ПРЕДИСЛОВИЕ

Механика в СССР пришла к своему пятидесятилетию с фундаментальными результатами. Сейчас для всех очевидны и общепризнаны советские достижения в авиации, ракетной технике и в ряде других областей промышленности, транспорта и строительства. Эти успехи и особенно выдающиеся успехи в области космических полетов стали возможны благодаря высокому уровню теоретических исследований по механике и наличию в нашей стране большого числа талантливых высококвалифицированных кадров.

Механика, как известно, определяет значительную часть теоретических основ в большинстве отраслей техники. Вместе с развитием техники расширяется и сфера разнообразных приложений механики, возрастает ее значение для дальнейшего прогресса, для осуществления важнейших задач, стоящих перед народным хозяйством нашей страны. В связи с этим особую важность приобретает подведение итогов и анализ современных путей развития механики.

Настоящий сборник был задуман как серия обзоров по актуальным разделам современной механики, включая основную проблематику общей механики, механики жидкости и газа и механики деформируемого твердого тела. В обзорах должно было быть освещено в широком плане развитие рассматриваемых областей механики в СССР за 50 лет с указанием места советских достижений в мировой науке, а также дан критический анализ современного состояния и рассмотрены перспективы дальнейшего развития науки.

Перед авторами обзоров была поставлена задача дать читателю представление о современном положении в механике и о плодотворных и нужных направлениях научной работы. Хотелось, чтобы обзоры послужили основой для ориентировки научной общественности, стимулом для концентрации сил, организации и постановки научных исследований в этих направлениях, а также для правильного подхода к вопросам преподавания механики в вузах.

Хотя перед всем авторским коллективом сборника была поставлена единая задача, отдельные обзоры оказались построенными по-разному. Все они носят более или менее яркий отпечаток индивидуальных интересов и вкусов их авторов, что, конечно, вполне естественно, когда в сборнике участвуют высококвалифицированные специалисты, сами внесшие значительный вклад в те отделы науки, о которых они пишут.

Не все разделы механики освещены в настоящем сборнике равномерно, и в этом смысле он не предназначен заменить собой энциклопедию достижений механики в СССР. Читатель не найдет здесь обзоров по ряду классических разделов механики, вполне сложившихся в первой половине века и мало развивающихся в настоящее время. Так, напримерт

в сборнике нет специальной статьи по аэродинамике крыла в дозвуковом потоке, хотя в этой области советскими учеными были получены в 30-х и 40-х годах выдающиеся результаты. По разным причинам в сборнике отсутствуют обзоры и по отдельным специальным актуальным проблемам механики. Рассчитанный главным образом на теоретиков, сборник не содержит также сколь бы то ни было полного обозрения экспериментал ь ных исследований, осуществленных в СССР.

Следует также иметь в виду, что настоящий сборник не является- продолжением предыдущих юбилейных изданий, подводивших итоги развития механики в СССР за 15 и 30 лет, и составлен независимо от них и от других сборников, содержащих обзоры по различным разделам механики ).

В качестве справочного материала, претендующего на известную полноту, можно рассматривать только библиографию работ по механикет изданных в СССР в 1917——1967 гг., которая составит последний том серии.

Ряд статей настоящего сборника представляет собой в той ил区 иной степени переработанные и дополненные тексты обзорных докладов, зачитанных на III Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (январь — февраль 1968 г.).

ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ

МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА В ТЕОРИИУСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ

В. РУМЯНЦЕВ

Введение 7

Сущность понятия устойчивости по Ляпунову 12

Постулат устойчивости 14

Теоремы Четаева о неустойчивости 16

Теоремы существования функций Ляпунова 18

Некоторые обобщения и модификации основных теорем метода функций Ляпунова 21

Применение второго метода Ляпунова в проблемах устойчивости сплошных сред 30

Методы построения функций Ляпунова и некоторые задачи об устойчивости 34

Консервативные,гироскопические и диссипативные системы . . .34

Неустановившиесядвижения.. 40

Устойчивость систем автоматического регулирования 43

Об устойчивости движения по первому приближению 46

Устойчивость при постояннодействующих возмущениях 51

Исследование устойчивости вкритических случаях 55

Об устойчивости движения наконечном интервале времени 61

Введение

Хотя теория устойчивости движения является одним из' разделов динамики ——науки о действительных равновесиях и движениях материальных систем, она сформировалась как таковая сравнительно недавно и значительно позже остальных разделов динамики.

Как известно, еще Г. Галилей и И. Ньютон открыли начала динамики и доказали их достоверность опытами над падением тяжелых тел и объяснением движения планет; Ж. Л. Лагранж создал общий метод решения задач динамики. Было, однако, замечено, что не каждое состояние механической системы, отвечающее математически строгому решению уравнений движения или равновесия, наблюдается на самом деле. Это объясняется тем, что в действительности всегда существуют неучитываемые в уравнениях движения малые силы и незначительные отклонения в начальном состоянии материальной системы, которые и возмущают равновесия или движения. Движения, мало изменяющиеся при возмущениях , были названы устойчивыми, а прочие -г неустойчивыми. Таким образом, для выяснения действительной осуществимости движений из числа всех теоретически возможных необходимо было иметь

принцип выбора устойчивых движений. Такого общего принципа в динамике не было дано — она приняла характер науки об идеализированных системах и для своего строгого применения к нашей природе принципиально каждый раз требует решения задач устойчивости (Н. Г. Четаевт 1946), имеющих, таким образом, важное теоретическое и прикладное значение. Лишь в статике существовал принцип Торричелли, согласно которому в системе тяжелых тел, находящихся в равновесии, центр тяжести занимает относительно наиболее низкое положение из всех возможных. Лагранж обобщил этот принцип, доказав теорему об устойчивости изолированного положения равновесия материальной системыг когда силовая функция действующих на систему сил имеет максимум в этом положении. Э. Дж. Раус разработал метод игнорирования циклических координат, что позволило ему путем обобщения теоремы Лагранжа найти критерий устойчивости стационарных движений. Между тем, задачей устойчивости занимались многие ученые и среди них такие выдающиеся механики, как В. Томсон (лорд Кельвин), Н. Е. Жуковский, А. Пуанкаре. Общую задачу об устойчивости движений для систем с конечным числом степеней свободы удалось решить лишь А. М. Ляпунову в его знаменитом сочинении《Общая задача об устойчивости движения» (1892; Собр. соч., т. 2, 1956). .

Метод, которым до Ляпунова обыкновенно пользовались при исследовании устойчивости, состоял в замене первоначальных уравнений возмущенного движения системы линейными уравнениями, получаемыми из исходных отбрасыванием всех членов выше первого порядка малости относительно переменных.

Однако, как отметил Ляпунов, законность такого упрощения априори ничем не оправдывается, ибо дело приводится к замене рассматриваемой задачи другой, с которой она может не находиться ни в какой связи. Учет членов второго и более высоких порядков малости в уравнениях возмущенного движения, что цытались делать некоторые исследователи (например, Раус), не давал новых оснований для строгих заключений об устойчивости. Единственная попытка строгого решения принадлежала Пуанкаре, который рассматривал устойчивость для случая систем дифференциальных уравнений второго и отчасти третьего порядков.

А. М. Ляпунов дал математически строгое общее определение устойчивости движения по отношению к некоторым данным непрерывным функциям Qg времени 力 координат 史 и скоростей д； системы, обобщившее многочисленные определения устойчивости, существовавшие ранее. В частности, выбирая надлежащим образом функции Q$, в ляпуновское определение устойчивости можно включить определение орбитальной устойчивости, исследовавшейся в первом приближении Н. Е. Жуковским. Для невозмущенного движения функции Qs обращаются в некоторые известные функции Fs времени 力.Решение вопроса об устойчивости Ляпунов приводит к исследованию дифференциальных уравнений возмущенного движения

(1-1>(1-1>* = Х$(/, . • ., 2“，力)(8=1, . . ., п).

(1-1>

(1-1>

которым удовлетворяют разности %$ = Q$ — Fs, причем предполагается^ что в области

п

力》力о, 2 ^1<Я (Я = const >0)(1.2)

8=1

функции Xs (х1т ..., хп, t) являются голоморфным^ функциями величин %九...,хп с коэффициентами, представляющими собой известные ограниченные -функции времени.-

Каковы бы ни были функции QS1 по отношению к которым исследуется вопрос об устойчивости, определение устойчивости Ляпунова в переменных g можно перефразировать следующим образом.

Определение 1. Если при всяком произвольно задаваемом числе- Л > О (Л < Н), как бы мало оно ни было, может быть выбрано такое положительное число %, что при всяких возмущениях xs0, удовлетворяю- щих условию

玄嗚С儿(1-3>

и при всяком 力》力о выполняете я не равенство

2^<л,(1.4)

8=1

то невозмущенное движение устойчиво; в противном случае оно неустойчиво.

Кроме того, примем следующее

Определение 2. Если при выполнении условий (1.3) и (1.4). выполняется также условие

п

2 ^s—>0при力一>оо,(1.5}

8=1

то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

Ляпуной в своем труде предложил два метода решения задач устойчивости.

К первому методу ) относятся все те способы решения, которые приводят к непосредственному исследованию возмущенного движения и в основании которых поэтому лежит разыскание общих или частных решений дифференциальных уравнений (1.1). Эти решения приходится, вообще говоря, искать под видом бесконечных рядов по целым положительным степеням произвольных постоянных или рядов другого характера.

Второй метод основывается на принципах, не зависящих от разыскания каких-либо решений уравнений возмущенного движения: он Ьостоит в построении некоторых непрерывных однозначных функций V (х,力} переменных %$ и времени 力 обращающихся в нуль при %$ = 0 и удовлетворяющих определенным условиям. По признанию Ляпунова, на этот метод его натолкнуло изучение работы А. Пуанкаре «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» (1881——1885; русский перевод: М.——Л., 1947). Основания второго метода выражены в данных Ляпуновым следующих четырех теоремах.

I. Теорема о б устойчивости. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковыу что возможно найти знак。-, определенную функцию У, производная которой Р‘ в силу этих уравнений была бы или знакопостоянной функцией противоположного знака с V или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво *

г； II. Теорема о б асимптотической устойчив о - с т'и. Если функция У, удовлетворяя условиям теоремы об устойчивости

допускает бесконечно малый высший предел у а производная ее Vf представляет знакоопределенную функцию, то всякое возмущенное движениеЛ достаточно близкое к невозмущенному, будет приближаться к нему асимптотически.

IIL Первая теорема о неустойчивости. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковыу что возможно найти функцию V, которая обладала бы в силу этих уравнений знакоопределенной производной У, притом допускала бы бесконечно малый выс^ ший предел и была бы такова^ что при всяком t, большем некоторого предела^ надлежащим выбором величин %$, численно насколько угодно малых, ее можно было бы сделать величиной одинакового знака с ее производной^—— то невозмущенное движение неустойчиво,

IV. Вторая теорема о неустойчивости. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы у что возможно найти ограниченную функцию V, производная которой е силу этих уравнений приводилась бы к виду

『匸九口 + W, (1.6)

где % ——положительная постоянная^ a W или тождественно равна нулю или представляет некоторую знакопостоянную функцию ^ и если в последнем случае функция V такова^ что при всяком 力 большем некоторого предела, надлежащим выбором величин х5, численно насколько угодно малых ее можно сделать величиной одинакового знака с W9 то невозмущенное движение неустойчиво.

Для краткости будем ссылаться на эти тегбремы Ляпунова по их номерам (теоремы I—IV).

Из теоремы I, как следствие, можно получить теорему Рауса, а также теорему Лагранжа.

Отметим, как подчеркнул Н. Г, Четаев, что теорему Ляпунова об устойчивости можно рассматривать в механике как принцип отбора движений, устойчивых при возмущении начальных данных.

Пользуясь своим вторым методом, А. М. Ляпунов решил задачу об устойчивости по первому приближению, независимо от членов выше первого порядка в функциях Х$; в решении этой задачи он видел свое главное достижение. Случаи, когда первое приближение не решает вопроса об устойчивости, названы Ляпуновым критическими. В некоторых из критических случаев установившихся движений, а именно, в случаях одного нулевого корня, пары чисто мнимых корней и двух нулевых корней характеристического уравнения, а также в некоторых случаях периодических движений Ляпунов дал решение задачи об устойчивости. В замечательной работе Ляпунова общая теория дифференциальных уравнений получила существенное развитие.

Ляпунов интересовался также вопросом об устойчивости движения жидкости. В своей магистерской диссертации (1884; Собр. сои., т. 3, 1959) он исследовал важный для космогонии вопрос об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости, теоретически найденных К. Маклореном и К. Г. Я. Якоби. К этому вопросу он снова вернулся в 1908 г. Исследованиями Ляпунова было выяснено, что следует понимать под устойчивостью формы равновесия жидкости и как решать эту задачу об устойчивости с помощью интеграла энергии. Ляпунов дал строгое определение устойчивости формы равновесия жидкости и установил теорему, сводящую вопрос об устойчивости к решению задачи минимума некоторого функционала.

Надо, однако, сказать, что работы Ляпунова опередили свое время. При жизни у него почти не было продолжателей в области теории устойчивости. И лишь после Великой Октябрьской социалистической революции, когда в ходе социалистического строительства в нашей стране началось бурное развитие науки и техники и выросли новые кадры ученых, появились многочисленные продолжатели дела Ляпунова, идейные наследники и ученики. Его «Общая задача об устойчивости движения» стала настольной книгой специалистов, на которой воспитывались и росли советские ученые, обогатившие теорию устойчивости движения новыми важными результатами и создавшие эффективные методы решения прикладных задач.

В начале тридцатых годов возникла Казанская школа механиков, в трудах которых особенно большое развитие получил второй метод Ляпунова. Затем в Москве, Ленинграде, Киеве, а позднее в Свердловске, Алма-Ате, Горьком, Одессе, Минске и многих других городах возникли и стали интенсивно работать группы специалистов в области теории устойчивости движения. Особенно интенсивное развитие теории устойчивости наступило в послевоенные годы, когда проблемой устойчивости заинтере- -совались многие математики и механики.

Советская научная литература по устойчивости чрезвычайно обширна и весьма богата результатами как в области развития теории, так л в области ее практических приложений (см. «А. М. Ляпунов. Библиография». Составила А・ М. Лукомская, под редакцией В. И. Смирнова, М・——Л., 1953). Разработка идей Ляпунова ведется по многим направле- зниям. Здесь надо отметить развитие и применение первого и, особенно, второго методов Ляпунова, установление новых теорем, расширяющих л углубляющих эти методы; анализ существования функций Ляпунова и их эффективного построения; исследования устойчивости по первому приближению и в критических случаях, а также при постоянно действу- допщх возмущениях; исследования устойчивости неустано вившихся и периодических движений, а также устойчивости на конечном интервале времени; развитие теории приводимых и правильных систем, а также качественной теории дифференциальных уравнений; распространение методов Ляпунова на механические системы, описываемые аппаратом, отличным от обыкновенных дифференциальных уравнений (в особенности на сплошные среды), и многие другие. В последние годы выяснилось, что метод функций Ляпунова можно с успехом применять и в получении оценок приближенных интегрирований, и в теории оптимального управления (см. обзор Н. Н・ Красовского в настоящем сборнике, стр. 179— 243), и в теории нелинейных колебаний и во многих других разделах науки. По теории устойчивости движения опубликован ряд прекрасных монографий.

Вслед за советскими учеными теорией устойчивости движения по Ляпунову и ее приложениями стали заниматься и зарубежные ученые; особенно большой размах эти исследования приняли в Чехословакид, США, Англии, Румынии, ГДР, Японии и некоторых других странах (см. в этой связи обзорный труд Л・ Чезари «Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений», 1959; русский перевод: М・，1964).

Цель настоящего очерка — дать обзор некоторых основных направлений в развитии и применении советскими учеными метода функций Ляпунова в теории устойчивости движения. Этот обзор ни в какой мере не лретендует на полноту в охвате всей обширной литературы по методу

функций Ляпунова, в связи с чем результаты многих авторов не нашли отражения или упоминания в очерке или освещены недостаточно полно. Так как обзор посвящен методу, а не задачам конкретного вида, то основной упор сделан на математические аспекты вопроса; почти совершенна не освещены результаты многочислеиных работ по приложению теории устойчивости к решению прикладных задач механики и техники. Автор надеется, что такая неполнота его очерка в известной мере оправдывается наличием ряда обстоятельных обзоров по вопросам устойчивости в сборниках «Механика в СССР за 15 лет», «Механика ■ в СССР за 30 лет»「 «Математика в СССР за 30 лет», «Математика в СССР за 40 лет» и в ряде обзорных докладов, опубликованных в «Трудах» I и II Всесоюзных съездов по механике и в «Трудах» международных конгрессов и всесоюзных конференций по автоматическому регулированию. Ряд этих обзоров был использован и при написании настоящего очерка, что в дальнейшем специально не отмечается.

Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность Н. Н. Красовскому и П. А. Кузьмину за чтение рукописи очерка и ценные замечания.

Сущность понятия устойчивости по Ляпунову

Работы А. М. Ляпунова по теории устойчивости нелегки для изучения, так как свои исследования он излагал в достаточно отвлеченной форме, за которой в значительной мере был скрыт физический аспект проблемы. Кроме того, проблеме устойчивости самой по себе присущи принципиальные трудности. В связи с этими обстоятельствами перед учеными, приступившими к изучению научного наследия Ляпунова и творческому развитию его идей и методов, стояли большие трудности и прежде всего в понимании сущности теории устойчивости по Ляпунову. Можно по-разному понимать эту теорию. Некоторые ученые, например, видели в ней лишь один из разделов качественной теории дифференциальных уравнений, далекий от практических приложений; другие рассматривали ее как раздел аналитической динамики, задача которога состоит не только в качественном изучении поведения интегральных кривых уравнений возмущенного движения, но и в) разработке методов получения тех или иных количественных оценок, интересующих практику.

Одним из первых, кто понял большое теоретическое и прикладное- значение теории устойчивости Ляпунова, был Н. Г. Четаев. В начале тридцатых годов он организовал в Казани семинар, на котором докладывались работы по устойчивости движения, аналитической механике и качественной теории дифференциальных уравнений. В работе семинара активное участие принимали М. Ш. Аминов, Г. В. Каменков, П. А. Кузьмин, И. Г. Малкин, К. П. Персидский и многие другие. Так образовалось ядро созданной Н. Г. Четаевым и ставшей впоследствии знаменитой? Казанской школы устойчивости, особенно прославившейся развитием- второго метода Ляпунова. Развитие науки и техники показало, насколько важно было предвидеть необходимость исследований в новой области механики, значение которой было тогда неясным, организовать начала этих исследований и привлечь к ним молодежь.

В настоящее время общепризнанным является следующее толкование понятия устойчивости по Ляпунову: 《В определении устойчивости Ляпунов использовал понятие числа, а не бесконечно малой величины. Поэтому существо понятия устойчивости по Ляпунову лежит не столько

в характере измененйя величин | Qs ——Fs | при стремлении возмущений Е力 £； к нулю ), сколько в оценках численных величин возмущений при заданных численных оценках разностей | Qs —— Fs | для устойчивого по отношению к функциям Qs невозмущенного движения» (Н. Г. Четаев, примечание в книге А. М. Ляпунова «Общая задача...... М.—Л., 1950, стр. 464).

Эта концепция позволяет с успехом применять ляпуновскую теорию устойчивости для решения многообразных прикладных задач. Такая возможность была отмечена Четаевым еще в начале тридцатых годов в его лекциях по устойчивости самолета (в этой связи см. Н. Г. Четаев, 1930, а также Е. П. Гроссман, 1935). Для прикладных задач имеет значение не только (и не столько) факт существования числа % > 0 по заданному числу А > 0, удовлетворяющих определению 1 устойчивости по Ляпунову, но и оценка этих чисел и проверка пригодности оценок в конкретных условиях задачи. Поэтому основными следует рассматривать те методы решения задач устойчивости, которые дают возможность получения указанных оценок. В этом смысле особенно эффективным оказывается второй метод Ляпунова.

Ляпунов не интересовался вопросом, сколь велико может быть значение % при заданном Л, хотя в доказательстве своей теоремы об устойчивости он дал практически полезный способ построения % для определенного, ограниченного сверху числа А с помощью функций V и W, фигурирующих в доказательстве теоремы I.

В определении 1 устойчивости предполагается неограниченное изменение времени t и отсутствие возмущающих сил. В развитых Ляпуновым методах исследования устойчивости эти ограничения в значительной степени могут быть сняты. Ряд новых задач устойчивости потребовал .некоторых дополнений и уточнений определения Ляпунова, многие из жоторых будут указаны ниже. В частности, для задач асимптотической устойчивости оказалось полезным введение понятия области притяжения in следующее уточнение определения 2.

Определение 3. Невозмущенное движение х = 0 устойчиво асимптотически и область G пространства {&} лежит в области притяжения точки х = 0, если наряду с выполнением условий определения 1 выполняются условия

limx(x0,力о, %) = 0 при 力一 8 (2.1)

/(&, %о, %)£Г при %》％。 (2.2)

для всех начальных данных х0 £ G. Здесь Г — некоторая определенная конкретными условиями задачи наперед заданная область.

Если в изучаемой конкретной системе начальные возмущения xs (%()) могут оказаться очень большими, то оказывается полезным

Определение 4. Невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым в целом, если это движение устойчиво и если условие (2.1) выполняется для любых начальных возмущений g (友)),как бы велики они ни были.

Сказанное выше об оценке результата с точки зрения пригодности решения при определенных конкретных условиях задачи показывает, что

принятая во многих работах классификация устойчивости на «локальную* устойчивость», «устойчивость в большом», «устойчивость в целом» и т. д. имеет условный смысл. Эти задачи следует рассматривать как конкретизацию для того или иного класса задач общей проблемы устойчивости (Н. Н. Красовский, 1959).

Постулат устойчивости

В тридцатых годах Н. Г. Четаев (1932, 1936) установил новый естественнонаучный принцип ——постулат устойчивости. Проблемы устойчивости он рассматривал в тесной связи с принципами механики и физики вообще, считая, что «устойчивость, явление принципиально общее, как-то должна... проявляться в основных законах природы». Глубокие корни того интересного факта, что, как он подметил, классические законы физики обладают известного рода устойчивостью, лежат, по мнению- Четаева, в способе, каким эти законы были найдены.

Приведем в этой связи несколько выдержек из статьи Н. Г. Четаева (1936). «К объяснению какого-либо механического явления природы сначала подходят с определенными гипотезами о коренных движущих силах, что позволяет для переменных xs изучаемой материальной системы писать- некоторые дифференциальные уравнения движения. В том случае, когда решения этих дифференциальных уравнений кладут значения изучаемых функций ①丸 вблизи их опытных данных (в пределах ошибок эксперимента), гипотезу принимают за закон природы, по крайней мере до тех пор, пока не обнаружатся в опыте новые и несовместимые с принятой гипотезой факты...

Но когда отклонения теории от эксперимента могут быть незначительны? ■

Всякий раз, когда мы подходим к объяснению тех или иных явлений природы, мы не должны забывать, что в действительности никакое явление не представляется в чистом виде. Сколь бы точно ни были определены действующие на систему силы, всегда будут существовать неучтенными незначительные возмущения. Эти последние, сколь бы малы они ни были, влияют на движение материальной системы и дают в эксперименте наблюдаемым функциям не теоретические значения ФА, а некоторые иные ——FA.

Согласно.... определению устойчивых и неустойчивых движений, в действительности общий характер будут сохранять, по крайней мере по отношению к функциям ФА, только устойчивые по отношению к ФА теоретические, не во змуще иные движения. Последнее обстоятельство отнюдь не означает, что все движения, определенные принятыми законами, являются устойчивыми при любых малых возмущающих силах и произвольно малых возмущениях начальных данных. Оно означает, что законы эти по основному требованию малых отклонений от опщтных данных сами по себе не могут опираться ни на что иное, как на движения, устойчивые в той или иной мере по отношению к наблюдаемым функциям ФА».

Это предложение, являющееся следствием определения устойчивых невозмущенных движений и требования малых отклонений между теорией и экспериментом и относящееся более к структуре нашего научного знания, было названо Четаевым постулатом устойчивости. Применение постулата устойчивости приводит к важным результатам. Рассматривая консервативную голономную систему, Четаев нашел, что для устойчивости невозмущенного неустановившегося движения при возмущении начальных данных необходимо, чтобы все характеристические числа решений

уравнений в вариациях были нулями. Это приводит к уравнению 乙=工訪(g"瑞■)=@(3•今

где V (gi, ..., qn, a^ ..., an) —— полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Если допустить, далее, что на систему, помимо учитываемых в теории движущих сил с силовой функцией Uo, действуют также малые возмущающие силы с силовой функцией W, нам неизвестной, и вместо функции V ввести новую функцию 屮，определенную равенством

^p = A exp ikV,

где А——некоторая функция gt, выбранная определенным образом, к = const, то из равенства (3.1) можно получить условие устойчивости вида

2 哥(g"器)+2/(a +方)屮=0,(3.2)

где 诊 ——постоянная интеграла энергии. При этом предполагается, что возмущающие силы имеют структуру, определенную равенством

W== 1Аа > * (g幫訪)•(3・3)

Дифференциальное уравнение в частных производных (3.2) допускает однозначное конечное и непрерывное решение 屮，вообще говоря, не для любого значения 无，а только для некоторых. А это означает, что устойчивость действительных движений системы может иметь место лишь для значений постоянной 无 интеграла энергии, совпадающих с собственными значениями постоянной 无 уравнения (3.2). Для свободной материальной точки при определенных условиях уравнение (3.2) принимает вид уравнения Шредингера

厶屮 + 2A2m (UQ + 无)屮=0.(3.4)

Таким образом, правило отбора устойчивых движений точки, вытекающее из постулата устойчивости, совпадает с правилами квантования.

Н. Г. Четаев проиллюстрировал (1936) постулат устойчивости на конкретных законах природы (закон Гука, законы Кеплера, второй закон термодинамики).

Позже (I960) Четаев подчеркивал, что в строгой установившейся теории реальные возмущающие силы не должны делать неустойчивыми хорошо наблюдаемые невозмущенные устойчивые равновесия или движения механической системы. В частности, Четаев пришел к заключению, что «малые диссипативные силы с полной диссипацией, всегда реально существующие в нашей природе, являются гарантийным силовым барьером, делающим пренебрежимыми влияния нелинейных возмущающих сил» на движения консервативных систем.

В 1945 г., исходя из инварианта Пуанкаре, Четаев доказал, что если невозмущенное движение консервативной системы устойчиво, то решения уравнений в вариациях имеют все характеристичные числа равными нулю, уравнения в вариациях являются при этом приводимыми и имеют знакоопределенный квадратичный интеграл. Эта фундаментальная теорема Четаева обобщает теорему Лагранжа для равновесий и теорему Пуанкаре ——Ляпунова для периодических движений.

Эта теорема позволяет сделать вывод, что для устойчивого невозмущенного движения консервативной голономной системы в соответствующих переменных бесконечно малые возмущенные движения системы аналогичны движениям вблизи устойчивого положения равновесия консервативной голономной системы. Тем самым выявляется колебательный, волновой характер движения механических систем вблизи их устойчивых ведущих движений. Отсюда следует, что задача Коши о развитии открытой Гамильтоном аналогии между динамикой консервативных механических систем и оптикой Гюйгенса тесно связана с некоторой задачей об устойчивости движения. Если существует аналогия между динамикой и математической теорией света Коши, то эту аналогию следует искать в возмущенных движениях вблизи устойчивых движений голономных консервативных систем.

Такая аналогия, действительно, была найдена Н. Г. Четаевым (1958, I960), однако ее изложение выходит за рамки данного очерка,

Теоремы Четаева о неустойчивости

Первый, после А. М. Ляпунова, существенный вклад в развитие метода функций Ляпунова был сделан Н. Г. Четаевым. Работая над знаменитой проблемой обращения теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия, Четаев (1930) сначала установил для автономных систем одну теорему о неустойчивости, в которой наряду с первой производной функции V рассматривается также вторая производная Р".

Модифицируя и обобщая эту теорему, Четаев (1934) установил теорему о неустойчивости с двумя функциями.

Теорема 1. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы^ что

для некоторой допускающей бесконечно малый высший предел функции V существует областьt где VVf > 0, и

для некоторых значений величин /$, численно сколь угодно малых9 6 этой области (РР/ > 0) возможно выделить область, в которой некоторая функция W > 0, на границе W = 0 значения полной производной по времени Wf суть одного какого-либо определенного знака,

то невозмущенное движение неустойчиво.

Следует при этом иметь в виду, что при решении вопросов о неустойчивости целесообразно рассматривать интервал изменения времени [力о, оо ] замкнутым, и существование некоторой области Р > 0 понимается как ее непустота ни для какого t на рассматриваемом замкнутом интервале изменения времени (Н. Г. Четаев, 1938).

Следствие. Если рассматриваемая е теореме область VVf > 0 ограничена поверхностью У = 0 и при этом Р'》0, то за функцию W теоремы возможно взять К

В дальнейшем Четаев (1946) сформулировал теорему о неустойчивости с одной функцией.

Теорема 2. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы^ что возможно найти функцию У, ограниченную в области Р > 0, существующей при всяком t^t0 и для сколь угодно малых по абсолютной величине значений переменных х5, производная которой Р' в силу этих уравнений была бы определенно-положительной в области Р > 0, то невозмущенное движение неустойчиво.

Теоремы III и IV Ляпунова весьма просто получаются из теоремы 2 Четаева. Эта формулировка теоремы о неустойчивости получила наиболь-

шее распространение; впоследствии было выяснено (Н. Н. Красовский, 1959), что ее, как и теорему IV Ляпунова, можно рассматривать как общий универсальный критерий неустойчивости.

В основе теорем 1—2 лежит простая мысль о том, что для того, чтобы доказать неустойчивость невозмущенного движения, достаточно обнаружить всего одну траекторию, выходящую за заданную область (1.4) ири сколь угодно малых х5 0-

Теоремы Четаева о неустойчивости сыграли большую роль в успешном решении ряда проблем, в частности, при решении задачи об устойчивости в критических случаях, а также при решении конкретных механических задач. Пользуясь своими теоремами, Четаев дал решение проблемы обращения теоремы Лагранжа.

Под обращением теоремы Лагранжа понимается доказательство неустойчивости положения равновесия консервативной системы, если для него силовая функция U не имеет максимума. Эта задача до исследований Четаева была решена Ляпуновым лишь для следующих двух частных случаев: 1) в положении равновесия U имеет изолированный минимум, и это обнаруживается из рассмотрения совокупности членов наинизшего порядка в разложении этой функции по степеням приращения координат; 2) отсутствие максимума силовой функции обнаруживается по членам второго порядка в разложении U в указанный ряд. П. Пенлеве показал на примере, что ставить задачу обращения теоремы Лагранжа имеет смысл лишь для изолированных положений равновесия.

Первое решение задачи обращения теоремы Лагранжа было дано Четаевым (1930) с помощью его теоремы о неустойчивости с У", Предположив, что функция U голоморфна и не имеет максимума в положении равновесия, .взяв функцию V = 1/2?72 и опираясь на теорию характеристик Кронекера, он показал, что в области С, где Vf > 0, функция V№ удовлетворяет условию 2° теоремы, что и доказывает неустойчивость положения равновесия.

Сложность этого решения побудила автора искать более простое решение задачи. Используя свою теорему 1, он дал простое доказательство обращения теоремы Лагранжа для случая, когда силовая функция U = Um есть однородная форма степени m (1934), а также для случая, когда силовая функция U = Um + Um+i + . . . есть целая, начинающаяся с членов m-го порядка, если в рассматриваемой области знак выражений U и mUm + (m + 1) Um+i + • • • определяется наинизшей формой Um и наинизшая форма Um степени m для численно сколь угодно малых значений переменных может принимать положительные значения (1938). В 1938 г. Четаеву удалось дать также новое по сравнению с работой 1930 г. доказательство обращения теоремы Лагранжа для общего случая, когда силовая функция U является аналитической функцией и не имеет максимума в рассматриваемом изолированном положении равновесия. Заменяя систему обыкновенных дифференциальных уравнений возмущенного движения одним дифференциальным уравнением- б частных производных Гамильтона —— Якоби и используя известную теорему Якоби, автор показал, что при указанных условиях полный интеграл

^^(91, Qni 无，(Хдт)

уравнения Гамильтона ——Якоби удовлетворяет условиям теоремы о неустойчивости, что и доказывает обращение теоремы Лагранжа для наиболее широкого класса случаев.

2 Механика в СССР, том 1

Наконец, Н. Г. Четаев (1952) дал элементарные доказательства обращения теоремы Лагранжа для ряда других частных случаев. Приведем наиболее общий среди нй^^ Пусть

для численно сколь угодно малых значений qs существует область С、 в которой U > 0;

существуют некоторые непрерывные в С вместе с частными производными первого порядка функции /5 (д^, . . ., д^), уничтожающиеся> когда все переменные равны нулю, причем все главные диагональные миноры функционального определителя

ограничены снизу положительными числами в области С;

функция »aUiaq$& определенно-положительна в области С.

В этом случае положение равновесия неустойчиво.

Недавно В. Т. Койтер (1965) показал, что в случае, когда потенциальная энергия системы не имеет минимума, причем ее вторая вариация постоянно-положительна (с одним равным нулю коэффициентом устойчивости), можно ввести преобразование координат так, что будут выполнены указанные требования 1° — 3° Четаева.

Теоремы существования функций Ляпунова

Важным для обоснования универсальности метода функций Ляпунова является вопрос об обратимости основных теорем, лежащих в основе этого метода. Действительно, если вторым методом Ляпунова пользоваться как основным при решении задач устойчивости, то должна быть уверенность, что соответствующие функции в самом деле существуют. Сам А. М. Ляпунов не рассматривал вопроса о существовании в общем случае функций, удовлетворяющих его основным теоремам. Этот вопрос впервые был поставлен Н. Г. Четаевым перед участниками его семинара по устойчивости в Казани и к настоящему времени разрешен трудами ряда советских и иностранных ученых. Первой работой в этой области была статья И. Г. Малкина (1930), в которой рассматривались автономные системы второго порядка. Было показано, что для устойчивого установившегося невозмущенного движения может не существовать знакоопределенной не зависящей от времени функции, производная которой в силу уравнений возмущенного движения была бы знакопостоянной противоположного знака; однако можно найти такую функцию, зависящую явно от времени.

Обратимость теоремы I Ляпунова для общего случая была установлена К. П. Персидским (1938). Он доказал, что если невозмущенное движение устойчиво, то всегда существует знакоопределенная функция V (х, %), производная которой Р‘ в силу уравнений возмущенного движения является знакопостоянной функцией противоположного знака с У или тождественно равной нулю. Это доказательство дано в предположении, что правые части уравнений (1.1)—— функции Х8 (力丄,.. xn, t)——определены и непрерывны в области (1.2) и имеют в этой области непрерывные частные производные dXs!dxr (s, г = 1, . . ., п). При этом оказывается, что функция V (х, t) существует и непрерывна в области

2 ^1 < Яо< Я (0<^ С оо)(5.1)

и имеет в этой области непрерывные частные производные.

Однако в общем случае здесь не удается доказать существования функции V (х, £), имеющей равномерно ограниченные в области (5.1) частные производные dV!dxT. В случае периодических функий Xs (или функций Xs, не зависящих явно от времени %) нельзя также доказать существование периодической функции V (или функции V, не зависящей явно от /)・

Вопросы существования функции V (х, %), удовлетворяющей условиям теоремы II Ляпунова, рассматривались многими авторами. И. Г. Мал； кин (1931) показал обратимость этой теоремы для систем второго порядка с постоянными коэффициентами, а также установил (1935) достаточные условия существования функции Ляпунова для систем линейных уравнений с переменными коэффициентами. К. П. Персидский (1937) показал, что эти условия являются также и необходимыми. При этом предполагалось выполнение более жесткого требования, чем асимптотическая устойчивость, W именно, выполнение неравенства

(力扑)|V3e-a(i。)， (5.2)

где 5 и a ——некоторые не зависящие от t0 положительные постоянные.

X. Массера (Ann. Math., 1949, 50 : 3) подверг детальному анализу теоремы I и II Ляпунова. Он доказал существование непрерывно дифференцируемой функции V (х, t) в окрестности асимптотически устойчивого невозмущенного движения в случае периодических по времени или не зависящих от времени непрерывно дифференцируемых функций Xs в правых частях уравнений (1.1). Для случая установившихся движений Е. А. Барбашин (1950) доказал существование функции V (х), имеющей непрерывные частные производные до т-го порядка включительно, при условии, что функции Xs (х) также имеют непрерывные частные производные до т-го порядка включительно (т>1). И. Г. Малкин (1954) дал необходимые и достаточные условия существования непрерывно дифференцируемой функции V (х, %) при непрерывно дифференцируемых функциях Xs (х, %). Е. А. Барбашин и Н. Н. Красовский (1952, 1954) указали условия существованйя функции V (х, %) во всем фазовом пространстве в случае устойчивости в целом (асимптотическая устойчивость решения х = 0, когда область притяжения G совпадает со всем пространством). Наконец, Я. Курцвейль (Чехосл. матем. ж., 1956, 6 : 2 и 4) и X. Массера (Ann. Math., 1956, 64 : 1; русский перевод в сб； перев. «Математика», 1957, 1 :4) доказали существование сколь угодно гладких функций 卩(х, %) в предположении лишь непрерывности функций Xs (а, %).

Следует отметить, что из доказательства теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости следует, как это показал И. Г. Малкин (1954), что при условиях этой теоремы имеет место равномерная устойчивость по времени t0 и координатам х0 начальных возмущений в следующем смысле.

Определение 5. Решение % = 0 уравнений (1.1) называется асимптотически устойчивым равномерно по времени 方° и координатам начальных возмущений х0 из области G, если решение х = 0 устойчиво по Ляпунову и если для любого числа п > 0 можно указать такое число Т (п), что выполняется неравенство

3^(^о, io, 0<П при t^t0 + T(x\).

Оказалось, что равномерная асимптотическая устойчивость является не только необходимым, но и достаточным условием существования функций Ляпунова (Н. Н. Красовский, 1959).

■ Вопросами существования функций Ляпунова занимался также В. И. Зубов (1954——1955, 1957). В частности, ему удалось дать уравнение границы области асимптотической устойчивости и необходимое и достаточное условие устойчивости в целом.

Вопросы существования функций V (%, %), удовлетворяющих условиям теорем III и IV Ляпунова, решены Н. Н. Красовским (1954, 1956, 1959). Выяснилось, что теорема III обратима не всегда, а теорема IV всегда обратима. Именно, было доказано, что функция V (%, t) из теоремы III существует тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: 1) невозмущенное движение % == 0 неустойчиво; 2) существует такое число е > 0,что, каково бы ни было число п < е, можно указать такое число Т (哨 > 0, что % (%*) > € в некоторый момент времени | t* — —方° J V 7, если только £ > % (%。)》тр Здесь х = max (| g | , . t ., | %n | )・ Функция V Q, %) из теоремы IV существует во всех случаях неустойчивости.

Исследование вопроса о существовании функции V (х, t), удовлетворяющей условиям теоремы 2 Четаева о неустойчивости, проведено Н. Н. Красовским и И. Вркочем. Обращение теоремы .Четаева было доказано сначала Красовским (1954) для уравнений (1.1), правые части которых не зависят явно от времени, а для общего случая установлено Вркочем (Чехосл. матем. ж., 1955, 5 : 4) и Красовский (1956, 1959).

Основной вывод из результатов весьма большого числа исследований проблемы обращения основных теорем второго метода Ляпунова, из которых здесь упомянута лишь небольшая часть работ, сводится к следующему.

Характер поведения возмущенных движений, определенный той или иной функцией V из классических теорем I, II, IV Ляпунова и теоремы 2 Четаева, лежащих в основе метода функций Ляпунова, является не только необходимым, но и достаточным условием существования такой функции. При этом выяснилось, что свойства гладкости функций V могут быть намного выше, чем гладкость правых частей уравнений возмущенного движения (1.1) (Н. Н. Красовский, 1959, 1966).

Несомненно, решение проблемы существования функций Ляпунова связано с успехами качественной теории дифференциальных уравнений. В развитии последней большую роль сыграли работы В. В. Степанова и В. В. Немыцкого (1949) и их многочисленных учеников.

В работах Н. П. Еругина (1952, 1956) и его учеников (В. А. Плисса, А. П. Тузова, В. И. Зубова) разработан метод исследования устойчивости движения комбинированием метода функций Ляпунова с общими качественными методами дифференциальных уравнений. Этот метод с успехом применен для доказательства существования периодических, ограниченных и почти-периодических решений, а также для исследования устойчивости ддижения в целом (В. А. Плисс, 1953, 1958, 1961, 1964).

Следует отметить, что положительное решение вопроса о существовании функций.Ляпунова не только обосновало универсальность второго метода Ляпунова, но и позволило развить теорию устойчивости движений по первому приближению, при постоянно действующих возмущениях, при вариациях параметров, при наличии запаздываний и т. п. Это объясняется тем, то наличие функций Ляпунова обычно позволяет доказать сохранение соответствующих свойств при малых изменениях правых частей уравнений (1.1).

Гладкость функций V имеет значение в задачах устойчивости при возмущающих силах, где требуются вторые частные производные функ-^

ции V для обоснования сохранения устойчивости при периодических возмущающих силах высокой частоты (В. Е. Гермаидзе и Н. Н. Красовский, 1957).

К сожалению, предложенные доказательства обращения теорем метода функций Ляпунова в большинстве случаев являются достаточно сложными, использующими конструкции, содержащие интегралы от решений уравнений возмущенного движения. В связи с этим теоремы о существовании функций Ляпунова, как правило, мало полезны для эффективного построения функций Ляпунова в конкретных прикладных задачах. Вследствие этого задачу упрощения и большего конструктивизма доказательств теорем существования функций Ляпунова можно считать интересной и в дальнейшем.

Некоторые обобщения и модификации основных теоремметода функций Ляпунова

При решении вопросов обра!цения основных теорем метода функций Ляпунова было выяснено, что при условиях теорем I, II, IV Ляпунова и теоремы 2 о неустойчивости Четаева наряду с доказываемым свойством устойчивости имеют место некоторые дополнительные свойства (равномерность асимптотической устойчивости и др.). В связи с этим возник вопрос о том, как эти дополнительные свойства связаны с тем или иным ограничением, налагаемым на соответствующую функцию Ляпунова. Выяснение этого вопроса приводит к разнообразным обобщениям и модификациям основных теорем метода функций Ляпунова. Предложенные многими авторами обобщения и модификации выясняют связь свойств функций Ляпунова со свойствами траекторий (ослабление равномерности и т. д.), уточняют оценки качества устойчивости, облегчают построение функций V для конкретных задач путем ослабления требований к этим функциям и т. п.

Еще сам А. М. Ляпунов в одной из своих работ (Матем. сб., 1893; Собр. соч., т. 2, 1956) отметил, что можно рассматривать более общую по сравнению с определением 1 задачу об устойчивости невозмущенного движения по отношению не ко всем, а только к части переменных 力占... ...,%п, например, по отношению к величинам 力丄,..■., хт (т V п). Постановка этой задачи получается из предыдущей заменой условия (1.4) неравенством

2%?v4 (6.1)

Аналогично можно определить асимптотическую устойчивость по отношению к части переменных, заменяя в определении 2 условие (1.5) условием

2 ^i —> 0 при 力一>8. (6.2)

Назовем знакопостоянную функцию V (%, %) знакоопределенной по отношению к части переменных х^ . . ., хт функцией, если можно указать такую не зависящую от t определенно-положительную функцию W (%i,...,力皿),чт<> выполняется одно из двух неравенств: V — W^O или — V — W^Q. Можно при этом показать, что если в теоремах I и II Ляпунова требования знакоопределенности функций У и У и наличия у V бесконечно малого высшего предела заменить на те же требования

по отношению к части переменных, то получим соответственно теорему об устойчивости и теорему об асимптотической устойчивости по отношению к части переменных (В. В. Румянцев, 1957).

В дальнейшем вопросы устойчивости по отношению к части иере- менннх рассматривались В. И. Зубовым (1959), В. М. Матросовым (1963), Кордуняну и др.

К. П. Персидский (1946) показал, что если дополнительно к условиям теоремы I Ляпунова потребовать, чтобы функция V (瑞 方)допускала бесконечно малый высший предел, то получим теорему о равномерной по времени tQ устойчивости невозмущенного движения. Таким образом, вследствие существования у функции V бесконечно малого высшего предела, число X в определении 1 оказывается зависящим лишь от числа Л, но не от начального момента времени % °. Теорема К. П. Пер-» сидского о равномерной устойчивости допускает обращение (Н. Н. Красовский, 1955, 1959; Я. Курцвейль, Чехосл. матем. ж., 1956, 6 : 2 и 4; Я. Курцвейль и И. Вркоч, там же, 1957, 7 : 2).

Н. Г. Четаев (1955) предложил следующую интересную модификацию теоремы II Ляпунова об асимптотической устойчивости, позволяющую в любой момент времени £ определять область возможных значений переменных 外.

Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что существует функция V",力)——такая, что функция 7 — 0 (1) W (0 «о) = 1) является постоянно-положительной при определенно-положительной и не зависящей от времени функции W и при монотонно возрастающей до бесконечности вместе с ростом £ функции 6(%), а полная производная по времени У является постоянно-отрицательной или нулем, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво, а область возможных значений переменных ^ определяется неравенством W< V0/Q(t) (Р° = Р (%о, %о))*

Идеи этой теоремы Четаева были распространены А. М. Табаровским (1958) на исследование равномерной асимп то тическ ой устойчивости в целом. Некоторое обобщение этих результатов дано С. К. Персидским (1961, 1964).

Как указывалось выше, требования теоремы II Ляпунова обеспечивают асимптотическую устойчивость, равномерную цо начальному времени tQ и по начальным координатам х0. Н. Н. Красовский (1959) доказал, что если вместо требования знакоопределенности производной Р‘ в теореме II Ляпунова наложить несколько более слабое ограничение, а именно:

1)『《0 в области Н：

sup * (%, %) в области Е° при 生(0, оо)) V inf (V (%, t) на границе Hi при 方 £ (0, оо)), где области Hq, М, Н связаны условиями HQczH^ 方i и Е;

ОО'

^/пп (т) dt = — 8, где т^ (т) = sup V в области т)《|| % ||? 汽 €%, t =т, для всех достаточно малых п > °，

то получим теорему об асимптотической устойчивости, равномерной по координатам х0, но неравномерной по tQf и устойчивости, равномерной по %. Здесь и далее 11% ]| = sup (|g| ) (s = 1, • •-,整)* Эта теорема допускает обращение. Теоремы могут быть еще несколько модифицир ов а - ны, охватывая и случай асимптотической устойчивости, когда устойчивость неравномерна по координатам %().

В случае линейных уравнений возмущенного движения

嚼■ = 2 а)(0 g・(И 叫(6.3)

3=1

где Pij(t) — непрерывные и ограниченные функции t, устойчивость всегда равномерна по координатам xQ начальных возмущений. В этом случае модификация теоремы II Ляпунова формулируется следующим образом.

Для асимптотической устойчивости решений системы (6.3) необходимо и достаточно, чтобы существовала определенно-положительная квадратичная форма

p2a订(方) производная которой

2 Qj(%)©%J (QJ = 2 (aihPhj Ч- ^jkPhii'Y^ii}

3 j=lA=1

удовлетворяет неравенству P‘《入(％)P, причем

、入(%)d%=—oo.(6.4)

Отметим, что так как У и У7 в рассматриваемом случае являются квадратичными формами, то в качестве величины X (%) можно выбрать наибольшее значение V1 на поверхности Р (力，力)=1, равное наибольшему корню уравнения'

II—入。川| = 0・(6・5)

Отсюда следует, что решения системы уравнений (6.3) асимптотически устойчивы, если наибольший корень уравнения (6.5) удовлетворяет усло'вию (6.4) (Н. Н. Красовский, 1959; Б. С. Разумихин, 1957; А. Д. Горбунов, 1953).

Н. Н. Красовский (1959) рассмотрел вопрос о существовании функций Ляпунова, удовлетворяющих оценкам, характерным для квадратичных форм. Он доказал, что если решения х (%°, tQ, t) системы уравнений (1.1) удовлетворяют условиям, аналогичным (5.2), то в области. || % || V V Ео существует функция V (х,方)，удовлетворяющая оценкам

小设信《T(h)《"11碗，『《一0|1端，I黑kQ11咻，(6.6)

где cs — положительные постоянные, а || %|| 2 = (%； + • • • + 力价％.

Большое число исследований посвящено задачам об асимптотической устойчивости, где область начальных возмущений, для которых должно выполняться условие (2.1), нельзя считать малой. Такие задачи изучались в работах Н. П. Еругина (1950, 1952), А. И. Лурье (1951), И. Г. Малкина (1952), Е. А. Барбашина и Н. Н. Красовского (1952), А. М. Летова (1955), В. И. Зубова (1957), В. А. Плисса (1958), М. А. Айзермана и Ф. Р. Гантмахера (1963) и многих других. В частности, Е. А. Барбаши- ным и Н. Н. Красовским доказана следующая теорема об асимптотической устойчивости в целом..

Если можно указать функцию V (%, %), которая была бы определенно-положительной и допускала бы высший предел в целом, а ее

производная У7 в силу уравнений возмущенного движения была бы функцией определенно-отрицательной при всех значениях %$, то невозмущенное движение *& = 0 асимптотически устойчиво в целом.

Будем говорить, что функция V (%, t) является определенно-положительной и допускает высший предел в целом, если можно указать такие две непрерывные функции 必(%) и W (%), что при всех значениях xs выполняются неравенства

必(％)《Р (%, %) W W (%),причем функция w(x) определенно-положительна и, кроме того,limu?(%) = 8,W (0) == 0.

Отметим, что требование от функции V свойства

V (х^ . .., хп) —» оо при £ 疋一>8(6.7)

для устойчивости в целом было впервые высказано Н. П. Еругиным (1952), показавшим так же, как вопрос об устойчивости в целом решается вторым методом, когда нет единственности или если функция Ляпунова не обладает свойством (6.7).

В приложениях (в частности, при исследовании устойчивости в целом нелинейных систем) иногда удается построить определенно-положительную функцию У, производная которой『является лишь отрицательной знакопостоянной функцией, но не определенно-отрицательной; в то же- время возникают серьезные трудности при попытке построить функцию V с определенно-отрицательной производной. В подобных случаях весьма полезна следующая теорема, установленная сначала Е. А. Барбашиным и Н. Н. Красовским (1952), а также А. П. Тузовым (1955), для уравнений (1.1), правые части Х8 которых не зависят от 力 а затем распространенная Н. Н. Красовским (1959) на периодические системы.

Если уравнения возмущенного движения (1.1) таковы, что можно построить функцию V (%,方)，периодическую по времени t с периодом " или не зависящую явно от времени, которая является определенно-положительной, допускает бесконечно малый высший предел в области

]]%]|v2—8 V 力 V + 8 (Я == const ИЛИ Н=8)(6.8)

и удовлетворяет неравенству

sup (У в области [|л：||< Яо> 0 < it < ^) < inf (7 при ||%|| = &)

(Ео V Ei V Я), причем ее производная Р‘ удовлетворяет условиям: 1) Ух<0 в области (6.8), 2)『может быть равна нулю лишь в точках множества М, не содержащего целиком полутраекторий системы (1.1} х (%0,方°, t) (0 V % V оо) (за исключением х = 0), то решение- % '= 6 асимптотически устойчиво и область || х ||《％ лежит в области притяжения точки % = 0.

Эту теорему обобщил Ж. Ла-Салль (см. Ж. Ла-Салль и С. Лефшецг Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова, 1961; русский? перевод: М., 1964).

Как показал на примере В. М. Матросов (1962), теорема Барбаши- на ——Красовского в приведенной форме не может быть распространена на непериодические системы (1.1). Он предложил следующую модификацию этой теоремы для уравнений (1Л) с ограниченными правыми частями.

развивая идею Н. Г. Четаева об использовании двух и более функций Ляпунова, а также производных от V порядка выше первого.

Пусть существуют функции % (%, %), У2 (%, 0» обладающие в (1.2) следующими свойствами: 1) функция % (瑞 t) определенно-положительна и допускает бесконечно малый высший предел; 2) производная Р； (%, %)《 《屮(%) Р* (%), где V* (%)《0, а 屮(%) — функция, положительная в среднем (соответственно положительное число); 3) функция Уг (%, О ограничена; 4) строго (соответственно определенно)匕(％, %) ^= 0 в множестве Е (У* = 0). Тогда невозмущенное движение % = 0 системы (1.1) асимптотически устойчиво равномерно по xQ (соответственно равномерно П0 /(), ^о)'

По определению, строго (определенно) Wr (%,方)寸=0 в множестве Е (У* =0), если для любой области Ла (а < ||/ ||V%) найдутся окрестность в Аа множества Аа [\Е (У* = 0) и непрерывная функция ± (%) (положительное число ® такие, что при любом 方：>0

U0>0, ^“)41 = 8t

и в найденной окрестности | W (%, %)|》Е・ Непрерывная неотрицательная функция <р (i) называется положительной в среднем, если для любой бесконечной системы s замкнутых непересекающихся отрезков полуоси (0, оо ) одинаковой положительной длины будем иметь .

§ ср (%)威=8.s

Аналогичная теорема имеет место и для неравномерной асимптотической устойчивости, но там требование бесконечно малого высшего предела предъявляется не к основной функций V^ а к вспомогательной —— У2* И. Я. Кац (1964) перенес эту теорему на систему со случайными парамет- рамй, а В. М. Матросов (1966) распространил на задачу устойчивости множеств. Если в теореме В. М. Матросова положить, что У* (%) определенноположительна, то надобность во вспомогательной функции Р? отпадает, и приходим к признаку асимптотической устойчивости с одной функцией, обобщаюхцему теорему II Ляпунова в двух направлениях: 1) снимается требование бесконечно малого высшего предела; 2) смягчается требование знакоопределенности Р‘. Такого рода обобщения критерия Ляпунова принадлежат, помимо названных ученых, В. IL Марачкову (1945), В. И. Зубову (1959) и Р. Рейсигу (ZAMM, I960, 40:1-3; русский перевод в сб. перев. «Механика», 1961, № 3).

Следует отметить, что первоначальная идея Н. Г. Четаева о введении двух функций получила развитие в работе П. А. Кузьмина (1954), установившего теоремы об условной устойчивости с двумя функциями, а также об устойчивости и асимптотической устойчивости для линейных систем с непрерывными и ограниченными коэффициентами, о поведении возмущенных движений которых во всей окрестности точки % = 0 можно судить по их свойствам в некоторой области этой окрестности. Так, П. А. Кузьмин установил следующую теорему.

Если уравнения возмущенного движения таковы, что для некоторой определенно-положительной функции V существует область Р'《0, в которой можно выделить n-мерную область W》0, fee пустую при численно сколь угодно малых xs и при всех 方》％°, и такую, .что на ее границе W = 0 всюду W》0, то не во змущенно е движение устойчиво.

Критерий устойчивости с одной или несколькими функциями можно получить также на основе использования неравенств, которыми оцениваются функции или функционалы, а также на основе теории дифференциальных или интегральных неравенств. Применение различного рода неравенств, а также принципов неподвижной точки к проблемам устойчивости и качественной теории дифференциальных уравнений содержится в работах многих авторов (В. В. Румянцев, 1955; М. А. Красносельский и С. Г. Крейн, 1956; Е. А. Барбашин, 1961; Л. Ф. Рахматуллина, 1959; В. М. Миллионщиков, 1960; М. А. Красносельский и Я. Д. Мамедов, 1959; 3. Б. Цалюк, 1960; М. А. Красносельский, 1962) ).

Так, установлена следующая теорема (В. В. Румянцев, 1955, I960).

Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти функцию W (%, 力 производная по времени от которой в силу этих уравнений W&0, и существует такая определенно-положительная функция F (у, Z), что для всякого t^tQ и всех значений переменных xs в области их изменения 工濃《Н и соответствующих зна

чений переменных у^ в области 2уЗ《Е1 имеет место неравенство

Р(у, t)<W(x.力

то невозмущенное движение устойчиво по отношению к у% (Z = 1, . . ., А).

Отметим, что переменные 仇 представляют собой некоторые непрерывные ограниченные функции переменных /, 九 уничтожающиеся, когда 為=0.

Следующий признак устойчивости относительно части переменных с несколькими функциями % доказан В. М. Матросовым (1965).

Пусть существуют функции Р】(％,方)，...,Р& (瑞 方)，обладающие в области Г (И % II 之 8,方》0) следующими свойствами:

1)匕瓦方)》。…… %(%,%)> 0(2《儿),

1匕(力，01+…+1%(/，f)1>厂(/1,….，花?п)(m《办

где У* (%],...,力м)一 определенно-положительна;

Р§ (%, %) & /б (卩1 (瑞 0» ' * • » Р& (%, %), %1,…* , %7П, %) (S ^^ 1 i • * •)及);

каждая функция /s(Kit ・…，Р&, g,….，汽m, %) является неубывающей по 卩！……,Р§т, 7s+1, ..Vk;

полуось у = 0 в силу системы

醬=tdy^ --^Ук, h(t\ •••>?« ⑺，0(s=l, ../с)

квазиустойчива (соответственно асимптотически квазиустойчива) относительно %,・・ г 勿 при функции <р (Л) = inf [У* при 为力^》％®] и при s=i условиях %0>О (s = l, . . ., Z).

Тогда невозмущенное движение % = 0 устойчиво (соответственно асимптотически устойчиво) относительно части переменных 力丄,...,力7n.

Данное В. М. Матросовым определение квазиустойчивости обобщает соответствующие понятия, введенные К. П. Персидским (1951), Е. И. Дых-

маном (1950) и В. И. Зубовым (1959) с учетом одного замечания Н. П. Еру- тина (1952) и определения В. В. Румянцева (1957).

Ряд других модификаций теорем Ляпунова предложили также К. П. Персидский (1931), X. И. Ибрашев (1947), И. Г. Малкин (1954), Н. Н. Красовский (1956), В. И. Зубов (1959), Г. И. Мельников (1956) и многие другие.

Теоремы III и IV Ляпунова и теоремы 1—2 Четаева о неустойчивости также обобщались и модифицировались многими авторами. К. П. Персидский (1946——1947) ввел понятия сектора и полусектора и предложил следующую теорему о неустойчивости.

Пусть существует сектор Д и функция V (%, %), обладающая в нем следующими свойствами: 1) V (х, t) ограничена; 2) V (х,方)> 0 при 力幺0; 3)『(％, %)》П (Р (瑞 0? %)，где п (У, t) неотрицательная неубывающая по V функция, для которой gn (a, t) dt = со при любом о

а > 0. Тогда невозмущенное движение неустойчиво.,

Интересные критерии неустойчивости предложил Н. П. Еругин (1952).

Им сформулирована следующая общая теорема о неустойчивости.

Пусть найдена функция V (%, %), удовлетворяющая следующим условиям: при сколь угодно малом е > 0 в области | % |《£ существует такая точка %°, что для движения, проходящего через эту точку в момент Z =方°, имеют место неравенства.

В” 工)>0,

§ Р‘d%》a (%°) >0 при 厶 >%,

\ V\^L(H, %。)при 方=2 и I % I《Н,

4)厶(瓦/。)《a(/。).

Тогда невозмущенное движение % = 0 неустойчиво.

Рассмотрены также возможные частные случаи; развиты применения к вопросам продолжимости решений, качественной теории дифференциальных уравнений, к вопросу существования ограниченных решений системы (1.1).

Теоремы о неустойчивости рассматривались также рядом других математиков, в частности О. А. Жаутыковым (1947), а также В. И. Зубовым (1959), X. Массера (1956) и др. Для периодических по времени или не зависящих от времени функций Xs (%, t) в правых частях уравнений (1.1) Н. Н. Красовский (1956, 1959) получил следующее обобщенйе теоремы III Ляпунова. Если можно указать функцию V (х, t); периодическую по времени t или не зависящую явно от времени, которая допускала бы бесконечно малый высший предел и притом была бы такова, что ее производная Р‘ в силу уравнений (1.1) удовлетворяла бы следующим условиям:

1)『>0,、

2)『может быть равна нулю лишь в точках множества М, не содержащего целых полутраектории х (%°, %, t) (^0< t V оо), за исключением решения % = 0,

и если при этом при каждом 方°》。можно указать такие точки, лежащие в произвольной окрестности точки % = 0, что У > 0, то движение % = 0 неустойчиво.

В приведенной форме эта теорема не может быть распространена на общий случай неустановившихся движений. Однако возможно получить следующую модификацию теоремы (В. М” Матросов, 1962, 1965).

Пусть существуют сектор Д и функции 匕(力，弘 V2 (х, %), обладающие в Д следующими свойствами:

1) Vi(%, i) допускает бесконечно малый высший предел;

2)匕，力,%，三0 при {%, %}£А, %#=0;

п

3)匕(％, %) > 屮⑺ Р* (%), где 7* (х) > 0 при 2%；《Н, а 屮⑺一小 унк- e=i

ция, положительная в среднем;

4) % (%, %) ограничена и строго 匕(％,方)寸=0 в множестве E(y* = G)[\\U^ (r)]t rg [0, оо].

Тогда невозмущенное движение неустойчиво.

Отсюда можно получить следствия, модифицирующие теоремы 1——2 Четаева и теорему Красовского о неустойчивости. Вопрос о неустойчивости рассматривался также С. К. Персидским (1961). Для модификации и обобщения теорем о неустойчивости оказалось возможным, как и в вопросах устойчивости, использование дифференциальных неравенств (В. М. Матросов, 1965).

Расширение области приложения теории устойчивости потребовало изучения систем, описываемых математическим аппаратом, отличным от обыкновенных дифференциальных уравнений в конечномерном пространстве —таких, как конечноразностные системы, счетные системы уравнений, уравнения с запаздываниями 力 уравнения в частных производных и т. п. В некоторых случаях такие системы удается свести к исследованию «обыкновенных» уравнений в специально подобранном абстрактном функциональном пространстве._

Изучение задач устойчивости в абстрактных пространствах было начато К. П. Персидским (1936—1937, 1948, 1950) и М. Г. Крейном (1948) и в настоящее время продвинуто далеко вперед, включая доказательство теорем существования функций Ляпунова (см., например, работы В. И. Зубова, 1954, 1955, 1957; Н. Н. Красовского, 1956), что связано с успехами общей теории дифференциальных уравнений на базе функционального анализа. Для систем, описываемых функциональными уравнениями, важное значение имеет правильный учет начальных возмущений, возможных в реальных условиях, в связи с чем для постановки задачи устойчивости немаловажное значение имеет качественное исследование характера движений.、

Однако эффективное приложение метода функций Ляпунова к задачам такого рода осуществлено пока лишь в некоторых случаях. Наиболее разработан он для систем с последействием, описываемых уравнениями вида

鞭= Xt(ziG+®), 昨(力 + 杼)，％) G = i,...,«),(6.9)

где X» (力1 (6), • •・,%](£), t) — функционалы, определенные на кусочнонепрерывных функциях g (6) аргумента 6, меняющегося в пределах —无《6《0 (无、0 —постоянная). Частными случаями уравнений (6.9) являются уравнения с запаздываниями времени, когда 6 =—力(%) и — функция числового вектора-аргумента ^i, • •

Определение 6. Решение 力=0 уравнений (6.9) называется устойчивым, если для любого числа £ > 0 можно указать такое число 6 > 0, что выполняется неравенство

•II%(力0 (齿)，%，力I V eаP"%> %,

если только выполняется неравенство.

II 力0 (齿)I产=sup (I Xi (^o) I )<S при —无《％《0.

Если, кроме того у выполняются условия

lim II х (xQ (-©о), ^о> ^) II = 0 при 方 тоо,

II %(%о (齿)，％, %) II《Hi при всех t^t0 (Hi = const) для всех начальных кривых а。(б。), удовлетворяющих неравенству

||g(WY%, (6.10)

то решение 力 = 0 уравнений (6.9) устойчиво асимптотически и область (6.10) лежит в области притяжения невозмущенного движения (Н. Н. Красовский, 1959).

Теоремы метода функций Ляпунова можно перенести непосредственно без всяких изменений на уравнения (6.9). Такое перенесение этих теорем на уравнения с запаздываниями времени t было выполнено Л. Э. Эльсголь- цем (1954), указавшим, однако, что формальное перенесение теорем Ляпунова на системы с запаздываниями имеет ограниченное значение, так как в большинстве случаев теоремы Ляпунова оказываются здесь необратимыми.

Если, однако, в качестве элемента траектории принять не вектор {xi (х0 ('fl'o), 方о, %)}， а вектор-отрезок этой траектории {%# (а。(б。)， %о, %,®)} при—无《仆《0, который будем обозначать символом Хг (а。(•)，力о,力•), и заменить функцию Ляпунова V (х (6), %), определенную на векторе 瑞 функционалом V (力⑼，方)，определенным на векторт функции х (6), то, как показал Н. Н. Красовский (1959), основные определения и теоремы второго метода Ляпунова весьма естественно переносятся на функционалы F, причем теоремы оказываются обратимыми. Так, например, теорема, соответствующая теореме II Ляпунова, формулируется следующим образом.

Если уравнения с последействием (6.9) таковы, что возможно указать функционал V (力 ⑼，方)，определенно-положительный в области II х (^) И < Я, ^>0, допускающий бесконечно малый высший предел,- такой, что величина

' (lim sup

Jf+0 " А£ 丿(6.9)

является определенно-отрицательной в силу уравнений (6.9), то решение 力=0 уравнений (6.9) асимптотически устойчиво. Если при этом выполняется условие .

inf (7 при В % ⑼爬』％) > sup (Р при И 力⑼ I产=%) (HoVHiVH), то область начальных кривых || х0 (О0) || S)< Но лежит в области притяжения точки 力=0.

Эта теорема обратима, причем, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, необходимым и достаточным условием существования такого функционала V является равномерность асимптотической устойчивости по начальным данным х0 (6) и начальному моменту времени •

Н. Н. Красовским (1956, 1959) доказана также теорема, обосновывающая применение функций Ляпунова для уравнений с последействием.

Если можно указать определенно-положительную функцию V (%, %), допускающую бесконечно малый высший предел и удовлетворяющую неравенству

inf (V при |岡| = &) > sup (V (瑞力)при II2 И《Яо) (Яо V & V Я),

и если при этом правая производная вдоль траекторий системы (6.9)， удовлетворяет неравенству

(*)口产一屮(g")

на непрерывных кривых 力(6),

卩(伤(匕)，• • •，死(Е), 5)< /(^(&(%),・・・，琢⑶'％)) при i —Л<^< 力 где / (г) — какая-нибудь непрерывная функция, удовлетворяющая неравенству / (г) > г при г *0, / (г") — / (г') > 0 при г" > 味 то решение 力=0 уравнений (6.9) асимптотически устойчиво и начальные кривые лежат в области притяжения точки 力=0.

Аналогичная теорема принадлежит также Б. С. Разумихину (1956)， установившему, кроме того, теорему об устойчивости с функцией V (%, 0 для уравнений с запаздыванием.

Развивая методы теории точечных отображений, Ю. И. Неймарк (1958) перенес на точечные отображения теоремы I и II Ляпунова, а также некоторые другие результаты теории устойчивости. Результаты теории точечных отображений могут быть истолкованы в терминах конечноразностных уравнений.

Применение второго метода Ляпунова в проблемахустойчивости сплошных сред

Как отмечалось выше, актуальной проблемой теории устойчивости является создание строгих и эффективных методов исследования устойчивости движения систем с распределенными параметрами, в особенности сплошных сред. Эта проблема имеет огромное теоретическое и прикладное значение. В связи с этим весьма заманчивым представляется распространение методов Ляпунова вообще, и второго метода в частности, на системы с бесконечным числом степеней свободы. Этой проблеме посвящено большое число исследований, связанных большей частью с прикладными задачами. Мы рассмотрим здесь главным образом два направления исследований в этой области: применение прямого метода Ляпунова и распространение теорем Лагранжа и Рауса.

Одними из первых методом функций Ляпунова были решены задача Эйлера об устойчивости прямолинейной формы равновесия тонкого стержня постоянного сечения, находящегося под действием продольной постоянной нагрузки (Н. Г. Четаев, 1946) и задача об устойчивости круговой формы однородной гибкой нерастяжимой нити в отсутствие внешних сил (П. А. Кузьмин, 1948—1949). В обеих задачах введено счетное множество обобщенных координат системы, причем для второй из названных задач рассматривается обоснование перехода от конечного числа переменных к бесконечному введением гильбертова пространства. Построением функции Ляпунова была также решена задача об устойчивости эллипсоидов Маклорена вращающейся гравитирующей жидкости по отношению к конечному числу переменных, характеризующих простое, по Лиувиллю, движение жидкости (В. В. Румянцев, 1959). Применение теоремы Ляпунова о неустойчивости позволило строго доказать неустойчивость вихревых цепочек Кармана (Г. В. Каменков, 1934; Н. Е. Кочин, 1939).

Начиная с сороковых годов, пристальное внимание исследователей привлекает задача об устойчивости движения твердого тела, имеющего полости, целиком или частично заполненные жидкостью. Этой задаче

посвящена обширная литература, причем наибольшее число работ посвящено различным линейным аспектам теории, на которых мы здесь останавливаться не будем (см. Н. Н. Моисеев и В. В. Румянцев, 1965). Первые успехи в применении к этой задаче второго метода Ляпунова были достигнуты Н. Г. Четаевым (1957). Он исследовал задачу об устойчивости вращательных движений твердого тела, полость которого целиком заполнена идеальной жидкостью, совершающей безвихревое движение. В этом случае, как установил Н. Е. Жуковский (Ж. Рус. физ.-хим. об-ва, 1885; Поли. собр. соч., т. 3, 1936), жидкость в полости эквивалентна некоторому твердому телу, вследствие чего система описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. Это обстоятельство позволяет ставить и решать задачу об устойчивости движения твердого тела с жидкостью в рассматриваемом случае как задачу об устойчивости для одного твердого тела. В такой постановке Четаев получил достаточные условия устойчивости вращательных двйженйй снаряда с полостями в форме кругового цилиндра (и, вообще, любой полости вращения), цилиндра с одной диафрагмой и цилиндра с крестовиной.

Несколько более сложными оказываются уравнения движения твердого тела с эллипсоидальной полостью, целиком заполненной идеальной жидкостью, совершающей однородное вихревое движение.

В этом случае уравнения движения системы одинаковы с уравнениями движения твердого тела с присоединенным к нему гироскопом, вращение которого происходит по определенному закону. Задача устойчивости для подобной системы решена построением функций Ляпунова (В. В. Румянцев, 1956-1957).

Несравненно более трудными оказываются задачи об устойчивости движения твердого тела с идеальной или, особенно, вязкой жидкостью в случае, когда о характере движения жидкости в полости не делЕГется каких-либо специальных предположений, типа рассмотренных выше. В зтом случае состояние системы описывается бесконечным числом переменных и уравнения движения представляют собой совместную систему обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных с соответствующими граничными условиями.

Для твердого тела с полостью, частично или целиком наполненной идеальной или вязкой жидкостью, В. В. Румянцев предложил ставить задачу об устойчивости движения в смысле Ляпунова по отношению к переменным 幻，gj, определяющим движение твердого тела, и к некоторым величинам — функционалам .

Ps = § ©S(21，才2,才3, fl, °2, °3)dx,-

интегральным образом характеризующим движение жидкости. Здесь ①§ (力1，力2，力3，^丄,у2» ^з) — некоторые вещественные непрерывные ограниченные функции координат g и скоростей уг частиц жидкости, т -«объем жидкости. Выбор функций ①§ зависит от характера рассматриваемой задачи. Так, за величины ps во многих случаях целесообразно принимать проекции количества движения, момента количеств движения жидкости и т. п. При указанном подходе задача об устойчивости движения твердого тела с жидкостью (системы, обладающей бесконечным числом степеней свободы) приводится к исследованию устойчивости по отношению к конечному числу величин g〃 g；, ps. Для решения последней можно с успехом применять метод функций Ляпуйова (В. В. Румянцев, 1955,

1959—1960, 1962, 1964—1965). В такой постановке удалось решить ряд задач об устойчивости движения твердого тела с жидким наполнением. В частности, впервые строго решены задачи об устойчивости вращения волчка с вязкой жидкостью (В. В. Румянцев, I960) и устойчивости относительных равновесий твердого тела с жидкостью в центральном ньютоновском поле сил (Н. Н. Колесников, 1962).

Подобная постановка задачи возможна и в проблемах устойчивости движения сплошной среды, если надлежащим образом ввести интегральные характеристики р8 движения среды. В частности, эта идея получила развитие в работах А. А. Мовчана (1959) об устойчивости упругого тела. Вводя вспомогательное метрическое пространство и строя в нем соответствующие функционалы, Мовчан доказал общие теоремы об устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости процессов, обобщающие соответствующие теоремы Ляпунова и Четаева. Он ввел (I960) две метрики и сформулировал теоремы об устойчивости процессов по двум метрикам. К этому же направлению относятся и работы В. М. Слободкина и Т. К. Си- разетдинова (1964—1965). Следует отметить, что вопрос о построении соответствующих функционалов для решения конкретных задач теории упругости разработан еще недостаточно и нуждается в дальнейших исследованиях.

Другое направление в исследовании устойчивости сплошных сред, позволяющее успешно решать конкретные задачи, связано с распространением на сплошные среды теорем Лагранжа и Рауса. Как известно, названные теоремы были доказаны для систем с конечным числом степеней свободы задолго до создания Ляпуновым теории устойчивости; однако их можно доказать и на основе теоремы Ляпунова об устойчивости. Как уже упоминалось во введении, Ляпунов ввел определение устойчивости формы равновесия жидкости и установил теорему, сводящую вопрос об устойчивости формы равновесия вращающейся жидкости к решению задачи минимума функционала, представляющего собой измененную энергию системы. Задача минимума была решена А. М. Ляпуновым в его работах 1884 и особенно 1908 г. (Собр. соч., т. 3, 1959), что позволило ему получить строгие заключения об устойчивости фигур равновесия вращающейся жидкости в форме эллипсоидов Маклорена и Якоби, а также некоторых фигур, производных от последних. 、

Н. Г. Четаев (1926) исследовал вопрос о существовании непрерывной последовательности устойчивых фигур равновесия однородной в каждый момент времени вращающейся жидкой массы, находящейся под действием сил ньютоновского притяжения, сил лучистого сжатия к центру тяжести с постоянной скоростью и постоянного давления на свободной поверхности. Для выделения устойчивой последовательности фигур равновесия автор использовал теорему Лагранжа об устойчивости равновесия, которую доказал применительно к рассматриваемой системе. Несколько позднее Четаев (1931), пользуясь теоремой Ляпунова об устойчивости фигур равновесия, доказал, что если существует не бесконечно малый нижний предел для массы отдельных тел, на которые под влиянием сил ньютойовского притяжения и центробежной может распасться некоторая масса однородной несжимаемой жидкости, то для этой массы существует по крайней мере одна устойчивая фигура равновесия. Далее автор доказал две важные общие теоремы о числе реальных ветвей кривой равновесия механической системы, проходящих через точку бифуркации и о смене устойчивости. Частные случаи указанных теорем были установлены А. Пуанкаре в 1885 г. Применяя эти теоремы, Четаев доказывает существование устойчивой последовательности фигур равновесия, производной

от критического эллипсоида Маклорена и распространяющейся в сторону больших значений угловой скорости вращения.

Идеи Ляпунова из теории устойчивости фигур равновесия вращающейся жидкости получили развитие и в работах В. В. Румянцева (1959, 1962). Принимая данное Ляпуновым определение устойчивости формы равновесия жидкости, можно дать следующее определение устойчивости стационарного движения твердого тела с жидким наполнением.

Определение 7. Если при всяки岂 произвольно заданных положительных числах Zq и 厶2,厚仪厚 6庆 малы они ни были^ может быть выбрано положительное число 入 一 так, чтобы при всяких начальных значенияа: координат тела q^ и обобщенных скоростей ^0, удаления Zo, уклонения Vo м относительных скоростей жидкости, убоз几етзоряю出и* условиям

|幻。|《入，®о|<Л|2o|《A, I w01 < Z, Vo>eZo,

и при всяком 方》办 или, по крайней мере, до тех пор, пока V > £厶 выполнялись неравенства

1外|V4， !/!<Л, ®1v 厶，1理)1v 厶，

то невозмущенное стационарное движение твердого тела с жидкостью устойчиво, в противном случае ——неустойчиво.

Здесь eZ обозначает возможное уклонение, Т；» — относительную кинетическую энергию жидкости.

При таком определении устойчивости даны доказательства теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия и теоремы об устойчивости установившихся движений твердого тела с жидкостью в его полости. Последняя теорема сформулирована следующим образом.

Если для установившегося движения твердого тела с полостью, заполненной жидкостью, выражение

имеет изолированный минимум, то невозмущенное движение устойчиво.

,Здесь Р и S обозначают потенциальную энергию системы и ее момент инерции относительно неподвижной оси; kQ = const. Подобная теорема доказана также для случая учета сил поверхностного натяжения жидкости (В. В. Румянцев, 1964).

■ Согласно этим теоремам задача об устойчивости равновесия или стационарного движения твердого тела с жидкостью приводится к задаче минимума потенциальной энергии V или измененной потенциальной энергии W системы. В случае полного заполнения жидкостью полости выражения V и W являются функциями конечного числа переменных д『. В случае частичного заполнения полости V и W представляют собой функционалы, зависящие от формы объема т и свободной поверхности жидкости, а также от положения тела. Так как свойство минимума является локальным, то для строгого решения задачи минимума, за исключением особых случаев, можно ограничиться рассмотрением величин второго порядка малости. Поэтому для решения этой задачи можно использовать методы теории малых колебаний, если смещение свободной поверхности от положения равновесия представить в виде ряда uq системе собственных функций соответствующей краевой задачи. Таким методом был решен ряд конкретных задач о минимуме V и W (Н. Н. Моисеев, 1952; Г. С. Нариманов, 1956; В. В. Румянцев, 1962). Однако вычисления при 3 Механика в СССР, том 1

этом оказываются довольно громоздкими, так как приходится оперировать с бесконечными рядами. В этом смысле более удобен иной способ решения задачи минимума, идея которого основана на том, что потенциальная энергия тяжелой жидкости в отклоненном от положения равновесия сосуде имеет минимум, если свободная поверхность жидкости горизонтальна. Для случая неучета сил поверхностного натяжения задачу минимума функционала удается привести к задаче минимума функции конечного числа переменных ^ (Г. К. Пожарицкий, 1962; Г. К. Пожарицкий и В. В. Румянцев, 1963). При учете сил поверхностного натяжения задача становится более сложной, однако и здесь при определенных условиях ее удается иногда привести к задаче минимума для функции конечного числа переменных (В. А. Самсонов, 1966). Доказано также обращение теоремы Лагранжа для твердого тела с полостью, содержащей жидкость, и выяснено влияние вязкости жидкости на устойчивость равновесий и стационарных движений (В. В. Румянцев, 1962——1966; Г. К. Пожарицкий, 1964). Следует подчеркнуть трудности строгого доказательства асимптотической устойчивости при наличии диссипации, связанные с возможностью концентрации зон диссипации в малых объемах сплошной среды. Более подробные сведения о работах по устойчивости тел с жидкостью можно найти в обзорах В. В. Румянцева (1962, 1965).

Распространение теоремы' Рауса на случай стационарных течений идеальной жидкости дано В. И. Арнольдом (1965). Он доказал, что стационарное течение со скоростью у (%) идеальной жидкости, целиком заполняющей объем D, ограниченный неподвижной поверхностью, имеет экстремальную кинетическую энергию Е по сравнению со всеми близкими равнозавихренными течениями. Если квадратичная форма 6?е знакоопределенна, то течение у (n) устойчиво относительно малых конечных возмущений ,т. е. малое изменение начального поля скоростей мало меняет поле скоростей во все моменты времени.

Применение этой теоремы для ряда плоских течений жидкости позволило получить достаточные условия устойчивости, близкие к необходимым.

Методы построения функций Ляпуноваи некоторые задачи об устойчивости

Несмотря на широкое распространение и применение метода функций Ляпунова, общего способа их построения не дано, в связи с чем эффективность построения функций Ляпунова в той или иной задаче в ряде случаев зависит от искусства исследователя. Тем не менее для многих классов задач разработаны регулярные способы построения функций Ляпунова, часть которых излагается ниже.

Консервативные, гироскопические и диссипативные системы* Наиболее трудным является построение функций Ляпунова для консервативных механических систем. Еще в своем знаменитом сочинении А. М. Ляпунов отмечал, что для подобных систем «задача делается... в высшей степени трудною, и пока невозможно указать каких-либо приемов для ее решения», кроме приведения к задаче о максимумах и минимумах (теоремы Лагранжа и Рауса). Как известно, эти теоремы использовал А. Пуанкаре при разработке основ теории бифуркации равновесий механических систем, находящихся под действием сил, производных от силовой функции, зависящей от параметра. Теоремы Пуанкаре о числе реальных ветвей кривой равновесий, проходящих через точку бифуркации, и о законе смены устойчивости были обобщены Н. Г. Четаевым

при исследовании эллипсоидов, производных от фигур равновесия вращающейся жидкости.

Для случаев, когда известны первые интегралы уравнений возмущенного движения, Четаев предложил способ построения функций Ляпунова в форме связки нерв№ интегралов. Этот способ был продемонстрирован им на решении двух конкретных задач механики (Н. Г. Четаев, 1946, 1954) и хотя в общем виде этот способ автором не излагался, он получил широкую известность и оказался весьма эффективным.

Изложим суть метода Четаева. Пусть известны некоторые голоморфные первые интегралы уравнений возмущенного движения (1.1)

У» (%1,, *^п):=。力 (力1 j • • • j 倉)‘

не зависящие явно от времени.

Построим функцию

где 兀，绪一некоторые постоянные, подбираемые так, чтобы разложение функции V в степенной ряд по переменным xs в окрестности невозмущенного движения 力§ = 0 начиналось с квадратичной формы. Если окажется, что построенная таким образом функция V будет знакоопределенной, то, так как『三 0, она будет функцией Ляпунова из теоремы I.

Применяя этот способ к задаче об устойчивости вращения вокруг вертикали тяжелого твердого тела в случае Лагранжа и строя функцию V из всех известных четырех первых интегралов задачи, Н. Г. Четаев получил достаточное условие устойчивости, совпадающее с необходимым. В. В. Румянцев (1954—1955) на примерах задач об устойчивости вращения тяжелого твердого тела в случае Ковалевской и твердого тела в жидкости при условиях Чаплыгина показал, что достаточные условия, совпадающие с необходимыми, можно получить построением функции V из части известных первых интегралов задачи.

Отметим также, что если среди интегралов уравнений возмущенного движения имеются интегралы 吗=Са, для которых произвольные постоянные Са в силу тех или иных обстоятельств могут иметь только значения, равные нулю (Са = 0), то в этом случае функцию V можно строить также в виде (В. Н. Скимель, 1956)''

Р= 2厶匕+2卩а%,jа

где 卩仪一некоторые переменные, имеющие ограниченные производные 心 При этом очевидно, что

『=习卩2%=8

М. Ш. Аминов (1955) подметил, что в случаях, когда коэффициенты си-, стемы (1.1) стремятся при 方-> оо к постоянным пределам, метод Четаева можно применить также для получения достаточных условий устойчивости неустановившихся движений. Г. К. Пожарицкий (1958) доказал, что какую-либо знакоопределенную функцию от известных первых интегралов 匕(％, t) можно построить тогда и только тогда, когда знако

определенной является функция 2vl (%,方).Применяя метод Четаева, £=1

он предложил один из вариантов доказательства дополнения Ляпунову

3*

к теореме Рауса в несколько более сильном предположении голоморфности функции Гамильтона Н.

Теорему Рауса с дополнением Ляпунова П. А. Кузьмин (1964) применил в форме, близкой к методу Четаева, для исследования устойчивости стационарных движений твердого тела.

Метод Четаева построения функций Ляпунова из известных первых интегралов уравнений возмущенного движения оказалось возможным применить также в задачах устойчивости движения по отношению к части переменных (В. В. Румянцев, 1957; М. Е. Темченко, 1958) и в задачах устойчивости твердых тел с полостями, содержащими жидкость (В. В. Румянцев, 1955, 1959—I960).

Метод Четаева получил большое распространение при решении при- кладнь!х задач. С помощью этого метода удалось решить ряд тонких проблем устойчивости в механике, в первую очередь в динамике твердого тела (Н. Г. Четаев, 1954; В. В. Румянцев“ 1954—1958, 1961; П. В. Харламов, 1955; П. А. Кузьмин, 1958, 1964; В. Н. Скимель, 1956, 1959, 1962, и многие другие). Решение этих задач подготовило применение метода Четаева в задачах устойчивости искусственных спутников Земли (В. В. Белецкий, 1957, 1959, 1965; Ф. Л. Черноусько, 1964; Н. Н. Колесников, 1962; А. Ан- чев, 1965, и многие другие). Более подробно о приложении метода функций Ляпунова в задачах устойчивости гироскопов, гиростатов и гироскопических систем можно прочесть в обзоре В. В. Румянцева и В. Н. Ски- меля (1965), а о приложениях в задачах устойчивости спутников — в обзоре В. А. Сарычева (1965). Метод Четаева успешно применялся и при решении многих других конкретных задач устойчивости, на изложении которых мы не имеем возможности остановиться.

В общем случае вопрос об устойчивости некоторого движения 幻= =G (%)，Pi — Pi (%) консервативной системы начинается с исследования уравнений в вариациях Пуанкаре

d&s _ Р ( °也 6 1 а階 п( g2ff t I ^н л Л dt 々 I dps dqj °」丁 dps dpj "丿'.dtV dqs dq； °， dqs dpj ，

в которых 自6, % обозначают вариации соответственно координат qs и импульсов

Н. Г. Четаед (1945) доказал, что если рассматриваемое невозмущенное движение устойчиво, то решения уравнений в вариациях имеют все характеристичные числа равными нулю, а уравнения в вариациях являются при этом приводимыми и имеют знакоопределенный квадратичный интеграл.

Эта фундаментальная теорема обобщила теорему Лагранжа для равновесий и теорему Пуанкаре ——Ляпунова для периодических движений- Г. К. Пожарицкий (1956) показал, что если

есть определенно-отрицательная функция &〃 то невозмущенное движение неустойчиво, а решения уравнений в вариациях Пуанкаре имеют отрицательное характеристичное число.

Метод функций Ляпунова был применен М. Ш. Аминовым (1949) для решения вопроса об орбитальной устойчивости консервативных меха-

нических систем. Выведя уравнения возмущенных движений в тензорной форме, Аминов получил ряд признаков устойчивости и неустойчивости как при консервативных, так и при неконсервативных возмущениях.

Вопрос об устойчивости периодических движений линейных гамильтоновых систем подробно исследовался в работах М. Г. Крейна и В. А. Якубовича, результаты которых подытожены в совместной статье этих авторов (1963). Полученные ими результаты являются основой математической теории параметрического резонанса. М. Г. Крейн установил, что собственные частоты колебаний механических систем по отношению к параметрическому резонансу подразделяются на частоты первого и второго рода. Параметрический резонанс в классе гамильтоновых систем возможен лишь в случае, когда частота возмущения близка к одному из «критических» значений (со； + ①九)/N, если ①)и ①九 ——собственнее частоты одного рода, и I со； —— ①九 I /N, если ①)и ①九 —— собственные частоты разного рода (здесь N — произвольное целое число). Указано, каким образом определяется род собственных частот. В. А. Якубовичем (1958) получены формулы для границ областей динамической неустойчивости, позволяющие, в частности, классифицировать указанные выше критические значения по степени их «опасности».

К этим результатам примыкают исследования К. Г. Валеева (1963) об опасности комбинационных резонансов и В. М. Старжинского (1966— 1967) о параметрическом резонансе в системах, близких к каноническим.

Метод Ляпунова оценки характеристичной постоянной, системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, развитый для уравнения Хилла, был распространен на общий случай системы двух линейных уравнений с периодическими коэффициентами В. М. Старжинским (1953——1960, 1964) и на некоторые типы линейных систем произвольного порядка В. М. Старжинским (1958—1959) и В. А. Якубовичем (1957).

Рассматривая каноническую систему с функцией Гамильтона

Н0^Л^ + у2}+ ^ pm(xjy}j

m=3

где Рт(工,у) — однородные полиномы степени т, и возмущенную систему с функцией Гамильтона

H^=H0+Q(x, у, %), QQ, у,方+ 2л) = 0(а, у, t)

(Q：(%2 + y2) - 0 ПpИ %2 + y2-0),

Н. П. Еругин (1966) с помощью метода функций Ляпунова указал 1) классы таких голоморфных относительно х, у в окрестности % = у = 0 функций Q (х, у,方)，что точка покоя х = у = 0 возмущенной системы будет неасимптотически устойчива при любом А; 2) классы также голоморфных относительно 胃,у функций Q (胃,у, i), что точка покоя 胃=у = 0 не будет устойчивой. '

Показано также, что при любой HQ всегда можно указать такие конечно-разрывные вдоль кривой функции Q (胃,у, i), сколь угодно малые в окрестности 胃=у = 0 (малые более высокого порядка, чем (^2 + у2)т с тп > 0) вместе со всеми производными, что будет выполнена теорема существования и единственности для возмущенной системы, а точка покоя х — у = 0 будет по выбору Q или неасимптотически устойчивой, или асимптотически устойчивой, или неустойчивой.

Весьма важные результаты по устойчивости гамильтоновых систем были получены в большом цикле работ А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда методом Колмогорова (1954). Изложение этих результатов выходит за рамки настоящего очерка; они изложены в обзоре В. И. Арнольда (1965).

Отметим, что вопрос о влиянии на устойчивость движения консервативных систем постоянно действующих потенциальных возмущений исследовался Н. Г. Четаевым (1932, 1936). Влияние возмущающих сил такой природы на устойчивость стационарных движений рассмотрели недавно А. Л. Куницын (1966) и В. В. Румянцев (1966—1967), предложившие также различные варианты доказательства дополнения Ляпунова к теореме Рауса.

Вопрос о влиянии гироскопических и диссипативных сил на устойчивость положения равновесия консервативной системы был поставлен, как известно, В. Томсоном (лордом Кельвином), установившим ряд теорем. Эти теоремы Кельвина впервые были строго даказаны применением функций Ляпунова в весьма изящной форме Четаевым (1946), обратившим при этом внимание на принципиальную и прикладную важность введенных Кельвином понятий вековой и временной устойчивости и возможность гироскопической стабилизации. Впоследствии, например, Четаев (1956) показал, что равносторонний треугольник в плоской задаче трех тел неустойчив при постоянстве угловой скорости со вращения луча, соединяющего какие-либо два тела из трех, и его нельзя стабилизировать добавлением каких-либо гироскопических сил. В случае движения относительно центра масс системы, когда со ^= const, вообще, лапласов треугольник не имеет вековой устойчивости, но может иметь гироскопическую устойчивость.

Д. Р. Меркин (1956) исследовал устойчивость линейной системы, находящейся пед действием только гироскопических сил. Рассмотрением характеристического уравнения он доказал, что для устойчивости равновесия такой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы гироскодических коэффициентов || g^ || =/= 0. Показано также, что если на систему помимо гироскодических действуют и диссипативные силы с полной диссипацией, то положение равновесия всегда устойчиво в первом приближении. В. В. Румянцев (1957) показал, что положение равновесия нелинейной системы при указанных условиях асимптотически устойчиво по отношению к скоростям д；. В. М. Матросов (1959) обобщил эти результаты, доказав, что положение равновесия нелинейной системы устойчиво относительно д^ и д；, а всякое возмущенное движение асимптотически приближается к одному из положений равновесия g^ = Q, д； = 0, причем устойчивость сохраняется и при параметрических возмущениях.

Влияние диссипативных сил на устойчивость движения изучал также Г. К. Пожарицкий (1957, 1961). Рассматривая стационарное движение системы с циклическими координатами, находящейся под действием сил с полной диссипацией и постоянных сил, уравновешивающих диссипативные силы на стационарном режиме, переносом результатов Четаева он установил, что стационарное движение будет асимптотически устойчиво по отношению ко всем скоростям и нециклическим координатам, если вторая вариация полной энергии является определенно-положительной функцией, и неустойчиво, если она может принимать отрицательные значения (1957); Пожарицкий изучал также устойчивость систем с частичной диссипацией (1961). Им установлено условие асимптотической устойчивости, состоящее в определенной положительности второй вариации

энергии и некотором дополнительном неравенстве. При выполнении указанных условий оказалось возможным приближенно подсчитать логарифмические декременты затухания в случаях, когда затухание либо очень мало, либо очень велико (Г. К. Пожарицкий, 1965). Эти условия нашли дальнейшее развитие в связи с задачами общей теории оптимального управления, сомкнувшись с условиями управляемости и наблюдаемости, играющими важную роль в теории стабилизации управляемых систем (подробнее см. обзор Н. Н. Красовского в этом томе).

М. Матросов (1959) рассмотрел вопрос об устойчивости гироскопической системы при полной диссипации в случае, когда некоторые из коэффициентов устойчивости Пуанкаре Xs = 0 (s = 1, . . ., тп), остальные 厶尸 > 0 (г = тп + 1, . . ., п), а положение равновесия может и не являться изолированным. Доказано, что если равенства dU/dxs = О п

имеют место при любых xs из области Л 遣《Н, причем хг = 8=1

=胃尸(胃1,...,胃皿) представляют решение уравнений 9U 1дхг = 0, то положение равновесия g = 0 устойчиво, а всякое возмущенное движение асимптотически приближается к одному из положений равновесия xs = =2$, хг — хг (厶,...,Zm). Матросов показал также, что если силовая функция U может принимать положительные значения при сколь угодно малых I g? I , то положение равновесия гироскопической системы с диссипацией неустойчиво. Аналогичный результат был получен также В. Т. Койтером (1965). В. Н. Скимель (1963) показал, что если силовая функция U(91,・.・,gm) В положении равновесия имеет изолированный максимум, то положение равновесия линейной гироскопической системы устойчиво по отношению к переменным %, . . ., д^, К， •・•, gl, а также и по отношению к gm+1, . . ., qn, если определитель G' = || ^р； || > О (Р, / = тп + 1, . . ., п). Если же G，— 0, то равновесие неустойчиво по отношению к gm+1, . . ., g九.

.Для нестационарной системы с силовой функцией вида U (q)— ~ 2 О左(д) (?п>2) и полной диссипацией В. М. Матросов (1962) установил, что если функции U (q) и £ kUk (g) определенно-отрицательны, то положение равновесия д» = 0 асимптотически устойчиво равномерно по qi0,贫°,力°. Если же U (g) может принимать положительные значения, а функция 2加0左(9) знакоопределенна, то положение равновесия неустойчиво.

Д. Р. Меркин (1956) исследовал влияние на устойчивость положения равновесия консервативной системы сил * радиальной коррекции, гироскопических, диссипативных и так называемых ускоряющих сил вида b^i (& > 0) и установил ряд теорем, часть из которых обобщили предыдущие результаты И. И. Метелицына (1952) и Г. Циглера (ZAMP, 1953, 4 : 2). В. В. Румянцев (1962) исследовал устойчивость равномерных вращений голономных систем и установил один случай обращения теоремы Рауса, из которого, в частности, следует, что если квадратичная часть разложения в ряд Маклорена функции Лагранжа L (или функции Рауса 7?) определенно-положительна, то относительное равновесие (или стационарное движение) неустойчиво. Кроме того показано, что если относительное равновесие системы устойчиво вековым образом, то устойчиво и соответствующее стационарное движение системы. Частные случаи

обращения теоремы Рауса рассматривались также С. А. Харламовым (1962) и Ван Чжао-лином (ПММ, 1953, 27 : 5). Л. Н. Семенова (1965) отметила возможность применения теоремы Рауса при определенных условиях к исследованию устойчивости стационарных движений неголономных систем с циклическими координатами. Ю. И. Неймарк и Н. А. Фуфаев (1966) рассмотрели многообразие стационарных движений и высказали мнение, что наличие последнего обусловливает существенные особенности исследования их устойчивости по сравнению со случаями изолированного равновесия системы. В. В. Румянцев (1966) развил метод исследования устойчивости стационарных движений систем с циклическими координатами, основанный на теоремах Рауса, Пуанкаре, Ляпунова, Кельвина и Четаева. Этот метод характеризуется единообразием подхода к исследованию устойчивости разнообразных механических систем и позволяет получать необходимые и достаточные условия «вековой» устойчивости. Это понятие обобщает на стационарные движения понятие вековой устойчивости равновесия Кельвина. Доказана следующая теорема, обращающая теорему Рауса.

Если в области Я< 0, 2 装器 > ° функция

k'

22+包+ 2发器

определенно-положительна относительно 仇,q^ то стационарное движение- неустойчиво.

Здесь Rs обозначает форму степени s относительно д；, входящую в функцию 7? = & + Ki + Ко・

Вопрос об устойчивости равновесия неголономных систем после работ Э. Т. Уиттекера и О. Боттема (Indagationes math., 1949, 11 : 4) рассматривался в ряде статей главным образом путем исследования корней харак- _ теристического уравнения. Применением метода функций Ляпунова Ю. И. Неймарк и Н. А. Фуфаев (1965) установили теорему об устойчивости равновесия неголономной системы при действии возмущающих сил.

В. Румянцев (1967) исследовал вопрос о применимости теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия к неголономным системам, рассмотрел обращение этой теоремы и изучил влияние диссипативных сил на устойчивость равновесия таких систем.

2. Неустановившиеся движения. Изложим восходящий к работам Н. Г. Четаева (1945—1946) метод построения функций Ляпунова для уравнений возмущенного движения вида

•^ = R 口!+ …+ PsnXn + Rs^^Xni t) (s = 1, . . ., n), (8.1)

где psr (i) — непрерывные (или кусочно-непрерывные) ограниченные функции t, 7?6 (胃 1,...,胃九,i) — голоморфные функции xs с ограниченными коэффициентами, начинающиеся с членов не ниже второго порядка малости по %$. Сущность его состоит в следующем (Н. Н. Красовский, 1959). Системе (8.1) ставится в соответствие линейная система уравнений

(8.2)(8.2)%s = %1胃1 + • • • + ^sn^n»

(8.2)

(8.2)

для которой квадратичная функция V (胃)определяется однозначным образом согласно теореме Ляпунова из уравнения

2 券(%口1 + • • • + csnx^ = W (x),(8.3>

где W (x) — произвольно заданная определенно-положительная функцияг если только корни характеристического уравнения

Il%rf А|| = 0(8.4)

для системы (8.2) таковы, что ни для каких целых неотрицательных чисел т§, равных в сумме 2, не уничтожается выражение 彳/^儿.За числа сsr принимаются или psr (力°), или psr (оо), или psr (i*), где i* — некоторый момент времени (i0< i* < оо), или величины (1/Т)，psr (力)dt и т. д. о

Таким образом построенная функция V (%) используется для исследования системы (8.1), причем при определенных условиях удается определить параметры системы таким образ ом, что устойчивость или неустойчивость системы (8.2) имеют место одновременно и для системы (8.1). Пусть, например, все корни уравнения (8.4) имеют отрицательные вещественные части (Re А$ < 0). Зададим определенно-положительную функцию

п

W = N ^ij^i^j (&J = dji)

и построим определенно-отрицательную функцию V (^) = £ 〃订◎時， удовлетворяющую уравнению (8.3). В силу уравнений (8.1) найдем

卩=W 3) + N 1电乂卩汴—cjh)十 akj (Pjt — Cji)l ^i^j H- N aij^j-^i (爲力)，

Так как каждую функцию Ri можно представить в виде п

R(2,力)=2 hik (ж, t)冲，(8.5)

то производная Vf принимает вид

『口 2 [&左 + 〃叮(pj左一Cjk) 4- a^j (pjt—Cjt) + dijhjk + akjhjt] £»*к =

=> е^дз .k

Условия определенной положительности функции Vf имеют вид 卩 (i = 1, ..., n; p. = const >0),

где A? — главные диагональные миноры матрицы ||е访 ||.

Эти неравенства и позволяют оценить значения ограниченных параметров hfj и 卩仃—勺力 при которых невозмущенное движение n§ = О асимптотически устойчиво в сиду системы уравнений (8.1), а также найти оценку области притяжения.'

Эти приемы построения функций Ляпунова для систем (8.1) получили большое распространение и успешно применялись многими авторами

(М. А. Айзерман, 1946—1947, 1951—1952; В. И. Зубов, 1953; Н. Н. Красовский, 1959; И. Г. Малкин, 1952; В. В. Румянцев, 1956; В. М. Старжин- ский, 1952—1953, 1955; А. П. Тузов, 1955, и многие другие).

Отметим, что представление функций Rt в. виде (8.5) и последующий анализ условий устойчивости зависят от выбора переменных 胃加 Эти задачи могут быть весьма упрощены удачным преобразованием переменных Xj и, в частности, линейной заменой у； = 2 仇Я>

Получаемые достаточные условия устойчивости в значительной степени определяются тем, какими были выбраны форма W (胃)и линейная система (8.2). Варьируя форму W (%), можно получить более или менее широкие достаточные условия устойчивости и оценки области притяжения. С этой точки зрения В. М. Старжинский (1952—1953, 1955) исследовал некоторые линейные системы с переменными коэффициентами второго, третьего и четвертого порядков. Ему удалось получить эффективные достаточные условия устойчивости, содержащие только верхние и нижние границы изменения коэффициентов уравнений. О связи этих условий с некоторыми другими можно познакомиться по обзору Старшинского (1954).

Н. Г. Четаев (1945) предложил также параметрическое рассмотрение уравнений вида (6.3). Если ни для какого 力》力° не существует целых неотрицательных чисел т$, ^ms = 2, для которых уничтожается выра- 8

жениегде А$ — корни уравнения А (А) = || psr — 6srX || = 0, то

для таких значений i будет существовать квадратичная форма V = —2 азт^8хт с ограниченными коэффициентами asr = ars, зависящими от i, удовлетворяющая уравнению

2 (Psi^i + • • • + Psn^ =—』嗚(8.6)

S8

в котором i играет роль параметра. В силу уравнений (6.3) ее полная производная по времени

8

Если для всех 力》力° производные а8Г ограничены, а все главные диагональные миноры £>» дискриминанта D = || aTS — 8sr || удовлетворяют неравенствам (—i)rDr > p. > 0, то Vf будет определенно-отрицательной функцией 胃§. При этих условиях, если V представляет определенно-положительную форму, невозмущеиное движение будет устойчиво; если V еще и допускает бесконечно малый высший предел, то устойчивость будет асимптотической. Если же V допускает бесконечно малый высший предел и может принимать отрицательные значения, то невозмущенное движение неустойчиво.

Параметрическое рассмотрение может быть практически полезно, когда коэффициенты psr (i) медленно меняются с течением времени.

Очень полезный прием варьирования функций V (胃,i) при подгонке их к данной системе уравнений, предложенный также Н. Г. Четаевым, заключается в умножении V на некоторую функцию 屮(胃,i). Этот прием был применен в ряде работ (Б. С. Разумихин, 1956; А. А： Лебедев, 1957; Н. Н. Красовский, 1959, и др.). Предположим, что корни уравнения II Р" — SsrX К = 0 при каждом фиксированном 力》力° удовлетворяют

неравенству Re А/ V у V 0 (/ = 1, . . ., п). Тогда существует определенно-положительная функция У = 2 〃6尸/胃尸, удовлетворяющая уравнению (8.6), коэффициенты которой будем предполагать дифференцируемыми. Функцию Ляпунова возьмем в виде

/(瑞 t)^e^V {х. i).

В силу системы (6.3) ее полная производная по времени

广=*[-2磅+2 (喝+ P&j) 2匐=吵(2,力)*. i=r i, j=l

Так как W <рШах 3 ^L где ршах — наибольший корень уравнения

II cij — p^ij II = 0> Ctj= —3订 +〃各+ Р&力(8.7)

то для определенной отрицательности W достаточно выбрать 0 (力)таким образом, чтобы корни уравнения (8.7) удовлетворяли неравенству Ртах < а < 0. Это условие задает верхнюю границу 0 (力)для функции §'(%). Для того чтобы функция / (胃,i) была определенно-положительной, надо потребовать выполнения условия §(%)>%> — оо, для чего достаточно выполнения неравенства

g P(i) dt = N^ —оо..о

В качестве функции 0 (i) можно выбрать наибольший корень уравнения II 喝一(1 — а) р〃叮一3仃 II = 0, взятый с обратным знаком.

•Близкий к методу Четаева возможный способ построения функций Ляпунова для линейных уравнений с переменными коэффициентами предложил Я. Н. Ройтенберг (1958). Этот способ состоит в выделении из коэффициентов уравнений части, не зависящей от времени. Система преобразуется так, чтобы выделенная постоянная часть имела канонический вид, корни характеристического уравнения которой были бы простыми. Функция Ляпунова V строится далее в виде суммы квадратов новых переменных со знаком минус. Условия устойчивости доставляются условиями определенной положительности Р\ накладывающими на переменные части коэффициентов некоторые ограничения. Успешность решения задачи зависит от удачного разделения уравнений на постоянную и переменную части. Для большей гибкости процедуры предлагается варьировать функцию Ляпунова введением коэффициентов перед квадратами переменных. Этот способ Я. Н. Ройтенберг (1965) распространил в дальнейшем на линейные уравнения в конечных разностях. Роль производной функции Ляпунова здесь уже играет в силу системы первая разность функции Ляпунова (см. Ю. И. Неймарк, 1958).

. Устойчивость систем автоматического регулирования. Для теории автоматического регулирования представляет интерес исследование устойчивости систем вида

пп

集=2&产)+仇/9)，ст=2 CiXl(&j,仇，& —const). (8.8)

3=1£=1

Функция / (о) описывает характеристику сервомотора или аналогичных нелинейных звеньев. Предполагается, что / (о) принадлежит к классу непрерывных функций, причем

о/(о)>0 при о 声 0, /(0) = 0. (8.9〉

При этом различаются основной случай, когда все корни характеристического уравнения разомкнутой системы || az； — 3订А || =0 лежат в левой полуплоскости, простой критический случай, когда имеется один нулевой корень, а остальные лежат в левой полуплоскости, и общий критический случай, когда все корни этого уравнения расположены в левой замкнутой полуплоскости (из них произвольное число — на мнимой оси).

А. И. Лурье поставил для системы (8.8) задачу: определить параметры так, чтобы невозмущенное движение 胃=0 было устойчиво в целом при всех функциях / (о) из рассматриваемого класса. Для решения этой задачи А. И. Лурье и В. Н. Постников (1944) предложили плодотворный прием построения функций Ляпунова в виде суммы квадратичной формы и интеграла от / (о) с переменным пределом вида

п ст

V = 2 虫严》時十卩 \ / (и) du (р. = const). (8.10) г, j= 1 0

Здесь е^ — некоторые специальным образом подобранные коэффициентыг зависящие от п параметров. Для указанных параметров Лурье получил систему квадратных уравнений, наличие вещественного решения которых гарантирует устойчивость в целом. Для п<4 условия существования решения этих уравнений были найдены в явном виде (А. И. Лурье, 1951).

Метод Лурье был развит в работах А. М. Летова (1953—1962), П. В. Бромберга (1953), И. Г. Малкина (1951), Р. А. Спасского (1954) и многих других авторов, причем в наиболее общей форме Е. Н. Розенвас- сером (I960) и В. А. Якубовичем (1963). Близкие методы построения функций Ляпунова вида (8.10) были рассмотрены в работах Н. Н. Красовского (1954—1959), В. В. Румянцева (1956), Б. С. Разумихина (1956), Е. А. Барбашина (I960), В. А. Плисса (1958) и др. В этом же направлении интенсивно работает большая группа американских ученых (С. Лефшец, Г. Сеге, Ж. Ла-Салль, Р. Калман, Дж. Бертрам, Дж. Пирсон, К. Мейер и др.).

Первое время предполагалось, что условия устойчивости, полученные по методу Лурье, могут быть расширены путем использования всех функций Ляпунова вида (8.10). Однако в работах В. А. Якубовича (196Q; 1964), Р. Калмана (Proc. Nat. Acad. Sci., 1963, 49 : 2), M. А. Айзермана и Ф. Р. Гантмахера (1963) было доказано, что условия, получаемые по методу Лурье, на самом деле охватывают все условия, которые могут быть получены при помощи функций Ляпунова вида (8.10). Другой плодотворный подход к проблеме абсолютной устойчивости систем (8.8), не связанный с использованием функций Ляпунова, был разработан румынским математиком В. М. Поповым (1959—1961), предложившим некоторое частотное условие устойчивости.

Метод Попова был развит и использован многими учеными. В. А. Якубович (1962—1964), Р. Калман (1963), М. А. Айзерман и Ф. Р. Гантмахер (1963) установили, что в основном случае критерий Попова эквивалентен условиям, которые получаются по методу Лурье.

Таким образом, трудами многих ученых была решена проблема Лурье разыскания необходимых и достаточных условий существования функции

Ляпунова вида (8.10), каковыми оказались условия, получаемые по методу Лурье, или частотное условие Попова.

Эти важные исследования были затем распространены на системы с гистерезисными нелинейностями, с разрывными нелинейностями и неединственным положением равновесия и др.

Более подробно с работами, связанными с задачей и методом Лурье, можно познакомиться по обзорам А. М. Летова и А. И. Лурье (1957), А. М. Летова (I960) и Ф. Р. Гантмахера и В. А. Якубовича (1965).

Метод Лурье построения функций Ляпунова вида (8.10) нашел широкое применение также при решении одной задачи из теории автоматического управления, поставленной М. А. Айзерманом (1949). Эта задача состоит в следующем. Наряду с системой уравнений

п п

器=2 ag + 2 м•加⑵) (8.11)

рассмотрим линейную систему пп

赞=2 atjXj + 2仇制产•/(8.12)

и предположим, что при изменении параметров h»j системы в области

自/V岳)V及行(8.13)

или в области

ktj《htjWKij(8.14)

(加打,Ktj ——const)невозмущенное движение胃=0асимптотическиустойчиво в силулинейнойсистемы уравнений(8.12).Требуетсявыяснить,

будет ли асимптотически устойчивым при любых начальных возмущениях решение 胃=0 нелинейной системы уравнений (8.11), если нелинейные функции /и (胃力 удовлетворяют неравенству

初V竺2 V及订(8.15)

или неравецству

(8.16)

при xj 声0. Непрерывные нелинейные функции /订(况力，удовлетворяющие условиям (8.15), условно отнесем к классу (а), а удовлетворяющие условиям (8.16) — к классу (б).

Задаче Айзермана посвящено большое число исследований (Е. А. Бар- башин, 1952; А. П. Дувакин и А. М. Летов, 1954; Н. П. Еругин, 1952, 1955; Б. А. Ершов, 1953; Н. Н. Красовский, 1953—1955; А. М. Летов, 1953, 1955; А. И. Лурье, 1955; И. Г. Малкин, 1951 — 1953; В. А. Плисс, 1957; А. П. Тузов, 1955, и многие другие).*

Задача Айзермана для случая п = 2 исследована Н. П. Еругиным (1950, 1952), указавшим многие случаи, когда задачи (а) и (б) имеют положительное решение. Для решения этой задачи он применил качественные методы исследования траекторий на плоскости ^, ^2- Эти работы привлекли внимание многих ученых как к этой задаче, так и вообще к задачам устойчивости в целом. Построением функций Ляпунова по методу Лурье И. Г. Малкин (1952) показал, что для случая п — 2 задача (б) имеет

положительное решение. Н. Н. Красовский (1952) показал, что задача (а) имеет отрицательное решение, чем и была обоснована необходимость- различать задачи (а) и (б). Случай п = 3 подробно исследован В. А. Плис- сом (1958). Он обнаружил также следующее важное обстоятельство: при zz》3 при выполнении для системы с нелинейностью обобщенных условий Гурвица возможны периодические движения. При п > 3 указаны некоторые соотношения между коэффициентами 〃仃,для которых задача имеет положительное решение (А. И. Огурцов).

Об устойчивости движения по первому приближению

Рассматривая уравнения возмущенного движения вида ,

崇=必口1+ • • • +Ps“2n 十 Xs, (9.1}

А. М. Ляпунов установил теоремы об устойчивости и неустойчивости по первому (линейному) приближению

d j ~ Psi^i + • • •十 Psn^n ，(9.2>

и в этом видел свое главное Достижение. Для случая установившихся движений, когда р8Г = const, эти важные теоремы были доказаны построением квадратичных функций Ляпунова для уравнений первого приближения и применением этих функций для исследования полных уравнений возмущенного движения. В случае неустановившихся движенийг когда psr = Psr (%), теорема об устойчивости по первому приближению- для правильных систем была доказана Ляпуновым при помощи некоторых рядов, удовлетворяющих уравнениям возмущенного движения. Впоследствии эта же теорема Ляпунова об устойчивости была доказана Н. Г. Четаевым (1946) построением квадратичной функции Ляпунова. Кроме тогог были доказаны теоремы о неустойчивости по первому приближению для правильных систем (Н. Г. Четаев, 1944), а также теоремы об устойчивости и неустойчивости по первому приближению для неправильных систем (Н. Г. Четаев, 1948). Последние две теоремы Четаева сформулированы следующим образом.

Пусть система дифференциальных уравнений первого приближения не есть правильная; ©ели все ее характеристичные числа больше а, та невозмущенное движение устойчиво, а если среди ее характеристичных чисел найдется по крайней мере одно отрицательное, численно большее о, то невозмущенное движение неустойчиво.

Здесь о — некоторое положительное число, такое, что S + 卩=：——о, где S — сумма всех характеристичных чисел нормальной системы решений xsr уравнений первого приближения, а р. — характеристичное числ*о функции А-1, причем А — || xsr\\^ Для правильных систем (9.2) о = 0. В 1945 г. Четаев доказал, что если при неограниченном увеличении i коэффициенты ри (i) стремятся к определенным пределам &), то наинизтее характеристичное число системы (9.2) совпадает с наинизшим характеристичным числом предельной системы.

В качестве следствия из этой теоремы получается следующий критерий устойчивости по первому приблюкению. Если элементы матрицы II си II таковы, что действительные части корней характеристического уравнения |匕订一3订厶 || = 0 отрицательны, то невозмущенное движение д=0 асимптотически устойчиво.

Рассматриваемый способ Ляпунова — Четаева доказательства этих теорем впоследствии многими авторами использовался для решения вопроса об исследовании поведения траекторий системы уравнений

.— = Х$ (/],.…，хп,力)+ Rsхп,力)(s = 1, • • • 1 也)(9.3)

по уравнениям системы первого (не обязательно линейного) приближения ~^~ = Xs5・.、，3：mt)(s= 1, . . n),(9.4)

траектории которой обладают некоторым известным свойством и для которой может быть построена функция Ляпунова V с соответствующими свойствами. При этом требуется определить те вариации Rs правых частей уравнений возмущенного движения (9.4), при которых функция V продолжает сохранять свои свойства и в силу полной системы (9.3).

Так, в случаях, исследованных Ляпуновым и Четаевым, функции Xs (/, i) представляют собой линейные формы переменных xs с постоянными или непрерывными и ограниченными коэффициентами pST^ Rs (/, i) представляются рядами по целым степеням /§, начинающимися членами не ниже второго порядка малости, с о гр аниченными коэффициентами. Критерий Ляпунова был обобщен Э. Коттоном и К. П. Персидским (1936-1937).

И. 3. Штокало (1946) дал критерий асимптотической устойчивости нулевого решения (при достаточно малом е) линейной системы

穿=(厶+汇"加，"，

где Л, Сц — постоянные матрицы, а 卩 пробегает конечное число значений.

Н. П. Еругин (1948), пользуясь одной теоремой Штокало, показал, что при условиях Штокало относительно линейной системы будет асимптотически устойчиво и нулевое решение нелинейной системы

п

器- =^j PvklJv + Rh(У1，• • • , Упч 力)

(1KM%川《К匂；+...+呢))， где К — постоянное.

И. Г. Малкин (1951) рассмотрел случай, когда функции Xs в уравнениях (9.3) представляют собой формы Х『(/) zn-го порядка (тп>1) переменных xs, не зависящие от 力 а функции Rs в области i>0, | xs | ^Н непрерывны и удовлетворяют неравенствам

|%1V4{1勺| +…+|^1}7(9.5)

где Л (> 0) — некоторая постоянная. Он доказал, что если невозмущенное движение асимптотически устойчиво в силу уравнений первого приближения (9.4), то то же самое будет справедливо и в силу полных уравнений, при любом выборе функций R§, удовлетворяющих условиям (9.5), если только постоянная Л достаточно мала.

В случае, когда члены наинизшего порядка в уравнениях возмущенного движения зависят от времени, дело обстоит сложнее. В этом случае условие асимптотической устойчивости для уравнений первого

приближения недостаточно, вообще говоря, для обеспечения устойчивости в силу полной системы уравнений, а с другой стороны, это условие не является необходимым (К. П. Персидский, 1936—1937; О. Перрон, Math. Z., 1930, 32 : 5).

Для уравнений вида (9.1), кроме критериев Ляпунова и Четаева, предложены и другие критерии устойчивости по первому приближению.

Критерий И. Г. Малкина (1934). Если для уравнений первого приближения существует допускающая бесконечно малый высший предел знакоопределенная функция V (х, i), производная от которой есть знакоопределенная функция противоположного знака, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво при любом выборе функций R§, удовлетворяющих условиям (9.5) при т — i, если только постоянная А достаточно мала.

Критерий К. П. Персидского (1936—1937). Если для уравнений первого приближения при любых %>%о》О выполняются неравенства

I xsj (i,力°) I < 瓦-(9.6)

где 笈 и a — положительные постоянные, не зависящие от i0, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво при любом выборе функций Ns, удовлетворяющих условиям (9.5) при т — 1, если только постоянная А достаточна мала.

Эти два критерия эквивалентны между собой, а также с критерием Перрона (1930), однако они не эквивалентны критерию Ляпунова (см. И. Г. Малкин, 1935; К. П. Персидский, 1936—1937).

Эти критерии означают, что если неустановившееся движение xs = =0 асимптотически устойчиво в линейном приближении и если при этом возмущенные движения xs (力 i0) линейного приближения удовлетворяют оценке (9.6), характерной для асимптотической устойчивости линейных систем с постоянными коэффициентами, то имеет место асимптотическая устойчивость в силу полной .системы уравнений (9.3) при условиях (9.5), где т = 1. Н. Н. Красовский (1959) обобщил этот критерий на задачи устойчивости по первому приближению и в тех случаях, когда правые части уравнений первого приближения (9.4) представляют собой однородные формы от xs произвольного порядка т^\ с переменными по i непрерывными и ограниченными коэффициентами. Именно, справедлива следующая теорема. Пусть решение ^ = 0 системы уравнений (9.4) удовлетворяет неравенству

II 胃 w М 力)II尸《[笈 II 死 ЦГ1 + a(力一％)]T•

Можно указать такое число Л > 0, что решение 胃=0 систему (9.3) будет также асимптотически устойчивым, если только выполняется условие (9.5).

Е. А. Барбашин и М. А. Скалкина (1955) показали, что если для некоторых уравнений вида (9.4), где Xs ——произвольные нелинейные функции, удовлетворяющие условиям Липшица, выполняется оценка (9.5), то невозмущенное движение 胃§ = 0 асимптотически устойчиво в силу полных уравнений вида (9.3) при любом выборе функций &, удовлетворяющих неравенству (9.5) при тп = 1, если только постоянная А достаточно мала.

И. Г. Малкин (1938) предложил еще один критерий. Невозмущенное движение асимптотически устойчиво при любом выборе функций Rs (胃，i), удовлетворяющих условию (9.5), если вместо неравенств (9.6), фигури-

рующих в критерии К. П. Персидского, будут выполняться при всех i > > i0 > 0 неравенства

I xSj (i,力0)I v 瓦眈e-a(iQ),

где В и а — не зависящие от i0 положительные постоянные, а постоянная § (>0) удовлетворяет неравенству 0 V (2/п — 1) а.

С рассматриваемым кругом вопросов тесно связано понятие грубости системы. Критериями устойчивости по первому приближению выяснено, таким образом, что существует некоторая граница R (%1, • . ., /九)抬 О при /，0, такая, что при \ Rs | <i? свойства траекторий полной (9.3) и приближенной (9.4) систем уравнений возмущенного движения одинаковы. Системы, обладающие устойчивыми относительно произвольных, достаточно малых вариаций свойствами (К§，0 при 胃声 0), называются грубыми системами.

Н. Г. Четаев ([1953] I960) называл грубыми те нелинейные системы (1.1), для которых вопросы устойчивости корректно разрешаются довольно простыми приближенными способами. Разумеется, наибольший интерес привлекают системы, для которых задача об устойчивости движения сводится к рассмотрению линейных уравнений (9.2) с постоянными коэффициентами.

Допустим, что коэффициенты psr имеют вид

Per = ^sr ~Ь ®/вГ»-(9*7)

где csr — постоянные, 8 — параметр, /sr ——ограниченные вещественные функции переменных 力 и 伤 в области (1.4).

Если корни уравнения || csr — 6srX J| = 0 таковы, что при любых целых неотрицательных ms 2%$m$#0, причем 27n$ = 2, то в силу

S8

теоремы Ляпунова уравнение в частных производных

'^t "^~(C$W1 + ・・・ + ^sn^n) —'^t 况；=U (况)

88

однозначно определяет квадратичную форму 2V = 2 ^sr^s^r- При численно достаточно малых е > 0 и р. > 0 производная『в .силу уравнений (9.2) при учете (9.7) удовлетворяет условию

—『一卩 2 戏=2 h8TxsxT > 0 при 2 遣抬 0.SS, Г8

Асимптотическая устойчивость или неустойчивость невозмущенного движения определяется, таким образом, постоянными cST. Величины А и е определяются при этом неравенствами Сильвестра для формы ^hSTxsxT. Четаев отмечает возможность варьирования оценки чисел е и Л за счет изменения формы U (况)и тем самым возможность получить при оптималь-' ном выборе U наиболее широкие оценки.

Н. Г. Четаев (1951) обосновал возможность применения функций Ляпунова для вычисления оценок качества переходного процесса в системе. Первоначально им была выведена оценка сверху для времени перехода любой возмущенной траектории линейной системы, йачинающейся на сфере 'заданного радиуса А, внутрь наперед заданной малой сферы радиуса 8. Эта оценка получена путем рассмотрения наибольшего и 4 Механика в СССР,том 1

наименьшего значений квадратичной функции V и ее производной『на сфере единичного радиуса. Позже им была получена оценка ([1953] I960) для квадрата радиуса сферы, в которую будет входить в момент t точка в возмущенном движении квазилинейной грубой системы при начальном условии』力^о = с. Здесь xt и хп — наибольшее и наименьшее собственные значения квадратичной формы V, £‘ ——достаточно малая положительная постоянная,入'一наибольший корень уравнения

II4 Е (謬础 + 讃防)—Mr || = 0- 2『=工 bTSxsxT.

Общие соображения, лежащие в основе рассматриваемого метода оценок, применимы во всех случаях, когда может быть построена функция Ляпунова V и эффективно подмечена связь между оценками свойств V и『и параметрами системы.

Метод Четаева оценок свойств систем при помощи квадратичных функций Ляпунова получил широкое распространение, и рядом исследователей были получены полезные для практики эффективные оценки скорости затухания переходного процесса в нестационарных системах.

Неасимптотическая устойчивость не является, вообще говоря, грубым свойством, что легко видеть на примерах. Е. А. Барбашин (1950— 1951) доказал грубость асимптотической устойчивости для стационарных уравнений возмущенного движения в предположении непрерывной дифференцируемости функций Х§ (/)• Грубость асимптотической устойчивости в случае периодических по времени t дифференцируемых функций Х$ (况，力 была показана X. 'Массера. Для общего случая функций Х$ грубость равномерной по {况°,力°} асимптотической устойчивости показана С. И. Горшиным (1948—1949) и И. Г. Малкиным (1954). Из результатов Я. Курцвейля (1956) и X. Массера (1956) следует грубость асимптотической устойчивости в предположении лишь непрерывности периодических функций Х$ (况，t). Н. Н. Красовский (1959) доказал, что некоторое свойство (А) траекторий, эквивалентное в случае асимптотической устойчивости равномерности устойчивости по tQ и 况°, является грубым свойством; если решение 况=0 асимптотически устойчиво (или неустойчиво) и при этом выполняется свойство (А), то эта устойчивость (неустойчивость) является грубым свойством.

Неустойчивость не является грубым свойством уже в случае аналитических функций Xs, причем даже и в случае, когда положение равновесия 况 = 0 является изолированной особой точкой системы (9.1).

Для грубых систем возможно получение оценок порядка допустимых вариаций Rs (况,力),как было указайо выше.

Такие оценки для квазилинейных систем были получены Н. Н. Красовским (1959) в предположении, что функции Xs имеют непрерывные частные производные dXJdx^ удовлетворяющие неравенствам I dXs/dxj\ < L при всех ||况 || V оо. Подобные оценки возможно улучшить, если в качестве приближенной системы (9.4) брать линейную систему (9.2), для которой построение функции V особенно просто. Приемы построения функций V в подобных задачах разработаны А. М. Ляпуновым и Н. Г. Че-

таевым (см. § 8) и приводят к неравенствам Сильвестра, налагающим ограничения на функции Х$. Н. Н. Красовский (1954, 1957) и В. И. Зубов (1953) предложили критерий, налагающий ограничения на частные производные от функций

Теория устойчивости по первому приближению может быть полностью перенесена и на уравнения с последействием (Р. Беллман, Ann. Math., 1949, 50 : 2, и «А survey of the theory ... of linear and nonlinear differential and difference equations», 1949; Э. Райт, Amer. J. Math., 1948, 70:2, Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 1950, 63:1; Б. С. Разумихин, 1956; В. И. Зубов, 1957; В. Е. Гермаидзе, 1957; Н. Н. Красовский, 1959; Ю. М. Репин, 1963, и другие).

Устойчивость при постоянно действующихвозмущениях

В данном А. М. Ляпуновым определении устойчивости предполагается, что возмущающих сил нет в том смысле, что возмущенные движения происходят под действием тех же внешних сил, которые учитываются при определении невозмущенного движения. Задача об устойчивости при возмущающих силах не имеет смысла, если последние ничем не стеснены. Если возмущающие силы меняются от случая к случаю так мало, что их изменение не влияет на линейные члены в правых частях уравнений возмущенного движения, возникает практически важная задача об устойчивости по первому приближению, независимо от членов выше первого порядка в функциях Х$. Эту задачу Ляпунов разрешил своими теоремами об устойчивости по первому приближению. Для случая, когда в уравнениях (9.2) p$r = const и невозмущенное движение устойчиво по первому приближению, Н. Г. Четаев (1946) выяснил те свойства функций Х& в уравнениях (9.1), при которых проходит доказательство теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Он показал, что если для п*роизвольного числа Л > 0, как бы мало оно ни было, функции Х§ могут быть стеснены неравенствами | Х$ | V %, где X обозначает число, построенное по способу Ляпунова в доказательстве его теоремы об устойчивости, то невозмущенное движение будет устойчивым независимо от численных значений Xs.

Исследование устойчивости системы под действием небольших возмущающих сил, учесть которые при составлении уравнений движения практически невозможно, представляет особый интерес. Т1ри этом необходимо рассматривать возмущения не только начальных данных, но и самих уравнений движения, принимающих для возмущенного движения вид (9.3), где теперь Rs (д, •..,况冷,力)обозначают некоторые неизвестные функции, характеризующие постоянно действующие возмущениял относительно которых можно сказать только, что они в каком-то смысле； достаточно малы и удовлетворяют некоторым общим условиям существования решений уравнений (9.3) в окрестности рассматриваемого невоз—. мущенного движения xs = 0； функции R$ (爲 t) не обращаются, вообще； говоря, в нуль в точке 况=0.

Влияние малых возмущающих сил на устойчивость движения механических систем исследовано впервые Н. Г. Четаевым (1935—1936). Он рассматривал устойчивость консервативных систем и возмущающие силы предполагал малыми силами той же физической природы, т.' е. допускающими силовую функцию. Этому же вопросу посвящены работы Н. А. Артемьева (1939), Г. Н. Дубошина (1940), И. Г. Малкина (1944, 1952),

С. И. Горшина (1948—1949), Н. П. Еругина (1956), X. Массера и многих других. Наиболее распространенным является следующее определение устойчивости при постоянно действующих возмущениях.

Определение 8. Невозмущенное движение — решение 况$ = О уравнений (9.4) — называется устойчивым при постоянно действующих возмущенияхч если для всякого положительного числа А, как бы мало оно ни было, существуют два таких других положительных числа Zj и Z2, зависящих от А, что всякое решение xs (力)уравнений (9.3), удовлетворяющее при t =力° неравенству

удовлетворяет при 力 > % неравенству

3^<Л(Ю.1)

каковы бы ни были функции Rs (^, ..., хп,力),удовлетворяющие е области (1.4) условиям

I 凡(芻力)I V%2・(10.2)

В исследованиях встречаются некоторые модификации этого определения. Возможны, например, случаи, когда возмущающие силы в отдельные моменты становятся большими, оставаясь значительную часть времени достаточно малыми. В подобных случаях оказывается полезным следующее

Определение 9. Невозмущенное движение 况$ = 0 устойчиво при постоянно действующих возмущениях, малых е среднем на интервале Т, если для всякого положительного числа А, как 6庆 мало оно ни было, существуют два таких других положительных числа Xi и Х2, зависящих от А, что всякое решение уравнений (9.3), удовлетворяющие при t ~ tQ условию

•2磯о V入1’

удовлетворяет при 力>用 неравенству

каковы бы ни были функции Rs (^, .. ., xn, t), удовлетворяющие при £>力()для всех ^постоянных а$ = /§, 2 as< ^，неравенствам

§ 1&(/,...,%，力)1血<：九2。(10.3)

t

И. Г. Малкин (1944) доказал, что если условие о существовании бесконечно малого высшего предела у функции V, фигурирующее в теореме II Ляпунова, заменить несколько более жестким условием ограниченности частных производных dV/dxs функции V, то невозмущенное движение устойчиво при постоянно действующих возмущениях.

Из результатов Я. Курцвейля (1956) и X. Массера (1956) следует, что если невозмущенное движение (периодическое или установившееся) асимптотически устойчиво, то существует функция Ляпунова, которая обладает времи свойствами из теоремы II Ляпунова и имеет ограниченные частные производные по переменным %$, т. е. удовлетворяет всем условиям теоремы Малкина. Отсюда сразу следует, что для устойчивости устало-

вившихся или периодических движений при постоянно действующих возмущениях достаточно, чтобы они были асимптотически устойчивы в смысле Ляпунова; при этом предполагается, что функции Xs (/,力) обладают непрерывными частными производными первого порядка.

Для частных случаев эта теорема была установлена ранее Н. А. Артемьевым (1939) и Г. Н. Дубошиным (1940).

Из результатов С. И. Горшина (1948—1949) и И. Г. Малкина (1954) следует, что в случае асимптотической устойчивости движения 况=0, равномерной по 况°,力°, движение 况=0 устойчиво и при постоянно действующих возмущениях, в предположении, что функции Xs имеют ограниченные производные dXs/dxj.

П. А. Кузьмин (1957) рассмотрел вопрос об устойчивости при параметрических возмущениях, когда возмущающие силы имеют структуру, полностью определенную полем основных сил невозмущенных движений, и физическое происхождение возмущающих сил связывается с возмущением разнообразных физических параметров, входящих в дифференциальные уравнения движения любой материальной системы. Изложим кратко несколько более общую постановку задачи о параметрических возмущениях, принадлежащую Н. Н. Красовскому (1959). Пусть дана система уравнений возмущенного движения

-d力"=Х$ ^п^ 力，氏，• • *，俄，屮 J.(况 1，• • • , ^nt 力),• • * ,屮 7•(况 1，• • * ,况 71，力))？

(10.4)

правые части которой — известные функции переменных g,力 параметров Pi и функций ф；. Предполагается, что параметры 仇 изменяются в пределах некоторой области в Л-мерном пространстве ｛仇｝, функции ф； могут быть выбраны из некоторого семейства функций ｛ф；｝. В качестве приближенной системы для уравнений (10.4) рассматривается система уравнений

等=Х$ 厶汽，・一，健，喟，...，咽)， (Ю.5)

получающаяся из (10.4) при некоторых фиксированных элементах ｛§?｝ и ｛屮扌｝. Эта система рассматривается при «параметрических возмущениях»

凡= X8(况，力支叫一x5(芻厶俨，叫， (10.6)

структура которых определяется характером зависимости функций Х& от р и ф, а также семейством функций 屮 и допустимой областью изменения параметров 0.

При учете структуры функций Rs оказывается возможным получать достаточные критерии устойчивости или неустойчивости, более близкие к необходимым, чем получаемые без учета структуры К§・ Функцию Ляпунова V следует строить таким образом, чтобы ее структура учитывала зависимость от р и ф. Если при каждом наборе 0 и 屮 из допустимых областей их изменения функция V (爲 t, р,屮)будет обладать в силу урав-. нений (10.4) нужными свойствами, то задача устойчивости будет решена.

Е. Гермаидзе и Н. Н. Красовский (1957) рассмотрели действие возмущений, достаточно малых в среднем. Они доказали, что если решение 况=0 асимптотически устойчиво равномерно по 况°, tQ, то имеет место устойчивость при постоянно действующих возмущениях, ограниченных в среднем. Задача об устойчивости при возмущениях, малых в среднем, изучалась также И. Вркочем (Чехосл. матем. ж., 1959, 9 : 1). Н. Н. Красовский (1959) показал, что при наложении на равномерно асимптотически

устойчивую систему достаточно быстрых колебаний, хотя бы и не малой амплитуды, последние не могут сильно расшатать такую систему.

Были исследованы также аналогичные задачи об устойчивости для уравнений с запаздывающим аргументом (Ю. М. Репин, 1957). Е. А. Бар- башин (1961) исследовал задачу об осуществлении программного движения % = Л (力)при импульсных возмущениях. Были изучены также некоторые задачи об устойчивости при случайных возмущениях Rs с известными вероятностными характеристиками (И. Я. Кац, Н. Н. Красовский, 1960; Р. 3. Хасьминский, 1962, и другие).

Все упомянутые задачи обладают общими свойствами, а именно: 1) в практически, интересных случаях эти задачи приводятся к задаче устойчивости по Ляпунову; 2) асимптотическая устойчивость движения % = 0 является достаточным условием его устойчивости при постоянно действующих возмущениях описанных типов (по крайней мере для установившихся и периодических невозмущенных движений); 3) для исследования новых задач устойчивости при различных возмущениях Rs пригодны классические методы теории Ляпунова, модернизированные в соответствии с особенностями этих задан.

К рассматриваемому кругу вопросов весьма близки задачи об оценках приближенных интегрирований, широко применяемых при исследовании прикладных задач. Разнообразные приближенные способы исследования могут рассматриваться как приемлемые лишь при возможности получения оценок их результатов по сравнению с истинным решением. Вопросы оценок приближенных методов имеют много общего с задачами об устойчивости движения и допускают применение метода функций Ляпунова (Н. Г. Четаев, 1957). Действительно, пусть тем или иным способом найдено приближенное решение

xs = us(t)(Ю.7)

системы уравнений (1.1) и требуется сравнить его с истинным решением xs = us (t) + & ($=1, . . ., n). Пусть Л и X — некоторые заданные положительные постоянные.

Определение 10. Приближение (10.7) имеет (Л, К)-оценку, если при начальных отклонениях ^s0, удовлетворяющих неравенству 2 皆о《 《％, для всякого 力 > 力。согласно уравнениям (1.1) будет соблюдаться уело- еие ^Ц С А..

Отклонения 気 удовлетворяют системе уравнений

-^~ = Psl^l + • • ■ + РзтЛп + /$，

где psr — некоторые непрерывные ограниченные функции 厶 а

t^X^u^,“6)一譬一士"忐.

Н. Г. Четаев доказал, что если функции psr таковы, что существует ■допускающая бесконечно малый высший предел определенно-отрицательная функция V (&, . . .,力)，удовлетворяющая условиям

+2(「$&+•••+ Psn in)》W 鬻，2l^rl>0

для всякого £ > £о в области 2 駕《4, и если в области 厶《2 敏《力

S8

значения функций fs стеснены неравенствами | /$ | V %, то имеет место (Л, Х)-оценка.

Теория устойчивости при постоянно действующих возмущениях развита также для уравнений с запаздываниями времени.

§ 11. Исследование устойчивости в критических случаях

Случаи, когда решение задачи об устойчивости не может быть получено из рассмотрения уравнений первого приближения, были названы А. М. Ляпуновым критическими. Решение задачи об устойчивости было дано Ляпуновым для установившихся движений в случаях, когда характеристическое уравнение системы первого приближения имеет 1) один нулевой корень, 2) пару чисто мнимых корней, 3) два нулевых корня с одной группой решений для системы второго порядка (а также для системы (п + 2)-го порядка, как выяснилось в 1963 г. при изучении архива А. М. Ляпунова), и для некоторых случаев периодических движений.

Теории критических случаев по Ляпунову посвящена обширная литература, непрерывно пополняемая до настоящего времени. При этом основным методом исследования критических случаев оказался второй метод Ляпунова — Четаева. Первой после Ляпунова работой в этой области была, по-видимому, работа И. Г. Малкина (1933), в которой доказана неустойчивость невозмущенного движения для системы второго порядка вида

:(И-1)

黑="田 + y色+1)+ . . . =y (Л, m>2)

в предположении, что кривые X = О, У = 0 не имеют общих ветвей, в случаях, когда: 1) меньшее из двух чисел тп и 小一четное, 2) числа т = к четные, если при этом система уравнений первого приближения

dx —dy — тл(т)

не допускает интеграла вида U (况,у) = const, где U (况,у) — знакопостоянная форма.

Первое общее решение задачи об устойчивости по формам тп-го порядка в критическом случае двух нулевых корней с двумя группами решений было дано Г. В. Каменковым сначала для случая двух переменных (1935), а затем для общего случая 孔 十2 переменных (1936). Было показано, что при исследовании устойчивости системы (п + 2)-го порядка в случаях, не существенно особенных, когда вопрос об устойчивости решается по формам конечного порядка, можно перейти к эквивалентной задаче об устойчивости для системы второго порядка. Даны теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости по формам тп-го порядка в случаях, когда функция

F0 = xY(m)-yX(m)

является знакопеременной или знакопостоянной, и по формам не только тп-го, но и сколь угодно высокого, но конечного порядка, когда функция Fq — знакоопределенна. Например, для системы вида (11.1) доказано,

что если выражение R。^ хХ^ + yY^ < 0 на всех решениях уравнения Fo = 0, то невозмущенное движение 况=у = 0 асимптотически устойчиво, а если /?0 > 0 хотя бы на одном решении уравнения Fo — О, то невозмущенное движение неустойчиво.

Аналогичные результаты несколько иным путем были получены И. Г- Малкиным (1937), рассмотревшим, кроме того, случай, когда порядок формы больше т и правые части присоединенной системы имеют переменные коэффициенты, являющиеся ограниченными непрерывйыми функциями времени. В этой работе Малкин дал обобщение теоремы Ляпунова об устойчивости в особенном подслучае случая одного нулевого корня на случай А нулевых корней, когда уравнения возмущенного движения допускают семейство установившихся движений, зависящее от А произвольных постоянных. Впоследствии М. А. Айзерман и Ф. Р. Гантмахер (1957) показали, что эта теорема Ляпунова — Малкина может быть использована для исследования устойчивости положений равновесия неголономной системы.

Случай двух нулевых корней с одной группой решений при наличии присоединенной системы исследован до конца Г. В. Каменковым (1936) (решение Ляпунова было опубликовано в 1963 г.).

Фундаментальные результаты по устойчивости в критических случаях изложены в работе Г. В. Каменкова (1939). Здесь изложены результаты автора 1935—1936 гг., а также рассмотрен ряд новых случаев, в частности, случай одного нулевого и пары чисто мнимых корней характеристического уравнения, двух пар чисто мнимых корней при условии отсутствия резонанса и общий случай т нулевых корней с т группами решений, 2п чисто мнимых (при отсутствии резонанса) и q корней с отрицательными вещественными частями. Исследовались также аналогичные случаи для уравнений с периодическими коэффициентами. Здесь рассмотрен вопрос о возможности перехода от полной системы уравнений возмущенного движения к «укороченной», содержащей лишь критические переменные, и показано, что такой переход всегда возможен в несущественно особенных случаях при суждении об асимптотической устойчивости или неустойчивости. В случае же неасимптотической устойчивости знак производной функции V может быть изменен членами порядка, большего N. Показано также, что критическая система с /n-кратным нулевым корнем, которому отвечает т групп решений, и с 2п чисто мнимыми корнями при отсутствии резонанса преобразуется в новую систему уравнений с (тп + п)-кратным нулевым корнем, которому соответствует /п 十孔 групп решений. Для систем с n-кратным нулевым корнем с п группами решений доказано, что для неустойчивости невозмущенного движения достаточно, чтобы хотя бы на одном вещественном нетривиальном решении системы уравнений

Fsh = xkX^-xsX^ = 0

(для какого-либо фиксированного Аи$=1,...,后——1,左十1, . . ., n) n

выполнялось неравенство Ro = 2 xs^^ > 0* Доказательство этой теоремы основано на данном Г. В. Каменковым обобщении теоремы Врио и Буке, впоследствии развитом В. И. Зубовым (1957). Результаты Г. В. Каменкова по сведению были развиты И. Г. Малкиным (1942), сформулировавшим свои результаты в форме первой основной теоремы о критических случаях.

Допустим, что невозмущенное движение у$ = 0 для «укороченной» системы

&j = д$1У1 + • • * + д$^у^+ У$(力 у】，• * у^,。，•…，。)=У$(力力，・**，у^) устойчиво, асимптотически устойчиво или неустойчиво вне зависимости от членов порядка выше N• Тогда, если разложения функций X)(力 у。. . ., yh, 0, . .0) начинаются членами порядка не ниже

7V *1, то и невозмущенное движение у$ =况)=0 для полной системы

-視==，$1勿 + • • • + д$^у^ + г $10 + • • •十 sn^n + У $ (力 у】,• • •, у^,况 i, • • • > 况冷)) dxj

.凉―=p〃g + • • • + pjn^n + Xj (力，况, хп)

соответственно устойчиво, асимптотически устойчиво или неустойчиво.

Здесь Ys и Xj — ряды по степеням у$,况力 сходящиеся в области t >

> 0, I xj j < Я, \ ys\ <ZH и начинающиеся членами не ниже второго порядка. Коэффициенты этих рядов, а также qsi,厂订 мр* — ограниченные- и непрерывные функции времени. Коэффициенты р$『таковы, что для системы линейных уравнений

dxj

~^- = PjWl+ • • • + Pjnxn существует определенно-положительная квадратичная форма

V (况，^) > а2 2 遺 (а2 = const > 0), удовлетворяющая уравнению

Некоторое уточнение формулировки этой теоремы сделано В. Н. Постниковым (1942). Доказательство И. Г. Малкина (1942, 1952) дано небезупречно, что отметили Н. П. Еругин и Г. В. Каменков. Во «втором издании книги И. Г. Малкина (1966) неточность исправлена. Обсуждаемая теорема известна в литературе под названием «принципа сведения». Для рассмотренных Ляпуновым критических случаев этот принцип фактически был им введен и играет центральную роль при изучении критических случаев всеми последующими авторами. В процессе использования принцип сведения подвергся различным усовершенствованиям. В последнее время этот принцип получил весьма существенное развитие в работах В. А. Плисса (1964).

И. Г. Малкин (1951) исследовал также критические случаи двух пар чисто мнимых корней и одного нулевого и пары чисто мнимых корней* для установившихся движений, причем предложенный им метод приводит к значительно более простым вычислениям, чем в методе Г. В. Каменкова. Аналогичные случаи исследованы Малкиным (1951) и для периодических движений путем преобразования уравнений возмущенного движения к такому виду, чтобы в нем члены до порядка N имели постоянные коэффициенты. При этом задача сводится к задаче критических случаев установившихся движений.

При исследовании критических случаев устойчивости периодических движений С. В. Калинин применил метод осреднения периодических коэффициентов. Этот метод был применен им к решению задачи в критических случаях одного нулевого корня (1948—1949), пары чисто мнимых корней (1957), двух нулевых корней (1959), двух пар чисто мнимых корней (1961), нескольких нулевых и чисто мнимых корней (1961). Такой способ при использовании принципа сведения оказался эффективным и позволил решить также некоторые прикладные задачи (С. В. Калинин, 1958, 1962, 1965). С. В. Калинин (1957) также показал, что метод Ляпунова исследования критических случаев одного нулевого и пары чисто мнимых корней можно несколько видоизменить в сторону сокращения выкладок.

При исследовании случая одного нулевого корня Ляпунов предполагал правые части уравнений (1.1) возмущенного движения голоморфными функциями. В. С. Ведров (1937) обобщил результаты Ляпунова для случая, когда предполагается лишь дифференцируемость функций Xs в окрестности точки xs ~ 0. Н. Н. Красовский (1955) показал, что в критическом случае одного нулевого корня об устойчивости можно судить также по поведению собственных чисел Zf (^,...,方冷)матрицы Якоби II dXs!dxj II, а именно: если в некоторой окрестности точки 况$ 工 0 все собственные числа этой матрицы имеют отрицательные вещественные части, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво, если же в каждой точке окрестности 况$ = 0 имеется собственное число с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво.

Для случая системы двух уравнений аналогичные теоремы в более общих критических случаях были доказаны Н. Н. Красовским (1953) и Р. Э. Виноградом (1955).

А. М. Абаньшин (I960) исследовал случай 小 нулевых корней, которым отвечают 小一1 групп решений уравнений вида (1.1) с правыми частями Х$, не зависящими явно от времени. При различных предположениях относительно структуры функций Xs он доказал ряд теорем, главным образом о неустойчивости.'

Рядом авторов исследованы критические случаи трех нулевых корней с одной группой решений (М. Ятаев, Д. Курмашев, 1961; М. Ятаев, 1963; Е. Т. Софронов, 1963, 1965) и четырех нулевых корней (Г. Даиров, 1964, 1966) и установлены при некоторых предположениях теоремы об устойчивости и неустойчивости.

Задача устойчивости в критическом случае п пар чисто мнимых корней (без присоединенной системы) при условии отсутствия внутреннего резонанса исследована А. М. Молчановым (1961) по первым нелинейным формам преобразованной к специальному виду («модельная система») исходной системы уравнений возмущенного движения. Он установил теорему, согласно которой невозмущенное движение асимптотически устойчиво, если для «модельной системы» все нейтральные и неустойчивые лучи лежат вне положительного конуса х (ра>0). Лучами автор называет особенные направления «укороченной» системы; лучи соответственно устойчивы, нейтральны или неустойчивы, в зависимости от движения по лучу изображающей точки (к началу координат, неподвижна или уходит от начала координат). Кроме того, доказано, что если для «модельной системы» хотя бы один неустойчивый луч находится внутри положительного конуса х (ра > 0), то невозмущенное движение неустойчиво. В случае, когда внутри положительного конуса 乂 (ра > 0) находится хотя бы один нейтральный луч, рассмотрением «модельной системы» вопрос 6 устойчивости не решается.

Для системы с тремя парами чисто мнимых корней при наличии присоединенной системы решение вопроса об устойчивости дано В. Г. Веретенниковым (1966). Следуя Г. В. Каменкову, автор приводит задачу к исследованию системы трех уравнений в критическом случае трех нулевых корней с тремя группами решений. Для этой системы на основании теоремы Каменкова указываются заведомо неустойчивые случаи, исключая которые автор приводит задачу к рассмотрению трех случаев, в зависимости от знака выражения R° на вещественных прямых Fsj = 0. Для случая, когда /?° < 0, с помощью функции Ляпунова доказывается асимптотическая устойчивость невозмущенного движения по формам третьего порядка. Для случаев, когда К°》0, дается решение задачи по формам выше третьего порядка путем построения соответствующих функций Ляпунова. Эти результаты переносятся на случай периодических движений при наличии трех пар сопряженных мнимых корней характеристического уравнения, по модулю равных единице.

Для случая пары чисто мнимых корней на двух примерах уравнении с так называемыми симметричными нелинейностями Л. А. Длугач (1965) применил интересный способ исследования устойчивости путем замены правых частей уравнений их наилучшими (по Чебышеву) линейными приближениями, причем критический случай перестает быть таковым.

В одной из последних работ Г. В. Каменкова (1965) завершено исследование критического случая двух нулевых корней с двумя группами решений, начатое автором в 1934 г. Здесь исследован случай, когда на прямых, определяемых решением уравнения

Fo^xY(m)-yX(m) = O, выражение

• 国三 сХ(峭 + yY(m) = 0,

т. е. когда вопрос об устойчивости не решается формами m-го порядка. Доказан ряд теорем об устойчивости как по формам (т + 1)-го, так и более высокого конечного порядка. Показано также, что критический случай пары равных по модулю единице корней характеристического уравнения для периодических движений, исследованный Ляпуновым лишь для иррационального 入①/冗,приводится в случае рационального 入з/п к случаю двух нулевых корней с двумя группами решений.

Последние работы Каменкова (1966—1967) посвящены исследованию устойчивости периодических движений. Здесь доказана общая теорема о том, что задача об устойчивости периодических движений в случаях, несущественно особенных, всегда приводится к задаче об устойчивости равновесия. Анализируются различные случаи, которые могут при этом представиться. Если среди корней характеристического уравнения имеются по модулю равные единице и выполняются условия отсутствия резонанса в числах до порядка N включительно, то подсистема с 2P переменными, соответствующая этим корням, преобразуется в подсистему с р нулевыми корнями с р группами решений. Если же условия отсутствий резонанса не выполняются, то каждой паре мнимых сопряженных корней соответствует в преобразованной системе два нулевых корня. Каменков (1967) обобщает свои ранее полученные результаты по принципу сведения на системы с периодическими коэффициентами, а также на системы с произвольными непрерывными и о гр аниченными коэффициентами. Разработанный Каменковым принцип сведения основан на существовании для «укороченной» системы функций Ляпунова или Четаева, вследствие чего

он применим в случаях асимптотической устойчивости или неустойчивости пе формам TV-го порядка. Каменков доказал также теорему об устойчивости в существенно особенных случаях.

В нескольких работах (М. С. Сагитов, А. Н. Филатов, 1965; Нго Ван Выонг, 1966, ПММ, 30: 4; М. С. Сагитов, 1966) рассматривается вопрос о неустойчивости для системы вида

g = %+ Xf, У£ = У^, Z$= 2 Psk^k + Z$ (^ ~ 1, • • •, s=l,...，孔)

при частных предположениях относительно структуры функций X：, Y^ZS.

С теорией критических случаев устойчивости тесно связан вопрос о поведении динамических систем вблизи границ области устойчивости в пространстве параметров. Границей области устойчивости называется совокупность всех тех точек пространства параметров, в которых по крайней мере один из корней характеристического уравнения является критическим. Так, для линейной системы уравнений возмущенного движения с постоянными коэффициентами устойчивость может теряться либо когда по меньшей мере один из корней характеристического уравнения становится равным нулю, либо когда два корня становятся чисто мнимыми; в этих случаях уничтожаются либо последний, либо предпоследний из определителей Гурвица. В первом случае уравнения возмущенного движения будут иметь новую последовательность равновесий, проходящую через отвечающую точку, а во втором — последовательность периодических движений (Н. Г. Четаев, 1946).

Когда уравнения возмущенного движения нелинейны, вопрос о существовании периодических движений рассматривали А. А. Андронов (1937} для уравнений второго порядка и П. А. Кузьмин (1939) для уравнений второго и третьего порядков, а вопросы о поведении траекторий как в области точек бифуркации, так и в точках ответвления периодических орбит исследовал Н. Н. Баутин (1950). Последний показал,что в рассматриваемых случаях поведение динамической системы вблизи границы области устойчивости определяется ее поведением на самой границе. Те границы области устойчивости, на которых невозмущенное движение устойчивог называют «безопасными», а те границы, на которых оно неустойчиво,— «опасными». Нахождение «опасных» и «безопасных» границ сводится к решению задачи устойчивости в критических случаях. Впоследствии эти результаты были развиты в работах ряда авторов (А. И. Лурье, 1951; И. Г. Малкин, 1952, и другие).

К рассматриваемому кругу вопросов близки задачи устойчивости в случаях, близких к критическим, когда характеристическое уравнение наряду с корнями с отрицательными вещественными частями имеет, по крайней мере, один корень с малой положительной или отрицательной вещественной частью (Г. В. Каменков, 1963). Для этих случаев дано определение устойчивости, ослабляющее требования определения Ляпунова к величинам начальных возмущений. Для систем второго порядка исследованы вопросы существования и устойчивости предельных циклов.

Используя метод Чаплыгина приближенного интегрирования дифференциальных уравнений, Г. И. Мельников (1963—1965) исследовал характер затухания переходного процесса в случаях одного нулевого и пары чисто мнимых корней, и близких к этим. Г. А. Кузьмин (1967) исследовал случаи: 1) двух малых по модулю комплексно сопряженных корней и 2) одного нулевого и пары комплексно-сопряженных корней с малой положительной вещественной частью

Теория критических случаев для уравнений с запаздываниями времени развивается успешно С. Н. Шимановым (1953), причем за исходный пункт им принято рассмотрение этих уравнений как операторных уравнений в функциональном пространстве. Шиманов предложил практические приемы построения «функциональных» интегралов систем с запаздываниями и указал приемы вычисления функций, определяющих устойчивость или неустойчивость систем.

§ 12. Об устойчивости движения на конечном интервале времени )

В определении 1 устойчивости по Ляпунову предполагается неограниченный полуинтервал изменения времени 方》％о, а также зависимость числа А, определяющего область возможных начальных возмущений, от числа Л.

Во многих инженерных задачах требуется удовлетворить выписанным в определении 1 устойчивости неравенствам (1.3) и (1.4) при заданных значениях А, Л за ограниченный промежуток времени от начального момента времени 方° до некоторого момента Т. Так возникает задача об устойчивости в конечном на конечном интервале времени.

Этой задачей, начиная с тридцатых годов, занимался ряд ученых. Постановка задачи, как и первые результаты в этой области, принадлежат Н. Г. Четаеву (1934—1935, 1940), показавшему тесную связь прямого метода Ляпунова исследования устойчивости движения с мыслью А. Пуанкаре о применении характеристик Кронекера для качественного изучения дифференциальных уравнений. Разработанный Четаевым (1936, 1938) метод изменения функций для вычисления характеристик Кронекера позволяет в ряде случаев решить задачу об устойчивости в конечном за ограниченный промежуток времени.

Задачей об устойчивости в конечном за ограниченный промежуток времени при наличии возмущающих сил занимался Н. Д. Моисеев (1945, 1949), давший подобной устойчивости термин «техническая^ (1946). В его работах (1945—1946) приведено определение технической устойчивости и исследованы некоторые простые системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, встречающиеся в теории регулирования. Вопрос технической устойчивости решается их интегрированием с последующей грубой оценкой квадратур. В некоторых случаях вычисления упрощаются благодаря приобщению отдельных членов к возмущающим силам. В результате этого условия устойчивости, естественно, огрубляются.

В другой работе Н. Д. Моисеев (1949) привлекает к решению задачи технической устойчивости неравенство Боля (1900) и дает некоторые его обобщения. Неравенство Боля относится к решениям системы дифференциальных уравнений, правые части которых удовлетворяют условиям Липшица. Полученные критерии технической устойчивости, определяющиеся только константами Липшица, просты для расчета, но весьма грубы.

Н. Г. Четаев (1949, I960) дал постановку задачи о (^,.Л, t0, Z.)~ устойчивости, получающуюся из постановки первой задачи Ляпунова при фиксированных заданных значениях величин X, A, i0, Т. Четаев отметил, что задачи об устойчивости в конечном за ограниченный промежуток времени при действии подходящим образом стесненных возмущающих сил можно в известном смысле накрыть некоторой задачей об

устойчивости в смысле Ляпунова. При этом, если требуется, возможно изменять правые части дифференциальных уравнений соответственным образом в областях

у 加 V 九，AC^xl^H

для всякого 方》％о и в области

^ < 2 ^s < ^4

для значений 方 > 7, так как в задаче Ляпунова за начальный момент времени можно выбрать любой момент времени на интервале (%, Т). Необходимо только, чтобы для преобразованных уравнений функции Ляпунова обладали оговоренными у Ляпунова свойствами, начиная с заданного ^0, и чтобы для заданного числа Л получаемое по методу Ляпунова число 厶 превышало или равнялось заданной для 厶 величине. Это обстоятельство, как подчеркнул Четаев, делает прямой метод Ляпунова весьма ценным для тех из прикладных задач об устойчивости в конечном за ограниченный промежуток времени, для которых существует накрытие задачей Ляпунова. Четаев отметил также, что не всякая задача о (厶，/,方о, Z)-ycToii4HBocTH при возмущающих силах может быть накрыта задачей Ляпунова.

Некоторые соображения по вопросу о накрытии задачей Ляпунова задачи о (X, A, t0, ^-устойчивости высказаны А. М. Летовым (1962). В целом этот метод ждет дальнейшей разработки. Н. Г. Четаевым (1949) отмечена также возможность решения задачи о (X, А, ^0, 7)-устойчи- вости путем использования полученных им неравенств для функций Ляпунова. Рассматривая экстремальные значения функции 2Р‘ 二 ^hsrxsxrr где hsr = —6sr + Vae^ (arifis + asifir), представляющей собой производную от функции Ляпунова 2P = 2 牝川吊 для системы вида (9.2), s,r

где psr = csr + £储，на поверхности Р = е, автор получает неравенстваtt

Vo exp I Kidt^V < Vo exp \ A' dt,(12.1)

где 厶！ и 厶‘ 一наименьший и наибольший корни уравнения

II 2瓦Г -• %Гa J] = 0.

Пусть V — определенно-положительная квадратичная форма, с — точный максимум V на сфере 2%^ =厶，。——точный низший предел V' на сфере 工濃=/• Тогда | 70 | < с и для (А, Л, %, ^-устойчивости достаточно удовлетворить неравенству

t

С > с ехр § 汇 dt(12.2)

для всякого t на интервале [方山 7].

Неравенства вида (12.1) применены Четаевым также при параметрическом рассмотрении уравнений вида (9.2) с переменными коэффициента-

ми Psr(i) и могут быть использованы для задач о (X, A, tOl Z)- устойчивости. Указанные неравенства имеют общий характер и справедливы при произвольной функции V безотносительно к знакоопределенности производной. Например, в той же работе (1949) Четаев применяет это неравенство с определенно-положительной квадратичной формой V = —2濃 для вычисления высшего и низшего пределов характеристичных чисел решений системы уравнений вида (9.2). Неравенство с такой функцией Увпоследствии было применено также к решению задач (А, Л, i0, Т)- устойчивости (Чжан Сы-ин, ПММ, 1959, 23: 4).

Дальнейшие исследования других авторов касались главным образом линейных дифференциальных уравнений возмущенного движения вида (9.2), применительно к которым давались различные модификации неравенств Четаева.

Приведением квадратичной формы V к каноническому виду по методу Якоби А. Д. Горбунов (1950) и Б. С. Разумихин (1957) из неравенства (12.1) вывели оценку

|^|<]/ уо-^ехр| ГЛ.(12.3)

Здесь Дп — дискриминант квадратичной формы V, a A&i — минор, получающийся вычеркиванием из последнего столбца и строки с номером s. В последующих работах Горбунов (1952, 1954) распространил оценку (12.3) вариацией произвольных постоянных на системы с возмущающими силами (в правых частях уравнений (9.2) добавляются слагаемые 力 ⑺).Чжан Сы- ин (1959) с помощью неравенства Гельдера несколько упростил подобную оценку. К. А. Карачаров и А. Г. Пилютик (1962) также несколько упростили оценки такого вида, используя неравенства для миноров A^i • Кроме того, в их работе все указанные оценки систематизированы, особо разобран случай V = 2〃§ (%)成 и рассмотрены некоторые примеры.

Для неравенств Четаева дается вывод, основанный на экстремальных свойствах регулярного пучка квадратичных форм.

Этому же вопросу посвящена работа С. К. Персидского (1959), который вывел оценку вида (12.3) для случая, когда нелинейные члены (возмущающие силы) ограничены по модулю величиной а || х || 1+₽ (а, |3 > 0).

В работе А. Г. Пилютика и П. А. Талалаева (1965) приводятся некоторые соображения о преимуществах неравенств Четаева вида (12.1) по сравнению с другими оценками и дается способ построения квадратичной формы У. Функция V строится по методу Ляпунова как решение уравнения

2J ~ {Psi^i + •…+ Psn^n) ~ '^l “66 (%)遣・

S6

Для выбора 〃бб ⑺ предлагается некоторое правило, преимущество которого в сравнении с выбором uss ⑺=—1 демонстрируется на примере.

Иной смысл вложили в понятие устойчивости на конечном интервале времени Г. В. Каменков (1953) и А. А. Лебедев (1954). Различные варианты определения устойчивости на конечном интервале времени, данные в их работах, резюмированы в совместной статье авторов (1954),

Определение 11. Невозмущенное движение устойчиво на конечном интервале времени [^0» 方о + т], если в пространстве (忆丄,...,忆卩) может быть указан цикл Р (n^ • •.,忆也,％) = / , обладающий на этом интервале следующими свойствами^

диаметр D (%) области

V (%i，今，％)《4(12.4)

не превышает начальный диаметр D (i0);

при всяких начальных возмущениях n^, удовлетворяющих условию

Р (%10» • • • 1 第九0，％0)《/, возмущения 厶 ⑴ удовлетворяют неравенству (12.4).

Г. В. Каменков (1953) определяет область (12.4) под видом

£ у! = 2 一(〃6口1 + • • • + ^sn^n^ «力，det II 〃ij II ^= 0. S— 1s— 1

Постоянные *j выбираются так, чтобы в переменных г/1? . . ., уп уравнения возмущенного движения (в первом приближении) имели в момент времени t0 канонический вид, т. е. чтобы была жордановой матрица

l|^|l•||^■(^o)||•||aгJ■||-1.(12.5)

Промежуток времени т в этой работе заранее не задается и поэтому термин «устойчивости на конечном интервале времени» здесь не совсем оправдан.

Решение такой задачи возможно на основании исследования одной матрицы И ри (^о) II- В зависимости от свойств корней характеристического уравнения || ри (%) — 6厅厶 || = 0 Каменков указал все случаи, когда вопрос о наличии или отсутствии устойчивости в указанном смысле не зависит от членов выше первого порядка малости. В случае устойчивости Каменков указал способ определения оценки снизу для величины интервала т, отметив при этом, что эта оценка не определяет максимального значения времени t, гарантирующего соблюдение неравенства (12.4).

А. Лебедев (1954) изменил определение Каменкова, предположив числа Лит заданными, и на основании предложенной Каменковым оценки для т сформулировал теорему, предполагая для большей общности наличие возмущающих сил специального вида (возмущающие силы не превосходят е (| ^i | + --- 十 | n九 | ))• Такое определение устойчивости близко к определению (X, А,方о, ^-устойчивости при X = Л.

Для улучшения оценки Каменкова Лебедев предложил для момента времени £()十 т снова рассматривать задачу об устойчивости на конечном интервале времени. «Стыковка» этих двух задач возможна лишь при специальных ограничениях, когда возмущения достаточно быстро уменьшаются со временем. Связано это с тем, что для новой задачи, отвечающей моменту t0 + т, область (12.4) по виду отлична от таковой для момента t0. Это обстоятельство ограничивает применение такого способа продолжения интервала т. Чтобы обойти указанные препятствия, Лебедев (1954) положил коэффициенты 也 переменными, чтобы матрица (12.5) была жордановой для каждого момента времени из интервала [%。，方о + т]. Такое определение имеет смысл, по-видимому, когда Ри (%) меняются либо мало, либо медленно. Полученные в этой работе

результаты представляют оценки возмущений, аналогичные неравенству Четаева (12.1).

К этому кругу исследований относятся также работы В. И. Зубова (1958), В. Г. Штелика (1958), В. П. Рудакова (1962—1963). Во всех этих работах исследуются линейные системы вида (9.2) с непрерывными коэффициентами psr (%); в правых частях допускается также наличие членов выше первого порядка малости. В предположении, что диаметр D ⑺ области (12.4) достаточно мал, авторы дают различные независимые от членов высшего порядка теоремы об устойчивости по первому приближению.

И. Зубов (1958) строит входящую в (12.4) функцию V (n) по методу Ляпунова:

X ^ (Psi (^0)勺 + •…十 Pen (%0)-^n) — W7' (%),8'

где W (n) — определенно-отрицательная квадратичная форма. В результате получаются достаточные условия (вещественные части корней характеристического уравнения А§ (%“ 一 отрицательные) устойчивости на конечном интервале времени, отличные от условий Каменкова.

Г. Штелик (1958), рассматривая область V в виде (12.4), выбирает коэффициенты asr так, чтобы в матрице (12,5) на диагонали стояли корни характеристического уравнения А§ (^0) (комплексные; среди них могут быть и равные), а недиагональные члены были меньше наперед заданного числа п (И. Г. Петровский, 1938). Это дает упрощенные оценки решений и промежутка времени т*

Оценка Каменкова для промежутка времени т была улучшена В. П. Рудаковым (1962) благодаря применению неравенства Четаева. А именно, устойчивость в смысле Каменкова на интервале времени Uo,扑 + т] гарантируется условиями

V (^о) <0, V (i)di<0 при 力oV%《力+ 工・

Условие Каменкова эквивалентно более жесткому требованию a‘⑴Vо при力《方《力

Р. М. Насыров (1964—1966) исследовал устойчивость движения на конечном интервале времени в смысле Каменкова в некоторых критических случаях.

Ж. Ла-Салль и С. Лефшец (1961) проводят рассуждения, аналогично Четаеву (1949, i960), для общего случая уравнений (1.1). Они показали, что если существует такая функция V, что F^ Zo в некоторой области (А) и V> Z вне (Л), то выполнение в (Л) неравенства

vf^(i-i^KT -t^

гарантирует (X, Л,力о, ^-устойчивость невозмущенного движения. В качестве примера исследуется уравнение Ван-дер-Поля.

К задаче о (X, A, t0, 7)-устойчивости близки задачи конечной устойчивости на бесконечном интервале времени, ограниченности решений дифференциальных уравнений, задача оценки точности приближенных интегрирований.

5 Механика в СССР, том 1

В данном очерке рассмотрены лишь некоторые направления многообразных исследований советских ученых по развитию и приложению метода функций Ляпунова в теории устойчивости движения. Вместе с тем следует подчеркнуть, что этот метод нашел разнообразные и широкие приложения и в других областях науки — в бурно развивающейся в последние годы теории оптимального управления и стабилизации, в теории нелинейных колебаний, в общей качественной теории дифференциальных уравнений и т. п. Некоторые из приложений метода освещаются в последующих очерках настоящего тома, в особенности в очерке Н. Н. Красовского (стр. 179—243). Метод функций Ляпунова оказался весьма эффективным во многих разделах науки, и нет сомнения, что и в дальнейшем он будет развиваться и находить все новые области приложений, являясь мощным средством количественного и качественного исследования.

ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА

Н. П. ЕРУГИН

Запишем систему п обыкновенных дифференциальных уравнений в виде

n = nP (%) + /(化，力)，/(0,方)=0,(1)

где Р ⑺ — матрица n-го порядка, а и / векторы: n =(勺，..得)， / = (/i, •…/J Тогда n = 0 есть решение системы (1). Это решение по Ляпунову называется устойчивым, если для любого £ > 0 найдется такое 6 > 0, что

丨第(%)|《£,方》％ при |n«o)|《6.(2>

Если, кроме (2), имеет место еще

|/(%)|—>0 При 方 Т8,(3)

решение n = 0 называется асимптотически устойчивым. Точку n = О* будем называть точкой покоя.

Задача теории устойчивости состоит в том, чтобы найти условия^ при' которых имеется устойчивость, асимптотическая устойчивость или неустойчивость.

А. М. Ляпунов предложил два метода решения этой задачи. Второй метод, грубо говоря, состоит в следующем. Если нам удалось построить такую дифференцируемую функцию V (n, /), что V (①，力 > 0 при n 声 О, V (n, 9fo равномерно относительно t при ^ -> 0 и 7 (^, %)》£ + 0 при I % I》6> 0, то решение n = 0 устойчиво, если при этом

Если В. силу уравнений (1) Ь V 0 и Р (爲 ％) -> 0 при ^ -> оо, то решение n = 0 и асимптотически устойчиво. Например, это будет иметь место, если — ^ (%, %) > W (n) > 0 и Р (х, t) —> 0 равномерно относительно t при n -> 0. При таком решении вопроса мы не имеем формул для решения n (%) и, кроме факта устойчивости, имеем мало сведений о поведении решений, начинающихся вблизи n = 0. Правда, иногда по скорости убывания функции V (力 n) при £ -> 0 можно судить о скорости убывания I n I f 0. Второму методу Ляпунова посвящен предшествующий обзор В. В. Румянцева (стр. 7—66); здесь мы не будем касатьсй этого метода,, отмечая лишь иногда его значение в разных случаях.

Первым методом Ляпунов назвал такой метод исследования, ког^ да удается построить решение заданной системы дифференциальных

уравнений, откуда мы получаем вывод о том, устойчиво нулевое решение или нет.

В основе этого метода лежит особая форма построения общего решения в окрестности точки g =…=%九=0 системы дифференциальных уравнений

Xs = psl(t)Xi+ . . . +psn(t)xn+ 』Р 俨 mn) (t) X^1 ... X^n,

皿+...+?71九》2

где все коэффициенты — непрерывные, ограниченные в области ^ > ^0 Функции. Ляпунов сделал еще следующее предположение:

卅竺…⑴ IV 而(s=l,(4，)

где функции Ms ⑺ во всяком конечном промежутке 方о《％С7 имеют конечную точную верхнюю границу Ms (Z), a Ak (^) — точную нижнюю границу Ak (7), отличную от нуля, т. е. Ms (i) <MS ⑺ V oo, О V/丸(7)久 <Лй (i) при 扑《％ V Т (здесь Ms (7) и Ak(7) — обозначения точных границ). Тогда правые части уравнений (4) сходятся при всех t из промежутка 方о《％ V 7 и при I %/г I V Ak (7). Частным случаем такой системы будет тот, когда Ms (7) и Ak (Z) можно выбрать независимыми от Т. Это будет, например, когда коэффициенты Р^т^ ■ -^)(i) не зависят от t.

Решение такой системы А. М. Ляпунов нашел в форме

厶=公1> 十 n肾>+. .(5) где

Ng" ^^ %N§] + ... + ^n^sn ($ ^^ 1，也)，(6)

X^=\\ xsi II — матрица фундаментальной системы решений уравнений

N$ Psi (%)立1 + ' * * + Psn (%) Nr (S = 1，. . .，7Z),(7)

соответствующей системе (4); 'a^ • • ., an — произвольные постоянные, a n$) (s — 1, . . ., n; Z>2) — однородные полиномы от а1? . . ., ап, являющиеся решениями неоднородной линейной системы

厶=Psi (%)立1 + ■ • • -Ь Psn (力)^n + A；)(%) (S = 1, • •.,也).

с начальными условиями n『)(％) = 0 при А》2. Здесь 7?$)(%) — однородные полиномы степени Z от &, . . ., ап, коэффициенты которых определены через известные уже 忌”)⑺ при v < Z и коэффициенты рядов (4). Ляпунов доказал, что построенные им ряды (6) сходятся абсолютно и равномерно относительно t в промежутке 方心《％<7 при |〃^|&g, где g находится через 7 и Л < Лй (t). Заметим еще, что если X (^0) = 7, ТО N§ (%о) ~— 〃§(S 1, . . W)•

Как видим, эта теорема Ляпунова отличается и от теоремы Пикара и от теоремы Коши как предположением относительно правых частей уравнений (4) (здесь относительно ^ правые части лишь непрерывные и подчиненные условиям (4‘), а относительно 忆丄,...,忆冷一голоморфные), так и конструкцией решения. Ряды (5) представляют собой общее решение уравнений (4) в окрестности точки t ~ tonxs = 0 (s = 1, . . ., n).

Отметим еще, что здесь по любому Т найдется g ^= 0, но может случиться, что g —> 0 при 7 —> оо, т. е. для некоторых систем (4) мы не можем построить решения, начинающиеся в окрестности точки n§ = 0, при всех 方》方°. Далее Ляпунов показал, как нужно, опираясь на эту теорему^

построить решение системы (4), чтобы оно для некоторых систем довольно общего вида оставалось представимым в таком виде при всех 方》％()• Это последнее делает теорему существования Ляпунова принципиально отличной от других. И, кроме того, из такого построения решений мы получаем важные сведения о качественной картине поведения решений в окрестности точки покоя, что не было возможно при других построениях решений в вещественной области. Такое аналитическое построение решений системы (4) основано на некоторых свойствах решений линейной системы (7), которую Ляпунов назвал первым приближением системы (4).

Чтобы сформулировать основную теорему Ляпунова, мы должны изложить глубокую классификацию линейных систем (7), которую ввел Ляпунов и которая лежит в основе многих работ (в особенности, появившихся у нас в стране после 1940 г.).

Вещественное число 厶 называется характеристическим числом ) функции n (%) (может быть, комплексной), если z (%) exp [—(厶 + a) ^] —> 0 при t f g и любом a > 0, a n (%) exp [(— X + a) %] неограничено. Если n (%) exp (財 f 0 при любом р, то характеристическое число функции n (%) равно — оо. Если же n ⑴ exp (財一неограниченная функция при 方—оо при любом 卩，то характеристическое число n (%) равно +оо. Каждая непрерывная функция n (%) имеет характеристическое число. Если имеется система функций %i (%), • •・,n九(％), то наибольшее характеристическое число этих функций называется характеристическим числом системы. Ляпунов доказал, что все - (ненулевые) решения системы (7) имеют конечные характеристические числа. Всего различных характеристических чисел система (7) имеет не больше п. Если рм в (7) постоянные, то характеристическими числами этой системы будут вещественные части характеристических чисел матрицы коэффициентов Р = || рм ||. Всегда можно построить такую фундаментальную систему решений, что сумма их характеристических чисел s = 厶丄 + ••• +厶九 будет наименьшей. Ляпунов доказал, что s +卩》0, гдер ——характеристическое число функции ехр [—— ，(рн 十.•・ + р 九 ％) dt]. Если s + 卩=0, то система (7) называется правильной. Ляпунов ввел еще в рассмотрение приводимые системы. Пусть у^ уп — новые неизвестные функции, определенные равенствами

化｝г= ElhZks (小=1, (8) 8=1

Для у = (г/1, .. ., г/д) получим систему

y = yQ(t)- (9)

Если можно указать такую матрицу преобразования (8) Z (%) = || z^ (力 ||, ограниченную вместе с Z-工(%), что Q (%) в (9) будет постоянной, то система (7) называется приводимой.

Теперь мы будем предполагать, что для всего промежутка вместо, (47) имеет место неравенство

I I У 工仰+削+.二: в 丿 где Af и Л постоянные. Пусть еще система (7) будет правильной и ..., 厶卩一ее характеристическими числами. Ляпунов показал,*что если в (5)

не требовать n豊(%) = 0 (Л >2), то можно находить 忌幻(%) таким образом, что формально удовлетворяющие уравнениям (4) функции xs (s= 1, . . ., п) найдутся в виде

к

оо^^ TZT ♦九• f

Zs= 3“叫，…,mfe)(i)amia^ei=l \(10)

m!+т2''+你h=11

где a1T . . ., а；г — произвольные постоянные, 加丄,..., 加女 — целые неотрицательные числа, функции 厶器……f) «) не зависят от 仪仆.. а；г и характеристические числа этих функций не больше нуля ). Ляпунов доказал, что если в этих рядах А「...,厶女 отрицательные, а ап . . ., aft по модулю не превосходят некоторого числа а > 0, то ряды будут сходиться абсолютно и равномерно в промежутке t > %. Из вида этих рядов следует, что при достаточно малых | ai |, . . ., | а丸 | будет иметь место | n§ (力)| V ё, где 6 как угодно мало, и | 厶(%) j —> оо при 力一> оо. Если все 九I,卜口 отрицательные, то в (10) можно положить к = п и тогда решения (10) представляют собой общее решение уравнений (4) в окрестности точки 忆女 = 0 (А = 1, . . ., п), т. е. мы получим за счет выбора 出，...,ап решение, проходящее при t = tq через любую точку некоторой окрестности точки 忆女=0 (к — 1, . . ., п). Отсюда же видно, что если выполнено условие (9‘)，система (7) правильная и все ее характеристические числа отрицательные, то решение 忆女=0 (А = =1, . . ., п) системы (4) асимптотически устойчиво. Здесь, таким образом, впервые была доказана асимптотическая устойчивость системы (4) только на основании свойств линейной системы (7) (и общего свойства (9‘)). Это мы получаем из вида общего решения (10) при к = п* Если же 底之 0 только при V = 1, . . ., А < п, то согласно (10) получаем некоторое ^-параметрическое семейство интегральных кривых, входящих при t -> оо в точку равновесия, и точка (n〕 (t), . . ^ хп (Е)) этого многообразия будет находиться в как угодно малой окрестности начала координат, если ее начальная точка взята достаточно близко от начала координат. Такой случай, когда мы имеем устойчивость нулевого решения при условии, что начальные значения являются не только произвольно малыми, а удовлетворяют еще и каким-то соотношениям 九(д(%о),..., лп (%о)) = 0 (к = 1, . . ., п), Ляпунов назвал условной устойчивостью нулевого решения. Существование такого случая мы видим из разложения (10).

А. Пуанкаре в 1879 г. рассмотрел систему вида (4) с постоянными коэффициентами и в том случае, когда вещественные части всех характеристических чисел постоянной матрицы Р = || Pki || отрицательны и различны. Он получил разложение (10). А. М. Ляпунов, не зная работы Пуанкаре, повторил его результат в 1888 г. Мы не будем касаться других работ в этом направлении таких авторов, как Э. Пикар (1896), А. Дюлак (1912), Дж. Биркгоф, К. Л. Зигель или, например, В. А. Плисс (1965). Такой способ решения вопросов устойчивости (или, скажем, качественной теории дифференциальных уравнений), который основан на аналитическом построении семейства интегральных кривых, Ляпунов и назвал первым методом исследования. Заметим еще, что с помощью первого метода Ляпунов доказал устойчивость нулевого решения не только

в том случае, когда система первого приближения (7) правильная, но в некоторых случаях и тогда, кагда эта система не является правильной. Он показал также, что если есть хоть одно 九丸 > 0, то устойчивости (не условной) нулевого решения мы не имеем.

Первый метод, как видим, опирается на теорию характеристических чисел лданейных систем (7), разработанную Ляпуновым. Теория характеристических чисел развивалась и развивается во многих направлениях и относится к разработке первого метода ). У нас эту теорию развивали Ю. С. Богданов, Б. Ф. Былов, В. В. Немыцкий, Р. Э. Виноград, Д. М. Гробман, К. П. Персидский, Н. Г. Четаев (см. Б. Ф. Былов и др., 1966).

Вопрос об устойчивости линейной системы (7) решается непосредственно на основе изучения характеристических чисел этой системы (а иногда еще и структуры элементарных делителей фундаментальной интегральной матрицы решений системы). Но, как видно, и для нелинейной системы вопрос об устойчивости получает полное решение, если все характеристические числа 厶 отрицательные (а система первого приближения правильная или неправильная, но обладает дополнительными свойствами) или если есть хотя бы одно 厶女 > 0. Мы видим, таким образом, что первый метод позволяет не только решать задачу об устойчивости нулевого решения (безусловной или условной), но и получать уравнения интегральных кривых. Вместе с тем, пользуясь этим представлением решений, можно получить различные дополнительные сведения о поведении решений рассматриваемой системы дифференциальных уравнений. Выделяя главную часть этих представлений, можно получить решение с необходимой точностью в виде элементарных функций. При этом мы увидим различное влияние на происходящий процесс параметров, входящих в правую часть рассматриваемых дифференциальных уравнений. Например, если имеет место асимптотическая устойчивость, то можно видеть, как эти параметры влияют на скорость приближения точки (忆丄(i),...,忆冷(%)) к началу координат при i -> оо.

'Мы рассмотрели здесь те случаи, когда вопрос об устойчивости решается полностью на основе свойств решений первого приближения независимо от коэффициентов нелинейных членов.

Представление решений системы (4) в виде (10) лежит в основании всех наиболее глубоких и тонких исследований А. М. Ляпунова по теории устойчивости на протяжении всей его знаменитой диссертации «Общая задача об устойчивости движения» (1892; Собр. соч., т. 2, 1956).

Мы не будем останавливаться на построении решений уравнений в частных производных, которые выполнил Ляпунов и которые также играют .большую роль в теории устойчивости. Что же на основе этого первого метода Ляпунов получил при других предположениях относительно характеристических чисел первого приближения (7)? Те случаи, когда первое приближение (7) имеет только нулевые и отрицательные характеристические числа, Ляпунов назвал сомнительными. В этих случаях характер поведения общего решения или всей совокупности интегральных кривых вблизи начала координат (точки покоя) определяется коэффициентами при нелинейных членах правых частей дифференциальных уравнений. Ляпунов рассмотрел тот случай системы (4), когда коэффициенты pki и Р^' * 酬浦 постоянные и когда одно характеристическое число матрицы Р = || р丸z || нулевое, а все остальные

имеют отрицательную вещественную часть. Как Ляпунов решал вопрос об устойчивости нулевого решения при таком предположении? Он показал, что здесь возможны два случая: 1) существует кривая х^ = хк (с) (к = 1, . . ., п), проходящая через начало координат и состоящая из точек покоя; 2) такой кривой нет.

Второй случай имеет место, если выполнено некоторое неравенство, и тогда нулевое решение будет либо асимптотически устойчивым либо неустойчивым (асимптотически устойчивым при t —> — оо). Этот результат Ляпунов доказал вторым методом и не дал в этом случае построения решения для промежутка t > 力°. Первый случай имеет место, если выполнено бесконечное число некоторых равенств, и тогда в окрестности начала координат Ляпунов строил однопараметрическое семейство интегральных поверхностей

/ (-^1, • •-,忆九，с) = О, окружающих начало координат, т. е. пользовался снова первым методом. Указанная выше кривая пересекается с каждой из этих поверхностей в одной точке. Всякая интегральная кривая в окрестности начала координат, не сходя с некоторой интегральной поверхности, асимптотически приближается к точке пересечения с кривой ). Это последнее Ляпунов доказал с помощью второго метода и тем самым доказал неасимптотическую устойчивость нулевого решения заданной системы дифференциальных уравнений. Можно, однако, показать, что в этом случае Ляпунов мог бы на основе первого метода построить и общее решение в окрестности начала координат, откуда получился бы такой же результат.

А. М. Ляпунов изучил и такую систему (4) с постоянными коэффициентами р丸z и P§(mi酬九),в которой матрица коэффициентов Р = II pki II линейной системы (7) имеет два чисто мнимых характеристических числа, а вещественные части остальных характеристических чисел отрицательны. При таком предположении вопрос об устойчивости нулевого решения Ляпудов решал следующим образом. Пусть решение ищется в виде

g =%奥⑴e + %w⑴成+ ...(左=1,喻(n)

где 力£)(力)一периодические с одним периодом функции, а с — произвольная постоянная. Ляпунов показал, что здесь возможны два случая.

Конечным числом аналитических операций обнаруживается, что такого решения нет. Тогда вторым методом Ляпунов доказал, что или нулевое решение асимптотически устойчиво или неустойчиво (асимптотически устойчиво при t f — оо). При этом общее решение в, окрестности начала координат и для t > t° построить не удается.

Формальное решение (11) с периодическими 力£)(力)существует. Тогда ряды (11) будут сходящимися при | с | < с0. Следовательно, мы имеем однопараметрическое семейство периодических решений. Ляпунов показал, что в этом случае мы имеем и семейство интегральных поверхностей, окружающих начало координат,

F力九)=с.(12)

На каждой такой поверхности расположено одно из периодических решений (11). Вторым методом Ляпунов доказал асимптотическую устойчи-

вость 目тих периодических решений: каждое решение, исходной системы, начинающееся в окрестности начала коордйнат, не сходя с соответствующей интегральной поверхности (12), приближается к периодическому решению (11) на этой поверхности. Этим Ляпунов доказал неасимптотическую устойчивость нулевого решения исходной системы дифференциальных уравнений. Можно, однако, показать, что, пользуясь первым методом, он мог бы и в этом случае построить общее решение в окрестности начала координат, откуда следовала бы неасимптотическая устойчивость нулевого решения.

Оглянемся теперь назад и посмотрим, какие изменения возможны в методах решения вопроса устойчивости, использованных Ляпуновым. Изучая вопрос об устойчивости нулевого решения системы (4) в том случае, когда коэффициенты pki (%) и P^v ••" тп> (力) зависят от t> Ляпунов пользовался только первым методом, формой решения (10). Н. Г. Четаев (1945) эти результаты получил на основании второго метода. В сомнительных случаях (когда правые части дифференциальных уравнений не зависят от 力)Ляпунов либо доказывал вторым методом асимптотическую устойчивость нулевого решения либо неустойчивость (при этом решения в окрестности нулевого решения построить мы не умеем и по сей день), либо в сочетании первого метода (построение интегральной поверхности —интегрального множества) и второго доказывал неасимптотическую устойчивость нулевого решения. Но в этом случае он мог бы построить и общее решение в окрестности нулевого решения^ откуда следует и неасимптотическая устойчивость нулевого решения рассматриваемой системы. Мы видим, таким образом, что в случае асимптотической: устойчивости нулевого решения удается построить функцию Ляпунова V (力 力г ...,力冷),решающую вопрос (это наблюдается и в других исследованиях сомнительных случаев, как, например, в работах И. Г. Малкина, Г. В. Каменкова), но в случае неасимптотической устойчивости всегда привлекается первый метод; здесь в окрестности точки покоя появляется и интегральное многообразие (состоящее из интегральных кривых), которое оказывается асимптотически устойчивым. Хотя, как теперь доказано (Н. Н. Красовский, 1959), и в случае неасимптотической устойчивости существует функция Ляпунова, решающая вопрос, но мы не знаем, как ее построить.

В своем основном сочинении по устойчивости движения А. М. Ляпунов рассмотрел систему второго порядка

^■ = у + Х(2,у), 罂= У(2,у), (13)

где X и У — голоморфные в окрестности точки % = у = 0 функции, не содержащие в своих разложениях членов ниже второго измерения. Здесь мы имеем один из тех сомнительных случаев, когда первое приближение имеет два нулевых характеристических числа. Несмотря на то, что здесь только два уравнения, топологическая картина расположения интегральных кривых в окрестности начала координат может быть весьма разнообразной. Это показано в работах А. Ф. Андреева (1955) и Н. Б. Хаимова (1952). Именно этим и объясняется большое число различных случаев, которые появляются у Ляпунова при полном решении вопроса устойчивости нулевого решения этой системы. Всего здесь имеется 10 различных случаев. И в наиболее трудном случае неасимптотииеской устойчивости, когда вокруг начала координат располагаются периодические решения (неклассический центр, открытый Ляпуновым), Ляпунов

вынужден был построить в окрестности начала координат общее решение системы (4), применяя виртуозную технику преобразований и глубокое проникновение в аналитическую структуру решения. Здесь Ляпунов показал свое изумительное мастерство при построении общего решения, которое поражает и по сей день, через 70 лет, и это при темпах развития науки XX века. Здесь уместно отметить еще одного гиганта — А. Пуанкаре, который в своих первых шагах в науке блеснул талантом, построив в 1878 г. общее решение в окрестности особой точки для уравнения Врио и Буке

хуг =Ку -\-ax-\- 6%2 _]_ СХу + &%2 十..

А. М. Ляпунов во многих из рассмотренных им случаев уравнений (13) доказывает неустойчивость нулевого решения, но открывает некоторую условную устойчивость, когда начальные условия берутся лишь в некотором секторе. Теперь эта условная устойчивость охарактеризована более точно в указанной работе А. Ф. Андреева, так как он аналитически построил во всех случаях граничные интегральные кривые разных топологических качественных ячеек； вокруг начала координат, когда начало координат не есть центр. Рассматривая в целом задачу устойчивости для системы (13), мы видим, что здесь основную роль играет первый метод, и мы не можем указать, как возможно сделать это иначе.

В 1954 г. В. И. Смирнов нашел в архиве А. М. Ляпунова рукопись, в которой рассмотрена система 弘 十 2 уравнений вида (после преобразований)

窑=?/十 Х(2, %勺，2“)，^=У(2, у,勺，...，％),

dx(14)

@才 ~ Psi 力 I 十•• • + Psn^n 十 X§ (%, у,力I,...,力冷)(5 = 1, . . . , W),

где Хч Y и Xs — голоморфные в окрестности начала координат функции, не содержащие свободных и линейных членов *). Эта работа Ляпунова опубликована в 1963 г. под названием «Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения». В этом феноменальном по трудности исследовании некоторые случаи рассматриваются при помощи второго метода, а другие — наиболее трудные — первым методом, построением решений в окрестности начала координат. Здесь Ляпунов вынужден был попутно построить и решения системы типа Врио и Буке:

%方=_3+1" 十% Z (a >0 —целое),

£“+1 dzs —a dx£“+1 dzs —a dxPsizi + …• + Psn^n 十 Z§Psizi + …• + Psn^n 十 Z§(S = 1, .. . , ^),(S = 1, .. . , ^),

£“+1 dzs —a dx

£“+1 dzs —a dx

Psizi + …• + Psn^n 十 Z§

Psizi + …• + Psn^n 十 Z§

(S = 1, .. . , ^),

(S = 1, .. . , ^),

где Z и Z§ — голоморфные функции x, z, z^ в окрестности начала координат. Именно, он рассмотрел вопрос о существовании и природе решений этой системы, стремящихся к нулю вместе с ^ —> 0. Задача сама по себе не из легких. У Ляпунова здесь остался нерассмотренным ) один слу-

чай (по заявлению Ляпунова, очень трудный, который в наше время изучил В. А. Плисс, 1964)、

Во многих случаях Ляпунов вынужден был попутно выявить и качественную, очень интересную, картину в окрестности начала координат, например, вопрос о существовании и множестве периодических решений и их построении, об устойчивости этих решений. В. А. Плисс построил общее решение в окрестности дискретного множества периодических решений, открытых Ляпуновым. Отметим еще, что Н. Б. Мунир (1966) рассмотрел систему

筈=?仅,2),^ = aх + Х(у,х),

где Л — постоянная матрица, все характеристические числа которой имеют отрицательные вещественные части, а У (у, %) и X (у, х) обращаются в нуль при % = у = 0 и в окрестности этой точки имеют непрерывные частные производные. Здесь у и У—скаляры, а %, X — векторы. Мунир при исследовании вопроса об устойчивости решения % = у = О также пришел к однопараметрическому интегральному множеству, в окрестности которого он . построил общее решение (по методу В. А. Плисса).

Мы видим, что вопрос устойчивости иногда можно решить первым методом, иногда вторым, а иногда приходится пользоваться и тем, и дру~ гим, чтобы решить вопрос окончательно. Следует сказать, однако, что иногда в современных методах видоизменяется и первый метод (например, в работах В. А. Плисса и Н. Б. Мунира решение получается некоторым методом последовательных приближений), и второй.

Рассмотрим задачу об устойчивости нулевого решения в большом и в целом. Пусть нулевое решение 力=0 асимптотически устойчиво по Ляпунову, т. е. | х (力)| < е, если | 力(力о)]《В, где е — произвольное, а соответствующее б всегда найдется, и \ х (f) | —> 0 при ^ —> оо. Если' при этом мы можем указать конечную область D (力)такую, что всякий раз I % (力)I -> 0 при 力一> оо, когда х (力°) С。(力)，то решение 力=0 называется асимптотически устойчивым в большом, т. е. в области D (%). Если D (力)一все пространство — оо < ^ft < оо (А = 1, . . ., п), то % = 0 асимптотически устойчиво в целом.

Рассмотрим, например, систему двух уравнений (система М. А. Айзермана)

x = f(x)+ ay,у=Ьх+су,(15)

где а, 6 и с — постоянные, а /(%) подчинена условиям

х (/ (^) + сх) < 0,/ (0) = 0,力(с/(%) — abx) > 0 (力 #0).

Для такой системы мы имеем функцию Ляпунова (И. Г. Малкин)

X

Р = 2 \ [с/ (%) — abx] dx + (сх — ay)2〉0(力抬 0),

о

醬=* ^ +第 i = (/(2)十 С2)(с/(2)— abx) < 0, откуда следует асимптотическая устойчивость нулевого решения системы (15).

Если здесь

\ (с/(力)一abx) dx—> оо при х—> оо, о

то мы имеем асимптотическую устойчивость нулевого решения в целом по свойству функции Ляпунова (Е. А. Барбашин и Н. Н. Красовский, 1952).

Если же указанный интеграл при 力一> оо ограничен, то построением функции Ляпунова мы не можем решить задачу об устойчивости нулевого решения в целом ) — задача решается качественным исследованием поведения решений (Н. П. Еругин, 1950, 1952). Но качественный метод является расширением второго метода, это — не первый метод.

Впрочем, если здесь / (力)一аналитическая функция в окрестности точки ^ = 0, то мы можем построить и решения системы (15) в окрестности начала координат. Роль параметров а, 6, с системы (15) в качественной картине и в быстроте приближения точки х (力),у (力)к началу координат также выясняется другими методами (Н. П. Еругин, цит. соч.). Примером применения второго метода не в форме Ляпунова является работа В. А. Якубовича (1957).

Работы, основанные на методе неподвижной точки преобразования, также являются аналогом второго метода. Этот метод позволяет решить многие вопросы, например, доказать существование периодических, ограниченных, почти-периодических решений. Примерами таких исследований являются многие работы М. Картрайт ), В. А. Плисса (1958, 1964), В. В. Немыцкого (1934, 1936).

Метод неподвижной точки и метод В ижевского использует во многих работах Б. П. Демидович (1949, 1953—1954, 1956, 1961). В сущности это же мы видим в методах функционального анализа (М. А. Красносельский, 1966; А. Н. Еругин, 1966). Следует, однако, сказать, что топологический метод исследования — метод неподвижной точки преобразования —появился еще в работе П. Боля в 1900 г. (см. А. Д. Мышкис. и И. М. Рабинович, 1965).'

Другие формы первого метода мы отметим позднее. А сейчас рассмотрим систему (4) в предположении, что правые части являются периодическими функциями от 力 с общим периодом со. Из таких систем, относящихся к сомнительным случаям, Ляпунов рассмотрел два класса: 1) когда первое приближение имеет одно характеристическое число, равное нулю, а все остальные отрицательные; 2) когда первое приближение имеет два нулевых характеристических числа, а все остальные отрицательные.

Рассмотрим первый класс. Ляпунов показал, что здесь могут встретиться два случая: а) имеется семейство периодических решений вида )

Xk (^) = uV (^) С + U^ (i) с2 + .. ., и^ (t + а) = и^ (t); (16)

6) такого семейства периодических решений нет. Второй случай обнаруживается конечным числом действий (но заранее неизвестно, сколько ■этих действий надо проделать). Если он обнаружен, то, применяя второй метод, Ляпунов показывает, что здесь будет либо асимптотическая устойчивость нулевого решения либо неустойчивость (асимптотическая устойчивость при 力一>—оо). Но до сих пор мы не умеем построить в этом случае в окрестности точки покоя решения в промежутке t > t0. Пусть теперь имеет место первый случай. Тогда, как показал Ляпунов, существует интеграл

尸(勺，.一，力九，方)=%(17)

На каждой из этих интегральных поверхностей при достаточно малом с находится одно из периодических решений (16). Вторым методом Ляпунов доказал асимптотическую устойчивость периодических решений (16) в классе тех решений, которые начинаются вблизи этих периодических решений и расположены на одной поверхности с соответствующим периодическим решением. Как видим, он здесь воспользовался первым методом, так как строил периодические решения (16), но не построил общего решения в окрестности нулевого решения. Можно, однако, показать, что в этом случае Ляпунов мог бы (не обращаясь ко второму методу) построить общее решение по первому методу, откуда получил бы и факт неасимптотической устойчивости нулевого решения.

Перейдем теперь ко второму классу, т. е. пусть первое приближение имеет два нулевых характеристических числа, а вещественные части остальных — отрицательные. Этот сомнительный случай резко отличается от всех предыдущих, так как мы не имеем здесь исчерпывающего анализа проблемы устойчивости нулевого решения. Ляпунов здесь получил следующие результаты. Полагая ), после некоторого преобразования,

^ = г cos y^rsiwd,(18)

он получил систему вида

^■=厶 + 仆(X —постоянное),

^ = Psi^i+ ■ • • + psn^n + (A cos -&+qs sin «•) r+xs, (s = 1,...,九).

Здесь правые части ——функции периодические относительно t с периодом ④ и относительно 仆 с периодом 2л. Для системы (19) Ляпунов поставил вопрос о существовании формального решения вида

f = e +办2%2+办呢3十一，I

где u^ и u^ —^конечные суммы синусов и косинусов от 'О' с со -пер и о диче -• скимт относительно t коэффициентами. Если через конечное число шагов -обнаруживается, что такого решения нет и первая непериодическая функция х(。имеет вид

U(l^gt + v(t,仆)，(21)

где g — отличная от нуля постоянная, a v — конечный ряд синусов и косинусов целых кратностей 仆 с периодическими относительно t коэффициентами, то вопрос об устойчивости нулевого решения системы (4) Ляпунов решает вторым методом.

Но задача становится трудной, если рядами вида (20) можно формально удовлетворить системе (4) так, что все и^ (九仆) и х&)(九 仆) оказываются периодическими функциями t (или если первая непериодическая функция не имеет указанного вида, что возможно лишь тогда, когда числа 入со и 2л; соизмеримы). Во всех прежних случаях мы считали х«) и х£)функциями только от 厶 и если при формальном удовлетворении заданной системе они выходили периодическими, то ряды (20) сходились при малых I с I. Теперь же они могут получиться периодическими функциями от7 (а от -О1 они само собой периодические), но мы не можем указать такого с0 > 0, что при | с | < с0 они будут сходиться. На все пункты своей теории Ляпунов обычно приводил примеры. Здесь он не указал примера такой системы, когда бы ряды (20) получились периодическими функциями относительно 仆 и 力 и сходились при I с I < с0. Но, следуя Пуанкаре, Ляпунов привел пример, когда формально ряды (20) получаются периодическими функциями от t. Именно такими будут канонические системы

生=_初一一"(:, У"), 雾宀+ 叫…), (22) dt о dy at 1 дх 7

где F (х, у, t -^ ay) = F (力，у, t) голоморфна относительно 力 и у в окрестности начала координат и не имеет членов ниже третьего измерения. Но если ряды (20) сходятся при | с | < с0, то они доставляют однопараметрическое семейство ограниченных решений.

При условии существования таких решений Ляпунов вторым методом доказал неасимптотическую устойчивость нулевого решения. Можно, однако, показать, что в этом случае, применяя еще раз первый метод, Ляпунов имел возможность построить и общее решение в окрестности нулевого решения, откуда следовала бы и неасимптотическая устойчивость нулевого решения.

Таким образом, при рассмотрении второго класса остаются открытыми следующие вопросы.

Что возможно в том случае, когда при нахождении формального решения первая непериодическая функция имеет вид, отличный от (21) (это может быть, как показал Ляпунов, лишь в том случае, когда число Хсо/л рационально)? ■

Возможно ли указать систему, для которой имеется формальное решение (20) и этот ряд сходится при | с | < с0?

Как решать задачу в том случае, когда формальный ряд (20) существует, но расходится при всех с *0?

Можно ли во всех этих случаях избежать первого метода при решении вопросов устойчивости нулевого решения? (Нам это кажется мало вероятным.)

Какова роль иррациональности числа 入со/冗 при решении вопроса устойчивости нулевого решения? Другими словами, иррациональность этого числа влияет лишь на аппарат исследования (выбор формы сходящегося ряда) или на факт устойчивости?

Возможны ли формальные ряды (20), являющиеся непериодическими (квазипериодическими) относительно t или периодическими, но не с периодом со, и сходящиеся при | с | < с0?

На эти вопросы можно дать следующие ответы:

Возможны случаи, когда первая непериодическая функция имеет вид, отличный от (21), и в этом случае нулевое решение может оказаться неасимптотически устойчивым.

Можно указать такие системы, для которых формальные ряды (20) сходятся при I с I < с0.

Существуют такие системы, для которых формальные ряды (20) существуют, но не сходятся. В этом случае можно строить ряды вида (20), где коэффициенты не будут периодическими относительно t (будут ква- зипериодическими) или периодическими, но не с периодом со, и будут СХОДИТЬСЯ при I С I V С0.

Можно указать системы, для которых факт иррациональности числа Асо/冗 не имеет значения при решении вопроса устойчивости нулевого решения, но существуют и такие системы, в которых при рациональном Асо/冗 нулевое решение перестает быть устойчивым.

Обстоятельства изменяются, если мы рассматриваем канонические системы. Мы не будем на этом здесь останавливаться (см. Н. П. Еругинт 1966-1967).

Мы не будем останавливаться и на других сомнительных случаях, рассмотренных Ляпуновым, при исследовании которых основную роль играет первый метод. Отметим только, что как в прежних системахт так и в этих последних имеются случаи, когда нулевое решение является асимптотически устойчивым и это доказывается только вторым, методом. Во всех этих случаях мы не умеем строить решения в окрестности точки покоя в промежутке t〉t0. Только в одном случае это удалось сделать в последние годы.

Рассматривая систему двух уравнений

х= —Ху + Х(х, у), y = Xx + Y(x, у), (23)

где X (%, у), У (х, у) — ряды, начинающиеся с членов не ниже второй степени, А. Пуанкаре и А. М. Ляпунов показали, что здесь могут быть два случая, когда

конечным числом операций обнаруживается, что вокруг начала координат интегральные кривые навиваются как спирали (фокус);

вокруг начала координат расположены периодические решения (центр), которые строятся в виде сходящихся рядов

x =%⑴(方)e+%⑵(方)*十一 .，I

y = yll'(t)c + ym(t)c2+ ..J (2分 где с — малая постоянная, и %")(力),у“)(力)一периодические функции с одним периодом. Таким образом, в этом случае мы имеем общее решение в окрестности начала координат в форме (24). В первом случае факт асимптотической устойчивости установлен по второму методу, но до последнего времени не удалось построить уравнения спиралевидных интегральных кривых, закручивающихся вокруг начала координат： И это несмотря на большое'число работ как в XIX, так и в XX веке, посвященных построению интегральных кривых в окрестности начала координат ,несмотря на очень сильный метод Фроммера, который получил у нас большое развитие в работах И. С. Куклеса и А. Ф. Андреева. Только в 1951 г. это в некоторой неконструктивной асимптотической форме удалось сделать М. Хукухара (J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. 1, 1951, v. 6, 297). Затем эту же задачу в совершенно другой форме решил А. Н. Еругин

. Он, в частности, показал, что все эти интегральные кривые асимптотически приближаются к некоторой спирали, входящей в начало координат, которая не является интегральной. Этот метод позволяет рассмотреть и многие другие системы. Можно еще указать на книгу Э. Т. Уиттекера «Аналитическая динамика» (1927; русский перевод: М.— Л., 1937), который проинтегрировал каноническую систему четырех уравнений частного вида.

Мы видели, как изучается окрестность периодических решений, начиная от А. Пуанкаре и Дж. Биркгофа. Теперь окрестность периодического решения изучают и другими методами (В. В. Немыцкий и В. В. Сте- ланов, 1947; Ю. И. Неймарк, 1961), например, методом сечений, развивается метод Р. Гомори (Е. А. Назаров, 1965).

Отметим еще одно направление в изучении канонических систем, которое началось с выступления А. Н. Колмогорова в 1954 г. Он предложил свой метод последовательных приближений для построения решений канонических систем, который нашел применения во многих работах.

Мы рассмотрели трудности, возникающие в первом методе Ляпунова и возможные изменения в построении этих решений, а также указали на другие возможные пути решения этого вопроса.

В работе А. Н. Еругина (1966) высказано предположение о том, что точка покоя системы

/=-器， 力=警， Н = ^-^ + у^^а^ + у^^Р{х, у, i)

(где функция Р (力,У,力 + 2冗) = Р (力,у,力)голоморфна в окрестности точки £ = у = 0,力(х2 + у2)~2 0 при (х2 + у2)т 0 и а 声6) всегда устойчива неасимптотически. При решении этого вопроса, по-видимому, надо идти по пути первого метода. Работы, в которых доказана расходимость ) разных формально удовлетворяющих уравнениям рядов, свидетельствует скорее о том, что аппарат первого метода следует изменить, но не отбросить. Так, например, степенные ряды, формально удовлетворяющие линейным уравнениям в окрестности иррегулярной особой точки, оказались расходйщимися (Пуанкаре), но асимптотическими.

Однако, начиная с работы Н. П. Еругина (1946), на основе первого метода Ляпунова стали строить и равномерно сходящиеся ряды в окрестности этих точек. Таким образом, как мы показали выше, и в вопросах устойчивости при разных конструкциях рядов, формально удовлетворяющих дифференциальным уравнениям, одни из них будут сходящимися, а другие расходящимися. Впрочем, может быть, некоторые классы удастся изучить вторым методом в чистом виде по Ляпунову или другими аналогичными методами.

У истоков теории обыкновенных дифференциальных уравнений во всех трактатах по механике лежит первый метод — непосредственное построение уравнений интегральных кривых, решений дифференциальных уравнений. К первому методу дело сводилось долгое время и после того, когда стало ясно, что решения, получаемые в квадратурах — это явление редкое, случайное. И теоремы существования Пикара и Коши, и теория Фукса строились также на фактическом построении решений в виде сходящихся рядов.

Ближайшие продолжатели работ Ляпунова — такие талантливые математики, как П. Боль (в особенности интересны его методы получе-

ния квазипериодических решений — см. А. Д. Мышкис и И. М. Рабинович, 1965), Э. Коттон (сомнительные случаи — Ann. Ёсо1е norm, super., 1911, 28), О. Перрон (поведение интегральных кривых в окрестности точки равновесия — Math. Z., 1930, 32 : 5) — развивали первый метод Ляпунова в строгом смысле этого слова. Иначе, но также выясняя аналитическую структуру решения, изучал поведение интегральных кривых в окрестности точки покоя И. Г. Петровский (1934). '

Известно, какое большое значение во многих случаях имеет метод малого параметра Пуанкаре ). В наши дни методом малого параметра были получены почти-периодические решения Г. И. Бирюк, И. Г. Малкиным, В. X. Харасахалом, Г. В. Плотниковой, А. П. Проскуряковым и другими. В работах И. 3. Штокало (1946, I960), А. Е. Гельмана (1965), И. Н. Блинова (1965) были получены квазипериодические решения линейных систем дифференциальных уравнений. Многие вопросы устойчивости и периодических решений рассматривались П. Б. Голоквосчусом.

Остановимся на методе И. 3. Штокало. Он рассматривает вопрос об асимптотической устойчивости нулевого решения системы вида

■^ = X[/ + 0% (方)叫，

где Л — постоянная матрица n-го порядка, а вещественные матрицы Р兀(力) n-го порядка имеют вид

(здесь с肾一постоянные матрицы n-го порядка, а 卩兀一вещественные числа, пробегающие конечное число значений). Наиболее трудным случаем решения Задачи является тот, когда среди характеристических чисел матрицы А есть имеющие нулевую вещественную часть, в то время как вещественная часть остальных отрицательна. Штокало построил первый метод типа приближенного, асимптотического, который позволяет при весьма общих предположениях решить вопрос об асимптотической устойчивости нулевого решения этой системы и оценить скорость приближения решений 力(力)(вектор) к началу координат. Это позволяет решить вопрос об устойчивости для весьма широкого класса и нелинейных систем (Н. П. Еругин, 1963). .

Новые методы построения появились в аналитической теории дифференциальных уравнений, которые позволяют получить интересные результаты для разных классов систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы не будем касаться здесь этих и многих других работ. Если бы мы остановились на теории уравнений с з ап аздыв ающим аргументом (теорию которых начал разрабатывать впервые А. Д. Мышкис, а затем Н. Н. Красовский, С. Н. Шиманов, Л. Э. Эльсгольц и др.), уравнений с малым параметром при старшей производной (А. Н. Тихонов, А. Б. Васильева, Л. С. Понтрягин, Е. Ф. Мищенко и др.), оптимальных процессов (А. А. Фельдбаум, Р. Беллман, Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко, Н. Н. Красовский, Е. А. Барбашин, А. М. Летов), а также на многих работах Ф. Р. Гантмахе- ра и М. А. Айзермана, то нашли бы там применения и первого и второго

82н. п. еругин

методов. К первому методу относится и работа А. А. Дородницына (1947), в которой он дал асимптотическое решение уравнения Ван-дер-Поля. Первый и второй методы (и метод неподвижной точки) мы встретим в работах Р. Беллмана *).

В заключение мы отметим метод, созданный Н. Н. Боголюбовым. В 1945 г. Боголюбов предложил для систем весьма общего вида новый метод доказательства существования интегрального многообразия и изучения качественной картины поведения интегральных кривых в окрестности этого многообразия. Метод Боголюбова позволяет и фактически построить решение в окрестности интегрального многообразия, т. е. этот метод является значительным развитием первого метода или новым первым методом. Кстати, здесь у Боголюбова, как и у Ляпунова, возникают характеристические числа, совокупность которых и определяет качественную картину вблизи некоторой точки или периодического решения. И если имеется т характеристических чисел с отрицательной вещественной частью, то имеется тп-параметрическое семейство решений, асимптотически приближающихся к стационарной точке или периодическому решению. Работы в этом направлении, объединяемые так называемой киевской школой, сейчас нелегко и обозреть. По изучению интегральных многообразий глубокие исследования провел Ю. А. Митропольский и его ученики, которые рассматривали вопросы существования интегральных многообразий и их устойчивость как в смысле Ляпунова, так и при вариации правых частей дифференциальных уравнений и притом для весьма разнообразных，колебательных систем. Здесь устойчивость интегральных многообразий в смысле Ляпунова является аналогом того, что мы видели во всех сомнительных случаях у Ляпунова (но у Боголюбова и Митропольского рассматриваются системы более общего вида). Устойчивость же интегральных многообразий при вариации правых частей уравнений является задачей нового типа.

Широкое распространение в приложениях получил метод- Крылова —Боголюбова построения, решения дифференциальных уравненийт который таит в себе, по-видимому, еще много нераскрытых возможностей ).

Мы не касаемся первого метода в вопросе представимости решений уравнений в частных производных, где, очевидно, первый метод также имеет во многих случаях большое значение. Например, это можно видеть в работах М. В. Келдыша (1938), М. В. Келдыша и Ф. И. Франкля (1935), где построен метод последовательных приближений для решения интегро-дифференциальных уравнений при строгом обосновании теории винта Жуковского, в работе М. В. Келдыша и Л. И. Седова (1937), где дано конструктивное решение краевых задач для гармонических функций, а также во многих работах Н. И. Мусхелишвили и его учеников.

Начиная с 1942 г. у нас проделана большая работа по развитию классификации Ляпунова линейных систем и асимптотики поведения решений. Во многих вопросах устойчивости и асимптотики поведения решений играют большую роль приводимые системы, введенные в рассмотрение, как мы видели, еще А. М. Ляпуновым (см. формулы (8) и (9)).

Общая теория приводимых систем построена только в сороковых годах (Н. П. Еругин, 1946). А. М. Ляпунов указал только одну приво-

.*) См. его книгу «Процессы регулирования с адаптацией» (1961; русский перевод: М., 1964).

димую систему (7), когда коэффициенты этой системы периодические с периодом(о. Запишем линейную систему (7) в матричном виде

X = XP(t),(25)

где X — интегральная фундаментальная матрица ). Как показано Н. П. Еругиным (1946), для приводимых систем матрица X имеет вид

X = »(%),.(26)

где Л ——постоянная вещественная каноническая матрица ), a Z (%)—— ограниченная вместе с Z 1 (%) матрица. В работе Н. П. Еругина получены необходимые и достаточные признаки приводимости, а также указаны многие конкретные классы приводимых систем. Здесь, в частности, были построены два метода последовательных приближений, основанные на первом методе Ляпунова, которые позволяют строить решения в окрестности особой точки типа иррегулярной в виде равномерно сходящихся рядов в области С》％。. На этих методах были основаны впоследствии многие работы В. В. Хорошилова, В. П. Басова, А. К. Гахановаг Л. И. Донской, И. М. Рапопорта ), где строились решения различных классов систем в окрестности иррегулярной бесконечно удаленной или нулевой точки. К этой проблематике примыкают и исследования Ф. Р. Гантмахера (1966). Отметим еще, что, начиная с работы Н. П. Еру- гина, во всех этих исследованиях, основанных на первом методе Ляпунова, большую роль играет метод Лаппо-Данилевского, метод теории функций от матриц. Впервые этот аппарат Лаппо-Данилевского был представлен в известном пятитомном курсе В. И. Смирнова, а затем в книге Ф. Р. Гантмахера (1953 и поел, изд.), где теория матриц и ее приложения изложены с исключительной полнотой.

Вопрос о приводимости системы двух уравнений, когда матрица 尸(％) является квазипериодической, при весьма общих предположениях рассмотрел А. Е. Гельман (1965).

Второй класс нелинейных систем Ляпунова ——это правильные системы. Как показали Ю. С. Богданов и В. П. Басов, для правильных систем-..

X = eAiZ(t),(27)

где Л ——постоянная матрица, а элементы zki (%) матрицы Z (%) обладают следующим свойством: функции exp (a%) zkl (%) (а ——постоянная) неогра- ничены при а > 0 для некоторых к, I и стремятся к нулю при а V 0 для всех 乃,2. Б. П. Демидович (1965), продолжая работы Ляпунова, ввел в рассмотрение вполне правильнее системы, определил характеристические числа таких систем и на основе этого, а также леммы Бихари, обобщающей лемму Беллмана, решил вопрос об устойчивости" решений нелинейной системы в сомнительном случае. Здесь в сущности автор пользовался и первым методом из монографий Р. Беллмана ) и И. М. Рапопорта (1954).

Б. Ф. Былов (1965) ввел в рассмотрение почти-приводимые системы и на основе этого изучал поведение интегральных кривых некоторых классов систем дифференциальных уравнений. Большое число работ посвящено приближенному нахождению характеристических чисел, нахождению наибольшего из них или оценке интервала, в котором они находятся (см. Б. Ф. Былов и др., 1966; Н. Г. Четаев, 1955).

Отметим еще здесь, что линейную систему с ограниченными непрерывными коэффициентами преобразованием Ляпунова ) (при котором характеристические числа сохраняются) можно перевести в другую линейную систему, коэффициенты которой принимают лишь два значения. Это показал Ю. С. Богданов (1965). Некоторые авторы вводят, кроме характеристических чисел, другие числа-показатели, иначе характеризующие поведение функций при %8. Так, например, нижний пока

затель вектор-функции х (£) определяется следующим образом (Б. Ф. Былов и др., 1966):

△ = %(%) = lim I % ⑺卜

Если

х (i) I I х (0) I exp Ц /? (i)威］,

TO t x (x) = lim 弋 p(t) dt.

Если p = const, to % (%) совпадает с ляпуновским характеристическим числом. Как мы отметили выше, различных ляпуновских характеристических чисел для заданной линейной системы п дифференциальных уравнений может быть не бол^ее п. Н. А. Изобов (1964——1966) показал, что множество нижних показателей может быть континуумом.

М. Миллионщиков (1965) ввел в рассмотрение характеристические числа так называемых предельных решений и на основании их исследовал асимптотическое поведение решений. Ю. С. Богданов (1965) ввел в рассмотрение характеристические числа решений нелинейных систем дифференциальных уравнений, на основе которых можно изучать асимптотику поведения решений нелинейных систем дифференциальных уравнений.

Многие работы посвящены оценке вариаций характеристических чисел в зависимости от вариаций коэффициентов линейной системы (Б. Ф. Былов и др., 1966)——это вопрос об устойчивости характеристических чисел. Первым на эту тему у нас высказался К. П. Персидский. Он показал (1947), что если линейная система приводимая, то при вариациях коэффициентов этой системы 6兀z (%) f 0 при % —> оо характеристические числа этой системы остаются неизменными.

Ю. С. Богданов (1955, 1961) показал, что характеристические числа любой линейной системы остаются неизменными, если достаточно быстро (со скоростью показательной функции) 8ki (%) -> 0 при t ~> оо. Дальнейшие исследования по вопросу вариаций характеристических чисел и дру-

гих констант (и функций), характеризующих асимптотику поведения решений линейной системы дифференциальных уравнений в зависимости от вариаций коэффициентов этой системы, принадлежат Б. Ф. Былову, Р. Э. Винограду и Д. М. Гр обману (1966). Они нашли необходимые м достаточные условия устойчивости характеристтеских чисел правильных систем.

Р. Э. Виноград определил центральный показатель линейной системы, управляющий поведением характеристических чисел решений при возмущениях системы, дал способы вычисления центрального показателя в ряде случаев и указал оценки для центрального показателя системы общего вида.

Отметим еще один результат Ю. С. Богданова (I960), продолжающий работы К. П. Персидского и Р. Э. Винограда. Рассмотрим правильную однородную линейную систему дифференциальных уравнений. Сопоставим? ей другую ——с периодическими коэффициентами, равными коэффициентам заданной системы на промежутке (О, Г^) и имеющими период 公兀.Спрашивается, существует ли такая последовательность значений 7\, Г2» ...,—> оо, что предельные значения характеристических чисел построенной системы равны характеристическим числам исходной системы? Богданов показал, что существуют системы, для которых такой последовательности нет, но существует ляпуновское преобразование, которое переводит эту систему в другую, для которой такая последовательность есть (для систем двух уравнений указанное преобразование Ляпунова построено эффективно).

В некоторых работах рассматривался вопрос об устойчивости класса линейных систем при вариациях коэффициентов этой системы, исчезающих при i -> оо. Так, например, Н. П. Еругин (1946) рассмотрел вопрос об устойчивости приводимых и приведенных систем. Им показано, как быстро должны стремиться к нулю при i —> оо вариации разных элементов матрицы коэффициентов, чтобы система оставалась приводимой и притом к той же системе с постоянной матрицей коэффициентов. Эта квалифицированная малость вариаций коэффициентов определяется видом приведенной системы. Ю. С. Богданов рассматривал (1955, 1961) этот вопрос для правильных систем.

Большая серия работ, как советских, так и зарубежных, посвящена асимптотической эквивалентности решений различных систем 'дифференциальных уравнений. Здесь задача ставится так. Пусть х (вектор)—— решение одной системы и у (вектор)——решение другой системы. Можно ли каким-нибудь, или всем, решениям х сопоставить решение у другой системыДтаким образом, чтобы

% — у =w(%)-> о

при %-> оо? Иначе можно поставить вопрос так. Можно ли для х указать такие у и матрицу Л (%)—>/ (постоянная матрица) при i —> оо,. чтобы

X = A (t) у.

Здесь х и у ——матрицы-столбцы. Если сопоставляются решения линейных систем, то можно допускать и х = уА (%), при этом, как и в предыдущем случае, можно считать ① вектором-строчкой или столбцом, а у——фундаментальной интегральной матрицей. Такое сопоставление решений линейных систем имеется в работе И. Н. Збойчик (1966).

Решения линейных и нелинейных систем ) сопоставляли Д. М. Гробман и В. А. Якубович (см. Б. Ф. Былов и др., 1966). Иначе асимптотическое сопоставление решений нелинейных систем выполнено А. Н. Еругиным (1961), который дал (1966——1967) классификацию всей совокупности решений нелинейной системы дифференциальных уравнений по их асимптотическому поведению.

По всем вопросам, затронутым на последних страницах нашего очерка, мы рекомендуем обзор Ю. С. Богданова с соавторами в сборнике «Математика в СССР, 1957——1967» и обзор развития теории обыкновенных дифференциальных уравнений в подготавливаемом четвертом томе «Истории отечественной математики».

ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИИ

ВВЕДЕНИЕ

Я. Я. БЛЕХМАН, Я. Г. ПАНОВКО

Ведущее место, которое занимает отечественная наука в теории колебаний, бесспорно и общепризнано. Во всем мире широко известны имена и основополагающие работы А. Н. Крылова, Л. И. Мандельштама., Н. Д. Папалекси, А. А. Андронова, А. А. Витта, И. Г. Малкина, Б. В. Булгакова, Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, А. И. Лурье, Ю. А. Митропольского и многих других советских ученых. Эти работы были посвящены как глубокому изучению своеобразных колебательных процессов, так и разработке адекватных методов анализа колебаний.

Теория колебаний развивалась под непосредственным влиянием запросов практики и представляет собой научную основу решения многих важных прикладных задач. Ныне трудно назвать такую область техники, в которой так или иначе не приходилось бы сталкиваться с колебаниями и которая не нуждалась бы в соответствующем1 теоретическом аппарате.

Относительно давно было ясным, что нет существенного различия в описании колебаний в механике, электро- и радиотехнике, химической кинетике, биологии и т. д. Существовало отчетливое понимание того обстоятельства, что в принципе естественно говорить о соответствующих математических моделях колебаний. Этот взгляд окончательно оформился в идеях кибернетики, и можно сказать, что теория колебаний содержит широкий набор таких моделей.

В силу сказанного несколько затруднительно обособлять проблему чисто механических колебаний. Однако известная специфика механических задач все же существует, и авторы стремились ее учесть при составлении нижеследующих обзоров.

Многие проблемы теории колебаний допускают исследование в рамках линейной концепции, опирающейся на хорошо разработанный аппарат теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Принципиальные основы этой теории были заложены уже давно, но и в рассматриваемый исторический период она продолжала развиваться. Совершенствовались алгоритмы решения традиционных задач и одновременно изучались специфические явления, обнаруженные при создании и исследовании новых технических объектов.

Особое значение в последнее время приобрели проблемы нелинейных колебаний. Еще несколько десятилетий назад многие полагали, что линейная теория вполне достаточна для решения основных инженерных

задач. Поэтому исследователи, стоявшие у истоков учения о нелинейных колебаниях, были вынуждены потратить немало энергии, чтобы отстоять практическую значимость нелинейной теории и доказать принципиальную недостаточность линейной трактовки многих вопросов. Ныне признано всеми, что нелинейные проблемы представляют не только значительный теоретический интерес, но и бесспорную практическую важность. Теперь под влиянием новых успехов теории нелинейных колебаний иные исследователи порой впадают в другую крайность и недооценивают важность продолжения исследований в области линейной теории.

Первые стимулы развития теории нелинейных колебаний дала теоретическая радиотехника, где очень скоро стало очевидным, что многие задачи не допускают линейной трактовки. Вначале могло показаться, что теория нелинейных колебаний связана только с радиотехническими задачами; хотя первые исследователи и рассматривали некоторые механические системы, но соответствующие решения, в сущности, не имели большой практической значимости и носили скорее иллюстративный характер.

Положение существенно изменилось начиная примерно с тридцатых годов. Прогресс технологии, транспортной техники и машиностроения сопровождался резким ростом рабочих скоростей и повышением интенсивности динамических нагрузок. При этом обнаружились явления, природа которых не могла быть понята с линейных позиций (автоколебания, обусловленные трением, вибрации при резании, «срывы» амплитуд, субгармонические колебания и т. п.); новые специфические черты приобрели задачи борьбы с вредными колебаниями.

С другой стороны, колебательные процессы были положены в основу многочисленных виброизмерительных приборов, демпферных устройствг а также ряда изобретений главным образом технологического характера (вибрационная транспортировка, вибрационная забивка свай, вибросепарация, эффект самосинхронизации механических вибраторов и др.). Подавляющее большинство таких вибрационных процессов носит существенно нелинейный характер, в частности, вследствие действия сил типа сухого трения и наличия неудерживающих связей. Внедрение и совершенствование этих процессов привело к постановке своеобразных задач о целенаправленном использовании колебаний в технике.

Совокупность этих проблем дала новый толчок развитию теории нелинейных колебаний, совершенствование которой было одновременна обязано также оформлению теории автоматического управления и дальнейшему развитию радиотехники.

912 3 4689011223566902899 9 9999000000000011111111111111912 3 4689011223566902899 9 9999000000000011111111111111

912 3 4689011223566902

899 9 9999000000000011

111111111111

912 3 4689011223566902

899 9 9999000000000011

111111111111

ПРИКЛАДНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ)

〃•无・ БЛЕХМАН, Я. Г. ПАНОВКО

Проблемы линейной теории колебаний

Свободные колебания

Вынужденные колебания

Критические состояния и проблема балансировки роторов Нелинейные проблемы теории колебаний

Предварительные замечания

Колебания систем с нелинейной восстанавливающей силой; проблема амортизации

Параметрические колебания

Колебания систем с нелинейным демпфированием

S 8. Колебания упругих систем, вызванные подвижной нагрузкой ......

Колебания систем с соударяющимися массами

Колебания систем под действием сил, зависящих от движения ....

Предварительные замечания

Колебания часового хода

Возбуждение колебаний силами трения

Возбуждение колебаний потоком жидкости или газа

Автоколебания роторов

■ 10.6. Явление шимми . . . ■

40.7. Системы, взаимодействующие с источником возбуждения ....

Вибрационное перемещение

Синхр онизация динамических систем

Проблемы случайных колебаний

ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ

Свободные колебания

Общие закономерности свободных колебаний линейных систем в принципе были установлены давно и вытекают из теории линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами. Поэтому исследования, выполненные в последние десятилетия, относились, в сущности, к проблеме адекватной схематизации реальных механических систем, отбора и учета существенных степеней свободы и т. п. Кроме того, получили развитие исследования, касающиеся изменения свойств колебательной системы при вариации параметров, а также при наложении дополнительных связей и присоединении дополнительных масс. В работах ряда авторов существенно развиты методы анализа свободных колебаний линейных систем (об этих работах будет сказано в обзо ре на стр. 167——169).

Многочисленные исследования были посвящены свободным колебаниям различных типовых моделей, схематизирующих реальные конструкции. Для построения этих колебательных моделей широко применялись кинематические гипотезы, традиционно используемые при решении соответствующих статических задач (гипотеза плоских сечений, гипотеза прямых нормалей). В последнее время все большее внимание привлекает уточнение указанных моделей путем учета инерции вращения и сдвигов; установлено, что эти влияния, как правило, наиболее существенны при анализе высших частот и форм колебаний.

Определенное внимание было уделено проблеме учета инерций сплошного основания в задачах о колебаниях стержней и пластин. Обнаружено ,что в ряде случаев пренебрежение инерционными свойствами основания ведет к существенным ошибкам по двум причинам. Во-первых, «присоединенная масса» имеет обычно по крайней мере тот же порядок, что и масса самого стержня (пластинки); во-вторых, при колебаниях основания, рассматриваемого как неограниченная среда, происходит унос энергии от источника колебаний даже при отсутствии неупругих сопротивлений в среде. Сказанное относися к задачам о колебаниях фундаментных балок и плит, железнодорожного пути, ледяного покрова и т. п.

Кроме моделей с распределенной массой и жесткостью, широко применялись дискретные модели. В одних случаях системы рассматривались как непрерывные совокупности безмассовых упругих элементов, связанных с точечными массами или абсолютно твердыми телами. В других случаях система представлялась в виде цепи абсолютно твердых тел, связанных дискретными упругими элементами. Иногда одновременно учитывались как распределенные, так и сосредоточенные массы.

Советскими авторами были поставлены и решены также важные для приложений задачи о влиянии присоединения масс и жесткостей на спектр собственных частот. В числе первых важных исследований в данной области отметим работу С. А. Гершгорина (1933). М. Г. Крейном и Я. Л. Ну- дельманом (1936——1938) установлена зависимость между функциями влияния- заданной системы и системы с дополнительными связями, число которых конечно. Ими же было показано, что если А» ——собственные частоты колебаний заданной системы, а Х^п)——собственные частоты колебаний системы с п дополнительными связями, то < Х^п) <Xi+n.

Кроме того, показано, что если к системе присоединяется п дополнительных масс, то частоты 卩^ полученной системы удовлетворяют неравенствам 脑 卩t《尤. Эти и многие другие важные результаты были суммированы в монографиях Ф. Р. Гантмахера и М. Г. Крейна (1950) и Я. Л. Нудельмана (1949). В работах М. Д. Дольберга (1957—1966) установлен, в частности, интересный факт, что наложение п дополнительных связей может привести к исчезновению первых п частот исходной системы и установлению равенства А「)=厶几十］.Были также найдены условия, при которых достигается указанный эффект.

Спектр собственных частот и совокупность соответствующих им собственных форм определяют динамическую индивидуальность линейной колебательной системы. Эти характеристики важны при рассмотрении задач о вынужденных колебаниях, т. е. для предсказания резонансных и критических состояний, а также в качестве элементов решения некоторых нелинейных задач.

Важную роль для внедрения в инженерную, практику расчетов собственных частот и форм сыграла изданная в СССР справочная

литература. Упомянем, в частности, статью А. И. Лурье в «Справочнике инженера-проектировщика промышленных сооружений» (1934), а также справочники И. В. Ананьева (1946), И. И. Гольденблата и А. М. Сизова (1952), И. В. Ананьева иП. Г. Тимофеева (1965), В. С. Гонт- кевича (1967).

Вынужденные колебания

Задача о вынужденных колебаниях линейных систем при любых заданных возмущающих силах в принципе относится к числу давно и хорошо изученных задач. Это следует понимать лишь в том смысле, что известны соответствующие общие решения или по крайней мере четкие алгоритмы их получения. Однако в большинстве случаев эти решения трудно обозримы либо вследствие сложного характера возмущающих сил, либо из-за наличия многих степеней свободы. Кроме того, решение важных конкретных задач о вынужденных колебаниях нуждается в достоверных сведениях о демпфирующих силах; к сожалению, количественные характеристики этих сил в реальных системах определяются (и то не вполне надежно) лишь путем прямых натурных экспериментов (см・ § 7).

Большое внимание было уделено изучению поведения систем в некоторых типичных случаях непериодического возбуждения.

В ряде работ И. М. Рабиновича (1937 и сл.) была исследована задача о кратковременном нагружении упругих систем и четко выделены те случаи, когда последнее может считаться мгновенным (импульсным). Эти исследования непосредственно примыкают к важному результату, полученному А. Н. Крыловым еще в 1909 г. и относящемуся к оценке Динамического эффекта, вызываемого кратковременным приложением нагрузки к системе с одной степенью свободы.

Сравнительно новой темой является проблема динамического продольного изгиба. И. М. Рабиновичем (1947) дано приближенное решение задачи об изгибных деформациях упругого стержня, возникающих вследствие приложения кратковременного продольного импульса. В работе А. Ю. Иш- линского и М. А. Лаврентьева (1949) решена задача о внезапном приложении к стержню продольной сжимающей силы постоянной величины. Дальнейшее развитие проблемы динамического продольного изгиба освещено в монографии А. С. Вольмира (1963, 1967).

В ряде работ учитываются сдвиги и инерция вращения, что существенно при изучении действия кратковременных нагрузок. Несколько задач эталонного характера было решено Я. С. Уфляндом (1948), М. Ш. Флексе- ром (1956) и В. Л. Бидерманом (1950). В полученных решениях отчетливо обнаружен волновой характер распространения возмущения (что в принципе невозможно обнаружить в рамках технической теории изгиба) и установлено, что для определения внутренних усилий и упругих перемещений непосредственно после внезапного нагружения категорически, необходим учет влияния сдвигов и инерции вращения.

Важным случаем непериодического возбуждения колебаний является также случай действия возмущающей силы переменной частоты. Такая задача возникает, в частности, при исследовании перехода через резонанс (при этом в случаях инерционного возбуждения одновременно с частотой меняется и амплитуда силы).

Первое из таких решений было получено для системы без трения, но оказалось плохо согласующимся с опытными результатами. Попытки

учета неупругих сопротивлений, основанные на простейшем предположении об их вязком характере, привели к серьезным затруднениям вычислительного характера. В работе А. М. Каца (1947) были получены приближенные зависимости, позволяющие определить, максимальные амплитуды при прямом и обратном переходе через резонанс. Естественно, оказалось, что при быстром темпе перехода (как при разгоне, так и при выбеге) максимальные амплитуды заметно меньше резонансных амплитуд, находимых для условий бесконечно медленного перехода (т. е., по существу,, амплитуд стационарных вынужденных колебаний). Той же теме посвящены работы Б. Г. Коренева (1957), А. П. Филиппова (1958), Е. Г. Голоскокова (1966) и И. С. Шейнина (1961), в которых исследованы различные задаваемые режимы изменения возмущающих сил и учтено наличие нескольких степеней свободы. •

Среди специальных проблем теории вынужденных колебаний заслуживают выделения задача о виброизоляции и задача обеспечения заданных форм вынужденных колебаний упругих систем.

Первые отечественные работы в области теории систем амортизации, предназначенных для защиты от вибраций и ударов, принадлежат А. Н. Крылову. Систематические исследования динамики амортизирующих устройств были начаты в СССР П. Ф. Папковичем (1927). Им были выведены уравнения малых колебаний твердого тела, обладающего шестыо степенями свободы, на упругом подвесе. Эти уравнения учитывали линейные и угловые жесткости амортизаторов. Ю. И. Иоришем (1948) были исследованы условия разделения переменных в этих уравнениях. Важными прикладными задачами теории амортизирующих виброзащитных устройств, занимались А. А. Белоус (1940), В. М. Волков и Н. И. Груздев (1942),, Г. И. Николенко (1952).

В связи с теорией вибрационных машин и устройств приобретает большое значение задача о синтезе упругих систем, обладающих заданной (или достаточно близкой к заданной) формой вынужденных колебаний, допускаемых связями. Этой задаче, рассмотренной пока далеко не полног посвящены исследования Г. Ю. Джанелидзе, И. И. Блехмана, К. Ш. Ходжаева, В. И. Полякова (1958—1967) и Л. Б. Зарецкого (1966).

В заключение отметим известную условность и ограниченность самой концепции возмущающей силы. Дело в том, что в ряде случаев так назы* ваемая возмущающая сила оказывается существенно зависящей от движения системы. Однако рассмотрение таких случаев выходит за рамки настоящего раздела (по этому поводу см. § 10).

Критические состояния и проблемабалансировки роторов

Уже в конце прошлого века было обнаружено, что при некоторых скоростях вращения роторов движение становится неустойчивым и возникают интенсивные, все возрастающие колебания, которые могут вызвать поломку вала. Первые теоретические исследования относились к упрощенным схемам: материал вала считался абсолютно упругим, изгибная жесткость конструкции принималась одинаковой во всех направлениях, не учитывались гироскопические эффекты и действие веса (т. е. рассматривался вал с вертикальной осью вращения).

В работе А. Н. Крылова (1932) изложен удобный метод определения： критических скоростей для многомассовой системы и для валов с распределенной массой. При этом установлено, что критические скорости в у к а-

данных предположениях то^но совпадают со значениями собственных частот изгибных колебаний той же системы (если эти частоты вычисляются для невращающейся системы).

Проблема вычисления критических скоростей стала особенно острой в последние десятилетия в связи с возрастанием эксплуатационных скоростей вращения и необходимостью перехода через одно или несколько критических состояний.

В работе Е. Л. Николаи (1937) тщательно исследовано влияние внутреннего вязкого сопротивления на свойства движения гибкого вала с диском. Выяснилось, что вязкое трение в закритической области оказывает дестабилизирующее влияние, и движение неустойчиво при всех значениях угловых скоростей, начиная с критического значения. При атом одновременно было отмечено, что наблюдаемая в действительности устойчивость движения в закритической области может быть объяснена лишь внешним вязким сопротивлением, пропорциональным скоростям перемещений, а не скоростям деформаций. Различные аспекты этой проблемы исследовали И. Б. Баргер (1947), Ф. М. Диментберг (1953, 1959), М. Я. Леонов и Л. А. Безпалько (1955), М. И. Чаевский (1955), Э. Л. Поз- йяк (1958), В. В. Болотин (1958). При этом, в частности, рассматривалось внутреннее трение, отличное от линейно-вязкого.

Гироскопические эффекты оказывают не только количественное влияние на критические значения угловых скоростей, но и меняют число критических скоростей в системах с несколькими степенями. свободы. Зтот вопрос исследовался А. Ф. Гуровым (1956), И. А. Биргером (1956) л другими.

Своеобразными особенностями обладает проблема уравновешивания гибких роторов. Дело в том, что элементарная теория балансировки предполагает конструкцию вала (ротора) абсолютно жесткой, тогда как в действительности из-за деформаций зачастую заметно меняются эксцентриситеты, и задачу уравновешивания нельзя решать исходя из предположения о недеформируемости конструкции.

Нестационарные задачи о переходе роторами через критические состояния в процессе пуска или выбега соответствуют задачам о переходе через резонанс. Из числа относящихся сюда исследований отметим работы Н. Г. Горчакова (1948), В. А. Гробова (1953, 1955), Ф. М. Димент- берга (1956, 1959), А. А. Гусарова (1959), О. Н. Романива, (1957), Е. Г. Голоскокова и А. П. Филиппова (1967).

Об исследованиях, учитывающих ограниченную мощность двигателя, а также о работах, посвященных автоколебаниям роторов, см. § 10.

НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ

Предварительные замечания

Причины, вследствие которых нелинейные проблемы теории колебаний приобретают все возрастающее значение, были упомянуты во введении； там же отмечалась выдающаяся роль отечественных ученых в развитии этой области.

За последние десятилетия появилось огромное число работ, посвященных нелинейным задачам и явлениям. Последовательный обзор этих работ можно было бы построить как обзор исследований по соответствующим типам дифференциальных уравнений. Авторы, однако, сознательно решили не следовать такому пути и придерживаться менее безупречной

с формальной точки зрения рубрикации — по явлениям и соответствующим: прикладным проблемам; представляется, что такой способ разделения материала больше соответствует фактической истории развития теории и интересам исследователя прикладного направления.

Поскольку, однако, успех в решении проблем теории нелинейных колебаний определяется возможностью решения или исследования соответствующих дифференциальных уравнений, то имеет смысл сказать несколько слов о математической стороне вопроса.

Общеизвестно, что не существует универсальных аналитических методов решения нелинейных дифференциальных уравнений. Эффективные аналитические методы разработаны лишь для случая, когда фазовое пространство системы представляет собой плоскость или прямую, и для случаев, когда дифференциальные уравнения движения системы мало отличаются от точно интегрируемых.

В первом случае весьма плодотворно исследование свойств движений системы при помощи фазового портрета. Во втором случае эффективно действует хорошо разработанный метод малого параметра. В сущности, ко второму случаю могут быть отнесены также системы, для которых можно в общих чертах предугадать характер движения (об этом см., в частности, стр. 157—165). Упомянутые методы получили существенное развитие в Советском Союзе и нашли свое отражение в широко известных монографиях А. А. Андронова, А. А. Витта и С. Э. Хайкина (1937, изд. 2—1959), Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова (1937), Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского (1963, 1964), И. Г. Малкина (1949, 1956), Б. В. Булгакова (1949, 1954), В. И. Зубова (1962), А. А. Андронова, Е. А. Леонтович, И. И. Гордона и А. Г. Майера (1966).

Для случаев, когда размерность фазового пространства больше двух и в то же время отсутствует малый параметр, имеется ряд качественных результатов (см., например, обзоры В. А. Плисса, 1962, и М. А. Красносельского, 1965), а также результатов, относящихся к специальным интегрируемым системам. Следует, наконец, отметить новые возможности, возникшие в связи с появлением электронных вычислительных машин и позволившие получить решение ряда ответственных задач.

Колебания систем с нелинейной восстанавливающейсилой; проблема амортизации

В настоящем параграфе остановимся на исследованиях, посвященных специфическим явлениям в механических колебательных системах, движение которых в простейшем случае одной степени свободы описывается дифференциальным уравнением

q + 2nq + f (q)^F (t), . (5.1)， где q — обобщенная координата, /(g) — нелинейная восстанавливающая сила, F (力)一обобщенная возмущающая сила (п>0).

Хотя уравнение (5.1) является одним из простейших уравнений рассматриваемых нелинейных систем, определяемые им движения «в большом» хорошо изучены лишь в автономном случае, когда F (力)三 0.

При монотонных характеристиках (например, мягкой или жесткой) движение носит колебательный характер. Однако для ряда приложений представляют интерес случаи, когда характеристика / (д) такова, что уравнение /(g) = 0 имеет несколько решений и наряду с движениями вибрационного (колебательного) типа возможны ротационные движения..

Таков, например, случай / (д) = A2 sin q (маятник, синхронная электрическая машина и т. п.). При этом наряду с задачей о выяснении характера особых точек возникает задача о нахождении сепаратрисе, отделяющих на фазовой плоскости области значений начальных условий, отвечающих движениям различных типов. Исследования такого рода получили наибольшее развитие в трудах горьковской школы теории колебаний; наряду с цитированными в § 4 монографиями, упомянем работы Л. Н. Белюстиной (1954—1966).

При изучении свободных колебаний консервативной системы, когда п ~ 0 и F (t) ~ 0, практически важным оказывается определение связи между частотой колебаний и их амплитудой, т. е. построение так называемой скелетной кривой. Для этой цели могут быть использованы методы Крылова — Боголюбова или Бубнова — Галеркина (в первом приближении эти методы дают результаты, совпадающие с результатами применения метода Ван-дер-Поля); еще более просты вычисления по методу- прямой линеаризации, предложенному Я. Г. Пановко (1953).

Свободнее колебания диссипативной системы (尸(力)三 0, n > 0) постепенно затухают, причем их частота не остается постоянной, а огибающая отличается от экспоненты, характерной для линейных систем; этой задаче, в частности, посвящена работа Л. Г. Лойцянского (1954).

Вынужденные колебания изучались почти исключительно в случае, когда F (力—периодическая функция, и особенно подробно для чисто гармонического возбуждения F \ t) = Н sin з九 Для случаев слабой нелинейности установлены следующие наиболее характерные черты движения.

Возможно несколько установившихся режимов колебаний данной системы при определенном значении частоты(о. При неизменной амплитуде возмущающей силы резонансная кривая приобретает характерный «завал» ——вправо при жесткой характеристике / (д) и влево при мягкой характеристике. В случае, когда амплитуда возмущающей силы зависит от частоты возбуждения, возможно появление изолированных ветвей резонансной кривой. Для отбора физически реализуемых решений необходимо исследование устойчивости каждого из этих режимов; указанная задача сводится к изучению поведения решений линейных уравнений с периодическими коэффициентами.

Срыв колебаний, т. е. скачкообразный переход на иной режим с другим значением амплитуды колебаний при медленном изменении частоты возмущения. *

Возможность возникновения колебаний более «медленных», чем основные колебания (субгармонические колебания). Любопытной особенностью таких колебаний является их относительно большая амплитуда при слабом демпфировании, так что эти колебания иногда приобретают доминирующее значение; с другой стороны, существуют критические значения коэффициентов демпфирования, начиная с которых субгармоники не появляются.

Возникновение колебаний более «быстрых», чем основные (ультра- гармонические колебания), в случаях, когда соответствующие составляю-- щие в выражении для возмущающей силы F (力 отсутствуют.

Задачи исследования вынужденных колебаний рассматриваемых систем служили предметом многочисленных исследований. Еще А. Н. Крыловым был изучен случай кубической характеристики /(g), причем методом Рейли — Остроградского построен ряд, описывающий колебания при действии возмущающей силы. В дальнейшем к задачам этого рода были успешно применены различные варианты метода малого параметра;

ряд практических задач был решен с помощью методов «эквивалентной линеаризации» (гармонического баланса, энергетического баланса, прямой линеаризации), а также прямых вариационных методов (первой публикацией была статья А. И. Лурье и А. И. Чекмарева, 1938).

Относительно недавно появились исследования, посвященные действию полигармонического возмущения на системы с нелинейной восстанавливающей силой, а также работы, в которых изучаются системы со многими степенями свободы (см., например, книгу М. 3. Коловского, 1966).

Явления, связанные с субгармоническими колебаниями, были впервые объяснены и исследованы Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси (1932). Из числа дальнейших исследований необходимо отметить работы И. Г. Малкина (1949, 1956), А. М. Каца (1955), Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского (1963), в которых содержится законченная теория этих явлений, построенная на основе использования методов малого параметра.

В случае периодической характеристики / (д) периодическое возбуждение может вызвать «убегающее» движение (в случае маятника ——вращение). Здесь важное значение опять-таки приобретает проблема построения областей притяжения режимов того или иного рода в фазовом пространстве системы. Поскольку фазовое пространство в данном случае трехмерно, то решение задачи резко усложняется, и в этом направлении сделаны лишь первые шаги; отметим, в частности, работы Ю. С. Саясова и В. К. Мельникова (1958—1963).

Упомянутые в настоящем параграфе задачи возникают в связи со многими важными прикладными проблемами. Отметим, в частности, нелинейные задачи амортизации, задачу о качаниях роторов синхронных электрических машин, задачи динамики привода вибрационных устройств. Остановимся вкратце на первой проблеме.

Нелинейная теория амортизации начала интенсивно развиваться в последние годы в связи с появлением таких мощных источников вибрационных воздействий с широким спектром, как, например, реактивные двигатели, и необходимостью защиты от этих воздействий приборов и аппаратуры. Основные черты этой теории — учет ограниченности габаритов амортизирующих устройств, разработка методов расчета нелинейных демпферов, подавляющих резонансные колебания, учет полигармонического характера возмущающих сил, вероятностный подход к анализу динамики. В связи с ограниченностью габаритов амортизирующих подвесов стала развиваться также теория оптимального синтеза систем амортизации. Постановка задач и ряд важных результатов в этой области принадлежит М. 3. Коловскому (1959—1966).

Эффект «косвенного» возбуждения колебаний упруго подвешенного твердого тела, обусловленный малыми геометрическими нелинейностями, был обнаружен и исследован в работах В. О. Кононенко и Р. Ф. Ганиева (1951, 1963—1968); этот эффект заключается в том, что при некоторых ^пределенных «резонансных» соотношениях интенсивные колебания могут быть вызваны квазиортогональной возмущающей силой.

Параметрические колебания

Специфическую категорию составляют механические системы, в которых при известных обстоятельствах наблюдается параметрическое возбуждение колебаний. В одном из простейших случаев движение таких систем описывается дифференциальным уравнением

g + 2阳 + 九2 (1 + 〃 sin &力)g = О,

где n, X, а и(D — постоянные. В более сложном случае коэффициент при координате является периодической функцией времени общего вида.

Уже в исследованиях Хилла и Флоке, относящихся к концу прошлого века, было установлено, что в определенных областях значений параметров указанные уравнения имеют при £ f 8 неограниченные решения. В таком случае говорят о явлении параметрического резонанса. Этот термин, введенный А. А. Андроновым и М. А. Леонтовичем (1927), установился в связи с тем, что соответствующие системы можно трактовать как системы с изменяющимися параметрами (например, с переменной жесткостью).

Первым прикладным исследованием в данной области была работа Н. М. Беляева (1924), посвященная задаче о колебаниях стержня, нагруженного гармонической продольной силой. В этой задаче, которая приводит к дифференциальному уравнению (6.1), обнаружено, что возможна потеря устойчивости прямолинейной формы оси стержня при продольных силах, меньших эйлерова значения (в некоторых интервалах частот з).

Спустя десять лет Н. Е. Кочин (1934) обнаружил и исследовал явление параметрического резонанса в системе коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания; здесь причиной параметрического возбуждения колебаний является периодическое изменение приведенных инерционных характеристик колен при вращении вала.

Этими работами было положено начало- целой области — динамической устойчивости упругих систем. Впоследствии ряд задач этого типа был решен Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым (1935), В. Н. Челомеем (1939) (колебания стержней), Г. Ю. Джанелидзе и Ю. А. Радцигом (1940) (колебания колец), В. А. Боднером (1938) и 3. И. Халиловым (1942) (колебания пластин), О. Д. Ониашвили (1950) (колебания оболочек).

Другими важными случаями параметрических колебаний являются связанная качка корабля, рассмотренная В. В. Семеновым-Тяншанским (1951—1952), а также поперечные колебания клети при шахтном подъеме, обусловленные периодическим изменением боковой жесткости направляющих (работы О. А. Залесова, 1963—1966, Ю. Г. Исполова, 1965).

Н. Челомей (1956) указал на возможность стабилизации упругих систем путем наложения параметрических вибраций (когда при отсутствии вибраций система неустойчива). В простейшем случае это явление можно наблюдать на примере «опрокинутого» маятника (П. Л. Капица, 1951).

Обширные исследования в области динамической устойчивости*выполнены И. И. Гольденблатом (1947—1948) и В. В. Болотиным (1953—1967); специально посвященная этой теме содержательная монография В. В. Болотина (1956) является единственной в своем роде в мировой литературе. Здесь, в частности, изучено влияние возможных нелинейностей и определены амплитуды колебаний в зонах неустойчивости для соответствующего линейного уравнения.

Интересная особенность параметрических колебаний состоит в том, что линейное трение не приводит к исчезновению зон неограниченного возрастания колебаний; оно лишь сужает границы областей неустойчивости.

Отметим, наконец, что уравнения в вариациях для периодических решений широкого класса нелинейных систем также представляют собой линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами, которые часто могут быть истолкованы как уравнения параметрических колебаний. Такая связь между проблемой устойчивости и проблемой параметрических колебаний, естественно, не является случайной: наличие неустойчивости движения нелинейной (не обязательно «параметрической») *7 Механика в СССР, том 1

системы часто можно трактовать как параметрический резонанс в некоторой упрощенной линейной системе.

Математические аспекты рассматриваемой проблемы явились предметом фундаментальных исследований А. А. Андронова и М. А. Леонтовича (1927), М. Г. Крейна (1950—1955), В. А. Якубовича (1950—1961) и других, ученых (см. обзор В. М. Старжинского, 1954; весьма полный обзор работ советских авторов дан также в книге Л. Чезари «Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений», 1959 — русский перевод: М., 1964).

Особый класс параметрически возбуждаемых колебательных систем образуют системы с непериодически изменяющимися параметрами, в частности, системы с переменной массой. Такие системы в случае «медленно» изменяющихся параметров последовательно изучены с помощью асимптотических методов Ю. А. Митропольским (1953—1964). Сюда же относится содержательный цикл работ Г. Н. Савина (1954 и сл.).

Колебания систем с нелинейным демпфированием

Колебательные процессы в реальных механических системах неизбежно сопровождаются действием сил трения различной природы. Эти силы можно разделить на две группы:

внешние сопротивления: трение в опорах, аэро- и гидродинамическое сопротивление среды, сопротивление, создаваемое специально вводимыми демпферами;

внутренние сопротивления: внутреннее трение в материале, трение в сочленениях (конструкционное трение).

Феноменологическому описанию сил трения различного рода в отечественной и зарубежной литературе уделялось значительное внимание, причем к настоящему времени сложилось убеждение, что в большинстве практических случаев удовлетворительная оценка влияния трения может быть достигнута лишь на основе применения нелинейных моделей. При этом возникают специфические трудности, связанные с необходимостью интегрирования дифференциальных уравнений, например, следующего типа:

q + k2q +(f(q, q) = F(t), (7.1) где предполагается, что нелинейная функция. <р (^, д) отвечает случаю диссипативной системы, т. е.

屮(q，q)q>o (q方о)・ (7.2)

В частности, подробно изучен случай нелинейно-вязкого трения, когда 屮(g, g) = 0g | 9 | 几一二 Здесь п —— показатель нелинейности; значению п = 0 отвечает кулоновское трение, 八=1 ——линейно-вязкое и п = 2 — турбулентное трение (случай 1 < п< 2 рассмотрел Л. Г. Лой- цянский, 1954). Рассмотрены также системы, в которых характеристики диссипации 屮(g, д) носят кусочно-линейный характер, а также системы с ударным демпфированием, когда рассеяние энергии происходит скачками при достижении координатой q некоторых фиксированных значений (ограничители).

Во многих случаях силы трения относительно малы, и поэтому колебания в системе близки к гармоническим (при монохроматическом возбу-

ждении) по крайней мере на промежутках времени порядка периода колебаний; уравнение (7.1) при этом является квазилинейным. Вследствие этого при решении таких задач могут быть эффективно использованы методы малого параметра, а также несложные энергетические соображения. Обычная процедура решения задач этими методами приводит для первого приближения к уравнениям для амплитуд колебаний (или их огибающих), которые содержат функцию 屮(g, д) лишь под знаками интегралов, взятых в пределах периода. Это обстоятельство оправдывает задание характеристики 屮(g, д), как правило, достаточно трудно определяемой экспериментально, в виде выражений, содержащих функционалы от искомого решения.

Проблема феноменологического описания сил трения в реальных механических системах была предметом оживленных дискуссий, полностью не завершенных до сих пор; известные трудности возникли из-за того обстоятельства, что внутреннее трение в материале, а также конструкционное трение в сочленениях систем практически оказывается не зависящим от частот процесса, как это показано в ряде экспериментальных исследований, итог которым в 1938 г. подвел Н. Н. Давиденков (впрочем, для новых конструкционных синтетических материалов в последнее время обнаружена зависимость сил внутреннего трения от скоростей деформаций).

В целом, как правило, оказывается, что для описания демпфирующих свойств систем с внутренним трением достаточно располагать зависимостью площади петли гистерезиса от амплитуды колебаний. Примечательно с другой стороны, что экспериментальные исследования обычно дают яадежные данные только для указанной интегральной характеристики демпфирования.

В общих чертах основные особенности колебательного процесса в рассматриваемых системах с умеренным трением состоят в следующем:

свободные колебания происходят с частотой, близкой к соответствующей собственной частоте недемпфированной системы; огибающая кривой колебаний может значительно отличаться от экспоненты, характерной для системы с линейно-вязким трением;

вынужденные колебания характеризуются резонансной кривой, форма которой мало отличается от резонансной кривой линейной системы с вязким трением.

Задачи о влиянии сил внутреннего трения и конструкционного демпфирования на процессы свободных и вынужденных колебаний систематически рассмотрены в книгах Е. С. Сорокина (1958), Г. С. Писаренко (1958, 1962) и Я. Г. Пановко (I960). Существенно нелинейные системы с большим сухим трением изучались Н. В. Бутениным (I960), Н. А. Желез- цовым (1949), М. И. Фейгиным (I960 и сл.) и другими исследователями.

Колебания упругих систем, вызванные подвижнойнагрузкой

Проблема динамического действия подвижной нагрузки возникла давно; первые исследования в этой области относятся к середине прошлого века и были связаны с задачами динамического расчета мостов.

Можно указать четыре варианта постановки задач, этого типа: 1) квазистатическое решение, не учитывающее инерционных эффектов; 2) решение, учитывающее массу конструкции, но не учитывающее инерции движущихся грузов; 3) решение, учитывающее массу движущихся грузов,

7*

но игнорирующее инерцию самой конструкции; 4) полное решение, в котором одновременно учитывается инерция движущихся грузов и инерция самой конструкции.

Первый из вариантов, в сущности, не относится к задачам о колебаниях (хотя соответствующая методика расчета до сих пор является основной при расчете мостов).

Второй вариант представляет собой своеобразную задачу о вынужденных колебаниях; применительно к балкам эта задача была решена еще в 1905 г. А. Н. Крыловым. Указанное решение приемлемо в тех случаях, когда речь идет о движении относительно легких грузов по сравнительно массивной конструкции. В этой постановке рассматривались также задачи о движении сосредоточенной силы по круговой арке и о движении силы по балке с переменной скоростью.

Третье решение относится к случаям, когда имеет место противоположная ситуация: вдоль легкой конструкции движется относительно массивный груз. Соответствующая задача приводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами и особенно подробно изучалась в прошлом веке.

В последнее время основное внимание уделяется наиболее полной, но и наиболее сложной постановке — задаче о движении массивного груза вдоль массивной конструкции. Впрочем, если движущийся груз подрессорен и рессоры достаточно гибкие, то давление груза на конструкцию относительно мало отличается от его веса, так что становится возможным второй вариант решения.

Среди отечественных работ, посвященных четвертой постановке задачи, следует отметить исследования И. И. Гольденблата (1947), В. В. Болотина (1950, 1952, 1961), А. П. Филиппова (1955, 1964—1965), А. Б. Мор- гаевского (1959—1966). При этом получены результаты, относящиеся к движению по балке сосредоточенных сил или бесконечной полосы нагрузки; случай упругого основания исследован А. П. Филипповым и Е. Г. Голоскоковым (1962), а также Б. Г. Кореневым и М. Н. Ручимским (1955).

В этих исследованиях установлено, что в большинстве реальных случаев скорости движения грузов слишком малы, чтобы динамические эффекты имели заметйое влияние (при совершенно гладком пути).

В последние годы проблема действия подвижной нагрузки все чаще связывается с важной задачей о поведении трубопроводов, через которые протекает жидкость. Наиболее яркий эффект состоит в возможности существования критических состояний, которым отвечает наступление дивергенции или флаттера (см. § 10.6). Эти вопросы рассматривались в работах В. И. Феодосьева (1951), О. Н. Мухина (1965) и А. А； Мовчана (1965).

Колебания систем с соударяющимися массами

В современной технике широко распространены механические системы, в которых колеблющиеся тела в процессе движения систематически испытывают соударения (вибромолоты, виброударные демпферы, виброударные измельчительные устройства и др.). Главной особенностью этих систем является негладкость процесса движения, так как в приемлемой идеализации акты соударения сопровождаются мгновенными изменениями скоростей. Хотя весьма часто в интервалах между ударами система допускает линейную схематизацию, однако задача в целом оказывается существенно нелинейной; движению системы присущи типично нелинейные черты, главной из которых является существование и устойчивость при заданных

параметрах системы подчас весьма большого числа стационарных режимов (отвечающих различным областям притяжения в фазовом пространстве). К счастью, наибольший практический интерес представляют простейшие из этих режимов. Так, в случае периодического возбуждения доминирующее значение-имеют колебания с периодом, равным периоду возбуждения или кратным ему (с небольшим порядком кратности).

Особенности виброударных систем предопределяют метод нахождения стационарных режимов и исследования их устойчивости; таким является метод припасовывания или его геометризированная и упорядоченная редакция — метод точечных отображений ). На основе этих методов оказалось возможным разработать эффективные алгоритмы решения задач динамики виброударных систем с применением цифровых вычислительных машин.

Одной из первых работ по виброударным системам была известная статья И. Г. Русакова и А. А. Харкевича (1942). В настоящее время по этим вопросам имеется обширная литература, содержащая решение многих важных задач.

В связи с внедрением быстродействующих вычислительных машин в последний период наметилась тенденция к исчерпывающему исследованию виброударных систем, включающему рассмотрение сложных ) режимов, которым, как уже отмечалось, обычно отвечают весьма «узкие» области существования и устойчивости в пространстве параметров, а также «узкие» области притяжения в фазовом пространстве. Такие исследования, несомненно, представляют важный шаг в развитии теории. Однако необходимо помнить о грубости обычно применяемых моделей виброударных систем, использующих понятие о коэффициенте восстановления как о физической постоянной. Вследствие зависимости коэффициента восстановления от ряда неучитываемых (в том числе и случайных) факторов, указанные сложные режимы могут оказаться практически нереализуемыми. В свете сказанного, наряду с полным детерминистическим исследованием виброударнЫх систем особый интерес представляет статистическое рассмотрение, учитывающее, что коэффициент восстановления изменяется случайным образом от удара к удару.

Основные заслуги в развитии теории виброударных систем принадлежат горьковской школе механиков (Ю. И. Неймарк, Л. В. Беспалова, М. И. Фейгин и др.) и сотрудникам Института машиноведения (А. Е.* Кобринский, В. И. Бабицкий, Р. Е. Брунштейн и др.). Современное состояние вопроса отражено в монографии А. Е. Кобринского (1964), а также в книге К. М. Рагульскиса, И. И. Виткуса и В. Л. Рагульскене (1965).

Колебания систем под действием сил,зависящих от движения

Предварительные замечания. Многие важные задачи о возникновении колебаний в механических системах не допускают трактовки в рамках простейшей концепции, использующей понятие о возмущающих силах. При решении таких задач нельзя считать, что частота и амплитуда возмущения заранее заданы и не зависят от движения системы.

Наоборот, для получения удовлетворительного описания поведения системы приходится учитывать зависимость «возмущающей силы» от движения колебательной части системы, а иногда и рассматривать совместное движение как колебательной системы, так и источника возбуждения. Естественно, что при этом порядок дифференциальных уравнений движения может повыситься, и, как правило, эти уравнения становятся нелинейными.

Один из важных классов рассматриваемых систем образуют автоколебательные системы, описываемые автономными дифференциальными уравнениями. Колебательный характер движений таких систем определяется внутренними свойствами системы в целом-. При этом периоды возможных установившихся режимов колебаний (таких режимов может быть несколько в зависимости от начальных условий движения) определяются значениями параметров системы. Примерами автоколебательных систем являются часы, а также системы, в которых колебания возбуждаются силами сухого трения, потоком жидкости или газа, и т. п.

Сущность рассматриваемых задач отчетливо понимал еще Рейли (см. Теория звука, т. 1, § 51. Русский перевод: М., 1955), однако можно без преувеличения сказать, что отечественными исследователями внесен решающий вклад в их постановку и решение. Здесь мы напомним лишь об основополагающих исследованиях А. А. Андронова, А. А. Витта и С. 9. Хайкина (1937, изд. 2—1959) и их последователей в области теории автоколебательных систем; следует упомянуть также монографии К* Ф. Те- одорчика (1952) и Б. В. Булгакова (1954). Другие более конкретные ссылки будут сделаны ниже при рассмотрении отдельных классов задач.

Колебания часового хода. Часы представляют собой классический пример систем, в которых колебательная часть существенно взаимодействует с источником энергии и образует вместе с ним единую специфическую автоколебательную систему. Характерной особенностью такой системы является наличие единственного режима стационарных колебаний, устанавливающегося при'достаточно больших начальных отклонениях или начальных скоростях (в случае достаточно малых начальных возмущений происходят затухающие колебания); иными словами, в часах осуществляется жесткое возбуждение автоколебаний. Другая особенность часов состоит в том, что передача энергии от источника энергии к колебательной части системы носит дискретный, импульсный характер, причем импульсы сообщаются колебательной части системы в некоторых фиксированных ее положениях.

Фундаментальные исследования отечественных ученых, относящиеся к теории часов, отражены в монографии А. А. Андронова, А. А. Витта и С. Э. Хайкина (1937, изд. 2—1959), а также в работах Н. В. Бутенина (1940), А. А. Андронова и Ю. Н. Неймарка (1946), 3. М. Аксельрода (1947), Н. Н. Баутина (1948 и сл.).

Возбуждение колебавши сидами трения. Во многих механических системах автоколебательные свойства являются следствием особенностей соответствующих характеристик трения и в первую очередь наличия падающего участка характеристики. Такие автоколебания часто называют фрикционными.

Некоторые из случаев фрикционных автоколебаний имеют серьезное практическое значение и к настоящему времени достаточно полно изучены. Примерами являются автоколебания, возникающие при медленных движениях суппортов тяжелых металлорежущих станков или при тросовом подъеме судов по наклонным слипам (случаи относительно медленных

■основных движений), а также сходные явления вибраций при точении быстро вращающихся заготовок и продольных автоколебаний при движении глиссирующих судов (случаи относительно быстрых основных движений).

Если возникает вопрос о контроле устойчивости соответствующего основного режима движения, то при гладкой характеристике трения задача допускает линеаризацию и проблема сводится к исследованию знака того члена дифференциального уравнения возмущенного движения, который отражает действие сил трения. В связи с такой постановкой задачи об условиях самовозбуждения возник, может быть, спорный, но весьма яркий и хорошо ориентирующий термин «отрицательное затухание».

Однако во многих других случаях задача ставится более широко л целью исследования оказывается нахождение соответствующего предельного цикла (как правило, одного). Для решения этой задачи необходимо располагать достоверными сведениями о всей характеристике трения, а не только о знаке первой производной в точке, соответствующей номинальному режиму. При решении соответствующих задач обычно идут на те или иные схематические представления характеристики трения; иногда оказывается допустимой предельная схематизация в виде кулоновской зависимости, но с учетом различия между силой трения покоя и силой 左рения движения.

Нужно отметить, что само понятие характеристики трения условно ло самому своему существу, поскольку соответствующие силы определяются при серии фиксированных значений скорости, тогда как изменение скорости в любом реальном процессе колебаний само по себе может стать источником появления дополнительных сил. Здесь не исключена возможность своеобразного запаздывания; впрочем, этот вопрос мало изучен, и, очевидно, ситуация существенно зависит от конкретного вида фрикционной связи.

Заметим далее, что характеристики трения принимаются во всех случаях на основе прямых экспериментов и вводятся в последующее исследование автоколебаний чисто феноменологически. Чаще всего автоколебательные процессы фрикционного происхождения носят ясно выраженный разрывный характер (релаксационные автоколебания), но в отдельных случаях возможно развитие автоколебаний квазилинейного типа. Таковы, например, автоколебания, возникающие вследствие внутреннего трения во вращающихся валах и роторах в закритических областях (см. выше, § 3).

Существенный вклад в исследование указанных вопросов внесен трупами Н. Л. Кайдановского и С. Э. Хайкина (1933), А. А. Андронова, .А. А. Витта и С. Э. Хайкина (1937, изд. 2—1959), Е. Л. Николаи (1937); см. также работы Ю. И. Костерина (I960), В. О. Кононенко (1954), A. IL Соколовского (1946), А. И. Каширина (1944), Д. Р. Меркина (1965), Я. Г, Пановко (1957). Оригинальная концепция была выдвинута А. Ю. Иш- линским и И. В. Крагельским (1944); в их исследовании предлагалось* связывать величину силы трения с продолжительностью неподвижного контакта.

Возбуждение колебаний потоком жидкости или газа. Колебания упругих систем в потоке жидкости или газа представляют собой явления ле только весьма интересные в теоретическом отношении, но и чрезвычайно -актуальные при проектировании современных летательных аппаратов.

Интерес к этой проблеме возник в связи с многочисленными авиационными катастрофами, причиной которых послужило явление флаттера.

Исследования, выполненные в тридцатых годах за рубежом и в Советском Союзе, позволили сформулировать не только основную концепцию, объясняющую флаттер с качественной стороны, но и дать количественные оценки, достаточно хорошо подтверждаемые натурными наблюдениями и исследованиями лабораторного характера.

При изменении конфигурации поверхности конструкции, обтекаемой потоком газа или жидкости, меняются и аэродинамические нагрузки, В первом, наиболее грубом приближении можно считать, что эти нагрузки зависят только от конфигурации поверхности в данный момент времени. Более точные результаты дает гипотеза стационарности, согласно которой действующие на конструкцию аэродинамические силы определяются как конфигурацией поверхности, так и распределением скоростей ее точек («конфигурацией скоростей») в данный момент времени. Наиболее точна нестационарная теория, учитывающая не только состояние системы (координаты и скорости ее точек) в данный момент времени, но и переменность условий обтекания с течением времени.

М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев (1935) исследовали аэродинамику колеблющегося крыла, пользуясь нестационарной теорией. Сравнительно простую теорию флаттера крыла построил Е. П. Гроссман (1937), который опирался на гипотезу стационарности, но учел пространственный характер обтекания крыла. На основе гипотезы стационарности был получен ряд полезных практических результатов и для других случаев флаттера, связанных с колебаниями фюзеляжа самолета, элеронов и оперения.

В упомянутых решениях предполагалась малость упругих перемещений, благодаря чему уравнения задачи оказались линейными. Соответственно этому задача могла быть поставлена единственным образом: определить, при какой наименьшей скорости потока возможно возрастание размахов колебаний; такая скорость называется критической скоростью* флаттера. Иными словами, задача сводилась к исследованию структуры фазового пространства в малой окрестности положения равновесия, т. е. к оценке устойчивости этого положения в зависимости от скорости потока.

В пятидесятых годах и позднее гипотеза стационарности широко использовалась для анализа «панельного» флаттера — задачи о критических скоростях потока, обтекающего плоскую или слегка изогнутую упругую- пластинку (панель). Наиболее важны результаты, полученные для случая гиперзвукового потока (когда число Маха существенно больше единицы). Здесь в особенности необходимо отметить работы А. А. Мовчана (1956 и сл.).

В последние годы решение задачи о панельном флаттере развивалось по пути учета нелинейных факюров, в первую очередь геометрической нелинейности, связанной с относительно большой гибкостью панели и возникновением цепных усилий. При этом для условий флаттера удается найти устойчивый предельный цикл, т. е. амплитуды стационарных автоколебаний. Существенные результаты в этом плане получены В. В. Болотиным (1956 и сл.); отметим также работы Р. Д. Степанова (1957) и Ю. Н. Новичкова (1962 и сл.).

Понятно, что эти результаты принципиально недоступны при линейной постановке задачи. Впрочем, при решении первых задач о «классическом» флаттере крыла линейная постановка была достаточной по той причине, что самовозбуждение, в сущности, означало весьма скорое разрушение конструкции, которая не могла бы выдержать колебания, приближающиеся к предельному циклу. Применительно к панелям, представляющим собой пластины или пологие оболочки, разыскание предель»

ных циклов небеспредметно, так как значительные резервы сопротивления оказываются не всегда исчерпанными при движении по предельному циклу.

Подавляющее большинство решений носило приближенный характер, причем широкое распространение в этой области приобрел метод Галер- кина. Необходимо отметить, что многие из полученных таким образом решений были вполне удовлетворительно подтверждены путем машинного решения соответствующих уравнений на ЭМУ и ЭЦВМ, а также прямыми экспериментами.

Известным своеобразием обладают задачи об устойчивости упругих форм равновесия трубопроводов, по которым течет жидкость; в частности, в таких системах возможны критические состояния при определенных значениях скоростей потока. Эти вопросы изучались в работах В. И. Фео- досьева (1951), Н. А. Кильчевского и его сотрудников (1962, 1965) О. Н. Мухина (1965), А. А. Мовчана (1965) и других исследователей.

Отметим, что взаимодействие упругой конструкции с жидкостью- может оказать существенное влияние на колебательные свойства конструкции (спектры собственных частот и собственных форм, рассеивание энергии и т. п.) даже при отсутствии потока. Соответствующие задачи гидроупругости, строго говоря, выходят за рамки темы настоящего пунктаг но непосредственно к ней примыкают. Из числа относящихся сюда исследований необходимо упомянуть работы Л. С. Лейбензона (1934), П. К. Ишкова (1937), Н. Н. Моисеева (1952 и сл.), Б. И. Рабиновича (1956 и сл.)г П. П. Кульмача (1956 и сл.), Б. Г. Коренева (1957 и сл.), Л. И. Балабуха (1962 и сл.), В. С. Гонткевича (1962 и сл.), И. С. Шейнина (1963 и сл.), Н. А. Кильчевского (1964), И. М. Рапопорта (1966).

Автоколебания роторов. Важный круг задач рассматриваемого в этом параграфе типа образуют задачи об автоколебаниях вращающихся роторов.

Наибольшее число относящихся сюда исследований было посвящена изучению колебаний роторов, опирающихся на подшипники скольжения. Причина автоколебаний в этом случае связана с особенными свойствами смазочного слоя между цапфой вала вращающегося ротора и вкладышем подшипника. При отклонениях вращающегося ротора от положения равновесия возникают дополнительные гидродинамические силы (циркуляционные силы) дестабилизирующего характера. При определенных Значениях угловых скоростей вращения ротора эти силы приводят к неустойчивости положения равновесия и возникновению автоколебаний.

В то же время смазочный слой передает на ротор дополнительные силы иного характера, связанные с вязкостью, инерционностью и сжимаемостью* пленки. Первые два фактора оказывают демпфирующее действие и затрудняют возникновение автоколебаний, тогда как сжимаемость облегчает возникновение автоколебаний и приводит к снижению критической скорости вращения ротора.

Решение этого круга сложных вопросов приводит к необходимости совместного рассмотрения уравнений колебаний ротора и уравнений гидродинамической теории смазки.

Определению гидродинамических сил, возникающих в масляном слое при отклонениях ротора, и исследованию устойчивости движения системы посвящены работы А. Г. Бургвица (1958), В. И. Олимпиева (1958), Э. Л. Позняка (1958 и сл.). Специальные исследования дали возможность установить стабилизирующее влияние инерционных свойств смазки на устойчивость системы (А. Г. Бургвиц, А. Т. Полецкий, Г. А. Завьялов).

Обширный цикл исследований, относящихся к автоколебаниям роторов, проведен М. Я. Кушулем и суммирован в его монографии (1962).

В последнее время появился ряд работ, посвященных динамике роторов на гидростатических подшипниках, когда смазывающая жидкость имеет малую вязкость (вода, керосин и т. д.) (И. Д. Ямпольский, Е. Е. Малаховский).

Применительно к роторам электрических машин Э. Л. Позняком (1958—1960) было показано, что вращающееся магнитное поле может вызвать неустойчивость и последующие автоколебания железного ротора, а также что магнитное поле в электрических машинах, играя роль «отрицательной жесткости», снижает критические скорости и вызывает дополнительную неуравновешенность ротора.

Явление шимми. «Виляющее» движение катящегося по дороге колеса, снабженного пневматиком, наблюдалось в носовых колесах самолетов и было причиной серьезных аварий. Объяснение и математическое описание этого явления («шимми») было дано М. В. Келдышем (1945), показавшим, что при заданных параметрах конструкции могут существовать критические значения скоростей, отвечающих неустойчивости прямолинейного движения колеса. Выполненные исследования способствовали конструктивным усовершенствованиям узла крепления колеса, позволившим практически устранить шимми.

Систематическое рассмотрение проблемы шимми колес автомобиля см. в книге К. С. Колесникова (1957), а также в монографии Ю. И. Ней- марка и Н. А. Фуфаева (1967).

Системы, взаимодействующие с источником возбуждения. Особый класс образуют системы, для которых характерно обратное влияние движения колебательной части на источник возбуждения. В этих •системах «возмущающие силы» существенно зависят не только от состояния колебательной системы, но и от состояния возбудителя, поведение которого описывается дополнительным дифференциальным уравнением (или -системой уравнений). Указанные системы часто называют системами, взаимодействующими с источником возбуждения или системами с ограниченным возбуждением.

Инерционное возбуждение колебаний. Специ- -фика задач о взаимодействии колебательной системы с источником возбуждения может быть весьма отчетливо проиллюстрирована на следующем простейшем примере.

Рассмотрим упруго закрепленное твердое тело, которое может поступательно двигаться вдоль горизонтальной оси 0%; на теле установлен двигатель асинхронного типа с неуравновешенным ротором. Пусть требуется изучить колебания системы. Традиционный подход к задаче состоит в том, что вращение ротора электродвигателя предполагается строго равномерным, причем угловая скорость вращения со считается заданной и не зависящей от движения системы. Колебания тела при этом описываются линейным дифференциальным уравнением

Мх + рх + сх = /песо2 cos со^, (10.1) где х — смещение тела от состояния, соответствующего недеформирован- ным пружинам, М — масса тела, с — жесткость пружин, 0 — коэффициент затухания, те — статический момент неуравновешенных грузов возбудителя. Как видно, в данном случае задача ставится и решается как задача о вынужденных колебаниях под действием заданной силы

，=/песо2 cos з九 Решению уравнения (10.1) отвечает хорошо известная амплитудно-частотная характеристика.

Однако еще А. Зоммерфельд экспериментально обнаружил, что падающая ветвь резонансной кривой для данной системы часто не может быть реализована: она оказывается неустойчивой. Более подробно тот же эффект позднее был описан В. С. Мартышкиным (1940). Указанное явление может ■быть объяснено лишь при отказе от традиционного рассмотрения задачи как линейной задачи о вынужденных колебаниях. Здесь приходится изучать колебания системы совместно с возбудителем, учитывая обратное влияние на него колеблющейся системы.

В случае асинхронного электродвигателя дифференциальные уравнения движения такой системы могут быть записаны в форме

Мх + Рх + сх = тпе(ф sin ф + ф2 cos ф), 1 (]0 2) 7q)= тпе (х sin 屮 + g cos 屮)+ £ (ф) — R (ф), J

где ф — угол поворота ротора вибратора, I — момент инерции ротора, J? (ф) и Z (ф) — соответственно момент сил сопротивления и вращающий момент электродвигателя (в простейшем случае R ^ L зависят только ют угловой скорости ф).

Рассмотрение системы (10.2), проводимое, как правило, методом малого параметра или асимптотическими методами, и позволяет объяснить эффект Зоммерфельда, а также многие другие сходные явления. Таким образом, для описания этих явлений оказалось необходимым отказаться •от концепции заданной возмущающей силы и вместо неавтономной системы рассматривать автономную систему и притом с большим числом степеней свободы.

К настоящему времени имеется значительное число работ, посвященных • проблеме взаимодействия различного рода колебательных систем © механическими дебалансными вибраторами, приводимыми от двигателей того или иного типа. В ряде работ (в частности, в статье И. И. Блехмана, 1953, его совместной работе с Г. Ю. Джанелидзе^ 1955, и наиболее полно 卫 работах В. О. Кононенко, 1958 и сл., а также С. С. Кораблева, 1959, К. В. Фролова, 1961 и сл., и др.) были объяснены многие .важные закономерности поведения таких систем: неустойчивость режимов, отвечающих отдельным частям классической резонансной кривой, скачкообразный переход от одного режима движения к другому, зависимость характера стационарного движения системы от направления изменения (увеличения или уменьшения) значений параметров.

И. И. Быховский изучил неравномерность вращения механического дебалансного вибратора, возбуждающего колебания некоторой системы, и указал на ряд интересных возможностей использования этой неравномерности (1961).

Учет взаимодействия колеблющейся части системы с источников возбуждения имеет важное значение также и при исследовании переходных режимов, в частности, процесса прохождения через резонанс в системах с инерционным возбуждением. Дело в том, что при относительно сильном обратном влиянии колебательной части системы на возбудитель колебаний становится недопустимым предположение о постоянстве скорости изменения частоты возмущения (на этом предположении основаны работы по прохождению через резонанс, упомянутые в § 2). Отказ от такого предположен

ния приводит к установлению ряда интересных и важных для практики закономерностей. Отметим здесь работы В. О. Кононенко и К. В. Фролова (1959—1964), Л. А. Растригина (1959—1960), В. Д. Земскова (I960), С. Е. Филера (1965), Е. Г. Голоскокова и А. П. Филиппова (1964), Э. А. Аграновской (1964—1967), посвященные решению задачи о переходе через резонанс в указанной расширенной постановке.

Основные результаты исследований в обсужденных выше направлениях ,появившихся до 1964 года, отражены в монографии В. О. Кононенко (1964).

Следует подчеркнуть, что дифференциальные уравнения движения колебательной системы совместно с возбудителем не обязательно автономны, как это имело место в указанном выше примере (инерционное возбуждение колебаний возбудителем асинхронного типа). В ряде случаев целесообразно выделять некое промежуточное звено, служащее возбудителем для колебательной части системы, причем ритм работы этого возбудителя задается другим весьма мощным источником и может считаться не зависящим от движения системы. Хотя в этих случаях ритм работы возбудителя является заданным, но возникающие при движении колебательной части системы силы все же зависят от этого движения. При этом имеется существенное взаимодействие колебательной части системы с возбудителем, но уравнения движения оказываются неавтономными..

К указанному типу относятся, в частности, механические колебательные системы, возбуждаемые механическими вибраторами (в простейшем случае — неуравновешенными роторами), приводимыми во вращение от синхронных электродвигателей. К тому же типу относятся и механические колебательные системы с электромагнитным возбуждением; однако поскольку эти системы характеризуются неинерционным возбуждением, они отдельно рассматриваются ниже.

Возбуждение колебаний посредством электромагнитов. Широко распространенные в технике механические системы, колебания в которых • возбуждаются электромагнитами, представляют еще один пример систем, где принципиально важен учет взаимодействия возбудителя и колебательной системы. Дело в том, что электромагнитные силы, действующие на колебательную систему, определяются магнитными потоками в электромагните. Потоки же и индуктивные сопротивления в цепях обмоток электромагнита зависят от расстояния между сердечником и якорем, которое изменяется в процессе колебаний. В результате уравнения движения колебательной системы и уравнения, описывающие изменение токов и магнитных потоков, оказываются связанными между собой.

Существенной особенностью получающейся системы, отличающей ее от системы (10.2) в случае асинхронных двигателей, является неавтоном- ность: электромагнитный возбудитель является синхронным, «ритм» его работы задается частотой тока сети, которую можно считать не зависящей от движения системы.

Взаимодействие электромагнита даже с линейной колебательной системой приводит к ряду нелинейных эффектов (поскольку уравнения возбудителя нелинейны), аналогичных наблюдаемым в системах с инерционными возбудителями, в частности, к неустойчивости ряда режимов, устойчивых при отсутствии взаимодействия.

Последовательная теория линейных колебательных систем, возбуждаемых электромагнитами, развита недавно К. Ш. Ходжаевым (1965— 1966) на основе использования метода малого параметра.

Вибрационное перемещение

Значительная часть рабочих процессов, осуществляемых в вибрационных машинах и устройствах, в том числе вибротранспортировка, вибросепарация и грохочение, вибрационное погружение свай, вибро- бункеризация, вибрационное ускорение химических реакций и др., может рассматриваться как частные случаи вибрационного перемещения — процесса, в котором направленные «в среднем» изменения получаются за счет ненаправленных в среднем (периодических) воздействий.

Простейшим примером такого процесса является вибротранспортировка —перемещение твердых тел или сыпучих материалов по вибрирующей шероховатой поверхности.

Двумя другими, не менее эффектными примерами являются процессы вибробункеризации и вращения неуравновешенного ротора, происходящего под действием колебаний его оси (см. § 10.7).

Широкий класс задач теории вибрационного перемещения образуют нелинейные задачи, в которых нелинейность обусловлена наличием сил типа сухого трения и неудерживающих связей. При этом, как правило, интерес представляет изучение установившихся движений вида

g =匕力+取⑴ (H.l)

«%х — некоторая координата системы, Vf ——постоянная, представляющая собой среднюю скорость перемещения, q)z (i)——периодическая функция 力)， происходящих под действием периодического возмущения.

К вибрационному перемещению можно отнести также полет птиц, насекомых и летательных аппаратов с машущими крыльями.

Важными прикладными задачами теории являются вычисление средней скорости вибрационного перемещения Уь а также выбор закона колебаний, обеспечивающего (при определенных ограничениях) максимум средней скорости. Последняя задача в общей постановке приводит, в сущности, к задачам теории оптимального управления.

Одним из любопытных эффектов, связанных с вибрационным перемещением, является эффект кажущегося превращения сухого трения в вязкое под действием колебаний, или, как иногда говорят, вибрационная линеаризация сухого трения. Как и во многих ранее рассмотренных случаях, действие вибраций на систему приводит к тому, что весьма небольшие силы, которые при отсутствии колебаний не могли вызвать относительного движения соприкасающихся тел, при сопровождающей вибрации вызывают направленное движение (здесь можно сослаться на эффект ■самоотвинчивания гаек болтовых соединений на вибрирующих конструкциях).

Перечисленным выше и некоторым другим задачам теории вибрационного перемещения посвящены работы Г. Д. Терскова (1937—1941), В. А. Олевского (1941,1953), Ю. И. Неймарка (1952—1953), М. Я. Кушуля и А. В. Шляхтина (1954), Н. Г. Копылова (1955一1963), Д. Д. Малкина (1959, 1962), И. Ф. Гончаревича (1962—1967),В А. Троицкого (1962— 1963), Э. Э. Лавендела (1963一1967) и других авторов. Результаты многочисленных работ, выполненных в этой области, суммированы в монографии И. И. Блехмана и Г. Ю. Джанелидзе (1964), а также в их обзорном докладе (1965).

Одна из наиболее трудных задач теории вибрационного перемещения состоит в исследовании процесса вибрационного разделения сыпучих сме- -сей в вибрирующих сосудах. Эта задача, важная для многих приложений,

но еще далекая от удовлетворительного решения, заключается в следующем. Пусть имеется сосуд, совершающий заданные колебания и содержащий смесь твердых частиц, отличающихся по форме, крупности и удельному весу. Необходимо по известному начальному распределению- частиц в сосуде найти их распределение при 力 > 0 и, в частности, при t f оо. .

В работах И. И. Блехмана, В. В. Гортинского, Г. Е. Птушкиной и В. Я. Хайнмана (1963, 1965) на основе гипотезы о том, что сила сопротивления относительному смещению отдельной частицы в окружающей ее сыпучей среде подобна силе сухого трения, объяснен эффект кажущегося разжижения сыпучей среды под действием колебаний и вычислен эффективный коэффициент вязкости. Получили объяснение и «парадоксальные» ситуации, когда процесс расслоения протекает в направлении, соответствующем возрастанию потенциальной энергии системы.

Любопытно, что в ряде случаев зависимость скорости всплывания илк погружения частицы в кыпу^ей среде от частоты вибраций имеет ярко выраженный максимум, подобный резонансному «пику». Никакого резонанса, однако (вопреки иногда встречающимся утверждениям), здесь нет, а наличие «пика» обусловлено совсем иными причинами.

В статистической постановке задача о разделении сыпучих смесей рассмотрена в цикле работ Е. А. Непомнящего (1961).

Синхронизация динамических систем

Явление синхронизации состоит в том, что несколько объектов, совершающих при отсутствии взаимодействия колебательные или вращательные- движения с различными частотами (угловыми скоростями), при наложении подчас весьма слабых связей начинают двигаться с одинаковыми или кратными частотами (угловыми скоростями); при этом устанавливаются определенные фазорые соотношения между соответствующими колебаниями и вращениями.

Частные случаи явления синхронизации давно известны. X. Гюйгенс в начале второй половины XVII века установил, например, что пара маятниковых часов, шедших по-разному, самосинхронизировалась, когда их прикрепляли к легкой балке вместо стены. Примерно в начале текущего века явления синхронизации были открыты в электрических цепях и в некоторых электромеханических системах; с этими объектами до недавнего времени были связаны главные технические приложения синхронизации.

Положение изменилось после того как в сороковых годах в СССР (и почти одновременно за рубежом) было открыто явление самосинхронизации механических дебалансных вибраторов. Оказалось, что такие вибраторы, представляющие в простейшем случае неуравновешенные роторы, находящиеся на общем основании и приводимые в действие от каких-либо двигателей асинхронного типа, при определенных условиях работают синхронно, несмотря на возможное различие параметров вибраторов и на отсутствие каких-либо кинематических или электрических связей между их роторами. Синхронизирующим фактором при этом являются колебания тела (или связанных между собою тел), на котором установлены вибраторы. В настоящее время самосинхронизация находит все более широкое применение в новых конструкциях вибрационных машин.

В зависимости от характера математической постановки задачи о синхронизации автоколебательных объектов различают задачи о внутренней

(автономной) и внешней (неавтономной) синхронизации. В первом, наиболее общем случае все объекты рассматриваются как равноправные элементы единой автономной системы. Частота синхронного движения при этом устанавливается в результате взаимодействия объектов; она заранее неизвестна и подлежит определению в процессе решения задачи. Во втором, более простом случае предполагается, что один из объектов является значительно более мощным по сравнению со всеми остальными, и поэтому его движение считается не зависящим от характера движения прочих элементов системы. Воздействие указанного объекта на остальные объекты и, конечно, частота синхронного движения предполагаются при этом наперед заданными и неизменными. Система дифференциальных уравнений движения при таком подходе оказывается неавтономной и имеет более низкий порядок, нежели исходная автономная система.

Применительцо к радиотехническим системам первый и второй случаи синхронизации были впервые последовательно рассмотрены на относительно простых примерах из области радиотехники в трудах Л. И. Мандельштама, А. А. Андронова и А. А. Витта (1930——1939) и их сотрудников (в указанных работах использовались соответственно термины «затягивание» и «захватывание»). В дальнейшем появилось огромное количества работ, посвященных изучению указанных явлений.

В механике самосинхронизация наблюдается, например, при одновременной работе нескольких включенных в сеть неодинаковых вибраторов, установленных на общем основании; при определенных условиях происходит такое перераспределение энергии между вибраторами, что скорости их вращения выравниваются. Тенденция механических вибраторов к самосинхронизации иногда настолько сильна, что даже выключение одного из вибраторов, т. е. превращение его в обычный неуравновешенный ротор (физический маятник) не приводит к его остановке: он продолжает вращаться с той же угловой скоростью, что и включенные в сеть вибраторы, сколь угодно долго. То же может наблюдаться и при выключении нескольких вибраторов, причем энергия, необходимая для поддержания вращения выключенных вибраторов, передается им через общее вибрирующее основание.

Теория синхронизации механических роторов была развита в Советском Союзе в течение последних пятнадцати лет в работах И. И. Блехмана (1952—1967), Б. П. Лаврова (1961, 1966), О. Я. Шехтер (1961), К. М・ Ра- гульскиса (1962—1967), Р. Ф. Нагаева (1963—1967), Л. Б. Зарецкого (1966) и других авторов. Обзор исследований в этой области, а также общая постановка задачи о синхронизации содержатся в статье И. И. Блехмана (1964), а также в сборнике трудов по' теории и применению явления синхронизации в машинах и устройствах (Вильнюс, 1965).

Заметим, что описанное выше явление вибрационного возбуждения вращения неуравновешенного ротора можно рассматривать и как задачу о синхронизации и как задачу о вращении неуравновешенного ротора под действием заданных колебаний его оси. Изучению этого своеобразного эффекта, лежащего в основе работы многих машин и устройств (а также ‘ игры-упражнения «хула-хуп»), посвящены исследования Н. Н. Боголюбова (1950), И. И. Блехмана (1954), О. Я. Шехтер (1959), В. В. Гортинского (1959), К. М. Рагульскиса (1963), 3. С. Баталовой (1967).

К задачам о синхронизации вибраторов в широком смысле относятся исследования особенностей движения вращающихся гибких валов с неуравновешенными дисками, анализ динамики специальных автобалансиров, изучение поведения нескольких неуравновешенных машин, установленных

на общем фундаменте или на связанных между собой фундаментах, исследование принципов работы ряда акустических приборов.

Основным средством решения задач теории синхронизации является метод малого параметра; при этом разработка указанной теории вызвала развитие метода в некоторых определенных направлениях (см. обзор И. И. Блехмана, стр. 157—165).

Проблемы случайных колебаний

Многие технические задачи (отметим задачу о качке судов на нерегулярном волнении, вопросы о колебаниях транспортных машин при их движении по неровному пути, о колебаниях самолетных конструкций, вызванных турбулентностью воздушного потока, о колебаниях систем лод действием сейсмических возмущений, задачу виброзащиты, а также упомянутую выше задачу о вибрационном разделении сыпучих смесей) сводятся к проблеме колебаний систем, находящихся под действием случайных воздействий. Этой проблеме в работах отечественных ученых было уделено значительное внимание.

Важные для теории колебаний результаты были получены в работе А. А. Андронова, А. А. Витта и Л. С. Понтрягина (1933), где для произвольной нелинейной системы построено дифференциальное уравнение в частных производных (уравнение Фоккера — Планка), которому при определенных условиях должна удовлетворять плотность вероятности фазовых координат системы.

В указанной работе рассматривается динамическая система )

£ =厶阳，…，X»;装，…，Up) (i = l, n),(13.1)

где 力一нелинейные функции, a gj — случайные функции времени 力, причем величины j (厶)и 頂(力2), где 厶 и ^ — произвольные моменты времени, являются статистически .независимыми.

Предполагается, что взаимная корреляционная функция процессов Сх.и gj задается выражением

电=М {G «),&•« +1；)}=加川⑴.

В цитированной работе было показано, что тогда уравнение типа Фоккера — Планка записывается в следующей форме:,

пп п

丁= —£ т^г [4 (勺，…，力小力)必1+可 2 £ дХ1 дх [Bij{x^ ..., xn, t) w], i=li=i j=i

(13.2)

Здесь 4» и Bij — коэффициенты, зависящие от вида функций и параметров внешних воздействий. Если

力(X丄一…X氾，^, ,,,,^) = ^^ ХП) + ^ (p = "), (13.3)

На указанном выше подходе основана первая группа статистических методов при рассмотрении нелинейных задач.

Методы второго направления базируются на приближении случайного возмущения отрезком его так называемого канонического разложения, т.^е. на представлении в виде линейной комбинации конечного числа детерминированных функций времени с коэффициентами, являющимися независимыми случайными величинами. При таком подходе проблема сводится к построению решений детерминированных задач, зависящих от набора случайных параметров. При этом открываются возможности использования современных вычислительных машин.

Наконец, третьим подходом является распространение на нелинейные системы с помощью приближенного метода статистической линеаризации обычных приемов корреляционной теории, а также применение корреляционной теории в сочетании с обычными методами нелинейной механики. Наиболее важные результаты в данной области были получены В. С. Пугачевым (1962), С. М. Рытовым (19 55), В. В. Болотиным (1959—1966), А. А. Первозванским (1962), В. И. Осориным (19 59—1961), М. 3. Колов- ским (1962—1965), И. Б. Челпановым (1962), М. Ф. Диментбергом (1966 и сл.).

Общая характеристика состояния проблемы дана в упомянутом обзоре М. 3. Коловского, В. И. Осорина и А. А. Первозванского (1965),. а также в работах В. В. Болотина (1964—1968).

МЕТОД ОСРЕДНЕНИЯ

В ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ

В. М. ВОЛОСОВ

Настоящий обзор посвящен развитию асимптотических методов нелинейной механики, связанных с методом осреднения, применяемых в теории нелинейных колебаний. Обзор не претендует на полноту, его цель состоит в том, чтобы отметить основные идеи и приемы метода осреднения и их приложение к разработке теоретических вопросов, связанных с изучением нелинейных колебаний. В связи с этим укажем, что обширную библиографию по этой теме и описание большого числа важнейших результатов в этой области можно найти в книгах Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского (1963), Ю. А. Митропольского (1964, 1966), С. Ф. Фещенко, Н. И. Шкиля и Л. Д. Николенко (1966), Дж. Хейла (1963; русский перевод: 1966), а также в обзорных статьях В. М. Волосова (1962—1963). Как уже сказано, главное внимание в обзоре уделяется тем результатам, которые непосредственно связаны с теорией нелинейных колебаний, поэтому вопросы абстрактного, чисто математического характера ) и, с другой стороны, технические и прикладные задачи ) здесь почти не затрагиваются.

Метод осреднения первоначально возник в небесной механике и дальнейшее его развитие в известной мере связано с решением задач небесной механики, а в последние годы — с исследованиями, относящимися к изучению движения искусственных небесных тел ). Поэтому естественно, что вопросы такого рода в обзоре отчасти затрагиваются, однако и в этой области мы не стремились к исчерпывающему изложению предмета, так как эти проблемы выходят по существу за рамки теории нелинейных колебаний и образуют самостоятельный обширный раздел современной науки.

По замыслу здесь не предполагалось также рассматривать распространение волн и колебания в сплошных средах, колебательные процессы в системах с последействием и в системах с бесконечным числом степеней свободы, а также проблемы оптимизации. В связи с этим вопросы, касаю-

щиеся применения метода осреднения к уравнениям в частных производных, интегральным и интегро-дифференциальным уравнениям, уравнениям с отклоняющимся аргументом, системам счетного числа дифференциальных уравнений и т. п. в обзоре подробно не освещаются. Результаты, относящиеся к упомянутым проблемам, можно найти в специальной литературе ).

Основное содержание обзора относится, таким образом, к применению метода осреднения для изучения колебательных систем, описываемых обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями, причем рассматриваются главным образом исследования советских ученых, так как в этой области науки отечественная школа занимает ведущее место.

Основной прием метода осреднения состоит в том, что правые части сложных систем дифференциальных уравненией, описывающих процесс колебаний или вращения, заменяются «сглаженными», осредненными функциями, не содержащими явно время t и быстро изменяющихся параметров изучаемой системы. Этот метод издавна применялся в небесной механике, с ним связаны известные схемы осреднения Гаусса, Делоне — Хилла и др. В «Лекциях» Ю. А. Митропольского (1966) в качестве характерного примера применения осреднения в задачах небесной механики рассматривается ограниченная плоская круговая задача трех тел (см. также Н. Д. Моисеев, 1945). Эта задача приводит к уравнениям вида

d2r/ dZ \ 2 dW d ( 2 dl \ dW

где г и Z — радиус-вектор и долгота (относительно. Солнца) малой планеты, W = Wi + W2 — силовая функция, Wi — солнечная часть силовой функции, W2 — возмущающий член. Система эта заменой переменных приводится к уравнениям

da — 2 ]/а dWdp — 2 ~|/p dW2

d 力 к Д/т О" 'd 力

dM —к Д/m2 Д/аdW2 do—2 Д/р@叩2

d力居/2力' dt 力8p ，

где а, р, М, со — кеплеровские оскулирующие элементы. Последняя система уравнений, как и исходная, весьма сложна, она не интегрируется в квадратурах. Для упрощения этих уравнений и применяются различные схемы осреднения небесной механики. Метод Гаусса, в частности, состоит в том, что функция W2 заменяется ее средним значением

2л 2л急\\叽dM%о о

где 勾 ——долгота большой планеты. При такой замене (осреднении) уравнения упрощаются и интегрируются в квадратурах, что позволяет сделать важные выводы как качественного, так и количественного характера относительно изучаемого движения.

В теории нелинейных колебаний метод осреднения долгое время не применялся, и одной йз основополагающих работ в этой области, положившей начало широкому применению осреднения в механике и теории колебаний,

является известное исследование Ван-дер-Поля, в котором изучалось уравнение вида

務+ 炉2 + £(/2_1)得=0

(где е — малый параметр, характеризующий относительную малость нелинейного члена по сравнению с линейным), описывающее колебания в цепи лампового генератора. По методу Ван-дер-Поля решение этого уравнения ищется в виде

x = acos ((о^ + ф)?(1)

что соответствует «вариации постоянных» а и ф, так как при е = 0 линейное уравнение имеет решение 胃=a cos (①力 4■屮)(а = const,屮=const). В формуле (1) а и ф рассматриваются как новые неизвестные функции, приближенное определение которых и составляет сущность метода. Замена переменных приводит уравнение Ван-дер-Поля к виду

黑=* (с? — 1) sin ®力 + <р),

將=訂(22-l)^c°s®力+ 叫，■(2)

力= acos((o% +(p),胃= o(osin((o% +(p).,

Осреднение правых частей в (2) по явно входящему времени t дает упрощенные уравнения вида

которые легко интегрируются в квадратурах.

Следует отметить, что как схемы осреднения небесной механики, так и метод Ван-дер-Поля применялись без достаточного научного обоснования. Дело не только в том, что не были доказаны соответствующие математические теоремы, сам физический и механический смысл замены исходных уравнений осредненными был неясен, и это обстоятельство в известной степени тормозило широкое распространение этого метода.

Строгое обоснование метода осреднения связано с появлением исследования Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова (1937) и особенно последующих работ Н. Н. Боголюбова (1945, 1950). Впрочем, для частных случаев, включая и задачу Ван-дер-Поля, обоснование осреднения разрабатывалось Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси (1934) (изложение этих результатов можно найти в книге А. А. Андронова, А. А. Витта и С. Э. Хайкина 1959), а для систем вида

® = /1 (/，У，；)， У = % 卜，У，у)，

где правые части (из-за наличия множителя 1/е》1) являются быстропериодическими функциями времени, еще ранее — П. Фату.

Сущность общего принципа осреднения была исчерпывающе выяснена в работах Н. Н. Боголюбова, в которых было также указано, каким образом можно получить с помощью осреднения сколь угодно точные приближения к искомому решению. На этих результатах, сыгравших громадную роль в развитии асимптотических методов нелинейной механики, мы здесь

остановимся более подробно. Исследования Н. Н. Боголюбова относятся к так называемым стандартным системам вида

% = еХ (х, t, е)=唸£ (芻 t) + е2Х2 (胃，％) + …，(3)

где х = (^i, • • • •? %n) — неизвестная вектор-функция аргумента t, X = =(Х^ . . ., X氾)—периодическая no t векторная функция (дляпростоты примем, что период равен 2л), е — малый параметр. К системам такого типа приводят многие задачи теории колебаний, и к этому вопросу мы в дальнейшем еще вернемся, а пока отметим, что уравнения (2), к которым сводится задача Ван-дер-Поля, как раз принадлежат к этому типу. Основная задача, относящаяся к уравнению (3), ставится следующим образом. Рассматривается решение 胃(力)системы (3), удовлетворяющее начальным условиям х (力о) = ео, которое исследуется на большом интервале времени X。«力《7/е (勿 = const > 0). Для этого система (3) заменяется осред- ненной системой вида

x~га (瑞 e)三 8Лi (х) + £222(%)+ …，(4)

не содержащей явно времени 力一так, чтобы решения 力(％) были близки к х (力)при 力о & ±《77£. Нужно, таким образом, указать правило выбора функции А (芻 е) (или А^ Л2, . . •), а также замену переменных, позволяющую перейти от х в системе (3) к х в уравнениях (4). Эта замена переменных предлагается в форме

% = % + £〃£(芻看)+du2 (芻力)+-7(5)

где коэффициенты uj (j = 1, 2, . . .) также должны быть определены. Первый вопрос, который должен быть здесь решен, заключается в отыскании формального преобразования (3) и построении системы (4), после чего естественно поставить вторую проблему ——о степени близости решений систем (3) и (4).

Остановимся вначале на первом вопросе. Дифференцируя (5), в силу (4) находим

i =叫0) + £ ”沁+ £2% G) + е2吗沁А^) +戌恥£，」L +…

Подставляя найденное выражение в (3), разлагая все члены слева и справа по степеням е и приравнивая, как это обычно делается, коэффициенты при одинаковых степенях, мы получаем соотношения

Al + ^- = Xl+^1Xl,neint,

п：卢0

42 +警=偿+金警产)% 一豐4 +元+金爲1,(6)

где X» — коэффициенты при £* в разложении еХ = £ £”Х几，

2л2л

——соответственно коэффициенты Фурье X» и среднее значение Xj (нулевой коэффициент Фурье). Рассмотрим первое из равенств (6)：

4切+学沁=冗(分+ 2 Xi,ПG)eF

n，0

Это соотношение выполняется тождественно по t и ^ поэтому

2л

4 G) = Х1 @) = £ £ X] (с,力)di

и

u丄(芻%)=圣岁。0)，

n#=0

где 〃£, о——произвольное выражение, появляющееся при интегрировании. Считая теперь 4丄 и 〃( известными, рассмотрим второе из соотношений (6) и применим к нему тот же самый прием. Тогда、

4@)=Е@)+2些产飞鱼一吗沪&再

吋0

И

“20")=金込噜上一金部導里£(分+耍* n=#0n，0

壮迎儡吧+ 2 鼻包X/0) 号硕e*3 + “G), 乳■県 0п-\-тфО

где 〃2,о — произвольная функция. Ясно, что таким способом можно последовательно определить сколь угодно большое число коэффициентов Ai и щ, т. е. система (4) (осредненная) и преобразование (5) могут быть построены с любой асимптотической (относительно е) точностью. Выбор величин 〃％о (%) в теоретическом отношении безразличен, на практике же их обычно выбирают исходя из тех или иных конкретных соображений удобства.

Переходя ко второму вопросу, укажем на основные результаты Н. Н. Боголюбова, относящиеся к обоснованию этой схемы осреднения. Мы коснемся при этом только уравнения первого приближения, так как более высокие приближения исследуются аналогично. Уравнение первого приближения имеет вид

_2л

.崇=£4(2)三訂口1(2,力)成.

О

Н. Н. Боголюбов показал, что при выполнении некоторых общих условий ограниченности и гладкости правых частей решения системы первого приближения отличаются от решений (3) сколь угодно мало на интервале 力〜1/% если в начальный момент они совпадают. При некоторых дополнительных ограничениях разность х (t) — х (%) имеет порядок малости е при 力〜 1/е. Далее было обнаружено, что если уравнение первого приближения имеет асимптотически устойчивое положение 'равновесия, то решения исходной системы, начинающиеся достаточно близко к этой точке, притягиваются к окрестности этой точки при 7 —> оо. Наконец,

если осредненная система первого приближения обладает периодическим решением со свойствами сильной устойчивости, то в достаточно малой окрестности этого цикла возникает периодическое решение системы (3), притягивающее близкие соседние решения. Были установлены также и более тонкие результаты, относящиеся к случаям, когда в окрестности решений осредненнойг системы появляются многообразия решений, имеющие размерность меньшую, чем порядок системы, и обладающие свойствами притяжения или отталкивания близких решений. Все эти результаты изложены в цитированных выше работах Н. Н. Боголюбова, а также в упомянутых в начале обзора книгах Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского (1963—1966).

Результаты эти были применены Н. Н. Боголюбовым и его многочисленными последователями к решению многих задач теории нелинейных колебаний. Развитые методы оказались весьма плодотворными и для исследования линейных систем с медленно меняющимися коэффициентами. Последний вопрос подробно освещен в книге И. 3. Штокало (I960) и в монографии С. Ф. Фещенко, Н. И. Шкиля и Л. Д. Николенко (1966), где изложены результаты С. Ф. Фещенко, его учеников й ряда других авторов по асимптотике решений линейных систем. Отметим, что большое число интересных результатов по применению метода Н. Н. Боголюбова к теоретическим и прикладным проблемам теории нелинейных колебаний было сообщено на Международном симпозиуме по нелинейным колебаниям в Киеве (1961), «Труды» которого выпущены в трех томах в 1963 г. (обзор этих результатов имеется также в статье В. М. Волосова, 1962).

g一0①2 Sin①力g一0①2 Sin①力d20 . а de .衣+入石-d20 . а de .衣+入石-sin0 = 0.sin0 = 0.К системам в стандартной форме (3) приводятся многие уравнения нелинейных колебаний. В общем плане этот вопрос трактуется в «Лекциях» Ю. А. Митропольского (1966), а также в уже упомянутых его и совместных с Н. Н. Боголюбовым книгах. Мы здесь ограничимся некоторыми простыми примерами такого приведения. В работе Н. Н. Боголюбова (1950) (см. также Н. Н. Боголюбов и Ю. А. Митропольский, 1963) изучаются колебания маятника с вибрирующей точкой подвеса, которые описываются уравнением вида

g一0①2 Sin①力

g一0①2 Sin①力

d20 . а de .衣+入石-

d20 . а de .衣+入石-

sin0 = 0.

sin0 = 0.

Последнее уравнение интересно и само по себе, а кроме того, результаты этого исследования важны для ряда практических приложений, например г в конструировании и расчете навигационных приборов. Близкая по характеру задача рассматривалась также П. Л. Капицей (1951). Здесь предполагается, что частота(о колебаний подвеса значительно больше собственной частоты So = М g/Z малых свободных колебаний маятника, и амплитуда а колебаний подвеса существенно меньше приведенной длины 2 маятника, т. е. a/Z《1,(о > ①。〃。,а коэффициент затухания 九 не велик: 1/4 九2 V со2. При этих условиях Н. Н. Боголюбов вводит замену переменных

т =(о厶 0 = ф — esinx-sinq), — = eQ ——ecosT-sinq)(e = -^- < 1),

которая приводит рассматриваемое уравнение к системе в стандартной форме. Применяя к последней описанный выше метод осреднения и переходя затем к прежним переменным, мы получаем уравнение второго порядка такого же типа, что и первоначальное, но не содержащее явно 力〜Анализ устойчивости решений и, в некоторых случаях, интегрирование в замкнутом виде такого уравнения, существенно проще, чем в случае исходного

уравнения. Не останавливаясь на подробностях, которые можно найти в книге Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского, где приведен еще ряд задач такого типа, отметим, что результаты Н. Н. Боголюбова показывают, в частности, что неустойчивое при фиксированном подвесе верхнее положение равновесия маятника при наличии вибрации может стать в определенных условиях устойчивым.

Отметим теперь один класс систем, которые приводятся к стандартному виду сравнительно просто (см. «Лекции» Ю. А. Митропольского, 1966). Пусть нелинейная колебательная система^характеризуется невозмущенными кинетическай и потенциальной энергиями

NN

(где g»，qi—обобщенные скорости и координаты) и возмущающими факторами вида eQk (где | е | < 1), a Qk имеют вид

Qh = QB(9а, 9а) + 2 [Q終(9h, gQ COS Qai + Q俨2 (阪 qk) sin Qai] a *

(Л = 1,,7V).

Если квадратичные формы Г и V положительно-определенны, то, переходя к нормальным координатам 胃卄 х2, .. ., %w, а затем применяя замену переменных

(где (o冗一собственные частоты), мы получим непосредственно систему в стандартной форме, к которой можно применить метод Н. Н. Боголюбова.

Метод осреднения успешно применяется для исследования колебательных систем, параметры которых медленно меняются. Такие исследования проводились Ю. А. Митропольским (1950, 1955, 1964 и др.) и его учениками, В. М. Волосовым (1956—1963) и многими другими авторами. Библиографию по этой теме можно найти, например, в источниках, указанных в самом начале настоящего обзора, а также в обзорной статье В. М. Волосова (1962) по итогам Киевского симпозиума. Здесь мы рассмотрим простейший случай, позволяющий выяснить основные идеи постановки и решения задач такого типа. Следуя «Лекциям» Ю. А. Митропольского (1966), возьмем уравнение

备!m(y)署]+也)2=叫弘仇伤岩)

(где F периодически зависит от 0, 0 — v (z/) > 0, 0 < е《1), описывающее колебания переменной массы т, зависящей от параметра ?/, под действием линейной пружины с характеристикой упругости с (у) и нелинейного возмущения eF, где изменение у описывается уравнением dyldt ~ = е/ (у, 0, 伤 dx/dt). Замена переменных

c = acos中，等=_a/*sin中， y = y,屮=，/*就 + $

приводит эти уравнения к стандартной форме, если колебания происходят вдали от резонанса, т •е •① ^Vcjm 干*. Дальнейшее исследование не представляет труда, так как можно применить метод осреднения и получить.

более простые уравнения. В резонансном случае saw преобразование системы проводится иначе (см., например, упомянутые «Лекции»), но окончательный этап исследования опять-таки сводится к анализу о сред- ненной системы. Подробное изложение этого вопроса и анализ результатов такого приема исследования имеется в цитированных выше работах. Заметим, что уравнения колебаний рассмотренного здесь типа изучались также (иными методами) Г. Е. Кузмаком (1957), В. И. Гайдуком (1959) и другими исследователями (см. библиографию в обзорных статьях В. М. Волосова, 1962-1963).

Метод осреднения применяется также для исследования систем, в которых некоторые параметры изменяются очень быстро. Мы остановимся здесь на двух характерных задачах такого типа. Возьмем систему уравнений вида

£^ = fgy), % = g(2，y)‘ ⑺

где 胃—(д, . . г 胃氾)—«быстрые параметры», у =(勿，...,z/m), е — малый параметр. Это — так называемая система уравнений с малым параметром при производных. Начало изучению таких систем было положено работами А. Н. Тихонова (1948) и И. С. Градштейна (1949); этому вопросу в различных аспектах посвящены работы А. Б. Васильевой (см. ее обзорную статью, 1963), В. М. Волосова (1950, 1952, 1955) (результаты Тихонова, Васильевой и Волосова см. также в их совместных статьях, 1956, 1963), Л. С. Понтрягина (1956—1960), Е. Ф. Мищенко (1957). Заменой переменной ^ ~ ет написанная выше система приводится к виду

黑= /3/ ^ = £gW 办

где у — (уг . . ., ^皿)—теперь уже «медленные» параметры, а 胃(况卄.•. ...,①氾)，так сказать, «нормально» изменяющиеся координаты. Системы последнего типа мы подробнее рассмотрим далее, а пока отметим, что в работах Л. С. Понтрягина (1956, 1'958, I960) уравнения движения рассматривались в первоначально указанном виде и при определенных условиях устанавливались некоторые тонкие результаты, касающиеся того случая, когда система в вариациях

礬=箓(鸩У)品

(где 胃° (у, т) — периодическое решение уравнений 彰/dT =力 у = const, обладающее - некоторыми свойствами устойчивости) обладает " — 1 характеристическим показателем с отрицательными вещественными частями, а также и некоторых других более сложных вариантов этой задачи, связанных с некоторой процедурой осреднения.

В работах Л. С. Понтрягина (1957) и Е. Ф. Мищенко (1957) изучались релаксационные колебания систем (7).

В работе Н. Н. Боголюбова и Д. Н. Зубарева (1955) рассматривалась система с быстрым параметром вида

&/ ' Xji (ot,况£,….,的г),，&力 九①(g,….,的г) + 4 (а, д,...,况n.)

("=1,・・.,(8) где 九》1 — «большой параметр», правые части периодичны по а, а а — так называемая быстро вращающаяся фаза. Метод осреднения, разработанный в этом исследовании, оказался весьма плодотворным и позволил,

卫 частности, изучить движение заряженной частицы в магнитном и электрическом полях, описываемое уравнением вида

dv dtdv dtеЕеЕтстс[5 Н],[5 Н],

dv dt

dv dt

еЕ

еЕ

тс

тс

[5 Н],

[5 Н],

где т, е и f — масса, заряд и скорость частицы, Н и Е — внешние магнитное и электрическое поля. Предполагая, что (Н^/Н) (dH!dx)《1, где Rl = 1nme 1(еН) — ларморовский радиус частицы, Н ~ \ И \, a w — составляющая ее скорости в направлении, поперечном полю Н, авторы вводят замену переменных

0 = иг。+ w (т丄 cos а + т2 sin а),

где т0 = Н/Н, т0, т» т2 — ортогональная тройка (правая) единичных лекторов, что сводит уравнение движения частицы к виду (8) и позволяет применить развитый ими метод осреднения систем с быстро вращающейся •фазой, обобщающий осреднение стандартных систем (3). Метод Боголюбова —ЗубаревеР изложен также в книгах Ю. А. Митропольского (1964, 1966) и, в форме, несколько отличающейся от авторской, в обзорных статьях В. М. Волосова (1962—1963). В цитированных работах обсуждаются также приложения этого метода к разнообразным теоретическим и прикладным задачам теории нелинейных колебаний. Не приводя здесь подробностей, касающихся систем (8), отметим лишь, что уравнения первого приближения имеют для (8) вид

欝=爲 (" = 1,2, 吟

где черта означает осреднение по а:

2л

*Хh da. О '

Если сделать замену 力=т/九,то система (8) запишется в виде системы, содержащей медленные параметры, вида

一 &工~ еХ 冗(a, %£,***, Eri), ~dt~①(％£，***，％7i) + e4 (a, “丄，*, %n)

("今《1) *(9)

а уравнение первого приближения примет вид

醬=£笈("=1,2и).(Ю)

К системе вида (9) или (8) мы вернемся далее при обсуждении общих методов осреднения систем с медленными параметрами, предложенных в работах В. М. Волосова (1961—1963).

Отметим, что релаксационные колебания систем типа (7) изучались также А. А. Дородницыным (1947); некоторые соображения по этому поводу высказывались А. Н. Тихоновым (1948).

Рассмотрим теперь систему уравнений вида

•2 = £Х(2, у,力 8)三 еХ1(2, у, t) + ^X2{x, у, i) + ..

.(12)

0 = y (2，y,力 8)三 уо(ж,厶力)七次1(2, y, t) + ^Y2{x, y,力)+ …，，

где 胃=(^1, . . ” хп), у = (уг . . .，Ут)， £ ——малый параметр. Здесь переменные х изменяются медленно, а у — относительно быстрее. Система (11), в зависимости от характера задачи, рассматривается на асимптотически большом промежутке 力〜1/е или на неограниченном интервале 力“ Нетрудно заметить, что рассмотренные ранее стандартные системы (3), системы с быстрой фазой (9) или (8), системы типа (7) и другие представляют собой частный случай общей системы (11) с быстрыми и медленными движениями. .

Рассмотрим общую схему осреднения (11), предложенную В. М. Волосовым (1961—1963), которая обобщает процесс осреднения систем (3) и (8)， о котором говорилось ранее. Наряду с системой (11) рассмотрим вырожденную систему

y = YQ(x, у,力)， х = const, (12)

в которую (11) переходит при е = 0. Систему (12) можно рассматривать как порождающую (невозмущенную), а (11) — как результат возмущения (12) членами 〜е. Переменные 胃 в (11) меняются с малой Скоростью 胃= =еХ. Влияние быстрых движений у на характер изменения 胃 сводится к тому, что на скорость еХ накладываются быстрые воздействия у. Допустим, что влияние быстрых движений на скорость медленных переменных 乃 может бысть осреднено в течение длительного промежутка времени, т. е., что вдоль интегральных кривых быстрых движений существуют средние для скоростей еХ. Тогда будет естественно поставить вопрос о возможной близости решений (11) к решениям осредненной системы х = еХ. Оказывается, что при определенных условиях это имеет место. Пусть у =屮(力)一 решение (12). Допустим, что средние значения X, о которых выше говорилось, существуют:

X = lim f \ X (怎 q? (%), t, е) d% 三爲 + eX2 + • • •

Среднее Х^ может зависеть от выбора траектории (12), вдоль которой производится осреднение. Предположим сейчас, что такой зависимости нет, т. е., что Xi не зависит от выбора начальных значений у | t==tQ = yQ и %. Тогда в первом приближении системе (11) можно сопоставить осредненную систему первого приближения вида

x = sXl (х)三 elim-4-弋 Х^ (芻 叭力力)d九 (13)

Заметим, что предположение о независимости X от у。и tQ не ограничивает общности, так как В. М. Волосовым (1961—1963) показано, что общий случай, когда такая зависимость имеется, может быть редуцирован к частному случаю, когда этой зависимости нет. Оставляя в стороне этот более общий случай, обратимся к уравнению первого приближения (13).

Как показано в цитированных работах Волосова, при некоторых общих условиях решения (13) действительно аппроксимируют при £ f О решения (11) на большом интервале 力〜1/е. При выполнении более жестких ограничений разность х — % имеет порядок малости е. Построены также уравнения высших приближений, решения которых аппроксимируют решения первоначальной системы с любой наперед заданной асимпто-

тической точностью es. Рассмотрены также случаи, когда осреднение такого типа пригодно и для неограниченного промежутка времени i Q & t ОО *

Обратим теперь внимание на то, что предложенная общая схема осреднения обобщает методы осреднения стандартных систем и систем с быстрой фазой, о которых говорилось ранее. Действительно, в стандартной системе (3) время t можно рассматривать как единственную быструю переменную, удовлетворяющую уравнению 力=1. Тогда осредненное уравнение

. 2л S+T 一

胃=eXt 三肃、Х^ (爲力)d% = £ lim，- \ Х^ (芻 tQ + t) dt

представляет собой, очевидно, случай (13). Для системы с быстро вращающейся фазой (9) или (8) вырожденнор. .уравнение типа (12) имеет вид

■^~ =(0(д,...,力办),①=(勺,...,胃n)=const,

а его общее решение есть а = а0 十(о (%) (т — т0). Но тогда уравнение первого приближения (10) является частным случаем (13), так как правые части (9) зависят от а периодически (например, для простоты, с периодом 2л) и

2л

еХ 冗(胃卄・・ *，％n)三 2 冗 § X/t (a, ^i? • • • ? %n) daо

=8 lim пр- \ A"fe(ao +(o(T —т0)?...,^п)^т (加=1, 2,・・・,八)•

На уравнениях высших приближений и на случае бесконечного интервала 看о《力 V оо мы здесь подробно останавливаться не будем (см. В. М. Волосов, 1961—1963).

私岛 Отметим, что А. М. Молчановым (1961) предложена схема асимптотического решения систем вида

票=г。(y) + eу1 (y) + d十• y =(勿，•一，分)， основанная на некоторой схеме осреднения.

Разного рода процессы осреднения, обобщающие результаты Н, Н, Боголюбова и его последователей применительно к задачам теории колебаний, вводились также в упомянутой на стр, 115 книге Дж. Хейла, в работе В. Т. Кайнера (Ann. Math. Studies, 1956, No. 41) и других авторов {см., например, цитированные обзоры В. М. Волосова, 1962—1963). В некоторых исследованиях принцип осреднения трактовался с общих абстрактных позиций современной математики. Кроме упоминавшихся ранее работ (см. первое примечание на стр. 115), относящихся к этому вопросу, назовем еще статьи Б. П. Демидовича (1954), О. А. Жаутыкова (1965), а также работу Я. Курцвейля (Чехосл. матем. ж., 1966, 16: 3), в которой принцип осреднения рассматривается в единстве с проблемами устойчивости интегральных многообразий и непрерывной зависимости решений от параметров. Более подробное обсуждение этих вопросов выходит за рамки целей, поставленных в настоящем обзоре..

В случае, когда общая система (11) (или системы типа (3) или. (8)— (9)) имеют каноническую гамильтонову (или «близкую» к гамильтоновой)

форму, метод осреднения приводит к ряду интересных выводов, на которых мы сейчас кратко остановимся.

Если уравнения (12) имеют вид у = У。(％, у), % = const и допускают так называемые вращательные и колеблющиеся решения, то, как показано В. М. Волосовым (1962—1963), общая схема осреднения, описанная выше, применима при весьма общих ограничениях. Допустим теперь, что система такого именно типа имеет форму

（伍》

% ^ eX (p, g, %, £),丿

где 胃=(^1, * . г 胃氾)—медленные возмущающие параметры, q = (^储..- ...,gQ и p =伪£, …7 pQ — координаты и импульсы,—守⑴)и е/S)— соответственно малые возмущающие факторы. При е = 0 система (13) становится канонической (при произвольных е/(р\ e/句)и еХ (14) при £ % & может и не иметь гамильтоновой формы):

£ = COIlSt.£ = COIlSt.(15).(15).dg = @Е(Р,矶 а：) 也=—8Hm 9,力 dt — др ' dtdq

£ = COIlSt.

£ = COIlSt.

(15).

(15).

Если решения (15) разбиваются на группы 伪储...,ps) = р<%. (S, — 柒)=g" и (ps+i, . . Pk) = p<2\ (柒+储 …7 qQ = =g<2> (l《s《")—такие, что переменные р» . . ., ps колеблются^ q^ . . ., qs колеблются или вращаются, а во второй группе д§+储... ...,qk колеблются, а р§ + 丄，・•・,歹丸 колеблются или вращаются, то система (15) имеет первый интеграл вида

/ = § р(^ dg⑴一g⑵ dp⑵=const,

т. e. так называемый интеграл действия. Другим интегралом (14) служит' интеграл энергии Н = Е = const, который существует и тогда, разумеется, когда решения (15) не обладают указанными выше свойствами. В системе- (14), подверженной возмущениям, энергия Е уже, вообще говоря, не сохраняется. Если (14) допускает применение общей схемы осреднения, описанной выше, то, как показано в работах В. М. Волосова (1961—1963)” энергия в первом приближении изменяется по закону

A小+黑2+需修) (W

(черта означает осреднение в смысле (13)), т. е. быстрота убывания или возрастания энергии системы (14) равна средней мощности возмущающих сил £#р), е/(д)и сил еХ, изменяющих параметры n системы. Для частных. случаев уравнение энергии рассматривалось также Г. С. Макаевой (1961). Аналогичная задача рассматривалась В. М. Волосовым (1961—1963A для интеграла действия 7. Для него получено уравнение

黑= Ej(f^ dp + f^ dq) + ^^ (X — 豆阳 (17)，

показывающее, что быстрота изменения I связана с работой сил е扑力 и £/&), но, в отличие от энергии Е (см. уравнение (16), на интеграл I влия-- ет не сама быстрота изменения параметров х, скорость которых равна еХ”

а отклонение этой скорости от среднего значения еХ. Указанное специфическое свойство интеграла действия приводит к тому, что при определенных условиях он играет роль адиабатического инварианта. Эта проблема обсуждается подробно В. М. Волосовым (1962—1963) и В. И. Арнольдом (1963), к работам которых мы и отсылаем за подробностями. Адиабатические инварианты рассматривались также в книге М. Крускала (1961; русский перевод: 1962).

Осреднение системы, имеющей каноническую форму, может в общем случае привести и к неканонической системе. Если же согласовать преобразование, приводящее исходную систему к осредненной форме (в выборе такого преобразования всегда имеется произвол, например, в случае (3) мы наблюдали появление произвольных величин ut 0 (%)) с одной из четырех форм канонических преобразований (см., например, Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Механика, М., 1958), то можно добиться канонической формы и для осредненных уравнений, что во многих отношениях весьма удобно. Схемы осреднения небесной механики, например, строятся обычно именно таким образом. Эта проблема рассматривалась Э. Л. Бурштейном и Л. С. Соловьевым (1961), А. М. Федорченко (1957), а также применительно к небесной механике Н. Д. Моисеевым (1954), Е. А. Гребенниковым (1964), А. М. Молчановым (1963), В. И. Арнольдом (1963) и другими исследователями в различных аспектах.

Применение метода осреднения и других близких к нему методов позволило исследовать ряд теоретических и прикладных вопросов, связанных с колебательными, вращательными и условно-периодическими движениями сложных систем, и, в частности, некоторые задачи теории движения искусственных спутников Земли. Объем настоящего обзора не позволяет назвать большое число работ этих направлений — ограничимся указанием на исследования, упомянутые в третьем примечании на стр. 115, а также на статьи А. Н. Колмогорова (1954), В. И. Арнольда (1963), П. П. Вчераш- нюка (1963), В. И. Гайдука (1961) и В. А. Ярошевского (1962). В исследованиях В. О. Кононенко (1961—1963) рассматривались вопросы, связанные с приложениями асимптотических методов к анализу реальных колебательных систем, в частности, ставилась и решалась задача о взаимодействии колебательной системы с источником энергии ограниченной мощности, в которой приходится учитывать воздействие системы на неидеальный источник энергии. Исследованию вращательных и колебательных режимов нелинейных систем посвящены также исследования Г. Е. Кузмака (1959), Н, Н. Моисеева (1963), В. М. Волосова (1965), В. М. Волосова и В. И. Моргунова (1963, 1965), Л. Д. Акуленко (1966—1967), Л. Д. Акуленко и В. М. Волосова (1966—1967), Ф. Л. Черноусько (1963) и др.

Не имея возможности обсудить результаты этих и прочих работ, остановимся вкратце на оригинальной идее, принадлежащей Н. Н. Моисееву (1963), которая оказалась плодотворной при решении ряда теоретических вопросов и в приложениях к динамике космических аппаратов (см. доклад Н. Н. Моисеева на XIII Международном астронавтическом конгрессе, 1962), Мы иллюстрируем результат Моисеева на простейшем примере. Возьмем уравнение вида

d2y d方2d2y d方2“(y) = 0,“(y) = 0,

d2y d方2

d2y d方2

“(y) = 0,

“(y) = 0,

где Q имеет по у период Го (пусть, для простоты, Го = 2л). Уравнение это легко интегрируется в квадратурах, и мы его здесь берем лишь для упрощения рассуждений. Что же касается метода Моисеева, то он

применим и к сложным системам (см., например, упомянутые его работы). Если энергия системы, описываемой этим уравнением, велика, то имеет место быстрое вращение. Полагая в этом случае

(параметр Q = 1/е》1 характеризует быстроту вращения), мы приходим к системе dzlds = —eQ (у)， dyI ds = 1 + ez, которая принадлежит к системам с быстрой фазой типа (9) или (8). Применяя далее процедуру осреднения, легко получить удобные асимптотические разложения решения по степеням малого параметра. Н. Н. Моисеев отмечает в связи с этим, что при изучении нелинейных колебаний систем с периодической фазовой плоскостью имеются два крайних случая: движения с малыми и с очень большими энергиями. При малых энергиях для изучения колебаний применимы простые асимптотические методы, основанные на линеаризации (см., например, И. Г. Малкин, 1949, 1956), а для больших энергий при вращении также получаются простые асимптотические разложения, если применить упомянутый выше метод. Область «средних» энергий, в особенности при значениях ее, определяющих движения вблизи сепаратрис, является в этом смысле менее освоенной.

Метод осреднения может применяться не только для нахождения решения в аналитической форме или для его качественного исследования, но и для упрощения численного интегрирования. Основанные на осреднении методы численного интегрирования уравнений движения спутников развивались в работах Д. Е. Охоцимского, Т. М. Энеева и Г. П. Тараты- новой (1957), Г. П. Таратыновой (I960); некоторые приемы численного и приближенного интегрирования быстроколеблющихся движений предложены в упомянутой ранее работе В. А. Ярошевского (1962) и в статьях Г. Е. Кузмака и Ю. М. Копнина (1963), Т. В. Ларичевой и М. В. Рейн (1965).

В важном разделе механики, относящемся к теории гироскопов и гироскопических систем, также успешно применяются методы осреднения и другие асимптотические методы. По этому поводу мы отсылаем к работам А. Ю. Ишлинского (1963) и С. С. Ривкина (1962), в которых имеется также библиография по этому вопросу.

Применение метода осреднения наталкивается в ряде случаев на существенные трудности, скажем, при расчете резонансов (к этому вопросу мы далее еще вернемся и рассмотрим его подробнее), при исследовании переходных режимов, связанных с прохождением через сепаратрису или вблизи нее на фазовой плоскости или, например, когда решение порождающего уравнения не выражается достаточно просто. В последнем случае часто применяется так называемый метод «эталонных уравнений» А. А. Дородницына (1952); к этой же проблеме относится одна работа Г. Е. Кузмака (1959). Асимптотические расчеты сепаратрис возмущенных уравнений разрабатывались В. К. Мельниковым (1959).

Остановимся теперь на некоторых задачах, связанных с применением видоизмененных схем осреднения, относящихся к некоторым задачам, постановка которых отлична от тех традиционных формулировок, о которых говорилось ранее.

Рассматривая колебания систем с большим числом степеней свободы, мы иногда не можем описать их с помощью «непрерывной» модели, так как информация о состоянии системы при определенных условиях поступает в отдельные моменты времени, образующие дискретную сеть. В этом случае

пользуются конечноразностными уравнениями, которые также лежат в основе многих численных методов решения. Развитие метода осреднения для таких систем изучалось Е. Беланом, результаты этого исследования изложены в § 13 «Лекций» Ю. А. Митропольского (1966).

В рассмотренной ранее схеме осреднения Н. Н. Боголюбова для стандартных систем (3) существенно использовалась гладкость правых частей уравнений. Ясно, однако, что это предположение не всегда соответствует реальности в том смысле, что для создания математической модели, адек- кватной реальной колебательной системе, приходится иногда вводить разрывные характеристики или характеристики с разрывной крутизной (например, при описании воздействия импульсных нагрузок). Поэтому распространение метода осреднения на такого рода уравнения имеет важное значение. Этот вопрос исследовался Ю. А. Митропольским и его учениками. К отмеченной выше проблеме примыкает и задача изучения колебаний, возбуждаемых мгновенно приложенными силами или силами значительной величины, локализованными в малой части пространства. В связи с этим возникает вопрос о распространении метода осреднения на уравнения, содержащие 6-функции. Этот вопрос разрабатывался еще Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым (1937). Продолжением и развитием этих исследований занимался А. М. Самойленко (1961); его результаты имеются также в «Лекциях» Ю. А. Митропольского.

Применение метода осреднения к уравнениям в частных производных, описывающим колебания систем с распределенными параметрами, представляет собой новую и интересную область нелинейной механики, систематическая разработка которой в данное время еще далека от завершения. Мы уже упоминали работу 3. Ф. Сирченко (1962); к этой же проблеме относятся некоторые исследования Ю. А. Митропольского в его книге (1964) (в гл. 6 этой книги подробно изложены результаты автора и многих других исследователей по осреднению в уравнениях в частных производных), работы О. М. Филипса (J. Fluid Meeh., 1960, 9 : 2), Г. С. Ретца (NORAIR Rept,* 1959—383), Д. Дж. Бенни и А. М. Нила (J. Math, and Phys., 1962, 41:4) и ряд других. В § 17 «Лекций» Ю. А. Митропольского этот вопрос также подробно рассматривается.

Мы ограничимся здесь простейшей иллюстрацией, показывающей возможность распространения метода осреднения на уравнения в частных производных. Следуя изложению 3.①.Сирченко и «Лекций» Ю. А. Митропольского, возьмем уравнение гиперболического типа с постоянными коэффициентами вида

A^ + 2B^ + C^ + D^ + E^ + Fu^[^^ и^^)^(18) где е — малый параметр, В2 — АС <0. Преобразуя известным образом это уравнение, мы можем привести его к виду

02q6七202q6七2= %М4-8Ф ,,瑞 М,警’黑),= %М4-8Ф ,,瑞 М,警’黑),

02q

6七2

02q

6七2

= %М4-8Ф ,,瑞 М,警’黑),

= %М4-8Ф ,,瑞 М,警’黑),

сохраняя для новых независимых переменных и возмущающих факторов прежние обозначения. Для решения простейшей краевой задачи

и (0, t) = u(lj ^) = 0

с начальными условиями

"(0, 2)=<р(2), 警]=о = P(2)，

9 Механика в СССР, том 1

рассмотрим невозмущенное уравнение, в которое переходит данное уравнение при £ = 0：

Решение последнего уравнения при тех же краевых и начальных данных имеет вид в

и (力，％)=』(Лп cos ①几力 + Вп sin(ont) sin 罕 x,

n=l

если допустить, что (冗0冷/炉一入＞0 (n= 1, 2, ...), где ①П=]Л(n如"产—九, а /几 и 占几 определяются из начальных данных. Естественно поэтому попытаться разыскать решение исходного уравнения в виде

m (力х, e) = 2 2П⑺sin号力，

где 2几—неизвестные функции. Эта процедура приводит к уравнениям вида

-^2 F ^n^n =£①几(/，、Z1,22，• " •，21，22，。一) (冷 ~ 1, 2,...)

с начальными условиями при 力=0: 2几=屮几，dznldt = i|)n (屮几，屮几一коэффициенты Фурье для 屮(力)и 屮(力))・ Далее обычная замена

dz

гп = xne^ni + 力一几6 一心М,-^~ = imne^ntxn — imne-^tx^n

приводит эти уравнения к виду, близкому к стандартной форме (3), после чего не трудно применить метод Н. Н. Боголюбова и получить асимптотические приближения. В цитированных выше работах эта и сходные с ней идеи применялись для решения уравнений общего вид^, а также для конкретных технических задач (колебания стержня, вала машины, турбинной лопатки и пр.).•

Большой интерес для теории и практики представляют задачи, в которых рассматриваются недетерминированные воздействия на колебательные системы. Метод осреднения, позволяющий получить «сглаженные», осредненные характеристики изучаемых процессов, находит, естественно, применение и в этой области. Однако подробное обсуждение этого вопроса невозможно в рамках настоящего обзора, так что мы отсылаем по этому поводу к работам А. Н. Колмогорова (1938), Л. С. Понтрягина, А. А. Витта и А. А. Андронова (1933), В. Г. Коломийца (1963), Р. Л. Стратоновича (1964), И. И. Гихмана (1964), Р. 3. Хасьминского (1963), а также К. Ито (Mem. Amer. Math. Soc., 1951, No. 4; русский перевод в сб. перев. «Математика», 1957, 1:1) и к библиографии, имеющейся в этих работах и в «Лекциях» Ю. А. Митропольского (1966).

При изучении колебаний сложных систем с большим числом степеней свободы важное значение подчас имеет выделение из общего многообразия движений, допускаемых системой, более простых движений. К этой проблеме относится задача об исследовании одночастотных колебательных режимов, которую мы здесь кратко охарактеризуем. Эта задача исследовалась К). А. Митропольским (1949—1950, 1955; см. также его книги, 1963—1964, 1966) для систем различного типа, в том числе и для систем с медленно меняющимися параметрами, уравнений с так называемыми гироскопическими членами, систем с распределенными параметрами и пр. Разберем здесь для примера один из простейших вариантов такой задачи.

Возьмем механическую систему с п степенями свободы, имеющую невозмущенные кинетическую и потенциальную энергии вида

п п

3 6=1 3 6=1

с возмущающими членами вида е^г (^4, . . ., qn, ^1, . . <, qn) (i = 1,2,... ...,n), где e — малый параметр. Предположим, следуя «Лекциям» Ю. А. Митропольского, что в невозмущенной системе возможны незатухающие колебания с частотой ①「зависящей только от двух произвольных постоянных, и при этом единственным положением равновесия является точка а】=д2 = • • • = ^п = 0, а частоты 2а)!, Зсог ...,"①纟,.* . не совпадают ни с одной из собственных частот ①㈠...,①几.В этом случае одночастотный невозмущенный режим описывается, как известно, одним уравнением второго порядка. Этот факт позволяет построить преобразование, которое сводит возмущенные уравнения к системе второго порядка, описывающей двухпараметрический колебательный режим, возникающий в этой системе. Замена переменных типа

qs =中，1% cos (①# + 0), 柒=一*①心 sin (①/ + 0)

(где qs — обобщенная координата, соответствующая такому режиму) позволяет получить уравнения в стандартной форме, дальнейший анализ которых производится по обычной схеме осреднения.

Естественным обобщением задачи о построении одночастотных режимов является проблема выделения интегральных многообразий решений сложных систем, имеющих размерность, меньшую порядка системы, и обладающих теми или иными характерными свойствами (многообразия периодических, почти-периодических, вращательных и т. п. решений). Выделение таких многообразий и исследование их устойчивости позволяет более просто описать свойства сложных систем, относящиеся не к индивидуальным решениям, а к их семействам. Идея постановки таких задач восходит к работе Н. Н. Боголюбова (1945). Она получила развитие в работах Ю. А. Митропольского, О. Б. Лыковой и ряда других исследователей. Изложение этих результатов можно найти в книге Ю. А. Митропольского (1964), в статьях Ю. А. Митропольского и О. Б. Лыковой (1949, I960) и других работах. Библиография по этому вопросу имеется в цитированных работах и в обзоре В. М. Волосова (19б2).

Вопрос об осреднении систем уравнений с бесконечным числом неизвестных функций рассматривался в упоминавшихся ранее исследованиях Ф. С. Лося (1950), О. А. Жаутыкова (1965) и в ряде других работ (библиографию см. в «Лекциях» Ю. А. Митропольского, § 18—19). Постановка таких задач примыкает к проблеме изучения осреднения уравнений в общих функциональных пространствах (см. работы, указанные в первом примечании на стр. 115, а также работы О. А. Жаутыкова, 1965, Б. П. Де-* мидовича, 1954, Я. Курцвейля, Чехосл. матем. ж., 1966, 16:3). Не останавливаясь здесь на подробностях, отметим, что исследования такого рода, кроме чисто математического интереса, важны также и для развития асимптотических методов применительно к уравнениям в частных производных; так, например,, при разборе примера (18) мы получили для функций хп, 力一几 стандартную систему с бесконечным числом неизвестных функций, и вопрос об «укорочении» такой системы и ее осреднении возникает здесь естественным образом.

При изучении колебаний механических, электромагнитных и пр. систем с последействием возникает проблема распространения асимптотических методов, в том числе и метода осреднения, разработанных для обыкновенных уравнений, на уравнения с отклоняющимся аргументом. Кроме названных ранее работ 3. Ф. Сирченко и О. А. Жаутыкова, укажем, что такие проблемы разрабатывались Ю. А. Митропольским и В. И.①однуком (1966), В. П. Рубаником (1959, 1961), В. И.①од- чуком (1964), А. Б. Васильевой (1963), К). А. Рябовым (1961), А. М. Родионовым (1963), а также Дж. Хейлом (Brown University Techn. Rept, 1964—1) и многими другими исследователями. Обзор работ этого направления имеется в «Лекциях» Ю. А. Митропольского (см. § 20); там же можно найти библиографию по этому вопросу.

Метод осреднения и другие асимптотические мётоды находят применение при исследовании периодических, квазипериодических и почти- периодических решений систем уравнений, описывающих нелинейные колебания, а также уравнений с периодическими коэффициентами. Вопросы такого рода изучались в различных аспектах многими авторами. Не имея возможности рассмотреть обширную литературу по этому вопросу, ограничимся указанием на некоторые характерные работы этого направления и на имеющуюся в них библиографию: И. Г. Малкин (1949, 1956); сборник трудов Марсельского коллоквиума по нелинейным колебаниям (Les vibrations forcees dans les syst ernes non-lineaires. Paris, 1965); обзор В. M. Волосова (1962) по итогам Киевского симпозиума; статьи Л. С. Понтрягина и Л. В. Родыгина (I960), А. П. Проскурякова (1958), В. М. Волосова (1957), В. О. Кононенко (1958), цитированные результаты Ю. А. Митропольского и О. Б. Лыковой, изложенные в книге Ю. А. Митропольского (1964) и в оригинальных статьях; цитированная книга Дж. Хейла.

Остановимся лишь кратко на полученных недавно результатах Н. Н. Боголюбова (1964), касающихся квазипериодических решений. Это направление разрабатывалось далее Ю. А. Митропольским и О. Б. Лыковой (1965). Следуя Н. Н. Боголюбову, рассмотрим динамическую систему вида

窑= Х(2,叫

где 力= (д, ，力几)， Х = (Х], 一 .，Хп), 8 — малый параметр. При некоторых условиях такая система допускает инвариантное тороидальное многообразие

力=/ (屮)， Ф = (фь • • •, 9m), где / ——периодическая по 屮仆屮巾 функция. Система сводится тогда к уравнению на торе вида

雾川+屮((Р),

где периодическая по ф1? . . .,(рт функция 屮 мала вместе с параметром е. Тороидальное многообразие такого типа может при определенных условиях притягивать близкие траектории, не лежащие на торе. Связь такого рода задач с основными проблемами теории нелинейных колебаний вполне очевидна и не нуждается в пояснениях. В работах Н. М・ Крылова и Н. Н. Боголюбова (1934, 1937) вопрос о существовании таких многообразий был решен для случая двухмерных торов. Для многомерного случая такое исследование, как указано Н. Н. Боголюбовым (1964), не могло быть выполнено в рамках использовавшихся методов. Подобное исследование

стало возможным после появления работ А. Н. Колмогорова (1954), В. И. Арнольда (1963) и Ю. Мозера (Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1961, 47:11), позволивших при определенных условиях преодолеть известную трудность, связанную с так называемыми малыми знаменателями (к вопросу о малых знаменателях мы еще вернемся при обсуждении проблем исследования резонансов). Используя некоторые приемы, развитые В. И. Арнольдом, Н. Н. Боголюбов доказал при весьма широких предположениях существование тороидальных многообразий высших размерностей, что позволило получить существенное продвижение в области изучения существования и устойчивости квазипериодических движений.

Рассмотрим теперь один из важных для теории колебаний вопрос — проблему исследования резонансных явлений. Этот термин объединяет различные задачи, отличающиеся наличием целочисленных соотношений между основными частотами, характеризующими движение. Для расчета таких явлений разработано много разных метддов, некоторые из этих методов связаны с идеей осреднения. Многие из работ, упоминавшихся выше, относятся к этой теме как в общетеоретическом ее плане, так и в приложениях). Не ставя целью обзор всех имеющихся в этой области направлений и работ, рассмотрим некоторые существенные проблемы общего характера, относящиеся к исследованию резонансов. Весьма широкий класс колебательных нелинейных систем описывается такого рода уравнениями, что их можно свести к системе уравнений вида

力(芻屮，£),(19)

屮=①(力)+ 6у (力，屮，e), где

力 (力 1» • • • > ^п), X ~ (X], . ♦ . , Xr),屮=(屮1 j • • *,屮m)，

①=(①,①m),У = (У 1， • • • , Ути),

е — малый параметр, X и У периодичны по 屮匕...,屮” Резонансу при таком описании соответствует тако^ значение 力° =(力；,...,^„) параметров 力,при котором возможны соотношения вида

TViCOj (力°) + . . . + NmSm (力°) = N①(力°) = 0,(20)

где N н (Ni, . . ., %m) — отличные от нуля целочисленные векторы.

Не останавливаясь на вопросе о приведении задач о резонансе и ряда других задач к форме (19) (см. по этому поводу, например, книгу Ю. А. Митропольского (1964) и статьи Е. А. Гребенникова (1964) и В. И. Арнольда (1963), а также другие работы, относящиеся к данному вопросу), отметим три характерные ситуации, типичные для задач такого рода. Может случиться, что параметры х при движении не задерживаются надолго около значений 力°, для которых выполняются резонансные соотношения (20); на резонансах такого типа система, как говорят,《не застревает». Возможно и совершенно противоположное положение, когда параметры з> пребывают в окрестности резонансного значения 力° очень долго (или даже «вечно»). В этом случае происходит так называемая синхронизация, в системе устанавливаются устойчивые стационарные резонансные режимы,

при которых сохраняются соотношения типа (20) между основными частотами О], . . ., (от. Система «застревает» при этом на резонансе, возникает, как уже было сказано, устойчивый стационарный резонансный режим колебаний. И, наконец, возможно конечное и даже бесчисленное множество чередующихся состояний «временного входа в резонанс» и «выхода из резонанса», что соответствует сложному типу движения, когда фазовая траектория системы «стелется» вдоль резонансных поверхностей (20), затем покидает окрестность такой поверхности, через какое-то время подходит близко к другой поверхности такого тииа и т. д. Последний случай является, разумеется, наиболее трудным для исследований и расчета. Если теперь перейти к методам исследования таких явлений, то естественно попытаться применить какую-нибудь из известных асимптотических схем исследования, например, метод осреднения, на чем мы здесь и остановимся..

Если функция X (瑞屮),периодическая относительно 屮匕・・•，"ф^ (для определенности с периодами 2л), допускает разложение Фурье

Х = ^Хр(х)е^(21)

(где 卩=(2，…，Ри) — целочисленные векторы), то попытка прямого применения известных схем осреднения приводит к рядам вида

содержащим <(малые знаменатели» ро — _PiSi + . . . + 卩皿①皿.В общем случае такие ряды, вообще говоря, расходятся , а в случае сходимости могут определять всюду разрывные функции и оказываются, таким образом, непригодными для построения асимптотических приближений и расчетов. В этом и состоит характерное проявление трудности малых знаменателей в резонансных задачах.

Для преодоления этих затруднений во многих исследованиях предполагается, что разложения (21) содержат конечный набор различных гармоник. Тогда, действительно, трудности описанного выше типа преодолеваются, но ценой «обеднения» класса изучаемых систем. В реальных нелинейных системах, как правило, наличествуют все обертоны или бесконечное число их, так что такая методика страдает серьезными дефектами. В задачах, связанных с изучением устойчивости движений, в классической и небесной механике также встречается трудность малых знаменателей, преодоление которой было указано в упомянутых выше работах А. Н. Колмогорова, В. И. Арнольда и Ю. Мозера, но в наши цели не входит обсуждение этих проблем и мы ограничимся здесь тем, что относится к резонансным задачам в той трактовке, как это было выше намечено. В последующей работе В. И. Арнольда (1965) указанные методы были применены к случаю, когда система «не застревает» на резонансе. Им было доказано, что если в двухчастотном случае все резонансные состояния системы (19) в определенном смысле «проходятся», система на них «не застревает», то можно применить видоизмененную схему осреднения, и при этом на промежутке времени 力〜1/е разность между точными решениями и решениями осредненной системы имеет порядок ]Ле In 2е, если выполнено некоторое условие, обеспечивающее отсутствие «застревания».

Обратимся теперь к тому варианту, когда резонансное состояние устойчиво. В ряде исследований для такого случая вводилось предположе-

ние, что в течение длительного промежутка времени выражение No (х) сохраняет малое значение. Тогда можно обосновать законность осреднения в течение того времени, пока Ngi (^) + . . . + Nm^m (力)^ 0. Однако при этом неизвестно, выполняется ли в действительности такое условие, а если и выполняется, то как долго. Задача об устойчивых резонансных колебаниях исследовалась В. М. Волосовым и Б. И. Моргуновым (1966). Было показано, что при определенных условиях устойчивости, более сложных, чем, скажем, обычное требование отрицательности вещественных частей характеристических корней уравнений в вариациях, некоторая специализированная схема осреднения применима и она дает возможность эффективно проверить выполнение условия No (力)^ 0 и оценить соответствующий промежуток времени, а также произвести расчет параметров системы, находящейся в стационарном резонансном режиме.

Случай, когда система отчасти проходит резонансы, отчасти задерживается на резонансах, как уже говорилось, весьма сложен. Нам неизвестно о существовании достаточно полных результатов, относящихся к этой проблеме, и мы пользуемся случаем указать на важность ее изучения. Отметим, что некоторые результаты, относящиеся к упомянутой задаче, докладывались А. М. Молчановым в МГУ на семинаре В. В. Немыцкого, однако мы не можем остановиться на них подробнее, поскольку эти результаты еще не опубликованы.

В настоящем обзоре мы не имели возможности коснуться большого числа результатов, относящихся к применению метода осреднения в теории нелинейных колебаний и в смежных с ней областях. Так, например, Мы не останавливались на осреднении в интегро-дифференциальных уравнениях (см. А. Н. Филатов, 1965), на работах К. В. Задираки (связь метода осреднения и других способов асимптотического исследования так называемых сингулярно-возмущенных систем) и Б. И. Мосеенкова (системы с распределенными параметрами), на связях, существующих между методом осреднения и методом точечных отображений и стробоскопическим методом Минорского (см. Ю. И. Неймарк, 1958, 1963), на обосновании метода гармонического баланса, связанного с процессом осреднения (см. И. В. Глатенок, 1963), на работах Дж. Моррисона и П. Р. Сетны и на многих других вопросах.

Метод осреднения не является, разумеется, единственным или универсальным способом исследования проблем нелинейных колебаний, его следует рассматривать как часть общей теории асимптотических методов. Многие важные результаты были получены другими способами, отчасти связанными с процессом осреднения, а подчас и принципиально от него отличающимися. В специальной литературе по теории колебаний *) можно найти сведения по всем этим вопросам, мы же ограничимся здесь лриведенными ссылками.

МЕТОД ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙВ ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Ю. %. НЕЙМАРК

Метод точечных отображений как средство изучения динамических: систем, придающее аналитическим проблемам геометрическую трактовку, существенно расширяющую возможности исследования, ведет свое начало от А. Пуанкаре, П. Боля, Я. Брауера и Дж. Биркгофа. При этом многие основные геометрические соображения, такие как теоремы о неподвижных точках, понятие индекса векторного поля, были привлечены извне, а некоторые, например, последняя геометрическая теорема Пуанкаре, и, вообще, теория отображений с инвариантной мерой, теория устойчивости, теория бифуркаций и ветвления решений, воникли в прямой связи с теорией динамических систем.

Под динамическими системами в то время понимались в первую очередь консервативные системы, уравнения движения которых записываются в форме Гамильтона. Основным конкретным объектом теории были задачи небесной механики. Изучение земных неконсервативных систем или, как их назвали В. Томсон и П. Г. Тет, «искусственных систем», началось позже и пошло в значительной мере по пути изучения аналогий между явлениями разной физической природы и формирования более широкого взгляда на них. Возникновение привычного для нас колебательного подхода в первую очередь следует отнести к заменитому трактату лорда Рейли по теории звука.

Разработка математического аппарата теории колебаний началась позже, под влиянием новых потребностей и новых источников задач. Сначала, во второй половине XIX века, это были очень остро поставленные инженерные задачи регулирования скорости вращения паровых машин и турбин, затем, в 20-х и 30-х годах XX века — задачи радиотехники и с сороковых годов опять задачи автоматического регулирования.

Теория колебаний возникла прежде всего как теория малых колебаний, как линейная теория колебаний. Успехи линейной теории были очень велики и именно они затруднили отход от линейной точки зрения, потребовали аргументированного обоснования необходимости нелинейного подхода к нелинейным колебательным явлениям. Всесторонняя аргументация необходимости адекватного рассмотрения нелинейных явлений и выяснение наличия принципиальных различий между линейными и нелинейными явлениями является заслугой школы Л. И. Мандельштама — А. А. Андронова. Идеи этой школы нашли широкий отклик и послужили толчком к созданию математического аппарата теории нелинейных колебаний (метод малого параметра, теория устойчивости движения^

асимптотические методы, качественная теория дифференциальных уравнений, метод точечных отображений и др.), возникшего прежде всего на базе привлечения теоретических работ А. Пуанкаре и А. М. Ляпунова.

Разработка математического аппарата теории нелинейных колебаний происходит сейчас в ряде направлений и далека от завершения. Целью настоящего обзора является описание одного из этих направлений —— метода точечных отображений.

Исторически метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний вырос из так называемого метода припасовывания или сшивания, состоящего в замене нелинейных характеристик кусочно-линейными и последующей припасовке явных решений, соответствующих разным линейным уравнениям. Метод припасовывания использовался еще в 1911 г. Н. Д. Папалекси в задаче о выпрямителе, в 1914 г. А. Зоммерфельдом в теории вынужденных колебаний электрической дуги и затем многими другими.

В 1927 г. Л. И. Мандельштам предложил А. А. Андронову исследовать устойчивость периодических движений, получаемых по методу припасовывания, а затем вообще «попытаться подвести под этот метод серьезную математическую базу».

Первые конкретные результаты, полученные в этом направлении, были включены в известную монографию А. А. Андронова, А. А. Витта и С. Э. Хайкина по теории колебаний (1937). Общетеоретические основы метода точечных отображений в теории нелинейных колебаний были изложены А. А. Андроновым в 1944 г. в докладе 《Теория точечных преобразований Пуанкаре — Брауера ——Биркгофа и теория нелинейных колебаний», прочитанном на сессии Отделения физико-математических наук АН СССР.

В 1944—1947 гг. А. А. Андроновым совместно с Н. Н. Баутиным и А. Г. Майером были полностью решены некоторые основные нелинейные задачи теории регулирования, среди которых были классические задачи И. А. Вышнеградского и Р. Мизеса, остававшиеся неприступными в течение многих лет, несмотря на неоднократные попытки их решения рядом известных исследователей. Решение этих задач послужило прототипом для многочисленных последующих работ.

Возникновение метода точечных отображений в теории нелинейных колебаний из метода припасовывания в значительной мере определило его в первую очередь как метод исследования кусочнолинейных систем, основанный на возможности получения в каждой из областей линейности явных решений.

В дальнейшем метод точечных отображений был эффективно применен к изучению ряда общих вопросов теории нелинейных колебаний, а благодаря появлению быстродействующих вычислительных машин получение явных выражений для точечных отображений в значительной мере утратило свое значение.

Описание метода точечных отображений в теории нелинейных колебаний представляет ряд трудностей, как в силу незавершенности, так л в силу большого объема материала и неясности и спорности его границ. Оно должно включать описание арсенала математических средств и желательных направлений дальнейшего их развития, описание приемов конкретного исследования и типов изученных конкретных систем, описание результатов использования метода точечных отображений для изучения общих вопросов теории нелинейных колебаний, описание новых возможностей, открывающихся в связи с появлением вычислительных машин, а также новых областей приложения и возможных точек роста. Понимая

тщетность попытки сколько нибудь удовлетворительного изложения всех перечисленных вопросов, автор ограничился изложением лишь некоторых, наиболее тесно примыкающих к теории нелинейных колебаний и с которыми он в той или иной мере соприкасался.

Метод точечных отображений позволил существенно продвинуться в изучении динамики многих самых разнообразных конкретных систем и тем самым сыграл определенную роль в формировании понятия о целях и задачах исследования динамических систем.

Н. Е. Жуковский формулировал задачу механика-исследователя как искусство такой постановки задачи, при которой уравнения движения могут быть полностью проинтегрированы. Ясно, что роль трудно формализуемого процесса разумной идеализации исходной физической задачи никогда, по-видимому, не утратит своего значения. Но вместе с тем уже довольно скоро стало ясно, что требование интегрируемости является слишком жестким и должно быть заменено другим.

А. А. Андронов сформулировал задачу изучения динамики системы как задачу совместного качественного и количественного исследования -структур разбиения ее фазового пространства и пространства параметров. При этом очень важное значение придавалось геометризации основных колебательных явлений — построению адекватных им геометрических образов. Естественным развитием такого подхода было формулирование задачи новой общей дисциплины «динамики машин» (А. А. Андронов и Г. С. Горелик, 1958). .

Остановимся на сказанном несколько подробнее. Пусть рассматриваемая динамическая система описывается системой дифференциальных уравнений

g =%(力1，力2, •一，力?г；?1，?2, •一,Pm) (*=1, 2, . . ., ^), (1) где 力 1,力2， • • •，力几一фазовые переменные системы, а 卩仆 р2,・・・,卩皿一 ее параметры.

Под разбиением фазового пространства понимается разбиение пространства переменных х^ 力2，・・・,力几 на фазовые траектории, т. е. на кривые 力 1 =力К%), 力2 =力2 (0, - ^п = хп (%), соответствующие 'всевозможным решениям уравнений (1). Под изучением структуры этого разбиения имеется в виду в первую очередь выделение в этом пространстве особо важных движений — устойчивых состояний равновесия и устойчивых периодических и квазипериодических движений, затем отыскание их областей притяжения и выяснение их взаиморасположения. Под полным изучением структуры разбиения фазового пространства на траектории понимается полное топологическое описание этого разбиения.

Структура разбиения фазового пространства на траектории зависит ют параметров 卩㈠ р2, . . ., рт и тем самым пространство параметров, 卫 1,卩2, • • ., рт разбивается на области, соответствующие различным разбиениям фазового пространства на траектории. Границы этих областей соответствуют бифуркационным значениям параметров, т. е. значениям параметров, при переходе через которые возможно какое-то изменение структуры разбиения фазового пространства на траектории. Под структурой пространства параметров понимается топологическая структура cfo разбиения на области, соответствующие различным структурам фазового пространства.

Структура фазового пространства дает описание поведения данной конкретной динамической системы. Структура пространства параметров дает описание ее поведения при изменений параметров.

Следует иметь в виду, что как структура фазового пространства, так и структура пространства параметров могут быть очень сложными и пока мы располагаем достаточно полным знанием о них лишь в случае, когда, система уравнений (1) является системой второго порядка.

Круг изученных методом точечных отображений динамических систем весьма широк и разнообразен: это и всевозможные системы автоматического регулирования, и радиотехнические системы, часовые механизмы, и системы, связанные с виброзабивкой, вибросепарацией и вибротранспортировкой, системы циклической автоматики и нелинейные демпферыт и многие другие. Некоторые из этих систем целесообразно объединить по принципу одинаковости математического описания, как, напримеру релейные системы и системы с ударными взаимодействиями (Л. В. Беспалова и дрм 1966).

Ниже, отчасти в хронологическом порядке, дается обзор исследованных методом точечных отображений конкретных сильно нелинейных систем. Этот обзор имеет своей целью не столько сколько-нибудь полное описание всех решенных задач, сколько показ на примере исследования конкретных систем возможностей метода точечных отображений.

Первыми существенно нелинейными системами, детально изученными методом точечных отображений, были системы прямого и непрямого регулирования, а также задача о стабилизации курса нейтрального самолета при помощи автопилота с постоянной скоростью сервомотора. Нелинейность этих систем обусловливалась либо наличием сухого трения в измерительном элементе либо нелинейностью характеристики сервомотора.

Задача о влиянии сил сухого трения на процесс прямого регулирования возникла в связи с так называемой «ошибкой» И. А. Вышнеградского. Как известно, Вышнеградский рассмотрел задачу о прямом регулировании, пренебрегая сухим трением по сравнению с вязким, которое он считал необходимым дополнительно вводить с помощью специального устройства. Тезис Вышнеградского о необходимости вязкого трения для обеспечения устойчивости процесса прямого регулирования встретил возражения. При этом высказывались соображения, что и сухое трение может обеспечить устойчивость, что Вышнеградский не преднамеренно им пренебрег, а упустил его в результате неправильного дифференцирования. Первые- попытки исправления «ошибки» натолкнулись на значительные трудности, которые не удавалось преодолеть существующими тогда методами исследования. Численные методы интегрирования и графоаналитические методы исследования, используемые в работах К. Э. Рериха, Л. Лекорню, Я. И. Грдины, Р. Мизеса, Н. Е. Жуковского и др., не позволили получить^ сколько-нибудь полное решение вопроса.

Решение этой задачи было достигнуто А. А. Андроновым и А. Г. Майером благодаря существенному использованию результатов теории точечных отображений и привлечению прямого метода Ляпунова, позволившего найти условия абсолютной устойчивости.

После введения безразмерных переменных уравнения движения рассматриваемой системы прямого регулирования с учетом сухого трения；

записываются в виде

/+Аг + 4г = у 干-^，у = ^-

В результате исследования на плоскости параметров Вышнеградского Л и В были выделены три области (рис. 1): область I абсолютной устойчивости, когда при любых начальных отклонениях процесс прямого регулирования устойчив, область абсолютной неустойчивости II, когда процесс регулирования неограниченно расходится при любом начальном возмущении, и область условной устойчивости IIЦ когда отрезок покоя устойчив лишь в малом и существуют начальные отклонения, приводящие к расходящемуся процессу.

Среди работ, непосредственно продолжающих и в некотором смысле завершающих это исследование, следует .указать работу А. А. Таля (1953), в которой результаты А. А. Андронова и А. Г. Майера распространяются на систему прямого регулирования с воздействием по производной и когда объект •обладает как положительным, так и

-отрицательным самовыравниванием.

Первая попытка выяснения влияния сухого трения на процесс непрямого регулирования была сделана еще в 1885 г. А. Леоте. Затем этот вопрос рассматривался в работах А. Гуковского, А. Пфарра, В. Бауерсфельда, А. Будау,

М. Толле, Дж. Сингак Г. Хазена, В. Опельта, Г. Бильхарца и мн. др. Решение задачи было получено А. А. Андроновым, Н. Н. Баутиным

и Г. С. Гореликом. При этом обнаружилась ошибочность многих предшествующих работ и, в частности, результатов, к которым пришел Толле и которые вошли в ряд учебных курсов.

В работе А. А. Андронова, Н. Н. Баутина и Г. С. Горелика (1946) рассмотрена система непрямого регулирования с трением в чувствительном

постоянной скорости, опйсывае-постоянной скорости, опйсывае-為屮=卩一依Р6刀十屮=——2~ sig11刀 ПРИ 刀=/= О為屮=卩一依Р6刀十屮=——2~ sig11刀 ПРИ 刀=/= Оуравнение объекта,уравнение объекта,[бп + Ф |<у•1卩F[бп + Ф |<у•1卩Fпри т] = Опри т] = Оуравнение чувствительного элемента с учетом сухого трения,уравнение чувствительного элемента с учетом сухого трения,уравнение сервомотора переменной скоростиуравнение сервомотора переменной скоростиТ^ для о〉％ 'О для I а I < а0Т^ для о〉％ 'О для I а I < а0、一7\i для ст < — о。о = П — TH、一7\i для ст < — о。о = П — THуравнение сервомотора постоянной скорости,уравнение сервомотора постоянной скорости,уравнение золотникауравнение золотникаэлементе и сервомоторами переменной и мая следующими уравнениями:

постоянной скорости, опйсывае-

постоянной скорости, опйсывае-

為屮=卩一依Р

6刀十屮=——2~ sig11刀 ПРИ 刀=/= О

為屮=卩一依Р

6刀十屮=——2~ sig11刀 ПРИ 刀=/= О

уравнение объекта,

уравнение объекта,

[бп + Ф |<у

•1

卩F

[бп + Ф |<у

•1

卩F

при т] = О

при т] = О

уравнение чувствительного элемента с учетом сухого трения,

уравнение чувствительного элемента с учетом сухого трения,

уравнение сервомотора переменной скорости

уравнение сервомотора переменной скорости

Т^ для о〉％ '

О для I а I < а0

Т^ для о〉％ '

О для I а I < а0

、一7\i для ст < — о。о = П — TH

、一7\i для ст < — о。о = П — TH

уравнение сервомотора постоянной скорости,

уравнение сервомотора постоянной скорости,

уравнение золотника

уравнение золотника

《при отсутствии жесткой обратной связи и =刀).

При отсутствии жесткой обратной связи и наличии сервомотора переменной скорости динамическое поведение системы зависит от одного существенного параметра А = Ta/(Ts6k2)^ а в случае сервомотора постоянной скорости ——от двух ^щественных параметров а = е^А2/^ и § = а06 х X Т拜「Т* В первом случае при А V 3,04 система абсолютно устойчива, при Л > 3,04 — она автоколебательная. Во втором случае при 1 —2§ < <ехр (—а — 2р)процесс регулирования абсолютно устойчив. Если последнее условие не выполнено, что соответствует достаточно большому коэффициенту трения, то в трехмерном фазовом пространстве системы наряду с «площадкой» устойчивых состояний равновесия имеется устойчивое-

Рис. 2.Рис. 2.Рис. 3.Рис. 3.периодическое движение. Автоколебания, соответствующие этому периодическому движению, возникают, когда возмущения превосходят некоторые пределы.

Рис. 2.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 3.

Таким образом, в противоположность системе прямого регулирования, в системе непрямого регулирования увеличение трения в чувствительном элементе приводит к возбуждению колебаний.

Результаты исследования плоскости параметров системы непрямого регулирования с жесткой обратной связью и сервомотором переменной скорости приведены на рис. 2.

В случае сервомотора постоянной скорости без зоны нечувствительности наряду с областями абсолютной устойчивости процесса регулирования и неустойчивости имеются области с довольно сложной структурой фазового пространства, где наряду с локальным устойчивым состоянием равновесия возможны, в зависимости от величин начальных состояний, различные типы автоколебаний (рис. 3).

В последующей работе А. А. Андронова и Н. Н. Баутина (1955) была исследована система непрямого регулирования с сервомотором постоянной II переменной скорости при учете сухого трения в золотнике.

Задача об автопилоте с сервомотором постоянной скорости при обычных упрощающих предположениях и отсутствии саморегулирования приводится к исследованию дифференциальных ур авнений вида

q)+Mq)= 刀=ь(屮)，屮=中+Р中一；刀，

где 屮一угол рыскания самолета,刀一угол поворота руля и N —положительные величины, характеризующие естественные демпфирования самолета и рулевого устройства,屮一переменная сервомотора, р — коэф-

фициент искусственного демпфирования и 1/а — так называемый коэффициент обратной связи. Характеристика сервомотора 歹仲)принимаетсяфициент искусственного демпфирования и 1/а — так называемый коэффициент обратной связи. Характеристика сервомотора 歹仲)принимаетсясимметричной видасимметричной вида歹(2)=〈歹(2)=〈кОкОпри при припри при при屮 > 屮0, I屮IV业，中V -w9,屮 > 屮0, I屮IV业，中V -w9,где 2屮о — ширина зоны нечувствительности.

фициент искусственного демпфирования и 1/а — так называемый коэффициент обратной связи. Характеристика сервомотора 歹仲)принимается

фициент искусственного демпфирования и 1/а — так называемый коэффициент обратной связи. Характеристика сервомотора 歹仲)принимается

симметричной вида

симметричной вида

歹(2)=〈

歹(2)=〈

к

О

к

О

при при при

при при при

屮 > 屮0, I屮IV业，

中V -w9,

屮 > 屮0, I屮IV业，

中V -w9,

Фазовое пространство этой системы трехмерно и разбивается либо на две области линейности (при 屮о = 0), либо на три. Границами областей линейности служат плоскости 屮=屮。 瓜屮 = — 屮°. На этих плоскостях имеются «пластинки» скользящих движений, между которыми имеется отрезок состояний равновесия, стягивающихся при 屮о = 0 в точку.

В случае отсутствия зоны нечувствительности структура фазового пространства определяется двумя существенными параметрами, Л = М^ и _В = = M2/(Na). Соответствующее разбиение плоскости параметров Л, В на области, соответствующие различным структурам фазового пространства, изображено на рис. 4. Для значений параметров из области абсолютной устойчивости III имеет место сходимость процесса регу

Рис. 5.Рис. 5.лирования к состоянию равновесия на пластинке скользящих движений при любых начальных отклонениях. Для значений параметров из областей I и II область притяжения устойчивого состояния равновесия становится

Рис. 5.

Рис. 5.

ограниченной. При достаточно больших возмущениях процесс регулирования расходится (в принятой идеализации происходит неограниченное нарастание размаха колебаний). Границей, отделяющей в фазовом пространстве область притяжения состояния равновесия от области расходимости, служит сепаратрисная поверхность неустойчивого периодического движения. Для области II это периодическое движение состоит из двух фазовых траекторий, расположенных в фазовых полупространствах 屮 > 0 и 屮 V 0, а для области I из четырех кусков, два из которых расположены на пластинке скользящих движений. Структуры фазового пространства, соответствующие области ZZ, изображены на рис. 5, где приведен вид фазового

пространства в задаче об автопилоте для значений параметров из области II (Г — седловое периодическое движение, С — пластинка скользящих движений; на плоскости 屮=0 заштрихована область, соответствующая области притяжения устойчивого состояния равновесия О).

Среди работ, предшествующих только что изложенной работе А. А. Андронова и Н. Н. Баутина, в которой дается полное исследование, следует отметить работы Г. Н. Никольского, Н. В. Бутенина, В. А. Котельникова, Б. В. Булгакова, А. И. Лурье и В. Н. Постникова.

Работы А. А. Андронова, Н. Н. Баутина и А. Г. Майера послужили прообразом для многочисленных последующих исследований всевозможных нелинейных систем автоматического регулирования. Были рассмотрены двухиозицио苴ные регуляторы и простейшие релейные системы (А. А. Фельдбаум, 1949—1950; А. С. Алексеев, 1952, 1955—1956; Ю. И. Неймарк и И. М. Кубланов, 1953; В. С. Бояринов и Н. Н. Леонов, 1958; А. А. Андронов, А. А. Витт и С. Э. Хайкин, 1959), многокаскадные системы регулирования (В. В. Петров, 1951; В. В. Петров и Г. М. Уланов, 1951—1952, 1955—1957; Н. С. Горская и др., 1959), системы с люфтом и запаздыванием (Я. Н. Николаев, 1947; А. С. Алексеев, 1952, 1955—1956; В. В. Петров и В. Ю. Рутковский, 1956—1957; В. А. Брусин, 1962; М. И. Рабинович, 1962), рассматривались системы с несколькими нелинейностями (Р. А. Нелепин, 1959—1966; В. В. Петров, 1965), системы релейного регулирования неустойчивого объекта (С. Д. Киняпин, 1958, 1961), экстремальные системы регулирования (Г. А. Новинская, 1961; Н. Н. Леонов, 1964—1967; В. В. Казакевич, 1960; Б. А. Арефьев, 1963-1966).

Работы Н. А. Фуфаева и А. С. Алексеева были первыми, которые обнаружили возможность даже у сравнительно простых автономных систем весьма сложных и разнообразных периодических движений. В работах Н. А. Фуфаева (1953—1955) рассматривался электромагнитный прерыватель, описывающийся при /之匕 уравнениями вида

тх + 2fx -\-kx = gy^ Ly-\-R(x)y = E,

J R при I oo при х > а.

При /=Ь происходит удар молоточка прерывателя об ограничитель, так, что послеударная и доударная его скорости связаны соотношением

g=-卩 %.

В работе А. С. Алексеева (1952) исследовался двухпозиционный регулятор температуры в идеализации, приводящей к нелинейному дифференциальному уравнению второго порядка с запаздыванием вида

х + 2hx + 力=Р [力(％ — а)],

где график нелинейной функции V (/) изображен на рис. 6.

В этой работе, по-видимому, впервые в четкой форме определено фазовое пространство системы с запаздыванием как пространство функций х (%), определенных на промежутках длительности а, и показано, что в силу кусочной постоянности функции V (/) для практически интересного класса решений это бесконечномерное фазовое пространство сводится к многолистной фазовой плоскости.

Проекции фазовых траекторий на плоскости /, х вновь и вновь пересекают прямые / = а и / = Ь. При этом возможны шесть различных способов перехода, соответствующих преобразованиям Т^ 几，凡，/?2, & и 52. Изучение этих точечных отображений показало, что в пространстве параметров системы существует счетное число областей, соответствующих существенно различным сложным периодическим движениям. Предельным точкам этого счетного множества областей отвечают системы, у которых рабочим режимом работы является устойчи-. ^

вое, по Пуассону, непериодическое движение.」

Экстремальные регуляторы представ-

ляют собою простейшие поисковые системы.

Полное их изучение предполагает выяснениеI

поведения при случайных воздействиях.11

Однако косвенное суждение об их работе в условиях медленных изменений и случайных воздействий можно получить и из ана- лийа динамической модели.

Идеи по созданию экстремальных системРмс. 6.

и тем более теоретические работы по их исследованию появились в литературе сравнительно недавно. Среди первых авторов заявок на изобретения следует указать Ю. С. Хлебцевича и В. В. Казакевича. В. В. Казакевичу (I960) принадлежит и одна из первых работ по теоретическому рассмотрению простейших экстремальных систем, выполненная еще в 1949 г.

Одно из первых систематических рассмотрений некоторых типов экстремальных систем было предпринято в США С. Дрейпером и Я. Ли (1957). Среди последующих авторов можно указать Н. Г. Янга, И. С. Мо- росанова, Б. Фабера, Б. Уайта, А. Г. Ивахненко, Ю. И. Островского, В. М. Кунцевича, А. А. Фельдбаума, А. А. Красовского, Ю. В. Долголен- ко, Б. А. Арефьева и др.

Применение метода точечных отображений в детальном исследовании структуры фазового пространства экстремальных регуляторов начато Г. А. Новинской (1961), которая рассмотрела простейшую экстремальную систему регулирования с автоколебательным типом поиска, описываемую уравнениями вида

7屮 +屮= /(〃)，〃 = %г/• •1 при 〃 > О,①(m，中)=j-— 1 при О,7屮 +屮= /(〃)，〃 = %г/• •1 при 〃 > О,①(m，中)=j-— 1 при О,刀=①[m(% —8),中(力一0)],屮> —А или мV0, ф < - a, 屮> —А или u> 0, ф < — А,刀=①[m(% —8),中(力一0)],屮> —А или мV0, ф < - a, 屮> —А или u> 0, ф < — А,

7屮 +屮= /(〃)，〃 = %

г/

• •1 при 〃 > О,

①(m，中)=j-

— 1 при О,

7屮 +屮= /(〃)，〃 = %

г/

• •1 при 〃 > О,

①(m，中)=j-

— 1 при О,

刀=①[m(% —8),中(力一0)],

屮> —А или мV0, ф < - a, 屮> —А или u> 0, ф < — А,

刀=①[m(% —8),中(力一0)],

屮> —А или мV0, ф < - a, 屮> —А или u> 0, ф < — А,

причем изменение знака функции Ф происходит с запаздыванием 0 и лишь в том случае, если в течение 0 до момента этого изменения величины и и ф не меняли своего знака. Заметим, что без запаздывания 0, впервые введенного Г. А. Новинской, математическое описание экстремального регулятора становится некорректным. •

В этой работе, в частности, выяснено, что в случае, когда функция / (и) имеет один максимум, в системе возникают абсолютно устойчивые автоколебания возле этого максимума и что наличие дополнительных максимумов может привести к появлению невыгодных режимов работы. 10 Механика в СССР, том 1

Новые интересные особенности структуры фазового пространства простейших экстремальных систем с автоколебательным и шаговым типами поиска обнаружены в работах Н. Н. Леонова. В 1964 г. им рассмотрена экстремальная система с шаговым поиском, описываемая уравнениями

(р +(р= —w2,〃 =(р +(р= —w2,〃 =刀,если пт< f <пт + ^ц

(р +(р= —w2,〃 =

(р +(р= —w2,〃 =

О, если пт + f < (n + 1) т,

т] = sign [А —<р(дгт —т) +(р (лгт)] sign и («т —т + р),

где 厶,т, р, А — положительные параметры, причем 0 < р < ^ < т. В результате исследования этой системы выяснилось, что изучение только симметричных режимов ее работы (ранее рассматривались только такие режимы) недостаточно для удовлетворительного представления о ее работе. Н. Н. Леоновым рассмотрены различные режимы работы, изучена их зависимость от параметров и указаны оценки ошибки слежения за максимумом нелинейной характеристики объекта. При этом оказалось, что периодические режимы образуют в трехмерном фазовом пространстве системы двухмерные многообразия.

В 1965 г. Н. Н. Леонов рассмотрел простейшие экстремальные системы с ав ток олебательным поиском и инерционным объектом второго порядка. Фазовое пространство таких систем трехмерно и имеет более сложную структуру, чем в двухмерном случае. Обнаружено наличие трехмерной области скользящих движений, наличие которой может служить не только причиной неустойчивости поиска, но и приводит к существенному увеличению ошибки слежения за экстремумом. Этот последний факт был подтвержден непосредственным моделированием. В этих же работах указываются возможные пути преодоления обнаруженных недостатков.

Часовые механизмы имеют длительную историю своего развития и технического совершенствования. Однако сколько-нибудь полное теоретическое исследование их динамики было выполнено совсем недавно в работах Н. Н. Баутина. Мотивы теоретического изучения динамики часовых механизмов отличаются от мотивов изучения динамики систем автоматического регулирования; наибольший интерес представляет детальное изучение зависимости периода автоколебания часового механизма от его параметров, выяснение того, при каких конструктивных чертах и при каком выборе параметров этот период будет обладать наибольшей стабильностью.

Успех такого исследования в значительной мере зависит от целесообразности идеализаций весьма разнообразных конструкций часовых ходов, от достаточной простоты и вместе с тем полноты их математических моделей. Метод точечных отображений оказался не только эффективным средством исследования математических моделей часовых ходов, но в некотором смысле способствовал правильному их математическому описанию.

Теоретической основой хронометрии как науки о точном измерении времени на протяжении прошлого столетия была теория свободного маятника и работа астронома Дж. Б. Эйри (1827), в которой выяснялось влияние внешних импульсов на период колебаний маятника. Требования, предъявленные часовой наукой в прошлом веке к конструкции часовых ходов, базировались на теореме Эйри и, несомненно, сыграли значительную роль в процессе создания конструкций хронометрового и свободного анкерного ходов, получивших сейчас всеобщее распространение. Вместе с тем в свете описываемых работ эти требования нуждаются в серьезной корректировке. В частности, именно в результате этой корректировки

были обнаружены и экспериментально подтверждены дальнейшие возможности в улучшении конструкции свободного анкерного хода.

Часовые хода, применяемые в часовом деле и приборостроении, состоят из двух главных частей: балансира, совершающего колебательное движение, и ходового механизма (колеса), увлекаемого в движении постоянной силой. Ходовое колесо в рабочем автоколебательном режиме периодически взаимодействует с балансиром, передавая ему импульсы, поддерживающие его колебания.

Начало автоколебательному подходу в теории часов было положено в известной монографии А. А. Андронова, А. А. Витта и С. Э. Хайкина (1937). При этом, однако, часовой механизм рассматривался весьма упрощенно, как система с одной степенью свободы. Рассмотрение часового механизма как системы с двумя степенями свободы с четырехмерным фазовым пространством начато работой А. А. Андронова и Ю. И. Неймарка (1946) и продолжено в работах Н. Н. Баутина (1948—1963), в которых созданы и исследованы при различных предположениях двухстепенные математические модели различных ходов без конструктивной остановки ходового колеса, регулятора Гинпа с пружинящей пластинкой, хронометрового хода, свободного анкерного хода и электромеханических часов.

В исследовании часовых ходов существенную роль сыграла поставленная в 1944 г. Л. И. Мандельштамом задача о причине различия точности хода для часов с маятником (часов Галилея — Гюйгенса) и для аналогичных догалилеевых часов без восстанавливающей силы. Проведенное Н. Н. Баутиным сравнение режимов колебаний балансира на встречных и на подталкивающих ударах позволило решить задачу Л. И. Мандельштама и выяснить ту общую роль, которую играют для стабилизации периода колебаний режимы на подталкивающих ударах.

Интересно, что теоретическое исследование часового регулятора Гиппа обнаружило наличие разных устойчивых периодических режимов при фиксированных значениях параметров. Этот факт, ранее не учитываемый, наблюдался на действующей установке промышленного типа.

Модели часовых ходов и теоретическое их исследование методом точечных отображений послужили образом для исследования ряда других динамических систем с ударным взаимодействием и в первую очередь систем циклической автоматики (Б. М. Подчуфаров, 1961, 1963). '

Применение метода точечных отображений к неавтономным системам начинается обстоятельной работой Н. А. Железцова (1949), в которой рассмотрена задача о вынужденных колебаниях осциллятора с сухим и вязким (комбинированным) трением, описываемого неавтономной системой дифференциальных уравнений второго порядка вида

тх = — fcr + 歹十 G (%),

где G(f) —внешняя периодическая сила, /' — сила трения, которая удовлетворяет условиям: при /，0 F — непрерывная, однозначная и монотонно убывающая функция скорости /; при / = 0

F+歹=，кх — G(t)^ 广F+歹=，кх — G(t)^ 广для to —G (力)< 尸\ для F+《к 汽一G(t)《F-, для F~ ^kx-G(t).

F+

歹=，кх — G(t)

^ 广

F+

歹=，кх — G(t)

^ 广

Впервые задачу о вынужденных колебаниях осциллятора с кулоновским трением под действием гармонической силы решал В. Экольт, затем, учитывая и вязкое трение, Дж. П. Ден-Гартог. В 1935 г. Э. Мейснер рассматривал колебания осциллятора при наличии кулоновского трения и внешнего； периодического ступенчатого воздействия. При произвольном периодическом внешнем воздействии эта задача рассматривалась Г. Циглером.

Во всех этих работах описывались некоторые типы периодических движений и ни в одной из них не рассматривался ни вопрос об их устойчивости, ни вопрос о единственности находимого периодического движения. Метод точечных отображений применительно к общей сформулированной выше задаче позволил установить единственность вынужденного периодического движения и его абсолютную устойчивость.

Дальнейшее рассмотрение методом точечных отображений конкретных неавтономных систем связано с задачами вибропогружения и виброперемещения (Ю. И. Неймарк, 1953; В. А. Брусин, 1960; 3. С. Баталова, 1963—1966), с теорией виброзабивки (Л. В. Беспалова, 1957, 1959; Л. В. Беспалова и В. С. Метрикин, 1965) и теорией нелинейных демпферов (М. И. Фейгин, 1959—1966), с изучением вибраций вала в шарикоподшипнике (В. С. Бояринов и Ю. И. Неймарк, 1965) и вынужденных колебаний двух масс, сочлененных с зазором (М. И. Фейгин, I960) и т. п.

Необходимость в теоретическом исследовании процесса вибропогружения назрела в связи с широким внедрением в конце сороковых — начале пятидесятых годов на ряде крупнейших строительств изобретенного Д. Д. Барканом вибрационного метода забивки шпунта, свай, труб и т. п. В 1952—1953 гг. в работах Ю. И. Неймарка была предложена и отчасти изучена модель вибропогружения, описываемая уравнениями вида

.. . I 0 при / V у или х = у и / V 0, Mx = Р —歹(％) + Q sign / + j ・

I R при 力=у и / > 0,

• ( 0 при 力 V у или / = у и /《0,

(х при / = у и /》0,

где х — координата погружаемого тела, Р + 歹(力)一сила веса и периодическая сила вибратора, Q sign / — сила трения погружаемого в грунт тела; следующий член в первом уравнении и второе уравнение моделируют лобовое сопротивление грунта при его продавливании.

Эта модель позволила объяснить все экспериментальные факты (не прибегая к высказываемой ранее гипотезе о разжижении грунта под влиянием вибраций) и установить основные закономерности процесса вибрационного и виброударного погружения. В дальнейшем она была дополнена учетом массы вибрирующего грунта и его демпфирования (В. А. Горохов, 1962; 3. С. Баталова и др./ 1966).

Основной задачей теоретического исследования процесса вибропогружения является выяснение зависимости скорости погружения от параметров вибратора, погружаемого тела и грунта. Решение этой задачи в достаточно полном объеме было получено 3. С. Баталовой и потребовало использования быстродействующей вычислительной машины, которая отыскивала точечные отображения и проводила их исследование вплоть до

разбиения пространств параметров и вывода графиков зависимости скорости погружения от параметров.

Простейшую модель виброударника можно представить в Биде массы М на пружине, на которую действует внешняя синусоидальная сила и движение которой ограничено неподвижной плоскостью. Ее уравнения движения могут быть записаны в виде

Mx ~ykx = P~YF sign(of при /

/+= -Rx- при

Применение метода точечных отображений к изучению динамики виброударника позволило Л. В. Беспаловой (1957) отыскать все возможные виды периодических движений и исследовать их устойчивость и зависимость от параметров. В случае упругого удара массы об ограничитель, когда задача сводится к исследованию точечного отображения поверхности цилиндра в себя, любое периодическое движение виброударника можно характеризовать числом ударов за период движения 加 и кратностью периода движения периоду внешней силы 孔・ Исследование устойчивости одноударных n-кратных периодических движений показало, что часть найденных ранее (из условия действительности и положительности ударной скорости) областей существования выпадает из-за потери устойчивости. Другая часть этих областей выпадает из-за наличия бифуркационных границ, разделяющих периодические движения с различным числом ударов.

В случае абсолютно неупругого удара массы об ограничитель задача сводится к изучению преобразования окружности в себя, что значительно упрощает исследование. В этом случае получено численное разбиение плоскости параметров системы на области различных периодических движений.

Довольно тонкая структура разбиения пространства параметров весьма осложняет вопрос о настройке виброударника и выборе его оптимальных параметров. Исследования, проведенные при помощи ЭЦВМ, и электронное моделирование задачи показали, что максимальный ударный импульс имеет место в области одноударного периодического движения. После этого удалось на основе исследования методом точечных отображений простейшего периодического движения сравнительно просто получить рекомендации по оптимизации параметров виброударника. В дальнейшем была рассмотрена и более сложная двухмассовая математическая модель виброударника.

Практическая важность нелинейных демпферов уже давно сделала их объектом внимания теоретических работ. В этих работах используются различные методы расчета и получен ряд ценных результатов. Однако они носят выборочный и весьма неполный характер (как правило, остается открытым вопрос об областях параметров, в которых применимо то или иное утверждение; ни в одной из этих работ не рассмотрена устойчивость находимых вынужденных колебаний). Применение метода точечных отображений к исследованию движений нелинейных демпферов, осуществленное в ряде работ М. И. Фейгина, позволило продвинуться в изучении их динамических закономерностей.

В существующих разнообразных конструкциях нелинейных демпферов можно выделить три основных типа существенных нелинейностей: сухое трение, предварительный натяг в упругом соединении и удары об

ограничение. Простейшая модель, учитывающая все эти нелинейности, описывается следующими уравнениями:

£ + 32g + v2 (Е —叫=sin t + p〃n — g) H- hv2f(T]—自)，

Fl + v2(n —E)= —p〃j —g) —Ziv?/# —E) при |n —E]Vd.

При |n — E| = d происходит удар, так что послеударные скорости 匕 п' выражаются через доударные 自,刀 соотношениями

(1+N)==(1一陷)"屮(1+ /?)；),

(1 + м)才=(1+к)£ + м(1—к)\

Входящая в уравнения нелинейная функция / (〃) определяется следующим образом: / (〃)_= sign и при и 啜0 и —1 </ (0)< + 1. Частный случай V = Л = 0, d=8 соответствует демпферу сухого трения, случай § = 0, d = 8 — динамическому демпферу с предварительным натягом; ударному демпферу без собственной частоты и с собственной частотой соответствуют случаи 屮=§= 0 瓜 九= §=0. Проведенное в работах М. И. Фейгина исследование этих случаев позволило указать области целесообразного применения тех или иных типов нелинейных демпферов и указать условия их оптимальной настройки. В последующем им был рассмотрен (1965) нелинейный демпфер с комбинированным трением и найдены условия оптимального выбора его параметров.

Следует отметить, что изучение виброударника и ударного демпфера обнаружило у них очень большое разнообразие периодических движений. В частности, в ударном демпфере наряду с весьма выгодным для гашения колебаний симметричным периодическим движением с двумя ударами за период внешнего воздействия возможно возникновение при других начальных условиях колебаний с очень большими амплитудами, соответствующими резонансному поведению ударного демпфера (М. И. Фейгин, 1966).

Метод точечных отображений был весьма эффективно применен к изучению многих радиотехнических систем, нелинейности которых обусловливались электронными лампами или полупроводниковыми элементами (Н. А： Железцов, 1948—1958; А. С. Алексеев, 1951; А. А. Андронов, А. А. Витт и С. Э. Хайкин, 1959; М. И. Фейгин, 1955, 1963—1964; Н. И. Ашбель, 1960; Н. И. Ашбель и Л. В. Постников, 1961,1963; Г. В. Аронович и Л. В. Постников, 1961). При этом особенно существенна роль метода точечных отображений в рассмотрении так называемых разрывных колебаний. Дело не только в том, что гипотеза о близости разрывных колебаний к гармоническим не может быть принята и методы типа малого параметра и усреднения неприменимы, но и в том, что при естественной идеализации таких систем дифференциальными уравнениями с малым параметром при производных точечные отображения «вклиниваются» уже в описание математической модели. В качестве типичного примера такого рода можно привести задачу о мультивибраторет рассмотренную в идеализации нелинейными дифференциальными уравнениями с малыми параметрами при производных в работах Н. А. Железцова, Л. В. Родыгина и М. И. Фейгина.

Дифференциальные уравнения движения симметричного мультивибратора с учетом малых паразитных емкостей и при некоторой естественной

идеализации характеристик электронных ламп могут быть записаны в виде следующей системы дифференциальных уравнений четвертого порядка:

N® = - У］一g 一aW(/1) - G(p (<r2)T )

m/2=-y2一/2 -a中(g)-询(g),!(2)

yi = g + 6屮(g)—S

y2=/2+6中(/2)-0,,

с малым параметром 卩 при производных.

Имея в виду только пояснение факта естественного возникновения точечных отображений при рассмотрение динамических систем с малыми параметрами при производных, ограничимся частным случаем а = § = = о=0. Фазовое пространство системы уравнений (2) четырехмерно и при N =#0 его полное рассмотрение весьма затруднительно. Учитывая, что параметр 卩 мал, естественно рассматривать предельное разбиение фазового пространства при р, -> 0. При |л -> 0 в фазовом пространстве переменных 方2, У1,少2, как известно, выделяется двухмерная поверхность «медленных» движений

一玳=g + 秋Р (g),一 У2 =/2 + 询(勺)，

которую будем рассматривать в проекции на плоскость переменных %匕 Замедленные движения устойчивы в области, лежащей вне некоторой кривой Г, и имеют вид, изображенный на

Рис. 7.Рис. 7.рис. 7 (сплошными линиями показаны медленные движения, пунктирными —быстрые, лежащие вне плоскости медленных движений). Фазовая точка, движущаяся по поверхности медленных движений, обязательно достигает граничной кривой 7\ после чего она сходит с поверхности медленных движений и, как показывает рассмотрение быстрых движений, вновь приходит за промежуток времени, стремящийся к нулю вместе с 卩，на поверхность медленных движений в точках некоторой кривой Q. Быстрые движе-

Рис. 7.

Рис. 7.

ния, начинающиеся в точках, ле

жащих внутри кривой Г, и все остальные быстрые движения также приходят на поверхность медленных движений в области их устойчивости. Таким образом, при 卩一> 0 любая фазовая точка с некоторого момента вновь и вновь пересекает кривую Г, порождая некоторое ее отображение' в себя. Устойчивым неподвижным точкам этого отображения кривой『 в себя соответствуют периодические колебания мультивибратора, составленные из медленного и быстрого движений.

Применение метода точечных отображений к изучению движений конкретной динамической системы, как правило, сопряжено с* преодолением значительных вычислительных трудностей. Это обстоятельство, не столько являющееся； пороком метода точечных отображений, сколько лежащее

в самой природе вещей, все же значительно тормозило его широкое использование.

В заключение описания возможностей применения метода точечных отображений к исследованию конкретных динамических систем и некоторых полученных при этом результатов, мне хотелось бы обратить внимание на новые перспективы его применения в связи с появлением быстродействующих вычислительных машин. Эта перспектива состоит в возможности уже сейчас создавать программы, проводящие на основе метода точечных отображений полное исследование не очень сложных нелинейных задач. Применительно к задачам, сводящимся к преобразованию прямой в прямую, такая программа создана 3. С. Баталовой и применена к исследованию задачи о вибропогружении.

Следующим шагом на этом пути является полное решение задачи о синхронизации вращающегося несбалансированного ротора на вибрирующем основании на основе сведения ее к машинному исследованию преобразования плоскости в плоскость. Эта задача приводится (3. С. Баталова, 1967) к исследованию неавтономного уравнения второго порядка вида

中 十无屮 =М -- "sin中sin t

с трехмерным фазовым пространством.

Вместе с тем, по крайней мере сейчас, полное исследование произвольных многомерных точечных отображений выходит за рамки возможностей вычислительных машин. В связи с этим представляется интересным и разработка алгоритмов и программ для частичного их исследования и прежде всего для отыскания и исследования устойчивости наиболее интересных периодических движений, и построение соответствующих им областей в пространстве параметров.

Метод точечных отображений позволил изучить многие конкретные сильно нелинейные и в первую очередь кусочно-линейные системы. В силу этого исследование особенностей «склеенных» систем в значительной мере связано с методом точечных отображений. Эти особенности состоят, в частности, в появлении так называемых скользящих движений, в разрывности или негладкости правых частей дифференциальных уравнений, в появлении состояний равновесия нового типа (на поверхности разрыва). При этом естественно выделился некоторый общий класс динамических систем (Ю. И. Неймарк, 1958), включающий в себя кусочно-линейные системы, системы с ударными взаимодействиями, импульсные системы и системы в идеализации, приводящей к так называемым разрывным колебаниям, к которому оказывались применимыми методы исследования, возникшие первоначально при исследовании конкретных систем.

Движение динамических систем этого класса описывается одной из 7V систем дифференциальных уравнений

dx^ ...=2, • • nA

р-й системы урав- выполнении некото-р-й системы урав- выполнении некото-号=爲(力吗勺)= 2,⑶

р-й системы урав- выполнении некото-

р-й системы урав- выполнении некото-

с гладкими правыми частями. Переход от описания нений (1) к описанию g-й системы происходит при рых условий вида

⑷⑷Spg (/『,•••,以р，0 =。‘Qpq (/『,♦••, /力，0。・

⑷

⑷

При этом начальные значения новых переменных /，, .. •, /*§ связаны с конечными значениями старых переменных /?, .. •,力^卩 соотношениями вида

"=产(2% ..風，力) (j = l, 2,...,囱). (5> Фазовое пространство Ф такой системы состоит из фазовых пространств ◎1, @2, • • •, Ф^ систем (3), «склеенных» так, что фазовые точки пространства Фр, удовлетворяющие условию (2), отождествляются («склеиваются») с точками пространства Фдт в которые они переходят согласно соотношениям (5). В случае, когда пространства 吗 двухмерные, в результате такого склеивания возникает так называемая многолистная фазовая поверхность, в некотором смысле напоминающая риманову поверхность многозначной функции комплексного переменного.

Периодическому движению в склеенном фазовом пространстве Ф отвечает замкнутая траектория Г, составленная из отрезков Г^, Г^, ..Fjm Фазовых траекторий систем уравнений (3). Отрезок Г^, расположенный в фазовом пространстве ①几,начинается на поверхности 九 и оканчивается на поверхности ^^左^左十］ Обозначим через Tpqr определяемое фазовыми траекториями пространства Фд отображение поверхности Spg в поверхность Sqr и через Rpq преобразование (5) переменных 咽.•.，或 в переменные 吟•.•，/*• Пусть М1т М2, • • ., Мт — последовательные точки пересечения замкнутой траектории Г с поверхностями Sj^, 5%河，• • •, S^m"* Последовательности переходов от точки Mi к М2, от М2 к М^ ... и от Мт опять к Mi отвечает точечное отображение

居m〃Am-/m扛'* ' ^3334^323334^3233^313233 (6)

поверхности 5九％ в себя. Точка Mi является неподвижной точкой этого отображения. Проходящая через неподвижную точку % фазовая кривая является замкнутой кривой, соответствующей некоторому периодическому движению. В соответствии с этим отыскание периодических движенийт не расположенных целиком в одном из пространств ①卜 сводится к отысканию неподвижных точек всевозможных отображений вида (6).

При построении отображения (6), неподвижным точкам которого соответствуют периодические движения определенного типа, в качестве секущей поверхности взята одна из поверхностей (5). Хотя это и не является обязательным, но практически наиболее удобным бывает выбор в качестве секущей поверхности одной из поверхностей (5) наименьшей размерности.

'Заметим, что если поверхности S”％, 5j2j3t . . ., §%% — разной размерности и о — наименьшая из размерностей, то окрестность точки М^ после преобразования (6) переходит в «окрестность» точки % размерности о. В силу этого характеристическое уравнение отображения (6) имеет столько нулевых корней, на сколько размерность секущей поверхности §51% превосходит о. Периодическое движение Г, соответствующее неподвижной точке Mi, будет устойчивым, если остальные о корней характеристического уравнения лежат внутри единичного круга,耳 неустойчивым, если хотя бы один корень характеристического уравнения лежит вне единичного круга.

Для исследования устойчивости периодического движения периода т можно вместо отображения (6) воспользоваться отображением Т^, переводящим любую точку окрестности точки Mi в точку, в которую она переходит по истечении времени т. В случае неавтономной системы корни характеристических уравнений отображений Тх и (6) совпадают, а в случае автономной системы отображение имеет дополнительный корень, равный единице (остальные корни совпадают) (Ю. И. Неймарк, 1958).

В случае, когда уравнения (3) линейные, точечные отображения (6) могут быть получены в явном виде. По явному виду точечных отображений могут быть составлены уравнения периодических движений и характеристические уравнения для исследования устойчивости найденных периодических движений. Это было проделано для релейных и некоторых кусочно-линейных систем (Ю. И. Неймарк, 1955—1956; Ю. И. Неймарк и Л. П. Шильников, I960) и для систем с ударными взаимодействиями (В. А. Горохов, 1966). В случае, когда уравнения (3) нелинейные и получение их явных решений невозможно, характеристическое уравнение может быть составлено по уравнениям в вариациях и уравнениям (5) (Ю. И. Неймарк, 1958). В практически часто встречающемся случае, когда соотношения (5) представляют собою сшивание решений на поверхности разрыва правых частей дифференциальных уравнений, правило составления характеристического уравнения для исследования устойчивости периодического движения было указано в упомянутой работе Ю. И. Неймарка и затем подробно развито в работах М. А. Айзермана и Ф. Р. Гантмахера (1958), Ю. И. Неймарка и Л. П. Шильникова (I960) и других.

Кусочно-гладкие динамические системы допускают своеобразные состояния равновесия, не встречающиеся у динамических систем, описываемых гладкими дифференциальными уравнениями. Эти состояния равновесия расположены на поверхности разрыва, и в них правые части дифференциальных уравнений не обращаются в нуль. К исследованию устойчивости таких состояний равновесия было привлечено внимание многих авторов, подходивших, к его решению самыми различными способами. Решение вопроса сначала для релейных систем (С. Д. Киняпин и Ю. И. Неймарк, 1959), а затем для общего случая, было получено методом точечных отображений (М. А. Айзерман и Ф. Р. Гантмахер, 1960; Ю. И. Неймарк и С. Д. Киняпин, I960).

Интересно отметить, что точечное отображение, порождаемое фазовыми траекториями в окрестности состояния равновесия на поверхности разрыва имеет специфический вид, соответствующий критическому случаю обращения всех корней характеристического уравнения, в единицу. В связи с этим вопрос об устойчивости неподвижной точки такого отображения потребовал специального рассмотрения (Ю. И. Неймарк, 1958, I960).

Метод точечных отображений позволил по-новому взглянуть на широко известные методы малого параметра и усреднения (Ю. И. Неймарк, 1963). Это позволило не только дать им новое изложение с точки зрения метода точечных отображений, но и естественно обобщить их на дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями и на практически важный случай систем, близких к кусочно-линейным (Ю. И. Неймарк и Л. П. Шильников, 1959—1960; Н. Н. Серебрякова, 1963). Следующим важным следствием нового подхода было установление наличия соответствия в целом между фазовыми траекториями усредненных и исходных дифференциальных уравнений (Ю. И. Неймарк, 1963) и обнаружение возможности глобального исследования квазилинейных систем с постоян-

ными и переменными запаздываниями (Ю. И. Неймарк и Л. 3. Фишман, 1966—1967). А именно, было установлено, что с точностью до величин порядка |л асимптотическое поведение решений квазилинейной системы дифференциальных уравнений с запаздываниями вида

/ = А^х (力)+ 4/ (t — %)+・• + Amx{t — F)十

+ м/ (厶/ ⑴，力« — »(瑞 ％)),.・・，/(% — %(/, %))),

(где х — n-мерный вектор, А От Air . . ., Ат — постоянные матрицы, N — малый параметр и т1т т2, • . ., ттт 0j (力，力)，• • .，6左(力，力) 一постоянные и переменные запаздывания) сводится к рассмотрению некоторой квазилинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений конечного порядка. В частном случае, когда 3 = 厶 =• • • = Ат = 0, такое вспомогательное обыкновенное дифференциальное уравнение записывается в виде

у = Аоу + М «, у G), е-Аоб"и，W ..., e-A°6M" '%).

Изучение зависимости от параметров структуры разбиения фазового пространства на траектории и в первую очередь изучение зависимости от параметров наиболее важных типов движений представляет основную задачу качественного исследования динамических систем. При этом следует иметь в виду, что выяснение структуры фазового пространства определенной динамической системы, как правило, весьма облегчается после включения ее в подходящее семейство динамических систем, зависящих от параметров.

Для систем с одной степенью свободы, имеющих двухмерное фазовое пространство, задача о зависимости структуры фазового пространства от параметров полностью решена в работах А. А. Андронова, Е. А. Леонтович, А. Г. Майера и Л. С. Понтрягина. При этом оказалось, что если ограничиться так называемыми грубыми системами, то качественная картина разбиения фазовой плоскости на траектории полностью определяется конечным числом ее особых траекторий: состояний равновесия, предельных циклов и сепаратрис седловых состояний равновесия. В силу этого вопрос о зависимости качественной картины разбиения фазовой плоскости свелся к изучению бифуркаций перечисленных особых траекторий.

В многомерном случае все обстоит значительно сложнее, и в отношении элементов, определяющих структуру фазового пространства, можно лишь придерживаться тех или иных гипотез. Ситуация здесь осложняется еще тем, что методы качественной теории на плоскости носят специфический характер и не допускают непосредственного обобщения на многомерные системы. В связи с этим необходимо подчеркнуть роль метода точечных отображений в изучении многомерных систем, поскольку именно этот метод позволил сколько-нибудь существенно продвинуться в трудной задаче исследования особенностей структуры фазового пространства многомерной системы *) (Ю. И. Неймарк, 1958, 1965—1967; Д. В. Аносов, 1962： 1967; Ю. И. Неймарк и Л. П. Шильников, 1965; Л. IL Шильников, 1965—1967; В. А. Григоренко, 1967), в изучении интегральных многообразий дифференциальных уравнений (Д. В. Аносов, 1959; Ю. И. Неймарк,

1967) и в исследовании бифуркаций состояний равновесия и периодических движений (Ю. И. Неймарк, 1958—1959, 1965—1967; Л. П. Шильников, 1962—1966; В. А. Брусин и др.т 1963; Ю. И. Неймарк и М. И. Фейгин, 1964; В. Н. Труженникова, 1962; Г. В. Аронович и др., 1965; Ю. И. Неймарк и С. Д. Киняпин, 1962).

Для теории нелинейных колебаний теория бифуркаций состояний равновесия и периодических движений представляет интерес не только тем, что облегчает исследование конкретных систем, но и в первую очередь тем, что решает вопрос о характере смены установившегося режима при медленном изменении параметров. Можно напомнить, что именно теория бифуркаций дала математическое описание мягкого и жесткого способов возникновения колебаний в ламповом генераторе и сделала эти понятия одними из основных в теории нелинейных колебаний, а метод точечных отображений позволил решить вопрос о мягком и жестком возбуждении в многомерном случае. Методом точечных отображений была решена и аналогичная задача о возбуждении квазипериодических колебаний в автономной системе и обнаружен случай мягкого удвоения периода автоколебаний (Ю. И. Неймарк, 1958—1959),

МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА

И. И. БЛЕХМАН

Предварительные замечания 157

Основные идеи метода Пуанкаре 157

Об устойчивости периодических решений систем уравнений, содержащих малый параметр 160

Развитие метода малого параметра в работах советских ученых ....161

О некоторых точках зрения на метод малого параметра 163

Предварительные замечания

Математические основы метода малого параметра применительно к теории периодических решений дифференциальных уравнений были заложены в классических сочинениях А. Пуанкаре в конце XIX века.

Первостепенную роль при использовании метода Пуанкаре играет теория устойчивости движения и теория периодических решений дифференциальных уравнений, развитая примерно в тот же период А. М. Ляпуновым в его основополагающем труде «Общая задача об устойчивости движения».

Широкое использование методов Пуанкаре — Ляпунова в теории нелинейных колебаний началось, однако, только в тридцатых годах текущего столетия. Основная заслуга в деле развития и применения этих методов к решению задач механики, радиотехники и теории автоматиче ского регулирования, несомненно, принадлежит отечественным уче н ым — Л. И. Мандельштаму, Н. Д. Папалекси (1930—1950), А. А. Андронову, А. А. Витту (1930—1955), а также их последователям — Б. В. Булгакову (1942, 1954) и И. Г. Малкину (1944-1956).

Методы А. Пуанкаре и А. М. Ляпунова за последние два десятилетия лолучили интенсивное развитие в трудах многих исследователей; эти методы были с успехом использованы при решении ряда важных прикладных задач.

Основные идеи метода Пуанкаре

Напомним в общих чертах основные идеи метода Пуанкаре. Рассмотрим неавтономную систему дифференциальных уравнений

• • •, 力)卩歹§ (力1, - * *,况п,九 N) (sz= 1, * • ♦,孔)，(2*1) где Xs и Fs для простоты рассуждений будем считать аналитическими функциями переменных <г1т ...,力几 в замкнутой области G； которой принадлежат все рассматриваемые ниже решения уравнений, и непрерывными периодическими функциями переменной t с периодом Т в любой точке

области G. Положим также, что функции Fs являются аналитическими функциями ) малого параметра 卩》0 при |л＜|л0, где 卩。＞ 0.

Отыскание периодических решений системы

总。=爲(力。＞,…，/孔0 (s = l,…，吟(2.2)

получающейся из (2.1) при 卩=0 и называемой порождающей системой, может оказаться более простым, нежели нахождение периодических решений системы (2.1).

Возникает, однако, вопрос, можно ли «доверять» периодическим решениям порождающей системы в том смысле, что этим решениям действительно соответствуют «близкие» периодические решения исходной системы уравнений (2.1), т. е. решения исходной системы, обращающиеся при N = 0 в решения порождающей системы.

А. Пуанкаре показал, что указанное соответствие имеет место далеко не всегда. А именно, в зависимости от характера правых частей уравнений (2.1) может оказаться, что периодическому решению порождающей системы (2.2) не соответствует периодическое решение основной системы (2.1). С другой стороны, возможны и случаи, когда решению порождающей системы отвечает несколько и даже бесчисленное множество периодических решений основной системы.

Для выяснения вопроса о соответствии между периодическими решениями основной и порождающей системы рассуждают, следуя А. Пуанкаре, следующим образом.

Пусть

或＞ =唠＞g)(2.3)

есть какое-нибудь периодическое решение порождающей системы (2.2).

Рассмотрим решение

//(%，Bi,.…，6冷，N)(2.4)

основной системы (2.1), удовлетворяющее начальным условиям

g (0, pi, . . ., %, N)= /黑(0) + р5.(2.5)

Попытаемся подобрать параметры §§ как функции 卩,обращающиеся в нуль при |л = 0, таким образом, чтобы решение (2.4) было периодическим с периодом Т. Если это удастся сделать, то основная система, по крайней мере при достаточно малом 卩,будет иметь периодическое решение, обращающееся при м = 0 в порождающее решение (2.3).

Условия периодичности решения (2.4) имеют вид

屮§ = xs (Т, Bi, * …，也，N)/ (0, Bi, ♦ • *,也，N)=。 (s — 1т . . . T 孔)* (2.6)

В силу сделанных выше предположений о характере правых частей уравнений (2.1) функции ^s будут аналитическими относительно М， ...,рп и |л при достаточно малых значениях этих величин. Кроме того, при Bi =・・・=0几=N = 0 функции ^ обращаются в нуль, так как в этом случае решение (2.4) в силу (2.5) обращается в порождающее решение (2.3), которое периодично по условию.

Поэтому, если якобиан

(2.7)(2.7)@ (屮1, * * ♦, "Ф^) 1

(2.7)

(2.7)

@ (61，■ ■ ■ 7 Вп) 辰=…=Вп=н=。

отличен от нуля, то в силу теоремы о существовании неявных функций из системы уравнений (2.6) могут быть однозначно определены функции Ps ~ Ps(N), обращающиеся в нуль при 卩=0 и аналитические при достаточно малых значениях 卩・ Подставив эти функции в (2.4), получим аналитическое относительно 卩 решение основной системы (2.1), обращающееся при м = 0 в порождающее решение (2.3).

Таким образом,, в случае отличного от нуля определителя (2.7), который в дальнейшем будем называть определителем Пуанкаре, существует одно-единственное периодическое решение системы (2.1), обращающееся при |л = 0 в решение порождающей системы. Иначе говоря, вопрос о соответствии периодических решений систем (2.1) и (2.2) в этом случае решается положительно ). Последнее утверждение и представляет собой известную теорему А. Пуанкаре.

Значительно более сложным становится изучение рассматриваемого вопроса, если определитель Пуанкаре (2.7) равен нулю. Здесь уже недостаточна теорема о существовании неявных функций в ее простейшей формулировке. Между тем такие, казалось бы, весьма специальные с математической точки зрения случаи представляют наибольший интерес для теории нелинейных колебаний. Действительно, именно в этих случаях, согласно сказанному выше, нет однозначного соответствия между периодическими решениями исходной и порождающей систем уравнений. Поэтому при обращении определителя (2.7) в нуль с переходом от |л = 0 к |л =т^0 как раз и получаются качественные изменения. .

Необходимо подчеркнуть также (это не всегда делается при изложении метода) особую роль, которую играет в методе Пуанкаре теорема о существовании неявных функцией. По существу, основная идея метода и состоит в сведении вопроса о существовании периодических решений системы дифференциальных уравнений к вопросу о существовании неявных функций. Специфика состоит лишь в том, что особый интерес представляют особые случаи, как правило, не рассматриваемые в общих курсах и руководствах.

Важней класс таких особых случаев, когда определитель (2.7) обращается в нуль, характеризуется тем, что порождающая система (2.2) имеет семейство периодических решений

成。＞ =忌》(力04…..，0^) (s^l, . . .,%), (2.8)

зависящее от к &П произвольных параметров а1т . . ., а&. Именно этот случай представляет особый интерес для приложений.

Если постоянные входят в выражения (2.8) независимо, т. е. хотя бы один из определителей А:-го порядка матрицы

0力。＞

0琛＞

dcq

、(2.9)

@£严

отличен от нуля, то^ как нетрудно показать, определитель Пуанкаре (2.7) обращается в нуль вместе со своими минорами до (п — к -卜 1)-го порядка включительно. Если при этом не обращается в нуль по крайней мере один

из миноров (п — А)-го порядка определителя (2.7), то, как показывает исследование (см. монографии И. Г. Малкина, 1949, 1956), Т-иериодинес- кие решения основной системы, обращающиеся при 卩=0 в порождающее решение, могут отвечать, вообще говоря, лишь избранным системам значений параметров, а именно значениям, удовлетворяющим некоторой системе уравнений

2 (сц,陶=0 ' (i = 1, (2.10)

Определенному решению aj = а*, ...» а& =。左 уравнений (2.10) действительно отвечает единственное периодическое решение основной системы дифференциальных уравнений, аналитическое относительно ц и обращающееся при 卩=0 в порождающее, если определитель кX А-матрицы

I咼I (3 = 1,…,© (2.11) отличен от нуля.

Случай автономной системы уравнений имеет существенные особенности по сравнению с рассмотренным выше случаем системы неавтономной. Однако общая идея анализа сохраняется, и поэтому мы не будем здесь на этом случае специально останавливаться.

Естественно, что существенное значение имеет вопрос о реальном нахождении функций /\. Эти функции, как оказывается, могут быть построены, если известно необходимое число независимых решений некоторой системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами (см. § 4). Указанные решения в свою очередь могут быть найдены для ряда классов нелинейных систем (2.1), в частности, для систем квазилинейных.

В основном с теми же трудностями связано фактическое построение периодических решений в виде рядов по целым (или, в особых случаях, по дробным) степеням малого параметра. Как и в большинстве методов последовательных приближений» сложность вычислений быстро возрастает по мере увеличения номера приближения. Во многих прикладных задачах, однако, оказывается вполне достаточным вычисление порождающего приближения (2.8) при условии, конечно, что параметры сц, . . ., a左 найдены из уравнений (2.10).

Об устойчивости периодических решенийсистем уравнений, содержащих малый параметр

Исследование устойчивости периодических решений, найденных методом малого параметра, имеет ряд особенностей, на которых мы кратко остановимся.

В соответствии с теорией А. М. Ляпунова решение вопроса об устойчивости зависит от характера решений системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами

Zs=』(-^ + n窘)Zj (s = l,…，力， (3.1)

называемой уравнениями в вариациях. Круглые скобки в этих уравнениях указывают на то, что значения заключенных в них производных вычислены для изучаемого периодического движения. Для асимптотической устойчивости решения достаточно, чтобы все корни р§ характеристического

уравнения системы (3.1) имели модули, меньшие единицы:

|РИ<!- (3.2)

Если хотя бы один корень будет по модулю больше единицы, то соответствующее движение неустойчиво; случай, когда имеются корни с модулями, равными единице, вообще говоря, требует дополнительного исследования. Существенно, что величины р§ являются аналитическими функциями 卩'",где г — целое положительное число, в простейшем случае равное единице. Иными словами, р$ разлагаются в ряды типа

р§ = рУ + М"р£ + 卢"「у + … (3.3)

Обычно довольствуются изучением вопроса о справедливости неравенств (3.2) лишь при достаточно малых значениях параметра ц. Поэтому если, например, свободные члены рядов (3.3) удовлетворяют условиям (3.2), то при достаточно малых значениях ц этим условиям удовлетворяют и величины р§, т. е. движение устойчиво. Аналогичным образом при наличии хотя бы одного корня |рУ° |> 1 движение, по крайней мере при достаточно малых ц, является неустойчивым. Лишь в случаях, когда имеются величины I рУ° I = 1 (при прочих | р" | < 1), для суждения об устойчивости необходимо вычисление следующих членов разложений (3.3).

Величины рГ，определяются как корни характеристического уравнения системы

0=》(粉)鋁6 (S = l,…，叫 (3.4)

получающейся из (3.1) при 卩 =0 и являющейся системой в вариациях для порождающей системы (2.2) и порождающего решения (2.3) (скобки со значком «О» указывают, что заключенное в них выражение вычисляется для порождающего решения).

Отметим, что рассмотренный в § 2 случай, когда порождающее решение зависит от некоторого числа произвольных параметров а±, • . ., а^, как раз и является критическим в том смысле, что ему отвечают “ величин рТ>, равных по модулю единице. Поэтому для решения вопроса об устойчивости здесь необходимо вычисление следующих членов разложений (3.3).

Развитие метода малого параметрав работах советских ученых

Первыми отечественными работами, в которых был эффективно использован метод малого параметра для решения важных в принципиальном и прикладном отношении задач теории нелинейных колебаний, были уже упоминавшиеся исследования Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси (1930—1950) и А. А. Андронова и А. А. Витта (1930—1955). Эти исследования были посвящены преимущественно радиотехническим проблемам, хотя обнаруженные в их ходе нелинейные явления (мягкое и жесткое возбуждение колебаний, «резонанс n-го рода», затягивание и захватывание автоколебаний) носят универсальный характер (см. § 10 обзора «Прикладные проблемы теории колебаний», стр. 101——109). Следует отметить также интересную работу Б. В. Булгакова (1942), посвященную применению метода Пуанкаре к исследованию колебаний в квазилинейных системах.

Существенное развитие метод малого параметра получил в работах И. Г. Малкина (1944—1956). И. Г. Малкин впервые систематически 11 Механика в СССР, том 1

рассмотрел важный для приложений случай зависимости порождающего решения неавтономной и автономной систем от произвольного числа параметров (см. § 2), существенно обобщив результаты Пуанкаре, изучившего случай зависимости лишь от одного параметра. И. Г. Малкиным были получены развернутые выражения левых частей уравнений (2.10) относительно порождающих параметров сц, . . 7 a左 для периодических и почти- периодических решений квазилинейных и сильно нелинейных систем уравнений как с аналитическими, так и с неаналитическими правыми частями. Для широкого класса систем указанные уравнения могут быть, представлены в форме

п т

BQ,...，期)三》、(歹»oz务(t)dt = O,(4.1)

I 0

где через 纟九 обозначены независимые периодические решения системы, сопряженной по отношению к системе в вариациях (3.4), а функции F》 имеют тот же смысл, что и в уравнениях (2.1).

И. Г. Малкин с большой подробностью рассмотрел также колебания важного класса систем, близких к так называемым системам А. М. Ляпунова.

Результаты указанных исследований суммированы И. Г. Малкиным в двух монографиях (1949, 1956), весьма способствовавших популярности метода и его дальнейшему развитию.

В работах С. Н. Шиманова (1955—1960) предложен специальный метод (метод вспомогательных систем) для исследования вопроса о существовании и определении аналитического вида периодических решений дифференциальных уравнений с малым параметром, пригодный в особых случаях. С. Н. Шиманов рассмотрел также задачу о колебаниях квазилинейных систем при наличии запаздывания и при неаналитической характеристике нелинейности.

В работе Г. А. Мермана (1952) изучен особый случай задачи о период дических решениях, когда уравнения (2.10) для определения параметров порождающего решения имеют кратные корни или удовлетворяются тождественно, т. е. когда определитель матрицы (2.11) обращается в нуль.

Систематическому рассмотрению вопросов существования и устойчивости периодических решений различных систем уравнений в случаях когда уравнения (2.10) имеют кратные корни, посвящен цикл работ А. П. Проскурякова (1957—1966), а также его последователей— Г. В. Плотниковой (I960—1963) и Ю. М. Копнина (1965). А. П. Проскуряковым для некоторых простейших классов систем рассмотрены вопросы о способе введения малого параметра (1958) и о соответствии периодических решений, получаемых методом Пуанкаре и асимптотическими методами. Обзор этих и некоторых других результатов приведен в докладе А. П. Проскурякова (1965).

Обобщение метода малого параметра на случай разрывных периодических решений было дано Ю. И. Неймарком и Л. П. Шильниковым, а также М. 3. Коловским (1961).

В цикле работ Ю. А. Рябова (1956) систематически рассмотрены вопросы оценок областей сходимости рядов, получаемых при отыскании периодических решений методом малого параметра.

Вопрос об устойчивости периодических решений квазилинейной неавтономной системы, порождающая система для которой допускает периодическое решение, зависящее от произвольного числа параметров

ai, . . г afe, рассмотрен И. И. Блехманом (1955). При этом показано, что в случае простых элементарных делителей, отвечающих "-кратному критическому корню р<0> характеристического уравнения системы (3.4), условия устойчивости, отвечающие указанному корню, сводятся к требованию отрицательности вещественных частей корней алгебраического уравнения 肛й степени

хб"卜0(г, 7 = 1, ...,к)хб"卜0(г, 7 = 1, ...,к)(4.2)(4.2)

хб"卜0(г, 7 = 1, ...,к)

хб"卜0(г, 7 = 1, ...,к)

(4.2)

(4.2)

(6/； — символ Кронекера),(6/； — символ Кронекера),т. е. к обычной задаче Гурвица. Аналогия-

(6/； — символ Кронекера),

(6/； — символ Кронекера),

ные результаты для периодических и почти-периодических решений неавтономных нелинейных систем более общего вида получены И. Г. Малкиным (1956). В заметке И. И. Блехмана (1957) подобный результат установлен для квазилинейных автономных систем, а в работе С. Н. Шиманова (I960) — для почти-периодических квазилинейных систем с запаздыванием.

Вопросу о вычислении характеристических показателей системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, близкими к постоянным, в общем случае критических корней посвящены, в частности, работы С. Н. Шиманова (1952, 1956) и М. Я. Кушуля (1958). Весьма полный обзор многочисленных исследований, посвященных этой задаче, можно найти в книге Л. Чезари «Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений», (1959; русский перевод: М., 1964).

Значительное влияние на развитие метода малого параметра в СССР оказала необходимость решения ряда важных прикладных задач. Из числа таких задач, успешно^решенных посредством этого метода, упомянем задачи об автоколебаниях в системах автоматического регулирования (А. И. Лурье, 1951), а также задачи о взаимодействии колебательных систем с источниками возбуждения и задачи теории синхронизации, рассмотренные в § 10 и 12 обзора «Прикладные проблемы теории колебаний» (стр. 106-108 И 110-112).

О некоторых точках зрения на метод малого параметра

Несмотря на то, что период интенсивного развития метода малого параметра в теории нелинейных колебаний охватывает около четырех десятилетий, по поводу отдельных принципиальных вопросов его применения часто высказываются противоречивые суждения. Отчасти это объясняется различием подходов к проблеме со стороны математиков и механиков-прикладников .Остановимся на некоторых из таких вопросов, не претендуя на категоричность высказываемых суждений.

Вопрос о нелокальном использовании результатов локального исследования. В подавляющем большинстве прикладных работ авторы ограничиваются установлением факта существования и устойчивости периодического решения,

параметрапараметраа также сходимости рядов при достаточно малых значениях

параметра

параметра

ц. Между тем в каждой реальной задаче приходится иметь дело с некоторыми конкретными конечными значениями ц- Возникает вопрос, как следует относиться к результатам, получающимся при таком нестрогом образе действий.

Одна из крайних точек зрения, характерная для математиков, состоит в утверждении, что подобные результаты вообще лишены какой-либо

11*

ценности, что в рассматриваемых задачах необходимо определение радиусов сходимости соответствующих рядов и значений малого параметра, отвечающих границе области устойчивости.

С другой стороны, иногда специалисты-прикладники, не отдающие себе отчета в указанной выше непоследовательности, склонны относится к получаемым прикладным результатам как к строго обоснованным. Естественно, что ни с той, ни с другой точкой зрения согласиться нельзя. К результатам обсуждаемых исследований следует относится как к правдоподобным рассуждениям, имеющим определенные (и, как показывает практика, достаточно высокие) «шансы» оказаться справедливыми. Вместе е тем, считать указанные результаты строгими, полностью достоверными также нельзя. Естественно пытаться повысить «степень правдоподобности» таких результатов, например, путем постановки соответствующих экспериментов.

Можно, конечно, прибегнуть и к оценкам радиусов сходимости рядов, оценкам погрешности конечного числа приближений, приближенному определению границ областей устойчивости по малому параметру. Однако получение таких оценок требует затраты большого труда; к тому же, как правило, они оказываются неэффективными, ибо, будучи всегда ориентированными на «худший» случай, являются весьма пессимистичными. Отметим, что аналогичная ситуация имеет место и в случае, когда факт устойчивости движения в малом используется как довод в пользу устойчивости данного движения при реальных, «практически малых» отклонениях. Эти и некоторые другие родственные вопросы более подробно обсуждаются в статье И. И. Блехмана, А. Д. Мышкиса и Я. Г. Пановко (1967).

О применимости метода малого параметра к системам, не содержащим физического малого параметра. В ряде случаев применение метода малого параметра оказывалось весьма эффективным, несмотря на отсутствие в системе физического малого параметра в явной форме. Так, например, квазигармоническое решение оказывается часто удовлетворительным в случаях сильно нелинейной системы. Подобная ситуация привлекала внимание ряда исследователей; можно сослаться, например, на статью М. А. Айзермана и И. М. Смирновой (1955),； а также на работы Е. Н. Розенвассера (1963).

Причина успеха применения метода в указанных выше случаях, как представляется нам, состоит в том, что определенные совокупности членов в дифференциальных уравнениях могут оказаться малыми вблизи рассматриваемых решений, несмотря на то, что каждый из этих членов в отдельности не мал. Иными словами, успех использования метода определяется не наличием в уравнениях явно входящего малого параметра, а близостью порождающего и точного решений. В конечном счете, как и в других приближенных методах, успех зависит от удачности выбора исходного приближения.

Если исходить из этого соображения, то можно предложить следующую схему искусственного введения малого параметра. Пусть из каких- либо физических соображений, анализа частных случаев и т. п. можно предположить, что периодические решения заданной системы уравнений

£ = Х (力，t) (5.1)

(записанной в векторной форме) близки к функциям некоторого определенного вида

(力 «в ..., aQ, (5.2)

где ап ...,а左 ——некоторые произвольные параметры. Пусть, далее,

/о)= ХоЗ©, 0(5.3)

—уравнение, которому удовлетворяют функции 力⑻.

Тогда, записав исходную систему в виде

力=X0(力，力)+N耳(力，力(5.4)

где

卩耳(瑞力)=X (芻 t) — X0(力”)，(5.5)

естественно считать выражение 卩歹(力,t) малым, поскольку, по предположению, решения системы (5.3) близки к решениям исходной системы (5.1). Что же касается функций X и Х°, то они должны быть близки лишь на искомых траекториях системы.

Конечно, изложенный способ не может претендовать на строгость; он представляет собой типичное правдоподобное построение. Однако поскольку, согласно изложенному в п. 1, практическое применение метода малого параметра в целом также представляет собой лишь комплекс правдоподобных рассуждений и выкладок, то и указанное рассуждение можно считать правомерным.

Отметим к тому же, что аппарат метода малого параметра дает своеобразный признак правильности сделанного предположения о близости решений систем (5.1) и (5.3). Дело в том, что уравнения (2.10) для определения параметров сс17 . . ., а左 обычно допускают простую физическую трактовку (например, представляют собой некоторые энергетические соотношения). В области изменения параметров, где эти уравнения допускают вещественные решения, предположение о близости решений можно считать правдоподобным, а в области, где вещественные решения отсутствуют, —неправдоподобным.

Сформулированные точки зрения и способы рассуждений были широко использованы в ряде работ по теории синхронизации механических вибраторов и по вибрационному возбуждению вращения неуравновешенного ротора, упомянутых в § 10 и 12 помещенного выше обзора «Прикладные проблемы теории колебаний».

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ)

Я. Я. БЛЕХМАН, Я. Г, ПАНОВКО

Наряду с развитием нелинейной теории, в рассматриваемый период значительные усилия исследователей были направлены на совершенствование методов решения сложных линейных задач теории колебаний. Отечественными учеными был внесен существенный вклад также и в эту важную область.

Эффективное преобразование векового определителя было указано еще в 1932 г. А. Н. Крыловым. Чисто алгебраическую форму этому преобразованию придал Н. Н. Лузин; некоторые упрощения способа Н. Н. Лузина указаны в работах Ф. Р. Гантмахера и П. В. Мелентьева.

В тех случаях, когда целью вычислений является определение низшей частоты, нет необходимости в полном развертывании определителя, а следовательно, в его предварительном преобразовании; на это указал П. Ф. Папкович, предложивший способ двухсторонней оценки наименьшего корня частотного уравнения. Той же теме была посвящена работа В. М. Майзеля (1932), а также исследования С. А. Бернштейна (1939).

Толчок к развитию и внедрению метода начальных параметров был дан А. Н. Крыловым (1931). С механической точки зрения этот метод применительно к стержням позволяет выразить внутренние усилия и перемещения в произвольном сечении 力 через внутренние усилия и перемещения в начальном сечении (и нагрузку, приложенную в интервале [0,力]);с формально математической точки зрения этот метод представляет собой сведение двухточечной краевой задачи к задаче Коши. В работах Н. И. Безухова (1938) метод начальных параметров был успешно применен к исследованию свободных и вынужденных колебаний стержней и стержневых систем.

Значительное развитие за последние годы получили приближенные методы решения уравнений теории колебаний (линейной и нелинейной), основанные на вариационных принципах (работы Л. В. Канторовича, 1948—1956; М. А. Красносельского, 1950 и сл.; С. Г. Михлина, 1948— 1956; В. М. Фридмана, 1956 и сл.). Обзору, развитию и обоснованию этих методов посвящена монография С. Г. Михлина (1957).

Отметим также последовательное и плодотворное применение аппарата интегральных уравнений в работах Я. Л. Нудельмана (1949),

И. А. Биргера (1956), А. Ф. Гурова (1959) и др. В работе А. И. Лурье (1938) была отмечена полезная аналогия между задачами о статическом и динамическом нагружении данной линейной упругой системы; эта аналогия установлена с помощью методов операционного исчисления. Впоследствии этой аналогии посвящены также работы Я. Г. Пановко (1941).

Предложенный В. П. Терских (1930, 1955) метод цепных дробей оказался эффективным средством решения задач о колебаниях линейных систем, упругое состояние которых описывается обыкновенными дифференциальными операторами второго порядка (крутильные и продольные колебания многомассовых систем).

"Цикл исследований В. Я. Натанзона, В. К. Житомирского (1946 и сл.) был посвящен переносу ряда методов электротехники на задачу о колебаниях сложных механических систем и применению для этих целей электрического моделирования.

Существенное воздействие на развитие методов решения линейных задач теории колебаний оказало широкое использование ЭЦВМ. Наличие машин вовсе не обесценило общие результаты (к сожалению, весьма немногочисленные), относящиеся к проблеме локализации частот колебаний и к анализу их зависимости от параметров системы. Наоборот, потребность в таких результатах ощущается все более остро. Однако использование ЭЦВМ привело к некоторому изменению точек зрения на сравнительные достоинства различных способов составления уравнений колебаний и методов решения задач.

Прежде всего особое значение приобрели матричные методы записи основных уравнений задачи. Использование матриц обеспечивает не только компактность записи формул и легкость выполнения промежуточных преобразований. Матричная форма особенно удобна для алгоритмизации расчета и составления программ для ЭЦВМ; она более адекватна задаче, так как в известном смысле копирует структуру изучаемой системы. В случае дискретных расчетных схем (т. е. схем с конечным числом степеней свободы) матричные методы позволяют в общем случае при написании системы уравнений задачи оперировать непосредственно простейшими «стандартными» матрицами (переноса, жесткости, податливости, инерционных коэффициентов), которые легко строятся в общем виде.

Вопросы использования матриц для формулировки задач теории колебаний упругих систем рассмотрены в работах А. П. Филина (1961——1967), а также в монографиях А. Ф. Смирнова (1958) и В. К. Дондошанского (1965). При построении алгоритмов вычислений особое развитие получили матричные формы метода начальных параметров, а также методов динамических жесткостей и податливостей. Особенно эффективными эти методы оказались для так называемых цепных многосвязных систем, к которым, в частности, относятся роторы, лопатки турбин, коленчатые валы, связанные системы типа «ротор — статор — опоры», большинство плоских и многие пространственные стержневые системы. Применение указанных методов к цепным системам позволяет свести расчет к различного рода рекуррентным соотношениям. Понятие цепной упругой системы впервые появилось в уже цитированных работах В. П. Терских (1930, 1955). Затем в исследованиях Ф. М. Диментберга (1948), М. Л. Кемпнера (1950), В. А. Троицкого (I960, 1963), В. А. Пальмова и А. А. Первозванского (1961), В. С. Чувиковского (I960) было выработано понятие о связности системы в некотором ее сечении и обобщены на многосвязные цепные системы методы динамических жесткостей и податливостей. Следует упомянуть также монографию Я. Л. Нудельмана (1949), в которой, по суще-

ству, была дана в несколько ином, более формализованном виде математическая схема метода динамических жесткостей (или метода перемещений, как принято говорить в строительной механике), относящаяся к общему случаю цепной системы.

Отметим, что методы динамических жесткостей и податливостей многократно переоткрывались различными авторами, причем им давались, самые разнообразные названия (методы механического импеданса, методы перенесения граничных условий, метод приведения частей системы к безынерционным упругим связям и др.). Из числа работ, посвященных практическому использованию указанных методов к расчетам конкретных типов систем, упомянем статью А. В. Шляхтина (I960) и книгу Л. И. Штейн- вольфа (1961).

Обзор исследований и систематическое изложение, а также примеры использования метода начальных параметров и методов динамических жесткостей и податливостей даны в монографии В. К. Дондошанского (1965); особое внимание здесь уделено применению ЭЦВМ. '

ДИНАМИКА НЕГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ

Ю. И. НЕЙМАРК

Возникновение аналитической механики неголономных систем относится к концу прошлого века, когда аналитическая механика голономных систем была уже построена, а неголономные системы были чем-то удивительным, почему-то не охватываемым, казалось бы, всеобъемлющим аналитическим формализмом Эйлера — Лагранжа — Гамильтона — Якоби. Инерция была настолько велика, а неожиданно возникающие препятствия столь непривычны, что не обошлось без ошибок и просмотров (К. Нейман, Э. Линделеф, В. Вольтерра). Ошибка Линделефа была своевременно обнаружена и исправлена С. А. Чаплыгиным. Этот инцидент можно считать началом длительного ряда ошибок, исправлений и дискуссий, сопутствующих разработке теории неголономных систем.

На рубеже XIX — XX веков неголономные системы привлекли к себе внимание и их теоретическому изучению посвятили работы многие выдающиеся ученые того времени (Г. Герц, Л. Больцманг В. Вольтерра, С. А. Чаплыгин, П. Аппель, П. В. Воронец, Н. Е. Жуковский, Г. Гамель и др.). Несмотря на это, успехи аналитической механики неголономных систем были относительно скромными и ряд возникших дискуссионных вопросов повис в воздухе, не получив полных или достаточно .ясных решений, что отчасти объясняет затянувшийся до нашего времени интерес к вопросам аналитической механики неголономных систем. Сдвиг во времени, образовавшийся в вопросах составления и интегрирования уравнений движения неголономных систем, не только вызвал, но и усугубил последующие сдвиги в разработке теории устойчивости неголономных систем, в обнаружении и разработке теории электромеханических систем со скользящими контактами и механических систем с реальными связями качения.

Обзор ряда работ по аналитической механике неголономных систем, выполненных в СССР до 1948 г., был дан В. В. Добронравовым в сборнике «Механика в СССР за тридцать лет». Настоящий обзор посвящен главным образом последующему периоду и имеет целью в первую очередь обратить внимание на новые разделы динамики неголономных систем, примыкающие к задачам об устойчивости систем с качением и к общей теории -электрических машин. '

Деление механических систем на голономные и неголономные принадлежит Г. Герцу. Система называется неголономной, если ее движения стеснены неинтегрируемыми кинематическими связями.

Если положение неголономной системы определяется п обобщенными координатами q「 q2, . . ., qn, то среди обобщенных скоростей 。储 ^2,.. qn при наличии т неголономных связей только п — т будут независимыми. Вместе с тем кинематические связи в силу своей неинтегрируемости не накладывают никаких ограничений на возможные значения обобщенных координат %, 02， • • ■» 0п. В силу этого фазовыми переменными неголономной системы являются п обобщенных координат q「 q2, . . ., ^п и п—т обобщенных скоростей, в качестве которых можно принять какие-то п — т из величин q】,q2, . . ., qn или какие-то п — т их независимых линейных комбинаций

的=2 а订幻(Z = l, 2,—m)・(1>

Эти линейные комбинации (кинематические характеристики) можно рассматривать как производные от некоторых величин л;力 которые принято называть квазикоординатами.*

Все известные многочисленные формы уравнений движения неголономных систем могут быть получены из известного соотношения Даламбера — Лагранжа

справедливого в случае идеальных связей для всех так называемых виртуальных перемещений 5qi, бд?, • • ., bqn. Для линейных кинематических связей вида

3 ^ijQj + bi = O (Z = l, 2,・・・，77i)(3)

виртуальными перемещениями называют любые вариации 6^п 6^2, •・•，б^п обобщенных координат, удовлетворяющие соотношениям

2%т%・=о.(4)

Следует отметить, что получение тех или иных форм записи уравнений движения неголономных систем можно связать с вопросом о так называемых перестановочных соотношениях. А именно, соотношение (2) после тождественных преобразований может быть записано в виде

》｛含焉(3电一方3史)岩 一Q力史｝_6乙 = 0(5)

и в дальнейшем преобразовано к тому или иному окончательному виду в зависимости от значений разностей

6史—^6&,(6)

в вычислении которых, как выяснилось (Ю. И. Неймарк, 1957; Ю. И. Ней- марк и Н. А. Фуфаев, I960), имеется некоторый произвол. Именно в связи с этим произволом в литературе по механике неголономных систем длительное время существовали «противоречивые» точки зрения (В. Вольтерра, Г. Гамель и др., с одной стороны, и Г. К. Суслов, П. В. Воронец и др.— с другой), послужившие источником ряда дискуссий (см., например, работы В. В. Добронравова, 1952; Ю. И. Неймарка и Н. А. Фуфаева, 1951 — 1952; Б. Н. Фрадлина, 1961, 1963; Г. Н. Князева, 1961; И. 3. Шаги-Сул-

тан, 1966; В. С. Новоселова, 1957, 1960; В. И. Киргетова, 1958; К. С. Глушко, 1963, и др.). Одна точка зрения основывалась на перестановочности операций d и 6 для всех обобщенных координат ^i, ^2, • ■ •，0п，другая — на перестановочности этих операций только для так называемых независимых обобщенных координат. При этом для остальных координат перестановочность, вообще говоря, не имела места. Каждая из этих точек зрения может быть обоснована, и они не противоречат друг другу, так как соответствуют различным способам доопределения операций d и 6 вне кривой движения.

При одном способе доопределения операции d и 6 являются перемести- мыми для всех обобщенных координат, и в этом случае уравнения (5) естественно приводят к уравнениям в квазикоординатах Больцмана — Г амеля

1F-157+S TrsZ®zl^ 而(Г = 1, 2, ...,n-m), (7)

тде

S「= a「s (%,0n) 06, 0九=pAr (^1 7 «…，0n) S「(^rsPsA = §r 入),

……象-普)，

и квазикоординаты выбраны так, что в силу уравнений неголономных •связей con_m+1 =...=①几=0. При другом способе доопределения операции d и 6 оказываются переместимыми лишь для так называемых независимых обобщенных координат, а для зависимых значения выражений 《6) находятся из уравнений неголономных связей. В этом случае уравнения (5) приводят к уравнениям движения П. В. Воронца, частным случаем которых являются уравнения С. А. Чаплыгина

d дТ*dt д'd дТ*dt д'дТ* MsдТ* Ms8矗丿8矗丿勿=0,勿=0,(8)(8)

d дТ*

dt д'

d дТ*

dt д'

дТ* Ms

дТ* Ms

8矗丿

8矗丿

勿=0,

勿=0,

(8)

(8)

где T = T (qm+1, .. .,qn,内，…，qm, qm^ .. .,qn) — кинетическая энергия •системы, V = V (g^+i,…，qn) — потенциальная энергия, 5д— коэффициенты в соотношениях

..■ / f = lj 2, ..., ш \

qt=Bl(qm+l,= m +б)

которые являются преобразованными уравнениями неголономных связей,

• 7 =, 7 (0小+1, - ，0?2, b ^qk, B''在,q?n+i? • - .，q 几).

Для систем с нелинейными неголономными связями вопросы определения виртуальных перемещений и составления уравнений движения несколько сложнее и носят отвлеченный характер, поскольку до настоящего времени отсутствует корректный пример механической системы с идеальными нелинейными неголономными связями. Как известно, по вопросу о возможности реализации неголономных связей имела место -оживленная, но не внесшая ясности дискуссия, в которЪй участвовали П- Аппель, Э. Деласю, А. Беген. Много позднее вопросы реализации идеальных классических линейных неголономных связей силами сухого

трения и анизотропного вязкого трения рассматривались в работах Н. А. Фуфаева (1964, 1966). В некотором смысле сюда же следует отнести работу Г. К. Пожарицкого (1965), в которой обнаружена неизбежность возникновения неголономных связей, реализуемых сухим трением, при малых колебаниях системы вблизи устойчивого состояния равновесия.

Первый и, по существу, единственный пример механической системы с нелинейной неголономной связью принадлежит П. Аппелю. Этот пример и его модификации детально рассматривались многими авторами, однако в дальнейшем была обнаружена его некорректность (Ю. И. Неймарк и Н. А. Фуфаев, 1963, 1965).

Таким образом, сложилась ситуация, при которой целый раздел аналитической механики неголономных систем с идеальными нелинейными связями, длительное время разрабатывающийся многими авторами (П. Аппель, Г. Гамель, Л. Ионсен, Н. Г. Четаев, В. С. Новоселов и др.)力 не имеет пока реального объекта приложения).

В то время как формальное обобщение теории неголономных систем на системы с нелинейными связями подвергалось достаточно интенсивному изучению, новые типы неголономных связей, порождаемые реальными связями качения упругого пневматика или железнодорожного колеса, изучались вне прямой связи с динамикой неголономных систем. Изучение* этих связей стимулировалось технически актуальными задачами о путевой устойчивости автомобиля, мотоцикла, шасси самолета и железнодорожного подвижного состава.

Теоретический анализ явления шимми и путевой неустойчивости^ после того как выяснился их автоколебательный характер, потребовал более детального описания процесса качения упругого пневматика. Наиболее полная теория, включающая в себя получившие широкое распространение гипотезы увода Картера и Рокара, а также теории последующих авторов, была дана М. В. Келдышем (1945). Согласно этой теории деформация катящегося по плоскости пневматика характеризуется тремя параметрами, значения которых определяют не только касательную к кривой качения пневматика, но и ее кривизну. А именно, пусть 力一координата, точки К встречи прямой наибольшего наклона, проходящей в средней плоскости колеса через его центр, с плоскостью Оху дороги, % — угол между перпендикуляром к дороге и средней плоскостью колеса, 0 — угол между осью Оу и следом средней плоскости колеса на дороге,自 ——боковое- смещение центра площадки контакта пневматика относительно точки К, ф — угол закручивания площадки контакта по отношению к ободу колеса. Предположим, что проскальзывание пневматика отсутствует, а величины ^, ф, 0 и % достаточно малы; тогда согласно теории М. В. Келдыша при качении упругого пневматика со скоростью V в направлении оси Оу имеют место кинематические связи, отображаемые уравнениями вида

①+ £ + 卩(6 +屮) = 0, 0 + <р — аУ^ + ₽F(p + yV% = 0, (9> а потенциальная энергия U деформации пневматика имеет вид

(底2 + 20% 欧 + Р%% + 师 2), (10>

где а, Р，у, а,仇 о, р — константы, определяемые из эксперимента при заданной нагрузке N на пневматик.

В работе Ю. И. Неймарка и Н. А. Фуфаева (1966) было показано, что связи качения в теории М. В. Келдыша являются идеальными и что к системе с такими связями может быть применен обычный формализм составления уравнений движения неголономной системы. При этом уравнения движения системы с несколькими баллонными колесами при ее малых колебаниях возле прямолинейного качения со скоростью V записываются в виде

(Н)(Н)d дТ дТ С 丄中 / Ом, ди 0仇 \

(Н)

(Н)

Эти уравнения вместе с уравнениями связей качения (9), написанными для всех пневматиков, представляют собою полную систему уравнений движения.

Еще в конце прошлого века на примере так называемого колеса Барлоу было замечено, что уравнения движения электромеханических систем, содержащих распределенные проводники со скользящими контактами, не записываются в форме уравнений Лагранжа. В связи с этим высказывались предположения, что такие системы являются разновидностью него- лономных систем. Однако только в 1952 г. А. В. Гапоновым была внесена в этот вопрос ясность и показано, что присоединение к распределенному (объемному или поверхностному) проводнику скользящего контакта эквивалентно наложению на распределение в нем токов неголономных связей. С этой точки зрения коллекторные электрические машины о-казались неголономными системами типа Чаплыгина. Для таких систем А. В. Гапоновым были предложены уравнения движения нового вида, а именно d 。厶* dL* 1 р dL*л〃 n*

殖一h2元” =Q‘(i + 1,…，吟 (12)

где функция L* получена из функции Лагранжа L путем использования уравнений неголономных связей (8‘), причем в коэффициентах В\ (0^+1〉 •・ ,..,qn) координаты qs заменены независимыми параметрами uks так, ЧТО В\ = В\ Ззт + 1, wft>n), в силу чего

* j 0тг； 修叫1, тп+Ij Um^i9 力+2，* * * j "九，n)'* j 0тг； 修叫1, тп+Ij Um^i9 力+2，* * * j "九，n)'Е* = Е*(07П+1, ' ' • J %г； 0т+1,…

* j 0тг； 修叫1, тп+Ij Um^i9 力+2，* * * j "九，n)'

* j 0тг； 修叫1, тп+Ij Um^i9 力+2，* * * j "九，n)'

В уравнениях (12) после выполнения указанных в них действйй следует ПОЛОЖИТЬ urs = 0s •

Уравнения движения в форме (12) особенно удобны в случае, когда число обобщенных координат п велико и лишь не намного превышает число неголономных связей. Именно такая ситуация имеет место для электрических машин коллекторного типа. Так, например, в случае электрической машины с барабанной обмоткой электрическое состояние в естественной распределенной идеализации характеризуется счетным числом обобщенных координат. Коллектор является устройством, позволяющим фиксировать распределение тока во вращающемся роторе в системе координат,, связанной со щетками. Это приводит к наложению на электрические координаты счетного множества неголономных связей, лишь немногим меньшего числа электрических координат.

Согласно сказанному ясно, что общую теорию электрических машин сейчас можно рассматривать как раздел аналитической механики. При этом делению электрических машин на бесколлекторные и коллекторные соответствует разделение систем на голономные и неголономные. Это

включение, возможно, будет способствовать устранению водораздела, имеющего место между общими методами аналитической механики и инженерной теорией электрических машин.

Аналитическая механика неголономных систем послужила источником новых геометрических проблем и привела благодаря работам Я. Схаутена, Г. Вранчану, В. В. Вагнера и др. к созданию геометрии неголономных многообразий. Пространство конфигураций механической системы, в каждой точке которого задано линейное многообразие U*, соответствующее всевозможным виртуальным перемещениям системы 6。九 бд?， •・ ” 6^п, образует неголономное многообразие. Если в каждом из линейных пространств 吸1 определить локальную систему координат, то уравнения движения склерономной механической системы могут быть записаны в виде

粵十Г:苏护=尸， (13)

где 吟 吟.• г ^ — компоненты скорости в системе локальных координат, 尸一компоненты проекции вектора силы в 卩*, Г1% — так называемые коэффициенты связности. В отсутствие внешних сил (尸=0) движения неголономной системы можно интерпретировать как движения изображающей точки по геодезическим линиям неголономного многообразия. ， В работах В. В. Вагнера введено понятие кривизны неголономного многообразия и приведены примеры (1941) использования- общих соображений неголономной геометрии для интегрирования уравнений движения. Так, в задаче С. А. Чаплыгина о плоском неголономном движении соответствующее неголономное многообразие имеет нулевую кривизну и поэтому мож- _но найти такие локальные координаты, в которых все коэффициенты связности Г^ обращаются в нуль, после чего уравнения движения легко инте- трируются.

В заключение необходимо подчеркнуть, что создание аналитической механики неголономных систем по аналогии с тем, что имеет место для голономных систем, натолкнулось на ряд и сейчас непреодоленных препятствий. Характерным примером могут служить трудности, возникшие лри обобщениях метода Гамильтона — Якоби на неголономные системы. После теории приводящего множителя С. А. Чаплыгина, относящейся к 1902 г., последующие работы, по существу, ничего не прибавили. Неудач- ность этих попыток получила объяснение в работах И. С. Аржаных (1965 и др.), где указаны необходимые и достаточные условия применимости метода Гамильтона — Якоби к неголономным системам и из которых следует, что этот метод в общем случае к неголономным системам неприменим, а его обобщения далеко не элементарны, и по-видимому, мало эффективны. С неудачей попыток обобщения метода Гамильтона — Якоби тесно связана неприменимость и отсутствие прямых обобщений принципа Гамильтона. Уже Герц на примере катящегося без скольжения шара обнаружил неприменимость принципа Гамильтона к неголономным системам. Предпринимаемые затем попытки обобщения (при этом не имеются в виду формальные обобщения типа тех, которые были предложены Гельде- ром или Гамелем), как известно, не привели к успеху. В качестве одной тз работ, обосновывающих неуспехи обобщений, можно указать работу И. Л. Хмелевского (I960). Обобщения принципа Гамильтона и метода Гамильтона — Якоби, а также ряд других вопросов аналитической механики неголономных систем рассматривались в работах В. С. Новоселова (1957—1962), Г. С, Погосова, М. А. Хохлова и Ю. П. Бычкова (1965),

В. В. Добронравова (1948, 1950, 1963), М. Ф. Шульгина и М. И. Ефимова (1953, 1955), X. М. Муштари (1939), В. А. Нагорнова (1956,1958,1963) и др.

Вопросы устойчивости неголономных систем специальному рассмотрению, по-видимому, впервые подверглись Э. Т. Уиттекером, высказавшим соображения о том, что при исследовании устойчивости состояния равновесия неголономные связи могут быть линеаризованы и превращены в голо- номные. Эти, казалось бы, бесспорные утверждения были подвергнуты сомнению О. Боттемой, который показал, что при исследовании устойчивости состояний равновесия неголономных систем имеет место так называемый критический случай теории устойчивости движения и что характеристический определитель в случае консервативной неголономной системы в общем случае несимметричен. После этого стало ясно, что теория устойчивости неголономных систем требует дополнительно го рассмотрения,

М. А. Айзерман и Ф. Р. Гантмахер (1957) заметили, что возникающий в случае исследования устойчивости состояния равновесия неголономной системы критический случай теории устойчивости относится как раз к тому частному случаю, который был полностью исследован А. М. Ляпуновым и И. Г. Малкиным. В связи с этим Г. Н. Князев (1963) предложил считать критическими случаями лишь такие, когда число нулевых корней характеристического уравнения больше числа уравнений неголономных связей, и рассмотрел случай, когда число нулевых корней больше числа уравнений неголономных связей на единицу. Ю. И. Неймарк и Н. А. Фуфаев (1965—1966) обратили внимание на то, что неголономная система не может иметь изолированных состояний равновесия, что состояния равновесия неголономной системы образуют многообразие, размерность которого в общем случае совпадает с числом нулевых корней и числом неголономных связей. Это позволило установить условия асимптотической устойчивости многообразия состояний равновесия по линейному приближению и выяснить особенности поведения неголономной системы по отношению к постоянно действующим возмущениям.

Прямой метод Ляпунова с успехом применялся к исследованию устойчивости неголономных систем в работах В. В. Румянцева (1961), А. П. Ду- вакина (1962, 1965), И. М. Миндлина (1964), И. М. Миндлина и Г. К. Пожа- рицкого (1965), Л. Н. Семеновой (1965). В этих работах функция Ляпунова строится с помощью интегралов движения. Конкретным объектом изучения были стационарные движения твердого тела без гироскопа или с гироскопом внутри на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. При этом, в частности, были получены необходимые и достаточные условия устойчивости спящего волчка и прямолинейного качения диска. В работе Л. Н. Семеновой, обобщающей теорию Рауса на неголономные системы, за функцию Ляпунова берется интеграл энергии, в работах А. П. Дуваки- на и И. М. Миндлина — линейная комбинация интегралов движения или их главных членов, в работе И. М. Миндлина и Г. К. Пожарицкого — квадратичная функция интегралов движения.

Задачи об устойчивости неголономных систем с качением ввиду их технической актуальности приобрели самостоятельное значение. Вопросам путевой устойчивости и явлению шимми автомобиля, самолетного шасси, мотоцикла и железнодорожного подвижного состава посвящена обширная отечественная и зарубежная литература. Эти задачи являются одними из наиболее сложных технических задач об устойчивости движения, поддающихся все же довольно полному теоретическому изучению.

Изучение путевой устойчивости и явления шимми потребовало детального изучения процессов качения упругого пневматика и конических 12 Механика в СССР, том 1 .

спаренных железнодорожных колес. При этом выяснилось, что имеющие место в этих случаях связи качения существенно отличаются от классической идеальной неголономной связи качения твердого тела.

Первоначально термином шимми было названо явление, состоящее в возникновении интенсивных колебаний передней подвески автомобиля при достижении им достаточно больших скоростей движения. Позднее аналогичные колебания были обнаружены у самолетного шасси и также стали именоваться шимми. Подлинная теория шимми начинается с того- момента, когда было понято, что шимми представляют собой автоколебания, поддерживаемые за счет энергии движения автомобиля или самолета. Впервые в четкой форме эта мысль была высказана Б. А. Глухом (1937).

Возникновение шимми приводит к путевой неустойчивости и может служить причиной аварий. Однако шимми далеко не единственная причина возможной путевой неустойчивости технических систем с качением. Путевая неустойчивость может наблюдаться и у железнодорожных вагонов и у тележек на жестких колесах. Теоретически путевая неустойчивость может быть и у модели автомобиля с абсолютно жесткими колесами, катящимися по плоскости в соответствии с классическими не гол ономными связями. Наоборот, в случае железнодорожного подвижного состава принятие классических неголономных связей принципиально невозможно, так как они приводят к полной кинематической однозначности движения или даже его несовместимости со связями. Это делает необходимым учет явлений псевдоскольжения и увода, феноменологические описания которых были даны Картером и Рокаром. Задача об устойчивости мотоцикла и велосипеда носит особый характер, поскольку здесь на первый план выдвигается необходимость обеспечения устойчивости вертикального положения.

Вопросам шимми и путевой устойчивости технических систем с качением посвящено значительное число работ, лишь отчасти примыкающих к динамике неголономных систем. Перечислим здесь лишь некоторые относящиеся сюда работы, ради удобства разбив их на четыре группы.

Изучение и описание сложного процесса качения упругого деформируемого пневматика. Сюда относятся работы М. В. Келдыша (1945)， Е. А. Чудакова (1947, 1953), Я. М. Певзнера (1947, 1950), И. И. Метели- цина (1948), Ю. А. Ечеистова (1950). Наиболее полное описание процесса качения пневматика, охватывающее и результаты работ иностранных авторов (Рокар, Грейданус и др.) дано М. В. Келдышем (1945).

Шимми самолетного шасси и шимми и путевая устойчивость автомобиля исследовались в работах М. В. Келдыша (1945), Б. А. Глуха (1937)， Я. М. Певзнера (1947, 1950), И. И. Эскина (1947), Н. Е. Цыбина (1955), П. С. Линейкина (1939), К. С. Колесникова (1955), Г. В. Ароновича (1949) г Е. А. Чудакова (1950,1953), Я. X. Закина (I960), Л. Г. Лобаса (1963) и др.

Исследование колебаний и путевой устойчивости железнодорожного подвижного состава проводилось в работах В. Б. Медель (1948), С. М. Куценко (1954), Т. А. Тибилова (1955), Н. А. Ковалева (1958—1959), В. А. Ла- заряна (1964) и др.

Вопросы устойчивости и управляемости велосипеда и мотоцикла рассматривались в работах И. И. Метелицина (1948), А. М. Летова (1959), А. И. Лурье (1961), Л. Г. Лобаса (1962), В, К. Пойда (1966), Ю. И. Ней- марка и Н. А. Фуфаева (1967).

ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХСИСТЕМ)

Н. Н. КРАСОВСКИЙ

Введение 180

Постановка задачи - - .181

3. Проблемы оптимального управления реактивным движением ——источник теории оптимальных процессов 182

Некоторые начальныезадачитеорииоптимальныхрегулируемых систем184

Первые исследованияпроблемыпредельногобыстродействия..'..185

Принцип максимума 187

Развитие теории оптимальных процессов, базирующейся на принципе максимума 189

Классические принципы вариационного исчисления в теории оптимальных процессов• 189

Решение краевой задачи ——одна из основных трудностей в проблемах оптимального управления 192

Теория линейных управляемых объектов 193

Вычислительные методы 197

Задачи осуществления заданных движений 201

Проблема синтеза оптимальной системы с обратной связью и метод динамического программирования 202

Оптимальная стабилизация управляемых движений 205

Теория управляемых систем с переменной структурой 210

Обобщения необходимых условий оптимальности 213

Математическая проблема существования оптимального управления . '.214

Теория нерегулярных оптимальных процессов 217

Управление дискретными во времени процессами 219

Задачи оптимального преследования 221

Стохастические управляемые системы 228

Задачи оптимизации систем с распределенными параметрами 234

Введение

Теория управления движением является, интенсивно развивающимся разделом современной механики. Практические задачи об управлении движущимися объектами имеют длительную историю. В настоящем очерке обсуждается лишь небольшой по времени период развития теории управляемых процессов, относящийся к последним двум десятилетиям, когда эта теория претерпела особенно существенное развитие. Материал предлагаемого обзора определен следующими обстоятельствами.

В течение многих лет управление в различных областях техники осуществлялось почти исключительно человеком. Лишь сравнительно недавно функции управления начали возлагать на автоматические устройства. К числу первых промышленных управляющих устройств относятся хорошо известные регуляторы паровых машин Уатта и Ползунова. Далее автоматическое управление получало все большее распространение и со временем вышло далеко за рамки только регулирования хода машин. Изучение систем автоматического управления составляет теперь содержание обширной инженерной дисциплины.

Конструирование управляемых систем и анализ работы этих систем основаны на общих физических закономерностях, которым они подчиняются как динамические системы. Одно из центральных мест в исследовании управляемых движений занимают проблемы устойчивости этих движений, а также задачи о колебаниях, сопровождающих процесс управления.

Поэтому теория автоматического управления тесно связана с аналитической механикой и с энергетикойч с теорйей устойчивости движения и с теорией колебаний. Кроме того, конструирование промышлеиных автоматов опирается естественно на теорию преобразования движения, составляющую предмет машиноведения, и на теорию передачи и преобразования информационных сигналов, составляющую предмет радиотехники, измерительного и вычислительного дела и т. д. Наконец, в задачах об управлении механическими объектами особенно важную роль играет теория гироскопических устройств. Советской науке, занявшей ведущие позиции в упомянутых дисциплинах, принадлежат выдающиеся достижения и в области теории и практики автоматического управления.

Ряду из упомянутых выше разделов механики, имеющих в СССР историю, богатую и теоретическими и прикладными результатами, в данном сборнике посвящены специальные обзоры. Весьма полный обзор развития автоматики в СССР содержится в шестом выпуске журнала «Автоматика и телемеханика» за 1964 г., где также приведена обширная библиография. Во избежание дублирования в настоящем очерке основное внимание будет уделено той ветви теории управляемых систем, которая получила основное развитие в последние годы, связана с проблемами оптимального управления и меньше освещена в упомянутых обзорах. Однако и при таком ограничении темы было трудно охватить должным образом важные и многочисленные результаты советских исследователей и обсудить связь с исследованиями иностранных ученых. Кроме того, надлежит учесть следующий, по-видимому, неизбежный, недостаток настоящего обзора. Многие современные проблемы управления возникли в актуальных областях техники, где требовалось их быстрое разрешение и внедрение результатов в практику； подчас это не оставляло времени для подготовки материалов к опубликованию в форме научных статей. Наконец, в обзоре обсуждаются

лишь теоретические работы, но не рассматриваются конкретные технические конструкции. В связи со всем сказанным следует иметь в виду, что предлагаемый очерк не может дать исчерпывающее представление о развитии обсуждаемой области знания в нашей стране.

Постановка задачи

Развитие управляемых систем, вызванное запросами практики и, прежде всего, потребностями современной техники, определило круг новых задач, которые составили предмет теории оптимальных управляемых процессов, Эта теория посвящена исследованию задач о наилучшем качестве процесса с точки зрения минимума или максимума каких-либо его показателей.

Важность проблем оптимального управления объясняется следующими обстоятельствами. Для новой техники, имеющей дело с большими энергиями, усилиями, скоростями и т. д., характерна необходимость осуществления движений на пределе ресурсов системы и, в то же время, с предельной достижимой точностью. С другой стороны, возросшие технические возможности и в первую очередь возможности вычислительных устройств позволяют реализовать сложные алгоритмы управления, вытекающие из весьма общих математических постановок задачи. В связи с этим обсуждаемый этап развития управляемых систем характеризуется тем, что речь идет уже не только о подборе параметров, которые обеспечивали бы хорошую работу системы в выбранной наперед схеме управления, но ставится общая проблема о выборе наилучшей возможной программы действий и о синтезе оптимальной схемы управления.

В общих чертах задача состоит в следующем.

Дан управляемый объект, состояния которого во времени t характеризуются некоторой величиной х (力.Здесь х может быть n-мерным вектором, -складывающимся, например, в случае механического объекта из обобщенных координат 内 ⑷，...,qk (^) и импульсов р^ ⑺，• . Ра (О (п = 2/с); х может быть также функцией и от пространственных координат, если речь идет об объекте с изменяющейся сплошной средой (например, х (力) может описывать распределение температуры, деформаций и т. д. в теле в данный момент времени 力；величина х может описывать распределение случайных величин, характеризующих текущее состояние объекта и т. д.

Объект подвержен управляющему воздействию %, реальный характер которого также может быть весьма разнообразным (механическая сила, электрический потенциал и т. д.).

Величины % (%) и м (力)связаны уравнениями, описывающими динамические свойства рассматриваемой управляемой системы. В случае механических объектов с конечным числом степеней свободы уравнения движения сводятся обычно к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, которые в нормальной векторной форме имеют вид

x = f(t,胃，м). (2.1)

Оговорен характер информации об объекте, которая поступает в те органы, где вырабатываются управляющие воздействия *и. Например, в случае (2.1) предполагается обычно возможность измерять координаты g (力)или какие-либо функции от них.

Указаны требования к элементам желаемого движения. Например, требуется привести объект в заданное состояние х (勿)=芯“)к некоторому моменту t = t^. Оговорены ограничения на величину управляющих сил или заданы ограничения на координаты 芯^ (力)и т. д.

Задано условие о птималъности процесса, выражающееся в условии минимума, максимума, минимакса и т. д. некоторого показателя / [и (%)], который является функционалом от переменных х [力 и] и и (力，описывающих процесс на отрезке времени 力о《力《勿，где он протекает. Например, часто встречаются условия минимума показателя I, выражающего величину расходуемой энергии или максимум управляющей силы м и т. и.

В соответствии с условиями 1°—6° требуется найти закон изменения усилий м, который обеспечивает оптимальное управление м°, удовлетворяющее этим условиям.

Сформулированная задача по сути дела является вариационной проблемой. Поэтому теория оптимального управления смыкается с вариационным исчислением и особенно с теми его разделами, которые связаны с вариационными принципами аналитической механики.

Общая проблема оптимального управления включает в себя много разнообразных задач из техники, экономики, военного дела и т. д. В разработке теории оптимальных процессов участвует широкий круг специалистов (механики, математики, вычислители, инженеры, экономисты и т. п.), преследующих часто даже при решении аналогичных задач различные цели.

В настоящем обзоре речь пойдет о тех результатах и методах теории оптимального управления, которые имеют отношение к задачам механики. При этом главное внимание будет уделено основным постановкам задач и методам их исследования.

Конкретные технические реализации управляемых систем и управляющих устройств здесь не обсуждаются.

Проблемы оптимального управления реактивнымдвижением — источник теории оптимальных процессов

Трудно указать первые работы, в которых, по существу, было начато изучение проблем оптимального управления. Эти проблемы зародились в недрах специальных технических дисциплин, где и решались сначала в каждом случае соответствующими приемами. По-видимому, основу этих приемов в большинстве случаев составляли методы классического вариационного исчисления. Постепенно однако, проблемы наилучшего управления стали приобретать все больший удельный вес. Выкристаллизовались общие математические постановки задач, необходимость разрешения которых привела к организации самостоятельного научного направления. Это явление можно отнести к концу сороковых годов, когда особенно возрос интерес к проблемам управления реактивным движением.

В качестве одной из первых публикаций, где проявились характерные черты нового научного направления, следует назвать работу Д. Е. Охо- цимского (1946), посвященную вариационным задачам, относящимся к внешней баллистике ракеты. В этой работе был исследован режим расходования реактивной массы M(t), при котором те или иные характеристики движения становятся экстремальными. В первой части статьи рассмотрена задача о максимальной горизонтальной дальности полета, во второй части — задача о подъеме ракеты на максимальную высоту. С математической стороны рассмотренные задачи имеют ту существенную особен-

ность, что оптимизируемые характеристики процесса являются функционалами I, заданными неявно при помощи дифференциальных уравнений движения и определенных начальных условий, причем получение явного выражения для этих функционалов через функцию M(t) в основных типичных случаях практически не представляется возможным. Другая 组аяшая особенность состоит в том, что рассматриваемые варьируемые функции (управляющие воздействия, фазовые координаты и т. д.) обычно стеснены здесь условиями типа неравенств, и экстремалями часто оказываются кривые с угловыми точками, проходящие по границам допустимых областей. Более того, сама оптимальная программа М (力 расходования реактивной массы дключает скачкообразные разрывные изменения, вызывающие мгновенные импульсные усилия, описываемые, строго говоря, обобщенными 6-функциями Дирака. Несмотря на такие нерегулярные ■особенности, в обсуждаемой работе была выяснена возможность успешного исследования данных задач на основе качественного изучения вариации 6/, рассматриваемой на совокупности допустимых траекторий. Следует подчеркнуть, что основой данного исследования является именно изучение вариаций 6/ на всей совокупности допустимых траекторий, м притом с учетом динамики объекта (сюда включается и исследование свойств односторонних вариаций, характеризующих граничные экстремали).

Отметим, что примерно в это.же время в конце сороковых годов и за рубежом начали публиковаться крупные работы, посвященные исследованию вариационных задач, связанных с управлением реактивным движением. Большая часть этих исследований опиралась на уравнения Эйлера—Лагранжа, выражающие равенство нулю первой вариации 61 оптимизируемого функционала. Таким образом, эти исследования в значительной степени сводились к той или иной модификации необходимых условий экстремума, известных в классическом вариационном исчислении и выделяющих стационарные движения, подозрительные на экстремум.

Представляется, что полное изучение вариации 6/ составляет важное достоинство обсуждаемой здесь работы, так как такой анализ, выполненный методами качественной теории дифференциальных уравнений и с учетом закономерностей полета, вытекающих из общих теорем динамики, рисует картину решения проблемы в целом. В частности, при этом эффективно разрешается и вопрос о существовании оптимальной траектории и задача конкретного ее вычисления. При этом работа с вариацией 67, рассматриваемой не только на стационарных движениях и на экстремалях, позволяет еще (и действительно позволила в дальнейшем, см. § 11) организовать эффективные численные процедуры для определения оптимальных движений в конкретных прикладных нелинейных задачах. К сожалению, в дальнейшем увлечение выводом различных форм необходимых условий оптимальности несколько затенило перечисленные выше и очень существенные для приложений обстоятельства.

Таким образом, обсуждаемую работу справедливо считать одним из основных источников для последующих советских исследований по теории- оптимальных процессов, в том числе и исследований, посвященных вычислительным методам, вытекающим из изучения поведения вариации 61 на всей совокупности допустимых траекторий. В частности, в этих исследованиях впоследствии заняли большое место проблемы оптимальных космических орбит, теория которых, имеющая большие достижения, освещается в этом сборнике в специальном обзоре «Механика космического полета» и здесь уже нами почти не затрагивается.

Некоторые начальные задачи теорииоптимальных регулируемых систем

Другим основным источником теории оптимальных процессов явились экстремальные вариационные задали, которые возникли в ходе развития автоматического регулирования. Возрастающие требования к регулируемым системам означали не только необходимость обеспечить устойчивость заданного движения, но и приводили к проблеме определения таких законов регулирования, которые обеспечивали бы наилучшие возможные характеристики переходных процессов. Сначала требования к переходным процессам формулировались в качественной форме и выражались прежде всего в условиях, налагаемых на спектр собственных значений тех линейных операторов, которыми описывался процесс. Это обстоятельство естественным образом было связано с тем, что в то время исследовались главным образом линейные объекты и линейные законы управления ими. Соответственно основным рабочим аппаратом служили линейные дифференциальные уравнения разомкнутой и замкнутой системы регулирования, изучаемые методами операционного исчисления, где основную роль играют частотные характеристики передаточных функций. Позже были предложены количественные оценки и начала оформляться задача о выборе таких параметров регулятора, при которых эти количественные характеристики оказались бы экстремальными. Одной из таких характеристик, которая сыграла большую роль в развитии проблемы оптимальности, явилась интегральная оценка переходного процесса х (力，

，必[x(t)] dt,(4.1)

где w [x] — знакоположительная квадратичная форма от координат %w (力)регулируемой величины х (力，отсчитываемых от заданного движения,, которое в координатах 勺(力)описывается, следовательно, равенствами g ⑺三 0 (i = 1, . . ., п). Исследование качества переходного процесса на основе оценки вида (4.1) восходит к работам А. А. Харкевича, опубликованным в 1937 г. Затем оценки такого типа были изучены Н. Д. Моисеевым и его сотрудниками в связи с их исследованиями по теории устойчивости движения. Теория качества переходных процессов, базирующаяся на квадратичных оценках (4.1), получила существенное развитие в работах Б. В. Раушенбаха (1941), А. А. Фельдбаума (1948) и А. А. Красовского (1949). Подчеркнем, что здесь речь шла главным образом о выборе числовых значений параметров объекта и регулятора из заданного класса,, но не формулировалась еще общая задача о синтезе оптимальной системы, который определялся бы из условия минимума величины I (4.1) при любых возможных начальных условиях х (力°)=胃°. Естественно, что параметры регулятора, подобранные из условия экстремума величины I при некотором типичном наборе начальных условий %°, могли оказаться не экстремальными при других начальных данных х (力°). В связи с этим обстоятельством Н. Г. Четаев (1949) предложил и оценил другую важную количественную характеристику переходного процесса. Именно, он оценил сверху время Т, по истечении которого возмущенное движение х (力)линейной системы, начавшееся в сфере 貶(力。川《R, оказывается и остается затем в е-окрестности ) 11% «о + ^)||< е невозмущенного движения х (力)三 0. Это

позволило подбирать параметры системы, улучшая оценку величины Т для наихудшего случая начальных условий х （^0） = %。из заданной сферы 11%叫《R. Полезно заметить, что уже в этих первых перечисленных работах выявилась полезность методов теории устойчивости Ляпунова для рассматриваемых задач.

Первые исследования проблемыпредельного быстродействия

Дальнейшее развитие обсуждаемой теории оптимального управления связано с постановкой и исследованием проблемы предельного быстродействия. Данная проблема состоит в определении такого управляющего воздействия м, которое обеспечивает наискорейшее приведение объекта в заданное состояние （из известного начального состояния）. При этом в соответствии с техническими условиями управляющее воздействие м（力） или фазовый вектор x（t） могут быть стеснены известными ограничениями. Эта задача, как и большинство других задач об оптимальном управлении, имеет два аспекта.

Задача о программном управлении, где задано исходное состояние 胃。= % （力°） объекта и требуется найти воздействие и в виде функции и = =и （力 от времени t （力》力о） так, чтобы к моменту окончания процесса 力=勿=minu система оказалась в заданном состоянии.

Задача о синтезе системы с обратной связью. Здесь наилучший закон управления, обеспечивающий наискорейшее достижение цели, ищется в форме уравнений, связывающих воздействие и （力）с текущими состояниями объекта х （力）（力》力°）. В частности, если координаты g （力）доступны мгновенному измерению, то задача об оптимальном синтезе означает определение управляющих сил в форме функции м = и0 [t, % （力）]от текущих координат 胃t （力）（Z = 1, . . ., п） （и от времени t, если условия задачи нестационарны）.

Условимся о следующих обозначениях. Программные управления и будем обозначать символом и ⑺.Символом и [t, % （力）]（или и [х （力）]— в стационарном случае） будем обозначать управления, формируемые по принципу обратной связи. Однако в тех случаях, когда речь пойдет о реализациях управления и, формируемого по принципу обратной связи, но осуществляющихся на деде как （сложная） функция от времени и [t, х （^）], будем иногда снова писать для краткости и ^ и [t], полагая м [%]= =и [t, %（%）], где х （力）——как раз то движение х （力，которое порождается рассматриваемым управлением и = и [t].

В более общем случае, когда непосредственное измерение фазовых координат g （力）затруднительно, управление м, формируемое по принципу обратной связи, вычисляется из уравнений （конечных или дифференциальных） ,связывающих текущие значения и [t] с какими-либо величинами у （力）=｛物（力，уs （%）｝, несущими информацию о фазовом состоянии х （力）объекта.

Примечание. Строго говоря （и при особенной склонности к формальному мышлению）, различать в принципе задачи о программном управлении и о синтезе систем с обратной связью, пожалуй, не обязательно. Более того, это вообще трудно осуществить логически безупречно, исходя из формальных определений. В самом деле, в обоих случаях управление строится на основании некоторой информации о свойствах и состояниях объекта. В различных задачах характер（этой информации и возможность ее обработки могут быть весьма разнородными. Охватить все эти различия единой классификацией вряд ли осуществимо. Поэтому допустимы такие казусы, когда нелегко объяснить, почему и как данный случай следует отнести к тому или

иному из упомянутых выше двух классов. Однако для специалиста, сталкивающегося с приложениями, указанное выше деление часто имеет полезный содержательный смысл, который заключается в том, что в первом случае можно планировать априори «жесткую» программу управления при t》Zo, опираясь только на данные о состоянии системы при 力之力о, а во втором случае требуется учитывать корректировку управления при 力》％ по ходу осуществления движения / (力)на основании измерения его действительной реализации / (力(t > 力о). Поэтому в дальнейшем в обзоре все-таки часто используется деление задач управления на программные задачи и на проблемы синтеза систем с обратной связью, несмотря на известную условность и, может быть, логическую небезупречность этого деления. При этом в каждом случае поясняется в меру подробно, о чем идет речь.

Первоначально задача предельного быстродействия решалась для простейших управляемых объектов, описываемых линейными дифференциальными уравнениями невысокого порядка и с постоянными коэффи

циентами

(5.1)(5.1)х = Ах^Ви.

(5.1)

(5.1)

Здесь х — n-вектор, и — r-вектор, А и В — постоянные матрицы ｛口订｝ и ｛仇Q соответствующих измерений.

Управляющие воздействия и = ｛%/｝ предполагались стесненными условиями ||zz||<7V, \ uj \ ^N (j = 1, . . ., г) и т. д. Проблема исследовалась специальными приемами, приспособленными для конкретных случаев. Основу этих исследований составляло непосредственное изучение движений х (力 в фазовом пространстве ｛胃｝ системы. Учитывались оба указанных выше аспекта проблемы, но целью являлся синтез оптимальной системы, т. е. определение управления м° в виде функции м = uQ [%]. Было выяснено, что оптимальный закон управления является нелинейным; более того, функции uQ [х] оказались разрывными. В частности, в случае, когда управление и было скалярным, оптимальное управление uQ [% (力)]=м。[力]оказывалось релейным, т. е. принимало в каждый момент t одно из своих возможных крайних значений м° [%] = ± 7V, и весь отрезок времени управления 力о《力《勿 разбивался, таким образом, на интервалы постоянства (и0 [%] = 7V или и° [t] = — TV) величины м°. Исследованию описанной проблемы предельного быстродействия были посвящены работы А. А. Фельдбаума (1949—1955) и А. Я. Лернера (1952—1955). Обсуждаемый период имел итогом постановку общей проблемы об оптимальном управлении системами предельного быстродействия, сформулированную А. А. Фельдбаумом в 1953 г. на совместном семинаре инженеров и математиков, руководимом Л. С. Понтрягиным при Институте автоматики и телемеханики Академии наук СССР.

* Заключая обсуждение первого этапа развития теории оптимального управления в нашей стране, который условно можно закончить 1955 г., отметим следующее. Это время характеризуется довольно слабым взаимодействием советских исследований и исследований иностранных ученых, посвященных задачам об оптимальном управлении, хотя естественно, что при параллельном исследовании аналогичных задач авторы их приходили к сходным результатам.

Мы не будем останавливаться здесь на общих задачах оптимизации и, в частности, на задачах оптимизации полетов, изучавшихся в это время за рубежом. Представление об этих исследованиях дает например библиография, приведенная в изданной под редакцией Дж. Лейтмана книге «Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета» (1962; русский перевод: М., 1965). Отметим лишь для примера исследования американского ученого Д. Бушау, который в 1953 г. опубликовал весьма

законченные результаты, относящиеся к проблеме синтеза системы, оптимальной по быстродействию и описываемой дифференциальным уравнением второго порядка

z-\-az~^bz = u (|м|《1) (5.2)

(или в нормальной форме (5.1),— описываемой системой %】 = ^2, %2 — ——ах2 — bxi + м). Эти результаты также были получены специальными приемами, связанными с изучением оптимальных траекторий 胃(力)на фазовой плоскости {©, д}.

Завершая в этом пункте обсуждение предыстории общей теории оптимальных процессов, подчеркнем, что, по-видимомут к 1955 г. выяснились •основные постановки задач об оптимальном управлении и уже проявились главные особенности этих задач. Таким образом, были созданы все предпосылки для капитального построения теории. Пользуясь случаем, отметим также, что дальнейшее успешное развитие этой теории в СССР в значительной степени было обусловлено хорошим предыдущим развитием в нашей стране нелинейной механики, автоматики и качественной теории дифференциальных уравнений и в том числе — теории нелинейных колебаний и теории устойчивости движения, которые составили надежный фундамент для исследования оптимальных систем. Следует также иметь в виду, что .дальнейшее развитие теории оптимальных процессов шло параллельно •с интенсивным развитием вычислительной математики, без приложения которой эффективность методов теории управления представляется крайне проблематичной.

Принцип максимума

Выше было уже отмечено, что в сороковых и пятидесятых годах специалисты, работавшие в области приложений, столкнулись с большим числом серьезных проблем оптимального управления. Большинство этих зада旺 решалось методами классического вариационного исчисления, которые по ходу дела приспосабливались к этим задачам. В этот период ощущалось отсутствие общего критерия оптимальности, широкого по содержанию, строго обоснованного и удобного по форме для задач управления. Постановка общей задачи об оптимальном управлении при условии минимума времени Т переходного процесса, о которой шла речь в предыдущем лараграфе, вызвала серьезный интерес у математиков. Результатом этого интереса явилась математическая теория оптимальных процессов, разработанная в 1956—1960 годах Л. С. Понтрягиным и его сотрудниками В. Г. Болтянским, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко и подытоженная этими авторами в их известной монографии «Математическая теория оптимальных процессов» (1961). Эта фундаментальная теория базируется на принципе максимума, указывающем необходимые условия оптимальности для основного круга проблем программного управления. Принцип максимума учел по существу типичные особенности этих проблем, удовлетворив насущные запросы теории управления.

Первоначально в 1956 г. принцип максимума был сформулирован для программной задачи о предельном быстродействии управляемой системы, описываемой уравнением

x — f[x, и] (6.1) при некоторых естественных предположениях о классе допустимых функций и (力)и, в частности, при условии, что вектор и управляющего воздей-

ствия в каждый момент времени лежит в пределах заданного множества U в пространстве ｛%｝.

Рассуждения, о бос но выва вшие принцип максимума, по сути дела объединили классические способы варьирования движений с новыми подходами, характерными для линейного и нелинейного программирования. Это естественно, поскольку в задачах об управлении рассматриваются воздействия м, стесненные условиями типа неравенств I Ui\^N, \\и ||< 《7V и т. д. Основу математической конструкции, определяющей принцип максимума, составляет выпуклый конус достижимости Кх, который строится в фазовом пространстве системы (6.1). Он имеет вершину в точке %。(т) оптимальной траектории %。(力(力о《力《工)и оценивает в линеаризованном описании множество тех точек х, в которые может быть приведена к моменту ^ = т траектория х (力 при варьировании оптимального управления м° (力.Важно подчеркнуть, что при этом рассматриваются вариации 8и (力)специального вида, отвечающие характеру ограничений на управления и (力. Оказывается, что траектория № (%) может быть оптимальной лишь при условии, когда конус Кх не заполняет всего фазового пространства ｛企｝. Но тогда в точке ж0 (т) существует опорная гиперпл ос кость Sx — такая, что весь конус Кх лежит по одну сторону от нее. Это свойство конуса Кх описывается в форме неравенства, где основную роль играет вектор- функция 屮(力)=｛屮 J, удовлетворяющая уравнениям

.n Of.

取=—』-^rS (i = l, • •., re),(6.2)

сопряженным к исходной системе (6.1). Это неравенство и выражает принцип максимума, который утверждает следующее.

Пусть Н [屮，胃，и]=屮•九 где символ а- b означает скалярное произведение векторов а и 6. Если %° (力 и м° (力)суть соответственно оптимальное движение и оптимальное управление для задачи о предельном быстродействии системы (6.1), то необходимо существует такое нетривиальное решение 屮(力 системы (6.2), записываемой через функцию Гамильтона Н в виде

而;=-犯仲(')，W上出J(j = i, „),(6.3)

что для любого момента т, являющегося точкой непрерывности управления и (^), выполнено условие максимума

Н [*ф (т)т х° (т), zz°(r)] =тахЯ [гр (т), х° (т)т м],(6.4)

u^U

а в конечный момент времени 力=〃 выполнено условие

Н [屮(幻，，°(力)淤(打)]?0.(6.5)

Позднее принцип максимума был распространен на более общую краевую вариационную задачу

\(о[%(%), u(t)] d^ = min при(6.6)

，(力о)=%。, £ %(〃)= %《？(6.7)

а затем теория была разработана для широкого круга проблем, связанных с этой задачей и с ее модификациями. Были рассмотрены задачи об оптимальном приведении движения х (力 на заданное многообразие М в фазовом пространстве ｛吗，причем естественно выявились условия трансвер-

сальности для вектора 屮(力)，определяющего гиперплоскость Stl, касательную (опорную) и к конусу достижимости и к многообразию М, и т. п. Были сформулированы и изучены задачи со статистическими условиями, задачи оптимального управления при ограничениях на фазовые координаты %£ (力)и т. д. Как уже отмечалось, основной круг этих задач, разобранных с позиций принципа максимума, составил содержание упомянутой монографии Л. С. Понтрягина с соавторами.

Развитие теории оптимальных процессов,базирующейся на принципе максимума

После того как принцип максимума и его доказательство были опубликованы, появилось много работ, где были даны различные трактовки этого необходимого критерия оптимальности. Кроме того, появилась также большая серия работ, где принцип максимума прилагался к решению той или иной конкретной задачи. Полный обзор этих исследований в настоящем кратком очерке невозможен. Некоторые из результатов, относящихся к данным вопросам, будут обсуждены ниже при изложении развития классических вариационных методов исследования и в связи с обобщениями задач об оптимальном управлении и соответствующими обобщениями критериев оптимальности. Здесь отметим два важных результата, дополнивших лервоначальную теорию принципа максимума. Был дан вывод принципа максимума, базирующийся на непосредственном вычислении первой вариации минимизируемого функционала. Была обсуждена связь этого принципа с теми соотношениями, которые следуют для аналогичных задач, если их исследовать исходя из теории динамического программирования, разработанной в США Р. Беллманом (см. § 13). Эти вопросы были разработаны в серии статей Л. И. Розоноэра (1959).

Теории принципа максимума и его приложениям посвящены работы Т. Г..Бабунашвили, К. К. Баимбетова, В. С. Балакирева, А. А. Болонкина, А. Е. Бор-Раменскогот А. Я. Васильева, Ю. Н. Иванова, В. К. Исаева, Л. Е. Канарева, Н. Е. Кирина, Ю. А. Кочеткова, Б. И. Крамаровского, Ю. П. Кривенкова, А. П. Лиепа, А. И. Лурье, Ю. И. Параева, В. А. Петрова, Б. Г. Питтеля, Г. В. Скворцова, Б. А. Смольникова, В. В. Сонина, Р. Л. Стратоновича, В. В. Токарева, Н. Т. Тынянского, А. А. Фельд- баума, А. Н. Филатова, Г. Л. Харатишвили, Ф. А. Шатхана и др. *

Классические принципы вариационного исчисленияв теории оптимальных процессов

Удобная для приложений компактная формулировка принципа максимума вызвала к нему большой интерес. В частности, возник вопрос о том, как соотношения, характеризующие этот принцип, трактуются в привычных для механиков понятиях вариационного исчисления. Кроме того, вообще ощущалась потребность подвести теоретический итог результатам приложения классических методов вариационного исчисления к задачам об управлении и изложить эти методы в форме рабочих критериев, приспособленных для этих задач. Такая работа была выполнена, результатом чего явилась серия публикаций, относящаяся главным образом к началу шестидесятых годов. При этом задачи об оптимальном управлении трактовались как вариационные задачи на условный экстремумч причем уравнения движения рассматривались как дифференциальные связи, наложенные на координаты системы. Было выяснено, как классические подходы позволяют

для широкого круга задач сформулировать общие необходимые критерии: оптимальности, которые записываются в формах, аналогичных принципу максимума. Однако полезно все-таки подчеркнуть, что до опубликования этого принципа подобные ему столь же общие и завершенные критерии оптимальности, которые можно было бы вывести из известных формализмов классической теории вариационных задач с дифференциальными связями, в печати обнародованы не были, хотя некоторые из этих формализмов,. по-видимому, успешно использовались в приложениях. Кроме того, следует иметь в виду, что при применении классических процедур вопросы, связанные с оптимальностью движений по отношению к вариациям управлений и в пределах всей области U их допустимых значений, требуют, строго говоря, дополнительных рассмотрений.

В классической постановке основная задача об оптимальном управлении (6.6) — (6.7) (или ее модификации) ставится в форме известной вариационной проблемы Майера — Больца. Дана система дифференциальных уравнений движения (дифференциальных связей)

g$ 厶 f s (^"1? • • •» ^п? ^1? • • • ? "т,力)=0 (8.1>

и требуется минимизировать функционал

/ = g[%«o)，力о，，(力)，厶]+、％(%«), M«),%)@% = min. (8.2》

Предполагается, что концевые условия на движение заданы в форме связей

屮z 屮z [①(%о)，"о，①(勿)，^i] =。(21, ♦ • •, Р《2〃 + !)•(8.3)*

Учет возможных ограничений на управления и осуществляется посредством введения дополнительных управлений и построения вспомогательных зависимостей

以-以(〃，力)'(8.4).

(например, в случае г ~ i, т = 2 для ограничения | м |《1 такая зависимость может быть составлена в форме м； + 喝一1 — 0, где и2 — дополнительное управление).、

Необходимые условия оптимальности для задачи (8.1) — (8.4) строятся с помощью необходимого условия Вейерштрасса сильного минимума функционала /.

Таким путем для задачи об оптимальном управлении при допустимых изменениях кусочно-непрерывных управлений и (力 в пределах замкнутой области U получается неравенство Вейерштрасса

Н (х°, м。，X, ц,力)》Н(%。，и,九，卩，t).(8.5)

Здесь

Н = - 70+2九/ + 2n在屮儿(&6)

8=1fe=l

и и° (力)一управления, сообщающие минимум функционалу I, и (^) —любые допустимые значения управлений. Совокупности 九(力)=｛九】，• • •九冷｝ и 卩二｛囱，..卩「｝ лагранжевых множителей и векторы %。(力 и w° (力｝ должны удовлетворять условию стационарности функционала I, которое- включает в себя уравнения

工 + 粤=0(s=l,兀)， 襄=о (* = 1,m),(8.7》

концевые условия

統0。)=試% (s = l,…，办 器=-(砌。］(88) W = - 3黑)(s = l,…，初 需= (Н)小 )

и условия Эрдманна—Вейерштрасса

熊(尸 一 О) 一 九6 (产 + 0) = 0 (s = 1, . ..,也)，

(H),i —(Н),*+о = О,(}

которые должны выполняться в точках t~t* разрыва непрерывности функций “° (%). В (8.8)

р

9 = g + X Pz5，

где pg — множители Лагранжа.

Аналогичные соотношения были выведены и для задач об оптимизации систем, описываемых уравнениями с разрывными функциями /8 и 屮卜.При этом условия Эрдмана — Вейерштрасса дополняются еще соотношениями, связанными с выходом оптимальных движений на поверхности разрыва функций /s и 屮卜.Также были исследованы задачи с ограничениями на фазовые координаты g (力,задачи оптимизации функционалов, включающих функции g, зависящие от промежуточных значений д (力)фазовых координат, задачи с условиями разрыва этих координат и т. д. Последние задачи отличаются от подробно рассмотренной выше основной задачи оптимизации с ограничениями только на управления тем, что здесь могут иметь место разрывы непрерывности лагранжевых множителей 九$ и функции Н, Поэтому при решении таких задач возникает необходимость преодоления некоторых дополнительных трудностей. Общие уравнения и соотношений были применены к исследованию оптимальных режимов в линейных системах автоматического управления, при решении задач о накоплении возмущений и при определении наихудшего периодического воздействия на колебательную систему и т. д. Общие критерии оптимальности, выведенные для разрывных систем, были использованы для решения задач оптимизации режимов работы вибротранспорта, для задач оптимизации движений многоступенчатых ракет и т. д.

Основные вопросы, связанные с приложением формализмов классического вариационного исчисления к задачам об оптимальном управлении системами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями были разобраны в работах А. И. Лурье и в большой серии работ В. А. Троицкого (1961—1965).

Развитию классического вариационного исчисления в связи с задачами об оптимальном управлении и его приложениям к этим задачам посвящены работы А. К. Бедельбаева, А. А. Болонкина, А. Я. Васильева, А. В. Горбаня, Е. П. Григорьева, Л. М. Денисовой, А. Я. Дубовицкого, В. А. Егорова, Ю. В. Егорова, В. И. Зубова, Ю. Н. Иванова, В. Н. Калинина, В. С. Кислякова, Ю. В. Кожевникова, В. А. Космодемьянского, А. М. Летова, А. А. Милютина, И. О. Мельца, Ю. П. Петрова, Л. И. Розоноэра, В. В. Токарева, Т. М. Энеева и др.

Для полноты картины следует добавить, что в период пятидесятых и шестидесятых годов появилось весьма большое количество иностранных публикаций, посвященных развитию вариационного исчисления в прило-

жениях к задачам оптимального управления. В этих публикациях также заняло большое место обсуждение связи принципа максимума Л. С. Понтрягина с критериями оптимальности, которые строились исходя из усовершенствованных классических формализмов. Следует, может быть, еще заметить, что мода на исследования по теории оптимальных процессов, захватившая и советских и иностранных ученых, привела к появлению наряду с серьезными результатами, действительно совершенствующими аппарат вариационного исчисления, немалого количества работ, повторяющих （и подчас не наилучшим образом） известные факты.

Решение краевой задачи ——одна из основных трудностейв проблемах оптимального управления

В результате исследований, посвященных принципу максимума и аналогичным ему критериям классического вариационного исчисления, были разработаны общие приемы построения необходимых признаков оптимальности, по-видимомут вполне достаточные для большинства типичных экстремальных задач о программном управлении. Как правило, в настоящее время решение этого вопроса не вызывает принципиальных затруднений, во всяком случае, если речь идет о минимизации （максимизации） функционалов вида （8.2） и подобных им. При встрече с новым кругом задач этого типа обычно удается учесть дополнительные обстоятельства и составить соответствующие необходимые условия экстремума по широко известным теперь общим рецептам. Однако составление дифференциальных уравнений, выражающих необходимые условия оптимальности, является лишь первым, хотя и чрезвычайно важным этапом в решении конкретных проблем. Следующий этап состоит в интегрировании этих уравнений с учетом краевых условий^ которым должно удовлетворять искомое оптимальное движение. Эта краевая задача, связанная с необходимостью привести управляемый объект в заданное состояние, остается до сих пор трудной* проблемой. Дело заключается в следующем. Необходимые признаки оптимальности, выражаемые дифференциальными уравнениями Эйлера — Лагранжа для координат %» （力） и множителей Лагранжа 九力（力）（или для имеющих тот же смысл координат 屮之（力）вектора 屮（力）в случае принципа максимума）, определяют внутренние свойства оптимальных движений, описывая их локальное поведение в окрестности каждой точки на данной траектории. В силу этих свойств каждое оптимальное движение развертывается во времени совершенно определенным образом, отталкиваясь от начальных условий 胃^ （^0） и 九^ （力°）. Начальные данные д （t0） обычно задаются по условиям задачи. Величины % （力о）（屮》（力о）） определяют по условиям принципа максимума направление в пространстве {х}, в котором уходит оптимальное движение х （力 из точки х （力°）. Трудность состоит в выборе величин 九之（力°）, которые обеспечивают прицеливание оптимального движения как раз в заданное конечное состояние х （厶）（или на заданное многообразие М конечных состояний и т. п.）. Эффективное преодоление этой трудности, как правило, тормозится невозможностью получения явной зависимости между величинами 胃（力） и 九（力о） вследствие неинтегрируемости в замкнутой форме дифференциальных уравнений задачи. Каждая новая серия соответствующих краевых задач, особенно, если речь идет о нелинейных объектах, требует обычно для своего разрешения подбора специальных вычислительных алгоритмов. Лишь для отдельных классов задач выведены некоторые закономерности, облегчающие их конкретное решение.

Теория линейных управляемых объектов

Прежде всего были изучены задачи об управлении линейными объектами, описываемыми уравнениями

Ах-\- Вы,(10.1)

где, как обычно, предполагается, что х — zz-вектор, и — r-вектор, А, В — матрицы соответствующих измерений. После опубликования принципа максимума начиная с 1957 г. стала интенсивно развиваться общая теория управления системами вида (10.1), включившая в себя отдельные частные результаты, известные для этих систем до 1956 г. Во избежание недоразумений подчеркнем, что здесь речь идет о системах линейных лишь в том смысле, что таковыми являются динамические свойства самого управляемого объекта^ что и выражается уравнениями вида (10.1). Однако закон регулирования^ вытекающий из условий оптимальности и определяющий зависимость управления и (t) от времени t или от краевых условий задачи, как правило, свойствами линейности не обладает. Большая часть работ, открывающих указанную общую теорию, была посвящена проблеме предельного быстродействия в предположении, что управление м (力)в каждый момент времени может принимать лишь значения в пределах заданного выпуклого замкнутого многогранника U в пространстве {%}. Для постоянных матриц А и В была доказана теорема существования и единственности кусочнопостоянного оптимального по быстродействию управления и° (%), переводящего систему (10.1) из состояния х (力°) = %。в заданное состояние 支⑴，если существует по крайней мере одно допустимое управление и (%), осуществляющее этот перевод за конечное время. Было показано, что в самом общем случае оптимальное управление м° (%) принимает значения, лежащие на границе U (такие управления в дальнейшем для краткости будем называть релейными). Была выяснена важная роль векторов, являющихся столбцами матрицы (3, АВ, . . ., Ап~хВ) и, в частности, было выяснено значение связанного с этими векторами условия общего положения. Для системы

х = Ах + Ьи,(10.2)

где и — скаляр и b — zz-вектор, условие общего положения состоит р независимости векторов b, АЬ, . . .т А^^Ь.

Основные вопросы теории предельного быстродействия для линейных систем, базирующейся на принципе максимума, были исследованы в работах Р. В. Гамкрелидзе, опубликованных в 1957—1961 гг.

Оказалось, далее, что в широком классе случаев для линейных систем (10.1) выполняется дополнительное условие минимума, наложенное на вектор 屮(力.Это условие облегчает нахождение краевых значений для 屮(力)，т. е. значений 屮(％) (или 屮(力))и тем самым облегчается конкретное вычисление оптимального управления uQ (力,ибо облегчается решение упомянутой в § 9 задачи о прицеливании в заданное положение q⑴.Упомянутое дополнительное условие минимума для 屮(力)，например, в частном случае задачи о наискорейшем приведении системы (10.2) в состояние 胃⑴=0 и при ограничении | м «) |《N формулируется следующим образом: вектор ®° (%), удовлетворяющий условиям принципа максимума и определяющий, следовательно, оптимальное управление и0 *(^) из условия

屮。⑴ buО (%)=max 中。(力)•历z при ( zz!<7V(10.3)

13 Механика в СССР, том 1

подчиняется следующему условию минимума:

to+T

Р [屮°«о), 7] = \ I 屮。(力)6| 山= min(10.4)

при

中(用)办s= 一1,

причем время，/ предельного быстродействия удовлетворяет уравнению р№«о)，С =备.(Ю.5)

Таким образом, определение времени Т и вектора 屮(力°) связывается с обычной задачей (10.4) на условный экстремум для функции р от конечного числа переменных 厶=屮％ (^0). Аналогичные условия были выведены и для других случаев задачи о предельном быстродействии системы (10.1). Вывод этих условий получается естественным образом из трактовки соответствующей краевой задачи об управлении в форме, разработанной в функциональном анализе проблемы моментов. При этом существенно лишь, чтобы ограничения на управления и (^)(力()《％《〃) выделяли выпуклые множества таких управлений, которые трактуются как элементы подходящего функционального пространства В*{и (%)}. Такая трактовка полезна еще и по той причине, что она позволяет охватить готовыми строгими рассуждениями вопросы о необходимых и достаточных условиях оптимальности, а также вопросы существования оптимального управления и в таких случаях, когда это управление и (力)удобно описывать обобщенными функциями. Последнее может встретиться^ например, при ограничениях на полный импульс

\П"(%)П@%《№(10.6)

действующей силы и (力，когда оптимальное управление 口° (力)оказывается состоящим из мгновенных импульсных воздействий, описываемых 6-функциями. Подчеркнем, что при этом уже не только доказывается существование оптимального управления 口° ⑶ при априорном предположении о наличии какого-либо допустимого управления и* (力,стесненного заданным ограничением и разрешающего соответствующую краевую задачу, но и выводятся неравенства, определяющие условия существования самого упомянутого допустимого управления и* (力.

Кроме того, соотношения вида (10.4)—(10.5) и их обобщения и модификации позволяют исследовать вопросы качественной теории оптимальных управляемых линейных систем, в частности, выяснить зависимость оптимальных решений от параметров задачи и исследовать корректность постановки проблемы, т. е. устойчивость решений по отношению к малым флуктуациям этих параметров. Указанная трактовка сводит дело к отысканию линейного функционала 屮乂， олицетворяющего управление и° (%). В геометрической интерпретации она приводит к задаче о построении опорной гиперплоскости 平乂 = ? к некоторому выпуклому множеству Q в подходящем функциональном пространстве В {无(^)}. .Свойства этой гиперплоскости 屮乂 = ?，отделяющей Q в 3, и определяют свойства оптимального управления 口° (力.Решение задачи об управлении, рассматриваемой в форме проблемы моментов, можно трактовать как трансформацию в функциональное пространство

В {无(т)} условий принципа максимума, связанных с опорной плоскостью St, отделяющей конус достижимости Кх в фазовом пространстве {胃} (см. § 6, стр. 188). Обратно, условия отделения области Кх в фазовом пространстве {х} в линейном случае можно трактовать как отображение условий отделения соответствующих множеств в подходящем - функциональном пространстве В. При этом в линейном случае (10.1) и в особенности в предположении, что множество допустимых управлений и (力 выпукло, использование конструкций, связанных с опорными пло^ скостями S「существенно упрощается^ и вместо конуса достижимости Кх удобно рассматривать просто область достижимости 伉(出一мно^ жество тех точек в фазовом пространстве, в которые система может быть приведена к моменту t ~ х выбором допустимых управлений). Рассмотрев ние выпуклых множеств, отвечающих выбранным ограничениям на управления в функциональных пространствах, или соответственно рассмотрение выпуклых областей достижимости G в фазовых пространствах, опреде^ лило математическую основу большого числа работ, посвященных исследованию разнообразных задач об оптимальном управлении линейными объектами, включающих проблемы предельного быстродействия, пробле^ мы минимизации или максимизации функций от конечного состояния х (〃), задачи с ограничениями на фазовые координаты и т. д. Для боль” шинства этих работ характерны условия типа условий минимакса, которые объединяют условия минимума для 屮° (力，подобные условию (10.4), с условиями максимума для 口° (力，фигурирующими в принципе макси” мума (и еще с условиями максимума по дополнительным параметрам, если в задаче фигурируют условия, сводящиеся к проблеме выведения движения на некоторое выпуклое многообразие Мит. п.). В результате весьма большого числа исследований проблем программного управления линейными объектами были выяснены основные закономерности, характерные для этих задач, и были разработаны соответствующие вычислительные алгоритмы. В частности, были подробно изучены вопросы управляемости линейных систем, т. е. вопросы, связанные с возможностью приведения линейной системы (10.1) в заданное состояние за счет выбора допустимого управления и (/) (tQ^t^ ^). Стало ясно, далее, что задачи управления линейными объектами являются, по существу, проблемами из теории выпуклого (вогнутого) программирования в его функциональных аспектах. Это позволило для широкого класса данных задач извлечь методы решения и построить вычислительные алгоритмы, исходя из известных и новых результатов теории выпуклого программирования. Многие из обсуждаемых алгоритмов связаны с той или иной модификацией вычио лительных методов возможных направлений и спуска для конечномерных задач на условный экстремум вида (10.4) и т. п. С другой стороны, развитие теории оптимального управления в свою очередь способствовало разработке теории выпуклого программирования, поскольку при этом были, например, развиты проблемы выпуклого программирования в функциональных нормированных пространствах и были обоснованы общие алгоритмы оптимизации, для которых были выяснены все существенные факторы, обеспечивающие их сходимость. Получила дальнейшее развитие теория двойственных алгоритмов оптимизации в ее приложениях к задачам об оптимальном управлении линейными системами и, в том числе, к задачам с ограничениями на фазовые координаты.

В качестве одного из примеров задачи выпуклого программирования, нашедшей приложение при решении задач об оптимальном управлении линейными системами, укажем следующую проблему: найти минимум 13*

Zo при условиях

Zj >0 (l<i<m)T Zt = O (m< г<^)т(10.7)

где z^M есть (也 + 1)-мерный вектор с компонентами z^ (i = 0T 1т . . ., п). Относительно множества М предполагается, что оно удовлетворяет следующим условиям:

М — ограниченное замкнутое множество;

если с^К = {с ： с。V 0, 6》0, 1<г<т}т то существует единственный вектор z (с) ^М такой, что (с, z(c))》(c, z), z^M；

известен алгоритм, с помощью которого каждому с^К ставится в соответствие z (с) С М；

множество N точек, удовлетворяющих условиям (10.7), не пусто, причем для каждого г (Кt<m) найдется z^M такое, что z^ > 0, и для каждого г (т <i ^п) найдутся точки z(1) С М и z^ g М такие, что W > 0 и z产 V 0, а все остальные координаты этих точек удовлетворяют условиям (10.7).

Особенность задачи состоит в том, что не предполагается возможность получения какой-либо информации о множестве М, за исключением той, которую дает свойство 3).

Решение этой задачи сводится к решению некоторой двойственной задачи. При этом конструируется рекуррентная последовательность векторов с^ таких, что последовательность векторов z (с^) сходится к решению исходной задачи. Вычислительные процедуры, определяющие последовательные значения векторов с^ и векторов n 伍(幻),и образуют алого- ритм, разрешающий исходную задачу.

Примером задачи об оптимальном управлении, которая удобно интерпретируется в терминах описанной выше общей проблемы и которая разрешается эффективно описанным алгоритмом, является следующая задача.

Пусть управляемая система описывается соотношениями

Zt=§ (自⑴，修(工))@工(0《X《％ u(x)^U).(10.8)

о

где ki (т) и и (т) суть r-мерные вектор-функции.

Множеством М в данном случае будет служить множество, которое описывает вектор z, когда м (т) (0《工《力)принимает всевозможные значения из U.

Условие 2) в данном случае требует, чтобы при с С К максимум

п /

(с, z) = 2 сг \ (k(t)，〃 (t)) @t

г=0 О

по всем возможным допустимым управлениям достигался на единственном с точностью до меры нуль управлении. Нетрудно видеть, что управление ис (т), соответствующее вектору с, определяется условием

Пп

(』С禽⑴，ис(Т))=тах(3 сЛ W^ и).

自Ьd屮 г=0

Таким образом, задача минимизации z0 при условии, что z； >0 (l<t<mT mW* где z； даются формулами (10.8), сводится к последовательному решению задач линейного программирования.

Очевидно, соотношения, которые здесь получаются, имеют характер, в известном смысле аналогичный двойственной проблеме (10.4), которая была описана выше в случае задачи о быстродействии.

Наконец, завершая данный пункт, следует сказать, что описанными в нем методами были изучены также многие задачи об оптимальном управлении линейными системами, содержащими дополнительные особенности (такие как случайные воздействия, последействие, дискретность изменения во времени, малые нелинейности и т. д.), но не выводящие, однако, проблему существенно за пределы возможностей теории управления обыкновенными линейными динамическими системами.

Теории линейных оптимальных систем в описанных выше аспектах, и в том числе соответствующим вычислительным проблемам, посвящены большие серии работ В. Г. Болтянского, А. Г. Бутковского, Р. Рабасова, Р. В. Гамкрелидзе/Л. С. Гноенского, В. Ф. Демьянова, Н. Е. Кирина, Ф. М. Кирилловой, Н. Н. Красовского, А. А. Павлова, Б. Н. Пшеничного. Общей теории оптимального управления линейными и квазилинейными объектами посвящены работы Т. Абдикеримова, Ю. 3. Алешкова, Т. Г. Бабунашвили, К. К. Баимбетова, А. Ю. Баранова, Я. А. Бедрова, И. В. Бейко, В. И. Бондаренко, Л. Н. Борисенко, А. Я. Васильева, Б. А. Вертгейма, В. Н. Виноградова, Л. Л. Вознюк, Л. Н. Волгина, М. Ю. Гаджиева, Я. Л. Геронимуса, В. Б. Гиндеса, В. Н. Горбатенко, Е. П. Григорьева, В. П. Гуленко, Ф. Б. Гулько, В. В. Гурецкого, Ю. М. Ермольева, В. Н. Жигулева, В. И. Зубова, Ю. Н. Иванова, Ю. Ф. Казаринова, Л. Е. Канарева, Л. С. Кирилловой, В. С. Кислякова, Ю. В. Кожевникова, Л. М. Козиорова, В. Ф. Кротова, Г. Е. Кузмака, Ю. И. Купервассера, А. Б. Куржанского, Н. И. Лавренко, О. И. Ларичева, М. 3. Литвина-Седого, Н. М. Лицына, Н. П. Лоншакова, Л. М. Марха- шова, Г. Н. Мильштейна, С. М. Мовшовича, А. И. Мороза, П. В. Надеждина, В. Н. Новосельцева, И. А. Ожигановой, А. А. Первозванского, И. М. Перельмана, М. М. Перельмутера, А. А. Пионтковского, Б. Г. Пит- теля, Г. К. Пожарицкого, И. А. Полетаевой, Л. Н. Полтавского, В. М. Пономарева, В. П. Попуцилло, Б. С. Разумихина, Е. А. Розенмана, Л. И. Ро- зоноэра, Е. Я. Ройтенберга, А. Б. Саввина, А. А. Снегура, В. В. Токарева, В. А. Троицкого, А. Н. Филатова, Ю. М. Филимонова, А. Ф. Филиппова, А. М. Формальского, 3. И. Халилова, Ш. Ш. Хамитова, Г. Л. Хара” тишвили, В. В. Хоменюка, С. В. Чураковой, Г. С. Шелементьевй и др.

В заключение этого раздела отметим, что исследования советских ученых в области оптимального управления линейными объектами шли параллельно с аналогичными интенсивными исследованиями иностран^ ных ученых. При этом наблюдалось весьма существенное взаимное пере^ сечение результатов. В качестве примера иностранных исследований линейных и квазилинейных систем назовем работы Г. Антосиевича Р. Беллмана, Дж. Бертрама, Дж. Итона, Р. Калмана, Э. Крейндлера, Р. Куликовского, Я. Курцвейля, Э. Б. Ли, Л. Маркуса, Л. Нейштадта, Ж. Ла-Салля, Ф. Сарачика.

Вычислительные методы

В отличие от линейного случая, для объектов существенно нелинейных пока не разработано достаточно общих эффективных вычислительных алгоритмов. Между тем, именно случаи нелинейных объектов составляют, очевидно, наибольший удельный вес в задачах об управлении, возникающих

в механике. При настоящем положении дел полезные методы численного* решения задач об оптимальном управлении нелинейными объектами, по-видимому, вырабатываются лишь в результате машинного эксперимента. Широкий математический эксперимент такого рода, охватывающий основные типы модельных задач, был поставлен Н. Н. Моисеевым и его сотрудниками. Результаты этого исследования были подытожены в обзорных докладах Н. Н. Моисеева на II Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (1964) и на Международном конгрессе математиков в Москве (1966).

В теории нелинейных управляемых систем было предложено большое количество вычислительных методов, многие из которых являются совершенно специфическими. Охарактеризуем кратко некоторые из основных предлагающихся методов.

Интенсивное исследование численных методов решения вариационных задач оптимального управления и применение для этой цели ЭВМ началось в пятидесятых годах и развивалось, как уже отмечалось выше, параллельно с развитием общей математической теории оптимальных процессов. Основные усилия прежде всего были направлены на создание методов, использующих необходимые условия оптимальности в форме уравнений Эйлера — Лагранжа. Основные трудности, возникающие здесь, были уже кратко охарактеризованы выше в § 8. Напомним их здесь еще раз, остановившись подробнее на примере краевой задачи (6.6)—(6.7). На основании принципа максимума дело сводится, к следующей двухточечной задаче: '

/ = /(%, %。)， х (%) = *

• Зсо (11.1) j=—(grad/・屮)一石-屮о, /(〃)= /《？

где оптимальное управление м° (力)определяется из условия максимума maxu Н: Поскольку величина 为° задана, то, решая задачу Коши для этой системы (включающей и условие максимума функции ", определяющее и° (力))при некотором начальном условии 屮(力°)=屮°, мы в принципе определяем величину А/ (勿)=х (勿)一/⑴ как функцию вектора 屮«о) =屮о：

An (厶) = 0)(屮о). (11.2)

Итак, задача определения оптимального управления м° (力),приводящего систему в заданное состояние х (勿) = n(d, сводится, следовательно, к задаче отыскания нулей вектор-функции Ф (屮о). Были выполнены работы, в которых этот путь привел к эффективному решению задачи. Однако реализация его связана прежде всего с той большой трудностью, что функция Ф, как правило, не может быть представлена в замкнутой форме. Численное определение функции Ф в свою очередь является проблемой весьма трудоемкой, так как функция Ф (11.2) задана фактически через решение системы дифференциальных уравнений (11.1), которые, следовательно, приходится интегрировать при всех интересующих нас значениях *вектора 屮(力°)=屮°. Наконец, большая трудность связана с вычислительной неустойчивостью решений системы (11.1), не составляющей явления исключительного в типичных вариационных задачах об оптимальном управлении. Эта неустойчивость проявляется в том, что малые изменения вектора 屮° приводят, вообще говоря, к весьма немалым изменениям величины А/ (〃). Необходимость преодоления перечне-

ленных трудностей и потребовала разработки специфических приемов счета, подходящих для того или иного конкретного класса задач. Перечислим некоторые из этих способов счета.

Наименее организованным приемом численного решения задач об оптимальном управлении, связанным с использованием принципа максимума или аналогичных классических критериев оптимальности, является метод подбора (даже слепого) начальных значений вектора W (力о), или, соответственно, начальных значений множителей Лагранжа 九 «о), путпем проб. Обладая большой общностью, метод не выдерживает критики с эстетических позиций и трудно исполним в тех случаях, когда речь идет о системах достаточного высокого порядка. Однако сбрасыват! зтот метод со счетов нельзя, потому что, будучи дополненным вспомогательными соображениями и в том числе промежуточными оценками результатов, он оказывается достаточно эффективным, если в процессе счета удается уловить характер зависимости оптимального движения № (力)от краевых значений вектора 屮(用)или от 储(用)(здесь речь идет прежде всего о задаче с заданными краевыми условиями на х (^0) и х (^); в случае ослабления этих условий общая проблема оптимальности часто упрощается).

Как и в других численных методах, связанных с определением нулей функции Аг = Ф, основой успеха здесь является тщательное предварительное исследование задачи, в результате которого должно быть найдено удовлетворительное первое приближение для вектора 屮(力°)=屮°・

Другими типичными приемами численного решения конкретных задач об оптимальном управлении являются методы, напоминающие известные в вариационном исчислении процедуры прогонки. Пусть, например, требуется минимизировать функционал

/ = с・/(%) (11.3) для движения, описываемого уравнением

/ =z= / (力瑞") (//П},方 0 《 方 《 方1) (11.4：) при заданных краевых условиях

2«0)=2。， 2j(〃)=吟， (И.5)

причем управление и стеснено одним из типичных ограничений. Б качестве первого приближения выбирается какое-нибудь допустимое управление %")«), которое из побочных соображений можно считать близким к искомому оптимальному управлению м° (力).При и =北仕)(力)уравнение (11.4) интегрируется в сторону возрастания t до выполнения условия {11.5). Затем вдоль найденного движения /(° (力)составляется фигурирующая в принципе максимума сопряженная система для 屮

$ =—某屮， (11-6)

которая интегрируется в сторону убывания t до 力°. При этом начальное условие для 屮⑴(勿)выбирается из условий трансверсальности в соответствии с условиями (11.5). По найденным /⑴(力)и 屮⑴(力)определяется второе приближение 北迎)(力),исходя из условия максимума

НВ %а)(力 屮а)«),歩2)«)] = max, (11.7) u

и T・ д.

По-видимому, в большом числе случаев при удачном выборе первого приближения %")(力)эта процедура и подобные ей сходятся удовлетворительно, хотя в литературе, посвященной этим методам, вопросы строгого обоснования сходимости разработаны недостаточно.

Большое место среди вычислительных методов занимают процедуры, связанные с постепенным уменьшением минимизируемой величины 7 за счет направленной деформации допустимых траекторий / «), вызванных подходящим изменением допустимых управлений м (力).Эти методы обычно так или иначе связаны с известными прямыми методами вариационного исчисления, а также с новыми методами нелинейного программирования. В частности, к числу таких методов относится процедура^ связанная с последовательностью элементарных операций, позволяющих определять эффективно отрезки оптимальных траекторий, связывающих близкие точки, и таким путем строить из этих отрезков последовательность траекторий, сходящихся к оптимальному движению. Наконец, эффективным методом численного решения задач об оптимальном управлении являются градиентные методы, опирающиеся на непосредственное вычисление и оценку вариации 6/ и восходящие, таким образом, к работе- Д. Е. Охоцимского (см. § 3, стр. 183). Этот метод оказывается работоспособным в тех, например, случаях, когда удается эффективно выразить, вариацию 6/ минимизируемой величины I в виде

6/= \ ф (т) би (т) dx (11.8)

с удобно обрабатываемой функцией влияния Ф (т). Суть метода опять, заключается в подборе допустимых вариаций би «), уменьшающих величину I. Следует подчеркнуть, что осуществление градиентного метода и его различных модификаций в задачах об оптимальном управлении часто весьма осложняется ограничениями на управляющие воздействия и фазовые координаты. Преодолени*е этих трудностей и составило предмет- исследований, посвященных данному методу. При этом метод подвергся столь существенной переработке и дополнениям, что наименование- «градиентный метод» получает здесь весьма условный смысл и сохранено нами лишь с той целью, чтобы подчеркнуть известную преемственность новых методов с классическими методами градиентнога спуска.

Наконец, следует еще упомянуть вычислительные процедуры, которые строились на основании прямых методов вариационного исчисления, подобных методу Ритца, а также специальные вычислительные процедуры, использующие идеи выпуклого нелинейного программирования и в том числе условия оптимальности, включающие соотношения типа минимакса. -

Развитию вычислительных методов оптимального управления нелинейными объектами посвящены большие работы В. Ф. Демьянова, В. И. Зубова, Ю. Н. Иванова, Н. Н. Моисеева, Б. Н. Пшеничногоfr В. В. Токарева, Ф. Л. Черноусько, Л. И. Шатровского, Т. М. Энеева.

Вычислительным методам в задачах оптимального управления посвящены работы Ю. 3. Алешкова, Н. Я. Багаевой, Н. В. Баничука, И. В. Бейко, Э. М. Вайсборда, В. В. Беличенко, И. М. Дерендяева* М. Ф. Карпенко, Н. Е. Кирина, И. А. Крылова, Е. С. Левитина, В. В. Лео. нова, С. К. Мышкова, В. С. Новоселова, В. М. Петрова, Б. Т. Поляка* В. М. Пономарева, Р. П. Федоренко, В. И. Чернецкого, Б. Е. Чупру* на и др.

Задачи осуществления заданных движений

К задачам о программном оптимальном управлении, связанным с необходимостью приведения объекта в заданное состояние, примыкают задачи об определении закона изменения во времени управляющих сил, при помощи которых все или некоторые фазовые координаты системы изменяются во времени по заранее заданному закону. Эти задачи были проанализированы как в случаях, когда число управляющих сил равно числу фазовых координат с заданным законом изменения, так и в более трудных случаях, когда число сил меньше заданных координат. Были разработаны эффективные вычислительные методы для общего случая нестационарных нелинейных систем непрерывного действия, а также для нестационарных нелинейных систем, описываемых уравнениями в конечных разностях.

К данным задачам примыкает проблема косвенного метода определения положения управляемой системы в фазовом пространстве при отсутствии необходимой полной информации о ее начальном состоянии, а также должных сведений о положении системы отсчета, относительно которой определяется движение системы. При этом предполагается, что доступна измерению, например, лишь одна фазовая координата, по измеряемым приращениям которой должны восстанавливаться начальные значения остальных фазовых координат системы. Эта проблема также была исследована для общих случаев нестационарных нелинейных систем. И в случае проблемы управления и в случае проблемы наблюдения дело сводилось к решению систем нелинейных интегральных уравнений специального вида, для которых были предложены подходящие вычислительные алгоритмы. Общие результаты были применены для исследования конкретных задач, например задач об управлении гироскопическими устройствами, задач об управлении импульсными следящими системами и др. Описанные выше исследования были выполнены Я. Н. Ройтенбер- гом в серии работ (1958—1963), подытоженных в монографии «Некоторые задачи управления движением» (1963).

К описанным работам примыкают исследования И. А. Балаевой и Н. В. Куликовской, где также разработаны некоторые алгоритмы, разрешающие задачи программного управления. В частности, была изучена задача об управлении гироскопической следящей системой, предназначенной для слежения за целью, причем был разработан подходящий способ прогнозирования движения цели.

Цикл работ, посвященных устойчивому воспроизведению наперед заданного движения был выполнен Е. А. Барбашиным (I960—1961), причем, в частности, был исследован вопрос о воспроизведении периодического движения как в детерминированной, так и в стохастической системе. В этих работах также было уделено специальное внимание вопросам оценки отклонения реализуемых движений от заданной программы. К этим работам Е. А. Барбашина примыкают исследования Г. Н. Мильштейна, также посвященные задаче о приближенном осуществлении движений.

Завершая этот раздел, заметим, что обсуждаемые в нем задачи тесно связаны с общей проблемой об управляемости и наблюдаемости динамических систем, т. е. с вопросом о том, при каких условиях разрешимы задачи об управлении системой по заданному закону, задачи о приведем нии системы к желаемому состоянию и задачи о наблюдении движений этой системы по доступным измерению величинам. Работы, о которых шла

речь в этом параграфе, посвящены главным образом вопросам эффек^ тивного решения этих задач и выработке соответствующих вычислительных алгоритмов. Общие математические вопросы о существовании решений для нелинейных объектов для подобных задач об управлении и наблюдении разработаны пока мало (см. ниже стр. 215). Наоборот, для линейных объектов общая теория управления и наблюдения разработана достаточно полно. Однако на этом вопросе мы здесь останавливаться не будем, так как он входит в круг тех результатов, о которых уже шла речь в § 10 при обсуждении общей теории оптимального управления линейными объектами. Заметим лишь, что вопросы об управляемости м наблюдаемости динамических систем, возникшие в современной теории оптимальных процессов, тесно связаны с теорией инвариантности регулируемых систем. Обсуждение теории инвариантности выходит за рамки этого обзора, однако отметим, что, в частности, условия управляемости линейных объектов, найденные теперь, связаны с условиями инвариантности линейных систем, изучение которых в общей математической форме было начато Н. Н. Лузиным, его сотрудником П. И. Кузнецовым и др. в 1944 г.

Проблема синтеза оптимальной системыс обратной связью и методдинамического программирования

Принцип максимума и методы классического вариационного исчисления, рассмотренные выше, приспособлены прежде всего для решения задач о программном оптимальном управлении. Соответствующие дифференциальные уравнения, описывающие оптимальное движение и множители Лагранжа 储(力),или вектор-функцию 屮(力),являются уравнениями типа уравнений Эйлера — Лагранжа и Гамильтона. Они определяют управление в виде функции от времени t. Во многих случаях, однако, ставится задача о синтезе оптимальной системы, работающей по принципу обратной связи, и тогда требуется, например, определение управления и в виде функции от текущих фазовых координат д (力)объекта. Здесь, конечно, возможен следующий естественный путь решения задачи. Для реализовавшегося в данный момент времени ^ = т состояния х ~ х (т) решается вспомогательная задача о программном управлении м° (^)[Т, х(т)] (^>т), которое минимизирует тот же функционал и при тех же концевых условиях и ограничениях, какие заданы в исходной проблеме синтеза. Далее полагается, что м° [т, х (т) ] = и0 (т)[Т> х(т)], и такие значения и ~ и^ [т, х (т) ] при каждом 力=工》力° используются в ходе реального процесса управления. В случае, если алгоритм вычисления и0 (^)[с, х(т)] путем решения вспомогательных программных задач можно осуществлять значительно быстрее, чем протекание самого процесса х (т), такой путь может оказаться целесообразным, тем более, что по ходу процесса при 工 > 扑 приходится на деле лишь корректировать величины и0 (т)[Т, х(т)], а не решать в каждый момент t ~ х заново всю программную задачу. Здесь, правда, еще остается нелегкая чисто математическая проблема, состоящая в доказательстве того, вообще говоря, правдоподобного факта, что найденные таким путем функции м° [т, х (т) ] при подстановке и = =м° [力 х (力)]в исходные уравнения (2.1) действительно разрешают проблему синтеза оптимальной системы. Это строгое обоснование того факта, что описанный переход м° [т, х (т)] = м° (т)[Т, х(т)] действительно дает оптимальный синтез, наталкивается, например, на следующую

трудность: при м = м° [力,х] — и° (力)р,к] уравнение (2.1) может иметь неединственное решение. Тогда надо показывать, что каждое решение замкнутой системы, исходящее из каких-либо начальных условий, является оптимальным. Однако не эти теоретические проблемы, которые в крайнем случае можно упростить, переходя к конечноразностной схеме (которая и работает обычно в реальных условиях), составляют главное препятствие на пути практической реализации описанного метода для разрешения проблемы синтеза управляемой системы (впрочем, и тогда остается проблема устойчивости оптимальных решений при переходе к конечноразностной схеме). Одна из главных практических трудностей такова: как это уже отмечалось в § 11, при настоящем состоянии дел для нелинейных объектов алгоритмы вычисления даже и программного управления %° (力)[叫久⑴]трудно реализуемы с требуемой скоростью и точностью.

В связи со сказанным становится ясным, почему параллельно с развитием теории программного управления с самого начала построения теории оптимальных процессов ставилась задача о нахождении управляющих сил и сразу в виде функции от текущих координат /? (t) управляемого объекта. При этом получил наибольшее распространение тот подход к рассматриваемым задачам о синтезе, который развивалгся по пути методов динамического программирования. Этот метод соответствует известным в вариационном исчислении рассуждениям о распространении возбуждений. С точки зрения вариационных принципов механики метод динамического программирования аналогичен введению функции действия 5 и приводит соответственно к уравнениям типа уравнений Гамильтона —— Якоби в частных производных. Таким образом, уравнения в частных производных, вытекающие из методов динамического программирования, связаны с обыкновенными дифференциальными уравнениями, фигурирующими, например, в принципе максимума, подобно тому как в аналитической механике уравнения Гамильтона ——Якоби для функции S свПзаны с соответствующими уравнениями движения в форме Лагранжа или Гамильтона. Основу метода динамического программирования составляет функция V [т, /], которая имеет смысл минимума (максимума) оптимизируемой величины /[T,其⑴] {% (力)} (工《力《勿， t > ^о — текущий момент времени,勿一момент окончания процесса), рассматриваемой как функция от начальных, временно фиксируемых условий х, х (ч) = /, т. е.

V [т, х] = min 7[т> ж] {u} = /fT> ж1 {и} (х (т) = х). . (13.1) и

Исходным пунктом рассуждений является принцип оптимальности^ утверждающий, что отрезок некоторой оптимальной траектории есть снова оптимальная траектория. Принцип оптимальности составляет довольно общее утверждение, справедливое для широкого класса процессов. Поэтому, в частности, он справедлив для многих задач об оптимальном управлении и, в том числе для задач о минимуме или максимуме функционалов вида

I~ \ со [%«), %(切 ^ + <р [勿，/(〃)]•

При зтом, однако, следует иметь в виду, что процесс должен рассматриваться в пространстве {/} настолько полном, чтобы вектор х (т) давал такое описание движения, когда будущее значение х (力)при ^ > т вполне

определяется его настоящим значением / (т). Это явление во всяком случае имеет место, если движение описывается обыкновенным дифференциальным уравнением (6.1). Будучи применен к отрезкам траекторий бесконечно малой временной длины dt^ этот принцип приводит к уравнению для функции V в частных производных вида

哽传［■£，黑，力，"］）=。，（13.2）

5 озна- о мини-(13.3)5 озна- о мини-(13.3)где символ dV/dx означает вектор-градиент функции У, символ чает функцию Гамильтона, которая,>например, в случае задачи муме величины

5 озна- о мини-

(13.3)

5 озна- о мини-

(13.3)

/ = "о В，% (力 u (t)] dt = min

на движениях системы

g =力[力 /, w] (i也)(13.4)

имеет вид

B = i黑力+ /。+黑■a3•5)

Уравнение (13.2) должно интегрироваться при граничных условиях, вытекающих из краевых условий исходной задачи об оптимальном управлении. Например, если речь идет о задаче наискорейшего приведения системы

x = f[x, и](13.6)

на заданную неподвижную поверхность Q в пространстве {/}, то функцию Р (%), которая следовательно удовлетворяет здесь уравнению (13.2) в виде '

吗п玄署力(13.7)

надлежит подчинить граничному условию

V [х]= 0 при %GQ(13.8)

(функция V здесь зависит только от х вследствие стационарности условий задачи).

Само оптимальное управление м° [力 х] (или i^ [х] в стационарном случае) находится после определения V [^, х] из условия минимума левой части (13.2) по и. В частности, в задачах о предельном быстродействии функция V [х] как бы играет роль специального потенциала V [х] ~ =Т [х (т) ] относительно поверхности Q заданных конечных состояний. Условие минимума (13.7) означает тогда, что оптимальное управление спускает оптимальную траекторию № (力)по поверхностям V [х] с наибольшей возможной скоростью, совместимой с заданными ограничениями м С ° на величину и.

Публикация работ, посвященных методу динамического программирования, была начата в сороковых и пятидесятых годах в США Р. Беллманом и его сотрудниками. Поэтому уравнения Гамильтона — Якоби вида (13.2) принято называть уравнениями Беллмана. Метод динамиче-

©кого программирования применим для широкого круга детерминированных и стохастических задач о синтезе оптимальных систем. Поэтому данный метод быстро завоевал популярность и к концу пятидесятых годов занял серьезное место в работах советских исследователей.

Являясь в большой мере универсальной, теория динамического про- траммирования в то же время обладает рядом недостатков. Поэтому она подвергалась известной критике, отмечавшей, в частности, что, в отличие, яапример, от принципа максимума, являющегося строгой математической теоремой с явно очерченными границами приложимости, дифференциальная форма принципа оптимальности, выражаемая уравнениями (13.2), такой строгой математической теоремой не является (по крайней мере, «если использовать ее в качестве необходимого критерия оптимальности). Дело в том, что обычный вывод уравнения (13.2) опирается на предположение о непрерывной дифференцируемости функции У, которое в конкретных случаях трудно обосновать априори. Более того, известно, что для многих типичных задач о синтезе оптимальных систем функция V -заведомо не является непрерывно дифференцируемой (впрочем, точки нерегулярности функций V заполняют в фазовом пространстве {/} лишь некоторые исключительные многообразия). Пример таких задач доставляет, например, проблема предельного быстродействия линейной системы при ограничениях | u； | С N на модули координат щ упрявляющего воздействия и [/]. Точки х в пространстве {/}, при пересечении которых релейное управление и [х (т) ] меняет скачком свои значения, как раз и составляют поверхности, где функция V [х] оказывается нерегулярной.

Основная трудность использования метода динамического программирования состоит в необходимости решения уравнений в частных производных вида (13.2) при соответствующих граничных условиях. Полезно, кстати, подчеркнуть, что интегрирование уравнения Беллмана методом характеристик, означает подчас не что иное, как сведение опять задачи синтеза к программным задачам, так как характеристиками уравнения (13.2), естественно, оказываются оптимальные программные движения.

Однако недостатки метода динамического программирования не перечеркивают его силу, проявившуюся при исследовании широкого круга ：задач. Заметим также, что использование функций У, удовлетворяющих уравнениям типа (13.2), для конструирования достаточных признаков оптимальности позволяет ввести метод в рамки строгой матемашческой теории.

Правила, по которым надлежит составлять необходимые или достаточные критерии оптимальности метода динамического программирования, ясны в настоящее время для широкого круга задач об управлении, ■относящихся как к детерминированным, так и к стохастическим системам (см., например, § 14).

Оптимальная стабилизация управляемых движений

Методу динамического программирования посвящено большое число работ. Авторы, работающие в этой области, будут упомянуты ниже при рассмотрении конкретных разделов теории. Работы, посвященные методу .динамического программирования, можно условно разбить на две основные группы.

К первой группе можно отнести исследования общих вопросов: :вывод и обоснование уравнений в частных производных вида (13.2),

выяснение связи с принципом максимума и с классической теорией Гамильтона — Якоби, всевозможные обобщения, развитие численных Методов. Пожалуй, следует отметить, что и здесь мода на теорию оптимального управления способствовала наряду с важными и серьезными исследованиями появлению и таких работ, которые повторяли известные результаты или были выполнены недостаточно серьезно. Наоборот, в качестве примера строгого математического исследования, где был разработан достаточный критерий оптимальности, опирающийся на идеи метода динамического программирования и работающий в условиях, характерных для типичных проблем оптимального синтеза, следует назвать работу В. Г. Болтянского (1964).

Вторую группу работ, относящихся к теории динамического программирования, составляют исследования конкретных классов задач. При этом речь идет прежде всего о выделении таких классов этих задач, для которых метод динамического программирования позволяет находить оптимальное управление м° [厶 х] в замкнутой форме или по крайней мере позволяет указать эффективно реализуемую вычислительную процедуру. Важный круг таких задач определился в результате исследований, начатых А. М. Летовым (I960), где была сформулирована задача об аналитическом конструировании оптимальных регуляторов. Первоначально эта задача была сформулирована как проблема стабилизации невозмущенного программного движения n (力)三 0 за счет управляющего воздействия м° [/], которое обеспечивает асимптотическую устойчивость движения х (t) ~ Q относительно возмущений х (力),описываемых в линейном приближении уравнениями

х = Ах + Ви (4, 5 — const), (14.1) и минимизирует при этом функционал

，'[х(Т)] {"} = \ [ '^ 0)g (方)Xj (方)+〉! р^?"? (方)"左(方)]dt ~ min. . (14.2) т i, j=l 左，e=i u

Здесь 2 aijxixj и 2 ^kiukui — определенно-положительные квадра- гичные формы, оценивающие отклонения g (力)фазовых координат от их программных значений, а также оценивающие величины %)(力)стабилизирующих воздействий. Коэффициенты а订 и 0 订 должны выбираться исходя из технического задания в соответствии с требованиями к качеству переходного процесса / (力)-> 0 при 力 f 8.

Позднее данная задача была обобщена в различных направлениях и послужила источником для большого числа работ советских исследователей. Отметим, что исследования задач о минимуме квадратичных функционалов вида (14.2) на движениях линейных систем составили также предмет большого числа иностранных работ. Укажем, например, исследования Р. Калмана (США) и Я. Курцвейля (ЧССР), посвященные задаче (14.1)—(14.2).

Для полноты картины следует еще упомянуть монографию Дж. Ньютона, Л. Гулда, Дж. Кайзера «Теория линейных следящих систем. Аналитические методы расчета» (1957; русский перевод: М., 1961), где также рассматриваются вопросы, связанные с проблемами, близкими к обсуждаемой здесь проблеме аналитического конструирования оптимальных регуляторов.

Полезно отметить также связь задачи (14.1)—(14.2) с задачами об оценке качества переходных процессов в регулируемых системах по интегральным квадратичным критериям (см. выше § 4). Следует, однако, подчеркнуть, что здесь задача ставится в новом аспекте, отражающем развитие общей теории оптимальных процессов. Задача учитывает величину управляющих сил и формулирует строгую проблему о выборе закона регулирования, обеспечивающего минимум величины I при любом начальном возмущении х (т).

Выбор минимизируемого функционала I в виде (14.2) оказался удачным по ряду причин. С одной стороны, величина I (14.2) во многих случаях удовлетворительно оценивает качество переходного процесса, причем благодаря присутствию под интегралом члена ± ^kiuh^i условие минимума I одновременно автоматически ограничивает величину управляющих воздействии. С другой стороны, задача (14.1)——(14.2) решается эффективно и оптимальное управляющее воздействие и — и0 [х] определяется в форме линейной функции от фазовых координат：

и° [х]= р^Х~ 2 Pixi-(14.3)

Наконец, оказывается, что минимизируемая величина /° = minu /, рассматриваемая как функция от координат 力工= xt (т) начального состояния х (т), является квадратичной формой

играющей роль оптимальной функции Ляпунова. Уравнение Беллмана

можно при этом записать в виде

пг

(^^")乜0 + 2 a/Qj + 5 限期"

3, г=1fcf 1=1

пг

=min{叡+2 ^ijXiXj+ 2 ^hiUhm} , (14.5)

где символ (dVQ/dt)u0 означает производную функцию Ляпунова У0 вдоль движений системы (14.1) при некотором выбранном управлении и0. Рассматриваемая таким образом задача включается в общую проблему оптимальной стабилизации управляемых систем, являющуюся развитием общей задачи Ляпунова об устойчивости движения в связи с новыми задачами теории оптимальных процессов.

Задача (14.1)—(14.2) и ее обобщения послужили предметом исследований, опубликованных в шестидесятых годах. При этом в решениях комбинировались как классические методы вариационного исчисления, так и новые их модификации, связанные с принципом максимума и динаг мическим программированием. Были выяснены вопросы существования решения м° [х] как для случая линейных уравнений (14.1) (стационарных и нестационарных), так и для квазилинейного случая, когда уравнения движения-

х = Ах + Ви + г [р., X, и](14.6)

содержат малые нелинейные добавки г (включающие, может быть, и малый

параметр). При этом выяснилась, в частности, существенная роль условий общего положения или, иначе, условий управляемости линейной части {14.1) системы, о которых шла речь выше в § 10 (см. стр. 193) и в § 12 (стр. 201). Были разработаны эффективные методы вычисления управлений 〃。[х] (или м° [厶 х] в нестационарном случае) для линейных и квазилинейных систем (14.1) и (14.6), а также для систем с последействием, описываемых уравнениями с запаздываниями времени

х (^) = Ах (t) + Сх (t — r)4-5u4-r [р.,力 /, u], (14.7) для стохастических систем, описываемых уравнениями со случайными параметрами

/⑴= 4(% 方)/十5(П，0 m + Ф(Л，) (14.8) тде 刀 ⑺一марковский случайный процесс, и т. д. (в случае (14.8) речь шла о минимуме математического ожидания величины I (14.2) и проблема содержала условие стохастической асимптотической устойчивости движения х (力)三 0). Кроме того, были изучены обобщения данной задачи, относящиеся к случаям неполной информации о текущем состоянии объекта, когда нельзя ставить задачу о построении управляющего воздействия и в виде функции u° [t, х] от всего фазового вектора х (力)，но требуется определить величину и в зависимости от других величин у (力), несущих информацию о фазовом векторе х (力)・ При этом важную роль сыграла теория о наблюдении движений динамических систем, развитая ранее для линейных и квазилинейных объектов (см. § 10 и § 12, стр. 195 и 201).

Далее была развита связанная с задачей (14.1)—(14.2) общая концепция стабилизации путем оптимального демпфирования движения относительно наперед выбранной функции Ляпунова. Суть этой концепции •состоит в выборе такого управления м* [力 /], которое осуществляет наискорейшии возможный спуск возмущенного движения х (力)к заданному программному движению х (^)三 0. Общие теоретические результаты были приложены к конкретным задачам об управлении. В частности, были опубликованы работы, посвященные стабилизации движении летательных аппаратов и морских судов.

Для решений большинства обсуждаемых здесь задач характерна возможность получения оптимального управления и0 [tt х] в эффективной ■форме. Это в немалой степени объясняется линейностью уравнений движения управляемого объекта и квадратичным характером подынтегрального выражения в минимизируемом функционале (14.2). В результате во многих случаях оптимальное управление м° оказывается линейной функцией от фазовых координат системы (или от величин у (力),их заменяющих) ,если речь идет о линейных объектах. В случае квазилинейных объектов управляющее воздействие и0 строится в виде рядов. При этом процедура построения этих рядов оказывается подобной типичным процедурам метода малого параметра, где порождающие системы снова оказываются линейными. Такое определяющее линейное управление во многих задачах вида (14.1)—(14.2), но с неполной информацией о состояниях х (力)，обладает также следующим полезным свойством: общая проблема оптимального синтеза делится на две отдельные задачи — на задачу о наилучшем наблюдении фазовых координат g (力)по доступной измерению функции у (t) и на задачу о наилучшем управлении, причем уже игнорируется неполнота информации о величинах / (力).Решение

2 ^MUi(t)uh(t)\ dt (14.9)2 ^MUi(t)uh(t)\ dt (14.9)исходной проблемы получается объединением решений указанных задач. Например, пусть требуется минимизировать математическое ожидание величины

2 ^MUi(t)uh(t)\ dt (14.9)

2 ^MUi(t)uh(t)\ dt (14.9)

g[x(r)] = lim у- ^ [ 2 ag«)2j«)十 т г,

при условии, что для стохастического объекта

х = Ах + Ви + т]⑴，(14.10)

где 刀 ——случайная помеха типа белого шума, возможно измерение фазовых координат %х (力)лишь с запаздыванием О〉0. Тогда можно сначала решить задачу о наилучшем прогнозе х* (力)величин 力月(力)(при условии минимума средней квадратичной ошибки М {|| х (力)——力东(力)||2} по значениям х (t — 仆)и но управлению и (^), работавшему при t — 仆《之< 力). Затем искомое управление строится в виде и° = рх* (力),где м° [х] = р^х —— решение соответствующей обыкновенной задачи (14.1), (14.9). Подчеркнем, что такое удобное разделение общей проблемы синтеза на отдельные изолированные составляющие задачи наблюдения и управления возможно, вообще говоря, лишь для обсуждаемого круга задач, связанных с минимизацией квадратичных функционалов на движениях линейных систем.

Важный круг задач связан с минимизацией квадратичных функционалов вида (14.2) на движениях линейных систем (14.1), но при дополни- телъных ограничениях на управление и, например,

\\u\\<N.[(14.11)

В отличие от задачи без ограничений, данные задачи оказываются значительно более трудными для эффективного решения. Получил известное распространение следующий путь решения этих задач: сначала дополнительное ограничение, например (14.11), игнорируется, а затем из известного решения (14.3) задачи без ограничений извлекается искомое решение, причем, например, просто полагается м° [х] = Np・①]\\ Р^ || при И р^х ||》N・ Ясно, что такое построение, вообще говоря, не дает оптимального управления м° [/], которое разрешало бы задачу синтеза для всех допустимых начальных значений х (т), при которых 'задача (14.1)——(14.2), (14.11) вообще имеет решение. Строгое решение задачи (14.1)—(14.2), (14.11) связано с трудным интегрированием уравнения Беллмана, причем возникает проблема непрерывного склеивания решений V [х], отвечающих областям с различным характером функций м° [/]・ Следует, впрочем, заметить, что в ограниченном числе случаев описанное только что простое и удобное практически построение управления м° [х] действительно дает решение задачи об оптимальном синтезе при всех допустимых значениях х 声 0. В частности, это проявляется в тех ситуациях, когда в замкнутой системе невозмущенное движение. 况(力)三 0 является точкой равновесия типа узла. Наконец, следует иметь в виду, что такое решение всегда дает по крайней мере оптимальное управление в некоторой области G, охватывающей невозмущенное движение.

Наконец, заметим, что проблема интегрирования уравнения в частных производных Беллмана, которое желательно здесь разрешить в явном виде, возродила известный интерес к разрабатывавшимся значительно 14 Механика в СССР, том 1

раньше вопросам эффективного интегрирования уравнений в частных производных типа уравнений Гамильтона — Якоби (см., например, известные исследования академика В. Г. Имшенецкого). Кроме того, здесь приобретают значение методы интегрирования уравнений, опирающиеся на идеи теории непрерывных групп преобразований.

Описанным выше задачам, имеющим своим источником исследования А. М. Летова, подытоженные в его докладе на II Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (1964), посвящено большое количество работ.

Проблемам оптимальной стабилизации движений посвящены монографии В. И. Зубова «Теория оптимального управления» (1966) и А. А. Красовского «Статистическая теория переходных процессов в системах управления» (1968), где рассмотрен широкий круг общих теоретических задач и разработаны прикладные вопросы.

Проблема аналитического конструированля регуляторов и ее обобщения и модификации составили предмет исследований Г. А. Агасандя- на, В. М. Александрова, Э. Г. Альбрехта, А. К. Бедельбаева, В. И. Буяка- са, М. С. Габриеляна, Е. А. Гальперина, В. П. Гришина, Н. П. Еругина, С. Т. Завалищина, В. Я. Катковника, Ф. М. Кирилловой, Н. Н. Красовского, П. Д. Крутько, Н. А. Кузнецова, А. Б. Куржанского, В. Б. Ларина, А. М. Летова, Э. А. Лидского, И. А. Литовченко, А. И. Лурье, Г. Н. Мильштейна, А. А. Нестерова, Ю. И. Параева, В. А. Петрова, Р. А. Полуэктова, Ю. Б. Попова, Н. С. Пряхина, В. О. Рапопорта, Ю. М. Репина, В. Н. Романенко, Л. Д. Рутковской, А. Б. Саввина, М, Е. Салуквадзе, Г. В. Скворцова, В. Е. Третьякова, Г. С. Шелементье- ва, В. А. Чернятина.

Теория управляемых систем с переменной структурой

Может быть, не является преувеличением считать, что задачи, обсуждавшиеся в § 14, доставляют единственный известный сейчас более или менее широкий класс задач об управлении, для которых оптимальное воздействие м° [力 х] вычисляется эффективно. Речь идет о системах сравнительно высокого порядка. Для систем невысокого порядка (как правило, не выше второго) известны эффективные замкнутые решения и других проблем, о чем уже шла речь выше. В прикладных задачах регулирования, и даже в частном случае задач о стабилизации многомерных систем, постановка проблемы в форме задачи (14.1)—(14.2) (или в форме ее удобных для исследования обобщений) подчас, однако, недостаточна или даже вообще непригодна. В то же время известные методы решения задачи (14.1)—(14.2) трудно переносятся на менее регулярные задачи.'Выше уже отмечались трудности (см. стр. 209), связанные с учетом ограничений вида \\и IK-^ на управления даже при условии минимума квадратичного функционала (14.2). Тем большие затруднения доставляет задача о минимуме величин J, существенно отличающихся от квадратичных функционалов, и особенно в наиболее интересных для механики случаях существенно нелинейных систем. Несмотря на большое число общих теоретических исследований, литература по оптимальному управлению существенно нелинейными объектами не изобилует описаниями эффективных решений нелинейных задач. В связи с отмеченными обстоятельствами особенное значение приобрели методы синтеза управляемых систем, которые хотя и не строго оптимальны по отношению к выбранным наперед критериям, однако в том или ином смысле близки к таким оптимальным системам и в то же время могут быть реализованы эффективно.

Примером подобного направления исследований может служить так называемая теория систем с переменной структурой, также получившая основное развитие в последнее десятилетие. К системам с переменной структурой относят прежде всего регулируемые системы, описываемые линейными уравнениями, но с изменяемыми коэффициентами (например, системы с изменяемым по ходу процесса коэффициентом усиления в цепи регулирования и т. д.). В более общем случае речь идет о системах с кусочнолинейными и с разрывными характеристиками. Собственно говоря, типичные с工рого оптимальные регулируемые системы, синтезированные по принципу обратной связи, например, системы предельного быстродействия при ограничениях вида || и [х] ||《№, также являются системами с переменной структурой. Однако поверхности переключения в фазовом пространстве {/}, где параметры регулятора претерпевают скачкообразные изменения, в строго оптимальных системах оказались бы в большинстве случаев чрезвычайно сложными и отыскание их, как уже неоднократно отмечалось выше (во всяком случае, при 汽 > 2), является задачей, для которой почти неизвестно решений. Поэтому в обсуждаемой теории систем переменной структуры, исходя из тех или иных разумных соображений (в том числе исходя из аналогий с известными оптимальными системами), выбираются некоторые основные элементы, определяющие строение регулятора с разрывными характеристиками. Затем параметры этих элементов выбираются из условия наилучшего возможного качества процесса. В частности, по ряду причин удобными поверхностями переключения оказываются плоскости или куски плоскостей в фазовом пространстве {/}, и задача сводится к такому выбору этих плоскостей, который обеспечивает наилучшее поведение регулируемых движений.

Одно из первых направлений исследований в теории систем с переменной структурой состояло в построении закона переключения параметров, который обеспечивал в должный момент переход от устойчивой, но обладающей недостаточно хорошими качествами системы к системе, вообще говоря, неустойчивой. Однако это переключение должно осуществляться в тот момент, когда изображающая точка х (t) выходит на многообразие начальных данных /, для которых траектории новой системы при 力一> 8 асимптотически приближаются к невозмущенному движению /三 0. При этом последние переходные кривые в данной условно устойчивой системе уже обладают высоким качеством.. .

Существенным свойством многих систем с переменной структурой является вхождение их, начиная с некоторого момента времени, в скользящий режим. При этом под скользящим режимом управляемой системы понимается такое ее движение, которое получается как предельный случай обычного движения этой системы при «бесконечно частых, следующих друг за другом», скачкообразных изменениях управляющих воздействий. Как правило, движения, которые отвечают скользящим режимам, осуществляются вдоль поверхностей переключения. Наличие скользящих режимов и других нерегулярностей потребовало привлечения к исследованию данных систем методов качественной теории дифференциальных уравнений. Результатом таких качественных исследований, выполненных для типичных регулируемых систем, важных для приложений, и явилась разработка общей теории систем высококачественного управления с переменной структурой.

Здесь были изучены следующие вопросы. Было показано, что для широкого класса задающих и возмущающих воздействий могут' быть сконструированы системы с переменной структурой, осуществляющие

14*

высококачественное воспроизведение регулируемой координатой задающего воздействия. При этом важно, что требуемый алгоритм управления оказывается реализуемым с помощью конечных коэффициентов усиления и без непосредственного измерения внешних возмущающих воздействий. Были подробно изучены области применения предложенных алгоритмов управления в системах с переменной структурой и найдены расчетные соотношения, позволяющие определить эффективным образом основные параметры управляющего устройства. Были исследованы условия грубости скользящих режимов, сохраняющихся при изменении параметров системы в достаточно широких пределах. Это позволяет применять такие системы для стабилизации неустойчивых объектов с переменными параметрами. Были рассмотрены вопросы стабилизации при нарушении условии скольжения в поверхностях переключения. Для исследования устойчивости систем с переменной структурой и для оценки качества этих систем были использованы метод малого параметра и метод функций Ляпунова. 一

Эффективный метод исследования систем с переменной структурой связан с разделением движений этих систем на «медленные» и «быстрые». Этот метод позволяет существенно понизить порядок рассматриваемых систем, поскольку сначала рассматривается задача нелинейного синтеза регулятора лишь в пределах поведения «медленных» движений и лишь затем картина уточняется с учетом «быстрых» движений. Достоинство такого подхода состоит в том, что он позволяет учитывать ведущие нелинейные эффекты, которые иногда теряются при других методах баланса и усреднения, также фильтрующих высшие гармоники, но сопровождаемых линеаризацией упрощенной задачи. Приемы, связанные с понижением размерности рассматриваемых фазовых пространств за счет классификации скользящих режимов по их порядкам и размерностям, позволили получить существенные эффективные решения. Были описаны приложения общих теоретических выводов, полученных для систем с переменной структурой, к типичным схемам управления реальными объектами.

К обсуждаемой теории можно отнести также и работы, посвященные задачам об оптимальном управлении по наперед выбранному функционалу системами, описываемыми уравнениями, линейными по /, но такими, что функции м, описывающие управляющие воздействия, входят в коэффициенты этих уравнений. Здесь наибольшей разработке были подвергнуты задачи о предельном быстродействии при условии, что уравнения движения содержат функции, билинейные по 力为 и 北户 При этом выяснились как черты, общие с проблемами управления строго линейными системами, так и специфические нерегулярности, характерные для этих задач.

Системы с переменной структурой, в основе которых лежит переключение на условно устойчивые движения, были изучены В. А. Масленниковым и А. И. Летовым.

Основы общей теории систем с переменной структурой были разработаны Е. А. Барбашиным с сотрудниками и С. В. Емельяновым с сотрудниками, работавшими под руководством Б. Н. Петрова.

Теория систем с переменной структурой и ее приложения были развиты в исследованиях В. М. Александрова, В. М. Бадкова, А. В. Бакаки- на, Е. А. Барбашина, М. А. Берманта, И. А. Бурового, В. И. Буякаса, В. С. Викторовой, Е. И. Геращенко, М. Б. Гриценко, Ю. В. Долголенко, Е・ Н. Дубровского, Е. Б. Дудина, В. Б. Езерова, С. В. Емельянова,

Ю. Ф. Иткиса, А. В. Кортнева, Н. Е. Костылевой, И. Д. Кочубиев- ского, Ю. А. Кудрявцева, В. Ф. Маврицына, А. А. Нестерова, Б. Н. Петрова, И. Н. Печориной, Б. Г. Питтеля, В. А. Табуевой, В. А. Тарана, Г. М. Уланова, В. И. Уткина, А. И. Федотовой.

Обобщения необходимых условий оптимальности

Обсудим теперь некоторые обобщения, связанные с усложнениями постановки задачи и с модификациями методов исследования для проблем об оптимальном управлении. Почти везде выше речь шла о задачах, содержащих условия минимума (или максимума) величин /, являющихся интегралами от функций, заданных на движениях х (力)и управлениях и (力,или являющихся функциями от конечных (или промежуточных) величин / (力 и м (力).Между тем в прикладных задачах об управлении нередко возникают проблемы типа минимакса. Примером такой математической проблемы может служить следующая задача: на движениях системы, описываемой уравнением

х^= f[x, и].(16.1)

которые удовлетворяют краевым условиям /(%) = №, /(%) = /">, требуется минимизировать функционал

/(瑞 ％)= max Ф [x(t). %(力)],(16.2)

где Ф — заданная функция от / и

Предполагается, как обычно, что значения управлений и ~ и (t) должны содержаться в заданной области U пространства {%}. В частности, такие задачи возникают, если требуется минимизировать максимальные отклонения движущегося объекта от заданной траектории или максимальные усилия, которые могут возникнуть в будущем по ходу процесса.

Если речь идет о линейных системах (16.1) и область U и функция Ф в (16.2) обладают подходящими свойствами выпуклости (или вогнутости), то многие такие задачи о минимаксе укладываются в схемы, обсужденные в § 10 (см. стр. 193——197). В нелинейных случаях, а также в некоторых линейных нерегулярных случаях приложение описанных выше способов исследования (в частности, принципа максимума или классических критериев вариационного исчисления) потребовало их усовершенствования. Весьма общий подход к выводу необходимых условий экстремума для проблем вариационного исчисления, охватывающий, в частности, широкий круг задач об оптимальном управлении, описан в работах А. Я. Дубовицкого и А. А. Милютина (1963——1965). В этих работах были выведены необходимые условия минимума F (必°) для функционала F (zp), заданного на элементах w из некоторого нормированного пространства {zp}. Допустимые значения предполагаются стесненными условием типа равенств или неравенств. При широких предположениях о геометрических свойствах этих ограничений, которые вместе с условием экстремума порождают в пространстве {zp} некоторые выпуклые конусы и линейные подпространства вариаций, выводятся искомые необходимые условия минимума. Эти условия сводятся к отсутствию общих точек у открытых частей упомянутых конусов и подпространств. Формулировка этого геометрического факта в терминах линейных функционалов и составляет содержание

соответствующего критерия минимума F (и^°). Таким образом, здесь снова проявляется уже отмечавшееся выше (см. § 10) широкое использование в новых вариационных задачах методов функционального анализа, характерных для проблем выпуклого (вогнутого, линейного, нелинейного и т. д.) программирования. Полезно заметить, что аналогичные функциональные подходы к вариационным задачам получили широкое развитие и в зарубежных исследованиях (стимулированных в значительной степени прежде всего проблемами математической экономики). См., например, К. Дж. Эрроу, Л. Гурвиц и X. Удзава, «Исследования по линейному и нелинейному программированию^ (1958; на русском языке: М., 1962). В связи с условиями минимакса, которые характерны для многих подобных критериев экстремума, связанных с методами выпуклого программирования, полезно также напомнить работу Н. Г. Чеботарева об экстремальных условиях типа минимакса (1944).

В обсуждаемых исследованиях А. Я. Дубовицкого и А. А. Милютина проблема минимума F (w) была исследована как на уровне первых, так и на уровне вторых вариаций. В результате были даны формулировки критериев минимума в форме, удобной для приложения к задачам об оптимальном управлении. В частности, был сформулирован принцип максимума для задачи (16.1)—(16.2). Этот принцип максимума в известной мере аналогичен тому принципу максимума, который работает в случае минимума величин I вида интегралов (8.2), но естественно, что в случае величины (16.2) он имеет менее регулярный характер и, по-видимому, эффективное использование его более затруднительно. В частности, здесь в аналоге уравнения (6.2) появляются слагаемые неоднородности. Во всяком случае, пока в опубликованной литературе содержится мало примеров эффективного использования принципа максимума для задач вида (16.1)— (16.2). В заключение данного параграфа подчеркнем, что описанный выше подход позволяет также сформулировать необходимые условия оптимальности в случае задач об управлении, содержащих дополнительные ограничения на фазовые координаты /» (力.

Математическая проблема существованияоптимального управления

Сравнительно большое число работ посвящено обобщениям проблем оптимального управления, связанным с такими управляющими воздействиями и (力)и движениями х (力),которые не удается описать обычными функциями времени и которые требуют обобщающих математических конструкций. Этот вопрос тесно связан с проблемой существования оптимальных решении, обсуждение которой и составляет данный пункт.

Вопросы существования оптимальных управлений м° имеют очевидно, не только чисто математический интерес. Строгая формулировка теоремы существования решения задачи облегчает и конкретное ее разрешение, так как заранее очерчивается класс воздействий и, в котором содержится искомое управление. Во многих случаях вопрос о существовании решения м° (力)(или м° [力 /], если речь идет о синтезе системы) выясняется по ходу исследования. Однако были опубликованы и специальные работы, содержащие достаточно общие теоремы существования оптимальных движений и управлений. Наиболее полно изучен вопрос о существовании программного оптимального управления и0 (力,минимизирующего величину /, складывающуюся из интеграла и из функции от мгновенных значений фазовых координат и управлений. В частности, сюда относятся

задачи о быстрейшем переходе в заданное состояние х （勿）=力《° или на заданное многообразие М конечных состояний х （力）・ Достаточно общие и, в известной мере, окончательные результаты в этой области были опубликованы в 1959 г. А. Ф. Филипповым. На основании свойств слабой компактности выбранных классов допустимых управлений и （力 были указаны естественные свойства нелинейных функций 力，достаточные для существования измеримой функции м° （力）,минимизирующей функционал I в задачах типа задачи （2.1）, （8.2）. В то же время было показано, что указанные ограничения на свойства функций 刃 существенны. Был сконструирован пример, где не существовало оптимального управления в виде измеримой функции и0 （力.В этом примере можно было рассматривать оптимальное движение № （力,лишь трактуя его как скользящий режим （см. § 15, стр. 211）, получающийся в пределе при бесконечно частых скачкообразных изменениях управления и （力）.Такое свойство оптимального движения в данном примере было обусловлено специально подобранными свойствами функций 力 в уравнениях движения. В дальнейших исследованиях выяснилось, что аналогичные нерегулярности оптимального управления w° （力）обусловливаются часто характером минимизируемой величины и характером ограничений на фазовые координаты. Скользящие режимы, обусловленные, в частности, ограничениями на фазовые координаты, были изучены Р. В. Гамкрелидзе （1962）. Позднее аналогичные ситуации были изучены А. Д. Иоффе, В. М. Тихомировым л др. （см. также ниже § 18, где некоторые из вопросов, относящихся к нерегулярным оптимальным движениям, разбираются более подробно）.

Вопросы о существовании оптимального управления и вопросы, связанные с исследованиями скользящих режимов, рассматривались также во многих работах иностранных ученых. Упомянем, в частности, исследования Р. Беллмана, Т. Важевского, Л. Чезари.

Подчеркнем, что в вопросе о существовании программного оптимального управления м° （力）здесь речь идет о существовании м° （力 уже в предположении, что существует допустимое управление м° （力）,приводящее систему в заданное состояние за некоторое （конечное） время 厶一tQ （см. стр. 193）, Иначе говоря, здесь речь идет о замкнутости множества допустимых управлений и （力 в том смысле, что в этом множестве содержится предельный элемент м° （%） для минимизирующей （максимизирующей） последовательности и⑺（力，обеспечивающей нижнюю （верхнюю） грань infft I [и^] （sup&/[m（a）]） оптимизируемого функционала /. Выяснение же вопроса о том, когда такое допустимое управление действительно существует, составляет новую трудную задачу об управляемости системы （см. § 10 и § 12）. Эта задача исследована значительно меньше, по крайней мере для нелинейных систем. Для нелинейных систем общего вида здесь указаны лишь достаточные условия управляемости из достаточно малой окрестности точки равновесия / = 0 в эту точку. Эти условия сводятся к управляемости линейной системы первого приближения

（鬻）》勺2 （器6=1 u=0 女=1 ■ u=0

которая в свою очередь уже хорошо изучена в теории линейных систем. Само собой разумеется, что при выполнении последних условий разрешается положительно и задача об управляемости «в большому из некоторой конечной области G в точку / = 0, если только точка / = 0 оказывается точкой асимптотической устойчивости для исходной системы при

каком-либо допустимом управлении и (力)или и [х] и если G лежит при этом в области притяжения такой точки / = 0. Последние вопросы были изучены, например, в работах Э. Г. Альбрехта, И. П. Карасева, Н. Н. Красовского, Н. Н. Петрова, Л. С. Раковщика. Из близких по теме иностранных работ надо упомянуть исследования Э. Б. Ли и Л. Маркуса.

В данном параграфе речь идет главным образом о нелинейных системах, Вопросы существования оптимального управления м° (力)для линейных объектов в большинстве случаев разрешаются достаточно полно, вытекая как следствие из общих теорем функционального анализа, если задача об управлении трактуется как соответствующая функциональная проблема. При этом в качестве классов допустимых управлений, замыкающих задачу, достаточно выбирать классы соответствующих линейных функционалов. Напомним, что при этом так же разрешаются и вопросы о существовании допустимых управлений, приводящих систему к заданному состоянию (см. выше, § 10, стр. 195).

Вопросы существования оптимальных управлений м° [力 х] (или м° [х] в стационарном случае) для задач синтеза систем с обратной связью в общем случае изучены значительно меньше, нежели аналогичные вопросы для программных задач. Как правило, проблемы существования оптимального синтеза оказались разрешенными лишь в тех случаях, когда удалось найти само решение (см., например, § 14, стр. 206——209). Общих эффективных теорем существования в литературе почти не известно. Очевидно г данный вопрос разумно было бы исследовать прежде всего исходя уже из условий, при которых обеспечено существование решения 壮旧不⑺](力) для подходящей вспомогательной программной задачи (см. § 13, стр. 202■ 203). Тогда центр тяжести проблемы переносится на вопрос о том, в каком классе функций и [т, х] оказывается управление м° [т, х] = м%,幻(т), и на вопрос о существовании нужных решений тех уравнений движения, которые получаются при подстановке и — м%, xj (力 в исходные уравнения (2.1). Поясним подробнее, в чем здесь дело. Если и =北机久](力)=м° [力/], то во всяком случае при выполнении условий, обеспечивающих справедливость принципа оптимальности, можно утверждать, что при 力》т уравнение

х = f [t, u° [t, x]] (17.1) имеет решение x (力),которое совпадает с оптимальным программным движением № ")[% 久⑺卜 отвечающим какому-либо выбранному начальному условию т, х (т). Это обстоятельство связано с тем фактом, что во всех представляющих интерес теоремах о существовании программного оптимального управления м° (0[х(г), г] параллельно устанавливается и существование самого оптимального движения, которое является решением уравнения х ~ f [t.瑞 м° (少％久⑺]],а вместе с тем и уравнения (17.1), поскольку из принципа оптимальности выводится равенство м° [t, х (力)] = =%° (0п,式⑴]=%° (0[т, х(т)]- Однако если класс функций м° [т, х]= =〃° (т)[т, х] не обеспечивает единственности решений, то нельзя априори исключить ситуацию, когда при выбранном начальном условии т, х (т) уравнение (17.1) при 力》т имеет также и другие решения / (力， отличные от № (力)и не являющиеся уже оптимал ьными движениями. Кроме того, в связи с нерегулярностью функций м° [力 х] здесь еще возникают весьма трудные вопросы, связанные с корректностью решений проблемы синтеза, т. е. вопросы об устойчивости решений относительна

малых вариаций уравнений движения. Таким образом, переход от программных решений к проблемам синтеза доставит новые серьезные проблемы. Эти вопросы в общих случаях исследованы мало. Известны лишь отдельные результаты, связанные с трудно проверяемыми условиями, например, такими, как единственность решений соответствующих программных задач и т. д. Из существенных результатов, относящихся к строгим решениям проблемы синтеза, надлежит отметить работы В, Г. Болтянского (1966) и его сотрудника Г. Насритдинова, базирующиеся на понятии регулярного синтеза.

К проблемам, рассматриваемым в этом пункте, примыкает задача о регуляризации некорректных вариационных задач. В частности, к числу таких задач относятся проблемы минимума функционалов F [и (力]= =F (хи (力)]на движениях управляемых систем / = / (力 /, и), отличающиеся той особенностью, что минимиз up ующая последовательность 必幻(力)не сходится должным образом (равномерно и т. д.) к оптимальному управлению м° (力)・ Исследованию возможности регуляризации некорректных вариационных задач об оптимальном управлении и разработке методов этой регуляризации посвящены исследования А. Н. Тихонова (1965).

Теория нерегулярных оптимальных процессов

В связи с тем, что были обнаружены нерегулярные случаи оптимальных управлений и движений, в частности, случаи импульсных оптимальных управлений и случаи скользящих режимов, возникла задача о целесообразном расширении классов допускаемых управлений и (力 и движений х (力)——так, чтобы математические схемы отвечали сущности реальных проблем и в таких нерегулярных случаях.

Одним из примеров задачи, требующей рассмотрения обобщенных импульсных функций и (力),является уже упоминавшаяся ранее задача об оптимальном управлении механической системой при условии минимума полного импульса действующей силы (см. § 10, стр. 194), а также родственная ей проблема об управлении реактивным движением при условии минимума расхода реактивной массы (см. § 3, стр. 183). В этих задачах оптимальным управлением оказывается часто последовательность мгновенных импульсов, описываемых 6-функциями Дирака. Таким образомг в этих случаях должны допускаться обобщенные управляющие функции и (力，включающие класс 6-функций, а в качестве возможных движений х (力)должны допускаться такие, траектории которых в фазовом пространстве {/} могут иметь разрывы и угловые точки, что и было выполнена Для соответствующих классов задач (см. § 3, стр. 183, и § 10, стр. 194).

Общий подход к теории нерегулярных оптимальных движений и, в частности, движений типа скользящего режима связан прежде всего с развитием самого вариационного исчисления, обусловленного введением обобщенных понятий экстремали и новым развитием принципов оптимальности. Один из таких принципов, основанный на достаточных условиях абсолютного минимума, охватывающих как достаточно регулярные, так и существенно нерегулярные случаи, кратко характеризуется следующим подходом к проблеме.

Пусть дана задача о минимуме функционала

/ = % /о [^ 力(力)，％")] dt~\-F[x (Zo), х (^)] = min (18.1)

на движениях системы

/ = /[%/, и],(18.2)

лричем множество D допустимых пар вектор-функций / (力)и м (力，которые должны, следовательно, удовлетворять уравнению (18.2), стеснено условиями х ") С Гх (力),и (t) ^ U [厶 / (力)],где Г и U — заданные множества соответствующих векторных пространств. Кроме того, классы допускаемых функций х (t) и и (力)стеснены соответствующими естественными теоретико-функциональными ограничениями (кусочная гладкость, кусочная непрерывность, измеримость и т. д.). Метод состоит в доопределении функционала I до некоторого функционала L на множестве Е пар функций х (^) и % (力)(кусочно-непрерывных, измеримых и т. д.), не связанных уже, вообще говоря, уравнением (18.2). Однако конструкция L подбирается таким образом, чтобы существовала последовательность {/(6)"), и^ (力)} из D, на которой выполняется соотношение

Нт/[办咪 歩s>] = inf£.Нт/[办咪 歩s>] = inf£.(18.3)(18.3)

Нт/[办咪 歩s>] = inf£.

Нт/[办咪 歩s>] = inf£.

(18.3)

(18.3)

Для задачи (18.1) —(18.2) функционал I доопределяется до функционала L при помощи равенства

£ =(!)[/ (%), х (〃)] — ¥ 7?[力/ (力 м ⑺]d力(18.4)

где

一(18.5)

Ф [^ ^^F (g, л) + 屮(厶，П)一中(力，自)，(18.6)

причем ф (力 /) — непрерывная дифференцируемая функция, подбираемая так, чтобы выполнялось условие (18.3). Тогда L [/, и\ ~ I [/, м] при {瑞 u} С D,

Далее задача сводится, таким образом, к определению функции tp и к определению минимизирующей последовательности {/(§)(力),м($)«)} из D, от которой требуется выполнение условий сходимости

①々⑹&)Т> (〃)]—> inf ①哮⑪(18.7)

雕盥)■

R 卩，必”⑺，u(s>(^)] —> sup R 卩，瑞 и](18.8)

х£Гхu^U

(последнее по мере на отрезке "о, ^]), откуда и выводятся критерии оптимальности.

Так вводится понятие обобщенной экстремали, которая определяется равенством (18.3) в форме некоторой фундаментальной минимизирующей последовательности, В случаях, когда предельный элемент для этой последовательности в исходной области D отсутствует, получается, следовательно, специальная математическая конструкция. Эффективное построение этой экстремали осуществляется на основании условий (18.7)——(18.8) и определяется, таким образом, экстремальными свойствами функции _й (力 ％, %) при каждом фиксированном значении 力 С [Zo, ZJ. Такие экстремали, олицетворяемые минимизирующими последовательностями, представляют

новый класс рассматриваемых вариационных задач. Они имеют особое строение и требуют специальных приемов для их вычисления и исследования.

В достаточно регулярных случаях условия (18.7)—(18.8) смыкаются с известными соотношениями принципа максимума и методов динамического программирования. В самом деле, сравнивая, например, соотношения (13.7) и (18.5), замечаем, что в регулярных случаях роль функции ф может играть потенциал У, фигурирующий в уравнении Беллмана. Однако и в этих случаях функция 屮,удовлетворяющая нужным условиям, подчас может быть найдена проще, причем здесь не оговариваются жесткие априорные ограничения класса. С другой стороны, описываемый здесь подход нашел эффективные приложения и в нерегулярных случаях, в частности, при построении оптимальных скользящих режимов. Таким путем для этих случаев были разработаны методы, позволившие разрешать нелинейные вариационные задачи об управлении в ситуациях, характерных для приложений, и, в частности, были опубликованы методы решения таких задач, которые возникают при исследовании проблем оптимального снижения и торможения летательных аппаратов. Заметим, что решение ряда сложных задач (в частности, для нелинейных систем третьего порядка) было найдено описанными методами в замкнутой форме. Так же были исследованы нерегулярные обстоятельства, характерные для задач об управлении движением точки переменной массы в центральном поле, причем были выяснены дискуссионные вопросы, связанные с этой задачей. Далее, была исследована задача о реактивной стабилизации твердого тела с неподвижной точкой при условии минимума расхода топлива, причем снова были обнаружены и изучены экзотические оптимальные движения.

Условия оптимальности, связанные с описываемым подходом и опирающиеся на соотношения (18.4)—(18.8), были перенесены на управляемые системы с распределенными параметрами, а также на дискретные во времени системы. Наконец, в рамках данного подхода была изучена проблема синтеза приближенного оптимального управления и [t, /], причем была сформулирована своеобразная задача об оценке оптимальности выбираемого управления и [力 а], выведены полезные оценочные ■формулы и исследованы эффективные численные алгоритмы решения поставленной задачи.

Основные положения описанного подхода к обобщенным проблемам оптимального управления были опубликованы, начиная с 1960 г., в работах В. Ф. Кротова и его сотрудников. Кругу данных вопросов и близких к ним задач посвящены публикации А. А. Болонкина, М. 3. Борщевского, В. И. Гурмана, И. В. Иословича, Г. С. Розенберга. Однако надо заметить, что многие аспекты обсуждаемой теории еще нуждаются в строгом математическом обосновании.

Управление дискретными во времени процессами

Среди модификаций задач об оптимальном управлении и методов их решения занимают определенное место проблемы управления дискретными во времени динамическими системами. Движения таких систем, рассматриваемые в последовательные моменты времени т1? т2, . . ., т^,..., описываются обычно уравнениями в конечных разностйх

/ (以+i) N(s) = /(q, (^)，" (%)) (19.1)

(19.2)(19.2)или, иначе, итерационными уравнениями

(19.2)

(19.2)

% (“+2)= /(S，%(S)，“(以))・

Важность исследования таких систем обусловлена в значительной степени развитием дискретной вычислительной техники. Уравнения (19.1)—(19.2) хорошо описывают процессы управления, связанные с вычислительными цифровыми устройствами. Кроме того, рассмотрение уравнений (19.1) с малым шагом Ат互= т左~н —— 工互 является удобным математическим и вычислительным приемом и в тех случаях, когда для реальных объектов и регуляторов принимается непрерывная схема описания, базирующаяся на обыкновенных дифференциальных уравнениях. Для систем вида (19.1)——(19.2) были поставлены и исследованы проблемы об оптимальном управлении, аналогичные со от ветст вующим задачам для обыкновенных динамических систем (13.4). Были развиты аналогичные методы исследования и установлены аналогичные критерии оптимальности^ причем в ряде работ были также исследованы вопросы, связанные с предельным переходом от конечноразностных к непрерывным схемам описания движений при Атт 0. Поскольку в большинстве случаев математические конструкции, относящиеся к дискретным схемам, получаются естественной трансформацией подобных им конструкций для соответствующих непрерывных схем, мы не будем здесь приводить подробного обзора соответствующих результатов. Ограничимся лишь отдельными замечаниями. Исследование задач об оптимальном управлении дискретными системами в той его части, где оно связано с математическими вопросами теоретико-функционального характера, обычно проще, чем в случае непрерывных систем, ибо речь идет о последовательности управляющих усилий и (т&), но не о функциях и(Z). Однако исследование дискретных систем имеет и свои специфические трудности. Формулировки и запись основных соотношений, определяющих критерии оптимальности, часто имеют здесь менее компактный вид. Особенно это проявляется в задачах синтеза, для которых также усложняется исследование вопросов о предельных переходах к непрерывному по времени t случаю. Выяснены и более существенные трудности. В частности, в программных задачах об оптимальном управлении системами вида (19.1)—(19.2) (где минимизируемые интегралы I вида (13.3) заменяются их дискретными аналогами в виде сумм) не строится столь же гибкая система вариаций 6м (力， как это имело место, например, при обосновании принципа максимума в непрерывном случае (см. § 6, стр. 188). Поэтому здесь формулировка и доказательство аналогов принципа максимума наталкивается на серьезные затруднения (во всяком случае, для нелинейных систем и в той части, где речь идет о возможности немалых вариаций 6м (тй)). В соответствии с этим предложенные критерии оптимальности для дискретных систем, сохраняя основные черты аналогичных критериев из теории непрерывных систем, отличаются некоторыми дополнительными чертами. Теория оптимального управления линейными дискретными объектами оказывается более простой, причем многие задачи уже просто оказываются прямыми аналогами известных проблем линейного и выпуклого программирования. ;

Исследованию задач об оптимальном управлении дискретными системами посвящены работы А. Г. Бутковского, Р. Габасова, Ф. М. Кирилловой, А. И. Мороза, В. Н. Новосельцева, А. И. Пропоя, Б. Н. Пшеничного, Л. И. Розоноэра, А. А. Фельдбаума, Я. 3. Цьшкина и др.

Задачи оптимального преследования

Один из новых разделов теории оптимального управления составляют ■дифференциальные игры. Основной проблемой в теории дифференциальных игр является задача о преследовании одного управляемого объекта другим. Эту конфликтную задачу можно рассматривать как новый вариант известных задач о погоне, модифицированных в соответствии с представлениями математической теории игр и изучаемых на основе аппарата теории оптимальных процессов.

Задачи о встрече управляемых движений, в том числе и задачи о преследовании одного управляемого объекта другим, в течение сравнительно длительного времени разрабатывались в рамках специальных технических дисциплин. Для прикладных проблем разработаны эффективные конкретные решения, опирающиеся на такие известные принципы, как принципы пропорциональной навигации и т. п. Основой этих принципов наведения является обычно закон управления, который должен обеспечивать встречу. Этот закон управления выбирается так, чтобы вычислительный алгоритм и осуществление управляющих воздействий были удобно реализуемы. Однако при таком подходе, основу которого составляет выбранный наперед закон управления, процесс преследования не всегда оказывается оптимальным с точки зрения расхода ресурсов и времени. Конкретные результаты, относящиеся к упомянутым эвристическим принципам наведения, здесь обсуждаться не будут, так как они лежат в стороне от основной темы данного обзора.

В теории дифференциальных игр проблема как бы обращается: выбирается показатель Z, характеризующий процесс преследования, и требуется для преследуемого и преследователя найти законы управления, обеспечивающие им наилучшие значения Z. Поскольку речь идет о конфликтной ситуации, оптимальность процесса означает обычно, что требуется минимизировать / выбором управления для одного из партнеров и одновременно максимизировать I выбором управления для другого партнера. Таким образом, здесь ставится задача о минимаксе (максимине) показателя I. В частности, большой круг проблем составляют задачи о минимаксе (максимине) времени Т до встречи объектов.

Данные задачи оказались трудными и для теоретического исследования, и в реализации решений. В литературе известно немного работ, посвященных эффективному решению задач об оптимальном преследовании.

Трудно указать те теоретические работы, в которых на деле было начато исследование проблем оптимального преследования. Основные публикации появились в конце пятидесятых годов, а большая часть литературы по дифференциальным играм относится к шестидесятым годам. Следует заметить также, что по крайней мере в теории синтеза игровых оптимальных систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, советские публикации занимают пока в мировой литературе, пожалуй, сравнительно меньший объем, нежели в других основных разделах теории оптимального управления. Условия минимакса, характерные для игровых задач, фигурируют во многих проблемах, разрабатываемых в рамках теории динамического программирования. Широкому кругу конкретных задач из теории дифференциальных игр посвящена специальная монография Р. Айзекса «Дифференциальные игры» (1965; русский перевод: М., 1967).

Обсудим одну из типичных задач об оптимальном преследовании, трактуемую в форме игры двух лиц, В такой игре один партнер стремится

уменьшить, а другой, наоборот, стремится увеличить выбранный показатель Z, оценивающий результат игры. Пусть текущие состояния первого (преследующего) объекта описываются тг-мерным фазовым вектором у (力， а состояния второго (преследуемого) объекта пусть описываются фазовым тг-вектором z (力)・ При этом изменения у (t) и z (^) со временем описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями )

i=尸回矶(20.。

/⑵[z, и],(20,2).

где м и и — векторы, которые описывают управляющие воздействия. Воздействия м и и стеснены обычно ограничениями, например,

II ^||<ц,||^||<V(ц, V —const)(20.3>

или

\①[mg)] d力《也(T), \①心(方)]d力《у(T),(20,4)

где т — текущий момент времени, в который вырабатываются управления м (т) и и (т). (Неравенства (20.4) оценивают в заданной мере ① те- ресурсы управления, которые можно использовать при 力》т; по ходу процесса величины 也(т) и ” (т) меняются с изменением т в соответствии с реализующимся расходом ресурсов м и и, так что

也=-①也(方)], v——co [v(t)],(20.5>

если величина ① изменяется со временем достаточно регулярно.)

Игра описывается набором стратегий, т. е. правилами для вычисления управлений м и и・ Если, например, в качестве показателя I игры выбрано время Т, когда впервые совпадают указанные наперед координаты уг> (J с координатами z^.G) (/ = 1, . . ., к^п), то задача состоит в определении алгоритмов, вычисляющих в каждый момент 力=т такие усилия м (т) и и (т), которые обеспечивают min^ max^ Т (илитахи minu 7). Характер игры зависит от информации о движениях у (力)и z (力)，поступающей в органы, осуществляющие управление. Наиболее удобен по постановке задачи случай игры с полной информацией, когда в органах управления в каждый текущий момент времени 匕=т известны полные данные о реализовавшихся к этому моменту состояниях у (т) и z (т) (а в случае интегральных ограничений вида (20.4) на м и и должны быть известны еще и данные о неиспользованных пока и оставшихся на будущее (^>т) ресурсах управления 也(т) и ” (т). Важно подчеркнуть, однако, что будущее движение противника при 力 > т каждому из партнеров в момент т предполагается неизвестным. В таком случае стретегии игроков отождествляются с функциями

и(1)= и[у (т), z(T),(х(т), v(T)],(20.6)

v(y) = v{y (т), z(T), р.(т), v(T)],(20.7)

синтезирующими, следовательно, данную игровую систему в соответствии с общим принципом обратной связи. Итак, задача состоит в определении

таких функций м = %。(20.6) и и = и。(20.7), которые после подстановки в уравнения (20.1)—(20.2) обеспечивают минимакс величины

/[у(5 z(0.卩(t), v(t)] {"‘ v}~T {〃，и},

из какого бы допустимого состояния {у (т), z (т),也(т), V (т)} в данный текущий момент времени 力=т не исходило движение системы. Отметим еще одно обстоятельство, связанное с перестановкой операций minu и тахр. Известно, что, вообще говоря, min^maxu / {〃，v} =^ тахи minu X X / {и, и}・ Наиболее удобен, однако, случай седловой точки {и0, и°}, когда minumaxo / = тах^тхп^ I ~ I {и0, и°} и когда выполняются неравенства

/{△, u}《/{公，八}{/{"，*}.(20.8)

В дальнейшем, если речь пойдет о минимаксе, будет предполагаться выполнение условий седловой точки; противные случаи будут оговариваться. Итак, проблема состоит в определении функций и0 и и°, обеспечивающих минимакс величины I {и, и} = Т,

Описанная задача включается в следующую общую схему дифференциальной игры. Задано векторное дифференциальное уравнение

% = /[%, м, и],(20.9)

оговореньт ограничения 〃€几，沙€几，дано многообразие М конечных состояний 力(力)в пространстве {忆} и выбран показатель

/=%屮[第(力)，〃(力)，V (^)] dt-\-y[x (71)] = min max. (20.10) Jи и

Задача состоит в выборе управлений u° [%], и。[%], обеспечивающих минимакс I {〃，и}, причем Т — момент времени, когда изображающая точкам (力)впервые попадает на многообразие М. При этом, как правило, характер показателя I таков, что условия минимакса I сопровождаются стремлением первого игрока (управление и) привести движение х (力)на многообразие М, а стремление второго игрока (управление и), вытекающее из условий минимакса Z, наоборот, направляется на то, чтобы избежать попадания точки х (力)на М, Для включения рассмотренной выше задачи о преследовании в данную схему в случае ограничений (20.3) следует в качествен выбрать 2/г-мерный вектор {у, z} = {у^ . . упч z^ . . z^}, многообразие М определить равенствами yt> ~ 2^ (/ = 1, . . ., к) и положить в (20.10) 屮三 1, у 三 0; области Ги и Ги естественно определяются условиями И м II《也,II и II《”.В случае (20.4) в качестве х можно выбрать (2тг + 2)-мерный вектор {у, z, 也,v} = {у^ . . уп, z^ ... ...,zn,也,v}. Все остальные условия остаются без изменения, за исключением неравенств || и ||《也，|| и || < v, которые отбрасываются, а области изменения м и и совпадают со всем пространством {〃} и {и}・ Впрочем, в последнем случае по смыслу величин 卩(т) и ” (т) в условия задачи. (20.9)—(20.10) надлежит еще добавить ограничения на фазовые координаты р. (т) и V (т), а именно,也(т) >0, v (т) >0.

Сформулированные задачи содержат и принципиальные математические трудности и трудности вычислительного порядка. Игра, соответствующая рассматриваемой проблеме, является многошаговой позиционной игрой. Вычисление управляющих сил и (т) = м [% (т)] и и (т)= =и Ьг(т)] в соответствии с избранными стратегиями и [х] и и [%]

развертывается во времени «по шагам», отвечающим текущим моментам времени t =工 V Т. Наличие бесконечного числа этих шагов вследствие непрерывного изменения т определяет особенности задачи.

Как и в случае обычных задач об оптимальном управлении, проблема синтеза оптимальных игровых систем исследовалась исходя из двух основных позиций. Одно направление исследований связано с идеями динамического программирования, другое использует вспомогательные программные задачи.

В рамках теории динамического программирования для определения оптимальных управлений %。и и° и величины

/f窜“)]=miiiu тахр/[双幻]{〃，и},

рассматриваемой как функция от позиции % = % (т), строится уравнение в частных производных, заменяющее здесь уравнение (13.7) и являющееся также специальным случаем уравнения типа Гамильтона — Якоби. При этом условие minu в уравнении (13.7) заменяется здесь соответственно условиями min^ тахи (или условиями максимина или седловой точки соответственно). В частности, для задачи о преследовании при условии минимакса 7° времени Т до встречи, данное уравнение имеет вид

[零底Пт产[*(20.И)

где символ [©7。/© 力]u,d означает производную функции 7，窜«)]= =卩[% (力)]вдоль движения х (力)системы (20.1)—(20.2) (и, может быть, еще с учетом уравнения (20.5)) при выбранных управлениях м и и. Кроме того, функция 7。= Р [%] должна удовлетворять краевому условию Р [%] = 0 при х С М, т. е. при yt，~ Zij (j = 1, . . ., ©・ Подробная запись величины {dT^ldt}^ в (20.11) и дает упомянутое уравнение в частных производных. Условие (20.11) означает, что в пространстве переменных {忆^} величина V [х] играет роль потенциала, такого, что оптимальное управление м° спускает движение х (力)вдоль этого потенциала наискорейшим образом, а оптимальное управление и° предельно тормозит этот спуск.

В общем случае основное уравнение и краевое условие принимают ВИД

「4^■十屮"I ~ min max Г+ ф! =。， (20.12)

/о 岡=丫岡 при х^М. (20.13)

Они используются для составления критериев оптимальности как в достаточной, так и в необходимой форме, причем проявляются те же особенности (часто в усиленной форме), что и в случае обычных задач об оптимальном управлении, обсуждавшиеся выше.

Интегрирование уравнения (20.12), как правило, составляет очень трудную задачу. Дело осложняется тем, что в наиболее интересных случаях функция 卩[%] = /%] имеет нерегулярный характер, поверхности ее уровня ветвятся, содержат негладкие участки и т. д. Более простыми для исследования оказываются задачи с заданным наперед фиксированным значением Т, Тогда развитие общей теории встречает меньше принципиальных трудностей. Однако такие задачи, по~видимому, менее интересны для приложений. Конкретные решения Р [%] (и соответственно решения и0 [х] и и。[%]) для уравнения (20.12) известны лишь в частных

случаях, относящихся почти исключительно к системам (20.9) самого невысокого порядка. Подчеркнем также, что и общая теория уравнения (20.12) изучена пока весьма неполно. Так, например, при использовании соотношений (20.12)—(20.13) в достаточной форме еще не вполне выяснен вопрос о том, в какой мере условие minu max^, или max^ minu, или, наконец, условие седловой точки в дифференциальной записи в уравнении (20.12) обеспечивает выполнение соответствующего условия для оптимизируемой величины I {и, и}・

Один из немногих случаев, когда уравнение (20.11) можно использовать эффективно и для систем высокого порядка (по крайней мере в теоретическом плане), доставляет задача о преследовании для линейных объектов:

у = 4у + 3м, z = Cz-\-Dv (20.14) при ограничениях вида (20.4), где ①[g] = || q ||2. Соответствующее уравнение (20.11) поддается тогда обработке путем интегрирования его методом характеристик. Впрочем, даже в этой, наиболее удобной для исследования задаче возникает трудность, связанная с отмечавшимся уже выше обстоятельством: выполнение условий седловой точки но м и и в уравнении (20.11) еще не обеспечивает седловой точки для 7° = 7 {〃, и}, даже если решение 7° =卩(忆)уравнения (20.11) при соответствующем краевом условии оказывается достаточно регулярным.

В целом можно сделать вывод, что исследование игровых задач о синтезе оптимальных систем методом динамического программирования в наиболее интересных случаях пока еще только приближается к разрешению основных проблем. Следует подчеркнуть при этом, что в задачах игрового синтеза приобретают особенное значение обобщенные нерегулярные движения и, в частности, скользящие режимы. Кроме того, многие такие задачи оказываются некорректно поставленными, и эта некорректность, в частности, проявляется в том, что оптимальный процесс при его реализации оказывается неустойчивым. Поэтому на очереди дня стоит проблема регуляризации процессов, возникающих в таких некорректных задачах, и прежде всего проблема выработки устойчивых регуляризирую- щих алгоритмов, которые могли бы эффективно вычислять оптимальные управляющие воздействия и0 и и°.

Другой подход к проблеме синтеза оптимальных игровых систем, опирающийся на вспомогательные конфликтные задачи о программном управлении, обладает тем преимуществом, что он не связан явно с интегрированием уравнений в частных производных, а использует соотношения принципа максимума или уравнения Эйлера — Лагранжа и т. д., т. е. базируется на аппарате обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако взамен этого здесь возникает трудность обоснования и осуществления перехода от решений вспомогательных программных задач к исходной проблеме игрового синтеза. Поясним сказанное. Пусть для системы (20.1)—(20.3) требуется решить задачу о преследовании при условии минимакса времени Т до встречи, т. е. требуется найти- управления и0 [у, z], и。[у, z], обеспечивающие седловую точку для показателя 7務⑺，z(t)] = 7G⑺，zcr^m。,*} при каждом возможном текущем состоянии у (т), z (т), рассматриваемом в данный текущий момент времени 力=т как исходное состояние. Данной задаче синтеза сопоставляется, например, следующая задача о программном преследовании. Пусть при данных исходных условиях у = у (т), z = z (т) для системы (20.2) выбрано некоторое управление и = “贸七)，？“)](力)(力》т) и пусть 15 Механика в СССР, том 1

и =〃°[y(t), z“)](力)и — такое, отвечающее выбранному % управление системой (20.1), которое обеспечивает наискорейшую встречу движений у (力)и z (力)в момент 7® = Т {喝，v} = minuZ {〃，沙}・ Задача состоит в выборе такого управления и°, для которого Т^ = max^TS). В результате получается пара оптимальных программных управлений %(力 次八(0 и 〃%“)，z(t)](力)0。， причем управление м° (力)普о, вообще говоря, полезно лишь при условии, что управление и°«) объявлено преследователю заранее. Необходимые условия оптимальности в этой задаче определяются специальной модификацией принципа максимума. Далее, возвращаясь к проблеме игрового синтеза, естественно предположить, что решение этой проблемы получится, если положить

公頂⑴，Z(T)]=U%(t),Z(t)](工)加， "[у(т), z (т)]=兄ю,乞⑴](т). (20.15^

Таким образом, проблема синтеза разрешится, если верно только что высказанное предположение (20.15) и если имеется возможность по ходу процесса быстро и в эффективной форме разрешать соответствующие программные задачи, отвечающие реализующимся значениям У (т), z (т).

К сожалению, соотношение (20.15) в общем случае не обосновывается. Однако для ряда задач и при определенных ограничениях подобное сведение проблемы игрового синтеза к подходящим программным задачам было обосновано. Программная задача, описанная выше, была сформулирована и изучена в работе Д. Л. Келенджеридзе (1962). Математическое исследование одной из общих проблем синтеза в связи с принципом максимума для подходящих программных задач было выполнено Л. С. Понтрягиным (1964), который рассматривал дифференциальную игру при I = Т. Условия этой игры несколько отличны от условий, перечислявшихся выше. А именно, задача формулируется следующим образом. Пусть А ——множество пар {у (т), z (т)} исходных состояний объектов. Преследование называется осуществимым на А, если при произвольном исходном положении (“(т), z (т)) ^ Я и при произвольном управлении вторым объектом существует такое управление первым объектом, при котором преследование завершается за время, не превосходящее тасла ^Ly(t), z(t)] > о； при этом значение управляющего параметра и (力)в любой момент времени t преследования определяется состояниями у (力)и z (力)и, вообще говоря, значением управляющего параметра и (力)в тот же момент времени t. Функция Т^^ z(r)] считается оптимальной, если при любом исходном положении (у (т), z (т)) С / существует такое поведение второго объекта, при котором время преследования не может быть меньше числа T[?(t), z(t)]・

Основной результат состоит в следующем: указаны условия и способ выбора управления м, обеспечивающие, завершение преследования за время, не большее, чем некоторая оцениваемая величина Т, Здесь трудно описать подробно соответствующие формальные 'математические конструкции, на которые опираются эти результаты и основой которых является построение специального дифференцируемого отображения ① некоторого многообразия S {s} в фазовое пространство {忆} задачи (условия достаточной регулярности этого отображения и определяют в значительной мере условия разрешения задачи). Однако пренебрегая тонкостями, используемую конструкцию можно охарактеризовать следующим образом. Из каждой точки ^ многообразия М, на которое требуется привести движение 忆(力)={у «), z (力)}, выпускается в сторону убывания времени t некоторая траектория ^° (t)(力《0, х (0) = 0, являющаяся^

грубо говоря, оптимальной для специально подобранной программной задачи и определяемая подходящей формой принципа максимума. В этой конструкции принципа максимума фигурирует, как обычно, вектор 屮(力)"《6), начальное значение которого 屮(0)=自 по условиям трансверсальности выбирается ортогональным к многообразию М в точке W・ Пусть в исходной задаче о преследовании в данный момент 力=т реализовалось начальное состояние 力密= % (т) 二 {у (т), z (т)}, не лежащее на М, и пусть 力* — наименьшее по модулю значение тех моментов t, в которые какая-либо из описанных выше траекторий %° (力) приходит попятным движением в точку х —忆*. При определенных условиях доказывается возможность завершить преследование за время, не большее, чем I ^* I , и описывается построение синтезирующего управления м°, вытекающее из описанной схемы. Смысл упомянутого выше отображения ① сводится содержательно к вопросу об определении велвгаи- НЫ Sf = I 严 I .

Таким образом, в обсужденной работе даны условия разрешимости задачи синтеза, обоснование которых в общем случае оказалось очень трудной математической проблемой. Пока на основании контрольных примеров, с опро вождающих данную теорию, трудно сделать вывод о сфере эффективного действия ее в возможных приложениях.

В связи с трудностью общей проблемы синтеза дифференциальных игровых систем были рассмотрены отдельные частные задачи, для которых построение управлений м° [% (т)] и и。[х (т)] в соответствии с правилами прицеливания, вытекающими из соотношений (20.15) и из соотношений, им подобных, получающихся при аналогичных рассмотрениях подходящих программных задач, осуществляется с меньшими усилиями. Большинство из относящихся сюда результатов получено для линейных объектов, поскольку для этих объектов исследование и разрешение вспомогательных программных краевых задач весьма облегчается в связи с хорошо разработанной теорией управления линейными объектами (см. •§ 10). В частности, здесь существенно облегчается оценка взаимного расположения областей достижимости соответствующих движений, на которой часто базируются алгоритмы, разрешающие задачу о конфликтной встрече. Впрочем, следует заметить, что даже и здесь в линейных случаях проблемы синтезА сталкиваются с большим числом нерегулярностей и даже в самых простых случаях возникают, например, скользящие режимы. В результате справедливо считать, что дифференциальные игры в настоящее время претерпевают начальную теоретическую разработку, и пока еще отсутствуют публикации, по которым можно было бы судить о серьезных, интересных для механики приложениях теоретических исследований.

Задачам синтеза оптимальных систем в игровых ситуациях посвящены работы М. Ю. Гаджиева, М. И. Зеликина, Н. Н. Красовского, Е. Ф. Мищенко, Н. В. Мурзова, Ю. Н. Онопчука, Л. А. Петросяна, Г. К. Пожарицкого, Б. Н. Пшеничного, Ю. М° Репина, Э. Н. Симаковой, В. Е. Третьякова, Н. Т. Тынянского.

Параллельно с проблемой синтеза большое количество исследований было посвящено непосредственно изучению программных задач управления в конфликтных ситуациях. Этим задачам посвящены работы И. В. Бейко, Г. В. Вайсберга, В. Б. Гиндеса, Л. G. Гноенского, В. Ф. Демьянова, М. И. Зеликина, Ф. М. Кирилловой, Ю/ А. Кочеткова, И. А. Полетаевой, Б. Н. Пшеничного, Г. G. Розенберга, Н. Т. Ты- нянского.

228н. и. красовский

Стохастические управляемые системы

Как и в общей теории регулирования, в теории оптимально управляемых процессов большое место занимают проблемы управления системами, работающими в случайных обстоятельствах. Общая теория стохастических регулируемых систем имеет богатую историю и включает в себя такие, ставшие классическими, разделы науки, как математическую теорию информации, теорию оптимального преобразования случайных сигналов (в том числе теорию фильтрации шумов и теорию прогнозирования) и т. д. Однако вопросы, относящиеся к этим разделам теории регулирования, остаются вне рамок настоящего очерка. Подробный обзор соответствующих результатов читатель может найти в сборнике «Техническая кибернетика в СССР за 50 лет». Здесь мы ограничимся обсуждением сравнительно узкого круга проблем, связанных с управлением стохастическими системами при условиях экстремума заданных функционалов на случайных движениях. А именно, здесь будут обсуждены такие задачи и относящиеся к ним результаты, которые сформулировались как следствие обобщения аналогичных задач об оптимальном управлении детерминированными системами. Некоторые из таких задач, связанных с обобщением на стохастический случай проблемы аналитического конструирования регуляторов, уже упоминались выше (см. § 14, стр. 207). Теперь будут обсуждены некоторые общие схемы, в которые укладываются рассматриваемые стохастические задачи об оптимальном управлении.

Как и в детерминированном случае, проблемы оптимального управления стохастическими системами было принято классифицировать, исходя из двух основных аспектов: 1) трактуя проблему в форме задачи о программном управлении, 2) трактуя проблему в форме задачи о синтезе оптимальной системы, работающей по принципу обратной связи. Выше уже отмечалось (см. § 5, стр. 185), что такое разбиение имеет условный смысл, так как, если подойти с наиболее общих позиций, всегда по сути дела оптимальный управляющий алгоритм и0 ［力］ = и0 ［у (О),力()《О« 力］ (или и0 ［力］~ и0 ［у (О),力о《0 V 力］)строится на основе всех наблюденных данных у (О), имеющихся к данному текущему моменту времени 九 Однако в связи со сложившимися традициями и по причинам практического удобства мы сохраняем здесь указанное деление, считая его целесообразным.

Примером задачи о программном оптимальном управлении может служить следующая проблема. Пусть управляемое движение х (力)описывается векторным обыкновенным дифференциальным уравнением

忆=/［厶瑞 u］,(21.1)

и пусть в том же фазовом пространстве {忆} случайно блуждает точка z (%), движения которой составляют вероятностный диффузионтй процесс. Условная плотность распределения вероятностей р (т, у,厶 z) случайной точки z в пространстве {х} описывается уравнением Колмогорова — Планка

пп

X 吻(")鳥у十』У)鵠=0(21・2)

г, j=lг=1

<С ^заданными параметрами 〃炉 и 仇.При известном начальном состоянии 厶(力о) (и z (力J) требуется определить управление и0 (力)(力》力°), стесненное

заданным ограничением и ^ U и такое, чтобы функционал

/⑻=£ 无（S）^ 仲俨（。，Z, s）］ ds（21.3>

принимал экстремальное （максимальное） значение. Здесь h （т） — заданная функция и ури （о, z, т） — вероятность того, что случайная точка z （力），находящаяся в момент 力=о в положении z на отрезке времени- oW 力 &т встретится с е-окрестностью управляемой точки х （при выбранном управлении и）. Если, например, 后（力）= 1 при oW 力《工，九=О при 力 > т, то /⑻ есть просто вероятность встречи е-окрестности точки 忆（力）с точкой z （力）на отрезке о《力《т. Такую задачу можно рассматривать как обобщение на случай сближения х （力）с диффундирующей точкой z （力）обычной программной задачи о приведении управляемого движения х （力）в е-окрестность заданного движения z （力）• Подобная задача была изучена JL С。Понтрягиным и Е° Фп Мищенко в 1959 г., усилившими впоследствии （1962） соответствующие теоремы в связи с результатами А, Н. Колмогорова. Для оптимального управления м° （力） были сформулированы критерии, развивающие на данный стохастический случай принцип максимума. Другие аналогичные проблемы о программном управлении, рассматривавшиеся в литературе, также связываются обычно с задачей о минимуме или максимуме функционалов /, которые можно трактовать как математические ожидания или вероятности неравенств для случайных величин, оценивающих удаление （в той или иной метрике） управляемой точки х （力）（подверженной, может быть, случайным возмущениям） от заданных （фиксированных или случайных） точек z （力） или от заданных （может быть, случайных） движений z （力）・ При этом удаление х （力）от z （力）оценивается в фиксированный момент времени Т или на заданном интервале времени 力о《力《7, или в неизвестный заранее （случайный） момент времени 7, связанный с условиями экстремума 7, и т. д. Для обсуждаемых задач характерно то обстоятельство, что дополнительные данные о реализующихся на деле по ходу процесса при 力 > 施 случайных величинах, связанных с рассматриваемыми движениями, не учитываются и не используются для коррекции управления и0 （力）, выбираемого априори на основании лишь исходных данных, известных при t =力°. Подчеркнем, что эти исходные данные могут включать* в себя и априорные статистические описания процессов, участвующих в управлении, как это и имеет место в рассмотренном выше случае задачи （21.1）— （21.3）. Важно, однако, что результаты наблюдений, которые могут быть получены по ходу реализации процесса при 力》力°, здесь не используются для апостериорных уточнений упомянутого статистического описания и не вводятся в алгоритм управления. Однако этот недостаток постановки задачи компенсируется часто следующим удобным свойством, проявляющимся при ее решении. А именно, во многих случаях в программных стохастических задачах оказывается возможным как бы исключение. внутреннего вероятностного механизма явления （за счет усреднения, асимптотических оценок и других аналогичных операций） и дело так или иначе сводится к математическим ситуациям, подобным тем, которые характерны для аналогичных детерминированных случаев. В соответствии с этим и условия оптимальности получаются часто как естественное развитие соответствующих детерминированных критериев. Следует, впрочем, подчеркнуть, что по крайней мере для нелинейных объектов стохастические задачи о программном управлении даже с учетом упомяну-

той выше возможности приближения их к аналогичным детерминированным задачам остаются сложными проблемами. Из известной литературы можно сделать вывод о больших трудностях, сопровождающих попытки эффективного решения этих, задач. Здесь уже потребовались серьезные исследования проблем по существу, которые выполнялись на основе своеобразных методов, в частности, методов, использующих оригинальные приемы усреднения. Наоборот, в случаях программных задач для линейных систем вида

%=4%+3% + 9，(21.4)

где ср (£) — случайное воздействие и матрицы A (t) и В (力)могут тоже содержать случайные элементы, причем начальные состояния также могут быть описаны статистическим распределением, задача обычно упрощается без принципиальных трудностей; за счет упомянутых выше предварительных преобразований дело сводится к одной из типичных квазидетер- минированных ситуаций. В самом деле, пусть, например, речь идет о приведении системы (21.4) с заданными детерминированными матрицами А и В, независимой от х (力)помехой ф (力)(力 > 力°) и при каком-либо типичном ограничении u ^ U к заданному моменту 力=厶 в такое состояние, чтобы математическое ожидание М {у [%(%)]} от заданной функции у [% (2)] было максимальным. Тогда несложной трансформацией за счет разбиения системы на две подсистемы задача сводится к обычной проблеме программного управления: привести систему

х = Ах-\- Ви (м С U) в такое состояние 忆(力),где максимизируется детерминированная функция 乂 [%(%)], которая вычисляется априори на основании статистических свойств случайной компоненты ф (+) (и случайного начального разброса исходных данных х (Zo) ~ 胃°, если этот разброс имеет место). Задачам этого типа посвященаф уже довольно обширная библиография, основная часть которой перечислена нами в § 10 (см. стр. 197) при обсуждении детерминированных задач управления линейными системами, так как и по методам исследования, и по свойствам решений соответствующие работы относятся фактически к рассмотренной там группе проблем.

Проблема синтеза оптимальных систем (с обратной связью) в стохастических случаях приобретает особенное значение, так как именно этот аспект задачи позволяет при формировании управляющих воздействий учесть реальный ход осуществления случайных движений, не предсказываемый точно заранее. Примером задачи о синтезе стохастической оптимальной системы с обратной связью может снова служить задача об е-сближении точек 忆(力)и z (力),движения которых описываются уравнениями (21.1)—(21.2), причем может требоваться, например, минимум математического ожидания для случайного момента времени те, когда впервые расстояние между точками 汽(力)и z (力)становится равным (или меньшим) е. Однако теперь в каждый момент времени 力 V 工& управление и будет формироваться, например, уже в виде функции и [t]= = и [t, х (力)，z (力)](力》力°) и, следовательно, в каждый момент t величина и будет вычисляться с учетом реализовавшихся к этому моменту величин 忆(力) и 2 (力)・ Ясно, что при этом предполагается возможность мгновенного измерения реализующихся значений 忆(力)и z (力)• Такая постановка проблемы, учитывающая дополнительные данные (значения х (t) л z (力)),поступающие по ходу процесса, позволяет, естественно,

получить лучшие показатели, чем в случае программного управления. Однако теперь решение задачи, как правило, усложняется.

Для задач о синтезе оптимальных систем с обратной связью были разработаны весьма общие схемы постановки проблемы и развиты общие лодходы к их исследованию. В основу большинства этих схем исследования был положен принцип оптимальности (см. § 13), который здесь трансформируется естественным образом в соответствии с вероятностными обстоятельствами. Для справедливости принципа оптимальности теперь важно, чтобы рассматриваемый процесс обладал марковским свойством ). Таким образом, здесь все участвующие в задаче процессы в совокупности должны составлять марковский процесс (в замкнутой системе регулирования при включенном управлении 〃° [力]). В результате оптимальное управляющее воздействие 〃° [т] в каждый текущий момент 力=工》力о должно строиться как функция а。[т] = а。[т,刀(т) ] от некоторых достаточных координат 刀(т), которые удовлетворяют упомянутым условиям быть марковскими. Наибольшее распространение для таких задач получили методы исследования, связанные с идеями динамического программирования. При этом в соответствии со сказанным выше в качестве достаточных координат выбираются величины g, которые должны описывать состояние системы настолько полно, чтобы соответствующие статистические характеристики позволяли рассматривать минимизируемую величину

Лт, "(Р)] {и} = Мш { §Лт, "(Р)] {и} = Мш { §со [t, x(t)4 и (^)] dt4-y[x(T)]^

Лт, "(Р)] {и} = Мш { §

Лт, "(Р)] {и} = Мш { §

т

хак функцию от элемента 刀(т) в подходящем пространстве {т|} и, в соответствии с этим, опираясь на принцип оптимальности, составить аналог уравнения Беллмана для величины

卩m叩=珞,"切=黑?/m "⑴]｛哈

Здесь символ M^ {g} имеет смысл условного математического ожидания •от случайной величины g, вычисленной при «известном» значении 刀. Иначе говоря, эта величина получается усреднением по всем возможным будущим реализациям процесса, которые могут породиться при вобранном управлении и [t] (^>т) и при реализовавшемся в момент 力=т значении т].= 1] (т).

Значения достаточных координат п по ходу процесса определяются на основании апостериорных оценок, получаемых из измерения на всем лредыдущем интервале реализовавшихся наблюдаемых величин у (力)， информационно связанных с движением 力(力).Эти величины у (t) и их информационная связь с управляемым движением х (t) оговариваются лри постановке задачи, а свойства их наряду с динамикой объекта и определяют выбор достаточных координат. Таким образом, общая стохастическая проблема об оптимальном управлении включает в себя задачу об определении значений достаточных координат т)(т)=刀[у (力)，^ <； т] и задачу о формировании оптимального управляющего воздействия

a。Id = u° [т, т] (т)], базирующуюся, следовательно, на результатах статистической обработки наблюдений. Эта общая проблема охватывает большой круг конкретных задач, в том числе задач, связанных с адаптацией управляющих органов и задач дуального управления, когда оптимальным образом преследуются две цели: накопление информации о системе и управление этой системой. В связи со сказанным приобретает особое значение задача о наблюдении движений стохастических систем. Эта задача составляет рдин из разделов общей теории вероятностных процессов, о чем уже шла речь выше; поэтому на относящихся сюда результатах мы специально останавливаться не будем. Отметим лишь, что для этой задачи были разработаны специальные приемы решения, имеющие важное прикладное значение в ситуациях, типичных для механических систем.

Общие принципы построения уравнения Беллмана для марковских управляемых систем разработаны достаточно полно, но конкретных эффективных решений этого уравнения для систем более или менее высокого порядка известно не слишком много. Большинство рассмотренных задач связано с проблемой минимума величины /[р, “(р)]{ь} (21.5).

Функциональное уравнение Беллмана для такой задачи в общих чертах строится следующим образом. Минимизируемая величина /瞋，“(切 {〃} согласно сказанному трактуется как функция от реализующихся значений величины 刀(т) (которая в свою очередь, вообще говоря, является сложным образованием; в простейшем случае полной информации об объекте имеем т] (т)=力(т)). При выбранном управлении и (t) (т《力 V т 丄 + dr) величина

0(% + dt) = 7W“(t+dt)/[t+dt, Tl(P+dt)] {〃}

является случайной. Поэтому здесь в уравнении Беллмана, в отличие от (13.7) (см. также (14.5)), не просто фигурирует производная (dV/dt)u, но используется как бы усредненное значение этой производной М {dVldt}u = L {P}u, и уравнение принимает вид

L {У}ио + М^ {co}uO = min [L {卩}口 十 М^ {co}J. (21 • 6>

Уравнение (21.6) должно интегрироваться при краевом условии V [Т, rj]= =〃“ [у (力(？))]• Многие задачи, для которых известны эффективные решения, связаны с квадратичными функционалами вида (21.5) и примыкают к задачам об аналитическом конструировании регуляторов, о чем и шла речь выше в § 14 (см. стр. 207).

Были исследованы также проблемы управления стохастическими системами в конфликтных ситуациях. Эти проблемы подобны игровым задачам, обсуждавшимся в § 20, но сопровождаются еще и случайными обстоятельствами. В связи с этим полезно заметить, что выяснилось следующее интересное обстоятельство. Некорректные детерминированные задачи об оптимальном управлении и особенно игровые конфликтные задачи подчас могут регуляризироваться за счет наложения малых шумов.

В заключение этого раздела подчеркнем еще раз, что в нашем обзоре остались совершенно не обсуждеиными многие аспекты теории вероятностных процессов и приложения этой теории, важные для проблем управления. Это объясняется чрезвычайной обширностью соответствую-

щего материала. Мы вынуждены были ограничиться самым узким кругом задач, относящихся прежде всего к задачам управления марковскими системами, поскольку именно этот раздел наиболее удобно рассматривается как непосредственное обобщение того круга задач об управлении детерминированными системами, которые составляют основной предмет данного обзора. В нашем обзоре совершенно не освещается теория оптимальной фильтрации шумов Колмогорова — Винера. В связи с этим мы не имеем, к сожалению, возможности обсудить содержательно и те вопросы оптимального управления движением, которые так или иначе восходят к этой теории. Однако следует отметить, что среди таких вопросов немалое число весьма тесно связано с задачами, рассмотренными в данном обзоре, в частности, в настоящем параграфе и в § 10 и 14. Ограничимся здесь лишь беглыми замечаниями по этому поводу. Представление об основных достижениях общей теории регулируемых стохастических систем читатель может получить по сборнику «Техническая кибернетика в СССР за 50 лет». Прикладным проблемам оптимального наблюдения сигналов в регулируемых системах посвящена известная монография В. С. Пугачева «Теория случайных функций и ее применение в теории автоматического управления» (I960).

Проблема оптимальной фильтрации, будучи по своей первоначальной формулировке чисто информационной проблемой о наилучшем наблюдении сигналов, в дальнейшем с развитием теории регулирования стала играть одну из главных ролей при решении задач синтеза-оптимальных управляемых систем (ср. замечание на стр. 232). В советской литературе этим вопросам посвящено большое количество работ, с библиографией которых можно познакомиться в упомянутом только что сборнике. За последнее время выяснились многие интересные связи между постановкой проблем фильтрации и другими проблемами оптимального управления. Были исследованы задачи о синтезе оптимальных систем и связанные с ними задачи об оптимальной обработке случайных сигналов для ситуаций, типичных, в частности, в проблемах управления механическим движением. Были исследованы близкие проблемы, связанные со статистической надежностью управления объектами. Наконец, были изучены нелинейные системы, находящиеся под воздействием случайных возмущений. Комбинированием методов гармонической и статистической линеаризации были построены схемы приближенного исследования таких нелинейных систем. Были установлены основные качественные эффекты, характерные для типичных ситуаций.

Большое место задачам управления стохастическими системами уделено в монографии В. И. Зубова «Теория оптимального управления судном и другими подвижными объектами» (1966). Прикладным вопросам теории случайных процессов в нелинейных автоматических системах посвящена монография А. А. Первозванского «Случайные процессы в нелинейных автоматических системах» (1965). Вопросы оптимальной фильтрации шумов в связи с проблемами управления изучены в монографии Р. А. Полуэктова и В. Я. Катковника «Многомерные дискретные системы управления» (1966).

Отметим также, что обзор проблематики, близкой к материалу упомянутых монографий, содержится в работах Р. Э. Куликовского «Оптимальные и адаптивные процессы в системах автоматического регулирования» (1965; русский перевод: М., 1967) и Р. Ли «Оптимальные оценки, определение характеристик и управление» (1963; русский перевод: М., 1966).

Возвращаясь к основному материалу настоящего параграфа, укажем, что вопросам теории оптимального управления марковскими стохастическими системами посвящена монография Р. Л. Стратоновича «Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления» (1966). Большое место эти задачи занимают в монографии А. А. Фельдбаума «Основы теории оптимальных автоматических систем» (1963).

Теории оптимального управления стохастическими системами в аспектах, близких к обсуждавшимся в настоящем пункте, посвящены исследования (помимо исследователей, уже упоминавшихся в § 10 и 14, где шла речь о линейных системах и о задаче об аналитическом конструировании оптимальных регуляторов) Н. И. Андреева, И. А. Богуславского, А. А. Боровкова, И. В. Гирсанова, В. Н. Горбатенко, А. В. Добровидова, Е. Б. Дынкина, В* П. Живоглядова, Ю. В. Кожевникова, Г. Е. Колосова, М. 3. Коловского, А. А. Красовского, А. Б. Куржанского, В. В. Новосельцева, Ю. И. Параева, И. И. Перельмана, Ю. В. Пономарева, Г. С. Поспелова, Ю. В. Прохорова, Ю. А. Розанова, И. В. Романовского, В. С. Ря- сина, В. Н. Стихина, А. Ф. Терпугова, В. В. Токарева, В. И. Червина, А. П. Черенкова, В. И. Чернецкого, А. Н. Ширяева, В. И. Шмаль- гаузена.

Задачи оптимизации систем с распределенными параметрами

Выше речь шла всюду об управляемых объектах с конечным числом степеней свободы, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями или уравнениями, обобщающими их с учетом случайных обстоятельств, импульсных 6-воздействий и т. д. Здесь будут обсуждаться результаты, относящиеся к задачам об оптимальном управлении объектами с бесконечным числом степеней свободы (так называемые объекты с распределенными параметрами). Эти объекты, содержащие обычно элементы со сплошной средой, описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, интегральными, интегро-дифференциальными уравнениями и т. д.

Математическая формулировка для ряда основных общих задач об оптимальном управлении процессами в системах с распределенными параметрами была предложена в работах А. Г. Бутковского и А. Я. Лернера (I960). В этих задачах состояние объекта в каждый текущий момент времени t определяется совокупностью функций одной или нескольких пространственных координат, описывающих звенья со сплошной средой. Влияние управлений на поведение системы определяется в математической форме «управляющими» функциями и, которые входят в запись дифференциальных уравнений в частных производных, интегральных уравнений и т. п., определяющих поведение объекта (объемные управления). Кроме того, управление может осуществляться за счет влияния на граничные условия, в которых работают те или иные звенья. Тогда функции {граничные управления) входят в запись краевых условий для соответствующих задач математической физики. Переменные и могут быть как функциями от времени, так и функциями от пространственных координат. Задачи такого рода возникают при управлении процессами тепло- и массопереноса, процессами в энергетических установках и химических реакторах, при управлении гидро- и аэромеханическими объектами и т. д. Как правило, это — трудные для исследования и тем более для конкретного решения математические проблемы.

Для систем с распределенными параметрами были выведены условия оптимальности, переносящие на эти системы принцип максимума. Базой для такого перенесения является следующее обстоятельство. Широкий круг процессов в объектах с распределенными параметрами можно описать «обыкновенным» дифференциальным уравнением

力=/[力,〃], (22.1)

рассматриваемым, однако, уже не в 九-мерном пространстве векторов 力, а в подходящем функциональном пространстве {/}. Это и открывает путь для естественного перенесения сюда формализма принципа максимума. Однако теперь в связи с бесконечной размерностью пространства {/}, а также в связи с тем, что в наиболее интересных случаях оператор / в правой части (22.1) неограничен (как, например, это имеет место при записи в форме (22.1) параболических или гиперболических уравнений в частных производных), перенесение принципа максимума на системы с распределенными параметрами требует преодоления серьезных трудностей. ，

В частности, здесь требуются д опол нител ьные предположения о существовании решений, их единственности и должной зависимости их от параметров и управляющих функций (а также и предположения о некоторых специфических обстоятельствах, связанных с математическими конструкциями, например, о наличии внутренних точек у рассматриваемых по ходу дела множеств элементов функциональных пространств и т. д.). В общих случаях многие из таких предположений нелегко проверить эффективно. Таким образом, хотя формализм принципа максимума достаточно полно переносится на рассматриваемые системы (с соответствующими вык л ад очными изменениями, отвечающими особенностям нового аппарата), однако по содержанию общая проблема такого переноса все-т^ки представляется еще не исследованной до конца, тем более, что вопрос о классах допустимых управлений мио сущее т во в ании в них оптимальных управлений 〃° (力)и движений 力° (力)в общем случае пока исследован также не полностью. К числу строгих результатов, относя^ щихся к проблеме существования и единственности оптимального управления системами, описываемыми функциональными уравнениями .(22.1), отвечающим случаям параболических и гиперболических систем, относятся результаты Ю. В. Егорова (1962). При этом, в частности, была рассмотрена задача об управлении процессом теплопроводности, когда управляющие функции и входят в граничные условия и минимизируется квадратичный функционал, определенный распределением температуры, при заданном интервале времени или минимизируется время переходного процесса к желаемому распределению температуры при известных квадратичных ограничениях.

Условия оптимальности, соответствующие принципу максимума, были выведены для процессов, которые описываются интегральными соотношениями

%(?)= \ К〈Р, S, и (5)) dS. (22.2) ■02

где Di и D2 — две области, соответственно в р- и s-мерных евклидовых пространствах, Р W, S С S, а функция 冗(戶)описывает фазовое состояние системы. При этом требуется найти управление и = uQ (S), которое

минимизирует функционал

(5, x(S))dS.(22.3).

Показано, что при определенных условиях и ограничениях на оптимальное управление функция

п (凡 и) = _ § 警 К (S, R, u)dS

достигает своего максимального значения. Результаты были применены к отысканию оптимального управления, когда процесс описывается краевой задачей

等案(О《ут, 0W三，

] ^^^, K^l^ = a[u^_Q^；(224)

Q(0, & П)= 0・J

В качестве минимизируемой величины выбран функционал

/= £ IQ*⑺-g«, 1)|2谈.(22.5)

О с

0(力，』)=\ Q"，e，⑴眼О

в котором Q* (力)一заданная функция. Конечные состояния процесса при 力=7 и момент Т фиксируются или свободны. Однако при фиксированных конечных состояниях* здесь еще остаются серьезные трудности, связанные вообще с трудностями разрешения краевых задач для проблем оптимального управления, лишь усугубляющихся в случаях систем с распределенными параметрами.

Общие теоретические результаты, относящиеся к рассмотренному кругу проблем, были использованы для решения задачи о б оптимальном управлении методическими печами и нагревательными колодцами. При этом решения были доведены до разработки вычислительных алгоритмов управления. Добавим еще, что принцип максимума был обобщен не только на интегральные соотношения вида (22.2), но и на нелинейные интегральные уравнения довольно общего типа, описывающие движения управляемых объектов из весьма широкого круга задач. Наконец, следует сказать, что для систем, описываемых интегральными уравнениями, были построены и некоторые достаточные условия оптимальности.

Принцип максимума был развит далее для широкого класса процессов, описываемых уравнениями и системами уравнений в частных производных второго порядка. Это было сделано для всех основных типов уравнений математической физики. Наиболее полные результаты относятся к случаям, когда область изменения независимых переменных предполагалась фиксированной.

Здесь большой цикл работ посвящен исследованию оптимального управления системами, которые можно описать уравнениями и системами уравнений в частных производных. О некоторых из таких задач

уже упоминалось выше (см. стр. 235). Охарактеризуем кратко некоторые результаты. Была рассмотрена задача об управлении объектом, описываемым квазилинейным уравнением

雾=% (力 X, у, u) + 2 九(力，2, V, u)建(22.6)

с начальным условием

и (0,力) = %(/)(22.7)

и граничным условием

0(九力)底=纟(力吟(22.8)

где 力={а】,•..,力冗} принимает всевозможные значения из области D, ограниченной поверхностью S, а 5\ — некоторая часть S. Допустимые управления и = и (t,力)предполагаются кусочно-непрерывными и удовлетворяющими условиями (pfe (а) С0 (" = 1, - . -, г < т), где m — размерность вектора и = {〃匕...,〃^}. При этом они могут не зависеть от одной или нескольких координат. В качестве минимизируемой величины был выбран один из функционалов

Л = ^ ^ [Go (i, х, у, u) + 2 Gk (^, ^，и, и) dx dt, (22.9) 0 Dk=i

厶=£ G(T\ 力，u(7,力)，u{T. x)) dx.(22.10)

Момент времени T фиксирован. Необходимые условия оптимальности управления 〃(詳 力)по функционалу Ц состоят в том, что

= 〃 (力，力，, • • •,，卩，〃 +—

(力g力券'…，器，"")4°

для почти всех t^ [0, Т] и x^D, где р(力力)определяется уравнением

貝(為)(22.11)

dt dv 々 I dvk /

и дополнительными условиями

Р(т, 3:) = 0,{2 ^-cos(«, ^)}S2 = 0,(22.12)

где Si + S2 = S, n — внешняя нормаль к S?, а 〃 = —G2 + fp. Аналогичный необходимый критерий оптимальности формулируется и для функционала Z2.

Далее были рассмотрены задачи об оптимальном управлении объектами, которые описываются общими системами дифференциальных уравнений параболического типа

(22.13)(22.13)~^~ + 厶У = f (力力，У, Ун, 〃),

(22.13)

(22.13)

где L，y — эллиптические операторы, определенные в некоторой области G пространства {力} = {力㈠...,力冷}, имеющей достаточно регулярную

границу Г. Функции у» （厶 х）, описывающие фазовые состояния объекта, удовлетворяют, как обычно, начальному условию у （0, х） ~ а （力）.Были изучены задачи, отвечающие двум основным типам краевых условий: 1）班（方，力）=Tг （力力）при力ё「，0W力总7 и 2） R （力力）у = к （力伤y, v） при 6 Г, 0 <^<7, где Рг （力 胃）一граничные операторы, связанные с процессом, величины и = ｛内，...,力｝ играют роль граничных управляющих параметров. В качестве минимизируемых величин выбирались линейные или нелинейные интегральные выражения. Условия оптимальности принимают наиболее простую форму, если минимизируются соответственно функционалы вида

乙=X [ § 8（2）yt （Т, 2）彰 + § 、也（力 2）yt （f, X）dx dt + i=i G0 G

+ \ § R（力力）P（L e）沙而近]（22.14） о f■

или

?2= 2 [ g S （/）玖（7,%）a/+ \ §巾（厶力）4i （厶/）а力d力+ 1=1 G0 G

+ ^ ^ Ti（^ x）yidodt. （22.15） о г

Рассматриваются два основных типа задач об оптимальном управлении: 1） задачи с конечным состоянием объекта, заданным соотношениями вида

Фа （7,力，У （7,力））=0 （а = 1,…，/）,

\ ^^｛Т, g у（7,力），ух（Т,力））&/ = *（0=1, •…©,

причем момейт t = Т, вообще говоря, не фиксирован и 2） задачи с фиксированным Т и свободным конечным состоянием.

Основу принципа максимума для данных задач составляют функции Z» （力，力），играющие здесь роль вектора 屮 и удовлетворяющие системе уравнений в частных производных, канонически сопряженной с исходной системой. Аналогичные результаты получены и для управляемых процессов, описываемых краевыми задачами для уравнений эллиптического типа, задачей Гуре а для системы гиперболических уравнений, а также подобными задачами для уравнений первого порядка. Здесь минимизируемыми функционалами также являлись в большинстве случаев интегральные выражения.

Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, выяснилось, что для линейных уравнений и минимизируемых функционалов при линейных граничных условиях указанные условия оказываются, как правило, достаточными условиями оптимальности （с теми оговорками, о которых шла речь выше,— см. стр. 235）. Аналогичные результаты получены и для тех случаев, когда процесс описывается совокупностью уравнений в обыкновенных и частных производных с различными граничными и начальными условиями. Условия оптимальности для задач с нефиксированной областью изменения независимых переменных （в том числе и задач на оптимальное быстродействие） получены в аналогичной форме.

но при более жестких ограничениях на классы допустимых управлений. Развитию принципа максимума для систем с распределенными параметрами посвящены большие серии работ А. Г. Бутковского, А. И. Егорова, Ю. В. Егорова, Т. К. Сиразетдинова.

Как и в случае конечномерных динамических систем, в области задач об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами сохраняют полную работоспособность усовершенствованные методы классического вариационного исчисления. При этом и здесь основное внимание было уделено составлению необходимых условий минимума для экстремальных задач со связями, трактуемыми как проблема Майера — Больца. Главным образом это было сделано для задач, связанных с уравнениями эллиптического типа. Было показано, что в таких типичных задачах, возникающих из проблем оптимального управления, необходимые условия стационарности (уравнение Эйлера и естественные граничные условия, а также условия Вейерштрасса — Эрдманна) составляются при помощи обычных приемов. Критерии опираются снова на множители Лагранжа %, которые здесь зависят уже обычно от пространственных координат, а соответствующие дифференциальные уравнения снова конструируются исходя из подходящих форм функции Гамильтона. Условия стационарности дополняются необходимым условием Вейерштрасса сильного относительного минимума. Разумеется, это условие, которое записывается через условие экстремальности функции Гамильтона на оптимальных решениях, имеет смысл, аналогичный соответствующему условию принципа максимума. Важно, однако, заметить, что при работе с модификациями классических методов вариационного исчисления в случае уравнений с частными производными проявляются некоторые новые черты. В результате получаются условия оптимальности, более сильные, нежели известные в настоящее время обобщения принципа максимума на системы, описываемые уравнениями в частных производных. Упомянутые черты проявляются, в частности, в связи с тем обстоятельством, что приращение минимизируемого функционала при изменении объемного управления (за счет варьирования от оптимального управления) в пределах области достаточно малой меры зависит не только от вариации управления и меры области, но также существенно определяется и предельной формой области варьирования. Таким образом, получается, что при изменении формы области, определяющей вариацию, могут, получаться более или менее широкие необходимые условия экстремальности. Как отмечено выше, эффект анизотропии варьирования пока был получен только классическими методами. Причины этого, по-видимому, различны: некоторые работы, посвященные принципу максимума, относятся к таким задачам, где этот эффект вообще не проявляется, в других случаях эффект анизотропии исключался вследствие ограничения при исследованиях лишь вариациями специального вида. Полезно также заметить, что описываемый эффект анизотропии расширяет возможность управления и оптимизации в обширном классе случаев независимо от типа исходных уравнений. Эффективность классических методов вариационного исчисления была проверена на конкретных типах задач. В частности, таким путем была исследована задача об оптимальном распределении проводимости электропроводной жидкости (газа) в канале магнитодинамического генератора электрической энергии. Эта задача как раз доставляет пример вариационной проблемы, где эффект «анизотропии» варьирования играет существенную роль. Развитию классических методов исследования посвящены работы К. А. Лурье.

Динамическое программирование пока не нашло широкого применения при исследовании систем с распределенными параметрами. Были исследованы лишь отдельные классы задач, связанные главным образом с проблемой минимума квадратичных функционалов. При этом, в частности, были выведены соотношения, определяющие оптимальное управление, которое стабилизирует рассматриваемый объект и обеспечивает при этом минимум интеграла от заданного квадратичного функционала от фазовых координат и управляющих функций. Кроме того, методом динамического программирования были изучены некоторые задачи об управлении стохастическими объектами с распределенными параметр рами. Этим вопросам посвящены исследования Э. М. Вайсборда и Т. К. Си~ разетдинова.

Наименее исследованной проблемой, для которой известно мало эффективных и строго обоснованных решений, остается краевая задача, возникающая, в частности, в связи с необходимостью приведения объекта в заданное состояние, В случае линейных систем эта проблема решалась путем трактовки задачи как проблемы моментов. Таким путем были изучены задачи об управлении линейными параболическими системами при ограничениях (например, \\ и || < Z = const) и условии, что требуется минимизировать время t ~ Т, ио истечении которого у (力 х) совиа- дает с заданной функцией у (力). Разложением в ряд Фурье задача была сведена к выполнению счетной системы равенств вида

а； = ^ g； (Т, т) и (т) dt (Z = l,2, ...),о

которые и составляют бесконечномерную проблему моментов. Этим вопросам об управляемости бесконечномерных систем посвящены, например, работы А. Г. Бутковского, Л. Н. Полтавского, Ф. А, Шоло- ховича. Надо также упомянуть близкиепо теме иностранные работы Ф. Танга и П. Ванга. '

Аналогичным образом были исследованы задачи об успокоении коле™ баний для линейных управляемых систем, описываемых волновым уравнением, Однако и этот путь связан с преодолением серьезных трудностей, поскольку в рассматриваемых случаях получается бесконечномерная проблема моментов и представляющий здесь основной интерес вопрос о возможности эффективной аппроксимации ее подходящей конечномерной проблемой пока еще далек от полного решения, а на общие вопросы об управляемости бесконечномерных систем скорее всего получаются отрицательные ответы. Упомянутый основной вопрос был исследован лишь в отдельных частных случаях, когда таким путем были получены значения оптимальных управляющих воздействий как для задач программного управления, так и для отдельных проблем синтеза систем с обратной связью. Вообще задача об аппроксимации управляемых систем с распределенными параметрами подходящими конечномерными системами представляется весьма важной проблемой, разрешение которой открыло бы новые эффективные пути и для теоретического исследования и для конкретного численного решения. К сожалению, в литературе известно совсем мало результатов, относящихся к такому обоснованию. Помимо упомянутых выше исследований, связанных с использованием результатов, относящихся к проблеме моментов, и обоснованных пока лишь для отдельных частных случаев задач об управлении линейными параболическими и гиперболическими системами, можно упомянуть

еще результаты, относящиеся к аппроксимации конечномерными системами систем с последействием. Эти системы, описываемые, в частности, уравнениями с запаздываниями времени

/(%) = /[& /(%)，/g一%)，m], (22.16)

также относятся к классу бесконечномерных систем. Однако среди таких систем они представляют наиболее удобный для исследования объект. Поэтому здесь был доказан ряд теорем о сходимости решений задач об оптимальном управлении для аппроксимирующих систем к решению исходной проблемы для заданной системы (22.16) с последействием. Задача об аппроксимации управляемых систем с последействием была изучена в работах М. И. Иманалиева, К. Б. Какишова, Н. Н. Красовского, Е. М. Маркушина, Ю. М. Репина, М. Е. Салуквадзе, С. Н. Шиманова.

Естественным методом приближенного решения задач об управлении системами с распределенными параметрами является замена соответствующих функциональных уравнений подходящими конечномерными разностными схемами. В результате получается задача об оптимальном управлении аппроксимирующей системой, описываемой уравнениями в конечных разностях или системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Такие аппроксимирующие задачи, по крайней мере, если речь идет о линейных системах, оказываются эффективно разрешимыми, и тем самым доставляется возможность численного решения исходной проблемы. К сожалению, и здесь вопросы обоснования подобной конечноразностной аппроксимации исследованы еще недостаточно. Следует, наконец, отметить одно существенное обстоятельство, характерное для аппроксимации задач об управлении системами с распределенными параметрами и проявляющееся, в частности, уже в задачах об управлении системами с последействием. Пусть, например, речь идет об оптимальном программном управлении, обеспечивающем предельное быстродействие для бесконечномерной системы при ограничении || и ||<^, и пусть эта система, аппроксимируется конечномерной системой, описываемой системой из п обыкновенных дифференциальных уравнений. В большинстве случаев для конечномерных систем условие максимума^ фигурирующее в принципе максимума, не вырождается, т. е.- соответствующее выражение Н [力 х (%),屮，и] зависит фактически от и, и тем самым доставляется достаточная информация о значениях н(п)(%). Вследствие этого невырожденного условия максимума оказывается, как правило, что эти значения лежат на границе области U (|[ и ||-<7V), и их можно найти, зная вектор 屮⑴)(％). Далее, оказывается, однако, что если даже и устанавливается сходимость аппроксимирующих управлений un (%) к оптимальному управлению и0 (%) исходной системы при ?г т 8, то в весьма широких случаях эта сходимость имеет достаточно нерегулярный характер и, в частности, аппроксимирующие оптимальные движения сходятся к оптимальному движению исходной системы подчас лишь как к скользящему режиму (хотя весьма нередки случаи, когда на деле этот предельный режим может осуществляться обыкновенным управлением и0 (%), регуляризирую- щим, следовательно, данный скользящий режим). На языке принципа максимума это выражается в том, что соотношение, определяющее un(t) из условия максимума, при п —>• оо вырождается (в пределе оно оказывается уже не зависящим от м) и его формальная запись для соответствующей исходной системы с распределенными параметрами имеет лишь относительное значение, поскольку оно не доставляет необходимую инфор- 16 Механика в СССР, том 1

мацию о значениях искомого управления w° (/). Эти значения w° (/) уже далеко не только в исключительных случаях могут не лежать на границе области U. Это обстоятельство следует учитывать при оценке результатов, связанных с формальным перенесением, критериев оптимальности на бесконечномерные системы, если такое перенесение не сопровождается выяснением вопроса о существовании решения и0 (%) в том или ином классе управлений и (才)или не сопровождается хотя бы обсуждением вопроса о невырожденности соответствующих условий максимума. Указанные вопросы, однако, пока изучены недостаточно.

Помимо обсужденных выше вопросов для систем с распределенными параметрами решались и другие задачи, так или иначе переносящие на эти системы результаты, известны^ для обыкновенных управляемых, систем. Кроме того, рассматривались и некоторые специфические задачи, характерные для бесконечномерных систем, в том числе были разработаны специальные методы приближенного и численного решения соответствующих проблем.

Исследованию различных задач об управлении системами с распределенными параметрами посвящены работы Т. Абдикеримова, Ю. М. Волина, 3. И. Востровой, С. М. Доманицкого, М. С. Красицкого, М. П. Леончука, В. Н. Новосельцева, В. И. Плотникова, Г. М. Островского, 3. И- Халилова.

К обсужденному выше кругу проблем весьма близко примыкают также газодинамические исследования, посвященные задаче об определении оптимальной формы обтекаемых тел. Поскольку эти исследования входят в число немногих пока примеров точных решений для задач оптимизации в системах, описываемых уравнениями в частных производных, их нельзя здесь не отметить. Речь идет о работах, посвященных задачам о нахождении (при различных ограничениях) формы тел в стационарном сверхзвуковом потоке газа, обладающих минимальным волновым сопротивлением, и формы сопел, дающих максимальную тягу. В этой области рассмотрены плоские, осесимметричные и пространственные задачи. Решения получены с использованием точных уравнений газовой динамики и базируются на двух подходах.

Один подход был предложен А. А. Никольским (1950) для линейных задач. Основная его идея распространяется на двухмерные задачи в точной постановке и заключается в следующем.. Из концевых точек образующей тела проводятся до точки пересечения отрезки характеристик уравнений газовой динамики. Совокупность этих отрезков называется контрольным контуром. Волновое сопротивление тела, условие непротекания газа через его поверхность, длины проекций образующей тела на оси координат и некоторые другие величины выражаются в виде интегралов через функции на контрольном контуре. В результате плоская и осесимметричная задача оптимизации формы тела сводится к одномерной вариационной задаче для функций на контрольном контуре.

Ю. Д. Шмыглевский (1957—1961), использовав этот подход, дал решения плоских и осесимметричных задач о форме тел с минимальным волновым сопротивлением при заданном набегающем потоке и заданных концевых точках образующих тел (в этих решениях газ принимался совершенным, а энтропия в потоке, вообще говоря, переменной). Им же дано и решение задачи о соплах с максимальной тягой при заданных габаритах сопел и исходном потоке газа. Полученные решения можно разбить на непрерывные решения с изэнтропическим разрывом и решения с торцевыми и цилиндрическими участками.

Следующим этапом исследования явилось определение области существования найденных решений в плоскости годографа скорости и в плоскости течения. Для безударных решений была найдена область, в которой увеличение энтропии ведет к увеличению сопротивления тела или к уменьшению тяги сопла. На основании исследования локальной второй вариации была найдена область, в которой выполняются необходимые условия минимума сопротивления. Граница этой области совпадает с геометрическим местом точек экстремалей, в которых ускорения становятся бесконечными. Для решения с изэнтропическими разрывами было найдено дополнительное необходимое условие минимума. Было выполнено построение области существования различных решений в плоскости течения для осесимметричных сопел при безвихревых течениях совершенного газа.

Изложенные результаты позволили получить решение ряда аналогичных задач. Была решена задача для случая равновесных течений газа с произвольными термодинамическими свойствами. Было дано численное построение некоторых решений, найдено оптимальное сопло с учетом веса. Далее было показано, что при ограниченной длине сопла закрученный вокруг его оси поток может дать тягу, превосходящую тягу сопла без закрутки течения, если прочие условия сохраняются.

Постановка задачи на контрольном контуре, если структура потока игнорируется, позволяет получить оценки величины сопротивления. Исследование максимального сопротивления показывает, что головная часть тела для его достижения должна подвергаться силовому воздействию газа, не прошедшего через ударную волну. Аналогичный результат справедлив при достижении минимального сопротивления кормовых частей тел.

Задачи с ограничениями общего вида или пространственные задачи на основе рассмотренного здесь подхода не могут быть решены.

Другой подход к решению вариационных задач газовой динамики был предложен Т. К； Сиразетдиновым. Этот подход дает возможность решать задачи при произвольных ограничениях, накладываемых на на поверхность обтекаемого тела, и состоит в том, что дифференциальные уравнения в частных производных, описывающих течение, используются в качестве связей между функциями в области влияния. При составлении функционала Лагранжа для задачи на безусловный экстремум эти. уравнения учитываются при помощи переменных множителей Лагранжа. Необходимые условия экстремума для такой задачи в общем случае представляют собой краевую задачу для системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с условиями на замкнутой поверхности, ограничивающей область влияния. При сверхзвуковых скоростях эта система, включающая уравнения для множителей Лагранжа, имеет гиперболический тип.

Для изопериметрических условий частного вида было найдено решение для множителей Лагранжа в виде интегралов, не зависящих от исходных данных задачи. Были получены необходимые условия экстремума в задаче о нахождении поверхности тела с минимальным сопротивлением в случае трехмерного обтекания. Здесь в частном случае также удалось найти интегралы для множителей Лагранжа, В результате оказалось возможным выделить класс решений, для которого количество независимых мых переменных в краевой задаче понижается до двух. При решении некоторых двухмерных вариационных задач предложен итерационный процесс численного решения.

В изложенной постановке рассмотрены неравновесные двухмерные течения, причем получены необходимые условия экстремума. Показано, что разрыв первой производной функции, описывающей контур тела, обусловливает разрыв множителей Лагранжа в области влияния; выведень! условия на таких разрывах. Дан расчет первой вариации при варьировании положения точки излома контура тела.

Описанные исследования для обоих подходов были выполнены в работах В, М. Борисова, А, Н. Крайко, И. Н. Наумовой, Т. К. Сиразетди- нова, Л. Е. Стернина, А. В. Шинилина, Ю. Д. Шмыглевского.

Все перечисленные результаты относились к безударным течениям. Особые трудности были связаны с построением оптимального профиля или тела вращения в потоке с присоединенной ударной волной. Этим трудным задачам посвящена монография Г. Г, Черного (1959). Решение общего вида для задачи о теле с минимальным сопротивлением в случае присоединенной ударной волны дано А. В, Шипилиным, Искомый контур в этом случае имеет бесконечное число изломов, а передняя точка контура является точкой накопления таких изломов.

МЕХАНИКА ГИРОСКОПИЧЕСКИХ

И НАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМ

Е. А. ДЕВЯНИН, А. Ю. ИШЛИНСКИЙ, Д. М. КЛИМОВ

Теория гироскопов является продолжением динамики твердого тела с одной неподвижной точкой, основные достижения которой были заложены в трудах Л. Эйлера, Ж. Л. Лагранжа, С. В. Ковалевской, Н. Е. Жуковского, С. А. Чаплыгина, Н. Г. Четаева, Д. Н. Горячева, В. А. Стеклова и других авторов.

Непосредственное развитие гироскопической техники началось, по существу, в начале XX века. В настоящее время этот процесс интенсивно продолжается. Гироскопические приборы применяются в системах управления ракетами и самолетами, в системах навигации кораблей и подводных лодок, в системах управления искусственными спутниками Земли, в системах управления межпланетными кораблями. Они применяются также для определения азимута при прокладке шахт, для контроля буровых скважин.

В СССР достижения современной теории и практики гироскопических приборов связаны с именами А- Н- Крылова, Б- В. Булгакова, Е. Л. Николаи, Н. Н. Острякова, С. С. Тихменева, А. Ю. Ишлинского, В. И. Кузнецова, Я. Н. Ройтенберга, 3. М. Цециора, Н- В. Бутейина и многих других инженеров и ученых.

Развитие гироскопической техники происходило, с одной стороны, по Пути создания конструкций гироскопических приборов, по пути решения сложных инженерных задач; с другой стороны, создавалась теория гироскопических приборов, объяснялись различные явления механики гироскопов, разрабатывались новые схемы, позволяющие решать новые задачи управления движением объектов. При этом инженерная практика ставила, а также Помогала решать различные теоретические задачи; в свою очередь теория помогала созданию конструкций приборов и ука-, зывала пути их совершенствования.

В нашей стране первые работы в области теории гироскопов, последовавшие за известными исследованиями М. Шулера и И. Геккелера, связаны с именем А. Н. Крылова.

В 1932 г. А. Н. Крыловым совместно с Ю. А. Крутковым была выпущена в свет монография «Общая теория гироскопов и некоторых технических их применений», в которой дано систематическое изложение основ теории гироскопических устройств.

Среди многочисленных работ А- Н. Крылова следует отметить его статью «О теории гирокомпаса Анщютца» (1940), в которой исследуется движение гироскопического компаса, снабженного для погашения колебаний гидравлическим успокоителем. Исследование проведено как для случая, когда компас установлен на неподвижном корабле, так и для случая движения корабля по поверхности Земли.

А. Н- Крыловым написан также ряд статей и заметок по различным вопросам теории и практики гирокомпаса. Сюда следует отнести работы, посвященные механике гирокомпаса, снабженного гидравлическими успокоителями различных типов, и исследования, относящиеся к анализу баллистических девиаций гирокомпаса при маневрировании и качке корабля. Его труды, оказавшие большое влияние на формирование ряда специалистов в области гироскопии, не утратили своей ценности и в наши дни. 、

Для инженерного образования оказалось весьма полезным обширное руководство «Теория и практика гироскопического компаса» в шести томах Б. И. Кудревича (1922—1946).

Значительные достижения в области теории гироскопов принадлежат Б. В. Булгакову. Им рассматривались задачи о вынужденной прецессии гироскопа, о движении гироскопа в сопротивляющейся среде, о движении гирогоризонта с маятниковой воздуходувной коррекцией. Им создана теория морского гирогоризонта с несимметричным кардановым подвесом и теория накопления баллистических девиаций гироскопических устройств, в частности, гироскопического компаса.

В 1939 г. Б. В. Булгаковым опубликована монография «Прикладная теория гироскопов». В ней рассмотрен широкий круг различных гироскопических приборов: гироскопических маятников, гироскопов Фуко, астатических гироскопов, однороторных и многороторных гирокомпасов, непосредственных гироскопических стабилизаторов. В конце книги излагается общая теория гироскопа, основанная на точных уравнениях. Монография Б .В. Булгакова, переизданная в 1955 году, является по настоящий день настольной книгой гироскопистов.

Исследования Б. В. Булгакова были продолжены другими советскими учеными.

А. И. Лурье были составлены в общей форме точные уравнения движения систем связанных твердых тел, выведены общие формулы, определяющие реакции связей в системе твердых тел, получены общие уравнения движения систем твердых тел, включающих упругие элементы, относительно «несущего» тела, движение которого считается заданным. Эти работы включены в его монографию «Аналитическая механика» (1961).

Я. Н. Ройтенберг (1946) создал теорию четырехгироскопной системы, предназначенной для получения стабилизированной горизонтальной площадки. При изучении движения этой системы в условиях качки и маневрирования корабля и, в частности, при исследовании вопроса о накоплении девиаций оказалось, что девиации многогироскопной вертикали значительно меньше девиаций гировертикали с одним гироскопом. Впоследствии им же были решены задачи об определении баллистических девиаций гироскопического компаса и об ускоренном приведении гироскопического компаса в меридиан. Большой интерес представляет проведенное им исследование схем корректируемого гирокомпаса и корректируемого гирогоризонткомпаса, чувствительные элементы которых устанавливаются на стабилизированной в горизонте платформе и приво-

дятся в меридиан при помощи сформированных по специальному закону корректирующих вращающих моментов. Эти исследования, а также исследования, касающиеся гироскопических вертикалей и гироскопических стабилизаторов, изложены в монографии Я. Н. Ройтенберга «Гироскопы» (1966).

На первом этапе развития теория гироскопических приборов создавалась преимущественно в рамках так называемой прецессионной или элементарной теории гироскопов, когда в уравнениях движения принимаются во внимание только собственные кинетические моменты гироско- лов. Прецессионная теория гироскопов позволяет достаточно хорошо изучить многие свойства гироскопических приборов. Более того, в прецессионной теории, как правило, не учитываются второстепенные явления л тем самым более отчетливо выявляются основные свойства прибора. Эффективность прецессионной теории проявилась при создании морских гироскопических приборов. Перейдем к рассмотрению работ в этой области.

■ Исследованию устойчивости движения гироскопического компаса лосвящены работы В. Н. Кошлякова. При последовательных циркуляциях корабля движение гирокомпаса, не обладающего свойствами гиро- горизонткомпаса, можно описать двумя линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с периодическими коэффициентами. Автор исследовал устойчивость их решения и получил формулы, описывающие движение гирокомпаса на конечном интервале времени, соответствующем полуциркуляции (1959). .

В другой работе (I960) для случая большей жесткости пружины, связывающей гироскопы компаса, В. Н. Кошляков получил в явном виде достаточное условие устойчивости движения гироскопического ком- ласа при последовательных циркуляциях корабля. Оно было установлено также в строгой нелинейной постановке Ю. К. Жбановым (I960) и Д. Р. Меркиным (1961). Условие устойчивости имеет вид

где Q — вертикальная составляющая угловой скорости гиросферы, V ——частота Шулера, g — ускорение свободного падения, R — радиус Земли.

Интересна статья В. Н. Кошлякова (1964), в которой утояняются уравнения Геккелера и устанавливаются условия их применимости.

В работе Ю. К. Жбанова (1961) изучено влияние вибрации на показания гирогоризонткомпаса с учетом инерции элементов компаса и упругой податливости мембран гироскопов. Полученные формулы позволяют определить резонансные частоты и азимутальное смещение положения равновесия гироприбора. Позднее Ю. К. Жбановым (1962) проведено исследование влияния всевозможных перекосов и небалансов на движение гирогоризонткомпаса. При маневрировании происходит азимутальное смещение положения равновесия, причем по кривой его азимутальных колебаний можно произвести точный замер дебаланса. '

Особого вида девиация гирогоризонткомпаса, возникающая вслед- ■ствие влияния кориолисовых сил на жидкость успокоителя во время маневра, и меры борьбы с нею рассматривались М. А. Шифом (1966).

Механика однороторного гирокомпаса на торсионном, торсионножидкостном и воздушном подвесе изучалась в работах П. А. Ильина (1958), Г. Д. Блюмина и М. В. Чичинадзе (1964), М. Е. Темченко (1966), В. П. Василенко (1966—1967), В. Н Кошлякова (1967).

Изучению общих свойств гироскопических систем и исследованик> возможности замены точных уравнений движения уравнениями прецессионной теории гироскопов посвящены труды И. И. Метелицина (1952} и Д. Р. Меркина (1956).

Однороторный гироскопический компас применяется также для определения плоскости орбиты искусственных спутников Земли. Конструкция такого гироприбора, получившего название гироорбитанта (гироскопической орбиты), в силу работы его в специфических условиях отличается от конструкции морских гирокомпасов. Основные результаты в области теории гироорбитанта принадлежат Е. Н. Токарю (1966).

А. Ю. Ишлинский рассмотрел движение ряда приборов в предположении, что Земля имеет форму шара, ее поле тяготения центрально, а объект перемещается по поверхности. Ориентация чувствительного элемента гироскопического прибора изучается в системе координат^ центр которой связывается с объектом, одна из осей направляется по геоцентрической вертикали, другая — по вектору абсолютной скорости точки подвеса.„

Такой подход в исследованиях А. Ю. Ишлинского (1956—1957)> посвященных анализу относительного равновесия физического маятника, теории гирогоризонткомпаса и гировертикали, позволил получить строгие и вместе с тем относительно простые дифференциальные уравнения прецессионного движения в конечных углах» Было получена основное условие невозмущаемости двухроторного гирокомпаса, после выполнения которого ось «центр тяжести — центр подвеса» гиросферы направлена по геоцентрической вертикали при произвольном движении точки подвеса по поверхности Земли, а суммарный вектор собственных кинетических моментов гироскопов расположен в горизонтальной плоскости и направлен перпендикулярно к вектору абсолютной скорости точки подвеса. Это условие имеет вид

432N =cos е sin е.

Оно определяет зависимость момента 7V, развиваемого пружиной, от угла разведения гироскопов е. В формуле через В обозначена величина собственных кинетических моментов гироскопов, т — масса , гиросферы^ Z — ее метацентрическая высота, R — радиус Земли.

А. Ю. Ишлинским был установлен следующий принципиальный факт: уравнения малых движений гирогоризонткомпаса не разделяются, как у Геккелера, на две независимые подсистемы, а образуют единук> систему четырех линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Для случая, когда сила тяжести пренебрежимо мало отличается от силы притяжения, ему удалось получить в квадратурах решение этой системы при произвольном движении точки подвеса прибора по поверхности Земли.

Собственные кинетические моменты гироскопов намного превосходят кинетический момент гирорамы компаса, поэтому его основные свойства вполне удовлетворительно описываются в рамках прецессионной теории гироскопов. Однако в районе высоких широт при маневрировании корабля у гирорамы может появиться значительный кинетический момент относительно вертикальной оси, который возмущает движение гирокомпаса. В связи с этим представляет интерес исследование движения с учетом моментов инерции гирорамы. В. Н. Кошляков (1963) рассмотрел устойчивость движения гирогоризонткомпаса с учетом инерции гирорамы, когда объект движется по окружности, лежащей на поверхности

величину (h/H) (S/R2)^ если внешняя ось подвеса опишет замкнутую коническую поверхность.величину (h/H) (S/R2)^ если внешняя ось подвеса опишет замкнутую коническую поверхность.неподвижной сферы, с постоянной по величине скоростью. В этом случае имеет место обобщенный интеграл энергии, с помощью которого были получены достаточные условия устойчивости движения.

величину (h/H) (S/R2)^ если внешняя ось подвеса опишет замкнутую коническую поверхность.

величину (h/H) (S/R2)^ если внешняя ось подвеса опишет замкнутую коническую поверхность.

Применительно к одноосному двухгироскопическому стабилизатору прецессионная теория позволяет получить его основное свойство: проекция угловой скорости гирорамы на ось стабилизации равна нулю в процессе произвольного движения объекта.

В отношении одноосного двухгироскопического стабилизатора нужно отметить следующее важное явление. При движении оси стабилизации в пространстве происходит поворот стабилизатора на угол, равный мере телесного угла, описанного осью стабилизации в процессе движения основания (А. Ю. Ишлинский, 1952). Этот факт имеет место также для двухосных и трехосных гироскопических стабилизаторов с двухстепенными гироскопами. Допустим, что ось стабилизации (ось, перпендикулярная к вектору собственного кинетического момента гироскопа и оси прецессии) такого гироблока совершает коническое движение вследствие колебаний в системе стабилизации. Тогда происходит поворот гироскопического стабилизатора вокруг соответствующей оси стабилизации, причем угол поворота также равен мере телесного угла, описанного осью стабилизации.

Накопление угла, пропорционального телесному углу, может наблюдаться также при взаимодействии гироскопов. Рассмотрим, например, идеальный трехстепенный гироскюп, на внешнем кольце которого укреплен небольшой по сравнению с основным гироскоп с осью ротора, перпендикулярной к плоскости внешнего кольца (рис. 1). Тогда в процессе движения основания происходит

поворот гироскопа вокруг внешней оси относительно инерциального пространства. Угол этого поворота равен мере телесного угла, описанного внешней осью гироскопа, умноженной на отношение h!H величин собственных кинетических моментов гироскопов (Д. М. Климов и В. А. Потапенко, 1966).

Исследование переходных процессов, в течение которых оси роторов совершают быстрые конические движения — нутации, и решение вопросов устойчивости гироскопических систем требуют учета кинетических моментов всех тел, входящих в состав гироскопической системы. Соответствующие уравнения движения являются уравнениями нутационной теории гироскопов. Нутационная теория гироскопов развивалась наряду с прецессионной, хотя и несколько в меньшей степени. Влияние моментов инерции оказывается иногда существенным даже для гирокомпасов. Так, в своей монографии Б. В. Булгаков указывает, что при учете моментов инерции период собственных колебаний однороторного гирокомпаса с возрастанием собственного кинетического момента гироскопа сначала убывает, достигает минимального значения, а затем начинает расти. Если же моменты инерции поплавка не ； принимать во внимание, то с

возрастанием собственного кинетического момента гироскопа период собственных колебаний возрастает.

Значительное влияние оказывают инерционные свойства элементов конструкции на устойчивость и условия возникновения автрколебаний гироскопических стабилизаторов, на собственные частоты гироприборов. Одной из наиболее сложных областей для исследования является область возникновения и устойчивости автоколебаний гироскопических стабилизаторов, так как при этом приходится иметь дело с нелинейными системами дифференциальных уравнений высокого порядка. Здесь достижения теории связаны с именами А. Ю. Ишлинского, Я. Н. Ройтенберга, Б. И. Назарова, И. Д. Кондорского, М. И. Зайцева, И. В. Новожилова и многих других авторов.

В последнее время появились исследования, в которых учитываются малые нелинейные члены, обусловленные влиянием инерции подвеса. Первые работы, в которых достаточно точно учитывалась масса кардановых колец, связаны с именем Е. Л. Николаи. Наиболее важной является его статья «О движении уравновешенного гироскопа в кардановом подвесе» (1939). В рассматриваемой задаче имеются три первых интеграла (интеграл кинетического момента всей гиросистемы относительно внешней оси, интеграл кинетического момента для ротора относительно его оси вращейия и интеграл энергии). Интегрирование уравнений движения, взятых в форме первых интегралов, приводит к гиперэллиптическим квадратурам. Поэтому, не проводя интегрирования, Е. Л. Николаи подробно исследует возможные траектории конца оси гироскопа в зависимости от параметров системы и начальных условий. Им впервые указано на возможность ухода оси гироскопа. Далее получены условия регулярной прецессии гироскопа и исследуется случай быстро вращающегося гироскопа. Особенно подробно рассматривается вопрос устойчивости движения в случае совпадения или близкого расположения оси гироскопа с осью вращения внешнего кольца. Показано, что в этих случаях значительно снижается степень устойчивости".

Ряд оригинальных исследований строгими методами по теории гироскопа в кардановом подвесе был выполнен Н. Г. Четаевым (1958), В. В. Румянцевым (1958), В. Н. Скимелем (1958), А. А. Богоявленским (1959), В. М. Матросовым (1959) и другими.

В работе А. Ю. Ипглинского (1952) о гироскопе направления указывалось на возможность неустойчивости оси гироскопа вследствие влияния инерции внешнего кольца. В 1955 г. К. Магнусом (ZAMM, 35 : 1-2) и одновременно с ним Б. Т. Плаймелем с Р. Гудстейном (J. Appl. Meeh.,

22 : 3) была вычислена скорость' ухода гироскопа V а > в кардановом подвесе на неподвижном основании при наличии нутационных колебаний. Она выражается следующей формулой:

〈00 =〈00 =(А + ^1) *0)2(А + ^1) *0)22Я cos 氏)2Я cos 氏)tg仇,tg仇,

〈00 =

〈00 =

(А + ^1) *0)2

(А + ^1) *0)2

2Я cos 氏)

2Я cos 氏)

tg仇,

tg仇,

где Л2 — момент инерции внешнего кольца карданова подвеса относительно его оси вращения, « — момент инерции внутреннего кольца относительно оси ротора,① 一 круговая частота нутационных колебаний, аа ■— амплитуда колебаний по углу а, 阮 一 среднее значение угла между плоскостями колец подвеса, Н — собственный кинетический момент гироскопа. Из приведенной формулы видно, что уход отсутствует, если кольца карданова подвеса в среднем положении перпендикулярны между собой.

Впоследствии движение гироскопа в кардановом подвесе на не

подвижном основании с учетом моментов трения и двигателя, а также различных технологических несовершенств, было предметом исследования Д. С. Пельпора (1958), С. С. Тйхменева (1959), Я, Л. Лунца (I960), С. А. Харламова (1961), Л. Н. Слезкина (1962), X. Л. Смолицкого (1966) и других.

Нутационные колебания гироскопа быстро гасятся силами трения, а вместе с ними исчезает уход. Для практических приложений представляет большой интерес изучение уходов гироскопа, возникающих вслед

ствие вынужденных колебаний гиросистемы. Последние могут вызываться, например, воздействием динамически несбалансированного ротора или угловыми колебаниями основания, на котором установлен прибор.

Движению гироскопа с динамически нес ба л анс иро ванным ротором посвящено значительное число статей (В. А. Павлов, 1957; Д. С. Пельпор, 1959; Я. Л. Лунц, I960). В них получены зависимости скорости ухода гироскопа от величины динамической разбалансировки и других параметров гиросистемы.

Наибольший интерес представляют работы, рассматривающие движение гироскопа в кардановом

Рис. 2 Центробежные силы инерции при колебаниях основания вокруг направления вектора Н всегда направлены в одну сторону.Рис. 2 Центробежные силы инерции при колебаниях основания вокруг направления вектора Н всегда направлены в одну сторону.подвесе на подвижном основании,

Рис. 2 Центробежные силы инерции при колебаниях основания вокруг направления вектора Н всегда направлены в одну сторону.

Рис. 2 Центробежные силы инерции при колебаниях основания вокруг направления вектора Н всегда направлены в одну сторону.

так как объект, как правило, совершает угловые колебания. В этом случае движение гироскопа описывается нелинейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами. Для их решения применялись различные приближенные методы (Д. С. Пельпор, 1959; Я. Л. Лунц, 1960 и др.). Но, несмотря на различие методов, в случае качки основания в основу решения в той или иной форме всегда брался тот факт, что

в невозмущенном движении ось ротора сохраняет направление на неподвижную звезду. Механику возникновения ухода можно пояснить на таком примере. Допустим, что внешнее кольцо карданова подвеса имеет конструкцию, показанную на рис. 2. Если основание совершает качку вокруг оси ротора, то центробежные силы инерции создают односторонний момент, передающийся на ось ротора и вызывающий уход гироскопа по внутренней оси. В общем случае скорость ухода гироскопа зависит от амплитуд, частот и сдвига фаз колебаний основания, моментов инерции, сил трения, моментов сил двигателя и сил, возникающих от различных корректирующих устройств. “

Интересны работы С. С. Тйхменева (1955), выяснившего физическую сущность ухода при наличии маятниковой горизонтальной коррекции, а также при наличии коррекции, обеспечивающей взаимную перпендику

лярность кардановых колец.

Малые инерционные члены оказывают заметное влияние на точность таких гир оск одических приборов, как двухстепенный гироскоп (Б. И. Назаров, I960), гироскопический интегратор линейного ускорения

(Л. H. Слезкин, 1964; И. H. Синицин, 1967), двухосные и трехосные гироскопические стабилизаторы (Я. Л. Лунц, 1962, 1964; Д. С. Пель- нор, 1962; Б. И. Назаров, 1963).

Большой ийтерес представляют работы, в которых исследуется влияние сил трения на поведение гироскопа в кардановом подвесе. В этой области советскими учеными достигнуты значительные успехи.

Одно из первых исследований, в котором изучается влияние сил сухого трения, приведено в монографии А. Н. Крылова (1932). В нем, в предположении, что моменты сил сухого трения являются постоянными величинами, определяются условия, при которых гироскоп не будет обнаруживать вращения Земли. Затем поставлена задача о поведении гироскопа при условии, что относительное движение колец возможно. Это интересное исследование ограничивается подробным рассмотрением движения гироскопа при наличии сил сухого трения лишь по оси вращения внутреннего кольца.

Влияние вибрации и качки основания на силы трения изучалось в работах Е. Б. Левенталя (1937) и Д. С. Пельпора (1951). Ряд оригинальных исследований гироскопических систем при наличии сил сухого трения принадлежит А. М. Летову (1952).

В работе И. И. Метелицына (1959) уравнения Лагранжа обобщены на системы с сухим трением и проведены исследования движения некоторых конкретных гиросистем.

Классическими являются результаты Е. Л. Николаи по изучению, влияния сухого трения на движение быстро вращающегося гироскопа, установленного на неподвижном основании. Они изложены в его монографии «Гироскоп в кардановом подвесе» (1944; изд. 2—1964). Предполагая, что моменты сил сухого трения постоянны по своей величине, Е. Л. Николаи вводит в рассмотрение «изображающую» точку и изучает ее движение на плоскости угловых скоростей. В каждом из квадрантов «изображающая» точка будет перемещаться по окружности. Рассматриваются условия перехода из одного квадранта в другой. Показывается, что собственные колебания гироскопа затухают за конечный промежуток времени. Находятся условия, при которых «изображающая» точка скользит по координатной оси, что соответствует отсутствию одной из составляющих угловой скорости. Интересен факт, указанный Е. Л. Николаи: нутационные колебания гироскопа не затухают, если к нему при наличии сухого трения приложены постоянные сторонние моменты.

Результаты, полученные Е. Л. Николаи, распространены на случай одновременного наличия вязкого и сухого трения Н, В. Бутениным (I960). В работе Д. М. Климова (I960) проведено исследование движения гироскопа при наличии сил сухого трения, пропорциональных нормальным составляющим динамических реакций.

Детальное исследование движения гироскопа, установленного неподвижно на Земле, принадлежит Н. В. Бутенину (1964). Уравнения движения гироскопа написаны для малых углов. Определены области стыка, соответствующие случаю заклинивания одного из колец подвеса- Изучено влияние сил сухого трения на видимое движение гироскопа в рамках прецессионной теории.

Отметим также, что сложные вопросы статики карданова подвеса с шариковыми подшипниками исследовались Л. 3. Новиковым (1958-1962).

В настоящее время совершаются многочисленные попытки создания гироскопических приборов, значительно отличающихся по конструк-

ции и принципу действия от классического гироскопа в кардановом подвесе на шариковых подшипниках. К новым приборам подобного рода, нашедшим себе широкое распространение, следует отнести гироскопический компас Аншютца, созданный в 1928 г., и гироскопическую вертикаль Сперри (1930). Чувствительный элемент этого гироскопического компаса полностью погружен в жидкость и, имея малую отрицательную плавучесть, не тонет из-за поддержания пондеромоторными силами токов Фуко («электромагнитное дутье»). Однако оси роторов гироскопического компаса Аншютца вращаются в шариковых подшипниках кожухов; подшипники осей кожухов также шариковые. Чувствительный элемент гироскопической вертикали Сперри представляет собой шестидюймовый шар с внутренней цилиндрической полостью и с наружной выточкой. Он совершает около десяти тысяч оборотов в минуту, поддерживаемый тонким слоем воздуха, заключенного между нижней частью шара и бронзовой чашей. Поверхность последней сложным образом уклоняется от сферы, за счет чего и происходит «самоподдерживание» шара. Поддув воздуха в щель между шаром и чашей требуется лишь при разгоне и остановке. Таким образом, шариковые подшипники в подвесе чувствительного элемента гироскопической вертикали Сперри полностью отсутствуют. В двухстепенных гироскопах с аэродинамическим или гидростатическим подвесом кожуха на шариковых подшипниках вращается лишь ротор. Оба типа гироскопов широко применяются.

Вопросам проектирования поплавковых гироскопов посвящрна монография Г. А. Сломянского и Ю. Н. Прядилова (1958).

Одной из главных тенденций конструкторов гироскопических приборов является замена скоростного подшипника ротором подшипника с «газовой смазкой». Наиболее тяжелыми режимами для такого подшипника является трогание с места и остановка. В связи с этим представляется целесообразным изготовление шипа и собственно подшипника из высо- котвердых керамических материалов, исключающих заметный износ и «задиры» при соприкосновении поверхностей. Следует заметить, что жесткость газовых подшипников и в аксиальном и в радиальном направлениях оказывается не меньшей, чем у соответствующих шариковых подшипников.

Подвес вращающегося в вакууме ротора гироскопа можно осуществить посредством электростатического поля. Ротор гироскопа* является в этом случае сравнительно легким полым металлическим шаром. Он может в течение многих суток вращаться в таком поле по инерции.

Подвес ротора гироскопа в магнитном поле значительно сложнее. В любом постоянном во времени магнитном поле ротор не имеет устойчивого положения. Поэтому напряженность поля необходимо изменять в зависимости от положения ротора по отношению к полюсам электромагнита. Кроме того, требуется тщательное экранирование ротора от воздействия сторонних полей, в частности, от магнитного поля Земли. Многие трудности создания гироскопа на магнитном подвесе устраняются помещением ротора в сверхтекучем гелии с применением сверхпроводящих материалов. Однако при этом возникают свои дополнительные трудности, связанные с разгоном ротора, регистрацией его положения и наличием остаточных вмороженных полей.

Открытие спина сделало возможным осуществление гигроскопических приборов, основанных на регистрации фазы ларморовской частоты элементарных частиц. Импульсная подсветка ориентирует спины частиц

и эта ориентация сравнительно долго сохраняется неизменной, если только достаточно тщательно устранены магнитные поля.

Наконец, для построения гироскопических приборов могут быть использованы стоячие волны, образующиеся в замкнутом светопроводе при лазерном когерентном излучении в двух противоположных направлениях. Точность регистрации угловых смещений в принципе оказывается исключительно высокой. Однако, как и во всех остальных видах гироскопических приборов, требуется соответствующая стабильность размеров твердых тел, составляющих основу прибора, что в высшей степени затруднительно. Заметим, что именно нестабильность элементов конструкции явилась основным препятствием создания ряда гироскопических приборов, основанных на механических принципах. Сюда относится, в частности, попытка использования эффекта изменения момента инерции камертона из-за колебания его ножек в различных модификациях вибрационного гироскопа.

В последние годы^ опубликован большой цикл работ, посвященных изучению движения гироскопических систем различного назначения под, воздействием случайных сил. Интерес к этим вопросам объясняется тем, что вероятностная трактовка действующих на гироскопы возмущений в ряде случаев точнее соответствует реальной обстановке, в которой работают гироскопические системы, установленные на различного рода объектах. Во многих задачах, например, при исследовании влияния качки корабля на движение гироскопических приборов, возникает необходимость изучения воздействия не одной конкретной реализации возмущения, а целой совокупности возможных возмущений, у которых известны лишь их статистические характеристики. Эти возмущения представляют собой некоторые случайные функции времени. Учет случайных возмущений помогает объяснить некоторые эффекты, которые не могут быть получены в детерминированной постановке- Так, например, влиянием случайных вибраций основания могут быть объяснены в некоторых случаях уходы гироскопических устройств и т. д. К числу рассматриваемых задач в этой области относятся задачи оптимизации гироскопических систем, находящихся под действием случайных возмущений, и задачи синтеза гироскопических систем, предназначенных для отслеживания некоторого движения при наличии случайных помех.

Изучение движения гироскопических устройств, уст ано вленных на движущемся объекте (корабле, самолете) и определение точности этих устройств возможно лишь при наличии достаточной информации о движении самого объекта.

Для исследования корабельных гироскопических устройств в условиях реального нерегулярного волнения необходимо располагать вероятностными характеристиками качки корабля. Первая работа о поведении корабля на регулярном волнении, написанная по мысли А. Н. Крылова, принадлежит Ю. А. Пруткову (1934). В ней предполагается, что момент случайных сил, действующих на корабль на волнении, может быть представлен в виде суммы регулярной (синусоидальной) составляющей и чисто случайного процесса (белого шума). При исследовании используется аппарат теории броуновского движения. К идеям Ю. А. Круткова примыкает изложение аналогичных вопросов в монографии Г. Е. Павленко (1935) и в работе А. П. Воробьева (1953), в которой применяется теория стационарных случайных процессов.

А- А'. Свешниковым (1959—1960) впервые разработана и подтверждена на экспериментальных данных теория определения вероятностных харак-

теристик трехмерного волнения моря и изучена теория качки корабля на нерегулярном волнении. Им получены статистические характеристики движения корабля в условиях нерегулярного волнения, что сделало возможным исследование точности корабельных гироскопических приборов в условиях нерегулярной качки корабля.

В первых работах, учитывающих нерегулярное движение объекта, изучались вопросы точности гироскопических систем.

Исследованию точности гироскопического горизонта, корректируемого при помощи сферического маятника, в условиях нерегулярной качки корабля посвящена работа С. С. Ривкина (I960). В ней определяются математические ожидания и дисперсии углов, определяющих положение сферического маятника, и определяются погрешности в показаниях корректируемого сферическим маятником гирогоризонта. Показано, что ошибки гирогоризонта во много раз меньше ошибок маятника-корректора.

В другой работе С. С. Ривкина (1958) дано детальное исследование точности маятникового кренометра при движении корабля в условиях нерегулярного волнения. Приведено сравнение с результатами, которые имеют место при регулярных колебаниях корабля. Изучению точности работы гироскопических устройств различного типа при случайных возмущениях посвящена и двухтомная монография С. С. Ривкина (1962, 1964).

Я. Н, Ройтенберг (I960) при изучении движения плоского гироскопического маятника в условиях нерегулярной качки корабля показал, что среднеквадратичное значение угла поворота плоского гироскопического маятника во много раз меньше, чем среднеквадратичное значение угла поворота кожуха гироскопа. Этот результат подтверждает преимущество двухгироскопной вертикали, состоящей из двух плоских гироскопических маятников (или четырехгироскопной вертикали с попарно связанными гироскопами) перед однороторной гировертикалью в условиях качки корабля-

Движение силового гироскопического стабилизатора в условиях нерегулярной качки корабля рассматривалось также Я. Н. Ройтенбер- гом (I960). Показано, что при надлежащем выборе параметров силового гироскопического стабилизатора погрешность по углу стабилизации будет достаточно малой в условиях сравнительно сильной качки корабля.

В работе Б. И. Назарова (1963) изучены погрешности трехосного силового гироскопического стабилизатора, находящегося под воздействием случайных внешних сил.

Непосредственные гироскопические стабилизаторы, применявшиеся ранее для успокоения качки судов, для стабилизации различных неустойчивых объектов и т. д., в настоящее время применяются также в качестве стабилизаторов различных платформ на кораблях и самолетах. Я. Н. Рой- тенбергом (I960) изучено движение непосредственных гироскопических стабилизаторов пассивного и активного типа в условиях нерегулярной качки корабля и показано существенное преимущество активных гироскопических стабилизаторов перед пассивными в отношении обеспечиваемой. ими точности стабилизации-

Нелинейные задачи о движении гироскопических систем под воздействием случайных сил рассматривались в сравнительно небольшом числе работ.

А. Ю. Ишлинским (1952, 1956) изучено движение гироскопического горизонта с релейной коррекцией, осуществляемой при помощи физического маятника в условиях нерегулярной качки корабля-

В работах А. Ю. Ишлинского показано, что вследствие влияния горизонтальной составляющей угловой скорости вращения земного шара математическое ожидание угла наклона оси ротора гироскопа к вертикали в условиях как регулярной, так и нерегулярной качки корабля оказывается отличным от нуля. При этом указанная погрешность гирогоризонта в условиях нерегулярной качки корабля оказывается меньше, чем при колебаниях основания по гармоническому закону. С уменьшением интенсивности коррекции погрешность гирогоризонта возрастает, и в этом смысле в менее благоприятных условиях находятся прецизионные гирогоризонты, так как у них интенсивность коррекции выбирается малой для уменьшения величины баллистических девиаций, возникающих при маневрировании корабля.

Метод исследования линейных динамических систем, находящихся под воздействием нелинейных функций случайных процессов, развивался А. А, Свешниковым (1961). Им изучались уравнения вида

黯+a*)^+.，・+aП⑴ у = 九/(X),

где X = X (t) — стационарный случайный процесс, а функция / (X) определяет собой характеристику релейного элемента с зоной нечувствительности или без таковой, или линейную характеристику с насыщением.

Развитый метод применяется к изучению точности гироскопического маятника в условиях нерегулярной качки корабля при наличии сил сухого трения в опорах осей карданова подвеса.

Движение гироскопического компаса в условиях нерегулярной качки корабля исследовалось в работах Я. Н. Ройтенберга (I960, 1963), который изучил интеркардинал ьную девиацию двухроторного гироскопического компаса. Им показано, что при нерегулярной качке корабля математическое ожидание угла а отклонения гирокомпаса в азимуте оказывается отличным от нуля. Математическое ожидание М [а] пропорционально sin 2屮(где 屮一курс корабля)血 носит название интеркардинальной девиации, так как оно достигает наибольшего значения на интеркардинальных курсах корабля. В работе изучена зависимость М [а] от параметров прибора и показано, что интеркардинальная девиация достаточно мала у двухроторных гироскопических компасов, у которых период собственных колебаний сравнительно велик (порядка 1000 ——1200 секунд).

И. Б. Челпанов (1962) рассмотрел задачу об ошибках компенсированных гироскопических приборов при случайном законе изменения ошибки в измерении скорости корабля- Вопросам изучения дрейфа свободных гироскопов и построения на основе предварительных наблюдений дрейфа экстраполирующих устройств, по возможности компенсирующих уход гироскопа, посвящена другая работа И. Б. Челпанова (1962).

В работе Я. Н. Ройтенберга (1964) изучено движение недемпфированного гироскопического компаса под воздействием случайных внешних сил. В статье определены дисперсии углов, определяющих погрешности гироскопического компаса, и показано, что они возрастают с течением времени. Указанное обстоятельство может вызвать необходимость ограничения промежутка времени, на который у гироскопического компаса выключается демпфирующее устройство, к чему приходится прибегать во время маневрирования корабля для предотвращения баллистических девиаций.

В ряде задач прикладной теории гироскопов не только правые части, но и коэффициенты дифференциальных уравнений, описывающих дви-

жение гироскопических систем, оказываются случайными функциями времени. Такие задачи подробно изучались А. А. Свешниковым (1962) л Л. Я. Ройтенбергом (1964—1966).

В работе А. А. Свешникова изучено движение гироскопического маятника при случайных перемещениях его точки опоры. Уравнения движения гироскопического маятника имеют при этом следующий вид;

da dtda dt

da dt

da dt

где аир ——угловые отклонения оси гироскопического маятника от вертикали, а 4，4Tl и 4 — составляющие ускорения точки подвеса гироскопического маятника по трем взаимно перпендикулярным осям 三，刀 и g, из которых ось g направлена по вертикали. Предполагается, что Ла, 4n и /^ являются взаимно коррелированными, стационарными случайными функциями времени. Исследование систем линейных дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами является весьма трудной задачей, но Свешникову удалось получить точные выражения для математических ожиданий и дисперсий угловых отклонений a ⑴ и р ⑺.Эти результаты позволили построить и качественную картину движения гироскопического маятника, которая оказалась существенно зависящей от характеристик случайных процессов 4自，Лп и' А^

В ряде новых прикладных задач, связанных с применением систем сложной гироскопической стабилизации для отслеживания многомерных входных сигналов, искаженных случайными помехами, возникает необходимость применения общей теории оптимальной фильтрации случайных процессов, разработанной А. Н. Колмогоровым и Н. Винером. Этим вопросам посвящены работы Л. Я. Ройтенберга (1966).

Ряд исследований по виброизоляции гироскопических систем с применением статистических методов выполнен В. Б. Лариным (1966).

Остановимся теперь на инерциальных системах навигации. Эти системы широко используются в настоящее время для определения местоположения движущихся по поверхности Земли или вблизи ее поверхности морских судов, самолетов, ракет и других объектов. “

Системы инерциальной навигации решают задачу определения местоположения посредством обработки показаний установленных на борту движущегося объекта ньютонометров и гироскопических устройств.

В развитии теории инерциальной навигации можно, по-видимому, проследить два направления, работы по которым велись до последнего времени во многом независимо.

Первое направление возникло и развивалось в рамках прикладной теории гироскопов и связано с разработкой таких маятниково-гироскопических навигационных приборов, как гирогоризонты и гирокомпасы. Основные результаты, полученные здесь, были указаны выше. Отметим лишь следующее.

С современной точки зрения проблема изучения работы гиромаятниковых устройств типа гировертикали и гирокомпаса сводится к решению двух четко различающихся задач. Первая из них — определение условий (соотношений между параметрами прибора), при которых прибор, в отсутствие инструментальных погрешностей элементов и ошибок начального 17 Механика в СССР, том 1

положения, идеально точно решает свою задачу. Эти соотношения принято называть уравнениями идеальной работы прибора.

Вторая задача — изучение колебаний прибора в окрестности идеального положения, вызванных неточным выполнением соотношений идеальной работы, инструментальными погрешностями элементов и ошибками задания начального положения прибора.

Однако до самого последнего времени четкое разделение этих двух задач отсутствовало, и математическое описание движения гиромаятниковых приборов велось в отклонениях от их идеального положения. При этом работы посвящались, как правило, исследованию того или иного уонкретного прибора при заданном движении объекта, на котором он кстановлен.

Это позволяло упростить уравнения работы прибора и в то же время рассмотреть влияние на его поведение многих, порой весьма тонких особенностей его схемы. На этом пути были получены ценные результаты, позволившие детально изучить работу многих сложных гироскопических устройств и указать пути повышения их точности.

Однако в целом подход, основанный на изучении лишь движений в отклонениях, будучи плодотворным при исследовании конкретных типов приборов, затруднял изучение их общих свойств, в частности, не способствовал выявлению общей природы даже установленных закономерностей.

Это было платой за успехи в исследовании конкретных приборов, так как упрощения уравнений в отклонениях, свои в каждом исследовании, искажали соотношения идеальной работы и тем самым затемняли общность природы этих соотношений-

Четкое разделение изучения уравнений идеальной работы и уравнений колебаний около идеального положения было проведено впервые А. Ю. Ишлинским в 1956—1957 гг., после чего была установлена динамическая общность гирокомпасов, гировертикалей, физических маятников- Шулера. Следует отметить, однако, что эти результаты были получены в тесной связи с развитием второго направления в области теории инерциальной навигации.

Второе направление связано с разработкой навигационных приборов, основанных на измерении ускорения объекта, последующем интегрировании этого ускорения и непосредственном получении, таким образом, информации о скорости и местоположейии объекта. Это направление развилось в основном в послевоенные годы, хотя отдельные относящиеся сюда исследования выполнялись и ранее.

Важной вехой в переходе к указанному направлению работ явилась предложенная в 1932 г. Е. Б. Левенталем (с соавторами) схема гироскопической системы с интегральной коррекцией от ньютонометров. Схема Левенталя может рассматриваться, с одной стороны, как гиромаятниковая схема того же типа, что и гирогоризонткомпас; с другой стороны, ее можно трактовать как первый вариант современных систем инерциальной навигации, в которых местоположение определяется двойным интегрированием показаний ньютонометров. Теория предложенной Левенталем системы была разработана Б. В- Булгаковым. В 1943 г, Л. И. Ткачевым были составлены уравнения идеальной работы пространственной инерциальной системы навигации.

Дальнейшее развитие это направление получило в работах И. М. Ли- совича (1953—1961), Г. И. Васильева-Люлина (1953), Г. О. Фридлендера (1955), В. А. Боднера (1955—1959), И. Д. Блюмина (1958—1962),

В- Д. Андреева (1958—1967), Е- А- Девянина (1965—1966), Н. А. Парус- никова (1965—1966), И- Б. Челпанова (1966—1967), М- Е. Темченко (1967), В. Н. Калиновича (I960—1966) и других.

Вначале методы анализа ньютонометрических систем инерциальной навигации во многом напоминали традиционные методы прикладной теории гироскопов, хотя понадобились значительные усилия, чтобы приспособить эти методы к новым возникшим здесь задачам.

Большинство ранних исследований посвящено детальному изучению конкретных навигационных систем при заданном движении объектов, на которых эти системы устанавливались. Изучались инерциальные системы с различными кинематическими схемами и, следовательно, работающие в различных координатных сетках-

Большое внимание уделялось выяснению возможностей упрощения схем и уравнений работы таких систем в конкретных условиях их использования, а также анализу в этой связи различных инструментальных и так называемых «методических» ошибок.

Следует отметить, что в теории ньютонометрических инерциальных систем, в отличие от теории гиромаятниковых систем, с самого начала было достаточно четко определено понятие уравнений идеальной работы. Но йри анализе различных конкретных схем их уравнения ошибок записывались в различных координатных осях с различными упрощениями.

Это порой давало различную зависимость ошибок системы от одних и тех же погрешностей их элементов, что приводило к неоднократным попыткам выбрать и обосновать принципиально лучшую схему. Причина неудач этих попыток была понята позднее, после установления динамической равносильности всех схем автономных систем инерциальной навигации-

Современная теория автономных ньютонометрических систем инерциальной навигации включает в себя решение двух основных задач.

Первая — это математическое описание идеальной работы системы, когда 'инструментальные погрешности элементов отсутствуют, а начальные условия взяты в точном соответствии с начальными обстоятельствами движения объекта. Результатом этого описания являются уравнения идеальной работы, т, е, математическйи алгоритм работы схемы.

Вторая задача заключается в исследовании возмущенной работы схем инерциальной навигации. Она сводится к изучению уравнений ошибок, связывающих ошибки определения системой навигационных параметров с инструментальными погрешностями элементов и ошибками начальных условий.

Основные уравнения теории инерциальной навигации могут быть наглядно получены следующим образом.

Будем считать задачей инерциальной навигационной системы определение местоположения и ориентации объекта в ортогональной системе координат。三"& начало которой совмещено с центром Земли, а ориентация осей неизменна относительно направлений на звезды.

Положение объекта в системе координат 。新 g определим радиусом- вектором г точки Р положения чувствительной массы пространственного ньютонометра, установленного на борту объекта. В качестве модели ньютонометра можно рассматривать материальную точку единичной массы в пространственном упругом подвесе.

Уравнение движения чувствительной массы имеет вид

■^■ = 0⑺ +'出

Здесь g (r) — сила притяжения чувствительной массы ньютонометра Землей (вид функции д (尸)известен), п — сила, действующая со стороны подвеса и измеряемая ньютонометром.

Сила п измеряется в проекциях пх, пу, nz на оси правого ортогонального трехгранника Pxyz, неизменно ориентированного относительно корпуса ньютонометра.

Корпус ньютонометра установлен на платформе трехстепенного гироскопического измерителя абсолютной угловой скорости (платформа либо жестко установлена на объекте либо развязана от него подвесом). С его помощью измеряются проекции <вж,①⑦ s^ абсолютной угловой скорости ш вращения трехгранника Pxyz,

Гироскопическая платформа с установленным на ней пространственным ньютонометром ——определяющий элемент инерциальной навигационной системы, поставляющий исходную информацию для решения навигационной задачи.

По известному вектору (о решением кинематических уравнений Пуассона

-g-=i+®xi=o,

определяется взаимное расположение ортов 三刀匕 и ху^ трехгранников О^т]^, Pxyz, после чего по известным 孔^，孔“，nz находятся проекции 孔修 п^ 孔g вектора п.

Таким образом, задача вычислительного устройства навигационной системы состоит в моделировании уравнения движения чувствительной массы, совместно с уравнением Пуассона, для чего, разумеется, необходимы начальные условия г (0), (dr/dt)Q и | (0),刀(0), J (0).

Вследствие погрешностей замера проекций п^ 孔⑦ nz силы п, проекций <вх,①⑦ (Oz вектора (о, неточности задания начальных условий и погрешностей моделирования результатом работы инерциальной навигационной системы оказывается-вектор 产,отличный от г. Ситуация равносильна тому, что точно моделируется уравнение

零=05)+從

движения некоторой точки Р', отличной от Р в той же системе координат 。三п& в которой движется точка Р. Если инструментальные погрешности в системе отсутствуют и моделирование выполняется в строгом соответствии с исходными уравнениями, то это означает, что материальные точки Р и Pf движутся в поле сил тяготения под действием одинаковых внешних сил, и их движение будет различным только вследствие различия в начальных условиях.

Именно эта ситуация определяет основные внутренние свойства системы инерциальной навигации. Наличие же в системе инструментальных погрешностей приводит к тому, что на точку Р‘ действует сила, •отличная от силы, действующей на точку Р.

Радиус-вектор точки Рг по отношению к точке Р

характеризует полную ошибку определения местоположения объекта в системе координат 。三“g.

Для этой ошибки в линейном приближении варьированием ис・ годных уравнений идеальной работы получается следующая система

уравнений:

+ 号 6丁一空 = Дп — Дш X ^另(Дш X г),

•^ = Д(й, p = 5尸 + Q X г,

где вектор малого поворота 0 введен равенством 熒=8 X 三・

Начальными условиями для этих уравнений будут ошибка задания начального положения р (0), ошибка задания начальной скорости (dp/d%)。 и ошибка 0 (0) начальной ориентации платформы.

Заметим, что в приведенных уравнениях ошибок фигурируют лишь две ・ векторные инструментальные погрешности: погрешности ньютонометра Ап и гироскопов А(о. В подавляющем большинстве случаев все инструментальные погрешности системы сводятся к некоторым эквивалентным погрешностям ньютонометра и гироскопов.

Система уравнений ошибок инерциальной системы распадается на два векторных дифференциальных уравнений разной природы. Первое из них дает динамическую ошибку 6г; второе дает кинематическую ошибку, связанную с моделированием кинематических уравнений Пуассона.

Уравнения идеальной работы и соответствующие им уравнения ошибок являются общими для любой автономной инерциальной навигационной системы, и их исследование составляет основное содержание теории инерциальной навигации.

При построении конкретных схем систем инерциальной навигации уравнения ошибок представляются в той или иной координатной форме, в зависимости от кинематической структуры схемы, формы представления выходных навигационных параметров и принятого способа моделирования. Целью здесь является максимальное упрощение кинематической схемы и алгоритма моделирования с учетом имеющихся в распоряжении разработчика схемы технических средств и с учетом характера движения того класса объектов, для которых система предназначается. К настоящему времени известны представления уравнений идеальной работы в большинстве мыслимых координатных сеток, кинематических схем и структур моделирования. Принципиальных математических проблем здесь в настоящее время нет.

С уравнениями ошибок дело обстоит гораздо сложнее. Речь идет здесь об исследовании решений весьма сложных дифференциальных уравнений высокого порядка. Здесь получено много важных общих результатов, однако задача их исследования далеко не исчерпана. Перейдём к изложению основных известных сейчас результатов исследования уравнений ошибок.

Остановимся прежде всего на кинематическом уравнении. При заданном Аш решение его очевидно и имеет вид

8 = , Аш ^т + 0 (0).о

Если Дш = 0, то~? 0 = 8 (0) = const, что означает - конгруэнтность в этом случае решений динамических уравнений. В общем случае ошибка 0 ведет к аддитивной ошибке в определении р, в частности, при постоянной ошибке Дш (например, свободный уход гироскопа с постоянной скоростью) она растет пропорционально времени.

Обратимся к динамическому уравнению. Это векторное уравнение равносильно системе линейных дифференциальных уравнений шестого

порядка с переменными коэффициентами, вид которых определяется движением объекта. Задача заключается, таким образом, в исследовании характера интегральных кривых этих уравнений для заданных классов движений объектов, в зависимости от вида инструментальных погрешностей и величин начальных ошибок.

Динамическое уравнение исследовано до конца в двух случаях: в случае движения объекта с постоянной скоростью по кругу (большому или малому) на неподвижной сфере, окружающей Землю, В. Д. Андреевым (1963) и в случае кеплерова движения объекта А. И. Лурье (1963) и В. Д. Андреевым (1964).

В первом случае уравнение при соответствующем выборе координатных осей приводится к уравнениям с постоянными коэффициентами, которые немедленно решаются. Из решений уравнений в' этом случае, в частности, следует, что тривиальное решение в практически важных случаях неустойчиво. ‘

Во втором случае, т. е. для кеплеровых движений, динамическое уравнение является уравнением в вариациях кеплерова движения и его решение получается варьированием интегралов этого движения по произвольным постоянным. Тривиальное решение в этом случае также неустойчиво.

Сам по себе факт неустойчивости тривиальных решений уравнений ошибок еще не означает невозможности практического применения автономных инерциальных систем. Однако их применение возможно лишь в течение времени, когда эффекты неустойчивости не успевают развиться. Анализ решений уравнений в приведенных случаях показывает, что это время невелико при современной точности элементов.

Поэтому при длительном времени работы инерциальной системы требуется использовать дополнительную информацию.

Рассмотрим основные способы использования дополнительной информации. Они вытекают из изложенных выше свойств решений уравнений ошибок автономных инерциальных систем.

Так, для устранения кинематических ошибок, вызываемых уходами гироскопов, применяется астрономическая коррекция.

Для устранения неустойчивости тривиального решения динамического уравнения необходимо использовать информацию о величине г расстояния до центра Земли. В случае движения по поверхности Земли навигационная система остается при этом автономной. При движении вблизи поверхности Земли информация о величине г поступает от высотомера.

При сохранении в схеме двух горизонтируемых однокомпонентных ньютонометров уравнения идеальной работы состоят из уравнения

представляющего собой уравнение движения материальной точки в поле сил тяготения под действием негравитационной силы п при условии выполнения связи г = г (%).

Однородное уравнение ошибок приводится к виду

Это векторное уравнение проектированием на оси трехгранника xyz (书=г/г) приводится к системе дифференциальных уравнений нет」 вертого порядка. Оно исследовано до конца в тех же случаях, что и ранее.

В первом случае абсолютная угловая скорость вращения трехгранника ④ постоянна, и тривиальное решение устойчиво при ①％ V 卩/г? (фазовые кривые уравнения лежат при этом на поверхности четырехмерного эллипсоида, полуоси которого определяются начальными отклонениями).

Однородное уравнение ошибок исследовано Н. А. Парусинковым (1966) также для произвольных движений вблизи поверхности Земли со скоростями, значительно меньшими первой космической скорости {до скоростей порядка одной четвертой ——одной третьей части первой космической). Здесь построены переходом к нормальным координатам приближенные решения и дана эффективная оценка точности этих приближений. Оказалось, что при малых скоростях движения проекции &с, бу вектора Ву на оси %, у азимутально свободной системы изменяются практически по гармоническому закону с периодом Шулера.

Для установления динамической общности инерциальных систем •с двумя горизонтируемыми ньютонометрами и гиромаятниковых навигационных приборов важное значение имели работы Г. Д. Блюмина (1964) и Д. М. Климова (1964), где сформулированы общие условия невозму- щаемо сти гир ор амы

{К — кинетический момент гирорамы, 2 — маятниковость, 九—коэффициент пропорциональности), и затем работы В. Д. Андреева (1966) и Е. А. Девянина (1968), где уравнения движения навигационных гиромаятниковых приборов при произвольных начальных условиях сводятся к уравнениям движения материальной точки по поверхности. Колебания навигационных маятниковых приборов вблизи идеального положения описываются уравнением, совпадающим с уравнением ошибок инерциальной системы с двумя ньютонометрами. Таким образом, инерциальные системы и гиромаятниковые навигационные приборы динамически полностью равносильны.

Дело здесь в том, что гиромаятниковые навигационные приборы представляют собой инерциальные системы, в которых роль ньютонометра играет неуравновешенная масса прибора, а интегрирование осуществляется гироскопами.

Перейдем к вопросам, связанным с коррекцией инерциальной системы от измерителя относительной скорости (допплеровского измерителя или лага). Цель этой коррекции — добиться асимптотической устойчивости тривиального решения уравнений ошибок без привнесения в систему скоростных девиаций. При этом одновременно ограничивается рост дисперсии ошибок при случайных инструментальных погрешностях.

Введение скоростной коррекции меняет уравнения идеальной работы и в соответствии с этим изменяются также динамические уравнения ошибок. 、

Скоростная коррекция вносит возмущения, вызываемые инструментальными погрешностями измерителя скорости, а также изменяет характер влияния инструментальных погрешностей самой инерциальной системы на ее ошибки. Здесь естественно стремление к компромиссу, поэтому большинство работ в этой области преследовало решение некоторой ^задачи оптимизации.

Изучено несколько различных способов введения в Навигационную ■систему информации о скорости. Для всех этих способов получены точные уравнения идеальной работы и ошибок, исследована устойчивость,

а для случаев линейной коррекции получены и редтения для некоторых валяных движений объекта.

Наряду с обычными системами инерциальной навигации в последние годы начали рассматривать инерциальные системы, основанные на непосредственном измерении поля сил тяготения и сил инерции переносного движения в связанных осях с помощью разнесенных ньютонометров. Этот путь позволяет найти координаты притягивающего центра в связанных осях и угловую скорость этих осей алгебраически, без моделирования уравнений движения и, следовательно, снимает ряд трудностей, связанных с введением в систему начальных данных и накоплением погрешностей при интегрировании.

В работах Е. А. Девянина (1965—1966) по теории таких систем показано, что определение навигационных параметров по показаниям ньютонометров сводится к решению полной проблемы собственных значений для симметрической матрицы третьего порядка и выполнению несложных алгебраических операций. Им обнаружена дополнительная группа решений уравнений такой системы и исследована зависимость решений от характера движения объекта.

В последние годы развивается также статистическая теория навигационных систем, в частности, делаются попытки построения оптимальных фильтров для обработки навигационной информации (И, Б. Чел- панов, 1967) и ведутся исследования комплексов навигационных систем, в которых наряду с инерциальной навигацией используются навигационные устройства, основанные на других физических принципах.

В заключение следует сказать, что достижения советской механики в области гироскопических приборов и навигационных систем характеризуются не только опубликованными теоретическими работами. Техническая реализация сложнейших гироскопических систем для ракет и самолетов, для космических объектов, для подводных лодок и кораблей потребовала выполнения огромного объема инженерных работ на высоком научно-техническом уровне. Решение этой задачи было бы невозможно без наличия большой и высококвалифицированной школы совет

ских механиков-гироскопистов.

МЕХАНИКА КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА

Г. 〃. ГРОДЗОВСКИЙ, Д. Е. ОХОЦИМСКИЙ, В. В. БЕЛЕЦКИЙг Ю. Н. ИВАНОВ, Л. И. КУРЬЯНОВ, Л. Я. ПЛАТОНОВ,

В. А. САРЫЧЕВ, В. В. ТОКАРЕВ, В. Л. ЯРОШЕВСКИЙ

Задача оптимизации движения центра масс космического аппарата. Общие вопросы проектирования орбит 26&

Механика космического полета с двигателями ограниченной скорости истечения 273

Механика космического полета с двигателями ограниченной мощности . .275

Дополнительные аспекты проблемы оптимизации в механике космического полета 281

Механика входа космических летательных аппаратов в атмосферу планеты 235

Движение неуправляемого искусственного спутника относительно центра масс 287

Пассивныеметодыстабилизацииискусственныхспутников 296

Оптимальнаякоррекциятраекторийполетакосмическихаппаратов . .303

Прогресс космической ракетной техники вызвал к жизни новые разделы механики. Сформировавшаяся на рубеже XIX и XX веков идея применения реактивных двигателей для выхода в космос стимулировала развитие механики космического полета (И, В. Мещерский, 1897; К. Э. Циолковский, 1903; Р, Годдард, 1919; Г. Оберт, 1923; Ф. А. Цандер, 1924—1925; В, Гоман, 1925; Р. Эно-Пельтри, 1930; С. П. Королев, 1934, и др,). Эта наука изучает движение космических аппаратов как тел переменной массы с целью определения условий наиболее экономного использования технических средств для решений основной задачи полета.

Наша Родина, давшая миру таких ученых, как И. В. Мещерский и К. Э. Циолковский, является родиной теоретических основ современной космической ракетной техники. Начало механики тел переменной массы заложено в замечательной работе профессора Петербургского университета И. В. Мещерского «Динамика точки переменной массы» (1897), в которой впервые было выведено общее уравнение движения точки переменной массы. В 1903 г. К, Э. Циолковский опубликовал в своей брошюре «Исследование мировых пространств реактивными приборами» решение первой задачи механики космического полета, определяющее связь между конечным Gi и начальным Go весами ракетного аппарата, скоростью истечения реактивной струи V и приращением скорости аппарата Аи при полете в бессиловом поле:

Используя эту формулу, К. Э. Циолковский впервые показал, что ракета может достичь космических скоростей полета при достаточном относительном запасе топлива G^ = (Go — GjlGg.

Советская школа механики космического полета обеспечила должное развитие этой науки, необходимое для решения задач исследования и освоения космического пространства. Современный этап развития этой области механики берет начало с основополагающих работ А. Ю. Ишлинского, А. А. Космодемьянского и Д. Е. Охоцимского (1946). Ниже кратко излагаются основные результаты, достигнутые советскими учеными в области механики космического полета. Более подробно с этими вопросами, а также с работами зарубежных авторов, можно ознакомиться по известным монографиям и обзорным работам А. А. Космодемьянского (1951), И. Н. Садовского (1959), Ф. Р. Гантмахера и Л. М. Левина (1959), Л. И. Седова (I960), Г. Н. Дубошина и Д. Е. Охоцимского (1963, 1965), Е. В. Тарасова (1963), И. В. Остославского (1963), Г. Л. Гродзовского, Ю. Н. Иванова и В. В. Токарева (1963—1966), К. Б. Алексеева и Г. Г. Бебенина (1964), Г. В. Коренева (1964), В. М. Пономарева (1965), В. В. Белецкого (1965), В. А. Сарычева (1965), В. А. Егорова (1965), Р. Ф. Аппазова, С. С. Лаврова и В. П. Мишина (1966) и др.

§ 1- Задача оптимизации движения центра масскосмического аппарата. Общие вопросыпроектирования орбит

Уравнения вариационной проблемы- Оптимизация движения центра масс ракетного аппарата является одной из основных проблем механики космического полета. В этой связи получил развитие раздел механики космического полета, рассматривающий в совокупности оптимальные соотношения между весовыми компонентами ракеты с учетом веса основных элементов двигательной системы, оптимальное управление двигательной системой и оптимальные траектории космического полета.

В механике космического полета задача о нахождении условий доставки максимального полезного груза 6冗 выделяется в силу ее определяющего влияния на идеологию компоновки и управления космическим аппаратом. С этим аспектом связана постановка задач в плане оптимизации траектории движения, управляющих параметров и весовых компонент двигательной системы.

Общая постановка указанной вариационной проблемы такова: требуется выполнить заданный динамический маневр перелета из фиксированной точки О фазового пространства координат — скоростей {г0, г?0} в фиксированную точку 1 {т^ 0】} за фиксированное время Т с максимальным полезным весом 6冗 при заданном стартовом весе аппарата Go- Дифференциальные связи этой вариационной проблемы с соответствующими граничными условиями могут быть записаны в виде

G= —gq,G= —gq,G(0) = G。， G(T) = G„ + GK,

G= —gq,

G= —gq,

(1.1)(1.1)г = 0,г (0) ~ r0, г (Т) = 2，,

(1.1)

(1.1)

0 = g 播 + 五+ ?, v(O)^vo, 0(7)二岁「

Здесь г, 0, G — набор фазовых координат (гиг — радиус-вектор и скорость центра масс аппарата, G — текущий вес аппарата), q, Р, е —

набор управляющих функций и управляющих параметров (д — массовый расход рабочего вещества, Р и е — величина и единичный вектор направления тяги). Остальные обозначения:五工五(г,力)一вектор ускорения от гравитационных сил, F — вектор ускорения от других внешних сил (например, от силы аэродинамического сопротивления), g—коэффициент пропорциональности между массой и весом, & — вес двигательной системы.

В записи (1.1) аппарат считается состоящим из полезной нагрузки Gn, запаса рабочего вещества

г

G»= \ gq dtО

и двигательной установки 6乂. Весовая формула такого аппарата имеет вид g=仆+算+叁. (1-2)

Прочие весовые компоненты (например, вес конструктивных элементов, вес баков для рабочего вещества @廿 и пр.) условно относятся к полезной нагрузке. По мере необходимости эти компоненты также учитываются в вариационной постановке.

Размерность фазового пространства, описывающего состояние аппарата, может увеличиваться при усложнении задачи. К фазовым координатам г, 0, G могут добавляться новые координаты, например,力卩一 текущее время работы двигателя для задачи с ограниченным ресурсом двигательной системы или Gp и GK — для задач оптимального сброса баков и двигателя. Тогда система (1.1) дополняется дифференциальными уравнениями, описывающими изменение этих фазовых координат; в отмеченных примерах эти уравнения таковы:

%м = 5, @в=—g0B， &乂 = —gqx・ (1*3)

При этом появляются новые управляющие функции: 6 (%) = 1 или 0 — ■функция включения — выключения двигателя, ^р (i) >0, qH (i) >0 — функции, отвечающие за сброс баков и секций двигателя.

Система (1.1) представлена в виде обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных. Это позволяет сформулировать вариационную проблему как задачу Майера и свести ее к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с конечными соотношениями для управляющих функций (подробнее см. в книге Г. Л. Гродзовского, Ю. Н. Иванова и В. В. Токарева, 1966).

Исходная задача формулируется так: для системы (1.1) определить управляющие функции и управляющие параметры g, Р, е, 6乂， обеспечивающие выполнение граничных условий и доставляющие максимум полезному весу 6冗 士 G (Г) — Gx.

В описанной постановке задаются динамический маневр и начальный вес, ищется максимум полезной нагрузки. Вместо этого рассматриваются также эквивалентные формулировки: задаются динамический маневр и полезный вес, определяется минимум начального веса; задаются полезный и начальный веса, находится минимальное время выполнения маневра или экстремальное значение какой-либо фазовой координаты. Экономичность ' выполнения маневра может также характеризоваться другим критерием оптимальности, например, минимумом стоимости

выполнения маневра; такой подход находится в начальной стадии исследования.

Основные характеристики двигательных систем. Указанная в п. 1.1 постановка задачи оптимизации органически связана с характеристиками двигательных систем. Данная вариационная постановка должна быть конкретизирована для каждого типа двигательной системы.

Во-первых, нужно указать функциональные выражения тяги Р и расхода q через независимые управления и = (ио . . ., un) и параметры w н (ер” . . ., t^m) двигательной системы (регулировочная характеристика двигателя):

Р = Р(%, 〃，)， q = q(u, tc), 1,

—const J(”)

(U — допустимая область управлений; в число параметров w могут входить предельные значения управлений и).

Во-вторых, нужно определить вес двигательной системы 6乂 как функцию параметров w (весовая формула двигателя):

3Y = 6乂("，).(1.5)

Характеристики (1.4) — (1.5) определим как основные. По мере усложнения задачи могут потребоваться дополнительные сведения о свойствах двигателя, например, о ресурсе (п. 3.3), об интенсивности потока отказов (п. 4.3).

Двигательные системы разбиваются на три большие категории в зависимости от главного ограничения на регулировочную характеристику (1.4), обусловленного природой физических процессов в двигателе. Главное ограничение с точки зрения механики полета характеризуется тем, что оптимальный режим работы двигателя, как правило, соответствует выходу на это ограничение. Такими ограничениями являются ограничение скорости истечения реактивной струи, ограничение мощности и ограничение тяги двигательной системы.

К двигателям ограниченной скорости истечения (§ 2) относятся все тепловые реактивные двигатели, скорость истечения у которых не превышает предела, зависящего от максимальной температуры стенок камеры сгорания или теплообменника. Вес двигателей ограниченной скорости истечения зависит от максимальной тяги (например, у ЖРД). Характеристики (1.4) — (1.5) для таких двигателей записываются в виде (% = (Р； Р), ?С= (Рmax，Ртах))：

p = p,及=yPmax(l-6>

(o<p(/)<pmax, o<r(z)<rmax).

К двигателям ограниченной мощности (пп. 3.1——3.3) относятся системы, состоящие из источника мощности и реактивного движителя, превращающего выработанную источником энергию в кинетическую энергию- направленного движения реактивной струи. Наличие отдельного источника ограниченной! мощности определяет основные свойства и название рассматриваемой категории двигательных систем. Регулировочная характеристика (1.4) и весовая формула (1.5) для двигателя ограниченной скорости выглядит так:

Р = >一2“ g,0 = 0, 6乂 = aNmax + yPmax(L7》

(O《N")vNmax， ° W 0 (%)《9max, Pmax =27V max^max)*

К двигателям с ограниченной тягой (п. 3.4) относятся парусные системы, например, солнечный или изотопный парус, величина тяги которых лимитируется максимальной площадью паруса Smax:

Р《Рmax н "Smax， G* =、Рmax・ (丄8)

Более подробное описание характеристик космических двигательных систем с позиций механики полета дано в книге Г. Л. Гродзовского, Ю. Н. Иванова и В. В. Токарева (1966).

Ограничения при проектировании орбит. Комплекс требований к космическому полету в целом налагает ряд существенных ограничений к выбору оптимальных, в смысле задачи (1.1), орбит полета (см. обзор Г. Н. Дубошина и Д. Е. Охоцимского, 1965).

При первоначальном рассмотрении существенно исследование всей совокупности орбит, обеспечивающих, хотя бы принципиально, решение основной задачи полета. Например, при проектировании полета к Луне важно представлять все возможные траектории, уметь определять начальные условия, необходимые для реализации тех или иных траекторий, определять кинематические и динамические характеристики орбит (время полета, скорость встречи с Луной, потребную начальную энергию, условия наблюдения с заданных пунктов земной поверхности и др.).

При анализе можно отобрать такие орбиты, которые лучше удовлетворяют тем или иным требованиям как в отношении эффективности решения основной задачи полета, так и в отношении простоты и экономичности реализации. Требования эти по большей части противоречивы, и окончательное решение является чаще всего результатом компромисса и учета имеющихся реальных технических возможностей.

Одним из важнейших требований к орбите является энергетическая экономичность запуска и выведения. Используются два основных метода выведения на космические орбиты: непрерывный активный участок и старт с орбиты спутника. Первый метод является технически более простым, однако в некоторых случаях его осуществление вызывает трудности. Дело в том, что выбор места запуска неизбежно ограничен и для разгона космического аппарата заданного назначения может оказаться необходимым использовать траектории, круто наклоненные к местному горизонту. Это вызывает рост потерь на преодоление силы тяжести и снижение конечной скорости или, при заданных условиях выведения, снижение веса космического аппарата. Метод непрерывного разгона ограничивает диапазон направлений скорости в начале движения по орбите, .делая более желательными не только орбиты с возможно меньшей начальной скоростью, но и орбиты с возможно меньшим наклоном вектора скорости к местному горизонту в конце активного участка.

Метод старта с орбиты спутника свободен от энергетических ограничений на направление разгона. Любое направление вектора скорости получается надлежащим выбором времени запуска на промежуточную орбиту спутника (что дает как бы прицеливание по азимуту путем поворота промежуточной орбиты вместе с Землей в ее суточном движении) и выбором времени старта с орбиты спутника (что дает как бы прицеливание по углу места за счет того, что уход с орбиты спутника происходит в таком месте, где движение по орбите спутника имеет нужное направление). Разгон космического аппарата как при выведении на орбиту спутника, так и при уходе с нее происходит при минимальных углах наклона к местному горизонту и обеспечивает максимальное использование -энергетических возможностей ракеты-носителя. Освоение советскими

учеными и инженерами метода старта космических аппаратов с орбиты спутника является выдающимся техническим достижением. Использование- такого метода выведения ограничивает лишь величину начальной скорости движения по орбите, позволяя выводить космические аппараты большого веса, резко расширяя диапазон возможных орбит и облегчая условия для их целесообразного выбора.

При использовании метода выведения с выходом на промежуточную- орбиту спутника наиболее желательны космические орбиты с наименьшей начальной скоростью. При разгоне с непрерывным активным участком важно, чтобы были возможно меньшими как скорость, так и угол к местному горизонту. ,

Другим комплексом вопросов, связанным с проектированием орбит, является исследование потребных точностей реализации выбранной номинальной орбиты и выбор метода коррекции. В тех случаях, когда полет осуществляется без коррекции траектории в пути, проблема заключается в выявлении области отклонений параметров в конце участка разгона, чтобы основная задача полета могла быть решена, если отклонения не выходят за пределы указанной области. Например, если целью* полета является достижение Луны, то ищутся такие отклонения параметров выведения, при которых орбиты проходят через Луну и, значит, достижение Луны реализуется. Естественно, что чем менее стеснительными являются ограничения на область разброса параметров выведения, тем проще реализация полета, тем меньше требования к точности аппаратуры, обеспечивающей выведение, тем меньше вес этой аппаратуры и выше ее надежность. Поэтому желательным является выбор таких орбит космического полета, которые допускают наибольшие отклонения параметров выведения. Это требование может находиться и обычно находится в противоречии с энергетической оптимальностью орбиты, и эта ситуация является характерной в вопросах проектирования орбит.

Может оказаться, что допустимая область начальных отклонений чрезмерно мала и не может быть реализована существующими техническими средствами. Кроме того, знание небесно-механических констант- (таких, как солнечный параллакс или элементы орбит планет) можег оказаться недостаточным, так что даже идеальное выполнение условий выведения не гарантирует выполнения цели космического полета. В этих случаях должно применяться исправление орбиты в пути — коррекция^ параметров движения, которая может выполняться путем сообщения импульсов надлежащей величины и направления в некоторых местах орбиты. Исправлять орбиту можно как один раз на протяжении полета,, так и несколько раз.

Коррекция орбиты требует наличия на борту корректирующей двигательной установки и запаса топлива. Величина дополнительного веса, который необходимо брать на борт космического аппарата в связи с коррекцией орбиты, зависит от величины корректирующего импульса или величины суммарного импульса в случае многоразовой коррекции. Величина корректирующего импульса зависит от разброса параметров движения в конце участка разгона и будет тем больше, чем больше область разброса. Кроме того, величина импульса, необходимого для исправления орбиты, зависит от того места на орбите, где это исправление осуществляется. Например, если исправление производится слишком близка от цели, то для этого может потребоваться весьма большое изменение скорости движения и большой корректирующий импульс, а следовательно, и значительный дополнительный вес на борту космического аппарата”

При выборе орбит предпочтение отдается таким орбитам, которые допускают возможно более простое и экономное исправление. Одновременно возникает задача оптимизации коррекции, т. е. такого выбора орбиты и такого выбора на ней точек коррекции, чтобы исполнение коррекции требовало минимального суммарного импульса и минимального дополнительного веса на борту космического аппарата.

Решение проблемы коррекции связано с необходимостью точного определения фактических параметров движения во время полета, расчета отклонений параметров движения от номинальных и вычисления потребных параметров коррекции.

Определение параметров орбиты является классической задачей небесной механики. Однако ее решение для космических аппаратов связано с выполнением ряда специфических требований. Например, часто требуется определить параметры орбиты максимально быстро. Поэтому алгоритм вычисления, который содержит обычно итеративный процесс, должен быть весьма экономным и обеспечивать как малое число итераций, так и малое время выполнения каждой итерации. От алгоритма вычислений требуется также высокая надежность и безотказность, гарантирующая сходимость процесса даже при недостаточно удачном выборе исходного приближения.

Точность определения фактических параметров орбиты зависит от состава и точности измеряемых параметров, а также от расположения измеряемого интервала на орбите и от его протяженности. При заданном составе и точности измерений, как правило, параметры фактического движения могут быть определены тем точнее (а значит, тем надежнее и точнее можно корректировать орбиты), чем больше участок, на котором производится измерение орбиты. Однако излишняя затяжка не рациональна, так как она может привести к слишком поздней коррекции и чрезмерно большой величине корректирующего импульса.

Ранняя коррекция может оказаться более экономной, однако недостаточная точность определения параметров орбиты к моменту ее выполнения может привести к недостаточной точности коррекции и к необходимости ее повторного выполнения.

Приведенные соображения иллюстрируют сложность и противоречивость проблем, связанных с проектированием системы измерений и коррекции орбиты, т. е. проектированием системы управления полетом. Оптимальное решение проблемы управления полетом состоит в создании системы, обеспечивающей решение основной задачи полета наиболее просто и надежно и наиболее экономно в отношении весов на борту. Поэтому при выборе целесообразно предпочесть те орбиты, для которых возможно осуществить наиболее оптимальное управление полетом.

Проектирование орбит сводится к выявлению и учету ряда противоречивых требований к орбите, часть которых кратко указана выше, к комплексному анализу и выбору такой орбиты, которая в максимальной степени удовлетворяет поставленным требованиям. Всесторонний анализ полета требует расчета большого числа вариантов. В то же время требования к точности расчетов на первоначальной стадии проектирования обычно не слишком высоки. Поэтому разумным решением является разработка и использование различных приближенных методик, позволяющих просто, экономно и наглядно, хотя и с ограниченной точностью, анализировать орбиты в отношении удовлетворения предъявляемых к ним требований и искать компромиссные варианты, дающие наилучшее решение задачи в целом.

Дальнейшая стадия проектирования для выбранных вариантов требует уточненных расчетов, учитывающих все необходимые факторы, влияющие на полет космического аппарата. Такие расчеты проводятся обычно методами численного интегрирования с использованием наиболее точных констант и имеют целью получение точных значений параметров полета и выведения на орбиту. Так как уточненные расчеты часто бывают весьма трудоемкими, то задача разработки эффективных методов расчета стоит здесь не менее остро, чем в отношении расчетов для стадии предварительного проектирования. Эффективная методика уточненного расчета должна сочетать необходимую точность с быстротой вычислений. Поэтому при создании методик необходимо максимально использовать знания об орбите. Например, движение космического аппарата относительно Земли внутри ее сферы действия близко к движению по коническому сечению с фокусом в центре Земли. Движение вне сферы действия Земли близко к гелиоцентрическому движению по невозмущенной орбите и т. и. Учет этих обстоятельств открывает путь к совершенствованию методики уточненных расчетов. Конечно, возможны также и другие пути.

Методы исследования орбит существенно определяются характером полета； Можно выделить орбиты многооборотные и орбиты с небольшой угловой дальностью. К орбитам первого типа относятся орбиты спутников Земли, Луны, планет, совершающих за время своего существования большое число витков. Исследование и проектирование таких орбит связано с использованием методов, позволяющих выявлять картину эволюции параметров оскулирующей орбиты с течением времени под влиянием возмущающих факторов, таких, как нецентральность поля тяготения ,воздействие атмосферы, возмущения от других небесных тел, влияние светового давления и пр. Задача расчета процесса эволюции может рассматриваться как задача нелинейных колебаний, и широкое применение различных методов осреднения и техники построения асимптотических решений может обеспечить создание простых и эффективных методик как для предварительного, так и для уточненного расчета.

Орбитами с небольшой угловой дальностью являются, например, орбиты перелетов с Земли на Луну, с Земли на Марс, Венеру или другие планеты. Орбиты таких перелетов представляют собой в первом приближении дуги конических сечений, и вопросы эволюции здесь не возникают.

Приближенные методики создаются либо без учета возмущений, либо с учетом их в достаточно грубой форме. Так, орбиту перелета к Марсу можно считать состоящей из трех кусков конических сечений: невозмущенного геоцентрического движения в сфере действия Земли, невозмущенного гелиоцентрического движения вне сфер действия Земли и Марса и невозмущенного конического сечения с фокусом в центре Марса, когда движение происходит внутри сферы его действия.

Таковы основные соображения о проектировании орбит космических летательных аппаратов.

Вопросы конкретного построения орбит подробно исследованы и изложены в «Курсе небесной механики» М. Ф. Субботина (1949, 1963), в работах В. А. Егорова (1957, 1965), М. Л. Лидова (1961, 1964). П. Е. Эльясберга (1963), М. С. Яров-Ярового (1963). С. С. Токмалае- вой (1963), Г. Н. Дубощина (1963), Д. Е. Охоцимского (1964), Н. М. Тесленко (1964), А. И. Лурье (1965), И. X. Сегала (1966), С. В. Петухова (1966) и др

Механика космического полета

с двигателями ограниченной скорости истечения

(2.1)(2.1)Общая вариационная проблема. Рассмотрение вариационной задачи механики полета (1.1) с двигателями ограниченной скорости истечения реактивной струи (1.6) показало, что с учетом влияния удельного веса / двигательной системы у ~ Gx/Pmax и удельного веса конструкции 0 = Св/%。 полная вариационная проблема разделяется на динамическую и весовую (Г. Л. Гродзовский, 1966——1967). Динамическая (траекторная) проблема сводится к известной задаче ракетодинамики оптимального движения с идеальным невесомым двигателем ограниченной тяги, определяющей максимально достижимый конечный вес аппарата:

(2.1)

(2.1)

“1“* g° —~ ^^ ('max, Pmax? ?"(), “0，？，, ？", ')•

(2.2)(2.2)Указан алгоритм перехода к решению полной вариационной проблемы, учитывающей вес двигательной системы 6乂 (зависящей от максимальной тяги) и вес конструкции Gg (зависящей от запаса рабочего тела):

(2.2)

(2.2)

^л — 111axpmax [(' + В)仇(Ртах) — уРmax —昵。].

Примеры решения модельных задач о наборе максимальной энергии при вертикальном подъеме и об оптимальной вертикальной посадке в постоянном плоскопараллельном гравитационном поле, о . посадке с круговой орбиты спутника и о наборе гиперболической скорости при старте с круговой орбиты спутника показали, что, несмотря на малые значения удельного веса двигателей ограниченной скорости истечения, учет веса двигательной системы существенно влияет на параметры оптимального движения тела переменной массы и приводит к экстремальной задаче определения наивыгоднейшего значения веса двигателя (максимальной тяги), обеспечивающего максимум доставляемого полезного груза：

(2.3)(2.3)Динамическая часть задачи* В связи с указанным в п. 2.1 разделением полной вариационной проблемы на весовую и динамическую части, фундаментальное значение имеют решения задачи ракетодинамики оптимального движения с идеальным невесомым двигателем ограниченной тяги Р (%) W Ртах, обеспечивающие минимум суммарного приращения характеристической скорости. Первыр работы по проблеме оптимизации в ракетодинамике относятся к 1946 г. Тогда А. Ю. Ишлинским было показано, что условие постоянства скорости реактивной струи эквивалентно гипотезе о том, что при отбрасывании реактивной струи освобождается кинетическая энергия, пропорциональная расходу массы д; А. А. Космодемьянским и Д. Е. Охоцимским была подробно исследована задача оптимального подъема ракеты по вертикали на максимальную высоту. Эти исследования были далее развиты в работах В. В. Белецкого (1956), В. А. Егорова (1958), В. К. Исаева, А. И. Курьянова и В. В, Сонина (1964) и других. Существенным явилось онубликованное в 1957 г. Д. Е. Охоцимским и Т. М. Энеевым (и независимо от них Д. Ф. Лоуденом и Б. Д. Фрайдом) решение задачи об оптимальном выведении спутника на круговую орбиту. Был получен важный результат о том, что вдоль оптимальной траектории тангенс угла направления тяги ф является дробно-линейной функцией времени

(2.3)

(2.3)

电l硏丁

18 Механика в СССР, том 1

В работе Ю. А. Горелова (I960) были определены условия, выполнение которых обеспечивает экстремальное движ&ние ракеты по криволинейной траектории. Состав оптимального управления в задаче ракето- динамики движения с идеальным невесомым двигателем ограниченной тяги в плоскопараллельном гравитационном поле был подробно исследован в работах В. К. Исаева (1961—1962). Им была показана эффективность применения принципа максимума Л. С. Понтрягина (1961) в решении сложных задач ракетодинамики. Метод Л. С. Понтрягина завоевал' особую популярность в последние годы, с чем связан большой прогресс, достигнутый во всем мире при решении практических задач ракетодинамики со сложными ограничениями.

В дальнейшем введение крайне удачной модели однородного центрального поля позволило разрешить задачу об оптимальном управлении точкой переменной массы в центральном гравитационном поле при наличии ограничения на реактивную тягу (Г. Е. Кузмак, В. К. Исаев： и Б. X. Давидсон, 1963). Другая важная задача о повороте плоскости орбиты спутника подробно рассмотрена в работах В. Ф. Илларионова и Л. М. Шкадова (1962), Ю. М. Копнина (1965, 1967), Ю. Н. Иванова и Ю. В. Шалаева (1965).

Работа Д. Е. Охоцимского и Т. М. Энеева (1957) положила также начало исследованию оптимальных задач ракетодинамики многоступенчатых систем. Эти задачи успешно были развиты далее в работах К. П. Станюковича и Ю. А. Победоносцева (1958), О. Ф. Макарова (1962),. Ю. В. Кожевникова (1963, 1965), В. А. Космодемьянского (1964), В. А. Троицкого (1965), А. А. Болонкина (1965) и др.

Импульсные перелеты. Влияние веса двигательной системы несущественно для маневров, при выполнении которых время работы двигателя много меньше времени выполнения маневра. Для таких маневров приложение реактивной тяги можно рассматривать как импульсное.

Оптимальные траектории со многими импульсами были исследованы В. И. Чарным (1963), который -строго доказал, что оптимальный многоимпульсный перелет состоит из соприкасающихся в апсидальных точках дуг конических сечений. Двухимпульсный оптимальный перелет между орбитами с малыми наклонением и эксцентриситетами исследован В. С. Новоселовым (1963), а оптимальный компланарный перелет между орбитами — С. Н. Кирпичниковым (1964). Условия оптимального импульсного перехода космического аппарата, тормозящегося в атмосфере планеты, на орбиту искусственного спутника, были подробно' проанализированы В. А. Ильиным (1963). Позже В. А. Ильин (1964, 1967) и В. С. Вождаев (1967) рассматривали задачу определения оптимальной траектории перелета между компланарными круговыми орбитами с использованием методики сфер действия и получили простые алгебраические соотношения между эксцентриситетами и фокальными параметрами для одно- и двухимпульсных перелетов. Еще одно интересное исследование В. А. Ильина (1967) посвящено приближенному решению задачи синтеза траектории близкого облета Луны с возвращением в атмосферу Земли. В этом исследовании успешно используется замена движения космического аппарата в сфере действия Луны —《разворачивающим импульсом» поля тяготения Луны.

Комплекс задач об оптимальных импульсных перелетах^между орбитами, расположенными в малой окрестности базовой круговой орбиты,- подробно изучен в работах Г. Е. Кузмака (1965, 1967) и Н. И. Лаврен- ко (1965, 1967). Анализ этого случая представляет интерес по двум при-

чинам: во-первых, малые деформации орбит в окрестности базовой круговой орбиты приводят к радикальным изменениям параметров импульсных схем перелетов и, во-вторых, область применимости построенных таким методом приближенных решений достаточна для исследования широкого класса околопланетных маневров. Варьируемыми параметрами в указанных исследованиях являлись моменты приложения импульсов, их компоненты и число импульсов, обеспечивающие минимум суммарного приращения характеристической скорости. Г. Е. Кузмак (1965) этим методом решил плоскую задачу оптимального перелета с исходной орбиты в точку, лежащую в плоскости орбиты, и задачу о перелетах между произвольными компланарными орбитами. В 1965 г. Г. Е. Кузмак и Н. И. Лав- ренко привели также решение задачи о перелетах с исходной орбиты в точку, лежащую вне плоскости орбиты, а в 1967 г. тем же методом рассмотрели оптимальные перелеты между некомпланарными орбитами.

Оптимальный трехимпульсный поворот плоскости круговой орбиты исследован Л. В. Закотеевой и В. В. Поляченко (1965). Оптимальные орбиты одноимпульсных и двухимпульсных перелетов между точками, движущимися по одной орбите, подробно проанализированы С. Н. Кирпичниковым (1966). Импульсные перелеты между различными орбитами рассмотрены в работах С. В. Дубовского (1964), В. С. Новоселова (1965), В. В. Ивашкина (1966) и др.

Механика космического полетас двигателями ограниченной мощности

Первые работы по проблеме оптимизации в задачах механики полета с двигателями ограниченной мощности относятся к 1959—1961 гг. (Дж. Ирвинг и Э. Блум, 1959; Г. Л. Гродзовский, Ю. Н. Иванов и В. В. Токарев, 1961). В них учитывались главные особенности характеристик таких двигателей: ограниченность мощности реактивной струи и зависимость веса двигателя от максимальной мощности. Был установлен факт разделения исходной задачи на весовую и динамическую части. Выявлены основные свойства оптимальных решений: наличие наилучшего распределения стартового веса между двигателем и рабочим веществом, выгодность изменения величины тяги в процессе полета.

■ Дальнейшие исследования развиваются по двум направлениям. Первое — включение реальных характеристик двигателей в постановку задач оптимизации и рассмотрение модифицированных схем двигателей ограниченной мощности. Второе — решение задач оптимизации для различных маневров в гравитационных полях, близких к реальным. Эти исследования сопровождаются разработкой различного рода приемов, позволяющих использовать вариационные методы, построением приближенных и численных методов решения вариационных и краевых задач.

Идеальный двигатель характеризуется отсутствием потерь рабочего вещества и мощности, его регулирование подчиняется только ограничению на мощность, вес двигательной системы линейно зависит от максимальной мощности (см. (L7) при 丫工0, ^тах ~ оо). Изучение идеального случая интересно тем, что оно раскрывает предельные возможности двигателей данного класса.

Здесь рассмотрены возможные варианты управления *весом двигателя: постоянный вес двигателя (Дж, Ирвинг и 5. Блум, 1959; Г. Л. Грод- зовский, Ю. Н. Иванов и В. В. Токарев, 1961), ступенчато и непрерывно'

изменяемый вес двигателя (Г. Л. Гродзовский, 1961; Ю. Н. Иванов, 1962, 1964), использование сбрасываемых секций двигателя в качестве рабочего вещества (В. В. Токарев, 1963, 1965). В первом случае произведено обобщение для нелинейной зависимости веса двигателя от максимальной мощности (Г, Л. Гродзовский, 1965).

Опишем постановку вариационной задачи на примере предельного случая — непрерывного сброса бесконечно малых секций двигателя (@х =—纟^乂, 9乂 (^) >0) с частичным превращением их в рабочее вещество (ОСх (^) <zmax 工 const <1). Часть расхода 。乂, равная (1 —乂) g^, не используется и покидает аппарат с нулевой скоростью, остальная часть х^х, превращенная в рабочее вещество, направляется в движитель. Суммарный расход через движитель q будет складываться из расхода х^х и расхода запаса рабочего вещества д^' Потребовав 。乂 (%) = 0, получим случай постоянного веса двигателя; при хтах ~ 0 будем иметь случай пассивного сброса секций двигателя.

Присоединим к системе (1.1) третье из уравнений (1.3) и распишем ее с учетом характеристик двигателя (1.7) (при 丫 = 0, gmax = оо):

G.= -q^ 凫(0) + G“(0) = l,G乂 = —q^,G.= -q^ 凫(0) + G“(0) = l,G乂 = —q^,r = v,r = v,竽(0)=小,竽(0)=小,^a + ^x^a + ^x免(7) = max,頂(T)》0,于(7) = *,0 (0) = 00, f (7) = f 1免(7) = max,頂(T)》0,于(7) = *,0 (0) = 00, f (7) = f 1(3.1)(3.1)1e(力三1, 0总N⑴& 1,1e(力三1, 0总N⑴& 1,。《乂 (ё)《乂max，。《乂 (ё)《乂max，

G.= -q^ 凫(0) + G“(0) = l,

G乂 = —q^,

G.= -q^ 凫(0) + G“(0) = l,

G乂 = —q^,

r = v,

r = v,

竽(0)=小,

竽(0)=小,

^a + ^x

^a + ^x

免(7) = max,

頂(T)》0,

于(7) = *,

0 (0) = 00, f (7) = f 1

免(7) = max,

頂(T)》0,

于(7) = *,

0 (0) = 00, f (7) = f 1

(3.1)

(3.1)

1e(力三1, 0总N⑴& 1,

1e(力三1, 0总N⑴& 1,

。《乂 (ё)《乂max，

。《乂 (ё)《乂max，

0 < ^Ц (0 < 8,0《阪«)V8

Здесь все веса отнесены к начальному весу аппарата, расходы — к начальной массе, мощность — к максимально возможной в данный момент. Через G(j обозначен суммарный вес 伉(%) = & + 璋(%).

Нужно выбрать оптимальное начальное значение веса & и построить оптимальные программы для управлений в (t), N (t), 乂 (t), gH (t) и g乂 (E). Конструктивные параметры ——удельный вес двигателя а и максимальный коэффициент 乂max превращенин материала двигателя в рабочее вещество — заданы; динамический маневр {г0, 0°; ?，，0】；Т} фиксирован. Максимизируемый функционал — конечное значение фазовой координаты Ga, совпадающее по определению с полезным весом 6冗.

Анализ структуры оптимальных управлений, проведенный на базе принципа максимума Л. С. Понтрягина (1961), позволяет во всех случаях (1° — % (%)三 0; 2° — % (力》0, xmax = 0; 3° — % (^) >0, 1 > 》Xmax>0) расщепить исходную вариационную задачу (3.1) на весовую и динамическую части.

Весовая часть задачи решается до конца аналитически. Определяется оптимальное разбиение стартового веса между двигателем Gx0, запасом рабочего вещества %о и полезной нагрузкой @几,находится связь между полезной нагрузкой 6几 и функционалом

г

①W阳о

характеризующим траекторию.

Для случая постоянного веса двигателя (q^ (i) = 0)

G« = /G；-G„, Ся = (1-/Ф)2(0《①《1);(3.2)

(3.4)(3.4)для случая пассивного сброса (qH(t) >0, 乂max = 0)

(3.4)

(3.4)

/& — Gn

при

｝《叁《1,

冬0 二，

1

при

0《G兀《1;

'(1-/ф)2

при

0《①&~^ ,

(3.3)

Gn = *

彳 exp(l — 4Ф)

при

-^~《①V 8 ；

для случая активного сброса (gx(^)>0, 1 >^тах> ^)

при C《GnCl,

1

° V 乂max《~2~

и 0其6П《1,

~2《^max《'，

、4 (1 — Ymax)

при 0《/《&

° V ^max V

(1—乂max) (1 — "^) —乂max In ^" +

+ Gn — К при С < Сл <； 1, 0 V 乂max W 已

и0《6п《1, "g■《乂тах《'，

e一m maJnC-4 (l_Ymax) 1口"^" ЦР" °《6П《0，° ^^ 乂тaх《讶

(к =4 %х + /｝唸ах 十(」％х)臨,С= 4二篙))

Запас рабочего вещества вычисляется как Guo=l — 6冗一^乂。. Текущие значения полного веса G(t) и веса двигателя &><(%) выражаются через текущее значение интеграла Ф (t).

Аналогичная процедура проделана в случае мгновенного сброса конечных секций двигателя.

Динамическая (или траекторная) часть задачи сводится к минимизации интеграла от квадрата реактивного ускорения с дифференциальными связями — уравнениями движения

J =a2,?' Н Г,0 = 〃e + _R,J =a2,?' Н Г,0 = 〃e + _R,J(0) = 0, 少(0) = ГО, ”(°) = ”о,J(0) = 0, 少(0) = ГО, ”(°) = ”о,J(T) = min г(Т)=>\, 。")= ?%J(T) = min г(Т)=>\, 。")= ?%(3.5)(3.5)

J =a2,

?' Н Г,

0 = 〃e + _R,

J =a2,

?' Н Г,

0 = 〃e + _R,

J(0) = 0, 少(0) = ГО, ”(°) = ”о,

J(0) = 0, 少(0) = ГО, ”(°) = ”о,

J(T) = min г(Т)=>\, 。")= ?%

J(T) = min г(Т)=>\, 。")= ?%

(3.5)

(3.5)

(а«)》0, |е«)| = 1)

или, после исключения последних, — к минимизации интегрального функционала

J= § [r — R(r.切2成(3.6)

о

(r (O) = ro,竽(0) = 00；以 7)=厶，于(7) = 0>

Проведен анализ свойств экстремалей, аналитически получены точные решения ряда модельных задач (Г. Л. Гродзовский, 1961; Ю. Н. Иванов, 1961, 1964; В. В. Токарев, 1961, 1964; Ю. В. Шалаев, 1964; В. К. Исаев, 1962; 1964; В. В. Сонин, 1962, 1964; Б. X. Давидсон, 1964; В. В. Белецкий и В. А. Егоров, 1964; Л. А. Лебедев и С. А. Саковский, 1964). Получены подробные численные решения и построен ряд приближенных аналитических решений для задач перелета на планеты солнечной системы и маневров в окрестности плйнет (Г. Л. Гродзовский, 1961; Ю. Н. Иванов, 1961, 1964—1965; В. В. Токарев, 1961, 1964; Ю. В. Шалаев, 1964—1965; В. В. Белецкий, 1964—1965; В. А. Егоров, 1964—1965; В. Г. Ершов, 1965; В. К. Исаев, А. И. Курьянов и В. В. Сонин, 1964; С. А. Покровская, 1964; Г. Б. Ефимов и Д. Е. Охо- цимский, 1965, и др.).

Нерегулируемые двигатели характеризуются постоянством тяги и расхода, допускается лишь выключение двигателя (тогда тяга и расход равны нулю), а на изменение направления тяги ограничений не накладывается. Это ——второй крайний случай регулирования.

Вариационная проблема для нерегулируемых двигателей также разделяется на весовую и динамические части. Последняя, в отличие от идеального случая, содержит два параметра двигателя — начальное реактивное ускорение % = g 尸/仇 и скорость истечения V (или безразмерный расход 卩=gg/G° = aQ/V), но зато является универсальной для всех типов нерегулируемых двигателей (Ю. Н. Иванов и Ю. В. Шалаев, 1965). Весовая часть представляет собой задачу мини- миз ации функции двух переменных

6冗= maxp, у {伉一G"(P,卩)—萃窃(普，7}(3.7)

и может быть решена для каждого конкретного типа двигателя 6乂 (Р, У), как только известно решение динамической части задачи 7ц (〃°, V). Динамическая часть сводится к вариационной задаче о минимуме времени работы двигателя 7^ при заданном времени движения Т (или какой-нибудь из эквивалентных):

九(7) = min, >(T) = K, & (7) = %0, |е ⑼= 1)・九(7) = min, >(T) = K, & (7) = %0, |е ⑼= 1)・(3.8)(3.8)% = 6, 九(0)=。, г = г, 竽(0)=竽о, 质=7丝厂e + -R, 0 (0)=铀,

九(7) = min, >(T) = K, & (7) = %

0, |е ⑼= 1)・

九(7) = min, >(T) = K, & (7) = %

0, |е ⑼= 1)・

(3.8)

(3.8)

@,卩=const, 6 «) = 1 ИЛИ

Здесь требуется построить оптимальные программы включения (6 (%) = 1) — выключения (6 (%) = 0) двигателя и ориентации вектора тяги е (%).

Хотя формулировка этой задачи годится для любого нерегулируемого двигателя, однако результаты решения делятся на два большие

класса (для двигателей малой тяги и для двигателей большой тяги) в зависимости от диапазона параметров а0 и ц, для которого оно получено. Последнее замечание касается численных и приближенных аналитических решении. В классе таких решений, относящихся к двигателям малой тяги, исследован приблизительно тот же набор маневров, что и для идеального двигателя ограниченной мощности (В. Н. Лебедев, 1963, 1966; Б. Н. Румянцев, 1963; Н. Н. Моисеев, 1966; В. В. Белецкий и В. А. Егоров, 1964; Ю. Н. Иванов и Ю. В. Шалаев, 1965; ЧЮ. М. Копнин, 1965; Р. Ф. Аврамченко, В. М. Безменов, В. А. Винокуров и В. В. Токарев, 1967 и др.), правда, численные результаты для межпланетных перелетов получены с меньшей полнотой.

Реальные двигатели характеризуются наличием потерь рабочего вещества и мощности, ограничениями на диапазон регулирования и на ресурс; кроме того, весовая формула реальной двигательной системы содержит|[несколько компонент. В общем случае проблема оптимизации здесь уже| не разделяется на весовую и динамическую части и должна решаться^ как целое.

Помимо весовых компонент аппарата, которые учитывались в предыдущем изложении, можно назвать еще по крайней мере две: вес баков для рабочего вещества G§ = PG^。 и вес движителя Gv = у^щах- Вариационная постановка (1.1) будет выглядеть так:

@= 一需，G(O) = Go, G“ = G(T) —6(Go —G(T))—.

一 a%max — уРщах = max,

(3.9)

> = 0,>(0) = ?b于(7) = %,

v = -^-e + B, v (0) = v0,f (7) = Vj

(0《尸⑴&尸max，0《N ⑴《Nmax， I ^ (f) I = !)•

Особенность этой задачи состоит в том, что максимизируемый функционал 6冗 зависит от ограничений 7Vmax и Ртах, наложенных на управления N ⑦必 Р (%) и подлежащих оптимизации. Введением безразмерных управлений Р (t) = Р (%)/Ртах, N ⑦ =N (%)/Nmax и формальных уравнений 力max = 0, 方max = 0 задача может быть сведена к задаче оптимального управления без параметров, для исследования которой применим принцип максимума в стандартной формулировке (Ю. Н. Иванов, 1954).

Весьма остро для двигателей ограниченной мощности стоит проблема ресурса, так как оптимальное время работы таких двигателей совпадает со всем временем движения или составляет значительную его часть. Разработан общий метод решения вариационных задач с фиксированным временем действий управления, на основе которого решен ряд задач оптимального управления двигателями с ограниченным ресурсом (Ю. Н. Иванов, 1963, 1965; В. А. Винокуров, 1965).

Идея метода состоит во введении новой фазовой координаты ^ — текущего времени работы двигателя —— и новой управляющей функции 6 (%) = 1 или 0, отвечающей за включение (6 = 1) и выключение двигателя (6 = 0). Связь между ними дается дифференциальным уравнением = 6 © граничными условиями ^ (0) = 0, ^ (Т)《Т^, где 7Ц ——заданный ресурс двигателя. В уравнениях (1.1) тяга Р и расход q

заменяются на Р8 и дб @= —ggb.

G(0) = G°,

Gn ~ G (Z) — 6乂 = max,)

=

九(0) = 0,

九(T)5，1

(3.10)

r = v,

>(0)=ь0,

◎ (0) = f0,

& (7)0「

Здесь приведен анализ оптимальных управлений, получены аналитические и численные решения для маневров в бесе иловом и центральном полях.

Дана постановка и разработан прием решения задачи о наилучшей аппроксимации непрерывного закона управления кусочно-постоянным управлением с заданным и оптимальным числом уровней. Такая задача возникает, например, в случае применения двигателя с узким диапазоном регулирования, когда идеальная программа тяги требует глубокого регулирования.

Прием, как и предыдущий, основан на использовании релейных управляющих функций 6г (%) ^ 1 или 0. Тяга Р представляется в виде

尸(冗i> 自)=((•…(％61 + 冗2)小2 十…•+冗S-2)6s-2 + %т) 6sT + 冗s, (3.11) где Jij — постоянные параметры, определяющие высоты s уровней тяги Р]=冗1 十 л?十• • •十冗s,尸2 =冗2 + • • • + 冗s, • • •» P$ =冗s； управления 6» (Z = 1, . . ., s — 1) независимы. Подставив выражение (3.11) в уравнения (3.9), можно получить условия для оптимальных значений параметров 冗厶 при этом вес движителя ?Ртах надо заменить на сумму весов s разнонастроенных движителей 丫£/\ ~ 丫2；冗力

Дальнейшее исследование проводится с помощью прищипа максимума. Получены аналитические и численные примеры решения задачи ступенчатой аппроксимации тяги для основных маневров (Ю. Н. Иванов, 1964, 1966).

Проанализированы особенности оптимальных управлений двигателями с реальными регулировочными характеристиками при наличии дополнительных ограничений на управляющие параметры (В. К. Исаев, 1962, 1964; В. В. Сонин, 1962, 1964; Б. X. Давидсон, 1964; А. И. Курьянов, 1964; Ю. Н. Иванов, 1966).

Двигательные системы, родственные двигателям ограниченной мощности и ограниченной скорости истечения. Большое количество исследований проведено по задачам оптимизации механики полета с двигателями, являющимися модификацией двух основных типов, и с двигателями других схем. К ним относятся:

двигатели ограниченной мощности с аккумуляторами энергии, тепловой или электрической (Г. Л. Гродзовский, 1965, 1967; Б. Н. Кифо- ренко, 1965—1967； В. В. Токарев, 1965); 、

двигатели ограниченной мощности и ограниченной скорости истечения с накоплением атмосферного газа, используемого в качестве рабочего вещества (В. В. Токарев, 1965; Ю. М. Фаткин, 1965, 1967; Г. Л. Грод- зовский, 1966);

солнечный и изотопный паруса (Ф. А. Цандер, 1924; А. Н. Жуков и В. Н. Лебедев, 1964; К. Г. Валеев, 1964; Г. Л. Гродзовский, 1966);

двигатели с солнечным и изотопным источниками энергии (А. Е. Илю- тович, 1967; Р. Н. Овсянников и Л. Н. Семенова, 1967).

Дополнительные аспекты проблемы оптимизациив механике космического полета

Оптимальное сочетание двигателей разных типов. Выбором наилучших параметров данного типа двигателя отнюдь не заканчивается решение проблемы оптимизации. Нужно еще выяснить, какой тип двигателя выгодно применить для выполнения данного маневра, и определить целесообразность совместного использования двигателей различных типов на одном аппарате.

Пусть на космическом аппарате установлены два двигателя Z и 2, которые могут работать либо параллельно либо последовательно. Тогда расход q и вектор тяги Ре в уравнениях (1.1) заменяются при параллельном режиме работы на

9=弘+ 92,尸6 =尸作1+尸202, (4」)

а при последовательном — на

0 =内6 + 02 (1 — 6), Ре =尸1白6 + 尸2&2 (1 — 6),(4.2)

где 6 (^) = 1, когда включен двигатель 2, и 6 (%) = 0, когда включен двигатель 2. Введение этой релейной управляющей функции позволяет считать управления двигателей 2 и 2 независимыми. Вес двигателя 6乂 в граничных условиях (1.1) записывается в виде суммы 6乂 = Gxi + Gx2- Регулировочные (1.4) и весовые (1.5) характеристики двигателей 1 и 2, как обычно, замыкают вариационную проблему.

Исследованы случаи параллельного и последовательного режимов работы двигателей ограниченной скорости истечения (большая тяга) п ограниченной мощности (малая тяга), даны примеры построения границы области применения двигателей ограниченной мощности для различных маневров (Ю. Н. Иванов, 1964, 1966).

Модификации критерия оптимальности. Обычно при формулировке • вариационных задач используется весовой критерий оптимальности —максимум полезного веса при заданном стартовом (динамический маневр фиксируется).

Если один и тот же маневр предстоит выполнять многократно, то весовой критерий целесообразно заменить критерием стоимости. Стоимость выполнения маневра складывается из стоимости вывода на исходную орбиту и стоимостей основных компонент аппарата; последние считаются пропорциональными соответствующим весам.

Минимизируется стоимость доставки единицы полезного груза. Функционал задачи имеет такую структуру:

S =S =1 + 5и^и+5ц^ц01—G^—G^01 + 5и^и+5ц^ц01—G^—G^0min,min,(4.3)(4.3)

S =

S =

1 + 5и^и+5ц^ц01—G^—G^0

1 + 5и^и+5ц^ц01—G^—G^0

min,

min,

(4.3)

(4.3)

где sx и sH — безразмерные коэффициенты, характеризующие стоимость двигателя и рабочего вещества. Минимум ищется при связях (1.1) — (1.2). В результате оптимальные управления остаются теми же, меняются оптимальные значения постоянных управляющих параметров — весовые соотношения и т. п. (В. В. Токарев, 1966).

В целях сокращения затрат на проектирование и разработку двигательной системы ставится задача о выборе параметров универсального двигателя (одного или нескольких), обеспечивающего выполнение маневров из некоторой области В

^ = (>0,铀；々，％； Т)£3. (4.4)

Качество выполнения каждого маневра 办 характеризуется функционалом х (7) — максимум полезного веса 6冗 или минимум стоимости S. Управляющие функции двигателя и {t) из (1.4) выбираются так, чтобы удовлетворялись связи (1.1) и достигался экстремум функционала х (Т):

extr x(T)~Xi(b, w). (4.5)

Параметры двигателя w при этом фиксированы, управления и (%) выбираются из допустимой области U и могут быть различными в зависимости от параметров маневра Ь. Задачу о построении оптимальных управлений w (%) будем считать решенной и зависимость (4.5) известной.

Параметры маневра 办 могут с частотой v принимать любые значения из фиксированной области В или фиксированного дискретного множества В. Частота v (&) повторений маневра Ь записывается через функцию распределения Fv (6) при помощи интеграла Стилтьеса (допускаются ступенчатые функции распределения). Частота v (& Е 石')повторения маневров, принадлежатцих подобласти 笈'и 3, равна

v(665/)= jj dFv (6) ( § dFv (&) = 1) . (4.6)

Вектор w параметров двигателя для всех значений Ъ ^ В может принимать только одно значение — требование универсальности двигателя для заданного класса маневров. Если бы для каждого маневра Ь можно было выбирать свою систему w (&), как в предыдущих постановках, то можно было бы обеспечить наибольшее (наименьшее) значение функционала (4.5)

extr ^(7) = extrzc1 (&, w) —^i (&), (4.7)

т. e. идеальное решение. Универсальный же двигатель будет обеспечивать значение функционала (4.5), меньшее (большее), чем (4.7), за исключением того маневра Ь, для которого параметры универсального двигателя w оптимальны в смысле условия (4.7):

0, если ищется тах%(Т),

(&8)

<0, если ищется пш1%(7)./

Эффективность универсальной системы в зависимости от характера задачи можно характеризовать либо осредненным по всем маневрам Ъ^В функционалом, отнесенным к идеальному значению

〈&〉=〈&〉=(4.9)(4.9)，X! (&,约)dFv (&)g Xi (&) dFv (&)

〈&〉=

〈&〉=

(4.9)

(4.9)

либо осредненным проигрышем (4.8)

02〉= \ I з ”；产 绚)I dF^b).(4.10)

Если функция распределения Fv (&) известна, то задача сводится к отысканию extr〈的〉или min〈Ад〉по параметрам w, т. е. к задаче на экстремум функции нескольких переменных (В. В. Токарев, 1964, 1966). При этом решение вариационной задачи (4.5) считается найденным

для любых b^B^w^W,^ противном случае задача универсализации сводится к задаче оптимального управления системой с распределенными параметрами (Ю. В. Кожевников, 1966).

Если же распределение Fv (&) заранее не известно, то используется игровой подход. Ищется такое распределение Fv (&), которое максимизировало бы проигрыш (4.10), и такие параметры w, которые минимизировали бы этот проигрыш. В случае непрерывной игры и выпуклой по w подынтегральной функции (4.10) задача сводится к отысканию минимакса

Решение задачи универсализации в такой постановке определяет параметры двигателя, оптимальные в следующем смысле: какое бы распределение F、(办)частоты повторения маневров ни задавалось, проигрыш (4.10) не будет превосходить найденной величины (В. В. Токарев, 1966; Ю. М. Фаткин, 1966).

После того как параметры универсального двигателя выбраны, для каждого конкретного маневра определяется оптимальный запас рабочего вещества (В. В. Токарев и Р. Ф. Аврамченко, 1967).

Вопросы надежности в задачах оптимизации. Во время полета на двигательную систеьгу могут действовать случайные факторы, вызывающие отказы. В соответствии с характером процессов, приводящих к отказам, вероятность отказов может зависеть от времени, координат, параметров двигателя и аппарата, от режима работы двигателя. Поэтому учет фактора надежности приводит к изменению привычных программ оптимального управления и оптимальных параметров.

Интенсивность потока отказов, %, предполагается известной как функция времени 力 координат г, управляющих функций и и параметров w двигателя:

九=九(力 г, zu). (4.12)

£ заданной вероятностью R гарантируется, что в каждой реализации маневра значение критерия качества будет не меньше (не больше) вычисленного (например, фактический расход топлива не превысит расчетного).

В случае односекционного двигателя это условие совпадает с условием безотказной работы двигателя за время выполнения маневра

、九(力 ”(%), и (^), w) dt <—In 7?. (4.13) о

К уравнениям (1.1) в соответствии с (4.13) добавляется уравнение для дополнительной фазовой координаты А, отвечающей за надежность

入=儿 А(0) = 0, А(7)《一hiR, (4.14)

после чего задача становится стандартной задачей оптимального упрай- ления, которая решается методом Л. С. Понтрягина.

Когда интенсивность потока отказов X и полное время движения Т велики (入max7》1), то односекционная двигательная система не может обеспечить приемлемый уровень полезной нагрузки при достаточно высокой вероятности реализации. В этом случае двигательная система (или ее наиболее ненадежные элементы) должна делиться на автономные секции. Секции считаются равновеликими, повреждение каждой секции

приводит к ухудшению характеристик двигателя (например, к уменьшению мощности для двигателей ограниченной мощности), но не вызывает прекращения работы двигателя в целом, все секции работают параллельно. Регулировочная (1.4) и весовая (1.5) характеристики двигателя будут содержать теперь еще число работающих секций

(4.14)(4.14)Р = Р (и, w?孔), q = q(tt, 孔), Gx = Gx(w,孔°),%(%)€〃，w = const.

(4.14)

(4.14)

Чтобы гарантировать здесь с заданной вероятностью R реализацию значений функционала, не меньших (не больших) расчетного, нужно построить такой закон повреждений п (%) (неслучайная функция), который с вероятностью R ограничивал бы снизу все реализации п (Е) (случайные функции):

Р 伉(t) >n(t) при 0<： %《Т］》R.(4.15)

Доказано, что при достаточно высокой вероятности R (1 — 7? < 1) условие (4.15) выполняется, если построить закон п (t) следующим образом:

孔 «)=孔 о —j при ^<^<^-1，

弋ад (f), w) dt = ""-Л- (7 = o, 1,..阳力 m+i》T)(4」6)

(аналог условия (4.13)). Соотношения (4.16) означают, что если к моменту времени tj повреждено / секций из 孔°, то в интервале (匀,匀+i) с вероятностью R не будет повреждена ни одна из (п0 —力 оставшихся секций.

Соотношения (4.14), (4.16) присоединяются к уравнениям (1.1). Получается вариационная задача с разрывными правыми частями (孔(％)— ступенчатая функция) и условиями изопериметричности, определяющими положение разрывов (интегралы в (4.16)).

При большом числе секций (汽。》1) удается построить непрерывную аппрокеимацию ступенчатого закона (4.16)

九=/歹九，九(0)=九0, M(T) = opt(4.17)

и тем самым избавиться от разрывов правых частей уравнений и условий изопериметричности. Интегральные характеристики при такой аппроксимации получаются достаточно точными, начиная с п0 ^ 10.

Для всех изложенных постановок проведено исследование общих свойств оптимальных управлений, получены аналитические решения модельных задач. Сформулирована задача о нахождении оптимальной вероятности R реализации расчетных характеристик (для грузовых перевозок), даны примеры ее решения (В. В. Токарев, 1962, 1964, 1966).

Построение аналитических решений, близких к оптимальным. Вариационные задачи, возникающие при рассмотрении проблем оптимизации, приводятся, как правило, к сложным системам дифференциальных уравнений. Нахождение оптимальных управлений и оптимальных траекторий движения в аналитической форме никогда или почти никогда не бывает возможным. Однако аналитические решения представляют особый интерес в связи с их наглядностью и возможностью широкого параметрического анализа.

Эти несомненные достоинства послужили основанием для разработки различного ряда приемов и методов отыскания решений в конечной форме.

Разумеется, эти решения даются ценой замены истинного гравитационного поля на простое и отступления от критерия оптимальности управлений. Наибольшее внимание уделяется элементарным маневрам с заданной ориентацией постоянного по модулю вектора реактивного ускорения (Ф. А. Цандер, 1924—1925; А. И. Лурье, 1962—1963; В. Ф. Илларионов и Л. М. Шкадов, 1962; М. К. Черемхин, 1963; Ю. П. Гуськов, 1963; Г. Е. Кузмак и Ю. М. Копнин, 1963; Д. Е. Охоцимский, 1964; В. В. Белецкий, 1964； В. А. Егоров, 1964; Н. Н. Моисеев, 1964, 1966; В. В. Ларичева и М. В. Рейн, 1965; Л. Д. Николенко, 1965; Ю. Г. Евтушенко, 1966; А. А. Болонкин, 1965, и др.). Подробный обзор этих работ, относящихся к траектории с малой тягой, содержится в книге Г. Л. Гродзовского, Ю. Н. Иванова и В. В. Токарева (1966).

Численные методы построения оптимальных решений. Как уже отмечалось, в подавляющем большинстве случаев исследование проблемы оптимизации приводит к необходимости решения сложных вариационных задач, что невозможно без использования эффективных численных методов. В связи с этим в задачах механики полета находят широкое приложение существующие численные методы и, с другой стороны, при решении специфичных задач разрабатываются новые численные методы.

Методы численного решения вариационных задач разделяются на прямые и непрямые. Основу первых составляют различные итерацион- нуе процессы последовательного уменьшения (увеличения) функционала; для применения непрямых методов вариационная проблема предварительно сводится к краевой задаче для системы дифференциальных уравнений. Ограничимся перечислением тех методов, которые наиболее часто используются в задачах механики полета:

градиентный спуск в пространстве фазовых координат (Л. В. Канторович, 1945, 1947—1948; Б. А. Самокиш, 1957; В. А. Брумберг, 1962; Ю. Н. Иванов, 1964; Ю. В. Шалаев, 1964, и др.);

градиентный спуск в пространстве управлений (Д. Е. Охоцим- ский; 1946; Л. И. Шатровский, 1962; Т. М. Энеев, 1963; И. А. Крылов 五 Ф. Л. Черноусько, 1962, и др.); 、

функциональный метод Ньютона (Л. В. Канторович, 1948; Г. П. Акилов, 1949; В. А. Винокуров, 1965; Ю. Н. Иванов, 1965, и др.);

конечномерный градиентный метод (И. С. Березин и Н. П. Жидков, 1961, и др.)； •

конечномерный метод Ньютона (Т. М. Энеев, А. К. Платонов и Р. К. Казакова, 1960; Э. Л. Аким и Т. М. Энеев, 1963; М. К. Гаву- рин, 1958; В. К. Исаев и В. В. Сонин, 1963, 1965—1966; В. Н. Лебедев, 1963; Б. Н. Румянцев, 1963, и др.);

методы, основанные на динамическом программировании (Р. Беллман, 1960; Н. Н. Моисеев, 1964—1965; И. М. Шаронова, 1966, и др.);

методы, базирующиеся на принципе оптимальности (В. Ф. Кротов, 1962-1963).

Механика входа космических летательных аппаратовв атмосферу планеты

Для движения космического летательного аппарата на участке входа в атмосферу планеты характерно появление больших аэродинамических перегрузок и тепловых потоков, действующих на аппарат.

Поэтому уже в первых советских работах, посвященных перспективам космического полета — С. П. Королева (1934), Ф. А. Цандера (см.

книгу 1961 г.) и Ю. В. Кондратюка (1947) — обращалось внимание на важность исследования этой стадии полета и содержались рекомендации по обеспечению безопасного снижения аппарата на поверхность планеты.

Подробный анализ траекторий входа космических летательных аппаратов в атмосферу планет приведен в работах В. А. Ярошевско- го (1964—1965), где используется безразмерное нелинейное дифферен

циальное уравнение второго порядка, связывающее высоту и скорость полета. Это уравнение имеет вид

d2g 二d2g 二一/麻一/麻/ (1)/ (1)УУ(5.1}(5.1}где V = VI^Rg — отношение скорости к круговой скорости, коэффициент подъемной силы, Сх — коэффициент сопротивления, ветствующий круговой скорости V = 1, Н — радиус планеты, X — рифмический градиент плотности,где V = VI^Rg — отношение скорости к круговой скорости, коэффициент подъемной силы, Сх — коэффициент сопротивления, ветствующий круговой скорости V = 1, Н — радиус планеты, X — рифмический градиент плотности,соот-лога-соот-лога-/ 4Tр，/ 4Tр，

d2g 二

d2g 二

一/麻

一/麻

/ (1)

/ (1)

У

У

(5.1}

(5.1}

где V = VI^Rg — отношение скорости к круговой скорости, коэффициент подъемной силы, Сх — коэффициент сопротивления, ветствующий круговой скорости V = 1, Н — радиус планеты, X — рифмический градиент плотности,

где V = VI^Rg — отношение скорости к круговой скорости, коэффициент подъемной силы, Сх — коэффициент сопротивления, ветствующий круговой скорости V = 1, Н — радиус планеты, X — рифмический градиент плотности,

соот-лога-

соот-лога-

/ 4Tр，

/ 4Tр，

где S и m — характерная площадь и масса аппарата, р — плотность атмо* сферы, скорость V связана с переменной х соотношением

dx =dx =一分（乃▽一分（乃▽(5.2)(5.2)

dx =

dx =

一分（乃▽

一分（乃▽

(5.2)

(5.2)

(Ё = е~ж при Cx const). Местный формулой一(Ё = е~ж при Cx const). Местный формулой一угол наклона траектории определяетсяугол наклона траектории определяется"麻石"麻石(5.3>(5.3>

(Ё = е~ж при Cx const). Местный формулой

一

(Ё = е~ж при Cx const). Местный формулой

一

угол наклона траектории определяется

угол наклона траектории определяется

"麻石

"麻石

(5.3>

(5.3>

Если скорость входа в атмосферу близка к круговой, то решения этого уравнения в ряде практически интересных случаев могут быть получены в виде рядов различной структура в зависимости от величины угла входа в атмосферу, величины аэродинамического качества, закона изменения коэффициента сопротивления скорости. С помощью такой методики исследованы баллистические траектории аппаратов с малым аэродинамическим качеством.

Для анализа траекторий входа аппаратов с большим аэродинамическим качеством — траекторий планирования и траекторий с отражениями —используется метод усреднения нестационарных нелинейных колебаний.

Если скорость входа в атмосферу превышает первую космическую, то уравнение движения преобразуется таким образом, чтобы получить приближенные соотношения, связывающие условия входа в атмосферу с параметрами траектории в точке достижения минимума высоты при первом погружении в атмосферу. С помощью этих соотношений найдена простая приближенная формула для ширины коридора входа в атмосферу, справедливая для аппаратов с не слишком малым аэродинамическим качеством. Рассмотрена также обратная задача нахождения закона изменения подъемной силы при заданной зависимости высоты от скорости полета. Поскольку все эти решения получены для безразмерных переменных, результаты работы применимы к траекториям входа в атмосферу различных планет.

Пространственные траектории входа в атмосферу планеты рассмотрены Ю. М. Копниным (1967). Введение специальных переменных позво-

лило свести задачу к последовательному определению траектории спутника в плоскости развертки и проекции траектории на поверхность планеты. Получены приближенные решения, позволяющие проанализировать влияние величин аэродинамического качества и угла крена на параметры бокового движения. Рассматривается обратная задача определения закона изменения угла крена по заданной проекции пространственной траектории на поверхность планеты.

Ряд работ посвящен определению оптимальных траекторий входа в атмосферу.

Д. Е. Охоцимский и Н. И. Золотухина (1964) рассмотрели траектории аппаратов, подъемная сила которых принимает поочередно максимальное отрицательное значение, и нашли оптимальные последовательности переключений подъемной силы, позволяющие минимизировать максимальную перегрузку, достигаемую на траектории входа в атмосферу. А. А. Шиловым и Ю. Н. Желниным (1966) исследовалась задача об управлении подъемной силой при входе аппарата в атмосферу и установлены законы управления, оптимальные в смысле минимизации максимальной перегрузки.

В работе И. С. Уколова, Е. А. Тюлина и Э. И. Митрошина (1967) рассмотрена схема управления продольной дальностью точки посадки аппарата при спуске в атмосферу, основанная на анализе безразмерного уравнения движения. Найдены законы переключения подъемной силы, обеспечивающие качество управления, близкое к оптимальному.

В работе В. С. Ведрова, Г. П. Владычина, А. А. Кондратова, Г. Л. Романова и В. М. Шалашкова (1966), а также в работе В. С. Вед- рова, Г. П. Владычина и И. А. Рубцовой (1967) получены простые законы управления аппаратом на участке спуска в атмосферу, обеспечивающие наискорейшее выведение крылатого аппарата на посадочную полосу.

Г. Е. Кузмак и В. А. Ярошевский (1964) рассмотрели неуправляемое движение осесимметричного аппарата около центра масс при входе в атмосферу: С помощью метода усреднения нелинейных нестационарных периодических движений проанализировано влияние начальных условий по углу атаки и угловым скоростям на амплитуды колебаний аппарата в плотных слоях атмосферы.

Движение неуправляемого искусе твенног о спутникаотносительно центра масс

Ряд геофизических и динамических задач, связанных с изучением и освоением космического пространства, требует анализа вращательного движения искусственного космического объекта относительно его центра масс. Без такого анализа трудно правильно интерпретировать показания приборов, установленных на спутнике; движение около центра масс влияет на параметры орбиты и время существования спутника; существует также ряд других задач, требующих знания ориентации спутника в пространстве. Особо следует отметить круг вопросов, связанный с возможностью получения пассивной ориентации спутников, т. е. ориентации, обусловливаемой влиянием моментов внешних сил. В этих задачах существенным является нахождение естественных ориентированных положений спутника, анализ устойчивости этих положений и движения в их окрестности.

Движение спутника около центра масс можно несколько условно разделить на два основных типа — ротационное и либрационное. В случае

ротационного движения кинетическая энергия вращения спутника существенно превосходит работу моментов внешних сил и движение спутника на небольшом интервале времени близко к невозмущенному движению, соответствующему отсутствию моментов внешних сил. Моменты внешних сил будут вносить в движение малые возмущения, которые, однако, могут накапливаться с течением времени, приводя к существенной эволюции движения. Если же кинетическая энергия вращения спутника мала по сравнению с работой внешних сил (или сравнима с ней), то возможно движение либрационного типа — колебания спутника около некоторого ориентируемого направления (радиус-вектор орбиты, вектор магнитной напряженности земного магнитного поля и т. п.).

Отметим, что при исследовании движения обоих типов широко используются современные методы исследования — асимптотические методы теории колебаний, теория устойчивости, численные методы анализа и т. д.

Моменты сил, действующие на спутник. Исследование движения спутника около центра масс обычно предполагает известной зависимость моментов сил, действующих на спутник, от его положения и скорости вращения. Эти моменты в общем случае сложным образом зависят от конфигураций спутника, распределения масс, свойств материала, из которого изготовлен спутник, и физических свойств окружающего спутник пространства. Поэтому вычисление моментов сил представляет самостоятельную, достаточно сложную задачу. Этой задаче уделено много внимания в работах В. В. Белецкого (1958—1959, 1963, 1965), Г. Н. Дубошина (1958), А. А. Карымова (1962), А. И. Лурье (1962—1963), В. А. Сарычева (1961), Ф. Л. Черноусько (1965—1966) и др. В этих работах предлагаются модельные формулы, аппроксимирующие точные выражения моментов сил либо вычисляются точные формулы для конкретных конфигураций спутника.

Уравнения движения. При исследовании либрационного движения обычно употребляются * линейные или нелинейные уравнения колебаний в выбранной подходящим образом системе координат. В качестве переменных чаще всего употребляются углы типа углов тангажа, крена и рысканья. Уравнения в направляющих косинусах часто оказываются удобными для исследования вопросов устойчивости.

Плодотворной оказалась идея использования в качестве переменных компонент вектора кинетического момента по неподвижным осям и углов Эйлера в системе, связанной с вектором кинетического момента. Уравнения движения твердого тела в этих переменных впервые были предложены, по-видимому, еще Б. В. Булгаковым (1955), но получили развитие и конкретное применение только с возникновением задач о движении искусственных спутников (В. В. Белецкий, 1958, 1961, 1963, 1965; Ф. Л. Черноусько, 1963, и др.). Эти уравнения удобны для исследования асимптотическими методами и в различных формах и модификациях употребляются для анализа ротационного движения. Используются и другие формы уравнений; например, в задачах, связанных с численным нахождением движения, иногда употребляются параметры Родрига — Гамильтона.

Стабилизация и либрационное движение спутника в гравитационном поле сил. Уравнения движения спутника в гравитационном поле на круговой орбите допускают частное решение — относительное равновесие в орбитальной системе координат. В этом режиме движения главные центральные оси инерции спутника совпадают соответственно

с радиусом-вектором орбиты, касательной к орбите и нормалью к плоскости орбиты..

Ввиду важности этого решения для создания систем пассивной гравитационной стабилизации (Д. Е. Охоцимский, 1963; В. А. Сарычев, 1963), анализу движения в окрестности относительного равновесия посвящено много работ.

В. В. Белецким (1959) доказано, что для устойчивости относительного равновесия на круговой орбите достаточно, чтобы в относительном равновесии большая ось эллипсоида инерции спутника была направлена по радиусу-вектору орбиты, меньшая ось эллипсоида энергии по нормали к плоскости орбиты и, следовательно, средняя ось — по касательной к орбите.

Задача о движении спутника около центра масс обычно рассматривается в ограниченной постановке: считается, что движение около центра масс не влияет на орбиту спутника. В ограниченной задаче уравнения движения спутника в гравитационном поле допускают первый интеграл —— интеграл типа Якоби, который существует только на круговой орбите и может быть записан в следующем виде (В. В Белецкий, 1959):

А^ + В^ + Сг2 + Зсо2 [(Л — С)犬 +(3 — С)屮2] +

+ 壮^+{В_С} р"2] =%.(6.1)

Здесь со — угловая скорость движения центра масс спутника; р% q г — составляющие относительной угловой скорости спутника по его главным центральным осям i, J, к、которым соответствуют главные центральные моменты инерции А, В, С;

，= (%•&),，' = (*ег), Р = (2・％),0"=(乃.％),

где ет — единичный вектор по направлению радиуса-вектора орбиты, п — единичный вектор нормали к плоскости орбиты. В положении относительного равновесия J || п, к 1\ ег, р = q = г = у = у/ = § = §" = 0. Это движение, как следует из (6.1), устойчиво, если

3>4>&(6.2)

что как раз и дает указанное выше устойчивое распределение главных центральных осей инерции спутника.

Анализ малых пространственных колебаний спутника на круговой орбите (В. В. Белецкий, 1959) показал, что, кроме указанного достаточного условия устойчивости, существует область значений моментов инерции, в которой выполняются необходимые условия устойчивости (движение устойчиво в линейном приближении), В этой области эллипсоид инерции близок к сжатому эллипсоиду вращения, расположенному в относительном равновесии своей наименьшей осью по касательной, а наибольшей осью по нормали к плоскости орбиты; средняя ось, близкая по величине к наибольшей оси, расположена по радиусу-вектору орбиты. На эллиптической орбите относительного равновесия не существует, но аналогичную важную роль играют устойчивые периодические колебания около направления радиуса-вектора орбиты. Особенно подробно исследованы колебания в плоскости орбиты, описываемые уравнением (В. В. Белецкий, 1959)

(1 + ecos V)6" — 2е sin v6' + n2 sin 6 = 4e sin v(6.3)

(6 = 28,載二吟/L),

49 Механика в СССР, том 1

причем cos 0 = к ет\ независимой переменной является истинная аномалия V (е — эксцентриситет орбиты). Применение асимптотических методов к анализу этого уравнения позволяет получить интегральные кривые, описывающие движение на амплитудно-фазовой плоскости (Ф. Л. Черноусько, 1963; В. В. Белецкий, 1965), играющей в анализе неавтономных колебаний роль, аналогичную роли фазовой плоскости нля консервативной автономной системы. Например, при малых е реше- дие уравнения (6.3) в окрестности главного резонанса находится в квази- гармоническом виде;

6 = а(V)cos [” + 乂 (v)], (6.4)，

где переменные амплитуда a (v) и фаза 乂 (v) колебаний связаны интегралом

4еп-|-14еп-|-1a sin 乂 +a sin 乂 +(6.5)(6.5)

4еп-|-1

4еп-|-1

a sin 乂 +

a sin 乂 +

(6.5)

(6.5)

позволяющим исследовать движение на амплитудно-фазовой плоскости (а, х). В (6.5) JQ (а) — функция Бесселя нулевого порядка. 2л-перио- дическим решениям уравнения (6.3) соответствуют стационарные точки интегральных кривых (6.5), в которых

6 = 土 asinv, ， (6.6>

где 九 ® — функция Бесселя первого рода первого порядка. При этом 2л-периодических решений будет одно (устойчивое) или три (из них два устойчивых, одно неустойчивое), если соответственно

Ose-(4)3/2fc^>0 или П<0 (6,7).

В. В. Белецкий, 1965). Ф. Л. Черноусько (1963) рассмотрел асимптотические решения уравнения (6.3) как при малых е, так и при любых % но малых 3 В последнем случае обнаружена, в частности, смена устойчивости 2л-периодического решения при е > 0,682, когда становится устойчивым решение, отвечающее п2 < 0; при этом в перигее ось наи- (меньшего момента инерции направлена по касательной к орбите. Если же е <0,682, то устойчиво периодическое решение, при котором в перигее ось наименьшего момента инерции направлена по радиусу-вектору (722 >0).

В общем случае анализ периодических решений уравнения плоских колебаний на эллиптической орбите проводился численными методами, что позволило получить полную картину областей существования устойчивых периодических колебаний при любых значениях эксцентриситета эллиптической орбиты и любых моментах инерции спутника (В. А. Златоустов, 1964; Д. Е. Охоцимский, 1964; В. А. Сарычев, 1964; А. П. Тор- жевский, 1964). Исследованию уравнения плоских колебаний на эллиптической орбите посвящены также работы В. В. Белецкого (1963), И. Д. Килля (1963—1964) и А. П. Торжевского (1964).

Если спутник обладает динамической симметрией, то на круговой орбите существуют такие движения (регулярные прецессии относительно нормали к плоскости орбиты), когда ось симметрии остается неподвижной во вращающейся орбитальной системе координат. При этом ось симметрии нормальна либо к радиусу-вектору орбиты, либо к вектору скорости и составляет постоянный (в частности, нулевой) угол с нормал ью- к плоскости орбиты.

Эти стационарные движения, обнаруженные Г. Н. Дубошиным (1959— I960) и В. Т. Кондурарем (1959), были исследованы на устойчивость Ф. Л. Черноусько (1964), который нашел области достаточных условий устойчивости и области необходимых условий устойчивости. А. П. Маркеев (1965, 1967), используя результаты А. Н・ Колмогорова и В. И. Арнольда об устойчивости движения в канонических системахт показал, что в области необходимых условий устойчивости движение устойчиво всюду, кроме, может быть, множества значений параметров, имеющего нулевую меру.

Применение асимптотических и численных методов позволило А. П. Маркееву подробно исследовать движение в окрестности указанных стационарных движений как на круговой, так и на эллиптической орбитах. В. А. Сарычев (1965) получил условия асимптотической устой， чивости стационарных движений симметричного спутника, снабженного демпфирующим устройством.

Стабилизация и либрационное движение спутника под действием моментов сил негравитационной природы. Аэродинамические силы могут либо возмущать гравитационную стабилизацию либо способствовать ей. Принципиальный интерес представляет и чисто аэродинамическая стабилизация по вектору скорости центра масс спутника. Моменты сил светового давления могут стабилизировать спутник относительно направления на Солнце, а моменты магнитных сил — относительно вектора магнитной напряженности магнитного поля Земли. Представляет также интерес вопрос о магнитных возмущениях гравитационной стабилизации, о совместном влиянии моментов сил светового давления и гравитационных и т. д. Исследованием либрационного движения под действием моментов сил негравитационной природы занимались О. В. Гурко и Л. И. Слабкий (1963), А. А. Карымов (1962, 1964), В. А. Сарычев (1964), В. В. Белецкий (1965), А. А. Хентов (1967) и др*

Ротационное движение. Если моменты действующих сил имеют силовую функцию, то первое приближение к движению (в асимптотическом смысле) получается путем осреднения силовой функции по невозмущенному движению, а также, может быть, по орбитальному движению спутника. При этом спутник совершает невозмущенное движение Эйлера —Пуансо относительно постоянного по величине вектора кинетического момента; движение самого вектора кинетического момента описывается двумя каноническими уравнениями (В. В. Белецкий, 1963)：

dp — 1 dU do — 1 切 /n q\ dw — Lq sin p Ocr ' dv ~ Zo sin p Op * ( * )

Здесь Lo ——модуль вектора кинетического момента, постоянный в рассматриваемом приближении; р,仃 — два угла, определяющие положение вектора 立 кинетического момента в неподвижной системе координат; U = U (р, о)——осредненное значение силовой функции. Из (6.8) очевидно ,что траектории вектора кинетического момента определяются интегралом уравнений (6.8)

U (р, о) = const. (6・9)

Если силовая функция осреднена только по эйлерову движению, то в уравнениях (6.8) U зависит еще и от истинной аномалии v, интеграла (6.9) не существует, но движение 立 определяется по (6.8) более точным образом, причем для ряда важных случаев уравнения (6.8)

с U = U (р, о, V) могут быть точно проинтегрированы (В. В. Белецкий, 1963, 1965). Так, например, в случае гравитационных возмущений вектор кинетического момента совершает медленную прецессию вокруг нормали к плоскости орбиты на почти постоянном угловом расстоянии от нее (В. В. Белецкий, 1958, 1963, 1965; Ф. Л. Черноусько, 1963). Если спутник обладает динамической симметрией, то

Р = Р。，-^г = у®о f^-—cosPo, (6.10)

причем здесь р — угол между Ъ и п, о — угол поворота N вокруг п, со。一 частота обращения центра масс спутника по орбите,仆=仆。一 постоянный угол нутации (между Ей осью к симметрии спутника). Относительно 立 динамически симметричный спутник совершает регулярную прецессию”

Описанная картина движения отвечает только нерезонансным случаям. Если же между характерными частотами движения существуют соотношения, близкие к резонансным, то картина усложняется и в первом приближении появляются возмущения в движении вектора кинетического момента, в величине этого вектора и в движении относительно вектора кинетического момента, как это обнаружил А. П. Торжев- ский (1967) для случая гравитационных возмущений. Например, в случае быстрого вращения тела с трехосным эллипсоидом инерции при соизмеримости двух основных частот эйлерова невозмущенного движения оказывается, что вектор кинетического момента 立 прецессирует вокруг нормали к плоскости орбиты (аналогично нерезонансному случаю) и, кроме того, совершает нутационные колебания (по углу р) относительно нормали к плоскости орбиты; при этих колебаниях £ и р меняются так, что

L cos р = const.(6.11)

В. В. Белецкий (1958, 1961/ 1963, 1965, 1967) исследовал ротационное движение спутника под раздельным и совместным влиянием сил различной природы ——гравитационных, аэродинамических, магнитных, светового давления, диссипативных сил (аэродинамическое трение, вихревые токи в оболочке спутника)； рассмотрено влияние изменяемости орбиты спутника и других факторов.

Отметим некоторые главные эффекты ротационного движения при простейших предположениях о структуре возмущающих моментов для динамически симметричного спутника. Аэродинамические возмущения вызывают прецессию 立 на постоянном угловом расстоянии 仆 от направления, параллельного вектору 0几 скорости центра масс спутника в перигее орбиты. Скорость указанной прецессии составляет

2л

伍弋 2 (f+c殁у…2产°。

2LoI 12冗 3 рл(1-he COS v)2/ v 丿

0

Здесь ся = VnRn — постоянная площадей орбитального движения (7?я — перигейный радиус орбиты), р — текущая плотность атмосферы, ря — плотность атмосферы в перигее орбиты, а = aSl — коэффициент аэродинамического момента, пропорциональный произведению характерной площади спутника S на его характерный размер Z.

За счет действия постоянного осевого магнитного момента /° спутника вектор Е прецессирует со скоростью d^Jd” на постоянном угловом

расстоянии 乂 от полюса, направление на который составляет угол pt с направлением оси Земли и содержится в плоскости, нормальной к линии узлов. При этом

ctgpi= ；， 警=2實僵 cos。］Л + 3 cos? 2,(6.13)

где p — фокальный параметр орбиты, i — наклон орбиты к экваторут *е — магнитный момент магнитного поля Земли (предполагаемого дипольным, соосным с осью Земли). Движение относительно вектора 立 не разрушается. В частности, в (6.12) — (6.13) угол нутации 仆=8。постоянен. Анализ экспериментальных данных показал, что эффекты типа (6.10), (6.12) — (6.13) доминировали у третьего советского спутника (В. В. Белецкий, 1961, 1965; Ю. В. Зонов, 1961), спутника «Электрон-2» (Э. К. Лавровский, 1967; С. И. Трушин, 1967) и др.

При неконсервативных воздействиях разрушается и движение относительно L. Так, панели солнечных батарей, кососимметрично установленных на спутнике, создают в потоке разреженного газа пропеллирую- щий момент, раскручивающий спутник и вызывающий ряд других эффектов. Модель такого движения в среднем обладает свойством сохранять величины

L sin 仆(ctg #)a=：z0,(tg2,0,)2a cos 仆 sin2 #a —c0.(6.14)

Постоянный коэффициент a & 0.5 зависит от аэродинамических характеристик спутника. Интегральные кривые (6.14) позволяют показать, что спутник может (долгопериодическим образом) резко менять режим движения, выходя из режима закрутки (仆 л; 0) в режим кувыркания (仆 ^;冗/2) и обратно. Вместе с этим изменяется угол 仆^ между вектором L и направлением Vn и колеблется значение модуля L. Такие эффекты, как показывает анализ экспериментальных данных, доминируют в движении спутников типа «Протон» (В. В. Белецкий, 1967; В. В. Голубков, 1967; И. Г. Хацкевич, 1967).

Диссипативные эффекты наряду с затуханием угловых скоростей приводят, как правило, в пределе к вращению спутника вокруг оси наибольшего момента инерции (так что вытянутый спутник опрокидываетсят а сжатый стабилизируется).

Влияние трехосности эллипсоида инерции спутника на его ротационное нерезонансное движение исследовано для гравитационных моментов Ф. Л. Черноусько (1963) и для аэродинамических моментов Ю. Г. Евтушенко (1964—1965) (путем осреднения уравнений по эйлерову движению на основании схемы, предложенной Ф. Л. Черноусько).

Ряд эффектов ротационного движения обнаружен Ю. В. Зоновым (1959) (вихревые токи), А. А. Карымовым (1962, 1964) (световое давление).

Описание некоторых основных эффектов ротационного движения спутника содержится в книге А. И. Лурье (1962) и у Л. И. Седова (1958)..

6・6・ Влияние моментов сил внутренней природы на движение спутника. Н. Н. Колесников (1962) показал, что условия устойчивости относительного равновесия спутника как твердого тела сохраняют свой вид и для спутника, имеющего полость, целиком заполненную вязкой жидкостью. Им же рассмотрены некоторые спутниковые задачи при наличии гиростатического момента (1963, 1966).'

Ф. Л. Черноусько (1965—1966) подробно исследовал задачу о движении тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью, при малых

или, наоборот, при больших числах Рейнольдса. Эта задача рассматривалась также в работах Б. Н. Румянцева (1964), П. С. Краснощекова (1963) и других. Такого рода исследования могут быть также применимы к анализу движения спутника.

Пусть, например, спутник содержит сферическую полость радиуса а, наполненную вязкой жидкостью с плотностью р0 и вязкостью v, момент внешних сил отсутствует. Тогда при малых числах Рейнольдса уравнения Эйлера движения спутника имеют вид (Ф. Л. Черноусько, 1965) A% + G — B)qr =

-^p[C(A-C)(A + C-B)^ + B(A-B)(A + B-C)q2],(6.15)

8^25 ла7) . Вейлу уравнений (6.15) вели8^25 ла7) . Вейлу уравнений (6.15) велипричем два других уравнения получаются циклической перестановкой

8

^25 ла7) . Вейлу уравнений (6.15) вели

8

^25 ла7) . Вейлу уравнений (6.15) вели

букв А, В, С, р, д, г (здесь р° =

чина L вектора кинетического момента сохраняется, а кинетическая энергия Г монотонно убывает. Спутник стремится к вращению вокруг оси максимального момента инерции. В случае динамически симметрич

ного спутниканого спутникахарактерноехарактерноевремя переходного процесса составляетвремя переходного процесса составляетТо ^То ^必3eРо^о^о 丨 N — С I必3eРо^о^о 丨 N — С I(6.16)(6.16)

ного спутника

ного спутника

характерное

характерное

время переходного процесса составляет

время переходного процесса составляет

То ^

То ^

必3e

Ро^о^о 丨 N — С I

必3e

Ро^о^о 丨 N — С I

(6.16)

(6.16)

В. Н. Боровенко (1965) и Б. А. Смольников (1966) рассматривали влияние на движение спутника содержащихся в нем вращающихся тел. Последний рассматривал движение в эйлеровых углах относительно суммарного постоянного вектора кинетического момента L тела и маховиков; траектория суммарного вектора кинетического момента относительно главных центральных осей инерции тела дается интегралом энергии движения

第++

+ 2R [sin v0 sin 仆 cos (屮一p,0) + cos v0 cos 仆]=const, (6.17)

тде (p, # — эйлеровы углы собственного вращения и нутации, a v0 и р,0 — углы, определяющие положение в теле постоянного относительно тела кинетического момента маховиков, R определяется величиной этого кинетического момента.

Существенное прикладное значение имеет использование вращающихся масс для введения спутника в режим пассивной стабилизации (В. А. Сарычев, 1967). Анализу влияния упругости конструкции спутника на его движение посвящены работы В. И. Попова (1965), В. Ю. Рут- ковского (1965), Т. В. Харитоновой (1966).

О взаимосвязи поступательного и вращательного движений. Движение относительно центра масс и движение самого центра масс, вообще говоря, взаимосвязаны. Ясно, например, что орбита нешарового спутника зависит вследствие атмосферного сопротивления от ориентации спутника; с другой стороны, изменения ориентации зависит от параметров орбиты. Некоторые вопросы взаимосвязи вращательного и орбитального движения спутника в атмосфере рассмотрены Ю. Г. Евтушенко (1965); В. В. Белецким (1965) определено понятие эффективного коэффициента сопротивления, позволяющего учитывать влияние эволюции вращения спутника на его орбитальное движение.

Особенно большое количество работ посвящено анализу взаимосвязи поступательного и вращательного движения спутника в гравитационном поле. Здесь следует отметить большой цикл работ В. Т. Кондураря (1959— 1963) и работы Г. Н. Дубошина (1958—1960), в которых, в частности, приведен^ общие уравнения поступательно-вращательного движения многих тяготеющих тел. Ряд эффектов взаимосвязи поступательного и вращательного движения в гравитационном поле рассмотрен в работах В. В. Белецкого (1959, 1963, 1965), М. С. Волкова (1962—1963) и др.

6・8・ Определение фактической ориентации спутников по измерениям. Показания различных датчиков, установленных на спутнике, позволяют получить сведения о фактической ориентации спутника и о фактических моментах сил, действующих на него. С этой целью используются~пока- зания магнитометров, солнечных датчиков, датчиков угловых скоростей, ионные ловушки, данные о модуляции радиосигнала и т. п.

Так как измерения проводятся с некоторыми ошибками, то естественным подходом к определению ориентации является статистическая обработка измерений. Если на фиксированный момент времени приходится достаточное количество разнообразных измерений, то это позволяет определить ориентацию локальным способом, ничего не зная заранее •о движении спутника около центра масс. Но обычно достаточное количество измерений рассредоточено по значительному интервалу времени. В этом случае ориентацию можно определить лишь интегральным способом, используя всю сумму информации для построения какой-то модели движения. В связи с этим велика роль моделей движения спутника около центра масс. В качестве такой модели можно брать невозмущенное движение, дифференциальные уравнения движения и т. п. Алгоритмы ста- тгистической обработки информации обычно являются итерационными. Поэтому большую роль играют методы получения нулевого приближения к движению спутника. Это нулевое приближение обычно получается из той же информации, которая в дальнейшем участвует в статистической * обработке. Параллельно с определением ориентации возможно определение моментов сил, действующих на спутник. Разработке методов определения ориентации и определению ориентации ряда советских искусственных спутников посвящены работы В. В. Белецкого (1961, 1965, 1967), В. Н. Боровенко (1967), Ю. В. Зонова (1961), В. В. Голубкова (1967), Г. Н. Крылова (1962), Э. К. Лавровского (1967), С. И. Трушина (1967), И. Г. Хацкевича (1967) и другие, среди которых отметим работы, посвященные определению некоторых параметров вращения и ориентации спутников по оптическим наблюдениям за изменением их яркости (В. М. Григоревский, 1961, 1963).

6・9・ Книги и монографии. Вопросам движения спутника около центра масс посвящена вышедшая в 1965 г. книга В. В. Белецкого. Отдельные задачи динамики вращательного движения спутника рассмотрены также в книгах К. Б. Алексеева и Г. Г. Бебенина (1964), А. И. Лурье (1962), Н. Н. Моисеева и В. В. Румянцева (1965).

6.10. Замечание. В настоящем параграфе вовсе не затронуты важные вопросы динамики управляемого движения спутника около центра масс (а также пассивной стабилизации спутников, которой посвящен следующий параграф). Некоторые работы по этим темам выполнены К. Б. Алексеевым и Г. Г. Бебениным (1964), М. 3. Борщевским (1966), Э. В. Гаушус (1963), И. В. Иословичем (1966), В. П. Легостаевым (1966), Д. Е. Охоцимским (1963), Б. В. Раушенбахом (I960, 1966), В. А. Сарычевым (1963—1964, 1967), Б. А. Смольниковым (1964), Е. Н. Токарем (I960).

Пассивные методы стабилизации искусственных спутников

Одним из важных направлений в развитии техники космических полетов является создание ориентированных искусственных спутников Земли. Решение этой задачи позволяет осуществить проведение требующих ориентации научных экспериментов в межпланетном пространстве, возвращение на Землю спутника или кассеты с результатами этих экспериментов, создание системы рентрансляционных спутников, используемой для целей глобальной радиосвязи и телевидения, запуск метеорологических и геодезических спутников и др. В зависимости от поставленных задач ориентация искусственного спутника может быть осуществлена с использованием активных или пассивных методов.

Для активных методов ориентации обязательно наличие на спутнике датчиков ориентации и исполнительных элементов, обеспечивающих управляющие моменты и поддерживающих заданную ориентацию спутника в пространстве. Активные системы ориентации применяются, если необходимо: 1) обеспечить очень высокую точность ориентации, 2) противодействовать большим возмущающим моментам, 3) совершать сложные программные повороты вокруг центра масс спутника. Активные системы ориентации требуют значительного расхода энергии и (или) рабочего тела и, как правило, рассчитываются на сравнительно короткое время работы.

Для проектов спутников без сложных программных маневров, с большим временем существования и точностью ориентации порядка 1—5° более предпочтительно применение пассивных методов. При разработке пассивных систем стабилизации спутников можно использовать свойства гравитационного и магнитного полей, эффект сопротивления атмосферы и светового давления, гироскопические свойства вращающихся тел и др.

Системы гравитационной стабилизации. Из систем, использующих свойства внешней среды, наибольшее распространение получили системы гравитационной стабилизации спутников. Принцип стабилизации в этих системах основан на следующем, хорошо известном свойстве центрального ньютоновского поля сил: спутник с неравными главными центральными моментами инерции имеет на круговой орбите четыре устойчивых положения равновесия, соответствующих совпадению наибольшей оси эллипсоида инерции спутника с радиусом-вектором и наименьшей оси с бинормалью к орбите.

Строгое доказательство устойчивости положений равновесия спутника, основанное на использовании второго метода Ляпунова, дано В. В. Белецким (1959). Применительно к Луне, представляющей собой пример естественной гравитационной стабилизации тела относительно притягивающего центра, необходимые условия устойчивости положений равновесия получены в классической небесной механике еще Ж. Л. Лагранжем. ,

При практической реализации этих идей в системах гравитационной стабилизации спутников возникают некоторые трудности. Первая трудность связана с необходимостью демпфирования собственных колебаний спутника относительно положения устойчивого равновесия. Для обеспечения демпфирования собственных колебаний спутник выполняется в виде двух соединенных нежесткой связью частей — собственно спутника и стабилизатора. Демпфирование в систему вводится с использованием относительной подвижности спутника и стабилизатора. Конструкции

подвеса, соединяющего спутник со стабилизатором, представляет собой наиболее сложный элемент системы гравитационной стабилизации.

Вторая трудность возникает из-за неоднозначности положения устойчивого равновесия спутника. Если спутник после демпфирования собственных колебаний должен занять заданное устойчивое равновесное положение, а углы и угловые скорости спутника в начальный момент после отделения от последней ступени ракеты-носителя слишком великиг то их необходимо уменьшить с помощью системы предварительного успокоения до величин, исключающих переход спутника из одного устойчивого положения равновесия в другое. Иное решение задачи заключается в том, чтобы успокоить спутник в любом равновесном положении и уже после успокоения перевести его с помощью программного разворота в заданное равновесное положение.

Третья трудность обусловлена малой величиной гравитационных восстанавливающих моментов и необходимостью в связи с этим принимать специальные меры по уменьшению различных возмущающих воздействий с тем, чтобы обеспечить достаточно высокую точность ориентации спутника.

Первая схема системы гравитационной стабилизации искусственных спутников была предложена в 1956 г. Д. Е. Охоцимским (1963). В этой схеме к корпусу спутника с помощью сферического шарнира присоединяется стабилизатор, выполненный в виде двух одинаковых по длине жестко скрепленных друг с другом штанг с равными грузами на- концах. Положение стабилизатора относительно корпуса спутника фиксируется центрирующими пружинами. Параметры стабилизатора (длина штанг, вес, угол раствора между штангами) выбираются так, чтобы обеспечить нужные параметры эллипсоида инерции системы спутник — стабилизатор. Относительное движение спутника и стабилизатора используется для введения в систему линейных демпфирующих членов.

При исследовании динамики этой схемы системы гравитационной стабилизации В. А. Сарычев (1961; 1963) получил необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости положения равновесия системы спутник — стабилизатор, исследовал вынужденные колебания системы на эллиптической орбите и рассмотрел возможность уменьшения длительности переходного процесса при гашении собственных колебаний спутника.

Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости положения равновесия системы спутник — стабилизатор сравнительнолегко получаются в общем виде построением функции Ляпунова, роль которой выполняет функция Гамильтона системы. Единственная трудность связана с. тем, что производная от функции Ляпунова в силу уравнений движения является лишь знакопостоянной, а не знакоопределенной функцией, поэтому, теоремы второго метода Ляпунова в этом случае нельзя применить без дополнительного исследования.

Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости положения равновесия сводятся к следующим требованиям:

в равновесном положении система спутник — стабилизатор должна быть гравитационно устойчивой, т. е. ось наименьшего момента, инерции всей системы в целом должна совпадать с радиусом-вектором, ось наибольшего момента инерции — с бинормалью к орбите;

величины моментов сил упругости, противодействующих дестабилизирующим гравитационным моментам, должны быть ограничены

снизу;

ни при каких значениях параметров производная от функции Гамильтона системы не должна тождественно обращаться в нуль, что означает отсутствие таких решений, когда система спутник — стабилизатор совершает колебания как твердое тело, без рассеивания энергии.

В зависимости от конструкции системы спутник — стабилизатор и высоты орбиты может возникнуть необходимость учета сопротивления атмосферы. Влияние сопротивления на круговой орбите сводится к изменению равновесия спутника и появлению вынужденных колебаний по углам крена и рысканья. Выбором схемы (В. А. Сарычев, 1961) можно оставить неизменным положение равновесия и использовать восстанавливающие аэродинамические моменты по углам рысканья и тангажа для ослабления требований, предъявляемых к соотношениям между моментами инерции системы.

Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости собственных колебаний системы на круговой орбите с учетом сопротивления атмосферы получаются построением функции Ляпунова. Устойчивость системы спутник — стабилизатор по крену по-прежнему определяется лишь гравитационным моментом, устойчивость по тангажу и рысканью становится возможным обеспечить (или усилить) аэродинамическим моментом.

Вследствие вращения атмосферы вместе с Землей по углам рысканья и крена возникают вынужденные колебания с частотой, равной частоте обращения центра масс системы по орбите. Амплитуда этих колебаний пропорциональна угловой скорости вращения Земли и синусу угла наклонения орбиты. •

Следует отметить, что в принципе влияние сопротивления атмосферы на колебания системы спутник — стабилизатор можно исключить выбором параметров стабилизатора.

При выводе уравнений движения системы спутник — стабилизатор с трехстепенным подвесом выяснилось, что малые колебания системы по углу тангажа (в плоскости Орбиты) не зависят от углов крена и рысканья, в то время как колебания по углам крена и рысканья взаимосвязаны и не зависят от угла тангажа. Этот факт позволил перейти в конструкции системы спутник — стабилизатор к подвесу с двумя степенями свободы, а затем, избавившись от симметричности схемы, приводящей к независимости колебаний в плоскости орбиты от углов крена и рысканья, и к подвесу с одной степенью свободы (В. А. Сарычев, 1964). Асимптотическая устойчивость положения равновесия системы по всем угловым переменным при этом может быть обеспечена, несмотря на частичную диссипацию. Уменьшение числа степеней свободы подвеса позволяет значительно упростить конструкцию системы спутник — стабилизатор.

На круговой орбите в среде без сопротивления собственные колебания затухают с течением времени и система спутник — стабилизатор переходит в положение устойчивого равновесия. На эллиптической орбите равновесного положения не существует. Система совершает в плоскости орбиты вынужденные (эксцентриситетные) колебания, вызываемые неравномерностью вращения орбитальной системы координат. Амплитуда эксцентриситетных колебаний пропорциональна величине эксцентриситета орбиты и зависит от инерционных характеристик системы и коэффициентов трения и упругости (В. А. Сарычев, 1961, 1963). При отсутствии трения в системе можно так подобрать параметры стабилизатора, что на эллиптической орбите амплитуда эксцентриситетных колебаний спутника будет равна нулю. В этом случае стабилизатор выполняет

роль динамического успокоителя колебаний. Эксцентриситетные колебания легко рассчитываются и могут быть учтены при обработке результатов экспериментов, проводимых на спутнике.

Ошибки системы гравитационной стабилизации (В. А. Сарычев, 1961) определяются погрешностями изготовления системы и внешними возмущающими моментами. Появление погрешностей изготовления вызывается следующими обстоятельствами:

ошибкой в определении центра масс,

ошибкой в определении направлений главных динамических осей,

ошибкой в отсчете нуля моментов упругих сил.

Эти ошибки случайным образом влияют на параметры системы. При исследовании точности стабилизации спутника наибольший интерес представляют такие отклонения параметров от выбранных номинальных значений, которые приводят к неоднородной системе дифференциальных уравнений движения. Малые отклонения параметров, не меняющие однородного вида уравнений движения, могут лишь незначительно изменить переходный процесс и характеристики установившегося движения на эллиптической орбите.

Можно сравнительно просто получить явные аналитические зависимости, связывающие точность стабилизации спутника с погрешностями изготовления системы. Анализ этих зависимостей показывает, что на слабо эллиптических орбитах основными являются статические ошибки. Амплитуда периодических ошибок, определяемых эллиптичностью- орбиты, имеет более высокий порядок малости.

Основные внешние возмущающие моменты, влияние которых необходимо учитывать при оценке точности систем гравитационной стабилизации, обусловлены сопротивлением атмосферы, магнитным полем Земли, эллиптичностью орбиты, световым давлением и т. д. Действие этих моментов приводит к нарушению положения равновесия системы и появлению вынужденных колебаний, амплитуда которых определяется величиной возмущений.

Существенное влияние на динамику и точность систем гравитационной стабилизации оказывают также эффекты, связанные с нежесткостью элементов конструкции спутника (В. И. Попов, 1965; В. Ю. Рутковский, 1965; Т. В. Харитонова, 1966), особенно если учесть, что длина штанги с грузом на конце, используемой для обеспечения необходимых. восстанавливающих гравитационных моментов, может достигать десятков метров.

Различные системы гравитационной стабилизации искусственных спутников отличаются в основном методами демпфирования собственных колебаний. Демпфирование может быть полностью пассивным, полу- пассивным и активным.

В чисто пассивных схемах (Д. Е. Охоцимский, 1963； В. А. Сарычев, 1963) с использованием относительного движения нежестко связанных частей спутника вводится линейное демпфирование. Практическая реализация линейного демпфирования возможна, например, в виде магнитного демпфера, действие которого основано на использований токов Фуко, жидкостного демпфера и т. д.

Пример полупассивной схемы демпфирования (Е. Н. Токарь, 1966; В. А. Сарычев, 1967) — гиродемпфер, состоящий из пары двухстепенных гироскопов, оси вращения роторов которых в равновесном положении спутника расположены симметрично относительно нормали к плоскости орбиты. Собственные колебания спутника вызывают прецессию связанных с демпфирующим устройством роторов гироскопов, что приводит

к рассеиванию энергии системы. В полупассивной схеме сравнительно небольшое количество энергии тратится лишь на поддержание постоянства скорости вращения роторов гироскопов.

В системах гравитационной стабилизации с активным демпфированием гашение собственных колебаний спутника относительно орбитальной системы координат осуществляется с помощью активной системы, включающей в себя чувствительные и исполнительные элементы, и лишь восстанавливающие моменты обеспечиваются за счет свойств гравитационного поля Земли.

Теория систем гравитационной стабилизации искусственных спутников разработана применительно к Земле как к притягивающему центру.. Однако все основные результаты (условия устойчивости, эксцентриситет- ные колебания, длительность переходного процесса, выраженная в числе обращений спутника по орбите и пр.) сохраняются и для Луны и планет Солнечной системы. Отличие возникает лишь при оценке влияния возмущающих моментов и учете специфических для конкретной планеты условий (например, практическое отсутствие магнитного поля у Луны).

Системы аэродинамической стабилизации. На круговых и слабо эллиптических орбитах в диапазоне высот от 250 до 350 км для ориентации оси симметрии спутника по набегающему потоку, направление которого мало отличается от направления касательной к орбите, можно использовать аэродинамические моменты. Если спутник аэродинамически устойчив, то при нарушении нормальной ориентации возникают восстанавливающие моменты по тангажу и рысканью, стремящиеся совместить продольную ось спутника с вектором скорости набегающего потока. Для устранения неопределенности поворота спутника по крену (вокруг продольной оси) можно, например, поместить в корпусе спутника ротор,, вращающийся с постоянной угловой скоростью вокруг оси, перпендикулярной к оси симметрии спутника. Возникающие при вращении ротора гироскопические моменты будут стремиться выставить ось ротора по нормали к плоскости орбиты. • .

Примером спутника с аэродинамической (точнее, аэрогироскопиче- ской) системой стабилизации может служить спутник «Космос-149», запущенный 21 марта 1967 года на орбиту с высотой перигея 248 км^ высотой апогея 297 км и наклонением плоскости орбиты к плоскости экватора —— 48° (А. М. Обухов, 1967; В. К. Михайлов, 1967; В. А. Сарычев, 1967; Л. В. Соколов, 1967). Для обеспечения достаточных восстанавливающих аэродинамических моментов по тангажу и рысканью к спутнику на четырех длинных тонких штангах присоединен аэродинамический стабилизатор, представляющий собой боковую поверхность усеченного конуса.

Стабилизация по крену обеспечивается с помощью установленных на спутнике двух двухстепенных гироскопов. Их суммарный кинетический момент при нормальной ориентации спутника направлен перпендикулярно к плоскости орбиты. Расположение гироскопов таково, что при любом нарушении ориентации спутника возникают восстанавливающие гироскопические моменты по рысканью и крену. Таким образом, в рассматриваемой схеме устойчивость спутника по тангажу обеспечивается аэродинамическим моментом, по крену — гироскопическим моментом, по рысканью ——объединенным действием аэродинамического и гироскопического моментов. Спутник с аэрогироскопической системой стабилизации обладает единственным устойчивым положением равновесия.

Кроме стабилизации по крену и рысканью, гироскопы обеспечивают также демпфирование собственных колебаний спутника. Для этого оси

роторов гироскопов соединены с демпфирующими устройствам^ и при прецессии гироскопов, возникающей при любом нарушении нормальной ориентации спутника, происходит диссипация энергии собственных колебаний.

Основные возмущения, определяющие точность системы стабилизации спутника, обусловлены увлечением атмосферы вращающейся Землей, эллиптичностью орбиты и погрешностями изготовления конструкции. Анализ показаний научной аппаратуры (фотометры, трехкомпонентный магнитометр), установленной на спутнике «Космос-149», позволяет утверждать, что аэрогироскопическая система обеспечивает стабилизацию спутника относительно системы координат по углам тангажа, рысканья и крена с точностью не менее 5°.

Действие солнечного светового давления аналогично действию сопротивления атмосферы. Для искусственных спутников Земли световое давление является возмущающим воздействием. Однако для космических аппаратов (в частности, для искусственных спутников Солнца), движущихся достаточно далеко от Земли и планет по почти круговым орбитам, световое давление может быть использовано для целей стабилизации аппарата на Солнце.

Идея совместного использования гравитационного поля Солнца и его светового давления для стабилизации искусственного спутника Солнца предложена О. В. Гурко и Л. И. Слабким (1963). Ими описана конструкция космического аппарата, позволяющая объединить стабилизирующее .действие гравитационного поля и светового давления и получить достаточные восстанавливающие моменты на расстояниях до 4 а. е. от Солнца.

Определение моментов сил светового давления, действующих на тело, и исследованию устойчивости вращательного движения геометрически симметричного искусственного спутника в поле сил светового давления посвящены работы А. А. Карымова (1962, 1964).

Стабилизация вращением. Для обеспечения неизменной ориентации' некоторой оси спутника в инерционном пространстве часто применяется система стабилизации, использующая гироскопические свойства вращающихся тел. Так, например, известно, что стационарное вращение спутника вокруг осей, соответствующих минимальному и максимальному моментам инерции, устойчиво. При наличии диссипативных моментов устойчивым остается лишь стационарное вращение вокруг оси, сдответ- ствующей максимальному моменту инерции спутника. Внешние моменты, обусловленные гравитационным и магнитным полями Земли, сопротивлением атмосферы, световым давлением, приводят к нарушению ориентации стабилизированного вращением спутника. Для сохранения неизменной ориентации спутника на достаточно большом интервале времени влияние внешних моментов необходимо компенсировать с помощью специального активного устройства, которое включается, если отклонение оси вращения спутника от заданного направления превысит допустимую величину.

Влияние основных внешних моментов (гравитационных, аэродинамических, магнитных, светового давления, диссипативных) на вращательное .движение осесимметричного спутника очень подробно исследовал В. В. Белецкий (1958, 1961, 1963 1965). Эволюцию вращательного движения спутника с трехосным эллипсоидом инерции под действием гравитационных моментов рассмотрел Ф. Л. Черноусько (1963), под действием -аэродинамических моментов — Ю. Г. Евтушенко (1965).

Основной недостаток систем стабилизации спутников вращением заключается в необходимости точной начальной выставки оси симметрии

спутника в инерциальном пространстве, прецизионной закрутки спутника вокруг этой оси и периодической компенсации влияния внешних возмущающих моментов. Для выполнения этих задач необходимы все элементы активных систем — датчики ориентации и исполнительные элементы. Преимущество систем стабилизации вращением по сравнению с активными системами — существенно меньшее расходование энергии.

В системах стабилизации вращением могут быть также использованы стационарные решения для осесимметричного спутника на круговой орбите, полученные Г. Н. Дубошиным (1959—1960) и В. Т. Кондурарем (1959). Этим решениям соответствуют вращения спутника с постоянной угловой скоростью вокруг оси симметрии, сохраняющей неизменным свое положение в орбитальной системе координат. Возможны случаи, когда ось симметрии перпендикулярна к

плоскости орбиты,

радиусу-вектору.

касательной к орбите.

В последних двух случаях ориентация оси симметрии спутника в орбитальной системе координат определяется отношением моментов инерции спутника и скоростью вращения вокруг оси симметрии.

Необходимые условия устойчивости этих стационарных решений получены Г. Н. Дубошиным (I960), достаточные условия устойчивости —— Ф. Л. Черноусько (1964). А. П. Маркеев (1965, 1967) на основании результатов А. Н. Колмогорова, В. И. Арнольда и Ю. Мозера доказал устойчивость стационарных решений почти для всех точек области, где выполнены лишь необходимые условия устойчивости, исследовал, используя методы осреднения, нелинейные колебания оси симметрии спутника в окрестности резонанса, рассмотрел возможность возникновения параметрического резонанса на эллиптических орбитах. .

Для того чтобы обеспечить асимптотическую устойчивость стационарных вращений, необходим механизм демпфирования, который работал бы лишь при отклонении от стационарного вращения. Такое активное демпфирующее устройство предложено В. А. Сарычевым (1965). Им же получены условия асимптотической устойчивости стационарных вращений. Механизм демпфирования может быть реализован и чисто пассивными средствами с использованием идей, предложенных в системах гравитационной стабилизации (В. А. Сарычев, 1964).

Стабилизация по магнитному полю. Для некоторых научных экспериментов может оказаться желательной ориентация спутника по вектору напряженности магнитного поля Земли. Для этого на спутнике жестко крепится достаточно сильный магнит, взаимодействие которого с магнитным полем Земли приводит к появлению моментов, стремящихся совместить ось магнита с вектором напряженности магнитного поля Земли. .

Основные, результаты по анализу систем стабилизации спутника по магнитному полю без механизма демпфирования собственных колебаний получены В. В. Белецким (1963, 1965) и А. А. Хентовым (1967). В этих работах исследованы вынужденные периодические колебания магнита в магнитном поле Земли, оценено возмущающее влияние гравитационного поля Земли и сопротивления атмосферы, выяснены условия возникновения резонанса.

Основной недостаток стабилизации спутника по магнитному полю Земли связан со сложным характером установившегося движения спут-

ника в магнитном поле, нестабильностью самого магнитного поля Земли и, как следствие, невозможностью добиться достаточно высокой точности ориентации спутника. До сих пор системы стабилизации по магнитному полю применялись лишь как вспомогательные системы предварительного успокоения, уменьшающие амплитуду собственных колебаний спутника до величин, позволяющих использовать в качестве основной систему гравитационной стабилизации.

В настоящем параграфе кратко рассмотрены работы, непосредственно посвященные теории движения спутников с пассивными системами стабилизации. Кроме этих работ, в СССР выполнено большое число исследований по смежным вопросам. Из них следует отметить работы о колебаниях спутника (без системы стабилизации) на эллиптической орбите (В. В. Белецкий, 1963; В. А. Златоустов, 1964; Д. Е. Охоцим- ский, 1964; В. А. Сарычев, 1964; А. П. Торжевский, 1964; Ф. Л. Черно- усько, 1963; И. Д. Килль, 1963—1964), исследования о движении тел с полостями, заполненными вязкой жидкостью (Н. Н. Колесников, 1962; Ф. Л. Черноусько, 1965—1966； П. С. Краснощеков, 1963; Б. Н. Румянцев, 1964), работы об оптимальном (минимум расхода рабочего вещества) торможении вращательного движения спутника в инерциальной системе координат (Б. А. Смольников, 1964; М. 3. Борщевский, 1966; И. В. Иослович, 1966——1967), исследования, посвященные отысканию всех положений равновесия системы двух тел, соединенных идеальным сферическим шарниром, в орбитальной системе координат и выводу достаточных условий устойчивости этих положений равновесия (В. А. Сарычев, 1967). Более подробно эти работы рассмотрены в § 6. ,

В настоящее время пассивные методы прочно вошли в арсенал технических средств, применяемых для стабилизации искусственных спутников. Эти методы, не требующие затрат рабочего тела и либо совсем не связанные с затратой энергии, либо требующие минимальных затрат, оказываются весьма эффективными, когда требуется поддерживать определенную ориентацию спутника в течение длительного периода времени и точность порядка нескольких градусов является достаточной. Системы стабилизации, основанные на использовании пассивных методов, обычно оказываются достаточно легкими как абсолютно, так и в долях веса спутника, что особенно существенно для небольших спутников, в том числе для спутников, предназначенных для проведения научных 'исследований. Пассивные методы стабилизации весьма эффективны также на спутниках с большим временем активного существования, используемых для осуществления телепередач, телефонной и радиосвязи между континентами, на метеорологических спутниках. Увеличение точности, выход в диапазон высот от 500 км до суточных орбит, упрощение и повышение надежности, использование в пассивных системах стабилизации некоторых элементов активных систем приведет к дальнейшему расширению области применения пассивных методов.

Оптимальная коррекция траекторий полетакосмических аппаратов

Развитие исследований в области управления полетом космических аппаратов тесно связано с решением поставленных перед современной космической техникой проблем точной реализации межпланетных траекторий. Требуемая высокая точность межпланетных перелетов определяется стремлением к созданию аппаратов, способных осуществлять

тесное сближение с выбранным небесным телом на гигантских расстояниях от Земли.

Необходимость обеспечить точность реализации космических траекторий, на несколько порядков превышающую ее земные эквиваленты, породила необходимость создания дополнительных систем на борту космического корабля, позволяющих производить коррекцию орбиты в процессе полета. Сложность создания подобных систем заключается в том, что они могут быть построены только на базе элементов обычной точности. Коррекционные устройства должны включаться (по крайней мере в последний раз) в таких точках траектории, в которых влияние погрешностей системы коррекции на корректируемые параметры орбиты не превышает допустимый уровень. Ввиду того, что среди погрешностей коррекции содержатся энергетические погрешности, сформулированное требование означает, что для коррекции должны использоваться точки низкой эффективности коррекции, что может быть связано с дополнительными затратами^ топлива. Поэтому для уменьшения веса вспомогательных систем космического аппарата во многих случаях необходимо проводить тщательное исследование различных свойств движения с целью поиска оптимальных решений при построении систем управления полетом космических аппаратов. Теория коррекции орбит космических аппаратов, получившая свое развитие в последнее десятилетие, является одним из разделов современной астродинамики и теории автоматического регулирования. Основные проблемы теории коррекции параметров движения космического аппарата сформулированы в работе Г. Н. Дубошина и Д. Е. Охоцимского (1963). .

Сложность задачи о коррекции определяется необходимостью минимизировать величину суммарного расхода топлива или, что то же самое для систем с ограниченной скоростью истечения струи, суммарной характеристической скорости коррекции при наличии случайных погрешностей определения орбиты и заведомо негауссовых ошибок исполнения корректирующих маневров в- условиях, вообще говоря, падающей эффективности коррекции с течением времени. Поэтому, если коррекция производится достаточно поздно, может потребоваться большой корректирующий импульс и значительный дополнительный вес на борту космического аппарата. Ранняя коррекция может оказаться более экономной, однако недостаточная точность определения параметров орбиты к моменту ее выполнения может привести к недостаточной точности коррекции и к необходимости ее повторного выполнения.

Задача о коррекции может быть разделена на три самостоятельные проблемы. Эти проблемы включают в себя 1) задачу определения орбит космических аппаратов по данным оптических и радионаблюдений, 2) задачу отыскания наиболее эффективного режима коррекции полученной орбиты, 3) задачу наиболее рационального размещения измерений и коррекционных актов на траектории.

Вторая задача может решаться независимо от первой. Что касается третьей задачи, то она может решаться независимо от первых двух лишь при некоторых упрощающих предположениях. Оставляя в стороне вопросы определения орбит, дадим краткий обзор основных результатов, достигнутых в настоящее время в теории коррекции полета космических аппаратов в рамках двух последних проблем.

Первоначально задача о коррекции рассматривалась как задача о выборе такого изменения скорости полета, которое приводит к попаданию в заданный момент времени в заданную точку пространства (см.,

например, работы К. В. Холщевникова (1965), В. JM. Пономарева (1965) или «Справочник по космонавтике» (1966), основанный на зарубежных материалах). Подобная постановка задачи позволяет применить для расчета величины и направления корректирующего импульса методы небесной механики (К. В. Холщевников). Однако в действительности разнообразие требуемых корректируемых параметров значительно шире и практически задачи, сводящиеся к подобной постановке, отсутствуют.

В некоторых работах рассматривается корректирующее изменение скорости, вызывающее заданное изменение элементов орбиты. Такая постановка сильно усложняет задачу и затрудняет исследование оптимальных свойств корректирующих маневров.

В 1959 г. Д. Е. Охоцимский предложил рассматривать задачу о коррекции как задачу об изменении координат точки пересечения космическим аппаратом картинной плоскости планеты. Под картинной плоскостью обычно понимается плоскость, проходящая через центр планеты и ориентированная ортогонально вектору скорости сближения аппарата с непритягивающей планетой. Такая постановка позволила уменьшить число корректируемых параметров траектории до двух в случае, когда момент времени сближения космического аппарата с планетой не является существенным и, главное, позволила значительно упростить анализ характеристик коррекций.

В связи с небольшими размерами корректируемых отклонений по сравнению с расстояниями между планетами задача о коррекции, в первом приближении, может рассматриваться в линейной постановке. Однако в задаче о коррекции всегда присутствует нелинейная связь корректируемых параметров траектории с характеристиками движения вблизи планеты. Основным источником нелинейности в этой связи является притяжение планеты, которое в линейной постановке следует исключить.

В-лекциях по механике космических полетов, прочитанных Д. Е. Охо- цимским в Московском университете в 1961 г., был приведен прием исключения нелинейного влияния притяжения планеты на корректируемые параметры траектории. Этот прием был использован в работе Э. Л. Акима и Т. М. Энеева (1963), а также в работе А. К. Платонова, А. А. Дашкова и В. Н. Кубасова (1965). Исключение влияния протяжения планеты достигается путем применения в качестве корректируемых параметров компонент оскулирующей прицельной дальности в точке наиболее тесного сближения с планетой. Под оскулирующей прицельной дальностью понимается малая полуось оскулирующей гиперболы, рассматриваемая как вектор, лежащий в плоскости планетоцентрического движения и ортогональный скорости движения космического аппарата на бесконечно большом удалении от планеты в рамках задачи двух тел.

Те или иные характеристики сближения с планетой могут быть однозначно отображены на построенную подобным образом плоскость прицеливания (картинную плоскость) (Р. К. Казакова, В. Г. Киселев и А. К. Платонов, 1967). Допустимые значения изменения характеристик сближения с планетой определяют на картинной плоскости область возможных отклонений без учета притяжения планеты. Размеры этой области определяют требуемую точность реализации межпланетной траектории или требуемую точность ее коррекции. Характеристики коррекции в этом случае зависят от степени влияния импульсного изменения вектора 20 Механика в СССР, том 1

скорости в какой-либо точке траектории на отклонения координат в картинной плоскости.

Наряду с удачным выбором корректируемых параметров большое значение для исследования коррекционных свойств межпланетных орбит имеет простота аналитических выражений для изохронных производных параметров движения вдоль траектории. Очень простые выражения для изохронных производных были получены В. И. Чарным (1965) в результате изучения свойств линеаризованной системы уравнений возмущенного движения в рамках задачи двух тел. Эти исследования были продолжены В. Г. Хорошавцевым (1965), рассмотревшим задачу о расчете изохронных производных параметров движения искусственного спутника для случая больших промежутков времени движения, когда траектория разбивается на участки, а также В. Н. Кубасовым (1966), получившим аналитическую зависимость величины указанных производных от времени полета. Полученные аналитические выражения для изохронных производных позволили значительно упростить анализ характеристик коррекций при полетах к Луне и планетам.

Общие свойства коррекционных маневров при межпланетных полетах были исследованы в работе А. К. Платонова (1966). Им рассмотрены в линейном приближении характеристики коррекционного маневра на различных участках траектории полета к планетам. В качестве корректируемых параметров траектории используются момент и координаты точки пересечения космическим аппаратом картинной плоскости планеты. Предполагается, что коррекция производится путем мгновенного изменения вектора скорости полета в одной или нескольких точках траектории и что имеется полная информация о движении космического аппарата. Исследование проводится с целью уменьшения величины суммарного импульса коррекции.

Минимизация величины корректирующего импульса скорости при одноразовой коррекции возможна в случае, если число корректируемых параметров меньше трех. Например, в случае коррекции двух координат в картинной плоскости импульс минимальной величины принадлежит плоскости оптимальной коррекции, натянутой на градиенты этих координат в точке коррекции. Импульс, ориентированный вдоль нормали к плоскости оптимальной коррекции, не вызывает в линейном приближении изменения координат в картинной плоскости. Поэтому такое направление импульса можно назвать нуль-направлением. Импульс вдоль нуль-направления изменяет только время полета до планеты, не изменяя относительного положения космического аппарата и планеты при сближении.

Эффективность коррекции в данной точке траектории может быть охарактеризована влиянием совокупности единичных импульсов на координаты в картинной плоскости. В случае, если направление корректирующей скорости может быть любым, такой совокупностью является единичная сфера или единичная окружность в плоскости оптимальной коррекции. В пространстве корректируемых параметров отображением такой сферы является эллипсоид влияния единичных импульсов коррекции, например, эллипс влияния в картинной плоскости.

Вытянутый эллипс влияния указывает на неравномерность направлений в картинной плоскости с точки зрения коррекции. Отклонения, лежащие близко к направлению большой полуоси эллипса, легче поддаются коррекции, чем отклонения, направленные в сторону его малой полуоси.

В работе А. К. Платонова (1966) показывается, что с течением времени полета эллипсы влияния стремятся к окружности, радиус которой стремится к нулю. Например, при полетах к Венере и Марсу эллипсы влияния превращаются в окружность примерно за 15 суток до сближения с Венерой и за два месяца до сближения с Марсом. Радиус такой окружности в каждый момент с хорошей точностью численно равен оставшемуся времени до сближения с планетой. На более ранних стадиях ;; полета эллипсы влияния могут отличаться значительной вытянутостью, особенно сильной в точках вырождения характеристик коррекции.

Ориентация оптимального корректирующего импульса в пространстве связана с ориентацией нуль-напрявления. Показывается, что в общем случае полета к планетам ориентация нуль-направления не сохраняется ни в абсолютной, ни в орбитальной системах координат, претерпевая особенно резкое изменение в точках вырождения характеристик коррекции. На последней стадии полета нуль-направление близко к направлению на планету.

Минимизация величины корректирующего импульса возможна также в случае, когда какой-либо параметр траектории не требуется выдерживать с высокой точностью или требуется выдерживать с точностью до периода. А. К. Платонов рассматривает пример минимизации величины корректирующего импульса при коррекции трех параметров — двух координат в картинной плоскости и времени для выполнения повторяющихся каждые сутки условий видимости с Земли сближения космического аппарата с планетой.

В этом случае прежде всего следует определить компоненту корректирующего импульса, лежащую в опорной плоскости оптимальной коррекции и предназначенную для исправления координат в картинной плоскости. После этого следует выбрать минимальную величину изменения времени полета импульсом вдоль нуль-направления. При этом следует учитывать, что в общем случае неортогонального репера корректируемых параметров градиент времени имеет проекцию на плоскость оптимальной коррекции координат и поэтому коррекция координат, вообще говоря, изменяет время прилета. Эта вынужденная вариация времени зависит от величины и направления корректирующего импульса в опорной плоскости, т. е., в конечном счете, от значений корректируемых координат. Наиболее сильное вынужденное изменение времени происходит, если корректирующий импульс в опорной плоскости направлен вдоль проекции градиента времени на эту плоскость.

Следует заметить, что если величина вынужденной вариации превышает заданную точность коррекции времени, то ее надо учитывать при формировании корректируемого отклонения, так как оптимальный момент сближения с планетой в зависимости от величины вынужденной вариации может сместиться на те или иные сутки (в рассматриваемом случае никогда не потребуется коррекция времени на величину более 12 часов).

Представляет интерес выяснить возможность вырождения характеристик коррекции в какой-либо точке траектории. С этой целью в работе исследуется матрица, связывающая параметры движения вблизи планеты с компонентами корректирующего импульса. Показывается, что при угловой дальности от точки коррекции до места сближения с планетой, равной 180°, рассматриваемая матрица вырождается. Не вдаваясь в аналитические подробности, рассмотрим геометрический смысл указанного факта.

В точке с угловой дальностью 180° корректирующий импульс изменяет лишь параметры движения в плоскости траектории. Импульс, направленный перпендикулярно к плоскости траектории, поворачивает эту плоскость вокруг направления на точку попадания и не может изменить в линейной постановке координаты в картинной плоскости у планеты. Если плоскости орбит планеты и космического аппарата компланарны, то коррекция отклонений вдоль бинормали невозможна. Эллипс влияния в этом случае вырождается в отрезок прямой, ориентированный вдоль линии пересечения картинной плоскости и плоскости траектории аппарата. Любой корректирующий импульс, ортогональный градиенту такого отклонения в картинной плоскости, не вызывает в этом случае изменения координат в картинной плоскости ——плоскость оптимальной коррекции не определена. Поэтому в рассматриваемой точке нуль-направление превращается в нуль-плоскость, перпендикулярную к указанному градиенту. Во всех остальных точках траектории существует единственное нуль-направление, лежащее в плоскости траектории, однако эффективность коррекции отклонений вдоль бинормали траектории близка к нулю в окрестности точки с угловой дальностью 180°.

Ориентация плоскости оптимальной коррекции значительно отличается от описанной, если орбиты космического аппарата и планеты не лежат в одной плоскости. В этом случае боковое отклонение при коррекции формируется двумя причинами ——изменением наклонения к плоскости траектории и изменением момента времени сближения с планетой. Последняя причина вызывается тем обстоятельством, что в случае неком- планарности орбит планеты и аппарата изменение момента прилета приводит к выходу планеты из плоскости траектории аппарата, т. е. к появлению составляющей смещения, направленной вдоль бинормали.

Отсюда следует, что в случае некомпланарных орбит аппарата и планеты корректирующие отклонения скорости в плоскости траектории, изменяя время полета, воздействуют на боковое отклонение. Иными словами, градиент бокового отклонения должен иметь составляющую в плоскости траектории. Поэтому в точке коррекции с угловой дальностью 180° градиент бокового отклонения становится компланарным плоскости траектории. Плоскость оптимальной коррекции в этой точке совпадает с плоскостью траектории. Заметим, что градиент времени в этом случае совпадает с градиентом бокового отклонения, т. е. коррекция времени, независимая от изменения боковой координаты, в этой точке невозможна.

Следует подчеркнуть, что приведенные соображения указывают на необходимость исследования пространственного движения при расчете коррекции. Правильная оценка величины корректирующего импульса может значительно отличаться от оценки, полученной из решения плоской задачи, так как основные энергетические затраты для коррекции боковых отклонений существенно зависят от степени некомпланарности орбит аппарата и планеты.

В работе А. К. Платонова (1966) исследуется возможность вырождения характеристик коррекции на геоцентрическом участке полета.

При полетах к Луне и планетам движение на геоцентрическом участке траектории близко к параболическому. Исследование используемой при работе коррекции матрицы производных в предположении, что движение происходит по параболической траектории, показывает, что матрица вырождается, если коррекционная точка находится в перигее орбиты. В этом случае эффективным направлением для коррекции оказывается

лишь направление скорости полета и все три градиента корректируемых параметров совпадают. В реальном случае, траектория отличается от параболической и строгого вырождения коррекционных свойств не происходит. Однако влияние импульса, коллинеарного скорости полета, значительно превышает влияние импульса, ортогонального скорости полета. Физически это объясняется тем, что в начале орбиты, вблизи ее перигея, космический аппарат обладает большой скоростью движения и для поворота вектора скорости в пространстве требуется большой боковой импульс. В то же время сравнительно небольшим импульсом, направленным вдоль вектора скорости, можно заметным образом изменить энергию геоцентрического движения, так как изменение энергии пропорционально величине скорости полета. Поэтому воздействие на траекторию с помощью импульса скорости приводит в основном к изменению тех характеристик движения, которые связаны с энергией геоцентрического движения. Иными словами, вблизи Земли практически возможна коррекция лишь одного параметра траектории ——либо отклонения в картинной плоскости вдоль определенного направления либо времени прилета.

С течением времени полета ситуация меняется. Падение скорости с удалением аппарата от Земли облегчает изменение направления движения и приводит к возможности влиять на отклонения в картинной плоскости, ортогональные к линии энергетического воздействия； характеристики коррекции различных отклонений выравниваются. .

Описанные выше результаты иллюстрируют сложный характер зависимости энергетических затрат от момента коррекции. Мнение, что эти затраты тем меньше, чем раньше производится коррекция, верное для последнего участка орбиты, является, вообще говоря, неправильным. Как было показано, на траектории существуют точки, где коррекция значительно затруднена либо просто невозможна- Этих точек следует избегать при организации одноразовой коррекции орбит космических аппаратов.

А* К. Платонов рассмотрел также свойства коррекции на конечном участке траектории перед сближением с планетой. Ввиду близости планеты и аппарата, летящего к ней, их относительное движение может быть представлено в первом приближении как равномерное прямолинейное движение, а совокупность возможных траекторий как пучок параллельных прямых.

Плоскость оптимальной коррекции в данном случае есть плоскость, перпендикулярная к оси пучка. Эллипс влияния есть окружность, радиус которой равен времени, оставшемуся до попадания в картинную плоскость. Таким образом, вне зависимости от величин и взаимного расположения скоростей планеты и космического аппарата эффективность коррекции в конце траектории определяется временем, оставшимся до сближения с планетой. Иными словами, эффективность коррекции одинакова при полете к Луне и планетам Солнечной системы, если коррекция производится за одинаковое время до попадания в картинную плоскость. Дру士 гим выводом является возможность установки нужного направления двигателя для коррекции вблизи планеты путем вращения аппарата вокруг направления на планету. В работе приводятся простые соотношения, определяющие характеристики коррекции на припланетном участке полета.

Выше были описаны результаты исследования характеристики эффективности коррекции движения космических аппаратов в различных

точках траекторий полета к планетам. Если считать, что возможна лишь однократная коррекция траектории, то полученные закономерности позволяют сравнительно просто выбрать момент коррекции, обеспечивающей минимальные энергетические затраты. Однако в действительности следует полагать, что двигатель космического аппарата допускает неоднократное включение и выключение тяги. В этом случае в задаче о коррекции появляются дополнительные свободные параметры, которые можно использовать для уменьшения энергетических затрат.

В работе А. К. Платонова, А. А. Дашкова и В. Н. Кубасова (1965), а также в работе А. К. Платонова (1967) рассматривалась задача о выборе наилучшего режима многоразовой идеальной коррекции. Под идеальной коррекцией обычно понимается коррекция, лишенная ошибок прогноза движения и ошибок ее исполнения.

В указанных работах эта задача рассматривалась для случая ограниченного по величине управляющего ускорения. Предполагалось, что управление производится с целью выдерживания заданных значений некоторых функционалов на траектории, например, координат в картинной плоскости плаяеты, а минимизируемым функционалом является величина суммарной характеристической скорости. Задача решалась разработанным в работах Д. Е. Охоцимского и Т. М. Энеева (1957) методом исследования вариации, который в данном случае позволил провести исследование свойств полученного оптимального режима управления до конца.

Было показано, что оптимальное направление управляющего ускорения в любой момент времени должно соответствовать точке эллипсоида влияния, имеющей максимальную проекцию на некоторый постоянный вектор в пространстве корректируемых параметров, зависящий от заданного корректирующего смещения. Включение двигателя должно производиться в точках траектории, для которых указанная проекция превышает некоторую заданную величину. Был сформулирован критерий отсутствия режима многоразового включения двигателя, заключающийся в существовании всюду выпуклой совокупности эллипсоидов влияния на любом промежутке рассматриваемого интервала времени полета. Была показана также оптимальность импульсного характера режима коррекции.

Многоразовая идеальная импульсная коррекция исследовалась в указанных работах А. К. Платонова, А. А. Дашкова и В. Н. Кубасова (1965) и А. К. Платонова (1967).

В этом случае минимизируемой величиной является сумма модулей корректирующих импульсов. Несмотря на то, что пространство корректирующих параметров имеет особую, неевклидову метрику, для исследования закономерностей многоразовой коррекции можно воспользоваться приемом, аналогичным использованному ранее. При исследовании одноразовой коррекции рассматривалась совокупность импульсов коррекции, равнозначных с точки зрения оптимизации. Эта совокупность образовывала единичную сферу в пространстве скоростей или единичную окружность в плоскости оптимальной коррекции. Преобразование рассматриваемой фигуры равнозначных импульсов в пространство корректируемых параметров позволило получить фигуру влияния импульсов коррекции на корректируемые параметры, например, эллипс влияния в картинной плоскости.

Аналогичным образом по совокупности равнозначных импульсов многоразовой коррекции можно получить фигуру влияния в картинной плоскости, с помощью которой исследуется влияние различных пара-

метров (например, момента коррекции, направления импульса и т. и.) на суммарные характеристики коррекции.

Так, например, при двухразовой импульсной коррекции каждой ларе импульсов, сумма величин которых равна единице, соответствует в картинной плоскости фигура влияния в виде параллелограмма, состоящего из прямых, соединяющих попарно точки эллипсов влияния, соответствующих выбранным моментам коррекции. Каждую точку этого параллелограмма можно скорректировать единичным суммарным импульсом. Варьируя моменты коррекции и направления действия импульсов, мы получим множество параллелограммов, заполняющих пространство внутри огибающей касательных к совокупности всех изменяющихся с течением времени полета эллипсов влияния. Если эта огибающая имеет прямые участки, то существуют отклонения, требующие двухразовой коррекции.

Отсюда следует, что для построения максимальной фигуры влияния многоразовой коррекции следует данную совокупность эллип- -соидов влияния одноразовой коррекции обкатывать спрямляющей плоскостью. Полученная фигура определяет различную тактику коррекции в зависимости от направления корректируемого отклонения в пространстве корректируемых параметров. Спрямленные участки получившейся выпуклой фигуры соответствуют многоразовому включению двигателя {двухразовому на линейчатой поверхности, трехразовому на плоскости в т. д.), а участки, принадлежащие исходной совокупности эллипсоидов влияния, — однократному включению двигателя. Отсюда следует, что многоразовая импульсная коррекция может потребоваться лишь в случае, когда огибающая совокупности эллипсоидов влияния на рассматриваемом промежутке времени полета не всюду выпукла, — только тогда ■будут существовать спрямленные участки. Заметим, что не всюду выпуклая совокупность эллипсоидов влияния возможна лишь в случае немонотонной зависимости их характеристик от времени. В противном случае всегда существует эллипсоид, охватывающий все остальные эллипсоиды влияния.

Отсюда следует, что для каждой траектории имеется конечное число -фиксированных моментов и направлений импульсов для оптимальной многоразовой идеальной коррекции выбранных корректируемых параметров. Эти моменты и направления определяются точками касания спрямляющей плоскости исходной невыпуклой совокупности эллипсоидов влияния. При этом максимальное число включений двигателя не превышает числа корректируемых параметров.

Таким образом, решение задачи о наилучшем режиме коррекции содержит случаи многоразового включения двигателя даже при отсутствии ошибок управления. При подобной коррекции происходит поочередное смещение в картинной плоскости вдоль наиболее эффективных направлений так, чтобы суммарное смещение было равно заданному. При каждом включении двигателя прицеливание в картинной плоскости производится в новую точку, т. е. характеристики коррекции определяются из различных условий. Поэтому такую коррекцию можно назвать неоднородной многоразовой коррекцией, в отличие от обычного случая однородной многоразовой коррекции, в котором каждая последующая коррекция исправляет ошибки предыдущей, а условия коррекции остаются неизменными.

Немонотонный характер зависимости характеристик эллипсов влияния от времени полета может быть связан с вырождением характеристик

коррекции в некоторой точке траектории. В подобных случаях наблюдается резкая неравномерность направлений в картинной плоскости с точки зрения эффективности коррекции. Одноразовая коррекция в точках вырождения, как правило, практически невозможна. В таких случаях энергетически выгодной может оказаться многоразовая неоднородная коррекция. При этом, в отличие от одноразовой коррекции, одно из включений двигателя может происходить вблизи точки вырождения характеристик коррекции. Последнее обстоятельство объясняется тем, что в этой точке траектории эффективность коррекции некоторой линейной комбинации координат в пространстве корректируемых параметров может оказаться значительно выше, чем в остальных точках траектории. Поэтому целесообразно подобную компоненту корректируемого отклонения корректировать именно в рассматриваемой точке, а остальные компоненты корректировать в какой-либо иной, более эффективной для них точке траектории. Примером такой ситуации может служить приведенная в работе А. К. Платонова (1966) совокупность эллипсов влияния в картинной плоскости, соответствующая полету к планете Марс. Там же построена фигура влияния неоднородной коррекции. Для исправления большинства отклонений энергетически оптимальной является неоднородная коррекция с включением двигателя в точке вырождения в начала полета и затем на девяностые сутки полета.

Описанные результаты не зависят от вида исходной совокупности фигур влияния. В частности, эта совокупность может соответствовать, корректирующим импульсам, направление которых так или иначе фиксировано в пространстве. В этом случае, а также в случае, когда числокорректируемых параметров превышает число независимых корректирующих воздействий в каждой точке траектории, применение неоднородной коррекции может оказаться необходимым вне зависимости от соображений минимизации суммарной скорости.

Подобные ситуации рассматривались в работе В. Н. Кубасова (1966)- и в работе А. К. Платонова и，Ю. Д. Тетерина (1966).

В работе В. Н. Кубасова исследуются особенности способа коррекции межпланетных траекторий- импульсом, направленным вдоль линии космический аппарат — Солнце. При подобном способе коррекции система ориентации космического аппарата может быть достаточно простой. Одноразовая коррекция по данному способу позволяет независимо изменять лишь один параметр траектории ——путем изменения величины корректирующего импульса при фиксированном его направлении. Для исправления нескольких параметров траектории необходимо производить многоразовую неоднородную коррекцию.

В работе показывается, что общее возможное число корректируемых параметров при такой «солнечной» коррекции не может превышать четырех. Показывается также, что при «солнечной» коррекции координат в картинной плоскости коррекция времени сближения с планетой невозможна. Последнее обстоятельство объясняется тем, что при «солнечной» коррекции корректирующий импульс принадлежит плоскости траектории и поэтому ориентация плоскости траектории изменена быть не может. Ввиду этого при некомпланарных орбитах космического аппарата и планеты сближение аппарата с планетой возможно лишь в тот момент времени, когда планета проходит узел орбиты аппарата на плоскости орбиты планеты.

В работе исследуется также возможная оптимальная стратегия при подобной «солнечной» коррекции.

В работе А. К. Платонова и Ю. Д. Тетерина исследуются свойства коррекции двух или трех параметров траектории космического аппарата в случае, когда корректирующий импульс должен принадлежать некоторой плоскости, известным образом ориентированной в пространстве. .

Указанное ограничение может диктоваться условиями простоты конструкции космического аппарата.

Действительно, при оптимальной коррекции, в зависимости от исправляемых ошибок, корректирующий импульс может быть направлен в пространстве любым образом. Это означает, что у космического аппарата должна быть предусмотрена соответствующая система ориентации, имеющая по меньшей мере две степени свободы относительно неподвижных звезд. Более простой является система ориентации, имеющая лишь одну степень свободы и допускающая вращение космического аппарата вокруг некоторой оси. Ось вращения при этом может быть направлена на какое-либо яркое светило, например, на Солнце, а корректирующий импульс может располагаться в плоскости, перпендикулярной к этому направлению. Коррекция в этом случае может быть названа двухкомпонентной, так как имеются только две свободные компоненты корректирующего импульса, исправляющие не более двух независимых параметров траектории.

В работе показывается, что при полетах к внешним планетам существуют участки траектории, где характеристики подобной одноразовой коррекции двух параметров траектории мало отличаются от характеристик оптимальной коррекции.

Необходимость корректировать три параметра траектории требует проведения двухразовой коррекции с неоднородными условиями коррекции —так, чтобы в результате двух двухкомпонентных коррекций три выбранных параметра траектории приняли заданное значение. В работе исследуются общие свойства такой двухкомпонентной трехпараметрической двухразовой неоднородной коррекции. Исследуются также специальные свойства коррекции координат в картинной плоскости планеты и времени полета в случае, когда корректирующий импульс лежит в плоскости, ортогональной направлению на Солнце.

Показывается, что в линейном приближении в плоскости первой коррекции существует направление, зависящее лишь от выбранных двух моментов коррекции, такое, что составляющая импульса коррекции вдоль этого направления не изменяет корректируемых параметров. Показывается также, что для рассматриваемой солнечной коррекции ориентация такого нуль-направления не изменяется на протяжении всего полета и совпадает с ориентацией бинормали траектории. Это позволяет сформулировать простые правила стратегии при подобной двухразовой коррекции.

Общие требования к системам коррекции межпланетных траекторий рассматриваются в работе А. А. Дашкова (1966). В этой работе на основе анализа свойств траекторий определяются основные требования к точности выполнения коррекции при полете к Марсу, Венере и Луне, а также обсуждаются некоторые возможные схемы ориентации космического аппарата при коррекции. Один из интереснейших методов ориентации космического аппарата вблизи планеты, пригодный для целей коррекции, описан в работе А. А. Дашкова и В. 'В. Ивашкина (1965). Этот метод был использован при полете советских автоматических лунных станций для маневра вблизи Луны.

Характеристики коррекции траекторий полета к Марсу и Венере рассматривались также в работе А. К. Платонова (1966). Характеристики коррекции траекторий полета к Юпитеру рассматриваются в работе Р. К. Казаковой, В. Г. Киселева и А. К. Платонова (1967).

Таким образом, задачу о выборе наиболее эффективного режима коррекции полученной орбиты можно считать в настоящее время достаточно разработанной.

Дальнейшие исследования в этой задаче должны быть направлены на поиски надежных и быстрых алгоритмов определения оптимальных точек включения корректирующего двигателя.

Наиболее интересной и вместе с тем наименее разработанной в настоящее время является задача об оптимальном размещении измерений и коррекционных актов на траектории.

Постановка этой задачи содержится в ряде зарубежных и отечественных работ (А. Розенблюм, 1961； Г. Н. Дубошин и Д. Е. Охо- цимский, 1963).

Сложность рассматриваемой задачи состоит в том, что решение проблемы коррекции связано с необходимостью точного определения фактических параметров движения во время полета. В свою очередь точность определения фактической орбиты зависит при данном составе и точности измеряемых параметров от расположения измерительного интервала на орбите и его протяженности. Затягивание фазы измерений приводит, как правило, к смещению точек коррекции в область меньшей эффективности.

Неприятным обстоятельством является зависимость в общем случае точности определения орбиты аппарата в некоторый момент времени полета от величины, направления и мест приложения корректирующих импульсов в прошлом и в будущем. При этом априорные ошибки исполнения будущих коррекций носят заведомо не гауссов характер, ввиду зависимости их от величины к орр ектир ующег о импульса (на это обстоятельство обратил ^внимание М. Л. Лидов). Наконец, приведенные выше результаты показывают, что оптимальные точки коррекции могут тяготеть к некоторым фиксированным точкам на траектории, в случае, если оптимальна неоднородная коррекция. В этом случае йосле- дующее распределение по траектории коррекционных актов зависит ют направления смещения в пространстве корректируемых параметров и изменяется при изменении значений прогнозируемых величин.

Наибольшие трудности в настоящее время появляются при математической постановке задачи об оптимальной стратегии коррекции. Такая постановка должна, с одной стороны, обеспечивать возможность решения задачи, а с другой стороны, должна быть достаточно строгой и позволяющей выявить основные эффекты и закономерности в ее решении. Это прежде всего относится к выбору критерия оптимальности при проведении коррекции.

Несмотря на то, что в каждом конкретном полете требуется осуществлять коррекцию не в среднем, а «почти наверное», с вероятностью, близкой к единице, при первых попытках решить описанную задачу в качестве более простого критерия необходимых энергетических затрат рассматривалось математическое ожидание суммарной характеристикой скорости при наличии случайных ошибок измерений. В такой постановке задача рассматривается В. А. Ярошевским и Г. В. Парышевой (1965), которые исследовали однопараметрическую идеальную коррекцию. Для случая гауссовых ошибок измерений и отсутствия ошибок отработки

импульсов задача решена до конца. В предположении, что величина корректирующих импульсов линейно зависит от всех предыдущих значений отклонений корректируемой координаты от номинального значения, получены выражения, определяющие минимум математического ожидания расходов на коррекцию, и простая процедура для определения оптимальных моментов коррекции в плоскости эффективность коррекции —точность прогноза. Показана оптимальность «недокоррекции»— при каждой коррекции следует компенсировать лишь часть отклонения координаты от заданного значения. В работе проводится также сравне- 丑ие дискретной и непрерывной коррекции для простых модельных задач.

Сознавая слабость критерия оптимальности коррекции в виде минимума математического ожидания суммарной скорости и в то же время желая сохранить простоту выкладок и анализа, авторы предлагают использовать в качестве критерия оптимальности некоторое выражение, доставленное из математических ожиданий отдельных импульсов и приблизительно равное максимальному значению суммарной скорости, реализуемому с заданной вероятностью.

В работе В. А. Ярошевского и Г. В. Парышевой (1966) рассматривается задача о коррекции высоты и скорости в перицентре траектории космического аппарата, приближающегося к планете назначения. Определяется оптимальное число и размещение импульсов для различного характера изменения точности определения траектории с изменением расстояния до планеты, начального промаха и расстояния последней коррекции. При этом задача решается в предположении о наличии ошибок отработки импульса, не зависящих от его величины. Минимизируется математическое ожидание суммарной характеристической скорости коррекции, в предположении, что корректирующие импульсы имеют трансверсальное направление (это направление близко к оптимальному, если коррекция производится на расстояниях больших, чем 2—3 радиуса планеты).

В более общей постановке задача о статистически оптимальной импульсной коррекции рассматривается в работе И. А. Богуславского (1966). В работе предполагается независимость ошибок измерений, ошибок исполнения коррекции, а также ошибок оценки промаха в некоторой точке траектории с ошибками исполнения коррекции в последующих точках траектории. Исследуется задача отыскания при проектировании системы коррекции метода выбора оптимальных корректирующих импульсов во всех фиксированных для коррекции точках траектории, кроме лоследней.

При этом предполагается, что метод выбора последнего импульса максимизирует вероятность попадания космического аппарата в заданную область допустимого промаха, а метод выбора предыдущих имиулв- сов минимизирует апостериорные статистические характеристики случайной величины суммарной характеристической скорости коррекции; опытом считается полет до выбранной точки коррекции, определение по результатам измерений вектора промаха и приложение импульса в выбранной точке коррекции (с точным измерением его фактической величины и направления).

Первоначально рассматривается более простая задача о минимизации апостериорного (в указанном выше смысле) математического ожидания суммарной характеристической скорости коррекции, при условии, что вероятность попадания космического аппарата в фиксированную область равна максимальной величине, на множестве корректирующих импульсов

в точке последней коррекции. В общем виде описывается процедура отыскания решения поставленной задачи, основанная на методе динамического программирования. В приложении к работе приводится метод, выбора оптимальных импульсов двухразовой одномерной коррекции (аналогичный рассмотренному в работе В. А. Ярошевского и Г. В. Пары- шевой, 1965).

Далее рассматривается задача о минимизации максимального значения суммарной скорости коррекции, определяемого заданным (близким к нулю) уровнем вероятности того, что суммарная скорость коррекции превысит указанное максимальное значение. Показывается, что при независимых ошибках наблюдений и исполнения коррекции (независимость ошибок определения промаха от ошибок реализации импульсов в предыдущих точках не требуется) для решения поставленной задачи достаточно процедуры динамического программирования. В общем виде описывается процедура для фиксированных моментов коррекции. В приложении к работе приводится пример подобного метода для случая одномерной двухразовой коррекции при независимости ошибок прогноза от ошибок реализации импульсов — в этом случае процедура существенно упрощается.

Для случая отсутствия ошибок исполнения коррекции доказана необходимость «недокоррекции», как в случае минимизации математического ожидания суммарной скорости, так и в случае минимизации максимального значения суммарной скорости. В точке последней коррекции «недокоррекция» не оптимальна. Показывается также, что при попадании вектора промаха в некоторую область оптимальный импульс в данной точке траектории равен нулю, причем размеры указанной области тем меньше, чем выше уровень вероятности максимального значения суммарной скорости и чем больше ошибки прогноза в последующие моменты времени. Размеры этой области тем больше, чем больше ошибки исполнения коррекции. При учете ошибок реализации импульса «недокоррекция» в последней точке становйтся оптимальной.

На примере рассмотренной в приложении одномерной задачи исследуется влияние критерия оптимальности двухразовой одномерной коррекции на величину «недокоррекции» в различных точках траектории. В качестве критериев оптимальности коррекции рассматриваются математическое ожидание суммарной характеристической скорости, приближенное выражение для максимального значения суммарной характеристической скорости (близкое к выражению, предложенному В. А. Яро- шевским и Г. В. Парышевой для критерия оптимальной коррекции} и, наконец, максимальное значение суммарной характеристической скорости, реализующееся с заданной вероятностью, близкой к единице. Показывается, что максимальная «недокоррекция» получается в случае применения первого из трех критериев и что остальные два критерия приводят к примерно одинаковым значениям «недокоррекции», значительна меньшим по величине.

Наиболее строгая постановка задачи об отыскании оптимальной стратегии коррекции траектории полета космического аппарата содержится в работах Д. Е. Охоцимского, В. А. Рясина и Н. Н. Ченцова (1967). В работе В. А. Рясина (1966) рассматривается простая модельная задача об одноразовой однопараметрической коррекции, на примере которой автору удалось продемонстрировать некий общий подход к задаче о коррекции как к задаче об отыскании оптимальной стратегии при итре с природой. А именно, в рассмотрение вводится неизвестное наблюдателю-

пространство элементарных исходов, элементами которого являются ошибки выведения космического корабля на орбиту и ошибки слежения за его движением, имеющие известное распределение вероятностей. Далее в рассмотрение вводится известное наблюдателю информационное лространство, элементами которого являются выборки совокупностей возможных измерений характеристик движения для различных траекторий полета космического аппарата. Совокупность возможных моментов коррекции и корректирующих импульсов составляет пространство управ- .лений. Показывается, что если измерения производятся в фиксированные моменты времени и эффективность коррекции изменяется монотонно, то достаточно рассматривать подкласс управлений, для которых коррекция производится в какие-либо из моментов времени, совпадающие с моментами измерений. Из всех управлений рассматриваются лишь те, для которых величина суммарной скорости коррекции не превышает заданной величины. Далее вводится понятие стратегии, которая определяется как измеримая функция, заданная на информационном пространстве со значениями в пространстве управлений. Иными словами, каждой совокупности измерений вдоль всей траектории ставятся в соответствие некоторые моменты времени и корректирующие импульсы (по правилу, определяемому стратегией). С каждой выбранной стратегией связано некоторое множество возможных ошибок с известной вероятностью в пространстве элементарных исходов и, следовательно, определенная вероятность попадания в область допустимых ошибок в пространстве корректируемых параметров. Если эта вероятность максимальна, то соответствующая стратегия является оптимальной. Задача состоит в том, чтобы установить существование оптимальной стратегии и дать способ ее построения.

В приведенной постановке отсутствуют ошибки исполнения коррекции, однако они могут быть учтены расширенным определением пространства элементарных исходов.

Основным результатом автора, несомненно, окажущим благотворное влияние на направление дальнейших исследований, является идея о том, что поиск оптимальной стратегии означает поиск определенного разбиения информационного пространства на области, соответствующие проведению коррекции в одинаковые моменты времени, и построение оптимальных функций для определения характеристик корректирующего импульса в каждой точке информационного пространства. При этом в работе доказывается, что при некоторых, весьма общих, предположениях при любом разбиении информационного пространства можно найти функции, являющиеся оптимальными функциями корректирующего импульса. Иными словами, можно рассматривать только такие стратегии, в которых функция корректирующего импульса не зависит от функции момента коррекции, и отыскивать в этом подклассе стратегий стратегию с оптимальными моментами коррекции.

Оптимальные функции корректирующего импульса на информационном пространстве можно выбирать независимо от его разбиения* Оптимальное разбиение информационного пространства зависит от функций корректирующего импульса и может быть найдено с помощью принципа динамического программирования. В работе доказывается, что каждая такая область информационного пространства представляет собой цилиндрическое множество с основанием в подпространстве измерений, предшествующих моменту проведения коррекции; решение о коррекции принимается на основании прошлой информации и не зависит

от будущего. Указанные области информационного пространства, соответствующие одинаковым моментам коррекции, не пересекаются, и их сумма составляет все пространство. Поэтому процедура поиска оптимального разбиения информационного пространства выглядит следующим образом:

построение на всем информационном пространстве характеристик величины и направления корректирующего импульса, доставляющего максимум вероятности выполнения задания при полете；

определение на всем информационном пространстве вероятности: выполнения задания при использовании построенных оптимальных функций корректирующего импульса;

последовательное, начиная с конца полета, выделение в информационном пространстве множеств элементов, для которых выполнение коррекции в данный момент приводит к большей вероятности успеха, чем выполнение коррекции в последующие моменты времени, с учетом новой информации;

разбиение информационного пространства на искомые области следующим образом: выделение множества, для которого проведении- коррекции в первый момент наиболее оптимально; выделение затем пересечения оставшейся части информационного пространства и множества^ для которого проведение коррекции во второй момент более оптимально, чем в более поздние моменты; выделение пересечения оставшейся части информационного пространства и множества, для которого проведение^ коррекции в третий момент более оптимально, чем в следующие за ним и т. д.

Процесс принятия решения о коррекции состоит в следующем- В последовательные моменты времени наблюдатель получает выборку измерений. Если после первого измерения наблюдатель обнаруживает, что это измерение принадлежит основанию цилиндрической области коррекции в первый момент времени, то коррекция проводится в первый; момент времени; в противном случае проводится второе измерение и проверяется, не принадлежит ли полученная выборка из двух измерений: основанию цилиндрической области, соответствующей проведению коррекции во второй момент времени и т. д.

Нахождение оптимальных областей связано с большими трудностями и облегчается в случае нормально р аспр ед ел енных ошибок. В работе- приводится решение задачи для случая однопараметрической идеальной коррекции в рамках модельной постановки при гауссовых ошибках, выведения и измерений.

В работе Д. Е. Охоцимского, В. А. Рясина и Н. Н. Ченцова (1967) описанная методика применяется для случая однопараметрической двухразовой идеальной коррекции.

Стратегия в двухразовой коррекции определяется разбиением информационного пространства на цилиндрические множества, соответствующие одинаковым моментам проведения двух коррекций, на которых заданы управляющие функции первой и второй коррекции. Приводится теорема о существовании оптимальной стратегии двухразовой коррекции. Показывается, что величина «недокоррекции» стремится к нулю с увеличением точности измерений. При почти точных измерениях оптимальная стратегия может быть существенно упрощена. Приводится пример близкой к оптимальной стратегии двухразовой коррекции.

Таким образом, задача об оптимальной коррекции орбит космических аппаратов усилиями советских ученых исследована и в значитель-

ной степени продвинута на пути к своему решению. Основные усилия были направлены на отыскание оптимальных режимов коррекции, исследование общих свойств коррекционных маневров, выбор удобных корректируемых параметров, построение технически простых методов коррекции, отыскание приближенных критериев оптимальности, позволяющих решить задачу простыми средствами, исследование с помощью модельных задач основных эффектов и закономерностей при оптимальной неидеальной коррекции, на строгую постановку задачи об оптимальной неидеальной коррекции и отыскание методов ее решения. Об успехах советских ученых в области практических приложений теории оптимальной коррекции говорит проведение коррекций орбит космических аппаратов, запускаемых Советским Союзом к Луне и планетам Солнечной системы (см.: «Исследования верхней атмосферы и космического пространства». Доклад КОСПАР, 9-й пленум, Вена, 1966).

НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА

Г. Н・ ДУБОШИН

§1.Введение:небесная механика до 1917 г 321

§2.Небеснаямеханика в период 1917—1945 гг 334

§3.Небеснаямеханика в начале космической эры 347

Введение: небесная механика до 1917 г.

Движения некоторых небесных тел, не зависящие от суточного вращения Земли, были замечены и использовались на практике уже в глубокой древности»

За 4—5 тысячелетий до н. з. египетские, индийские и китайские астрономы уже умели определять положения Солнца, Луны и пяти ярких планет относительно «неподвижных» звезд и знали простейшие свойства их движений по небесному своду.

Древние ученые составляли даже таблицы движений планет, использовавшиеся для ориентации на местности, а также для предсказаний некоторых замечательных небесных явлений (например, солнечных и лунных затмений).

Таким образом, небесная механика — часть астрономии, занимающаяся изучением движений небесных тел — является очень древней наукой, с самого своего возникновения предназначенной для решения задач, необходимых для практической деятельности человечества.

Развитие небесной механики тесно связано с развитием математики и теоретической механики, так что всякие успехи в этих областях знания неизбежно способствуют и новым достижениям в области небесной механики.

В свою очередь многие насущные нужды небесной механики с давних пор предопределяли и стимулировали новые исследования в других областях знания и часто способствовали созданию новых дисциплин.

Яркими примерами сказанного являются теория колебаний и теория устойчивости движения в теоретической механике и качественная теория дифференциальных уравнений — в математике.

Несколько замечаний об основных этапах развития небесной механики могут способствовать лучшему пониманию общего состояния этой дисциплины непосредственно перед Великой Октябрьской социалистической революцией, а также роли советской науки в этой области за 50 лет Советской власти.

21 Механика в СССР, том 1

Первой датой, имевшей важное значение для в озникновения современной небесной механики, является 1543 г., когда появилось знаменитое сочинение Николая Коперника «Об обращении небесных сфер», раскрывшее истинное строение Солнечной системы и произведшее полный переворот в человеческом мировоззрении.

Коперник показал, что все планеты, известные в то время, обращаются вокруг Солнца по почти круговым орбитам, лежащим почти в одной плоскости, и что Луна обращается вокруг Земли, являясь ее «естественным» спутником.

Однако ни причины, приводящие планеты в движение, ни истинные законы этих движений еще не были известны и лишь через полвека некоторую ясность в эти вопросы внес Иоганн Кеплер, который вывел свои знаменитые законы (законы Кеплера).

Законы Кеплера достаточно точно отражают свойства движения планеты вокруг Солнца, а также Луны вокруг Земли или какого-нибудь спутника (естественного или искусственного) вокруг своей планеты, и являются с тех пор основными законами небесной механики.

Открытие закона всемирного тяготения, сделанное Исааком Ньютоном в 1682 г., было следующим важным этапом в развитии небесной механики и позволило впервые создать математическую теорию движения небесных тел на основании единого принципа, который может считаться одним из основных законов природы.

Закон всемирного тяготения был опубликован впервые в 1687 г. в сочинении Ньютона «Математические начала натуральной философии», которое Лагранж назвал позднее «величайшим из произведений человеческого ума» и которое явилось отправным пунктом всех работ по механике и небесной механике в течение следующих двух столетий.

Однако дальнейшее развитие небесная механика получает только начиная с середины XVIII века, в основном благодаря замечательным трудам пяти знаменитейших ученых: Л. Эйлера (1707—1783), А. К. Клеро (1713—1765), Ж. Даламбера (1717—1783), Ж. JL Лагранжа (1736—1813) и И. С. Лапласа (1749—1827), которые и являются творцами классических методов небесной механики. .

Следует отметить, что один из этой славной пятерки — Л. Эйлер, швейцарец по происхождению, долгое время работал в России, в созданной в 1725 г. Петербургской Академии наук, и большое число своих мемуаров по небесной механике напечатал в изданиях Академии.

Поэтому можно сказать, что работа в области небесной механики началась в России очень рано, хотя сами русские ученые приняли участие в этой работе только через сто с лишним лет, когда были опубликованы мемуары академика Д. М. Перевощикова по .теории возмущений планет и по теории вращения Земли (1852—1868).

Конец XVIII века ознаменовался весьма важным для мировой науки событием — небесная механика впервые получила свое имя и было точно определено ее содержание.

В 1798 г, вышла в свет первая часть классического сочинения П. С. Лапласа «Трактат по небесной механике», в предисловии к которому автор говорит, между прочим, следующее: «В конце прошлого столетия Ньютон обнародовал свой закон всемирного тяготения. С тех пор ученые стараются свести все известные явления природы к этому великому закону и дать, таким образом, теориям и астрономическим таблицам непредвиденную точность. Я поставил своей целью представить эти теории, рассеянные в большом числе сочинений, с одной и той ;ке

точки зрения. Эти теории, обнимающие все результаты всемирного тяготения по равновесию и движениям твердых и жидких тел, составляющих Солнечную систему и ей подобные, рассеянные во вселенной, образуют небесную механику».

Хотя Лаплас и говорит в приведенных словах только о законе тяготения, тем не менее он не ограничивается в своем трактате при рассмотрении движений небесных тел только силами притяжений, но принимает во внимание и некоторые другие силы, например, силы сопротивления среды. Кроме того, Лаплас прямо указывает, что предметом небесной механики являются не только тела Солнечной системы, а и многие другие небесные объекты.

Можно сказать кратко, что, по Лапласу, небесная механика есть наука о механических движениях всяких небесных 加е〃, находящихся под действием каких угодно сил

Это определение небесной механики является теперь общепринятым и в Советском Союзе и за рубежом, вследствие чего предметом исследований в этой науке являются не только «естественные» небесные тела, но и всевозможные «искусственные», которые начали появляться в космическом пространстве с 1957 г. и число которых с тех пор все время растет,

«Трактат по небесной механике» П. С. Лапласа, наряду с «Аналитической механикой» Ж» Л. Лагранжа, вышедшей в 1788 г., является основным классическим учебником, в котором поставлен ряд важнейших проблем, которые считаются с тех пор главными задачами .небесной механики.

Эти основные задачи — следующие: задача о движении больших планет Солнечной системы под действием притяжения Солнца и их взаимных притяжений; задача о движении Луны под действием притяжения Земли и Солнца с учетом влияний и других планет; задача о движении спутников больших планет под действием притяжения планеты-матери, Солнца и других больших планет; задача о движении некоторых замечательных комет под действием притяжения Солнца, Юпитера и Сатурна; задача о вращательном движении планет, особенно Земли и Луны, вокруг их центров масс; теория фигур планет и некоторые другие.

■ В дальнейшем к этим задачам прибавилась еще задача о движении малых планет, или астероидов, а в самое последнее время — задача о движении искусственных небесных тел.

Особой задачей из рассматривавшихся Лапласом и Лагранжем, не имеющей непосредственного практического приложения, но играющей важную роль в развитии материалистического миросозерцания, является знаменитая задача об устойчивости солнечной системы.)решенная этими учеными 8 первом приближении и до сих пор остающаяся не решенной окончательно в строго математической постановке.

Эта задача сводится, в сущности, к доказательству теоремы (так еще и не доказанной вполне!) об отсутствии вековых возмущений больших полуосей планетных орбит, так как, считая эту теорему справедливой, можно доказать уже совершенно строго (как это и сделано Лапласом' и Лагранжем), что эспцентриситеты и наклонности орбит, являясь малыми в настоящее время, всегда будут оставаться численно малыми.

Интересно заметить, что одновременно с трактатом Лапласа, в России, в издании Петербургской Академии наук, также вышло фундамен-

*) См. Г. Н. Д у б о ш и н, «Небесная -механика (Основные задачи и методы)». М・，1963.

тальное сочинение по небесной механике —«Трактат по теоретической астрономии» на немецком языке академика ①.И. Шуберта (1798 г., переиздан на французском языке в 1822 т\). Это сочинение, несправедливо забытое, было высоко оценено Лапласом и долго служило руководством для изучения движения небесных тел. Шуберт начал также впервые в России составлять для Адмиралтейского департамента «Морской месяцеслов», т. е. астрономический ежегодник. Этот ежегодник издавался с 1814 до 1855 г., когда русский флот перешел к употреблению английского морского ежегодника, применявшегося вплоть до Великой Октябрьской социалистической революции.

В XIX веке развитие небесной механики происходило по двум основным направлениям. Первое направление, которое назовем для краткости астрономическим^ имело своей целью создание аналитических теорий движения реальных небесных тел Солнечной системы. Работы этого направления были посвящены выводу приближенных, буквенных формул, являющихся «обрывками» бесконечных рядов, формально удовлетворяющих дифференциальным уравнениям движения рассматриваемых тел. Сами эти тела (Солнце, Луна, Земля, большие планеты) рассматривались как материальные точки, взаимно притягивающиеся по закону всемирного тяготения Ньютона.

Эти буквенные формулы представляли координаты движущихся тел в некоторой избранной системе отсчета, или оскулирующие элементы планетных орбит, как функции времени, начальных значений и постоянных параметров рассматриваемой системы.

Начальные значения, а отчасти и постоянные параметры системы (массы планет, постоянная тяготения и т・ д.), определялись из астрономических наблюдений при помощи тщательно сконструированных астрономических инструментов, отличавшихся высокой точностью.

Таким образом, получались формулы, типа тригонометрических многочленов, с численными коэффициентами, позволявшие вычислять числовые значения координат планет, или элементов их орбит, для любого момента времени, как прошедшего, так и будущего, заключенного в некотором определенном промежутке. . ;

Этим путем составлялись таблицы, определявшие положения планет и Луны для ряда равноотстоящих моментов времени (например, на каждые сутки) в течение каждого года, которые и помещались наряду с другими астрономическими таблицами в издаваемые заранее на предстоящий год астрономические ежегодники.

Буквенные формулы, по которым вычислялись таблицы, помещаемые в ежегоднике, имели еще и другое практическое применецие и использовались также для решения «обратных» задач небесной механики, т. е. для определения постоянных параметров системы, а отчасти и для начальных условий. Для этого брались полученные из наблюдений ряды числовых значений координат, соответствующие ряду отдельных моментов времени (моментов наблюдений!), и эти числовые значения подставлялись в буквенные формулы той или иной аналитической теории. Таким образом составлялись уравнения, в которых неизвестными величинами оказывались нужные параметры (например, массы планет или элементы их орбит). Приближенное решение таких конечных уравнений, обычно по методу наименьших квадратов, доставляло искомые числовые значения определяемых параметров, что позволяло пополнять, или исправлять, наши сведения об устройстве Солнечной системы и о ее числовых характеристиках.

Блестящим примером такого применения небесной механики является открытие новой планеты — Нептуна, сделанное в 1846 г. «на кончике пера» независимо друг от друга двумя молодыми учеными — французом У. Леверье (1811—1877) и англичанином Дж. К. Адамсом (1819—1892).

Результатом работ астрономического направления явились обширные аналитические теории» движения Луны, больших планет Солнечной системы (исключая Плутон, о котором будет сказано ниже), спутников Юпитера и Сатурна, вращательного движения Земли (теория прецессии и нутации) и т. д.

Выведенные в каждой аналитической теории буквенные формулы с числовыми коэффициентами позволяют следить за движением того или иного небесного тела в течение некоторого, практически достаточно большого промежутка времени (от нескольких десятков до двух-трех сотен лет) и определять его положение на небе с достаточной для многих практических целей точностью.

Возникающие время от времени «несогласия» между теорией и наблюдениями обычно стараются исправить либо путем перевычисления числовых коэффициентов с использованием новых серий более точных наблюдений либо «дополнением» теории, т. е. добавлением новых членов в полученных ранее буквенных формулах, либо путем введения «эмпирических» членов, не вытекающих из теории, но уменьшающих различие или несогласие между теорией и наблюдениями.

Вместе с тем указанные несогласия между теорией и наблюдениями побуждают ученых создавать новые аналитические теории, изобретая новые, более совершенные математически, методы интегрирования дифференциальных уравнений движения небесных тел и получать таким образом новые (опять-таки приближенные) формулы, представляющие интересующие нас движения.

Такое усовершенствование теории продолжается непрерывно и постоянно и является одним из средств достижения истинного знания путем' последовательных приближений.

Отмеченные обстоятельства способствовали возникновению и развитию другого направления в небесной механике, которое уместно назвать аналитическим^ отмечая в этом названии и связь второго направления с первым, имеющим, как уже было сказано, своей целью построение аналитических теорий движения реально существующих небесных тел, и подчеркивая вместе с тем его теоретический (математический и теоретико-механический) характер.

Аналитическое направление в небесной механике, в сущности, с астрономией не связано и имеет своей целью разработку общих методов изучения движений механических систем, не конкретизируя входящие в них объекты и не отождествляя их с какими-либо объектами природы, находящимися в космическом пространстве.

Таким образом, это. направление имеет дело, по сути говоря, с воображаемыми телами, обладающими идеальными физико-механическими свойствами и упрявляемыми какими угодно силами, законы изменения' которых определяются функциями, обладающими свойствами самого общего характера.

При этом рассматриваемым телам придается способность находиться в любой, конечной или бесконечной, области космического пространства, так что им можно приписывать какие угодно начальные условия»

Позднее, к концу XIX века, из этого направления выделилась еще особая его ветвь, в которой исчезли даже модельные тела и обычное

трехмерное пространство и предметом которой стало чисто математическое исследование общих свойств движения вообще, понимаемого в самом общем смысле слова, как процесс изменения некоторых величин в абстрактном, функциональном пространстве.

Общим стремлением аналитического направления стало нахождение общих и частных решений обыкновенных дифференциальных уравнений, сначала уравнений движения материальных точек и абсолютно твердых тел, а затем и, вообще, любой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, подчиненных самым общим условиям («динамические системы»!), в виде бесконечных рядов того или иного вида, сходящихся абсолютно и равномерно* либо для всех возможных значений времени или по крайней мере в некотором достаточно большом промежутке.

Этим аналитическое направление существенно отличается от астрономического^ где, по необходимости, также пользуются бесконечными рядами (точнее, «обрывками» бесконечных рядов, т. е. суммами некоторого конечного числа их членов), но где сходимостью употребляемых рядов обычно вовсе не интересуются, довольствуясь убыванием числовых значений членов с возрастанием номера и удовлетворительным согласием вычисленных таким образом положений светил с наблюденными；

Работы аналитического направления посвящались сначала попыткам уточнения и придания большей математической строгости астрономическим теориям небесной механики. Поэтому в этих работах рассматривались сначала вопросы существования решений дифференциальных уравнений, в частности, вопросы о существовании и нахождении новых, отличных* от десяти известных классических, интегралов в задаче трех или многих теп. Так как такие интегралы упорно не находились, то был поставлен вопрос о несуществовании интегралов известного типа (алгебраических и однозначных трансцендентных), и эта проблема была блистательно разрешена Г. Брунсом в 1887 г. и А. Пуанкаре в 1889 г.

Затем был поставлен вопрос о разыскании классов механических задач, интегрируемых подобно эйлеровой задаче о движении материальной точки, притягиваемой двумя неподвижными центрами, в квадратурах (системы Лиувилля), а также о разыскании каких-либо новых частных решений динамических задач, отличных от знаменитых частных решений задачи трех тел, отмеченных еще Эйлером и подробно изученных Лагранжем и Лапласом.

В дальнейшем аналитическое направление пошло отчасти по пути, указанному К. Г. Я. Якоби (1804—1851), который на основе исследований Гамильтона разработал новый метод решения и изучения дифференциальных уравнений задач динамики и, в частности, небесной механики, называемый теперь методом Гамильтона — Якоби.

Канонические., или гамильтоновы^ системы стали с тех пор важным и удобным аппаратом аналитической небесной механики и получили также широкое распространение во многих других смежных или даже весьма далеких от небесной механики областях знания.

В небесной механике новый метод проник также весьма быстро и в задачи чисто астрономического направления, особенно благодаря IIL Делоне (1816 —1872), создавшему, на основе метода Гамильтона — Якоби, новую, более совершенную математически, теорию движения Луны.

Метод Делоне, обобщенный впоследствии Пуанкаре, оказался весьма удобным и для решения многих других астрономических задач небесной механики (теория движения астероидов, спутников и т. д.) и послужил

предметом множества работ, посвященных различным усовершенствованиям и видоизменениям этого метода и их приложениям к изучению движений естественных, а в последнее время и искусственных, небесных тел.

Метод Гамильтона — Якоби получил также многочисленные приложения и в теории вращательного движения (вокруг центра масс) абсолютно твердых тел — в частности, Земли и Луны (отчасти и других больших планет), рассматриваемых в некотором приближении как тела абсолютно твердые.

Что касается тел, не являющихся модельными материальными точками и не представляющих собой тела абсолютно твердые, какими в действительности и являются все реально существующие небесные тела, то в XIX веке небесная механика ограничивалась только рассмотрением приливных движений и вопросами о существовании фигур равновесия вращающихся идеальных жидкостей, частицы которых взаимно притягиваются по закону Ньютона.

Теорией приливов земных морей и океанов, имеющей очевидное прикладное значение, в небесной механике занимались весьма усердно, начиная от Ньютона и до Пуанкаре.

Однако в дальнейшем в силу неизбежной дифференциации наук теория приливов вышла из области вопросов, составляющих содержание небесной механики, и перешла в геофизику, в связи с чем мы не будид касаться в настоящей статье дальнейших работ по теории приливов.

Теория фигур равновесия вращающейся жидкости является одной из старейших проблем небесной механики и возникла из задачи о нахождении точной (по возможности!) фигуры Земли, знание каковой необходимо для многочисленных практических приложений.

Задача о форме, которую может принять идеальная жидкость под влиянием центробежной силы и взаимного притяжения ее частиц, была поставлена еще Ньютоном в «Началах» и с тех пор долгое время являлась одной из важнейших задач небесной механики.

Позднее (1742) К. Маклорен показал, что однородная вращающаяся жидкость может принять форму эллипсоида вращения, а К. Г. Я. Якоби (1834) доказал то же самое и для трехосных эллипсоидов.

Дальнейшими продвижениями в этой области наука обязана главным образом академику А. М. Ляпунову (1857—1918), который обратил свое внимание на эту проблему в 1882 г. по совету своего учителя — академика П. Л. Чебышева — и продолжал заниматься ею до самой своей смерти.

А. М. Ляпунов рассматривал сначала теорию равновесия вращающейся жидкости как любопытную задачу механики, но в дальнейшем ориентировался на ее приложения к теории фигур небесных тел, имея в виду задачи небесной механики и задачи космогонического характера.

Известно, что Ляпунов поставил своей задачей отыскание фигур равновесия, близких к эллипсоидальным фигурам Маклорена и Якоби, а затем перешел к исследованию устойчивости фигур равновесия. *

Для решения поставленных задач Ляпунов изобрел совершенно новый метод, с помощью которого он открыл ряд новых форм фигур равновесия и смог исследовать вопрос об их устойчивости. Среди этих новых фигур оказалась также фигура, названная впоследствии грушевидной^ из-за которой разгорелся известный в истории науки спор между А. М. Ляпуновым и Дж. Г. Дарвином, в котором побежденным оказался Дарвин.

Спор разгорелся из-за вопроса об устойчивости грушевидных фигур, А. Пуанкаре, который также усердно занимался теорией фигур равновесия, исследуя устойчивость грушевидной фигуры в первом приближении, пришел к заключению, что такая фигура устойчива. В 1896 г. К. Шварцшильд показал невозможность решения вопроса об устойчивости, если ограничиваться только первым приближением. Тогда Пуанкаре разработал специальный метод, дающий второе приближение, но ограничился только общими указаниями, а вычисления по его формулам произвел Дарвин, который также пришел к заключению, что грушевидная фигура устойчива.

Однако окончательное решение этого интересного вопроса дал в 1905 г. Ляпунов, показавший при помощи своего метода, что грушевидная фигура неустойчива.

Дж. Г. Дарвин не согласился с выводом Ляпунова, что и вызвало между ними длительную полемику (по переписке). Наконец, Ляпунов опубликовал в 1912 г. все свои формулы со всеми подробностями и все сделанные им вычисления, которые, таким образом, мог проверить каждый желающий.

Но желающих не находилось, так как математический аппарат, применявшийся Ляпуновым и представляющий собой, по сути дела, теорию нелинейных интегральных уравнений, совершенно новую в то время, оказался для громадного большинства заинтересованных в споре Дарвина с Ляпуновым чересчур сложным и совершенно недоступным. Поэтому спор продолжался и в нем приняли участие и многие другие ученые. В конце концов, в 1915 г. Дж. X. Джинс показал достаточно наглядно, что в методе Пуанкаре двух приближений для решения вопросов недостаточно, а третье- приводит к заключению о неустойчивости грушевидной фигуры, в согласии с результатами Ляпунова, и вопрос был, наконец, исчерпан»

Дальнейшее развитие теория фигур равновесия получила уже после смерти Ляпунова в работах Л. Лихтенштейна и его школы.

Эти работы развивали, дорабатывали и несколько усовершенствовали методы Ляпунова, однако новых блестящих результатов получено не было. С другой стороны, применимость теории фигур равновесия, основанной только на механико-математических принципах, к действительно существующим небесным телам стала представляться сомнительней, и развитие теории фигур звезд и планет пошло совершенно по другому пути.

Поэтому эта теория также вышла (может быть, временно) из области небесной механики, и в этой статье в дальнейшем о ней упоминаться больше не будет.

Возвращаясь теперь опять к двум основным направлениям небесной механики XIX века, астрономическому и аналитическому, необходимо отметить, что хотя их главной задачей было составление формул, строго обоснованных математически или по крайней мере удобных для практических вычислений, представляющих движения небесных тел (действительных или воображаемых) под действием заданных сил и могущих служить для прикладных целей, но оба эти направления издавна нацеливались также на проблемы и более высокого, так сказать, порядка.

Действительно, человечество с давних пор интересовалось различными вопросами, связанными с возникновением нашего материального мира: о возникновении Солнечной системы, Земли и ее неизменного

естественного спутника — Луны; о происхождении наблюдаемого устройства Солнечной системы и сохранении этого устройства в будущем； об объяснении существующих, выведенных из многовековых наблюдений, закономерностей в Солнечной системе и в системах ей подобных, образуемых некоторыми большими планетами с их многочисленными спутниками; наконец, общими вопросами о происхождении, эволюции и последующей судьбе звездных систем, галактик и систем галактик.

Все эти вопросы, входящие теперь в обширную область астрономии, называемую космогонией^ издавна привлекали также внимание и специалистов по небесной механике, которые постоянно пытались разрешать по крайней мере часть этих вопросов теми же методами небесной механики, которые разрабатывались первоначально для достижения более скромных, чисто практических целей.

Мы уже упоминали о проблеме устойчивости Солнечной системы, поставленной Лагранжем и Лапласом, которые пытались ее решать анализом тех же приближенных формул, которые выводились для составления числовых таблиц.

Но в классической теории возмущений, основанной на применении метода последовательных приближений, приводящего к рядам, расположенным по степеням возмущающих масс, уже в первом приближении получаются члены не только чисто тригонометрические, но и вековые (т. е. пропорциональные какой-либо целой степени времени), а также смешанные (содержащие произведения степени времени на тригонометрическую функцию), и такие же члены возникают и во всех последующих приближениях. Поэтому «обрывками» подобных рядов, сходимость которых к тому же остается неизвестной, для решения вопросов космогонического характера пользоваться нельзя, что и привело к необходимости вводить в небесную механику чисто математические задачи о свойствах бесконечных рядов, о их сходимости и об оценках их сумм, образуемых некоторым конечным числом первых членов.

Попытки разрешать эти и подобные им вопросы в работах аналитического направления потерпели, как это выяснилось в самом конце XIX века, полную неудачу, так как оказалось, что классические ряды небесной механики являются расходящимися.

Это обстоятельство, не мешая пользоваться такими рядами для практических вычислений (так как практические формулы представляют собой, как уже отмечалось, только «обрывки» рядов), совершенно не позволяет их применять для обнаружения каких-либо общих свойств движения, особенно на бесконечном промежутке времени.

Многочисленные попытки астрономов-теоретиков и математиков построить решение основных задач небесной механики в виде каких-либо других рядов, сходимость которых было бы возможно установить, также до самого недавнего времени были бесплодными.

Когда удавалось построить решение задачи в виде сходящихся рядов, то либо область сходимости оказывалась конечной либо выражения для членов ряда выходили настолько громоздкими, что какие-нйбудь закпю-' чения о поведении всей суммы сделать было чрезвычайно затруднительно.

И в том и в другом случаях подобные ряды оказывалиоь непригодными для установления свойств движения на всем бесконечном промежутке времени, особенно на весьма удаленных его концах.

Вследствие этого, начиная с конца XIX века в небесной механике стало развиваться третье направление, которое можно назвать качественным.

Хотя отдельные попытки качественного исследования свойств движений небесных тел делались еще И. Ньютоном, затем Ж» Л. Лагранжем и некоторыми другими учеными, но все же зачинателями этого нового направления с полным правом можно признать только А. М. Ляпунова и А. Пуанкаре.

И тот и другой имели в виду разрешение вопроса об устойчивости Солнечной системы, но не решив этой важной проблемы, пришли зато к совершенно общим методам качественного анализа форм и свойств движения путем исследования свойств функций, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям, хотя и не имея решения этих уравнений ни в конечной, ни в бесконечной форме.

Эти общие методы оказались настолько продуктивными, по крайней мере в простых, модельных, задачах, что очень быстро они проникли из небесной механики во многие другие области науки, большей частью весьма далекие от астрономии.

Основными методами и теориями качественного направления следует считать метод особых точек, теорию периодических решений и теорию интегральных инвариантов Пуанкаре, а также общую теорию устойчивости движения и теорию периодических решений Ляпунова.

Значительно позже сюда прибавилось еще несколько разделов, например, теория устойчивости «в большом» и теория финальных движений, о чем мы будем говорить ниже, в соответствующем месте очерка.

Метод особых точек получил наибольшее развитие только для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка и позволяет в ряде важнейших случаев установить структуру интегральных кривых на плоскости, а стало быть, и определить общие свойства изучаемого движения (или, вообще, исследуемых функций), зная расположение и типы особых точек рассматриваемой системы/

Но случаи, когда вся задача сводится только к одной системе второго порядка (или к нескольким отдельным системам), в небесной механике чрезвычайно редки, а поэтому метод особых точек, чрезвычайно полезный и часто применяющийся в других областях (в физике, технике и т. д.), для астрономии оказался мало эффективным»

Применение этого метода к системам высших порядков оказалось весьма затруднительным и в этой области никаких существенных результатов, кроме самых общих соображений, до сих пор не получено.

Метод интегральных инвариантов, разработанный Пуанкаре специально для задач небесной механики, точнее говоря, для класса задач, приводящих к г амил ьт оновым системам, в действительности ничего суще- ственноЕо для астрономии не дал, но также оказался полезным и эффективным в других областях, например, в статистической физике. Задача об устойчивости Солнечной системы, несмотря на все старания Пуанкаре, так и осталась неразрешенной, так же как и более простая задача об устойчивости кольца Сатурна, которой посвящала свое внимание наша знаменитая соотечественница С. В. Ковалевская. .

Гораздо более важными и полезными для приложений в небесной механике оказались теория периодических решений и общая ляпунов- ская теория устойчивости движения, хотя последняя стала иметь значение значительно позднее (в тридцатых годах XX века).

Теорию периодических решений дифференциальных уравнений разрабатывали независимо друг от друга А. Пуанкаре и А. М. Ляпунов — первый специально для задачи трех тел, а второй вообще для задачи о движении какой угодно механической системы. Поэтому теория Ляпу-

нова представляется более общей чем теория Пуанкаре, причем можно установить, что последняя непосредственно вытекает из первой и является ее частным случаем ).

След ует от метить, что ни та, ни другая теория не дает общих способов разыскания частных периодических решений любой системы дифференциальных уравнений, но предполагает, что уже известно откуда- нибудь некоторое число периодических решений или самих исходных уравнений, или упрощенных уравнений, получающихся из заданных отбрасыванием в их правых частях некоторых малых членов.

Тогда теория Ляпунова — Пуанкаре дает способы для отыскания периодических решений заданных уравнений, близких к уже известным, упомянутым выше, периодическим решениям. Такое отыскание предполагает прежде всего доказательство существования этих близких решений, а затем и конструирование самих решений при помощи периодических рядов, расположенных либо по степеням малых параметров (теория Пуанкаре), либо по степеням вариаций начальных условий (теория •Ляпунова).

Теория периодических решений Ляпунова — Пуанкаре, как и все почти другие теории качественного направления небесной механики, также со временем получила более общее значение и быстро проникла в другие области, где часто оказывалась даже более полезной и эффективной.

Так, в теоретической механике эта теория стала основой, весьма важной для практических приложений теории колебаний^ играющей такую крупную роль в современной технике, где часто даже и не подозревают, что эта теория вышла из «далекой и абстрактной» науки — небесной механики.

Непосредственно в небесной механике теория Ляпунова — Пуанкаре позволила обнаружить множество периодических решений, близких к решениям уравнений невозмущенного движения, определяющих простые кеплеровы, круговые и эллиптические движения планет, спутников, астероидов и т.

Однако эти результаты относились главным образом к воображаемым небесным телам, например, к материальным точкам, обладающим достаточно малыми массами (по сравнению с массой Солнца или, вообще, главного тела), и большей частью оставалось неизвестным, являются ли истинные массы планет действительно такими достаточно малымц, которые обеспечивают существование периодических решений Пуанкаре.

В рассматриваемый период только в одном случае удалось показать практическую пригодность новых периодических решений.

Это было сделано А. М. Ляпуновым ), который строго доказал абсолютную сходимость периодических рядов, расположенных по степе' ням некоторого малого параметра, определяющих так называемую вариационную орбиту Луны, представляющую промежуточную орбиту в теории Хилла — Ерауна.

При этом Ляпунов показал, что сходимость сохраняется не только при «достаточно малых» значениях параметра, но и в некотором конечном промежутке его значений, включающем истинное значение, соответствующее настоящей Луне.

Понятие устойчивости равновесия, к которому можно свести любое- движение, существовало с давних пор и понималось ранее в различных смыслах, в зависимости от рассматриваемой задачи, причем точных формулировок до Ляпунова, по сути говоря, не было.

А. М. Ляпунов создал свою знаменитую общую теорию устойчивости движения («Общая задача об устойчивости движения». Харьков, 1892; Собр. соч., т. 2, 1956), дав строгие определения понятий устойчивости и неустойчивости, относительно заданных величин^ и разработав эффективные методы для решения этой чрезвычайно важной задачи.

Общее определение понятий устойчивости в смысле Ляпунова включает в себя, просто как различные частные случаи, все другие понятия устойчивости, которые, таким образом, различаются друг от друга только теми величинами, относительно которых рассматривается устойчивость.

Сказанное относится в равной мере как к классическим определениям и понятиям устойчивости по Лагранжу, по Пуассону, по Якоби, так и к новым типам, или теориям, устойчивости, вроде теории орбитальной устойчивости, теории технической устойчивости и т. и. Новые теории устойчивости, например, теория устойчивости «в большом» или теория устойчивости при постоянно действующих возмущениях, не представляют, в сущности говоря, чего-либо принципиально нового по сравнению с ляпуновской устойчивостью и могут рассматриваться разве только как некоторые дополнения к общей теории Ляпунова.

Сам Ляпунов уже рассматривал некоторые приложения своей теории к задачам небесной механики (задача об устойчивости кеплеровых движений в системе двух и трех тел), но оказалось, что такие задачи могут быть просто решены только по первому приближению, а дальнейшее продвижение оказывается здесь недоступным.

Это объясняется тем, что задачи небесной механики относятся к типу консервативных задач, вопросы об устойчивости в которых приводят к особенным случаям теории Ляпунова, когда рассмотрение одного первого приближения ничего решить не может, а рассмотрение всех последующих приближений оказывается чрезвычайно сложным и практически неосуществимым.

Задачи с диссипацией энергии в классической небесной механике встречались чрезвычайно редко, а различные космогонические теории, в которых рассеяние энергии играет существенную роль, математически были обоснованы плохо, и выделить в этих теориях корректные механические задачи всегда затруднительно.

Вообще, как хорошо известно, теория Ляпунова долгое время оставалась малоизвестной, отмечалась только вскользь в учебниках по дифференциальным уравнениям и никакого практического значения не имела почти до тридцатых годов нашего столетия.

Только в советское время, в трудах советских ученых, теория устойчивости, созданная А. М. Ляпуновым, получила всеобщее признание и нашла многочисленные практические приложения. Но об этом нам придется ■ говорить ниже, в соответствующем месте очерка.

1.6. Последним крупным успехом небесной механики перед Октябрьской революцией было создание" новых методов исследования дифференциальных уравнений движения при помощи теории функций комплексного переменного, осуществленное Т. Леви-Чивитой и К. Зундманом и дополненное некоторыми другими учеными.

В этих методах главную роль играет идея «регуляризации» дифференциальных уравнений движения ограниченной (Леви-Чивита) или

общей (Зундман) задачи трех тел, т. е. трех материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона.

Дело в том, что правые части уравнений движения содержат отрицательные степени взаимных расстояний между телами, а потому перестают быть голоморфными, или регулярными, в момент (действительный или комплексный!), когда по крайней мере одно из взаимных расстояний обращается в нуль.

Регуляр иза ция заключается в таком преобразовании уравнений, после которого правые их части делаются регулярными, и тогда к регу- ляризированным уравнениям возможно применить общие теоремы существования голоморфных интегралов и получить решение в виде сходящихся рядов.

Предполагая начальные условия общей задачи трех тел совершенно произвольными, но считая произвольные постоянные интегралов площадей не равными одновременно нулю, Зундман нашел регуляризирую- щее преобразование и й результате получил безупречное математически решение задачи трех тел в виде рядов, расположенных по степеням некоторой вспомогательной переменной и абсолютно сходящихся при всех значениях времени, каковы бы ни были соударения между какими-либо двумя из трех теп.

Вместе с тем было получено условие, которому должны удовлетворять начальные данные, чтобы одно из трех взаимных расстояний обратилось в нуль в течение конечного промежутка времени.

Работы Зундмана и Леви-Чивиты породили в дальнейшем： множество исследований всякого рода в этой области (о некоторых из них мы будем упоминать впоследствии), но для практического использования при решении конкретных задач астрономии не дали ничего, что объясняется исключительно медленной сходимостью представляющих движения рядов, полученных по способу регуляризации.

■ Окидывая общим взглядом состояние небесной механики перед Великой Октябрьской социалистической революцией, т. е. около двадцатых годов нашего столетия, мы можем констатировать в этой области три постоянно развивающиеся и более или менее тесно связанные друг с другом направления, каждое из которых достаточно четко определило свои задачи и выдвинуло ряд проблем, требующих безотлагательного решения.

А строномическое направление требует уточнения классических приемов построения таблиц движения планет и получения возможностей быстрого изучения свойств движения непрерывно открываемых новых небесных объектов (астероидов, комет, метеоров), а также возможностей для наиточнейшего определения числовых значений параметров, характеризующих окружающий нас мир.

А налитическое направление ставит задачи о представлении переменных параметров любых систем небесных тел при помощи рядов, абсолютно и равномерно сходящихся для всех значений времени, заключенных в достаточно обширном промежутке, а также о достаточно эффек-, тивных оценках остаточных членов этих рядов. К этому же направлению относятся изыскания новых частных решений задачи трех и многих тел и нахождение вполне интегрируемых случаев этих и других задач.

Качественное направление поднимает вопрос об изучении общих свойств движения, имея своей главной целью окончательное решение вопроса об устойчивости Солнечной системы и систем ей подобных.

Небесная механика в период 1917—1945 гг.

Пятидесятилетний период в истории развития небесной механики (1917—1967) естественным образом подразделяется на два отдельных периода, заметно отличающихся друг от друга и объемом содержания этой области науки, и, особенно, темпами ее эволюции.

Первый период (1917—1945), освещаемый в этом параграфе, по объему содержания небесной механики непосредственно примыкает к дореволюционному периоду, блистающему именами Ляпунова, Пуанкаре- и Зундмана, но характеризуется сравнительно медленной эволюцией рассматриваемой здесь части астрономии.

В противоположность другим областям астрономии, особенно астрофизике и астрономической технике, развитие которых протекало весьма интенсивно, небесная механика не может похвастаться в этом периоде- (и в Советском Союзе и за рубежом) новыми особенно блестящими результатами. 一 、

Поэтому к концу этого первого периода начало даже складываться мнение, что небесная механика уже полностью себя исчерпала, что новых проблем в этой науке не предвидится и что создание новых, более- совершенных методов, ввиду чрезвычайных математических трудностей весьма мало вероятно.

Однако события, происшедшие во втором периоде, т. е. уже после- войны, полностью опровергли это пессимистическое мнение и содействовали новому, бурному и плодотворному развитию небесной механики, выдвинувшему ее опять в первые ряды астрономических и физико-математических наук.

Мы ограничимся здесь этим кратким замечанием, так как развитию- небесной механики во втором периоде будет посвящен следующий параграф.

Обращаясь к истории небесной механики в СССР за первый период,, т. е. примерно за первые 30 лет Советской власти, мы должны прежде- всего отметить, что в дореволюционной России не было четкого деления астрономии на отдельные дисциплины и, в частности, не существовала никакого научного центра или даже отдельной группы ученых, где занимались бы непосредственно и преимущественно задачами небесной механики.

В крупных российских университетах (в Москве, Петрограде и Казани) основы, или, лучше сказать, элементы небесной механики (а также- сферическая и практическая астрономия и даже начала астрофизики) преподавались всем студентам математических отделений физико-математических факультетов, а в нескольких существовавших тогда астрономических обсерваториях работы по небесной механике носили эпизодический характер и не были направлены к достижению какой-либо одной общей цепи.

Однако в те времена уже существовало Всероссийское астрономическое общество, в полезной просветительной работе которого принимали также участие и любители теории, интересы которых склонялись к численным вычислениям и алгебраическим выкладкам теоретической астрономии и небесной механики.

Кроме того, разные вопросы небесной механики рассматривались и обсуждались иногда на заседаниях Академии наук и некоторых математических обществ, а доложенные работы печатались затем в изданиях этих организаций.

Отдельные, не связанные между собой организационно приверженцы и любители небесной механики обычно были очень сильно заняты педагогической работой (часто даже в средней школе) и, естественно, йе могли уделять много времени лично их интересовавшей, но, казалось, столь далекой от практической жизни научной работе в области небесной механики. .

Положение изменилось (хотя, разумеется, не сразу) вскоре после Великой Октябрьской социалистической революции.

Еще в 1917 г. на Первом Всероссийском астрономическом съезде было признано необходимым добиваться создания специального учреждения для обеспечения нашей страны отечественными астрономическими ежегодниками.

Для этой цели в 1920 г. в Петрограде был организован Государственный вычислительный институт, которому по плану, разработанному ранее М. А. Вильевым ), было поручено составление и издание астрономических ежегодников, специальных астрономических таблиц и организация работ по разлйчным вопросам небесной механики, прежде всего по изучению возмущенного движения малых планет. В 1923 г» этот институт был слит с Петроградским астрономо-геодезическим институтом и был назван Астрономическим институтом (в системе Наркомпроса РСФСР).

В конце 1939 г. Астрономический институт перешел в ведение Академии наук СССР и в 1943 г. был реорганизован в Институт теоретической астрономии АН СССР (сокращенно ИТА) с возложением на него работы по небесной механике, теоретической астрономии, теоретической гравиметрии и, по-прежнему, по изданию высококачественных астрономических ежегодников различного назначения.

Таким образом, был создан специализированный научно-исследовательский институт, целиком посвященный разработке проблем небесной механики и ее практическим приложениям.

этой статье будет освещаться деятельность ИТА только в области небесной механики, каковая началась сразу после организации Вычислительного института и с тех пор систематически развивается со все возрастающими темпами, и теперь составляет главную часть тематики ИТА, который, по сути дела, было бы правильнее называть в настоящее время Институтом небесной механики. .

Другой крупный центр научной работы по небесной механике образовался несколько позже в Москве в составе организованного в 1921 г. Государственного астрофизического института, который в 1931 г. был слит с Астрономо-геодезическим институтом Московского университета и Московской астрономической обсерваторией.

Новый крупный институт стал называться Государственным астрономическим институтом имени П. К. Штернберга ) (сокращенно Г АИШ) и в настоящее время является одним из научно-исследовательских институтов Московского университета, соединенным с астрономическим отделением физического факультета МГУ, обеспечивающим до некоторой. степени подготовку специалистов по различным областям астрономии， в том числе и по небесной механике.

В 1925 г. в Государственном астрофизическом институте был организован Отдел теоретической астрофизики, предназначенный, по идее его организатора и первого заведующего В. А. Костицына, для математической разработки ряда проблем теоретической астрофизики. Однако как-то получилось так, что собственно задачами теоретической астрофизики этот отдел не занимался (или почти не занимался), а с самого своего основания включился в разработку проблем, касающихся вопросов движения небесных тел (моделируемых большей частью материальными точками), подверженных действиям самых разнообразных сил, впрочем, в большинстве случаев гравитационных.

Такое обстоятельство, вероятно, может быть объяснено как соответствующей подготовкой сотрудников отдела, которые имели механикоматематическое образование, так и их личными вкусами, направленными к увлекательным задачам небесной механики, а -также и (или, вернее, прежде всего) влиянием руководителей этой группы — математиков В. А. Костицына и В： В. Степанова.

После образования ГАИШ Отдел теоретической астрофизики переменил свое явно не соответствующее направлению своей научной работы название на более подходящее и стал именоваться «Теоретической группой», а вскоре и это название было изменено и отдел стал называться «Сектором космогонии и небесной механики» ГАИШ.

В 1938 г. благодаря стараниям Н. Д. Моисеева в Московском университете на механико-математическом факультете, которому был подчинен Г АИШ, наряду с пятью другими астрономическими кафедрами была организована кафедра небесной механики, в которую вошли как преподаватели или как научные сотрудники все работники Сектора космогонии и небесной механики, прекратившего с тех пор фактически свое существование.

Наконец, в 1955 г. в результате перевода астрономического отделения с механико-математического факультета на физический число кафедр по специальности «астрономия» .было уменьшено и доведено до четырех. В частности, кафедры небесной механики и гравиметрии были объединены в «кафедру небесной механики и гравиметрии», которая, по сути дела, состоит из двух отдельных групп, одна из которых и занимается небесной механикой.

Кроме Института теоретической астрономии в Ленинграде и теоретической группы Г АИШ в Москве, работа в области небесной механики велась также, более или менее регулярно, отдельными научными работниками во многих других местах Советского Союза, главным образом на астрономических университетских кафедрах в Ленинграде, Казани, Харькове, Томске, Киеве, Одессе, Свердловске и Риге. В этой работе принимали также участие некоторые сотрудники астрономических обсерваторий (Пулковской, Ташкентской, Казанской) и изолированные любители теоретических изысканий и вычислений в некоторых других учреждениях.

Однако по большей части такие отдельные работы по вопросам небесной механики или в областях, к ней близких, всегда имели тесную научную связь с одним из двух упомянутых основных центров и, по крайней мере идейно, подчинялись общим направлениям научных исследований, развиваемых в Ленинграде и в Москве.

Ради исторической справедливости необходимо отметить, что, к сожалению, цаучная работа развивалась в рассматриваемом периоде в этих двух центрах совершенно независимо друг от друга, так что науч-

ной связи между работниками этих двух групп почти не существовало, а научные направления возникали и шли обособленно, не соприкасаясь и не пересекаясь. Такое прискорбное положение, объясняемое исключительно некоторыми привходящими обстоятельствами, не имевшими никакого отношения к науке, вовсе не содействовало общенаучным интересам и не принесло пользы развитию небесной механики в нашей стране. К счастью, в настоящее время указанное положение радикально изменилось и между обеими группами установилась тесная научная связь, способствующая дальнейшему расцвету небесной механики в Советском Союзе.

2・2. Осветив вкратце историю возникновения двух главных центров по исследованиям в области небесной механики, что, по мнению автора, необходимо для правильного понимания истории развития этой дисциплины в Советском Союзе, перейдем теперь к общей характеристике научной работы в этой области и ее важнейших достижений за рассматриваемый в этом параграфе период.

Так как ленинградская группа образовалась несколько раньше московской, всегда была более крупной по числу сотрудников и имела значительно более тесную связь с практическими приложениями, то естественно сначала охарактеризовать ее работу, тем более, что, как отмечено выше, обе группы работали совершенно независимо друг от друга, зследствие чего и работы этих групп можно рассматривать по отдельности. .

Как мы указывали ранее, к началу Октябрьской революции в небесной механике образовались три мощные направления, которые мы именовали, для краткости, астрономическим, аналитическим и качественным.

Но каждая из этих трех «рек», которые притом часто сливаются друг с другом, в свою очередь распадается на отдельные «притоки», «ручьи» ■ и «ручейки», т. е. на отдельные, более или менее узкие частные направления.

Основная работа по небесной механике в Институте теоретической астрономии развивалась главным образом по астрономическому направлению и отчасти по аналитическому. Качественное направление в работах сотрудников ИТА не затрагивалось, хотя по этой линии и производились некоторые работы теоретиков, примыкавших к группе ИТА либо территориально либо идейно.

Некоторые существенные результаты в этой области будут отмечены ниже.

:Одной из главных задач, возложенных на ИТА, являлось, как уже было отмечено выше, вычисление и составление астрономических ежегодников, служащих необходимой основой всех астрономических и геодезических работ и имеющих также большое значение для навигации и, вообще, для ориентации на поверхности Земли (на море, в пустынных областях, в дремучих лесах и т. д.).

До Октябрьской революции все астрономические наблюдения, научные и производственные, обслуживались в России иностранными ежегодниками, главным образом английскими. Большая работа, проделанная нашими новыми астрономическими учреждениями, совершенно изменила положение дела. Теперь мы имеем не только первоклассный ^Астрономический ежегодник СССР», полностью обеспечивающий астрономические, геодезические и гидрографические работы, но еще и* специальные 《Морской астрономический ежегодника и ^Авиационный астрономический ежегодник^^ приспособленные для нужд морской и воздушной навигации.

22 Механика в СССР, том 1

Первый ежегодник, содержащий точные координаты светил, был составлен на 1919 год М. А. Випьевым. С 1922 г. «Астрономический Ежегодник СССР» издается непрерывно. Постепенно расширяясь, он достиг уровня лучших заграничных ежегодников, а в некоторых отношениях является более полным.

Чтобы избежать ненужного дублирования вычислительной работы, составление основных астрономических ежегодников ведется (еще с 1911 г.} на началах обмена материалами между соответствующими институтами различных стран. Поэтому сначала ИТА вычислял только часть таблиц ежегодника, а остальные получал из-за границы. В 1938 г. одновременно с расширением объема и изменением формы ежегодника в ИТА было организовано независимое полное его вычисление. Ежегодник на 1941 год, образцово составленный под руководством Н. И. Идель- сона, был первым выпуском «большого» астрономического ежегодника СССР, вычисленного целиком в ИТА.

Из теоретических вопросов, связанных с астрономическими ежегодниками, можно отметить предвычисление затмений, классические теории которых были тщательно пересмотрены и дополнены, на основании чего- производилось детальное вычисление полных солнечных затмений, видимых на территории Советского Союза.

Начиная с 1930 г. ИТА стал составлять специальный «Морской астрономический ежегодник», который содержит астрономические данные в форме, специально приспособленной для решения навигационных задач. С 1935 г. в ИТА составляется также «Авиационный астрономический ежегодник», обслуживающий наш воздушный флот ).

Для вычисления положений Солнца, Луны и больших планет, координаты которых включались в упомянутые ежегодники, использовались формулы классической теории небесной механики, представляемые довольно большим числом членов бесконечных рядов, полученных еще до Октябрьской революции на основе общих идей Эйлера, Лагранжа и Лапласа, развитых ими еще на заре небесной механики.

Однако сотрудникам ИТА, для надлежащего использования этих классических формул пришлось провести большую дополнительную- работу по исследованию точности получаемых с помощью этих формул результатов и для наиболее рационального распорядка этой колоссальной вычислительной работы.

В этой области весьма важным вопросом для небесной механики является также вопрос об улучшении теоретической и практической сходимости рядов, представляющих координаты небесных тел или элементы их оскулирующих орбит.

Этот вопрос привлек к себе серьезное внимание сотрудников ИТА (М.①.Субботин, Н. С. Самойлова-Яхонтова), изучавших и использовавших свойства критических точек в задачах двух и трех тел и нашедших новые пути для повышения быстроты сходимости некоторых рядов, основанные на весьма общих свойствах аналитических функций.

Однако, несмотря на важные частные успехи в этом вопросе, улучшающие отдельные этапы весьма сложного процесса построения рядов, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям движения, существенного прогресса в этой области достигнуто не было и для составления

таблиц движения больших планет и Луны приходилось по-прежнему пользоваться сомнительными с математической точки зрения рядами Ньюкома, Хилла и др., в то время как некоторые из них (например, ряды Линдстедта) еще Пуанкаре признал расходящимися в математическом смысле этого слова. Кстати сказать, различные попытки зарубежных теоретиков в этом частном направлении также оставались безрезультатными, и эта проблема до сих пор остается одной из важнейших нерешенных проблем небесной механики.

Но для непосредственных числовых вычислений, служащих основой для составления ежегодников, не очень существенно, какими рядами представлено движение планет — сходящимися или расходящимися. Наоборот, очень важно иметь в своем распоряжении такие ряды, чтобы уже немногие первые их члены (достаточно короткие «обрывки» рядов) давали достаточно точное приближенное решение и чтобы было возможно оценить получающуюся ошибку.

Иными словами, бесконечные ряды в практических вопросах небесной механики используются только как средство для получения конечных ч приближенных формул (к которым иногда присоединяются еще чисто эмпирические поправочные члены), по которым можно было бы производить вычисления с достаточной степенью точности и которые контролируются непосредственным сравнением получающихся результатов с результатами наблюдений.

Если такое сравнение оказывается удовлетворительным, то. те же приближенные формулы позволяют установить и некоторые общие свойства движения, разумеется, только на том промежутке времени, в течение которого эти формулы можно считать приемлемыми. Выводить из таких приближенных формул свойства движения на неограниченном промежутке времени незаконно и такие «выводы» могут совершенно исказить истинную картину.

Перейдем теперь к другому ответвлению астрономического направления, разрабатывавшегося в рассматриваемый период в ИТА, а именно к ответвлению, связанному с изучением малых небесных тел —— астероидов и комет, а также спутников некоторых больших планет.

Первая малая планета была открыта 1 января 1801 г. — в первый день XIX века. С тех пор открыто еще множество таких малых тел Солнечной системы, так что в настоящее время их общее число достигает двух тысяч. Интересно отметить, что за рассматриваемый период (1917——1945) открыто примерно 750 малых планет, т. е. почти половина известного до сих пор общего их количества.

Большинство известных нам малых планет (97%) находятся на рас-, стояниях от Солнца в пределах от 2,2 до 3,6 астрономических единиц (равных среднему расстоянию Земли от Солнца), а вне этого основного кольца расположено только около 50 астероидов. Крайними значениями больших полуосей орбит малых планет являются а = 1,46 у Эроса и а = =5,28 у Антилоха. Таким образом, кольцо малых планет занимает весь промежуток между орбитами Марса и Юпитера и очень близко к плоскости эклиптики, так как средний наклон орбит составляет около 10°.

Всякая малая планета представляет интерес для небесной механики и, по существу, теоретики должны были бы обеспечить изучение движения каждого из этих тел. Однако очень большое их число, неуклонно растущее с каждым годом за счет открытия все новых милых планет, и отсутствие для большинства из них точных наблюдений заставляет ограничивать эту важную работу. Поэтому теоретики либо занимаются

22*

некоторыми наиболее интересными и наиболее яркими астероидами либо изучают целые их группы, выделяемые по каким-либо признакам, либо, наконец, ограничиваются определением их первоначальных кеплеровых орбит, без учета возмущающих сил.

Среди всех известных малых планет можно выделить три их группы, представляющие интерес не только для небесной механики, но и для других областей астрономии. ■ .

Первую группу образуют яркие планеты (Церера, Паллада, Юнона, Веста и др.), наблюдения которых используются в астрономии для построения системы звездных каталогов и для которых прежде всего должны быть построены точные теории движения.

Вторую группу составляют малые планеты, близко приближающиеся к Земле, например, Эрос, расстояние которого от Земли в перигелии во время некоторых оппозиций равно только 23 миллионам километров. Близость Эроса к Земле создает благоприятные условия для определения параллакса Солнца по наблюдениям этой планеты, а также некоторых других параметров Солнечной системы.

Третью интересную группу составляют «троянцы»— астероиды, расположенные вблизи треугольных точек либрации, образующих вместе с Солнцем и Юпитером два равносторонних треугольника. Эти планеты совершают сложные движения, над теорией которых работали многие выдающиеся астрономы и математики.

Классические аналитические методы, разработанные для больших планет, становятся непригодными или трудно применимыми для астероидов, что объясняется тем, что малые параметры, по степеням которых ведутся классические разложения, перестают быть малыми для большинства малых планет. Поэтому здесь приходится разрабатывать новые методы для построения аналитических теорий, что и составляло одну из важнейших проблем небесной механики в рассматриваемом периоде, или применять методы численного интегрирования для определения важнейших возмущений.

С самого начала существования ИТА одной из его основных задач явилось вычисление приближенных эфемерид малых планет с учетом возмущений, и эта важная работа продолжается и по сие время.

ИТА принял на себя вычисление при помощи численного интегрирования уравнений движения (в прямоугольных координатах) для всех малых планет, наиболее близких к Юпитеру, а потому испытывающих наиболее значительные возмущения. При всех способах приближенного учета возмущений приходится часто исправлять элементы орбит, чем учитывается эмпирически неточность принятых возмущений. В ИТА была проделана значительная работа по исправлению элементов в самых разнообразных случаях и накоплен большой опыт в этом деле.

К 1941 г. число планет, для которых ИТА давал возмущенные эфемериды, достигло 105. Война совершенно расстроила международную Службу малых планет и эта работа в ИТА была временно прекращена.

Но в октябре 1945 г. на созванном в Москве совещании астрономов эту работу было решено возобновить и ИТА принял на себя вычисление эфемерид наиболее ярких малых планет, как более доступных для тогдашних советских обсерваторий.

Другой задачей в области изучения движений малых тел Солнечной системы является определение таких кеплеровых орбит этих небесных тел, которые отражали бы в течение длительного времени основные ювойстаа их движений и позволяли бы получать при помощи вычислений

их координаты, достаточно согласующиеся с наблюдаемыми на астрономических инструментах.

Такого рода работы выполнялись в России и в дореволюционное время, но за первые 30 лет Советской власти число их неуклонно растет и, что не менее важно, они стали носить менее случайный характер и стали более целеустремленными.

В ИТА была проведена большая работа по определению вероятнейших орбит ряда малых планет и по вычислению окончательных орбит многочисленных непериодических комет.

В этой области была проделана также большая теоретическая работа по усовершенствованию методов определения вероятнейших орбит в тех случаях, когда орбиты мало отличаются от параболы в течение промежутка времени, охватываемого наблюдениями.

В ИТА (и в некоторых других центрах Советского Союза) была проделана также весьма большая работа по изучению движений некоторых периодических комет (кометы Энке, Брукса и т. д.), для которых схемы только гравитационного характера оказываются явно недостаточными и изучение движений которых требует учета других, не гравитационных, сил.

Наконец, рассматривались вопросы о движении некоторых спутников больших планет, преимущественно близких спутников Юпитера, для которых приходится принимать во внимание эффект сжатия планеты.

Связанные с упомянутыми астрономическими задачами работы аналитического направления были посвящены общему рассмотрению и использованию главным образом ограниченной задачи трех тел в ее простейшем случае, когда движение двух конечных масс происходит по окружностям с общим центром в центре масс этих тел, рассматриваемых, разумеется, как материальные точки.

Такая схема вполне достаточна для изучения движения какой-либо малой планеты, движущейся под действием притяжения Солнца и Юпитера, или далекого спутника Юпитера и т. д.

К сожалению, даже такая простая задача оказывается математически неразрешимой и пока приходится довольствоваться исследованиями ее некоторых частных решений, которые, конечно, почти никогда не соответствуют реальным движениям небесных тел. Однако такие частичные исследования все же несколько продвигают полную задачу и, во всяком случае, даю工 некоторое представление о тех типах движения, которые по своим свойствам оказываются весьма далекими от свойств невозмущенного, кеплерова движения.

Особо важную роль играют в этой задаче исследования особенностей дифференциальных уравнений и их интегралов, позволяющих выяснить аналитическую структуру рядов, определяющих решения задачи, когда точка «нулевой массы» движется вблизи одной из двух конечных масс (случай близких спутников, например).

Основные исследования ограниченной задачи трех тел были выполнены в рассматриваемый отрезок времени главным образом зарубежными учеными (Т. Леви-Чивита, Дж. Д. Биркгоф, С. Э. Стремгрен и другие), но некоторые интересные дополнения к этим исследованиям были также получены и в Советском Союзе, в частности, в ИТА.

Впрочем, более обстоятельные исследования в этой области появились только во втором периоде, т. е. после Великой Отечественной войны.

Перейдем теперь к характеристике работы в области небесной механики московской теоретической группы.

Эти работы в начале периода относились исключительно к качественному направлению, но с тридцатых годов начали захватывать также и аналитическое направление. Что же касается астрономического направления, то в этой области в указанный период в московской группе, входившей в состав ГАИШ, никакой работы не велось.

Сначала в группе Г АИШ велись только отдельные, разрозненные исследования, посвященные рассмотрению различных задач теоретической механики, которые могли бы иметь применение для изучения свойств движений реальных небесных тел.

Сюда относилась и теория внутреннего строения звезд, рассматриваемых как совокупности множества материальных частиц, движущихся под действием космических сил, проблемы динамики звездных скоплений, исследования общих свойств движения материальной частицы в сопротивляющейся среде (внутри космического облака, например, или в атмосфере звезды или планеты) или под действием притяжения переменной во времени массы (излучающая звезда), изучение форм ветвей спиральных туманностей и рассмотрение ряда других задач, которые можно было бы встретить при изучении движений тел Солнечной системы или при изучении движений в галактиках, звездных скоплениях и туманностях.

Несмотря на кажущуюся разрозненность этих работ и их формальную несвязанность друг с другом, они все же образовывали вполне заметное течение в качественном направлении и укладывались в общие рамки плана, разработанного В. А. Костицыным при организации теоретического отдела Государственного астрофизического института.

Это течение превратилось со временем в планомерное исследование общих свойств эволюции небесной системы с начала ее происхождения и иногда вплоть до ее гибели или распада, и влилось в ту область астрономии, которая издавна носит'название «космогонии» и занимается вопросом о происхождении Земли, Луны и вообще планет нашей Солнечной системы.

Общеизвестны гипотезы, старающиеся объяснить в общих чертах происхождение и устройство Солнечной системы и носящие большей частью описательный характер, без подкрепления их какими-либо математическими или физическими расчетами и исследованиями.

Научные работники московской группы по инициативе Н. Д. Моисеева и под активным руководством В. В. Степанова поставили своей задачей математически проанализировать некоторые космогонические гипотезы прошлого и тем самым выяснить их большую или меньшую вероятность.

Такое течение было названо Н. Д. Моисеевым «динамической космогонией», что следует рассматривать только как отдельную главу «космогонии» вообще, как собрание вспомогательных математических расчетов и исследований в этой области, вовсе не заполняющих эту область целиком.

Целью динамической космогонии является не придумывание и разработка космогонических гипотез, а только качественное изучение эффектов действия всевозможных сил, которые могут играть роль при образовании настоящей звездной или Солнечной системы.

В этой области сотрудниками московской группы получены многочисленные отдельные результаты, которые, разумеется, не могут претен-

довать на какую-либо полвготу, так как многие силы, действующие в космическом пространстве, вероятно, остаются для нас еще не известными, а некоторые другие, эффекты которых удается как-то обнаруживать, еще очень мало изучены физически и не поддаются математическому оформлению.

Единственным конкретным результатом динамической космогонии можно, пожалуй, считать «развенчание» известной космогонической гипотезы Джинса, согласно которой в давно прошедшие времена недалеко от нашего Солнца, которое тогда было молодой одинокой звездой, прошла по орбите, близкой к гиперболической, какая-то другая, массивная, чужая звезда. Проходя мимо Солнца, эта звезда будто бы «вырвала» из него сгусток раскаленной газообразной материи, а сама опять ушла в бесконечные просторы Вселенной. Вырванный сгусток начал обращаться вокруг Солнца, постепенно распадаясь на отдельные части, которые и дали начало нашим планетам, в том числе и Земле.

Качественный анализ этой картины (Н. Ф. Рейн) и числовые расчеты (Н. Н. Парийский) убедительно показали весьма малую вероятность такого тесного сближения двух звезд и образования отдельных планет из первичного сгустка.

В связи с качественным изучением свойств движения материальной точки под действием различных сил, консервативных или диссипативных, благодаря умелому руководству В. В. Степанова в теоретической группе Г АИШ возник интерес к общей задаче об устойчивости движения в смысле Ляпунова.

Нужно отметить, что в тридцатых годах интерес к задаче Ляпунова возник независимо также и в других центрах Советского Союза, занимающихся весьма далекими от астрономии техническими задачами теории устойчивости инженерных сооружений и общей теории линейных и нелинейных колебаний.

Главным центром в этой области была, как известно, казанская школа, руководимая Н. Г. Четаевым, так много сделавшим для изучения и пропаганды идей Ляпунова в СССР и сильно продвинувшим эту важную область замечательными работами ——своими и своих многочисленных учеников.

В Г АИШ первоначально заинтересовались возможностью применения общих теорем второго метода Ляпунова к исследованию устойчивости различных частных решений (большей частью круговых) ряда задач, имеющих отношение к динамической космогонии, например, к задаче об устойчивости кольца Сатурна (Г. Н. Дубошин) или к задаче об устойчивости орбит малых планет (Н. Д. Моисеев).

Однако, как известно, задачи об устойчивости оказываются фактически разрешимыми только в тех случаях, когда задача решается уже в первом приближении, т. е. исследованием линейной системы дифференциальных уравнений, да еще вдобавок с постоянными коэффициентами. В механике мы имеем такие случаи для неконсервативных систем, где благодаря диссипации энергии оказывается возможной асимптотическая устойчивость, легко обнаруживаемая в первом приближении. В задачах классической небесной механики мы имеем дело всегда с консервативными системами, в которых по первому приближению легко обнаруживается только неустойчивость, а представляющие интерес случаи относятся к категории «особенных», для исследования которых одного первого приближения недостаточно, что чрезвычайно усложняет и затрудняет получение эффективного решения.

Например, при решении задачи об устойчивости точек либрации (лагранжевых решений) в круговой ограниченной задаче трех тел уже В первом приближении (т. е. в линеаризованной задаче) обнаруживается неустойчивость в смысле Ляпунова всех трех прямолинейных точек либрации, а также обоих треугольных ——в случае, когда произведение конечных масс больше чем 1/27. Если же это произведение меньше 1/27, то вопрос об устойчивости треугольных точек остается открытым; многочисленные попытки советских и зарубежных ученых решить эту интересную и важную для практических приложений задачу до самого последнего времени оставались безрезультатными.

В силу указанных причин главные усилия теоретической группы Г АИШ оказались направленными, с одной стороны, на разыскание таких задач небесной механики, в которых вопрос об устойчивости некоторых частных решений можно было разрешить при помощи общих методов Ляпунова, а с другой стороны, на общетеоретические исследования в области теории устойчивости.

Последнее направление в работах группы Й. Д. Моисеева нашло даже выход в область прикладной механики, в других же работах сотрудников ГАИШ были получены некоторые результаты уже чисто математического характера. Так, например, в ГАИШ впервые была поставлена задача об устойчивости при постоянно действующих возмущениях (Г. Н. Дубошин), представляющая собой некоторое развитие общей теории Ляпунова с использованием его методики.

Было введено еще важное понятие вероятности устойчивости (Н. Д. Моисеев) и указано ее значение для ряда прикладных задач.

Наконец, в группе ГАИШ появилось стремление использовать методы общей теории устойчивости также и для эффективного построения аналитических теорий движения в задачах небесной механики, что тесно связало качественное направление с аналитическим и позволило получить в ряде случаев удобные абсолютно сходящиеся ряды, представляющие координаты небесных тел.*

Особенно полезными оказались методы теории периодических решений, являвшейся в теории Ляпунова вспомогательным математическим аппаратом для решения задач об устойчивости в особенных случаях и использованной в ГАИШ (Г. Н. Дубошин и др.) в сороковых годах для нахождения некоторых частных решений, близких к круговым, в задаче о движении материальной точки в силовом поле, обладающем осевой симметрией и экваториальной плоскостью (задача Фату). Эта методика позволила, например, построить аналитическую теорию движения спутников Сатурна, оставшуюся, правда, незаконченной в силу отсутствия точных наблюдений спутников.

С теорией устойчивости (в смысле Ляпунова) тесно связано также отдельное течение в качественном направлении, посвященное изучению форм и свойств траекторий в задаче с двумя степенями свободы, типа плоской ограниченной круговой задачи трех тел (В. В. Степанов^ Н. Д. Моисеев и его ученики).

Хотя исходной предпосылкой этого обширного цикла работ было намерение изучать свойства движений малых тел Солнечной системы —— астероидов и комет,—— но в результате эти исследования, так же, впрочем, как и некоторые другие работы московской группы, были мало связаны с конкретными задачами небесной механики и относились скорее к области математических или теоретико-механических исследований.

Основной идеей этого цикла работ являлось использование функций Ляпунова не только для решения задач об устойчивости, но и для более всестороннего изучения локальных свойств траекторий движения представляющей точки на плоскости, определяемого системой двух дифференциальных уравнений второго порядка.

Здесь, в развитие некоторых идей Э. Т. Уиттекера, была построена теория локализации траекторий и теория построения полос, заключающих внутри себя траектории некоторого типа, например, периодические (замкнутые). Кроме того, была разработана общая теория построения областей сплошной устойчивости и неустойчивости траекторий в задачах рассматриваемого типа и были указаны некоторые достаточные признаки частных видов устойчивости, названные авторами «устойчивостью по Якоби» и «орбитальной устойчивостью».

Впрочем, эти типы устойчивости не являются чем-либо принципиально новым и представляют собой ту же ляпуновскую устойчивость, рассматриваемую по отношению к некоторым специально подобранным величинам и изучаемую при помощи тех же общих методов Ляпунова, иногда только незначительно переработанных.

Не останавливаясь на других, более или менее разрозненных работах московской группы, упомянем только о работах по качественному анализу свойств движений в задаче двух неподвижных центров (Г. К. Бадалян) и о свойствах поступательно-вращательных движений двух однородных эллипсоидов (В. Т. Кондурарь).

Эти работы полезно здесь отметить, так как в последующем, уже в пятидесятых ——шестидесятых годах они приобрели важное значение в связи с изучением движений искусственных небесных тел, о чем будет идти речь в следующем параграфе.

В сороковых годах, когда были опубликованы эти работы, они, естественно, не имели указанного значения и примыкали к общему качественному направлению группы ГАИШ, имея в виду или продолжение классических исследований в задаче двух неподвижных центров, как в любопытной интегрируемой до конца задаче теоретической механики, не имевшей никакого приложения в астрономии, или решение вспомогательных задач динамической космогонии (движение двух эллипсоидов).

Впрочем, и ранее, до Октябрьской революции, некоторыми русскими и зарубежными учеными указывалось на возможность использования интегрируемой задачи двух неподвижных центров в качестве лучшего приближения к действительности по сравнению с задачей одного неподвижного центра, к которой сводится задача о невозмущенном движении планет и комет.

В самом деле, общая теория возмущений, развитая Ж. Л. Лагранжем и К. Г. Я. Якоби, позволяет рассматривать как невозмущенное любое движение, уравнения которого могут быть проинтегрированы, что и имеет место для задачи двух неподвижных центров.

С другой стороны, задача двух неподвижных центров является частным (или, скорее, предельным) случаем задачи трех тел, а поэтому представляет интерес и с этой точки зрения.

Нам остается рассмотреть еще одно течение в качественно-аналитическом направлении работ московской группы, зародившееся в сороковых годах по инициативе Н. Д. Моисеева и основанное на классических идеях Ж. Л. Лагранжа и К. Гаусса.

Дело заключается в том, что дифференциальные уравнения возмущенного движения в задачах небесной механики обычно оказываются

настолько сложными и громоздкими, что разыскание даже приближенных их решений в виде рядов является весьма затруднительным, а исследование каких-либо общих свойств движения и вовсе почти невозможным.

Поэтому издавна еще возникла мысль о некотором упрощении этих уравнений, т. е. о переходе к новым, приближенным уравнениям, которые было бы легче исследовать и использовать.

Такие приближенные уравнения возможно построить при помощи метода осреднения., применявшегося еще Лагранжем в его знаменитой теории вековых возмущений в тригонометрической форме, а также Гауссом в подобной же задаче и, как известно, широко применяющегося в настоящее время в математической теории колебаний, развитой Н. Н. Боголюбовым и его учениками.

«Осреднение», т. е. замена некоторых функций их средними значениями в некотором промежутке независимых переменных, применяется непосредственно к правым частям дифференциальных уравнений или, в случае существования силовой функции, к этой последней, после чего правые части уравнений составляются при помощи надлежащих дифференцирований.

Обе эти операции вовсе не эквивалентны друг другу и вопрос о соответствии решений уравнений, осредненных разными приемами, друг другу, а также решениям неосредненных уравнений в то время оставался совершенно не ясным и, в сущности, даже и не поднимался.

В работах московской группы обыкновенно осреднялась сама силовая функция, что давало возможность сопоставить с рассматриваемой задачей о движении в данном поле сил другую задачу, в которой новое силовое поле получало конкретное механическое значение.

Таким образом, в задачах небесной механики появляются силовые поля, вызываемые реально не существующими механическими образованиями ——одномерными и двумерными, однородными и неоднородными, материальными кольцами, круглыми или эллиптическими, материальными дисками, плоскими или пространственными, даже материальными круговыми лентами, образующими подобие цилиндрической оболочки.

Для нахождения силовых функций подобных образований пришлось также разработать специальную главу в теории притяжения, изучая конструкцию таких силовых функций и, особенно, находя их разложения в бесконечные ряды.

Нужно сказать, впрочем, что увлечение механическими интерпретациями силовых полей, полученных путем осреднения силовых функций, вовсе не вызывалось необходимостью и вообще было совершенно излишним и никакой ощутительной пользы н© приносило.

Существенным оказалось то, что в результате осреднения получались дифференциальные уравнения с более простыми свойствами, часто допускающими один или даже два простых интеграла, что позволяло, например, установить в общих чертах области движения в различных случаях (области возможности движения), найти некоторые простые лериодические решения или даже довести решение задачи до конца в квадратурах.

Выше уже было отмечено, что в результате оставалось неизвестным, насколько полученные решения соответствуют дейст вит ельным решениям первоначальных неосредненных уравнений, но решения упрощенной задачи всегда можно было рассматривать как некоторое первое приближение, которое казалось более близким к действительности, чем первое приближение, доставляемое задачей Кеплера.

Указанные исследования применялись к задачам, представляющим собой модели некоторых астрономических задач, например, к теории некоторых малых планет, некоторых спутников больших планет и т. д.

Более широко и более целеустремленно подобные операции осреднения начали проводиться в следующем периоде, когда эта методика стала применяться и к конкретным задачам астрономии.

Заканчивая этот параграф, упомянем еще о некоторых изолированных исследованиях по небесной механике, не связанных с работами ленинградской и московской групп.

В Ленинграде была разработана теория осуществимости движения (Н. А. Артемьев), близкая к теории устойчивости при постоянно действующих возмущениях, а поэтому имеющая более важное значение для небесной механики, чем первоначальная теория Ляпунова. В Киеве были удачно продолжены работы Зундмана (Ю. Д. Соколов) по общей теории задачи трех тел, обладающих любыми массами, и получены новые интересные результаты. В Томске велись работы по усовершенствованию метода Альфана для вычисления вековых возмущений (Н. Н. Горячев), что привело к новому, в сущности, методу Альфана — Горячева, применяемому, кстати сказать, в настоящее время в США в астродинамике. В Харькове разрабатывалась теория движения малых планет юпитеровой группы (А. И. Раз дольский). В Одессе велись интересные исследования движений тел с переменными массами (К. Н. Савченко) и т. д. ■

Мы видим, что интерес к проблемам небесной механики возникал во многих центрах Советского Союза, и можем заметить, что темп исследований в этой области все время возрастал.

Небесная механика в начале космической эры

Во время Великой Отечественной войны Советского Союза темп исследований в области небесной механики в нашей стране и во всем остальном мире, естественно, несколько замедлился, хотя основные работы, особенно прикладного характера, не только продолжались, но и развивались.

Это относится главным образом к вычислительным работам по составлению астрономических ежегодников, эфемерид и всевозможных • других таблиц, спрос на которые в военное время значительно возрос.

С другой стороны, методы небесной механики нашли также и непосредственное применение в военном деле, особенно во внешней баллистике, и многие* специалисты по небесной механике (которая прежде была одной из самых мирных наук), некоторое время, по крайней мере, выполняли работы, имеющие оборонное значение. ■

В послевоенное время, в связи с бурным развитием техники вообще и, в Частности, в связи с изобретением и производством быстродействующих вычислительных машин, небесная механика получила возможность весьма быстро осуществлять весьма сложные, громоздкие и трудоемкие вычисления, на которые в прежние времена уходило колоссальное количество времени и человеческого труда.

Такой возможностью воспользовались прежде всего в США, где наряду с развитием аналитических теорий движения небесных тел стали строить обширные числовые теории, охватывающие несколько сотен лет и представляющие координаты планет с весьма большой точностью (лучше сказать, с большим числом десятичных знаков).

В дальнейшем вычислительные машины, сначала счетно-аналитические, а затем и электронные, стали также применяться и в СССР, прежде всего для облегчения вычислительной работы по составлению ежегодников и других таблиц, а позже и для работ ориентировочно-поискового характера и даже для космогонических исследований.

Нужно отметить, впрочем, что, несмотря на весьма важную роль, которую играет машинная техника в современной науке, ее значение, по крайней мере для небесной механики, часто сильно преувеличивают.

Одно время даже многие ученые, впрочем, не являющиеся специалистами в области небесной механики, считали, что теперь вся небесная механика сводится к числовым вычислениям на быстродействующих машинах и что никакие аналитические исследования уже не нужны. Такое мнение, вызванное недостаточностью и явным несовершенством современной математики (с точки зрения небесной механики, разумеется), затрудняющим аналитические исследования движений небесных тел, в настоящее время уже не находит последователей, так что аналитические и качественные методы по-прежнему остаются важнейшим аппаратом нашей науки.

Однако, несмотря на затруднения в использовании вычислительных машин, их применение в небесной механике неуклонно продолжает расширяться, и машинная техника с течением времени приобретает все большее и большее значение, а численные методы, главным образом методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, постепенно развиваются как с практической, так и с теоретической стороны.

Применение в современной небесной механике численных методов, с использованием различных вычислительных машин происходило в рассматриваемом периоде по трем, хотя и тесно связанным друг с другом, но все же достаточно самостоятельным направлениям.

Во-первых, эти методы использовались (и продолжают использоваться) для построения чисто числовых теорий движения отдельных небесных тел и систем небесных тел, т. е. для вычисления таблиц, содержащих координаты и компоненты скорости интересующих нас тел для ряда отдельных, обыкновенно равноотстоящих, моментов времени. Примером такого рода работы является вычисление прямоугольных координат планет, выполненное в США известными специалистами по небесной механике Д. Брауером и Дж. Клеменсом (опубликовано в 1951 г.). С помощью высококачественных быстродействующих электронных вычислительных машин эти ученые (разумеется, с помощью штата многочисленных помощников) выполнили огромную вычислительную работу по интегрированию системы дифференциальных уравнений, определяющих движения Юпитера, Сатурна, Урана, Нептуна и Плутона в поле притяжения Солнца и взаимных возмущений. Интегрирование этой системы тридцатого порядка охватывает промежуток времени с 1653 по 2060 г., Причем вычисление велось с 40-дневным шагом с 14 значащами цифрами, а вычисления контролировались имеющимися наблюдениями.

Другими примерами применения численных методов для расчетов движения небесных тел являются в астрономии числовые исследования движения различных комет и малых планет, производящиеся также и у нас, в Советском Союзе, главным образом в ИТА, и наконец, многочисленные расчеты движений искусственных небесных тел, играющие первостепенную роль в астродинамике. Эти расчеты производятся и в СССР, и в США, а также и во многих других странах мира.

Во-вторых, численные методы используются как подсобное средство при построении аналитических теорий, а также при проведении качественных исследований.

Дело в том, что построенные аналитические теории всегда оказываются приближенными и сводятся, по существу, к нахождению некоторого количества членов бесконечных рядов («обрывков»), о сходимости которых в большинстве случаев ничего не известно, а математические оценки возникающих ошибок представляют почти безнадежно трудную задачу. Поэтому, естественно, всегда возникает вопрос о какой-либо проверке «качества» построенной аналитической теории, т. е. вопрос о ее соответствии истинному движению или, лучше сказать, тотаому (нам не известному) решению дифференциальных уравнений.

В тех случаях, когда построенная аналитическая теория относится 《конкретному, реально существующему небесному телу (например, к определенной малой планете, или комете), такая проверка может быть осуществлена сравнением теории с наблюдениями; когда такое сравнение оказывается удовлетворительным, то и аналитическая теория считается удовлетворительной, по крайней мере в течение некоторого промежутка времени, охватываемого наблюдениями. Но может случиться, что наблюдений нет или их недостаточно или они плохого качества, или теория относится не к конкретно существующему, а к воображаемому небесному телу, так что проверить качество аналитической теории сравнением ее с наблюдениями или затруднительно или просто невозможно.

В таких случаях для проверки часто используется численное интегрирование и сравниваются числовые результаты, полученные вычислением по найденным формулам с результатами численного интегрирования. Впрочем, это же сравнение позволяет судить и о надежности численного интегрирования, так что, когда результаты этого интегрирования и результаты, выведенные из теории, плохо согласуются друг с другом, то виноватой может оказаться и теория и машина, производившая вычисления. В таких случаях необходимы, очевидно, какие-то другие способы контроля, простейшими из которых являются тщательная проверка всех выводов теории и повторные вычисления на той же или на другой машине. ,

В-третьих, численные методы оказываются полезными и просто для получения нужных результатов по формулам аналитической' теории и для иллюстрации качественных выводов, т. е. для наглядного представления общих свойств движения, полученных качественными способами, без какого-либо интегрирования дифференциальных уравнений.

В первом случае дело идет не о численном интегрировании дифференциальных уравнений, а только о применении машин для возможно более быстрого и точного вычисления нужных результатов по имеющимся формулам, которые должны быть для этой цели запрограммированы. Оказывается, что такое использование машин приводит к весьма ощутительной экономии машинного времени, что значительно ускоряет полуг чение результатов и удешевляет всю вычислительную работу.

В небесной механике такое использование машин привело к созданию аналитических методов, формулы которых специально приспособлены .для наиудобнейшего программирования и тем самым для наиболее целесообразного использования машинной техники.

Зачинателем такого направления в небесной механике нужно пригнать американца Дж. Стеффенсена, создавшего в пятидесятых годах

метод нахождения общего решения задачи трех и большего числа тел в виде степенных рядов, расположенных по степеням какой-либо подходящим образом выбранной независимой переменной, связанной со временем. Метод Стеффенсена в видоизмененной и усовершенствованной форме применялся затем и в Советском Союзе как для астрономических задач, так и в задачах астродинамики.

Дальнейшие развития метода Стеффенсена привели к использованию для построения аналитической теории, приспособленной для машинного вычисления, различных рядов специального вида —— рядов Ли, рядов полиномов разного характера и т. д. Вероятно, такое направление в небесной механике является наиболее перспективным и весьма возможно, что дальнейшее развитие этой науки пойдет главным образом по этому направлению.

Во втором случае численные методы применяются в своей обычной форме численного интегрирования, производящегося при иллюстрации качественных выводов на весьма большие промежутки времени. О важнейших примерах такого применения мы будем говорить несколько ниже специально, а теперь отметим только, что подобное использование машинной техники приводит обычно к малообоснованным результатам, что обусловливается постепенным накоплением ошибок численного интегрирования и отсутствием надежных способов контроля, так как математическая теория ошибок численного интегрирования еще только начинает развиваться и пока еще далека от совершенства.

Обратимся теперь к работам, проводившимся после войны в Советском Союзе по трем основным направлениям ——астрономическому, аналитическому и качественному, характерные черты которых были отмечены выше.

В астрономическом направлении продолжались (в Ленинграде и в Москве) работы еще довоенного периода по построению аналитических теорий движения конкретных небесных тел, принадлежащих к солнечной системе, причем большинство исследований относилось к малым телам, а именно к астероидам, кометам и спутникам больших планет (естественным, разумеется).

В Ленинграде в ИТА строились теории движения некоторых особенно примечательных малых планет ——Цереры, Гестии, Гильды и т. п. (В. Ф. Проскурин, Г. А. Чеботарев, Л. Ю. Пиус, А. И. Божкова и др.), и эти теории применялись практически для вычисления эфемерид, которые публикуются систематически в соответствующем издании ИТА. В Москве в Г АИШ для построения таких теорий использовались интер- поляционно-осредненные методы, предложенные Н. Д. Моисеевым, которые позволяли найти приближенное решение задачи ——промежуточную орбиту астероида ——при помощи простых квадратур (М. С. Яров-Яровой, К. А. Штейне, А. Пал и др.).

Кроме исследований движения отдельных малых планет и в Ленинграде и в Москве проводились интересные исследования по изучению общих свойств движения в кольце астероидов и по выяснению ряда структурных особенностей планет, принадлежащих к этому кольцу, которые могут способствовать разрешению вопросов космогонического характера, т. е. вопросов о происхождении этого многочисленного семейства малых тел в солнечной системе.

В этих работах применялись, как это естественно было ожидать, наряду с аналитическими и численными методами также методы теоретико-вероятностные и статистические.

Продолжались также работы по построению аналитических теорий движения спутников Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна, а в самое последнее время начались работы по изучению движения спутников Марса. В этих работах применялись обычные методы теории возмущений небесной механики для определения возмущений координат или кеплеровых элементов орбит или строились теории, в которых за промежуточную орбиту принималась некоторая периодическая орбита, отличная от кеплерова эллипса.

Нужно отметить, что при изучении движений спутников больших планет, особенно спутников, близких к самой планете, приходится принимать во внимание не только взаимнйе возмущения спутников и возмущающее влияние Солнца, но также и возмущения, вызываемые отличием формы планеты от сферической и неравномерностями ее внутреннего строения. Подобные возмущения («возмущения формы») в настоящее время играют, как известно, весьма значительную роль в астродинамике при расчетах движения искусственных спутников Земли и космических кораблей.

Однако естественные спутники, в отличие от искусственных, движутся почти все вблизи от плоскости экватора своей планеты и почти по круговым орбитам, вследствие чего построение аналитической теории их движения относится к разряду обычных задач классической небесной: механики и не вызывает значительных теоретических затруднений.

Кроме того, наблюдения спутников производятся с малой точностью, что также отзывается на теории, которую не имеет смысла вследствие этого делать необыкновенно точной.

Наоборот, искусственные спутники могут двигаться по орбитам произвольного наклона к плоскости экватора Земли, которые могут иметь любой эксцентриситет, да к тому же при расчетах их движений: требуется очень высокая точность.

Что касается комет, теория движения которых всегда особенно привлекала внимание и отечественных и зарубежных теоретиков, то в этой области ведутся обширные работы как в Ленинграде (С. Г. Мако- вер, Г. А. Чеботарев, Е. И. Казимирчак-Полонская и др.), так и в некоторых других центрах Советского Союза ——в Риге (К. А. Штейне), в Казани (А. Л. Дубяго и др.) и, отчасти, в Москве.

Эти работы преследуют две цели. Во-первых, производятся вычисления окончательных орбит для многих непериодических и долгопериодических комет, для которых имеется достаточное число наблюдательных данных, и, во-вторых, производятся исследования по изучению эволюции короткопериодических комет.

Подобные исследования имеют и чисто практический интерес, так как позволяют в ряде случаев предсказывать появление той или иной: кометы, а с другой стороны, предназначены для выяснения интересного космогонического вопроса о происхождении этих загадочных объектов Солнечной системы.

К тому же общей задачей астрономии является изучение со всех , точек зрения все* по возможности, небесных объектов, а задачей небесной механики, следовательно, является изучение движений этих объектов, в то время как другие области астрономии решают другие вопросы.•

Кометы представляют собой объекты, наиболее интересные с точки зрения построения аналитических теорий их движения и, с другой стороны, наиболее трудные для небесной механики.

Действительно, кометы движутся по самым разнообразным орбитам ——эллиптическим, параболическим и гиперболическим, элементы которых претерпевают часто весьма сильные возмущения. Поэтому методы, разработанные в небесной механике для больших планет и их спутников, обыкновенно оказываются непригодными для комет, чем объясняется весьма малое число работ по аналитической теории их движения и, одновременно, большое число работ, в которых используются методы численного интегрирования

Чтобы закончить обзор работ, производимых в СССР в области астрономического направления, необходимо еще отметить большую работу, выполненную в ИТ А nd построению подробной аналитической теории движения Плутона.

Эта самая отдаленная планета Солнечной системы была открыта только в 1930 г. на Ловелловской обсерватории в США. По мере поступления новых наблюдений были вычислены эфемериды Плутона за прошедшие годы. По этим эфемеридам удалось обнаружить фотографии Плутона на старых снимках начиная с 1914 г.

В 1935 г. французский астроном А. Рур начал работу по построению аналитической теории движения Плутона по методу Хилла, но эта работа осталась незаконченной и теория не была построена. В 1946 г. по инициативе М. Ф. Субботина ИТ А начал новую разработку аналитической теории движения Плутона. Это фундаментальное исследование производилось под руководством М. Ф. Субботина и Ш. Г. Шараф и было успешно закончено в 1963 г.

В Советском Союзе работа по построению аналитической теории движения большой планеты была при этом произведена впервые. Теория была построена на основе классического метода Лапласа ——Ньюкома, который хорошо оправдал себя при построении теории движения других больших планет (только возмущения от Нептуна были получены численным интегрированием).

Построение аналитической, теории движения Плутона, завершающее общую работу по построению аналитической теории движения всех больших планет Солнечной системы, представляет собой наиболее крупное достижение советской небесной механики в области ее астрономического направления и показывает, что советским теоретикам доступно решение самых трудных и сложных задач этой науки.

Переходя теперь к работам качественного направления, заметим прежде всего, что одно время интерес к такого рода исследованиям временно притупился, что можно объяснить отчасти военным временем и отчасти разочарованием в той роли «динамической космогонии», которую ей хотели приписать ведущие работники в этой области (Н. Д. Моисеев, Н. Ф. Рейн). С другой стороны, применение методов качественной теории дифференциальных уравнений в задачах небесной механики оказалось также весьма затруднительным, так как случаи, встречающиеся в этих задачах, относятся, как сказано выше, в громадном большинстве случаев к разряду «особенных», когда решение задачи требует выполнения бесчисленного множества математических операций, что практически, разумеется, невозможно.

Поэтому уже с конца предыдущего периода в теоретической группе Г АИШ стали отходить от доминировавшего ранее качественного направления и постепенно перешли к работам аналитического направления, используя методы качественной теории теперь только для более обоснованного с математической точки зрения построения аналитических теорий,

о чем частично мы уже говорили выше. В ленинградской же школе мало занимались качественными методами и ранее и примерно до пятидесятых годов работы в этой области носили эпизодический случайный характер.

Но в конце сороковых и в начале пятидесятых годов, в связи с известной гипотезой О. Ю. Шмидта о происхождении Солнечной системы (точнее, больших планет Солнечной системы) путем конденсации \мел- ких космических частиц в крупные объекты качественное направление возродилось и образовало довольно мощное течение, к которому было привлечено внимание многих специалистов по небесной механике, а также и многих математиков, ранее вопросами небесной механики не занимавшихся.

Для механико-математического обоснования своей гипотезы О. Ю. Шмидту нужно было доказать возможность такого движения в задаче трех тел, когда одно из них, придя из бесконечности в непосредственную окрестность двух других, остается навсегда в этой окрестности, т. е. доказать возможность «захвата» сначала одной частицы, затем другой и т. д., пока не образуется достаточно сконденсированное «облако частиц», из которого затем образуется одна из планет.

Такая постановка проблемы привлекла внимание сотрудников группы О. Ю. Шмидта к изучению «финальных» движений в классической задаче трех тел (трех материальных точек). Финальными движениями называются, по определению французского теоретика Ж. Шази, те предельные движения, которые имеют место при стремлении времени к — оо или +°°- В своих замечательных работах по задаче трех тел Шази дал еще в 1922 г. исчерпывающую классификацию всех возможных видов таких движений и дал им соответствующие названия (эллиптическое, гиперболическое, гиперболо-эллиптическое и т. д.). Позднее, в 1929 г., Шази показал, что в случае, когда постоянная энергии отрицательна, захват невозможен, т. е. гиперболо-эллиптическое движение при ^ -＞• — оо не может стать ограниченным или осциллирующим при 力一＞ 十8. В 1932 г. Шази пришел к заключению о невозможности захвата и в случае неотрицательных значений постоянной энергии, т. е. о невозможности перехода движения, гиперболического при 方一＞•——8, в движение, гиперболо-эллиптическое при 方 f + 8.

Последнее заключение оказалось необоснованным, на что до работ О. Ю. Шмидта никто ранее не обращал внимания, так как вследствие высокого авторитета, которым обладал Ж. Шази, никому не приходило в голову заняться проверкой его доказательства, да к тому же вся эта проблема имела тогда только чисто абстрактный интерес и не была связана с конкретными приложениями.

Сотрудниками группы О. Ю. Шмидта (Г. Ф. Хильми и др.) качественными способами были выведены критерии, которым должны удовлетворять начальные значения в задаче трех тел, чтобы этому соответствовало движение гиперболо-эллиптическое или гиперболическое при неограниченном возрастании времени. Затем путем численного интегрирования уравнений движения этой задачи пытались проверить выполнение этих критериев при очень больших положительных и отрицательных значениях времени. Предварительные подсчеты показали как будто возможность захвата, чем результаты Шази и были поставлены под сомнение. Хотя результаты, полученные при помощи численного интегрирования на очень большом промежутке времени очень ненадежны и не обоснованы, тем не менее исследования О. Ю. Шмидта возбудили широкий интерес, и проблема Шази подверглась тщательной проверке и изучению. 23 Механика в СССР, том I

Первая же серьезная проверка доказательств Шази обнаружила ошибки и несостоятельность утверждения о невозможности захвата при неотрицательной энергии (Ю. Л. Газарян). Дальнейшее развитие эти вопросы получили в работах Г. А. Мермана, В. М. Алексеева и К. А. Ситникова. Ими были даны более надежные критерии наличия захвата в гиперболическом и параболическом случаях задачи трех тел, а также улучшены и существенно дополнены некоторые другие (верные!) доказательства Шази.

Окончательное решение проблемы было дано К. А. Ситниковым, в работе которого возможность захвата была обоснована чисто аналитически, без помощи численного интегрирования уравнений движения» которое использовалось всеми другими исследователями.

Однако таким путем была показана, при помощи надлежащим образом подобранного примера, только возможность захвата•, так что полного математического решения эта задача до сих пор еще не имеет и исследования в этой области продолжаются.

Нужно, впрочем, сказать, что в настоящее время исследование финальных движений в задаче трех, а также и большего числа тел потеряло свою первоначальную связь с космогонической гипотезой О. Ю. Шмидта, так как не может служить ни подтверждением, ни опровержением этой гипотезы. Работы эти имеют теперь более общее значение, как исследования форм движения звездных систем различного типа при различных условиях, и могут считаться пионерскими работами в области звездной небесной механики, которая в настоящее время начинает развиваться.

Другим течением качественного направления стали исследования в области теории периодических орбит и периодических решений дифференциальных уравнений задач небесной механики.

Работы в этой области являются продолжением замечательной работы А, М. Ляпунова (1896), посвященной исследованию сходимости рядов Хилла в предложенной последним теории движения Луны.

Сам Дж. В. Хилл, как, впрочем, и почти все теоретики классической небесной механики (до Пуанкаре и Ляпунова), вовсе не интересовался вопросами о сходимости построенных им периодических рядов, представляющих так называемую вариационную орбиту Луны, и Ляпунов впервые в истории небесной механики не только дал совершенно строгое доказательство сходимости рядов Хилла в случае, когда параметр т, по которому идет разложение, удовлетворяет неравенству | m | < г/7 ^ ^ 0,1429, но и определил ошибку, возникающую от замены бесконечного ряда некоторым числом его первых членов. Для Луны \ т\ ^ ^ 0,0808, что меньше предела, найденного Ляпуновым, и поэтому применение рядов Хилла в теории Луны обосновано.

К сожалению, работа А. М. Ляпунова, напечатанная в мало известном издании на русском языке, оказалась совершенно незамеченной с небесной механике до тридцатых годов, когда она была обнаружена вотрудниками ГАИШ и стала широко известной.

Однако задача Хилла, представляющая собой некоторый предельный случай плоской ограниченной круговой задачи трех тел, имеет интерес не только для теории движения Луны, айв ряде других случаев, например, для некоторых спутников Юпитера, а поэтому, естественно, возник вопрос о применении рядов Хилла — Ляпунова в таких задачах, где параметр m выходит из границ, определенных Ляпуновым. Для седьмого спутника Юпитера, например, | m | ^ 0,146, что больше предела

Ляпунова, а поэтому оставалось неясным, можно ли в этом случае пользоваться такими же рядами, как и в теории Луны.

Этот вопрос был исследован и в ИТА и в группе ГАИШ. В ИТА было доказано (Г. А. Мерман, М. С. Петровская), что ряды Хилла — Ляпунова сходятся и при I m I < 0,21..., а в Москве Ю. А. Рябовым было показано, что сходимость сохраняется даже при | m | ^ 0,258...

Указанные работы, продолжающие исследования Ляпунова ), имеют важное теоретическое и практическое значение. С теоретической точки зрения они показывают возможность находить решения по крайней мере некоторых задач небесной механики в виде рядов, сходимость которых строго устанавливается при помощи безупречных математических доказательств, и этим самым открывают путь для развития новой небесной механики, надлежащим образом обоснованной математически. С практической стороны эти исследования дают возможность строить точные аналитические теории движения конкретных небесных тел и пополняют таким образом наши сведения о свойствах движения малых тел Солнечной системы.

Кроме задачи Хилла, сходимость рядов в которой исследовал А. М. Ляпунов и многочисленные его последователи, часть из которых нами отмечена, советские теоретики рассматривали также и многие другие вопросы теории периодических решений в задачах небесной механики или, вообще, в задачах о движении какой-либо материальной системы с любым числом степеней свободы.

Сюда относятся, например, изыскание периодических решений вблизи известных лагранжевых решений ограниченной (круговой или эллиптической) и общей задачи трех тел, исследование периодических решений в задаче Фату, т. е. задачи о движении материальной точки в осесимметричном гравитационном поле, нахождение периодических решений некоторых специальных случаев задачи многих тел и, наконец, применение общих методов теории периодических решений Ляпунова ——Пуанкаре к задачам о вращательном и о поступательно-вращательном движении взаимно притягивающихся твердых тел (не заменяемых материальными точками!).

В этих исследованиях, которые невозможно перечислить, вопросы качественного характера (о существовании периодических решений, установление типов этих решений, исследование их устойчивости вымысле Ляпунова) большей частью соприкасаются с вопросами аналитического направления, т. е. с вопросами о представлении периодических решений при помощи бесконечных периодических рядов, сходящихся хотя бы в некоторой области рассматриваемых значений параметров исследуемой системы.

Такого рода работы являются, разумеется, продолжением знаменитой работы Ляпунова о рядах Хилла, а с другой стороны, дают различные приложения метода малого параметра Пуанкаре, используемого в настоящее время чрезвычайно широко в самых разнообразных областях знания.

Периодические решения дифференциальных уравнений играют для небесной механики особо важную роль как в чисто теоретическом отношении, так и в связи с многочисленными практическими приложениями.

Важность этих решений для теории была отмечена еще в начале текущего столетия Пуанкаре, который говорил, что периодические решения представляют собой единственную брешь, через которую можно надеяться проникнуть в неизведанную и загадочную область множества решений задачи трех тел, составляющих ее общий интеграл. С другой стороны, решения этого рода издавна использовались в небесной механике или для приближенного представления движений небесных тел или в качестве промежуточных их движений, рассматриваемых как первое приближение, уточняемое затем при помощи метода вариации произвольных постоянных или при помощи какого-либо другого процесса последовательных приближений.

И теоретические и практические стремления приводят к разысканию других решений задач небесной механики, уже не являющихся периодическими, но в известном смысле близких к ним, например, решений асимптотических, двояко-асимптотических, квазипериодических, условно-периодических- и т. п., которые лучше представляют действительные движения небесных тел и пополняют наши знания о структуре области всех решений задачи.

К этим работам тесно примыкают многочисленные исследования, посвященные изучению эволюции орбит планет на очень больших промежутках времени (А. М. Молчанов, М. Л. Лидов, Е. А. Гребенников и др.), и связанные с этими работами рассмотрения вопросов устойчивости движения материальных систем в смысле Лагранжа.

Последнее понятие, являющееся, по существу, одним из многочисленных видоизменений или даже частных случаев общего понятия устойчивости в смысле Ляпунова, является исключительно важным для грядущей судьбы Солнечной системы, а поэтому имеет для нас — жителей Земли —особенное значение.

В этой области в последние годы возникло совершенно новое направление небесной механики, ставящее своей целью получить точное в математическом смысле решейие задач типа задач о движении систем материальных точек в виде бесконечных сходящихся рядов, пригодных для всех значений времени, а вместе с тем дающих хорошее приближение, если ограничиться только некоторым числом первых их членов.

Пионером этого качественно-аналитического направления можно считать известного немецкого математика К. Зигеля ), который по-новому подошел как к классическим проблемам небесной механики, так и к блестящим достижениям А. М. Ляпунова, А. Пуанкаре, К. Зундмана, Дж. Д. Биркгофа, Т. Леви-Чивиты и других.

Основной характерной чертой этого направления является стремление использовать для решения задач небесной механики новейшие методы математики, причем вскрываются те математические трудности, которые препятствовали ранее продвижениям в этой области и успешное преодоление которых в настоящее время дает уже новые, интересные и важные результаты. -

Основные математические трудности в вопросах о сходимости рядов, представляющих решения задач небесной механики (для трех и большего числа материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона), тесно связаны с так называемой проблемой «малых делителей», которые могут давать весьма большие значения членам рядов и этим крайне затрудняют рассмотрение их сходимости.

Эти математические трудности были в значительной степени преодолены в работах советских математиков школы А. Н. Колмогорова, которые продолжили и успешно развили упомянутые исследования Зигеля.

Основная идея работ советской школы заключалась в применении вместо рядов, расположенных по степеням малых возмущающих масс (которые являлись основным математическим аппаратом классической небесной механики), процесса последовательных канонических преобразований, которые в той же форме применялись еще С. Ньюкомом и А. Пуанкаре; но при этом в каждом приближении исключается множество частот, соответствующих тем малым делителям, которые стремятся к нулю слишком быстро (множество исключенных частот малд вместе с возмущающей массой). Эта методика, указанная впервые А. Н. Колмогоровым (1954), была затем строго обоснована В. И. Арнольдом и применена им для доказательства устойчивости (в смысле Лагранжа) модельной системы материальных точек с отрицательной энергией типа Солнечной системы.

Было доказано, что такая система оказывается устойчивой, по крайней мере при достаточно малых значениях возмущающих масс и почти при всех начальных условиях. Этот важный результат значительно продвигает вперед задачу об устойчивости настоящей Солнечной системы или хотя бы системы точек, массы которых близки к массам планет. Однако пределы для масс, обеспечивающих сходимость рядов, возникающих в процессе последовательных преобразований, оказываются весьма малыми и поэтому весьма интересная математическая работа В. И. Арнольда неприменима еще непосредственно к Солнечной системе, вопрос об устойчивости которой продолжает пока оставаться открытым.

Следует сказать еще несколько слов о течении в аналитическом направлении, имеющем целью большее приближение к действительности, чем в классических задачах, и рассматривающее общую задачу о поступательно-вращательных движениях небесных тел, уже не заменяемых материальными точками, а являющихся телами в истинном смысле этого слова (твердыми или жидкими).

Это течение, зародившееся еще в тридцатых годах (работы В. Т. Кон- дураря), долгое время не привлекало к себе внимания, но за последние 10 ——15 лет получило широкое признание и явилось источником множества работ, главным образом в Советском Союзе (В. Т. Конду.рарь, Г. Н. Дубошин, В. В. Белецкий, М. С. Волков и др.).

Этими работами опровергнуто распространенное ранее мнение о том, что поступательное движение тел. происходит независимо от их вращательных движений вокруг центров масс, и установлено, что, строго говоря, оба движения взаимно влияют друг на друга и разделение их на только поступательное и только вращательное движения возможно только в некотором первом приближении.

Работами этого течения выяснено много интересных особенностей общего поступательно-вращательного движения, найден ряд простых частных случаев, если и не интегрируемых до конца, то допускающих наглядные частные решения, и указано, наконец, на необходимость учета этой, более полной теории в ряде конкретных астрономических задач —— прежде всего в теории движения Земли и Луны.

Несомненно, что это течение будет развиваться и далее и обещает дать ряд новых интересных результатов (особенно при: помсйци применения быстродействующих счетных машин) для теории движения планет Солнечной системы и для изучения движений звездных систем.

В заключение нашей статьи сделаем краткий очерк развития новой области небесной механики, связанной с изучением и определением движений искусственных небесных тел ).

Как вСем хорошо известно, наука о полетах в мировом пространстве («астронавтика», или «космонавтика») искусственных спутников, автоматических станций, космических кораблей и т. п. возникла совсем еще недавно, но затронула уже почти все разделы современной науки и развивается необыкновенно бурными темпами.

Весьма важную часть астронавтики составляет тот ее раздел, который занимается изучением движений искусственных объектов в космическом пространстве после их запуска с поверхности Земли, т. е. после их (как говорят не очень корректно, но выразительно) «выхода на орбиту».

Эта часть астронавтики не имеет еще твердо установленного названия. Ее называют «астродинамикой», «космодинамикой, «небесной баллистикой», «космической баллистикой», «ракетодинамикой» и т. п., причем все эти названия не вполне удачны и не определяют содержания этой новой области знания.

Более часто можно слышать название «астродинамика», которого мы и будем здесь придерживаться, чтобы остановиться на чем-нибудь определенном, пока не будет придуман какой-нибудь более удачный термин.

Астродинамика связана с небесной механикой по крайней мере трояким образом.

Во-первых, с самого начала космической эры, имея срочную необходимость определять движения искусственных небесных тел, астродинамика просто заимствовала у небесной механики ее классические методы, прежде всего методы теории не возмущенного кеплерова движения, а затем и основные методы теории возмущений оскулирующих кеплеровых элементов.

Однако скоро оказалось, что классические методы небесной механики, рассчитанные главным образом на определение движений почти плоских и почти круговых, в ряде случаев оказываются неприменимыми или плохо применимыми в астродинамике, где постоянно возникает необходимость рассматривать движения по сильно наклонным (к плоскости экватора Земли или к плоскости эклиптики) орбитам и по орбитам, обладающим большим эксцентриситетом.

Поэтому небесная механика оказалась вынужденной разрабатывать новые методы определения движений небесных тел, пригодные для целей астродинамики и не имеющие применений к естественным небесным телам.

Наконец, для наиточнейшего расчета движений искусственных небесных тел, особенно межпланетных станций, астродинамике потребовались и более точные сведения о движении- естественных небесных тел, в первую очередь Земли, Луны и больших планет.

Ввиду этого специалисты по небесной механике должны были заняться также пересмотром классических теорий движения этих естественных небесных тел и добиваться их уточнения. Для этого понадобилось, кроме того, получить гораздо более точные числовые значения некоторых основных астрономических постоянных, например, масс планет, их сред-

них расстояний и т. д. Для Земли понадобилось еще знать точные ее размеры и параметры, характеризующие ее форму и структуру.

Первоначально методы небесной механики были применены для изучения движений искусственных спутников Земли в поле притяжения самой планеты, с учетом сопротивления ее атмосферы и с учетом возмущений от Луны и Солнца. Работы по построению аналитических теорий движения велись в ИТА, в теоретической группе ГАИШ и в ряде других институтов и университетов.

Наиболее трудной оказалась теория движения в гравитационном поле Земли, так как для тех точностей, которые требуется осуществлять в астронавтике, имеют существенное значение даже небольшие неравномерности в распределении масс Земли, что приводит к необходимости рассматривать в разложении потенциала Земли довольно большое число членов, числовые коэффициенты которых известны пока еще довольно грубо. ■

Однако учет многих членов в разложении потенциала Земли оказывается чрезвычайно сложной и громоздкой операцией, вследствие чего теоретики вынуждены искать каких-то новых путей и стараться создавать теорию одновременно и достаточно точную и не слишком громоздкую.

Одним из таких путей оказалось использование классической задачи двух неподвижных центров, связь которой с задачей о движении в поле земного притяжения была установлена в конце 50-х годов одновременно в СССР и в США. Было показано, что потенциал Земли может быть приведен надлежащим выбором некоторых параметров к потенциалу двух неподвижных центров, имеющих комплексные массы и разделенных комплексным расстоянием. Так как задача двух неподвижных центров полностью проинтегрирована еще Эйлером, появилась возможность применить известные классические формулы к новой, более общей задаче, и тем самым построить стройную аналитическую теорию, дающую промежуточную орбиту искусственных спутников Земли, более близкую к действительной их орбите, чем дбычный кеплеров эллипс.

Имея буквенные формулы, определяющие промежуточную орбиту спутника, мы имеем, возможность применить затем общие методы теории возмущений небесной механики и учесть как возмущения, возникающие от замены истинного поля притяжения Земли полем двух неподвижных центров, так и другие специальные возмущения, например, от сопротивления атмосферы Земли, от влияния Луны, Солнца и т. д.

Новую теорию (которую, кстати сказать, возможно применить и к естественным спутникам планет), созданную целиком в СССР (М. Д. Кислик, Е. П. Аксенов, Е. А. Гребенников, В. Г. Демин и др.), можно, разумеется, использовать и для эфемеридных вычислений и для определения по наблюденным возмущениям числовых значений некоторых важных параметров Земли, и в ряде других областей знания (гравиметрия, геофизика, геодезия и т. д.).

Кроме того, программируя формулы этой теории, мы имеем возможность проводить всевозможные вычисления на машинах с гораздо большей экономией машинного времени, чем при помощи приемов обычного численного интегрирования.

Другими путями для создания надежной аналитической теории служат мало использованные ранее методы небесной механики, возрождаемые, так сказать, для целей астродинамики, конечно, в переработанном и усовершенствованном виде (методы Ш. Делоне, Ж. Альфана, Н. Н. Горячева, Г. Гильдена и др.).

Наконец, недавно указано на возможность получения нового, более удобного разложения гравитационного потенциала Земли с использованием теории эллипсоидальных функций Ламе и плодотворных методов Ляпунова, разработанных им для теории фигур равновесия вращающихся жидкостей. Эти методы дают твердую надежду получить потенциал Земли при помощи функций, более интимно связанных с эллипсоидальной формой нашей планеты, вследствие чего может значительно повыситься быстрота сходимости разыскиваемого ряда для потенциала.

Возмущения в движении близких спутников, возникающие от сопротивления земной атмосферы, от влияния магнитного поля Земли, от влияния солнечной радиации (прямой и отраженной от Земли), а также и некоторые другие возмущения плохо поддаются теоретической обработке вследствие сложности законов действия этих возмущающих факторов и трудностей, связанных с представлением этих законов конкретными математическими формулами.

Поэтому для построения аналитической теории возмущений такого рода приходится вводить, более или менее произвольно, ряд гипотез, которые затем проверяются сравнением результатов построенной теории с данными наблюдений, после чего обыкновенно приходится вводить в принятые гипотезы поправки или даже заменять первоначальные гипотезы какими-либо новыми.

Такая процедура делает построение аналитической теории мало надежным, вследствие чего подобные теории могут служить более для разработки методов учета таких специальных возмущений и для ориентации в сложном хаосе множества возмущающих факторов, чем для прямого и точного определения движений искусственных спутников, которые приходится поэтому находить главным образом методами численного интегрирования.

Для этой цели употребляются обычнйе уравнения Ньютона или Лагранжа, определяющие возмущения элементов оскулирующей кеплеровой орбиты спутника под действием возмущающей силы, заданной своими проекциями на три взаимно перпендикулярные направления.

Рассмотрение указанных специальных возмущений в движении близких спутников, как при помощи численного интегрирования, так и путем построения аналитических теорий (при заданных гипотезах о действии возмущающих сил такого рода) производилось многими специалистами по небесной механике, как в ИТА и ГАИШ, ^ак и во многих других институтах.

Для учета гравитационных возмущений в движении искусственных спутников, возникающих от влияния Солнца, Луны и некоторых больших планет, можно пользоваться обычными методами классической небесной механики, и здесь при построении соответствующей аналитической теории особых, принципиально новых затруднений не возникает.

Однако большое число типов искусственных спутников, движущихся на самых разнообразных расстояниях от Земли, с различными наклонами к плоскости экватора и с разными эксцентриситетами, требует также построения различных аналитических теорий, а так как число запускаемых (или проектируемых) спутников с течением времени быстро растет и их назначения делаются все более и более разнообразными, то оказывается невозможным ограничиться разработкой нескольких «типовых» аналитических теорий, а приходится зести эту теоретическую работу непрерывно. При этом теоретики должны постоянно обращать свое внимание на будущее, которое в наше время часто оказывается неожиданно близким и непредвиденно реальным.

Сказанное показывает, как возросло число актуальных задач небесной механики за последние десять лет и сколько новых усилий требуют эти задачи от теоретиков, число которых также приходится постоянно увеличивать как за счет выпускаемых в университетах студентов и аспи рантов по специальности небесная механика, так и за счет специалистов по теоретической механике и даже математике, внимание которых часто приходится направлять на задачи этой новой области науки.

В самое последнее время стали появляться искусственные спутники Луны и других планет (последние, правда только в проектах), и небесная механика также должна озаботиться разработкой соответствующих аналитических теории для этих новых объектов.

Задачи о движении искусственных спутников планет все же близки небесной механике, где издавна рассматривались теории движения. естественных спутников, хотя и имеют свои характеристические особенности и требуют значительно большей точности.

Совершенно новые задачи, не имеющие никаких аналогий в классических теориях, возникают теперь в небесной механике в связи с полетами космических аппаратов на Луну, Марс, Венеру и в другие области Солнечной системы.

Правда, некоторые астероиды и некоторые кометы иногда пронизывают значительные области Солнечной системы от Юпитера, даже от Нептуна, до Земли или до Солнца и такие перелеты естественных небесных тел до некоторой степени подобны перелетам космических кораблей от Земли до Луны, Венеры или Марса. Однако для этих исключительных случаев в небесной механике строгая аналитическая теория никогда не строилась, и расчеты этих движений производились либо просто на основании теории невозмущенного кеплерова движения или при помощи численного интегрирования.

Нужно сказать, что и в астродинамике пока что делают то же самоег т. е. используют методы численного интегрирования и формулы невозму- щенндго кеплерова движения. Весь перелет от Земли до планеты назначения приходится разбивать на три последовательных этапа, рассчитывая движение космического аппарата на каждом этапе по отдельности.

Первый этап — движение аппарата вблизи Земли (как говорят, «в сфере действия» Земли), когда сила притяжения Земли оказывается преобладающей. Второй этап ——движение аппарата в космосе под действием притяжения Солнца — и третий этап — его движение в «сфере- действия» планеты назначения. На каждом этапе расчет производится по формулам невозмущенного кеплерова движения с некоторыми поправками за счет специальных возмущений, а затем все три «куска» траектории полета «склеиваются», что представляет собой нелегкую операцию и служит источником дополнительных ошибок, которые приходится исправлять уже чисто техническими средствами (коррекция орбиты по сигналу с Земли).

Ясно, что создание цельной аналитической теории, представляющей, движение космического аппарата, например, на всем пути от Земли до」 Луны, является чрезвычайно важным и желательным и составляет одну из важнейших задач современной небесной механики.

Хотя работы в этом направлении ведутся многими теоретиками, в СССР и за границей, но значительных продвижений в этой области пока еще мы не имеем. Дело в том, что математическая задача, сводящаяся в основном к нахождению решений ограниченной круговой задачи трех тел (Земля — Луна — корабль), траектории которых проходят через-

обе конечные массы (Землю и Луну) или по крайней мере близки к ним, оказывается чрезвычайно трудной вследствие наличия подвижных критических точек, в которых правые части уравнений обращаются в бесконечность. Регуляризация, подобная той, которую осуществляли Зундман и Леви-Чивита, позволяет устранить особенности уравнений, но ряды, представляющие решение, оказываются чрезвычайно медленно сходящимися и практически непригодными.

Преодоление этих затруднений мешает построению единой аналитической теории и вынуждает ограничиваться пока или построением «кусковой» теории или нахождением известного рода периодических решений, описывающих путешествие с облетом Луны и возвращением на Землю. Однако такие периодические орбиты оказываются энергетически и по времени полета практически непригодными и непосредственно использовать их затруднительно.

Теперь заметим, что всякое небесное тело, естественное или искусственное, находясь под воздействием каких бы то ни было сил, совершает не только поступательное движение по некоторой траектории, но и вращается одновременно вокруг своего центра масс.

Выше было отмечено, что, строго говоря, эти два движения зависят одно от другого, но в настоящее время с достаточной степенью точности их можно отделить одно от другого и рассматривать поступательное движение независимо от вращательного, а при исследовании вращательного движения учитывать тем или иным способом орбитальное движение тела. Так делается и в классической небесной механике при рассмотрении теории вращения планеты или звезды, также поступают и в астродинамике. Математическим аппаратом этой теории является, с одной стороны, аппарат теории вращения твердого тела, особенно некоторые его частные случаи (например, случай Эйлера), а с другой стороны, современные методы математической теории колебаний, которая, хотя и зародилась в небесной механике, но теперь обособилась в самостоятельную область науки.

В теории вращательного движения искусственных объектов к области небесной механики можно отнести вращение под действием гравитационных сил, разыскание частных решений, соответствующих некоторым определенным («регулярным») движениям, исследование устойчивости таких решений в смысле Ляпунова и при постоянно действующих возмущениях. Другие задачи вращательного движения искусственных объектов, например, вопросы гравитационной и негравитационной стабилизации вращательного движения, вопросы управления вращением тела, меньше связаны с небесной механикой и представляют собой скорее задачи теоретической механики. Правда, трудно провести резкую границу между различными областями науки, но все же некоторые вопросы приходится, как бы по молчаливому соглашению, относить к той или иной области, как это и осуществляется обычно в космонавтике.

Поэтому мы не затрагиваем в настоящей статье множество других вопросов, обычно относимых собственно к астродинамике, например, теорию движения с малой тягой, с солнечным парусом, теорию перелета с орбиты на орбиту, теорию оптимальных процессов и т. д. Вопросы такого рода освещены в предыдущей статье, подготовленной Г. Л. Грод- зовским и Д. Е, Охоцимским с соавторами.

ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН

И. И. АРТОБОЛЕВСКИЙ, Л. Я. БОГОЛЮБОВ

4 7 3 5 3 7 96 6 7 7 8 8 83 33 333 34 7 3 5 3 7 96 6 7 7 8 8 83 33 333 3Теория структуры и классификации механизмов

4 7 3 5 3 7 9

6 6 7 7 8 8 8

3 33 333 3

4 7 3 5 3 7 9

6 6 7 7 8 8 8

3 33 333 3

Анализ и синтез механизмов

Теория передач

Динамика механизмов и машин

Теория проектирования машин-автоматов

Учебная и справочная литература; история и библиография ....

Перспективы дальнейшего развития теории механизмов и машин .

Развитие науки о машинах в Советском Союзе неразрывно связано с классическим вкладом выдающихся русских ученых, сделанным еще до Великой Октябрьской социалистической революции. Труды П. Л. Чебышева, П. О. Сомова, В. Л. Кирпичева, Л. В. Ассура, Н. Е. Жуковского, В. Н. Лигина, X. И. Гохмана, Н. И. Мерцалова, К. Э. Рериха и ряда других ученых послужили основой для создания современной теории механизмов и машин в СССР и явились, таким образом, исходными пунктами для исследований советских ученых, внесших весьма весомый вклад в мировую науку о механизмах и машинах.

На протяжении пятидесяти лет советскими учеными были изучены вопросы, относящиеся буквально ко всем разделам науки о машинах. Осваивая классическое наследство, советская школа теории механизмов и машин начала свои исследования с развития учения о структуре механизмов, которое могло бы быть положено в основу дальнейших изысканий. Затем последовали работы в области кинематики и кинетостатики механизмов, их синтез а, динамики и, наконец, в области динамики машин и машинных агрегатов. Постепенно усложняя объект изучения, советские ученые в то же время совершенствовали свои методы исследования. Если исследования в двадцатых и тридцатых годах выполнялись в основном в теоретическом плане, а эксперимент вводился в них крайне редко, то с сороковых годов экспериментальные исследования начинают играть все более и более важную роль. В свйзи с этим разрабатывается методика эксперимента и подбирается соответствующая аппаратура, значительная часть которой создается одновременно с проводимыми исследованиями.

За пятьдесят лет Советской власти отечественное машиностроение претерпело глубокие количественные и качественные изменения. В результате успехов, достигнутых в области точных наук и техники и их взаимодействия, были созданы новые механизмы и машины, расширившие само понятие машины. Если ранее рассматривались лишь три класса

машин — машины энергетические, транспортные и технологические, то теперь эти классы уже не смогли вместить все многообразие машин нового типа, удовлетворяющих все новым и новым потребностям человеческого общества. В настоящее время машины могут заменять не только физический труд человека, но, в известной степени, и его умственный труд, а в некоторых случаях и его физиологические функции. Появились новые классы машин: контрольно-управляющие, логические и кибернетические машины. Эти машины выполняют различные логические операции,, заменяют органы человека, управляют по заданной программе производственными и экономическими процессами. Таким образом, современное обобщенное определение машины характеризует ее как устройство, создаваемое человеком для использования законов природы с целью облегчения физического и умственного труда, увеличения его производительности и облегчения путем частичной или полной замены человека в его трудовых и физиологических функциях.

В последнее время решения XXIII Съезда КПСС выдвинули перед учеными и инженерами машиностроителями ряд новых сложных проблем, связанных с конструированием и созданием машин-автоматов и систем: машин автоматического действия. Естественно, что такая эволюция в сторону их качественного усложнения ставит перед наукой о механизмах и машинах новые задачи и выдвигает проблемы и направления, которые не находят себе соответствия в р аз работ анных ранее теориях и методах. Кроме того, большую значимость приобретают исследования на стыке отдельных проблем внутри самой науки, на стыке с иными ветвями механики и на стыке с другими науками, с которыми ранее механика машин имела слишком мало точек соприкосновения, если и имела вообще что- либо общее. Поэтому объем науки не является чем-то замкнутым, заключенным в определенные, более или менее тесные, заданные наперед рамки, а наоборот, проявляет тенденцию к непрерывному расширению. Тенденция эта ни только не противоречит другой тенденции, весьма ясно обнаружившейся еще в XIX веке ——'тенденции дифференциации наук, но является ее качественным уточнением.

В настоящей статье содержится краткий обзор основных направлений и проблем теории механизмов и машин и результатов, достигнутых советскими учеными за 50 лет. Ввиду ограниченности объема статья не является исчерпывающей; библиография, которую читатель найдет в отдельном томе, также ни в коей мере не является полной и имеет целью лишь иллюстрировать основные направления и тенденции развития теории механизмов и машин, а также показать его основные этапы в Советском Союзе.

Теория структуры и классификации механизмов

В области теории структуры механизмов советским ученым, исходившим из классических трудов П. Л. Чебышева, П. О. Сомова и Л. В. Ассу- ра, удалось достигнуть серьезных успехов.

Задачей теории структуры механизмов является изучение соотношений, существующих между элементарными составляющими механизмов, звеньями и сочетаниями звеньев, кинематическими парами, в целях определения возможности существования механизмов и их синтеза, а также анализа существующих механизмов. Выяснение законов структуры механизмов дает также возможность построить их научно обоснованную классификацию в целях облегчения и уточнения теоретических исследований. ,

Первые структурные идеи в истории русской механики машин были высказаны П. Л. Чебышевым в его основополагающей работе «О параллелограммах» (1869; Поли. собр. соч., т. 4, 1948)» Идеи эти были развиты в Германии М. Грюблером, а в России П. О. Сомовым. Одновременно с П. Л. Чебышевым профессор Берлинского высшего технического училища Ф. Рело разработал теорию кинематических пар и кинематических цепей. В России последователями Рело явились В. Н. Лигин и, в особенности, X. И. Гохман, который представил идеи Рело в математической форме.

В 1914—1918 гг. в «Известиях Петроградского политехнического института» была опубликована классическая работа Л. В. Ассура «Исследование плоских стержневых механизмов с низшими парами с точки зрения их структуры и классификации», являющаяся логическим продолжением исследований П. Л. Чебышева и П. О. Сомова и послужившая базой для дальнейших работ в этой области. Л. В. Ассур положил в основу своей системы принцип единства методов кинематического анализа механизмов ——тот принцип, который машиноведы XIX века искали на протяжении почти всего столетия. Но исследования Л. В. Ассура по ряду причин и, в частности, в силу крайней трудности изложения, не были своевременно изучены и развиты; они нашли свое продолжение в работах советских механиков лишь в тридцатых годах нашего века.

Однако некоторые поиски новых путей проводились советскими учеными и в двадцатых годах. Так, А. П. Малышев (1923) распространил структурную формулу П. Л. Чебышева на пространственные механизмы, И. М. Рабинович (1928) показал применимость идей структурного построения механизмов в строительной механике. Н. С. Васильев (1928) предложил своеобразный метод структурного анализа механизмов, развитый им в цикле работ в последующие два десятилетия.

К началу тридцатых годов в ходе социалистического преобразования советской промышленности (в частности, советского машиностроения) возйикла необходимость и в адекватной последнему механике машин. К этому времени был выполнен анализ многих механизмов и машин, но без какой-либо объединяющей идеи. При этом кинематическое исследование оказывалось возможным не во всех случаях, и это положение опять-таки привлекло внимание исследователей к вопросам структуры.

Н. Г. Бруевич (1935) применил классификацию Ассура к решению задач кинетостатики механизмов. И. И. Артоболевский (1936) указал, что сферические механизмы, наравне с плоскими, удовлетворяют формуле Чебышева и поэтому на 戸их можно распространить классификационные идеи Ассура. В. В. Добровольский (1937) классифицировал на основе тех же идей плоские механизмы, все пары которых являются поступательными. Затем В. В. Добровольский высказал идею о том, что все механизмы можно распределить по пяти семействам, характеризуемым числом общих связей, наложенных на движение звеньев механизма (1938). В ряде своих дальнейших работ он развил эту идею и предложил единую структурную формулу для механизмов (обобщение формулы А. П. Малышева), из которой как частные случаю получаются структурные формулы для отдельных семейств.

Теория структуры механизмов была развита затем в ряде работ И. И. Артоболевского и В. В. Добровольского (1939). Было установлено, что деление механизмов на пять семейств позволяет применить подобные методы при исследовании механизмов, относящихся к какому-либо семейству. Затем, внутри каждого семейства было предложено дальнейшее

подразделение на роды, в зависимости от вида тех ограничений движения, которые накладываются общими связями. Наконец, И. И. Артоболевский обобщил классификационный принцип Ассура на механизмы всех пяти семейств. В основу теории образования групп он положил метод развития контура.

Таким образом, к концу тридцатых годов трудами советских ученых была создана единая классификация механизмов, которая позволила не только привести в стройную систему существующие механизмы, но и открыть новые их виды, что сыграло весьма существенную роль в практике развития отечественного машиностроения.

Однако развитие теории структуры и классификации механизмов не остановилось на этих достижениях. Были обнаружены такие механизмы и их структурные элементы, которые не полностью укладывались в разработанную систематику. В. В. Добровольский в своей «Системе механизмов» (1943) ввел понятие «неассуровых цепей». Г. Г. Баранов (1952), исходя из положения Л. В. Ассура о том, что при удалении из статически определимой фермы звена она становится механизмом, разработал новую ■ классификацию ассуровых групп и предложил формулы их строения, Н, И. Колчин в первой части своей монографии «Механика машин» (1948) предложил некоторое распространение общей структурной формулы ассуровых механизмов, введя понятие «специальных», механизмов.

Усложнение понятия машины, вызванное практикой современной научно-технической революции, обусловило новое развитие вопросов структуры и классификации механизмов с самых различных точек зрения. Начиная со второй половины пятидесятых годов появилась серия работ по вопросам структуры и классификации механизмов, авторы которых пробуют найти общие решения этих вопросов, соответствующие современному уровню машиностроительной (и приборостроительной) техники. При этом исследуются не только новые структурные элементы механизмов, но и их группировка и классификация; в качестве рабочего аппарата применяются некоторые новые разделы математики. Зачастую работы по вопросам структуры и классификации механизмов мыслятся как поиски путей к новым методам их анализа и синтеза.

Из работ, посвященных развитию теории кинематических пар с точки зрения оценки их конструктивного оформления следует отметить работу Л. Н. Решетова (1958). Исследованию структуры различных механизмов посвящены работы М. Н. Писарева (1956), В. Л. Смирнова (1958), С. Н. Шергина (I960), В. И. Шарикова (1961, 1964), О. Г. Озола (1963), Н. Е. Шамайденко (1964).

В исследовании И. Е. Петухова (1955) приведен исторический очерк классификации механизмов и изложены принципы новой классификации, разработанной автором. История классификационных принципов приводится также в книге А. Н. Боголюбова (1964). Новая трактовка теории структуры ассуровых цепей дана Ф. М. Куровским (1955). Опыт практического переосмысливания учения об ассуровых цепях содержится в монографии М. В. Семенова (1959).

Следует отметить весьма глубокое принципиальное научно-методическое значение структурных и классификационных идей Ассура — Артоболевского. Они не только дали возможность легко решить многие задачи практического машиностроения, с трудом подававшиеся решению и для которых всякий раз приходилось изобретать новую методику. Весьма важным является тот факт, что они легли в основу исследований советской школы теории механизмов и иашин и, таким образом, вызвали появление

ряда новых научных направлений в области механики машин. В настоящее время эти идеи разрабатываются также некоторыми иностранными учеными, в своих исследованиях примыкающими к советской школе теории механизмов и машин.

Анализ и синтез механизмов

Кинематический анализ механизмов до начала тридцатых годов сводился в основном к решению нескольких простейших задач с помощью аппарата кинематической геометрии. Правда, еще в начале века В. Л. Кирпичев и Л. В. Ассур ввели в преподавание метод планов скоростей и ускорений, но он очень не скоро стал общепринятым. Для простейших кинематических задач были разработаны способы их аналитического решения, однако при анализе механизмов более сложной структуры исследователи всякий раз сталкивались с большими трудностями, так как в этой области отсутствовали строго научные рекомендации. Что касается исследований пространственных механизмов, то они практически были начаты лишь с 1920 г., когда Н. И. Мерцалов впервые прочитал курс лекций по теории пространственных механизмов в б. Петровской (Тимирязевской) сельскохозяйственной академии (этот курс был опубликован в 1950 г.).

В упомянутой выше работе, посвященной кинематическому методу в строительной механике, И. М. Рабинович (1928) впервые в советской литературе дал обзор методов кинематического анализа сложных кинематических цепей.

К двадцатым годам относится также ряд работ по применению теории функций комплексного переменного к задачам кинематики механизмов. Н. В. Оглоблин применил теорию функций комплексного переменного к теории шарнирных цепей (1923) и искал при помощи этой теории общее решение задач кинематики механизмов (1928); А. И. Лурье (1925) применил ту же теорию к решению задачи о приближенном прямолинейнонаправляющем механизме.

Весьма важная задача кинематики пространственных механизмов была решена А. В. Верховским (1925), который провел теоретическое исследование пространственного шарнирного четырехзвенника с непере- секающимися осями (механизм Беннета ——Верховского).

Однако все перечисленные работы являлись частными решениями и не предлагали никаких общих методов. Последние начали развиваться в Советском Союзе в первой половине тридцатых годов, и вызвано было это развитие настоятельными потребностями советского машиностроения.

В цикле работ 1933—1937 гг., завершенных монографией «Теория пространственных механизмов», И. И. Артоболевский развил кинематику пространственных механизмов. Начиная с 1931 г. исследования в области кинематики плоских механизмов выполнял Н. Г. Бруевич; он применил: для этого теорию структуры механизмов Ассура (1934), предложил новый оригинальный метод решения задач кинематики с помощью векторных уравнений (1935), который распространил затем на исследование пространственных механизмов.

В ряде работ И. И. Артоболевского был развит геометрический метод кинематического анализа сложных кинематических цепей, основанный такж^ на базе классификации Ассура. Он заключался в определении с помощью приемов проективной геометрии особых точек *для сложных кинематических цепей, имеющих замкнутый контур. И. И. Артоболев-

ский разработал также метод кинематического анализа плоских механизмов с помощью аналогов поворотных кругов, т. е. изображений поворотных кругов в планах скоростей. Используя прием, заключающийся в дополнительном присоединении к основному механизму двухповодковых групп с двумя крайними по ступ ат ель ными парами, И. И. Артоболевский решил задачи об определении и построении центроид ускорений, радиусов кривизны центроид, эволют шатунных кривых, т. е. основные задачи кинематики механизмов. Его исследования в области кинематики плоских механизмов подытожены в монографии (1939).

Существенный опыт построения кинематики механизмов на основе структурных идей Ассура был предпринят также С. Н. Кожевниковым (1938).

Кинематике механизмов посвящен ряд исследований В. В. Добровольского (1936—1939), который на основе предложенного им приема разложения внутреннего шарнира группы развил стройную теорию кинематического анализа сложных цепей с замкнутым контуром. Позже В. В. Добровольский (1937) решил задачу о построении положений механизмов и траекторий, описываемых отдельными точками звеньев, распространив это решение на механизмы всех классов и порядков. Им было проведено также исследование кинематики механизмов с двумя и более степенями свободы (1939).

Некоторые новые методы графической кинематик^ пространственных механизмов были предлржены Ф. М. Диментбергом и Я. Б. Шором (1940).

Обратимся теперь к задачам синтеза механизмов. Задачи эти имеют в отечественной науке весьма долгую и глубокую историю. Впервые стройный метод синтеза механизмов был разработан П. Л. Чебышевым; в 1890 г. X. И. Гохман в своей «Кинематике машин» предложил ряд особых приемов для образования механизмов, однако это исследование не было им доведено до конца. Работы П. Л. Чебышева по синтезу механизмов были продолжены Н. Б. Делоне.

В двадцатых годах внимание исследователей было привлечено задачами построения механизмов, выполняющих определенные математические операции. Л. Г. Лойцянский (1925——1926) исследовал шатунные кривые шарнирных четырехзвенников и сделал попытку решения задачи синтеза механизмов при помощи теории функций комплексного переменного. С. А. Гершгорин (1925——1928) предложил ряд механизмов для воспроизведения заданной аналитической функции. В частности, ему принадлежит теорема о том, что любая алгебраическая функция комплексного переменного всегда может быть воспроизведена механическим путем. Метод комплексного переменного применил к задачам кинематики механизмов также С. С. Бюшгенс (1938—1939). Первая работа в Советском Союзе, посвященная геометрическому синтезу механизмов, была опубликована А. П. Котельниковым (1927); она относится к теории точек Бурместера.

В конце двадцатых и в начале тридцатых годов как в Советском Союзе, так и за границей внимание исследователей было привлечено к задачам синтеза механизмов. Обусловлено это было возникновением ряда практических задач машиностроения и приборостроения, требовавших не только конкретных решений, но и разработки методики решения большого круга аналогичных задач. При этом разработка методов синтеза механизмов велась в двух направлениях： с одной стороны, создавались методы точного синтеза, т. е. методы, позволяющие кинематически точно воспроизвести заданные формы движения, с другой стороны ——разрабатывались методы приближенного синтеза.

П. Малышев (1933) предложил оригинальный метод структурного синтеза механизмов, основанный на изучении степеней свободы кинематических цепей и связей, налагаемых на цепи кинематическими парами. Им был предложен также способ решения задач синтеза для сложных технологических машин.

Начиная с 1937 г. вопросы синтеза механизмов попадают в круг интересов Н. Г. Бруевича. Проанализировав современное состояние синтеза механизмов, он публикует ряд работ, посвященных синтезу механизмов для воспроизведения определенных математических законов (1937—1939), от которых переходит к исследованию точности механизмов (1941—1946). Ему принадлежит также работа, посвященная состоянию советских исследований в области синтеза механизмов (1939).

Задача синтеза плоских механизмов с парами четвертого и пятого классов была решена И. И. Артоболевским (1939). Он показал, что любое заданное плоскопараллельное движение может быть воспроизведено совокупностью центроид в абсолютных и относительных движениях. Им была развита также теория передачи движения при помощи взаимоогибае- мых кривых, которая положена в основу проектирования современных кулачковых и зубчатых механизмов. Он доказал, что можно перейти от точного воспроизведения движения к приближенному путем замены центроид или взаимоогибаемых кривых кинематическими цепями, состоящими из низших кинематических пар.

Начиная с 1937 г. появляются публикации 3. Ш. Блоха, посвященные синтезу плоских шарнирных механизмов. Им рассмотрен ряд вопросов синтеза кривошипно-шатунных, четырехзвенных и шестизвенных механизмов. В 1940 г. 3. Ш. Блох переходит к исследованиям вопроса приближенного синтеза шарнирных механизмов по методу Чебышева: он восстанавливает все промежуточные выкладки и доказательства^ опущенные Чебышевым, и решает ряд новых задач. Синтезом шарнирных механизмов занимались также М. В. Семенов (1938) и Г. Г. Баранов (1939).

Развитие авто- и тракторостроения, специального машиностроения и автоматостроения ——отраслей машиностроения, практически не существовавших в нашей стране до тридцатых годов,— вызывало необходимость в разработке теории кулачковых механизмов. Поэтому уже в начале тридцатых годов эти механизмы попадают в круг интересов советских ученых.

А. П. Малышев (1933) указал на зависимость проектирования кулачковых механизмов от поставленных технологических задач. Н. Г. Бруевич (1934) рассмотрел задачу о динамическом проектировании кулачкового механизма, которая исследовалась также В. В. Добровольским (1935——1936), уточнившим расчетный метод при учете сил трения, и В. А. Юдиным (1940), изучившим динамическое проектирование пространственных кулачковых механизмов.

В ряде статей Я. Л. Геронимус рассмотрел задачу проектирования профиля кулачка с плоским толкателем (1932—1933). Некоторые итоги методам решения задач проектирования кулачковых механизмов в зависимости от поставленных технологических задач были подведены. X. Ф. Кетовым и Н. И. Колчиным (1939) в их большом курсе теории механизмов и машин.

Великая Отечественная война Советского Союза поставила перед учеными и инженерами ряд новых задач, на решение которых в каждом частном случае давалось минимальное время. Здесь помог опыт, накопленный советской наукой в мирные годы.

24 Механика в СССР, том 1

В годы войны, а затем и в послевоенные годы дальнейшее развитие получили методы кинематического анализа механизмов. Если до сороковых годов в основе этих методов лежали графические и графоаналитические приемы, требовавшие для своего развития аппарата кинематической и проективной геометрии, а аналитические методы исследования применялись лишь в редких случаях и для весьма ограниченного числа задач, то с сороковых годов быстро растет роль аналитического аппарата. К решению задач кинематики механизмов, кроме теории функций комплексного переменного, стали применять векторное, тензорное и винтовое исчисление, методы теории матриц, а также иные разделы современной математики. Некоторые задачи, уже решенные при помощи старых методов, были решены вновь, в порядке поисков оптимальных решений.

А. Зиновьев (1939, 1949), развил своеобразный аналитический метод расчета плоских и пространственных механизмов путем составления уравнений замкнутости векторных контуров. Эти исследования сведены автором в две монографии, посвященные теории плоских механизмов (1949) и пространственных механизмов (1952). Применительно к последним В. А. Зиновьев разработал также метод синтеза путем приведения схемы механизма к замкнутому векторному контуру.

Значительное развитие получило исследование кинематики пространственных механизмов при помощи разработанного А. П. Котельниковым винтового исчисления и при помощи методов комплексной алгебры винтов, изложенных в работе Д. Н. Зейлигера «Комплексная линейчатая геометрия» (1934). Методы эти весьма подробно изложены также в монографии Ф. М. Диментберга (1965). Применение их к анализу пространственных механизмов осуществлено Ф. М. Диментбергом и С. Г. Кислицыным (I960). С. Г. Кислицын (1954) применил к решению задач пространственной кинематики тензорное исчисление. Ю. Ф. Морошкин (1954) предложил общий метод решения задач пространственных механизмов. Н. Н. Дижечко и С. Г. Кислицын рассмотрели некоторые аналитические методы анализа и синтеза сложных пространственных механизмов (1965).

Дальнейшее развитие получили также графические и графоаналитические методы кинематического исследования механизмов. Так, в цикле работ Г. Д. Ананова (1958—1964) рассмотрено определение положений и кинематических параметров пространственных пятизвенных механизмов. Кинематика плоских механизмов изучалась Г. Г. Барановым (1952).

Н. Кожевников и Л. И. Цехнович (1955) исследовали кинематику механизма, у которого задано движение звена, не связанного со стойкой.

Так как к пятидесятым годам основные задачи кинематического анализа оказались решенными, особенное значение приобрели исследования в области синтеза механизмов, начатые, как мы видели, еще в тридцатых годах. В 1944 г. была опубликована монография И. И. Артоболевского, 3. Ш. Блоха и В. В. Добровольского «Синтез механизмов», в которой были подведены итоги исследованиям в области геометрических и аналитических методов синтеза механизмов, проведенным до того времени в СССР и за границей.

Начиная с сороковых годов советская школа теории механизмов и машин планомерно развивала приближенный аналитический метод синтеза, основанный на разработанной П. Л. Чебышевым теории приближения функций, причем главным образом развивались методы интерполирования функций, наилучшего приближения и квадратичного приближения. В этом направлении были опубликованы исследования 3. Ш. Блоха, завершенные его монографией (1948). Н. И. Левитский (1946) в монографии,

посвященной синтезу механизмов по Чебышеву, обобщил идеи Чебышева, введя понятие взвешенного приближения с параметрическим весом. Подобные же идеи развивались С. А. Черкудиновым (1948). Дальнейшее развитие чебышевские методы получили в работах Н. И. Левитского, С. А. Черкудинова и И. Ш. Пинскера. Общие вычислительные методы чебышевского приближения исследовались Е. Я. Ремезом (1957).

Кроме методов, ведущих свое начало от П. Л. Чебышева, применялись также и иные методы приближенного синтеза механизмов. В частности, были развиты методы, использующие тригонометрические ряды. При решении задач синтеза плоских механизмов с низшими парами использовались также комбинированные методы, сочетающие метод геометрических мест с методами, основанными на теории приближения функций. Разработанные советскими учеными методы приближенного синтеза механизмов в последние годы были распространены и на некоторые виды механизмов, образованных высшими парами.

Геометрический синтез механизмов разрабатывался В. В. Добровольским (1944). В работах С. А. Черкудинова и Н. В. Сперанского (1951, 1957) содержится дальнейшее развитие этих методов.

Специальные исследования были посвящены шарнирным пятизвенным механизмам. В этом направлении работали Д. С. Тавхелидзе (1952; 1958), А. А. Тамамшев (1955), С. И. Гамрекели (1957). Ими были изучены также механизмы с изменяемыми"размерами звеньев. Работы В. М. Январашвили и Э. Г. Гудушаури посвящены исследованию пятизвенных и сферических механизмов.

Ряд работ был опубликован по вопросам проектирования механизмов, предназначенных для точного воспроизведения заданных кривых. И. И. Артоболевский (1951, 1955—1956) предложил ряд механизмов для воспроизведения определенных математических зависимостей, затем (1955—1956), в частности, им были разработаны новые точные направляющие механизмы. Некоторые механизмы предложены в работе В. А. Шам- бурсГва (1957). Общая теория механизмов для образования плоских кривых была разработана В. В. Добровольским (1950), который также занимался разысканием новых механизмов этого назначения (1951). Вопросы точности воспроизведения заданного движения изучались Н. Г. Бруевичем.

Результаты исследоватйтьской работы в области проектирования механизмов для воспроизведения заданного движения сведены в монографиях В. В. Добровольского (1953) и И. И. Артоболевского (1959).

В некоторых случаях задача синтеза механизмов решалась при определенных динамических ограничениях. Для этой цели метод Чебышева был применен в работах 3. Ш. Блоха и Н. И. Иващенко (1950) и Я. Л. Геронимуса (1958). Некоторые задачи проектирования плоских механизмов с учетом углов передач были решены А. Т. Газаровым (1958— 1959). Соответственные задачи исследования пространственных механизмов прямыми графоаналитическими методами с учетом углов передачи и проворачиваемости кривошипа рассмотрены в работах П. Б. Цвияка (1956-1958) и К. С. Тарханова (1955-1958).*

В последние пятнадцать лет опубликовано очень много работ по исследованию и проектированию кулачковых механизмов. Связано это со значительным развитием автоматостроения и специального машиностроения, где приходится иметь дело со сложными законами движения. В основу методов синтеза кулачковых механизмов были положены приемы кинематической геометрии с соответствующей . аналитической интерпретацией. И. .И Артоболевский решил вопрос об эквивалентности между 24*

кулачковым и кривошипно-шатунным механизмами (1946). Л. Н. Решетов, начавший исследования кулачковых механизмов еще в начале тридцатых годов (1932), исследовал вопросы приближенного профилирования дисковых и прямолинейно движущихся кулачков с различными толкателями (1950—1951). Им исследован также вопрос о проектировании кулачков наименьших габаритов (1955). С. Н. Кожевников изучил проектирование кулачковых механизмов с плоским коромыслом (1949) и выбор параметров кулачковых механизмов (1954). В. Т. Костицын изучал вопрос о проектировании кулачков наименьших габаритов при некоторых определенных условиях (1947——1950), а также вопрос о трении в кулачковом механизме (1956). Синтез кулачковых механизмов с учетом динамических условий исследован в цикле работ В. А. Юдина и Я. Л. Геронимуса. Ряд вопросов кинематического анализа и синтеза механизмов при учете различных условий рассмотрен В. А. Зиновьевым и О. С. Езикашвйли. Последним рассмотрены, в частности, вопросы обработки кулачков. В работах С. К. Шаронова (1964—1965) проектирование кулачковых механизмов исследовалось с учетом износа профиля кулачка. А. Е. Кобринский исследовал вопросы динамического проектирования кулачковых механизмов с учетом упругости звеньев. Обобщающие монографии созданы Л. Н. Решетовым (1947, 1953), Н. И. Левитским (1964) и Н. Н. Поповым (1965). Ряд исследований К. В. Тира собран в его монографии «Механика полиграфических автоматов» (1965). Общие вопросы проектирования кулачковых механизмов для машин автоматического действия рассмотрены в цикле работ С. И. Артоболевского.

Механизмы мальтийских крестов исследовались С. А. Черкудиновым и Н. В. Сперанским. Последним опубликована специальная монография, посвященная вопросам расчета и проектирования этих механизмов (I960). 剧 В последние годы были подвергнуты исследованию также различные комбинированные механизмы: рычажно-зубчатые, рычажно-кулачковые. Рычажно-зубчатым механизмам посвящены статьи Д. М. Берковича (1957), С. А. Черкудинова и Л. Б. Майсюка (I960); кулачково-рычажные механизмы изучены в работах К. М. Рагульскиса (1955—1956) и Н. А. Владимирского (1957—1958).

В 1959 г. были опубликованы две монографии, посвященные вопросам синтеза механизмов,—«Синтез плоских* шарнирно-рычажных механизмов» С. А. Черкудинова, содержащая результаты работ автора, применявшего комбинированные методы геометрического синтеза по Бурме- стеру с аналитической теорией чебышевского приближения функций, и «Синтез плоских механизмов»,— коллективная монография И. И. Артоболевского, Н. И. Левитского и С. А. Черкудинова, содержащая систематизированное изложение основных результатов советских и иностранных ученых в области синтеза плоских механизмов. В 1962 г. была издана монография Я. Л. Геронимуса «Геометрический аппарат теории синтеза плоских механизмов», в которой изложены элементы теории алгебраических кривых и проективной, дифференциальной и кинематической геометрии, применяемые в геометрических методах синтеза.

，嘲 В решении задач анализа и синтеза механизмов громадную роль сыграли современные электронные цифровые машины. Только с их помощью удалось решить многие задачи анализа и синтеза. Разрешающие способности этих машин позволили варьировать значительным количеством кинематических и динамических параметров. В результате этого удалось установить область существования механизмов с требуемыми параметрами. Составленные на основе использования электронных цифро-

вых машин справочные таблицы, диаграммы, номограммы и т. д. могут быть широко использованы в практике конструирования новых машин и приборов. По-видимому, в дальнейшем можно будет с помощью цифровых и моделирующих машин перейти к методике синтеза, основанной на теории оптимизации.

Число работ, посвященных применению электронных цифровых машин к решению задач теории механизмов, непрерывно растет. Можно указать на ряд опубликованных в последние годы работ Н. И. Левит- ского, И. Б. Людмирской, Л. Б. Майсюка, К. X. Шахбазяна, М. Б. Эди- ляна и др.

Теория передач

Весьма важное место в общей теории механизмов занимает теория передач. В этом разделе механики машин изучается большое количество разнообразных механизмов, при помощи которых осуществляется одна из основных задач построения механизмов ——задача передачи движения. Однако в настоящем параграфе мы остановимся лишь на двух группах передаточных механизмов, наиболее широко применяемых в современном машино- и приборостроении и выполняющих передачу движения между двумя осями, любым образом распложенными в пространстве: на зубчатых механизмах и на гибких передачах.

В дореволюционной России теории зубчатых передач не уделялось особенного внимания, как, впрочем, и в других странах. Все же можно указать на замечательную работу X. И. Гохмана «Теория зацеплений, обобщенная и развитая путем анализа» (1896); идеи, заключенные в ней, послужили отправной точкой для ряда работ советских ученых.

В 1920——1921 гг. во Всесоюзном институте сельскохозяйственного машиностроения Н. И. Мерцалов прочел курс лекций по теории зубчатых передач между непересекающимися осями. Работа эта, основанная на разработанном автором «способе проекций», была опубликована по частям лишь в 1932 и 1940 it.

В тридцатых годах, в связи с запросами машиностроения, некоторые области которого начали развиваться в Советском Союзе впервые, внимание машиноведов обратилось вначале на вопросы производства и корригирования зубчатых колес, а также на теорию зубчатых передач, .связанную с проектированием зубчатых и червячных редукторов. Лишь в конце этого периода советские ученые начали исследовать теорию зацеплений.

Вопросам корригирования были посвящены работы Е. А. Чудакова (1933) и Л. Н. Решетова (1935). Некоторая сводка вопросов проектирования и производства зубчатых колес была дана в книге С. К. Руженцева и Б. А. Иванова (1932).

В 1937 г. была опубликована работа Н. И. Колчина и В. В. Болдырева, посвященная исследованию конических зацеплений. Несколько позже вышла монография X. Ф. Кетова об эвольвентных зацеплениях. В конце тридцатых годов ленинградские машиноведы под общим руководством X. Ф. Кетова и Н. И. Колчина начали исследования в области синтеза зубчатых механизмов. В. В. Добровольский посвятил ряд работ вопросам подбора шестерен для планетарных редукторов, подрезу зубцов, теории внутреннего зацепления зубчатых колес, вопросам определения коэффициента полезного действия планетарных и дифференциальных передач (1936—1939). С. Н. Кожевниковым написана обобщающая работа по эпициклическим передачам (1939).

Новые вопросы, поставленные перед наукой развитием машиностроения в военное и послевоенное время, стимулировали значительный рост исследовательской работы в области теории зубчатых зацеплений. Были начаты изыскания в направлении постановки и решения задач аналитической теории зацеплений. В своей монографии Н. И. Колчин (1949) исследовал плоские и пространственные зацепления; в последнем случае он использовал методику X. И. Гохмана.

Я. С. Давыдов (1950), Ф. Л. Литвин (1953) и В. А. Шишков (1951) упростили методику, предложенную X. И. Гохманом, и разработали кинематический метод исследования пространственных зацеплений. Для этой цели Ф. Л. Литвин применил винтовое и матричное исчисления (1955). Винтовое исчисление применялось для этой цели также М. Д. Златопольским (1953) и др.

А. Гавриленко (1953) разработал принцип классификации современных зубчатых передач, что в значительной степени облегчило дальнейшее направление исследовательских работ в этой области.

В результате работ советских ученых, выполненных в последние пятнадцать лет, была фундаментально изучена аналитическая теория зацеплений, и на ее базе были созданы принципиально новые виды зубчатых передач. При этом учитывалась также технология изготовления соответствующих колес. Ряд вопросов анализа и синтеза зубчатых передач был исследован в цикле работ Ф. Л. Логвина. Ему, в частности, принадлежит монография по теории некруглых плоских колес (1956), исследования новых видов червячных передач, а также исследования в области плоских и пространственных зацеплений, сведенные в другой монографии (I960).

В 1955 г. М. Л. Новиков создал совершенно новый тип передачи круговинтового внешнего зацепления с точечным касанием зубьев.

Общая теория передач циклоидального зацепления была развита в работах В. М. Шанникова и В. А. Юдина (1948).

Ряд работ был посвящен исследованию и геометрическому расчету конической передачи. Следует отметить также, что были продолжены работы, начатые еще в тридцатых годах, по вопросам корригирования зубчатых зацеплений; при этом были предложены как точные, так и приближенные решения.

Вопросы теории зубчатых передач нашли свое отражение в ряде монографий. В частности, В. А. Гавриленко опубликовал монографии по теории эвольвентных зубчатых передач (1949, 1956, 1962). Монография несколько более практической направленности, содержащая теорию и расчет зубчатых передач, а также передач с цилиндрическим и глобоидальным червяком, опубликована Л. Д. Часовниковым (1961).

Не менее важное значение, чем теория зубчатых зацеплений и зубчатых передач, имеют исследования и синтез зубчатых редукторов. При построении последних конструкторы обычно применяют известные схемы или идут по пути случайных поисков, тогда как задача в подавляющем числе случаев может иметь оптимальное решение.

В послевоенные годы вопросы теории зубчатых редукторов и, в особенности, эпициклических передач разрабатывались многими учеными. В. В. Добровольский, продолжая исследования, начатые им еще до войны, развил некоторые вопросы синтеза планетарных механизмов (1943—1944) и определения коэффициента полезного действия последних (1947). Ряд задач синтеза планетарных механизмов решен в цикле работ М. А. Крей- неса и М. С. Розовского, сведенных в их совместной монографии (1965).

Общую теорию дифференциальных и планетарных механизмов предложил Р. М. Брумберг (1956), который привел методы кинематического и силового исследования и расчета этих передач. Т. С. Жегалова (1957) уточнила определение коэффициентов полезного действия дифференциальных и планетарных зубчатых механизмов. М. В. Семенов (1956) исследовал геометрию кривых, описываемых различными точками * сателлитов планетарных механизмов. Вопросы расчета планетарных механизмов были исследованы Л. Н. Решетовым (1952—1953, 1957). Им изучен также вопрос о рациональных конструкциях планетарных механизмов, о конструкциях планетарных направляющих механизмов, некоторые вопросы теории дифференциальных механизмов (1958—1963). Цикл работ В. Н. Кудрявцева по теории планетарных механизмов (с 1940), охватывающий многие вопросы их исследования и проектирования, был завершен монографией «Планетарные передачи» (I960). Вопросами расчета и синтеза эпициклических механизмов занимались также В. М. Шанников, В. А. Юдин, Я. Ю. Шац и другие.

Перейдем теперь к передачам с гибкими звеньями. Если не считать ссновопол аг ающих работ Эйлера, то их теория получила значительное развитие в конце XIX — начале XX века.

В 1893 г. Н. П. Петров исследовал влияние трения при передаче работы упругим ремнем. Скольжение ремня на шкивах изучал Н. Е. Жуковский.

Механизмы с гибкими звеньями весьма рано были освоены машиностроением: раньше они выполняли только служебную роль промежуточного звена между машиной-двигателем и машиной-орудием, затем начали появляться в составе машин. Однако машиноведы сначала вообще старались избегать их при кинематическом анализе машин, а затем ограничивались в основном исследованием трения между жестким и гибким звеньями.

Во втором десятилетии после Октябрьской революции механизмы с гибкими звеньями уже оказались основным механизмом целого класса транспортирующих машин — ленточных транспортеров — и вопросы их механики попали в поле зрения советских ученых. Исследование механики гибкой нити было выполнено И. Я. Штаерманом (1926), а затем А. П. Минаковым (1941, 1951), П. Т. Калиновским и другими. Некоторые вопросы динамики гибкой передачи (главным образом, цепной) были решены В. Л. Поповым и А. К. Кузнецовой. "

В своей «Кинематике механизмов» А. П. Малышев (1933) целый раздел (XI) посвятил исследованию вопросов передачи с гибкой связью. Этим же вопросам посвящен цикл работ В. А. Светлицкого (с 1959). Большое количество вопросов теории механизмов с гибкими связями изучено Ф. М. Куровским (1963).

Динамика механизмов и машин

Исследования в области динамики машин развивались вместе с раз-, витием самих машин, с ростом их рабочих скоростей и в процессе устранения некоторых нежелательных явлений, которые начали при этом наблюдаться.

Первым объектом исследования динамики машин явилась паровая машина. И. А. Вышнеградский заложил основы теории регулирования хода машины; этим же вопросом позже занимался Н. Е. Жуковский. Н. П. Петров создал гидродинамическую теорию смазки на основании

изучения процессов, происходящих в буксах подвижного состава железных дорог.

Почти одновременно к аналогичным решениям в кинетостатике механизмов пришли Н. Е. Жуковский и его ученик Л. В. Ассур. У Н. Е. Жуковского это решение выразилось в его знаменитой теореме о жестком рычаге. Л. В. Ассур от изучения динамики кривошипно-шатунного механизма паровой машины перешел к исследованию вопросов кинематики и кинетостатики шарнирных механизмов; им намечена теория кинетостатики механизмов с несколькими степенями свободы. К. Э. Рерих весьма глубоко изучил теорию маховика. Н. И. Мерцалов написал курс динамики машин, явившийся, в сущности, фундаментальной монографией в этой области.

После Великой Октябрьской социалистической революции перед учеными в области теории машин встали новые динамические задачи, требовавшие своего разрешения. Первые исследования в этом направлении были выполнены В. П.^ Горячкиным, который на материале изучения сельскохозяйственных машин заложил основы динамики рабочих (технологических) машин (1919).

Исследования В. П. Горячкина были продолжены его учениками. В двадцатых годах были выполнены еще некоторые работы из области динамики машин, но они сводились к решению некоторых частных задач, без какого-либо обобщения. Некоторые общие вопросы динамики машин рассмотрел А. И. Сидоров (1928). Е. Л. Николаи опубликовал монографию (1928), в которой дал систематическое изложение вопросов анализа движения и регулирования хода машин. 一

В тридцатых годах интерес к исследованиям в области динамики машин значительно возрос. На основании применения систематики Л. В. Ассура Н. Г. Бруевич решил ряд задач кинетостатики плоских механизмов (1935), а затем и пространственных механизмов (1937—1938). Некоторые задачи силового расчета механизмов были решены И. И. Артоболевским (1933). В его монографии (1939) были обобщены результаты исследований в области кинетостатики плоских механизмов. Вопросы статики плоских цепей исследовал Г. Г. Баранов (1935) и В. В. Добровольский (1936).

М. Гутьяр (1939) уточнил метод расчета маховика, разработанный Н. И. Мерцаловым и основанный на использовании диаграммы тангенциальных ускорений.

Значительно были продвинуты исследования динамики рабочих машин. Была исследована динамика сельскохозяйственных машин (В. П. Горячкин, 1930 и 1935; И. И. Артоболевский, 1933), вибрационного грохота, щековых дробилок, компрессоров (И. И. Артоболевский, 19351939), горнообогатительных машин (Л. Б. Левенсон и Г. И. Прейгер- зон, 1934). С. Н. Кожевников решил некоторые вопросы динамики станков (1934) и исследовал вопросы динамики неустановившихся процессов (1939). А. П. Малышев исследовал вопросы динамики текстильных машин (1934).

Вследствие усложнения задач динамики машин возникла потребность в разработке экспериментальных методов исследования. Одним из первых занялся этим В. П. Горячкин. Им самим и его учениками был создан ряд оригинальных приборов для определения сил, действующих в сельскохозяйственных машинах. Итог его работ был подведен в многотомном издании «Теория, конструкция и производство сельскохозяйственных машин», второй том которого (1936) посвящен обзору эксперименталь-

ной аппаратуры, разработанной В. П. Горячкиным и его учениками. Подобная же работа была выполнена А. П. Малышевым для текстильных машин и Л. П. Смирновым для паровых машин.

В военные и послевоенные годы исследования в области динамики машин продолжались по ряду направлений. Начиная с середины пятидесятых годов исследования по динамике машин и механизмов, в связи с тенденциями развития современного машиностроения, значительно расширились. Возникли новые направления, динамика механизмов и машин стала ведущим разделом в науке о машинах.

Получила дальнейшее развитие кинетостатика механизмов. Применительно к механизмам с парами первого рода она была изучена Г. Г. Барановым (1952). Б. М. Абрамов (с 1949) исследовал некоторые вопросы кинетостатики при учете сил трения. Его исследования сведены им в монографии (I960). Силовой расчет статически неопределимых механизмов изучали В. В. Добровольский (1948——1949) и А. Е. Кобринский (1950). Последним решена также задача кинетостатического расчета с учетом зазоров (1948). В. А. Зиновьев (1949) применил разработанные им методы аналитического расчета механизмов к решению задач кинетостатики. Вопросы кинетостатики пространственных механизмов рассматривались А. Г. Овакимовым (с 1958).

Кинетостатика в настоящее время достаточно развита, если не учитывать некоторых специальных задач. Ее значение в инженерных расчетах остается весьма значительным для многих современных машин, где приемлемо допущение об идеальной жесткости звеньев. Как первое приближение кинетостатический расчет необходим почти во. всех случаях.

Значительное развитие получила проблема режима движения машины под действием заданных сил. В работах В. А. Зиновьева (1948) и М. А. Скуридина (1951) было найдено приближенное решение задачи о движении машинного агрегата под действием сил, зависящих от положения, скорости и.времени. И. И. Артоболевский (1951——1952) обобщил эту задачу, получив общее уравнение движения машинного агрегата для таких сил и показав его существенную нелинейность. И. И. Артоболевским совместно с Б. М. Абрамовым (1948) была также найдена новая форма уравнения движения машинного агрегата под действием сил, зависящих от положения и от скорости. С. Г. Кислицын (1955) исследовал установившееся движение машины при силах, зависящих от скорости и от положения звена приведения.

В ряде работ было предложено решение уравнения движения машинного агрегата. В работе, посвященной исследованию движения при силах, зависящих от скорости и положения звена приведения, М. И. Бать (1950) решал это уравнение путем разложения в ряд по малому параметру и интегрирования при помощи степенных рядов. Им был разработан аналитический метод исследования работы плоского механизма при произвольном законе изменения заданных сил (I960). А. П. Бессонов разработал графический метод решения того же уравнения (1953) и провел общее исследование уравнения, качественным методом изучая его особые точки (1958).

Выбор оптимальных законов движения исследования Я. Л. Геро- нимусом (1958) и в работе Л. Н. Борисенко и Я. Л. Геронимуса (1965).

С проблемами кинетостатики и движения машины под действием заданных сил связана задача определения коэффициента полезного действия. Коэффициент полезного действия отдельных механизмов был,

исследован М. А. Крейнесом (1943——1945) для зубчатых механизмов, А. А. Никитиным (1952) для дифференциальных механизмов, по методу смещения сил, В. Н. Кудрявцевым (1953) для планетарных передач, Л. И. Кременштейном (1962) для универсального шарнира, Я. И. Еси- пенко (1958) для торового вариатора, М. К. Клебановым (1953) для кулачкового механизма с центральным толкателем. Некоторое развитие теории к. п. д. в машинах-автоматах дано в монографии И. И. Артоболевского, С. И. Артоболевского, В. А. Юдина и Г. А. Шаумяна (1947). В этой работе рассматривается задача об энергетическом балансе автомата и предлагаются некоторые коэффициенты, характеризующие влияние различных сил, действующих и проявляющихся во время работы машины. В. И. Небес- новым (1963) изучен энергетический баланс сложных агрегатов на эксплуатационных режимах (применительно к судовой силовой установке теплохода).

Некоторые работы посвящены проблемам установившегося движения машины и устойчивости движения. Работа машины в режиме установившегося движения исследована И. И. Артоболевским (1952——1954). Та же задача рассмотрена Н. Н. Дижечко (1958). Устойчивость периодического движения машины при силах, зависящих от скорости и положения, исследована Е. И. Ерешко (1959).

Вопросы регулирования хода машины и автоматического регулирования в настоящее время развились в отдельное научное направление, разработавшее специальные методы исследования. Несколько работ посвящено расчету маховых масс для машин. И. И. Артоболевский, который ранее (1935) распространил метод Виттенбауера на неустано- вившееся движение, разработал новый метод (1944, 1952), в котором сочетается простота метода Радингера с полной принципиальной точностью решений Виттенбауера или Мерцалова —— Гутьяра. В. А. Зиновьев разработал метод расчета маховых масс в случае, когда силы зависят от скорости и положения (1952), а также сделал некоторые дополнения к методу И. И. Артоболевского (1953). Расчету маховых масс посвящены также работы М. И. Батя (1954), Л. В. Коростелева (1959), М. С. Комарова и П. Г. Макушеева (1964); последние две работы посвящены расчету маховиков или машин-орудий. А. П. Малышев предложил метод уточненного расчета маховых масс для двигателей с малым коэффициентом неравномерности вращения (1953). Сравнительный анализ различных методов расчетов маховика сделан Ю. Я. Ковылиным (I960).

Методы балансировки и уравновешивания машин, необходимость исследования которых была особо подчеркнута в решениях первого совещания по основным проблемам теории механизмов и машин, представлены рядом работ. Некоторые вопросы уравновешивания плоских и пространственных механизмов исследовал М. В. Семенов (1949—1950). Теоретическому и экспериментальному исследованию динамики вращающихся масс посвящены работы Б. В. Шитикова, которым созданы также новые машины для балансировки вращающихся деталей. Вопрос динамической балансировки без балансировочных машин был изучен М. М. Гер- нетом (1950). Я. Л. Геронимус (1948, 1958) использовал для расчета уравновешивания механизмов метод наилучшего приближения функций П. Л. Чебышева. Ему удалось получить решение задачи о подбора противовесов коленчатых валов двигателей, удовлетворяющих наивыгоднейшим конструктивным параметрам. Метод наилучшего приближения функций был применен к расчету противовесов также в работе С. М. Куценко (1951). Л. И. Штейнвольф (1958) исследовал вопрос о динамической балансировке

роторов. М. Я. Кушу ль и А. В. Шляхтин (1964) изучили вопрос балан- -сировки гибких роторов. Некоторые специальные вопросы динамической балансировки изучены Е. В. Николаевским (1965). Установка для динамической балансировки роторов тензометрическим методом предложена Ю. М. Шестаком (1965).

Л. Н. Решетов провел исследование уравновешивания сил инерции плоских механизмов (1964).

Задачи динамической балансировки роторов с учетом их упругости вводят в группу задач динамики машин, которая получила свое развитие в последние десять лет и характерной чертой которой явлется учет реальных условий работы машины и некоторых свойств звеньев машины и связей между звеньями. Исследования в области динамики машин характеризуются все большим отходом от идеализированных моделей, как следствие того, что в технику непрерывно внедряются новые технологические процессы, скорости звеньев машин растут, приходится учитывать в качестве кинематических параметров не только ускорения первого, но и второго и высших порядков. При этом не только меняются конструкции машин и парк машин непрерывно растет, но изменяется, как мы видели выше, само определение машины и, следовательно, перед теорией механизмов и машин возникают новые задачи.

Вне зависимости от того, какие элементы входят в состав машин, динамика машин в самом общем виде может быть представлена как наука, изучающая два основных вопроса:

силы, действующие на звенья машин, и их влияние в условиях заданного закона движения машины;

истинный закон движения машины под действием заданных сил.

Если при изучении механизмов и машин с идеально жесткими звеньями легко было разрешить раздельно каждый из основных вопросов динамики, то при рассмотрении машин, в которых звенья считаются упругими и в состав которых входят не только механические системы, раздельное рассмотрение этих вопросов становится невозможным, так как кинематика механизмов, входящих в состав машины, определяется в этом случае совокупностью не только уравнений аналитической механики, но и соответствующими уравнениями теории упругости, термодинамики, гидро- и пневмомеханики и электроники.

Динамическое исследование механизмов с двумя степенями свободы при всех жестких звеньях было выполнено В. В. Добровольским (1939). При этом он применил уравнения Лагранжа второго рода. Б. М. Абрамов лри исследовании динамики плоских механизмов с двумя степенями свободы применил уравнения Аппеля (1951). Динамическое исследование пятизвенного шарнирного механизма с двумя степенями свободы выпол- неноч С. И. Гамрекели (1957). Н. Н. Дижечко предложил графический метод исследования динамики плоского механизма с несколькими степенями свободы (1959).

К этой же группе относятся работы, в которых исследуются вибрационные механизмы. Вибрационная техника получила в последние годы большое развитие; машины вибрационного действия применяются на строительстве и при производстве строительных материалов, в литейном деле, при транспортировке сыпучих материалов. Одной из основных задач динамики вибрационных машин является определение установившегося движения рабочего органа машины под действием возмущающей силы вибратора и сил сопротивления со стороны обрабатываемой среды. Эти силы обычно являются нелинейными функциями перемещения и скоростей.

Поэтому задача сводится к интегрированию нелинейных дифференциальных уравнений.

Исследования вибрационных процессов и вибромеханизмов были начаты в пятидесятых годах изучением конкретных машин и технологических процессов. Динамика процесса вибропогружения исследована： в работах Ю. И. Неймарка, И. И. Блехмана, М. Я. Кушуля и А. В. Шлях- тина (1953——1954). Динамикой вибрационной мельницы занимались Н. Г. Четаев и В. В. Гортинский (1957——1958). Исследования вибросепара- .ции и вибротранспортировки выполнили И. И. Блехман (1957), В. В. Сорока (I960) и специально для вибромашин, предназначенных для выполнения этих операций, Н. П. Неронов, А. Ф. Захаревич и П. А, Журавлев (1956). В. Д. Земсковым изучена теория инерционных грохотов (1952); тем же вопросам посвящена статья Д. Я. Моисеенко (1965).

В ряде работ исследуются динамические характеристики сил взаимодействия среды с рабочим органом машины. Это определяется тем, что в таких процессах как погружение, резание, транспортировка, сепарация и некоторые другие силы взаимодействия существенным образом влияют на динамику процесса. Одной из первых работ по этому вопросу была статья И. И. Артоболевского, А. П. Бессонова и Н. П. Раевского (1954) в которой исследование выполнено применительно к процессу вибропогружения.

Работы более общего плана посвящены различным теоретическим аспектам изучения вибрационных процессов и вибромеханизмов. А.П. Бессонов исследовал влияние конструктивных параметров на степень неравномерности вращения дебалансов и колебание вибрирующего органа. (1958—1960). Вопросы самосинхронизации вибраторов изучались И. И. Блехманом (1953, 1958——1960); им же исследован процесс работы многовибраторных вибромашин (1958, 1963). Неравномерность вращения дебалансов изучена М. Л. Быховским (1958). Нелинейные задачи в теории вибрационных процессов исследовались в работах В. О. Кононенко.

Наравне с вибрационными механизмами большое значение приобрели: виброударные механизмы, в основе цикла работы которых лежит ударное； взаимодействие их звеньев.

Исследованиям виброударных систем посвящены работы А. Е. Кобринского и его сотрудников и В. О. Кононенко. Цикл исследований А. Е. Кобринского, посвященных вибрационным и виброударным механизмам, обобщен в его монографии «Механизмы с упругими связями» (1964).

Учет упругости звеньев также вводит в расчетные уравнения дополнительные степени свободы. Однако принципиально эта группа задач отличается от исследования вибрационных и виброударных процессов: цикл работы последних не может быть получен из чисто кинематических соображений и исследование приходится вести, не разбивая его на. кинематическое и динамическое. В случае же задач с упругими звеньями можно говорить о том, что механизм или машина обладает определенным кинематическим циклом. Следовательно, для подобных систем имеет смысл проводить обычный кинематический и динамический анализ, как первое- приближение к действительности. Методы исследования таких систем должны сочетать приемы теории механизмов и машин и теории колебаний.

Подобные методы получили некоторое развитие еще в тридцатых и сороковых годах применительно к кривошипно-ползунным механизмам двигателей. Тенденции последних десятилетий выдвигают на первое место роторные машины. Вследствие этого быстро развилась теория изгибных.

колебаний вращающихся валов с распределенными массами и массами, сосредоточенными в виде дисков. Эта теория является продолжением возникшей во второй половине прошлого столетия классической теории «гибкого вала».

В 1937 году Е. Л. Николаи дал подробный анализ действия внутреннего трения в консольном вале с диском на конце и показал неустойчивость вала в закритической области вращения. П. Л. Капица (1939) исследовал устойчивость гибкого ротора турбомашин в связи с трением в подшипнике скольжения.

В послевоенное время начали появляться работы, относящиеся к определению спектра частот колебаний в зависимости от скорости вращения, что является задачей более общей, чем определение критических -скоростей. Впервые в советской литературе эту задачу решал В. Я. Натан- зон (1948). Частоты колебаний и критические скорости валов рассмотрены в статьях И. А. Крюкова, А. Ф. Гурова и А. Н. Огуречникова (1956). Анализ колебательного движения вала дан в работах В. Я. Натанзона и Ф. М. Диментберга (1951——1952). Устойчивость гибкого вала исследовали А. И. Гурин (1949) и В. М. Старжинский (1954).

Влияние трения и устойчивость в связи с трением и упругостью опор рассмотрены в работах Ф. М. Диментберга (1951—1959), где установлено существенное различие между внешним и внутренним трением, заключающееся в наличии гироскопических членов в дифференциальных уравнениях колебаний дополнительно к производным от диссипативной функции, вследствие чего каждое из этих трений по-разному влияет на устойчивость колебаний. Влияние трения исследовано также в работах М. Я. Ку- шуля (1954), Э. Л. Позняка и Д. Ф. Пичугина (1958).

Теория колебаний гибких роторов двоякой жесткости, обусловленная современным развитием конструкций турбогенераторов, изучалась в статьях Ф. М. Диментберга (1952, 1959) и И. Е. Сахарова (1959). Продольные колебания валов переменного сечения исследованы в статьях М. Я/ Кушу ля (1953) и А. В. Шляхтина (1962).

Нестационарные колебания вала при изменении угловой скорости в условиях разгона и выбега с переходом критической скорости рассмотрены в работах В. А. Гробова (1953), Ф. М. Диментберга (1956, 1959), А. А. Гусарова, О. Н. Романива, В. А. Гробова (1957—1958). Колебания вала с учетом явлений, происходящих в масляном слое подшипников, изучены в цикле работ А. Г. Бургвица и Г, А. Завьялова. Исследованию стационарных и нестационарных колебаний посвящен также ряд статей В. О. Кононенко.

Ряду вопросов, связанных с колебаниями машин, посвящена монография Ф. М. Диментберга, К. Т. Шаталова и А. А. Гусарова (1964).

Расширение фронта автоматизации технологических процессов различных отраслей промышленности и стремление к максимальной интенсификации этих процессов часто выдвигает новые задачи в области динамики машин. Так, в самых различных областях промышленности встречаются механизмы, в состав которых входят звенья с переменными мае- * сами (при учете обрабатываемого продукта). У этих звеньев меняется не только масса, но и момент инерции и положение цейтра тяжести; динамические расчеты таких механизмов становятся сложными.

Основы динамики тела переменной массы были заложены И. В. Мещерским и затем развиты в работах А. А. Космодемьянского, Ф. Р. Гант- махера и Л. М. Левина, В. С. Новоселова и др. На необходимость учета изменений массы при динамическом расчете сельскохозяйственных машин

указывал В. П. Горячкин. Рядом ученых было замечено, что это относится также к некоторым машинам горнодобывающей, металлургической, строительной, полиграфической и иных отраслей промышленности.

Для учета изменений массы И. И. Артоболевским и А. П. Бессоновым развит метод затвердевания систем, с помощью которого оказалось возможным использовать общие динамические приемы теории механизмов и машин (1962——1964). В. С. Ракита решил некоторые практические задачи динамики горных машин с переменной массой (1940, 1950), В. Т. Костицын предложил графический метод решения задач этого типа (1956). В работах А. П. Бессонова, В, А. Дубровского и Э. Е. Сильвестрова. (1965) приводится исследование колебаний систем с переменной массой. Задача динамики тел переменной массы для машин швейного производства^ решена В. О. Езикашвили (1965). Результаты исследований в этой области динамики за последние годы сведены в монографии В. А. Зиновьева и A. IL Бессонова (1964).

В ряде работ к исследованию машин были приложены методы неголо- номной механики, развитые С. А. Чаплыгиным и IL В. Воронцом. Некоторые механизмы с неголономными связями были изучены А. И. Кухтенко- (1954—1955), В. С. Новоселовым (1957), Г. С. Погосовым (1962).

Выше уже было отмечено, что основной тенденцией развития современной динамики машин является приближение к изучению машин в действительных условиях их работы. Поэтому весьма существенное значение получает исследование динамики машинного агрегата с учетом упругости его звеньев и связей. В этом направлении работает С. Н, Кожевников (1953, 1961—1963), который сводит исследуемые им машинные агрегаты к линейным цепям дискретных масс с упругими связями, и А. Н. Голубенцев (1959), исследовавший динамику переходных процессов в трехшестимассовых системах. Динамическое исследование механизмов с упругими связями с учетом трения и зазоров в кинематических парах выполнено А. Е. Кобринским (1952—1953, 1956). В совместной работе С. Н. Кожевникова и А. Н. Ленекого (I960) также было проведено динамическое исследование механизма с зазорами в кинематической паре. К. М. Рагульскис (1963) провел исследование периодических и переходных движений механизма, зависящих от вибрации основания. Л. И. Цехнович (1958—1963) изучил некоторые вопросы динамики машинного агрегата с электрическим приводом. Динамика машин с электрическим приводом изучалась также М. Л. Быховским (1958—1962).

В связи с широким распространением в различных областях техники механизмов с гидравлическими и пневматическими устройствами постепенно увеличивается число работ, посвященных теории и расчету таких устройств. Очень много работ посвящено конкретным гидравлическим и пневматическим механизмам, применяемым в горном деле, на строительстве, в металлургии, в авто- и тракторостроении, в машинах-автоматах и автоматических линиях. Вопросам расчета гидравлических устройств посвящены работы С. Н. Кожевникова (1955), Е. А. Цухановой (1956—— I960), Б. Н. Бежанова (1957).

В работах И, И. Артоболевского, Е. В. Герц, А. Е, Кобринскога и Н. П. Раевского (1955) разработан метод динамического расчета наиболее- общего случая поршневого устройства с переменным противодавлением. В. В. Бердниковым рассмотрена динамика поршневых двигателей (1956). Исследованию и расчету пневматических систем посвящены циклы работ Е. В. Герц, В. П. Зенченко, Г. В. Крейнина. В монографиях Б. Н. Бежанова (1957) и А. Г. Холзунова (1959, 1964) можно найти общий обзор

механизмов с пневматическими устройствами, указание областей их применения, а также теорию и методы расчета. Теория пневмогидравлических механизмов была изучена Б. Н. Бежановым (1963). Е. В. Герц, Н. И. Левитский и Е. А. Цуханова (1965) рассмотрели методы анализа гидравлических и пневматических механизмов, а также методы синтеза, гидравлических механизмов и структурного синтеза пневматических и гидравлических систем управления.

Одним из эффективных средств исследования динамики и проектирования механизмов и машин является метод моделирования проходящих в них процессов с помощью математических машин, главным образом электронных вычислительных устройств. Электронные моделирующие установки были применены С. Н. Кожевниковым и его сотрудниками при исследовании динамики тяжелого металлургического оборудования (1961—1963). С. Н. Кожевников (1965) поставил задачу математически описать динамику некоторых типов бесступенчатых передач в форме, пригодной для анализа на электронных моделирующих установках.

Развиваются методы экспериментальной динамики. Успехи прикладной физики и электротехники создали условия для развития новых, более совершенных способов экспериментального исследования машин. В послевоенное время началось широкое использование методов измерения механических величин электрическими способами. Практические приемы измерения механических параметров применительно к исследованию машин изложены в монографиях Н. П. Раевского (1952, 1959). Экспериментальным методам исследования машин посвящен сборник, вышедший под редакцией И. И. Артоболевского (1954). Ряд новых методов экспериментального исследования машин изложен в сборнике, опубликованном под редакцией и при непосредственном участии С. Н. Кожевникова (1954).

Экспериментальным методам исследования посвящен цикл работ Н. П. Раевского. Весьма существенные результаты в этой области опубликовали Я. М. Раскин, А. М. Туричин (1954), Ю. И. Иориш (1956). Экспериментальное исследование виброударного механизма выполнили С. Н. Кожевников и Я. М. Раскин (I960). Ряд работ А. Е. Кобринского, В. И. Бабицкого, Д. С. Борисова и других посвящены исследованиям динамики электрических шаговых двигателей.

В ряде работ рассмотрены общие проблемы динамики машин. Из работ, опубликованных в последние годы, отметим обзорные статьи И. И. Артоболевского (1961, 1965), совместную работу И. И. Артоболевского и А. Е. Кобринского (1963). В этих работах нашли свое освещение также перспективные вопросы дальнейшего развития динамики машин. А. И. Кухтенко (1964) предложил новые методы решения задач общей динамики машин. Ряд вопросов последней рассмотрен в работах С. Н. Кожевникова (1965) и А. Е. Кобринского (1965). Многие вопросы общей динамики машин рассматриваются в уже упоминавшихся монографиях А. Е. Кобринского (1964) и В. А. Зиновьева и А. П. Бессонова (1965).

Следует отметить еще некоторые работы, которые генетически связаны с известным циклом работ Я. И. Грдины о динамике живых организмов.

Теория проектирования машин-автоматов

Одной из важнейших проблем современной теории механизмов и машин является теория проектирования машин-автоматов. Основная задача ее ——развитие теретических исследований в области комплексной механизации и автоматизации производства, разработка теории и принципов

создания новых высокопроизводительных машин и автоматических линий.

Первые работы в области теории машин-автоматов появились в двадцатых годах и относились к общей теории рабочих машин, разработанной В. П. Горячкиным и его учениками. Самостоятельного значения они не имели. В конце двадцатых годов в связи с началом индустриализации страны среди машиноведов возник интерес к исследованию автоматических процессов. В 1931 г. в Ленинградском политехническом институте была организована первая в Советском Союзе кафедра машин-автоматов, в работе которой приняли участие Н. И. Колчин, X. Ф. Кетов и С. В. Вяхирев.

Тридцатые годы ——годы возникновения и развития многих отраслей отечественного машиностроения ——определили、повышенный интерес к проведению научных изысканий в этой новой для советской механики машин области.

Вопросы синтеза машин-автоматов были подняты в работе А. П. Малышева «Кинематика механизмов» (1933), один из разделов которой («Кинематический синтез автоматов») был посвящен этому вопросу. Автор дает здесь некоторые рекомендации, в частности, указывает на необходимость составления цикловой диаграммы. Вопросам синтеза автоматов и поточных линий посвящены работы И. Л. Клапауха (1937——1939).

В первых работах, посвященных исследованию работы и проектированию машин автоматического действия, последние изучались применительно к отдельным видам производства. Во второй половине тридцатых годов на эти темы было опубликовано несколько монографий: «Кинетика полиграфических машин» В. А. Юдина (1937), «Механика текстильных машин» С. О. Доброгурского и В. А. Катонова (1938), «Механика строкоотливных наборных машин» Л. В. Петрокаса (1939); общей теории машин автоматического действия посвящена монография С. В. Вяхирева «Автоматы и полуавтоматы» (1939).

Особенно большое развитие получили исследования в области теории машин автоматического действия в послевоенные годы. Объяснялось это как требованиями развития соответствующих отраслей промышленности, так и тем, что к началу сороковых годов теория механизмов и машин в СССР уже далеко продвинулась вперед в ряде проблем и был подготовлен научный аппарат для дальнейших исследований.

В первые же послевоенные годы было выпущено несколько трудов, посвященных теории автоматов. Сюда относятся монографии И. И. Артоболевского, С. И. Артоболевского, В. А. Юдина и Г. А. Шаумяна «Методы анализа машин-автоматов» (1945, 1947), Г. А. Шаумяна «Основы теории проектирования станков-автоматов» (1946), А. П. Малышева, А. И. Смирнова и П. А. Воробьева «Основы проектирования ткацких станков» (1946).

Расчет кинематических схем станков-автоматов был освещен в работах С. И. Артоболевского (1947). Автор затронул в них также вопросы классификации автоматов и пришел к выводу о существовании зависимости между кинематикой автомата и его теоретической производительностью.

В 1947——1949 гг. был опубликован ряд статей по вопросам теории автоматов и несколько обобщающих монографий: «Машины-автоматы» С. И. Артоболевского, «Механика швейных машин» С. Н. Кожевникова и М. М. Пруслина, «Механика обувных машин» И. И. Капустина, «Основы теории проектирования автоматов и автоматических линий» Г. А. Шаумяна (1949). В дальнейшем были опубликованы «Автоматы» Г. А. Шаумяна, «Методы выпускной способности рабочих машин» С. И・ Арто болев-

ского, «Конструирование специализированных станков-автоматов и полуавтоматов» И. М. Кучера (1952).

Первое совещание по основным проблемам теории механизмов и машин, состоявшееся 14——16 июня 1954 г. в Москве, заслушало доклад И. И. Артоболевского, в котором, в частности, была обоснована необходимость развития исследований в области теории рабочих процессов, являющейся необходимой предпосылкой для построения теории машин автоматического действия, и в области этой последней. Он отметил, что основными проблемами здесь являются создание методов расчета производительности и эффективности машин-автоматов и развитие методов

проектирования кинематических схем механизмов и машин-автоматов. Необходимость создания теории машин-автоматов была обоснована также В. И. Дикушиным, А. П. Владзиевским и В. Т. Костицыным (1956). В своем решении ) совещание на первом месте отметило, что важнейшими проблемами являются:

«а) создание теории рабочих процессов, которую необходимо разрабатывать в направлении изучения и уточнения механических характеристик различных рабочих процессов, осуществляемых машиной, в направлении изучения геометрических параметров рабочих органов и механики исполнительных механизмов на рабочий процесс и их взаимосвязь и т. д.;

дальнейшее развитие теории рабочих машин и особенно машин- автоматов в направлении создания методов исследования и проектирования принципиальных структурных, кинематических и динамических схем * машин, а также схем их автоматизации».

Второе совещание по основным проблемам теории механизмов и машин состоялось в Москве 24——28 марта 1958 г. Доклады по вопросам теории машин автоматического действия заслушивались в отдельной секции. Было отмечено, что за истекшие четыре года в разработке этой теории был достигнут значительный успех.

Современные методы синтеза механизмов и их роль в развитии теории мапшн-автоматов были освещены Н. И. Левитским и С. А. Черкуди- новым (1957). М. Л. Орликов (1955) изучил теорию кулачковых механизмов и ее использование при проектировании кулачков машин-автоматов. С. И. Артоболевский (1955—1957) развил вопросы классификации технологических машин и теории их производительности. Вторым изданием вышла монография Г. А. Шаумяна (1955), в которой были изложены вопросы общей теории машин-автоматов и методы их проектирования. А. П. Владзиевский и Ф. С. Демьянюк (1957) развили вопросы построения систем автоматических поточных линий.

Начали развиваться некоторые новые системы автоматизации. М. Г. Брейдо, А. Е. Кобринским и В. К. Бесстрашновым (1950) была предложена разомкнутая шаговая система программного управления, испытанная в макетном исполнении в 1955 г. О результатах разработ

ки динамики шаговых М. Л. Быховского и А.Между 1954 и 1959 направление, связанное под руководством А. Е.ки динамики шаговых М. Л. Быховского и А.Между 1954 и 1959 направление, связанное под руководством А. Е.систем дает представление совместная работа Е. Кобринского (I960).

ки динамики шаговых М. Л. Быховского и А.

Между 1954 и 1959 направление, связанное под руководством А. Е.

ки динамики шаговых М. Л. Быховского и А.

Между 1954 и 1959 направление, связанное под руководством А. Е.

гг. в механике машин возникло новое научное с кибернетикой. В частности, группой авторов Кобринского (1957) была выполнена работа по

созданию биоэлектрической системы управления.

Исследования в области теории автоматических линий были подытожены в двухтомной монографии А. П. Владзиевского.

Исследования, выполненные в период 1959——1961 гг., охватывали очень большой комплекс вопросов. Сюда относятся работы, посвященные изучению новых методов управления двигателями, исследования в области пневматических, гидравлических и гидропневматических механизмов» входящих в качестве важнейших составных частей в машины автоматического действия. Были исследованы кулачковые механизмы (как основной вид механического привода машин-автоматов), проведена оценка их но ряду показателей и намечен выбор оптимальных решений. Этой проблеме посвящен цикл работ К. В. Тира, обобщенный в монографии «Комплексный расчет кулачковых механизмов» (1958), и работа С. И. Артоболевского (1961).

В связи с тем, что в системы управления машинами начали проникать быстродействующие электронные счетно-решающие и логические устройства, ряд работ был посвящен проблемам исследования и синтеза таких устройств. Вопросу автоматизации операций, связанных с подготовкой управляющих программ, была посвящена работа М. Л. Быхов- ского и А. И. Курочкиной (1963).

Были продолжены работы, посвященные исследованию проблемы классификации машин-автоматов и их элементов. В работах С. И. Артоболевского (1958—1960) были разработаны основы учения о структуре технологических машин и структурная классификация исполнительных агрегатов, определяющая различие в методах их кинематического и энер- 'гетического расчета.

Сделаны были попытки создания общеотраслевых классификаций технологических машин-автоматов, увязанных с различными методами их расчета. В основу классификации С. И. Артоболевского (1955) были положены различия в функционально-производственных схемах машин; А. Е. Кобринский, А. И. Корендясев и Е. И. Левковский (1963) предложили классификацию, основанную на числе источников информации.

Разработка вопросов расчета циклограмм была выполнена М. Б. Руби- ным и И. А. Клусовым- (I960). Отдельные механизмы и процессы в Л1аши- нах автоматического действия ёыли изучены в работах В. Ф. Прейса (19.59—1961), Э. И. Шехвица (1959—1962), Н. И. Камышного и М. В. Мед- видя (I960).

Ряд работ был посвящен исследованиям и методам расчета автоматических линий. Были изучены вопросы, связанные с проектированием роторных линий. В работах С. И. Артоболевского (I960), Ю. Б. Эрпшера (1958), Л. Б. Эрлиха и А. А. Левина (1958, 1962) были рассмотрены вопросы структуры автоматических линий в связи с методами их расчета.

В июне 1961 г. состоялось третье совещание по основным проблемам теории механизмов и машин. На секции теории машин-автоматов был заслушан обзорный доклад С. И. Артоболевского и ряд сообщений》 посвященных, различным аспектам теории.

В работах, изданных после 1961 г., нашли свое отражение дальнейшие исследования в области теории машин автоматов. Была издана третьим, переработанным изданием монография Г. А. Шаумяна (1961). Ряд вопросов общей теории машин- автомате в освещен в монографии К. В. Тира《Механика полиграфических автоматов» (1965) и в монографии С. И. Артоболевского (1965), изданной посмертно под редакцией В. Ф. Прейса.

Вопросам комплексной механизации и автоматизации и задачам теории проектирования автоматических машин и линий посвящена работа А. П. Владзиевского, И* И. Капустина и Л. В. Петрокаса (1965).

Авторы указывают, в частности, что в развитой советскими учеными теории производительности наметилось четыре основных направления: первое, разрабатываемое Г. А. Шаумяном и основанное на функциональной зависимости производительности от режимов работы и структуры линий; второе, развитое С. И. Артоболевским на основе функциональной зависимости производительности от структуры автоматической системы; третье, разрабатываемое И. И. Капустиным, основанное на функциональной зависимости производительности и структуры автоматов от технологии рабочего процесса; четвертое, развиваемое А. П. Владзиевским и Ю. Б. Эрпшером, устанавливающее теоретико-вероятностные зависимости производительности от структуры линий. Соответствующие сводные монографии этих ученых были упомянуты выше; монография Ю. Б, Эрп- шера, посвященная надежности автоматических линий, была опубликована в 1963 г. В 1964 г. была опубликована аналогичная монография А. Д. Епифанова.

Большое количество статей посвящено исследованию гидравлических и пневматических механизмов. Некоторые из этих статей указаны в разделе, посвященном динамике машин.

В статье Е. И. Левковского (1965) исследуется понятие «автомата и «машина-автомат». Вопросам проектирования схем машин автоматического действия посвящены монография А. И. Дащенко и Е. Г. Нахапетяна (1964), работа Д. Я. Ильинского и И. И. Капустина (1965). Вопросам комплексной автоматизации производства посвящена работа Л. Н. Кошкина (1965). Использование, вычислительных машин для производственных процессов рассмотрено в работах Н. П. Бусленко, А. А. Белостоц- кого и других (1964).

16——20 июня 1964 г. в Киеве состоялось четвертое совещание по основным проблемам теории механизмов и машин, на котором была подытожена исследовательская работа в области механики машин за последние четыре года и установлены новые направления исследований.

Уже ближайшее ознакомление с публикациями, вышедшими в свет после этого совещания, показывает, что основным направлением в теории машин-автоматов, если судить по Числу публикаций, является теория отдельных видов механизмов (пневматических, гидравлических, кулачковых), тогда как общим вопросам теории машин автоматического действия посвящено относительно небольшое количество работ.

Учебная и справочная литература; историяи библиография

Теория механизмов и машин под разными наименованиями (прикладная механика, кинематика механизмов, динамика машинt теория механизмов и др.) длительное время составляла один из важнейих предметов рбщетехнической подготовки в русской высшей технической школе. Поэтому уже в первом десятилетии XX века последняя получила отличные для своего времени учебники: курсы Д. С. Зернова, Д. П. Рузского» Н. Е. Жуковского, Н. Б. Делоне. В 1904 г. были изданы литографированные лекции по теории механизмов и машин Н. И. Мерцалова (перизданы в 1914—1916 it)

В двадцатых гг. некоторые из этих учебников были переизданы. Кроме того, вышли в свет новые курсы, обладаюище незаурядными методическими достоинствами и имевшие для своего времени значение монографий, написанные А. П. Малышевым, Я. В. Столяровым,

Л. П. Смирновым, Л. Б. Левенсоном и очень интересный энциклопедический курс А. И. Сидорова (1928).

Наибольшее распространение в первой половине тридцатых годов получил курс Л. Б. Левенсона, вышедший в нескольких изданиях и вызвавший оживленную дискуссию о силах инерции. Был переиздан с значительными дополнениями курс А. П. Малышева (1933). В 1934 г. были опубликованы курс прикладной механики А. П. Иванова, М. В. Дубровина, М. В. Семенова и Н. И. Фугенфирова и задачник, оставленный под редакцией А. П. Иванова.

Со второй половины тридцатых годов в программу советской высшей школы вводится изучение систематики по Л. В. Ассуру и ее начинают включать в учебные руководства. В 1939 г. вышел в свет курс теории механизмов и машин X. Ф. Кетова и Н. И. Колчина, а несколько позже монография И. И. Артоболевского «Теория механизмов и машин» (1940), в основу которой были положены лекции, прочитанные автором в Московском университете. Сразу же по окончании войны были опубликованы более краткие учебники по теории механизмов и машин, написанные И. И. Артоболевским (1945) и В. В. Добровольским (1946) и предназначенные для высшей технической школы. Учебники эти неоднократно переиздавались.

В связи с бурным развитием машиностроения в послевоенные годы возникла необходимость в достаточно подробной справочной литературе. Большим коллективом авторов был создан тогда энциклопедический справочник «Машиностроение» (1947—1950). Одновременно была начата работа над составлением специализированных справочников для конструкторов, в которых были бы сведены все механизмы, созданные и освоенные техникой к середине сороковых годов. Был издан справочник С. О. Доб- рогурского, Ф. А. Соколова и Е. И. Захаровой (1947) и значительно более полный справочник С. Н. Кожевникова, Я. И. Есипенко и Я. М. Раскина (1950), выдержавший три издания.

В 1947 г. вышел в свет первый том большого справочника «Механизмы», подготовленного И. И. Артоболевским, за которым последовали следующие три тома (1948——1951); первые тома были вскоре переизданы.

В 1947 г. был опубликован первым изданием задачник по теории механизмов и машин, составленный И. И. Артоболевским, В. А. Зиновьевым и Б. В. Эдельштейном.

В конце сороковых ——начале пятидесятых годов вышло из печати несколько руководств по теории механизмов и машин для машиностроительных институтов и для институтов, в которых теория механизмов и машин проходится по сокращенной программе: С. Н. Кожевникова (1949), И. И. Артоболевского (1951), А. С. Кореняко и Л. И. Кременштей- на (1952), Г. Г. Баранова (1958), краткий курс В. А. Зиновьева (1955). Были опубликованы также пособия по курсовому проектированию, по проведению лабораторных работ, сборники задач, методические пособия и пр. (С. И. Артоболевского, Е. С. Безвесельного, А. С. Кореняко, и Л. И. Кременштейна, Д. И. Костюка, О. И. Голдаевой и Ю. В. Яковлева и др.).

С 1948 по 1957 г. публиковал свой курс «Механика машин» в пяти книгах Н. И. Колчин.

В пятидесятых годах вышли в свет также учебные руководства по теории механизмов и машин на языках народов СССР: Д. С. Тавхелидзе и Г. А. Джабуа на грузинском языке, Н. М. Гуссейнова на азербайджанском языке, X. X. Усманходжаева на узбекском языке. На ряд языков

Советского Союза были переведены также учебники И. И. Артоболевского, С. Н. Кожевникова и другие.

В последние годы учебно-методическая литература по теории механизмов и машин значительно пополнилась рядом фундаментальных руководств. Вышли из печати курсы В. А. Зиновьева (I960), Н. И. Колчина (1962—1963), С. И. Артоболевского (1963). И. И. Артоболевский значительно переработал свой курс, который был выпущен под названием «Теория механизмов» (1965).

Были опубликованы также некоторые пособия по проведению лабораторных работ по теории механизмов и мапшн (В. В. Юденич, 1962), по курсовому проектированию (В. А. Юдин, 1963), задачники (В. А. Юдин и Г. А. Барсов, 1963) и др.

Следует отметить, что руководства, написанные советскими учеными по теории механизмов и машин, были переведены на ряд иностранных языков; таким образом, советская школа теории механизмов и машин оказала существенное влияние не только на направление научно-исследовательских работ, но и на постановку преподавания этого предмета в высших технических учебных заведениях многих стран.

Вопросы истории теории механизмов и машин также не остались в стороне и разрабатывались советскими учеными. И. И. Артоболевский в цикле статей осветил ряд вопросов истории русской науки и русского машиностроения, исследовал научное творчество П. Л. Чебышеваг Н. Е. Жуковского, Л. В. Ассура, В. П. Горячкина, Н. И. Мерцалова, В. В. Добровольского, изучил историю, происхождение и современное состояние советской школы теории механизмов и мапшн. Краткий очерк научного творчества русских машиноведов составил А. М. Антовиль (1951). Первоначальный этап развития исследований в области синтеза механизмов изучал Н. Г. Бруевич (1934, 1937, 1939). История русской механики машин в XVIII веке освещена в работе А. А. Дорогова (1956). Отдельные вопросы истории отечественной механики машин освещены в работах В. If. Прокофьева. История классификации механизмов изучена И. Е. Петуховым (1955). В монографии А. Н. Боголюбова (1964) история механики машин исследуется от времен ее зарождения до современности.

Перспективы дальнейшего развитиятеории механизмов и машин

Характерной особенностью научных исследований, которые проводились в дореволюционной России, было то, что они, как Правило, выполнялись одним ученым. Коллективных методов работы не существовало, научно-исследовательских институтов не было, а исследования производились учеными, работавшими в выспшх учебных заведениях, сосредоточенных в немногих крупнейших городах ——Петрограде, Москве, Киеве, Харькове, Одессе, Казани и Екатеринославе.

Сразу же после Великой Октябрьской социалистической революции начинается организация новых высших учебных заведений. Организуются технические институты в Иванове, Свердловске, Тбилиси, Владивостоке, Ставрополе, Краснодаре, Нижнем Новгороде (Горьком) и в других городах. В результате начавшейся в конце двадцатых годов индустриализации процесс организации новых технических учебных заведений убыстряется в значительной степени. Технические вузы появляются в республиках Средней Азии, в Закавказье, в Белоруссии, на Урале, в Сибири, на Дальнем Востоке.

Вместе с этим распространяются по областям и республикам Советского Союза и технические науки, и, в частности, одна из важнейших наук о машинах — теория механизмов и машин. Учебно-методическая литература, а затем и оригинальные исследования в этой области появляются в таких местах, где до революции зачастую не было даже и средних школ.

Однако лишь в тридцатых годах начинают складываться коллективные методы работы: разообщенные ранее ученые начинают встречаться на совещаниях и съездах. Со второй половины тридцатых годов на основе общности тематики иг методов исследования начинает складываться советская школа ученых, работающих в области механизмов и машин.

Как было показано выше, основной тематикой исследований сначала были вопросы структуры и классификации механизмов, кинематика и кинетостатика плоских и пространственных шарнирных механизмов; в значительно меньшей степени изучались синтез механизмов, теория кулачковых и зубчатых механизмов. Отдельные работы были посвящены вопросам динамики машин.

Уже в годы Великой Отечественной войны Советского Союза меняется тематика исследований. Большое значение пр ио бретают проблемы синтеза механизмов, динамики машин с учетом реальных условий их работы и теория мапшн автоматического действия. Особенно быстро начинают развиваться исследования в области динамики машин, теории машин- автоматов и различных комбинированных проблем со второй половины пятидесятых годов. Вместе с тем, в значительной степени увеличивается число ученых, ведущих исследовательскую работу в области теории механизмов и машин, многие кафедры этой науки становятся элементарными научно-исследовательскими ячейками, возрастает значимость работ, выполняемых «на местах», снимается различие между наукой «столичной» и «периферийной».

Организационным центром научно-исследовательских работ в области теории механизмов и машин, причем центром союзного значения, становится семинар по теории машин и механизмов при Институте машиноведения Академии наук СССР. Организуются его филиалы в Ленинграде, Харькове, Тбилиси, Днепропетровске, Киеве, Челябинске, Каунасе и, таким образом, обеспечивается коллективность научного творчества в этой области.

Возникают оригинальные научные направления в отдельных союзных республиках. Так, одна из крупнейших групп ученых в области теории механизмов и машин работает в настоящее время в Грузии. Здесь разрабатываются вопросы анализа и синтеза механизмов (Д. С. Тавхелидзе, А. А. Тамамшев, Г. А. Джабуа, Н. В. Демуришвили, В. М. Январашвили, С. И. Гамрекели), кинематика сложных зубчатых механизмов (Г. Д. Гоца- ридзе), теория кулачковых механизмов (О. С. Езикашвили, И. И. Заали- швили, Д. Г. Челидзе). Вопросы синтеза механизмов изучаются также в Армении (А. Т. Газаров, М. Б. Эдилян), в Узбекистане (И. И. Курбанов, X. X. Усманходжаев). В Казахстане изучаются вопросы кинематики механизмов (У. Джолдасбеков). В Литве исследованиями теории кулачковых механизмов занимаются А. С. Гульбинас, Р. А. Ионушас, К. М. Рагульскис. Последний изучает также вопросы динамики машин. В Латвии изучается теория структуры и классификации механизмов (О. Г. Озол), кулачковые механизмы (В. В. Заре), анализ и синтез шарнирных механизмов (В. М. Нейланд). Подобное же развитие имеет место и в других республиках Советского Союза.

В кратком очерке трудно назвать всех исследователей и даже упомянуть все центры исследований, существующие в настоящее время в Советском Союзе. Можно лишь отметить, что сейчас советская школа теории механизмов и машин является самой мощной в мире и по своему численному составу, и по ширине охвата исследуемых проблем, и по значимости полученных результатов. По приблизительной оценке в настоящее время в Советском Союзе выполняется несколько менее 50% всех современных работ в области теории механизмов и машин'.

Эта тенденция вовлечения в научно-исследовательскую работу в области теории механизмов и машин сотрудников кафедр технических вузов и инженеров, работающих на производстве, будет, по-видимому, продолжаться и в дальнейшем. По мере роста научного потенциала на местах филиалы семинара по теории машин и механизмов, а, возможно, и отдельные семинары по специальным проблемам, будут организованы и в других, кроме упомянутых, городах Советского Союза.

Перейдем теперь к анализу перспектив исследований в области отдельных проблем механики машин.

Мы видели выше, как постепенно изменялись основные направления исследовательской работы в области теории механизмов и машин. В настоящее время определились три основные проблемы, которые стоят перед учеными. Это теория машин-автоматов, теория синтеза машин-автоматов и динамика машин.

Решение главной экономической задачи, поставленной программой КПСС — в течение 20 лет создать материально-техническую базу коммунизма —во многом зависит от успешного развития автоматизированного способа производства. В Директивах XXIII съезда КПСС указывается на необходимость внедрения автоматизации и автоматических линий во всех основных отраслях производства. Так как автоматизация технологических процессов является прогрессивной и совпадает с основным направлением техйического развития, постепенно отключающим человека от непосредственного выполнения операций, то в этом направлении и следует ожидать крупнейших качественных скачков в технологии и в способах производства. Вместо малоэффективных прерывистых технологических процессов все в большей степени будут внедряться экономичные, полностью автоматизированные непрерывно-поточные производства, во mhqeo раз увеличивающие производительность труда.

Учитывая все сказанное, можно прийти к выводу, что разработка теории и принципов создания новых машин автоматического действия и автоматических систем, в том числе автоматических линий, развитие теоретических исследований в области комплексной механизации и автоматизации производства относятся к числу наиболее важных задач развития науки и внедрения ее достижений в народное хозяйство.

Однако нельзя сводить автоматизацию, как это иногда делают, только к процессам управления и контроля. Для использования всех преимуществ автоматизации иногда необходимо перепроектировать технологическое оборудование, технологический процесс или продукцию, а иногда и все эти три элемента, чтобы получить оптимальный вариант, наиболее приспособленный при этом для автоматического управления. Отсюда следует, что проблемы автоматизации являются проблемами существенно комплексными, требующими для своего решения совместных усилий технологов, механиков, энергетиков и специалистов по автоматическому управлению и регулированию.

Можно наметить следующие основные проблемы теории машин автоматического действия, требующие первоочередной разработки:.

повышение производительности и надежности машин-автоматов и автоматических линий;

математическое описание производственных процессов и структурных схем машин-автоматов;

управление машинами-автоматами;

маневренность машин-автоматов;

точность в машиностроении.

Проблемы эти для своего решения требуют изучения весьма большого числа процессов и элементов, с которыми они находятся в весьма сложной взаимозависимости. Сюда относятся структуры и схемы машин и их составляющих, элементы и их характеристики, структуры соединения элементов, технология изготовления элементов и соединение их в группы, условия эксплуатации, обеспечение устойчивости работы.

Разработка научно обоснованных методов выбора оптимальных схем автоматизируемого технологического процесса и оптимальной структуры автоматической системы машин позволяет прозвести выбор наиболее прогрессивных вариантов автоматизации, обеспечивающих минимальную себестоимость продукции.

Проблема управления машинами-автоматами комплексна. Общая теория управления может быть создана лишь на основании сочетания методов кибернетики, теории вычислительных автоматов и теории информации. Она представляет собой совокупность теоретических основ построения логических и структурных схем машин-автоматов и методов анализа и проектирования устройств и систем передачи, преобразования и использования информации. При проектировании этих устройств должны широко сочетаться методы проектирования механизмов, содержащих жесткие и упругие звенья и связи, методы проектирования электронных, электрических, пневматических и гидравлических устройств с методами теории автоматического управления. Особое развитие должны получить разделы, связанные с применением цифровых систем и устройств в цепях управления машин-автоматов, поскольку системы управления» построенные на принципах дискретного задания программы, уже в настоящее время получили широкое применение в практике автоматостроения и имеют весьма большие перспективы для дальнейшего развития.

Весьма важной является проблема маневренности машин автоматического действия и автоматических линий: необходимо обеспечить возможность их быстрой переналадки и перевода на выпуск иного вида продукции. Практически это может быть обеспечено путем полного или частичного построения автоматов и автоматических линий из типовых блоков, агрегатов и узлов. Следовательно, необходимо сравнительное изучение возможных вариантов подобной компановки.

Вопросы точности в машиностроении и приборостроении, как мы видели это выше, начали разрабатываться советскими учеными еще в тридцатых годах. К настоящему времени получены фундаментальные результаты в области теории точности механизмов и электрических цепей. Однако некоторые разделы этой теории еще ждут своей разработки. Сюда относятся в частности, теория динамической точности машин и приборов, методы исследования точности механизмов с взаимозависимыми ошибками в элементах кинематических пар и др. Разработка практических методов расчета и анализа точности механизмов и машин существенно отстает от уровня развития теоретических работ в этой области.

Очень большое значение для развития теории машин автоматического действия имеют исследования в направлении разработки их синтеза.

Развитие методов синтеза механизмов в настоящее время должно идти по двум направлениям. Первое состоит в развитии методов нахождения параметров схемы механизма по заданным условиям, считая, что и схема, и условия, которым они должны удовлетворять, определены в соответствии с назначением машины. Вторым направлением является разработка методов выбора схемы механизма, включающих как методы оценки надежности и экономичности той или иной схемы для выполнения требуемого движения, так и методы, при помощи которых можно для искомого технологического процесса составлять задания на проектирование механизмов.

Наиболее ранним, по времени возникновения, и наиболее разработанным является синтез механизмов с жесткими звеньями, главным образом шарнирных и кулачковых механизмов. Однако и здесь есть ряд задач, требующих своего разрешения в ближайшее время. К таким задачам относятся, в частности,

разработка методов синтеза механизмов, имеющих некоторое функциональное назначение;

развитие методов синтеза пространственных механизмов;

развитие методов синтеза комбинированных зубчато-рычажных, кулачково-рычажных и других подобных механизмов;

постановка задач синтеза на электронных цифровых машинах;

составление справочных карт по отдельным видам механизмов.

Следующая группа задач синтеза механизмов относится к теории передач. В настоящее время механический привод — зубчатый, ременный, фрикционный — играет большую роль в машиностроении и приборостроении и эта роль останется за ним, во всяком случае, на ближайшие годы. Здесь предстоит провести исследовательскую работу в направлении разработки теории некоторых видов зацеплений: несопряженных зацеплений, зацеплений, образованных неконгруэнтной производящей парой, гипоидных колес, колес с неэвольвентным зацеплением, нарезаемых червяком.

Необходимо также провести разработку теории некоторых новых видов передач: червячной передачи с вогнутым профилем червяка, спироидной передачи, волновой передачи, некоторых видов пространственных передач.

До сих пор обращено недостаточное внимание на исследование и синтез новых видов гибких передач — многоклиновых, ременно-зубчатых и т. п. Мало изучены также механизмы бесступенчатой передачи — вариаторы. Определенные работы следует провести по разработке методики проектирования передач при помощи электронных цифровых машин, по составлению программ, расчетных таблиц и пр.

Серьезную роль в современных машинах автоматического действия и в автоматических линиях играют пневматические и гидравлические механизмы. Весьма часто они входят в сложные комплексные системы совместно с механическими и электрическими устройствами, образуя силовые исполнительные устройства. Целесообразное сочетание всех видов устройств, основанное на сравнительном анализе их характеристик, будет способствовать дальнейшему прогрессу в области автоматизации технологических процессов •

Повышение требований, предъявляемых к машинам в отношении их быстр одействия, точности, надежности, а также функций, исполняемых гидромеханизмами, требует разработки более точных и полных расчетов гидросистем и учета происходящих в них физических процессов. В области динамики гидромеханизмов проводится исследование неустановившегося

движения силового гидропривода, исследование устойчивости его движения» изучается динамика самодействующих клапанов.

В последнее время наметились следующие направления в области синтеза объемного гидропривода: синтез гидроустройств с заданными характеристиками, разработка регулярных методов синтеза оптимальных гидросистем машин, предназначенных для выполнения заданных циклов.

Уже накоплен большой опыт по созданию гидравлических систем машин (часто с электрическим управлением) для осуществления весьма сложных циклов и функций. Однако этот опыт не получил своего обобщения —не разработаны регулярные методы построения оптимальных систем. Появились первые работы по применению аппарата математической логики и методов синтеза электросистем для синтеза оптимальных гидросистем; однако отсутствуют еще исследования оптимальных гидросистем путем их сравнения и исследования их надежности.

Таким образом, в области теории гидросистем машинных агрегатов намечаются следующие ближейшие задачи:

исследование статических и динамических характеристик гидроустройств различного назначения и разработка критериев для их сравнения;

создание уточненных методов расчета динамики объемных гидросистем с учетом свойств жидкости;

разработка методов синтеза управляющих устройств по заданному закону движения и составление справочных материалов для облегчения синтеза;

создание логических гидроэлементов, счетно-решающих гидросистем управляющих машин и разработка методики их расчета на основании аппарата математической логики;

разработка методов анализа и синтеза турбообъемных передач;

разработка методики сравнительного исследования различных гидросистем.

В последующий период теория гидросистем машин должна развиваться в направлении создания методов

синтеза гидроустройств с заданными статическими и динамическими характеристиками;

динамического анализа и синтеза комплексных систем с учетом взаимодействия гидравлических, механических и электрических частей системы;

технико-экономических исследований для выявления оптимальных схем гидропривода и областей их рационального применения в машинах и комплексных системах.

Что касается пневматических систем, то в этой области советские ученые за последние годы существенно продвинулись вперед как в создании методов динамического расчета, так и в разработке методов их структурного синтеза. Созданы методы динамического расчета исполнительных, поршневых и мембранных устройств. Эти методы дают возможность определить изменение пневматических и кинематических параметров пневмоустройств в функции времени. Применение электронных вычислительных и моделирующих машин для решения получающихся при расчетах систем нелинейных дифференциальных уравнений позволяет выявить влияние конструктивных параметров устройств на результаты решения и разработать инженерные методы расчета.

Структурный анализ схем, основанный на использовании логических элементов, стал развиваться недавно, но очень интенсивно, в связи с ши-

роким применением пневматики для целей автоматизации производственных процессов и усложнением применяемых для этого схем.

В последнее время были опубликованы работы в области синтеза пневматических систем, выполненные с использованием операторных методов, применяемых при синтезе электронных систем, но переработанных с учетом специфических особенностей воздуха. В ряде случаев эти методы были применены при проектировании пневматических систем станков- автоматов.

Можно наметить, таким образом, следующие первоочередные задачи в области теории пневматических устройств:

разработка методов структурного и динамического синтеза пневматических систем управления;

разработка методов динамического анализа исполнительных устройств и механизмов управления машинами автоматического действия;

разработка методов анализа и синтеза пневмо-гидравлических устройств;

разработка методов экспериментального исследования пневматических и пневмо-гидравлических систем;

разработка методов оценкй надежности и технико-экономического анализа пневмосистем машины автоматического действия;

разработка универсальных типовых схем управления на базе логических элементов, из которых можно собирать пневмоприводы, работающие по заданной циклограмме любой сложности, системы с программным управлением, самонастраивающиеся системы, а также системы повышенной надежности.'

Необходимо также провести сравнительный анализ исполнительных механизмов и механизмов управления, построенных на базе пневматики, гидравлики и электроники, а также комбинированных систем с целью определения оптимальных решений для конкретных случаев их применения.

Вышё было показано принципиальное значение исследований динамики машинных агрегатов. Естественно, что это значение при дальнейших исследованиях в области механики машин будет расти. Более того, динамические методы и методы учета динамических воздействий начинают проникать и в кинематические исследования, обеспечивая более полное, более близкое к реальным условиям работы механизмов, их 'построение.

Особенно большое значение имеет исследование машинных агрегатов для создания машинных комплексов в строительной, горной и металлургической промышленности^ в сельскохозяйственном машиностроении, турбостроении и пр.

Исследования в области динамики машинных агрегатов выполняются во многих научно-исследовательских институтах и проектных организациях в области станкостроения, проектирования подъемных установок, горных машин, прокатных и трубопрокатных станов, землеройных и транспортных машин и других агрегатов, работающих в тяжелых динамических условиях. Результаты комплексного, теоретического и экспериментального исследования показали необходимость более точного математического описания процессов и дальнейшего развития новых методов, которые при современном состоянии вычислительной техники могут быть практически использованы при проектировании крупных машин.'

В области динамики машинных агрегатов поставлены следующие задачи, решения которых следует ожидать в ближайшее время.

Исследование динамики машинных агрегатов с линейными, разветвленными и замкнутыми цепями дискретных масс, с упругими связями в процессе стационарного и неустановившегося движения.

Исследование динамики машинных агрегатов с переменной массой при учете упругости звеньев. Эта задача разработана до сих пор недостаточно полно, хотя она имеет исключительное значение для расчета многих технологических машин различных производств, которые, к тому жег до настоящего времени вообще не имеют методов расчета.

Развитие методов динамического исследования механизмов с распределенными параметрами звеньев. Во многих машинах, применяемых в металлургии, горном деле, обогащении, в промышленности строительных материалов и в строительном производстве, представление звеньев в виде систем, обладающих дискретными параметрами, т. е. сосредоточенными массами и жесткостями, во многих случаях не позволяет объяснить и количественно оценить явления, сопровождающие работу машины. Требуется более тщательный анализ стационарных и переходных процессов, возникающих в результате действия рабочих и инерционных нагрузок. В связи с этим приобретает большое значение развитие точных методов расчета,, основанных на математическом описании систем с учетом распределения параметров — массы и жесткости звеньев.

Разработка методов, позволяющих описать дифференциальными уравнениями не только те процессы, которые происходят в рабочей машине и в двигателе, но также и в управляющих и регулирующих цепях.

Исследование динамики механизмов и машин, работающих в переходных режимах, * с учетом характеристики привода — электрического, пневматического, пружинного, электромагнитного, гидравлического.

Исследование динамики механизмов переменной структуры. Подобные механизмы применяются во многих технологических машинах. Так как они зачастую работают при высоких скоростях и передают значительные нагрузки, подобное динамическое исследование является существенно необходимым для их полного теоретического изучения.

Исследование динамики кинематических цепей со многими степенями свободы. Такие механизмы применяются в качестве компенсирующих^ уравнительных и иных механизмов подобного назначения; динамика таких механизмов совершенно не разработана. Однако проектирование таких механизмов, как тормозные механизмы многоосных вагонов, которые должны работать совершенно надежно, выдвигают исследования их динамики в качестве первоочередной задачи.

Развитие методов защиты машин от динамических перегрузок. Эти перегрузки, вызываемые действием сил инерции, принципиально устранимы; однако соответствующие теоретические исследования до настоящего времени не выполнены. Необходимо также развивать методы расчета передачи фундаменту колебаний от нескольких источников возбуждения случайного характера и методы надежной виброизоляции подобных систем.

Развитие методов математического и физического моделирования при решении задач динамики машинных агрегатов. Исследование динамики машинных агрегатов, рассматриваемых как комбинированные системы физически разнородных элементов, с целью получения не только качественных, но и количественных характеристик, может быть выполнена лишь путем решения систем нелинейных дифференциальных уравнений. Так как в настоящее время из-за причин, зависящих от конструктивных особенностей математических машин, ряд динамических задач не может

^ыть решен, необходимо усовершенствование этих машин и разработка -специальных блоков, позволяющих решать дифференциальные уравнения высоких порядков. Для повышения точности было бы целесообразно создать электронные математические аналоги с цифровыми блоками. Наряду с математическим моделированием должно получить более широкое развитие физическое моделирование с использованием электрических, гидравлических и пневматических моделей, при помощи которых можно было бы определять напряжения в сложных конструктивных формах, а также изучать неустановившиеся процессы и определять усилия, возникающие при таких технологических процессах, как прокатка, экскавация грунта и т. п.

Разработка комплексного исследования динамики машинных агрегатов с индивидуальным и групповым приводом в процессе стационарного 五 неустановившегося движения как систем со многими степенями свободы.

Развитие методов динамики механизмов с неголойомными связями.

Исследование динамики механизмов с приводом, подвижным относительно основания.

Разработка методов динамического исследования пространственных механизмов, которые широко применяются в практике машиностроения, однако с точки зрения динамики изучены не в достаточной степени.

Очень большую и существенно важную группу задач динамики машин составляют задачи, в которых должны быть учтены колебательные процессы. Процессы эти, возникающие при работе машины, могут быть нежелательными, и при проектировании машин стремятся свести их в этом случае до требуемого минимального уровня. Иногда же колебательный процесс является основным рабочим процессом и задача заключается в разыскании оптимальных параметров для обеспечения наивыгоднейшего режима работы машины.

При составлении расчетной схемы колебательной механической системы отдельным звеньям чаще всего приписывают свойства, позволяющие описать процесс движения обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, т. е. принимают массу, лишенной упругих свойств, а упругое тело ——лишенным массы, причем связь между силой и деформацией принимается линейной. При этом в качестве расчетного аппарата применяется матричное исчисление. Для исследования колебательных процессов широко применяется также метод моделирования расчетной схемы на электронных аналоговых устройствах.

Однако многие явления, происходящие в машинах, не могут быть объяснены с помощью линейной схемы. В этом случае значительные отклонения действительного движения от расчетного могут получиться в системах, имеющих связи с нелинейной восстанавливающей силой, переменной приведенной массой, гистерезисом, в системах с зазорами, в системах с возбуждением и в иных подобных случаях. Эти системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями или дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами. Учет нелинейности во всех этих случаях приводит к обнаружению ряда дополнительных механических эффектов.

В этом направлении в достаточной степени разработаны методы нелинейных колебаний с малой нелинейностью. Разработаны также так называемые асимптотические методы, метод малого параметра, был, решен ряд задач по определению автоколебаний систем, исследованы комбинированные и внутренние резонансы и нестационарные процессы в системах с ком

* бинированным резонансом. Для решения этих задач применялись также

энергетические методы. Изучаются почти-периодические колебания, т. е* колебания с несколькими несоизмеримыми периодами.

В последнее время возникла необходимость ввести в расчет колебания^ вызванные случайными нагрузками. Это явилось результатом эксплуатации механизмов и приборов, подвергающихся непрерывным сотрясениям в процессе работы, а также в связи с акустическими воздействиями на корпус летательных аппаратов, приводящими к их усталостному разрушению. .

Были исследованы также некоторые специальные случаи воздействия колебательных процессов на работу звеньев и совокупностей звеньев механизмов.

Быстроходные роторы мощных турбин и турбогенераторов, легкие роторы газовых турбин, валы центрифуг, шпиндели быстроходных веретен и ряд других валов, вращающихся с большими скоростями, обладают специфическими особенностями, вследствие чего исследование колебательных процессов, возникающих при их работе, развивалось самостоятельно.

Кроме общих исследований, связанных с изучением поведения гибкого ротора в процессе вращения, за последнее время исследуются автоколебательные процессы быстроходных уравновешенных и неуравновешенных роторов и установлены причины их возникновения, исследованы комбинированные резонансы и переход через эти резонансы, устойчивость в закритической области и пр. Исследованы также колебания гибкого ротора, опирающегося на масляные подушки подшипников скольжения.

Проведены фундаментальные исследования демпфирования колебательных процессов, изучено демпфирование в материале и демпфирование конструктивных элементов. Демпфирование последнего вида во многих случаях оказывается более эффективным в смысле снижения амплитуд на резонансных режимах. Кроме того, изучены некоторые случаи вибро- ударного демпфирования, а также гашение колебаний за счет применения демпферов сухого трения.

Ряд исследований выполнен по вопросам уравновешивания вращающихся роторов.

Весьма важным является изучение работы центрифуг и сепараторов с точки зрения самоцентрирования вращающихся частей вместе с содержащейся жидкостью или другим материалом. В этом направлении выполнено много работ, однако обобщающей теории пока не создано.

За последние годы большое распространение получили машины вибрационного и виброударного действия, с успехом применяемые в ряде технологических процессов, где требуется перемещение и уплотнение обрабатываемого материала. Однако широкое внедрение этих методов в практику иногда затрудняется тем, что конструкции мапшн оказываются несовершенными, не всегда имеется возможность построить машины с колебаниями нужных параметров.

Можно указать, таким образом, на ряд проблем в области теории колебаний, имеющих непосредственное отношение к расчету и построению механизмов и машин и требующих разрешения в смаое ближайшее время:

исследование процессов автоколебаний в машинах в случае нескольких степеней свободы;

исследование почти периодических колебаний в мапшнах;

изучение особенностей колебаний при наличии внутренних и комбинированных резонансов;

изучение колебаний систем с соударяющимися элементами;

разработка практических методов расчета колебательных систем с распределенными параметрами, в том числе с упруго-пластическими связями;

разработка методов расчета колебательных систем, обладающих существенной нелинейностью;

разработка средств устранения и локализации колебаний различного происхождения;

синтез колебательных систем, обладающих наименьшей чувствительностью по отношению к внешним воздействиям, и систем с наименьшей отдачей колебательной энергии во внешнюю среду через связи.

Что касается машин и механизмов вибрационного и виброударного действия, то здесь следует выполнить ряд теоретических и экспериментальных исследований, сводящихся к изучению обрабатываемых сред, взаимосвязи сред и рабочих органов, определению оптимальных параметров механизмов применительно к конкретным условиям их работы, а также к изучению энергоотдачи вибромашин.

Исключительно важное значение при изучении механики машин в реальных условиях их работы приобретают экспериментальные методы исследования. Так как количество параметров, влияющих на движение машины и на ее динамику, может быть достаточно большим, то не всегда может быть найдена соответствующая явлению математическая модель. Но даже если модель и найдена, то благодаря некоторым неучтенным параметрам, она дает не точное, а приближенное описание явления. В этом случае с помощью экспериментальных методов можно определить степень точности описания явления или внести в последнее необходимые коррективы.

Кроме того, во многих случаях на основе теоретических соображений невозможно определить технологические нагрузки и разного вида сопротивления, возникающие в процессе работы машины.

В связи с этим возникает ряд проблем экспериментальной динамики. Они сводятся к разработке новых типов измерительной аппаратуры, новой методики эксперимента и к теоретическому обоснованию соответствия эксперимента наблюдаемому явлению и точности эксперимента.

В настоящем очерке отмечены далеко не все направления исследований в области механики машин за 50 лет Советской власти. Было бы очёнь трудно в относительно небольшой статье разобрать и оценить результаты всех работ, одно только перечисление которых займет в три-четыре раза больше места, чем объем настоящей статьи. Кроме того, имеются значительные достижения в области теории специализированных машин отдельных отраслей производства.

Авторы попытались здесь лишь наметить основные вехи пройденного пути, которые, как можно надеяться, явятся основой для новых, еще более глубоких и содержательных исследований в области одной из самых старых и в то же время самых молодых отраслей технического знания — механики машин.

ПРИЛОЖЕНИЕ

ОБЗОРЫ РАЗВИТИЯ МЕХАНИКИ И ЕЕ ОТДЕЛЬНЫХОБЛАСТЕЙ В СССР, ОПУБЛИКОВАННЫЕ

В ЮБИЛЕЙНЫХ СБОРНИКАХ

И ИЗДАНИЯХ НАЦИОНАЛЬНОГО КОМИТЕТА СССРПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКЕ ♦)(ДО 1967 г.)

Механика [в СССР за XV лет]. Под редакцией В. В. Голубева и Л. С. Лейбензона. М.—Л., 1932 (в серии: Наука в СССР за пятнадцать лет, 1917—1932).

Д. С. Кузнецов. Общая механика (стр. 5—31).

В. Голубев и Е. С. Кузнецов. Гидро- и аэромеханика (стр. 33—101).

Н. 3 о р и и и П. П. Шумилов. Гидравлика (стр. 107—132).

И. В о л ь ф с о н. Сопротивление материалов и теория упругости (стр. 133—— 160).

А. Н. Д и н и и к. Устойчивость упругих систем (стр. 161—167),.

Математика и естествознание в СССР (Очерки развития математических и естественных наук за двадцать лет). М.— Л., 1938.

С. А. Чаплыгин и В. В. Голубев. Работы по гидромеханике в СССР (стр. 101—120)..

В. П. Ветчинки и. Аэродинамика (стр. 121—138).

Б. Г. Галерки н. Развитие строительной механики в СССР (стр. 139—144).

Советская техника за двадцать пять лет. М.— Л., 1945.

Б. Г. Галерки н,Н. Е. Кочин, В. В. Соколовский иН. Г. Ч ета - е в. Механика (стр. 7—31).

И. И. Артоболевский. Теория машин и механизмов (стр. 32——38)

Большая Советская Энциклопедия, том «СССР». М., 1947.

М. В. К е л д ы ш и Л. И. Седов. Механика (стр. 1323—1330)

5・ Механика в СССР за тридцать лет, 1917—1947. Под редакцией В. 3 Власова, В. В. Голубева и Н. Д. Моисеева. М.— Л., 1950.

Н. Д. Моисеев. Общий очерк развития механики в России и в СССР (стр. 11—57).

Общая механика

бб гй т с • о у о о р о2 ДДЕР Ак R^^^^^A- ^Л^Я-ИА^бб гй т с • о у о о р о2 ДДЕР Ак R^^^^^A- ^Л^Я-ИА^ронравов. Аналитическая динамика (стр. 61—72).

бб гй т с • о у о о р о2 ДДЕР Ак R^^^^^A- ^Л^Я-ИА^

бб гй т с • о у о о р о2 ДДЕР Ак R^^^^^A- ^Л^Я-ИА^

о ш и н. Устойчивость движения (стр. 73—98).

о л ю б о в. Колебания (стр. 99—114).

т е и б е р г. Прикладная теория гироскопов (стр. 115—129).

оболевский. Теория механизмов (стр. 130—153).

модемьянский. Механика тел переменной массы (стр.〉154—

Упругость и пластичность

Г. С. Шапиро. Пространственные задачи теории упругости (стр. 165—191).

Д. И. Шерман. Основные плоские и контактные (смешанные) задачи статической теории упругости (стр. 192—225).

Ю. Н. Работнов. Пластинки и оболочки (стр. 226—239).

Ю. Ишлинский. Пластичность (стр. 240—253).

М. М. Филоненко-Бородич. Новые вопросы строительной механики (стр. 254—265).

Г. Гоголадзе. Упругие волны (стр. 266—276).

Гидроаэромеханика

слкогссччслкогссччретенский. Волны (стр. 279—299).

слкогссчч

слкогссчч

ойцянский. Пограничный слой (стр. 300—320).

и б е л ь. Газовая динамика (стр. 321—331).

б у х о в. Турбулентность (стр. 332—340).

о л у б е в. Крыло и винт самолета (стр. 341—357).

м и р н о в. Неустановившееся движение (стр. 358—375).

е д о в. Глиссирование (стр. 376—382).

а р н ы й. Гидравлика (стр. 383—397).

а р н ы й. Гидродинамическая теория фильтрации (стр. 398—408).

Строительная механика в СССР, 1917——1957. Под редакцией И. М. Рабинович^. М., 1957.

И. М. Рабинович. Строительная механика плоских и пространственных упругих стержневых систем (стр. 5—101).

Я. Г. П а и о в к о. Тонкостенные стержни и системы, составленные из тонкостенных стержней (стр. 102—114).

Б. Г. К о р е н е в. Конструкции, лежащие на упругом основании (стр. 115—135).

Б. Г. Коренев. Теория пластинок (стр. 136—159).

О. Д. Ониашвили. Расчет оболочек и других тонкостенных пространственных конструкций (стр. 160—196).

Я. Г. П а н о в к о. Динамический расчет сооружений (стр. 197—232).

Н. И. Безухов. Теория пластичности в приложении к расчету сооружений (стр. 233—263).

И. И. Гольденблат. Экстремальные и вариационные принципы в теории ■ сооружений (стр. 264—279).

Г. К. Клейн. Давление и сопротивление сыпучих тел. Расчет подпорных стен * и подземных сооружений (стр. 280—300).

Труды [I] Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Обзорные доклады. М.— Л., 1962.

Секция общей и прикладной механики

И. И. Артоболевский. Основные проблемы современной динамики машин (стр. 5—24).

Н. Н. Боголюбов и К). А. Митропольский. Аналитические методы теории нелинейных колебаний (стр. 25—35).•

Н. Н. Красовский. Второй метод Ляпунова в теории устойчивости движения (стр. 36—47).

И. Лурье. Дифференциальные уравнения теории относительного движения (стр. 48—56).

В. Румянцев. Устойчивость движения твердого тела с полостями, наполненными жидкостью (стр. 57—71).

Секция механики жидкости и газа

К. И. Б а б е н к о. Численные методы решения задач газовой динамики (стр. 72—76).

В. Валландер. Уравнения и постановка задач в аэродинамике разреженных газов (стр. 77—93).

Г. С. Голицын, А. Г. Куликовский и К. П. Станюкович. Магнитная гидродинамика (стр. 94—113).,

М. И. Г у р е в и ч. Теория струй идеальной жидкости (стр. 114—134).

Ю. П. Иванилов, Н. Н. Моисеев иА. М. Тер-Крикоров. Асимптотические методы в задачах о движении жидкости со свободными границами (стр. 135—144).

26 Механика в СССР, том 1

Л. Г. Лойцянский. Полуэмпирические теории взаимодействия процессов молекулярного и молярного обмена в турбулентном движении жидкости (стр. 145—166).

Г. И. Петров. Пограничный слой и теплообмен при больших скоростях (стр. 167—175).

Л. И. Седов. К теории построения механических моделей сплошных сред, (стр. 176—212).

Л. Н. Сретенский. Обзор работ по теории приливов (стр. 213—224).

В. Струминский. Современное состояние проблемы обтекания тел сверхзвуковым потоком газа (стр. 225—298).

Секция механики твердого тела

Г. Б ерезанцев. Теория предельного напряженного состояния в механике- грунтов и ее приложения (стр. 299—309).

И. Н. В е к у а и Н. И. Мусхелишвили. Методы теории аналитических функций в теории упругости (стр. 310—338).

Л. Гольденвейзер. Развитие теории упругих тонких оболочек (стр. 339—357).

Л. М. Качанов. О некоторых вариационных принципах и методах в теории пластичности (стр. 358—373).

Д. Купрадзе. Метод сингулярных интегральных уравнений в пространственной теории упругости (стр. 374—383).

Ю. Н. Работнов. Ползучесть (стр. 384—395).

А. Флорин. Современное состояние и очередные задачи механики грунтов： (стр. 396—404).

Д. И. Ш е р м а и. Метод интегральных уравнений в плоских и пространственных задачах статической теории упругости (стр. 405—467).

Приложения теории функций в механике сплошной среды (Труды Международного симпозиума в Тбилиси, 1963). Под редакцией Н. И. Мусхелишвили, Л. И. Седова и Г. К. Михайлова. Том. 1: Механика твердого тела. М・,1965.

Н. И. Мусхелишвили. Приложения теории функций комплексного переменного в теории упругости (стр. 32—55).

То же. Том 2: Механика жидкости и газа, математические методы. М., 1965.

М. В. К е л д ы ш и Л. И. С е д о в. Приложения теории функций комплексного переменного в гидродинамике и аэродинамике. Обзор некоторых работ московской школы (стр. 13—42) (есть также отд. издание: М., 1964).

Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике (1964). Обзорные доклады. Под общей редакцией Л. И. Седова. Вып. 1г Аналитическая механика, устойчивость движения, небесная баллистика. Под редакцией А. И. Лурье и А. П. Проскурякова. М・,1965.

Аналитическая механика, устойчивость движения

И. С. Аржаных. Развитие теории канонических уравнений аналитической механики (стр. 7—15).

И., А р и о л ь д^ Устойчивость и неустойчивость динамических систем со многими степенями свободы (стр. 16—19).

Г. В. Аронович иН. А. Картвелишвили. Приложение теории устойчивости к задачам статической и динамической устойчивости энергетических систем (стр. 20—29)

А. Якубович. иФ. Р. Гантмахер. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем (стр. 30—63).

А. Кильчевский. Континуальные проблемы аналитической механики (стр. 64—76).

Н. Красовский. Проблемы управляемости, наблюдаемости и стабили- зируемости динамических систем (стр. 77—93)

М. Лето в. Оптимальное управление и устойчивость (стр. 94—111).

М. М а т р о с о в. Развитие метода функций Ляпунова в теории устойчивости (стр. 112—125).'

Г. Н. М и к и ш е в йВ, И. Рабинович. Некоторые вопросы анализа динамической устойчивости механических систем с деформируемыми элемента- 'ми (стр. ' 126—130).

Ю. И. Н е й м а р к и Н. А. Ф у ф а е в. Уравнения движения и роль малых параметров в динамике неголономных систем (стр. 131—140).

С. Новоселов. Аналитическая динамика и оптимальные перелеты (стр. 141-152).с

В. Румянцев. Исследование устойчивости движения твердых тел'с полостями, наполненными жидкостью (стр. 153—169).

Н. Шиманов. Устойчивость систем с запаздыванием (стр. 170—180).

Небесная баллистика

Г. Л. Гродзовский, Ю. Н. Иванов и В. В. Токарев. Проблемы оптимизации в механике космического полета с малой тягой (стр. 181—197).

А. Сарычев. Использование градиента гравитационного поля для ориентации спутников (стр. 198—207).

Г. Н. Дубошин и Д. Е. Охоцимский. Некоторые проблемы астродинамики (стр. 208—213).

То же. Вып. 2： Колебания, гироскопия, теория механизмов, механика жидкости и газа. Под редакцией А. И. Лурье, Г. К. Михайлова и А. П. Проскурякова. М., 1965.

Колебания и регулирование

Е・ А. Барбаши и, В. А. Т а б у е в а и Р. М. Э й д и н о в. Устойчивость .системы регулирования с переменной структурой (стр. 7—14).

И. И. Блехман и Г. Ю. Джанелидзе. Теория вибрационного перемещения и ее приложения (стр. 15—34).

М. Волосов, Н. Н. Моисеев, Б. И. Моргунов и Ф. Л. Черноус ь к о . Асимптотические методы нелинейной механики, связанные с осреднением (стр. 35—50).

М. 3. Коловский, В. И. Осорин иА. А. Первозванский. Вероятностные методы в теории колебаний (стр. 51—64).

О. Кононенко. О некоторых современных задачах теории колебаний (стр. 65—80).

М" А. Красносельский. О некоторых новых методах в теории периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений (стр. 81—96). Ю. И. Неймарк. Некоторые методы исследования динамических систем (стр. 97—111).

П. Проскуряков. Метод малого параметра Пуанкаре в теории нелинейных колебаний (стр. 112——124).

Е・ Н・ Розенвассер. О применении интегральных уравнений в теории нелинейных колебаний (стр. 125—141)..

Н. Ш е в е л о. Задачи, методы и основные результаты теории осцилляции решений нелинейных неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений (стр. 142—157).

Л. Э. Э л ь с г о л ь ц. Основные направления развития теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом (стр. 158—164).

Гироскопия

В. Бутенин и Я. Л. Л у н ц. Нелинейные задачи теории свободного гироскопа (стр. 165—180).

Д. Р. М е р к и н. Обзор работ по теории гироскопических компасов, горизонт- компасов и вертикалей (стр. 181 — 191).

Я. Н. Ройтенберг. О движении гироскопических систем под воздействием случайных сил (стр. 192—198).

В. Румянцев и В. Н. С к и м е л ь. Устойчивость гироскопов^ гиростатов и гироскопических систем (стр. 199—216).

.Теория механизмов и машин

И. И. Ар то б о ле векий, А. П. Бессонов и А. В. Ш л я хтин. Некоторые задачи динамики машин с учетом переменности масс и упругости звеньев (стр. 217—230).

Н. Кожевников. Динамика машин с упругими звеньями и распределенными параметрами (стр. 231—246).

Механика жидкости и газа

И. Бабенко и В. В. Р у с а и о в. Разностные методы решения пространственных задач газовой динамики (стр. 247—262),

М. Н. Коган. Динамика разреженных газов (стр. 263—279).

А. П. Крылов, Ю. П. Борнео в, Ю. П. Ж елт о в иМ. Д. Розенберг. Новые проблемы подземной гидромеханики в разработке нефтяных месторождений (стр. 280—288).

А. С. Монин. Современные проблемы теории турбулентности (стр. 289—301). Л. В. Овсянников. Инвариантно-групповые решения уравнений гидродинамики (стр. 302—305).

То же. Вып. 3: Механика твердого тела. Под редакцией А. С. Вольмира и Г. К. Михайлова. М・,1966.

Б. Л. Абрамян и А. Я. Александров. Осесимметричные задачи теории упругости (стр. 7—37).

Я. Александров и М. X. Ахметзянов. Исследование упругопластических задач методом фотоупругих покрытий (стр. 38—47).

М・ Белоносо в. Математические проблемы в теории упругости для областей с углами (стр. 48—60)..

Г. Березанцев. Развитие теории предельного равновесия сыпучей среды (стр. 61—67).

В. Болотин. Механика твердого тела и теория надежности (стр. 68—82).

Д. В. Вайнберг и А. Л. Синявский. Методы численного анализа в теории упругости (стр. 83—94).

А. С. В о л ь м и р. Актуальные задачи теории устойчивости оболочек (стр> 95—115).

И* И. В о р о в и ч. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек (стр. 116—136).

А. Гвоздев. Ползучесть бетона (стр. 137—152).

И. И. Гольденблат. Вариационные принципы в нелинейной строительной механике (стр. 153—156).

Г. Ишкова и Б. Г. К о р е н е в. Изгиб пластинок на упругом и упругопластическом основании (стр. 157—176).

Л・ М・ Качанов. Вариационные методы в теории пластичности (стр. 177—190).

Н・ А. Кильчевский, А. X. Константинов и Н・ И. Ремизова. Решения динамических краевых проблем теории оболочек, вытекающие из интегро-дифференциальных уравнений движения (стр. 191——204).

Н・ И. Малинин. Ползучесть пластмасс (стр. 205—222).

С. Наместников. О ползучести металлов (стр. 223—234).

Г. Я. Попов и Н. А. Ростовцев. Контактные (смешанные) задачи тео- 一 рии упругости (стр. 235—252).

К. Прокопов. Однородные решения теории упругости и их приложение к теории тонких пластинок (стр. 253—259).

А. Л. Рабинович. Основные вопросы механики ориентированных стеклопластиков (стр. 260—264):

И. М・ Рабинович. Стержневые системы минимального веса (стр. 265—275).

А. Р. Ржаницын. Устойчивость неконсервативных систем с двумя степенями свободы (стр. 276—294).

Г. Н・ Савин. Концентрация напряжений около криволинейных отверстий в пластинах и оболочках (стр. 295—318).

Г. Н. С а в и и и Н. П. ,Ф л е й ш м а н. Пластинки с криволинейными ребрами жесткости (стр. 319—342).

А. П. Синицын. Термоупругие термопластические колебания стержневых систем и пластинок (стр； 343—360).

А, Ф. Смирнов. Развитие строительной механики в связи с применением вычислительных машин (стр. 361—366).

Н. А. Ц ы т о в и ч. Некоторые проблемы деформируемости дисперсных (глинистых) грунтовых систем (стр. 367—377).

Г. С. Ш а п и р о. О поведении пластинок и оболочек за пределами упругости (стр. 378—386).

Н. В. Зволинский, Б； М. Малышев и Г. С. Шапиро. Динамика пластических сред (стр. 387—411).

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ

Абаньшин А. М. 58

Абдикеримов Т. 197, 242

Абрамов Б. М. 377, 379

Абрамян Б. Л. 404

Аврамченко Р. Ф. 279, 283

Агасандян Г. А. 210

Аграновская Э. А. 89, 108

Адамс Дж. К. (Adams j С ) 325

Айзекс Р. (Isaacs R.) 221

Айзерман М・ А. 23, 42, 44, 45, 56, 7 5, 81, 154, 164, 177

Акилов Г. П. 285

Аким Э. Л. 285, 305

Аксельрод 3. М. 102

Аксенов Е. П. 359

Акуленко Л. Д. 127, 133

Александров А. Я. 404

Александров В. М. 210, 212

Алексеев А. С. 144, 150

Алексеев В. М. 354

Алексеев К. Б. 266, 295

Алешков Ю. 3. 197, 200

Альбрехт Э. Г. 210, 216

Альфан Ж. (Halphen

G. Н.) 347, 359

Аминов М. Ш. 12, 35—37

Ананов Г. Д. 370

Ананьев И. В. 91

Андреев А. Ф. 73, 74, 79

Андреев В. Д. 258, 262, 263

Андреев Н. И. 234

Андронов А. А. 60, 87, 94, 97, 98, 102, 103, 111, 112, 116, 130, 137—142, 144, 147, 150, 155, 157, 161

Аносов Д. В. 115, 155

Антовиль А. М. 389

Антосиевич Г. A. (Anto- siewicz Н. А.) 115, 197

Анчев А. 36

Аншютц-Кемпфе Г.

(Anschutz-Kaempfe Н.) 246, 253

Аппазов Р. Ф. 266

Аппель П. Э. (Appell Р. Е.) 171, 173, 174, 379

Арефьев Б. А. 144, 145 Аржаных И. С. 176, 402 Арнольд В. И. 34, 38, 127, 133, 134, 291, 302, 357, 402

Аронович Г. В. 150, 178, 402

Артемьев Н. А. 51, 53, 347“

Артоболевский И. И. 365—372,376—378,

380, 382—385, 388, 389, 400, 401, 403

Артоболевский С. И. 372, 378, 384—389

Ассур Л. В. 363—368, 376, 388, 389

Ахметзянов М. X. 404 Ашбель Н. И. 150

Бабенко К. И. 402, 404 Бабицкий В. И. 101, 383 Бабунашвили Т. Г. 189, 197

Багаева Н. Я. 200 Бадалян Г. К. 345 Б ад ков В. М・ 2i2 Баимбетов К. К. 189, 197 Бакакин А. В. 212 Балабух Л. И. 105 Балаева И. А. 201 Балакирев В. С. 189 Баничук Н. В. 200 Баранов А. Ю. 197

Баранов Г. Г. 366, 369, 370, 376, 377, 388

Барбапшн Е. А. 19, 23, 24, 26, 44, 45, 48, 50, 54, 76, 81, 179, 201, 212, 403

Баргер И. Б. 93

Баркан Д. Д. 148

Барлоу П. (Barlow Р.) 175

Барсов Г. А. 389 Басов В. И. 74, 83 Баталова 3. С. 111, 148,

Бать М・.И. 377, 378 Бауерсфельд В. (Ваиег- sfeld W.) 141

Баутин Н. Н. 60, 102, 138, 141, 142, 144, 146, 147

Бебенин Г. Г. 266, 295

Бегеи A. (Beghin Н.) 173

Бедельбаев А. К. 191, 210

Бедров Я. А. 197

Бежанов Б. Н. 382, 383

Безвесельный Е. С. 388

Безменов В. М. 279

Безпалько Л. А. 93

Безухов Н. И. 167, 401

Бейко И. В. 197, 200, 227

Белан,Е. 129

Белецкий В. В. 36, 115, 266, 273, 278, 279, 285, 288—296, 301— 303, 357

Беллман Р. Э. (Bell* man R. Е.) 51, 81 — 83, 189, 197, 204, 205, 207, 209, 215, 219, 231, 232, 285'

Белоносов С. М. 404 Белостоцкий А. А. 387 Белоус А. А. 92

Б елюстина Л. И. 95

Беляев Н. М. 97

Беннет Дж. Т. (Bennett

G. Т.) 367

Бенни Д. Дж. (Веппеу D. J.) 129

Бердников В, В. 382

Березанцев В. Г. 402, 404

Березин И. С. 285

Беркович Д. М. 372

Б ер мант М. А. 212

Бернштейн С. А. 167

Бертрам Дж. Э. (Bertram J. Е.) 44, 197

Беспалова Л. В. 101, 140, 148, 149

Бессель Ф. В. (Bessel F. W.) 290

Бессонов А. П. 377, 380,. 382, 383, 403

Бесстрашнов В. К. 385

Бидерман В. Л. 91

Бильхарц Г. (Bilharz Н.) 141

Биргер И. А. 93, 168

Биркгоф Дж. Д. (Birk- hoffG. D.) 70, 80, 137, 138, 341, 356

Бирюк Г. И. 81

Бихари И. (Bihari I.) 83

Блехман И. И. 92, 107, 109—112, 163, 164, 380, 403

Блинов И. Н・ 81

Блох 3. Ш. 369—371

Блум Э. К. (Blum Е. К.) 275

Блюмин Г. Д. 247, 263

Блюмин И. Д. 258

Богданов Ю. С.71,83—86

Боголюбов А. ,Н. 366, 389

Боголюбов Н. Н・ 82, 87, 94-97, Ш, “5, “7123, 125, 129—133, 346, 400, 401

Богоявленский А. А. 250

Богуславский И. А. 234, 315

Боднер В. А. 97, 258

Божкова А. И. 350

Болдырев В. В. 373

Болонкин А. А. 189, 191, 219, 274, 285

Болотин В. В. 89, 97, 100, 104, ИЗ, 404

Болтянский В. Г. 81, 187, 197, 206, 217

Боль П. (Bohl Р.) 61, 76, 80, 137,

Больца О. (Bolza О.) 190, 239.

Больцман Л. (Boltzmann L.) 1.71, 173

Бондаренко В. И. 197

Борисенко Л. Н. 197, 377

Борисов В. М. 244

Борисов Д. С. 383

Борисов Ю. П. 404

Боровенко В. Н. 294, 295

Боровков А. А. 234

Бор-Раменский А, Е, 189

Борщевский М. 3. 219, 295, 303

Боттема О. (Bottema О.) 40t. 177

Бояринов В. С. 144, 148

Брауер Д. (Brouwer D.) 348

Брауер Я. (Brouwer

L. Е. J.) 137, 138

Браун Э. В, (Brown

W.) 331

Брейдо М. Г. 385

Врио Ш. (Briot С. А. А.) 56, 74

Бромберг П. В. 44

Бруевич Н・ Г. 365, 367, 369, 371, 376, 389

Брумоерг В. А. 285

“Ерумберг Р. М. 375

Брунс Г. Э. (Bruns Н. Е.) 326

Брунштейн Р. Е. 101

Б русин В. А. 144, 148, 156

Бубнов И. Г. 95

Будау A. (Budau А.) 141

Буке Ж. К. (Bouquet

J. С.) 56, 74

Булгаков Б. В. 87, 94, 102, 135, 144, 157, 161, 245, 246, 249, 288

Бургвиц А. Г. 105, 381

Бурместер Л. (Burme- ster L.) 368, 372

Буровой И. А. 212

Бурштейн Э. Л. 127

Бусленко Н. П. 387

Бутенин Н. В. 99, 102, 144, 245, 252, 403

Бутковсций А. Г. 179, 197, 220, 234, 239, 240

Бушау Д. (Bushaw D.) 186

Буякас В. И. 210, 212

Былов Б. Ф. 71, 84—86

Быховский И, И. 107

Быховский М. Л. 380, 382, 385, 386

Бычков Ю. П. 176

Бюшгенс С. С. 368

Вагнер В. В. 176

Важевский Т・(Wa2ew- ski Т.) 76, 215

Вайнберг Д. В. 404

Вайсберг Г. В. 227

Вайсборд 3. М. 200, 240

Валеев К, Г. 37, 280

Валландер С. В. 401

Ван Чжао-лцн 40

Ванг П. (Wang Р. К. С.) 240

Ван-дер-Поль Б. (Van der Pol В.) 65, 82, 95, 1(7

Василенко В. П. 247

Васильев А, Я. 189, 191, 197

Васильев Н. С. 365

Васильев-Люлин Г, И. 258

Васильева А. Б. 81, 122, 132

Ведров В. С. 58, 287

Вейерштрасс К. (Weier- fitrass К. Th. W.) 190, ；191, 239.

Векуа И. Н. 402

Беличенко В. В. 200

Веретенников В. Г. 59

Вертгейм Б. А. 197

Верховский А. В. 367

Ветчин кин В. П. 338, 400

Викторова В. С. 212

Вильев М. А. 335, 338

Винер Н. (Wiener N.) 233, 257

Виноград Р. Э. 58, 71, 85

Виноградов - В. Н. 197

Винокуров В. А. 279, 285

Винтнер А.①.(Wiiit- пег A. F.) 355

Виткус И. И. 101

Витт А. А. 87, 94, 102, 103, 111, 112, 116, 130, 138, 144, 147, 150, 157, 161

Виттенбауер Ф. (Witten- bauer F.) 378

Владзиевский А. П. 385—387

Владимирский Н. А. 372

Владычин Г. П. 287

Власов В. 3. 400

Вождаев В. С. 274

Возник Л. Л. 197

Волгин Л. Н. 197

Волин Ю. М. 242

Волков В. М. 92

Волков М. С. 295, 357

Волосов В. М. 115, 116, 120—127,131—133,

135, 403

Вольмир А. С. 91, 404

Вольтерра В. (Volterra V.) 171, 172

Вольфсон С. И. 400

Ворель 3. (Vorel Z.) 115

Воробьев А. П. 254

Воробьев П. А. 384

Ворович И. И. 404

Воронец П. В. 171 — 173, 382

Вострова 3. И. 242

Вранчану Г. (Vrancea- nu G.) 176

Вркоч И. (VrkoG I.) 20, 22, 53

Вчерашнюк П. П. 127

Выпшеградский И, А.

140, 141, 375

Вяхирев С. В. 384

Габасов Р. 197, 220

Габриелян М. С. 210

Гавриленко В. А. 374

Гавурин М. К. 285

Гаджиев М. Ю. 197, 227

Газаров А. Т. 371, 390

Газарян Ю. Л. 354

Гайдук В. И. 122, 127

Галеркин Б. Г. 95, 400

Галилей Г. (Galilei G.) 7, 147

Гальперин Е. А. 210

Гамель Г. (Hamel G.) 171—17^ 176

Гамильтон В. Р. (Hamilton W. R.) 15—

36—38, 126，137, 171, 176, 188, 202— 204, 206,210, 224, 239, 288, 297, 298, 326, 327 Гамкрелидзе Р. В. 81,

193, 197, 215 Гамрекели С. И. 371,

379, 390

Ганиев Р. Ф； 96

Гантмахер Ф. Р. 23, 44, 45, 56, 81, 83, 90, 154, 167, 177, 266, 381, 402

Гапонов А. В. 175 Гаусс К. Ф. (Gauss G. F.)

318, 345, 346 Гаушус Э. В. 295 Гаханов А. К. 83 Гвоздев А； А. 404 Геккелер И. В. (Gecke-

ler J. W.) 245, 248 Гёльдер О. (Holder О.)

176\

Гельман А. Е. 81, 83 Геращенко Е. И. 212 Гермаидзе В. Е. 21, 51, 53

Гернет М. М. 378

Геронимус Я. Л. 197, 369, 371, 372, 377,

Герц Г. Р. (Hertz Н. R.) 171, 176

Герц Е. В. 382, 383 Гершгорин С. А. 90, 368

Гильден Г. (Gylden Н.) 359

Гиндес В. Б, 197, 227 Гипп М. (Hipp М.) 147 Гирсанов И. в. 234 Гихман И. И. 115, 130 Глатенок И. В. 135 Глух Б. А. 178 Глушко К. С. 173 Гноенский Л. С. 197, 227 Гоголадзе В. Г. 401 Годдард Р. X. (Goddard

R. Н.) 265

Голдаева О. И. 388 Голицын Г. С. 401 Голоквосчус П. Б. 81 Голоскоков Е. Г. 92, 93, 100, 108

Голубев В. В. 400, 401 Голубенцев А. Н. 382 Голубков В. В. 293, 295

Гольденблат И. И. 91, 97, 100, 401, 404

Гольденвейзер A. J1. 402 Гоман В. (Hohmann

W.) 265

Гомори Р. Э. (Gomory

R. Е.) 80

Гонткевич В. С. 91, 105 Гончаревич И.①.109

Горбань А. В. 191 Горбатенко В. Н・ 197.

-234

Горбунов А. Д. 63

Гордон И. И. 94

Горелик Г. С. 139, 141

Горелов Ю. А. 274

Горохов В. А. 148, 154

ГорскаяьН. С. 144

Гортинский В. В. 110, 111, 380

Горчаков Н. Г. 93

Горпшн С. И. 50, 52, 53

Горячев Д. Н・ 245

Горячев И. Н. 347, 359

Горячкин В. П. 376, 377, 382, 384, 389

Гохман X. И. 363, 365, 368, 373, 374

Гоцаридзе Г, Д. 390

Градштейн И. С. 122

Грдина Я. И. 140, 383

Гребенников Е. А. 115, 127, 133, 356, 359

Грейданус И, Г. (Greida- nus J. Н.) 178

Григоревский В, М. 295

Григоренко В. А. 155

Григорьев Е. П. 191.

197

Гриценко М. Б. 212

Гришин В. И. 210

Гробман Д. М. 71,85, 86

Гробов В. А. 93,115, 381

Гродзовский Г. Л. 266, 267, 269, 273, 275, 276, 278, 280, 285, 362, 403

Гроссман Е. П. 13

Груздев Н. И. 92

Грюблер М.①.(Griib- ler М. F.) 365

Гудстейн Р. (Goodstein R.) 250

Гудушаури Э. Г. 371

Гук Р. (Hooke R.) 15

Гуковский A. (Houkow- sky А.) 141

Гулд Л. A. (Gould

L. А.) 206

Гуленко В. П. 197

Гульбинас А. С. 390

Гулько ①.Б. 197

Гурвиц A. (Hurwitz А,) 46, 60, 163

Гурвиц Л. (Hurwicz L,) 214

Гуревич М. И. 401

Гурецкий В. В. 197

Гурин А. И. 381

Гурко О. В. 291, 301

Гурман В. И. 219

Гуров А. Ф. 93, 168, 381

Гурса Э. (Goursat Е.) 238

Гусаров А. А. 93, 381

Гуссейнов Н. М・ 388

Гуськов Ю. П. 285

Гутьяр Е, М. 376, 378

Гюйгенс X. (Huygens

Ch.) 16, 110, 147

Давйденков Н. Н. 99 .Давидсон Б. X. 274, 278, 280

Давыдов Я. С. 374

Даиров Г. 58

Даламбер Ж. Л. (DTAle- mbert J. L.) 172, 322

Дарвин Дж. Г. (Darwin G. Н.) 327, 328

Дашков А. А. 305, 310, 313

Дащенко А. И. 387

Девянин Е. А. 258, 263, 264

Дела сю Э. (Delassus Е.) 173

Делоне Н. Б. 368, 387

Делоне Ш. Э. (Delaunay Ch. Е.) 116, 326, 359

Демидович Б. П. 76, 83, 125, 131

Демин В. 1\ 359

Демуришвили Н. В. 390

Демьянов В. Ф. 179, 197, 200, 227

Демьянюк Ф. С. 385

Ден-Гартог Дж. П. (Den

Hartog J. Р.) 135, 148

Денисова Л. М. 191

Дерендяев И. М. 200

Джабуа Г. А. 388, 390

Джанелидзе Г. Ю. 92, 97, 107, 109, 403

Джинс Дж. X. (Jeans

J. Н.) 328, 343

Джолдасбеков У. 390

Дижечко Н. Н. 370, 378, 379

Дикушин В. И. 385

Диментберг М.①.89, 113

Диментберг Ф. М. 89, 93, 168, 368, 370, 381

Динник А. Н. 400

ДиракП, (Dirac Р, А. М・) 183, 217

Длугач Л. А. 59

Добровидов А. В. 234

Добровольский * В. В.

366, 368—371,

374, 376, 377, 379, 388, 389

Доброгурский С. О. 384, 388

Добронравов В. В, 171, 172, 177, 400

Долголенко Ю. В. 145, 212

ДольбергМ. Д.89, 90,167

Доманицкий С. М. 242 Дондошанский В. К. 167—169

Донская Л. И, 83

Дорогов А. А. 389

Дородницын А. А・ 82, 123, 128

Дрейпер Ч. С. (Draper Ch. S.) 145

Дубовицкий А. Я. 191, 243, 214

Дубовский С. В. 275

Дубошин Г, Н. 51, 53, 81, 266, 269, 272, 288, 291, 295, 302, 304, 314, 323,331,343,344, 357, 400, 403

Дубровин М. В. 388

Дубровский В. А. 382

Дубровский Е. Н. 212

Дубяго А. Л. 351

Дувакин А. П. 45, 177

Дудин Е. Б. 212

Дынкин Е. Б. 234

Дыхман Е. И. 26

Дюлак A. (Dulac HJ 70

Евтушенко Ю. Г. 115, 285，293，294, 301

Егоров А; И. 179, 239 Егоров В. А. 191, 266, 272, 273, 278, 279, 285

Егоров Ю. В. 179, 191, 235, 239

Езеров В. Б. 212

Езикашвили О. С, 372, 382, 390

Емельянов С. В. 179, 212

Епифанов А. Д. 387

Ерешко Е. И. 378

Ермольев Ю. М. 197

Еругин А. Н. 76, 79, 80, 86

Еругин Н. П. 9, 20, 23, 24, 27, 37, 45, 47, 52, 57, 7 6, 7 9—83, 85, 210

Ершов Б. А. 45

Ершов В. Г. 278

Есипенко Я. И. 378, 388

Ефимов Г. Б. 278

Ефимов М. И. 177

Ечеистов Ю. А. 178

Жаутыков О. А. 27, 116, 125, 131, 232

Жбанов Ю. К. 247

Жегалова Т. С. 375

Железцов Н. А. 99, 147, 150

Желнин Ю. Н. 287

Желтов Ю. П. 404

Живоглядов В. П. 234

Жигулев В. Н. 197

Жидков Н. П. 285

Житомирский В. К. 168

Жуков А. Н. 280

Жуковский Н. Е. 8, 31, 82, 139, 140, 171, 245, 363, 375, 376, 387, 389

Журавлев IL А, 380

Заалишвили И, И. 390

Завалищин С. Т, 210

Завьялов Г. А. 105, 381

Задирака К. В. 135

Зайцев М. И. 250

Закин Я. X. 178

Закотеева Л. В. 275

Залесов О. А. 97

Зарецкий Л. Б. 92, 111

Заре В. В. 390

Захаревич А. Ф. 380

Захарова Е. И. 388

Збойчик И. Н. 86

Зволинсклй Н. В, 404

Зейлигер Д. Н. 370

Зеликин М. И. 179, 227

Земсков В. Д. 108, 380

Зенченко В. П. 382

Зернов Д. С. 387

Зигель К. Л. (Siegel

L.) 70, 80, 356

Зиновьев В. А. 370, 372, 377, 378, 382, 383, 388, 389

Златопольский М. Д, 374

Златоустов В. А. 290, 303

Золотухина Н. И. 287

Зоммерфельд A. (Som・ merfeld А.) 107, 138

Зон奥 Ю. В. 293, 295

Зорин В. Н. 400

Зубарев Д. Н. 122, 123

Зубов В. И. 20, 22, 23, 25, 27, 28, 42, 51, 56, 65, 94, 179, 191, 197, 200, 210, 233

Зундман (Сундман)

К. Ф. (Sundman К. F.) 332—334, 347, 356, 362

Иванилов Ю. П. 402

Иванов А. П. 388

Иванов Б. А. 373

Иванов Ю. Н. 189, 191, 197, 200, 266, 267, 269, 274—276, 278— 281, 285, 403

Ивахненко А. Г. 145

Ивашкин В. В* 275, 313

Иващенко Н. И. 371

Идельсон Н. И. 338

Изобов Н. А. 84

Илларионов В. Ф. 274, 285

Ильин В. А. 274

Ильин П. А. 247

Ильинский Д. Я. 387

Илютович А. Е. 280

Иманалиев М. И. 241

Имшенецкий В. Г. 210

Ионсен Л. (Johnsen L.) 174

Ионушас Р. А. 390

Иориш Ю. И, 92, 38m

Иослович И. В. 249, 295, 303

Иоффе А. Д. 215

Ирвинг Дж. Г. (kwing 『・Н.) 275

Исаев В. К. 189, 273, 274, 278, 280, 285

Исполов Ю. Г. 97

Иткис Ю. Ф, 213

Ито К. (Ito К.) 130

Итон Дж. Г. (Eaton J.

Н.) 197

Ишков П. К. 105

Ишкова А. Г. 404

Ишлинский А. Ю. 91, 103, 128, 245, 248— 250, 255, 256, 258, 259, 266, 273, 401

Казакевич В, В. 144, 145

Казакова Р, К, 285, 305, 314

Казаринов Ю. Ф. 197

Казимирчак - Полонская

И. 351

Кайдановский Н. Л. 103

Кайзер Дж.①.(Kaiser

F.) 206

Кайнер В. Т. (Купег

W. Т.) 125

Какипгов К Б. 241

Калинин В. Н. 191

Калинин С. В. 58

Калинович В. Н. 258

Калиновский П. Т. 375-

Калман Р. Э. (Kalman

R. Е.) 44, 197, 206

Каменков Г. В. 12, 30г 55—57, 59, 60, 63— 65, 73

Камышный Н. И. 386

Канарев Л. Е. 189, 197

Канторович Л. В. 167г 285

Капица П. Л. 97, 120,

Капустин И, И. 384» 386, 387

Карасев И. П. 216

Карачаров К. А. 63

Карман Т. (Karman Th) 30

Карпенко М. Ф. 200

Картвелишвили Н. А~ 402

Картер ①.В. (Carter F. W.) 174 178

Картрайт М. Л. (Cartwright М* L.) 76

Карымов А. А. 288, 291, 293, 301

Катковник В‘ Я. 210, 233

Катонов В. А. 384

Кац А. М. 92, 96

Кац И. Я. 25, 54

Качанов Л. М. 402, 404

Каширин А. И. 103

Келдыш М. В. 82, 104, 10 6, 174, 17 5, 178,400, 402

Келенджеридзе Д. Л. 226

Кемпнер М. Л. 168

Кеплер И. (Kepler J.) 15, 116, 322, 346

Кетов X. Ф. 369, 373, 384, 388

Кибель И. А. 401

Килль И. Д. 290, 303

Кильчевский Н. А. 105, 402, 404

Киняпин С. Д. 144, 154, 156

Киргетов В. И. 173

Кириллова Л. С. 197

Кириллова Ф. М. 197, 210, 220, 227

Кирин Н. Е. 179, 189, 197, 200

Кирпичев В. Л. 363, 367

Кирпичников С. Н. 274, 275

Киселев В. Г. 305, 314

Кислик М. Д. 359

Кислицын С. Г. 370, 377

Кисляков В. С. 191, 197

Кифоренко Б. Н. 280

Клапаух И. Л. 384

Клебанов М. К. 378

Клейн Г. К. 401

Клеменс Дж. М. (Clemence G. MJ 348

Клеро А. К. (Clairaut

А. С.) 322

Климов Д. М. 249, 252, 263

Клусов И. А. 386

Князев Г. Н. 172, 177

Кобринский А. Е. 101, 372, 377, 380, 382, 383, 385, 386

Ковалев Н. А. 178

Ковалевская С. В. 35, 245, 330

Ковылин Ю. Я. 378

Коган М. Н. 404

Кожевников С. Н. 368, 370, 372, 373, 376, 382—384, 388, 389, 403

Кожевников Ю. В. 191, 197, 234, 274, 283

Козиоров Л. М. 197

Койтер В. Т. (Koiter

W. Т.) 18, 39

Колесников К. С‘ 106, 178

Колесников Н. Н. 32, 36, 293, 303

Колмогоров А. Н. 38, 80, 127, 130, 133, 134, 229, 233, 257, 291, 302, 357

Коловский М. 3. 89, 96, 112, ИЗ, 162, 234, 403

Коломиец В. Г. 130

Колосов Г. Е. 234

Колчин Н. И. 366, 369, 373, 374, 384, 388, 389

Комаров М. С. 378

Ковдорский И. Д. 250

Кондратов А. А. 287

Кондратюк Ю. В. 286

Кондударь В. Т. 291, 295，302, 345, 357

Кононенко В. О. 89, 96, 103, 107, 108, 115, 127, 132, 380, 381, 403

Константинов А. X. 404

Коперник Н. (Copernicus N.) 322

Копнин Ю. М. 128, 162, 274, 279, 285, 286

Копылов Н. Г. 109

Кораблев С. С. 107

Кордуняну К. (Сог- duneanu С.) 22, 26

Корендясев А. И. 386

Коренев Б. Г. 92, 100, 105, 401, 404

Коренев Г. В. 266

Кореняко А. С. 388

Королев С. П. 265, 285

Коростелев Л. В. 378

Кортнев А. В. 213

Космодемьянский А. А.

266, 273, 381, 400

Космодемьянский В. А. 191, 274

К остерии Ю. И. 103

Костицын В. А. 336, 342

Костицын В. Т. 372, 382, 385

Костылева Н. Е. 213

Костюк Д. И. 388

Котельников А. И. 368, 370

Котельников В. А. 144

Коттон Э. (Cotton Е.) 47, 81

Кочетков Ю. А. 189, 227

Кочин Н. Е. 30, 97, 400

Кочубиевский И. Д. 213

Коши О. Л. (Cauchy

A. L.) 16, 68, 80, 167

Кошкин Л. Н. 387

Кошляков В. Н. 247, 248 Крагельский И. В. 103 Крайко А. Н. 244

Крамарове кий В. И. 189

Красицкий М« С. 242

Красносельский М. А. 26, 76, 94, 115, 167, 403

Краснощеков П. С. 294, 303

Красовский А. А. 145, 184, 210, 234

Красовский Н. Н. 11, 12, 14, 17, 19—24, 27—29, 39, 40, 42, 44—46, 48, 50, 51, 53, 54, 58, 66, 73, 76, 81, 197, 210, 216, 227, 241, 401, 402

Крейн М・ Г. 37, 90, 98, 115

Крейн С. Г. 26

Крейндлер Э. (Kreind- ler Е.) 197

Крейнес М* А. 374, 378

Крейнин Г. В. 382

Кременштейн Л. И. 378, 388

Кривенков Ю. П. 189 Кронекер Л. (Kronecker £.) 17, 61, 163

Кротов В. Ф. 179, 197, 219, 285'

Крускал М. Д. (Kruskal М. D.) 127

Крутков Ю. А. 245, 254

Крутько П. Д. 210

Крылов А. Н. 87, 91, 92, 95, 100, 167, 245, 246, 252, 254

Крылов А. П. 404

Крылов Г. Н. 295

Крылов И. А. 200, 285

Крылов Н. М・ 82, 87, 94, 95, 97, 117, 129, 132

Крюков И. А. 381

Кубасов В. Н. 305, 306, 310, 312

Кубланов И. М. 144

Кудревич Б. И. 246

Кудрявцев В. Н. 375, 378

Кудрявцев Ю. А. 213 Кузмак Г. Е. 122, 127, 128, 197, 274, 275, 285, 287

Кузнецов В. И. 245

Кузнецов Д. С. 400

Кузнецов Е. С. 400

Кузнецов Н. А. 210

Кузнецов П. И. 202

Кузнецова А. К. 375

Кузьмин Г. А. 60

Кузьмин П. А‘ 12,25, 30, 36, 53, 60!

К уклее И. С. 79

Куликовская Н. В. 201 Куликовский А. Г. 401 Куликовский Р. (Kuli- kowski RJ 197, 233

Кульмач П. П. 105

Куницын А. Л. 38

Кунцевич В. М. 145

Купервассер Ю. И. 197

Купрадзе В. Д. 402

Курбанов И. И. 390

Куржанский А. Б. 197, 210, 234

Курмашев Д. 58

Куровский Ф. М・ 366, 375

Курочкина А. И. 386 Курцвейль Я. (Kurzweil J.) 19, 22, 50, 52, 115, 125, 131, 197, 206

Курьянов А. И. 273, 278, 280

Кухтенко А. И. 382, 383 Куценко С. М. 178, 379 Кучер И. М. 385

Кушуль М・ Я. 106, 109, 163, 379—381

Лавендел Э. Э. 109

Лавренко Н. И. 197, 274, 275

Лаврентьев М, А. 91, 104 '

Лавров Б.П. 111

Лавров С. С. 266

Лавровский Э. К. 293, 295

Лагранж Ж. Л. (Lagrange J. L.) 7, 8, 10, 1518, 30, 32—36, 39, 171, 172, 175, 183, 190—192, 198, 199, 202, 203, 225, 239, 243—245,252,296,

323, 326, 329, 330, 332, 338, 345, 346, 356, 360, 379

Лазарян В. А. 178

Лакшмикантам В. (Lak- shmikantham V.) 26

Ламе Г. (Lame G.) 360

Ландау Л. Д. 127

Лаплас П. С. (Laplace Р. S.) 322—324, 326, 329, 338, 352

Лаппо-Данилевский

И. А. 83

Ларин В. Б. 210, 257

Ларичев О. И. 197

Ларичева В. В. 128, 285

Лармор Дж. (Larmor J.) 123

Ла-Салль Ж. П. (LaSalle J. Р.) 24, 26, 44, 65, 197

Лебедев А. А. 42, 63, 64

Лебедев В. Н. 279, 280, 285

Лебедев Л. А. 278

Левенсон Л. Б. 376, 388

Левенталь Е. Б. 252, 258

Леверье У. (Leverrier

U. J. J.) 325

Левин А. А. 386

Левин Л. М. 266, 381

Левитин Е. С. 200

Левитский Н. И. 370— 373, 383, 385

Леви-Чивита Т. (Levi- Civita Т.) 332, 333, 341, 356, 362

Левковский Е. И. 386, 387

Легостаев В. П. 295

Лейбензон Л. С. 105, 400

Лейтман Дж. (Leit- mann G.) 186

Лекорню Л. (Lecomu

L.) 140

Ленский А. И. 382

Леонов В. В. 200

Леонов М. Я. 93

Леонов Н. Н. 144, 146

Леонтович Е. А. 94, 155

Леонтович М. А. 97, 98

Леончук М. П. 242

Леоте A. (Leaute Н.) 141

Лернер А. Я. 186, 234

Летов А. М. 23, 44, 45, 62, 81； 178, 179, 191, 206, 210, 212, 252, 402

Лефшец С. (Lefschetz S.) 24, 26, 44, 65

Ли Р. (LeeR. С. К.) 233

Ли С. (Lie S.) 350

Ли Э. Б. (Lee Е. В.) 197, 216

Ли Я. Ц. (Li Y. Т.) 145

Лигин В. Н. 363

Лидов М. Л. 272, 314, .356

Лидский Э. А. 210

Лиепа А. П. 189

Линделеф Э. Л. (Linde- lof Е. L.) 171

Линдстедт A. (Lindstedt А.) 339

Линейкин П. С. 178

Липшиц Р. (Lipschitz

R. О. S.) 48, 61

Лисович И. М. 258

Литвин Ф. Л. 374

Литвин-Седой М. 3. 197

Литовченко И. А. 210

Литтлвуд Дж. И. (Littlewood J. Е.) 76

Лиувилль Ж. (Liouville J.) 30, 326

Лифшиц Е. М. 127

Лихтенштейн Л. (Lichtenstein L.) 328

Лицын Н. М・ 197

Лобас Л. Г. 178

Лойцянский.Л. Г. 95, 98, 368, 401, 402

Лоншаков. Н. П. 197

Лось Ф. С. 116, 131

Лоуден Д. Ф. (Lawden

F.) 273 .

Лузин Н. Н. .167, 202 Лукомская А. М. И

Лунц Я. Л. 2 51, 2 52, 403

Лурье А. И. 44, 45, 60, 87, 91, 96, 144, 163, 168, 178, 179, 189, 191, 210, 246, 262, 272, 285, 288, 293, 295, 367, 401—403

Лурье К. А. 179, 239

Лыкова О. Б. 131, 132

Людмирская И. Б. 373

Ляпунов А. М. 7—10, 11—13,16—25, 27—38, 40, 41, 43—63, 67— 85, 138, 140, 157, 160, 162, 177, 185, 207, 208, 212, 296—298, 327, 328, 330—332, 334, 343—345, 347, 354—356, 360, 362, ,401, 402

Маврицин В. Ф. 213

Магнус К. (Magnus К.) 250

Майер А. (Мауег А.) 190, 239

Майер А. Г. 94, 138, 140, 141, 144, 155

Майзель В. М. 167

Майсюк Л. Б. 372, 373

Макаева Г. С. 126

Макаров О. Ф. 274

Маклорен К. (Maclaurin С.) 10, 32, 33, 39, 327

Маковер С. Г. 351

Макушеев. П. Г. 378

Малаховский Е、Е. 106 Малинин Н. И. 404 Малкин Д. Д. 109 Малкин И. Г. 12, 18, 19,23,27,42,44, 45, 47, 48, 50—53, 55—57, 60, 73, 75, 81, 87, 94, 96, 128, 132, 135, 157, 160—163, 177

Малышев А. П. 365, 369, 375—378, 384, 387, 388 ..

Малышев Б. М. 404

Мамедов Я. Д. 26

Мандельштам Л. И. 87, 96, 111, 116, 137, 138, 147, 157, 161

Марачков В. П. 25

Маркеев А. П. 291, 302

Марков А. А. 208, 231

Маркус Л. (Markus L.) 197, 216

Маркушин Е. М. 241

Мартышкин В. С. 107

Мархашов Л. М. 197

Масленников В. А. 212

Массера X. Л. (Masse- га J. L.) 19, 27, 50, 52

Матросов В. М. 22, 24— 28, 38, 39, 250, 402

Мах Э. (Mach EJ 104

Медвидь М. В. 386

Медель В. Б. 178

Мейер К. Р. (Меуег К. R.) 44

Мейснер Э. (Meissner EJ 148

Мелентьев П. В. 167

Мельников В. К. 128

Мельников Г. И. 27, 60

Мельц И. О. 191

Меркин Д. Р. 38, 39, 103, 247, 248, 403

Мерман Г. А. 162, 354, 355

Мерцалов Н. И. 363, 367, 373, 376, 378, 387, 389

Метелицын И. И. 39, 178, 248, 252

Метрикин В. С. 148

Мещерский И. В. 265, 381

Мизес Р. (Mises R.) 138, 140

Микишев Г. Н. 403

Миллионщиков В. М. 26, 84

Мильштейн Г. Н. 197, 201, 210

Милютин А. А. 191, 213

Минаков А. П. 375

Миндлин И. М. 177

Минорский Н. (Minorsky N.) 135

Митропольский Ю. А. 87, 94, 96, 98, 115, 116, 120, 121, 123, 129—133, 401

Митрошин Э. И. 287

Михайлов В. К. 300

Михайлов Г. К. 402— 404

Михлин С. Г. 167

Мишин В. П. 266

Мищенко Е. Ф. 81, 122, 187, 227, 229

Мовчан А. А. 32, 100, 104, 105

Мовшович С. М. 197

Мозер Ю. К. (Moser

J. К.) 133, 134, 302

Моисеев Н. Д. 61, 115, 116, 127; 184, 336, 342—34 5, 350, 352,400

Моисеев Н. Н. 30, 31, 33, 105, 127, 128, 179 198, 200, 279, 285, 295, 402, 403

Моисеенко Д. Я. 380

Молчанов А. М. 58, 125, 127, 135, 356

Монин А. С. 403

Моргаевский А. Б. 89, 100

Моргунов Б. И. 127, 133, 135, 404

Мороз А. И. 197, 220

Моросанов И. С. 145

Морошкин Ю. Ф. 370

Моррисон Дж. A. (Morrison J. А.) 135

Мосеенков Б. И. 135

Мунир Н. Е. 75

Мурзов Н. В. 227

Мусхелишвили Н. И. 82, 402

Мухин О. Н. 100, 105

Муштари X. М. 177

Мышкис А. Д. 76, 81, 164

Мышков С. К. 200

Нагаев Р. Ф. 111

Нагорнов В； А. 177

Надеждин П. В. 197

Назаров Б. И. 250—252, 255

Назаров Е. А. 80

Наместников В. С. 404

Нариманов Г. С. 33

Насритдинов Г. 217

Насыров Р. М. 65

Натанзон В. Я. 168, 381

Наумова И. Н. 244

Нахапетян Е. Г. 387

Нго Ван Выонг 60

Небеснов В. И. 378

Нейланд В. М. 390

Нейман К. (Neumann С.) 171

Неймарк Ю. И. 30, 40, 43, 80, 101, 102, 106, 109, 135, 144, 147, 148, 152, 154, 156, 162, 17 2, 174, 175, 177, 178, 38a 402, 403

Нейштадт Л. В. (Neustadt L. W.) 197

Нелепин Р. А. 144

Немыцкий В. В. 20, 71, 76, 80, 135

Непомнящий Е. А. 110

Неронов Н. П. 380

Нестеров А. А. 210, 213

Никитин А. А. 378

Николаев Я. Н. 144

Николаевский Е. В. 379

Николаи Е.Л. 93, 103, 245, 250, 252, 376, 381

Николенко Г. И. 92

Николенко Л. Д. 115, 120, 285

Никольский А. А. 242

Никольский Г. Н. 144

Нил А. М・(Niell А. М.) 129

Новиков Л. 3. 252

Новиков М" Л. 374

Новинская Г. А. 144, 145

Новичков Ю. Н. 104

Новожилов И. В. 250

Новоселов В. С. 173, 174, 176, 200, 274, 275, 381, 382, 403

Новосельцев В. Н. 197, 220, 234, 242

Нудельман Я. Л. 90, 167, 168'

Ньюком С. (Newcomb SJ 339, 352, 357

Ньютон Дж. Ч. (Newton G. Ch.) 206

Ньютон И. (Newton L) 7, 285, 322, 324, 327, 330, 333, 356, 360

Оберт Г. (Oberth Н.) 265

Обухов А. М. 300, 401

Овакимов А. Г. 377

Овсянников Л. В. 404

Овсянников Р. Н. 280

Оглоблин Н. В. 367

Огуречников А. Н. 381

Огурцов А. И. 46

Ожиганова И. А. 197

Озол О. Г. 366, 390

Олевский В. А. 109

Олимпиев В. И. 105

Ониашвили О. Д. 97, 401

Онопчук Ю. Н. 227

Опельт В. (Oppelt W.) 141•

Опяль 3. (Opial Z.) 26

Орликов М. Л. 385

Осорин В. И. 112, ИЗ, 403

Остославский И. В. 266

Островский Г. М. 242

Островский Ю. И. 145

Остроградский М. В. 95

Остряков Н. Н. 245

Охоцимский Д. Е. 128, 179, 182, 200, 266, 269, 272—274, 278, 285, 287, 289, 290, 295, 297, 299, 303— 305, 310, 314, 316, 318, 362, 403

Павленко Е. Е. 254

Павлов А. А. 197

Павлов В. А. 251

Пал A. (Pal А.) 350

Пальмов В. А. 168

Пановко Я. Г. 95, 99, 103, 164, 168, 401

Папалекси Н. Д. 87, 96, 116, 138, 157, 161

Папкович П. Ф. 92, 167

Параев Ю. И. 189, 210, 234

Парийский Н. Н. 343

Парусников Н. А. 258, 263

Парышева Г. В. 314— 316

Певзнер Я. М. 178

Пельпор Д. С. 251, 252

Пенлеве П. (Painleve Р.) 17

Первозванский А. А. 112, 113, 168, 179, 197, 233, 403

Перевощиков Д. М* 322

Перельман И. И. 197, 234

Перельмутер М.М. 197

Перрон О. (Perron О.) 48, 81

Персидский К. П. 12, 18, 19, 22, 26—28, 47—49,71, 84, 85

Персидский С. К. 63

Петров Б. Н. 213

Петров В. А. 189, 210

Петров В* В. 144

Петров В. М. 200

Петров Г. И. 402

Петров Н. Н. 216

Петров Н. П. 375

Петров Ю. П. 191

Петровская М. С. 355

Петровский И. Г. 65, 81

Петрокас Л. В. 384, 386

Петросян Л. А. 227

Петухов И. Е. 366, 389

Петухов С. В. 272

Печорина И. Н. 213

Пикар Э. (Picard Е.) 68, 70, 80

Пилютик А. Г. 63

Пинскер И. Ш. 371

Пионтковский А. А. 197

Пирсон Дж. Д, (Pearson J. D.) 44

Писарев М. Н. 366

Писаренко Г. С. 99

Питтель Б. Г. 189, 197,

Пиус Л. Ю. 350

Пичугин Д. Ф. 381

Плаймел Б. Т. (Plymale

В. Т.) 250

Планк М. (Planck М.) 112, 228

Платонов А. К. 285, 305—310, 312—314

Плисс В. А. 20, 23, 44— 46, 57, 70, 75, 76, 94

Плотников В. И. 242

Плотникова Г. В. 81, 162

Победоносцев Ю. А. 274

Погосов Г. С., 176, 382

Подчуфаров Е\М. 147

Пожарицкий Г. К. 34—— 36, 38, 39, 174, 177, 197, 227

Позняк Э. Л. 89, 93, 105т 106, 381

Пойда В. К. 178

Покровская С. А. 278

Полетаева И. А. 197, 227

Полецкий А. Т. 105

Ползунов И. И. 180

Полтавский Л. Н. 197, 240

Полуэктов Р. А. 210, 233

Поляк Б. Т. 200

Поляков В. И. 92

Поляченко В. В. 275

Пономарев В. М. 197, 200, 266, 305

Пономарев Ю. В. 234

Понтрягин Л. С. 81, 112, 122, 130, 132, 155, 186, 187, 189, 192, 226, 229, 274, 276, 283

Попов В. И. 294§ 299

Попов В. Л. 375

Попов В. М. (Popov V. М.) 44, 45

Попов Г. Я. 404

Попов Н. Н. 372

Попов Ю. Б. 210

Попуцилло В. П. 197

Поспелов Т. С. 234

Постников В. Н. 44, 57, 144 '

Постников Л, В. 150 • Потапенко В. А. 249 Прейгерзон Г. И. 376 Прейс В. Ф. 386 Прокопов В. К. 404 Прокофьев В. И. 389 Пропой А. И. 220 Проскурин В. Ф. 350 Проскуряков А. II. 81, 132, 162, 402, 403

Прохоров Ю. В. 234 Пруслин М. М. 384 Пряди лов Ю. Н. 253 Пряхин Н. С. 210

П туш кина Г. Е. 110

Пуанкаре A. (Poincare Н.) 9, 15, 32, 34, 36, 39, 40, 61, 70, 74, 78—81, 137, 138, 157—159, 161, 162, 326—328, 330, 331, 334, 354-357

Пуансо Л. (Poinsot L.) 291

Пуассон С. Д. (Poisson S. D.) 145, 261, 332

Пугачев В. С. 113, 233

Пфарр A. (Pfarr А.) 141

Пшеничный Б. Н. 179, 197, 200, 220, 227

Рабинович А. Л. 404

Рабинович Б. И. 105, 403

Рабинович И. М. 91, 365, 367, 401, 404

Рабинович И. Af. 76, 81

Работнов Ю. Н. 401 т 402

Рагульскене В. Л. 101

Рагульскис К. М. 101t 111, 372, 382, 390

Радингер И.①.(Radin- ger J. F.) 378

Радциг Ю. А. 97

Раевский Н. И. 380, 382) 383

Раздолье кий А. И. 347

Разумихин Б. С. 23, 30, 42, 4£ 51, 63, 179, 197

Райт Э.М. (Wright Е.М.) 51

Ракита В. С. 382

Раковщик Л. С. 216

Рапопорт В. О. 210

Рапопорт И. М. 83, 105

Раскин Я. М. 383, 388

Растригин Л. А. 108

Раус Э. Дж. (Routh

J.) 8, 10, 30, 32, 34, 36, 38—40, 177

Раушенбах Е, В. 184, 295

Рахматуллина Л. Ф. 26

Рейли (Стретт Дж. В.) (Lord Rayleigh, Strutt J. W.) 95, 102, 135* 137

Рейн M・ В. 128, 285.

Рейн Н. Ф. 343, 352

Рейнольдс О. (Reynolds О.) 294

Рейсиг Р. (Reissig R.) 25

Рело ①.(Reuleaux F.) 365

Ремез Е. Я. 371

Ремизова Н. И. 404

Репин Ю. М. 51, 54,.

227, 241

Рерих К. Э. 140, 363> 376

Ретц Г. С. (Raetz G. S.> 129

Решетов Л. Н. 366, 372* 373, 375, 379

Ржаницын А. Р. 404

Ривкин С. С. 128, 255

Ритц В. (Ritz W.) 200

Родионов А. М. 132

Род риг Б. О. (Rodrigues В. О.) 288

Родыгин Л. В. 132, 158

Розанов Ю. А. 234

Розенберг Г. С.^19, 227

Розенберг М. 4 404

Розенблюм A. (Rosenblum А.) 314

^озенвассер Е. Н. 44, 164, 403

Розенман Е. А. 197

Розовский М. С. 374

Розоноэр Л. И. 189, 191, 197 220

Ройтенберг Е. Я. 197

Лойтенберг Л. Я. 257

Ройтенберг Я. Н. 43, 179, 201, 245—247, 250, 255, 256, 400, 403

Рокар И. (Rocard Y.) 174, 178

Романенко В. Н. 210

Романив О. Н. 93,381

Романов Г. Л. 287

Романовский И. В. 234

Ростовцев Н. А. 404

Рубаник В. П. 132

Рубин М. Б. 386

Рубцова И. А. 287

Рудаков В. П. 65

Руженцев С. К. 373

Рузский Д. П. 387

Румянцев Б. Н. 279, 285 294, 303

Румянцев В. В. 22, 26, 27, 30—36, 38—40, 42, 44, 67, 177, 250, 295, 401, 403

Рур A. (Roure Н.) 352

Русаков .И. Г. 101

Русанов В. В. 404

Рутковская Л. Д. 210

Рутковский В. Ю. 144, 294 299

Ручимский М. Н. 100

Рытов С. М. 113

Рябов Ю. А. 132, 162, 355

Рясин В. А. 234, 316, 318

Саввин А. Б. 197, 210

Савин Г. Н. 98, 404

Савченко К. Н. 347

Сагитов М. С. 60

Садовский И. Н. 266 ваковский С. А. 278 СалуквадзеМ. Е. 210,240 Самойленко А. М. 129 Самойлова-Яхонтова

Н. С. 338

€амокиш Б. А. 285

Самсонов В. А. 34

Сарачик Ф. Э. (Sara- chik Ph. Е.) 197

Сарычев В. А. 36, 266, 288— 291, 294, 295, 297—300, 302, 303, 403

Сахаров И. Е. 381

Светлицкий В, А. 375

Свешников А. А. 254, 256, 257

Сеге Г. (Szego G.) 44

Седов Л. И. 82, 266, 293, 400—402

Семенов М. В. 366, 369, 375, 378, 388

Семенов-Тяншанский

В. В. 97

Семенова Л. Н. 40, 177, 280

Серебрякова Н.Н. 154

Сетна П. Р. (Sethna

Р. R.) 135

Сигал И. X. 272

Сидоров А. И. 376, 388

Сизов А. М. 91

Сильвестр Дж. Дж.

(Sylvester J. J.) 49, 51

Сильвестров Э. Е. 382

Симакова Э. Н. 227

Синг Дж. Л. (Synge

J. L.) 141

Синицин И. Н. 252

Синицын А. П. 404

Синявский А. Л. 404

Сиразетдинов Т. К. 32, 240, 243, 244

Сирченко 3. Ф. 116, 129, 132

Ситников К. А. 354

Скалкина М. А. 48

Скачков Б. Н. 72

Скворцов Г. В. 189, 210

Скимель В. Н. 35, 36, 3 9, 250, 403

Скуридин М. А. 377

Слабкий Л. И. 291, 301

Слезкин Л. Н. 251, 252

Слободкин В. М. 32

Сломянский Г. А. 253

Смейл С. (Smale S.) 155

Смирнов А. И. 384

Смирнов А. Ф. 168, 404

Смирнов В. И. И, 74, 83

Смирнов В. Л. 366, 377

Смирнов Л. П. 388

Смирнов Л. П. 401

Смирнова И. М. 164

Смолицкий X. Л. 251

Смольников Б. А. 189, 2 94, 2 95, 303

Снегур А. А. 197

Соколов Л. В. 300

Соколов Ф. А. 388

Соколов Ю. Д. 347

Соколовский А. П. 103

Соколовский В. В. 400

Соловьев Л. С. 127

Сомов П. О. 364, 365

Сонин В. В. 189, 273, 278, 280, 285

Сорока В. В. 380

Сорокин Е. С. 99

Софронов Е. Т. 58

Спасский Р. А. 44

Сперанский Н. В. 371, 372

Сперри Э. A. (Sperry

А.) 253

Сретенский Л. Н. 401, 402

Станюкович К. П. 274, 401“

Старжинский В. М. 37, 42, 98, 381

Стеклов В. А. 245

Степанов В. В. 20, 80, 336, 342—344

Степанов Р. Д. 104

Степанов С. Я. 61

Стернин Л. Е. 244

Стеффенсен Дж. Ф. (Steffensen J. F.) 349, 350

Стилтьес Т. И. (Stieltjes Т.『.)282

Стихии В. Н. 234

Столяров Я. В. 387

Страбл Р. О. (Struble

R. А.) 115

Стратонович Р. .Л. 130, 179, 189, 234

Стрелков С. П. 135

Стремгрен С. Э. (Strom- gren S. Е.) 341

Струминский В. В. 402

Субботин М. Ф. 272, 338, 352

Суслов Г. К. 172

Схаутен Я. A. (Schouten

J. А.) 176

Табаровский А. М. 22

Табуева В. А. 213, 403

Тавхелидзе Д. С. 371, 388, 390

Талалаев П. А. 63

Таль А. А. 141 '

Тамамшев А. А. 371, 390

Танг Ф. (Tung F.) 240

Таран В. А. 213

Тарасов Е. В. 266

Таратынова Г. П. 128

Тарханов К. С. 371

Темченко М.Е. 36, 247,

Теодорчик К. Ф. 102, 135

Тер-Крикоров А. М. 402

Терпугов А. Ф. 234

Терских В. П. 168

Терсков Г. Д. 109

Тесленко Н* М. 272

ТетП. Г. (TaitP. G.) 137

Тетерин Ю. Д. 312, 313

Тибилов Т. А. 178

Тимофеев П. Г. 91

Тир К. В. 372, 386

Тихменев С. С. 245, 251

Тихомиров В. М. 215

Тихонов А. Н. 81, 122, 123, 217

Ткачев Л. И. 258

Токарев В. В. 189, 191, 197, 200, 234, 266, 267, 269, 275, 27 6, 278—285, 403

Токарь Е. Н. 248, 295, 299

Токмалаева С. С. 272

Толле М. (Tolle М.) 141

Томсон В. (лорд Кельвин) (Thomson W., Lord Kelvin) 8, 38, 40, 137

Торжевский А. П. 290, 292, 303.

Торричелли Э. (Torricelli Е.) 8

Третьяков В. Е. 210, 227

Троицкий В. А. 109, 167, 168, 179, 191, 197, 274

Труженникова В. Н. 156

Трушин С. И. 293, 295

Тузов А. П. 20, 24, 42, 45

Туричин А. М. 383

Тынянский Н. Т. 189,227

Тюлин Е. А. 278

Уайт Б. (White В.) 145

Уатт Дж. (Watt J.) 180

Удзава X. (Uzawa Н.) 214

Уиттекер Э. Т. (Whittaker Е. Т.) 40, 80, 177, 345

Уколов И. С. 287

Уланов Г. М. 144, 213

Усманходжаев X. X. 388, 390

Уткин В. И. 213

Уфлянд Я. С. 91

Фабер Б. (Faber В.) 145

Фаткии Ю. М. 280, 283 ①ату П. (Fatou Р.) 117, 344, 355

Федоренко Р. П. 200

Федорченко А. М. 127

Федотова А. И. 213

Фейгин М. И. 99, 101, 148—150, 156

Фельдбаум А. А. 81, 144, 145, 184, 186, 189, 220, 234

Феодосьев В. И. 100, 105

Фещенко С. Ф. 115, 120

Филатов А. Н. 60, 116, 135, 189, 197

Филер С. Е. 108

Филимонов Ю. М. 197

Филин А. П. 168

Филиппов А. П. 92, 93, 100, 108

Филиппов А. Ф. 179, 197, 215

Филипс О. М. (Phillips О. М.) 129

Филоненко-Бородич

М. М. 401

Фишман Л. 3. 155

①лейшман Н. Н. 404

Флексер М. Ш. 91

①локе Ж. (Floquet G.) 97

Флорин В. А, 402

Фодчук В. И. 132

①оккер А. Д. (Fokker

A. D.) 112

Формальский А. М. 197

Фрадлин Б. Н. 172

Фрайд Б. Д. (Fried В. D.) 273

Франкль Ф. И. 82

①ридлендер Г. О. 258 «Фридман В. М. 89, 167 ①ролов К. В. 107, 108 Фроммер М. (From

mer М.) 79

①утен巾иров Н. И. 388

①уко Л. (Foucault J.B.L.) 246, 253, 299

①укс Л. (Fuchs L.) 80

① урве Ж. (Fourier

J. В. J.) 119, 130, 134, 240

①у^аев Н. А. 40, 106, 144, 172, 174, 175, 177, 178, 402

Хазен Г. Л. (Hazen

Н. L.) 141

Хаимов' Н. Б. 73

Хайкин С. Э. 94, 102, 103, 116, 138, 144, 147, 150

Хайнман В. Я. НО

Халанай A. (Halanay А.) 116

Халилов 3. И. 97, 197, 242

Хамитов Ш. Ш. 197

Харасахал В. X. 81

Харатишвили Г. Л. 189, 197

Харитонова Т. В. 294, 299

Харкевич А. А. 101, 184

Харламов П. В. 36

Харламов С. А. 40, 251

Хасьминский Р. 3. 54, 130

Хацкевич И. Г. 293, 295

Хейл Дж. К. (Hale J. К.)

115, 125, 132, 133

Хентов А. А. 291, 302

Хилл Дж. В. (Hill G・ W.) 37, 97, 331, 339, 352, 354, 355

Хильми Г. Ф. 353

Хлебцевич Ю. С. 145

Хмелевский И. Л. 176

Ходжаев К. Ш. 92, 108

Холзунов А. Г. 382

Холщевников К. В. 305

Хоменюк В. В. 197

Хорошавцев В. Г. 306 Хорошилов В. В. 83 Хохлов М. А. 176 Хукухара М. (Hukuha- га М.) 79

Цалюк 3. Б. 26

Цандер Ф. А. 265, 280, 28g

Цвияк П. Б. 371

Цехнович Л. И. 370>

Цециор 3. М. 245

Циглер Г. (Ziegler Н) 39, 148

Циолковский К. Э. 265尸 266

Цуханова Е. А. 382 广

Цыбин Н. Е. 178 '

Цыпкин Я. 3. 220

Цытович Н. А. 404

Чневский М. И. 93 Чаплыгин С. А. 35, 60,.

171, 173, 175, 176, 245, 382, 400

Чарный В. И. 274, 306

Чариый И. А. 401

Часовников Л. Д. 374 Чеботарев Г. А. 350, 351 Чебышев П. Л. 59, 327,.

363—365,368—371,

378, 389

Чезари Л. (Cesari L.) И,, 86, 98, 163, 215

Чекмарев А. И. 96

Челидзе Д. Г. 390

Челомей В. Н. 97

Челпанов И. Б. ИЗ, 256, 258, 264

Ченцов Н. Н. 316, 318

Червин В. И. 234

Черемхин М. К. 285

Черенков А. П. 234

Черкудинов С. А. 371,. 372, 385

Чернецкий В. И. 200,. 234

Черноусько ①.Л. 36, 115, 127, 133, 200, 285, 288, 290—294,. 301—303, 403

Черный Г. Г. 244

Чернятин В. А. 210

Четаев Н. Т. 7, 8, 10, 12—18, 20—22, 25,. 27, 28, 30—36, 38,一 40, 42, 43, 46—51, 54,. 55, 59—63 65, 71,.

73, 84, 174, 184, 245,

250, 343, 380, 400

Чжан Сы-ин 63

Чичинадзе М. В. 247

Чувиковский В. С. 168

Чудаков Е. А. 178, 373

Чупрун Б. Е. 200

Чуракова С. В. 197

Шаги-Султан И. 3. 172

Шази Ж. (Chazy J.) 353, 354-

Шалаев Ю. В. 274, 278, 279, 285

Шалашков В. М. 287

Шамайденко Н. Е. 366

Шамбуров В. А. 371

Шанников В. М. 374, 375

Шапиро Г. С. 401, 404

Шараф Ш. Г. 352

Шариков В. И. 366

Шаронов С. К. 372

Шаронова И. М. 385

Шаталов К. Т. 381

Шатровский Л. И. 200, 285

Шатхан Ф. А. 189

Шаумян Г. А. 378, 384— 387

Шахбазян К. X. 373

Шац Я. Ю. 375

Шварцшильд К.

(Schwarzschild К.) 328

Шевело В. Н. 403

Шейнин И. С. 92, 105

Шелементьев Г. С. 197, 210

Шергин С. Н. 366

Шерман Д. И. 401, 402

Шестак Ю. М. 379

Шехвиц Э. И- 386

Шехтер О. Я. 111

Шилов А. А. 287

Шильников Л. П. 154— 156, 162

Шиманов С. Н. 61, 81, 162, 163, 241, 403

Шипилин А. В. 244

Ширяев А. Н. 234

Шитиков Б. В. 378

Шиф М. А. 247

Шишков В. А. 374

Шкадов Л. М. 274, 285

Шкиль Н. И. 115, 120

Шляхтин А. В. 109, 169, 379—381, 403

Шмальгаузен В. И. 233

Шмидт О. Ю. 353, 354

Шмыглев(;кий Ю. Д. 179, 242, 244

Шолохович Ф. А. 240

Шор Я. Б. 368

Шредингер Э. (Schrodinger Е.) 15

Штаерман И. Я. 375

Штейнвольф Л. И. 169, 378

Штейне К. А. 350, 351

Штелик В. Г. 65

Штернберг П. К. 335

Штокало И. 3. 47, 81, 120

Шуберт Ф. И. 324

Шулер М. (Schuler М.) 245, 247，258, 263

Шульгин М. Ф. 177

Шумилов П. П. 400

Эдельштейн Б. В. 388

Эди л ян М. Б. 373, 390

Эйдинов Р. М. 403

Эйлер Л. (Euler L.) 171, 183, 192, 2 98, 202, 225, 239, 245, 291, 2g4, ‘322, 32 6, 338, 359, 362, 375

Эйри Дж. Б. (Airy G. В.) 146

Экольт В. (Eckolt W.) 148

Эльсгольц Л. Э. 29, 81 403

Эльясберг П. Е. 272

Энеев Т. М. 128, 191, 200, 273,274,285, 305, 310

Эно-ПельтриР. (Esnault-

Pelterie R. A. Ch.) 265

Эрдманн Г. (Erdmann G.) 191, 239

Эрлих Л. Б. 386

Эрпшер Ю. Б. 386, 387

Эрроу К. Дж. (Arrow

К. J.) 214

Эскин И. И. 178

Юденич В. В. 389

Юдин В. А. 369, 372, 374, 375, 378, 384, 389

Якоби К. Г. Я. (Jacobi С. G・ J.) 10, 15, 17, 32, 63, 171, 176, 203, 204, 206, 210, 224, 289, 326, 327, 332, 345

Яковлев Ю. В. 388

Якубович В. А. 37, 44, 45, 76, 86, 98, 402

Ямпольский И. Д. 106

Яиварашвили В. М. 371, 390

Янг Н. Г. 145

Яров-Яровой М. С. 272, 350

Ярошевский В. А. 127, 128, 286, 287, 314— 316

Ятаев М. Я. 58

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие5

Теория устойчивости движения

Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения (8. В. Румянцев} * 7

Первый метод Ляпунова (Я. 〃. Еругин} 67

Теория колебаний

Введение (〃• И. Блехман^ Я. Г. Лановко) 87

Прикладные проблемы теории колебаний (Я. Я. Блехман, Я. Г. Лановко) 89

Метод осреднения в теории нелинейных колебаний (®・ М. Волосов) . . .115

Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний (Ю. И. Неймарк} 137

Метод малого параметра (И. И. Блехман) 157

Методы решения линейных задач теории колебаний (Я. Я. Блехмант Я. Г. Лановко) 167

Динамика неголономных систем (Ю. Я. Неймарк) 171

Теория оптимальных управляемых систем (Я. Я. Красовский 179

Механика гироскопических и навигационных систем (£. Л. Девянин, А. Ю. Ишлинский^ Д. М. Климов) 245

Механика космического полета (Г. Л\ Гродзовский, Д. Е. Охоцимский,

В. В. Белецкий, Ю. Н. Иванов; Л. 〃. Курьянову А. К・ Платонов, В. А. Са- рыиез, В. В. Токарев, В. А. Ярошевскии} 265

Небесная механика (Г. Н. Дуботин) 321

Теория механизмов и машин (Я. Я. Артоболевский^ А. Я. Боголюбов} . . . .363

Приложение: Обзоры развития механики и ее отдельных областей в СССР, опубликованные в юбилейных сборниках и изданиях национального комитета СССР по теоретической и прикладной механике (до 1967 г.) . . . .400

Именной указатель 405

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

НАЦИОНАЛЬНЫЙ КОМИТЕТ СССРПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКЕ

МЕХАНИКАвСССР

В ЧЕТЫРЕХ ТОМАХ

ПОД РЕДАКЦИЕЙ

Л. И. СЕДОВА (главный редактор), Я. Б. ЗЕЛЬДОВИЧА,А. Ю. ИШЛИНСКОГО, М. А. ЛАВРЕНТЬЕВА, Г. К. МИХАЙЛОВА,Н. И. МУСХЕЛИШВИЛИ и Г. Г. ЧЕРНОГО

МЕХАНИКА

в

СССР

ЛЕТЛЕТ

ЛЕТ

ЛЕТ

ОБЩАЯ И ПРИКЛАДНАЯМЕХАНИКА

531

M55

УДК 531/534

МЕХАНИКА В СССРЗА ПЯТЬДЕСЯТ ЛЕТ

ТОМ I

ОБЩАЯ И ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА

ТОМ 2

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА

ТОМ 3

МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

ТОМ 4

БИБЛИОГРАФИЯ

МЕХАНИКА В СССР ЗА ПЯТЬДЕСЯТ ЛЕТтом 1Общая и прикладная механика

М.» 1968 г., 416 стр. с илл.Редактор Г. К. МихайловТехн, редактор И. Ш. АксельродКорректоры 1Е. А. Белицкая, М. Л. Липели^

米 米米

Сдано в набор 25/V 1968 г. Подписано к печати 24/Х 1968 г. Бумага 7ОХ1О8'/у Физ. печ. л. 26.

Условн. печ л. 36,4・ Уч.-изд. л. 34,58. Тираж 7000 экз. Т-14861. Цена книги 2 р. 68 к. Заказ 263

*米*

Издательство «Наука»Главная редакция физико-математической литературы.Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.

*米*

Московская типография № 16 Главполиграфпр ома Комитета по печатипри Совете Министров СССР

Москва, Трехпрудный пер., 9.

24-2

А14<68