В § 3.3 при описании закона управления последовательность Wk, задаваемая соотношениями (3.3.2), зависела только от параметров задачи D, М и Uq. Следовательно, семейство эллипсоидов, на которых происходило изменение коэффициентов, также определялось лишь этими параметрами. В данном случае применяется модифицированный закон управления. Отличие состоит 6 том, что теперь эллипс с индексом 0 совпадает с множеством уровня функции W, отвечающим значению этой функции 6 начальный момент времени. Таким образом, семейство эллипсов, на которых происходит изменение коэффициентов обратной связи, определяется начальным состоянием системы, а траектория управляемого движения на втором этапе всегда начинается на эллипсе с индексом 0.

В соответствии с результатами § 3.6 для приведения первой массы в начало координат за конечное время с помощью данного алгоритма достаточно выполнения условия

IQKIQK16д/ЮМ16д/ЮМ(3.10.2)(3.10.2)

IQK

IQK

16д/ЮМ

16д/ЮМ

(3.10.2)

(3.10.2)

При этом вдоль траектории сохраняется ограничение (3.8.5).

Проверим, что условие (3.10.2) выполнено. Оценим для этого полную энергию Ек всей системы (3.8.3) на каждом из отрезков второго этапа движения. Обозначим через Ек энергию первой массы

на к-м отрезке траектории с учетом упругой энергии «фиктивной» пружины жесткости 练：

石，力,定)=^(m1±2 +练力2).

С помощью алгебраических преобразований нетрудно убедиться в справедливости соотношений

百，力,定)4百；(/,定)，4E^rk) = Wk,

(3.10.3)

石；(力,近)=；(Mx2 + % 力 2), /с = 0, 1,.

В силу определения (3.9.1) функции Н и условий (3.8.1), (3.8.2) в момент начала второго этапа энергия всей системы без учета упругой энергии «фиктивной» пружины удовлетворяла неравенствам

I (m设2(70)+m2(出(70)+"70))2 +。0/(70)) <

< ^6(丕(T0),0(丁0),"Т0)) < 4 H(T0)< 4h*，

а в силу (3.10.3) упругая энергия «фиктивной» пружины — неравенствам

у (то) w 现(то)=学.

Следовательно,

Е°(то) < %；%.(3.10.4)

На каждом из промежутков времени ［丁卜，丁卜+1), /с = 0, 1,, коэффициенты усиления в управлении (3.8.7) постоянны, поэтому полная энергия всей системы не возрастает. В момент 丁卜+i жесткость «фиктивной» пружины /3 испытывает скачок, увеличиваясь в 2 раза, поэтому упругая энергия «фиктивной» пружины в этот момент изменяется на величину

= ^ (练+1 -练)/2(7k+1)="才 1 /2(7k+1).

В силу определения полной энергии Ек и соотношений (3.10.3) величина 穴卜+1 удовлетворяет неравенству

/ 1 #+1 /_ Ж)

TTk+1 < 2g= 2^+4 *

Суммарное приращение упругой энергии «фиктивной» пружины, происходящее за счет мгновенного изменения жесткости, не превосходит суммы ряда

声匹=№

k=l

Отсюда и из (3.10.4) вытекает, что при любом 方》々 полная энергия всей системы 石(方)подчиняется ограничению

Из определений функций W и Н получаем

% = ”о) 5(то)=Н*・

Учитывая данные соотношения и условие (3.8.2), приходим к заключению, что деформация пружины, соединяющей массы mi и 加2, удовлетворяет неравенству

I0(力 WI0(力 Wt > 70t > 70

I0(力 W

I0(力 W

t > 70

t > 70

Следовательно, величина возмущений Q в уравнении (3.10.1) на протяжении всего второго этапа подчиняется ограничению

1皿岡+…+轰（吾J"

и, учитывая выражения (3.9.2) для £ н 〃，ограничению

QWQo,/=歹(1 + (^)爲£2y/2

(3.10.5)(3.10.5)Подставив в неравенство (3.10.2) вместо |Q| величину Qo, получим следующее достаточное условие приведения первой массы в начало координат:

(3.10.5)

(3.10.5)

I 12c 丿(喝-9歹2)1/2 丿 ' 16a/IW

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теор ема 3.2. Пусть параметры задачи т, М, с, С, F, Uq удовлетворяют условию (3.10.5). Тогда предложенный алгоритм управления приведет первую массу в начало координат за конечное время.

Система «груз на тележке»

Рассмотрим механическую систему, состоящую из двух тел, соединенных пружиной. Первое тело перемещается вдоль горизонтальной прямой, а второе расположено на первом и также может совершать горизонтальные перемещения (рис. 44). Уравнения движения такой системы имеют вид

mix = с()ф + и + fi - /2, 加2侬 + 3) = —3。+ Л-

Здесь х — координата первой массы, ф — координата второй массы относительно первой, причем положение ф = 0 отвечает недеформиро- ванному состоянию пружины. Через /1 и /2 обозначены силы трения между несущим телом и основанием и между телами соответственно:

/1 = 一sign(近)%(/)(m1 +m2)9，

力=—sign(@)T2(。)加2g.

Предположения относительно масс, жесткости пружины и коэффициентов трения остаются прежними. Ограничение (3.8.5) на управляющую силу также остается, однако теперь будем считать

Uo > 2a/5F.(3.11.1)

Требуется за конечное время привести несущее тело в положение х = х = 0.

Рассуждая как и выше, можно доказать справедливость следующих утверждений:

lim ±(t) = 0, lim j⑴=О, 力TOO力— СЮ

Jim I0⑴ I ， -, lim 1力⑴ | 力 TOCCo力 тосp

Применим к системе описанный выше алгоритм управления. Учитывая новые ограничения (3.11.1) на величину F, положим

Выражения для £ м Н* остаются прежними. На первом этапе система приводится во множество

{(х,х,ф,ф) 6 Д4 : Н(х,х,ф,ф) < Я*},

на втором этапе несущее тело достигает терминального положения. Динамика несущего тела на втором этапе по-прежнему описывается

уравнениями (3.10.1), однако возмущения Q принимают вид

Q = соф + fi- /2.

Величину Q теперь можно оценить так:

Достаточные условия приведения несущего тела в терминальное положение принимают вид

反2 +反2 +/ЗС\3/2 Uo 、< 灰6(喝-20ь2)1/2丿、16，ШГ

反2 +

反2 +

Система «физический маятник на тележке»

Перейдем теперь к управлению механической системой, состоящей из движущегося вдоль горизонтальной прямой тела массы mi и подвешенного к нему тела массы 加2 (рис. 45). Рассматривается плоское движение.

Введем прямоугольную систему координат, ось абсцисс которой лежит на данной прямой. Динамика системы описывается уравнениями (mi + m2)石 + m2/ cos 0 @ = " + m2/ sin фф2 + /(t,/)，

(3.12.1) m2% COS0 石 + (加2片 + ^Ф = 一m2贝 Sil!0 + 从(九 0).

Здесь X — координата первой массы на прямой, ф — угол между вертикалью и прямой, соединяющей точку подвеса и центр инерции второго тела, I — расстояние от точки подвеса до центра инерции, J — момент инерции второго тела относительно центра инерции.

Через /(方，力)обозначена сила сухого трения, действующая со стороны неподвижного основания на первое тело, а через 〃(九 0) — момент, обусловленный сухим трением в точке подвеса. Предполагается, что / и 从 неизвестны и удовлетворяют условиям

0 W 1/(方,/)1{F, /(方,/)出4 0,

.(3.12.2)

0V W 1从(方,0)1 W 从2, 从(九0)0< 0.

По-прежнему считаем, что массы тел mi и 加2 неизвестны, но лежат в заданных пределах (3.8.1), что на управляющую силу и наложены ограничения (3.8.5), (3.8.6) и что все фазовые переменные х, х, ф, ф доступны измерению. Требуется за конечное время привести несущее тело в положение х = х = 0.

Пусть в начальный момент t = 0 система находится в состоянии/(0)=力0,这⑼=这0,。⑼=00,3⑼=加

Как и в предыдущем случае, управление ищется в виде линейной обратной связи (3.8.7) с кусочно-постоянными коэффициентами. Введем «фиктивную» пружину жесткости /3, соединяющую первое тело

и неподвижное основание, причем положение 力=0 отвечает ее неде- формированному состоянию. Полная энергия системы с учетом упругой энергии «фиктивной» пружины имеет вид

e=；((m1 + m2)近2 + (加2户 + J) j2 + ^m^1xф COS Ф + /3/2)+

+ m2g/(1 - COS 0),

а производная Е в силу системы (3.12.1) — вид

Ё = —Qi：? — \ fx\ — \/лф\.

С помощью рассуждений, аналогичных проведенным в § 3.8, можно доказать справедливость следующих соотношений:

Jim 石⑴=Е*, Е*》О,

一00(3.12.3)

lim ±(t) = 0, lim j⑴=0.力TOO力— СЮ

Лемма 3.8. Имеет место неравенство

lim I力⑴I < -.

Доказательство. Предположим противное. Пусть существуют такие число 5 > 0 и последовательность ｛方卜｝, tk 一 ^ при k — оо, что

(3.12.4)

Обозначим через 3(方)левую часть первого уравнения (3.12.1):

W⑴=(mi + 加2)石 + т^1ф cos ф.

Выберем число о из условий

В силу (3.12.3) найдется такое，> 0, что | j(方)|, |近(方)| < о при t >，. Подставим выражение (3.8.7) для управления и в первое уравнение (3.12.1) и оценим слагаемые в правой части на отрезках времени

tk >，,tk >，,

tk >，,

tk >，,

учитывая (3.12.4), следующим образом:

|/Зж|》歹 + 3/35, \ах\ av < 05, \т21ф2 sin ф\ < 加2序 W /35.

Отсюда и из (3.12.2) вытекает

|ф(^)| > я > 0, t 6 4,方к>/,

следовательно,следовательно,(3.12.5)(3.12.5)

следовательно,

следовательно,

(3.12.5)

(3.12.5)

Функция 3(方)не является непрерывной, однако на каждом из отрезков Д,九 > 方'，знак функции W&) постоянен, так как совпадает со знаком переменной x(t), которая непрерывна и не обращается в нуль в силу условия

\[3х\》歹 + 3/35.

Поэтому

№⑴依№⑴依1 + m2)宕 + m2必COS 0)I1 + m2)宕 + m2必COS 0)Itk^b/vtktk^b/vtk

№⑴依

№⑴依

1 + m2)宕 + m2必COS 0)I

1 + m2)宕 + m2必COS 0)I

tk^b/v

tk

tk^b/v

tk

Оценим слагаемые в выражении для интеграла от W(方)следующим образом:

\tk+^/v(Ш1 + Ш2)Ж< 4MV,I tk\tk+^/v(Ш1 + Ш2)Ж< 4MV,I tk・ Jk+B/u ?TZ2/0COS0< 2Mlv,・ Jk+B/u ?TZ2/0COS0< 2Mlv,

\tk+^/v

(Ш1 + Ш2)Ж< 4MV,

I tk

\tk+^/v

(Ш1 + Ш2)Ж< 4MV,

I tk

・ Jk+B/u ?TZ2/0COS0< 2Mlv,

・ Jk+B/u ?TZ2/0COS0< 2Mlv,

m2必2 sin0必 < Ml6v.

Следовательно,

|W⑴依 <22И(2 + / + 8/)о,

что противоречит неравенству (3.12.5) при достаточно малых о. Лемма доказана.□

Перевод несущего тела в заданное терминальное положение осуществим, как и прежде, в два этапа. Положим

G(以 0, j) = ； ^М±2 + М(\х\ + / | j|)2 + J@2)+ Mgl( \ - cos。)

и рассмотрим функцию

/、1/2

Н(力,以 0, @) = G + ( G2 + * « )(3.12.6)

Пусть

Н(力о,近о,。0, do) = %, G(近о, 0o, do) = Go・

Зададим в начальный момент времени коэффициенты усиления а° и % в управлении (3.8.7) формулами

Ви =，"О =，加仇•

Введем обозначения

畤(力,±, 0, @) = G(以 0, 3) + 年/2,

(3.12.7)

石！(/,以 ф，6) = 3 (加近2 + Ji2) + mg%( 1 - COS 0) + В

Нетрудно видеть, что полная энергия Е° системы с учетом упругой энергии «фиктивной» пружины жесткости /3° подчиняется соотношениям

石上⑴ < E°(t) «Е*⑴.(3.12.8)

В силу (3.12.6) число Hq является корнем квадратного уравнения

^о - 2GдНд— * = 0,

рассматриваемого как уравнение относительно Hq. Разделив это уравнение на Hq и воспользовавшись формулой для /3° и выражением (3.12.7) для Е*, получим равенство

2Е^(хо,±о^о^о) =Я0.(3.12.9)

Рассуждая как и выше, покажем с помощью соотношений (3.12.7)(3.12.9), что вдоль начинающейся в точке (力о,近о, Оо, do) траектории системы (3.12.1), (3.8.7) с коэффициентами а°, Во выполнены ограничения (3.8.5):

|〃|2 W 2(W* + /3託2) = 2/3o(m±2 + 仇力2) W 4/3o^l (力,以 ф, j) W

< 4优ё。⑴《 4仇ё。(0) 《 4%畤⑼=2/30Я0 = U(?.

Введем обозначения

& = 2Мд1,(3.12.10)

В силу (3.8.6) число 〃 удовлетворяет неравенству ту < 1. Предположим сначала, что в начальный момент выполнено условие

Ни〉Н*.(3.12.11)

Из вида (3.12.6) функции Н(х, х, ф, ф), утверждения леммы 3.8, соотношений (3.12.3) и формулы для коэффициента /3° вытекают неравенства

/^2гг2 \ 1/2

乒W £ + (户 +<£ + (?+ 倘Н結2.

Положим

Hl =g+(?+〃2 砒 1/2.

Обозначим через 方i первый момент времени, когда значение функции Н«) на рассматриваемой траектории станет равным Н\. Изменим в момент 方 1 коэффициенты усиления в управлении (3.8.7). Положим

仇=, Qi =，加仇

И т. д.

Траектория движения системы, как и в случае двухмассовой упругой системы, состоит из отрезков траекторий различных систем дифференциальных уравнений: k-й отрезок отвечает системе (3.12.1), управляемой по закону (3.8.7) с коэффициентами, задаваемыми формулами2

缥=о и，"к =，加缥,

причем на каждом из отрезков выполнено ограничение (3.8.5). Числа Нк определяются рекуррентно с помощью формул

瓦=£ + (? +〃2母—1)1/2，k= 1,2,.・.，

и удовлетворяют соотношениям

Н®〉Н\〉Н?〉...， lim Hk = 9 < Н*.

Следовательно, справедлива следующая теорема.

Теор ема 3.3. Пусть выполнено условие (3.12.11). Тогда существует момент времени то, когда на траектории системы (3.12.1), управляемой с помощью изложенного выше алгоритма, функция примет значение Я*.

В момент времени т° начинается второй этап движения. Если условие (3.12.11) в начальный момент не выполнено, то мы полагаем то = 0 и переходим сразу ко второму этапу.

Выделим из системы (3.12.1) уравнение движения первой массы. Умножим для этого второе уравнение на m^l cos ф/(т212 + J) н вычтем его из первого. Получим

mf х = 〃 + Q,mf х = 〃 + Q,,加2/2 COS2 ф,加2/2 COS2 ф

mf х = 〃 + Q,

mf х = 〃 + Q,

,加2/2 COS2 ф

,加2/2 COS2 ф

(3.12.12)

Величину Q будем трактовать как неизвестную возмущающую силу.

На втором этапе используем предложенный в § 3.3 алгоритм управления склерономной механической системой. Исследуемая в данный момент система представляет собой систему с одной степенью свободы. В отличие от случая, рассмотренного в § 3.3, в уравнении (3.12.12) величина т‘, выступающая в роли матрицы кинетической энергии, зависит от переменной 0(力).Переменная 0(力)является фазовой переменной для исходной системы (3.12.1), однако не является таковой для системы (3.12.12), поэтому возможность применения указанного алгоритма требует дополнительного обоснования. Приведем кратко такое обоснование.

По предположению, величина ф измеряется в каждый момент времени, поэтому в дальнейших рассуждениях функция。(方)считается известной. В силу (3.8.1) mz удовлетворяет неравенствам

m < mz < 2М.

Введем в рассмотрение функцию

/\ 1/2

W(力,= 2М±2 + ( 4М2±4 + 寸力2)

и положим

Wo =屮(力(丁0),必То)), wk = ^,.

Пусть Tk — первый момент времени, когда функция W(t), вычисленная вдоль траектории, станет равной Wk- Зададим в момент времени 丁卜 коэффициенты а п /3 с помощью формул

练=/，"к =，加练,к 0.

Множества уровня W(x, ±) = W^ функции W представляют собой семейство эллипсов в фазовой плоскости (х, ±), стягивающихся к началу координат (0,0) при к — оо.

Положим

力(〃)=力 к, X(Tk) = хк.

Убедимся, что траектория, начинающаяся в момент 丁卜 в точке (力卜，近卜), попадет на эллипс с номером k + 1.

Рассмотрим функцию Ляпунова

Vk(x,x)Vk(x,x)=* 定2 + ^ 力2 + ekmfxx,=* 定2 + ^ 力2 + ekmfxx,8MVW*8MVW*При тк ^t < 几+1При тк ^t < 几+1имеют место соотношения:имеют место соотношения:

Vk(x,x)

Vk(x,x)

=* 定2 + ^ 力2 + ekmfxx,

=* 定2 + ^ 力2 + ekmfxx,

8MVW*

8MVW*

При тк ^t < 几+1

При тк ^t < 几+1

имеют место соотношения:

имеют место соотношения:

V^x,x) < Vk(x,x) < 库(力,近)，

死(力,±) = ^ (%/2 + 加出2), *(/,±)=练62 + 2M±2；

吸(力，近)》*, 2V^xk,xk) = Wk, k = 0,l,..・.

(3.12.⑶

Для доказательства последнего соотношения заметим, что число

/\ 1/2

Wk = W(xk,xk) = 2М±^ + f 4М2±^ + ~2~хк｝，

очевидно, является корнем квадратного уравнения

wl - 4Mx^wk - ^- 4 = °，

рассматриваемого как уравнение относительно W^. Разделив это уравнение на Wk и воспользовавшись формулами для 练 и 吸，получим требуемое равенство.

Выражение для производной функции Vk в силу системы (3.12.12) и закона управления (3.8.7) имеет вид

Vk(x,x) = -SkPkX2 +(£k位'-£k&k)力近-

一)* +(3(£k力 +近).(3.12.14)

Справедливы неравенства

力/Iw£kakx + 7 力，力/Iw£kakx + 7 力，后k位‘力近I W 17bl后k位‘力近I W 17bl(3.12.15)(3.12.15)

力/Iw£kakx + 7 力，

力/Iw£kakx + 7 力，

后k位‘力近I W 17bl

后k位‘力近I W 17bl

(3.12.15)

(3.12.15)

Пусть величина Q удовлетворяет условию

Q <Qo =Q <Qo =32д/ЙЙ32д/ЙЙ(3.12.16)(3.12.16)

Q <Qo =

Q <Qo =

32д/ЙЙ

32д/ЙЙ

(3.12.16)

(3.12.16)

Оценим последнее слагаемое в выражении (3.12.14) следующим

образом:

Г5

\Q^x + ±)| < QoEk力 + 近I W Qo 5気力2 + ^近2

=Q。( 1 黑2 练"+ 4 *2) W Qo (练)2 + 2"出2))=

^Qq吸（力，这）＜ ^V2M J苏（/，近）^Qq吸（力，这）＜ ^V2M J苏（/，近）A/mu0(汝力 2 + 2m±2)32MVWA/mu0(汝力 2 + 2m±2)32MVW

^Qq吸（力，这）＜ ^V2M J苏（/，近）

^Qq吸（力，这）＜ ^V2M J苏（/，近）

A/mu0(汝力 2 + 2m±2)32MVW

A/mu0(汝力 2 + 2m±2)32MVW

Подставив полученное неравенство и неравенства (3.12.15)

в (3.12.14), получим

叫力,近)w f (缥-£kQk - з/^^ — ^k\mf\^ x2-

EUgЖЖEUgЖЖ

EUg

ЖЖ

EUg

ЖЖ

Потребуем, чтобы производная mz подчинялась ограничению

1^1 <(3.12•⑺

О

Так как а° < &к,卜=1,2... , то 巾| < &к/8. Принимая во внимание (3.12.13) и соотношения

= 16MWk W ^，以加k 2口 =号，

加u0加u01 加u0_竺储 Ж7Ж =后1 加u0_竺储 Ж7Ж =后

加u0

加u0

1 加u0_竺储 Ж7Ж =后

1 加u0_竺储 Ж7Ж =后

приходим к оценке

Следовательно, ../ 64 I mg)

7k+] 一 丁к W?•

В силу (3.12.13) числитель под знаком логарифма удовлетворяет неравенству

Vk{Tk) < V^rk) = V^xk,xk)=学.

Используя равенство 缥+i = 2缥 и соотношения (3.12.13), знаменатель оценим следующим образом:

小毎+1)》g毎+i) = I (练底+i +m凝+1)=

=；(练+1 底+1 +2m浇+1))& (练+1 底+1 +22h就+1)=

=為『("舞伍.

Отсюда вытекает, что время движения от k-ro до (к + 1)-го эллипса удовлетворяет оценке

Tk+1—In = 72/ In,

а общее время движения системы до начала координат не превосходит суммы ряда из правых частей полученного неравенства. Этот ряд сходится, поэтому время движения конечно.

Найдем условия, при которых на протяжении всего второго этапа движения выполнено неравенство (3.12.16). В силу определения функции G и условия (3.8.1) в момент т° начала второго этапа энергия всей системы без учета упругой энергии «фиктивной» пружины удовлетворяла неравенствам

I ((m1 + m2)*(70)+ (加2户 + /)@2(70)+

+2加2/丕(70)3(70)COS0(TO)) +m2〃(1 — COS0(To)) <

WG(to) W；H(to) W；H*,

а в силу (3.12.13) упругая энергия «фиктивной» пружины — неравенствам

у ^2(T0)W W(To)=屮.

На каждом из промежутков времени ［丁卜，丁卜+1), к = 0, 1,... , коэффициенты усиления в управлении (3.8.7) постоянны, поэтому полная энергия всей системы не возрастает. В момент 丁卜+i жесткость «фиктивной» пружины /3 испытывает скачок, увеличиваясь в 2 раза, поэтому упругая энергия «фиктивной» пружины в этот момент изменяется на величину

=；(练+1 -练)/2(7k+1)="才1/2(7k+1).

В силу соотношений (3.12.13) величина 穴卜+1 удовлетворяет неравенству

/ 1 科_ *+1 _ 叫7rk+14= 2Ш-

Суммарное приращение упругой энергии «фиктивной» пружины, происходящее за счет мгновенного изменения жесткости, не превосходит суммы ряда

k=l

Следовательно, при любом 方》々 полная энергия всей системы 石(方) подчиняется ограничению

e(Y+當

В силу определений функций G, W а Н имеем

Mx1 < G(以 0,@),

/、1/2

W{x, ±) < 2G + ( 4G2 + ^- ж2 I < 2H(力,±, ф, @).

Так как в момент т° начала второго этапа Н(то) W %, то

% W 2Я(т0) W 2%,

откуда получаем, что при любом 方》々 полная энергия всей системы 石(方)подчиняется ограничению 石(方)< 9Н*/8, а угловая скорость ф — ограничению

w(3.12.18)

加2/ + J 4(加2/ + J)

Оценим отдельные слагаемые в выражении для возмущений Q в уравнении (3.12.12) следующим образом:

|m2^2 sin 01 <|m2^2 sin 01 <9m2IH*4(加2/2 + ))9m2IH*4(加2/2 + )).9%.9%77^ 必g COS 0 sin 0m^P + J77^ 必g COS 0 sin 0m^P + Jw 加2g W Mg,w 加2g W Mg,77Z23 cos 0m^P + J77Z23 cos 0m^P + J

|m2^2 sin 01 <

|m2^2 sin 01 <

9m2IH*

4(加2/2 + ))

9m2IH*

4(加2/2 + ))

.9%

.9%

77^ 必g COS 0 sin 0m^P + J

77^ 必g COS 0 sin 0m^P + J

w 加2g W Mg,

w 加2g W Mg,

77Z23 cos 0m^P + J

77Z23 cos 0m^P + J

Подставив полученные неравенства, а также формулу (3.12.10) для Н* в выражение для Q, после некоторых преобразований приходим к соотношению

Подставив в неравенство (3.12.16) вместо |Q| величину Qi, получим

(3.12.19)(3.12.19)他,29党-18我加0。

(3.12.19)

(3.12.19)

т 2(%-9严)g32W

Выведем теперь условия, которые гарантируют выполнение неравенства (3.12.17). Оценим для этого производную 位‘ с помощью соотношений (3.12.12) и (3.12.18), а величину &о/8 — с помощью формул для коэффициентов а°, Со и неравенства Wq < 4Н* следующим образом:

&0 т&0 тm2Z2|^cos^sin^)|加2/2 +)m2Z2|^cos^sin^)|加2/2 +)W "(2(m/2； J))W "(2(m/2； J))1/21/2WoWo88д/^UoЖЖд/^UoЖЖ

&0 т

&0 т

m2Z2|^cos^sin^)|

加2/2 +)

m2Z2|^cos^sin^)|

加2/2 +)

W "(2(m/2； J))

W "(2(m/2； J))

1/2

1/2

Wo

Wo

8

8

д/^Uo

ЖЖ

д/^Uo

ЖЖ

Для выполнения условия (3.12.17) достаточно потребовать

7 M2 Н*加嗝

2(m/2 + J)21叨「

Подставив в последнее неравенство выражение (3.12.10) для Н*, после некоторых преобразований получим следующее соотношение, которое гарантирует выполнение условия (3.12.17):

(3.12.20)(3.12.20)Uq / m(mZ2 + J)(党—9歹2)2 " 217”4g2/2 •

(3.12.20)

(3.12.20)

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Т е о р е м а 3.4. Пусть параметры задачи удовлетворяют условиям (3.12.19), (3.12.20). Тогда предложенный алгоритм управления приводит несущую массу в заданное положение за конечное время.

Замечание 3.6. Неравенства (3.12.19), (3.12.20) — достаточные условия приведения системы в заданное терминальное множество —накладывают довольно сильные условия на исходные параметры задачи. Это объясняется грубостью некоторых оценок, использованных в ходе обоснования алгоритма, а также тем, что всегда предполагалось «наихудшее» поведение системы в рамках наложенных ограничений. Кроме того, данные неравенства гарантируют монотонное убывание функций Vk вдоль траектории системы, тогда как функции Vk могут быть немонотонными, а траектории при этом могут по-прежнему приходить в терминальное состояние. Заметим, однако, что в сам алгоритм управления приведенные достаточные условия не входят, поэтому алгоритм может быть формально применен для решения задач с любым, соотношением параметров. Численное моделирование показывает эффективность данного закона управления для гораздо более широкого класса систем, чем те, что удовлетворяют условиям (3.12.19), (3.12.20).

Результаты моделирования

Проиллюстрируем работу предложенного алгоритма управления.

Приведем сначала результаты компьютерного моделирования динамики системы, изображенной на рис. 43. Ее уравнения движения (3.8.3) интегрировались методом Рунге-Кутта при следующих значениях параметров:

М = mi = 10 кг, m = m2 = 5 кг,

С = со = 10 Н/м, 7 = 71 = 72 = 0.2.

Величина U。 была выбрана равной 100 Н. Система переводилась из начального состояния

力о = 1 м, 0о = —0.5 м, xq = фо = 0 м/с

в терминальное множество х = х = 0, т. е. требовалось остановить первую массу в начале координат. Интегрирование уравнений прекращалось, когда величина (ж2 + ж2)1/2, равная евклидову расстоянию от проекции текущей точки фазовой траектории системы на подпространство (х, ±) до начала координат, становилась меньше 0.001.

Нетрудно убедиться, что при выбранных соотношениях параметров условия (3.10.2) — достаточные условия приведения системы в терминальное положение — не выполнены. Тем не менее траектория системы (3.8.3), управляемой с помощью предложенного алгоритма, приходит в терминальное множество за конечное время.

Рис. 46. Зависимость координат и скоростей от времениРис. 46. Зависимость координат и скоростей от времениОсновные характеристики движения, вычисляемые при реализации алгоритма, оказались равными: % = 143.9 кг-м2/с2,

Рис. 46. Зависимость координат и скоростей от времени

Рис. 46. Зависимость координат и скоростей от времени

Я* = 706.8 кг-м2/с2.

Так как % V Н*, первый этап движения отсутствует.

Рис. 46 описывает поведение фазовых переменных системы. Жирные кривые соответствуют первой (несущей) массе, тонкие — второй массе. Сплошные линии представляют собой графики зависимостей координат х, ф обеих масс от времени, штриховые — графики скоро

стей. Из рисунка видно, что график скорости первой массы ± и график скорости ф второй массы относительно первой имеют изломы, обуслов

ленные разрывным поведением управляющей силы.

Тонкой линией на рис. 47 изображен график зависимости абсолютной величины управляющей силы от времени, а жирной — поведение коэффициента а (ступенчатая функция). Несмотря на то, что коэффициенты усиления а, /3 в управлении (3.8.7) неограниченно возрастают (за время интегрирования уравнений коэффициенты обратной связи в управлении изменились 16 раз), величина управляющей силы и, как видно из рисунка, удовлетворяет условию (3.8.5) со значительным

Рис. 47. Управляющая сила и коэффициент аРис. 47. Управляющая сила и коэффициент аРис. 48. Система «груз на тележке»: координаты и скоростиРис. 48. Система «груз на тележке»: координаты и скоростизапасом.

Рис. 47. Управляющая сила и коэффициент а

Рис. 47. Управляющая сила и коэффициент а

Рис. 48. Система «груз на тележке»: координаты и скорости

Рис. 48. Система «груз на тележке»: координаты и скорости

На рис. 48 приведены результаты моделирования системы «груз на тележке». Как и выше, сплошные линии отвечают координатам масс х, ф, штриховые — скоростям ±, ф, жирные кривые соответствуют первой (несущей) массе, тонкие — второй.

Как уже отмечалось, из-за присутствия сил сухого трения система имеет зоны застоя. Из рисунка видно, что в процессе движения вторая масса «залипает» и на протяжении некоторого отрезка времени остается неподвижной относительно первой, вновь приходя в движение на заключительном этапе.

Кусочно-линейное управление реономнымимеханическими системами. Постановка задачи

В следующих параграфах рассматривается реономная механическая система, т. е. система, кинетическая энергия которой представляется в виде полного квадратичного полинома с коэффициентами, явным образом зависящими от времени

T(t,q,q) = ^ (A(t,q)q,q) +〈а(方,q),@) +aQ(t,q).(3.14.1)

Предполагается, что положительно-определенная симметрическая матрица 4(方，q) е С】 неизвестна, ее собственные числа при любых t, q принадлежат отрезку [m, М], 0 < m < М, а частные производные равномерно ограничены по норме, т. е.

mz2 <〈4方,q)2, 2)W Mz2, V 2 G Rn,

(3.14.2) 产箒八，01,02〉0.

oqiat

Вектор-функция а(方，q) e С1 и функция ао(方，q) G С1 также считаются неизвестными и удовлетворяющими условиям

爲)Т —芻—祟 W，03, А〉0. (3.14.3)

Динамика рассматриваемой системы описывается уравнениями (3.1.2).

По-прежнему предполагается, что система управляется непосредственно по каждой степени свободы и на n-мерный вектор управляющих сил U наложено ограничение

а обобщенные силы Q неизвестны и удовлетворяют условию

IQYQo, Qo〉。.(3.14.5)

Фазовые переменные q, q считаются доступными для измерений в каждый момент времени.

Задача 3.4. Пусть даны постоянные т, М, U。 “ Dj 。= 1,… ...,4). Требуется построить управление, подчиняющееся ограничению (3.14.4), и указать область допустимых начальных состояний, из которой система (3.1.2) придет под действием этого управления 6 заданное терминальное состояние покоя (д, 0) за конечное время, каковы бы ни были матрица А, вектор а, функция а° “ возмущения Q, удовлетворяющие условиям (3.14.2), (3.14.3) и (3.14.5).

Описание алгоритма для реономных систем

Не ограничивая общности, будем считать, что терминальное состояние совпадает с началом координат, т. е. q = 0 (этого можно добиться с помощью соответствующей замены переменных).

Построим управление в форме линейной обратной связи по обобщенным координатам и скоростям с коэффициентами усиления в виде ступенчатых функций:

U = -akq - (3kq, ak, (3k > 0.(3.15.1)

Опишем поведение этих функций, т. е. зададим последовательность значений коэффициентов &卜 и 缥.

Пусть qo = «(°)，Оо = 0(。) — начальное состояние системы. Введем в рассмотрение функцию

W{q,q)= ”后+ (^M2q4 + U^q2^/2 .(3.15.2)

Величина W(q, q) имеет размерность энергии и характеризует удаленность точки (q, 0) от терминального положения (0,0): множество уровня W(q, q) = С функции W в фазовом пространстве q, q Е В?п представляет собой эллипсоид 2CMq2 + 党q? = С?, который сжимается к началу координат (0,0) при С — 0.

Положим

WQ = W(qQ,qQ), Wk = ^, k=l,2，….(3.15.3)

Множества уровня функции W(q, q), отвечающие постоянным %, составляют семейство эллипсоидов, стягивающихся к нулю с ростом к. Обозначим через 方i момент времени, когда траектория системы впервые попадет на эллипсоид W(q, q) = Wi и положим % = q(方i), 负 =0(方i). Ниже будет показано, что при выбранном алгоритме управления

траектория системы стремится к началу координат, поэтому такой момент времени существует. Обозначим через 方2 момент времени, когда траектория системы впервые попадет на эллипсоид W(q, q) = %. Положим «2 = q(方2), @2 =必方2)И т. д.

Последовательность ｛方卜｝ определяет моменты изменения коэффициентов &卜，练 в управлении (3.15.1). Зададим значения этих коэффициентов на полуинтервале времени ［九，方卜+i), /с = 0, 1,... следующим образом:

Ок = = гпрк. (3.15.4)

В фазовом пространстве В^п траектория движения рассматриваемой механической системы состоит из отрезков траекторий различных систем дифференциальных уравнений: k-й отрезок соединяет точки (必，旗)и (必+i,旗+1) и отвечает системе вида (3.1.2), (3.15.1), в которой коэффициенты усиления &卜，练 постоянны и определяются формулами (3.15.4). Все точки (^, ^) лежат на соответствующих эллипсоидах W｛q, @) = Wk, к = 0, 1,... (рис. 37).

Замечание 3.7. Как и в рассмотренном выше случае склерономной системы, функция W, вообще говоря, не является монотонно убывающей вдоль траектории, несмотря на то, что траектория стремится к началу координат. Поэтому траектория может иметь более одной точки пересечения с некоторыми эллипсоидами (с儿.замечание 3.1 в § 3.3). Кроме того, в отличие от использованного выше для склерономной системы подхода, семейство эллипсоидов 6 данном случае с самого начала выбирается так, что начальное состояние системы лежит на эллипсоиде с индексом 0.

Таким образом, для реализации алгоритма достаточно измерять текущие значения фазовых переменных системы q, q и хранить в памяти текущее значение индекса к, равное номеру минимального эллипсоида, на котором уже побывала траектория системы. Так как в выражение (3.15.2) для функции W помимо фазовых переменных входят только известные параметры задачи, то значение функции W(q(t), Q(^)) может быть вычислено в любой момент времени. Каждый раз, когда значение W уменьшается вдвое, индекс к возрастает на единицу, коэффициент а увеличивается в д/^ раз, а коэффициент /3 — в 2 раза.

Обоснование алгоритма для реономных систем

Для обоснования алгоритма воспользуемся вторым методом Ляпунова. Рассмотрим k-й отрезок траектории при некотором фиксированном к》0. Этот отрезок начинается в точке (矗，次) в момент времени 方卜 и отвечает системе (3.1.2), (3.15.1) с постоянными коэффициентами обратной связи, задаваемыми формулами (3.15.4).

Покажем, что существует такой момент времени 方卜+i, когда траектория системы попадет на эллипсоид W(q, q) = И4+1.

(3.16.1)(3.16.1)Функция Ляпунова. Положим

(3.16.1)

(3.16.1)

и введем в рассмотрение функцию Ляпунова

尸(方,q,@) = ； {A{t,q)q,q) + ^-q2 + ek{A{t, q)q, q).(3.16.2)

Выражение для функции Vk содержит матрицу кинетической энергии 4(方，q), которая предполагается неизвестной. Оценим через известные величины значение этой функции в произвольной точке (方，q, 0) расширенного фазового пространства. В силу неравенства Коши и выражения (3.16.1) справедливы соотношения

\^k{^q, Q)i W I(40,0) + 2気(4q,力=I ((4@，0) + ^^(4q,力)，

а из условий (3.14.2) вытекает

т(Зк / гп(Зк 2 / а 2彳声Cd" ，寸q，练q •

Подставив полученные неравенства в соотношение (3.16.2) и вновь используя условия (3.14.2), получим следующие оценки для функции Vk\

V^q,q) W V"t,q® < *(q,0,(3.16.3)

где

乃(q,@) = I (加后 + 练《2), *g，G = | (”后十练《2).(ЗД6.4)

Установим соотношения, связывающие функции 吸(q,@) и W(q, q). Подставив формулу для коэффициента 缥 из (3.15.4) в выражение (3.16.4) для функции 吸，получим

吸 = F(3.16.5)

По построению точка (夕卜，@卜)лежит на эллипсоиде с номером к. Отсюда и из определения (3.15.2) функции W следует

Wk = W(qk,qk) = Mql +(M2^ +。孤产乙

С помощью данного равенства числитель в выражении (3.16.5) приводится к виду 5И^, откуда вытекает соотношение

V^qk,qk) = ^Wk,V^qk,qk) = ^Wk,(3.16.6)(3.16.6)

V^qk,qk) = ^Wk,

V^qk,qk) = ^Wk,

(3.16.6)

(3.16.6)

которое связывает функции 吸(q,@) и W(q, q) и означает, что при любом к эллипсоид с номером к является множеством уровня квадратичной формы V^(q, q), отвечающим значению 5n4/16. В соответствии с алгоритмом точка (q⑴，0⑴)при t е 餘，方卜+i) лежит вне (k + 1)-го эллипсоида, т. е. вне множества уровня

{(q,@): V^\q,q) = ^Wk^}, поэтому

吸+1 (q⑴,0⑴)> ^ Wk^ = ^Wk, tk^t< 九+1.

В силу формул (3.15.3), (3.15.4) имеет место равенство 练+i = 2/3卜, из которого вытекает соотношение

Mq2 + 练『》1 ("о2 + 练+1g2).

Следовательно, на k-м отрезке траектории справедлива оценка

WS⑴,0⑴)》；*+气⑴,我))》言曲・ (3.16.7)

Производная функции Ляпунова. Обратимся теперь к вычислению производной Vk. Введем обозначения

篇也『^也必

(3.16.8)

b(方,G = * (方,G -等(九G

и продифференцируем функцию Vk в силу системы (3.1.2), (3.15.1). Получим

--£k^k{q,q) + {Q + b,q + £kq) - £k{Bq,q), (3.16.9)

где / — единичная матрица.

Оценим отдельные слагаемые в выражении (3.16.9). С помощью соотношений (3.14.3), (3.16.8) получаем

\^kCtk{q,q) \ < ?后 + 気аk产

2(3.16.10)

\^k{Bq,q)\ W ^ 后 + %^ 产

Используя неравенство

|2£k©q)|，^后 + 1602,

выражение (3.16.1) для £卜 и соотношение (3.16.7), оценим величину \\q + SkQ\\ следующим образом:

g + е血 2« ^『+ и或『< ^м^м^ + 伙")=1^7 哇①《)=

=107H^(q，G (吸(%小)50MWk，

Отсюда с учетом второго выражения (3.16.4) получаем

KQ + Ь, 0 + ^\ <||Q + "I("后 + 练《2)・(3.16.11)

В силу (3.14.2) и неравенства ^^=i \qt\ W у/п \\q\\ справедливо соотношение

дАдА亦亦(3.16.12)(3.16.12)

дА

дА

亦

亦

(3.16.12)

(3.16.12)

Подставив неравенства (3.16.10)-(3.16.12) в выражение (3.16.9) и воспользовавшись условиями (3.14.2), (3.14.3) и (3.14.5), приходим к следующей оценке производной функции Vk вдоль /с-го участка траектории:

Vk(t,q,q) < -Vk(t,q,q) < -夕缘一叁奴-缘夕缘一叁奴-缘(Qo + 04)—(Qo + 04)—

Vk(t,q,q) < -

Vk(t,q,q) < -

夕缘一叁奴-缘

夕缘一叁奴-缘

(Qo + 04)—

(Qo + 04)—

02 +03 I17M2 V W02 +03 I17M2 V W(Qo + °4)- ^^~-^k\\q\\^q2-

02 +03 I17M

2 V W

02 +03 I17M

2 V W

(3.16.13)

Покажем, что при некоторых дополнительных предположениях производная Vk будет отрицательно определена. Положим

Q = minQ = minVT5MUq mU^ mU^ ]8y^Oi ' 32片'32D| J

Q = min

Q = min

и введем в рассмотрение множества

G = {(q，O)e 心：W{q,q)^^},

Gk = {(q，0) : MU Vк = О, 1 …•

Из определения (3.15.2) функции W вытекает неравенство

3成Ц? < ^W\qk,qk),

из которого в силу соотношений (3.15.3) следует, что точка (q^, qk) лежит в области Gk・

Лемма 3.9. Пусть начальная точка (矗，次)k-го отрезка принадлежит множеству G, матрица А, вектор-функции a, Q и функция ао удовлетворяют условиям (3.14.2), (3.14.3), (3.14.5) “

+(3.16.14)

Тогда на участке траектории, который начинается в точке (qk, 0k), лежит вне эллипсоида W{q, q) = H4+i и во множестве Gk, производная функции Vk в силу системы (3.1.2), (3.15.1), (3.15.4) удовлетворяет неравенству

/k&q，G)論产(方，g，办(3.16.15)

Доказательство. По условию леммы W(夕卜，@卜)W Q, следовательно,

2 崑 32%，3 崑 32%.

Отсюда и из определений (3.15.4), (3.16.1) чисел £储@储 Вк вытекает

(3.16.16)(3.16.16)02 + A < ak 醍03 < qk练

(3.16.16)

(3.16.16)

2' 丁 2 ' 64ЛГ

Из условия (3.16.14) и формул (3.15.4) получаем

*(Q° + W* Bkj^Q + DZ 瑞.

(3.16•⑺

(3.16.18)(3.16.18)В силу соотношений (3.15.4), (3.16.1) имеем

(3.16.18)

(3.16.18)

—42И С162И •

Из условияИз условия

Из условия

Из условия

w（必，旗）WC

вытекаетвытекает01 <01 <VT5MUqVT5MUq8y/nWk *8y/nWk *Так как рассматриваемый участок траектории лежит во Gk, тоТак как рассматриваемый участок траектории лежит во Gk, томножествемножествеи, следовательно,и, следовательно,и и / 5&kи и / 5&k(3.16.19)(3.16.19)Подставив неравенства (3.16.16)-(3.16.19) в (3.16.13) иПодставив неравенства (3.16.16)-(3.16.19) в (3.16.13) ивоспользовоспользовавшись равенствамивавшись равенствамиприходим к соотношениямприходим к соотношениямVk(t,q,q) <Vk(t,q,q) <謁也货+以『"一論吸（d"），謁也货+以『"一論吸（d"），откуда в силу оценокоткуда в силу оценоквытекает утверждение леммы.вытекает утверждение леммы.□□

вытекает

вытекает

01 <

01 <

VT5MUq

VT5MUq

8y/nWk *

8y/nWk *

Так как рассматриваемый участок траектории лежит во Gk, то

Так как рассматриваемый участок траектории лежит во Gk, то

множестве

множестве

и, следовательно,

и, следовательно,

и и / 5&k

и и / 5&k

(3.16.19)

(3.16.19)

Подставив неравенства (3.16.16)-(3.16.19) в (3.16.13) и

Подставив неравенства (3.16.16)-(3.16.19) в (3.16.13) и

воспользо

воспользо

вавшись равенствами

вавшись равенствами

приходим к соотношениям

приходим к соотношениям

Vk(t,q,q) <

Vk(t,q,q) <

謁也货+以『"一論吸（d"），

謁也货+以『"一論吸（d"），

откуда в силу оценок

откуда в силу оценок

вытекает утверждение леммы.

вытекает утверждение леммы.

□

□

Лемма 3.10. Пусть матрица А, вектор-функции Q, а и функция а。удовлетворяют условиям (3.14.2), (3.14.3), (3.14.5), (3.16.14) и («к, Ok) е G. Тогда на k-м отрезке траектории выполняется неравенство (3.16.15).

Доказательство. Выше было установлено, что (夕卜，@卜)6 G^. В силу леммы 3.9 для доказательства леммы 3.10 достаточно показать, что k-й отрезок траектории целиком лежит в области G^.

5 联5 联Предположим противное. Пусть，— первый момент времени, когда на рассматриваемом отрезке траектория покинет область Gk, т. е.

5 联

5 联

(3.16.20)

С другой стороны, из определения (3.16.1) коэффициента £卜 и соотношений (3.16.3), (3.16.4) вытекает

*『(')=^^^^ 《 7^^(m后(/)+ 练д2('))=

=/^3')"(')) W 盘Vkgqmmt»

Так как рассматриваемый участок траектории при t^ ^ t < tf лежит в области Gk, то в силу леммы 3.9 функция Vk вдоль него убывает и с помощью соотношения (3.16.6) оценка может быть продолжена так:

гm，)< £『k(0Wk)，O&)) < £*3九)，0&))=蒜耿・

Следовательно,

5mWk =吧%

что противоречит условию (3.16.20). Лемма доказана.□

Из утверждений лемм 3.9 и 3.10 вытекает, что вне эллипсоида W(q, q) = Wfc+i функция Vk строго убывает вдоль траектории системы (3.1.2), (3.15.1), (3.15.4), а в силу соотношений (3.16.3)-(3.16.6) существует такой момент времени 方卜+i, когда траектория попадет на эллипсоид с номером k + 1.

Нетрудно видеть, что если начальное состояние системы (qo,0o) принадлежит множеству G, то в этом множестве целиком лежит нулевой эллипсоид W(q, q) = Wo, а вместе с ним и все остальные эллипсоиды W(q, q) = W^, k = 1,2,.... Следовательно, все точки («к, Ok) также принадлежат G и утверждения лемм 3.9 и 3.10 применимы для любого из отрезков, составляющих траекторию движения системы.

Оценка времени движения. Покажем, что система придет в начало координат за конечное время. Для оценки времени движения вдоль k-ro участка траектории проинтегрируем неравенство (3.16.15). Получим

方k+1 一方k W方k+1 一方k W40М3&к40М3&к『气九+1,必+1,次+1)・『气九+1,必+1,次+1)・(3.16.21)(3.16.21)

方k+1 一方k W

方k+1 一方k W

40М

3&к

40М

3&к

『气九+1,必+1,次+1)・

『气九+1,必+1,次+1)・

(3.16.21)

(3.16.21)

В силу соотношений (3.15.4), (3.16.3)-(3.16.6) имеем

『卜(力к+1,矗+1, Ок+1)》^―(Qfc+1, Qfc+1)=

I (加成+1 +练成+1)》^^ ("成+1 +绿+1成+1)=

k屮气…+l) =誥^

Подставив эти соотношения и выражение (3.15.4) для &卜 в неравенство (3.16.21), получим следующую оценку времени движения от точки (必,旗)до точки fe+1,^+1)：

方k+1 —方k W 丁 • 2一к/2,

7 八 11 20M

к = 0, 1,丁 = &In——•

Полное время движения системы до терминального состояния Т* не превосходит суммы ряда:

0О方

W 丁£2一к/2 =.(3.16.22)

к=0- 1

Следовательно, предложенный алгоритм управления приводит систему (3.1.2) в начало координат за конечное время.

Проверим, что вдоль траектории движения выполнено условие (3.14.4). Оценим для этого модуль вектора управляющих сил на к-м отрезке траектории, используя соотношения (3.15.1), (3.15.4), (3.16.3) и (3.16.4), следующим образом:

||U||2 W 2(0^2 + 齡q2)= 2缥(加@2 + 缥『)=

=^ PkV^q) ^^ (3kVk^q,q).

Так как функция Vk на полуинтервале 餘，方卜+i) убывает, то, используя соотношения (3.16.6), оценку можно продолжить так:

\\U\\2 ^^[3kVk(tk,qk,qk) < ^pkV^qk)鹏练％ = |喘

откуда вытекает неравенство (3.14.4).

Модификация алгоритма. Из приведенных рассуждений вытекает, что система придет в точку (0,0) за конечное время, если начальное состояние принадлежит эллипсоиду G. Отметим, что в качестве терминального состояния может быть выбрана любая точка вида (歹，0) в фазовом пространстве системы. При этом совокупность эллипсоидов, на которых происходит изменение коэффициентов усиления, окажется сдвинутой на вектор q, параметры же эллипсоидов останутся прежними. Покажем, что, используя это обстоятельство и модифицировав предложенный алгоритм, можно существенно расширить множество допустимых начальных состояний.

Пусть

(如，血)е G*, G* = {g，G е 岳几：后 w ^}.(3.16.23)

Переведем сначала систему в точку q = qQ, q = 0. Сделаем для этого замену переменных q‘ = q — qu・ В новых переменных q',『 множество

а = {3，『)： W3W},

аналогичное рассмотренному ранее множеству G, представляет собой эллипсоид с центром в точке qf = qf = 0. Начальное состояние системы — точка qj = 0, 0( = Оо — в силу включения (3.16.23) и определения (3.15.2) функции W принадлежит множеству G'. Следовательно, закон управления

U = —Qk0‘ —缥 d

с указанным выше алгоритмом изменения коэффициентов &卜，缥 приведет систему за конечное время в центр этого эллипсоида, т. е. в точку q =如，0 =。.

В фазовом пространстве q, q выберем конечную последовательность точек (R,0), j = 1,2,…，J, таких что q1 = q(), qJ = 0 и

||N-1卜靠(3.16.24)

Перевод системы из точки 伍\0)=(如,。)в точку 伍，,0) = (0,0), т. е. в начало координат, осуществим за J — 1 шагов, применяя каждый раз алгоритм управления заново. На j-м шаге начальному состоянию системы отвечает точка (^Л 0), а терминальному — точка 伍汁\0). Из неравенства (3.16.24) и определения (3.15.2) функции W вытекает, что при любом j точка (qj, 0) принадлежит эллипсоиду

G7' = {(q,@):"О) <◎}

с центром в (q7+i,0). Этот эллипсоид представляет собой множество допустимых начальных состояний системы для приведения ее в терминальное состояние (q^+1,0) на j-м шаге. Следовательно, закон управления

U = -akq -缥(q — R+1)

с указанным выше алгоритмом изменения коэффициентов &卜，缥 переведет систему за конечное время из точки 伍乙。)в центр этого эллипсоида, т. е. в точку q = q"+i, @ = 0. Таким образом, через J — 1 шагов система (3.1.2) окажется в терминальном состоянии (0,0).

Следующая теорема подводит итог проведенным выше рассуждениям.

Т е о р е м а 3.5. Пусть матрица А, вектор-функции Q,a и функция а。удовлетворяют условиям (3.14.2), (3.14.3), (3.14.5), (3.16.14) и (qo,0o) G G*・ Тогда предложенный закон управления переведет систему (3.1.2) из начального состояния (qo,0o) & начало координат фазового пространства за конечное время. При этом управляющие силы будут удовлетворять ограничению (3.14.4).

Замечание 3.8. Как уже отмечалось выше, изложенный подход является распространением на реономные механические системы подхода, примененного ранее к склерономным системам. В случае склерономных систем множество допустимых начальных состояний совпадает со всем фазовым пространством, т. е. система приводится из произвольного начального положения в заданное терминальное состояние. Для реономных же систем множество допустимых начальных состояний (3.16.23) представляет собой «полосу» & фазовом пространстве В^п, так как на начальные скорости накладывается условие

•2 / С

Замечание 3.9. В определение множества G* 〃 е выражения для функции W и коэффициентов усиления &卜，缥 входят только известные параметры задачи. Для реализации алгоритма достаточно знать величины т, М, U。， а также значения фазовых переменных системы в каждый текущий момент времени. Постоянные О】，1?2, °з присутствуют только в условиях, определяющих множество допустимых начальных состояний G*. Эти условия, как и ограничения на вектор-функцию а(方，q), функцию ao(t, q) и возмущающие силы Q в соотношениях (3.16.14), представляют собой лишь достаточные условия приведения системы в терминальное состояние и гарантируют монотонное убывание функций Vk вдоль траектории системы (3.1.2), (3.14.1), управляемой по закону (3.15.1). Однако функции Vk могут быть немонотонными, а траектории системы будут при этом по-прежнему приходить & терминальное состояние {см. замечание 3.3 в § 3.6). Поэтому предложенный алгоритм управления может быть формально применен и & случаях, когда ограничения (3.16.14) не выполняются, а начальное состояние системы не принадлежит множеству G*. Компьютерное моделирование динамики различных механических систем показывает, что алгоритм эффективен и за пределами приведенных достаточных условий.

§ 3.17. Результаты моделирования

Проиллюстрируем работу алгоритма с помощью численного

моделирования вращения тела с изменяющимся во времени моментом инерции. Рассмотрим систему, состоящую из невесомого

стержня и материальной точки, перемещающейся вдоль стержня

Рис. 49. Стержень и материаль-Рис. 49. Стержень и материаль-ная точканая точка(рис. 49). Стержень вращается в горизонтальной плоскости вокруг одного из концов под действием управляющего момента U. Предполагается, что масса точки то и закон движения точки вдоль стержня неизвестны. Кроме того, на стержень действует неизвестный возмущающий момент Q в шарнире.

Рис. 49. Стержень и материаль-

Рис. 49. Стержень и материаль-

ная точка

ная точка

Обозначим через q, q угловые координату и скорость стержня, через /(方)—расстояние от оси вращения до материальной точки. В принятых выше обозначениях отдельные слагаемые

в выражении (3.14.1) для кинетической

энергии системы принимают вид

4（方）=加0户⑴，。三0，a0（方）=；m0,2⑴,

а уравнения движения — вид

(3.17.1)(3.17.1)mQl2(t)q + 2moi(t)i(t)q = Q + U.

(3.17.1)

(3.17.1)

В качестве неизвестной обобщенной силы Q в данном случае выступает момент сил сухого трения, действующий на стержень. Постоянные т, М, Uq, а также неизвестные по предположению масса 加。，возмущения Q и закон движения материальной точки вдоль стержня /(方)при моделировании принимались такими:

т = 0.25 кг, М = 2.25 кг, U。= 1。Н・м,

Q = —0.1 sign (0) Н-м, mo = 1 кг, /(方)=1 + ； sins方 м.

С помощью предложенного закона управления стержень переводился из начального состояния «о = 1 рад, @о = 1рад/с в терминальное состояние q = q = 0. Интегрирование уравнения (3.17.1) прекращалось, когда евклидово расстояние от текущей точки траектории до терминального состояния в фазовом пространстве (q, @) 6 становилось меньше 0.01.

Рис. 50. Угол поворота стержняРис. 50. Угол поворота стержняРис. 51. Модуль управляющегоРис. 51. Модуль управляющегомомента

Рис. 50. Угол поворота стержня

Рис. 50. Угол поворота стержня

Рис. 51. Модуль управляющего

Рис. 51. Модуль управляющего

Рис. 52. Время движения и максимум модуля управляющего моментаРис. 52. Время движения и максимум модуля управляющего моментаРезультаты моделирования для случая s = 1 с-1 представлены на рисунках 50, 51. Сплошными линиями пзображенн: на рис. 50 — зависимость от времени угла поворота стержня q, а на рис. 51 (разрывная кривая) — график модуля управляющего момента \U\. Полное время движения оказалось равным Т* = 3.98 с.

Рис. 52. Время движения и максимум модуля управляющего момента

Рис. 52. Время движения и максимум модуля управляющего момента

Из рис. 51 видно, что ограничение (3.14.4) выполняется со значительным (двукратным) запасом. Поэтому было проведено моделирование движения системы, управляемой по закону (3.15.1), но с коэффициентами обратной связи &卜，缥，в два раза большими, чем предписывается алгоритмом (3.15.4). Штриховыми линиями на рисунках 50, 51 изображены зависимости от времени угла поворота стержня и модуля управляющего момента \U\ при таком законе управления. Время движения в этом случае сократилось до Т* = 2.53 с, а управление U по-прежнему удовлетворяет ограничению (3.14.4).

Для оценки работоспособности алгоритма в случае нарушения условия (qo,0o) G G* сформулированной выше теоремы было проведено моделирование динамики системы (3.17.1) при различных значениях На рис. 52 сплошной линией изображена зависимость от параметра s

полного времени движения Т* системы до терминального состояния, где s е [0,20]. В этом случае

4(方)=m0以(1 + ； sins方)coss方

и постоянные D? из ограничений (3.14.2) удовлетворяет неравенству s W /?2・ Следовательно, Q < 加党/32^2 и при выбранных значениях параметров системы для большей части отрезка 0 < cj < 20 с-1 начальное состояние qo = 1 рад, Оо = 1рад/с не лежит в области G*. Тем не менее предложенный закон управления приводит систему в терминальное состояние.

Штриховой линией на рис. 52 представлена зависимость от параметра s максимума абсолютной величины управляющего момента U, реализовавшегося при применении алгоритма. Из рисунка видно, что ограничения (3.14.4) выполнены для всех рассматриваемых значений з.

7 Ф. Л. Черноусько и др.

Глава 4УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМАМИС РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

. Управление системой осцилляторов

Прежде чем переходить к задачам управления системами с распределенными параметрами, имеющими бесконечное число степеней свободы, рассмотрим управляемую колебательную систему с конечным числом степеней свободы. Результаты данной главы основаны на результатах работ [67, 79, 83].

Рассматривается система с 八 степенями свободы, описываемая уравнениями

Ах + Сх = Bv + /(ж, х, t); v(t) е V, f(x,x,t) е F. (4.1.1)

Здесь х е Rn — вектор обобщенных координат, А и С — постоянные симметрические положительно-определенные 八 х n-матрицы кинетической и потенциальной энергий, соответственно, В — постоянная п х т- матрица (т > п), / — заданный n-вектор, содержащий нелинейные члены, и 1； 6 i?m — вектор управлений. Значения он/ ограничены заданными множествами V С i?m п 歹 и i?n, соответственно. Будем искать управление по обратной связи 。(力，近)，которое удовлетворяет наложенным ограничениям и переводит систему (4.1.1) из заданного начального состояния

力(0)=力 °, ±(0) = ±°力(0)=力 °, ±(0) = ±°(4.1.2)(4.1.2)

力(0)=力 °, ±(0) = ±°

力(0)=力 °, ±(0) = ±°

(4.1.2)

(4.1.2)

в нулевое терминальное состояние 力(Т)=近(Т) = 0 за конечное заранее нефиксированное время Т. Перейдем к нормальным координатам q = =(%,...,夕冷)，которые определяются заменой переменных [24]

(4.1.3)(4.1.3)х = Hq.

(4.1.3)

(4.1.3)

Здесь обратимая n х п матрица состоит из столбцов /ц,..., Дп, которые являются собственными векторами в задаче на собственные значения:

Известно [24], что задача (4.1.4) имеет 八 положительных собственных значений Xi,..., Ап, удовлетворяющих характеристическому уравнению

det(C - А^А) = 0, к = 1,, п.(4.1.5)

В случае кратных корней уравнения (4.1.5) среди чисел Аь, Ап будут одинаковые, причем число одинаковых 入分 равно кратности соответствующего корня. Собственным значениям отвечают линейнонезависимые собственные векторы 加，...，九冷，причем кратному корню отвечает столько векторов, какова его кратность. При замене переменных (4.1.3) уравнения (4.1.1) преобразуются в систему линейных осцилляторов

Qfc +^kQk = W + Ск, =入？2, к = 1,,n.(4.1.6)

Здесь 以卜—собственная частота k-ro осциллятора, a wa； и ^ — компоненты n-векторов w и ^ определяемых соотношениями

w = H^A-^Bv,《=H-A-if.(4.1.7)

Осцилляторы в (4.1.6) связаны между собой посредством управляющих и нелинейных членов. В силу (4.1.1) векторы w и ( принадлежат следующим множествам в 2?п:

w ew = H-XA~XBV, < 6 Z = H-^A-^F.(4.1.8)

Из (4.1.2), (4.1.3) имеем начальные условия для системы (4.1.6):

必⑼=成=(8一1/°)к，次⑼=成=(hT*)k・(4.1.9)

Задача быстродействия

Будем рассматривать п 盡 в каждом уравнении (4.1.6) как

управления двух независимых игроков. Первый игрок выбирает Wk и стремится привести k-е уравнение (4.1.6) в нулевое терминальное

время, в то время как второйвремя, в то время как второйсостояние 必=旗=0 за конечное игрок противодействует ему, выбирая 《к. Предполагаем, что управляющая сторона, т. е. первый игрок, знает функцию / в системе (4.1.1) и, следовательно, ему известно значение вектора《в каждый момент времени. Таким образом, приходим к следующим условиям. Пусть при некотором £ выполнено включение (см. рис. 53)

время, в то время как второй

время, в то время как второй

Z + S£^W,(4.2.1)

где S£ — n-мерный шар радиуса £ с центром в начале координат. При условии (4.2.1) положим

1/7 =-《+ 〃，(4.2.2)

где и — новый n-мерный вектор управлений. Подставляя (4.2.2) в (4.1.6), получим

Qk + 3^qk = 〃k, к = 1,..., п.(4.2.3)

Включение (4.2.1) гарантирует существование n-мерного прямоугольного параллелепипеда

U : \ик\ < Uk, к = 1,... ,п,(4.2.4)

такого, что любое значения и Е U является допустимым. Это означает, что при любом и е U и любом《G Z вектор w из (4.2.2) удовлетворяет ограничениям (4.1.8). Иными словами, для любого 〃 G U п любого 《G Z существует вектор v Е V такой, что соответствующий вектор w из (4.1.7) удовлетворяет ограничению (4.1.8) и может быть представлен в виде (4.2.2).

Итак, включение (4.2.1) может рассматриваться как достаточное условие управляемости для системы (4.1.1). При этом условии синтез управления для системы (4.1.1) сводится к управлению простыми линейными подсистемами (4.2.3) с одной степенью свободы каждая при помощи независимых управляющих сил и^, ограниченных неравенствами (4.2.4).

Рассмотрим задачу управления, оптимального по быстродействию, для одного из уравнений (4.2.3) при ограничении (4.2.4) и начальных условиях (4.1.9). Имеем

Qk + 底矗=〃k,|〃k| W Uk, > 0,

必⑼=成，次(0) =或，(4.2.5)

必(")=旗(Tk) =0，Tk - min.

Введем безразмерные переменные и параметры

力=以 1丁， Qk = Uk3k'u，@k = Uk^J %，

(4.2.6)

〃k = Uk〃， Tk =以卜 T*, T* ~min.

После замены (4.2.6) соотношения (4.2.5) примут нормализованный ВИД：

=2,—— = —у + ”，\и\ < 1,

ат ат

у ⑼=yQ, 2 ⑼=2°,(4.2.7)

贝北)=z(T^) = О, Т* 一 min.

Решение задачи оптимального быстродействия (4.2.7) известно [50]. Синтез оптимального управления для задачи (4.2.7) может быть представлен в виде

"(д, 2)= sign m匂)一引，2 # ⑦匂)；

(4.2.8)

"匂,2)= sign g = —sign 2, 2 =⑦匂).

Здесь функция ⑦匂)задана равенствами

⑦匂)=(一力-2少/2, -2 ， g < 0;

⑦匂)=2匂 + 2), у < -2;(4.2.9)

⑦匂)=一2(一力 g >0.

Кривая переключений 2 = 2(g), определяемая соотношениями (4.2.8), (4.2.9), обладает центральной симметрией и состоит из полуокружностей единичного радиуса с центрами в точках

2 = 0, у = ±(2z+ 1), 5 = 0, 1,….(4.2.10)

Знаку плюс в (4.2.10) отвечают полуокружности, лежащие в четвертом квадранте, а знаку минус — во втором квадранте фазовой плоскости у, 2.

Оптимальные фазовые траектории, соответствующие синтезу управления (4.2.8), состоят из дуг окружностей с центрами в точках у = ±1, 2 = 0. При этом в области 2 > ⑦匂)，где и = —1, центр этих окружностей находится в точке у = —1, 2 = 0, а в области 2 < ⑦匂)，где 〃 = 1, — в точке у = 1, 2 = 0. Полуокружности кривой переключений с центрами в точках у = ±1, 2 = 0 сами являются отрезками фазовых траекторий.

На рис. 54 жирной линией изображена кривая переключений, а тонкой линией — одна из оптимальных траекторий. Стрелками указано направление роста времени.

Оценим время движения Т^(у, z) по оптимальной фазовой траектории, начинающейся в некоторой точке у, 2. Эта оценка будет использована в дальнейшем. Пусть для определенности точка у, z лежит в области 2 > 2(g). Сделаем сначала некоторые вспомогательные построения.

Рис. 54. Кривая переключений и оптимальная фазовая траектория

Обозначим через г,夕 полярные координаты начальной точки у, z в случае, если за полюс принята точка у = — 1, 2 = 0. Имеем

g = TcosJ—1, 2 = Tsin仇(4.2.11)

Начальный участок фазовой траектории есть дуга окружности г = const. Продолжим эту дугу в обратном времени до пересечения ее с кривой переключений 2 = 2(g). Пусть точка пересечения Р находится на г-й (считая от начала координат) полуокружности кривой переключений (см. рис. 54, где 5 = 4). Это означает, что координаты точки Р можно представить в виде

уР = —2г + 1 + cosq, zP = Sina,

(4.2.12) г = 2, 3,, а е [0,7г).

Угол а отвечает дуге, отсекаемой точкой Р от полуокружности кривой переключений, на которой она лежит. Отметим, что такие же дуги а оптимальная траектория отсекает от всех полуокружностей кривой переключений, которые она пересекает. Заключительная дуга фазовой траектории также имеет угловую меру а (см. рис. 54).

Так как точка Р с координатами (4.2.12) лежит на окружности г = const, то имеем

戸=<ур + I)2 + ^р = 4(г - I)2 + 1 - 4(г - 1) cos а. (4.2.13)

Обозначим через R длину радиуса-вектора фазовой точки у, z. Используя соотношения (4.2.11), получим

岳=力 + 2?=(『一1)2 + 2г(1 - cosJ). (4.2.14)

Из (4.2.14), (4.2.13) следуют неравенства

尺》广一1》[4(〃 - I)2 -4(г - 1) + 1]1/2 - 1 = 2" 4.(4.2.15)

Время движения по любой дуге оптимальной траектории, как нетрудно видеть, равно угловой мере этой дуги. Каждая дуга между соседними переключениями управления либо равна тг, либо (для первого и последнего участков) не превосходит тг, а общее число участков равно целому числу i, введенному выше. Поэтому имеем Т* < тгг. С учетом неравенства (4.2.15) получим оценку

'* <"(^+2)三 Т°(Н)・(4.2.16)

Оценка (4.2.16) справедлива для всех R》0, однако из нее не следует стремление Т* — 0 при R — 0. Поэтому получим еще одну оценку для достаточно малых R.

Пусть 5 = 2, т. е. имеется только одно переключение управления, см. рис. 54. В этом случае оптимальная траектория состоит из дуги радиуса г с угловой мерой 夕 + 8 п дуги радиуса 1 с угловой мерой а, совпадающей с участком кривой переключений. Через 5 обозначен угол между осью у и лучом, проведенным из точки у = — 1, 2 = 0 в точку траектории, где происходит переключение. Таким образом,

Т* = е + 8 + а,(4.2.17)

где, как можно определить при помощи рис. 54, имеем

sin 5 = г-1 sin а, 5 6 [о, ^] .(4.2.18)

Получим несколько вспомогательных соотношений, нужных для оценки времени (4.2.17). Полагая г = 2 в (4.2.13), найдем

г = [1 +8sin2 (|)「・(4.2.19)

Равенства (4.2.18) и (4.2.19) определяют зависимость угла 8 от а. Исследование этой зависимости показывает, что при изменении угла а в пределах (4.2.12) угол 5 изменяется в пределах [0, тг/6], причем всегда 5 < а. Таким образом, имеем

0 < а < 7г.(4.2.20)

о

Отметим следующее неравенство:

sin Q)》： 7е [0,^].(4.2.21)

Полагая)= а в неравенстве (4.2.21), получим из (4.2.19) неравенство

Г > (1 + 8灰—2a2) 1/2, Q 6 [0, 7Г),

которое перепишем в виде

Г》9® = (1+ £)1/2, £ = 8k2q2, £ е [0, 8).(4.2.22)

Так как д(£) — вогнутая функция, на рассматриваемом интервале удовлетворяется неравенство

MW) —g(o)]「i》^[g(8) —д(。)], ее [о,8].

Подставляя в последнее неравенство значения g(0) = 1 и д(8) = 3 согласно (4.2.22), получим

『》(1+01/2》1 +卜，ее [0,8], что дает возможность упростить соотношение (4.2.22)

г》1 +2灰—2a2, а 6 [0,7г).(4.2.23)

Преобразуем теперь соотношение (4.2.14), используя неравенство (4.2.21) при т =仇 Имеем

岳=К - I)2 + 4『sin2( ^ )》(『一1)2 + 4灰—2广炉.

В последнее неравенство подставим (4.2.23). Получим

兄2 >47г-4а4 + 4тг-2^2.

Отсюда вытекают следующие два неравенства:

R》2尸2a2, r》2尸1|外(4.2.24)

Преобразуем теперь равенство (4.2.17) для Т*, используя неравенства (4.2.20) и (4.2.24)

Т*=е + 8 + а，2а + е，2|а| + |е| <兀(2Д)1/2 + | 三/(А).

(4.2.25)

Сопоставим оценки (4.2.16) и (4.2.25). Напомним, что оценка (4.2.25) получена при г = 2, а оценка (4.2.16) — при всех г > 2. Но при г > 3 согласно (4.2.15) имеем R》0. Из (4.2.16), (4.2.25) следует, что T°(R) < Г1 (Д) при R》2. Следовательно, при всех г > 3 имеем T°(R) ^T\R).

Таким образом, установлено, что оценка (4.2.25) времени быстродействия

T*WTi(R) = /§ + (2R)i/2 ,

丿」(4.2.26)

r=(力 +22)i/2

справедлива при любых у, 2.

Возвращаясь к исходным размерным переменным (4.2.6), получим оценку времени оптимального быстродействия для задачи (4.2.5) в виде

"(成，或,

「М"27)

Pk =城(或У+ (或У，k=l,2,> 0.

Время Т приведения в начало координат всей системы (4.2.3) с 八 степенями свободы равно максимальному из времен 筮，т. е.

Т = тах"(砚,或)，k = 1,n.(4.2.28)

k

Полученное неравенство (4.2.27) позволяет оценить время Г сверху.

Постановка задачи управления системойс распределенными параметрами

Перейдем к рассмотрению управляемых систем с распределенными параметрами, описываемых линейными уравнениями в частных производных. Будем параллельно рассматривать уравнение

叫=Aw +。，(4.3.1)

разрешенное относительно первой производной по времени, и уравнение

wtt = Aw +。，(4.3.2)

разрешенное относительно второй производной.

В уравнениях (4.3.1) и (4.3.2) w(x, t) — скалярная функция n-мерного вектора 力=(力i,...,力冷)пространственных координат и времени 方，характеризующая состояние системы, о — искомое управление, А — линейный дифференциальный оператор, содержащий частные производные по координатам 力分，г = 1,..., п. Коэффициенты оператора А не зависят от 方，а его порядок ord А считаем четным и равным 2m.

Наиболее важными и распространенными примерами уравнений (4.3.1) и (4.3.2), которые рассматриваются в дальнейшем, являются:

уравнение теплопроводности, которое получается из (4.3.1), если m = 1, А = Л — оператор Лапласа;

волновое уравнение, получаемое из (4.3.2) при m = 1, А = Л;

уравнение колебаний упругого стержня или пластины, получаемое из (4.3.2) при т = 2, А = —Л2 и n = 1,2 соответственно.

Уравнения (4.3.1), (4.3.2) описывают также процессы теплопроводности и колебаний в неоднородной среде, если

分=1 L」

где а(力)—заданная функция, характеризующая неоднородность среды.

Уравнения (4.3.1), (4.3.2) рассматриваются в некоторой открытой ограниченной области изменения пространственных переменных х 6 6 Q и при 方》0. На границе Г области Q должно удовлетворяться однородное граничное условие вида

Mw = 0, М = (МЬ...,МШ), х 6 Г.(4.3.3)

Здесь Mj — линейный дифференциальный оператор порядка ord Му- < < 2m (7 = 1,..., m) с коэффициентами, не зависящими от 方.В частности, при т = 1 оператор М — скалярный и имеет вид

Mw = 历(力加 +瓦(力)察，

где 历(力)，仇(力)—заданные на Г функции. Условие (4.3.3) может, в частности, превращаться в условие Дирихле (при Ь()= 1, Ь\ = 0) или Неймана (при 历=。，瓦=1).

Начальные условия имеют вид

w(x, 0) = wo(x),力 е С,(4.3.4)

для уравнения (4.3.1) и

w(x, 0) = wo(x), wt(x, 0) = Wto(^),力 G С, (4.3.5)

для уравнения (4.3.2).

На управляющую функцию 。(力，方)в уравнениях (4.3.1), (4.3.2) наложено ограничение

I0(力，方)I Wб g с,方》0,(4.3.6)

где 1?° > 0 — заданная постоянная.

Сформулируем задачу управления.

Задача 4.1. Требуется построить управление 。(力，方)，удовлетворяющее ограничению (4.3.6) и такое, что соответствующее ему решение уравнения (4.3.1) или (4.3.2) с граничным условием (4.3.3) и с соответствующими начальными условиями (4.3.4) или (4.3.5) обращается в нуль в некоторый конечный {нефиксированный) момент Г > 0. Точнее, всюду в Q должны быть выполнены условия

w(x, Г) = 0

для уравнения (4.3.1) “

w(x, Г) = wt(x, Г) = О

для уравнения (4.3.2).

Очевидно, что если положить。三 0 при 方》Т, то решение останется тождественно равным нулю при t > Т.

Граница области Q предполагается кусочно-гладкой. Требования к начальным функциям и функциональные классы, которым принадлежат решения поставленных задач в различных случаях, рассматриваются в § 4.9.

Отметим, что задачам управления системами с распределенными параметрами посвящено большое число работ, например, [23, 30, 45, 57, 59, 89]. Предлагаемый ниже способ управления отличается от известных. Он позволяет построить управление с учетом ограничений в замкнутой форме и обеспечивает приведение системы в заданное состояние за конечное время. Этот способ, опубликованный ранее в [61, 78], использует декомпозицию исходной системы на простые подсистемы и в этом смысле близок по идее к подходам, изложенным выше в данной книге для систем с конечным числом степеней свободы.

Декомпозиция

Решение поставленной задачи будет опираться на метод Фурье. Для его применения рассмотрим сначала следующую задачу на собственные значения, отвечающую начально-краевым задачам (4.3.1)-(4.3.5) при о = 0.

Задача состоит в определении функций 夕(力)，力 G С, удовлетворяющих при соответствующих постоянных А линейному однородному уравнению и граничному условию:

А^р = -Х^р,力 е С； А/夕=0,力 е Г.(4.4.1)

Как известно, при определенных условиях (для самосопряженных эллиптических уравнений и, в частности, для уравнения Лапласа, т. е. при А = А), задача на собственные значения (4.4.1) обладает следующими свойствами.

Имеется дискретный счетный спектр положительных собственных значений 入卜，которые могут быть пронумерованы в неубывающем порядке: Ai < А2 < ... , причем 入卜—оо при к — оо. В некоторых случаях, например, для оператора Лапласа А = А при условии Неймана имеется также нулевое собственное значение А = 0. Этот случай также будем включать в рассмотрение. Указанным собственным значениям отвечает ортогональная система собственных функций 夕卜(力)，которая является полной в области Q. Нормировав эти функции, получим ортонормированную систему функций 夕卜(力)，обладающих следующими свойствами:

4оk =一入кок,力е е; m屮k = °,力g р；

(4.4.2)

(оk,夕"= 夕k(力)0分(力)dz = 8就.''

Здесь 5ki — символ Кронекера. Индекс к в (4.4.2) и далее, если не оговорено специально, пробегает значения от 0 до оо при наличии нулевого собственного значения Ао = 0 и от 1 до оо при его отсутствии. Суммирование в дальнейшем будет проводиться по к также в указанных выше пределах.

Воспользуемся теперь методом Фурье для разделения временной (от 方)и пространственной (от 力)зависимостей. Решения уравнений (4.3.1) и (4.3.2) будем искать в виде разложений по собственным функциям

方)=£ 矗⑴夕 k(z),(4.4.3)

где 夕卜(方)—некоторые функции времени. Управление о в (4.3.1), (4.3.2) также представим в виде разложения

。(力，方)=£uk(t)中 k⑺,(4.4.4)

где 〃k⑴—пока неизвестные функции времени.

Подставляя разложения (4.4.3) и (4.4.4) в уравнение (4.3.1), получим

〉］0k⑴夕к(力)=〉［(ДкА屮к + "к夕к).

Здесь и далее точки означают производные по времени.

Воспользуемся уравнением 4夕卜=—入卜屮卜 из (4.4.2), а также условием ортогональности функций 夕卜.В результате получим систему уравнений

Qk + 丸矗=〃k・(4.4.5)

Аналогично, подставляя разложения (4.4.3), (4.4.4) в уравнение (4.3.2), получим

阪+底矗=〃k・(4.4.6)

Здесь и далее 以卜—частоты собственных колебаний, равные

3卜=入/， 。= "о W "1 W “2 W ••• •(4.4.7)

Отметим, что решение в виде (4.4.3) по построению удовлетворяет однородному краевому условию (4.3.3), так как этому условию удовлетворяют все собственные функции согласно (4.4.2).

Подставим решение (4.4.3) в начальные условия (4.3.4) и (4.3.5) и воспользуемся свойствами ортонормированности собственных функций (4.4.2). Получим начальные условия для задачи (4.4.5) в виде

必⑼=成=W)(力)о卜(力)dx(4.4.8)

и для задачи (4.4.6) в виде

必(。)= Qk= ^0(力)0m力)dx,

(4.4.9)

族⑼=原)° =(力)0卜(力)dx.

Таким образом, исходная задача управления для уравнений в частных производных (4.3.1) и (4.3.2) свелась к задаче управления для линейных управляемых систем бесконечного порядка (4.4.5) и (4.4.6). На управляющие функции 〃卜 этих систем наложим ограничения

\uk(t)\ < Uk, t > 0.(4.4.10)

Значения постоянных 〃 должны быть выбраны так, чтобы удовлетворялось наложенное ограничение (4.3.6).

Из (4.4.4) и (4.4.10) вытекает оценка

®(力，方)| < £%|夕k(z)|.(4.4.11)

Следовательно, для выполнения исходного ограничения (4.3.6) достаточно потребовать, чтобы при всех х е Q удовлетворялось неравенство

£玖10用(力)1/ eQ(4.4.12)

Введем обозначение

Неравенство (4.4.12) заведомо выполнено при условии

£以1埶］w。°. (4.4.14)

Итак, для решения поставленной задачи управления уравнениями (4.3.1), (4.3.2) (задача 4.1) достаточно решить следующие задачи управления системами (4.4.5), (4.4.6).

Задача 4.2. Требуется построить управления по обратной связи Uk{qk) & системе (4.4.5) и 〃卜(夕卜，@卜)е системе (4.4.6) при к =。，1,..., удовлетворяющие ограничениям (4.4.10) и приводящие эти системы 6 нулевое состояние (夕卜 = 0 для (4.4.5) и «к = Ок = 0 для (4.4.6)) за конечное время при любых начальных условиях вида (4.4.8) или (4.4.9) соответственно. При этом постоянные % в (4.4.10) должны удовлетворять неравенству (4.4.12) при всех х, или, что является достаточным, более сильному неравенству (4.4.14).

Заметим, что в результате применения метода Фурье достигнута декомпозиция спстемь匚 каждая мода движения описывается своим уравнением (4.4.5) или (4.4.6) с соответствующим управлением 〃卜. Таким образом, задача 4.1 сведена к задаче 4.2, которая для систем второго порядка рассматривалась в § 4.2 (см. систему (4.2.3) с ограничениями (4.2.4)). Однако постоянные % в ограничениях (4.4.10) связаны неравенствами (4.4.12) или (4.4.14), что представляет собой основную трудность при решении задачи.

Для каждого уравнения (4.4.5) или (4.4.6) будем строить управление по обратной связи 〃卜，оптимальное по быстродействию при ограничении (4.4.10) с произвольным фиксированным %. Эти управления хорошо известны, для систем второго порядка они приведены в § 4.2.

Ниже проводится анализ данных управлений, оптимальных по быстродействию, с точки зрения удовлетворения неравенств (4.4.12) или (4.4.14). При этом используются оценки, полученные в § 4.2.

Уравнение первого порядка по времени

Рассмотрим сначала уравнение (4.3.1), содержащее первую производную по времени от искомой функции w(x, t). Для этого уравнения в результате декомпозиции получена система уравнений (4.4.5) первого порядка.

Рассмотрим задачу оптимального по быстродействию попадания в нуль для одного из уравнений (4.4.5) при ограничении (4.4.10) и начальном условии (4.4.8). Имеем

Qk + 入kqk = 〃k, \^k (^) I W Uk,入卜》。，

必⑼=或，必(г) =。，" T min •

Решение задачи (4.5.1) получим элементарным путем. Интегрируя уравнение (4.5.1) и удовлетворяя начальному условию, найдем

-t-

矗⑴=成 + uk(r) exp(Xkr)dr exp(-Afct). (4.5.2)

-о-

Отсюда следует, что для скорейшего обращения решения ^(t) в нуль управление 〃卜 должно быть максимально по модулю и противоположно по знаку начальному значению q£, или, что то же самое, решению % ⑴.

Таким образом, синтез оптимального по быстродействию управления имеет вид

{

—Uksignqk,qk 0,

(4.5.3) о,矗=0.

Управление (4.5.3) постоянно вдоль любой фазовой траектории. Подставляя его в (4.5.2) и интегрируя, получим

(4.5.4)(4.5.4)"(力)=[\Qk\~ UkX^^ex^Xkt) - 1] jexp(-Afct) sign^.

(4.5.4)

(4.5.4)

В конечный момент согласно (4.5.1) имеем 必(£) = 0. Из (4.5.4) находим момент окончания процесса:

筮=羽11口(1+入1明0”)，入＞0, к》1;

(4.5.5)

70 = 1需口「，ао = 0.

Решение задачи оптимального быстродействия (4.5.1) для всех к》0 представлено в форме синтеза оптимального управления (4.5.3). Фазовая траектория и время быстродействия даны формулами (4.5.4) и (4.5.5) соответственно. Таким образом, определено решение задачи 4.2 для системы (4.4.5). Выбор постоянных Uk будет представлен в § 4.7.

Уравнение второго порядка по времени

Обратимся теперь к уравнению (4.3.2), содержащему вторую производную по времени от функции w(x, t). В этом случае декомпозиция приводит к системе уравнений (4.4.6) второго порядка.

Рассмотрим задачу оптимального управления для одного из уравнений (4.4.6) при ограничении (4.4.10) и начальных условиях (4.4.9).

В случае 以卜〉0, к》1, воспользуемся результатами, полученными в § 4.1, 4.2 при рассмотрении конечной системы осцилляторов. Синтез оптимального управления 〃卜(夕卜，@卜)при к》1 в безразмерных переменных определен соотношениями (4.2.8), (4.2.9), в которые нужно подставить формулы замены (4.2.6).

В результате искомый синтез управления, оптимального по быстродействию, имеет вид

"к(必,Ok) = sign砂句)一引，2 #⑦匂)；

(4.6.1) 〃卜(必,孤)=sign у = —sign 2, 2 =⑦(у).

Здесь функция 2(у) определена соотношениями (4.2.9) и введены обозначения

у = /U『qk, z = ukU^xqk.(4.6.2)

Отдельно рассмотрим случай нулевого собственного значения к = 0, а。= 0・ В этом случае синтез оптимального управления для задачи (4.2.5) неоднократно приводился выше (см., например, (1.9.1)). Имеем

"0(如,*)=u0 sign [耽(如)-*], 而 市 耽(如)；

〃0(如,血)=UQ sign qo = —Uosign^o, 血=耽(如)；(4.6.3)

耽(如)=-[2^oko|]1/2 sign^o,耽⑼=0.

Время оптимального быстродействия при к = 0, ш()= 0 определяется формулой, приведенной, например, в (1.9.11):

〃(如,Оо) =。0 1 J 2 у @)2 —。0如°—

СТ = sign [^o(Qo) -Qo], Оо^^о； ст = ±1, 血=晩・

Здесь и далее верхний нулевой индекс у 夕卜，qk, k = 0, 1, ••• , опущен.

Применяя к приведенному соотношению неравенство

(а + bp/? < |小/2 + |Ь|1/2, получим оценку

丁0(如,血)w (л^ + 1)и「|如 +2U「/2|如|1/2.(4.6.4)

Таким образом, получены необходимые в дальнейшем соотношения в задаче оптимального быстродействия для системы (4.4.6) при всех к》0. Оптимальные фазовые траектории также хорошо известны, см. § 4.2, рис. 54. Для времени оптимального быстродействия получены

оценки (4.2.27) в случае к》1 п (4.6.4) при к = Q. Тем самым найдено решение задачи 4.2 для системы (4.4.6). Выбор постоянных % обсуждается ниже.

Анализ ограничений и построение управления

В полученных в § 4.5, 4.6 соотношениях фигурируют постоянные Uk — ограничения на управления для к-й моды движения. Эти постоянные выберем так, чтобы уменьшить полное время движения, равное

Г = maxTfc, k》0 или k》1,(4.7.1)

к

при выполнении ограничения (4.4.12) или (4.4.14). Индекс к в (4.4.12), (4.4.14) и (4.7.1) принимает значения 0, 1,... при наличии нулевого собственного значения Ао = 0 у задачи (4.4.2) и значения 1,2,... при его отсутствии.

Так как все ” монотонно возрастают с ростом 〃，а в ограничения (4.4.12), (4.4.14) все 〃 входят линейно с положительными коэффициентами, то естественно выбрать 玖 из условия равенства всех Тк： То = Т\ =….При этом получится минимально возможное (при ограничениях (4.4.12) или (4.4.14)) значение времени Г в (4.7.1).

Следуя указанному предложению, положим для уравнения первого порядка (4.3.1) в соответствии с (4.5.5)

Тк =爲 1 Ml + 儿風 Uj) = To == T.

Здесь T — пока неопределенная постоянная, верхний индекс «°» у q^ опущен.

Отсюда найдем искомые значения постоянных 玖：

Uk =入甌|[ехр(^Т) - I]-1, к》0.(4.7.2)

Формула (4.7.2) справедлива при всех 入卜》0, при к = 0 — в пределе при Ао т 0. Подставляя (4.7.2) в неравенство (4.4.14), получим

£Х[ехр(^Т) — 1『甌I埶 W i；0.(4.7.3)

Как известно, при весьма общих предположениях собственные значения 入卜 и максимумы собственных функций ①卜 возрастают не быстрее, чем некоторые степени номера к при к — оо. Модули коэффициентов Фурье |q" по крайней мере не возрастают с номером к при к — оо для любой ограниченной начальной функции wo(x). Следовательно, из-за наличия экспоненциального множителя ряд в левой части неравенства (4.7.3) сходится при любом Г > 0. Когда Г пробегает значения от 0 до оо, сумма ряда монотонно убывает от оо до 0. Следовательно, всегда существует такое Г > 0, при котором неравенство (4.7.3) выполняется. Таким образом, поставленная задача

управления (задача 4.1) для уравнения (4.3.1) всегда разрешима предложенным методом. Время процесса Г можно выбрать из условия выполнения неравенства (4.7.3).

Оценку сверху для времени Г получим, используя неравенство

A4exp(AfcT)- I]-1(4.7.4)

Из (4.7.3) и (4.7.4) следует, что если Г выбрано из условия

T=",q1=£血1埶<00,(4.7.5)

то неравенство (4.7.3) заведомо выполнено. Следовательно, при сходимости ряда Qi время Т можно выбрать согласно простой формуле (4.7.5).

Обратимся к уравнению второго порядка по времени (4.3.2). В этом случае вместо формул для времен Т^ имеются лишь оценки сверху (4.2.27) и (4.6.4), поэтому условие равенства всех Т^ нельзя выполнить точно. Имея это в виду, а также для упрощения последующих формул предлагается выбрать % в виде

Uk = cpk, О 0, к = 1,2,,

(4.7.6) Uo = max(ci%|,C2|qo|), 。1〉0, с2 > 0.

Здесь с, ci, С2 — постоянные. Подставляя Uk из (4.7.6) в (4.2.27), получим

筮 wQ(2c)T+^(sc)T/2] ,.

Последнее неравенство не нарушится, если в нем заменить 以卜 на cji W Получим оценку

Тк < 冗(2с)т + л/^Qic)T/2].(4.7.7)

При подстановке выражения (4.7.6) для Uq в неравенство (4.6.4) будем различать два случая. В первом случае, при

С1%]》02尿1, получим из (4.6.4) и (4.7.6)

Th W (Д/^ + 1)e/+ 2依而| - 1/2心/2 W

+ 1)с」+2с”2.(4.7.8)

Во втором случае при 口%| < 02丨如| аналогичные оценки приводят точно к такому же результату (4.7.8). Выберем постоянные ci, С2 так, чтобы оба слагаемых в правых частях неравенств (4.7.7) и (4.7.8) совпадали почленно, т. е.

7г(2с)-1 =+ 1)с」， 7rV5Qic)T/2 = 2с”?.

Отсюда находим искомые постоянные

ci = /с, с2 =也 с,

(4.7.9) / = 2(л/5 + 1)7г-1 ~ 1.53,也=2匂广2.

Формулы (4.7.6) при учете равенств (4.7.9) запишем в виде

Uk = срк, k》l, Uo = с max(/%|,也|如|)・(4.7.10)

Величины "т, и? определены в (4.7.9) и не зависят от с. Так как в силу выбора постоянных ci и С2 правые части неравенств (4.7.7) и (4.7.8) совпадают, то оценка (4.7.7) справедлива при всех к》0. Таким образом, для времени процесса управления (4.7.1) во всех случаях имеем оценку

Т<7Г [(2с)-1 + V^Qic)-1/2] .(4.7.11)

Осталось выбрать постоянную с так, чтобы удовлетворить ограничению (4.4.12). Подставляя (4.7.10) в (4.4.12), получим

С Wo°(Q*)T.(4.7.12)

Здесь введены обозначения

Q* = supQ2(z),

Q2(z) = £oA#k(z)| +max(/%|,也|如|)|夕o(力)|,(4.7.13)

Pk = /成+風产p/Ук》1，

и использованы формулы (4.2.27) для р^. Неравенство (4.7.13) записано для случая наличия нулевого собственного значения. При его отсутствии следует просто опустить последнее слагаемое (max) в формуле (4.7.13) для Q2・

Таким образом, достаточным условием разрешимости поставленной задачи управления (задачи 4.1) для уравнения (4.3.2) при помощи предложенного подхода является равномерная ограниченность ряда Q2(z) из (4.7.13) в области Q. Для этого достаточно потребовать равномерной ограниченности в Q следующих двух рядов:

Q3(z) = £以"必|| 夕 k(z)|, Q4W = £ 10kli 夕 k(z)|.(4.7.14)

Используя обозначение (4.4.13), условие ограниченности Q* из (4.7.13) можно заменить более сильным условием сходимости числового ряда

Q5 = £ок埶 < оо, рк =阮成 + fe)2]1/2, (4.7.15) или условием сходимости двух рядов

/ = £&к風I埶 < 00, Qz = £ 甌|埶 < 00. (4.7.16)

Подытожим полученные результаты. Для обоих уравнений (4.3.1), (4.3.2) указаны условия разрешимости задачи 4.1 и даны оценки сверху времени процесса управления Т.

Задача (4.3.1) всегда разрешима, время Т для нее может быть выбрано из условия (4.7.3) или, в случае сходимости ряда Qi, из более простого условия (4.7.5).

Задача (4.3.2) заведомо разрешима, если выполнено одно из условий сходимости рядов (4.7.13)-(4.7.16): Q2，или Q3 и Q4, или Q5, или Qg и Q7. Для времени Т имеется оценка (4.7.11), в которой постоянная с должна быть выбрана из условия (4.7.12). Здесь число Q* определяется соотношениями (4.7.13) или одним из следующих соотношений:

Q* = sup Q3(z) + sup Q4(z), Q* = Q5, Q* = Q6 + Qi

в случае выполнения условий сходимости рядов (4.7.14)-(4.7.16) соответственно.

Отметим, что при равномерном стремлении к нулю начальных функций wo, wto все их коэффициенты Фурье стремятся к нулю, и при этом все ряды в (4.7.3), (4.7.5), (4.7.13)-(4.7.16) также стремятся к нулю. Из оценок (4.7.5), (4.7.11), (4.7.12) следует, что при этом для обоих уравнений (4.3.1), (4.3.2) время процесса Г может быть сделано сколь угодно малым: Т — 0.

В общем случае, при указанных условиях разрешимости задачи 4.1, сначала определим время Т. Для уравнения (4.3.1) воспользуемся формулой (4.7.5), а для уравнения (4.3.2) сначала найдем с из условия (4.7.12), а затем время Г из условия (4.7.11).

После определения времени Г и постоянной с найдем Uk из соотношений (4.7.2) и (4.7.10) для уравнений (4.3.1) и (4.3.2) соответственно. Коэффициенты 〃卜 искомого закона управления (4.4.4) определены в виде синтеза, т. е. в зависимости от текущих значений q^ и q^ для уравнений (4.3.1) и (4.3.2) соответственно, см. § 4.5 и § 4.6. Поскольку для систем (4.3.1) и (4.3.2) известны оптимальные траектории, то управления, полученные в форме синтеза, могут быть представлены и в виде программ 〃卜(方)，т. е. в виде релейных функций времени с точками переключения, зависящими от начальных условий.

Таким образом, управление (4.4.4) может быть представлено либо в виде программного управления для заданных начальных условий, либо в виде синтеза, если используются управления Uk в зависимости от q^ и @卜.Во втором случае управление формируется в виде о = v(x; w(«, t)) для системы (4.3.1) и в виде V = 1?(ж; w(«, t), Wt(«, t)) для системы (4.3.2). Приведенная запись означает, что управление о в точке ж е Q в момент t есть функционал от функций w(y, t) и wt(y, t) при g G С. Однако при этом сохраняется и зависимость от начальных функций wo, wto посредством постоянных %, которые зависят от начальных данных, см. (4.7.2), (4.7.10). В этих формулах постоянные Тис также зависят от начальных условий.

Полученное управление (4.4.4) по построению таково, что все краевые и начальные условия, а также ограничения (4.3.6) автоматически удовлетворяются. Это управление не является оптимальным, но имеет некоторые свойства оптимальности: во-первых, оптимальными по быстродействию являются управления для каждой подсистемы и, во-вторых, ограничения 玖 выбраны так, что времена управления для подсистем равны или близки друг к другу.

Ниже рассматриваются некоторые конкретные примеры, в которых анализируются условия сходимости рядов (4.7.5), (4.7.15), (4.7.16). Получены условия разрешимости задачи 4.1 в виде требований к начальным функциям. В § 4.9 даны некоторые общие условия разрешимости задачи 4.1 для уравнения (4.3.2).

Примеры

Одномерные задачи (п = 1; А = Л). Рассмотрим сначала уравнения теплопроводности и колебаний в случае одной пространственной переменной х. Уравнения (4.3.1), (4.3.2) имеют вид

力力+ °, 力力=力力+ °・ (4.8.1)

Область Q представляет собой интервал (0, а) оси х, а ее граница состоит из двух точек х = 0, х = а. Будем параллельно рассматривать условия (4.3.3) типа Дирихле и Неймана

w(0) = w(a) = 0, tf 力(0) = wx^a) = 0. (4.8.2)

Собственные функции 夕卜(力)，отвечающие задачам (4.8.1), (4.8.2), удовлетворяют уравнениям

屮k =一，кок，где штрихи означают производные Неймана^к (0)=夕 к(。)= °,屮k =一，кок，где штрихи означают производные Неймана^к (0)=夕 к(。)= °,0 < ж < а,(4.8.3)по х, и условиям Дирихле или以⑼=以⑷=。■(4.8.4)0 < ж < а,(4.8.3)по х, и условиям Дирихле или以⑼=以⑷=。■(4.8.4)

屮k =一，кок，

где штрихи означают производные Неймана

^к (0)=夕 к(。)= °,

屮k =一，кок，

где штрихи означают производные Неймана

^к (0)=夕 к(。)= °,

0 < ж < а,(4.8.3)

по х, и условиям Дирихле или

以⑼=以⑷=。■(4.8.4)

0 < ж < а,(4.8.3)

по х, и условиям Дирихле или

以⑼=以⑷=。■(4.8.4)

Собственные значения задач (4.8.3), (4.8.4) таковн:

尤=况，аk =与(4.8.5)

причем к》1 для задачи Дирихле n к》0 для задачи Неймана. Ортонормированные собственные функции для задач Дирихле и Неймана равны соответственно

夕 k(z) = (2/а)1/2 sin(^x), k = 1,2...,

(4.8.6)

夕 0(力)=a—"?,夕 k(力)=(2/a)1/2 cos(^x).

Величины ①卜 из (4.4.13) в данном случае ограничены:

埶= (2/a)i/2, к》1, Ф0 = а-1/2.(4.8.7)

Вычислим коэффициенты Фурье (4.4.8), (4.4.9), предполагая начальные функции wo(x), ^力。(力)достаточное число раз дифференцируемыми по ж и применяя интегрирование по частям. При помощи

(4.3.Ь) получимQk (0) = ^0夕к"力=0= (f) | 3£屮№= (f) ' {”)для задачи Дирихле и必⑼=⑴[4cosо) cos(Gk/)] + Wo cos(Gk/)dz > = °0cosQk#)]鼠] Wq sin^x)^ > =°0[(-Wo + &丁必)cos(^x)] 0 ++WJV sm(ukx)dx\ (4.8.8)0(^kx)]+ &” M" ^(^kx)dx }=[[(4 - 6* cos(^x)] 0 ——s J t^sin(Gk/)dz}, к》1, (4.8.9)(4.3.Ь) получимQk (0) = ^0夕к"力=0= (f) | 3£屮№= (f) ' {”)для задачи Дирихле и必⑼=⑴[4cosо) cos(Gk/)] + Wo cos(Gk/)dz > = °0cosQk#)]鼠] Wq sin^x)^ > =°0[(-Wo + &丁必)cos(^x)] 0 ++WJV sm(ukx)dx\ (4.8.8)0(^kx)]+ &” M" ^(^kx)dx }=[[(4 - 6* cos(^x)] 0 ——s J t^sin(Gk/)dz}, к》1, (4.8.9)

(4.3.Ь) получим

Qk (0) = ^0夕к"力=

0

= (f) | 3£屮№

= (f) ' {”)

для задачи Дирихле и

必⑼=⑴[4cos

о) cos(Gk/)] + Wo cos(Gk/)dz > = °0

cosQk#)]鼠] Wq sin^x)^ > =

°0

[(-Wo + &丁必)cos(^x)] 0 +

+WJV sm(ukx)dx\ (4.8.8)

0

(^kx)]+ &” M" ^(^kx)dx }=

[[(4 - 6* cos(^x)] 0 —

—s J t^sin(Gk/)dz}, к》1, (4.8.9)

(4.3.Ь) получим

Qk (0) = ^0夕к"力=

0

= (f) | 3£屮№

= (f) ' {”)

для задачи Дирихле и

必⑼=⑴[4cos

о) cos(Gk/)] + Wo cos(Gk/)dz > = °0

cosQk#)]鼠] Wq sin^x)^ > =

°0

[(-Wo + &丁必)cos(^x)] 0 +

+WJV sm(ukx)dx\ (4.8.8)

0

(^kx)]+ &” M" ^(^kx)dx }=

[[(4 - 6* cos(^x)] 0 —

—s J t^sin(Gk/)dz}, к》1, (4.8.9)

для задачи Неймана. Из соотношений (4.8.8), (4.8.9) можно вывести оценки коэффициентов Фурье в зависимости, во-первых, от степени гладкости начальной функции wo и, во-вторых, от дополнительных условий в граничных точках 力=0, х = а, т. е. на Г. Аргумент О у функции qk опускаем. Через Bj всюду далее обозначены некоторые положительные константы, а через С" — классы функций, имеющих на отрезке [0, а] непрерывные производные до г-го порядка включительно. Для задачи Дирихле при помощи (4.8.8) получим:

при

Wo G С1;

風 1 w в2^2

при

wo е С2, wo = 0 на Г;

(4.8.10)

甌1《Взз^з

при

wo е С3, wo = 0 на Г;

甌1 ，石由

при

wq 6 С4, wq = Wq = 0 на Г.

Аналогично для задачи Неймана из (4.8.9) имеем

血1 4瓦

при

w0 G С1;

甌| W в6^2

при

w0 е С2；

(4.8.11)

風1 w в7^3

при

wo е С3, Wq = 0 на Г;

風 1 w

при

wq е С4, Wq = 0 на Г.

Очевидно, оценки вида (4.8.10), (4.8.11) можно продолжать неограниченно. Для коэффициентов Фурье ^(0) из (4.4.9) имеют место оценки, аналогичные (4.8.10), (4.8.11), с заменой wo на wto-

Переходя к исследованию сходимости рядов из (4.7.5), (4.7.16), заметим, что величины ①卜 согласно (4.8.7) не зависят от к. Учитывая еще соотношение (4.8.5), получим следующие условия сходимости рядов.

Ряд (4.7.5) для задачи Дирихле сходится при условиях

w0 G С2, w0 = О на Г,(4.8.12)

а для задачи Неймана — при условии

w0 G С2.(4.8.13)

Ряды (4.7.16) для задачи Дирихле сходятся при условиях

а для задачи Неймана — при условиях

w0 G С3, wt0 G С2, 燮=0 на Г. (4.8.15) on

Отметим, что условия сходимости (4.8.12), (4.8.14) рядов (4.7.5), (4.7.16) для задачи Дирихле включают, помимо требований гладкости, условия Дирихле для начальных функций wo, w^o- Эти условия, вообще говоря, не являются обязательными при постановке начально-краевых задач, и их нужно накладывать дополнительно. В случае же задачи Неймана условия (4.8.13), (4.8.15) менее ограничительны: для ряда (4.7.5) никаких условий, кроме условий гладкости, не накладывается, а для рядов (4.7.16) накладывается условие Неймана только на начальную функцию wo (но не на функцию wto).

Напомним, что задача управления для первого уравнения (4.8.1) (уравнения теплопроводности) всегда разрешима, и условия (4.8.12), (4.8.13), обеспечивающие сходимость ряда (4.7.5), служат лишь основанием для простой оценки времени процесса управления в (4.7.5). Для второго уравнения (4.8.1) (уравнения колебаний струны) условия (4.8.14), (4.8.15) являются достаточными условиями разрешимости задачи управления предложенным методом.

Замечание 4.1. Если условия типа (4.8.14) или (4.8.15) на Г в начальный момент t = 0 не выполнены, то, тем не менее, предложенный метод управления всё равно можно применить. Для этого заметим, что эти условия будут обязательно выполнены при сколь угодно малом t = At > 0 в силу наложенных краевых условий (при любом, управлении о(力，方)на интервале t е [0, At]). Поэтому при 方》△方 можно применять предложенный метод управления. Следовательно, эти условия на Г при t = 0 являются несущественными. Таким образом, достаточными условиями разрешимости задачи управления для уравнения колебаний струны при условиях Дирихле и Неймана являются условия

w0 G С3,仍0*・(4.8.16)

Указанное выше соображение будем использовать и в дальнейшем, опуская несущественные условия на границе Г при t = 0.

Управление колебаниями стержня (n = 1; А = -Л2). В качестве примера уравнения четвертого порядка рассмотрим управление поперечными колебаниями упругого стержня. Уравнение (4.3.2) этом случае имеет вид

力力=~^хххх +。・(4.8.17)

Рассмотрим сначала граничные условия шарнирного опирания на обоих концах стержня длины а, т. е.

Задача на собственные значения (4.4.1) для системы (4.8.17), (4.8.18) имеет вид

(4.8.19)(4.8.19)х夕，х 6 Q = (0, а),夕=夕"=0 на Г.

(4.8.19)

(4.8.19)

Как известно, собственные значения задачи (4.8.19) положительны

人к =底， 以к人к =底， 以к2, к 1,2,...2, к 1,2,...и таковн:

人к =底， 以к

人к =底， 以к

2

, к 1,2,...

2

, к 1,2,...

(4.8.20)

где Зк имеют смысл частот собственных колебаний стержня. Соответствующие собственные функции задачи (4.8.19) могут быть представлены в виде группы равенств (4.8.6). Поэтому оценки (4.8.7), (4.8.8) и (4.8.10) остаются справедливыми для рассматриваемой задачи, однако всюду в (4.8.6), (4.8.8), (4.8.10) частоты определяются теперь формулами (4.8.20) (вместо (4.8.5)). Используя указанные оценки, получим аналогично (4.8.14) следующие достаточные условия сходимости рядов (4.7.16) в рассматриваемой задаче:

W G С’， wtQ е С?・W G С’， wtQ е С?・(4.8.21)(4.8.21)

W G С’， wtQ е С?・

W G С’， wtQ е С?・

(4.8.21)

(4.8.21)

Несущественные условия на Г при t = 0 опускаем, в соответствии с приведенным выше замечанием 4.1. Можно показать [79], что точно такой же вид (4.8.21) имеют достаточные условия сходимости рядов и для других наборов краевых условий в задаче управления колебаниями упругого стержня, а именно для условий:

w = wx = 0

при

力=0,

力=а;

w = wx = 0

при

力=0,

w = wxx = 0при х = а;

w = wx = 0

при

力=0,

wx = wxxx = 0при x = a;

w = wx = 0

при

力=0,

wxx = wxxx = 0 при x = a;

w = wxx = 0

при

力=0,

wx = wxxx = 0при x = a.

Двумерные и трехмерные задачи (п = 2, 3; А = Л). Перейдем к рассмотрению уравнений

wt = Aw + о, wtt = Aw +。； 八=2, 3,(4.8.22)

в двумерном и трехмерном случаях. Пусть область Q представляет собой прямоугольник при п = 2 и прямоугольный параллелепипед при п = 3, т. е. задается в виде

Q : Q<xi<ar, I = 1,2 или I = 1,2,3.(4.8.23)

Решения задач на собственные значения (4.4.2) для уравнений (4.8.22) в областях (4.8.23) при условиях типа Дирихле и Неймана известны и получаются методом разделения переменных. В двумерном случае (п = 2) для задачи Дирихле получим аналогично (4.8.5), (4.8.6)

0泳(3,/2)= 2(a1a2厂1/20泳(3,/2)= 2(a1a2厂1/2(4.8.24)(4.8.24)

0泳(3,/2)= 2(a1a2厂1/2

0泳(3,/2)= 2(a1a2厂1/2

(4.8.24)

(4.8.24)

Для задачи Неймана собственные значения задаются соотношениями (4.8.24) при 5, к = 0, 1,... , а собственные функции имеют вид, аналогичный (4.8.6):

0泳(/ 1,/2)= 2(a1a2)一I/20泳(/ 1,/2)= 2(a1a2)一I/2COSCOScoscosrkx?。2rkx?。2

0泳(/ 1,/2)= 2(a1a2)一I/2

0泳(/ 1,/2)= 2(a1a2)一I/2

COS

COS

cos

cos

rkx?

。2

rkx?

。2

0 00(/ 1,/2)= (a1a2)- "2,

夕0k(3,力2)= 2(0102)— "2 cos夕0k(3,力2)= 2(0102)— "2 cos7гк/2。27гк/2。2(4.8.25)(4.8.25)0分0(/1,/2)= 2(a1a2)- "20分0(/1,/2)= 2(a1a2)- "2г, к = 1,2....г, к = 1,2....

夕0k(3,力2)= 2(0102)— "2 cos

夕0k(3,力2)= 2(0102)— "2 cos

7гк/2。2

7гк/2。2

(4.8.25)

(4.8.25)

0分0(/1,/2)= 2(a1a2)- "2

0分0(/1,/2)= 2(a1a2)- "2

г, к = 1,2....

г, к = 1,2....

加I <б2（泳）一2加I <б2（泳）一2欣I <石з(泳)—з欣I <石з(泳)—зпри wq е。⑶， wq = 0 на Гпри wq е。⑶， wq = 0 на Г

加I <б2（泳）一2

加I <б2（泳）一2

欣I <石з(泳)—з

欣I <石з(泳)—з

при wq е。⑶， wq = 0 на Г

при wq е。⑶， wq = 0 на Г

Величины (4.4.13) в силу (4.8.24), (4.8.25) ограничены и таковн:

(4.8.26)(4.8.26)①泳=(2aia2)— "2； 〃，k = 1,2,....

(4.8.26)

(4.8.26)

Перейдем к оценкам коэффициентов Фурье (4.4.8), (4.4.9), предполагая начальные функции wo, ^力о достаточно гладкими. Заменяя кратные интегралы по области Q повторным интегрированием по 力i, 力2，а затем, применяя интегрирование по частям, получим аналогично (4.8.8)-(4.8.11) следующие оценки:

\qik\ < B^ik)-1 при丈㊂。⑴;

при wq E。⑵， wq = 0 на Г; (4.8.27)

для задачи Дирихле и

欣I <б4（泳）一* I仇o] <瓦кT；

I仇olw®厂 1 при Wo G C^;

欣I <马(泳尸，1如" <2；

/、(4.8.28)

I仇oIWA厂2 при w0 G

加I <бio(汴厂3, 1如"< B*-3；

I厂3 при iZ7oeC⑶，= О на Г on

для задачи Неймана. В соотношениях (4.8.27), (4.8.28) всюду г, к = =1,2,... , а С^ — класс функций w, имеющих в замкнутой области Q непрерывные частные производные вида

дхр dxq ' ° < Р 4 r'(4.8.29)

Для коэффициентов Фурье qik из (4.4.9) имеют место оценки, аналогичные (4.8.27), (4.8.28), с заменой wo на wto-

При помощи соотношений (4.8.24), (4.8.26)-(4.8.28) получим искомые достаточные условия сходимости рядов (4.7.5), (4.7.16). В рассматриваемых здесь случаях суммирование в этих рядах проводится по двум индексам i,k в пределах от 1 до оо для задачи Дирихле и от 0 до оо для задачи Неймана.

Оказывается, что ряд (4.7.5) сходится для задачи Дирихле при условиях

wo е。⑵，wo = 0 на Г,(4.8.30)

а для задачи Неймана — при условии

w0 G。⑵.(4.8.31)

Ряды (4.7.16) сходятся для задачи Дирихле при условиях

wo е。⑶，wto G。⑵，wo = wto = 0 на Г, (4.8.32)

а для задачи Неймана — при условиях

⑶，qoeC⑵，^ = о на Г.(4.8.33)

Условия сходимости (4.8.30)-(4.8.33) вполне аналогичны соответствующим условиям (4.8.12)-(4.8.15) для одномерной задачи.

Опуская несущественные условия на Г при t = 0 в соответствии со сделанным замечанием 4.1, получим, что ряд (4.7.5) для задач Дирихле и Неймана сходится при условии (4.8.31), а ряды (4.7.16) для этих же задач сходятся при условиях

w0 eе⑶，Ww gс⑵.w0 eе⑶，Ww gс⑵.(4.8.34)(4.8.34)

w0 eе⑶，Ww gс⑵.

w0 eе⑶，Ww gс⑵.

(4.8.34)

(4.8.34)

В трехмерном случае (п = 3), который рассматривается совершенно аналогично двумерному, собственные значения определяются равенствами, подобными (4.8.24):

Здесь г, j, к ^ \ для задачи Дирихле и i, j, к ^ 0 для задачи Неймана.

Для собственных функций и коэффициентов Фурье имеют место формулы и оценки, аналогичные (4.8.24)-(4.8.26). В итоге приходим к точно таким же условиям сходимости (4.8.30)-(4.8.34), как и в двумерном случае. При этом под С^ в этих условиях следует понимать аналогично (4.8.29) класс функций w, имеющих в замкнутой области Q непрерывные частные производные вида

gp+q+sgp+q+sдх^дх^дх^，дх^дх^дх^，0,夕 <『，0 < q < г, 0 < s < г.0,夕 <『，0 < q < г, 0 < s < г.

gp+q+s

gp+q+s

дх^дх^дх^，

дх^дх^дх^，

0,夕 <『，0 < q < г, 0 < s < г.

0,夕 <『，0 < q < г, 0 < s < г.

Условия разрешимости в общем случае

Как указано в § 4.7, для разрешимости задачи управления в случае уравнения (4.3.1) не требуется никаких дополнительных условий, а в случае управления (4.3.2) достаточно, например, чтобы были равномерно ограничены в Q функции Q^x) и Q^x) из (4.7.14). Проанализируем эти условия.

Всюду ниже предполагаем достаточную гладкость коэффициентов операторов А из (4.3.2) и М из (4.3.3), а также границы Г и начальных функций wo, wto из (4.3.5).

Заметим, что ряды (4.7.14) содержат, во-первых, собственные функции 夕卜(力)задачи (4.4.2) и, во-вторых, коэффициенты Фурье q^, qk начальных функций wo, w^o- Поэтому представляется целесообразным использовать следующие оценки рядов (4.7.14), вытекающие из неравенства Коши-Буняковского и позволяющие разделить вклады собственных функций и коэффициентов Фурье:

q3(/)，区爲%(/)£乂+。成「，

(4.9.1)

QG) W区 W沁)£中族产］/ •

Здесь /3 и 7 — пока произвольные числа, которые должны быть выбраны так, чтобы все ряды в (4.9.1) были ограничены.

Будем рассматривать дробные (положительные и отрицательные) степени дифференциального оператора А. Оператор А порядка 2m определяет преобразование

Aw = /.

Его область определения Da есть класс функций w, определенных в области Q, имеющих в этой области суммируемые с квадратом частные производные порядка до 2m включительно (этот факт можно записать в форме Da С Н27n ⑼，где Н2m — соответствующее пространство Соболева), а также удовлетворяющих краевым условиям (4.3.3).

Согласно теореме Агмона о ядре [77], оператор A~s при 2ms > п является интегральным оператором с непрерывным ядром, равным

к(/，у) = £кО)夕М力

Полагая х = у, т. е. рассматривая ядро на диагонали, получим равномерную ограниченность ряда

£/\£$夕工(力)W const < oo, 2ms > n.

Отсюда следует, что для равномерной ограниченности первых сомножителей в правых частях (4.9.1), т. е. рядов, зависящих от х, достаточно, чтобы

/3 > п(2т)-1, 7 > п(2т)-1.(4.9.2)

Отметим, что условия (4.9.2) при т = 1 впервые даны в работе [36]. Вторые сомножители в правых частях (4.9.1) (ряды, зависящие от коэффициентов Фурье) в силу равенства Парсеваля можно представить в виде

£&+%"](厶宀 а。)九

(4.9.3)

Ряды (4.9.3) сходятся, если функции A^^^^wq и A^^wtQ суммируемы с квадратом в области Q, т. е. принадлежат классу 工2(^)・ Другими словами, функции wo и wto должны принадлежать областям определения соответствующих операторов:

wo 604(1+万)/2, wto E DAy/2.(4.9.4)

Из результатов работы [97] следует, что область определения 0厶§ при s G (0, 1) лежит в Н27ns (◎) и выделяется теми из краевых условий (4.3.3), порядок которых ord Му- = rj < г = 2ms — 1/2. В случае, если для некоторого j имеем г$ = г, то соответствующее граничное условие понимается в некотором интегральном смысле.

В рассматриваемом случае согласно (4.9.4) имеем

s = ^(l+/3), г = ш(1 + /3) - I для w0,

(4.9.5) 11

s = ^ 7， г =- - для wt0,

причем s может быть и больше единицы.

Пусть, например, s = 1 + о, где а е (0, 1). Тогда, представляя результат действия оператора А8 в виде Asw = Aa(Aw) и применяя теорему Сили [97], придем к следующему утверждению. Область определения Das лежит в H2ms0) и выделяется краевыми условиями (4.3.3), а также теми из краевых условий MjAw = 0, для которых

ord Mj < 2та —；.

Другими словами, при s G (1,2) на функцию w, помимо краевых условий (4.3.3), накладываются еще те из условий вида MjAw = 0, для которых

ord (MjA) < г = 2ms -；.

Аналогичные результаты следуют также из лемм, приведенных в приложении 2 книги [37].

Таким образом, для сходимости рядов (4.9.3) функции wo и wto нужно подчинить условиям, зависящим от параметров s, г, причем эти условия тем жестче, чем больше s, г. Отметим, что в ограничениях rj < г на порядки операторов, так как дробная часть числа г несущественна, rj — целые числа.

Определим при помощи соотношений (4.9.2), (4.9.5) для каждой из функций wo, wto два числа: нижнюю грань s* возможных значений s и целую часть г* от нижней грани возможных значений г. Значения z/* = 2ms* и г* для различных пар п, т при п < 3, m < 2 сведены в табл. 8.

Таблица 8.

п, т

丿®о)

丿（W））

r*(w0)

T*(m0)

1,1

3/2

1/2

1

0

1,2

5/2

1/2

2

0

2,1

2

1

1

0

2,2

3

1

2

0

3,1

5/2

3/2

2

1

3,2

7/2

3/2

3

1

При помощи найденных значений 〃*, г* можно ответить на вопрос о сходимости рядов (4.9.1) и тем самым указать достаточные условия разрешимости рассматриваемых задач управления. Для этого достаточно потребовать выполнения следующих условий.

Во-первых, функции wo, ^力о должны принадлежать классам Н“(С), где и — любое число, большее соответствующего 〃*. В частности, и можно выбрать целым, и тогда это требование будет означать существование у функций wo, wto, суммируемых с квадратом частных производных порядка до ^ включительно.

Во-вторых, функции wo, wto должны удовлетворять на Г тем из краевых условий (4.3.3), для которых ordMj < г*, и тем из краевых условий MjAw = 0, для которых ord (Му-А) < г*. Так как ord Му- < < ord А = 2m, то наложение условий MjAw = 0 может потребоваться лишь при г*》2m.

Из табл. 8 видно, что неравенство г* 》2m имеет место только при п = 3, m = 1 для функции wq. В этом случае для задачи Дирихле (ord М = 0) имеем ord МА = 2 =广*®。)，и на функцию wo нужно наложить дополнительно условие Aw = 0 на Г.

В случае же задачи Неймана (ord М = 1) при п = 3, m = 1, а также для любых задач при остальных значениях п, т дополнительных условий не возникает.

Появление дополнительного краевого условия можно пояснить следующим образом. Предлагаемый закон управления (4.4.4) обращается в нуль на Г в случае задачи Дирихле, так как при этом 夕卜=0 на Г. Это снижает возможности управления на границе области, и может требовать дополнительных условий на начальные функции на Г.

В то же время некоторые из краевых условий (4.3.3) для разрешимости задачи накладывать необязательно. Например, при п = 2, т = =1 имеем r*(wo) = 1, r*(wto) = 0. Следовательно, для оператора А второго порядка в случае задачи Дирихле (ordM = 0) функции wo, ^力о должны удовлетворять условию Дирихле, а в случае задачи Неймана (ordM = 1) функция wo должна удовлетворять условию Неймана, а функция wto может ему и не удовлетворять.

Сопоставляя данные табл. 8 с результатами анализа примеров в § 4.8, видим, что в примерах условия сходимости оказались менее ограничительными при n = 1, m = 2 и п = 3, m = 1. При n = 1, m = 2 в примере не требуется накладывать условие Wq = 0 на Г, которое фигурирует в табл. 8: r*(wo) = 2. При п = 3, m = 1 в примере для задачи Неймана не требуется условие dwtQ/дп = 0, а для задачи Дирихле — условия Awo = 0 на Г, которые следуют из табл. 8.

Следует также иметь в виду, что, в соответствии с замечанием из § 4.8, условия на Г при t = 0 оказываются несущественными для решения задачи управления, если они автоматически выполняются при t = At > 0 в силу наложенных краевых условий.

Глава 5

УПРАВЛЯЕМЫЕ СИСТЕМЫПРИ СЛОЖНЫХ ОГРАНИЧЕНИЯХ

В данной главе предлагается способ построения управления в линейной системе при наличии ограничений на управление и смешанных ограничений, наложенных в каждый момент времени на фазовые координаты, управляющие воздействия, а также на некоторые интегралы, зависящие от этих переменных. Предложенный способ управления представляет собой обобщение известного способа Калмана, распространенного на случай наличия ограничений. Построен в явном виде закон управления как системой осцилляторов, управляемой одним ограниченным воздействием, так и другими колебательными системами. Для некоторых систем второго порядка построенный закон управления сравнивается с управлением, оптимальным по быстродействию. Построены законы управления также для некоторых систем более высокого порядка, в частности, для систем четвертого порядка со смешанными ограничениями, которые представляют собой модели механических и электромеханических систем, содержащих колебательное звено и электрический двигатель.

Постановка задачи

Рассмотрим линейную управляемую систему

± = A(t)x + B(t)u + /(t). (5.1.1)

Здесь х =(力 i,...,力冷)—n-мерный вектор фазовых координат, и = (ui,..., ит) — m-мерный вектор управляющих воздействий. Матрицы 4(方)и B(t) размера п х п и п х т соответственно, а также n-мерный вектор /(t) — заданные кусочно-непрерывные функции времени 方.

Предположим, что на фазовые координаты и управления системы (5.1.1) наложены ограничения типа неравенств, выражающие ограниченность абсолютных величин или компонент некоторых линейных комбинаций переменных х, и а интегралов от них. Для определенности будем рассматривать ограничения следующих двух типов:

1。⑴/⑴+02⑴"⑴+

+ [G"(方，丁)力⑺ +/Г(方，丁)"(丁)] c/丁 + 从2("] 4 1,

i =「••，『， (5.1.2) 卜相⑴，/⑴)+①⑴，"⑴)+

+ [(gj(t,T),x(r)) + 仇"方,丁),〃(丁川 dr^ < 1,

j =(5.1.3)

Здесь и далее скобками 卜，•) обозначены скалярные произведения векторов.

Ограничения (5.1.2), (5.1.3) должны выполняться при всех t е 6 [方о,。， где 方о н Т ——начальный и конечный моменты времени соответственно. Начальный момент 方° считаем фиксированным, а Т пока не фиксировано. Через C\ G" в (5.1.2) обозначены матрицы размера I х п, через D\ 由—матрицы размера I х т, через 川— Z-мерный вектор, где I — некоторое целое число. Через рЗ, gi в (5.1.3) обозначены n-мерные векторы, через 陋，及 _ m-мерные векторы. Матрицы и векторы С\ О,儲，“陋 суть заданные кусочно-непрерывные функции t на отрезке [方 о,0, а матрицы и векторы G",牙，~,及—заданные кусочно-непрерывные по каждому аргументу функции 方，丁 при 方，丁 е [方о,0・

Ограничения (5.1.2), (5.1.3) включают как частный случай различные часто встречающиеся ограничения на управления, фазовые координаты и интегралы от них. Так, если О" — единичная матрица размера т х т, а остальные матрицы и векторы C\ G", Я\ 川 в (5.1.2) равны нулю, получим из (5.1.2) ограничение на модуль управления ||〃(方)|| W 1. Если вектор q^ имеет одну отличную от нуля компоненту, а все остальные векторы pi, gi, % в (5.1.3) равны нулю, получим из (5.1.3) ограничение на одну компоненту управления. Приравнивая нулю все введенные в (5.1.2), (5.1.3) матричные и векторные коэффициенты, кроме С\ 夕7； получим фазовые ограничения. Аналогично, при обращении в нуль всех введенных матриц и векторов, кроме Н\ ДЛ получим интегральные ограничения на управление и т. д.

Поставим задачу о построении управления u(t), удовлетворяющего ограничениям (5.1.2) и (5.1.3) при t е 仗о,0 и переводящего систему (5.1.1) из заданного начального состояния

в заданное конечное состояние

力(Т) = 3,(5.1.5)

где 力°,力 1 — n-мерные векторы.

Обозначим через ①(方)фундаментальную матрицу однородной системы (5.1.1). Имеем

市=4⑴①，Ф(^о) = Еп,(5.1.6)

где Еп — единичная матрица размера п х п. Запишем решение системы (5.1.1), удовлетворяющее начальному условию (5.1.4), в виде

t

=①⑴卜° + ①t(7)医⑺"(丁)+ /(T)] dr^.(5.1.7)

力о

Подставляя решение (5.1.7) в краевое условие (5.1.5), получим условие на управление:

ф-^^В^и^) dt = x\(5.1.8)

力о

Здесь введено обозначение

/* =①T(т)/1— ①T⑴/⑴必.(5.1.9)

力о

Таким образом, искомое управление должно удовлетворять ограничениям (5.1.2), (5.1.3) и условию (5.1.8).

Обобщение метода Калмана

Воспользуемся методом управления, предложенным в работе [38] для случая отсутствия ограничений. Будем искать управление в виде

(5.2.1)(5.2.1)и = Q^ с,

(5.2.1)

(5.2.1)

где с — n-мерный постоянный вектор, Q(方)—матрица размера п х т, равная

Q⑴=^т⑴石⑴，(5.2.2)

а символ «т» означает транспонирование. Подставляя (5.2.1) в (5.1.8), получим уравнение для вектора с:

Здесь введено обозначение

R⑴=Q(t)Qt(t) dr. (5.2.4)

Из (5.2.4) следует, что R(t) — симметрическая неотрицательноопределенная матрица размера n х п при 方》方()• Будем предполагать, что матрица R(t) — положительно-определенная при t》方°, что, как известно (см. [42]), означает полную управляемость линейной системы (5.1.1). В этом случае векторное уравнение (5.2.3) имеет единственное решение

c = RT(T)z*. (5.2.5)

Обратимся к условиям (5.1.2), (5.1.3). Сначала подставим управление (5.2.1) в решение (5.1.7). Пользуясь обозначениями (5.2.2) и (5.2.4), получим

(5.2.6)(5.2.6)/⑴=①⑴"+ R(t)c +①T(丁)/(丁) dr].

(5.2.6)

(5.2.6)

力о

Преобразуем (5.2.6) с помощью соотношений (5.1.9) и (5.2.5):

(5.2.7)(5.2.7)/(方)=①⑴ ①T(T)/1+品(方,7>* — Ф-1^)/^) dr ,

(5.2.7)

(5.2.7)

R^t,T) = R{t)R-\T) - Еп.

Теперь подставим в ограничения (5.1.2) и (5.1.3) выражение (5.2.7) для х и выражение

〃⑴=Q^d^R^iT^(5.2.8)

для и, вытекающее из (5.2.1), (5.2.5). Ограничения (5.1.2) приводятся к виду

||Р(方,7)力*+“(方,Т)|| W 1, i=(5.2.9)

Здесь матрица F1 размера Z х п и Z-мерный вектор фг равны соответственно

р«,т)= од①⑴ к©。+ d 气网⑴ R-”)+

+依 T)①⑺用(丁, T) + 中(方,QQT⑺RT(T)] dr,

力о

Ф 气,T)=0⑴①⑴传 t(T)3 -[①-1(丁 )/(丁)面]+

+ G”(方，丁)①⑺[①т(Т)力 1 — Ф-1(Т1)/(Т1) dri] dr + ^(t),

to7

z = 1,(5.2.10)

Аналогично, ограничения (5.1.3) приводятся к виду (加(方,7),/*)+炉(方,7)W 1, 3.= 1，…,s.(5.2.11)

где n-мерный вектор 叩 и скаляр х‘ равны

〃£Т) = Rf (t,T)①不⑴pi ⑴ + R- (T)Q(t)d (t) +

+ [[R；(丁, T)①丁⑺g%, г) + A- (T)Q⑺力•«, г)] dr, 力о

х%,7) = {р^^,Ф^[ф-\Т)х{-[①т⑺/⑺而])+

^^r^fir^dr^ dr,

j = 1,s. (5.2.12)

Отметим, что функции F\ фг,叩,х"， определяемые соотношениями (5.2.10), (5.2.12), выражаются через заданные функции и поэтому могут считаться известными. Чтобы наложенные ограничения (5.1.2), (5.1.3) удовлетворялись, необходимо и достаточно, чтобы неравенства (5.2.9) и (5.2.11) были выполнены при заданном 力* и всех t е 仗о,0・ Это накладывает условия на время процесса Г и на вектор х*, что в силу (5.1.9) приводит (при заданном конечном состоянии х1) к условиям на время Т и на начальное состояние 力°. Мажорируя и упрощая левые части неравенств (5.2.9), (5.2.11), можно получить достаточные условия на Т и 力°, обеспечивающие выполнение наложенных ограничений (5.1.2), (5.1.3). Тем самым получим достаточные условия управляемости при ограничениях.

Приведем возможные варианты таких условий. Предположим, что при всех Т ^ to и всех t 6 [方о,0 выполнены неравенства

||“(方,T)|Y 必 V 1, h%,T)IY" v i，

(5.2.13)

分=1,...,广， 7 = 1，• • •，s,

где。6，х§ — положительные постоянные. Неравенства (5.2.9) заведомо выполнены, если

I 尸也 7)/*1| < 1 - ^, i=T,г.(5.2.14)

Пользуясь неравенством Коши-Буняковского, оценим сверху левую часть неравенств (5.2.14):

Г Z / п\ 2"\\F\t,TW\\= £ £^4Г Z / п\ 2"\\F\t,TW\\= £ £^41/21/2"I n.££(巧了_ J = 1 k=l ."I n.££(巧了_ J = 1 k=l .1/2mu,1/2mu,

Г Z / п\ 2"

\\F\t,TW\\= £ £^4

Г Z / п\ 2"

\\F\t,TW\\= £ £^4

1/2

1/2

"I n.

££(巧了

_ J = 1 k=l .

"I n.

££(巧了

_ J = 1 k=l .

1/2

mu,

1/2

mu,

z = 1,..., r. (5.2.15)

m/ft (咛"))2J = 1 k=lm/ft (咛"))2J = 1 k=lПодставляя (5.2.15) в (5.2.14), получим достаточное условие выполнения неравенств (5.2.9):

m/ft (咛"))2

J = 1 k=l

m/ft (咛"))2

J = 1 k=l

11^*11 < min<^ (1 —跳)

г = 1,..., r, t е [to, Т]. (5.2.16)

Аналогично, неравенства (5.2.11) будут заведомо выполнены, если

11^*11 < 吗“(1 — К) [max II^'(t, Г) II

^=l,...,s,方 е 汝о,Т]・ (5.2.17)

Итак, при выполнении условий (5.2.16) и (5.2.17) управление (5.2.8) удовлетворяет всем наложенным ограничениям (5.1.2) и (5.1.3) при 方 е 仗о,0 и переводит систему (5.1.1) из заданного начального состояния (5.1.4) в конечное состояние (5.1.5). Поэтому условия (5.2.16) и (5.2.17) можно рассматривать как достаточные условия управляемости за конечное время Т. Отметим, что в силу равенства (5.1.9) эти условия связывают начальное и конечное состояния 力°, х1 и время окончания процесса Т. Условия (5.2.16), (5.2.17) наложены на абсолютную величину вектора 力*.

Ниже в данной главе, следуя работам [12, 29, 54, 62, 69], рассмотрим способы построения управления для различных линейных систем со сложными ограничениями.

Следующая теорема [62] дает простые достаточные условия, обеспечивающие выполнение ограничения (а — положительная постоянная)

11〃⑴II < а(5.2.18)

для закона управления (5.2.8) в случае /(t) = 0.

Т е о р е м а 5.1. Пусть при некотором Т〉方о матрица Н(Т) неособая, т. е. выполнено условие полной управляемости, и пусть для любого п-мерного вектора о выполнены неравенства

||QT⑴К(Т)о|| W 入1(丁)||。||, t G [to,Г],(5.2.19)

||<Г)К(Т)о||》》2(T)IMI・(5.2.20)

Здесь К(Т) — некоторая неособая матрица размера п х п, Ai (Г), А2(^) > 0 — положительные скаляры, о — произвольный постоянный п-мерный вектор, причем неравенство (5.2.19) должно иметь место для всех t е 仗о,0・ Тогда, если выполнено условие

||/*||W 公 2(Т)Х」(Т),(5.2.21)

то управление 〃(力)，заданное равенством (5.2.8), переводит систему (5.1.1) из состояния (5.1.4) в состояние (5.1.5) в момент Г

и удовлетворяет ограничению (5.2.18) при всех t е [方о,0・

Доказательство. Управление (5.2.8) построено так, что условия (5.1.4), (5.1.5) выполнены. Согласно (5.2.8) имеем

II"⑴ II = WQT^R-\TW\\ = WQt^K(T)K-\T)R-\TW\\.

Воспользуемся неравенством (5.2.19):

II"⑴ |YM(T)||kT(T)rT(T)/*||.

Положим здесь 力* = R(T)K(T)v и применим сначала неравенство (5.2.20), а затем (5.2.21). Получим

II"⑴IV Х1(т)и < А^ПА-^пцадМПЧ!=

= Xi(T)yi(T)||/*||Wa.

Тем самым установлено, что ограничение (5.2.18) выполняется, что доказывает теорему.□

Замечание 5.1. Неособая матрица К(Т) е (5.2.19), (5.2.20) может выбираться произвольной, в частности, и единичной К = Еп. Произвол 6 выборе К(Т) может быть полезен, так как расширяет

область применимости приведенных достаточных условий. В случае единичной матрицы К = Еп число 入2(丁) согласно (5.2.20) есть оценка снизу наименьшего собственного числа матрицы Н(Т).

Замечание 5.2. Расчет управления (5.2.1) требует решения линейной алгебраической системы уравнений (5.2.3) в отличие от случая оптимального по быстродействию управления, для определения которого нужно решить систему трансцендентных уравнений. Кроме того, управление (5.2.1) — непрерывная функция времени, тогда как оптимальное по быстродействию управление, вообще говоря, разрывно.

Ниже при рассмотрении примеров различных механических систем получены более тонкие достаточные условия управляемости, в которых отдельно учитывается вклад различных компонент вектора х*.

Управление системой осцилляторов

Рассмотрим, следуя работе [62], систему гармонических осцилляторов, управляемых посредством скалярного управления

& + 冠& = и.(5.3.1)

Здесь £分—обобщенные координаты, постоянные 以分〉0 — собственные частоты осцилляторов, г = 1,..., п, и — скалярное управление,

ииРис. 55. Система математических маятниковРис. 55. Система математических маятников0°ЛГП0°ЛГПи►и►Рис. 56. Система осцилляторовРис. 56. Система осцилляторовна которое наложено ограничение (5.2.18), т. е. \и\ < а.

и

и

Рис. 55. Система математических маятников

Рис. 55. Система математических маятников

0°ЛГП

0°ЛГП

и

►

и

►

Рис. 56. Система осцилляторов

Рис. 56. Система осцилляторов

В качестве механической модели системы (5.3.1) может служить система математических маятников, подвешенных к несущему телу G, перемещающемуся горизонтально с ускорением и (рис. 55). При этом & — малые линейные отклонения маятников от точек подвеса, равные /分。分，где li — длина, а ф( — угол отклонения маятника от вертикали.

Другая механическая модель системы (5.3.1) представляет собой совокупность масс, присоединенных пружинами к несущему телу G. Вся система перемещается поступательно и горизонтально, причем £分—удлинения пружин, и — ускорение тела G (рис. 56).

Поставим задачу определения управления u(t), удовлетворяющего ограничению (5.2.18) и переводящего систему (5.3.1) из произвольного начального состояния при 方о = О

&⑼=8 &⑼(5.3.2) в заданное конечное состояние

&(Т)=8 &(Т) = 〃?・(5.3.3)

Будем предполагать, что частоты 以分 положительны и различны. Не нарушая общности, пронумеруем их в порядке возрастания, положим &о = 0 н введем обозначение

Q = min Qk+i — &k) > 0, 0 = cjo << ... <(5.3.4)

Q^k^n—1

Отметим, что при Q > 0 система (5.3.1) вполне управляема [72]. Если же некоторые частоты совпадают, то система становится неуправляемой. В самом деле, если начальные состояния двух осцилляторов с равными частотами различны, то никаким управлением нельзя добиться одновременного гашения колебаний этих двух осцилляторов: разность фаз их колебаний будет оставаться постоянной.

С помощью замены переменных

& = Уг-> & = %〔a(5.3.5)

приведем систему (5.3.1) к виду

Уг =—皿2分 + и, Zi =(5.3.6)

Фазовым вектором системы (5.3.6) является 2п-мерный вектор- столбец, составленный из компонент векторов у, z. Можно убедиться, что фундаментальная матрица однородной системы (5.3.6), определенная в (5.1.6), ортогональна и имеет вид

diag(cos g") diag(— sin g") ①⑴=,

diag(sin diag(cosc^£)(5 3 7)

①T⑴=①T⑴.

Символом diag(a分)обозначены диагональные матрицы размера n х п с диагональными элементами。九

Матрицы B(t) и Q&) для системы (5.3.6) — 2п-мерные векторы- столбцы. Согласно (5.2.2), (5.3.6), (5.3.7) их элементы таковн:

Bi = 1, Bn+t = О,

Q") = cosд方， Qn+i(t) = - sing九

Из соотношений (5.2.4), (5.3.8) вытекает

QQT =QQT =Q1 Q0 -Q°T Q2Q1 Q0 -Q°T Q2，Ж)=，Ж)=用я°т用я°тA。一A。一(5.3.9)(5.3.9)Rk = Qkdt, k = 0,1,2. оRk = Qkdt, k = 0,1,2. оЗдесь Q& Rk —матрицы размера п х п. Их элементы вычислим с помощью формул (5.3.8), (5.3.9) (всюду далее i, j = 1,, n):Здесь Q& Rk —матрицы размера п х п. Их элементы вычислим с помощью формул (5.3.8), (5.3.9) (всюду далее i, j = 1,, n):Q% = — cos 毎方 sin Ujt, Q% = cos Uit cos Ujt,Q% = — cos 毎方 sin Ujt, Q% = cos Uit cos Ujt,彌.=sing方 sinUjt,彌.=sing方 sinUjt,0 _ cos 2gT - 1 L 一初一0 _ cos 2gT - 1 L 一初一о cos(s〃 —山戸—1 cos(s〃 + 山戸—12(g -巧) +2(g + 巧)о cos(s〃 —山戸—1 cos(s〃 + 山戸—12(g -巧) +2(g + 巧)(5.3.10)(5.3.10)1,2 _T sin 2毎 T м —2土 4g1,2 _T sin 2毎 T м —2土 4g1,2 _ sin(g - Uj)T sin(g + Uj)T2(g -巧) 2(g + 巧)，1,2 _ sin(g - Uj)T sin(g + Uj)T2(g -巧) 2(g + 巧)，Отметим, что в силу условия (5.3.4)Отметим, что в силу условия (5.3.4)з.》Q, 心分——ujj j》Q, з. + 3j》3Q,з.》Q, 心分——ujj j》Q, з. + 3j》3Q,(5.3.11)(5.3.11)

QQT =

QQT =

Q1 Q0 -

Q°T Q2

Q1 Q0 -

Q°T Q2

，Ж)=

，Ж)=

用

я°т

用

я°т

A。一

A。一

(5.3.9)

(5.3.9)

Rk = Qkdt, k = 0,1,2. о

Rk = Qkdt, k = 0,1,2. о

Здесь Q& Rk —матрицы размера п х п. Их элементы вычислим с помощью формул (5.3.8), (5.3.9) (всюду далее i, j = 1,, n):

Здесь Q& Rk —матрицы размера п х п. Их элементы вычислим с помощью формул (5.3.8), (5.3.9) (всюду далее i, j = 1,, n):

Q% = — cos 毎方 sin Ujt, Q% = cos Uit cos Ujt,

Q% = — cos 毎方 sin Ujt, Q% = cos Uit cos Ujt,

彌.=sing方 sinUjt,

彌.=sing方 sinUjt,

0 _ cos 2gT - 1 L 一初一

0 _ cos 2gT - 1 L 一初一

о cos(s〃 —山戸—1 cos(s〃 + 山戸—1

2(g -巧) +2(g + 巧)

о cos(s〃 —山戸—1 cos(s〃 + 山戸—1

2(g -巧) +2(g + 巧)

(5.3.10)

(5.3.10)

1,2 _T sin 2毎 T м —2土 4g

1,2 _T sin 2毎 T м —2土 4g

1,2 _ sin(g - Uj)T sin(g + Uj)T

2(g -巧) 2(g + 巧)，

1,2 _ sin(g - Uj)T sin(g + Uj)T

2(g -巧) 2(g + 巧)，

Отметим, что в силу условия (5.3.4)

Отметим, что в силу условия (5.3.4)

з.》Q, 心分——ujj j》Q, з. + 3j》3Q,

з.》Q, 心分——ujj j》Q, з. + 3j》3Q,

(5.3.11)

(5.3.11)

При учете (5.3.11) получим следующие оценки элементов (5.3.10) матрицы Н(Т)：

I畸 Y 2心二巧I + 2心;巧I "奈'ьVI畸 Y 2心二巧I + 2心;巧I "奈'ьV(5.3.12)(5.3.12)

I畸 Y 2心二巧I + 2心;巧I "奈'ьV

I畸 Y 2心二巧I + 2心;巧I "奈'ьV

(5.3.12)

(5.3.12)

В условиях (5.2.19), (5.2.20) положим К(Т) = Е2rl и определим величины Ai(Т),入2(丁)・ Оценим левую часть неравенства (5.2.19), применяя неравенство Коши-Буняковского и используя выражения (5.3.8) для компонент вектора Q(T), следующим образом:

||QT IYIIQT ⑴ 11H =小/2 同.

Следовательно, в (5.2.19) можно положить

(5.3.13)(5.3.13)*(Т) = т?/2.

(5.3.13)

(5.3.13)

Оценим левую часть неравенства (5.2.20). Для любого вектора о имеем

11ЖМ1 = 号+[<П-“2几卜 >||1Ч1-ЦМЧ1，

(5.3.14)

M = R(T)-^E2n.

Здесь введена симметрическая матрица М размера 2п х 2п. Для ее элементов, используя соотношения (5.3.9), (5.3.12) для матрицы Н(Т), получим оценки

112

W 箱，\Мп^п^\ < -—, \Mij\ <

214

(5.3.15)

Согласно неравенству Коши-Буняковского, имеем (здесь и в (5.3.17) суммирование ведется от 1 до 2п)

112M2 =112M2 =

112M2 =

112M2 =

=||。||2£%.(5.3.16)

Учитывая оценки (5.3.15) и симметрию матрицы М, получим

+ 8(层—底)2八9a2+ 4Q2 +

++32(n2 -八) 5n(64n - 55)32(n2 -八) 5n(64n - 55)9Q29Q272Q272Q2.(5.3.17).(5.3.17)

+

+

32(n2 -八) 5n(64n - 55)

32(n2 -八) 5n(64n - 55)

9Q2

9Q2

72Q2

72Q2

.(5.3.17)

.(5.3.17)

Из неравенств (5.3.16), (5.3.17) следует

—Q —(72 丿 ，八》1.(5.3.18)

Используя неравенства (5.3.14) и (5.3.18), получим

11ЖМ1》(J —^)同•(5319)

Следовательно, условие (5.2.20) выполнено, если Т》2k冷/С. При этом условии, сравнивая (5.2.20) и (5.3.19), получаем

入2(丁)= (^ — ^) > °・(5-3.20)

Подставляя в неравенство (5.2.21) выражения (5.3.13), (5.3.20) и разрешая его относительно Т, получим

Т》^^胧飞 + ^.(5.3.21)

Вектор /* задан соотношением (5.1.9), в котором последнее слагаемое в правой части равно нулю в силу тождества /(t) = 0. Векторы 力°,力* согласно (5.3.5), (5.3.2), (5.3.3), таковы:

/° = {切(0)，/(0)}Т = {*,g 代?}Т，

(5.3.22)

力1 = WO),&(7)}Т = {**)}「

В закон управления (5.2.1) подставим элементы Q(方)из (5.3.8):

〃⑴=^2© cosg 方—cn+i sing". (5.3.23) i=l

На основе теоремы 5.1 получаем следующий результат [62].

Т е о р е м а 5.2. При выполнении условия (5.3.21) управление (5.3.23), 6 котором вектор с определяется формулой (5.2.5), где матрица Н(Т) задана соотношениями (5.3.9), (5.3.10), удовлетворяет ограничению (5.2.18) и переводит систему (5.3.6) {или (5.3.1)) из начального состояния (5.3.2) в конечное состояние (5.3.3) за время Г.

Заметим, что требуемое время Т растет при увеличении ||力*||, при уменьшении возможностей управления (т. е. а) и при сближении собственных частот, т. е. при уменьшении Q.

Рассмотрим поставленную задачу в частном случае гашения начальных колебаний, т. е. задачу приведения системы в состояние равновесия. В этом случае имеем х = 0 и, учитывая, что /(t) = О, из равенств (5.1.9) и (5.3.22) получим (石(方)—энергия колебаний)

(5.3.24)(5.3.24)11^Ц2 = Е [(*)2 + 届⑶Н = 2瓦，瓦=Е(0). i=l

(5.3.24)

(5.3.24)

(5.3.25)(5.3.25)成方)=D£ (底⑴产+冠[&⑴产).分=1

(5.3.25)

(5.3.25)

Условие (5.3.21) с учетом (5.3.24) перепишем в виде

2(2 八瓦)1/223

При условии (5.3.26) управление (5.3.23) переводит систему (5.3.1) из начального состояния (5.3.2) в состояние равновесия £〃 = £〃= 0.

В частном случае 八=1 минимальное время, удовлетворяющее условию (5.3.26), равно (учитываем второе соотношение (5.3.18))

Т* = 2(2 瓦)"2 + VIZ^.(5.3.27)

Сравним время (5.3.27) с временем оптимального быстродействия при условии

£ =—— « 1,(5.3.28)

用/2匂

означающем относительную малость управления. В этом случае приближенное оптимальное управление системой (5.3.1) при 八=1 и ограничении \и\ < 1, построенное в [72] с помощью методов малого параметра [20], имеет вид

и = -a signal,(5.3.29)

а фазовые координаты представляются в виде

& =(2石)——cos(si 方 + а), £ = -(2E)i/2 sin(si 方 + a).(5.3.30)

Здесь энергия E и фаза a — медленные переменные.

Продифференцируем по t энергию Е из (5.3.25) и воспользуемся равенствами (5.3.1), (5.3.29), (5.3.30):

В соответствии с методом усреднения [20] усредним по t правую часть полученного равенства, считая Ена постоянными. Получим уравнение первого приближения, которое проинтегрируем:

[2石⑴]1/2 = (2瓦)1/2 一包九

Отсюда следует, что время Т°, необходимое для гашения колебаний (т. е. для выполнения условия Е(Т°) = 0), равно

Т° = ^(2Е0)1/2.(5.3.31)

Формулы (5.3.27), (5.3.31) следует сравнивать при условии (5.3.28), при котором получено приближенное выражение (5.3.31). При этом второе слагаемое в (5.3.27) много меньше первого, а главные части формул (5.3.27), (5.3.31) различаются множителями. Имеем

М 1.2731).

Данное соотношение дает оценку близости результатов, получаемых при рассматриваемом способе управления и оптимальном быстродействии.

Маятник с управляемой по ускорению точкойподвеса

Рассмотрим системы, изображенные на рисунках 55 и 56, в случае одного осциллятора (n = 1), но при учете смещения go несущего тела G. Уравнения движения и ограничение (5.2.18) примут вид

3+*&=〃， £о = ", |〃| W。・(5.4.1)

Здесь все обозначения — те же, что и в § 5.3. Отметим, что смещения go и gi отсчитываются в противоположные стороны, так что абсолютное смещение осциллятора равно go 一 §i・ Рассмотрим еще видоизмененную постановку задачи, в которой управление системами, изображенными на рисунках 55 и 56, осуществляется не с помощью ускорения тела G, а с помощью силы F, приложенной к телу G и ограниченной по величине постоянной Fq. В этом случае вместо соотношений (5.4.1) имеем уравнения и ограничение

£1+*&=£о, (m0 + mi)<0-^i6 =F, \F\ < Fq, (5.4.2)

где mo — масса тела G, mi — масса осциллятора.

Введем координату центра масс системы

=(mo + g)& —加怎

m0 + пм

и преобразуем соотношения (5.4.2) к виду

ё I 居(mo + g)&Q ^ё I 居(mo + g)&Q ^加0加0Fm0'Fm0'(5.4.3)(5.4.3)

ё I 居(mo + g)&

Q ^

ё I 居(mo + g)&

Q ^

加0

加0

Fm0'

Fm0'

(5.4.3)

(5.4.3)

Замена переменных и постоянных

(>0 + g)W /2加0(>0 + g)W /2加0(加0 +m1済(加0 +m1済加0加0F u =—— 加0F u =—— 加0

(>0 + g)W /2

加0

(>0 + g)W /2

加0

(加0 +m1済

(加0 +m1済

加0

加0

F u =—— 加0

F u =—— 加0

приводит соотношения (5.4.3), с точностью до обозначений, к виду (5.4.1). Таким образом, соотношения (5.4.1) описывают также системы, управлямые с помощью ограниченной силы.

Для упрощения соотношений (5.4.1) сделаем в них замену пере

менныхменныхс _ аУ с _ azQ = so =с _ аУ с _ azQ = so =(5.4.4)(5.4.4)

менных

менных

с _ аУ с _ az

Q = so =

с _ аУ с _ az

Q = so =

(5.4.4)

(5.4.4)

После замены (5.4.4) соотношения (5.4.1) примут вид

(5.4.5)(5.4.5)у + у = и, Z = и, \и\ < 1.

(5.4.5)

(5.4.5)

В дальнейшем рассматриваем систему в виде (5.4.5) и обозначаем точками производные по новому времени ，， причем штрихи у ， п 〃' в (5.4.5) и далее опускаем.

Поставим задачу построить управление u(t), удовлетворяющее ограничению |u| < 1 и переводящее систему (5.4.5) из заданного начального состояния

у ⑼=yQ,少⑼=О。， 2(0) = 2。， 2 ⑼=w° (5.4.6) в заданное конечное состояние

у(Т)=/ 少(Т)=1Д 2(Т) = 2】， z{T)=w\ (5.4.7)

Величины в правых частях равенств (5.4.6), (5.4.7) — постоянные, Т > 0 — пока неизвестное время окончания процесса.

Решение данной задачи получено в работах [29, 62].

Фазовый вектор системы (5.4.5) образуют переменные у, у, 2, 2. Следуя общей схеме построения управления, изложенной в § 5.2, найдем фундаментальную матрицу ①(方)，определяемую соотношениями (5.1.6), и обратную к ней матрицу Ф-1 (t):

■ costsin t00 -①⑴=—sin t0cost0001t_ 0001 _■ cost -■ sin t00 -”)=sintcost00001—t_ 0001 _■ costsin t00 -①⑴=—sin t0cost0001t_ 0001 _■ cost -■ sin t00 -”)=sintcost00001—t_ 0001 _(5.4.8)(5.4.8)

■ cost

sin t

0

0 -

①⑴=

—sin t

0

cost

0

0

0

1

t

_ 0

0

0

1 _

■ cost -

■ sin t

0

0 -

”)=

sint

cost

0

0

0

0

1

—t

_ 0

0

0

1 _

■ cost

sin t

0

0 -

①⑴=

—sin t

0

cost

0

0

0

1

t

_ 0

0

0

1 _

■ cost -

■ sin t

0

0 -

”)=

sint

cost

0

0

0

0

1

—t

_ 0

0

0

1 _

(5.4.8)

(5.4.8)

Матрица Q&) из (5.2.2) в данном случае есть четырехмерный вектор-столбец

QT(t) = (— sint, cost, —t, 1),(5.4.9)

а управление (5.2.1) представляется в виде

〃(方)=—ci sint + C2 cost — сз方 + а.(5.4.10)

Выражение для матрицы R(T), определяемой равенствами (5.2.4) и (5.4.9), а следовательно, и решение векторного уравнения (5.2.3) значительно упрощаются, если положить Т = 2тгк, к = 1,2,.... Тогда матрица Н(Т) примет вид

■ T/2

0

-T

0 ■

0

T/2

0

0

Ж)=

-T

0

r3/3

-T2/2

(5.4.11)

0

0

-T2/2

T

Случай произвольного Г ^ 2тгк рассмотрен далее в § 5.5.

Выразим компоненты вектора х* через краевые условия (5.4.6), (5.4.7) с помощью соотношений (5.1.9), (5.4.8) и учитывая тождество /⑴=0：

х^ = z1 - Tw1 - 2°, W =館一w° (Г = 2тгк).

Разрешая уравнения (5.2.3) с учетом полученных выражений для матрицы Н(Т) и вектора 力*, получим

5 = 7(72)24)[/(峭—У°)+ 12(/1 —2。) 一б,®。+ 館)],

С2 =力1 - У),

сз = 7(,2* 24)性匂 1 —丿)+ 2&1 - 2°) - T(W° + 館)],

。4 = /_ 24)[随匂j丿)+ 37(2 J 2。)-

-(丁2 + 12)館—2(/ _ 6)w°], (5.4.12)

Осталось выбрать натуральное к в соотношении Т = 2тгк так, чтобы управление (5.4.10), (5.4.12) удовлетворяло ограничению \и\ < 1 при t 6 [0,Г]. Имеем в силу (5.4.10), (5.4.12)

I"(力 W 依丨 + 匕2丨 + 匕4 -С3方1 W T(№_ 24) [T2" 一丿1 +

+ 12g - 2。| + 6T|w° + w11 + (T2 - 24)" - №| +

+ 6"—們 |T — 2t| + 3|/i — 2。| |T — 2t| + 仪切,

⑦⑴=I (Г2 + 12)疗 +2(T2-6)w°-3Tt(w1+w°)|.(5.4.13)

Здесь Г = 2тгк, k》1, поэтому Г2 > 24.

Линейная функция ?/；(方)принимает наибольшее значение на одном из концов интервала [0,Т], следовательно,

⑦⑴ < max{2⑼,2(7)}=

=；max^ |3T2(w° + w1) - (Г2 - 24)(w1 - w°)|, |3T2(w° + w1) +

+ (T2 -24)(w1 -川)|} = |丁2历。+ N + 1 (T2 -24)|w1 - w°|.

Отметим еще, что \Т - 2力 < Т при t 6 [0, Г].

Учитывая сделанные оценки, из неравенства (5.4.13) получим

1^)1 < 乳力(7)犷一川 + 2"一* + /2(7)1川+ 苏| +

+ Iw1 - w°|^ + 奈力⑺歹-2。|, (5.4.14)

干 2/ + 12T3/ + 12T

72 — 24，丿)一 72 — 24 .

В правой части (5.4.14) заменим функции /1 (Г), 了2(丁)，которые строго убывают при Т》Т\ = 2тг, их максимальными значениями при Т = Ti и в полученное неравенство подставим Т = 2ттк, Ti = 27r. Придем к неравенству

8 =亲，(5415)

Из (5.4) следует, что ограничение \и\ W 1 выполняется, если

к2 -Ак-В ^0, т. е. при условии

Г = 2тгк, к^к* = ^А +(А2 + 46)1/2).(5.4.16)

Формулы (5.4.10), (5.4.12) вместе с соотношениями (5.4.16) для Г и (5.4) для А, В полностью определяют искомое управление 〃(方) в явном виде через начальное и конечное состояния.

Рассмотрим частный случай краевых условий (5.4.6), (5.4.7):

у° = о° = 2° =川=J = J =館=0,(5.4.17)

отвечающий перемещению всей системы, показанной на рисунках 55 и 56, из одного состояния равновесия в другое на расстояние 2】. В случае (5.4.17) оптимальное по быстродействию управление 〃 = ±1 релейно и имеет три точки переключения [72]. Время быстродействия Т° — единственный положительный корень уравнения

|(T0)2-2(arccoS(cos2(|T0))) = причем справедливы соотношения

212T/2, Т° 〜212T/2 ПРИ 尸|(5.4.18)

Сравним этот результат с временем перемещения для закона управления (5.4.10). По формулам (5.4)-(5.4.17) имеем (ent к* — целая часть числа к*):

Г = 27r(ent к* + 1), к* = В"? = Q.7965^111/2.

Отсюда при больших l?! получим

Т-б.ООб^1!172, PI -00.(5.4.19)

Если же воспользоваться непосредственно оценкой (5.4.14) в случае (5.4.17) при l^11 — оо, то найдем

Т 〜(2/2(оо)|^1|)1/2 = д/ё^Т' = 2.449|21「/2,尸| т оо.

(5.4.20)

Сравнивая формулы (5.4.18)-(5.4.20) для Т°, Г, видим, что при 1211Toо они различаются коэффициентами, что обусловлено как отличием управления (5.4.10) от оптимального, так и способом мажорирования, проведенного при выводе оценки (5.4). Заметим, что оценка (5.4.20) значительно ближе к (5.4.18) по сравнению с оценкой (5.4.19) именно за счет уменьшения «потерь» при мажорировании.

Отметим также, что при произвольных краевых условиях оптимальные по быстродействию управления для рассмотренных в § 5.3-5.4 задач неизвестны.

Маятник с управляемой по ускорению точкойподвеса (продолжение)

В § 5.4 для упрощения выкладок сделано предположение, что безразмерное время процесса управления кратно 2тг, т. е. Г = 2тгк. В данном параграфе, следуя работе [29], откажемся от этого допущения и будем рассматривать задачу при произвольном Т.

Поставим задачу построить управление u(t), удовлетворяющее ограничению \и\ < 1 и переводящее систему (5.4.5) из начального состояния

у⑼=評，少(Т)=韬，2(Т)=力 g, 2(7) ="(5.5.1)

в состояние покоя

у(Т) = 0,少(Т) = О, 2(Т) = О, 2(7) = 0.(5.5.2)

Матрица Н(Т) при произвольном Т примет вид

■ (T-sc)/2-s2/2s-Tc с-1 '

Ж)=

-s2/2(T+sc)/21-c-Tss

;(5.5.3)

s-Tc1-c-TsT3/3-T2/2

_c-1s-T2/2T_

здесь введены обозначения s = sinT, с = cosT.

Пусть 。叮，г, j = 1,4, — элементы обратной матрицы R~[(T) из (5.5.3). Тогда выражение для управления (5.4.10) с учетом (5.2.5) примет вид

4

〃⑴=〉2(。1 网？ sin t — 02 网？ cost + фзiX^t — 04 再?).(5.5.4)

i=l

Итак, управление (5.5.4) при любом Г > 0 переводит систему (5.4.5) из начального состояния (5.5.1) в терминальное состояние покоя (5.5.2) за время Т. Однако это управление, вообще говоря, не удовлетворяет ограничению \и\ W 1. Для того чтобы учесть это ограничение, применим к соотношению (5.5.4) неравенство Коши-Буняковского

/ 41/2「42] 1/2

)£(—0i分sin* + 他cos* 一03分方 +•

=1 / L=1-

(5.5.5)

Введем вспомогательные функции

4

夕(方,Т) = £ (一例分 sin 方 + ф^ cos 方一03分方 +04，(5.5.6)

2=1

И「1-1/2

丁⑵=Io 噤产•(557)

Тогда неравенство (5.5.5) перепишется в виде

|〃| W||叫|М£Т)р/2,(558)

Будем выбирать время окончания процесса, исходя из условия

|к°|| =г(Т).(5.5.9)

Из (5.5.8) следует, что при выборе Г согласно (5.5.9) наложенное ограничение на управление будет удовлетворено при всех t е [0,Г].

Таким образом, приходим к следующей процедуре построения управления 〃(方).Сначала найдем элементы 0打・(Т) обратной матрицы R—1(Т) и подсчитаем функции 夕(方，Т) и г(Т) с помощью равенств (5.5.3), (5.5.6) и (5.5.7). Эти построения выполняются один раз для данной системы (см. ниже).

Когда они выполнены, для любого начального вектора 力° можно построить искомое ограниченное управление, переводящее систему в начало координат. Для этого сначала определим время Г из условия (5.5.9), а затем найдем управление и из (5.5.4).

Для определения функции г(Т) воспользуемся языком символьных вычислений Reduce и найдем на компьютере аналитические представления элементов 0叮，i, j = 1,4, матрицы 兄一上丁)，обратной к (5.5.3). Выражения для。叮 получились довольно громоздкими. Приведем для примера один элемент матрицы R~{(T\.

фп =2[T5+T4sinT cos Г - 8Т3 sin2 Г + 24Т2 sin Т(1 - cos Г)-

-24Т(1 -cosT)2] / [Г6 -T4(8cosT + sin2T+ 16) +

+ 8Т3 sin Т(5-2 cos Г) + 48Т2 (1—cosT)(1+2cosT) —

-240TsinT(l - cosT) + 192(1 - cosT)2]. (5.5.10)

Используя формулу (5.5.6) и найденные выражения для 。叮 вида (5.5.10), можно подсчитать численно максимальные значения p(t, Г) по 方 е [0, Г]. Таким образом определена функция г(Т) из (5.5.7). Ее график представлен на рис. 57.

Проанализируем поведение функции г(Т) в предельных случаях.

Пусть время процесса Г — —0. Разложим функцию 夕(方，Т) из (5.5.6) в ряд Маклорена (используем Reduce) по текущему времени

0(力,T) = (。12 +。14产 + (022 +。24产 + (023 +。34产 +

+ (024 +044产一2方[012(011 +013 +022 +024)+

+。13(。14 +。23 +。34)+。14(011 +。24 +044)+

+。23(。22 +。24 +。33)+。34(024 +。33 +。44)] + …•(5.5.1 1)

Далее разложим числители и знаменатели элементов。叮，5, 7 = 1,,4, симметрической матрицы 兄一上丁) в ряды по Т. Получим

Oil =Oil =7161814400071618144000012 =012 =НТ1218900НТ12189007161814400071618144000(5.5.12)(5.5.12)Остальные элементы имеют аналогичные представления.

Oil =

Oil =

716

18144000

716

18144000

012 =

012 =

НТ12

18900

НТ12

18900

716

18144000

716

18144000

(5.5.12)

(5.5.12)

Оценки порядков разложений по Г в числителях и знаменателях функций 0叮 из (5.5.12) показывают, что для получения главного члена разложения функции 夕(方，Т) согласно (5.5.11) достаточно сохранить лишь главный член (порядка Г16) в знаменателях формул (5.5.12). При этом в числителях выражений (5.5.12) следует учитывать члены различных порядков. В результате приведения подобных членов оказывается, что имеет место представление

(5.5.13)(5.5.13)夕(方，T) = 14112007-8/(丁)

(5.5.13)

(5.5.13)

Здесь обозначено

/(г) = 1 - 24т + 204丁2 - 760т3 + 1380т4 - 1200т5 + 400т6,

т = ^е[0,1]. (5.5.14)

График полинома /(г) изображен на рис. 58.

Нетрудно видеть, что наибольшего значения /(г) достигает на границах интервала изменения г, причем /(0) = /(1) = 1. Тогда

формулам (5.5.10), и разложимформулам (5.5.10), и разложимиз (5.5.13) и (5.5.14) следует, что

формулам (5.5.10), и разложим

формулам (5.5.10), и разложим

maxp(t,T) = 1411200 Г-8.

Подставляя этот результат в (5.5.7), получим

г(Т) = 8.4 • 10~4Т4, Т 一 0.

(5.5.15)

Равенство (5.5.15) для расчета функции г(Т) при малых Т подтверждается и результатами численного построения зависимости г(Т).

Пусть теперь время процесса управления Т — оо. Подставим в равенство (5.5.6) выражения

ф^,= 1,...,4, подсчитанные по

функцию 夕(方，Т) в ряд по обратным

степеням Т. Преобразования, проведенные с помощью языка Reduce,

дают следующее разложение:

夕(方,Т) = 4Т—2{9(〃т)2 _ 12(〃Т) + 5 +

+ Г- [12(7 - 2t)T-1sin(T —方)一sin 2(Г —方)一sin2t -

-12(2Т - З^Т-1 sint] }+0(Т-4), Т — оо. (5.5.16)

Перепишем разложение (5.5.16) в виде

р^Т) = ^\p^tUT~XP^t^

00(T) = 972 - 127 + 5,

夕 1(丁,7) = 12(1 -2т) sinT(l — 丁)一 sin2T(l - г) -

-sin2Tr- 12(2-3т) sin Гт, 丁 = ； G [О, 1]. (5.5.17)

Перейдем к отысканию максимума (5.5.7) при Т — оо, пользуясь представлением (5.5.17). Нетрудно видеть, что квадратный трехчлен 夕0(丁) достигает максимума на отрезке [О, 1] при г = 0. Так как при Т т оо вклад второго слагаемого в (5.5.17) мал, то имеем с точностью до малых величин высшего порядка

°囁睑夕(方,Т)=夕(0,丁)= 20Т-2 + 4Т~3(12 sin Г - sin 2Т), Т 一 оо.

(5.5.18)

Здесь используется разложение (5.5.16). Подставляя (5.5.18) в (5.5.7) и разлагая результат в ряд по Г-1, получим

r(T) = I。' - 1 [^| + ®п2Т +。(7-1), Т т оо. (5.5.19)

Продифференцируем (5.5.19) по Т:

(2 - cosT)(l - cos Г)

Следовательно, г(Т) — монотонно возрастающая функция при Т т 00.

Из приведенных расчетов и аналитических разложений вытекает, что функция г(Т) монотонно возрастает от 0 до оо при изменении Г от 0 до оо. Следовательно, уравнение (5.5.9) при любом ||力°|| имеет единственное решение.

Приведем результаты численного моделирования. Процедура расчета управления уже описана выше. Остановимся подробнее на способе

практического численного решения уравнения (5.5.9). Весь полубеско- нечный интервал изменения Г разбиваем на три части [0,То], [^b,TJ и [Ti, оо), которым соответствуют три интервала изменения функции г(Т): [О, го], [г0,Г1] и 卜 1, оо). Здесь & = 丫®, г = О, 1. На отрезке [0,7b] используется асимптотическое представление (5.5.15) для малых Г, на отрезке [То, ^1]——таблица числовых значений г(Т), а на интервале [Т1, оо) — асимптотическое представление (5.5.19) для больших Т. Вначале по заданному х° определяем путем сравнения ||力°|| с『о 以『1, в каком из трех отрезков лежит искомое Т. Затем определяем Т следующим образом. Если Г е [0,То], то согласно (5.5.15) имеем

(0.00084 丿

Если Г е рЬ,Т1], то находим Г путем линейной интерполяции по таблице значений г(Т), хранящейся в памяти компьютера. Если Г е [Т1, оо), то пользуемся представлением (5.5.19). При этом Г удобно искать в виде

Т = 2у^||/°|| + 仇Т = 2у^||/°|| + 仇(5.5.20)(5.5.20)

Т = 2у^||/°|| + 仇

Т = 2у^||/°|| + 仇

(5.5.20)

(5.5.20)

Подставляя (5.5.20) в (5.5.19), получим для 夕 уравнение

F(^) = 10(9— 12sin(2v^|| 丿II +6>) + sin[2(2v^||z°|| +6»)] = 0.

Это уравнение решается каким-либо численным методом, например,

методом деления отрезка пополам.

Когда для заданного начального вектора х° определено время Т, управление u(t) в любой момент t может подсчитываться по формуле (5.5.4). При этом используются аналитические выражения вида (5.5.10)

торийторийдля функций ф^, i, j = 1,...,4- Вычисляемое таким образом управление подставляется теперь в правые части системы (5.4.5), которая интегрируется численно при начальных условиях (5.5.1).

торий

торий

Некоторые результаты моделирования при х° = (—1,2,0.5, 1) представлены на рис. 59. Жирной линией показана проекция фазовой траектории 力(方)на гиперплоскость 匂，少)，а тонкой — ее проекция на гиперплоскость (2, 2). Время прихода системы в терминальное состояние в данном случае оказалось равным Г = 13.116.

§ 5.6. Маятник с управляемой по скорости точкойподвеса

Рассмотрим систему, содержащую колебательное звено и управляемую по скорости посредством скалярного управления

3+/(&—&) = 0, Ео = 〃•(5.6.1)

Здесь &), £1 — обобщенные координаты, s〉0 — собственная частота осциллятора, и — скалярное управление, на которое наложено ограничение (5.2.18).

Уравнения (5.6.1) описывают движение систем, изображенных на рисунках 55 и 56, в случае одного осциллятора (n = 1), но при учете управления скоростью несущего тела G. В частности, это может быть двухмассовая система, состоящая из несущего тела и присоединенного к нему с помощью пружины груза. Вся система перемещается поступательно и горизонтально, причем go — смещение несущего тела, и — его скорость, & — абсолютное смещение груза.

Другая механическая модель системы (5.6.1) представляет собой математический маятник, подвешенный к несущему телу, перемещающемуся горизонтально со скоростью и. При этом go — смещение несущего тела, gi = —1\ф\ +£о — абсолютное смещение груза маятника (здесь /1 — длина маятника, ф\ — угол его отклонения от вертикали, причем отклонения предполагаются малыми). Соотношения (5.6.1), (5.2.18) моделируют также другие механические системы, в которых в качестве управляющего воздействия выступает ограниченная по модулю скорость [72].

Поставим задачу определения управления 〃(方)，удовлетворяющего ограничению (5.2.18) и переводящего систему (5.6.1) из произвольного начального состояния при t = О

&⑼=8 次。)=巾 6(0) = е?(5.6.2)

в заданное конечное состояние покоя

&(Т)=0, £1(7) = 0, £1(7)=。.(5.6.3)

Время окончания процесса Г нефиксировано.

С помощью замены переменных

q =——， &—, t = —, и = au(5.0.4)

ss s

приведем систему (5.6.1), (5.2.18) к виду

歹 + g = 2, z = и,(5.6.5)

Будем рассматривать систему в форме (5.6.5), (5.6.6), обозначая точками производные по новому времени, причем штрихи у，п 〃' опускаем. При замене переменных (5.6.4) условия (5.6.2) и (5.6.3) примут вид

g⑼=/?，少⑼=/3， 2⑼=球(5.6.7)

У(Т) = 0,少(Т) = 0, 2(7) = 0;(5.6.8)

величины 力，，力В，力？ — заданные постоянные, Т > 0 — неизвестное пока время окончания процесса.

Таким образом, поставленная задача сводится к построению управления 〃(方)，переводящего систему (5.6.5) из заданного начального состояния (5.6.7) в конечное состояние (5.6.8) и удовлетворяющего ограничению (5.6.6).

Изложенное ниже решение получено в работе [54].

Воспользуемся подходом, изложенным в § 5.2. Обозначив через х = (у, у, ^) фазовый вектор, приведем систему к виду (5.1.1), где

'0

1

0 ■

■ 0 ■

■ 0 ■

А =

-1

0

1

,В =

0

,/ =

0

.(5.6.9)

0

0

0

1

0

Начальные (5.6.7) и конечные (5.6.8) условия запишутся в форме

力⑼=/。=(/?,吟/g),

(5.6.10)

力(T) = 0.

Матрица, обратная к фундаментальной матрице однородной системы, имеет вид

cost

—sin 力

—cost

”)=

sin力

cos力

—sin 力

,(5.6.11)

0

0

1

а матрица Q из (5.2.2) представляет собой трехмерный вектор-столбец

(5.6.12)(5.6.12)（2Т （方）={1 - cos 方，一sin 方，1}.

(5.6.12)

(5.6.12)

Подставляя (5.6.12) в выражение (5.2.1) для управления и, получаем

(5.6.13)(5.6.13)u(t) = С1(1 — COS 方)—С2 sin 方 + Сз,

(5.6.13)

(5.6.13)

где ci, С2, сз — компоненты вектора с, задаваемого уравнением (5.2.3).

Найдем матрицу Н(Т) из (5.2.4) с помощью (5.6.12)

Ж)=Ж)=万一2s+产万一2s+产#+с-1#+с-1T-sT-s|s2+c-l|s2+c-lГ 1I~2SCГ 1I~2SCс—1с—1T-sT-sс—1с—1ГГ

Ж)=

Ж)=

万一2s+产

万一2s+产

#+с-1

#+с-1

T-s

T-s

|s2+c-l

|s2+c-l

Г 1

I~2SC

Г 1

I~2SC

с—1

с—1

T-s

T-s

с—1

с—1

Г

Г

где, как и раньше, s = sinT, с = cosT, и обозначим элементы обратной к ней матрицы 兄一上丁) символами ^, i, j = 1,2, 3. Тогда выражение для управления (5.6.13) с учетом (5.2.5) примет вид

з

〃⑴=£(—® 网?(1 — cost) + 耽网？ sint — * 网?)•(5.6.14)

i=l

При любом заданном Г > 0 управление (5.6.14) переводит систему (5.6.5) из произвольного начального состояния (5.6.7) в конечное состояние покоя (5.6.8) за время Г, но, вообще говоря, не удовлетворяет ограничению (5.6.6). Для того чтобы учесть это ограничение, применим к соотношению (5.6.14) неравенство Коши-Буняковского:

и(1 - cost) - Vasili 方 + Зз/2и(1 - cost) - Vasili 方 + Зз/2/ з 、1/2

и(1 - cost) - Vasili 方 + Зз/2

и(1 - cost) - Vasili 方 + Зз/2

(5.6.15)

Введем вспомогательные функции

з

夕(方,Т) = £0cost)-他sin方 + ⑦3分广，(5.6.16)

i=l

Г-1-1/2

r(T) = max p(t,T)(5.6.17)

и перепишем неравенство (5.6.15) в виде

Ы<1к0|1И，П]1/2<^.(5.6.18)

Если теперь время окончания процесса управления будет выбрано из условия

||力°|| =『(Т),(5.6.19)

то ограничение (5.6.6) будет выполнено при всех t е [О,Г].

Значения функции 夕(方，Т) могут определяться численно по формуле (5.6.16). При этом элементы ⑦叮，г, j = 1,2, 3, симметрической матрицы R—1(Т) подсчитываются по формуле

(5.6.20)(5.6.20)偈=赢网行

(5.6.20)

(5.6.20)

где Rij — алгебраическое дополнение элемента 广叮 матрицы Н(Т). Используя эту процедуру, можно подсчитать максимальные значения 夕(方，Т) по 方 G [0, Т] и определить функцию г(Т) из (5.6.17). В связи с тем, что функция 夕(方，Г) периодич

на по t с периодом 2тг, ее максимум достаточно искать на отрезке [0,Т], если Г < 2тг, или на отрезке [0,2тг], если Г》27r.

На рис. 60 представлен график функции『(Т), полученный на основе расчетов с мелким шагом АТ по Т. При каждом фиксированном Т максимум по t функции 夕(方,Т) находился путем перебора и сравнения значений.

Рис. 60.①ункцня г(Т) Проанализируем поведение функции г(Т) в предельных случаях.

Пусть время управления Т мало. Разложим элементы ⑦叮，г, j = 1,2, 3, симметрической матрицы Д-1(Т) в ряды по Г-1, используя формулу (5.6.20), и запишем главные члены разложений:

L(T)=L(T)=360 Г-4 192 Г-3 36L260 Г-336 Г-297—360 Г-4 192 Г-3 36L260 Г-336 Г-297—Т — 0.Т — 0.(5.6.21)(5.6.21)"720 Г-5 360 Г-4 60Lз

L(T)=

L(T)=

360 Г-4 192 Г-3 36L2

60 Г-336 Г-297—

360 Г-4 192 Г-3 36L2

60 Г-336 Г-297—

Т — 0.

Т — 0.

(5.6.21)

(5.6.21)

Подставляя разложения (5.6.21) элементов ⑦叮，i, j = 1,2, 3, в выражение (5.6.16) и учитывая, что

1 — ； cost =卢 + 0(方4),

sin t t + 0(*)

при малых t, получаем для функции 夕(方，Г) следующее представление при малых Г и t е [О,Т]:

夕(方,Г) = 3602T—6 (与—；+ ^ j(5.6.22)

Из формулы (5.6.22) следует, что

max p(t,T)=夕(0,Т)=夕(Т,Т) = 3600 Т~6.(5.6.23)

Подставляя (5.6.23) в (5.6.17), получим

")=击т-о.(5.6.24)

Пусть теперь время Г велико. Подставим в равенство (5.6.16) для функции p(t, Г) выражения ⑦叮，i, j = 1,2, 3, подсчитанные по формуле (5.6.20), и произведем разложение в ряд по обратным степеням Т:

夕(方,Т) =47—2 %⑴+т—1⑵色т)] +。(丁一4), т-g. (5.6.25)

Здесь введены обозначения

夕 о ⑴=cos21 + cos t + ^,

夕 1 (方,T) = 9( 1 — cos方)(sinГ + I sin2T)-8sinT- | sin2T +

+ sin2 方 sin 2T + (-5 + 5 cos T — 7 sin2 T) sin t -

-2(1 - cos t)2(sinT + sin2T) +

+ 2(1 — cos 力)(1 - cos T + 3sin2 T) sint (5.6.26)

Пользуясь разложением (5.6.25), нетрудно отыскать максимум по Г функции 夕(方，Т) при Т — оо. Функция 夕о(方)из (5.6.26), очевидно, достигает максимума на отрезке [О, Т] при t = 0. Так как при Т — —оо вклад второго слагаемого в (5.6.25) мал, то имеем с точностью до малых величин высшего порядка

0囁睑夕(方，7)=。(0，7)=

=13Т-2-32T-3sinT- 10T-3sin2T, T 一 оо. (5.6.27) Подставляя (5.6.27) в (5.6.17) и разлагая результат в ряд по Г-1, получим

г(Т) = /(Г) + ОСТ-), Т — оо.(5.6.28)

Здесь введено обозначение

Продифференцируем функцию /(Г) по Т:

/20 cos2 Г + 16 cos Г + 3

Производная /，(Т) обращается в нуль при cosT = —0.5 и cosT = —0.3. Расчеты показывают, что при Т = —2тг/3 + + 27m и Г = arccos(—0.3) + 27m функция /(Т) имеет локальные максимумы, а при Г = 2тг/3 + + 27m и Г = - arccos(-0.3) + 27m —локальные минимумы. Характерный вид этих слабозаметных экстремумов виден на рис. 61, где представлен график функции /(Г). Для большей наглядности один участок графика с расположенными на нем максимумом и минимумом показан с увеличением в 100 раз

по оси ординат. Таким образом, функция г(Т) не является монотонно возрастающей при изменении от 0 до оо, и уравнение (5.6.19) при любом х° имеет, вообще говоря, неединственное решение.

Опишем процедуру построения управляющей функции 〃(方). Сначала решаем численно уравнение (5.6.19) и находим Т. Для этого весь полубесконечный интервал изменения Т разбиваем на три части: [0,7Ь], [^Ь, Ti] и [Ть оо), при этом Tq и Т\ выбираем так, чтобы на отрезке [0, ТЬ] было справедливо асимптотическое представление (5.6.24) для малых Г, а на полуинтервале [Ть оо)— асимптотическое представление (5.6.28) для больших Т. Величинам То и Т1 соответствуют значения『о и『1 функции г(Т). Заданную величину ||力°|| сравниваем с『о 以『1 и определяем Т следующим образом. Если ||力°|| е [0,го], то согласно формуле (5.6.24) имеем

Т=(6О|叫厂

Если ||力°|| 6 [го,ri], то Т находим с помощью таблицы значений функции г(Т), подсчитанных на отрезке 禽口] (при неоднозначности решения выбираем наименьшее найденное значение Г). Если ||力°|| е е [ri, оо), то пользуемся асимптотическим представлением (5.6.28). При этом Т ищем в виде

Т = У13||х0||+^.(5.6.29)

Подставляя (5.6.29) в (5.6.28), получаем для 夕 уравнение

F(^) = 13(9+ 16sin(yi3||x°|| +^) + 5sin[2(yi3||x°|| +^)].

Это уравнение решаем численно, причем если корень не один, то находим наименьшее значение 仇 чтобы сократить время управления Т.

После того как для заданного начального вектора 力° определено время движения Т, управляющую функцию u(t) в каждый момент t подсчитываем по формуле (5.6.14), в которой значения функций ^ij, г, j = 1,2,3, находим по формуле (5.6.20). Вычисленное управление подставляем в правую часть исходной системы, которую затем интегрируем численно при начальных условиях (5.6.10). Построенное управление не оптимально по быстродействию, но достаточно просто для расчета и практической реализации. В табл. 9 приведены результаты сравнения времени Г с временем оптимального по быстродействию процесса Т*, которое найдено в [35, 72] для различных значений вектора /° =(/?，/?，力?).

Таблица 9. Расчет времени Т и сравнение с оптимальным значением Т*

0

0

-5

-4.9015

0.0245

-0.2070

0

0

-4

3.5253

-1.9302

0.5441

1.0471

6.2831

-1

-2.7750

1.5452

-1.0979

5.4

24.2

24.5

24.8

10.7

5.7

3.1415

6.2831

9.8362

8.0612

3.7410

1.0979

1.7

3.9

2.5

3.1

2.9

5.2

На рисунках 62 и 63 представлены результаты численного моделирования при х° = (1, 1/2, — 1). Для этого случая Г = 6.0. На рис. 62 показана зависимость и = 〃(方)，а на рис. 63 — траектория 力(方)， т.е. зависимость величин у,少 п 2 от времени.

Рис. 62. Функция 〃(力)Рис. 62. Функция 〃(力)Рис. 63. Зависимость величин у, у и г от времениРис. 63. Зависимость величин у, у и г от времени

Рис. 62. Функция 〃(力)

Рис. 62. Функция 〃(力)

Рис. 63. Зависимость величин у, у и г от времени

Рис. 63. Зависимость величин у, у и г от времени

§ 5.7. Модель электромеханической системыРассмотрим двухмассовую систему, управляемую электродвигателем постоянного тока с независимым возбуждением. Уравнения движения системы возьмем в виде= e(& - 6) + F,(5.7.1) 加2& =- &)•Здесь £1, & — координаты системы, т〔 и т? — постоянные инерционные коэффициенты, с — постоянная жесткость упругой связи, F — управляющее воздействие (сила или момент), создаваемое электродвигателем. На рисунках 64-66 изображены некоторые конкретные системы, описываемые уравнениями (5.7.1).На рис. 64 показана система двух тел массы т^ п 加2, перемещающихся поступательно вдоль оси тел, с — жесткость пружины, F —§ 5.7. Модель электромеханической системыРассмотрим двухмассовую систему, управляемую электродвигателем постоянного тока с независимым возбуждением. Уравнения движения системы возьмем в виде= e(& - 6) + F,(5.7.1) 加2& =- &)•Здесь £1, & — координаты системы, т〔 и т? — постоянные инерционные коэффициенты, с — постоянная жесткость упругой связи, F — управляющее воздействие (сила или момент), создаваемое электродвигателем. На рисунках 64-66 изображены некоторые конкретные системы, описываемые уравнениями (5.7.1).На рис. 64 показана система двух тел массы т^ п 加2, перемещающихся поступательно вдоль оси тел, с — жесткость пружины, F —тгт стгт с歹歹mimiРис. 64. Система двух телРис. 64. Система двух телЗдесь & иЗдесь & и

§ 5.7. Модель электромеханической системы

Рассмотрим двухмассовую систему, управляемую электродвигателем постоянного тока с независимым возбуждением. Уравнения движения системы возьмем в виде

= e(& - 6) + F,

(5.7.1) 加2& =- &)•

Здесь £1, & — координаты системы, т〔 и т? — постоянные инерционные коэффициенты, с — постоянная жесткость упругой связи, F — управляющее воздействие (сила или момент), создаваемое электродвигателем. На рисунках 64-66 изображены некоторые конкретные системы, описываемые уравнениями (5.7.1).

На рис. 64 показана система двух тел массы т^ п 加2, перемещающихся поступательно вдоль оси тел, с — жесткость пружины, F —

§ 5.7. Модель электромеханической системы

Рассмотрим двухмассовую систему, управляемую электродвигателем постоянного тока с независимым возбуждением. Уравнения движения системы возьмем в виде

= e(& - 6) + F,

(5.7.1) 加2& =- &)•

Здесь £1, & — координаты системы, т〔 и т? — постоянные инерционные коэффициенты, с — постоянная жесткость упругой связи, F — управляющее воздействие (сила или момент), создаваемое электродвигателем. На рисунках 64-66 изображены некоторые конкретные системы, описываемые уравнениями (5.7.1).

На рис. 64 показана система двух тел массы т^ п 加2, перемещающихся поступательно вдоль оси тел, с — жесткость пружины, F —

тгт с

тгт с

歹

歹

mi

mi

Рис. 64. Система двух тел

Рис. 64. Система двух тел

Здесь & и

Здесь & и

управляющая сила, приложенная к первому телу.

На рис. 65 изображена тележка массы mi, перемещаемая силой F вдоль оси £. К тележке присоединен математический маятник массы 加2 и длины I, совершающий малые колебания.

Составим уравнения движения системы рис. 65:

(пм + 加2庆1 -加2%d = F,

(5.7.2) т^ф + m2glф = m2応1.

Здесь ф — угол отклонения маятника от вертикали, д — ускорение силы тяжести. Первое уравнение (5.7.2) — это уравнение изменения количества движения вдоль оси £, а второе уравнение описывает изменение момента количества движения относительно оси маятника.

Введем обозначения

& = & -侬，e=号^.(5.7.3)

Уравнения (5.7.2) с учетом обозначений (5.7.3) преобразуются к виду (5.7.1).

Система, изображенная на рис. 66, представляет собой электродвигатель, к оси которого присоединен упругий стержень с массой т на конце. Пренебрегая массой стрежня по сравнению с массой т и обозначая через с его крутильную жесткость, снова придем к уравнениям (5.7.1), где переменные и постоянные имеют следующий

Рис. 65. Маятник на тележкеРис. 65. Маятник на тележкеРис. 66. Электродвигатель иупругий стержень с массой

Рис. 65. Маятник на тележке

Рис. 65. Маятник на тележке

смысл: mi — момент инерции ротора электродвигателя и вращающихся частей редуктора,加2 ——момент инерции стержня с массой на конце, £1 н §2 — абсолютные углы поворота вала двигателя и массы т относительно оси вращения, F — момент, развиваемый электродвигателем. К системе (5.7.1) приводятся уравнения движения двигателя с упругим стержнем и в том случае, когда масса стержня сопоставима с т, если ограничиться учетом основного (низшего) тона упругих колебаний. При этом систему, изображенную на рис. 66, можно рассматривать как простейшую модель упругого манипулятора.

Управляющее воздействие F в системе (5.7.1) пропорционально (или равно) моменту, создаваемому электродвигателем и, следовательно, пропорционально силе тока I в цепи ротора

F =瓦/, k\ > 0,(5.7.4)

где к\ — постоянный коэффициент. Уравнение баланса электрических напряжений в цепи ротора имеет вид

Li + RI + 例3 = и.(5.7.5)

Здесь L — коэффициент индуктивности, R — электрическое сопротивление, 卜2 ——постоянный коэффициент, U — управляющее электрическое напряжение. Член ^6 в (5.7.5), равный противо-э.д.с., пропорционален угловой скорости вращения вала двигателя, которая, в свою очередь, пропорциональна (или равна) ^. Первое слагаемое в левой части уравнения (5.7.5) обычно мало по сравнению с другими слагаемыми, и им можно пренебречь. Тогда из (5.7.4), (5.7.5) получим

ь(5.7.6)

9 Ф. Л. Черноусько и др.

Рассмотрим ограничения, наложенные на управление и фазовые координаты системы (5.7.1). Управляющее напряжение ограничено по величине постоянной

\U\ W Uo.(5.7.7)

Силу тока I и пропорциональный ей момент двигателя также следует считать ограниченными по величине, что в силу (5.7.4) приводит к ограничению

尸I < 吊，(5.7.8)

где Fq — постоянная. Кроме того, угловую скорость вращения вала, пропорциональную &, также считаем ограниченной, притом таким образом, чтобы при максимальном по величине напряжении U = ±Uq и максимальной угловой скорости управляющий момент не мог приводить к дальнейшему разгону двигателя. Это ограничение в силу (5.7.6) можно записать в виде

161(579)

Совокупность ограничений (5.7.7)—(5.7.9), учитывая (5.7.6), представим как

尸ь+(5.7.10)

卜2А А

Перейдем к новым (безразмерным) переменным по формулам

方--"方，/1--7 I，/2--方--"方，/1--7 I，/2--m1員+m2&m1員+m2&(mi + m2)/08'(mi + m2)/08'2 c(mi + m2) у =加1加22 c(mi + m2) у =加1加2用加1加2e(m1 +m2产用加1加2e(m1 +m2产(5.7.11)(5.7.11)Тогда уравнения (5.7.1) примут вид, не содержащий параметров:Тогда уравнения (5.7.1) примут вид, не содержащий параметров:Х\ =力 2,定 2 =", 定3 =力 4,定 4 =—力3 + 〃•Х\ =力 2,定 2 =", 定3 =力 4,定 4 =—力3 + 〃•(5.7.12)(5.7.12)Здесь и далее точкой обозначаются производные по безразмерному времени，，причем штрих у переменной，опускается. Сделаем замену (5.7.11) также в ограничениях (5.7.10). ПолучимЗдесь и далее точкой обозначаются производные по безразмерному времени，，причем штрих у переменной，опускается. Сделаем замену (5.7.11) также в ограничениях (5.7.10). Получим|^| < 1,I夕力2 + АФ力4丨 < 1,I夕力2 + 〃夕力4 + «"I < 1,|^| < 1,I夕力2 + АФ力4丨 < 1,I夕力2 + 〃夕力4 + «"I < 1,(5.7.13)(5.7.13)

方--"方，/1--7 I，/2--

方--"方，/1--7 I，/2--

m1員+m2&

m1員+m2&

(mi + m2)/08'

(mi + m2)/08'

2 c(mi + m2) у =

加1加2

2 c(mi + m2) у =

加1加2

用加1加2

e(m1 +m2产

用加1加2

e(m1 +m2产

(5.7.11)

(5.7.11)

Тогда уравнения (5.7.1) примут вид, не содержащий параметров:

Тогда уравнения (5.7.1) примут вид, не содержащий параметров:

Х\ =力 2,定 2 =", 定3 =力 4,定 4 =—力3 + 〃•

Х\ =力 2,定 2 =", 定3 =力 4,定 4 =—力3 + 〃•

(5.7.12)

(5.7.12)

Здесь и далее точкой обозначаются производные по безразмерному времени，，причем штрих у переменной，опускается. Сделаем замену (5.7.11) также в ограничениях (5.7.10). Получим

Здесь и далее точкой обозначаются производные по безразмерному времени，，причем штрих у переменной，опускается. Сделаем замену (5.7.11) также в ограничениях (5.7.10). Получим

|^| < 1,I夕力2 + АФ力4丨 < 1,I夕力2 + 〃夕力4 + «"I < 1,

|^| < 1,I夕力2 + АФ力4丨 < 1,I夕力2 + 〃夕力4 + «"I < 1,

(5.7.13)

(5.7.13)

где обозначено

(5.7.14)(5.7.14)/0以衣2+ m2)/0，rm2

(5.7.14)

(5.7.14)

p =下一，q =厂万Т,从=-•

Для системы (5.7.12) с ограничениями (5.7.13) поставим задачу о построении допустимого управления 〃(方)，переводящего ее из начального состояния

/1⑼=/?，/2⑼=/3，/3(°)=爲/4(0)=制 (5.7.15)

(5.7.16)(5.7.16)в нулевое конечное состояние

(5.7.16)

(5.7.16)

/ 1 (7)=0,/ 2(T)=0,/ 3(Т)=°,/ 4(T) = 0；

здесь Г — пока нефиксированное время окончания процесса.

Поставленная задача является частным случаем более общей задачи, сформулированной в § 5.1. Рассмотрим сначала ее упрощенный вариант, описываемый системой второго порядка.

Анализ упрощенной модели

Положим 加2 = ° в (5.7.1). Получим систему с одной степенью свободы, которая в безразмерных переменных (5.7.11) описывается уравнениями

±1 =力 2, 定 2 = ".(5.8.1)

В ограничениях (5.7.13) при 加2 = ° следует, согласно (5.7.14), положить 从=0. Число параметров в ограничениях можно уменьшить с помощью замены переменных

方=0一屮，/1=0一2力［,/2=0一1%.(5.8.2)

Сделав замену (5.8.2) в системе (5.8.1) и опуская штрихи у новых переменных, придем к прежней системе (5.8.1), а ограничения (5.7.13) при этом примут вид

(5.8.3)(5.8.4)обозна-(5.8.3)(5.8.4)обозна-|^| < 1,|数| W 1,1^2 + qu\ < 1, q > 0.

(5.8.3)

(5.8.4)

обозна-

(5.8.3)

(5.8.4)

обозна-

Вместо граничных условий (5.7.15), (5.7.16) имеем

/1⑼=*,/2⑼=制，/1(7)=/2(T) = 0・

Применим подход § 5.2 к задаче (5.8.1), (5.8.3), (5.8.4). В чениях (5.1.1), (5.1.6) имеем для системы (5.8.1)

С помощью (5.8.5) найдем обратную матрицу Ф-1 (t), а затем матрицы Q(方)и 兄(方)，определяемые равенствами (5.2.2) и (5.2.4):

丨 Г 1「—力 13-2

…=n I，Q(U= I，W)=:；

(5.8.6)

здесь принято 方о = 0 в соответствии с (5.8.4). Найдем еще, пользуясь (5.8.6), обратную матрицу

IJ 6 ЗТ '

/Г1(7) = 2Т—з.(5.8.7)

37 2,2

Используя равенства (5.8.4), (5.8.6) и (5.1.9), получим

х1 =0,力* = -х°.(5.8.8)

С помощью соотношений (5.8.5)-(5.8.8) представим фазовый вектор (5.2.7) и управление (5.2.8) в виде

/⑴=①⑴因2 -r⑴RT(T)]z° = X(方,T)力。，

(5.8.9)

〃⑴=_(2丁 ⑴尺 т(Т)/0 = (w(t, Г), х°);

здесь 石2 — единичная матрица размера 2x2. Элементы матрицы

Х(方,Т) размера 2 х 2 и двумерного вектора w(t, Г) равны

x1«,Т) = 1 —3丁2 + 2丁3,x12依Т) = т7(1 -2丁 + 丁2),

Х21(方,т) = 6丁(^ 1),Х22(方,т) = 1 — 4丁 + 3丁2,(5.8.10)

小 "6(2- 1)2(3- 2)方

Каждое из ограничений (5.8.3) можно представить в виде

|Q力2 + 0"1w1, 0 W a W 1, /3》0,(5.8.11)

где а, /3 — постоянные коэффициенты. Подставим в (5.8.11) выражения для 力2 н 〃 нз (5.8.9), (5.8.10) и проведем оценки сверху левой части неравенства (5.8.11):

|&力2 + /3〃| W (а|Х21| + /3|wi|) 1^11 + (а|Х22〔 +/3也|) I羯.

Так как t е [О,Г], то г е [0, 1]. Оценим сверху максимумы по те [0, 1] абсолютных величин элементов (5.8.10), входящих в (5.8.12):

|X2i| W IX22I W 1,

(5.8.13)lwil W W ^

Подставим оценки (5.8.13) в (5.8.12):

|Q/2 + С"1 W|Q/2 + С"1 W信+狞信+狞I 力? I + ( & +I 力? I + ( & +(5.8.14)(5.8.14)

|Q/2 + С"1 W

|Q/2 + С"1 W

信+狞

信+狞

I 力? I + ( & +

I 力? I + ( & +

(5.8.14)

(5.8.14)

Рассмотрим теперь каждое из наложенных ограничений (5.8.3) в отдельности. Сравнивая неравенства (5.8.3) и (5.8.11), положим а = =0, /3=1 для первого ограничения (5.8.3), а = 1, /3 = 0 — для второго и а = 1, Р = q — для третьего ограничения. Тогда получим из (5.8.1), (5.8.14) следующие неравенства:

备叫 +》m ' 1' 言圆丨+ 阅 《 1，

(5.8.15)

信+^)刷+(1+学)圈W1，

Так как q〉0 согласно (5.8.3), то второе неравенство (5.8.15) вытекает из третьего. Поэтому совокупность двух неравенств

费 |ж?| + ^; I嘲 < 1，

(5.8.16)

仔+ *)岡+ (1 +挈)圓4 1

представляет собой достаточные условия разрешимости поставленной задачи управления (5.8.1), (5.8.3), (5.8.4). Эти условия, связывающие начальное состояние и время процесса, можно рассматривать как достаточные условия управляемости системы из заданного начального состояния х° за время Т.

Проанализируем условия (5.8.16). Пусть начальное состояние 力，，力g задано. Если \х^\ > 1, то условия (5.8.16) не выполнены, что вполне естественно, так как при этом начальное состояние нарушает наложенное в (5.8.3) фазовое ограничение |力2丨 W 1. Если же |力?| < 1, то условия (5.8.16) заведомо выполняются при достаточно большом Т. Представляет интерес минимальное время Т*, при котором выполняются оба неравенства (5.8.16). Разрешая квадратные относительно Т-1 неравенства (5.8.16), получим

Т》Т* = maxТ》Т* = max(5.8.17)(5.8.17)

Т》Т* = max

Т》Т* = max

(5.8.17)

(5.8.17)

[(3旬 + 8д硝1/2 + 96^1(1 - a2)]"2 - 3al - 8ga2

Итак, если \х^\ < 1 и Г > Г*, то предложенный способ управления обеспечивает приведение системы (5.8.1) в заданное состояние при выполнении наложенных ограничений (5.8.3). Фиксировав любое Т》Т*, находим искомое управление 〃(方)и фазовую траекторию 力(方) по явным формулам (5.8.9), (5.8.10). Тем самым поставленная задача решена.

Сопоставим построенное решение с полученным в [69] (см. гл. 6) решением задачи оптимального быстродействия для системы (5.8.1) с ограничениями (5.8.3) и краевыми условиями (5.8.4). Ограничимся случаем нулевой начальной скорости 力g = 0 п положим для определенности q = 1/2 в (5.8.3). Тогда из (5.8.17) получим

12а (9a2+48a)1/2 —за12а (9a2+48a)1/2 —за

12а (9a2+48a)1/2 —за

12а (9a2+48a)1/2 —за

(ба)»? при а 6 [о, I ]， а=|/?|, 、(9a2+4屡；1/2 —за при а G [i(ба)»? при а 6 [о, I ]， а=|/?|, 、(9a2+4屡；1/2 —за при а G [i(5.8.18)(5.8.18)Из (5.8.18) найдем асимптотику зависимости Г*(а) при а — оо:Из (5.8.18) найдем асимптотику зависимости Г*(а) при а — оо:

(ба)»? при а 6 [о, I ]， а=|/?|, 、(9a2+4屡；1/2 —за при а G [i

(ба)»? при а 6 [о, I ]， а=|/?|, 、(9a2+4屡；1/2 —за при а G [i

(5.8.18)

(5.8.18)

Из (5.8.18) найдем асимптотику зависимости Г*(а) при а — оо:

Из (5.8.18) найдем асимптотику зависимости Г*(а) при а — оо:

(5.8.19)(5.8.19)

(5.8.19)

(5.8.19)

Отметим, что принятому значению параметра q = 1/2 отвечает, согласно (5.8.3), множество допустимых значений переменных (力2,〃) в виде шестиугольника, изображенного на рис. 67. Этим ограничениям соответствует зависимость времени Т° оптимального быстродействия от а = I力，I，задаваемая соотношениями [69]:

、1、1。》у,。》4,、1、1。》у,。》4,(5.8.20)(5.8.20)2a1/2 при а 6 [。‘ ^ ] ‘

、1、1

。》у,。》4,

、1、1

。》у,。》4,

(5.8.20)

(5.8.20)

1 丄，，1п[2(1 -I；)]

「2，

3о(1 - о) 1п[2(1 - о)]

"=X 22

Рис. 67. Множество допустимых значений переменных (%2,〃)Рис. 67. Множество допустимых значений переменных (%2,〃)Рис. 68. Зависимости величин Г* и Т° от параметра аРис. 68. Зависимости величин Г* и Т° от параметра а

Рис. 67. Множество допустимых значений переменных (%2,〃)

Рис. 67. Множество допустимых значений переменных (%2,〃)

Рис. 68. Зависимости величин Г* и Т° от параметра а

Рис. 68. Зависимости величин Г* и Т° от параметра а

При а》1/4 зависимость Т°(а) задана в параметрическом виде, где о》1/2 — параметр. Найдем асимптотику зависимости Т°(а) при а — оо, для чего устремим о — 1. Получим из (5.8.20)

Т°(а) =а + | +。(厂2。)，а - оо.(5.8.21)

О

Сравнивая зависимости (5.8.18) и (5.8.20), видим, что при малых а время Г*(а) превосходит оптимальное время Т°(а) примерно на 22%. Для больших а, как видно из (5.8.19) и (5.8.21), время Г*(а) на 50% превосходит оптимальное. Зависимости Г* (а) и Т°(а) показаны на рис. 68. Таким образом, предложенный способ управления приводит систему в заданное состояние за время, не очень сильно отличающееся от оптимального.

Управление электромеханической системойчетвертого порядка

Применим предложенный подход к системе (5.7.12) при ограничениях (5.7.13)) и краевых условиях (5.7.15) и (5.7.16). В обозначениях (5.1.1) имеем для системы (5.7.12)

-0

1

0

0 -

-0 -

-0 -

0

0

0

0

1

0

А =

0

0

0

1

,В =

0

,/ =

0

.(5.9.1)

_ 0

0

—1

0 _

_ 1 _

_ 0 _

Запишем для рассматриваемой системы фундаментальную матрицу

(5.1.6) и обратную к ней

-1 t 0 о -

0 100

①⑴=

0 0 cos t sin t

_ 0 0 — sin t cos t _

(5.9.2)

-1 -t 00

-

0100

①T⑴=

00 cos t — sin t

_ 00 sint cost

матрицу Q⑴

(5.9.1) и (5.9.2), составим

Пользуясь соотношениями из (5.2.2):Пользуясь соотношениями из (5.2.2):(5.9.3)(5.9.3)Составим матрицу R⑴Составим матрицу R⑴и принимая 方° = 0:и принимая 方° = 0:из (5.2.4), используя соотношение (5.9.3)из (5.2.4), используя соотношение (5.9.3)Q⑴=(—方,1, — sin t, cos t)T.

Пользуясь соотношениями из (5.2.2):

Пользуясь соотношениями из (5.2.2):

(5.9.3)

(5.9.3)

Составим матрицу R⑴

Составим матрицу R⑴

и принимая 方° = 0:

и принимая 方° = 0:

из (5.2.4), используя соотношение (5.9.3)

из (5.2.4), используя соотношение (5.9.3)

r//

1 — cos t—t sint

——Sint—t cos t

tcost— 1

sin t

cos 2t-1

sint—t cos t

,12t— sin 2t

cos t — 1

4

4

1— cost—t sin t

.cos 2t— 1

2t+ sin 2t

sint

4

4

(5.9.4)

нейнейС целью упрощения выкладок, как и в § 5.4, положим Т = 2тгк, =1,2,.... Тогда согласно (5.9.4) матрица Н(Т) и обратная к примут вид

ней

ней

RRг о г -2 о n^lv ТОО ^-т^-т ог о г -2 о n^lv ТОО ^-т^-т оо о о г -2о о о г -2

R

R

г о г -2 о n^lv ТОО ^-т^-т о

г о г -2 о n^lv ТОО ^-т^-т о

о о о г -2

о о о г -2

12T624T064(宀6) T12024亍122Т00002(T2_24)12T624T064(宀6) T12024亍122Т00002(T2_24)(5.9.5)(5.9.5)

12

T

6

24

T

0

6

4(宀6) T

12

0

24

亍

12

2Т

0

0

0

0

2(T2_24)

12

T

6

24

T

0

6

4(宀6) T

12

0

24

亍

12

2Т

0

0

0

0

2(T2_24)

(5.9.5)

(5.9.5)

Используя равенства (5.7.15), (5.7.16), (5.9.2) и (5.1.9), получим аналогично (5.8.8)

力 1 =0,力* = 3.(5.9.6)

С помощью (5.9.6) представим фазовый вектор (5.2.7) и управление (5.2.8) в виде, аналогичном (5.8.9):

/⑴=x(方,T)丿，"⑴=T),6°).(5.9.7)

Здесь Х(方，Т) — матрица размера 4x4, равная

x(方,T)=①⑴-①1⑴НT(T),①1⑴=①⑴尺⑴，(5.9.8)

a w(t, Г) — четырехмерный вектор, равный

刨方,Т) = _QT("RT(T).(5.9.9)

Обратимся к анализу ограничений (5.7.13). Прежде всего отметим, что так как согласно (5.7.14) коэффициенты 夕，q положительны, то для выполнения этих ограничений достаточно потребовать выполнения следующих двух неравенств:

(5.9.10)(5.9.10)|〃| < 1,夕|数 + 〃力4〔 + q|〃| < 1.

(5.9.10)

(5.9.10)

44Подставим соотношения (5.9.7) в неравенства (5.9.10). Получим

4

4

(5.9.11)

44

(5.9.12)(5.9.12)p e(x2分 + 以4"力？ +q^2\wi\\x^\ < 1. i=li=l

(5.9.12)

(5.9.12)

Вычислим компоненты вектора w(t, Т) из (5.9.9), используя равенства (5.9.3) и (5.9.5). Получим

12 方一67 + 24 sint7(T2 — 24)12 方一67 + 24 sint7(T2 — 24)6 仃—4/ + 24+ 12Tsiп 方T(T2 - 24)

12 方一67 + 24 sint7(T2 — 24)

12 方一67 + 24 sint7(T2 — 24)

24t — 12T + 2T2 sint—2cost

% = T(T2 - 24)，5 =

Для вычисления элементов матрицы Х(方，Т) из (5.9.8) сначала перемножим матрицы ①(方)из (5.9.2) и R(t) из (5.9.4):

———sin t——t1 ——cos t

02

——tcost— 1sin t

①1⑴=

.(5.9.14)

1丄 t cos t— sintt sint

sint—t 1 — cos t ——

丄 1丄t sin tt cos t+ sin t

cos t 1 sin tcc

L22 J

Теперь вычислим те элементы матрицы Х(方，Т), которые фигурируют в ограничениях (5.9.12). Для этого подставим в равенство (5.9.8) для Х(方，Т) соотношения (5.9.2) для ①⑴，(5.9.14) — для ①i ⑴ и (5.9.5)— для R—i(T). Получим

Х21 =

6方(方一Т) +24(1 - cost)7(T2 — 24)

X22 =

7(3/ - 4仃 + /) + 12(2方一T) — 12Tcos 方

7(T2 - 24)

X42 =

X23

12t(t-T) +2T2(1 - cost)7(T2 — 24)

-2sint

“24 —，

12(1 — cost) + 6(2t — T) sint

41 =7(T2 — 24)

(5.9.15)

6T(1 - cost) - 4(Г2 - 6) sint + 6T方sin方7(T2 — 24)

X43 =

24(1 - cost) +T(12 + tT-T2) sint7(T2 — 24)

X44 =

(T -方)cos t - sin t

Г

Неравенства (5.9.11), (5.9.12) должны выполняться при всех t е [О,Г]. Сначала оценим сверху максимальные по 方 е [О,Т] значения величин \wi\, фигурирующих в (5.9.11), (5.9.12). Имеем

|12t-6T + 24sint| <67 + 24, t 6 [О,Г],

|24t- 12Т + 2Т2 sintI < 12T + 2T2,

(5.9.16)

6仃—4/ + 24 + 12Tsin 方 < 2/ + 127 + 24,

6仃—4/ + 24 + 12Tsin 方》-4T2 - 12T + 24.

Так как Г = 2тгк, /с > 1, то Г2 > 24. Тогда из последних двух неравенств (5.9.16) следует

|6tT-4T2 + 24+ 12Tsint| <

W max{2T2 + 12Т + 24,4Т2 + 12Т - 24}=

= 4Т2+ 12Т-24.= 4Т2+ 12Т-24.(5.9.17)(5.9.17)

= 4Т2+ 12Т-24.

= 4Т2+ 12Т-24.

(5.9.17)

(5.9.17)

Подставляя оценки (5.9.16), (5.9.17) в (5.9.13), получим

(5.9.18)(5.9.18)\wi(t,T)\ < Ai, г = 1,... ,4, t 6 [0,Т];

(5.9.18)

(5.9.18)

здесь обозначено

_ 6(7 + 4)— 4(/ + ЗТ - 6)

1 = 7(T2 - 24)'2 =7(T2 — 24)，

(5.9.19)

= 2(7 + 6) = 2

Х22, Х43 наиболее (5.9.12),Х22, Х43 наиболее (5.9.12),Переходя к неравенству (5.9.12), отметим, что элементы и Х44 из (5.9.15) не стремятся к нулю при Т — 00. С целью точной оценки главных при Т — оо членов в неравенстве

Х22, Х43 наиболее (5.9.12),

Х22, Х43 наиболее (5.9.12),

441/2.(5.9.20)1/2.(5.9.20)оценим первое слагаемое в этом неравенстве следующим образом:

4

4

1/2

.(5.9.20)

1/2

.(5.9.20)

£(Х2〃 + 4X4/* < В1|х?| +в2|^| +в3 (力『+ 力『)

г=1

Здесь введены обозначения

石1 = IX21 +〃X4i|,石 2 = |Х22+〃Х42|,

石3 = [(Х23 + 从Х43У + (Х24 + 从Х44У] / .

Перейдем к оценкам величин 石分，г = 1,2, 3. Учитывая очевидные оценки

\2t-T\< 安一T) <0, t 6 [0,0.(5.9.22)

получим из (5.9.15)

Т(/ — 24)(X2i + 从X41) W 6安一T) + 48 +

+ 24〃 + 6〃Т W 24(2 + 从)+ 6〃Т,

Т(Т2 - 24)(Х21 + 从Х41)》6t(t — Т) — 6〃Т》—* — 6〃Т.

Отсюда находим оценку для величины В\ из (5.9.21): тах{ЗТ2/2,24(2 + 〃)} + 6〃Т

向 W_ 24)(5.9.23)

Далее, на основе (5.9.15) получим

Т(Т2 - 24)(Х22 + 从Х42) = 7(3卢-4仃 + Г2) +

+ 12(2方—Т) + 6〃Т - 6Т(2 + 从)cost +

+ 2〃Т(3方-2Т) sin t + 24〃 sin t (5.9.24)

Нетрудно видеть, что

13/一4 方7 + T2| 4T2,也— 2T1 W2T, t 6 [0, T].(5.9.25)

С учетом соотношений (5.9.24), (5.9.25), (5.9.22), получим оценку для величины В? из (5.9.21):

^2 С ^2 =^2 С ^2 =(5.9.26)(5.9.26)Г3 + 4〃/ + 12(2 + 从)Т + 24〃7(T2 — 24)

^2 С ^2 =

^2 С ^2 =

(5.9.26)

(5.9.26)

Пользуясь формулами (5.9.15), сделаем следующее преобразование с целью выделения членов, главных при Т — оо:

/23 +43 = H

羽羽12方(方— 7) + (2/+ 24〃)(1 - cost) + 12M2t — T) sint7(T2 — 24)

羽

羽

Х24 + 从 Х44 = "К /COS 力 + X，,

(5.9.27)(5.9.27)

(5.9.27)

(5.9.27)

Подставляя (5.9.27) в выражение (5.9.21) для Вз, получим

从2（7 一方）从2（7 一方）丁2丁2,2 +,2 +2〃(Т —方)(X，cos t — Xg sin 方)2〃(Т —方)(X，cos t — Xg sin 方)ГГ

从2（7 一方）

从2（7 一方）

丁2

丁2

,2 +

,2 +

2〃(Т —方)(X，cos t — Xg sin 方)

2〃(Т —方)(X，cos t — Xg sin 方)

Г

Г

w 〃2 + 2〃 (xf + xf) "2 + xf + xf. (5.9.28)

Для величины Xg из (5.9.27) с учетом (5.9.22) имеем оценки

7(/ — 24)Xg < 12t(t — T) + 4(/ + 12〃)+ 12〃T <

《472 + 12从T + 48从,

Т(/ — 24)Xg》12t(t -Г) - 12〃T》-ЗТ2 - 12〃Т.

Отсюда вытекает неравенство

留4竺崇1产・(5.9.29)

Для X，получим из (5.9.27)

国卜=Д(5.9.30)

Подставляя неравенства (5.9.29), (5.9.30) в (5.9.28), найдем

(4/ + 12財 + 48〃)2(2 + 〃)2J/2

1方3丨《03—从+[T2(T2 _ 24)2+•(5.9.31)

Обратимся теперь к анализу неравенств (5.9.11), (5.9.12), представляющих собой достаточные условия разрешимости задачи управления за время Г = 2тгк, к = 1,2,.... Подставляя оценки (5.9.18) в (5.9.11), получим условие

4

^АД^\ < 1.(5.9.32)

i=l

Подставляя (5.9.18), (5.9.20) в (5.9.12) и используя оценки (5.9.23), (5.9.26) и (5.9.31) для 石分，получим

p01|用+02圓+03 (力?+力『)/ +q£4岡71.

(5.9.33)

Условия (5.9.32) и (5.9.33) представляют собой достаточные условия управляемости системы (5.7.12) за конечное время Т = =2тгк, к = 1,2,.... Другими словами, если эти условия для некоторого начального состояния х° и времени Т = 2тгк выполнены, то система (5.7.12) может быть переведена из этого начального состояния (5.7.15) в заданное конечное состояние (5.7.16) за время Т. Найденный закон управления 〃(方)и фазовая траектория 力(方)системы заданы соотношениями (5.9.7), в которых матрица Х(方，Т) и вектор w(t, Г) определены равенствами (5.9.15) и (5.9.13) соответственно. Таким образом, все искомые величины определены в явном аналитическом виде, если найдено время процесса Т.

Осталось выбрать время Т = 2тгк, к = 1,2,... , так, чтобы при заданном начальном состоянии х° удовлетворялись неравенства (5.9.32) и (5.9.33). Для этого будем придавать числу к последовательно значения к = 1,2,... , подсчитывать коэффициенты 儿，i = 1,,4, по формулам (5.9.19) и Ь^, 7 = 1,2,3, по формулам (5.9.23), (5.9.26), (5.9.31), а затем проверять неравенства (5.9.32), (5.9.33). Отметим, что

4 — 0, г = 1,..., 4; А т 0, 。2 1, А М

при Т — оо. Следовательно, неравенство (5.9.32) всегда выполняется при достаточно большом Т. Неравенство (5.9.33) также выполняется при достаточно большом Г, если

p ［制］ + 从(力?+ 力『)/ < 1. (5.9.34)

Таким образом, неравенство (5.9.34) представляет собой достаточное условие разрешимости поставленной задачи управления за конечное время.

Если в системе (5.7.12) имеется лишь ограничение на управление \и\ ^ 1, а остальные (фазовое и смешанное) ограничения (5.7.13) отсутствуют, то время Т должно выбираться так, чтобы удовлетворить только одному условию (5.9.32). В этом случае задача управления всегда разрешима за конечное время.

Отметим, что хотя закон управления 〃(方)представлен в форме программы (5.9.7), он может быть использован и для коррекции управления по обратной связи. Для этого нужно через определенные промежутки времени определять текущий фазовый вектор х

Рис. 69. Зависимости величин и, 0(/2 + 从/4)И 0(/2 + 从/4)+ QU ОТ времениРис. 69. Зависимости величин и, 0(/2 + 从/4)И 0(/2 + 从/4)+ QU ОТ времениРис. 70. Проекции фазовой траекторииРис. 70. Проекции фазовой траектории

Рис. 69. Зависимости величин и, 0(/2 + 从/4)И 0(/2 + 从/4)+ QU ОТ времени

Рис. 69. Зависимости величин и, 0(/2 + 从/4)И 0(/2 + 从/4)+ QU ОТ времени

Рис. 70. Проекции фазовой траектории

Рис. 70. Проекции фазовой траектории

и рассматривать его в качестве начального вектора х° в соотношении (5.9.7), пересчитывая каждый раз время до окончания процесса Г по описанному выше алгоритму. Ввиду наличия явных соотношений такой пересчет не будет трудоемким.

В качестве иллюстрации приведем пример численной реализации описанного алгоритма управления системой (5.7.12) при ограничениях (5.7.13). Безразмерные параметры (5.7.14) принимались равными

р = 0.1, q = 0.5,从=0.5,(5.9.35)

а начальные данные (5.7.15) задавались в виде

力? = -5,力 В = 0,力? = -5,力? = 0.(5.9.36)

Нетрудно проверить, что параметры (5.9.35), (5.9.36) удовлетворяют условию (5.9.34) управляемости за конечное время.

В результате численной реализации описанного в § 5.9 алгоритма управления было сначала найдено минимальное целое к, при котором удовлетворяются условия (5.9.32) и (5.9.33), а затем построено управление 〃(方)и фазовая траектория x(t). Оказалось, что к = 3, Г = бтг.

На рис. 69 кривыми 1-3 соответственно изображены в зависимости от времени величины

Н, 夕(/2 + 从力 4), 夕(/2 + 从力 4)+ qu,

фигурирующие в ограничениях (5.7.13). Видно, что эти ограничения всюду удовлетворяются. На рис. 70 кривыми 1,2 показаны проекции четырехмерной фазовой траектории 力(方)на плоскости (力匕力2)и (力3,64) соответственно.

Активный динамический гаситель

Рассмотрим задачу о гашении колебаний груза, закрепленного на конце упругой балки, с помощью активного динамического гасителя с поступательно перемещающейся массой. Управляющей величиной служит сила взаимодействия между гасителем и грузом. Системы такого типа используются, например, на космических летательных аппаратах, где измерительные приборы располагаются на платформе, удаленной от корпуса аппарата на значительное расстояние с помощью длинной штанги. Проведение измерений требует высокой точности позиционирования и стабилизации измерительных приборов, поэтому гашение колебаний штанги представляет собой существенную проблему, которую приходится учитывать при конструировании космических аппаратов (КА). Одним из способов ее решения является использование управляемого гасителя, расположенного на самой платформе (П) (рис. 71). Гаситель состоит из направляющей 1, перпендикулярной оси штанги 2, и подвижной массы 3, которая может перемещаться вдоль направляющей посредством электропривода. Такая схема применяется для гашения поперечных колебаний штанги.

Особенностью данной задачи является наличие двух естественных ограничений на различные переменные системы: одно — на управляющую силу, обусловленное ограниченными возможностями привода, другое — на величину смещения подвижной массы относительно платформы, вызванное конечностью хода массы гасителя (направляющая гасителя имеет конечные размеры).

Рис. 71. Штанга с грузом и актив- Рис. 72. Упрощенная модель ным динамическим гасителемРис. 71. Штанга с грузом и актив- Рис. 72. Упрощенная модель ным динамическим гасителем

Рис. 71. Штанга с грузом и актив- Рис. 72. Упрощенная модель ным динамическим гасителем

Рис. 71. Штанга с грузом и актив- Рис. 72. Упрощенная модель ным динамическим гасителем

При некоторых упрощающих предположениях [6] моделью описываемых конструкций может служить следующая управляемая двухмассовая механическая система, содержащая колебательное звено (рис. 72). Два тела, массами mi и 加2， перемещаются вдоль горизонтальной прямой. Первое тело соединено с неподвижным основанием пружиной жесткости с > 0. Второе тело соединено с первым посредством привода, который генерирует силу и. Уравнения движения такой системы имеют вид

加1歹+ eg =-",m2?="•加1歹+ eg =-",m2?="•(5.10.1)(5.10.1)

加1歹+ eg =-",m2?="•

加1歹+ eg =-",m2?="•

(5.10.1)

(5.10.1)

Здесь у — координата первого тела, 2 — координата второго тела на прямой. На управляющую силу и наложено ограничение

\u(t)\ < а, а > 0,\u(t)\ < а, а > 0,(5.10.2)(5.10.2)

\u(t)\ < а, а > 0,

\u(t)\ < а, а > 0,

(5.10.2)

(5.10.2)

а на величину смещения второго тела относительно первого — условие

\z(t) — y(t)\ < d, d〉0.(5.10.3)

Требуется построить управление 〃(方)，удовлетворяющее ограничению (5.10.2) и переводящее систему (5.10.1) из заданного начального состояния

у(0)=丿，少(0)=俨，2(0) = 2。， 2(0) = 2。(5.10.4)

в состояние покоя

у(Т) = 2(Т) = 0,少(Т) = 2(7) = 0.(5.10.5)

При этом координаты у(方)и 2(方)должны удовлетворять условию (5.10.3) на протяжении всего процесса движения, время окончания которого Г нефиксировано.

Введем новые переменные

с加2cГс~ /S Q

力i = — у, 力з =2, t J—— 方， и = —аи.(5.10.о)

amiaу mi

В новых переменных система (5.10.1) и ограничение (5.10.2) примут вид

云1 + /1 = u,定 3 = u,(5.10.7)

\и\ < 1,(5.10.8)

/ cda/ cdaполностью аналогичный (5.4.5). Здесь и всюду в дальнейшем точками обозначены производные по новому времени ，，а штрихи у величин ， и uf опущены. Ограничение (5.10.3) перепишется в виде

/ cda

/ cda

加1/3 , h/1

加2

Положим ±i =力2，近3 =力4 и обозначим через х =(力i,力2,力з,力4) фазовый вектор системы (5.10.7). Введем в рассмотрение постоянный вектор р = (1,0,mi/m2,0) и перепишем последнее неравенство следующим образом:

I仇力⑴)| < ?. (5.10.9)

Условия (5.10.4), (5.10.5) после замены переменных (5.10.6) перепишутся в виде

g⑼=*, g(T)=0, г = 1,...,4；(5.10.10)

здесь 力? — некоторые заданные постоянные, Г > 0 — неизвестное пока время окончания процесса.

Поставленная задача сводится к построению управления, удовлетворяющего ограничению \и\ < 1 и переводящего систему (5.10.7) из заданного начального состояния (5.10.10) в начало координат с соблюдением ограничения (5.10.9) на протяжении всего процесса движения. Присутствие фазового ограничения (5.10.9) составляет главное отличие данной задачи от задач, рассмотренных в § 5.4, 5.5. Кроме того, на некоторых этапах приведенных ниже рассуждений использованы иные способы оценивания, чем ранее.

Представленное далее решение задачи получено в работе [12].

Перепишем систему (5.10.7) в векторной форме

± = Ах + Ь〃， А± = Ах + Ь〃， А0 1 0 о --10 0 00 0 0 10 0 0 00 1 0 о --10 0 00 0 0 10 0 0 0Г 0 1Г 0 111(5.10.11)(5.10.11)

± = Ах + Ь〃， А

± = Ах + Ь〃， А

0 1 0 о -

-10 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0

0 1 0 о -

-10 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0

Г 0 1

Г 0 1

1

1

(5.10.11)

(5.10.11)

Начальные и конечные условия (5.10.10) запишем следующим образом:

力(0)=力°,力(Т) =0.(5.10.12)

Как и в случае маятника с управляемой по ускорению точкой подвеса фундаментальная матрица решений однородной системы и обратная к ней матрица имеют вид (5.4.8), а матрица Q⑴ из (5.2.2) в данном случае есть четырехмерный вектор-столбец вида (5.4.9).

Выражение для управляющей функции 〃(方)，переводящей систему (5.10.11) из начального состояния х° в начало координат фазового пространства, запишем теперь так:

〃⑴=〈『依T),N), V(t,T) = —R—1(T)Q ⑴；(5.10.13)

матрица R(T) задается выражением (5.5.3).

Покажем, что выбирая время окончания процесса Т достаточно большим, можно гарантировать выполнение ограничений (5.10.8) на управление 〃(方).Оценим для этого функцию 〃(方)следующим образом:

4

1^)1 < £忆(方,Т)* Y ИШПИоо II叫 1・(5.10.14)

г=1

Через II • 110c и II • ||1 обозначены нормы в пространствах 兄九 и 用 соответственно, которые для произвольного вектора q имеют вид

4

||qh = max 或，||q||i = 仇|・

2=1

Введем вспомогательную функцию

о(Т) = 0等^ \\У^,Т)\\^(5.10.15)

и перепишем оценку (5.10.14) следующим образом:

о”％ I"⑴I W。(7) II叫к(5.10.16)

Предложим два способа определения момента окончания движения Г, обеспечивающие выполнение ограничений (5.10.8). Первый основан на аналитических оценках функции о(Т), второй — на численном построении этой функции.

Аналогично тому, как это сделано в § 5.4, будем сначала выбирать в качестве времени окончания процесса величину Г = 2тгк, где к — натуральное число. В этом случае матрица Н(Т) упрощается и задается соотношением (5.4.11), а обратная к ней матрица имеет вид

'2T002А24 亍0120L(T) V24丁 0126亍亍12064(72一6)7'2T002А24 亍0120L(T) V24丁 0126亍亍12064(72一6)7А = Г2 - 24.(5.10.17)А = Г2 - 24.(5.10.17)

'2T

0

0

2А

24 亍

0

12

0

L(T) V

24

丁 0

12

6

亍

亍

12

0

6

4(72一6)

7

'2T

0

0

2А

24 亍

0

12

0

L(T) V

24

丁 0

12

6

亍

亍

12

0

6

4(72一6)

7

А = Г2 - 24.

(5.10.17)

А = Г2 - 24.

(5.10.17)

Выпишем компоненты вектор-функции V(t,Т), используя выражения (5.10.17) и (5.4.9) для матрицы R~(T) и вектора Q⑴，и оценим их, учитывая неравенство Т > 2тг, следующим образом:

m(gm(g-2Т+ 12 - 4Т-2Т+ 12 - 4ТI 2Т2 sin t + 24t - 12Т|ТА

m(g

m(g

-2Т+ 12 - 4Т

-2Т+ 12 - 4Т

忆（方，7）1忆（方，7）112cos 方 I < 2 < 4Т12cos 方 I < 2 < 4Т必(方,7)1必(方,7)1I -24 sin 方一12方 + 6T I 6T + 24ТАI -24 sin 方一12方 + 6T I 6T + 24ТАТАТА/ 4Т/ 4Т

忆（方，7）1

忆（方，7）1

12cos 方 I < 2 < 4Т

12cos 方 I < 2 < 4Т

必(方,7)1

必(方,7)1

I -24 sin 方一12方 + 6T I 6T + 24

ТА

I -24 sin 方一12方 + 6T I 6T + 24

ТА

ТА

ТА

/ 4Т

/ 4Т

m(gm(g/ 4Т/ 4Т

m(g

m(g

/ 4Т

/ 4Т

Из полученных оценок и определения (5.10.15) функции о(Т) вытекает неравенство

Отсюда и из соотношения (5.10.16) получаем оценку для управляющей функции 〃⑴：

о 当翁 MUY 丁24T24 口叫 1・(5.10.18)

Так как Г = 2тгк, к = 1,2... , то при достаточно больших к будет выполнено условие

1

(5」。」9)

Неравенства (5.10.18), (5.10.19) гарантируют выполнение ограничения (5.10.8).

Укажем еще один способ, как выбирать время окончания процесса Г, чтобы обеспечить выполнение ограничения (5.10.8) для управляющей функции (5.10.13). Построим для этого функцию о(Т) численно, используя соотношения (5.5.3), (5.10.13) и (5.10.15). Функция о(Т) целиком определяется матрицей А и вектором b системы (5.10.11), поэтому такое построение может быть выполнено для данной

системы заранее один раз.

На рис. 73 представлен график функции о(Т) для случая р = (1,0, 10,0). Как и следовало ожидать, эта функция убывает с ростом Г, так что максимальная величина управляющей силы оказалась тем меньше, чем больше

(5.10.20)(5.10.20)время движения системы до терминального состояния. В качестве времени окончания процесса могут быть выбраны любые значения Т, при которых

(5.10.20)

(5.10.20)

Обратимся теперь к вопросу о выборе величины Г, обеспечивающей выполнение ограничений (5.10.9). В принятых обозначениях решение системы (5.10.11), начинающееся в момент времени t = 0

в точке 力°, имеет вид

Подставим сюда выражение (5.10.13) для управляющей функции u(t) и воспользуемся выражением (5.5.3), задающим матрицу R(t). Получим

=①⑴(川—^Q(r)QT(T)dT R-^T^ =

=①⑴(力。-R^R~\T)xq^ = W(t,T)xQ,

(5.10.21)(5.10.21)W{t,T)=①⑴区(T) _ 尺⑴]R—1(7).

(5.10.21)

(5.10.21)

Как и в случае с ограничением (5.10.8), предложим два способа определения величины Т, гарантирующие выполнение условия (5.10.9).

Будем сначала выбирать время окончания процесса в виде Г = 2тгк, к = 1,2.... Оценим евклидову норму вектора 力(方)через евклидовы нормы матриц, стоящих в правой части последнего равенства (5.10.21).

Известно [25], что величина ||Ф(^)||2 равна максимальному собственному числу 0(方)матрицы

①Т⑴①⑴=①Т⑴①⑴=-100_ о-100_ оооо-1оо0产+ 1力0t1_ооо-1оо0产+ 1力0t1_t G [О, Г].t G [О, Г].

①Т⑴①⑴=

①Т⑴①⑴=

-1

0

0

_ о

-1

0

0

_ о

ооо-

1оо

0产+ 1力

0t1_

ооо-

1оо

0产+ 1力

0t1_

t G [О, Г].

t G [О, Г].

Нетрудно вычислить, что。(方)< t2 + 2, откуда получаем

II①⑴ II+ 2)1/2.II①⑴ II+ 2)1/2.(5.10.22)(5.10.22)

II①⑴ II+ 2)1/2.

II①⑴ II+ 2)1/2.

(5.10.22)

(5.10.22)

Матрица 兄一 *Т) является симметрической и положительноопределенной, следовательно, ее собственные числа положительны, а максимальное из них равно норме матрицы. Кроме того [25], сумма всех собственных чисел равна следу матрицы R~[(T). Из вида (5.10.17) матрицы R-'(T) можно заключить, что число 2/Т является одним из ее собственных значений и

trR-i(T)= 2Т2 - 152

4= 7(T2 — 24) ' T'

Следовательно, число 2/Т не является максимальным собственным значением и

||『i(T)| V tr /ГВ)-| =黑二*), Г = 2* (5.10.23)

В силу управляемости системы (5.10.11) матрицы R(t), R(T) и

R(T) - R(t) = Q⑺⑺dT

t

являются симметрическими и положительно-определенными. Кроме того,

Н(Т) - R⑴ < Н(Т),。〈方 w Т(5.10.24)

(неравенство X <Y для симметрических матриц X п У означает, что матрица Y — X положительно определена). Так как норма симметрической положительно-определенной матрицы равна ее максимальному собственному числу, а неравенство (5.10.24) влечет [25] соответствующее неравенство для собственных чисел матриц Н(Т) — R(t) и Н(Т), то справедливо соотношение

\m-R^\\^\mi

Для оценки \\R(T)\\ воспользуемся рассуждением, аналогичным проведенному выше в отношении матрицы 兄一*Т). Из вида (5.4.11) матрицы Н(Т) можно заключить, что число Т/2 — немаксимальное собственное значение Н(Т), поэтому

WtrR(T) —= '(2^ + 9), т = 2М.

Из (5.10.21)-(5.10.23), равенства ||р|| = (т； + 加犷/2/加2 и последнего соотношения вытекает

I仇力⑴)| 《 切I И①⑴И 1|r(7) - R⑴И |田-i(T)|| ||力。|| 《

(端 + 喧 1/2(2/ + 9)(/ — 2)(/ + 2)1/2

&加2Г-24)设

Следовательно, в качестве времени окончания процесса можно выбирать такие значения Т = 2тгк, чтобы выполнялось неравенство

(2/ + 9)(Г2 - 2)(/ + 2)1/2m2cd

" "端+m少/211力。『

торийторийРис. 75. Управляющая функция 〃⑴ и величина |〈@,/(力)〉|Рис. 75. Управляющая функция 〃⑴ и величина |〈@,/(力)〉|

торий

торий

Рис. 75. Управляющая функция 〃⑴ и величина |〈@,/(力)〉|

Рис. 75. Управляющая функция 〃⑴ и величина |〈@,/(力)〉|

Рассмотрим еще один способ определения величины Г, обеспечивающий выполнение ограничений (5.10.9). Из (5.10.21) вытекает

叭 Т) = omax^||iyT(t,T)p||.

Построим функцию w(T) численно. Эта функция целиком определяется матрицей А и векторами 6 и р, поэтому такое построение достаточно выполнить один раз.

На рис. 73 представлен график функции w(T). Видно, что с увеличением продолжительности процесса Т величина w(t) растет, хотя и немонотонно. В качестве времени окончания движения могут быть выбраны любые Т, при которых значение функции w(T) удовлетворяет неравенству

…髙 (5.10.26)

Таким образом, предлагается следующая процедура построения управляющей функции 〃(方).Сначала для заданного вектора начального состояния х° выбираем величину Г — момент окончания процесса. Величину Т можно искать в виде Т = 2тгк, где натуральное число к должно быть таким, чтобы выполнялись условия (5.10.19) и (5.10.25). Еще один способ нахождения времени Т заключается в численном построении функций о(Т) и w(T) и выборе такого значения Г, при котором выполняются неравенства (5.10.20) и (5.10.26).

После определения момента окончания процесса Г управляющая функция 〃(" вычисляется аналитически согласно (5.10.13). Как уже отмечалось в § 5.5, выражение для обратной матрицы R~[(T), полученное с помощью компьютерной программы символьных вычислений, оказывается довольно громоздким. Приведенный в качестве примера левый верхний элемент этой матрицы имеет вид (5.5.10).

На рис. 74 представлены результаты численного моделирования динамики системы (5.10.11). Система переводилась из начального состояния х° = (1/2, —1/2, 1/2, 1/2) в начало координат. Время окончания процесса было выбрано равным Г = 10. Жирной линией показана проекция фазовой траектории на плоскость 力i,力2 =定i, а тонкой — ее проекция на плоскость 力з,力4 = ±з，

На рис. 75 сплошными линиями изображены графики зависимости от времени управляющей функции 〃(方)и величины

к仏/⑴)1 =к仏/⑴)1 =mi——/3 +/1 m2mi——/3 +/1 m2

к仏/⑴)1 =

к仏/⑴)1 =

mi

——/3 +/1 m2

mi

——/3 +/1 m2

из ограничения (5.10.9) для случая mi/m2 = 10. Для сравнения штриховыми линиями приведены графики тех же функций, но для времени окончания процесса Г = 5. Видно, что величина |〈夕，力(方))| при этом уменьшилась, а максимум модуля управляющей силы u(t) возрос.

Глава 6

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО

УПРАВЛЕНИЯ ПРИ СЛОЖНЫХ

ОГРАНИЧЕНИЯХ

. Введение

Простейшая динамическая система с одной степенью свободы

m^ = F(6.1.1)

неоднократно служила моделью в теории управления. Здесь £ — обобщенная координата, £ — обобщенная скорость, т — постоянная инерционная характеристика (масса или момент инерции), F — управляющее воздействие (сила или момент силы), точки означают производные по времени 方.С одной стороны, на этой модели отрабатывались и демонстрировались постановки и методы решения задач управления. С другой стороны, система с одной степенью свободы использовалась как элемент в схемах декомпозиции нелинейных систем со многими степенями свободы на более простые подсистемы (см. главы 1, 2).

В данной главе представлены решения ряда задач о приведении системы (6.1.1) в начало координат фазовой плоскости при различных ограничениях. Эти результаты были получены в работах [69-71, 74, 75].

Во многих практических задачах управления встречаются смешанные ограничения, наложенные в каждый момент времени на управляющие воздействия и фазовые координаты. Так, при наличии в системе электропривода обычно следует учитывать ограничения, наложенные на управляющий момент двигателя, на угловую скорость вращения вала, а также на эти величины в совокупности. Наличие смешанных ограничений в задачах оптимального управления приводит, как известно, к существенным трудностям даже для линейных систем.

В § 6.2, 6.3 излагается постановка и решение задачи оптимального быстродействия для системы (6.1.1) при смешанных и фазовых ограничениях. При отсутствии фазовых ограничений рассматриваемая задача сводится к задаче быстродействия, для которой в [21] построен регулярный синтез. В указанных параграфах дано непосредственное доказательство оптимальности построенного синтеза, не опирающееся на [21]. В § 6.4 в качестве примера рассмотрена задача оптимального по быстродействию управления электродвигателем постоянного тока с независимым возбуждением.

В § 6.5-6.7 рассматривается случай, когда движение системы (6.1.1) совершается под действием управляющей силы с ограниченной скоростью изменения. Построено программное управление системой, оптимальное по быстродействию. В замкнутой форме дано решение задачи синтеза оптимального управления.

В § 6.8-6.10 рассматривается случай, когда система (6.1.1) управляется посредством ограниченной по величине силы. Кроме того, предполагается, что величина силы может наращиваться постепенно, с конечной скоростью, и мгновенно выключаться. При этих ограничениях, моделирующих реальные системы приводов, построено управление, приводящее систему в начало координат и имеющее простейшую возможную структуру.

Постановка задачи оптимальногобыстродействия при смешанных и фазовыхограничениях

Введем обозначения

力=§, о = Е， w = —(6.2.1)

т

и перепишем (6.1.1) в виде

х = V, V = w.(6.2.2)

Будем рассматривать управляемую систему второго порядка (6.2.2), где х, V — фазовые координаты (координата и скорость), w — управляющее воздействие (ускорение). На управление и фазовые координаты наложены ограничения

% W。W。2, % < 0, 。2 > 0,(6.2.3)

где s,。2 — заданные постоянные, и смешанное ограничение

/l®)W^W/2(。)，(6.2.4)

Здесь /1 (1?) и /2(0) — заданные на отрезке ®,°2] кусочно-непрерывные функции, причем

/1 (^) < 0,/2(。)>0，。g(。1,。2).(6.2.5)

Функции /1 (1?) и /2(0) могут обращаться в нуль лишь на границах интервала [01,02]• Область в плоскости (v, w), ограниченная условиями (6.2.3), (6.2.4), изображена на рис. 76.

Рис. 76. Область допустимых значений (о, W)Рис. 76. Область допустимых значений (о, W)за кратчайшее время (Т —за кратчайшее время (Т —управление и по формулеуправление и по формулеmin). Если заменить управление w на новоеmin). Если заменить управление w на новое

Рис. 76. Область допустимых значений (о, W)

Рис. 76. Область допустимых значений (о, W)

за кратчайшее время (Т —

за кратчайшее время (Т —

управление и по формуле

управление и по формуле

min). Если заменить управление w на новое

min). Если заменить управление w на новое

Поставим задачу об определении управления в форме синтеза w(x, V), переводящего систему (6.2.2) с ограничениями (6.2.3), (6.2.4) из любого (в области v\ < W W。2)начального фазового состояния

力(方0)=力 0,0(方0) =。0(6.2.6)

в состояние

力(Т) = 0, о(Т) = 0(6.2.7)

= /з®)〃 + /4(。),

/з（。）=/з（。）=Лm 一力 ®)Лm 一力 ®)22『4®)=『4®)=ли + ЛИли + ЛИ22

/з（。）=

/з（。）=

Лm 一力 ®)

Лm 一力 ®)

2

2

『4®)=

『4®)=

ли + ЛИ

ли + ЛИ

2

2

то система (6.2.2) с ограничениями (6.2.3), (6.2.4) преобразуется к виду

х = V,力=/з®)〃 + /4(。)，

(6.2.8)

|〃| < 1, V1 < V <。2・

Здесь смешанное ограничение отсутствует. Если опустить фазовое ограничение 5，и < 。2, то полученная задача быстродействия для системы (6.2.8) с граничными условиями (6.2.6), (6.2.7) окажется частным случаем более общей задачи быстродействия, для которой в [21] построен регулярный синтез. Наличие фазового ограничения приводит к некоторому видоизменению этого синтеза. Ниже приведен синтез оптимального управления для поставленной задачи быстродействия в исходной форме (6.2.2)-(6.2.7) и дано непосредственное доказательство его оптимальности, не опирающееся на принцип максимума.

Оптимальное быстродействие при ограничениях на скорость и ускорение

Полагая w =力(о), г = 1,2, получим из (6.2.2)

dx _ о

dv 一力(0)

Интегрируя (6.3.1), получим уравнения фазовых траекторий, отвечающих управлениям w = f《v), в виде (G — постоянная)

z = X〃(o) + G, 5= 1,2,(6.3.2)

где°

М®)=〃=1，2.(6.3.3)

о

В силу (6.2.5) функции (6.3.3) обладают следующими свойствами. Функция Xi®) монотонно возрастает при v < 0 и монотонно убывает при о〉0, а Х2®), наоборот, монотонно убывает при v < О и монотонно возрастает при о〉0. При о = 0 функция Xi(o) имеет нулевой максимум, а функция Х2(。) — нулевой минимум. Согласно уравнениям (6.2.2), движение по траекториям (6.3.2) с г = 1 происходит в сторону убывания о, а по траекториям (6.3.2) с г = 2 — в сторону возрастания о. Если 力(。^) = 0 при некоторых г, j = 1,2 и интеграл Xi^Vj) в (6.3.3) расходится, то соответствующая фазовая траектория (6.3.2) имеет горизонтальную асимптоту v = Vj. В противном случае, т. е. когда либо 力(о^) ^ 0, либо 力(о^) = 0, но интеграл X分(о^) сходится, кривая х = X分(о) пересекает прямую v = Vj в точке х = X分(о^).

Опишем сначала предлагаемый синтез управления, а затем докажем его оптимальность. В фазовой плоскости (力，。)определим кривую переключений равенствами

Х2(。)，ое®,0],

力=Х(。)=(6.3.4)

、x1(0),0门0,02].

В силу свойств функций Х〃(о), г = 1,2, функция Х(о) монотонно убывает и интервале [01,02]， причем Х(0) = 0. В начале координат кривая переключений (6.3.4) имеет точку перегиба. Кривая переключений изображена на рисунках 77 и 78 жирной кривой. Она разделяет полосу v\ < V <。2, допускаемую фазовыми ограничениями (6.2.3), на две области: D\ (справа и сверху от кривой (6.3.4)) и 。2 (слева и снизу от этой кривой) (см. рисунки 77 и 78). Положим в открытых областях Di

w = /1 (1?) при 力>x(0)， 0g(01,02) (Bо1),

(6.3.5)

w = /2(^) при X < X(v\ 0g(01,02) (Bо2).

Определим управление на границах областей 。1, 。2・ На кривой переключений (6.3.4) полагаем

w = /1(1?) при 力= X1(0)，0g[0,02],

^ = /2®) при 力= Х2(。)， V 6 [171,0].

Рис. 77. Кривая переключений и фазовые траектории (X/i) иХ2(°2)неограничены)Рис. 77. Кривая переключений и фазовые траектории (X/i) иХ2(°2)неограничены)Рис. 78. Кривая переключений и фазовые траектории (все X〃(s) ограничены)Рис. 78. Кривая переключений и фазовые траектории (все X〃(s) ограничены)

Рис. 77. Кривая переключений и фазовые траектории (X/i) и

Х2(°2)неограничены)

Рис. 77. Кривая переключений и фазовые траектории (X/i) и

Х2(°2)неограничены)

Рис. 78. Кривая переключений и фазовые траектории (все X〃(s) ограничены)

Рис. 78. Кривая переключений и фазовые траектории (все X〃(s) ограничены)

На прямых о = s, о =。2 положим

W = 0 при 0=。1, 力〉Х2®1),

^ =『2®1) при 。=。1, 力 <Х2®1),

(6.3.7)

W = 0 при О =。2， 力 <Х1®2)，

^ = /1®2) при 。=。2, 力 >Х1®2)・

Соотношения (6.3.7) имеют смысл, если /2(^1)市 0,力(。2)市 О и, следовательно, величины Х^(у\) и Xi(°2)ограничены. Если какая- либо из них (Х2(°1) или Xi(°2)) неограничена, т. е. соответствующий интеграл (6.3.3) расходится, то кривая переключений имеет горизонтальную асимптоту v = v\ или。=。2 соответственно. В этом случае на этой прямой (о = v\ или。=。2)управление не определено. При этом с данной прямой нельзя попасть в область v\ < v <。2, и задача управления неразрешима, если начальная точка (力о，。。) лежит на соответствующей прямой. Если же величины Xi(°i) или Х^(у^) неограничены, то это означает, что фазовые траектории, начинающиеся внутри областей D\ и。2 соответственно, не достигают соответствующих прямых。1 и。2, а обязательно пересекают кривую переключений. Если же начальная точка (力о，。。) лежит на одной из этих прямых, то она согласно (6.3.7) движется по данной прямой с управлением w = 0 вплоть до попадания на кривую переключений.

Фазовые траектории, отвечающие построенному синтезу управления (6.3.5)-(6.3.7), изображены на рис. 77 для случая ограниченных значений Xi®2) и Х^(у\) и неограниченных значений Xi(%)

и Х2(°2), а на рис. 78 — для случая, когда все величины Xi(vj) при г, j = 1,2 ограничены (в обоих случаях /2(^1)市 0,力(。2)市 0). Стрелками на рисунках 77 и 78 показано направление движения. Траектории плотно заполняют всю полосу v\ W о W。2・ Каждая фазовая траектория состоит не более чем из трех участков, отвечающих трем различным управлениям. Рассмотрим для определенности фазовую траекторию, начинающуюся в точке (6.2.6) области 1?2 и заканчивающуюся в начале координат (6.2.7).

На первом участке имеем w = /2(^), и движение происходит по кривой семейства (6.3.2) с г = 2, а именно по кривой

力=Х2(。)- Х2®о) + 力о(6.3.8)

от точки (力о,°о) ДО некоторой точки на прямой о = °2・ Согласно (6.3.7) координаты этой точки равны

力=政=Х2®2)- Х2®о) + 力0， 。=。2・(6.3.9)

На втором участке w = 0, и движение происходит по прямой。=。2 от точки (6.3.9) до точки

力= Х1®2), о = °2(6.3.10)

на кривой переключений х = Х(о). На третьем участке имеем ^ = /1(°), и движение происходит по кривой переключений х = Xi(o) от точки (6.3.10) до попадания в начало координат.

Второй участок отсутствует, если Х2(°2)или Xi(°2)неограничены, а также если точка (6.3.9) лежит правее точки (6.3.10), т. е. при 力2>Х1(1?2)・ В этих случаях переход с первого на третий участок происходит в точке пересечения кривой (6.3.8) с кривой х = Xi(。). Если же начальная точка лежит на прямой 。=。2, причем Xi(i?2) конечно и хо < Xi(i?2), то отсутствует первый участок. Наконец, если начальная точка лежит на кривой переключений, то отсутствуют первый и второй участки. Аналогичную структуру имеют фазовые траектории в области D\.

Сопоставим времена движения по двум траекториям построенного синтеза, начинающимся в точках (力(，°о) и (xq , vq) области Z?2, лежащих на одной прямой о = vq. Если 力厶 < 力«, то из структуры фазовых траекторий следует, что первая траектория, начинающаяся левее (при 力° =力厶)，содержит по крайней мере все те же участки, что и вторая (с началом при 力° =力《).При этом протяженность участков и время движения по ним для первой траектории заведомо не меньше, чем для второй. Поэтому полное время движения по первой траектории больше, чем по второй. Это свойство монотонной зависимости времени движения от абсциссы 力° начальной точки будет использовано ниже.

Перейдем к доказательству оптимальности предложенного синтеза. Для этого наряду с какой-то фазовой траекторией построенного синтеза, которую будем называть исходной, рассмотрим произвольную

пробную траекторию, удовлетворяющую ограничениям (6.2.3), (6.2.4). Пробная траектория начинается в момент 方=方。в той же точке (力о,。。)， что и исходная траектория, и заканчивается в момент 方=北 в начале координат. Для доказательства оптимальности построенного синтеза достаточно показать, что Т*〉Т.

Прежде всего отметим, что пробная траектория может иметь самопересечения, т. е. содержать замкнутые петли. Время движения по каждой петле положительно. Если удалить все петли из пробной траектории, соединив начала и концы каждой петли, то полученная новая пробная траектория допустима, а время движения по ней будет меньше, чем по пробной траектории с самопересечениями. Поэтому, не нарушая общности, достаточно рассматривать в дальнейшем лишь пробные траектории без самопересечений.

Сначала предположим, что точка (力о，。。) лежит на кривой переключений х = Xi(。). Согласно (6.2.2), времена движения по исходной и пробной траекториям равны соответственно

оdvw°ооdvw°о(6.3.11)(6.3.11)О

о

dv

w

°о

о

dv

w

°о

(6.3.11)

(6.3.11)

I dv лт-| I/1 * — to =

°0

Если скорость v вдоль пробной траектории строго убывает (как это имеет место вдоль исходной траектории), то в силу (6.2.4) dv < О, /1(。) < w < 0, и поэтому из (6.3.11) следует, что Т W Т*. Если же вдоль пробной траектории о изменяется немонотонно, то второй интеграл в (6.3.11) следует понимать как криволинейный. Заметим, что отклонение от монотонности убывания о приводит к появлению участков пробной траектории, на которых dv > 0, w > 0 и которые дают дополнительный положительный вклад во второй интеграл (6.3.11). Во всех случаях имеем Т《Т*.

Таким образом, если фазовая точка (начальная или текущая) попала на кривую переключений, то дальнейшее оптимальное движение происходит по этой кривой. Поэтому пробные траектории, пересекающие кривую переключений, в дальнейшем можно не рассматривать и считать, что конечный участок пробной траектории, входящей в начало координат, лежит на кривой переключений.

Пусть теперь начальная точка (力о，。。) лежит в области D% причем 。0》0. Предположим сначала, что пробная траектория не пересекает ось х при 方》方о・ Тогда координата х монотонно возрастает как на исходной, так и на пробной траекториях. Времена движения по этим траекториям можно согласно (6.2.2) представить в виде

оооо力0力0力0力0

оо

оо

力0力0

力0力0

Зависимость。(力)для исходной траектории согласно изложенному выше состоит не более чем из трех участков: возрастания от。° ДО。2, движения с максимально возможной скоростью v = v^^ убывания от。2 до 0 (некоторые из этих участков могут отсутствовать). Зависимость 。*(力)для пробной траектории удовлетворяет согласно (6.2.4) и (6.3.1) неравенствам

也(6.3.13)

Знаки равенства в (6.3.13) достигаются на исходной траектории. Из (6.3.13), ограничения о* W。2 и граничных условий 。*(力о) =。0 и о*(0) = 0, общих для исходной и пробной траекторий, вытекает, что зависимость о*(力)(при каждом фиксированном о) растет не быстрее, а убывает не медленнее, чем。(力).Другими словами, график функции 。*(力)лежит не выше, чем график зависимости。(力)，т. е. o*(z) W。(力) при х е [жо, 0]. Тогда из (6.3.12) следует, что Т W Т*.

Теперь предположим, что пробная траектория, начинающаяся в точке (力о,。。) области Z?2 при 。°》0, пересекает ось х при некотором 方 1 > to- В точке пересечения имеем х\ > 力о, после чего скорость меняет знак, и х начинает убывать. Однако пробная траектория должна в конце концов попасть в область о〉0. При этом может либо произойти самопересечение пробной траектории, что исключено выше, либо пробная траектория попадет в точку с координатами (力2，。0), где 力2 < 力о, после чего траектория останется в области。°》。・ Время движения 方; по пробной траектории от точки (力2,°о) ДО точки (0,0), по доказанному выше, не меньше, чем соответствующее время 方2 для исходной траектории с началом в той же точке (力2,。0)・ В силу же зависимости времени движения вдоль исходных траекторий от координаты начальной точки имеем 方2 〉Т —方о, ибо 力2 < ^о- Следовательно, имеем Т^ — tQ > t^ > 〉方2 > Т —方о・ Таким образом, Г < 7^ в рассматриваемом случае.

Итак, если фазовая точка попадает на ось х при 力 V 0, то дальнейшее оптимальное движение идет по исходной траектории, проходящей через данную точку оси х. Поэтому можно считать, что пробная траектория в полуплоскости о〉0 совпадает с исходной.

Осталось рассмотреть случай, когда начальная точка (力2,。0) в области。2 такова, что vq < 0. Как пробную, так и исходную траектории представим в виде двух участков, лежащих в полуплоскостях v < О и 1； > 0 соответственно. Времена движения по первым участкам (о < 0) сопоставим между собой аналогично тому, как это сделано для начальной точки на кривой переключений (см. (6.3.11)). Получим, что пробная траектория достигает оси х не раньше, чем исходная. Оценки вида (6.3.13) позволяют установить, что точка 力=/；, где пробная траектория пересекает ось х, лежит не правее соответствующей точки х = х\ пересечения оси х исходной траекторией, т. е.力;< х\. В силу доказанной выше монотонной зависимости времени движения по исходной траектории от абсциссы начальной точки заключаем,

что длительность второго участка пробной траектории не меньше, чем для второго участка исходной траектории. Тем самым доказано, что Т ^ 7^ и в данном случае. Таким образом, полностью доказана оптимальность по быстродействию построенного синтеза управления, заданного соотношениями (6.3.5)-(6.3.7).

Задача управления электродвигателем

В качестве примера рассмотрим простейшую модель электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждением. Момент М, развиваемый электродвигателем, пропорционален силе тока I в цепи

ротораротораМ = кмЦМ = кмЦ(6.4.1)(6.4.1)

ротора

ротора

М = кмЦ

М = кмЦ

(6.4.1)

(6.4.1)

где км — постоянный коэффициент. Уравнение баланса электрических напряжений в цепи ротора имеет вид

LI + RI + кЕш = и, кЕ > 0.(6.4.2)

Здесь L — коэффициент индуктивности цепи ротора, Д — ее электрическое сопротивление, и — управляющее электрическое напряжение, s — угловая скорость вращения ротора, кЕш — противо-э.д.с., кЕ — постоянный коэффициент. Первое слагаемое в левой части (6.4.2) обычно мало по сравнению с остальными слагаемыми, и им можно пренебречь. Тогда, выражая I при помощи (6.4.2), получим из (6.4.1)

М = кмЯ-\и-кЕш).(6.4.3)

Управляющее напряжение ограничено по величине:

|〃| < 〃о,(6.4.4)

где 〃о — постоянная. Из (6.4.3), (6.4.4) вытекает, что момент М ограничен неравенствами

-kMR~\uQ + 戸5 kMR~\uQ -戸5・(6.4.5)

Кроме (6.4.5), часто накладываются еще ограничения на величину тока /, а также на величину момента М, обусловленные требованиями со стороны редуктора. И те, и другие ограничения сводятся согласно (6.4.1) к ограничению вида \М\ < Мо, где Мо — постоянная. Угловую скорость ограничим по модулю величиной а。= "о (卜石) • При этом ограничении левая и правая части неравенства (6.4.5) имеют разные знаки, т. е. момент М при 心| < ⑷ может быть как ускоряющим, так и тормозящим. В результате приходим к совокупности ограничений

—kQo + 5 W М W к(&о — 5，IА/| W Mq,心J W so,

(6.4.6) k = kMR~rkE, so = 〃o (k“)1 •

10 Ф. Л. Черноусько и др.

Уравнения вращения ротора электродвигателя имеют вид

& =^ = М^Мг.(6.4.7)

Здесь а — угол поворота ротора, J — момент инерции ротора и других вращающихся частей редуктора, М\ — момент всех внешних сил, кроме электромагнитного момента М, который можно рассматривать как управляющее воздействие в системе (6.4.7). На систему (6.4.7) наложены ограничения (6.4.6), среди которых есть смешанное ограничение, ограничение на управление и на фазовую координату. Введем безразмерные переменные У, х, v, w и параметр х соотношениями

t = JuqMq1^, q = Ju^Mq^x,

(6.4.8)

s =以0储 M = Mqw, x = кщМ^х.

Тогда уравнения (6.4.7) при Mi = 0 и ограничения (6.4.6) преобразуются к виду

X = V, V = W,

(6.4.9)

|w| < 1,|。| W 1,-х(1 + 17)< W < Х(1 - 17),

где точкой обозначена производная по безразмерному времени ， из (6.4.8). В дальнейшем штрих у переменной ， опускаем. Уравнения (6.4.9) совпадают с (6.2.2), а ограничения (6.4.9) приводятся к виду (6.2.3), (6.2.4), причем

х(1 + о) при — 1 W О W 久，

-1 при vc^v(6.4.10)

Vc =— 1,0] = —1,02 =1.

Таким образом, функции /1, % здесь кусочно-линейны и имеют точки излома при о = ±°с соответственно, причем 力(。2)#0 и /2(%) #0.

Если х < 1 /2, то точки излома лежат вне интервала (— 1, 1). В этом случае функции /1, /2 линейны на отрезке [—1, 1], ограничение |w| < 1 выполняется автоматически и становится несущественным. Тогда система (6.4.9) приводится к виду линейной управляемой системы с новым управлением wi

X = V, V =+ W1,

|wi| < 也同 < 1-

Здесь смешанное ограничение отсутствует.

При х > 1/2 точки ±°с лежат внутри интервала (—1, 1), причем при х е (1/2, 1) точки vc и —vc лежат в интервалах (0, 1) и (—1,0) соответственно, а при х > 1 — в интервалах (—1,0) и (0, 1) соответственно.

Область в плоскости (v, w), допускаемая ограничениями (6.4.9), представляет собой в общем случае шестиугольник, обладающий центральной симметрией относительно начала координат. Он изображен на рис. 79 для случая х = 2.

Рассмотрим задачу оптимального быстродействия для описанной модели электродвигателя. В безразмерных переменных (6.4.8)

эта модель задается соотношениями (6.4.9), которые представляют собой частный случай соотношений (6.2.2)-(6.2.4), в которых введены обозначения (6.4.10). Условия (6.2.5) для функций /1, /2 из

Рис. 79. Область допустимых значений (о, W)Рис. 79. Область допустимых значений (о, W)(6.4.10) выполнены. Граничные условия по-прежнему имеют вид (6.2.6), (6.2.7). Конкретизируем общее решение задачи синтеза оптимального быстродействия для системы (6.2.2)-(6.2.7) применительно к системе (6.4.9).

Рис. 79. Область допустимых значений (о, W)

Рис. 79. Область допустимых значений (о, W)

Подставим (6.4.10) в (6.3.3) и вычислим соответствующие интегралы, рассматривая отдельно случаи х < 1/2, х е [1 /2, 1] и х > 1. Получим

Х1(。)= —“Г ® - 1П(1 + 1；)]

{

.7}.7}-х-1 [17 - ln(l + V)] при V е [-1,17с],

.7}

.7}

-(1 — V2 — х-2) — InX при 0 е ®с, 1],

(I 1, 0<17с< 1),

Xi®)= <Xi®)= <—1 [о — 1п(1 + о)] + ； (х-2 — 1) + х-1 In Xпри V 6 [~l,Vc\,

Xi®)= <

Xi®)= <

_；!? при V 6 [vc, 1],

〃》1, —1 W W。,

(6.4.11)(6.4.11)Х2®) = —Х1(—о), vc =- 1.

(6.4.11)

(6.4.11)

Кривая переключений х = Х(о), задаваемая равенствами (6.3.4), разделяет полосу |о| W 1 на области Z?i, где 力〉Х(о), и D?, где 力 V Х(。). Синтез оптимального управления определяется равенствами (6.3.5)-(6.3.7), в которых s = —1,。2 = 1, а функции 力，Х〃，определены равенствами (6.4.10), (6.4.11) соответственно, г = 1,2. Отметим, что в силу (6.4.11) кривая переключений и всё поле оптимальных траекторий обладает центральной симметрией относительно начала координат. На рис. 77 показано поле оптимальных траекторий для случая х = 2, 1?с = —1/2.

Так как величины Xi(l) и Xz(—1) ограничены (см. (6.4.11)), то согласно замечанию в § 6.3 синтез оптимального управления определен во всей полосе |о| < 1, включая ее границы. С другой стороны, из (6.4.11) следует, что величины Х\ (—1) и Х?(1) неограничен ы. Поэтому согласно § 6.3 фазовые траектории, начавшиеся внутри полосы, т. е. при |v| < 1, не попадают на границы полосы, а пересекают кривую переключений (см. рис. 77). Следовательно, каждая из этих траекторий состоит не более чем из двух участков; средний участок, описанный в § 6.3, отсутствует. Если же начальная точка лежит на границе полосы, то фазовая точка движется по границе с управлением w = 0 до кривой переключений, если 。= — 1 и х > Xz(—1) или если V = 1 и 力 <Xi(l). В остальных случаях, т. е. при 。= — 1 и х < Х2(-1) или при V = \ и х > Xi(l), фазовая точка сразу попадает внутрь полосы (см. рис. 77).

Подсчитаем время движения по оптимальной фазовой траектории, начинающейся при t = 0 в точке (力о, °) оси х, где 力о < 0- Согласно построенному синтезу и сделанным выше замечаниям оптимальная траектория начинается в области D? и состоит из двух участков. Первый участок — это дуга кривой (6.3.8), т. е. кривой

(6.4.12)(6.4.12)力=Х2（。）+ 力 о

(6.4.12)

(6.4.12)

(6.4.13)(6.4.13)от точки (力о，°) ДО некоторой точки (力加，。加)，в которой кривая (6.4.12) пересекается с кривой переключений х = Xi(。). Поэтому имеем следующие соотношения для определения координат (力加，。加)：

(6.4.13)

(6.4.13)

冗 т = Xi^m) = -^2 (^m) + 力 0・

Второй участок фазовой траектории — это дуга кривой х = Xi(。) от точки (хт, vm) до начала координат. Скорость о возрастает от 0 до vm на первом участке, где w = /2(^), и убывает от vm до 0 на втором участке, где w = /1(0). Полное время движения представим в виде

Г =Г =оо

Г =

Г =

о

о

Ограничимся для определенности случаем х > 1 и обозначим

§ = —xq > 0, q = —vc = 1 —> 0,Вычислим интегралы (6.4.14), подставив в и пользуясь обозначениями (6.4.15). ПолучимТ = 2。7n при vm W q,Т = q vm -® при§ = —xq > 0, q = —vc = 1 —> 0,Вычислим интегралы (6.4.14), подставив в и пользуясь обозначениями (6.4.15). ПолучимТ = 2。7n при vm W q,Т = q vm -® прих> 1.(6.4.15)

§ = —xq > 0, q = —vc = 1 —> 0,

Вычислим интегралы (6.4.14), подставив в и пользуясь обозначениями (6.4.15). Получим

Т = 2。7n при vm W q,

Т = q vm -® при

§ = —xq > 0, q = —vc = 1 —> 0,

Вычислим интегралы (6.4.14), подставив в и пользуясь обозначениями (6.4.15). Получим

Т = 2。7n при vm W q,

Т = q vm -® при

них выражения (6.4.10)

(6.4.16)

Подставляя (6.4.11) при х > 1 в (6.4.13) и пользуясь обозначениями (6.4.15), получим соотношения, связывающие vm и £:

§=^4^+(1-小-"м§=^4^+(1-小-"м£ =唸 при vm W q,

§=^4^+(1-小-"м

§=^4^+(1-小-"м

при vm》q.

(6.4.17)

Соотношения (6.4.16), (6.4.17) определяют зависимость Т(£) в параметрическом виде. Придавая параметру vm значения от 0 до 1, получим при каждом фиксированном q искомую зависимость Т(§). Отметим, что из (6.4.16), (6.4.17) следует

Т«) = 2^/2 при §Wq2.(6.4.18)

Найдем асимптотику функции Т^) при £ — оо. Для этого устремим Ом т 1 н получим из (6.4.16) и (6.4.17)

Т = -(1 - q) 1п(1 - ^m) + q + 1 + (1 - q) ln(l - q) +。(1 — vm),d + 1

§ = _(1 _ q) Ml _ vrn) + 2q - h

+ (1 — q)ln(l — q) + O(l —。加).(6.4.19)

Из (6.4.19) находим искомую асимптотику

Т(£) = § + |—« + } + О(ехр[—£(1 — q) —1]), § — оо.

(6.4.20)

Отдельно рассмотрим предельный случай оо. Согласно (6.4.15) имеем при этом vc = —\, q = 1, и ограничения (6.4.9) определяют квадрат \v\ < 1, |w| < 1 в плоскости (v, w). В этом случае (см. (6.4.11))

7)2

Х1(о) = —Х2®) = -у при о 6 [-1, 1].(6.4.21)

Все фазовые траектории состоят из дуг парабол (6.3.2), (6.4.21) и отрезков прямых о = ±1, как показано на рис. 78.

Подсчитаем полное время движения Т от начальной точки (хо, 0), где 力о = —£ < 0, до начала координат. Если vm < 1, то справедливо

Рис. 80. Зависимость Т⑹ при различных qРис. 80. Зависимость Т⑹ при различных qсоотношение (6.4.18), если же vm = =1, то время движения складывается из времен движения по дугам парабол и времени движения по прямой о = 1. В безразмерных переменных время движения по каждой из парабол равно 1, а время движения по прямой о = 1 равно £ — 1 — длине проходимого отрезка этой прямой. В результате получим при q = 1

Рис. 80. Зависимость Т⑹ при различных q

Рис. 80. Зависимость Т⑹ при различных q

Т = 2§1/2 при < < 1,

Т = £ + 1 при £》1.

Результаты численных расчетов зависимости Т⑹ при различных q представлены на рис. 80.

Таким образом, построено полное решение поставленной задачи.

Постановка задачи оптимальногобыстродействия при ограничении на скоростьизменения ускорения

Рассмотрим систему с одной степенью свободы, описываемую уравнением (6.1.1). При постановке задач оптимального управления обычно предполагают, что сила F по абсолютной величине ограничена постоянной Fq, т. е. \F\，用.В случае задачи оптимального быстродействия это ограничение приводит, как известно, к релейному характеру оптимального управления. При этом сила F(t) принимает крайние значения ±用 и мгновенно переключается с одного из этих значений на другое. Такое управление не всегда осуществимо на практике, например, при реализации управления при помощи электропривода.

В данном параграфе примем более реалистическое ограничение на скорость изменения управляющей силы вида

因(6.5.1)

где о。> 0 — заданная постоянная. Будем также полагать, что ограничение на абсолютную величину силы не достигается и всегда |歹(方)| < 用.

При помощи замены переменных

приведем уравнения (6.1.1) и ограничение (6.5.1) к виду

х = у, 少=2, z = и, \и\ < 1.(6.5.2)

Теперь переменные х, у, z являются фазовыми координатами, а и играет роль ограниченного управления.

Зададим начальные условия для системы (6.5.2) в виде

力(0)=力 о, У ⑼=%, 2(0) = 2о，(6.5.3)

где начальный момент времени без ограничения общности принят равным нулю.

Поставим задачу о построении управления 〃(方)，удовлетворяющего ограничению |〃(方)| W 1 при 方》0 п переводящего систему (6.5.2) из произвольного начального состояния (6.5.3) на заданное конечное многообразие

力(Т) = 0, у(Т) = 0(6.5.4)

при произвольном ?(Т) за кратчайшее время Т.

Помимо определения программного управления будет также решена задача построения синтеза управления, оптимального по быстродействию для системы (6.5.2). Это управление и(х, у, ^), выраженное как функция текущих (или начальных) фазовых координат х, у, z, обеспечивает приведение системы (6.5.2) на заданное конечное многообразие (6.5.4) за кратчайшее время.

Программное оптимальное управление

Применим принцип максимума к поставленной задаче оптимального быстродействия (6.5.2)-(6.5.4). Составим функцию Гамильтона

Н = рху + pyz + pzu(6.6.1)

и запишем сопряженные уравнения

Рх =。， Ру = ~Рх-> Pz = ~Ру'(6.6.2)

Здесь рх, ру, pz — сопряженные переменные. Проинтегрируем систему (6.6.2) при условии трансверсальности 夕°(Т) = 0, отвечающем условию нефиксированности 2(Т). Получим

Рх = %, ру = су + схт, pz =+ ； сжт2. (6.6.3)

Здесь т = Т — t — время, отсчитанное от конца процесса («обратное» время), сх и су — произвольные постоянные. Условие максимальности гамильтониана (6.6.1) по и при ограничении \и\ W 1 из (6.5.2) дает

〃("=signet).

Из формулы (6.6.3) для pz следует, что функция 夕之(方)меняет знак при 方 W Т, 丁》0 не более одного раза. Следовательно, оптимальное управление 〃(方)=±1 имеет при t < Г не более одного переключения.

Обозначим через 圻，夕2 длительности двух возможных участков постоянства управления 〃(方)，а через о = ±1 — значение u(t) на первом из этих участков. Тогда оптимальное управление можно представить в виде

'а при t е (0,仇)，

〃⑴=<(6.6.4)

方 е (仇，Т),6^1 + 6^2 = Т.

Подставим управление (6.6.4) в систему (6.5.2) и проинтегрируем ее при начальных условиях (6.5.3). Получим

力⑴=XQ + yQt+ ^ 20卢 + g °户，

у9 = % + 20 方 + ；0/，

2⑴=2о + о方 при 方 G(0,圻)，

=/0 + Уgн' + X 200彳+工<7^1 +

幺 b(6.6.5)

+ (% + 20% + ； 00。(方一价)+

+ ；(20 + СГ 圻)(力—圻产—g o(力—圻)3，

g ⑴=% + 20 % + ；0彳 +(20 +0价)(力一价)一；(7(方-价 产，

2⑴=2° + О圻一(7(方一圻)ПрИ t 6 (6^1, Г).

Подставляя решение (6.6.5) в условия (6.5.4), придем к двум соотношениям, разрешая которые относительно 力о, У。，ПОЛУЧИМ

(6.6.6)(6.6.6)力0 = ； 20/ + g ег(碎 + 30汨2 -聞,% = —2оТ —；。(夕彳 + 2圻夕2 — ^2)-

(6.6.6)

(6.6.6)

Введем обозначения

£ = 2尸力0, 〃 = /「InoI —1%,《=sign 20,

s=|2o|-1丁，A = ^T-1 (3 "(6.6.7)

Х(А) = |(1-ЗА2 + А3), У»"；.

Тогда соотношения (6.6.6) примут вид

(6.6.8)

2 +1) = сгУ(А).

При 2° = 0 соотношения (6.6.6) дают

力 о，—з = оХ(Х), yQT~2 = оУ(Х). (6.6.9)

Когда параметр А изменяется от 0 до 1, точка с координатами Х(/\), У (А) пробегает дугу кривой, соединяющей точки 4i 14 42 c координатами (1/3, — 1 /2), (― 1/3, 1 /2) соответственно. Точки с координатами оХ(/\), aY(А) при А е [0, 1] и а = ±1 образуют замкнутую кривую Г, симметричную относи

тельно начала координат и имеющую угловые точки А и А^ (см. рис. 81). Кривая Г ограничивает выпуклую область, содержащую начало координат.

Решение поставленной программной задачи оптимального быстродействия (6.5.2)-(6.5.4) можно представить следующим образом.

Рис. 81. Плоскость параметров оХ,Рис. 81. Плоскость параметров оХ,Предположим сначала, что 2° ^ # 0. По заданным начальным данным 力°,伙)，2。из (6.5.4) определим £, 〃，《согласно (6.6.7). Левые части соотношений (6.6.8) задают координаты некоторой точки Р, зависящей от параметра s е [0, оо). При изменении s от оо до 0 точка Р перемещается по гладкой по- лубесконечной кривой из начала координат (при s — оо) на бесконечность (при s — 0). Эта точка

Рис. 81. Плоскость параметров оХ,

Рис. 81. Плоскость параметров оХ,

хотя бы один раз попадет на замкнутую кривую Г, окружающую начало координат. Найдем численно наименьшее значение s = s*, при котором Р е Г. Время оптимального быстродействия согласно (6.6.7) равно Г = |2o|s*. Положение точки Р при s = s* на кривой Г определяет значения параметров о = ±1 и А е [0, 1]. Длительности участков постоянства управления в силу (6.6.7) равны 圻=(1 — А)Т п 夕2 = АТ.

При 2о = 0 вместо соотношений (6.6.8) рассмотрим равенства (6.6.9). Левые части этих равенств задают координаты точки Р, зависящей от параметра Т. Когда Г изменяется от оо до О, точка Р перемещается по полукубической параболе из начала координат (при Г — оо) на бесконечность (при Г — 0). Наименьшее значение параметра Т, при котором Р 6 Г, есть время оптимального быстродействия. Значения параметров о, А,仇，夕2 определяются по положению точки Р на Г так же, как и при 2° # 0.

Когда величины а,仇，夕2 определены, оптимальное управление u(t) и соответствующая оптимальная траектория задаются равенствами (6.6.4) и (6.6.5). Таким образом, изложенный алгоритм полностью определяет решение программной задачи оптимального быстродействия. По построению это решение единственно.

В качестве примера приведем результаты определения оптимального управления для начальных данных

力о = —72 + 27д/^—25.2, % = 3, 2° = 1.

Для этого случая получено

Т = s = 6, сг=1,圻=6 — Зд/З ~ 0.80,夕 2 = Зд/З ~ 5.20.

Соответствующая траектория точки Р при изменении Г от оо до 0 изображена на рис. 81.

Синтез оптимального управления

Для построения синтеза оптимального управления достаточно найти в фазовом пространстве xyz поверхности переключений, на которых меняется знак управления и = ±1. На этих поверхностях обращается в нуль длительность одного из участков постоянства управления, т. е.圻=0 либо 夕2 = °・ В соответствии с (6.6.7) имеем здесь А = 0 или А = 1. Этим значениям А отвечают согласно (6.6.7) значения X и Y, равные ±1/3 и 干 1/2 соответственно. Из (6.6.8) получим условия

《(〃$—2 + s—1)=干;о,

выполняемые в плоскости £〃 на кривых переключений при zq 市 0. Однако соотношений (6.7.1) недостаточно для определения кривых переключений; для этого потребуется непосредственный анализ соотношений (6.6.8), что будет проведено ниже.

Отметим, что при построении синтеза начальные данные 力о, У。，2° можно рассматривать так же, как текущие значения фазовых координат х, у, z. Соотношения (6.6.7) будем рассматривать как формулы замены переменных

(6.7.2)(6.7.2)§ = 2一3力，7； = Z~i\z\~iy, , = sigH2

(6.7.2)

(6.7.2)

в фазовом пространстве. Эта замена, вводящая автомодельные переменные £, 〃，позволяет при 2*0 понизить на одну единицу размерность фазового пространства и вести построение синтеза оптимального управления в плоскости

Рассмотрим сначала отдельно случай 2 = 0. Аналогично (6.7.1) получим из (6.6.9) условия

力7-3 = ±g ег,沙丁-2 =干;力7-3 = ±g ег,沙丁-2 =干;(6.7.3)(6.7.3)

力7-3 = ±g ег,沙丁-2 =干;

力7-3 = ±g ег,沙丁-2 =干;

(6.7.3)

(6.7.3)

которые выполняются на пересечении поверхностей переключений с плоскостью 2 = 0. Условия (6.7.3) определяют при 2 = 0 две половины полукубических парабол, которые образуют кривую переключений в плоскости 2 = 0, описываемую уравнением

(6.7.4)(6.7.4)7(力,у)三 3/ + 2g12gli/2 = 0.

(6.7.4)

(6.7.4)

Анализ знаков а на ветвях кривой переключений (6.7.4) позволяет определить знаки управления с разных ее сторон. В результате получаем синтез оптимального управления при 2 = 0 в виде

j — signY力,у) при т#。， и(х,у,0) = <(6.7.5)

[sign х = — sign у при 7 = 0.

При 2*0 замена переменных (6.7.2) преобразует первые два уравнения (6.5.2) к виду

(6.7.6)(6.7.6)e = 12厂1(〃 - 3心),力=|2|Т(1 — 2〃5).

(6.7.6)

(6.7.6)

Разделив первое уравнение (6.7.6) на второе, получим линейное относительно £ уравнение

dg〃 — 3asd〃1 — 2q〃dg〃 — 3asd〃1 — 2q〃Q = 〃《=±1.Q = 〃《=±1.(6.7.7)(6.7.7)

dg〃 — 3as

d〃1 — 2q〃

dg〃 — 3as

d〃1 — 2q〃

Q = 〃《=±1.

Q = 〃《=±1.

(6.7.7)

(6.7.7)

Вдоль оптимальных траекторий, не пересекающих плоскость 2 = 0, параметр а сохраняет постоянное значение. Интегрируя уравнение (6.7.7) при постоянном а, найдем его общее решение

£ =①⑺,а, 4)三 а〃- g + 川 1 - 2а〃р/2, (6.7.8)

где А — произвольная постоянная. Отметим, что второе уравнение (6.7.6) позволяет определить направление движения вдоль оптимальных траекторий. Если а = 1, то движение при ту < 1/2 происходит в сторону роста 〃 и при 〃〉1 /2 — в сторону убывания 〃. Если же а = —1, то движение происходит в сторону убывания 〃 при 〃 < — 1 /2 и в сторону роста 〃 при 〃〉—1/2.

Перейдем к непосредственному построению синтеза оптимального управления. Для этого, как указано выше, достаточно установить знак управления и = а в начальный момент времени t = 0 в зависимости от начальных данных 力°, Уо， ^о- Переходя к автомодельным переменным и обращаясь к соотношениям (6.6.8), задачу синтеза можно сформулировать так: найти значение о = ±1, которое соответствует решению соотношений (6.6.8) (при фиксированных £, 〃，《，где《=±1) с наименьшим s, причем s〉0, Хе [0, 1].

Изложим алгоритм решения в краткой форме, а затем поясним его наиболее существенные элементы.

Прежде всего отметим, что при одновременной замене знаков у(^ и а соотношения (6.6.8) сохраняют свой вид. Следовательно, при замене《на —《искомая величина а также меняет знак. Поэтому достаточно построить решение в случае《=1 при произвольных £, 〃，а затем для《=—1 просто поменять знак в полученной зависимости а(^, ту).

Итак, положим без ограничения общности 《=1 п исключим А при помощи второго из уравнений (6.6.8). Получим

А = [； + о 2 + $т)] / , а = ±1. (6.7.9)

Так как А е [0, 1], то из (6.7.9) при фиксированных о = ±1 и ту определяются интервалы изменения s, в которых А вещественно и А ^ 1. Подставим А из (6.7.9) в первое уравнение (6.6.8) и найдем зависимости £ от s, г] и о = ±1. Эти зависимости при фиксированном 〃 будем обозначать через ^(s) и §一 (s) для о = ±1 соответственно. При условии А 6 [0, 1] они определяют в плоскости s, £ две кривые, каждая из которых состоит, вообще говоря, из конечного числа дуг. Исследуем эти кривые, а именно найдем их области определения и экстремумы во всем диапазоне изменения аргумента s и параметра 〃，после чего проанализируем их взаимное расположение. Затем проведем мысленно в плоскости s, £ прямую £ = const и найдем минимальное значение абсциссы s〉0, при котором эта прямая пересекает одну из указанных кривых. Значение о = ±1, отвечающее той кривой, с которой имеет место это пересечение, определяет искомое управление и = а при

данных £, 〃 п《=1, а значение s, отвечающее этой точке пересечения, равно нормированному времени быстродействия: s = Т|^|-1 (нормированной функции Беллмана).

Теперь опишем указанные операции подробнее, причем следует учесть, что все последующие построения верны только при s〉0. Из (6.6.8) имеем

产⑶=干g$3 — ；$2 — S〃士 g 卜2/2 士〃士 S)/ • (6.7.10)

Если s — +оо, то g±(s) ±(—1 + 1/д/2)з3/6 —干оо.

Рассмотрим функцию g+(s). В случае а = 1 условие A W 1 выделяет множество s е (0, 82] U [si, +00), где s「2 = 1 ±，1 + 2〃. Выражение для g+(s) определено, если s е [35, +оо), где S5 = —1 +，1 — 2〃. Производная d^/ds обращается в нуль в точках S5 и 37 = — 1 + + ,2(1 — 2〃), если S5 и S7 существуют, причем S5 < S7. Кроме того, 彦§+/曲2 < 0 при s = S7, т. е. S7 — точка максимума. Можно показать, что, если si, $2, S5 и S7 существуют, то S2 W S7 W si, a S2》S5.

Если 〃》0, то $2 W 0 н dg+/ds < 0 при s》si, т. е. функция g+(s) задана при s е [si, +00) и убывает от g+(si) до —оо. Если —1/2 < ту < < 0, то S5 > 0, т. е. функция g+(s) определена при s е [55, 82] U [si, +00). Она имеет нулевую производную при s = S5, возрастает на отрезке [$5, S2] и убывает от g+(si) до —оо при s G 回，+оо). Если ту < —1/2, то 85 > 0, а значение $2 не определено. Тогда функция g+(s) задана при s е [$5, +00), dg+/ds = 0 при s = S5, §+(s) возрастает до максимума в точке s = S7, после чего убывает от 廿⑶)до —оо.

Теперь перейдем к функции L(s). Потребуем, чтобы X < 1 в (6.7.9). Получим, что s е [$5,+оо), где S5 = — 1 +，1 — 2〃. Если s е (0, 82] U U [si, +00), то функция £—(s) из (6.7.10) определена. Ее производная обращается в нуль в точках si, s2 14 s3 = 1 —，2(1 + 2〃), если они существуют, причем S3》si. Кроме того, d?^~/ds1 > 0 при s = S3, т. е. s = S3 — точка минимума.

Если 〃》0, то $2 W 0 н функция £—(s) задана при s е [si, +00), причем d^~/ds = 0 при s = si. Функция §一⑶ убывает от §一⑶) до точки минимума s = S3, после чего возрастает от §一(S3) до +оо. Если —1/2 < 〃 V 0, то S5 〉0, т. е. зависимость §一 (s) определена при s е [s5,S2〕U [si, +00). Функция ^~(s) возрастает при изменении s от s = S5 до s = $2, причем d^~/ds = 0 при s = $2, и убывает при s G [si, S3], причем d^~/ds = 0 при s = si и s = S3. Далее §一(s) возрастает от §一(S3) до +оо. Если ту < —1/2, то S5〉0, значения si, S2 и S3 не определены, a d^~/ds > 0 при s》S5, т. е. функция §一(s) задана при s е [35, +оо) и возрастает на всем этом интервале до +оо.

Сделаем два замечания о взаимном расположении пары кривых (по одной из обоих исследованных семейств) для одного и того же значения параметра 〃.

Во-первых, найдем точкиВо-первых, найдем точкитребует решения уравнениятребует решения уравненияпересечения кривых g+(s)пересечения кривых g+(s)и (s), чтои (s), что(6.7.11)(6.7.11)

Во-первых, найдем точки

Во-первых, найдем точки

требует решения уравнения

требует решения уравнения

пересечения кривых g+(s)

пересечения кривых g+(s)

и (s), что

и (s), что

(6.7.11)

(6.7.11)

Возведем обе части уравнения (6.7.11) в квадрат и приведем подобные члены, затем снова возведем обе части уравнения в квадрат и получим уравнение относительно s:

Анализ корней уравнения (6.7.12) показывает, что только si, $2 н S5 являются корнями уравнения (6.7.11), причем положительными хотя бы при одном значении 〃. Совпадающие значения §+ = §一 в указанных точках будем обозначать через £±.

Во-вторых, устанавливаем, что §±($5) > g±(si) тогда и только тогда, когда —дД/4 V 〃 < 0.

В результате, оказывается удобным выделить четыре диапазона значений параметра 〃， соответствующих различным взаимным расположениям кривых g+(s) и £—(s), которые и определяют искомое управление для всех £ п 〃，за исключением g±(si), §±($2) и ^(s^).

При 〃》0 для любого § < g±(si) минимальная допустимая абсцисса s достигается на кривой g+(s). При £ > g±(si) тот же результат имеет место для £—(s).

При —д/З/4 < ту < 0 к кривым g+(s) и §一⑶，имеющим те же характерные особенности, что и в предыдущем случае, добавляется замкнутая изолированная кривая для 85 < s < S2, причем кривая §一(s) лежит выше кривой g+(s), а §±($5) < §±(S2). Кроме того, g±(si) < < W±(S5), т. е. £±(si) лежит ниже самой нижней точки замкнутой изолированной кривой. Следовательно, искомое управление задается так же, как и в предыдущем случае.

При —1/2 < 〃 < -д/З/4 выполняется неравенство g(si) > §($5), и для любого £ < §±(S5)минимальная допустимая абсцисса s достигается на кривой g+(s). При £ > §±(S5) то же самое утверждение справедливо для §一 (s).

Замкнутая изолированная кривая исчезает при ту < —1/2, и искомое управление задается так же, как и в предыдущем случае.

Определим управление на кривых §±(si(〃))，§±($2(〃)) и §±($5(〃)) в плоскости £〃. Напомним, что зависимости si, S2 и S5 от 〃 приведены выше. В соответствии с (6.7.9) на кривой g±(si(〃)) имеем А = 0 при а = — 1, т. е. временной интервал, в котором надо применять и = 1, равен нулю. Следовательно, на кривой g±(si(〃)) надо применять 〃 = —1, и она является кривой переключений при 〃〉一д/5/4. Аналогично, на кривой §±($2(〃)) следует использовать и = — 1 при —1/2，〃<0, но кривой переключений она не будет.

Тем же способом нетрудно показать, что на кривой §±($5(〃))имеем и = 1 при 〃 V 0. Она служит кривой переключений.

Приведем полностью результаты построения синтеза оптимального управления. Примем для определенности 2〉0,《=1. Кривая переключений в плоскости £〃 определена равенствами

①(〃,1, J),

£ = /(〃)={内 (6713)

(〃，т，-j，〃>〃*； 〃* =

где использовано обозначение (6.7.8). В точке К с координатами £* = 1/12, 〃* = —д/З /4 кривая переключений непрерывна и имеет излом. Эта кривая изображена жирной линией на рисунках 82 и 83. В связи с тем, что масштаб на рис. 82 меньше, чем на рис. 83, точки К a R, показанные на рис. 83, практически неразличимы на рис. 82 и потому не обозначены. С другой стороны, масштаб рис. 82 позволяет изобразить все характерные фазовые траектории, существенная часть которых отсутствует на рис. 83. В остальном обозначения на рис. 82 и рис. 83 идентичны. Для определенности в дальнейшем будем ссылаться в основном на рис. 82. Ветви кривой переключений, отвечающие 〃 V 〃* и 〃〉〃*, обозначены буквами М и N, соответственно. В плоскости £〃 имеем

'1 при < < /(〃)，

и = < 1 при W = M〃，l，g)， 〃 < °，(6.7.14)

、一1 в остальных точках плоскости £〃.

Таким образом, и = 1 слева и снизу от кривой переключений (6.7.13), на ее участке КМ справа и снизу от точки К, а также на дуге кривой £ =①(〃，1,1/3), соединяющей начало координат и точку К (см. рис. 83), причем эта дуга является частью кривой переключений. В остальной части плоскости £〃 имеем и = — 1.

При 2 V 0,《=—1 кривая переключений остается той же, а в соотношениях (6.7.14) множества точек £〃，где и = 1 и и = — 1, следует просто поменять местами. Итак, синтез оптимального управления и(х, у, ^) полностью определен соотношениями (6.7.2), (6.7.4), (6.7.5), (6.7.8), (6.7.13), (6.7.14) при всех х, у, 2.

Опишем теперь множество оптимальных траекторий, которые в переменных £, 〃 состоят из дуг кривых (6.7.8). Пусть задана начальная точка х, у, z, причем для определенности примем 2〉0. Согласно формулам (6.7.2) найдем £, 〃 п《=1.

Рис. 82. Кривая переключений и оптимальные траектории

Рис. 83. Кривая переключений и оптимальные траектории вблизи начала координат

Если точка £〃 лежит на кривой £ =①(〃，1, 1 /3), причем 〃 W 0, то движение происходит вдоль этой кривой МКО с управлением и = 1 до попадания в начало координат.

Все остальные оптимальные траектории приходят в начало координат также по этой кривой. Исключение составляет отрезок НО кривой £ =①(〃，一1, 1/3) при 〃 е [—1/2,0]: этот отрезок сам является фазовой траекторией для и = —1, начинающейся в точке R с координатами (1/6, — 1 /2) и входящей в начало координат. На рис. 82 и рис. 83 фазовые траектории изображены тонкими линиями, стрелки указывают направление движения.

Если начальная точка лежит в криволинейном угле R0K (см. рис. 83)

…，①(〃，l，g) <§ V ①(〃，T，g)，(6.7.15)

то оптимальная траектория состоит из участка с 〃 = — 1 до попадания на кривую £ =①(〃，1, 1 /3) и из последующего движения по ней с и = 1.

Если начальная точка лежит в области £ < /(〃)， то сначала движение происходит с и = 1 до пересечения с кривой Ф = =£(〃，一 1, —1/3), являющейся частью KN кривой переключений (6.7.13) (см. рис. 82), а затем с 〃 = — 1 по этой кривой, уходящей на бесконечность. Согласно (6.6.7) в бесконечно удаленной точке плоскости £〃 имеем 2 = 0. На бесконечности 2 меняет знак, и затем 2 V 0,《=—1. Фазовая траектория продолжается, приходя при 〃 = — 1 из бесконечности по кривой £ =①(〃，1,1/3), и входит по этой кривой в начало координат. Отметим, что движение через бесконечно удаленную точку происходит без смены управления и занимает конечное время.

Осталось рассмотреть начальные точки в области £ > /(〃)， но вне криволинейного угла (6.7.15). Здесь имеем сначала и = —1, и траектория £ = Ф(ту, — 1, А) уходит на бесконечность, причем А > —1/3. Затем движение происходит при 《 = —1, 〃 = — 1 по кривым ^ = Ф(ту, 1, —А) со сменой знака А. Эти кривые лежат в области £ < /(〃) и упираются в ветвь KN кривой переключений = Ф(ту, -1,-1 /3). По этой кривой траектория с и = 1 уходит на бесконечность, где снова меняется знак 2. Далее при《=1 движение происходит при 〃 = 1 по кривой £ =①(〃，1, 1/3) вплоть до попадания в начало координат.

Отметим, что некоторые фазовые траектории содержат отрезки прямых £ = ±〃 — 1 /3 и 〃 = ±(2а) —* которые отвечают значениям А = 0иА = оов (6.7.8) соответственно. При уходе на бесконечность по этим прямым одновременно с 2 обращается в нуль также переменная х (для прямых с А = 0) или у (для прямых с 4 = оо), в чем легко убедиться при помощи (6.7.2). В остальном эти прямые рассматриваются так же, как остальные траектории (6.7.8).

Рис. 84. Линии уровня функции s(£,〃)

Рис. 85. Зависимость $(£,〃)

Таким образом, для любой начальной точки х, у, z движение полностью описывается траекториями, представленных на рисунках 82 и 83, и содержит не более двух участков постоянства управления. При этом знак 2 может меняться не более двух раз.

Приведем результаты исследования нормированного времени оптимального быстродействия s как функции £, 〃. Изучается зависимость s от £ при различных фиксированных 〃，причем si, $2, S5 снова рассматриваются как введенные выше функции от 〃. При 〃》0 функция s(g, 〃) убывает с ростом £, если £ < g±(si), и имеет разрыв, если £ = g±(si). При переходе от £ V §±®) к £〉g±(si) и при росте £ от £ = g±(si) до +оо она растет.

При —д/З /4 V 〃 V 0 функция s(g,〃) убывает с ростом £, если £ V W±(si), н имеет разрыв, если £ = g±(si). При переходе от ^ < g±(si) к £〉g±(si) она растет. Еще один разрыв имеет место при £ = £±(55). При переходе от ^ < §±($5) к §〉§±($5) функция s(§, 〃)убывает, а при W±(S5)WWW W±(S2)растет. При £ = £±($2)опять происходит разрыв. При переходе от ^ < §±($2)к £〉§±($2)и при росте £ от W = W±(S2) до +оо функция s(g, 〃)также растет.

При —1/2 < 〃 < —д/З /4 функция s(g,〃) убывает с ростом £, если £ < §±($5), и имеет разрыв, если £ = £±(55). При переходе ОТ ( < §±(S5)К §〉§±(S5)она убывает, а при §±($5) < ( <《士⑷ растет. При £ = £±($2)происходит следующий разрыв. При переходе от ^ < §±(S2)к £〉§±(S2)и при росте £ от £ = §±(S2)до +оо функция s(g, 〃)растет.

При 〃 V -1/2 функция s(g,〃)убывает с ростом £ при £ < §±($5) и имеет разрыв, если £ = £±(55). При переходе от ^ < W±(S5) к £〉§±($5)она убывает, а при росте £ от £ = §±($5) до +оо растет.

Результаты расчета нормированного времени быстродействия s(g, 〃) представлены на рисунках 84 и 85. На рис. 84 тонкие кривые — линии уровня функции s(g,〃)， а жирные — линии разрыва этой функции. Остальные обозначения те же, что и на рис. 83. Трехмерный график функции s(g, 〃)показан на рис. 85, причем чем темнее фон, тем меньше соответствующее значение.

Постановка задачи оптимальногобыстродействия при ограничениях на ускорениеи скорость его изменения

При постановке задачи в § 6.5 предполагалось, что ограничение \F\，用 не достигается. Теперь снимем это предположение. Будем рассматривать систему (6.1.1) при ограничениях на величину управляющей силы и скорость ее изменения, т. е. при следующих ограничениях:

尸I "о,(6.8.1)

因 <。0,(6.8.2)

где Fq, Vq — постоянные.

Будем исследовать задачу о приведении системы (6.1.1) в нулевое конечное состояние £ = £ = 0.

Как известно, при отсутствии ограничения (6.8.2) оптимальное по быстродействию управление является релейным и имеет не более

Рис. 87. Область ограниченийРис. 87. Область ограниченийодной точки переключения. Типичная зависимость от времени для этого управления изображена на рис. 86.

Рис. 87. Область ограничений

Рис. 87. Область ограничений

С другой стороны, решение задачи быстродействия при отсутствии ограничения (6.8.1) дано в § 6.5-

Решение задачи оптимального быстродействия для системы (6.1.1) при учете обоих ограничений (6.8.1) и (6.8.2) ранее не встречалось в литературе.

Далее задача управления системой (6.1.1) рассматривается в следующей постановке. Предполагается, что управляющая сила ограничена условием (6.8.1), и условие (6.8.2) выполняется лишь в случае, когда величина силы увеличивается, т. е. когда d\F\/dt > 0. В то же время сила может выключаться мгновенно. Эти ограничения можно записать в виде совокупности неравенств

尸9о；

户 W °о при F > 0,(6.8.3)

F > -о。 при F < 0.

Область, задаваемая ограничениями (6.8.3) в плоскости (歹，户)， изображена на рис. 87.

Ограничения (6.8.3) моделируют следующую ситуацию: управляющую силу можно наращивать только постепенно, с конечной скоростью, а выключать — мгновенно. Такая картина нередко имеет место на практике, так как торможение часто осуществляется иными средствами, чем разгон.

Введем следующие безразмерные переменные:

，=的席攵，/=m若席艾，

(6.8.4) g = nwo 席 £ 2 =席1反，U = VqXF.

Уравнение (6.1.1) и ограничения (6.8.3) в переменных (6.8.4) примут вид

х = у, 少=2, z = и,(6.8.5)

1^1 < 1；

и W 1 при 2》0,(6.8.6)

“》一1 при 2 W 0.

Здесь и далее точками обозначаем производные по новому (безразмерному) времени. Штрих у безразмерного времени далее опускаем.

Начальные условия для системы (6.8.5) зададим в виде

力(0)=力 о,沙(。)=%, 2 ⑼=0,(6.8.7)

а конечное состояние — в виде

力(Т) = 0, у(Т) = 0. (6.8.8)

Отметим, что значение z(T) в конечный момент может быть всегда сделано равным нулю за счет скачка силы 2(方)в момент 方=Т, что допускается ограничениями (6.8.6). Поэтому можно считать, что условие z(T) = 0 всегда выполнено.

Поставим следующую задачу.

Найти управление u(t) и соответствующую траекторию, 粗.е. функции 力(方)，g«), 2(方)，удовлетворяющие уравнениям (6.8.5), ограничениям (6.8.6), начальным условиям (6.8.7) и конечным условиям (6.8.8) 6 некоторый {нефиксированный) момент времени Г > 0.

Ниже строится управление, решающее поставленную задачу и имеющее наиболее простую структуру, допускаемую ограничениями (6.8.6). По-видимому, это управление является оптимальным в смысле быстродействия.

Возможные типы управлений

Возможные типы законов изменения безразмерной силы 2(方)представлены на рис. 88. Здесь показаны участки постепенного роста или убывания силы, на которых 2 = ±1, и участки постоянства силы, на которых 2 = ±1. Эти законы обладают следующими свойствами.

Рис. 88. Типы зависимостей z(t)

1°. В начале процесса имеем 2(0) = 0 в соответствии с начальными условиями (6.8.7).

2°. Законы 1-6 на рис. 88 удовлетворяют ограничениям (6.8.6).

3°. Непосредственно перед окончанием процесса имеем 2⑴ < 0 при t т Т. Это условие принято для определенности и не ограничивает общности, так как наряду с законами, изображенными на рис. 88, можно аналогично рассмотреть симметричные им относительно оси 方 законы 2’⑴=—2⑴.

4°. Законы на рис. 88 имеют не более одного скачка и одной смены знака силы 2(方).

5°. Закон 6 на рис. 88 является непосредственным обобщением релейного закона рис. 86 на случай постепенного наращивания величины силы, т. е. на случай ограничений (6.8.6).

6°. Остальные законы 1-5 на рис. 88 являются частными случаями закона 6. Действительно, в законе 5 не достигается ограничение 2 = —1; в законе 4 не достигается ограничение 2 = 1; в законе 3 не достигаются оба ограничения 2 = ±1; в законах 1 и 2 отсутствует скачок зависимости 2⑴，причем в законе 2 ограничение z = —1 достигается, а в законе 1 оно не достигается.

Как будет показано ниже, при помощи законов для 2(方)вида 1-6, а также симметричных им законов 2’⑴=—2⑴，можно привести систему (6.8.5) из любого начального состояния (6.8.7) в конечное состояние (6.8.8).

Введем в рассмотрение область D плоскости ху, задаваемую неравенствами

(6.9.1)(6.9.1)一0(一g)при g，о, D = у):

(6.9.1)

(6.9.1)

/ 《 0匂) при у >0.

Здесь функция 夕(у) определена следующим образом:

[при < I，

9(") = < , (6-9.2) I 24 - 2ПРИ 2*

Нетрудно проверить, что соотношения (6.9.2) определяют 夕(у) как гладкую функцию, монотонно убывающую от 0 до —оо на полуоси у е [0, оо). В точке у = 1/2 имеем 夕匂)=—1/3,，匂)=—1.

Кривые Г и Г', определяемые для у》0 и g W 0 соотношениями х =夕(у) и х =—夕(一у) соответственно, изображены на рис. 89 жирными линиями. На этих кривых, симметричных друг другу относительно относительно начала координат, отмечены точки А = (—1/3, 1 /2) и А7 = (1/3, — 1 /2), в которых гладко сопрягаются участки, определяемые соотношениями (6.9.2).

Кривые Г и Гх образуют границу области D, причем, согласно (6.9.1) кривая Г, лежащая во втором квадранте плоскости ху, принадлежит D, а кривая Г', лежащая в четвертом квадранте, не входит в D. Если область D дополнить областью О', симметричной ей относительно начала координат, то получится вся плоскость ху с выброшенной точкой О — началом координат. Согласно (6.8.7) эта точка является конечной и поэтому не представляет интереса в качестве начальной точки: если х = у = 0 при t = 0, то процесс управления является излишним.

Ниже будет построено управление и траектории, т. е. функции u(t),力(方)，g«), z(t), для всех начальных точек (力°, %) ㊂ D. Если же (力о, У。) G °'， то искомое решение задается функциями {一"⑴，一力⑴，一g⑴，一2⑴}, где набор {"⑴，/⑴，g⑴，2⑴} соотвеtетвуеt начальной точке (―力0, —%)㊂ °，симметричной (力°, %)㊂ °'・ При этом уравнения (6.8.5) и ограничения (6.8.6) выполняются, полученные траектории из точки (力о，Уо)°’ будут симметричны траекториям из точки (—хо, —у。) 6 D и также придут в начало координат, причем за то же время.

Таким образом, поставленную задачу управления достаточно решить для начальных точек (力о, %)°・ Зто будет реализовано при помощи законов 1-6, изображенных на рис. 88.

Построение траекторий

Для каждого из законов на 1-6 на рис. 88 построим соответствующие траектории и в области D найдем области 。分，i = 1,..., 6, начальных значений 力о,Уо，из которых данный закон приводит систему в конечное состояние 力(Т) = д(Т) = 0. Множества Di отмечены соответствующими цифрами г = 1,..., 6 на рис. 89.

Рис. 89. Разбиение плоскости ху на множества DiРис. 89. Разбиение плоскости ху на множества Di

Рис. 89. Разбиение плоскости ху на множества Di

Рис. 89. Разбиение плоскости ху на множества Di

Закон /• Согласно рис. 88 имеем 〃 = -1 при t 6 [О,Г]. Интегрируя уравнения (6.8.5) при начальных условиях (6.8.7), получим

〃 =—1, 2 = —t, У = Уо — 3 方2,

]/(6.10.1)

х = xQ + yQt- - t3.

Положим 方=T в соотношениях (6.10.1) и подставим их в конечные условия (6.8.8). Исключая Г, найдем

(6.10.2)(6.10.2)(6.10.3)(6.10.3)7=(2助)1/2 V 1,力О = _g (2%)3/2.

(6.10.2)

(6.10.2)

(6.10.3)

(6.10.3)

Неравенство Г < 1 следует из того, что ограничение 2 = — 1 для закона 1 не достигается, см. рис. 88. Из (6.10.3), (6.10.2) вытекают неравенства

-| < ж0 < 0,О<уо<；.(6.10.4)

Таким образом, закон 1, задаваемый соотношениями (6.10.1), реализуется, если начальная точка (力о, У。) лежит на дуге кривой, определенной уравнением (6.10.2) и неравенствами (6.10.4). Следовательно, множество Z?i — это дуга кривой Г, см. (6.9.2), отмеченная цифрой 1 на рис. 89 и заключенная между точкой О и точкой А = (— 1 /3, 1 /2). Все фазовые траектории, начинающиеся на этой дуге, приходят в начало координат, если применяется закон 1. Траектории задаются соотношениями (6.10.1), а время движения — формулой (6.10.3). Все эти траектории, как нетрудно проверить, заключены в области между кривой Г и параболой Го, определяемой соотношениями

Р0：力=00匂)=一；力，g》0■(6.Ю.5)

Отметим, что парабола Го является кривой переключений и одновременно фазовой траекторией, входящей в начало координат, для задачи оптимального быстродействия, если ограничения (6.8.6) заменить простым ограничением |^| < 1.

Закон 2. Имеем

〃=-1, 2=-1 при 0 < t < 1,

(6.10.6)

〃 =0, 2 = -1 при 1 < t < Г.

Движение на первом участке траектории (t < 1) задается соотношениями (6.10.1). При t = 1 получим из (6.10.1)

g(1) = % —；，/(1)=/0+ % -&•(6.10.7)

Интегрируя уравнения (6.8.5) с учетом равенств (6.10.6) и начальных условий (6.10.7) на втором участке движения (方 > 1), найдем

У ⑴=У")—(方—1)，

1°(6.10.8)

=/(1)+贝1)(方一1) 一 方一1)2.、'

Подставим выражения (6.10.8) в конечное условие (6.8.8) и исключим Т. Получим

Г = у(1) + 1 > 1,力(1) =(6.10.9)

Таким образом, точка (力(1), g(l)) лежит на параболе Го из (6.10.5), и согласно (6.10.6) движение на втором участке (при t е [1,Г]) происходит по этой параболе вплоть до попадания в начало координат. Подставляя выражения (6.10.7) в соотношения (6.10.9), получим условия

/0 =一；加一；% + *，%》(6.10.10)

Соотношения (6.10.10) определяют множество D? начальных условий, для которых закон 2 обеспечивает попадание в начало координат. Множество 。2 представляет собой часть кривой Г (см. (6.9.2)) от точки А = (— 1 /3, 1 /2) включительно до бесконечности. Все траектории, начинающиеся на этом множестве, заключены между Г и Г。，причем их второй участок (при t > 1) лежит на параболе Го. Типичные траектории для законов 1 и 2 изображены пунктирными линиями на рис. 89.

Таким образом, если начальная точка (力о，Уо)лежит на кривой Г, то поставленную задачу решают законы управления 1 и 2, причем закон 1 имеет место, если точка (力о，Уо) лежит между О и А, а закон 2 — если она лежит слева от А на рис. 89.

Обратимся теперь к законам 3-6 на рис. 88 и обозначим через О момент скачка функции z(t),夕 е (0,Т). Нетрудно видеть, что зависимости 2(方)при t > 0 для всех законов 3-6 на рис. 88 совпадают с зависимостью 2(方)при t > 0 для одного из законов 1 или 2, причем для законов 3 и 5 — с законом 1, а для 4 и 6 — с законом 2. Поэтому отрезки траекторий для законов 3-6 при t > 0 совпадают с траекториями для одного из законов 1 или 2. Следовательно, точка 力(е),у(£) для законов 3-6 должна принадлежать множествам начальных условий для соответствующих законов 1 и 2, а именно:

{力(夕)，g(J)} 6。1 для законов 3, 5;

(6.10.11)

{力(夕)，g(J)} e。2 для законов 4, 6.

Для вычисления значений 力(夕)，g(J) отметим, что, с точностью до знаков, законы изменения 2(方)при t < в в случаях 3 и 4 совпадают с законом 1, а в случаях 5 и 6 — с законом 2. Поэтому, изменяя соответствующие знаки и полагая t = 0, получим из (6.10.1) для законов 3 и 4

У^) = % +

(6.10.12) 力(0)=/0 + 为0+ g夕，夕V 1.

Пользуясь формулами (6.10.7) и (6.10.8), получим аналогично для законов 5 и 6

д(夕)=% + ； + (A一1) = % + A一；，

力(夕)=3 + % + g + (% + J (夕一1) + ；(夕一I)2 =

=/。+ %0+工炉一工0+工，0》1・(6.10.⑶

Z Z о

Найдем области Di в плоскости ху, в которых лежат начальные данные 力о, Уо для соответствующих законов, г = 3,, 6. Для этого воспользуемся соотношениями (6.10.11)-(6.10.13) и приведенными выше определениями множеств Z?i и D^.

Закон 3. Подставим в уравнение (6.10.2) и неравенства (6.10.4), определяющие множество D\, вместо 力о, У。 выражения (6.10.12) для 力(夕)，у(е). Получим

力о = —Уо, — 夕—(2助 + 夕产/з,

(6.10.14)

0<2% + ^2 < 1, 0<^< 1.

Найдем границы множества А, заданного в параметрическом виде соотношениями (6.10.14). Для этого, как нетрудно показать, достаточно рассмотреть четыре случая, отвечающих достижению равенства в каждом из четырех неравенств (6.10.14).

Положим сначала 2go + 6>2 = 0 и исключим 0 из полученного равенства. Имеем 夕=(—2yQ)^2. Подставляя найденное значение 夕 в равенство (6.10.14), найдем

力о = ! (—2 加 3/2,—；<%<о.(6.10.15)

Соотношения (6.10.15) определяют согласно (6.9.1) и (6.9.2) отрезок кривой Г' от начала координат до точки А7 = (1/3,—1/2) (см. рис. 89).

Полагая 2go + в2 = 1, найдем 夕=(1 — 2g。) "2. Подставляя 夕 в равенство (6.10.14), получим

хо =- %(1 — а%)"? — (1 — 2%)3/2,

(6.10.16)

° V %

Соотношения (6.10.16) определяют в плоскости ху дугу кривой Гь соединяющую точки А = (-1/3, 1/2) и В = (-1/2,0). Эта дуга показана на рис. 89.

Полагая 夕=0, получим из (6.10.14)

/0 =(2%)3/2,。V

Этот участок границы множества А, согласно (6.9.2), совпадает с множеством D\, т. е. с дугой О А кривой Г.

Наконец, полагая 夕=1, получим из (6.10.14)

力0 = -g - % - g(2% + 1 产｛ -； V % V。.(6.10」7)

Соотношения (6.10.17) определяют в плоскости ху дугу кривой, соединяющей точки В и Л/. Эта кривая Г? в точке А! касается кривой Г' (см. рис. 89).

Таким образом, множество D^ представляет собой криволинейный четырехугольник OABAf, ограниченный дугами кривых Г (от точки О до А), Г1,Г2 и Г (от 4 до О).

Закон 4. Подставляя в соотношения (6.10.10), определяющие множество 。2, выражения (6.10.12) для 力(夕)，沙(夕)вместо 力о, %, получим

=1%00403庐

°2422°2864，(6.10.18)

2% +/》1, 0 < ^ < 1.

Границы множества 。4 найдем, поочередно заменяя равенством каждое из трех неравенств в (6.10.18).

Положим сначала 2go + ^2 = 1 и исключим из данного равенства 0:

"(1—2 加 1/2.

Подставляя полученное значение 夕 в равенство (6.10.18), придем после упрощений к соотношениям (6.10.16), определяющим дугу Гi.

Полагая 夕=0 в (6.10.18), получим, как легко проверить, соотношения (6.10.10), определяющие множество D^, т. е. дугу кривой Г от точки А до бесконечности.

Полагая 夕=1 в (6.10.18), будем иметь

/。=-$-2次一；，助》0.(6.10.19)

Кривая Гз, определяемая соотношениями (6.10.19), начинается в точке В = (-1/2,0) и уходит на бесконечность, см. рис. 89.

В результате, множество。4 ограничено множеством。2, кривой Г1, по которой оно граничит с 2?з, и кривой Г3.

Закон 5. Подставим в уравнение (6.10.2) и неравенства (6.10.4), определяющие множество D\, выражения (6.10.13) для 力(夕)，沙(夕)

вместо 力о，Уо・ Получим

力0 = —%夕- у + |- |- | (2% + 2(9 — 1)3/2

(6.10.20)

Найдем границы множества 。5, рассуждая аналогично предыдущим случаям и заменяя поочередно каждое из трех неравенств (6.10.20) равенством.

Полагая у。+ 夕=1/2, найдем 夕=1/2 — уQ. Подставляя найденное значение 夕 в равенство (6.10.20), получим

1

В соответствии с (6.9.2), эти соотношения определяют дугу кривой Г' от точки 4 = (1/3, —1/2) до бесконечности; эта дуга симметрична множеству Z?2 относительно начала координат.

Полагая У° + 9 = 1, получим 夕=1 — yQ. Подставляя это соотношение в равенство (6.10.20), получим

/0 =加-^ - ；, д0 W。./0 =加-^ - ；, д0 W。.(6.10.21)(6.10.21)

/0 =加-^ - ；, д0 W。.

/0 =加-^ - ；, д0 W。.

(6.10.21)

(6.10.21)

Соотношения (6.10.21) определяют кривую Г4, начинающуюся в точке В = (—1/2,0) и уходящую на бесконечность (см. рис. 89).

Полагая 夕=1 в (6.10.20), придем к соотношениям (6.10.17), определяющим кривую Г?.

Таким образом, множество D5 ограничено дугой Г2, по которой оно граничит с множеством D3, кривой Г4 и дугой кривой Г' от точки А7 до бесконечности.

определяющие вместо 力о, %•определяющие вместо 力о, %•Закон 6. Подставим в соотношения (6.10.10), множество 。2, соотношения (6.10.13) для 力(夕)，g(J) Получим

определяющие вместо 力о, %•

определяющие вместо 力о, %•

(6.10.22)

Заменяя равенством первое из неравенств (6.10.22), найдем в = 1 — у。. Подставляя это выражение в равенство (6.10.22), придем к соотношениям (6.10.21), определяющим кривую Г4.

Полагая 夕=1 в (6.10.22), получим соотношения (6.10.19), определяющие кривую Г3.

Таким образом, множество А граничит с множествами D4 и D5 по кривым Г3 и Г4 соответственно, и лежит снизу и слева от этих кривых, имеющих общую точку В = (— 1 /2, 0).

Заметим, что кривые Г2,Гз и кривые Гь Г4 имеют попарно общие касательные в точке В.

Решение поставленной задачи управления можно описать следующим образом. По заданному начальному состоянию (6.8.7), лежащему в области D плоскости ху, определим, в какой из областей Di, i = 1,..., 6, оно находится. Границы между областями заданы кривыми Г, Г', Гь Г2, Г3, Г4, определенными соотношениями (6.9.1), (6.9.2), (6.10.16), (6.10.17), (6.10.19), (6.10.21). Границей между множествами D\ и D? служит точка А = (—1/3, 1/2).

1°. Если (力о，Уо)G。1， то полагаем и = —1 при 方〉0. Система попадает в заданное состояние 力=у = 0 за время Г < 1.

2°. Если (力о，％) G。2, то полагаем и = —1 при 方 е (0, 1) и и = 0 при 方》1. Система попадает в конечное состояние за время Т》1.

3°. Если (力°, %)^ ^з, то ^ = 1 при t е (0,夕)，где момент 夕 < 1 определяется условием {力(夕)，沙(夕)} е D\. В момент 方=夕 скачком делаем 2 равным нулю, что допускается ограничениями (6.8.6). При t > О полагаем п = -1 до конца процесса. Траектория при 力〉夕一такая же, как для закона 1.

4°. Если (力о,Уо)G。4, то 〃 = 1 при t е (0,夕)，где момент 夕 < 1 определяется условием {/(£), g(J)} 6 。2・ В момент 方= 夕 скачком делаем 2 равным нулю. Далее полагаем и = —1 при 方 е (仇夕 + 1) и и = 0 при t 6 (夕 + 1, Г).

5°. Если (力°, У。) G。5, то 〃 = 1 при t 6 (0, 1) и и = 0 при 方 е (1,夕)， где момент 夕 > 1 определяется условием {/(£), у⑼} е D\. В момент 夕 скачком делаем 2 равным нулю, после чего и = —1 при t 6 (仇 Т) до конца процесса.

6°. Если (力°, %) G。6, то 〃 = 1 при 方 е (0, 1) и и = 0 при t е (1,夕)， где момент 0 > 1 определяется условием {力(夕)，g(J)} G。2・ В момент О скачком изменяем 2 до нуля. Далее полагаем и = —1 при 方 е (仇夕 + 1) и и = 0 при t 6 (夕 + 1, Г).

Заметим, что Г < 1 в случае 1, Г > 1 в случаях 2, 4, 5 и Г > 2 в случае 6.

Все траектории, начинающиеся в области D, лежат в области, ограниченной кривыми Го и Г' (слева и снизу от этих кривых, см. рис. 89). При этом они входят в начало координат, касаясь в точке О кривой Го (для законов 1, 3, 5) или совпадая с Го на своем последнем участке (для законов 2, 4, 6, см. пунктирные кривые на рис. 89).

Если начальная точка (力о，Уо)лежит в области О', симметричной D относительно начала координат, то управление следует брать равным по величине и противоположным по знаку тому управлению, которое отвечает точке (—жо, —%) 6 D.

По-видимому (хотя это не доказано), построенное управление является оптимальным по быстродействию при начальных условиях (6.8.7), которые предусматривают 2(0) = 0. В общем случае начальных условий

力(0)=力 0，沙(。)=%， 2(0) = 20

можно в начальный момент t = 0 скачком изменить 2, сделав его равным нулю, что допускается ограничениями (6.8.6). После этого можно воспользоваться построенным управлением для начальных условий (6.8.7). Тем самым будет достигнуто выполнение терминальных условий (6.8.8), однако на оптимальность по быстродействию уже нельзя рассчитывать.

Список литературы

Аветисян В. В., Акуленко Л. Д., Болотник ".". Оптимальное управление электроприводами промышленных роботов // Препринт / ИПМ АН СССР. № 283. - М., 1986.

Айзекс Р. Дифференциальные игры. — М.: Мир, 1967.

Айзерман М. А. Классическая механика. — М.: Наука, 1974.

Акуленко Л. Д. Асимптотические методы оптимального управления.— М.: Наука, 1987.

Акуленко Л. Д., Болотник ".". Синтез оптимального управления транспортными движениями манипуляционных роботов // Изв. АН СССР. Мех. тв. тела. — 1986.- № 4.- С. 21-29.

Акуленко Л. Д., Болотник Н. Н., Кумакшев С. 4, Чернов А. А. Активное гашение колебаний крупногабаритных несущих конструкций посредством перемещения внутренних масс // Изв. РАН. Теор. и сист. упр. — 2000.- № 1.- С. 135-145.

Ананьева Е Г., Клебанова О. Н., Нахапетян Е Г. Динамические испытания промышленного робота второго поколения // Экспериментальное исследование и диагностирование роботов. — М.: Наука, 1981.

Ананьевский И. М. Управление механической системой с неизвестными параметрами посредством ограниченной силы // Прикл. матем. и мех.— 1997.- Т. 61, вып. 1.- С. 52-62.

Ананьевский И. М. Ограниченное управление механической системой в условиях неопределенности // Док л. РАН. — 1998.- Т. 359, № 5.— С. 607609.

Ананьевский И. М. Управление двухмассовой системой с неизвестными параметрами// Изв. РАН. Теор. и сист. упр. — 1998.- № 2.- С. 72-82.

Ананьевский М. М. Игровая задача управления материальной точкой неизвестной массы // Изв. РАН. Теор. и сист. упр. — 2000.- № 4.- С. 19-27.

Ананьевский М. М. Управление линейной системой четвертого порядка при смешанных ограничениях // Прикл. матем. и мех. — 2000.- Т. 64, вып. 6.- С. 901-908.

Ананьевский И. М. Управление реономными механическими системами с неизвестными параметрами // Докл. РАН. — 2001.- Т. 377, № 4.- С. 459463.

Ананьевский И. М. Ограниченное управление реономными механическими системами в условиях неопределенности // Прикл. матем. и мех. — 2001.- Т. 65, вып. 5.— С. 809-821.

Ананьевский X. М. Два подхода к управлению механической системой с неизвестными параметрами // Изв. РАН. Теор. и сист. упр. — 2001.- № 2.- С. 39-47.

Ананьевский И. М., Добрынина И. С., Черноусько Ф. Л. Метод декомпозиции в задаче управления динамической системой // Изв. РАН. Теор. и сист. упр. — 1995.— № 2.- С. 3-14.

Ананьевский И. М., Решмин С. А. Метод декомпозиции в задаче об отслеживании траекторий механических систем // Изв. РАН. Теор. и сист. упр. - 2002.- № 5.- С. 25-32.

Барбашин Е. А., Красовский Н. Н. Об устойчивости движения в целом // ДАН СССР. - 1952.- Т. 86, № 3.- С. 453-456.

Бербюк В. Е. Динамика и оптимизация робототехнических систем.— Киев: Наукова думка, 1989.

Боголюбов ". Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1974.

Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления.— М.: Наука, 1969.

Бурков И. В., Фрейдович Л. Б. Стабилизация положения лагранжевой системы с упругими элементами при ограничениях на управление с измерением и без измерения скорости // Прикл. матем. и мех. — 1997.- Т. 61, вып. 3.- С. 447-456.

Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1965.

Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. — М.: Наука, 1966.

Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967.

Грошева М. В., Климов Д. М. Опыт использования аналитических преобразований на ЭВМ в задачах механики // Препринт / ИПМ АН СССР. № 296. - М.: 1987.

Добрынина И. С. Моделирование динамики манипуляционных роботов с применением метода декомпозиции управления // Изв. РАН. Техн, кибер- нет. -1995.- № 4.- С. 246-256.

Добрынина И. С., Карпов И. И., Черноусько Ф. Л. Компьютерное моделирование управления движением системы связанных твердых тел // Изв. РАН. Техн, кибернет. — 1994.- № 1.- С. 167-180.

11 Ф. Л. Черноусько и др.

Добрынина И. С., Черноусько Ф. Л. Ограниченное управление линейной системой четвертого порядка // Изв. РАН. Техн, кибернет. — 1992.- № 6.- С. 94-100.

Егоров А. И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. —М.: Наука, 1978.

Емельянов С. В. Системы автоматического управления с переменной структурой. —М.: Наука, 1967.

Ефимов Г. Б., Погорелов Д. Ю. «Универсальный механизм» — комплекс программ моделирования динамики систем твердых тел // Препринт / ИПМ РАН. № 77. - М.: 1993.

Ефимов Г. Б., Погорелов Д. Ю. Некоторые алгоритмы автоматизированного синтеза уравнений движения системы твердых тел // Препринт / ИПМ РАН. № 84. - М.: 1993.

Журов А. И., Карпов И. И., Шингарева И. К. Основы Maple. Применение в механике // Препринт / ИПМ РАН. № 536. — М.: 1994.

Заремба А. Т. Синтез управления маятником // Изв. АН СССР. Мех. тв. тела. — 1981«№ 1С. 60—68.

Ильин В. А. О равномерной сходимости разложений по собственным функциям во всей замкнутой области // Мат. сб. — 1958.- Т. 45 (87), № 2.- С. 195-232.

Ильин В. А. Спектральная теория дифференциальных операторов.— М.: Наука, 1991.

Калман Р. Об общей теории систем управления // Труды 1-го Конгр. Международной федерации по автоматич, управлению (IFAC).— М.: Изд-во АН СССР, 1961.- Т. 2.- С. 521-547.

Калман Р., Фалб 〃.，Арбиб М. Очерки по математической теории систем. — М.: Мир, 1971.

Климов Д. М., Руденко В. М. Методы компьютерной алгебры в задачах механики. — М.: Наука, 1989.

Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения.— М.:①нзматгнз, 1959.

Красовский Н. Н. Теория управления движением. — М.: Наука, 1968.

Красовский Н. Н. Игровые задачи о встрече движений. — М.: Наука, 1970.

Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. — М.: Наука, 1974.

Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. — М.: Мир, 1972.

Матюхин В. И. Непрерывные универсальные законы управления манипуляционным роботом // Автомат, и телемех. — 1997.- № 4.- С. 31-44.

Матюхин В. И., Пятницкий Е. С. Управление движением манипуляционных роботов на принципе декомпозиции при учете динамики приводов // Автомат, и телемех. — 1989.- № 9.- С. 67-81.

Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управления сложными динамическими системами. — С.-Пб.: Наука, 2000.

Москаленко В. В. Автоматизированный электропривод. — М.: Энергоатом- издат, 1986.

Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е.①. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1983.

Пятницкий Е. С. Синтез управления манипуляционными роботами на принципе декомпозиции // Изв. АН СССР. Техн, кибернет. — 1987.- № 3.- С. 92-99.

Пятницкий Е. С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами // ДАН СССР. — 1988.- Т. 300, № 2.- С. 300-303.

Пятницкий Е. С. Критерий полной управляемости классов механических систем с ограниченными управлениями // Прикл. матем. и мех. — 1996.- Т. 60, вып. 5.— С. 707-718.

Решмин С. А. Ограниченное управление линейной системой третьего порядка // Изв. РАН. Теор. и сист. упр. — 1996.- № 1.- С. 22-26.

Решмин С. А. Синтез управления двузвенным манипулятором // Изв. РАН. Теор. и сист. упр. — 1997.- № 2.- С. 146-150.

Решмин С. А., Черноусько Ф. Л. Синтез управления в нелинейной динамической системе на основе декомпозиции // Прикл. матем. и мех. — 1998.- Т. 62, вып. 1.- С. 121-128.

Сиразетдинов Т. К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. —М.: Наука, 1977.

Уткин В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой. — М.: Наука, 1974.

Уткин В. И., Орлов Ю. В. Теория бесконечномерных систем управления на скользящих режимах. — М.: Наука, 1990.

Фомин В. Н., Фрадков А. Л., Якубович В. А. Адаптивное управление динамическими объектами. — М.: Наука, 1981.

Черноусько Ф. Л. Динамика управляемых движений упругого манипулятора // Изв. АН СССР. Техн, кибернет. — 1981.- № 5.- С. 142-152.

Черноусько Ф. Л. О построении ограниченного управления в колебательных системах // Прикл. матем. и мех. — 1988.- Т. 52, вып. 4.- С. 549-558.

Черноусько Ф. Л. Декомпозиция и субоптимальное управление в динамических системах // Прикл. матем. и мех. — 1990.- Т. 54, вып. 6.- С. 883893.

Черноусько Ф. Л. Декомпозиция и синтез управления в динамических системах // Изв. АН СССР. Техн, кибернет. — 1990.- № 6.- С. 64-82.

Черноусько Ф. Л. Синтез управления системой с нелинейным сопротивлением // Прикл. матем. и мех. — 1991.- Т. 55, вып. 6.- С. 883-894.

Черноусько Ф. Л. Синтез управления нелинейной динамической системой // Прикл. матем. и мех. — 1992.- Т. 56, вып. 2.- С. 179-191.

Черноусько Ф. Л. Ограниченное управление в системах с распределенными параметрами // Прикл. матем. и мех. — 1992.- Т. 56, вып. 5.- С. 810-826.

Черноусько Ф. Л. Декомпозиция и синтез управления в нелинейных динамических системах // Тр. Мат. ин-та РАН. — 1995.- Т. 211.- С. 457-472.

Черноусько Ф. Л. Задача оптимального быстродействия при смешанных ограничениях // Изв. РАН. Теор. и сист. упр. — 1995.- № 4.- С. 103-113.

Черноусько Ф. Л. Управление системой с одной степенью свободы при ограничениях на управляющую силу и скорость ее изменения // Док л. РАН. - 1999.- Т. 368, № 4.- С. 464-466.

Черноусько Ф. Л. Управление системой с одной степенью свободы при сложных ограничениях // Прикл. матем. и мех. — 1999.- Т. 63, вып. 5.- С. 707-715.

Черноусько Ф. Л., Акуленко Л. Д., Соколов S". Управление колебаниями. — М.: Наука, 1980.

Черноусько Ф. Л., Болотник Н. Н., Градецкий В. Г. Манипуляционные роботы: динамика, управление, оптимизация. — М.: Наука, 1989.

Черноусько Ф. Л., Шматков А. М. Синтез оптимального быстродействия в одной системе третьего порядка // ДАН СССР. — 1997.- Т. 354, № 2С. 174-177.

Черноусько ⑦.Л., Шматков А. М. Оптимальное по быстродействию управление в одной системе третьего порядка // Прикл. матем. и мех. — 1997.- Т. 61, вып. 5.- С. 723-731.

Чиликин М. Г., Ключев В. И., Сандлер А. С. Теория автоматизированного электропривода. — М.: Энергия, 1979.

Agmon S. On kernels, eigenvalues and eigenfunctions of operators related to elliptic problems // Comm. Pure a. Appl. Math. — 1965.- V. 18, № 4P. 627-663.

Chernousko F. L. The decomposition of controlled dynamic systems // Advances in Nonlinear Dynamics and Control. / Ed. A. B. Kurzhanski. — Boston: Birkhauser, 1993.- P. 1-40.

Chernousko F. L. Control of elastic systems by bounded distributed forces // Appl. Math, and Comp. — 1996.- V. 78.- P. 103-110.

Chernousko F. L., Reshmin S. A. Decomposition and synthesis of control in a nonlinear dynamic system // Proc. International Conference on Informatics and Control (ICI&C97), St.Petersburg, June 9-13. — 1997.- P. XLV-LII.

Chernousko F. L., Reshmin S. A. Decomposition of control for nonlinear Lagrangian systems 〃 Proc. 4th I FAC Nonlinear Control Systems Design Symposium (NOLCOS'98), Enschede, The Netherlands, July 1-3. — 1998.- P. 209-214.

Chernousko F. L., Reshmin S. A. Decomposition of control for robotic manipulators // Proc. 4th ECPD International Conference on Advanced Robotics, Intelligent Automation and Active Systems, Moscow, August 24-26. — 1998.- P. 184-189.

Chernousko F. L. Control of oscillations in systems with many degrees of freedom // Proc. IUTAM Symposium of Recent Developments in Non-linear Oscillations of Mechanical Systems, N. Van Dao, E. J. Kreuzer (eds.).— Kluwer Academic Publishers, 2000.- P. 45-54.

Corless M., Leitmann G. Adaptive control of systems containing uncertain functions and unknown functions with uncertain bounds // J. of Optimiz. Th. and Appl. - 1983.- V. 42, №. 1.- P. 155-168.

Corless M., Leitmann G. Adaptive controllers for a class of uncertain systems // Ann. Found, de Broglie. — 1984.- V. 9.- P. 65-95.

Isidori A. Nonlinear Control Systems. — 3rd ed. — New York: SpringerVerlag, 1995.

Isidori A. Nonlinear Control Systems. Vol. II. — New York: Springer-Verlag, 1999.

Leitmann G. Deterministic control of uncertain systems // Acta Astronautics. -1980.- V. 7.- P. 1457-1461.

Lions J. L. Exact controllability. Stabilization and perturbations for distributed systems 〃 SIAM Review. — 1988.- V. 30, № 1.- P. 1-68.

Nijmeijer H., Rodriguez-Angeles A. Synchronization of mechanical systems // World scientific series on nonlinear science. — World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2003.

Nijmeijer H., van der Sc haft A. /. Nonlinear Dynamic Control Systems.— New York: Springer-Verlag, 1990.

Reshmin S. A. Control of robots with flexible joints // Proc. 2nd International Conference «Control of Oscillations and Chaos» (COC'2000), St.Petersburg, July 5-7. - 2000.- P. 177-178.

Sato O., Shimojima H., Kitamura У. Minimum-time control of a manipulator with two degrees of freedom // Bull. JSME. — 1983.- V. 26, № 218.- P. 1404-1410.

Sato O., Shimojima H., Kitamura Y., Yoinara H. Minimum-time control of a manipulator with two degrees of freedom (Part 2, Dynamic characteristics of gear train and axes) // Bull. JSME. — 1985.- V. 28, № 239.- P. 959-963.

Schiehlen W. (Ed.) Multibody Systems Handbook. — Berlin: Springer-Verlag, 1990.

Schiehlen W. (Ed.) Advanced Multibody System Dynamics - Simulation and Software Tools. — Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1993.

Seeley R. Interpolation in Lp with boundary conditions 〃 Stud. Math.— 1972.- V. 44, № 1.- P. 47-60.

Utkin V. /. Sliding Modes in Optimization and Control. — New York: SpringerVerlag, 1992.

Utkin V., Guldner J., Shi /. Sliding Mode Control in Electromechanical Systems. — London: Taylor & Francis, 1999.

Van der Sc haft A. L2-gain and Passivity Techniques in Nonlinear Control.— London: Springer, 2000.

Научное издание

ЧЕРНОУСЬКО Феликс ЛеонидовичАНАНЬЕВСКИЙ Игорь МихайловичРЕШМИН Сергей Александрович

МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯНЕЛИНЕЙНЫМИ МЕХАНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

Редактор И. Л. Легостаева

Оригинал-макет: О.А. КузнецовОформление переплета: А.Ю. Алехина

Подписано в печать 16.01.06. Формат 60x90/16. Бумага офсетная.Печать офсетная. Усл. печ. л. 20,5. Уч.-изд. л. 23,0. Тираж 100 экз.

Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»

117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90

E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;

http://www.fml.ru

Отпечатано с готовых диапозитивовв ОАО «Московская типография № 6»115088, г. Москва, Ж-88, ул. Южнопортовая, 24

ISBN 5-9221-0678-3

9 785922 106788

УДК 531.36

ББК 22.21

4 49

Черноусько ①.Л., Ананьевский И. М., Решмин С. А. Методы управления нелинейными механическими системами. — М.: ①НЗМАТЛНТ, 2006. - 328 с. - ISBN 5-9221-0678-3.

Книга посвящена разработке эффективных методов управления сложными механическими системами на основе математических моделей, отражающих основные особенности таких систем: высокую размерность системы, динамическую зависимость между ее степенями свободы, наличие нелинейностей (в том числе разрывных зависимостей типа сухого трения), сложные совместные ограничения на управляющие воздействия и фазовые переменные, неполноту информации о внешних возмущениях и собственных параметрах системы, требование о приведении системы в терминальное состояние за конечное время. Эффективность предложенных в монографии методов продемонстрирована путем построения законов управления для конкретных механических и электромеханических систем, а также компьютерного моделирования динамики этих систем.

Для научных работников и инженеров — специалистов по механике систем, теории управления и их приложений, а также для студентов и аспирантов.

© ФИЗМАТЛИТ, 2006

ISBN 5-9221-0678-3ISBN 5-9221-0678-3С. А. Решмин, 2006С. А. Решмин, 2006© Ф. Л. Черноусько, И. М. Ананьевский,

ISBN 5-9221-0678-3

ISBN 5-9221-0678-3

С. А. Решмин, 2006

С. А. Решмин, 2006

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 7

Введение 9

Глава 1. Метод декомпозиции управления (первый способ)19

Управляемая механическая система 19

Постановка задачи управления 20

Декомпозиция 23

Оптимальное управление подсистемой 25

Упрощенное управление подсистемой 29

Сравнительный анализ результатов 33

Управление исходной системой 39

Модификация метода декомпозиции 40

Анализ управляемых движений 42

Определение параметров 45

Подсистема с нелинейным сопротивлением 52

Управление нелинейной подсистемой 54

Приложение к робототехническим системам 69

Синтез управления двузвенным манипулятором с безредуктор- ными приводами 73

Примеры 79

Глава 2. Метод декомпозиции управления (второй способ)89

Управляемая механическая система 89

Постановка задачи 91

Управление при отсутствии внешних сил 92

Декомпозиция 94

Построение синтеза управления 99

Управление в общем случае 100

Обобщение на случай ненулевой конечной скорости 104

Задача об отслеживании траекторий механических систем .... 111

Приложения к робототехническим системам 118

Примеры 123

Глава 3. Кусочно-линейное управление механическими системами в условиях неопределенности 133

Постановка задачи для склерономной системы 133

Вспомогательное рассуждение 135

Описание алгоритма управления 136

Обоснование алгоритма 138

Оценка времени движения 144

Достаточное условие приведения 146

Результаты моделирования динамики двузвенника 148

Управление двухмассовой системой с неизвестными параметрами 151

Первый этап движения 156

Второй этап движения 161

Система «груз на тележке» 164

Система «физический маятник на тележке» 165

Результаты моделирования 177

Кусочно-линейное управление реономными механическими системами. Постановка задачи 179

Описание алгоритма для реономных систем 180

Обоснование алгоритма для реономных систем 181

Результаты моделирования 191

Глава 4. Управление системами с распределенными параметрами 194

. Управление системой осцилляторов 194

. Задача быстродействия 195

. Постановка задачи управления системой с распределенными параметрами 201

. Декомпозиция 203

. Уравнение первого порядка по времени 206

. Уравнение второго порядка по времени 207

. Анализ ограничений и построение управления 209

. Примеры 213

. Условия разрешимости в общем случае 220

Глава 5. Управляемые системы при сложных ограничениях 225

. Постановка задачи 225

. Обобщение метода Калмана 227

5.3. Управление системой осцилляторов 232

. Маятник с управляемой по ускорению точкой подвеса 238

5.5. Маятник с управляемой по ускорению точкой подвеса (продолжение) 243

. Маятник с управляемой по скорости точкой подвеса 249

. Модель электромеханической системы 256

. Анализ упрощенной модели 259

. Управление электромеханической системой четвертого порядка 263

5.10. Активный динамический гаситель 272

Глава 6. Некоторые задачи оптимального управления при сложных ограничениях 281

. Введение 281

6.2. Постановка задачи оптимального быстродействия при смешанных и фазовых ограничениях 282

. Оптимальное быстродействие при ограничениях на скорость и ускорение 283

6.4. Задача управления электродвигателем 289

. Постановка задачи оптимального быстродействия при ограничении на скорость изменения ускорения 294

. Программное оптимальное управление 295

6.7. Синтез оптимального управления 298

6.8. Постановка задачи оптимального быстродействия при ограничениях на ускорение и скорость его изменения 306

6.9. Возможные типы управлений 309

. Построение траекторий 312

Список литературы 320

Предисловие

Предлагаемая монография посвящена ряду новых методов управления механическими системами со многими степенями свободы. Рассматриваются, как правило, нелинейные системы при наличии различных ограничений, наложенных на управляющие воздействия и фазовые координаты, а также на их совокупности. В значительной части книги принимается во внимание наличие неопределенностей различной природы, в том числе воздействие неизвестных, но ограниченных возмущений, а также наличие неопределенных параметров системы.

При этих условиях, которые отражают реальные свойства многих управляемых систем, встречающихся на практике, построение управления встречает большие трудности.

В книге изложен ряд достаточно общих методов, позволяющих эффективно, часто в явном виде, построить искомые управления. Представлены методы, основанные на декомпозиции нелинейных управляемых систем, кусочно-линейные алгоритмы управления по обратной связи, а также другие методы, использующие и развивающие подходы, известные в теории линейных управляемых систем и в теории оптимального управления.

Построенные управления удовлетворяют всем наложенным ограничениям и приводят динамическую систему, подверженную неизвестным, но ограниченным возмущениям, в заданное терминальное состояние за конечное время. Получены явные оценки сверху времени процесса управления. Во всех случаях дается строгое обоснование алгоритмов управления и полученных оценок.

В большинстве случаев не ставится и не решается задача оптимального управления для рассматриваемых нелинейных систем. Однако при построении управлений используются элементы теории оптимальных процессов и проводится оптимизация времени движения по параметрам, так что предложенные методы можно назвать субоптимальными по быстродействию. Впрочем, в последней главе дается также точное решение ряда новых задач оптимального управления.

Изложение методов иллюстрируется большим количеством задач управления для различных механических и электромеханических систем: манипуляционных роботов, маятниковых систем,

электроприводов, многомассовых систем с сухим трением, активных гасителей колебаний. Во всех случаях решение доводится до конца: получены законы управления, проведен анализ динамики систем, оценено время движения, приведены результаты компьютерного моделирования.

Книга основана на работах авторов, опубликованных в последние 15 лет и приведенных в списке литературы. Авторы надеются, что предлагаемая монография послужит полезным дополнением к обширной литературе по теории и методам управления динамическими системами. Книга представляет интерес для научных работников и инженеров — специалистов по механике систем, теории управления и их приложений, а также для студентов и аспирантов.

Авторы выражают признательность Российскому фонду фундаментальных исследований (грант 02-01-14072) за финансовую поддержку публикации этой книги.

Введение

Как известно, существуют различные методы построения управления динамическими системами.

Классические методы теории автоматического регулирования, применимые к линейным системам, представляют управление в виде линейного оператора от текущего фазового состояния системы. Недостатки такого подхода проявляются как в окрестности заданного терминального состояния, так и вдали от него. Вблизи терминального состояния управление становится малым, и не используются все его возможности. В результате, время процесса управления оказывается, строго говоря, бесконечным, и можно рассчитывать лишь на асимптотическое стремление фазового состояния к заданному терминальному состоянию. Вдали же от терминального состояния управление оказывается большим по величине и может нарушать ограничения, которые обычно накладываются на управляющие воздействия. Поэтому учет наложенных ограничений при использовании линейных методов затруднен и часто невозможен. Кроме того, применение этих методов, основанных на линейных моделях, к нелинейным системам обычно оказывается неоправданным.

Для управления нелинейными системами могут быть использованы методы теории оптимального управления. Эти методы учитывают различные ограничения, наложенные на управление, а также, хотя и ценой значительного усложнения, и на фазовые координаты. Данные методы позволяют привести управляемую систему в терминальное состояние оптимальным, в том или ином смысле, образом, например, за минимальное время. Однако построение оптимального закона управления для нелинейной системы — задача весьма сложная, и ее точное решение возможно сравнительно редко. Особенно трудным является построение оптимального синтеза управления, т. е. управления по принципу обратной связи.

Существует целый ряд других общих методов управления: метод систем переменной структуры [31, 58, 59, 98,99], метод линеаризации по обратной связи [86, 87, 91] и различные их обобщения. Эти методы, однако, обычно не учитывают ограничения, наложенные на управления и фазовые координаты. Кроме того, в силу большой общности, данные методы не принимают во внимание специфику механических систем,

например, законы сохранения или структуру уравнений движения в форме Лагранжа или Гамильтона. Некоторые другие методы управления, применимые к нелинейным механическим системам, развиты в работах [48, 51, 52, 60, 84, 85, 88, 90, 100].

В данной книге предлагаются методы управления нелинейными механическими системами при наличии возмущений, неопределенностей и различных ограничений, наложенных на управляющие воздействия и фазовые координаты. Использование механической природы уравнений движения позволяет продвинуться по сравнению с методами, рассчитанными на системы общего вида, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Авторы поставили цель разработать методы, которые обладали бы следующими свойствами.

Методы применимы к нелинейным механическим системам, описываемым уравнениями типа Лагранжа.

Методы применимы к системам со многими степенями свободы.

Методы позволяют учитывать ограничения, наложенные на управляющие воздействия, а в ряде случаев — также на фазовые координаты и на совокупность управлений и фазовых координат.

Методы обеспечивают приведение системы в заданное терминальное состояние за конечное время, для которого имеется эффективная верхняя оценка.

Методы позволяют строить управление при наличии неопределенных, но ограниченных внешних возмущений и при неопределенности параметров системы. Тем самым, эти методы обладают свойством робастности.

Имеется эффективный алгоритм построения искомого управления по обратной связи.

Во всех случаях дается строгое математическое обоснование методов.

Ясно, что перечисленные свойства весьма важны и полезны как с точки зрения теории управления, так и для практических ее приложений.

В монографии предложен и разработан ряд методов, и не все из них обладают всеми свойствами 1-7, перечисленными выше. Свойства 3, 4, 7 выполнены всегда, но для некоторых из излагаемых методов свойства 1, 2, 5, 6 могут не иметь места.

В первых двух главах книги рассматриваются нелинейные управляемые механические системы со многими степенями свободы, описываемые уравнениями Лагранжа вида

дТ.

dt dqidt dqi~1,…，72；

dt dqi

dt dqi

dqi

здесь qi — обобщенные координаты системы, U〃 — управляющие обобщенные силы, Q分—все прочие обобщенные силы, включая неконтролируемые возмущения,八—число степеней свободы системы, t — время, точкой обозначаются производные по времени, T(q,@)— кинетическая энергия системы, заданная в виде симметрической положительно-определенной квадратичной формы от обобщенных скоростей @:

T(q，G = 〈4(q%，G = $ £。汴(G办Ok；(。・2)

九k=l

через q и q обозначаются n-мерные векторы обобщенных координат и скоростей соответственно, а скобками 卜，•) — скалярное произведение векторов.

Квадратичная форма (0.2) удовлетворяет условиям

m\\q\\2^(A^q,q)^M\\q\\2,(0.3)

где m и М — положительные постоянные, М > т > 0. Из (0.3) следует, что собственные числа матрицы 4(g) при всех q лежат в интервале [т, М]. В главах 1, 2 коэффициенты а^ квадратичной формы считаются известными функциями координат: а^ = а^(^). В гл. 3 зависимости a^k(q) могут быть неизвестны, требуется лишь знание постоянных m и М в неравенствах (0.3).

Предполагается, что на управляющие воздействия в каждый момент времени наложены геометрические ограничения вида

|31 W U?,分=1,...,八，(0.4)

где U? — заданные постоянные.

Неуправляющие обобщенные силы Qi могут зависеть от координат, скоростей и времени достаточно произвольным образом, требуется лишь, чтобы эти силы были ограничены по величине:

\Qi(q,q,t)\ < Q?, г = 1,... ,п.(0.5)

Постоянные Q? считаются заданными, и при построении управления на них накладываются сверху определенные ограничения.

Задача управления системой (0.1) формулируется следующим образом.

Построить управление по обратной связи U〃(q，0), г = 1,, п, которое переводит систему (0.1) при наложенных ограничениях (0.3)-(0.5) из заданного начального состояния

«Со) = «°, 0(方 о)=訳«Со) = «°, 0(方 о)=訳(0.6)(0.6)

«Со) = «°, 0(方 о)=訳

«Со) = «°, 0(方 о)=訳

(0.6)

(0.6)

6 заданное терминальное состояние с нулевыми обобщенными скоростями

小*)=广 必方*)=0 (0.7)

за конечное время. Момент 方* не предполагается фиксированным.

Во многих приложениях желательно осуществить перемещение системы из состояния (0.6) как можно быстрее, т. е. минимизировать время 方*. Однако точное решение задачи оптимального быстродействия для нелинейной системы, особенно в части построения синтеза управления, представляет большие трудности. Предлагаемые методы построения не приводят к оптимальному синтезу, но включают ряд процедур оптимизации времени процесса. Поэтому их можно называть субоптимальными.

Основные проблемы, возникающие при решении задач управления рассматриваемой системой (0.1), обусловлены тем, что она представляет собой существенно нелинейную динамическую систему высокого порядка. Ее отличает наличие динамического взаимодействия между различными степенями свободы, которое характеризуется элементами djk(q) матрицы кинетической энергии 4(g). Другим осложняющим фактором выступает то обстоятельство, что размерность вектора управляющих сил в системе в два раза меньше ее порядка.

Примером механических систем, описываемых уравнениями (0.1), могут служить манипуляционные роботы, которые являются важнейшей составной частью автоматизированных производственных систем. Манипуляционные роботы обладают гибкостью перестройки на выполнение самых разнообразных технологических операций, а также широкими функциональными возможностями. В отличие от автоматов, они способны воспроизводить или имитировать движения человека. Манипуляционный робот — это управляемая механическая система, которая содержит один или несколько манипуляторов (исполнительных органов), систему управления, приводы, захватные устройства (рабочие органы). Манипулятор — механическая система с программным управлением, доставляющая объекты в заданную область пространства внутри рабочей зоны. В конструкции манипуляционного робота используются различные виды приводов — электромеханические, пневматические, электрогидравлические. Наибольшее распространение получили электромеханические приводы, состоящие обычно из электродвигателя и редуктора. Приводные двигатели могут быть расположены в шарнирах, соединяющих звенья манипулятора, или в соседних с шарнирами звеньях.

Для манипуляционных роботов в качестве обобщенных координат qi обычно выбираются относительные углы или смещения между звеньями. Интенсивность взаимовлияния между различными звеньями задается элементами матрицы A(q). Если учитывается динамика приводов, то функции а叮 включают массо-инерционные

параметры электродвигателей и редукторов. Уравнения движения манипуляционного робота (в форме Лагранжа) содержат составляющие обобщенных сил Q分，обусловленные силами веса, сопротивления, которые бывают известны лишь в общих чертах и могут существенно изменяться в процессе эксплуатации манипулятора. Компоненты U〃 имеют физический смысл сил или моментов сил, развиваемых исполнительными устройствами.

Необходимость рассмотрения задач управления манипуляционными роботами именно в нелинейной постановке (без перехода к упрощенному линеаризованному описанию) связана с несколькими причинами. Так, область допустимых возмущений для систем управления, построенных на основе линейных моделей, часто не охватывает возмущений, которые встречаются в реальных эксплуатационных режимах. Кроме того, при изменении цели управления изменяются как структура, так и параметры алгоритмов управления. Указанные причины также затрудняют синтез универсальных систем управления.

В главах 1 и 2 развиты методы декомпозиции для решения поставленной задачи управления. Суть этих методов состоит в преобразовании исходной нелинейной системы (0.1) с 八 степенями свободы к совокупности 八 независимых линейных подсистем вида

為= % + 3, г = 1,, п. (0.8)

Здесь Xi — новые (преобразованные) обобщенные координаты, щ — новые управляющие воздействия, Vi — возмущающие силы, включающие как внешние силы Q分，так и нелинейные члены, описывающие взаимодействие различных степеней свободы в системе (0.1). Возмущения Vi в системе (0.8) трактуются как неопределенные, но ограниченные воздействия, которые можно рассматривать как противодействие противника.

Исходные ограничения (0.3)-(0.5), наложенные на обобщенные силы и кинетическую энергию системы, при определенных условиях сводятся к следующим нормализованным ограничениям на управления 〃分 и возмущения ^:

|^i| < 1, |^| < pi, pi < 1, г = 1,... ,n. (0.9)

Если к системе (0.8) с ограничениями (0.9) применить подход теории дифференциальных игр [2,43], то для синтеза гарантированного управления получим выражения 〃分(力分，近/, решающие поставленную задачу при pi < 1.

Наряду с игровым подходом возможен и более простой подход, в котором возмущения Vi в системе (0.8) вообще игнорируются на этапе построения управления, и в качестве управления 〃分(力分，近力 выбирается синтез оптимального по быстродействию управления системой

X 分 U^, 2 1,...,八.

Показано, что данный упрощенный подход приводит к цели, т. е. обеспечивает приведение системы (0.8) при наличии возмущений в заданное терминальное состояние тогда и только тогда, когда число 0〃 в (0.9) не превосходит «золотого сечения»:

^ < / = |(д/5 - 1) ^0.618.

Другими словами, возмущения можно игнорировать при построении управления, если их интенсивность, отнесенная к интенсивности управляющего воздействия, не превосходит величины р*.

Два варианта метода декомпозиции, изложенные в первых двух главах, несколько отличаются друг от друга по сделанным предположениям и по полученным результатам. Допущения второго способа менее ограничительны, однако время движения системы, управляемой по первому способу, оказывается обычно меньше времени движения, рассчитанного по второму способу управления.

В результате обоих вариантов метода декомпозиции получены в явном виде законы управления для исходной системы (0.1) по принципу обратной связи. Эти законы вида U〃 = U〃(q,@), i = 1,... ...,п, удовлетворяют наложенным ограничениям (0.4) и обеспечивают приведение системы в терминальное состояние (0.7) при любых допустимых возмущениях Q〃(q，O,方)，удовлетворяющих условиям (0.5). Время приведения оказывается конечным, и для него получены явные оценки сверху.

В главах 1, 2 представлены также некоторые обобщения и модификации предложенных методов декомпозиции. Так, рассмотрены возможности редукции исходной системы с 八 степенями свободы (0.1) к совокупности подсистем более сложного вида, чем (0.8), как линейных, так и нелинейных. Метод декомпозиции распространен на задачу о приведении системы (0.1) в заданное состояние с ненулевой конечной скоростью, а также на задачу об отслеживании заданной траектории движения.

В качестве примеров приложения методов декомпозиции приведены задачи управления движением манипуляционных роботов с несколькими степенями свободы. При этом рассмотрены как чисто механические модели манипуляторов, в которых отыскиваются управляющие моменты двигателей, так и манипуляторы с электромеханическими приводами, в которых принимаются во внимание процессы в электрических цепях.

В гл. 3 разработан метод управления системой (0.1)-(0.7), основанный на использовании кусочно-л инейной обратной связи. Искомый вектор управляющих сил отыскивается в виде

(0.10)(0.10)U =—臥q - q*) — М， U = (Ui,…，％),

(0.10)

(0.10)

где а и Р — скалярные коэффициенты, являющиеся кусочнопостоянными функциями времени. Эти коэффициенты в процессе движения увеличиваются по определенному алгоритму и стремятся к бесконечности по мере приближения системы к терминальному состоянию. Однако управляющие силы (0.10) при этом остаются ограниченными и удовлетворяют наложенным на них условиям (0.4). Переключение коэффициентов обратной связи происходит на эллипсоидальных поверхностях в 2п-мерном фазовом пространстве. Алгоритм управления обосновывается при помощи второго метода Ляпунова. Доказывается, что предложенный способ управления обеспечивает приведение системы (0.1) в терминальное состояние (0.7) за конечное время, для которого получена оценка сверху.

Метод гл. 3 позволяет строить управление не только при наличии возмущающих сил, удовлетворяющих ограничениям (0.5), но и при неопределенности матрицы кинетической энергии (0.2). Требуется лишь, чтобы удовлетворялись ограничения (0.3).

Подход гл. 3, основанный на использовании кусочно-линейных обратных связей, применен для управления реономной системой, т. е. системой, кинетическая энергия которой представляется в виде полного полинома второй степени по обобщенным скоростям с коэффициентами, явным образом зависящими от времени и обобщенных координат. В этом случае также предполагается, что коэффициенты полинома неизвестны и на систему действуют ограниченные возмущения. Построен закон управления, приводящий систему в заданное терминальное состояние за конечное время с помощью ограниченной силы.

В гл. 3 рассмотрен ряд примеров управляемых механических систем с несколькими степенями свободы, содержащими неизвестные параметры: массы, жесткостные характеристики, коэффициенты трения. Для этих систем построены законы управления, приводящие их в заданные состояния посредством ограниченных управляющих сил.

Отметим, что наряду с обсуждаемыми в книге подходами к построению управления для механических систем существует ряд других подходов, которые обеспечивают асимптотическую устойчивость заданного состояния системы, т. е. приведение ее в терминальное положение за бесконечное время. Несмотря на то, что на практике приведение системы всегда осуществляется лишь в некоторую окрестность заданного состояния и, следовательно, алгоритмы, гарантирующие асимптотическую устойчивость, также обеспечивают конечное время процесса, постановка задачи о приведении за конечное время имеет смысл. При уменьшении размеров терминальной окрестности время движения системы под действием управления, обеспечивающего асимптотическую устойчивость, стремится к бесконечности, тогда как время движения системы при законе управления, гарантирующего конечность процесса, остается ограниченным. Следовательно, с точки зрения быстродействия последний подход эффективнее.

Выше речь шла о системах с конечным числом степеней свободы, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Проблемам управления системами с распределенными параметрами, описываемыми дифференциальными уравнениями в частных производных, посвящена большая литература, см., например, книги и обзоры [23, 30, 45, 57, 59, 89]). Оказалось, что методы декомпозиции, изложенные в главах 1 и 2, можно перенести на случай систем с распределенными параметрами.

В гл. 4 рассматриваются управляемые системы с распределенными параметрами, описываемые уравнениями в частных производных, разрешенными относительно первой или второй производной по времени. Первый случай охватывает в частности, уравнение теплопроводности, а второй — уравнения распространения волн. Системы предполагаются линейными, а управление осуществляется посредством распределенных воздействий, описываемых соответствующими членами в правой части уравнения. Управление предполагается ограниченным по величине. Ставится задача о приведении управляемой системы в нулевое состояние за конечное время. Предложен способ управления, основанный на декомпозиции исходной системы и применении оптимального по быстродействию управления для каждой моды движения, полученной в результате разложения решения по методу Фурье.

Особенностью данной задачи управления является наличие бесконечного (счетного) числа мод, что потребовало проведения специальных оценок. Получены достаточные условия разрешимости поставленной задачи управления. Дано представление искомого закона управления в виде обратной связи, выведены оценки сверху для времени процесса управления. Приведены примеры.

Последующие главы 5 и 6 снова посвящены управляемым системам, описываемым обыкновенными дифференциальными уравнениями. При этом, в отличии от глав 1-3, здесь рассматриваются линейные системы. Однако на них наложены различные ограничения, а именно, ограничения на управления, фазовые координаты и смешанные ограничения. Хотя исходные системы линейные, но рассматриваемые задачи управления, особенно при наличии сложных ограничений, обладают существенной нелинейностью и не поддаются решению при помощи традиционных линейных методов. Целью этих глав является разработка методов управления и решение ряда характерных задач управления при сложных ограничениях.

В гл. 5 рассматривается линейная управляемая система общего вида при наличии ограничений на управление и смешанных ограничений, наложенных в каждый момент времени на фазовые координаты, управляющие воздействия, а также на некоторые интегралы, зависящие от этих переменных. Заметим, что фазовые и смешанные ограничения встречаются во многих прикладных задачах управления. Часто к ним добавляются интегральные ограничения, отражающие энергетические и другие требования. Так, при наличии в системе управляющего

электропривода обычно следует учитывать ограничения, наложенные на угловую скорость вращения вала, на управляющий момент двигателя, а также на эти величины в совокупности. Как известно, учет фазовых и смешанных ограничений в рамках теории оптимального управления приводит к существенным трудностям даже для линейных систем.

Описываемый в гл. 5 подход представляет собой обобщение известного подхода Р. Калмана [38, 39], предложенного им для управления линейными системами в отсутствие ограничений на управление и основанный на формировании управляющего воздействия в виде линейной комбинации собственных движений неуправляемой системы. В гл. 5 метод Калмана распространен на случай наличия ограничений. Построены в явном виде законы управления различными колебательными системами, в том числе системой осцилляторов, управляемых одним ограниченным воздействием. Для некоторых систем второго порядка построенные законы управления сравниваются с управлениями, оптимальными по быстродействию. Построены законы управления также для некоторых систем более высокого порядка, в частности, для систем четвертого порядка со смешанными ограничениями. Рассмотренные системы представляют собой модели механических и электромеханических систем, содержащих колебательное звено и электрический двигатель. Сформулированы дополнительные достаточные условия, при выполнении которых указанный способ управления обеспечивает приведение системы в заданное состояние за конечное время при удовлетворении наложенных смешанных ограничений.

В гл. 6 представлены решения трех задач управления для простейшей динамической системы, описываемой вторым законом Ньютона. Постановки задач отличаются наличием различных ограничений. Во всех трех случаях система приводится в начало координат фазовой плоскости.

В первых разделах гл. 6 рассматривается одна задача оптимального быстродействия при наличии смешанных ограничений, наложенных на управляющие воздействия и фазовые координаты. Построен синтез оптимального быстродействия. В качестве примера рассматривается задача управления электродвигателем постоянного тока.

Далее в нескольких разделах этой главы изучается движение инерционного объекта под действием управляющей силы с ограниченной скоростью изменения. Сначала построено программное управление системой, оптимальное по быстродействию. Далее в замкнутой форме дано решение задачи синтеза оптимального управления. Построение оптимального синтеза проведено с применением инвариантно-групповых методов, что позволило сократить число существенных независимых переменных, от которых зависит управление.

В заключительной части гл. 6 предполагается, что величина силы может наращиваться постепенно, с конечной скоростью, и мгновенно выключаться. При этих ограничениях, моделирующих реальные

системы приводов, построено управление, приводящее систему в начало координат и имеющее простейшую возможную структуру.

Таким образом, в книге изложен ряд новых методов построения управления в механических системах. Наряду с описанием алгоритмов и их строгим математическим обоснованием приводятся решения ряда конкретных задач управления динамическими системами, иллюстрирующие эффективность предлагаемых методов.

Монография основана на результатах, полученных авторами в Институте проблем механики Российской академии наук и опубликованных в течение последних пятнадцати лет.