Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Глава 1
МЕТОДЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯТВЕРДОГО ТЕЛА
Основные понятия и определения
При изучении движения любого подвижного объекта он в большинстве случаев рассматривается как абсолютно твердое тело или как система абсолютно твердых взаимодействующих тел. Методы задания движения абсолютно твердого тела, математические модели его движения, методы решения задач механики абсолютно твердого тела и управления его движением лежат в основе изучения движения и управления движением любой сколь угодно сложной механической системы, будь то самолет, морской корабль, автомобиль, космический аппарат, робот-манипулятор, т. е. имеют фундаментальное значение для задач механики и управления движением в целом. На их основе исследуется движение естественной или искусственно построенной механической системы или конструируется необходимая механическая система, обладающая заранее заданными свойствами.
Дадим несколько понятий и определений, которые будут в дальнейшем использоваться достаточно часто.
Понятие материальной точки, это абсолютно твердое тело, размерами которого в рамках решаемой задачи можно пренебречь. При этом масса точки (ее мера инертности) полагается равной массе рассматриваемого тела.
Понятие абсолютно твердого тела, это неизменяемая механическая система, состоящая из бесконечно большого числа материальных точек, в которой расстояние между двумя любыми точками остается неизменным с течением времени. Масса абсолютно твердого тела считается распределенной по его объему непрерывно.
В дальнейшем мы будем рассматривать, как правило, лишь абсолютно твердые тела или их системы. Однако для краткости вместо «абсолютно твердое тело» будем просто говорить «твердое тело» или просто «тело».
Понятие механического движения материальных тел. это изменение с течением времени положения тел относительно друг друга.
Понятия пространства и времени. Движение материальных тел происходит во времени и в пространстве. В качестве модели пространства в классической механике принимается обычное трехмерное евклидово пространство, однородное и изотропное по всем направлениям. Метрические свойства пространства считаются независящими от движущихся в нем материальных тел. Время считается абсолютным, текущим одинаково во всех точках пространства и независящим от движения тел. Это означает, что для отсчета времени достаточно взять одни часы, установленные на любом материальном теле. Таким образом, в классической механике пространство и время рассматриваются как независящие друг от друга категории. Отметим, что с математической точки зрения время выступает в уравнениях механики в большинстве случаев как независимая переменная. Для нее введено специальное обозначение: t.
Понятие системы отсчета. Положение тела в пространстве может быть определено только относительно произвольно выбранного другого неизменяемого тела, называемого телом отсчета. Для определения положения рассматриваемого тела с телом отсчета неподвижно связывают какую-нибудь систему координат (декартову или иную). Обычно такую систему координат и рассматривают как систему отсчета. По существу, система координат (система отсчета) представляет собой математическую абстракцию материального тела отсчета, которое можно себе представить неподвижно скрепленным с этой системой координат. Если положение тела относительно выбранной системы отсчета со временем не изменяется, то мы говорим, что это тело покоится относительно данной системы отсчета; если же положение тела с течением времени изменяется относительно выбранной системы отсчета, то мы говорим, что это тело движется относительно данной системы отсчета. Следовательно, понятия «движения» и «покоя» являются по существу относительными и имеют смысл только тогда, когда указана система отсчета, относительно которой рассматривается положение тела. Более того, одно и то же движение носит совершенно различный характер в зависимости от того, в какой системе отсчета это движение рассматривается. Так, поршень автомобильного двигателя совершает относительно системы отсчета, связанной с корпусом двигателя, прямолинейное колебательное движение, а относительно системы отсчета, связанной с дорогой, по которой автомобиль движется с постоянной скоростью, поршень перемещается по синусоиде.
Понятие кинематических параметров, это величины, с помощью которых можно однозначно задать (описать) положение и движение твердого тела в выбранной системе отсчета. С математической точки зрения кинематические параметры — это величины, меняющиеся в общем случае с течением времени, т. е. являющиеся функциями времени t, и входящие в уравнения механики в качестве переменных. Определяя их с помощью непосредственных измерений или с помощью
решения уравнений механики, мы можем однозначно определить положение тела в пространстве относительно выбранной системы отсчета.
Рассмотрим абсолютно твердое тело произвольной формы, способное перемещаться в пространстве в любом направлении. Такое твердое тело, на перемещение которого в пространстве не наложены никакие ограничения (связи), называется свободным. Положение тела будем рассматривать относительно произвольно выбранной прямоугольной декартовой системы координат О* Х^Х^Х^Х*У
Положение свободного твердого тела в пространстве может быть однозначно задано с помощью шести независимых параметров. Для доказательства этого утверждения возьмем три принадлежащие твердому телу произвольные точки М\, М2, М3, не лежащие на одной прямой (очевидно, что двух точек тела или трех его точек, лежащих на одной прямой, недостаточно, так как остается неопределенным поворот тела вокруг прямой, на которой лежат эти точки). Координаты точки М^ в системе координат X* обозначим через х^, г = 1,2,3. Так как по определению абсолютно твердого тела расстояния между точками тела не изменяются, то координаты точек тела должны удовлетворять трем уравнениям:
(Т* _ гр* \2 I /_* _ гр* \2 I /_* _* \2 _ /?2
Щ21Щ22^127'^23^137 — Щ2’
(ж31 —ЖТ1)2+ (х32 — ж12)2+ (Ж33 — Ж1з)2 = ^13’ ОО
(гр* гр*А2I/гр* гр* А2I /гр* гр* А2 — /?2
Щ22^32 7\^23^33 7 — ^23’
где £12, £13, £23 — постоянные расстояния между точками Mi и М2, Mi И М3, М2 И М3.
Следовательно, из девяти координат трех точек тела независимых будет только шесть, остальные три определяются из уравнений (1.1). Если взять еще одну точку М4 с координатами х^, то эти координаты должны будут удовлетворять трем уравнениям вида (1.1), выражаю-
щим неизменность расстояний от точки М4 до ранее выбранных точек Mi, М2, М3. Поэтому из двенадцати координат четырех точек независимых будет опять-таки только шесть. Ясно, что какое бы количество точек твердого тела (большее трех) мы не рассматривали, это не приведет к увеличению числа независимых координат. Таким образом, положение свободного твердого тела в произвольно выбранной системе координат вполне определяется шестью независимыми параметрами. Если же твердое тело будет закреплено в какой-либо точке (например, О), то его движение в системе координат X* (а, следовательно, и X) будет определяться уже только тремя независимыми параметрами.
С твердым телом жестко свяжем другую декартову систему координат У1У2У3 У), поместив ее начало в произвольно выбранную точку тела О. Эта точка называется полюсом. В ее качестве часто принимается центр масс твердого тела (движущегося объекта). Положение или движение тела в системе координат (в системе отсчета) X* будет однозначно задано, если будут заданы три декартовы координаты ж*-, г = 1,2,3, полюса О в системе координат X* и если будут заданы параметры, определяющие угловое положение тела (системы координат У) в системе координат ОХ1Х2Х3 (X), имеющей начало в точке О и имеющей координатные оси ОХг, параллельные одноименным координатным осям О*Х* системы координат X*.
Такое задание произвольного движения твердого тела в пространстве фактически означает его мысленное разложение на два движения: на поступательное движение твердого тела вместе с выбранным полюсом О и на вращательное движение вокруг полюса О. Такое разложение основывается на теореме Шаля. Первое движение, называемое поступательным, — это движение, при котором все точки тела движутся по траекториям, параллельным траектории выбранного полюса О со скоростями и ускорениями, равными (для данного текущего момента времени) скорости и ускорению полюса О. Это движение полностью характеризуется тремя декартовыми координатами ж*^ г = 1,2,3, полюса О, т. е. сводится к изучению движения одной точки. Второе, угловое движение твердого тела, называется сферическим движением или вращением тела вокруг полюса О. Для задания этого движения используются методы кинематики твердого тела с одной неподвижной точкой, в качестве которой принимается точка О. К рассмотрению этого (углового) движения твердого тела мы и перейдем.
Кинематические параметры ориентациитвердого тела
Угловое или сферическое движение (или вращение твердого тела вокруг точки О) является основным и вместе с тем наиболее сложным движением в механике, до настоящего времени являющимся предметом многих исследований как с точки зрения теоретической механики,
так и с точки зрения теории управления движением. Это движение часто реализуется в природе и технике как самостоятельное (например, в приборостроении, в робототехнике) с помощью соответствующих технических устройств (карданова подвеса, сферического шарнира, магнитного подвеса и других). Именно при изучении сферического движения твердого тела возникают наибольшие трудности аналитического и вычислительного характера.
Для задания углового движения (положения) твердого тела в системе отсчета Х*(Х) достаточно задать три независимых параметра или, как говорят в механике, три независимые обобщенные координаты.
Классическими независимыми параметрами, позволяющими однозначно задать угловое положение твердого тела, являются три угла Эйлера: ф, ^, р. Наряду с ними широко используются углы Крылова (их примеры — самолетные или корабельные углы), а также другие параметры: направляющие косинусы, проекции вектора конечного поворота, параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона), параметры Кейли- Клейна, причем число таких кинематических параметров, как параметры Эйлера или направляющие косинусы, больше трех.
Вид, структура, сложность математических моделей углового движения твердого тела, их свойства существенно зависят от того, какая совокупность кинематических параметров используется для описания движения. Поэтому выбор той или иной системы кинематических параметров является важным моментом решения задачи и осуществляется на первоначальной стадии исследования, исходя из соображений простоты, удобства и эффективности решения рассматриваемой задачи.
Рассмотрим более подробно основные кинематические параметры углового движения твердого тела.
Углы Эйлера-Крылова. Будем считать, что точка О твердого тела неподвижна, и что система координат У, жестко связанная с телом, совпадала в его начальном положении с системой координат X. Тогда твердое тело может быть переведено из этого начального положения в любое конечное положение с помощью трех поворотов на углы Эйлера ф, $, р следующим образом (см. рис. 1.2). Вначале осуществляется поворот тела вокруг оси ОХз на угол ^, называемый углом прецессии. При этом ось тела, совпадающая в начальном положении с неподвижной осью ОХ\, перейдет в положение ОК. Прямая ОК называется линией узлов. Затем телу сообщают поворот вокруг линии узлов ОК на угол ^, называемый углом нутации. При этом ось тела, совпадающая до поворота на угол с осью ОХз, перейдет в конечное положение О Уд. Последний, третий поворот телу сообщается вокруг оси О¥з на угол р, называемый углом собственного вращения. Отметим, что положительные значения углов отсчитываются против хода часовой стрелки.
В результате поворотов на углы Эйлера тело займет конечное положение У. Ось ОХз называется осью прецессии, линия узлов ОК
— осью нутации, а ось OY3 — осью собственного вращения. Эти названия осей и углов имеют астрономическое происхождение. Ось вращения Земли OY3, являясь осью собственного вращения, медленно поворачивается (прецессирует) в пространстве вокруг оси прецессии ОХ3, описывая конус прецессии за период, равный примерно 26000 лет (годовая прецессия равна примерно 50"). Угол нутации ^ между осью вращения Земли OY3 и осью прецессии ОХ3 остается постоянным и равным 23°28'.
Рис. 1.2
Недостатком углов Эйлера является отсутствие симметрии (два поворота совершаются вокруг одноименных осей ОХ3 и OY3), что приводит к тому, что малому угловому отклонению твердого тела от его начального исходного (равновесного) положения соответствуют лишь малые значения угла и суммы углов ф + р (но не малые в общем случае значения каждого из углов ф, р, которые могут быть по величине любыми). Это усложняет аналитическое исследование в тех случаях, когда используются линеаризованные уравнения (когда исследуется движение в окрестности какого-либо равновесного положения).
От указанного недостатка свободна другая система угловых кинематических параметров — углы Крылова. На рис. 1.3 показана одна из разновидностей углов Крылова — так называемые самолетные углы, используемые в авиации. Здесь система отсчета, в которой рассматривается угловое положение твердого тела (летательного аппарата), обозначена, по-прежнему, через X. Ее ориентация определяется направлением местной (географической) вертикали и направлением на географический север для текущей точки местоположения летательного аппарата (самолета): ось ОХ2 направляется по местной вертикали от центра Земли, ось ОХ\ располагается в плоскости горизонта и направляется на географический север, ось ОХ3 дополняет систему координат X до правой.
С летательным аппаратом жестко связана система координат Y: ее ось OY\ направляется вдоль продольной оси летательного аппарата, ось OY2 — вдоль нормальной, а ось OY3 — вдоль поперечной. Угловое
Рис. 1.3
положение (ориентация) летательного аппарата в системе координат X задается углами курса (—^) (положительное значение этого угла отсчитывается, в отличие от других углов, по ходу часовой стрелки), тангажа ^ и крена ср в соответствии с последовательностью поворотов (см. рис. 1.3):
— У. (1.2) ф $ <р 'ФгГф
Здесь над стрелками указаны номера осей, вокруг которых совершаются повороты.
В отличие от углов Эйлера при использовании самолетных углов малому отклонению летательного аппарата (твердого тела) от его начального положения соответствуют малые значения всех трех углов (курса, тангажа и крена).
Текущая информация об углах курса, тангажа и крена, как правило, вырабатывается на борту летательного аппарата системой ориентации или навигационной системой и используется пилотом или автопилотом для управления угловым движением (ориентацией) аппарата.
Направляющие косинусы углов. Угловое положение твердого тела (системы координат У, жестко связанной с телом) в выбранной системе координат X может быть однозначно задано с помощью девяти величин с^, г, к = 1,2,3, являющихся направляющими косинусами углов между координатными осями систем координат ¥ и X. Вводятся они следующим образом.
Обозначим через yi и х^ орты (единичные векторы) координатных осей О¥г и ОХк. Тогда направляющий косинус с^ угла между осями О¥г и ОХк определится как проекция вектора уг на ось ОХк (направление вектора х^):
Сгк = у г * Хк, г, к = 1,2,3, т. е. как скалярное произведение векторов уг и х^.
Поскольку векторы ух, у^ у^ и Xi, Х2, Хз — единичные и взаимно ортогональные (образуют ортонормированные тройки векторов), то
девять направляющих косинусов с^ оказываются связанными шестью уравнениями:
С11
+ С12
+4з
= 1,
СЦС21
+ C12C22 +С13С23
= 0,
+ С22
+4з
= 1,
СЦС31
+ С12С32 +С13С33
= 0,(1.3)
41
+ С32
+4з
= 1,
С21С31
+ С22С32 +С23С33
= 0.
Поэтому из девяти направляющих косинусов с^ независимых будет только три, остальные шесть могут быть определены через них из соотношений (1.3). Несмотря на то, что направляющих косинусов гораздо больше, чем углов Эйлера или Крылова (девять вместо трех), они широко используются в качестве кинематических параметров для описания и исследования углового движения твердого тела. Связано это с тем, что увеличение размерности кинематических уравнений и соотношений механики, неизбежно возникающее при использовании направляющих косинусов вместо углов Эйлера или Крылова, компенсируется такими достоинствами кинематических уравнений в направляющих косинусах, как симметричность, линейность, отсутствие в них особых точек, т. е. компенсируется отсутствием тех недостатков (нелинейность, наличие особых точек), которые присущи уравнениям кинематики, записанным в углах Эйлера или Крылова. Кроме того, операция перепроектирования векторов наиболее удобно выполняется с помощью направляющих косинусов.
Вектор конечного поворота. Рассмотрим твердое тело, имеющее одну неподвижную точку О. Поместим в эту точку начала двух систем координат: X и Y (рис. 1.4). Неподвижная система координат X принимается нами в качестве системы отсчета, а система координат Y жестко связывается с телом. Считаем, что в начальном положении тела система координат Y совпадала с X.
В соответствии с теоремой Эйлера-Даламбера всякое перемещение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, из начального положения Y°, совпадающего с X (см. рис. 1.4), в конечное Y может быть заменено одним конечным поворотом вокруг оси, проходящей через неподвижную точку.
Обозначим через е единичный вектор, направленный вдоль оси конечного поворота, а через ср — угол конечного поворота тела вокруг этой оси. Введем вектор конечного поворота
6 = 2etg^. (1.4)
С помощью введенного вектора 9 может быть задано угловое положение твердого тела в выбранной системе отсчета X. В выражении (1.4) для вектора 9 коэффициент 2 и тангенс половинного угла поворота ср взяты для удобства математического описания углового движения твердого тела: векторные уравнения и соотношения кинематики твердого тела, использующие в качестве переменной вектор 9, имеют
более простой вид, нежели уравнения, использующие другие векторные параметры, например, такой вектор конечного поворота, как
V = 4,e.(1.5)
Обозначим через 9^ ^ = 1,2,3, проекции вектора 9 на оси системы координат X. В соответствии с (1.4) получим
Oi = 2 tg ^ cosy^, г =1,2,3,(1-6)
где cosyi — направляющий косинус вектора 9 или е в системе координат X (проекция вектора е на ось Х^\ ^^ — угол между осью конечного поворота (вектором 9^ и осью Х^.
Так как в начальном положении тела система координат У совпадала с X, то проекции 9^ вектора 9 на оси системы координат X будут равны соответствующим проекциям этого вектора на оси системы координат У, жестко связанной с телом.
Три проекции 9t, г = 1,2,3, вектора конечного поворота, также как и углы Эйлера или Крылова, используются в качестве скалярных кинематических параметров для описания углового движения твердого тела, но более редко, чем углы Эйлера или Крылова. Чаще они используются в качестве промежуточных величин для введения других кинематических параметров: параметров Эйлера и Кейли-Клейна.
Параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона). Формулы кинематики углового движения твердого тела приобретают более симметричный вид, если пользоваться не проекциями 9t, г = 1,2,3, вектора конечного поворота, определяемыми формулами (1.6), а пропорциональными им величинами
Аг = |Ао^,г=1,2,3.(1.7)
Коэффициент пропорциональности До выбирается из условия нормировки
Ад + А1 + А2 + А| = 1.(1.8)
Его геометрический смысл легко выяснить. В соответствии с (1.4)
l + ly2 = 1+tg2^6=W(19)
С другой стороны, из (1.7) и (1.8) имеем
1 + д #2 = 1 + д f^l + ^2 + ^з) = 1 + Т2 (^1 + ^2 + Лз) = Т2 • О-Ю)
44 V/ Ад \Ад
Сравнивая выражения (1.9) и (1.10), получим /1 х —1/2
До = cos ^ = ± (1 + - У2 ).(1.11)
Таким образом, вместо проекций Oi вектора конечного поворота могут быть взяты четыре параметра:
Ao = cos^, Xt = sin ^ cos 7а,г =1,2,3,(1.12)
связанные одним условием (1.8).
Параметры Aj, j = 0, 1,2,3, называются параметрами Эйлера или Родрига-Гамилътона [17, 71] и являются одними из основных кинематических параметров углового движения твердого тела. Они в настоящее время широко используются для решения задач механики, навигации и управления движением (как для аналитического исследования, так и для численного решения задач). Применение параметров Эйлера, как и направляющих косинусов, позволяет исключить из алгоритмов решения задач операции с тригонометрическими функциями, что повышает эффективность использования ЭВМ при численном решении задач. Кроме того, кинематические уравнения в параметрах Эйлера, как и в направляющих косинусах, являются линейными и не вырождаются ни при каком угловом положении твердого тела в пространстве в отличие от кинематических уравнений в углах Эйлера-Крылова. Таким образом, параметры Эйлера имеют общие с направляющими косинусами преимущества перед углами Эйлера-Крылова. Вместе с тем, число параметров Эйлера равно четырем, число же направляющих косинусов равно девяти (для параметров Эйлера имеется одно уравнение связи в отличие от шести уравнений связей для направляющих косинусов). Поэтому размерности систем уравнений и соотношений механики твердого тела в параметрах Эйлера гораздо меньше (на пять единиц) размерностей соответствующих систем уравнений и соотношений в направляющих косинусах. Таким образом, параметры Эйлера имеют преимущество перед направляющими косинусами в смысле размерности.
Отметим, что в силу соотношений (1.7) и (1.11) одному и тому же угловому положению твердого тела соответствуют две совокупности значений параметров Эйлера, отличающихся знаками.
Отметим также, что с помощью формул вида (1.7), (1.11) могут быть введены кинематические параметры Хр j = 0, 1,2,3, определен-
ные (через проекции вектора конечного поворота 0) в любой выбранной системе координат. Однако под параметрами Эйлера (Родрига- Гамильтона) обычно понимаются кинематические параметры Xj, j = = 0, 1,2, 3, определенные в системе координат (У), преобразуемой этим конечным поворотом.
Параметры Кейли-Клейна, введенные Ф. Клейном, достаточно широко применяются не только в квантовой механике, но и в классической механике. Они используются для решения задач ориентации твердого тела, инерциальной навигации [44, НО, 111, 113] и некоторых задач динамики твердого тела [60, 61, 117]. В последнее время интерес к параметрам Кейли-Клейна возрос в связи с возможностью их эффективного применения в алгоритмах инерциальной навигации, использующих непозиционную систему счисления остаточных классов [83].
Параметры Кейли-Клейна, обозначаемые обычно а, (3, у, 5, являются комплексными комбинациями параметров Эйлера Xj и определяются соотношениями [71]
= Ап гАз, В = —До
(1.13)
7 = Д2 + гДц 5 = До — гДд, г = у — 1-
Отметим, что в других работах [28, 117] параметры Кейли-Клейна вводятся несколько иначе, однако это различие несущественное.
В соответствии с (1.7) и (1.13) параметры Кейли-Клейна могут быть заданы (через проекции соответствующего вектора конечного поворота) в любом базисе. Параметры Кейли-Клейна поворота 0, определенные в базисе, преобразуемом этим поворотом, условимся называть собственными параметрами Кейли-Клейна и будем обозначать их а*, р\ 5*.
Из выражений (1.13) видно, что а, 5 и /3, —7 являются комплексно сопряженными числами, и что в силу (1.8)
aS — Р^ = 1-(114)
С помощью параметров Кейли-Клейна повороту тела сопоставляется дробно-линейное преобразование в плоскости комплексного переменного z [71]:
г’ = (az + P)/(^z + 5).(1.15)
Матрицы и гиперкомплексные числа,используемые для описания углового движения
Матрицы направляющих косинусов. Система девяти направляющих косинусов Cib i,k = 1,2,3, определяет собой ориентацию (угловое положение) системы координат У, связанной с твердым телом, относительно системы отсчета X (см. п. 1.2.2). Из этих косинусов
3x3, называемая матрицей направля3x3, называемая матрицей направляющих косинусов'.ющих косинусов'.составляется матрица размера
3x3, называемая матрицей направля
3x3, называемая матрицей направля
ющих косинусов'.
ющих косинусов'.
(1.16)(1.16)(СиС12С13
(1.16)
(1.16)
С =С21С22С23
\С31С32Сзз
Орты (единичные векторы) уг связанной системы координат У могут быть выражены через орты х^ системы координат X с помощью матричного равенства:
Ух \/ СиС12d3 \/ Х\ \/ Х\ \
#2 j I С21 с22 С23 Х2 | =С I %2 | •(1-17)
Уз /\ С31С32Сзз /\ Хз /\ 3 /
Это соотношение является одним из основных матричных способов преобразования одной координатной системы в другую. Фигурирующая в нем матрица направляющих косинусов с (она также называется матрицей поворота [71]) ортогональна: обратная ей матрица совпадает с транспонированной:
снснС12С12С\3С\3С21 С31С22 С32С23 СззС21 С31С22 С32С23 Сзз(1.18)(1.18)
сн
сн
С12
С12
С\3
С\3
С21 С31
С22 С32
С23 Сзз
С21 С31
С22 С32
С23 Сзз
(1.18)
(1.18)
Здесь и далее верхний индекс «-1» означает обратную матрицу, верхний индекс «т» — символ транспонирования.
Ортогональность — основное свойство матрицы направляющих косинусов.
Кватернионы поворотов. Применение параметров Эйлера для описания углового движения твердого тела естественным образом привело к использованию в механике кватернионов Гамильтона.
Кватернион — гиперкомплексное число, имеющее вид [17, 26, 47]:
tzl 4" Ы\ 4" ci^ 4" d/3,
где 1 — действительная единица; 1\, 1^, 1з — векторные мнимые единицы Гамильтона; a, b, с, d — действительные числа (элементы или компоненты кватерниона).
Кватернионы были введены Вильямом Роуаном Гамильтоном (ирландцем по происхождению) в 1843 г. К этому открытию Гамильтона привел поиск чисел, обобщающих обычные комплексные числа вида
Рис. 1.5Рис. 1.5Числа этого вида имеют наглядную геометрическую интерпретацию на плоскости (рис. 1.5). Комплексное число х + гр изображается как точка М с координатами х и р, или как направленный отрезок (вектор) ОМ, соединяющий начало координат с этой точкой.
Рис. 1.5
Рис. 1.5
Сложение двух чисел х + гр и а + гЬ, определяемое формулой
(х + гр) + (а + гЬ) = х + а + г(р + Ь),
изображается на плоскости как геометрическая сумма двух векторов, а значит, может быть интерпретировано как параллельный перенос всей плоскости на отрезок а + гЬ (в направлении вектора а + гЬ).
Умножение же двух комплексных чисел х + гр и а + ib, определяемое формулой
(х + гр) • (а + гЬ) = (х + гр) • р • ew = (х + гр) • р • (cos р) + г sin р)),
где р = (а2 + 52)1/2, tg у? = a/b, вызывает вращение плоскости вокруг начала координат на угол р) с одновременным удлинением всех векторов (отрезков) в р раз (в отношении 1 : р ), т. е. является сочетанием растяжения с вращением.
Таким образом, сложение и умножение обычных комплексных чисел, взятые совместно, охватывают совокупность всех возможных движений плоскости (на плоскости) и даже — с учетом растяжения — несколько больше.
Гамильтон задался вопросом: каким образом с помощью надлежащих действий над какими-нибудь комплексными числами более высокого типа могут быть описаны соответствующие преобразования в трехмерном пространстве.
Оказалось, что если в случае плоскости описание совокупности вращения с растяжением требует задания двух параметров а и Ь, то в случае пространства необходимо задать четыре параметра: a, b, с, d. Два из них определяют направление оси вращения: направляющие косинусы cos a, cos/3, cosy единичного вектора е, направленного вдоль оси вращения, связанны равенством
cos2 а + cos2 /3 + cos2 у = 1.
Один из этих параметров описывает угол поворота р) и один — растяжение р.
Гамильтоном было установлено, что вращение с растяжением в пространстве может быть описано с помощью четырехкомпонентного комплексного числа , , ,
dl З- Ы\ У- ci^ У- Д*3 =
= р cos — + i\p sin — cos а + i^p sin — cos /3 + i^p sin — cosy,
имеющего вещественную единицу 1 и три мнимые единицы ц, i^, i^, названного им кватернионом.
Мнимые единицы были введены Гамильтоном с помощью таблицы их умножения таким образом, чтобы композиция двух вращений с растяжением в пространстве описывалась умножением двух кватернионов.
Кватернионы, по словам Ф. Клейна [47], вначале встретили в силу различных обстоятельств упорное сопротивление со стороны большинства математиков, пока наконец они окружным путем, через физику, не проникли в математику в виде векторного анализа.
В настоящее время кватернионы широко используются не только в математике, но и в физике, механике, а также в таких областях науки и техники, как навигация, управление движением, робототехника, механика космического полета.
Для описания углового движения твердого тела вместо проекций вектора конечного поворота, как уже указывалось в п. 1.2.4, могут быть использованы параметры Эйлера. Число их равно четырем. Поэтому вектору конечного поворота 9 можно поставить в соответствие кватернион поворота
А = AqI + А1Ч + Х^ + Ag/g, (1.19)
компоненты Хр j = 0, 1,2,3, которого связаны с проекциями Oi, г = = 1,2,3, вектора 9 соотношениями (1.7), (1.11):
р р 1
Ao = cos—, Xi = sin — cos = -XqO^ г =1,2,3. (1.20)
Как следует из (1.20), кватернион Л является нормированным, т. е. имеет норму, равную единице. В соответствии с соотношениями (1.20) кватернион поворота может быть задан своими компонентами в любом базисе. Компоненты кватерниона, заданные в базисе (системе координат) У, преобразуемом рассматриваемым поворотом 9, являются параметрами Эйлера (Родрига-Гамильтона). Кватернион, составленный из параметров Эйлера, называется собственным кватернионом преобразования [17].
Использование кватернионов поворотов позволяет изложить теорию конечного поворота твердого тела и кинематику движения твердого тела в кватернионной форме. Такой подход оказывается весьма удобным. Он отличается компактностью изложения, геометрической наглядностью и эффективностью. Однако этот подход требует знания алгебры кватернионов, которая излагается в параграфе 1.4, следуя работе [17].
Кватернионные матрицы поворотов. При исследовании углового движения твердого тела (в особенности, вопросов геометрии и кинематики движения) в последнее время наряду с кватернионами широко используются кватернионные матрицы.
2 Ю.Н. Челноков
Введем в рассмотрение кватернионные матрицы поворота 0 двух типов: т и п, имеющие вид [7, 38, 100, 127]:
т(А) =т(А) =/ Ao -Ai —А2 -Аз \Ai Ао -Ад А2А2 A3 Ao — AiУ A3 -А2 Ai Ао // Ao -Ai —А2 -Аз \Ai Ао -Ад А2А2 A3 Ao — AiУ A3 -А2 Ai Ао // Ао -Ai -А2 -A3 \Ai Ао A3 -А2А2 —A3 Ао Ai\ A3 А2 -Ai Ао // Ао -Ai -А2 -A3 \Ai Ао A3 -А2А2 —A3 Ао Ai\ A3 А2 -Ai Ао /(1.21)(1.21)
т(А) =
т(А) =
/ Ao -Ai —А2 -Аз \
Ai Ао -Ад А2
А2 A3 Ao — Ai
У A3 -А2 Ai Ао /
/ Ao -Ai —А2 -Аз \
Ai Ао -Ад А2
А2 A3 Ao — Ai
У A3 -А2 Ai Ао /
/ Ао -Ai -А2 -A3 \Ai Ао A3 -А2А2 —A3 Ао Ai
\ A3 А2 -Ai Ао /
/ Ао -Ai -А2 -A3 \Ai Ао A3 -А2А2 —A3 Ао Ai
\ A3 А2 -Ai Ао /
(1.21)
(1.21)
связанные с матрицей-столбцом А соотношением
т£ = п£ = А = (Ао, Ai, А2, A3), £ = (1,0,0,0).
Кватернионные матрицы поворотов имеют следующие свойства [7, 38, 100, 127]:
ортогональность: т-Х = тт, п-1 = пт;
коммутативность: тп = пт;
т = п = Е, А = £ (Е — единичная матрица размера 4 х 4), если угол поворота р = 0;
произведение матриц типа m(n) дает матрицу того же типа: тхт2 = m3, п\П2 = п^ (отметим однако, что даже в случае, когда матрицы тх и пх соответствуют одному и тому же вектору конечного поворота Ох, а матрицы m2 и П2 соответствуют одному и тому же вектору конечного поворота О2, между элементами получаемых матриц m3 и п^ нет такого простого соответствия, как между элементами перемножаемых матриц);
некоммутативность в общем случае матриц типа т (п): тхт2 ф ф т2тх, пхП2 7^ n2ni;
матрица т переходит в т-Х, а п переходит в п-1, если вектор 0 меняет свое направление на противоположное.
Матрицы типа т или п эквивалентны кватернионам, поэтому все операции теории конечных поворотов и кинематики твердого тела могут быть представлены [100, 127] в виде операций над кватернионными матрицами. Такое их представление позволяет использовать при решении различных задач кинематики и ориентации твердого тела удобный и хорошо разработанный аппарат матричной алгебры и матричных дифференциальных уравнений и, кроме этого, позволяет использовать такое полезное свойство, как коммутативность кватернионных матриц типов тип, устраняющее в ряде случаев затруднения, связанные с некоммутативностью кватернионов.
Матрицы параметров Кейли-Клейна.
Унитарные матрицы размера 2x2. Вектору конечного поворота 0 можно поставить в соответствие комплексную унитарную матрицу второго порядка с определителем, равным единице [28, 50]:
Г = ( ^qq+ = L kl = Г (122)
у р о уу —р а у
здесь q+ — матрица, эрмитово сопряженная с матрицей q, I — единичная матрица размера 2x2.
Унитарные матрицы размера 4x4. Вектору конечного поворота можно также поставить в соответствие комплексные унитарные матрицы четвертого порядка [126]:
Отметим основные свойства матриц р и к [126].
В силу условия нормирования а 5 - Р^ = 1 определители матриц р и к равны единице: \р\ = \к\ = 1.
Матрицы р и к являются унитарными:
рр+ = Е, кк^ = Е,
где Е — единичная матрица размера 4x4, р+, к^" — матрицы, эрмитово сопряженные с матрицами р и к, имеющие вид:
р+=р * =р+=р * =/ 5 -7 0 0\-р а О О005-7\ 0 0-/3 а)/ 5 -7 0 0\-р а О О005-7\ 0 0-/3 а)/ 5 0 -р 0\ O5O-/37 0 о О0 —7 0 а // 5 0 -р 0\ O5O-/37 0 о О0 —7 0 а /(1.24)(1.24)
р+=р * =
р+=р * =
/ 5 -7 0 0\
-р а О О
005-7
\ 0 0-/3 а)
/ 5 -7 0 0\
-р а О О
005-7
\ 0 0-/3 а)
/ 5 0 -р 0\ O5O-/3
7 0 о О
0 —7 0 а /
/ 5 0 -р 0\ O5O-/3
7 0 о О
0 —7 0 а /
(1.24)
(1.24)
Матрицы типа р коммутируют с матрицами типа к; рк = кр.
Матрицы р, р+, к, кЕ имеющие вид (1.23), (1.24), целесообразно представить в блочном виде:
_ / q 0 \_ / al pi \ _ /ЦР) \
р = \ о q)’ к= \ yl 51 ) = \ 1^) 1(5) ) ’
(1.25)
_ / Q+ 0 \к+=( 51 -р1\ = ( Н5) -1(0) \
у О q^ jу—^1 al) у —1(a) )
Здесь матрицы q и q+ имеют вид (1.22), 0 — нулевая матрица размера 2x2, Ца) = al, ЦР) = РЕ ЦЕ) = ^Е Ц5) = 51 — диагональные матрицы размера 2x2.
При использовании параметров Кейли-Клейна могут быть использованы как унитарные матрицы размера 2x2, так и унитарные матрицы размера 4x4. При этом использование унитарных матриц размера 4x4 позволяет использовать свойство коммутативности матриц типа р и к.
Алгебра кватернионов
Основные операции с кватернионами. Изложим основные правила, определяющие действия над кватернионами [17].
/. Равенство двух кватернионов. Два кватерниона Аид равны, если равны их элементы Aj и pj; Xj = pj, j = 0, 1,2,3.
Нулевой кватернион. Нулевым называется кватернион, элементы которого нули.
Сложение кватернионов. Суммой кватернионов Аид называется кватернион v с элементами = Xj + pj, j = 0, 1,2, 3:
v = А + р = (Ло + ро) 1 + (Ai + ди) и + (А2 + /12) <2 + (A3 + Мз) /з-
Сложение кватернионов подчиняется правилам обычной алгебры:
А + р = р + А, (А + р) + v = А + ^р + v^.
Умножение кватернионов. При умножении кватерниона А на скаляр а происходит умножение на это число всех его элементов:
а А = аХо 1 -С aAi/i -С С1А2/2 "С ^Аз^з.
Умножение на скаляр подчиняется правилам обычной алгебры (а, b — скаляры):аХ =^х = х^
(а + Ь)Х = аХ + ЬХ, а (А + р) = аХ + ар.
Единицы 1, /1, /2, /3 можно рассматривать как единичные векторы (орты) четырехмерного пространства. Тогда любой кватернион можно представить в этом пространстве точкой или радиусом-вектором. Сложение векторов и умножение их на скаляр в этом пространстве происходит так же, как и в обычном векторном пространстве.
Для того чтобы определить произведение кватернионов, необходимо задать правила умножения единиц 1, ц, i%, i^. Эти правила были введены Гамильтоном (изобретателем кватернионов) в 1843 г. и таковы: 1 о 1 = 1,1 о /1 = /1 о 1 = /1,1 о /2 = /2 о 1 = /2,1 ° ^'з = ^'з ° 1 = С
/1°/1=—1,12о/2 = —1,/30/3 = —!,
/1 о /2 = -/2 ° И = /3, /з ° к =° /з = 6,
(1.26)
12 ° *3 = -^3 о 12 = 11.
Здесь символ «о» означает кватернионное умножение.
При таких правилах умножения кватернионных единиц произведение двух кватернионов также является кватернионом.
Правила умножения кватернионных единиц легко запомнить, если использовать следующую схему (см. рис. 1.6). При умножении двух единиц, расположенных по ходу часовой стрелки, получается третья единица с плюсом; при расположении единиц в обратном порядке (против хода часовой стрелки) получается третья единица со знаком минус.
Рис. 1.6Рис. 1.6Правила умножения чрезвычайно удобны — благодаря им алгебра кватернионов содержит в себе алгебру действительных и комплексных чисел, а также трехмерную векторную алгебру. Кватернионы содержат действительные числа (а, 0,0,0) с единственной единицей 1, комплексные числа (а, Ь, 0,0) с двумя единицами 1, i и векторы (0, а, Ь, с) с ортами /1, 12, is трехмерного векторного про-
Рис. 1.6
Рис. 1.6
странства. Однако если действительные и комплексные числа образуют поле (т. е. сложение, умножение и деление дают снова элемент рассматриваемого множества), то произведение (кватернионное) двух векторов, как легко убедиться, в силу (1.26) уже является не вектором,
а кватернионом.
Правила умножения (1.26) показывают, что умножение на 1 не изменяет кватерниона (1оА = Ао1 = А), то есть, единица 1 ведет себя как обычный скаляр, поэтому в выражении для кватерниона первый член (Ло) мы будем писать без единицы.
Кватернионные единицы ix, i2, is можно совместить с ортами трехмерного векторного пространства и рассматривать коэффициенты при этих единицах как компоненты вектора. В соответствии с этим кватернион А можно представить в виде скалярной Ад и векторной Av частей: х Л х х Л Л Л .
А — Ад + Av, Av — A i Zi + A2Z2 + ^з^з-
Используя это представление и правила умножения кватернионных единиц (1.26), произведение двух кватернионов Аид можно представить (используя операции векторной алгебры) в следующем виде:
А о р = Хоро — Ххрх — А2/12 — ^зМз + ^о (ц\И + №2 + Мз^з) +
(1.27)
— Хоро — Ху* pv + Xopv + роХу + Av х pv.
Отсюда видно, что если поменять местами сомножители, т. е. рассматривать произведение ц о А, то в формуле (1.27) изменится знак детерминанта. Следовательно, умножение кватернионов некоммутативно:
А о р р о А.
Перестановка сомножителей допустима лишь тогда, когда один из сомножителей является скалярным или когда векторные части сомножителей пропорциональны.
Из формулы (1.27) также следует, что в результате кватернионного умножения векторов получается не вектор, а кватернион:
Av 0 Цу = — Av* Цу 4" Av х pv.(1.28)
Из формулы (1.28) видно, что понимаемое в обычной векторной алгебре скалярное и векторное произведения двух векторов равны соответственно скалярной части кватернионного произведения этих векторов, взятой со знаком минус, и векторной части кватернионного произведения:
Av- pv = —seal (Av о p,v), Av х /iv = vect (Ao/z).(1.29)
Используя правила (1.26), можно доказать, что умножение кватернионов обладает ассоциативными и дистрибутивными по отношению к сложению свойствами:
(А о р) о v = А о (^ о v), Ao(/i + z/) = Ao/i + Aoz/.
Напомним, что векторное произведение векторов ассоциативным свойством не обладает.
Для скалярной и векторной частей кватернионого произведения двух векторов справедливы соотношения
seal (Av о pv) = seal (/iv о Av), vect (Av о /iv) = —vect (/iv о Av), seal (Av ° ду) = -Av- Mv = ^ (V ° Mv + Mv ° -M,(1.30)
vect (Av о цЛ = Av x /zv = t (Av 0 p,v — p,v о Av).
Отметим также следующие свойства скалярных частей произведений кватернионов:
seal (А о /i) = seal (/1 о А),
seal (А о р о v) = seal (ро v о А) = seal (и о А о р),
т. е. скалярная часть произведения кватернионов не меняется при циклической перестановке сомножителей.
Пусть даны два кватерниона А и р и пусть кватернион v определяется как произведение кватернионов А и р;
v = А о р.(1.31)
Используя формулу (1.27), из (1.31) получим выражения компонент кватерниона и через компоненты кватернионов А и р;
uq = Хоро — Х\р\ — Х2Р2 — ^зрз,
^1 = AqA^i + Ai/zq + ^2^3 — Х3Р2,
х х , х , х0-32)
^2 = Х0Р2 - Х\рз + Х2Р0 + АзМь
^з = Аод^з + А1/12 - ^2Р\ + Хзро.
Сопряженный кватернион. Кватернионом, сопряженным данному кватерниону А, является кватернион, обозначаемый А и определяемый формулой
А = Ao — Ai/i — X2i2 — А3/3 = Ao — Av.(1.33)
Сопряженные сумме и произведению двух кватернионов находятся по формулам _ _
(А + /1) = А + Д, (А о р,) = д о А.(1.34)
По индукции свойства (1.34) легко доказываются для случаев п кватернионных слагаемых и п сомножителей.
Норма кватерниона. Нормой кватерниона А называется вели- ЧИНЗ||А|| = АоА = АоА = У+ Af + y+ А^.(1.35)
Если норма кватерниона равна 1 (|| А || = 1), то кватернион называется нормированным или единичным.
Норма произведения кватернионов равна произведению норм сомножителей:
|| Ai о А2 о о Ап || = || Ai || || А21||| Ап ||.
Деление кватернионов. Обратный кватернион. Пусть кватернион v является произведением кватернионов Аид:
v = А о р.(1.36)
И пусть необходимо определить по заданным v и A (v и р) кватернион р (А). Для этого необходимо определить операцию деления кватернионов. В координатах эта операция равносильна решению системы линейных неоднородных алгебраических уравнений (1.32) относительно неизвестных pj или Хр j = 0, 1,2,3.
С операцией деления кватернионов тесно связано понятие обратного кватерниона: кватернионом, обратным данному кватерниону А, называется кватернион А-1, определяемый формулой
А"1 = ЦАГ’А.(1.37)
Для обратного кватерниона справедливо равенство
А о А"1 = А"1 о А = 1.(1.38)
Исходя из этого понятия, уравнение (1.36) можно решить относительно неизвестного кватерниона А следующим образом: умножим справа данное уравнение на р~\ в результате получим
А = v о р~{ = || р ||-1 v о р.(1.39)
Для случая неизвестного р получаем аналогично:
р = А-1 о v = || А ||-1 А о v.(1.40)
Формулы (1.39) и (1.40) определяют операцию деления кватернионов и являются решениями уравнения (1.36). Некоммутативность умножения кватернионов приводит к несимметричным формулам для нахождения кватернионов А и р.
Кватернион, обратный произведению кватернионов, находится следующим образом:
(Ai о А2 о ... о Ап)-1 = А”1 о А”^ о ... о Ар1 о Af1.
Геометрическая интерпретация кватерниона.
Представление кватерниона в тригонометрической форме. Формула Муавра. Любой кватернион
А = До + А1 Zi + Д2^2 + Дз*з = До + Av
с действительными элементами Хр j = 0, 1,2,3, может быть представлен в следующем виде:
где величина
Д = (До + Д1 + Д2 + Д!) = II А || ^2 = |А|
называется тензором данного кватерниона.
Очевидно, что тензор нормированного (единичного) кватерниона равен единице. Величина
До Ау
называется верзором кватерниона, т. е. верзор — кватернион, норма которого равна единице. Это название связано с тем, что вращение может быть задано с помощью единичного кватерниона.
Введем единичный вектор £, направленный вдоль вектора Av:
Ау Ai/1 + Д2/2 + Дз^з)Ау Ai/1 + Д2/2 + Дз^з)(1.42)(1.42)
Ау Ai/1 + Д2/2 + Дз^з)
Ау Ai/1 + Д2/2 + Дз^з)
(1.42)
(1.42)
(1.43)(1.43)Тогда векторная часть верзора может быть записана в таком виде:
(1.43)
(1.43)
д д
Замечая, что сумма квадратов скалярной части верзора и коэффициента при £ в (1.43) равна единице, введем следующие переменные:
0 < v < к.0 < v < к.(1.44)(1.44)До .(Д1 + Д2 + д|)
0 < v < к.
0 < v < к.
(1.44)
(1.44)
cos о = —, sin о = -
С учетом этих обозначений кватернион (1.41) может быть представлен
(1.45)(1.45)в следующем виде:
(1.45)
(1.45)
А = Д (cos о + £ sin о).
Замечание. В выражении кватерниона (1.45) знак угла о определяется выбором направления вектора £ (по сути дела в выражениях (1.42) и (1.44) для £ и sin о следовало бы поставить знаки ± ).
Представление кватерниона в тригонометрической форме (1.45) удобно тем, что позволяет легко находить корни уравнения
АоАо...оА = АпАоАо...оА = Ап= М-= М-(1.46)(1.46)
АоАо...оА = Ап
АоАо...оА = Ап
= М-
= М-
(1.46)
(1.46)
Действительно, поскольку
ТО
А2 = А о А = A2(cosv+£ sin и) о (cosv+£ sint;) = A2(cos(2t;) + £ sin(2t;))
и для любой степени п справедлива формула Муавра [17]:
Xй = An(cos(nu) +^sin(m;)).(1-47)
Решение уравнения (1.47) возможно в том случае, когда вектор /iv направлен по вектору £. Само решение в этом случае аналогично решению сходного уравнения в теории комплексных чисел, и мы не будем здесь на нем останавливаться.
Представление кватерниона на сфере. Представление кватерниона в форме (1.45) позволяет получить наглядную геометрическую интерпретацию кватерниона [17]. Для этого рассмотрим нормированный кватернион
А = cos и + £ sin v. (1-48)
Этот кватернион может быть представлен в виде кватернионного произведения b о а-Некоторых двух векторов b и а-1, удовлетворяющих следующим условиям:
а = Ь, а= || а Ц1/2, Ь= || 6 Ц1/2;
угол между векторами а и Ь равен и;
плоскость, проходящая через векторы а и Ь, перпендикулярна единичному вектору £;
векторы а, Ь, £ образуют правую тройку векторов (рис. 1.7).
Поясним смысл вектора а-1. Как уже отмечалось, кватернионные единицы /1, 1^ /3 можно совместить с ортами трехмерного векторного пространства. Тогда вектору а можно сопо-с
ставить кватернион av = сцц + а,^ + пз*з = = а, компонентами at, г = 1,2,3, которого являются проекции вектора а на оси введенного1
координатного базиса.к а ZZbZxb )
Обратным кватерниону av будет кватернионАВ
а~х = || av ir^v = || «v ir^v = || а ||-1а.агс
(1.49)Рис. 1.7
Этому кватерниону в трехмерном векторном пространстве соответствует ранее введенный вектор а-Х с проекциями, равными величинам —«г/Н « II-
На основании условий 1)-4) и равенства (1.49) имеем
А = cost; + £ sin г; = || а ||-1(а6 cost; + ^ab sin и) =
= || а || х(а • b + а х Ь) = || а || х(-а • b + b х а) == -|| а ||-1 (6 о а) Ьа \
что и доказывает возможность представления кватерниона А в виде кватернионного произведения векторов b и а-1, удовлетворяющих условиям 1)-4).
Из соотношения (1.50) и рис. 1.7 следует, что каждому нормированному кватерниону Л может быть поставлена в соответствие дуга большого круга сферы радиуса а = Ь, имеющая направление положительного отсчета угла и и соединяющая концы векторов а и Ь. Поэтому геометрическая интерпретация такова: нормированный кватернион Л может быть однозначным образом представлен дугой большого круга аге Л, плоскость которого определяется вектором £, а длина — углом и. Направление дуги задано направлением вектора £; положение дуги аге Л на ее большом круге произвольно, т. е. дуга является скользящей.
Геометрическая интерпретация умножения кватернионов. Пусть даны нормированные кватернионы А и /1. Оба эти кватерниона можно представить в виде (1.48) и в виде дуг больших кругов соответствующих длин. Дуга аге Л кватерниона Л располагается на большом круге, перпендикулярном к вектору Av; дуга arc/i — на большом круге, определяемом вектором /iv. Поместим начало дуги аге Л и конец дуги arc р в точку А пересечения окружностей больших кругов (рис. 1.8)
Введя соответствующие векторы а, Ь, с, удовлетворяющие попарно (а и 6), (с и а) условиям 1)-4) п. 1.4.2.2, получим
А = 6од1, р = аос~х. (151)
Дуга большого круга, соединяющая точки С и В, определяет некоторый кватернион v = Ь о с~1. С учетом (1.51) имеем
v = b о а х о ао с~х = Хо р,
т. е. произведению кватернионов Л и р соответствует операция геометрического сложения дуг аге Л и аге р на сфере в обратном порядке:
аге р + arc Л = arc v = агс(А о р).
Аналогично, при геометрическом сложении трех дуг больших кругов, соответствующих кватернионам Л, р и и, имеем (рис. 1.9):
arc v + arc р + arc Л = агс( А о р о v),
так как
А я б1, pbc V iv c d \
А о р о v = а о Ь~х о Ь о с ' о с о d~x = aod~[.
Таким образом, векторная сумма нескольких дуг больших кругов, каждая из которых задается кватернионом, дает дугу большого круга, определяемую произведением этих кватернионов в обратном порядке. В этом заключается геометрическая интерпретация произведения кватернионов.
Приведенное представление кватернионов в виде дуг на сфере во
многих случаях оказывается весьма полезным, в частности, при выводе тригонометрических формул сферической геометрии.
Винты и бикватернионы Клиффорда
Дуальные числа. Для описания движения свободного твердого тела или винтового движения несвободного твердого тела широко используются винтовые методы (к этим методам относится бикватернионный метод описания движения) [1, 29, 30, 51-54], оперирующие с такими понятиями, как дуальные числа, функции дуальных переменных, дуальные углы, векторы.
Дуальным числом или параболическим комплексным числом «по Клиффорду» называется комплексное число вида
A = a + sa°, s2 = 0,(1.52)
где а и а° — действительные числа, называемые соответственно главной и моментной частями дуального числа A, s — символ (комплексность) Клиффорда.
Если а ф 0, то дуальное число А представимо в виде
А = а(1 + sa°/а) = а(1 + sp) = aesp,(1.53)
где р = а°/а называется параметром числа А.
Действия над дуальными числами описаны, например, в [29, 30]. Дуальное число рассматривается как формальная сумма главной и моментной частей, а множитель s как число, обладающее формальным свойством s2 = 0. Равенство А = а + sa° означает, что одновременно удовлетворяются равенства а = 0 и а° = 0.
Сложение и вычитание двух дуальных чисел А и В не отличается от сложения и вычитания обычных комплексных чисел:
А ± В = (а ± b) + s (а° ± Ь°).
Умножение двух дуальных чисел проводится по формуле
АВ = (а + sa°) (b + sb°) = ab + s (ab° + а°Ь).
Для деления (при 6^0) получим
А (а + sa°) (а + sa°) (b — sb°) a a°b — аЬ°
В = (6 + sb°) =№= b + 5№■
Возведение в степень и извлечение корня проводится по формулам
Ап = (а + sa°Y = ап + snaoan-\ А2 = а2 + s2a°a,
А'/" = (а + 80°)!/» = OV» + 8 Г а^/^-П.п
Отметим следующие особенности в действиях над дуальными числами:
произведение двух чисел, главная часть одного из которых равна нулю, имеет главную часть, равную нулю, вследствие чего деление дуального числа с ненулевой главной частью на дуальное число с нулевой главной частью невозможно;
произведение двух чисел может быть равно нулю не только при равенстве нулю одного из них, но и при равенстве нулю главных частей обоих чисел, ввиду чего извлечение корня из ненулевого дуального числа с нулевой главной частью невозможно.
5.2. Функции дуальных переменных. Всякая аналитическая функция F дуального переменного X = х + sx° (понятие аналитической функции дуальной переменной вводится аналогично понятию аналитической функции в обычной теории функции комплексного переменного) может быть представлена в виде [30]:
Р^ = Е^^8х°^ = ^0Н8хоа^-, f^ = F^\(1.54)
Если аналитическая функция F в общем случае зависит как от дуальной переменной X = х + sx°, так и от дуальных параметров
Л1 = сц + so®,..., Ап = ап + sa^
то есть, F = F(X,A\,... ,Ап\ то она может быть представлена в виде
F(X, А1,..., А„) = /(ж) + s [ж°/'(ж) + F(xY ,
/(ж) = F(x, ax,...,anY=
и 04иОп
Из формул (1.54), (1.55) видно, что аналитическая функция F дуальной переменной X полностью определяется ее главной частью f(x). Если главные части двух функций тождественно равны, то равны и сами функции.
Для аналитических функций дуальных переменных сохраняются все тождества, относящиеся к дифференцируемым функциям действительных переменных. Поэтому, в частности,
sinX = sin(x + sx°) = sin ж + sx° cost;,
cosX = cos(t; + sx°) = cost; — sx° sinx,
tgX = tg(x + sx°) = tgT; 4—,(1.56)
COS2 X
InX = ln(x + sx°) = Inx + ^—, ex = еж+5ж° = еж(1 + sx°).
Для производной от аналитической функции F(X) по дуальной переменной X имеем
= Лж) + s \x°f\x^ +
для интеграла —
j F(X) dX = | /(ж) dx + s [ж°/(ж) +1 /°Ц) dx^ + С,
где С = с + sc0 — произвольная дуальная постоянная.
Для производной и интеграла от аналитической функции по дуальной переменной справедливы равенства:
dF^ _ dF^X)dX = ЭхdF^ _ dF^X)dX = Эх| F^ dX = | F(X) dx,| F^ dX = | F(X) dx,(1.57)(1.57)
dF^ _ dF^X)dX = Эх
dF^ _ dF^X)dX = Эх
| F^ dX = | F(X) dx,
| F^ dX = | F(X) dx,
(1.57)
(1.57)
т. e. при дифференцировании и интегрировании дуальный дифференциал заменяется действительным.
Заметим, что для того, чтобы второе тождество (1.57) сохранялось в случае, когда F(X) = а + sa°, т. е. когда подынтегральная функция тождественно равна дуальной константе, ей надо «придать вид» дуальной функции, т. е. записать ее в форме
а + so? = а + sа + so? = а + s
а + so? = а + s
а + so? = а + s
Для аналитической функции дуальной переменной сохраняются все формулы и теоремы дифференциального и интегрального исчислений, так,
d(sinX)d(cosX) .d(sinX)d(cosX) .<1 58)<1 58)
d(sinX)d(cosX) .
d(sinX)d(cosX) .
<1 58)
<1 58)
гXn+1 г1
XndX = + С, cos(AX) dX = - sin(AX) + С,
Jn+1 J v 7 Д
где n — в общем случае дуальное число, С — дуальная постоянная.
Дуальные векторы (бивекторы) и винты.
Момент вектора относительно точки. Скользящий вектор. Система скользящих векторов. Главный вектор и главный момент системы. Эквивалентные системы. Центральная ось системы векторов. Прежде чем вводить понятия дуального вектора (бивектора) и винта, рассмотрим понятие момента вектора относительно точки и элементы теории приведения (упрощения) системы скользящих векторов.
Моментом г° вектора г = АВ, где А — фиксированное начало, В — конец вектора, относительно какой-нибудь точки О называется вектор, равный векторному произведению радиуса-вектора р = О А на заданный вектор, т. е.
г° = р х г. (1.59)
Из определения следует, что момент г° перпендикулярен к плоскости треугольника ОАВ и направлен в ту сторону, откуда обход треугольника в направлении вектора г представляется происходящим против хода часовой стрелки, а модуль момента равен удвоенной площади треугольника ОАВ. Момент вектора относительно любой точки не изменится, если вектор произвольно перемещать вдоль его прямой. Два равных вектора, моменты которых относительно любой точки пространства равны, называются эквивалентными. Следовательно, перемещая вектор в любое положение вдоль его прямой, мы будем получать эквивалентные векторы.
Во многих задачах механики твердого тела условия задачи сохраняют силу, если векторы, изображающие те или иные величины, заменяются эквивалентными. Такие векторы, которые определяются с точностью до эквивалентности, т. е. которые можно перемещать вдоль линии их действия, называются скользящими. Примером скользящего вектора может служить вектор, изображающий угловую скорость твердого тела. Его положение в пространстве характеризуется положением мгновенной оси вращения тела; вместе с тем он может быть расположен где угодно на этой оси. Другим примером скользящего вектора может служить вектор силы, приложенный в некоторой точке абсолютно твердого тела. Вектор силы можно переносить вдоль линии ее действия; при этом действие силы на такое тело не изменится.
Пусть задана произвольная система скользящих векторов щ,г2,...,гп. Возьмем произвольную точку О пространства и отнесем к ней два вектора: главный вектор г системы, равный геометрической сумме всех векторов системы, и главный момент г° системы, равный геометрической сумме моментов всех векторов системы относительно точки О:
г = п +г2 + ... + ГП, (1.60)
го = го + го + + го = Р1 X Г1 +р2 X Г2 + ... + pn X Гп, (1.61) где рх, р^,...,рп — радиусы-векторы начальных точек векторов щ, г^,... ,гп, проведенные из точки О.
Главный вектор системы скользящих векторов не зависит от выбора точки О, кроме того, скалярное произведение главного вектора на главный момент, взятый относительно произвольной точки О пространства, также не зависит от выбора указанной точки. При любом изменении точки О изменяется только та составляющая главного момента, которая перпендикулярна к главному вектору; составляющая же, параллельная главному вектору, остается неизменной. Скалярное произведение главного вектора на главный момент системы скользящих векторов называется скалярным инвариантом системы скользящих векторов. Другим (векторным) инвариантом системы скользящих векторов является ее главный вектор.
Две системы скользящих векторов называются эквивалентными, если у них равны главные векторы, а также главные моменты относительно любой точки пространства. Если у двух систем скользящих векторов равны главные векторы и равны главные моменты относительно какой-нибудь одной точки пространства, то у этих систем будут равны моменты относительно любой точки пространства.
О системе скользящих векторов, определяемой главным вектором г и главным моментом г° относительно какой-нибудь точки О, говорят, что она приведена к точке О, а точку О называют точкой приведения. Главный момент системы, эквивалентной данной, при приведении к новой точке О' выражается формулой
ro, = r4pxr, (1.62)
где р — радиус-вектор, соединяющий точку О' с О.
Существуют такие точки приведения, для которых главный момент системы скользящих векторов коллинеарен главному вектору. Пусть главный вектор системы скользящих векторов будет равен г и для некоторой точки приведения О ее главный момент будет равен вектору г°, не коллинеарному главному вектору г. Проведем через точку О прямую, перпендикулярную к г и г°, и найдем на ней точку С, для которой радиус-вектор СО = (г° х г)/г1. Приняв С за новую точку приведения, найдем по формуле (1.62) соответствующий момент
= г° + ^ х Г^ X г = ^Г г = рг, р = 2Г\ (1.63)
который будет коллинеарен главному вектору г.
Наряду с точкой С существует бесконечное множество точек, обладающих тем же свойством; все эти точки лежат на прямой, проходящей через точку С и параллельной главному вектору г. Эта прямая называется центральной осью системы скользящих векторов. Для любой точки, не лежащей на центральной оси, главный момент системы скользящих векторов не будет коллинеарен главному вектору. Центральная ось системы — единственная прямая, точки которой обладают этим свойством.
В механике примером системы скользящих векторов может служить система сил <Ех,Еъ...,Еи\ приложенных к абсолютно твердому телу. При приведении этой системы сил к произвольно выбранной точке О твердого тела, получаем главный вектор системы сил
F = Fx + F2 + • • • + Fn
и главный момент системы сил
М° = М°х F М°2 F ... Г М°п = рх х Fx Г р2 х F2 F ... Г pn х Fn,
где Рх, р2, ..., рп — радиусы-векторы точек приложения сил Fx, F2,..., Fn, проведенные из центра приведения О.
Исходная система сил №,Г2,...,Г„) по своему действию на твердое тело эквивалентна совокупности главного вектора F и главного момента М° этой системы сил, приложенных в выбранной точке О твердого тела. Главный вектор системы сил F и главный момент М° этой системы сил, полученный для произвольной точки О, в общем случае оказываются не коллинеарными. Однако, как и для любой другой системы скользящих векторов, для пространственной системы сил существуют точки, при приведении к которым главный вектор и главный момент системы сил оказываются коллинеарными. Эти точки принадлежат прямой, параллельной главному вектору F и проходящей > ГД1° х р\ через точку С, определяемую радиусом-вектором р = СО =•
Главный момент исходной системы сил для этой точки определяется формулой, аналогичной (1.63):
М°с = ЛГ +М°с = ЛГ +(ЛГ х F)F2(ЛГ х F)F2xF =xF =(М° • F)(М° • F)F = pF, р =F = pF, р =(М° • F)(М° • F)(1.64)(1.64)
М°с = ЛГ +
М°с = ЛГ +
(ЛГ х F)
F2
(ЛГ х F)
F2
xF =
xF =
(М° • F)
(М° • F)
F = pF, р =
F = pF, р =
(М° • F)
(М° • F)
(1.64)
(1.64)
Указанная прямая называется центральной осью системы сил, а совокупность коллинеарных главного вектора и главного момента системы сил, полученная при приведении системы сил к любой точке центральной оси, называется динамическим винтом, или силовым винтом, или динамой (термин «динама» был введен Плюккером и перенесен в механику английским астрономом и математиком Р. Боллом). Величина р, фигурирующая в формуле (1.64) (в ней F — модуль главного вектора F), называется параметром динамического винта. Понятие динамического (силового) винта широко используется в современной статике и динамике твердого тела.
Мотор (бивектор) и винт. Геометрический образ — эквивалент системы скользящих векторов, представляемый для любой точки пространства главным вектором г и главным моментом г° системы относительно этой точки, называется мотором (читается: мотор). В дальнейшем для простоты мотором будем называть двойку векторов (г, г°\ т. е. совокупность вектора и момента, отнесенную к одной какой- нибудь точке, поскольку эта двойка полностью определяет мотор, и будем полагать, что начала г и г° находятся в данной точке. Двойку
векторов (г, г°) также называют бивектором; этот термин был введен У. Гамильтоном и использовался позднее А.П. Котельниковым в его трудах по винтовому исчислению и теории бикватернионов.
Мотор (г, г°), у которого момент г° коллинеарен вектору г, называется винтом. Прямая, на которой лежат г и г°, называется осью винта. Иными словами, винт есть система, состоящая из скользящего вектора г и пары с коллинеарным ему моментом г°.
Из сказанного следует, что система скользящих векторов в общем случае эквивалентна винту. Ось винта — центральная ось системы скользящих векторов; вектор винта — главный вектор; момент винта — главный момент системы относительно произвольной точки центральной оси.
Винт представляет собой частный вид моторного приведения системы скользящих векторов, поскольку, как было сказано выше, система эквивалентна также мотору. Поэтому мотор и винт, к которым приведена одна и та же система скользящих векторов, суть разные способы ее приведения, и мы будем в таком случае говорить, что мотор и винт соответствуют друг другу. Сама система скользящих векторов может быть задана либо мотором, либо винтом.
Так как векторы г и г° винта коллинеарны, то для него г° = рг, где р — скалярный множитель. Этот множитель называется параметром винта. Величина р будет положительна, если г и г° направлены в одну и ту же сторону, и отрицательна, если они направлены в разные стороны. На основании формулы (1.63) р = {г0-^/^, где г — модуль вектора г.
Всякий скользящий вектор есть в то же время винт с нулевым параметром, а прямая, на которой он лежит, является осью этого винта; всякий момент — винт, осью которого может служить любая прямая, ему параллельная (параметр такого винта не имеет реального смысла). Под термином «винт» следует понимать винт любого параметра, в том числе и винт нулевого параметра, т. е. скользящий вектор.
Винт нулевого параметра, у которого модуль вектора равен единице, называется единичным винтом (то же, что и единичный скользящий вектор).
Винт (г, рг) полностью определяет мотор (г,г°) для любой точки пространства; этот мотор в свою очередь единственным образом определяет винт. Замена винта эквивалентным мотором в точке О называется приведением винта к точке О. Момент г° называется моментом винта относительно точки О.
Поскольку теория винтов имеет непосредственное применение в механике, укажем на кинематическую и силовую интерпретацию винта, которые, собственно, и привели к появлению понятия винта и к созданию винтового и моторного исчислений.
Наиболее общий случай перемещения свободного твердого тела в пространстве сводится к винтовому перемещению, характеризующемуся осью винтового перемещения, модулем вектора (величиной угла
поворота тела вокруг оси винтового перемещения) и параметром, равным отношению поступательного и вращательного перемещений тела. Если винтовое перемещение бесконечно малое, то, отнеся его к бесконечно малому промежутку времени, мы получим мгновенный винт скоростей, у которого вектором служит угловая скорость, а моментом — поступательная скорость тела. В этом случае скорость произвольной точки тела равна моменту винта относительно этой точки. Мгновенный винт скоростей также называется кинематическим винтом. Таким образом, винт кинематический есть винт, характеризующий бесконечно малое перемещение свободного твердого тела.
С другой стороны мгновенное движение свободного твердого тела вполне определяется вектором ш мгновенной угловой скорости вращения тела вокруг какой-нибудь (произвольно выбранной) точки О тела и вектором у скорости этой точки тела. Совокупность векторов (сщ у) образуют мотор (г = сщ г° = у), отнесенный к точке О тела, которому соответствует кинематический винт свободного твердого тела.
Наиболее общая пространственная система сил, действующих на тело, может быть приведена к силовому винту (динаме) по правилам приведения к винту системы скользящих векторов так, как это было указано в предыдущем пункте, если в качестве таких векторов рассматривать силы, действующие на твердое тело.
Как уже было сказано выше, непосредственное задание винта его осью, вектором и параметром заменяется заданием мотора, отнесенного к точке приведения и представляющего совокупность вектора и момента. Эта замена приносит ту выгоду, что оперирование непосредственно над винтами заменяется оперированием над векторами и сводится таким образом к операциям обыкновенной векторной алгебры.
У. К. Клиффорд ввел [169] весьма оригинальную операцию, с помощью которой мотор (г, г°) представляется формально в виде комплексного вектора
г + sr°, s2 = 0,
где s — множитель, квадрат которого равен нулю (как и в теории дуальных чисел, s — символ (комплексность) Клиффорда).
Если оперировать с такого рода комплексным вектором как с суммой, то s будет играть роль числа, обладающего свойством s2 = 0.
Отметим, что в указанной работе Клиффорд мотором называет совокупность геометрических (векторных) величин, с помощью которых можно характеризовать систему сил, приложенных к твердому телу, т. е. ту совокупность, которую Болл называет динамой, заимствуя этот термин у Плюккера.
Введение комплексного вектора с множителем s приводит к интересным следствиям: во-первых, результаты операций над моторами оказываются независящими от точки приведения, для которой получен мотор, а во-вторых, «векторная» часть результата операции над любым мотором оказывается равной результату соответствующей операции
над вектором мотора. В конечном счете, как видно будет далее, применение указанного комплексного вектора приводит к полной аналогии между описанием винтов и описанием векторов.
1.5.4. Операции над винтами — дуальная векторная алгебра. После того, как установлено понятие винта, для построения такой алгебры, в которой винт был бы объектом различных операций, необходимо дать определение операций непосредственно над винтами. Рассмотрим эти операции, следуя [30].
В основу всех действий над винтами кладутся действия над моторами, соответствующими этим винтам. При задании двух и более винтов в пространстве выбирается одна общая точка приведения и к ней относятся моторы всех винтов. Любая алгебраическая операция над винтами (умножение на число, сложение и умножение) определяется как операция над моторами этих винтов, а так как каждый мотор, как об этом уже было сказано, формально выражается дуальным вектором, то алгебра винтов сводится к алгебре дуальных векторов.
Оказывается, что применение основных векторных операций к дуальным векторам — моторам — приводит в результате к величинам, обладающим такими свойствами: во-первых, эти величины не зависят от точки, к которой приведены винты, а во-вторых, главная часть величины, полученной в результате операций, есть величина, получаемая соответствующей операцией над главными частями дуальных векторов. Эти свойства являются следствием свойства выбранного множителям, которое выражается равенством s2 = 0.
Представляя мотор дуальным вектором, действие над ним производят формально, как над суммой двух векторов. При умножении используют распределительное свойство произведения.
В частности, для единичного винта Е, которому соответствует мотор (е, е°), е*е° = 0 или комплексный вектор е + se°, получим
£2 = (e + se°)2 = e2 + 2se-e° = 1. (1.65)
Умножение винта на число. Напомним, что совокупность (г, г°) вектора г и момента г°, приложенных в одной точке О пространства, называется мотором. Мотору соответствует дуальный вектор (бивектор) г + sr° (s2 = 0) — комплексная комбинация векторов г и г°. Винт является частным случаем мотора (дуального вектора г + sr°\ когда векторы г и г° параллельны и приложены в точке, принадлежащей оси винта.
Любая двойка векторов (мотор) может быть заменена (за счет соответствующего выбора точки их приложения) винтом. Более того, любая система п скользящих векторов может быть приведена к винту. Винт определяется его осью, параметром и вектором, лежащим на оси винта. Винт, соответствующий мотору (г, г°), будем обозначать через R.
Единичным винтом Е называется винт нулевого параметра, у которого модуль вектора равен единице. Единичному винту Е для выбранной точки О пространства соответствует мотор (е, е°) или комплексный вектор е + se°, такие, что е2 = 1, е-е° = 0 (е — единичный вектор, е° — момент вектора е относительно точки О).
Следовательно, винт R определяется своим единичным винтом Е, параметром р = (г° • г)/г2 и модулем г вектора г. Если г ^ 0, то винт, как будет показано ниже, может быть представлен в виде
R = r(\+sp)E = respE, р = ^^Д О66)
Умножение винта на вещественное число определяется как построение такого винта, вектор которого равен вектору данного винта, умноженному на это число, и момент которого относительно любой точки пространства равен моменту данного винта относительно этой же точки, умноженному на то же число.
Согласно этому определению, если Е — единичный винт, а (е, е°) — его мотор для какой-нибудь точки, причем е2 = 1, е • е° = 0, то винту R = гЕ, где г — вещественное число, будет соответствовать мотор (те, ге°) для той же точки.
Применяя формулу (1.62) для момента вектора относительно новой точки, придем к выводу, что данное определение не зависит от точки, для которой взят момент, т. е. что построенный винт, удовлетворяющий определению для одной какой-нибудь точки, будет удовлетворять ему для любой точки пространства.
Воспользовавшись соотношением (1.63) для нахождения точки центральной оси, можно показать, что момент винта тЕ относительно оси винта Е равен нулю, а следовательно, ось винта Е является в то же время осью винта тЕ (нулевого параметра). Отсюда следует, что умножение на вещественное число не меняет оси единичного винта.
На основании (1.64) имеем
£2 = 1, R = rE, R^r2; (1.67)
если г — положительное число, то направления винтов Е и гЕ совпадают, если т — отрицательное число, то направления винтов Е и гЕ противоположны.
Для умножения произвольного винта R, мотор которого для какой- нибудь точки есть (г, г°), г • г° ^ 0, на вещественное число а построим винт aR, для которого соответствующий мотор, по определению, будет (ar, ar°Y Представляя мотор дуальным вектором, получим
R—>r^sr°, aR <—>ar^sar°, (1.68)
где знак ^ указывает на соответствие мотора данному винту.
Ось винта, как можно показать, при умножении на вещественное число а сохраняется.
Дадим определение умножения единичного винта Е на дуальное ЧИСЛО Д = Г + 8Т°.
Представляя мотор (е, е°) винта Е дуальным вектором
Е <—> е + se°, е2 = 1, е • е° = О, определим винт R = RE как винт, соответствующий мотору винта Е, умноженному на дуальное число R:
RE <—> (г + sr°)(e + se°) = re + s(re° + т°е\ (1.69)
Для точек оси винта Е момент е° равен нулю, поэтому мотор винта R = RE для этих точек
те + 8т°е = (г + sr°) е
будет представлять также винт, так как вектор и момент коллинеарны.
Отсюда следует, что в результате умножения единичного винта Е на дуальное число R = г + sr° получается винт R, осью которого служит ось винта Е и который может быть представлен дуальным вектором
R = RE = (г + sr°) Е = respE, р = т°/т.(1.70)
Если г — положительное число, то направление вектора винта R совпадает с направлением Е, если оно отрицательно, то направление указанного вектора противоположно.
Если винт задан мотором г + sr° для произвольной точки О приведения, то параметр винта будет определяться формулой
р = (г° • г) /т2.
Дуальное число
R = \r\esp,(1.71)
у которого главная часть равна модулю вектора винта, а параметр — параметру винта, будем называть дуальным модулем бинта и обозначать через |/?|.
Винт, у которого вектор равен нулю, будем называть особенным. Поскольку параметр такого винта не может быть выражен конечным числом, так как главная часть модуля равна нулю, представление его дуального модуля формулой (1.71) теряет смысл.
Умножение произвольного винта R = respE на дуальное число А = = а + sa° определим как построение такого винта, мотор которого для произвольной точки получается умножением мотора (те, те° + т°е) данного винта для этой же точки на это число. Представляя мотор как дуальный вектор, получим
AR = (а + sao^) \re + s (ге° + т°е^ =
(1.72)
= гае + s(rae° + т°ае + та°е\
причем е • е° = 0.
И в этом случае легко убедиться, что определение не зависит от точки приведения, для которой взят мотор.
Для точек, принадлежащих оси винта R, момент е° равен нулю, поэтому для этой оси будем иметь мотор
R <—> гае + s(r°a + га°)е,
у которого момент коллинеарен вектору, т. е. имеем винт. Следовательно, осью винта AR служит ось винта R, а значит, при умножении на дуальное число произвольного винта его ось остается неизменной.
Для винта AR получаем
AR = (а + sa°yespE = аге^^У^^^Е = аге^^Нт"/^,
(173)
|АЯ| = |Г| |а| es[(a°/a) + (r'’/r)]
(т. е. модуль главного вектора умножается на абсолютную величину главной части множителя, а к параметру винта прибавляется параметр множителя).
Дуальный угол между двумя осями. Дуальный угол между осями Хг и Yi, задаваемыми единичными винтами Xi и Уг (рис. 1.10), определяется винтом [30, 51]:
Гг = ГгЕг = Ьг^8^)Ег,(1.74)
где Et — единичный винт, определяющий ось дуального угла Г^ и лежащий на прямой aibi, пересекающей оси Xi и Yi под прямым углом, ^i — обычный угол между осями Xi и Yi, |у^| = a^i — кратчайшее расстояние между осями Xi и Yi.
Рис. 1.10
В выборе направления единичного винта Ei существует произвол, в частности, он может быть направлен так, чтобы тройка винтов Х^ = = (Xi, Yi, Е^ была правой. Угол ^ считается положительным, если его отсчет от оси Xi к Yi происходит против хода часовой стрелки (если смотреть с конца винта Ei). Величина ^ считается положительной, если поступательное перемещение при совмещении оси Xi с Yi происходит в сторону положительного направления винта Ei.
Дуальное число Гг = 7г + s^ служит мерой дуального угла между осями Xi и Yi. Оно также может быть интерпретировано как дуальный угол поворота вокруг оси винта Ei, описывающий собой винтовое перемещение оси Yi из ее начального положения, совпадающего с осью Xi, в ее конечное положение. Это перемещение состоит из поворота
вокруг оси Et на угол ^ между направлениями винтов Xi и Yi и из поступательного перемещения вдоль этой оси на расстояние aibi, равное модулю величины у?.
На основании приведенных в пункте 1.5.2 формул тригонометрические функции дуального угла Г^ = 7i + syf можно представить в виде: sin Г* = sin^ + syf) = sin у* + syfcosy^, cosH = cos^ + syf) = cos y^ - syfsinyi,(1.75)
tgn = tg(7i+87?) = tg7i + 87f/cos27i.
1.5.4.3. Скалярное умножение винтов. Проекция винта на ось.1.5.4.3. Скалярное умножение винтов. Проекция винта на ось.Под скалярным произведением двух винтов понимается дуальное число, равное скалярному произведению их моторов, отнесенных к какой-нибудь точке приведения.
1.5.4.3. Скалярное умножение винтов. Проекция винта на ось.
1.5.4.3. Скалярное умножение винтов. Проекция винта на ось.
Скалярное умножение винтов будем обозначать центральной точкой.
Пусть заданы два винта:
Rx = rxespxEx, R2 = T2esp^E2 с дуальными модулями
\Rx\=rxe8p\ \R2\=r2e8p\
И > О, /у > О, и пусть оси этих винтов образуют дуальный угол
А = а + §а°.
Возьмем произвольную точку О и отнесем к ней моторы заданных винтов. Соединив точку О с точками т и п осей винтов, где тп — отрезок, соответствующий кратчайшему расстоянию между этими осями, получим радиусы-векторы точек тип, проведенные из точки О, и вектор тп (рис. 1.11):
От = рх, On = р2, тп = р2 — рх = а°ЕХ2,
где ^12 — единичный винт прямой тп.
Моторы винтов Rx и R2, отнесенные к точке О, представим как дуальные векторы. Таким образом, получим замену винтов дуальными
векторами:
Я] ^Г] +s(piri+Р! ХГ1), R2 г2 + 8 (р2г2 + р2 X г2).(1.76)
Произведя скалярное умножение, в соответствии с определением получим
R\R2 = Г] -r2 + s{(pi + р2) И -г2 + [Р1Г]Г2] + [Г1Р2Г2]} =
= Г\ -г2 + s{(p, +р2) Г\ -г2 - [(р2 - Р1)ПГ2]} =
= 7*17*2 cos а + s[(pi + Р2) Пр2 cos а — T\T<2,a° sin а] =
= 7*1 T*2espi esp2 (cos а — sa° sin а) = R1R2 cos A.
Таким образом, скалярное произведение двух винтов равно произведению их дуальных модулей на косинус дуального угла между ними.
Как видно из формулы (1.77), главная часть скалярного произведения двух винтов есть обычное скалярное произведение векторов этих винтов, а моментная часть — относительный момент винтов, равный
pip2[(pi + Р2) cos а — а° sin а].(1-78)
Если перемножаемым скалярно винтам R\ и R^ поставить в соответствие их общие моторы (дуальные векторы), то получим
R\R2 = (и + s^ • (r2 + sr^) = п -r2 + s(n • r2 + Ц -г2).(1.79)
Выражение Гх • г^ Г г° • г^ есть относительный момент двух винтов. Этот момент является общим инвариантом двух винтов и может быть представлен в виде (1.78).
Скалярное произведение двух винтов, у которых главные части модулей не равны нулю, обращается в нуль, если cos А = 0, а значит, если а = тг/2, а° = 0, т. е. если оси перемножаемых винтов пересекаются под прямым углом.
Из формулы (1.77) следует, что Rx* R2 = R^- R\
Если pi = P2 = 0, т. e. если перемножаемые винты — скользящие векторы, то скалярное произведение приобретает вид:
Rx • R2 = 7*17*2 cos а — stxT2a° sin а.
Умножим скалярно винт R на самого себя, тогда получим
R. R = R2 = я2 cos 0 = (resp)2 = r2e2sp.
Для квадрата единичного винта Е, заданного мотором е + se° (е-е° = 0), имеем приведенную выше формулу (1.65).
Пусть R — произвольный винт, а Е — единичный винт, задающий в постранстве некоторую ось. Составим их скалярное произведение:
R- Е = R cos А = resp(cos а — sa° sin од =
z,(1.80)
= т* cos a + sr^p cos a — a° sin a),
где A = a + sa° — дуальный угол между осями винтов R и Е.
Дуальное выражение (1.80) имеет следующий геометрический смысл: главная часть его есть проекция на ось Е вектора г винта R, а моментная часть — проекция на ту же ось момента г° винта R относительно произвольной точки, лежащей на оси Е. Выражением (1.80) определяется проекция винта R на ось Е, равная произведению дуального модуля винта на косинус дуального угла, образуемого осью винта R с данной осью Е.
Винтовое умножение винтов. Под винтовым произведением двух винтов будем понимать винт, мотор которого для произвольной точки пространства равен векторному произведению моторов заданных винтов для этой же точки. Винтовое умножение будем обозначать крестом.
Для определения винтового произведения двух винтов R\ и R2 нужно умножить векторно их моторы (1.76). Поскольку мы имеем дело с моторами, отнесенными к точке О, мотор, полученный в результате умножения, также будет отнесен к точке О. Перенесем мотор — произведение из точки О в точку т, через которую проходит скользящий вектор ^12 (рис. 1.11), для чего добавим к нему слагаемое (—spx х X (И х r^Y
Для точки т будем получим
Rx х R2 = [n +s(pin + рх х п)]х
х [r2 + s(p2r2 + р2 х г2)] - spx х (п х г2) =
= П х r2 + s[(pi +p2)ri хг2 + (р2 - Р\Ух -г2] =(1.81)
= Г]Г2{ sin а + s[(pi + р2) sin а + ot° cosa]}fi2 =
= rir2esp‘esp2(sina + 8С08а)£12 = Л]Я2 sin Л fi2.
В полученном выражении главной частью является вектор г\ х Г2, а моментной — линейная комбинация векторов, коллинеарных векторам ri х Г2 и р^ — Р\, т. е. моментной частью является вектор, коллинеарный винту £12. Отсюда следует, что прямая тп — ось единичного винта £12 есть ось винтового произведения R\ х R2.
Таким образом, винтовое произведение двух винтов есть винт, ось которого пересекает под прямым углом оси перемножаемых винтов, вектор которого имеет направление векторного произведения векторов этих винтов, а дуальный модуль — произведение дуальных модулей этих винтов на синус дуального угла, образуемого их осями.
Из формулы (1.81) следует, что
R\ х R> = R2 х R\.
Сложение винтов. Винт R называется суммой заданных винтов R\, R2,..., Rn:
R = R\ + R2 + • • • + Rm(1 -82)
если его вектор равен сумме векторов указанных винтов, а момент относительно любой точки пространства равен сумме моментов слагаемых винтов относительно этой же точки, т. е. если
г = П + Г2 ++ ГП, г° = г? + г°2 ++ г^.(1.83)
Если в скалярном произведении суммы R нескольких винтов RX,R2,..., Rn на винт 5 винты заменить моторами, то можно получить
R • S = (Ri + R2 + ... + V?n) • S = R\ • S + R2 • «$ + ... + Rn • 5.
Отсюда вытекает распределительное свойство скалярного произведения. В частности, проекция суммы нескольких винтов на некоторую ось равна сумме проекций слагаемых винтов на эту ось.
Нахождение винта R (суммы) по заданным винтам Rx, R2,..., Rn (слагаемым) сводится к определению центральной оси этого винта,
модуля его вектора и параметра.
Используя распределительное свойство скалярного произведения винтов, выведем формулу сложения двух винтов. Эта формула является аналогом известной формулы для суммы двух векторов. Пусть заданы винты Rx и R2 и требуется определить их сумму
(1.84)(1.84)R — Rx 4" R>
(1.84)
(1.84)
Умножив винт R скалярно на £12 — единичный винт оси угла, образуемого винтами Rx и R2, получим
tR , R- ^12 = (Rx + R^ • ^12 =^2 J^ ^ = R] • £12 + R2 • £12 = 0.
Отсюда следует, что ось винта R пересекает под прямым углом ось £12 угла, образуемого Rx с R2 (рис. 1.12).
Обозначим дуальные углы между винтами Rx и R2, Rx и R соответственно через А = а + so ° и В = /3 + s/3°. Спроектируем все три винта на ось винта Rx, а затем на ось винта R2, умно-
рис ^ ^жив эти винты скалярно на единичные
' 'винты осей винтов Rx и R2 и воспользо
вавшись при этом формулой (1.80). На основании распределительного свойства скалярного произведения получим
ДсозВ = Rx + Д2 cos А, Дсоз(А - В) = Rx cos А + R2,R=\R\, Д1 = №|, Д2 = №|.
Отсюда находим
R sin В = R2 sin A, R sin(A — В) = Rx sin А или, объединяя полученные два соотношения:
(1.85)(1.85)R Rx R2
(1.85)
(1.85)
sin A sin(A — В) sin В
Таким образом, если R есть сумма двух винтов Rx и R2, то ось винта R пересекает под прямым углом ось £12 угла, образуемого осями винтов Rx и R2, а между дуальными модулями этих винтов и дуальными углами, образуемыми их осями, существуют соотношения (1.85), аналогичные соотношениям между сторонами и углами в треугольнике, но с заменой вещественных величин дуальными.
На основании (1.84) имеем
R? = ^R\^rR^ =К^К^2К\- Н1 = Н^Н^ЖН1Со&к. (1.86)
Раскрыв (1.86), получим соотношение
г^е^ _ T^sp\ р^зр^ 2п7де5(р1+р2)(со8 a — sa° sin a\ из которого после выделения главной и моментной частей найдем модуль вектора и параметр винта R (суммы винтов R\ и R^\
г2 = г2 + г| + 2г1Г2 cos а,(1-87)
Р\гх + Р2^2 + р1р2[(Р1 + Р2) cos а — а° sin а]
(т^ + г| + 2n^2 cos а)
Дуальный угол В определяется из (1.85):
sin В = R2 sin X/R = Т2в8р2($та + sa° cos а)/(resp) = sin /3 + s/3° cos /3.
После ряда преобразований получим
sin /3 = 7*2 sinct/r = 7*2 sina(rf + r^ + 2п7д cos a)-1/2,
/3° = {n [(pi + P2) sin a + a° cos a] + а°Г2^Г2(^\ + ^2 + 27*17*2 cos a)-1/2.
Точно так же находим
sin(a — /3) = и sin a/т* = 7*1 sina(r2 + r^ + 2п7д cos a)-1/2,
q° - /3° = {7*2 [(pi — P2) sin a + a° cos a] + a°T\} x
x r\Qrx + 7*2 + 2Г17Д cosa)-1/2.
Получили простой результат: уравнение замкнутости треугольника векторов и уравнение моментов содержатся в одном винтовом уравнении (1.84), которое выражает одновременно закон параллелограмма и закон рычага.
Полученные соотношения можно рассматривать как формулы для «раздвинутого» треугольника. Такая фигура получается путем параллельного переноса сторон плоского треугольника в направлении, перпендикулярном к его плоскости. Таким образом, с помощью дуальных чисел геометрия простого треугольника переходит в геометрию «раздвинутого» треугольника.
Заменяя во всех формулах, относящихся к сложению винтов, величину R2 на величину —R2, получим формулу для разности винтов R\ - R2
Проекции винта на оси прямоугольной системы координат. Дуальные координаты винта и прямой линии. В отличие от способа представления винтов с помощью шести прямоугольных вещественных координат (плюккеровых координат), рассмотрим другое координатное представление винтов, а именно, дуальное, с помощью
дуальных координат, число которых равно трем. В этом представлении аналитические операции с винтами подобны известным операциям с векторами в трехмерной системе координат. Заметим, что эта аналогия распространяется и на линейные аффинные преобразования координат, в силу чего возникает понятие дуального аффинора и дуальной диады.
Пусть будет задан винт
R = RE = respE,
и пусть дуальные углы, образуемые его осью с осями X, Y, Z прямоугольной декартовой системы координат, будут соответственно равны
А = а + sa°, В = /3 + s/3°, Г = 7 + з^°.
Проекциями винта на указанные оси будут величины
X = х + sx° = R cos А = г [cos а + s (р cos а — а° sin а)],
Y = у + sy° = R cos В = г [cos /3 + s (р cos /3-/3° sin /3)],(1.88)
Z = z + sz° = R cos Г = r [cos 7 + s (p cos 7 — 7° sin 7)].
Выражения (1.88) определяют собой дуальные ортогональныепро
екции (дуальные прямоугольные координаты) винта R. Главные части этих выражений
x = rcosQ, y = rcos/3, z = rcos7
суть прямоугольные координаты вектора г, а моментные части этих выражений
х° = г (р cos а — а° sin а), у° = г (р cos /3-/3° sin /3),z° = г (р cos 7 — 70 sin 7)
суть прямоугольные координаты момента г° винта относительно начала координат, или моменты винта относительно координатных осей.
Покажем, что винт R равен сумме своих ортогональных составляющих по осям прямоугольной системы координат. Для этого приведем винт к началу координат, представив его в виде дуального вектора:
R <—> г + sr° = г + s(pr + р х г),
где р — радиус-вектор произвольной точки оси винта, проведенный из начала координат.
Вектор г и момент r°=prYpxr суть суммы своих ортогональных составляющих по осям координат, поэтому то же можно сказать об эквивалентном им винте R.
Таким образом, можно написать
R = Xi + Yj YZk = (xY sx°V + ^y + sy°)j + (^ + s^k, (1.89) где ij,k — орты (единичные винты) координатных осей.
Взяв скалярный квадрат этого равенства, получим
R2 = X2 + Y2 + Z2 = х2 + у2 + z2 + 2s(xx° + уу° + zz°y (1.90)
Следовательно, квадрат дуального модуля винта распадается на квадрат длины вектора и удвоенное скалярное произведение вектора на момент.
После введения дуальных координат винта можно видеть, что любое винтовое равенство равносильно трем дуальным скалярным равенствам. Но каждое дуальное равенство распадается на два вещественных, поэтому любое винтовое равенство равносильно шести скалярным равенствам.
На основании равенств (1.90) и (1.88) получим
Д2 = Д2(со82 А + cos2 В + cos2 Г), откуда следует равенство
cos2 А + cos2 В + cos2 Г = 1,(1.91)
т. е. сумма квадратов дуальных направляющих косинусов равна единице как и для обычных направляющих косинусов.
Дуальное равенство (1.91) распадается на два вещественных: cos2 а + cos2 /3 + cos2 у = 1,
а° cos a sin а + /3° cos /3 sin /3 + у° cos у sin у = 0.
Если Е — единичный винт, то Е = 1. Дуальные координаты X, Y, Z единичного винта равны дуальным направляющим косинусам:
X = х + sx° = cos A, Y = у + sy° = cos В, Z = z + sz° = cos Г.
Равенство
X2 YY2 Y Z2 = ^х Y sx°^2 + (у + sy°^ + (z + sz°^ = 1, эквивалентное (1.91), распадается на два:
х2 + у2 + z2 = 1, хх° + уу° + zz° = 0, выражающих равенство единице квадрата длины единичного вектора и равенство нулю скалярного произведения вектора на момент относительно начала координат.
Дуальные координаты единичного вектора можно рассматривать как дуальные координаты прямой линии.
Координатное представление скалярного и винтового произведений винтов. Для двух винтов Rx и R^, заданных дуальными прямоугольными координатами Хх, Yx, Zx и Х2, Y^, Z^, имеем
Rx = Xxi + Yxj + Zxk, R2 = X2i + Y2J + Z2k.
Найдем скалярное произведение этих винтов:
RvR2-XxX2YYxY2YZxZ2 =
= (Ж] + 8Ж^)(ж2 + 8Ж2) + (yi + syf)(y2 + sy2) + (^1 + SZ°)(z2 + 8^) =
= Ж[Ж2 + У1У2 +ZtZ2 + 8(Ж]Ж2 + У1У2 + Z\Z^ + Ж°Ж2 + У°У2 + Z°Z2).
(1.92)
Таким образом, скалярное произведение двух винтов распадается на скалярное произведение векторов этих винтов и на их относительный момент, который равен сумме скалярных произведений вектора каждого винта на момент другого, взятый относительно определенной точки, в данном случае начала координат.
Винтовое произведение двух винтов R\ и Т?2 есть винт
i j к
(1.93)(1.93)Х1 У zx
(1.93)
(1.93)
Х2 У2 z2
= (yz2 - y2Z,)i + (Z,X2 - Z2XxM + №У2 - X2Yx>.
В этом можно убедиться, умножив скалярно винт R на винты Rx и R^ и взяв квадрат модуля R. Легко установить, что ось винта R пересекает под прямым углом оси винтов Rx и R^, а его дуальный модуль равен произведению дуальных модулей перемножаемых винтов на синус дуального угла (T?i,T?2) между их осями. Взяв главную часть (1.93), убедимся, что вектор г есть векторное произведение гх х Г2. Следовательно, винт R есть винтовое произведение винтов Rx w R^.
С помощью дуальных прямоугольных координат легко вывести формулы для более сложных произведений винтов: смешанного, двойного винтового, скалярного и винтового произведений двух винтовых произведений.
Бикватернионы (дуальные кватернионы).
Понятие бикватерниона. Принцип перенесения Котельникова-Штуди. Бикватернион (дуальный кватернион) — гиперкомплексное число, имеющее вид [51, 54]:
А = а + sa° =
......(1-94)
= <2q1 + a\i\ + <22 С + a^i^ + s(<2q1 + a°i\ + a^i2 + <23/3),
где 1 — действительная единица; ix, i^, /3 — векторные мнимые единицы Гамильтона; s — символ (комплексность) Клиффорда;
а = а01 + axix + «26 + ^з и а° = agl + a°ix + 0^2 + а^
— кватернионы с действительными элементами (компонентами) а^ и а°? j = 0, 1,2,3.
Бикватернион может быть также представлен в другом виде [51, 54]:
А = Aoi + Ai/i + к^12 + Аз/з =
= (<2q + S(2q)1 + (<21+ Sa°^ix + (<22 + Sa^i^ + (<23 + 5<2д)/з,
где Aj = aj + sa^, j = 0, 1,2, 3, — комплексные числа.
Таким образом, бикватернион с одной стороны может рассматриваться как комплексная комбинация двух кватернионов (как дуальный
кватернион), а с другой — как кватернион с комплексными компонентами.
Такие гиперкомплексные числа были введены в науку английским математиком Клиффордом (W. К. Clifford) [169] в 1873 г. и были названы им бикватернионами. Символ s (наше обозначение этого символа «з» отличается от использованных ранее, так, у А.П. Котельникова [51, 54] этот символ обозначается «и», однако использование этого символа нам представляется нецелесообразным, поскольку символом «ш» в теоретической механике обозначается угловая скорость) был впервые введен У. К. Клиффордом, поставившем перед собой задачу обобщить идеи У. Р. Гамильтона, распространив их на линейчатую геометрию, элементом которой является мотор. В работе [169] У. К. Клиффорд рассматривает евклидово пространство, для которого символ s обладает свойством s2 = О, и эллиптическое пространство, для которого s2 = = +1. Как изучение операции деления векторов привело У. Р. Гамильтона к кватернионам, так анализ операции деления двух моторов в этих пространствах приводит У. К. Клиффорда в этой работе к комплексному выражению (1.94), которое он и называет бикватернионом.
Отметим, что У. К. Клиффорд в своих работах (в работе [169] и в пяти небольших, более поздних заметках «Motion of a Solid in Elliptic Space», «Further Note on Biquaternions», «Notes on Biquaternions», «On the Theory of Screws in a Space of Constant Positive Curvature», «Notes») основное внимание уделяет изучению геометрии и механики твердого тела (теории винтов) для эллиптического пространства, для евклидова же пространства он ограничивается изучением операции деления двух моторов, причем под мотором он понимает совокупность геометрических величин, с помощью которых можно характеризовать систему сил, приложенных к твердому телу.
К неевклидовым пространствам относятся работы и двух других известных математиков, занимавшихся теорией бикватернионов: Кокса (Н. Сох) и Бухгейма (A. Buchheim). Кокс (1883), пользуясь методом Грасмана (Grasmann), дополняет исследования У.К. Клиффорда, распространяя их на пространство Лобачевского, и показывает, что частное от деления двух моторов для этого пространства выражается бикватернионом (1.94), где s2 = — 1, т. е. таким бикватернионом, который с чисто аналитической стороны без всякого отношения его к геометрии Лобачевского рассматривал уже У. Р. Гамильтон (1843-1853). Из исследований У. К. Клиффорда и Кокса обнаружилась таким образом замечательная связь между тремя типами пространств с постоянной кривизной и тремя типами бикватернионов А = а + sa°. Для эллиптического пространства s2 = +1, для параболического s2 = 0 и для гиперболического s2 = — 1, соответственно, почему и бикватернионы этих типов называются (А.П. Котельниковым [51]) эллиптическими, параболическими и гиперболическими.
Позднее Бухгейм в своей работе [167] (1885) развивает теорию бикватернионов всех трех типов. В этой работе он дает ряд формул
аналитической теории бикватернионов, которые справедливы для всех трех типов бикватернионов, рассматривает геометрические приложения бикватернионов для неевклидовых пространств, в частности, развивает теорию параллельных Клиффорда. В четырех заметках [168] Бухгейм доказывает теоремы Клиффорда и изучает бесконечно малые и конечные перемещения твердого тела для неевклидовых пространств, пользуясь отчасти методом Грасмана, отчасти бикватернионами.
Немецкий геометр Штуди (Е. Study) в своей работе [178] (1885) устанавливает связь параболического бикватерниона с группой движения евклидова пространства (Штуди в этой работе показывает, что умножение параболических бикватернионов соответствует сложению винтовых конечных перемещений твердого тела) и пользуется этой связью для изучения конечных перемещений и отражений точек, прямых и плоскостей в евклидовом пространстве.
Большой вклад в разработку теории параболических бикватернионов и их приложений к механике твердого тела внес русский ученый А.П. Котельников [51] (1895). Если У. К. Клиффорд (как и его последователи Кокс и Бухгейм) рассматривает бикватернион как комплексное число вида (1.94), т. е. как комплексную комбинацию двух кватернионов (отсюда и появление термина «бикватернион», по аналогии с термином «бивектор», введенным У.Р. Гамильтоном), то А.П. Котельников рассматривает бикватернион как комплексное число вида (1.95), т. е. как кватернион с комплексными компонентами. К понятию параболического бикватерниона Котельников пришел независимо от работ У. К. Клиффорда, Кокса, Бухгейма и Штуди, причем для него [51] исходной точкой служил анализ операции умножения моторов (А.П. Котельников, следуя У. Р. Гамильтону, называет их бивекторами), а не операции деления, как для У. К. Клиффорда. Обобщая умножение векторов на случай бивекторов, А.П. Котельников, руководствуясь принципом Ган- келя (принципом устойчивости формальных законов операций), приходит к заключению, что «произведение двух бивекторов выражается бикватернионом».
Интерес А.П. Котельникова к такого рода построениям возник в связи с бурно развивающейся в то время теорией винтов. Метод винтов был введен в механику английским астрономом и математиком Боллом (R.S. Ball) в начале 70-х годов XIX столетия [165]. По словам А.П. Котельникова [51] уже к концу XIX столетия можно было считать доказанным, что он (метод винтов) «является весьма подходящим для механики твердого тела, позволяя многие вопросы этой науки решать с замечательною простотою и изяществом» и что «его значение будет обнаруживаться все более и более по мере нашего с ним знакомства и притом не только для динамики твердого тела, но и в других отделах механики». «Эта уверенность, — писал А.П. Котельников, — отчасти и руководила мной, когда я поставил себе задачей детально исследовать некоторые геометрические построения теории винтов».
Болл в своих работах по теории винтов вводит операцию сложения винтов и производит с ними еще несколько построений, аналогичных операции умножения. Приведенный своими собственными исследованиями к построению из двух данных винтов третьего, играющего по отношению к данным роль произведения, А.П. Котельников был наведен на вопрос, не существуют ли еще и другие построения, которые можно было бы считать умножением винтов, и каков самый общий вид таких построений [52]: «Прежде чем решать этот вопрос, нужно было, однако, выяснить, какие построения считать умножением винтов и каких типов они могут быть. С этой целью надо было обратиться к другим уже обработанным отделам математики и посмотреть, нельзя ли среди них найти такой, в котором можно было бы ожидать аналогий с операциями над винтами. За такими аналогиями весьма естественно было обратиться к построениям над векторами и к комплексным числам, с ними связанными — кватернионам, весьма естественно, говорю я, потому, что уже операция сложения и вычитания винтов представляла много сходства с операциями сложения и вычитания векторов. Таким образом, я поставил себе задачу найти такие операции над винтами, которые были бы аналогичны операциям умножения различных типов над векторами. Решение этого вопроса привело меня к тем комплексным числам, которые уже раньше были введены в науку английским математиком У.К. Клиффордом и были названы им бикватернионами».
Изучение этих чисел привело А.П. Котельникова к установлению двух их важных свойств [52]: «Во-первых, оказалось, что достаточно прибегнуть к небольшой уловке, чтобы теорию бикватернионов сделать вполне аналогичной, и даже более, вполне тождественной с теорией кватернионов, что достаточно ввести понятие о функциях комплексных чисел вида а + saP, где s есть символ, обладающий свойством s2 = = 0, чтобы все формулы теории кватернионов можно было бы считать и формулами теории бикватернионов. Во-вторых, выяснилось, что различным операциям над бикватернионами соответствуют различного рода более или менее ценные для нас построения теории винтов, и что, обратно, важным для нас построениям теории винтов отвечают различные операции над бикватернионами».
Таким образом, изучение бикватернионов как комплексных чисел вида (1.95) и операций над ними привело А.П. Котельникова к открытию принципа перенесения, который первоначально характеризуется им как метод. Об этом он говорит так [52]: «Таким образом, благодаря бикватернионам между построениями и теоремами теории векторов и построениями и теоремами теории винтов можно провести полнейший параллелизм, так, что каждому построению и теореме теории векторов будет отвечать построение и теорема теории винтов; между тем как формулы, выражающие соответствующие теоремы, будут одни и те же, только один раз мы должны считать их формулами теории кватернионов, а в другой — формулами теории бикватернионов. Это соответствие позволяет, пользуясь известными теоремами, находить новые и таким
образом может служить научным методом, которому я и даю название метода перенесения».
Принцип перенесения (первоначально по Котельникову — метод перенесения или раздвигания) выводится А.П. Котельниковым из тождества формул теории кватернионов с формулами теории бикватернионов и возможности интерпретировать эти последние как формулы винтового исчисления. Этот принцип формулируется им в работе [51] в виде теоремы: «Итак, каждая теорема геометрии или механики, которая может быть доказана с помощью теории кватернионов, допускает обобщение в известном направлении. Мы приходим к желаемому обобщению, если выразим теорему в виде равенств между кватернионами и затем, заменив кватернионы бикватернионами, будем интерпретировать их с помощью теории винтов.» «Эта весьма общая теорема, — отмечает Котельников, — позволяет нам устанавливать аналогии между некоторыми фигурами и движениями и фигурами и движениями более общего вида и дает, таким образом, метод переносить свойства первых, обобщая их надлежащим образом, на последние.» «Из этой теоремы, — пишет далее Котельников [51], — между прочим, следует, что когда мы будем в формулах геометрии или механики евклидова пространства, элементом которого служит точка, считать все числа комплексными вида а + за0 (s2 = 0), то все эти формулы могут быть интерпретированы как формулы геометрии или механики пространства шести измерений, элементом которого служит бивектор».
В более поздней работе «Теория векторов и комплексные числа. (Начала механики в неевклидовом пространстве)» [54] А.П. Котельников свой метод перенесения характеризует уже как принцип. В этой работе он отмечает, что рассмотрение бикватернионов как кватернионов с комплексными коэффициентами «вносит в теорию кватернионов существенное улучшение. Ибо очевидно, что стоит только развить теорию комплексных чисел с двумя единицами и ввести понятие об элементарных тригонометрических функциях этих чисел, как становится возможным все без исключения формулы теории кватернионов рассматривать как формулы теории бикватернионов, если в них числа вещественные заменить числами комплексными. Это тождество в теориях двух родов комплексных чисел — кватернионов и бикватернионов — влечет за собой параллелизм в тех геометрических теориях, которые служат для их геометрической интерпретации, т. е. между теорией векторов с общим началом — с одной стороны, и теорией моторов — с другой. Мы приходим, таким образом, к мысли перенести из теории векторов такие элементарные понятия как длина вектора, проекция вектора, координаты вектора, угол между двумя векторами и т. д. в теорию моторов и внести в эту последнюю соответствующие понятия: тензор мотора, проекция мотора, комплексные координаты мотора, комплексный угол между двумя прямыми и т. д. Вместе с тем получается возможность каждому построению и теореме теории связки векторов сопоставить построение и теорему теории моторов и, пользуясь нервы-
ми, находить новые, еще неизвестные теоремы теории моторов. Таким образом, мы приходим к принципу перенесения.»
По словам А.П. Котельникова [54], «принцип перенесения во всей его общности был открыт и сформулирован независимо и, по- видимому, одновременно Штуди и мною. Существование этого принципа для евклидова пространства было доказано в моей работе [51], а применимость его для неевклидовой геометрии в сочинении [53]. Надо думать, что принцип перенесения уже был известен Штуди, когда он писал работу [179]. Но вполне определенно он сформулировал этот принцип в сочинении [180]. Его формулировка отличается от выше данной и основывается на свойствах параллельных Клиффорда».
Принципу (методу) перенесения А.П. Котельников придавал весьма важное значение. Действительно, прошедшие годы показали, что этот принцип является мощным средством решения многих задач механики твердого тела. Однако следует иметь в виду, что его действие в механике твердого тела ограничивается геометрическими и кинематическими задачами: в соответствии с этим принципом все формулы теории конечных поворотов и кинематики движения твердого тела с одной неподвижной точкой при замене в них вещественных величин дуальными переходят в формулы теории конечных перемещений и кинематики движения свободного твердого тела (винтового движения). Поэтому решение любой геометрической или кинематической задачи твердого тела с одной неподвижной точкой может быть распространено на решение соответствующей геометрической или кинематической задачи пространственного движения свободного твердого тела, для этого необходимо в полученном решении задачи сферического движения заменить векторы, вещественные числа, обычные углы, кватернионы на бивекторы (винты), дуальные числа, дуальные углы и бикватернионы соответственно.
Ниже, следуя работе А.П. Котельникова [51], приводятся основные действия над параболическими бикватернионами, знание которых необходимо для решения задач механики твердого тела с использованием винтов и бикватернионов.
Алгебра параболических бикватернионов. Действия над параболическими бикватернионами. Рассмотрим основные операции над параболическими бикватернионами.
/. Сумма и разность бикватернионов. Определим параболический бикватернион Л как гиперкомплексное число вида (1.95) с комплексной единицей s, обладающей свойством s2 = 0, т. е. как кватернион с дуальными компонентами Kj = Aj + sAJ, j = 0, 1,2, 3:
Л = Л01 + Ai/i + Л2/2 + Л3/3 =
= (^о + sAq)1 + (Ai + sX^i\ + (А2 + sA^)^ + (^з + sAg)/3.
В дальнейшем действительную единицу 1 в выражении для бикватерниона (как и для кватерниона), а также определение «параболический» (бикватернион) писать не будем.
Сумма и разность бикватернионов Л и
М = Mq + Mf /} + М2 /2 "С М3 /3 =
(1.97)
= to + 8^0 + Ы\ + S^f) <1 + (to + 8^2) <2 + Ыз + 8^з) <3 определяется формулами
А±М = Л0±М0+(Л1 ±М1)/1 + (Л2±М2)/2 + (Лз±Мз)/з. (1.98)
Из этого определения следует:
Бикватернион Л можно рассматривать как сумму комплексных чисел Ло и Л1/1 + Л2<2 + Лз/з, так что, называя Ло дуальной скалярной частью, а Л1 zi + K^U + Л3/3 — винтовой частью бикватерниона Л и обозначая их соответственно seal Л = As и screw Л = Asc, получим
A = seal A + screw A = As + Asc = Ло + Asc,
seal A = As = Ло, screw A = Asc = Л1 Zi + K^U + Л3/3, т. e. бикватернион есть сумма своих частей: скалярной и винтовой.
Сложение бикватернионов коммутативно и ассоциативно:
A + М = М + A, A + (М + N) = (A + М) + N.
Умножение. Главная и моментная части бикватерниона. Произведением бикватернионов Л и М называется бикватернион N, который получится, если перемножить выражения (1.96) и (1.97) для комплексных чисел Л и М с учетом таблицы (1.26) умножения мнимых единиц /1, i^, /3:
N = Л о М = No + Ni Zi + N2 /2 4" N3 /3 =
= Ло Mo — Ai Mi —Л2 М2 — Л3 М3 +
+(Л0 Mi +Л1 Мо +Л2 М3 — Л3 M2)/i +
+ (Ло М2 — Ai М3 +Л2 Мо +Л3 Mi )/2+
+ (Ло М3+Л1 М2 —Л2 Mi+Л3 Мо)/з. (1.99)
Формула (1.99) может быть записана с помощью операций винтовой алгебры. Отождествляя векторные мнимые единицы i\,i2, /3 с единичными винтами (ортами) некоторой прямоугольной системы координат и рассматривая Л/^, М^ и N^, к = 0, 1,2, 3, как координаты винтов Asc, Msc и Nsc, получим
N = Л о М = Ло Mq Asc • Msc 4" AOMSC 4" M.q Asc 4" Asc x M.sc,
Asc • Msc = Ai Mi +Л2 М2 +Л3 М3,
Asc x Msc = (Л2 М3 -Л3 М2) Zi +
+ (Л3 Mi — Ai М3) /2 + (Л1 М2 —Л2 Mi) /3,(1.100)
где символы « • » и «х» (средние точка и крест) означают скалярное и винтовое произведения винтов; Ло, Mq — скалярные части кватернионов Л и М, Asc = AUi + Л2/2 + Л3/3 и Msc = Mi ix + М2 /2 + М3 /3 — винтовые части бикватернионов Л и М.
Из формул (1.99) и (1.100) следует:
ЛоМ^МоЛ,
Л О (м + N) = ЛоМ + Ло N, (М + N) оЛ = МоЛ + N оЛ,
Л о (М о N) = (Л о М) о N,
е. операция умножения бикватернионов дистрибутивна по отношению к сложению, ассоциативна и, в общем случае, не коммутативна.
Из (1.100) следует формула для бикватернионного произведения двух винтов (дуальных векторов) А = A\i\ + АА^ + А^ и В = В\1\ + + BAs + S3/3, заданных своими координатами А^ и Вь k = 1,2, 3:
АоВ = -А В^Ах В,(1.101)
е. бикватернионное произведение двух винтов есть бикватернион, скалярная часть которого равна скалярному произведению винтов, взятому со знаком «—», а винтовая — винтовому произведению винтов.
В частности,
АоА = -АА = —И|2,
е. бикватернионное произведение винта на самого себя равно квадрату винта, взятому со знаком минус.
Анализируя формулы, определяющие сложение и умножение бикватернионов, легко видеть, что члены, из которых составляется бикватернион, можно группировать как угодно и, таким образом, бикватернион можно представлять в различных формах. Так, соединяя члены, умноженные на мнимые единицы ix, is, h, имеем бикватернион в форме (1.97); соединяя же вместе члены, умноженные на символ s, получаем
А = А + s\° = Aq + А1 i 1 + А2/2 Т А3/3 + s(Ag + A^/i + А2/2 + А3/3). (1 • 102)
Величину A = Ao + А1/1 + А2/2 + А3/3 будем называть главной частью, а Л° = Л0о + Л^ + А^ + А3*з — моментной частью бикватерниона Л.
Деление. Сопряженный и обратный бикватернионы. Норма бикватерниона. Бикватернион
А = Aq - Л1 Zi - Л2/2 - Л3/3 =
= Ao + sAg — (Ai + sA^) ix — (A2 + sA2) is — (A3 + sA3) /3 =
= A+sA° = A0-A16 -A2/2-A3/3 + s (Aq—Ai<i — A2<2 — Ag/3)(1.103)
называется сопряженным по отношению к данному бикватерниону Л.
Нормой бикватерниона называется комплексное число, определяемое формулой
|| Л || = Л о Л = Л о Л = Лд + Af + Л2 + Л3 =
— Aq + Af + А2 + А| + s(AqAq + AiA^ + A2A2 + A3A3) —
(1.104)(1.104)— || А || + s(AqAq + Av • A^).
(1.104)
(1.104)
Обратным бикватернионом no отношению к данному бикватерниону X называется бикватернион, определяемый формулой
Л"1 НАГЛ,
IIAirMlAlM-sllAryAoAg + Av.A^
— Aq + А1 + А2 + А| — S— Aq + А1 + А2 + А| — SA0Ag + Ai А^ + А2А2 + А3А3A0Ag + Ai А^ + А2А2 + А3А3(1.105)(1.105)
— Aq + А1 + А2 + А| — S
— Aq + А1 + А2 + А| — S
A0Ag + Ai А^ + А2А2 + А3А3
A0Ag + Ai А^ + А2А2 + А3А3
(1.105)
(1.105)
Для обратного бикватерниона справедливо равенство
AoA"1 =A’'oA= 1.(1.106)
Из формулы (1.105) следует, что обратный бикватернион для ненулевого бикватерниона не существует в случае, когда главная часть бикватерниона равна нулю, а его моментная часть не равна нулю. Так как умножение бикватернионов не коммутативно, то деление бикватернионов — операция, обратная умножению, — может быть двух типов: делением определяется или множитель по данному множимому и произведению, или множимое по данному множителю и произведению.
Используя понятие обратного бикватерниона, уравнение
ЛоМ = N
можно легко разрешить относительно множителя Л или множимого М. Умножая это уравнение справа на обратный бикватернион М-1, а затем — слева на обратный бикватернион Л-1, получаем
Л = NoM"1 = ЦМЦ-^оМ, M = A”1oN= HAH^AoN. (1.107)
Формулы (1.107) определяют операцию деления бикватернионов.
Параметр и инвариант бикватерниона. Параметром бикватерниона Л называется вещественное число р, определяемое формулой
р = seal (А"1 о A0) = seal (А0 о А"1) = || А Ц"1 (А0А§ + Av • А”) =
AqAq + А] А® + А2А2 + А3А3Aq + А] + А2 + А2
Отсюда имеем формулы для параметров скалярной и винтовой частей бикватерниона:
_Ag• А£ AiA" + A2Ag + А3А3
Ps Ao’ Psc У Af + A2 + A2
Формулы (1.109) для ps и psc можно рассматривать как частные случаи формулы (1.108): первую, когда screw A = As = 0; вторую, когда seal A = As = Ло = 0. В первом случае бикватернион обращается в комплексное число Aq + sAq, и мы видим, что определение параметра бикватерниона не противоречит определению параметра комплексного числа, а содержит это последнее как частный случай. Во втором случае бикватернион обращается в винт, и определение его параметра совпадает с определением параметра винта.
Выражение
seal (Л о Л°) = Ао Ag + Av • А? = A0Ag + АМ? + А2А? + А3А3, (1.110)
стоящее в числителе формулы (1.108) для параметра бикватерниона, называется инвариантом бикватерниона.
Если инвариант бикватерниона равняется нулю, но его главная часть А не равна нулю, то параметр бикватерниона р = 0; если главная часть бикватерниона А = 0, но моментная часть Л ° ^ 0, то параметр бикватерниона р = оо.
Тензор (модуль) и верзор бикватерниона. Тензором (модулем) бикватерниона Л называется комплексное число, определяемое формулой/1/2
|Л| = (л^ + л? + л^ + л|) =
= |А| (1 + s|| А || 1 (AqAq + Av • А?)) =
= M + a? + aUa»)i/2= M + a? + aUa»)i/21 + s (AqAq + AiА^ + А2А? + А3А3)1 + s (AqAq + AiА^ + А2А? + А3А3)(1.111)(1.111)
= M + a? + aUa»)i/2
= M + a? + aUa»)i/2
1 + s (AqAq + AiА^ + А2А? + А3А3)
1 + s (AqAq + AiА^ + А2А? + А3А3)
(1.111)
(1.111)
С учетом формулы (1.108) имеем
(1.112)(1.112)|Л| = |А| (1 + sp).
(1.112)
(1.112)
Таким образом, тензор (модуль) бикватерниона есть комплексное число, главная часть которого равна тензору (модулю) главной части бикватерниона, а параметр равен параметру бикватерниона.
Из выражения (1.111) следует, что понятие модуля ненулевого бикватерниона теряет смысл в случае, когда главная часть бикватерниона равна нулю, так как в этом случае знаменатель дроби в правой части выражения (1.111) равен нулю.
В случае, когда тензор бикватерниона равен единице, бикватернион называется единичным или нормированным.
Для тензоров скалярной и винтовой частей бикватерниона Л имеем следующие формулы:
|AS| = |Ао| = |Ао|(1 rsPsY |ASC| = (Л2+Л^+Л^= |AV| (1 + spsc),
где параметры ps и psc скалярной и винтовой частей бикватерниона определяются формулами (1.109).
Из формул (1.104) и (1.111) вытекает связь между нормой и тензором (модулем) бикватерниона:
||Л|| = |Л|2.(1.113)
Верзором бикватерниона А называется единичный (нормированный) бикватернион Лп, определяемый формулой
An = |Ar‘A.(1.114)
Из этой формулы имеем
Л = |Л|Л„,(1.115)
т. е. всякий бикватернион разлагается на произведение его тензора (модуля) и верзора.
Тригонометрическое представление бикватерниона. Можно показать, что если два комплексных числа А = а + sa° и В = b + sb° связаны между собой равенством А2 + В2 = 1, то всегда можно найти такое комплексное число 6 = 9 + 9°, что cos 6 = A, sin 6 = В.
Действительно, эти два уравнения эквивалентны четырем уравнениям
со$9 = а, —9°sm9 = a°, sm9 = b, 9°cos9 = b°,
которые вследствие условия А2 + В2 = 1, распадающегося на два: а2 + + b2 = 1, аа° + bb° = 0, совместны и, следовательно, допускают решение.
Так как 9 определяется по синусу и косинусу, то это решение будет вполне определенным, если потребовать, чтобы 9 заключалось в интервале [—тг,+тг].
Два комплексных числа |Л|-1Ло = А и |Л|-1(Л2 + Л^ + Л2)1/2 = = В очевидно удовлетворяют условию А2 + В2 = 1, а потому можно определить 0 = 9 + §9° так, что
cos 0 = |Л|-1Ло, sin 0 = |А|-1 fAf + Л2 + Лщ .(1.116)
Комплексное число 0 = 9 + §9°, определяемое этими формулами, называется углом бикватерниона; его главная часть 9 — поворотом, а моментная 9° — шагом бикватерниона.
Введем единичный винт Е бикватерниона Л:
Е = ^Л2 + Л2 + A2J(Aiz 1 + Л2^2 + A3/3).(1.117)
Тогда бикватернион Л может быть представлен в виде
А = Ло + Ai z 1 + Л2<2 + Лз^з = Ло + | Asc l^.(1.118)
На основании выражения (1.118) и (1.116) имеем тригонометрическое представление бикватерниона:
Л = |Л| (cos 0 + Esin 0),(1.119)
где cos0 и sin0 определяются формулами (1.116), а |Л| — формулой (1.111).
Единичный (нормированный) бикватернион в тригонометрической форме имеет вид
An = cos0 + Esin0.(1.120)
Геометрическое изображение единичного бикватерниона можно представить следующим образом. Пусть единичный винт Е изображается прямой — его осью в пространстве с лежащим на этой оси единичным вектором е. Вообразим две произвольные прямые, пересекающие под прямым углом ось Е и образующие между собой дуальный угол 0. Положительными направлениями отсчетов главной 6 и моментной 6° частей дуального угла будем считать направление против хода часовой стрелки, если смотреть со стороны конца вектора е, и направление в сторону вектора е. Образ из двух таких прямых, взятых в определенном порядке, и единичного винта Е может служить геометрической интерпретацией единичного бикватерниона.
Бикватернионы, обратные по отношению к бикватернионам Л и Лп, в тригонометрической форме имеют следующий вид:
Л-1 = |A|-1(cos0 - Esin0), An = cos0 - E sin0. (1121)
Оперирование с бикватернионами приводит к методу преобразования винтов, подобно тому, как оперирование с обычными кватернионами приводит к известным преобразованиям простой векторной алгебры.
Кинематические параметры, используемые дляописания пространственного движения твердого тела
Движение свободного твердого тела. Традиционные кинематические параметры. Рассмотрим общий случай движения твердого тела по отношению к произвольно выбранной прямоугольной декартовой системе координат ОХуХ^Х-^Ху Таким движением является движение свободного твердого тела. Это движение слагается из серии мгновенных винтовых движений. К такому выводу приводит теорема Шаля, которая по отношению к свободному твердому телу играет ту же роль, что и теорема Эйлера-Даламбера по отношению к твердому телу, имеющему одну неподвижную точку (см. п. 1.2.3).
Теорема Шаля формулируется следующим образом [23]: всякое перемещение свободного твердого тела из одного положения в другое может быть получено посредством поступательного перемещения тела вместе с произвольно выбранным полюсом и поворота тела вокруг некоторой оси, проходящей через этот полюс.
Пусть имеется твердое тело, положение которого по отношению к системе отсчета X определяется тремя точками А, В, С (рис. 1.13, а\ и пусть это тело переместилось так, что точки А, В, С заняли положения А}, В\, Сь Нужно показать, что тело может быть переведено из первого положения во второе посредством поступательного перемещения и поворота. Для этого переместим сначала тело поступательно так, чтобы точка А (полюс) совпала с точкой Ль тогда треугольник АВС займет положение АуЕГС', причем А\В' = АВ, В'С' = ВС, CfA\ = = С А. Остается совместить точки В' с В\ и С' с Сь Но это можно сделать согласно теореме Эйлера-Даламбера посредством поворота тела вокруг некоторой оси А\Р, проходящей через точку А\. Итак, любое перемещение свободного твердого тела может быть действительно осуществлено путем поступательного перемещения и вращения.
Рис. 1.13
При этом, как видно из рисунка, поступательная часть перемещения зависит от выбора полюса (для выбранного полюса А это перемещение определяется вектором ААь а для полюса В — вектором ВВ\ 7^ AAi и т. д.); вращательная же часть перемещения от выбора полюса не зависит.
Проведем через полюс А координатные оси АХ^Х^Х^ (X'), которые будут перемещаться вместе с полюсом поступательно (рис. 1.13, б). Тогда теорема Шаля, по существу, утверждает, что любое перемещение свободного твердого тела по отношению к системе координат X слагается из вращательного перемещения вокруг точки А по отношению к системе координат X' и поступательного перемещения вместе с системой координат X’ по отношению к основной системе координат X. Можно показать, что в случае мгновенных перемещений такие два движения свободного твердого тела, слагаясь, дают мгновенное винтовое движение: совокупность мгновенного поступательного движения вдоль некоторой оси, занимающей определенное положение в пространстве, и мгновенного вращательного движения вокруг этой оси. Аналогичный результат имеет место и для конечных перемещений.
Поэтому теорема Шаля допускает другую формулировку: всякое перемещение свободного твердого тела может быть осуществлено одним винтовым движением вдоль некоторой винтовой оси, называемой осью конечного винтового перемещения.
Эти результаты позволяют представить картину движения свободного твердого тела как непрерывную последовательность элементарных перемещений одним из следующих двух способов. Из первой формулировки теоремы Шаля вытекает, что движение свободного твердого тела можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, определяемого движением произвольно выбранного полюса, и из вращательного движения вокруг этого полюса как вокруг неподвижной точки. В свою очередь движение вокруг неподвижной точки представляет собой непрерывную последовательность бесконечно малых поворотов вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через эту точку.
По второй из этих формулировок всякое элементарное перемещение тела представляет собой мгновенное винтовое движение вдоль соответствующей мгновенной винтовой оси. Поэтому движение свободного твердого тела можно еще представить как непрерывную последовательность мгновенных винтовых движений. Геометрические места мгновенных винтовых осей в пространстве, связанном с неподвижной системой отсчета, и в самом движущемся теле образуют две линейчатые поверхности, называемые соответственно неподвижным и подвижным винтовыми аксоидами, так как две соседние (бесконечно близкие) мгновенные винтовые оси не могут пересекаться, то эти поверхности будут неразвертывающимися. При движении тела подвижный винтовой аксоид катится по неподвижному, имея с ним в каждый данный момент времени общую образующую, являющуюся для этого момента мгновенной винтовой осью, и одновременно проскальзывает вдоль этой образующей. Такое качение с продольным скольжением и дает последовательность мгновенных винтовых движений. Отсюда следует, что геометрическую картину движения свободного тела в общем случае можно получить, если жестко связать это тело с подвижным винтовым
Рис. 1.14Рис. 1.14аксоидом и катить этот аксоид со скольжением вдоль образующих по соответствующему неподвижному аксоиду.
Рис. 1.14
Рис. 1.14
Примером такого качения со скольжением может служить движение однополостного гиперболоида по другому такому же неподвижному гиперболоиду при условии, что эти гиперболоиды во все время движения касаются друг друга по образующей, которая и будет мгновенной винтовой осью (рис. 1.14).
В соответствующих частных случаях аксои- ды могут быть коническими поверхностями (при движении твердого тела около неподвижной точ
ки) или цилиндрическими (при плоскопараллельном движении). В этих случаях качение аксоидов происходит без скольжения.
В качестве кинематических параметров движения свободного твердого тела традиционно используются три прямоугольные декартовы
координаты Хк (к = 1,2,3) произвольно выбранной точки твердого тела (полюса), характеризующие поступательное перемещение твердого тела вместе с выбранным полюсом, и три угла Эйлера или Крылова ф, $, ср, характеризующие вращательное (угловое) перемещение тела вокруг полюса. Вместо декартовых координат х^ реже используются сферические или цилиндрические координаты.
Дуальные углы Эйлера-Крылова. Для описания движения свободного твердого тела в качестве кинематических параметров могут быть использованы дуальные углы Эйлера [51] или Крылова. С твердым телом жестко свяжем прямоугольную декартову систему координат AY1Y2Y3 (Y), поместив ее начало в произвольно выбранную точку А тела (полюс). Будем считать, что система координат Y совпадала в начальном положении свободного твердого тела с системой координат X, относительно которой рассматривается движение (положение) твердого тела. Тогда твердое тело может быть переведено из этого начального положения в любое конечное положение с помощью трех винтовых конечных перемещений на дуальные углы Эйлера Ф = = ^ + зф°, 0 = ^ + 3$°, Ф = ср + зр)° в последовательности Ф 0 Ф следующим образом (рис. 1.15).
Вначале осуществляется винтовое перемещение тела вдоль оси ОХз(У3°) на дуальный угол прецессии Ф = ^ + зф°, т. е. осуществляется поступательное перемещение тела вдоль этой оси на линейную величину ф° и поворот тела вокруг этой оси на угол прецесии ф. При этом ось тела, совпадающая в начальном положении с неподвижной осью ОХ\, перейдет в положение Y{. Затем телу сообщают винтовое перемещение вдоль оси У/ на дуальный угол нутации 0 = ^ + s^°, т. е. осуществляется поступательное перемещение тела вдоль этой оси на линейную величину $° и поворот тела вокруг этой оси на угол нутации ^. При этом ось тела, совпадающая до дуального поворота на
угол 0 с осью ОХз, перейдет в конечное положение Уд. Последнее, третье винтовое перемещение сообщается телу вдоль оси Уз на дуальный угол собственного вращения Ф = </? + зрУ т. е. осуществляется поступательное перемещение тела вдоль этой оси на линейную величину (р° и поворот тела вокруг этой оси на угол собственного вращения (р. Отметим, что положительные значения углов ^, ^, ср отсчитываются против хода часовой стрелки (если смотреть с концов соответствующих осей поворотов), а положительные значения линейных величин ф°, $°, (р° — в направлении соответствующих осей винтовых перемещений. В результате трех элементарных винтовых конечных перемещений на дуальные углы Эйлера свободное твердое тело займет конечное положение У.
Дуальные углы Эйлера имеют такой же недостаток как и обычные углы Эйлера: отсутствие симметрии (два винтовых конечных перемещения совершаются вокруг одноименных осей) приводит к тому, что малому отклонению твердого тела от его начального (равновесного) положения соответствуют лишь малые значения дуального угла 0 и суммы дуальных углов Ф + Ф, но не малые (в общем случае) значения каждого из углов Ф, Ф, которые могут быть по величине любыми. Это осложняет аналитическое исследование в случаях, когда исследуется движение в окрестности какого-либо равновесного положения или невозмущенного движения.
Рис. 1.16
От указанного недостатка свободна другая система дуальных кинематических параметров — дуальные углы Крылова. На рис. 1.16 показана одна из разновидностей дуальных углов Крылова — дуальные самолетные углы, являющиеся дуальным аналогом обычных самолетных углов, используемых в авиации (см. п. 1.2.1). Здесь система отсчета, относительно которой рассматривается положение твердого тела (летательного аппарата), обозначена, по-прежнему, через X. С летательным аппаратом жестко связана система координат У: ее ось АУ\ направляется вдоль продольной оси летательного аппарата, ось АУ^ — вдоль нормальной, а ось ЛУз — вдоль поперечной.
Положение летательного аппарата в системе координат X задается дуальными углами Ф = ^ + зф0, 0 = ^ + 3^°, Ф = р) + зр)° в соот-
ветствии с последовательностью винтовых конечных перемещений (см. рис. 1.16):
X(Y°A AxAXYl_^ у' €>=13^813° > yr// _Ф=^-ку7^ Y X> Yv2312,3, 1'
Здесь под стрелками указаны номера осей, вдоль которых совершаются элементарные (отдельные) винтовые конечные перемещения.
В отличие от дуальных углов Эйлера при использовании дуальных самолетных углов малому отклонению летательного аппарата (твердого тела) от его начального положения соответствуют малые значения всех трех дуальных углов.
Дуальные направляющие косинусы углов. Положение твердого тела (системы координат У, жестко связанной с твердым телом) в выбранной системе координат X может быть однозначно задано с помощью девяти комплексных величин С^, г, к = 1,2, 3, являющихся дуальными аналогами вещественных направляющих косинусов углов между координатными осями систем координат Y и X. Вводятся они следующим образом.
Обозначим через Yt = yt и Х^ = Хк единичные винты (единичные векторы) координатных осей AYt и ОХк (г, к = 1,2,3). Тогда направляющий косинус С^ дуального угла между осями ОХк и AYt определится как скалярное произведение единичных винтов (векторов) Y, = у( и Хк = хк:
Ctk=Yt.Xk=ycxk, i,k = 1,2,3, т. е.
Ctk = cik + sc°k = cos rifc = cos hik + s^°0 = cos7ifc - sq”k sin7ifc, cifc=cos7ifc, c°fc =-7°fcsin7ife, г, fc= 1,2,3.(1.122)
Здесь Г^ = 7^ + s^°k — дуальный угол между осями ОХк и AYt, определяемый винтом
Т\к = ^гк^гк = ^гк 4" S^^ Е^,
где Etk — единичный винт, определяющий ось дуального угла Г^ и лежащий на прямой a^bik, пересекающей оси ОХк и AYt под прямым углом, 7^ — обычный угол между осями ОХк и AYt, I70J = a^bik — кратчайшее расстояние между осями ОХк и AY^.
Таким образом, дуальный направляющий косинус С^ представляет собой комплексную комбинацию вещественных величин с^ и с^., причем величина с^ является обычным направляющим косинусом угла между координатными осями ОХк и AYt, а величина с^ характеризует кратчайшее расстояние между этими осями. Поэтому девять дуальных направляющих косинусов С^ эквивалентны восемнадцати вещественным величинам с^ и с^., г,к = 1,2,3.
Поскольку винты Yi, Y2, Уз и^1, Jl2, Х3 — единичные и взаимно ортогональные, то девять дуальных направляющих косинусов С^ связаны шестью дуальными уравнениями
Си + <П2 + св =!-^11^21+ С12С22 + С13С23 = О,
С^+С^ + С% =\,СИС31+ С12С32 + с13с33 = о,(1.123)
^31 + ^32 + С33 =1,С21С31+ С22С32 + С2зС3з = О.
Поэтому из девяти направляющих косинусов С^к независимых будет только три, остальные шесть могут быть определены через них из соотношений (1.123).
Шесть дуальных уравнений (1.123) эквивалентны двенадцати вещественным уравнениям, связывающим между собой величины с^ и с^. Шесть из этих уравнений, связывающих величины щь имеют вид уравнений (1.3), т. е. аналогичны уравнениям (1.123), а шесть других уравнений, связывающих между собой величины с^ и с^., имеют следующий вид:
Снс^ + С12с^2 + С13с^з = О,
С21С21 + С22С^2 + С23^3 = О,
С31С^ + с32с^2 + СззС^з = О,
Снс^ +ci2c22 + С13С^ + с^с21+ с^с22 + с^с2з=О,
Снс^ +С12Сз2 + С13С^ + с^с31+ с^с32 + с^с33=О,
С21СЗ! +С22^2 + С23^3 + С^С31+ с£2С32 + С^С3з=0.
В результате из восемнадцати вещественных величин с^ и с^ (г, к = 1,2,3) независимых будет лишь шесть.
Несмотря на то, что дуальных направляющих косинусов гораздо больше, чем дуальных углов Эйлера или Крылова (девять вместо трех), они чаще используются в качестве кинематических параметров для описания и исследования геометрии и кинематики движения свободного твердого тела и пространственных механизмов. Связано это с тем, что уравнения и соотношения механики, записанные в дуальных направляющих косинусах, не имеют тех недостатков (нелинейность, наличие особых точек), которые присущи уравнениям кинематики, записанным в дуальных углах Эйлера или Крылова, что вполне компенсирует недостатки уравнений в направляющих косинусах, связанные с их большей размерностью. Кроме этого, операция перепроектирования винтов наиболее удобно выполняется с помощью дуальных направляющих косинусов.
Винт конечного перемещения. Произвольное перемещение свободного твердого тела в пространстве в соответствии с теоремой Шаля эквивалентно винтовому перемещению. Винтовое движение может совершать и несвободное твердое тело, если оно соединено с другим телом винтовой кинематической парой.
Введем в рассмотрение две системы координат: опорную ОХ1Х2Х3 (X) и связанную с телом AY1Y2Y3 (Y) (рис. 1.17). Конечное винтовое перемещение тела (системы координат У) относительно
опорной системы координат X можно характеризовать дуальным вектором (винтом) конечного винтового перемещения [29, 30]:
0 = 2£tgp Ф = у + 8уЛ s2 = 0, (1.124) где Е — единичный винт (вектор) оси ab винтового перемещения, Ф — дуальный угол поворота тела, р — обычный угол поворота тела вокруг оси ab, р° — поступательное перемещение тела вдоль этой оси.
Дуальные ортогональные проекции 0^ (г = 1,2,3) винта 0 на оси системы координат X имеют вид [29, 30]:
0г = 2 tg$ cosTi, П = 7^ + 8уг°, г =1,2,3,(1.125)
где cosEi — дуальные направляющие косинусы винта 0 в системе координат X, ^г ~ угол между осями ab и ОХ^, |yf| — кратчайшее расстояние между этими осями, г = 1,2,3.
Отметим, что одноименные дуальные ортогональные проекции винта 0 на оси систем координат X и ¥ совпадают, если в начальном положении твердого тела связанная система координат Y совпадала с опорной X.
Дуальные параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона) и Кейли-Клейна. Вещественные и комплексные параметры винтового движения. В качестве основных дуальных кинематических параметров для описания движения свободного твердого тела и винтового движения несвободного твердого тела наряду с дуальными углами Эйлера-Крылова и дуальными направляющими косинусами используются дуальные параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона) Kj (j = = 0, 1,2,3), связанные с дуальными ортогональными проекциями 0^ (г = 1,2,3) винта 0 на оси системы координат X (или У) соотношениями [129, 131]:
Ф1Ф
Ло = cos —, Kt = - Лд0г = sin — cosE^, г =1,2,3.(1.126)
Величины Aj (j = 0, 1,2,3) являются дуальными аналогами вещественных параметров Эйлера (Родрига-Гамильтона) Xj, определяемых аналогичными вещественными соотношениями (1.12), и представляют собой функции дуальных переменных: Ло — одной дуальной переменной Ф = р + sp°, а Л^ — двух дуальных переменных Ф и Г^ = 7^ + + s^. Поэтому в соответствии с общим представлением аналитических функций дуальных переменных (1.54) дуальные параметры Aj можно представить в виде комплексных комбинаций вещественных величин Ха И Х°р
Aj = Xd + sXj, 3= 0, 1,2,3,(1.127)
где величины Xj являются вещественными параметрами Эйлера, величины AJ определяются формулами [129, 131]:
Ao = r°|| = -f(1.128)
У — + 7, р = у c°s cos7i - 7^ sin - sm^, г = 1,2,3.
Параметры Aj обладают следующим свойством:
Л^ + Л? + Л2 + Л3 = 1.(1.129)
Из (1.129) следует, что
E^ = i. Ем=°-<1.1зо)
J=Oj=0
Таким образом, движение свободного твердого тела или винтовое движение несвободного твердого тела может быть задано либо с помощью четырех дуальных кинематических параметров Aj (3 = 0, 1,2,3), либо с помощью восьми вещественных кинематических параметров Xj, Xj. В силу (1.129), (1.130) среди четырех дуальных величин Aj независимых будет лишь три, а среди восьми вещественных величин Xj, X°j — шесть, что соответствует числу степеней свободы свободного твердого тела.
Систему восьми кинематических параметров Xj, X°j (J = 0, 1,2,3), с помощью которых движение свободного твердого тела может быть представлено как винтовое движение, будем называть вещественными параметрами винтового движения твердого тела. Параметры Xj характеризуют собой угол р поворота тела вокруг оси ab винтового перемещения тела и ориентацию этой оси в системе координат X, а параметры AJ — величину р° поступательного перемещения тела вдоль оси ab и положение этой оси в системе координат X. Действительно, угол р, величина р°, направляющие косинусы cos 7^ оси ab и величины 7?, характеризующие положение оси ab в пространстве, легко определяются через параметры Xj, Х^ из соотношений (1.12), (1.128).
Отметим, что в соответствии с соотношениями (1.126) дуальные кинематические параметры Aj, j = 0, 1,2,3, (так же, как и вещественные параметры Aj) могут быть определены в любом координатном базисе. Здесь и далее под дуальными параметрами Эйлера (Родрига-Гамильтона) понимаются дуальные кинематические параметры Kj определенные в базисе (У), преобразуемом рассматриваемым конечным перемещением 0.
Введем дуальные параметры Кейли-Клейна А, В, Г, А, связанные с дуальными кинематическими параметрами Aj, j = 0, 1,2,3, соотношениями, являющимися дуальными аналогами вещественных соотношений (1.13):
А = Ад 4" /Аз = q 4 §01°, В = —Л2 У %N\ = /3 У s3°,
(1.131)
Г = Л2УгЛ1 =уУ57°, А = Ад — гЛд = 5ys5°, г= у —1 •
Фигурирующие здесь величины а, (3, у, 5 являются параметрами Кейли-Клейна, имеющими вид (1.13), а величины а°, (3°, у0, 5° выражаются в соответствии с (1.127) через AJ посредством соотношений, аналогичных (1.13):
а° = ХЗ А гХ^, 0° = -Х^гХЗ,
(1 132) 7° = А^УгА^, 5° = Х°-гХ°.
Совокупность кинематических параметров а, (3, у, 5, а0, 3°, у0, 5°, задающих, так же как и параметры Xj, Xj, j = 0, 1,2,3, движение свободного твердого тела, эквивалентное винтовому движению, будем называть комплексными параметрами винтового движения твердого тела. Комплексные параметры винтового движения твердого тела удовлетворяют равенствам
аб — 3j = 1, а5° У а°5 - Р^° - 3°^ = 0,
вытекающим из дуального равенства АА — ВГ = 1.
Дуальные параметры Кейли-Клейна, образованные из дуальных параметров Эйлера (Родрига-Гамильтона), будем называть собственными дуальными параметрами Кейли-Клейна и отмечать верхней звездочкой: А*, В*, Г*, А*.
^-координаты. При использовании 1-координат положение свободного твердого тела в пространстве определяется с помощью шести чисел £1,^2, ••• Лв> равных длинам отрезков, соединяющих точки твердого тела с точками неподвижной базы (неподвижного основания) таким образом, что при заданных значениях координат ^1,^2,---^б образуется геометрически неизменяемая структура [74]. Следуя [74], рассмотрим основные особенности этих координат.
Так, для системы 1-координат, показанной на рис. 1.18, а, отрезки 11,12,---,1б соединяют три точки А, В и С базы 1, не лежащие на одной прямой, с тремя точками а, b и с твердого тела 2, также не лежащими на одной прямой, так, что эти отрезки и стороны треугольников
АВС и abc являются ребрами трех пирамид аАВС, ЬаВС и саЬС. Совокупность текущих значений координат СЛ% • ••Лб характеризует положение твердого тела 2 относительно базы (неподвижного основания) 1, так как пирамиды являются геометрически неизменяемыми фигурами. При этом положение точек А, В, С на базе и точек а, Ь, с на теле должно быть задано.
Рис. 1.18
Для системы 1-координат, показанной на рис. 1.18, Ь, отрезки ^ь^2,---^б соединяют шесть точек (А, В, С, D, Е, М^ базы 1 с шестью точками a, b, с, d, е, т твердого тела 2. Для проверки геометрической неизменяемости данной структуры 1-координат (как и других структур) ее можно рассматривать как аналог пространственного механизма, образованного базой (стойкой), твердым телом и стержнями, соединенными с базой и телом посредством сферических шарниров.
Для такого механизма число степеней подвижности W = 6п —ЗРд —6, где п — число подвижных звеньев, Pg — число кинематических пар III класса (сферических шарниров), 6 — число лишних степеней свободы (так как каждое звено может вращаться вокруг своей оси). Поскольку п = 7, a Pg = 12, то W = 0 и, следовательно, в соответствии с теорией пространственных механизмов рассмотренная структура обладает свойством геометрической неизменяемости.
Приведенные примеры систем 1-координат иллюстрируют их общее свойство, заключающееся в том, что они как бы образуют пространственные фермы, стержнями которых являются отрезки £1,£2, •••, 1б, а центры сферических шарниров расположены в точках базы и твердого тела, соединенных этими отрезками. Причем полагается, что если в одной точке сходятся два или три стержня, то каждый из них связан с базой или телом своим шарниром.
По аналогии с пространственными формами число точек в Е координатах на базе и твердом теле должно быть не менее трех, и они
не должны лежать на одной прямой. При этом недопустимо:
пересечение в одной точке более трех прямых, проходящих через точки базы и тела;
расположение в одной плоскости более трех отрезков;
параллельность трех отрезков и пересечение трех других в одной точке;
расположение всех отрезков в двух плоскостях.
Более строго, условие образования 1-координат заключается в том, что не должно существовать прямой, пересекающей все шесть прямых, на которых расположены отрезки £i,£2,, 1б-
Число структур 1-координат равно 59. Каждая из них характеризуется числом N точек на базе и числом S точек на теле и тем, расстояния между какими точками являются 1-координатами. Каждая структура имеет определенные свойства, которые обусловливают возможность и целесообразность ее использования при решении той или иной задачи.
Отметим, что 1-координаты являются локальными координатами, т. е. отдельные 1-координаты могут изменяться независимо друг от друга в определенных диапазонах, обусловленных выбранной структурой 1-координат.
1-координаты используются в различных областях науки и техники, в частности, в робототехнике и медицинской технике. Их техническое воплощение позволило создать новые исполнительные устройства роботов-манипуляторов, новые системы управления движением различных пространственных механизмов и системы измерения координат, определяющих положение захватного устройства (выходного звена) робота-манипулятора, а также позволило создать эффективные стенды для испытаний различного рода крупногабаритных движущихся обьек- тов (наземных экипажей, летательных аппаратов и др.).
1.7. Матрицы и бикватернионы, используемыедля описания пространственного движения
Матрицы дуальных направляющих косинусов. Система девяти дуальных направляющих косинусов С^, г,к = 1,2, 3, определяет собой положение системы координат У, связанной с твердым телом, относительно выбранной (опорной) системы координат X. Из этих косинусов составляется матрица С размера 3x3, называемая матрицей направляющих косинусов дуальных углов между осями систем координат X и ¥:
Си Ci2 Cig
с = II Cik II = II cik + sc°k II =с = II Cik II = II cik + sc°k II =С21 С22 С23
с = II Cik II = II cik + sc°k II =
с = II Cik II = II cik + sc°k II =
Сзх С32 С33
Матрица С дуальных направляющих косинусов в общем случае может быть представлена в виде
С = с + 80° = с(Е + sc') = cesd = (Е + sd'y = esc" с, (1.133)
(1.134)(1.134)
(1.134)
(1.134)
где с — обычная (вещественная) матрица направляющих косинусов углов между осями систем координат X и Y, d и d* — кососимметрические матрицы третьего порядка, элементы которых — проекции Xi и pt радиуса-вектора г, проведенного из начала системы координат X в начало системы координат У, на оси систем координат X н¥; Е - единичная матрица третьего порядка, ^^ — символ Леви-Чивита.
Из (1.133) следует, что матрица с°, характеризующая поступательное перемещение свободного твердого тела, связана с проекциями Xi и Pi радиуса-вектора г соотношениями
с° = cd = d'с, (1.135) где кососимметрические матрицы d и d* сопоставляются отображениям Гу и Гу радиуса-вектора г на базисы X и Y и определяются соотношениями (1.134).
Из соотношения (1.135) получаем следующие связи между кососимметрическими матрицами d = k(rx) и с" = к(гу\ сопоставляемыми отображениям Гх и Гу радиуса-вектора г.
d = k(rx) = d d’ с = dk^ry^c, с" = k(ry) = cdd = ck^tx^d.
Отметим, что справедливость использованных в (1.134) соотношений с" = k(ry) = с°ст, d = к(гх) = стс°
будет показана ниже (см. п. 3.7 третьего раздела).
Бикватернионы конечных перемещений. Дуальному вектору (винту) 0 конечного винтового перемещения свободного твердого тела можно поставить в соответствие единичный параболический
бикватернион Л [51], рассматриваемый как кватернион с дуальными компонентами Kj = Aj + sAJ при j = 0, 1,2, 3:
Л = Ло + Л1Z1 + Л2<2 + Л3/3 =
= (Ао + sXg) + (Ai + s^v)i^ + (А2 + sX^i^ + (Ag + sX^i^, (1.136) или как комплексная комбинация кватернионов Л и Л ° с вещественными компонентами Aj и AJ:
A = A + sA° = Aq+Ai/i + А2/2 + Аз^з + s(Ag + A^/i + А2/2 + Аз^з), (1.137) где, по-прежнему, iyi2,is — векторные мнимые единицы Гамильтона (орты гиперкомплексного пространства).
Дуальные компоненты (элементы) Aj (j = 0, 1,2,3) бикватерниона Л связаны с проекциями 0^ винта 0 соотношениями (1.126):
Ф1Ф
Ло = cos —, Ai = - Ло©г = sin — cosT^, г =1,2,3.
Они удовлетворяют равенству (1.129) и являются дуальными аналогами компонент Xj единичного кватерниона А, сопоставляемого вектору 9 конечного поворота твердого тела. Компоненты Xj и AJ кватернионов А и А ° определяются формулами (1.12) и (1.128) и связаны соотношениями (1.130).
Таким образом, положение (движение) свободного твердого тела (связанной с ним системы координат У) относительно опорной системы координат X можно характеризовать бикватернионом Л конечного винтового перемещения. Компоненты Xj (j =0, 1,2,3) главной части А бикватерниона Л характеризуют конечный поворот твердого тела, а компоненты Xj его моментой части А ° — поступательное перемещение тела.
Отметим, что параметр р бикватерниона конечного винтового перемещения Л, определяемый формулой (1.108), в силу второго равенства (1.130) равен нулю, и что бикватернион Л может быть представлен в виде_
Л = А + sX° = А о (1 + sA о А°) =
\ Л I ^Гу \\/1
= А о M н1 = А о exp ()(1.138)
или в виде
Л = А + sX° = (1 + §Х° о А) о А =
= I 1 +) ° А = ехр () ° А, (1.139)
где Гу и гх — отображения радиуса-вектора г, проведенного из начала системы координат X в начало системы координат У, на базисы У и X; ty = y\i\ + y2i2 + rx = xxi\ + X2I2 + ^3/3.
Справедливость использованных в (1.138) и (1.139) соотношений
гу = 2АоА°, гх =2А°оА(1.140)
будет показана ниже (см. параграф 3.7 гл. 3).
Приведем также тригонометрическую форму представления бикватерниона конечного винтового перемещения:
Л = cos — + Е sin —,Л = cos — + Е sin —,Е =Е =(Af + Л2 + Л|) /(Af + Л2 + Л|) /(Л1/1 + Л2/2 + Л3/3).(Л1/1 + Л2/2 + Л3/3).
Л = cos — + Е sin —,
Л = cos — + Е sin —,
Е =
Е =
(Af + Л2 + Л|) /
(Af + Л2 + Л|) /
(Л1/1 + Л2/2 + Л3/3).
(Л1/1 + Л2/2 + Л3/3).
Отметим, что так как компоненты бикватерниона Л конечного перемещения твердого тела определяются через проекции винта 0 конечного перемещения, то он может быть задан своими компонентами Aj в любом базисе (так же как и кватернион поворота). Компоненты Aj (J = 0, 1,2,3) бикватерниона Л, заданные в базисе У, преобразуемом рассматриваемым конечным перемещением 0, будем называть дуальными параметрами Эйлера (Родрига-Гамильтона), а бикватернион конечного перемещения, составленный из дуальных параметров Эйлера — собственным бикватернионом преобразования (по аналогии с собственным кватернионом [17]). Дуальные параметры Эйлера (Родрига- Гамильтона) и собственный бикватернион будем часто отмечать верхней звездочкой: Aj, Л*.
Бикватернионные матрицы. Для описания пространственного движения свободного твердого тела и винтового движения несвободного твердого тела помимо бикватернионов используются бикватернионные матрицы двух типов (М и N), составленные из компонент Kj (j = 0, 1,2,3) бикватерниона Л конечного перемещения и имеющие вид [131, 140]:
М(Л) =М(Л) =fЛо -Ai -Л2 -Ад ^Ai Ло -Л3 Л2Л2 Л3 Ло -Л1^Лз -Л2 Ai Ло уfЛо -Ai -Л2 -Ад ^Ai Ло -Л3 Л2Л2 Л3 Ло -Л1^Лз -Л2 Ai Ло уN^ =N^ =/Ло -Л1 -Л2/Ло -Л1 -Л2Ai ЛоЛ2 -Л3Ai ЛоЛ2 -Л3ЛзЛоЛзЛо\Лз Л2 -Ai\Лз Л2 -Ai-Лз \-Л2Л1Ло у-Лз \-Л2Л1Ло у(1.141)(1.141)
М(Л) =
М(Л) =
fЛо -Ai -Л2 -Ад ^Ai Ло -Л3 Л2Л2 Л3 Ло -Л1
^Лз -Л2 Ai Ло у
fЛо -Ai -Л2 -Ад ^Ai Ло -Л3 Л2Л2 Л3 Ло -Л1
^Лз -Л2 Ai Ло у
N^ =
N^ =
/Ло -Л1 -Л2
/Ло -Л1 -Л2
Ai Ло
Л2 -Л3
Ai Ло
Л2 -Л3
Лз
Ло
Лз
Ло
\Лз Л2 -Ai
\Лз Л2 -Ai
-Лз \
-Л2
Л1
Ло у
-Лз \
-Л2
Л1
Ло у
(1.141)
(1.141)
Бикватернионные матрицы М и N являются дуальными аналогами кватернионных матриц т(Х) и п(Х) (см. п. 1.3.3). Эти матрицы связаны с матрицей-столбцом Л = (Ло, Ai, Л2, Л3) соотношением
М£ = N£ = Л = (A0,Ai,A2,A3), £ = (1,0,0,0).(1.142)
Укажем основные свойства введенных бикватернионных матриц [131, 140].
Норма матрицы-столбца Л и определители матриц М и N равны единице: ||Л|| = 1, \М\ = |7V| = 1.
Матрицы М и N — дуальные ортогональные: М-1 = Мт, У-1 = = Ут.
Произведение матриц типа M(N) дает матрицу того же типа: Mi М2 = М3, NXN2 = N^ (отметим однако, что даже в случае, когда матрицы Mi и TVi соответствуют одному и тому же винту конечного перемещения ©i, а матрицы М2 и Ns соответствуют одному и тому же винту конечного перемещения 02, между
элементами получаемых матриц М3 и N^ нет такого простого соответствия, как между элементами перемножаемых матриц).
Матрицы типа M(N) в общем случае некоммутативны: М\М2 ф М2МЬ TViTV2 + N2NX.
Матрицы вида М коммутируют с матрицами вида N: MN = = NM.
Если матрицы М\(М2) и N\(N2) составлены из одинаковых элементов, то матрицы М3 = М\М2 и N3 = N2N\ также будут образованы из одинаковых элементов. Поэтому, учитывая (1.142), будем иметь Ад = М\Х2 =
М = N = Е, X = £ (Е — единичная матрица размера 4x4), если дуальный угол поворота Ф = 0.
Матрица М переходит в М-1, a N переходит в А-1, если винт 0 меняет свое направление на противоположное.
Матрицы М и N представимы (с учетом равенств (1.127)) в виде
М = т + sm° = HiesmTm° = esm°mT т,
тт(1.143)
N = п + sn° = пе8П п° = esn°n п,
где т = т(Х\ п = п(А) — вещественные ортогональные (кватернионные) матрицы, сопоставляемые кватерниону поворота А; т° = т(Х°) и п° = п(А°) — вещественные матрицы типов т и п, сопоставляемые кватерниону А0, характеризующему поступательное движение твердого тела; тТт°, т°тТ, пТп°, п0^ — вещественные кососимметрические матрицы размера 4x4.
Матрицы (т°)-1 и (п°)-1, обратные матрицам т° и п°, фигурирующим в (1.143), находятся по формулам
ИГ' = II А° г2 w1, (n0)"1 = II А° Г2 Ют ,
/\ 2
II А ° ||2 = |n°| = К| = ((А°)2 + (А°)2 + (Ag)2 + (A3)2) .
На основании (1.140) устанавливаются следующие связи кососимметрических матриц, фигурирующих в (1.143), с отображениями г у и гх радиуса-вектора г, проведенного из начала системы координат X в начало системы координат У, на базисы ¥ и X;
(1.144)(1.144)тТт° = [т(А)]т т(Х°) = - т(гу),т° тТ = т(Х°) [т(А)]т = ^ т(гж),
(1.144)
(1.144)
\ хз -х2\ хз -х2/ 0 -У1 -у2 -УЗ \У1 0 -уз У2m(ry) =У2 Уз 0-У1\УЗ -У2 У1 0 // 0 -У1 -у2 -УЗ \У1 0 -уз У2m(ry) =У2 Уз 0-У1\УЗ -У2 У1 0 /-х2 -Хз \-Хз х20 -х\Ж1 о /-х2 -Хз \-Хз х20 -х\Ж1 о /
\ хз -х2
\ хз -х2
/ 0 -У1 -у2 -УЗ \
У1 0 -уз У2
m(ry) =
У2 Уз 0-У1
\УЗ -У2 У1 0 /
/ 0 -У1 -у2 -УЗ \
У1 0 -уз У2
m(ry) =
У2 Уз 0-У1
\УЗ -У2 У1 0 /
-х2 -Хз \
-Хз х2
0 -х\
Ж1 о /
-х2 -Хз \
-Хз х2
0 -х\
Ж1 о /
п° пт = п(А°'
) НА)]Т = ^п
Ду),
/ 0 -Ж] -ж2 -жз \
/ 0 -yi -у2
Ж] 0ж3 -ж2
ж2 — жз 0Ж[
, п(гу) =
У1 0 Уз
У2 -Уз 0
\ ж3 ж2 -Ж10 /
\ УЗ У2 -У1
пТп° = [п(А)]тп(А°) = |п(гж),
(1.145)
-Уз \
—У2
У1 '
О /
Из (1.143), (1.144) и тернионных матриц М и (1.138), (1.139):Из (1.143), (1.144) и тернионных матриц М и (1.138), (1.139):М = т^Е + smTm°) = тМ = т^Е + smTm°) = т= те^/^8т^ == те^/^8т^ =(1.146)(1.146)N = п(Е + snTn°) = n Е + —N = п(Е + snTn°) = n Е + —= ne^^2^sn^x^ == ne^^2^sn^x^ == (Е + 8П°Т1Т)Т1 == (Е + 8П°Т1Т)Т1 =ЗП^Гу)2ЗП^Гу)2^ — ^( l/2)sn(ry)^ — ^( l/2)sn(ry)(1.147)(1.147)получаем представления для биква- N, аналогичные бикватернионным формулам
Из (1.143), (1.144) и тернионных матриц М и (1.138), (1.139):
Из (1.143), (1.144) и тернионных матриц М и (1.138), (1.139):
М = т^Е + smTm°) = т
М = т^Е + smTm°) = т
= те^/^8т^ =
= те^/^8т^ =
(1.146)
(1.146)
N = п(Е + snTn°) = n Е + —
N = п(Е + snTn°) = n Е + —
= ne^^2^sn^x^ =
= ne^^2^sn^x^ =
= (Е + 8П°Т1Т)Т1 =
= (Е + 8П°Т1Т)Т1 =
ЗП^Гу)
2
ЗП^Гу)
2
^ — ^( l/2)sn(ry)
^ — ^( l/2)sn(ry)
(1.147)
(1.147)
где Е — единичная матрица размера 4x4.
Введенные параболические бикватернионные матрицы эквивалентны параболическим бикватернионам, поэтому все операции теории конечных перемещений и кинематики пространственного движения твердого тела могут быть представлены в виде операций над бикватернионами или над бикватернионными матрицами. Использование бикватернионов позволяет компактно и наглядно решать многие геометрические и кинематические задачи, приводит к наглядным геометрическим интерпретациям построенных решений. Применение бикватернионных матриц позволяет использовать при решении задач механики удобный аппарат матричной алгебры и матричных дифференциальных уравнений и, кроме этого, позволяет использовать свойство коммутативности бикватернионных матриц типов М и N, устраняющее в ряде случаев существенный «недостаток» бикватернионов — их некоммутативность.
Следует отметить, что основные соотношения теории конечных перемещений твердого тела и кинематики пространственного движения твердого тела могут быть получены в виде операций над бикватернионами или над бикватернионными матрицами непосредственно, с помощью проведения соответствующих выкладок и доказательств. Однако во многих случаях гораздо проще и эффективнее использовать для этой цели принцип перенесения Котельникова-Штуди (см. п. 1.5.5.1).
В соответствии с этим принципом формулы теории конечных поворотов и кинематики движения твердого тела с одной неподвижной точкой при замене в них вещественных величин дуальными могут трактоваться как «неразвернутые» формулы теории конечных перемещений и кинематики движения свободного твердого тела. В частности, кватернионному формализму теории конечных поворотов и кинематики движения твердого тела с одной неподвижной точкой соответствует бикватерни- онный формализм теории конечных перемещений и кинематики движения свободного твердого тела, поскольку, как установил А.П. Котельников [51], формулы теории кватернионов можно рассматривать как «неразвернутые» формулы теории бикватернионов (при замене в них вещественных величин комплексными). Кватернионам соответствуют кватернионные матрицы, а бикватернионам — бикватернионные матрицы. Поэтому матричный формализм теории конечных перемещений твердого тела, использующий параболические бикватернионные матрицы, можно построить, применяя принцип перенесения Котельникова- Штуди к матричному формализму теории конечных поворотов твердого тела.
Матрицы дуальных параметров Кейли-Клейна.
7.4.1. Дуальные унитарные матрицы размера 2x2. Винту 0 конечного перемещения свободного твердого тела можно поставить в соответствие комплексную унитарную матрицу второго порядка с определителем, равным единице [140]:
/А Г \/ А -Г \
Q = R л ’ Q = R .Vqq+ = i, iqi = i. (i.i48) у D la уу — DА у
Здесь Q+ — матрица, эрмитово сопряженная с матрицей Q; I — единичная матрица размера 2x2; элементами матриц Q и Q+ являются дуальные параметры Кейли-Клейна А, В, Г, А, определенные соотношениями (1.131).
Матрицы Q и Q^ являются дуальными аналогами матриц q и q+, составленных из обычных параметров Кейли-Клейна а, (3, ^, 5 и имеющих вид (1.22).
7.4.2. Дуальные унитарные матрицы размера 4x4. Винту 0 конечного перемещения свободного твердого тела можно также поставить в соответствие комплексные унитарные матрицы дуальных параметров Кейли-Клейна четвертого порядка [140], являющиеся дуальными аналогами матриц р и к, имеющих вид (1.23):
/АГ00\ВА0000АГ\00ВА)/АГ00\ВА0000АГ\00ВА)/А0В0\0А0ВГ0А0\0Г0Ау/А0В0\0А0ВГ0А0\0Г0Ау(1.149)(1.149)
/АГ00\
ВА00
00АГ
\00ВА)
/АГ00\
ВА00
00АГ
\00ВА)
/А0В0\
0А0В
Г0А0
\0Г0Ау
/А0В0\
0А0В
Г0А0
\0Г0Ау
(1.149)
(1.149)
Отметим основные свойства матриц Р и К.
Определители матриц Р и К в силу условия нормированности АЛ — ВГ = 1 равны единице: |F| = |А?| = 1.
Матрицы Р и К являются унитарными: РР+ = Е, КК+ = Е, где Е — единичная матрица размера 4x4; Р+,К+ — матрицы, эрмитово сопряженные с матрицами Р и К, имеющие вид
/ А -Г 0 0\-В А О О О О А -Г \ О О-В А// А -Г 0 0\-В А О О О О А -Г \ О О-В А// А ОО А-Г О\ О -Г/ А ОО А-Г О\ О -Г-в О\о-вА ОО А/-в О\о-вА ОО А/
/ А -Г 0 0\
-В А О О О О А -Г \ О О-В А/
/ А -Г 0 0\
-В А О О О О А -Г \ О О-В А/
/ А О
О А
-Г О
\ О -Г
/ А О
О А
-Г О
\ О -Г
-в О\о-вА ОО А/
-в О\о-вА ОО А/
Матрицы типа Р коммутируют с матрицами типа К; РК = КР. Матрицы Р, Р+, К, К+ можно представить в блочном виде:
/Q 0\/М В1\71 A) 1(B) \
Р =| , К = || = IL
V о Q / \ПV Ж) W )
p+ = (Q+ °к^=( ы "ВЖ = МД) -Ж)\
V о Q+ ) ’ у -П М ) у -/(Г) 1(A) ) '
Здесь матрицы Q и Q^ имеют вид (1.148), 0 — нулевая матрица размера 2x2, 1(A) = Al, 1(B) = BL 1(Г) = Г1, 1(A) = А1 - диагональные матрицы размера 2x2.
При использовании дуальных параметров Кейли-Клейна могут быть использованы как дуальные унитарные матрицы размера 2x2, так и дуальные унитарные матрицы размера 4x4. При этом использование унитарных матриц размера 4x4 позволяет использовать свойство коммутативности матриц типа Р и К.
Матрицы 4x4 преобразования однородных координат. Рассмотрим твердое тело, движущееся относительно опорной системы координат ОХ\Х<2Х^(ХУ С твердым телом жестко свяжем систему координат АУ1У2У3 (У), поместив ее начало в произвольно выбранную точку А тела (полюс). Рассмотрим другую произвольную точку М твердого тела (рис. 1.19). Положение этой точки в системе координат X характеризуется радиусом-вектором г, а в системе координат У — радиусом-вектором р. Обозначим через хь Х2, Х3 и у\, у%, уз координаты точки М в системах координат X и У (проекции радиусов- векторов г и р на оси систем координат X и У), а через хдь хд2, хдз — координаты точки А (полюса) в системе координат X (проекции радиуса-вектора гд точки А на оси системы координат X).
Очевидно, что г = Гд + р. Проектируя это векторное равенство на оси системы координат X, получим следующие связи между координатами точки М в системах координат X и У:
$г = Xki + СИУ1 +С2»У2 + СЗгУЗ, (1.150)
где с^ (г, к = 1,2,3) — направляющий косинус угла между координатными осями AYt и ОХ^.
Запишем скалярные соотношения (1.150) в матричном виде:
/ СиС21С31^А 1 \ММХ2С12С22С32хмУ2Ж3С13С23сззха зУз\ 11 о001 j1 1 J/ СиС21С31^А 1 \ММХ2С12С22С32хмУ2Ж3С13С23сззха зУз\ 11 о001 j1 1 JrA X1rA X1Гх1Гх1(1.151)(1.151)00Py 1Py 1
/ Си
С21
С31
^А 1 \
ММ
Х2
С12
С22
С32
хм
У2
Ж3
С13
С23
сзз
ха з
Уз
\ 1
1 о
0
0
1 j
1 1 J
/ Си
С21
С31
^А 1 \
ММ
Х2
С12
С22
С32
хм
У2
Ж3
С13
С23
сзз
ха з
Уз
\ 1
1 о
0
0
1 j
1 1 J
rA X
1
rA X
1
Гх
1
Гх
1
(1.151)
(1.151)
0
0
Py 1
Py 1
где гх = (ж1,ж2,ж3), гКХ = (жа1,жА2,жаз), ру = (уьУг.Уз) - векторы- столбцы координат точек М и А, с — матрица направляющих косинусов углов между осями систем координат X и Y.
Матрица размера 4x4, фигурирующая в матричном соотношении (1.151), называется матрицей преобразования однородных координат. Такого рода матрицы широко используются в механике роботов- манипуляторов [123].
Глава 2
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ
Формула Родрига и ее дуальный аналог
Конечный поворот твердого тела с неподвижной точкой. Рассмотрим твердое тело с одной неподвижной точкой О. Телу сообщается поворот вокруг оси, задаваемой единичным вектором е, на угол (р. Направление вектора е выбирается так, чтобы, смотря с его конца, видеть поворот тела на угол, меньший или равный 180°, происходящий против хода часовой стрелки.
Рассмотрим произвольную точку твердого тела, занимающую до поворота тела положение М, а после поворота — положение М' (рис. 2.1). Радиус-вектор точки до поворота ОМ = г. После поворота он займет положение ОМ' = г', так что вектор ММ1 = г' — г представляет собой вектор перемещения точки М при повороте тела. Это перемещение требуется выразить через величины (угол ср и вектор е), определяющие поворот, и вектор г(то есть, требуется найти зависимость г' = = Кг е, у?)).
Рис. 2.1Рис. 2.2Рис. 2.1Рис. 2.2
Рис. 2.1Рис. 2.2
Рис. 2.1Рис. 2.2
Очевидно, что векторы г и / определяются равенствами
г = ОО' + р, г' = ОО’ + р'
и являются образующими кругового конуса (рис. 2.2), по оси которого направлен единичный вектор е.
Составляющая ОО' вектора г, направленная вдоль оси поворота, не изменяется при повороте:
ОО' = г-е = г'-е, поэтому остается проследить за изменением составляющей, перпендикулярной оси поворота,
р = г - (г- е)е,(2.1)
переходящей в вектор
р' = г' - (г'- е^е = г' - (г- е)е.(2.2)
Из рис. 2.2 следует, что
р' = O7S + SM' = ^(р + р'Н SM', где S — точка, делящая отрезок ММ' пополам.
Заметив, что вектор
SM' = tg ^ (е' X O's) = 1 tg ^ (е х (р + р'^ , получим
р' = 2 (Р + ^') + 2 tg 2 ^ Х ^Р + Р'^
или(Оф
Р - tg - е х р = р + tg - е х р.
Подставляя в это равенство выражения для р и р' из (2.1) и (2.2), придем к формуле
г' - tg ^ е х г' = г + tg ^ е х г.(2.3)
Остается разрешить это уравнение относительно г', для этого умножим обе его части векторно слева на е. Тогда придем к уравнению exr'-tg^ [(е-Ое-/] =exr + tg^ [(е • r)e - r].
Исключив из этого уравнения вектор е х г' с помощью (2.3), получим
Г = г +[tg2^(e-r)e + tg^exr-tg2^r] .(2.4)
1 + tg2L 222 J
Введем в рассмотрение вектор
e = 2tg^e,(2.5)
называемый вектором конечного поворота (см. также п. 1.2.3). Тогда формула (2.4) примет вид [71]:
/02 х"1 //1
г' = г + I 1 + — )(Ух(г+-Ухг|).(2.6)
у4 ууу2 у у
Эта формула называется формулой Родрига. Ее можно записать в другом виде:
/ = г + sirup (е х г) + (1 - cos<p)(e х (е х г))(2.7)
или
г' = cos р г + sin р (е х г) + (1 - cos р) (е • г)е.(2.8)
Полученные формулы (2.6)-(2.8) связывают радиусы-векторы произвольной точки твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, до поворота тела и после поворота с величинами р и е (эйлеровым углом поворота и единичным вектором эйлеровой оси поворота), характеризующими конечный поворот твердого тела в пространстве.
В частном случае, когда р = тг, т. е. когда твердое тело совершает полуоборот, формулы (2.6)-(2.8) дают
г' = 2(е-г)е- г.(2.9)
Всякий поворот твердого тела можно осуществить с помощью двух полуоборотов на основании следующей теоремы [30].
Теорема. Поворот твердого тела на угол р вокруг некоторой оси эквивалентен двум последовательным полуоборотам тела вокруг осей, пересекающих под прямым углом в одной точке данную ось и образующих между собой угол р/2.
Конечное перемещение свободного твердого тела. Произвольное конечное перемещение свободного твердого тела в пространстве эквивалентно винтовому перемещению, которое может быть интерпретировано как поворот на дуальный угол. Приведенные формулы (2.5)-(2.9) в этом общем случае должны рассматриваться как формулы с дуальными величинами. Входящий в них угол конечного поворота положим дуальным, единичный вектор — единичным винтом фиксированной в пространстве оси, а вещественный модуль вектора — дуальным. В таком случае, в силу принципа перенесения Котельникова- Штуди эти формулы допускают толкование на языке винтов и превращаются в формулы теории конечных винтовых перемещений твердого тела. Приведенная теорема также сохраняет силу при соответствующей замене векторных понятий на винтовые. Таким образом, можно сформулировать следующие две теоремы [30].
Теорема 1. Если ввести дуальный вектор конечного винтового перемещения
0 = 2£tg|, Ф = у + зуо, s2 = 0,(2.10)
где Е — единичный винт оси винтового перемещения, Ф = р + + §р° — дуальный угол поворота, то для винта (или вектора), лежащего на произвольной прямой, принадлежащей твердому телу, и занимающего начальное положение R, конечное положение R' выражается формулой
/\1 //1\ \
R=Rp 1 + — ©х lRp-exR\V (2.11)
I 4 / у у 2 у у
аналогичной формуле (2.6).
Схема рассматриваемого перемещения показана на рис. 2.3.
Теорема 2. Винтовое перемещение тела на дуальный угол Ф = = р + sp° относительно оси, единичный винт которой Е, эквивалентно двум последовательным полуоборотам, совершающимся относительно прямых с единичными винтами Е\ и Е^ пересекающих под прямым углом ось Е и образующих между собой дуальный угол Ф^ (рис.2А\
Ортогональные матричные 3x3 преобразованиякоординат
Рассмотрим наиболее распространенное и удобное преобразование координат, осуществляемое с помощью матриц направляющих косинусов.
Преобразование базисов. Будем рассматривать две системы координат: опорную (неподвижную) систему координат X с началом в неподвижной точке О твердого тела и систему координат Y, жестко связанную с телом, с началом в той же точке О. Направляющие косинусы углов между осями систем координат Y и X обозначим через ^гк •
Щк — соз(У^, Хк) — у^ • Хк, %,к — 1,2, 3,
где уг и Хк — единичные векторы координатных осей Yt и Хк.
Матрица направляющих косинусов углов между осями систем координат Y и X имеет вид (1.16):
/СЦС12Cig
с =С21С22С23
\С31С32Сзз
Используя определение направляющих косинусов углов, орты уг связанной системы координат Y могут быть выражены через орты хк
системы координат X ссистемы координат X спомощью матричного равенства (1.17):
системы координат X с
системы координат X с
У\ \/ С11С12Cig \/ Xi \/ Х1 \
#2=С21 С22 С23 Х2 =С Х2 .(2.12)
\ Уз /V С31С32Сзз /у Х3 уу х3 у
Преобразование координат неизменного вектора. Рассмотрим произвольный вектор г с проекциями х^ и р^ (к = 1,2,3) в системах координат X и Y:
г = xixi + х2х2 + х3х3 = pit/1 + р2у2 + УзУз-
Умножая это векторное равенство скалярно на единичный вектор уг и используя понятие направляющего косинуса, получим следующее выражение для проекции pt вектора г на ось Yp
Рг=Г*Уг= ^1^1 • У г + Х^ * У г + Х3Х3 * У г =
= Ci\X\ + ci2x2 + 0^3, г= 1,2,3.
Отсюда получаем матричную формулу, определяющую связь проекций произвольного вектора г на оси системы координат Y с его проекциями на оси системы координат X:
(2.13)(2.13)У\ \/ СЦ С12 С13 \ [ х\
(2.13)
(2.13)
У 2=С21 с22 С23 х2
УЗ )\ ^31 С32 Сзз / \ Хз
Таким образом, формулы (2.12) и (2.13), определяющие связи единичных векторов (ортов) систем координат Y и X и связи проекций некоторого вектора г на оси системы координат Y и X, аналогичны.
Преобразование в виде операции вращения вектора. Рассмотрим произвольную точку М твердого тела. Проведем из неподвижной точки О твердого тела в точку М радиус-вектор г. Сообщим твердому телу поворот, задаваемый вектором конечного поворота 9 = = 2е tg(y?/2). Угловое положение твердого тела (системы координат У) в системе координат X может быть также задано с помощью матрицы направляющих косинусов с. Обозначим через х^ и х'к (к = 1,2,3) проекции радиуса-вектора г на оси системы координат X в начальном и конечном положениях тела, а через рк его проекции на оси системы координат Y. Имеем
г' = Щ1 + ж^ + Дх3 = У1У1 + У2У2 + УзУз = Ж1У1 + ж2У2 + жзУз-
Здесь учтено, что в начальном положении тела, когда одноименные оси систем координат Y и X совпадают, имеют место равенства р^ = = 4 (к= 1,2,3).
4 Ю.Н. Челноков
В матричной записи последнее векторное соотношение с учетом (2.12) принимает вид
И^ЖгДИ Н*1*2*з||т = II Ж1 ж2 Жз II II У15/2 Уз НТ =
= || Ж] ж2 ж3 II с || Х1 х2 х3 ||т.
Отсюда находим
ИХ ЖзД ||т = ст ||Ж[ ж2 ж3 ||т.
Таким образом, связь проекций Хк и хк (к = 1,2,3) вектора г на оси системы координат X до поворота вектора и после его поворота
определяется матричным соотношением:
(2.14)(2.14)А \/ СЦ С21 С31 \ / Ху
(2.14)
(2.14)
^2=С12 с22 С32 Ж2
А /\ С13 С23 Сзз / \ Ж3
Связь матрицы направляющих косинусов с эйлеровым описанием поворота твердого тела. Рассмотрим связь элементов с^к (г, к = 1,2,3) матрицы направляющих косинусов с эйлеровым углом ср поворота твердого тела и проекциями вк (к = 1,2,3) единичного вектора е эйлеровой оси поворота на оси системы координат ¥. Отметим, что если в начальном положении система координат ¥ совпадала с X, то проекции вектора е на оси системы координат X будут также равны величинам е^. Для получения указанной связи воспользуемся формулой Родрига (2.6):
/№ \—//1\ \
/ = г + | 1 + — |(0х(г+-0хг||.
\4 /\\2/ /
Используя равенства
0 = 2etg|, 1 + ^ = 1+tg2^^^,
запишем формулу Родрига в следующем виде:
/ = г + sin^ (е х г) + 2 sin21 (ex (ex г)).(2.15)
Фигурирующие в этом соотношении векторные произведения представим в виде определителей третьего порядка:
е х г =е х г =Х2 Х362 езЖ2 ж3Х2 Х362 езЖ2 ж3
е х г =
е х г =
Х2 Х3
62 ез
Ж2 ж3
Х2 Х3
62 ез
Ж2 ж3
е х (е х г) =е х (е х г) =Х1eiе2Жз-е3Ж2Х1eiе2Жз-е3Ж2х2Хз62езе^ху—еухз еух^ — е^хух2Хз62езе^ху—еухз еух^ — е^ху
е х (е х г) =
е х (е х г) =
Х1
eiе2Жз-е3Ж2
Х1
eiе2Жз-е3Ж2
х2Хз
62ез
е^ху—еухз еух^ — е^ху
х2Хз
62ез
е^ху—еухз еух^ — е^ху
Теперь формулу (2.15) можно записать в координатной форме:Теперь формулу (2.15) можно записать в координатной форме:/ ЖЛ / ®22-з - е3ж2 \ Ж2 + siny 63X1 — 61X3+\Ж3 /\61Ж2 - е2Ж1 )/ ЖЛ / ®22-з - е3ж2 \ Ж2 + siny 63X1 — 61X3+\Ж3 /\61Ж2 - е2Ж1 )+(1 — cosy)+(1 — cosy)/ — (е^ + e|)xi + в[е2ж2 + е1е3ж3 е]е2Ж1 - (ef + е^)ж2 + е2е3ж3\ е]е3Ж1 + е2е3ж2 - (ef + е^)ж3/ — (е^ + e|)xi + в[е2ж2 + е1е3ж3 е]е2Ж1 - (ef + е^)ж2 + е2е3ж3\ е]е3Ж1 + е2е3ж2 - (ef + е^)ж3Сравнивая это соотношение с (2.14), получим искомую формулу для матрицы направляющих косинусов с:Сравнивая это соотношение с (2.14), получим искомую формулу для матрицы направляющих косинусов с:/ Ос = cos ip Е + sin <р —ез\ е2/ Ос = cos ip Е + sin <р —ез\ е2езО-61езО-61-62 ei О-62 ei О+ (1 — cos 92)+ (1 — cos 92)6162616361626163616262636162626361636263е361636263е3(2.16)(2.16)
Теперь формулу (2.15) можно записать в координатной форме:
Теперь формулу (2.15) можно записать в координатной форме:
/ ЖЛ / ®22-з - е3ж2 \ Ж2 + siny 63X1 — 61X3+
\Ж3 /\61Ж2 - е2Ж1 )
/ ЖЛ / ®22-з - е3ж2 \ Ж2 + siny 63X1 — 61X3+
\Ж3 /\61Ж2 - е2Ж1 )
+(1 — cosy)
+(1 — cosy)
/ — (е^ + e|)xi + в[е2ж2 + е1е3ж3 е]е2Ж1 - (ef + е^)ж2 + е2е3ж3
\ е]е3Ж1 + е2е3ж2 - (ef + е^)ж3
/ — (е^ + e|)xi + в[е2ж2 + е1е3ж3 е]е2Ж1 - (ef + е^)ж2 + е2е3ж3
\ е]е3Ж1 + е2е3ж2 - (ef + е^)ж3
Сравнивая это соотношение с (2.14), получим искомую формулу для матрицы направляющих косинусов с:
Сравнивая это соотношение с (2.14), получим искомую формулу для матрицы направляющих косинусов с:
/ О
с = cos ip Е + sin <р —ез
\ е2
/ О
с = cos ip Е + sin <р —ез
\ е2
ез
О
-61
ез
О
-61
-62 ei О
-62 ei О
+ (1 — cos 92)
+ (1 — cos 92)
6162
6163
6162
6163
6162
6263
6162
6263
6163
6263е3
6163
6263е3
(2.16)
(2.16)
Формула (2.16) устанавливает связь элементов матрицы направляющих косинусов с проекциями единичного вектора е эйлеровой оси
вращения и углом 92 поворота твердого тела.
Введем в рассмотрение кососимметрическую к(х) и симметрическую s(x) матрицы, сопоставляемые некоторому вектору х:
(
ОЖ3-Х2 \/ Ж1^1^2^1^3 \
-Хз О Х\ , s(x) = Х1Х2 ^2Х2^3• (2.17)
^2-Х\0 /у Х1Х3^2^3 ^i /
Тогда матрица направляющих косинусов с может быть представлена в одном из трех следующих видов:
с(ср, еу) = cos ср Е + sin ср к(еу) + (1 — cos 92) s(ey),
c(0y) = (1 + cos ^c(0y) = (1 + cos ^Е + Wy^ + - s(0y)Е + Wy^ + - s(0y)-Е,-Е,,21 + cos у =-F>,21 + cos у =-F>(2.18)(2.18)с(А) = 2 pg Е + Ао УМ + s(Av)] - Е,с(А) = 2 pg Е + Ао УМ + s(Av)] - Е,
c(0y) = (1 + cos ^
c(0y) = (1 + cos ^
Е + Wy^ + - s(0y)
Е + Wy^ + - s(0y)
-Е,
-Е,
,2
1 + cos у =-F>
,2
1 + cos у =-F>
(2.18)
(2.18)
с(А) = 2 pg Е + Ао УМ + s(Av)] - Е,
с(А) = 2 pg Е + Ао УМ + s(Av)] - Е,
где А = Ao + Alii + А26 + Аз/з — кватернион ориентации твердого тела в системе координат X, Av = Aiz*i + А2/2 + A3Z3 — векторная часть кватерниона ориентации; Aj (j = 0, 1,2,3) — параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона), определяемые соотношениями (1.12); нижний индекс «У» у вектора означает, что соответствующий вектор (е, 0")
определен своими проекциями в системе координат У (отметим, что если в начальном положении тела система координат ¥ совпадала с X, то еу = ех, Оу = вх, Xvy = Xvx = Av).
Укажем следующие полезные матричные соотношения между введенными матрицами:
[Ао£ - fc(Av)]"1 = (2А0)-1 [5 + с(А)],
[А0Е + ЦА.)]"1 = (2А0)-1 [Я + (с(А))т],
/ Л2 + Л2_Л2_Л2 с= 2(А1А2 - АоАз)\ 2(А1Аз + АоА2)/ Л2 + Л2_Л2_Л2 с= 2(А1А2 - АоАз)\ 2(А1Аз + АоА2)2(Ai А2 + А0А3) А^-А^ + А|-А| 2(А2Аз - AqAi)2(Ai А2 + А0А3) А^-А^ + А|-А| 2(А2Аз - AqAi)2(А1Аз - А0А2)2(А2Аз + AqAi)Ag-Af-А2 + А32(А1Аз - А0А2)2(А2Аз + AqAi)Ag-Af-А2 + А3(2.20)(2.20)
/ Л2 + Л2_Л2_Л2 с= 2(А1А2 - АоАз)
\ 2(А1Аз + АоА2)
/ Л2 + Л2_Л2_Л2 с= 2(А1А2 - АоАз)
\ 2(А1Аз + АоА2)
2(Ai А2 + А0А3) А^-А^ + А|-А| 2(А2Аз - AqAi)
2(Ai А2 + А0А3) А^-А^ + А|-А| 2(А2Аз - AqAi)
2(А1Аз - А0А2)
2(А2Аз + AqAi)
Ag-Af-А2 + А3
2(А1Аз - А0А2)
2(А2Аз + AqAi)
Ag-Af-А2 + А3
(2.20)
(2.20)
^+|ад + ^(0)
1
- 2 1
(1 + COS 99)
,(2.19)
Г1 z х1 z х!
-1 1
Г1 z х!
E-^WHyW
“ 2 '
(1 + COS 99)
E+^W)
Матрица с(А) в развернутой
записи имеет вид [17, 71]:
и устанавливает связь направляющих косинусов с параметрами Эйлера.
Отметим, что операция преобразования координат и операция вращения вектора может быть записана с помощью кососимметрических матриц. Так, если вектору г с проекциями Хк и yk, к = 1,2,3, в системах координат X и Y сопоставить кососимметрические матрицы к(гх) и к(гу);
' 0
Ж3
-^2 \/
' 0
Уз
-У2
Wx^ = (
-ж3
0
Ж1
, к-Гу) =
-Уз
0
У\
А ^2
—Х\
0 )
А У2
-у\
0
то формула преобразования координат неизменного вектора примет вид к(гу) = ск(гх) сТ.
Нахождение эйлеровых вектора е и угла ср через заданные элементы матрицы направляющих косинусов. Найдем проекции вк (к = 1,2,3) единичного вектора е эйлеровой оси и эйлеров угол ср поворота твердого тела через заданные элементы с^ (г, к = 1,2,3) матрицы направляющих косинусов с. Складывая диагональные элементы матрицы с, определяемой соотношением (2.16), получим след этой матрицы: сп + С22 + С33 = 1 + 2 cos99. Отсюда получаем
cosy = - (сп + с22 + с33 - 1).(2.21)
Найдем следующие разности диагональных элементов матрицы с;
С23 - С32 = 2 sin у 61,С31 - 613 = 2 sin у е2,612 - 621 = 2sinye3.
Отсюда имеем
С23 - С32С31 - С13С12 - С21,.
ei =, е2 =, е3 =.(2.22)
2 sin щ2 sin щ2 sin щ
Таким образом, эйлеров угол щ конечного поворота твердого тела и направляющие косинусы е^ (к = 1,2,3) оси поворота определяются через элементы матрицы направляющих косинусов формулами (2.21) и (2.22).
Связь параметров Эйлера с элементами матрицы направляющих косинусов. Параметры Эйлера определяются соотношениями (1.12):
Ao = cos^, Ai = sin ^ cosyi = sin ^ е^, г =1,2,3. (2.23)
Используя (2.21) и (2.22), из (2.23) получим с? 1/
(2.24)(2.24)Ao = COS — = ± - у/ 1 + Cl 1 + С22 + Сзз ,
(2.24)
(2.24)
Л _ С23 - С32_ С31 - С13_ С12 - С21
, А 2 — , A3 —
4А024А034А0
Формулы (2.24) позволяют находить параметры Эйлера (Родрига- Гамильтона) по известным элементам матрицы направляющих косинусов. Как видим, одному и тому же угловому положению твердого тела отвечают две совокупности параметров Эйлера, взятые со знаком плюс или минус.
Преобразование координат с помощьюкватернионов
Пусть, по-прежнему, X — неподвижная система координат с началом в неподвижной точке твердого тела, a Y — система координат, жестко связанная с телом, начало которой совпадает с началом систе
мы координат X. Считаем, что в начальном положении твердого тела
система координат Y совпадала с X. Сообщим твердому телу поворот
на угол щ вокруг оси, задаваемой единичным вектором е (рис. 2.5).
Рис. 2.5Рис. 2.5Угловое положение твердого тела (системы координат У) в системе координат X может быть задано с помощью вектора конечного поворота 0 = 2е tg(y?/2):
Рис. 2.5
Рис. 2.5
X> Y.
0=2е tg((^/2)
Поставим в соответствие вектору конечного поворота 0 кватернион поворота
А = Ао + А1 Zi + А2/2 + A3Z3 = Aq + Av,
Av = А1 Zi + А2/2 + A3Z3,
компонентами которого являются параметры Эйлера.
Рассмотрим произвольную точку М тела. Радиус-вектор ее начального положения обозначим через г, а конечного — через г' (г, г' проводятся из начала системы координат X). Отображения векторов г и г' на базис X определяются кватернионными равенствами
rx = Xyi\ + х2*2 + х^, г'х = х\ц + ж^ + х'^(2.25)
где Xk и хк (к = 1,2,3) — проекции векторов г и rf на оси системы координат X; i\, /2, <з, как и ранее, — векторные мнимые единицы Гамильтона.
Покажем, что отображения Гх и г'х связаны кватернионным соотношением [17]_
г'х = А о гх ° А,(2.26)
где А = Ao — Av — кватернион, сопряженный кватерниону А.
Запишем формулу Родрига (2.7) в виде
г'х = Гх + siny (ех х rx) + (1 - cosy)ex х ^ех х гх\ (2.27)
где нижний индекс «X» означает, что соответствующий вектор определен своими проекциями в системе координат X.
Учитывая, что
Aq + Av = 1, Ao = cos— , Av = sin —ex,
— cos = 2 sin —, sin cp = 2 sin — cos —, представим (2.27) в виде
rx = ^orx + A^ rx + 2A0Av x rx + 2AV x (Av x rx\
Двойное векторное произведение Av x (Av x r^) = (Av • r^)Av - A^ rx, поэтому последнее соотношение принимает вид
г'х = Хгх + 2AqAv X rx + (Av • rx)Xv + Av х (Av х rx) =
= A^rx + 2A0Av х rx + (Av • rxX"(2-28)
-[-(Av x rx) • Av + (Av x rx) x Av].
Если а и b — векторы, то имеют место равенства (см. п. 1.4.1):
а оЬ = -а - b а х b, aob-boa = 2axb.
Используя эти равенства и отождествляя орты системы координат X с векторными мнимыми единицами Гамильтона, из формулы (2.28) получаем:
г'х = Ao Гх + 2Ао Av Х Гх - [-Av • rx + Av х гх] о Av =
= Aq rx + AO(AV о rx - гх о Av) - (Av о гх) о Av =
= (Ao rx + Av о гх) о (Ао - Av) = (Ао + Av) о гх о (Ао - Av) = А о гх о А, что и требовалось доказать.
Формула (2.26) представляет собой кватернионную запись формулы конечного поворота, она определяет собой вращение вектора в пространстве и связывает проекции вектора до поворота с его проекциями после поворота на оси одной и той же системы координат X.
Рассмотрим теперь связь проекций неизменного вектора на оси системы координат X с его проекциями на оси системы координат У, получаемой из X поворотом на угол щ вокруг эйлеровой оси, задаваемой единичным вектором е. Обозначая неизменный вектор через г, а его проекции на оси систем координат X и У через хк и ук (к = = 1,2,3), построим отображения вектора г на базисы X и Y:
Гх = Ж]<1 +ж2<2 + ж3«з, Гу = У1<1 +у212+№■(2.29)
Покажем, что отображения Гх и Гу вектора г связаны кватернионным соотношением [17]:_
гу = А о гх ° А(2.30)
Для этого введем в рассмотрение единичные векторы (орты) базисов X и Y, обозначив их через Х& и ук (к = 1,2,3). Считая, что в начальном положении системы координат X и У совпадали, в соответствии с (2.26) имеем
Укх = ^ ° хкх ° А = А о ik о А, к = 1,2, 3.(2.31)
Представим вектор г в виде разложения по координатным осям Yk (к = 1,2, 3): г = ууух + ?/2^2 + ^з^з- Используя это разложение и соотношения (2.31), (2.29), в отображениях на базис X получаем
33/ 3\
г% = У УкУкх = У ША о ik о X = Ao I у № о А = А О Гу О А. к=1к=1\к=1/
Таким образом, справедливость формулы (2.30), определяющей кватернионную операцию перепроектирования вектора, доказана.
Преобразование координат с помощьюкватернионных матриц
Выясним геометрический смысл преобразований, определяемых кватернионными матрицами т(А) и п(А) (см. п. 1.3.3, формулы (1.21)), полагая, что их элементы (компоненты кватерниона А поворота твердого тела) заданы в опорном базисе X, относительно которого рассматривается положение твердого тела. Отметим, что компоненты кватерниона поворота А одинаковы в базисах X и Y.
Рассмотрим преобразование
г" = т(Х)щ(2.32)
где т = (а, ху ^2, х^\ г" = ^ам, хх, х^, х^ — матрицы-столбцы, сопоставляемые радиусам-векторам г и гм точек тела М и Мм с коорди-
натами xt и х'' (г = 1,2,3)натами xt и х'' (г = 1,2,3)в опорном базисе (см. рис. 2.6);в опорном базисе (см. рис. 2.6);а и а" —а и а" —
натами xt и х'' (г = 1,2,3)
натами xt и х'' (г = 1,2,3)
в опорном базисе (см. рис. 2.6);
в опорном базисе (см. рис. 2.6);
а и а" —
а и а" —
некоторые параметры.
В развернутойВ развернутой/ АоAiА2\ А3/ АоAiА2\ А3Рис. 2.6Рис. 2.6записи преобразование (2.32)записи преобразование (2.32)имеет вид:имеет вид:-AiАоАз-Л2-AiАоАз-Л2—А2-АзАоAi—А2-АзАоAi-Аз \А2-AiАо /-Аз \А2-AiАо /
В развернутой
В развернутой
/ Ао
Ai
А2
\ А3
/ Ао
Ai
А2
\ А3
Рис. 2.6
Рис. 2.6
записи преобразование (2.32)
записи преобразование (2.32)
имеет вид:
имеет вид:
-Ai
Ао
Аз
-Л2
-Ai
Ао
Аз
-Л2
—А2
-Аз
Ао
Ai
—А2
-Аз
Ао
Ai
-Аз \
А2
-Ai
Ао /
-Аз \
А2
-Ai
Ао /
Так как матрица т(А) ортогональна, то квадраты норм векторов- столбцов т и тП будут равны между собой:
^212,2,2- //2 , //2 , //2 , //2m оо\
а । х । । ^2 Щ х^ — а । х ।। ^2 Щ х^ .ул.оо)
Параметр а определим таким образом, чтобы он не менялся при выполнении преобразования (2.32). Из первой строки матричного соотношения (2.32) имеем
_ „ _ А[Ж[ + А2ж2 + А3ж3 _ Xv r _ Ао(0-г)
а а Ао — 1 Ао — 1 2(А0-1)’ ( } где 9 — вектор конечного поворота твердого тела, которому сопоставляются кватернион А и кватернионная матрица т(А).
В этом случае, как следует из равенства (2.33), преобразование (2.32) будет определять собой некоторый поворот в пространстве вектора г. Этот поворот может быть представлен как полуоборот вокруг прямой О А (рис. 2.6), проходящей через середину основания ММ" равнобедренного треугольника ОММ" — точку К с координатами (^ + <)/2, г = 1,2,3.
Отметим, что прямая ОА лежит в плоскости, перпендикулярной к вектору конечного поворота 9. Действительно, подставляя координаты точки К в уравнение этой плоскости Ai^i + А2Х2 + А3Ж3 = О и учитывая соотношение (2.32), убеждаемся, что оно превращается в тождество.
Теперь рассмотрим преобразование
(2.35)(2.35)(п(А))т тм = т'
(2.35)
(2.35)
или, в развернутой записи, преобразование
/ Aq
Ai
Аг
Аз \
/ а \
р' \
-Ai
Ао
-Аз
Аг
-Аг
-Ai
ж'
\ -Аз
-А2
Ai
Ао /
\4)
\ жз /
где г' = ^а',
ж' (г
= 1,2,3) -
координаты точки М'
(рис. 2.6), в которую перешла точка Мм в результате рассматриваемого преобразования.
Положим а/ = а. Тогда аналогично вышеизложенному можно показать, что преобразование (2.35) определяет собой полуоборот твердого тела вокруг прямой ОВ, проходящей через точку Р с координатами (ж - + х")/2 (г = 1,2,3) и перпендикулярной вектору конечного поворота 6.
Учитывая соотношения (2.32) и (2.35), найдем выражение для коУчитывая соотношения (2.32) и (2.35), найдем выражение для косинуса угла а между прямыми О А и ОВ. Получимсинуса угла а между прямыми О А и ОВ. Получим
Учитывая соотношения (2.32) и (2.35), найдем выражение для ко
Учитывая соотношения (2.32) и (2.35), найдем выражение для ко
синуса угла а между прямыми О А и ОВ. Получим
синуса угла а между прямыми О А и ОВ. Получим
= cos - = Ао.
Подставляя (2.35) в (2.32) и учитывая коммутативность матриц т H П’ имеем Т' = (n(A))Tm(A)r = m(A)(n(A))Tг. (2.36)
Таким образом, доказано, что преобразования, осуществляемые кватернионными матрицами т(А) и (п(А))-1 = (п(А))т в той или иной последовательности над матрицей-столбцом г, сопоставляемой радиусу-вектору г твердого тела с неподвижной точкой О, определяют собой два полуоборота твердого тела, совершаемых в той или иной последовательности вокруг прямых, пересекающихся в точке О, образующих между собой угол а = ф,2 и принадлежащих плоскости, перпендикулярной вектору 6 = 2е tg(y?/2) конечного поворота твердого тела. Однако такие два полуоборота согласно теореме, приведенной в п. 2.1.1, эквивалентны одному повороту твердого тела на угол ф вокруг оси, задаваемой единичным вектором е. Поэтому матрица (n(A))Tm(A) = т(Х)(п(Х))т является оператором вращения, а формула (2.36) представляет собой формулу конечного поворота [100, 127].
Отметим, что существует множество совокупностей двух полуоборотов, оси которых лежат в плоскости, перпендикулярной рассматриваемому вектору конечного поворота, каждая из которых эквивалентна эйлерову повороту твердого тела на угол ф. Последовательность преобразований, определяемых матрицами т(А) и (п(А))-1, характеризует собой одну из указанных совокупностей двух полуоборотов, а последовательность преобразований, определяемых матрицами (п(А))-1 и т^Х\ — другую.
Запишем (2.36) в развернутом виде, перемножив матрицы т(А) и (п(А))т:..
/ ° \
\ /
/ 1000\ / а \
ОAg + Af — А2 — A32(А1Аг — АдАз)2(А1Аз + AgA2)ад
О2(AiA2 + АдАз)Ag —А1 + А2 —A32(А2Аз — AgAi)яд
\02(А1Аз — АдА2)2(А2Аз + АдА1)Ад — Af — А2 + А3/ \жз/
Это соотношение, эквивалентное соотношению (2.36), характеризует собой вращение вектора г в опорном базисе X. При рассмотрении преобразований вида (2.32) или (2.35) параметр а целесообразно задавать соотношением (2.34). Значение же параметра а в формуле поворота (2.36) несущественно. Поэтому, пользуясь ею в дальнейшем, будем полагать а = 0.
Операция вращения (2.36), как можно показать, инвариантна относительно преобразования базисов. Можно также показать, что если поворот связанного с твердым телом базиса ¥ из начального положения, совпадающего с опорным базисом X, в конечное определяется вектором конечного поворота 9, то связь координат xt (г = 1,2,3) вектора г в базисе X с его координатами pt (г = 1,2,3) в базисе Y устанавливается соотношением:
(0,т/ь?/2^з) = п(А)(т(А))\0,Х1,х2,^з), (2.37)
/100°\ / ° \
0Ag + Af — А2 — A32(AiA2 + АдАз)2(А1Аз — АдА2)ал
У2\У* /У2\У* /02(AiA2 — АдАз)Ад — А^ + А2 — A32(А2Аз + АдА1)$2
У2
\У* /
У2
\У* /
\02(А1Аз + АдА2)2(А2Аз — AgAi)Ад —Af —А^ + А|/\жз/
Заметим, что матрица с(А) направляющих косинусов углов между осями опорной и связанной систем координат, имеющая вид (2.20), получится, если в матрице n(A)(m(A))T вычеркнуть первую строку и первый столбец.
Если использовать свойство коммутативности матриц т и п, и равенства п(А)(0,жьж2,жз) = т(гх)(А0, Аь А2, А3),
(т(А))т(0, Ж], ж2, ж3) = п(гх) (Ао, -Ai, -А2, -А3),
то формулу (2.37) можно записать в виде
(0,У1,У2,Уз) = (m(A))Tm(rx)(A0, А], А2, А3) =
= п(А)п(гх)(Ао, -А], -А2, -Аз),
а также в одной из двух следующих форм:
т(гу) = (т(А))т т(гх)т(Х\ п(гу) = п(А)п(гх)(п(А))т, (2.38) где т^ГхУ т(гу) и п(гхУ п(гу) — кватернионные (кососимметрические) матрицы типов тип, сопоставляемые кватернионам Гх и Гу с нулевыми скалярными частями (отображениям вектора г на базисы X и У):
/ 0 -Ж] -ж2 -жз \
/ 0 -yi -у2 -уз \
т^Х =
Ж1 0 -ж3 ж2 ж2 жз 0 —Ж]
, m(ry) =
У1 0 -уз у2
У2 Уз 0 -У1
\Ж3 —Ж2 Ж] 0 у
\УЗУ1 0 у
/ 0 -Ж1 —ж2 -Жз \
0 -yi -у2 -уз \
пЩ) =
Ж1 0 жз —ж2
ж2 -ж3 0 Ж]
, Цгу) =
У1 0 уз -у2
Уг -Уз 0 У]
\ж3 ж2 -Ж] 0 ^
\Уз У2 -yi о у
В аналогичных формах может быть представлена формула (2.36), описывающая вращение вектора г в опорном базисе X. Так, формула поворота вектора, записанная в формах, аналогичных (2.38), имеет вид
m(rx) = m(A)m(rx)(m(A))T, n(r^) = (n(A))Tn(rx)n(A), (2.39)
где m^rxY i^(rx) и п(гхУ п(гхУ — кватернионные (кососимметрические) матрицы типов тип, сопоставляемые кватернионам Гх и r'x (отображениям векторов г и г' на базис ХУ
Преобразование координат с помощью матрицпараметров Кейли-Клейна
Пусть xt (г = 1,2,3) — проекции радиуса-вектора г некоторой произвольной точки твердого тела, имеющего неподвижную точку О, на оси опорной системы координат X до поворота тела, характеризуемого вектором конечного поворота 6, а х^ (г = 1,2,3) — проекции вектора г на оси этой же системы координат после поворота тела. Координаты ж- связаны с xt матричным соотношением [28, 50, 71]:
гжо+ %х\ \. / г^з Х9 + %х\ \
, L , 2 ■ ,\. U (2.40)
— Х2 + %Х\/\ —Ж2 + ^1— ^^3 /
где q, q^ — комплексные унитарные матрицы второго порядка, определяемые соотношениями (1.22).
Связь проекций Xi (г = 1,2,3) вектора г в базисе X с его проекциями pi (г = 1,2,3) в базисе У, получающимся из базиса X поворотом,
характеризуемом вектором конечного поворота 0, устанавливается обратным соотношением [28, 50, 71]:
^з У2 Ггух \/ гх3 х2Угхх \
. ..=9, ••9+.(2-41)
-У2 + zyi -гуз / V + гж] -гж3 /
Соотношения (2.40) и (2.41) в параметрах Кейли-Клейна являются аналогами соотношений (2.36) и (2.37) в параметрах Эйлера Xj (j = = 0,1,2,3).
Формулы поворота вектора г в пространстве и преобразования проекций вектора г из одной системы координат (X) в другую (У) могут быть представлены с помощью коммутативных унитарных матриц р и к размера 4x4 в следующем виде [126]:
(г^з, —х2 + %х\, х2 + гх\, —ix^ = р+к (гхз, —х2 + %хх, х2 + %хх, —%хз\
Сиз, -у? + гух, у2 + гу\, —гуД = рк+Сжз, ~х2 + гжь ж2 + гжь -гж3), где комплексные унитарные матрицы р, к и эрмитово сопряженные к ним матрицы р+, /с+ определяются соотношениями (1.23) и (1.24).
Таким образом, оператору вращения в параметрах Кейли-Клейна соответствует матрица
р^к =р^к =/3q+
р^к =
р^к =
размера 4x4, имеющая симметричную блочную структуру. В каждый блочный элемент этой матрицы входит одна и та же комплексная унитарная матрица второго порядка q^, определяемая вторым из соотношений (1.22).
Матричные 4x4 преобразования однородныхкоординат
Рассмотрим (свободное или несвободное) твердое тело, движущееся относительно опорной системы координат ОХхХ2Хз (X). С твердым телом жестко свяжем систему координат АУхУ2Уз (У), поместив ее начало в произвольно выбранную точку А тела (полюс). Рассмотрим другую произвольную точку М твердого тела (рис. 1.18). Положение этой точки в системе координат X характеризуется радиусом-вектором г, а в системе координат У — радиусом-вектором р. Обозначим через хх, х2, хз и ух, у2, уз координаты точки М в системах координат X и У (проекции радиусов-векторов г и р на оси систем координат X и У), а через хах, хд2, ^аз ~ координаты точки А (полюса) в системе координат X (проекции радиуса-вектора гд точки А на оси системы координат X).
Связи между координатами точки М твердого тела в системах координат X и Y могут быть записаны с помощью матрицы преобразования однородных координат и имеют вид (1.150):
/ Ж1 \/ Си С21Х2С12 С22хзС13 С23\ 1\ 00/ Ж1 \/ Си С21Х2С12 С22хзС13 С23\ 1\ 00С31С32сзз 0С31С32сзз 0ХА1 \$А2ХА1 \$А2хазхаз(уДУ2Уз\ 1 /(уДУ2Уз\ 1 /(2.42)(2.42)( Гх \ ( С?\ 1 7 \ 0( Гх \ ( С?\ 1 7 \ 0
/ Ж1 \
/ Си С21
Х2
С12 С22
хз
С13 С23
\ 1
\ 00
/ Ж1 \
/ Си С21
Х2
С12 С22
хз
С13 С23
\ 1
\ 00
С31
С32
сзз 0
С31
С32
сзз 0
ХА1 \
$А2
ХА1 \
$А2
хаз
хаз
(уД
У2
Уз
\ 1 /
(уД
У2
Уз
\ 1 /
(2.42)
(2.42)
( Гх \ ( С?\ 1 7 \ 0
( Гх \ ( С?\ 1 7 \ 0
где Гх = (Ж1,ж2,ж3), г АХ = Цльжлг.жлз), Ру = (УьУг.Уз) - векторы- столбцы координат точек М и А\ c^k (i,k = 1,2,3) — направляющий косинус угла между координатными осями AY^ и ОХк, с — матрица направляющих косинусов углов между осями систем координат X и Y.
Дуальные матричные и бикватернионныеформулы преобразования координат
В параграфах 2.1-2.7 были рассмотрены в различных кинематических параметрах формулы преобразования координат произвольного вектора, используемые при переходе от одной системы координат к другой, произвольно повернутой в пространстве относительно первой (при этом для удобства полагалось, что начала рассматриваемых систем координат совпадают), а также были рассмотрены различные формы представления операции вращения вектора в пространстве. Рассмотрим формулы преобразования координат в общем случае, когда рассматриваемые системы координат занимают произвольное взаимное положение в пространстве и когда рассматриваются не векторы (например, радиусы-векторы точек твердого тела), а винты, лежащие на некоторых прямых, произвольно расположенных в пространстве (например, на прямых, принадлежащих свободному твердому телу). Необходимость рассмотрения таких преобразований возникает при изучении общего случая пространственного движения свободных или несвободных твердых тел.
В этом общем случае в соответствии с принципом перенесения Котельникова-Штуди приведенные в параграфах 2.1-2.7 формулы будут сохранять свою форму, если все фигурирующие в этих формулах вещественные величины заменить на дуальные и выполнить соответствующую замену векторных (кватернионных) понятий на винтовые (бикватернионные).
Рассмотрим, используя принцип перенесения Котельникова-Штуди, дуальные аналоги основных формул преобразования координат.
Дуальные ортогональные матричные 3x3 преобразования координат.
Преобразование базисов. Будем рассматривать две системы координат: опорную (неподвижную) ОХуХ^Хз^Х^ с началом в некоторой точке О и связанную с твердым телом АХуХ^Хз^У^ с началом в выбранной точке А твердого тела. Положение твердого тела (системы координат У) в выбранной системе координат X может быть однозначно задано с помощью девяти дуальных направляющих косинусов углов Cik (Yk = 1,2,3).
Обозначим через Yi = yi и Хк = Хк единичные винты (единичные векторы) координатных осей AXi и ОХк (г, к = 1,2,3). Тогда направляющий косинус Cik дуального угла между осями ОХк и AXi определится (см. п. 1.6.3) как скалярное произведение единичных винтов (векторов) Yt = уг и Хк = хк: Cik = Yi- Хк = yi* хк (г, к = 1,2, 3).
Единичные винты Yi связанной системы координат X могут быть выражены через единичные винты Хк системы координат X с помощью дуального аналога матричного равенства (1.17):
Г1 \
/ Си С12 С13 \
/ *1 \у
/ Х\ \
F2 = 1
С21 С22 С23
Х1 = с
х^ ,(2.43)
Г3 /
\ Сзу С32 Сзз /
\xj '
где С — матрица дуальных направляющих косинусов углов между осями систем координат X и X.
Преобразование дуальных ортогональных координат неизменного винта. Рассмотрим произвольный винт R, лежащий на прямой, принадлежащей твердому телу. Обозначим через Хк = Хк + + sx^ и Yk = ук + §Ук (к = 1,2,3) дуальные ортогональные проекции винта R на оси ОХк и АХк систем координат X и X (дуальные прямоугольные координаты винта R в системах координат X и У), где Хк, у к (к = 1,2,3) — соответствующие проекции вектора г винта на эти координатные оси, а х^ и у^ (к = 1,2,3) — моменты винта относительно координатных осей ОХк и АУ^ (проекции момента г° винта, вычисленного относительно начал О и А систем координат X и У, на координатные оси ОХк и АХкУ
имеет видимеет видМатричная формула, определяющая связь дуальных ортогональных проекций произвольного винта R на оси системы координат У с его дуальными ортогональными проекциями на оси системы координат X,
имеет вид
имеет вид
СиС12С13\/Ху
(2.44)(2.44)С21С22С23Х2
(2.44)
(2.44)
С31С32С33/\Х3
Эта матричная формула является дуальным аналогом формулы (2.13).
Таким образом, формулы (2.43) и (2.44), определяющие связи единичных винтов (векторов) систем координат Y и X, и связи дуальных ортогональных проекций некоторого винта R на оси системы координат Y и X аналогичны.
Преобразование в виде операции конечного перемещения винта. Рассмотрим произвольный винт R, лежащий на прямой, принадлежащей твердому телу. Сообщим твердому телуконечное перемещение, задаваемое винтом конечного перемещения
0 = 2Е tg $, Ф = ^ + spY, s^ = О,
где Е — единичный винт (вектор) оси ab винтового перемещения, Ф — дуальный угол поворота тела, р — обычный угол поворота тела вокруг оси ab, р° — поступательное перемещение тела вдоль этой оси.
Положение твердого тела (системы координат У) в системе координат X может быть также задано с помощью матрицы дуальных направляющих косинусов С. Обозначим через Х^ и Хк (к = 1,2,3) дуальные ортогональные проекции винта R на оси системы координат X в начальном и конечном положениях твердого тела.
Связь дуальных ортогональных проекций Хк и Хк (к = 1,2,3) винта R на оси системы координат X до перемещения винта и после его перемещения определяется матричным соотношением:
||ВДХ'||Т = СТ||Х,ВД||Т.
(2.45)(2.45)\/ Сп С21 Сз1 \ / Xv
(2.45)
(2.45)
=С12 С22 С32
X'J \ С13 С23 Сзз ) \Хз
являющимся дуальным аналогомявляющимся дуальным аналогомматричного соотношения (2.14).матричного соотношения (2.14).
являющимся дуальным аналогом
являющимся дуальным аналогом
матричного соотношения (2.14).
матричного соотношения (2.14).
Связь матрицы дуальных направляющих косинусов с винтовым описанием конечного перемещения твердого тела. Рассмотрим связи дуальных направляющих косинусов С^ (г, к = 1,2,3) (элементов дуальной матрицы С) с дуальным углом Ф = р + sp° конечного винтового перемещения твердого тела и дуальными ортогональными проекциями Ек (к = 1,2,3) единичного винта (вектора) Е = е оси винтового конечного перемещения на оси системы координат Y. Отметим, что если в начальном положении система координат Y совпадала с X, то дуальные ортогональные проекции винта Е на оси системы координат X будут также равны величинам Ек (к = 1,2,3).
Для получения указанных связей необходимо записать дуальный аналог формулы (2.16), устанавливающей связи элементов с^ (г, к = = 1,2,3) вещественной матрицы направляющих косинусов с с проекциями вк (к = 1,2,3) единичного вектора е эйлеровой оси вращения и углом р поворота твердого тела. В результате получим формулу для
матрицы С дуальных направляющих косинусов:матрицы С дуальных направляющих косинусов:/ 0С = cos Ф Е + sin Ф I -Ез\ е2/ 0С = cos Ф Е + sin Ф I -Ез\ е2ЕзО-Е\ЕзО-Е\-Е2Е\О-Е2Е\О+ (1 — COS Ф) Е\Е2 у ЕхЕз+ (1 — COS Ф) Е\Е2 у ЕхЕзЕ\Е2ElЕ2ЕзЕ\Е2ElЕ2ЕзЕ\Ез \Е2Е3 , (2.46)Е2/Е\Ез \Е2Е3 , (2.46)Е2/устанавливающую искомые связи (здесь, как и ранее, Е — единичная матрица размера 3 х 3).Введем в рассмотрение дуальные кососимметрическую К(Х) и симметрическую S(X) матрицы, сопоставляемые некоторому винту X с ду-устанавливающую искомые связи (здесь, как и ранее, Е — единичная матрица размера 3 х 3).Введем в рассмотрение дуальные кососимметрическую К(Х) и симметрическую S(X) матрицы, сопоставляемые некоторому винту X с ду-альными ортогональнымиальными ортогональнымипроекциями Хк (к = 1,2,3):проекциями Хк (к = 1,2,3):/ °К(У= -Хз\ х2/ °К(У= -Хз\ х2ХзО-Х\ХзО-Х\-У\Х\ , s^ =о-У\Х\ , s^ =о/ xf xtx2xtx2 х^^1^3 ЛЛ/ xf xtx2xtx2 х^^1^3 ЛЛМз\Х2Хз ■A3(2.47)Мз\Х2Хз ■A3(2.47)Тогда матрица дуальных направляющих косинусов С может быть представлена в одном из трех следующих видов:С(Ф,ЕУ) = cos Ф Е + 8шФ К^Еу^ + (1 -созФ)5(Еу),Тогда матрица дуальных направляющих косинусов С может быть представлена в одном из трех следующих видов:С(Ф,ЕУ) = cos Ф Е + 8шФ К^Еу^ + (1 -созФ)5(Еу),
матрицы С дуальных направляющих косинусов:
матрицы С дуальных направляющих косинусов:
/ 0
С = cos Ф Е + sin Ф I -Ез
\ е2
/ 0
С = cos Ф Е + sin Ф I -Ез
\ е2
Ез
О
-Е\
Ез
О
-Е\
-Е2Е\О
-Е2Е\О
+ (1 — COS Ф) Е\Е2 у ЕхЕз
+ (1 — COS Ф) Е\Е2 у ЕхЕз
Е\Е2ElЕ2Ез
Е\Е2ElЕ2Ез
Е\Ез \
Е2Е3 , (2.46)
Е2
/
Е\Ез \
Е2Е3 , (2.46)
Е2
/
устанавливающую искомые связи (здесь, как и ранее, Е — единичная матрица размера 3 х 3).
Введем в рассмотрение дуальные кососимметрическую К(Х) и симметрическую S(X) матрицы, сопоставляемые некоторому винту X с ду-
устанавливающую искомые связи (здесь, как и ранее, Е — единичная матрица размера 3 х 3).
Введем в рассмотрение дуальные кососимметрическую К(Х) и симметрическую S(X) матрицы, сопоставляемые некоторому винту X с ду-
альными ортогональными
альными ортогональными
проекциями Хк (к = 1,2,3):
проекциями Хк (к = 1,2,3):
/ °
К(У= -Хз
\ х2
/ °
К(У= -Хз
\ х2
Хз
О
-Х\
Хз
О
-Х\
-У\
Х\ , s^ =
о
-У\
Х\ , s^ =
о
/ xf xtx2xtx2 х^
^1^3 ЛЛ
/ xf xtx2xtx2 х^
^1^3 ЛЛ
Мз\
Х2Хз ■
A3
(2.47)
Мз\
Х2Хз ■
A3
(2.47)
Тогда матрица дуальных направляющих косинусов С может быть представлена в одном из трех следующих видов:
С(Ф,ЕУ) = cos Ф Е + 8шФ К^Еу^ + (1 -созФ)5(Еу),
Тогда матрица дуальных направляющих косинусов С может быть представлена в одном из трех следующих видов:
С(Ф,ЕУ) = cos Ф Е + 8шФ К^Еу^ + (1 -созФ)5(Еу),
(2.48)(2.48)с(0у) = (1 + cosФ) Е + |к(0у) + ^5(0у) -E,2
(2.48)
(2.48)
|+с”ф=(1+е»4)-
С(Л) = 2 [Л2 Е + Ло К(лу + ^(Av)] - Е, где Л = Ло + Л1 /1 + Л2/2 + Ag/g — бикватернион конечного винтового перемещения твердого тела в системе координат X (см. п. 1.7.2), Av = = Л1 zi + Л2/2 + Ag/g — винтовая часть бикватерниона конечного перемещения; Kj (j = 0, 1,2,3) — дуальные параметры Эйлера (Родрига- Гамильтона), определяемые соотношениями (1.126); нижний индекс «У» у винта означает, что соответствующий винт (Е, 0) определен своими дуальными ортогональными проекциями в системе координат У (отметим, что если в начальном положении твердого тела система координат У совпадала с X, то Еу = Еу, ®у = ®х, Avy = Avy =
имеет вид, аналогичныйимеет вид, аналогичный2(Л1Лз - Л0Л2) \2(Л2Л3 + Л0Л1)(2.49)Л2-Л2-ЛУЛ2 )2(Л1Лз - Л0Л2) \2(Л2Л3 + Л0Л1)(2.49)Л2-Л2-ЛУЛ2 )Матрица С(А), в развернутой записи (2.20):
имеет вид, аналогичный
имеет вид, аналогичный
2(Л1Лз - Л0Л2) \
2(Л2Л3 + Л0Л1)(2.49)
Л2-Л2-ЛУЛ2 )
2(Л1Лз - Л0Л2) \
2(Л2Л3 + Л0Л1)(2.49)
Л2-Л2-ЛУЛ2 )
Ло+Л1—Л2”Л1 2(Л1Л2 + Л0Лз)
С =2(Л1Л2 - Л0Л3) Лд —Л^+Л| —Л|
\ 2(Л1Лз + Л0Л2) 2(Л2Лз - AqAi)
и устанавливает связи дуальных направляющих косинусов с дуальными параметрами Эйлера.
Операция преобразования дуальных ортогональных координат винта и операция конечного перемещения винта может быть записана с помощью дуальных кососимметрических матриц. Так, если винту R с дуальными ортогональными проекциями Х^ и ¥^ (к = 1,2,3) в системах координат X и Усопоставить кососимметрические матрицы К^ И K^RyY
/ ОK(RX) =-Х3\ Х2/ ОK(RX) =-Х3\ Х2Хз О-Х1Хз О-Х1-ХзХ1о-ХзХ1оK^Ry) =K^Ry) =О-УзУ2О-УзУ2Уз о—ИУз о—И-У У о-У У о
/ О
K(RX) =-Х3
\ Х2
/ О
K(RX) =-Х3
\ Х2
Хз О
-Х1
Хз О
-Х1
-ХзХ1о
-ХзХ1о
K^Ry) =
K^Ry) =
О
-Уз
У2
О
-Уз
У2
Уз о
—И
Уз о
—И
-У У о
-У У о
то формула преобразования дуальных ортогональных координат неизменного винта примет вид
K^Ry) = СК^СТ.
Нахождение единичного винта Е и дуального угла Ф через заданные элементы матрицы дуальных направляющих косинусов. Проекции Ek, (к = 1,2,3) единичного винта Е оси винтового конечного перемещения свободного твердого тела и дуальный угол Ф перемещения твердого тела вдоль этой оси находятся через заданные элементы С^к (i,k = 1,2,3) матрицы С дуальных направляющих косинусов по формулам
_ 023 ~ ^32 е _ Си ~ 013 е _ 012 ~ 021
2 sin Ф ’22 sin Ф ’32 sin Ф
которые являются дуальными аналогами формул (2.22).
Нахождение дуальных параметров Эйлера через элементы матрицы дуальных направляющих косинусов. Дуальные параметры Эйлера находятся через элементы матрицы дуальных направляющих косинусов с помощью соотношений, аналогичных соотношениям (2.24):
Ф 1 /
Л0 = COS — = ±- у/1 + Си + С22 + С33 ,
д С23 - С32 д С31 - С13С12 - С21
Л1 =4Л0’ Л2 =4Л0’ Лз =4Л0'
Из этих соотношений следует, что одному и тому же положению свободного твердого тела в пространстве отвечают две совокупности дуальных параметров Эйлера, взятые со знаком плюс или минус.
Преобразование дуальных ортогональных координат винта с помощью бикватернионов. Пусть, по-прежнему, X — неподвижная система координат с началом в некоторой точке О, а ¥ — система координат, жестко связанная со свободным твердым телом, имеющая начало в некоторой точке А твердого тела. Считаем,
что в начальном положении твердого тела система координат У совпадала с X. Сообщим твердому телу некоторое винтовое конечное перемещение на дуальный угол Ф вокруг оси, задаваемой единичным винтом (вектором) Е = е.
Положение твердого тела (системы координат У) в системе координат X может быть задано с помощью винта конечного перемещения 0 = 2Etg(Ф/2):
X>У.
0=2Е1ё(Ф/2)
Поставим в соответствие винту 0 бикватернион конечного перемещения (см. п. 1.7.2)
Л = Ло + Л1Z1 + Л2<2 + Л3/3 =
= А + s\° = (Aq + sAq) + (Ai + sX°)i\ + (А2 + sA^)^ + (A3 + зАз)/з, компонентами которого являются дуальные параметры Эйлера Xj = = Xj + sA? (j = 0, 1,2,3), определяемые соотношениями (1.127), (1.128).
Рассмотрим произвольный винт, лежащий на прямой, принадлежащей твердому телу. Его начальное положение (до перемещения твердого тела) обозначим через R, а конечное (после перемещения) — через R'. Отображения винтов R и R' на базис X определяются выражениями
Rx = X\i\ + Х^ + X3i3, Rx = X\i\ + Х^ + Х^з, где Хк и Хк (к = 1,2,3) — дуальные ортогональные проекции винтов R и R' на оси системы координат X; /1, /2, /3 — векторные мнимые единицы Гамильтона.
Отображения Rx и Rx винтов связаны бикватернионным соотношением [51]
Rx = Л о Rx о Л,(2.52)
где Л = Ло — Av — бикватернион, сопряженный бикватерниону Л.
Бикватернионная формула (2.51) является дуальным аналогом кватернионной формулы (2.26) и представляет собой бикватернионную запись формулы винтового конечного перемещения. Она определяет собой конечное перемещение винта в пространстве и связывает дуальные ортогональные проекции винта до перемещения с его дуальными ортогональными проекциями после перемещения на оси одной и той же системы координат X.
Рассмотрим теперь бикватернионную связь дуальных ортогональных проекций неизменного винта на оси системы координат X с его дуальными ортогональными проекциями на оси системы координат У, получаемой из X винтовым конечным перемещением на дуальный угол Ф вокруг оси, задаваемой единичным винтом Е. Обозначая неизменный винт через R, а его дуальные ортогональные проекции на
оси систем координат X и Y через Х^ и Y^ (к = 1,2,3), построим отображения винта R на базисы X и Y:
Rx = ХД\ + X2i2 + Х^з, Ry = Yxix + 1У2 + ^з^з-
Используя принцип перенесения Котельникова-Штуди и кватернионную формулу (2.30), получим, что отображения Rx и Ry винта R на базисы X и Y связаны бикватернионным соотношением
(2.52')(2.52')Ry = А о Rx о А.
(2.52')
(2.52')
Преобразование дуальных ортогональных координат с помощью бикватернионных матриц. Рассмотрим подробнее преобразования, определяемые параболическими бикватернионными матрицами [131]. Пусть перемещение свободного твердого тела из начального положения в конечное относительно опорной системы координат X характеризуется дуальным вектором 0 конечного винтового перемещения. И пусть R — некоторый винт, лежащий на произвольной прямой, принадлежащей твердому телу. Сопоставим винту конечного перемещения параболические бикватернионные матрицы М(А) и А(А) (см. п. 1.7.3, выражения (1.141)), элементы Aj U = 0, 1,2,3) которых — компоненты единичного параболического бикватерниона перемещения А, заданные в системе координат X.
Рассмотрим преобразования
Я2 = М(А)Я1, Дз = (А(А))тЛ2,
Ri = (А, Хи, X2i, X3i\ i = 1,2,3,(2.53)
где Ri (г = 1,2,3) — векторы-столбцы размерами 4x1; Хп, Х21, Х31 —
Рис. 2.7Рис. 2.7дуальные ортогональные проекции винта R на оси опорной системы координат до перемещения твердого тела (то есть, винта Rx (см. рис. 2.7)); Х12, Х22, Х32 (Х1з, Х23, Х33) — дуальные ортогональные проекции винта R2 ^з\ в который перешел винт Rx (Я2) в результате соответствующего преобразования; Аг (г = 1,2,3) — некоторые дуальные па-
Рис. 2.7
Рис. 2.7
раметры.
Можно показать, что преобразование дуальных ортогональных проекций винта Rx = R (или R2) осуществляемое бикватернионной матрицей М(А) (или (Х(А))Т) в соответствии с формулами (2.52'), при задании дуального параметра Ах соотношением
А] = (Ао - I)"1 У = 1л0(А0 - I)-1 (© • Z?i) =
i=i2(2.54)
= |ло(1-Ло)-1(€)-Л2)
определяет собой полуоборот этого винта (а, следовательно, и всего твердого тела) вокруг прямой, являющейся осью Е' (или Ем^ дуального угла, образуемого осью Е винтового перемещения твердого тела с осью £12 (или £23) дуального угла между винтами Rx и £2 (или £2 и £3) (рис. 2.7).
Отметим, что задание параметра Ах с помощью формулы (2.54) приводит к тому, что Ах, Л2, A3 оказываются равными: A3 = А2 = Ах.
В силу указанного геометрического смысла преобразований, определяемых матрицами М(А) и (7V(A))T, винты Rx, R2, R3 должны удовлетворять уравнениям
£1 + £2 = 2^Ё • Rx)E', £2 + £3 = ^Ё' • R2^)EM,(2.55)
вытекающим из дуальной формулы Родрига (2.11) в случае полуоборотов твердого тела.
Из уравнений (2.55) видно, что оси винтов Ё и Rx + £2, Е” и £2 + £3 совпадают. Поэтому для дуального угла 2, образуемого осями винтов Ё и Ен, имеем:
„(£1 + £2) • (£2 + £3)
cos ^ = .
|£1 + £2] • ,£2 + £з|
После преобразований этого выражения с учетом соотношений (2.52’) получим: cos 2 = соб(Ф/2) = Ло.
Из соотношений (2.52’) имеем также:
Я3 = (7У(Л))ТМ(Л)Я1 = М(Л)^(Л))тЛь (2.56)
так как матрицы типа 7V коммутируют с матрицами типа М.
Таким образом, последовательные преобразования дуальных ортогональных проекций винта R, лежащего на произвольной прямой, принадлежащей свободному твердому телу, определяемые бикватерни- онными матрицами М(Л) и (N(X))T, эквивалентны двум последовательным полуоборотам этого винта (а, следовательно, и всего твердого тела) вокруг прямых с единичными винтами Ё и Ен, пересекающих ось, единичный винт которой Е, под прямыми углами и образующих между собой дуальный угол Ф/2.
В соответствии с теоремой 2, приведенной в п. 2.1.2, такие два полуоборота эквивалентны конечному винтовому перемещению свободного твердого тела вдоль оси Е на дуальный угол Ф.
Поэтому справедлива
Теорема 3. Произведение бикватернионных матриц (7V(A))TM(Л) = = M(X)(N(X))T соответствует оператору конечного винтового перемещения свободного твердого тела, а формула (2.56) является формулой конечного винтового перемещения, связывающей дуальные ортогональные проекции Х^х (г = 1,2,3) винта R на оси опорной системы координат до перемещения, определяемого дуальным вектором конечного винтового перемещения 0 = 2£tg(Ф/2), с его дуальными ортогональными проекциями Х^з (^ = 1,2,3) на оси этой же системы координат после перемещения.
Развернутая запись формулы (2.56) аналогична развернутой записи формулы (2.36):
/ Л3 \^13А23\ ^33 /
/1ОО \°/1ОО \°ОЛ2+Л2-Л2-Л2 2(Л1Л2 + Л0Л3) 2(Л1Лд - Л0Л2)ОЛ2+Л2-Л2-Л2 2(Л1Л2 + Л0Л3) 2(Л1Лд - Л0Л2)О2(Л1Л2 - Л0Л3) л=-л;+л=-л5 2(Л2Лз + Л0Л1)О2(Л1Л2 - Л0Л3) л=-л;+л=-л5 2(Л2Лз + Л0Л1)°2(Л1Лз + Л0Л2)2(Л2Лз - AqAi)Л2-Л2-Л2+Л2 )°2(Л1Лз + Л0Л2)2(Л2Лз - AqAi)Л2-Л2-Л2+Л2 )Ап\ ^31 /Ап\ ^31 /
/1
О
О \°
/1
О
О \°
О
Л2+Л2-Л2-Л2 2(Л1Л2 + Л0Л3) 2(Л1Лд - Л0Л2)
О
Л2+Л2-Л2-Л2 2(Л1Л2 + Л0Л3) 2(Л1Лд - Л0Л2)
О
2(Л1Л2 - Л0Л3) л=-л;+л=-л5 2(Л2Лз + Л0Л1)
О
2(Л1Л2 - Л0Л3) л=-л;+л=-л5 2(Л2Лз + Л0Л1)
°
2(Л1Лз + Л0Л2)
2(Л2Лз - AqAi)
Л2-Л2-Л2+Л2 )
°
2(Л1Лз + Л0Л2)
2(Л2Лз - AqAi)
Л2-Л2-Л2+Л2 )
Ап
\ ^31 /
Ап
\ ^31 /
Видно, что значение дуального параметра А в этой формуле несущественно, и, следовательно, в ней можно положить А\ = A3 = 0.
Можно также показать, что если перемещение связанного со свободным твердым телом базиса Y из его начального положения, совпадающего с опорным базисом X, в конечное определяется винтом конечного перемещения 0 (а, следовательно, и бикватернионом конечного перемещения Л), то преобразование дуальных ортогональных проекций Х^ и Y^ (k = 1,2, 3) неизменного винта R на базисы X и Y задается обратной по отношению к (2.56) операцией:
(2.57)(2.57)(О.УьУз.Уз) = ^(Л)Щ(Л))т(0,Х],Х2,Х3) == ^m№n^x>,X\,x%x3Y
(2.57)
(2.57)
где (0, Уь У2, Уз), (0, Х1,Х2,Хз) — векторы-столбцы, составленные из дуальных проекций винта R на оси систем координат У и X.
Матрица С(Л) направляющих косинусов дуальных углов между осями опорной и связанной систем координат получается вычеркиванием в матрице N(X)(M(X))T первой строки и первого столбца и имеет вид (2.49).
Формулу (2.57) можно записать в другом виде
(0,УьУ2,У3) = (М(А))тМ(Ях)(Л0;Л1,Л2,Лз) =
= Х(ЛЖКхЖ, -А,, -Л2, -Лз),
а также в одной из двух следующих матричных формах:
M(RY) = (M(XWM(RxW(XY
(2.58)
N^Ry) = А(Л)А(ЯХ)(А(Л))Т,
где M(RX\ M(Ry) и N(Rx\ N(Ry) — бикватернионные (кососимметрические) матрицы типов М и N, сопоставляемые бикватернионам
Rx и Ry (отображениям винта R на базисы X и У):
( 0 -%! -Х2 -Х3 \
/ о -У] -У2 -У3 \
Xv 0 -Х3 Х2
Х2 Хз 0 -X,
, M(Ry) =
У1 о -Уз У2
у2 Уз 0 -у
^Х3 —Х2 X, 0 У
(у3 -У2 У] 0 У
/ 0 -X] -Х2 -Хз
/ 0 -У -У2 -Уз \
N(RX) =
X] 0 Хз -Х2
, N(Ry) =
У о Уз -У2
Х2 -Хз 0 X]
У -Уз 0 У
\Х3 Х2 -X] 0 )
\У3 У2 -У 0 У
В аналогичных формах может быть представлена формула (2.56), описывающая конечное перемещение винта R в опорном базисе X. Так, формула конечного перемещения винта, записанная в формах, аналогичных (2.58), имеет вид
М^х) = М(уМ(КхХМ(Л))Т,
(2 59)
N^x) = УХХХУМ'
где M^Rx), M(RX) и N^RX), N(R'X) — бикватернионные (кососимметрические) матрицы типов М и N, сопоставляемые бикватернионам Rx и R'x (отображениям винтов R = RX и R' =R3 на базис X).
Глава 3СЛОЖЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ПОВОРОТОВИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Векторная и винтовая формулы сложенияконечных поворотов и перемещений
Рассмотрим твердое тело, имеющее неподвижную точку О. Сообщим твердому телу поворот, задаваемый вектором конечного поворота 01 (на угол ср\ вокруг оси, определяемой единичным вектором ei). После этого твердому телу сообщим второй поворот, задаваемый вектором конечного поворота 02 (на угол ^2 вокруг оси, определяемой единичным вектором ^2). Будем считать, что векторы ei и £2 не связаны с твердым телом.
Известно, что всякое перемещение твердого тела, имеющего неподвижную точку, можно осуществить с помощью одного поворота вокруг оси, проходящей через эту точку (теорема Эйлера-Даламбера). Этот поворот, задаваемый вектором конечного поворота 0 (на угол ср вокруг оси, определяемой единичным вектором е), необходимо выразить через векторы 01 и 02, то есть, необходимо найти зависимость 0 = 0(0х,02).
Приведем схему поворотов, иллюстрирующую сказанное:
Х(У°) Y' Y" = Y ~ X Y.(3.1)
Здесь X — неподвижная система координат; У — система координат, жестко связанная с твердым телом; У° и У' - начальное и промежуточное положения этой системы координат; векторы конечных поворотов 01, 02 и 0 определяются равенствами
0i = 2tgyeb г = 1,2;0 = 2tg^e.(3.2)
Покажем, что зависимость 0 = 0(01,02), называемая формулой сложения двух конечных поворотов, имеет вид [30, 71]:
е= и - -0y-o2\ ^0Y + e2 + ^e2x0vy (з.з)
Поворот 6 называется результирующим, а повороты 6\ и 02 — слагаемыми (или составляющими) поворотами.
Доказательство формулы (3.3) проведем, следуя работе [30]. Это доказательство основывается на теореме об эквивалентности произвольного поворота твердого тела в пространстве двум полуоборотам тела (см. также п. 2.1.1): поворот твердого тела на угол ф вокруг некоторой оси эквивалентен двум последовательным полуоборотам тела вокруг осей, пересекающих под прямым углом в одной точке данную ось и образующих между собой угол ф/2.
Рассмотрим вначале доказательство этого утверждения [30]. Пусть е — единичный вектор оси конечного поворота твердого тела, a 51 и 52 — единичные векторы осей полуоборотов, перпендикулярные вектору е. Отметим, что при повороте твердого тела будет изменяться лишь составляющая радиуса-вектора произвольной точки твердого тела, перпендикулярная вектору е, поэтому будем рассматривать радиус- вектор г точки твердого тела, лежащей в плоскости (ei, e^Y После полуоборота твердого тела вокруг оси, задаваемой вектором вь этот радиус-вектор займет, в соответствии с формулой (2.6), положение, определяемое вектором
г' = 2(51 • г) в1 - г,
а после второго полуоборота вокруг оси, задаваемой вектором 52, положение, определяемое вектором
г" = 2(52 • Н 52 - / = 2{[2(51 • г)51 - г] • 52}52 - 2(51 * г) 51 + Г.
Если угол между векторами г и 51 обозначить через а, то угол между векторами г и 52 будет равен ф(2 — а, так как всегда векторы 51 и 52 можно взять так, чтобы вектор г располагался внутри угла <^/2, образуемыми этими векторами. Тогда из последнего равенства будем иметь
г" = г - 2r cos а 51 + 2г cos + aJ е2-
Составив векторное произведение радиусов-векторов г и г”, получим\
г х гм = -2r cos а г х 51 + 2т cos ( — + а ] г х 52 =
Гп\\ 199
= pcosa sinct + 2 sin ( — — al cos I — + a И r e = r sin фе.
Отсюда следует, что начальный г и конечный гм радиусы-векторы лежат в плоскости, перпендикулярной к вектору 5, и образуют угол ф, т. е. твердое тело в результате двух полуоборотов совершило поворот на угол ф вокруг оси 5, что и требовалось доказать.
Перейдем теперь к доказательству формулы (3.3), используя геометрические построения. Пусть будут известны единичные векторы 51 и 52 осей составляющих поворотов, образующие угол а, и соответствующие углы ф\ и с/?2 поворотов твердого тела (рис. 3.1). Построим в точке О пересечения векторов плоскости Qi и Q2, перпендикулярные
соответственно векторам е\ и ^; этим определится ось с единичным вектором ^12, совпадающая с линией пересечения плоскостей Qi и Q^,
причем вектор £12 направим в ту сторону, в какую направлено вектор
ное произведение векторов ^i и ^2. В плоскости Q\ из точки О проведем
луч ОХ', который при вращении вокруг оси е\ на угол, равный y?i/2, совпадет с осью ^12; в плоскости же Q2 из точки О проведем луч ОК! с которым совпадет ось ^12, если последнюю повернуть вокруг оси в2 на угол ^/2. Единичные векторы, направленные вдоль лучей ОХ' и О Xм, обозначим через е1 и е".
Проведем через лучи ОХ! и ОХМ
плоскость Q, а через точку О — ось с единичным вектором е перпендикуляр
но плоскости Q в ту сторону, в какую направлено векторное произведение векторов е1 и е". Указанный вектор е определяет ось поворота, эквивалентного двум поворотам вокруг осей ei и £2, а удвоенный угол между лучами ОХ! и ОХ!' определяет величину ц) угла искомого
поворота тела.
Для доказательства заметим, что поворот вокруг оси ei на угол ц)\ по выше рассмотренной теореме равносилен полуобороту вокруг оси е' и полуобороту вокруг оси £12; поворот вокруг оси в2 на угол р)2 равносилен полуобороту вокруг оси ^12 и полуобороту вокруг оси е", а значит, полный поворот равносилен четырем указанным полуоборотам. Но два полуоборота вокруг оси в12 взаимно уничтожаются, поэтому остаются полуоборот вокруг оси е' и полуоборот вокруг оси е'! а оба они на основании рассмотренной теоремы равносильны повороту
вокруг оси е на угол (р.
(3.4)(3.4)(3.5)(3.5)Выразим векторы e' e' =и e” через векторы ei и ei x e2 ^1 , gi x g2^2:x e\ sin —,sin a2sinae" =ei x 62<p<2 e\ X в2 COS.2sina. ^2X в2 Sin -—2sin aВыразим векторы e' e' =и e” через векторы ei и ei x e2 ^1 , gi x g2^2:x e\ sin —,sin a2sinae" =ei x 62<p<2 e\ X в2 COS.2sina. ^2X в2 Sin -—2sin asin(e',e") е'хе" с? cos(e', еп^ е’ * е” 6 2sin(e',e") е'хе" с? cos(e', еп^ е’ * е” 6 2Перемножив векторно, а затем скалярно равенства (3.5), найдем после преобразований:Перемножив векторно, а затем скалярно равенства (3.5), найдем после преобразований:Теперь остается выразить вектор результирующего поворота через векторы составляющих поворотов. Для этого составим выражение
(3.4)
(3.4)
(3.5)
(3.5)
Выразим векторы e' e' =
и e” через векторы ei и ei x e2 ^1 , gi x g2
^2:
x e\ sin —,
sin a
2sina
e" =
ei x 62
<p<2 e\ X в2 COS.
2sina
. ^2
X в2 Sin -—
2
sin a
Выразим векторы e' e' =
и e” через векторы ei и ei x e2 ^1 , gi x g2
^2:
x e\ sin —,
sin a
2sina
e" =
ei x 62
<p<2 e\ X в2 COS.
2sina
. ^2
X в2 Sin -—
2
sin a
sin(e',e") е'хе" с? cos(e', еп^ е’ * е” 6 2
sin(e',e") е'хе" с? cos(e', еп^ е’ * е” 6 2
Перемножив векторно, а затем скалярно равенства (3.5), найдем после преобразований:
Перемножив векторно, а затем скалярно равенства (3.5), найдем после преобразований:
е х е = ei sin — cos — + £9 cos — sin —— ei xe2 sin — sin —,
2222 v 22
Подставив (3.6) в числитель и знаменатель (3.4), получим после сокращения на cos((/?i/2) cos((/?2/2):
у₽i tg у + е2 tg у - (₽1 х е2) tg у tg у
S 21 — 01 - ^) tg у tg у
Введя векторы конечного поворота по формулам (3.2), получим искомую формулу (3.3).
Таким образом, доказана следующая теорема [30].
Теорема 4. Если заданы единичные векторы в\ и е^ осей и углы р\ и р2 последовательных конечных поворотов твердого тела, то ось результирующего поворота, эквивалентного этим двум поворотам, получается следующим построением*, через точку О пересечения осей е\ и е^ проводим две плоскости, перпендикулярные к этим двум векторам*, в первой плоскости проводим луч, образующий с линией пересечения плоскостей угол —р\)2, во второй плоскости — луч, образующий с этой линией угол Гр^)^ через эти лучи, определяемые единичными векторами е' и е", проводим плоскость. Ось с единичным вектором е, перпендикулярная к этой плоскости в точке О, будет осью результирующего конечного поворота, угол поворота р будет равен удвоенному углу между векторами е' и е”. Выражения векторов составляющих поворотов и вектора результирующего поворота даются формулами (3.2) и (3.3).
Наличие в формуле (3.3) векторного произведения 02 х 6\ указывает на некоммутативность конечных поворотов. Результирующий поворот 6' обратной последовательности поворотов 02, 01 определяется по формуле / 1\ 1 /1
в' = ( 1 — - 01 • 02 j ( 01 + 02 + ^ ^! Х ^2
Для поворотов на малые углы, когда произведениями величин углов можно пренебречь, получается формула «линейного» сложения:
0 ~ 01 + 02-
Отметим, что как сами векторы конечных поворотов, так и формула (3.3) сложения двух конечных поворотов неопределены для полуоборотов твердого тела. При сложении двух полуоборотов тела вокруг осей, задаваемых единичными векторами е\ и ^, единичный вектор е оси результирующего конечного поворота имеет направление векторного произведения е\ х ^2, а угол р результирующего поворота твердого тела определяется формулой со$(р/2) = е\в2.
Используя принцип перенесения Котельникова-Штуди и доказанную теорему, получим следующую теорему для двух последовательных конечных винтовых перемещений свободного твердого тела [30].
Теорема 5. Два последовательных конечных винтовых перемещения свободного твердого тела на дуальные углы Ф1 и Ф2 относительно произвольных осей пространства с единичными винтами Е\ и Е2 могут быть заменены одним эквивалентным результирующим винтовым конечным перемещением. Ось, единичный винт которой обозначим через Е, и дуальный угол Ф результирующего винтового перемещения получаются следующим построением (рис. 3.2): проводим ось дуального угла (Еь^) (ее единичный винт на рисунке обозначен через Ey^Y а затем прямую а', пересекающую под прямым углом ось Е\ и составляющую дуальный угол -Ф1/2 с упомянутой осью угла, затем прямую ам, пересекающую под прямым углом ось Е^, и составляющую дуальный угол +Ф2/2 с этой же осью угла*, удвоенный дуальный угол между прямыми а' и а" равен дуальному углу Ф результирующего винтового перемещения, а ось угла (а', ам) с единичным винтом Е есть ось этого перемещения.
Эта теорема воспроизводит известную теорему Альфана [173]. Здесь она получилась в результате применения принципа перенесения к построению, показанному на рис. 3.1.
Если дуальные векторы слагаемых и результирующего конечных винтовых перемещений свободного твердого тела обозначить соответственно через
Ф7 Ф
0, = 2tg^E„ г=1,2; 0 = 2tg-E, (3.7) то зависимость между указанными винтами выражается формулой
0=Л-|01.©А Г©1+©2 + |02х0А(3.8)
являющейся дуальным аналогом формулы (3.3).
Эта формула называется формулой сложения двух конечных винтовых перемещений свободного твердого тела.
Кватернионные и бикватернионные формулысложения конечных поворотов и перемещений
Сложение конечных поворотов, заданных кватернионами поворотов, определенными в одной системе координат. Вектору результирующего конечного поворота 9 = 2 tg(y?/2)e, задающему угловое положение твердого тела (системы координат У) в неподвижной системе координат X поставим в соответствие кватернион поворота
(3.9)(3.9)А — Ao + Av — Ao + AiA + А2/2 + Дз^з
(3.9)
(3.9)
с компонентами, определяемыми соотношениями
Ao = cos —, А^ = - Ао^ = sin — cos7^, г =1,2,3, (3.10) где 6^ — проекция вектора конечного поворота на ось Х^ (она равна проекции вектора конечного поворота на ось У^, так как система координат Y совпадает в начальном положении с Х\ ^^ — угол между вектором 9 и осью АА(У^).
(У) - X У(У) - X УКаждому из векторов слагаемых поворотов 9\ = 2tg(^i/2)ei и 02 = = 2 tg(y?2/2)e2 поставим в соответствие кватернионы поворотов Ai И А2:
(У) - X У
(У) - X У
Будем полагать, что кватернионы Ai и А2 определены в системе координат X соотношениями, аналогичными (3.9) и (3.10):
XkX = Ао/с + XvkX = Ао/с + Aifex^’l + ^2kXl2 + ^кхЦ.
A()k = COS ^ > ХгкХ = | Хок 9гкХ = sin ^ COS '№Х,(3 •11)
г= 1,2,3; fc=l,2,
где нижний индекс «X» означает, что соответствующая величина определена в системе координат X: О^кх — проекция вектора 9к на ось Х^ ^гкх — угол между вектором 9к и осью Х^.
Таким образом, полагаем, что все векторы и кватернионы конечных поворотов твердого тела определены в одной системе координат (X), поэтому
Av = - ^о^, Хук = - ^ок^к) к = 1,2.
Покажем, что кватернион А результирующего поворота может быть найден через кватернионы Ai и А2 слагаемых поворотов, заданные своими компонентами в одной системе координат, по формуле [17]:
Хх = А2х о Aix(3.12)
Для этого рассмотрим радиус-вектор произвольной точки М твердого тела, проведенный из его неподвижной точки О. Его начальное, промежуточное и конечное положения в системе координат X, получаемые в результате поворотов тела, обозначим г, г', г". Отображения этих векторов на базис X обозначим Гх, г'х, гх. Эти отображения связаны соотношениями вида (2.26):
Гх=Х\х ° ГХ ° Х\х. Гх = Х2Х ° ГГХ о Х2Х. Гх=Хх о Гх ° Хх- (3.13)
Подставляя первое из соотношений (3.13) во второе и учитывая третье, получаем
ггх = Хх о Гх ° Хх = А2Х о Aix о гх о Aix о А2Х,
откуда и следует формула (3.12).
Запишем кватернионную формулу (3.12) сложения двух конечных поворотов, определенных в одной системе координат, в скалярной фор-
ме. Для удобства записи обозначим кватернионы Ai и А2 слагаемых поворотов через pt и и, а компоненты кватернионов Л, pt и и, определенные в одной системе координат X, обозначим через Aj, pj и Vp j = 0, 1,2,3, соответственно. Тогда формула (3.12) примет вид
Хх = vx ° Рх^ (3.14) и в соответствии с правилом умножения двух кватернионов (см. формулы (1.31), (1.32)) будем иметь
Ao = ^оРо ~ vxPx - V2P2 - ^зРз»Al = UQPi + VxPQ + V2P3 - ^2,A2 = ^0^2 - VxP3 + V2PQ + V^px,Аз = ^ОМЗ + 1AP2 - V2PX + V^PQ.
Сложение конечных поворотов, заданных собственными кватернионами поворотов. Будем полагать, что каждый из кватернионов поворотов определен в своей системе координат, преобразуемой этим поворотом: кватернион Л результирующего поворота определен в системе координат Y, а кватернионы Ai и А2 слагаемых поворотов — в системах координат V и У"(У), соответственно, т. е. что кватернионы результирующего и слагаемых поворотов являются собственными. Это означает, что компоненты векторной части кватерниона А одинаковы в базисах X и У, а компоненты векторных частей кватернионов Ai и А2 одинаковы в базисах X(Y°) и Y', Y* и Y^”^ соответственно, поэтому для отображений кватернионов на эти базисы будем иметь:
Хх = Ay, Aiy/ = Aix, X2Y" = А2У/ = X2Y
Покажем, что в этом случае кватернион результирующего поворота может быть найден через кватернионы слагаемых поворотов по формуле [17]:
Хх = Ay = Aiy/ о X2Y" = Aiy/ о А2У = Aix ° А2У. (3.16)
Для этого рассмотрим радиус-вектор г произвольной точки М твердого тела, проведенный из его неподвижной точки О. Отображения вектора г на базисы X, Y* и Y” обозначим через Гх, Tys fY"- Эти отображения связаны соотношениями вида (2.30):
Гу = Ау о Гу о Ау, Гу/ = А1Х о Гу о А1Х, (3 17) Гу// = Гу = А2У/ ° Гу/ о А2У/•
Подставляя второе из соотношений (3.17) в третье и сопоставляя полученное соотношение с первым из соотношений (3.17), получаем формулу (3.16).
Запишем кватернионную формулу (3.16) сложения двух конечных поворотов, заданных собственными кватернионами поворотов, в скалярной форме. Как и выше, для удобства записи обозначим кватернионы Ai и А2 слагаемых поворотов через pt и и, а компоненты
кватернионов A, pt и и, каждый из которых определен в собственной, преобразуемой этим кватернионом системе координат, обозначим через Aj, /ij и ivj (j = О, 1,2,3) соответственно (отметим, что по определению эти компоненты являются параметрами Эйлера, а величины A* = Xj\ Тогда формула (3.16) примет вид
Хх = А у = р,у/ о vyn = р,у/ о vy = pi у о vy(3.18)
а для компонент собственных кватернионов поворотов (параметров Эйлера) будем иметь:
^0=^0=^о^о—клу\——^3^3’
At = Ai=p*iv*+^t^o+ ^з~^3^2*»
А2 = А 2=/^0^2—^ V3+ ^2^0+^З^Г’
A3 = A3=PqIV^+Ml ^2— М2^1*+Мз^О •
Бикватернионные формулы сложения конечных перемещений. Рассмотрим свободное твердое тело. Сообщим твердому телу первое перемещение, задаваемое винтом конечного перемещения 01 = = 2^1 Т§(Ф1/2) (на дуальный угол Ф1 = щ\ + зщ° относительно оси, определяемой единичным винтом Ei). После этого твердому телу сообщим второе перемещение, задаваемое винтом конечного перемещения 02 = 2£,2tg(Ф2/2) (на дуальный угол Ф2 = щ^ + зщ^ относительно оси, определяемой единичным винтом £2)-
Известно, что всякое перемещение свободного твердого тела в пространстве можно осуществить с помощью одного винтового конечного перемещения относительно некоторой оси, задаваемой единичным винтом Е, на дуальный угол Ф = щ + зщо (теорема Шаля). Это результирующее перемещение твердого тела, задаваемое винтом конечного перемещения 0 = 2£,tg(Ф/2), можно найти через составляющие конечные перемещения твердого тела, задаваемые винтами 01 и 02, по винтовой формуле (3.8). Приведем схему перемещений, иллюстрирующую сказанное:
Здесь X — неподвижная система координат; Y — система координат, жестко связанная со свободным твердым телом; Y° и Y' — начальное и промежуточное положения этой системы координат.
Каждому из винтов конечных перемещений 0, 01 и 02 твердого тела поставим в соответствие бикватернионы конечных перемещений Л = А + sA°, Л^ = Ai 4" sA^ и Л2 = А2 4" sA^:
Ay = Ло + Л1у/1 + Л2у/2 + Лзу/з,
Afcx = X^k + Ai^i + X^kxh + Лз^у/з, k = 1,2,
с дуальными компонентами, определяемыми соотношениями
Ф1Ф
Ло = cos -, Х,х = 2= Sin - cosIX
A0fc=cos^, Ag/гх = ^ AofcOikx =sin ^ cosr^x, г=1,2,3; k=l,2, где ©гх и ^ikx ~ дуальные ортогональные проекции винтов конечных перемещений © и ©^ на оси системы координат X; Г^Г^х) — дуальный угол между винтом ©(©&) и осью Х^.
Таким образом, полагаем, что все винты и бикватернионы конечных перемещений твердого тела определены в одной системе координат (X), поэтому, отождествляя векторные мнимые единицы Гамильтона с ортами системы координат X, будем иметь
Av = — Ад©, Av ^ = — Kq^^^, к = 1,2.
В соответствии с принципом перенесения Котельникова-Штуди бикватернион Л результирующего конечного перемещения твердого тела может быть найден через бикватернионы Ai и Аг слагаемых конечных перемещений, заданные своими компонентами в одной системе координат, по формуле, аналогичной (3.12) [51]:
Ах = Л2Х ° Aix.(3.20)
Выделяя в формуле (3.20) главную и моментную части, получим
Ах = А2Х ° Aix, Ах = А2Х ° А^х + А^х ° Aix, (3.21) где компоненты кватернионов Лх, Aix, А2Х и А^, Afx, А^х определяются соотношениями (3.10), (3.11) и сотношениями вида (1.128).
Подчеркнем, что классическая бикватернионная формула (3.20) сложения двух конечных перемещений твердого тела справедлива в случае, когда все бикватернионы конечных перемещений (и результирующий и слагаемые) определены в одной какой-то выбранной системе координат (не обязательно X), поэтому нижний индекс «X» в этой формуле может быть опущен.
В случае, когда каждый из бикватернионов конечных перемещений твердого тела определен в своей системе координат, преобразуемой этим перемещением, т. е. когда бикватернионы и результирующего и слагаемых конечных перемещений являются собственными, бикватернионная формула сложения двух конечных перемещений твердого тела имеет вид, аналогичный формуле (3.16):
Ах = А у = Aiy/ о Агу" = Aiy/ о Л2У = Aix ° А2У, (3.22) где нижние индексы указывают на то, в какой системе координат определен своими компонентами соответствующий бикватернион.
Выделяя в формуле (3.22) главную и моментную части, получим:
Ах = Ay = Aix ° А2У, Ах = Ay = Aix ° А^у + А^х ° Агу. (3.23)
В скалярной записи бикватернионные формулы (3.20) и (3.22) имеют вид, аналогичный (3.15) и (3.19). Обозначая для удобства записи бикватернионы Ai и Л2 слагаемых конечных перемещений твердого тела через М и N, а компоненты бикватернионов А, М и N, определенные в одной какой-то выбранной системе координат через Кр М^- и Nj, j = 0, 1,2, 3, будем иметь
Л = NoM, (3.24)
Aq = Ng Мд — Ni Mi — N2 М2 — Ng Mg, Ai = Ng Mi + Ni Mo + N2 Mg — Ng М2, A 2 = Ng М2 — N1 Mg + N2 Mg + Ng Mi, Ag = Ng Mg + Ni М2 — N2 Mi + Ng Mg .
Обозначая собственные бикватернионы результирующего и составляющих конечных перемещений твердого тела через Л* и М*, N*, а их компоненты (дуальные параметры Эйлера) через Л^ и М*, N*, j = = 0,1,2,3,
A*=M*oN*, (3.25)
AS = Mo No - Mi Nt - MS NS - Mg Ng,At = M^ Nt + Mt NS + MS NS - MS NS,AS = MS NS - Mt NS + MS NS + MS Nt,AS = MS NS + Mt NS - MS Nt + MS NS .
Сложение конечных поворотов и перемещений,заданных матрицами направляющих косинусов
Рассмотрим схему перемещений твердого тела, используя для описания конечных поворотов твердого тела матрицы обычных направляющих косинусов, а для описания конечных перемещений — матрицы дуальных направляющих косинусов (см. п. 1.7.1 гл. 1):
Х(У°)Х(У°)
Х(У°)
Х(У°)
где X — неподвижная система координат, У — система координат, жестко связанная с твердым телом, У° и У' - начальное и промежуточное положения этой системы координат (твердого тела); с, щ, С2 — матрицы обычных направляющих косинусов, характеризующие относительные угловые положения введенных систем координат: У и X, Y' и Х(У°), У” = У и У', a С, Сь С2 - матрицы дуальных направляющих косинусов, характеризующие относительные положения этих систем координат в общем случае пространственных перемещений свободного (или несвободного) твердого тела.
Используя вещественные и дуальные формулы преобразования единичных векторов (винтов) координатных базисов или вещественные и дуальные формулы преобразования координат некоторого вещественного или дуального вектора (см. п. 2.2 и п. 2.7.1 гл. 2), можно показать (так, как это сделано в пункте 3.2 для кватернионов и бикватернионов), что формулы сложения двух конечных поворотов и перемещений твердого тела в вещественных и дуальных матрицах направляющих косинусов имеют следующий вид:
С = С2Сь(3.26)
С = С2С1, С = 0^80°, Сх=сх^зс°ъ С2 = с2 + зс^. (3.27)
Выделяя в (3.27) главную и моментную части, получим:
с = с2сь с° = с2с° + с^сх.(3.28)
Сложение конечных поворотов и перемещений,заданных кватернионными и би кватерн ионным иматрицами
Сложение конечных поворотов, заданных кватернионными матрицами. Пусть твердое тело с одной закрепленной точкой совершает относительно опорного базиса Xv конечных поворотов 9Х = = 2ei tg(^i/2), 02 = 2е2 tg(y?2/2), ..., 0^ = 2^ tg^/2) в указанной последовательности. Обозначим результирующий этих поворотов через 0 = 2еtg(</?/2). Поставим в соответствие векторам конечных поворотов 0, 9г матрицы-столбцы А = (Ао, Ai, А2, А3), Аг = (АОь Ац, A2i, A3i) и кватернионные матрицы п = n(A), т = m(A), th = п(АД mt = т(А^) (см. п. 1.3.3 гл. 1), элементы Xj, Х^ 0 = 0, 1,2, 3; г = 1,2,..., и) которых являются компонентами кватернионов соответствующих поворотов, заданными в одном опорном базисе. Тогда компоненты Xj кватерниона результирующего поворота 0 могут быть определены через компоненты Хдг кватернионов составляющих поворотов 9г в соответствии с матричной формулой
к-х п г=1к-х п г=1ПгПгкк< V.< V.(3.29)(3.29)
к-х п г=1
к-х п г=1
Пг
Пг
к
к
< V.
< V.
(3.29)
(3.29)
Здесь = ПРИ ^ = 1 и (^П^ mij = ПРИ к = и; матрицы mt и nt имеют структуру кватернионных матриц m w тг (см. формулы (1.21)).
Докажем это утверждение. Для двух составляющих конечных поворотов (когда v = 2) компоненты Xj (j = 0, 1,2,3) кватерниона А результирующего поворота могут быть найдены через компоненты А^ (j = 0, 1,2,3; г = 1,2) кватернионов Ai, А2 составляющих поворотов по формуле [38]:
А = П1А2 = m2Ai, (3.30)
5 Ю.Н. Челноков
/ А° \
/ Aoi -Ан —А21 —А31 \
/ Aq2 \
Ai
Ан Aoi А31 —А21
А12
А2
А21 —А31 Aoi Ац
А22
\Л3 /
\ А31 А21 -Ац Aoi /
\ А32 /
( А()2— А12-^22-^32\
А12Aq2-Аз2А22
А22А32Aq2—А12
\Аз2-А22А12Aq2/
( А01 ^ Ан А21 \А31 )
являющейся матричной формой записи кватернионного соотношения (3.12) или скалярных соотношений (3.15) (в последних следует положить pj = Aji, иj = Aj2, j = 0, 1,2, 3).
Для iv конечных поворотов, используя (3.30), получим
АнАн(3.31)(3.31)
Ан
Ан
(3.31)
(3.31)
Эти формулы эквивалентны следующим:
V1
(3.32)(3.32)п = Ип^ т = И
(3.32)
(3.32)
г=1i=v
В силу ассоциативности конечных поворотов последовательность поворотов ^1, 0^,... ,0ь • •, 0р, может быть заменена эквивалентной ей последовательностью поворотов 0'v 0^ где 0\ — результирующий последовательности поворотов 0\,..., 0к, а 02 — результирующий последовательности поворотов 0к^х, • ••, 0v Согласно соотношению (3.30) компоненты кватерниона результирующего поворота 0 связаны с компонентами кватернионов составляющих поворотов 0\, 0^ соотношением
А = 7^. (3.33)
Здесь кватернионная матрица т^ на основании (3.32) определяется соотношением
'1\
где JJ тг = Е при к = и I ,(3.34)
а вектор-столбец А^ определяется на основании (3.31) соотношением
(
к-х \/к-х\
rii I Хк I где rii = Е при к = 1 I .(3.35)
г=Х /\г=Х/
Подставляя соотношения (3.34) и (3.35) в (3.33), получаем формулу (3.29).
Теперь поставим в соответствие векторам конечных поворотов 0 и 0i матрицы-столбцы А* = (АД АД АД АД, А* = (АД, АД, АД, АД), а также кватернионные матрицы п* = n(A*), т* = т(А*) и п* = п(А*), т* = т(А*), элементы А* и АД (j = 0, 1,2,3; г = 1,2, ...,v^ которых являются параметрами Эйлера (Родрига-Гамильтона) поворотов 0 и 0г, т. е. компонентами собственных кватернионов А* и А* поворотов 0 и 0г. Тогда параметры Эйлера А* результирующего поворота 0 могут быть определены через параметры Эйлера АД составляющих поворотов 0 г по одной из следующих формул:
АА/Щ!п/Щ!пk < v,k < v,(3.36)(3.36)
А
А
/Щ!
п
/Щ!
п
k < v,
k < v,
(3.36)
(3.36)
где IlL/ mt=E при к = 1 и П?^ nt=E при к = и;
(3.37)(3.38)(3.37)(3.38)
(3.37)
(3.38)
(3.37)
(3.38)
В этих формулах кватернионные матрицы п* и т*, п* и т* имеют структуру кватернионных матриц п и т (см. формулы (1.21)).
Для получения формул (3.37) и (3.38) необходимо воспользоваться формулами (3.16) или (3.19), позволяющими находить параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона) результирующего поворота через параметры Эйлера двух составляющих поворотов, записав их в матричной форме, аналогичной (3.30):
А* = п^ = т\Х^,(3.39)
‘22‘22‘32‘32‘02‘021212‘21‘21‘22‘22‘12‘02 /‘12‘02 /1212‘22‘22‘21‘21
‘22
‘22
‘32
‘32
‘02
‘02
12
12
‘21
‘21
‘22
‘22
‘12
‘02 /
‘12
‘02 /
12
12
‘22
‘22
‘21
‘21
Отметим, что при записи скалярных соотношений (3.19) в матричной форме (3.39) были использованы переобозначения рС = АД, И = = А*2 (j=0, 1,2,3).
Вывод формулы (3.36) ничем не отличается от вывода формулы (3.29).
Соотношения (3.29)-(3.32) являются матричными формулами сложения v конечных поворотов, заданных в одном опорном базисе компонентами соответствующих кватернионов, а формулы (3.36)-(3.39) — матричными формулами сложения v конечных поворотов, каждый из которых задан своими параметрами Эйлера (Родрига-Гамильтона). Так, для трех конечных поворотов (и = 3) имеем
А = П1П2А3 = m3m2Ai = nim3A2 = m3niA2, (3.40)
A* = n^A? = m?m2A| = n*3mXX^ = m^A^. (3.41)
Целесообразность использования той или иной матричной формулы сложения конечных поворотов из полученных формул определяется характером конкретной решаемой задачи, а также тем, каким образом заданы слагаемые повороты: своими проекциями в одном каком-то базисе или своими параметрами Эйлера. Формулы (3.29) и (3.36) содержат кватернионные матрицы двух видов (т и п), коммутирующие между собой, что позволяет в ряде случаев за счет группировки необходимых матриц построить рациональные алгоритмы численного решения задач или облегчить их аналитическое решение. Так, в некоторых задачах ориентации подвижного объекта компоненты кватернионов нескольких конечных поворотов, задающих ориентации анализируемых систем координат, являются медленно меняющимися. Коммутативность матриц типа п с матрицами типа т и структура матричных формул сложения конечных поворотов (3.29) и (3.36) позволяют сгруппировать медленно меняющиеся кватернионные матрицы и рационально (с точки зрения объема необходимых вычислений) построить алгоритмы определения ориентации объекта.
К указанным задачам относятся, в частности, задачи управления ориентацией космического аппарата, рассмотренные в [38]. Автором этой работы, по-видимому, впервые обращено внимание на коммутативность кватернионных матриц типов т и п и высказана идея использования этого свойства для построения рациональных алгоритмов определения ориентации космического аппарата. Однако в работе [38] не учтено различие между компонентами обычных и собственных кватернионов [17], что привело автора [38] к ошибочному применению полученных им матричных формул сложения конечных поворотов. Автором [38] введены матричные формулы сложения конечных поворотов вида (3.31), т. е. формулы сложения конечных поворотов, заданных компонентами соответствующих кватернионов в одном опорном базисе. Поэтому их применение в рассмотренных им задачах управления ориентацией космического аппарата, в которых каждый слагаемый поворот задан своими проекциями в базисе, преобразуемом этим поворотом (т. е. задан своими параметрами Эйлера (Родрига-Гамильтона), является неправомочным и не дает указанного в [38] сокращения объема
вычислений. Этот эффект будет иметь место лишь в случае применения в указанных задачах матричных формул сложения конечных поворотов, заданных своими параметрами Эйлера, т. е. формул (3.36).
Отметим, что формулы сложения конечных поворотов, заданных компонентами собственных кватернионов, т. е. параметрами Эйлера (Родрига-Гамильтона), впервые, по-видимому, были получены в работе [102] в кватернионной форме. Нами [100, 127] введены матричные формулы сложения указанных конечных поворотов (3.36)-(3.38), использующие кватернионные матрицы, коммутирующие между собой, а также введена общая матричная формула (3.29) сложения конечных поворотов, заданных компонентами соответствующих кватернионов в одном опорном базисе, частные случаи которой были приведены [38].
Сложение конечных перемещений, заданных бикватер- нионными матрицами. Для сложения конечных перемещений твердого тела, заданных в одной опорной системе координат компонентами соответствующих бикватернионов, справедлива
Теорема 6. Если конечное винтовое перемещение 0 твердого тела является результирующим последовательности конечных винтовых перемещений 0ь 02,..., ®v и если дуальным векторам конечных винтовых перемещений 0, 0^ поставить в соответствие дуальные матрицы-столбцы X = (Ло, Ль Л2, Л3), Л^ = = (Лоь Ль, Л2ь Лд^) и бикватернионные матрицы Nt = N(Xi\ Mt = = М(Х^) (см. n. 1.7.3 гл. 1), элементы Хр Хр (j = 0, 1,2,3; г = = 1,2, ...,v) которых являются компонентами бикватернионов конечных перемещений 0, 0^ заданными в одной опорной системе координат, то вектор-столбец X может быть получен дуальным ортогональным преобразованием любого вектор а-столбца Х^ из совокупности векторов-столбцов Х\,..., Х^,..., Xv в соответствии с формулой [131]
(
&+1 \ /к— 1 \
Пмч (П^Ак = LXb (3-42)
Здесь nt/ ^ = Е при к = 1 и Щ=/ М = Е при к = и.
Бикватернионные матрицы N^ и М^ имеют структуру матриц N и М соответственно (см. формулы (1.140)); матрица L — дуальная ортогональная, поскольку она представляет собой произведение и — 1 дуальных ортогональных матриц.
Для сложения конечных винтовых перемещений твердого тела, заданных дуальными параметрами Эйлера (Родрига-Гамильтона), справедлива
Теорема 7. Если конечное винтовое перемещение 0 твердого тела является результирующим последовательности конечных винтовых перемещений ©ь®2, , ®z/ ^ если дуальным век-
торам конечных винтовых перемещений 0, 0^ поставить в соответствие дуальные матрицы-столбцы Л* = (Aq, Ар Л^, Л|), Л* = = (A^,A^,A^.,A|.) и бикватернионные матрицы N* = Л^Л*), М* = = М(Л*), элементы АД АГ (j = О, 1,2, 3; г = 1,2,..., и) которых являются дуальными параметрами Эйлера (компонентами собственных бикватернионов) конечных перемещений 0,0^, то вектор- столбец Л* может быть получен дуальным ортогональным преобразованием любого вектор а-столбца Л^ из совокупности векторов- столбцов Х*х,... ,Х*к,..., Л* в соответствии с формулой [131]
//Щ1\ /к-\\
(3.43)(3.43)Л* = Ц АГ* Ц М* Л£ = L*XC к < V.
(3.43)
(3.43)
\г=и/ \z=l/
Здесь П?=/= Е при к = 1 и П^ = Е при к = и.
Бикватернионные матрицы N* и М* имеют структуру матриц N и М соответственно (см. формулы (1.141)); L* — дуальная ортогональная матрица.
Теоремы 6 и 7 получаются в результате применения принципа перенесения Котельникова-Штуди к установленным в п. 3.4.1 аналогичным
результатам, относящимся к конечным поворотам твердого тела.
Правила сложения конечных перемещений твердого тела можно сформулировать, используя матрицы одного вида (N или М).
При к = 1 и к = и из формул (3.42) и (3.43) имеем
(
2 \\
J]M Л,= ЩМ(3.44)
i=v /\г=1/
(
2 \\
ДМ) Л? = ( Д л:.(3.45)
Формулы (3.44) и (3.45) эквивалентны следующим:
v1
А = Дм, М = Дм(3.46)
г=1г=и
1v
=м*=р[м*.(3.47)
г=иг=1
Соотношения (3.42), (3.44), (3.46) являются матричными формулами сложения а конечных перемещений твердого тела, заданных в одном опорном базисе компонентами соответствующих бикватернионов, а формулы (3.43), (3.45), (3.47) — матричными формулами сложения а конечных перемещений твердого тела, каждый из которых задан своими дуальными параметрами Эйлера.
Целесообразность использования той или иной матричной формулы сложения конечных винтовых перемещений из полученных формул определяется характером конкретной решаемой задачи, а также тем, каким образом заданы слагаемые перемещения: своими дуальными ортогональными проекциями в одном каком-то базисе или своими дуальными параметрами Эйлера. Формулы (3.46), (3.47) удобно применять в аналитических выкладках, когда необходимо производить операции обращения матриц. Формулы (3.44), (3.45) целесообразно использовать при проведении непосредственных вычислений или при нахождении компонент бикватернионов в явном (развернутом) виде. Наиболее общие формулы (3.42) и (3.43), содержащие бикватернион- ные матрицы двух типов (N и М), коммутирующие между собой, позволяют, во-первых, наряду с задачей сложения конечных перемещений легко решать задачу вычитания конечных перемещений, во-вторых, их структура и коммутативность матриц типа N с матрицами типа М позволяют сгруппировать вместе необходимые матрицы, что в ряде случаев облегчает аналитическое решение задач или дает выигрыш в вычислительном отношении за счет построения рациональных алгоритмов численного решения задач.
Основное преимущество матричных формул сложения конечных винтовых перемещений (3.42), (3.43) перед бикватернионными формулами, обобщающими формулы (3.20) и (3.22), заключается в том, что их использование позволяет в ряде случаев устранить такой «недостаток» бикватернионов, как их некоммутативность.
Матричные формулы сложения конечныхповоротов и перемещений, заданных параметрамиКейли-Клейна
Матричные формулы сложения конечных поворотов, заданных параметрами Кейли-Клейна. При сложении конечных поворотов твердого тела, заданных параметрами Кейли-Клейна, необходимо различать два типа формул (так же как и при сложении обычных и собственных кватернионов [17, 102]). Однако в литературе на этот факт должного внимания не обращено. Так, в работах [71, 117] приведены формулы нахождения параметров Кейли-Клейна результирующего поворота через параметры двух последовательных конечных поворотов, которые заданы в одном опорном базисе, а в работе [28] приведены формулы нахождения параметров Кейли-Клейна результирующего конечного поворота через параметры трех элементарных конечных поворотов на углы Эйлера, причем каждая система параметров задана в своем базисе, преобразуемом соответствующим конечным поворотом. Однако на эти особенности формул сложения конечных поворотов в параметрах Кейли-Клейна ни в одной из работ [28, 71, 117]
не указывается. Между тем их неучет может приводить к ошибкам, аналогичным допущенным в [138].
Пусть твердое тело с одной закрепленной точкой относительно опорного базиса X совершает и конечных поворотов 0\,02,.. ,0V в указанной последовательности. Будем полагать, что каждый вектор поворота задан своими проекциями в базисе X. Тогда параметры Кейли-Клейна а, Р, у, 5 результирующего конечного поворота 0 могут быть найдены через параметры а^, Pt, ^ь 5^ составляющих поворотов 0^ (г = 1,2, ...,и) по матричной формуле
g = П^’г=1g = П^’г=1(3.48)(3.48)7 А _ / 7г А
g = П^’
г=1
g = П^’
г=1
(3.48)
(3.48)
9 б)’ ^"\0г Si)'
Для получения формулы (3.48) необходимо перейти от скалярной записи формул нахождения параметров Кейли-Клейна результирующего конечного поворота через параметры двух последовательных поворотов [71, 117] к их матричной записи, используя унитарные матрицы q, qi, имеющие вид (1.22). Обобщение полученной матричной формулы на случай v конечных поворотов приводит к формуле (3.48).
Теперь положим, что каждый из векторов 0^ (г = 1,2, ...,v) задан своими проекциями в базисе, преобразуемом этим поворотом. Тогда собственные параметры Кейли-Клейна а*, Р*, 7*, 5* результирующего конечного поворота 0 могут быть найдены через собственные параметры Кейли-Клейна а*, Р*, у*, 5* составляющих конечных поворотов 0^ (г = 1,2, ...,и) по формуле, полученной в [95]:
(3.49)(3.49)
(3.49)
(3.49)
Для трех элементарных конечных поворотов твердого тела на углы Эйлера формула сложения поворотов, аналогичная (3.49), приводится в [28].
Итак, существует два типа формул сложения конечных поворотов в параметрах Кейли-Клейна (3.48) и (3.49), отличающихся порядком перемножения унитарных матриц. Формула (3.48) служит для нахождения параметров Кейли-Клейна результирующего конечного поворота через параметры составляющих поворотов в случае, когда они определены в одном опорном базисе, а формула (3.49) — в случае, когда каждый слагаемый поворот определен своими параметрами Кейли-Клейна (или своими проекциями) в базисе, преобразуемом этим поворотом.
В п. 3.4.1 формулы сложения конечных поворотов твердого тела представлены в виде операций над кватернионными матрицами двух типов, коммутирующих между собой. Формулы сложения конечных поворотов твердого тела могут быть также представлены в виде операций над унитарными матрицами параметров Кейли-Клейна двух различных типов (размера 4x4), коммутирующими между собой [126].
Формула сложения конечных поворотов в таких унитарных матрицах (см. п. 1.3.4), служащая для нахождения параметров Кейли- Клейна результирующего конечного поворота через определенные в одном базисе параметры Кейли-Клейна составляющих поворотов, имеет вид [126]:
(
£+1 \ /£-1 \
ПМ (1Ы (“ьЗеЛеЛе), ^v,(3.50)
i=v / \i=l /
где Hi=i Pi = Е при I = 1 и nf=^ Е = Е при I = v.
Здесь kt, pt — унитарные матрицы типов к к р, сопоставляемые вектору конечного поворота 0i и имеющие вид (1.23) или (1.25):
^1 5J )^№ р Pi V qi)’
где I — единичная матрица размера 2x2; I(cx) = al, ЦЦ = PL ЦЦ = у/, Ц5) = 51 — диагональные матрицы размера 2x2, 0 — нулевая матрица размера 2x2, Qi — матрица, имеющая вид (1.22) (см. также (3.48)).
Для нахождения собственных параметров Кейли-Клейна результирующего конечного поворота через собственные параметры Кейли- Клейна составляющих конечных поворотов служит другая формула в унитарных матрицах размера 4x4 [126]:
(
£+1 \ /£-1 \
П^ №(3.51)
г=и /\г=1/
где п<=1 ki = Е при г = 1 И Щ^Х = Е при I = v.
Здесь к*, р* — унитарные коммутативные матрицы типов к w р, составленные из собственных параметров Кейли-Клейна поворота Ор
(^1 ЗН\уЛ1 5*1 )(^1 ЗН\уЛ1 5*1 )Ц«0 1^0 АНЛ) Ж) )Ц«0 1^0 АНЛ) Ж) ). Pi =. Pi =qt оо Q*qt оо Q*
(^1 ЗН\уЛ1 5*1 )
(^1 ЗН\уЛ1 5*1 )
Ц«0 1^0 А
НЛ) Ж) )
Ц«0 1^0 А
НЛ) Ж) )
. Pi =
. Pi =
qt о
о Q*
qt о
о Q*
Формулы сложения конечных поворотов (3.50) и (3.51), в отличие от формул (3.48) и (3.49), оперируют с унитарными матрицами, коммутирующими между собой, что позволяет при решении задач получать те же эффекты, что и формулы сложения конечных поворотов, записанные с использованием кватернионных матриц двух типов; причем коммутативность унитарных матриц р и к может быть использована не только в аналитических выкладках, но и в числовых расчетах, проводимых в непозиционной системе счисления остаточных классов [83].
Отметим, что формулы сложения конечных поворотов (3.50) и (3.51) в унитарных матрицах параметров Кейли-Клейна аналогичны формулам сложения конечных поворотов (3.29) и (3.36) в кватерни-
онных матрицах и их вывод осуществляется тем же способом, что и вывод формул (3.29) и (3.36).
Матричные формулы сложения конечных перемещений, заданных дуальными параметрами Кейли-Клейна. Поставим в соответствие дуальным векторам 0, 0^ (г = 1,2,..., ^) конечных перемещений твердого тела унитарные матрицы второго порядка (см. п. 1.7.4, соотношения (1.148))
/ А Г \ / А^ П \
Q= RA L Ив/ь i=1’2’
элементы которых А, В, Г, А и А^, В^, Г^, А^ являются дуальными параметрами Кейли-Клейна перемещений 0, 0^, определенными (соотношениями вида (1.131)) в одном каком-то выбранном базисе.
Тогда, применяя принцип перенесения Котельникова-Штуди к формуле (3.48), получим следующее правило сложения конечных перемещений в дуальных параметрах Кейли-Клейна:
9 = П». (3.52) г=1
Поставим теперь в соответствие дуальным векторам 0, 0^ (г = = 1,2,..., и) конечных перемещений твердого тела унитарные матрицы
второго порядка
элементы которых А*, В*, Г*, А* и А*, В*, Г*, А* являются собственными дуальными параметрами Кейли-Клейна перемещений 0, ©i, определенными соотношениями вида (1.131).
Применяя принцип перенесения Котельникова-Штуди к формуле (3.49), получаем правило сложения конечных перемещений в собственных дуальных параметрах Кейли-Клейна:
1
<9* = П^- (3.53) г=и
Формулы сложения конечных перемещений твердого тела, записанные с использованием двух типов коммутирующих между собой унитарных матриц размера 4x4, являются дуальными аналогами формул (3.50), (3.51) и имеют вид
(
£+1 \ /£-1 \
П/ч пРЛ (А^в^г^да,(3.54)
гДе ПД! Р» = Р при £ = 1 и ЩДкг = Е при I = и.
/1+1\ /£-1\
(А*, В*, Г*, Д*) = П^Ч П^Ч ^'НЛЦА*^,(3.55)
\г=и / \z=l/
где nti К* = Е при Ч 1 и П^ Р* = Е ПРИ 8 = V-
Здесь Kt, Pi и К*, Р* — унитарные матрицы типов К и Р, сопоставляемые дуальному вектору конечного перемещения 0^ и имеющие вид (1.149):
_ /АЧ ВЧ\1\ TJ Ail)_ /АЧ ВЧ\1\ TJ Ail)ЦМ Цв^х (QiO\ жа дла)’ - щ Qi)’
_ /АЧ ВЧ\
1\ TJ Ail)
_ /АЧ ВЧ\
1\ TJ Ail)
вч дцвч дцЦП) ЖПЦП) ЦП)ЦП) ЖПЦП) ЦП)(Qi о \ V о Q* ) ■(Qi о \ V о Q* ) ■
вч дц
вч дц
ЦП) ЖПЦП) ЦП)
ЦП) ЖПЦП) ЦП)
(Qi о \ V о Q* ) ■
(Qi о \ V о Q* ) ■
Итак, существует два типа формул сложения конечных перемещений твердого тела в дуальных параметрах Кейли-Клейна (3.52), (3.54) и (3.53), (3.55), отличающихся порядком перемножения унитарных матриц. Формулы (3.52) и (3.54) служат для нахождения дуальных параметров Кейли-Клейна результирующего конечного перемещения через дуальные параметры составляющих перемещений в случае, когда они определены в одном опорном базисе, а формулы (3.53) и (3.55) — в случае, когда каждое слагаемое перемещение определено своими дуальными параметрами Кейли-Клейна (или своими дуальными ортогональными проекциями) в базисе, преобразуемом этим перемещением.
Формулы сложения конечных перемещений (3.54) и (3.55), содержащие унитарные матрицы, коммутирующие между собой, имеют те же достоинства, что и аналогичные формулы сложения конечных перемещений (3.42) и (3.43), записанные с использованием бикватер- нионных матриц двух типов.
Разложение заданного конечного винтовогоперемещения свободного твердого тела
на поступательное и угловое перемещения
Пусть перемещение связанной со свободным твердым телом системы координат Y из начального положения, совпадающего с опорной системой координат X, в конечное задано винтом конечного перемещения
0 = 2Е tg - = 2Е tg(<^ + sip°Y
Разложим это заданное конечное винтовое перемещение твердого тела на поступательное и угловое (вращательное, сферическое) перемещения. Конечное перемещение твердого тела эквивалентно одной из двух последовательностей перемещений (см. рис. 3.3 и рис. 3.4):
последовательности поступательного перемещения тела вместе с произвольно выбранным полюсом О2, характеризуемого винтом
@tr = 2£tr tg^ = 2£tr tg^,
и углового перемещения (поворота) тела вокруг полюса О2, характеризуемого винтом_
©rot = 2£rot tg ^ = 2£rot tg
последовательности углового перемещения (поворота) тела вокруг полюса О2, характеризуемого винтом
©;ot = 2£;ottg^,
и поступательного перемещения тела, характеризуемого винтом ©tr.
Сказанное проиллюстрируем схемой перемещений:
где символ ~ означает знак эквивалентности.
Задача разложения конечного винтового перемещения твердого тела на поступательное и угловое перемещения может быть разделена на две самостоятельные.
Задача 1 состоит в отыскании дуальных ортогональных проекций каждого из винтов ©tr, ©rot, ©rot 6 опорной системе координат X по дуальным ортогональным проекциям винта ©, заданным в этой же системе координат.
Задача 2 состоит в отыскании дуальных ортогональных проекций каждого из винтов ©tr, ©rot, ©rot 6 С60ей системе координат, преобразуемой этим перемещением, по заданным в системе координат X (или Y) дуальным ортогональным проекциям винта ©.
Решим задачу 2. Винт ©rot в этом случае должен быть определен в системе координат Y (или У"), винт 0'ot — в системе координат X (или У*), а винт ©tr — в системе координат X (или У") для первой последовательности перемещений (рис. 3.3) и в системе координат У* (или У) для второй последовательности перемещений (рис. 3.4).
Винтам ©tr, ©rot Для первой последовательности перемещений и винтам ©rOt, ©tr для второй последовательности перемещений поставим в соответствие собственные бикватернионы Atr = 1 + sA°r, Arot = = Arot и A'ot = A'ot, A{r = 1 + sX®' и бикватернионные матрицы Дг = = Е + sn°T, Nro[ = nrot и TV^ = n'ot, N(T = Е + sn^ (или бикватернионные матрицы Mtr = Е + sm°r, Mrot = mrot и Mr'ot = m'ot, М^ = = Е + sm^), составленные из дуальных параметров Эйлера (Родрига- Гамильтона) Atry, Лгощ = Агощ- и A^j = A'oU, A{rJ (j = 0, 1,2,3) (здесь и далее верхняя звездочка у параметров Эйлера, матриц и биква-
Рис. 3.3 тернионов, означающая, что соответствующие бикватернионы являются собственными, опущена). Винту 0 результирующего перемещения поставим в соответствие бикватернион Л = А + sX° и бикватернион- ную матрицу N = п + зп° (или матрицу М = т + зт°) с дуальными элементами Xj = Xj + sXj (j = 0, 1,2, 3).
Так как дуальные ортогональные проекции винтов Orot, ®™t’ ®tr на оси указанных систем координат связаны однозначно с соответствующими дуальными параметрами Эйлера, то задача 2 сводится к отысканию зависимостей бикватернионов Atr, Arot, A'ot, Л{г или биКВатерНИОННЫХ Матриц Mr, Mot, Mot’ М'г (Mr, Mot, Mot’ М'г) от кватернионов А и А° или кватернионных матриц п и п° (т и т°\ характеризующих собой заданное винтовое перемещение твердого тела.
Воспользуемся бикватернионной (3.22) и матричной (3.47) формулами сложения конечных перемещений. Для первой последовательности перемещений 0tr, 0rot имеем соотношения
Л = А + sX° = Atr о Arot = (1 + sA°r) о Агоц
N = n + sn° = MotMr = Wot (E + sn^), M = m + sm° = MtrMrot = (E + sm^
а для второй последовательности перемещений O'ot, 0tr — соотношениял = а + sA° = A;ot о л;г = A;ot о (i + 8х^;
N = п + sn° = <N'oV = (Е + sn^) n'ot, М = т + sm° = М^М^ = m'ot (Е + sm^.
Отсюда получаем:
А°= A?roArot = А^оА^; n° = nrotnt°r = T1°XOV m°= m^mvo^ = mfMm^.А°= A?roArot = А^оА^; n° = nrotnt°r = T1°XOV m°= m^mvo^ = mfMm^.А — Arot — Arot, п = nrot = п^, т= mrot = m'ot,
А°= A?roArot = А^оА^; n° = nrotnt°r = T1°XOV m°= m^mvo^ = mfMm^.
А°= A?roArot = А^оА^; n° = nrotnt°r = T1°XOV m°= m^mvo^ = mfMm^.
Таким образом, решение задачи 2 дается соответственно кватернионными (3.56) или матричными (3.57) формулами:
(3.56)(3.56)Arot = Arot = A, At°r = А° О А, Х°'о = А О А°;
(3.56)
(3.56)
Wot = П, ^tr = ^Т^°, mrot = т, тп^ = т°тт,Wot = П, ^tr = ^Т^°, mrot = т, тп^ = т°тт,n'ot = п’ пп = ^°^Т;m'ot = т’ X = ^Т^°n'ot = п’ пп = ^°^Т;m'ot = т’ X = ^Т^°(3.57)(3.57)
Wot = П, ^tr = ^Т^°, mrot = т, тп^ = т°тт,
Wot = П, ^tr = ^Т^°, mrot = т, тп^ = т°тт,
n'ot = п’ пп = ^°^Т;
m'ot = т’ X = ^Т^°
n'ot = п’ пп = ^°^Т;
m'ot = т’ X = ^Т^°
(3.57)
(3.57)
Формулы (3.57) позволяют дать геометрическую интерпретацию свойству 9 (см. п. 1.7.3 гл. 1) бикватернионных матриц N и М: формальное представление бикватернионной матрицы N (М), соответствующей винту конечного перемещения 0, в двух формах (см. формулы (1.146), (1.147)):
N = п + sn° = nesu п или N = п + sn° = esn п п,
(М = m + sm° = esm т т или М = m + sm° = mesm т ),
каждая из которых представляет собой произведение вещественной ортогональной (кватернионной) матрицы и матричной экспоненты, в степени которой фигурирует вещественная кососимметрическая матрица размера 4x4, nTTto или п°т1Т (momT или mTm°), геометрически означает разложение конечного винтового перемещения твердого тела на угловое перемещение (оно характеризуется матрицей n(m)) и поступательное перемещение (оно характеризуется или матрицей esn п° ^esm°m ) или матрИцей esn°n ^esm m° ^ в завИсимости от последовательности перемещений). Первая форма представления соответствует последовательности поступательного и углового перемещений, а вторая форма — последовательности углового и поступательного перемещений.
Аналогичную интерпретацию имеет представление в двух формах бикватерниона перемещения А (см. формулы (1.138) и (1.139)):
А = А + sX° = (1 + sX° о А) о А = (exp(sA° о А)) о А,
А = А + sX° = А о (1 + sA о А°) = А о exp(sA о А°),
а также матрицы дуальных направляющих косинусов С (см. формулы (1.133)):,„
С = с + sc0 = с(Е + sc'^ = cesc = (Е + sc'^c = esc с,с' = стс°, см = с°ст.
Так, представление бикватерниона перемещения Л в двух выше приведенных формах, каждая из которых представляет собой произведение кватерниона поворота А и бикватернионной экспоненты, степень которой содержит кватернион Л ° о Л или Л о Л ° с нулевой скалярной частью, означает разложение конечного винтового перемещения твердого тела на поступательное и угловое перемещения (первая форма представления бикватерниона перемещения) или его разложение на угловое и поступательное перемещения (вторая форма представления бикватерниона перемещения).
Задача 1 о разложении конечного винтового перемещения твердого тела на поступательное и угловое перемещения решается аналогично, но уже с использованием формул сложения конечных перемещений (3.20) и (3.46).
Отметим, что движение свободного твердого тела можно представить как непрерывную последовательность мгновенных винтовых перемещений (см. п. 1.6.1), каждое из которых может быть разложено на мгновенные поступательное и угловое перемещения так, как это было описано выше. Поэтому полученные в этом пункте формулы являются формулами разложения движения свободного твердого тела, заданного с помощью винтового метода описания движения, на поступательное и угловое движения.
Связь проекций радиуса-вектора точкисвободного твердого тела с параметрами винтовогодвижения
Выясним связь проекций радиуса-вектора г = ОуСЕ (рис. 3.3) на оси связанного Y и опорного X базисов с параметрами Aj, AJ (j = 0, 1,2, 3) винтового движения твердого тела, считая, что в начальном положении базис Y совпадал с X.
Конечное винтовое перемещение (движение) твердого тела может быть разложено на поступательное и угловое перемещения (движения) так, как это было описано выше. Получающийся при этом винт ©tr конечного поступательного перемещения (движения) твердого тела имеет видо
0tr = 2£tr tg -у = 2£tr tg yy = s V°T Eh = 8 O1O2 = sr.
Для рассматриваемого перемещения ©tr поступательное перемещение ip®r = г, угол поворота ^г и кратчайшее расстояние ^угл (7t°/,z) между осью О\Хг (C^Y^) и осью винта ©tr равны нулю, а направляющие косинусы C0S7tr,i И cosy^i (2 = 1,2,3) ОСИ винта ©tr в осях опорного
X и связанного Y базисов равны соответствующим направляющим косинусам вектора г в этих же базисах, так как ось винта ©tr проходит через начала систем координат X и Y и совпадает с прямой, на которой лежит вектор г. Поэтому для получения выражений параметров А^- U = 0, 1,2,3), соответствующих винту 0tr, в опорном базисе X необходимо в соотношениях, аналогичных (1.128), положить ^tr = О, 7щ^ = 0 (г = 1,2,3). В результате имеем
Хг.О = °- ЛХ = у СО87(гд = | COS7tr>i = у, 1= 1,2,3,(3.58)
где xt — проекции радиуса-вектора г на оси опорного базиса, cosytr,i — направляющие косинусы вектора г в базисе X.
Аналогично, с учетом сказанного, находятся выражения параметров ^kj U = 0, 1,2,3), соответствующих винту 0tr, в связанном базисе Y:
А(,г'о = О, A^ = ^cos7^ = |, г =1,2,3,(3.59)
где pi — проекции радиуса-вектора г на оси связанного базиса, cos 7^ — направляющие косинусы вектора г в базисе Y.
Параметры Aq.^ и А^- (j = 0, 1,2,3) являются компонентами кватернионов А°г и А°г (элементами матриц п£ и п£), которые определяются формулами (3.56) (соответственно (3.57)). Учитывая выражения (3.58) и (3.59), из соотношений (3.56) и (3.57) получаем формулы, совпадающие с (1.140) и (1.145):
rx = 2At°r = 2А° о А = 2(АоАу - AgAv + Av х Ay),
rY = 2А^ = 2А о А° = 2(А0А^ - AgAv - Av х Ay); (3.60)
п(гх) = 2п°г = 2птп° = 2[п(А)]тп(А°),
п(гу) = 2п°г = 2п°пт = 2п(А°)[п(А)]т,(3.61)
/ 0 -Ж1 -ж2 -Жз\
Х\ 0Жз — Х2
п^гх) =
Х2 — Х3 0Х\
\Хз Х2 -ХХ 0 /
”У1 ~У2 —Уз \
о уз —У2
-Уз 0 У1
У2 -У1 о У
Здесь Гх = Ж1Л + Ж2<2 + Жз«з И Гу = У1<1 + У2«2 + Уз«з — отображения вектора г на базисы X и Y; кватернионы
А = Aq + Av = Ао + А1 Zi + А2/2 + ^з*з,
А ° — Aq + Ay — А° + A^/i + А2/2 + A3Z3,сопряженный кватернион А = Aq — Av, скалярные части кватернионовА ° о А и А о А ° равны нулю в силу (1.130); кватернионные матрицы п == п(А) и п° = п(А°) имеют вид (1.21), а кососимметрические матрицы
п(гу) и п(гу) той же структуры (типа п) сопоставляются отображениям гх и Гу вектора г.
При использовании бикватернионных матриц типа М получаются формулы (1.144):
т(гу) = 2mt°r = 2ш°шт = 2m(A°)[m(A)]T,
,(3.62)
m(ry) = 2m^ = 2тТт° = 2[m(A)]T т(Х°\
/ 0 -Ж1 -ж2 -ж3 \
/ 0 -yi -у2 -у3 \
m(rx) =
Ж1 0 -ж3 ж2
, m(ry) =
У1 0 -уз у2
ж2 ж3 0 —Ж]
У2 Уз 0 -yi
уз -ж2 Ж[ 0 у
\Уз -У2 У1 0 у
где кватернионные матрицы т = т(А) и т° = т(Х°) имеют вид (1.21), а кососимметрические матрицы т(гх) и т(гу) той же структуры (типат) сопоставляются отображениям гх и Гу вектора г.
Из матричных формул (3.61) и (3.62) следуют матричные соотношения:
(О, Ж], ж2, яД = 2nT(Ag, А?, Ag, Ag) = 2m°(A0, —A i, -А2, -А3),
(3.63)
(О, рх, Р^ Р^ = 2n°(A0, -А1, —А2, -Аз) = 2mT(Ag, А?, А2°, А3°).
Из соотношений (3.63) получаем скалярные выражения для проекций xt и pi (г = 1,2,3) радиуса-вектора г, проведенного из начала опорной системы координат X в начало связанной системы координат У, на оси опорной и связанной систем координат через параметры ^У ^J ^3 = 6, 1,2,3) винтового движения твердого тела (г = 1,2,3):
= 2 ( А0А? - А§А^ + У У 6укху°к ),(3.64)
Аз=\ к=\'
73 3А
№ = 2 ( AqA? - AgA* - У У ^чкХУ°к ),(3.65)
Vj=x к=Х7
где ^зк — символ Леви-Чивита.
Запишем (3.64) и (3.65) в развернутом виде:
Ж] = 2 (А0А° -AgА,-A3Ag+ А2 Ag),
ж2 = 2 (AqA? -AgA2+A3A°- A,Ag),(3.66)
ж3 = 2 (A0Ag -AqA3-A2A°+ A]Ag);
y, = 2 (A0A? - AgA, + A3A£ - A2Ag) ,
y2 = 2 (A0A? - AgA2 - A3A° + A, Ag) ,(3.67)
y3 = 2(A0A?-AgA3 + A2A?-AiAg).
Отметим, что из сопоставления формул (3.64), (3.65) с формулами (1.134), устанавливающими связь элементов матриц с' и см, входящих в выражения (1.134) для матрицы С направляющих косинусов дуальных углов между осями опорной и связанной систем координат, с параметрами Хр X? (j = 0, 1,2,3) винтового движения твердого тела вытекает, что элементами этих матриц являются проекции вектора г на оси опорного и связанного базисов соответственно, т. е. следует справедливость соотношений, приведенных в конце п. 1.7.2.
Пусть р — радиус-вектор произвольной точки М твердого тела, проведенный из полюса О^ (начала системы координат У, связанной с телом), а Гм — радиус-вектор той же точки тела, проведенный из начала О\ опорной системы координат X. Тогда, учитывая равенства
г м = г Т Pi Рх = ^ ° Ру ° ^
и формулы (3.60), имеем
^мх = ^Ем ° X, rMY=^XoEMl Ем = Х°^-Хору, (3.68)
где ру = р\1\ + р^ + рз^з — отображение вектора р на базис У ( pi = = const (г = 1,2, 3) — проекции вектора р на оси системы координат У).
Формулы (3.68) устанавливают связи проекций радиуса-вектора произвольной точки твердого тела на оси опорного и связанного базисов с параметрами винтового движения твердого тела. Отметим, что компоненты Ем,з U = 0, 1,2,3) кватерниона Ем могут быть приняты в качестве новых параметров винтового движения твердого тела, если, не меняя направления осей системы координат У, перенести ее начало из точки О2 тела в точку М.
Изложенные в этом пункте вопросы рассмотрены автором в работах [129, 131]. Соотношения (3.66) впервые были установлены алгебраическим путем Е. Штуди [51, 178] как формулы, служащие для нахождения координат начала новой системы координат, получаемой из старой некоторым винтовым перемещением, определяемым операцией Ло ( ) о Л. Их вывод также приводится в работе А.П. Котельникова [51], где для их получения используется теория приведения бикватернионов и бивекторов к выбранной точке приведения. Соотношения (3.66), (3.67) можно рассматривать как формулы замены декартовых координат на новые переменные A? (j = 0, 1,2,3) (с учетом соотношения AqAq 4" Ai Af 4" А2А2 4" AgAg = 0). Такая замена переменных оказывается полезной в некоторых задачах механики, например, в задачах инерциальной навигации [132]. Также можно показать, что регуляризующее преобразование Кустаанхеймо-Штифеля пространственной задачи двух тел [163] является частным случаем преобразования координат (3.66) [133].
Определение вектора (кватерниона) конечногоповорота и винта (бикватерниона) конечногоперемещения твердого тела
Определение вектора конечного поворота и кватерниона поворота твердого тела по известным проекциям двух векторов на оси опорной и связанной систем координат. Рассмотрим твердое тело, имеющее неподвижную точку О. С твердым телом жестко свяжем систему координат Y. Поставим следующую задачу: требуется найти вектор конечного поворота 9 (а также кватернион поворота А), характеризующий угловое положение (ориентацию) твердого тела в опорной системе координат X, имеющей начало в той же точке О, по известным проекциям at, а* и bt, b* (г = 1,2,3) двух каких-либо векторов а и b на оси связанной и опорной систем координат.
Запишем отображения векторов а и Ь на оси систем координат Y и X;...
ау = Цр1 + ^2*2 + ^3^3,аХ = ^р! + &2Z2 + Щ>*3>
by = b\i\ + ^2^2 + Wyby = Цц + ^/2 + Ь^з.
Эти отображения, являющиеся по условию задачи заданными величинами, связаны соотношениями, вытекающими из (2.30):
ах = А о ау о Л, Ьх = А о by о А,(3.69)
откуда получаем
ах ° А = А о ау, Ьх о А = А о by.
Переходя в этих соотношениях к векторным операциям, получим
(ах — ау) • Av = 0, Ао(#у — fiy) + (ах + fiy) x Av = 0,
(3.70)
(bx — by) • Av = 0, Ao(^x — by) + (bx + by) x Av = 0.
Здесь Av = vect A = AUi + A26 + X3I3 — векторная часть кватерниона А, орты /у /2, /3 гиперкомплексного пространства в дальнейшем формально отождествляются с ортами некоторого ортогонального трехмерного базиса, т. е. подчиняются обычным правилам векторной алгебры.
Вектор 9 конечного поворота системы координат Y относительно X связан с кватернионом поворота А соотношениями (используемый в этом и в следующем пункте вектор конечного поворота отличается от ранее использованного вектора конечного поворота постоянным множителем; в выражении для используемого здесь, а также в пункте 3.8.2, вектора конечного поворота отсутствует множитель 2):
e=ex=eY = 0^ + 6212 + 0^ = ^, oi = ^, г = 1,2,з, (З.71) Ao
где Ot (г = 1,2,3) — проекции вектора 9 на оси системы координат X (они равны соответствующим проекциям вектора 9 на оси системы координат У).
После деления равенств (3.70) на Ло ^ 0 (тем самым из рассмотрения исключаются полуобороты системы координат Y относительно X) и учета (3.71) получаем линейные уравнения относительно неизвестного вектора 9 (напомним, что вектор 9 также не определен в точке у = тг):
(ах — ау) '0 = 0, (ах — ау) + (ах + ау) х 0 = 0,
(3.72)
(bx-bY)-0=4 (bx - ЬуН (bx + by) X 0 = о. v 7
Для нахождения вектора 9 из уравнений (3.72) можно воспользоваться либо вторым и третьим уравнениями, либо первым и четвертым. В результате получим
п = (ах ~ ау) х (bx - by) = (bx - by) х (ах - ау) _ _ (ах - aY) • (Ьх + by) (bx ~ by) ■ (ах + ay) ’'
(ах ~ ау) • (bx + by) = ах • by - ау • bx = z х (3.74) = -(bx ~ by) • (ах + ay) 0.
После нахождения проекций 0^ (г = 1,2,3) вектора 0 из соотношений (3.73), (3.74) по заданным значениям щ, а* и bt, b* (г = 1,2,3) проекций векторов а и b определяем значения параметров Эйлера Xj (j = 0, 1,2,3) (компонент кватерниона поворота А) из равенств:
Ао = ±(1 + 0ЩХ/\ 02 = 0^+01+01, Xv=Xo0i, г = 1,2,3.(3.75)
Определение вектора конечного поворота и кватерниона поворота твердого тела по известным начальному и конечному угловым положениям твердого тела. Поставим другую задачу: требуется найти вектор конечного поворота 9 (а также кватернион поворота Л) твердого тела, имеющего неподвижную точку О, если известно, что два вектора г\ = ОА\ и г % = ОА^, проходящих через точку О и неразрывно связанных с телом, после поворота переходят в векторы г^ = ОА\ и r^ = О А2 (при этом, естественно, г\ • г2 = г^ -г^). В этой задаче, таким образом, требуется найти вектор конечного поворота 9 (а также кватернион поворота Л), характеризующий угловое положение (ориентацию) твердого тела в опорной системе координат X, имеющей начало в неподвижной точке О тела, по известным проекциям хц, Х2г и х'и, х^ (г = 1,2,3) радиусов-векторов двух произвольных точек твердого тела, не лежащих на одной прямой с точкой О, до и после поворота твердого тела на оси опорной системы координат.
Запишем отображения векторов щ, г2 и г^ г^ на оси системы координат X:
Г\Х = ^11П + ^12*2 + ^13/3, Г2Х = ЭД + ^22*2 + ^23*3,Ах =ЖпЙ + $1212 + Ж13<3, Ах =Ж21<1 +Ж22<2+^2313-
Эти отображения, являющиеся по условию задачи заданными величинами, связаны соотношениями, вытекающими из (2.26):
г\х = А о г\х ° А, г’^х = А о г^х ° А.(3.76)
= aYs(3.77)(3.78)= aYs(3.77)(3.78)Исходные соотношения (3.76) рассматриваемой задачи по форме совпадают с исходными соотношениями (3.69) задачи, рассмотренной в п. 3.8.1 (соотношения (3.76) переходят в (3.69), если в них положить г\х = oly, г\х = ах, Г2Х = by, г^х = ЬХ\ Поэтому решение рассматриваемой задачи получается из соотношений (3.73), (3.74), описывающих решение предыдущей задачи, если в них положить Г\Х r\x = аь Г2Х = by, г^ = Ьх, и имеет следующий вид:
= aYs
(3.77)
(3.78)
= aYs
(3.77)
(3.78)
е = А\х - rvx) X Агх - г2х) = Ах-г2Х) X (Щ -г^) Ах - Пх) • А2х + г2х) Ах - Г,Х) • А\х + Пх) ’
А\Х - Г1^) • А2Х + Г2х) = Лх • Г2Х - Пх • г2х =
= -(Г2Х - г2х) • (Щ + Их) + 0.
После нахождения из соотношений (3.77), (3.78) по заданным значениям хн, X2i и х'и, х^ (г = 1,2,3) проекций радиусов-векторов двух произвольных точек твердого тела проекций 9^ (^ = 1,2,3) вектора 9 определяем значения параметров Эйлера Aj (j = 0, 1,2,3) (компонент кватерниона поворота Л) из формул (3.75).
Отметим, что геометрическое решение рассмотренной в этом пункте задачи приводится, например, в [3,30]; при этом в качестве радиусов- векторов двух точек твердого тела рассматриваются единичные радиусы-векторы, а решение задачи получается в отличной от формул (3.77), (3.78) форме (в виде формул для единичного вектора е вектора конечного поворота 0 и для квадрата его модуля 9^.
Отметим также, что поскольку все величины, фигурирующие в формулах (3.77) и (3.78), определены (в отличие от формул (3.73) и (3.74)) в одной системе координат, то эти формулы могут быть записаны в «чисто» векторном виде (без нижнего буквенного индекса, указывающего ту систему координат, в которой определена соответствующая векторная величина):
= (Г2 ”Г2) X (г'] - Г,)
« - и) • Ai + r2) At - ^■
« - П). А + г2) = < .п-г\.г'2 =
Определение винта конечного перемещения и бикватерниона перемещения по известным начальному и конечному положениям твердого тела. Задача о перемещении твердого тела из одного заданного положения в другое при помощи одного винтового перемещения представляет практический интерес для решения задач управления и технологии, в частности, для осуществления (например,
с помощью робота-манипулятора) некоторой операции, сопровождаемой общим пространственным перемещением детали из одного положения в другое. При этом начальное и конечное положения детали считаются заданными и задача заключается в определении соответствующего винта конечного перемещения, осуществляющего указанный перевод, т. е. в определении оси винтового перемещения, угла поворота и поступательного перемещения вдоль этой оси. Начальное и конечное положения детали могут быть заданы начальным и конечным положениями каких-нибудь двух прямых, неизменно связанных с этой деталью. Идея решения этой задачи впервые была дана Р. Соссюром [177], а ее геометрическое решение, использующее принцип перенесения Котельникова-Штуди, приведено в [3,30], при этом задача формулируется следующим образом.
Задача. Заданы два единичных бинта Ех и Е^, лежащих на двух прямых, неразрывно связанных с твердым телом, которые после того, как тело совершило некоторое перемещение в пространстве, перешли в единичные винты Е\ и Е^, которые известны. Требуется найти, используя принцип перенесения, соответствующий винт конечного перемещения твердого тела.
Предварительно в работе [3, 30] рассматривается геометрическое решение более простой задачи: требуется найти вектор конечного поворота твердого тела, имеющего неподвижную точку О, если известно, что два единичных вектора ех и е^, проходящих через точку О и неразрывно связанных с телом, после поворота переходят в векторы е'х и 4.
Приведем другое (алгебраическое) решение этой задачи, использующее бикватернионное описание движения твердого тела и являющееся бикватернионным аналогом решения задачи, описанной в п. 3.8.2. Идея этого решения была предложена в работе [89].
Итак, считаем, что заданы начальные и конечные положения каких- либо двух прямых АВ и CD, принадлежащих твердому телу (рис. 3.5). Пусть Rx и R2 — единичные винты, лежащие на прямых АВ и CD. Приведем винты Rx и R^ к точке О (началу опорной системы координат X). При таком приведении винты Rx и Т?2 заменяются моторами (ух Р\ х щ) и ( Г2, Р2 х r^Y v^ Щ и Г2 — единичные векторы, лежащие на прямых АВ и CD; рх и р2 — радиусы-векторы произвольных точек Lx и L2, принадлежащих прямым АВ и CD.
Таким образом, задание единичных винтов Rx и R^ может быть заменено заданием моторов ( щ, рх х ri) и ( г^, р^ х ^2), т. е. заданием направляющих косинусов единичных векторов гх и Г2, принадлежащих прямым АВ и CD, и декартовых координат двух каких-либо точек Lx и L2 прямых АВ и CD в опорной системе координат X.
Единичным винтам Rt и их моторам ( гщ ргх г^ соответствуют дуальные векторы r^ + зрг х гр
R—> (rit р^ х rt) <—vti^sp^xti, г =1,2, (3.79)
поэтому дуальные ортогональные проекции Xik (i = 1,2; к = 1,2,3) Rx и R2 в опорной системе координат X определяются в соответствии с (3.79) соотношениями:
Xix COS ащ И- s(x^2 COS 0^3^i3 COS CV^),
Xi2 = cos^2 + s(^3cos^i - ^ix cos^3),(3.80)
Xi3 = cosai3 + s(xn cosc^2 - ^2cos^i), г = 1,2,
где a^k — угол между осью винта Ri (прямой АВ или CD) и осью Хк*, cos а^к (^ = 1,2; к = 1,2,3) — направляющие косинусы векторов Гх и г2 в опорной системе координат X; х^к — проекция вектора рг на ось Хк*. Xik = Pi*Xk, Хк — орт оси Хк (т. е. х^к — декартовы координаты точек Lx и L2 прямых АВ и CD в системе координат X).
Отметим, что дуальные ортогональные проекции Xik (^ = 1,2; к = = 1,2, 3) винтов Rx и R2 в системе координат X равны в силу равенств |/?i| = 1, |Л2| = 1 дуальным направляющим косинусам винтов Rx и R2 в этой системе координат:
Xik = cos А^ = cosaik — sa®k sinct^, г =1,2; к =1,2,3, (3.81) где Aik — дуальный угол между осью винта Ri (прямой АВ или CD) и осью Хк, а°к — кратчайшее расстояние между осью винта Ri и осью Хк.
Величины а°к могут быть выражены через проекции векторов рх и р2 на оси системы координат X (т. е. через декартовы координаты точек Lx и L2) и углы aik (г = 1,2; к = 1,2, 3), характеризующие направления векторов Гх и Г2:
о %i3 COS Oti2 Xi2 COS ОЦ3Xix COS ОЦ3 Xi3 COS Оц\
^ix = ;,^ = •’
(3.82)
Xi2 COS С^цXix COS Q.i2.1 o
a% =;, г = 1,2.
sin
Видно, что формулы (3.80) и (3.81), (3.82) эквивалентны.
Перейдем к решению задачи, которая в наших обозначениях формулируется следующим образом
Задача. Пусть заданы начальные R\, R^ и конечные положения двух единичных винтов, лежащих на двух каких-либо прямых АВ и CD, принадлежащих твердому телу, совершающему в пространстве некоторое конечное перемещение. Необходимо построить винт 0 и биватернион А конечного перемещения твердого тела из его начального в конечное положение.
Запишем отображения винтов Ri и R^ на базис X;
Rix = X^\i\ + XiA^ + ^3/3, RiX = ^-п^ + ^2*2 + ^3/3,^ = h 2,
где Xtk и X'ik (г = 1,2; k = 1,2, 3) — дуальные ортогональные проекции винтов Ri и R^ в системе координат X.
Эти отображения, являющиеся по условию задачи заданными величинами, связаны соотношениями, имеющими вид (2.52):
R'iX = Л о RiX о Л, г = 1,2.(3.83)
Условимся нижний индекс «X» у отображений винтов в дальнейшем опускать.
Выделяя в (3.83) скалярную и винтовую части, получим
(Ri - Ri) • Av = О, A0(Ri - Ri) + (R^ + Rt) x Av = 0, г = 1,2, (3.84)
где Ло и Av — скалярная и винтовая части бикватерниона Л. Разделим равенства (3.84) на скалярную часть
Фтт
Ло = cos - = Ао + sAq = cos - - s у sin - бикватерниона А, полагая, что главная часть До дуальной величины Ло отлична от нуля:
Ао = cos ^ ^ 0.(3.85)
Отметим, что условие (3.85) означает, что нами (так же, как и в п. 3.8.2) исключаются из рассмотрения возможные полуобороты твердого тела, когда угол поворота тела ср = 180°.
Поясним появление условия (3.85). Действительно, так как выражение1/ о \
Ло сод(Ф/2) cos(y/2) \2 й 2 J
имеет смысл при cos(y/2) Г 0, то нам при делении равенств (3.84) на дуальную величину Ло достаточно потребовать выполнения условия (3.85).
Итак, из (3.84) при выполнении условия (3.85) имеем
(3.86)(3.86)^ - да • ® = о,
(3.86)
(3.86)
(Я'-Я;) + (Я' + Яг) х0 = О, г = 1,2,(3.87)
где введенный винт конечного перемещения 0 определяется формулой
(3.88)(3.88)Av „ Ф
(3.88)
(3.88)
6=^=Et4
и отличается от ранее использованного винта конечного перемещения отсутствием в выражении (3.88) множителя 2.
Разрешая (3.86), (3.87) относительно 0, находим
(^ - Я2) х (Я^ - Rx) ^х - Я!) X (Я2 - R^(R'^R^-^-R^ <R'^R^AR'V-RXY
(R\ + /?1). (T?2 - R^ = -^ + R^ • M - Ri) + 0.(3.90)
Убедимся в справедливости (3.89).
Умножим (3.87) при г = 1 справа на (Я2 — R^ (умножение винтовое):
(Я^ - Я]) х (Я2 - Я2) + [(я; + ЯО х 0] х (Я^ - Я2) = 0.
Отсюда, используя формулу двойного винтового произведения А х х (В х С) = В(А • С) - С(А • В) (дуальный аналог двойного векторного произведения а х (Ь х с) = Ь(а • с) — с(а • 6)), получим
(R\ - Rx) х ^ - R^ - ^ - R^ • 0] (R\ + Rx) +
+ [(^-T?2) • (^+^1)] 0 = 0.
Второе слагаемое в этом уравнении в силу (3.86) равно нулю, поэтому из этого уравнения непосредственно следует первая из формул (3.89) для нахождения винта 0. Аналогично доказывается вторая из формул (3.89).
Формулы (3.89), (3.90) можно записать в другом виде:
(Я2 - Я2) х (Я, - Я,)(я; - яр X (Я^ - Я2)
Я] . Я2 - Я] . Я2Я Я' Я Я, ’
Я1. Я^ - Я). Я2 = -(Я2. Я] - RY я,) 0.(3.92)
Найдем дуальные ортогональные проекции винта 0 на оси системы координат X. В координатной записи имеем
(Я' -Я2) х (я; -Я0 =(Я' -Я2) х (я; -Я0 =Х\^21-^21Х\^21-^21^2^22 “^22Х[2-Х12^2^22 “^22Х[2-Х12Хз^3-^23^3-^13Хз^3-^23^3-^13(3.93)(3.93)
(Я' -Я2) х (я; -Я0 =
(Я' -Я2) х (я; -Я0 =
Х\^21-^21
Х\^21-^21
^2
^22 “^22
Х[2-Х12
^2
^22 “^22
Х[2-Х12
Хз
^3-^23
^3-^13
Хз
^3-^23
^3-^13
(3.93)
(3.93)
з
А = Rx • R'2 - R^ R2 = ^ №г^г - xuX^ ,(3.94)
г=1
где x^ (k = 1,2,3) — единичный винт (вектор) координатной оси Х^.
Из (3.91)-(3.94) получаем формулы для дуальных ортогональных проекций винта 0:
61 = 0X1 = ^X22-X22KX'V3-X13)-(X'3-X23KX'V2-X12)Y
62 = 6x2 = д[(^23-^2з)(^(1-АГц)-(Х21-Х21)(^(з_^1з)]> (3-95)
63 = бхз = д[(А^21-^21)(^(2_^12)“(^22_^22)(^(1-АГц)],
3
Ь = У^ХиХ^-Х'иХ2^О.(3.96)
г=1
После нахождения из соотношений (3.95), (3.96) по заданным значениям Х^, Х^ и Х^, Х^ (г = 1,2,3) значений дуальных ортогональных проекций 0^ (г = 1,2,3) винта 0 определяем значения дуальных параметров Эйлера Kj {j = 0, 1,2,3) (значения компонент бикватерниона перемещения Л) из формул
л0 = ±(1 + б2)-1/2, е2 = ef + е^ + б|,(зд?)
Л^ = Ло0ь г =1,2,3,
являющихся дуальными аналогоми формул (3.75).
Отметим, что полученные формулы (3.89), (3.91), (3.95) справедливы и в общем случае, когда винты R^ и R^ (г = 1,2) не являются единичными.
Определение винта конечного перемещения и бикватерниона перемещения твердого тела по известным проекциям двух винтов на оси опорной и связанной систем координат. Рассмотрим свободное твердое тело, с которым жестко свяжем систему координат У, имеющую начало в выбранном полюсе О2. Поставим следующую задачу: требуется найти винт конечного перемещения 0 (а также бикватернион перемещения Л), характеризующий положение твердого тела (линейное и угловое) в опорной системе координат X, имеющей начало в некоторой точке Oi, по известным дуальным ортогональным проекциям Х^ и У^ (г = 1,2; к = 1,2,3) единичных винтов R\ и R2, лежащих на двух каких-либо прямых АВ и CD, принадлежащих твердому телу, на оси опорной и связанной систем координат.
Решение этой задачи может быть использовано, например, при построении алгоритмов определения местоположения и ориентации
движущегося объекта по информации спутниковой навигационной системы.
Решение этой задачи построим, применяя принцип перенесения Котельникова-Штуди к решению задачи определения вектора конечного поворота и кватерниона поворота твердого тела по известным проекциям двух векторов на оси опорной и связанной систем координат, приведенному в п. 3.8.1.
Итак, пусть R\ и R^ — единичные винты, лежащие на прямых АВ и CD, принадлежащих свободному твердому телу. Приведем винты Rx и R^ к точкам Ох и О2 (к началам опорной и связанной систем координат). При таком приведении винты Rx и Т?2 заменяются моторами (гь Рхо^х г1) и ( г2, Р^о^ г2) (^ = 1,2), где п и г2 - единичные векторы, лежащие на прямых АВ и CD; Рхоп и Р2ОП (^ = 1,2) — радиусы-векторы произвольных точек Lx и L^, лежащих на прямых АВ и CD, проведенные из точек Ох и О<2 соответственно.
Таким образом, задание единичных винтов Rx и R^ в системах координат X и Уможет быть заменено заданием в этих системах координат моторов ( г\, Р\оп х ri) и ( г<2, Р^о^ х г2) (^ = 1,2), т. е. заданием направляющих косинусов единичных векторов гх и Г2, принадлежащих прямым АВ и CD, и декартовых координат двух каких-либо точек Lx и Ls прямых АВ и CD в опорной и связанной системах координат.
Единичным винтам Ri и их моторам ( ri, piOi х г^ и ( r^, piO2 х х г^ (г = 1,2) в системах координат X и У соответствуют дуальные векторы Гг + 8рЮх х ft и ri L 8рЮ2 х гр.
Ri'—рп, piO1„ X rtp—> rt + spiOn x n, i,n= 1,2, (3.98)
поэтому дуальные ортогональные проекции Х^, У^ (г = 1,2; к = = 1,2,3) винтов Rx и R^ в опорной и связанной системах координат определяются в соответствии с (3.98) соотношениями
Хц = cosail + з(Жг2СО8агЗ - ж^соза^),
Xl2 = cos а,г + s (.c^cosa, । cosai3), (3.99)
ХЙ = cos ai3 + s(xu cosai2 - х^созац), г= 1,2,
Vn =cos/3ii +s(yi2cos/3i3 - yi3cos/3i2),
Y^ = cos/3i2+ s(yi3cos/3ii - t/ii cos/3i3),(3.100)
Yi3 = cos/3i3 + s(yii cos/?i2 - yi2Cos/3ii), г = 1,2,
где фи^ — угол между осью винта Ri (прямой АВ или CD^ и осью Х^Уд.); cosа^ (cos/З^) (г = 1,2; к = 1,2,3) — направляющие косинусы векторов Гх и г2 в опорной (связанной) системе координат X1YY xik (yiO - проекция вектора рЮх (рю^ на ось Хк (Yk): xik = = PiO/xk, хк - орт оси Хк; yik = рЮг-у^ У к ~ °РТ оси Yk (т-е. xik,
yik — декартовы координаты точек L\ и Z/2 прямых АВ и CD в системах координат X и У).
Запишем отображения винтов R^ (г = 1,2) на базисы X и У:
RiX = XiXiX + Х^к + ^гЗ^З, RiY = ^П*1 + ^26 + ^3^3, ^ = h 2,
где Xik и Yik (i = 1,2; к = 1,2, 3) — дуальные ортогональные проекции винтов R^ в системах координат X и У, определяемые, например, соотношениями (3.99), (3.100).
Эти отображения, являющиеся по условию задачи заданными величинами, связаны соотношениями, вытекающими из (2.52'):
RiX = Л о RiY о Л, г =1,2.(3.101)
Соотношения (3.101) будут являться дуальными аналогами исходных соотношений (3.69) задачи определения вектора и кватерниона конечного поворота твердого тела, если фигурирующие в соотношениях (3.69) векторы а и Ь определить соотношениями: а = t\, Ь = г^.
Поэтому, записывая дуальные аналоги формул (3.73)-(3.75) этой задачи, получаем следующие формулы для нахождения дуальных ортогональных проекций ©^ (г = 1,2,3) винта 0 конечного перемещения твердого тела (эти проекции одинаковы в системах координат X и У: 0х = ©у = ©Hi + ©2*2 + ©з*з) и дуальных параметров Эйлера Kj (J = 0, 1,2,3) (компонент бикватерниона перемещения Л):
0 _ 0 _ (Rvx - R\y) X (R2X - R^ _
W X " У (R\X - R\y) • (R2X + R2y)
_ (R2X - R2y) X (R\X - R1y)
- (R2X - R2y) • (Rix + R1Y) ’(3-102)
(R\x - R\y\ (R2X + R2Y) = R\X • R2Y - R\Y • R2X =
= -(R2X - R2y) • (R\X + R1y) + 0.
(3.103)(3.103)л0 = ±(1 + е2) 1/2, e2 = ef + e2 + e2,Х=^г. i= 1,2,3.
(3.103)
(3.103)
Формулы (3.102) и (3.103) дают решение задачи определения винта конечного перемещения и бикватерниона перемещения твердого тела по известным проекциям двух винтов на оси опорной и связанной систем координат (при этом, так же как и в задачах, рассмотренных в пп. 3.8.1-3.8.3, из рассмотрения исключаются возможные полуобороты твердого тела). Отметим, что эти формулы справедливы и в общем случае, когда винты Rx и R2 не являются единичными.
Глава 4
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИТВЕРДОГО ТЕЛА И СИСТЕМ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Нахождение матрицы направляющих косинусов,кватерниона поворота, кватернионных матрици матриц параметров Кейли-Клейна
через заданные углы Эйлера и самолетные углы
Решение задачи для углов Эйлера. Будем считать, что точка О твердого тела неподвижна, и что система координат У, жестко связанная с телом, совпадала в его начальном положении с опорной системой координат X, в которой рассматривается угловое положение твердого тела. Угловое положение (ориентация) твердого тела в системе координат X может быть задано с помощью трех углов Эйлера ф, ^, ср, показанных на рис. 4.1 (см. также п. 1.2.1 и рис. 1.2):
ВД°)
Рис. 4.1
Повороты твердого тела на углы Эйлера совершаются в соответствии с последовательностью поворотов (см. также (1.2)):
Здесь над стрелками указаны номера осей, вокруг которых совершаются повороты.
Для нахождения матрицы с направляющих косинусов углов между осями систем координат Y и X рассмотрим отдельные (элементарные) повороты твердого тела на углы ф, ^, р (рис. 4.2) и соответствующие им матрицы с^, с# и с^ элементарных поворотов.
Матрицы элементарных поворотов будут иметь вид
(
cos ф sin ^ 0 \/ 100 \
— sin ф cos 0, с^ =0 cos ^ sin ^,
О 01 /\ 0 - sin cos /
(
cos р sin р 0 \
— sin р cos р 0.
О 0 1/
Пользуясь формулой (3.26) сложения конечных поворотов в матрицах направляющих косинусов, получим следующее выражение для матрицы с направляющих косинусов углов между осями систем координат Y и X через углы Эйлера:
с = с^с^ =(4.1)
cos р sin р 0 \ / 100 \ / cos ф sin ^ 0
— sin р cos р 00cos ^ sin ^ sin ф cos ф 0
001 / \ 0 - sin ^ cos \ 001
/ cos^cos^— cosр smфY\
sin р cos ^ sin ф + sin р cos ^ cos ф sin р sin ^
sin р cos ф— — sin р sin фр
cos р cos ^ sin ф + cos р cos ^ cos ф cos р sin ^
\ sin ^ sin ф— sin ^ cos ф cos ^/
Собственные кватернионы ф, *0 и р элементарных поворотов твердого тела на углы Эйлера ф, ^, р будут иметь вид (верхние звёздочки
у собственных кватернионов (ниже у кватернионных матриц) и их компонент здесь и далее опускаются):
V^ = cos — + Sin — Z3, V = COS - + Sin - Zb^ = COS — + sin — z3.
zzz zzz
Используя формулу (3.16) сложения конечных поворотов, заданных собственными кватернионами поворотов, получим формулу для кватерниона А результирующего поворота, характеризующего ориентацию твердого тела в системе координат X:
(4.2)(4.2)А = Ад 4" /X1 z 1 4- А2/2 4" A3Z3 = 'ф о *0 о tp =
(4.2)
(4.2)
sin — 13 ) о ( cos — + sin — z 1 1 о I cos — + sin — Z /\ZZ /\ zz
Компоненты Xj (j = 0,1,2,3) этого кватерниона, выраженные через углы Эйлера, определяются в соответствии с (4.2) формуламиКомпоненты Xj (j = 0,1,2,3) этого кватерниона, выраженные через углы Эйлера, определяются в соответствии с (4.2) формулами.+ 4’ A . ^Ag = cos — cos —-—,Ai = sin — cos..ф.A 2 = sin — sin —-—,A3 = cos — sin2222.+ 4’ A . ^Ag = cos — cos —-—,Ai = sin — cos..ф.A 2 = sin — sin —-—,A3 = cos — sin2222ф-ф2ф-ф2(4.3)(4.3)22Кватернионные матрицы элементарных поворотов в соответствии с (1.21) имеют видКватернионные матрицы элементарных поворотов в соответствии с (1.21) имеют видт^ф) =т^ф) =о о\ Фз/Уоо о\ Фз/УоОФо Фз ООФо Фз От^ =т^ =ООт^) =т^) =/ Уо оо\ Уз/ Уо оо\ УзУоООоУоУзОУоООоУоУзОо-фзФоОо оУо -о-фзФоОо оУо -о-УзУоОо-УзУоОо оо оОО-Уз\О о-Уз\О о, п^ф) =, п^ф) =п(У)п(У)Оо\ ФзОо\ Фз/ Уо/ Уоо\ Оо\ ОУоОоУоОоОФо ~ФзО1 О оОФо ~ФзО1 О оОФзФоООФзФоО^о-^1^о-^1. Цу) =. Цу) =/ УоОО\ Уз/ УоОО\ УзоУо-УзОоУо-УзОО оО о°\оУ1 ’Уо)°\оУ1 ’Уо)(4.4)(4.4)О -уз\О -уз\УзУоУзУоо оо о
Компоненты Xj (j = 0,1,2,3) этого кватерниона, выраженные через углы Эйлера, определяются в соответствии с (4.2) формулами
Компоненты Xj (j = 0,1,2,3) этого кватерниона, выраженные через углы Эйлера, определяются в соответствии с (4.2) формулами
.+ 4’ A . ^
Ag = cos — cos —-—,Ai = sin — cos
..ф.
A 2 = sin — sin —-—,A3 = cos — sin
2222
.+ 4’ A . ^
Ag = cos — cos —-—,Ai = sin — cos
..ф.
A 2 = sin — sin —-—,A3 = cos — sin
2222
ф-ф
2
ф-ф
2
(4.3)
(4.3)
2
2
Кватернионные матрицы элементарных поворотов в соответствии с (1.21) имеют вид
Кватернионные матрицы элементарных поворотов в соответствии с (1.21) имеют вид
т^ф) =
т^ф) =
о о
\ Фз/Уо
о о
\ Фз/Уо
О
Фо Фз О
О
Фо Фз О
т^ =
т^ =
О
О
т^) =
т^) =
/ Уо о
о
\ Уз
/ Уо о
о
\ Уз
УоО
О
о
Уо
УзО
УоО
О
о
Уо
УзО
о
-фзФоО
о о
Уо -
о
-фзФоО
о о
Уо -
о
-Уз
УоО
о
-Уз
УоО
о о
о о
О
О
-Уз\
О о
-Уз\
О о
, п^ф) =
, п^ф) =
п(У)
п(У)
О
о
\ Фз
О
о
\ Фз
/ Уо
/ Уо
о
\ О
о
\ О
УоОо
УоОо
О
Фо ~Фз
О
1 О о
О
Фо ~Фз
О
1 О о
О
Фз
Фо
О
О
Фз
Фо
О
^о
-^1
^о
-^1
. Цу) =
. Цу) =
/ Уо
О
О
\ Уз
/ Уо
О
О
\ Уз
о
Уо
-УзО
о
Уо
-УзО
О о
О о
°\
о
У1 ’
Уо)
°\
о
У1 ’
Уо)
(4.4)
(4.4)
О -уз\
О -уз\
Уз
Уо
Уз
Уо
о о
о о
Здесь фj, yj и ipj (j = 0,1,2,3) — компоненты определяемые равенствамиЗдесь фj, yj и ipj (j = 0,1,2,3) — компоненты определяемые равенствамикватернионов ^, $ и ср,кватернионов ^, $ и ср,
Здесь фj, yj и ipj (j = 0,1,2,3) — компоненты определяемые равенствами
Здесь фj, yj и ipj (j = 0,1,2,3) — компоненты определяемые равенствами
кватернионов ^, $ и ср,
кватернионов ^, $ и ср,
Фо = COS —,„ уУо= cos -,У уо = cos —,Фо = COS —,„ уУо= cos -,У уо = cos —,Ф\ = О,vi = sin -,Ф\ = О,vi = sin -,У1 = о,У1 = о,Фз=0,Фз=0,^2=0,^2=0,У2= О,У2= О,Фз = sin-,1?з = 0,■ Уу3 = sin—.Фз = sin-,1?з = 0,■ Уу3 = sin—.(4.5)(4.5)
Фо = COS —,
„ у
Уо= cos -,
У уо = cos —,
Фо = COS —,
„ у
Уо= cos -,
У уо = cos —,
Ф\ = О,
vi = sin -,
Ф\ = О,
vi = sin -,
У1 = о,
У1 = о,
Фз=0,
Фз=0,
^2=0,
^2=0,
У2= О,
У2= О,
Фз = sin-,
1?з = 0,
■ У
у3 = sin—.
Фз = sin-,
1?з = 0,
■ У
у3 = sin—.
(4.5)
(4.5)
Компоненты кватерниона А можно найти, используя формулу (3.36) сложения конечных поворотов, заданных кватернионными матрицами
(4.4), соответствующими собственным кватернионам поворотов. В соответствии с ней имеем
А = m^^m^cp = п^п^гр = т^гр^п^гд = Ti^m^)^,(4.6)
где Л, (р, гр, Г) (не стоящие в круглых скобках) — векторы-столбцы размерами 4x1, составленные из компонент соответствующих кватер
нионов.
Подставляя в любую из формул (4.6) выражения (4.4) для кватер
например, в третью из них,например, в третью из них,нионных матриц элементарных поворотов,
например, в третью из них,
например, в третью из них,
получим
Ao
/ Vo 0 0 -Vo \
До 00 -фз \
Ai
0 Vo -Vo 0
0 фо Фз о
^1
A2
0 Vs Vo 0
0 -фз фо 0
0
\Лз/
\ Vs 0 0 Vo /
\ Фа 00 фо)
Отсюда, учитывая (4.5), находим соотношения для компонент кватерниона Л, совпадающие с (4.3).
Матрицы параметров Кейли-Клейна, соответствующие элементарным поворотам твердого тела на углы гр, д, р, имеют в соответствии с (4.5), (1.13) и (1.22) следующий вид:
^о + ^з 0\_ / ^о ^1 А
0 Vo -’
(4.7)
/ уо + гфз 0\
V 0^0-^3/
где параметры Эйлера грр dj и pj (j = 0, 1,2,3) определяются соотношениями (4.5).
Параметры Кейли-Клейна а, (3, ^, 5 результирующего конечного поворота твердого тела в опорной системе координат X находятся по матричной формуле (3.49), которая в рассматриваемом случае принимает вид
/ ск 7 А
q = х = q^qd =у р о у
фо + ^з 0\ / д0 idi \ / гроГггрз 0
0фо-^з/ V^i до у у 0^о-^з
Отсюда, учитывая (4.5), находим выражения параметров Кейли- Клейна ск, /3, 7, 5, характеризующих ориентацию твердого тела в системе координат X, через углы Эйлера:
= COS= г sin — ег^-(р)/2)= COS= г sin — ег^-(р)/2)д /гр + р . гр + р
= COS
= г sin — ег^-(р)/2)
= COS
= г sin — ег^-(р)/2)
ск = cos — I cos —h г sin —-—
п . . д fгр - Ф . . гр - Ф
р = г sin — I cos —h г sin —-—
7 = г sin — I cos7 = г sin — I cos5 = cos — I cos5 = cos — I cos^^ - г sin ^^^ = г sin ^
7 = г sin — I cos
7 = г sin — I cos
5 = cos — I cos
5 = cos — I cos
, ,/^ \9(4"8)
7±^-isin^)= COsfe^)/*.
Можно убедиться, что такие же выражения для параметров Кейли- Клейна получаются, если использовать их определение (1.13):
су = Ад 7" гАз, /3 = —А2 7" гАь 7 = А2 7- ^Ai, 5 = Ад — ^Аз,
и выражения (4.3) для параметров Эйлера Aj (j = 0, 1,2,3).
Решение задачи для самолетных углов. В авиации угловое положение самолета, рассматриваемого как твердое тело, задается в опорной системе координат X, связанной с местной вертикалью, с помощью трех углов Крылова ф, $, щ (рыскания, тангажа и крена), показанных на рис. 4.3 (см. также п. 1.2.1 и рис. 1.3).
Рис. 4.3Рис. 4.3
Рис. 4.3
Рис. 4.3
Повороты самолета на углы Крылова совершаются в соответствии с последовательностью элементарных поворотов:
о оcosy sin у — sin у cos уо оcosy sin у — sin у cos уХ(У°) -X Y' -X Y" —U Y ~ X ———> Y,
о о
cosy sin у — sin у cos у
о о
cosy sin у — sin у cos у
/ cos ф 0
— sin ^ X
/ COS#
sin#
0
1 ° 1
°
, с^ = sin#
cos#
0
у sin 0
cos^ /
\ о
0
1
показанных в отдельности на рис. 4.4.
Матрицы элементарных поворотов в этом случае будут иметь вид:
/ 1
Су = I О
\0
6 Ю.Н. Челноков
Матрица с направляющих косинусов углов между осями систем координат Y и X находится через самолетные углы в соответствии с матричным соотношением, аналогичным (4.1):
с = с^с^ = (4.9)
' cos cos фsin у? sin cos р sin cos фcos р sin ^+ sin р sin ^ cos ф' cos cos фsin у? sin cos р sin cos фcos р sin ^+ sin р sin ^ cos фsin^cos р cos 4) — sin р cos ^sin^cos р cos 4) — sin р cos ^— cos ^ sin ф ' sin р cos фГ cos р sin ^ sin ф cos р cos ф— sin р sin ^ sin ф?— cos ^ sin ф ' sin р cos фГ cos р sin ^ sin ф cos р cos ф— sin р sin ^ sin ф?
' cos cos ф
sin у? sin cos р sin cos ф
cos р sin ^+ sin р sin ^ cos ф
' cos cos ф
sin у? sin cos р sin cos ф
cos р sin ^+ sin р sin ^ cos ф
sin^
cos р cos 4) — sin р cos ^
sin^
cos р cos 4) — sin р cos ^
— cos ^ sin ф ' sin р cos фГ cos р sin ^ sin ф cos р cos ф— sin р sin ^ sin ф?
— cos ^ sin ф ' sin р cos фГ cos р sin ^ sin ф cos р cos ф— sin р sin ^ sin ф?
1
0
° \
/ COS'#
sint?
°\
/ cos^
0
— sin?/;
0
cos p
sin p
— sin 14
COS'#
0 1
I 0
1
0
0
— sin p
cos p /
\ 0
0
1 /
\ sin ^
0
cos?/;
Собственные кватернионы ^, $ и ср элементарных поворотов самолета на углы Крылова гф, 14, р будут иметь вид
. ф фn т4 . т4 .р . р .
= cos — + sin — 12, V = cos - + sin - 1з,ip = cos — + sin — Ц.
Поэтому кватернион А результирующего поворота, характеризующий ориентацию самолета в системе координат X, будет определяться кватернионным соотношением
А = Ао + АцА + А26 + A3Z3 = чф о -О о <р =
sm-,.sm-,.ib ib . А /1414 .
sm-,.
sm-,.
cos — + sin — l2 I О I cos - + sin - 13
лами:лами:Компоненты Xj (j = 0, 1,2,3) этого кватерниона, выраженные через самолетные углы, будут определяться в соответствии с (4.10) форму-
лами:
лами:
ib14p ib14p
Ao= cos-cos -cos-- sin -sin -sin -,
ib*0ib1)to
Ai= sin — sin- cos— +cos— cos - sin—,
фрфр
(4.11)(4.11)Л2 =sin — cos-cos -+ cos—sin -sin-,
(4.11)
(4.11)
ф$pфp
Аз =COS - sin-cos -- sin-cos -sin-.
Кватернионные матрицы элементарных поворотов на самолетные углы в соответствии с (1.21) будут иметь вид
т(^) =
^00 о о Фо 02 0 о -02
ро о
0 ^о -
-02 0 \ 0 ф2 Фо о о фо / 0 -^з^ -^3 о
, иффф =
/ Фо 0 —02
0 '
-02, 0
Фо ,
0
0 Фо ф2 0
\ 0 02
0
Фо
0
0
) $3
р0 о
0 А
т(^) =
о tf3
Оз 0
'о -01 0
Уо 0
0 Уо)
° \
, и^ф =
0 -^3 1»0
Оз 00
’о -^1 °
0
^0 )
° \
, XУ!Уо 0
*) =ОЛ m
^о 0 </?1
0
-01’
0о /
z х9^19^о
=00
\ 0 0 -
0
^о
-^1
0
(4.12)
Здесь Oj, ^ и р^ (j = 0, 1,2,3) — компоненты кватернионов ^, $ и р, определяемые равенствами
фф
00 = COS —,01 = 0,02= sin —,0з = О,
^0 = cos ^,^i=0,^2 = 0,^3=sin^,(4-13)
<^o=cos-,yi = sin-,^2 = 0,Уз = О.
Компоненты кватерниона А можно найти, используя любую из матричных формул (4.6), и учитывая, что в случае использования
самолетных углов кватернионные матрицы элементарных поворотов определяются соотношениями (4.12). Так, используя третью из формул (4.6) и учитывая (4.12), получим
Ао ^
/ Фо
0
-02 0 \
/ Vo
-V1
0 0 \
ОО
Ai
0
00
0 02
Vo
0 0
0
^2
02
0
00 0
0
0
Vo VI
0
\А3/
0
-02
о фо)
\°
0
-VI Vo /
Оз/
Отсюда, учитывая (4.13), находим выражения для компонент кватерниона Л, совпадающие с (4.11).
Матрицы параметров Кейли-Клейна, соответствующие элементарным поворотам на самолетные углы ф, ^, ср, имеют в соответствии с (4.13), (1.13) и (1.22) следующий вид:
_ /^2 \_ / ^о + г^з о \фо Wv\
Чф \-^2^о/\0г^о-^з/^ V^i Io/
(4.14) где параметры Эйлера фр 4ф и p)j (j = 0, 1,2,3) определяются соотношениями (4.13).
Параметры Кейли-Клейна а, (3, ^ 5 результирующего конечного поворота самолета в опорной системе координат X находятся по матричной формуле (3.49), которая в рассматриваемом случае с учетом (4.14) принимает вид
/ ск 7 Аq = х = q^qr =\р о /
Фо Ф^-Ф2 ФоФо Ф^-Ф2 Фо/ Го W\ W ^о + ^з 0
Фо Ф^
-Ф2 Фо
Фо Ф^
-Ф2 Фо
V^i Го / \01?о - ^з
Отсюда, учитывая (4.13), находим выражения параметров Кейли- Клейна ск, /3, 7, 5, характеризующих ориентацию самолета в системе координат X, через самолетные углы:
ск/375ск/375Щ/2 Ф Геcos — cos —• ф • cos — sin —. —щ/2 Ф • Г ге cos — sin —-Щ/2 Фе LU/zcos — cos —Щ/2 Ф Геcos — cos —• ф • cos — sin —. —щ/2 Ф • Г ге cos — sin —-Щ/2 Фе LU/zcos — cos —• -Щ/2 • Г • Г— ге sin — sin —, -Щ/2 • Ф— е sin — cos —,+ е1^ sin ^ cos ^,+ ге1®^ sin ^ sin ^.• -Щ/2 • Г • Г— ге sin — sin —, -Щ/2 • Ф— е sin — cos —,+ е1^ sin ^ cos ^,+ ге1®^ sin ^ sin ^.(4.15)(4.15)
ск
/3
7
5
ск
/3
7
5
Щ/2 Ф Г
еcos — cos —
• ф • cos — sin —
. —щ/2 Ф • Г ге cos — sin —
-Щ/2 Ф
е LU/zcos — cos —
Щ/2 Ф Г
еcos — cos —
• ф • cos — sin —
. —щ/2 Ф • Г ге cos — sin —
-Щ/2 Ф
е LU/zcos — cos —
• -Щ/2 • Г • Г
— ге sin — sin —, -Щ/2 • Ф
— е sin — cos —,
+ е1^ sin ^ cos ^,
+ ге1®^ sin ^ sin ^.
• -Щ/2 • Г • Г
— ге sin — sin —, -Щ/2 • Ф
— е sin — cos —,
+ е1^ sin ^ cos ^,
+ ге1®^ sin ^ sin ^.
(4.15)
(4.15)
Можно убедиться, что такие же выражения для параметров Кейли- Клейна получаются, если использовать их определение (1.13) и выражения (4.11) для параметров Эйлера Aj (j = 0, 1,2,3).
Видно, что выражения для параметров Эйлера (4.3) и Кейли- Клейна (4.8) через углы Эйлера проще их выражений (4.11) и (4.15) через самолетные углы.
4.2. Определение ориентации приборов и устройств,установленных в кардановых подвесах
Простейший карданов подвес. Крен, дифферент и курс корабля. Рассмотрим простейший карданов подвес, описанный в [44]. Простейший карданов подвес (рис. 4.5) [44] является составной частью гироскопических и многих других приборов, устанавливаемых на подвижных объектах. В частности, карданов подвес служит для создания так называемого искусственного горизонта на качающемся корабле,
самолете или ином движущемся объекте. С этой целью плоскость внутреннего кольца подвеса удерживается в горизонте либо посредством расположенных на ней гироскопов (силовая стабилизация), либо при помощи следящих систем; последние осуществляют принудительные повороты внешнего кольца карданова подвеса относительно корпуса прибора и внутреннего кольца относительно внешнего на углы, задаваемые сторонними гироскопическими или другими индикаторными устройствами.
На морских кораблях карданов подвес со стабилизированной в горизонте плоскостью внутреннего кольца, как правило, монтируется так, чтобы ось внешнего кольца подвеса была параллельна продольной оси корабля. Угол 9 между плоскостью внешнего кольца и плоскостью палубы называется при этом креном корабля. Крен считается положительным, если левый борт корабля приподнят над горизонтом по сравнению с его правым бортом, т. е. если корабль накренился на правый борт. Очевидно, что при 9 > 0 внешнее кольцо повернуто относительно палубы по ходу часовой стрелки, если смотреть на него со стороны носа корабля.
Угол ф между плоскостями обоих колец при упомянутом расположении карданова подвеса называется дифферентом корабля. При положительном дифференте корма корабля приподнята по сравнению с его носом. Если наблюдать за кардановым подвесом со стороны правого борта, то при ф > 0 (см. рис. 4.5) внутреннее кольцо повернуто относительно внешнего против хода часовой стрелки.
Рис. 4.5
Углы 9 и ф определяют ориентацию корабля относительно горизонтальной плоскости. Для ориентации корабля по отношению к странам света вводится угол и, именуемый курсом корабля, между направлением на север и так называемой курсовой чертой. Под последней понимается прямая у, связанная со стабилизированным в горизонте
внутренним кольцом рассматриваемого карданова подвеса и совпадающая с осью его внешнего кольца при = 0. Нетрудно убедиться, что курсовая черта у при ф ^ 0 параллельна проекции продольной оси корабля на горизонтальную плоскость (рис. 4.6) [44].
Курс корабля и отсчитывается от направления на север по ходу часовой стрелки. Именно так определенный угол х измеряют и воспроизводят на репиторах гироскопические компасы кораблей. При увеличении угла х корабль совершает правую циркуляцию, т. е. поворачивается по ходу часовой стрелки, если наблюдать за его вращением сверху. Если, например, х = 0, то нос корабля направлен на север, если же х = —90°, то на запад.
Разность между текущим значением курса и его заданным программным значением (как правило, постоянным в течение больших интервалов времени) именуется обычно рысканием корабля.
Углы 0, ф и х полностью определяют мгновенное угловое положение корабля как твердого тела относительно так называемой географической системы координат ENZ (см. рис. 4.6). Оси этой системы направлены соответственно на восток, на север и вертикально вверх, а начало координат расположено в том месте, где находится корабль.
Рис. 4.6
Полагая, что углы дифферента ^ и крена 6 известны (измеряются датчиками углов, расположенными на осях карданова подвеса), найдем матрицу направляющих косинусов, кватернион поворота, параметры Эйлера и Кейли-Клейна, характеризующие ориентацию корабля относительно плоскости горизонта (внутреннего кольца).
Для этого введем систему координат xyz [44], жестко связанную с кораблем. При этом ось х направим к правому борту корабля, параллельно поперечной оси, ось у — к носу корабля, параллельно продольной его оси, и, наконец, ось z — вверх, перпендикулярно палубе, т. е. параллельно мачте. Введем далее системы координат x\y\Z\ и ^у^,
связанные соответственно с внешним и внутренним кольцами карда- нова подвеса. Оси введенных систем координат направим так, чтобы при горизонтальном расположении плоскости ху, а следовательно, и палубы корабля они были соответственно параллельны осям х, у и z.
Ось у\ системы координат x\y\Z\ (связанной с внешним кольцом карданова подвеса) постоянно направлена параллельно оси у, т. е. продольной оси корабля (рис. 4.7 [44], где для удобства общее начало систем координат x\y\Z\ и фу( совмещено с началом системы xyz\
Внешнее кольцо карданова подвеса повернуто вокруг оси у относительно палубы на угол 0, являющийся креном корабля (см. рис. 4.7). При 0 > 0 система координат x\y\Z\ повернута вместе с внешним кольцом по ходу часовой стрелки относительно системы xyz, если смотреть со стороны положительной части оси у (или, что то же, оси у\ф
Ось внутреннего кольца £ карданова подвеса является одновременно осью Xi, принадлежащей его внешнему кольцу. Так как система координат фу( связана с внутренним кольцом подвеса, по предположению, стабилизированным в горизонте, то плоскость ^у является горизонтальной плоскостью, а ось £ и совпадающая с нею ось х\ — горизонтальной прямой.
Поворот внутреннего кольца карданова подвеса относительно внешнего совершается вокруг совпадающих осей £ и х\ на угол ^, называемый дифферентом корабля. Если он положителен, то система координат ^у^ повернута против хода часовой стрелки по отношению к системе x\y\Z\ при наблюдении за вращением со стороны положительной части осей £ и х\.
Матрицы се, ср направляющих косинусов углов между осями систем координат x\y\Z\ и xyz, ^^ и x\y\Z\ имеют вид
/ cos 9 0 sin 9 \ / 1 О О
се = 0 1 0 , ср = О cos^ sin^\ — sin 9 0 cos 9 ) \ 0 — sin ф cos ф
Теперь можно построить матрицу с направляющих косинусов углов между осями систем координат ^у^ и xyz;
/ 100 \ / cos 9 0 sin 9 \
с = c^cq =0cossin^ 010=
\ 0 — sin ф cos ф ) \ — sin 9 0 cos 9 /
(4.16)
/cos 90sin9\
=I —sin 9 sin фcos фcos 9 sin ф.
у —sin 9 cos ^— sin ^cos 9 cos ф/
Собственные кватернионы ^ и ^ элементарных поворотов внутреннего кольца относительно корабля на углы 9 и ф будут иметь вид
п9.9.ф . ф .
= COS - + Sin - l2, ф = cos — + sin — Ц .
Поэтому кватернион А результирующего поворота, характеризующий ориентацию внутреннего кольца относительно корабля, будет определяться кватернионным соотношением:
Л = Ao + Ai /i + А2 /2 + Ад /3 = 0 о ^ =
9. 9 .cos - + sin - t29. 9 .cos - + sin - t2ооф ф .cos - + sin-11ф ф .cos - + sin-11(4.17)(4.17)
9. 9 .
cos - + sin - t2
9. 9 .
cos - + sin - t2
о
о
ф ф .
cos - + sin-11
ф ф .
cos - + sin-11
(4.17)
(4.17)
формуламиформуламиКомпоненты Xj (j = 0, 1,2,3) этого кватерниона, выраженные через углы крена и дифферента, будут определяться в соответствии с (4.17)
формулами
формулами
е ф 9 . ф
(4.18)(4.18)Ao = cos - cos —, Ai = cos - sin —,,. 9 ф. 9 . ф
(4.18)
(4.18)
A2 = sin - cos —, A3 = - sin - sin —.
Кватернионные
матрицы
элементарных поворотов
внутреннего
кольца будут иметь вид:
(90
0 -92 0\
/90 0 -92 0 \
, X 0
90 0 92
,tix0 90 0 -92
06»о 0
’ п(02 000 0
\° "
-92 0 90)
\ 0 02 09о)
(4.19)
/Фо -
-ф\ о 0 \/фо -фх 0 0\
, , х фх
Фо 0 0
Ф1 Фо 0 0
т(-ф)= 0
0 Фо -фх
■ "w= 0 0
0 ф\ фо
/\ 00 -фх Фо)
Здесь 9j и ф^ (j = 0, 1,2,3) — компоненты кватернионов 9 и ф, определяемые равенствами:
Oq = cos -,= 0,Wo=COS—, W1 = sin —,Oq = cos -,= 0,Wo=COS—, W1 = sin —,02=sin^,6*3=0,
Oq = cos -,= 0,
Wo=COS—, W1 = sin —,
Oq = cos -,= 0,
Wo=COS—, W1 = sin —,
2(4.20)
V>2 = о, Vs = о.
Компоненты кватерниона А можно найти, используя матричную
формулу (3.36) и учитывая представления (4.19) кватернионных матриц элементарных поворотов. Имеем
Л = т(0) гр = п(^) 0,
или, в развернутом виде:
Ло
/90 0 -02 0\
/ фо -ф\ 0 0 \
/0°\
Ai
0 0О 0 02
Ф1
ф\ фо 0 0
0
^2
02 о 00 0
0
0 0 Фо Ф1
02
\Аз)
( 0 -02 0 0О /
(о 0 -фх фо /
\°)
Отсюда, учитывая (4.20), находим выражения для компонент кватерниона Л, совпадающие с (4.18).
Матрицы параметров Кейли-Клейна, соответствующие элементарным поворотам на углы 0 и ф, имеют в соответствии с (4.20), (1.13) и (1.22) следующий вид:
/ 6*0 6*2 \(фо \
qe = \ а а’ Чф = \ ■ I /(4-21)
где параметры Эйлера 9j и ^j (j = 0, 1,2,3) определяются соотношениями (4.20).
Параметры Кейли-Клейна а, (3, у, 5 результирующего конечного поворота внутреннего кольца относительно корабля находятся по матричной формуле (3.49), которая в рассматриваемом случае с учетом (4.21) принимает вид
/ а 7 \/ Фо N1 \ / 6*о 6*2 \
Отсюда, учитывая (4.20), находим выражения параметров Кейли- Клейна а, Р, ^, 5, характеризующих ориентацию внутреннего кольца карданова подвеса относительно корабля, через углы крена и дифферента:
9ф. .9.фп.9ф . 9.ф
а = cos -cos——г sin-sin—,р=— sin -cos — + г cos -sin —,
. 9p.9.p,9ф . . 9. ф
= sin -cos—+г cos-sin—,о=cos -cos — + z sin -sin —.
Можно убедиться, что такие же выражения для параметров Кейли- Клейна получаются непосредственно, если использовать их определение (1.13) и выражения (4.18) для параметров Эйлера Aj (j = 0, 1,2,3).
Отметим, что ориентация корабля относительно плоскости горизонта (внутреннего кольца карданова подвеса) характеризуется матрицей сТ
направляющих косинусов, получающейся в результате транспонирования матрицы с, определяемой выражением (4.16), или кватернионом поворота А, который является сопряженным по отношению к кватерниону Л,иимеет всоответствиис(4.17),(4.18)вид
—0 ф0 . ф.. Оф..О.ф.
А =COS- COS —— COS - Sin —l\— Sin -COS—1%+sin -sin —I3.
Z ZZZZZ
4.2.2. Платформа в трехосном кардановом подвесе. В ряде случаев для изоляции приборов или устройств от угловых движений основания или сообщения им необходимых угловых движений относительно основания они помещаются на платформе П (см. рис. 4.8) [71],
которая монтируется на движущемся основании (самолете, корабле) с помощью трехосного карданова подвеса. Наружное кольцо подвеса имеет подшипники на одной из осей основания (самолетных, корабельных), внутреннее кольцо — на наружном, платформа /7 — на внутреннем кольце. Эти три оси подвеса при отсутствии отклонений платформы относительно основания взаимно перпендикулярны и
пересекаются в точке О, остающейся неподвижной относительно платформы (платформа, подвешенная таким образом, является твердым телом с одной неподвижной точкой).
Введем координатные оси Oxyz и О^у^, связанные с основанием и с платформой. Требуется составить матрицу направляющих косинусов углов между осями систем координат Oxyz и О^у^ и кватернион поворота платформы относительно основания, полагая, что относительные углы поворотов колец карданова подвеса и платформы известны (они могут быть измерены датчиками углов, расположенными на осях карданова подвеса).
Координатные оси Oxyz и О^у^ введем так, чтобы при отсутствии отклонений платформы относительно основания оси z и ( совпадали
с осью поворота наружного кольца относительно основания, оси у и у совпадали с осью поворота внутреннего кольца относительно наружного, а оси х и £ — с осью поворота платформы относительно внутреннего
кольца.
Обозначим через а угол поворота наружного кольца карданова подвеса относительно основания, через /3 — угол поворота внутреннего кольца относительно наружного, а через 7 — угол поворота платформы относительно внутреннего кольца. Повороты платформы на углы а, (3 и у показаны на рис. 4.9.
Матрица с направляющих косинусов углов между осями систем координат Oxyz и О^у^ находится через матрицы элементарных поворотов са, су и с7 в соответствии с матричной формулой (3.26):
С — С7 Су Са —
1 0 0 \ / cos /3 0 — sin /3 \ / cos a sin а ОО cos у sin у 0 1 0 — sin a cos а ОО — sin 7 cos 7 / у sin /3 О cos /3 / у 0 0 1
cos /3 cos a cos /3 sin а — sin /3 \
— cos 7 sincos 7 cos
. •• о \q • sin 7 cos /3
+ sin 7 sin /3 cos a + sin 7 sin /3 sin a 1
sin 7 sin q+ — sin 7 cos q+
у + cos 7 sin /3 cos a + cos 7 sin /3 sin a cos^ cos /
Собственные кватернионы оц (3 и 7 элементарных поворотов платформы на углы Крылова а, 3 и 7 будут иметь вид (напомним, что верхние звёздочки у собственных кватернионов и их компонент опускаются):
а . а ._/3. /3 .7.7.
OL = cos —+ sin - l3,(3 = cos-+ sin - l2,4 = cos - + sin - ц.
Поэтому кватернион А результирующего поворота, характеризующий ориентацию платформы в системе координат Oxyz, связанной с основанием, в соответствии с формулой (3.16) будет определяться кватернионным соотношением
Л = Ao + А1Z1 + А2/2 + Ag/g = (X о (3 о 7 =
ot ot \ f В В А / х\(4.22)
cos - + sin - /3 р cos - + sin - /2 I о f cos - + sin - Zi L
Компоненты Aj (j = 0, 1,2,3) этого кватерниона, выраженные через углы Крылова а, (3 и у, будут определяться в соответствии с (4.22) формуламиаа
Ао = cos - cos cos - sin - sin sin У.а(3. у. а. /3у
А1 =cos—cos —sin —— sin —sin —cos —,
Лa. Px. aP. у
A 2 =cos—sin —cos —+ sin —cos —sin —,
(XвX(XвX
A3 =cos-sin ^sin ^+ sin -cos ^cos
4.3. Определение ориентации орбитальной системыкоординат по угловым элементам орбиты спутника
Земли
Ориентацию орбитальной системы координат BrpWlsWb связанной с центром масс В спутника Земли (космического аппарата (КА)), относительно геоцентрической экваториальной системы координат О^ц^зЮ’ связанной с центром О Земли, будем задавать кватернионом £ или матрицей направляющих косинусов с(£). Элементы кватерниона £ и матрицы с(£) являются функциями измеряемых (вычисляемых) элементов (параметров) орбиты КА, к которым относятся [31, 109] долгота восходящего узла Qn, наклонение орбиты Г, аргумент перицентра ш^, большая полуось орбиты а, эксцентриситет орбиты е и момент прохождения перицентра тр.
Угловые элементы орбиты спутника Земли Qn, Г, ш^ показаны на рис. 4.10. На нем В — центр масс космического аппарата, О — центр Земли, П — перицентр орбиты КА (точка орбиты, ближайшая к центру О), Ор\ — ось (линия) узлов, рх, р^ рз — составляющие ускорения центра масс КА, р — истинная аномалия (угловая переменная, характеризующая положение КА на орбите).
Долгота восходящего узла Qn и наклонение орбиты Г характеризуют положение плоскости орбиты КА в пространстве, аргумент перицентра ар — ориентацию орбиты в этой плоскости, большая полуось орбиты а и эксцентриситет орбиты е — размеры и форму орбиты.
Момент прохождения перицентра т^ определяет положение КА на орбите. Для нахождения истинной аномалии р, характеризующей положение КА на орбите (рис. 4.10), через известный момент прохождения перицентра тр могут быть использованы соотношения [109]:
/ ц \ V2
М = n(t — ip), п =, р = Дт^ Г тар
E-esmE = M, ^2 = (т^) tg^".
где t — время, М — средняя аномалия, Е — эксцентрическая аномалия, / — постоянная тяготения, то — масса Земли, т — масса КА.
(Т|з')(Т|з')ААРис. 4.10Рис. 4.10
(Т|з')
(Т|з')
А
А
Рис. 4.10
Рис. 4.10
Рис. 4.11
Для определения кватерниона £ рассмотрим последовательность элементарных поворотов, переводящих систему координат р из ее начального углового положения, совпадающего с £, в конечное. Эта последовательность поворотов иллюстрируется рис. 4.11 и схемой поворотов:
е 1111(4-23)
Здесь цифры под стрелками указывают номер оси, вокруг которой совершается элементарный поворот.
Пользуясь формулой (3.16) сложения конечных поворотов, заданных собственными кватернионами, на основании (4.23) получим
£ = Iq + £U1 + ^2^2 + ^3^3 = ^п ° I ° и =
' П„ .. UA/ I ..I\( и .. u\(4.24)
COS —-+^3Sin —- IОI C0S-+Z1Sin- 1оI C0S-+Z3SHI - L
Z\ZL ]\lZ /
где ^ (j = 0, 1,2,3) — компоненты кватерниона £, и = ш^ + ф —
аргумент широты.Из (4.24) находим выражения для компонента кватерниона Lаргумент широты.Из (4.24) находим выражения для компонента кватерниона L£0 = cos - cos —-—/2• I • ^П —£2 = sin - sin —-—£0 = cos - cos —-—/2• I • ^П —£2 = sin - sin —-—£1 = sin - cos£1 = sin - cosП^ иП^ и22(4.25)(4.25)£3 = cos - sin£3 = cos - sin
аргумент широты.
Из (4.24) находим выражения для компонента кватерниона L
аргумент широты.
Из (4.24) находим выражения для компонента кватерниона L
£0 = cos - cos —-—
/2• I • ^П —
£2 = sin - sin —-—
£0 = cos - cos —-—
/2• I • ^П —
£2 = sin - sin —-—
£1 = sin - cos
£1 = sin - cos
П^ и
П^ и
2
2
(4.25)
(4.25)
£3 = cos - sin
£3 = cos - sin
Для получения матрицы c(£) направляющих косинусов углов между осями систем координат р и £ необходимо найти произведение матриц элементарных поворотов:
с(£) = с(и) с(1) фи) =
cos и sin и 0 \ / 100 \ / cos Qn sin Qn О
— sin и cos и О 0 cos Г sin Г — sin Qn cos Qn 0 00 1 / \ 0 - sin Г cos Г / \001
В результате получим
/ cos и cos Q— cosusinQ+.• г \
— sin и cos Г sin Q+ sin и cos Г cos Q sm n sm
HO =HO =— sin u cos Q—— cos u cos Г sin Q— sin u cos Q—— cos u cos Г sin Q— sinusinQ++ cos u cos Г cos Q— sinusinQ++ cos u cos Г cos Qcos и sin Гcos и sin Г(4.26)(4.26)
HO =
HO =
— sin u cos Q—
— cos u cos Г sin Q
— sin u cos Q—
— cos u cos Г sin Q
— sinusinQ+
+ cos u cos Г cos Q
— sinusinQ+
+ cos u cos Г cos Q
cos и sin Г
cos и sin Г
(4.26)
(4.26)
sin T sin Q— sin T cos Q cos T
где Q = Qn, u = cj^ + 92.
Формулы (4.24), (4.25) и (4.26) позволяют находить кватернион £ и матрицу направляющих косинусов с(£), характеризующие ориентацию орбитальной системы координат р в геоцентрической экваториальной системе координат ^, через известные в этой системе координат угловые элементы орбиты спутника Земли.
Определение ориентации космического аппаратав инерциальной системе координат по показаниямастроприборов
Рассмотрим задачу определения ориентации космического аппарата (КА) в инерциальной системе координат по показаниям астроприборов, полагая, для определенности, что оси инерциальной системы координат ^1К^2К^зК(^СК) связаны с направлениями на Солнце и на звезду Канопус (именно такая система координат используется в качестве инерциальной при полете к Марсу, т. е. используется солнечно-звездная ориентация КА).
Ориентацию космического аппарата, с которым жестко свяжем систему координат XiX2Xg(X), в системе координат Солнце-Канопус £ск будем задавать кватернионом Аск или матрицей с(Аск) направляющих косинусов, причем они будут определяться соотношениями
Аск = хо Ап,(4.27)
с(Аск) = с(Ап)с(х),(4.28)
где х и с(х) — кватернион и матрица направляющих косинусов, характеризующие ориентацию системы координат X^X^X^X^Y связанной с платформой, на которой установлены астроприборы, относительно системы координат Солнце-Канопус £ск; Ап и с(Ап) — кватернион и матрица направляющих косинусов, характеризующие ориентацию системы координат X (КА) относительно Хп.
Платформа, на которой расположены астроприборы, может быть установлена на КА неподвижно, либо может быть установлена в кар- дановом подвесе. В первом случае кватернион Ап и матрица с(Ап) будут постоянными величинами, во втором — переменными функциями времени (функциями углов относительных поворотов рам карданова подвеса, изменяющихся с течением времени). Кватернион Ап и матрица с(Ап) формируются на основе информации о взаимной постоянной ориентации систем координат X и Хп в первом случае и на основе информации о взаимной начальной ориентации систем координат X и Хп и на основе показаний датчиков углов поворотов рам карданова подвеса во втором случае.
Рассмотрим нахождение кватерниона х и матрицы с(х) по показаниям астроприборов.
Нахождение матрицы направляющих косинусов по показаниям астроприборов. Полагаем, что на платформе установлены два астродатчика в двухкомпонентных (двухосных) следящих подвесах, визирующих Солнце и звезду Канопус. Поэтому считаем, что нам известно направление на Солнце, задаваемое в системе координат Хп двумя углами 5^, ^ и направление на Канопус, задаваемое в системе координат Хп двумя углами 5р 5^ (рис. 4.12 а\ Считаем также, что
известен угол 5 между направлениями на Солнце и Канопус (угол между единичными векторами £с и £к этих направлений) (рис. 4.12 б).
Рис. 4.12Рис. 4.12
Рис. 4.12
Рис. 4.12
Из рассмотрения рис. 4.12 следует
ег = г, ^ = х ег = г х с,
еХ = ^ (^к - cos 5 С),(4.29)
где ^к — единичный вектор (орт) оси ^к.
Проектируя векторы £с и £к на оси системы координат Хп, получаем матрицы-столбцы
(4.30)(4.30)^Х = (^1’^2’ ^з) = (cOS^COS^, sin 5f COS 5^ -sin^) , ^X = Й’ ^2’ ^з) = (sin ^2» ” sin 5^ COS ^2» cos 5^ COS ^2) •
(4.30)
(4.30)
Проектируя векторы £c и £к на оси системы координат ^ск, получаем матрицы-столбцы
(4.31)(4.31)£| = (1,0,0), £| = (cos5, 0, sin5).
(4.31)
(4.31)
Матрица направляющих ординат Хпи £ск/ Сис(ж) =С21\ С31Матрица направляющих ординат Хпи £ск/ Сис(ж) =С21\ С31косинусов углов между осями систем ко-косинусов углов между осями систем ко-С12 С13С22 С23С32 С33С12 С13С22 С23С32 С33\Ь1ж’ Ч2ж’ ЧЗж/ ’\Ь1ж’ Ч2ж’ ЧЗж/ ’(4.32)(4.32)
Матрица направляющих ординат Хпи £ск
/ Си
с(ж) =С21
\ С31
Матрица направляющих ординат Хпи £ск
/ Си
с(ж) =С21
\ С31
косинусов углов между осями систем ко-
косинусов углов между осями систем ко-
С12 С13
С22 С23
С32 С33
С12 С13
С22 С23
С32 С33
\Ь1ж’ Ч2ж’ ЧЗж/ ’
\Ь1ж’ Ч2ж’ ЧЗж/ ’
(4.32)
(4.32)
где ^ = (сц, C2i, сз^) — матрица-столбец, составленная из проекций вектора ^к на оси системы координат Хп.
Учитывая (4.32), (4.29), (4.30), получаем следующие выражения для элементов с^ (г, j = 1,2,3) матрицы с(х):
сн = cos 5f cos 5^, C2i = sin 5f cos 5^, C31 = — sin 5^,
C13 =C13 =sin 5^ — cos 5 cos 5i cos 5^sin 5
C13 =
C13 =
C23 =C23 =— sin 5^ cos ^2 — c°s 5 sin 5f cos 5^
C23 =
C23 =
sin 5
C33 =C33 =cos 5^ cos ^2 + cos 5 sin 5^sin 5
C33 =
C33 =
012 = C23C31 - C21C33,C22 = СЦС33 - C13C31,C32 = C13C21 - СЦС23.
(4.33)
Формулы (4.33) могут быть представлены в другом виде: сц=^, С21 = 1^ ^31=^,
- £, cos 5
С13 =. х ,
sind
С12 =• е ,
sind
^2 — ^2 cos ^^3 — ^3 C0S
С23 =. е, СЗЗ =. х,
sin 0sin 0
,^1-^3 ,^-^(4.34)
С22 =• е , С32 =■ е ,
sin 0sin 0
^i = cos 5i cos 5^, ^ = siR ^1 cos ^2’ ^з = — siR ^2’
= sin 5?, £9 = - sin 5f cos 5£,£3 = cos 5f cos 5£.
11ZОiz
Формулы (4.32), (4.33) или (4.32), (4.34) позволяют находить матрицу с(х) направляющих косинусов углов между осями систем координат £ск и Хп по показаниям двух астродатчиков (углам 5f, 5^, 5р 5^) и известному углу 5 между направлениями на Солнце и Канопус. После чего по формуле (4.28) может быть найдена матрица с(Аск) направляющих косинусов, характеризующая ориентацию космического аппарата в системе координат Солнце-Канопус £ск.
Рассмотрим другой случай нахождения матрицы с(х) по показаниям астроприбора, в котором реализуемые направления £с и £к конструктивно связаны (рис. 4.13) и образуют между собой известный угол 5.
В этом случае с помощью поворотов на углы 5f и 5| осуществляется наведение оси £с солнечной трубы солнечно-звездного датчика на
Солнце, после чего разворотом на угол 5К вокруг этой оси осуществляется наведение оси £к звездной трубы на Канопус.
Рис. 4.13Рис. 4.13
Рис. 4.13
Рис. 4.13
Матрица с(х) направляющих косинусов углов между осями систем координат £ск и Хп в этом случае находится через измеренные углы 5^ ^2» 5к по матричной формуле
/ сб^сб^ §5\с5^V "s52/ сб^сб^ §5\с5^V "s52-c5Ks5| + s5kc5|s52c6^c6\ + s5ks5^s52s5kc52-c5Ks5| + s5kc5|s52c6^c6\ + s5ks5^s52s5kc52s5Ks5x + сб^сб^зб^-s6Kc6x + c5ks5^s52с5кС^2s5Ks5x + сб^сб^зб^-s6Kc6x + c5ks5^s52с5кС^2(4.35)(4.35)
/ сб^сб^ §5\с5^
V "s52
/ сб^сб^ §5\с5^
V "s52
-c5Ks5| + s5kc5|s52c6^c6\ + s5ks5^s52s5kc52
-c5Ks5| + s5kc5|s52c6^c6\ + s5ks5^s52s5kc52
s5Ks5x + сб^сб^зб^
-s6Kc6x + c5ks5^s52с5кС^2
s5Ks5x + сб^сб^зб^
-s6Kc6x + c5ks5^s52с5кС^2
(4.35)
(4.35)
где c( •) = cos( •), s( •) = sin( •).
Нахождение кватерниона ориентации космического аппарата по показаниям астроприборов. В случае использования двух независимых астродатчиков задача заключается в нахождении кватерниона х по известным проекциям (4.30), (4.31) двух векторов £с и £к в системах координат Хп и £ск. Для решения этой задачи может быть использован метод, предложенный в [146, ч. 2] (см. также п. 3.8.1).
Отображения векторов £с и £к на базис Хп связаны с их отображениями на базис £ск соотношениями (см. (2.30)):
£| = X О ех О х, £| = X О tx О X, (4.36) где х = хо + х\1\ + х^ + хз1з = xq + xv, х = xq — xv; Xj (j = 0, 1,2, 3) — параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона), характеризующие ориентацию платформы, на которой установлены астроприборы, относительно системы координат Солнце-Канопус; xv — векторная часть кватерниона х,
ех = t\ix + ^<2 + ^<з, ех = ^ + 4<2 + ^<з,
£| =+ С *2 + С*3> ^ = С^1 + С*2 + С^З,
^, ^ и ^*, ^* (г = 1,2,3) — проекции векторов £с и £к, на базисы Хп
Из (4.36) имеем
£| О X = X О £^,£| О X = х О £^.(4.37)
Переходя к векторным операциям, из (4.37) получим
(4 - ^х) • xv = О, ж0(4 - £^) + № + ^х) X Ху = О,
(4.38)
(£| - £^) • xv = 0, ж0(£| - £^) + (^ + ^х) х Ху = 0.
Введем в рассмотрение вектор конечного поворота и, характеризующий ориентацию системы координат Хп относительно £ск и связанный с кватернионом поворота х соотношениями
... Ху
V = Uli] + V2«2 + V3I3 = ,
Ж0-1/2<439)
Di = —, г =1,2,3; xq = ±+ d\ + dI + dT) ,
Xqv7
где Di (г = 1,2,3) — проекции вектора d на оси системы координат Хп (они равны соответствующим проекциям вектора d в системе координат £ск).
После деления равенств (4.38) на xq (при этом из рассмотрения исключаются полуобороты системы координат Хп) и учета (4.39) получаем линейные уравнения относительно неизвестного вектора и:
-. v = 0, (ft - ftx) + (ft + ftx\ x v = 0,
(4.40)
(€|-^) -v = 0, (^-^) + (^|+^) x v = 0.
Для нахождения вектора d из уравнений (4.40) можно воспользоваться либо вторым и третьим уравнениями, либо первым и четвертым. В результате получим
Д = (^ - ^) • (^ + ^) = - Щ - ^) • (4 + ^) 0.(4.42)
Для независимого задания направлений ft и ft в системе координат Хп (при использовании показаний двух независимых астродатчиков) в соответствии с (4.30), (4.31) имеем
ftx = cos ^1 cos ^2 z*i + siR ^1 cos ^2 z*2 — siR ^2 r3’ ^| = z*i ’
ftx = sin ^2 ^1 - sin 5? cos ^2 z*2 + cos ^Г cos ^2 z*3’(4.43)
£| = cos 5 Zi + sin 5 /3.
Из (4.41)-(4.43) получаем следующие выражения для проекций ^i (г = 1,2,3) вектора и в базисе Хп (£ск):
7| (^ - cos 5) - (^ - 1) (^ - sin 5)
=А’(4.44)
- 1)-cos5)
А = ^ - ^ sin 5 - ^ cos 5^0;
^ = COS 5f COS 5^ ^2 = SiR ^1 C0S ^2’ ^3 = SiR ^2’
= sin- sin cos , £5 = cos cos
1ZZ1Zu1Z
После определения проекций t)t (г = 1,2,3) вектора конечного поворота v параметры Эйлера Xj (j = 0, 1,2,3) в соответствии с (4.39) находятся из равенств:
/\-1/2
жо = ± ( 1 + ^? + ^2 + ^з)’ xt = xo^i, г =1,2,3.(4.46)
Итак, алгоритм нахождения компонент кватерниона х, характеризующего ориентацию платформы, на которой установлены астроприборы, относительно системы координат Солнце-Канопус в случае использования показаний двух астродатчиков, визирующих направление £с и £к на Солнце и Канопус независимо, образуется соотношениями (4.44)(4.46).
Аналогичный алгоритм может быть применен и в случае использования показаний астроприбора, в котором реализуемые направления на Солнце и Канопус конструктивно взаимосвязаны. В этом случае в алгоритме (4.44)-(4.46) вместо соотношений (4.45) должны быть взяты уравнения
= cos 5f cos 5^, £| = siR ^1 cos ^2’ ^з = — siR ^2’
(4.47)(4.47)^ = ^ cos 5 + sin 5 (sin 5K sin 5f + cos 5K cos 5f sin 5^) ,£2 = ^2 cos ^ + sin (~ sin ^K cos ^1 + cos ^K sin ^1 sin ^2) ’
(4.47)
(4.47)
£3 = £3 cos 5 + sin 5 cos 5K cos 5^.
Кроме этого, нахождение компонент кватерниона х как в первом, так и во втором случаях измерения направлений на Солнце и Канопус может быть произведено через предварительно вычисленные элементы матрицы направляющих косинусов с(х) по формулам (2.24):
(4.48)(4.48)Хо = ±- (1 + Си + С22 + Сзз)^2 ,
(4.48)
(4.48)
С23 - С32С31 - С13С12 “ ^21
л,^2 = л, Хз =
4х04х04х0
Алгоритм нахождения компонент кватерниона х образуется в первом случае соотношениями (4.48), (4.33) (или (4.48), (4.34)), во втором случае — соотношениями (4.48), (4.35).
Кватернион Аск ориентации космического аппарата в инерциальной системе координат Солнце-Канопус находится после определения кватерниона х по формуле (4.27).
Нахождение ориентации орбиты космическогоаппарата через его декартовы координаты и проекциивектора скорости
Рассмотрим задачу нахождения кватерниона ориентации орбиты космического аппарата (КА) через заданные значения его декартовых координат и проекций вектора скорости. Пусть в некоторый момент времени t заданы значения декартовых координат ^ (г = 1,2,3) КА в инерциальной системе координат £ (т. е. заданы значения проекций радиуса-вектора г КА на оси системы координат £ ) и значения проекций и* = ^ (г = 1,2,3) его вектора скорости у (см. рис. 4.10) на оси инерциальной системы координат. Необходимо определить кватернион А ориентации орбитальной системы координат р, связанной с центром масс В спутника Земли (космического аппарата), относительно геоцентрической экваториальной системы координат, связанной с центром О Земли, принимаемой в качестве инерциальной системы координат £, а также кватернион А ориентации системы координат Пр^р^р^(р*\ связанной с перицентром П орбиты КА, относительно той же системы координат £ (рис. 4.10). Отметим, что если на КА не действуют никакие другие силы, кроме ньютоновской силы притяжения, то КА движется по кеплеровской орбите, в плоскости которой располагаются координатные плоскости Bpxps и Пр^р^. При этом координатные оси Врз и Пр^ систем координат р и р* будут перпендикулярны плоскости орбиты КА (т. е. будут параллельны вектору с = гх*и момента орбитальной скорости КА относительно притягивающего центра О), а кватернион А будет характеризовать ориентацию орбиты КА в системе координат £.
Приведем решение сформулированной задачи, предложенное в [146, ч.2] и использующее метод определения вектора конечного поворота и кватерниона поворота твердого тела по известным проекциям двух векторов на оси опорной и связанной систем координат, описанный в п. 3.8.1. В решаемой задаче в качестве двух таких векторов могут быть взяты радиус-вектор г КА и вектор с = г х v момента его орбитальной скорости. Вектор г направлен вдоль оси рх, а вектор с — вдоль оси рз системы координат р. Поэтому отображения этих векторов в орбитальной системе координат ту и в инерциальной системе
координат £ связаны соотношениями
г^ = т\о /1 о A, q = сА о /3 о А.
Г£ = £1'1 +&<2 +&<3, Се = С]<1 +с2<2 + с3<з,(4.49)
А = Ло + А1 /1 + Л212 + Agig,
с = (С1 + с2 + С^ ' , г = ^f + й + €з) ' ■(4.50)
Здесь с^ (г = 1,2, 3) — проекции вектора с на оси системы координат £, которые находятся через заданные величины ^ и с* = ^ с помощью соотношений
С1 = &Ц-£зс2, С2=6Ц“6Ц> СЗ = б^ -&Ц.(4.51)
Соотношения (4.49) представим в векторной форме:
(г5-ni)-Av = 0, Л0(ге - rit) + (re +ni) х Av = 0,
(4.52)
(с^ - ci^ • Av = 0, Л0(г£ - с/3) + (с^ + с/3) х Av = 0.
Здесь Av = vect А = AUi + А2/2 + A3Z3 — векторная часть кватерниона А, орты /1, /2Д3 гиперкомплексного пространства в дальнейшем формально отождествляются с ортами некоторого ортогонального трехмерного базиса, т. е. подчиняются обычным правилам векторной алгебры.
Введем в рассмотрение вектор и конечного поворота системы координат р относительно
АА-
V = tpix + и2<2 + ^з*з =г =1,2,3.(4.53)
ЛоЛо
Учитывая, что Av = Aqv, и полагая Ао ф 0 (тем самым из рассмотрения исключаются полуобороты системы координат р относительно £), из (4.52) получим
(г^ - Их) - г) = 0,(г^- г /1)+ (r^ + г ix) хv= 0,(4.54)
(с^ - с/3) • v = 0, (с^ - ci-^+ (с^ + с/3) хv= 0.(4.55)
Для нахождения вектора и изуравнений (4.54), (4.55)можно
воспользоваться либо вторым из уравнений (4.54)ипервымиз урав
нений (4.55), либо, наоборот, первым из уравнений (4.54) и вторым из уравнений (4.55). В результате получаем
CxR' RxC'
V ~ R С' ~ С R' ’(4.56)
R =r^rix, R' = r^-rix, С =с^сЬ>, С' = с^-с1^,
R С' = -С R' = тсх-с^^.(4.57)
Отметим, что условие (4.57) означает, в частности, что радиус- вектор г и вектор скорости у КА не должны лежать в рассматриваемый момент времени в неподвижной плоскости О^х^-
После нахождения из соотношений (4.56), (4.57), (4.50), (4.51), (4.53) по заданным значениям величин ^, и* = ^ (г = 1,2, 3) проекций Di (г = 1,2,3) вектора и конечного поворота орбитальной системы координат г/ относительно геоцентрической экваториальной системы координат £ из равенств
/х-1/2
Ло = ± ( 1 + D2 ), Xi = Ao^b D2 = D^ -\- D2 -V- D2
определяем значения параметров Эйлера Xj (j = 0, 1,2,3) (компонент кватерниона поворота А системы координат г/ относительно £).
Отметим, что после нахождения параметров Эйлера Xj (j = = 0, 1,2, 3) из формул (см. [146]):
no = r^Ao, Ui = -г1/^, г = 1,2, 3,
легко находятся регулярные переменные Кустаанхеймо-Штифеля Uj (j = 0, 1,2,3) [163], широко используемые в настоящее время в астродинамике и в механике космического полета для описания движения небесных тел и космических аппаратов.
Такой метод нахождения регулярных переменных Кустаанхеймо- Штифеля Uj по заданным в рассматриваемый момент времени значениям переменных ^, и* = ^ (г = 1,2,3), предложенный в [146], в отличие от способа их нахождения, описанного в [163], позволяет не только однозначно (точнее, с точностью до знака) определить значения этих переменных (например, определить значения начальных условий интегрирования кватернионных уравнений возмущенного движения КА в и — переменных), но и позволяет находить в случае невозмущенного центрального движения КА такое значение кватерниона и = г1/2 А (или А), при котором координатная плоскость Вр^р2 совпадает с плоскостью орбиты КА, а ось Вгр ей ортогональна, что важно в ряде случаев, например, при построении так называемого оскулирующего [31, 109] движения КА.
Кватернион А ориентации орбиты КА в инерциальной системе координат £ находится после определения кватерниона А по формуле (см. рисунки 4.10 и 4.11, а также схему поворотов (4.23)):
А = А о (cos — — /3sin — 1 ;
при этом присутствующая в этой формуле истинная аномалия р может быть найдена с помощью формул [31, 109] (см. также [23]):
2// X 2 zх X V2
с/ ./ с \ / о _ р X \
р = —, е = I 1 + I — I (- 2 — ) I .
Здесь р и е — параметр и эксцентриситет орбиты КА, р = 3,986 х х 1014 м3/с2 — произведение гравитационной постоянной на массу
Земли, 171 — проекция вектора у скорости КА на ось Вр\ (на направление его радиуса-вектора г), которая может быть найдена из кватернионного соотношения
У^ = ПуЦ + 172^*2 + ^3 = А О ^ О А = А О (17^*1 + 172^2 + ^зк) ° А, где v^ и ^ - отображения вектора у на базисы р и £.
4.6. Начальная выставка бесплатформеннойинерциальной навигационной системы
на неподвижном основании
Бесплатформенная инерциальная навигационная система (БИНС) используется в современных системах управления движением различного рода движущихся объектов для автономного определения координат местоположения объекта и его ориентации в пространстве. В состав БИНС входят измерительные инерциальные приборы (гироскопы и акселерометры (ньютонометры)), жестко закрепленные на движущемся объекте и измеряющие векторы абсолютной угловой скорости и кажущегося ускорения объекта, и бортовой вычислитель, с помощью которого по показаниям гироскопов и акселерометров на борту движущегося объекта вычисляются координаты местоположения объекта и параметры его ориентации в пространстве. Для этого на бортовом вычислителе осуществляется интегрирование (в реальном масштабе времени) дифференциальных уравнений инерциальной навигации, в состав которых входят две группы уравнений: дифференциальные уравнения движения материальной точки в гравитационном поле планеты (например, Земли), в окрестности которой рассматривается движение объекта, и дифференциальные кинематические уравнения углового движения объекта, рассматриваемого как твердое тело. В качестве последних чаще используются дифференциальные кватернионные кинематические уравнения в параметрах Эйлера (Родрига-Гамильтона). С математической точки зрения задача начальной выставки БИНС заключается в определении начальных условий интегрирования дифференциальных уравнений инерциальной навигации. При этом основную трудность представляет определение начальных условий интегрирования дифференциальных уравнений ориентации движущегося объекта. Эта задача и будет рассматриваться в дальнейшем как задача начальной выставки БИНС.
Итак, сущность начальной выставки БИНС в рассматриваемой постановке заключается в определении начальной ориентации объекта, расположенного на подвижном или неподвижном (относительно Земли) основании и имеющего на своем борту измерительные инерциальные приборы, относительно некоторой (опорной) системы координат. Различные по технической реализации способы начальной выставки [68] — метод векторного согласования, гирокомпасирования, фиксированного азимута, выставка по звездам и метод оптического согласова-
ния в основе своей содержат измерения двух неколлинеарных векторов в различных системах координат.
Задача начальной выставки включает в себя выбор основных систем координат, анализ измерений чувствительных элементов, расположенных на борту объекта, и использование информации внешних (по отношению к объекту) измерительных систем. При выставке БИНС на неподвижном основании (именно эта задача будет рассматриваться в дальнейшем) обычно выбирают две системы координат: связанную с объектом, вдоль осей которой установлены измерительные элементы, и опорную, в качестве которой обычно выбирают нормальную географическую или ортодромическую систему координат (НГСК или НОСК). В качестве измерительных элементов обычно стремятся использовать приборы, применяемые в процессе навигации и управления объектом — гироскопы и акселерометры, которые дают возможность определить в рассматриваемом случае вектор ускорения силы тяжести и вектор угловой скорости вращения Земли в связанной с объектом системе координат. Поэтому точность решения задачи начальной выставки определяется чувствительностью этих приборов. При начальной выставке БИНС может использоваться информация, полученная неинерциальными средствами. Эта информация применяется как для контроля, так и для решения задачи начальной выставки.
Ошибки начальной выставки определяются двумя факторами: погрешностью измерительных систем и движением или нежесткостью самого объекта. Анализ этих ошибок позволяет выработать требования к приборам, используемым в процессе выставки. Применяются как приборы, измеряющие модули векторов и их проекции, так и приборы, непосредственно определяющие направление вектора.
Ниже рассматриваются два способа начальной выставки БИНС на неподвижном основании: 1) выставка вертикали, осуществляемая с помощью трех акселерометров, измеряющих вектор ускорения силы тяжести, и индукционный датчик курса или гирополукомпас, 2) метод гирокомпасирования, основанный на измерениях векторов ускорения силы тяжести и угловой скорости вращения Земли с помощью акселерометров и гироскопов, которые в дальнейшем используются в процессе навигации и управления движением объекта.
Выставка вертикали. Рассмотрим задачу определения начальной ориентации неподвижного относительно Земли объекта, на котором вдоль осей системы координат ОУ^Уз (У), жестко связанной с объектом, установлены три акселерометра и индукционный датчик курса или гирополукомпас. Начало О связанной системы координат У совпадает с одной из точек объекта (точкой местоположения чувствительных масс ньютонометров), ось У1 направлена вдоль продольной оси объекта, ось Уз — вдоль нормальной, а ось У3 — вдоль поперечной. Ориентацию объекта будем определять относительно нормальной географической системы координат ОХ1Х2Х3 (X), имеющей начало
в точке О объекта и связанной с географической вертикалью: ось Х^ этой системы координат направлена вдоль географической вертикали вверх, ось Х\ — вдоль касательной к меридиану h — эллипсоида Земли на север, ось Хд — вдоль касательной к параллели на восток.
Взаимная ориентация систем координат Y и X определяется углами Крылова (см. рис. 4.14): курсом ф (положительное значение курса отсчитывается по ходу часовой стрелки, поэтому на рисунке угол —ф отложен против хода часовой стрелки), тангажом и креном у.
Рис. 4.14Рис. 4.14
Рис. 4.14
Рис. 4.14
Введем обозначения: w и а — векторы абсолютного и кажущегося ускорений объекта, рассматриваемого как материальная точка; / — вектор гравитационного ускорения в точке местонахождения объекта. По определению эти векторы связаны равенством w = / + а. Введем также в рассмотрение вектор g ускорения силы тяжести, равный геометрической сумме гравитационного ускорения и центробежного ускорения от вращения Земли: g = j — и х (их г), где и — вектор угловой скорости вращения Земли, г — радиус-вектор объекта, проводимый из центра Земли.
Каждый акселерометр, установленный жестко на борту объекта, измеряет проекцию вектора кажущегося ускорения объекта на ось, называемую осью чувствительности акселерометра (или его измерительной осью). Будем считать, что оси чувствительности трех акселерометров, установленных на борту объекта, совпадают с осями связанной системы координат Y. Тогда эти акселерометры будут измерять проекции at (г = 1,2,3) вектора а кажущегося ускорения на оси связанной системы координат Y.
Так как объект неподвижен относительно Земли, то его абсолютное ускорение равно центростремительному ускорению от вращения Земли: w = и х (и х г). Поэтому в этом случае, как нетрудно убедиться, имеет место равенство
а = и х (и х г) - / = g,а = и х (и х г) - / = g,(4.58)(4.58)
а = и х (и х г) - / = g,
а = и х (и х г) - / = g,
(4.58)
(4.58)
т. е. измеряемые тремя акселерометрами проекции at (г = 1,2,3) вектора а кажущегося ускорения объекта на оси связанной системы координат равны взятым со знаком минус проекциям д^ (г = 1,2,3) на те же координатные оси вектора g ускорения силы тяжести: at = —gt (г = 1,2,3).
Отметим, что с точностью, достаточной для решения многих задач ориентации и навигации движущихся объектов, можно считать, что вектор ускорения силы тяжести направлен вдоль географической вертикали в ее отрицательную сторону и определяется формулами [21]:
/ а* А\
g = д = дэо L^^P (1 + /3 sin2 ,
2(4.59)
(1-е2)2. 2
sin с/ = — sin р),
1 — (2е2 — е4) sin2 р)
где %2 — орт координатной оси Х2, направленной вдоль географической вертикали вверх, д — модуль ускорения силы тяжести, рэо = = 9, 78049 м/с2 — ускорение силы тяжести на экваторе земного сфероида, а* и е — длина большой полуоси и первый эксцентриситет земного сфероида (для референц-эллипсоида Ф.Н. Красовского а* = 6378245 м, е2 = 0,006692), h — барометрическая высота (переменный параметр), /3 = 0,005317 — постоянный параметр, р)' — геоцентрическая широта (угол, образуемый радиусом-вектором г объекта с плоскостью земного экватора), р) — географическая, или геодезическая широта (угол, образуемый нормалью к поверхности сфероида, проходящей через точку местонахождения объекта, с плоскостью земного экватора).
Введем в рассмотрение еще две системы координат.
^16^2^3 (С) — геоцентрическая система координат с началом О\ в центре масс Земли (считаем, что центр масс Земли совпадает с ее геометрическим центром). Ось £1 направим по полярной оси Земли (вдоль вектора и угловой скорости вращения Земли). Оси £2, Сз располагаются в плоскости экватора и не участвуют в суточном вращении Земли. Оси системы координат £ изменяют свою ориентацию относительно удаленных звезд, принимаемых за неподвижные. Этим изменением будем пренебрегать, принимая систему координат £ за инерциальную.
01^x^263 W) — геоцентрическая система координат с началом в точке 01. Ось тд совпадает с осью ^. Оси 772, Лз расположены в плоскости экватора, причем считаем, что ось 772 совпадает с линией пересечения плоскостей экватора и гринвичского меридиана. Система координат д жестко связана с Землей и вращается относительно системы координат £ с угловой скоростью и суточного вращения Земли.
Взаимная ориентация систем координат £, д и X показана на рис. 4.15, где через А обозначена географическая долгота объекта, а угол р = po ut (и = 7,29 • 10-5 с-1 — угловая скорость суточного
вращения Земли, цо — значение угла разворота системы координат р относительно £ в начальный момент времени, t — время).
Так как угол курса ф измеряется индукционным датчиком курса или гирополукомпасом, то начальная выставка в данном случае заключается в определении углов и у, т. е. в определении ориентации вертикали.
(51,52,53) = Нд*х,д^дз\(51,52,53) = Нд*х,д^дз\(4.60)(4.60)Связь между проекциями д^ и д* (г = 1,2,3) вектора ускорения силы тяжести g в системах координат Y и X устанавливается матричным соотношением
(51,52,53) = Нд*х,д^дз\
(51,52,53) = Нд*х,д^дз\
(4.60)
(4.60)
где с — матрица направляющих косинусов углов между осями систем координат Y и X, элементы которой выражаются через углы ф, ^, у:
cos^ cos^cos^ cos^sin^sin^cos^ sin^cos^ sin^
cos^ cos^
cos^ cos^
sin^
sin^
cos^ sin^
cos^ sin^
— sin у sin?/;—— cos у sin ^ cos ф— cosy sin^T\ + sin у sin ^ cos ф— sin у sin?/;—— cos у sin ^ cos ф— cosy sin^T\ + sin у sin ^ cos фcosy cos^cosy cos^— sin у cos ^— sin у cos ^sin у cos?/;—— cos у sin ^ sin фcosy cos^T+ sin у sin ^ sin ф /sin у cos?/;—— cos у sin ^ sin фcosy cos^T+ sin у sin ^ sin ф /
— sin у sin?/;—
— cos у sin ^ cos ф
— cosy sin^T
\ + sin у sin ^ cos ф
— sin у sin?/;—
— cos у sin ^ cos ф
— cosy sin^T
\ + sin у sin ^ cos ф
cosy cos^
cosy cos^
— sin у cos ^
— sin у cos ^
sin у cos?/;—
— cos у sin ^ sin ф
cosy cos^T
+ sin у sin ^ sin ф /
sin у cos?/;—
— cos у sin ^ sin ф
cosy cos^T
+ sin у sin ^ sin ф /
Так как на неподвижном основании проекции вектора кажущегося ускорения at = — gi (г = 1,2,3) (в соответствии с (4.58)), а проекции д* известны (определяются первым векторным соотношением из (4.59)), то соотношение (4.60) принимает вид
(аьа2,аз) = с(0,д,0).
Отсюда, учитывая выражение для матрицы направляющих косинусов с через углы ф, ^, у, получаем скалярные уравнения
сц = psin^, П2 = pcos^ cosy, ад = —pcos^ sin у,
из которых следует решение задачи
V = arcsin—, 7 = — arctg—,(4.61)
9
где величина g вычисляется с помощью второго и третьего из соотношений (4.59), а величины а^ (г = 1,2,3) измеряются акселерометрами.
Как видно из формул (4.61), для согласования систем координат Y и X по вертикали необходимо, чтобы сигналы датчиков горизонтальных акселерометров (величины сц и аз) были равны нулю.
Метод гирокомпасирования. Эффективным методом начальной выставки БИНС считается метод векторного согласования. Сущность его состоит в определении взаимной ориентации приборного (связанного с блоком чувствительных элементов БИНС) и опорного трехгранников по результатам измерений проекций не менее чем двух неколлинеарных векторов на оси обоих трехгранников. Эти векторы мо гут иметь одинаковую физическую природу, но должны тогда измеряться в разные моменты времени. В качестве таких векторов обычно выбирают векторы линейной или угловой скорости, линейного или углового ускорения, а также вектор конечного поворота, причем проекции вектора на оси одного трехгранника получаются с помощью измерительных элементов БИНС, а проекции того же вектора на оси другого трехгранника вычисляются с помощью внешних источников информации.
Ниже рассматривается определение начальной ориентации объекта с помощью метода гирокомпасирования, являющегося разновидностью метода векторного согласования. Этот способ начальной выставки основан на одновременном измерении векторов кажущегося ускорения а и абсолютной угловой скорости са объекта в системах координат Y и X. Будем считать, что вдоль осей связанной системы координат Y установлены три одноосных акселерометра и три гироскопа (вообще говоря, три измерителя абсолютной угловой скорости любой физической природы), измеряющие проекции векторов я и w на эти же оси. Если при этом будут известны проекции этих же векторов на оси базовой системы координат X, то можно установить взаимную ориентацию трехгранников Y и X.
Решим задачу начальной выставки БИНС на неподвижном основании, когда акселерометры измеряют проекции д^ (г = 1,2,3) вектора ускорения силы тяжести g (точнее, измеряют проекции — д^ вектора —g), а гироскопы измеряют проекции тц вектора и угловой скорости вращения Земли на связанные с объектом оси. Проекции этих же векторов д* и и* на оси нормальной географической системы координат (НГСК) X будем считать известными и равными (см. рис. 4.15 и формулы (4.59)):
Й = -3. (6=0;(4{;2)
Ц = u cos 99, и^ = u sin 99, и^ = О,где 99 — географическая широта точки нахождения объекта, и == 7,29 • 10-5 с-1 — угловая скорость суточного вращения Земли, д —
ускорение силы тяжести в этой точке, определяемое формулами (4.59):
9 = 9эД * , г ) ( 1 + 0sin2 Щ ’у а* + h J \/
(1-е2)',2
SIR р = 5— Sin р.
1 — (2е2 — е4) sin2 р
Связь между проекциями векторов и и g в системах координат Y и X устанавливается кватернионными соотношениями (см. п. 2.3, формулы (2.30)):
Ну = V о их о V, gy = V о gx о V,(4.63)
где кватернион v = uq + ivxzi + v^h + ^3/3 = ^0 + wv определяет взаимную ориентацию базисов Y и X (компоненты этого кватерниона Vj (j = 0, 1,2, 3) — параметры Эйлера, характеризующие эту ориентацию); Uy, gY и Uy, gx — отображения векторов и, g на базисы Y и X;
uY = иуц + u2i2 + n3/3, gy = 9\i\ + g^h + д^
...(4-64)
их = и cos p Zi + и sin p i2, gx = —gh-
В кватернионных уравнениях (4.63) неизвестной величиной является кватернион v ориентации объекта в системе координат X. Выделяя в уравнениях (4.63) скалярную и векторную части (в соответствии с методом решения такого рода уравнений, изложенным в п. 3.8.1), получим
(tlx - Uy} • ^ = 0, (их - Uy) + (их + Uy) X = О,
(4.65)
(ёх - gy W = о, (gx - ёу) + tex + ёУ) х # = о.
Здесь $ = (l/z/o)^ ~ вектор конечного поворота, совмещающего системы координат X и Y (отметим, что при получении уравнений (4.65) из (4.63) полагалось, что vq ф 0, т. е. что отсутствует полуоборот системы координат Y относительно X).
Для сокращения записи при решении уравнений (4.65) введем обозначения
Uy-Ux = U", Uy + ux=u+, gY-gx=g", gY+gx=g+. (4.66)
Тогда, с учетом того, что на неподвижном основании показания акселерометров at = —gt (г = 1,2,3), а показания измерителей угловой скорости ut = ut в соответствии с (4.62) (или (4.64)) есть такие выражения для компонент кватернионов и-, и^ и g~, g^;
U^ = U\ — Uy = ш\ — и cos р, и^ = ui Ди*! = Ui Ди cos р,
и^ = U2 — U2 = 0)2 — и sin р, и^ = U2 -Д U2 = 0)2 -Д и sin р,
и^ = из — и^ = 0)3,и^= из Y и^ = 0)3;(4-67)
gi =9\ -91= -«ьgt=91+ 91=-<+-
92 =92 - 92= 9 - «2,92=92+ 92=-9 -а-2,
9з =дз-дз=9з=9з+ 9з=”аз-
В новых обозначениях (4.66) основная система уравнений (4.65) примет вид
и • 19 = 0, i4 х 19 = tT; g- • т9 = 0, g^ х ^ = g. (4.68)
Таким образом, задача определения начальной ориентации объекта сводится к решению системы восьми скалярных линейных уравнений, получающихся при записи векторных уравнений (4.68) в скалярной записи, относительно трех проекций ^t (г = 1,2,3) вектора конечного поворота #. Для решения задачи необходимо выбрать из этой системы три линейно независимых уравнения и методами линейной алгебры разрешить их относительно неизвестных ^. Это решение будет единственным, кроме случаев вырождения основной системы, которые будут рассмотрены ниже.
Приведем основные варианты решения системы (4.68). Из первого и четвертого уравнений этой системы с учетом (4.67) получим следующее решение:
=92 4 "9з 4, ^ =9^4 "9? 4,
914 + 92 4 + 9з4 ’2 914 + 92 4 + 9зиз ’ ,Л
(4.69)
=91 4 - 92 4
914 +92 4 + 9з 4 '
Это решение единственно, если выполняются условия
g^ • g = а2 - д2 = О,
__(4.70)
g+1“ = 9i4 + 92 4 +9з4
первое из которых выполняется всегда с достаточной степенью точности при достаточно точном измерении акселерометрами вектора кажущегося ускорения (при равенстве с достаточной степенью точности модулей измеряемого вектора кажущегося ускорения а и вектора ускорения силы тяжести g\
Аналогично, из второго и третьего уравнений системы (4.68) с учетом (4.67) получим единственное решение
=4 93 -4 92^ =^3^1 "4 9з
1 ^дТ+^дз+'ЧзЭз’ 2ut9? + и2 92 + из 9з ’(471)
^з =4 92 -4 91
utg?+4^+4^’
при условии, что
и^ • и- = ш2 — и2 = 0, и • g~ = и^"д^ + и^д^ + и^ д^ 0. (4.72)
Первое из условий (4.72) выполняется всегда с достаточной степенью точности при достаточно точном измерении гироскопами (или измерителями другой физической природы) вектора абсолютной угловой скорости объекта (при равенстве с достаточной степенью точности модулей измеряемого вектора абсолютной угловой скорости ио и вектора угловой скорости вращения Земли и\
Для определения значений параметров Эйлера Vj (J = 0, 1,2,3) через проекции ^^ (г = 1,2,3) вектора конечного поворота используем соотношения
/ 1/2
Z/0 = ± U + ^1 + ^2 + ^3 j = ^о^г, 2= 1,2,3.
Далее, из сопоставления элементов матрицы направляющих косинусов с, выраженной через углы ^, ^, у (см. (4.60)) с элементами той же матрицы, выраженной через параметры Эйлера Vj (j = 0, 1,2,3) (она имеет вид, аналогичный (2.20)), находим значения углов курса ^, тангажа ^ и крена у:
ф = arctgф = arctgу-^у_+Д1Ду z/q + z/2 - 0, 5 ’у-^у_+Д1Ду z/q + z/2 - 0, 5 ’= arcsin (2 (^о^з + ^1^2)),= arcsin (2 (^о^з + ^1^2)),
ф = arctg
ф = arctg
у-^у_+Д1Ду z/q + z/2 - 0, 5 ’
у-^у_+Д1Ду z/q + z/2 - 0, 5 ’
= arcsin (2 (^о^з + ^1^2)),
= arcsin (2 (^о^з + ^1^2)),
у = arctgу = arctg^0^1 - ^2^3z/q + z/j — 0, 5
у = arctg
у = arctg
Определив параметры Эйлера Vj (j =0, 1,2,3), характеризующие ориентацию объекта относительно НГСК, можно определить параметры Эйлера Xj, характеризующие ориентацию объекта относительно инерциальной системы координат £ с помощью соотношений
= cos - cos—,Х2 = Sin - Sin у,= cos - cos—,Х2 = Sin - Sin у,= cos-sin у, х3 = - sin - cos у;= cos-sin у, х3 = - sin - cos у;
= cos - cos—,
Х2 = Sin - Sin у,
= cos - cos—,
Х2 = Sin - Sin у,
= cos-sin у, х3 = - sin - cos у;
= cos-sin у, х3 = - sin - cos у;
/ А°\Ai^2\Л3// А°\Ai^2\Л3// х0 -И\И\ х0х2 х3ух3 -х2/ х0 -И\И\ х0х2 х3ух3 -х2-х2 -х3\-Х3 Х2х0 -ххXI хо у-х2 -х3\-Х3 Х2х0 -ххXI хо у^0^^2^0^^2
/ А°\
Ai
^2
\Л3/
/ А°\
Ai
^2
\Л3/
/ х0 -И\
И\ х0
х2 х3
ух3 -х2
/ х0 -И\
И\ х0
х2 х3
ух3 -х2
-х2 -х3\
-Х3 Х2
х0 -хх
XI хо у
-х2 -х3\
-Х3 Х2
х0 -хх
XI хо у
^0^
^2
^0^
^2
Здесь Ха = X Г [i = X Г Го Г tit — абсолютная долгота объекта, Xj (j = = 0, 1,2,3) — параметры Эйлера, характеризующие ориентацию НГСК относительно инерциальной системы координат.
Отметим, что последние соотношения получаются из рассмотрения рис. 4.15 и кватернионных или матричных формул сложения конечных поворотов (см. п. 3.4.1).
Рассмотрим особые случаи начальной выставки БИНС. Известно, что определение угловой ориентации объекта (инерциальных измерителей) при помощи векторных величин требует измерения не менее двух неколлинеарных векторов, ориентация которых относительно базовой
системы координат известна. Если измеряется только один вектор «1, то можно определить составляющую вектора конечного поворота объекта, перпендикулярную измеряемому вектору. Для нахождения полного вектора конечного поворота необходимо получить информацию о составляющей второго вектора а^, перпендикулярной вектору аь так как другая составляющая новой информации о повороте объекта относительно базовой системы координат не доставляет. Исходя из сказанного, можно заключить, что основные уравнения (4.65) при некоторых угловых положениях объекта могут вырождаться. Для однозначного определения взаимной ориентации систем координат Y и X необходимо из системы уравнений (4.65) выбрать такие три уравнения, которые доставляют полную информацию о повороте объекта относительно базовой системы координат, т. е. выбрать три линейно независимых уравнения.
Прежде всего, основная система уравнений (4.65), как уже отмечалось, исключает случай, когда z/q = 0, т. е. изначально не рассматриваются такие положения объекта (системы координат У), при которых базовая система координат X совмещается с системой координат Y простым полуоборотом вокруг некоторой оси. Учитывая, что случаи, когда 14 = 7г или когда у = тг, не имеют практического смысла, необходимо исключить случай ^ = тг, ^ = 0, у = 0.
Условия разрешимости основной системы g~ • g^ = 0, и~ • и^ = 0 (первые условия из (4.70), (4.72)) выполняются всегда (по крайней мере, при достаточно точных измерениях вектора кажущегося ускорения и вектора абсолютной угловой скорости объекта), а условия и- • g^ ^ Ф 0, tY • g~ 7^ 0 могут нарушаться и приводить к вырождению формул (4.69), (4.71). Очевидно, что эти условия нарушаются в следующих случаях:
a) g = 0, б) и- = 0, в) g = 0, г) и = 0, а также в случаях, когда векторы и~ и g^, и^ и g- ортогональны. Рассмотрим условия а)-г). Условие g~ = 0 означает (см. (4.66), (4.67)), что проекции вектора g на оси систем координат X и Y равны, т. е. что объект повернут вокруг вертикали на некоторый угол и его ориентация характеризуется углами: ф ^ 0, ^ = 0, у = 0. Для решения задачи начальной выставки в этом случае необходимо выбрать из системы (4.65) три линейно независимых уравнения:
—^2 + П^з =тД + и^$2 =,
-92 ^1 +9^2 = 9з = о.
sin ф1 + cos ф ’sin ф1 + cos ф ’^з = 0.^з = 0.Решение этой системы имеет вид
sin ф
1 + cos ф ’
sin ф
1 + cos ф ’
^з = 0.
^з = 0.
По
^1=0, ^2 = ЛНТ
Условие и = 0 характеризует случай, когда система координат Y повернута относительно X вокруг вектора угловой скорости Земли и
7 Ю.Н. Челноков
(когда проекции вектора и на оси этих систем одинаковы). Задачу выставки решает в этом случае следующая система уравнений:
-^2 + и^з = 0, -д^г + д^з =-дГ - g^i _д^з = д^ из которой имеем__
^3=0, ^2 = “У. ^1 = ^г-
9з Г
Условия р+ = 0, и+ = О означают, что система координат У повернута относительно X на угол тг вокруг горизонтальной оси, т. е. что ориентация объекта характеризуется углами: ^ ^ 0, ^ = тг, у = 0. Этот случай практически можно исключить из рассмотрения.
Погрешности начальной выставки можно оценить из детерминированных уравнений ошибок, которые получаются (в первом приближении) из системы (4.65):
и- • А^ + -0 • Хи- = О, н+ х А^ + Ан+ х ^ = Хи-,
(4.73) g • А^ + $ • Xg = 0,£+ х А^ + Ag+ х ^ = Xg .
Из этих уравнений видно, что погрешность ориентации объекта определяется вектором поворота А$ и зависит от взаимной ориентации трехгранников У и X, значений суммы и разности измеряемых векторов и-, и+, g-, g+ и погрешностей измерения векторов Хи-, Ан+, Xg-, Ag+, обусловленных неортогональностью осей измерительных элементов и ограниченной их чувствительностью. Точное решение системы (4.73), определяющее вектор ошибки в определении ориентации системы координат У относительно X, имеет вид
Ag+ х и" - У (Ag+ - и") -g+ (У-Au")
Из этой формулы можно определить погрешность начальной выставки при заданных погрешностях измерения векторов g и и.
Наведение приборов и устройств в кардановыхподвесах с неортогональными осями
В этом подразделе рассматривается задача о наведении в заданное угловое положение с помощью поворотов вокруг трех неперпендикулярных осей связанного с твердым телом трехгранника. С геометрической точки зрения задача заключается в разложении заданного вектора конечного поворота твердого тела на три поворота вокруг трех заданных неортогональных осей и определении условий, при которых такое разложение возможно. Такие задачи возникают, например, при наведении на цель некоторых типов антенн и приборов, оси подвесов которых выполняются существенно неортогональными, при управлении схватом манипулятора, при определении ориентации объекта по информации гироскопических систем, имеющих неточную начальную выставку или
перекосы рам кардановых подвесов [97], при анализе геометрических погрешностей гироскопических систем, различных систем наведения антенн, телескопов и других устройств, подвесы которых выполнены с геометрическими отклонениями от проекта.
Для некоторых частных случаев расположения осей подвеса эта задача решена в работах [44, 97, 106]. Например, подвес с малыми углами перекосов рам рассмотрен в [97], где дано приближенное решение задачи. С помощью матриц направляющих косинусов решена задача о наведении в заданном направлении оси прибора, жестко скрепленной с внутренним кольцом двухстепенного карданова подвеса, и рассмотрен подвес общего вида [70].
Нами приводится аналитическое решение поставленной выше задачи, построенное в работе [91] с помощью кватернионных матриц, элементами которых являются параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона). Решение основано на матричных преобразованиях и, благодаря свойствам используемых матриц, дает аналитические условия разрешимости задачи и формулы для определения трех углов составляющих поворотов.
Разложение заданного вектора конечного поворота твердого тела на три поворота вокруг трех заданных неортогональных осей. Решим задачу о разложении вектора конечного поворота на три составляющих поворота, оси которых заданы в связанной системе координат Y. Перемещение связанной с твердым телом системы координат Y относительно некоторой опорной системы координат X будем определять вектором конечного поворота (без потери общности считается, что в начальном положении системы координат Y и X совпадают). Каждому повороту будем ставить в соответствие кватернионные матрицы, составленные из параметров Родрига-Гамильтона (см. формулы (1.21)):
Ao -Ai -А2 -Аз \ Ai До —A3 А2 А2 Аз Ao — AiАз -А2 Ai До уА = (До, Аь А2, Аз); Ao = cosгде А = (Ао, Аь А2, А3) — Гамильтона (Эйлера), (р — упAo -Ai -А2 -Аз \ Ai До —A3 А2 А2 Аз Ao — AiАз -А2 Ai До уА = (До, Аь А2, Аз); Ao = cosгде А = (Ао, Аь А2, А3) — Гамильтона (Эйлера), (р — уп/ Ao -Ai —А2 -Аз \
Ao -Ai -А2 -Аз \ Ai До —A3 А2 А2 Аз Ao — Ai
Аз -А2 Ai До у
А = (До, Аь А2, Аз); Ao = cos
где А = (Ао, Аь А2, А3) — Гамильтона (Эйлера), (р — уп
Ao -Ai -А2 -Аз \ Ai До —A3 А2 А2 Аз Ao — Ai
Аз -А2 Ai До у
А = (До, Аь А2, Аз); Ao = cos
где А = (Ао, Аь А2, А3) — Гамильтона (Эйлера), (р — уп
т(А) =т(А) =Ai До Дз —А2
т(А) =
т(А) =
Д2 — Дз Aq Ai ’
\ A3 А2 -Ai До /
—, А^ = sin — cosyi, г =1,2,3,
вектор-столбец параметров Родрига- )л поворота, cosyi — направляющие
косинусы оси поворота в связанной системе координат.
Заданное угловое положение твердого тела (системы координат Уц) относительно системы координат X определим углами Эйлера- Крылова фа, сра, ха, взятыми в последовательности 3-2-1 (число в этой последовательности указывает номер оси (третья, вторая, первая), вокруг которой совершается поворот на соответствующий угол ^a, ^а^ Ха) (см., например, рисунки 4.2, 4.3). Через эти углы могут
быть однозначно выражены параметры Родрига-Гамильтона, характеризующие заданный вектор конечного поворота системы координат Уц относительно X.
С каждой из трех осей разложения заданного вектора конечного поворота свяжем правую систему координат Уг (г = 1,2,3) так, чтобы, например, ось У^ совпадала с соответствующей осью разложения. Положение оси У^ разложения относительно системы координат ¥г-Х будем определять углами Эйлера-Крылова ^, (pt, а поворот на неизвестный угол вокруг оси У^ относительно системы координат ¥,г — углом Хг- Схема поворотов, совмещающих систему координат ¥г-Х с У\ имеет вид .
уг-\ Фг^г > у Ц Хг > у гтг ,пг т3,п3
Каждому из элементарных поворотов на углы ^ и (р^ поставим в соответствие кватернионные матрицы типов тип;
Aqi
0
0 -
"^31 \
/У1
0
0
^31 \
т^ =
0
А01
"А31
0
0
хг
Л01
А31
0
0
А31
А01
0
0
— V
Л31
А01
0
U1
0
0
\ А31
0
0
Aqi /
At = (А^.О.О.А^);
^01 :
= cos
ti
2 ’
= sin
2 ’
г =
1,2,3,
(4.74)
( ^02
0
“^22
0
( Aq2
0 -
А22
0 ^
0
А02
0
^22
0
Л02
0
“Агг,
mg =
А22
0
^02
0
,П-2
А22
0
Л02
0
к 0
—А22
0
^02 /
к 0
Л22
0
Aq2 ?
‘22 Л)
; У2=СО8у,
!2 = ЭШ у,
г = 1,2,3.
Применяя матричные формулы (3.38) сложения конечных поворотов, заданных параметрами Родрига-Гамильтона, получаем
тг = т\т2, пг = п2п\, г =1,2,3.
Здесь матрицы т\ пг определяют положение оси ¥х разложения поворота в системе координат ¥г-Х.
Поворот на неизвестный
угол xt
вокруг оси ¥х
определяется мат-
рицами
/а»3 -Aj3 о о
\
^03 “^13
00 \
.AL At 00
mt =1303..
300 А*3 -Aj3
_л13л03
00
00
Л- Л- •(475)
л03 л13
\ 00 уз А^3
/
\ 00
-А)з Aq3 )
A3 = (Аоз> А]3,0,0); Aq3
Xi cos 2
, Aj3 = sin^-
, г= 1,2,3.
Для решения задачи разложения заданного вектора конечного поворота на три составляющих поворота относительно заданных осей имеем следующую схему поворотов:
улц , 'Фа^а^Ха -^ Фх^Х у-, 1 Хг у-1
^2^2 > у/2 Х2 > у2^3,^3 > у/3 Хз > уЗ(4 ?$)
Задача разложения сводится к нахождению таких углов %г (^ = = 1,2,3), для которых системы координат Уц и У3 совмещаются с помощью последовательности поворотов (4.76). Применим к схеме (4.76) матричную формулу (3.36) сложения конечных поворотов, заданных параметрами Родрига-Гамильтона (верхнюю звездочку у матриц в этой формуле опускаем):
(
к^\\ /к-\\
Ппу1ПтуА^ <477)
Требуя совпадения трехгранников Уц и У3, можно записать:
Ха = т^т^Хз = тхтХз п^ п3 п2 А2.(4.78)
Здесь матрицы тх, А2, п3 определяют ориентацию соответствующих осей разложения в связанной системе координат, матрицы т^, п|, п| определяют углы поворотов вокруг этих осей и являются неизвестными. Элементы матрицы-столбца Ха = (ао,ау,а2,аз) заданы углами фа, ^а, Ха и являются параметрами Родрига-Гамильтона, характеризующими заданный вектор конечного поворота системы координат Уц относительно X.
Используя свойства применяемых матриц (коммутативность матриц т и п), уравнению (4.78) можно придать несколько эквивалентных форм. В зависимости от условий конкретной задачи можно группировать матрицы таким образом, чтобы сократить объем вычислений. Запишем уравнение (4.78) в виде
(n|) (т1)7 Ха = п3Шзп| А2,(4.79)
где верхний символ «т» — символ транспонирования.
Перемножая матрицы в левой и правой частях уравнения (4.79) с учетом свойства их ассоциативности и приравнивая соответствующие их элементы, получаем основную систему линейных алгебраических уравнений
dys^ +(/2С+ + дзв- - d^c"= &о cos ^+^isin ^-,
d^s^ —dyc^ — (/4s- — d^c-= by cos—bosin
Хз Хз (4'80)
(/55+ +docX — djs + d^c= &2 cos —Ьзsin
d§s+ —d^c^ + d^s- + djc-= Ьз cos ^+b^sin ^
относительно неизвестных
СС= cos= cos= cos= cosХ1 +Х22Х1 +Х2288= sin= sinХ1 +Х22Х1 +Х22Х1 - Х22Х1 - Х228 = sin8 = sinХ1 - Х22Х1 - Х22Хз . Хз cos 2 ,sin 2 .Хз . Хз cos 2 ,sin 2 .
С
С
= cos
= cos
= cos
= cos
Х1 +Х2
2
Х1 +Х2
2
8
8
= sin
= sin
Х1 +Х2
2
Х1 +Х2
2
Х1 - Х2
2
Х1 - Х2
2
8 = sin
8 = sin
Х1 - Х2
2
Х1 - Х2
2
Хз . Хз cos 2 ,sin 2 .
Хз . Хз cos 2 ,sin 2 .
Постоянные коэффициенты d^ (к = 1,8) зависят от положения осей ¥2 и ¥у и определяются матрицами т2, п2, т3, п3, а коэффициенты bj (j = 0, 1,2,3) находятся из матричного равенства
(т1^ (а0, аь а2, а3) = (^0,^,^2,Ы>
где тх — заданная матрица ориентации оси У/, а^ (j = 0, 1,2,3) — переменные в общем случае коэффициенты, которые определяются углами фа, уа, ха, характеризующими заданный вектор конечного поворота.
Таким образом, применение кватернионных матриц в задаче разложения вектора конечного поворота приводит к приемлемой для аналитического решения системе уравнений (4.80). Следует отметить, что систему уравнений (4.80) можно свести к двум уравнениям в комплексной форме, если второе и четвертое уравнения этой системы умножить на мнимую единицу г и сложить полученные уравнения соответственно с первым и третьим уравнениями системы (4.80). В результате получим
D\x + D2p = B\z, D^x + D4P = B2z,
где Dj (j = 1,2,3,4), B^ (k = 1,2) — известные комплексные коэффициенты; x = s+ + гс+, p = s~ + гс-, z = sin + zcos^-, z = узуз22
= sin —— г cos —неизвестные комплексные величины, подлежащие
определению.
Найдем условия, при которых возможно наведение трехгранника ¥ в заданное угловое положение Уц, т. е. условия осуществимости разложения заданного вектора конечного поворота твердого тела на три поворота вокруг трех заданных неортогональных осей, и определим неизвестные углы поворотов х% = 1,2,3).
Из свойства ортогональности применяемых матриц следуют равенства:
У^ = Г Vbl = i,
У 3(4.81)
(/g(/2 + d^d\ — d^d^ — d^d^ = 0, dgdi + d^d^ — (/46/2 — d^d^ = 0.
Исключая неизвестные величины в левой части системы (4.80) и учитывая условия (4.81), получаем уравнение
(4.82)(4.82)Gi sin уз + G2 cos уз - Go = 0,
(4.82)
(4.82)
Gi = 2[(di^6 “ ^2^б)(^0^2 + &1Ы - (^2^6 + с^зЖо^з - &1Ы]’Gi = 2[(di^6 “ ^2^б)(^0^2 + &1Ы - (^2^6 + с^зЖо^з - &1Ы]’
Gi = 2[(di^6 “ ^2^б)(^0^2 + &1Ы - (^2^6 + с^зЖо^з - &1Ы]’
Gi = 2[(di^6 “ ^2^б)(^0^2 + &1Ы - (^2^6 + с^зЖо^з - &1Ы]’
^2 — 2[(di^6 - С^зИ^З - ^1Ы + №^6 + ^1^з)(^2 + ^1 ^з)] •
Условие, при котором тригонометрическое уравнение (4.82) имеет вещественные решения, будет одновременно и условием возможности наведения трехгранника У в заданное угловое положение Уц:
G^G^-G^ 0,(4.83)
причемпричем
причем
причем
Из уравнения (4.82) находим
зшхз =зшхз =GiGq i G2 (G^ + G^ — G^
зшхз =
зшхз =
(4.84)(4.84)G2GqTG1 (G2+G2 G2)l/2G2GqTG1 (G2+G2 G2)l/2G\^G^
(4.84)
(4.84)
G2GqTG1 (G2+G2 G2)l/2
G2GqTG1 (G2+G2 G2)l/2
На отрезке 2тг получаем в общем случае два значения угла хз: Хз(1)> Х3(2)-
Углы поворотов хь Х2 находим из системы уравнений (4.80), подставляя в их правые части последовательно значения Хз(1) и Хз(2) угла хз и решая их как систему линейных неоднородных уравнений относителестных с+, s+, с-, s-:
4 =4 = ^. «~ = ^. =~ = ^. ,= 1.2.(4.85)
где Д^О- определитель системы (4.80), А^- (г = 1,2, 3,4; j = 1,2) — определители, которые получаются из А после замены соответствующих его столбцов значениями правых частей уравнений (4.80), вычисленными при X3(j) (j = 1,2).
Анализ показывает, что в целях однозначного выбора ветви решения переход от sinx3> cosxs к $1п(хз/2), со8(хз/2) лучше всего осуществлять по схеме
Хз хз Хз
sinx3, cos хз—>Хз—>siny, C0ST’
Можно показать, что совместность системы уравнений (4.80) и единственность решения при этом обеспечиваются условием (4.83) кроме случаев вырождения, которые будут рассмотрены ниже. Так как формулы (4.84), (4.85) позволяют вычислять значения sinxi и cosxi (г = 1,2, 3) независимо друг от друга, то можно легко выбрать значения Хг(1) и Хг(2) на отрезке 2тг и при этом контролировать правильность вычислений С ПОМОЩЬЮ соотношения sin2 Хг + COS2 Хг = 1-
Таким образом, для наведения трехгранника Y в заданное угловое положение с помощью трех поворотов вокруг неперпендикулярных осей в общем случае получаем по две совокупности значений углов Хг (^ = = 1,2,3) на отрезке [0,2тг].
Применим полученные результаты к решению некоторых задач.
Наведение в заданное направление оси прибора, помещенного в двухосном кардановом подвесе, расположенном на подвижном основании. Рассмотрим задачу о наведении в заданном направлении оси прибора, жестко скрепленной с внутренним кольцом двухстепенного карданова подвеса, расположенного на подвижном основании. По заданным абсолютным угловым координатам цели и известной геометрии расположения осей подвеса на основании необходимо найти относительные углы поворотов вокруг осей подвеса, обеспечивающие наведение оси прибора в заданном направлении. При этом предполагается, что основание подвеса может занимать любое (заданное) угловое положение в пространстве, ось наружного кольца подвеса не перпендикулярна оси внутреннего кольца, а последняя не перпендикулярна оси прибора. Аналогичная задача решена с помощью матриц направляющих косинусов [69].
Введем правые системы координат: X — неподвижная (опорная); Уц — для определения положения цели относительно X, ось Y^ направлена на цель; Ун — навигационная, жестко связанная с основанием
подвеса и определяющая положение основания относительно системы координат X; У'1, У'2, У/П — связанные соответственно с основанием, наружной и внутренней рамами подвеса и служащие для отсчета неизвестных относительных углов хь Х2, ХГ Y\ Y2 — для определения положения внутренней оси подвеса и оси прибора; Уп — связанная с осью прибора, ось У" которой направлена вдоль оси прибора.
Положение каждой системы координат Уг и связанного с ним тела относительно системы координат Y1^ будем определять углами Эйлера-Крылова, взятыми в последовательности 3-2-1 и каждому углу (элементарному повороту) будем ставить в соответствие кватернионные матрицы т^, п1-. Абсолютное положение цели (точнее, направление на цель в системе координат X) будем определять углами фа, (ра; положение основания — углами ^н, (рн, ХГ положение осей подвеса и оси прибора — углами ^, ^; неизвестные углы поворотов вокруг этих осей - хь Х2, Хп-
Для наведения оси прибора на цель получим такую схему поворо
тов:тов:уц , У^ауц , У^а^i^i^i^i
тов:
тов:
уц , У^а
уц , У^а
^i^i
^i^i
(4.86)(4.86)Х1 > у1 ^2, ^2 > у/2 Х2 > у2 ^п^п > у/п Хп > уп
(4.86)
(4.86)
В данной задаче можно положить Ха = 0, так как направление на цель можно задать двумя углами, а угол Хп введен для полного совмещения систем координат Уц и Уп после совпадения осей Y^ и У".
Для схемы поворотов на углы Эйлера-Крылова в последовательности 3-2-1 (число в этой последовательности указывает номер оси, вокруг которой совершается элементарный поворот) кватернионные матрицы отдельных (элементарных) поворотов тф п^ будут иметь структуру (4.74), (4.75).
Применим к схеме (4.86) формулу сложения поворотов (4.77):
(4.87)(4.87)mH т1 т^ Пз пп п| А2 = Ха.
(4.87)
(4.87)
Здесь тн = гпфтфгпф т1 = т^тф пп = п2Пр Ха = т^Х^. Запишем матричное уравнение (4.87) в другом виде:
пптзП2А2 = (< (т^У (тн)т Ха.(4.88)
Эта форма удобна тем, что все переменные заданные матрицы (Аа, тн) находятся справа, а матрицы пп, Л2, определяющие положение внутренней оси подвеса и оси прибора, от которых зависит вырождение подвеса (системы уравнений), находятся слева.
После перемножения матриц в уравнении (4.88) получим систему уравнений для определения углов %% (^ = 1,2, 3) (хз = Хп), совпадающую с (4.80), в которой коэффициенты d^ (к = 1,8) и bj (j = 0, 1,2,3) соответственно равны
«1 —А01Л02Л31 Л22 +Л22Л31Л01 Л02 ’«1 —А01Л02Л31 Л22 +Л22Л31Л01 Л02 ’а —\^)а(2)_аП ап \(2)\(2)«2 —^01Л02Л01 Л02Л22Л31Л22 Л31 ’а —\^)а(2)_аП ап \(2)\(2)«2 —^01Л02Л01 Л02Л22Л31Л22 Л31 ’
«1 —А01Л02Л31 Л22 +Л22Л31Л01 Л02 ’
«1 —А01Л02Л31 Л22 +Л22Л31Л01 Л02 ’
а —\^)а(2)_аП ап \(2)\(2)
«2 —^01Л02Л01 Л02Л22Л31Л22 Л31 ’
а —\^)а(2)_аП ап \(2)\(2)
«2 —^01Л02Л01 Л02Л22Л31Л22 Л31 ’
р \п ап \(2)\(2)_\п ап \(2)\(2) пз —AoiA22Ao2 Л31 л02лз1л01 л22 ’р _ \п ап \(2)\(2)_\п ап \(2)\(2)а \п ап \ (2) \(2) । л п ап \(2)а(2) ^7 — ^0002^02 А31 +Л22Л31Л01 Л22 ,р \п ап \(2)\(2)_\п ап \(2)\(2) пз —AoiA22Ao2 Л31 л02лз1л01 л22 ’р _ \п ап \(2)\(2)_\п ап \(2)\(2)а \п ап \ (2) \(2) । л п ап \(2)а(2) ^7 — ^0002^02 А31 +Л22Л31Л01 Л22 ,а АП АП а (2) А (2) , лп АП \(2)а(2)—Л22Л22 ' А02А31А02 Л31 ’а ап ап а (2) а (2) , аП ап \(2)\(2) а6 — a22AoiAo1 л02 ^а02а31а31 а22 ,а АП АП \(2)а(2)_ап ап \(2)а(2). ад— А01А02А01 Л22Л22Л31Л02 Л31 ’а АП АП а (2) А (2) , лп АП \(2)а(2)—Л22Л22 ' А02А31А02 Л31 ’а ап ап а (2) а (2) , аП ап \(2)\(2) а6 — a22AoiAo1 л02 ^а02а31а31 а22 ,а АП АП \(2)а(2)_ап ап \(2)а(2). ад— А01А02А01 Л22Л22Л31Л02 Л31 ’
р \п ап \(2)\(2)_\п ап \(2)\(2) пз —AoiA22Ao2 Л31 л02лз1л01 л22 ’
р _ \п ап \(2)\(2)_\п ап \(2)\(2)
а \п ап \ (2) \(2) । л п ап \(2)а(2) ^7 — ^0002^02 А31 +Л22Л31Л01 Л22 ,
р \п ап \(2)\(2)_\п ап \(2)\(2) пз —AoiA22Ao2 Л31 л02лз1л01 л22 ’
р _ \п ап \(2)\(2)_\п ап \(2)\(2)
а \п ап \ (2) \(2) । л п ап \(2)а(2) ^7 — ^0002^02 А31 +Л22Л31Л01 Л22 ,
а АП АП а (2) А (2) , лп АП \(2)а(2)
—Л22Л22 ' А02А31А02 Л31 ’
а ап ап а (2) а (2) , аП ап \(2)\(2) а6 — a22AoiAo1 л02 ^а02а31а31 а22 ,
а АП АП \(2)а(2)_ап ап \(2)а(2). ад— А01А02А01 Л22Л22Л31Л02 Л31 ’
а АП АП а (2) А (2) , лп АП \(2)а(2)
—Л22Л22 ' А02А31А02 Л31 ’
а ап ап а (2) а (2) , аП ап \(2)\(2) а6 — a22AoiAo1 л02 ^а02а31а31 а22 ,
а АП АП \(2)а(2)_ап ап \(2)а(2). ад— А01А02А01 Л22Л22Л31Л02 Л31 ’
(4.89)(4.89)
(4.89)
(4.89)
(Ь0,Ьх,Ь2,Ь3) = (m‘)T (a0,ai,a2,a3),
а0 =а0 =cos — coscos — cos92 аУ^н92 аУ^н22. Ан . tPa + V.— sin — sin. Ан . tPa + V.— sin — sin22сц =сц =а2 =а2 =cos 2н . 'Фа Фнcos 2н . 'Фа Фн. Хн SPa SPh- Sin у cos Хн . фа "X фн. Хн SPa SPh- Sin у cos Хн . фа "X фнsm 2cossm 2cos- cos — sin—Хн Фа ~ Фн cos — cos- cos — sin—Хн Фа ~ Фн cos — cos. ya yh sm -. ya yh sm -. ^Ра У^нSIR. ^Ра У^нSIR.• Ан . Уа ун+ sin у sin COS.• Ан . Уа ун+ sin у sin COS2^а У^н2^а У^н22где
а0 =
а0 =
cos — cos
cos — cos
92 аУ^н
92 аУ^н
2
2
. Ан . tPa + V.
— sin — sin
. Ан . tPa + V.
— sin — sin
2
2
сц =
сц =
а2 =
а2 =
cos 2
н . 'Фа Фн
cos 2
н . 'Фа Фн
. Хн SPa SPh
- Sin у cos
Хн . фа "X фн
. Хн SPa SPh
- Sin у cos
Хн . фа "X фн
sm 2
cos
sm 2
cos
- cos — sin—
Хн Фа ~ Фн cos — cos
- cos — sin—
Хн Фа ~ Фн cos — cos
. ya yh sm -
. ya yh sm -
. ^Ра У^н
SIR
. ^Ра У^н
SIR
.• Ан . Уа ун
+ sin у sin COS
.• Ан . Уа ун
+ sin у sin COS
2
^а У^н
2
^а У^н
2
2
. ХнФа Фн . Га Гн
а3 = - sin у cos- sin-+
, Хн . фа - Фн Га - Гн+ cos — sin cos .
Коэффициенты bj (j = 0, 1,2,3) можно вычислять, перемножая непосредственно заданные матрицы правой части (4.88) в параметрах Родрига-Гамильтона.
Далее ведем решение по изложенной выше схеме: определяем возможность наведения оси прибора в заданном направлении по формуле (4.83), находим из (4.84) два значения угла поворота Хп = Хз, неизвестные относительные углы поворотов хь Х2 вокруг осей подвеса находятся из формул (4.85).
Рассмотрим некоторые частные случаи наведения оси прибора на цель.
А. Правильный подвес. Будем считать, что наружная ось подвеса перпендикулярна внутренней, а последняя перпендикулярна оси прибора. Пусть, например, фп = ф^ = тг/2. Тогда из формул (4.89) получим
d\ = d^, d2 = —d3, d3 = — d3, d^ = (/7, d2 + d2 = d2 + d2 =
Кроме условий (4.81) в этом случае, как нетрудно показать, имеем Gq = 0 и тогда условие (4.83) принимает вид: G2 + G2 0, т. е. выполняется всегда. Это означает, что наведение возможно в любом направлении и полностью согласуется со свойствами такого подвеса.
По формулам (4.84) получим
sinxn = ±G2(G] + G2)"1/2, cos%n = ±Gi(G] +G2)"1/2,
причем tgXn = (^0^3 — ^1М/(^2 + ^з) не зависит от d^ и все формулы в этом случае принимают простой вид.
Б. С л уч а и вырождения подвеса. Пусть ось прибора параллельна оси внутреннего кольца подвеса: А^ = Aq2 = 1, А22 = А^ = 0. Тогда из формул (4.89) следует:
d\d\~ А31 А21 ’~ А31 А21 ’^2 — ^01 А02 ’^2 — ^01 А02 ’(/7 = А(/7 = А(2) А (2) 02 Л31 ’(2) А (2) 02 Л31 ’.1» = А™А™..1» = А™А™.
d\
d\
~ А31 А21 ’
~ А31 А21 ’
^2 — ^01 А02 ’
^2 — ^01 А02 ’
(/7 = А
(/7 = А
(2) А (2) 02 Л31 ’
(2) А (2) 02 Л31 ’
.1» = А™А™.
.1» = А™А™.
(/3 = (/4 = (/5 = (/g = 0,
и основная система уравнений принимает вид
d\s^ rd^c^ = b3 cos ^ + &i sin ^, d^s^ -dyc^ = b\ cos ^ -&o sin ^,1_1 Xn 7. Xn7— , 7—7 Xn 7. Xn
—djs -\-d3c = 02 cos — — 03 sin —, d3s -\-d7c = 03 cos —+02 sin —.
(4.90)
В данном случае G2 + G2 = 0, а условие наведения оси прибора в заданном направлении принимает вид
^1 + ^2 = ^о +(4 + 4 = ^ + Ь2).(4.91)
Равенство (4.91) означает, что цель должна находиться на поверхности конуса, которую описывает ось прибора в пространстве. Так как в данном случае Х2 и Хп ~ углы поворотов вокруг одной и той же оси и наведение не зависит от угла Х2, то положив Х2 = 0, найдем
t Хп _ №^0 + ^2^1) (^ + ^s) ~ (^2 + ^8^3) (^1 + ^2)/^ д2}
g 2(dyby - d2bQ) (d^ + d^ + ^Ьз - d^ (d\ + d^) ’
a sin(xi/2), cos(xi/2) определим из любых двух уравнений (4.90).
Пусть ось внутреннего кольца подвеса параллельна оси внешнего, т°есть:Л(2) - Л(2) - 1Л(2) - Л(2) - о-
Л01 — Л02Л22 —
^1 = ^22^31’^2 = ^оМо2’ ^5 = — ^02^31’^6 = ^01^22’
d3 = (/4 = (/7 = d^ = 0.
В этом случае условие наведения имеет вид (4.91), угол Хп находим по формуле (4.92), а из первых двух уравнений основной системы (4.80) определим сумму xi + Х2- Так как повороты на углы xi и Х2 происходят вокруг одной оси, то найденная сумма xi + Х2 решает задачу.
В заключение отметим, что в отличие от известного метода [70] предлагаемый метод позволяет свести задачу к линейной в случае, когда один из трех углов задан или измеряется другими системами. К тому же свойства применяемых кватернионных матриц позволяют получить основную систему уравнений (4.80) с любым неизвестным углом Хг в их правых частях, поэтому в указанном случае (4.80) будет являться системой алгебраических линейных уравнений. Кроме этого, предлагаемый метод позволяет четко разделять ветви решения для всех трех углов поворотов, что особенно важно, например, в задаче непрерывного слежения за целью; позволяет контролировать правильность вычислений на любом этапе решения задачи, а также позволяет получить существенный выигрыш по объему проводимых вычислений в тех задачах, где информация об угловом положении основания и цели относительно опорного базиса вырабатывается непосредственно в параметрах Родрига-Гамильтона (например, с помощью бесплатформенной инерциальной навигационной системы).
Отметим также, что, применяя принцип перенесения Котельникова-Штуди, приведенное решение можно распространить на задачу о разложении заданного винта конечного перемещения свободного твердого тела на три составляющих винтовых конечных перемещения (с заданными расположениями осей перемещения). Для этого достаточно вместо использованных кватернионных матриц и вещественных параметров Родрига-Гамильтона подставить во все полученные уравнения и соотношения бикватернионные матрицы и дуальные параметры Родрига-Гамильтона.
Применение бикватернионных матрицв кинематике пространственных механизмов
Для исследования кинематики пространственных механизмов в числе других применяются винтовые методы, основанные на преобразовании систем координат, связанных со звеньями, или на перемещениях временно разомкнутой цепи механизма с последующим использованием условия замыкания. При этом все методы отличаются в основном формой оператора, осуществляющего переход от одного звена механизма к другому, и выбором системы координат.
Метод Ф.М. Диментберга [29, 30] предполагает временное размыкание цепи механизма, приведение его в «нулевое» положение, применение в качестве оператора, осуществляющего последовательное перемещение единичных винтов кинематических пар, дуальной формулы Родрига и, наконец, использование для замкнутости цепи заданных дуальных углов между осями временно удаленных звеньев. В результате для определения неизвестных относительных дуальных углов перемещений звеньев получаются алгебраические уравнения. Следует отметить, что в этом методе не применяется какая-либо система координат в явном виде.
Метод С. Г. Кислицина [30, 67] связывает с каждым шарниром систему координат, а операторами перехода от звена к звену служат дуальные матрицы размерами 3x3 (винтовые афинноры). Уравнение замкнутости механизма представляет собой произведение таких матриц и сводится к 18 вещественным уравнениям, из которых только 6 независимы. Решение этой системы уравнений, как и ранее, дает неизвестные относительные перемещения звеньев механизма.
Аналогичная схема применяется в методе Янга-Фрейденштейна [30], где вместо дуальных матриц размерами 3x3 применяется оператор-бикватернион специального вида, преобразующий в винты только такие винты, оси которых перпендикулярны оси дуального поворота. Уравнение конечных перемещений получается в виде произведения таких специальных бикватернионов, компоненты которых необходимо определять в одной неподвижной системе координат, что существенно усложняет основное уравнение. Следует отметить, что во всех указанных методах произведение используемых в них операторов конечных перемещений некоммутативно.
В этом подразделе излагается метод, предложенный в [90], в котором операторами перехода от звена к звену и от шарнира к шарниру служат бикватернионные матрицы дуальных параметров Родрига- Гамильтона размерами 4x4 и 4x1 (см. п. 1.7.3), а уравнение замкнутости представляет собой произведение этих матриц и приводится к четырем дуальным уравнениям относительно неизвестных дуальных углов. Особенность метода заключается в том, что свойства используемых матриц позволяют представить уравнение замкнутости механизма
в удобном для аналитического и численного решения на ЭВМ виде, а также позволяют получить простой алгоритм для нахождения любых относительных и абсолютных перемещений звеньев механизма. Изложение метода ведется, следуя работе [90], при этом для построения уравнений конечных перемещений звеньев механизма используются формулы сложения конечных перемещений твердого тела, заданных дуальными параметрами Родрига-Гамильтона (см. п. 3.4.2).
Пространственные механизмы с вращательными и цилиндрическими кинематическими парами. Будем рассматривать пространственные механизмы с вращательными и цилиндрическими кинематическими парами. Следуя [30], свяжем с каждым г-м шарниром механизма прямоугольную систему координат х^х^з (^г) так> чтобы ось ^з была направлена вдоль оси г-го шарнира, а ось х\ — вдоль общего перпендикуляра, пересекающего оси шарниров г и г — 1 (рис. 4.16).
Пусть Ф^ = ^ + s^ — дуальный угол, образуемый звеном zj с предыдущим звеном, а Ф^- = (pij + s^ — дуальный угол между осями z-го и j-ro шарниров. Тогда схема дуальных поворотов, совмещающих систему координат Хг с Х\ имеет вид:
(4.93)(4.93)
(4.93)
(4.93)
где 0^ = 2 tg(Ф^/2)£,^, @tj = 2tg^j/2)£7 — дуальные векторы конечных перемещений; Е^ и Е^ — единичные винты осей х^ и х3х.
Так как дуальный вектор конечного перемещения 0^ направлен по оси Xg, a ®ij ~ по оси х3х, то векторы-столбцы Xi, Mj дуальных параметров Родрига-Гамильтона и бикватернионные матрицы Ni, Mi, Nij, Mij, соответствующие этим винтам конечных перемещений, принимают вид
Xi — (А()г, 0, 0, Аз7, ^ij — (^Oij? A^j , 0, 0),
/Лш 00
-Лзг \
/ Ao» C
•0 -A3i \
0 Ло» Лзг
0
0 Aoi —Ag^ 0,
Ni =
0 Agi А()г
0
, Mi =
0 Лз^ Ло^ 0
(л3г 0 0
А()г у
\Asi 0
I 0 Ло* У
Аоу ■
_ А1 ij 0
0
Nij =
Л]у
Aoij 0
0
0
0Aq^j A\ij
( 0
0Auj Aq^j у
^-lij ^.Qij 0 О
О0Aq^jAi^j
у О0Л]уAq^j у
(4.94)
Следует особо подчеркнуть, что параметры
ф.
Aoi = COS —, Ли = Л2г = 0, A3i = sin —(4.95)
определены в системе координат Хг(Х^), а параметры K^j = = со8(Ф^/2), Mtj = 8ш(Ф^/2), Л2^ = Лз^- = 0 — в системе координат Х^'(Х^).
В соответствии с формулами (1.127), (1.128) дуальные параметры Родрига-Гамильтона в данном случае можно представить в форме
AOi = AOi + sAg^ = cos у - s^ sin у,A3i = А3г + sA^ = sin у + stp° cos у;Аоу = АОу + sAgy = cos ^ - s^ sin ^-,Aiy = Aiy + sX°y = sin ^ + sv°y cos ^-.
В соответствии co схемой преобразования систем координат (4.93) для механизма с одной степенью свободы, состоящего из п звеньев, при обходе его замкнутого контура получим такую схему дуальных поворотов:
(4.96)(4.96)
(4.96)
(4.96)
где Х° — система координат, связанная со стойкой (основанием механизма).
Пользуясь матричными формулами (3.43), (3.45), (3.47) сложения конечных перемещений (конечных дуальных поворотов) твердого тела, каждый из которых задан своими дуальными параметрами Родрига-
Гамильтона (Эйлера), запишем условие замкнутости механизма в одной из следующих форм:
2
МпМп\ — Е,
■fc+1■fc+1Г&— 1Г&— 1(4.97)
■fc+1
■fc+1
Г&— 1
Г&— 1
Mfc_,Afc_lfc = (1,0,0,0),
(4.98)
где Е — единичная матрица размерами 4x4.
Уравнения (4.97), (4.98) конечных перемещений пространственного механизма эквивалентны между собой, матрицы в них имеют вид (4.94). Каждое из уравнений (4.97), (4.98) эквивалентно системе четырех дуальных алгебраических уравнений, из которой с учетом равенств вида (1.129): Лд + Л^ + Л^ + Л^ = 1, можно найти три неизвестные
дуальные величины или шесть вещественных кинематических парамет
ров движения.
Используя равенства 7V7VT = Е, ММ1 = Е, можно легко показать, что уравнения (4.97) допускают круговую перестановку матриц. Это означает, что уравнение замкнутости можно составлять, начиная с любого звена. Особенно удобным является уравнение замкнутости механизма в форме (4.98), так как коммутативность матриц N с матрицами М позволяет привести его к наиболее рациональному для решения виду. Например, это уравнение можно записать в виде
Mu\W^4^Mx^Nuu_\M/2^^= (1,0,0,0),
где неизвестные матрицы (они подчеркнуты) сгруппированы попарно.
Пространственный четырехзвенник с одной вращательной и тремя цилиндрическими парами. Рассмотрим предлагаемую схему на примере пространственного четырехзвенника с одной вращательной и тремя цилиндрическими парами (рис. 4.17 [30]).
В соответствии со схемой поворотов (4.96) будем иметь
®3 v таЗ ®34 v та34®3 v таЗ ®34 v та34-4®41 ТА 0-4®41 ТА 0
®3 v таЗ ®34 v та34
®3 v таЗ ®34 v та34
-4®41 ТА 0
-4®41 ТА 0
Уравнение замкнутости механизма в форме (4.98) имеет вид А41А4А34А3М1М12М2Л23 = (1,0,0,0)
или вид
А41М1А4М12А34А/2А3Л23 = (1,0,0,0).
После простых преобразований, использующих коммутативность матриц М и N, получим
Л^ЛСХз = ЛДЛ^Л^<(ЛО12,-Л||2,О,О).(4.99)
В этом уравнении неизвестными являются матрицы Аз, М2, N4. Учитывая формулы (4.95) и ассоциативность произведения матриц в уравнении (4.99), после их перемножения и приравнивания соответствующих членов, получим основную систему скалярных уравнений:
ф2 + ф4 ф2 + ф4 . .
Со cosН С3 sin= Л0Л03,
Ф2 + Ф4 Ф2 + Ф4
С3 cosСо sin-= Л2Л33,
(4.100)
Ф2 - Ф4 Ф2 - Ф4
Ci cos-Н С2 sin= Л1Л33,
Ф2 - Ф4 Ф2 - Ф4 . .
С2 cos-Ci sin= Л3ЛОз,
где Ст и Ат (т = 0, 1,2, 3) известны и являются функциями заданных дуальных углов Ф^ и Фь
С учетом равенства Aq • + Ад • = 1 решение системы (4.100) дает неизвестные дуальные величины, характеризующие относительные конечные перемещения звеньев механизма:
(4.101)(4.101)Фз = Лзз =/л-С2-С2
(4.101)
(4.101)
2 Лоз У Со + сз " А\ '
Ф2 _ (ЛоЛозСз-Л2ЛззСо) (С2+С2) + (Л]ЛззС2-ЛзЛозС1) (Cq+C2)
Для определения относительных углов поворота звеньев достаточно в формулы (4.100) и (4.101) подставить главные части входящих в них величин; поступательные перемещения звеньев находятся из моментных частей тех же выражений. Таким образом, из системы (4.100) определим все неизвестные кинематические параметры Аоь Аз^, А^, А3- (г = 2,3,4), характеризующие относительные перемещения звеньев механизма.
Замечания о применении бикватернионов и бикватернионных матриц в кинематике пространственных механизмов.
Для механизмов, состоящих из 5, 6 и 7 звеньев, уравнение замкнутости в форме (4.98) также можно привести к системе уравнений, имеющей вид, аналогичный (4.100), но в этом случае шесть неизвестных кинематических параметров принадлежат более чем трем винтам и поэтому для их определения необходимо разделить уравнения конечных перемещений на главную и моментную части и решать систему из восьми уравнений с учетом условий (1.130):
Ем=о.
j=0j=0
которым должны удовлетворять дуальные параметры Родрига- Гамильтона каждого из рассматриваемых конечных перемещений.
Уравнение замкнутости механизма можно получить с помощью собственных бикватернионов перемещения. Пусть Аг — собственный бикватернион перемещения системы координат Хгз относительно Х\ Xij — собственный бикватернион перемещения системы координат Х^ относительно Хгз (рис. 4.16), причем в рассматриваемом случае
А Фг , . . Фг. Фу , . . Фу
Л» = cos — + <3 sin —, Лу = COS —^ + 11 sin 22 J 22
так как каждый из бикватернионов определен своими компонентами в базисе, преобразуемом этим перемещением.
Тогда уравнение замкнутости механизма для принятой схемы (4.96) в соответствии с бикватернионной формулой сложения собственных бикватернионов (3.22) или (3.25) имеет вид
Л1 о Л12 о Л2 о Л23 о ... о Лп_! о An-in о Лп о Лп1 = 1.
В этом уравнении бикватернионы допускают круговую перестановку, но их произведение некоммутативно. После перемножения бикватернионов и разделения скалярной и винтовой частей уравнения получим систему для определения неизвестных дуальных углов Ф^. Основной недостаток этого метода — некоммутативность умножения бикватернионов, что приводит к более сложным уравнениям, чем в случае применения бикватернионных матриц М и N, коммутирующих между собой.
Матричные формулы (3.43), (3.45) сложения конечных перемещений твердого тела и уравнения конечных перемещений (4.97), (4.98) дают эффективный способ определения любых относительных и абсолютных перемещений звеньев пространственного механизма. В самом деле, перемещение звена ij относительно системы координат Хг определяется найденными из уравнений (4.97), (4.98) параметрами винтового движения Аоь А^. Вектор-столбец дуальных параметров Родрига-Гамильтона абсолютного конечного перемещения этого же звена относительно неподвижной системы координат Х° найдем по одной из формул (3.43), (3.45):
а после разделения главной и моментной частей дуальных параметров Aq . = Aq. + sAq^ можно определить величину и направление абсолютного угла поворота и поступательного перемещения звена ij из формул:
СО8^ = ^,= " 2 Л0а.
Аналогично можно найти угловые и поступательные перемещения звена ij относительно любого другого звена механизма.
Если R — винт, жестко связанный со звеном ij механизма до перемещения, то его положение R' после перемещения относительно системы координат Хг можно определить с помощью матричного оператора конечного винтового перемещения (см. (2.55)): R' = M^R, где R и R' — четырехмерные векторы-столбцы (с нулевыми первыми элементами), составленные из дуальных ортогональных координат винтов R и R' в системе координат XV Для определения абсолютных
дуальных ортогональных координат того же винта можно воспользо
"г— 1| J Mv Mpzv+ 1"г— 1| J Mv Mpzv+ 1ваться формулой
"г— 1
| J Mv Mpzv+ 1
"г— 1
| J Mv Mpzv+ 1
Ra = М® ^nR Ra =
где R и Ra — четырехмерные векторы-столбцы (с нулевыми первыми элементами), составленные из дуальных ортогональных координат винта R в системах координат Хг и Х°.
Полученные результаты позволяют сравнить предложенный метод
исследования кинематики пространственных механизмов с другими винтовыми методами. Изложенный метод близок по своей сути методу С. Г. Кислицына, но отличается от последнего тем, что вместо 18 вещественных уравнений для решения задачи предлагает только 8 уравнений. При этом свойства бикватернионных матриц дают возможность представить эти уравнения в более удобном как для аналитического, так и для численного решения виде. Метод бикватернионных матриц
свободен также от недостатка метода Янга, в котором все винты рассматриваются в одной системе отсчета, а применяемый оператор пригоден только для цилиндрических и вращательных пар. В описанном выше решении применяются собственные бикватернионы, компоненты которых определены в базисе, преобразуемом данным перемещением, и поэтому имеют простой вид.
В заключение укажем на возможность применения метода для механизмов с другими кинематическими парами.
Построение матричных и бикватернионныхуравнений прямых задач кинематикиманипуляционных систем роботов
Схема кинематического модуля, винтовое описание элементарных конечных перемещений звеньев манипулятора. Целью решения прямых задач кинематики манипуляционных систем роботов является определение конечных положений (перемещений) манипулятора робота. В дальнейшем рассматривается построение уравнений конечных перемещений манипуляционных систем роботов с вращательными и цилиндрическими парами (вращательными В, поступательными П и винтовыми парами). Предполагается, что кинематическая
схема манипулятора состоит из элементарных кинематических модулей (ячеек), имеющих структуру, показанную на рис. 4.18, 4.19 [30, 92].
На рисунках изображены два смежных цилиндрических шарнира манипулятора: г-й и последующий j-й. С каждым г-м шарниром связывается прямоугольная система координат Y^Y^Y^ (Y1), ось Y^ которой направляется вдоль оси г-го шарнира, а ось Y^ — вдоль общего перпендикуляра, пересекающего оси шарниров г и г — 1, от оси У3г-1 к Y^ (вдоль теоретического звена [30]). Ось ^2 дополняет систему координат Y до правой. Со звеном ij, расположенным между г-м и j-m шарнирами, связывается си
стема координат Yp3Y^3Y^3 (Y'13'), ось Y^3 которой направляется от оси г-го шарнира к оси j-ro шарнира (вдоль оси Y3\ а ось У^ — вдоль оси Y^.
Переход от системы координат У\ связанной с г-м шарниром, к системе координат Y\ связанной с последующим j-m шарниром, осуществляется следующим образом [92].
Производится поступательное перемещение (перенос) на величину р^ вдоль оси шарнира У3, после которого начало координат перемещаемой системы координат У^ оказывается в точке пересечения с осью Уд общего перпендикуляра, проведенного к осям Уд и У3Т
Производится поворот (вращение) вокруг оси У3 на угол pt до тех пор, пока ось, совпадающая до поворота по направлению с осью У^, не станет параллельной оси Ур3 звена zj, совпадающей по направлению с осью У3.
В результате этих перемещений система координат, совпадающая в начальном положении с ¥\ займет положение системы координат УУ связанной со звеном ij, расположенным между z-м и j-m смежными шарнирами. Причем перемещения 1 и 2 переставимы (могут быть взяты в обратном порядке).
Производится поступательное перемещение (перенос) вдоль оси Уу3 звена ij на величину р^, обеспечивающее совмещение начала переносимой системы координат с началом системы координат УГ
Производится поворот (вращение) вокруг оси У^3 звена ij (вокруг оси У/) на угол р)^ для совмещения осей Уд. В результате система координат У У совпадающая в начальном положении с У\ займет свое конечное положение.
Замечание. Положительный отсчет углов р^ и ^производится против хода часовой стрелки (если смотреть с концов осей У^, У3\ а положительный отсчет линейных величин р° и p°j — в направлении осей У3\ У^' (У3\
Таким образом, чтобы совместить систему координат Уг с У3 необходимо осуществить преобразования, эквивалентные двум дуальным поворотам:
дуальному повороту относительно оси звена i на дуальный угол, Фг = Гг + s^, образуемый звеном ij с предыдущим звеном,
дуальному повороту относительно оси звена ij на дуальный угол Ф^- = (ptj + sip^, равный дуальному углу между осями г-го и j-ro шарниров.
Схема дуальных поворотов, совмещающих систему координат ¥г с ¥^ (определяющих переход от ¥г к ¥^\ имеет вид
у» уи Yj ~ у^ Yj.(4.102)
Y*
На схеме над стрелками и под стрелками указаны дуальные углы
и оси, относительно которых производятся дуальные повороты.
Введенные дуальные повороты описываются дуальными векторами конечных перемещений 07 и 0^-:
07 = 2tg^E7, 077 = 2tg^^E77,
6 23 ь 23(4.103)
Фг = Vi + S<PL ^ij = ^ij + S^-,
где £„ Ey — единичные винты (векторы) осей ¥^ и Y3 .
Величины (ptj и р)^, образующие дуальный угол Ф^-, являются конструктивными (геометрическими) параметрами кинематического модуля и должны быть заданы (это постоянные величины). Величины рн и р°, образующие дуальный угол Ф7, являются обобщенными координатами модуля и характеризуют относительные перемещения j-ro шарнира относительно г-го.
Матричное и бикватернионное описания геометрии движения кинематического модуля.
Описание на основе матриц дуальных направляющих косинусов.
Запишем матрицы направляющих косинусов дуальных углов между осями систем координат У^ и У\ ¥^ и ¥г¥ обозначив их через Ct = = С^) и Су = С(ФуУ
(cos Ф7 sin Ф7 0
(4.104)(4.105)(4.104)(4.105)- sin Ф7 cos Ф7 0
(4.104)
(4.105)
(4.104)
(4.105)
/ 100Су = С(ФУ) = |0COS Ф^sin Ф^к 0— sin Ф^cos Ф^/ 100Су = С(ФУ) = |0COS Ф^sin Ф^к 0— sin Ф^cos Ф^001
/ 1
0
0
Су = С(ФУ) = |
0
COS Ф^
sin Ф^
к 0
— sin Ф^
cos Ф^
/ 1
0
0
Су = С(ФУ) = |
0
COS Ф^
sin Ф^
к 0
— sin Ф^
cos Ф^
Переход от системы координат ¥г к ¥^ определяется матрицей
направляющих косинусов дуальных углов С3, имеющей вид
рз — г. г.рз — г. г.COS Ф7— cos Ф/у sin Ф7 sin Ф/у sin Ф7COS Ф7— cos Ф/у sin Ф7 sin Ф/у sin Ф7sin Ф7cos Ф/у cos Ф,— sin Ф/у cos Ф7sin Ф7cos Ф/у cos Ф,— sin Ф/у cos Ф7° \ зтФ^ . (4.106) cos Ф/у /° \ зтФ^ . (4.106) cos Ф/у /
рз — г. г.
рз — г. г.
COS Ф7
— cos Ф/у sin Ф7 sin Ф/у sin Ф7
COS Ф7
— cos Ф/у sin Ф7 sin Ф/у sin Ф7
sin Ф7cos Ф/у cos Ф,— sin Ф/у cos Ф7
sin Ф7cos Ф/у cos Ф,— sin Ф/у cos Ф7
° \ зтФ^ . (4.106) cos Ф/у /
° \ зтФ^ . (4.106) cos Ф/у /
В соответствии с представлением (1.133), (1.134) матрицы Ci и С^ запишем в виде
Сг = С(ф^ = Нф^ (Е + З^Ез) = С^е8^®3 =
(4.107)
= (Е + s^E^ c^i) = е8ф°Ез<ХрХ
(
cospisinpi 0\/ 010\
-sin picos pt 0 I, Eg =1-100 I,(4.108)
001/\ 000/
Су = С (Фу) = c^ (E + s^Ey) = сЦу) e^E' == (5 + s^Exp^tj) = е8^Е1с^у),
/100 \00с(^у) =0COS Pijsin</2y, Ev = 1 001\0-sin pijCOS Pij )\ o-10/100 \00с(^у) =0COS Pijsin</2y, Ev = 1 001\0-sin pijCOS Pij )\ o-10(4.110)(4.110)
/1
0
0 \
0
0
с(^у) =
0
COS Pij
sin</2y
, Ev = 1 0
0
1
\0
-sin pij
COS Pij )
\ o
-1
0
/1
0
0 \
0
0
с(^у) =
0
COS Pij
sin</2y
, Ev = 1 0
0
1
\0
-sin pij
COS Pij )
\ o
-1
0
(4.110)
(4.110)
где c^pi\ c(pij) — обычные (вещественные) матрицы направляющих косинусов углов между осями систем координат У^ иУ\К^ и УгЁ Е — единичная матрица размерами 3x3.
С учетом (4.107), (4.109) матрица С^ может быть представлена в одной из следующих форм:
(4.111)(4.111)С{ = es^3E1c{pij) es^E3c{pi) = c(pij) es^°3Exc(pi) е8(р°Ез =
(4.111)
(4.111)
= Ц + s^S,) с ^ij) (Е + s^E3) с ф-0 =
= с Цу) (Е + s^-E,) с(Ц (Е + 8<Е3).
Описание на основе бикватернионов.
Бикватернионы относительных конечных перемещений систем координат Угз и ¥3 введем в соответствии со схемой перемещений (4.102): Л М
Yt уч —уз _ yi —уз, (4.112)
где Л^, Xij, Х^ — бикватернионы, сопоставляемые винтам конечных перемещений 0^, 0^-, 0^.
Определяя каждый из бикватернионов в своем базисе, преобразуемом этим бикватернионом, в соответствии с (4.102), (4.103), (4.112) имеем
А» = AOi + /3A3i; A0i = cosy, A3j = siny; (4.113) Фг?Фг?
Лу = ЛОу + «1Л1у; A0y=cos-y-, Aiy=sin-y-. (4.114)
Переход от системы координат Уг к Y^ определяется бикватернионом Л7, который находится через Лг и Луу по формуле сложения собственных бикватернионов (3.22):
Л7 = Л^ о Луу = (Лог + /3A3J о (Лоуу + zi Aiyy).(4.115)
Отсюда находим компоненты Л^ (к = 0, 3) бикватерниона Л7:
NJOi = AozAozj = cos — cos
. Ф^у
= AoiAkj = cos — sin
(4116)
= A3iAkj = sin у sin у-,A 7 A A. Фг Фй
= A3iAo^ = sin у cos -у.
С учетом (1.138) бикватернионы Л7, Xij, Х^, описывающие взаимные положения систем координат У\ Угз , У\ могут быть представлены в виде
Xi = Xi О (1 + 8^ О = Xi О е^/2)-з =
о2(4.117)
1 + Sy О о Xi =о z, Xi = cos у + «з sin у,
Ху = Ху 0^1+ Sy1 <1^ = Ху О е«(^/2)«1 =
= ^1 + s-y- й^ ° Ху = е5*-*^/2)'1 о Ху,И-118)
Ху = cos у^ + Л sin у2-,
А- = 1 + s-^-/3 ° А, о 1 + s—3- /1 о Xtj =
V 2 7 V 2 у 7(4.119)
= es(^?/2)z3 о Xi о es(^ij/2)z‘i о Xij.
3) Описание на основе бикватернионных матриц.
Сопоставим винтам конечных перемещений 07, @ij (бикватернионам Xi, Х^) бикватернионные матрицы Mi, Ni и Mij, Nij;
Aoi 00 —Хзг ^
Лог 00 -Xsi ^
0 Aoi — X^i0
0 Xoi X^i 0
Mi =
о Хзг Aoi 0
, Ni =
0 — Хщ Лог 0
; (4.120)
у Л34 00 Хщ у
Щзг 00 Xoi )
AqzjAi^-О0 ^
_^M^OijОО
О о Му -Mij ’
у ООEoij /
(4.121)
f ^Qij ~E\ij О О \
AT_^ij^QijОО
о0AOv-KUj‘
у О0у
Компоненты бикватернионных матриц имеютвид(4.113), (4.114).
Переход от системы координат Уг к Y^ определяется бикватерни- онной матрицей
М/ = MiMtj(4.122)
или бикватернионной матрицей
(4.123)(4.123)N = N^.
(4.123)
(4.123)
Вместо (4.122), (4.123) для описания взаимного положения систем координат Уг и У^ может быть использовано матричное уравнение, имеющее вид.
Л^ = МЛгз = N^X.,(4.124)
А^ = (Aq^, 0,0, Лз^), Xij = (Aq^j, A^j, 0,0),
где Л^ — матрица-столбец размера 4x1, элементы которой имеют вид (4.116).
На основании (1.145), (1.146) матрицы М^ N^ М^, Nij, М?, N^ могут быть представлены в виде
Mt = mtMt = mtЕ + з^т^з)Е + з^т^з)mies^o^^m^ =mies^o^^m^ =Е + б^тСз)Е + б^тСз)т^е^^^ту (4.125)т^е^^^ту (4.125)Ni = ту Е + s1^- пЧз)Ni = ту Е + s1^- пЧз)s{Vo,/2)n(i3) =s{Vo,/2)n(i3) =
Mt = mt
Mt = mt
Е + з^т^з)
Е + з^т^з)
mies^o^^m^ =
mies^o^^m^ =
Е + б^тСз)
Е + б^тСз)
т^е^^^ту (4.125)
т^е^^^ту (4.125)
Ni = ту Е + s1^- пЧз)
Ni = ту Е + s1^- пЧз)
s{Vo,/2)n(i3) =
s{Vo,/2)n(i3) =
(4.126)
Mij — THij
Е + в^- m(i\)
тпце3^г^^т^ =
Е + в^- m(i\)
mij = es^i^2>>m^mij,
(4.127)
(4.128)(4.128)М^ = mtМ^ = mtЕ + s ^ m(i3)Е + s ^ m(i3)туту5 + s-^-m(ii)5 + s-^-m(ii)
(4.128)
(4.128)
М^ = mt
М^ = mt
Е + s ^ m(i3)
Е + s ^ m(i3)
ту
ту
5 + s-^-m(ii)
5 + s-^-m(ii)
трШ^™^тр1р№™^\ (4.129)
Ni = nijNi = nijE^S^-TL^v)E^S^-TL^v)ПгПгЕ + з^ЦС)Е + з^ЦС)
Ni = nij
Ni = nij
E^S^-TL^v)
E^S^-TL^v)
Пг
Пг
Е + з^ЦС)
Е + з^ЦС)
= пуеЧ^СМО^еЧ^СМУ. (4.130)
Матрицы т(ц\ m^Y n(i\\ п(1з), фигурирующие в (4.125)(4.130), имеют вид
(°
-1
0
0\
/о
-1
0
0\
1
0
0
0
1
0
0
0
m^i) =
0
0
0
-1
, п^ =
0
0
0
1
,(4-131)
0
1
0
-1
/0
0
0
“А
/о
0
0 ■
“А
0
0 -
-1
0
0
0
1
0
m(z3) =
0
1
0
0
, Ц1з) =
0
-1
0
0
.(4.132)
V
0
0
V
0
0
Кватернионные матрицы т^ п^, ту, тцр фигурирующие в (4.125)(4.130), имеют вид, аналогичный (4.120), (4.121), и составлены из вещественных параметров Родрига-Гамильтона Aoi, Ag^; Aq^, A^j (главных частей дуальных параметров Лоь К^\ K^tp ^ijY
Уравнения прямых задач кинематики манипуляционных систем роботов. Полагая, что кинематическая схема манипулятора состоит из п последовательно соединенных элементарных кинематических модулей, получим следующие уравнения для определения конечных положений (перемещений) манипулятора робота.
Уравнения в матрицах дуальных направляющих косинусов:
рт лОгт pin— 1z^3z^2z^l рт лОгт pin— 1z^3z^2z^l (4.133)(4.133)
рт лОгт pin— 1z^3z^2z^l
рт лОгт pin— 1z^3z^2z^l
(4.133)
(4.133)
п = 2, 3,.
Уравнения в бикватернионах:
Л = Лд = Лд о Л] о Л2 О О Л”_, о Л° =
■о0■о0° Лп = Л0 °° Лп = Л0 °°Л“ =°Л“ =
■о0
■о0
° Лп = Л0 °
° Лп = Л0 °
°Л“ =
°Л“ =
= Х\Оте8^№оХгОе8^№
= ло °= ло °*^+1 ;*^+1 ;1 г V 2 п = 2,3,.1 г V 2 п = 2,3,.°А°„,°А°„,Уравнения в бикватернионных матрицах:М = М^ = М^М1 ... М" .м^ =UU 1 Zio 1/ оУравнения в бикватернионных матрицах:М = М^ = М^М1 ... М" .м^ =UU 1 Zio 1/ о(4.134)(4.134)
= ло °
= ло °
*^+1 ;
*^+1 ;
1 г V 2 п = 2,3,.
1 г V 2 п = 2,3,.
°А°„,
°А°„,
Уравнения в бикватернионных матрицах:
М = М^ = М^М1 ... М" .м^ =
UU 1 Zio 1/ о
Уравнения в бикватернионных матрицах:
М = М^ = М^М1 ... М" .м^ =
UU 1 Zio 1/ о
(4.134)
(4.134)
М« =
m.eS(^/2)m(,-3)mii+ieS(y°1+1/2)m(i1) м0 =
Е + s-^-m^s) mii+i E + sn = 2,3,.Е + s-^-m^s) mii+i E + sn = 2,3,.<+12<+12м^м^(4.135)(4.135)
Е + s-^-m^s) mii+i E + sn = 2,3,.
Е + s-^-m^s) mii+i E + sn = 2,3,.
<+1
2
<+1
2
м^
м^
(4.135)
(4.135)
N = N£ = №п^_^ ... N^N^ =
(4.136)(4.136)\/ 1\
(4.136)
(4.136)
И TV* = ^ П N»+vNt <
i=n— 1/\i=n—1/
Фигурирующие в уравнениях (4.133)-(4.136) прямых задач кинематики манипуляционных систем роботов матрицы направляющих косинусов (дуальные и вещественные), бикватернионы перемещений
и кватернионы поворотов, бикватернионные и кватернионные матрицы определяются (в их различных формах) соотношениями (4.104)(4.111), (4.113)-(4.119), (4.125)-(4.132) соответственно.
Матрицы дуальных направляющих косинусов Cq и С^, бикватернионы Ад и Л^, бикватернионные матрицы Mq(^) и M^N^ характеризуют собой положение оси ¥^ первого шарнира манипуляционной системы относительно системы координат X = У0, связанной с неподвижным основанием, и поворот выходного звена манипулятора вокруг оси ¥^ последнего шарнира на дуальный угол Фп = усп + s^ соответственно.
При получении уравнений были учтены правила сложения конечных перемещений в матрицах дуальных направляющих косинусов, бикватернионах и бикватернионных матрицах, а также учтено, что j = = г + 1.
Отметим, что с использованием бикватернионных матриц двух типов (см. матричную формулу (3.43) сложения конечных перемещений, заданных собственными бикватернионами) матричное уравнение для определения конечных положений (перемещений) выходного звена робота-манипулятора может быть записано в других формах, более удобных для решения тех или иных прямых задач кинематики роботов- манипуляторов.
Глава 5
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ КИНЕМАТИЧЕСКИЕУРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛАС ОДНОЙ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ
Угловая скорость вращения твердого тела
а центры лежат на этой осиаа центры лежат на этой осиаВ самом деле, если МВ самом деле, если МВращение тела вокруг неподвижной оси. Если твердое тело движется так, что две его точки А и В остаются неподвижными, то движение тела называется вращательным, точнее, вращением вокруг неподвижной оси, а прямая АВ — осью вращения. При вращательном движении твердого тела траектории всех его точек — окружности, плоскости которых перпендикулярны к оси вращения, м. рис. 5.1 а).
а центры лежат на этой оси
а
а центры лежат на этой оси
а
В самом деле, если М
В самом деле, если М
какая-нибудь точка тела, то в силу неизменяемости расстояний АМ и ВМ точка М должна постоянно оставаться как на поверхности сферы, описанной из точки А радиусом АМ, так и на поверхности сферы, описанной из точки В радиусом ВМ. Следовательно, она остается на линии пересечения обеих сфер, т. е. на окружности, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения АВ, центр лежит на этой оси, а радиус равен расстоянию точки до оси вращения. Если точка М лежит на оси, то радиус
окружности обращается в нуль, так что точки оси вращения остаются неподвижными.
Положение вращающегося тела может быть определено взятым
с соответствующим знаком двугранным углом ср между двумя полуплоскостями, проходящими через ось вращения, одна из которых, Q,
неподвижна относительно выбранной системы отсчета, а другая, Р, неизменно связана с телом (см. рис. 5.1 б). Для определения знака угла р с осью вращения совмещают координатную ось AZ и считают, что угол р > 0, если с положительного конца оси Z угол р виден отложен
ным от неподвижной полуплоскости против хода часовой стрелки.
Положение тела в любой момент времени t определяется уравнением р = p(t), являющимся законом вращательного движения. Если за промежуток времени At угол р получает приращение Ар, то величина ш* = Ар/At называется средней угловой скоростью тела за данный
At 0, т. е.At 0, т. е.промежуток времени. Предел, к которому стремится эта величина при
At 0, т. е.
At 0, т. е.
(5.1)(5.1).. Ac; dip hm —— = —— = р
(5.1)
(5.1)
м^о At dt
называется угловой скоростью тела в данный момент времени или просто угловой скоростью вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
Размерностью угловой скорости, когда угол р измеряется в радианах, будет 1/время, а единицей измерения служит сек-1.
Движение твердого тела вокруг неподвижной оси в данный момент времени характеризуют вектором угловой скорости сщ направленным по оси вращения (см. рис. 5.1 б). Длина этого вектора изображает в некотором масштабе модуль угловой скорости, т. е. |о;|, а направление выбирается так, чтобы наблюдатель, смотрящий с конца вектора, видел вращение тела совершающимся против хода часовой стрелки (по правилу правого винта).
Если правую систему координат заменить на левую, то направление вектора и) должно быть заменено на противоположное, так что и) есть вектор аксиальный. Кроме этого, очевидно, что и) есть скользящий вектор, который можно считать приложенным в любой точке оси вращения тела.
Величина шг, определяемая равенством (5.1), выражает численное или алгебраическое значение угловой скорости и представляет собой, по существу, проекцию вектора ш на ось Z, направлением которой определяется знак угла р.
Если во все время движения ujz = const, то вращение тела называется равномерным. Закон такого вращения, если обозначить через ро начальный угол поворота тела, будет: р = ро + w^t.
Введем в рассмотрение две системы координат: неподвижную X (ОХ1Х2Х3) и связанную с твердым телом Y (ОУ1У2У3). Координатные оси ОХ3 и OY3 направим вдоль неподвижной оси вращения тела (см. рис. 5.2).
Скорость произвольной точки М твердого тела v = dr/dt, где г — радиус-вектор точки М. Вектор скорости v направлен по касательной к окружности радиуса OqM в сторону вращения тела, а его модуль равен О^М\шг\ = OoM\dcp/dt\.
Можно убедиться, что, в соответствии со сказанным, вектор v будет равен векторному произведению ио х г, т. е. что скорость произвольной точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера
\ =ио = — е = шге, = —,(5.2)
dtdt
где е — единичный вектор, направленный вдоль оси вращения тела.
Проектируя векторное равенство (5.2) на связанные координатные оси У, получим формулы для нахождения проекций Dt (г = 1,2,3) вектора скорости v на эти координатные оси:
^1 = ~^У%^2 = шгуь п3 = О,
где yi (^ = 1,2,3) — координаты точки М тела в системе координат У.
Аналогичный (ковариантный) вид имеют проекции вектора скорости v на неподвижные координатные оси.
Замечание о перманентной и мгновенной осях вращения. Если скорости точек тела, лежащих на оси АВ, равны нулю во все время движения, то эта ось называется перманентной или постоянной осью вращения. Изложенные выше результаты относятся именно к этому случаю. Если же скорости точек тела, лежащих на некоторой оси, равны нулю только в данный момент времени, то эта ось называется мгновенной осью вращения. Значения скоростей всех точек тела в этом случае также определяются формулой (5.2), где векторная величина ио, направленная по мгновенной оси вращения, называется мгновенной угловой скоростью тела. В отличие от перманентной оси, мгновенная ось
вращения, а с ней и вектор мгновенной угловой скорости и) непрерывно изменяют свое направление как в самом теле, так и по отношению к основной (неподвижной) системе отсчета.
Движение твердого тела с одной неподвижной точкой.
Теорема Эйлера-Даламбера. Рассмотрим теперь движение абсолютно твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Докажем [23], что в этом случае имеет место теорема Эйлера-Даламбера: Всякое перемещение твердого тела около неподвижной точки можно получить одним только поворотом тела вокруг определенной оси, проходящей через эту точку и называемой осью конечного вращения.
Как известно, положение твердого тела в пространстве определяется положением любых трех его точек, не лежащих на одной прямой. Если точка О тела неподвижна, то его положение определится положением любых двух других точек, не лежащих на одной прямой с точкой О.
Опишем из неподвижной точки О тела, как из центра, сферу произвольного радиуса и на этой сфере возьмем две точки А и В (см. рис. 5.3); тогда положение тела можно определить положением дуги АВ большого круга рассматриваемой сферы.
Пусть тело переместилось так, что дуга АВ заняла положение А\В\, тогда, соединив точки А и Ai, В и В\ дугами большого круга
и восстановив из середины этих дуг С и D сферические перпендикуляры (т. е. проведя через точки С и D дуги больших кругов, пересекающих ортогонально дуги AAi и ВВ\), получим в пересечении их на сфере точку Oi, которая будет равноудалена от точек А и А\, В и В\. При этом сферические треугольники АВО\ и А\В\О\ будут равны. Повернув тело вокруг оси 001 на угол АО\А\, равный углу ВО\В\, мы совместим дугу АВ с дугой А\В\. Следовательно, пере
мещение тела из положения, определяемого дугой АВ, в положение, определяемое дугой А\В\, действительно получается одним только поворотом вокруг оси ОО\.
Геометрическая картина движения. Подвижный и неподвижный аксоиды. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой можно рассматривать как непрерывную последовательность элементарных перемещений (поворотов вокруг этой точки). Согласно теореме Эйлера-Даламбера, всякое такое элементарное перемещение можно осуществить одним только поворотом на бесконечно малый угол вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку
и называемой мгновенной осью вращения. Таким образом, движение твердого тела с одной неподвижной точкой можно рассматривать как непрерывную последовательность бесконечно малых поворотов вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через эту точку.
Геометрическое место мгновенных осей вращения при движении тела образует в пространстве, связанном с неподвижной системой отсчета, конус, называемый неподвижным аксоидом (от слова axis — ось). Кроме этого, мгновенная ось вращения при движении тела изменяет свое положение в самом теле (точнее, в пространстве, связанном с телом). Эта коническая поверхность, образуемая семейством мгновенных осей вращения в пространстве, связанном с движущимся телом, называется подвижным аксоидом.
Подвижный и неподвижный аксоиды имеют общую вершину в неподвижной точке О, и в каждый данный момент времени мгновенная ось
Рис. 5.4Рис. 5.4вращения будет служить общей образующей для подвижного и неподвижного аксоидов. Таким образом, подвижный аксоид при движении твердого тела с одной неподвижной точкой будет катиться без скольжения по неподвижному аксоиду.
Рис. 5.4
Рис. 5.4
Примером твердого тела с одной неподвижной точкой может служить волчок с неподвижной точкой О (см. рис. 5.4), совершающий так называемую регулярную прецессию (волчок вращается вокруг своей оси OZ, а эта ось обращается в свою очередь вокруг вертикали О£ так, что угол между ося
ми OZ и О^ остаетсями OZ и О^ остаетсяпостоянным. При этом движении мгновенная
ми OZ и О^ остается
ми OZ и О^ остается
ось вращения волчка ОР, лежащая между осями О£ и OZ, описывает относительно неподвижного пространства неподвижный конус 1, а в самом теле — подвижный конус 2; при движении волчка около точки
О подвижный конус (аксоид) будет катиться без скольжения по непо
движному.
Мгновенная угловая скорость тела. Угловая скорость и), с которой происходит элементарный поворот твердого тела с одной неподвижной точкой вокруг мгновенной оси вращения, называется, как уже отмечалось, мгновенной угловой скоростью или угловой скоростью тела в данный момент времени. Вектор ш направлен вдоль мгновенной оси вращения и может быть приложен в любой ее точке, в частности, в точке О, общей для всех мгновенных осей. При движении тела вектор и) в общем случае изменяется со временем и по модулю и по направлению, т. е. ш = cj(t).
Скорость произвольной точки М твердого тела с одной неподвижной точкой определяется, как и в случае вращения тела вокруг неподвижной оси, формулой Эйлера
(5.3)(5.3)V = Ш X г,
(5.3)
(5.3)
однако в этом, более общем случае, вектор ш не имеет такой простой связи (см. формулу (5.2)) с эйлеровым углом поворота щ и единичным вектором е эйлеровой оси поворота тела.
Рассмотрим бесконечно малое перемещение твердого тела с одной неподвижной точкой О. Радиусы-векторы r(t) и r(t + At) произвольной точки М тела до и после бесконечно малого поворота твердого тела в соответствии с формулой Родрига (2.6) связаны соотношением
r(t + At) = r(t) + 50 х r(t),(5.4)
где 50 = 5ще§ — вектор бесконечно малого поворота твердого тела, 5щ — бесконечно малый угол поворота, е§ — единичный вектор оси бесконечно малого поворота тела.
Деля (5.4) на At и переходя в полученном соотношении к пределу,
получим:получим:limAt^OlimAt^Or(t + At) — r(t)Atr(t + At) — r(t)At= v(t) = - X ,(f).= v(t) = - X ,(f).(5.5)(5.5)
получим:
получим:
lim
At^O
lim
At^O
r(t + At) — r(t)At
r(t + At) — r(t)At
= v(t) = - X ,(f).
= v(t) = - X ,(f).
(5.5)
(5.5)
Сравнивая (5.3) c (5.5), получим связь вектора мгновенной угловой скорости твердого тела с вектором бесконечно малого поворота тела:
(5.6)(5.6)50 = ш dt.
(5.6)
(5.6)
Найдем проекции ищ (г = 1,2,3) вектора и) на оси системы координат У, связанной с телом и имеющей начало в неподвижной точке О тела. Для этого получим выражения для проекций уг вектора v скорости произвольной точки М твердого тела на оси связанной системы координат. Запишем радиус-вектор г точки М в виде разложения по связанным координатным осям: г = у\ух + у2у2 + ИзУз> гДе У г ~ координаты точки М в системе координат У; yi — единичные векторы связанных координатных осей.
Дифференцируя это равенство по времени и учитывая, что координаты yt (г = 1,2,3) являются постоянными величинами (так как точка М принадлежит телу), получим для вектора скорости v следующее выражение:
dr dux du 9 dyo
Умножая скалярно это векторное соотношение последовательно на единичные векторы yv у2, Уз, получим выражения для проекций v^ (г = 1,2,3) вектора скорости на связанные оси:
3 Г d \
vi = v-yi = ^yk(^ -УЛ , г = 1,2,3. (5.7) k=l X /
8 Ю.Н. Челноков
Так как векторы ух, у2, Уз единичны и ортогональны, то для них справедливы равенства
Ук-Ук = х' к =1,2,3, yv-y2=0, yv-y3=0, у.гу,=0.
Дифференцируя эти равенства, получим
V^.u -о fc—123 ^l.u--^.u
(5.8)(5.8)Д dt Ук~^ к~х’^^ dtdt «2.
(5.8)
(5.8)
К=1
ИИ^3„ __^2„dt *92" dt *93'вводя обозначенияdt ’9x" dt '93'^3„ __^2„dt *92" dt *93'вводя обозначенияdt ’9x" dt '93'(5.9)(5.9)^3 .„ = „^ .„
И
И
^3„ __^2„
dt *92" dt *93'
вводя обозначения
dt ’9x" dt '93'
^3„ __^2„
dt *92" dt *93'
вводя обозначения
dt ’9x" dt '93'
(5.9)
(5.9)
dt У' dt Уз’
Учитывая соотношения (5.8)
_ dy2 _ dy3
^"dt’93" dt ’9з’
запишем выражения (5.7) для проекций вектора скорости произвольной точки твердого тела на связанные с ним координатные оси в сле
дующем виде:
*#1 )^3 ” (’^2 ) У2 = ^2^/3 -^2,
(5.10)(5.10)dyxА/А
(5.10)
(5.10)
hi *У2*Уз) ш=Шз^
vs =к~сЕ*^зр2 -I'УхЪх=ШХУ2 -^ух-vs =к~сЕ*^зр2 -I'УхЪх=ШХУ2 -^ух-dy2А/ ^УзА
vs =к~сЕ*^зр2 -I'УхЪх=ШХУ2 -^ух-
vs =к~сЕ*^зр2 -I'УхЪх=ШХУ2 -^ух-
Проектируя векторную формулу (5.3) для вектора скорости произвольной точки твердого тела на связанные с ним координатные оси и сравнивая полученные при этом выражения для проекций v^ (г = = 1,2,3) вектора скорости с выражениями (5.10), убеждаемся в их совпадении. Таким образом, величины сщ, определенные формулами (5.9), являются проекциями вектора мгновенной угловой скорости твердого
тела на связанные с ним координатные оси.
Кинематические уравнения Эйлера
Будем считать, что точка О твердого тела неподвижна, и что система координат У, жестко связанная с телом, совпадала в его начальном положении с опорной системой координат X. Тогда твердое тело может быть переведено из этого начального положения в любое конечное положение с помощью трех поворотов на углы Эйлера: прецессии ф, нутации и собственного вращения (р (см. рис. 5.5).
Рассмотрим два положения твердого тела: первое определяется значениями ф, ^, (р эйлеровых углов, второе, бесконечно близкое
Х3(У3°)
Рис. 5.5
к первому, их значениями ф + 5ф, d + 50, (р + 5(р. Переход из первого положения во второе можно осуществить с помощью трех бесконечно малых поворотов, определяемых векторами
5ф = 5фхз, 50 = 50у\, 8ср =у3.
Здесь 5ф, 50, 5(р — углы бесконечно малых поворотов; хд, у\ и у3 — единичные векторы осей прецессии, нутации и собственного вращения (осей ОХз, ОК, ОУз, показанных на рис 5.5).
Вектор 50 результирующего бесконечно малого поворота равен геометрической сумме векторов слагаемых поворотов:
50 = 5ф + 50 + Sip = 5фхз + 60у\ + 5ру3.
Из этого равенства с учетом равенства (5.6) и аналогичных равенств
5ф = (^‘хз) dt, 50 = (0*^) dt, 5р = ^р*Уз) dt, связывающих векторы бесконечно малых поворотов с мгновенными угловыми скоростями элементарных (отдельных) поворотов, получим выражение для вектора мгновенной угловой скорости твердого тела:
ш = ф’х3 + i9’y\ + ^Уз-(511)
Приведем другое, более простое, доказательство формулы (5.11). Положение (движение) твердого тела с одной неподвижной точкой в пространстве можно однозначно характеризовать (задавать) тремя углами Эйлера, поэтому мгновенное движение такого тела можно представлять как композицию трех мгновенных плоских эйлеровых вращений (в любой последовательности) с мгновенными угловыми скоростями прецессии ф*Хз, нутации 0*у\ и собственного вращения р* Уз- Поскольку векторы этих угловых скоростей пересекаются в одной (неподвижной) точке О тела, то в соответствии с теорией сложного движения твердого тела [23] результирующее мгновенное движение твердого тела представляет собой мгновенное вращение с мгновенной угловой скоростью, определяемой формулой (5.11).
Проектируя векторное равенство (5.11) на связанные координатные оси, получим связи проекций сщ (г = 1,2,3) вектора мгновенной угловой скорости твердого тела с углами Эйлера и их первыми производными по времени:
(5.12)(5.12)= ^*cos(/7 + ^‘sin^sin^, cj2 = —^* sin 92 + ^‘sin^cosc/;,
(5.12)
(5.12)
^3 = Ф + Ф* cos^.
Разрешая соотношения (5.12) относительно производных ф\ ^*, ф\ получаем кинематические уравнения Эйлера, имеющие вид
У* = 0)1 COS ф — 0)2 sin ф,У* = 0)1 COS ф — 0)2 sin ф,1 , ..
У* = 0)1 COS ф — 0)2 sin ф,
У* = 0)1 COS ф — 0)2 sin ф,
(5.13)(5.13)ф = —7 (^1 sin Г + ^2 COS фУ Sin V
(5.13)
(5.13)
ф* = 0)3 — ctgid(u\ sine/; + 002 со$ф).
Получим другую форму кинематических уравнений Эйлера. Для этого спроектируем векторное равенство (5.11) на оси опорной (неподвижной) системы координат X. Обозначая через о)* = ш*ф\ (г = = 1,2,3) проекции вектора ш мгновенной угловой скорости твердого тела на оси опорной системы координат, получим
cj* = $* cos ф + ф* sin $ sin ф, ^2 = ^* sin ф — ф* sin $ cos ф,
Ш* = ф* + фе cos^.
Разрешая соотношения (5.14) относительно производных ф\ -дф фф получим другую форму кинематических уравнений Эйлера, связывающих проекции о)* (г = 1,2,3) вектора мгновенной угловой скорости твердого тела на оси опорной системы координат с углами Эйлера и их первыми производными по времени:
Ф* = 0)3 — Ctg $ (щ^ sin Ф — 0)2 COS Ф) , id* = Щ^ COS Ф + 0^2 sin ф,
Ф* = . ^ (о)^ sin^ — 0)2 cos^). (5.15)
Уравнения (5.13) и (5.15) в случаях, когда ш^ = орфф ф = 1,2,3) или когда ш* = оо*фф т. е. когда проекции вектора мгновенной угловой скорости твердого тела на связанные с ним координатные оси или на оси опорной системы координат являются известными функциями времени, образуют системы нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений третьего порядка относительно углов Эйлера ф, Д ф. Эти системы имеют особую точку ^ = 0, в которой кинематические уравнения Эйлера вырождаются.
Отметим, что существование особой точки ^ = 0 в уравнениях движения твердого тела с одной неподвижной точкой в большинстве случаев не связано с физикой движения твердого тела, а обусловлено выбранным нами способом описания движения твердого тела, и, следовательно, от этой особой точки можно избавиться за счет использования другого способа описания движения (например, за счет использования в качестве кинематических параметров направляющих косинусов углов или параметров Эйлера). Исключение составляет слу-
чай, когда неподвижная точка твердого тела материализуется с помощью трехосного карданова подвеса, реализующего повороты твердого тела на углы Эйлера. В этом случае особая точка ^ = 0 отвечает эффекту складывания рам карданова подвеса, при котором твердое тело теряет одну степень свободы.
Кинематические уравнения в самолетных углах
Как отмечалось в п. 1.2.1, недостатком углов Эйлера является отсутствие симметрии (два поворота совершаются вокруг одноименных осей ОХз и О Уд), что приводит к тому, что малому угловому отклонению твердого тела от его начального положения соответствуют лишь малые значения угла ^ и суммы углов ^ + ^ (но не малые, в общем случае, значения каждого из углов ф, ф, которые могут быть по величине любыми). Это усложняет аналитическое исследование в тех случаях, когда используются уравнения, линеаризованные в окрестности какого- либо равновесного положения.
От указанного недостатка свободна другая система угловых кинематических параметров — углы Крылова, одна из разновидностей которых, так называемые самолетные углы, широко используемая в авиации и космонавтике, приведена на рис. 5.6.
Рис. 5.6
Ориентация системы отсчета X, в которой рассматривается угловое положение твердого тела (летательного аппарата), определяется направлением местной (географической) вертикали и выбранным направлением в плоскости горизонта для текущей точки местоположения летательного аппарата (самолета): ось ОХ2 направляется по местной вертикали от центра Земли, ось ОХ\ располагается в плоскости горизонта и направляется на выбранную характерную точку (в случае, когда X — географический сопровождающий трехгранник, ось ОХ\
направляется на географический север), ось ОХ3 дополняет систему координат X до правой. С летательным аппаратом жестко связана система координат Y: ее ось OY\ направляется вдоль продольной оси летательного аппарата, ось OY2 — вдоль нормальной, а ось OY3 — вдоль поперечной.
Угловое положение (ориентация) летательного аппарата в системе координат X задается углами рыскания ф (курса — ф, когда X — географический сопровождающий трехгранник), тангажа ^ и крена у в соответствии с последовательностью поворотов, показанной на рис. 5.6. При этом малому отклонению летательного аппарата (твердого тела) от его начального положения соответствуют малые значения всех трех углов (рыскания (курса), тангажа и крена).
Вектор и) мгновенной угловой скорости твердого тела связан с мгновенными угловыми скоростями рыскания ф*х^, тангажа $* у^ и крена у*ух соотношением, аналогичным (5.11):
ш = <Щ2 + 'Оз + 7"У1- (5.16) где Х2, у'з и ух — единичные векторы осей рыскания, тангажа и крена (осей ОХ2, ОУф OYi, показанных на рис. 5.6).
Проектируя векторное равенство (5.16) на связанные координатные оси, получим связи проекций сщ (г = 1,2,3) вектора мгновенной угловой скорости твердого тела с самолетными углами и их первыми производными по времени:
ш\ = 7* + ^‘sin^, 0)2 = iTsiny + ф* cos^ cos 7,
(5.17) шз = id cos 7 — ф cos ^ sin 7.
Разрешая соотношения (5.17) относительно производных ф*, $\ 7’, получаем кинематические уравнения твердого тела с одной неподвижной точкой в самолетных углах:
Ф* = —^ (^2 COS у — 0)3 sin у), id* = 0)2 sin 7 + 0)3 cos 7,7* = o)i — tg^ (0)2 cos 7 — 0)3 sin 7).
Уравнения (5.18) в случае, когда ш^ = шфф (г = 1,2,3), т. е. когда проекции вектора мгновенной угловой скорости твердого тела на связанные с ним координатные оси являются известными функциями времени, образуют систему нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений третьего порядка относительно самолетных углов ф, id, 7. Эта система имеет особые точки = ±тг/2, в которых кинематические уравнения в самолетных углах вырождаются. Существование этих особых точек, как и особой точки в кинематических уравнениях Эйлера (см. замечание в конце п. 5.2), в большинстве случаев не связано с физикой движения твердого тела, а обусловлено выбранным нами способом описания движения твердого тела в самолетных углах.
Кинематические уравнения Пуассона
Кинематические уравнения Пуассона устанавливают связи направляющих косинусов с^ = уг- Xk (г, к = 1,2, 3) углов между осями OY^ и ОХ^ связанной и опорной систем координат и их первых производных по времени с проекциями вектора и) мгновенной угловой скорости твердого тела на связанные или опорные координатные оси. Получим эти уравнения.
Рис. 5.7Рис. 5.7
Рис. 5.7
Рис. 5.7
Дифференцируя по времени соотношения уг = c^Xi + с^х^ + 43X3 (г = 1,2,3), связывающие единичные векторы уг связанной системы координат Y с единичными векторами х^ опорной системы координат X (см. рис. 5.7), получим
d-Угdtd-Угdtз= ^ХХк=ШХУг =к = Хз= ^ХХк=ШХУг =к = ХXi Х2 Х3и* ^з*41 42 43Xi Х2 Х3и* ^з*41 42 43г = 1,2,3;г = 1,2,3;
d-Угdt
d-Угdt
з
= ^ХХк=ШХУг =
к = Х
з
= ^ХХк=ШХУг =
к = Х
Xi Х2 Х3
и* ^з*
41 42 43
Xi Х2 Х3
и* ^з*
41 42 43
г = 1,2,3;
г = 1,2,3;
здесь, как и прежде, и* — проекции вектора ш мгновенной угловой скорости твердого тела на оси опорной системы координат.
Из этого векторного соотношения получаем, приравнивая коэффициенты при ортах х^ (к = 1,2,3), скалярные уравнения
(5.19)(5.19)С^ — ^2^3^з42,^2 — ^341 ШХС^,
(5.19)
(5.19)
ci3 = caxci2 - Цен, г = 1,2,3.
и матричные уравнения
/ си42\ 43/ си42\ 43/О -ш^ ИЦ 0 -ш*х \ -^2 Ш1 0/О -ш^ ИЦ 0 -ш*х \ -^2 Ш1 042, \ 4342, \ 43г = 1,2,3.г = 1,2,3.
/ си
42
\ 43
/ си
42
\ 43
/О -ш^ И
Ц 0 -ш*х \ -^2 Ш1 0
/О -ш^ И
Ц 0 -ш*х \ -^2 Ш1 0
42, \ 43
42, \ 43
г = 1,2,3.
г = 1,2,3.
Объединяя эти матричные уравнения в одно, получим матричное кинематическое уравнение Пуассона:
(
СЦ С21 С31 \/ 0^ \ / сн С21 С31 \
С12 С22 С32= ^з ОС12 С22 С32.(5.20)
С13 С23 Сзз /\-^2) \с13 с23 033 /
Обозначая,Обозначая,как и прежде, матрицу направляющих косинусов углов
Обозначая,
Обозначая,
между осями связанной и опорной систем координат через с, а кососимметрическую матрицу коэффициентов, фигурирующую в (5.20), через Q^, где верхний сивол «т» означает транспонировие, запишем (5.20) в таком виде:
с" = С fix,
(5.21)
где
/ Си С12 С13 \
/ 0
С = 1 С21 С22 С23
, f^x = 1 -|^з0
.(5.22)
\ С31 С32 Сзз /
\ w*
0 /
Для получения кинематических уравнений
Пуассона, связываю-
матричное кинематическое
at х
Транспонируя это уравнение, получим уравнение Пуассона в другой форме:
щих направляющие косинусы и их первые производные по времени с проекциями ш^ (г = 1,2,3) вектора мгновенной угловой скорости твердого тела на связанные координатные оси, продифференцируем по времени соотношения хг = с^ух + с^у^ + C3iy3 для единичных векторов Xt опорной системы координат X, определенных своими проекциями сы = Xi* ук (г, к = 1,2, 3) в связанной системе координат Y. Учитывая, что Xi — постоянный вектор, получим
Д = ^С‘кЛк^ШХ Хг=^- г= 1,2,3.
Проектируя это векторное соотношение на оси связанной системы координат и приравнивая коэффициенты при ортах ук (к = 1,2,3) нулю, получаем скалярные уравнения
(5.23)(5.23)с] ■ = U3C2i — ^2C3i, C2i = —U)3C\i + U)\C3i,c3i = U2Cu - u\C2i, г = 1,2, 3,
(5.23)
(5.23)
и матричные уравнения
/ CliС2г у с3г/ CliС2г у с3г/0-ш2 \ / Си
/ Cli
С2г у с3г
/ Cli
С2г у с3г
г = 1,2,3.г = 1,2,3.—0 Ш1 С2г
г = 1,2,3.
г = 1,2,3.
У W20) у Сзг
Объединяя эти матричные уравнения
В одно,
получим искомое
матричное кинематическое уравнение Пуассона:
/СЦ С12 Cig \/ 0ш3 -^2 \
/ С21
С22
С23 \
Си С12 С13= -Шз 0
С31
С32
с33 1 .(5.24)
\ С21 С22 С23 /\ ^2 —0 /
\С31
С32
Сзз /
Таким образом, на основании (5.24) и (5.21)
матричное кинемати
de dt/ СЦ С12 С]3 \с =С21 С22 С23 1 ,= Qy с := cQy,гдеQy =0CJ3 — 0)2—LC30\ С31 С32 С33 /0 ^з0\ W2 -^1 0: о /de dt/ СЦ С12 С]3 \с =С21 С22 С23 1 ,= Qy с := cQy,гдеQy =0CJ3 — 0)2—LC30\ С31 С32 С33 /0 ^з0\ W2 -^1 0: о /ческое уравнение Пуассона можно записать в двух формах:ческое уравнение Пуассона можно записать в двух формах:(5.25)(5.25)(5.26)(5.26)Кинематические уравнения Пуассона ((5.23) или (5.24) — первая форма уравнений, (5.19) или (5.20) — вторая форма уравнений) в случаях, когда и^ = ш^ (^ = 1,2,3) или когда ш* = ш*^1\ т. е. когда проекции вектора мгновенной угловой скорости твердого тела на связанные или опорные координатные оси являются известными функциями времени, образуют системы линейных нестационарных дифференциальных уравнений девятого порядка относительно направляющих косинусов углов ctk (г,к = 1,2,3). Эти уравнения, в отличие от кинематических уравнений Эйлера, не имеют особых точек и не вырождаются для любого углового положения твердого тела в пространстве. Линейность и невырождаемость кинематических уравнений достигнута за счет существенного повышения размерностей систем дифференциальных уравнений (с 3-го до 9-го порядков).
de dt
/ СЦ С12 С]3 \
с =С21 С22 С23 1 ,
= Qy с :
= cQy,
где
Qy =
0CJ3 — 0)2
—LC30
\ С31 С32 С33 /
0 ^з
0
\ W2 -^1 0
: о /
de dt
/ СЦ С12 С]3 \
с =С21 С22 С23 1 ,
= Qy с :
= cQy,
где
Qy =
0CJ3 — 0)2
—LC30
\ С31 С32 С33 /
0 ^з
0
\ W2 -^1 0
: о /
ческое уравнение Пуассона можно записать в двух формах:
ческое уравнение Пуассона можно записать в двух формах:
(5.25)
(5.25)
(5.26)
(5.26)
Кинематические уравнения в параметрах Эйлера(Родрига-Гамильтона)
Кватернионные кинематические уравнения. Рассмотрим произвольную точку М твердого тела (см. рис. 5.7). Обозначая через г радиус-вектор этой точки, проведенный из неподвижной точки О тела, а через х^ и у^ (к = 1,2,3) — проекции радиуса-вектора на оси опорной X и связанной Y систем координат (координаты точки М в этих системах координат), построим отображения вектора г на базисы X и У:
(5.27)(5.27)Ух = £\i\ + x^h + х^, rY = у\1\ + y^h + узк-
(5.27)
(5.27)
Отображения гх и Гу вектора г связаны кватернионными соотношениями (см. формулу (2.30)):
гх = А ° гу ° A, fy = А о гх ° А,(5.28)
где А = Ao + Aizi + А2/2 + Ag/g — кватернион поворота, характеризующий ориентацию твердого тела в опорной системе координат; Aj (j = = 0, 1,2,3) — параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона), определяемые соотношениями (1.12).
Дифференцируя первое соотношение (5.27) по времени (отметим, что при дифференцировании кватернионов векторные мнимые единицы Гамильтона iy /2, <з полагаются неизменными) и учитывая, что отображение Гу = const (так как вектор г принадлежит телу), получим
гх = А* о гу о А + А о гу о А , гх = х\1х Г i2 + х*3 i3,
А = Aq + А^ /1 + А2 /2 + Ад /д.
С другой стороны, производная от вектора г определяется формулой Эйлераг =ш X г,(5.30)
где cj — вектор мгновенной угловой скорости вращения твердого тела относительно системы координат X.
Подставляя второе соотношение (5.28) в (5.29) и учитывая, что норма кватерниона А равна единице, имеем
гх = А* о А о гх + гх ° А о А .(5.31)
Представим (5.30) в кватернионной записи, используя связь операций векторного и кватернионного произведений:
гх = ш • г + Шх ° Гх = | (шх °гх-гх° Шх\ (5.32) где шх = ^^'1 + ^2^2 + ^з^’з — отображение вектора ш на опорный базис X.
Приравнивая правые части соотношений (5.31) и (5.32), находим
шх ° гх - гх ° шх = 2 (а* о А о гх + гх ° А о А ) .(5.33)
В силу равенства Aq + Af + А2 + A3 = 1 справедливы соотношения
seal (а* о Aj = seal (а о A j = 0, AoA = —А* о А, которые говорят о том, что кватернионные произведения А о А и А* о А являются векторами, отличающимися знаками. Поэтому из (5.33) следует кватернионное равенство
Шх = ш*х1х + ^*2 + Ц*д = 2А* О А = -2А о А .(5.34)
Отображения вектора ш на опорный и связанный базисы связаны кватернионными соотношениями
шх = А о шу о А, шу = Хошх°Х.(5.35)
Из (5.34) и первого соотношения (5.35) находим
+ uj^ + ^3^*3 = 2А о А* = —2А о А. (5.36) Из (5.34) и (5.36) получаем две формы кватернионных кинематических уравнений движения твердого тела в параметрах Эйлера [17]:
2А* = шх ° А,
2(А0 4- А1 /1 4- А2 /2 + А3 *з) =(5.37)
= (^^’1 + ^2^*2 + ^^з) ° (Ao + Aj/i + А2/2 + Ag/g) ;
2А* = А о шу,
2(А0 + А1 /1 + А2 /2 + А3 /д) =(5.38)
= (Aq + А1 Zi + А2/2 + Ад/д) о (^i/i + ^26 + ^3*з)«
Кватернионные кинематические уравнения (5.37) и (5.38), а также эквивалентные им кватернионные дифференциальные соотношения (5.34) и (5.36) устанавливают связи отображений вектора мгновенной угловой скорости твердого тела на опорный и связанный базисы с кватернионом поворота твердого тела и его первой производной по времени.
Скалярные кинематические уравнения. В скалярной записи кватернионные дифференциальные соотношения (5.34) и (5.36) принимают видzх
=2(AqA1—А1 Aq+ А2А3—АдА2) ,
^2 =(А0А2—A2AQ+ АдА^—Ai А3) ,(5.39)
са^ =2(AqA3—АдАд+ AiА2—А2А1) ;
^i=2(AqA1—AiАо— А2А3+АдА2) ,
^2 = 2 (AqA2 — A2AQ — АдА1 + AiА3),(5.40)
^з=2 (AqA3 — АдАд — AiА2 + А2А1) .
Запишем также в скалярной форме кватернионные кинематические уравнения (5.37) и (5.38):
2Ад = —CJ^Al — CJ2A2 ~ (JgAg,
2Ai = cat Ад 4" Сс4 Ад — uj* A2,
123(5.41)
2A2 = —Cc^Ag 4" Сс^Ад 4" CiJgAi,2A3 = С1?^А2 — ic?2 Ai 4" a)^Aq^
2Ag = —W1A1 — ш^Х^ — Ш3Х3,
2Aj = Ш1А0 + й;3А2 — ^Ag,(5 42)
2A2 = ^2Aq — CJgAi 4" CJlAg,
2A3 = CJgAg 4" ^Al — CJ1A2.
Скалярные кинематические уравнения (5.41) и (5.42), а также эквивалентные им скалярные дифференциальные соотношения (5.39) и (5.40) устанавливают связи проекций вектора мгновенной угловой скорости твердого тела на опорные и связанные координатные оси с параметрами Эйлера и их первыми производными по времени.
Матричные кинематические уравнения. Запишем кинематические уравнения (5.41), (5.42) в матричной форме:
рц( о-^1^2АоУ0^2Aiш2у0А2У 3 /0 /\Аз)ри/0—^2-Шз \ро\0^3—^2Ai^2—Шз0А2\ Лз )РзШ2-^10 /\ Аз /рц( о-^1^2АоУ0^2Aiш2у0А2У 3 /0 /\Аз)ри/0—^2-Шз \ро\0^3—^2Ai^2—Шз0А2\ Лз )РзШ2-^10 /\ Аз /(5.43)(5.43)(5.44)(5.44)Используя кватернионные матрицы поворотов типов т и п (см. п. 1.3.3) и четырехмерные кососимметрические матрицы этих же типов (см. п. 1.7.3), запишем уравнения (5.43) и (5.44) в свернутом виде:
рц
( о
-^1
^2
Ао
У
0
^2
Ai
ш2
у
0
А2
У 3 /
0 /
\Аз)
ри
/0
—^2
-Шз \
ро\
0
^3
—^2
Ai
^2
—Шз
0
А2
\ Лз )
Рз
Ш2
-^1
0 /
\ Аз /
рц
( о
-^1
^2
Ао
У
0
^2
Ai
ш2
у
0
А2
У 3 /
0 /
\Аз)
ри
/0
—^2
-Шз \
ро\
0
^3
—^2
Ai
^2
—Шз
0
А2
\ Лз )
Рз
Ш2
-^1
0 /
\ Аз /
(5.43)
(5.43)
(5.44)
(5.44)
(5.45)(5.45)2А’ = п^уА ~ 2п‘ = пшуп.2А’ = п^уА ~ 2п‘ = пшуп.(5.46)(5.46)2А* = тшхХ ~ 2т* = тшхтп,
(5.45)
(5.45)
2А’ = п^уА ~ 2п‘ = пшуп.
2А’ = п^уА ~ 2п‘ = пшуп.
(5.46)
(5.46)
Здесь А = (Ло, Ль А2, Аз) и А* = (Аф А], Аф А^) — векторы-столбцы параметров Эйлера и их первых производных по времени; т = т(Х) и п = п(А) — кватернионные матрицы поворотов типов тип, сопоставляемые кватерниону поворота А и имеющие вид (1.21); т* = т(А’) и п* = п(А’) — ненормированные кватернионные матрицы типов т и п, сопоставляемые кватерниону Аф тшх = тп^х^ и пшу = п(шу) — четырехмерные кососимметрические матрицы (ненормированные кватернионные матрицы типов т и п), сопоставляемые отображениям шх и Шу вектора угловой скорости твердого тела на опорный и связанный базисы.
Символ ~ означает, что вместо первых уравнений (5.45), (5.46) можно рассматривать матричные уравнения, в которых в качестве переменных выступают не векторы-столбцы параметров Эйлера, а кватернионные матрицы поворотов, играющие с точки зрения теории матричных дифференциальных уравнений роль интегральных матриц.
Кинематические уравнения в параметрах Эйлера (Родрига- Гамильтона) (скалярные уравнения (5.41) или (5.42), матричные уравнения (5.43) или (5.44), кватернионные уравнения (5.37) или (5.38)) в случаях, когда (г = 1,2,3) или когда и* = = u*(t), т. е. когда проекции вектора мгновенной угловой скорости твердого тела на связанные или опорные координатные оси являются
известными функциями времени, образуют системы линейных нестационарных дифференциальных уравнений четвертого порядка относительно параметров Эйлера Aj (j = 0, 1,2,3). Эти уравнения, также как и кинематические уравнения Пуассона, не имеют особых точек и не вырождаются для любого углового положения твердого тела в пространстве. Однако в сравнении с кинематическими уравнениями Пуассона эти системы уравнений имеют размерность, меньшую на пять единиц. Таким образом, в случае использования параметров Эйлера (Родрига-Гамильтона) в качестве кинематических параметров углового движения твердого тела линейность и не вырождаемость кинематических уравнений достигается за счет минимального повышения размерностей систем дифференциальных уравнений (с 3-го порядка, имеющего место в случае использования углов Эйлера, до 4-го порядка). Другое замечательное свойство кинематических уравнений в параметрах Эйлера — самосопряженность. Это свойство существенно облегчает решение с помощью принципа максимума многих задач оптимального управления движением твердого тела [17, 155, 158].
Интересно отметить, что кинематические уравнения (5.42) в параметрах Эйлера были получены сравнительно недавно, в конце 50-х годов прошлого столетия (авторство, по-видимому, принадлежит Робинсону, опубликовавшему в 1957 г. работу [176], содержащую эти уравнения), хотя дифференциальные связи проекций вектора мгновенной угловой скорости твердого тела с параметрами Эйлера, не разрешенные относительно производных, были известны гораздо раньше. Так, эти связи, имеющие вид (5.40), приводятся, например, в книге Е.Т. Уиттекера «Аналитическая динамика», вышедшей в 1927 г. (см. также [П7]).
Из выражений для проекций вектора мгновенной угловой скорости твердого тела на опорные и связанные координатные оси видно, что они представляют собой линейные композиции величин р^ и q^ (к = = 1,2,3), определяемых формулами
Рк = ^О^к —» к = Х,2,3,
q\ = А2А3 - А3А2, Q2 = А3А] - Ai A3, Q3 = Ai А2 - A2A].
Действительно, с учетом обозначений (5.47) выражения (5.39) и (5.40) для проекций угловой скорости принимают вид
ш*к=ЛРк^Чк\ шк=ЛРк-Чк\ к = 1,2,3,(5.48)
т. е. проекции вектора мгновенной угловой скорости твердого тела на опорные и связанные координатные оси равны соответственно удвоенным суммам и удвоенным разностям величин р^ и q^ (к = 1,2,3).
Величины рк и qk в свою очередь линейным образом выражаются через проекции угловой скорости в соответствии с формулами
Рк = | (^к + шк), дк = ^(шк-Шк), к = 1,2,3.(5.49)
Вводя кватернионы
р = рД\ +P212 + рзЬ, q = q\i\ rq^h + №, запишем (5.48) и (5.49) в кватернионной форме:
шх=ЛрМ\ шу =2(p-q),
11(5.50)
Р = ^ (шх + шу), q = - (шх - шу).
(5.51)(5.51)В кватернионной записи формулы (5.47) принимают вид
(5.51)
(5.51)
Р = AqAv — Aq Av, Я = ^v ^v ’
где Ао и Av — скалярная и векторная части кватерниона поворота Л.
Найдем связи величин рк и qk (к = 1,2,3) с проекциями 0^ = Ок = = ^к/Хо вектора конечного поворота 9 = е tg(y?/2) = Av/Aq (напомним, что проекции 0^ и Ок этого векторана оси опорного и связанного базисов равны). Подставляя в первые формулы (5.47) связи параметров Эйлера с проекциями вектора конечного поворота А^ = Х^Ок и учитывая равенство Aq = cos2((/?/2) = 1 — А^ = (1 + б^2)-1, найдем
9’к = (Х0Х’к-ХкХ’0)/Х20 = (\+62)Рк,
(5.52)
02 = 02 + 02+02, fc= 1,2,3,
или, в кватернионной записи,
9 — (1 + О^р, 9 — 0у iy -V О2 /2 + ^з ^з-
Замечание. Одноименные проекции векторов абсолютной и локальной производных от вектора конечного поворота 9 на оси опорной и связанной систем координат равны между собой (в наших обозначениях эти проекции соответственно равны величинам 0\ , 0^ 0*^. Поэтому отображение ^(d9/dt)a\x абсолютной производной от вектора 9 на опорный базис равно отображению \(ц!9/dt)л\у его локальной (относительной) производной на связанный базис, а введенный кватернион 9* равен этим отображениям:
V(d9/dt)a\x = VWdtUv = 9* = 0\ /1 + 0*2 i2 + О3 i3.
Следовательно, в зависимости от того, с какими ортами трехмерного ортогонального базиса (опорного или связанного) совмещаются векторные мнимые единицы iy, i2, /3, кватернион 9* будет иметь смысл абсолютной или локальной производной от вектора 9.
Из первого соотношения (5.51) имеем
^0^0Ао Av + р^0Ао Av + р^0
^0
^0
Ао Av + р^0
Ао Av + р^0
Подставляя это выражение во второе соотношение (5.51), получим q = 9 х р.
Таким образом, величины рк и qk (к = 1,2, 3) связаны с проекциями вектора конечного поворота дифференциальными кватернионными
соотношениями
р = (1 + у2)-1У, q = 0xp = <\^91V9x0•.(5.53)
Из приведенных соотношений следует, что векторы q и 9 , а также q^p, ортогональны, а векторы р и 9* коллинеарны (говоря здесь о векторах, мы векторные мнимые единицы Гамильтона ix, i^, h формально отождествляем с ортами опорного или связанного трехмерного ортогонального базиса). Это означает, что вектор конечного поворота 9 лежит в плоскости, перпендикулярной вектору, координаты которого в этом базисе соответственно равны разностям ш^ — со к (к = 1,2,3) проекций вектора мгновенной угловой скорости твердого тела, а производная 9* (абсолютная или относительная) от вектора 9 имеет направление вектора, координаты которого в этом базисе соответственно равны суммам ^к + шк проекций вектора мгновенной угловой скорости твердого тела.
Отметим, что величины р и q в силу (5.50) и (5.35) связаны с кватернионом поворота А соотношением перепроектирования:
р - q = Л о (р + q) о Л.
Приведенные соотношения полезны с точки зрения понимания связей проекций вектора мгновенной угловой скорости твердого тела с параметрами Эйлера, проекциями вектора конечного поворота и их первыми производными по времени. Кроме этого, использование величин рк и qk, определяемых формулами (5.47), в динамике твердого тела в качестве новых переменных позволяет получить новые уравнения дижения динамически симметричного твердого тела, удобные для изучения движения тела [156, ч.2].
Кинематические уравнения в параметрахКейли-Клейна
Получим кинематические уравнения углового движения твердого тела в комплексных переменных — параметрах Кейли-Клейна. Параметры Кейли-Клейна а, р, у, 5 связаны с вещественными параметрами Эйлера Xj (j = 0, 1,2,3) соотношениями (1.13):
ск = Ад 4" гАд, /3 = —А2 4" iXx,
о(5.54)
7 = А2 + гАь 5 = Ад — гАд, г2 = —1.
Из (5.54) и равенства Ад + А2 + А2 + А2 = 1 следует:
а = 5, Р = —7, 5 = а, у =—р, аб — Ру = 1,скск 4" РР = 1, скск = Ад 4" А2, РР = А2 4" А2,
где верхняя черта означает комплексно сопряженную величину.
Умножая третье уравнение системы (5.42) на мнимую единицу г и складывая левые и правые части полученного уравнения и первого
уравнения системы (5.42), получим
2А0 + 2г A3 = —сщ (Ai + гА2) — ^2(^2 — ^Ai) — сцз(Ад — гАо).
Отсюда, учитывая (5.54), находим: 2а‘ = г^за + г(ш\ — ioo2)p. Проводя аналогичные операции со вторым и четвертым уравнениями системы (5.42), а затем, повторяя то же самое в отношении всех уравнений системы (5.42) с заменой операции сложения вычитанием, получим кинематические уравнения вращательного движения твердого тела в параметрах Кейли-Клейна [71]:
20‘=-гшзр + г^+гш^а, .(5.55)25* = —гоозд + г (сщ + г^) 7-20‘=-гшзр + г^+гш^а, .(5.55)25* = —гоозд + г (сщ + г^) 7-2а‘ = гш^а + г (сщ — г^) /3, 2у* = гшз'у + г (сщ — г^) 5,
20‘=-гшзр + г^+гш^а, .(5.55)
25* = —гоозд + г (сщ + г^) 7-
20‘=-гшзр + г^+гш^а, .(5.55)
25* = —гоозд + г (сщ + г^) 7-
Другая форма кинематических уравнений в параметрах Кейли- Клейна, использующая проекции оо* (г = 1,2,3) вектора мгновенной угловой скорости твердого тела на оси опорной системы координат X, получается из уравнений (5.41) с помощью описанной операции, называемой компрессией [44], и имеет вид [71]:
2а *= гш^а + г (cj^ + г^) 7,2а *= гш^а + г (cj^ + г^) 7,27 *= —^7 + г (со^ — г^) сц27 *= —^7 + г (со^ — г^) сц2/3 *= гоо^р + г ^ + г^) 5,2/3 *= гоо^р + г ^ + г^) 5,25 *= — гоо^5 + г (wjf — г^) /3.25 *= — гоо^5 + г (wjf — г^) /3.(5.56)(5.56)
2а *= гш^а + г (cj^ + г^) 7,
2а *= гш^а + г (cj^ + г^) 7,
27 *= —^7 + г (со^ — г^) сц
27 *= —^7 + г (со^ — г^) сц
2/3 *= гоо^р + г ^ + г^) 5,
2/3 *= гоо^р + г ^ + г^) 5,
25 *= — гоо^5 + г (wjf — г^) /3.
25 *= — гоо^5 + г (wjf — г^) /3.
(5.56)
(5.56)
Выражения для проекций ш^ и ио* (г = 1,2,3) вектора мгновенной угловой скорости твердого тела на связанные и опорные координатные оси через параметры Кейли-Клейна и их первые производные по времени получаются из соотношений (5.54), (5.40) и (5.39) с помощью операции компрессии и имеют вид (5.57) и (5.58) [71, 156]:
ио\ + га)2 = 2г (рЗа * — аР *) = 2г (J35 * — 5р*) ,
сщ — гоо2 = 2г (аР — Ра * ) = 2г ^а ’ - ау* ) , шз = 2г (аа * + /3/3 *) = —2г (да * + /3/3
= 2г (а5 * — 7/3 *) = 2г (J3^ * — 5а*) .
со^ + гсе^ = 2г (Ра * — аР *) , oof — г^ = 2г (^5 * — 5^ *) ,ш^ = 2г (7/З * — 5а *) = 2г (ск5 * — /З7 *) .
Кинематические уравнения в параметрах Кейли-Клейна (5.55) и (5.56) образуют системы дифференциальных уравнений четвертого порядка относительно комплексных переменных а, Р, 7, 5 с комплексными же коэффициентами. В случаях, когда ut = ^(3) (г = 1,2,3) или когда и* = ш*(t) (г = 1,2,3), т. е. когда проекции вектора мгновенной угловой скорости твердого тела на связанные или опорные координатные оси являются известными функциями времени, эти системы распадаются на независимые подсистемы линейных нестационарных дифференциальных уравнений второго порядка одинаковой структуры относительно комплексных переменных а, Р и 7, 5 в случае системы (5.55) или комплексных переменных а, и /3, 5 в случае системы
Эти уравнения, также как и кинематические уравнения в параметрах Эйлера, не имеют особых точек и не вырождаются для любого углового положения твердого тела в пространстве. Однако в случаях, когда Шг = ш^ или когда и* = ш* (t), эти системы уравнений в сравнении с кинематическими уравнениями в параметрах Эйлера имеют вдвое меньшую размерность, равную двум.
Таким образом, использование комплексных переменных — параметров Кейли-Клейна — в качестве кинематических параметров углового движения твердого тела позволяет получить системы дифференциальных уравнений минимальной размерности, удобные для аналитического изучения кинематики (а в ряде случаев и динамики) углового движения твердого тела и решения не только теоретических, но и практических задач инерциальной навигации. Так, эти уравнения используются для решения задачи автономного определения местоположения объекта в околополярных областях [НО, 111, 113], где использование уравнений в угловых переменных для определения географических координат местоположения объекта становится затруднительным. Укажем также на возможность эффективного численного интегрирования кинематических уравнений в параметрах Кейли-Клейна с использованием перспективной непозиционной системы счисления остаточных классов, что является важным, например, с точки зрения построения эффективных алгоритмов инерциальной навигации [83].
Покажем, что интегрирование кинематических уравнений углового движения твердого тела в случаях, когда ut = a)t(t) (г = 1,2,3) или когда и* = ш*^1\ сводится при использовании параметров Кейли- Клейна к интегрированию одного скалярного линейного нестационарного дифференциального уравнения второго порядка с комплексными коэффициентами.
Дифференцируя по времени уравнения (5.55) для параметров а и /3, получим
2а* * = гш^а +— г^2)/3* + гЦ а + г(ш\ — г^ )/3,
2/3* * =+ г(шх + йс^а* — г ^ /3 + г(ш\ + г
Подставляя в (5.59) выражения для а и /3* из (5.55), получим взаимосвязанные дифференциальные уравнения второго порядка для параметров аиЗ, не содержащие производных а и /3*:
2а * = ^г Ц — а + (ш2 + г cj] ) /3,
2/3* * = -+ ^cj2^/3 — (^2 —(5.60)
и?= Ц + ш2 + и^ = 4 (а* а* + /3*/3 ).
Подставляя выражения для /Зиа, вытекающие соответственно из первого и второго уравнений (5.55), в уравнения (5.59), получим ис-
комые (независимые) дифференциальные уравнения второго порядка, описывающие движение твердого тела в параметрах а и /3 [156, ч. 2]:
a*-QarRa = Q, р* *-Qp* rRp = О, (5.61)
Q = ——, Q = ——,u)\ — гш2сщ + гш2
^=^ ^iwsQ — iw‘3 +|, Я=1 ^-iw3Q+iw‘3 + ^ш2
Замечание. Уравнения движения твердого тела в параметрах у, 5 получаются из уравнений в параметрах а, Р с помощью замены переменных а = 5, Р = —р и последующего выполнения операции сопряжения. Так, уравнения движения тела в параметрах у, 5, соответствующие уравнениям (5.61), имеют вид
у* * - Qy* + Ду = 0, 5* * - Q5* rR6 = 0,(5.63)
где Q и R, по-прежнему, определяются (5.62).
Уравнения движения в параметрах Кейли-Клейна (5.60)-(5.63) могут быть использованы для исследования как кинематики, так и динамики твердого тела [156]. При решении многих задач кинематики фигурирующие в этих уравнениях величины ш\, Ш2, шз и их первые производные по времени, а, следовательно, и коэффициенты уравнений Q, R — известные функции времени. При этом задача определения ориентации твердого тела сводится к интегрированию одного линейного дифференциального уравнения второго порядка из системы (5.61) относительно комплексной переменной а (или /3 ) с комплексными коэффициентами Q, R переменными в общем случае. При решении задач динамики уравнения (5.60) или (5.61)-(5.63) должны быть дополнены известными связями производных оу ,^2,^3 с моментами внешних сил, вытекающими из динамических уравнений Эйлера.
Для движения тела с постоянными угловыми скоростями ац, се2, се3 уравнения (5.61) принимают вид уравнений движения гармонических осцилляторов
... /1 L 1 Ла + г+ - шу 26 4 )Р" - гЬр* + ^ bшз + ^ шА /3 = 0, и2... /1 L 1 Ла + г+ - шу 26 4 )Р" - гЬр* + ^ bшз + ^ шА /3 = 0, и2* + ^ се2а = 0, /3* * + ^ ш2р = 0, ^ = const, (5.64) а в случае конического движения тела, когда ш\ = ncos(M), Ш2 = = nsin(M), шз = const; a, b — const, — вид уравнений движения линейных осцилляторов
... /1 L 1 Л
а + г+ - ш
у 26 4 )
Р" - гЬр* + ^ bшз + ^ шА /3 = 0, и2
... /1 L 1 Л
а + г+ - ш
у 26 4 )
Р" - гЬр* + ^ bшз + ^ шА /3 = 0, и2
а = 0,
(5.65)
= а2 Г ш2 = const.
Векторные кинематические уравнения
Установим связи вектора и) мгновенной угловой скорости твердого тела с единичным вектором е эйлеровой оси конечного поворота тела, углом р поворота тела вокруг этой оси и их первыми производными по времени. Для этого воспользуемся кватернионным кинематическим уравнением (5.37):
2А* = шх ° А.
Подставляя в это уравнение выражение А = Aq + Av и переходя от операции кватернионного умножения к операциям векторной алгебры по формуле (1.27), получим
2А0 + 2AV = uj у ° (Ao + Av) = Aqu^x + ^x ° Av =
= Aqc^x — ^x * Av + иа у x Av.
Отсюда, приравнивая скалярные и векторные части левой и правой частей этого уравнения, находим
2А0 = —и)х • Ay, 2AV = Aqc^x + ^х х Av. (5.66)
Учитывая, что Aq = cos((/;/2), a Av = sin(99/2)ex, где ex = cos 71/1 + + cos 72/2 + cos 73/3 — отображение единичного вектора e на опорный (неподвижный) базис X (напомним, что направляющий косинус cosyi = е- хг — проекция вектора е на ось OXi\ получим
-2 siii | у = -(wx'Cx) sin|,
2 22(5.67)
2 sin+ 2 cos ех = cos шх + sin шх х ех.
Поскольку в соотношениях (5.67) все отображения векторов определены своими компонентами в одном (опорном) базисе, то нижний индекс, указывающий на то, в каком базисе определено соответствующее отображение, можно опустить и рассматривать соотношения (5.67) как «чисто» векторные.
Из первого уравнения (5.67) имеем
^ = р* = ш • е,(5.68)
а из второго уравнения (5.67), полагая, что 7^ О, находим
2е* = ctg ^ (cj - р* е^ + ш х е =
= ctg ^(cj - (cj • е)е) + ш х е, р ф О, или ,
2 ^ = 2е* = ctg ^ (е х (ш х е)) + ш х е, р 0.(5.69)
При р = 0 из второго уравнения (5.67) получаем
р*е = ш.(5.70)
Таким образом, искомые связи вектора cj мгновенной угловой скорости твердого тела с единичным вектором е эйлеровой оси конечного поворота тела, углом (/; поворота тела вокруг этой оси и их первыми производными по времени имеют вид (5.68), (5.69) при р ^ 0 и (5.68), (5.70) при р = 0.
Замечание. Во втором уравнении (5.67) и в дифференциальном уравнении (5.69) производная е*х = е* является абсолютной производной от вектора е. Векторное кинематическое уравнение, использующее локальную производную (de/dt^ от вектора е, получается из уравнения (5.69) при учете равенств de/dt = (de/dt)a = ^defd^ + ш х е и имеет ВИД z х
22(5.71)(5.71)
2
2
(5.71)
(5.71)
Это уравнение отличается от уравнения (5.69) знаком перед вторым векторным слагаемым в правой части уравнения; при этом, как правило, полагается, что все векторы, фигурирующие в этом уравнении определены своими проекциями в связанном базисе. Для единичного вектора е эйлеровой оси конечного поворота твердого тела справедливы дифференциальные кватернионные равенства:
de dtde dtde dt
de dt
de dt
являющиеся следствием равенства одноименных проекций вектора е на оси опорного и связанного базисов. Поэтому векторное кинематическое уравнение (5.71) может быть получено из кватернионного кинематического уравнения (5.38), записанного в отображениях на связанный базис Y.
Отметим, что уравнения (5.69) и (5.71) можно рассматривать как формулы для абсолютной и локальной производных от единичного вектора е эйлеровой оси конечного поворота твердого тела.
Помимо приведенных векторных кинематических уравнений используются и другие формы векторных кинематических уравнений. Так, если для описания углового движения твердого тела использовать вектор конечного поворота 9 = 2е tg(</?/2), то векторное кинематическое уравнение будет иметь вид [71]:
^ = 0'=u, + l(u,.0)0+lu,x0, у^тг, (5.72)
а вектор мгновенной угловой скорости твердого тела будет выражаться через вектор конечного поворота и его первую производную по времени по формуле,
/1\ 1 /1\
ш = 1 + -б>2 У + -0Х0' .(5.73)
V47\2
Другим, часто используемым векторным кинематическим уравнением, является уравнение, использующее в качестве переменной вектор
^ = ре,^ = ре,(5.74)
^ = ре,
^ = ре,
объединяющий собой эйлерову пару ^р,е\
Для получения этого уравнения продифференцируем выражение (5.74) по времени и подставим в полученное выражение соотношения (5.68) и (5.69). В итоге, после несложных преобразований с использованием формулы р х (са х р) = р2ш — р(р • ш) для двойного вектор
ного произведения, получим векторное кинематическое уравнение
(5.75)(5.75)у' = ш W X у + fl - ctg ^) у X (^ X ш). 2\22)
(5.75)
(5.75)
В этом уравнении (см. также [20]) производная р* от вектора р имеет смысл абсолютной производной. Вместе с тем в ряде работ [75, 87, 88, 166] векторным кинематическим уравнением называется
уравнение, использующее локальную производную от вектора р и отличающееся от (5.75) порядком векторных сомножителей во втором слагаемом правой части этого уравнения, т. е. уравнение
= ш + -ухо> + — l--ctg-yx(yx^). (5. 2 \ 2 2)
Векторные кинематические уравнения являются нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка относительно векторных переменных, содержащими особые точки. Вместе с тем, они обладают геометрической наглядностью и компактностью, что позволяет эффективно решать многие кинематические задачи углового движения твердого тела.
Кинематические уравненияв кососимметрических операторах
Как известно [27], между ортогональными и кососимметрическими операторами существует взаимно однозначное соответствие, устанавливаемое с помощью экспоненциального представления ортогонального оператора или его представления с помощью формулы Кэли.
В дальнейшем будем рассматривать трехмерные кососимметриче-
ские матрицыские матрицы/ 0к = -кз\ к2/ 0к = -кз\ к2кз -к20 кх-кх 0кз -к20 кх-кх 0(5.77)(5.77)и четырехмерные кососимметрические матрицыи четырехмерные кососимметрические матрицытипов ттипов тк = п{Л} =к = п{Л} =к\к2 \кзк\к2 \кз-к\ —к20 к,-кз 0-к\ —к20 к,-кз 0-&з\-^2 к\-&з\-^2 к\к2 -кх 0 ук2 -кх 0 у, к = т{к^ =, к = т{к^ =к\к2Цзк\к2Цз-к\0 кз—к2-к\0 кз—к2—к2-кз0к\—к2-кз0к\и п:-кз\к2-ktи п:-кз\к2-kt. (5.78). (5.78)
ские матрицы
ские матрицы
/ 0
к = -кз
\ к2
/ 0
к = -кз
\ к2
кз -к2
0 кх
-кх 0
кз -к2
0 кх
-кх 0
(5.77)
(5.77)
и четырехмерные кососимметрические матрицы
и четырехмерные кососимметрические матрицы
типов т
типов т
к = п{Л} =
к = п{Л} =
к\
к2 \кз
к\
к2 \кз
-к\ —к2
0 к,
-кз 0
-к\ —к2
0 к,
-кз 0
-&з\
-^2 к\
-&з\
-^2 к\
к2 -кх 0 у
к2 -кх 0 у
, к = т{к^ =
, к = т{к^ =
к\
к2
Цз
к\
к2
Цз
-к\
0 кз
—к2
-к\
0 кз
—к2
—к2
-кз0
к\
—к2
-кз0
к\
и п:
-кз\к2
-kt
и п:
-кз\к2
-kt
. (5.78)
. (5.78)
Эти кососимметрические матрицы сопоставляются вектору к с координатами kt (г = 1,2,3).
Отметим следующие свойства введенных трехмерных кососимметрических матриц:
det к = \к\ = 0, кт = -к, к2 = —кк^ = —кЛк
(5.79)
^+2 =|Л|2 = к2 + ц + к^ г = 1,2,,
и четырехмерных кососимметрических матриц:
det к = \к\ = detn{&} = |п{Л}| =
9(5.80)
= detm{&} = |m{Z?}| = ^к2 + к2 + к2^ ,
кт = -к, к2 = -к к1 = -к1 к = -|Л|2Е, |Л|2 = к2 + к2 + к2.
Таким образом, кососимметрические матрицы третьего (нечетного) и четвертого (четного) порядков имеют качественно различные свойства: если кососимметрические матрицы третьего порядка являются особыми (их определители равны нулю), то кососимметрические матрицы четвертого порядка — нет (их определители всегда отличны от нуля), кроме того, если многочлен любой степени от кососимметрической матрицы третьего порядка сводится к многочлену второй степени, то многочлен любой степени от кососимметрической матрицы четвертого порядка сводится к многочлену первой степени.
Кососимметрические операторы, порождаемые экспоненциальными представлениями ортогональных операторов. Рассмотрим трехмерную кососимметрическую матрицу к, порождаемую экспоненциальным представлением матрицы с направляющих косинусов углов между осями связанной Y и опорной X систем координат, т. е. кососимметрическую матрицу к размерами 3x3, связанную с ортогональной матрицей с соотношением
с = ек = ехр к.(5.81)
Как известно, матричная экспонента для любой квадратной матрицы А может быть представлена в виде степенного ряда
ел = ехрА = ^+^4 + ^42 + ^43 + ....(5.82)
Используя разложение матричной экспоненты ек в ряд (5.82), свойства (5.79) кососимметрической матрицы третьего порядка и разложения в ряды тригонометрических функций
94 Г
Гр’-'Гр’-'Гр ‘rp^ Гр^Гр^)
.JUJjJjJUJjJj/Г QQ\
81пж = ж__+___+.„> С08Ж=1__+___+.„, (5.83)
из (5.81) получим
с = Е + |&|-1 sin \к\ к + |Л|-2(1 - cos \к\) к2, \к\2=к2 + к2-\- к2. (5.84)
С другой стороны, матрица направляющих косинусов может быть представлена в виде (2.18):
с = c\jp, е} = cospE + sine/?k^ + (1 — cos^)s{e}, s = E + k2,
где &{e} и s{e} — кососимметрическая и симметрическая матрицы, сопоставляемые единичному вектору е эйлеровой оси конечного поворота твердого тела, определяемые (2.17) (матрица к имеет вид (5.77)); проекции Ct (г = 1,2,3) вектора е в системах координат Y и X одинаковы, поэтому нижний индекс «у» у вектора е был опущен, р — эйлеров угол поворота тела.
Вводя вектор р = ре «истинного» конечного поворота и учитывая, что s = Е + к2, запишем последнюю формулу в виде
с = с{у>} = Е + — sin^ &{(£} + Д-(1 - cos р) (к{у>})2,= ре, (5.85)
рр2
где &{у>} — кососимметрическая матрица 3x3, сопоставляемая вектору к = р = ре, координаты которого pt = pet (г = 1,2,3) одинаковы в базисах Y и X.
Из сравнения (5.84) и (5.85) следует, что трехмерная кососимметрическую матрицу к, порождаемая экспоненциальным представлением матрицы направляющих косинусов (5.81), имеет вид
(
О РЗ ~Р2\
—рз 0 рх , р = ре, pt = pet, г= 1,2,3,(5.86)
Р2 -Р\ 0 /
т. е. это трехмерная кососимметрическая матрица, которая сопоставляется вектору р = ре «истинного» конечного поворота твердого тела (вектор р является для матрицы к собственным вектором и отвечает ее нулевому собственному числу).
Найдем выражение трехмерной кососимметрической матрицы к через матрицу с направляющих косинусов. Из первой формулы (2.19) следует
A0S - крУХ = 2Л0Ц + ЦА})"1,
рр
А = Ao + Ay, Ao = cos Av = sin — е.
Отсюда, учитывая, что A?{AV} = sin(р/2)к{е} = 1/^ sm^p/^k^pY находим
кр>Х = ^ctg^ [S-2(5 + c)-1] .(5.87)
Обратная матрица
(5 + с)"1 = | [5 + (1 + tre)"1 (ст - с)] ,
где 1 + tre = 1 + сп + С22 + С33 = 2(1 + cosy) = 4cos2(y/2).
видвидПоэтому формула (5.87), выражающая трехмерную кососимметрическую матрицу к через матрицу с направляющих косинусов, примет
вид
вид
(5.88)(5.88)ЦчЛ = -Г- (с - ст).
(5.88)
(5.88)
2 sine/; х 7
Отметим, что формулу (5.88) можно было записать, минуя проделанные выкладки, если использовать формулы (2.22), выражающие направляющие косинусы е^ (к = 1,2,3) эйлеровой оси конечного поворота твердого тела через элементы матрицы направляющих косинусов.
Отметим также, что в литературе приводится [88, 181] более сложное выражение матрицы к через матрицу с в форме матричного квадратичного многочлена:
1111,2,2^{^} =1 + 2 cos <р)Е + (р( 1 + cos <р)с — бsin. (рll^{^} =1 + 2 cos <р)Е + (р( 1 + cos <р)с — бsin. (рll2222. (5.89). (5.89)
1
1
1
1
,2
,2
^{^} =1 + 2 cos <р)Е + (р( 1 + cos <р)с — б
sin. (рll
^{^} =1 + 2 cos <р)Е + (р( 1 + cos <р)с — б
sin. (рll
2
2
2
2
. (5.89)
. (5.89)
Это представление для матрицы к обратно представлению (5.85) для матрицы с.
Рассмотрим теперь четырехмерную кососимметрическую матрицу к, порождаемую экспоненциальным представлением кватернионной матрицы поворота типа п, т. е. кососимметрическую матрицу к размера 4x4, связанную с ортогональной матрицей п{А} соотношением
п{А} = ек = ехрк,(5.90)
где кватернионная матрица п{А} сопоставляется кватерниону поворота А и имеет вид (1.21).
Используя разложение матричной экспоненты ек в ряд (5.82), свойства (5.80) кососимметрической матрицы четвертого порядка и разложения в ряды тригонометрических функций (5.83), из (5.90) получим
n{A} = cos \к\Е + |&|-1 sin \к\к, \к\^ = к\ + к^ + Ц. (5.91)
С другой стороны, кватернионная матрица п{А} может быть представлена в следующем виде:
= cos — Е + sin —=
у, Г1 1<5-92)
= cos — Е — sin — п < - ^ >,^ = (ре,
2 (р 2 I 2 J
где п{е} и п{(1/2)<^} — четырехмерные кососимметрические матрицы, сопоставляемые единичному вектору е эйлеровой оси конечного поворота твердого тела и половинному вектору ^ «истинного» конечного поворота тела, имеющие вид (5.78); при этом, как уже отмечалось, координаты (проекции) ег и р\ (г = 1,2,3) векторов е и ср в системах координат Y и X одинаковы.
Замечание. Можно также говорить, что матрицы п{е} и п{(1/2)(^} — кватернионные матрицы типа п, сопоставляемые кватернионам
иие ev ех в\Ц + 62/2 + 63/3
и
и
2= ^y = 2= 2 ^х1х + w<z +
с нулевыми скалярными частями.
Из сравнения (5.91) и (5.92) следует, что четырехмерная кососимметрическая матрица к, порождаемая экспоненциальным представлением кватернионной матрицы поворота типа п, определяется соотно
шениямишениямии имеет види имеет видк =к =1 г . = 21 г . = 2yD = ереyD = ерек 2к 2/ О^2/ О^2\^3\^3-^i _^2 -^з \О ^з -^2-^3 о ул ^2 -^10 /-^i _^2 -^з \О ^з -^2-^3 о ул ^2 -^10 /y?i = (р ct, i = 1,2, 3,y?i = (р ct, i = 1,2, 3,(5.93)(5.94)(5.93)(5.94)
шениями
шениями
и имеет вид
и имеет вид
к =
к =
1 г . = 2
1 г . = 2
yD = ере
yD = ере
к 2
к 2
/ О
^2
/ О
^2
\^3
\^3
-^i _^2 -^з \
О ^з -^2
-^3 о ул ^2 -^10 /
-^i _^2 -^з \
О ^з -^2
-^3 о ул ^2 -^10 /
y?i = (р ct, i = 1,2, 3,
y?i = (р ct, i = 1,2, 3,
(5.93)
(5.94)
(5.93)
(5.94)
т. е. это четырехмерная кососимметрическая матрица, которая сопоставляется половинному вектору <р = (ре «истинного» конечного поворота твердого тела.
^к, к = п J|yl = |n{^}, y = tpe. (5.95)^к, к = п J|yl = |n{^}, y = tpe. (5.95)Выражение кватернионной матрицы поворота типа п через четырехмерную кососимметрическую матрицу к легко получается из (5.92), (5.93) и имеет вид (р2
^к, к = п J|yl = |n{^}, y = tpe. (5.95)
^к, к = п J|yl = |n{^}, y = tpe. (5.95)
n{A} = cos —Е+ — sin 2(р
В заключение отметим, что кватерниону поворота А, играющему роль ортогонального оператора, соответствует кватернион к с нулевой скалярной частью, играющий роль кососимметрического оператора, и что эти кватернионы связаны формулой
А = ек = ехр к = е^2 = exp V(5.95')
гдеV1
А = Ао + Alii + А2/2 + А3/3, <р = p)\i\ + 922^*2 + ^3*3, к = - <р, (р(р
Ao = COS-, А; = sin-в;; (Рг = (рвг, 2 =1,2,3.
Кинематические уравнения в кососимметрических операторах. Рассмотрим кинематические уравнения в кососимметрических матрицах, порождаемых экспоненциальными представлениями матрицы направляющих косинусов и кватернионной матрицы поворота. Эти уравнения можно получить, дифференцируя по времени соотношения (5.88), (5.95) и учитывая матричные кинематические уравнения Пуассона (5.25) и матричные кинематические уравнения (5.45) и (5.46) в параметрах Эйлера. Однако проще для этой цели использовать
векторные кинематические уравнения (5.75) и (5.76). Учитывая, что векторному произведению ш х р соответствует матричное выражение Пук — кПх или Пук — кПу в трехмерных кососимметрических матрицах к, Пх или к, Пу и то, что в уравнении (5.75) фигурирует абсолютная производная от вектора ^, а в уравнении (5.76) — локальная, вместо векторных кинематических уравнений (5.75) и (5.76) будем иметь матричные кинематические уравнения
к = Пх + — (Пхк — кПх^Г
2№х^ , (5.96)2№х^ , (5.96)- 2kClvk- 2kClvk, 1 Л У
2№х^ , (5.96)
2№х^ , (5.96)
- 2kClvk
- 2kClvk
Н2 ( 1 — о" 1р2 \2
к = Qy — — (Qy к — к Qy) +
V 2
представляющие собой матричные нелинейные, в общем случае нестационарные, дифференциальные уравнения первого порядка относительно трехмерной кососимметрической матрицы к.
В этих уравнениях матрицы к, Пх и Пу определяются (5.86), (5.26), причем элементами матрицы Пх являются проекции ш* вектора ш мгновенной угловой скорости твердого тела на опорные координатные оси, а элементами матрицы Qy — проекции ut (г = 1,2,3) этого вектора на связанные координатные оси.
Отметим, что уравнение (5.97) приводится, например, в [181] (см. также [88]).
Используя соотношения ш х р = 1/2(cj о р — р о ш), р о р = — —р2 (при этом орты трехмерного ортогонального базиса формально отождествляются с векторными мнимыми единицами Гамильтона), перейдем от векторных кинематических уравнений (5.75) и (5.76) к кватернионным кинематическим уравнениям
(р = шх Г -(шх ° р - р ошх) -
шх + Д °°, (5.98)
•1 /А
р = Шу — - ^Шу о р — р о Шу) —
Шу + Д р о Шу о р | , (5.99)
или уравнениямили уравнениямГ2Г21X+ 2 ор — ро Шх) -1X+ 2 ор — ро Шх) -
или уравнениям
или уравнениям
Г
2
Г
2
1X
+ 2 ор — ро Шх) -
1X
+ 2 ор — ро Шх) -
р о шх ° ^,
1у;21у;2с*8з)с*8з)Шу — - ^Шу О ф — ф О Шу) —Шу — - ^Шу О ф — ф О Шу) —('-2^2)('-2^2)ср о Шу о у),ср о Шу о у),
1
у;2
1
у;2
с*8з)
с*8з)
Шу — - ^Шу О ф — ф О Шу) —
Шу — - ^Шу О ф — ф О Шу) —
('-2^2)
('-2^2)
ср о Шу о у),
ср о Шу о у),
где кватернионы ср = срх = cpY = ф\1\ + ^2^2 + ^з^з, шх = ^^*1 + ^/2 + + ^3/3 и шу = сщ/i + CJ26 + W3/3 — отображения вектора «истинного» конечного поворота твердого тела и вектора мгновенной угловой скорости твердого тела на опорный и связанный базисы; ср* = ср\ ц + ^6 +
В нелинейных дифференциальных уравнениях (5.98), (5.99) в каче
частью,частью,(5.100)(5.100)стве переменной выступает кватернион ср с нулевой скалярной связанный с кватернионом поворота А формулой (5.95').
частью,
частью,
(5.100)
(5.100)
Запишем уравнение (5.99) в другом виде:
Л* = ^ Шу — ((Шу ок — ко Шу) —
или в видеили в виде— у (1 — и ctg и) ( шу + к о шу о к ) ,4\ и2)
или в виде
или в виде
4Л* = (1 + х ctg и)шу — (шу ок — ко шу) —
L(1 - xctgx) к о шу ок, (5.101)
И2
где кватернионная переменная
*=2^=2 ^1П + № + ^^ = 2 ^eU1 + в2*2 +^'
как уже отмечалось, играет роль кососимметрического оператора, который ставится в соответствие такому ортогональному оператору, как кватернион поворота Л, с помощью его экспоненциального представления (5.95).
Кватернионам ср, к, Шх, шу с нулевыми скалярными частями соответствуют четырехмерные кососимметрические матрицы типов тг w т (см. (5.78)). Произведению кватернионов отвечает произведение кватернионных матриц типа п, взятых в обратном порядке, и произведение кватернионных матриц типа т, взятых в том же (прямом) порядке. Поэтому от кватернионных кинематических уравнений (5.98)-(5.100) можно перейти к матричным кинематическим уравнениям. Так, кватернионным уравнениям (5.100) и (5.101) соответствуют матричные уравнения
к' = ~ у Скпшу ~ пшук)~
^ (1 - % ctg %) (пшу + ^ к пшук), (5.102)
4к" = (1 + и ctgx) пшу - Ск^шу - пшукУ
—^(1 — % ctg %) к пшук, (5.103)
где в качестве переменной выступает кососимметрическая матрица к размера 4x4, которая ставится в соответствие кватернионной матрице поворота п{А} с помощью ее экспоненциального представления (5.90) и имеет вид (5.94); х = 1/2(/х п^у — четырехмерная кососимметрическая матрица типа п, сопоставляемая отображению Шу вектора угловой скорости твердого тела на связанный базис (эта матрица имеет вид матрицы коэффициентов в уравнении (5.44)).
Матричные кинематические уравнения (5.102) и (5.103) можно записать в векторно-матричной записи
и = -Пус- -Vm^y — тгшу)х —
1(1 - И ctgx) | Qyc + Д кпшу х I , (5.104)
W = (1 + и ctg х) Qyc + (п^у - тшу) х -
(1 — и ctg х) кпшу х. (5.105)
Здесь х= (0, ку к2, к^\ и = (0, к\, к*2, к3) и Qyc = (0, сщ, Ш2, Щз) — четырехмерные векторы-столбцы искомых переменных, их первых производных по времени и проекций вектора угловой скорости твердого тела на связанный базис; тшу = т(шу) и пшу = п(шу) — четырехмерные кососимметрические матрицы типов тип, сопоставляемые отображению Шу вектора угловой скорости твердого тела на связанный базис; первая строка и первый столбец матрицы пшу — тшу являются нулевыми, а ее оставшаяся часть (называемая ядром этой матрицы) равна удвоенной трехмерной кососимметрической матрице, имеющей вид (5.77).
Такая запись кинематических уравнений удобна с точки зрения построения алгоритмов численного интегрирования этих уравнений.
3. Представление кососимметрических операторов с помощью формулы Кэли. Рассмотрим трехмерную кососимметрическую матрицу к, связанную с матрицей с направляющих косинусов формулой Кэли [27]:
с = (Е - к)(Е + к)~1,(5.106)
где матрица к имеет, по-прежнему, вид (5.77).
Обратная связь имеет вид
к=(Е-с^Е + 6)-х.(5.107)
Найдем кососимметрическую матрицу к, определяемую формулой (5.107). Учитывая соотношения
(Е + с)-1 = | [Е + (1 + trc)-1 (ст - с)] , ст = (trc)(S - с) + с2,tr С = Cl 1 + С22 + Сзз = 1+2 COS +,
Кинематические уравнения в кососимметрических операторах 253 1 + trc = 2(1 + cos99) = 4cos2 ^,
из (5.107) получим известную формулу [181]:
k = (1 + tr с)-1 [tr сЕ - (1 + tr с) с + с2] ,(5.108)
а также формулу
к = (1 + tr с)-1(ст - с) = - tg ^ к^ =
/ 0 е3 -е2\(5Л09)
= -tg |-е3 0 ei ,
\ е2 -610 /
устанавливающую связь матрицы к с эйлеровой парой (99, е ).
Таким образом, трехмерная кососимметрическая матрица к, связанная с матрицей направляющих косинусов формулой Кэли, имеет вид (5.109). Из этой формулы следует, что элементами этой матрицы являются координаты kt (г = 1,2,3) вектора
£ = —tg^e,(5.110)
в то время как элементами трехмерной кососимметрической матрицы к, порождаемой экспоненциальным представлением матрицы направляющих косинусов, являются координаты вектора к = ip = ре (см. формулу (5.86)).
Отметим, что трехмерная кососимметрическая матрица к, порождаемая формулой Кэли, и соответствующий ей вектор к, как это видно из (5.109) и (5.110), не определены для угла 99 = тг.
Замечание. В работе [27] указывается, что в общем случае вместо формул (5.106) и (5.107) (при этом под с и к понимаются ортогональные и кососимметрические операторы любой размерности) можно взять формулы
с = -(Е - к)(Е + к)-',(5.111)
к = (E + cXE-c)-v.(5.112)
В работе [88] эти формулы предложено использовать (наряду с формулами (5.106), (5.107)) в рассматриваемом случае, когда с и к играют роль матрицы направляющих косинусов и трехмерной кососимметрической матрицы соответственно. Однако в случае, когда ортогональные и кососимметрические операторы имеют нечетную размерность, формулы (5.106), (5.107) и (5.111), (5.112) взаимоисключают друг друга. Действительно, если представление кососимметрической матрицы нечетного порядка возможно в виде (5.107), то, поскольку ее определитель равен нулю (по общему свойству кососимметрических матриц нечетного порядка), из этого представления следует, что det(E — с) = 0, и, следовательно, представление кососимметрической матрицы нечетного порядка в виде (5.112), где присутствует обратная матрица (Е — с)-1, становится невозможным. Обратно, если пред-
ставление кососимметрической матрицы нечетного порядка возможно в виде (5.112), то из него следует, что det(S + с) = 0, и, следовательно, становится невозможным представление кососимметрической матрицы нечетного порядка в виде (5.107), где присутствует обратная матрица Ц + с)"1.
В рассматриваемом случае, как было показано выше, представление кососимметрической матрицы третьего порядка возможно в виде (5.107) (за исключением случая, когда ср = тг). Поэтому det(E — с) = 0 (в этом можно убедиться и непосредственным вычислением определителя матрицы (Е — с)), и, следовательно, представление кососимметрической матрицы к третьего порядка через матрицу направляющих косинусов с в виде (5.112) невозможно.
Рассмотрим теперь связь кватернионной матрицы поворота п, являющейся ортогональной матрицей, имеющей вид второй из матриц (1.21), с кососимметрической матрицей к размера 4x4, имеющей вид первой из матриц (5.78). В соответствии с формулой Кэли [27] эта связь имеет вид
п = (Е - к)(Е + к)-1,
п = п{А} = п{Ао + А„}п = п{А} = п{Ао + А„}г . етг ^cos — + в sin —г . етг ^cos — + в sin —е = еу = ех = в\1\ + 626 + 63/3,е = еу = ех = в\1\ + 626 + 63/3,(5.113)(5.113)
п = п{А} = п{Ао + А„}
п = п{А} = п{Ао + А„}
г . е
тг ^cos — + в sin —
г . е
тг ^cos — + в sin —
е = еу = ех = в\1\ + 626 + 63/3,
е = еу = ех = в\1\ + 626 + 63/3,
(5.113)
(5.113)
Ct = cos 7а = е • Xt = е • у-, i = 1,2,3.
Здесь и далее запись вида п{А} означает, что кватернионная матрица тг сопоставляется кватерниону, записанному в фигурных скобках (в данном случае кватерниону поворота А ); е — как и ранее, единичный вектор эйлеровой оси поворота твердого тела, еу и ех — его отображения на связанный Y и опорный X базисы.
Обратная связь имеет вид
к = (Е-п)(Е + п)-\(5.114)
Найдем кососимметрическую матрицу к, определяемую формулой (5.114). Для этого рассмотрим матрицыНайдем кососимметрическую матрицу к, определяемую формулой (5.114). Для этого рассмотрим матрицыЕ-тг = Е-тгЕ-тг = Е-тгЕ . Е cos — Ее sin —Е . Е cos — Ее sin —Г Г Г Е12 sin — тг < sin — — е cos — >,4 144 JГ Г Г Е12 sin — тг < sin — — е cos — >,4 144 JЕ + тг = Е + тгЕ + тг = Е + тгГ Е1 Г Г Е1cos — +е sin — ^ = 2 cos — тг< cos — Ее sin —22 J 4 144 JГ Е1 Г Г Е1cos — +е sin — ^ = 2 cos — тг< cos — Ее sin —22 J 4 144 J(5.115)(5.115)
Найдем кососимметрическую матрицу к, определяемую формулой (5.114). Для этого рассмотрим матрицы
Найдем кососимметрическую матрицу к, определяемую формулой (5.114). Для этого рассмотрим матрицы
Е-тг = Е-тг
Е-тг = Е-тг
Е . Е cos — Ее sin —
Е . Е cos — Ее sin —
Г Г Г Е1
2 sin — тг < sin — — е cos — >,
4 144 J
Г Г Г Е1
2 sin — тг < sin — — е cos — >,
4 144 J
Е + тг = Е + тг
Е + тг = Е + тг
Г Е1 Г Г Е1
cos — +е sin — ^ = 2 cos — тг< cos — Ее sin —
22 J 4 144 J
Г Е1 Г Г Е1
cos — +е sin — ^ = 2 cos — тг< cos — Ее sin —
22 J 4 144 J
(5.115)
(5.115)
Здесь при записи этих матриц были учтены структура кватернионных матриц типа тг, определяемая формулой (1.21), и формулы
- Ao = 1 - cos ^ = 2 sin2 ^,1 + Ao = 1 + cos ^ = 2 cos2 ^,
ГЕЕ
sin — = 2 sin — cos —.
44
Используя (5.115) и тригонометрические формулы
. ср / ттЕ\ Е • Z71"
sin — =cos -- — =-cos - + — , cos — = sin - - — = sin - + — ,
4\2 47\2 474\2 47\247
находим
(5.116)(5.116)Е — п = 2 sin — n < cos — —- — е sin — —- 41\247\247
(5.116)
(5.116)
(Е + п) = 2 cos — тг < cos — — e sin — . v 7 V 47 I 4 4J
Подставляя (5.116) в (5.114), получаем выражение для кососимметрической матрицы к через эйлерову пару Qp^eY
илиилик = (Е - п)(Е + п)-1 = tg ^ n {cos ^ - esin ^{ ,
или
или
^ = tg^n{-e} =-tg^n{e}.(5.117)
Замечание. При перемножении матриц (Е — п) и (Е + п) 1 определяемых (5.116), приходим к произведению
тг cos — —- — е sin — —- м тг < cos -— е sin —
I\247\247J14 4J
двух кватернионных матриц типа тг, которое можно рассматривать как формулу сложения двух конечных поворотов, совершаемых вокруг одной и той же оси, направление которой задается единичным вектором —е, на углы tv — (р/2 и (р/2. В результате сложения таких поворотов получаем результирующий поворот вокруг той же оси на угол, равный тг, которому соответствует кватернионная матрица п{—е}.
Таким образом, кососимметрическая матрица к размера 4x4, которая ставится в соответствие с помощью формулы Кэли (5.113) кватернионной матрице поворота типа п, имеет вид
/О ei е2 е3\
(5.118)(5.118)(р -ci 0 —е3 е2 к = tg -
(5.118)
(5.118)
° 4—е2 е3 0 -ci
\ -е3 —е2 61 0 /
Учитывая (5.117), запишем формулу Кэли (5.113) для кватернионной матрицы тг в таком виде:
тг = п{А} = тг {cos ^ + в sin ^ j = (Е - к)(Е + к)-Х =
Е + tg п{е}) (я - tg п{е
Таким образом, если трехмерной кососимметрической матрице к, связанной с матрицей направляющих косинусов формулой Кэли, соответствует вектор к = — tg(^/2)e, то четырехмерной кососимметрической матрице к, связанной этой формулой с кватернионной матрицей поворота типа тг, соответствует вектор к = — tg(y?/4) е. При этом, если трехмерная кососимметрическая матрица к и соответствующий ей вектор к не определены для угла </? = тг, то четырехмерная кососимметрическая матрица к и соответствующий ей вектор к не определены для угла (р = 2тг.
Вместо формул (5.113) и (5.114), устанавливающих взаимно однозначное соответствие между кватернионной матрицей поворота п и четырехмерной кососимметрической матрицей (обозначим ее через к*\ можно взять другие формулы:
п = -(Е - к*)(Е + к^Лп = -(Е - к*)(Е + к^Л(5.120)(5.120)к* = (Е + п^Е - п)-\к* = (Е + п^Е - п)-\(5.121)(5.121)
п = -(Е - к*)(Е + к^Л
п = -(Е - к*)(Е + к^Л
(5.120)
(5.120)
к* = (Е + п^Е - п)-\
к* = (Е + п^Е - п)-\
(5.121)
(5.121)
В этом случае четырехмерная кососимметрическая матрица к* бу
(5.122)(5.122)дет определяться формулой
(5.122)
(5.122)
к* = ctg j ДЦ>
или, в развернутом виде, формулой
(5.123)
Замечание. Формулы (5.113), (5.114) и (5.120), (5.121) не взаимоисключают друг друга, как это было в случае формул (5.106), (5.107) и (5.111), (5.112) для матрицы направляющих косинусов и трехмерной кососимметрической матрицы, так как порядки рассматриваемых операторов (матриц п и к (или к*)) четные.
Таким образом, если четырехмерной кососимметрической матрице к, определяемой формулой Кэли (5.114), соответствует вектор к = = — tg(y?/4)e, то четырехмерной кососимметрической матрице к*, определяемой другой формулой Кэли (5.121), соответствует вектор к* = = ctg((/?/4)e. При этом, если матрица к и соответствующий ей вектор к не определены для угла (р = 2тг, то матрица к* и соответствующий ей вектор к* не определены для угла (р = 0.
Из формул (5.114) и (5.121) следует, что матрицы к и к* связаны соотношением
к к* = к*к = Е. (5.124)
Аналогично изложенному с помощью формул Кэли устанавливается взаимно однозначное соответствие между кватернионной матрицей поворота т{А}, являющейся ортогональной матрицей, имеющей вид первой из матриц (1.21), и кососимметрическими матрицами к и к* размера 4x4, имеющими вид второй из матриц (5.78). При этом все полученные для кватернионной матрицы поворота п{А} уравнения и соотношения сохраняются. В них достаточно вместо матриц типа п взять матрицы типа т. Так, формулы для четырехмерных кососимметрических матриц к и к*, соответствующих кватернионной матрице поворота т{А}, будут иметь вид
к = -^^т{е^ к* = ctg^ т{е}, (5.125)
или, в развернутой записи, вид
/ 0
ei
62
ез \
/ 0 -ei —е2 —е3\
к = tg
-ei
0
ез
-62
, к* = ctg ^
6]0 —е3 е2
4
-е2
-е3
0
61
4
е2 е3 0 -е.
\-ез
62
-ei
0)
\е3 —е2 ei 0 у
(5.126)
Отметим, что четырехмерным кососимметрическим матрицам к и к*, порождаемым формулами Кэли, отвечают кватернионы
к = -tg^(eiii + e2i2 + e3i3) и Л* = ctg^(ei«i + e2i2 + e3i3) (5.127) с нулевыми скалярными частями.
5.8.4. Кинематические уравнения в кососимметрических операторах типа Риккати. Матричное кинематическое уравнение, использующее в качестве переменной трехмерную кососимметрическую матрицу к, определяемую формулой (5.107) или (5.109), можно получить, дифференцируя по времени соотношение с(Е + к) = (Е — к\ являющееся следствием (5.106), и учитывая кинематические уравнения Пуассона (5.25). Это уравнение имеет вид [88, 181]
2fc‘ = Шу к^ук-Шу - Sly.(5.128)
Здесь кососимметрическая матрица Qy определяется (5.26); ее элементами являются проекции ин (г = 1,2,3) вектора из мгновенной угловой скорости твердого тела на связанные координатные оси.
Для получения матричного кинематического уравнения, использующего в качестве переменной четырехмерную кососимметрическую матрицу к, определяемую формулой Кэли (5.114), или, в явном виде, формулой (5.118), продифференцируем по времени соотношение п(Е + + к) = Е — к, являющееся следствием (5.113), и учтем матричное кинематическое уравнение (5.46) в параметрах Эйлера. Получим уравнение
2к' = -(Е + п)-хп{шУКЕ-к).(5.129)
Из второго выражения (5.116) и (5.117) находим: (Е + п)-1 = = - (Е + к). Поэтому уравнение (5.129) принимает вид
4Е = -(Е + к)п{шу}(Е - к)(5.130)
или, после перемножения матриц в правой части уравнения, вид матричного кинематического уравнения типа Риккати
4к* = кп^шу^к + п^шу^к — кп{шу} — n{cjy}.(5.131)
В этих уравнениях n{cjy} = пшу — четырехмерная кососимметрическая матрица типа п, сопоставляемая отображению Шу вектора
угловой скорости твердого тела на связанный базис, имеющая вид матрицы коэффициентов в уравнении (5.46).
Матричное уравнение (5.131) можно записать в более компактном виде. Вводя новую матричную переменную £ = Е + к с элементами £о = X, £t = kt (г = 1,2,3), получим уравнение
4£* = £п^шу^£ — 2£п{шу}.
Если новую матричную переменную ввести по другому: £ = Е — к (элементы этой переменной £о = 1, £t = —kt (г = 1,2,3)), то вместо уравнения (5.131) получим уравнение
4£* = —£ n{cjy } £ + 2п\шу } £.
Для кососимметрической матрицы к размера 4x4, которой соответствует вектор к = tg((/;/4) е, вместо уравнений (5.130) и (5.131) будем иметь уравнения
4к* = (Е - к)ЦшуНЕ^к),
4к* = —к п^шу} к + п^шу^к — к п^шу} + п^шу }.
Матричное кинематическое уравнение, использующее в качестве переменной четырехмерную кососимметрическую матрицу к*, определяемую формулой Кэли (5.121), или, в явном виде, формулой (5.123), получается аналогично и имеет вид, полностью совпадающий с уравнением (5.130) или (5.131):
4к** = -(Е + к^п^у^Е- к*),(5.132)
4к** = к* n{cjy} к* + n{cjy} к* - к* n{cjy} - n{cjy}. (5.133)
Таким образом, матричные кинематические уравнения типа Риккати ковариантны по отношению к четырехмерным кососимметрическим матрицам к и к*.
Из сопоставления матричных кинематических уравнений (5.128) и (5.131), записанных для трехмерной и четырехмерной кососимметрических матриц, видно, что правые части этих уравнений по своей форме совпадают.
Если использовать кососимметрические матрицы к и к*, соответствующие кватернионной матрице поворота т{А} (эти матрицы имеют вид (5.126)) и матричное кинематическое уравнение (5.45) в параметрах Эйлера, то получим следующие матричные кинематические уравнения типа Риккати для матрицы к;
4к* = -(Е + к)т^хНЕ - к),(5.134)
4к* = кт^шх^к + т^шх^ к — кт{шх} — тп^шх^ (5.135) и аналогичные уравнения для матрицы к*.
В этих уравнениях т^шх^ = ^шх — четырехмерная кососимметрическая матрица типа т, сопоставляемая отображению Шх вектора
угловой скорости твердого тела на опорный базис, имеющая вид матрицы коэффициентов в уравнении (5.45).
Матричные кинематические уравнения типа Риккати можно записать в векторно-матричной записи. Так, уравнение (5.131) в такой записи имеет вид
4х* = кп^шу^ х + (n{cjy} — т^шу^х — £1ус, (5.136) где х = (0, ку к2, к^\ и = (0, к\ Л^Лз) и О.ус = (0, сщ,Щ2> ^з) — четырехмерные векторы-столбцы искомых переменных, их первых производных по времени и проекций вектора угловой скорости твердого тела на связанный базис; т(шу) и тг(шу) — четырехмерные кососимметрические матрицы типов тип, сопоставляемые отображению Шу вектора угловой скорости твердого тела на связанный базис; первая строка и первый столбец матрицы n{cjy} — m{cjy} являются нулевыми, а ее оставшаяся часть равна удвоенной трехмерной кососимметрической матрице, имеющей вид (5.77).
Такая запись кинематических уравнений удобна с точки зрения построения алгоритмов численного интегрирования этих уравнений.
Наконец, используя вместо четырехмерных кососимметрических матриц кватернионы с нулевыми скалярными частями (5.127), получим следующие кватернионные кинематические уравнения типа Риккати:
4*’ = -(1-А)о^уо(1+А),(5.137)
4к* = -(Ык)ошхо^-к),(5.138)
4к* = к о шу о к + к о шу - шу ок - шу,(5.139)
4к* = ко шх ° к + шх ок - ко шх -(5.140)
где
к — к\1\ + k2t2 + ^3/3 — — tg ^ (eiZi + 62/2 + 63/3),
Шу = СЩ£*1 + С^2^*2 Т ^3/3, Шх = ^^1 + ^2^*2 Т ^3/3 и аналогичные уравнения для кватернионной переменной:
к* = 61/1 + 62/2 + 63/3 = ctg ^"(ОО + 62/2 + 63/3).
Кватернионные уравнения (5.139) и (5.140) можно записать в более компактном виде. Так, вводя новую кватернионную переменную £ = = 1 + к = 1 + £u’i + £2/2 + 4<з или переменную £ = 1 - к = 1 - £\i\ - — £2/2 — £3/3 с единичными скалярными частями, вместо уравнения (5.139) получим уравнение
4£* = £ о шу о £ - 2шу о £ или уравнение
4£* = -£ о шу о £ + 2£ о шу.
Отметим, что векторы конечных поворотов 9 = tg(^/4)e и 9 = = ctg^/^e и соответствующие им векторные кинематические уравнения рассматривались в [87].
Кватернионные кинематические уравненияотносительного движения
Рассмотрим сложное движение твердого тела, состоящее из двух вращений вокруг его неподвижной точки О. Первое вращение, называемое переносным, совершается относительно опорной системы координат вместе с системой координат Z с мгновенной (переносной) угловой скоростью с^ь С системой координат Z может быть жестко связано некоторое другое твердое тело, или с ее помощью задается некоторое характерное для изучаемого твердого тела движение, например, его программное угловое движение. Второе вращение, называемое относительным, совершается относительно системы координат Z с мгновенной (относительной) угловой скоростью CJ2- Твердое тело, с которым жестко связана система координат Y, вращается относительно опорной системы координат X с мгновенной угловой скоростью ш, называемой абсолютной угловой скоростью.
Наша задача состоит в выводе кватернионного кинематического уравнения относительного углового движения твердого тела, т. е. его углового движения относительно системы координат Z в предположении, что заданы угловые скорости cj и ищ.
Взаимное угловое положение введенных координатных трехгранников зададим кватернионами поворотов Ai, А2, А в соответствии со схемой поворотов
X z У Ху.
(лЦ CJ2 Ш
Угловая скорость с^2 относительного движения твердого тела равна разности его абсолютной угловой скорости ш и переносной угловой скорости wy с^2 = ^ —Поэтому, используя кватернионные кинематические уравнения (5.37) и (5.38), получим следующие две формы кватернионного кинематического уравнения относительного углового движения твердого тела:
2А2у = А2У о (cjy — ищу) = (cjy — сщ^) о А2У. (5.141) Здесь и далее нижние индексы «у», «у» и «у» указывают, в какой системе координат определен соответствующий кватернион.
В большинстве случаев вектор абсолютной угловой скорости ш задан в связанной системе координат Y, а вектор переносной угловой скорости ощ — в системе координат Z, совершающей переносное движение. Поэтому в этих случаях уравнение (5.141) необходимо дополнить соотношениями перепроектирования:
ш\у = А2У ° ищу ° А2У, Шу = А2У ° и)у о А2У. (5.142)
Кватернионное кинематическое уравнение (5.141), дополненное соотношениями (5.142), является нелинейным дифференциальным уравнением относительно кватернионной переменной Х^у. Вместе с тем существует линейное кватернионное кинематическое уравнение отно-
сительного углового движения твердого тела, к выводу которого мы и перейдем.
Кватернион А результирующего поворота может быть найден через кватернионы Ai и Аг составляющих поворотов с помощью формулы (3.16) сложения конечных поворотов, заданных собственными кватернионами поворотов:
Ах = Aix ° А2У, Хх = Ay, Aix = Aiz, Агу = Агу- (5.143)
Дифференцируя первое кватернионное равенство (5.143) по времени и учитывая кватернионное кинематическое уравнение абсолютного углового движения твердого тела
2А^ = 2Ay = шх ° Хх = Ау о с^у, получим
2AY = 2Ац£ о X^y 4" 2Ajy о X^y = Ху о uoy = Хх о uoy•
Выражая из этого соотношения 2А*гу и учитывая кватернионное кинематическое уравнение абсолютного углового движения системы координат Zф
2А1Х = cjix ° Aix, получим__
2А2у = Aix ° Хх °— Ai% ° ^ix ° Aix 0 Агу.
Отсюда, используя соотношения Ajy 0 Хх = Агу и Ац< 0 ш\х ° Aix = = cjiz, получаем следующее кватернионное кинематическое уравнение относительного углового движения твердого тела [17]:
2А2У = Агу ° u)y — ^iz 0 Агу.(5.144)
Это уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка относительно кватернионной переменной Агу, описывающей угловое движение твердого тела относительно вращающейся системы координат Z. В этом уравнении непосредственно используются отображение шу вектора абсолютной угловой скорости твердого тела на связанный базис и отображение w\z вектора абсолютной угловой скорости вращающейся системы координат Z на ее же координатные оси. Компонентами кватернионов с^у и w\z являются проекции векторов ш и иц на оси разных систем координат X и Z. Эти проекции во многих задачах относительного движения либо задаются как явные функции времени (в этом случае дифференциальное уравнение (5.144) является линейным), либо формируются с помощью дополнительных уравнений. Эти обстоятельства делают кватернионное кинематическое уравнение (5.144) удобным для решения ряда задач механики, навигации и управления движением.
Переходя к скалярной записи, вместо кватернионного дифференциального уравнения (5.144), получим систему четырех скалярных дифференциальных уравнений [56, 58]:
2^20 =- ^н)^21 - (^2 - ^12)^22 - (^з - ^13)^23,
.(5.145)
2А^ = (й?1 - щц)Аго + (^з + ^13)^22 - (^2 + ^12)^23,
2А22 = (^2 - ^12)^20 - (^3 + ^1з)^21 + (^1 + ^11)^23,
2^23 = (^3 — ^1з)^20 + (^2 + ^12)^21 (^1 + ^11)^22
относительно параметров Эйлера A2J О = 0, 1,2,3) (компонент кватерниона поворота А2у), характеризующих ориентацию твердого тела во вращающейся системе координат Z.
В этих уравнениях ^ (г = 1,2, 3) — проекции вектора из абсолютной угловой скорости твердого тела на связанные с ним координатные оси (компоненты кватерниона с^у); шц — проекции вектора ищ переносной угловой скорости на оси вращающейся системы координат Z (компоненты кватерниона ищу).
Кинематические уравнения (5.145) относительного углового движения твердого тела в векторно-матричной записи имеют вид
2А^У = ^w^ ~ m{wiz})A2y.2А^У = ^w^ ~ m{wiz})A2y.(5.146)(5.146)
2А^У = ^w^ ~ m{wiz})A2y.
2А^У = ^w^ ~ m{wiz})A2y.
(5.146)
(5.146)
Здесь А2У = (А20, А21, А22, А23) и А2у = (А20, А21, А22, А23) — векторы- столбцы параметров Эйлера A2J (j = 0, 1,2, 3) и их первых производных по времени; n{cjy} и ш{ищу} — четырехмерные кососимметрические матрицы (ненормированные кватернионные матрицы) типов пит, сопоставляемые отображениям шу и c^iz векторов угловых скоростей из и ищ на базисы X и Z.
Матрица коэффициентов в уравнении (5.146) имеет видп{шу} - т{шЩ =
/0 -сщ+щц
сщ — ^11о
—^2+^12
^з+^13
-^3+^13 \
—^2 — ^12
(5.147)
^2—^12 —^3—^13
0
Ш\ +^11
у ^3-^13^2+^12
-и)\ -ЩЦ
° )
Частные случаи интегрируемостикинематических уравнений
Важное место в механике твердого тела занимает задача определения углового положения (ориентации) твердого тела по известному вектору его угловой скорости. В этой задаче предполагается, что проекции ац, с^2, Щз вектора угловой скорости твердого тела на связанные с ним координатные оси являются заданными функциями времени; требуется найти зависимость от времени параметров, определяющих угловое положение тела. Речь идет, таким образом, об интегрировании той или иной системы кинематических уравнений углового движения твердого тела (твердого тела с одной неподвижной точкой), т. е. системы дифференциальных уравнений, дающих выражение производных от той или иной совокупности параметров углового движения по времени через проекции ац, с^2, шу
Проблема интегрирования кинематических уравнений углового движения твердого тела в указанной постановке имеет важное теоретическое и прикладное значение, однако ее аналитическое решение в общем случае вряд ли возможно, поэтому при решении многих теоретических и прикладных задач приходится рассчитывать лишь на приближенное аналитическое или численное интегрирование этих уравнений. Так, задача определения углового положения твердого тела является одной из основных в современных системах управления движением различного рода движущихся объектов, и эта задача во многих случаях решается с помощью численного интегрирования на бортовом вычислителе в реальном масштабе времени той или иной совокупности кинематических уравнений углового движения твердого тела по измеренным, например, с помощью гироскопических измерителей угловой скорости проекций ш\, Ш2, 0)3 угловой скорости движущегося объекта.
Для решения задачи определения углового положения твердого тела по известному вектору его угловой скорости могут быть использованы кинематические уравнения Эйлера (5.13) или кинематические уравнения (5.18) в самолетных углах. В некоторых частных случаях интегрирование этих систем может быть проведено аналитически, но нелинейность и отсутствие симметрии затрудняют интегрирование этих систем и не позволяют получить выводов общего характера. Для решения этой задачи гораздо более эффективно использование кинематических уравнений Пуассона (5.24) или кинематических уравнений в параметрах Эйлера (Родрига-Гамильтона) в той или иной их форме (кватернионной (5.38), скалярной (5.42) или матричной (5.44)), а также кинематических уравнений в параметрах Кейли-Клейна (5.55). Как уже отмечалось, все эти уравнения линейны и не имеют особых точек, что делает их более удобными как для построения аналитических, так и численных решений.
Задача об определении углового положения твердого тела по заданной угловой скорости широко известна в литературе и носит название задачи Дарбу по имени французского математика Darboux, который впервые занимался ею в общей постановке. В классическом сочинении Дарбу по теории поверхностей [170] эта задача сведена к разысканию одного частного решения скалярного дифференциального комплексного уравнения типа Риккати с переменными коэффициентами (уравнения Дарбу-Риккати). Вывод этого уравнения (см., например, [71]) основывается на рассмотрении стереографической проекции плоскости на единичную сферу. Пусть М' — точка этой плоскости, а М — точка сферической поверхности единичного радиуса, сопоставляемая точке М' с помощью стереографической проекции. Обозначая через х, у координаты точки М', принадлежащей плоскости комплексной переменной z = х + гу, а через жц Х2, хз — координаты точки М в неподвижной системе координат X с началом в центре сферы
(в неподвижной точке О твердого тела), имеем
. Х\ + ZX2 z = х + гу = —,1 -Жз. Х\ + ZX2 z = х + гу = —,1 -Жз2 ।2 ,21
. Х\ + ZX2 z = х + гу = —,
1 -Жз
. Х\ + ZX2 z = х + гу = —,
1 -Жз
хх + х2 + Х3 = 1.
zz= | (^2 - М) - iw3z + | Ц2 + гш])Л.= | (^2 - М) - iw3z + | Ц2 + гш])Л.(5.148)(5.148)Уравнение Дарбу-Риккати имеет вид [71]:
z
z
= | (^2 - М) - iw3z + | Ц2 + гш])Л.
= | (^2 - М) - iw3z + | Ц2 + гш])Л.
(5.148)
(5.148)
В этом уравнении z — искомая комплексная переменная; ин = ш^ (г = 1,2,3).
С помощью замены переменной
(
t
—г | dt
о
уравнение (5.148) преобразуется к виду, в котором отсутствует линейный член в правой части:
( Г1( f
С = 2 ^2 — ехР Ь ] ^з ^ +^ (^2 + ^1R2 exp I — г j cxjg dt \ о /у о
Переходя в этом уравнении к новой независимой переменной
оо
о
о
виде:виде:получим дифференциальное уравнение Дарбу-Риккати в следующем
виде:
виде:
(5.149)(5.149)1z х
(5.149)
(5.149)
dx p^t)
t
р = cos а + i sin a, a = Arg(cj2 + йщ) — Щз dt.
Общее решение уравнения (5.149) может быть представлено [71] через одно его частное решение в форме дробно-линейного преобразования, что, в свою очередь, позволяет получить выражения параметров Кейли-Клейна через это частное решение и их начальные значения, и, таким образом, найти общее решение кинематических уравнений (5.55) в параметрах Кейли-Клейна через одно частное решение уравнения Дарбу-Риккати.
Аналитические решения уравнения Дарбу-Риккати известны лишь для некоторых частных случаев движения твердого тела. Так, в [71] приводится решение этого уравнения в случае регулярной прецессии твердого тела; в [108] установлено условие, накладываемое на компоненты шх, Ш2, из вектора угловой скорости твердого тела, при выполнении которого уравнение Дарбу-Риккати (5.149) сводится с помощью
экспоненциальных замен переменных к достаточно исследованному гипергеометрическому уравнению.
Проблему интегрирования кинематических уравнений углового движения твердого тела в общем случае можно также свести к проблеме интегрирования одного скалярного линейного комплексного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Такой подход позволяет в ряде частных случаев более просто находить аналитические решения задачи об определении углового положения твердого тела по его заданной угловой скорости. Так, в пункте 5.6 было показано, что для движения твердого тела с постоянными угловыми скоростями ш\, Ш2, шз такого рода уравнение (любое из уравнений (5.61) или (5.63)), построенное на основе кинематических уравнений в параметрах Кейли-Клейна (5.55), принимает вид уравнения движения гармонического осциллятора (вид первого или второго уравнения (5.64)), а в случае конического движения тела — вид уравнения движения линейного осциллятора (вид первого или второго уравнения (5.65)). Фактически такой же подход используется и в [108], где для нахождения частного решения уравнения Дарбу- Риккати (5.149) переходят с помощью экспоненциальных замен переменных к скалярному линейному комплексному дифференциальному уравнению второго порядка с переменными коэффициентами.
Отметим, что от дифференциальных уравнений второго порядка (5.61) или (5.63) можно перейти к дифференциальному уравнению типа Риккати. Так, вводя новую переменную и = а /а, и используя соотношения а = на, а * = аи + mi2, получим вместо дифференциального уравнения второго порядка (5.61) относительно переменной а дифференциальное уравнение типа Риккати относительно переменной и;
и = Q(t)u - и2 - R(t),
где величины Q и R являются известными (в общем случае произвольными) функциями времени и определяются соотношениями(5.62).
Переходя в этом уравнении к новой переменной d по формулам
\
| Q(t) dt I , 0/
получим следующее дифференциальное уравнение типа Риккати:
не содержащее в правой части линейного члена.
Другой подход к интегрированию кинематических уравнений углового движения твердого тела основан на методах теории приводимости систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами к линейным системам с постоянными коэффициен-
тами. Впервые определение приводимой в указанном смысле системы линейных нестационарных дифференциальных уравнений (с помощью линейных подстановок, обладающих определенными свойствами) дал А.М. Ляпунов [72]. Им же было показано [72], что всякая система линейных дифференциальных уравнений, в которой все коэффициенты суть периодические функции t (независимой переменной) с одним и тем же вещественным периодом, является приводимой. Кинематические уравнения Пуассона и уравнения в параметрах Эйлера являются системами линейных дифференциальных уравнений девятого и четвертого порядка соответственно. Поэтому можно утверждать, что эти кинематические уравнения являются приводимыми по Ляпунову и, следовательно, интегрируемы в случае, когда проекции ut или ш* (г = 1,2,3) вектора угловой скорости твердого тела являются произвольными периодическими функциями времени t с одним и тем же периодом. Однако аналитического решения кинематических уравнений для этого случая движения твердого тела до сих пор найти не удалось.
Другой общий вывод о приводимости по Ляпунову кинематических уравнений углового движения твердого тела вытекает из результатов, полученных Н.П. Еругиным [32]. Он показал, что линейная дифференциальная система с кососимметрической матрицей коэффициентов относится к классу приводимых систем. Именно такого рода систему — систему линейных дифференциальных уравнений четвертого порядка с кососимметрической матрицей переменных коэффициентов — образуют кинематические уравнения в параметрах Эйлера, и, следовательно, эта кватернионная система кинематических уравнений углового движения твердого тела приводима по Ляпунову в общем случае движения, когда проекции вектора угловой скорости твердого тела и^ или ш* (г = 1,2,3) — произвольные функции времени t. Однако конструктивных приемов приведения кинематических уравнений углового движения твердого тела, использующих этот результат Н.П. Еругина, до сих пор найдено не было. Вместе с тем, в ряде работ методы теории приводимости систем нестационарных линейных систем к стационарным были успешно использованы для построения аналитических решений кинематических уравнений углового движения твердого тела в ряде частных случаев его движения. Так, в [45, 94] эти методы были использованы для построения аналитических решений кинематических уравнений Пуассона в случае конического движения вектора угловой скорости, а также в некоторых других случаях, когда проекции ut (г = 1,2,3) — некоторые периодические функции времени t, носящие, хотя и частный характер, но имеющие важное значение в ряде прикладных задач.
Проблема интегрирования кинематических уравнений углового движения твердого тела рассматривалась во многих работах. Укажем на некоторые из них. В работе [37] приводится аналитическое решение уравнений Пуассона в случае, когда твердое тело совершает сложное движение, состоящее из нескольких простых движений, уравнения
которых легко интегрируются; в [17] рассматривается интегрирование кватернионного кинематического уравнения углового движения твердого тела в случае, когда вектор угловой скорости сохраняет свое направление в опорной системе координат неизменным, изменяясь по модулю, и случай, когда он совершает коническое движение, оставаясь неизменным по модулю; в [76] для интегрирования кинематических уравнений относительного углового движения твердого тела в параметрах Эйлера в случае, когда векторы абсолютной и переносной угловых скоростей совершают в инерциальном пространстве конические движения, оставаясь постоянными по модулю, используются представление M.Y. Wu [184] для четырехмерной кососимметрической матрицы коэффициентов и представление этих уравнений в форме гамильтоновой системы линейных уравнений. Также следует отметить случай разрешимости задачи Дарбу в замкнутой форме [79], отличающийся от вышеперечисленных тем, что задаваемый вектор угловой скорости твердого тела имеет произвольное направление. Интегрирование кинематических уравнений в параметрах Эйлера в этом случае достигается только за счет требования, накладываемого на модуль вектора угловой скорости твердого тела.
Рассмотрим один случай интегрируемости кинематических уравнений углового движения твердого тела в параметрах Эйлера, установленный автором в работе [128]. Этот случай включает в себя, как частные, случай вращения твердого тела с угловой скоростью, постоянной по направлению, но переменной по модулю, и случай конического движения тела.
Матричная форма кинематических уравнений вращательного движения твердого тела в параметрах Эйлера (Родрига-Гамильтона) имеет вид (5.44) или вид первого из уравнений (5.46):
А = т1ШуХ, А = (Aq, Ai, А2, A3), А = (Aq , А^, А2, Ад), (5.150) / 0 -W1 -W2 -Шз \
0)^ 0 Щ3 —Сс?20)2 — 0)3 0 0)\
У 0)3 0)2 ~О)\ 0 У
Здесь А и А* — векторы-столбцы параметров Эйлера и их первых производных по времени; пшу — кватернионная матрица типа п, сопоставляемая вектору и) угловой скорости вращения твердого тела относительно опорного базиса X, составленная из проекций о)^ (г = = 1,2,3) вектора ш на связанный с телом базис Y.
Полагаем, что проекции о)^ являются известными функциями времени t: o)i = o)i(t) (г = 1,2, 3).
Введем в рассмотрение следующие векторы конечных поворотов: вектор поворота 9, определяющий собой текущее угловое положение (в момент времени t^ связанного базиса Y относительно опорного X;
вектор поворота 0о, определяющий собой начальное угловое положение У0 (в момент времени t^ связанного базиса относительно опорного, и вектор поворота 0*, определяющий собой текущее угловое положение связанного базиса относительного его начального. Полагаем, что каждый из векторов конечных поворотов задан своими проекциями в базисе, преобразуемом этим поворотом. Поворот 0 является результирующим последовательности поворотов 0^, 0*. Параметры Эйлера Xj (j = 0, 1,2,3) результирующего поворота определяются через параметры Эйлера Ajo, А* слагаемых поворотов по матричной формуле (3.39):
А = п*Ао, Ло = A(to) = (Аоо, Аю, А20, А30),(5.151)
/Л» _Л* _д* _Л*\
* =Л0 Л3 Л2
УзА*/
Соотношение (5.151) является общим решением уравнения (5.150), представленным через его частное решение A* = Xj(t) (j = 0, 1,2,3), соответствующее начальному условию движения А(£о) = (1,0,0,0). С точки зрения теории дифференциальных уравнений [27] матрица п*, фигурирующая в (5.151), является матрицантом второго из уравнений (5.46):.
2п = пшуп,(5.152)
т. е. является нормированной интегральной матрицей системы (5.150).
Соотношение (5.151) определяет собой структуру общего решения уравнения (5.150). Однако это решение неизвестно, поскольку неизвестны компоненты A* (j = 0, 1,2,3) матрицы п*, являющейся решением уравнения (5.152) при начальном условии движения п(/д) = Е (Е — единичная матрица размера 4x4) и произвольном виде матрицы коэффициентов пшу.
Построим, используя геометрический подход, общее решение матричного уравнения (5.150) в одном достаточно общем случае движения твердого тела, включающем в себя, как частные, случай вращения твердого тела с угловой скоростью, постоянной по направлению, но переменной по модулю, и случай, когда вектор угловой скорости твердого тела совершает коническое движение, оставаясь неизменным по модулю [128].
Вектор cj угловой скорости вращения твердого тела запишем в следующем виде:
w(f) = ^1(^)У1 +ш2(Ьу2 + шз(^Уз =
= р + q = ру{ + q cosO + ??)у2 + q sinO + ^М,
где уг (г = 1,2, 3) — орты связанного базиса, р — некоторая постоянная; р, q, ф — функции времени, такие, что
р = сщ(£), qсо$(ф + ту) = ш2(ф,
(5.153) Qsin^ + р) = ^3(t), q2 = (ш2ф'У)2 + (^3(t))2.
Введем в рассмотрение два базиса (см. рис. 5.8): базис У', повернутый относительно базиса У вокруг оси О2У\ на постоянный угол р, и базис Z, вращающийся относительно базиса У' вокруг оси О2Уф совпадающей с осью О2У\, с угловой скоростью
Ориентацию базиса Z относительно базиса У определим вектором конечного поворота 6^. Параметры Эйлера этого поворота в базисах У и Z равны между собой и имеют вид
Лоз = cos (У^ + Фу А13 = sin + ??)), Л2з = Азз = 0. (5.154)
Начальное положение Z0 базиса Z получается из начального положения У0 базиса У поворотом 9\ на угол фо + р вокруг оси О2У^. Параметры Эйлера этого поворота в базисах У0 и Z° будут следующими /1\/1\
Aoi = cos -(фо + О) Ь Ан = sin -(фо + р) , \2/\2/(5.155)
А21 = А31 =0, фо = ф(1оф
Вектор угловой скорости вращения базиса Z относительно опорного базиса X равен сУ = w + ф*yv Определим текущее угловое положение базиса Z относительно его начального Z0 вектором конечного поворота 62. Предположим, что вектор угловой скорости ио' вращения базиса Z является в этом базисе неизменным по направлению, изменяясь по модулю, что будет иметь место, если выполняются условия
+= const, —f = const, иУ = \(р + ф*У + q2"|.(5.156)
При сделанном предположении направление вектора конечного поворота 02 будет совпадать с направлением вектора о/; его направляющие косинусы с осями O2ZX, O2Z2, O2Z3 будут соответственно равны (р + ф^/аЛ qfw', 0, а угол поворота
t
^(^ = jc</(T)^T-(5.157)
Г
Поэтому параметры Эйлера поворота 02 будут иметь в базисе Z (а также в Z0) вид
А()2 = COS —,А12 = SIR —,
2из2(5 158)
а
А22 = — sin —, А32 = 0.
2
Связи всех рассмотренных базисов представим следующей схемой поворотов (где ~ — знак эквивалентности):
X > Y^ @ > Y > Z^X / Y^ ^ / Z^ ^^
Из указанных на схеме векторов поворотов неизвестным является один 0*, параметры Эйлера которого необходимо определить. Поворот 0*, как видно из схемы, является результирующим последовательности поворотов 0\, 02, —0з- Каждый из поворотов 0\, 02, —0з задан своими параметрами Эйлера. Поэтому для нахождения параметров поворота 0* естественно воспользоваться матричной формулой сложения поворотов (3.36), позволяющей находить параметры Эйлера результирующего поворота через параметры Эйлера составляющих поворотов. Полагая в этой формуле индекс к = 2, имеем
Х* = пртхХ2, А* = (А^АГА^,АД А2 = (Ао2,А12,А22,Аз2). (5.159)
Здесь n^"1 = nJ; пз, mi — кватернионные матрицы типов пит, составленные из параметров Эйлера А^з и Aji (j = 0, 1,2,3) и имеющие вид (1.21).
Учитывая выражения (5.154), (5.155), (5.158) параметров Эйлера составляющих поворотов, из соотношения (5.159) находим параметры А*:
л; = cos+■
Х1 =cossin у - sincos у,
А2 =cos I—-— + р I sin у,
A3 = ^7 Sin I —-— + 7? I sin у.(5.160)
Здесь 992 определяется равенством (5.157), а иУ — третьим из равенств (5.156).
Отметим, что использование формулы сложения конечных поворотов в коммутирующих кватернионных матрицах п и т в данном случае облегчает процедуру нахождения параметров A* (j = 0, 1,2,3), поскольку позволяет сгруппировать вместе кватернионные матрицы, содержащие параметры Эйлера А^з и А7ц поворотов 63 и 9у вокруг одной и той же оси О^Уу.
Соотношения (5.151), (5.160) представляют собой общее решение уравнения (5.150) в случае, когда вектор угловой скорости вращения твердого тела удовлетворяет условиям (5.156), (5.153). Указанным условиям удовлетворяет вектор гt
ш = НО Р\У\ + 91 cos (^1 | Щ) <^ + >?) Уг+
t to(5.161)
+91 sin (Vi j /Ц) dT + 77) y3 ,
где pi, qy, фу, p — некоторые постоянные, /(t) — произвольная функция времени, ограниченная и интегрируемая на отрезке времени [й,^], на котором рассматривается движение тела.
Общее решение уравнения (5.150) для этого вида угловой скорости будет выражаться соотношением (5.151) и соотношениями, к которым приводятся (5.160) при учете равенств
t
p = piH0> q = q\HtY Ф fOW",
to
‘0 = cos - cos - +‘0 = cos - cos - +sin - sin-,sin - sin-,
‘0 = cos - cos - +
‘0 = cos - cos - +
sin - sin-,
sin - sin-,
pi+V>i v>—cos^ 2pi+V>i v>—cos^ 2. и . ф и
pi+V>i v>
—cos^ 2
pi+V>i v>
—cos^ 2
sm — — sm — cos —,
^2 = —г cos -+77 sin-, A3 = —sin -+77 sin-, (5.162)\ Z / Z\ z / z
ГГГ1 1/2
Ф = Ф\ ] /Ц) dT, И = ш+pH)dT, w+= ^pi + t/Д2 + gfj .
Случаи интегрируемости кинематических уравнений, когда вектор угловой скорости твердого тела постоянен по направлению в связанном базисе, но переменен по модулю, и когда он совершает в этом базисе коническое движение, являются частными рассмотренного выше.
В случае постоянного по направлению, но переменного по модулю вектора угловой скорости его вид
v = /№(Р1У1 + 91 COS ту у2 +91 sin 77 Уз)(5.163)
получается из выражения (5.161), если в нем положить фх = 0. Тогда общее решение уравнения (5.150) имеет вид (5.151), где параметры Эйлера A* (j = 0, 1,2,3) в силу равенства фх = 0 и соотношений (5.162) определены равенствами
/1 tхar Н 1\
Aq = cos| афт) dr\ А* = — sinf - j щ(т) cZt\ i= 1,2,3, (5.164)
Ш2=^+Ш2+Шз, wj=pi/(t), ш2 = 9iy(t)cos77, шг = qtf(t) sin?;.
Это решение может быть представлено в матричном виде
X = Е cosX = Е cosАо. (5.165)Ао. (5.165)
X = Е cos
X = Е cos
Ао. (5.165)
Ао. (5.165)
Случай конического движения твердого тела будет иметь место, если в выражении вектора угловой скорости тела (5.161) положить / = = 1, р = 0. Тогда
ш = Р1У] + 91 008(^1 G - io)) У2 + 91 sin(^i (t - t0)) Уз, (5.166)
а в общем решении (5.151) уравнения (5.150), соответствующем этому случаю движения, компоненты матрицы п* определяются соотношениями (5.162), где следует положить
ф = фхф - to), и = ф; — to), р = 0. (5.167)
Устойчивость решений кинематическихуравнений
Рассмотрим задачу устойчивости решений кинематических уравнений (5.44) или (5.150) углового движения твердого тела в параметрах Эйлера по отношению к начальным условиям в постановке, предложенной А.Ю. Ишлинским [43].
Обозначим через Ai частное решение уравнения (5.150), соответствующее начальному условию движения Аю = Ai(to)- Примем его за невозмущенное. Другое частное решение А2 уравнения (5.150), отвечающее начальному условию движения А20 = А2(£о)> примем в качестве возмущенного.
Вектор конечного поворота Ох характеризует собой невозмущенное движение связанного с твердым телом базиса Y относительно опорного
базиса X, а вектор конечного поворота #2 — возмущенное. В соответствии со сказанным имеем такую схему поворотов:
X Ун Ув ~ Ув
AiАдА2
Здесь Ун — невозмущенное положение базиса У, а Ув - возмущенное; 0д — вектор конечного поворота, характеризующий взаимное угловое положение базисов Ун и Ув; Ль Ад, А2 кватернионы поворотов (или (в векторно-матричных уравнениях) четырехмерные векторы-столбцы компонент этих кватернионов (параметров Эйлера)), соответствующие векторам конечных поворотов 01, 0д, 02.
Для ответа на вопрос об устойчивости решений уравнения (5.150) необходимо установить, как меняется с течением времени вектор 0д.
Конечный поворот 02 является результирующим последовательности конечных поворотов 0\ и 0д. Компоненты Aj2 0 = 0, 1,2,3) кватерниона поворота А2 одинаковы в базисах X и Ув, а компоненты Aji кватерниона поворота Ai — в базисах X и Ун. Компоненты А^д кватерниона поворота Ад будем определять в опорном базисе X. Воспользовавшись матричной формулой (3.30) сложения двух конечных поворотов, определенных в одном координатном базисе (X), находим
А2 = П1 Ад = тдА1,(5.168)
где пь тд — кватернионные матрицы типов п и т, сопоставляемые векторам конечных поворотов 0\ и 0д; А2, Ад, Ai — векторы-столбцы, составленные из соответствующих параметров Эйлера Aj2, А^д, Aji.
Из (5.168) получаем
Лд = п}Л2.(5.169)
В силу соотношения (5.151)
Ai = п*Аю П1 = п*пю; А2 = п*А2о.
Подставляя эти равенства в соотношение (5.169), получаем
Ад = 40А20 = const пд = п}оП2о ~ тд = wo^Io-(5.170)
Подчеркнем, что здесь элементы Aji(to) и A^to) (j = 0, 1,2,3) матриц пщ (т\о) и A2o(wb Wo), являющиеся компонентами кватернионов поворотов Аю = Ai(to) и А20 = А2(^о), заданы в опорном базисе X.
Из формулы (5.170) следует, что вектор конечного поворота 0д является постоянным в опорном базисе X на протяжении всего времени движения твердого тела и зависит только от начальных условий движения. Следовательно, угол поворота базиса Ув относительно базиса Ун и направляющие косинусы оси этого поворота в опорном базисе в любой текущий момент времени t остаются неизменными, равными своим значениям в начальный момент времени t^. Это говорит об устойчивости (неасимптотической) решений кинематических уравнений углового движения твердого тела по отношению к начальным условиям движения.
Полученный вывод согласуется с результатами, установленными А.Ю. Ишлинским геометрическим путем с помощью теоремы о переставимости двух конечных поворотов твердого тела [43] (в этой работе рассматривается другая форма кинематических уравнений углового движения твердого тела). Отметим, что вопрос об устойчивости решений кинематических уравнений углового движения является одним из основных вопросов, возникающих при рассмотрении уравнений основной задачи инерциальной навигации [12, 43, 44, 48, 82].
Покажем, что дифференциальные уравнения возмущенного углового движения твердого тела интегрируются в квадратурах.
Вводя матрицу-столбец
АА = А2- Аь(5.171)
заданную своими элементами в базисе X, из уравнения (5.147) получаем следующее матричное уравнение возмущенного углового движения твердого тела:
2АА* = пшУ^Х.(5.172)
Из равенств (5.168), (5.171) находим
АА = (шд -Е)АЬ(5.173)
Подставляя в уравнение (5.172) выражение (5.173) и учитывая, что шд = const, а 2А] = п^уАу убеждаемся, что оно обращается в верное тождество.
Таким образом, уравнение (5.172) возмущенного углового движения твердого тела интегрируется в квадратурах и его общее решение имеет видт
АА = (т20тю - Е) Ау
Это решение можно также представить в другом виде:
АА = п*ААо, ААо = А2о — Аю,
где п* — нормированная интегральная матрица системы (5.150).
Изложенные в этом пункте вопросы рассмотрены автором в [134].
Проблема Дарбу и теория Пуанкаре построенияфуксовых уравнений
Построение общего решения кинематических уравнений в параметрах Кейли-Клейна через одно частное решение уравнения Дарбу. Подход Дарбу [71, 170] к решению задачи определения углового положения твердого тела по его известной угловой скорости, заключающийся в нахождении общего решения дифференциальных кинематических уравнений в параметрах Кейли-Клейна (5.55) через одно частное решение уравнения (5.149), связан со многими сложными выкладками [71]. Во-первых, построение уравнения Дарбу - Риккати (5.148) для комплексной переменной z = х + гу включает
дифференцирование дробно-линейного преобразования, обратного преобразованию У = каг + /3)/(у^ + 5), использование уравнений (5.58), связывающих проекции ш* (г = 1,2,3) вектора угловой скорости твердого тела на опорные координатные оси с параметрами Кейли-Клейна и их первыми производными по времени, и использование формул преобразования координат в параметрах Кейли-Клейна вида (2.41), связывающих проекции и^ и ш* вектора угловой скорости в связанном и опорном координатных базисах. Все эти преобразования достаточно громоздки. Во-вторых, нахождение общего решения дифференциального уравнения Дарбу (5.149) в форме дробно-линейного преобразования через одно его частное решение £ = ^(t) (с использованием общего решения линейного дифференциального уравнения, соответствующего уравнению (5.149)) является не простой (далеко не очевидной) процедурой. Не менее сложным является дальнейшее установление связи найденного общего решения уравнения Дарбу (5.149) с общим решением системы дифференциальных уравнений (5.55) в параметрах Кейли-Клейна.
Рассмотрим другой, более простой, подход к решению задачи Дарбу, основанный на непосредственном использовании кинематических уравнений в параметрах Кейли-Клейна (5.55). Перейдем в этих кинематических уравнениях углового движения твердого тела от параметров Кейли-Клейна а, р, 7, 5 к новым переменным (параметрам 5,р,7,5), связанным со старыми переменными преобразованием вращения. Для этого запишем кинематические уравнения движения твердого тела в системе координат Z, вращающейся относительно связанной системы координат У вокруг оси ОУ^, совпадающей с осью OZ^, с угловой скоростью
* = х Уз = Х2% = -ш3у3 = -ш323,(5.174)
где у3 и 23 — орты координатных осей ОУ^ и OZ^ ( f/3 = 23).
Параметры Эйлера х^ (j = 0, 1,2,3) и Кейли-Клейна ах рх, ^х, 5Х, характеризующие угловое положение системы координат Z относительно У, определяются соотношениями
ио = cos ^, Xi = Х2 = 0, хз = sin ^;(5.175)
.и . . и /гх\ _.
= хо + 2x3 = cos — + г sin — = exp I — I , Рх == О,
Рх =+ 2x1 = О, 5Х = ио — гхз = cos ^ — г sin ^ = ехр;
(5.176)
t
и = | ^(t) dt.(5.177)
о
Параметры Кейли-Клейна а, р, ^, 5, характеризующие угловое положение системы координат Z в опорной системе координат X, находятся через параметры а, р, ^, 5 и ах, рх, ух, 5Х в соответствии со схемой конечных поворотов
> Y > Z ~> Z
по матричной формуле (3.49) сложения конечных поворотов, заданных собственными параметрами Кейли-Клейна:
и имеют вид
(5.178)(5.178)
(5.178)
(5.178)
cos — — г sin —j у = expcos — — г sin —j у = expzxKix\ ~ги\ ~т ИzxKix\ ~ги\ ~т Иш = ш + И у3, И = —из^.ш = ш + И у3, И = —из^.(5.179)(5.179)
cos — — г sin —j у = exp
cos — — г sin —j у = exp
zxK
ix\ ~
ги\ ~
т И
zxK
ix\ ~
ги\ ~
т И
ш = ш + И у3, И = —из^.
ш = ш + И у3, И = —из^.
(5.179)
(5.179)
Параметры Кейли-Клейна а, Р, у, 5 находятся через параметры а, Р,д 5 с помощью соотношений, обратных (5.178):
а = ^cos — — z sin —j а = exp I п ( и . . %и\ -
Р = I cos — + г sin — 1 р = ехр
cos — + г sin — j 5 = exp
Система координат Z вращается относительно опорной системы координат X с угловой скоростью
Проекции вектора ио на оси системы координат Z обозначим через ио г (г = 1,2,3). Они будут иметь вид
W1 = сщ cos х + сер sin х, u?2 = —^1 sin х + CJ2 cos х, изз = 0. (5.180)
Кинематические уравнения углового движения твердого тела в переменных а, Р, 7, 5 совпадают с кинематическими уравнениями углового движения системы координат Z и имеют в соответствии с (5.180) вид~~~
2а=г (од—i^) Р = ^ ехр ( — гр 1Р,
2р=г шц+го^ = шехр (гр \а,
. /~(5Л81)
27=г (од—год р = гш ехр ( — гр) 5,
25=г (оу+го)2^ 7 = го; ехр Q^
где и и р определяются соотношениями
(5.182)(5.182)оу =ш cost/?, Ш2 = Щ sine/;,
(5.182)
(5.182)
W = (р)\ +(J2)^2 = (wf + ^l)^2’= Arg(d?i + %Ш2\
Замечание. Уравнения движения тела в параметрах у, 5 получаются из уравнений в параметрах а, Р с помощью замены переменных а = 5, Р = — 7 и последующего выполнения операции сопряжения, поэтому в дальнейшем рассматриваться не будут.
Опуская для простоты записи верхнюю волну у переменных и коэффициентов, запишем первые два уравнения системы (5.181) еще раз:
2а = %(р\ — %Ш2^Р = ^ ехр( —гр)Р,
2р* = г(сщ + го^а = го; ехр(гр)а,
07 = о) cos р, Ш2 = ш sin р, о) = (о)^ Р о)^)х,(5 184)
р = Arg(cji + гсс;2).
Перейдем в уравнениях (5.183) к новой независимой переменной т по формулам
11 г
dT = -o)dt, т = - j o)(t) dt.(5.185)
о
Получим уравнения
= а' = гехр(—гр)Р, = Р' = гехр(гр)а. (5.186) атат
Из этих уравнений получаем соотношение
а'Р' = -ар.(5.187)
Продифференцируем первое уравнение (5.186) по т и исключим из полученного уравнения /3 и Р' с помощью уравнений (5.186). Аналогичное проделаем со вторым уравнением (5.186). В результате получим
независящие друг от друга линейные дифференциальные уравнения второго порядка с комплексными переменными коэффициентами относительно параметров а и (3:
оd2 В
—ч? = ct = —гр а — а, —чт = В = гр р — р
dr1dTz
или уравнения
а + гр а + а = О,Вводя новые переменныеа'и = —,аи используя соотношенияа' = иа, a,f = иа' + и' а,а + гр а + а = О,Вводя новые переменныеа'и = —,аи используя соотношенияа' = иа, a,f = иа' + и' а,Р" -гр'Р' + Р = Ъ. (5.188) w = ^ (5.189) Р' = wp, (5.190) Р" = wP' + w' Р,Р" -гр'Р' + Р = Ъ. (5.188) w = ^ (5.189) Р' = wp, (5.190) Р" = wP' + w' Р,
а + гр а + а = О,
Вводя новые переменные
а'и = —,а
и используя соотношения
а' = иа, a,f = иа' + и' а,
а + гр а + а = О,
Вводя новые переменные
а'и = —,а
и используя соотношения
а' = иа, a,f = иа' + и' а,
Р" -гр'Р' + Р = Ъ. (5.188) w = ^ (5.189) Р' = wp, (5.190) Р" = wP' + w' Р,
Р" -гр'Р' + Р = Ъ. (5.188) w = ^ (5.189) Р' = wp, (5.190) Р" = wP' + w' Р,
получим вместо дифференциальных уравнений второго порядка (5.188) относительно переменных а и /3 дифференциальные уравнения типа Риккати относительно переменных и и w:
и' = -гр'и - и2 - 1, ш' = ip'w - ш2 - 1.(5.191)
Переходя в этих уравнениях к новым переменным г и s по формулам
u = qn, и = qu; w = qs, s = qw;(5.192)
q = exp(ip), q = exp( —ip), qq=\,(5.193)
получим следующие дифференциальные уравнения типа Риккати:
V = -qv2 s' = —qs2 - -,(5.194)
не содержащие в правых частях линейных членов.
Перепишем уравнения (5.194) в таком виде:
и =--и2 — q, s' = -qs2 -(5.195)
Отметим, что из (5.189) и (5.187), а также из (5.192) следует, что
uw = vs = — 1.(5.196)
Сравним полученные уравнения с классическими уравнениями Дар- бу (5.148), (5.149) в переменных г, (. Полагая, что преобразование вращения, определяемое соотношениями (5.174)-(5.177), предварительно выполнено, перейдем в уравнениях (5.148), (5.149) от переменных г, ( к новым переменным z, ( (отметим, что использование этого преобразования упрощает и процедуру построения общего решения кинематических уравнений в параметрах Кейли-Клейна через одно частное
решение уравнения Дарбу, предложенную Дарбу). Вместо уравнений (5.148), (5.149) получим уравнения
1~ \ 1~ \
2 = 2 щ2 —) + 2 щ2 +) ^2’(5.197)
^ =С =РС < =^;(5.198)
атр
dT=-udt, Т=2 |^W^ сс = (^i+cc^)1/2 = (^А^!)^2’ (5.199) о
р = сова + г sina, а = Arg^ + twi).
Опуская для простоты записи верхнюю волну у переменных и коэффициентов, перепишем уравнение (5.198) еще раз:
С =рС2+1/р, Р = cos а + г sina, а = Arg^ + йщ). (5.200)
Величины р и q, фигурирующие в уравнениях (5.200), (5.195), связаны с проекциями и\, о 2 вектора са угловой скорости системы координат Z соотношениями (напомним, что верхняя волна нами опускается):
шо += cjfsin р + i cos (Д =
_(5.201)
= гипсов р — i sin р) = iu ехр(—ip) = iuq,о)2 + iw\ = a;(cos а + г sin a) = w exp(ia) = up.
Из этих соотношений получаем такие связи величины р, фигурирующей в уравнении Дарбу, с величиной q, фигурирующей в наших уравнениях:
q = —ip, q = ip; р = iq, р = — iq.(5.202)
Уравнения (5.194) в переменных и и s, отвечающих переменным а и /3, с учетом (5.202) примут вид
= грн2 + —, s' = -ips2 -s2 - ^7.(5.203)
гргр p г
Из этих уравнений имеем
.о 1. 9119
гп = —pv 3—, г§ =ps -- = -§ —р. (5.204) рр р
Переходя в (5.204) к новым переменным д, h по формулам
д = w, h = — is;п = —ig,
s = ih,
(5.205)
получим уравнения
,21
9 =Р9 +".
h' = р h2 + - = Р
1
-h2 +р. Р
(5.206)
Первое из этих уравнений по своей форме полностью совпадает с уравнением Дарбу (5.200).
Из (5.196) и (5.205) устанавливаем связь между переменными g и h, аналогичную связи между переменными v и s:
gh = -1-
(5.207)
Дарбу показал, что задача определения углового положения твердого тела (в параметрах Кейли-Клейна) по его угловой скорости полностью решается, если будет найдено одно частное решение уравнения (5.200). Построим общее решение кинематических уравнений в параметрах Кейли-Клейна через одно частное решение первого уравнения (5.206), полностью совпадающего по своей форме с уравнением Дарбу (5.200). Для этого построим общее решение первого уравнения (5.205) через одно его частное решение, используя метод, предложенный Дар- бу [71].
Пусть g = ^(т) представляет собой частное решение первого уравнения (5.205), тогда вторым его частным решением будет —(1/^(т)). Из известного свойства дифференциального уравнения типа Риккати следует, что функция
g-Е д-Е .
"=;тт = ^т{
(5.208)
удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению первого порядка, имеющему вид [71]:
Д = (рС + = ) д-
(5.209)
Из дифференциального уравнения, сопряженного с (5.206), следует, что_
Р
р
Поэтому из (5.209), (5.210) получаем
Р
(5.210)
ч 5
Р
(5.211)
Интегрирование (5.211) дает
= = с ехр(2г0(т)),
(5.212)
где с = туоДо = ^W/COT — постоянная интегрирования,
0 L;
dr = 1 j \q(j) Щ) + д(т) Щ)] <1т о
(5.213)
— вещественная функция (разность двух сопряженных величин, деленная на 2г).
Из (5.208) и (5.212) имеем
(5.214)(5.215)(5.216)(5.217)(5.214)(5.215)(5.216)(5.217)= = ——= с ехр(2г0(т)).
(5.214)
(5.215)
(5.216)
(5.217)
(5.214)
(5.215)
(5.216)
(5.217)
Выразим из (5.214) переменную д\
/х = <М + с ехр(2г0(т))
1 - ct^r) ехр(2г0(т))
Из (5.189), (5.193), (5.205), (5.202) имеем
а' _. _
и = — = qv = -гдд = -рд. а
Таким образом,
а' = -р(т)д(т)а = -г д(т) д^ а.
Интегрируя (5.217) с учетом (5.215), находим
а = «о ехр{ — j рМ9^О ^1 = <доехр{—г| q(r) д(т) dr^(5.218)
оо
где дО) определяется (5.215) и (5.213).
Из (5.214), учитывая (5.216) и (5.186), находим выражение постоянной интегрирования с через начальные значения переменных задачи:
(5.219)(5.219)ffo - €о _ Ро + ар^о1 + до1о Polo - ар
(5.219)
(5.219)
С учетом выражения (5.219) для постоянной с общее решение (5.215) первого уравнения (5.206) примет вид
«о [Щ) - €о ехр(2г6(т))1 - р0 ^0 Цт) + ехр(2г6(т))1
дМ = —г=1н—=1 '
«о 11 + £р£(т) ехр(2г6(т)) I - р0 Ко - Цт) ехр(2гв(т)) I
(5.220)
Из (5.207), (5.192), (5.205), (5.202) имеем
h = -l, w = qs = iqh=-^ = ^.(5.221)
999
Отметим, что это соотношение можно получить проще из (5.216) и
._
Поэтому, интегрируя второе уравнение (5.190): (3' = ш/З, получим
/3 = /Зо ехр </3 = /Зо ехр <> = /Зо ехр —г> = /Зо ехр —г(5.223)(5.223)
/3 = /Зо ехр <
/3 = /Зо ехр <
> = /Зо ехр —г
> = /Зо ехр —г
(5.223)
(5.223)
Таким образом общее решение кинематических уравнений в параметрах Кейли-Клейна а, Р выражается через одно частное решение ^(т) уравнения Дарбу-Риккати (первого уравнения (5.206)) формулами (5.218), (5.223), (5.220), (5.213).
Построим другую форму общего решения кинематических уравнений в параметрах Кейли-Клейна а и /3, использующего одно частное решение уравнения Дарбу.
Пусть, по-прежнему, д = ^(т) — частное решение первого уравнения (5.206), тогда — 1/^(т) — другое его частное решение. В силу (5.207) h = — 1/^(т) — соответствующее д = ^(т) частное решение второго уравнения (5.206), а ^(т) — другое его частное решение.
Найдем частные решения уравнений (5.190):
а' = —г д(т)д(т)а,
отвечающие частным решениям
^1=-Дт> Л2 = ^(т)^1=-Дт> Л2 = ^(т)51 =92 = - Дт и
^1=-Дт> Л2 = ^(т)
^1=-Дт> Л2 = ^(т)
уравнений (5.206).
Интегрируя уравнения
а' = -г9(т)Цт)аьа' = -г9(т)Цт)аь/• ч \ 1 )с^ = z -, х аГ/• ч \ 1 )с^ = z -, х аГ
а' = -г9(т)Цт)аь
а' = -г9(т)Цт)аь
/• ч \ 1 )
с^ = z -, х аГ
/• ч \ 1 )
с^ = z -, х аГ
02=ЫМ ^TWl
и составляя линейные композициии составляя линейные композициичастных решений ац, а^ и /Зь Ръ
и составляя линейные композиции
и составляя линейные композиции
получим общие решения кинематических уравнений в параметрах а и /3 в следующей форме:
а(т) = сха\(т) + с2а2(т) =
= щащ ехр ~J ^(т) £(т)+ С2с^2о ехр г
оо(5.224)(5.224)_ оJ_
о
о
(5.224)
(5.224)
р(т) = С1/31(т) + с2/32(т) =
= С1/Зюехр —тД—^йт + С2/З2оехр г ^(т)^(т) йт .
5.12. Построение фуксовых уравнений283
Здесь ci и С2 — неизвестные постоянные, для нахождения которых используем уравнения (5.186) и соотношения (5.189), (5.216), (5.221):
а'](Р\\._е Д ._(0Д л
—1 = —гд — = — гдС — = г g — = г = ;
ал\^1/^2\^2/
Л - МЛ л0'1 • (аД ■ "Е
-лАСллs=,9U)='9e
Из этих соотношений имеем
Со = -—,Со = ^-(5-225)
0(10Р20
С другой стороны, из соотношений
0(0 = С10(10 + С2О(20, А) = С1 /310 + С2/З20,
вытекающих из (5.224) при т = 0, имеем
0(0/320 - /ЗоО(20О(о/3ю - /ЗоО(ю
Cl =00> с2 =...(5.226)
О(10Р20 - РюО(20О(20Р10 ~ Р20ОЛ0
Используя (5.225) и (5.226), находим
«0 - Со 005о (5о«о + 0о)
C1«1O = ,. - ,С2«20 =.. 7,
1 + €о €01 + 5о 40
= 5оДао + Ш= €оао + А).(5 22?)
1+€о€о1+ео€о
Из этих формул следует, что
0(20 — ^о /З20» /310 — -^00(10-
Подставляя (5.227) в (5.224), получим общее решение кинематических уравнений в параметрах Кейли-Клейна в форме
« = (1 + чо Со) ’ о (ао - 5о0о) exp -г j д(т) Щ) dr +
IL 0J
0 =
+5о(5о«о + 0о) ехр г [ =— dr 1,
L 0/J У
т(5.228)
(1 + €о€о) ’ ^о До 0о ~ «о) exp -i, j |^j dT +
+Ло«о + /3о) exp i^qOWjW h L оЛ
или в форме
а(т) = (1 + &£о) ‘ {«о [ехр(-г01(т)) + Ыо ехр(г02(т))] +
+Ро1о [-ехр(-г0](т)) + ехр (г02(т))]} ,
__(5229)
PM = (1 +£о£о) 1 {“0^0 [-ехр(-г02(т))+ехр (г01(т))] +
гдегде+Ро [Со Со ехр(-г02(т)) + ехр (г 0] (г))]} ,
где
где
01 (т) = рСЩЦ)^, 02(т)=||^ЙТ.О0,
Дифференциальные кинематические уравнения второго порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка в ряде случаев оказываются более удобными для изучения углового движения твердого тела, позволяют выявить общие закономерности движения тела, а в ряде частных случаях более просто находить аналитические решения задачи об определении углового положения твердого тела по его известной угловой скорости.
Дифференциальные кинематические уравнения второго порядка в параметрах Кейли-Клейна а и /3 не зависят друг от друга и имеют вид (5.61), (5.62):
а * — Q а + Ra = 0, /3* * — Q (У + R (3 = 0,
Q =Q =CU^ 1 СО2^^CUI 4" % (J2
Q =
Q =
и)\ — ia)2^1 4" ia)2
1122
1
1
2
2
Переходя в этих уравнениях от параметров а и /3 к новым параметрам а и /3 с помощью преобразования вращения (5.178) и опуская верхние волны у проекций угловой скорости и параметров Кейли- Клейна, получим уравнения
а* — Qa* + Ж = 0, /3“ -Q/3‘ +Л/3 = 0,(5.230)
Q = :, Q = —,
сщ — гш2сщ + гш2
R = R = (щ1 — zcj2)(^i + ^2) =^2 + ^2) =•
и = const,и = const,Эти уравнения в случае движения введенной вращающейся системы координат с постоянными угловыми скоростями ш\, Ш2 принимают вид уравнений движения гармонических осцилляторов
и = const,
и = const,
а* * + у и?а = 0, /3* * + у и?Р = 0,
44
а в случае конического движения этой системы координат, когда ш\ = = a cos(bt), Ш2 = a sm(bt), и/ = 0; a,b — const, принимают вид уравнений движения линейных осцилляторов
а * + iba* + 4= 0,4
/3* * - ib 3* + ^ ш23 = 0, и? = а2 = const.
Удобными формами кинематических уравнений второго порядка являются уравнения (5.188):
а" + Vaf + а = 0, 3" - гуЗ 3' + /3 = 0,(5.231)
в которых у) = Arg(cji + г^), а верхний штрих, по-прежнему, означает дифференцирование по переменной т, связанной с временем t соотношениями (5.185):
dr = - ш dt, т = 2 ]о
Исключим из этих уравнений слагаемые, содержащие первые производные. Для этого перейдем в этих уравнениях к новым переменным А и В по формулам
а = ехр ^— ^ гу)^ А, 3 = ехР ^ ^+^ В. (5.232)
Получим уравнения
А" + (1 + 1/ -т; ^") ^4 = 0, В" + (1 + 1/ + 1 гу+ В = 0.
\42 r /\42 г /
(5.233)
Отметим, что переменные а, (3 и А, В связаны, в силу (5.232), соотношением
ар = АВ.
Уравнения (5.233) можно записать в двух других формах:
Л" + (ФФ-Ф') Л = 0, В"+(ФФ + Ф') В = 0, Ф=1 + |ф'; (5.234)
Первые производные в уравнениях (5.231) могут быть исключены с помощью замен независимой переменной т на новые независимые
переменные тх и Т2, связанные с т и t дифференциальными соотношениямидт= ехр(г(/;)(/т1 = ехр(—up)dr2,
dT\ = ехр(-Гр) dT =^
л г Ля + ^2 7,(5.236)
dT2= ехррир) ат =at = ат\,
dT2= ехр(2гур dTx =^2 dTx.
Шх — гШ2
Переходя в уравнениях (5.232) к новым независимым переменным тх и Т2, получим следующие, эквивалентные друг другу, формы кинематических уравнений 2-го порядка:
Тех/о- XГ.
+ ехр(2/^) а = 0,
<^Д + ехр(-2гу) /5 = 0;
(5.237)
d2a , + гш2 п 7 9 + . а — 0, dT^ шх — ги)2
<Лр_ Ш\ - ш2 д = п. dT^ шх + гш2’
(5.238)
d^a dT2 dTf dTx
^ + ^/3 = 0 ay ат2 р
(5.239)
Здесь независимые переменные тх и Т2 определяются соотношениями (5.236).
Все приведенные в этом пункте кинематические уравнения углового движения твердого тела ((5.230), (5.231), (5.233), (5.237)-(5.239)) являются линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка с переменными коэффициентами.
Отметим, что каждое из дифференциальных уравнений второго порядка (5.238) эквивалентно следующей системе двух дифференциальных уравнений первого порядка:
da . dp . шх + ^2
-— = гр, -— = г:— а;
dTxdTx шх — гс^2
(5.240) dp . da . шх — гс^2
-— = га, -— = г:— p.
dT2dT2 шх + гш2
Отметим также, что уравнениям (5.233), (5.237)-(5.239) соответствуют нелинейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, получаемые из линейных однородных дифференциальных уравнений с помощью экспоненциальных замен зависимых переменных. Так, уравнениям (5.233) соответствуют уравнения
X" + X'2 = -1 - | у'2 +1у" + У'2 = -1 - 2 у'2 - 1V';
А = ехрХ, B = expY; X = In Л, У = 1пА
Проблема Дарбу с точки зрения теории Пуанкаре построения фуксовых уравнений. Итак, проблема Дарбу в общем случае сводится к проблеме интегрирования одного скалярного линейного комплексного дифференциального уравнения второго порядка с переменными комплексными коэффициентами (первого или второго уравнений систем (5.230), (5.231), (5.233), (5.237)-(5.239)). Такой подход позволяет в ряде частных случаев более просто находить аналитические решения задачи об определении углового положения твердого тела по его заданной угловой скорости. Кроме этого, такой подход позволяет рассматривать проблему Дарбу с точки зрения теории Пуанкаре построения фуксовых уравнений [104]: как проблему построения униформизированного (с помощью автоморфных (фуксовых) функций) общего решения кинематических уравнений в рамках теории Пуанкаре построения фуксовых уравнений — линейных скалярных дифференциальных уравнений второго порядка, обладающих определенными свойствами.
При изучении проблемы интегрирования линейных дифференциальных уравнений с рациональными и алгебраическими коэффициентами Пункаре показал [104], что существуют линейные дифференциальные уравнения второго порядка вида
— = y(x,y)y,(5.241)
dxz
где (р — рациональная функция двух комплексных переменных х и у, связанных алгебраическим соотношением
<х,у) = 0,(5.242)
такие, что два фундаментальных решения этого уравнения имеют вид
^1 =^1 =1/21/21/21/2(5.243)(5.243)
^1 =
^1 =
1/2
1/2
1/2
1/2
(5.243)
(5.243)
где х — фуксова (автоморфная) функция комплексной переменной z.
Такие уравнения Пуанкаре назвал фуксовыми.
Таким образом, Пуанкаре показал, что интегралы (гц и ^2) линейного дифференциального уравнения второго порядка с коэффициентами, рациональными относительно х и у, так же, как и сами функции х и у, можно представить в виде однозначных функций одной и той же вспомогательной переменной z, представляющей собой отношение интегралов, и, тем самым, впервые сформулировал проблему унифор- мизации решений дифференциальных уравнений.
В рамках своей теории интегрирования линейных дифференциальных уравнений Пуанкаре изучал дробно-линейные преобразования (подстановки)
az Т b
t =-, ad — be = 1,(5.244)
cz + d
где t — комплексная функция комплексной переменной z.
По определению, данному Пуанкаре, функция F^ называется фуксовой, если она однозначна, переходит сама в себя под действием всех подстановок фуксовой группы G, иначе говоря, если
«jZ + Д 1iZ + §г«jZ + Д 1iZ + §г
«jZ + Д 1iZ + §г
«jZ + Д 1iZ + §г
подстановка группы G, то справедливо тождество
FFajZ + Pt 1iZ + 5iajZ + Pt 1iZ + 5i= F^Y= F^Y
F
F
ajZ + Pt 1iZ + 5i
ajZ + Pt 1iZ + 5i
= F^Y
= F^Y
и имеет, наконец, лишь конечное число существенно различных нулей и полюсов.
Помимо теории фуксовых групп, Пуанкаре изучал теорию групп линейных (дифференциальных) уравнений, включающую решение двух важных задач [104]:
Дано линейное уравнение с алгебраическими коэффициентами. Требуется найти его группу.
Дано линейное уравнение второго порядка, зависящее от некоторых произвольных параметров. Требуется выбрать эти параметры так, чтобы группа уравнений была фуксовой.
Приведем формулировку второй задачи.
Дано уравнение второго порядка (5.241): d2v/dx2 = р^х,у^о, где р — рациональная функция двух переменных х и у, связанных алгебраическим соотношением ф(х, у) = 0. Функция р, по предположению, зависит от некоторого числа параметров. Эти параметры требуется выбрать так, чтобы переменная х была фуксовой функцией отношения двух интегралов уравнения. В этом случае, как пишет Пуанкаре, «мы будем для краткости называть уравнение (5.241) фуксовым».
Пуанкаре показал, что, если уравнение (5.241) фуксово, то функция р определяется соотношением
d^u 1 й duV
dx2 +4 у dx у ’ где\
dx\ dx\
и = — In — I — In — I — 2 In (1 — zz).
\dz у \dz у
Тем самым он дал конструктивный метод построения фуксовых уравнений.
Теорию Пуанкаре построения фуксовых уравнений (точнее, уни- формизации решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка) можно использовать для построения новых решений кинематических уравнений углового движения твердого тела в униформизи- рованной форме. Для решения задачи униформизации решений кинематических уравнений с помощью фуксовых (автоморфных) функций удобны построенные нами уравнения (5.237)-(5.239).
Полагая, что первое уравнение (5.237) или (5.238) является фук- совым, в соответствии с теорией Пуанкаре получим, что его общее решение в этом случае будет определяться соотношением
а^ = (щ + с2^)а^ = (щ + с2^)dT\ (^)dzdT\ (^)dz1/21/2(5.245)(5.245)
а^ = (щ + с2^)
а^ = (щ + с2^)
dT\ (^)dz
dT\ (^)dz
1/2
1/2
(5.245)
(5.245)
в котором щ, с2 — произвольные постоянные, т\^ — фуксова (автоморфная) функция комплексной переменной z, а проекции ищ, а)2 вектора угловой скорости введенной вращающейся системы координат на ее же координатные оси (напомним, что проекция из = 0) должны
удовлетворять соотношениямудовлетворять соотношениямехр(2гщ) =ехр(2гщ) =+ Ш)21 d2uсщ - гш22 dT2+ Ш)21 d2uсщ - гш22 dT21414duV* dT\ уduV* dT\ уи = — Inи = — In- In- In- 2 In (1 - ^).- 2 In (1 - ^).(5.246)(5.246)
удовлетворять соотношениям
удовлетворять соотношениям
ехр(2гщ) =
ехр(2гщ) =
+ Ш)21 d2u
сщ - гш22 dT2
+ Ш)21 d2u
сщ - гш22 dT2
1
4
1
4
duV* dT\ у
duV* dT\ у
и = — In
и = — In
- In
- In
- 2 In (1 - ^).
- 2 In (1 - ^).
(5.246)
(5.246)
Кроме этого, в силу (5.236) должно выполняться соотношение
ищ - гш2 = 2 ——, (5.247) dt
и, следовательно, ехр(2гу?) = = ^т\ / dt) / (dT\ / dt). (5.248)
Полагая п(^) известной фуксовой функцией комплексной переменной z, из соотношения (5.247) найдем проекции ш\ и^. Подставляя их в (5.246), получим условие, при выполнении которого общее решение дифференциального уравнения для переменной а имеет вид (5.245). Отметим, что после нахождения переменной а переменная /3 может быть найдена в соответствии с (5.240) с помощью соотношения /3 = = —ida/dr\.
Проблема униформизации решений кинематических уравнений углового движения твердого тела (в том числе, с помощью фуксовых (автоморфных) функций) представляется актуальной и требует своего дальнейшего изучения. Возможно, для ее решения будут удобны не только построенные нами дифференциальные кинематические уравнения второго порядка, но и другие уравнения.
Вращение твердого тела в случае постоянстваэйлерова угла поворота
Среди частных случаев интегрируемости кинематических уравнений углового движения твердого тела важное место занимает случай, когда вектор угловой скорости тела остается неизменным по направлению, но изменяется по модулю (см. параграф 5.10). Представляет интерес движение твердого тела в случае, когда эйлеров угол щ пово-
10 Ю.Н. Челноков
рота тела остается при его движении неизменным, а единичный вектор е эйлеровой оси поворота тела изменяет свое направление в пространстве. В этом случае кватернион поворота твердого тела относительно опорной системы координат X имеет вид
A(t) = cos ^ + sin ^ (ei(Z)ii + егЦЦг + 63^)13), ф = у(0) = const, а отображение с^у вектора и) угловой скорости твердого тела и его проекции Шк (к = 1,2,3) на оси связанной системы координат Y определяются соотношениями
wy(t) = sin(/7(ey(t))* + (cos99 - X)ey(t) х (ey(t)\;
оц =sin ip е\+ (cos 99—1)(62 63— 63 62),
0)2 =sin (/7 62+ (COS (/7—1)(взв]— 6163),
CJ3 =sin (/7 63+ (cos (/7—1)(ei 62— в2в\ ),
где вк = вк^ (к = 1,2, 3) —проекцииединичного вектора е эйлеровой
оси поворота твердого тела на связанные координатные оси, являющиеся произвольными дифференцируемыми функциями времени t.
Задавая ip = (/7(0) и конкретные законы вк = вк^ (к = 1,2,3) изменения проекций единичного вектора е эйлеровой оси поворота тела, получим в соответствии с приведенными соотношениями (в виде явных функций времени) кватернион поворота и проекции вектора угловой скорости твердого тела, описывающие угловое движение тела с постоянным эйлеровым углом поворота (/7 = (/7(0).
В качестве примеров таких угловых движений твердого тела приведем случаи вращения тела, когда конец единичного вектора е эйлеровой оси поворота тела описывает окружность в одной из координатной плоскостей связанной системы координат Y (когда годограф единичного вектора е — окружность).
Годограф единичного вектора е эйлеровой оси поворота тела — окружность В координатной ПЛОСКОСТИ
A(t) = cos ^ + sin ^ (cosa(t)/i + sinc^t)^), Г = ^(0) = const,А(0) = cos ^ + sin ^ /у а(0) = 0;
Шу^ = a* (t) [sin(/7(— sin a(t)i\ + cosa(t)/2) + (cos (/7 — 1 )^з].
Годограф единичного вектора е эйлеровой оси поворота тела — окружность в координатной плоскости O2Y2Y3:
A(t) = cos ^ + sin ^ (cosa(t)i2 + sina;^), (/7 = (/7(0) = const,A(0) = cos ^ + sin ^ /2, <^(0) = 0;
wy(t) =(t) [(cos (/7 — 1 )/i + sin(/7(— sina(t)i2 + соза(^)/з)].
Годограф единичного вектора е эйлеровой оси поворота тела — окружность в координатной плоскости О2У1У3:
= cos ^ + sin ^ (sin a^i\ + cos a^i^Y ^ = ^(0) = const, A(0) = cos ^ + sin ^ /3, a(0) = 0;
= a* (t) [sine/; (cos a(t)i\ — sina(t)/3) + (cosp — l)^].
В этих соотношениях a(t) — произвольная дифференцируемая функция времени t (угол, образуемый вектором е с соответствующей координатной осью О2У1, О^У^ или О2У3, в текущий момент времени t), р(0) — начальный эйлеров угол поворота тела вокруг соответствующей координатной оси О2У1, О^У^ или О2У3.
В каждом из этих случаев эйлеров угол ср поворота твердого тела остается постоянным при вращении твердого тела. Вектор и) угловой скорости тела совершает коническое движение соответственно вокруг оси О2У3, О2У1 или О2У2, образуя прямой угол с вектором е. Соответствующее выражение для кватерниона поворота твердого тела A(t) является частным решением кватернионного кинематического уравнения в параметрах Эйлера для этого вектора угловой скорости. Отметим, что второй из приведенных случаев получается из построенного в параграфе 5.10 аналитического решения (5.151), (5.162) кватернионного кинематического уравнения, соответствующего вектору угловой скорости (5.161), если в нем положить
Pi = cos^i=sinp, ^1 = 1, р = - тг,
Композиция трех приведенных вращений твердого тела с постоянными эйлеровыми углами отдельных поворотов щ^ = Щк(0) = const (к = 1,2,3) описывается следующим кватернионом поворота:
A(t) = Ai(t) о A2(t) о A3(t),(5.249)
Ai (t) = cos ^ + sin ^ (cosai(t)/i + sina^ toto’A2(t) = cos ^ + sin ^ (cos a2 to <2 + sin^to^),A3(t) = cos ^ + sin ^ (sina3to/i + cosc^toto-
Отображение вектора угловой скорости твердого тела на связанный координатный базис, соответствующее этой композиции вращений, имеет вид
wto =
= а] A3 о А2 о [sinpi(— sinc^iz*i + cos 0^/2) + (cospi — l)/3] о A2 о А3 +
+0'2^3° [(cosp2~ 1)Й + sinp2(— ЬПЮ^б + COSQ2/3)] °Аз +
+а3 [sinp3(cosQ3/i — sinQ3/3) + (cosp3 — l)^]-(5.250)
Здесь ^(t) (к = 1,2,3) — произвольные дифференцируемые функции времени t.
Кватернионное соотношение (5.249) представляет собой общее решение кватернионного кинематического уравнения в параметрах Эйлера в случае, когда вектор угловой скорости твердого тела определяется соотношением (5.250). Роль произвольных постоянных в этом решении играют величины рк = рк(0) = const (к = 1,2,3), имеющие смысл начальных значений углов Эйлера-Крылова.
Рассмотрим общие соотношения кинематики, описывающие движение твердого тела в случае неизменности эйлерова угла поворота. Для этого используем дифференциальные уравнения для эйлеровых переменных ^ и е.
Учитывая, что в рассматриваемом случае р = const, из уравнения (5.68) находим
ш • е = ш\в\ + Ш2в2 + 00363 = 0,(5.2 51)
где оок и вк (к = 1,2,3), по-прежнему, — проекции векторов ш и е на связанные координатные оси.
Таким образом, в случае постоянства эйлерова угла поворота при движении твердого тела вектор угловой скорости и эйлерова ось поворота тела ортогональны: иоке.
из векторного уравнения (5.71) получаем
2Ci = ctg-^1 + щщ2 -^2Сз, 2е2 = ctg-^2 + ^ie3 -щ3б1,
2е3 = ctg^cj3+cj2ci(5.252)
Дифференцируя по времени (5.251) и используя выражения (5.252) для производных б*к (к = 1,2,3), находим
ио* • е = щ] ci + оо*2 е2 + 00*3 ез = — ^ ctg ^ со2, оо = |о;|.(5.253)
Уравнения (5.252) имеют первый интеграл
ef + ^ + ef = 1.(5.254)
Полученные уравнения (5.251), (5.253), (5.254) позволяют находить по известным дифференцируемым функциям времени ook(t) (к = 1,2, 3) проекции вк единичного вектора е эйлеровой оси поворота твердого тела в рассматриваемом случае неизменности эйлерова угла поворота тела р.
Так, разрешая уравнения (5.251), (5.253) относительно переменных 61, е2, получаем
£Ws + 2 ctg 2 ш ^2
^1зез - х ctg-w2wi
62 =75,^12 + О,
“12
где Q23, ^13, ^12 — проекции векторного произведения и) х и)* на связанные координатные оси О2У1, ^2^2, О^У^*.
^23 — ^2 ^3 — ^3 ^2 ’^13 — ^3 ^1 — ^1 ^3 ,^12 — ^1 ^2 — ^2 ^1 •
Подставляя полученные выражения в уравнение (5.254), получаем квадратное уравнение для нахождения переменной ед:
^23 + ^13 + ^12^ е3 + с^£ ^ ^2 (^2^23^1^1з) ез +
+ ^ ctg2 ^ ее4 (о;2 + ш^ - Q22 = 0.(5.256)
Итак, соотношения (5.255), (5.256) позволяют находить проекции вк (к = 1,2,3) единичного вектора е эйлеровой оси поворота твердого тела по известным дифференцируемым функциям времени ^(t) (известным проекциям ^(t) вектора угловой скорости и их первым производным по времени ^(t)) в случае постоянства эйлерова угла поворота тела, если
Q12 =т^О.(5.257)
Аналогично изложенному можно построить две другие группы соотношений для нахождения проекций е^, разрешая уравнения (5.251), (5.253) относительно проекций еь ед и в2, ед и используя квадратные уравнения для переменных в2 и е\ соответственно. При этом вместо условия (5.257) разрешимости задачи будет присутствовать условие Qig ^ 0 или условие Q23 т4 0.
Глава 6
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ КИНЕМАТИЧЕСКИЕУРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГОТВЕРДОГО ТЕЛА
Классические кинематические уравнения
Движение свободного твердого тела будем рассматривать относительно произвольно выбранной прямоугольной декартовой системы координат 0\X\X<2,X^XY С твердым телом жестко свяжем другую декартову систему координат О^УуУ^У-^^У поместив ее начало в произвольно выбранную точку тела О2 (полюс). В качестве полюса часто принимается центр масс твердого тела (движущегося объекта, рассматриваемого как твердое тело).
Из первой формулировки теоремы Шаля (см. п. 1.6.1) вытекает, что движение свободного твердого тела можно рассматривать как композицию двух движений: поступательного движения тела вместе с произвольно выбранным полюсом О2 и вращательного (углового, сферического) движения тела вокруг полюса О2, как вокруг неподвижной точки.
Таким образом, мгновенное движение свободного твердого тела вполне определяется вектором у скорости движения произвольно выбранной точки О2 тела относительно системы координат X (v = dr/dt, г = ОХО2 — радиус-вектор полюса О2 тела, проводимый из начала 01 системы координат X) и вектором ш мгновенной угловой скорости вращения тела вокруг точки О2 тела.
В качестве кинематических параметров движения свободного твердого тела традиционно используются три прямоугольные декартовы координаты Хк (к = 1,2,3) полюса О2 в опорной системе координат X (проекции радиуса-вектора г полюса О2 на оси системы координат X), характеризующие поступательное движение тела вместе с полюсом, и три угла Эйлера или Крылова ф, ^, (р, характеризующие вращательное движение тела вокруг полюса. Вместо декартовых координат реже используются сферические, цилиндрические или другие криволинейные координаты, а вместо углов Эйлера-Крылова достаточно часто используются направляющие косинусы углов или параметры Эйлера.
Кинематические уравнения движения свободного твердого тела связывают между собой ту или иную выбранную систему кинематических параметров движения тела и их первых производных по времени с проекциями векторов v и и) на оси системы координат X или Y.
Так, при использовании в качестве кинематических параметров движения свободного твердого тела декартовых координат х^ (к = = 1,2,3) выбранного полюса и углов Эйлера ф, ^, ф эти уравнения имеют вид
^=Л=Л- к=\ДЛ, (6.1)
ф* = 0)3 — Ctg (о)^ sin Ф — 0)2 COS ^) ,^* = оф COS + 0)2 sin ф,
или видф*или видф*sin^ — cos^) sint?sin^ — cos^) sint?У\ + ^2^/3 - ^3^/2 =^2 + ^3^/1 - ^1^/3 = ^2,У\ + ^2^/3 - ^3^/2 =^2 + ^3^/1 - ^1^/3 = ^2,Уз + 1Щ?/2 -^2^/1 = ^3,Уз + 1Щ?/2 -^2^/1 = ^3,——- (сщ sin ф Y 0)2 cos , SHI v——- (сщ sin ф Y 0)2 cos , SHI viT = o)\ cost/; — 0)2 sine/;,iT = o)\ cost/; — 0)2 sine/;,ф * = 0)3 — ctg (бЩ sin ф + 0)2 COS ф),ф * = 0)3 — ctg (бЩ sin ф + 0)2 COS ф),(6.2)(6.2)(6.3)(6.4)(6.3)(6.4)
или вид
ф*
или вид
ф*
sin^ — cos^) sint?
sin^ — cos^) sint?
У\ + ^2^/3 - ^3^/2 =^2 + ^3^/1 - ^1^/3 = ^2,
У\ + ^2^/3 - ^3^/2 =^2 + ^3^/1 - ^1^/3 = ^2,
Уз + 1Щ?/2 -^2^/1 = ^3,
Уз + 1Щ?/2 -^2^/1 = ^3,
——- (сщ sin ф Y 0)2 cos , SHI v
——- (сщ sin ф Y 0)2 cos , SHI v
iT = o)\ cost/; — 0)2 sine/;,
iT = o)\ cost/; — 0)2 sine/;,
ф * = 0)3 — ctg (бЩ sin ф + 0)2 COS ф),
ф * = 0)3 — ctg (бЩ sin ф + 0)2 COS ф),
(6.2)
(6.2)
(6.3)
(6.4)
(6.3)
(6.4)
Xi = cHyi + с2г№ + c3iy3, i = 1,2,3,(6.5)
COS ф cos ф—— sin ф cos ^ sin ф— sin^cos^—— cos ф cos ^ sin фsin ^ sin ^COS ф cos ф—— sin ф cos ^ sin ф— sin^cos^—— cos ф cos ^ sin фsin ^ sin ^cos ф sin гЬф •• Q\
COS ф cos ф—— sin ф cos ^ sin ф— sin^cos^—— cos ф cos ^ sin фsin ^ sin ^
COS ф cos ф—— sin ф cos ^ sin ф— sin^cos^—— cos ф cos ^ sin фsin ^ sin ^
+ siny cos/cos^ Hm^sm^
— sine; sinQ
, T Q r / cos ф sin v
+ cos ф cos v cos гр
— sin $ cos г[) cos $ у
где x^ x*, о)* и у^, x^ o)i (г = 1,2,3) — проекции векторов r, v, о)
на оси системы координат X и Y соответственно; сц. = сц<фф, -д, ф)
(г, к = 1,2,3) — направляющие косинусы углов между осями систем
координат Y и X (элементы матрицы направляющих косинусов с), являющиеся функциями углов Эйлера г]), $, ф.
Кинематические уравнения (6.1), (6.2) и (6.3), (6.4) образуют си
стемы нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений шестого порядка относительно декартовых координат Xi (г = 1,2,3) или проекций yi (г = 1,2, 3) радиуса-вектора г на оси системы координат Y и углов Эйлера г(), ^, ф. Во многих кинематических задачах проекции х* и о)* или Xi и o)i векторов v и о) на оси системы координат X или Y являются известными функциями времени; в общем случае
они являются также функциями кинематических параметров движения свободного твердого тела.
Интегрирование кинематических уравнений по заданным проек
циям векторов v и о) позволяет находить положение и ориентацию свободного твердого тела в опорной системе координат, т. е. находить величины Хк (к = 1,2,3), г(), ^, ф. В случаях, когда проекции х*, о)* или Xi, o)i являются лишь функциями времени t, подсистемы (6.2)
и (6.4), описывающие угловое движение твердого тела, не зависят от подсистем (6.1) и (6.3), описывающих поступательное движение тела, и интегрируются независимо от них. Кинематические уравнения (6.3), (6.4) сложнее уравнений (6.1), (6.2), к тому же для того, чтобы найти декартовые координаты xt твердого тела через проекции yt его радиуса- вектора г, полученные в результате интегрирования уравнений (6.3), эти уравнения должны дополняться алгебраическими соотношениями (6.5) и громоздкими тригонометрическими выражениями для нахождения направляющих косинусов через углы Эйлера. Несмотря на это, уравнения (6.3), (6.4) используются гораздо чаще, поскольку во многих задачах, особенно прикладного характера, известны законы изменения проекций щ и сщ (г = 1,2, 3) векторов v и ш на связанные, а не опорные координатные оси.
Вместо кинематических уравнений Эйлера (6.2) или (6.4) для описания кинематики углового движения свободного твердого тела можно использовать кинематические уравнения Пуассона (5.21) или (5.24), а также кинематические уравнения в параметрах Эйлера (5.43) или (5.44). При этом, если использование кинематических уравнений Пуассона (в составе варианта кинематических уравнений движения свободного твердого тела, использующих проекции су и (г = 1,2,3) векторов v и си на связанные координатные оси) не требует дополнительных вычислений, связанных с нахождением матрицы направляющих косинусов, то использование кинематических уравнений в параметрах Эйлера в этом варианте уравнений предполагает нахождение матрицы направляющих косинусов через параметры Эйлера в соответствии с (2.20).
Кроме этого, в случае, когда заданы проекции су и сщ (г = 1,2,3), вместо уравнений (6.3)-(6.5) используется и другой вариант кинематических уравнений движения свободного твердого тела, состоящий из дифференциальных уравнений (6.1), дополняемых соотношениями перепроектирования
= Си^Х + С2^2 + С3^3, ^ = L 2, 3,
кинематических уравнений Эйлера (6.4) или других кинематических уравнений углового движения тела, а также из соотношений, позволяющих находить направляющие косинусы c^k (г, к = 1,2,3) через другие используемые параметры углового движения тела (углы Эйлера ф, id, ip или параметры Эйлера Xj (j = 1,2,3)).
Кинематический винт твердого тела
Из второй формулировки теоремы Шаля (п. 1.6.1) вытекает, что мгновенное движение свободного твердого тела эквивалентно мгновенному винтовому движению, характеризующемуся мгновенным винтом скоростей, называемым кинематическим бинтом, к рассмотрению которого мы и перейдем.
Введем, как и раньше, две системы координат: связанную с твердым телом O^YxY^Y^^Y^ и опорную ОхХ\Х^Х^Х\ относительно которой будем рассматривать движение свободного твердого тела. Как уже отмечалось в п. 6.1, мгновенное движение свободного твердого тела определяется вектором скорости движения произвольно выбранной точки О2 тела (полюса) относительно системы координат X, т. е. вектором v = dr/dt, где г = ОхО2 — радиус-вектор полюса О2, и вектором cj мгновенной угловой скорости вращения тела (относительно базиса X) вокруг полюса О2. Совокупность векторов (сщ v) образуют мотор мгновенных скоростей, отнесенный к точке О2 тела, которому соответствует кинематический винт свободного твердого тела.
Напомним, что мотор — геометрический образ (эквивалент) системы скользящих векторов, представляемый для любой выбранной точки О пространства главным вектором г и главным моментом г° системы относительно этой точки (см. п. 1.5.3 и [30]). Другими словами, мотор — двойка векторов (г, г°), т. е. совокупность вектора и момента, отнесенная к одной какой-нибудь точке О пространства. При этом полагается, что начала векторов г и г° находятся в этой точке. Двойку векторов (г, г°) также называют бивектором (этот термин был введен Гамильтоном и использовался позднее Котельниковым в его трудах по винтовому исчислению и теории бикватернионов). Любой мотор (г, г°), отнесенный к выбранной точке О, может быть формально представлен дуальным вектором г + sr°, где s — символ (комплексность) Клиффорда, обладающий свойством s2 = 0 (такое представление мотора было введено Клиффордом). Поэтому в дальнейшем мы будем говорить, что мотор (г, г°) равен дуальному вектору г + sr°.
Напомним также, что мотор (г, г°), у которого момент го коллинеарен вектору г, называется винтом (т. е. винт представляет собой частный вид моторного приведения системы скользящих векторов). Прямая, на которой лежат г и г°, называется осью винта. Так как векторы г и г° винта коллинеарны, то для него г° = рг, где р — скалярный множитель, называемый параметром винта. Величина р будет положительна, если г и г° направлены в одну и ту же сторону, и отрицательна, если они направлены в разные стороны. Параметр винта р = (г° • г)/г1, где г — модуль вектора г. Винт (г, рг) полностью определяет мотор (г, г°) для любой точки пространства; этот мотор в свою очередь единственным образом определяет винт. Замена винта эквивалентным мотором в точке О называется приведением винта к точке О. Момент г° называется моментом винта относительно точки О.
Вернемся к рассмотрению кинематического винта твердого тела, используя общую теорию винтов. В соответствии с вышесказанным, мотор (сщ v) мгновенного винта скоростей U (кинематического винта) твердого тела, отнесенный к выбранному полюсу О2, равен дуальному вектору ш + sv, а мотор винта U, отнесенный к точке Ох, равен дуальному вектору cj + s(v + г х cj).
Дуальные ортогональные проекции Ui (г = 1,2,3) кинематического винта U на оси связанной системы координат будут равны (см. п. 1.5.4)
Ui = Ui -V s^i, г = 1,2, 3,(6.6)
где Ui, Di — проекции векторов ш и v на связанную ось С^ЗА
Дуальные ортогональные проекции U* (г = 1,2,3) кинематического винта U на оси опорной системы координат есть
U? = < + 8 [Ц + (г X =
/3 3\(6 7)
х + ЕЕр Z — 1,2, 3,
V j=l&=!/
где со*, и*, (г х ш^хг^ ^г — проекции векторов со, х, (г х cj), г на опорную ось О\Хг.
Кинематический винт может быть представлен в виде [30]:
U = UEU = (и + su°^Eu = uespEu,(6.8)
Здесь Еи — единичный винт (единичный вектор), лежащий на оси винта U (на мгновенной оси винтового перемещения твердого тела), р — параметр винта U, U = \U\ = и + su° = uesp — комплексный (дуальный) модуль кинематического винта.
Кинематический винт может быть представлен также в виде
U = со + s fv + cjx = (1 + sp) и, OsD =* V, (6.9)
где вектор OsD определяет положение точки D, через которую проходит ось кинематического винта.
Введем комплексные углы В^ и В*, образуемые осью кинематического винта с координатными осями GYP, и О\Хр
Вг = А + 8^, В* = Y^s^\ г =1,2,3,(6.10)
где Pi и 3* — обычные углы, образуемые осью кинематического винта с координатными осями GYP и 0\Хг, 3? и 3i* — линейные величины, модули которых равны расстояниям между осью кинематического винта и координатными осями 0Y3 и 0\Хг.
Тогда дуальные ортогональные проекции кинематического винта U на оси связанного и опорного базисов можно записать в виде:
Ui = Ui + su® = U cos В^ =
= СО [cos Зг + 8 (Р COS Зг ~ 3i $1П А)] >Z = 1,2, 3, (6.1 1)
и* = и* + sY* = и cos В* =
= со [cos3i + 8 (pcos3i - 3i* sin A*)] ’ ^=1,2,3. (6.12) Главные части этих проекций
Ui = и COS Зг = ^гU* = СО COS 3i = Y
являются проекциями вектора ш на оси O2Y% и О\Хг, а моментные u° = ш (р cos pi - Pi sin pp ,
иГ = Л + (г X ш)хг = (p COS P* - Pi* sin/3*) — моментами кинематического винта относительно координатных осей О2Уг и ОхХг.
Сопоставляя (6.11) с (6.6) и (6.12) с (6.7) и учитывая третье из равенств (6.8), получаем выражения для комплексных направляющих косинусов cos В^ и cos В* кинематического винта U в системах координат Y и X:
cos Bi = cos Д — sp® sin/3i = ш-Хшг + 5[и-1щ — cj-3(gj • v) сщ], cos B* = cos P* — sP®* sin P* =(6.13)
=+ s[cJ-1V* + Ш~Х(г X U?)xi ~ tX3(cJ • v) Щ*].
Отметим, что параметр p кинематического винта, выражения для дуальных направляющих косинусов и комплексного модуля винта, содержащие параметр р, теряют смысл в случае, когда и = 0 (винт U в этом случае называется особенным [30]).
В дальнейшем параболические бикватернионы
Uy = Uxix + U2i2 + U3i3, Ux = и^ц + U^i, + U3i3,(6.14)
компонентами которых являются дуальные ортогональные проекции кинематического винта на связанный и опорный базисы, имеющие вид (6.6) и (6.7) или (6.11) и (6.12), будем называть отображениями кинематического винта на связанный и опорный базисы соответственно.
В соответствии с (6.6) и (6.7) бикватернионы (6.14) можно представить в виде
UY = шу + svy = шх1х + ш212 + ^3/3 + spoxix + u2i2 + v3/3),
Ux = Шх + s[vx + (r X w)x] =
= ШХ + SV.Y + | (rX ОШх -Шх orx)], (6.15) где шу, vy и шх, vy — отображения векторов ш, v на связанный и опорный базисы.
В соответствии с (6.13) отображение единичного винта мгновенной оси винтового перемещения твердого тела на связанный базис можно представить в виде
Еиу = Ш-ХШу + s[cj—^у — cj-3(gj • v) CJy].
Кватернионное и бикватернионное представления абсолютной и локальной производных от вектора
Пусть имеем некоторый вектор г = грр, являющийся непрерывной и дифференцируемой вектор-функцией времени t. Полагаем, что вектор г меняется с течением времени по модулю и направлению в основной
системе координат О^Х/Х^Х^(X*), условно принимаемой за неподвижную. Вектор г может иметь смысл радиуса-вектора какой-либо точки твердого тела, вектора ее линейной скорости, главного вектора
или главного момента количеств движения твердого тела и т. д.
Введем в рассмотрение подвижную систему координат У1У2У3(У), вращающуюся относительно X* с угловой скоростью сщ и систему координат ОхХхХ2Хз(Х), движущуюся относительно X* поступательно. Оси системы координат X параллельны одноименным осям основ
ной системы координат, а ее начало совпадает с началом вектора г
(рис. 6.1).
Рис. 6.1
в системе координат У, связана
изводной (dr/dt)y векторным соотношением:
Обозначим через v = dr/dt = = (dr/dt)x абсолютную производную по времени от вектора г и будем считать, что векторы v и из заданы своими проекциями хц и сщ (г = = 1,2,3) во вращающейся системе координат У.
Как известно, абсолютная производная dr/dt от вектора г, заданного своими проекциями pi (г = 1,2,3) с ее локальной (относительной) про
(6.16)
Г = ХхХх + ж2х2 + х3х3 = ухУх + У2У2 + ШУу
dr /dr\ .../dr\ ...
I ) =^1X1 +х2х2+х3х3, I ) = РхУх + У2У2+У3У3’
где Xt и уt — орты координатных осей Xi и Yi, точка означает дифференцирование по времени t.
Дифференцирование в уравнении (6.16) проведено в системе координат X*. Поскольку система координат X движется относительно X* поступательно, то его можно считать проведенным в системе координат X.
Рассмотрим задачу определения проекций ^ и^ = х* (г = 1,2,3) вектора г на оси систем координат У и X (X*) по известным проекциям ^ и u)i векторов v = dr/dt и и) на оси вращающейся системы координат У.
Эта задача решается обычно с помощью интегрирования во вращающейся системе координат одного векторного уравнения
и х r = v
(6.17)
относительно неизвестного вектора г и трех векторных кинематических
уравнений Пуассона:
г = 1,2,3,
(6.18)
относительно неизвестных векторов Ху Затем используются алгебраические соотношения
Xi = Xi-г, г =1,2,3, (6.19) при этом полагается, что фигурирующие в уравнениях (6.18), (6.19) орты Xi осей системы координат X (X*) определены своими проекциями в системе координат Y (эти проекции равны направляющим косинусам углов между осями систем координат У и X).
В скалярной записи решение этой задачи сводится к интегрированию трех скалярных уравнений, эквивалентных одному векторному (6.17), относительно неизвестных pi (г = 1,2,3) и девяти скалярных кинематических уравнений Пуассона относительно неизвестных с^ (г, к = 1,2,3), имеющих смысл направляющих косинусов углов между осями систем координат Y и X, и к использованию трех алгебраических соотношений (6.19).
Приведем другое решение указанной задачи, предложенное автором в [132]. Доопределим движение системы координат Y: будем считать, что ее начало (точка О2) совпадает с концом вектора г и движется в системе координат X* вместе с ним. Положение системы координат Y относительно X в текущий момент времени t будем характеризовать дуальным вектором конечного винтового перемещения 0. Параметры винтового движения системы координат системы координат У, соответствующие винту 0 обозначим Xj, Х° (j = 1,2,3). Их комплексные комбинации Nj = Xj + sXj (j = 1,2,3) являются дуальными параметрами Эйлера (Родрига-Гамильтона) перемещения 0.
Проекции pi, Xi (г = 1,2,3) вектора г на оси систем координат Y и X связаны с параметрами винтового движения Xj, X? (j = 1,2,3) кватернионными соотношениями (3.60):
Гу = У11"1 + У2<2 + Уз<з = 2А О А0, Гх = xxix + x2i2 + ж3<3 = 2А° о А.
(6.20)
(6.21)(6.21)Продифференцируем второе из равенств (6.20) по времени в предположении неизменности ортов ц, /2, is- Преобразуем полученное уравнение, учитывая равенство drx/dt = vx и кватернионное кинематическое уравнение (5.38) вращательного движения системы координат Y относительно X:.
(6.21)
(6.21)
2А = А о шу,333
А = Ао + Xji, А = Ао + Xi ii, Шу = &iii-г=1г=1г=1
Получим
2А° = А ° о шу + vx ° А, 3332А° = А ° о шу + vx ° А, 333(6.22)
2А° = А ° о шу + vx ° А, 333
2А° = А ° о шу + vx ° А, 333
Так как vx ° А = А о yY, то уравнение (6.22) можно записать в другом виде:
з
2А°* = А ° о ио у + А о vy, vy = У^щ /у(6.23)
г=1
Уравнения (6.21), (6.23) эквивалентны одному бикватернионному уравнению
2A*=AoL7y, A = A + sA°, иу=шуГ8Ху. (6.24)
Здесь бикватернион Uy — отображение мгновенного винта скоростей U системы координат У на ее же оси.
Таким образом, задача нахождения проекций xt и у^ (г = 1,2,3) некоторого вектора г на оси основной системы координат X* и на оси подвижной системы координат У, вращающейся относительно основной с угловой скоростью сщ по известным проекциям и^ и хц вектора ио и абсолютной производной v = dr/dt от вектора г на оси подвижной системы координат У сводится к определению параметров Aj и Х°< (j = 1,2,3) винтового движения подвижной системы координат У, мотор мгновенного винта скоростей движения которой относительно системы координат X равен дуальному вектору ио + sv = ио + s(dr/dt).
Параметры Xj и AJ (j = 1,2,3) находятся интегрированием двух кватернионных уравнений (6.21), (6.23) или одного бикватернионного кинематического уравнения (6.24) винтового движения системы координат У, являющегося дуальным аналогом кватернионного кинематического уравнения (6.21) вращательного движения системы координат У, а проекции вектора г на оси основной и подвижной систем координат определяются через Xj и Xj по формулам (6.20).
Из изложенного следует, что рассмотрение уравнений, связывающих абсолютную и локальную производные от некоторого вектора, может быть заменено рассмотрением кинематических уравнений винтового движения некоторого, определенным образом выбранного координатного трехгранника.
Бикватернионные кинематические уравнениядвижения
Уравнения в дуальных параметрах Эйлера (Родрига- Гамильтона) и вещественных параметрах винтового движения. Конечное перемещение связанной со свободным твердым телом системы координат У относительно опорной X будем характеризовать дуальными параметрами Эйлера (Родрига-Гамильтона) Kj (j = 1,2,3), введенными в п. 1.6.5.
Для получения кинематических уравнений винтового движения твердого тела, устанавливающих зависимости между дуальными параметрами Эйлера Kj, их первыми производными по времени и дуальными ортогональными проекциями Ut (j = 1,2, 3; г = 1,2,3) кинематического винта U твердого тела на оси связанной системы координат У, применим принцип перенесения Котельникова-Штуди к кинематиче-
ским уравнениям углового (сферического) движения твердого тела в вещественных параметрах Эйлера Aj, записанным в кватернионной форме (5.38):
2А* =Ао шу, шу = u\i\ + CC2I2 + Уз^з,(6.25)
А = Ло + А1Z1 + X2i2 У Ag/g, А = Ад У А^ /1 + А2 <2 + ^д ^3 •
В результате получим бикватернионное кинематическое уравнение винтового движения твердого тела [129, 132, 134]:
2Л* = Л о UY) Uy = ихц + и212 + Шз, (6.26)
Л = Лд У Ai/i У Л2/2 У Ag/g, Л = Ад У Л1 /1 У Л2 /2 У Ад /д.
Здесь Л = А + зХ° — собственный бикватернион винтового конечного перемещения твердого тела относительно опорного базиса X, являющийся комплексной комбинацией кватерниона А ориентации тела в опорном базисе X и кватерниона А°, характеризующего поступательное перемещение тела в этом базисе (см. п. 1.7.2); Uy = шу У + svy — отображение кинематического винта U твердого тела на связанный с телом базис У, компоненты Ui = ан У s^t (г = 1,2,3), бикватерниона Uy являются комплексными комбинациями проекций щ и ан (г = 1,2,3) вектора v мгновенной скорости выбранной точки тела (полюса О2) и вектора ш мгновенной угловой скорости тела на связанные координатные оси.
Угловое положение (ориентация) твердого тела в опорном базисе X характеризуется параметрами Эйлера Xj (j = 1,2,3), а его линейное положение (поступательное перемещение) в этом базисе — декартовыми координатами х^ (к = 1,2,3) выбранного полюса О2, которые находятся через вещественные параметры винтового движения Xj и Xj, являющиеся компонентами кватернионов А и А°, с помощью первой кватернионной формулы (3.60):
rx = xxi\ + X2I2 + x3i3 = 2А° о А.(6.27)
Аналогично получается бикватернионная форма кинематических уравнений винтового движения твердого тела, устанавливающих связи между дуальными параметрами Эйлера, их первыми производными по времени и дуальными ортогональными проекциями U* (г = 1,2,3) кинематического винта на оси опорной системы координат X. Применяя принцип перенесения Котельникова-Штуди к кватернионному кинематическому уравнению (5.37):
2А = to х о X, toх = tux Zi У су /2 У су Zg,(6.28)
получаем бикватернионную форму указанных кинематических уравнений винтового движения тела:
2Л* = Ux о Л, Ux = U^ii У U2i2 У И^з- (6.29)
Здесь Ux — отображение кинематического винта на опорный базис X, компоненты U* (г = 1,2,3) бикватерниона Ux имеют вид (6.7).
Отметим, что уравнение (6.29) можно также получить из уравнения (6.26), если учесть бикватернионное соотношение (2.52): Uy = = A - Ux - А, где Л — бикватернион, сопряженный бикватерниону Л.
Отметим также, что бикватернионное кинематическое уравнение винтового движения тела (6.26) можно было получить, используя результаты параграфа 6.3. Действительно, полагая, что введенная в этом пункте система координат X является опорной, и полагая, что подвижная система координат Y связана с твердым телом, немедленно получаем, что уравнение (6.24) является в этом случае бикватерни- онным кинематическим уравнением винтового движения твердого тела относительно опорной системы координат X. Видно, что это уравнение совпадает с уравнением (6.26).
Запишем кинематические уравнения винтового движения твердого тела в дуальных параметрах Эйлера в матричной форме, используя бикватернионные матрицы двух типов (N и М), введенные в п. 1.7.3 и имеющие вид (1.141).
формах [129]:формах [129]:2Л* = NJV - 2N* = NUN,2Л* = NJV - 2N* = NUN,(6.30)(6.30)Кинематические уравнения, связывающие дуальные параметры Эйлера Kj (j = 1,2,3) и их производные с дуальными ортогональными проекциями Ui (г = 1,2,3) кинематического винта на оси связанной системы координат, можно записать в двух эквивалентных матричных
формах [129]:
формах [129]:
2Л* = NJV - 2N* = NUN,
2Л* = NJV - 2N* = NUN,
(6.30)
(6.30)
Л = (Ao,Ai,A2,A3), Л = (Л^Л^Л^Лз),
/ Ло -Л1 -Л2 -Л3 \Л1 Ло Лз —Л2Л2 -Л3 Ло Л1\ Лз Л2 -Л1 Ло // Ло -Л1 -Л2 -Л3 \Л1 Ло Лз —Л2Л2 -Л3 Ло Л1\ Лз Л2 -Л1 Ло // 0 -Ux -U2 —U3\их о и3 -и2и2 -U3 0 Их\и3 и2 о // 0 -Ux -U2 —U3\их о и3 -и2и2 -U3 0 Их\и3 и2 о /(6.30(6.30
/ Ло -Л1 -Л2 -Л3 \Л1 Ло Лз —Л2Л2 -Л3 Ло Л1
\ Лз Л2 -Л1 Ло /
/ Ло -Л1 -Л2 -Л3 \Л1 Ло Лз —Л2Л2 -Л3 Ло Л1
\ Лз Л2 -Л1 Ло /
/ 0 -Ux -U2 —U3\их о и3 -и2и2 -U3 0 Их\и3 и2 о /
/ 0 -Ux -U2 —U3\их о и3 -и2и2 -U3 0 Их\и3 и2 о /
(6.30
(6.30
Кинематические уравнения винтового движения твердого тела, связывающие дуальные параметры Эйлера Kj (j = 1,2,3) и их производные с дуальными ортогональными проекциями U* (г = 1,2,3) кинематического винта на оси опорной системы координат, также можно представить в двух эквивалентных матричных формах:
2Л* = М*Х - 2М* = М*М, (6.32)
/Ло -Ai -Л2 -Л3\/О -Щ -U* -Щ\
Из соотношений (6.7) видно, что дуальные проекции U* (г = 1,2, 3) винта U на оси опорной системы координат, входящие в уравнения (6.29), (6.32), содержат проекции х^ радиуса-вектора г полюса О2 твердого тела на оси этой системы координат. Это затрудняет непосредственное использование кинематических уравнений (6.29) или (6.32)
винтового движения твердого тела. От указанного недостатка свободны кинематические уравнения (6.26) и (6.30) винтового движения твердого тела, использующие дуальные ортогональные проекции Ui = u)i + зщ (г = 1,2,3) кинематического винта U тела на оси связанной системы координат Y.
Следует отметить, что декартовы координаты Xi (г = 1,2,3) можно исключить из уравнений (6.29) и (6.32), если учесть их связи с вещественными параметрами винтового движения Aj, AJ (j = 1,2,3), имеющие в кватернионной записи вид (6.27). Однако получающиеся при этом дифференциальные уравнения относительно переменных AJ (j = 1,2,3) являются достаточно сложными и, вследствие этого, малоудобными в приложениях. Поэтому в дальнейшем рассматривается бикватернионная форма (6.26) и эквивалентные ей матричные формы (6.30) кинематических уравнений винтового движения твердого тела, удобные в приложениях.
Бикватернионное кинематическое уравнение (6.26), а также каждое из дуальных матричных кинематических уравнений (6.30) эквивалентны системе четырех скалярных однородных дифференциальных уравнений относительно неизвестных дуальных параметров Эйлера (Родрига-Гамильтона) Xj (j = 1,2,3), имеющей вид
2Л- = -U1M - U2X2-U3X3, 2Л] = [/1Л0 + и3х2-и2х3,
(6.34)
2Л;= и2Х0-и3М + ^Л3, 2Лз = [/3Л0 + ^2Л1-[/1Л2, v 7
или, в развернутой векторно-матричной записи, вид
В случаях, когда Ui = Ui(t), Di = Di(t) (г = 1,2,3), т. e. когда проекции вектора ш мгновенной угловой скорости твердого тела и вектора v мгновенной скорости выбранной точки тела (полюса О2) на связанные координатные оси являются известными функциями времени, бикватернионное (6.26) и матричные (6.30) кинематические уравнения и эквивалентная им система (6.34) четырех скалярных кинематических уравнений являются линейными нестационарными однородными дифференциальными уравнениями относительно неизвестного бикватерниона Л винтового конечного перемещения твердого тела или четырех неизвестных дуальных параметров Эйлера Xj (J = 1,2, 3) с переменными во времени t коэффициентами: бикватернионным Uy(t) = и)у^ + + svy(t) или матричным Nu(t) = n^y(t) + snvy(t) коэффициентами, или скалярными дуальными Ui(t) = Ui(t) + SDi(t) коэффициентами.
Бикватернионное уравнение (6.30) распадается на два кватернион
ных:ных:2А‘ = А о шу, 2А°* = А° о шу + А о vy,2А‘ = А о шу, 2А°* = А° о шу + А о vy,(6.35)(6.35)
ных:
ных:
2А‘ = А о шу, 2А°* = А° о шу + А о vy,
2А‘ = А о шу, 2А°* = А° о шу + А о vy,
(6.35)
(6.35)
эквивалентных уравнениям (6.21), (6.23), а каждое из дуальных матричных уравнений (6.30) распадается на два вещественных:
2А‘ = п^А, 2А°* = пшХ° + nvA,(6.36)
2 п* = пшп, 2п°* = пшп° + ПуП,(6.37)
А = (Ао, А,, А2, Аз), А0 = (Ag, А°, Ag, А3°),
/ 0 —СЩ —^2 —^3 \0)10 Щ3 — UJ^^2 — ^3 00)1У^ЗCU2 —0)1О У/ 0 —СЩ —^2 —^3 \0)10 Щ3 — UJ^^2 — ^3 00)1У^ЗCU2 —0)1О У/ 0 -t)i -V2 -17g \171017g -1)21)2 -17g 0171У^З 172 -171 О У/ 0 -t)i -V2 -17g \171017g -1)21)2 -17g 0171У^З 172 -171 О У(6.38)(6.38)
/ 0 —СЩ —^2 —^3 \0)10 Щ3 — UJ^
^2 — ^3 00)1
У^ЗCU2 —0)1О У
/ 0 —СЩ —^2 —^3 \0)10 Щ3 — UJ^
^2 — ^3 00)1
У^ЗCU2 —0)1О У
/ 0 -t)i -V2 -17g \
171017g -1)2
1)2 -17g 0171
У^З 172 -171 О У
/ 0 -t)i -V2 -17g \
171017g -1)2
1)2 -17g 0171
У^З 172 -171 О У
(6.38)
(6.38)
Кватернионные матрицы п и п° имеют одинаковую структуру, составлены из параметров Xj и AJ (j = 1,2,3) винтового движения твердого тела и имеют вид
У Аз А2 -А1 Аоу у A3 Ag -A? Ag уУ Аз А2 -А1 Аоу у A3 Ag -A? Ag у
У Аз А2 -А1 Аоу у A3 Ag -A? Ag у
У Аз А2 -А1 Аоу у A3 Ag -A? Ag у
Системы уравнений (6.35), (6.36) и (6.37) эквивалентны. Каждая из них в скалярной записи представляет собой систему восьми дифференциальных уравнений относительно неизвестных вещественных параметров Xj, X°j (J = 1,2, 3) винтового движения твердого тела (линейных в случае, когда сщ = o)t(t), Vi = 17^) (z = 1,2,3)). Поэтому уравнения (6.35)-(6.37) являются различными формами кинематических уравнений движения твердого тела в вещественных параметрах винтового движения. Первое из уравнений (6.35) или уравнений (6.36), (6.37) является кватернионным или матричным кинематическим уравнением сферического движения твердого тела в вещественных параметрах Эйлера (Родрига-Гамильтона). Оно не зависит от второго уравнения. Второе из уравнений (6.35) или уравнений (6.36), (6.37) зависит от первого и, в отличие от него, является неоднородным, характеризуя поступательное движение твердого тела вместе с выбранным полюсом О2.
Уравнения (6.35) или (6.36), (6.37), а также каждое из дуальных уравнений (6.26), (6.30) позволяют находить по заданным начальным условиям движения и по заданным проекциям векторов ш и v на связанный базис (в общем случае эти проекции заданы как функции времени и кинематических параметров движения свободного твердого тела) параметры Xj, X°j (J = 1,2,3) винтового движения твердого тела. Параметры Эйлера Xj характеризуют ориентацию твердого тела в опорной системе координат, а для определения поступательного движения тела (проекций вектора г на оси связанного и опорного базисов)
необходимо воспользоваться или кватернионными (6.20), или матричными (3.63), или скалярными (3.66), (3.67) формулами.
Кинематические уравнения винтового движения твердого тела в дуальных параметрах Эйлера (Родрига-Гамильтона) и в вещественных параметрах винтового движения были, по-видимому, впервые введены автором в работах [129, 132].
Бикватернионные кинематические уравнения относительного движения. Рассмотрим сложное движение свободного твердого тела, состоящее из двух составляющих движений. Первое движение, называемое переносным, совершается твердым телом относительно опорной системы координат ОуХуХ^Х^Х^ вместе с системой координат G^Z^Zy Это движение задается мотором (g^i,vi) мгновенного винта переносных скоростей U\ (мотором кинематического винта U\\ отнесенным к полюсу Од и равным дуальному вектору ищ + + svi, где ищ — мгновенная переносная угловая скорость (угловая скорость вращения системы координат Z относительно опорной системы координат X), vi — мгновенная переносная линейная скорость (скорость движения точки Од относительно опорной системы координат X). С системой координат Z может быть жестко связано некоторое другое твердое тело, или с ее помощью задается некоторое характерное для изучаемого твердого тела движение, например, его программное движение. Второе движение, называемое относительным, совершается твердым телом относительно системы координат Z. Это движение характеризуется мотором (0^2X2) мгновенного винта относительных скоростей 13^ (мотором кинематического винта U^Y отнесенным к полюсу О2 и равным дуальному вектору с^2 + SV2, где с^2 — мгновенная относительная угловая скорость (угловая скорость вращения твердого тела (или связанной с ним системы координат O^YyY^Y^YY^ относительно системы координат ZY V2 — мгновенная относительная линейная скорость (скорость движения точки О2 тела относительно системы координат ZY Движение твердого тела относительно опорной системы координат X, называемое абсолютным, задается мотором (w,v) мгновенного винта абсолютных скоростей U (мотором кинематического винта Uy отнесенным к полюсу О2 и равным дуальному вектору cj + + sv, где cj — мгновенная абсолютная угловая скорость тела (угловая скорость вращения связанной системы координат Y относительно опорной системы координат X), v — мгновенная абсолютная линейная скорость тела (точнее, скорость движения точки О2 тела относительно системы координат X).
Задача состоит в построении бикватернионного кинематического уравнения относительного движения твердого тела, т. е. его движения относительно системы координат Z в предположении, что заданы кинематические винты U и U\ абсолютного и переносного движений твердого тела.
Взаимное положение введенных координатных трехгранников зададим бикватернионами Ль Л2, Л конечных перемещений в соответствии со схемой перемещений
X z Y ~ X Y.щ щ и
Мотор кинематического винта относительного движения твердого тела равен разности моторов кинематических винтов его абсолютного и переносного движений. При этом все моторы должны быть отнесены к одному выбранному центру, например, к началу одной из введенных систем координат. Поэтому, используя бикватернионные кинематические уравнения (6.26) и (6.29), получим следующие две формы би- кватернионного кинематического уравнения относительного углового движения твердого тела:
2А2у = Л2у о (L7y — Uiy) = (Uz — Uiz) ° Л2у, Л2у = Л2у. (6.40) Здесь и далее нижние индексы «у», «у» и «у» указывают, к началу какой системы координат отнесены моторы соответствующих кинематических винтов и в какой системе координат определены отображения соответствующих кинематических винтов и бикватерниона Л2 относительного конечного перемещения твердого тела.
В большинстве случаев отображение кинематического винта U абсолютного движения твердого тела задано в связанной системе координат У, а отображение кинематического винта U\ переносного движения — в системе координат Z, задающей переносное движение. Поэтому в этих случаях уравнение (6.40) необходимо дополнить би- кватернионными соотношениями перепроектирования
U\y = Х^у 0 U\z о Л2У, Uz = Л2У о Uy ° Л2У. (6.41)
Бикватернионное кинематическое уравнение (6.40), дополненное соотношениями (6.41), является нелинейным дифференциальным уравнением относительно бикватернионной переменной Л2У = ^z- Вместе с тем, существует линейное бикватернионное кинематическое уравнение относительного движения твердого тела, являющееся дуальным аналогом кватернионного кинематического уравнения (5.144) относительного углового движения твердого тела. Применяя к уравнению (5.144) принцип перенесения Котельникова-Штуди, получим следующее бикватернионное кинематическое уравнение относительного движения твердого тела:
2А2У = Л2У о Uy — U\z ° Л2У. (6.42)
Это уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка относительно бикватернионной переменной Л2У, описывающей движение твердого тела относительно системы координат Z, совершающей переносное движение. В этом уравнении непосредственно используются отображение Uy = Шу + svy кинематического винта U абсолютного движения твердого тела на связанный базис и отображение U\z = w\z + sviz кинематического винта U\ переносного
движения на базис Z, совершающий это переносное движение. Компонентами бикватернионов Uy и Uxz являются дуальные ортогональные проекции Ut = шг + s^i (г = 1,2, 3) и Иц = иц + згщ винтов U и Ux на оси разных систем координат X и Z. Эти проекции во многих задачах относительного движения либо задаются как явные функции времени (в этом случае дифференциальное уравнение (6.42) является линейным), либо формируются с помощью дополнительных уравнений. Эти обстоятельства делают бикватернионное кинематическое уравнение (6.42) удобным для решения ряда задач механики, навигации и управления движением.
Переходя к скалярной записи, вместо бикватернионного дифференциального уравнения (6.42) получим систему четырех скалярных дуальных дифференциальных уравнений:
2Л20 =^11)^21 - (^2 - ^12)Л22 - (^3 “ ^1з)Л23,
2Л21 =(Ux - 17ц)Л2о + (U3+[71з)Л22- (Щ +^12)А23,
2Л’2=(^2 - ^12)Л20 ~ №+^1з)Л21+ (-?А +^11)Л23,
2Л23 =фз - Uxз)^20 + (^2+^12)Л21- (?71 +?7ц)Л22
относительнодуальных параметровЭйлераA2j (j= 0, 1,2,3) (компо
нент бикватерниона перемещения Л2у), характеризующих положение твердого тела в подвижной системе координат Z.
В этих уравнениях, как и раньше, Ui = Ui + зщ (г = 1,2,3) — дуальные ортогональные проекции кинематического винта U абсолютного движения твердого тела на связанные с ним координатные оси (компоненты бикватерниона Uy); Uxi = uxi + suxi — дуальные ортогональные проекции кинематического винта Ux переносного движения на оси подвижной системы координат Z (компоненты бикватерниона U\zY
Кинематические уравнения (6.43) относительного углового движения твердого тела в векторно-матричной записи имеют вид
2Л2У = (7V{L7y} - M^Uxz^My.(6.44)
Здесь Л2У = (Л20, Л2У Л22, Л23) и Л2У = (Л^,Лу Л^, Л^) — векторы- столбцы дуальных параметров Эйлера Х^ (j = 0, 1,2,3) и их первых производных по времени; N^Uy^ и M^Uxz^ — четырехмерные кососимметрические матрицы (ненормированные бикватернионные матрицы) типов N и М, сопоставляемые отображениям Uy и Uxz кинематических винтов и и их на базисы X и Z.
Матрица коэффициентов в уравнении (6.44) имеет вид
NXUyX-MXUxzX =NXUyX-MXUxzX =Ux-Un иг-иИ \U3-UX3Ux-Un иг-иИ \U3-UX3-Ux+Unо-и3-иИ и2+и12-Ux+Unо-и3-иИ и2+и12-U2 + U12 -и3+и13\U3 + Ul3 -U2-U\2О t/iWn-U1-UU о /-U2 + U12 -и3+и13\U3 + Ul3 -U2-U\2О t/iWn-U1-UU о /(6.45)(6.45)
NXUyX-MXUxzX =
NXUyX-MXUxzX =
Ux-Un иг-иИ \U3-UX3
Ux-Un иг-иИ \U3-UX3
-Ux+Un
о
-и3-иИ и2+и12
-Ux+Un
о
-и3-иИ и2+и12
-U2 + U12 -и3+и13\
U3 + Ul3 -U2-U\2
О t/iWn
-U1-UU о /
-U2 + U12 -и3+и13\
U3 + Ul3 -U2-U\2
О t/iWn
-U1-UU о /
(6.45)
(6.45)
Кинематические уравнения в дуальных углахЭйлера-Крылова, направляющих косинусахи параметрах Кейли-Клейна
Кинематические уравнения в дуальных углах Эйлера. Будем считать, что система координат У, жестко связанная с твердым телом, совпадает в его начальном положении с опорной системой координат X. Тогда твердое тело может быть переведено из этого начального положения в любое конечное положение с помощью трех винтовых конечных перемещений на дуальные углы Эйлера Ф = ф + зф°, 0 = = ^ + зд°, Ф = р + зр°, называемые дуальными углами прецессии, нутации и собственного вращения, в последовательности Ф 0 Ф (см. рис. 1.15 и рис. 6.2). Главные части ф, д, р этих дуальных углов являются обычными углами Эйлера, а их моментные части ф°, д°, р° являются линейными величинами, характеризующими элементарные поступательные перемещения твердого тела в направлении соответствующих осей элементарных винтовых конечных перемещений тела.
Мгновенное движение свободного твердого тела в соответствии с этим способом задания движения можно представлять как композицию трех мгновенных плоских винтовых движений (в любой последовательности), характеризуемых мгновенными кинематическими винтами прецессии Ф* = (ф* -\-зф°фхз, нутации 0* = (фГ + зд°фу\ и собственного вращения Ф* = (р* + зр°ф у3 (см. рис. 6.2), где Хз = Хз, у\ = Y't и 9з = Уз — единичные винты (векторы) осей составляющих мгновенных винтовых движений. Результирующее мгновенное движение твердого тела представляет собой мгновенное винтовое движение, мгновенный кинематический винт U которого равен геометрической
сумме кинематических винтов Ф*, 0* и Ф* мгновенных составляющих движений:
U = Ф*+0*+Ф* = (ф* + зф°Л хд+ (э* + s$°*\ у\ + (щ* + зщ0*^ у3.
(6.46)
Проектируя винтовое равенство (6.46) на связанные координатные оси, получаем связи дуальных ортогональных проекций U^ (г = 1,2,3) мгновенного кинематического винта U твердого тела на эти оси с дуальными углами Эйлера и их первыми производными по времени:
Их = ©* созФ + Ф‘ sin© 8шФ, U2 = -©‘ 8шФ + Ф‘ sin© СОбФ,
U3 = Ф* +Ф* cos©.(6.47)
Разрешая соотношения (6.47) относительно производных Ф*, ©*, Ф*, получаем кинематические уравнения твердого тела в дуальных углах Эйлера, имеющие вид (см. также [30])
Ф* = . (Ux 8тФ + [72С08Ф),©* = Ux С08Ф - U2 зтФ,
sin ©
Ф* = Из - ctg© (Ux зшФ + U2 собФ),(6.48)
где Ф = ф + зф°, © = ^ + 8$°, Ф = щ + зщ°; Ф* = ф* + зф°\ ©* = = Д^зЭ°\ Ф* = щ* А- зщ0*; и^ищ^зщ (г =1,2,3).
Дуальные кинематические уравнения (6.48) и выражения (6.47) являются дуальными аналогами кинематических уравнений Эйлера (5.13) и выражений (5.12) для проекций ищ (^ = 1,2,3) вектора из мгновенной угловой скорости твердого тела на оси связанной системы координат Y.
Уравнения (6.48) в случае, когда Ифф = шфф + з^ф (г = 1,2,3), т. е. когда проекции мгновенного кинематического винта твердого тела на связанные с ним координатные оси являются известными функциями времени, образуют систему нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений третьего порядка относительно дуальных углов Эйлера Ф, ©, Ф. Эта система имеет особую точку ^ = 0, в которой кинематические уравнения в дуальных углах Эйлера вырождаются. Отметим, что линейная величина Э° в этой особой точке может быть не равной нулю.
Существование особой точки ^ = 0 в уравнениях винтового движения твердого тела в большинстве случаев не связано с физикой движения твердого тела, а обусловлено выбранным нами способом описания движения твердого тела, и, следовательно, от этой особой точки можно избавиться за счет использования другого способа описания движения (например, за счет использования в качестве кинематических параметров дуальных направляющих косинусов углов или дуальных параметров Эйлера). Исключение составляет случай, когда винтовое движение твердого тела материализуется с помощью винтовых кинематических пар, реализующих элементарные винтовые перемещения твердого тела в пространстве на дуальные углы Эйлера. В этом случае особая точка
^ = 0 отвечает параллельности осей двух кинематических пар, при которой твердое тело теряет одну степень свободы.
Кинематические уравнения в дуальных самолетных углах. Как отмечалось в п. 1.6.2, дуальные углы Эйлера имеют такой же недостаток, как и обычные углы Эйлера: отсутствие симметрии (два элементарных винтовых конечных перемещения совершаются вокруг одноименных осей) приводит к тому, что малому отклонению твердого тела от его начального (равновесного) положения соответствуют лишь малые значения дуального угла 0 и суммы дуальных углов Ф + Ф, но не малые (в общем случае) значения каждого из углов Ф, Ф, которые могут быть по величине любыми. Это осложняет аналитическое исследование в случаях, когда для исследования движения в окрестности какого-либо равновесного положения или невозмущенного движения используются линеаризованные уравнения.
От указанного недостатка свободна другая система дуальных кинематических параметров — дуальные углы Крылова. На рис. 6.3 (см. также рис 1.15) показана одна из разновидностей дуальных углов Крылова — дуальные самолетные углы, являющиеся дуальным аналогом обычных самолетных углов, используемых в авиации (см. п. 1.2.1). Система отсчета, относительно которой рассматривается положение твердого тела (летательного аппарата), обозначена, по-прежнему, через X. С летательным аппаратом жестко связана система координат У: ее ось С^Уу направляется вдоль продольной оси летательного аппарата, ось О2У2 — вдоль нормальной, а ось О2У3 — вдоль поперечной (выбранный полюс О2 тела обозначен в п. 1.6.2 через А).
Положение летательного аппарата в системе координат X задается дуальными углами рыскания (или курса) Ф = ф + зф°, тангажа 0 = = ^ + зд° и крена Г = у + 37° в соответствии с последовательностью винтовых конечных перемещений Ф 0 Г (см. рис. 6.3; на рис. 1.15 дуальный угол крена обозначен через Ф), совершаемых вдоль координатных осей Х2(У2° = Y2), У3 = У^, Уф = У1 с номерами 2, 3 и 1 соответственно.
Мгновенный кинематический винт U твердого тела связан с мгновенными кинематическими винтами рыскания Ф* = Ф‘%2 = (Ф* + + зф°фх2, тангажа 0* = 0*г/з = (^‘ + з^фу'з и крена Г* = Г*^ = = (7* Г з^°фух винтовым соотношением, являющимся дуальным аналогом соотношения (5.16):
и = Ф• + 0* + Г* = ^ф* + зф°*)х2 + ^ + sr*)^ + (7* + 8^)^, (6.49) где %2 = Х2, Уз = Y^ и ух = У1 — единичные винты (векторы) осей составляющих мгновенных винтовых движений (осей О1Х2, О2У3', О2 Ух ЦО2У1, показанных на рис. 6.3).
Проектируя винтовое равенство (6.49) на связанные координатные оси, получаем связи дуальных ортогональных проекций U^ (г = 1,2,3)
Рис. 6.3
мгновенного кинематического винта U твердого тела на эти оси с дуальными самолетными углами и их первыми производными по времени:
U\ = Г* + Ф‘ sin0, U2 = 0* sin Г + Ф‘ cos 0 cos Г,
Из = 0* cos Г - Ф‘ cos 0 sin Г.(6.50)
Разрешая соотношения (6.50) относительно производных Ф‘, 0*, Г*, получаем кинематические уравнения твердого тела в дуальных самолетных углах, имеющие вид
Ф‘ = —(U2 cos Г - U3 sin Г), 0* = U2 sin Г + U3 cos Г, COS0
Г* =UX -tg0([/2cosr-[/3sinr),(6.51)
где Ф = ^ + зф0, 0 = Э + зЭ°, Г = у + 370; Ф‘ = ф* + зф°\ 0* = ^' + +з^°*, Г* = 7* + 37°*; Ui = ищ + s Dt (г = 1,2, 3).
Дуальные кинематические уравнения (6.51) и выражения (6.50) являются дуальными аналогами кинематических уравнений (5.18) в самолетных углах и выражений (5.17) для проекций сщ (г = 1,2,3) вектора ш мгновенной угловой скорости твердого тела на оси связанной системы координат Y через эти углы и их первые производные по времени.
Уравнения (6.51) в случае, когда Ui(t) = Ui(t) + зщ^ (г = 1,2,3), т. е. когда проекции мгновенного кинематического винта твердого тела на связанные с ним координатные оси являются известными функциями времени, образуют систему нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений третьего порядка относительно дуальных самолетных углов Ф, 0, Г. Эта система имеет особые точки Э = ±тг/2, в которых кинематические уравнения в дуальных самолетных углах вырождаются. Отметим, что линейная величина Э° в этой особой точке может быть не равной нулю.
Существование этих особых точек, как и особой точки в кинематических уравнениях в дуальных углах Эйлера (см. замечание в конце п. 6.5.1), в большинстве случаев не связано с физикой движения
твердого тела, а обусловлено выбранным нами способом описания движения твердого тела в самолетных углах.
Кинематические уравнения в дуальных направляющих косинусах. Кинематические уравнения в дуальных направляющих косинусах (дуальные кинематические уравнения Пуассона) устанавливают связи направляющих косинусов Cik (^, к = 1,2, 3) дуальных углов Т\к = Дк + s^tk между осями O2Yi и ОхХк связанной и опорной систем координат, т. е. комплексных величин Cik = созГ^ = соз(у^ Г8^ (г, к = 1,2,3), где 7^ — обычный угол между осями ОхХк и O2Yu |7^| = aikbik — кратчайшее расстояние между осями ОхХк и O2Yi (см. п. 1.6.3), и их первых производных по времени с дуальными ортогональными проекциями Ut = ин + зщ мгновенного кинематического винта U твердого тела на связанные координатные оси.
Отметим, что использование связей дуальных направляющих косинусов Cik (г, к = 1,2,3) и их первых производных по времени с дуальными ортогональными проекциями U* мгновенного кинематического винта U твердого тела на опорные координатные оси в большинстве случаев нецелесообразно из-за того, что величины U* содержат проекции Xi радиуса-вектора г полюса О2 твердого тела на оси этой системы координат (см. формулы (6.7)). Поэтому эти связи рассматриваться нами не будут.
Получим дуальные кинематические уравнения Пуассона, используя принцип перенесения Котельникова-Штуди. Применяя этот принцип к скалярной (5.23) и матричной (5.24) формам кинематических уравнений в вещественных направляющих косинусах, получим скалярные (6.52) и матричное (6.53) кинематические уравнения в дуальных направляющих косинусах:
С\г = U3C2i - U2C3i, С2г = -ЩСи + СС3г,
Сзг = и2Си-ихС2ь г = 1,2,3;(6.52)
СиС12С13V/ 0[/3-И2\/СпСХ2С13\
С21с22С23 =-С30Ux=С2ХС22С23. (6.53)
С31С32С33/у U2-Ux0 )\ С31Сз2С33 /
Здесь дуальные скалярные переменные Cik = Ск + sc^ (г, к = 1,2,3) — комплексные комбинации вещественных величин с^, являющихся обычными направляющими косинусами углов между координатными осями ОхХк и O2Yi, и вещественных величин с°к, характеризующих кратчайшие расстояния между этими осями, а дуальные скалярные коэффициенты Ui = Ui + згу являются комплексными комбинациями проекций u)i и Di вектора и) мгновенной угловой скорости твердого тела и вектора v мгновенной скорости выбранной точки О2 тела на связанные координатные оси.
Дуальное матричное кинематическое уравнение Пуассона (6.53)
запишем в свернутом виде:
^ = UYC,(6.54)
где
С12 С13\/ 0[/з -^2\
С = C2i С22 С23, UY =-^з 01/1.(6.55)
\ С31 С32 С33 /\ U2 -Ux 0 /
Учтем, что дуальные матрицы
С = с + sod Uy = ^y5 sVy,(6.56)
где с — вещественная матрица направляющих косинусов углов между осями систем координат X и У, с° — матрица, характеризующая поступательное перемещение свободного твердого тела (см. п. 1.7.1), Qy и VY — вещественные кососимметрические матрицы третьего порядка, элементами которых являются проекции ищ и щ (г = 1,2,3) векторов
(6.57)(6.57)ш и v на связанные координатные оси, имеющие вид
(6.57)
(6.57)
(
О^з-ш2 \/0 ц3-ц2
—0^11, Vy = I —^з 0^1
CJ2—СЩ 0 /\172— 171О
Тогда дуальное матричное уравнение (6.54) будет эквивалентно двум вещественным матричным дифференциальным уравнениям
= Qyc, = Qyc° + VYc(6.58)
dtdt
относительно неизвестных матриц с и с°.
Матрица с характеризует ориентацию твердого тела в опорной системе координат, а матрица с° — его положение в этой системе координат. При этом проекции х^ и уг (г = 1,2,3) радиуса-вектора г полюса О2 твердого тела на оси опорной и связанной систем координат могут быть найдены через элементы матриц с и с° по формулам (1.133):
О ж3 -х2—хз 0 х\х2 —х\ Оо Уз -У2-Уз 0 ухУ2 -у\ ОО ж3 -х2—хз 0 х\х2 —х\ Оо Уз -У2-Уз 0 ухУ2 -у\ О(6.59)(6.59)/ 0 Сд -с^ \
О ж3 -х2
—хз 0 х\х2 —х\ Оо Уз -У2
-Уз 0 ух
У2 -у\ О
О ж3 -х2
—хз 0 х\х2 —х\ Оо Уз -У2
-Уз 0 ух
У2 -у\ О
(6.59)
(6.59)
с' = СТСО = I -Сд 0 с\ Jу С2 — С^ 0 // 0 с^ -d'\с" = с°ст = I -Сз 0 сх J
\ ^ -с” 0 /
Дуальные кинематические уравнения Пуассона (6.52) или (6.54) в случае, когда U^ = ^(/) + 5щ(/) (г = 1,2,3), т. е. когда проек-
ции мгновенного кинематического винта твердого тела на связанные с ним координатные оси являются известными функциями времени, образуют систему скалярных линейных нестационарных дифференциальных уравнений девятого порядка относительно дуальных направляющих косинусов углов С^к (г к = 1,2,3). Эти уравнения, в отличие от кинематических уравнений в дуальных углах Эйлера-Крылова не имеют особых точек и не вырождаются для любого положения твердого тела в пространстве. Линейность и не вырождаемость кинематических уравнений достигнута за счет существенного повышения размерностей систем дуальных дифференциальных уравнений (с 3-го до 9-го порядков).
Кинематические уравнения в дуальных параметрах Кейли-Клейна. Используя кинематические уравнения винтового движения твердого тела в дуальных параметрах Эйлера (6.26) или (6.30) и выражения (1.130), связывающие дуальные параметры Эйлера с собственными дуальными параметрами Кейли-Клейна, получим кинематические уравнения винтового движения твердого тела в собственных дуальных параметрах Кейли-Клейна (здесь и далее звездочка у собственных обычных и дуальных параметров Кейли-Клейна, как и у дуальных параметров Эйлера, опускается) [140]:
(6.60)(6.60)' Шз U2 + iC/Л /А Г\
(6.60)
(6.60)
\в" л7\в" л7-u2 + tuv -ш3 Ивд)’
\в" л7
\в" л7
Уравнения (6.60) являются дуальным аналогом кинематических уравнений (5.55) углового (сферического) движения твердого тела в обычных параметрах Кейли-Клейна.
Система дифференциальных уравнений (6.60) в случае, когда Ui = = Upt) распадается на две независимые подсистемы. Запишем одну из
них:них:/ А" \ _ / Ш3 U2 + iUv( В' у \ -U2 + Ш\ -Шз/ А" \ _ / Ш3 U2 + iUv( В' у \ -U2 + Ш\ -Шз(6.61)(6.61)
них:
них:
/ А" \ _ / Ш3 U2 + iUv
( В' у \ -U2 + Ш\ -Шз
/ А" \ _ / Ш3 U2 + iUv
( В' у \ -U2 + Ш\ -Шз
(6.61)
(6.61)
В развернутой записи имеем
а" + sa°‘3‘ + 8/5°'
_ /1Л3 + sv3)ш2 + гш] + s(v2 + W])\ / a + sa/A
\-ш2 + М + s(—v2 + wi)-г(ш3 + 8ц3))\0+s00)'
Выделяя в этом уравнении главную и моментную части, получаем кинематические уравнения в комплексных параметрах винтового движения а, /3, а°, 3°:
2=.. 1 = Г (6.62)
\3;\-ш2 + гш\ -гшз у уЗ;
/ гсщ Щ2 + /а°\ / wg ^2 + ^Л ДА /3° / ) \Р°) у—172 + W1 — W3 / \Р)
Таким образом, винтовое движение твердого тела (движение свободного твердого тела) в кинематической постановке может быть описано либо системой (6.35) или (6.36), содержащей восемь дифференциальных уравнений первого порядка в вещественных параметрах винтового движения Aj, AJ (j = 1,2,3), либо системой (6.26) или (6.30), содержащей четыре дифференциальных уравнения в дуальных параметрах Эйлера (Родрига-Гамильтона) Kj, либо системой (6.62), содержащей четыре дифференциальных уравнения в комплексных параметрах а, /3, а°, /3° винтового движения, либо системой (6.61), состоящей из двух дифференциальных уравнений в дуальных параметрах Кейли- Клейна А, В. В случае, когда проекции ищ и щ (г = 1,2,3) вектора из мгновенной угловой скорости твердого тела и вектора v мгновенной скорости выбранной точки тела (полюса ОД) на связанные координатные оси являются известными функциями времени, все перечисленные системы дифференциальных уравнений являются линейными.
Кинематические уравнения движения свободного твердого тела в дуальных параметрах Эйлера и Кейли-Клейна имеют перед кинематическими уравнениями в дуальных направляющих косинусах и в дуальных углах Эйлера-Крылова такие же преимущества, как и преимущества, которые имеют кинематические уравнения вращательного движения твердого тела в вещественных параметрах Эйлера и обычных параметрах Кейли-Клейна перед уравнениями в вещественных направляющих косинусах и в углах Эйлера-Крылова: в отличие от уравнений в дуальных углах Эйлера-Крылова, уравнения в дуальных параметрах Эйлера и Кейли-Клейна являются линейными и не вырождаются ни при каком положении твердого тела в пространстве; число этих уравнений, в отличие от девяти уравнений для дуальных направляющих косинусов, равно соответственно четырем и двум.
В настоящее время для исследования кинематики вращательного движения твердого тела и решения ряда прикладных задач (определение ориентации объектов с помощью бесплатформенных инерциальных навигационных систем, управление угловым положением твердого тела) широко используется аппарат параметров Эйлера (Родрига- Гамильтона) (скалярный, кватернионный, матричный). Использование аппарата дуальных параметров Эйлера (Родрига-Гамильтона) и принципа перенесения Котельникова-Штуди позволяет перенести результаты, полученные с помощью аппарата параметров Эйлера в ряде общетеоретических и прикладных задач кинематики вращательного движения твердого тела, на аналогичные задачи кинематики движения свободного твердого тела.
Отметим, что кинематические уравнения винтового движения твердого тела в дуальных параметрах Эйлера и Кейли-Клейна, а также уравнения в комплексных параметрах винтового движения целесооб-
разно использовать не только в аналитических исследованиях, но и для численного решения тех задач, в которых необходимо проводить численное интегрирование кинематических уравнений движения свободного твердого тела, например, в задачах инерциальной навигации и управления движением.
Винтовые кинематические уравнения
Установим связи мгновенного винта U скоростей твердого тела (мгновенного кинематического винта) с единичным винтом Е оси винтового конечного перемещения твердого тела (равным единичному вектору, направленному вдоль этой оси), дуальным углом Ф = ^ + + sp° перемещения тела вдоль этой оси и их первыми производными по времени.
Применяя принцип перенесения Котельникова-Штуди к уравнениям (5.66)-(5.68), устанавливающим связи вектора ш мгновенной угловой скорости твердого тела с единичным вектором е эйлеровой оси конечного поворота тела, углом р поворота тела вокруг этой оси и их первыми производными по времени, получим
— =Ф* = UE, (6.63) at
2^=2Е'=ctg^(Ex(UxE)) + UxE, у ^ О, (6.64)
Ф‘Е = U, у? = 0. (6.65)
Отметим, что в винтовых уравнениях (6.64) и (6.65) присутствуют не условия Ф ^ 0 и Ф = 0, накладываемые на дуальный угол Ф = = р + sp° перемещения твердого тела вдоль оси винтового конечного перемещения твердого тела, как этого следовало бы ожидать при формальном применении принципа перенесения Котельникова-Штуди на векторне уравнения (5.67) и (5.68), а условия р ^ 0 и р = 0, накладываемые лишь на вещественный угол р поворота твердого тела вокруг оси его винтового конечного перемещения, т. е. условия, накладываемые лишь на главную часть дуального угла Ф поворота тела вокруг этой оси. В справедливости этого можно убедиться, проследив вывод винтовых уравнений (6.64) и (6.65), проделанный (с использованием бикватернионного кинематического уравнения) по той же логической схеме, что и вывод векторных уравнений (5.67) и (5.68), приведенный в параграфе 5.7.
Таким образом, искомые связи мгновенного кинематического винта U твердого тела с единичным винтом Е оси винтового конечного перемещения тела, дуальным углом Ф перемещения тела вдоль этой оси и их первыми производными по времени имеют вид (6.63), (6.64) при р 0 и (6.63), (6.65) при р = 0.
В дифференциальном уравнении (6.64) производная dE/dt = Е* является абсолютной производной от единичного винта Е. Винто-
вое кинематическое уравнение, использующее локальную производную (с/Е/с/^л от единичного винта Е, получается из уравнения (6.64) при учете равенств dE/dt = (dE/dt)a = ^dEfdt^ + U x E и имеет вид
22/dE\\dt A/dE\\dt AФ= ctg - (E x (U x £)) - U x E,Ф= ctg - (E x (U x £)) - U x E,(6.66)(6.66)
2
2
/dE\
\dt A
/dE\
\dt A
Ф
= ctg - (E x (U x £)) - U x E,
Ф
= ctg - (E x (U x £)) - U x E,
(6.66)
(6.66)
Это уравнение отличается от уравнения (6.64) знаком перед вторым винтовым слагаемым в правой части уравнения; при этом полагается, что все винты, фигурирующие в этом уравнении определены своими дуальными ортогональными проекциями в связанном базисе. Для единичного винта Е оси винтового конечного перемещения твердого тела справедливы дифференциальные бикватернионные равенства ^AEldtWx = [(А-ЕМЫу = E\iv + E2i2 + ЕЦ3 = Е'х = E*Y, являющиеся следствием равенства одноименных дуальных ортогональных проекций Ei и Е*, (г = 1,2,3) винта Е на оси опорного и связанного базисов.
Отметим, что уравнения (6.64) и (6.66) можно рассматривать как формулы для абсолютной и локальной производных от единичного винта Е оси винтового конечного перемещения твердого тела.
Обозначая через Ei и Ui (г = 1,2,3) дуальные ортогональные проекции винтов Е и U на оси системы координат У, связанной с твердым телом, запишем уравнения (6.63), (6.66) и (6.65) в скалярном виде:
Ф* = U cosf = UXEX + U2E2 + U3E3, (6.67)
2е;= ctg - (ЕЛ - Ф-Ех) - Щ2Е2 -2^2= ctg | (lx - ф-^2) - (U3EV - UvEs),2Е3ф= ctg - (U3 - ф-^з) - (UVE2 - U2EV\2е;= ctg - (ЕЛ - Ф-Ех) - Щ2Е2 -2^2= ctg | (lx - ф-^2) - (U3EV - UvEs),2Е3ф= ctg - (U3 - ф-^з) - (UVE2 - U2EV\у А о,у А о,(6.68)(6.68)
2е;
= ctg - (ЕЛ - Ф-Ех) - Щ2Е2 -
2^2
= ctg | (lx - ф-^2) - (U3EV - UvEs),
2Е3
ф
= ctg - (U3 - ф-^з) - (UVE2 - U2EV\
2е;
= ctg - (ЕЛ - Ф-Ех) - Щ2Е2 -
2^2
= ctg | (lx - ф-^2) - (U3EV - UvEs),
2Е3
ф
= ctg - (U3 - ф-^з) - (UVE2 - U2EV\
у А о,
у А о,
(6.68)
(6.68)
Ф"Е1 = и^ г = 1,2,3, у = 0.(6.69)
Здесь Ф = <р + sip0, Ui = Ui + scy (г = 1,2, 3); Ei = cos I\ (г = 1,2, 3); Гг = 7i + зу? — дуальный угол между осью винтового конечного перемещения твердого тела и связанной координатной осью O2Yi, Г = у + + зу° — дуальный угол между осью винтового конечного перемещения твердого тела и осью мгновенного кинематического винта U твердого тела.
Уравнения (6.67), (6.68) при ср ^ 0 и (6.67), (6.69) при ср = О образуют (при заданных проекциях Ui(t) (г = 1,2,3) кинематического винта твердого тела на связанные координатные оси) системы четырех нелинейных, в общем случае нестационарных дифференциальных уравнений относительно дуальных переменных Ф и Ei (г = 1,2,3).
При этом уравнения (6.68) имеют первый дуальный интеграл
Ef + Д2+ ^з = 1. (6.70)
Помимо приведенных винтовых кинематических уравнений существуют и другие формы винтовых кинематических уравнений. Так, если для описания движения свободного твердого тела использовать дуальный вектор (винт) конечного винтового перемещения 0 = = 2Е^(Ф/2), то винтовое кинематическое уравнение будет иметь вид
^=0- = ^+1(Е7.0)0 + 1^х0, у^О, (6.71)
а мгновенный кинематический винт твердого тела будет выражаться
через винт конечного перемещения и его первую производную по
времени по формуле
(6.72)(6.72)U = 1 + т©20' + - 0 х ©•
(6.72)
(6.72)
\4/\2
Винтовые кинематические соотношения (6.71) и (6.72) являются дуальными аналогами векторных кинематических соотношений (5.70) и (5.71)
Отметим, что в соотношениях (6.71) и (6.72) производная d &/dt = = 0* является абсолютной производной от винта конечного перемещения 0. Винтовое кинематическое уравнение, использующее локальную производную (dO/dt)^ от винта конечного перемещения 0, получается из уравнения (6.71) при учете равенств d®/dt = (d@/dt)a = (с/0/с/£)л + + U х 0 и имеет вид
(6.73)(6.73)^ = £7+1(17.©)©-Itzx©, у^о.
(6.73)
(6.73)
Это уравнение отличается от уравнения (6.71) знаком перед вторым винтовым слагаемым в правой части уравнения; при этом полагается, что все винты, фигурирующие в этом уравнении, определены своими проекциями в связанном базисе.
Другим винтовым кинематическим уравнением движения свободно
го твердого тела является уравнение, использующее в качестве пере
Ф = ФЕ,Ф = ФЕ,(6.74)(6.74)менной винт
Ф = ФЕ,
Ф = ФЕ,
(6.74)
(6.74)
объединяющий собой винтовую пару (Ф,Е), являющуюся дуальным аналогом эйлеровой пары (^,е).
Для получения этого уравнения продифференцируем выражение (6.74) по времени и подставим в полученное выражение соотношения (6.63) и (6.64). В итоге, после преобразований с использованием формулы Ф х (U х Ф) = Ф2U — Ф(Ф* U) для двойного винтового произведения, получим винтовое кинематическое уравнение
11 /ФФ\
Ф* = иг-ихФд — 1 - - ctg - Ф х (Ф х U).(6.75)
2Ф2 \22 /
В этом уравнении производная Ф* от винта Ф имеет смысл абсолютной производной. Винтовое кинематическое уравнение, использующее локальную производную от винта Ф и отличающееся от (6.75) поряд-
ком винтовых сомножителей во втором слагаемом правой части этого уравнения, имеет вид
рФ \V & лрФ \V & л= и + ^ Ф X и + A f 1 - 5 ctg 5^ Ф х (Ф X U). (6.76) 2Ф2 у 22 у
рФ \
V & л
рФ \
V & л
Винтовые кинематические уравнения являются нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка относительно винтовых переменных, содержащими особые точки. Вместе с тем, они обладают геометрической наглядностью и компактностью, что позволяет эффективно решать многие задачи кинематики свободного твердого тела и несвободного винтового движения твердого тела.
Структура общего решения и частные случаиинтегрируемости бикватернионного кинематическогоуравнения
Рассмотрим [129] интегрирование первого матричного уравнения
(6.30) винтового движения твердого тела:
2Л* =NUA, A = (A0,AbA2,A3),(6.77)
являющегося матричной формой бикватернионного кинематического уравнения (6.26).
В этом уравнении элементы Ui (г = 1,2,3) дуальной матрицы коэффициентов Nu, имеющей вид второй из матриц (6.31), полагаем известными функциями времени: Ui = Ui(t) = ^(t) + 5щ(£). (Проекции ищ и щ (г = 1,2, 3) вектора и) мгновенной угловой скорости твердого тела и вектора v мгновенной скорости выбранной точки тела (полюса О^ на координатные оси, связанные с телом, могут либо измеряться, либо вырабатываться, например, навигационной системой).
Структура общего решения уравнения (6.77) определяется на основании принципа перенесения Котельникова-Штуди матричным соотношением
Л = N*Xq, Aq = A(to) = (Лоо, Лю, Л2о, Л3о),(6.78)
Ад-Л?-Л2-Л| ^
уу* =^0Л3
Л2-Л3АдAj ’
\Л3*л*-AtАд у
являющимся дуальным аналогом соотношения (5.151).
Здесь матрица N* является матрицантом второго дуального матричного уравнения (6.30).
Применяя принцип перенесения Котельникова-Штуди к другому результату, установленному в подразделе 5.10, касающемуся интегрируемости кинематических уравнений вращательного движения твердого тела (5.150) в параметрах Эйлера, получаем, что уравнение вин-
11 Ю.Н. Челноков
тового движения (6.77) интегрируется в квадратурах в случае, когда мгновенный кинематический винт U твердого тела имеет видtФ1 | Е^дтГНtФ11toтового движения (6.77) интегрируется в квадратурах в случае, когда мгновенный кинематический винт U твердого тела имеет видtФ1 | Е^дтГНtФ11toU = Е(ШРХ¥Х +QicosU = Е(ШРХ¥Х +Qicos+ Qi sin+ Qi sinF^drEH У3 к (6.79)F^drEH У3 к (6.79)
тового движения (6.77) интегрируется в квадратурах в случае, когда мгновенный кинематический винт U твердого тела имеет вид
t
Ф1 | Е^дтГН
tФ11to
тового движения (6.77) интегрируется в квадратурах в случае, когда мгновенный кинематический винт U твердого тела имеет вид
t
Ф1 | Е^дтГН
tФ11to
U = Е(ШРХ¥Х +Qicos
U = Е(ШРХ¥Х +Qicos
+ Qi sin
+ Qi sin
F^drEH У3 к (6.79)
F^drEH У3 к (6.79)
Здесь Уу (г = 1,2,3) — единичные винты связанной системы координат У; Pi = pi + sp®, Q\ = q\ Г sq®, Ф1 = ф\ + зф^ Н = р + sp° — некоторые дуальные постоянные; F(t) = f(t) + зф°фф — произвольная дуальная функция времени, ограниченная и интегрируемая на рассматриваемом отрезке времени [Ч,^]-
Кинематическому винту (6.79) соответствует вектор мгновенной угловой скорости вращения твердого тела (5.161):
ш = №) [Р1У1 + 91 cos ф'Ч)у2 + 91 sin -ф'Ч)Уз\,(6.80)
и вектор мгновенной скорости полюса О2 тела
v = a(t)yx + \b(t) cos ф\ф - сфф sin ^'(t)^ у2+
+ \b(t) sin?//(£) + c(t) cos ?//(£)] y^,(6.81)
где
ЛИ = Р1Ж + P1F4Y b(t) = q^KC + q\f4F
F dT^-фу | /°(т) dr+rf j, -ф'Ч^-фх | /(t) dr+y, toto/to
yi (г = 1,2,3) — единичные векторы связанной системы координат У.
Общее решение уравнения (6.77) для кинематического винта (6.79) выражается соотношением (6.78), в котором элементы Л* (j = 1,2,3) матрицы N* имеют вид
ФК Р1+Ф1 . Ф . К ло =cos - cos -+и+sin -sin
Р]+Ф]Ф. К. Фк
Л1 =——— cos—sin — - sin —cos —,(6.82)
Су/й/й/й/й
Л2 = С08У + Н) sm Лз = й+ sm( 2+Н) sm 2"’
ггг1 V2
Ф = Ф1 Е^йт, К = Р+ Е^йт, U^ = (Pi +Ф1)2 + Qf •
Это общее решение является дуальным аналогом решения (5.151), (5.160) уравнения (5.150).
Частными случаями рассмотренного случая интегрируемости уравнения (6.77) винтового движения твердого тела являются следующие.
Кинематический винт U твердого тела совершает относительно связанного базиса коническое движение. Этот случай будет иметь место, если в выражении (6.79) для кинематического винта положить F= 1, Н = 0. Тогда
U = PXYXFQX со8(Ф!^ - to))V2 + Qx sin(^i(t; - to))Y3.(6.83)
Вектор мгновенной угловой скорости вращения твердого тела имеет в этом случае вид (5.166):
ш = Р1У] + 91 соз(^1 Ч - to))y2 + 91 8т(^1 Ч - t04y3,(6.84)
а вектор мгновенной скорости полюса О2 тела следующий вид:
v = p°\yv + [9? cos(4i4 - to4 - qi4°4 - to) sin(4i4 - to4]yi+
+ [9°sin(^i(t - t04 + 91Ч1Ч - to)cos(4v4 - ЧУ^Уз- (6.85)
Для получения общего решения уравнения (6.77) в этом случае в соотношениях (6.82) следует положить F = 1, Н = 0. Имеем
ФКР1+Ф1. Ф.К
Ло =cos - cos -+и+sin -sin-,
.,WiФ. К. ФК
Л1 =——— cos—sin —-sin —cos—,(6.86)
.» Qi Ф • К Qx . Ф . К
A2 = ^cos-sm-, Л3 = — sm-sin-,
ф = Ф1(^-у, к = иЩ-1о\ u+ = Щх + ф,)2 + ^].
Кинематический винт U твердого тела сохраняет свое положение в связанной системе координат неизменным, изменяясь по модулю. Выражение кинематического винта в этом случае получается из (6.79) при Ф1 = 0:
U = F(t)(Px Yx + Qx cosHY2 + Qx 8шЯУ3).(6.87)
Этому мгновенному кинематическому винту соответствует вектор мгновенной угловой скорости твердого тела, имеющий вид (5.163):
ы = УЧУР1У\ +91 cospy2 + 91 sin уу3),(6.88)
и вектор мгновенной скорости полюса О2 тела
v = a(t)yx + (b(t) cos р - c(t) sin p)y2 + (b(t) sin p + c(t) cos p)y%, (6.89) где
ЛИ =Pif4) + Р1ГЧУ ьч^дПЧНдхГЧУ 44 = уЛИЧУ
Рассмотрим подробнее условия, накладываемые на векторы ш и v, при выполнении которых кинематический винт U твердого тела сохраняет свое положение в связанном базисе неизменным, но может изменять свой модуль.
п*
Дуальные направляющие косинусы винта U в осях связанного базиса в рассматриваемом случае постоянны:
cos В^ = Ui/U = Ci = Ci + sc® = const, г = 1,2, 3. (6.90) Здесь Ci (г = 1,2,3) — дуальные постоянные, которые могут быть выражены через дуальные постоянные Рх, Qi, Н; Ci и с ° — вещественные постоянные, которые могут быть определены через постоянные рх, qx, ту р®, q®, р°.
Сопоставляя соотношения (6.90) и (6.13), находим
с = ш-Хш, с° = со = |о;| 0. (6.91)
Здесь с и с° — неизменные в связанной системе координат векторы, проекции которых на оси этой системы координат равны величинам Ci и с® (г = 1,2,3) соответственно.
Умножая обе части второго уравнения (6.91) скалярно на вектор ш, найдем с°- ш = 0. Так как в общем случае |г°| ^ 0 и |о;| ^ 0, то отсюда следует, что векторы с° и и) перпендикулярны.
Построим вектор
сс-1 v = с° + /1, /1 = cj-3(gj • v) ш.
Вектор с° постоянен по величине и сохраняет свое направление в связанном базисе неизменным. Вектор /1 постоянен в этом базисе по направлению, но переменен по модулю. Годографом вектора m-1v является прямая линия, параллельная вектору и) и лежащая в плоскости, образованной векторами с° и р (или cj). Эта плоскость неподвижна относительно связанной системы координат. Вектор v, совпадающий по направлению с вектором cc-1v, в общем случае меняет свою ориентацию относительно связанной системы координат.
Таким образом, для того, чтобы кинематический винт U твердого тела сохранял свое положение в связанной системе координат неизменным, но мог меняться по модулю, необходимо и достаточно, чтобы вектор cj мгновенной угловой скорости сохранял свое направление в связанной системе координат неизменным, т. е. чтобы выполнялось первое равенство (6.91), и чтобы вектор v мгновенной скорости полюса Os тела удовлетворял второму уравнению (6.91), в котором с° — некоторый постоянный в связанной системе координат вектор, перпендикулярный вектору ш (или с\ Годограф вектора cc-1v представляет собой в этом случае прямую, параллельную вектору ш, а вектор v, в отличие от вектора сщ может менять не только свой модуль, но и направление по отношению к связанному базису.
Отметим, что для выполнения условий (6.91) достаточно, чтобы векторы w и v сохраняли свою ориентацию в связанном базисе неизменной, а их модули были бы прямо пропорциональны. Выражения векторов ю и v для этого частного случая получаются из формул (6.88), (6.89) при f (t) = f°(t) и имеют вид
Ш = /№(Р1У1 + 91 «>sqy2 + 91 Sin^3),
v = /(0 [(Pi +Р1)У1 + ((91 + 9?) COS??-gi?70 sin 77)1/2++ ((9i +9°) sin 77+ 9117° cos 77)1/3].
Общее решение уравнения (6.77) для кинематического винта (6.87) выражается матричным соотношением (6.78). Дуальные элементы Л* (у = 1,2,3) матрицы 7V* входящей в это соотношение, получаются из формул (6.82) при Ф1 = 0.
Это общее решение может быть представлено в виде следующего матричного соотношения:
= Ecosf - j U(t) dT \ + U-XNU sin( - j U(t) dr \K(to), (6.92) toto
являющегося дуальным аналогом формулы (5.165).
Фигурирующие в соотношении (6.92) комплексный модуль U кинематического винта и его дуальные ортогональные проекции Ui (г = = 1,2,3), являющиеся элементами матрицы Nu, могут быть выражены в соответствии с (6.6), (6.8) через проекции ищ и Di векторов ш и v на связанный базис:
U = со +• v), Ut = ищ + svi, г =1,2,3,
и? = Uo\ + 00% + UO^, CO -V = U0\D\ + UO^ + OO3D3. (6.93)
Величины U и Ui (г = 1,2,3) в рассматриваемом случае могут быть также выражены в соответствии с (6.87) через дуальную функцию времени F(t) и дуальные постоянные Р\, Qi, Н.
Переходя от дуальных величин к вещественным, получаем, что вещественные параметры Эйлера, характеризующие ориентацию твердого тела в опорном базисе, в рассматриваемом случае определяются установленными выше соотношениями (5.151), (5.164):
А = п*Ао, Ло = A(to) = (Лоо, Аю, А20, А30),(6.94)
pS -а? -л2 -Аз \
* =— ^2'
Л2
Рз ^2
/1 tх/1А
Aq = cos [ - [ щ(т) б/т ), А* = — sin ( - [ Цт) с/т ), г = 1,2, 3, (6.95) \ 2 J у со \ 2 J у toto
ш2 = ш, + ш2 + ^3,Ш1=Р1/Ч), ш2 = 9i/(£)cos?7, ш3 = 91/(0 sin77.
Моментные части AJ* дуальных параметров Л^ (j = 1,2,3) Эйлера, характеризующие поступательное движение твердого тела, имеют вид
< = -|+°sin|,(6.96)
X®* =-<р°ш ^cos^+jo; хПг—ш 3(cj-v)^] sin^, г =1,2,3, tt
= j Ш(Т) &г Г° = | ^^Ч^^М * V(T)] ^т-(6.97)
toto
В векторной записи вторая группа скалярных формул принимает ВИД
Л°* = - ф°ш-Х cos ^ ш + sin ^ p^v - cj-3(gj • v) cj] .
Пользуясь первой формулой (6.20) и бикватернионным аналогом матричной формулы (6.78), найдем, что
гу =гоу + 2Л*оЛ°*.(6.98)
Здесь гоу — отображение вектора ro = r(to) на связанный базис; Л*, А°* — кватернионы, компонентами которых являются величины X* и Vf 0 = 1,2,3).
Как следует из соотношений (6.95), (6.96), векторные части кватернионов Л* и А°* определены в связанном базисе. В этом же базисе определены отображения Гу и гоу. Поэтому орты iy /2, ^з гиперкомплексного пространства можно совместить с ортами связанного базиса. Равенство (6.98) при этом перейдет (при замене в нем кватернионного умножения на операции векторной алгебры) в обычное векторное. Преобразуя его с учетом выражений (6.95), (6.96), получим
г = го + ио 1 sin ф v + иог = го + ио 1 sin ф v + ио— ш 2(cj • v) sin ф— ш 2(cj • v) sin фио 4" 2иио 4" 2и-2 • 2Sin X-2 • 2Sin X
г = го + ио 1 sin ф v + ио
г = го + ио 1 sin ф v + ио
— ш 2(cj • v) sin ф
— ш 2(cj • v) sin ф
ио 4" 2и
ио 4" 2и
-2 • 2
Sin X
-2 • 2
Sin X
Эта формула с учетом соотношений (6.91) может быть представлена
в видев видег = г о + ф°с + sin ф с° + 2 sin21 с° х бг = г о + ф°с + sin ф с° + 2 sin21 с° х б(6.99)(6.99)
в виде
в виде
г = г о + ф°с + sin ф с° + 2 sin21 с° х б
г = г о + ф°с + sin ф с° + 2 sin21 с° х б
(6.99)
(6.99)
с = и) 1cj, с° = и) *v - О) Ч^'^^Г СО = |w| Ф 0.
Таким образом, движение твердого тела в случае, когда его кинематический винт U сохраняет свое положение в связанном базисе неизменным, изменяясь по модулю, описывается уравнениями (6.94), (6.95), (6.99), (6.97).
Изложенные в этом подразделе случаи интегрируемости кинематических уравнений винтового движения твердого тела рассмотрены автором в [129]. Их изучение представляет не только теоретический, но и практический интерес, поскольку полученные решения могут быть использованы для построения численных алгоритмов определения ориентации и местоположения твердого тела по мгновенной или интегральной информации о проекциях векторов угловой и линейной скоростей тела на связанные с ним координатные оси.
Новая концепция теории устойчивостии управления движением твердого телаи устойчивость решений кинематических уравненийвинтового движения
Новая концепция теории устойчивости и управления движением твердого тела, основывающаяся на теоремах Эйлера- Даламбера и Шаля. Прежде чем перейти к рассмотрению устойчивости решений кинематических уравнений винтового движения твердого тела, остановимся на новой концепции теории устойчивости и управления движением твердого тела [159, 162], основывающейся на теоремах Эйлера-Даламбера и Шаля и использующей идеи, высказанные А.Ю. Ишлинским в его работе [43]. В этой работе А.Ю. Ишлинский рассмотрел в новой геометрической постановке (с помощью теории конечных поворотов твердого тела) устойчивость решения дифференциальных уравнений основной задачи инерциальной навигации, имеющих (при движении объекта по земной сфере) форму кинематических уравнений углового движения твердого тела в углах Эйлера-Крылова (см. уравнения (5.13) или (5.18)). В этой постановке близость двух местоположений объекта на земной сфере (возмущенного и невозмущенного) характеризуется не близостью трех соответствующих углов Эйлера- Крылова, а малостью эйлерова угла конечного поворота платформы, стабилизированной в азимуте, при перемещении несущего ее объекта из одного положения (невозмущенного) в другое (возмущенное).
В этой же работе А.Ю. Ишлинский предложил проводить исследование устойчивости решения дифференциальных уравнений более общей задачи инерциальной навигации, имеющих форму кинематических уравнений движения свободного твердого тела (уравнений вида (6.1), (6.4), (6.5)), в новой геометрической постановке с использованием винтового описания движения трехгранника, связанного с движущимся объектом. Использование этих новых постановок в рассмотрении устойчивости решений кинематических уравнений инерциальной навигации делает это рассмотрение весьма простым, а результаты, полученные при этом А.Ю. Ишлинским, отличаются геометрической наглядностью и красотой.
Эти идеи А.Ю. Ишлинского могут быть использованы для новой постановки общей (динамической) задачи об устойчивости движения твердого тела, приводящей к формулировке новой концепции изучения устойчивости движения и построения стабилизирующего управления движением твердого тела. Эта концепция основывается на фундаментальных теоремах теоретической механики Эйлера-Даламбера и Шаля о конечных перемещениях твердого тела и новых дифференциальных уравнениях возмущенного движения твердого тела, построенных с помощью теории конечных перемещений твердого тела.
Предлагаемая концепция включает в себя [159, 162]: 1) новые условия устойчивости невозмущенного движения твердого тела, позволяющие судить об устойчивости движения твердого тела на основе анализа поведения лишь части переменных (двух из шести в случае углового движения и четырех из двенадцати в случае общего пространственного движения твердого тела), описывающих движение твердого тела; 2) кватернионные и бикватернионные дифференциальные уравнения возмущенного движения твердого тела, а также дифференциальные уравнения возмущенного углового движения твердого тела в переменных «эйлеров угол поворота — параметры ориентации эйлеровой оси поворота» и дифференциальные уравнения возмущенного движения свободного твердого тела в переменных «дуальный эйлеров угол поворота — дуальные параметры положения оси винтового конечного перемещения», получаемые в соответствии с теорией конечных перемещений твердого тела; 3) построенные на основе этих уравнений возмущенного движения новые кватернионные и бикватернионные законы стабилизирующего управления, обеспечивающие асимптотическую устойчивость в большом или в целом любого выбранного программного (невозмущенного) движения твердого тела и желаемые характеристики переходных процессов, а также новые законы стабилизирующего управления, обеспечивающие асимптотическую устойчивость в большом невозмущенного движения твердого тела по эйлерову вещественному или дуальному углу поворота твердого тела и его первой производной по времени и нужное качество управления по этим переменным.
Рассмотрим, какие новые возможности открывает использование теорем Эйлера-Даламбера и Шаля в теории устойчивости и управления движением твердого тела. Традиционно в теории устойчивости и управления угловым движением твердого тела (например, космического аппарата или самолета) в качестве кинематических параметров используются углы Крылова: рыскание ф, тангаж ^, крен у. В последнее время стали широко использоваться параметры Эйлера (Родрига- Гамильтона) Xj (j = 0, 1,2,3) и кватернионы поворотов. Вместе с тем угловое положение твердого тела в пространстве в соответствии с теоремой Эйлера-Даламбера может характеризоваться парой (у), еф где е — единичный вектор эйлеровой оси поворота, ф — эйлеров угол поворота тела вокруг этой оси.
Решение задач устойчивости и управления угловым движением твердого тела по принципу обратной связи осуществляется на основе дифференциальных уравнений возмущенного движения. В случае использования самолетных углов применяются дифференциальные уравнения возмущенного движения в отклонениях 5ф, 6Д бу. Об устойчивости и о качестве управления угловым движением судят по поведению трех переменных 6ф, 6Д бу и их первых производных по времени бф*, 6$\ бу*. Так, для асимптотической устойчивости установившегося невозмущенного движения в соответствии с теоремой Ляпунова [72] требуется отрицательность вещественных частей шести корней характе-
ристического уравнения, построенного для дифференциальных уравнений первого приближения по переменным бф, 5$, бу, бф*, 5^*, бу*.
В случае использования для описания углового движения переменных ср, е дифференциальные уравнения возмущенного движения необходимо записывать в переменных Ас/;, ед(|ед| = 1), которые являются для текущего момента времени t эйлеровым углом и единичным вектором эйлеровой оси конечного поворота твердого тела относительно его невозмущенного углового положения. При этом об устойчивости движения и о качестве управления в первую очередь говорит поведение переменной Ас/; и ее первой производной по времени Ас/;*. Так, для асимптотической устойчивости невозмущенного углового движения твердого тела необходимо и достаточно выполнение следующих условий для двух скалярных переменных Ас/;, Ас/;*: чтобы имела место устойчивость движения по переменным Ас/;, Ас/;* и чтобы эти переменные стремились к нулю (при t сю), вместо выполнения аналогичных условий для шести переменных бф, 5$, бу, бф*, 5^*, бу*.
Аналогичное имеет место в общем случае устойчивости и управления пространственным движением свободного твердого тела по принципу обратной связи, когда для изучения устойчивости движения и качества управляемого движения вместо изучения поведения двенадцати переменных бф, 5$, бу, бф*, 5^*, бу*, бх, бу, 6z, бх*, бу*, 5z*, характеризующих возмущенные угловое и поступательное движения твердого тела, достаточно изучить в соответствии с теоремой Шаля поведение четырех переменных Ас/;, Ас/;*, Ас/;°, Ас/;0*, характеризующих это же возмущенное движение свободного твердого тела с точки зрения его винтового описания (здесь х, у, z — декартовы координаты выбранной точки твердого тела (полюса), ф, $, у — углы Эйлера-Крылова, характеризующие ориентацию твердого тела; с/; и с/;° — угол поворота и величина поступательного перемещения твердого тела вдоль его оси винтового конечного перемещения).
Отметим следующие особенности предлагаемого подхода к изучению устойчивости и управления движением твердого тела
Возмущения (отклонения) бф, 5$, бу, бх, бу, 5z и бф*, 5^*, бу*, бх*, бу*, 6z* по переменным ф, $, у, х, у, z и ф*, $*, у*, х*, у*, % вводятся обычно в соответствии с концепцией Ляпунова невозмущенного и возмущенного движений аддитивно, т. е. в виде разностей возмущенных и невозмущенных значений этих переменных для текущего момента времени t, в то время как величины Ас/;, ед(АФ,£д) нами вводятся через возмущенные и невозмущенные значения переменных с/;, е(Ф,£) по формулам теории конечных перемещений твердого тела.
Использование теорем Эйлера-Даламбера и Шаля в теории устойчивости и управления движением тесно связано с использованием в этой теории кватернионов и бикватернионов, так как одна из компонент кватерниона поворота А (бикватерниона перемещения А) явным образом связана с эйлеровым углом поворота с/; (дуальным
углом поворота Ф = р + sp°, s2 = 0): Хо = со$(р/2)(До = сов(Ф/2)), а три другие компоненты кватерниона А (бикватерниона Л) характеризуют направление единичного вектора е эйлеровой оси поворота (положение единичного винта Е винтового конечного перемещения) твердого тела в пространстве: Л = sin((/^/2)e, (Л = 8ш(Ф/2)Е). При этом дифференциальные уравнения возмущенного движения твердого тела в переменных Np, ед или АФ, Ед наиболее просто получаются из кватернионных и бикватернионных дифференциальных уравнений возмущенного движения твердого тела, имеющих компактную и симметричную структуру.
С формальной точки зрения изучение устойчивости движения твердого тела по переменным Np, Np* или АФ, АФ* может быть сведено к изучению устойчивости движения по части переменных [107], однако обеспечение устойчивости движения по этим переменным гарантирует устойчивость движения по любой выбранной программной (невозмущенной) траектории с требуемыми угловой или угловой и линейной скоростями, т. е. гарантирует устойчивость движения по всем переменным, характеризующим возмущенное движение (например, устойчивость движения по углам Крылова или параметрам Эйлера).
Изучение устойчивости движения твердого тела по переменным Np, Np* или АФ, АФ* и построение стабилизирующего управления может быть выполнено с помощью методов математического анализа с использованием критериев возрастания, убывания функции на интервале, выпуклости кривой на отрезке.
В соответствии с развиваемой концепцией для решения задач стабилизации углового движения твердого тела новые законы стабилизирующего управления строятся на основе дифференциальных уравнений возмущенного углового движения в переменных «эйлеров угол поворота — параметры ориентации эйлеровой оси поворота» или связанных с ними переменных такими, чтобы имела место асимптотическая устойчивость невозмущенного углового движения твердого тела по эйлерову углу поворота тела и его первой производной по времени, и чтобы переходные процессы по этим переменным обладали нужным качеством. Аналогичное делается для решения задач стабилизации движения свободного твердого тела, с той лишь разницей, что вещественные величины заменяются на дуальные.
Перевод твердого тела из одного положения в другое с помощью одного поворота на вещественный или дуальный эйлеров угол поворота является кратчайшим переводом, поэтому построение управлений, минимизирующих функционал
|[(AH^))2 + (A^W)2] at,
является оптимальным с энергетической и временной точек зрения.
Использование сформулированной концепции устойчивости и управления движением твердого тела расширяет возможности в изучении устойчивости движения твердого тела, позволяет построить новые эффективные законы управления угловым и орбитальным движениями твердого тела.
Среди задач, эффективно решаемых с использованием новой концепции теории устойчивости и управления движением твердого тела, отметим задачи переориентации орбиты космического аппарата и задачи построения оптимальных программных и стабилизирующих управлений угловым движением космического аппарата, рассматриваемого как твердое тело.
Устойчивость решений кинематических уравнений винтового движения. Рассмотрим [134] задачу устойчивости решений кинематических уравнений винтового движения твердого тела (6.30) или (6.77) в дуальных параметрах Эйлера по отношению к начальным условиям в постановке, предложенной А.Ю. Ишлинским в работе [43] (в этой работе рассматривается другая форма кинематических уравнений движения свободного твердого тела, имеющая вид уравнений (6.1), (6.4), (6.5)).
Обозначим через Ai частное решение уравнения (6.77), соответствующее начальному условию движения Аю = Ai(^o). Примем его за невозмущенное. Другое частное решение Л2 уравнения (6.77), отвечающее начальному условию движения Л20 = Л2(^о), примем в качестве возмущенного.
Винт конечного перемещения 01 характеризует собой невозмущенное движение связанного с твердым телом базиса У относительно опорного базиса X, а винт конечного перемещения 02 — возмущенное. В соответствии со сказанным имеем такую схему перемещений:
Здесь Ун — невозмущенное положение базиса У, а Ув — возмущенное; 0д — винт конечного перемещения, характеризующий взаимное положение базисов Ун и Ув; Ai, Ад, Л2 бикватернионы перемещений (или (в векторно-матричных уравнениях) четырехмерные векторы-столбцы компонент этих бикватернионов (дуальных параметров Эйлера)), соответствующие винтам конечных перемещений ©i, 0д, 02.
Для ответа на вопрос об устойчивости решений уравнения (6.77) необходимо установить, как меняется с течением времени винт 0д.
Конечное перемещение 02 является результирующим последовательности конечных перемещений 01 и 0д. Компоненты Л^ (j = = 1,2,3) бикватерниона перемещения Л2 одинаковы в базисах X и Ув, а компоненты Л^- (j = 1,2,3) бикватерниона перемещения Ai — в базисах X и Ун. Компоненты Ад? бикватерниона перемещения Ад будем определять в опорном базисе X. Воспользовавшись матричной
формулой (3.44) сложения двух конечных перемещений, определенных в одном координатном базисе (X), находим
А 2 = Л1Лд = Л7дЛ1,А 2 = Л1Лд = Л7дЛ1,(6.100)(6.100)
А 2 = Л1Лд = Л7дЛ1,
А 2 = Л1Лд = Л7дЛ1,
(6.100)
(6.100)
где Xi и Мд — бикватернионные матрицы типов N и М, сопоставляемые винтам конечных перемещений 01 и 0д; Л2, Ад, Ai — векторы- столбцы, составленные из соответствующих дуальных параметров Эйлера A2j, Лд^, Aij.
Из (6.100) получаем .
v 77Ад = N{X2.(6.101)
В силу соотношения (6.78)
Ai = Х*Лю -Nx = N*NXy Л2 = Х*Л20.
Подставляя эти равенства в соотношение (6.101), получаем
Ад = А^Лго = const ~ Ад = А^А20 ~ Мд = МгоМ^. (6.102)
Подчеркнем, что здесь элементы Л^(£о) и A2j(to) U = 1,2, 3) матриц TVio (Мю) и А2о(А2о, М20), являющиеся компонентами бикватернионов перемещений Лю = Ai(to) и Л20 = Л2(^о), заданы в опорном базисе X.
Из формулы (6.102) следует, что винт конечного перемещения 0д является постоянным в опорном базисе X на протяжении всего времени движения твердого тела и зависит только от начальных условий движения. Следовательно, дуальный угол поворота базиса Ув относительно Ун и дуальные направляющие косинусы оси этого перемещения в опорном базисе в любой текущий момент времени t остаются неизменными, равными своим значениям в начальный момент времени Гу Это говорит об устойчивости (неасимптотической) решений кинематических уравнений винтового движения твердого тела по отношению к начальным условиям движения.
Полученный вывод согласуется с результатами, установленными А.Ю. Ишлинским геометрическим путем с помощью теоремы о переставимости двух конечных перемещений твердого тела [43] (в этой работе, как уже отмечалось, рассматривается другая форма кинематических уравнений движения свободного твердого тела). Отметим, что вопрос об устойчивости решений кинематических уравнений винтового движения (т. е. уравнений движения свободного твердого тела) является одним из наиболее существенных вопросов, возникающих при рассмотрении общих уравнений инерциальной навигации [43, 44].
Покажем, что дифференциальные уравнения возмущенного винтового движения твердого тела интегрируются в квадратурах.
Вводя матрицу-столбец
АЛ = Л2-Л1,(6.103)
заданную своими элементами в базисе X, из уравнения (6.77) получаем
следующее матричное уравнение возмущенного винтового движения
твердого тела:твердого тела:2АЛ* = ЛПАЛ.2АЛ* = ЛПАЛ.(6.104)(6.104)
твердого тела:
твердого тела:
2АЛ* = ЛПАЛ.
2АЛ* = ЛПАЛ.
(6.104)
(6.104)
Из равенств (6.100), (6.103) находим
(6.105)(6.105)АЛ = (Мд -Е)АЬ
(6.105)
(6.105)
Подставляя в уравнение (6.104) выражение (6.105) и учитывая, что Мд = const, a 2Л[ = NUX\, убеждаемся, что оно обращается в верное тождество.
Таким образом, уравнение (6.104) возмущенного винтового движения твердого тела интегрируется в квадратурах и его общее решение
имеет видимеет видАЛ = (МзоМ^ - S)AbАЛ = (МзоМ^ - S)Ab
имеет вид
имеет вид
АЛ = (МзоМ^ - S)Ab
АЛ = (МзоМ^ - S)Ab
Это решение можно также представить в другом виде: АА = N* ААд, АЛо = Л20 — Лю,
где N* — нормированная интегральная матрица системы (6.77).
Изложенные в этом пункте вопросы рассмотрены автором в [134].
Теорема Гамильтона-Ишлинского о телесномугле и ее обобщение на неголономноепространственное движение твердого тела
Теорема Гамильтона-Ишлинского о телесном угле. Одной из замечательных теорем кинематики твердого тела, имеющей важные приложения в инерциальной навигации и гироскопической технике, является теорема о телесном угле [33, 34, 40, 44, 172, 175]. Эта теорема, отражающая важные геометрические свойства углового движения твердого тела при наличии неголономной связи, впервые была сформулирована У. Р. Гамильтоном и строго доказана А.Ю. Ишлинским [40, 44]. Рассмотрим эту теорему.
Пусть с твердым телом жестко связана система координат xyz. И пусть тело движется так, что проекция шг вектора угловой скорости тела на связанную с ним ось z во все время движения остается равной НуЛЮ./ х ~тех
(6.106)
Это равенство может рассматриваться как уравнение неголономной связи, наложенной на твердое тело, так как проекция ш% угловой скорости твердого тела может быть выражена через углы Эйлера-Крылова, характеризующие угловое положение тела, и их первые производные по времени. Наличие этой связи обусловливает важные геометрические свойства соответствующего движения твердого тела, составляющие содержание теоремы о телесном угле. Опишем эти свойства, следуя работе А.Ю. Ишлинского [44] (при этом используем обозначения, принятые в этой работе).
Пусть ось z твердого тела совершает коническое движение, при котором одна из точек оси неподвижна, а какая-либо другая ее точка описывает на некоторой невращающейся сфере S с центром в первой точке какую-либо замкнутую сферическую кривую (рис. 6.4 а, [44]).
Рис. 6.4
Обозначим через F площадь области на сфере, ограниченную этой кривой. А.Ю. Ишлинский доказал, что при возвращении оси z в исходное положение ^о твердое тело вместе со связанной с ним системой координат xyz в исходное положение x^zq не возвращается, а приходит в некоторое новое положение x\y\Z\ (см. рис. 6.4а), повернутое относительно системы координат x^y^z^ вокруг оси zq(z) на угол %, связанный с точностью до знака с величиной площади F простым соотношением: р
(6.107)
в котором R — радиус сферы S.
Отношение, стоящее в правой части последнего равенства, является мерой телесного угла Q, под которым видна упомянутая сферическая область из центра сферы S или, что то же самое, мерой телесного угла конуса, описываемого осью z тела в своем движении. Отсюда следует, что имеет место формула [441:
Х = ^ (6.108)
определяющая поворот твердого тела вокруг его оси z в результате замкнутого углового движения этой оси. Эта формула является математической записью теоремы о телесном угле.
Таким образом, отсутствие проекции угловой скорости твердого тела на какую-либо связанную с ним ось еще не гарантирует отсутствия конечного поворота тела вокруг этой оси после ее возвращения в исходное положение. Из этого, отмечает А.Ю. Ишлинский [44], следует, что одноосные гиростабилизаторы могут успешно применяться для фиксации направлений в горизонтальной плоскости лишь при условии сохранения на движущемся объекте вертикальной ориентации оси внешнего кольца стабилизатора.
Приведем доказательство равенства (6.108), предложенное А.Ю. Иш- линским [40, 44], для того чтобы в дальнейшем распространить его на более общее неголономное пространственное движение твердого тела.
dv . dф—- + sin р) —.dv . dф—- + sin р) —.(6.109)(6.109)Введем невращающуюся систему координат ^у^ с началом в центре сферы S (рис. 6.4 б [44]). Пусть ось z твердого тела совершает произвольное движение, проходя, однако, все время через центр сферы. Обозначим через ^ и ус полярные координаты точки пересечения этой оси со сферой S. Здесь ус — угол между осью z и ее проекцией £i на координатную плоскость ^у, а ^ — угол между этой проекцией и осью неизменного направления £. Так как поступательное перемещение твердого тела для рассмотрения кинематики его углового движения несущественно, поместим начало системы координат xyz, связанной с твердым телом, в точку пересечения оси z со сферой S. Построим далее вспомогательную подвижную систему координат enz с началом в той же точке пересечения. Ось п этой системы лежит в плоскости z(, или, что то же самое, в плоскости £i£, а ось е к ней перпендикулярна. Введем угол между осями е и х или равный ему угол между осями тг и у. Проекция вектора абсолютной (т. е. по отношению к невращаю- щейся системе координат ^уО угловой скорости твердого тела на ось z представляется выражением =
dv . dф
—- + sin р) —.
dv . dф
—- + sin р) —.
(6.109)
(6.109)
Однако в рассматриваемом случае движения твердого тела последнее выражение равно нулю. Таким образом, равенство
N А/СИЛА
эквивалентное равенству (6.106), является аналитическим представлением (уравнением) неголономной связи, наложенной на угловое движение твердого тела.
Из равенства (6.110) имеем
di9 = - sin ус dф.(6.111)
Угол, на который повернется относительно вспомогательной подвижной системы координат enz система координат xyz, связанная с твердым телом, при перемещении оси z из одного положения в другое определяется в соответствии с последним равенством формулой
^1 - ^о = ~ | sin^d^,(6.112)
где ^о и ^1 — начальное и конечное значения угла ^ между осями е и х\ фо, усо и ^i, ус\ — соответственно начальные и конечные значения полярных координат ф, ус совместного начала систем xyz и enz.
Правая часть формулы (6.112) представляет собой криволинейный интеграл в плоскости (ф, ус) переменных ф и ус. Величина этого интеграла существенно зависит от того, по какой сферической траектории происходит переход начала системы координат xyz (а вместе с ним и начала системы enz) из одного положения в другое, т. е. от вида функциональной зависимости р) = ус(ф), соответствующей каждой из таких траекторий.
Пусть начало системы координат xyz возвращается в исходное положение, описав на сфере замкнутую кривую. Тогда, вводя для этого случая обозначение X = ^1 — ^о, получим формулу [44]:
X = - | sin^d^. (6.113)
В правой части этого равенства находится криволинейный интеграл по контуру замкнутой кривой, расположенный в плоскости (^, р^ переменных ф И р.
Угол х, определяемый формулой (6.113), характеризует изменение ориентации твердого тела в результате замкнутого движения его оси z по конической поверхности (движения начала системы координат xyz по замкнутой кривой на сфере S\
При помощи формулы Грина криволинейный интеграл по контуру замкнутой кривой, присутствующий в формуле (6.113), преобразуется далее А.Ю. Ишлинским в двойной интеграл по области, находящейся внутри этого контура. При этом контур обходится в том направлении, по отношению к которому область находится слева. В результате формула (6.113) принимает вид
X = — | sin р dф = 11 cos р dp dф. (6.114) Однако произведение
Л2 cos р dp dф = dF
представляет собой элемент площади сферы в полярных координатах или, что то же самое, площадь элементарного сферического прямо-
Рис. 6.5Рис. 6.5представляет собой меру телесногопредставляет собой меру телесногоугольника между координатными линиями ф и ф + dф, р и р F dp (рис. 6.5 [44]), стороны которого соответственно равны R cos pdф и Rdp.Поэтому двойной интеграл, стоящий в правой части равенства (6.114), представляет собой частное от деления на Л2 площади F части сферы 8, находящейся внутри замкнутой сферической траектории, описываемой началом системы координат xyz, Однако отношение площади F к квадрату радиуса R как раз и угла Q, под которым эта площадьугольника между координатными линиями ф и ф + dф, р и р F dp (рис. 6.5 [44]), стороны которого соответственно равны R cos pdф и Rdp.Поэтому двойной интеграл, стоящий в правой части равенства (6.114), представляет собой частное от деления на Л2 площади F части сферы 8, находящейся внутри замкнутой сферической траектории, описываемой началом системы координат xyz, Однако отношение площади F к квадрату радиуса R как раз и угла Q, под которым эта площадьвидна из центра сферы. Таким образом, приходим к равенству (6.108):видна из центра сферы. Таким образом, приходим к равенству (6.108):
Рис. 6.5
Рис. 6.5
представляет собой меру телесного
представляет собой меру телесного
угольника между координатными линиями ф и ф + dф, р и р F dp (рис. 6.5 [44]), стороны которого соответственно равны R cos pdф и Rdp.
Поэтому двойной интеграл, стоящий в правой части равенства (6.114), представляет собой частное от деления на Л2 площади F части сферы 8, находящейся внутри замкнутой сферической траектории, описываемой началом системы координат xyz, Однако отношение площади F к квадрату радиуса R как раз и угла Q, под которым эта площадь
угольника между координатными линиями ф и ф + dф, р и р F dp (рис. 6.5 [44]), стороны которого соответственно равны R cos pdф и Rdp.
Поэтому двойной интеграл, стоящий в правой части равенства (6.114), представляет собой частное от деления на Л2 площади F части сферы 8, находящейся внутри замкнутой сферической траектории, описываемой началом системы координат xyz, Однако отношение площади F к квадрату радиуса R как раз и угла Q, под которым эта площадь
видна из центра сферы. Таким образом, приходим к равенству (6.108):
видна из центра сферы. Таким образом, приходим к равенству (6.108):
X =X =sin pdф =sin pdф =cos р dp dф = Q.cos р dp dф = Q.(6.115)(6.115)
X =
X =
sin pdф =
sin pdф =
cos р dp dф = Q.
cos р dp dф = Q.
(6.115)
(6.115)
Обобщение теоремы Гамильтона-Ишлинского на него- лономное пространственное движение твердого тела. Теорема Гамильтона-Ишлинского о телесном угле и ее приведенное доказательство, предложенное А.Ю. Ишлинским, легко переносится с помощью принципа перенесения Котельникова-Штуди на более общий случай неголономного пространственного движения твердого тела.
Пусть твердое тело совершает такое пространственное движение относительно опорной системы координат ^р^, принимаемой за неподвижную, при котором дуальная ортогональная проекция Uz кинематического винта U твердого тела на ось z связанной системы координат xyz во все время движения остается равной нулю:
Uz^ = ^(t) + = 0. (6.116)
Здесь wz и vz — проекции векторов угловой и) и линейной v скоростей твердого тела на связанную с ним ось z.
Аналогично равенству (6.106), равенство (6.116) может рассматриваться как уравнение неголономной связи, наложенной на твердое тело, так как проекция Uz кинематического винта твердого тела может быть выражена через дуальные углы Эйлера-Крылова, характеризующие ориентацию и местоположение тела в системе координат ^р^, и их первые производные по времени. Наличие этой связи обусловливает важные геометрические свойства соответствующего пространственного движения твердого тела, аналогичные рассмотренным свойствам углового движения тела и составляющие содержание теоремы о дуальном телесном угле.
Пусть ось z твердого тела при его движении, удовлетворяющем условию (6.116), описывает в пространстве линейчатую замкнутую поверхность. Тогда при возвращении оси z в исходное положение zq (точнее, при ее совмещении с прямой, на которой лежала ось z в ее исходном положении zq) твердое тело вместе со связанной с ним системой координат xyz в исходное положение x^y^zo не возвращается, а приходит в некоторое новое положение x\y\Z\, повернутое относительно системы координат x^yozo вокруг оси zq(z, zi) на дуальный угол X, определяемый соотношением
х = x + sx° = T = n + sQ°, s2=0, (6.117)
являющимся дуальным аналогом соотношения (6.108).
В этом равенстве х — обычный, ранее введенный угол поворота тела вокруг связанной оси z, у0 — алгебраическая величина поступательного перемещения тела вдоль этой оси, Т — дуальный телесный угол «раздвинутого» конуса, описываемого осью z тела в своем движении (дуальный телесный угол линейчатой замкнутой поверхности, описываемой осью z тела); Q, как и прежде, — обычный телесный угол.
Таким образом, отсутствие проекции кинематического винта твердого тела на какую-либо связанную с ним ось еще не гарантирует отсутствия конечного перемещения тела относительно этой оси после ее совмещения с прямой, на которой лежала эта ось (отметим, что
в этом, более общем пространственном движении твердого тела, начала осей ^i и ^о смещены друг относительно друга на величину у^ф
Формула (6.117) является математической записью теоремы о дуальном телесном угле. Доказательство равенства (6.117) полностью аналогично приведенному доказательству А.Ю. Ишлинского равенства (6.108). Запишем основные уравнения, описывающие геометрические свойства пространственного движения твердого тела при наличии него- лономной связи (6.116).
Обозначим через Ф = ф + зф° и Ф = р + spQ дуальные углы, характеризующие местоположение оси z твердого тела в системе координат ^рф Эти углы являются дуальными аналогами обычных, ранее введенных углов ф, р, характеризующих ориентацию оси z в системе координат ^рф Введем далее вспомогательную подвижную систему координат enz, местоположение которой в системе координат ^р^ характеризуется дуальными углами Ф и Ф. Введем также дуальный угол 0 = ^ + s^° между осями е и х или равный ему дуальный угол между осями п и у (т. е. дуальный угол собственного вращения твердого тела вокруг оси z\ Этот угол является дуальным аналогом ранее введенного угла ^, характеризующего поворот тела вокруг оси ^относительно системы координат enz.
Кинематический винт U описывает мгновенное винтовое движение твердого тела по отношению к неподвижной системе координат фрф Дуальная ортогональная проекция [Д кинематического винта U на ось z связанной системы координат xyz представляется выражением
[7Z = —+81пФ—,(6.118)
dtdt
являющимся дуальным аналогом выражения (6.109).
В рассматриваемом случае движения твердого тела, когда выполняется условие (6.116), из последнего выражения следует равенство
^ + 8шФ^=0,(6.119)
dtdt
являющееся аналитическим представлением (уравнением) неголоном- ной связи, наложенной на пространственное движение твердого тела.
Из этого равенства, в свою очередь, следует дуальный аналог дифференциального соотношения (6.111):
de = -зтФ(Ж(6.120)
Дуальный угол, на который повернется относительно вспомогательной подвижной системы координат enz система координат xyz, связанная с твердым телом, при перемещении оси z из одного положения в другое определяется в соответствии с последним соотношением формулойФьФ1
©1-0о = - | зтФ^Ф,(6.121)
Фо
где 0о и 01 — начальное и конечное значения дуального угла 0 между осями е и х; Фо, Фо и Ф1, Ф1 - соответственно начальные
и конечные значения дуальных углов Ф и Ф (дуальных полярных координат совместного начала систем xyz и enz)-
Правая часть формулы (6.121) представляет собой криволинейный интеграл в плоскости (Ф, Ф) дуальных переменных Ф и Ф.
Пусть ось z твердого тела при его движении, удовлетворяющему условию (6.116), описывает в пространстве линейчатую замкнутую поверхность (совмещается в своем конечном положении с прямой, на которой лежала эта ось в своем начальном положении). Тогда, вводя для этого случая обозначение X = 0i — 0q, получим, используя принцип перенесения Котельникова-Штуди, дуальные аналоги формул А.Ю. Ишлинского (6.115):
X = -ртФ^Ф = ||созФ^Ф^Ф = Т. (6.122) Выделяя в этих формулах главные и моментные части, получаем формулы (6.115) для угла у, характеризующего изменение ориентации твердого тела в результате движения его оси z по линейчатой замкнутой поверхности, и следующие формулы для величины у0 поступательного перемещения твердого тела вдоль его оси z:
у0 = -1 Г° cos Г ^Ф + sin Г(6.123)
у0 = - 11 Г° sin Г ^Ф ^Ф + cos Ф (^Ф ^Ч^ + ^Ф ^Ф^ = ^°-(6.124)
Таким образом, нахождение поступательного перемещения твердого тела вдоль связанной оси z в результате ее движения по линейчатой замкнутой поверхности сводится к вычислению криволинейного интеграла второго рода (6.123) или поверхностного интеграла (6.124). Отметим, что формула (6.124) может быть также получена из формулы (6.123) с помощью формул Стокса и Грина.
Пример неголономного пространственного движения твердого тела. Рассмотрим в качестве примера изучаемого неголономного пространственного движения твердого тела частный случай движения, рассмотренного в параграфе 6.7, когда дуальная ортогональная проекция Их кинематического винта U твердого тела на связанную координатную ось ¥\ во все время движения равна нулю (здесь и далее используются обозначения, принятые в параграфе 6.7):
Ux (ф = шх (ф + sux (ф = 0. (6.125)
В этом случае дуальная постоянная Рх = рх + sp® = 0 и выражение (6.79) для мгновенного кинематического винта U твердого тела прини
t.Ф1|ад </т+н) у3to't.Ф1|ад </т+н) у3to'(6.126)(6.126)мает ВИДt
t.
Ф1|ад </т+н) у3
to'
t.
Ф1|ад </т+н) у3
to'
(6.126)
(6.126)
U = QxF(ф cos (ф1 |^(т) с/т+я) l^+sin
to
Здесь Уг (г = 1,2,3) — единичные винты связанной с твердым телом системы координат ¥ (в п. 6.9.2 эта система координат обозначалась xyz); Qx = qx + sq^, Ф1 = фх + s^, Н = у + srf — некоторые дуальные
постоянные; F(t) = ф^ + sj°(t) — произвольная дуальная функция времени, ограниченная и интегрируемая на рассматриваемом отрезке времени [to, И]-
Кинематическому винту (6.126) соответствует вектор мгновенной угловой скорости вращения твердого тела
v = /№[91 cos-ф'^у^ + q\ sm^’^y^(6.127)
и вектор мгновенной скорости выбранного полюса О^ тела
v = \b(t) cos^W — с^ sin^^t)] f/2 + W) sin^^t) + c^ cos ?//(£)] t/3,где(6.128)
= qAC + qtACh
ttt
A) =9i/W (^? | fM dr + V’l j At) dr+rf^, /(t) = -ф\ | /(t) dr+y, tototo
yi (г = 1,2,3) — единичные векторы связанной системы координат У.
Пусть ось твердого тела Ух описала в пространстве линейчатую замкнутую поверхность и совместилась в своем конечном положении (в конечный момент времени И) с прямой, на которой лежала эта ось в своем начальном положении. Найдем дуальный угол, на который тело повернется вокруг связанной оси Ух в конечный момент времени Н относительно своего начального положения и установим условия, при выполнении которых имеет место интересующее нас неголономное движение твердого тела.
Полагая, что в начальном положении твердого тела его система координат У совпадала с опорной системой координат, получим для рассматриваемого конечного перемещения твердого тела следующие выражения для дуальных параметров Эйлера Kj (j = 1,2,3), характеризующих ориентацию и местоположение твердого тела в опорной системе координат в конечный момент времени t\;
Л1 А) = л* (ti) = sin —, Лз tA = Л3 (ii) = 0, угол поворота тела вокруг связаннойЛ1 А) = л* (ti) = sin —, Лз tA = Л3 (ii) = 0, угол поворота тела вокруг связаннойЛо (й) = Л* (й) = cos у,
Л1 А) = л* (ti) = sin —, Лз tA = Л3 (ii) = 0, угол поворота тела вокруг связанной
Л1 А) = л* (ti) = sin —, Лз tA = Л3 (ii) = 0, угол поворота тела вокруг связанной
Л2 (И) = Л2 (П) = 0,
где X = х + SX° — дуальный
оси У1 в конечный момент времени tx, х — обычный угол поворота тела вокруг оси Ух, а х° — алгебраическая величина поступательного перемещения тела вдоль этой оси.
Из этих выражений и соотношений (6.82) с учетом равенства Рх = = 0 находим: sin^/^K^i)) = 0. Следовательно, для конечного момента времени значение функции K(t) должно быть равно
К(й) = U+ |.F(t) dr = 0, 2тг; U+ = [ф, + Qf] V2 .(6.130)
Из соотношений (6.82) с учетом равенств Pi = 0, sin(1/2K(ti)) = О
, ,Ф^) K(ti). Ф(^)K(t[)
A0(ti) = cos—-A cos——, A](Z1) = - sin—— cos——,
Ф(й) = Ф1 | ^(т) ^-
to
Из этих равенств и равенств (6.129) следует, что
tx
X = -Ф(й) = -Ф1 | F(r)dr.(6.131)
to
Выделяя в этом дуальном равенстве главную и моментную части, получаем выражения для угла х поворота твердого тела вокруг связанной оси У1 и алгебраическую величину х° поступательного перемещения тела вдоль этой оси для конечного момента времени t<.
X = -^1 j /М dr, х° =| T^dr - V1? | f^dr. (6.132)
tototo
Из (6.130) и (6.131) следует, что значение K(ti) = 0 отвечает нулевому значению дуального угла X поворота тела вокруг его оси Уь Поэтому это значение в дальнейшем отбрасываем. С учетом сказанного из (6.130) имеем ti
K(tC = U+ ]>(т) dr = 2тг, U+ = (ф, +Qi)1/2.(6.133)
to
Равенство (6.133) представляет собой условие, накладываемое на дуальную функцию F(t), дуальные постоянные Фь Qi и конечное время t\, при выполнении которого ось твердого тела ¥\ опишет в пространстве линейчатую замкнутую поверхность и совместится в своем конечном положении с прямой, на которой лежала эта ось в своем начальном положении, и при этом дуальный угол поворота тела будет не нулевым. При заданной функции F(t) равенство (6.133) выражает связь между дуальными постоянными Фь Qi и конечным временем t\.
Из (6.133) имеем
^F(t)(1t=I^, U+ = ^X¥Q^/2.(6.134)
to
Выделяя в этом дуальном равенстве главную и моментную части находим ty1/2
м (6135)
(6.136)
Отметим, что условие (^f У^)1/2 ^ 0 выполняется всегда, когда присутствует угловое движение твердого тела.
Равенства (6.135) и (6.136) определяют собой условия, которые при заданных функциях времени ф^ и /°(£) связывают между собой конечное время t\ и вещественные постоянные параметры движения ^ь Ф^ Qr ^? и которые должны выполняться для осуществимости интересующего нас неголономного движения.
Подставляя (6.134) в выражение (6.131), получаем формулу для дуального угла поворота твердого тела:
Х = -Ф(й) = -27г^; (^ + 9?) т^О; (6.137) [7+= (Ф]+Q2)1/2, Ф^^+N?, Qy = qy + sq^.
Выделяя в этом дуальном равенстве главную и моментную части, получаем окончательные формулы для угла х поворота твердого тела вокруг связанной оси У1 и алгебраическую величину у0 поступательного перемещения тела вдоль этой оси:
х = -2тг ^‘.1/2’ (r + q2V СО; (6.138)
Х° = -2тгХ° = -2тгГу(Г^У2Гу(Г^У2V’lV’i +919?(Гу +91)3/2.V’lV’i +919?(Гу +91)3/2.Ц1+91) 7^0. (6.139)Ц1+91) 7^0. (6.139)
Х° = -2тг
Х° = -2тг
Гу(Г^У2
Гу(Г^У2
V’lV’i +919?
(Гу +91)3/2.
V’lV’i +919?
(Гу +91)3/2.
Ц1+91) 7^0. (6.139)
Ц1+91) 7^0. (6.139)
Отметим, что дуальный угол поворота твердого тела X не зависит явным образом от дуальной функции времени F(t), поэтому и вещественный угол поворота х и величина поступательного перемещения тела х° не зависят явно от вещественных функций времени J(t) и ф0^). Однако следует иметь в виду, что дуальная функция F(t) входит в условие (6.133) или (6.134), а вещественные функции J(t) и J°(t) — в условия (6.135) и (6.136), накладываемые на необходимые постоянные параметры движения и конечное время t\.
Итак, если твердое тело движется так, что дуальная ортогональная проекция U\ кинематического винта U твердого тела на связанную координатную ось У\ во все время движения равна нулю и если закон изменения мгновенного кинематического винта во времени имеет вид (6.126), то после того, как ось твердого тела У\ опишет в пространстве линейчатую замкнутую поверхность (совместится в своем конечном положении с прямой, на которой лежала эта ось в своем начальном положении), твердое тело повернется вокруг связанной оси У\ относительно своего начального положения на дуальный угол X, определяемый формулой (6.137). При этом обычный угол х поворота твердого тела вокруг связанной оси У\ и алгебраическая величина у0 поступательного перемещения тела вдоль этой оси определяются формулами (6.138) и (6.139).
Для винтового конического движения твердого тела фукция F(t) = = 1, а дуальная постоянная Н = 0. В этом случае из условия (6.133)
следует, чтоследует, чтои^(фх — ^о) = 2тги^(фх — ^о) = 2тг
следует, что
следует, что
и^(фх — ^о) = 2тг
и^(фх — ^о) = 2тг
Щ + 91+ s л——ypr <ti - to) = 2тг.
Отсюда находим
^1+91) 7 т^О; V’lV'i+919? = 0.
W + 9?)7 V 7
Первое из этих равенств позволяет находить время, через которое ось твердого тела У\ совместится (после того как опишет в пространстве линейчатую замкнутую поверхность) с прямой, на которой лежала эта ось в своем начальном положении, а второе равенство представляет собой условие, накладываемое на требуемые постоянные параметры
движения тела.движения тела.Угол х поворота твердого тела вокруг связанной оси ¥\ и величина у0 поступательного перемещения тела вдоль этой оси в случае винтоУгол х поворота твердого тела вокруг связанной оси ¥\ и величина у0 поступательного перемещения тела вдоль этой оси в случае винтового конического движения тела определяются формуламивого конического движения тела определяются формуламиУ = —2тг уо = _2?г<Ц1+91)’/2’(^1+91)‘/2’У = —2тг уо = _2?г<Ц1+91)’/2’(^1+91)‘/2’(^1 + 91)(^1 + 91)1/21/2^0.^0.
движения тела.
движения тела.
Угол х поворота твердого тела вокруг связанной оси ¥\ и величина у0 поступательного перемещения тела вдоль этой оси в случае винто
Угол х поворота твердого тела вокруг связанной оси ¥\ и величина у0 поступательного перемещения тела вдоль этой оси в случае винто
вого конического движения тела определяются формулами
вого конического движения тела определяются формулами
У = —2тг уо = _2?г<Ц1+91)’/2’(^1+91)‘/2’
У = —2тг уо = _2?г<Ц1+91)’/2’(^1+91)‘/2’
(^1 + 91)
(^1 + 91)
1/2
1/2
^0.
^0.
Приложения теоремы о дуальном телесном угле. Среди важных приложений теоремы о дуальном телесном угле и полученных формул отметим задачи пространственной инерциальной навигации, а также задачи механики пространственных механизмов и роботов- манипуляторов, в особенности механизмов с винтовыми кинемати
ческими парами, в которых непосредственно реализуются повороты на дуальные углы. В этих задачах полученные формулы могут быть использованы для оценки поступательных перемещений движущихся объектов и выходных звеньев механизмов и манипуляторов в случаях, когда они совершают описанные неголономные пространственные движения.
Другим важным примером являются задачи навигации и управления движением, в которых информация о кажущемся ускорении и кажущейся скорости движущегося объекта используется как для целей навигации, так и управления движением.
Вектор а кажущегося ускорения и вектор у кажущейся скорости движущегося объекта связаны дифференциальным соотношением
d*u dtd*u dt+ ио х v = а,+ ио х v = а,
d*u dt
d*u dt
+ ио х v = а,
+ ио х v = а,
где dv/dt и (dv/dt^Y — абсолютная и локальная производные от вектора у (локальная производная вычислена в системе координат У, связанной с движущимся объектом), ио — вектор абсолютной угловой скорости объекта.
В параграфе 6.3 было показано, что рассмотрение уравнений, связывающих абсолютную и локальную производные от любого, интересующего нас вектора, может быть заменено рассмотрением кине-
матических уравнений винтового движения некоторого, определенным образом выбранного (вспомогательного) координатного трехгранника. В нашем случае таким вектором является вектор у кажущейся скорости. Соответствующий вспомогательный координатный трехгранник ¥а вводится следующим образом: его начало располагается в конце вектора у, координатные оси параллельны координатным осям связанного трехгранника ¥. Такой трехгранник движется относительно системы координат Ха, координатные оси которой параллельны осям опорной (неподвижной) системы координат, а начало совпадает с началом системы координат У, с мгновенным кинематическим винтом U*, отображение которого на базис ¥а имеет вид: Uya(t) = шуа^ + saya(t). Отметим, что отображения векторов ш и а на координатные базисы ¥ и ¥а совпадают (в силу параллельности координатных осей ¥^ и ¥ai); и;уа = Шу, ау = ауа.
Нахождение проекций ^t (г = 1,2,3) вектора кажущейся скорости у на оси связанной системы координат У, вращающейся с абсолютной угловой скоростью ио, по известным проекциям ш^ и at (г = 1,2,3) векторов ш и а на оси системы координат ¥ сводится к определению параметров винтового движения вспомогательной системы координат ¥а (например, соответствующих дуальных параметров Эйлера или дуальных углов Эйлера-Крылова).
Если объект движется так, что дуальная ортогональная проекция винта U*
иаХ Ч) = ^i № + sai Ч) = О,
где сщ и ах — проекции векторов ио и а на ось ¥а\, параллельную объектовой оси ¥\, и если ось ¥а\ опишет в пространстве линейчатую замкнутую поверхность (совместится в своем конечном положении с прямой, на которой лежала эта ось в своем начальном положении), то значение Dx(tx) проекции кажущейся скорости объекта на ось Уаь а, следовательно, и на объектовую ось ¥\, будет определяться формулами, аналогичными формулам для поступательного перемещения %0, полученным в этом разделе.
Другими словами, теорема о дуальном телесном угле и все связанные с ней формулы, рассмотренные в этом разделе, могут быть перенесены на задачу об изменении ориентации и кажущейся скорости движущегося объекта. Для этого достаточно в полученных формулах кинематический винт U заменить на винт U*, вектор линейной скорости у — на вектор кажущегося ускорения а, а величину поступательного перемещения у0 — на проекцию кажущейся скорости t)x(tx). Так, если винт U* изменяется в соответствии с законом (6.126) (вектор а тогда будет описываться соотношением (6.128)), то
«1(h) = —2тг«1(h) = —2тгГ _ , V’lV’i +919?
«1(h) = —2тг
«1(h) = —2тг
Ц1+91)’/2'Ц1+91)3/2.
Глава 7
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИЕНТАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛАПО ИЗВЕСТНОМУ ВЕКТОРУ ЕГО УГЛОВОЙ
СКОРОСТИ
В теории управления движением космических, авиационных, наземных и других движущихся аппаратов важное место занимает задача определения ориентации аппарата в инерциальной системе координат по его известной (измеренной) абсолютной угловой скорости. Этой задаче, решаемой отдельно или в составе других задач инерциальной навигации, посвящено большое количество публикаций как теоретического, так и прикладного характера (см., например, работы [5, 8, 9, 11, 17, 20, 21, 36, 39, 66, 71, 85, 87, 93, 98, 114-116, 128, 132, 145, 164]). Задача ориентации, описанная в этом разделе, реализуется в современных системах ориентации космических и аэрокосмических летательных аппаратов, различных наземных и морских автоматически управляемых аппаратов (роботы, подводные лодки и другие).
Эти системы ориентации относятся к так называемым системам аналитического типа, поскольку в них определяющую роль играют вычисления, проводимые на бортовом компьютере в реальном масштабе времени. В этих системах ориентации вместо физического моделирования различных координатных систем, осуществляемого с помощью сложных электромеханических устройств, используется математическое моделирование систем координат на бортовом компьютере.
Постановка задачи определения ориентациитвердого тела в инерциальной системе координат
Во многих современных системах управления движением различного рода движущихся объектов (космических аппаратов, ракет, самолетов, кораблей, наземных экипажей, роботов) ориентация объекта определяется с помощью численного интегрирования на бортовом компьютере в реальном масштабе времени кинематических уравнений абсолютного или относительного вращательного (углового) движения твердого тела по измеренной с помощью гироскопов (или измерителей другой физической природы) абсолютной угловой скорости объекта.
Рассмотрим задачу определения ориентации движущегося объекта, рассматриваемого как твердое тело, в инерциальной системе координат по известному (измеренному) вектору его абсолютной угловой скорости.
Введем в рассмотрение две системы координат:
X'\Х'^Х'з(У') — инерциальная (опорная) система координат с началом в центре масс Земли и с координатными осями, направленными
на удаленные звезды;
У1У2Уз(У) — система координат, жестко связанная с движущимся объектом: начало этой системы координат расположено в одной из точек объекта (например, в его центре масс); ось Ух направлена вдоль продольной оси объекта, Уз — вдоль поперечной, У2 — вдоль нормальной.
Взаимное угловое положение этих систем координат может быть задано с помощью трех углов Крылова ф, ^, ^s, аналогичных углам Эйлера. Эти углы показаны на рис. 7.1 (7 = 7s, система координат X имеет начало в выбранной точке объекта и получена параллельным перемещением системы координат х'\
Отметим, что если Х1Х2^з(Х) — географическая сопровождающая система координат, ось Х2 которой направлена вдоль вертикали, а оси Хх, Х3 лежат в плоско
сти горизонта, причем Хх направлена на север или на какое-то другое выбранное направление, то углы ф, ^, ys называются самолетными: (- ф) — курс, если ось Хх направлена на север, ф — рыскание, если ось Хх направлена на другое выбранное направление; ^ — тангаж, ys —
крен. В дальнейшем эти названия углов будем использовать и в задаче
определения ориентации объекта в инерциальной системе координат.
Обозначим через ш^ (^ = 1,2,3) проекцию вектора из абсолютной угловой скорости объекта на ось У^. Проекции шх, ^2, ^з связаны с углами ф, $, ^8 и их первыми производными по времени t кинематическими уравнениями, имеющими вид (5.18):
#1 ,. ,
"77 = Ф = 4 (^2 COS7s - W3 8Ш78),
atcosv
(7.1)(7.1)о*•
(7.1)
(7.1)
-ТГ = V = ^2 sin 7s + W3 COS7s,
at
^^s = Wi - tg tf Ц2 COS7S - w3 sin7s).
Если проекции ^ = ш^ф?) (k = 1,2, 3) (являются известными функциями времени), то уравнения (7.1) образуют систему нелинейных
нестационарных дифференциальных уравнений третьего порядка относительно переменных ф, ^, ys.
Ориентация объекта в инерциальной системе координат (углы ф, $, 7S) может быть найдена по измеренным с помощью гироскопов величинам uk(t), (к = 1,2,3) в результате непрерывного интегрирования в реальном масштабе времени на бортовом компьютере уравнений (7.1). Однако такой подход к определению ориентации объекта имеет недостатки, обусловленные наличием в (7.1) тригонометрических функций и наличием особых точек = ^тг, 3/2?г, в которых уравнения (7.1) вырождаются. Поэтому в настоящее время часто используется другой подход к определению ориентации объекта, основанный на интегрировании дифференциальных кинематических уравнений в параметрах Эйлера (Родрига-Гамильтона), не имеющих указанных недостатков.
Введем вектор конечного поворота твердого тела 9 = 2еtg(</?/2), характеризующий эйлеров поворот твердого тела в инерциальной системе координат X' (а также в системе координат X) на угол ц) вокруг оси, задаваемый единичным вектором е. Обозначим через 6к (к = 1,2,3) проекции вектора 9 на оси инерциальной системы координат. Если в начальном положении связанная с твердым телом система координат Y совпадала с X, то проекции 9к (к = 1,2,3) будут равны соответствующим проекциям вектора 9 на оси связанной системы координат Y.
Параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона) поворота 9 определяются
соотношениями
11с?
A0 = cos—, Хк = - Х09к = - cos — ek, к =1,2,3,(7.2)
где ек — проекция вектора е на ось Xk(Yk) (направляющий косинус угла между вектором е и осью Xk(Yk)Y
Эти параметры, как и углы Крылова или Эйлера, характеризуют угловое положение твердого тела (объекта) в инерциальной системе координат X'. Отметим, что из четырех параметров Xj (j = 1,2,3) независимых лишь три, так как в силу их определения (7.2) имеет место
равенстворавенствоДо + A? + А2 + А| - 1.До + A? + А2 + А| - 1.(7.3)(7.3)
равенство
равенство
До + A? + А2 + А| - 1.
До + A? + А2 + А| - 1.
(7.3)
(7.3)
Параметры Эйлера могут быть найдены через самолетные углы ф, 7S по формулам (4.11):
л Ф^7s. Ф.^. 7s
До = cos -cos -cos —-sin -sin-sin —,
x . Ф. У7s,Ф^. 7s
Al = sin —sin -cos —+cos —cos-sin —,
222222Ф?4)
A . Ф^7sФ.^. 7s'
A 2 = sin —cos—cos— + cos—sin—sin —,
. Ф.1?7S .^. 7s
A3 = cos -sin-cos— - sin-cos-sin —.
Формулы для нахождения углов ф, $, ys через параметры Xj (j = = 1,2,3) устанавливаются из сопоставления дуальных представлений
(7.5)(7.5)элементов матрицы с направляющих косинусов углов между осями систем координат X (X') и Y через углы ф, t^, ys и параметры Aj. Эти представления имеют вид (в (7.5) у = ys):
(7.5)
(7.5)
с — 11 cv 11 —
/ coscosф— cos 7 sin'# cos ^++ sin 7 sin фsin 7 sin cos ^+у + cos 7 sin ф/ coscosф— cos 7 sin'# cos ^++ sin 7 sin фsin 7 sin cos ^+у + cos 7 sin фsin^cos 7 cos id— sin 7 cos -dsin^cos 7 cos id— sin 7 cos -d— cos id sin ф \ cos 7 sin'# sin ^++ sin 7 cos ф— sin 7 sin'# sin ^++ cos 7 cos ф у— cos id sin ф \ cos 7 sin'# sin ^++ sin 7 cos ф— sin 7 sin'# sin ^++ cos 7 cos ф у
/ coscosф
— cos 7 sin'# cos ^++ sin 7 sin ф
sin 7 sin cos ^+
у + cos 7 sin ф
/ coscosф
— cos 7 sin'# cos ^++ sin 7 sin ф
sin 7 sin cos ^+
у + cos 7 sin ф
sin^
cos 7 cos id
— sin 7 cos -d
sin^
cos 7 cos id
— sin 7 cos -d
— cos id sin ф \ cos 7 sin'# sin ^+
+ sin 7 cos ф
— sin 7 sin'# sin ^+
+ cos 7 cos ф у
— cos id sin ф \ cos 7 sin'# sin ^+
+ sin 7 cos ф
— sin 7 sin'# sin ^+
+ cos 7 cos ф у
C= \\Cij\\ =C= \\Cij\\ =(7.6)(7.6)Ло + ^i — ^2 — Л1 2(AiA2 + A0A3) 2(AiA3 — A0A2) \2(AiA2 — A0A3) Aq — Aj + A2 — A3 2(А2Аз + AqAi) I .у 2(А1Аз + A0A2) 2(А2Аз — AqAi) Aq — A^ — A2 + A3 ]Ло + ^i — ^2 — Л1 2(AiA2 + A0A3) 2(AiA3 — A0A2) \2(AiA2 — A0A3) Aq — Aj + A2 — A3 2(А2Аз + AqAi) I .у 2(А1Аз + A0A2) 2(А2Аз — AqAi) Aq — A^ — A2 + A3 ]Из сопоставления элементов матриц (7.5) и (7.6) получаем следующие формулы для нахождения самолетных углов через параметры Эйлера:Из сопоставления элементов матриц (7.5) и (7.6) получаем следующие формулы для нахождения самолетных углов через параметры Эйлера:ф = arctgф = arctgА0А2 - Ai A3А2 + Af - 0, 5А0А2 - Ai A3А2 + Af - 0, 57S = arctg7S = arctgid = arcsin(2(AiA2 + A0A3)),AqAi - A2A3Aq + A^-O, 5*id = arcsin(2(AiA2 + A0A3)),AqAi - A2A3Aq + A^-O, 5*(7.7)(7.7)Замечание. Строго говоря, для однозначного нахождения самолетных углов через параметры Эйлера и направляющие косинусы существуют специальные алгоритмы [2].Кинематические уравнения вращательного движения твердого тела в параметрах Эйлера (уравнения, связывающие проекции ^ (к = = 1,2,3) вектора и) абсолютной угловой скорости твердого тела на связанные координатные оси с параметрами Эйлера и их первыми производными по времени) имеют вид (5.42):2 —-2 = 2Aq = -ucx(t)Xx - ^2(^X2 ~ ^з(фХз,Замечание. Строго говоря, для однозначного нахождения самолетных углов через параметры Эйлера и направляющие косинусы существуют специальные алгоритмы [2].Кинематические уравнения вращательного движения твердого тела в параметрах Эйлера (уравнения, связывающие проекции ^ (к = = 1,2,3) вектора и) абсолютной угловой скорости твердого тела на связанные координатные оси с параметрами Эйлера и их первыми производными по времени) имеют вид (5.42):2 —-2 = 2Aq = -ucx(t)Xx - ^2(^X2 ~ ^з(фХз,2-^ = 2А1 = шх(t)Ao + шз(фХ2 — Ш2(фХз,2=2А2=^(^)Ао—сизффХх+сох (t)Xs,2 -^ = 2А3 = а)з(фХо + a)2(t)Xx — шх (t)X2-2-^ = 2А1 = шх(t)Ao + шз(фХ2 — Ш2(фХз,2=2А2=^(^)Ао—сизффХх+сох (t)Xs,2 -^ = 2А3 = а)з(фХо + a)2(t)Xx — шх (t)X2-(7.8)(7.8)Эти уравнения образуют систему линейных нестационарных дифференциальных уравнений четвертого порядка относительно переменных Xj (j = 1,2,3). В отличие от уравнений (7.1) они линейны и не имеютЭти уравнения образуют систему линейных нестационарных дифференциальных уравнений четвертого порядка относительно переменных Xj (j = 1,2,3). В отличие от уравнений (7.1) они линейны и не имеют
C= \\Cij\\ =
C= \\Cij\\ =
(7.6)
(7.6)
Ло + ^i — ^2 — Л1 2(AiA2 + A0A3) 2(AiA3 — A0A2) \2(AiA2 — A0A3) Aq — Aj + A2 — A3 2(А2Аз + AqAi) I .
у 2(А1Аз + A0A2) 2(А2Аз — AqAi) Aq — A^ — A2 + A3 ]
Ло + ^i — ^2 — Л1 2(AiA2 + A0A3) 2(AiA3 — A0A2) \2(AiA2 — A0A3) Aq — Aj + A2 — A3 2(А2Аз + AqAi) I .
у 2(А1Аз + A0A2) 2(А2Аз — AqAi) Aq — A^ — A2 + A3 ]
Из сопоставления элементов матриц (7.5) и (7.6) получаем следующие формулы для нахождения самолетных углов через параметры Эйлера:
Из сопоставления элементов матриц (7.5) и (7.6) получаем следующие формулы для нахождения самолетных углов через параметры Эйлера:
ф = arctg
ф = arctg
А0А2 - Ai A3
А2 + Af - 0, 5
А0А2 - Ai A3
А2 + Af - 0, 5
7S = arctg
7S = arctg
id = arcsin(2(AiA2 + A0A3)),
AqAi - A2A3
Aq + A^-O, 5*
id = arcsin(2(AiA2 + A0A3)),
AqAi - A2A3
Aq + A^-O, 5*
(7.7)
(7.7)
Замечание. Строго говоря, для однозначного нахождения самолетных углов через параметры Эйлера и направляющие косинусы существуют специальные алгоритмы [2].
Кинематические уравнения вращательного движения твердого тела в параметрах Эйлера (уравнения, связывающие проекции ^ (к = = 1,2,3) вектора и) абсолютной угловой скорости твердого тела на связанные координатные оси с параметрами Эйлера и их первыми производными по времени) имеют вид (5.42):
2 —-2 = 2Aq = -ucx(t)Xx - ^2(^X2 ~ ^з(фХз,
Замечание. Строго говоря, для однозначного нахождения самолетных углов через параметры Эйлера и направляющие косинусы существуют специальные алгоритмы [2].
Кинематические уравнения вращательного движения твердого тела в параметрах Эйлера (уравнения, связывающие проекции ^ (к = = 1,2,3) вектора и) абсолютной угловой скорости твердого тела на связанные координатные оси с параметрами Эйлера и их первыми производными по времени) имеют вид (5.42):
2 —-2 = 2Aq = -ucx(t)Xx - ^2(^X2 ~ ^з(фХз,
2-^ = 2А1 = шх(t)Ao + шз(фХ2 — Ш2(фХз,
2=2А2=^(^)Ао—сизффХх+сох (t)Xs,
2 -^ = 2А3 = а)з(фХо + a)2(t)Xx — шх (t)X2-
2-^ = 2А1 = шх(t)Ao + шз(фХ2 — Ш2(фХз,
2=2А2=^(^)Ао—сизффХх+сох (t)Xs,
2 -^ = 2А3 = а)з(фХо + a)2(t)Xx — шх (t)X2-
(7.8)
(7.8)
Эти уравнения образуют систему линейных нестационарных дифференциальных уравнений четвертого порядка относительно переменных Xj (j = 1,2,3). В отличие от уравнений (7.1) они линейны и не имеют
Эти уравнения образуют систему линейных нестационарных дифференциальных уравнений четвертого порядка относительно переменных Xj (j = 1,2,3). В отличие от уравнений (7.1) они линейны и не имеют
особых точек для любых положений твердого тела (объекта) в пространстве.
В матричной записи уравнения (7.8) принимают вид (5.44):
ЛоА1Аг\Лз/ЛоА1Аг\Лз/(7.9)(7.9)/ 0 -Wi(i) -ш2Ч) -Шз№\
Ло
А1
Аг
\Лз/
Ло
А1
Аг
\Лз/
(7.9)
(7.9)
Ш2Ч) -^з(^)0^i(^)
\Шз№ ^Ч) -Ш\Ч)0 /
В кватернионной записи эти же уравнения принимают вид (5.38):2^ = 2А’ =ХошУЧ\
А = Ao + Au’1 + А26 + Ag/g, Wy(t) = U\(t)i\ + CU2(t)i2 + ^g(t)/g, где iy (2, /g — векторные мнимые единицы Гамильтона, о — символ кватернионного умножения.
Задача определения ориентации движущегося объекта в инерциальной системе координат ставится следующим образом.
Задана ориентация объекта в начальный момент времени t^;
А$ = АоМ A°fc = Afc(Z0), k= 1,2,3.(7.10)
Известны проекции вектора абсолютной угловой скорости объекта на связанные с ним координатные оси в текущий момент времени t:
Uk = Uk(t), k =1,2,3,(7.11)
или приращения интегралов от них:
Чк = | u)k^W к =1,2,3.(7.12)
Определить ориентацию объекта в инерциальной системе координат в текущий момент времени t:
X^X^ty 3 = 0, 1,2,3.(7.13)
С математической точки зрения эта задача заключается в непрерывном интегрировании на бортовом компьютере в реальном масштабе времени системы дифференциальных уравнений (7.8) или (7.9) при заданных начальных условиях интегрирования (7.10) и известной информации вида (7.11) или (7.12).
Информация вида (7.11) называется мгновенной информацией об абсолютном угловом (вращательном) движении объекта, а информация вида (7.12) — интегральной. Как правило, информация (7.11) выдается гироскопическими измерителями абсолютной угловой скорости объекта, имеющими аналоговый (непрерывный) выход, а информация (7.12) — гироскопами, имеющими цифровой (дискретный) выход.
Информация об ориентации объекта, полученная в виде (7.13), поступает в систему автоматического управления ориентацией объекта в качестве входной информации (наряду с информацией вида (7.11) или
(7.12)), а также используется для вычисления по формулам (7.7) (или по более сложным формулам однозначного вычисления) самолетных углов ф, $, ^. Самолетные углы выдаются пилоту в цифровом виде или с помощью системы визуализации в виде картины, приведенной, например, на рис. 7.1, для ручного управления объектом.
Блок-схема системы управления ориентацией движущегося объекта представлена на рис. 7.2, где М — вектор управляющего момента, прикладываемого к объекту.
Рис. 7.2
Алгоритмы определения ориентации объекта
В основе решения задачи определения ориентации движущегося объекта, описанной в пункте 7.1, лежит численное интегрирование системы дифференциальных уравнений (7.8). Для ее интегрирования могут быть использованы стандартные методы численного интегрирования дифференциальных уравнений, такие как метод Эйлера, метод трапеций, метод Рунге-Кутта, метод прогноза и коррекции [6], использующие мгновенную информацию (7.11), а также численные методы, специально разработанные для интегрирования системы (7.8) и использующие либо мгновенную информацию (7.11), либо интегральную информацию (7.12). Выбор того или иного метода интегрирования зависит от того, для какого класса движущихся объектов он предназначен (зависит от законов и параметров ожидаемых вращательных движений объекта). Критериями при выборе метода служат требуемая точность вычисления параметров ориентации и объем необходимых вычислений. Ниже приводятся алгоритм численного интегрирования системы (7.8), реализующий стандартный метод Рунге-Кутта четвертого порядка, а также другие алгоритмы, наиболее часто используемые в современных системах управления ориентацией движущихся объектов (например, космических аппаратов). Отметим, что порядок точности алгоритма, например, второй, означает, что методическая накапливающаяся погрешность алгоритма пропорциональна h2, где h — шаг интегрирования.
Алгоритм, реализующий метод Рунге-Кутта четвертого
в видев видепорядка. Перепишем дифференциальные уравнения ориентации (7.8)
в виде
в виде
2^-ЖА).
где А = (Ло, Ль А2, Аз) — четырехмерный вектор переменных Aj (j = = 1,2,3), а / = (fo>/ь Л>/з) — четырехмерная вектор-функция, элементы которой /j (j = 0, 1,2,3) — правые части уравнений (7.8).
Тогда алгоритм численного интегрирования системы (7.8), реализующий классический метод Рунге-Кутта четвертого порядка, запишется
в видев видегдек\гдек\&з =&з =Хп — ^п-х + х (^1 + 2^2 + 2^з + кд\ оп— Ь Ап— 1^,^2 = 2 ^У^п—1 Т 2 ^’;Т 2 ^’ ^-1 + 2 ^2) ’^4 = 2 ^ ^п-Х + ^’Хп — ^п-х + х (^1 + 2^2 + 2^з + кд\ оп— Ь Ап— 1^,^2 = 2 ^У^п—1 Т 2 ^’;Т 2 ^’ ^-1 + 2 ^2) ’^4 = 2 ^ ^п-Х + ^’(7.14)(7.14)
в виде
в виде
где
к\
где
к\
&з =
&з =
Хп — ^п-х + х (^1 + 2^2 + 2^з + кд\ о
п— Ь Ап— 1^,^2 = 2 ^У^п—1 Т 2 ^’;
Т 2 ^’ ^-1 + 2 ^2) ’^4 = 2 ^ ^п-Х + ^’
Хп — ^п-х + х (^1 + 2^2 + 2^з + кд\ о
п— Ь Ап— 1^,^2 = 2 ^У^п—1 Т 2 ^’;
Т 2 ^’ ^-1 + 2 ^2) ’^4 = 2 ^ ^п-Х + ^’
(7.14)
(7.14)
рекуррентной схеме, и
меющей в
матричной записи вид
/ A0(tn) \
/А* -At
-А2* -АП /Ao(t„-1)\
Ai (tn) _ А2 (tn)
аг да
^2 “^3
A3 -А2Ai(tn_i)
AS AtA2(tn-1)1
V Аз (tn) /
\ ^3^2
-At Aq / \ A3(tn-1) /
1^(^п—1), ^П ^(^п), h ^п ^п—1*
Приводимые ниже алгоритмы, используемые в современных систе
мах управления ориентацией движущихся объектов, строятся по общей
или, в кватернионной и векторной записи, вид
А(М = A(tn_i) о А*, А = Ао + Av, А* = Ао* + А*;(7.16)
Ао(^п) — Ao(tn-i)Ao Av(tn—i) • Av
Xv(tn) — Xo(tn_\)X* + AoAv(tn-i) + Xv(tn_\) x A*, где Av, A* — векторные части кватернионов А и А* или векторы с компонентами Ai, А2, A3 и Ар А^, A3 соответственно.
Величины Aq, А* (г = 1,2,3) (или Aq, А*) вычисляются на каждом
шаге интегрирования по приводимым ниже соотношениям, вид которых зависит от выбранного метода интегрирования.
Алгоритмы второго порядка точности, реализующие метод средней скорости. Одним из распространенных подходов при построении численных методов интегрирования кинематических уравнений является использование их известных аналитических решений для частных случаев движения объекта. Рассмотрим применение в указанных целях аналитического решения матричного уравнения (7.9) или (5.150) для случая постоянного по направлению, но переменного по модулю вектора угловой скорости объекта. Полагая изменение направ-
ления вектора угловой скорости объекта на шаге интегрирования h достаточно малым, в соответствии с (5.164) получаем следующие выражения для элементов A* (j = 1,2,3) матрицы п*, фигурирующей в рекуррентой схеме (7.15):
A£=COsj, X*=LD-XLOmSYYll, i= 1,2,3, (7.17)
Win = Wi(tn), U)n = U)(tn), Ч = W^dt, шЩ^+^з+^з) ■tn — 1
Алгоритм (7.15), (7.17) вычисления параметров Эйлера использует мгновенную информацию о вращательном движении объекта (проекции ut (г = 1,2,3) вектора угловой скорости). Его использование предполагает вычисление интеграла у на интервале времени [tn_i,tn], равном шагу h интегрирования кинематических уравнений, вследствие чего необходимо производить опрос чувствительных элементов не только в моменты времени, кратные шагу интегрирования, но и внутри каждого шага интегрирования с частотой, достаточной для вычисления интеграла у с требуемой степенью точности (при малом шаге интегрирования в ряде случаев можно полагать у = un_\h, что соответствует неизменности вектора угловой скорости на шаге интегрирования по модулю).
В качестве чувствительных элементов бесплатформенных инерциальных систем часто используются интегрирующие датчики угловой скорости, выдающие интегральную информацию о вращательном движении объекта вида (7.12). В предположении постоянства вектора угловой скорости объекта на шаге интегрирования по направлению справедливы соотношения
_ 1 _ 1 7 е) 9 ^2= 7 7ь 7 = 1^71 + 72 + 7з) •
Учитывая эти равенства, из (7.17) получаем алгоритм вычисления параметров Эйлера A* (j = 1,2,3) по интегральной информации о вращательном движении объекта:
AS = cos|, А* = 7-17j sin ^, г= 1,2,3, (7.18)
V х , /9 9 9\1/2
7i = j at, 7 = у + 72 + 7з j . tn— 1
Алгоритм определения ориентации объекта в инерциальном пространстве (7.15), (7.17), использующий мгновенную информацию о вращательном движении объекта, и алгоритм (7.15), (7.18), использующий интегральную информацию, реализует метод численного интегрирования, получивший в литературе название метода средней скорости [17].
Разлагая косинусы и синусы, фигурирующие в (7.17) и (7.18), в ряды и удерживая члены соответствующего порядка малости, получаем алгоритмы, реализующие приближения различных порядков к методу средней скорости. Так, для алгоритма, реализующего второе прибли-
жение к методу средней скорости и использующего интегральную первичную информацию о вращении объекта, вместо соотношений (7.18) необходимо взять равенства
AS = l-^72- А* = -7ь 7<=г=1,2,3, 7=(72+72+7з) ■
ОZ3X/
tn — 1
(7.19)
Алгоритмы, реализующие метод средней скорости и его приближения разных порядков для направляющих косинусов и параметров Эйлера (Родрига-Гамильтона), рассматривались в ряде работ [17,39,93, 97, 98, 128]. Указанные алгоритмы просты, обладают хорошей точностью при малом шаге интегрирования (известно, что их методическая погрешность на одном шаге имеет относительно шага интегрирования третий порядок малости) и удобны, поскольку позволяют использовать непосредственно имеющуюся на борту интегральную первичную информацию о вращении объекта.
Метод средней скорости относится к алгоритмам второго порядка точности (накапливающаяся погрешность для этого метода пропорциональна второй степени шага интегрирования). Его использование для определения ориентации объекта с достаточной степенью точности при интенсивных угловых колебаниях объекта требует малого шага интегрирования, что, во-первых, может быть реализовано не на всяком бортовом вычислителе и, во-вторых, приводит к большой загрузке бортового вычислителя.
Для повышения точности определения ориентации объекта при его интенсивных угловых колебаниях и снижения загрузки бортового вычислителя применяются алгоритмы более высоких порядков. Так, широко используются алгоритмы третьего порядка точности, приводимые ниже.
Одношаговый алгоритм третьего порядка точности, использующий интегральную информацию о движении объекта. Скалярная запись алгоритма:
^о = 1-п72, 4= «71 +/З723, А2 =«72+^731- Ад = «7з+ /З712, О
“ = 572, Р = А 72 = 7? + 72 + 7/7(7 20)
723 = 7372 -7273- 731 = 717з “ 7з7Г- 712 = 7271" - 717г •
tntn—\
= | u)t(t)dt, = | wt(t)dt, г= 1,2,3.
tn— 1tn — 2
Векторная запись алгоритма:
Ao = 1-^72, a;= ('1-1A + 17’x7>(7.21)
^ = | w(t)dt, 7* = | w(t)dt, 72 = Ы2> 1Щ-2
ш = 52 ч = 527*= 52 ^у^ 72 = 52
г=1г=1г=1г=1
tntn—X
= | uji(t)dt, ^* = | aji(t)dt, i = 1,2,3.
1—2
Здесь уг — орт оси Y^. Этот алгоритм приводится, например, в работах [8, 164].
Соотношения (7.15), (7.20) образуют алгоритм определения ориентации объекта третьего порядка точности, использующий интегральную информацию о вращательном движении объекта. Из него следует алгоритм (7.15), (7.19), реализующий второе приближение к методу средней скорости (если пренебречь слагаемыми с множителями ^ и 724).
Двухшаговый алгоритм третьего порядка точности, использующий интегральную информацию о движении объекта. Скалярная запись алгоритма:
Ло = 1-|72, Ч =+i=1’2’3,
оyzу о
«1 = 7з'72 -727з. а2 = 7"7з-7з71. «з = 7г71 - 71'72-
7i = 7г" + 7г'- 72 = 71 + 72 + 7з.(7.22)
tn-i+^/2tn
Ai =| Wi(f)dt, Vi =| w^dt, 7i = | ^i(t)dt,
tn—Xtn—XA"tl/'2tn—X
г =1,2,3, h = tn — tn_\. Векторная запись алгоритма:
AS = 1 - 72' Av = f| - i72")7 + I7' X 7"’(7-23)
oyZj 6
t, 1= It, 1= Ii = 1,2,3,i = 1,2,3,tn — xA-h/^tn—xA-h,
t, 1= I
t, 1= I
i = 1,2,3,
i = 1,2,3,
tn — xtn—xA~h/2
37=52^’37=52^’зззз72 = 1112, h = tn-t,72 = 1112, h = tn-t,tn—x A-H/^tn—x A-H/^tn-xA-htn-xA-h
3
7=52^’
3
7=52^’
з
з
з
з
72 = 1112, h = tn-t,
72 = 1112, h = tn-t,
tn—x A-H/^
tn—x A-H/^
tn-xA-h
tn-xA-h
г = 1,2,3.
tn—i +^-/2
Здесь, как и в алгоритме (7.21), yt — орт (единичный вектор) оси Y^.
Соотношения (7.15), (7.22), как и соотношения (7.15), (7.20), образуют алгоритм определения ориентации объекта третьего порядка точности, использующий интегральную информацию о вращательном движении объекта. Из него следует алгоритм (7.15), (7.19), реализующий второе приближение к методу средней скорости (если пренебречь слагаемыми с множителями 718 и Уз).
Отметим, что алгоритм (7.22) получен на основе двухшагового алгоритма вычисления координат вектора ориентации ip = ре 4-го порядка точности [87] при отбрасывании в нем величин 4-го порядка малости и учете связей координат этого вектора с параметрами Эйлера. Двухшаговый алгоритм вычисления параметров Эйлера 4-го порядка точности имеет вид
Л0 = 1-о72, А* = 9-TF72) (7г+о«Л> г= 1,2,3,о у/ у у о у
где величины у^, у, at определяются соотношениями (7.22).
В работах [17, 20, 66, 87] рассматриваются разнообразные алгоритмы вычисления различных параметров ориентации твердого тела по мгновенной (7.11) или интегральной (7.12) информации об угловом движении твердого тела. В работе [87] приводится обзор разработанных к тому времени многочисленных алгоритмов вычисления параметров ориентации, дается вывод многошаговых алгоритмов высоких порядков точности (четвертого и выше); многошаговые алгоритмы также рассматриваются в [9, 20]. В работе [20] указывается на то, что использование одношаговых алгоритмов, порядок точности которых выше третьего, и многошаговых, порядок точности которых выше четвертого, нецелесообразно из-за целого ряда обстоятельств, ограничивающих на практике эффективность такого рода алгоритмов.
Отметим, что алгоритмы, приведенные в пунктах 7.2.3 и 7.2.4, являются соответственно одношаговым и двухшаговым по отношению к шагу формирования интегральной информации (7.12), являющейся входной по отношению к алгоритму вычисления параметров ориентации. С точки же зрения теории численных методов эти алгоритмы и другие упоминавшиеся многошаговые алгоритмы являются одношаговыми по отношению к шагу вычисления параметров ориентации [87].
Методические погрешности вычисленияпараметров Эйлера
Для определения ориентации подвижного объекта, рассматриваемого как твердое тело, в инерциальной системе координат в параметрах Эйлера (Родрига-Гамильтона) необходимо осуществлять на борту объекта интегрирование в реальном масштабе времени кватернионного или матричного уравнения (7.9). Однако аналитическое решение этого уравнения в общем случае неизвестно, поэтому для построения решения уравнения (7.9) используются различные приближенные мето-
ды интегрирования. Некоторые алгоритмы численного интегрирования уравнения (7.9) были приведены в параграфе 7.2.
Рассмотрим методические погрешности вычисления параметров Эйлера, обусловленные погрешностями численных методов интегрирования указанных кинематических уравнений.
Положим, что приближенное значение А7 четырехмерного вектора- столбца Л параметров Эйлера вычисляется по формуле (7.15) с фиксированным по времени шагом:
У+1 =A,(ti+1). А'=АШ tw=t^h, (7.24)
где h — шаг интегрирования, п*^ — кватернионная матрица поворота типа п, характеризующая вычисленный конечный поворот твердого тела (подвижного объекта) в момент времени t^y относительно его углового положения, занимаемого в момент времени tp, структура этой матрицы видна из формулы (7.15), а ее элементами AjV+i U = = 1,2,3) являются известные функции от проекций ш\, Ш2, 0)3 вектора и) мгновенной абсолютной угловой скорости твердого тела на связанные координатные оси, вид которых определяется выбранным численным методом интегрирования матричного дифференциального уравнения (7.9). Аналогично тому, как это сделано для направляющих косинусов [11], получим [128] выражение ошибки вычисления вектора- столбца Л параметров Эйлера Aj (j = 1,2,3) в функции от ш\, Ш2, 0)3, h, t, справедливое для всех численных методов интегрирования кинематических уравнений в параметрах Эйлера с фиксированным шагом.
Точное решение матричного уравнения (7.9) на г + 1 шаге, т. е. точное значение вектора-столбца A^i в момент времени ^+1 = ip + h, определяется матрицантом [27]:
ЕГ- | n^dtY- |j dt +(7.25)
titi ti
/ 0 —^1 — 0)2 —0)3 \O)\00)3 —0)2
У 0)30)2 — 0)10 у
Здесь и далее пш = пшу — четырехмерная кососимметрическая кватернионная матрица типа п, сопоставляемая вектору и) угловой скорости твердого тела и составленная из проекций сщ (г = 1,2,3) этого вектора на связанный с твердым телом базис Y.
Обозначая выражение, стоящее в квадратных скобках выражения (7.25), через п*+1, запишем точное значение вектора-столбца А
в момент времени tn в виде
1
А„ = ПП*Л'” Хп = ХЧЛ, Хо = ХЧО- (7.26)
Приближенное значение для вектора-столбца Ап в момент времени tn на основании (7.24) определяется соотношением
1
Лп = Пп7Ао.(7.27)
Обозначим погрешность вычисления матрицы п* на г-м шаге через Ап*:
Ап*=п*—п*.(7.28)
Разлагая Ап* в ряд Тейлора с точностью до O(/ifc+1), получим
Ап*Ап*hkIfhkIfdkZXn*\dtk )dkZXn*\dtk )t,-it,-i(7.29)(7.29)
Ап*
Ап*
hk
If
hk
If
dkZXn*\dtk )
dkZXn*\dtk )
t,-i
t,-i
(7.29)
(7.29)
где целое положительное число к — такое, что для любого s < к производная ds^n*/dts в точке i^—i равна нулю.
Из соотношений (7.26)-(7.29) получаем накапливающиеся погрешности вычисления параметров Эйлера к моменту времени £„:
ААП = Х'п - Хп = ^2п*пп^_х ...п*+1Ап*п*_] ...п>хХ0 + О(НкЧ
г=1
(7.30) (ДА„)Т = ||ДА0,ДА1,ДА2)ДА3||.
Используя тождество п£ = А (£т = || 1,0,0,0||, см. п. 1.3.3), запишем соотношение (7.26) следующим образом:
1
(7.31)(7.31)Пп = Пп*П0.
(7.31)
(7.31)
г=п
Тогда, с учетом следующего из выражения (7.31) равенства «_1 ••• ni+i = nn^f\ а также равенства тг*_рп*_2... п;^ Aq = A^_ i, соотношение (7.30) примет вид
ДАП = пп^п"1Дп*А»_1+ОЩ).(7.32)
г=1
Подставив в соотношение (7.32) выражение (7.29) и заменив в полученном соотношении с точностью до членов второго порядка малости относительно h сумму интегралом, получим окончательно [128]:
АА = — пЧ) (n(t))"1 ,.kU ХЧ) dt + O(hky (7.33) to
Итак, полученная зависимость (7.33) определяет собой при выбранном методе численного интегрирования (с фиксированным шагом)
уравнения (7.9) накапливающиеся погрешности АА^ (j = 1,2,3) вычисления параметров Эйлера.
Одним из распространенных подходов при построении численных методов интегрирования кинематических уравнений является использование их аналитических решений для частных случаев движения твердого тела.
Рассмотрим применение в указанных целях аналитического решения уравнения (7.9) для случая постоянного по направлению, но переменного по модулю, вектора угловой скорости твердого тела. Тогда общее решение уравнения (7.9) определяется выражениями (5.151) и (5.164) или (7.15) и (7.17) и может быть представлено в виде (5.165):
1 t/
A(t) = (_Ecos(- |cj(t)dt^ +sin(2 j
= (HG))2 ++ (W3G))2) ,
где E — единичная матрица размера 4x4.
Определение ориентации подвижного объекта, рассматриваемого как твердое тело, по его известной абсолютной угловой скорости осуществляется с помощью бесплатформенной инерциальной навигационной системы, на бортовом вычислителе которой интегрируется в реальном масштабе времени по измеренному вектору абсолютной угловой скорости та или иная совокупность кинематических уравнений углового движения твердого тела, например, уравнений (7.8) или (7.9) в параметрах Эйлера. В качестве чувствительных элементов бесплат- форменных инерциальных навигационных систем часто используются интегрирующие датчики угловой скорости, выдающие интегральную первичную информацию вида (7.12):
Ук = | Wk^dt, к = 1,2,3.(7.35)
— 1
В предположении постоянства вектора угловой скорости по направ
лению справедливы соотношения
Рtt
г =1,2, 3,(7.36)г =1,2, 3,(7.36)™ =7=|wW^, 72=72+72+7з> 7i =| Wi^dt,
г =1,2, 3,
(7.36)
г =1,2, 3,
(7.36)
/ 0 -71 -72 -73 \
г _71 0 7з -72
72 —7з 071'
\7з72 -71 0 /
С учетом первого из равенств (7.36)С учетом первого из равенств (7.36)выражение (7.34) принимает видвыражение (7.34) принимает вид
С учетом первого из равенств (7.36)
С учетом первого из равенств (7.36)
выражение (7.34) принимает вид
выражение (7.34) принимает вид
А№ =А№ =SG°s^ + (7(t)) ‘r(t)sin^- A(to).SG°s^ + (7(t)) ‘r(t)sin^- A(to).(7.37)(7.37)
А№ =
А№ =
SG°s^ + (7(t)) ‘r(t)sin^- A(to).
SG°s^ + (7(t)) ‘r(t)sin^- A(to).
(7.37)
(7.37)
Считая изменение направление вектора угловой скорости на шаге интегрирования достаточно малым, алгоритм вычисления параметров Эйлера по сигналам интегрирующих датчиков угловой скорости на основании соотношения (7.37) можно записать в виде
Хп = [.Е cos| +7" *Г sin^j An-1, (7.38) 72=7? + ?2+7з> = J ^^ г= 1,2,3.
Разлагая cos(727) и sin^/^) в РЯДЫ и удерживая члены соответ
ствующего порядка малости, получаем алгоритмы вычисления парамет
ров Эйлера, реализующие различные приближения к методу средней скорости (см. также п. 7.2.2):
Ап — \е + - Г — - 72е"| Ап~1L z о JАп — \е + - Г — - 72е"| Ап~1L z о Jвторое приближение:второе приближение:первое приближение: Ап = [е + -г]ап_ь
Ап — \е + - Г — - 72е"| Ап~1L z о J
Ап — \е + - Г — - 72е"| Ап~1L z о J
второе приближение:
второе приближение:
и другие высшие приближения.
При вычислении параметров Эйлера по алгоритму (7.37) или (7.38) возникают методические ошибки, обусловленные тем, что направление
вектора угловой скорости меняется на шаге интегрирования, а не остается постоянным, как это предполагалось при получении (7.37) и (7.38). Оценим эти ошибки, называемые ошибками некоммутативно- сти [39, 85], по формуле (7.33).
Учитывая, что в данном случае
и*' = Е cos + у 1Г sin
ъ22
из соотношений (7.25), (7.28), (7.29) находим ошибки некоммутатив- ности вычисления параметров Эйлера по алгоритму (7.38) на шаге интегрирования в виде
Ап* = ^ ^3 - п^пД + О ^ . (7.39)
Тогда накапливающиеся ошибки некоммутативности вычисления параметров Эйлера по этому алгоритму будут определяться матричным соотношением [128]:
ЛЛ(Щ ^ ^М [ ОД)) *Х to
х [^(^(п^))’ - (^(^))*^(^)] A(t) dt + OQ^y (7.40)
Для алгоритмов первого и второго порядков точности имеем соответственно [128]:
AA(t) = -hX(t)^uo(ty2dt^O(h2y (7.41)
^A(t) =-^ 7г2 ггЦ) [ (тгЦ)) ‘х
to
X [^(^(^(i))* - (пш(УУУ пш(У - (пш(£))3] A(t) dt + Оргу <1А^
Полученные матричные выражения (7.33), (7.41), (7.42) ошибок вычисления параметров Эйлера дополняют собой кватернионные выражения ошибок, приведенные в [17, 114].
Одним из неблагоприятных движений объекта для бесплатформен- ных инерциальных навигационных систем, использующих алгоритмы, полагающие на шаге интегрирования вектор угловой скорости неизменным по направлению, считается коническое движение. Поэтому для такого случая движения объекта полезно иметь оценки ошибок некоммутативности вычисления кинематических параметров. В работе [85] для оценки ошибок некоммутативности вычисления направляющих косинусов предлагается использовать эмпирическую кривую.
Получим аналитическое выражение ошибок некоммутативности вычисления параметров Эйлера по алгоритму (7.38) в случае конического движения объекта, используя ранее найденные общее выражение ошибки некоммутативности (7.40) и соответствующее этому случаю движения объекта точное решение (5.151), (5.162), (5.167) матричного кинематического уравнения (5.150) или (7.9). Подставляя соотношение (5.151) в соотношение (7.40), с точностью до члена О(Ь?) имеем
ААД = -Дп7toААД = -Дп7toп*-1 (пшпш - п^пД п* dt j X(ty =
ААД = -Дп7
to
ААД = -Дп7
to
= rh2H+WX(t0\ (7.43)
Вычислим вначале, используя тождество пЕ = А, где Е? = = ||1,0,0,0||, вектор-столбец
A+(t) = ti^^E = t
= n*(jy j(n^t))"1 [n^Xn^t))’ - (пД^/пиД)] X*(jy dt, t7'44)
а затем определим A A(t) в соответствии с соотношением (7.43).
Матричное выражение, стоящее в квадратных скобках в (7.44), с учетом вида вектора угловой скорости объекта (5.166):
Ш =Piyv+qi cos(V’i (t - t0yy2 + q\ sin(V>i (t - to))y3, Pi, q\, Ух - const, соответствующего коническому движению объекта (твердого тела), запишем так:
^^ - пшпш = 2^1^1Х
/0-qxpicos(^i(t-t0))Vising (t-t0))/0-qxpicos(^i(t-t0))Vising (t-t0))qx-pi cos^i (t -10)) -Pi sin(^i (t -10) )\
/0
-qxpicos(^i(t-t0))Vising (t-t0))
/0
-qxpicos(^i(t-t0))Vising (t-t0))
0 pisin(^i(t-t0)) -picos^i^-to))
-pisin(^i(t-t0))0-qx
picos(^i(t-t0))qx0/
п* \пшпш-пшпш)Х* =2qx^xп* \пшпш-пшпш)Х* =2qx^x—qx -\-2qxdsin2—qx -\-2qxdsin2О1 t'^-io)О1 t'^-io)pi -2(pi + ^i)(tsin2pi -2(pi + ^i)(tsin27^+(t-to)7^+(t-to)На основании (5.162), (5.167) и этого матричного равенства подынтегральное выражение в (7.44) примет вид
п* \пшпш-пшпш)Х* =2qx^x
п* \пшпш-пшпш)Х* =2qx^x
—qx -\-2qxdsin2
—qx -\-2qxdsin2
О
1 t'^-io)
О
1 t'^-io)
pi -2(pi + ^i)(tsin2
pi -2(pi + ^i)(tsin2
7^+(t-to)
7^+(t-to)
1/21/2
1/2
1/2
, _ 91 +Р1(Р1 + ^1)
Тогда для интеграла имеем
j n* 1 \пшпш - пшпш] a* at = 2д1^1 (0,рГр2-рз) ;
Pi = qCd - 1)0 - to) - q\d(w+'X"x sin [w+(t - to)] ,P2 = [pi - (Pi + 01)с^]0 - 4) + (pi + iy\W-+F' sin [w+(t - to)] ,Рз = d [1 - cos(w+(t - to))] ,
d='+2, w+= 9? + (Pi+0i)■
Подставляя полученное выражение в (7.44), находим
A+(t) =2g,0i (А+,А+ А+.А+) =2gi0iA+(t);
У = -рЩ-р^-р^, а+ =р1а^+рРз-Рзл2. 5
А2+= -рГА^+рР2+р^Г у =рр2*-ррг+рра- ' Здесь р*, (г = 1,2,3) определяются приведенными выше равенствами, а ^j 0 = 1,2,3) — соотношениями (5.162), (5.167).
Составляя кватернионную матрицу п+ из компонент соответствующего вектора-столбца А+, получаем окончательно [128]:
AA(t) = ^ qi ф1 /i2n+ (t) A(t0).(7.46)
Здесь n+ — кватернионная матрица типа п, составленная из элементов At (j = 1,2,3), определяемых равенствами (7.45), а вектор-
столбец A(to) составлен из начальных значений Xj(to) (j = 0, 1,2,3) параметров Эйлера (начальных условий интегрирования кинематических уравнений).Формулы (7.46), (7.45) определяют собой погрешности вычисления параметров Эйлера, характеризующих ориентацию объекта в инерциальной системе координат, по алгоритму (7.15), (7.18), реализующему метод средней скорости при коническом движении объекта. Эти погрешности являются функциями времени t, начальных условий углового движения Xj(to) (j = 1,2,3), постоянных параметров движения объекта pi, q\, ф\, а также шага интегрирования h. При нулевых начальных условиях: ^ = 0, Aq = (1,0,0,0), накапливающаяся во времени составляющая АА^ вектора-столбца АА имеет вид [128]:столбец A(to) составлен из начальных значений Xj(to) (j = 0, 1,2,3) параметров Эйлера (начальных условий интегрирования кинематических уравнений).Формулы (7.46), (7.45) определяют собой погрешности вычисления параметров Эйлера, характеризующих ориентацию объекта в инерциальной системе координат, по алгоритму (7.15), (7.18), реализующему метод средней скорости при коническом движении объекта. Эти погрешности являются функциями времени t, начальных условий углового движения Xj(to) (j = 1,2,3), постоянных параметров движения объекта pi, q\, ф\, а также шага интегрирования h. При нулевых начальных условиях: ^ = 0, Aq = (1,0,0,0), накапливающаяся во времени составляющая АА^ вектора-столбца АА имеет вид [128]:АА« = Гд^НЧАА« = Гд^НЧ/-Р^-р+лЬ~рГз + рГо\ РМ2 — Pt^T //-Р^-р+лЬ~рГз + рГо\ РМ2 — Pt^T /(7.47)(7.47)Здесь р+ = 91 (d- 1), pj =pi - (pi + ЬН ^ = fo2 +Pi(Pi + b)]b+2, a A* (J = 1,2,3) определяются выражениями (5.162), (5.167) при to = 0:Здесь р+ = 91 (d- 1), pj =pi - (pi + ЬН ^ = fo2 +Pi(Pi + b)]b+2, a A* (J = 1,2,3) определяются выражениями (5.162), (5.167) при to = 0:Ao = cosAo = cosш+t Pl + Ф1 cos —- H—2ш+t Pl + Ф1 cos —- H—2. tbit . oAtsin —sin—,. tbit . oAtsin —sin—,Pi + V’l tbit . w+t . tbit w+t cu+ cos "T sm ~T “sm T cos "TPi + V’l tbit . w+t . tbit w+t cu+ cos "T sm ~T “sm T cos "T* qi tbit .gi . tbit .1 c“ 51,1sm Tsm* qi tbit .gi . tbit .1 c“ 51,1sm Tsm, Г/ , \221 X^= [(Pl + tbC2 +91], Г/ , \221 X^= [(Pl + tbC2 +91]Рь 9b ^1 — const.Рь 9b ^1 — const.Для оценки ошибок некоммутативности может оказаться полезной эвклидова норма вектора-столбца А А, имеющая вид [128]:Для оценки ошибок некоммутативности может оказаться полезной эвклидова норма вектора-столбца А А, имеющая вид [128]:II АЛ || = 191Ь h2II АЛ || = 191Ь h2"ГУГТсс+2"ГУГТсс+2+ 2d2 (1 -+ 2d2 (1 -COS ^Ш+У)COS ^Ш+У)1/21/2(7.48)(7.48)
столбец A(to) составлен из начальных значений Xj(to) (j = 0, 1,2,3) параметров Эйлера (начальных условий интегрирования кинематических уравнений).
Формулы (7.46), (7.45) определяют собой погрешности вычисления параметров Эйлера, характеризующих ориентацию объекта в инерциальной системе координат, по алгоритму (7.15), (7.18), реализующему метод средней скорости при коническом движении объекта. Эти погрешности являются функциями времени t, начальных условий углового движения Xj(to) (j = 1,2,3), постоянных параметров движения объекта pi, q\, ф\, а также шага интегрирования h. При нулевых начальных условиях: ^ = 0, Aq = (1,0,0,0), накапливающаяся во времени составляющая АА^ вектора-столбца АА имеет вид [128]:
столбец A(to) составлен из начальных значений Xj(to) (j = 0, 1,2,3) параметров Эйлера (начальных условий интегрирования кинематических уравнений).
Формулы (7.46), (7.45) определяют собой погрешности вычисления параметров Эйлера, характеризующих ориентацию объекта в инерциальной системе координат, по алгоритму (7.15), (7.18), реализующему метод средней скорости при коническом движении объекта. Эти погрешности являются функциями времени t, начальных условий углового движения Xj(to) (j = 1,2,3), постоянных параметров движения объекта pi, q\, ф\, а также шага интегрирования h. При нулевых начальных условиях: ^ = 0, Aq = (1,0,0,0), накапливающаяся во времени составляющая АА^ вектора-столбца АА имеет вид [128]:
АА« = Гд^НЧ
АА« = Гд^НЧ
/-Р^-р+лЬ
~рГз + рГо
\ РМ2 — Pt^T /
/-Р^-р+лЬ
~рГз + рГо
\ РМ2 — Pt^T /
(7.47)
(7.47)
Здесь р+ = 91 (d- 1), pj =pi - (pi + ЬН ^ = fo2 +Pi(Pi + b)]b+2, a A* (J = 1,2,3) определяются выражениями (5.162), (5.167) при to = 0:
Здесь р+ = 91 (d- 1), pj =pi - (pi + ЬН ^ = fo2 +Pi(Pi + b)]b+2, a A* (J = 1,2,3) определяются выражениями (5.162), (5.167) при to = 0:
Ao = cos
Ao = cos
ш+t Pl + Ф1 cos —- H—
2
ш+t Pl + Ф1 cos —- H—
2
. tbit . oAtsin —sin—,
. tbit . oAtsin —sin—,
Pi + V’l tbit . w+t . tbit w+t cu+ cos "T sm ~T “sm T cos "T
Pi + V’l tbit . w+t . tbit w+t cu+ cos "T sm ~T “sm T cos "T
* qi tbit .gi . tbit .
1 c“ 51,1sm Tsm
* qi tbit .gi . tbit .
1 c“ 51,1sm Tsm
, Г/ , \221 X^
= [(Pl + tbC2 +91]
, Г/ , \221 X^
= [(Pl + tbC2 +91]
Рь 9b ^1 — const.
Рь 9b ^1 — const.
Для оценки ошибок некоммутативности может оказаться полезной эвклидова норма вектора-столбца А А, имеющая вид [128]:
Для оценки ошибок некоммутативности может оказаться полезной эвклидова норма вектора-столбца А А, имеющая вид [128]:
II АЛ || = 191Ь h2
II АЛ || = 191Ь h2
"ГУГТ
сс+2
"ГУГТ
сс+2
+ 2d2 (1 -
+ 2d2 (1 -
COS ^Ш+У)
COS ^Ш+У)
1/2
1/2
(7.48)
(7.48)
Накапливающаяся составляющая этой нормы есть
II АЛ ||tII АЛ ||tq^ ф^ h2t24q^ ф^ h2t24(7.49)(7.49)
II АЛ ||t
II АЛ ||t
q^ ф^ h2t
24
q^ ф^ h2t
24
(7.49)
(7.49)
Из полученных формул видно, что методические погрешности вычисления параметров Эйлера по алгоритму, реализующему метод средней скорости, при коническом движении объекта растут с течением времени по линейному закону.
Сравнительный анализ точности алгоритмов в направляющих косинусах и параметрах Эйлера
В этом подразделе анализируется, следуя работе [98], сравнительная точность определения ориентации объекта, рассматриваемого как твердое тело, в направляющих косинусах и параметрах Эйлера (Родрига-Гамильтона) по алгоритмам, являющимся приближениями г- го порядка к алгоритму, реализующему в точности метод средней скорости. Устанавливается преимущество в смысле точности алгоритмов в параметрах Эйлера перед алгоритмами соответствующих порядков в направляющих косинусах. Показывается, что эти выводы справедливы для любых алгоритмов (а не только для метода средней скорости) в случае, когда матрица направляющих косинусов и кватернион ориентации (или кватернионная матрица поворота) твердого тела вычисляются через вектор «истинного» поворота ip = ре, объединяющий собой эйлерову пару ^р,е\ предварительно найденный в результате численного интегрирования векторного дифференциального уравнения (5.74). Такой подход к определению ориентации твердого тела имеет положительные стороны и используется в ряде работ [20, 87].
Алгоритмы определения ориентации объекта, реализующие метод средней скорости и его различные приближения. Определение ориентации объекта относительно инерциальной системы координат с помощью бесплатформенных инерциальных навигационных систем сводится к непрерывному интегрированию на борту объекта матричного кинематического уравнения (5.25) для направляющих косинусов:j
= Ц,с(7.50)
или матричного кинематического уравнения (5.46) для параметров Эйлера:
2А’=п^А.(7.51)
Здесь с — матрица направляющих косинусов углов между осями связанной системы координат У(У1У2Уз) и соответствующими осями инерциальной системы координат АуА^А^Уз); А = (Ао, Ai, А2, A3) — четырехмерный вектор-столбец, составленный из параметров Эйлера Xj (j = 1,2,3), определяющих угловое положение объектового трехгранника У относительно инерциального X; матрицы коэффициентов Cly и пШу составлены из проекций ^ (к = 1,2,3) абсолютной угловой скорости объекта на трехгранник У и имеют вид
(0 Щз — Ш2\^2 —0 /(0 Щз — Ш2\^2 —0 /0
(0 Щз — Ш2\
^2 —0 /
(0 Щз — Ш2\
^2 —0 /
°.(7.52)
0)2 —Щз 0
03 CU2 — 1Щ 0 /
Аналитические решения уравнений (7.50) и (7.51) в общем случае неизвестны. Распространенным подходом при построении численных
методов интегрирования уравнений (7.50) и (7.51) является использование их аналитических решений, полученных для случая постоянного по направлению, но переменного по модулю вектора абсолютной угловой скорости объекта [11, 17, 39, 128].
Общее решение кинематического уравнения для направляющих косинусов в этом случае можно представить в виде [11, 39, 97]:
с = (Е\ + - sin у Д + ^2 (1 - cos 7) rA cq,(7.53)
[128]:[128]:а кинематического уравнения для параметров Эйлера — в виде (7.37)
[128]:
[128]:
(7.54)(7.54)'717
(7.54)
(7.54)
COS - Е2 + - sin -.272
Здесь со = c(to), А = A(to) — значения матрицы с и вектора-столбца Л в начальный момент времени to; Е\, Е2 — единичные матрицы размеров 3x3 и 4x4 соответственно;
t
7k = ^ Wk(t) dt, 72 = 7? + 7з + 7з- к= 1,2,3,(7.55)
/ о 73 -72\/-7з-727172717з \
R = -7з 071 , Я2 =7172-7з“7?7273
\ 72 -71 0 /у 7,737273
/ 0 -71 -72 -7з \
г _71 0 7з -72
72 -73 о 71'
\7з 72 -71 0 /
Обозначим через с* и п* следующие выражения:
с* = Ey+aiR + biR2, г = 0,1,2,...,(7.56)
n* = diE2 + ^Г, г = 0,1,2,....(7.57)
Здесь
11у1у
ао = — sin у, bo =(1 — cosy), do = cos —, qo = — sin —, (7.58)
уу22у2
ai, b^ di, Qi (г = 1,2,3,...) — отрезки рядов Тейлора, порожденных функциями ао, bo, do, qo соответственно, такие, при которых элементы матриц с* и тг* содержат в себе члены порядка малости, не превышающего г-го (при условии малости величин у^).
Предполагая изменение направления вектора угловой скорости объекта на шаге интегрирования h = t — to = tn — tn_\ достаточно малым, алгоритмы вычисления направляющих косинусов и параметров Эйлера с фиксированным шагом по сигналам интегрирующих датчиков угловой скорости можно записать на основании выражений (7.53), (7.54) и (7.56), (7.57) в виде
с-т — сп^сп_\д — уЕ\ + aniRn + bn^Rnj сп_\д, % — О, 1,2,..., (7.59) ^пг = ПпЧп— Щ = (^ni^ + Qn^Fn)An—1Д, 2 = 0, 1,2, ....(7.60)
Здесь нижний индекс «п» означает, что соответствующие выражения вычисляются в момент времени tn, пределы интегрирования входящих в них величин ш^ (к = 1,2,3) равны tn_\, tn:
7/с = | Uk^dt, к =1,2,3.
При 2 = 0 имеем алгоритмы, реализующие метод средней скорости. Значения коэффициентов апо, bnQ, dnQ, qnQ определяются при этом выражениями (7.58). При 2 = 1,2,3,... имеем алгоритмы, реализующие приближения 2-го порядка к методу средней скорости. Выражения коэффициентов a™,, bni, dni, qni для алгоритмов 1-4-го порядков приведены в табл. 7.1.
Алгоритмы, реализующие метод средней скорости и его приближения разных порядков для направляющих косинусов и параметров Эйлера (Родрига-Гамильтона), рассматривались в ряде работ [11, 17, 39, 98, 128, 164]. Указанные алгоритмы просты, обладают хорошей точностью при малом шаге интегрирования (их методическая погрешность на одном шаге имеет относительно шага интегрирования в соответствии с (7.39) третий порядок малости) и удобны, поскольку позволяют использовать непосредственно имеющуюся на борту интегральную первичную информацию о вращении объекта.
Проведем сравнительный анализ алгоритмов (7.59) для направляющих косинусов и алгоритмов (7.60) для параметров Эйлера для того, чтобы установить, какие кинематические параметры имеют преимущество в смысле точности при определении ориентации объекта по этому классу алгоритмов.
Таблица 7.1
Порядок алгоритма (г)
at
bi
di
Qi
1
1
0
1
1
2
2
1
1
2
1 - Ч2
1 8 /
1
2
3
1 - W
16 /
1
2
1 - Ч2
1 - тП2
4
1 -
16 /
1 - тП2
18 /' 384 /
1 - тП2
Сравнительный анализ алгоритмов. Для решения задачи используем следующие критерии: 1) нарушение ортогональности; 2) искажение длины единичного вектора при преобразовании координат; 3) дрейф «вычисленного» трехгранника Х^Х^Х^Хд) относительно
инерциального X. Под «вычисленным» трехгранником Хг будем понимать трехгранник, моделируемый с помощью бесплатформенной инерциальной навигационной системы, реализующей алгоритм г-го порядка.
Рассмотрим точность определения ориентации объекта на шаге интегрирования; тогда можно считать, что трехгранники У, Хг в момент времени t^-y совпадают с X, и поэтому
с-п—уц = Еу, Ап_щ = (1,0,0,0), cnt = c^, Апг = Ani. (7.61)
В дальнейшем будем предполагать, что на шаге интегрирования объект вращается вокруг фиксированной оси.
Нарушение ортогональности. При использовании направляющих косинусов взаимное положение «вычисленного» трехгранника Хг и связанного У характеризуется матрицей с^, а при использовании параметров Эйлера — матрицей п^. Поэтому ортогональность «вычисленного» трехгранника определяется свойствами матрицы с*г в первом случае и свойствами матрицы п^ во втором. Если навигационная система реализует в точности метод средней скорости в направляющих косинусах или в параметрах Эйлера, то матрицы с*0 и п*0 будут ортогональными, а потому и «вычисленный» трехгранник Х° будет ортогональным, причем при вращении объекта вокруг фиксированной оси этот трехгранник будет совпадать с инерциальным X.
При использовании алгоритма, порядок которого г >1, ортогональность матриц с^ и п^ может нарушаться.
Неортогональность матриц с^ (г=1,2,...) можно оценить разностями (с*^)тс*^ — Еу (г=1,2,...). Учитывая (7.56), а также равенства ^ = -Я„,= «)Т =-ЯЦ?П, ^+2 = .^,
(здесь и далее предполагается, что значение у, как и у^, вычисляется на интервале времени [tn_i, tn]) получим
(с*пг)т с*пг - Е, = umR2n, г =1,2,...,(7.62)
ГДе99 9
Uni = 2bni - a2ui - b2^-(7.63)
Для проверки ортогональности матриц п*г (г=1,2,...) найдем матрицы, равные произведениям (п*^)тп*^ (г=1,2,...). Учитывая выражение (7.57) и равенства
Г^ = —Гп, ГТГп=у2Е2, находим [98]
=г =1,2,...,(7.64)
где99 9
Uni = Ci + Ci 1 ■(7.65)
Из (7.62) и (7.64) видно, что использование алгоритмов г-го порядка (г = 1,2,...) приводит к уходу нормы решений кинематических уравнений от единицы. Уход нормы решения матричного кинематического
уравнения для параметров Эйлера не приводит к нарушению ортогональности «вычисленного» трехгранника. Происходит лишь изменение длин векторов, направленных вдоль осей «вычисленного» трехгранника: если в момент времени tn_\ они были единичными, то к моменту времени tn они изменятся в d^ + q^^ раз. Уход же нормы решения матричного кинематического уравнения для направляющих косинусов приводит не только к искажению длины вектора, но и к нарушению ортогональности вычисленного трехгранника. На этот факт указывается и в работе [17].
Полученные соотношения удобны для количественной оценки ухода нормы решений кинематических уравнений от единицы и нарушения ортогональности «вычисленного» трехгранника на шаге интегрирования для любого алгоритма из рассматриваемого класса.
Искажение длины единичного вектора при преобразовании координат. Рассмотрим, как трансформируется модуль единичного вектора в результате операции вращения, определяемой матрицей с^ или п^. Если обозначить его до поворота через е, после поворота, определяемого матрицей с*^, — через г^, а после поворота, определяемого матрицей п*^ — через г', получим
гг = Чпг7е, Г'г = mni «if ^ г =1,2,....(7.66)
Здесь Гг = (ги,Г2г,г3г), е = (ei,e2,е3), г' = (0,г'и,у,у), е' = = (0, ci, в2, ед) — векторы-столбцы, составленные из проекций векторов г^, е, г^ на оси «вычисленного» трехгранника.
Матрицы т^ и п^ имеют структуру кватернионных матриц пово
рота тип;рота тип;т(Х) =т(Х) =Ai Ло -Аз А2А2 Аз Ao -Aiу Аз -Аг Ai Ао /Ai Ло -Аз А2А2 Аз Ao -Aiу Аз -Аг Ai Ао /, ЦХ) =, ЦХ) =/ Ao —Ai —А2 -A3 \Ai Ао A3 -А2А2 -A3 Ао Aiу A3 А2 -Ai Ао // Ao —Ai —А2 -A3 \Ai Ао A3 -А2А2 -A3 Ао Aiу A3 А2 -Ai Ао /
рота тип;
рота тип;
т(Х) =
т(Х) =
Ai Ло -Аз А2
А2 Аз Ao -Aiу Аз -Аг Ai Ао /
Ai Ло -Аз А2
А2 Аз Ao -Aiу Аз -Аг Ai Ао /
, ЦХ) =
, ЦХ) =
/ Ao —Ai —А2 -A3 \Ai Ао A3 -А2А2 -A3 Ао Ai
у A3 А2 -Ai Ао /
/ Ao —Ai —А2 -A3 \Ai Ао A3 -А2А2 -A3 Ао Ai
у A3 А2 -Ai Ао /
составленных из параметров Эйлера Xj (J = 0, 1,2,3) и эквивалентных кватерниону поворота А. Произведение тп1 соответствует оператору вращения (см. параграф 2.4). Поэтому произведение т^п^У будет соответствовать оператору вращения, определенному в соответствии с алгоритмом г-го порядка.
Модули векторов г^ и г' определяются через направляющие косинусы и параметры Эйлера, вычисленные по алгоритму г-го порядка, следующим образом:
|гг| = (Щу/2= [ет<Щ^^ г = С2,..., (7.67)
г =1,2,.... (7.68)также равенствог =1,2,.... (7.68)также равенство/\ 1/2 гтт 1 V2
г =1,2,.... (7.68)также равенство
г =1,2,.... (7.68)также равенство
Используя соотношения (7.62) и (7.64), а m^Jm^ = ущЕ2, находим [98]:
ki| = |1 - uni р2 - (7161 +7262 +7зе3)2] }, г =1,2,..., (7.69)
|r'|=vni, г =1,2,....(7.70)
Здесь uut и ипг определяются соотношениями (7.63) и (7.65).
Если положить, что вектор е был направлен по оси ¥\ связанного трехгранника, совпадающего до поворота (в момент времени tn_i) с «вычисленным», то из (7.69) и (7.70) и табл. 7.1 получим табл. 7.2, первые две строки которой совпадают со строками таблицы работы [164], в которой рассмотрены алгоритмы, реализующие первое и второе приближения к методу средней скорости.
Анализ соотношений (7.69), (7.70) и табл. 7.2 показывает, что модуль единичного вектора при преобразовании координат, определяемом вычисленными направляющими косинусами (матрицей с*Д искажается сильнее, чем при преобразовании координат, определяемом вычисленными параметрами Эйлера (матрицей n*J.
Таблица 7.2
Порядок алгоритма
И-1
k'1-i
1
I (7г + 7з)
2
I (72 + 7з)72
й74
3
— й (72 + 7з)72
-rh 74
4
—(72 + 7з)74
4608 /
Дрейф «вычисленного» трехгранника. Определим угол конечного поворота, характеризующего угловое положение «вычисленного» трехгранника Хг относительно инерциального X. При вращении объекта вокруг фиксированной оси положение связанного трехгранника ¥ относительного инерциального X дается матрицей п*0, а положение «вычисленного» трехгранника Хг относительно связанного — матрицей п^. Через матрицу п^ обозначим матрицу параметров Эйлера, определяющую поворот «вычисленного» трехгранника относительно инерциального.
Все сказанное можно отразить следующей схемой поворотов:
X Y «,)т > Xi Хг.
Из нее видно, что матрица п^ соответствует результирующему повороту, а матрицы n*0, тГ^ — слагаемым поворотам. Элементами матриц п^, п*0, <J являются параметры Эйлера соответствующих поворотов. Параметры Эйлера результирующего поворота определяют-
ся через параметры Эйлера слагаемых поворотов по матричной формуле сложения конечных поворотов (см. первую из формул (3.38)):
^ = «JT<0. г = Ь2,....(7.71)
Подставляя в (7.71) выражение (7.57), получим
^пг (^717-^2 3“ QmFn) (^пО-^2 3“ QnO^п)
= ^пг^пО + QniQnQy ^ -^2 3“ (^m^nO — QuidnO^п•(7.72)
Нормируя элементы матрицы п^, находим
/х-1/2
п^ш = ( dni + QnH2) ^ni? г= 1,2,(7.73)
Запишем (7.72) в форме
^пг = (^пг^пО 3“ QniQnOX ) -^2 З-^(^пО^пг — ^пг^по) ,^ = 1,2,.
7(7.74)
Нормированные матрицы п^ш имеют вид матрицы п^. Поэтому при подстановке выражения (7.74) в (7.73) и сопоставлении полученного соотношения с выражением матрицы п^ легко устанавливаются значения косинуса и синуса половины угла Хпг поворота «вычисленного»
трехгранника относительного инерциального:
Хпг tinO 3“ QniQnOXcos ~.,
2«г + 9ni72)
г = 1,2,....г = 1,2,....• Хпг Х^ЯпО^пг Ао^пг)
г = 1,2,....
г = 1,2,....
Отсюда величина вектора 6^ = 2etg(x^/2) конечного поворота «вычисленного» трехгранника относительно инерциального будет равна
[98]
% = 1,2,....% = 1,2,....(7.75)(7.75)2 tg ^^ — 2/7^n0^n^dnoqnt)
% = 1,2,....
% = 1,2,....
(7.75)
(7.75)
2 dnidnQ + QniQnOX2
Элементами матрицы Гп/у из соотношения (7.73) являются направляющие косинусы вектора конечного поворота ^, и они в точности равны соответствующим направляющим косинусам вектора конечного поворота 0*о (которому ставится в соответствие матрица ri^Y Поэтому погрешность определения ориентации объекта при его вращении вокруг фиксированной оси по алгоритму г-го порядка (г = 1,2,...) для параметров Эйлера заключается в дополнительном развороте «вычисленного» трехгранника относительно инерциального вокруг той же фиксированной оси на угол, определяемой формулой (7.75).
Матрицы направляющих косинусов с*0 и с^ определяют собой взаимные положения следующих трехгранников: с*0 — связанного относительно инерциального, а с*^ — «вычисленного» относительно связанного. Обозначим через с^ матрицу направляющих косинусов
углов между осями «вычисленного» и инерциального трехгранников.
Тогда
откуда с учетом (7.56) находим
= Т aniRn + bniRn j + anoRn + bnoRn\ =
= E\ + [&n0 — ^пг T T (ДтЧпО — ^ni^no)] RnE
+ [4 + Ь-пг ^ni^nQ T^тЧпо)] Rn*
Поскольку cE близка к ортогональной, а любая ортогональная матрица размера 3x3 имеет структуру, аналогичную структуре матрицы Cq, получим [98]
нпЩ' ~7 ano-«m + 72(am^nO-^njano) , г=1,2,....(7.76)
Здесь Xnt — Угол поворота (дрейфа) «вычисленного» трехгранника в случае использования алгоритма г-го порядка для направляющих косинусов. Дрейф «вычисленного» трехгранника относительно инерциального и в этом случае происходит вокруг той же фиксированной оси,
Порядок алгоритма
Хпг
Хпг
1
2
3
з /
-Ч3
6 /
30 /
12 /
24 /
384 /
Таблица 7.3Таблица 7.3алгоритмы в параметрах Эйлераалгоритмы в параметрах Эйлерачто и вращение объекта.
Таблица 7.3
Таблица 7.3
алгоритмы в параметрах Эйлера
алгоритмы в параметрах Эйлера
Для сравнения точности алгоритмов определения ориентации объекта в направляющих косинусах и в параметрах Эйлера в табл. 7.3 приведены значения углов Xnt и Хщ» полученные на основании соотношений (7.75), (7.76) и табл. 7.1 для алгоритмов до третьего порядка включительно.
Из этой таблицы видно, что
(Родрига-Гамильтона) точнее по сравнению с соответствующими алго
ритмами в направляющих косинусах.
Таким образом, найденные соотношения дают простую количе
ственную оценку на шаге интегрирования:
нарушения ортогональности «вычисленного» трехгранника;
искажения длины единичного вектора при преобразовании координат;
угла поворота «вычисленного» трехгранника относительно инерциального (вычислительного дрейфа) для алгоритма любого порядка как в направляющих косинусах, так и в параметрах Эйлера (Родрига-Гамильтона) при вращении объекта вокруг фиксированной оси (напомним, что термин «порядок» здесь используется в смысле приближения к алгоритму, реализующему в точности метод средней скорости).
Сравнительный анализ этих соотношений свидетельствует о преимуществе алгоритмов в параметрах Эйлера перед соответствующими алгоритмами в направляющих косинусах в смысле точности.
Отметим, что выводы 1) и 2) в отношении нарушения ортогональности «вычисленного» трехгранника и искажения длины единичного вектора, а также формулы, полученные в пунктах 7.4.2.1 и 7.4.2.2, как видно из проделанных выкладок, справедливы для любого углового дижения объекта, а не только для его вращения вокруг фиксированной оси.
Точность решения задач определения ориентации и преобразования координат при использовании промежуточных кинематических параметров. Рассмотрим точность решения задач определения ориентации и преобразования координат при использовании в качестве промежуточного векторного кинематического параметра вектора «истинного» поворота р> = ре.
Матрица направляющих косинусов углов выражается через эйлеров угол поворота р и проекции е^ (к = 1,2,3) единичного вектора е эйлеровой оси на оси связанного (или инерциального) координатного трехгранника матричной формулой (2.16), которая в свернутой записи имеет вид первой из формул (2.18):
с(р, еу) = cos^Ei + sinpk(ey) + (1 — cos p)s(ey), (7.77)
где к(еу) и s(ey) — трехмерные кососимметрическая и симметрическая матрицы, сопоставляемые единичному вектору е и имеющие вид (2.17):
/ 0 е3 —е2 \/ ef eie2 eie3
Цер =—е3 0 ei , з(ву) = eie2 е^ е2е3
\ е2 -ei 0 /\6ie3 е2е3 е|
Вводя проекции р^ (к = 1,2,3) вектора р> на оси связанного ко
ординатного трехгранника, равные проекциям этого вектора на оси инерциального трехгранника, и используя равенства
р2 _ i _ р22р2 - 1 - р2 - р2р2 - 1 - р2 - р2
61 — 1 е2 е3, е2 — 1 ех е3, е3 — i ех е2,
запишем формулу (7.77) в таком виде:
(7.78)(7.78)с(р>) = Ех + - sine/;к((р) + Д (1 - cosр)(к(р>))2, р
(7.78)
(7.78)
< 0
Уз
-^2\
(-р-р
9W3
-^з
0
У1
22
W3
V ^2
”У1
0 /
\
7W3
22
(7.79)
где ф = (р + р + У3)1/2, Ф2 = Ф2 + Ф2 + ф23.
Кватернион поворота А и кватернионная матрица поворота типа п выражаются через эйлеров угол поворота р и проекции р^ (к = 1,2,3)
вектора «истинного» поворота р = ре следующим образом:
(7.80)(7.80)
(7.80)
(7.80)
А — Ao + Ai/i + А2/2 + Ag/g — Aq + Ay, pY — p\i\ + ^2^2 + ^з^з?
(7.81)(7.82)(7.81)(7.82)n(A) = cos S2 H— (sin тг(р),2 p \2 )
(7.81)
(7.82)
(7.81)
(7.82)
/ 0 -px -p2 -^з\pi 0 рз -p2^2 -^30 p\
W r2 -У10 /
где, по-прежнему, p = (p2 + p^ + p2)^2, p2 = p2 + p2 + p2; n(p) — кватернионная матрица типа n, сопоставляемая вектору р (четырехмерная кососимметрическая матрица).
Матрица направляющих косинусов с, кватернион поворота А и кватернионная матрица поворота типа п могут быть вычислены через предварительно найденные проекции р^ (к = 1,2,3) вектора «истинного» поворота р непосредственно по формулам (7.78), (7.80) и (7.81), либо по алгоритмам в приращениях
ст = cn^Cn—iy =
= (^Ei + anik(/\p) + bni(k(/\p))2^ cn-iy,г = 0, 1,2,, (7.83)
Ащ = ^пг^Т1—\,г = (^пг-^ + Qn^(A^)) Xn—iy, % = 0, 1,2, ... , (7.84) аналогичным выше рассмотренным алгоритмам (7.59), (7.60).
Здесь нижние индексы «п» и «п_1» означают, что соответствующие величины вычисляются в моменты времени tn и tn_Y коэффициенты
sinA(/;1— cosA(/;ТХр sin(A(/;/2)
а"0 = ^Щ’ ^0 = —(Д^)2 ’ dn0 = cos—, у,0 =;
(7.85)
^щ, b^ dnt, qni (г = 1,2,3,...) — отрезки рядов Тейлора, порожденных функциями апо, bnQ, dnQ, qnQ соответственно, такие, при которых элементы матриц с* и п* содержат в себе члены порядка малости, не превышающего г-го (при условии малости проекций вектора А^); Ар и ТХр — приращения вектора поворота р и его модуля на текущем шаге интегрирования h = tn — tn_i (точнее, /\р — вектор поворота объекта в момент времени tn относительно его положения, занимаемого в момент времени tn_i, различные алгоритмы вычисления проекций которого по интегральной информации о движении объекта приведены, например, в [87]).
При г = 0 имеем точные алгоритмы вычисления направляющих косинусов и параметров Эйлера, для которых коэффициенты апо, bnQ, dnQ, QnQ определяются выражениями (7.85) по предварительно найденным проекциям вектора /\р. При г = 1,2,3,... имеем алгоритмы,
реализующие приближения г-го порядка к этим точным алгоритмам. Выражения коэффициентов an^, bnt, dni, qni для алгоритмов 1-4-го порядков совпадают с выражениями, приведенными в табл. 7.1 (в них вместо у необходимо взять А^).
Из сравнения выражений (7.55) и (7.79), (7.82) для матриц R, В?, Г и k^ip\ (k(yp))2, ti^Y а также формул (7.59), (7.60) и (7.83), (7.84) видно, что алгоритмы вычисления матрицы направляющих косинусов с, кватерниона поворота А и кватернионной матрицы поворота п через предварительно найденные проекции Ас^^ (к = 1,2,3) вектора поворота А у? совпадают с алгоритмами их вычисления по интегральной информации у^ (к = 1,2,3) о движении объекта, реализующими метод средней скорости и его различные приближения. Следовательно, найденные в пунктах 7.4.2.1-7.4.2.3 соотношения (7.62)-(7.63), (7.64)(7.65), (7.69), (7.70), (7.75), (7.76) и приведенные таблицы 7.2, 7.3 при замене в них величин у^ (к= 1,2,3) на Ас^^ (к = 1,2,3), а у на А^ дают простую количественную оценку на шаге вычисления:
нарушения ортогональности «вычисленного» трехгранника;
искажения длины единичного вектора при преобразовании координат;
вычислительного дрейфа для алгоритмов вычисления матрицы направляющих косинусов, кватерниона поворота и кватернионной матрицы поворота через такие промежуточные кинематические параметры, как проекции Ас^^ (к = 1,2,3) вектора поворота А^. Сравнительный анализ этих соотношений и таблиц свидетельствует о преимуществе алгоритмов определения ориентации и преобразования координат в параметрах Эйлера перед соответствующими алгоритмами в направляющих косинусах в смысле точности при использовании для вычисления параметров Эйлера и направляющих косинусов предварительно найденных проекций Ас^^ (А: =1,2,3) вектора поворота у? (точнее, приращений проекций этого вектора на шаге интегрирования).
Влияние погрешностей в определении проекцийугловой скорости твердого тела на точностьвычисления параметров Эйлера
При вычислении параметров Эйлера (Родрига-Гамильтона) Xj (j = = 0, 1,2,3), характеризующих ориентацию подвижного объекта, рассматриваемого как твердое тело, посредством численного интегрирования кватернионного или матричного уравнения (7.9) кроме методических погрешностей, рассмотренных в параграфе 7.3, возникают погрешности, обусловленные неточным определением проекций и^ (г= 1,2,3) вектора угловой скорости объекта, а также неточным заданием начальных условий интегрирования кинематических уравнений (величин Xj(to) 0 = 0, 1,2,3)). Эти погрешности, относящиеся к классу
инструментальных погрешностей, могут быть исследованы с помощью уравнений ошибок.
Рассмотрим влияние погрешностей в определении проекций абсолютной угловой скорости объекта на точность вычисления параметров Эйлера. Обозначим через А^ (г = 1,2,3) инструментальные погрешности измерителя абсолютной угловой скорости объекта (погрешности определения проекций абсолютной угловой скорости объекта). Эти величины будем считать известными функциями времени, детерминированными или случайными. Через АА^о = ^Xj(t^ 0=0, 1,2,3) обозначим погрешности задания начальных условий интегрирования уравнений (7.8) или (7.9), а через AAj 0 = 0, 1,2,3) — отклонения параметров Эйлера от их точных (невозмущенных) значений Aj (j = = 0, 1,2,3) (погрешности вычисления параметров Эйлера), обусловленные погрешностями А^ и AAjq.
Подставляя в уравнения (7.9) вместо Xj 0 = 0, 1,2,3) и сщ (г = = 1,2,3) величины Aj + AAj 0=0, 1,2, 3) и сщ + Асщ (г = 1,2, 3) и вычитая из полученных уравнений уравнения (7.9), получим уравнения
ошибок, т. е. уравнения относительно погрешностей AAj 0 = 0, 1,2,3): 2АА* = пш(1?)/ХХ + ZXnw(t)X(t) + /Хпш(1)/ХХ,(7.86)
А = (Ao, Ai, А2, Ад), АЛ = (AAq, AAi, АА2, АА3).
Уравнения первого приближения для отклонений AAj 0 = 0, 1,2,3) имеют вид
2АА‘ = тгш(t)^X + Ап40А0).(7.87)
В уравнениях (7.86), (7.87) А, АА — векторы-столбцы невозмущенных значений параметров Эйлера Xj и их отклонений AAj (J = = 0, 1,2, 3); пш = пшу и Ап^ — матрица коэффициентов уравнений (7.9) и ее вариация (Ап^ — кватернионная матрица типа п, составленная из инструментальных погрешностей измерителя абсолютной угловой скорости объекта А^ (г = 1,2,3)); невозмущенные значения Xj (j = = 0, 1,2,3) параметров Эйлера, характеризующие невозмущенное угловое движение объекта, проекции ин (i = 1,2,3) вектора угловой скорости объекта на связанные координатные оси, а также инструментальные погрешности А^ (г = 1,2,3) полагаются известными функциями времени t.
Матричное уравнение (7.87) является неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка относительно неизвестного вектора-столбца АА. Покажем, что оно интегрируется в квадратурах.
Запишем однородное уравнение, соответствующее уравнению (7'87):2ДА" =пш(^ДА.(7.88)
Общее решение уравнения (7.88) имеет вид
ДА = п(Щ4х1, а4х1 = (а0, «1,^2, аз),(7.89)
где aj (j = 0, 1,2,3) — произвольные постоянные, п — кватернионная матрица поворота, элементы которой суть невозмущенные значения Xj(t) U = 0, 1,2,3) параметров Эйлера.
Для того чтобы убедиться в том, что равенство (7.89) удовлетворяет уравнению (7.88), достаточно подставить его в уравнение (7.88) и принять во внимание второе из уравнений (5.46): 2п* = пш^)п.
Для отыскания общего решения неоднородного уравнения (7.87) воспользуемся методом Лагранжа вариаций произвольных постоянных. Полагая согласно этому методу постоянные aj (j = 0, 1,2,3) функциями времени и подставляя выражение (7.89) в уравнение (7.87), получим, учитывая уравнение 2п* = тгш(1)тг;
а4х 1 = ^ птАпшА = | тЛт Aw4x 1 = | Ао^х j, (7.90)
ДйЦх1 = (0, A^i, Дщ2, А^з), Д^4х1 = (0, Дщр Дщ^ > А^з) •
Здесь No* (г = 1,2,3) — проекции вектора Дс^ инструментальных погрешностей измерителя абсолютной угловой скорости объекта на оси инерциальной системы координат (Д^ — его проекции на оси связанной системы координат), т — кватернионная матрица поворота типа т, составленная из элементов Xj (j = 0, 1,2,3).
Из выражения (7.90) следует, что величина а^ = 0.
Интегрируя (7.90), находим
1 г
«4x1 (t) = а4х 1 (to) + 2 J (n(t))TAny(t)A(t) dt =
*°t
= «4xi(to) + 2 |(n(t))Tm(t)Aw4xi(t)dt. (7.91)
ДА(£) = n(t)ДА(£) = n(t)Общее решение неоднородного уравнения (7.87) ищется в виде (7.89), в котором величины aj (j = 0, 1,2,3) считаются уже функциями времени. Поэтому, подставляя (7.91) в (7.89), получаем общее решение уравнения (7.87) в следующем виде:
ДА(£) = n(t)
ДА(£) = n(t)
(7.92)(7.92)(n(to))T AA(t0) + - j (n(t))Tm(t)Au>4x ] (f) dt
(7.92)
(7.92)
'to■
Здесь ДА(^о) и n(to) — матрицы, составленные из начальных значений ДА^(£о) и Xj(to) (j = 0, 1,2,3) погрешностей ДА^ и параметров Эйлера
Формула (7.92) дает решение матричного линейного уравнения ошибок (7.87) в квадратурах. Она позволяет найти погрешности ДА^ (j = 0, 1,2,3) вычисления параметров Эйлера, обусловленные ошибками Nu^ (г = 1,2,3) в измерении проекций угловой скорости объекта и ошибками 7\Xj(to) в задании начальных условий интегрирования уравнений (7.9), если известно невозмущенное угловое движение объекта, задаваемое параметрами Xj (j = 0, 1,2,3).
Получим оценку для эвклидовой нормы: г11/2
|| АА|| = [(ДА0)2 + (ДА^2 + (ДА2)2 + (ДА3)2].(7.93)
Для этого запишем уравнение (7.90) в векторной форме:
а = | Ды.(7.94)
Здесь векторы а и Acj определены своими проекциями сц (г = = 1,2,3) и Асе* в инерциальной системе координат.
Из уравнения (7.94) находим
a(t) = a(to) + - j Acj(t) dt.(7.95)
to
Следовательно,
|aWI < |a(t0)| + ^ ] \^(t')\dt.(7.96)
Так как \a\ = || AA ||, |a(o)| = || AA(^o) || (это следует из равенства (7.89) и ортогональности матрицы п), то
ЦДЖ1 с ||ДАЦо) II + | ]|ДсЦгМ<0ЦДЖ1 с ||ДАЦо) II + | ]|ДсЦгМ<0г 31 1/2
ЦДЖ1 с ||ДАЦо) II + | ]|ДсЦгМ
<0
ЦДЖ1 с ||ДАЦо) II + | ]|ДсЦгМ
<0
|д^ц)| = £(дщг))2 .
(7.97)
Таким образом, оценка для эвклидовой нормы (7.93) вектора- столбца А А дается соотношением (7.97). Это соотношение и формула (7.92) позволяют оценить влияние погрешностей в определении проек-
ций абсолютной угловой скорости объекта, а также ошибок задания начальных условий интегрирования кинематических уравнений в параметрах Эйлера на точность определения ориентации объекта (точность вычисления параметров Эйлера). Отметим, что установленные соотношения аналогичны полученным в [5] соотношениям, позволяющим
оценить влияние инструментальных погрешностей на точность вычисления направляющих косинусов (в работе [5] для получения указанных соотношений используется теория малых поворотов). Другой подход к решению рассматриваемой задачи, использующий теорию конеч
ных поворотов и аппарат кватернионных матриц, предложен автором и П.К. Плотниковым в работе [99].
Математическое моделирование алгоритмовопределения ориентации объекта в параметрах Эйлера
Отработка и выбор алгоритмов определения ориентации движущегося объекта производятся с помощью математического моделирования алгоритмов на компьютере. Блок-схема моделирования алгоритмов приведена на рис. 7.3. Ниже приводится описание отдельных блоков этой схемы [124, 160] (при этом нижний индекс «5» у ys опускается).
Рис. 7.3. Блок-схема моделирования алгоритмов определения ориентации объекта
Блок задания углового движения объекта. В этом блоке формируются точные значения самолетных углов ф, Э, и их первых производных по времени ф\ Э\ Y для текущего момента времени t, т. е. формируется закон вращательного (углового) движения объекта. При этом полагается, что объект находится под действием внешних воздействий, вызывающих относительно инерциальной системы координат либо гармонические незатухающие колебания объекта, либо затухающие колебания, либо их композицию. Задание таких законов движения объекта позволяет наиболее полно выявить точностные возможности исследуемого алгоритма.
В случае незатухающих гармонических колебаний объекта самолетные углы ф, Э, вычисляются по формулам
ф = ^+ sin (u^t + 991), ^ = ^+ sin (uY + 9^2) ’ 7 = 7+ sin (uY + (^3),
.-A(7-98)
а в случае затухающих колебании — по формулам
ф = фте-(ти sin (u^t), id = $те-(Т<2± sin (uY), у = 7me-a3t sin (uY),
(7.99) где ^+, ^+, 7+ — амплитуды гармонических колебаний; фт, $т, ут — амплитуды затухающих колебаний; ш^, ш^, ш^ — угловые частоты; ср* (г = 1,2,3) — начальные фазы колебаний; сц ~ затухание.
Периоды колебаний: Тф = 2тг/о)ф, Т^ = 2тг(ш^, Т^ = 2tt/cj7.
Дифференцируя (7.98), (7.99) по времени, получаем формулы для вычисления первых производных по времени ф\ тУ, Y: для гармонических колебаний
ф* = ф^Шф cos^Y + ^),
тУ = -O^u^cosYY + рУфф(7.100)
7е = 7+^7 cos(uY + 9^3);
для затухающих колебаний
ф* = фте~аи^^ cos(^t) - (Ji sin(^t)),
СОб(щД) — (72 SHl(o^)),(7.101)
7* =COsYY^ — a3 sin^t)).
Блок формирования проекций абсолютной угловой скорости объекта и приращений интегралов от них. В этом блоке осуществляется формирование выходной информации чувствительных элементов, необходимой для решения задачи ориентации.
Предполагается, что в состав системы ориентации объекта входит пространственный (например, гироскопический измеритель абсолютной угловой скорости объекта), выходной информацией которого являются либо проекции ш^ (г = 1,2,3) абсолютной угловой скорости объекта на связанные с ним оси, либо приращения интегралов от них:
7i= |г =1,2,3.(7.102)
Для моделирования алгоритмов определения ориентации объекта для каждого момента времени t необходимо формировать проекции и^ (г = 1,2,3) или интегралы 7^ по найденным значениям углов ф, ^, 7 и их первых производных по времени ф\ ТУ, Y с использованием формул
сщ = 7* + ф* sin^,
Ш2 = Y sin7 + ф* coscos7, Ш3 = ^* cos7 — ф* cossin7.(7.103)
Блок формирования начальных условий интегрирования. В этом блоке вычисляются начальные условия интегрирования
дифференциальных уравнений ориентации объекта (7.8) для момента времени t = 0 по формулам (7.4):
у7
Ао =cos -cos -cos--sin-sin - sin-,
ф*0t/>■$7
Al =sin —sin -cos-+cos—cos - sin-,
/g,g(7.104)
W177W177
A2 =sin —cos-cos - + cos—sin - sin-,
i/;i? 7i/;i?7
Аз =cos -sin-cos - - sin-cos - sin-.
Отметим, что по этим формулам могут быть вычислены точные значения параметров Родрига-Гамильтона Aj (J = 0, 1,2,3) для текущего момента времени t.
Блок численных методов интегрирования дифференциальных уравнений ориентации. В этом блоке осуществляется интегрирование дифференциальных уравнений ориентации (7.8) по выбранному алгоритму, например, по одному из алгоритмов, описанных в параграфе 7.2.
Блок формирования вычисленных значений самолетных углов. В этом блоке для каждого момента времени вычисляются по формулам (7.7) (через найденные в блоке 7.6.4 значения параметров Эйлера (Родрига-Гамильтона) Aj, j = 0, 1,2,3) углы фв, Эв, 7в-
фв = arctgфв = arctgAqA2 — Ai АдA^ + Af -0,5’AqA2 — Ai АдA^ + Af -0,5’i?b = arcsin(2(AiA2 + A0A3)),i?b = arcsin(2(AiA2 + A0A3)),(7.105)(7.105)
фв = arctg
фв = arctg
AqA2 — Ai Ад
A^ + Af -0,5’
AqA2 — Ai Ад
A^ + Af -0,5’
i?b = arcsin(2(AiA2 + A0A3)),
i?b = arcsin(2(AiA2 + A0A3)),
(7.105)
(7.105)
7b = arctg7b = arctgAqAi — A2A3Aq + A^-O, 5'
7b = arctg
7b = arctg
Отметим, что для больших значений углов ф, Э, ^ их вычисление должно проводиться с использованием алгоритма однозначного вычисления углов, построенного на основе выражений (7.5), (7.6) для элементов матрицы направляющих косинусов (см., например, [2]).
Блок вычисления погрешностей определения углов ориентации объекта. В этом блоке осуществляется вычисление абсолютных и относительных методических погрешностей определения углов ориентации объекта по выбранному алгоритму численного интегрирования системы (7.8).
В табл. 7.4 в качестве примера приведены методические погрешности Ai/; = |i/jb — ^tI, Ai? = |^в — ^т|, А7 = |7В — 7т| определения углов ориентации ф, Э, для малых (^+ = 1 град, 1?+ = 2 град, 7+ = 3 град) и больших (ф_^ = 15 град, i?+ = 5 град, 7+ = 15 град) амплитуд угловых гармонических колебаний объекта (точнее, приведены максимальные значения накопленных методических погрешностей определения углов ориентации). Угловые частоты колебаний и в первом и во
Таблица 7.3
Метод интегрирования
Шаг, с
Погрешности вычисления углов, угл. мин.
Малые амплитуды
Большие амплитуды
h
Д^
Ду
Ду
Рунге- Кутта четвертого порядка
0,001
3,794-10" 9
4,671-Ю"9
1,213-Юг8
5, 775-Юг8
1,042-Юг8
6,005-Ю"8
0,01
9, 690-10"9
7, 884-10"9
2, 648-Юг8
1,746-Юг6
6, 520-Юг7
1,869-Ю"6
0,01
2,411-10”4
4,722-Ю"4
6, 672-Юг4
1,410-Юг1
4, 853-Юг2
1,419-Ю"1
Средней скорости (второго порядка)
0,001
9, 728-10"7
1,247-10" 7
5, 743-Юг7
1, 167-Юг4
4,331-Юг4
1,678-Ю"4
0,01
9, 749-10"5
1, 196-10" 5
5, 965-Юг4
1, 193-Юг2
4,493-Юг3
1,723-Ю"2
0,1
9, 295-10"3
1, 143-10"3
5, 824-Юг2
1, 141
4,319-Юг1
1,691
Одношаговый третьего порядка
0,001
3,310-Ю"8
2,290-Ю"8
9, 975-Юг8
1, 178-Юг6
8, 229-Юг6
1,658-Ю"6
0,01
4, 647-Ю"6
4,4Ю-Ю“6
1,629-Юг5
7, 174-Юг4
8, 151-Юг3
1,766-10" 3
0,1
2, 056-10"3
2, 295-10"3
6, 294-Юг3
8,441-Юг1
6,264
1, 146
Двухшаговый третьего порядка
0,001
3,342-Ю"8
2,00-Ю"8
9, 964-Юг8
1,250-Юг6
4, 762-Юг6
1,726-Ю"6
0,01
4, 152-Ю"6
1,653-Ю"6
1,574-Юг5
5, 887-Юг4
1,937-Юг4
6,359-Ю"4
0,1
6, 124-Ю“4
1,628-НОг4
2, 163-Юг3
5, 153-Юг1
1,702-Юг1
5, 064-10"1
втором случаях полагались равными: ш^ = ш7= 2тг рад/с, ш# = тг рад/с. Определение ориентации объекта осуществлялось по вышеописанной методике с использованием приведенных в параграфе 7.2 алгоритмов численного интегрирования системы (7.8): метода Рунге-Кутта четвертого порядка точности; метода средней скорости (имеющего второй порядок точности); одношагового алгоритма третьего порядка точности и двухшагового алгоритма третьего порядка точности. Вычисления проводились с 32-разрядной сеткой. Шаг интегрирования h выбирался равным 0,001 с, 0,01 с или 0,1 с. Интервал движения (интегрирования) — 600 с.
Из таблицы видно, что наименьшую погрешность вычисления углов ориентации дает метод Рунге-Кутта, использующий мгновенную информацию о движении объекта (отметим, что приведенные погрешности алгоритмов численного интегрирования, использующих интегральную информацию о движении объекта, включают в себя погрешности
вычисления приращений интегралов от проекций вектора абсолютной угловой скорости объекта); погрешность вычисления углов ориентации при совершении объектом угловых колебаний с большими амплитудами увеличивается в среднем на два порядка в сравнении с погрешностями для угловых колебаний с малыми амплитудами. При увеличении шага интегрирования на порядок погрешности вычисления углов ориентации увеличиваются на 2ч-3 и более порядков; при совершении объектом угловых колебаний с большими амплитудами худшие результаты для шага интегрирования h = 0,1 с дает одношаговый алгоритм третьего порядка точности, использующий информацию с предыдущего шага интегрирования. Анализ построенных графиков изменения во времени методических погрешностей определения углов ориентации объекта показывает, что погрешность вычисления каждого из углов ориентации имеет две составляющие: медленно изменяющуюся составляющую, монотонно возрастающую во времени, и быстро изменяющуюся периодическую составляющую, период изменения которой определяется периодом гармонических колебаний объекта (для рассмотренных примеров этот период равен 1 с).
Отметим, что из всех алгоритмов численного интегрирования, использующих интегральную информацию об угловом движении объекта (наряду с вышеуказанными алгоритмами моделировались метод Пикара, другие алгоритмы третьего порядка точности, алгоритмы более высокого порядка точности чем третий, использующие информацию с двух и более предыдущих шагов интегрирования, четырехшаговые алгоритмы 4-го и 6-го порядков точности), оптимальным по точности и объему вычислений (для гармонических угловых движений объекта на временном интервале 600 с с амплитудами и частотами, соразме- римыми с амплитудами и частотами второго варианта моделируемого движения объекта) является двухшаговый алгоритм третьего порядка точности, для угловых же движений объекта с малыми амплитудами — метод средней скорости.
Отметим также, что выбор того или иного алгоритма определения ориентации движущегося объекта в конечном счете определяется классом движущихся объектов (параметрами углового движения объекта, временем его движения), требуемой точностью решения задачи ориентации и характеристиками используемого вычислителя.
Глава 8
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИЕНТАЦИИ
И МЕСТОПОЛОЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
ПОСРЕДСТВОМ ИНТЕГРИРОВАНИЯКИНЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВИНТОВОГО
ДВИЖЕНИЯ
В предыдущих разделах (третьем, четвертом и седьмом) показана эффективность аппарата кватернионных и бикватернионных матриц (а также кватернионов и бикватернионов) в ряде геометрических и кинематических задач механики твердого тела: в задаче определения винта конечного перемещения по начальному и конечному положениям твердого тела, в кинематике многозвенных пространственных механизмов, в задаче наведения приборов и устройств в кардановых подвесах с неортогональными осями, в задаче определения ориентации объекта в инерциальной системе координат.
Эффективность решения задач обусловливается следующим:
использованием в качестве кинематических параметров вещественных и дуальных параметров Эйлера (Родрига-Гамильтона), которые не вырождаются ни при каком положении твердого тела и которые позволяют получить для решения задач уравнения, имеющие симметричную, а в ряде случаев и линейную, структуру;
использованием матричного, кватернионного и бикватернионного формализмов, позволяющих проводить преобразования в компактной и геометрически наглядной форме;
использованием свойства коммутативности кватернионных и бикватернионных матриц двух типов, которое позволяет получить удобные в аналитическом отношении уравнения и построить рациональные с вычислительной точки зрения алгоритмы численного решения задач;
применением принципа перенесения Котельникова-Штуди, позволяющим переносить результаты, полученные в геометрических и кинематических задачах вращательного движения твердого тела на более общие задачи винтового (или свободного) движения твердого тела.
В настоящем разделе показывается эффективность применения аппарата кватернионных и бикватернионных матриц в задачах определения ориентации и местоположения объекта в инерциальной и в произвольно перемещающейся системах координат, решаемых посредством интегрирования кинематических уравнений винтового движения твердого тела в дуальных параметрах Эйлера (Родрига-Гамильтона)
и в параметрах винтового движения [140]. Полученные в этом разделе результаты легко переносятся на другую задачу инерциальной навигации — задачу определения ориентации и кажущейся скорости объекта по сигналам ньютонометров и измерителей абсолютной угловой скорости, жестко закрепленным на борту объекта. Для этого достаточно в полученных соотношениях и алгоритмах вместо проекций линейной скорости выбранной точки объекта на связанные с ним координатные оси взять проекции кажущегося ускорения этой точки объекта, а вместо проекций радиуса-вектора выбранной точки объекта на инерциальные или связанные координатные оси — проекции ее кажущейся скорости.
Алгоритмы определения ориентациии местоположения твердого тела в инерциальнойсистеме координат
Определение ориентации объекта относительно инерциальной системы координат сводится в ряде случаев (например, при использовании бесплатформенных инерциальных навигационных систем [15, 20, 39, 164]) к непрерывному интегрированию на борту объекта кинематических уравнений Пуассона или кинематических уравнений в параметрах Эйлера (Родрига-Гамильтона). Использование последних при определении ориентации объекта приводит в ряде случаев к повышению точности и сокращению объема вычислений в сравнении с использованием уравнений Пуассона [15, 98] (см. также параграф 7.4 седьмой главы).
Матричная форма кинематических уравнений вращательного движения объекта, рассматриваемого как твердое тело, в параметрах Эйлера имеет вид (5.46) или (5.150) (см. также (7.9)). В этом уравнении в рассматриваемом случае Xj (j = 0, 1,2,3) — параметры Эйлера, характеризующие ориентацию связанного с объектом базиса Y относительно опорного (инерциального) базиса X; матрица коэффициентов пшу, сопоставляемая вектору ш абсолютной угловой скорости вращения объекта, составлена из проекций ^ (г = 1,2, 3) вектора ш на связанный с объектом базис.
В рассматриваемых случаях полагается, что известна мгновенная или интегральная информация о вращательном движении объекта, т. е. полагаются известными функциями времени проекции вектора абсолютной угловой скорости объекта на связанные координатные оси: ин = ^^t\ г = 1,2,3, или приращения интегралов от них:
7г = | ^i(t)dt, г =1,2,3.
Эта информация вырабатывается измерительными системами, установленными на борту объекта.
Необходимо, используя указанную информацию, определить ориентацию объекта в инерциальном пространстве (параметры Эйлера Хр j = 0, 1,2,3). Решается эта задача интегрированием на борту объекта с помощью БЦВМ в реальном масштабе времени уравнений (5.150) или (7.9).
Отметим, что интегрирование кинематических уравнений (7.9) необходимо также производить при определении местоположения движущегося по земной сфере объекта посредством гироскопов и измерителей ускорений [41, 42, 44, 55, 58] и в ряде других случаев.
Аналитическое решение уравнений (7.9), как уже отмечалось, в общем случае неизвестно, поэтому для построения решений этих уравнений используются различные приближенные методы интегрирования.
В параграфе 7.2 приведена общая рекуррентная схема вычисления приближенных значений параметров Эйлера, имеющая в матричной записи вид (7.15), а в кватернионной и векторной записи — вид (7.16). Там же приведены широко используемые в настоящее время алгоритмы численного интегрирования уравнений (7.9), реализующие метод средней скорости, использующие мгновенную или интегральную информацию о вращательном движении объекта (алгоритмы (7.17)-(7.19)), и алгоритмы третьего порядка точности (7.20), (7.22) или (7.21), (7.23), использующие интегральную информацию о вращательном движении объекта, а также один из алгоритмов 4-го порядка точности.
В этом разделе рассматривается более общая задача определения ориентации и местоположения объекта в инерциальной системе координат. Полагается, что на борту объекта имеется мгновенная информация о вращательном и поступательном движениях объекта в инерциальном пространстве (т. е. известны как функции времени проекции сщ, г = = 1,2,3, вектора и) абсолютной угловой скорости вращения объекта и проекции 1)^ вектора v абсолютной скорости какой-либо точки О2 объекта, например, его центра масс, на связанные с объектом координатные оси О2У^ ) или интегральная информация, т. е. величины
7^ = | uji^dt, 7^ = j Di^dt, г =1,2,3.tn— 1 tn— 1
Возможен также случай, когда на борту объекта имеется интегральная информация о вращательном движении объекта (величины 7^) и мгновенная информация о поступательном движении объекта (проекции щ). Необходимо, зная начальную ориентацию и начальное местоположение объекта в инерциальной системе координат X, определить по имеющейся на борту мгновенной или интегральной информации (величинам сщ, гц или 7^, 7^ ) текущую ориентацию объекта (параметры Эйлера Хр j = 0,1,2,3) и его текущее местоположение (декартовы координаты xt точки О2 объекта) в инерциальной системе координат.
Эта задача является частью общей задачи инерциальной навигации [5]. Аналогичная задача (с той лишь разницей, что вместо абсолютных
величин могут быть использованы относительные величины) возникает в кинематике пространственных механизмов.
Указанная задача решается обычно посредством непрерывного интегрирования на борту объекта кинематических уравнений вращательного движения твердого тела в тех или иных кинематических параметрах (углах Эйлера-Крылова, направляющих косинусах, параметрах Эйлера (Родрига-Гамильтона)) и кинематических уравнений поступательного движения в декартовых координатах. Однако эта же задача может быть решена с помощью непрерывного интегрирования кинематических уравнений винтового движения твердого тела в дуальных параметрах Эйлера (Родрига-Гамильтона) (6.26) или (6.30) с использованием соотношений (6.20). Преимущество такого подхода заключается в том, что многочисленные результаты, полученные в настоящее время в задаче ориентации, решаемой посредством интегрирования кинематических уравнений в вещественных параметрах Эйлера, могут быть перенесены с помощью принципа перенесения Котельникова- Штуди на задачу определения ориентации и местоположения объекта, решаемую посредством интегрирования кинематических уравнений в дуальных параметрах Эйлера.
Сказанное относится и к построению алгоритмов численного решения задачи определения ориентации и местоположения объекта. В настоящем параграфе это продемонстрировано на примере построения дуальных аналогов вышеуказанных алгоритмов численного решения задачи ориентации. Построены алгоритмы вычисления дуальных параметров Эйлера, реализующие дуальный аналог метода средней скорости (метод дуальной средней скорости): алгоритм (8.2), (8.3), использующий мгновенную информацию сщ, гц (г = 1,2,3) о вращательном и поступательном движениях объекта, и алгоритмы (8.2), (8.5) и (8.2), (8.6), использующие интегральную информацию у^, у^ о движениях объекта. Построены также одношаговый и двухшаговый алгоритмы вычисления дуальных параметров Эйлера третьего порядка точности (8.2), (8.7) и (8.2), (8.8), использующие интегральную информацию о движениях объекта.
Алгоритмы, реализующие метод дуальной средней скорости, просты, обладают хорошей точностью при малом шаге интегрирования и удобны, поскольку позволяют использовать как мгновенную, так и интегральную информацию о вращательном и поступательном движениях объекта. Они построены на основе аналитического решения (6.92) кинематических уравнений винтового движения твердого тела (6.77) и относятся к дуальным алгоритмам второго порядка точности.
Дуальный алгоритм третьего порядка может быть использован для повышения точности решения задачи определения ориентации и местоположения объекта и снижения загрузки бортового вычислителя в случаях, когда величины ин и щ (г = 1,2,3) являются быстроменяю- щимися функциями времени.
Отметим, что в настоящее время для численного интегрирования кинематических уравнений вращательного движения объекта в параметрах Эйлера помимо метода средней скорости и алгоритмов третьего порядка точности, приведенных в параграфе 7.2, предложено много других алгоритмов [17, 20, 66, 87], отличающихся сложностью, точностью и видом используемой первичной информации. Для каждого из них, используя аппарат дуальных параметров Эйлера и принцип перенесения Котельникова-Штуди, можно построить дуальный аналог, который будет являться основой соответствующего алгоритма решения задачи определения ориентации и местоположения объекта.
Непосредственная реализация алгоритмов вычисления дуальных параметров Эйлера (8.2), (8.3); (8.2), (8.5); (8.2), (8.6); (8.2), (8.7); (8.2), (8.8), лежащих в основе решения задачи определения ориентации и местоположения объекта, возможна при использовании специально разработанных подпрограмм, реализующих действия с дуальными числами и функциями. Для реализации алгоритмов в обычной вычислительной среде необходимо в указанных соотношениях перейти от дуальных величин к вещественным, выделяя в них главные и моментные части. Такое выделение, проведенное в этом параграфе, приводит к соответствующим алгоритмам вычисления параметров винтового движения объекта.
Алгоритмы вычисления дуальных параметров Эйлера (Родрига- Гамильтона) и алгоритмы вычисления параметров винтового движения, дополненные соотношениями (6.20) или (3.63), имеющими в скалярной записи вид (3.66), (3.67), для вычисления декартовых координат местоположения объекта (проекций xt, и р^ (г = 1,2,3) радиуса-вектора г точки О2 объекта на оси инерциального и связанного базисов) через параметры винтового движения объекта, образуют алгоритмы решения задачи определения ориентации и местоположения объекта по мгновенной или интегральной информации об угловом и поступательном движениях объекта. Отметим следующие особенности этих алгоритмов.
Полученные алгоритмы, использующие дуальные величины, и алгоритмы, использующие вещественные параметры винтового движения, имеют структуры, аналогичные структурам соответствующих алгоритмов задачи определения ориентации объекта. Эта общность структур алгоритмов позволяет рационально построить программу вычислений (большинство вычислений, проводимых в соответствии с этими алгоритмами, может быть проведено по одной и той же подпрограмме умножения двух кватернионных матриц или подпрограмме умножения двух кватернионов).
Возможна новая организация вычислительных процессов, основанная на реализации дуальных алгоритмов.
Наличие у кинематических уравнений винтового движения твердого тела двух первых интегралов
Aq + А^ + А| + А| = 1, AqAq + А1А^ + А2А2 + А3А3 = 0,
эквивалентных одному дуальному интегралу Л2 + Л2 + Л2+Л2 = 1, позволяет использовать их для контроля и коррекции результатов вычислений.
Отметим также, что в силу установленной в третьей главе связи кватернионного и бикватернионного представления абсолютной и локальной производных от вектора с винтовым движением некоторого определенным образом вводимого координатного трехгранника полученные алгоритмы могут быть перенесены на такую задачу инерциальной навигации, как вычисление кажущейся скорости движущегося объекта с одновременным определением его ориентации по сигналам ньютонометров и измерителей абсолютной угловой скорости, жестко закрепленным на борту объекта. Для этого достаточно в полученных алгоритмах вместо проекций п^ (г = 1,2,3) линейной скорости объекта взять проекции кажущегося ускорения объекта на связанные с ним оси, а вместо декартовых координат ^ и ^ - проекции кажущейся скорости объекта на инерциальные и связанные координатные оси. Другие алгоритмы вычисления кажущейся скорости объекта и его ори
ентации, построенные с использованием дуального вектора «истинного поворота», получены в [65].
Перейдем к рассмотрению задачи определения ориентации и местоположения объекта в инерциальной системе координат, решаемой посредством интегрирования на борту объекта кинематических уравнений винтового движения твердого тела в дуальных параметрах Эйлера (Родрига-Гамильтона) (6.26) или (6.30) и использования соотношений (6.20). Полагаем, что на борту объекта имеется мгновенная информация о вращательном и поступательном движениях объекта (т. е. известны как функции времени проекции сщ, % = 1,2,3 вектора из абсолютной угловой скорости вращения объекта и проекции п^ вектора v абсолютной скорости какой-либо точки О2 объекта, например, его центра масс, на связанные с объектом координатные оси O^Y^ г = = 1,2,3) или интегральная информация вида
7г = | Wi(t)dt, It = j ^i^dt, г= 1,2,3.(8.1)
11
Задачу решаем, используя принцип перенесения Котельникова- Штуди.
Приближенные значения дуальных параметров Эйлера Aj (j = = 0, 1,2,3), характеризующих ориентацию и местоположение объекта в инерциальной системе координат X, в момент времени tn могут быть вычислены в соответствии с (6.78) по матричной или бикватернионной
Ап — N Ап_1 ~ Ап — Ап_1 о А ,(8.
где
Ап — (Aon, Ain, Л2П, Азп), Лп—1 — (Aon—ь Ain—ь А2П—ь Азп—i), или
А = Aon + МпЦ + Л2ПГ2 + Лзп/з,
An-i = Лоп-1 + Л1п_1/1 + Л2П_и’2 + Лзп_1/з,
Ajn — Aj(tn) > -^jn— i — Aj(tn_\), j — 0, 1,2, 3, tn — tn_\ + h.
Формулы (8.2) является дуальными аналогами формул (7.15), (7.16). В них 7V*(A*) — бикватернионная матрица (бикватернион), элементы Л* (j = 0, 1,2,3) которой (которого) вычисляются через известные проекции Ui(t\ Di(t) или интегралы у^, у? (г = 1,2,3) по формулам, вид которых определяется выбранным численным методом интегрирования. Эти формулы являются в соответствии с принципом перенесения Котельникова-Штуди дуальными аналогами соответствующих формул, служащих для вычисления вещественных величин А* в задаче определения ориентации движущегося объекта (см. параграф 7.2).
Для дуального аналога метода средней скорости, когда изменение положения кинематического винта U объекта в связанной с ним системе координат Уна шаге интегрирования h полагается пренебрежимо малым, элементы Л* (j = 0, 1,2,3) матрицы N* (или бикватерниона Л*) находятся в соответствии с (6.92) по формулам
ГГ
A2=cos-, К* = U-vUinsm-, г =1,2,3,
Г = j* U(t) ^< Uin = 1-Ц^п) = ^гп 3“ ^гп = ^г(^п) 3“ ^^г(^тг)’ (8*3) — 1
U = и + w-1 (gj • v),U-X =сс-1 - SUlT\w • v),Un = U(tn),
/ 221/2/ а
Ш = I+ Gc^ + С^зI ,(GJ • V) =+ ^2^2 + ^3^3-
Соотношения(8.3) позволяютнаходитьвеличиныЛ* (j = 0,1,2,3)
по мгновенной информации о вращательном и поступательном движениях объекта (по известным проекциям a)t(t) и щ(£) (г = 1,2,3)).
В предположении постоянства кинематического винта объекта на шаге интегрирования по положению (в связанной системе координат) справедливы дуальные аналоги соотношений (7.36):
U~lUin = Г"Т», Г» = | U^dt.(8.4)
1
Учитывая равенства (8.4), из (8.3) получаем алгоритм вычисления дуальных параметров Эйлера Л* (j = 0, 1,2,3) по интегральной информации (8.1) о движении объекта:
ГГ
Л*=СО8-, Л* = Г"1 Г» sin-,i = 1,2,3,
Г = 7 + S7-1 (7 • 7°),Г-1 = 7-1 — S7-3 (7 • 70),(8.5)
Алгоритмы (8.3) и (8.5) является дуальными аналогами алгоритмов (7.17) и (7.18). Поэтому их можно было получить, применяя принцип перенесения Котельникова-Штуди к алгоритмам (7.17) и (7.18).
Итак, алгоритм вычисления дуальных параметров Эйлера (8.2), (8.3), использующий мгновенную информацию о вращательном и поступательном движениях объекта, и алгоритм (8.2), (8.5), использующий интегральную информацию о движениях объекта, реализуют дуальный аналог метода средней скорости (метод дуальной средней скорости). Разлагая косинусы и синусы, фигурирующие в (8.3), (8.5), в ряды, и удерживая величины соответствующего порядка малости, получаем дуальные алгоритмы, реализующие приближения различных порядков к методу средней скорости. Так, для дуального алгоритма, реализующего второе приближение к методу дуальной средней скорости, вместо соотношений (8.5) имеем соотношения
Л5 = 1-|г2, Л* = |гъ г =1,2,3,(8.6)
ОZ
33
Ъ =7i + s7°, Г2 = 72 + 2s (7 • 7°) = ^7г2 + ^упГг=1г=1
Отметим, что алгоритмы (8.3) или (8.5) могут быть использованы, если ио ф 0 или у ф 0. В точках, где со = 0 или 7 = 0, вместо (8.3) или (8.5) нужно использовать соотношение Л* = 1 + ^sF0.
Алгоритмы вычисления дуальных параметров Эйлера, реализующие дуальный аналог метода средней скорости и его приближения разных порядков, просты, обладают хорошей точностью при малом шаге интегрирования и удобны, поскольку позволяют использовать как мгновенную, так и интегральную информацию о вращательном и поступательном движениях объекта. Эти алгоритмы относятся к дуальным алгоритмам второго порядка точности.
Для повышения точности решения задачи определения ориентации и местоположения объекта и снижения загрузки бортового вычислителя могут быть использованы дуальные алгоритмы более высоких порядков. Дуальный аналог одношагового алгоритма определения ориентации третьего порядка точности, рассмотренного в п. 7.2.3, образуется соотношением (8.2) и дуальным аналогом соотношений (7.21):
ла = 1-1г2, л; = Д_±г2)г + -^г*хг,(8.7)
оyzу Z4
33
г2 = 72 + 2s (7 • 7°) =7г2 + 2s ^2 7.73
г=1г=1
Г= [^у (t) dt= f cjy (t) dt + s fvy (t) dt = 7 + s7°, Г* = [ Uy^dt.
Здесь Л* — векторная (точнее, винтовая) часть бикватерниона Л*, Uy — отображение кинематического винта объекта на связанный базис (см. соотношения (6.14), (6.15)).
Дуальный аналог двухшагового алгоритма определения ориентации третьего порядка точности, рассмотренного в п. 7.2.4, образуется соотношением (8.2) и дуальным аналогом соотношений (7.23):
ла = 1-1г2, л; = (1-±г2)г + 1г'хг" (8.8)
33
г2 = 72 + 2s (7 • 7°) = ^ 72 + 2s ^ 7^3г=1г=1
Г= | Uy(t)dt = | wy(t)dt-\-s j vy(t) dt = 7 + 87°, ^тг—1£?г—1tn—l
tn—\-VH/2tn—vVh,
Г'=| UY^dt, Г" =| UY(t)dt.
11+Л/2
Алгоритмы (8.2), (8.7) и (8.2), (8.8) являются дуальными алгоритмами решения задачи определения ориентации и местоположения объекта третьего порядка точности и используют интегральную информацию о движении объекта. Если в соотношениях (8.7) и (8.8) пренебречь слагаемыми, содержащими множители 1Д§, I/24 и 1Аз, 1/з соответственно, то получим алгоритм (8.6), реализующий второе приближение к методу дуальной средней скорости.
Дуальные алгоритмы (8.2), (8.3); (8.2), (8.5); (8.2), (8.6), реализующие метод дуальной средней скорости, и дуальные алгоритмы третьего порядка точности (8.2), (8.7); (8.2), (8.8) позволяют вычислять по мгновенной или интегральной информации о движении объекта дуальные параметры Эйлера Ajn = Ajn + sX^ (J = 0, 1,2, 3), характеризующие в текущий момент времени tn конечное перемещение объекта относительно инерциальной системы координат X. Главные части этих дуальных параметров являются вещественными параметрами Эйлера Xjn, характеризующими ориентацию объекта в инерциальной системе координат в момент времени tn, а для вычисления декартовых координат местоположения объекта в этот момент времени (проекций х^ Угп (г = 1,2,3) радиуса-вектора г точки О2 объекта на оси инерциальной и связанной систем координат) необходимо воспользоваться соотношениями (3.60) или (3.63), использующими главные Xjn и моментные Xjn части дуальных параметров Эйлера Х,п.
Непосредственная реализация алгоритмов вычисления дуальных параметров Эйлера (8.2), (8.3); (8.2), (8.5); (8.2), (8.6); (8.2), (8.7); (8.2), (8.8), лежащих в основе решения задачи определения ориентации и местоположения объекта, возможна при использовании специальных подпрограмм, реализующих действия с дуальными числами
и функциями. Для реализации алгоритмов в обычной вычислительной среде необходимо в указанных соотношениях перейти от дуальных величин к вещественным, выделяя в них главные и моментные части. Такое выделение приводит к алгоритмам вычисления главных частей, совпадающим с соответствующими алгоритмами выше рассмотренной задачи ориентации, и к следующим алгоритмам вычисления моментных частей.
Алгоритм вычисления моментных частей AJ дуальных параметров Эйлера Kj (j = 0, 1,2,3) в момент времени tn:
Ап = п^Х^ + п°*Хп_\ ~Х°п = Х^_х о А* + Ап_! о Х°\(8.9)
Ап — (^Оп’^?n’^2n’^3n)’ А^ — (^On-b ^?п-Ь ^2п-Ь ^Зп-1)’
Алгоритмы вычисления моментных частей А °* дуальных величин ^*з U = 0, 1,2,3) (элементов матрицы п°* (или кватерниона А°*)): алгоритм метода дуальной средней скорости, использующий мгновенную информацию о движении объекта:
Ао* = -^7° sin|, 7= J Ц£)<й, 7о=шй’шп-7°.(8Ю)
Ar = 27°^n1^mcos^+[^nlyin-^n3(^n-Vn)^n]sin2> j = 1,2,3,
/ 3\33
= 52ч2.-v„ = 52чп«т, ш,,-7° = 52^г'чз
\г=1 /г=1г=1
алгоритм метода дуальной средней скорости, использующий интегральную информацию о движении объекта:
A- = -l7°sin2
= 7 ’= 7 ’i = 1,2,3, (8.11)i = 1,2,3, (8.11)17°7» cos 2 + Ц° - 7°7" *7^) sin 2 ,
= 7 ’
= 7 ’
i = 1,2,3, (8.11)
i = 1,2,3, (8.11)
алгоритм, реализующий второе приближение к методу дуальной средней скорости:
^о* =(717Г + 7272 + 7з7з) > >4=^ г =1,2,3; (8.12) одношаговый алгоритм третьего порядка точности, использующий интегральную информацию о движении объекта:
Ао°* = -|(7-7°),
Х°* =~+h°* х 7 + 7* х 7°),
(8.13)
33
7=| ^у(^) ^,tn — 17=| ^у(^) ^,tn — 17°= | NY^ dt,tn— 17°= | NY^ dt,tn— 1tn— 17* = | ^у(^) ^,tn —2tn— 17* = | ^у(^) ^,tn —2tn— 17°* = | vy(t) dt;tn —2tn— 17°* = | vy(t) dt;tn —2
7=| ^у(^) ^,
tn — 1
7=| ^у(^) ^,
tn — 1
7°= | NY^ dt,tn— 1
7°= | NY^ dt,tn— 1
tn— 1
7* = | ^у(^) ^,tn —2
tn— 1
7* = | ^у(^) ^,tn —2
tn— 1
7°* = | vy(t) dt;
tn —2
tn— 1
7°* = | vy(t) dt;
tn —2
двухшаговый алгоритм третьего порядка точности, использующий ин
тегральную информацию о движении объекта:
УТ =(7'7°).
Л" = ^ " i 72) Y " ^ (7 • 7°)7 + | (7°' х 7" + У х 7°") .(8.14)
3372 = ^73 7-7° = 52 7 7г°.г=1г=13372 = ^73 7-7° = 52 7 7г°.г=1г=17= | CJy(t) dt,tn — 17= | CJy(t) dt,tn — 17°= jvy(^)^,tn— 17°= jvy(^)^,tn— 1
33
72 = ^73 7-7° = 52 7 7г°.
г=1г=1
33
72 = ^73 7-7° = 52 7 7г°.
г=1г=1
7= | CJy(t) dt,
tn — 1
7= | CJy(t) dt,
tn — 1
7°= jvy(^)^,tn— 1
7°= jvy(^)^,tn— 1
tn—x +^-/27' =| u)Y^dt,tn—x +^-/27' =| u)Y^dt,t^-yYh/24°'=| vy(t)dt,tn— 1t^-yYh/24°'=| vy(t)dt,tn— 1
tn—x +^-/2
7' =| u)Y^dt,
tn—x +^-/2
7' =| u)Y^dt,
t^-yYh/2
4°'=| vy(t)dt,
tn— 1
t^-yYh/2
4°'=| vy(t)dt,
tn— 1
tn—x Yh| UOy(t)dt,tn—x Yh/2tn—x Yh| UOy(t)dt,tn—x Yh/2tn — xA-h, | vy(t)dt. tn-xYh/2tn — xA-h, | vy(t)dt. tn-xYh/2
tn—x Yh
| UOy(t)dt,
tn—x Yh/2
tn—x Yh
| UOy(t)dt,
tn—x Yh/2
tn — xA-h, | vy(t)dt. tn-xYh/2
tn — xA-h, | vy(t)dt. tn-xYh/2
В моменты времени, когда со = 0 или 7 = 0, вместо (8.10) и (8.11) необходимо использовать соотношения
У = 0, ХГ = ^А г = 1,2,3.
После вычисления главных Хр Х^ и моментных Х°р Х^* (j = = 0, 1,2,3) частей по одному из выше приведенных алгоритмов находятся декартовы координаты местоположения объекта (проекции х^ и pt (г = 1,2,3) радиуса-вектора г точки О^ объекта на оси инерциального и связанного базисов) в момент времени tn по одному из следующих алгоритмов:
алгоритм 1
(О, Ж1п, Ж2п> ^Зп) = 2^(Agn, А^, А^, Agn) ~ Гхп = 2АП о Ап,
(О, У\п, У2п’ УЗп) = 2п^(Аоп, — Ain, — А2п> —Азп) ~ Гун = 2АП о Ап,
(8.15) алгоритм 2
(О, Х\п, Х2п) ж3п) = (0, ХХп_ 1, ^2п— Ь ^Зп— 1) + 2т1^тп— 1 (Ад , А^ , А^ , Ад ),
(О, У1п» У2п» УЗп) =(0, У1п— Ь У2п— Ь УЗп— 1 ) +2п° (Ад,—Ар—А2 Ад).
(8.16)
Алгоритм 1 следует из соотношений (3.63), а алгоритм 2 — из соотношений (8.15), (8.9).
В приведенных алгоритмах п*, п°*, п, п° — кватернионные матрицы типа п, составленные из элементов Aj, AJ*, Xj, Х^ (j = 0, 1,2,3) соответственно; т и т* — кватернионные матрицы типа т, составленные из элементов Xj, Х^; нижние индексы п — 1 и п означают, что соответствующие величины относятся к моментам времени tn_x и tn = = tn_\ + h, где h — постоянный шаг интегрирования кинематических уравнений для моментных частей Xj (j = 0, 1,2,3) дуальных параметров Эйлера (этот шаг в общем случае может отличаться от шага интегрирования кинематических уравнений вращательного движения (уравнений для главных частей Aj), фигурирующего в задаче определения ориентации объекта).
Полученные соотношения представляют собой различные алгоритмы определения ориентации и местоположения объекта в параметрах винтового движения. Соотношения (7.16), (7.17), (8.9), (8.10), (8.15) образуют алгоритм, реализующий метод дуальной средней скорости и использующий мгновенную информацию о вращательном и поступательном движениях объекта (проекции ш^ и щ (г = 1,2,3) векторов скоростей и) и v). Соотношения (7.16), (7.18), (8.9), (8.11), (8.15) образуют алгоритм, также реализующий метод дуальной средней скорости, но уже использующий интегральную информацию (8.1) о движении объекта, а соотношения (7.16), (7.19), (8.9), (8.12), (8.15) — алгоритм, реализующий второе приближение к методу дуальной средней скорости. Соотношения (7.16), (7.20) (или (7.21)), (8.9), (8.13), (8.15) и (7.16), (7.22) (или (7.23)), (8.9), (8.14), (8.15) образуют одношаговый и двухшаговый алгоритмы третьего порядка точности, использующие интегральную информацию о движении объекта.
Заметим, что при использовании вместо (8.15) соотношений (8.16) отпадает необходимость в вычислении моментных частей AJn (j = = 0, 1,2,3) (из состава каждого из указанных алгоритмов выпадают соотношения (8.9)). Отметим также, что в большинстве случаев алгоритм, реализующий второе приближение к методу дуальной средней скорости, дает результаты, практически совпадающие с результатами, полученными с помощью двух других приведенных алгоритмов, реа-
лизующих метод дуальной средней скорости, в которых синусы и косинусы вычисляются по существующим стандартным подпрограммам. Поэтому алгоритм (7.16), (7.19), (8.9), (8.12), (8.15) в большинстве случаев имеет преимущество перед алгоритмами (7.16), (7.17), (8.9), (8.10), (8.15); (7.16), (7.18), (8.9), (8.11), (8.15) в силу его большей простоты.
Методические погрешности вычисленияпараметров винтового движения твердого тела
Методические погрешности вычисления параметров винтового движения объекта, обусловленные погрешностями численного интегрирования кинематических уравнений, являются одними из основных при определении ориентации и местоположения объекта по алгоритмам, рассмотренным в параграфе 8.1.
В параграфе 7.3 приведены результаты, относящиеся к задаче оценивания методических погрешностей вычисления параметров Эйлера (Родрига-Гамильтона): приведено матричное выражение методических погрешностей вычисления параметров Эйлера (7.33), справедливое для численных методов интегрирования кинематических уравнений (7.8) с фиксированным шагом; приведены выражения (7.40)-(7.42), (7.46), (7.47) ошибок некоммутативности вычисления параметров Эйлера по алгоритмам, реализующим метод средней скорости, для произвольного углового движения объекта и для случая конического движения объекта.
В этом параграфе перечисленные результаты распространены (с помощью аппарата дуальных параметров Эйлера и принципа перенесения Котельникова-Штуди) на задачу оценивания методических погрешностей вычисления параметров винтового движения объекта: получена формула (8.17) для оценки методических погрешностей вычисления дуальных параметров Эйлера, справедливая для численных методов интегрирования кинематических уравнений винтового движения (6.30) с фиксированным шагом (в том числе и для методов интегрирования, рассмотренных в параграфе 8.1); установлены соотношения, позволяющие оценивать ошибки некоммутативности вычисления дуальных параметров Эйлера по алгоритмам, реализующим метод дуальной средней скорости, для произвольного движения объекта и для случая винтового конического движения объекта.
Итак, рассмотрим методические погрешности вычисления параметров винтового движения объекта, обусловленные погрешностями численного интегрирования кинематических уравнений. Методические погрешности вычисления дуальных параметров Эйлера, возникающие при численном интегрировании кинематических уравнений (6.30) по алгоритмам, приведенным в параграфе 8.1, могут быть оценены по
формуле, являющейся дуальным аналогом формулы (7.33):
АЛ = — ЛД)|(Л« (^ ’ ) Mt) dt + O (hk) ,(8.17)
АЛ = Л' - Л = (АЛ0, AAi, АЛ2, АЛ3).
Здесь AAj = Л/ — Kj = AAj + sAAJ, j = 0, 1,2,3, — ошибки вычисления дуальных параметров Эйлера Aj, обусловленные выбранным численным методом интегрирования; матрица-столбец Л и бикватер- нионная матрица N составлены из точных значений дуальных параметров Л^, матрица-столбец Л' составлена из приближенных значений дуальных параметров Л/, вычисленных по тому или иному методу численного интегрирования кинематических уравнений (6.30); (hk~]/k\)dkAN^/dtk — первый член разложения в ряд Тейлора (в окрестности точки t = tn-i) матрицы A7V*, получающейся в результате сравнения матрицанта уравнения (6.30), построенного на интервале времени [tn_i,tn], с матрицей N\ фигурирующей в алгоритме (8.2) и определяемой выбранным численным методом интегрирования.
Так, методические ошибки вычисления дуальных параметров Эйлера (параметров винтового движения) по алгоритму (8.2), (8.5) ((7.16), (7.18), (8.9), (8.11), (8.15)), реализующему метод дуальной средней скорости, определяются матричным соотношением
to
X ^ЗДЖЖ - (7V„(<TV„(t)] Mt)dt + O(h3Y (8.18) являющимся дуальным аналогом соотношения (7.40).
Для алгоритмов, реализующих первое и второе приближения к методу дуальной средней скорости, в соответствии с (7.41) и (7.42) имеем
AMt) = ^hMt)pU(.t))2dt + O(h,2),(8.19)
to
АМ0 = ^Ь2АЧЙШ«х
to
х[ЯД)(Я,« - (ММ)Уад - (N4t))^Mt)dt + O(M). (8.20)
Для оценки методических ошибок вычисления дуальных параметров Эйлера по алгоритму (8.2), (8.5) при винтовом коническом движении объекта (когда кинематический винт U объекта изменяется по закону (6.83)) необходимо воспользоваться дуальными аналогами соотношений (7.46)-(7.49). Для их получения фигурирующие в этих
соотношениях вещественные величины АЛ, n+, A(to), АА^, рь щ, ^i, pt (2= 1,2,3), d, ш^, A* (j = 0, 1,2,3) необходимо заменить на дуальные АЛ = АА + sAA^ 7V+ = n+ + 8пЛ° A(to) = A(to)+sA°(to), AAt = AAt + s AA^, Pi = pi + sp^, Qi = щ + sq^, Ф1 = ^1 + s^, P^ = =pt Гspt° (i = 1,2,3), D = d^sd°, P+ =^++sn+°, Л* = A* + sA*° O'= 0,1,2,3).
Так, дуальный аналог формулы (7.48), позволяющий оценивать эвклидову норму вектора-столбца АЛ при винтовом коническом движении объекта, имеет вид
||AA|| = 1qi<M2||AA|| = 1qi<M2П2 ф2 у.2
||AA|| = 1qi<M2
||AA|| = 1qi<M2
(8.21)(8.21)%b+2D2(l-cos(^4))
(8.21)
(8.21)
г 1 1/2
и+ = [с^ + щ + ф,)2] .
Таким образом, использование аппарата дуальных параметров Эйлера позволяет получить формулы для оценки методических погрешностей решения задачи определения ориентации и местоположения объекта, обусловленных выбранным численным методом интегрирования кинематических уравнений, в терминах теории винтового конечного перемещения твердого тела.
Для получения формул, позволяющих оценивать методические погрешности вычисления параметров винтового движения, необходимо в полученных дуальных формулах (8.17)-(8.21) выделить главные и моментные части (главные части совпадают с соответствующими формулами для погрешностей вычисления вещественных параметров Эйлера). После этого легко находятся методические погрешности вычисления декартовых координат местоположения объекта, для чего необходимо воспользоваться соотношениями (3.63).
Влияние погрешностей в определении проекцийугловой и линейной скоростей твердого тела наточность вычисления параметров винтового движения
При вычислении параметров винтового движения объекта посредством численного интегрирования кинематических уравнений кроме методических погрешностей, рассмотренных в параграфе 8.2, возникают погрешности, обусловленные неточным определением проекций со^ и щ (г = 1,2,3) угловой и линейной скоростей объекта, а также неточным заданием начальных условий интегрирования кинематических уравнений (величин Xj(to) и X^to), j = 0, 1,2,3). Эти погрешности относятся к классу инструментальных погрешностей.
В параграфе 7.5 рассмотрено влияние погрешностей в определении проекций абсолютной угловой скорости вращения объекта и погрешностей неточного задания начальной ориентации объекта на точность вычисления параметров Эйлера. В настоящем параграфе результа-
ты этого рассмотрения обобщены с помощью принципа перенесения Котельникова-Штуди на задачу о влиянии погрешностей в определении проекций угловой и линейной скоростей объекта и погрешностей неточного задания начальных условий интегрирования на точность вычисления параметров винтового движения.
Показано, что дифференциальное линейное дуальное матричное уравнение ошибок (8.22) задачи определения ориентации и местоположения объекта в инерциальной системе координат интегрируется для произвольного движения объекта в квадратурах. Общее решение этого уравнения (8.23) позволяет оценить (по соотношениям (7.92), (8.25)) погрешности вычисления параметров винтового движения объекта, вызванные ошибками в определении проекций угловой и линейной скоростей объекта и ошибками в задании начальных условий интегрирования. Для этого необходимо, чтобы были заданы как функции времени не только инструментальные погрешности (погрешности Асщ и Ащ, г = 1,2,3, в определении проекций угловой и линейной скоростей объекта), но и параметры винтового движения, характеризующие действительное движение объекта.
Инструментальные погрешности вычисления параметров винтового движения объекта посредством численного интегрирования кинематических уравнений (6.30) могут быть исследованы с помощью дуальных уравнений ошибок.
На основании принципа перенесения Котельникова-Штуди и уравнения (7.87) имеем следующее матричное бикватернионное линейное уравнение ошибок, соответствующее уравнению (6.30):
2АА* = N^XX + XNu(t)X(t\ (8.22)
АА = (AAq, AAi , АЛ2, АЛ3), Л = (Ло, Ai, Л2, Л3).
Здесь XXj = XXj + s АДО (j = 0, 1,2, 3) — отклонения дуальных параметров Эйлера от их точных (невозмущенных) значений Xj(t) = Xj(t) + + sX^t) (погрешности вычисления дуальных параметров Эйлера), обусловленные погрешностями A^(t) и Ащ(£) (г = 1,2,3) в определении проекций ut и Dt угловой и линейной скоростей объекта и погрешностями AAjo = AAjo + зЛ^о заДания начальных условий интегрирования; Nu(t) = + snv(t), XNU = An^ + s Xnv — бикватернионные матрицы типа N, составленные из точных значений Ui(t) = a)i(t) + + s Vi(t) проекций кинематического винта U на связанный базис и из погрешностей XUi = А^ + s Ащ в определении этих проекций.
Общее решение уравнения ошибок (8.22) дается формулой
АЛ(£)=ЛД) (ЛДО))ТАЛ(Ц) + ^ ](W))TW)A^4xi(i)di , (8.23) to
являющейся дуальным аналогом формулы (7.92). Здесь AA(to) и N(to) — матрицы, составленные из начальных значений AAj(to) и Xj(to)
U = 0, 1,2,3) погрешностей АЛ7- и дуальных параметров Эйлера Х< AL74xi = (О, А/7Ь А/72, А/73).
ХХ^ = N^ХХ^ = N^Общее решение (8.23) можно записать в другом виде:
ХХ^ = N^
ХХ^ = N^
(8.24)(8.24)^(M)TAA(i0) + | jA^xiG)^
(8.24)
(8.24)
'to■
где ALAixi = (0, XU\, XU2, XU3) — вектор-столбец, составленный из проекций XUt (г = 1,2,3) мотора XU = Acj + sAv погрешностей в определении кинематического винта U, отнесенного к полюсу О2, на оси инерциальной системы координат.
Соотношения (8.23), (8.24) позволяют оценить влияние погрешностей XU^ (г = 1,2,3) в определении проекций кинематического винта на связанный базис (т. е. погрешностей А^, Ащ в определении проекций угловой и линейной скоростей объекта), а также ошибок АЛ? (to) 0 = 0, 1,2,3) начальных условий интегрирования кинематических уравнений на точность вычисления дуальных параметров Эйлера. Отметим, что в формуле (8.23) под знак интеграла входят величины Xj (из них составлены бикватернионные матрицы N и М), являющиеся известными функциями времени, если движение объекта задано.
Главная часть дуальной формулы (8.23), имеющая вид (7.92), и ее моментная часть
M°(t) = (AAgO), ДА^), AAg(O, AAg(O) =
= n°(tX«/XX(t) + n(t) (n(t0))TAA°(t0) + (n°(t0))TAA(t0)+
to
(8.25) где Auzixi = (0, Аоц, Ащ2, АЩ3), Av4Xi = (0, Ащ, Av2, Ацз), позволяют определить погрешности XXj и AAJ (J = 0, 1,2,3) вычисления параметров винтового движения объекта, вызванные ошибками Асщ, Ащ (г = 1,2,3) в определении проекций угловой и линейной скоростей объекта и ошибками XXj(to\ XXj(to) в задании начальных условий интегрирования. При этом необходимо, чтобы были заданы как функции времени винтовые параметры Xj и Xj, характеризующие действительное движение объекта (из них составлены кватернионные матрицы п, т и тг°, т°, входящие под знаки интегралов в формулах (7.92) и (8.25)).
Таким образом, задача о влиянии погрешностей в определении проекций угловой и линейной скоростей объекта на точность вычисления параметров винтового движения и, следовательно, на точность определения ориентации и местоположения объекта в инерциальной системе координат разрешается в первом приближении в квадратурах.
Алгоритмы определения ориентациии местоположения твердого тела в произвольноперемещающейся системе координат
В параграфе 8.1 рассмотрена задача определения ориентации и местоположения объекта в инерциальной системе координат, решаемая посредством интегрирования кинематических уравнений абсолютного винтового движения твердого тела. В ряде случаев (например, в инерциальной навигации, в кинематике пространственных механизмов) встает задача определения ориентации и местоположения объекта в произвольно перемещающейся опорной системе координат, решаемая посредством интегрирования кинематических уравнений относительного движения свободного твердого тела.
В настоящем параграфе показано, что использование аппарата коммутирующих между собой кватернионных и бикватернионных матриц двух типов и кинематических уравнений в параметрах винтового движения позволяет построить рациональную с вычислительной точки зрения структуру алгоритма решения этой задачи. Рациональность достигается за счет раздельного интегрирования мгновенных абсолютных винтовых движений объекта и опорной системы координат (что позволяет использовать различные по сложности алгоритмы интегрирования этих движений), использования вычислительной схемы в приращениях, а также за счет использования формулы сложения конечных перемещений в коммутирующих бикватернионных матрицах двух типов, позволяющей сгруппировать в алгоритме матрицы, составленные из приращений дуальных параметров Эйлера (Родрига-Гамильтона) (что в свою очередь позволяет существенно упростить алгоритм решения задачи и тем самым снизить загрузку вычислителя).
Построение алгоритмов определения ориентации и местоположения объекта в произвольно перемещающейся системе координат проведено в этом параграфе с помощью принципа перенесения Котельникова- Штуди. Вначале построены алгоритмы определения ориентации объекта в вещественных параметрах Эйлера в системе координат, вращающейся в инерциальном пространстве произвольным образом. Рассмотрены в качестве примеров задачи определения ориентации объекта с помощью бесплатформенной инерциальной навигационной системы относительно орбитальной системы координат и относительно ортодромического сопровождающего трехгранника (эти задачи имеют и самостоятельный интерес). После этого построены алгоритмы определения ориентации и местоположения объекта в произвольно перемещающейся системе координат, являющиеся дуальными аналогами соответствующих алгоритмов определения ориентации объекта.
Алгоритмы определения ориентации твердого тела относительно произвольно вращающейся системы координат в приращениях параметров Эйлера. Итак, рассмотрим вначале задачу
определения ориентации объекта, рассматриваемого как твердое тело, в параметрах Эйлера в системе координат, вращающейся произвольным образом, для того, чтобы в дальнейшем, используя принцип перенесения Котельникова-Штуди, распространить полученные в задаче определения ориентации результаты на более общую задачу определения ориентации и местоположения объекта в произвольно перемещающейся опорной системе координат.
Рассмотрим следующую схему поворотов связанной с объектом системы координат Y относительно инерциальной X;
X Y - X Z> Y.(8.26)
Аар
Здесь Z — некоторая опорная система координат, вращающаяся относительно инерциальной системы координат X с абсолютной угловой скоростью (Ji; А и а - кватернионы поворотов, характеризующие ориентации связанной системы координат Y (объекта) и опорной системы координат Z относительно инерциальной системы координат X соответственно, /3 — кватернион поворота, характеризующий ориентацию объекта относительно опорной системы координат Z (компонентами кватернионов А, ос, (3 являются параметры Эйлера (Родрига- Гамильтона) Aj, aj, Pj (j = 0, 1,2,3) соответственно); ш — вектор абсолютной угловой скорости вращения объекта.
Полагаем, что задана мгновенная информация об абсолютном угловом движении объекта, т. е. проекции ин (г = 1,2,3) вектора из на связанный базис или интегральная информация
7г = | wpppdt, г =1,2,3,
а также что заданы (или предварительно вычислены) проекции шц (г = 1,2,3) вектора ищ на оси системы координат Z или интегралы
7н = | wappdt, г =1,2,3. 1
Необходимо определить ориентацию объекта относительно вращающейся системы координат Z, т. е. параметры Эйлера Pj (j = 0, 1,2, 3). Параметры Pj могут быть найдены интегрированием матричного кинематического уравнения относительного углового движения, имеющего вид уравнения (5.146):
23* = пш3 - пршХ2 = (пш - тш1)3,(8.27)
/3 = (/Зо,/3[,/З2, Д),= (0, шз).
где пш, тгр и тшх — кватернионные матрицы типов п w т, элементы которых суть величины сщ, Pj и oxt-
Алгоритмы численного интегрирования системы (8.27), использующие интегральную первичную информацию о движении объекта и системы координат Z, оказываются достаточно сложными (особенно при
высоком порядке алгоритма интегрирования). Кроме того, компоненты ut (г = 1,2, 3) вектора ш являются в ряде случаев быстроменяющимися функциями времени, а компоненты им (г = 1,2,3) вектора ищ — медленноменяющимися. При определении ориентации объекта в этих случаях посредством численного интегрирования системы (8.27) производится совместное интегрирование быстрых и медленных движений
одним и тем же численным методом интегрирования, что не является рациональным. Поэтому для построения алгоритма решения задачи используем другой подход, реализующий раздельное интегрирование быстрых и медленных движений (т. е. движений объекта и системы координат Zy
системамисистемамиСистему (8.27) заменим двумя ей эквивалентными матричными
системами
системами
2А — n^A, А — (Ao, Ai, А2, Ад),
(8.28)(8.29)(8.28)(8.29)и соотношениеми соотношениемПр = п\п^ ~ /3 = т^Х,Пр = п\п^ ~ /3 = т^Х,2с¥ = пш\ ot, а: = (qq, c^i, Q2, с^з)
(8.28)
(8.29)
(8.28)
(8.29)
и соотношением
и соотношением
Пр = п\п^ ~ /3 = т^Х,
Пр = п\п^ ~ /3 = т^Х,
вытекающим из схемы поворотов (8.26) и формул сложения конечных поворотов в кватернионных матрицах (3.37), (3.38) (в соотношении (8.29) п\ и па, та — кватернионные матрицы поворотов, элементами которых являются параметры Эйлера Aj и otj (j = 0, 1,2,3); пш\ — кососимметрическая матрица типа п, элементами которой являются компоненты им (г = 1,2,3) вектора ищ).
Схему поворотов (8.26) представим в виде, удобном для получения алгоритма вычисления параметров Pj (j = 0, 1,2,3):
X> Уп-1 > Уп - X> Zu_x > Zu> yn. (8.30)
Aj^—1Qjn-1^^ЗЗзп
Здесь нижние индексы п и п — 1 указывают на то, что соответствующие величины вычислены на n-м или п — 1-м шаге; АА^ и Аау (j = 0, 1,2,3) — параметры Эйлера, характеризующие ориентации системы координат ¥п относительно ¥п_х и системы координат Zn относительно Zn_x соответственно (приращения параметров Эйлера Xj и а^.
В соответствии со схемой (8.30) и правилом (3.38) сложения конечных поворотов в кватернионных матрицах типа п имеем матричное равенство
^AA^An—1 = ^/Зп^Аск ^ст- Ь
где пда, п^а — кватернионные матрицы, элементы которых суть параметры Эйлера XXj, /\а^ (j = 0, 1,2,3).
Из этого равенства и соотношений (8.29), используя свойства кватернионных матриц типов п и т (в частности, их коммутативность), получаемт т
0n = l0n_b I = пдхтАа = тАапдх(8.31)
0п — ^Роп» Pin. Pirn РзпР 0п—\ — ^Роп— 1 * Рхп— 1 * Pin— 1 > 03п— 1 )>
где т^ — кватернионная матрица типа т, элементы которой суть величины Аау (j = 0, 1,2,3).
Соотношения (8.31) являются алгоритмом определения ориентации объекта относительно произвольно вращающейся системы координат Z в приращениях параметров Эйлера. Он позволяет по приращениям AAj и Аау (j = 0, 1,2,3) параметров Эйлера Xj и aj находить параметры Эйлера Рр характеризующие ориентацию объекта в системе координат Z. При необходимости от параметров Pj можно перейти по известным соотношениям к угловым переменным, например, углам рыскания гр тангажа и крена у объекта:
V^n = arctgV^n = arctgТО - р^р^
V^n = arctg
V^n = arctg
(/Зоп)2 + (/ЗУ-О,5’
7та = arctg у/1 уУ3, ^n = arcsin [2 (/?"/?”+/3q/3")] , (8.32)
W)+G<-0,5LJ
где г)зп, г^, уп — значения углов рыскания, тангажа и крена объекта в момент времени tn (на n-м шаге вычислений); Р™ (j = 0, 1,2,3) — вычисленные в момент времени tn по алгоритму (8.31) значения параметров Pj. Вычисления углов ориентации ^, ^, у в ряде случаев также целесообразно проводить по вычислительной схеме в приращениях. Введем приращения А/3^ параметров Эйлера Pj по формулам: Р^ = = /З™-1 + APj. Отметим, что приращения А/3^ в отличие от приращений AAj, Аау, введенных ранее, не имеют смысла параметров Эйлера. Подставляя Pj в (8.32) и раскладывая правые части полученных выражений в ряды по степеням приращений &Pj, получим формулы вида:
Фп = Фп-1 + ЫЗГирЦ,
^^-^/ДуХД^), 7п=7п-1 + M3j"U3j\ (8.33)
где f^, f^, Уу — отрезки рядов Тейлора, число членов которых определяется из требуемой точности решения задачи.
Приращения ZXPj, (j = 0, 1,2,3) находятся в соответствии с (8.31) по формуле
Д/З = (Д/Зо, Д/31, Д/32, А^з) = G " Е^-\
(8.34)
I = п^хтт^ = т^пдл,
где Е — единичная матрица размера 4x4.
Соотношения (8.31), (8.32) и (8.33), (8.34) определяют собой общую структуру алгоритмов определения ориентации объекта относительно вращающейся системы координат Z в приращениях. Приращения AAj, tXaj (j = 0, 1,2,3) параметров Эйлера, фигурирующие в этих соотношениях, могут быть получены в результате интегрирования уравнений (8.28) на интервале времени [tn_i, tn] с начальными уело-
виями (1,0, 0,0). Другими словами, величины АА^, Аау (j = 0, 1,2,3) являются элементами матрицантов уравнений (8.28), построенных на интервале времени [tn~i,tn], равном шагу интегрирования h. Для вычисления приращений АА^, Аау могут быть использованы алгоритмы различной сложности в зависимости от требуемой точности решения задачи ориентации. В параграфе 7.2 приведены алгоритмы вычисления приращений A* = ААj, реализующие метод средней скорости и использующие мгновенную или интегральную информацию об абсолютном угловом движении объекта (алгоритмы (7.17)-(7.19)), а также алгоритмы третьего порядка точности (7.20), (7.22); (7.21), (7.23), использующие интегральную первичную информацию об абсолютном угловом движении объекта. По аналогичным алгоритмам, получаемым из указанных алгоритмов заменой величин ищ (г = 1,2,3) на ищ-ь могут быть вычислены и приращения а* = Аау. Причем в тех случаях, когда вектор ищ является медленноменяющейся функцией времени, эффективными оказываются простейшие алгоритмы, реализующие метод средней скорости (алгоритмы типов (7.17)-(7.19))
Рассмотрим в качестве примеров задачи определения ориентации объекта относительно орбитальной системы координат (ОСК) и относительно нормальной ортодромической системы координат (НОСК).
В первом случае под системой координат Z следует понимать орбитальную систему координат [105], ось Z^ которой служит продолжением радиуса Земли, проходящего через центр масс объекта, ось Z^ лежит в плоскости орбиты объекта и направлена по вектору его орбитальной скорости, а ось Zx перпендикулярна плоскости орбиты и направлена так, чтобы система координат Z была правой. Вектор ищ абсолютной угловой скорости ОСК направлен по оси Z<. ищ = шх^\, где Zx — орт оси Zx, а величина ищ для движения объекта по эллиптической орбите является известной функцией времени. Поэтому в этом случае для вычисления приращений ^aj (j = 0, 1,2,3) по алгоритмам, реализующим метод средней скорости, в них следует положить
шц=Ш1(£), ш2=ш,)=0; 7п= | w\(t)dt, 712 = 713=0. (8.35) tn— 1
Для движения объекта по круговой орбите ЩЦ = ищ = const, 711 =
=
Во втором случае под системой координат Z следует понимать нормальную ортодромическую систему координат [21, 36], начало которой перемещается вместе с объектом, ось Z^ направлена по географической вертикали, а оси Zi и Z3 - на ортодромический север и восток соответственно. В этом случае приращения Аау (j = 0, 1,2,3) также целесообразно вычислять по одному из алгоритмов, реализующих метод средней скорости. Причем проекции ищг (^ = 1,2, 3) абсолютной угловой скорости НОСК вырабатываются бесплатформенной инерци-
альной навигационной системой (БИНС) в соответствии с уравнениями [21, 36]:
1/ WOWoAWoWOTJ* ^HO
л = —-I ——— I ,Ф =———,;
cost\ReoRo /RnoRo
wn = hno + A* cosФ, cw = Wo + A* sin Ф, u\3 = ueo — ^*, (8.36)
^eo = udi, uho = ^^2» ^eo = ud^*,d\ = sin (pn cos Ф — cos (pn sin Ф sin Л,
(/2 = sin ipn sin Ф + cos cpn cos Ф sin Л, d^ = cos cpn cos Л;
1 — e2 ) ’1 — e2 ) ’1 _ 1 /£Y 1
1 — e2 ) ’
1 — e2 ) ’
RnoRi \1 — e2 у ’ Reo
11 e2d\do D a* + H
Ro = “ Ё 1 — e2 ’1 = x*
где и — угловая скорость суточного вращения Земли, е2 — квадрат первого эксцентриситета, а* — большая полуось земного эллипсоида вращения, Н — высота над уровнем моря; Л, Ф — ортодромические долгота и широта местонахождения объекта; Ап, Гп — географические координаты северного полюса ортодромии, w (^ = N, Н, Е) — проекции скорости движения объекта относительно Земли на оси НОСК.
Проекции що (^ = N, Н, Е) относительной скорости объекта, фигурирующие в уравнениях (8.36), вырабатываются самой навигационной системой, если с ее помощью решается общая задача навигации объекта в НОСК (с определением координат местоположения и скорости объекта). Если же навигационная система предназначена лишь для решения задачи ориентации, и на борту объекта имеется информация о проекциях щотн (г = 1,2,3) относительной скорости объекта на связанные с ним оси, то для формирования проекций w (^ = С 2,3) наряду с уравнениями (8.36) необходимо использовать матричное соотношение
Voth — ^р^Р^отнУ) Voth — (0, Un , ^Н, 'W) , V0ThY — (0) ^Ioth» ^2отю ^Зотн)-
Уравнения (8.36), используемые для вычислений ин (г = 1,2,3), могут быть в ряде случаев существенно упрощены. Так, в тех задачах, где можно считать форму Земли сферической, в них следует положить е2 = 0, и* = 1. Угол Ф для движений объекта вблизи ортодромии остается малым во все время движения, поэтому в этих случаях можно положить собФ 8шФ^Ф. В получаемых при этом уравнениях в ряде случаев можно также пренебречь произведениями Л*Ф, иФ как величинами второго порядка малости.
Отличительной особенностью алгоритмов (8.31), (8.32) и (8.33), (8.34), позволяющих определять ориентацию объекта относительно произвольно вращающейся системы координат Z, является то, что фигурирующие в них кватернионные матрицы приращений параметров
Эйлера сгруппированы вместе (что было достигнуто за счет использования кватернионных матриц двух типов (п и т\ коммутирующих между собой). Это обстоятельство позволяет в ряде случаев существенно упростить алгоритмы определения ориентации.
Представим матрицу I в виде
I = тдапДЛ = (Да05 + (тда)т)(ДА05 + ПдЛ), (8.37) где т^а и ПдЛ — кососимметрические матрицы типов тип, составленные из элементов Аа^ и ААг (г = 1,2,3).
Приращения АА^, Аау (j = 0, 1,2,3), как уже указывалось, имеют смысл параметров Эйлера, определяющих собой малые конечные повороты систем координат ¥п и Zn относительно систем координат ¥п_х и Zn_x соответственно. Поэтому параметры ААо, Aqq близки к единице, а параметры АА^, Аа^ (г = 1,2,3) являются величинами первого порядка малости. Пренебрегая в соотношении (8.37) величиной второго порядка малости (тп'^Уполучим
I = AqqAAqS + Асцщдд + • (8.38)
В задачах ориентации вектор cji является во многих случаях мед- ленноменяющейся функцией времени. Поэтому изменение ориентации системы координат Z относительно инерциальной X происходит медленно и, следовательно, можно принять Aciq = 1. С учетом сказанного матрица I упрощается еще больше:
Z = XXqE + пда + ХХо(т^а)т. (8.39)
В некоторых случаях, когда абсолютная угловая скорость объекта является медленноменяющейся функцией времени, а шаг интегрирования h = tn — tn_\ является достаточно малым, можно также положить ААо = 1- Тогда , , т
Z = S + пдл + (шДск) . (8.40)
Таким образом, для вычисления матрицы Z, фигурирующей в алгоритмах (8.31) и (8.34) нахождения параметров Эйлера Pj (j = 0, 1,2,3) и приращений А/3^, вместо ее точного выражения может быть использовано одно из приближенных, но более простых соотношений (8.38)(8.40).
Отметим, что реализация алгоритма (8.34) вычисления приращений ^Pj У = 0, 1,2,3) в случае представления матрицы Z в виде (8.40) требует меньшего объема вычислений, чем алгоритм (8.31), (8.40) вычисления параметров Pj.
Таким образом, использование кватернионных матриц в алгоритмах определения ориентации объекта относительно вращающихся систем координат, реализующих вычислительную схему в приращениях, позволяет сгруппировать вместе матрицы, составленные из приращений параметров Эйлера, что, в свою очередь, позволяет существенно упростить алгоритмы и тем самым снизить загрузку бортового вычислителя, решающего задачу ориентации.
Алгоритмы определения ориентации и местоположения объекта относительно произвольно перемещающейся системы координат в приращениях дуальных параметров Эйлера. В пункте 8.4.1 получена рациональная с вычислительной точки зрения структура алгоритмов определения ориентации объекта в произвольно вращающейся системе координат, производимого посредством интегрирования кинематических уравнений. Рациональность достигается за счет раздельного интегрирования мгновенных абсолютных угловых движений объекта и опорной системы координат Z, использования вычислительной схемы в приращениях и коммутирующих между собой кватернионных матриц.
Полученные результаты распространим, применяя принцип перенесения Котельникова-Штуди, на задачу определения ориентации и местоположения объекта в опорной системе координат Z, перемещающейся в инерциальном пространстве произвольным образом.
Обозначим через U\ мотор мгновенного винта скоростей движения опорной системы координат ОзУ1У2^з(^) относительно инерциальной системы координат О\Х\Х^Х^ (X), отнесенный к полюсу Од: U\ = = иц + svi, где vi — абсолютная скорость движения полюса Од. Через U, по-прежнему, обозначим мотор мгновенного винта скоростей связанной с объектом системы координат О1У1У2У3 0П, отнесенный к полюсу О2: U = ш + sv. Через Aj, Aj, Ву (j = 0, 1,2,3) обозначим дуальные параметры Эйлера, характеризующие конечные перемещения системы координат У относительно X, Z относительно X и У относительно Z соответственно: Aj = Xj + sX^, Aj = aj + за?, Bj = Pj + sP?, где Xj, X?; aj, a?; Pj, P? — параметры соответствующих винтовых движений.
Полагаем, что имеется мгновенная информация об абсолютном движении объекта (т. е. известны ортогональные проекции Ui = ш^ + зщ, г = 1,2,3, винта U на связанный базис) или интегральная информация (8.1), а также заданы (или предварительно вычислены) проекции U\i = = ш^ + зим винта U\ на опорный базис Z или интегралы
tn, tn,
Ги = 7н + з7^= | dt + s | v^dt, г =1,2,3.
t-п,— 1 t-п,— 1
Необходимо определить ориентацию и местоположение объекта в опорной системе координат Z. Подобного рода задачи возникают в инерциальной навигации, в кинематике пространственных механизмов.
Указанная задача будет решена, если будут найдены дуальные параметры Эйлера Bj = Pj + sP? (J = 0, 1,2,3). Действительно, главные части Pj этих параметров являются вещественными параметрами Эйлера, характеризующими ориентацию объекта в опорной системе координат Z, а декартовые координаты местоположения объекта в этой системе координат найдутся через параметры винтового движения Pj, Pj по соотношениям, аналогичным (3.63).
Параметры Bj (j =0, 1,2,3) могут быть найдены интегрированием дуального матричного кинематического уравнения относительного винтового движения объекта:
2 В' = Nu В - NBUlz = (Nu - Mul)B,В= (Bo,Bi,B2,B3), UXz = ^Uu,Uti,U\3Y
являющегося дуальным аналогом уравнения (8.27). Здесь Nu, N^ и Ми\ — бикватернионные матрицы типов N и М, элементы которых суть величины U^ Bj и Uu.
Однако в силу причин, аналогичных указанным в выше рассмотренной задаче определения ориентации, целесообразнее использовать подход, при котором осуществляется раздельное интегрирование кинематических уравнений абсолютных винтовых движений объекта и опорной системы координат Z, являющихся дуальными аналогами уравнений (8.28), при этом используется вычислительная схема в приращениях, основанная на схеме конечных перемещений систем координат, аналогичной схеме (8.30), и используется аппарат бикватернионных матриц. Получающийся при этом алгоритм вычисления дуальных параметров Эйлера Bj = Pj + §Pj (J = 0, 1,2,3) является дуальным аналогом алгоритма (8.31) и имеет вид
В„ = £В„_1, L = N^mXa = mX^N^, (8.41)
Bn = (Воп, Вщ, B2n, B3n), Bn—1 = (Вуп— ь Bin—ь B2n_i, Взп-1).
Здесь Адд и Маа — бикватернионные матрицы типов N и М, составленные из приращений ЛЛ^ = AAj + sAA? и AAj = Аау + sAct? (j = 0, 1,2,3) дуальных параметров Эйлера Xj и Aj.
Для вычисления дуальной матрицы L, фигурирующей в алгоритме (8.41), может быть использовано в ряде случаев одно из следующих приближенных соотношений, являющихся дуальными аналогами соотношений (8.38)-(8.40):
L = ДАоДЛо5 + ДАо<л + ДЛо(^а)т, (8.42)
L = ДЛо^ + Мл + ДЛо(М^)т,(8.43)
L = Е + <л + (ЛДА)Т .(8.44)
Здесь АдЛ и М^А — кососимметрические бикватернионные матрицы типов N и М, составленные из элементов АЛг и АА^ (г = 1,2,3).
Соотношение (8.42) может быть использовано в большинстве задач определения ориентации и местоположения объекта, соотношение (8.43) — когда кинематический винт U\ опорной системы координат является медленноменяющейся функцией времени, а соотношение (8.44) — когда и U\ и кинематический винт U объекта являются медленноменяющимися функциями времени.
Для вычисления приращений AAj и AAj (j = 0, 1,2,3) дуальных параметров Эйлера Kj и Aj, из которых составлены бикватернионные
матрицы Адд, N^x и Мда, МдА, фигурирующие в алгоритмах (8.41 )— (8.44), могут быть использованы алгоритмы различной сложности в зависимости от требуемой точности решения задачи определения ориентации и местоположения объекта и от характера движений объекта и опорной системы координат Z. В частности, для вычисления приращений АЛ^ = Л* (j = 0, 1,2,3) могут быть использованы полученные в параграфе 8.1 алгоритмы, реализующие метод дуальной средней скорости и использующие мгновенную или интегральную информацию об абсолютном движении объекта (алгоритмы (8.2), (8.3); (8.2), (8.5); (8.2), (8.6)) или алгоритмы третьего порядка точности (8.2), (8.7); (8.2), (8.8), использующие интегральную первичную информацию о движении объекта. По аналогичным алгоритмам, получаемым из указанных алгоритмов заменой величин Aj* (j = 0, 1,2, 3) на A Aj и Ui (г = 1,2,3) на Uxi могут быть вычислены и приращения AAj. Причем во многих случаях AAj могут быть вычислены по простейшему алгоритму, реализующему второе приближение к методу дуальной средней скорости:
ДА0 = 1 - A2|t/,(UI2, bX^Uu^tC), г =1,2,3,оZ
/\ 2
|^i(A)|2 = \Uxx(tn))2 +, h = tn — tn_x.
Полученные дуальные алгоритмы задачи определения ориентации и местоположения объекта в произвольно перемещающейся опорной системе координат Z, решаемой посредством интегрирования кинематических уравнений, имеют те же особенности, что и соответствующие им алгоритмы задачи определения ориентации:
алгоритмы реализуют раздельное интегрирование мгновенных движений объекта и опорной системы координат (что позволяет использовать различные по сложности алгоритмы интегрирования этих движений),
алгоритмы допускают существенное упрощение, приводящее к уменьшению загрузки бортового вычислителя (следует отметить, что уменьшение объема вычислений в задаче определения ориентации и местоположения объекта, получаемое за счет упрощений алгоритма вычисления матрицы L, более заметно, чем в задаче определения ориентации, так, алгоритм (8.41) содержит 96 умножений и 80 сложений на каждом шаге вычислений, а алгоритм (8.41), (8.44) — 36 умножений и 48 сложений).
Отметим также, что полученные дуальные алгоритмы имеют, кроме этого, достоинства, аналогичные достоинствам, указанным в параграфе 8.1 для дуальных алгоритмов определения ориентации и местоположения объекта в инерциальной системе координат.
Глава 9
ИНЕРЦИАЛЬНАЯ ОРИЕНТАЦИЯ И НАВИГАЦИЯДВИЖУЩИХСЯ ОБЪЕКТОВ В ОПОРНЫХСОПРОВОЖДАЮЩИХ ТРЕХГРАННИКАХ
Введение в предмет и теорию инерциальнойориентации и навигации
Предметом инерциальной ориентации и навигации является изучение возможности определения местоположения и ориентации движущегося объекта инерциальными средствами (посредством физических приборов, расположенных на борту объекта и измеряющих те или иные характеристики движения объекта в инерциальном пространстве).
Физические приборы, называемые датчиками или чувствительными элементами, измеряющие эти характеристики движения, и бортовой вычислитель, позволяющий вычислять в реальном масштабе времени на борту движущегося объекта по определенному алгоритму и информации чувствительных элементов местоположение и ориентацию объекта, образуют систему инерциальной ориентации и навигации движущегося объекта.
Чувствительные элементы системы инерциальной ориентации и навигации могут быть расположены либо непосредственно (жестко) на борту движущегося объекта, либо на платформе, имеющей относительно объекта три степени свободы и сохраняющей в инерциальном пространстве свою ориентацию неизменной или вращающейся в инерциальном пространстве при движении объекта так, чтобы на борту объекта эта платформа (т. е. система координат, жестко с ней связанная) физически моделировала тот или иной неинерциальный координатный трехгранник, например, орбитальный трехгранник, географический или ортодромический сопровождающий трехгранник, азимутально свободный трехгранник.
В первом случае система инерциальной ориентации и навигации называется бесплатформенной (сокращенно БИНС или БИСОН), во втором — платформенной. Габариты и вес БИНС (а также ее стоимость) значительно меньше габаритов, веса и стоимости платформенной системы ориентации и навигации, однако чувствительные элементы БИНС функционируют в более неблагоприятных условиях, поэтому к ним
предъявляются более жесткие требования, чем к чувствительным элементам платформенных инерциальных навигационных систем. К тому же объем вычислений, проводимых на бортовом вычислителе бес- платформенной инерциальной навигационной системы, гораздо больше (на порядок и более), чем платформенной. Тем не менее, прогресс в создании высокопроизводительных вычислителей и высокоточных чувствительных элементов инерциальной ориентации и навигации делает БИНС наиболее привлекательной для массового использования в современных транспортных средствах различного назначения (космического, авиационного, морского, речного, наземного).
Помимо деления инерциальных систем ориентации и навигации на бесплатформенные и платформенные существует и другая их классификация: корректируемые и некорректируемые системы (по-другому, автономные или неавтономные системы). Для некорректируемых инерциальных систем ориентации и навигации определение местоположения и ориентации движущегося объекта осуществляется на его борту автономно, без использования внешней (по отношению к движущемуся объекту) информации. Автономность — очень ценное свойство инерциальных навигационных систем, позволяющее им оставаться вне конкуренции со стороны других, например, спутниковых навигационных систем в тех случаях, когда использование внешней информации на борту движущегося объекта невозможно или нежелательно по тем или иным причинам. Однако решение уравнений инерциальной навигации неустойчиво в смысле Ляпунова (точнее, неустойчив «вертикальный» канал системы инерциальной навигации). Поэтому длительная автономная инерциальная навигация невозможна. Для целей длительной навигации используются системы инерциальной навигации, корректируемые по внешней информации непрерывно или через определенные промежутки времени. Такие системы инерциальной ориентации и навигации называются корректируемыми или неавтономными. Отметим, что теория корректируемых БИНС строится на основе уравнений и соотношений классических (некорректируемых) БИНС, поэтому изучение теории инерциальной ориентации и навигации движущихся объектов следует начинать с изучения теории некорректируемых систем ориентации и навигации.
Рассмотрим принципы, уравнения и соотношения, лежащие в основе теории инерциальной ориентации и навигации движущихся объектов, а также задачи, решаемые с помощью БИНС.
Пусть объект, рассматриваемый как твердое тело, движется в пространстве произвольным образом.
Обозначим через О*Х1Х2Хз (X) инерциальную систему координат — систему координат с началом О* в центре притягивающего тела (например, Земли или Солнца) и с координатными осями, направленными на удаленные звезды, а через ОУ1У2У3 (У) — систему координат, жестко связанную с объектом (начало этой системы координат О
совпадает с одной из выбранных точек объекта, а ее координатные оси вращаются вместе с объектом).
Введем в рассмотрение следующие величины:
уг и Хк (г, к = 1,2,3) — орты (единичные векторы) координатных осей OYи О*Х^;
г — радиус-вектор объекта (точнее, выбранной точки О объекта), проводимый из центра притягивающего тела;
v = dr/dt и w = dv/dt = d2r/dt2 — векторы абсолютной скорости и абсолютного ускорения объекта (т. е. векторы скорости и ускорения объекта в инерциальной системе координат);
/ — гравитационное ускорение, создаваемое полем тяготения (Земли или Солнца) в точке О местонахождения объекта, являющееся функцией радиуса-вектора г объекта: / = /(г); для центрального ньютоновского гравитационного поля / = /(г) = — (р/г^г, где г = |г|, р — постоянная, равная произведению гравитационной постоянной на массу притягивающего тела;
а — вектор кажущегося ускорения объекта (точнее, точки О объекта), равный по определению разности вектора абсолютного ускорения объекта и вектора гравитационного ускорения: а = w — j\
и) — вектор абсолютной угловой скорости вращения объекта (системы координат У);
сгк = Ус хк (г, &= 1,2,3) — направляющий косинус угла между осями OYt и ОХс
с = \\ctkW — матрица направляющих косинусов углов между осями систем координат Y и X;
Xj (j = 0, 1,2,3) — параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона), характеризующие угловое положение объекта в инерциальной системе координат X;
А = Ao + А1/1 + А26 + Аз/з — кватернион поворота объекта в инерциальной системе координат (ц, i%, /3 — векторные мнимые единицы Гамильтона; Xj (j = 0, 1,2,3) — компоненты кватерниона поворота);
Хк = г-Хк (к = 1,2,3) — проекции радиуса-вектора г на оси инерциальной системы координат X декартовы координаты местоположения объекта в инерциальной системе координат);
Ук= г*Ук (к = 1,2,3) — проекции радиуса-вектора г на оси связанной системы координат Y;
Ик = v • ук, хк = v • Хк (к = 1,2, 3) — проекции вектора v абсолютной скорости объекта на оси систем координат Y и X;
Шк = ш • у к, &к = а • У к (к = 1,2, 3) — проекции вектора cj абсолютной угловой скорости и вектора а кажущегося ускорения объекта на оси связанной системы координат Y.
Задачей инерциальной ориентации и навигации в инерциальной системе координат является автономное определение декартовых координат Хк (к = 1,2, 3) местоположения объекта, проекций хь хк вектора v его абсолютной скорости на оси систем координат Y и X и параметров ориентации объекта в инерциальной системе координат (направляющих
косинусов ctk (^, А: = 1,2,3) и (или) параметров Родрига-Гамильтона (Эйлера) Xj (j = О, 1,2,3) ). Эта задача может быть решена с помощью численного интегрирования на борту движущегося объекта в реальном масштабе времени дифференциальных уравнений инерциальной ориентации и навигации, если на борту объекта расположена БИНС,
содержащая в своем составе чувствительные элементы, измеряющие векторы абсолютной угловой скорости и кажущегося ускорения объекта (точнее, проекции Шк и ак этих векторов на связанные координатные оси). Приборы, измеряющие проекции Шк и ак векторов ш и а, называются гиротахометрами и акселерометрами (или ньютонометрами). Отметим, что в настоящее время все большее применение находят не только гироскопические измерители абсолютной угловой скорости объекта (отсюда происхождение названия «гиротахометр»), но и измерители абсолютной угловой скорости, построенные на других физических
принципах: волоконно-оптические, волновые твердотельные и другие.
В основе теории инерциальной ориентации и навигации движущегося объекта лежат хорошо известные уравнения теоретической меха
ники для ранее введенных векторных величин:ники для ранее введенных векторных величин:dr— = V,dtdr— = V,dtdv,— = w = а +dv,— = w = а +dxidtdxidti = 1,2,3.i = 1,2,3.
ники для ранее введенных векторных величин:
ники для ранее введенных векторных величин:
dr
— = V,
dt
dr
— = V,
dt
dv,
— = w = а +
dv,
— = w = а +
dxidt
dxidt
i = 1,2,3.
i = 1,2,3.
Эти уравнения записаны в инерциальной системе координат (присутствующие в них производные имеют смысл абсолютных производных). Запишем их в связанной системе координат, используя известные связи абсолютных и локальных (относительных) производных:
г = 1,2,3.г = 1,2,3.+ и) х Xi = О,+ и) х Xi = О,(9.1)(9.2)(9.1)(9.2)
г = 1,2,3.
г = 1,2,3.
+ и) х Xi = О,
+ и) х Xi = О,
(9.1)
(9.2)
(9.1)
(9.2)
Здесь запись (db/dt)y означает локальную производную от вектора b (b = г, v, х^, вычисленную в связанной системе координат Y; все векторы г, v, a, j, ш и Xi полагаются определенными своими проекциями Ук, Vk, ак, Зк = ЛЖУх +У2 +Уз)3/2)№> шк И cki =Xi-yk (к = 1,2,3) в связанной системе координат.
Векторные уравнения (9.1) образуют в скалярной записи нелинейную систему шести обыкновенных нестационарных дифференциальных уравнений первого порядка относительно переменных ук, Vk (&= 1,2,3).
Векторные уравнения (9.2) могут быть записаны в виде одного матричного дифференциального уравнения
(СЦ С12 С13 \/О 0)3 -0)2
(9.3)(9.3)С21 С22 С23, Qy = —OJ3 00)1
(9.3)
(9.3)
С31 С32 С33 /\О
которое эквивалентно скалярной системе, состоящей из девяти линейных обыкновенных нестационарных дифференциальных уравнений
первого порядка относительно переменных с^к (i,k = 1,2,3) (направляющих косинусов), называемых кинематическими уравнениями Пуассона.
Совместное интегрирование векторных уравнений (9.1) и кинематических уравнений Пуассона (9.3) в предположении, что начальные условия движения объекта по переменным рь ^к и ^гк ^Л = 1,2,3) заданы и что известны как функции времени величины Шк и ак (они измеряются на борту движущегося объекта), и использование соотношений перепроектирования
(жьжг.жз) = Ст(у1,у2,уз), («1,«2-уз) = cT(vi,v2,v3),(9.4)
векторов г и v из связанной в инерциальную систему координат позволяет вычислять декартовые координаты Хк и направляющие косинусы с^к (i, к = 1,2,3), характеризующие местоположение объекта и его ориентацию в инерциальной системе координат, а также проекции Ик и v^ (к = 1,2,3) вектора абсолютной скорости объекта на связанные и инерциальные координатные оси.
В современных системах инерциальной ориентации и навигации движущихся объектов для определения ориентации объекта в инерциальной системе координат вместо кинематических уравнений Пуассона (9.3) часто используется кватернионное дифференциальное кинематическое уравнение в параметрах Эйлера (Родрига-Гамильтона) Xj 0=0, 1,2,3): 2А = А о шу, А = Aq + Ai/i+А2/2 + А30, шу = ^1й "Vuo^i^-Vu^iy (9.5) которое эквивалентно скалярной системе, состоящей из четырех линейных обыкновенных нестационарных дифференциальных уравнений первого порядка относительно переменных Xj.
Размерность этой системы дифференциальных уравнений ориентации в параметрах Эйлера существенно меньше (на пять единиц) размерности системы кинематических уравнений Пуассона, что делает ее более привлекательной как для аналитического изучения задачи определения ориентации объекта с помощью БИНС, так и для ее численного решения на борту движущегося объекта.
Отметим, что при использовании вместо матричного кинематического уравнения Пуассона (9.3) кватернионного кинематического уравнения в параметрах Эйлера (9.5) для решения задач инерциальной навигации объекта в инерциальной системе координат вместо матричных алгебраических соотношений (9.4) необходимо использовать кватернионные алгебраические соотношения перепроектирования
гх=ХогуоХ, vx=XovYoX, А = Aq —Ai/1 —А2/2 —А3/3, (9.6) где rY = pxi\ + р^ + p3i3 и rx = xxi\ + х^ + x3i3, ny = ^ц + ^2 + + x3i3 и ух = ^ й + x^ + ^3^*3 — отображения векторов г и v на базисы Y и X соответственно.
Итак, в основе инерциальной ориентации и навигации движущихся объектов любого назначения лежат дифференциальные уравнения ориентации и навигации (9.1), (9.3) и алгебраические соотношения (9.4)
или уравнения (9.1), (9.5) и соотношения (9.6). Интегрирование этих уравнений в реальном масштабе времени на бортовом вычислителе с использованием информации чувствительных элементов БИНС и информации о начальных условиях движения объекта позволяет автономно решать задачи ориентации и навигации объекта в инерциальной системе координат.
Отметим, что задачи, решаемые с помощью БИНС, определяются классом движущихся объектов, для которых предназначена БИНС, а также выбором той системы координат, в которой должны решаться задачи ориентации и навигации движущегося объекта. Однако в любом случае при построении теории и алгоритмов работы БИНС в качестве исходных используются выше приведенные уравнения и соотношения.
Инерциальные навигационные системы бесплатформенного типа, как уже отмечалось, отличаются от платформенных систем гораздо большим объемом проводимых вычислений, поскольку функции платформы, физически моделирующей на борту движущегося объекта тот или иной координатный трехгранник, в БИНС возлагаются на бортовой вычислитель. Поэтому одной из основных проблем, возникающих при разработке БИНС, является построение алгоритмов работы бортового вычислителя, оптимальных по точности, объему вычислений, требуемой памяти БЦВМ и другим критериям. Вид и сложность алгоритмов работы БИНС существенно зависят от тех задач, которые надлежит решать с помощью БИНС, от состава измерительных систем, возможностей бортового вычислителя, класса движущихся объектов и ряда других факторов.
В настоящем разделе рассматриваются уравнения и алгоритмы некорректируемой БИНС, определяющей ориентацию объекта относительно ортодромического или географического сопровождающего трехгранника, криволинейные координаты (ортодромические или географические) местоположения объекта, проекции линейной скорости движения объекта относительно Земли на оси сопровождающего трехгранника. Такие БИНС используются для автономного решения задач ориентации и навигации самолетов, морских и речных судов, различных наземных экипажей. Кроме этого, рассматриваются основные особенности реализации приводимых алгоритмов на бортовых вычислителях и основные аспекты математического моделирования алгоритмов работы БИНС на универсальных ЭВМ.
Постановка задач инерциальной ориентациии навигации объекта в ортодромической
и географической опорных системах координат
Рассматривается задача инерциальной навигации объекта в ортодромической и географической опорных системах координат, решаемая с помощью бесплатформенной инерциальной навигационной системы
(БИНС), имеющей в своем составе три ньютонометра и пространственный измеритель абсолютной угловой скорости, жестко закрепленные на борту объекта, и бортовой вычислитель (БЦВМ). Считается, что в задачу инерциальной навигации входит определение ориентации объекта относительно ортодромического или географического сопровождающего трехгранника (углов ориентации объекта: ортодромического или географического курса, углов тангажа и крена), проекций линейной скорости движения объекта относительно Земли на оси ортодромического или географического сопровождающего трехгранника, криволинейных координат местоположения объекта (ортодромических или географических). В качестве исходной информации для решения этой задачи принимаются проекции векторов кажущегося ускорения и абсолютной угловой скорости объекта на связанные с ним оси (или приращения интегралов от них), формируемые чувствительными элементами БИНС.
При рассмотрении задач ориентации и навигации объекта используются следующие системы координат.
ОуХуХ^Х^(X*) — геоцентрическая инерциальная система координат с началом в центре масс Земли, принимаемой за эллипсоид вращения. Ось Х^ направлена по полярной оси Земли (вдоль вектора и угловой скорости вращения Земли); оси Х^, Х^ расположены в плоскости экватора и не участвуют в суточном вращении Земли.
01919293(9) — геоцентрическая система координат, жестко связанная с Землей. Ось гр направлена по оси Х^; оси 772, 9з расположены в плоскости экватора, причем ось т)2 совпадает с линией пересечения плоскости экватора и гринвичского меридиана.
O\Z\ ZjZ^(Z’^ — нормальная географическая система координат (НГСК), начало О2 которой совпадает с одной из точек объекта (точкой местоположения чувствительных масс ньютонометров). Ось Zj направлена по географической вертикали вверх, ось Z{ — вдоль касательной к меридиану Д-эллипсоида на север, ось Z{ — вдоль касательной к параллели на восток.
OKK2S3M — геоцентрическая ортодромическая система координат, жестко связанная с Землей. Ось q направлена вдоль оси ортодромии в сторону ее северного полюса, ось ^ расположена в плоскости географического экватора и направлена в сторону восходящего узла по линии пересечения плоскости ортодромии с географическим экватором.
02^1 ^2^3(Z) — нормальная ортодромическая система координат (НОСК). Ось Z2 направлена по географической вертикали вверх (совпадает с осью Z2), ось Z\ — по касательной к ортодромическому меридиану к северному полюсу ортодромии, ось Z3 — по касательной к ортодромической параллели на «восток».
О2У1У2У3(У) — связанная с объектом система координат. Ось Y\ направлена по продольной оси объекта, ось Y2 — по нормальной, а ось Уз — по поперечной.
Все введенные системы координат являются правыми. Схемы поворотов координатных трехгранников приведены на рисунках 9.1-9.8. На них р = ро + ut (и — угловая скорость вращения Земли, t — время), А, ср — географическая долгота и широта местонахождения объекта; Ап, Гп — географические координаты северного полюса ортодромии; Л, Ф — ортодромические долгота и широта местонахождения объекта; X — угол разворота нормальной ортодромической системы координат относительно нормальной географической; ф — географический курс
Для задания ориентации объекта относительно НОСК используются две схема поворотов: схема поворотов 1 (рис. 9.7) или схема поворотов 2 (рис. 9.8). Схема поворотов 1 аналогична схеме поворотов объекта относительно НГСК (рис. 9.6), причем угол Ф, взятый со знаком минус, является в этом случае ортодромическим курсом. Удобство задания ориентации объекта относительно НОСК посредством схемы поворотов 2 заключается в том, что продольная ось объекта У\ при его движении по ортодромии будет отклонена на малые углы Ф, 6 относительно оси Z3, направленной по касательной к ортодромической параллели (в отличие от схемы поворотов 1, для которой угол Ф может принимать любое значение).
Взаимная ориентация введенных координатных трехгранников задается параметрами Эйлера в соответствии со схемой поворотовВзаимная ориентация введенных координатных трехгранников задается параметрами Эйлера в соответствии со схемой поворотовгде Хр (Зр Xj (J=0, 1,2,3) — параметры Эйлера, характеризующие ориентацию объекта (трехгранника У) относительно трехгранниковгде Хр (Зр Xj (J=0, 1,2,3) — параметры Эйлера, характеризующие ориентацию объекта (трехгранника У) относительно трехгранников
Взаимная ориентация введенных координатных трехгранников задается параметрами Эйлера в соответствии со схемой поворотов
Взаимная ориентация введенных координатных трехгранников задается параметрами Эйлера в соответствии со схемой поворотов
где Хр (Зр Xj (J=0, 1,2,3) — параметры Эйлера, характеризующие ориентацию объекта (трехгранника У) относительно трехгранников
где Хр (Зр Xj (J=0, 1,2,3) — параметры Эйлера, характеризующие ориентацию объекта (трехгранника У) относительно трехгранников
X*, Z, Z' соответственно; а^ Vj (J = 0, 1,2,3) — параметры Эйлера, характеризующие ориентацию НОСК и НГСК относительно инерциальной системы координат X*.
Одной из целей при разработке БИНС является создание математического и алгоритмического обеспечения функционирования БИНС, вырабатывающей углы ориентации объекта относительно ортодромиче- ского или географического сопровождающего трехгранника: ортодро- мический курс — Ф или географический курс ф, углы тангажа и крена у (для схемы поворотов 2 углы 0 и Г); проекции що или гц (г = N, Н, Е) линейной скорости движения объекта относительно Земли на оси ортодромического или географического сопровождающего трехгранника; криволинейные координаты местонахождения объекта: ор- тодромические долготу Л, широту Ф и высоту над уровнем моря Н или географические долготу А, широту (р и высоту над уровнем моря Н.
Уравнения инерциальной навигации объектав ортодромической и географическойопорных системах координат
Алгоритмы функционирования БИНС, позволяющие вычислять указанные в параграфе 9.2 величины по сигналам чувствительных элементов БИНС (проекциям at и сщ (г = 1,2,3) векторов кажущегося ускорения и абсолютной угловой скорости объекта на связанные с ним
14 Ю.Н. Челноков
оси (или приращениям интегралов от этих проекций)), строятся на основе уравнений идеальной работы БИНС, т. е. на основе дифференциальных и функциональных соотношений, связывающих между собой величины at и (г = 1,2,3), измеряемые чувствительными элементами БИНС (при условии их идеального функционирования), с навигационными параметрами (координатами местонахождения и проекциями скорости) и параметрами ориентации. Возможны различные варианты уравнений идеальной работы БИНС [5, 21, 36], решающей вышеуказанные задачи. Они отличаются друг от друга видом используемых кинематических параметров, выбором систем координат, в которых производится интегрирование дифференциальных уравнений навигации и ориентации. При решении задач навигации и определения ориентации объекта с помощью БИНС необходимо производить интегрирование кинематических уравнений ориентации в той или иной их форме и осуществлять преобразования координат посредством тех или иных кинематических параметров. К наиболее распространенным, используемым в инерциальной навигации, кинематическим параметрам относятся углы Эйлера-Крылова, направляющие косинусы и параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона). Кинематические уравнения в направляющих косинусах и параметрах Эйлера являются линейными дифференциальными уравнениями, не вырождающимися ни при каком угловом положении объекта. Кинематические же уравнения в углах Эйлера-Крылова являются существенно нелинейными и вырождаются при некоторых положениях объекта, что отражает эффект складывания рамок карданова подвеса (поскольку любая тройка углов Эйлера- Крылова моделирует некоторый карданов подвес). К тому же неудобство углов Эйлера-Крылова состоит в том, что численное интегрирование кинематических уравнений Эйлера и преобразование координат в углах Эйлера-Крылова связано с тригонометрическими функциями, существенно снижающими эффективность использования БЦВМ. По этим причинам углы Эйлера-Крылова не являются конкурентноспособными в большинстве задач ориентации и навигации объекта, решаемых посредством БИНС, по сравнению с направляющими косинусами и параметрами Эйлера.
Анализ различных вариантов уравнений идеальной работы БИНС, решающей задачи ориентации и навигации объекта в ортодромической и географической системах координат, показывает, что в качестве основных могут быть рекомендованы ниже приводимые уравнения идеального функционирования БИНС в НОСК и НГСК, в которых в качестве промежуточных кинематических параметров ориентации используются параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона) [124, 125, 140-142, 160].
Уравнения инерциальной навигации в географической опорной системе координат. Обозначим через г радиус-вектор, определяющий положение начала связанной системы координат У (точки О2) в инерциальной системе координат X* (этот же вектор будет
определять положение точки О^ в системе координат р, связанной с Землей, так как начала систем координат X* и р совпадают).
Абсолютная скорость ха точки О2 (т. е. ее скорость относительно системы координат X*)
д/д X3
dr (dr\
'- = » = U) + “xr r = E'№<9-7>
47 Лz=l
Здесь и — угловая скорость вращения Земли; pi (г = 1,2, 3) — проекции вектора г на оси системы координат р; г^ — орты этой системы координат; локальная производная (dr/dt)^ вектора г в системе координат р равна вектору v^ земной относительной скорости (скорости точки О2 относительно земной поверхности):
vk=(Z](9.8)
4/ ч
Вектор хк разложим по ортам 2/, z^, xj нормальной географической системы координат Z’\
Nk = -UNZ\ + VHZ2 + VEZ3 .(9.9)
Здесь un, ^h, ^e — северная, вертикальная и восточная составляющие относительной скорости объекта.
Абсолютное ускорение точки О2
wwdVgdtdVgdt(9.10)(9.10)
w
w
dVgdt
dVgdt
(9.10)
(9.10)
где (dva/dt)^ — локальная производная от вектора ха в системе коор
динат р.
(9.11)(9.12)(9.11)(9.12)Учитывая (9.7) и (9.8), из (9.10) получаем
(9.11)
(9.12)
(9.11)
(9.12)
С другой стороны,.
Wa = а +/,
где а — вектор кажущегося ускорения, измеряемый пространственным ньютонометром: / — ускорение, создаваемое полем тяготения Земли в точке местонахождения объекта, которое может быть выражено через ускорение g силы тяжести:
j = g и х (и х г), g = j-ux^uxry(9.13)
^3uxNk-9.(9.14)^3uxNk-9.(9.14)Подставляя (9.12) и (9.13) в (9.11), находим
^3uxNk-9.(9.14)
^3uxNk-9.(9.14)
\dt Л
Отметим, что а = — g при v^ = 0.
Спроектируем уравнение (9.14) на оси нормальной географической системы координат Z', абсолютную угловую скорость которой обозначим через с^2- Для этого будем считать систему координат р опорной. Относительно нее система координат Z' вращается с угловой
скоростью Шг = С^2 — и (отметим, ЧТО угловые скорости CJ2 = Ше и шТ являются для объекта переносной и относительной угловыми скоростями). Тогда
(9.15)
\ п \
Подставим (9.15) в (9.14):
(9.16)(9.16)(9.17)(9.17)/dv^Ах
(9.16)
(9.16)
(9.17)
(9.17)
а =+ Vй + ^2) х ^к - g,
где
—-= UNZx + 1)HZ2 + ^Е^З .
dt
Теперь спроектируем уравнение (9.16) на оси системы координат Z'\
Un^X + UhZ2 + Ue%3 = aNZ\ + O-H^S + О-е^зГ
ZXZ2 z{
+ gNZi+gnzEgEzk+ gNZi+gnzEgEzkUn UH UE
+ gNZi+gnzEgEzk
+ gNZi+gnzEgEzk
Ujv+^2E Uh+^2H НеГШ2е
Отсюда находим дифференциальные связи проекций относительной скорости с проекциями кажущегося ускорения и ускорения силы тяжести:.
Dn = aN Г (Ue + ^Е^Н - VUH + ^н^Е + 9N,
ин = ан ~ (ue + ш2Е^е + (un + ш2Е^е + Эн,(9.18)
UE = ^Е + ^Н + Ш2н^Е - (un + ^2n)1)H + 9Е-
Здесь буквами а, и, ш2, д с нижними индексами N, Н, Е обозначены проекции векторов а, и, ш2 = cje, g на оси Z{, Z2, Z{ нормальной географической системы координат Z’.
Из рисунка 9.2 следует, что
= и cos (р, ин = и sin 99, ue = 0;(9.19)
u2n = un + A * cos ip = (u + A *) cos (p = X*a cos ip,
ш2н = uh + A* sin 99 = (u + A*) sine/; = A^ sine/;, ш2е = — Г* • (9.20)
Полагая, что вектор g лежит на оси Z2 (это предположение выполняется с точностью, достаточной для решения многих задач инерциальной навигации [21]) и направлен в сторону отрицательной ее полуоси, получим
5^ = 0, дн = ~д = -И, дв = 0.(9.21)
Географическая широта 99, долгота А и высота Н над уровнем моря связаны с проекциями относительной скорости объекта дифференциальными соотношениями [21]:
(9.22)(9.22)ue . un ин
(9.22)
(9.22)
,99 = —, Н = —
Rx cos 99R2и*
где
р а* + Н(а*+Я)(1-е2)*/2.2V/2,Q9m
Ei =, Е2 =^-, и = 1 - е sin 99, (9.23)
И*И*6\/
а* — большая полуось земного эллипсоида вращения, е2 — квадрат первого эксцентриситета (для референц-эллипсоида Ф.Н. Красовского а* = 6378245 м, е2 = 0,006692).
Первая и третья из формул (9.22) точные, вторая справедлива с точностью до членов третьего порядка малости относительно коэффициента сжатия эллипсоида вращения а е2/2 (она позволяет определить широту 99 с ошибкой, не превосходящей 3")-
Из (9.22) можно получить приближенные соотношения [21]:
А =, у =Н =vH, (9.24)
(Ею + Н) cos 99 Е2о + Н
справедливые с точностью до величин второго порядка малости относительно коэффициента сжатия а.
В этих соотношениях
о _1-е2)
Ею - —, Е2о - •(9.2b)
Отметим, что выражения для Ею cos 99 и Е20 совпадают с выражениями для радиусов кривизны географической параллели и меридиана, приведенными в [36] для сфероида.
Подставляя (9.22) в (9.20), получим
| UE ,UN т ™
^2N = UN + W2H = Uh + -5- tg99, U)2E =(9.26)
Et2
Рассмотрим кинематические уравнения углового движения связанного трехгранника Y относительно географического Z’.
Приведем схему поворотов, иллюстрирующую движения трехгранников Y и Z’\
X* —> Z' Шт > У ~ X* —-—> Y.
cXatp’V3^'^ЗА, Х3
На этой схеме через и)т обозначен вектор угловой скорости вращения связанной системы координат Y относительно Z', а через А, с, с\аср ~ матрицы направляющих косинусов углов между осями систем координат Y и X*, Y и Z’, Z' и X* соответственно.
Кинематические уравнения движения трехгранников Y и Z’ в параметрах Эйлера имеют вид:
2 п* = пшп, 2 п1 = n^2Uv, 2пх = пштпх. (9.27)
Здесь п, пу, пх — кватернионные матрицы поворотов, составленные из параметров Эйлера Aj, Vp х^ (j = 0, 1,2,3) соответственно; пш, иш2^ ишт — кватернионные матрицы коэффициентов (четырехмерные кососимметрические матрицы угловых скоростей), составленные из проекций векторов и), и)2, ^г на оси систем координат У, Z’, Y соответственно.
Параметры Эйлера Aj, Vp Xj (j = 0, 1,2,3) связаны матричным
соотношением
(9.28)
вытекающим из приведенной схемы поворотов и первой из формул (3.38) сложения конечных поворотов в кватернионных матрицах.
Дифференцируя (9.28) по времени и учитывая уравнения (9.27),
получим
или
■х - П^ПШ2,
(9.29)
Развернутая запись этого уравнения такова:
2
И2
/ ^0
%2
\ ^3
^2 \^з -Х1
-х3
х2
-W1
о
-^3
-х2
-Х1
—СО2
^3
0
—^2
Xi
Х2
-Х2
Xi
^2N
^2Н
\ ^2Е /
(9.30)
Уравнения (9.30) являются кинематическими уравнениями движения трехгранника У (объекта) относительно нормального географического трехгранника Z' в параметрах Эйлера х^ (j = 0, 1,2, 3). Удобство этих уравнений заключается в том, что в них используются проекции ш^ (г = 1,2,3) вектора и) абсолютной угловой скорости объекта на связанные с объектом оси и проекции u)2n, ^2Н, ^2Е вектора с^2 абсолютной угловой скорости нормального географического трехгранника Z’ на его же оси. Величины cot измеряются на борту объекта пространственным измерителем абсолютной угловой скорости, а величины ^дг, Ш2Н s ^2е вырабатываются навигационной системой.
Получим также кинематические уравнения движения трехгранника У относительно Z' в других кинематических параметрах: в направляющих косинусах (i, к = 1,2,3).
В соответствии со схемой поворотов имеем
Д — С С\а(р.
Дифференцируя (9.31) по времени и учитывая, что Д РА, С РрС, С\аср Ре ^Аар^
(9.31)
где Р, Рг, Ре — кососимметрические матрицы 3-го порядка, составленные из проекций векторов ш, шГ, ше = с^2 на оси трехгранников У, У, Z' соответственно, находим
С = Р С — сРе.
В развернутой записи имеем
(9.32)
С11 с12
С21 С22
ЛЗ
'23
\ С31 С32 с33
о
-^3
^2
^3
о
-W1
-^2 \ / СЦ
^1С21
о / \ с31
С12
С22
С32
С13
С23 сзз
СЦ С12 С13С21 С22 С23С31 С32 СззСЦ С12 С13С21 С22 С23С31 С32 СззОШ2Е ~^2Н
СЦ С12 С13
С21 С22 С23
С31 С32 Сзз
СЦ С12 С13
С21 С22 С23
С31 С32 Сзз
(9.33)(9.33)—Ш2ЕО U2N
(9.33)
(9.33)
U)2H -^2N О
Уравнения (9.33) являются кинематическими уравнениями движения трехгранника У относительно Z' в направляющих косинусах с^ (г,к = 1,2,3). Они обладают теми же достоинствами, что и уравнения (9.30) в параметрах Эйлера. Однако число этих уравнений превышает на 5 число уравнений в параметрах Эйлера.
Параметры Эйлера Xj (j =0, 1,2,3) связаны с направляющими косинусами с^ (г, к = 1,2,3) равенствами вида (2.20):
Ci3 = 2(xix3 - х0х2), С23 = 2(х2Хз + х0Х1), с33 = 2^+2^-1.Ci3 = 2(xix3 - х0х2), С23 = 2(х2Хз + х0Х1), с33 = 2^+2^-1.C12=2(xiX2 + х0х3), С22 =2Xq+2x|— 1, Сз2=2(х2Хз-Х0Х1),C12=2(xiX2 + х0х3), С22 =2Xq+2x|— 1, Сз2=2(х2Хз-Х0Х1),сп = 2х^ + 2xf- 1, с21 =2(xix2-x0x3), с31 =2(xix3 + x0x2),
Ci3 = 2(xix3 - х0х2), С23 = 2(х2Хз + х0Х1), с33 = 2^+2^-1.
Ci3 = 2(xix3 - х0х2), С23 = 2(х2Хз + х0Х1), с33 = 2^+2^-1.
C12=2(xiX2 + х0х3), С22 =2Xq+2x|— 1, Сз2=2(х2Хз-Х0Х1),
C12=2(xiX2 + х0х3), С22 =2Xq+2x|— 1, Сз2=2(х2Хз-Х0Х1),
(9.34)
Углы рыскания ф, тангажа и крена у, характеризующие ори
ентацию объекта относительно нормальной географической системы координат Z’, выражаются через с^ (г, к = 1,2,3) и Xj (j = 0, 1,2,3) по формулам:
,/С13tg^=Си,/С13tg^=СиХ0Х2-Х1Х3__С32Xo2 + xf-O, 5’C22Х0Х2-Х1Х3__С32Xo2 + xf-O, 5’C22Х0Х1-Х2Х3xq2 + x| — 0, 5 ’Х0Х1-Х2Х3xq2 + x| — 0, 5 ’(9.35)(9.35)
,/С13
tg^=
Си
,/С13
tg^=
Си
Х0Х2-Х1Х3__С32
Xo2 + xf-O, 5’C22
Х0Х2-Х1Х3__С32
Xo2 + xf-O, 5’C22
Х0Х1-Х2Х3xq2 + x| — 0, 5 ’
Х0Х1-Х2Х3xq2 + x| — 0, 5 ’
(9.35)
(9.35)
sin^ = C12 = 2(xiX2 + Х0Х3).
Объединяя уравнения (9.18), (9.19)-(9.22), (9.23), (9.26), (9.30), (9.34) и (9.35), получим уравнения инерциальной навигации объекта относительно нормальной географической системы координат, являющиеся уравнениями идеального функционирования БИНС в НГСК:
^*N = O-N + ^23^Н — ^Н + Ш22^Е,
^Н = йн — ^23^N + (^Я + ^21)^Е - д,(9.36)
Се =+ (^Н + ^22^N - (^N + ^21)^я;
(9.37)(9.38)(9.39)(9.37)(9.38)(9.39)2 и = пшх - nxu)2z- = (^ - ^2)^
(9.37)
(9.38)
(9.39)
(9.37)
(9.38)
(9.39)
X = (х0, Xi, Х2, Х^,U)2Z' = (0,6^21,^22, ^23);
Х = Ъ’^ = Я = ”’
COS (рК2х*
de^^n
^21=^я + ^-, ^22 = ^Я + ^Е tg —, СС23 =
П2
un = ucosp), ин = и siiEp;
Ri = ^T^’Н2=^а +H\^ е\ х* = (1-е281пУ)1/2;(9.40)
Х0Х2-Х1Х3x0xi-x2x3 .
п г’ ^7=^—2 п г» sm^ = 2(xix2 + xox3); (9.41) -0, 5Xg+Xf-O, 5
ctz' = пТхтха, az- = (0, ан, ан, ав);(9.42)
*2
g = ^Э0 a—2 (1+5 s1r2 +) •(9.43)
(a* + Hf
Здесь at (г = 1,2,3) и ан, ан, ав — проекции вектора кажущегося ускорения на объектовые оси и на оси НГСК; и^ и cj2i = Ш2н, ^22 = = Ш2н, ^23 = Ш2Е — проекции векторов абсолютных угловых скоростей вращения объекта и НГСК на объектовые оси и на оси НГСК; пх, тх, тш2 ~ кватернионные матрицы типов пит, элементы которых суть величины х^ (j = 0, 1,2,3), а)2г*, д — модуль ускорения силы тяжести, и = 7,29 • 10-5с-1 — угловая скорость суточного вращения Земли, е2 = 0,006692 — квадрат первого эксцентриситета, а* = 6378245 м — большая полуось земного эллипсоида вращения, рэо = 9,78049 м/с2, 5 = 5,317- 10-3.
Уравнения (9.36)-(9.43) являются уравнениями идеальной работы БИНС, решающей задачи ориентации и навигации объекта в географической системе координат. Уравнения (9.36)-(9.38), дополненные соотношениями (9.39), (9.40), (9.42), (9.43), образуют замкнутую систему нелинейных дифференциальных уравнений 10-го порядка относительно неизвестных ин, vh, ^е, А, ср, Н, Xj (j = 0, 1,2,3). Проекции at, ин (i = 1,2,3) (или приращения интегралов от них), как уже отмечалось, измеряются чувствительными элементами БИНС. Поэтому интегрирование системы (9.36)-(9.38) на бортовом вычислителе для заданных начальных условий позволяет найти в текущий момент времени северную ин, вертикальную ^н и восточную de составляющие относительной скорости объекта (в проекциях на оси НГСК), географические координаты А и местонахождения объекта, высоту Н над уровнем моря, параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона) Xj, характеризующие ориентацию объекта относительно НГСК. Соотношения (9.41) позволяют по найденным значениям параметров Xj вычислять значения углов рыскания ф (а также географический курс объекта, равный —V0> тангажа ^ и крена у. Соотношение (9.43) [21] позволяет выразить ускорение силы тяжести д, фигурирующее в уравнениях (9.36), через широту (р и высоту Н.
Вместо системы (9.37) могут быть использованы две системы дифференциальных уравнений:
2А* =n^A,А = (Ао, Аь А2, А3),(9.44)
2z/=n^2z/, V = (v0) щ, V2,V3)(9.45)
и матричное соотношение
х = т^Д = n(v3,—v\,—V2,—из),(9.46)
где пШ2, т» — кватернионные матрицы типов пит, составленные из элементов Ш2% (^ = 1,2, 3) и Vj (J = 0, 1,2, 3).
Кроме этого, вместо системы (9.37) могут быть взяты система (9.44) и формулы, связывающие параметры Эйлера Vj (j = 0, 1,2,3) с географическими широтой р и долготой А:
Ео = cos((/;/2) cos(Aa/2), щ = cos((/;/2) sin(Aa/2),
v2 = sin((/V2) sin(Aa/2), e3 = - sin(</?/2) cos(Aa/2), (9.47)
Xa = A + po + ut, где po — значение угла разворота системы координат р относительно X* в начальный момент времени.
Используя уравнения (9.36)-(9.43) и (9.44)-(9.47) можно решать задачи ориентации и навигации объекта не только в географической, но и в ортодромической системе координат. Для этого необходимо дополнить эти уравнения соотношениями
cos(/;nsin(An - А)т
tgX = :ттгр Ф = X ± А (9.48)
sin рп cos р — cos рп sin р cos(An — А)
И NO = COS X^N + Sin Х^Е, VHQ = vh, VEQ = - sin x^E + COS x^e;
(9.49)
sin Ф = sin pn sin p + cos pn cos p cos(A — An),
cos Ф sin Л = cos pn sin p — sin pn cos p cos(A — An), (9.50) cos Ф cos Л = cos p sin(A — An).
Уравнения инерциальной навигации в ортодромической опорной системе координат. Для их получения необходимо спроектировать уравнение (9.14) на оси нормальной ортодромической системы координат Z.
Разложим вектор v^ относительной скорости объекта по ортам 2ь 22, 2з системы координат Z\
^к = DnoZx + Dho22 + Deo23.
Примем систему координат р в качестве опорной. Тогда
(dvk/dOr, = (dNk/dt)z + шго х vk,(9.51)
где wTO = шео — и есть вектор угловой скорости вращения системы координат Z относительно р (шео — вектор абсолютной угловой скорости вращения системы координат Z).
Подставляя (9.51) в (9.14), получим
а = (dvk/dt)z + (и + и;ео) xvk - g.(9.52)
Проектируя (9.52) на оси системы координат Z, находим
^Е0 = O-N0 + ^Е0 + ШеО^НО ~ (^Н0 + ^НО^ЕО,
^HQ = ^Я0 - (^Е0 + WEO^NO + (^N0 + ^no^eo ~9,(9.53)
у Е0 = ^Е0 + (^Н0 + WHO^NO — (^ЕО + ^Ео)^ЯО-
Здесь ono, а-но, о-ео; unq, uhq, ii-eo; ^nq, шно, ^eq — проекции векторов а , и , шео на оси ортодромической системы координат Z.
Проекции а^о, Wo, Wo кажущегося ускорения а на оси системы координат Z могут быть выражены через его проекции at (г = 1,2,3) на оси системы координат У, связанной с объектом, по формулам
333
= У Ci\а^' ано = У СЙ ai’ аЕ0 = У с°з сц. (9.54)
г=1г=1г=1
где с^ (г, к = 1,2,3) — направляющие косинусы углов между осями систем координат У и Z.
Проекции а^ (г = 1,2,3), как уже отмечалось, измеряются пространственным ньютонометром; направляющие косинусы с^. (г, к = = 1,2,3) связаны с проекциями ин и uno, ^hq, ^eq кинематическими уравнениями
(
О Юз —/О ШеО —^яо\
-Шз О Ш1 ||сУЧкУ -WE0 0,(9.55)
0^2 —^10 /у Юно —^NQ 0 /
которые получаются так же, как и уравнения (9.33).
Направляющие косинусы с°к (г, к = 1,2,3) могут быть выражены через параметры Эйлера Pj (j = 0, 1,2,3), характеризующие ориентацию трехгранника У относительно Z, по формулам, аналогичным (9.34):
^=2/32+2/32-1,с°2 =2(/31/32+/30/Зз), с°3 = 2(/31/33-/30/32),
с^^г^/Зз-А/Зз), с22 =2/3q+2/32 -1,с23 = 2(/32/33+/30/3i), (9.56)
^1=2(/31/Зз+/30/32), ^2=2(/32/Зз-/30/31), ^3 = 2/Зо2+2/32-1.
В свою очередь параметры Эйлера Pj (j = 0, 1,2,3) связаны с проекциями ut (г = 1,2, 3) и uno, ^hq, ^eq угловых скоростей ш и шео кинематическими уравнениями, аналогичными уравнениям
//36 \
/ 0 -wj -w2
-+з\
/ /?о\
*/Зо -/31 -/32 -/3з^
/ 0 \
/3i
сщ 0 из
—^2
/31
/31 /Зо /Зз -/32
/32
Ш2 —Шз 0
/32
/32 -/Зз /?о /31
Шно
Vs)
yW 0)2 ~1Щ
0 /
Уз/
^/Зз /32 -/31 /Зо /
\^Е0 /
(9.57)
(9.58)(9.58)Проекции n^o, Wo, Wo угловой скорости вращения Земли на оси системы координат Z определяются из матричного соотношения
(9.58)
(9.58)
(W0, W0, Wo) = СЛфСА^п(^, 0, 0).
Здесь сдф, сд^п — матрицы направляющих косинусов, имеющие видЗдесь сдф, сд^п — матрицы направляющих косинусов, имеющие вид[21]:[21]:(cos Ф 8шФо(cos Ф 8шФо— sin Ф cos Л — sin Ф sin Л cos Ф cos Л cos Ф sin Л — sin Л cos Л— sin Ф cos Л — sin Ф sin Л cos Ф cos Л cos Ф sin Л — sin Л cos Л(9.59)(9.59)
Здесь сдф, сд^п — матрицы направляющих косинусов, имеющие вид
Здесь сдф, сд^п — матрицы направляющих косинусов, имеющие вид
[21]:
[21]:
(cos Ф 8шФ
о
(cos Ф 8шФ
о
— sin Ф cos Л — sin Ф sin Л cos Ф cos Л cos Ф sin Л — sin Л cos Л
— sin Ф cos Л — sin Ф sin Л cos Ф cos Л cos Ф sin Л — sin Л cos Л
(9.59)
(9.59)
(
sin ^n cos ^n cos An cos ^п sin Ап \
О -sinAn cosAn ;(9.60)
cos ipn — sin ipn cos An — sin ipn sin An /
^-TVO = M, ^НО = ^^2,^B0 = ^3,(9.61)
где
d\ = sin cpn cos Ф — cos ipn sin Ф sin A = cos ip cos y,
ds = sin cpn sin Ф + cos ipn cos Ф sin Л = sin ip, (9.62)
(/3 = cos(/;n cos A = — cos 92 siny.
Проекции абсолютной угловой скорости трехгранника Z на его же
оси имеют вид:
из no = ^no + A cos Ф, шно = Wo + A sin Ф, шео = ueo — Ф • (9.63)
Ортодромические широта Ф и долгота Л связаны с проекциями относительной скорости дифференциальными соотношениями [21]
д. = /ф. = /ЕЛ _ М \ ,(9.64)
у Reo Ro / созФ’ \^о Ro / ’
где
1 _1 /еМ\ А 1_ 1 /е2(/2 А
RnoRx \1 — е^ уReo Rx \1 — е% у
Е ==^ = 0-e2d22)V2.(9.65)
Ro Ki 1 - е2и*
Высота над уровнем моря находится по третьей из формул (9.22)
(гак какд'= „„/V.(9.66)
Наконец, углы рыскания Ф, тангажа ^ и крена у объекта определяются через параметры Эйлера Pj (J =0, 1,2,3) или направляющие косинусы с°к (г, к = 1,2,3) по формулам, аналогичным (9.35):
тС13tg» = W 1тС13tg» = W 1ЗоЗз " 3\3з= _£32 = АА " ЗзЗз
тС13
tg» = W 1
тС13
tg» = W 1
/3g + ^?-O,5’87 cg2 у + ^ -0,5’
sintf = с°2 = 2(/?1/32 + ЗоЗзУ
Объединяя уравнения (9.53), (9.54), (9.56), (9.57), (9.61)-(9.67), получим уравнения инерциальной навигации объекта относительно нормальной ортодромической системы координат Z, являющиеся уравнениями идеального функционирования БИНС в НОСК [124, 125, 141, ^^' ^N0 = &N0 + (^Е0 + ^1з) W0 - (^Н0 + ^12)
^Н0 = Wo - (^Е0 + ^13)wo + (^N0 + ^11)Wo - 9» (9.68) ^Е0 = аЕ0 + ^Н0 + ^12)Wo - ^N0 + ^11)Wo;
2/36 = -(^1 - ^n)/3i - (^2 - ^12)^2 - (^з - ^1з)/3з, 2/31 = (^1 - ^11)/Зо + (^3 + ^1з)/^2 - (^2 + w)/33, 2/36 = (^2 - ^12)/Зо - (^з + ^1з)/31 + (^i + ^ц)/3з, 2/Зз = (^3 - ^1з)/3о + (^2 + ^12)/31 - (^1 + ^11)/32.
V ( ^Е0^NoX 1/ ^NOVeq\VHQ m
л = I ~— I —, Ф = ——— , rz =; (у. / и)
у Reo Rq / cos Ф у Rno Rq /^*
^ii = hno + Л* cosФ, сщ2 = uho + Л* sinФ, сщз = ueq — Ф*, (9.71)
E/yO = M, ^ЯО = ^^2» ^EO = ^^3id\ = sin ipn cos Ф — cos ipn sin Ф sin Л,
(/2 = sin cpn sin Ф + cos cpn cos Ф sin Л, (/3 = cos cpn cos Л. (9.72) 1 _1 /e^d^ \1_ 1 /e2d2 \
RnoRx у1 — e2 JReo Rx \1 — e2 J
11 e2did3a* + H *2ЯХ1/2
RoRi 1
, РоР^-РхРз ._ P0PX-P2P3 •1\
§Ф-/32+/32-0,5* g7"/32+/52-0,5’ ^"^^ЧоМ (9-74)
333
(9.75)(9.75)d-NO = У? ciXaECl HO = У2 Ci2aE CLEO = ^ Ci3ai-
(9.75)
(9.75)
i=Xi=Xi=X
4=2/32 + 2/32-l, c^M-ftM 4=2(/3i/53+/30/32),4=2/32 + 2/32-l, c^M-ftM 4=2(/3i/53+/30/32),c°X2=2U?vMP(M со22=2320+2ЗГЬ с^ЛЗ^-ЗйЗхЗc°X2=2U?vMP(M со22=2320+2ЗГЬ с^ЛЗ^-ЗйЗхЗс°хз = 2(Д33-3<М <^=2<N3^0»3\\ (9.76)
4=2/32 + 2/32-l, c^M-ftM 4=2(/3i/53+/30/32),
4=2/32 + 2/32-l, c^M-ftM 4=2(/3i/53+/30/32),
c°X2=2U?vMP(M со22=2320+2ЗГЬ с^ЛЗ^-ЗйЗхЗ
c°X2=2U?vMP(M со22=2320+2ЗГЬ с^ЛЗ^-ЗйЗхЗ
Ч = 2/32 + 2/32-1;
(1+М2) •(1+М2) •9эоС1
(1+М2) •
(1+М2) •
9=9
(а* + Hf
Здесь uno, ^но, ^ео ~ проекции вектора скорости движения объекта относительно Земли на оси НОСК; ш^ (г = 1,2,3) и о^п = uno, ^12 = = шно, ^13 = ^ео — проекции векторов абсолютных угловых скоростей вращения объекта и НОСК на объектовые оси и на оси HOCK; ono^ ciho, cleo и сц — проекции вектора кажущегося ускорения а точки местоположения чувствительных масс ньютонометров на оси НОСК и на объектовые оси; д — модуль ускорения силы тяжести, и = = 7,29 • 10-5 1/с — угловая скорость суточного вращения Земли, е2 = = 0,006692 — квадрат первого эксцентриситета, а* = 6378245 м — большая полуось земного эллипсоида вращения; сЕ (i,j = 1,2,3) — направляющие косинусы углов между осями связанной с объектом системы координат и осями НОСК; дэо = 9.78049 м/с2, 5 = 5,317 ■ 10"3.
Соотношения (9.74) соответствуют схеме поворотов, приведенной на рис. 9.7. Для схемы поворотов, приведенной на рис. 9.8, вместо соотношений (9.74) необходимо взять соотношения
tgT =tgT =уьзНдЕЕ ^Ч^-о.з’уьзНдЕЕ ^Ч^-о.з’tgT =tgT =31/?2+/Зр/Зз/32+/?2-О,5’31/?2+/Зр/Зз/32+/?2-О,5’8ш0 = 2(/Зо/51-/32/53). (9.77)8ш0 = 2(/Зо/51-/32/53). (9.77)
tgT =
tgT =
уьзНдЕЕ ^Ч^-о.з’
уьзНдЕЕ ^Ч^-о.з’
tgT =
tgT =
31/?2+/Зр/Зз
/32+/?2-О,5’
31/?2+/Зр/Зз
/32+/?2-О,5’
8ш0 = 2(/Зо/51-/32/53). (9.77)
8ш0 = 2(/Зо/51-/32/53). (9.77)
Уравнения (9.68)-(9.77) являются уравнениями идеальной работы БИНС, решающей задачи ориентации и навигации объекта в ортодро- мической системе координат. Они образуют замкнутую систему нелинейных дифференциальных уравнений 10-го порядка относительно неизвестных ^но» ^ео» Л, Ф, Н, Pj (j = О, 1,2, 3). Проекции аг и (г = 1,2,3) векторов кажущегося ускорения и абсолютной угловой скорости объекта на связанные с ним оси (или приращения интегралов от них / а^ dt, J о)^ dt) формируются чувствительными элементами БИНС и поэтому являются известными функциями времени. Интегрирование на БЦВМ системы (9.68)-(9.70) для заданных начальных условий позволяет найти в текущий момент времени северную vn^ вертикальную Уно и восточную пео составляющие относительной скорости объекта, ортодромические координаты Л и Ф местоположения объекта, высоту Н над уровнем моря, параметры Эйлера Pj (j = 0, 1,2,3), характеризующие ориентацию объекта относительно НОСК. Соотношения (9.74) позволяют вычислять значения углов тангажа и крена объекта, а также ортодромического курса.
В матричной форме уравнения (9.69) и соотношения (9.75), (9.76) имеют вид
2/3* = пшр - npujxz = (n^ - т^О/З,
(9.81)(9.81)Р = (А), А,/%,/%), w\z = (0, ^11,^12,^13);(9.78)
(9.81)
(9.81)
/ 0о
-А
-02
-/?з\
/ 0о
-/31
-02
-/?з\
/31
/Зо
03
-02
/31
0о
-03
02
;(9.80)
Пр =
02
-0з
0о
/31
, тр =
02
0з
0о
-/31
03
02
-А
0о )
03
-02
/31
0о )
^zo = npmpa, azo = (0, ^мь ^яо, ^ео), а = (0, ^ь ^2, ^з); (9.79)
/ 0 —^1 —0)2 — 0)3 \ 0)\ О 0)3 —0)2 ^2 — ^3 О0J\
^30)2 —0?1О j
/ 0 ~Щц -0)12 ”^13 \ ^110—0)\з0)\2
^12^130 -ЩЦ
^13 —0)\2 ЩЦ 0 у
Отметим, что система (9.78) может быть заменена двумя системами дифференциальных уравнений
2А* = n^A,А = (A0,Ai,A2,A3),(9.82)
‘lot* = пш\оца: = (qq, с^1, с^2, с^з)(9.83)
и матричным соотношением
/3 = т^А = п(ао, —аь —с^2, —аз).(9.84)
В уравнении (9.83) и соотношении (9.84) кватернионные матрицы n^i и W имеют вид матриц пш и тр и составлены из элементов ооц (г = 1,2, 3) и а^ (j = О, 1,2, 3) (кватернионная матрица п составлена из элементов Xj).
Используя уравнения (9.68)-(9.77), можно решать задачи ориентации и навигации объекта не только в ортодромической, но и в географической системе координат. Для этого необходимо дополнить эти уравнения соотношениями
cos Л cos срп. тогх
—а’ Ф = X —(9.85)
sin Ф sin Л cos ipn - cos Ф sin срп
vN = cos X vN0 - sin X vE0. ^H = yHO ’ ^E = sin X ^N0 + cos X^E0 • (9-86) sin cp = cos Ф sin Л cos (pn + sin Ф sin ipn,
cos ip sin A = cos Ф cos Л cos An — cos Ф sin Л sin cpn sin An+
+ sin Ф cos ipn sin An, (9.87) cos ip cos A = — cos Ф cos Л sin An — cos Ф sin Л sin cpn cos An+
+ sin Ф cos (pn cos An.
Здесь un, ^h, ^e ~ по-прежнему, проекции относительной скорости объекта на оси нормальной географической системы координат.
Итак, уравнения (9.68)-(9.77), (9.85)-(9.87) и (9.36)-(9.43), (9.48)(9.50) позволяют решать задачи ориентации и навигации объекта в ортодромической и в географической системах координат. Выбор того или иного варианта уравнений идеальной работы БИНС (первого или второго) зависит от конкретно решаемой задачи, от того, какие навигационные величины uno, ^но, ^eq, Л, Ф, Н, Ф или un, ^н, ^е, А, рх ф являются в данной задаче основными, а какие — вспомогательными. Следует отметить, что уравнения (9.70)-(9.73) сложнее соответствующих им уравнений (9.38)-(9.40). Однако этот фактор не является решающим при выборе той или иной совокупности уравнений идеальной работы БИНС, поскольку в ряде случаев (для сферической модели Земли, для движения объекта вблизи ортодромии, когда угол Ф остается малым) эти уравнения допускают существенное упрощение.
Основное отличие приведенных уравнений идеальной работы БИНС от уравнений, выведенных в [21, 36], заключается в использовании в этих уравнениях в качестве промежуточных кинематических параметров, характеризующих ориентацию объекта относительно инерциальной системы координат Х*и нормальной (ортодромической или географической) системы координат, параметров Эйлера (Родрига- Гамильтона), являющихся компонентами собственных кватернионов поворотов (переход к углам ориентации объекта производится на конечной стадии вычислений и может производиться с шагом, большим шага интегрирования кинематических уравнений). В [21] в качестве таких параметров использованы углы Эйлера-Крылова, а в [36] — направляющие косинусы. О недостатках уравнений в углах Эйлера- Крылова было сказано выше. Остановимся на использовании для решения рассматриваемых задач направляющих косинусов.
При использовании направляющих косинусов в уравнениях идеальной работы БИНС в НОСК вместо дифференциальных уравнений
ориентации (9.69) (или (9.78)) необходимо использовать матричное уравнение.
С = Р с - сР\, С = ||Су||,
(О шз —ш2\/ 0 wig —Ш12
—щз 0^11, Pi = I —сщз0 сиц
0)2 ~ СЩ 0 /у СЩ2 — ^11О
При этом соотношения (9.76) выпадают из рассмотрения, а вместо соотношений (9.74) необходимо взять формулы
tg» =-С1з/сц, tg7 =-С32/С22, sin^ = ci2. (9.89)
Вместо системы (9.88) могут быть использованы две системы дифференциальных уравнений в направляющих косинусах (аналог уравнений (9.82), (9.83))
с\=Рс\, С2 = Р1С2, С1 = ||с4||,С2=||Сг"||(9.90)
и матричное соотношение (аналог соотношения (9.84))
c = ciC2-(9.91)
При использовании направляющих косинусов в уравнениях идеальной работы БИНС в НГСК вместо дифференциальных уравнений ориентации (9.37) и соотношений (9.41) используются уравнения, аналогичные уравнениям (9.88) (или (9.90), (9.91)), и соотношения, аналогичные (9.89).
Анализ показывает, что в случае, когда для интегрирования дифференциальных уравнений ориентации используется алгоритм первого порядка (т. е. простейший метод Эйлера, являющийся первым приближением к методу средней скорости (см. п. 7.2.2)), преимущество в смысле объема вычислений, производимых на одном шаге реализации уравнений идеальной работы БИНС, имеют направляющие косинусы. В случаях же, когда для интегрирования уравнений ориентации используются алгоритмы второго порядка точности и выше, преимущество в этом смысле имеют параметры Эйлера (в частности, это имеет место уже при использовании в качестве алгоритма численного интегрирования второго приближения к методу средней скорости).
При интегрировании уравнений ориентации (9.69), (9.82), (9.37) в параметрах Эйлера и аналогичных им уравнений в направляющих косинусах алгоритмом первого порядка точности шаг интегрирования должен быть малым (как правило, он составляет тысячные доли секунды). Алгоритмы численного интегрирования второго и третьего порядков точности позволяют существенно увеличить шаг интегрирования (на порядок и более) и снизить загрузку бортового вычислителя. Следует также отметить, что алгоритм численного интегрирования в параметрах Эйлера, реализующий один из основных методов — метод средней скорости, дает лучшую точность определения ориентации объекта, чем аналогичный алгоритм в направляющих косинусах (см. параграф 7.4). Кроме этого, применение параметров Эйлера поз-
воляет получить для определения ориентации объекта относительно нормальной системы координат (ортодромической или географической) рациональную вычислительную схему в приращениях (см. п. 8.4.1), использующую эффект коммутативности кватернионных матриц двух типов.
В силу изложенного уравнения идеальной работы БИНС, использующие параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона), представляются более предпочтительными, чем уравнения, использующие направляющие косинусы.
Особенности реализации уравнений идеальнойработы БИНС на бортовом вычислителе
Укажем основные особенности построения алгоритмов ориентации и навигации объекта в ортодромической и географической системах координат, реализующих приведенные (первый и второй) варианты уравнений идеальной работы БИНС.
Уравнения (9.68), (9.69) ((9.82)-(9.84)), (9.70) первого варианта и уравнения (9.36), (9.37) ((9.44)-(9.46)), (9.38) второго варианта образуют замкнутые системы нелинейных дифференциальных уравнений 10-го порядка относительно неизвестных uno, vho, veo, А, Ф, H, Pj (J = 0, 1,2,3) и un, vh, ve, A, ip, H, Xj соответственно или 14-го порядка, если вместо переменных Pj в первом варианте уравнений и переменных Xj во втором варианте уравнений использовать переменные Aj, aj и Aj, Vj соответственно. Переменные Pj, Xj, Xj являются быстроменяющимися функциями времени. Переменные и no, ^но, ^ео и un, vh, ve меняются по сравнению с Pj и Xj с течением времени медленнее. Еще медленнее изменяются с течением времени переменные Л, Ф (ау) и А, (р ^VjY Характер изменения переменной Н (высоты) может быть на отдельных участках движения объекта различным. Таким образом, все переменные можно разделить на четыре группы переменных (в ряде случаев переменную ино (^н) также целесообразно выделить в отдельную группу, j = 0, 1,2,3):
^NO, ^HQ, ^EO^N^H^eY
Л, Ф(а,) N^pY
Н;
pj ^XjY Xj,
частоты изменения которых различны. Поэтому для интегрирования дифференциальных уравнений (9.68) и (9.36) для проекций относительной скорости объекта, уравнений (9.70) и (9.38) ((9.83) и (9.45)) для координат местоположения объекта, а также уравнений (9.69), (9.37) и (9.82) для параметров Эйлера Pj, Xj и Xj, (j = 0, 1,2,3) необ-
ходимо использовать различные по сложности и точности численные методы интегрирования.
Как известно, вертикальный канал автономной инерциальной навигационной системы, предназначенный для вычисления высоты Н и проекции скорости ^я = ^но^ неустойчив. Поэтому необходимо строить корректируемые алгоритмы вычисления этих величин.
Интегрирование навигационных уравнений в первом варианте производится в нормальной ортодромической системе координат (в соответствии с уравнениями идеальной работы (9.68)), а во втором варианте — в нормальной географической системе координат (в соответствии с уравнениями идеальной работы (9.36)). Поэтому необходим предварительный пересчет показаний акселерометров от осей, связанных с объектом, к осям НОСК или НГСК (в соответствии с соотношениями (9.75), (9.76) ((9.79)) или (9.42)).
Специфика алгоритмов численного интегрирования дифференциальных уравнений (9.68), (9.36), (9.69), (9.37), (9.82) обусловлена тем, что на борту объекта во многих случаях имеется не информация о мгновенном поступательном и мгновенном абсолютном угловом движениях объекта, а интегральная первичная информация (т. е. не величины at и Ui (г = 1,2, 3), а приращения интегралов от этих величин).
Алгоритмы численного интегрирования дифференциальных уравнений ориентации (9.69), (9.82), (9.37), использующие интегральную первичную информацию об абсолютном угловом движении объекта (т. е. информацию вида fajidt, г = 1,2,3), предпочтительнее классических алгоритмов интегрирования, использующих непосредственно значения проекций ш^ не только потому, что в большинстве случаев чувствительные элементы БИНС с цифровым выходом выдают интегральную первичную информацию, но и потому, что с их помощью, как показывает моделирование, достигается лучшая точность в определении ориентации объекта. Так, например, интегрирование дифференциальных уравнений ориентации методом Рунге-Кутта четвертого порядка, использующим информацию о сщ, в ряде случаев дает большие накапливающиеся и локальные погрешности в определении ориентации объекта, чем их интегрирование алгоритмом третьего порядка точности, использующим интегральную информацию.
Алгоритм решения задачи определения ориентации объекта относительно НОСК (НГСК), как уже отмечалось, может быть построен либо на основе кинематических уравнений относительного углового движения объекта (9.69), (9.37), либо на основе кинематических уравнений абсолютных угловых движений объекта (9.82) ((9.44)) и нормальной ортодромической системы координат (9.83) (нормальной географической системы координат (9.45)) с использованием алгебраических соотношений (9.84) ((9.46)).
Коэффициенты сщ, (г = 1,2,3) уравнений (9.69) ((9.37)) характеризуют мгновенное абсолютное угловое движение объекта и являются быстроменяющимися функциями времени, а коэффициенты шц
(uj2p характеризуют мгновенное абсолютное угловое движение НОСК (НГСК) и являются медленно меняющимися функциями времени. Величины коэффициентов ш^ на несколько порядков превосходят величины шц (ш2р- Тем не менее, несмотря на принципиальное различие мгновенных абсолютных угловых движений объекта и сопровождающего трехгранника (НОСК или НГСК) их интегрирование при использовании уравнений (9.69) или (9.37) проводится совместно, одним и тем же численным методом (поскольку этими уравнениями одновременно охватываются и мгновенные быстрые абсолютные угловые движения объекта и мгновенные медленные абсолютные угловые движения сопровождающих трехгранников). При этом алгоритмы численного интегрирования дифференциальных уравнений ориентации (9.69) и (9.37) второго порядка точности и выше, использующие интегральную информацию, оказываются сложными и громоздкими. Их реализация на БЦВМ с требуемой степенью точности сопряжена с дополнительными трудностями, обусловленными ограниченностью разрядной сетки БЦВМ (из-за разнопорядковости величин ш^ и сии (ш2гУ)-
При замене уравнений (9.68) ((9.37)) совокупностью уравнений (9.82)-(9.84) ((9.44)-(9.46)) происходит естественное разделение движений на быстрые абсолютные угловые движения объекта (они описываются матричным уравнением (9.82) ((9.44)) и на медленные абсолютные угловые движения НОСК (НГСК) (они описываются матричным уравнением (9.83) ((9.45)). Поэтому при использовании уравнений (9.82)-(9.84) ((9.44)-(9.46)) производится раздельное интегрирование мгновенных быстрых и медленных движений, для чего могут быть использованы различные по сложности численные методы интегрирования (например, для интегрирования уравнений (9.83) ((9.45)) может быть использован алгоритм, реализующий первое или второе приближение к методу средней скорости, а для интегрирования уравнений (9.82) — алгоритм третьего порядка точности). При этом на точность интегрирования мгновенных абсолютных угловых движений объекта не будут сказываться инструментальные погрешности акселерометров (как при интегрировании уравнений (9.69) ((9.36))), а также погрешности интегрирования системы (9.68) ((9.36)). Кроме того, при вычислении параметров ориентации Pj (j = 0, 1,2,3) ^х^ с помощью уравнений (9.82)-(9.84) ((9.44)-(9.46)) может быть использована эффективная вычислительная схема в приращениях (см. п. 8.4.1), позволяющая за счет использования эффекта коммутативности кватернионных матриц двух типов и свойств параметров Эйлера построить наиболее рациональные алгоритмы вычисления параметров Pj ^jY
На основании изложенного использование уравнений (9.82)-(9.84) ((9.44)-(9.46)) при построении алгоритмов функционирования БИНС предпочтительнее перед уравнениями (9.69) ((9.37)) (несмотря на их большую внешнюю сложность).
Возможность упрощения алгоритмов функционирования БИНС обусловливается в первую очередь классом движущихся объектов, для навигации и ориентации которых предназначены алгоритмы.
Точность реализации алгоритмов существенно зависит от величины разрядной сетки ВЦВМ, поэтому один из основных моментов построения алгоритмов — учет ограниченности разрядной сетки БЦВМ.
Исследование алгоритмов ориентациии навигации
Исследование алгоритмов ориентации и навигации, реализующих уравнения идеальной работы БИНС, может быть осуществлено с помощью математического моделирования на ЭВМ. На рис. 9.9 приводится блок-схема математического моделирования работы БИНС с помощью одного из разработанных пакетов программ [124, 125] (блок-схема моделирования алгоритмов определения ориентации и навигации движущегося объекта в нормальной ортодромической (или географической) системе координат).
Пакет программ предназначен для численного исследования влияния методических погрешностей (влияния ошибок численных методов интегрирования и шага интегрирования дифференциальных уравнений ориентации и навигации, влияния упрощений алгоритмов, величин амплитуд и частот угловых колебаний объекта и т. д.), а также влияния детерминированных и случайных инструментальных погрешностей чувствительных элементов БИНС на точность определения углов ориентации, скоростей и координат местоположения объекта.
Опишем кратко отдельные блоки приведенной блок-схемы моделирования алгоритмов ориентации и навигации БИНС.
Блок алгоритмов определения навигационных величин и углов ориентации. Содержит алгоритмы вычисления навигационных величин v^o, vho, v^o (^n, vh, ve), Л, Ф (A, ip), Н и углов ориентации Ф (ф), (0), (Г), реализующие уравнения идеальной работы БИНС, приведенные в параграфе 9.3.
Блок констант. Содержит константы, необходимые для моделирования.
Блок задания северного полюса ортодромии. Этот блок используется при моделировании работы навигационной системы, определяющей ориентацию и координаты местоположения объекта относительно ортодромической системы координат. Служит для формирования географических координат (рп, Ап северного полюса ортодромии и угла хо разворота НОСК относительно НГСК в начальный момент
Рис. 9.9. Блок-схема моделирования алгоритмов определения ориентации и навигации движущегося объекта
времени по формулам:
л . С1. cosxicosy?!
Ап = arctg —, (рп = arctg С2+
ci = sinyi cos Ai — cosxi siny?i sinAp
С2 = — sin xi sin Ai — cos xi sin 921 cos Ai, sin991 cosy?2 cos(A2 — Ai) — cos991 sin</?2 Xi arctg. ,,,
COS (P2 Sin(A2 — Al)cos yn sin(An - Ao)
Ao = arctg ;-7—,
Sin (pn COS (£o — COS (pn Sin (£o cos(An — Al)
где Ai, p)\ и A2, p)<i — заданные географические координаты двух каких- либо точек маршрута объекта.
В качестве этих точек берутся начальный и конечный пункты маршрута движения объекта:
Ai = Ао, 9^1 = 920; ^2 = ^о +^2,
х _ х ^ Г, (l + siny2) ,1 + sin^o"
А2 — Ao + у— In —:In —; г ,
1—Sin</?2— Sin^o)
где ^2 — время движения объекта по ортодромии с постоянными скоростями П^, t)g.
Последние формулы являются решением дифференциальных уравнений (9.38) для постоянных величин dn, ve, Н, R\ = R^ = R, e2 = 0.
Блок формирования начальных условий интегрирования. Служит для формирования начальных условий интегрирования систем дифференциальных уравнений (9.68)-(9.70), (9.36)-(9.38), входящих в алгоритмы идеальной работы БИНС.
В начальный момент времени t = 0 ориентация объекта относительно НОСК задается значениями Фо, ^о^о), 7о(Го) углов Ф, У Ю, 7(Г), а относительно НГСК — значениями ^о, $0, 7о углов ф, $,
Начальные условия интегрирования системы (9.69) (начальные значения /З^о (j = 0, 1,2,3) параметров Эйлера, определяющих ориентацию объекта относительно НОСК) для схемы поворотов объекта (рис. 9.8) подсчитываются по формулам
Фо6>оГоФо. Уо. Го
Роо = cos —cosуcos у+ sin —sin —sin —-,
Фо.6*oГоФо. Го
Рю = cos —Sin—cos —+ sin —COS —sin —,
о . Фо^oГоФо. #o. Го
Р20 = sin —cosуcos у- cos —sin —sin у,
Фо#o. Го. Фо. 90Го
P30 =cos —-cos —sin у- sin —sin уCOS у,
/й/й/й/й/й
а для схемы поворотов объекта (рис. 9.7) — по формулам:
/Зоо =/Зю =/Зоо =/Зю =о^о7о. Фо. ^о.
/Зоо =
/Зю =
/Зоо =
/Зю =
cos -—-cos—-cos ——sin —-sin —-sin
0^0. 7o.. Фо. ^o
cos -—-cos—-sin —+sin -—-sin —-cos
д .Фо^о 7о .Фо . ^о . 7о
№о = Sin—- cos—cos—+ cos—- sin—sin—,
. Фо#o . 7o .Фо . ^o 7o
№o = - sin — cos — sin — + cos — sin — cos —.
Начальные условия интегрирования системы (9.37) (начальные значения и^ (j = 0, 1,2, 3) параметров Эйлера, определяющих ориентацию объекта относительно НГСК) подсчитываются по формулам, аналогичным приведенным выше (для рис. 9.7). Для этого в них вместо /З^о необходимо взять х^о, а вместо Фо взять (—^о)-
Начальные условия интегрирования системы (9.68) (начальные значения проекций вектора относительной скорости объекта на оси НОСК) подсчитываются по формулам (9.48)-(9.50), где следует положить А = А(0), р) = ^(0).
Начальные условия интегрирования системы (9.70) (начальные значения ортодромических координат Л, Ф местонахождения объекта) определяются по соотношениям (9.50).
Блок задания движения объекта. В этом блоке задается движение объекта как точки, истинное угловое движение объекта, а также формируется выходная информация чувствительных элементов БИНС.
Движение объекта как точки задается относительно геоцентрической системы координат г/ географическими координатами А, рр Н, а относительно геоцентрической ортодромической системы координат ( — ортодромическими координатами Л, Ф, Н, которые формируются в виде суммы их невозмущенных значений Ан, р)н, Нн (Лн, Фн, Ян) и возмущений, представляющих собой гармонические функции с заданными амплитудами Ц, а^, Н^ и частотами и* (г = 1,2,3):
А = Ан + «1 sin (a^t), р) = ^н + &2 sin (a^t), Н = Ян + Я+ sin (a^t),Л = Лн + а^ sin (uj^t), Ф = Фн + «2 siR (^2^) ’ Н = Ян + Я+ sin (uj^t).
(9.92)
Невозмущенные значения Лн, Фн, Ян криволинейных координат соответствуют движению объекта по ортодромии с постоянной скоростью, поэтому полагается Фн = Фо = 0, Ян = Яо = const, а Лн форми-
(9.93)(9.93)руется в соответствии с соотношением
(9.93)
(9.93)
Лн = Ло + ^° , vfo = const ■
Невозмущенные значения Ан, р)н, Нн формируются в соответствии с соотношениями
Гн — ГоГ о » АнГн — ГоГ о » Ан1111+5т₽._1111±5шя\(994)
Гн — ГоГ о » Ан
Гн — ГоГ о » Ан
1—sinc^H1—sin^o/
Ян = Яо = const,
соответствующими движению объекта на постоянной высоте с постоянными скоростями Dg, v^.
Соотношения, необходимые для вычисления производных Л*, Ф*, Н* (A*, ip\ Н*) находятся путем аналитического дифференцирования соотношений (9.92)-(9.94) по времени t.
Сформированные указанным образом криволинейные координаты и их производные являются известными функциями времени. Это позволяет по уравнениям (9.70)-(9.73), (9.77) или (9.38)-(9.40), (9.43) идеальной работы БИНС найти в каждый момент времени соответствующие криволинейным координатам значения ускорения силы тяжести, значения проекций абсолютной угловой скорости вращения НОСК (щ^, г = 1,2, 3) или значения проекций абсолютной угловой скорости вращения НГСК (tw), проекций абсолютной скорости вращения Земли (uno, ино, Wo) или (^n, ин)’, значения проекций относительной скорости движения объекта на оси НОСК (wo, Wo, Wo) или НГСК (dn, vh, ve) и их производных по времени (Quno, v'hq, Wo) или Q^n, uh, w))-
Сформированные значения ^no, ино, ueo, и eq, и но, ueo, ueo, ино, ueo, W (^ = 1,2,3) позволяют по уравнениям (9.68) идеальной работы БИНС найти в каждый момент времени значения проекций оео, а>но, oeq кажущегося ускорения а точки местонахождения чувствительных масс ньютонометров на оси НОСК по формулам
&N0 = ^NO ~ ^ЕО + ^ls)W0 + (WO + ^12)W0,
WO = WO + (W0 + W)WO - (WO + ^11)Wo + g,
&Е0 = WO - (wo + ^12)Wo + (^NO + w)Wo-
Значения проекций on, cih, ue кажущегося ускорения точки местоположения чувствительных масс ньютонометров на оси НГСК определяются по уравнениям (9.36) идеальной работы БИНС по сформированным значениям de, vh, ve, ve, vh, ue, ue, uh, W (г = 1,2,3) no формулам.,x
on = vn - WW + (w + iw)w,
W = W + WW - (w + w)w + g, ав = Ve — (uh + w)w + (w + w)w-
После пересчета проекций кажущегося ускорения от осей НОСК или НГСК с помощью точно сформированной матрицы направляющих косинусов находятся идеальные значения at (г = 1,2,3) проекций кажущегося ускорения (показания идеальных ньютонометров).
Для формирования интегральной информации faidt (г = 1,2,3) используется метод трапеций.
В отношении углового движения объекта при моделировании предполагается, что в процессе движения объект находится под воздействием внешних возмущений, вызывающих относительно нормальной системы координат повторяющиеся гармонические и затухающие колебания объекта с различными амплитудами и частотами. В соответствии с этим истинное угловое движение объекта относительно НОСК и НГСК задается функциями
= ^+sin(ic^ + 921),= ^-\- sin(cj^t + ^), 7 = 7+sin(t(;7W ^|),
а в случае затухающих колебаний — по формулам
ф = фтеГСТх1 sm^uj^tY 19 = sm^u^tY X = fm6-<T3t sm^u^Y где ^+, 19+, у+ — амплитуды гармонических колебаний; фт, dm, ут — амплитуды затухающих колебаний; щ^, щ^, ш^ — угловые частоты (периоды колебаний: Тф = 2тт/ш^, Т^ = 2тг/ш^, Т^ = 2tt/cj7); ip* (г = = 1,2,3) — начальные фазы колебаний; сц ~ затухания.
«Склеивание» гармонических колебаний с различными амплитудами и частотами производится при помощи промежуточных колебаний, обеспечивающих затухание первой гармоники и переход на вторую.
Показания идеальных гиротахометров ах (г = 1,2,3) при моделировании работы навигационной системы по уравнениям (9.36)-(9.43) формируются по соотношениям
ш\ =7* — ф* sin 19 + CJ21 cos 19 cos ф + a^s sin 19 + 1^23 cos 19 sin ф,
ах = Y sin7 — ф* cos 19 cos 7 — с<?21 (sin 7 sin i/б + cos 7 sin 19 cos i/9) +
+ ио 22 cos 7 cos 19 + CJ23 (sin 7 cos ф — cos 7 sin d sin ф),(9.95)
из = 19* cos 7 + ф* cos 19 sin 7 + CJ21 (sin 7 sin 19 cos i/9 — cos x sin ф) —
—Ш22 sin 7 cos 19 + CJ23 (cos 7 cos i/9 + sin 7 sin 19 sin ф),
а при моделировании работы навигационной системы по уравнениям (9.68)-(9.77) — по аналогичным соотношениям. При этом производные ф*, d\ Y вычисляются по соотношениям, полученным в результате аналитического дифференцирования функций ффф 19 (t), 7^).
Интегральная информация / ах dt (г = 1,2,3) формируется методом трапеций.
Блоки шумов. Служат для генерирования ошибок А^ и Аа^ (г = 1,2,3) измерителей абсолютной угловой скорости и кажущегося ускорения объекта.
Погрешности А^, Аа^ (г = 1,2,3) моделируются по известной методике марковскими случайными процессами с заданными значениями математических ожиданий, среднеквадратичных отклонений и ординат корреляционных функций.
Блок алгоритмов вычисления обратных тригонометрических функций. Предназначен для однозначного вычисления углов (рп, Ап, х и углов ориентации Ф (фф 19 (0), х (Г) с помощью алгоритма однозначного вычисления углов ориентации, аналогичного алгоритму, приведенному в [2].
Блок численных методов интегрирования. В алгоритмы определения ориентации и навигации объекта входят системы дифференциальных уравнений (9.68)-(9.70), (9.36)-(9.38). Поэтому блок- схема моделирования включает в себя блок численных методов интегрирования. Предусмотрены два блока численного интегрирования кинематических уравнений ориентации. Первый блок использует в качестве первичной информации мгновенную информацию об угловом
движении объекта. Этот блок реализует классический метод численного интегрирования — метод Рунге-Кутта четвертого порядка. Второй блок использует интегральную первичную информацию об угловом движении объекта. Он реализует следующие методы численного интегрирования дифференциальных уравнений ориентации: метод средней скорости, второе приближение к методу средней скорости, метод Пикара, различные одношаговые и двухшаговые алгоритмы третьего порядка точности, четырех и восьмишаговые алгоритмы [87]. Часть из этих алгоритмов описана в параграфе 7.2.
Для интегрирования дифференциальных уравнений для проекций относительной скорости применены методы интегрирования, использующие мгновенную информацию о поступательном движении объекта: метод Рунге-Кутта и более простой метод прогноза и коррекции. Кроме этого, используется алгоритм второго порядка точности, использующий интегральную информацию о поступательном движении объекта.
В качестве численного метода интегрирования дифференциальных уравнений для криволинейных координат выбран метод Эйлера.
Алгоритмы некорректируемой БИНС среднейточности
Ниже приводятся, в качестве примера, алгоритмы и функциональные модули работы автономной (некорректируемой) БИНС средней точности (ориентированные, в свое время, на БЦВМ типа «Орбита- 20-7»), решающей задачи ориентации и навигации объекта в географической и ортодромической сопровождающих системах координат, разработанные на основе анализа соотношений, входящих в уравнения идеальной работы, сравнительного анализа различных алгоритмов и анализа результатов математического моделирования.
Алгоритмы и функциональные модули работы БИНС в НОСК.
/./. Алгоритм вычисления координат местоположения объекта (реализует метод Эйлера)*.
n = Nik,(k = 0, 1,2,...) :Л'"-1 = v"pRn"v,Ф-""1 =и*П—\ —Л» = Л^-1 + ТцЛ*^-1, фп = фп-1 + И\Ф*п-\ Нп = Нп-1 +hVH,n"X.n = Nik,(k = 0, 1,2,...) :Л'"-1 = v"pRn"v,Ф-""1 =и*П—\ —Л» = Л^-1 + ТцЛ*^-1, фп = фп-1 + И\Ф*п-\ Нп = Нп-1 +hVH,n"X.п N\k :
n = Nik,(k = 0, 1,2,...) :
Л'"-1 = v"pRn"v,
Ф-""1 =
и*П—\ —
Л» = Л^-1 + ТцЛ*^-1, фп = фп-1 + И\Ф*п-\ Нп = Нп-1 +hVH,n"X.
n = Nik,(k = 0, 1,2,...) :
Л'"-1 = v"pRn"v,
Ф-""1 =
и*П—\ —
Л» = Л^-1 + ТцЛ*^-1, фп = фп-1 + И\Ф*п-\ Нп = Нп-1 +hVH,n"X.
д*п—i = Д*п—2
феп—1 _ ф-п 2,
Л" = дп-1.
фп = фп-1,
Ни = Ни"х.
1.2. Алгоритм вычисления проекций векторов абсолютных угловых скоростей вращения Земли и НОСК на оси НОСК (для сферической модели Земли)-.
п = Nik ;
n ^ Nik :
d™ = sin рп — cos ^ПФП sin Лп,
(»= 1,2,3),
d^ = sin 9?ПФП + cos рп sin An,
d™ = cos рп cosAn,
UN0 = Ш^Ж UHQ = n6^2 ’ UEQ = n6^3 ’
<1 =^0 + Л-""1,
^" = u^0 + Nn"4n,
QTl _ 1tn 1 , .П
Qn _ ..П1 , .n
^E0 — aE0 ^13*
<о = ^о"' (k = N,H,E)
Алгоритм вычисления приращений параметров ориентации НОСК в инерциальной системе координат*.
n = Nik := 0,5Д1<-, j = 1,2,3.n = Nik := 0,5Д1<-, j = 1,2,3.п Nik :Дтг? = Дтг”"1, j= 1,2,3.33 Jп Nik :Дтг? = Дтг”"1, j= 1,2,3.33 J
n = Nik :
= 0,5Д1<-, j = 1,2,3.
n = Nik :
= 0,5Д1<-, j = 1,2,3.
п Nik :
Дтг? = Дтг”"1, j= 1,2,3.
33 J
п Nik :
Дтг? = Дтг”"1, j= 1,2,3.
33 J
п N\k :0Нп = Ой”"1у» = у»"1.п N\k :0Нп = Ой”"1у» = у»"1.
п N\k :
0Нп = Ой”"1
у» = у»"1.
п N\k :
0Нп = Ой”"1
у» = у»"1.
Алгоритм вычисления обратной величины модуля радиуса- вектора и модуля ускорения силы тяжести-.
п = Nik :
дэо,3, Х/а, Х/а2 — const,
0Rn = (Х/а) - (1/а2)Яп, д^ = дэоаЦ\^ЧЖ^Е
Двухшаговый алгоритм 3-го порядка точности для вычисления приращений параметров ориентации объекта в инерциальной системе координат*.
fti = 7з72 - 727з ’ а2 = 717з—7з7н ^з = 727? - 7172°>
72 = 7? + 72 + 7з»
ДА0 = 1 -0,125 72, Д\ = !/2 (1 — (724) 72)?г + С/з)а), г= 1,2,3,
где
+ /г/2t-n
^ =| Uidt, ^ =| Widt, ^i = | Uidt, г =1,2,3.
^тг—1^тг— 1 + /г/2^тг—1
(9.96)
Алгоритм вычисления параметров ориентации объекта в НОСК;
Ai = Атт, — ДА», Bi = Атт, + AAj, г = 1,2,3,
С = ДАд/З""1 + АуЗ^Щ + A2/3"-‘ + W',
/3? = ДАо/ЗГ1 " АхЗ^ - В^Щ + Вз/3""1, /32 = ААо/3""1 + ВЕГ' " ^С-1 - В33?А 3^ = ДА0/Зр-1 - ВхЗТХ + ЭД"1 - Дз/З""1.
Алгоритм вычисления элементов матрицы направляющих косинусов углов между объектовыми осями и осями НОСК*.
<1 = 2 3^3?,<2 = ^00 02’= Ж0^
v^ = 2/3”/3",<3 = 2/3"/З3,^ = 2/32"/33",
с^ = 2 (3^ + /Зр)2 - 2^ - 1,<^ = 2(3^ + /32п)2 - 2^ - 1,
7 = 2(< + /3(f-2г-^
^0п _Q.nIQ.nМп_„.п_„.пМп_„.п_„.п
Н2 —^12^03’с13—ИЗ^02’С21—И2^03’
Мп _„.п।„.пМп_„.п।„.пМп_„.п_„.п
с23 —^23^01’С31—^13^02’с32—^23^01*
Алгоритм определения углов ориентации объекта*.
фп = arctg(co?/Со?'),= arctgfc??/сЙ?дп = - arcsine^?.
Кроме этого алгоритма предусмотрен алгоритм однозначного вычисления углов ориентации.
Алгоритм второго порядка точности для определения относительной скорости объекта*.
ft v^eo^ho ^^ho^eo’
a V^NO^EO ^^EO^NO 9 ) A у \Сг2 Сг2 ) аг
7=1
ДУ"о = h ^uhMn"» " ^nMh'A + 2 E (4n’‘ + 4”) 4- 4о=4(Г1+^г k = N,H,Ed
где c^ = aidt, г =1,2,3.
2. Алгоритмы и функциональные модули работы БИНС в НГСК.
2.1. Алгоритм вычисления координат местоположения объекта (реализует метод Эйлера)*.2.1. Алгоритм вычисления координат местоположения объекта (реализует метод Эйлера)*.n = Nxk (к = 0,1,2,...) : Д-п-1 = ^n-1 Q^_xj cos^ ^•n-1 = v'^'ORn-\ A" = A”"1 + /l,A'n-1, pn = y?n-1 -|- h,\p"n-X, Hn = Hn"x +h^-v.n = Nxk (к = 0,1,2,...) : Д-п-1 = ^n-1 Q^_xj cos^ ^•n-1 = v'^'ORn-\ A" = A”"1 + /l,A'n-1, pn = y?n-1 -|- h,\p"n-X, Hn = Hn"x +h^-v.n^N^k (A: = 0,1,2,...) :A-”"1 = yn-2,p‘n-1 = y?'”-2,A” = A”"1, y?n = y?n-1, H” = Д-П-1.n^N^k (A: = 0,1,2,...) :A-”"1 = yn-2,p‘n-1 = y?'”-2,A” = A”"1, y?n = y?n-1, H” = Д-П-1.
2.1. Алгоритм вычисления координат местоположения объекта (реализует метод Эйлера)*.
2.1. Алгоритм вычисления координат местоположения объекта (реализует метод Эйлера)*.
n = Nxk (к = 0,1,2,...) : Д-п-1 = ^n-1 Q^_xj cos^ ^•n-1 = v'^'ORn-\ A" = A”"1 + /l,A'n-1, pn = y?n-1 -|- h,\p"n-X, Hn = Hn"x +h^-v.
n = Nxk (к = 0,1,2,...) : Д-п-1 = ^n-1 Q^_xj cos^ ^•n-1 = v'^'ORn-\ A" = A”"1 + /l,A'n-1, pn = y?n-1 -|- h,\p"n-X, Hn = Hn"x +h^-v.
n^N^k (A: = 0,1,2,...) :
A-”"1 = yn-2,
p‘n-1 = y?'”-2,
A” = A”"1, y?n = y?n-1, H” = Д-П-1.
n^N^k (A: = 0,1,2,...) :
A-”"1 = yn-2,
p‘n-1 = y?'”-2,
A” = A”"1, y?n = y?n-1, H” = Д-П-1.
Алгоритм вычисления проекций векторов абсолютных угло вых скоростей вращения Земли и НГСК на оси НГСК*.Алгоритм вычисления проекций векторов абсолютных угло вых скоростей вращения Земли и НГСК на оси НГСК*.п = N\k :и^ = и cos рп, Uy = и sin рп, ^21 = nN + 7*n-1 со$рп, ^22 = ин + 7*n-1 sine//1, ш23 -’fi^ = ^ + ^p^Я = МЯ + ш22'п = N\k :и^ = и cos рп, Uy = и sin рп, ^21 = nN + 7*n-1 со$рп, ^22 = ин + 7*n-1 sine//1, ш23 -’fi^ = ^ + ^p^Я = МЯ + ш22'п N^k : <=^Л г= 1,2,3,^N = ^N 1 ’п N^k : <=^Л г= 1,2,3,^N = ^N 1 ’Алгоритм вычисления приращений параметров ориентации НГСК в инерциальной системе координат*.п = N\k ;п N\k ;= 0,5h^,, 3 = 1,2,3.= А^”1, j= 1,2,3.Алгоритм вычисления приращений параметров ориентации НГСК в инерциальной системе координат*.п = N\k ;п N\k ;= 0,5h^,, 3 = 1,2,3.= А^”1, j= 1,2,3.Алгоритм вычисления обратной величины модуля радиуса-Алгоритм вычисления обратной величины модуля радиуса-
Алгоритм вычисления проекций векторов абсолютных угло вых скоростей вращения Земли и НГСК на оси НГСК*.
Алгоритм вычисления проекций векторов абсолютных угло вых скоростей вращения Земли и НГСК на оси НГСК*.
п = N\k :
и^ = и cos рп, Uy = и sin рп, ^21 = nN + 7*n-1 со$рп, ^22 = ин + 7*n-1 sine//1, ш23 -’
fi^ = ^ + ^p
^Я = МЯ + ш22'
п = N\k :
и^ = и cos рп, Uy = и sin рп, ^21 = nN + 7*n-1 со$рп, ^22 = ин + 7*n-1 sine//1, ш23 -’
fi^ = ^ + ^p
^Я = МЯ + ш22'
п N^k : <=^Л г= 1,2,3,
^N = ^N 1 ’
п N^k : <=^Л г= 1,2,3,
^N = ^N 1 ’
Алгоритм вычисления приращений параметров ориентации НГСК в инерциальной системе координат*.
п = N\k ;п N\k ;
= 0,5h^,, 3 = 1,2,3.= А^”1, j= 1,2,3.
Алгоритм вычисления приращений параметров ориентации НГСК в инерциальной системе координат*.
п = N\k ;п N\k ;
= 0,5h^,, 3 = 1,2,3.= А^”1, j= 1,2,3.
Алгоритм вычисления обратной величины модуля радиуса-
Алгоритм вычисления обратной величины модуля радиуса-
вектора и модуля ускорения силы тяжести:вектора и модуля ускорения силы тяжести:п = N\k ;п = N\k ;n^Nik:n^Nik:
вектора и модуля ускорения силы тяжести:
вектора и модуля ускорения силы тяжести:
п = N\k ;
п = N\k ;
n^Nik:
n^Nik:
ОД” = ОД”-1, у» = у»-1.ОД” = ОД”-1, у» = у»-1.
ОД” = ОД”-1, у» = у»-1.
ОД” = ОД”-1, у» = у»-1.
дэо, 5, 1/а, 1/а2 — const, ОД” = (1/а) - (1/а2)Н", дп = дэоа2(1 + 5 sin2 у?”) (ОД”)2.
Двухшаговый алгоритм третьего порядка точности для вычисления приращений параметров ориентации объекта в инерциальной системе координат*.
а\ = 7з72 - 727з, ^2 = 717з ~ 7з7р аз = 727? -
72 = 71 + 72 + 72’
ДАо = 1-О,12572, ДА« = ^ 0-772)7i + la', г=1,2,3.
ГД 6^тг —1 + Л./2tHtH
7^ =|^ ^’^ =1^ ^’^ = 1 ^ ^
tn— 1Щ—1-|-/г/2tn — 1
Алгоритм определения параметров ориентации объекта в НГСК' Ai = ^иi-^Xi, Bi = ^иi+^Xi, г =1,2,3,
^ = ДА0 + Ац/""1 + А2^"х + А3^"х,
^ = ДАо^""1 - Ai^-1 - В2^"х + В3НЩ,
v^ = ДАо^-1 + B,^-1 - A^"x - В3иЩ, v" = ДАо^"1 - B\v^"x + B^"x - A3v%~x.
Алгоритм вычисления элементов матрицы направляющих косинусов углов между объектовыми осями и осями НГСК*.
^=И^> ^2=^^ ^=ад, v^ = 2^, ^3 = 2^, ^3 = 2^^,
сГ] = 2 (^ + Щ2 - 2^ - 1, с" = 2 (^ + v^2 - 2^2 - 1, сзз = 2 (V£ + vAf - 2< - 1,
И2 —НЗ’с13 — ИзН2’И1 — И2ИЗ’
с23 — ИзИрС31 — ИзН2’с32 — ИзНг
Алгоритм определения углов ориентации объекта*.
фи = arctg(c^3/cy), 7n = - arctg(c32/c22), ди = arcsinc™2.
Кроме этого алгоритма предусмотрен алгоритм однозначного вычисления углов ориентации.
Алгоритм второго порядка точности для определения относительной скорости объекта*. 3
д^ = к щ^н-х - uwx^ +1 у^ (с»"1 + сГО <,
г=1
Д^ = h (-^з^-1 + ед-х - д^ + - £ И"1 + р2)
1 3
А"Й0 = h (W"1 - адН + 2 Е И"1 + с?з)
<=<"' +М- k = N,H,E; Н= | аЫП.
Здесь h = tn — tn_x — основной шаг интегрирования, TVi — константа, характеризующая увеличение шага интегрирования в модулях 1-4,
h\ — шаг интегрирования в модулях 1-4 Qi\ = N\hY а, и, 5, дэо — константы.
Вычисления по алгоритмам функциональных модулей 1-4 производятся с большей дискретностью, чем по алгоритмам модулей 5-9.
В табл. 9.1 приведены операционные характеристики приведенных алгоритмов работы БИНС в НГСК и НОСК с учетом масштабирования и удвоения разрядности отдельных переменных, реализуемых на БЦВМ типа «Орбита 20-7» (расчет характеристик произведен для шага интегрирования в модулях 5-9 равного 0,1 с, а в модулях 1-4 — 1с).
Методические погрешности предлагаемых алгоритмов, реализуемых на 16-разрядных микропроцессорах, при наличии лишь слабовозмущенных угловых движений объекта (амплитуды колебаний — единицы градусов, частоты тг/2-г 2тг с-1) и наложенных на вычислительный процесс ограничений (шаг интегрирования дифференциальных уравнений ориентации и уравнений по скоростям — 0,1с, уравнений для координат местоположения объекта — 1 с) составляют: по местоположению ~ 1 км через 1 час движения, по угловому положению объекта ^0,01 град/час; при наличии на отдельных участках движения сильновозмущенных угловых движений объекта (амплитуды колебаний десятки единиц градусов (до 30 градусов), частоты тг/2 -г тг с-1) и тех же наложенных ограничений на дискретность вычислений составляют: по местоположению ~ 10 км через 1 час движения, по угловому положению ~ 0, 1 град/час. Подчеркнем, что в состав указанных методических погрешностей фактически вошли и вычислительные погрешности, обусловленные ограниченностью 16-разрядной сетки вычислителя.
Величины методических и вычислительных погрешностей алгоритмов ориентации и навигации в первую очередь обусловлены величинами амплитуд и частот возмущенных угловых и поступательных движений объекта и их длительностью, они могут быть уменьшены на порядок и более за счет уменьшения шага численного интегрирования дифференциальных уравнений, использования более высокоточных алгоритмов численного интегрирования и увеличения разрядной сетки вычислений.
Таблица 9.1. Расчетные характеристики вычислителя типа «Орбита 20-7» для алгоритмов работы некорректируемой БИНС в НОСК и НГСК
Системы координат
Номинальное быстродействие, операций в сек.
Емкость ПЗУ, ячеек
Емкость ОЗУ, ячеек
НОСК
45772
196
714
НГСК
26816
238
668
Глава 10
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯДВИЖЕНИЕМ
Кинематическая задача стабилизирующегоуправления ориентацией твердого тела
Рассматривается в кинематической постановке задача приведения связанной с твердым телом системы координат к опорной системе координат, вращающейся с заданной (программной) абсолютной угловой скоростью [15-17]. В качестве математической модели движения используются кинематические уравнения возмущенного углового движения твердого тела в ненормированных кватернионах, а в качестве управлений — проекции абсолютной угловой скорости вращения тела на связанные с ним оси.
Предложены два вида коррекции (стабилизации), являющиеся кватернионными аналогами позиционной и интегральной коррекций. Показано, что для предлагаемых видов коррекции получаются линейные (без линеаризации) уравнения ошибок системы управления ориентацией (точнее, уравнения движения замкнутой системы управления). Установлено, что кватернионное уравнение ошибок для кватерниона рассогласования, определенного своими компонентами в инерциальном базисе, не только линейно, но и стационарно и инвариантно относительно программного движения опорного базиса. Построено общее решение уравнений замкнутой системы управления движением, установлены условия асимптотической устойчивости программного движения, приведено одно из возможных решений задачи синтеза оптимальных значений коэффициентов коррекции. Указаны области применения полученных результатов. Изложение этой задачи ведется, следуя работе [101].
Рассматриваются также перспективы развития теории управления угловым движением твердого тела в динамической постановке, связанные с использованием кватернионных моделей углового движения твердого тела.
Постановка задачи. Виды и законы коррекции (стабилизации). Введем в рассмотрение следующие системы координат:
— инерциальная, Z — опорная (программная) система координат, вращающаяся в инерциальном пространстве с заданной (программной) угловой скоростью X = w°^t\ X — система координат, жестко связанная с твердым телом.
Взаимную ориентацию введенных систем координат зададим нормированными кватернионами А°, /1, А поворотов в соответствии со схемой поворотов
Z — х ~ X. (10.1)
Здесь ш — абсолютная угловая скорость вращения твердого тела. Полагаем, что вектор cj° задан своими проекциями ш^ = щ°(£) в базисе Z, а вектор и) определен своими проекциями ш^ в базисе X, т. е.
CJ° = Ш^Х\ + ^22 + 0^X3, Си? = U)\X\ + U)^ + CJ3X3,
где Х{ и Xi — орты осей Zi и Xi.
Полагаем также, что кватернион А ° определен своими компонентами А° (j = 0, 1,2,3) в базисе Z (а, следовательно, и в базисе О, а кватернион А — своими компонентами Х^ — в базисе Х^.
Тогда связь кватернионов А°, А и их первых производных по времени с векторами иХ\ и) имеет вид кватернионных уравнений
2А° = А°о^, (10.2)
2А = А о иох. (10.3)
Здесь и далее запись вида а^ означает отображение вектора а на базис р (р = £, Z, X), точка означает дифференцирование по времени t, производная от кватерниона b вычисляется в предположении неизменности ортов гиперкомплексного пространства i\, i^, 1з-
Ь* = % + b\i\ + 626 + Ъ^г, знак «о» означает, по-прежнему, кватернионное умножение.
Под задачей управления ориентацией твердого тела будем понимать задачу приведения связанной с телом системы координат X к опорной системе координат Z, вращающейся с программной (заданной) абсолютной угловой скоростью cj°(t) (т. е. к системе координат, движущейся по программной траектории А ° = A°(t)). Рассматриваем кинематическую постановку задачи управления [15-17]: полагаем, что управление ориентацией осуществляется за счет сообщения связанной системе координат абсолютной угловой скорости
= CJK + CJ* = (щк1 + Ш^)хх + (щк2 + ^2)^2 + (^кЗ + шз)х3> (10.4) состоящей из угловой скорости cj*, проекции ш* которой в базисе X равны заданным в базисе Z проекциям ш® программной угловой скорости X (ш*х = w°z\ и из угловой скорости коррекции cjk, назначение которой — изменять таким образом ориентацию базиса X, чтобы вызвать его совпадение с базисом Z.
При такой постановке задачи управления ориентацией твердого тела в качестве математической модели движения принимаются кинематические уравнения движения твердого тела в параметрах Эйлера (Родрига-Гамильтона) (10.3), а в качестве управлений — проекции ш^ абсолютной угловой скорости вращения тела на связанные оси, а не моменты сил, прикладываемые к твердому телу. Поэтому задача управления в такой постановке является кинематической.
Блок-схема системы управления ориентацией твердого тела представлена на рис. 10.1. На ней 1 — объект управления (твердое тело), 2 — измеритель абсолютной угловой скорости, 3 — блок интегрирования уравнения (10.3), 4 — блок формирования коррекции шкж, 5 — блок формирования программной траектории X°(t) (блок интегрирования уравнения (10.2)), 6 — блок формирования программного управления.
Рис. 10.1Рис. 10.1Так как величины ио® (программные управления) полагаются заданными функциями времени, то основными в рассматриваемой задаче являются вопросы построения и исследования законов коррекции ио^, обеспечивающих асимптотически устойчивый и оптимальный в некотором смысле процесс управления ориента-
Рис. 10.1
Рис. 10.1
цией твердого тела (процесс отслеживания базисом X заданного программного движения базиса Z), при котором асимптотически выпол-
няется равенство pi 1, где pi — кватернион рассогласования, характеризующий угловое отклонение связанного базиса X относительно программного Z.
Кватернион рассогласования pi может быть определен своими компонентами либо в инерциальном базисе £, либо в связанном базисе X (а, следовательно, и в программном базисе Z\ В первом случае в соответствии со схемой поворотов (10.1) имеем
(10.5)(10.6)(10.5)(10.6)А = рюХ°, pi = XoX°.
(10.5)
(10.6)
(10.5)
(10.6)
Во втором:_
X = X°opi*, pi* = Х° ox.
Здесь и далее верхняя черта означает сопряженный кватернион.
Уравнение для кватерниона рассогласования pt (уравнение ошибок системы управления ориентацией в первом случае) получается из уравнений (10.2)-(10.5) и имеет вид
2/1* = А о с^кж о А ° (t) = pi о X°(t) о с^кж о А ° (t) = cjK£ о pi. (10.7)
Уравнение для кватерниона рассогласования pi* (уравнение ошибок системы управления ориентацией во втором случае) получается из
15 Ю.Н. Челноков
уравнений (10.2)—(10.4), (10.6) и имеет вид [16, 17]
2/1** = /1* о Шкх Г pi* о ^°z^ ^zW ° Г1-(10.8)
Видно, что если в уравнение ошибок (10.7) входит (при задании угловой скорости коррекции в связанном базисе) кватернион А ° = = Л ° (t), характеризующий программную траекторию твердого тела, то в уравнение ошибок (10.8) входит программное управление u)z(t) (угловая скорость программного вращения твердого тела).
В работах [15-17] предложены два вида коррекции: когда управления являются линейными функциями величин р^р* (wKz = — —kip^p*) и когда управления w^ являются линейными функциями направляющих косинусов углов между осями систем координат X и Z: wKi = -АДмомТ - шк2 = -MXqpi pXpYY
^кз =-ЫМо^з+^2) или ^кЗ = -Ы,РоРз - P*\P1Y & = const. Для этих видов функциональных зависимостей cjKi исследована (с помощью уравнений (10.8)) устойчивость процесса управления ориентацией. Следует отметить, что уравнения ошибок для этих видов угловых скоростей коррекции ш^, получаемые из (10.8), существенно нелинейны и, к тому же, в общем случае нестационарны. Это затрудняет исследование «динамики» системы управления ориентацией и решение задачи синтеза оптимальных значений коэффициентов коррекции kt.
Вместе с тем, как это видно из структуры уравнений ошибок (10.7), (10.8), возможен такой выбор зависимостей cjK£ = w^piY шкх = = ш^рГ\ при котором уравнения ошибок будут линейными. Так, если в уравнении (10.7) положить cjk£ = pi о к о~рр а в уравнении (10.8) положить и;кж = ~р* о к* о pt*, где к = k(t), к* = k*(t) — некоторые кватернионы с нулевыми скалярными частями (некоторые векторы), являющиеся известными функциями времени, то эти уравнения принимают вид линейных кинематических уравнений
2/1* = /1 о k(t), 2/1** = k*(t) о /1* + /1* о u/^t) — w°z(t) о /1*, имеющих неасимптотически устойчивые решения для любых к = k(t) и Г =Г(£).
Больший интерес представляет построение и исследование таких зависимостей cjk£ = ca^pi), w^x = ш^рГУ которые бы являлись кватернионными аналогами позиционной и интегральной коррекций, широко используемых в гироскопической технике. Анализ показывает, что для получения в этих случаях коррекции линейных кватернионных уравнений ошибок необходимо для описания углового^вижения твердого тела вместо нормированного кватерниона А ( А о А = А2 = 1) ввести ненормированный кватернион А = ЛА (Л2 = Л о Л ) и использовать вместо кинематического уравнения углового движения твердого тела (10.3) для нормированного кватерниона А кинематическое уравнение углового движения твердого тела для ненормированного кватерниона
2А = Л о Qx, ^х =+ шх-(10.9)
Здесь шо — произвольная функция, связанная с нормой Л2 кватерниона Л дифференциальным соотношением 2Л* = иоЛ.
Полагая кватернион А °, характеризующий программное движение, по-прежнему нормированным, вместо (10.5), (10.6) получим соотноше
ниянияА = МоЛ°,А = Л°о М*,А = МоЛ°,А = Л°о М*,М = АоЛ°, М* = Л° о Л,М = АоЛ°, М* = Л° о Л,(10.10)(10.11)(10.10)(10.11)
ния
ния
А = МоЛ°,
А = Л°о М*,
А = МоЛ°,
А = Л°о М*,
М = АоЛ°, М* = Л° о Л,
М = АоЛ°, М* = Л° о Л,
(10.10)
(10.11)
(10.10)
(10.11)
где М, М* — ненормированные кватернионы рассогласований, нормы которых равны норме кватерниона Л:
II м II = II м* II = II л II = л2 = л2 + л2 + л! +
Кватернионы М и М* связаны с /1 и /1* соотношениями М = Л/i, М* = = Л/1*.
Уравнения для ненормированных кватернионов рассогласований М, М* имеют вид, аналогичный (10.7), (10.8):
2М'= Л о Пкж о X°(Z) = МоА°(£) оОК1 оХ°№ = Щ оМ, (10.12)
(10.13)(10.13)(10.14)(10.14)2М*’ = М* о Пкж + М* о ш° (t) - ш°2^ о М*.
(10.13)
(10.13)
(10.14)
(10.14)
В этих уравнениях
^кж — ^0 + ^кж, ^к£ — ^0 + ^к£-
Для реализации кватернионного аналога позиционной и интегральной коррекций предлагаются два вида коррекции, соответствующие случаям формирования кватерниона рассогласования в виде (10.10) и (10.11) и вытекающие из структуры уравнений ошибок (10.12) и (10.13). В случае задания кватерниона рассогласования соотношением (10.10) (т.е. своими компонентами в инерциальном базисе) закон коррекции предлагается формировать в виде
^КЖ — А °^КЖ — А °*o(A°(t)-A)+£o М(1■to*o(A°(t)-A)+£o М(1■toЛ о Л (г)) От I о A°(t)Л о Л (г)) От I о A°(t)= Л 1 о= Л 1 око (М-1 - 1) оЛ + ^око (М-1 - 1) оЛ + ^ооХ°^оХ°^(10.15)(10.15)
^КЖ — А °
^КЖ — А °
*o(A°(t)-A)+£o М(1
■to
*o(A°(t)-A)+£o М(1
■to
Л о Л (г)) От I о A°(t)
Л о Л (г)) От I о A°(t)
= Л 1 о
= Л 1 о
ко (М-1 - 1) оЛ + ^о
ко (М-1 - 1) оЛ + ^о
оХ°^
оХ°^
(10.15)
(10.15)
где к и L — некоторые кватернионные константы; Л-1, М-1 — кватернионы, обратные кватернионам Л и М.
Отображение кватерниона QK на инерциальный базис в этом случае является лишь функцией кватерниона рассогласования М и имеет вид
rt■
оМ"1. (10.16)оМ"1. (10.16)a^KoCl^o к"х =ко (м-1-1)+£о | (1-М) dr to"
оМ"1. (10.16)
оМ"1. (10.16)
В случае задания кватерниона рассогласования соотношением (10.11) (т.е. своими компонентами в связанном базисе) закон коррекции
предлагается формировать в виде
^кж — А о^кж — А о(А°(£) - Л) о F + А°(£) ° ( J (1 — *°Ц) ° Л) dr ) о Г
^кж — А о
^кж — А о
М‘"' - 1) ok* + М*"1 О J(1 -М*) dr ) О Г, (10.17) to
где F и Г - некоторые постоянные кватернионы.
Угловые скорости коррекций в первом и во втором случаях находятся в соответствии с (10.14) из соотношений (10.15), (10.16) и (10.17) как векторные части кватернионов $1Кж> ^к^- ^кж = vectQKa;, QK£ = = vectQK£, где vect( •) — векторная часть кватерниона (•).
Уравнение замкнутой системы «объект управления (твердое тело)
rtj (1 — Л о Х°(т)^ tortj (1 — Л о Х°(т)^ to+ система управления ориентацией» принимает в первом случае вид
rt
j (1 — Л о Х°(т)^ to
rt
j (1 — Л о Х°(т)^ to
drdr|(1— ^°(т) ° А^ to|(1— ^°(т) ° А^ tooX°(t),(10.18)От о Г(10.19)oX°(t),(10.18)От о Г(10.19)2Л* = Л о u°z^ + к о (X°(t) - Л) + £ о
dr
dr
|(1— ^°(т) ° А^ to
|(1— ^°(т) ° А^ to
oX°(t),
(10.18)
От о Г
(10.19)
oX°(t),
(10.18)
От о Г
(10.19)
а во втором случае— вид
2Л* = Л о a)°z(t) + (X°(t) - Л) о Г + X°(t) о
Для получения уравнения (10.18) необходимо подставить выражение для Qx-
Qx — ^о + ^х — ^о + ^кж + ^х — ^кж + ^zW (10.20)
и соотношение (10.15) в уравнение (10.9). Уравнение (10.19) получается аналогично (подстановкой соотношений (10.20), (10.17) в уравнение (10.9)).
Блок-схема системы управления ориентацией твердого тела с использованием ненормированного кватерниона Л представлена на рис. 10.2.
На ней 1 — объект управления (твердое тело), 2 — измеритель абсолютной угловой скорости, 3 — блок интегрирования уравнения (10.9), 4 — блок формирования коррекции Г2КЖ = с^о + + и;кж; 5 — блок формирования программной траектории X°(t) (интегрирования уравнения
(10.2)), 6 — блок формирования
Рис. 10.2программного управления, uq =
— seal $~^кж, ^^кж — vect $~^кж •
Уравнение ошибок (10.12) системы управления ориентацией в случае формирования закона коррекции в виде (10.15) или (10.16)
принимает вид
2М* = *о(1 -М)+£о
rt|(1 -М) От)to'rt|(1 -М) От)to'(10.21)(10.21)2М** = (1 -М>Л* +2М** = (1 -М>Л* +rtj(l"tortj(l"toNV) От оГ +NV) От оГ ++ M* о Ш°2^ - шЩ') О М*. (10.22)+ M* о Ш°2^ - шЩ') О М*. (10.22)В случае формирования закона коррекции в виде (10.17) уравнение ошибок (10.13) системы управления ориентацией принимает вид
rt
|(1 -М) От)
to'
rt
|(1 -М) От)
to'
(10.21)
(10.21)
2М** = (1 -М>Л* +
2М** = (1 -М>Л* +
rt
j(l
"to
rt
j(l
"to
NV) От оГ +
NV) От оГ +
+ M* о Ш°2^ - шЩ') О М*. (10.22)
+ M* о Ш°2^ - шЩ') О М*. (10.22)
(10.22) (уравнение для компоненты М^(10.22) (уравнение для компоненты М^Из уравнений (10.18) и (10.19) видно, что предлагаемые виды коррекций (10.15) и (10.17) реализуют позиционную и интегральную коррекции. Позиционной коррекции соответствуют вторые слагаемые правых частой уравнений (10.18), (10.19), а интегральной — третьи. Для этих видов коррекции получаются линейные (без линеаризации) уравнения ошибок (10.21) и (10.22). Причем уравнение (10.21) для кватерниона рассогласования М, определенного своими компонентами в инерциальном базисе, оказывается не только линейным, но и стационарным и инвариантным относительно программного движения базиса Z. Это позволяет дать полный анализ устойчивости и «динамики» системы управления ориентацией и определить оптимальные значения кватернионных коэффициентов коррекции к и £. В отличие от уравнения (10.21) уравнение (10.22) для кватерниона рассогласования М* определенного своими компонентами в связанном базисе, является линейным, в общем случае нестационарным и зависящим от программного управления u)°z^tY Это затрудняет исследование «динамики» системы управления для коррекции вида (10.17). Следует однако отметить, что для скалярных коэффициентов к* и F первое уравнение системы
(10.22) (уравнение для компоненты М^
(10.22) (уравнение для компоненты М^
кватерниона М*) имеет вид
2М^2М^= к*(Х -Мо*) +Г= к*(Х -Мо*) +Гrt■
2М^
2М^
= к*(Х -Мо*) +Г
= к*(Х -Мо*) +Г
|(1 -М^дт
to"
Оно не зависит от остальных трех уравнений этой системы и не содержит проекций ^(t) программной угловой скорости, что позволяет легко построить общее решение этого уравнения и использовать его для анализа устойчивости процесса ориентации.
Отметим также, что в случае позиционной коррекции (£ = £* = 0) и скалярных к, к*, таких, что к = к*, уравнения замкнутых систем управления (10.18) и (10.19) для рассмотренных законов коррекции (10.15) и (10.17) совпадают. Поэтому для одинаковых начальных условий движения решения этих уравнений будут одинаковыми и в силу равенств (10.10), (10.11) кватернионы рассогласований М* и М будут связаны соотношением М* = A (t) о М о A°(t).
В дальнейшем рассматриваются свойства системы управления ориентацией для коррекции вида (10.15), ((10.16)), для чего исследуется
кватернионное уравнение ошибок (10.21). При этом в соответствии с назначением системы в качестве ее невозмущенного движения принимается частное решение Л = A°(t) уравнения (10.18), описывающего движение замкнутой системы управления ориентацией. Этому решению соответствует частное решение М = 1 уравнения ошибок (10.21). Исследуются устойчивость этого решения и «динамика» системы управления ориентацией с этим видом коррекции.
Общее решение уравнений замкнутой системы управления. Дифференцируя уравнение ошибок (10.21) по времени, получим
2М” + к о М* + £ о (М - 1) = 0.(10.23)
Отметим, что начальное значение M’(to) переменной М* находится в соответствии с (10.21) через заданное начальное значение M(to) переменной М.
Вводя новую переменную N = М — 1 и обозначив р = k/2, q = £/2, из (10.23) получим кватернионное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными кватернионными коэффициентами:
N +poN+^oN = 0.(10.24)
При этом частному решению М = 1 уравнения ошибок (10.21) или (10.23) соответствует нулевое решение уравнения (10.24).
Уравнение (10.24) допускает аналитическое решение общего вида. Способ его построения аналогичен обычному. Опишем его, учитывая специфику кватернионов.
Ищем решения уравнения (10.24) вида
N = ег\ х = const,(10.25)
где экспоненциал ezt определяется кватернионным рядом
ezt = 1 + zt +(zt)2 +(zt)3 +.
Подставляя (10.25) и производные N* = 20 ezt, N“ = 22 о ezt в уравнение (10.24), получим для нахождения кватерниона х уравнение
22 +р о 2 + 9 = 0,(10.26)
являющееся кватернионным аналогом характеристического уравнения.
Для нахождения корней кватернионного квадратного уравнения (10.26) совместим орты ц, i2, /3 гиперкомплексного пространства с ортами вь в2, ^з трехмерного ортогонального базиса е, выбранного так, что
р = р0^авх, q = 90 + сех + ^2,(10.27)
т.е. так, чтобы векторные части кватернионов р и q лежали в плоскости < ех, в2 >.
Переходя к скалярной записи, из уравнения (10.26) получим систему четырех нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных компонент зу (у = 0, 1,2,3) кватерниона 2:
4 - (^1 + ^2 + ^) + Ро^о -+ 9о = 0,(10.28)
2г0г] + po-zi + az0 + с = 0, 2z0z2 + poz2 - az3 + b = О,
2г0г3 + Pqz3 + az<z = 0. Если
“v ^H^°’(10.29)
то система (10.28) имеет, по крайней мере, два решения (знак плюс соответствует г = 1, знак минус соответствует г = 2):
„f±A*/2 - ^) а + с
^0 = ±д1/2_^, гп = _А,(1О.зо)
_ , (±д|'и)6, 9
2 4Д + «! ■4Д+<?',2'
где А — положительный корень уравнения
/(А) = 16A3+4(4ai + а2)А2 + 4(4а\а2 — Ь2 — а2)А —с^а2 = 0, (10.31)
«1 = 90 + - (a2 -pg) , а.2=(с--роа) .(10.32)
Отметим, что условие существования положительного корня уравнения (10.31), имеющее вид /(0) = — а^а2 < 0, выполняется в силу (10.29) и второго равенства (10.32).
Используя (10.27), получим (в случае произвольной ориентации базиса е) следующие выражения для величин а, Ь, с через компоненты Pi, Qi (^ = 1,2,3) кватернионов р и q.
/2,2, 2\1/2Qv‘Pv Piqi+P2q2+P3qs /1Поох
а=^Р1+р2+Рз), C=qv-ev= =-, (10.33)
Ь_ а2 Щ -2, 2, 2 Р\Ч\+Р2Ч2+РЫЛ !
где pv, qv — векторные части кватернионов р и q.
Итак, в случае, когда выполнено условие (10.29), накладываемое на кватернионные коэффициенты р и q уравнения (10.24), кватернионное квадратное уравнение (10.26) имеет два различных корня Х\ и 22, компоненты г^ (г = 1,2; j = 0, 1,2,3) которых определяются соотношениями (Ю.ЗО)-(Ю.ЗЗ),
Общее решение уравнения (10.24) в этом случае может быть записано в виде
N = eZxt о щ + eZ2t о с2,(10.34)
где Ci, С2 — кватернионные константы, зависящие от начальных условий движения.
Действительно, нетрудно проверить, что если Ni, N2 — решения уравнения (10.24), то Ni о tj + N2 о с2 также является его решением (здесь Ci, С2 — произвольные кватернионные константы). Это означает, что множество всех решений уравнения (10.24) — правое векторное
пространство над телом кватернионов. Если к тому же 21 и 22 - два различных корня уравнения (10.26), то решения Ni = eZxt и N2 = eZlzt уравнения (10.24) линейно независимы над кватернионами, поэтому в множестве всех решений уравнения (10.24) они порождают пространство вещественной размерности восемь. А поскольку само уравнение (10.24) можно рассматривать как систему дифференциальных уравнений порядка восемь, то общее решение уравнения (10.24) имеет вид (10.34).
Отметим, что для получения общего решения уравнения ошибок (10.21) или (10.23) необходимо подставить (10.34) в равенство М = = N + 1 и учесть, что р = А/2, q = £/2.
Замечание. Приведенное общее решение (10.34), (10.30) кватернионного уравнения ошибок (10.24) исключает (в силу (10.29)) случай скалярных р и q. Общее решение для этого случая очевидно, так как кватернионное уравнение (10.24) в этом случае распадается на четыре скалярных независимых однородных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим позиционную коррекцию (£ = 0), являющуюся частным случаем закона коррекции (10.15). Уравнение ошибок (10.21) в этом случае принимает вид
2М* =*о(1 -М).(10.35)
Общее решение этого уравнения имеет вид
М = е-,/2А<ос+1,(10.36)
где с — кватернионная постоянная, определяемая через начальные условия движения.
Устойчивость и «динамика» процесса управления ориентацией. Установим условия асимптотической устойчивости процесса приведения базиса X к Z, используя явное решение уравнений ошибок и критерий Гурвица.
Нетрудно проверить, что
ezt = ezot [cos(|Zv|0 + |Zv|-i sindzylO^iii + z2i2 + z3i3)] ,(10.37)
где Zj — компонента кватерниона z, |zv| = (г2 + г2 + г2)1/2.
Отсюда видно, что для асимптотической устойчивости нулевого решения уравнения (10.24) необходимо и достаточно, чтобы скалярные части ^о корней уравнения (10.26) были отрицательны. Из формул (10.30) следует, что ^о будут отрицательными, если ро > 0 и ро/2 > > А1/2 или если Ро/4 > А. Так как /(0) = —а2а2 < 0, то для выполнения неравенства А < р^/4 достаточно потребовать, чтобы / (Pq/4) > 0. Последнее условие может быть записано в виде
^оРо + асРо + (^2Qo - &2 - с2)ро + а?ср^ - а2с2 > 0.(10.38)
Неравенство (10.38), дополненное соотношениями (10.33), и неравенство ро > 0 являются достаточными условиями асимптотической
устойчивости нулевого решения уравнения (10.24) или решения М = 1 уравнения ошибок (10.23) ((10.21)), накладываемыми на компоненты кватернионных коэффициентов р и q (k и £\
Воспользуемся теперь для получения необходимых и достаточных условий асимптотической устойчивости критерием Рауса-Гурвица. Рассматривая кватернионное уравнение (10.24) как линейную систему дифференциальных уравнений восьмого порядка, можно показать, что ее характеристическое уравнение имеет вид
1 2
s4 + 2p0s3 + (2д0 + р ор)з + (р oq + q op^s + qoq\ = 0.(10.39)
Условия отрицательности вещественных частей корней уравнения (10.39) имеют вид
Р0 > о, 2po(2go +рор) - (poq + qo?) > о, (10.40)
2р0(2д0 +pop)(poq + qop) -A^qoq- (poq + qopf > 0.
Условия (10.40) являются необходимыми и достаточными для асимптотической устойчивости нулевого решения уравнения (10.24) или решения М = 1 уравнения ошибок (10.21).
Для позиционной коррекции (£ = 0) уравнение ошибок имеет вид (10.35), а его общее решение — вид (10.36). Из (10.36) и (10.37) следует, что для асимптотической устойчивости частного решения М = = 1 уравнения ошибок (10.35) необходимо и достаточно выполнение неравенства ко > 0, где ко — скалярная часть кватерниона к.
Для построения оптимальной в том или ином смысле системы управления ориентацией необходимо решение задачи синтеза оптимальных значений коэффициентов коррекции к и £ (р и q\ Приведем одно из возможных решений этой задачи.
Рассматриваем систему управления ориентацией с коррекцией вида (10.15). Считаем, что коэффициенты коррекции к = 2р, £ = 2q удовлетворяют условиям асимптотической устойчивости (10.40). Поставим следующую задачу: найти такие значения коэффициентов коррекции р и q, удовлетворяющие условиям асимптотической устойчивости (10.40), для которых интеграл
^ = g*JMat = q*^^^n^ dt, q* = \q\x/2 00
принимает наименьшее значение на решениях системы (10.24), удовлетворяющих начальным условиям N(0) = const, N*(0) = 0.
Обозначим
Q]=2p0, «2 = \р\2 + 2q0, a3=poq + qop, a4 = \q\2.(10.41)
0(10(2 — О(з0(10(2 — О(зZ = 2|p|2Z = 2|p|2Тогда поставленная задача сводится к отысканию минимума функции
0(10(2 — О(з
0(10(2 — О(з
Z = 2|p|2
Z = 2|p|2
при выполнении условий (10.40), принимающих в обозначениях (10.41)
видвидQi > 0,Qi > 0,Qi 10^3 0^2Qi 10^3 0^2> О,> О,ОЦ 1 ОС^З С^2 CtiО Оц С^зОЦ 1 ОС^З С^2 CtiО Оц С^з>0.>0.
вид
вид
Qi > 0,
Qi > 0,
Qi 1
0^3 0^2
Qi 1
0^3 0^2
> О,
> О,
ОЦ 1 О
С^З С^2 Cti
О Оц С^з
ОЦ 1 О
С^З С^2 Cti
О Оц С^з
>0.
>0.
Использование аппарата условного экстремума показывает, что минимум достигается при р = р0, q = q0 (при скалярных р и q) и р^ - до = 0.
Применение результатов. Полученные результаты представляют не только теоретический интерес, но и имеют важные приложения. Так, они могут быть использованы при построении инерциальных систем управления с использованием принципа бескардановых систем. Примеры такого рода систем приведены в [17].
Использование полученных результатов позволяет построить эффективные в аналитическом и вычислительном отношениях уравнения и алгоритмы функционирования комплексной бесплатформенной системы ориентации, включающей в свой состав датчики классической БИНС (три акселерометра и три гиротахометра, жестко закрепленные на борту объекта), датчик воздушной скорости, датчики углов атаки и скольжения, индукционный датчик магнитного курса и бортовой вычислитель. Такой состав датчиков позволяет использовать для определения параметров ориентации объекта уравнения с позиционной и интегральной коррекцией, имеющие вид (10.18) или (10.19).
Другое применение полученных результатов связано с задачей асимптотического корректирования гироскопических систем, решаемой в рамках прецессионной теории гироскопов. Динамика прецессионного движения гиросистем (гиромаятника, гирокомпаса, гирогоризонтком- паса и др.) может быть описана с помощью кватернионных уравнений, имеющих вид кватернионных кинематических уравнений абсолютного или относительного углового движения твердого тела [138]. При этом проекции абсолютной угловой скорости гирорамы (гиросферы), входящие в уравнения прецессионного движения, непосредственно связаны с моментами внешних сил, действующих на гиросистему. Поэтому задачи синтеза корректирующих моментов, придающих гиросистемам заранее заданные свойства, решаемые в рамках прецессионной теории, относятся к классу кинематических задач управления ориентацией твердого тела и при их решении могут быть использованы полученные в этом классе задач результаты.
В заключение отметим, что полученные результаты могут быть обобщены на кинематическую задачу управления движением свободного твердого тела, представляющую интерес с точки зрения приложений в связи с построением инерциальных систем управления на бесплат- форменных принципах и в связи с построением систем наведения подвижных объектов. Для этого необходимо использовать аппарат бикватернионов и бикватернионные кинематические уравнения движения свободного твердого тела.
Кинематические и динамические задачи управления угловым движением твердого тела: Кватернионный подход к решению задач. Рассмотрим перспективы развития теории управления угловым движением твердого тела, связанные с использованием кватернионных моделей движения твердого тела. Построение управления угловым движением твердого тела в традиционной постановке включает задачу построения программного углового движения, программного управления и задачу построения управления, стабилизирующего программное угловое движение в малом. Задача построения программного углового движения и программного управления во многих случаях решается с помощью методов теории оптимального управления. Аналитическое решение этой задачи для наиболее часто используемых функционалов оптимизации при произвольно заданных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости твердого тела не найдено. Поэтому в общем случае приходится рассчитывать лишь на приближенное аналитическое или численное решение задачи. Построение стабилизирующего управления осуществляется на основе линеаризованных дифференциальных уравнений возмущенного углового движения твердого тела и также встречает серьезные трудности в случаях, когда эти уравнения нестационарны.
Большое количество работ посвящено другому подходу к построению управления угловым движением твердого тела [24, 25, 62-64, 75, 174, 183]. Этот подход использует принцип обратной связи для формирования законов управления и метод Ляпунова для анализа устойчивости управляемого углового движения твердого тела. Во многих работах [24, 25, 62-64, 174, 183] этот подход используется для построения управления большими пространственными поворотами космического аппарата, рассматриваемого как твердое тело. В большинстве из этих работ изучается задача переориентации твердого тела: задача перевода твердого тела из одного фиксированного углового положения в другое (при нулевых угловых скоростях твердого тела в начальном и конечном положениях). Законы управления строятся в виде линейных или нелинейных функций компонент кватерниона ошибки ориентации и вектора угловой скорости твердого тела так, чтобы процесс переориентации был асимптотически устойчивым в большом или в целом. Уравнения движения твердого тела, замкнутые такими законами управления, получаются нелинейными, что затрудняет изучение динамики управляемого углового движения твердого тела и определение коэффициентов усиления обратных связей, гарантирующих желаемые качественные и количественные характеристики переходных процессов.
Более общая задача управления угловым движением твердого тела заключается в построении управления, обеспечивающего асимптотически устойчивый в большом или в целом перевод твердого тела, имеющего произвольную начальную угловую скорость, из его произвольного заранее незаданного начального углового положения на любую выбранную программную траекторию углового движения и дальнейшее
асимптотически устойчивое движение твердого тела по этой траектории с необходимыми угловыми скоростью и ускорением. При этом переходный процесс должен иметь желаемые качественные и количественные характеристики. Решению этой задаче посвящены работы автора [148-152, 157, 161]. Остановимся на основных моментах теории решения общей задачи управления угловым движением твердого тела, предложенной в указанных работах.
Для решения задачи используются кватернионные модели вращательного движения твердого тела и концепция решения обратных задач динамики, с помощью которой задача построения управляющего момента сводится к задаче синтеза требуемого углового ускорения твердого тела. Последняя задача носит общий характер для всех движущихся объектов, рассматриваемых как твердое тело, и поэтому представляет самостоятельный интерес. Требуемое угловое ускорение формируется в виде суммы программного и стабилизирующего угловых ускорений. Построение программного углового ускорения может быть выполнено с помощью методов теории оптимального управления или с помощью других подходов, рассмотренных в указанных работах (отметим, что в задаче переориентации это ускорение может быть принято равным нулю).
Стабилизирующее угловое ускорение формируется по принципу обратной связи в виде нелинейной векторной или кватернионной функции компонент кватерниона ошибки ориентации и вектора ошибки по угловой скорости твердого тела так, чтобы нелинейные нестационарные дифференциальные уравнения возмущенного углового движения твердого тела, замкнутые построенными законами управления, принимали эталонный вид: вид линейных стационарных дифференциальных уравнений второго порядка относительно векторной или кватернионной переменной, характеризующей конечную ошибку ориентации твердого тела. Постоянные коэффициенты (скалярные, матричные, кватернионные) этих (эталонных) уравнений имеют смысл коэффициентов усиления нелинейных обратных связей по угловому положению и угловой скорости, реализуемых системой управления угловым движением твердого тела, а сами уравнения описывают эталонную динамику переходных процессов. Это позволяет аналитически точно определять коэффициенты усиления нелинейных обратных связей исходя из желаемых качественных и количественных характеристик переходного процесса.
Центральную роль в построенной теории играют нелинейные нестационарные дифференциальные уравнения возмущенного углового движения твердого тела. Использование теории конечного поворота твердого тела, кватернионов и векторов конечных поворотов позволяют получить компактные и наглядные уравнения возмущенного движения твердого тела, удобные для построения асимптотически устойчивых в большом или в целом управлений ориентацией твердого тела. В работах [148-152, 157, 161] рассматриваются два кватернионных способа описания ошибок по угловому положению твердого тела: с помощью
кватерниона ошибки ориентации, определенного своими компонентами в основной (инерциальной) системе координат, и с помощью кватерниона ошибки ориентации, определенного своими компонентами в связанной с твердым телом системе координат (с помощью собственного кватерниона ошибки ориентации). Кроме этого, рассматриваются два способа описания ошибки по угловой скорости и стабилизирующего углового ускорения твердого тела: 1) векторный, когда ошибка по угловой скорости и стабилизирующее угловое ускорение формируются в виде векторных разностей векторов действительной и программной угловых скоростей твердого тела и векторов требуемого и программного угловых ускорений; 2) формальный, когда ошибка по угловой скорости и стабилизирующее угловое ускорение формируются в виде разностей проекций соответствующих векторов, определенных в разных системах координат. Полученные с помощью этих способов дифференциальные уравнения возмущенного движения различаются как по форме, так и по смыслу используемых переменных, что приводит к разным законам формирования управления.
На основе кватернионных и векторных дифференциальных уравнений возмущенного движения в работе [161] построены три группы законов управления, использующих различные кинематические параметры вращательного движения твердого тела: 1) векторные части нормированных кватернионов ориентации, 2) векторы конечных поворотов и 3) ненормированные кватернионы поворотов. Использование нормированных кватернионов поворотов в теории и практике управления вращательным движением твердого тела стало общепринятым, поскольку они являются наиболее простым и удобным средством математического описания вращательного движения твердого тела. Использование (при синтезе третьей группы законов управления) ненормированных кватернионов поворотов приводит к необходимости введения расширенного (восьмимерного) вектора состояния твердого тела и расширенного (четырехмерного) вектора управления вместо обычно используемых семимерного вектора состояния и трехмерного вектора управления. Роль переменных состояния твердого тела играют в этом случае ненормированный кватернион ориентации твердого тела и кватернион угловой скорости с ненулевой скалярной частью, а роль управления — кватернион углового ускорения (или кватернион управляющего момента) с ненулевой скалярной частью. Такое расширение вектора состояния и вектора управления позволяет провести синтез четырехмерного стабилизирующего управления в кватернионном виде без разделения кватернионных уравнений движения на скалярную и векторную части. Выделение скалярной и векторной частей, необходимое для построения вектора углового ускорения твердого тела, проводится на конечной стадии (в конечных соотношениях). Решение задачи синтеза стабилизирующего управления на основе кватернионных моделей возмущенного углового движения твердого тела, использующих нормированные кватернионы поворотов, кватернионы угловой скорости
и углового ускорения с нулевыми скалярными частями, требует разделения уравнений возмущенного движения на скалярную и векторную части в рамках самой процедуры синтеза, что приводит к более сложному решению задачи синтеза. Кроме этого, законы управления, построенные на основе этих моделей, а также на основе векторных моделей, вырождаются при определенном угловом положении твердого тела в пространстве, в то время как использование при синтезе «четырехмерных» угловых скоростей и ускорений позволяет построить невырождающиеся законы управления.
Отметим, что использование кватернионов поворотов приводит к необходимым и достаточным условиям асимптотической устойчивости установившегося движения твердого тела по уравнениям первого приближения, отличающимся от обычно используемых. Эти условия заключаются в требовании отрицательности скалярных частей двух корней кватернионного квадратного характеристического уравнения вместо требования отрицательности вещественных частей шести корней обычного характеристического уравнения в случае использования для описания вращательного движения твердого тела углов Эйлера- Крылова. Это оказывается полезным при исследовании устойчивости и управления движением твердого тела.
Итак, одно из перспективных направлений развития теории управления угловым движением твердого тела в динамической постановке с использованием кватернионов — аналитическое построение управлений угловым движением твердого тела, обеспечивающих асимптотическую устойчивость в большом или в целом любого выбранного программного углового движения и желаемую динамику управляемого углового движения твердого тела. Это направление разрабатывалось автором в работах [148-152, 157] и было обобщено в работе [161]. В рамках этого направления для построения законов управления используются кватернионные модели вращательного движения твердого тела, концепция решения обратных задач динамики, принцип управления с обратной связью и приведение дифференциальных уравнений возмущенного углового движения твердого тела к эталонным дифференциальным формам выбранной структуры. Кватернионный подход развивается также в кинематических задачах управления угловым движением, когда в качестве управления выступает вектор абсолютной угловой скорости твердого тела [15-17, 86, 101] (напомним, что в пунктах 10.1.1-10.1.4 изложены результаты, полученные в [101]), выходного звена робота-манипулятора [182], платформы [77, 78, 103, 119] космического платформенного комплекса «ТСП-Аргус».
Предложенные в этих работах (кинематические и динамические) законы управления могут быть использованы в инерциальных системах управления угловым движением подвижных объектов, построенных на бесплатформенных принципах, когда подвижный объект имеет на своем борту бесплатформенную инерциальную систему ориентации, измеряющую проекции вектора абсолютной угловой скорости вращения
объекта на связанные с ним координатные оси и вырабатывающую с помощью бортового вычислителя компоненты кватерниона действительной ориентации объекта в инерциальной системе координат. Эти законы управления могут быть также реализованы в системах управления движением роботов-манипуляторов, в которых используется принцип управления по абсолютному угловому положению и абсолютной угловой скорости выходного звена робота-манипулятора [123, 182], а также в высокоточных орбитальных платформенных комплексах [77, 78, 103, 119].
Отметим также, что разработанные кватернионные методы решения как кинематических, так и динамических задач управления угловым движением твердого тела могут быть положены в основу новых эффективных методов мультипликационных вращений, используемых для решения задач оживления (анимации) пространственных образов на экране ЭВМ [81].
Кинематическая задача оптимальнойнелинейной стабилизации углового движения твердоготела
Рассмотрим задачу построения оптимального кинематического стабилизирующего управления угловым движением твердого тела [10]. В качестве управления в этой задаче рассматривается вектор абсолютной угловой скорости твердого тела, при сообщении которого твердому телу оно переходит асимптотически устойчивым образом из любого, заранее не заданного начального углового положения на любую выбранную программную траекторию и в дальнейшем совершает асимптотически устойчивое движение по этой траектории. При этом должен выполняться некоторый критерий качества переходного процесса.
Уравнения возмущенного углового движения твердого тела имеют вид (10.7) (см. также [149]):
2V = био^ о v, 2v** = v* о Х^х,(10.42)
где и, v* — кватернионы ошибки ориентации, характеризующие отклонение действительной ориентации твердого тела от его программной ориентации (которой отвечает одно и то же значение и = и* = = 1 переменных v и v*\ причем кватернион v* определен своими компонентами в связанной, a v — в инерциальной системах координат.
Векторы Ьш^ и Лс^х — это искомые стабилизирующие управления угловым движением твердого тела, определяемые соотношениями
= А о 5шх ° А, А = v о A°(t), 5шх = ^х — ^/Хб
Хшх = ^х - ш°х = шх —V* о w°z(t) о v*,
где шх — отображение вектора абсолютной угловой скорости твердого тела на оси связанной системы координат X, w°z и ш°х — отображения
вектора абсолютной программной угловой скорости твердого тела на оси программной Z и связанной систем координат соответственно, А и A°(t) — кватернионы действительной и программной ориентации твердого тела в инерциальной системе координат.
Выберем следующие функционалы минимизации:
J = - J |z/v|2 + c^l^^Q dt,
(10.43)
J = 2 j (ai|i/*|2 + o?2|A^x|2^ dt,
0
где vN, v* — векторные части кватернионов v, v*; ац, Q2 — положительные весовые коэффициенты.
Каждый из функционалов характеризует собой интегральную величину энергетических затрат на управление и квадратичных отклонений параметров углового движения твердого тела от их программных значений, взятых в определенной пропорции, определяемой величинами весовых коэффициентов aq и 0(2-
Задача заключается в построении стабилизирующих управлений 5ш^ и Ас^х, обеспечивающих асимптотическую устойчивость невозмущенного движения v = и* = 1 (vv = и* = 0) и доставляющих минимум функционалам (10.43).
Для решения поставленной задачи воспользуемся принципом максимума Л.С. Понтрягина. Функция Гамильтона для задачи, описываемой первыми соотношениями (10.42), (10.43), имеет вид
Н = —— |^ОЦ (z^2 ^2 "Г ^з) + ^2(^^f+ М)] +
+ ^ {^оЦ^! - ^2^2 - ^3М) + W1 + ^3^2 - ^2^з) +
+^2(.V()6w2 + ^15^3 — ^з5ш]) + ^(^О^З + ^2^1 — ^1^2) Г
а для задачи, описываемой вторыми соотношениями (10.42), (10.43), вид1 гп
Н = — —+ ^2 + Уз ) + ^2(Acj2 + AcJ^ "Г Acj|)J +
+ — {< (—^fAcJi — z/2 Acj2 — Уз Ашз) + ^(z/q Асщ + ZA^ A1J3 — ^3 Ac<J2) + +^2(^0^^2 - ^*Ащз + ^Alji) + ^3(z/g Ащз + z/^A^ - z/^Awi) j, где ut, v* (г = 0, 1,2,3) — компоненты кватернионов v, v*; фу, ф* — вспомогательные (сопряженные) переменные, 5a)i, Nuji — компоненты векторов 5ш^, Ас^х (скалярные управления).
Уравнения для сопряженных переменных запишутся в виде
2^* = a\vv + 5ш^ о ф, 2ф* = a\v* + ф* о Ас^х- (10.44)
Законы стабилизирующего управления, удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности, имеют вид:
= — vect(^ о 17), Ас^х = ~- vect(z7* о^*).(10.45)
0(20(2
Подчеркнем, что соотношения (10.45) справедливы в случае отсутствия ограничений на управления.
Подставляя соотношения (10.45) в уравнения (10.42) и (10.44), получим уравнения задачи оптимального управления:
2V = — [^ - scal(^ о v^v\,од
2^* = <aiz/v + —- Ф ° v о ^— scal(^ о 17)-^;(10.46)
0(20(2
= — \ф* - scal(z7* о,
0(2
2^* = a\v* + — ф* ой* о ф*— scal(l7* о ф*)ф*.(10.47)
0(20(2
Полученные уравнения являются нелинейными и вряд ли могут быть решены аналитически в общем случае. Однако в случае, когда кватернионная сопряженная переменная ф или ф* имеет нулевую векторную часть, т. е. когда ф = фо или ф* = ф^, эти уравнения интегрируются в явном виде. В этом случае законы управления (10.45)
принимают вид
Ьш? =фо^у, =Фо^-(10.48)
0(20(2
Первые уравнения систем (10.46) и (10.47) с учетом (10.48) принимают
ВИД1.1
2v =—Щ! - г/оД, 2р* =—<(1 - ^о^*)- 0(20(2
Эти уравнения интегрируются аналитически. Общие решения уравнений для переменных vo и v^ (скалярных частей кватернионов zv и И) имеют вид
,.х = 1 - соехр(-у,оУа2) */,х = 1 ~ eg ехр(-^Са2)
1+соехр(-^о£/а2)’1 + eg exp(-^gt/a2) ’
где со, Cq — постоянные, определяемые начальными условиями движения (при t = 0 vq = vo(O), Vq = Vq (0)):
= 1 - /70(0)= 1-^(0)
1 + ^o (0)0 l+^o (^)
Интегрирование уравнений для переменных v^ (k = 1,2,3) (компонент векторных частей кватернионов z/ и И) дает
ttHG)| = И(°)|ехр -HG)| = И(°)|ехр -Фо Г , х ,Фо Г , х ,оо
t
t
HG)| = И(°)|ехр -
HG)| = И(°)|ехр -
Фо Г , х ,
Фо Г , х ,
о
о
КЧ)\ = Ш(°)1 ехРКЧ)\ = Ш(°)1 ехР
КЧ)\ = Ш(°)1 ехР
КЧ)\ = Ш(°)1 ехР
Из вторых уравнений (10.46) и (10.47) и соотношений (10.48) следует, что
Vt) = < = ±\М«2 •
Из полученных законов изменения переменных ио и и^ видно, что невозмущенное движение для законов управления (10.48) асимптотически устойчиво при фо = ^q > 0, т. е. когда фо = Фо = у/сфоф (напомним, что необходимыми и достаточными условиями асимптотической устойчивости движения твердого тела являются устойчивость невозмущенного движения по переменной ио = и^ и условие ио = и^ —► 1 при t —► ос).
Следовательно, оптимальные законы стабилизирующего управления имеют вид
5ш^ = — Vqi/q2™ V^T^^v’
а соответствующие им законы изменения параметров Эйлера ^ и и* (г = 0, 1,2,3), характеризующих управляемое угловое движение твердого тела, описываются соотношениями
1 + c0 exp(-yai/a2 t) ’1 - /70(0)°1 + Щ0) ’1 + c0 exp(-yai/a2 t) ’1 - /70(0)°1 + Щ0) ’= 1 - c^exp(-Vav/a2 t)
1 + c0 exp(-yai/a2 t) ’
1 - /70(0)
°1 + Щ0) ’
1 + c0 exp(-yai/a2 t) ’
1 - /70(0)
°1 + Щ0) ’
°1 + c* exp(—yai/a2 t) ’
l-^o(O).
0 i + W
ttHG)| = |Щ0)|ехрHG)| = |Щ0)|ехр-^хГГ/а^ I vo^dr ,-^хГГ/а^ I vo^dr ,ооttW№\ = I ^(0)1 exp -W№\ = I ^(0)1 exp -2 vW«2 ] v^dr ,2 vW«2 ] v^dr ,k = 1,2,3.k = 1,2,3.оо
t
t
HG)| = |Щ0)|ехр
HG)| = |Щ0)|ехр
-^хГГ/а^ I vo^dr ,
-^хГГ/а^ I vo^dr ,
о
о
t
t
W№\ = I ^(0)1 exp -
W№\ = I ^(0)1 exp -
2 vW«2 ] v^dr ,
2 vW«2 ] v^dr ,
k = 1,2,3.
k = 1,2,3.
о
о
Итак, рассмотрена в двух кватернионных постановках кинематическая задача оптимальной нелинейной стабилизации углового движения твердого тела. Построены с помощью принципа максимума законы оптимального управления и дифференциальные уравнения задачи оптимизации. Найдено аналитическое решение этой задачи.
Оптимальное угловое движение твердого тела в текущий момент времени t представляет собой вращение вокруг оси, имеющей в инерциальной системе координат направление, противоположное направлению вектора vv(t) = vect(A(t) о A (t)), а в связанной системе координат — вектора v*(t) = vect(A (t) о A(t)). Модуль вектора 5ш угловой скорости вращения (управления) определяется формулами
|<^G)| = |ЛьЩ£)| = Уа\!а2 KWI = 17(ai/o?2)(l - (/Щ))2) =
= 2 у/со^цМ exp f | V^M И + co exp V^T^2 t
Из этих формул видно влияние весовых коэффициентов функционала минимизации на модуль вектора управления: с увеличением коэффициента с^2, характеризующего долю минимизируемых энергетических затрат на управление, модуль управления уменьшается и, наоборот, с увеличением коэффициента ац, характеризующего долю минимизируемых суммарных квадратичных отклонений параметров углового движения твердого тела от их программных значений, модуль управления возрастает.
Отметим, что идея о равенстве нулю векторной части кватернионной сопряженной переменной, приводящая к аналитическому решению рассмотренной задачи, была ранее высказана К. И. Науменко 9 при решении им задачи синтеза нелинейного наблюдателя, обеспечивающего устойчивое определение параметров ориентации движущегося объекта.
Задача переориентации орбиты космическогоаппарата
Дифференциальные кватернионные уравнения ориентации орбиты космического аппарата. Будем считать, что вектор ускорения и от тяги реактивного двигателя во все время управляемого движения КА направлен ортогонально плоскости орбиты КА. Тогда орбита КА в процессе управления движением центра масс КА не меняет своей формы и своих размеров, а поворачивается в пространстве под действием управления и как неизменяемая (недеформируемая) фигура (как твердое тело).
dQn dt di г , — = - и cos^ + (pt dt сdtptr с dtг2 ’dQn dt di г , — = - и cos^ + (pt dt сdtptr с dtг2 ’Дифференциальные уравнения задачи переориентации орбиты КА в угловых элементах орбиты в рассматриваемом случае имеют вид [109]:
dQn dt di г , — = - и cos^ + (pt dt с
dtptr с dtг2 ’
dQn dt di г , — = - и cos^ + (pt dt с
dtptr с dtг2 ’
- и sin^^ + (ptr) cosec I,
du^ r
(10.49)(10.49)= --u sm^ + (ptr) ctg Д
(10.49)
(10.49)
Por,
= , c = const,
T Got COS Ptr
где Qn — долгота восходящего узла, I — наклон орбиты, — угловое расстояние перицентра от узла (переменные Qn, I, ш^ называются угловыми оскулирующими элементами орбиты КА), ip-tr ~ истинная аномалия (угловая переменная, характеризующая положение КА на
9 Науменко К.И. Коррекция бесплатформенной инерциальной навигационной системы / Науменко К.И.// Проблемы управления и информатики.— 1996. - № 6. - С. 123-134.
орбите); г = |г| — модуль радиуса-вектора центра масс КА; рог и еОТ — параметр и эксцентриситет орбиты, с = \r х v| — постоянная площадей (модуль вектора момента скорости центра масс КА); и — проекция вектора ускорения и на направление вектора момента скорости центра масс КА.
Задача переориентации орбиты КА в угловых переменных формулируется следующим образом: требуется построить управление и, переводящее орбиту КА, изменение ориентации которой описывается уравнениями (10.49), из заданного начального положения
Пи = ПЩ0) = С 1 = ЦЧ) = Г ^ = с^Ш) = <, 7о^О,тг,
в требуемое конечное положение
Qn = Qn(ti) = Q:, I = I(t^ = Г, = i^i) = <> I* + 0, тг.
Решение сформулированной задачи достаточно сложно в силу нелинейности дифференциальных уравнений (10.49) движения центра масс КА в угловых переменных и наличия в этих уравнениях особых точек I = 0,тг. Задача решается гораздо проще, если использовать дифференциальные уравнения ориентации орбиты КА в параметрах Эйлера (Родрига-Гамильтона), имеющие вид [146, ч. 2; 158, ч. 1]:
2 —- = —Qi Ai - Q2A2, 2 —- = Q1A0 - Q2A3,
dtat
2 —- — f^o + S2i^3>at2 —- — f^o + S2i^3>at2 —— = f^i — ^1^2,at2 —— = f^i — ^1^2,at(10.50)(10.50)dptr cdtr2 ’dptr cdtr2 ’Por1 + eOT cos ptr ’Por1 + eOT cos ptr ’c = const,c = const,
2 —- — f^o + S2i^3>
at
2 —- — f^o + S2i^3>
at
2 —— = f^i — ^1^2,
at
2 —— = f^i — ^1^2,
at
(10.50)
(10.50)
dptr c
dtr2 ’
dptr c
dtr2 ’
Por
1 + eOT cos ptr ’
Por
1 + eOT cos ptr ’
c = const,
c = const,
Qi = (r/c)u COS Ptri ^2 = (r/c)u sin^tr,
где Xj (j =0, 1,2,3)— параметры Эйлера, характеризующие ориентацию орбиты КА в опорной (инерциальной) системе координат X; Qi, Q2, ^з = 0 — проекции вектора Q мгновенной абсолютной угловой скорости орбиты на связанные с ней координатные оси.
Уравнения в кватернионной записи принимают вид:
2— = А о 12,dt2— = А о 12,dtQ = Qi/i + Q26 = - a (cos ptrh + sin 99^/2),Q = Qi/i + Q26 = - a (cos ptrh + sin 99^/2),(10.51)(10.51)
2— = А о 12,dt
2— = А о 12,dt
Q = Qi/i + Q26 = - a (cos ptrh + sin 99^/2),
Q = Qi/i + Q26 = - a (cos ptrh + sin 99^/2),
(10.51)
(10.51)
dptrdtdptrdtCPor,
dptrdt
dptrdt
r = , c = const,
rz 1 + eOT cos ptr
где A = Ao + AiZi + A2/2 + ^з*з — кватернион ориентации орбиты KA (кватернионный оскулирующий элемент орбиты КА); ц, i^, i^ — векторные мнимые единицы Гамильтона.
Отметим, что если (10.49) — система 4-х нелинейных стационарных дифференциальных уравнений первого порядка относительно угловых переменных Qn, I, ш^, ptr^ то (10.50) — система 5-ти нелинейных стационарных дифференциальных уравнений первого порядка относи-
тельно параметров Эйлера Aj (j = 0, 1,2,3) и истинной аномалии cptT. Однако система (10.50), в отличие от (10.49), не имеет особых точек, к тому же при переходе в ней от времени t к новой независимой переменной (ptr в соответствии с дифференциальным соотношением diptr = (c/r2)dt мы получаем (при и = u^pt-rY) систему 4-х линейных нестационарных дифференциальных уравнений относительно параметров Эйлера Xj, имеющую в кватернионной записи вид
т2
= — А о Q = — иХ о (cos^trO + sin ^/2), dcptr сс1
и = U^trY1, С = const .
“h ^or COS 'ptr
Отметим также, что системы уравнений (10.49) и (10.50) могут рассматриваться как нестационарные системы дифференциальных уравнений третьего и четвертого порядков соответственно относительно переменных Qn, I, и Xj (j = 0, 1,2,3), так как последнее уравнение в этих системах для истинной аномалии ptr интегрируется в квадратурах независимо от других уравнений, в силу чего переменная ptr может рассматриваться как известная функция времени t. При таком рассмотрении (10.49) является нелинейной системой, а (10.50) — линейной.
Решение задачи переориентации орбиты с использованием теории нелинейной стабилизации. Задача переориентации орбиты КА в параметрах Эйлера формулируется следующим образом: требуется построить управление и, переводящее орбиту КА, изменение ориентации которой описывается уравнениями (10.50) или (10.51), из любого заданного начального положения A(to) = А0 в любое требуемое конечное положение А(й) = А*.
Будем рассматривать задачу переориентации орбиты КА как задачу нелинейной стабилизации. Ее решение в этом случае основывается на дифференциальных уравнениях возмущенного движения центра масс КА. Для построения уравнений возмущенного движения в угловых оскулирующих элементах орбиты в уравнениях (10.49) следует положить Qn = Q* + 5Qn, I = F + 51,= ш* + 5ш^, где Q*, F, ш* — за
данные значения угловых оскулирующих элементов, характеризующие требуемую ориентацию орбиты КА, и рассматривать полученные уравнения как дифференциальные уравнения относительно переменных (отклонений) 5Г1и, 51, 5ш^ (истинная аномалия ptr при этом рассматривается как известная функция времени t, определяемая посредством независимого интегрирования последнего уравнения системы (10.49)). Уравнения в этих переменных сложны и мало удобны для решения задачи переориентации орбиты КА.
Использование уравнений (10.50) или (10.51) в параметрах Эйлера позволяет получить более простые и удобные дифференциальные уравнения возмущенного движения центра масс КА. Вводя кватернионную
переменную АЛ, характеризующую отклонение углового положения орбиты КА от ее требуемого положения, задаваемого кватернионом А*, в соответствии с кватернионной формулой Л = Л* о АЛ сложения конечных поворотов, заданных собственными кватернионами поворотов, и используя кватернионное дифференциальное уравнение (10.51) ориентации орбиты КА, получим следующее кватернионное дифференциальное уравнение возмущенного движения центра масс КА:
(/АЛ . _
—-— = АЛ о Q =
at
^^trW) ^дд Q fcos + smiptrWsY с = const, (10.52) с
где кватернионная переменная АЛ = sin ——h cos ед определяется соотношением АЛ = Л* о Л, в силу которого начальное условие для кватернионного уравнения (10.52) определяется заданными значениями Л°, Л* кватернионов начальной и конечной ориентаций орбиты КА: AA(to) = А о А0; /\(р и ед являются для текущего момента времени t эйлеровым углом и единичным вектором эйлеровой оси возмущенного конечного поворота орбиты КА относительно ее невозмущенного углового положения, задаваемого кватернионом поворота А*.
Скалярная запись кватернионного уравнения (10.52) имеет вид уравнений (10.50), в которых в этом случае необходимо вместо переменных Xj взять отклонения АА^ (j =0, 1,2,3), являющиеся компонентами кватерниона АЛ.
Невозмущенному движению центра масс КА соответствует частное решение АЛ = 1 кватернионного уравнения (10.52) (или, в координатной записи, частное решение ААо = 1, АА^ = 0 (г = 1,2, 3) соответствующей системы скалярных уравнений) при управляющем воздействии и = 0. Этому частному решению отвечают нулевое значение эйлерова угла Ас/; и любые значения проекций ед^ единичного вектора ед на оси системы координат, связанной с орбитой.
В теории устойчивости движения невозмущенному движению отвечает тривиальное (нулевое) частное решение дифференциальных уравнений возмущенного движения, записанных в стандартной форме. Стандартная форма кватернионного дифференциального уравнения возмущенного движения центра масс КА получается из уравнения (10.52) с помощью введения новой кватернионной переменной х = 1 — — АЛ, компоненты которой хо = 1 — ААо, яц = — АА^ (г = 1,2,3):
2^ = (х — 1) о Q = r^tT^^ и^х — 1) о (cosrtr(t)ix +
dt ° (10.53)
Тогда невозмущенному движению центра масс КА будет соответствовать нулевое частное решение х = 0 кватернионного уравнения (10.53) при управляющем воздействии и = 0.
Задача переориентации орбиты КА в отклонениях АА^ (j = = 0, 1,2,3), имеющих смысл параметров Эйлера, или в новых переменных (отклонениях) Xj формулируется следующим образом: требуется построить управление и, переводящее орбиту КА, изменение ориентации которой в отклонениях описывается уравнением (10.52) или (10.53), из любого заданного начального положения, характеризуемого кватернионом начального отклонения AA(to) = А о А0 или x(to) = 1 — А о А0, в требуемое конечное положение, характеризуемое кватернионом конечного отклонения АА(й) = 1 или x(t\) = 0.
Сформулируем задачу переориентации орбиты КА как задачу нелинейной стабилизации: требуется построить (по принципу обратной связи) такое управление и, при котором невозмущенное движение AA(t) = 1 или x(t) = 0 центра масс КА, являющееся частным решением кватернионного уравнения (10.52) или (10.53) при управляющем воздействии и = 0, будет асимптотически устойчивым. Под действием такого управления AA(t) 1, х^ —> 0 при t ос.
Рассматриваем в дальнейшем значения угла Ас/;, принадлежащие отрезку [—тг, тг], т. е. значения —тг < /Х^р ^ тг, отвечающие кратчайшему повороту (переводу) орбиты КА из начального возмущенного положения в конечное (невозмущенное) положение, для которого Ас/; = 0. Для этих значений угла Ас/; переменная AAq = cos(Ac/;/2) принадлежит отрезку [0, 1] и невозмущенному движению отвечают нулевые значения переменных Xj (j = 0, 1,2, 3).
В соответствии с концепцией устойчивости и управления угловым движением твердого тела, основывающейся на теореме Эйлера- Даламбера (см. параграф 6.8), устойчивость невозмущенного движения в рассматриваемой задаче характеризуется переменной Ас/;. Вместо этой переменной для изучения устойчивости движения при непосредственном использовании уравнения (10.53) целесообразно взять переменную
Ас^ 9 Ас^ хо = 1 - AAq = 1 - cos рр = 2 sin2 > 0.
Отметим при этом, что аргумент Ас/;/4 для рассматриваемой области определения угла Ас/; принадлежит отрезку [—тг/4, тг/4].
Для построения стабилизирующего управления на основе уравнений возмущенного движения (10.53) в переменных Xj (j = 0, 1,2,3) можно использовать метод функций Ляпунова теории устойчивости движения по отношению к части переменных [107] (в нашей задаче по отношению к одной переменной xq\ Однако проще для этой цели использовать качественный анализ поведения переменной xq в управляемом движении.
Уравнение, описывающее поведение переменной xq, является первым уравнением системы (10.53) и имеет вид
2xl0dm = _£^£д2 n (cosc/;trxi + sin с/цг.х2) =
= r^tT^ u(cosy)tTAXx + sin(/?trAA2).(10.54)
с
Непрерывная на отрезке времени [^о,й], tx < ос, функция xo(t) не возрастает (строго убывает), если ее производная хб(^) на этом отрезке не положительна (отрицательна). Выбирая управление и, входящее в выражение (10.54) для производной хб так, чтобы этот критерий убывания функции x^t?) на интервале выполнялся, получим разные законы стабилизирующего управления, например, (k = k(t) > 0):
u = —k(cos y)trAXx +sin ^ГАА2), u=—k(cos y)trAXx +sin ^ГАА2)-1,
и = — /csign(cos^tr^^i + sin^rAA2),
и = —k(i — AAq)(cos ^ГАА1 + ьш^гААг)-1.
Отметим, что используемая здесь функция cos^rAAi + sin^ГАА2, а также используемая далее функция cos ^tr^M + sin rtr^M могут обращаться в ноль в отдельных точках непрерывной траектории движения центра масс КА, что должно учитываться при построении алгоритмов управления.
Вместо уравнения (10.54) для построения стабилизирующего управления можно использовать другое уравнение:
• 2оsin2 I = 2• 2оsin2 I = 2T^tT^ u AAo(cos(/?trAAi + sin ^rAA2) =
• 2о
sin2 I = 2
• 2о
sin2 I = 2
=п8т(А(/;)(со8^гед1 + sin Г1т^м\
вытекающее из трех последних уравнений системы (10.52).
В этом случае для построения стабилизирующего управления вместо функции sin2(A^/4) необходимо использовать функцию sin2(Ac/;/2).
При непосредственном использовании переменных Nip, е^ (г = = 1,2,3) для решения задачи переориентации орбиты КА необходимо рассматривать дифференциальные уравнения возмущенного движения центра масс КА в этих переменных. Эти уравнения получаются из кватернионного уравнения (10.52) при выделении в нем скалярной и векторной частей и имеют вид
А(// = Q • ед = Г^212 и (соз^гед1 + sin ^гед2),(10.55)
с
2(^А = ед х Q + ctg ^ (ед х (Лх ед)).(10.
Отметим, что уравнение (10.55) справедливо для любого А^, а уравнение (10.56) — для Nip ^ 0, и что производная в векторном уравнении (10.56) является локальной производной (при Nip = 0 вместо уравнения (10.56) необходимо использовать уравнение А(//ед = Q).
Задача переориентации орбиты КА в этом случае формулируется следующим образом: требуется построить управление и, под действием
которого орбита КА при t ос стремится занять (асимптотически устойчивым образом) требуемое положение, т. е. такое управление и, при котором невозмущенное движение Ас/; = 0, являющееся частным решением уравнения (10.55) при управляющем воздействии и = 0, будет асимптотически устойчивым. Переменные ед^ (г = 1,2,3) при этом могут принимать любые значения, удовлетворяющие условию е^ + + вд2 + едз = h являющемуся первым частным интегралом векторного уравнения (10.56).
Управление, решающее поставленную задачу, можно построить на основе уравнения (10.55), используя критерий убывания функции (Ас/;)2 на интервале времени: управление и должно быть таким, чтобы производная непрерывной функции (Ас/;)2, составленная в силу уравнения (10.55), была бы неположительной (отрицательной) на интервале времени [to,И], И < ос, управляемого движения.
Приведем пример закона такого управления:
и = — к , С , AcWcos+ sin^tre^VV к = const > 0.
Для него эйлеров угол Ас/; рассогласования начального и требуемого конечного положений орбиты КА меняется в процессе управляемого движения в соответствии с законом
Ac/;(t) = Ac/;(t0) exp(-k(t - t0)),
т. e. стремится к нулю по экспоненциальному закону.
В заключение отметим, что построенные в рассмотренной постановке законы управления и прямо не учитывают ограничение на величину управления, однако косвенно это ограничение можно учесть за счет выбора коэффициента усиления обратной связи к.
Глава И
ГЕОМЕТРИЯ И КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯПЛАТФОРМЕННОГО КОМПЛЕКСА
КОСМИЧЕСКОГО ПРОЕКТА «МАРС-94»
С 1990 по 1996 гг. в рамках Государственного космического проекта «Марс-94» Всероссийским НИИ транспортного машиностроения (г. С.-Петербург) при участии ряда других организаций был разработан по заказу Института космических исследований РАН платформенный комплекс «ТСП-Аргус»(главный конструктор комплекса — Г. А. Пейсахович), предназначенный для программного наведения и стабилизации блока научной аппаратуры при съемки поверхности Марса, калибровке научной аппаратуры по диффузному экрану и звездам, а также для определения ориентации этого блока. Основной функциональный элемент комплекса — трехосная стабилизированная платформа с научной аппаратурой и блоком гироскопов. Платформа помещена в трехосный обращенный торсионный кардановый подвес и установлена на выходном звене трехзвенного манипулятора с вращательными сочленениями, который с помощью выносного рычага крепится на борту космического аппарата. Управление движением платформы осуществляется подачей на входы гироблока управляющих воздействий, а стабилизация этого движения с высокой точностью (по техническому заданию — единицы угловых секунд) обеспечивается контуром стабилизации, представляющим собой замкнутую через гироблок трехканальную систему автоматического управления. Большие пространственные развороты платформы без «складывания» рам карданова подвеса обеспечиваются соответствующими разворотами звеньев манипулятора. Эту функцию выполняет контур наведения (представляющий собой замкнутую через бортовой вычислитель систему управления, в которой манипулятор с приводами звеньев выступает в роли локального объекта), отрабатывающий угловые отклонения выходного звена манипулятора от платформы с точностью единиц угловых минут.
В состав разработчиков математического обеспечения системы управления движением комплекса «ТСП-Аргус» входила лаборатория механики, навигации и управления движением Института проблем точной механики РАН. В ходе разработки комплекса сотрудниками лаборатории были разработаны принципы и подходы к решению основных проблем, возникающих при построении систем управления
движением такого рода высокоточных платформенных комплексов. Решению различных аспектов общей проблемы управления движением комплекса «ТСП-Аргус» посвящены публикации [77, 78, 103, 118— 122]. В них основное внимание уделяется построению математических моделей движения комплекса, позволяющих учесть при моделировании движения не только динамику манипулятора и платформы, но и переносное движение основания, а также нелинейности приводов, конечность разрядных сеток цифро-аналоговых и аналогово-цифровых преобразователей и другие возмущающие факторы; построению алгоритмов ориентации, программного управления и наведения комплекса; принципу управления движением платформы по ее абсолютному угловому положению; синтезу цифровых регуляторов для стабилизированного разворота платформы; управлению движением в режиме сканирования; определению отклонений кинематических осей комплекса от их расчетных положений по информации об абсолютном угловом положении платформы в пространстве.
В настоящем разделе рассматриваются, следуя работам [77, 119, 122], модели и алгоритмы решения задач определения ориентации, программного управления, наведения и юстировки комплекса «ТСП- Аргус».
Задачи и алгоритмы определения ориентации,программного управления и наведения комплекса
В этом параграфе рассматриваются различные подходы к решению задач определения действительной и программной ориентации платформенного комплекса в инерциальной системе координат, отличающиеся методом решения (алгоритмы в матрицах направляющих косинусов или в кватернионах) и принципом построения программных управлений, обеспечивающих заданную конечную ориентацию платформы (разворот с постоянными относительными угловыми скоростями либо плоский эйлеров разворот). Предлагаются алгоритмы высокоточного управления движением платформы по ее абсолютному угловому положению, построенные на основе изложенной в параграфе 10.1 теории кинематического управления угловым движением твердого тела, и алгоритм формирования ошибок для контура наведения.
Как уже отмечалось основным функциональным элементом рассматриваемого платформенного комплекса является трехстепенная стабилизированная платформа (ТСП) с камерами научной аппаратуры и блоком гироскопов (гироблоком). Платформа помещена в трехосный обращенный торсионный кардановый подвес и установлена на выходном звене трехзвенного манипулятора с вращающимися сочленениями, который с помощью выносного рычага крепится на борту космического аппарата. Управление движением платформы осуществляется путем подачи на входы гироблока управляющих воздействий, имеющих смысл проекций требуемой (программной) абсолютной угловой скорости плат-
формы на связанные с ней координатные оси, а стабилизация этого движения с высокой точностью обеспечивается контуром стабилизации, который представляет собой замкнутую через гироблок трехканальную систему автоматического управления.
Одной из главных задач комплекса при его функционировании на орбите является осуществление заданных пространственных разворотов платформы с целью высокоточного наведения визирных осей камер научной аппаратуры на определенную точку инерциального пространства. Эта задача связана с определением действительной и программной ориентации платформы и вычислением компонент вектора программной абсолютной угловой скорости ее движения, которые в виде управляющих воздействий подаются на входы гироблока контура стабилизации и обеспечивают требуемую текущую ориентацию камер научной аппаратуры. Построение соответствующих алгоритмов как раз и является предметом рассмотрения данного параграфа.
В частности, здесь рассматриваются алгоритмы определения ориентации платформы по информации об ориентации космического аппарата и по показаниям датчиков относительных угловых положений комплекса (звеньев манипулятора и платформы). Эти алгоритмы представлены в матрицах направляющих косинусов и кватернионах. Рассмотрена также возможность определения текущей ориентации платформы по информации поступающей от гироблока. Этот алгоритм основан на численном интегрировании в реальном масштабе времени соответствующего кватернионного кинематического уравнения.
Что касается вопроса о построении программной ориентации и программной абсолютной угловой скорости движения платформы, то мы в этом параграфе предлагаем два подхода к решению этой задачи. Один из них определяет программный разворот платформы с постоянными относительными угловыми скоростями и связан с решением обратной задачи кинематики, другой — программный плоский эйлеров разворот с постоянной (в инерциальной системе координат) абсолютной угловой скоростью. Обсуждается также возможность управления движением платформы по принципу обратной связи, когда управляющее воздействие на гироблок контура стабилизации формируется в виде векторной суммы программной угловой скорости и составляющей, пропорциональной ошибке по угловому положению платформы.
Следует заметить, что большие пространственные развороты платформы должны осуществляться без «складывания» рам карданова подвеса ТСП, что обеспечивается соответствующими разворотами звеньев манипулятора. Эту функцию выполняет контур наведения, представляющий собой замкнутую через бортовой вычислитель систему управления, в которой манипулятор с приводами звеньев выступает в роли локального объекта. Таким образом, основное назначение контура наведения в большинстве штатных режимов состоит в том, чтобы следить за положением платформы в пространстве и отрабатывать угловые отклонения платформы от выходного звена манипулятора. При
этом в основе законов управления контуром наведения лежит алгоритм формирования ошибок этого контура, представляющих собой требуемые приращения углов разворота звеньев манипулятора относительно соответствующих кинематических осей. Этот алгоритм также рассматривается в данном параграфе.
Системы координат комплекса и их взаимная ориентация. Кинематическая схема комплекса изображена на рис. 11.1, где приведены также некоторые из используемых ниже систем координат. Основной или базовой для космического аппарата является инерциальная система координат ХоУо^о» которая связана с направлениями на выбранные звезды. В данной системе координат определяется и стабилизируется ориентация космического аппарата и связанная с ним система координат ХкаУкаЯка. Эта система координат используется также для задания программного углового движения ТСП в инерциальном пространстве.
Как уже отмечалось, комплекс крепится на борту космического аппарата с помощью выносного рычага, с узлом крепления которого связана базовая система координат комплекса X^Y^Z^. При отсутствии технологических погрешностей оси этой системы координат параллельны и однонаправлены с соответствующими осями ХкаУкаУка. С выносным рычагом связана система координат X^Y^Z^, начало которой совпадает с началом системы координат X^Y^Z^. Причем в рабочем положении комплекса и при отсутствии погрешностей ось Z^ совпадает с осью Z^ а оси Х^ и Ува развернуты по отношению к соответствующим осям W на угол аво. Выходная ось выносного рычага совпадает с осью вращения звена «ан» манипулятора. С этой же осью связана базовая система координат приводов манипулятора или базовая система координат контура наведения X®Y®Z®. В рабочем положении и при отсутствии технологических погрешностей оси этой системы координат параллельны и однонаправлены с соответствующими осями X^Y^Z^ или ХкаУкаУка. При этом оси Х^ и Ун° оказываются развернутыми по отношению к осям Х^ и Ува системы координат выносного рычага на угол —аво •
Со звеньями манипулятора «а^», «/Зн» и «ун» (далее мы их будем называть также звеньями контура наведения) связаны системы координат X“Y^Z“, XhY^Zh и X^Y^Z^ соответственно. В рабочем состоянии комплекса при qh = Д = 7Н = 0 и при отсутствии погрешностей установки и сборки, оси этих систем координат параллельны и однонаправлены с соответствующими осями X®Y®Z®.
На выходном звене контура наведения (на звене «7Н») установлена платформа с камерами научной аппаратуры, с которой связана система координат XHaYHaZHa. С механизмом контура стабилизации связана базовая система координат ХСУСУС. Начало этой системы координат совпадает с началом XHaYHaZHa и расположено в центре пересечения теоретических осей карданова подвеса, а ее оси (при отсутствии тех-
Рис. 11.1
нологических погрешностей) параллельны и однонаправлены с соответствующими осями системы координат звена «7Н». С помощью приводов контура стабилизации система координат ХнаУнаУна, связанная с платформой (с блоком научной аппаратуры), может быть развернута относительно ХСУСУС на углы /Зс,ус и су соответственно вокруг осей Хс (исходной системы), У/ и Z" (подвижных систем координат).
Кроме системы координат ХнаУнаУна введем также инерциальную систему координат платформы ХИУИУИ, которая наряду с XqYqZq
используется для построения программного углового движения ТСП и определения ориентации блока научной аппаратуры в инерциальном пространстве. На момент включения контура стабилизации или на момент начала очередного режима ориентация этой системы координат совпадает с ориентацией ХнаУнаУна, но, в отличие от последней, неизменна по отношению к базовой системе координат Xq^Zq-
Взаимное расположение введенных систем координат может быть проиллюстрировано следующей схемой поворотов, используемой далее для решения задачи определения ориентации:
ХоУоХо —АнаУнаУна,(11.1)
C(s)
или, с использованием элементарных поворотов, схемой
XqYqZo XMYMZM XXX 44 X“Y“Z“
0(a)О (тг)О (скво)
0,0 > X°Y^Z^С(-ав0)С(а„)0,0 > X°Y^Z^С(-ав0)С(а„)ауа 7 01^н к7^ v4> ЛН1Науа 7 01^н к7^ v4> ЛН1Н
0,0 > X°Y^Z^
С(-ав0)С(а„)
0,0 > X°Y^Z^
С(-ав0)С(а„)
ауа 7 01^н к7^ v
4> ЛН1Н
ауа 7 01^н к7^ v
4> ЛН1Н
^Щ XMZ^XcYtZ^ X'Y'Z'
4У X-'Y'-Z-' 44 XHaYHaZHa. (11.2)
Здесь над стрелками стоят кватернионы, а под ними — матрицы направляющих косинусов, определяющие взаимную ориентацию соответствующих систем координат. При этом сЕВ0 обозначает сопряженный кватернион, соответствующий повороту вокруг той же оси, на тот же угол СКво, НО в другую сторону.
Отметим, что схема поворотов (11.2) для простоты составлена без учета возможных технологических погрешностей установки и сборки комплекса. Учет этих погрешностей может быть произведен введением дополнительных (промежуточных) систем координат, развернутых относительно основных на малые углы, которые определяются в результате юстировки комплекса 9.
Алгоритмы определения ориентации платформы. В соответствии со схемами поворотов (11.1), (И.2) ) ориентация платформы в инерциальной системе координат Xq^Zq может быть определена либо с помощью кватерниона s, либо с помощью матрицы направляющих косинусов С($).
Кватернионный алгоритм решения задачи в параметрах Родрига- Гамильтона может быть построен на основе соответствующего кватернионного уравнения. При этом, если учесть очевидное равенство dBOo сЕВ0 = 1, а также то, что ориентации систем координат Xo^Zq
9 Вопросам определения юстировочных параметров посвящен следующий параграф.
480 Гл. И. Геометрия и кинематика движения платформенного комплекса и X^Y^Z^ совпадают (тг = 1), то для кватерниона s, описывающего ориентацию платформы (блока научной аппаратуры), получим
$ = Аоано/Зно7ноДо7соас.(11.3)
Здесь и далее, как и прежде, символ «о» обозначает операцию кватернионного умножения, а кватернионы элементарных поворотов ос, (3, определяются следующими выражениями:
аа(3(3
ск = cos — + /3 sin —, /3 = cos - + Zi sin -, 7 = cos - + /2 sin -, (11.4)ZZZZzz
где Zi, i^ i% — векторные мнимые единицы Гамильтона.
Используя информацию об ориентации космического аппарата, которую можно представить в виде компонент кватерниона А, и информацию с датчиков угловых состояний контура наведения и контура стабилизации, на основе соотношений (11.3) и (11.4) нетрудно определить компоненты искомого кватерниона s = sq + /isi + /2^2 + ^sg.
Алгоритм в матрицах направляющих косинусов может быть получен на основе соответствующего матричного уравнения. При этом, если учесть, что в силу сказанного выше С(тг) есть единичная матрица, а также то, что С(—аво) = Ст(аво) = С-1(аво), то для матрицы C(s), определяющей ориентацию платформы, можно записать:
C(s) = С^ОДС^С^(11.5)
где матрицы элементарных поворотов С(а),С(/3) и С(у) имеют вид
(
cos a sin а 0 \
— sin а cos а 0 ,(И-6')
00 1 /
/ !°0 \
С(/3) = | 0 cos/3 sin /3 I ,(11.6")
\ 0 — sin /3 cos /3 /
(
cos7 0 — sin7 \
0 10.(11.6"')
sin 7 0 cos 7 )
Для реализации алгоритма (11.5), так же как и для реализации кватернионного алгоритма (11.3), необходимо иметь информацию с датчиков углов контура наведения и контура стабилизации и информацию об ориентации космического аппарата. Однако нетрудно показать, что если не учитывать затраты, связанные с вычислением тригонометрических функций, то объем вычислений при использовании кватернионного алгоритма примерно на 30740% меньше, чем при использовании матриц направляющих косинусов.
Отметим, что алгоритмы (11.3) и (11.4) для простоты составлены без учета технологических погрешностей изготовления и сборки комплекса, влияющих на действительную взаимную ориентацию введен-
ных систем координат. Учет этих погрешностей не приводит к принципиальному изменению алгоритмов, но объем вычислений существенно возрастает, так как число сомножителей в (11.3) или в (11.4) удваивается за счет постоянных кватернионов (матриц направляющих косинусов), соответствующих разворотам систем координат от их расчетных положений на малые углы. Проблема еще усугубляется и тем, что при определении текущей ориентации платформы эти вычисления необходимо производить в реальном масштабе времени.
В этой связи более целесообразным является применение алгоритма определения ориентации платформы по информации установленных на ней гироскопов. Этот алгоритм основан на численном интегрировании в реальном времени кватернионного кинематического уравнения
$* = ^ $ о сщ (11-7)
где ш = /1^1 +1^=1 + /з^з — кватернион, векторная часть которого есть гиперкомплексное отображение вектора абсолютной угловой скорости движения платформы и) = (од, W2, Щз) на связанный с ней координатный базис.
Для численного интегрирования уравнения (11.7) можно применить двухшаговый алгоритм третьего порядка точности (см. п. 7.2.4). Однако при заданных ограничениях на абсолютную угловую скорость переориентации платформы (|cumax| < 1 град/с) целесообразнее использовать простейший алгоритм, реализующий второе приближение к методу средней скорости (см. п. 7.2.2), в соответствии с которым
s(tfc+i) = $40 О w(tk),(11.8)
где w = wq + /iwi + /2^2 + *3W3 — кватернион, компоненты которого вычисляются по формулам
шоЧО = 1 - 1 (+ ^ + <^о, Wj40 = 1 ^зЧО,
У'(11.9)
<Pj(tk) = Wj(r)dT, 3 = 1,2,3, tk+i = tk + h.
tk
Здесь h — шаг интегрирования, a Wj^ (tk < t < ^+i) — проекции вектора абсолютной угловой скорости, измеряемые гироскопами.
Рассмотрим особенности применения данного алгоритма с учетом технических возможностей комплекса. В частности, будем иметь в виду [118], что гироблок содержит встроенные электронные интеграторы, с выхода которых снимаются сигналы Cj(t), j = 1,2,3, пропорциональные интегралу от разности соответствующих компонент программной и действительной абсолютных угловых скоростей. С помощью аналогоцифровых преобразователей именно эти сигналы в оцифрованном виде поступают в бортовой вычислитель в дискретные моменты времени t = = tk = kh (h — период дискретности, к = 0, 1,2,... ). При этом для моментов съема информации можно записать
tk
e^tO = kvk„ С"Р(Т) - wj(t) )dr + e-^tk-\\(11.10)
tk — 1
где k\,k?T — обозначения коэффициентов передачи электронного интегратора и гиротахометра ([118], структурная схема^-го канала контура стабилизации).
Тогда, если принять шаг интегрирования в уравнениях (11.7), (11.8) равным периоду дискретности (меньше его взять нельзя, а больше — нецелесообразно), и учесть, что компоненты программной абсолютной угловой скорости подаются на входы каналов контура стабилизации с помощью цифро-аналогового преобразователя с фиксацией на период (в этом случае ^пр(т) = ^р(^_1) = const, t^-x ^ т < t^Y то уравнение (11.10) можно переписать в виде
ф(^) = k\kTT ^cjj Р(^_1)Д — (p^(tk—x^ Т ф(^_1), откуда
уДк-1) = шЩ^-Щ - туг- (ejGfc) - ej(tfc-i)).(1111)
ГЪ 1 ГЪрТ
Таким образом, алгоритм определения текущей ориентации платформы по информации установленных на ней гироскопов сводится к определению кватерниона начальной ориентации s(to) и к последующему вычислению в реальном времени кватернионного соотношения (11.8) с учетом (11.9), (11.11). Математическое моделирование алгоритмов показало, что для периода дискретности h = 0,05 с и при заданных ограничениях на абсолютную угловую скорость переориентации платформы методическая и вычислительная погрешность данного алгоритма не превышает 8 • 10-4 град/час (для двухшагового алгоритма при том же периоде дискретности эта погрешность составляет = 5- 10-4 град/час), что вполне приемлемо по техническим требованиям к комплексу. Отметим также, что, как нетрудно убедиться по уравнениям (11.8), (11.9), (11.11), предложенный алгоритм позволяет определять текущую ориентацию платформы с запаздыванием на один такт дискретности.
Алгоритмы построения программной ориентации и программной абсолютной угловой скорости платформы. Ориентация платформы (блока научной аппаратуры) в базовой системе координат космического аппарата может быть задана тремя эйлеровыми углами а, /3, у в соответствии со схемой поворотов:
X0Y0Z0 X'Y'Z*X"Y" Z"ХнаУнаХна,
CW
где над стрелками обозначены оси соответствующих систем координат, вокруг которых осуществляются элементарные повороты.
Тогда матрица направляющих косинусов C(sY описывающая ориентацию платформы в системе координат XqYo^o определится выражением
C(s) = С(7)С(/3)ОД =
" СаС^ - S^SpSa—CpSaS^Ca + C-SpSa" СаС^ - S^SpSa—CpSaS^Ca + C-SpSaCh Sa + S^SpCa -SyCp~
" СаС^ - S^SpSa
—CpSaS^Ca + C-SpSa
" СаС^ - S^SpSa
—CpSaS^Ca + C-SpSa
(11.12)(11.12)CpCaSP
(11.12)
(11.12)
S-Sa - G^SpCa C-Cp
где для сокращения записи использованы стандартные обозначения Ср = cos р, Sp = sin р (р = а, Р, 7).
Пусть в системе координат Xq^Zo задана программная конечная ориентация платформы (сцр, /ЗкР, 7кР). Для разворота платформы в инерциальной системе координат на заданные эйлеровы углы ей должна быть сообщена программная абсолютная угловая скорость cjnp. Для этого на контур стабилизации должны быть поданы программные управляющие воздействия, равные проекциям ic^13, щ^» ^gP вектора cjnp на мгновенные оси программной системы координат ХнРУНаР^нР.
Рассмотрим один из возможных алгоритмов формирования компонент сс^р,^2Р,^р, обеспечивающих разворот платформы в заданное конечное угловое положение с постоянными относительными угловыми скоростями. Для этого предположим, что определена начальная ориентация платформы. Соответствующая матрица направляющих сосинусов С($о) может быть вычислена по формуле (11.5) перед началом разворота. Далее, по заданным эйлеровым углам одр,/ЗкР, 7кР, аналогично (11.12), сформируем матрицу направляющих косинусов C(s^), элементы которой будут содержать синусы и косинусы заданных углов. Тогда можно определить программную конечную ориентацию платформы в инерциальной системе координат ТСП ХИУИ2И, которая перед началом разворота совпадает с системой координат платформы ХкаУкаЯка. Соответствующая матрица направляющих косинусов определится по формуле
С(7) = С^ПСТЫ = [7. (11.13)
Решая обратную задачу кинематики, можно определить программную конечную ориентацию платформы в инерциальной системе координат ТСП в виде эйлеровых углов а*, Рк^к- При этом, если учесть, что структура матрицы (11.13) (в отношении углов а*, Р*, 7*) совпадает с (11.12), будем иметь
а* = -arctg^-, {3* = arcsine^, 7* = -arctg^. (11.14)С22сзз
По найденным углам теперь можно определить время разворота ^= |—Цтах{|а*|,|/3*|,|7к1},(11.15)
Pmax|
и программные значения постоянных относительных угловых скоростей разворота
а*8*
* __ /кП 1
33 9,33(11.10)
си’ Р'
Отметим, что вычисления по формулам (11.5) и (11.12) для определения С($о) и C(s^p), а также вычисления по формулам (11.13)(11.16), должны производиться один раз перед началом разворота. Далее в реальном времени, т. е. на каждом такте дискретности работы бортового вычислителя, необходимо определять текущую программную угловую ориентацию платформы, заданную в системе координат ХИУИУИ:
(tk = kh — дискретное время на k-м такте), и искомый вектор про(tk = kh — дискретное время на k-м такте), и искомый вектор про= <tk, =и;>, 7*№0 =^k (И.17)
(tk = kh — дискретное время на k-м такте), и искомый вектор про
(tk = kh — дискретное время на k-м такте), и искомый вектор про
граммной абсолютной угловой скорости движения платформы, который с учетом выбранной схемы поворотов определится (в системе коорди
нат Х^У^У^) следующим векторным равенством:
шп4^) = С(7*)С(Г№*)шп4^) = С(7*)С(Г№*)Г°1оЛкГ°1оЛк+ С(7*)С(/3*)+ С(7*)С(/3*)О оО о+ W)+ W)
шп4^) = С(7*)С(Г№*)
шп4^) = С(7*)С(Г№*)
Г°1о
Лк
Г°1о
Лк
+ С(7*)С(/3*)
+ С(7*)С(/3*)
О о
О о
+ W)
+ W)
Отсюда, после преобразований с учетом (11.6) и после перехода к скалярному виду, получим:
^?Р(А) =sin7*(Zk) cos/3*(Zk) + telcos 7* (£k),
^2P(O) = ^sin/:O(O) +(11.18)
7P (tk) = < cos 7* (tk) cos p* (tk) + ^ sin 7* (Zk).
Отметим, что вектор cjnp, сформированный в соответствии с предложенным алгоритмом, оказывается переменным по величине и по направлению как в инерциальной системе координат, так и в системе координат X^Y^fZ^. В этом смысле более экономичным, как с точки зрения объема вычислений, так и с точки зрения энергетических затрат, является алгоритм формирования программных управлений, реализующих плоский эйлеров разворот платформы. Этот алгоритм сводится к определению единичного вектора v эйлеровой оси, задаваемого его проекциями щ,^2,^з на оси программной системы координат X^py^Pz^p, и Угла Г^ на который должна быть развернута платформа относительно этой оси. При этом разворот может быть осуществлен с постоянной (по величине и направлению) абсолютной угловой скоростью, направленной вдоль эйлеровой оси. Таким образом, содержание алгоритма состоит в следующем.
Пусть определен кватернион начальной ориентации платформы So. Соответствующие вычисления могут быть выполнены по формуле (11.3) с использованием информации об ориентации космического аппарата и информации от датчиков угловых состояний контуров наведения и стабилизации. Далее, по заданным эйлеровым углам О(кР,/ЗкР, 7кР можно вычислить кватернион программной конечной ориентации
s"P = <р О 37 о 7"Р,(11.19)
где кватернионы элементарных поворотов определяются по формулам (11.4).
Тогда кватернион программной конечной ориентации платформы в инерциальной системе координат ТСП определится выражением
(11.20)(11.20)S* — Sg + ЦЗу + (282 + /з5з — so 0 $кР-
(11.20)
(11.20)
С другой стороны, компоненты кватерниона (11.20) можно представить в виде
s0=cos^, s, = va sin 3 = 1,2,3, и 2 J 32
где z/j — направляющие косинусы единичного вектора и, определяющего эйлерову ось вращения в системе координат X^Y^Z^ или ХИУИ2И.
Отсюда, с учетом естественного требования кратчайшего пути разворота, вытекает следующий алгоритм определения неизвестных параметров (р и up
(2 arc cos Sa, если Sn > 0,
( 2рк — arc cos Sq), если Sq < 0,
s*/ sin ^, если Sq > 0,—s*/ sin ^, если Sq < 0,s*/ sin ^, если Sq > 0,—s*/ sin ^, если Sq < 0,j = 1,2,3.j = 1,2,3.(11.22)(11.22)
s*/ sin ^, если Sq > 0,—s*/ sin ^, если Sq < 0,
s*/ sin ^, если Sq > 0,—s*/ sin ^, если Sq < 0,
j = 1,2,3.
j = 1,2,3.
(11.22)
(11.22)
Теперь, при заданном ограничении на величину абсолютной угловой
скорости движения мого вектора cjnp:скорости движения мого вектора cjnp:^Р = КахЬ j = 1, 2, 3.^Р = КахЬ j = 1, 2, 3.(11.23)(11.23)платформы осталось определить компоненты иско-
скорости движения мого вектора cjnp:
скорости движения мого вектора cjnp:
^Р = КахЬ j = 1, 2, 3.
^Р = КахЬ j = 1, 2, 3.
(11.23)
(11.23)
Отметим, что такое формирование компонент вектора с<;пр соответствует случаю программного разворота платформы за минимальное время Tmin = ^/l^maxl- Если же время разворота Т задано, причем Т > Tmin, то вместо (11.23) следует принять
\иопр\=р/Т, ^пр = 3 = 1,2,3. (11.24)
Можно показать, что в этом случае минимальной становится норма вектора с<;пр по отношению ко всем другим способам формирования этого вектора при прочих равных условиях.
Заметим также, что при формировании cjnp по алгоритму (11.19)(11.24) платформа совершает плоское вращение вокруг эйлеровой оси, которая не меняет своей ориентации как в инерциальной системе координат, так и в программной системе координат Х^У^Я^. При этом все вычисления, связанные с формированием программной абсолютной угловой скорости платформы, выполняются один раз — перед началом разворота, что является несомненным преимуществом (с точки зрения загрузки бортового вычислителя) перед всеми другими алгоритмами. Вместе с тем вопрос о возможности применения данного алгоритма в каждом конкретном случае требует дополнительного исследования. Это связано с тем, что при заданных начальной и конечной ориентации платформы ее плоский эйлеров разворот может привести к тому, что углы разворота звеньев контура наведения (напомним, что выходное звено контура наведения должно отслеживать движение платформы)
могут выйти из допустимых диапазонов: —90° < ан < +116°, —50° < < /Зн < +50°, -35° < 7н < +250°.
Управление движением платформы по ее абсолютному угловому положению. Как уже отмечалось, стабилизация движения платформы в инерциальном пространстве осуществляется контуром стабилизации, на входы которого подаются управляющие воздействия U^ (J = 1,2,3), имеющие смысл проекций требуемой абсолютной угловой скорости платформы на связанные с ней координатные оси. При этом, если ГЦ = ^пр, то действительное абсолютное угловое движение платформы оказывается некорректируемым, что может привести к большим ошибкам. В связи с этим для повышения точности стабилизированного движения может быть использован принцип обратной связи, в соответствии с которым вектор управлений U^ = (£7сь иЙ1и^ формируется в виде векторной суммы программной абсолютной угловой скорости платформы и составляющей, пропорциональной ошибке по ее угловому положению. В параграфе 10.1 была разработана теория такого управления, в соответствии с которой алгоритм формирования векторного управления U^ имеет вид
Uс = cjnp - kp Asv, k = const > 0,
(11.25)
p" =-0,5/ср(рД s0 - 1), p(t0) = 1,
где k — некоторый коэффициент обратной связи; р — вспомогательная скалярная переменная; Asq и Asv — скалярная и векторная части кватерниона ошибки по положению As, определяемому по известным
кватернионам программной snp и действительной $ ориентации плат
(11.26)(11.26)формы по формуле
(11.26)
(11.26)
As = As0 + Asv=snpos.
Причем решение дифференциального уравнения для определения переменной р должно производиться в реальном времени, для чего может быть использован (в зависимости от периода дискретности работы бортового вычислителя) тот или иной метод численного интегрирования.
Отметим, что если не учитывать дискретность и запаздывание при формировании управлений, то, как показано в параграфе 10.1 (см. также [86]), алгоритм (11.25) обеспечивает асимптотическое сведение к нулю ошибок абсолютной угловой ориентации (Asq 1, Asv 0) при любых начальных отклонениях и при любых к > 0. Если же эти отклонения малы, что в действительности имеет место, то алгоритм формирования управлений упрощается и принимает вид
Uc = ud^ -k^sv.
Отметим также, что алгоритм формирования кватерниона текущей программной ориентации $пр, входящего в (11.26), должен быть согласован с алгоритмом формирования cjnp, а для определения кватерниона текущей действительной ориентации платформы $ может быть применен либо алгоритм (11.3), использующий текущую информацию об ориентации космического аппарата и показания датчиков углов контуров
наведения и стабилизации, либо алгоритм (11.8), (11.9), основанный на численном интегрировании кватернионного кинематического уравнения (11.7) по текущей информации гироскопов.
Алгоритм формирования ошибок контура наведения. Для обеспечения движения платформы без складывания рам карданова подвеса выходное звено манипулятора должно отслеживать это движение таким образом, чтобы свести к нулю текущие угловые отклонения ас, Д и 7С. Для этого на приводы звеньев манипулятора необходимо подать напряжения, пропорциональные значениям Aqh,A/3h или Аун, которые мы будем называть ошибками контура наведения и которые физически определяют угловые развороты звеньев манипулятора относительно соответствующих кинематических осей такие, что ac,/3c,7c0.
Построим алгоритм формирования ошибок Асц, А/Зн, Аун по угловым отклонениям ау,/Зс,7с. Для этого рассмотрим условие согласованного движения платформы и манипулятора, в соответствии с которым вектор конечного поворота платформы, обусловленный разворотами вокруг кинематических осей контура стабилизации (при неподвижном манипуляторе), должен совпадать с вектором конечного поворота, определяемого разворотами вокруг кинематических осей контура наведения (при qc = /Зс = 7с = 0). Для того чтобы записать это условие аналитически, введем в рассмотрение векторы элементарных поворотов вокруг кинематических осей контуров наведения и стабилизации
AciH = со/оп{0,0, Aqh}, А/Зн = coZon{A/3H, 0, 0},
Аун = coZon{0, AyH, 0},
оу = coZon{0,0, ау}, /Зс = coZon{/3c, 0,0}, ус = coZon{0, ус, 0}.
Тогда с учетом схемы поворотов (11.2)
С(7н)С(/Зн)С(ан) А ан + С(7н)С(/Зн) А/Зн + С(7н) А7н =
= С(ас)С(7с)С(/Ш + С(ас)С(7с)7с +)
Полученное выражение позволяет получить точный алгоритм формирования ошибок Аан, А/Зн, Аун по отклонениям ас,/Зс,7с. Однако если учесть, что эти отклонения малы и в процессе стабилизированного движения не превышают нескольких угловых минут, то матрицы направляющих косинусов C(qc),C(7c) и С(/Зс) с достаточной степенью точности можно заменить единичными матрицами. Тогда из (11.27), с учетом выражений для векторов элементарных поворотов, можно найти
[(С(7н)С(А)С(а„))(3) ; (С(7н)С(/Зн))(1); (С(7н))(2)][(С(7н)С(А)С(а„))(3) ; (С(7н)С(/Зн))(1); (С(7н))(2)]Аан А/3„ А7нАан А/3„ А7нга i7сС^сга i7сС^с
[(С(7н)С(А)С(а„))(3) ; (С(7н)С(/Зн))(1); (С(7н))(2)]
[(С(7н)С(А)С(а„))(3) ; (С(7н)С(/Зн))(1); (С(7н))(2)]
Аан А/3„ А7н
Аан А/3„ А7н
га i
7сС^с
га i
7сС^с
где (-)i) — обозначает г-й столбец соответствующей матрицы.
Из последнего соотношения после преобразований (с учетом выражений (11.6) для матриц направляющих косинусов) и после перехода к скалярному виду окончательно получим:
Дан = (ас cos7H —/Зс sin7H)/cos/3H, АД = /?с cos7„ + ас sin7„,
△7„ = 7с - ^/Зн(ассо8 7н -/Зс8Ш7н). (11.28)
Отметим, что данный алгоритм позволяет лишь определить те угловые отклонения, которые должны быть отработаны приводами контура наведения. Что же касается вопроса формирования управлений для этих приводов, то это — отдельная задача, которая рассмотрена в [120].
Определение отклонений кинематических осейкомплекса от их расчетных положений
В этом параграфе рассматривается задача определения отклонений кинематических осей комплекса от их расчетных положений, вызванных, в частности, погрешностями сборки и установки на борту космического аппарата манипуляционного платформенного комплекса «ТСП- Аргус» на основе информации об абсолютном угловом положении выходного звена комплекса (платформы) в пространстве. Предлагаются различные варианты решения данной задачи, отличающиеся методом решения (аналитический кватернионный разностный алгоритм, вычислительные алгоритмы, основанные на применении метода регуляризации А.Н. Тихонова и метода Ньютона-Рафсона). Изложение ведется, следуя работе [122].
На точность управления движением космического манипуляционного платформенного комплекса с вращательными сочленениями существенное влияние оказывают технологические погрешности изготовления, сборки и крепления комплекса на борту космического аппарата. Важными составляющими этих погрешностей являются угловые отклонения действительных положений осей вращения в сочленениях комплекса от их расчетных. Поэтому возникает необходимость в определении (юстировке) этих отклонений.
В этом параграфе рассматривается решение задачи юстировки контура наведения платформенного комплекса «ТСП-Аргус» (платформа при этом полагается заарретированной на выходном звене контура наведения), представляющего собой трехзвенный манипулятор (со звеньями «скн», «/Зн», «7н») с вращательными сочленениями, по известному абсолютному угловому положению выходного звена комплекса (платформы) в пространстве и известным углам относительных поворотов его звеньев (на каждой из осей вращения контура наведения стоит датчик угла поворота). Эта проблема сводится к решению соответствующим образом поставленной обратной задачи кинематики манипулятора. Абсолютное угловое положение выходного звена контура наведения, знание которого необходимо для решения обратной задачи, может быть определено по показаниям гироскопов или навигационной камеры, установленных на платформе. Предлагаются три алгоритма решения задачи: аналитический разностный алгоритм, заключающийся в поочередном определении отклонений кинематических осей манипу-
лятора от их расчетных положений (при юстировке очередной кинематической оси манипулятору сообщается разворот вокруг одной оси, относительные положения остальных звеньев манипулятора при этом «замораживаются»); численный алгоритм решения задачи юстировки с применением метода регуляризации А.Н. Тихонова; численный алгоритм решения задачи юстировки на основе метода Ньютона-Рафсона. Отметим, что при использовании выбранного принципа решения задачи определения юстировочных параметров по измеренному угловому положению выходного звена комплекса (платформы) часть юстировочных параметров определяется в виде их линейных комбинаций.
Входной информацией для всех трех алгоритмов являются относительные углы поворотов звеньев манипулятора, измеренные датчиками углов манипулятора, и ориентация выходного звена комплекса (платформы) в базовой системе координат. Выходной информацией алгоритмов являются линейные комбинации и «явные» значения величин отклонений кинематических осей от их расчетных положений.
Юстировка платформенного комплекса проводилась в лабораторных условиях на этапах его доводки и при установке комплекса на борту космического аппарата; предусмотрен был также штатный режим дополнительной юстировки комплекса в условиях космоса, после выхода космического аппарата на орбиту планеты Марс и выведения комплекса из транспортного в рабочее положение. Следует отметить, что в лабораторных условиях ориентация выходного звена комплекса определялась на специальном стенде, сконструированном в АО ВНИИТрансмаш; в условиях космоса ориентацию выходного звена (платформы) предполагалось определять на основе показаний навигационной камеры, установленной на платформе (посредством разворотов комплекса камеру предполагалось нацеливать на заданные ориентиры звездного неба).
Отметим, что помимо собственно определения юстировочных параметров, задача юстировки включает в себя их статистическую обработку, оценку точности наведения платформенного комплекса с учетом полученных параметров, а также исследование влияния различных факторов (дискретность и шум датчиков углов контура наведения) на точность решения задачи.
Приведенные в этом параграфе алгоритмы юстировки космического платформенного комплекса подробно изложены в научном отчете: «Разработка алгоритмов ориентации и программного движения съемочного комплекса «Аргус» проекта «Марс»» (Отчет о НИР № 51, научный руководитель Ю.Н. Челноков, СФ ИМАШ РАН, Саратов, 1994, 68 с. Per. № 01. 950003915). Там же изучены возможные модификации этих алгоритмов, приведены полные результаты математического моделирования и обсуждены некоторые аспекты, связанные с их реализацией (см. также работу: «Определение отклонений кинематических осей манипуляционного комплекса «Аргус» проекта «Марс» от их расчетных положений» (Ю.Н. Челноков, А.В. Молоденков, В.В. Батурин и др. //
Материалы седьмой НТК «Экстремальная робототехника». — С.-Пб.: Изд-во СПбГТУ, 1996. - С. 196-203)).
Системы координат комплекса, используемые для решения задачи юстировки комплекса. Кинематическая схема комплекса представлена в параграфе 11.1 (см. рис. 11.1), где также приведено полное описание основных вводимых систем координат и дана схема поворотов без учета возможных технологических погрешностей установки и сборки комплекса. Учет этих погрешностей может быть произведен введением дополнительных (промежуточных) систем координат, развернутых относительно основных на малые углы, которые и будут определяться в результате юстировки. На схеме поворотов
X0Y0Z0 XkaYkaZka XkYkZk X“Y“Z“ (г*)
Z4 X“Y“Z“ (Z3) Zs х? Yf Z^ (Z2)
Z2 X^Z^ (Z1) (XCYCZC) X'Y'Z'
X"Y" Z" XHaYHaZHa,(11.29)
представляющей собой расширенный вариант схемы поворотов (11.2), приведенной в параграфе 11.1, дополнительные системы координат, соответствующие возможным перекосам осей «ан», «/Зн», «7Н», обозначены Z^, Z*, Z^. Здесь над стрелками стоят кватернионы, определяющие
взаимную ориентацию соответствующих систем координат.
Рис. 11.2. Действительное положение оси QH относительно ее номинальногоРис. 11.2. Действительное положение оси QH относительно ее номинальногоДействительные положения кинематических осей «ан», «/Зн», «7Н» относительно их номинальных (расчетных) положений определим парами углов (перекосами) хь х2; Р2, из; ^з,
Рис. 11.2. Действительное положение оси QH относительно ее номинального
Рис. 11.2. Действительное положение оси QH относительно ее номинального
смысл которых ясен из рис. 11.2. На этом рисунке в качестве примера показано задание действительного положения кинематической оси «ан» (координатной оси Zj = Z*3) относительно ее номинального.
В качестве дополнительных погрешностей, возникающих при решении задачи юстировки, вы
ступают погрешности датчиков углов поворотов вокруг каждой из кинематических осей (ошибки положения «нулей» датчиков угол-код — «сбои нулей» датчиков углов)
жз, ^/ь ^25 датчики углов поворотов установлены на приводах «ан», «/Зн«, «7н». Комплекс крепится на борту космического аппарата с помощью выносного рычага «с^в»; проведенные исследования показали
достаточно очевидный факт, что в силу номинальной параллельности кинематических осей «сц» и «ан» возможные технологические погрешности крепления комплекса (углы перекоса оси «ав»), с точки зрения их учета в алгоритмах управления, аддитивно войдут в определяемые углы отклонений xi, Х2 кинематической оси «ан», что полностью приемлемо с точки зрения последующей корректной отработки всех режимов управления космического платформенного комплекса.
Постановка задачи юстировки. Для математической формализации задачи будем использовать аппарат кватернионов.
В соответствии со схемой поворотов имеем кватернионное уравнение, описывающее угловое положение выходного звена (платформы) в базовой системе координат ХоУоУо-
цв о х О цн о у о ^н о 2 О 7Н = с, С = 7Г о Д о s.(11.30)
Известные кватернионы элементарных поворотов ciB, ан, Рн, 7Н определяются соотношениями:
qb . qb/Зн . /Зн
«B=cosy + t3 siny, /3H=cosy + nsmy, 7н . . 7н ()
= cos у + 13 sin у, 7H = cos у + l2 sin у,
где Zi, i^, /3 — векторные мнимые единицы Гамильтона; ав, ан, /Зн, ун — углы разворотов вокруг кинематических осей «ав», «ан», «/Зн», «7Н» соответственно; $ — кватернион, описывающий известную абсолютную ориентацию платформы в системе координат ХоУо^о-
Неизвестные кватернионы х, у, z, характеризующие действительную ориентацию кинематических осей «av>, «Зн» и «7Н» относительно их расчетных положений и учитывающие «сбои нулей» датчиков углов, задаются в виде произведений трех элементарных кватернионов:
x=(cos —-+П sin —О (cos —+t2 Sin —О (cos —+t3 sin —(11.32)
/ У2 . . . У2х / Уз ... Уз X / У1 , • ■ У1 x m оох y = (cos— +z2sm —) О (cos—+z3sm—) О (cos—+ Z1 sin—), (11.33)
2= (cos— +n Sin—) О (cos—+z3sm—) О (cos—+z2sm—).(11.34)
Математическая постановка задачи юстировки: зная кватернионы ctB,ctH, /Зн, 7Н, с (они формируются по показаниям датчиков углов разворотов вокруг кинематических осей и данным об ориентации выходного звена в системе координат ХоУоУо), требуется определить кватернионы х, у, z, каждый из которых зависит от трех неизвестных углов (юстировочных параметров).
Решение задачи определения юстировочных параметров. Опишем три алгоритма решения задачи на основе уравнения (11.30). Как видно из уравнения (11.30), число неизвестных параметров, подлежащих определению, равно девяти, в то время как кватер-
нионное уравнение (11.30) представляет собой систему четырех скалярных алгебраических уравнений. Поэтому все алгоритмы юстировки предполагают расширение системы (11.30) на основе информации, получаемой в результате совершения нескольких разворотов комплекса в пространстве (нескольких разворотов звеньев контура наведения по отдельным степеням подвижности).
Начнем с аналитического разностного алгоритма, заключающегося в поочередном определении отклонений кинематических осей контура наведения от их расчетных положений, когда для юстировки очередной кинематической оси контура наведения сообщается разворот только вокруг одной оси, а относительные положения остальных звеньев при этом «замораживаются». Принцип действия алгоритма для простоты представим без учета «сбоев нулей» (в (11.32)-(11.34) хз, ух, 22 положим равными нулю).
Неизвестные кватернионы х, у, z, определяемые (11.32)—(11.34), в предположении малости искомых углов рассогласования имеют вид (удерживаются только величины первого порядка малости):
x=l+xv, y=\Tyv, 2 = 1 + 2V,(11.35)
^1*1 + X2i2У2*2 + W3^ly + 23/3
Xv =2’=2’ 2v =2’(11.36)
где xv, yv, zv — обозначают векторные части кватернионов х, у, z.
Уравнение (11.30) после линеаризации на основе (11.35), (11.36) запишем следующим образом:
aHoxvoaH+yv + ^Hozvo^H = aHoaBoco7Ho^H-l. (11.37) Для юстировки кинематической оси «ан» необходимо в исходном («нулевом») положении комплекса определить ориентацию выходного звена комплекса и вычислить кватернион с(°) (здесь и далее верхний индекс в скобках означает номер положения). Соответствующие этому положению комплекса значения кватернионов ав, oi^\ /3^\ 7н°\ вычисляются по показаниям датчиков углов.
Сообщим комплексу разворот вокруг оси «ан» на произвольный допустимый (лежащий в диапазоне разворотов по оси «ан») угол Да = (О (0)оm (1)
= а^ — и по результатам измерении вычислим (Г 4 и аф ; очевидно, что при юстировке в условиях космоса угол Да должен быть малым из соображения минимизации энергозатрат комплекса. При этом /3^ = = Р^\ 7н^ = 7н°\ т. е. углы поворотов по осям «/Зн», «ун» остались неизменными. Так как х, у, z — постоянные кватернионы, то в результате вычитания из уравнения (11.37), соответствующего исходному положению «0», уравнения того же вида, соответствующего положению «1», получим аналитический алгоритм нахождения параметров х\ и^:
о xv о а^ - а^ о Ху о qW =
= (а^ о ав о с^ - а^ о ав о с^)) о 7^ о р^;(11.38)
^(cosa^ — cosQh2^) — ^(sIrckh^ — sIrckh2^)
12(1-созОД ОД2)))’
л ( •(1)■(2)\ л /(1)(2кtll.jyj
ЛЦбШОД ~ SR1 ОД ) — ^(СОЗОД — COS ОД )
2(1 - cos^1) -
где А\ и Л2 — компоненты при ортах i\ и /2 кватерниона, стоящего в правой части (11.38).
Подобным образом находятся и юстировочные параметры у2, уз, ^ь ^з; отметим лишь, что для нахождения 2щ 23 осуществляется один разворот по оси «/Зн» и так же, как и в случае нахождения углов од, од перекоса оси «од», берется разность между уравнением (11.37), соответствующего полученному положению комплекса «2», и уравнением того же вида, соответствующего предыдущему положению «1», а для нахождения ?/2> Уз дополнительный разворот уже не требуется.
Таким образом, аналитический алгоритм, образуемый конечными соотношениями типа (11.38), (11.39) позволяет в явном виде найти неизвестные юстировочные параметры (углы перекосов кинематических осей контура наведения) од, од; у% уз; ^ь ^з- Для этого необходимо последовательно выполнить два элементарных поворота комплекса в пространстве (каждый из них осуществляется только вокруг одной кинематической оси контура наведения, а остальные оси предполагаются фиксированными) и определить два угловых положения выходного звена комплекса (платформы) в пространстве. Исходное положение комплекса («нулевое») при этом полагается известным. Следует отметить, что требования должной фиксации относительных положений кинематических осей контура наведения при наземной юстировке на стенде достичь не удалось и поэтому алгоритм предполагалось использовать при юстировке в космосе. Отметим, что при учете «сбоев нулей» датчиков углов поворотов звеньев контура наведения векторные части xv, yv, Ху неизвестных кватернионов х, у, х полагаются уже не двумерными, а трехмерными векторами, содержащими в качестве дополнительных компонент неизвестные «сбои нулей» датчиков углов; аналитический алгоритм, аналогичный описанному, позволяет в этом случае найти в явном виде пять неизвестных юстировочных параметров од, ОД, У^ ^з, ^2 и Две линейные комбинации четырех других неизвестных параметров: ?/з + од, 21 + у\.
Помимо аналитического алгоритма юстировки, работоспособного только в определенном классе разворотов комплекса в пространстве (когда вращение совершается только вокруг одной оси, остальные оси контура наведения зафиксированы), для нужд в первую очередь наземной юстировки предложены алгоритмы, в которых необходимые развороты комплекса носят произвольный характер. Опишем первый из них.
Векторную часть линеаризованного кватернионного уравнения (11.30) (без учета «сбоев нулей» од, у\, х^ представим в виде скалярных уравнений:
doxx + d3x2- d3y2 ~d2y3+ do^i+d2z3=k\-d\,
—d3x\ + d0x2+ d0y2 +d\y3+ d3^i-di^3=k2 - d2,(11.40)
d2xi - dix2- dxy2 +d0y3- d2zx+d0z3=k3 - d3,
где dj (j = 0, 3) — компоненты кватерниона d = aH ° PH» kj 0 = ^ 3) — компоненты кватерниона k = ciB ° c ° 7H.
На основе уравнений (11.40) (которые содержат шесть неизвестных юстировочных параметров хх, х2; у2, у3; ^ь z3), построенных для двух различных угловых положений платформы в пространстве, задача юстировки положений кинематических осей контура наведения сводится к решению линейной системы шести алгебраических уравнений:
(11.41)(11.41)DC = и,
(11.41)
(11.41)
Г dw
“о
4°
-40
«0
ad A
"kd
-dd"
ad
ad
-ad
-ad
-dd
-dd
ad
-ad
ad
-ad
«0
dd
-dd
-ad
«0
ad
, и =
kd
-dd
d^
ad
d^d
-dd
-ad
. 42)
-dd
-dd
d^
-ad
j
L ^з
-ad
С=[ж1, Ж2, У2, УЗ, ^1, 2з]Т,
где верхние индексы, по-прежнему, означают, что соответствующие величины вычисляются для двух положений («1» и «2») выходного звена контура наведения в пространстве (в качестве положения «1» можно взять известное «нулевое» положение платформы в пространстве).
Исследования показали, что матрица коэффициентов D системы (11.41) плохо обусловлена, а сама система — неустойчива. Задача решения такой системы относится к классу некорректно поставленных. В силу этого предлагаемый алгоритм юстировки контура наведения строится на основе применения метода регуляризации А.Н. Тихонова решения некорректных задач.
В соответствии с методом регуляризации, вместо системы (11.41) решается регуляризованная система
ЦЛП + р, Е)^ = Ел и,(11.42)
где р — параметр регуляризации, Е — единичная матрица размерности 6x6.
Метод А.Н. Тихонова итерационный. Параметр регуляризации р на каждом шаге итерации определяется по известным формулам
Фх^ОС'к-Ук-З ( \(х\ и г><? и 1
vHV=vk-WW=V - Ь tP=\\D^llk-u\\, ц=-
где «|| • ||» — обозначение евклидовой нормы вектора.
Данный метод определения у (метод секущих) сходится при любых двух приближениях по v. Критерием останова вычислительного процесса служит выполнение условия (критерия невязки)
= WD^k — Ы II
где е — необходимая точность вычисления.
Отметим, что в силу симметричности матрицы коэффициентов регуляризованная система (11.42) на каждом шаге итерации решается методом квадратного корня.
Таким образом, на основе информации о двух любых положениях комплекса в пространстве алгоритм позволяет сразу же определить всю совокупность неизвестных юстировочных параметров xi, Х2; у^ Уз» ^ь 23. Следует отметить, что учет «сбоев нулей» хд, у\, 22 в алгоритме приводит к повышению размерности системы (11.41) (за счет совершения дополнительного разворота комплекса в пространстве); при этом часть юстировочных параметров так же, как и в аналитическом алгоритме, находится уже не в явном виде, а в виде их линейных комбинаций.
Оба описанных алгоритма требуют предварительную линеаризацию кватернионного уравнения (11.30), которое является нелинейным относительно искомых юстировочных параметров. Третий алгоритм разработан для непосредственного решения нелинейной задачи (11.30). В основе алгоритма лежит «модифицированный» метод Ньютона- Рафсона. При этом под термином «модифицированный» понимается то, что в ходе применения этого метода для решения получаемых линейных систем уравнений используется метод нахождения приближенного нормального решения методом квадратного корня. Данный алгоритм наиболее универсален, так как не требует никаких предварительных аналитических преобразований модели (11.30); это существенно с точки зрения быстрой перестройки алгоритма на решение возникающих сопутствующих задач. Например, при проведении наземной юстировки космического платформенного комплекса на стенде возникла необходимость в усложнении задачи — дополнительном определении углов перекоса платформы на выходном звене контура наведения (математически это выражается в определении еще одного неизвестного кватерниона, зависящего от двух углов перекоса установки платформы, который появляется в левой части уравнения (11.30)).
Так же, как и предыдущие алгоритмы, третий алгоритм строится на основе информации о нескольких положениях комплекса в пространстве (минимум двух). Например, для поиска неизвестных юстировочных кватернионов х, у, х без учета «сбоев нулей» датчиков углов контура наведения требуется решить нелинейную систему, полученную на основе записи уравнения (11.30) для произвольных положений «1» и «2» комплекса в пространстве:
ав ° х ° а^ о у о /3^ ого 7W =
ав о х о а^ о у о /З^2^ ого 7^ = с^. (11.43)
Как и в предыдущем алгоритме, в качестве положения «1» можно взять известное «нулевое» положение комплекса.
Принципиальная работоспособность полученных алгоритмов подтверждается следующим образом: кватернион с, стоящий в правой части уравнения (11.30), формируется по этому же уравнению в предположении, что юстировочные параметры (кватернионы х, у, г) известны точно; «развороты» контура наведения (кватернионы ан, /Зн, 7Н) для численных алгоритмов юстировки задаются случайным образом, для аналитического алгоритма — соответственно его требованиям. Далее решается обратная задача по определению априорно заданных юстировочных параметров.
Некоторые результаты тестовых вычислений, иллюстрирующие методические погрешности предлагаемых алгоритмов, представлены в табл. 11.1, в которой приведены результаты экспериментов для численных алгоритмов юстировки (алгоритм, использующий предвари-
Таблица 11.1. Результаты экспериментов по численным алгоритмам юстировки (без учета «сбоев нулей» датчиков углов контура наведения)
Юсти- ро- вочный параметр
Эксперимент 1
Эксперимент 2
Эксперимент 3
Точное значен. (рад)
Вычисл. значен.
(рад)
Точное значен. (рад)
Вычисл. значен.
(рад)
Точное значен. (рад)
Вычисл. значен.
(рад)
Численный алгоритм, использующий метод регуляризации А.Н.Тихонова
Ж1
0,0001
0,000100
0,0020
0,002000
0,0002
0,000199
Ж2
0,0002
0,000199
0,0002
0,000199
0,0002
0,000199
^/2
0,0003
0,000299
0,0003
0,000299
0,0030
0,003000
^/3
0,0002
0,000199
0,0030
0,003000
0,0010
0,001000
0,0003
0,000300
0,0040
0,004000
0,0004
0,000399
^3
0,0004
0,000399
0,0004
0,000400
0,0004
0,000400
Численный алгоритм, использующий метод Ньютона-Рафсона
Ж1
0,0001
0,000100
0,0020
0,002000
0,0002
0,000200
ж2
0,0002
0,000199
0,0002
0,000199
0,0002
0,000199
^/2
0,0003
0,000299
0,0003
0,000299
0,0030
0,003000
^/3
0,0002
0,000199
0,0030
0,003000
0,0010
0,001000
21
0,0003
0,000300
0,0040
0,004000
0,0004
0,000399
23
0,0004
0,000399
0,0004
0,000400
0,0004
0,000400
тельную линеаризацию, и без нее), полученные на основе информации об одних и тех же «разворотах» контура наведения в пространстве. Как видно из табл. 11.1, при ожидаемых малых величинах искомых юстировочных параметров предварительная линеаризация не оказывает существенного влияния на точность вычислений. В силу этого аналитический алгоритм юстировки является точным. Результаты его исследования представлены в табл. 11.2; отметим, что развороты контура наведения совершаются теперь последовательно только вокруг одной оси, остальные оси контура наведения «фиксируются».
Таблица 11.2. Результаты численных экспериментов по аналитическому алгоритму юстировки (без учета «сбоев нулей» датчиков углов КН)
Юсти- ро- вочный параметр
Эксперимент 1
Эксперимент 2
Эксперимент 3
Точное значен. (рад)
Вычисл. значен. (рад)
Точное значен. (рад)
Вычисл. значен. (рад)
Точное значен. (рад)
Вычисл. значен. (рад)
Ж1
0,0001
0,000100
0,0020
0,002000
0,0002
0,000200
ж2
0,0002
0,000200
0,0002
0,000200
0,0002
0,000200
^/2
0,0003
0,000300
0,0003
0,000300
0,0030
0,003000
^/3
0,0002
0,000200
0,0030
0,003000
0,0010
0,001000
0,0003
0,000300
0,0040
0,004000
0,0004
0,000400
^3
0,0004
0,000400
0,0004
0,000400
0,0004
0,000400
О статистической обработке и стендовых испытаниях. При подготовке исходных данных для решения задачи юстировки неизбежны погрешности измерений, которые обусловлены: дискретностью и шумом датчиков углов относительного разворота звеньев КН (±1 разряд или ± 20 угл.с), ошибок положения «нулей» датчиков угол-код; погрешностью определения абсолютной ориентации выходного звена контура наведения (платформы) в пространстве. Кроме того, имеются математические погрешности вычисления кватерниона ориентации выходного звена контура наведения и вычисления юстировочных параметров. Поэтому расчет юстировочных параметров необходимо выполнять несколько раз и полученные результаты должны статистически обрабатываться (должны определяться математические ожидания и доверительные интервалы юстировочных углов).
Отметим, что согласно программе проведения наземных юстировочных работ на стенде, разработанной АО ВНИИТрансмаш, по каждой степени подвижности контура наведения делалось по 20 разворотов. Для выполненной серии разворотов 20 раз вычислялись юстировочные параметры. Затем вычислялись математические ожидания для каждого
юстировочного параметра и доверительный интервал его нахождения с доверительной вероятностью 0,95.
После определения юстировочных параметров оценивается точность их определения. Контроль точности осуществляется путем проверки равенства (11.30) для тестовых разворотов. Отметим, что тестовые развороты можно и не совершать, а воспользоваться результатами, полученными при выполнении предыдущего этапа.
Простое сравнение кватернионов в левой и правой частях (11.30) мало информативно. Для перехода к общепринятым угловым мерам представим (11.30) с учетом погрешностей юстировки в виде
Sx о AS = Sxi,
где Sj = осв о х о ан о у о /Зн о х о 7Н — кватернион левой части формулы (11.30), формируемый по показаниям датчиков углов поворотов звеньев комплекса и найденным юстировочным параметрам; S// = с — кватернион правой части формулы (11.30), соответствующий абсолютной угловой ориентации платформы в пространстве и формируемый по показаниям навигационной камеры, установленной на платформе (в условиях наземной юстировки — по измерениям, проведенным на стенде); AS — кватернион ошибки, обусловленной несовпадением левой и правой частей (11.30) после решения задачи юстировки.
Компоненты кватерниона AS имеют вид
ASo = cos^^, ASj = sin ^^ соз(^), j = 1,2,3,(11.44)
где ^- — углы, определяющие ориентацию в базовой системе координат эйлеровой оси, вокруг которой платформа развернута на угол ошибки /\(р относительно своего номинального положения.
Таким образом, ошибка наведения платформенного комплекса характеризуется углом Ас/;. Ошибка в угловой мере Ас/; и углы ф^ могут быть определены по приближенным формулам z з \ 1/2д с.
Ас/; = 2(), фл = arccos . J ,3 = 1,2,3.
3sin(Ac/;/2) J
Выражение (11.45) определяет погрешность определения ориентации платформы в базовой системе координат, обусловленную неточностью измерений относительных углов поворотов звеньев комплекса и неточностью значений найденных юстировочных параметров. Эта погрешность в нашем случае соответствует точности решения задачи юстировки.
В результате вычислительных экспериментов на тестовых примерах установлено, что при отсутствии погрешностей во входной информации методическая погрешность разработанных алгоритмов, с которой находятся юстировочные параметры, обеспечивает погрешность наведения комплекса Ас/; менее одной угловой секунды.
Как отмечалось выше, датчики углов, установленные по степеням подвижности контура наведения, могут выдавать информацию об уг-
ловом положении только с погрешностью ±1 разряд или ±0.33 угл. мин. Поэтому даже в случае абсолютно точного знания юстировочных параметров, точность вычисления ориентации по левой части (11.30) в угловой (эйлеровой) мере будет составлять
А</? = ((Аав ± Аан)2 ± А/32 ± Ау2) ^2 < 0, 8 угл. мин., где Аав, Аан, А/Зн, Аун — погрешности датчиков углов разворотов по соответствующим кинематическим осям.
В 1996 г. в АО ВНИИТрансмаш была предпринята попытка юстировки в лабораторных условиях кинематических осей контура наведения и углового положения платформы на выходном звене контура наведения с использованием разработанных алгоритмов. Были разработаны методика юстировочных измерений на стенде отработки комплекса, методика нахождения юстировочных параметров по результатам юстировочных измерений, выполнены работы по оснащению стенда необходимым оборудованием.
Однако в силу ограниченности времени, отведенного на юстировочные измерения, и причин технического характера (в частности, несовершенства системы обезвешивания) не удалось до конца преодолеть трудности, связанные с необходимостью высокоточного определения ориентации платформы в пространстве. Поэтому полученные результаты оказались грубыми и рассматривались как предварительные. Вместе с тем, подход к наземной юстировке комплекса по измеряемым абсолютным угловым положениям платформы в пространстве был признан перспективным, были запланированы дальнейшие работы по совершенствованию стенда и методики юстировочных измерений.
Отметим, что результаты юстировки, полученные по алгоритму, использующему метод Ньютона-Рафсона, и алгоритму, реализующему метод регуляризации А.Н. Тихонова, совпали; аналитический алгоритм юстировки в силу возникших трудностей с фиксацией контура наведения по отдельным степеням подвижности не использовался. Разработанные алгоритмы планировалось использовать для юстировки комплекса в условиях космоса (на орбите планеты Марс), для этих целей аналитический алгоритм юстировки представляется наиболее привлекательным.
Александр Петрович Котельников. / Т. В. Путята, Б. Л. Лаптев, Б. А. Розенфельд, Б.Н. Фрадлин. — Мл Наука, 1968. — 122 с.
Аверьянова В. Г. Определение винта перемещения по начальному и конечному положениям твердого тела / В. Г. Аверьянова, Ф.М. Диментберг // Машиноведение. — 1965. — № 2. — С. 13-17.
Аверьянова В. Г. Принцип перенесения А.П. Котельникова-Э. Штуди и аналогия плоского и сферического движений / В. Г. Аверьянова // Инж. журнал. Механика твердого тела. — 1968. — № 1. — С. 31-34.
Авиационные цифровые системы контроля и управления / Под ред. Мясникова В.А. и Петрова В.П. — Л.: Машиностроение, 1976. — 608 с.
Андреев В.Д. Теория инерциальной навигации. Автономные системы / В.Д. Андреев. — Мл. Физматгиз, 1966. — 579 с.
Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов. — Мл. Наука, 1973. — 631 с.
Беллман Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. — Мл. Наука, 1969. — 368 с.
Бесараб П.Н. Определение параметров пространственной ориентации движущегося объекта / П.Н. Бесараб // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1974. — Т. 14. — № 1. — С. 240-246.
Бесараб П.Н. Численные методы построения параметров ориентации твердого тела / П.Н. Бесараб // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1978. — Т. 18. — № 3. — С. 698-708.
Бирюков В. Г. Кинематическая задача оптимальной нелинейной стабилизации углового движения твердого тела / В. Г. Бирюков, Ю.Н. Челноков. Математика. Механика: Сб. науч. тр. / Сарат. гос. ун-т. — 2002. — Вып. 4. — С. 172-174.
Боданский Е.Д. О погрешностях численного интегрирования кинематических уравнений Пуассона / Е.Д. Боданский, В.Д. Фурман // Космические исследования. — 1970. Т. 8. — Вып. 6. — С. 115-123.
Бойчук О.Ф. Построение функции Ляпунова для совокупности уравнений основной задачи инерциальной навигации / О.Ф. Бойчук, А.Ю. Ишлин- ский, В. А. Стороженко // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1975. - №5. - С. 13-18.
Бордовицына Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики / Т.В. Бордовицына. — М.: Наука, 1984. — 136с.
Бортц И.Е. Модификация кинематических уравнений для бесплатформен- ной инерциальной системы с целью снижения требований к БЦВМ / И. Е. Бортц // Вопросы ракетной техники. — 1972. — № 5. — С. 68-77.
Бранец В.Н. Применение кватернионов в управлении угловым положением твердого тела / В.Н. Бранец, Н.П. Шмыглевский // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1972. — №4. — С. 24-31.
Бранец В.Н. Кинематические задачи ориентации во вращающейся системе координат / В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1972. — № 6. — С 36-43.
Бранец В.Н. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела /В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский. — NV: Наука, — 1973. — 320с.
Бранец В.Н. О точности решения кинематических уравнений. Ч. 1, 2 / В. Н. Бранец // Космические исследования. — 1982. — Т. 20. — Вып. 2. — С. 184-190; - Вып. 3. - С. 323-331.
Бранец В.Н. Оптимальный разворот твердого тела с одной осью симметрии / В. Н. Бранец, Ю.В. Казначеев, М.Б. Черток // Космические исследования. — 1984. — Т. 22. — Вып. 3. — С. 352-360.
Бранец В.Н. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем / В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский. — NV: Наука, 1992. — 280 с.
Бромберг П.В. Теория инерциальных систем навигации / П. В. Бромберг — М.: Наука, 1979. - 296 с.
Брумберг В. А. Аналитические алгоритмы небесной механики / В. А. Брум- берг. — NV: Наука, 1980. — 208 с.
Бухгольц Н.П. Основной курс теоретической механики (часть первая) / Н.П. Бухгольц. — М/. Наука, 1972. — 468 с.
Ви Б. Управление поворотами космического аппарата вокруг собственной оси с обратной связью по компонентам кватерниона / Б. Ви, X. Уэйс, Э. Эрэпостатис // Аэрокосмическая техника. — 1990. — № 3. — С. 3-11.
Гаврилова Н.Л. О стабилизации положения твердого тела / Н.Л. Гаврилова, А. И. Ткаченко // Автоматика. — 1974. — № 6. — С. 3-8.
Гамильтон У.Р. Избранные труды: Оптика. Динамика. Кватернионы / У.Р. Гамильтон. — М.: Наука, 1994. — 560 с.
Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. — NV: Наука, 1967. — 576 с.
Голдстейн Г. Классическая механика / Г. Голдстейн. — NV: Наука, 1975. - 415 с.
Диментберг Ф.М. Метод винтов в прикладной механике / Ф.М. Димент- берг. — NV; Машиностроение. 1971. — 264 с.
Диментберг Ф.М. Теория винтов и ее приложения / Ф.М. Диментберг. — Ж; Наука, 1978. - 328 с.
Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы / Г.Н. Дубошин. — М/. Наука, 1968. — 799 с.
Еругин Н.П. Приводимые системы / Н.П. Еругин. — NV; Изд-во АН СССР, 1946. - 94 с.
Жбанов Ю.К. О некоторых свойствах конечных поворотов твердого тела при наличии неголономной связи / Ю.К. Жбанов, В.Ф. Журавлев // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1978. — № 1. — С. 9-14.
Журавлев В. Ф. Теорема о телесном угле в динамике твердого тела / В. Ф. Журавлев // Прикладная математика и механика. — 1996. — Т. 66. — Вып. 2. — С. 323-326.
Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики / В.Ф. Журавлев. — Мл Наука, 1997. - 320 с.
Захарин М.И. Кинематика инерциальных систем навигации / М.И. Захарин, Ф.М. Захарин. — Мл Машиностроение, 1968. — 236 с.
Зубов В. И. Аналитическая динамика гироскопических систем / В. И. Зубов. — Л.: Судостроение, 1970. — 317 с.
Икес Б.П. Новый метод выполнения численных расчетов, связанных с работой системы управления ориентацией, основанный на использовании кватернионов / Б.П. Икес // Ракетная техника и космонавтика. — 1970. — Т. 8. - № 1. - С. 13-19.
Инерциальные системы без гиростабилизированной платформы: Обзор / Пер. с англ. // Вопросы ракетной техники. 1967. № 1. С. 61-77.
Ишлинский А.Ю. Механика специальных гироскопических систем / А. Ю. Ишлинский. — Киев: Изд-во АН УССР, 1952. — 432 с.
Ишлинский А.Ю. Об уравнениях задачи определения местоположения движущегося объекта посредством гироскопов и измерителей ускорений / А. Ю. Ишлинский // Прикладная математика и механика. — 1957. — Т. 21. - Вып.6. - С. 725-739.
Ишлинский А.Ю. Об автономном определении местоположения движущегося объекта посредством пространственного гироскопического компаса, гироскопа направления и интегрирующего устройства / А.Ю. Ишлинский // Прикладная математика и механика. — 1959. — Т. 23. — Вып. 1. — С. 5663.
Ишлинский А.Ю. Геометрическое рассмотрение устойчивости решения основной задачи инерциальной навигации / А.Ю. Ишлинский Н Инж. журнал. Механика твердого тела. — 1968. — № 3. — С. 12-16.
Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация / А.Ю. Ишлинский. — Мл Наука, 1976. — 670 с.
Каленова В. И. О применении методов теории приводимости к некоторым задачам динамики гироскопических систем / В. И. Каленова, В.М. Морозов // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1987. №1. С. 8-14.
Кантор И. Л. Гиперкомплексные числа / И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. — М.: Наука, 1973. — 144 с.
Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. I. Арифметика. Алгебра. Анализ / Ф. Клейн. — Мл Наука, 1987. — 432 с.
Климов Д.М. Об интегрировании кинематических уравнений инерциальных систем навигации / Д.М. Климов // Изв. вузов. Приборостроение. — 1968. - №7. - С. 95-98.
Климов Д.М. Инерциальная навигация на море / Д.М. Климов. — Мл. Наука, 1984. - 117 с.
Корн Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. — Мл. Наука, 1970. — 720 с.
Котельников А.И. Винтовое счисление и некоторые приложения его к геометрии и механике / А. И. Котельников. — Казань, 1895. — 215 с.
Котельников А.П. Винты и комплексные числа / А.П. Котельников // Изв. физ.-матем. общества при Казанском ун-те. — 1896. — Сер. 2. — № 6. — С. 23-33.
Котельников А.П. Проективная теория векторов / А.П. Котельников. — Казань, 1899.
Котельников А.П. Теория векторов и комплексные числа / А.П. Котельников // Некоторые применения идей Лобачевского в механике и физике: Сб. статей. — М.: Гостехиздат, 1950. — С. 7-47.
Кошляков В.Н. Об уравнениях местоположения движущегося объекта / В. П. Кошляков // Прикладная математика и механика. — 1964. — Т. 28. — Вып.6. - С. 1135-1137.
Кошляков В.Н. О применении параметров Родрига-Гамильтона и Кейли- Клейна в прикладной теории гироскопов / В. Н. Кошляков // Прикладная математика и механика. 1965. — Т. 29. — Вып. 4. — С. 729-733.
Кошляков В.Н. Об одном классе точных решений уравнений движения корректируемого гирогоризонткомпаса / В.Н. Кошляков // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1969. — № 6. — С. 3-9.
Кошляков В.Н. Теория гироскопических компасов / В.Н. Кошляков. — NV: Наука, 1972. - 344 с.
Кошляков В.Н. К вопросу построения некоторого класса решений гиро- маятниковой системы / Кошляков В.Н. // Изв. АН СССР. — Механика твердого тела. — 1975. — № 2. — С. 32-38.
Кошляков В.Н. Задачи динамики твердого тела и прикладной теории гироскопов. Аналитические методы /Кошляков В.Н. — М.: Наука, 1985. — 288 с.
Кошляков В.Н. Параметры Родрига-Гамильтона и их приложения в механике твердого тела / В. Н. Кошляков // Труды ин-та математики НАН Украины. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1994. — Т. 9. — 176 с.
Лебедев Д.В. Управление ориентацией твердого тела с использованием параметров Родрига-Гамильтона / Д.В. Лебедев // Автоматика. — 1974. — №4. - С. 29-32.
Лебедев Д.В. К задаче управления ориентацией твердого тела / Д.В. Лебедев// Прикладная механика. — 1976. — Т. 12. — Вып. 2. — С. 76-82.
Лебедев Д.В. Об управлении трехосной ориентацией твердого тела / Д.В. Лебедев // Автоматика. — 1981. — № 3. — С. 77-80.
Лебедев Д.В. К задаче вычисления параметров движения твердого тела / Д.В. Лебедев // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1984. — № 1. — С. 170-172.
Лебедев Д.В. Системы инерциального управления. Алгоритмические аспекты /Д.В. Лебедев, А.И. Ткаченко. — Киев: Наукова думка, 1991. — 208с.
Лебедев Д.В. Кинематика пространственных механизмов / Д.В. Лебедев. — Л.: Машиностроение, 1966. — 280 с.
Липтон А. Выставка инерциальных систем на подвижном основании / А. Липтон. — NV: Наука, 1971. — 168 с.
Литвин-Седой М. 3. Геометрия наведения оси прибора, установленного в кардановом подвесе. Отчет 2244 / М.З. Литвин-Седой. — Институт механики МГУ, 1979. - 59 с.
Литвин-Седой М. 3. Общий случай выставки прибора в кардановом подвесе / М.З. Литвин-Седой // Изв. вузов СССР. Приборостроение. — 1981. — № 6. - С. 63-66.
Лурье А.И. Аналитическая механика / А.И. Лурье. — NV: Физматгиз, 1961. - 824 с.
Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения / А.М. Ляпунов. — NV: Гостехтеориздат, 1950. — 471 с.
Маланин В. В. Оптимальное управление ориентацией и винтовым движением твердого тела / В. В. Маланин, Н.А. Стрелкова. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. — 204 с.
Манипуляционные системы роботов / А. И. Корендясев, Б. Л. Саламандра, Л.И. Тывес и др. — Мл Машиностроение, 1989. — 472 с.
Мартыненко В. В. Синтез оптимального управления вращением космического аппарата / В. В. Мартыненко, С. В. Пушкова // Космические исследования. — 1992. — Т. 30. — Вып. 1. — С. 52-59.
Мартыненко Ю.Г. Асимптотическое решение обобщенной задачи Дарбу при конической вибрации основания / В. В. Мартыненко // Докл. Академии наук. — 1999. — Т. 369. — № 4. — С. 478-480.
Модели и алгоритмы ориентации и управления движением платформенного комплекса «ТСП-АРГУС» проекта «МАРС» / Ю.Н. Челноков, А. А. Панков, Г. В. Уткин и др. // Материалы седьмой НТК «Экстремальная робототехника». - С.-Пб.: Изд-во СПбГТУ, 1996. - С. 186-196.
Модели и алгоритмы ориентации и управления движением платформенного комплекса «ТСП-АРГУС» проекта «МАРС» / Ю.Н. Челноков, Ю.В. Са- домцев, А. А. Панков и др. // Материалы междунар, конф. «Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении». — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997. — С. 68-69.
Молоденков А. В. Кватернионное решение задач оптимальной переориентации сферически симметричного твердого тела (космического аппарата): Автореф. дис. ... канд. техн, наук / А.В. Молоденков. — Саратов, 2001. — 23 с.
Молоденков А. В. Решение задачи оптимального разворота сферически симметричного космического аппарата с ограниченным и импульсным управлением при произвольных граничных условиях / А. В. Молоденков, Я. Г. Са- пунков // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2004. — № 2. — С.185-196.
Нильсон Г.М. Мультипликационные вращения на 4-мерной сфере с помощью кватернионов и сплайнов / Г.М. Нильсон, Р.В. Хейланд // Программирование. — 1992. — №4. — С. 17-27.
Об устойчивости решений системы дифференциальных уравнений задачи автономного определения координат движущегося объекта / В. Н. Кошляков, Ю.В. Люсин, В.А. Стороженко и др. // Докл. АН СССР. — 1968. — Т. 179. - № 1. - С. 34-36.
Онищенко С.М. Применение гиперкомплексных чисел в теории инерциальной навигации. Автономные системы / С.М. Онищенко. — Киев: Паукова думка, 1983. — 208 с.
Онищенко С.М. О кватернионных и бикватернионных уравнениях движения свободного твердого тела и их применениях в инерциальной навигации / С.М. Онищенко, Ю.Н. Челноков // Вопросы аналитической механики и ее применений. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1999. — С. 277299.
Оттен Д.Д. Инерциальные навигационные системы без гиростабилизи- рованной платформы. Сб. переводов / Д.Д. Оттен // Вопросы ракетной техники. — 1967. — № 2. — С. 68-86.
Панков А. А. Исследование кватернионных законов кинематического управления ориентацией твердого тела по угловой скорости / А. А. Панков, Ю.Н. Челноков Ц Изв. РАН. Механика твердого тела. — 1995. — № 6. — С. 3-13.
Панов А.П. Математические основы теории инерциальной ориентации / А.П. Панов. — Киев: Наукова думка, 1995. — 279 с.
Переляев С.Е. Трехмерная параметризация группы вращений твердого тела в системах гироскопической ориентации / С.Е. Переляев // Изв. РАН. Механика твердого тела. — 2003. — № 3. — С. 19-31.
Перков Н. Ф. К определению винта конечного перемещения по начальному и конечному положениям твердого тела / Н.Ф. Перков, Ю.Н. Челноков // Машиноведение. — 1981. — № 3. — С. 58-61.
Перков Н. Ф. Применение бикватернионных матриц в кинематике пространственных механизмов / Н. Ф. Перков, Ю.Н. Челноков // Машиноведение. — 1981. - №4. - С. 60-66.
Перков Н. Ф. О наведении приборов в кардановых подвесах с неортогональными осями / Н.Ф. Перков, П.К. Плотников, Ю.Н. Челноков // Системы курсоуказания и инерциальной навигации. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1985. - С. 106-116.
Пол Р. Моделирование, планирование траекторий и управление движением робота-манипулятора / Р. Пол. — М.: Наука, 1976. — 104 с.
Поль Г. Новое решение второго приближения для вычислителя ориентации бескардановой инерциальной системы / Г. Поль, Саваж / Сб. переводов: Механика. — 1966. — Вып. 1. — С. 37-60.
Плотников П.К. К вопросу о влиянии удара на движение гироскопа / П.К. Плотников // Надежность приборов точной механики: Науч. тр. Сарат. политехи, ин-та. — Саратов, 1972. — Вып. 55. — С. 53-61.
Плотников П.К. О переставимости множества конечных поворотов / П.К. Плотников, Ю.Н. Челноков // Теория и технические средства управления: Науч. тр. Сарат. политехи, ин-та. — Саратов, 1973. — Вып. 59. — С.155-164.
Плотников П.К. Применение параметров Кейли-Клейна к определению информационных углов гировертикали с аэродинамическим подвесом / П.К. Плотников, Ю.Н. Челноков // Надежность приборов точной механики: Науч. тр. Сарат. политехи, ин-та. — Саратов, 1976. — Вып. 90. — С. 56-66.
Плотников П. К. Измерительные гироскопические системы / П. К. Плотников. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. — 168 с.
Плотников П.К. Сравнительный анализ точности алгоритмов определения ориентации объекта в параметрах Родрига-Гамильтона и направляющих косинусах / П.К. Плотников, Ю.Н. Челноков // Космические исследования. - 1979. - Т. 17. - Вып. 3. - С. 371-377.
Плотников П.К. Влияние погрешностей гироскопического измерителя абсолютной угловой скорости объекта на точность определения его ориентации с помощью бесплатформенной инерциальной навигационной системы / П.К. Плотников, Ю.Н. Челноков / Сарат. политехи, ин-т. Саратов. — 1979. - 16 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.04.79. - № 1345-79.
Плотников П.К. Применение кватернионных матриц в теории конечного поворота твердого тела / П.К. Плотников, Ю.Н. Челноков // С6. науч.-метод, статей по теорет. механике. — М.: Высшая школа, 1981. — Вып. 11. - С. 122-129.
Плотников П.К. Кинематическая задача управления ориентацией твердого тела / П.К. Плотников, А.Н. Сергеев, Ю.Н. Челноков // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1991. — № 5. — С. 9-18.
Применение кватернионов в теории конечного поворота твердого тела / А.Н. Бежко, В.Н. Бранец, И.М. Захаров, Н.П. Шмыглевский // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1971. — № 1. — С. 123-134.
Принципы и задачи управления движением комплекса манипулятор — трехосная стабилизированная платформа по информации о движении выходного звена манипулятора / Ю.Н. Челноков, Г.А. Пейсахович, Р.П. Зубенко и др. // Тез. докл. третьей научной школы «Автоматизация создания математического обеспечения и архитектуры систем реального времени». — М.: ГосНИИАС, 1992. - С. 84-85.
Пуанкаре А. Избранные труды: В 3 т. / А. Пуанкаре. — NV: Наука, 1974. — Т. 3. - 771 с.
Раушенбах Б. В. Управление ориентацией космических аппаратов / Б. В. Раушенбах, Е.Н. Токарь. — NV; Наука, 1974. — 600 с.
Ривкин С. С. Стабилизация измерительных устройств на качающемся основании / С. С. Ривкин. — NV: Наука, 1978. — 320 с.
Румянцев В. В. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных / В. В. Румянцев, А. С. Озиранер. — NV: Наука, 1987. — 256 с.
Сачков Р.П. Об интегрируемости кинематических уравнений вращения / Р.П. Сачков, Ю.М. Харламов // Изв. РАН. Механика твердого тела. — 1991. - №6. - С. 11-15.
Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / В. К. Абалакин, Е.Н. Аксенов, Е.А. Гребенников и др. — NV; Наука, 1976. — 864 с.
НО. Стороженко В. А. О применении теории конечных вращений к задаче автономного определения координат места движущегося объекта / В. А. Стороженко, М.Е. Темченко // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1971. - №3. - С. 3-10.
Стороженко В. А. К задаче автономного определения местоположения объекта в околополярных областях объекта / В.А. Стороженко, М.Е. Темченко // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1971. — № 5. — С. 16-22.
Стрелкова Н. А. Оптимальное по быстродействию кинематическое управление винтовым перемещением твердого тела / Стрелкова Н.А. // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1982. — №4. — С. 73-76.
Темченко М.Е. К задаче автономного определения координат местоположения объекта посредством использования плоской декартовой системы координат, стереографически отображенной на сферу, при учете несферичности Земли / М.Е. Темченко // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1974. - №3. - С. 19-28.
Ткаченко А. И. Погрешности вычисления параметров Родрига-Гамильтона / А. И. Ткаченко // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1973. — № 1. - С. 32-37.
Ткачёв Л. И. К теории пространственной ориентировки в слепом полете при помощи маятниково-гироскопных систем: Автореф. дис. канд. техн, наук / Л.И. Ткачёв. — М., 1944. — 29 с.
Ткачёв Л. И. О 84-мин. периоде для систем со связанными и свободными гироскопами / Л. И. Ткачёв // Прикладная математика и механика. — 1949. - Т. 13. - Вып. 2. - С. 217-218.
Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика / Е. Т. Уиттекер. — М.-Л.: Го- стехиздат, 1937. — 500 с.
Управление движением космического платформенного комплекса. I. Математическая модель комплекса / Ю.Н. Челноков, Ю.В. Садомцев, В. В. Батурин и др. // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2001. — №4. — С. 153-160.
Управление движением космического платформенного комплекса. II. Алгоритмы ориентации, программного управления и наведения / Ю.Н. Челноков, Ю.В. Садомцев, Г.В. Уткин и др. // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2001. - №5. - С. 159-167.
Управление движением космического платформенного комплекса. III. Дискретная коррекция контура наведения / Ю.В. Садомцев, Ю.Н. Челноков, Г. В. Уткин, С. В. Федосеев // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2002. - № 1. - С. 146-154.
Управление движением космического платформенного комплекса. IV. Режим калибровки камер научной аппаратуры / Ю.В. Садомцев, Ю.Н. Челноков, Г. И. Зубенко, С. В. Федосеев // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2002. - №2. - С. 140-150.
Управление движением космического платформенного комплекса. V. Алгоритмы юстировки комплекса / Ю.Н. Челноков, А.В. Молоденков, В.В. Батурин и др. // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2002. — № 3. — С. 132-139.
Фу К. Робототехника / К. Фу, Р. Гонсалес, К. Ли. — NV: Мир, 1989. — 624 с.
Челнокова Л. А. Моделирование работы бесплатформенной инерциальной навигационной системы, определяющей ориентацию объекта в ортодроми- ческой и географической системах координат, на универсальных ЭВМ / Л.А. Челнокова, Ю.Н. Челноков; Сарат. политехи, ин-т. — Саратов, 1988. — 21 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.05.88, № 3763-В88.
Челнокова Л.А. Моделирование работы БИНС на универсальных ЭВМ / Л. А. Челнокова, Ю.Н. Челноков; Сарат. политехи, ин-т. — Саратов, 1989. — 15 с. - Деп. в ВИНИТИ 13.06.89, № 3909-В89.
Челноков Ю.Н. Матричное представление формул теории конечных поворотов управляемых объектов / Ю.Н. Челноков // Теория и технические средства управления: Науч. тр. Сарат. политехи, ин-та. — Саратов, 1973. — Вып. 59. — С. 8-15.
Челноков Ю.Н. Исследование некоторых алгоритмических задач определения ориентации объекта бесплатформенными инерциальными навигационными системами: Автореф. дис. ... канд. техн, наук / Ю.Н. Челноков. — Л., 1974. - 20 с.
Челноков Ю.Н. Об определении ориентации объекта в параметрах Родрига- Гамильтона по его угловой скорости / Ю.Н. Челноков // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1977. — № 3. — С. 11-20.
Челноков Ю.Н. Об интегрировании кинематических уравнений винтового движения твердого тела / Ю.Н. Челноков Н Прикладная математика и механика. — 1980. — Т. 44. — Вып. 1. — С. 32-39.
Челноков Ю.Н. К теории гироскопического маятника / Ю.Н. Челноков // Прикладная математика и механика. — 1980. — Т. 44. — Вып. 6. — С. 986993.
Челноков Ю.Н. Об одном винтовом методе описания движения твердого тела / Ю.Н. Челноков // Сб. науч.-метод, статей по теорет. механике. — М.: Высшая школа, 1981. — Вып. 11. — С. 129-138.
Челноков Ю.Н. Об одной форме уравнений инерциальной навигации / Ю.Н. Челноков Ц Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1981. — № 5. - С. 20-28.
Челноков Ю.Н. К регуляризации уравнений пространственной задачи двух тел / Ю.Н. Челноков II Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1981. — №6. - С. 12-21.
Челноков Ю.Н. Об устойчивости решений бикватернионного кинематического уравнения винтового движения твердого тела / Ю.Н. Челноков II Сб. науч.-метод, статей по теорет. механике. — М.: Высшая школа, 1983. — Вып. 13. - С. 103-109.
Челноков Ю.Н. Об уравнениях движения гиромаятниковых систем в параметрах Родрига-Гамильтона / Ю.Н. Челноков II Изв. АН. СССР. Механика твердого тела. — 1983. — № 2. — С. 20-29.
Челноков Ю.Н. Кватернионные алгоритмы систем пространственной инерциальной навигации / Ю.Н. Челноков // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1983. — № 6. — С. 14-21.
Челноков Ю.Н. О регулярных уравнениях пространственной задачи двух тел / Ю.Н. Челноков II Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1984. — № 1. - С. 151-158.
Челноков Ю.Н. О применении кватернионов в прецессионной теории гироскопов / Ю.Н. Челноков Ц Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1984. - №6. - С. 3-10.
Челноков Ю.Н. Кватернионные методы в задачах относительного движения динамически симметричных материальных систем. Ч. 1, 2 / Ю.Н. Челноков // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1986. — № 6. — С. 3037; - 1987. - № 1. - С. 23-31.
Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные методы в задачах механики твердого тела и материальных систем: Автореф. дис. ... доктора физико-матем. наук / Ю.Н. Челноков. — NV, 1987. — 36 с.
Челноков Ю.Н. О задачах ориентации и навигации объекта в географической и ортодромической системах координат / Ю.Н. Челноков, С. В. Петров - Деп. в ВИМИ 27.05.88, № Д07701. - 21 с.
Челноков Ю.Н. Алгоритм идеальной работы системы ориентации для подвижного объекта / Ю.Н. Челноков, Л. А. Челнокова, И. В. Панденок // Вопросы авиационной науки и техники: Сб. тр. — М., 1988. — Вып. 10.
Челноков Ю.Н. Об осцилляторном и ротационном движениях одного класса механических систем / Ю.Н. Челноков // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1989. № 1. С. 28-35.
Челноков Ю.Н. О движении тяжелого симметричного твёрдого тела с подвижной точкой подвеса / Ю.Н. Челноков // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1990. — №4. — С. 3-10.
Челноков Ю.Н. Определение местоположения и ориентации подвижных объектов по показаниям чувствительных элементов БИНС посредством решения на бортовом вычислителе кватернионных уравнений движения гироскопических систем / Ю.Н. Челноков // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 1991. - №4. - С. 3-12.
Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в теории орбитального движения искусственного спутника. Ч. 1,2 / Ю.Н. Челноков // Космические исследования. - 1992. - Т. 30. - Вып. 6. - С. 759-770; 1993. - Т. 31. - Вып. 3. - С. 3-15.
Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация и стабилизация возмущённого центрального движения. Ч. 1,2 / Ю.Н. Челноков // Изв. РАН. Механика твердого тела. — 1993. — № 1. — С. 20-30; 1993. — №2. — С. 3-11.
Челноков Ю.Н. Кватернионное решение кинематических задач управления ориентацией твердого тела: Уравнения движения, постановка задач, программное движение и управление / Ю.Н. Челноков // Изв. РАН. Механика твердого тела. — 1993. — №4. — С. 7-14.
Челноков Ю.Н. Кватернионное решение кинематических задач управления ориентацией твердого тела: Уравнения ошибок, законы и алгоритмы коррекции (стабилизации) / Ю.Н. Челноков // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 1994. - №4. - С. 3-12.
Челноков Ю.Н. Управление ориентацией космического аппарата, использующее кватернионы / Ю.Н. Челноков Н Космические исследования. — 1994. - Т. 32. - Вып. 3. - С. 21-32.
Челноков Ю.Н. Кватернионный синтез нелинейного управления ориентацией движущегося объекта / Ю.Н. Челноков // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 1995. — № 2. — С. 145-150.
Челноков Ю.Н. Кватернионы и динамика управляемого движения твердого тела / Ю.Н. Челноков // Изв. РАН. Механика твердого тела. — 1996. — №2. - С. 13-23.
Челноков Ю.Н. Построение оптимальных управлений и траекторий движения космического аппарата на основе регулярных кватернионных уравнений задачи двух тел / Ю.Н. Челноков, Я.Г. Сапунков // Космические исследования. - 1996. - Т. 34. - № 2. - С. 150-158.
Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики, навигации и управления движением / Ю.Н. Челноков // Аэродинамика: Сб. науч. тр. / Сарат. гос. ун-т. — Саратов: СГУ, 1997. — Вып. 14(17). — С. 61-84.
Челноков Ю.Н. Построение оптимальных управлений и траекторий движения космического аппарата, использующее кватернионное описание пространственной ориентации орбиты / Ю.Н. Челноков // Космические исследования. — 1997. — Т. 35. — № 5. — С. 534-542.
Челноков Ю.Н. Кватернионы и связанные с ними преобразования в динамике симметричного твердого тела. Ч. 1, 2 / Ю.Н. Челноков // Изв. РАН. Механика твердого тела. — 1997. — № 6. — С. 3-16; — 1998. — № 5. — С. 3-18.
Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в механике космического полёта /Ю.Н. Челноков // Гироскопия и навигация. — 1999. — №4(27). — С. 4766.
Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в задачах оптимального управления движением центра масс космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле. Ч. 1, 2, 3 / Ю. Н. Челноков // Космические исследования. - 2001. - Т. 39. - № 5. - С. 502-517; - 2003. - Т. 41. - № 1. - С. 92-107; - 2003. - Т. 41. - № 5. - С. 460-477.
Челноков Ю.Н. О некоторых проблемах нелинейной динамики и управления движением / Ю.Н. Челноков // Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении: Сб. науч. тр. — Саратов, 2002. - С. 10-13.
Челноков Ю.Н. Инерциальная ориентация и навигация движущихся объектов: Учеб, пособие для студентов мех.-мат. фак. / Ю.Н. Челноков. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. — 64 с.
Челноков Ю.Н. Построение управлений угловым движением твердого тела, использующее кватернионы и эталонные формы уравнений переходных процессов. 4.1, 2 / Ю.Н. Челноков // Изв. РАН. Механика твердого тела. — 2002. - № 1. - С. 3-17; 2002. - № 2. - С. 3-17.
Челноков Ю.Н. Об одной концепции в теории устойчивости и управления движением твердого тела, основывающейся на теоремах Эйлера-Даламбера и Шаля / Ю.Н. Челноков // Гироскопия и навигация. — 2004. — № 3(46). — С.107-118.
Штифель Е. Линейная и регулярная небесная механика / Е. Штифель, Г. Шейфеле. — М.: Наука, 1975. — 304 с.
Эдвардс А. Бесплатформенные инерциальные навигационные системы / А. Эдвардс / Сб. переводов // Вопросы ракетной техники. — 1973. — № 5. - С. 50-57.
Ball R.S. The Theory of Screws / R. S. Ball. — Dublin. — 1876.
Bortz LE. X new mathematical formulation for strapdown inertial navigation / J.E. Bortz 11 IEEE Transaction on Aerospace and Electronic Systems // 1971. - AES-7. - № 1. - P. 61-66.
Buchheim A. A Memoir on Biquaternions / A. Buchheim 11 Am. Journal. — 1885. - V. VII.
Buchheim A. Theory of Screws in Elliptic Space / A. Buchheim 11 Proc, of the London Math. Soc. 1884-1887. - Vol. XV-XVIII.
Clifford W. Preliminary Scetch of Biquaternions / W. Clifford // Proc, of London Math. Soc. - 1873. - V. IV. - P. 381-393.
Darboux G. Lecons sur la theorie generale des surfaces / G. Darboux. — T. I, Chap. II. Paris, 1887.
Deprlt A. Ideal frames for perturbed keplerian motions / Deprlt A. // Celestial Mechanics. - 1976. - Vol. 13. - No. 2. - P. 253-263.
Goodman L.E. Effect of finite rotations on gyroscopic sensing devices / L.E. Goodman // Journal of Applied Mechanics. — 1958. — V. 25. — № 2. — P. 210-213.
Halphen. Sur le deplacement dune solide invariable / Halphen // Bull, de la Soc. Math. - 1873. - V. 11. - P. 56-62.
Mortensen R.E. A globally stable linear attitude regulator / R.E. Mortensen // International journal of control. — 1968. — Vol. 8. — No. 3. — P. 297-302.
Montgomery R. How much does the rigid body rotate? / R. Montgomery // Amer. J. Phys. - 1991. - V. 59. - № 5. - P. 394-398.
Robinson A.C. On the use of quaternions in simulation of rigid-body motion / A.C. Robinson. WADD Techn. report, No. 58-17. — 1957.
Saussure R. Etude de Geometric cinematique reglee / A.C. Robinson // Am. Journal of Math. - 1877. - V. 19.
Study E. Von der Bewegungen und Umlegungen / E. Study // Math. Ann. — 1891. - Bd. 59. - S. 441-566.
Study E. Uber neue Darstellung der Krafte / E. Study. Berichte fiber der Verhandl. der Sachs. Akad., Ges. der Wiss., Math. Teil. — Leipzig, 1899. — B. 51.
Study E. Ueber Nicht-Euklidische und Liniengeometrie / E. Study. Festschr. der Philoa. Fakult. zu Greifswald, 1900.
Stuelpnagel J. On the parametrization of the three-dimensional rotation group / J. Stuelpnagel Ц SIAM REVIEW. 1964. - V. 6. - №4. - P. 422429.
Yuan J.S-C. Closed-loop manipulator control using quaternion feedback / J. SC. Yuan Ц IEEEJ. Rob. and Autom. - 1988. - №4. - P. 434-440.
Wie B. Quaternion feedback for spacecraft large angle maneuvers / Wie B. and P.M. Barba // Journal of guidance, control and dynamics. — 1985. — Vol. 8. - P. 360-365.
W M. Y. On solution, stability and transformation of linear time-varying systems // Int. Journal of control. — 1975. — Vol. 22. — № 2. — P. 169-180.
Научное издание
ЧЕЛНОКОВ Юрий Николаевич
КВАТЕРНИОННЫЕ И БИКВАТЕРНИОННЫЕ МОДЕЛИИ МЕТОДЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ.ГЕОМЕТРИЯ И КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ
Редактор И.Л. ЛегостаеваОригинал-макет: Т.Н. СавицкаяОформление переплета: А.Ю. Алехина
Подписано в печать 2.02.06. Формат 60x90/16. Бумага офсетная.Печать офсетная. Усл. печ. л. 32. Уч.-изд. л. 35,2. Тираж 100 экз.
Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивовв ОАО «Московская типография № 6»115088, г. Москва, Ж-88, ул. Южнопортовая, 24
ISBN 5-9221-0680-5
9785922 106801
Е + s^- пЛз) ту = е®^*/2)”^3^»,
УДК 531.1
ББК 22.21
4 38
Челноков Ю. Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения. Геометрия и кинематика движения. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 512 с. - ISBN 5-9221-0680-5.
Системно излагаются основные методы описания движения твердого тела, в том числе использующие для описания движения гиперкомплексные переменные — кватернионы Гамильтона и бикватернионы Клиффорда. Изложение иллюстрируется конкретными примерами решения геометрических и кинематических задач механики твердого тела и систем твердых тел из таких областей науки и техники, как навигация и управление движением, механика космического полета, приборостроение, теория механизмов и машин, робототехника. Используется для решения задач определения ориентации и навигации движущихся объектов в инерциальной, ортодромической и географической сопровождающих системах координат с помощью бесплатформенных инерциальных навигационных систем, кинематических задач управления движением, геометрических и кинематических задач платформенного комплекса «Манипулятор — трехосная стабилизированная платформа» космического проекта «Марс-94».
Для студентов, аспирантов, преподавателей, научных сотрудников и инженеров — специалистов в области теоретической и прикладной механики, прикладной математики, навигации и управления движением, приборостроения, робототехники.
Ил. 108. Библиогр. 184 назв.
© ФИЗМАТЛИТ, 2006
ISBN 5-9221-0680-5ISBN 5-9221-0680-5© Ю. Н. Челноков, 2006
ISBN 5-9221-0680-5
ISBN 5-9221-0680-5
ОГЛАВЛЕНИЕ
1111Введение
11
11
Глава 1. Методы задания движения твердого тела 20
Основные понятия и определения 20
Кинематические параметры ориентации твердого тела 23
Углы Эйлера-Крылова (24). 1.2.2. Направляющие косинусы углов (26). 1.2.3. Вектор конечного поворота (27). 1.2.4. Параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона) (28). 1.2.5. Параметры Кейли- Клейна (30).
Матрицы и гиперкомплексные числа, используемые для описания углового движения 30
Матрицы направляющих косинусов (30). 1.3.2. Кватернионы поворотов (31).1.3.3. Кватернионные матрицы поворотов (33).
Матрицы параметров Кейли-Клейна (34).
Алгебра кватернионов 36
Основные операции с кватернионами (36).1.4.2. Геомет
рическая интерпретация кватерниона (40). 1.4.3. Геометрическая интерпретация умножения кватернионов (42).
Винты и бикватернионы Клиффорда 43
Дуальные числа (43). 1.5.2. Функции дуальных переменных (44).1.5.3. Дуальные векторы (бивекторы) и винты (46).
Операции над винтами — дуальная векторная алгебра (51).
Бикватернионы (дуальные кватернионы) (62).
Кинематические параметры, используемые для описания пространственного движения твердого тела 73
Движение свободного твердого тела. Традиционные кинематические параметры (73). 1.6.2. Дуальные углы Эйлера- Крылова (76).1.6.3. Дуальные направляющие косинусы
углов (78). 1.6.4. Винт конечного перемещения (79). 1.6.5. Дуальные параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона) и Кейли-Клейна. Вещественные и комплексные параметры винтового движения (80).
1.6.6.1-координаты (82).
Матрицы и бикватернионы, используемые для описания пространственного движения 84
Матрицы дуальных направляющих косинусов (84). 1.7.2. Бикватернионы конечных перемещений (85).1.7.3. Бикватернион-
ные матрицы (87). 1.7.4. Матрицы дуальных параметров Кейли- Клейна (90). 1.7.5. Матрицы 4x4 преобразования однородных координат (91).
939396101103107108109113939396101103107108109113119119123128119119123128
93
93
96
101
103
107
108
109
113
93
93
96
101
103
107
108
109
113
119
119
123
128
119
119
123
128
Глава 2. Математические методы преобразования координат . . .
Формула Родрига и ее дуальный аналог
Конечный поворот твердого тела с неподвижной точкой (93).
Конечное перемещение свободного твердого тела (95).
Ортогональные матричные 3x3 преобразования координат 2.2.1. Преобразование базисов (96). 2.2.2. Преобразование координат неизменного вектора (97). 2.2.3. Преобразование в виде операции вращения вектора (97). 2.2.4. Связь матрицы направляющих косинусов с эйлеровым описанием поворота твердого тела (98).
Нахождение эйлеровых вектора е и угла ф через заданные элементы матрицы направляющих косинусов (100). 2.2.6. Связь параметров Эйлера с элементами матрицы направляющих косинусов (101).
Преобразование координат с помощью кватернионов
Преобразование координат с помощью кватернионных матриц. . . .
Преобразование координат с помощью матриц параметров Кейли- Клейна
Матричные 4x4 преобразования однородных координат
Дуальные матричные и бикватернионные формулы преобразования координат
Дуальные ортогональные матричные 3x3 преобразования координат (109).
Преобразование дуальных ортогональных координат винта с помощью бикватернионов 2.7.2. Преобразование дуальных ортогональных координат винта с помощью бикватернионов (ИЗ). 2.7.3. Преобразование дуальных ортогональных координат с помощью бикватернионных матриц (115).
Глава 3. Сложение конечных поворотов и перемещений твердого тела
Векторная и винтовая формулы сложения конечных поворотов и перемещений
Кватернионные и бикватернионные формулы сложения конечных поворотов и перемещений
Сложение конечных поворотов, заданных кватернионами поворотов, определенными в одной системе координат (123).
Сложение конечных поворотов, заданных собственными кватернионами поворотов (125). 3.2.3. Бикватернионные формулы сложения конечных перемещений (126).
Сложение конечных поворотов и перемещений, заданных матрицами направляющих косинусов
Сложение конечных поворотов и перемещений, заданных кватернионными и бикватернионными матрицами
135139143147135139143147157157164173176157157164173176
135
139
143
147
135
139
143
147
157
157
164
173
176
157
157
164
173
176
Сложение конечных поворотов, заданных кватернионными матрицами (129). 3.4.2. Сложение конечных перемещений, заданных бикватернионными матрицами (133).
Матричные формулы сложения конечных поворотов и перемещений, заданных параметрами Кейли-Клейна
Матричные формулы сложения конечных поворотов, заданных параметрами Кейли-Клейна (135). 3.5.2. Матричные формулы сложения конечных перемещений, заданных дуальными параметрами Кейли-Клейна (138).
Разложение заданного конечного винтового перемещения свободного твердого тела на поступательное и угловое перемещения
Связь проекций радиуса-вектора точки свободного твердого тела с параметрами винтового движения
Определение вектора (кватерниона) конечного поворота и винта (бикватерниона) конечного перемещения твердого тела
Определение вектора конечного поворота и кватерниона поворота твердого тела по известным проекциям двух векторов на оси опорной и связанной систем координат (147). 3.8.2. Определение вектора конечного поворота и кватерниона поворота твердого тела по известным начальному и конечному угловым положениям твердого тела (148). 3.8.3. Определение винта конечного перемещения и бикватерниона перемещения по известным начальному и конечному положениям твердого тела (149). 3.8.4. Определение винта конечного перемещения и бикватерниона перемещения твердого тела по известным проекциям двух винтов на оси опорной и связанной систем координат (154).
Глава 4. Геометрические задачи механики твердого тела и систем твердых тел
Нахождение матрицы направляющих косинусов, кватерниона поворота, кватернионных матриц и матриц параметров Кейли-Клейна через заданные углы Эйлера и самолетные углы
Решение задачи для углов Эйлера (157). 4.1.2. Решение задачи для самолетных углов (161).
Определение ориентации приборов и устройств, установленных в кардановых подвесах
Простейший карданов подвес. Крен, дифферент и курс корабля (164).4.2.2. Платформа в трехосном кардановом подве
се (170).
Определение ориентации орбитальной системы координат по угловым элементам орбиты спутника Земли
Определение ориентации космического аппарата в инерциальной системе координат по показаниям астроприборов
Нахождение матрицы направляющих косинусов по показаниям астроприборов (176). 4.4.2. Нахождение кватерниона ориентации космического аппарата по показаниям астроприборов (179).
Нахождение ориентации орбиты космического аппарата через его декартовы координаты и проекции вектора скорости
185185195195205205212212221221227230232234221221227230232234240244246240244246
185
185
195
195
205
205
212
212
221
221
227
230
232
234
221
221
227
230
232
234
240
244
246
240
244
246
Начальная выставка бесплатформенной инерциальной навигационной системы на неподвижном основании
Выставка вертикали (186). 4.6.2. Метод гирокомпасирования (190).
Наведение приборов и устройств в кардановых подвесах с неортогональными осями
Разложение заданного вектора конечного поворота твердого тела на три поворота вокруг трех заданных неортогональных осей (196). 4.7.2. Наведение в заданное направление оси прибора, помещенного в двухосном кардановом подвесе, расположенном на подвижном основании (201).
Применение бикватернионных матриц в кинематике пространственных механизмов
Пространственные механизмы с вращательными и цилиндрическими кинематическими парами (206). 4.8.2. Пространственный четырехзвенник с одной вращательной и тремя цилиндрическими парами (208). 4.8.3. Замечания о применении бикватернионов и бикватернионных матриц в кинематике пространственных механизмов (210).
Построение матричных и бикватернионных уравнений прямых задач кинематики манипуляционных систем роботов
Схема кинематического модуля, винтовое описание элементарных конечных перемещений звеньев манипулятора (212).
Матричное и бикватернионное описания геометрии движения кинематического модуля (214).4.9.3. Уравнения прямых задач
кинематики манипуляционных систем роботов (218).
Глава 5. Дифференциальные кинематические уравнения движения твердого тела с одной неподвижной точкой
Угловая скорость вращения твердого тела
Вращение тела вокруг неподвижной оси (221). 5.1.2. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой (224).
Кинематические уравнения Эйлера
Кинематические уравнения в самолетных углах
Кинематические уравнения Пуассона
Кинематические уравнения в параметрах Эйлера (Родрига- Гамильтона)
Кватернионные кинематические уравнения (234). 5.5.2. Скалярные кинематические уравнения (236). 5.5.3. Матричные кинематические уравнения (237).
Кинематические уравнения в параметрах Кейли-Клейна
Векторные кинематические уравнения
Кинематические уравнения в кососимметрических операторах. . . .
Кососимметрические операторы, порождаемые экспоненциальными представлениями ортогональных операторов (247).
Кинематические уравнения в кососимметрических операторах (250). 5.8.3. Представление кососимметрических операторов с
261263273275261263273275290290295295297300303295295297300303311319322328311319322328
261
263
273
275
261
263
273
275
290
290
295
295
297
300
303
295
295
297
300
303
311
319
322
328
311
319
322
328
помощью формулы Кэли (253). 5.8.4. Кинематические уравнения в кососимметрических операторах типа Риккати (258).
Кватернионные кинематические уравнения относительного движения
Частные случаи интегрируемости кинематических уравнений . . . .
Устойчивость решений кинематических уравнений
Проблема Дарбу и теория Пуанкаре построения фуксовых уравнений
Построение общего решения кинематических уравнений в параметрах Кейли-Клейна через одно частное решение уравнения Дарбу (275). 5.12.2. Дифференциальные кинематические уравнения второго порядка (285). 5.12.3. Проблема Дарбу с точки зрения теории Пуанкаре построения фуксовых уравнений (288).
Вращение твердого тела в случае постоянства эйлерова угла поворота
Глава 6. Дифференциальные кинематические уравнения движения свободного твердого тела
Классические кинематические уравнения
Кинематический винт твердого тела
Кватернионное и бикватернионное представления абсолютной и локальной производных от вектора
Бикватернионные кинематические уравнения движения
Уравнения в дуальных параметрах Эйлера (Родрига- Гамильтона) и вещественных параметрах винтового движения (303).6.4.2. Бикватернионные кинематические уравнения
относительного движения (308).
Кинематические уравнения в дуальных углах Эйлера-Крылова, направляющих косинусах и параметрах Кейли-Клейна
Кинематические уравнения в дуальных углах Эйлера (311).
Кинематические уравнения в дуальных самолетных углах (313).6.5.3. Кинематические уравнения в дуальных
направляющих косинусах (315). 6.5.4. Кинематические уравнения в дуальных параметрах Кейли-Клейна (317).
Винтовые кинематические уравнения
Структура общего решения и частные случаи интегрируемости бикватернионного кинематического уравнения
Новая концепция теории устойчивости и управления движением твердого тела и устойчивость решений кинематических уравнений винтового движения
Новая концепция теории устойчивости и управления движением твердого тела, основывающаяся на теоремах Эйлера- Даламбера и Шаля (328). 6.8.2. Устойчивость решений кинематических уравнений винтового движения (332).
Теорема Гамильтона-Ишлинского о телесном угле и ее обобщение на неголономное пространственное движение твердого тела
346346351346346351356364356364374377374377383384383384
346
346
351
346
346
351
356
364
356
364
374
377
374
377
383
384
383
384
Теорема Гамильтона-Ишлинского о телесном угле (334).
Обобщение теоремы Гамильтона-Ишлинского на него- лономное пространственное движение твердого тела (338).
Пример неголономного пространственного движения твердого тела (340).6.9.4. Приложения теоремы о дуальном телесном
угле (344).
Глава 7. Определение ориентации твердого тела по известному вектору его угловой скорости
Постановка задачи определения ориентации твердого тела в инерциальной системе координат
Алгоритмы определения ориентации объекта
Алгоритм, реализующий метод Рунге-Кутта четвертого порядка (351). 7.2.2. Алгоритмы второго порядка точности, реализующие метод средней скорости (352). 7.2.3. Одношаговый алгоритм третьего порядка точности, использующий интегральную информацию о движении объекта (354). 7.2.4. Двухшаговый алгоритм третьего порядка точности, использующий интегральную информацию о движении объекта (355).
Методические погрешности вычисления параметров Эйлера
Сравнительный анализ точности алгоритмов в направляющих косинусах и параметрах Эйлера
Алгоритмы определения ориентации объекта, реализующие метод средней скорости и его различные приближения (364).
Сравнительный анализ алгоритмов (366).7.4.3. Точность
решения задач определения ориентации и преобразования координат при использовании промежуточных кинематических параметров (372).
Влияние погрешностей в определении проекций угловой скорости твердого тела на точность вычисления параметров Эйлера
Математическое моделирование алгоритмов определения ориентации объекта в параметрах Эйлера
Блок задания углового движения объекта (378). 7.6.2. Блок формирования проекций абсолютной угловой скорости объекта и приращений интегралов от них (379). 7.6.3. Блок формирования начальных условий интегрирования (379). 7.6.4. Блок численных методов интегрирования дифференциальных уравнений ориентации (380). 7.6.5. Блок формирования вычисленных значений самолетных углов (380). 7.6.6. Блок вычисления погрешностей определения углов ориентации объекта (380).
Глава 8. Определение ориентации и местоположения твердого тела посредством интегрирования кинематических уравнений винтового движения
Алгоритмы определения ориентации и местоположения твердого тела в инерциальной системе координат
Методические погрешности вычисления параметров винтового движения твердого тела
397400397400410410415418433436410410415418433436442448448442448448
397
400
397
400
410
410
415
418
433
436
410
410
415
418
433
436
442
448
448
442
448
448
Влияние погрешностей в определении проекций угловой и линейной скоростей твердого тела на точность вычисления параметров винтового движения
Алгоритмы определения ориентации и местоположения твердого тела в произвольно перемещающейся системе координат
Алгоритмы определения ориентации твердого тела относительно произвольно вращающейся системы координат в приращениях параметров Эйлера (400).8.4.2. Алгоритмы определения
ориентации и местоположения объекта относительно произвольно перемещающейся системы координат в приращениях дуальных параметров Эйлера (407).
Глава 9. Инерциальная ориентация и навигация движущихся объектов в опорных сопровождающих трехгранниках
Введение в предмет и теорию инерциальной ориентации и навигации
Постановка задач инерциальной ориентации и навигации объекта в ортодромической и географической опорных системах координат . .
Уравнения инерциальной навигации объекта в ортодромической и географической опорных системах координат
Уравнения инерциальной навигации в географической опорной системе координат (419). 9.3.2. Уравнения инерциальной навигации в ортодромической опорной системе координат (426).
Особенности реализации уравнений идеальной работы БИНС на бортовом вычислителе
Исследование алгоритмов ориентации и навигации
Блок алгоритмов определения навигационных величин и углов ориентации (436). 9.5.2. Блок констант (436). 9.5.3. Блок задания северного полюса ортодромии (436). 9.5.4. Блок формирования начальных условий интегрирования (438).9.5.5. Блок
задания движения объекта (439).9.5.6. Блоки шумов (441).
Блок алгоритмов вычисления обратных тригонометрических функций (441).9.5.8. Блок численных методов интегрирова
ния (441).
Алгоритмы некорректируемой БИНС средней точности
Алгоритмы и функциональные модули работы БИНС в НОСК (442).9.6.2. Алгоритмы и функциональные модули
работы БИНС в НГСК (444).
Глава 10. Кинематические задачи управления движением
Кинематическая задача стабилизирующего управления ориентацией твердого тела
Постановка задачи. Виды и законы коррекции (стабилизации) (448). 10.1.2. Общее решение уравнений замкнутой системы управления (455).
Устойчивость и «динамика» процесса управления ориентацией
Устойчивость и «динамика» процесса управления ориентацией (457). 10.1.4. Применение результатов (459). 10.1.5. Кинематические и динамические задачи управления угловым движением твердого тела: Кватернионный подход к решению задач (460).
Кинематическая задача оптимальной нелинейной стабилизации углового движения твердого тела
Задача переориентации орбиты космического аппарата
Дифференциальные кватернионные уравнения ориентации орбиты космического аппарата (468). 10.3.2. Решение задачи переориентации орбиты с использованием теории нелинейной стабилизации (470).
Глава 11. Геометрия и кинематика движения платформенного комплекса космического проекта «Марс-94»
Задачи и алгоритмы определения ориентации, программного управления и наведения комплекса
Системы координат комплекса и их взаимная ориентация (478). 11.1.2. Алгоритмы определения ориентации платформы (480). 11.1.3. Алгоритмы построения программной ориентации и программной абсолютной угловой скорости платформы (483).
Управление движением платформы по ее абсолютному угловому положению (487). 11.1.5. Алгоритм формирования ошибок контура наведения (488).
Определение отклонений кинематических осей комплекса от их расчетных положений
Системы координат комплекса, используемые для решения задачи юстировки комплекса (490). 11.2.2. Постановка задачи юстировки (491). 11.2.3. Решение задачи определения юстировочных параметров (491). 11.2.4. О статистической обработке и стендовых испытаниях (497).
464468464468475476475476487500487500Список использованной литературы
464
468
464
468
475
476
475
476
487
500
487
500
Введение
. Кватернионные и бикватернионные методы механики твердого тела относятся к современным методам теоретической механики, успешно развивающимся в последние годы и нашедшим эффективное применение (помимо самой теоретической механики) в таких областях науки и техники, как навигация и управление движением, небесная механика и механика космического полета, приборостроение, робототехника. В этих методах для описания движения используются гиперкомплексные переменные — кватернионы Гамильтона и бикватернионы Клиффорда — или кватернионные и бикватернионные матрицы.
Кватернионные и бикватернионные методы описания движения позволили разработать качественно новые модели движения материальной точки, твердого тела и механических систем, имеющие ряд преимуществ в сравнении с классическими моделями теоретической механики. Так, кватернионные и бикватернионные модели движения в отличие от классических
не имеют особых точек (не вырождаются для любых положений твердого тела в пространстве);
не содержат тригонометрических функций (или содержат их в небольшом количестве), присутствие которых в классических моделях осложняет аналитическое и численное (особенно на бортовых компьютерах) решение задач механики и управления движением; имеют симметричные, а в ряде случаев и линейные или близкие к линейным структуры.
Примерами таких моделей служат
кватернионные и бикватернионные геометрические модели движения твердого тела, лежащие в основе кватернионного и бикватер- нионного формализмов теории конечных поворотов и перемещений твердого тела [17, 20, 26, 51, 52, 100, 102, 127, 131, 140, 178, 180];
дифференциальные кватернионные и бикватернионные кинематические уравнения углового и общего пространственного движения твердого тела в вещественных и дуальных параметрах Эйлера (Родрига-Гамильтона) [17, 20, 129, 132, 134, 140];
кватернионные уравнения возмущенного движения материальной точки в центральном ньютоновском гравитационном поле в регулярных переменных Кустаанхеймо-Штифеля [133, 137, 140, 147];
модели орбитального (траекторного) движения космических аппаратов и небесных тел, содержащие в своем составе дифференциальные (скалярные или кватернионные) уравнения в параметрах Эйлера
[20, 22, 155, 157, 158, 171], а также кватернионные модели в регулярных переменных Кустаанхеймо-Штифеля [140, 146, 153];
кватернионные уравнения прецессионной теории гироскопов [130, 138, 140], динамики углового движения твердого тела, космического аппарата, гиростата, невозмущаемых гироскопических систем [135, 139, 140, 143, 144, 156];
кватернионные уравнения инерциальной ориентации и навигации [17, 20, 65, 128, 132, 136, 140, 145].
К указанным моделям могут быть также отнесены скалярные или матричные формы уравнений движения в параметрах Эйлера, являющихся компонентами кватерниона поворота: кинематические уравнения углового движения твердого тела [71], уравнения динамики твердого тела [60, 61], гироскопических систем [56-61] и инерциальной навигации [55, 58].
Применение кватернионных моделей и методов позволяет успешно решать проблемы регуляризации (устранения особенностей) дифференциальных уравнений движения, строить аналитические решения ряда нелинейных задач механики и управления движением, построение которых с помощью других моделей и методов является проблематичным; повышает эффективность численного решения ряда задач ориентации, навигации и управления движением.
Так, замечательная регуляризация Кустаанхеймо-Штифеля дифференциальных уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел [163] (называемая 7С5-регуляризацией или спинорной регуляризацией), восходящая своими корнями к регуляризации Эйлера-Леви- Чивита уравнений прямолинейного и плоского движений и лежащая в основе нового направления в небесной механике и астродинамике [13, 22, 163], оказалась тесно связанной с кватернионной регуляризацией [133, 137]. При этом кватернионный подход к регуляризации позволил построить более общие регулярные дифференциальные уравнения возмущенного центрального движения материальной точки, позволил обойти математические трудности, существующие в теории 7С5-регуляризации, и дать наглядную кинематическую интерпретацию регуляризующему преобразованию [133, 137, 147].
Кватернионные модели и методы наиболее удобны для аналитического и численного построения (с использованием принципа максимума Понтрягина) оптимальных (программных) управлений и траекторий движения твердого тела, космического аппарата [17, 19, 66, 73, 79, 80, 112, 153, 155, 157, 158], для синтеза стабилизирующих управлений, обеспечивающих асимптотическую устойчивость «в большом» или «в целом» конкретно заданного или любого выбранного программного углового движения твердого тела, космического аппарата [17, 24, 25, 62-64, 66, 148-152, 157, 161, 183]. Отметим, что достигнутый успех в аналитическом решении ряда нелинейных задач оптимального управления движением твердого тела (космического аппарата, рассматриваемого как твердое тело) и эффективность разработанных алгорит-
мов численного решения ряда сложных краевых задач оптимального управления во многом обусловлены свойством самосопряженности кватернионных дифференциальных уравнений в параметрах Эйлера, входящих в состав моделей движения твердого тела, а также обусловлены замечательными свойствами кватернионных моделей траекторного движения в регулярных переменных Кустаанхеймо-Штифеля. Эффективность синтеза нелинейных стабилизирующих управлений в задачах управления угловым движением твердого тела обусловлена удобством кватернионных моделей кинематики и динамики твердого тела для решения задач управления в нелинейной постановке.
Отметим также, что новым перспективным методом в теории устойчивости и управления движением твердого тела является метод, основывающийся на фундаментальных теоремах теоретической механики — теоремах Эйлера и Шаля — и на дифференциальных уравнениях возмущенного движения, построенных с использованием кватернионного и бикватернионного формализмов теории конечных поворотов и перемещений твердого тела [159, 162].
Многие геометрические и кинематические задачи пространственного движения твердого тела и механических систем могут быть эффективно решены с помощью дуальных аналогов обычных кинематических параметров и принципа перенесения Котельникова-Штуди [3, 29, 30, 51, 52, 54, 67, 180], значение которого в современной механике возрастает в связи с развитием робототехники, навигации и управления движением. Так, знаменитая теорема о телесном угле [33, 34, 40, 44, 172, 175], сформулированная еще У. Р. Гамильтоном и строго доказанная А.Ю. Ишлинским [40], имеющая важные приложения в гироскопической технике и инерциальной навигации, достаточно просто обобщается с помощью принципа перенесения Котельникова- Штуди на пространственное неголономное движение твердого тела. Другими примерами эффективного применения принципа перенесения Котельникова-Штуди являются
геометрические задачи пространственных механизмов, роботов- манипуляторов [2, 3, 29, 30, 67, 89, 90];
задачи построения аналитических решений кинематических уравнений движения свободного твердого тела [129], алгоритмов навигации и оценок их методических и инструментальных погрешностей [65, 132, 140], задача устойчивости решений кинематических уравнений [134];
кинематические задачи оптимального управления винтовым движением твердого тела [73, 112], задачи наведения и кинематического стабилизирующего (с использованием принципа обратной связи) управления пространственным движением твердого тела, обобщающие задачи кинематического управления угловым движением твердого тела [15-17, 86, 101, 148, 149];
новый метод решения обратных задач кинематики роботов-манипуляторов [159], основанный на использовании бикватернионной тео-
рии кинематического стабилизирующего управления пространственным движением твердого тела и др.
Кватернион — гиперкомплексное число вида
OL = ао —Е а 1 £ 1 + Q2/2 + аз1з = ао + CYV,
где ао, ai, а2, аз — действительные числа, называемые элементами или компонентами кватерниона; ц, /2, <з — векторные мнимые единицы Гамильтона; ао, otv — скалярная и векторная части кватерниона.
Параболический бикватернион — гиперкомплексное число вида
А = Ао + Ai zi + А2/2 + Ag/g = Ао + Ау,
Kj = а^ + sa°p j = 0, 1,2, 3, s2 = О,
где а^ а? — действительные числа, s — множитель (символ) Клиффорда (скалярная дуальная единица); Aj — компоненты бикватерниона (дуальные числа); Ао, Av — скалярная и винтовая части бикватерниона.
Кватернионам соответствуют кватернионные матрицы двух видов:
/ «0 —«1 —«2 —а3 \
/ ао -<^1
—а2 -
-аз \
тп (1 —
ai ао
аз -
”6^2 1
11 L \ СЛ / —
а2 аз ао —ai 1'
6^2”6^3
ао
ai 1 ’
у аз — а2 ai с^о /
У с^з а2
—ai
ао /
а бикватернионам — бикватернионные матрицы М(А)
и ^(A)
анало-
гичной структуры.
Кватернионы были введены У. Р. Гамильтоном (ирландцем по происхождению) в 1843 г., им же были введены гиперболические бикватернионы (s2 = г2 = — 1). Идеи Гамильтона в области гиперкомплексных чисел были развиты английским математиком У. К. Клиффордом, введшим в рассмотрение помимо параболических (s2 = 0) эллиптические (s2 = +1) бикватернионы. Разработке теории бикватернионов и ее приложению к геометрии движения в конце XIX-го и в начале ХХ-го веков были посвящены труды немецкого ученого Е. Штуди и русского ученого А.П. Котельникова.
Кватернионы Гамильтона и параболические бикватернионы Клиффорда могут быть введены в классическую механику на основе теорем Эйлера и Шаля о конечном повороте и конечном пространственном перемещении твердого тела. В соответствии с этими теоремами вращательное (угловое) движение твердого тела может быть описано с помощью вектора конечного поворота, а произвольное пространственное движение — с помощью винта конечного перемещения. Уравнения и соотношения теории конечных перемещений и кинематики твердого тела принимают наиболее удобный вид, если в качестве переменных в случае вращательного движения использовать четыре действительных параметра Эйлера (Родрига-Гамильтона), а в случае общего пространственного движения — четыре дуальных параметра
Эйлера (Родрига-Гамильтона), которые однозначно связаны с проекциями вектора поворота и винта перемещения. Использование четырех параметров Эйлера в качестве скалярных кинематических параметров естественным образом приводит к введению в механику четырехмерных «векторных» кинематических параметров движения твердого тела: кватерниона конечного поворота (его компоненты — действительные параметры Эйлера) и бикватерниона конечного перемещения (его компоненты — дуальные параметры Эйлера), а также приводит к введению в механику кватернионных и бикватернионных матриц. При этом для решения задач механики может быть использован как математический аппарат алгебр Клиффорда, так и аппарат матричной алгебры и матричных дифференциальных уравнений.
С момента открытия кватернионов и бикватернионов и до 50-х годов прошлого века интерес к ним проявляли в основном математики и физики, механики использовали их (как А.П. Котельников) для изучения геометрии движения, и то крайне редко. Широкий интерес механиков и специалистов в области прикладной математики к кватернионам и бикватернионам возник с 60-х годов прошлого века в связи с созданием автономных высокоточных компьютизированных систем ориентации, навигации и управления движением различного рода движущихся объектов: космических аппаратов, ракет, самолетов, морских кораблей, роботов и манипуляторов, наземных движущихся экипажей. Это создание потребовало разработки новой теории навигации и управления движением, новых регулярных (не имеющих особых точек) моделей и алгоритмов управления движением, эффективно реализуемых в реальном масштабе времени на бортовых компьютерах. В настоящее время кватернионные модели и методы механики твердого тела здесь заняли прочное положение как теоретический аппарат, позволяющий наиболее эффективно решать многие задачи управления движением, в особенности, задачи определения ориентации и управления угловым движением.
Бикватернионные модели и методы механики твердого тела также находят все большее применение в задачах навигации и управления движением. Однако их использование в настоящее время в большей степени связано с задачами механики роботов-манипуляторов. Возникновение и развитие робототехники (а, до этого, теории пространственных механизмов и машин) привело к постановке многих новых сложных геометрических, кинематических и динамических задач механики твердого тела и систем твердых тел, для решения которых наиболее удобными и эффективными оказались винтовые методы теоретической механики, к которым относятся бикватернионные методы механики твердого тела. Бикватернионные методы имеют ряд преимуществ перед другими винтовыми методами, поэтому они нашли достаточно широкое применение в теории пространственных механизмов и в механике роботов-манипуляторов и имеют в этих областях в будущем хорошие перспективы. К другим перспективным приложениям кватернионных и
бикватернионных моделей и методов описания движения (помимо задач навигации и управления движением) относятся задачи оживления (анимации) пространственных образов на экране ЭВМ.
В настоящее время в научной литературе имеется большое количество работ, посвященных кватернионным и бикватернионным моделям и методам механики твердого тела и их отдельным приложениям, однако системное изложение этих моделей и методов с примерами решения задач из различных областей науки и техники в современной научной литературе отсутствует. Восполнить этот пробел в отношении геометрических и кинематических моделей и методов, хотя бы частично, — задача настоящей монографии. Монография предназначена для специалистов в области теоретической и прикладной механики, прикладной математики, навигации и управления движением, приборостроения, робототехники, машиностроения. Она может быть использована в качестве учебного пособия студентами, обучающимися по специальностям «Механика», «Прикладная математика», «Приборостроение», «Роботы и робототехнические системы» и специальностям, связанным с управлением движением.
В монографии
системно излагаются основные методы описания движения твердого тела, в том числе кватернионные и бикватернионные методы, использующие для описания движения гиперкомплексные переменные — кватернионы Гамильтона и бикватернионы Клиффорда — или кватернионные и бикватернионные матрицы;
приводятся основные сведения из алгебры кватернионов, теории винтов и бикватернионов;
рассматриваются различные математические методы преобразования координат;
излагается теория конечных поворотов и перемещений твердого тела;
рассматриваются дифференциальные кинематические уравнения движения твердого тела с одной неподвижной точкой и свободного твердого тела в различных вещественных, комплексных и дуальных кинематических параметрах, в том числе кватернионные, бикватернионные и винтовые кинематические уравнения;
приводится новое решение ряда задач теоретической механики. Изложение иллюстрируется конкретными примерами решения геометрических и кинематических задач механики твердого тела и систем твердых тел из таких областей науки и техники, как навигация и управление движением, механика космического полета, приборостроение, теория механизмов и машин, робототехника.
Отдельные главы посвящены использованию кватернионных и бикватернионных методов механики твердого тела для решения задач определения ориентации и навигации движущихся объектов в инерциальной, ортодромической и географической сопровождающих системах
координат с помощью бесплатформенных инерциальных навигационных систем, кинематических задач управления движением твердого тела, задач управления ориентацией орбиты космического аппарата, кинематики роботов-манипуляторов, геометрических и кинематических задач платформенного комплекса «Манипулятор — трехосная стабилизированная платформа» космического проекта «Марс-94».
При изложении бикватернионных и других винтовых методов механики твердого тела и их приложений широко используется принцип перенесения Котельникова-Штуди. Основное внимание уделяется геометрическим и кинематическим кватернионным и бикватернионным моделям и методам механики твердого тела, относящимся к успешно развивающимся в последние годы современным моделям и методам теоретической механики, и их приложениям, однако достаточно широко освещены и другие, наиболее часто используемые модели и методы описания движения и их приложения.
Монография состоит из одиннадцати глав.
В первой главе рассматриваются основные кинематические параметры, матрицы и гиперкомплексные числа (кватернионы Гамильтона и бикватернионы Клиффорда), используемые для описания движения твердого тела, описываются их свойства, анализируются достоинства и недостатки; излагаются основные сведения из алгебры кватернионов, теории винтов и бикватернионов; формулируется принцип перенесения Котельникова-Штуди.
Во второй главе выводятся векторная и винтовая формулы конечного поворота и конечного перемещения твердого тела, рассматриваются различные методы преобразования координат и координатных базисов, включая кватернионные и бикватернионные методы, изучаются связи между различными кинематическими параметрами.
В третьей главе рассматриваются векторные и винтовые, кватернионные и бикватернионные, а также различные матричные формулы сложения конечных поворотов и перемещений твердого тела; приводится решение отдельных задач теории конечных перемещений твердого тела, имеющих важные приложения.
В четвертой главе приводится новое решение ряда геометрических задач теории гироскопических систем, навигации, управления движением, механики космического полета, робототехники. Для решения задач используются кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела.
В пятой главе рассматриваются основы теории вращательного движения твердого тела. Излагаются известные и новые кинематические уравнения углового движения твердого тела в различных кинематических параметрах, анализируются их достоинства и недостатки. Рассматривается устойчивость решений кинематических уравнений. Исследуется проблема Дарбу.
В шестой главе рассматриваются кинематические уравнения движения свободного твердого тела в различных дуальных кинематических параметрах. Рассматриваются частные случаи интегрируемости кинематических уравнений в дуальных параметрах Эйлера. Излагается новая концепция теории устойчивости и управления движением твердого тела. Исследуется устойчивость решений кинематических уравнений. Рассматриваются теорема Гамильтона-Ишлинского о телесном угле и ее обобщение на неголономное пространственное движение твердого тела.
В седьмой главе исследуется задача определения ориентации движущегося объекта, рассматриваемого как твердое тело, в инерциальной системе координат по мгновенной или интегральной информации об угловом движении объекта (по известным (измеренным) проекциям вектора его абсолютной угловой скорости на связанные координатные оси или приращениям интегралов от них).
В восьмой главе исследуются (с использованием принципа перенесения Котельникова-Штуди) задачи определения ориентации и местоположения твердого тела в инерциальной и в произвольно перемещающейся системах координат, решаемые посредством интегрирования кинематических уравнений винтового движения в дуальных параметрах Эйлера и в параметрах винтового движения по мгновенной или интегральной информации о вращательном и поступательном движениях тела.
В девятой главе рассматриваются задачи инерциальной ориентации и навигации движущихся объектов в ортодромической и географической опорных системах координат, решаемые с помощью бесплатфор- менной инерциальной навигационной системы (БИНС). Предлагаются уравнения и алгоритмы функционирования БИНС, использующие в качестве промежуточных кинематических параметров, характеризующих ориентацию объекта, параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона).
В десятой главе разрабатывается теория кинематического управления угловым движением твердого тела, использующая кватернионные модели углового движения тела. Рассматриваются новые кватернионные решения кинематической задачи оптимальной нелинейной стабилизации углового движения твердого тела и задачи переориентации орбиты космического аппарата.
В одиннадцатой главе рассматриваются модели и алгоритмы решения задач определения ориентации, программного управления, наведения и юстировки комплекса «Манипулятор — трехосная стабилизированная платформа» космического проекта «Марс-94».
При написании монографии были использованы работы А.П. Котельникова [51-54] (пункт 1.5.5), Ф.М. Диментберга [29, 30] (пункты 1.5.1-1.5.4, и параграф 3.1), Н.П. Бухгольца [23] (пункт 1.6.1 и параграф 5.1), А.П. Лурье [71] (пункты 2.1.1, 4.2.2), В.Н. Бранеца и И.П. Шмыглевского [17] (параграф 1.4), А.Ю. Ишлинского [44]
(пункты 4.2.1, 6.9.1), а также работы автора и его коллег. Параграфы 4.6-4.8 написаны совместно с Н.Ф. Перковым. Отметим также, что параметры Родрига-Гамильтона (Эйлера), Кейли-Клейна, кватернионы, дуальные числа, бикватернионы и их отдельные приложения в задачах теоретической и прикладной механики, навигации и управления движением рассматриваются в книгах [20, 26, 28, 35, 46, 47, 49, 58, 60, 61, 66, 67, 73, 83, 87, 117].
Автор выражает глубокую благодарность профессору Петру Коле- стратовичу Плотникову, под влиянием которого в аспирантские годы возник интерес автора к проблематике книги, академику Виктору Филипповичу Журавлеву — за многие ценные замечания, советы и поддержку идеи в издании книги, своей жене Людмиле Александровне Челноковой — за огромную работу по оформлению рукописи и проведение численного решения ряда задач. Автор благодарен Российскому фонду фундаментальных исследований за финансовую поддержку публикации этой книги (грант №05-01-14038).