ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Дается изложение основ теории механических колебаний, которое опирается на общин курс теоретической механики и иллюстрируется рядом типовых примеров. Отличительной' особенностью изложения является разделение материала по главам не по признаку числа степеней свободы механической системы, а по признаку общности рассматриваемых, колебательных явлений. В соответствии с этим в главах I—IV рассматриваются определенные типы колебательных явлений (свободные колебания, вынужденные колебания, параметрические колебания, автоколебания). Особое внимание уделяется нелинейным задачам.

Для студентов и аспирантов втузов, а также для инженеров, занимающихся задачами динамики механических систем.

Содержание

Предисловие5

Введение7

Общие задачи и содержание теории7

Составление механической модели; ограничение числа степеней10

свободы

Составление механической модели; силы, действующие при14

колебаниях

Понятие о фазовой плоскости18

Глава I. Свободные колебания22

1. Линейные системы с одной степенью свободы при отсутствии 22 трения

Основное дифференциальное уравнение и его решение22

Метод Рэлея29

Зависимость устойчивости равновесия от коэффициента жесткости 35

2. Системы с одной степенью свободы при наличии линейной40

восстанавливающей силы и трения

Линейное трение40

Нелинейное трение45

Гистерезисное трение54

Ударное демпфирование55

3. Системы с одной степенью свободы при нелинейной57

восстанавливающей силе

Общие понятия57

Точные решения58

Приближенные способы66

4. Линейные системы с несколькими степенями свободы72

Способы составления дифференциальных уравнений движения72

Решение системы дифференциальных уравнений82

Собственные формы86

Ортогональность собственных форм89

Роль начальных условий92

Случай кратных и нулевых корней94

Влияние трения98

Глава II. Вынужденные колебания101

5. Линейные системы с одной степенью свободы при отсутствии 101 трения

Основное уравнение при силовом возбуждении101

Случаи кинематического возбуждения103

Действие гармонической вынуждающей силы106

Действие произвольной вынуждающей силыПО

Действие периодической вынуждающей силы116

6. Системы с одной степенью свободы при наличии линейной122

восстанавливающей силы и трения

Действие гармонической вынуждающей силы122

Действие произвольной вынуждающей силы127

Действие периодической вынуждающей силы128

Комплексная форма решения132

Влияние нелинейно-вязкого трения при гармонической140

вынуждающей силе

Влияние гистерезиса142

Случайные колебания144

7. Системы с одной степенью свободы при нелинейной148

восстанавливающей силе

Основные понятия148

Основные колебания149

Супергармонические колебания152

Субгармонические колебания154

Способ поэтапного интегрирования для кусочно-линейных систем156

8. Линейные системы с несколькими степенями свободы160

Общие уравнения160

Действие вынуждающих сил, изменяющихся по гармоническому161

закону; непосредственное решение

Действие произвольных вынуждающих сил; разложение по167

собственным формам

Действие периодических вынуждающих сил170

Глава III. Параметрические колебания171

9. Общие понятия171

Основное дифференциальное уравнение171

Параметрические колебания около положения равновесия172

Параметрические колебания около стационарного режима движения 174

. Параметрическое возбуждение по периодическому кусочно- 177 постоянному закону

1. Колебания при отсутствии трения177

2. Влияние линейного трения

181

§11. Параметрическое возбуждение по закону синуса

183

1. Общие сведения

183

2. Примеры

185

Глава IV. Устойчивость состояний равновесия и автоколебания

188

§12. Устойчивость состояний равновесия

188

1. Вступительные замечания

188

2. Системы с одной степенью свободы

189

3. Системы с двумя степенямисвободы без трения

193

4. Системы с двумя степенями свободы с трением

200

§13. Стационарные режимы и предельные циклы

203

1. Общие понятия

203

2. Способ поэтапного интегрирования для кусочно-линейных систем

209

3. Метод энергетического баланса

216

4. Метод малого параметра

218

§14. Переходные процессы и устойчивость стационарных режимов

222

1. Вступительные замечания

222

2. Способ поэтапного интегрирования для кусочно-линейных систем

222

3. Метод энергетического баланса

224

4. Метод медленно меняющихся амплитуд

225

5. Метод точечных отображений

226

6. Устойчивость стационарных режимов

227

§15. Явления синхронизации

231

1. Вступительные замечания

231

2. Синхронизация квазилинейной автоколебательной системы

231

3. Синхронизация маятника

234

§16. Странные аттракторы

236

1. Генераторы стохастичности

236

2. Хаотический осциллятор Неймарка

238

3. Примеры странных аттракторов в неавтономных системах

242

Список литературы

246

Предметный указатель

249

Предметный указатель

Автоколебания 10

- странный 208, 236—244

- стационарные 215

Аэрогидроупругость 190

Автоколебательные системы 17

Балочная система 81

Автопараметрические системы 10

Биения 86

Амплитуда 26

Вековой член 109

- комплексная 133

Вектор собственный 89

Амплитудно-частотная

Виброгаситель динамический 163

характеристика 107

Вибротранспортировка 8

Амплитудный спектр 136, 137

Возбуждение кинематическое 9

Антирезонанс 162

Восстанавливающие силы 5

Аттрактор 208

Вынуждающие силы 9, 101

Вынужденные колебания 8, 101

Гамма-функция 47

Гаситель колебаний динамический 163

Генераторы стохастичности 235

Гистерезис 54, 142

Главные координаты 77, 167

Граничные условия 30

Движение относительное 104, 105

Декремент логарифмический 43

Детерминированные функции времени 144

Диаграмма Айнса—Стретта 184

устойчивости 179

фазовая 20

Дивергенция 188

Динамическая жесткость 107

- комплексная 133

Динамический гаситель колебаний 163

Диссипативная функция Рэлея 41

Диссипативные силы 17, 190

Дифференциальное уравнение для огибающей 48

Добротность (системы) 124

Единичные перемещения 78

реакции 79

Жесткое самовозбуждение 207

Жесткость динамическая комплексная 133

отрицательная 36

Задача идентификации 145

обратная 145

о дивергенции 189

о флаттере 194

оптимизации 145

прямая 145

синтеза 145

Циглера 189, 202

Закон сохранения энергии 60

Затухание критическое 44

Затухающие колебания 42

Захватывание 231

Значение критическое параметра 36

собственное матрицы 89

Изгибные колебания 30

Изображающая точка 18

Импульсная реакция 111

Импульсы периодические 131

Инерционный коэффициент 23

Интеграл Фурье 138

Интегральное квадратическое

уклонение 68

Интегрирование поэтапное 63, 156

Кривая скелетная 150

Критерий Рауса—Гурвица 201

Сильвестра 73

Критическая угловая скорость 200

Критическое затухание 44

значение параметра 36

Кулоново трение 49

Каноническая форма 76

Квадратическое трение 49

Квазиупругая характеристика 58

Квазиупругий коэффициент 24

Кинематические граничные условия

30

Кинематическое возбуждение 9

Колебания вынужденные 8

затухающие 42

изгибные 30

моногармонические 107

основные 148

параметрические 10

продольные 33

свободные 8

субгармонические 148, 154

супергармонические 148, 152

установившиеся вынужденные 107

Комплексная амплитуда 133

динамическая жесткость 133

- податливость 133

обобщенная сила 132

Комплексное обобщенное

перемещение 132

Координатные функции 14

Координаты главные 77, 167

нормальные 77

Корреляционная функция 146

Коэффициент влияния для перемещений 78

восстановления 158

динамичности 107, 124

инерционный 23

квазиупругий 24

обобщенный вязкости 41

- жесткости 24

передачи силы 127

расстройки 231

собственных форм 87

эквивалентный линейного трения 141

Линеаризация прямая 67

Лобовое сопротивление 189

Логарифмический декремент 43

Масса обобщенная 23

приведенная 23

Математическое ожидание 145

Матрица депфирования 99

жесткости 89

инерции 89

Метод гармонического баланса 69

малого параметра 218

медленно меняющихся амплитуд

50, 225

Рэлея 14, 29—35

точечных отображений 226

энергетического баланса 46, 140,

216, 224

Модель Русакова — Харкевича 157

Моногармонические колебания 107

Мягкое самовозбуждение 206

Нестационарные позиционные силы 171

Неустойчивый предельный цикл 207

узел 189, 191

фокус 189, 191

Нормальные координаты 77, 167

Область притяжения 208

Обобщенная масса 23

сила линейного трения 40

Обобщенные вынуждающие силы 15

позиционные силы 15

силы трения 16

Обобщенный коэффициент вязкости 41

- жесткости 24

Обратный способ составления

системы уравнений 74

Однородная система 82

Ортогональность собственных форм 89

Основной способ составления системы уравнений 75

Особые точки 21

Осциллятор хаотический Неймарка

236

Относительное движение 104, 105

Отрицательная жесткость 36

"Отрицательное трение" 180

Парадокс Циглера 203

Параметрические колебания 9

Параметрический резонанс 10, 172

Перемещения единичные 78

Переходный процесс 205

Период колебаний 26

Периодические импульсы 131

Периодическое изменение параметра

172

Петля гистерезиса 54

Плоскость фазовая 18

Плотность спектральная 147

Подъемная сила 189

Портрет фазовый 20

Построение Кенигса—Ламерея 227,

228

Поэтапное интегрирование 156

Преобразование Фурье 138

Приведенная масса 23

Приведенные вынуждающие силы

167

Припасовывание 63, 209

Продольные колебания 33

Процесс переходный 205

Прямая линеаризация 64

Прямой способ составления системы уравнений 74

Реакции единичные 79

Реакция импульсная 111

Режим- стационарный 211

Резонанс 109,131

параметрический 10, 172

Репеллер 208

Ротационное движение 60

Самовозбуждение 193

жесткое 207

мягкое 206

Свободные колебания 8

Седло 40

Сила кулонова трения 49

обобщенная линейного трения 40

подъемная 189

чисто кубическая 65

Силовые граничные условия 30

Силы восстанавливающие 15

вынуждающие 9

диссипативные 17, 190

нестационарные позиционные 171

обобщенные вынуждающие 15

приведенные вынуждающие 167

смешанного характера 17

Система балочная 81

однородная 82

Системы автоколебательные 17

Скелетная кривая 150

Скорость дивергенции 190, 197

критическая 200

флаттера 197

Собственная форма 87

частота 26

Собственное значение 89

Собственный вектор 89

Сопротивление лобовое 189

Спектр собственных частот 83

Спектральная плотность 147

Способ построения системы уравнений обратный 74

- основной 75

- прямой 74

поэтапного интегрирования 63, 156, 209

прямой линеаризации 67

Способы приближенного определения частоты свободных колебаний 66

Среднеквадратическое значение 148

Стационарные случайные функции

145

Стационарный режим 211

- неустойчивый 227

- устойчивый 227

Странный аттрактор 208, 236—244

Субгармоника 154

Субгармонические колебания 148,

154

Супергармонические колебания 148, 152

Точка изображающая 18

Точки особые 21

Траектория фазовая 18, 39

Трение квадратическое 49

кулоново 49

линейное 40

"отрицательное" 190

Угловая частота 26

Узел неустойчивый 189, 191

устойчивый 44

Уклонение интегральное квадратичное 68

Уравнение в конечных разностях 48

Ван дёр Поля 220

дифференциальное для огибающей 48

Лагранжа 75

Матье 183

Рэлея 204

частотное 83

Условие синхронизации 235

устойчивости 230

Условия граничные 30

кинематические граничные 30

начальные 63

перехода 63

периодичности 63, 118, 210

силовые граничные 30

Устойчивость вращающегося вола 197

равновесия 35

стационарных режимов 222, 227

Устойчивый предельный цикл 205

узел 44, 237

фокус 44, 237

Фазовая диаграмма 20

плоскость 18

траектория 18, 39

Фазовый портрет 20

Флаттер 194

Фокус неустойчивый 189, 191

устойчивый 44

Форма вынужденных колебаний 166

каноническая кинетической энергии 76

- потенциальной энергии 76

решения комплексная 132

собственная 87

Функции времени

детерминированные 144

- случайные 144

координатные 14

Матье 183

Функция диссипативная Рэлея 41

корреляционная 146

центрированная 146

Фурье интеграл 138

преобразование 138

Хаотический осциллятор Неймарка 236

Характеристика амплитудночастотная 107

жесткости 58

квазиупругая 58

частотная 133

Центрированная функция 146

Цикл предельный 205

- неустойчивый 207

- устойчивый 205

Частота собственная 26

угловая 26

Частотная характеристика 133

Частотное уравнение 83

Эйлеров интеграл второго рода 47

Эквивалентный коэффициент линейного трения 141

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемая читателю книга входит в серию учебных пособий, выходящих в издательстве «Наука» в качестве дополнений к «Курсу теоретической механики» Н. В. Бутенина, Я. Л. Лунца и Д. Р. Меркина. Эти дополнения рассчитаны на студентов, которые по профилю подготовки нуждаются в более подробном ознакомлении с рядом избранных проблем механики: теорией устойчивости движения, теорией механических колебаний, аналитической механикой, теорией гироскопов, теорией механического удара и т. д.

Теория механических колебаний особенно важна для инженеров, работающих в области машиностроения, приборостроения, авиа- и судостроения, промышленного и транспортного строительства, а также в некоторых других областях техники. Каждая из названных областей ставит перед специалистами ряд ответственных практических задач, тесно связанных с проблемой механических колебаний; хотя постановка этих задач почти всегда обладает заметной спецификой, но все они, в конечном счете, решаются на основе общих принципов и методов, составляющих содержание теории колебаний.

Важность теории колебаний общепризнана, и в ряде ведущих втузов страны эта теория, или более или менее специализированные ее модификации, является самостоятельным элементом учебного плана, обязательной или факультативной дисциплиной; во многих других втузах систематически работают дополнительные семинары по теории колебаний, привлекающие не только студентов, но также аспирантов и молодых инженеров.

Настоящая книга предназначена служить учебным пособием для любых таких занятий; можно надеяться, что она окажется полезной и для лиц, приступающих к самостоятельному изучению теории механических колебаний.

Эта теория является частью механики, выделенной признаком общности рассматриваемых колебательных явлений. В основном тот же признак использован и при дальнейшем внутреннем разделении теории в этой книге, где каждая из четырех глав посвящена колебаниям определенного типа (свободные колебания, вынужденные колебания, параметрические колебания, автоколебания).

В вычислительный аппарат теории механических колебаний все больше проникают понятия, заимствованные из теории электрических цепей и теории автоматического управления (частотные методы, комплексные представления сил и перемещений), а также матричные методы. Эти понятия отражены и в настоящей книге, но без особых подробностей — в конце концов, они имеют смысл только в области линейных колебаний.

В книге кратко описываются различные приближенные методы анализа нелинейных систем. Каждый из этих методов вводится в том месте изложения, где впервые он может оказаться полезным. Поэтому уже в первой главе можно найти элементарное изложение методов медленно меняющихся амплитуд, гармонического баланса и др., которые обычно излагаются (если вообще излагаются) лишь в самом конце курса.

По сравнению с другими книгами подобного назначения здесь относительно большее внимание уделено примерам, значительная часть которых — конечно, в сильно схематизированном виде — соответствует практическим ситуациям.

Автор благодарен всем коллегам, которые своими советами и замечаниями помогли улучшению книги.

Ленинград

октябрь 1989 г. Я. Г. Паповко

ВВЕДЕНИЕ

Общие задачи и содержание теории. Сорок лет назад академик Н. Д. Папалекси писал: «Не будет, вероятно, преувеличением сказать, что среди процессов, как свободно протекающих в природе, так и используемых в технике, колебания, понимаемые в широком смысле этого слова, занимают во многих отношениях выдающееся, часто первенствующее место».

Можно было бы привести множество примеров, иллюстрирующих важность колебательных явлений в технических устройствах. В одних случаях колебания в р е д- н ы (именно эти случаи впервые привлекли внимание инженеров к проблемам теории колебаний), в других случаях они приносят пользу и целенаправленно применяются в современной технике.

Механические колебания могут причинить значительный вред. Часто они создают прямую угрозу прочности весьма ответственным конструкциям, таким, как валопроводы, турбинные лопатки, воздушные винты, мосты, перекрытия промышленных зданий и т. п.; колебания неоднократно служили причиной многих аварий, а иногда и тяжелых катастроф. В других случаях колебания способны нарушить нормальные условия эксплуатации,— таковы, например, вибрации станков, мешающие достижению желательной чистоты обработки деталей, или колебания приборов, установленных на вибрирующем основании (например, на автомобиле или на самолете), приводящие к нарушению точности показаний. Наконец, иногда колебания оказывают вредное физиологическое действие на лиц, организм которых подвергается длительным вибрациям (например, работающих с ручным пневмоинструментом вибрационного типа). Во всех перечисленных случаях теория колебаний решает задачи предвидения и, по возможности, предотвращения вредного действия колебаний.

С другой стороны, ныне все шире применяются различные технологические процессы, основанные на использовании искусственно возбуждаемых колебаний. К таким процессам относится, например, вибропогружение свай, при котором свая весьма быстро погружается в грунт под действием сравнительно небольшой вибрационной нагрузки; другим примером может служить вибротранспортировка сыпучих материалов, частицы которых перемещаются в одну сторону вдоль колеблющегося лотка («вибро- конвейера»), С помощью теории колебаний удается не только вскрыть довольно сложную природу соответствующих физических явлений, но и установить оптимальные параметры режима колебаний, при которых достигается наибольшая производительность технологического процесса.

Таким образом, теория механических колебаний служит научной основой решения множества разнообразных технических задач большого практического значения.

Часто теорию колебаний разделяют на части по признаку числа степеней свободы механической системы: сначала рассматривают колебания систем с одной степенью свободы, затем колебания систем с несколькими степенями свободы и, наконец, колебания систем с бесконечно большим числом степеней свободы (систем с распределенными параметрами). Такое разделение имеет определенные методологические основания и долгое время было традиционным.

Однако в последнее время наметился иной и, по-види- мому, более целесообразный принцип, согласно которому отдельные разделы теории колебаний выделяются по признаку физического единства рассматриваемых явлений. Следуя этому принципу, даже читатель, знакомый лишь с началами теории колебаний, легко выделит два достаточно самостоятельных раздела: исследование свободные колебаний и исследование вынужденных колебаний. В первом из этих разделов изучаются колебания автономных систем, происходящие под действием восстанавливающих (и, возможно, диссипативных) сил около состояния равновесия; таковы, например, колебания после нарушения равновесия простейших систем, изображенных на рис. 0.1 (а— маятник, б — груз на пружине). Ко второму разделу относится изучение колебательных процессов, вызываемых и поддерживаемых вынуждающими силами, т. е. силами, заданными в виде явных функций

времени и не зависящими от движения системы. Примерами могут служить те же системы — маятник и груз на пружине, но при действии вынуждающих сил Р(Г) (t — время).

В некоторых случаях вынужденные колебания возникают в результате кинематического возбуждения, т. е.

Рис. 0.1Рис. 0.1

Рис. 0.1

Рис. 0.1

заданного в виде явной функции времени принудительного движения какой-либо точки (каких-либо точек) механической системы. Такие случаи иллюстрированы рис. 0.1,9, е; в схеме д колебания маятника вызываются заданным колебательным движением оси подвеса в горизонтальном направлении, а в схеме в колебания груза возникают вследствие заданного движения левого конца пружины.

При дальнейшем углублении в проблему механических колебаний можно обнаружить существование колебательных явлений иных типов, которые принципиально отличаются от только что названных.

Прежде всего отметим параметрические колебания, возникающие в системах, параметры которых (жесткость или масса) заданным образом периодически изменяются во времени. Примером параметрического возбуждения мо?кет служить маятник, ось подвеса которого совершает заданные колебания в вертикальном направлении (рис. 0.2,а). Если состояние относительного покоя будет каким-либо образом нарушено, то возникнут угловые

ческому описанию этаческому описанию этаРис. 0.2Рис. 0.2колебания, причем в зависимости от сочетания параметров системы указанные колебания могут быть как ограниченными, так и неограниченно возрастающими во времени. В последнем случае говорят о параметрическом резонансе системы. И по физической сущности, и по математп- задача принципиально отличается от задачи о вынужденных колебаниях маятника при заданном горизонтальном движении оси подвеса (рис. 0.1,9).

ческому описанию эта

ческому описанию эта

Рис. 0.2

Рис. 0.2

мени в зависимости отмени в зависимости отСовершенно особое явление представляют автоколебания — незатухающие стационарные колебания, поддерживаемые за счет энергии, которая подводится к системе от источников неколебательного характера. При этом силы, подводимые к системе от источников энергии, меняются во вре- самого движения системы и при

мени в зависимости от

мени в зависимости от

отсутствии движения р а в н ы н у л ю.

Простой пример автоколебательной системы показан на рис. 0.2, б — маятник, который при каждом прохождении через положение равновесия испытывает действие мгновенного импульса S заданной величины и направленного в сторону скорости. Такие импульсы могут поддерживать незатухающие колебания маятника при наличии трения в системе. Здесь нужно подчеркнуть, что действующие на автоколебательную систему внешние силы (в данном случае ударные) не являются вынуждающими силами в обычном смысле этого термина, так как они не заданы в виде явных функций времени, а управляются самим движением.

К колебательным также относятся системы с переменными параметрами, если эти параметры заданы периодическими функциями координат (а не времени). Иногда такие системы называют автопараметрическими.

Физические различия между природой колебаний указанных четырех типов весьма глубоки; в достаточной мере специфичны и соответствующие математические методы исследования. Каждому из этих типов колебаний ниже посвящена отдельная глава.

Составление механической модели; ограничение числа степеней свободы. Любая реальная механическая

система представима в виде бесконечного числа материальных точек, массы которых бесконечно малы; так как связи между этими точками не являются абсолютно жесткими, то число степеней свободы такой системы бесконечно велико. Точное решение задач о колебаниях деформируемых систем удается получить в замкнутой форме лишь в немногих, относительно простых случаях (например, задачи о свободных и вынужденных колебаниях упругих стержней постоянного сечения при равномерном распределении массы по длине стержня). В общем случае это сделать невозможно, и приходится упрощать расчетную модель, в частности путем уменьшения числа степеней свободы. Можно указать три основных способа образования конечномерных моделей.

Первый способ состоит в том, что относительно менее массивные части системы полагаются вовсе лишенными массы и представляются в виде безынерционных элементов (жестких или деформируемых), а наиболее

Рис. 0.3Рис. 0.3и.и.

Рис. 0.3

Рис. 0.3

и.

и.

жесткие части конструкции принимаются за абсолютно твердые тела; если размеры последних малы, то их считают материальными точками.

На рис. 0.3, а — и показаны примеры образованных таким способом систем с одной степенью свободы. Следует обратить внимание на их характерные особенности: упругие элементы, изображенные в виде пружин на рис. а, б, в, считаются безмассовыми; то же относится к упругим стержням на рис. г, д, з и жестким стержням

на рис. в, ж, и; в схемах на рис. б, е качение не сопровождается скольжением: в схеме на рис. г груз считается сосредоточенным (материальная точка). Здесь же, а также в схеме на рйс. 8 горизонтальные перемещения грузов считаются пренебрежимо малыми. В качестве обобщенной координаты принято: на рис. а, б — горизонтальное перемещение, на рис. в, г, 8 — вертикальное перемещение, на рис. е — и — угол поворота.

На рис. 0.4 показаны образованные таким же образом системы, имеющие более чем одну степень свободы. Конфигурация системы, показанной на рис. а, определяется

Рис. 0.4

перемещениями хц жг, тз поступательно движущихся грузов; эта система обладает тремя степенями свободы. То же относится и к системе на рис. б, если считать грузы материальными точками (при учете конечных размеров грузов и инерции их поворотов система на рис. б имеет шесть степеней свободы). Положение системы на рис. в определяется двумя обобщенными координатами — вертикальным перемещением центра масс груза у и углом его поворота ф. Также две степени свободы имеет твердое тело, показанное на рис. г; здесь за обобщенные координаты принята вертикальная координата подвижной опоры и угол поворота тела вокруг этой опоры. В отличие от этого пз-за податливости горизонтальной опоры тело на рис. 8 имеет три степени свободы. Если масса вала в системе на рис. е пренебрежимо мала, то система

обладает двумя степенями свободы; в качестве обобщенных координат на рисунке показаны углы поворота массивных дисков ф1, фг-

Согласно второму способу распределенные по всему объему системы свойства податливости локализуются в конечном числе точек (или линий). При этом система представляется в виде совокупности упруго (или вязкоупруго) сочлененных жестких элементов. Например, упругая балка с непрерывно распределенной массой

ааРис. 0.6Рис. 0.6

а

а

Рис. 0.6

Рис. 0.6

(рис. 0.5, а) может быть приближенно заменена цепочкой жестких звеньев, соединенных упругими шарнирами. При выборе числа шарниров следует исходить из требуемого уровня точности (см. варианты замены па рис. 0.5, б, в).

Третий способ основан на некоторых априорных предположениях об изменениях конфигурации системы в процессе колебаний.

Пусть для определенности речь идет о колебаниях показанной на рис. 0.4, а системы с тремя степенями свободы. Согласно этому способу можно принять, что отношения между перемещениями a;i(£), ^2(О, ^з(0 неизменны во времени, а числовые значения таких отношений (Ж2/Ж1 = а, жз/ж1 = Р) заранее назначаются; разумеется, это вносит элемент произвола в решение. В результате движение системы полностью описывается одной функцией времени, например Ж1(0, через которую непосредственно выражаются перемещения всех точек системы; такая система имеет всего одну степень свободы.

Соответственно тому же способу, для двухопорной балки (рис. 0.5,а) принимается, что в любой момент процесса колебаний форма изогнутой оси остается неизменной и меняется лишь ее масштаб. Если заранее задать форму в виде «подходящей» координатной функции /(ж),

то прогибы оси балки будут описываться произведением у (ж, t^q^j^,(0.1)

аав котором q^f)—функция времени, являющаяся единственной неизвестной задачи. Для иллюстрации на рис. 0.6 показана изогнутая ось балки в избранные моменты процесса колебаний ii, t^ и t^; все кривые имеют одну и ту же форму и различаются лишь масштабом. Таким образом, при фиксированном выборе функции /(ж) выражение (0.1) определяет переход к системе с одной степенью свободы, причем q^ представляет собой обобщенную координату.

а

а

Эта идея приведения к системе с одной степенью свободы лежит в основе излагаемого ниже метода Рэлея (см. стр. 29-35).

мы. О соображениях,мы. О соображениях,Точность решения может быть повышена, если вместо (0.1) описать движение балки суммой произведений

мы. О соображениях,

мы. О соображениях,

W^^q^h^ (0-2) 3=1

где /Дж) — задаваемые координатные функции, qj(t')—искомые функции времени, играющие роль обобщенных координат, s — сохраняемое в модели число степеней свободы систе- которыми следует руководство

ваться при выборе координатных функций, будет сказано ниже.

Одна и та же система может быть приведена к системе с несколькими степенями свободы любым из трех способов. В качестве примера на рис. 0.7, а — г показаны три варианта приведения для двухопорной балки с распределенной массой (рис. 0.7, в).

Составление механической модели; силы, действующие при колебаниях. В курсах механики указаны основные типы сил, которые могут действовать на материальную точку; силы, зависящие от времени; силы, зависящие от положения точки; силы, зависящие от скорости точки.

В большинстве случаев к этим типам сводятся и те обобщенные силы, которые действуют при колебаниях механических систем. Рассмотрим их подробнее, ограничиваясь здесь системами с одной степенью свободы.

Обобщенные вынуждающие силы — внешние силы типа QV), являющиеся заданными функциями времени; такие силы слуягат причиной вынужденных колебаний. Источники возникновения вынуждающих сил весьма разнообразны: периодически изменяющиеся силы давления газовой смеси в цилиндрах двигателей внутреннего сгорания, инерционные эффекты в вибровозбудителях, переменное притяжение электромагнитов и др. Весьма различны и законы их изменения во времени, хотя в практике наиболее часто встречаются периодические вынуждающие силы. Иногда вынуждающие силы не детерминированы, а представляют собой случайные функции времени (случайные процессы).

В некоторых случаях возбуящение колебаний задается кинематически, когда каким-либо точкам системы «предписано» некоторое определенное движение — оно также может быть детерминированным или случайным процессом. В частности, кинематическим является возбуждение колебаний автомобиля или железнодорожного вагона при движении по неровному пути. Как будет показано ниже, любое кинематическое возбуждение может быть представлено в виде некоторого эквивалентного силового возбуждения, т. е. заменено действием соответствующих сил.

Обобщенные позиционные силы — силы, зависящие от положения (конфигурации) системы, т. е. от обобщенных координат. Среди позиционных сил особое значение имеют восстанавливающие силы, т. е. силы, возникающие при отклонениях системы от положения равновесия и направленные так, чтобы вернуть систему в это положение. Именно восстанавливающие силы обусловливают собственные колебательные свойства механических систем — их способность совершать свободные колебания.

В механических системах с упругими элементами восстанавливающие силы возникают вследствие деформирования этих элементов при колебаниях (упругие силы). В других случаях роль восстанавливающей силы может играть сила тяжести (маятник) или архимедова сила (корабль).

Зависимости восстанавливающих сил от обобщенных координат, как правило, нелинейны; однако при иссле-

довании малых колебаний — что во многих случаях достаточно — чаще всего допустима линеаризация таких зависимостей. Для системы с одной степенью свободы линейная восстанавливающая сила всегда может .быть записана в виде

Q^=-cq, (0.3)

где q — обобщенная координата, с — обобщенный коэффициент жесткости. Например, если для маятника (рис. 0.1, а) принять за обобщенную координату угол от

клонения от вертикали, то обобщенная сила (момент силы тяжести) равна —mgl sin q « ~ —mglq, т. е.

с = mgl.

аРис. 0.8аРис. 0.8Иногда обобщенная восстанавливающая сила возникает вследствие одновременного влияния двух различных причин. Таков, например, упруго ' закрепленный маятник (рис. ‘ б 0.8,«), для которого

а

Рис. 0.8

а

Рис. 0.8

с = c0l + mgl,

где Со — коэффициент жесткости пружины, т. е. статическая сила, способная вызвать удлинение пружины на единицу длины. Эти влияния могут быть противоположными по направлению; так, для опрокинутого маятника (рис. 0.8, б)

с = со? — mgl.

Если пружина имеет малую жесткость, такую, что c^l < < mg, то обобщенный коэффициент жесткости оказывается отрицательным, т. е. суммарная позиционная сила не является восстанавливающей.

Обобщенные силы трения зависят от обобщенных скоростей (по крайней мере от их знака) и направлены противоположно движению. Силы трения возникают в сочленениях звеньев и опорах механической системы, а также в материале ее звеньев. К этой категории также относятся силы сопротивления среды (жидкости, газа), в которой происходят колебания; такие и им подобные силы ниже условно также называются силами трения. Особенно значительно трение в демпферах, которые спе-

циально вводятся в механические системы для гашения колебаний. Чаще всего силы трения препятствуют развитию колебаний, например, служат причиной затухания свободных колебаний; механические системы, в которых действуют такие силы, называются диссипативными. В некоторых случаях силы трения оказывают противоположное действие и возбуждают колебания (в автоколебательных системах — см. главу IV).

Зависимость обобщенной силы трения от обобщенной скорости наиболее часто представляют в одной из следующих форм (для диссипативных систем с одной степенью свободы):

сила линейного трения

Q^=-bq;(0.4)

кулонова сила трения *)

Q^=—b sign 9;(0.5)

сила нелинейно-вязкого трения, обычно аппроксимируемая зависимостью

Q^ = — Ыд!” sign q(0.6)

или зависимостью

<2(q)= —М — М3~~ М5" •••(0.7)

В некоторых системах действуют силы смешанного характера. Таковы, например, силы Q(q, t), зависящие от координат и времени, которые нельзя представить в виде суммы позиционной силы и вынуждающей силы; эти силы характерны для параметрических систем, о которых кратко было уже сказано выше. Смешанным характером обладают также силы Q^q, q), зависящие от координат и скоростей и притом непредставимые в виде суммы позиционной силы и силы трения; иногда такие силы придают механической системе автоколебательные свойства.

При составлении механической модели большое значение имеет разумное пренебрежение несущественными составляющими сил, а для учитываемых в анализе составляющих— правильная схематизация их свойств. Так,

*) Здесь имеется в виду простейший вид закона кулонова трепня, в котором не учитывается разница между коэффициентами трения покоя и трения движения.

при определении собственных частот механических систем в большинстве случаев допустимо пренебречь действием сил трения; ими можно пренебречь и при исследовании вынужденных колебаний в достаточном удалении от резонанса. Аналогично этому, если рассматриваются малые колебания, то часто можно не учитывать нелинейность восстанавливающих сил.

Впрочем, подобные упрощения нужно делать осторожно, имея в виду, что, казалось бы, малые влияния иногда могут явиться причиной важных следствий принципиального характера. Так, даже весьма малые силы трения необходимо учитывать при анализе затухания свободных колебаний, а также при определении резонансных или околорезонансных амплитуд вынужденных колебаний. Подобно этому нужно помнить, что даже малые параметрические силы могут вызвать весьма опасные колебания типа параметрического резонанса (см. главу III).

Понятие о фазовой плоскости. Обычное описание движения системы с одной степенью свободы в виде зависимости обобщенной координаты от времени q = q{t) не является единственно возможным. В ряде случаев, особенно при изучении нелинейных механических колебаний, определенными достоинствами обладает представление движения на фазовой плоскости.

Состояние системы в любой фиксированный момент времени t определяется парой соответствующих значений q и q и может быть представлено изображающей {фазовой) точкой в плоской декартовой системе координат q, q, если откладывать по оси абсцисс обобщенную координату q, а по оси ординат — обобщенную скорость q. Такая плоскость называется фазовой.

В процессе движения рассматриваемой системы величины q и q изменяются и соответственно меняется положение изображающей точки на фазовой плоскости. Геометрическое место изображающих точек для данного движения называется фазовой траекторией. На рис. 0.9, а, б показаны фазовые траектории для случаев равномерного (а) и равноускоренного {б) движений материальной точки. Положение исходной изображающей точки Мо определяется начальными условиями.

Для построения фазовой траектории при заданном законе движения q{t) нужно путем дифференцирования образовать выражение скорости q{t), а затем исключить

время из двух уравнении:9 = 9(0, 9 = 9(0-время из двух уравнении:9 = 9(0, 9 = 9(0-функцияфункция(0.8)(0.8)9 = 9(9)9 = 9(9)(0.9)(0.9)

время из двух уравнении:

9 = 9(0, 9 = 9(0-

время из двух уравнении:

9 = 9(0, 9 = 9(0-

функция

функция

(0.8)

(0.8)

9 = 9(9)

9 = 9(9)

(0.9)

(0.9)

и описывает фазовую траекторию данного движения. Впрочем, для построения фазовой траектории переход к явной функции (0.9) не обязателен; фазовую траекторию

можно строить непосредственно по уравнениям (0.8), которые представляют уравнение фазовой траектории в параметрической форме.

Фазовая плоскость особенно удобна для представления колебательных процессов, когда координата и скорость не выходят за известные пределы; поэтому вся картина движения даже в течение неограниченного времени занимает ограниченную часть фазовой плоскости. Таковы, например, свободные гармонические колебания

q = A sin(/ct + а),

причем угловая частота к, а также зависящие от начальных условий величины Лиа известны. Для скорости имеем

q = Ак cos (kt + а).(0.10)

Исключив время из этих двух уравнений, получим уравнение фазовой траектории

92+-^- = Л2,(0.11)

т. е. уравнение эллипса.

В данном случае вся фазовая плоскость заполнена бесконечным множеством вложенных друг в друга таких эллипсов с общим центром в начале координат и отли- 2*

чающихся друг от друга только параметром Л (рис. 0.9, в). Направления движения изображающих точек вдоль фазовых траекторий показаны на рисунках стрелками. Все фазовые траектории системы однотипны, а начальные условия фиксируют определенный выбор конкретной траектории.

Совокупность фазовых траекторий описывает все возможные движения данной системы и называется фазовой диаграммой ^фазовым портретом') данной системы. Структура фазовой диаграммы наглядно характеризует качественные особенности возможных движений рассматриваемой системы.

Следует иметь в виду, что фазовая диаграмма не только может служить иллюстрацией закона движения, после того как он найден путем интегрирования дифференциального уравнения задачи. В принципе фазовая диаграмма может быть построена непосредственно, п о этому уравнению, без его решения в виде 9 = 9(<).

Так, для автономной системы, описываемой нелинейным дифференциальным уравнением

q + k2q = f(q, q), (0.12)

" dq

после замены q = q-^- получается уравнение

_ Hq, q)—k2q (Q |2) dq q

которое определяет искомую связь между переменными q и q. В принципе решение этого дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

q = q(q,C), (0.14)

где постоянная С определяется начальным условием q = qo при q= qq (qo и qo — начальные значения обобщенной координаты и обобщенной скорости). Каждому значению С соответствует определенная фазовая траектория, а совокупность таких траекторий образует фазовую диаграмму системы.

В некоторых случаях дифференциальное уравнение (0.13) удается решить аналитически в замкнутой форме; в частности, к квадратурам приводится случай, когда выражение ^q, q) не содержит q, и переменные в (0.13) разделяются. В общем случае для интегрирования урав-

нопия (0.13) нужно обращаться к ЭВМ. (В свое время были предложены различные специальные приемы графического интегрирования названного уравнения; теперь этими приемами практически не пользуются.)

В состояниях равновесия равны пулю обобщенная скорость (знаменатель правой части уравнения (0.13)) и обобщенное ускорение (числитель правой части уравнения (0.13)). Таким образом, в точках фазовой плоскости, соответствующих состояниям равновесия, производная dq/dq не определена и вместе с этим не определено направление касательной к фазовой траектории. Такие точки называются особыми, точками дифференциального уравнения. В качественной теории дифференциальных уравнений устанавливается, что через любую особую точку проходит либо больше чем одна фазовая траектория, либо не проходит ни одной. Например, как мы видели на рис. 0.9, в, через особую точку в начале координат не проходит ни одна из фазовых траекторий (такая точка называется особой точкой типа «центр»; ниже будут рассмотрены особые точки других типов).

Через всякую регулярную точку фазовой плоскости (т. е. не особую точку) проходит одна и только одна фазовая траектория. Изображающие точки, лежащие в верхней полуплоскости, определяют состояния системы с положительными значениями обобщенной скорости, т. е. состояния, которым соответствует возрастание обобщенной координаты, поэтому такая изображающая точка движется вдоль фазовой траектории слева направо. Соответственно, изображающая точка, находящаяся в нижней полуплоскости, движется вдоль фазовой траектории справа налево. Отсюда также следует, что касательная к фазовой траектории в точках пересечения траектории с осью q перпендикулярна этой осп.

Глава I

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Линейные системы с одной степенью свободы при отсутствии трения

Основное дифференциальное уравнение и его решение. Изучение свободных колебаний представляет определенный интерес в связи с практическими задачами о движении механической системы после какого-либо возмущения ее состояния равновесия. Однако не только этим определяется важность темы, которой посвящена настоящая глава. Дело в том, что характеристики свободных колебаний (собственные частоты и собственные формы) полностью определяют индивидуальные динамические свойства механической системы и имеют первостепенное значение также при анализе ее вынужденных колебаний.

Рассмотрим в общем виде консервативную механическую систему с одной степенью свободы, для которой уравнение Лагранжа имеет известную из курса теоретической механики форму:

d (9т\этап

9t \dq )8q8qv 7

Здесь t — время, q — обобщенная координата, q — обобщенная скорость, T — кинетическая энергия, П — потенциальная энергия.

Прежде всего образуем выражение кинетической энергии:

71П

т = у 2 "^i =4 2 m^iN^ (1-2) i=li=l

где m; — масса i-й материальной точки, vf — скорость этой точки. Если г< — радиус-вектор i-й материальной точки

определяется только обобщенной координатой q и не зависит явно от времени, то скорость точки равна

V1 = -тг = Ч-<7, dt 8q 4V1 = -тг = Ч-<7, dt 8q 4<Zri 8т ^ •

V1 = -тг = Ч-<7, dt 8q 4

V1 = -тг = Ч-<7, dt 8q 4

и, следовательно,

Входящая сюда сумма в общем случае является функцией обобщенной координаты q:, обозначив

= A(q)(1.3)

г=1

и разлагая последнее выражение в ряд Маклорена в окрестности значения q = 0, получим

Л(7) = Л(0) + Л'(0)? + ^-?2 +

Здесь штрихи обозначают производные функции A(q) по обобщенной координате q.

В этом параграфе рассматривается частный, но практически очень важный случай малых колебаний системы около положения ее равновесия; отсчет координаты q удобно вести от этого положения. При малых значениях q в разложении можно удержать лишь один первый член, который обозначим через а; тогда кинетическая энергия примет вид, сходный с выражением кинетической энергии одной материальной точки:

тЦацЧ(1.4)

Входящий сюда множитель а называют коэффициентом инерции или инерционным коэффициентом (иногда его называют также обобщенной или приведенной массой').

Конечно, для определения инерционного коэффициента нет необходимости каждый раз фактически строить сумму (1.3), разлагать ее в ряд Маклорена и затем выделять первый член этого ряда. В зависимости от вида механической системы и выбора обобщенной координаты достаточно любым образом получить выражение кинетической энергии через квадрат обобщенной скорости; при

этом значение а определится как коэффициент в выражении (1.4).

Обратимся теперь к определению потенциальной энергии П, которая представляет собой функцию обобщенной координаты q:

П = Щд).(1.5)

Если, как это чаще всего бывает, потенциальная энергия обладает свойствами непрерывности и дифференцируемости, то ее можно разложить в ряд Маклорена в окрестности значения q = 0:

П = П(0) + П'(0)<? + ™92+ ...,(1.6)

где, как и выше, штрихи обозначают дифференцирование по обобщенной координате q. Постоянному первому члену этого разложения может быть приписано любое значение, так как потенциальная энергия определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Поэтому удобно положить П (0) = 0. Далее нужно вспомнить соотношение

П' = -С,(1-7)

определяющее связь потенциальной энергии с обобщенной силой Q. Так как в положении равновесия обобщенная сила равна нулю, то при отсчете координаты q от положения равновесия системы производная П'(0) обращается в нуль; при этом разложение (1.6) начнется с члена, содержащего вторую степень координаты q. Считая перемещения q малыми, мы сохраним в разложении (1.6) только упомянутый член, так что окончательно получим

П = ус$2,(1.8)

где постоянная

с = П"(0)(1.9)

называется обобщенным коэффициентом жесткости или квазиупругим коэффициентом.

Знак постоянной с зависит от устойчивости положения равновесия, от которого ведется отсчет координат^ q. Согласно теореме Лагранжа — Дирихле потенциальная энергия консервативной системы в положении устойчивого равновесия имеет минимум, т. е. П"(0)>0. Отсюда следует, что с > 0 вблизи устойчивого положения равновесия.

Для определения обобщенного коэффициента жесткости с в каждом конкретном случае достаточно построить выражение потенциальной энергии в виде квадратичной функции обобщенной координаты q, причем отсчет координаты q следует вести от положения равновесия и принять, что этому положению соответствует нулевое значение потенциальной энергии. Если окажется, что с < О, то это будет означать неустойчивость соответствующего положения равновесия.

Подставив в уравнение Лагранжа (1.1) выражения (1.4) и (1.8) для кинетической и потенциальной энергии, получим основное дифференциальное уравнение задачи о свободных колебаниях:

aq + cq — 0.(1.10)

Иногда, в зависимости от вида механической системы, может оказаться более удобным не метод Лагранжа, а какой-либо иной путь составления дифференциального уравнения задачи; разумеется, что независимо от выбранного способа для рассматриваемых здесь линейных систем с одной степенью свободы без трения окончательное дифференциальное уравнение запишется в виде (1.10).

Введем обозначение

(1Л1>

тогда вместо (1.10) получим

q + k2q = O.(1.12)

Общее решение этого уравнения имеет вид

q = Ci sin kt + Cs cos kt,(1-13)

причем постоянные C\ и Сч определяются через начальные условия g (0) = go и g(O) = go в виде

C2 = q0.

Окончательно имеем

q = -у sinti + q0coskt.(1.14)

Иногда пользуются иной формой записи:

q = A sin(/ci + а),(1.15)

где

а — arctg qo

(1.16)

Рис. 1.1Рис. 1.1

Рис. 1.1

Рис. 1.1

Из выражения (1.15) видно, что движение представляет собой незатухающие гармонические колебания с амплитудой А и угловой частотой к (рис. 1.1). Подчеркнем, что амплитуда колебаний определяется начальными условиями по первой формуле (1.16), а угловая частота колебаний зависит только от

параметров системы (см. формулу (1.11)) и не зависит от начальных условий; по этому признаку величина к называется собственной частотой системы. Собственная частота представляет собой

число свободных колебаний за 2л единиц времени. Период свободных колебаний, т. е. длительность одного полного цикла колебаний, определяется формулой

(1.17)(1.17)T = ^V"-•' с

(1.17)

(1.17)

Пример 1.1. Определить собственную частоту системы (рис. 1.2), состоящей из упруго закрепленной горизонтально расположенной рейки Л, которая лежит на упруго закрепленном однородном цилиндре В и катке С. Считать, что трение между рейкой и цилиндром исключает возможность проскальзывания рейки

по цилиндру. Обозначения: mi — масса рейки, т2— масса цилиндра, с1 — коэффициент жесткости горизонтальной пружины, с2 — коэффициент жесткости вертикальной пружины, г — радиус сечения цилиндра, I — расстояние от оси цилиндра до точки крепле-

пия вертикальной пружины. Массами пружин и катка С пренебречь.

Примем за обобщенную координату горизонтальное перемещение какой-либо точки рейки; так как рейка движется поступательно, то выбор этой точки безразличен. Отсчет координаты х будем вести от положения равновесия, когда обе пружины не деформированы.

При перемещении рейки, равном х, цилиндр поворачивается па угол ф = х]г. Кинетическая энергия системы равна

подставив сюда h = m2r2/2, ф = ж/r, получим

1■21• о 1 /1\ • 2

Г = "2 т^х 4- т^х = у I+ у m2 I x .

Отсюда непосредствепно видно, что инерционный коэффициент в данном случае равен

1о +'2

Потенциальная энергия определяется деформациями обеих пружин:

Таким образом, коэффициент жесткости системы равен Z2

С = С1+Т2С2.

Теперь по формуле (1.11) находим собственную частоту:

Пример 1.2. Определить движение системы, возникающее после однократного вертикального удара по грузу, который связан с безмассовой жесткой упруго закрепленной балкой (рис. 1.3, а). Обозначения: 21— длина балки, m— масса груза, с0 — коэффициент жесткости пружины, S — величина приложенного к грузу мгновенного ударного импульса.

Прежде всего найдем положение равновесия (рис. 1.3, б). Пусть в этом положении угол отклонения первоначально горизонтальной балки равенф*: тогда малая статическая осадка пружины определяется выражением /ф*. На балку действуют следующие силы: вес груза mg, реакция пружины с^ф*, реакция шарнирной опоры. Для определения угла Ф* составим уравнение моментов

относительно центра шарнирной опоры:

(а)(а)2mgl — с^ф* = 0.

(а)

(а)

Отсюда находим

2mg

Ф* - с i •о1

Теперь перейдем к анализу движения и обозначим через ф угол дополнительного отклонения при движении системы после удара. Тогда полный угол отклонения равен ф*+ ф, и полная реакция пружины составляет cQl (ф* + ф).Составим дифференциальное уравнение вращательного движения жесткой системы балка — груз: 2mgl — cQZ2 (ф* + ф) =Теперь перейдем к анализу движения и обозначим через ф угол дополнительного отклонения при движении системы после удара. Тогда полный угол отклонения равен ф*+ ф, и полная реакция пружины составляет cQl (ф* + ф).Составим дифференциальное уравнение вращательного движения жесткой системы балка — груз: 2mgl — cQZ2 (ф* + ф) =1^1^55Рис. 1.3Рис. 1.3d2= 4mZ2^-(ф^ + ф), где 4mZ2 — момент инерции системы. Если раскрыть скобки в левой части этого уравнения, то сумма первых двух членов согласно (а) окажется равной нулю, и мы получим диффе-d2= 4mZ2^-(ф^ + ф), где 4mZ2 — момент инерции системы. Если раскрыть скобки в левой части этого уравнения, то сумма первых двух членов согласно (а) окажется равной нулю, и мы получим диффе-репциальпое уравнение для координаты ф, отсчитываемой от положения равновесия:репциальпое уравнение для координаты ф, отсчитываемой от положения равновесия:4тф + Соф = 0.4тф + Соф = 0.(б)(б)

Теперь перейдем к анализу движения и обозначим через ф угол дополнительного отклонения при движении системы после удара. Тогда полный угол отклонения равен ф*+ ф, и полная реакция пружины составляет cQl (ф* + ф).

Составим дифференциальное уравнение вращательного движения жесткой системы балка — груз: 2mgl — cQZ2 (ф* + ф) =

Теперь перейдем к анализу движения и обозначим через ф угол дополнительного отклонения при движении системы после удара. Тогда полный угол отклонения равен ф*+ ф, и полная реакция пружины составляет cQl (ф* + ф).

Составим дифференциальное уравнение вращательного движения жесткой системы балка — груз: 2mgl — cQZ2 (ф* + ф) =

1^

1^

5

5

Рис. 1.3

Рис. 1.3

d2

= 4mZ2^-(ф^ + ф), где 4mZ2 — момент инерции системы. Если раскрыть скобки в левой части этого уравнения, то сумма первых двух членов согласно (а) окажется равной нулю, и мы получим диффе-

d2

= 4mZ2^-(ф^ + ф), где 4mZ2 — момент инерции системы. Если раскрыть скобки в левой части этого уравнения, то сумма первых двух членов согласно (а) окажется равной нулю, и мы получим диффе-

репциальпое уравнение для координаты ф, отсчитываемой от положения равновесия:

репциальпое уравнение для координаты ф, отсчитываемой от положения равновесия:

4тф + Соф = 0.

4тф + Соф = 0.

(б)

(б)

Теперь легко заметить, что предварительное определение рав- повесного положения оказалось, в сущности, лишней операцией. Можно было поступить проще: заранее опустить из рассмотрения силы, действующие в системе, когда она находится в положении равновесия, и включить в дифференциальное уравнение движения только момент дополнительной реакции с0?Ф (этот момент равен — с012ф); при этом сразу получится уравнение (б). Обычно именно так и поступают в подобных случаях.

Сопоставляя уравнение (б) с основным уравнением (1.10), видим, что инерционный коэффициент и коэффициент жесткости соответственно равны а = 4т, с = со. Теперь по формуле (1,11) находим собственную частоту:

Перейдем к формулировке начальных условий, соответствующих движению после приложения ударного импульса S. В момент, непосредственно следующий за ударом, положение балки остается

неизменным, следовательно, фо = 0. Скорость груза получает мгновенное приращение <ро^, определяемое из теоремы об изменении количества движения:

2т<ро^ — 0 = 5.

Следовательно, начальные условия имеют вид

5

Фо = °-^ = 2тГ‘

Согласно решению (1.14) движение описывается выражением

8. ,

причем наибольшее отклонение от положения равновесия равно

58

Фтах 2тк1 у’

а вызванное ударом наибольшее усилие в пружине

соФтах^ — 5 у т "

Метод Рэлея. Во введении был пояснен приближенный способ приведения к системе с одной степенью свободы, основанный па априорных соображениях о конфигурации системы при ее колебаниях. После такого приведения нужно образовать соответствующие выражения для потенциальной и кинетической энергии и тем самым установить значения коэффициента жесткости с и инерционного коэффициента а. После этого по формуле (1.11) вычисляется собственная частота.

Рэлей доказал теорему, согласно которой вычисленный указанным способом результат всегда приводит к преувеличенному значению собственной частоты.

Пусть, например, для системы на рис. 0.4, а дано: массы всех трех тел одинаковы п равны т, коэффициенты жесткости всех пружин также одинаковы и равны с0. Следуя методу Рэлея, примем г 2 = cczi, г3 = p^t, где а и р — некоторые разумно выбранные числа.

Кинетическая энергия системы выражается через единственную обобщенную скорость жд

.11I

Т = у т а^ + у т ж® + у" т яЗ _ _ т z2 ^ у а2 у ^2),

а потенциальная энергия системы — через единственную обобщенную координату яй

П = 4 Vl + Т С0 (2 - 5)2 + 4 Со (Z3 - ^Г =

= 4 Vi [1+ («-I)2 + (P-«)2L

Следовательно, коэффициенты уравнения (1.13) в данном случае равны

а = т(1 + а2 + р2);^[1 + (а_1)2+(р_а)2]

и собственная частота определяется выражением:

Га ту1_[_а2 + р2 ‘

Конечно, этот результат зависит от выбранных значений аир. Если рассматривать частоту как функцию а и р, то согласно упомянутой теореме Рэлея минимум этой функции определяет истинное значение искомой частоты; по этому поводу см. ниже более простой пример 1.3.

Остановимся на случае свободных изгибных колебаний балок*). Прогиб у любой точки осп балки с абсциссой х меняется во времени, т. е.

У = у(х, t).(1.18)

Согласно основной идее метода Рэлея примем

у = 9(0/(ж),(1.19)

где /(ж) — заранее назначаемая функция координаты х, характеризующая форму изогнутой оси балки при колебаниях, q(t) — некоторая, пока неизвестная, функция времени.

Так как функция /(ж) задается более или менее произвольно, то результат решения задачи окажется, как правило, приближенным (если случайно в качестве /(ж) будет принята истинная форма оси балки при колебаниях, то результат окажется точным).

Форму оси следует выбирать с учетом заданного способа закрепления балки, которым определяются граничные условия для функции /(ж).

Различаются кинематические и силовые граничные условия. Рассмотрим эти условия в частных случаях, обозначив через ж* абсциссу рассматриваемого конца балки.

На жестко заделанном конце балки невозможны прогиб и поворот, т. е.

г/(^, Z) = 0, -g(^,/) = 0.

Эти равенства должны удовлетворяться в любой момент времени, что будет иметь место, если входящая в (1.19) функция /(ж) удовлетворяет условиям

Ж)-О, /Ж) = 0.(1.20)

Здесь штрихом обозначена операция дифференцирования по координате х. Оба условия (1.20) — кинематические, т. е. относятся к перемещениям концевого сечения.

Если конецх = » шарнирно оперт, то на этом конце должны тождественно равняться нулю и прогиб и изгибающий момент*)

а2y^t) = o, ^ы = о.

ох

Отсюда следуют граничные условия для функции / (ж):

Ж) = 0, /Ж) = 0.(1.21)

Первое из этих условий — кинематическое, второе условие — силовое.

Наконец, на свободном конце х = ж* должны равняться нулю изгибающий момент и поперечная сила, т. е.

/) = 0,<) = 0.

ЭхЭх

При этом должны удовлетворяться два силовых грани • ных условия:

/Ж) = 0, Г ^ = 0.(1.22)

Далее будем полагать, что функция /(ж) выбрана с учетом тех или иных заданных граничных условий; обратимся к определению кинетической и потенциальной энергии.

Скорость поперечного движения любой точки оси балки определяется выражением

If" = 9 М / М-

Соответственно кинетическая энергия бесконечно малого элемента длиной dx равна

у т (х) dx ^|f-) = у m (ж) ^2 (i) /2 (ж) dx.

Здесь т^— интенсивность распределенной массы, m^dx—масса расматриваемого элемента. Интегрируя по всей длине Z, находим полную кинетическую энергию балки

. i

Т = q ^ т (х) /2 (ж) dx.(1.23)

о

Сравнивая полученный результат с общим выражением (1.4) для кинетической энергии, приходим к заключению, что входящий в (1.23) интеграл представляет собой инерционный коэффициент:

i

а = ^ т (х) /2 (ж) dx.(1.24)

о

Для определения потенциальной энергии нужно исходить из выражения

!

которое устанавливается в курсе сопротивления материалов. Подставляя сюда

ох

находим

п = fEJ if W

о

Из сравнения этого результата с выражением (1.8) еле-

дует, что коэффициент жесткости определяется формулой

с = ^ EJ Ц"(х^Чх.(1-25)

о

После определения коэффициентов а и с по формулам (1.24) и (1.25) собственная частота находится согласно (1.11) в виде

ГЗ Г

/ j Ej^vr^fax

к = -I /\.(1.26)

I/ J m (я) /2 (ж) dx

Можно доказать, что если функция /(ж) удовлетворяет заданным кинематическим граничным условиям, то приближенный результат (1.26) всегда больше истинного значения низшей собственной частоты балки.

Метод Рэлея может быть использован для приближенного определения низшей собственной частоты любой системы с распределенными параметрами —- не только балок, совершающих изгибные колебания, но и стержней при их продольных или крутильных колебаниях, а также — с соответствующей модификацией — рамных конструкций, пластин и оболочек.

Так, например, в случае продольных колебаний стержня аналогично сказанному принимается, что продольные перемещения и(х, £) описываются тем же произведением (1.19). При этом граничными условиями будут: на свободном конце /' (ж*) = 0, на закрепленном конце / (я*) = 0. При помощи прежних рассуждений можно получить собственную частоту в виде

/ Z

/ J ЕЕ № If Xx^dx

к = -1/°-,(1.27)

J m (z) /2 (x) dx

где F^ — площадь сечения стержня.

Пример 1.3. Двухмассовая система (рис. 1.4, а) определяется следующими параметрами: mt = тг = т, сх = С2 = с0.

3 я. Г. Пановко

Найти собственную частоту по методу Рэлея, приняв хг = a$t (ос — постоянная), и исследовать, как влияет выбор значения а в пределах 0 <- 3 на вычисляемое значение собственной частоты.

В данном случае имеем ■

Г = "2 тх^ + "2 т (ои^)2 = -ту тх^ (1 -)- а2);

п=4 сожт+4 со (azi ~ жт)2=4 v2 ^2—2а+2)-

Следовательно, а = т(1 + а2), с = с0(а2— 2а + 2) и собственная частота равна

к =к =fa2 — 2a + 2fa2 — 2a + 21 + a21 + a2

к =

к =

fa2 — 2a + 2

fa2 — 2a + 2

1 + a2

1 + a2

Зависимость коэффициента у от значений a (a > 0) показана на рис. 1.4, 6. Как указывалось выше, при произвольном выборе a вычисленное значение окажется выше истинного; точный результат 7 = 0,618 (см. ниже пример 4.3) соответствует точке минимума кривой на рис. 1.4, б, где a = 1,618. Из графика, между прочим, видпо, что в зоне минимума значения а довольно слабо влияют на величину у. Поэтому из-за произвола, допускаемого при выборе значения а, обычно не возникают большие ошибки в определении собственной частоты.

Как правило, то же относится и к другим механическим системам — в этом и состоит практическая ценность метода Рэлея.

W77Z7Z777ZW77WZ77^^W77Z7Z777ZW77WZ77^^

W77Z7Z777ZW77WZ77^^

W77Z7Z777ZW77WZ77^^

Пример 1.4, Найти методом Рэлея собственную частоту колебаний консольной балки постоянного поперечного сечения ЕЗ = = const; считается также постоянной интенсивность т ее массы (рис. 1.5).

Примем сначала

/(ж) = Тт<а)

что удовлетворяет кинематическим граничным условиям па левом конце и одному из силовых условий на правом конце (сило-

вое условие f'W — 0 здесь нарушено!). Подставляя (а) в (1.26), вычисляем

V т*

В качестве формы колебании лучше принять функцию

234

X Х . Х/^х

/ М ” 2Z ~ з/2 + ^Z3 ’

которая удовлетворяет всем граничным условиям задачи:

/(0) = О, /'(0)=0,

Г W = 0,гаи = 0.

Подставив (б) в формулу (1.26), найдем

3,64 ./"^7к = —.

Г m »

что лишь на 3,4 % отличается от известного точного значения

V т*

Зависимость устойчивости равновесия от коэффициента жесткости. Во всех рассмотренных выше случаях речь шла о колебаниях около положения заведомо устойчивого равновесия; формальным признаком устойчивости служит положительность коэффициента жесткости с, равного значению второй производной П" (0) потенциальной энергии в положении равновесия. В реальных механических системах может оказаться, что с < 0.

При с < 0 основное дифференциальное уравнение (1.10) можно записать в виде

aq — c*q = O,(1.28)

где с* = |с|— абсолютное значение обобщенного коэффициента жесткости. Решение уравнения (1.28)

q = A sh (k*t + а),(1-29)

где к* = Ус*/щ описывает монотонное удаление системы от равновесного положения и свидетельствует о его неустойчивости.

Знак коэффициента с зависит от параметров системы, т. е. в некоторых случаях состояние равновесия может быть устойчивым или неустойчивым в зависимости от комбинации значений этих параметров.

3*

Обращаясь к рассмотрению таких случаев, будем считать, что существует лишь один варьируемый параметр 5 системы, при изменении которого может измениться знак коэффициента жесткости с = с(5). Состояния равновесия устойчивы в той области значений 5, в которой с(5)>0; при с(5)<0 состояния равновесия неустойчивы (случаи «отрицательной жесткости»). Критические значения параметра 5 являются корнями уравнения

с(5) = 0. (1.30)

Пример 1.5. Для симметричной системы, изображенной на рис. 1.6, введем обозначения: G — вес тела, I — момент инерции тела относительно оси шарнира, с0 — суммарный коэффициент

РРРис. 1.7Рис. 1.7

Р

Р

Рис. 1.7

Рис. 1.7

жесткости обеих пружин, Ь — высота расположения центра тяжести тела, I — высота расположения оси пружин. Найти критическое значение коэффициента жесткости с0.

При малых значениях угла отклонения тела дифференциальное уравнение вращательного движения имеет вид

/ф + (c0Z2 — СЬ)ф = 0.

Таким образом, в данном случае устойчивость равновесия определяется знаком разности

с = c0Z2 — Gb.

Критическое значение с0 кр = G6/Z2.

Пример 1.6. Найти критическое значение силы Р для системы, изображенной на рис. 1.7, а; весом верхнего стержня пренебречь. Коэффициент жесткости спиральной пружины, расположенной внизу стойки, равен со (со представляет собой упругий момент, соответствующий повороту стойки вокруг шарнира на угол, рав-

пый единице). Обозначим: I — высота стойки, b— длина верхнего стержня, G — вес стойки. Силы, действующие на стойку, при ее отклонении на малый угол ф, показаны на рис. 1.7, 6.

Запишем дифференциальное уравнение вращательного движения стойки (для малых отклонений)

GlсГ" ••

Рф/ + Рф/ + -g ф - соф = ф.

Так как 6 sin ф = /зшф, то при малых углах ф и ф можно принять ф = ^Ijb. Таким образом, обобщенный коэффициент жесткости равен

Отсюда непосредственно видно, что критическое значение силы Р в соответствии с (1.30) определяется выражением

Г ЫП / I \1-1 р — Л/ Н —

— ро 2 ]+ b -

При увеличении размера b критическое значение Ркр также увеличивается.

Пример 1.7. Основой изображенной на рис. 1.8, а системы служит жесткая рамка 1, вращающаяся с постоянной угловой скоростью <о вокруг вертикальной оси. Горизонтальный стержень 2

Рис. 1.8

длиной 2Я служит направляющей осью для пружины 3; один конец пружины связан с рамкой, а к другому концу прикреплен груз 4 массы т, который может скользить без трения вдоль стержня 2. Коэффициент жесткости пружины равен с0, а ее недеформи- рованная длина равна Z. Найти критическое значение угловой скорости.

Положению относительного равновесия груза соответствует растяжение пружины на величину г0, которая может быть

найдена из схемы сил, данной на рис. 1.8, 6, т. е. из соотношения m (Z + г0 — Я) со2 = сого.(а)

Устойчивость этого состояния равновесия груза зависит от значений угловой скорости вращения системы.

Вращение системы примем за переносное движение, тогда движение груза вдоль стержня будет являться относительным движением. Обозначив через г дополнительное удлинение пружины в произвольный момент процесса движения, запишем переносную силу инерции в виде in (Z + г0 + г — R) и2; тогда дифференциальное уравнение относительного движения груза примет вид

тг = —с0(г0 + г) -|- m(Z + г0 + г — Д)<о2,

или, при учете (а),или, при учете (а),тг + (с0 — m<o2)r = 0.тг + (с0 — m<o2)r = 0.

или, при учете (а),

или, при учете (а),

тг + (с0 — m<o2)r = 0.

тг + (с0 — m<o2)r = 0.

Рис. 1.9 стержня от вертикали (рис.Рис. 1.9 стержня от вертикали (рис.

Рис. 1.9 стержня от вертикали (рис.

Рис. 1.9 стержня от вертикали (рис.

Следовательно, обобщенный коэффициент жесткости равен с = = со — ио2, и критическое значение угловой скорости составляет <0кр = ^с^т. Отметим, что оно не зависит от значений Z и г0 и совпадает со значением собственной частоты колебаний груза на пружине при отсутствии вращения. При <о > <0кр состояния относительно равновесия груза неустойчивы.

Пример 1.8. Показанная на рис. 1.9, а система представляет собой маятник и состоит из стержня 1 с горизонтальной осью подвеса 2 и груза 3. Горизонтальная ось маятника равномерно вращается с постоянной угловой скоростью <о вокруг вертикальной оси, совпадающей с равновесным положением оси стержня. Найти критическое значение угловой скорости.

Введем следующие обозначения: Z — длина стержня, т — масса груза, ф — малый угол отклонения 1.9, б). В дифференциальное уравне

ние относительного движения маятника нужно ввести момент силы тяжести и момент переносной силы инерции:

—т^ф + т<о2г2ф = тРф.

(Кориолисова сила инерции параллельна оси подвеса и в уравнение моментов не входит.) Таким образом, мы приходим к уравнению

ф+ ("f"— to2) ф = о,

из которого непосредственно видно, что критическая угловая скорость не зависит от массы груза и равна

®кр = У^/Z-

При <0 < соКр система устойчива, причем частота свободных колебаний определяется формулой

При со > о)Кр состояние относительного равновесия неустойчиво.

В рассмотренных простых примерах по существу не было необходимости в составлении дифференциальных уравнений движения, так как для суждения об устойчивости и для определения критического значения параметра было достаточно построить выражение с (5). Однако для систем с несколькими степенями свободы — даже находящихся под действием только позиционных сил — исследование устойчивости требует предварительного составления дифференциальных уравнений движения (см. гл. IV).

Устойчивость состояний равновесия удобно исследовать также с помощью фазовых диаграмм. Отметим, что их можно построить и не решая заданное дифференциальное уравнение движения, т. е. не разыскивая закон движения q = q(lt') в явной форме.

С помощью замены q=q^ из (1.12) получается дифференциальное уравнение фазовых траекторий

dq dqdq dqк1 qк1 qqq(1.31)(1.31)

dq dq

dq dq

к1 q

к1 q

q

q

(1.31)

(1.31)

После интегрирования мы вновь придем к уравнению (0.11) ик семейству эллипсов, показанному на рис. 0.9, в. Если с < 0, то после замены Л* = — с/а получим вместо (1.31) дифференциальное уравнение фазовых траекторий

dq ^9

Его решение имеет вид

q2-q2-к*4к*4= Л2.= Л2.

q2-

q2-

к*4

к*4

= Л2.

= Л2.

Фазовые траектории для этого случая показаны на рис. 1.10. Они состоят из семейства гипербол и четырех полупрямых, являющихся асимптотами этих гипербол.

Заданное возмущение состояния равновесия определяет начальное положение изображающей точки. С течением времени эта точка будет монотонно удаляться от начала вдоль соответствующей криволинейной. фазовой траектории: это означает монотонный уход системы от

состояния равновесия. Исключение составляют изображающие точки, лежащие на прямой q = —k*q; если в начальный момент задано такое возмущение, что д(0) = = —А'*7(0), то система будет стремиться к состоянию равновесия. Но это не может

Рис. 1.10изменить оценки состояния

равновесия как неустойчивого: достаточно любого сколь угодно малого нарушения указанного специально выбранного возмущения,

как система станет неограниченно удаляться от состояния равновесия. В данном случае отвечающая положению равновесия особая точка (0, 0) называется седлом.

Системы с одной степенью свободы при наличии линейной восстанавливающей силы и трения

Линейное трение. Для изучения свободных колеба- ний системы с одной степенью свободы при наличии линейного трения будем исходить из уравнения Лагранжа

а /ЭТ_\ ЭТ _ дП па /ЭТ_\ ЭТ _ дП п(2.1)(2.1)

а /ЭТ_\ ЭТ _ дП п

а /ЭТ_\ ЭТ _ дП п

(2.1)

(2.1)

в котором Q* — обобщенная сила линейного трения. Для ее определения примем, что на каждую точку системы действует сила линейного трения

(2.2)(2.2)R.- = — piVi,

(2.2)

(2.2)

где Pi — коэффициент трения. Вспомнив основное выражение обобщенной силы

5v45v4dgdgи известное соотношение

5v4

5v4

dg

dg

8д

будем иметь

Sv,Sv,пуn

Sv,

Sv,

8q8q9* = — 2 ₽*Vi dg" ~ ~ 2 ₽iVii=li=l

8q

8q

Но так как

1 8»^2 8q ’1 8»^2 8q ’8vt 1 0

1 8»^

2 8q ’

1 8»^

2 8q ’

vi— = "о —

Эд Д Эд

то

л — V Pl^ —_ 5 V ^^v* —2 ••2 •

i=l dqdq i=1

Входящая сюда сумма n о 2

»=2^

формально сходна с выражением кинетической энергии и ее называют диссипативной функцией Рэлея. Способ, использованный выше при построении выражения (1.4) для кинетической энергии, в данном случае также приведет к компактному выражению

Ф = |^2, (2.4)

где b — обобщенный коэффициент вязкости.

Окончательно приходим к следующему выражению для обобщенной силы трения:

Q% = -a4 = -bq.(2.5)

8q

Так как по-прежнему T^^-aq2, П=-^-с^2, то уравнение Лагранжа (2.1) принимает вид

aq-Vbq-V cq = O.(2.6)

При не слишком больших значениях обобщенного коэффициента вязкости, когда Ь<2Уас, общее решение

(2.7)(2.7)дифференциального уравнения (2.6) имеет вид д = e-7^^ sin k^t + С2 cos k^ty

(2.7)

(2.7)

где

к-^ k*=Vk2-№,к-^ k*=Vk2-№,(2-8)(2-8)

к-^ k*=Vk2-№,

к-^ k*=Vk2-№,

(2-8)

(2-8)

а постоянные Ci и Сг определяются из начальных условий

9(0)= 9о, 9(0)= до

в форме

(2.9)(2.9)Другая форма решения имеет вид д = Ле~м sin (k^t + а),

(2.9)

(2.9)

где

Как видно из (2.7) или (2.9), движение представляет собой затухающие колебания с постоянной частотой, но

99Рис. 2.1Рис. 2.1

9

9

Рис. 2.1

Рис. 2.1

постепенно убывающими амплитудами, так что процесс в целом характеризуется монотонным убыванием амплитуд (строго говоря, этот термин относится только к незатухающему процессу гармонических колебаний) — см. рис. 2.1.

Огибающие кривой процесса определяются функциями A = ±AQe-h\(2.10)

где Ло — начальная ордината огибающей. Угловая частота свободных затухающих колебаний определяется выражением

^ = V^h? = -^f^,(2Л1)

соответственно длительность одного цикла составляет

т 2л 4ла

Чаще всего влияние трения на собственную частоту пренебрежимо мало, т. е. можно принять к* «к, Т*» Т.

Последовательность максимальных отклонений следует закону геометрической прогрессии, так как согласно (2.10) отношение двух последовательных максимальных отклонений A (t): A (t + Т*), разделенных интервалом времени Т*, является постоянной величиной, равной ^т*. Натуральный логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом; он равен

(2.12)(2.12)Л = ЙТ* = -=z^=-«

(2.12)

(2.12)

V 4ас — Ь2Vа'

Логарифмический декремент служит удобной количественной характеристикой темпа затухания свободных колебаний.

При достаточно большихзначениях коэффициента вязкого трения, когда Ъ > 211ас, общее решение дифференциального уравнения (2.6) вместо (2.7) запишется в виде

q = Cj/1' + С2е‘а\(2.13)

где

— Ъ + Уьй — 4ас

Sl-225•

Постоянные интегрирования ные условия выражениями

определяются через началь-

С _ ” $^6 + 9°

1 Sl-S2

с =

2 S2-Sl

и по характеру не отличается от показанного на рис. 2.2.и по характеру не отличается от показанного на рис. 2.2.

и по характеру не отличается от показанного на рис. 2.2.

и по характеру не отличается от показанного на рис. 2.2.

Движение, описываемое выражением (2.13)—не колебательное (рис. 2.2); при любых начальных условиях величины q и q асимптотически стремятся к нулю.

В случае, когда 6 = 2Уас (критическое затухание), решение дифференциального уравнения (2.6) имеет вид q = e~kt [go + (kq0 + q0) i](2.14)

Обратимся к представлению рассматриваемого движения на фазовой плоскости и начнем со случая относительно малого трения (см. выражение (2.9)). Образуем выражение скорости

q = Ае-М [/с* cos (k^t + а) —

— К sin (k^t + а)] (2.15)

и будем рассматривать систему (2.9), (2.15) как уравнение фазовых траекторий в параметрической форме. На рис. 2.3, а изображены две типичные фазовые траектории; они представляют собой спирали, накручивающиеся

на начало координат — особую точку, которая в данном случае называется устойчивым фокусом.

В случае относительно большого трения, когда движение описывается решением (2.13), для скорости находим: q = Сде^ + Сде4*.(2-16)

Рассматривая (2.13) и (2.16) как уравнение фазовых траекторий в параметрической форме, приходим к фазовой диаграмме, показанной на рис. 2.3, б. В данном случае начало координат является особой точкой типа устойчивый узел.

Пример 2.1. По экспериментальной виброграмме свободных колебаний некоторой системы с одной степенью свободы установлено, что за один цикл амплитуда уменьшается на 40 %. Оценить, в какой мере трение в системе повлияло на частоту колебаний.

Прежде всего находим логарифмический декремент

Х = КТМ = In "j™^ ' = 0,511, отсюда

,0,5110,511

А - Г, - 2л V к —h .

Решая это уравнение, находим, что значение К2 весьма мало по сравнению с к2:

К2 = О,ОО6617с2.

Соответственно частота колебаний

к* = V к1 — Л2 = 0,997/с

отличается от собственной частоты системы без трения всего на 0,3 %.

Из этого примера видно, что даже при заметном затухании колебаний (почти двукратное уменьшение амплитуды за один цикл) силы трения незначительно влияют на частоту колебаний.

Нелинейное трение. При обработке опытных виброграмм свободных затухающих колебаний чаще всего обнаруживается, что убывание амплитуд не следует закону геометрической прогрессии; это служит признаком того, что трение отличается от линейного.

Нелинейная зависимость сил трения от скорости может быть описана различными аналитическими выражениями. Примем, что обобщенная сила трения Q* пропорциональна n-й степени скорости, причем показатель степени n ¥= 1 зависит от конкретных свойств силы трения; эту зависимость записывают в форме (0.6) или в эквивалентной форме

^ = -N^rt-(2.17)

В таком случае основное дифференциальное уравнение имеет вид

ag + M^I—^ + cg-O.(2.18)'

Точное решение этого нелинейного дифференциального уравнения получить в замкнутой форме невозможно, но существует ряд способов, позволяющих построить приближенное аналитическое описание движения. Изложим некоторые из них.

Метод энергетического баланса. Согласно этому методу предполагается, что искомое движение близко к гармоническому, но характеризуется медленно изменяющейся амплитудой и постоянной частотой, для которой можно принять значение й, соответствующее консервативной системе без трения. Таким образом, рассматривая какой- либо один цикл колебаний и совмещая начало отсчета

времени с моментом, когда отклонение достигает максимума (рис. 2.4), можно приближенно принять, что движение описывается функцией

q = A (t)cos kt,(2.19)

где A (t) — медленно меняющаяся функция времени, т. е. АТ-^A, А«.Ак. Тогда в выражении обобщенной скорости

q = —Ак sin kt + A cos kt

можно пренебречь вторым слагаемым и приближенно принять

q = —Ак sin kt.

По выражению (2.17) образуем обобщенную силу трения:Q* = Ъ (Л/с)" | sin kt |n-1 sin kt.

Работа силы трения за рассматриваемый цикл равна тt т

U=S Q*qdt = — bkn+1 J [Л | sin kt | ]"+1&.

о0

В этом вычислении можно приближенно принять, что в течение рассматриваемого периода величина А неизменна. Тогда получим

т/4я/а

U = - 4&(W+1 J sin”+1Wi = - 4Mn+1F J sinn+1ipth|). о0

Входящий сюда интеграл обозначим буквой Z; он выражается через гамма-функцию Г (эйлеров интеграл второго рода), для которой имеются готовые таблицы:

я/22п-2п2г(5)

1= sinw+1ij)^ = . ,(2.20)

Jтга (га +1) Г (га)''

о

С помощью таких таблиц можно вычислить следующие значения I в зависимости от показателя п*.

п

0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

I

1,000

0,875

0,785

0,718

0,667

0,624

0,589

Окончательно имеем

t7=-4M"+1A:"Z(ra).(2.21)

Полученное выражение равно изменению энергии системы за рассматриваемый цикл. Так как в начале и конце рассматриваемого цикла кинетическая энергия равна нулю, то изменение полной энергии определяется изменением потенциальной энергии П; конечно, при вычислении этого изменения необходимо учесть разницу между наибольшими отклонениями Л(0) и А(Т).

В начале цикла П (0) = у сА2 (0). В конце цикла П(7) = 1сЛ2(Т).

Следовательно, приращение (отрицательное) потенциальной энергии равно

АП = 1с [А2 (Т) - А2 (0)] = 1 с (А (Т)+А (0)] [А (П-^(0)].

Сумму, стоящую в правой части равенства в первых скобках, приближенно заменим через 2Л(0), а разность, входящую во вторые скобки, обозначим через АЛ. Тогда

будет

ДП = сЛАЛ.(2.22)

(Здесь вместо Д(0) можно написать просто Д.) Приравнивая работу (2.21) приращению энергии (2.22), получаем уравнение в конечных разностях

—4bAn+^kЧ(>n') = cA^A,

или

АА = — ^САк^Ип).(2.23)

Это уравнение связывает приращение (отрицательное) амплитуды за один цикл со значением амплитуды в начале этого цикла. Рассматривая огибающую как непрерывную кривую, описываемую дифференцируемой функцией времени А = A (Z), приближенно примем

АА ==

At к 41

Тогда уравнение в конечных разностях (2.23) примет вид дифференциального уравнения для огибающей:

аА_ = _ гыг^М. Л"/2 24)

dtлс '' ■ '

При интегрировании этого уравнения нужно различать два случая: когда п = 1 и когда п N= 1.

В случае п = 1 (линейное трение) согласно (2.20) I = л/4, и уравнение (2.24) принимает форму

^ = -КА.(2.25)

Здесь ^ — 57 = 57 Решение линейного уравнения (2.25) имеет вид

А=Аое"м,(2.26)

где Ао имеет смысл начальной ординаты огибающей. Таким образом, при п = 1 мы приходим к прежнему (точному) результату (2.10). Хотя это совпадение относится только к огибающей (из-за различия между к и к* графики движения будут неодинаковыми), но это убедительно свидетельствует в пользу приемлемости метода энергетического баланса.

В случае n^Y уравнение (2.24) нелинейно, но его точное решение затруднений не вызывает, так как переменные разделяются:

dA = _ ^j21A^L atА"леdA = _ ^j21A^L atА"ле(2.27)(2.27)

dA = _ ^j21A^L at

А"ле

dA = _ ^j21A^L at

А"ле

(2.27)

(2.27)

Л =Л =(2.28)(2.28)После интегрирования при начальном условии Л (0) — Ло находим зависимость Л (?):

Л =

Л =

(2.28)

(2.28)

n™V 26 (га - 1) кп+1 I (п) А”-1 '

V * +пс~ *

Конкретный вид этой зависимости определяется значением показателя п.

Прежде всего остановимся на случае, когда п = 2 (квадратическое трение); при этом из (2.28) получается

4Ък®А 1

1 + Т<

т. е. огибающая имеет вид гиперболы.С помощью решения (2.28) можно получить огибаю-т. е. огибающая имеет вид гиперболы.С помощью решения (2.28) можно получить огибаю-не зависит от величины скорости. Подставив п = 0 в общее решение (2.28), получимне зависит от величины скорости. Подставив п = 0 в общее решение (2.28), получим

т. е. огибающая имеет вид гиперболы.

С помощью решения (2.28) можно получить огибаю-

т. е. огибающая имеет вид гиперболы.

С помощью решения (2.28) можно получить огибаю-

не зависит от величины ско

рости. Подставив п = 0 в общее решение (2.28), получим

не зависит от величины ско

рости. Подставив п = 0 в общее решение (2.28), получим

Л = Л0-^(2.31)

т. е. убывание амплитуд следует линейному закону, а амплитуды образуют арифметическую прогрессию; этот результат также соответствует точному решению.

На рис. 2.5 показаны верхние огибающие для трех указанных выше значений п. Общий вид фазовых траек-

4 Я Г. ТТанпвкп

торий такой же, как и в случае линейного трения (рис. 2.3, а).

Отметим, что при к чЧ отношение двух соседних наибольших отклонений непостоянно; отсюда можно заключить, что логарифмический декремент оказывается п е- ременной величиной, зависящей от амплитуды:

где i — номер рассматриваемого цикла. Если, как это предполагалось выше, разность АЛ, = Л,+1 — At мала по сравнению с А(, то можно записать.

А = InА+1А = InА+1= In 1 —= In 1 —ДА\длЛ-"А*• 1+1)АДА\длЛ-"А*• 1+1)А

А = In

А+1

А = In

А+1

= In 1 —

= In 1 —

ДА\дл

Л-"А*

• 1+1)А

ДА\дл

Л-"А*

• 1+1)А

Подставив сюда выражение (2.23), получим зависимость логарифмического декремента от амплитуды:

А =А =4№"TW ^n-i с'4№"TW ^n-i с'

А =

А =

4№"TW ^n-i с'

4№"TW ^n-i с'

ний и остается неизменнымний и остается неизменным

ний и остается неизменным

ний и остается неизменным

Отсюда непосредственно видно, что лишь при п = 1 логарифмический декремент не зависит от амплитуды колеба

в процессе колебаний. При п = 2 в процессе затухающих Колебаний логарифмический декремент убывает вместе с убыванием амплитуды, а при п = 0 (кулоново трение), наоборот, он увеличивается с уменьшением амплитуды.

Зависимости логарифмического декремента от амплитуды колебаний схематически показаны на

рис. 2.6.

Метод медленно меняющихся амплитуд. Этот приближенный метод был предложен Ван дер Полем для, широкого класса задач о колебаниях систем со слабой нелинейностью, когда дифференциальное уравнение движе

ния можно представить в виде

9 Н~ ^о9 — / (?» 9)1

(2,32)

где /(</, q)— функция, состоящая из относительно малых нелинейных членов. Например, в задаче о затухающих свободных колебаниях систем с нелинейным трением нужно переписать уравнение (2.18) в виде (2.32), положив

Ш^) = -^\чГЧ (2.33)

Рассмотрим решение уравнения (2.32) по методу медленно меняющихся амплитуд для общего случая, а затем вернемся к частному случаю (2.33).

Решение дифференциального уравнения (2.32) разыскивается в виде

q = Л cos^kot — ср), (2.34)

но предполагается, что Л и ф — функции времени.

В зависимости от свойств вновь введенных функций A(t) и ср(£) зависимость (2.34) может оказаться более или менее близкой к гармоническим колебаниям с частотой к0. При постоянных Л и ф выражение (2.34) совершенно точно описывает гармонические колебания. В случае, когда А и ср —«почти постоянные», т. е. медленно меняющиеся функции времени, выражение (2.34) описывает колебания с медленно меняющимися амплитудой и фазой; этот случай типичен для систем со слабой нелинейностью, в частности для рассматриваемых здесь систем.

Если подставить выражение (2.34) в основное уравнение задачи (2.32), то получится уравнение, содержащее две неизвестные функции Л и ср. Для определенности замены одной функции q двумя функциями Л и ср нужно указать какое-либо дополнительное соотношение между последними; Ван дер Поль предложил принять в качестве такого соотношения следующее:

A cos (kot — ср) + Л ср sin (kot — ср) = 0. (2.35)

Если теперь продифференцировать выражение (2.34), то с учетом (2.35) получится весьма простое выражение для скорости:

q = — коА sin(7V — ср), (2.36)

— такое же, как если бы величины Л и ср были постоянными. Поэтому и выражение для ускорения окажется относительно простым и не будет содержать вторых 4*

производных А и ф:

q = — Ак0 sin ^kot — ф) — Ак^ cos (kot — ф) +

+ Л/<оф cos (kot — ф). (2.37)

Подставив выражения (2.34), (2.36) и (2.37) в заданное уравнение (2.32), получим уравнение первого порядка

—Ако sin ф + А коц> cos ф = / [Л cos ф, —А ко sin ф], (2.38) где ф = kot — ф.

Из соотношений (2.35) и (2.38) можно найти следующие выражения для производных А и <р:

А = — к"^А cos Ф1 — Ак0 sin ф] sin ф,

. t °(2.39)

Ф = -тт- / [Л cos ф, — Ак0 sin ф] cos ф.

А:о

До сих пор все выкладки были вполне строгими, и лишь теперь делается упрощение, вносящее некоторую приближенность в решение. Предполагая, что рассматриваемая система близка к линейной, мы можем считать, что переменные Л и ф не успевают получить заметных приращений за один цикл 2л/&о и что производные А и Ф постоянны в течение любого одного цикла. Поэтому, хотя эти производные выражаются сложными нелинейными функциями времени (2.39), не повлечет большой ошибки замена этих функций их средними за период 2л//с0 значениями:

2Л

Л = — ^- J / (Л cos ф, — Ак0 sin ф) sin ф t/ф,

зл(2.40)

'1 f

Ф = J / И cos Ф> — Акй sin ф) cos ф йф.

Конечно, при интегрировании в правых частях величина А считается постоянной. Именно эта операция усреднения составляет существо метода медленно меняющихся амплитуд.

Уравнения (2.40). запишем в более коротком виде:

Л = Ф =(2-4!)

(укороченные уравнения Ван дер Поля), причем

2Я

Ф (Л) = — ^ / (Л cos ip, — Ак0 sin ip) sin ip dip,

2л 6(2-42)

V (Л) = J / (Л cos ip, — Ak6 sin ip) cos ip dip. о

Таким образом, нужно прежде всего вычислить интегралы (2.42) в предположении, что А — постоянная вели7 чина. После этого интегрируются дифференциальные уравнения (2.41); конечно, на этом этапе выкладок уже признается, что величина А — переменная.

Возвращаясь к задаче о свободных колебаниях систем с нелинейным трением, образуем с помощью (2.33) выражения (2.42):

2Л

Ф (Л) = — I / —|-1 — Ак0 sin ip |п-1 (— Акй sin ip)l sin ipdip= о vJ

Л/2

4ЪАик" С — J sin +1 ip dip,

Т(Л) = 0.°

Интеграл, входящий в выражение Ф(Л), уже встречался выше и был обозначен через 7(и) (см. (2.20)); следовательно

ф(Л)=-4м7м

Теперь согласно (2.41) получаем укороченное уравнение

•2М"&"-1/(п)

Л =,

ла

Если теперь заменить а = с/кд, то мы вновь придем к уравнению (2.24), полученному выше методом энергетического баланса в предположении, что к«к0. Следовательно, дальнейшее решение приведет вновь к уравнению для огибающей (2.28).

Хотя в данном случае метод медленно меняющихся

амплитуд не дал новых результатов, но ниже мы уви

дим, что он окажется весьма полезным при решении других нелинейных задач. •

Гистерезисное трение. При циклическом деформировании упругих тел, даже при малых напряжениях наблюдается некоторое нарушение закона Гука, выражающееся в появлении петли гистерезиса; на рис. 2.7 пока

Рис. 2.7Рис. 2.7зана такая петля в координатных осях напряжение а — деформация е. Расположенная внутри петли гистерезиса площадь диаграммы определяет энергию, рассеиваемую за один цикл колебаний в единице объема материала. Так как расстояния между ветвями обычно весьма малы, точную форму петли в экспериментах

Рис. 2.7

Рис. 2.7

установить затруднительно. В то же время площадь петли может быть определена достаточно надежно. Установлено, что площадь петли гистерезиса для боль

шинства конструкционных материалов практически н е зависит от темпа деформирования (т. е. от частоты процесса), но зависит от амплитуды деформации.

Сказанное справедливо и по отношению к целой конструкции: рассеиваемая за один цикл в конструкции энергия Q не зависит от частоты колебаний, ио связана с их амплитудой. Эта зависимость обычно принимается в форме

(2.43)

где а и п — постоянные, определяемые из экспериментов.

Такая зависимость принципиально отличается от внешне сходной с ней зависимости (2.21), в которую входит амплитуда колебаний тоже в степени п + 1, однако в выражение (2.21) входит также и частота к, от которой не зависит коэффициент а выражения (2.43).

Для определения закона, описывающего затухание колебаний при гистерезисном трении, вновь воспользуемся уравнением энергетического баланса и приравняем рассеиваемую энергию (ее следует взять со знаком ми-

нус) приращению энергии (2.22) за один период:

—aAn+1 = сАДА.

Отсюда следует уравнение в конечных разностях

ДА = — — А",

С

которое, как и (2.23), можно заменить дифференциальным уравнением

^ = _^АЛ.(2.44)

dt 2лс'7

После интегрирования этого уравнения при начальном условии А(О) = Ао получим

А = А«(2.45)

Отметим, что в частных случаях п = 0, п = 1, п = 2 здесь вновь получаются результаты, схематически показанные выше на рис. 2.5. Любопытно, что при гистерезисном трении также может получиться экспоненциальная зависимость А^ (если п = 1), которая типична для случая линейного вязкого трения.

Наконец, укажем, что кулоново трение можно считать не только частным случаем нелинейного трения (2.17), но и частным случаем принятой здесь основной зависимости (2.43); в обоих случаях оно характеризуется значением п = 0.

Ударное демпфирование. В некоторых системах основной причиной затухания колебаний является не непрерывное действие сил трения, а мгновенные потери энергии при соударениях. Рассмотрим случай, когда такие соударения происходят всякий раз, когда система проходит через положение равновесия, причем мгновенная потеря энергии пропорциональна энергии системы перед соударением. В этом случае мгновенную потерю энергии удобно представить через скорость системы и перед соударением;

Q = Ьу2,(2.46)

где Ъ — некоторый постоянный коэффициент, имеющий размерность массы.

Рассмотрим какой-либо полуцикл колебаний, который начинается при наибольшем отклонении -4(0).

В течение первой четверти цикла система движется с постоянной энергией усА2 (0), и квадрат скорости в конце этой четверти цикла равен к2 = у А2 (0). После этого происходит соударение и вследствие этого — мгновенная потеря энергии на величину (2.46); далее система начинает движение, обладая энергией

(2-47)(2-47)с42(0)Ъс _ сЛ2 (0) (,2Ь

(2-47)

(2-47)

2а А W — 2 Уа

которая остается постоянной в течение всей второй чет- ~момент, завершающий эту чет

верть цикла, потенциальная энергия равна величине (2.47):

сА2 (772) _ с А2 (0) /.264

2~2 у а)"

Отсюда находим отношение отклонений в начале и конце первого полуцикла:

А (0)1

4(772) ~'

Для следующего полуцикла аналогично можно получить А УТ^ =1

4 (7)у 1-26/а’

Сравнивая наибольшие отклонения -4(0) и А^Т^, находим

(2-48)(2-48)Л (0)1

(2-48)

(2-48)

А (Т) ~ 1 — 26/а’

т. е. отношение последовательных наибольших отклонений является постоянной величиной. Отсюда можно заключить, что огибающая кривой затухающих колебаний представляет собой экспоненту

А = Аое-м,

которая характеризуется логарифмическим декрементом

А = НТ = In ч—-йтг-1 — 201 а

(2.49)(2.49)При малых отношениях 2Ъ]а можно принять Л ~ 26/а.

(2.49)

(2.49)

Фазовая диаграмма для рассматриваемого процесса представлена на рис. 2.8; она состоит из отрезков оси q и эллиптических дуг.

§ 3. Системы с одной степенью свободы при нелинейной восстанавливающей силе

Общие понятия. В некоторых случаях перемещения при колебаниях могут быть настолько значительными, что в разложении потенциальной энергии (1.6) необходимо учитывать не только член, содержащий q2, но и последующие члены. Иногда разложение (1.6) вообще не содержит квадратичного члена и начинается с члена выше второй степени. Отметим также, что в некоторых систе- %"\

мах потенциальная энергия, соответ-\

ствующая положению равновесия, не [ X, \ имеет аналитического минимума и во- ь-^Х \ обще непредставима в виде (1.6).\ *\

Во всех этих случаях обобщенная |/

восстанавливающая сила нелинейна и ' соответственно, нелинейно дифференциальное уравнение движения.1 -)L

Простейшим примером может слу- ~" жить задача о больших колебаниях Рис- 31 математического маятника (рис. 3.1).

Если принять за обобщенную координату ф угол отклонения маятника от вертикали, то переменная высота К, на которой находится груз, равна

h = Z(1 — cos ф),

соответственно потенциальная энергия определяется выражением

П = mg h = mgl^i — cos ф).

При весьма малых значениях ф можно принять

. Ф2

COS ф « 1 —

после чего потенциальная энергия оказывается квадратичной функцией обобщенной координаты ф, и мы приходим к линейной задаче.

Такое представление становится недостаточно точным при значительных углах отклонения. Для точного решения нужно подставить в уравнение Лагранжа (1.1)

^ = mgl sin ф.

Так как кинетическая энергия равна

„ _ mZ2<p22 ’

то согласно (1.1) получится нелинейное дифференциальное уравнение

Ф + -j sin ф = 0.

В более общем случае дифференциальное уравнение имеет вид

aq^F^-0,(3.1)

где

представляет собой взятую с обратным знаком обобщенную восстанавливающую силу, являющуюся нелинейной функцией координаты q.

Зависимость F (q^ называют квазиупругой характеристикой. или характеристикой жесткости. На рис. 3.2 показаны некоторые нелинейные системы с одной степенью свободы и соответствующие им характеристики жесткости. Среди приведенных здесь характеристик можно выделить характеристики симметричные (рис. 3.2, а, б, в) и несимметричные (рис. 3.2, г), характеристики с разрывами (рис. 3.2, в), характеристики гладкие (рис. 3.2, а) и ломаные (рис. 3.2, б, в, г).

Точные решения. В отмеченных выше случаях исследование свободных колебаний сводится к интегрированию нелинейного дифференциального уравнения (3.1). Выразив обобщенное ускорение через обобщенную скорость q = q^, получим вместо (3.1) уравнение первого порядка, связывающее скорость q с координатой q:

9 5 + Чт = °-<3'2)

Предположим, что система совершает колебательное движение, и выберем за начало отсчета времени момент, когда обобщенная скорость равна нулю и достигается

Рис. 3.2Рис. 3.2

Рис. 3.2

Рис. 3.2

наибольшее отклонение системы от положения равновесия (gmax=-4)).

Разделяя переменные в уравнения (3.2) и интегрируя его, имеем

gg

J q dq = — A J F (g) dq,0A

ИЛИ

.3A

^ = ~^р^ач = ^Р^dq> (3'3)

Aq

Это соотношение выражает закон сохранения энергии-. кинетическая энергия в произвольный момент равна убыванию потенциальной энергии при переходе системы из крайнего положения в рассматриваемое. Из (3.3) находим обобщенную скорость в функции координаты:

9 =9 =dq"dtdq"dt(3.4)(3.4)

9 =

9 =

dq"dt

dq"dt

(3.4)

(3.4)

Знак минус перед корнем выбран потому, что в рассматриваемом интервале движения (первый полупериод) обобщенная скорость отрицательна.

Дальнейшее интегрирование соотношения (3.4) дает время в функции обобщенной координаты q:

(3-5)(3-5)

(3-5)

(3-5)

Если характеристика восстанавливающей силы симметричная, т. е. функция F(q) нечетная, то время перехода системы из крайнего положения (gmax = -4) в положение равновесия (д = 0) составит четверть периода; следова-

тельно,

А

Т _ Гад

4 JГ А ’

g соответственно частота свободных колебаний определяется формулой

А

к = ^ = п- 2 J ——=^^=.(3.6)

° V S РМ4д

Изложенное решение не дает возможности найти в замкнутом виде закон движения ?(i), но приводит задачу определения частоты свободных колебаний к квадратурам. Во всех случаях для вычислений по формуле (3.6) эффективно использование ЭВМ, хотя иногда их можно завершить и в аналитической форме.

Остановимся на частном случае чисто нелинейной характеристики, которая не содержит линейного члена, ^-p^-i,(3.7)

где Рига — постоянные. Последовательно находим

А

g

А 1

Сад _ 1 Гап ^1-п Г а^

О У А (Д2П_92П)Р j

Заменив здесь у2" = ip, получим для входящего сюда интеграла следующее выражение через гамма-функцию:

Окончательно по формуле (3.6) находим

к = 1^У1-А1Х-\(3.8)

гдегде7* (га) = /лга7* (га) = /лга(3-9)

где

где

7* (га) = /лга

7* (га) = /лга

Значения 7* (га) даны в следующей таблице:

п

0,5

1

1,5

2

2,5

I*

1,1111

1,0000

0,9149

0,8472

0,7923

Из формулы (3.8) видно, что при га Ф 1 частота свободных колебаний зависит от их амплитуды.

Типичная для нелинейных систем зависимость частоты от амплитуды не позволяет считать частоту параметром самой системы; поэтому для нелинейных систем обычно пользуются не термином «собственная частота», а термином «частота свободных колебаний».

Как мы видели, даже при сравнительно несложном виде зависимости (3.7) вычисления частоты приводят к неэлементарным функциям. Чаще всего эти вычисления

приходится делать приближенно, так как входящий в формулу (3.6) интеграл не сводится к табулированным функциям. Однако в некоторых случаях, когда нелинейная характеристика восстанавливающей силы состоит из линейных участков (рис. 3.3), можно получить независимое от (3.6) точное решение задачи о свободных колеба-

§ 3. НЕЛИНЕЙНАЯ ВОССТАНАВЛИВАЮЩАЯ СИЛА 63 ниях, пользуясь способом поэтапного интегрирования {припаса вывания).

Способ основан на последовательном решении ряда линейных задач, относящихся к отдельным участкам. Постоянные интегрирования определяются из начальных условий, условий перехода от этапа к этапу и условий периодичности.

Пусть кусочно-линейная характеристика системы симметрична и состоит из п участков, границы которых определяются значениями координат 712, 723, • • • (в индексах указаны номера смежных участков, причем нумерация идет от крайнего участка к началу). Задаваясь, например, начальными условиями q{0) = Л, 7(0) = О и интегрируя линейное дифференциальное уравнение, относящееся к первому этапу, мы сможем найти время движения на первом этапе <i и соответствующую концу этапа скорость 712. Принимая известные значения qn и 712 за начальные условия движения на втором этапе, можно найти время движения £2 и скорость 723 в конце этапа. Наконец, на n-м этапе, которому соответствует проходящий через начало координат участок характеристики, можно найти время tn прохождения n-го этапа (от его начала 7„-i,n до 7 = 0). В данном случае на этом можно остановиться, так как ввиду симметричности характеристики и симметрии движения сумма найденных промежутков времени равна четверти периода свободных колебаний:

Т

~ И + ^2 + • • • + tn-

Отсюда можно определить частоту свободных колебаний:

В случаях несимметричной характеристики необходимо продолжить определение отрезков времен 1Ь соответствующих отрицательным значениям координаты 7. Вы числения заканчиваются в момент времени, когда обращается в нуль скорость 7; сумма вычисленных таким образом отрезков времени равна полупериоду свободных колебаний.

Конечно, уже при трех-четырех участках аналитические выкладки становятся громоздкими и необходимо обращаться к машинному счету на ЭВМ.

МОЩЬЮ JtilVl можноМОЩЬЮ JtilVl можноРис. 3.4Рис. 3.4Изложенный способ, в принципе, можно применить и в тех случаях, когда заданная характеристика жесткости криволинейная; для этого нужно заменить ее ломаной, составленной из достаточно большого числа прямолинейных отрезков. Поскольку для дальнейших выкладок потребуются ЭВМ, здесь уместно напомнить, что с по- организовать и непосредственное вычисление частоты свободных колебаний по ранее полученному выражению (3.6).

МОЩЬЮ JtilVl можно

МОЩЬЮ JtilVl можно

Рис. 3.4

Рис. 3.4

деформированномдеформированномПример 3.1. Найти частоту малых свободных горизонтальных колебаний круглого однородного диска, упруго закрепленного при помощи пружины с вертикальной осью (рис. 3.4). Качение диска по горизонтальной плоскости происходит без скольжения. При вертикальном распо- ложении оси пружины, т. е. в положении равновесия, натяжение пружины равно пулю. Обозначения: R— радиус диска, т — его масса, I — длина пружины в не- зянии, с0 — ее коэффициент жесткости.

деформированном

деформированном

Принимая за обобщенную координату я горизонтальное перемещение центра диска, находим кинетическую энергию:

"2 г" 2тх

Подставляя 1 = mR2J2, находим

3Т = — шх ,

т. е. инерционный коэффициент равен

(а)(а)3а = ту т.

(а)

(а)

Для определения потенциальной энергии пружины прежде всего найдем ее удлинение при горизонтальных отклонениях верхнего конца

М = yz2 + z2 —Z.

Следовательно,

n = 4Co[/z2 + ^-zp.

Разлагая полученное выражение в ряд и удерживая один первый член разложения, находим

П 8Z2’

отсюда следует, что характеристика восстанавливающей силы ч и- с т о кубическая:

Эх 2Z2"

Полученное выражение соответствует зависимости (3.7), в которой нужно положить Р = c0/(2Z2), п = 2. Теперь по формуле (3.8) и таблице значений I* (п) находим искомую частоту свободных колебаний диска:

* = 0,8472 |/ ^ у = 0,4891 ^^

Пример 3.2. Найти способом поэтапного интегрирования связь между амплитудой и частотой свободных колебаний системы с зазором (рис. 3.2, б). Симметричная кусочно-линейная характеристика системы определяется уравнениями

/-’(ж) = Мя + Ло), х < — Ло,

F(x) = 0,—Ло < х < Ло,

F(x) = с0(х — Ло), х > Ло.

На первом участке при х > Ло дифференциальное уравнение движения имеет вид

и его общим решением служит выражение

х = С\ sin kot + С2 cos kat + Ло,

в котором к0 = \colm (т —масса груза). Постоянные Ct и С2 определяются из начальных условий

г(0)=Л,^(0) = 0

и равны

Су = 0, С2 = Л — Ло-

Таким образом,

х = Л cos kot + Л о (1 — cos kot),

х = — (Л — Ло) к0 sin kot.

Время ti прохождения первого участка найдем из условия, что при t = t! должно быть х = Ло:

л

При этом скорость в конце первого этапа равна

Ж|2 = — (Л — Л о) А'о.

Свободное движение на втором участке описывается дифференциальным уравнением

пи = 0,

5 я. Г. Пановко

имеющим решение

х = D, 4- D2t.

Совмещая повое начало отсчета времени с моментом перехода системы с первого участка на второй, определяем постоянные Di и D2 из условий, что х = Аа, х — — (Л— А^к0 при i = 0. -Отсюда следует

^i — Ло, D2 — —(Л — Ло)^о, так что на втором этапе движения

х = Ло — (Л — Ло) kyt.

Теперь пайдем время, необходимое для перехода системы из положения, характеризуемого координатой адг, в положение, соответствующее координате х = 0:

Таким образом, частота свободных колебаний равна

2л*0

г1+^ л ,2

+ л (Л/Ло _ 1)

Приближенные способы. Из-за громоздкости интегралов, входящих в точную формулу (3.6), для определения частоты свободных колебаний часто пользуются приближенными способами. Конечно, их ценность несколько упала из-за возможностей, которые ныне предоставляют современные ЭВМ; однако эти способы до сих пор остаются весьма полезным средством для выявления общего характера зависимости частоты колебаний от их амплитуды, а также для пригкидочных расчетов.

Рассмотрим несколько приближенных способов применительно к случаю симметричной характеристики F(q'). Отметим, что некоторые из них разработаны для значительно более широкого круга задач, чем рассматриваемые в этом параграфе, и будут неоднократно встречаться в последующем изложении.

Простейший способ. Наиболее прост, хотя не всегда достаточно точен, следующий прием. Примем, что колебания в нелинейной системе с симметричной характеристикой описываются законом

q = A sin(Zc£ + а),(3.11)

подобно тому как это происходит в линейных системах. Выражение (3.11) является точным решением только

тогда, когда характеристика F(q) линейна. В общем случае подстановка (3.11) в дифференциальное уравнение (3.1) не обращает его в тождество.

Отметим, что в моменты прохождения через положение равновесия уравнение (3.1) удовлетворяется выражением (3.11), и потребуем, кроме того, чтобы уравнение (3.1) удовлетворялось также в те моменты, когда обобщенная координата q достигает максимума, т. е. равна А. При этом обобщенное ускорение q также максимально по модулю:

((шах А к .

Следовательно, в указанные моменты должно выполняться равенство

-аАкй A F ^ = 0п т. е.

=(3.12)

Последнее выражение позволяет легко получить достаточно правильное общее представление о связи частоты к с амплитудой А.

Так, если нелинейная характеристика имеет вид (3.7), то ио формуле (3.12) найдем для частоты выражение

к =

у аА Т а 1

которое содержит верную степень амплитуды (см. точное решение (3.8)), но лишь приближенно определяет значение коэффициента при Л”-1; если, например, п = 2, то по формуле (3.8) найдем к = 0,8472 ^Л, а по приближенной формуле к = ^ -^ А (ошибка составляет 18 %).

Способ прямой линеаризации. Способ основан на непосредственной (прямой) замене нелинейной характеристики F ^q) некоторым эквивалентным линейным выражением. Так, при симметричной характеристике вместо F (q') принимается

№ = =Ъ(злз)

где с — коэффициент линеаризации, значение которого подбирается из следующих соображений. Уклонение за- 5*

меняющей характеристики (3.13) от заменяемой характеристики F(q) зависит от координаты q (рис. 3.5):

г<д^= F cq.

В задачах о колебаниях, очевидно, более существенны уклонения г при больших значениях координаты q;

поэтому в выражении интегрального уклонения естественпоэтому в выражении интегрального уклонения естествен

поэтому в выражении интегрального уклонения естествен

поэтому в выражении интегрального уклонения естествен

но «усилить» роль разностей г при больших значениях координаты д. Примем за меру уклонения произведение

rg = \Fkq^- сд]д

и рассмотрим интегральное квадратическое уклонение

А

S = (гд^ dq,—А

которое, очевидно, зависит от выбора параметра с. Для минимизации этого уклоне

ния воспользуемся условием

№№asde

№

№

из которого и может быть найдено минимизирующее значение с. После этого задачу можно считать, в сущности, решенной, так как она приведена к линейному уравнению.

Итак, задача сводится к минимизации интеграла

А :

8 = J VVFkg^-cgAgYdg,(3.15)

—А

т. с. к определению минимизирующего значения с. Выполнив операции, указанные в (3.14) и (3.15), получим

Ал

[ Fkg')qsdq=l-^F(q-)qMq. (3. vAv

—АО

Так, например, при характеристике (3.7) находим

А

c-^^q6dq = ^A».

О

Соответственно для частоты получится-

к = 0,8452 yi А.

Погрешность этого результата составляет всего 0,23 %. Идею минимизации интегрального квадратического уклонения можно распространить и на случай несимметричных характеристик.

Метод гармонического баланса. Этот приближенный метод является одним из наиболее распространенных при решении многих нелинейных задач теории колебаний. Применительно к рассматриваемому здесь дифференциальному уравнению (3.1), когда F(q) = —F(—q), его простейший вариант состоит в следующем.

Как и выше, примем решение этого уравнения в виде (3.11) и подставим его в левую часть дифференциального уравнения (3.1). Второе слагаемое F [A sin (kt + а)] является периодической функцией периода 2л!к, и его можно разложить в ряд Фурье. Сохранив в этом разложении один первый член, приближенно имеем

F\A sm^kt + а)]= b\ (Л)sin (kt + а),(3.17)

где bi — коэффициент Фурье, определяемый выражением

= ~ ^ Ф (Л sin ф) sin ф йф, ф —kt -ф а. (3.18) о

Подстановка выражений (3.11) и (ЗЛ8) в уравнение (3.1) приводит к соотношению

-аАк2 + bi(A)=0,

из которого следует первое приближение для квадрата частоты:

(Л)

к2 -(3.19)

Пусть, например, функция F ^q') определяется выра- жеппем (3.7). Тогда по формуле (3.18) находим

2Л

^i J Р43 sih3 ^ sin Ч1 ^ = "I Р-^3»о

т, е.

к1 = 0,75 5- Л2, к = 0,8660 1/^ Аата

с ошибкой 2,2 %.

Метод медленно меняющихся амплитуд. Для того чтобы применить к рассматриваемой задаче изложенный выше метод медленно меняющихся амплитуд (см. стр. 50), нужно прежде всего выделить из заданной функции F(q) линейную часть cq (если функция F(q) чисто нелинейная, т. е. не содержит линейного слагаемого, то метод в принципе неприменим) и представить дифференциальное уравнение (3.1) в виде (2.32), положив

Hq/g^-^-V^q(3.20)

(здесь к^=с,а — квадрат собственной частоты линеаризованной системы). Далее образуются выражения (2.42):

Ф (Л) — — f Г— F ^ ™s ^ + ^о-^ COs s,n Ч ^Ч’ (3-21) о LJ

2Л

Т (Л) = f Г— ^ c°s ^ кцА cos ф1 cos ф ^ф. (3.22) о LJ

Рассматривая выражение (3.21), можно заметить, что под знаком интеграла перемножаются четная и нечетная функции угла ф; в заданном промежутке интегрирования эти функции ортогональны, так что Ф(Л) = 0. Отсюда, согласно первому уравнению (2.41), следует Л = 0, или А = const — результат, который можно было предвидеть для рассматриваемой задачи о свободных колебаниях консервативной системы.

После того, как будет вычислено значение ^(Л), по второму выражению (2.41) образуется величина ф. Важно отметить, что эта величина постоянная, так что <р=ф< + фо и аргумент в решении (2.34) принимает вид

ф = kot — ф = (к0 — ф) t — фо.

Таким образом, частота свободных колебаний заданной нелинейной системы определяется выражением

(3.23)(3.23)к — ф = к0 -х—:—х.

(3.23)

(3.23)

2л&0Д

Пример 3.3. Сопоставить с точным значением значения частоты свободных колебаний системы с зазором, найденные простейшим способом и способом прямой линеаризации (рис. 3.2, б). Характеристика системы описывается выражениями, данными в начале примера 3.2.

(а)(а)По простейшей формуле (3.12) находим

(а)

(а)

1 А

где кд = с/т.

Для вычисления по способу прямой линеаризации нужно воспользоваться формулой (3.16), разделив область интегрирования

при х > 0 на два участка. На первом участке (0 е: х ^ До) Т(^) = = 0 и интегрирование дает нуль. Поэтому

с =с =АоАо

с =

с =

Ао

Ао

/ 5А А® \

к2 = к^ 1 —J.

а также найден-а также найден-о 4А ' 446 у

а также найден-

а также найден-

На рис. 3.6 показаны зависимости (о) и (б), ный в примере 3.2 результат точного решения.

Пример 3.4. Для системы с кубической характеристикойFU) = с? + Р?

найти частоту свободных колебаний методами гармонического баланса и медленно меняющихся амплитуд..

Первое приближение по методу гармонического баланса найдем по выражению (3.19), подставив туда

2Л

3

Ьх = — I (сЛ sin ф + РЛ3 sin ф) sin ф йф = сЛ + -^ РЛ3. о

Таким образом, получаем

,9 ЗрЛ3, ,

к — kQ + 4а .(а)

Для решения по методу медленно меняющихся амплитуд находим по выражению (3.22)

Г / рл3со83ф') ,3 Лрл3

Т (Л) = I —I cos ф йф = — т—

' ' I \ а / т т 4 а

О

и соответственно по выражению (3.23)

3 рлк = к Л- -г-,

о 1 8 akQ ’

Как видно, результаты (а) и (б) совпадают с точностью до последнего слагаемого в выражении (б).

Здесь, кстати, отметим, что решение (б) становится очевидно ошибочным, если характеристика системы чисто нелинейная, т. е. когда с = 0 и соответственно кц = 0. В этом можно видеть напоминание о том, что метод медленно меняющихся амплитуд в принципе применим только к системам с малыми нелинейностями.

§ 4. Линейные системы с несколькими степенями свободы

где Т и II — кинетическая и потенциальная энергии, q, и q, — обобщенные координаты и обобщенные скорости, / = 1, 2, ..., s — номер координаты, s— число степеней свободы.

Из курса теоретической механики известно, что при малых движениях голопомпой системы со стационарными связями около положения равновесия кинетическая и потенциальная энергии следующим образом выражаются через обобщенные координаты:

s s

т = "2" ^j a'jkqjqhi и — — ^jkQjQk- (4-2)

Здесь / = 1, 2, ..., s; к = 1, 2, ..., s; aik = аы — инерционные коэффициенты, cik = сы — квазиупругие коэффициенты, называемые также обобщенными коэффициентами жесткости.

К выражениям (4.2) можно прийти путем рассуждений, аналогичных изложенным выше при выводе выражений (1.4) и (1.8), относящихся к системе с одной степенью свободы.

Если соответствующее нулевым значениям координат положение равновесия устойчиво, то потенциальная энергия в этом положении имеет изолированный минимум, а второе из выражений (4.2) есть положительно определенная квадратичная форма. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие неравенства ^критерий Сильвестра):

С12С22С32С12С22С32(4.3)(4.3)

С12

С22

С32

С12

С22

С32

(4.3)

(4.3)

Применительно к системам с несколькими степенями свободы эти неравенства имеют тот же смысл, как и условие с>0 для системы с одной степенью свободы (см. § 1). При выполнении неравенств (4.3) система, выведенная из положения равновесия, совершает свободные колебания.

Подставив выражения (4.2) в уравнение (4.1), получим следующую систему линейных однородных диффе-

ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

2 Vokqk + с^д^ = о, 7 = 1,2,...,$. (4.4) h=l

Конечно, фактическое составление системы уравнений (4.4) не обязательно вести по схеме Лагранжа. Во многих задачах о колебаниях удобно пользоваться более непосредственными способами — прямым и обратным.

Согласно прямому способу из системы выделяются сосредоточенные массы (или твердые тела) и каждая из них рассматривается как свободная материальная точка (или соответственно как свободное тело), находящаяся под действием позиционных (восстанавливающих) сил, которые выражаются через выбранные обобщенные координаты; после этого записываются соответствующие дифференциальные уравнения движения для материальных точек (или тел).

Обратный способ противоположен прямому: после отделения сосредоточенных масс (или твердых тел) рассматривается оставшаяся безынерционная система жестких и упругих связей, т. о. «безмассовый скелет» системы, который находится под действием кинетических

Гис. 4.1

реакций отделенных частей системы, причем кинетические реакции (силы инерции) выражаются через обобщенные ускорения. Затем формулируются статические соотношения для перемещений беэмассового (безынерционного) скелета системы.

Проследим особенности названных способов на примере системы с Двумя степенями свободы, состоящей из двух тел с массами пгх и пг2, соединенных двумя пружинами, жесткости которых равны щ и с2 (рис. 4.1).

За обобщенные координаты примем горизонтальные перемещения ад и х2 грузов, отсчитывая эти перемещения от состояния равновесия, в котором пружины не деформированы. Удлинения пружин в процессе движения равны AZt = жц AZ2 = х2 — жь

Основной способ {уравнения Лагранжа). Прежде всего находим кинетическую энергию грузов

2 + 2

и потенциальную энергию деформации пружин

2222с

2

2

2

2

II = —

2

Далее образуем производные, необходимые для подстановки в уравнение Лагранжа (4.1):

от•от

— = пг^, -у- ~ пг2х2, дх^дх^

d /ОТ \"d /ОТ \

аь \ IЙ1\дт

<911,. 5П z .

— = с1Ж1 — с2 (х2 — Ж1), ^ = с2 {х2 — х^.

(4.5)(4.5)Теперь записываем уравнения (4.1): пгххх + С1Ж1 — 02(3:2 — Ж1) = О, №2^2 + 02 (:Г2 — Ж1) = 0.

(4.5)

(4.5)

Прямой способ. Выделяем грузы и рассматриваем их как свободные тела под действием сил упругости Nx и N2, определяемых удлинениями AZi и AZ2 обеих пружин (рис. 4.1, б):

Nx = C1AZ1 = С1Ж1,^2 = C2AZ2 = 02(2:2 — ^i).

Дифференциальные уравнения движения грузов имеют вид

тхх\ = —^l + N2,

т2х2 = — N2.

Подставив сюда выражения для сил М и N2, приходим к ранее полученной системе уравнений:

тх\ + С1Ж1 — с-^хг — ад) = О,тх2 + С2 (^2 — Ж] ) = 0.

Обратный способ. Отделяем грузы и рассматриваем упругий безмассовый скелет системы под действием кинетических реакций — т\хх и —гп^ (рис. 4.1, в). В этой схеме первая пружина натружена силой — тД — т^ха, а вторая пружина — силой — т^. Перемещение ац конца первой пружины, равное ее удлинению, можно записать в виде

Перемещение правого конца второй пружины х^ равно сумме удлинений обеих пружин, т. е.

Из двух последних соотношений получаем

т1х1 4- т.2х2 -J-" Ci^i = 0,

с/ с \ ••(4.6)

/ m2xv + m2 1 4- -4 ж2 4- с2х2 = 0.

\ 1 /

Полученные выше по основному и прямому способам формы записи совпали потому, что при нашем выборе обобщенных координат кинетическая энергия имеет каноническую форму.

S

г =4 2я^,(4-7)

7=1

т. е. не содержит произведений скоростей д5дк при j т^ к. При этом каждое из уравнений Лагранжа содержит только по одному обобщенному ускорению, как это получается и при пользовании прямым способом. Если обобщенные координаты были выбраны так, чтобы каноническую форму имела потенциальная энергия

то уравнения Лагранжа совпали бы с уравнениями, полученными с помощью обратного способа. Сопоставляя полученные варианты записи по прямому и обратному способам, можно сделать следующее общее заключение относительно структуры дифференциальных уравнений: при составлении системы уравнений по прямому способу «у = 0 при i^ j, а при составлении по обратному способу Су = 0 при i ^ ]. Таким образом, пользуясь прямым способом, мы приходим вместо (4.4) к системе

diQi + S cjkqk = 0(/ = 1,2,..., $),(4.9)

fe=i

а применяя обратный способ — к системе

2 ajkqk + ед = 0 (/=1,2,..., $)(4.10)

ft=i

(вместо а» в уравнениях (4.7) и (4.9) записано aj, так как второй индекс становится лишним; аналогично, вместо су в уравнениях (4.8) и (4.10) записано с,).

Принципиально важно, что специальным выбором обобщенных координат можно придать каноническую форму как кинетической, так и потенциальной энергии. Такие координаты gj (/ = 1, 2, ..., $) называются нормальными или главными. При этом

88

Т=^а^ П=42^(4.11)

?=1j=i

и уравнения Лагранжа приобретают наиболее простой вид

«& + с& = 0 (/ = 1,2,...,$).(4.12)

Каждое из них интегрируется независимо от других. Короче говоря, при использовании главных координат система как бы представляет собой совокупность независимых парциальных систем с одной степенью свободы. Чаще всего заранее трудно указать, какие кинематические параметры (или их комбинации) являются главными координатами, и для перехода к ним требуются обширные выкладки, объем которых не уступает объему выкладок при решении задачи в произвольно принятых (не главных) обобщенных координатах. Поэтому введение понятия главных координат практически не облегчает решение задачи о свободных колебаниях, но весьма

полезно для углубленного понимания их закономерностей и для теоретического анализа.

Связь между вариантами записи (4.9) и (4.10) удобно проследить, исхдя из фундаментального соотношения, определяющего статические перемещения в упругой линейной системе общего вида-

?i=2«jA(/ = 1, 2, ...,$),(4.13)

А=1

в которой 6д — коэффициент влияния для перемещений, т. е. значение j-й обобщенной координаты, соответствующее действию статически приложенной k-й обобщенной силы, равной единице (в строительной механике величины 6jk называют единичными перемещениями). В матричной форме соотношения (4.13) имеют вид

{g} = [6](F}, (4.14)

где

(4.15)

представляет собой матрицу-столбец (вектор) обобщенных координат,

6ц 612 ... 61S

(4.16)(4.16)^2i®22^2s

(4.16)

(4.16)

_ ®si ®S21" 1 ®ss _

— матрицу коэффициентов влияния для перемещений,

(4-17)(4-17)

(4-17)

(4-17)

— матрицу-столбец (вектор) обобщенных сил. Введем матрицу

[6Г1 = и =[6Г1 = и =г11 Г12• • • risГ21 Г22" ‘ 1 Г28г11 Г12• • • risГ21 Г22" ‘ 1 Г28

[6Г1 = и =

[6Г1 = и =

г11 Г12• • • ris

Г21 Г22" ‘ 1 Г28

г11 Г12• • • ris

Г21 Г22" ‘ 1 Г28

_т si rs2rss_

обратную матрице (4.16), и умножим слева матричное соотношение (4.14) на матрицу (4.18). Тогда получим

[г]{9} = {^}.(4.19)

Для того чтобы выяснить физический смысл элементов rjk матрицы (4.18), представим себе, что на все точки системы наложены дополнительные связи, обращающие в нуль все обобщенные перемещения, кроме перемещения qkl причем последнему придано значение qk = 1. Тогда rjh представит собой реакцию у-й дополнительной связи, соответствующую перемещению qk = 1 (в строительной механике величины rjk называют единичными реакциями} .

Из соотношения (4.19) следуют дифференциальные уравнения прямого метода, а из соотношения (4.14) — уравнения обратного метода. В самом деле, в задачах о свободных колебаниях F, = —тпд5, так что если ввести диагональную матрицу

[т] =[т] =(4.20)(4.20)тг ОО т2

[т] =

[т] =

(4.20)

(4.20)

О О

то можно записать

{F} = — [т] {<Д.(4.21)

Подставляя (4.21) в (4.19), получим

[г] kq} = — \тп\ (д),(4.22)

т. е. уравнения типа (4.9); после подстановки (4.21) в (4.14) найдем

{<Д = — [6] [m] {д},(4.23)

т. е. уравнения типа (4.10).

Хотя уравнения (4.9) и (4.10) в принципе эквивалентны, однако объемы операций, связанных с вычислением коэффициентов, могут оказаться различными.

Прямой способ особенно удобен для систем цепной структуры, если в таких системах упругие силы несложно выражаются через перемещения двух соседних тел. Таковы, например, системы, изображенные на рис. 4.2. Пусть qs — обобщенная координата, представляющая горизонтальное перемещение у'-то груза в схеме на

рис. 4.2, а или угловое перемещение /-го диска в схеме на рис. 4.2, б. При этом сумму упругих сил, действующих на груз (рис. 4.2, а), или сумму упругих моментов, действующих на диск (рис. 4.2, б), можно представить в единой форме:

Qj = -сМ - ^-1)+ с,+ 1 (^+1 - Qi), (4.24)

где с, — жесткость упругой связи, расположенной между грузами (дисками) / — 1 и /; c,+i — жесткость упругой

ааРис. 4.2Рис. 4.2

а

а

Рис. 4.2

Рис. 4.2

связи, расположенной между грузами (дисками) / и / + 1. Соответственно дифференциальное уравнение движения /-го груза в схеме а имеет вид

т^з = -Cj^Qi ~ &-i) + cj+i (gJ+i - Qi), (4.25)

т. e. соответствует форме (4.9). Таким же будет и дифференциальное уравнение движения /-го диска в схеме б, если заменить инерционный коэффициент т5 на момент инерции диска 15.

Отметим, что в каждом из уравнений (4.25) содержатся только по три неизвестные функции, а для крайних грузов (дисков) уравнение будет содержать только две неизвестные функции. При этом коэффициенты уравнения легко вычисляются по исходным данным задачи. Применение обратного способа в данном случае приводит к значительно более сложным уравнениям, так как число неизвестных функций, входящих в дифференциальные уравнения, возрастает с удалением от левого конца системы, и последнее уравнение содержит все s функций Qi. При расчетах крутильных колебаний валов обычно пользуются прямым способом.

С другой стороны, для балочных систем с сосредоточенными массами удобнее обратный способ. Так, для системы, показанной на рис. 4.3, а, придем к кинетостати- чсской схеме па рис. 4.3, б. В данном случае, пользуясь коэффициентами влияния бл, получаем уравнения типа (4.10):

i/j = -пцуАх - пиу^я - ... - msys8j3 (j = 1, 2, ..., s),

(4.26) соответствующие матричному уравнению (4.23). Обратный способ особенно часто используется в динамике сооружений.

Пример 4.1. Составить дифференциальные уравнения свободных колебаний консоли, несущей на свободном конце груз, обладающий конечным моментом инерции (рис. 4.4, а); считать, что

массой балки можно пренебречь по сравнению с массой груза. Обозначения: I — длина консоли, EJ — изгибпая жесткость, m — масса груза, р — его радиус инерции.

Рассматриваемая система имеет две степени свободы, и за обобщенные координаты удобно выбрать прогиб у и угол поворота ср конца консоли (рис. 4.4, б). Для составления дифференциальных уравнений движения воспользуемся обратным способом и рассмотрим изгиб безынерционного скелета, показанного на рис. 4.4, в.

Внешними силами являются сила инерции груза —ту и момент сил инерции —тр2ср. Тогда

у = —тубц — 77zp2q>612, ф = —ту81х — тр2фб22.

Коэффициенты влияния можно найти методами сопротивления ма6 я. Г, Пановко

териалов, например с помощью формулы Верещагина. В данном случае они выражаются следующим образом:

/3I1I

611=8Л7'612 = 62i = 2EJ’ ®22/-V

Таким образом, дифференциальные уравнения движения принимают вид

••/32"/2А ••/22" Z ,А

m«^EJ + mP 4’2^7 + ^ = °’ ту^^тр <р ^ + <р = 0.

Дальнейший анализ системы см. ниже, на стр. 86, 92 и 93.

2. Решение системы дифференциальных уравнений. Если условия (4.3) устойчивости состояния равновесия выполнены, то частное решение системы дифференциальных уравнений (4.26) можно записать в виде

q,i = Л5 sin ^kt + a)(/ = 1, 2, ..., s).(4.27)

Этими выражениями описывается монотармонический колебательный режим с частотой к, общей для всех координат qj.

Подставив (4.27) в уравнения (4.4), получим систему алгебраических уравнений

—/с2пцЛ1 — к^ацАа — ... — Zc2ais^s + CnAi +

+ С12Л2 + ... + CisAs = 0,

—к^аг^! ~ k^a^Ai — ... — k2a2sAs + С21А1 +

+ С22А2 + ... + C28As = 0,(4.28)

—k2as\A \ — к2 а „2 А 2 — ... — k2assAs + csiM 1 +

+ CS2A2 + ... + CssAs — 0,

однородную относительно неизвестных амплитуд Ai, А2, ..., А„. При колебаниях все они не могут равняться пулю; поэтому, согласно общему свойству однородных систем, должен равняться пулю определитель, составленный из коэффициентов этой системы:

= 0.= 0.(4-29)(4-29)С11-°1/ C12”V2 ••• ^s”"^С21~а21к2 =22” “22^ ••• =28 "“2/

= 0.

= 0.

(4-29)

(4-29)

,2,2

Csl ®«Г CS2 " as2k

css - “ss^2

После развертывания определителя получится алгебраическое уравнение s-н степени относительно Л2; напишем это частотное уравнение в виде

Ьо - М2 + Ъ2к4 - Ъ3к6 + ... + ^-\уЪ$к& = 0; (4.30) при указанной расстановке знаков все коэффициенты Ь, оказываются положительными. Число корней частотного уравнения равно з; эти корни, обозначаемые далее кХ, к^ .к&1 принято располагать в порядке возрастания. Для рассматриваемых систем, совершающих движение около состояния устойчивого равновесия, все эти корпи вещественны и положительны). Таким образом, для частот к определяется з значений:

к\ < к2 < кз < ... < к„(4.31)

образующих спектр собственных частот системы. (Отрицательные корни можно не рассматривать, так как соответствующие им частные решения типа H'sin(—kt) попросту сливаются с частными решениями A sin kt.)

Для системы с двумя степенями свободы частотное уравнение оказывается биквадратным:

(аиа22 — а^) к4 — («пс22 + аИсп — 2а12с12) к2 +

+ (^-4)- 0, (4.32)

и имеет два положительных корпя Aj2 и к22, лежащих в интервалах

Если обобщенные координаты — главные, т. е. выбраны так, что «12 = 0, ci2 = 0, то корни частотного уравнения окажутся равными

Вернемся к рассмотрению общего случая. Каждому корню ki соответствует частное решение типа (4.27), следовательно, общее решение представит собой сумму

таких решений:

q, = Ац sin (кА + ссi) + Л,2 sin (кА + 012) + ...

... + Л„ sin (кА + as) (/ = 1, 2, ..., s), где букве А теперь приписаны два индекса: первый по- прежнему обозначает помер координаты, а второй — номер собственной частоты. Коротко решение можно записать в виде

qi = S Ац sin (к^ + oii) (/ = 1,2, .,., s). (4.33) i=l

Таким образом, скак правило (т. е. при произвольных начальных условиях), изменение каждой из обобщенных координат следует политармоническому закону, причем число гармонических составляющих равно числу степеней свободы системы. Отметим, что если собственные частоты несоизмеримы (как это нередко бывает в реальных задачах), то процесс, описываемый выражением (4.33), строго говоря, непериодический.

При близости хотя бы двух собственных частот общий закон движения оказывается весьма своеобразным. Рассмотрим систему с Двумя степенями свободы, причем к\ « кг. Тогда, например, для первой обобщенной координаты имеем

qi = Ап sin(кА + a,) + Л12sin(Zc2^ + «2).(4.34)

Если ввести обозначения

By 2 = у (Al C0S al ±^12 C0S ^2), ’ i(4-35)

Взл = у (Ли sin aj + Л12 sin a2),

то вместо (4.34) можно записать

qi = B\ (sin kit + sin kA) + B^ (sin kit — sin kA) +

+ B^ (cos kA + cos kA) + B4 (cos kA — cos kA). (4.36) Заменяя суммы и разности тригонометрических функций произведениями таких функций, получим

к, + к„ к, — кк, — к

qt = 2Ву sin А——1/ cos J_—2 ^ _|_ 2У2 sin —_JL (х

Ч- к_к_ Ч~ к_ к_ — к_

X cos 1 2 * t ф- 2S3 cos —2—- t cos 1 2 ~ t —

k, + k„ k. — k„

-‘LBySmAJ-Atsm-A—At. (4.37)

Заметим, что функции аргумента —^—-t меняются кг + к медленно по сравнению с функциями аргумента —2— Поэтому вместо (4.37) удобно записать

q\ = Di sin kt + Di cos kt,(4.38)

где

к, + к к =(4.39)

— среднее значение двух близких частот к\ и ki,

Dx = 2 В4 cos 1 — В4 sin t , »« x К-40)

D2 = 2 S2 sin -j-1 + Ba cos -ytI

— медленно меняющиеся аериодичесмие функции време- ДА к — к.г

ни; их частота -у = —2—•

Окончательно находим вместо (4.34)

<71 = -4* sin Qti; + “*)>(4-41)

где

И* = V D4 + Dl, а* = arctg ^!(4.42)

— медленно меняющиеся функции времени. Таким образом, движение носит синусоидальный характер с

Рис. 4.5

периодически медленно меняющейся амплитудой; график этого движения показан на рис. 4.5. Период изменения

амплитуды составляет

„ 2л = 4л

— д/с/2 кх — кг

и тем больше, чем ближе частоты к\ и ki. Такие колебания называются биениями.

Движение, соответствующее второй обобщенной координате дг, также представляет собой биения, но сдвинутые по фазе относительно движения 91.

Пример 4.2. Найти собственные частоты для системы, рассмотренной выше в примере 4.1.

Подставляя решение (4.27) в найденные ранее дифференциальные уравнения (стр. 82), получим однородную систему

\3EJk ~+ mp"2£VA: Л2= °’

,2/2;\

ml 9 I то I 91

2EJ к"А1 + к ~ 7 Л2 = °'

Далее составляем определитель

mZ3 2mp2Z2

ЗЁ7 к“ — 1 2EJ

ml2 qmp2l 2

2EJ к“"ЁЛ к'

после развертывания которого получим частотное уравнение

mA? А12 (EI)2mA? А12 (EI)2./mp2l nil3 \ 9

mA? А

12 (EI)2

mA? А

12 (EI)2

k -\4л^ЗЁ1)к2+^-0.

Его корни (для p C Z) имеют вид

ь2_З^Л k,_9EJk^~ml3 4Z3 ^ml3

Лиxsi = ^(4.44)Лиxsi = ^(4.44)Л21 — д t л3г — "Т-’ "li"liЛ21 — д t л3г — "Т-’ "li"liСобственные формы. Если вернуться к системе уравнений (4.28) и подставить в нее какой-либо i-й корень частотного уравнения, то одно из уравнений станет следствием остальных, т. е. независимых уравнений остается только $ — 1; сказанное вытекает из общих свойств однородных систем алгебраических уравнений. Эти уравнения связывают между собой s амплитуд Ли, Ац, . . ., Ast и позволяют выразить все амплитуды через какую-либо одну из них, например через первую. Совокупность отношений

Ли

xsi = ^(4.44)

Ли

xsi = ^(4.44)

Л21 — д t л3г — "Т-’ "li"li

Л21 — д t л3г — "Т-’ "li"li

определяет относительные амплитуды рассматриваемой i-й гармоники, т. е. описывает конфигурацию системы в процессе свободных колебаний с г-й собственной частотой; эта конфигурация определена с точностью

до одного произвольного множителя, т. е. масштаб конфигурации остается неопределенным.

Такие конфигурации системы зависят только от свойств самой системы и называются собственными формами-, каждому корню частотного уравнения соответствует своя собственная форма, определяемая отношениями (4.44), т. с. число собственных форм равно числу степеней свободы системы.

Величины Xjt называются коэффициентами собственных форм-, они определяются только параметрами самой системы (коэффициенты формы не обязательно безразмерные величины, так как обобщенные координаты могут иметь различную размерность). Так как общий масштаб каждой из собственных форм произвольный, можно один (любой) коэффициент формы положить равным единице. Число остальных коэффициентов хл равно s — 1 для каждой собственной формы, т. е. составляет s(s—1) для всех собственных форм.

Общее решение (4.33) с помощью коэффициентов формы записывается в виде

S

Чз = 2 ХЛ^1г sin (&^ + “0i=l

(/ = 1, 2, ..., s, хн=1; i=l, 2, ..., s),(4.45)

т. e. содержит 2s постоянных (s амплитуд Ан и столько же начальных фаз ос(); для определения этих постоянных служат 2s начальных условий, выражающих значения обобщенных координат и обобщенных скоростей в начальный момент.

Если подставить какое-либо г-е частное решение в систему (4.9), то получим следующие соотношения:

HjZfiX^i -)- У, Р^т^тг = 0(4.46)

г=1

(/=1, 2, ..., s; i= 1, 2, ..., s).

Аналогично, после подстановки г-го частного решения в систему (4.10) найдем

S

1 ^i ^j ^jr^ri 4“ ^j^ji " 0(4.4/)

r=i

(/-1, 2, s; i= 1, 2,s).

Эти соотношения будут использованы ниже, в п. 3 § 8.

Пример 4.3. Найти собственные частоты и собственные формы для системы, показанной на рис. 4.1, приняв для примера ci = = с2, пц = т2 = т. Подставим решения (4.27) в полученные выше дифференциальные уравнения (4.5), положив qv = xi, q2 = = х2; тогда получим '

(а)(а)(2с0 — т/г2)Л1 — с0Д2 = О,

(а)

(а)

—с0Д1 + (с0 — тк1')А2 = 0. Из равенства нулю определителя

2со “"^* со

- с0 с0 - ml? ~

следует частотное уравпеппе

сс2

А.4_3 у+ Ц о.тт

Отсюда находим два корпя:

^1,2 ~ 2m (3 ± VS), т. е.

ki= 0,382 ^,^=2,618^.

Положив хц = Xi2 = 1, для определения остальных коэффициентов собственных форм воспользуемся первым из уравнений (а)

Рис. 4.6Рис. 4.6(то же можно получить и из второго уравнения):

Рис. 4.6

Рис. 4.6

= 1,618,= 1,618,2со - т^

= 1,618,

= 1,618,

0,618.0,618.2с — тк^^22= -77- =

0,618.

0,618.

Соответствующие собственные формы показаны па рис. 4.6, а, б.

Полученные выше общие соотношения можно записать короче в матричной форме.

Вместо уравнения (4.4) имеем

[а] {д} + [с] (с?) = 0,(4.48)

где {д}— матрица-столбец (4.15),

Я11°12•1•ais

Я21°221 '-°2S

_ a«las21 '1a«s —

§ 4. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 89 — симметричная матрица инерционных коэффициентов,

Сн с12 •

• С1«

[с] =

С21 С22'

• C2S

(4.50)

_ СМ с«2 •

• css

— симметричная матрица коэффициентов жесткости, Решение уравнения (4.48) будем искать в виде

гдегде(4.51)(4.52)(4.51)(4.52){д} = {Л} sin (AZ + а),

где

где

(4.51)

(4.52)

(4.51)

(4.52)

{Л} = Л

А.

(4.53)(4.54)(4.53)(4.54)— матрица-столбец амплитуд. Подставляя (4.51) в (4.48), получаем матричное уравнение

(4.53)

(4.54)

(4.53)

(4.54)

т. е.т. е.— [а] (Л}Л:2 + [с] {Л} = О,([с] ~ [°] &2) (^^ = 0.

т. е.

т. е.

Отсюда видно, что матрица-столбец {Л} отлична от нуля только при условии

dot ([с]-[а] А2) = 0,(4.55)

которое совпадает с частотным уравнением (4.29). Переписав равенство (4.53) в виде

[а]-'[с] {Л} = кЧА\(4.5G)

замечаем, что {Л} является собственным вектором матрицы [а]-1 [с], а &2— собственным значением этой матрицы.

Ортогональность собственных форм. Между амплитудами Лгп и А,™, определяющими две какие-либо собственные формы (п и пг), существует соотношение, выражающее важное свойство ортогональности собственных форм. Установим это соотношение исходя из общей формы уравнений (4.28) для амплитуд. При к1 = к„ какая- либо /-я строка этой системы, записанная для n-й частоты, может быть представлена в виде

к^ 2 акАтп = 2 cjrAm (/ = 1,2,..., s). (4.57) г=1 7—1

Умножив равенство (4.57) на амплитуду Hjm и сложив все уравнения, получим

SSSS

&п 2 Ajm 2 &згАгп — 2 ^Jm 2 ^зг-^гп, (4.58) 3=1r=l3=1r=l

или, после изменения порядка суммирования в обеих частях равенства,

S3S3

^•n Игп S &JrAim ~ 2 ^rn 2 CjrAjm. (4.59) r=l з=1r=l з=1

Так как cjr = crj, можно записать

33

2 CjrAjm = crjAjm.(4.60)

3=13=1

Но согласно (4.57)

33

2 CyjAjm = km 2 ^rjAjmi(4.61)

■3=13=1

следовательно, соотношение (4.59) принимает вид

^n 2 Am 2 ^jrAjm = km 2 Am 2 ЯзгА^п (4.62) r=l i=ir=i 3=1

(при записи правой части мы воспользовались равенством агз = а5гу Но, поскольку частоты кп и кт различны, из равенства (4.62) следует

2 А,п 2 o;,Ajm = 0.(4.63)

г=1з=1

Последнее соотношение выражает свойство ортогональности любых двух и-й и m-й собственных форм.

Свойство ортогональности, выраженное соотношением (4.63), формулируется более компактно в случаях, когда а,, = 0 при у ^ г. Именно в такой форме обычно получаются инерционные коэффициенты при использовании прямого способа составления дифференциальных уравнений. При этом соотношение (4.63) упрощается и принимает вид (вместо atT достаточно писать аг)

S

2 aTAimAm = 0.(4.64)

Г=1

Согласно (4.59) вместо (4.63) можно также записать

SS

5 А™ 2 CjTAjm = 0.(4.65)

Т~13=1

Если cjr = 0 при / ^ г, как это получается по обратному способу, то соотношение (4.65) упрощается:

2 стАгтАгп = 0.(4.66)

т=1

Отметим, что любую конфигурацию системы можно разложить по собственным формам колебаний; это свойство окажется полезным при изучении вынужденных колебаний.

Пусть некоторая мгновенная конфигурация системы описывается совокупностью значений обобщенных координат Вх, Bi, ..., Bs; для этих значений можно записать

Bj = dvAn + d2Ai2 + ... + dsHjs (j = 1, 2, ..., s) (4.67) и рассматривать (4.67) как систему уравнений, определяющих коэффициенты линейного преобразования dv, di, ..., ds. Для того чтобы найти эти коэффициенты, нет необходимости решать систему (4.67), удобное воспользоваться свойством ортогональности собственных форм. Имея в виду случаи, для которых указанное свойство формулируется в виде (4.65), умножим каждую строку системы (4.67) на соответствующее ее номеру / произведение ajAjm (m — номер искомого коэффициента d,^, а затем сложим все строки. Тогда в левой части об-

S

разуется сумма 2 BjO,jAjm, а в правой части — сумма 3=1

вида 8SS

^i 2 ®jAjiAjm -ф d^ 2 ajAjiAjm -ф . . . -ф ds 2 ®jAjSAjm. 3=13=13=1

Согласно (4.65) среди этих членов отличен от пуля только член dm 2 o.jA^m, и в результате мы получаем j=i

компактное выражение 3 2 aj®3^jm

dm = Ч•(4.G8)

2 °зЛ^т3=1

Пример 4.4. Найти собственные формы для системы, рассмотренной в примерах 4.1 и 4.2.

Для определения собственных форм образуем отношение Л2:Л, из первого уравнения, данного в примере 4.2 (стр. 86):

Л1Л1т Z3 „1 ~ 3EJkт Z3 „1 ~ 3EJk

Л1

Л1

т Z3 „

1 ~ 3EJk

т Z3 „

1 ~ 3EJk

Подставив сюда поочередно найденные выше значения к^ и к^., получим

Л21321 " ЛЦ ^ 2Z’ Л21321 " ЛЦ ^ 2Z’Л22Л222Zзр2'2Zзр2'

Л213

21 " ЛЦ ^ 2Z’

Л213

21 " ЛЦ ^ 2Z’

Л22

Л22

2Z

зр2'

2Z

зр2'

Эти отношения характеризуют обе собственные формы (рис. 4.7, а, б). Как видно из рисунка, первая собственная форма характеризуется сравнительно малым углом поворота груза, а вторая форма — относительно небольшим прогибом конца.

Можно убедиться в ортогональности этих форм. Подставим в условие ортогональности (4,64) at = m, и, = mp2, а также най. депные отношения Л21/Лц, Л22/Л|2. Тогда получим

IтЛИЛ32 + т^Л21Л22

QГ Ч /27

=Р 2Z (-- °-

5*5. Роль начальных условий. Для

рис 4 7определения 2s постоянных, входя' 'щих в общее решение (4.45), ис

пользуются значения обобщенных координат </Д0) и обобщенных скоростей т/ДО) в момент Z = 0. Подставив эти значения в общее решение (4.45) и в соответствующие выражения для скоростей, получим систему уравнений относительно постоянных Лц и а,:

S

Qi (0) = 2 ИдЛц sin аь

.*7(4.09)

Qi (0) = 2 KjiA^ki cos «i,

(/=1, 2, ..., s).

Соотношения между амплитудами гармонических составляющих Ли, Л12, ..., Л]„ входящих в закоп изменения любой координаты qh зависят от начальных условий.

При произвольно заданных начальных условиях изменение любой обобщенной координаты будет происходить по полигармоническому закону, так что отношения между обобщенными координатами будут непрерывно изменяться во времени. По этой причине экспериментальная запись (виброграмма, осциллограмма) реального процесса свободных колебаний, как правило, не представляет собой синусоиду, характерную для процесса свободных колебаний системы с одной степенью свободы. Однако при специальном выборе начальных условий можно добиться того, что движение будет описываться только какой-либо одной, например r-й, составляющей:

q, = Л^ sin(A:ri + ar) (/ = 1, 2, ..., s).(4.70)

В этом случае отношения между обобщенными координатами будут оставаться неизменными во времени и соответствуют r-й собственной форме. В частности, для реализации этого r-го главного колебания достаточно, чтобы в начальный момент обобщенные скорости равнялись нулю, а обобщенным координатам были приданы значения, определяющие r-ю собственную форму.

Пример 4.5. Найти движение системы, рассмотренной в примере 4.1, если состояние равновесия нарушается приложением к центру тяжести груза мгновенного импульса S.

В данном случае начальные условия должны быть сформулированы следующим образом:

у(0)=0, У^ = ^, ф(0)=0,ф(0)=0.

Общее решение имеет вид

у = Ап sin ^kxt + ai) + Л12 sin (JtA + a2),

ср = Л2| sin (4Д + aj + Л22 sin (,k2t + a2).

Подставляя сюда найденные в примере 4.4 отношения амплитуд, находим

у = Лп sin (к^ + aj + Л12 sin (Z^i + a2),

32/

Ф= 2Z лиsin (V + ai)_ 3^ Л|2 sin ^ + “^

Для определения четырех неизвестных Ли, Л12, ai, a2 используем указанные выше начальные условия:

32Z

Лц sin a, + Л12 sin a2 = 0, ^ Ли sin ^ “^ л12 sin a2 = °’

S32Z

Л,^ cos a, + A^ cos a2 = —, у Л1 Л cos a, -^2^12^2cos a2 = 0

Отсюда находим

SZ295р2

А1г = ^УМ1й' ai-0, a2~°-

Следовательно, движение описывается уравнениями

SZ2 Г 19 р3

5Z [УЗ . ,3 р .1

ф =—ж" sin к, t — -г -г sin k„t

VmlEJ [214 Z 2 J

и носит двухчастотпый характер.

Случаи кратных и нулевых корней. До сих пор, говоря о корнях частотного уравнения, мы считали их простыми и не равными нулю. Однако в некоторых случаях частотное уравнение может иметь как нулевые, так и кратные корни.

Убедимся в возможности этого на примере механической системы с двумя степенями свободы. Из частотного уравнения (4.32) непосредственно видно, что при выполнении равенства

(°пс22 4" °22рп2а12с]2)2 —

= 4 (сис22 с12) (^^22 ai2) (4- zl) два корня частотного уравнения будут равны друг другу, а при выполнении равенства

СцС22 = ci2(4.72)

один из корней частотного уравнения обращается в нуль.

Не следует думать, что равенства (4.71) или (4.72)

Рис. 4.8

выполняются при каких-то исключительных обстоятельствах; в действительности системы с кратными или нулевыми корнями встречаются довольно часто.

В качестве примера рассмотрим свободные колебания плоской системы с двумя степенями свободы, показанной на рис. 4.8. Обозначим через щ и с2 коэффициенты жест-

кости пружин, а через тир — массу и радиус инерции тела относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости чертежа через центр тяжести. За обобщенные координаты примем вертикальное перемещение центра тяжести тела у и угол поворота тела ф. Тогда кинетическая и потенциальная энергии запишутся в виде

г^^^ + рМ,

п 4 (^ + \Ф)2 , С^У” W

2^2’

Соответственно этому уравнения Лагранжа принимают форму

тУ 4" (4 + с2) У + № — c2Z2) Ф = О,

..(4.73)

тр2ф + (с^ 4- c2Z2) ф 4- (с^ — c2Z2) у = 0.

Теперь предположим, что параметры рассматриваемой системы удовлетворяют двум простым (и реально осуществимым) соотношениям:

ciZi = C2Z2, р2 = Z]Z2;(4.74)

тогда вместо полученных дифференциальных уравнений имеем

ту + (ci + с2) у = 0,

(4.75) тф + (щ + с2)ф = 0.

Следовательно, инерционные коэффициенты и обобщенные коэффициенты жесткости в данном случае определяются формулами

ЙЦ = «22 = ТП, «|2 = «21 = О,

С11 = С22 = С[ + С2,С12 = С2[ = 0

и условие (4.71) выполняется, т. е. обе частоты рассматриваемой системы равны одна другой. Впрочем, это видно непосредственно из уравнений (4.75), так как

- V

Ввиду независимости уравнений (4.75) постоянные интегрирования одного уравнения не связаны с постоянными

интегрирования другого уравнения: у = Л1 sin {kt + ai), <р = Л2 sin (At + a2) •

Для определения постоянных Л], Л 2, ai, аг служат четыре начальных условия.

В общей теории линейных дифференциальных уравнений устанавливается, что обычно (но не всегда!) при кратных корнях характеристического уравнения в решении возникают слагаемые типа t sin kt и t cos kt, содержащие аргумент вне знаков тригонометрических функций; в наших задачах этим корням соответствовали бы у//////////////////////////////, нарастающие колебания. Однако в [ МШ I рассматриваемых здесь случаях сво- 777777777777777777777777777777> бодных колебаний консерватив- ян ы х систем такие слагаемые по

явиться не могут — это противоре

чило бы справедливому для таких систем закону сохранения механической энергии (тем более это относится к диссипативным системам).

Рис. 4.9Простые примеры систем с одной

нулевой собственной частотой показаны на рис. 4.9, а, б. Подробнее остановимся на систе

ме, изображенной на рис. 4.9, б и обозначим: с — жесткость вала на кручение), 7), I2— моменты инерции дисков относительно продольной оси системы.

Принимая за обобщенные координаты углы поворота Ф1 и фг Дисков относительно некоторого начального положения (в этом положении вал не закручен), получим

следующие выражения для кинетической и потенциальной энергии системы:

т _ 71Ф1 , '2Ч>2 п _ с (Ф2 - Ф1)2

12'2’2

Соответственно этому уравнения Лагранжа имеют вид

(4.76)(4.76)7]ф1 — С(ф2 — ф1)= О,72ф2 + С(ф2 — ф1)= О,

(4.76)

(4.76)

т. е.т. е.

т. е.

т. е.

«11 = 71, «22 — 1^.-, «12 = «21 = О,

«11 = «22 — «, «12 = «21 = —«•

При этом выполняется условие (4.72) и один из корней частотного уравнения равен нулю. Действительно, подставив найденные значения коэффициентов в частотное уравнение, получим

— (7щ + /гс) к2 + М2к4 = О, отсюда

^=0, к^^с1-^.(4.77)

Для того чтобы понять физический смысл нулевой частоты, вернемся к системе дифференциальных уравнений (4.76). Их главная особенность состоит в том, что опи допускают не только частное решение колебательного типа

Ф1 = Л1 sin(^ + а), (4 78) фг = Аз sin (kt + а),

но также частное решение вида

ф1 = ф2 = С] + C2t,

которое описывает равномерное вращение всей системы как жесткого целого (без скручивания упругого вала). Этому частному решению и соответствует нулевой корень частотного уравнения к\ = 0.

Частному решению (4.78) соответствует отличная от нуля частота кз, данная в формуле (4.77), а также определенное отношение амплитуд колебательного движения

^ zi

Х21 — Д — г •

Таким образом, общее решение представляется в виде

(4.79)(4.79)<Р1 = Hi sin (kt + а)+ Ci + Сг#,Ф2 = Х21Л 1 sin (kt + а) + Ci + C^t

(4.79)

(4.79)

и содержит четыре постоянные: Лц а, Ci и Сг, определяемые из начальных условий.

Движение, описываемое законом (4.79), представляет собой колебания, наложенные на режим равномерно- 7 Я. Г. Павовко

го вращения. Чисто колебательную составляющую движения легко выделить путем введения новой переменной

ф = ф2 — ф1,

которая представляет взаимный угол поворота дисков, т. е. угол закручивания вала. Если теперь записать уравнения (4.76) в виде

Фг — у- (Фа - Фг) = °-

ф2 + Г (ф2 — Ф1) = О

и затем вычесть первое уравнение из второго, то получим одно дифференциальное уравнение для функции ср:

ф+ -г+у ф = °-\ч ■'г/

Отсюда видно, что колебания угла ср следуют одпочас- тотному закону

ср = A sin {kt + а).

Можно сказать, что рассматриваемая система имеет одну степень свободы, которой соответствует вращение системы как жесткого тела, и одну колебательную степень свободы. Аналогично, в более сложном случае, когда с валом связано s дисков, число колебательных степеней свободы равно s — 1.

Влияние трения. Дифференциальные уравнения движения изменятся, если учесть, что при колебаниях механической системы возникают силы трения. В случаях, когда они линейно зависят от скоростей точек системы, дифференциальные уравнения движения вместо (4.4) примут вид

cii\<i\ + а 2^2 + ... + aj8q, + 6,151 + b^q^ + ... + bj8q8 +

+ ciXqv + с,-2^2 + ... + cj8q8 = 0 (/ = 1,2,..., s) (4.80)

или, в матричной форме,

[а] {5} + [6] {5} + [с] {5} = 0,(4.81)

где матрицы [а] и [с] определяются выражениями

(4.49) и (4.50), а

ьн 6i2 ••• 613

№ =№ =(4.82)(4.82)Ь21 ЬМ •••62s

№ =

№ =

(4.82)

(4.82)

ЬЛ ^s2 *- - ^ss _

— матрица демпфирования.

Решение уравнений (4.80) следует искать в форме, отличающейся от (4.27), а именно

^ = Л,е“ (/ = 1, 2, ..., s).(4.83)

После подстановки (4.83) в (4.80) получится однородная система алгебраических уравнений относительно Л,; в матричной форме эта система имеет вид

([а]Х2-[6]Х + [с]) {Л) = 0. (4.84)

Для того чтобы все Л,- одновременно не обращались в нуль, необходимо, чтобы равнялся нулю определитель системы (4.84); это приводит к характеристическому уравнению

det( [a]V + [&]Х + [с] )= 0. (4.85)

Если все элементы матрицы (4.82) положительные, то вещественные части всех корней характеристического уравнения — отрицательны. При этом среди корней уравнения (4.85) могут оказаться отрицательные вещественные корни, каждому из которых согласно (4.83)

соответствует монотонное затухающее движение неколебательного характера. Наряду с этим среди корней могут оказаться и комплексные сопряженные корни вида % =—а + ф, X'= —а—i^ (а>0). Им соответству

Рис. 4.10Рис. 4.10ет затухающее колеоатель- ное движение, описываемое выражением

Рис. 4.10

Рис. 4.10

Цк = е_“‘ (Вк cos fi+ Ск sin ^). (4.86)

Общее решение (4.80) получится как результат наложения всех частных решений.

Пример 4.6. Показанная на рис. 4.10 система состоит из способного перемещаться по горизонтали груза 1 массы тга, двух упругих пружин 2 и 3 с коэффициентами жесткости с2 и с/и линейного демпфера 4, характеризуемого коэффициентом вязкости 6. Найти общий характер движения системы, которое возникнет по- 7*

еле нарушения состояния равновесия груза. Пластинку 5 считать безынерционной.

Обозначим через xi и х2 отклонения пластинки и груза от положения равновесия. Тогда для пластинки имеем

(а)(а)—Ci^! —- Ъхх -]- С2(Х2 — £1) = О,

(а)

(а)

для груза —

—Са^а— 21) = тх2.—Са^а— 21) = тх2.(б)(б)

—Са^а— 21) = тх2.

—Са^а— 21) = тх2.

(б)

(б)

Полагая хх = Ахвм, х2 = Л2ем, получаем однородную систему (ci + с2 + йХ)А] — с2А2 = 0;— с2Ах + (с2 -f- mX2)A2 = 0.

Приравняв нулю определитель

С2 + тХ2С2 + тХ2= 0,= 0,I с! + С2 + ^Х

С2 + тХ2

С2 + тХ2

= 0,

= 0,

I -С2

придем к характеристическому уравнению

тЬХ3 + m(ci + с2)Х2 + bc2X + cic2 = 0. (в)

К тому же результату можно было прийти, если исключить координату xt из уравнений (а) и (б) и записать уравнения третьего порядка для х2;

mbx2 + m(ci 4- с2)х2 + bc2x2 + схс2Х2 = 0. (г)

Соответственно порядку уравнения (в) рассматриваемую механическую систему можно назвать системой с IV2 степенями свободы (представление о нецелом числе степеней свободы было введено А. А. Андроновым и относится к вырожденным системам. В нашем примере достаточно было учесть массу пластинки 5, чтобы система дифференциальных уравнений имела четвертый порядок; такая механическая система обладает двумя степенями свободы).

Среди корней характеристического уравнения (в) по крайней мере один окажется вещественным отрицательным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим левую часть уравнения. При X = 0 она, очевидно, положительная, а при достаточно больших отрицательных значениях X опа становится отрицательной. Следовательно, должен существовать корень Xi = — ai (ai > 0).

После того как этот корень найден (для вычисления достаточно самой простой ЭВМ), нужно левую часть уравнения (в) разделить на разность X — Xi и решить полученное таким образом квадратное уравнение. При этом найдутся два остальных корня, в общем случае комплексных, вида Х2,з = —а2 ± ф («2 > 0).

Таким образом, движение груза описывается выражением

Х1= А^ + ^“^ (Л12 sin Р1 + Лгз cos Р9’

содержащим три постоянные. Для их нахождения необходимо указать три начальных условия, определяющих хДО), х2(0) и .r2(U) в начальный момент времени. (Отметим, что начальное зиа- ченпе хх (0) независимо задать нельзя — оно определяется из соотношения (а).)

Глава II

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

§ 5. Линейные системы с одной степенью свободы при отсутствии трения

Основное уравнение при силовом возбуждении. Рассмотренные в главе I механические системы характеризуются действием позиционных сил, а в некоторых случаях также диссипативных сил. Эти силы не только влияют на движение системы, но и сами управляются этим движением, поскольку они зависят от обобщенных координат и обобщенных скоростей.

Как указывалось во введении, иную важную категорию образуют вынуждающие силы, т. е. силы внешнего происхождения, описываемые заданными функциями времени и не зависящие от движения системы. Колебания, вызываемые вынуждающими силами, называются вынужденными. Независимо от физической природы вынуждающих сил мы будем исходить из того, что каждая из них задана в виде некоторой явной функции времени:

Р^Р.(0,(5.1)

где i = l, 2, ..., п — порядковый номер материальной точки.

Если механическая система имеет одну степень свободы и приложенные к точкам системы внешние силы заданы в виде (5.1), то обобщенная вынуждающая сила определяется из выражения возможной работы

пп _

6А = 2 Pi6n = 2 pi d7 62(5-2)

i=li=l

в виде

9^ = ^^-(5.3)

i=l

Соответственно уравнение Лагранжа принимает вид (при отсутствии трения)

(5-4)(5-4)а !дт\ дт . ап

(5-4)

(5-4)

Подставляя сюда выражения (1.4) и (1.8) для кинетической и потенциальной энергии, приходим к дифференциальному уравнению задачи о вынужденных колебаниях

aq + cq = Q (i),aq + cq = Q (i),которое будем записывать в видекоторое будем записывать в виде(5.5)(5.6)(5.5)(5.6)

aq + cq = Q (i),

aq + cq = Q (i),

которое будем записывать в виде

которое будем записывать в виде

(5.5)

(5.6)

(5.5)

(5.6)

Здесь через к2 = da по-прежнему обозначен квадрат собственной частоты рассматриваемой системы.

Рассмотрим, например, действие горизонтальной силы P(t) на маятник (рис. 5.1, а). Примем за обобщенную

координату угол ср отклонения маятника от вертикали и обозначим через m массу маятника, а через I — его длину. Тогда при малых углах отклонения

Т = пЦ^ п =Q = p^t (5-7)

и уравнение вынужденных колебаний (5.6) принимает вид

^ + т» = ^-<5'8)

Иногда удобнее составлять дифференциальное уравнение вынужденных колебаний по описанным выше прямому или обратному способам. Пусть, например, в точке х = 1* балки приложена вынуждающая сила P(Z) (рис. 5.1, б); будем считать, что массой балки можно пренебречь по сравнению с массой m сосредоточенного груза, закрепленного на конце балки х = I. Для составления дифференциального уравнения колебаний удобно воспользоваться обратным способом. Рассматривая балку под действием силы Р^ и силы инерции — ту, можем записать

у = Р (0 б (Z, 1^ — туб {I, I),

где 6(Z, Z*) и 6(7, Z)—соответствующие коэффициенты влияния, определяемые методами теории сопротивления материалов,

(3Z- tailр

Таким образом, дифференциальное уравнение колебаний груза запишется в виде

тр ••_P(Z)(3Z)-Z,)Z|

3EJ6ej

Вынужденные колебания балки возникнут и в том случае, когда вертикальная сила не меняется по модулю (Р = const), но точка ее приложения движется вдоль балки. При этом абсцисса I*, а вместе с этим и коэффициент влияния б (Z, Z*) становятся функциями времени, так что дифференциальное уравнение принимает вид (если Z* = vty

ml3 "Р (3Z — pi) v2P

ЗЁ?У+У=6EJ(5-9)

Решение этого уравнения см. ниже в примере 5.5.

Случаи кинематического возбуждения. К дифференциальному уравнению (5.6) сводятся не только задачи о силовом возбуждении, но также задачи о кинематическом возбуждении, когда колебания механической системы вызываются некоторым заданным (в частности, колебательным) движением каких-либо ее точек.

Так, например, если к грузу маятника не приложена сила, но ось шарнира обладает горизонтальной подвиж-

ностыо и ей заданы колебания ж = ж(1), то они вызовут колебания и самого маятника (рис. 5.1, в). Для того чтобы получить дифференциальное уравнение абсолютного движения, запишем (сравнить с выражениями (5.7)):

Т =, п = mg^^ <2 = 0;(5.10)

отсюда для угла ф следует уравнение Лагранжа

Ф +-^-ф =(5.11)

Как видно, оно совпадает с основным дифференциальным уравнением (5.8), составленным для случая силового возбуждения, если ввести эквивалентную вынуждающую силу Q^= — mx.

Возможна несколько иная трактовка этой задачи, если рассматривать движение маятника как сложное, состоящее из заданного поступательного переносного движения вместе с шарниром и искомого относительного вращательного движения. Дифференциальное уравнение относительного движения следует составлять с учетом переносной силы инерции — mx, момент которой составляет —mix. При этом придем к уравнению моментов — mglq— mix = т/2ф,(5.12)

которое совпадает с уравнением (5.11).

Формально системы, показанные на рис. 5.1, а, в, обладают различным числом степеней свободы, так как положение системы на рис. 5.1, в определяется двумя координатами — углом ср и линейным перемещением ж. Но координата х(() задана, она не «свободная», так что второй степенью свободы система в сущности не обладает; «свободной» координатой, т. е. неизвестной функцией времени, является только угол отклонения ср и, как мы видели, для его определения достаточно одного дифференциального уравнения (5.6).

Конечно, в этом задаче можно составить и второе уравнение Лагранжа, соответствующее координате х. Из такого уравнения определяется приложенная к оси шарнира сила, необходимая для создания заданного движения шарнира: впрочем, вопрос об определении этой силы может и не возникать.

На рис. 5.2 показаны еще два примера систем с кинематическим возбуждением колебаний. В первом случае вертикальные колебания упруго подвешенного груза 1 вызываются заданными вертикальными колебаниями платформы 2; во втором случае крутильные колебания

диска 1 возникают из-за вращательных колебаний опорного диска 2, которые здесь считаются заданными.

В подобных случаях удобнее составлять дифференциальные уравнения относительного движения тел, обозначенных на рисунках цифрами 1. Результаты решения такой задачи позволяют сразу определить усилия в упругих элементах.

Пример 5.1. Составить дифференциальное уравнение вертикальных колебаний упруго подрессоренного груза при безотрывном движении колеса по неровному участку пути (рис. 5.3). Профиль участка задан уравнением

у = А(1 — е-^), где к — предел, к которому стремится высота неровности; к— параметр, характеризующий кривизну профиля. Кроме того, дано:

m — масса груза, I — высота расположения центра тяжести груза при его относительном покое, с — коэффициент жесткости упругой подвески, и — постоянная горизонтальная скорость груза. Размерами колеса пренебречь.

жестко связаны с центром колеса.)й осью подвески, а горизонтальнуюжестко связаны с центром колеса.)й осью подвески, а горизонтальнуюЯ £Я £Рассмотрим движение груза относительно поступательно движущихся осей |, т], которые Ось £ совместим с вертикальн ось г] проведем на высоте I, считая от уровня профиля. Тогда при движении по неровности абсолютная вертикальная координата начала подвижной координатной системы определяется выражением

жестко связаны с центром колеса.)й осью подвески, а горизонтальную

жестко связаны с центром колеса.)й осью подвески, а горизонтальную

Я £

Я £

у# = А(1-е-^)+/.

Подставляя сюда х = vt и дважды дифференцируя по времени, находим переносное вертикальное уско-

реииеРис. 5.3

We = —к^иЧ-*^

и переносную силу иперции упруго подрессоренного грузаIe = mh^2v2e~^vt.

Дифференциальное уравнение отпосительпого движения груза имеет вид

тт] = —ст] + mh.'(2v2e-’',:t;

приводя его к форме (5.6), имеем

т) 4- 7с2т] = h^2v2e~'lvt.

Решение этого уравнения см. ниже в примере 5.4 (стр. 114—115).

Действие гармонической вынуждающей силы. Обратимся теперь к решению основного дифференциального уравнения (5.6) и начнем со случая, когда обобщенная вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону. Такова, например, переменная сила, передаваемая на фундамент машиной с неуравновешенным ротором (рис. 5.4). При надлежащем выборе начала отсчета времени этот закон можно записать в виде

Q = Н sin mt, где Ний — амплитуда и частота вынуждающей силы. Следует иметь в виду, что во многих случаях (к ним относится и показанный на рис. 5.4) амплитуда вынуждающей

q + k^q = -у sin totq + k^q = -у sin tot(5.13)(5.13)силы связана с ее частотой. Решение дифференциального уравнения

q + k^q = -у sin tot

q + k^q = -у sin tot

(5.13)

(5.13)

ак (б8 — со2)ак (б8 — со2)с2 = о.с2 = о.

ак (б8 — со2)

ак (б8 — со2)

с2 = о.

с2 = о.

состоит из двух частей: 1) решения однородного уравнения q + k^q = 0, а именно: Ci sin kt + Сг cos kt; 2) частного решения уравнения (5.13), которое при со + к следует искать в виде A sin tot. Подставив это выражение в (5.13), найдем, что^ = —т-Д—^sincof. Таким образом, а (к — (о )

решение уравнения (5.13) при произвольных начальных условиях имеет вид

q = СХ sin kt 4- С2 cos kt 4——gr s™ tot- a \kA — (o )

Следовательно,

(5.14)(5.14)Н / .,<0. ,.\

(5.14)

(5.14)

q = -772—2? sin ®z - тSln kt •a \k — to ) \"/

Полученное решение представляет разность двух гармонических составляющих с различными частотами. В действительности этот процесс можно наблюдать лишь в самом начале, так как неучтенные при составлении уравнения силы трения вызывают постепенное затухание колебаний с собственной частотой к (см. ниже § 6). Поэтому по истечении некоторого времени колебания становятся практически моногармоническими с частотой со.

Если частоты со и к близки между собой, то возникнут биения, как и всегда при сложении двух гармонических колебаний (см. § 4, рис. 4.5); однако и в этом случае с течением времени и постепенным исчезновением одной из гармоник (с частотой к) движение будет все больше приближаться к моногармоническому с частотой со.

Таким образом, наиболее существенная, стационарная часть процесса (установившиеся вынужденные колебания) описывается первым членом выражения (5.14)

<5Л5)

Амплитуда этих колебаний, происходящих с частотой о, определяется выражением

(5.16)(5.16)II _ На | А2 — со2 || с — аа? | ’

(5.16)

(5.16)

знаменатель которого (динамическая жесткость) характеризует эффективную жесткость системы при гармоническом возбуждении. Выражение 1/|с— асо2| определяет амплитуду вынужденных колебаний при единичной амплитуде вынуждающей силы (амплитудно-частотная характеристика, для обозначения которой в технической литературе пользуются аббревиатурой АЧХ).

Выражению (5.16) можно придать вид

А = Ц^ст.

Здесь

(5.17)

— коэффициент динамичности, показывающий, во сколь-

ко раз амплитуда установившихся вынужденных колебаний больше перемещения дст = Я/с, вызываемого статически приложенной силой Я. Для случая, когда Я не зависит от со, зависимость коэффициента динамичности от отношения частот ю/к представлена графиком на рис. 5.5 («резонансная кривая»).

Как видно, с возрастанием частоты со от нуля коэффициент динамичности увеличивается и при а/к -> 1 стремится к бесконечности. При дальнейшем возрастании

частоты коэффициент динамичности постепенно убывает и при ю(к> У2 становится меньшим единицы; в этой области динамический эффект вынуждающей силы слабее, чем при ее статическом действии. Этим свойством часто пользуются в технике, а именно, для уменьшения колебаний объектов, подверженных действию гармонических вынуждающих сил, уменьшают жесткость упругих связей; при этом собственная частота уменьшается, а вместе с тем возрастает отношение ю^к. Нужно отметить, что согласно (5.15) при со/к < 1 перемещения находятся в фазе с вынуждающей силой, а при ц>[к > 1 — в противофазе.

Если Я = Яы2, где К — постоянная (например, в машинах с неуравновешенными роторами К = Мг, где М — масса ротора, г — эксцентриситет центра тяжести, см. рис. 5.4), то согласно формуле (5.16) амплитуда колебаний следующим образом связана с отношением частот т!к\

all-WI'

Соответствующая резонансная кривая показана на рис. 5.6. В отличие от резонансной кривой на рис. 5.5 при неограниченном возрастании частоты и амплитуда колебаний стремится не к нулю, а к значению К,а.

Особое состояние системы при со = к называется резонансом-, для этого состояния решением (5.14) пользоваться нельзя, так как оно было получено в предположении, что со ^= к. В резонансном случае вместо (5.13) нужно исходить из дифференциального уравнения

Ч + ^q = -^-sin И,

решение которого при нулевых начальных условиях имеет вид

q = —'^- \kt cos kt — sin &<].

Здесь нужно обратить внимание на появление члена kt cos kt, содержащего время вне знака косинуса, т. е. неограниченно возрастающего во времени; этот член называется резонансным (вековым). Ниже, в § 6, будет установлено, что силы трения ограничивают это возрастание, так что амплитуда колебаний остается конечной и при i оо.

(а)(а)Пример 5.2. Вдоль пути синусоидального профиля

(а)

(а)

^о = Ло51ПТ

(рис. 5.7) с постоянной горизонтальной скоростью г движется упруго подвешенный груз массы т. Определить наибольшее допустимое значение коэффициента жесткости подвески с, если требуется, чтобы амплитуда абсолютных колебаний груза не превосходила О,О5Ло.

Подставив в (а) х = = vt, найдем ординаты нижнего конца пружины в функции времени:

Уй = Айат — .

Обозначив через у абсолютное вертикальное перемещение груза, отсчитываемое от равновесного уравнения, имеем дифференциаль

ное уравнение —с (у— у0) = ту, или

ту + су = су0.

Отсюда видно, что эквивалентная вынуждающая сила составляет Р = сЛ0 sin(nuZ/Z), т. е. ее амплитуда равна сЛ0. Соответственно выражению (5.16) находим амплитуду абсолютных колебаний груза:

Л=

/ ^_V IЛ2!

~ ( к )1 — —

\/ Iс

которая по условиям задачи не должна превосходить значения О,О5Ло. Следовательно,

cZ2 т. е.

0,47тпу2

Пример 5.3. Для условий предыдущего примера определить допустимые значения коэффициента жесткости с, если требуется, чтобы дополнительное усилие в подвеске не превосходило 5 % статического значения усилия mg.

При прежних обозначениях наибольшая динамическая деформация подвески равна Л — Ло, а наибольшее дополнительное усиление в подвеске составляет

сАС^"А^-

По условию должно быть

где со = ли/Z. Отсюда находим, что коэффициент жесткости должен быть либо достаточно малым, удовлетворяющим неравенству те?

С< 1 + 2OAoe?/g\

(при любых значениях безразмерной дроби 20 Л0со%), либо достаточно большим, удовлетворяющим неравенству

те?

С > 1 — 20AQe?/g

(при 2ОЛосо2^ < 1).

Действие произвольной вынуждающей силы. Решение дифференциального уравнения (5.5) при произвольно заданной правой части может быть получено с по-

мощью известного из курса математики метода вариации произвольных постоянных. Однако более нагляден иной путь решения, к изложению которого мы и переходим.

Прежде всего рассмотрим вспомогательную задачу. Пусть в момент ? = £ к покоящейся системе приложен обобщенный мгновенный импульс 5; согласно (1.14) при ? > £ решение имеет вид

Ч = <1^ с»8 *(* — £) + ^ sin к (t — £).

Входящие сюда значения обобщенной координаты и обобщенной скорости непосредственно после приложения импульса равны q (У = 0, q (§) = —. Следовательно, движение описывается выражением

9 = sin &(?-£).(5.18)

Функция

R (г, g) = sin k (i-У

4ак ’

описывающая движение, вызываемое единичным импульсом, называется импульсной реакцией системы.

Теперь будем рассматривать произвольную вынуждающую силу Q = Q (?) как бесконечную последовательность элементарных импульсов Q^d,^,, показанных на рис. 5.8. Подставив в выражение (5.18) S = = Q(%)с?^, мы найдем колебания, вызываемые действием одного из таких элементарных импульсов. Чтобы определить движение, которое вызывается заданной силой, необходимо сложить влияния всех элемен

тарных импульсов; таким образом, при пулевых начальных условиях находим

t

q = ^(?a)sink(t-M.(5.19)

о

Если кроме рассмотренной здесь силы Q = Q(f) в заданные моменты времени £i, £2, ..., |г (здесь gr < ?) на

систему действуют конечные мгновенные импульсы 51, 5г, ..., Sr, то вместо (5.19) будет

г- t

t=i.t=i.^ J(?®sin/c(l

t=i.

t=i.

-О

Наряду с (5.19) существует другой вариант решения, который иногда оказывается более удобным. Преобразуем (5.19) с помощью правила интегрирования по частям

\ и du = uv — I vdu.

Полагая здесь Q^ = u, и sin k(t — ^d^, = dv, находим du = Q (^ d^, к у = -^ cos /т (t — £). Соответственно (5.19) преобразуется к виду

g = ^(^)cos^(i-^)- Q®COsk(t-1№ = ak L J J10

(5.20)(5.20)Q (t) — Q (0) cos kt — J Q (£) cos k (t — £) d^,о

(5.20)

(5.20)

Этим выражением можно пользоваться только в тех случаях, когда при 7>0 функция Q(t^ не имеет разрывов, т. е. производная ()(£) конечна на всем промежутке ин

тегрирования.

Если сила Q(t) претерпевает конечные разрывы A(?i

А(?2,...., kQr в заданные моменты времени ^i, £2, •.., В

(^1T<t') (см. рис. 5.9), то вместо (5.20) будем иметь д=<Ш_

4 с t

-X^Q^^k^t-^d^-

О

т

У A^cos/^Z —^).

Остановимся на двух важ-

оных частных случаях.

Действие кратковременной силы. Пусть сила Q = Qq внезапно появляется в момент t = 0, дейст

вует в течение малого промежутка времени t*, а затем

внезапно исчезает (рис. 5.10). Если t* меньше полупериода свободных колебаний Т{2, то наибольшее отклонение системы достигается после исчезновения силы. Тогда для £>7* согласно решению (5.19)

9 = t sin 7с (7 — ^d^ = sin sin к (7—4г-\

0''

Наибольшее отклонение равно

2^o •

9max = "у Sin ла,

где а = t^/T. Коэффициент динамичности, равный отношению qmax к статическому перемещению qCT = Qo!c,

ц = 2 sin ла, определяется только значением а (рис. 5.11) и не превосходит значения 2.

Нужно заметить, что если постоянная сила действует в течение малой доли периода свободных колебаний, то

мом деле, иq=^Q&y^Ht-^==мом деле, иq=^Q&y^Ht-^==действие такой силы во много раз меньше статического; например, при 1#/Г = 0,01 можно найти ц = 0,062— динамический эффект в 16 раз меньше статического. Вообще действие кратковременной силы определяется не столько ею самой, сколько значением ее импульса. В са-

мом деле, и

q=^Q&y^Ht-^==

мом деле, и

q=^Q&y^Ht-^==

о■t*t*-

1ак1акsin kt J Q (£)cos k^ d% — cos kt J Q (£)sin k^, d^ . (5.21) •о0-

1ак

1ак

8 я, Г, Пановко

5Рис. 5,125Рис. 5,12

5

Рис. 5,12

5

Рис. 5,12

Так как /с£ = —g меньше, чем величина -у <*, которую здесь следует считать малой, то к^ — малое число. Поэтому можно принять sin к^ = 0, cos ^ « 1 и вместо (5.21) получим

sin kt V8 sin kt

0t*

где S = J Q (У dt,— импульс о

силы.

Таким образом, движение приближенно определяется импульсом кратковременной силы; подробности ее изменения в промежутке времени ^ мало влияют на результаты.

Действие линейно возрастающей во времени силы Q(t)=$t (f^O);

здесь р есть скорость изменения силы (рис. 5.12, а). По формуле (5.20) находим

График движения показан на рис. 5.12, б и выражает сумму линейного и синусоидального слагаемых. Линейное слагаемое представляет изменение обобщенной координаты, рассчитанное в предположении безынерционное™ системы (квазистатическое перемещение), а синусоидальное слагаемое отражает колебательную часть решения; амплитуда этих колебаний, равная fi/ск, увеличивается с возрастанием скорости изменения силы р.

Пример 5.4. Найти относительные колебания груза в системе, рассмотренной выше в примере 5.1 (стр. 105—106).

Искомое движение должно быть найдено путем решения дифференциального уравнения, составленного выше в примере 5.1. Из записи этого уравнения видно, что вынуждающая сила (ею служит переносная сила инерции) равна

Q^f) = mh'{2v2e-"1,lt.

Подставляя это выражение в решение (5.19), находим

ц = Ац = АТ2а2&2 + TVТ2а2&2 + TVе ''”’* 4- -у- sin kt — cos ktе ''”’* 4- -у- sin kt — cos kt

ц = А

ц = А

Т2а2

&2 + TV

Т2а2

&2 + TV

е ''”’* 4- -у- sin kt — cos kt

е ''”’* 4- -у- sin kt — cos kt

При достаточно больших значениях времени можно пренебречь первым членом в скобках и рассматривать только процесс установившихся колебаний:

Ч-Ь &2 + т2у2Ч-Ь &2 + т2у2-^- sin kt — cos kt-^- sin kt — cos kt

Ч-Ь &2 + т2у2

Ч-Ь &2 + т2у2

-^- sin kt — cos kt

-^- sin kt — cos kt

Амплитуда этих колебаний равна

л = л(^)!//1 + (^)!.

В случае, если уи <С к (что соответствует реальным условиям), находим

Л=М\

\к ) ’

т. е. амплитуда относительных колебаний пропорциональна квадрату скорости а2.

Пример 5.5. Найти движение груза, находящегося на конце консольной балки, если сила Р сохраняет неизменное значение, но точка ее приложения движется от левого конца балки к правому с постоянной скоростью и (рис. 5.1, б).

Дифференциальное уравнение движения груза было получено выше в виде (5.9), т. е.

У + ^У =У + ^У =Pv2t2 (31 — vt)2ml3Pv2t2 (31 — vt)2ml3

У + ^У =

У + ^У =

Pv2t2 (31 — vt)2ml3

Pv2t2 (31 — vt)2ml3

где к2 = 3£J/(mZ3). Согласно (5.19) имеем при t < l[v:

тк J 2ml3 О

или, после вычислений,

Pv2У ~ L 2ткЧ3Pv2У ~ L 2ткЧ3О 966р

Pv2

У ~ L 2ткЧ3

Pv2

У ~ L 2ткЧ3

— t?r 4- 2Zt3 + "рГ ^ — ^ + ^ cos kt) ^^ sin kt

Для вертикальной скорости груза находим

• ЗРа2 Г , , 2а / И

а =5-5- 211 — at 4—г 1 —• — sin kt — cos kt

2mk3l3 [к2 \ у

У = УстУ = Усто 2,3Зт — т2о 2,3Зт — т2У = ^стУ = ^ст3(2т—т2)3(2т—т2)2а2а3+ —§" (1 — а sin ат— cos ат)3+ —§" (1 — а sin ат— cos ат)

У = Уст

У = Уст

о 2,3

Зт — т

2

о 2,3

Зт — т

2

У = ^ст

У = ^ст

3(2т—т2)

3(2т—т2)

2а

2а

3

+ —§" (1 — а sin ат— cos ат)

3

+ —§" (1 — а sin ат— cos ат)

Полученным выражениям можно придать следующую форму:

33

—J (т — 1 +.COS ат) — — sin ат

где уст = Р](m/с2) — прогиб конца балки при статическом действии приложенной на конце силы Р, а = kt] и и т = vtfl— безразмерные параметры. В момент, когда сила сходит с балки, т = 1 и мы находим

У1 = УСТ 1У1 = УСТ 13 (a cos а — sin а) 1

У1 = УСТ 1

У1 = УСТ 1

^ J

«1 =«1 =3Чт3Чта3а31 — а sin а — cos а .1 — а sin а — cos а .

«1 =

«1 =

3Чт

3Чт

а3

а3

1 — а sin а — cos а .

1 — а sin а — cos а .

Так как в момент исчезновения силы отклонения балки у и скорость у скачков не претерпевают, то последующее движение системы будет происходить по закону свободных колебаний

У*— ут cos kf,-^У*— ут cos kf,-^У, • —A. sin ktУ, • —A. sin kt

У*— ут cos kf,-^

У*— ут cos kf,-^

У, • —A. sin kt

У, • —A. sin kt

(с отсчетом времени t от момента, когда сила сходит с балки). Наибольшее отклонение составит

Вычисления показывают, что оно может превзойти значение статического прогиба не более чем на 14—15 %.

Действие периодической вынуждающей силы. Во многих технических приложениях возникает задача

о колебаниях, вызываемых действием негармонической, но периодической силы (рис. 5.13)

Qtt^Q^t+П,Qtt^Q^t+П,(5.22)(5.22)

Qtt^Q^t+П,

Qtt^Q^t+П,

(5.22)

(5.22)

где Т — период изменения силы. На стр. 107 в связи со случаем гармонического возбуждения колебаний было отмечено, что вследствие неизбежных сопротивлений постепенно исчезают колебания, происходящие с собственной частотой, и можно принять, что по истечении некоторого времени обобщенная координата меняется в «ритме» изменения вынуждающей силы по закону (5.15). Те же соображения позволяют и в рассматриваемом здесь случае периодического возбуждения ограничиться учетом только установившихся вынужденных колебаний, Для решения этой задачи можно воспользоваться двумя путями.

Первый из них основан на разложении функции (5.22) в ряд Фурье:

^ (0 = ^ + 2 ^п cos ^^ + ^nsin ntot), (5.23) n=i

коэффициенты которого определяются формулами

Т'т

2 С2 Г

Gn = у \ Q (t) cos neat dt, Нп = J Q (t) sin ncot dt (5.24) оо

(n = 0, 1, 2.,. ..).

Записав уравнение (5.5) в виде

aq + с9 — "у" +(^„ cos ntot + Нп sin nco^j

n=l

учтем, что система линейна; это значит, что можно рассмотреть по отдельности действие каждого из слагаемых вынуждающей силы и найти установившиеся вынужденные колебания, а затем сложить полученные результаты:

(5.25)(5.25)1®0 vi Cncos not + ЯП sin nmt

(5.25)

(5.25)

“ L +^ r^w

Таким образом, движение, вызываемое полигармониче- ской вынуждающей силой, также является полигармони- ческим. Конечно, отношения между амплитудами гармоник этого движения не равны отношениям между амплитудами соответствующих гармоник вынуждающей силы; в частности, может случиться, что какая-либо п-я

составляющая вынуждающей силы с относительно небольшой амплитудой вызывает особенно значительные колебания. Это будет тогда, когда частота пю этой гармоники близка к собственной частоте к, так как при этом знаменатель соответствующего члена суммы (5.25) близок к нулю. При равенстве частот па = к наступает резонанс (за исключением случаев, когда соответствующие величины G„ и Нп равны нулю).

Описанный способ отчетливо выделяет опасные возможности резонансных режимов, но не очень удобен, так как приводит к бесконечным рядам, которые не всегда достаточно быстро сходятся.

Рассмотрим теперь иной способ, который приводит к замкнутому решению для установившихся вынужденных колебаний. Рассматривая действие периодической силы (5.22), будем разыскивать решение g = g (i), имеющее тот же период Т, что и у силы, т. е. оно должно удовлетворять условиям периодичности;

q0 = qW=q^, qo = q(O) = q(T),(5.26)

где go и go — обобщенная координата и обобщенная скорость в момент, принимаемый за начало отсчета времени t. Движение в интервале [0, 71] описывается выражением

.t

g = g0 cos kt +sin kt + -г (? ® sin к (t — £) ^, (5.27)

о

которое является обобщением решения (5.19) на случай ненулевых значений до и до.

Для дальнейшего необходимо образовать выражение обобщенной скорости q. При дифференцировании по времени t интеграла, входящего в (5.27), должно получиться два слагаемых: первое представляет производную по верхнему пределу t и равно подынтегральной функции при § = f, а второе — результат дифференцирования по t, входящему как параметр под знак интеграла. Но первое из этих слагаемых равно нулю и, таким образом,

t

g = — g0 к sin kt + g0 cos kt ф- — 1 Q (£) cos к (t — £) dg.

b

Для момента времени t = T выражения (5.27) и (5.28) дают

q (Г) = 7о cos кТ + ^ sin кТ + -^ J Q sin /- (Т - g) ^,

(5.29)

т

q (Т) = — qQk sin кТ + q0 cos кТ + -^- J Q (£) cos к (Т —£) d^,. о

Теперь введем сокращенные обозначения для постоянных величин:

J^cos^^, f^©sin^^ = 50 (5.30) оо

II перепишем выражения (5.29) в виде

q0 - q0 cos кТ ^ sin кТ +^ Со - ^ 50,

В левых частях этих соотношений заменено q(T^ на qo и q(T') на qo, как это следует из условий периодичности решения (5.26). Два соотношения (5.31) представляют собой простую систему двух алгебраических уравнений относительно неизвестных qo и qo", решив ее, найдем

1 Г кТ "q° = 2Д [^° Ct£ ”F + ^о ’1 Г кТ "q° = 2Д [^° Ct£ ”F + ^о ’9o = ipoCtg^-Co . (5.32)9o = ipoCtg^-Co . (5.32)

1 Г кТ "

q° = 2Д [^° Ct£ ”F + ^о ’

1 Г кТ "

q° = 2Д [^° Ct£ ”F + ^о ’

9o = ipoCtg^-Co . (5.32)

9o = ipoCtg^-Co . (5.32)

Теперь с помощью выражения (5.27) можно окончательно получить

(0 = ^ [(^о etg ^ + Soj cos kt +

(5.33)(5.33)+ fa, etg ^ - Co\ sin kt + 2 J Q ® sin к (t - ^) d^ ''о

(5.33)

(5.33)

Это решение представляет движение в промежутке времени [0, Т], и в него нельзя формально подставлять t>T. Однако, имея график g(i) для O^t^T, можно

вследствие периодичности решения без всяких изменений сместить его в соседние промежутки [7, 27], [27, 37],...

Пример 5.6. Найти установившиеся вынужденные колебания, вызываемые в линейной системе с одной степенью свободы

Рис. 5,14Рис. 5,14

Рис. 5,14

Рис. 5,14

периодической кусочпо-постоянной вынуждающей силой

<2(t + 7) = ^(t) (рис. 5.14):^

<?;(0М<20 при_0.< < < -у, Q.W = ~\Q0 при — < t < Т.

ходимG„ = 0 (п = 0, 1, 2, 3, ...);ходимG„ = 0 (п = 0, 1, 2, 3, ...);Пользуясь разложением в ряд Фурье, по формулам (5.24) на

ходим

G„ = 0 (п = 0, 1, 2, 3, ...);

ходим

G„ = 0 (п = 0, 1, 2, 3, ...);

Яп = —о«=1,3,5,...); Яп = 0 «=2,4,6,...),

и согласно (5.25) исследуемые колебания представляются суммой нечетных гармоник:

4Qg V) Sin'zKOt * -

9 -n [1 - (пюД)2] ■

При ^/(о = п (га = 1, 3, 5, ...) наступает резонанс.

' Воспользуемся теперь вторым способом решения. Для этого предварительно вычислим по формулам (5,30):

2О„ ът co=4°sin^2О„ ът co=4°sin^-^cosMi-^cosMiк 2к 2

2О„ ът co=4°sin^

2О„ ът co=4°sin^

-^cosMi

-^cosMi

к 2

к 2

Теперь выражение (5.33) принимает вид

О /\ / т

q = о (1 — cos kt — tg —- sin К10 < t < ——

с \4/ \2

OF/т\кт/т

q= — —1 1 — cos кI1 — —-—tg ——sin к 1t— -—

c\2/4\2

— < t < T .2 /

Как видно, этот результат значительно более удобен для последующих вычислений, чем ряд, полученный выше по первому способу. Отметим, что и в этой записи сразу можно выделить прежнее условие резонанса кТ^ = пл/2 (тг = 1, 3, 5, ...).

Пример 5.7. Найти наибольшее отклонение линейной системы с одной степенью свободы от положения равновесия, если на нее действует периодическая последовательность одпостороппе направленных мгновенных импульсов 8, имеющих период чередования 7, вдвое меньший собственного периода 2л/А.

В данном случае разложение в ряд особенно неэффективно из- за его медленной сходимости. Воспользуемся вторым способом

Рис. 5.15

решения и примем за начало отсчета времени момент, непосредственно следующий за моментом приложения какого-либо импульса. По формулам (5.30) пайдем

Со = 8,8,= 0.

Кроме того, в данном случае

t

J Q (|) sin к (f — I) d^ = 8 sin kt. о

Подставляя его в выражение (5.33) и учитывая, чю кТ = л, получаем

sin (л(/7)

Наибольшее отклонение равно £/(2^7;), т. е. вдвое меньше, чем в случае действия однократного импульса. График движения показан па рис. 5.15, а. Па графике скорости (рис. 5.15, б) ясно видны разрывы скорости, обусловленные приложением импульсов.

Системы с одной степенью свободы при наличии линейной восстанавливающей силы и трения

Влияние трения на вынужденные колебания, происходящие вдали от резонансных режимов, обычно невелико, и в практических расчетах им чаще всего пренебрегают. Однако вблизи резонанса учет трения становится необходимым: без этого ошибки в определении амплитуд вынужденных колебаний становятся недопустимо большими.

При произвольно заданной вынуждающей силе анализ колебаний относительно прост при условии, что трение в системе — линейное. Значительно сложнее исследование колебаний систем с нелинейным трением — даже в простейшем случае чисто гармонической вынуждающей силы приходится довольствоваться лишь приближенным решением.

Действие гармонической вынуждающей силы. Если трение в системе линейное, то в случае вынужденных колебаний дифференциальное уравнение (2.6) должно быть дополнено членом, выражающим действие вынуждающей силы; здесь примем ее в виде

Q^ = Hsin at,(6.1)

так что получится

ад + bq + cq = Н sin at.(6.2)

Вводя прежние обозначения

Н =(6-3>

приходим к уравнению в следующей форме:

q + 2hq + k2q = -^ sin at.(6.4)

Его общее решение имеет вид

q = е-м (Сх sin k^t -|- С2 cos k^-V

sin (at — у),sin (at — у),(6-5)(6-5)

sin (at — у),

sin (at — у),

(6-5)

(6-5)

где.

к* = V"k^ — №(6.6)

есть частота затухающих колебаний системы, а угол у, характеризующий отставание фазы перемещения от фа-

зы силы, определяется выражением

tg? =tg? =(6.7)(6.7)2Аи .

tg? =

tg? =

(6.7)

(6.7)

,22 ’

к — со

постоянные С\ и С2 находятся из начальных условий.

Первая часть полученного решения представляет собой колебания с частотой /с*, которые с течением времени затухают и вскоре после начала процесса становятся

практически несущественными. Основное значение имеет вторая часть общего решения

Ч =2 '2 2 sin <®Z " 7)>(6.8)

aVkk— to ) + Уь to2к ’

описывающая незатухающие установившиеся колебания, происходящие с частотой возбуждения.

Постепенное установление стационарного колебательного процесса с частотой о иллюстрировано на рис. 6.1 для трех случаев. В первом случае (рис. 6.1,а), когда со < к, в начале движения основные колебания частоты о сопровождаются затухающими колебаниями большей частоты. В противоположном случае, когда о > к (рис. 6.1,6) на основные колебания с частотой о накладываются затухающие колебания с меньшей частотой к. Наконец, при близких значениях частот к и о движение носит характер биений, которые постепенно затухают (рис. 6.1, в).

Амплитуда установившихся колебаний определяется выражением

д __g н

./(f-.v+ww.//.,«v,4»w'

Отношение амплитуды А к статическому перемещению qCT — Н/с равно

и представляет собой коэффициент динамичности. Зависимость коэффициента динамичности от отношения частот афк показана на рис. 6.2, а для различных значений 2h/k, характеризующих демпфирующее действие линейного трения; эти графики дополняют рис. 5.5, который относится к системам без трения.

Максимумы кривых p(®/fc) лишь незначительно смещены влево от значения со/й = 1; поэтому резонансные значения динамического коэффициента обычно определяют при <х> = к по выражению

Мрез="2д- (6.11)

Согласно (2.12) это значение выражается через логарифмический декремент:

НРез = ^- (6.12)

Иногда резонансное значение коэффициента динамичности называют добротностью системы: чем больше добротность, тем острее резонансный пик.

Рис. 6.2

В этом параграфе выше предполагалось, что амплитуда вынуждающей силы имеет заданное постоянное значение, не зависящее от частоты со. Если амплитуда Н вынуждающей силы пропорциональна квадрату частоты (Я = Я(о2), то, подобно (6.9), находим

(6.13)(6.13)

(6.13)

(6.13)

На рис. 6.2, б показаны графики зависимости относительной амплитуды Ла! К от значений to] к при различных значениях отношения 2hlk.

Пример 6.1. Вертикальная вынуждающая сила (6.1) действует на тело массы т, которое оперто на систему пружин и вязких демпферов (рис. 6.3, а); с — коэффициент жесткости системы пружин; & — коэффициент вязкости демпферов. Определить

амплитуду силы, передаваемой на основание пружинами и демпферами при установившихся вынужденных колебаниях системы. Искомая сила, передаваемая на основание, определяется выражением

N = bq + cq,

в котором q — вертикальное перемещение тела, отсчитываемое от состояния равновесия.

Подставляя сюда согласно (6.8) —(6.10)

рЯ

5 = —sin (mt —у),

получаем после замены Ъ = 2hclk?

Г2hto"

N = рЯ sin (mt — у) + cos (cot — у) .

Максимальное значение силы N равно

^max = ^ j/l+^-2.

Безразмерное отношение NmaxfH, называемое коэффициентом, передачи силы, определяет, во сколько раз наибольшая сила, передаваемая основанию, больше амплитуды заданной вынуждающей силы; оно равно

На рис. 6.3, б изображен график зависимости коэффициента передачи силы от отношения a[k при различных значениях 2hlk. Полезно заметить, что все кривые, независимо от коэффициента вязкости Н, пересекаются в точке с координатами (У2; 1); при afk < У2 вязкость демпферов способствует отиженшо общей силы, передаваемой на основание, а при ajk > V2 (как это бывает в хорошо амортизированных системах) — эту силу увеличивает.

Действие произвольной вынуждающей силы. В общем случае, когда вынуждающая сила представляет собой произвольно заданную функцию времени Q^t), следует исходить из дифференциального уравнения

aq + bq + cq = Q^,(6.14)

общее решение которого можно получить способом, которым мы пользовались в § 5 при выводе формулы (5.19). Пусть к системе в момент ^ прикладывается мгновенный импульс величины S. Последующий процесс представляет собой затухающие колебания, описываемые выражением (2.9). Постоянные Лиа определим из условий в начале движения,— при t = ^, должно быть q = 0 и </о = S/a:

. Se^, t

Таким образом, движение, вызванное однократным импульсом, описывается законом

Se-W-^ ,

q = ~ак* 81П к* ^ — ^(6Л5)

Рассматривая вынуждающую силу как последовательность элементарных импульсов Q^d,^ и интегрируя

(6.15), получим для пулевых начальных условий решение t

Ч = ^ J Q ^ e^-D sin к* It - £) ^.(6.16)

о

В некоторых случаях удобно пользоваться решением в ином виде, подобном выражению (5.20). Если функция <2(t) дифференцируемая, то поступая, как в § 5, получим

4 = —\Q^ — Q(0)е-м ^cosк*t + ^-sin k*t

t-^Q^e-W-^cosk» (t-oLt-^Q^e-W-^cosk» (t-oL^sin k*(t- g)]^ . (6-17)^sin k*(t- g)]^ . (6-17)Если же сила Q(t^ претерпевает конечные разрывыД(2Ь Д(?2, ... в заданные моменты времени Bi, £2, ..., тоЕсли же сила Q(t^ претерпевает конечные разрывыД(2Ь Д(?2, ... в заданные моменты времени Bi, £2, ..., то

t

-^Q^e-W-^cosk» (t-oL

t

-^Q^e-W-^cosk» (t-oL

^sin k*(t- g)]^ . (6-17)

^sin k*(t- g)]^ . (6-17)

Если же сила Q(t^ претерпевает конечные разрывы

Д(2Ь Д(?2, ... в заданные моменты времени Bi, £2, ..., то

Если же сила Q(t^ претерпевает конечные разрывы

Д(2Ь Д(?2, ... в заданные моменты времени Bi, £2, ..., то

«-ф{си-

ttооQ®e-W-«Q®e-W-«cos^ (t-i) + ^-sin^ (t - Ы d^ -cos^ (t-i) + ^-sin^ (t - Ы d^ -

t

t

о

о

Q®e-W-«

Q®e-W-«

cos^ (t-i) + ^-sin^ (t - Ы d^ -

cos^ (t-i) + ^-sin^ (t - Ы d^ -

Рис. 6.4Рис. 6.4

Рис. 6.4

Рис. 6.4

-7—sinК

Пример 6.2. Найти движение системы, вызываемое действием линейно возрастающей во времени силы, график которой

показан на рис. 5.12, а, учитывая вязкое сопротивление, характеризуемое коэффициентом h.

В данном случае удобно воспользоваться решением в форме (6.17).

Подставляя Q = р, находим

ptРе-^sinA*!сск*

^_ Колебания постепенно затухают и

; движение приближается к движению вырожденной безмассовой системы q = ^t/c (рис. 6.4).

Действие периодической вынуждающей силы. Если сила задана в виде периодической функции времени периода Т, то, как и в § 5 п. 3, вызываемые ею установив-

Кроме обозначений, поясненных выше в связи с выражеКроме обозначений, поясненных выше в связи с выражеtgyn =tgyn =2Апсок — п to2Апсок — п to(6.20)(6.20)

Кроме обозначений, поясненных выше в связи с выраже

Кроме обозначений, поясненных выше в связи с выраже

tgyn =

tgyn =

2Апсок — п to

2Апсок — п to

(6.20)

(6.20)

шиеся вынужденные колебания можно найти двумя способами.

Чаще всего исходят из того, что периодическую функцию Q(f) можно разложить в ряд Фурье и затем суммировать движения, вызываемые каждой из гармоник. Тогда на основе решения (6.8) можно, подобно (5.25), записать для установившихся колебаний

нием (5.25), здесь обозначено:

Как уже указывалось, ряд (6.19) иногда сходится недостаточно быстро и для достаточно точного описания движения приходится учитывать значительное число членов ряда. От этого недостатка свободен другой способ, который основан на свойстве периодичности установившегося процесса движения.

Примем некоторый момент за начало отсчета времени и обозначим, как обычно, qo — начальное значение обобщенной координаты, д0 — начальное значение обобщенной скорости. Тогда, подобно (5.27) и (5.28), найдем q = е~м ^Х^ sin k*1 + q»cos ^*0 +

t

+ ^ f? © e-^-^ sin К (t - E) d^. 0

q = e-M ^— 1~^—~ sin W + 9» cos k^t ^ 4-(6.21)

+ 4" f Q ^ e-^ cos k* (# -I) ^ -

* b

t

- ^ J Q ® ^"^sin k* (t - ^) d^.

0

Я. Г. Панов ко

Подставив сюда t = Т, получим выражения для д(Т) и д^Ту Далее в соответствии с условиями периодичности в левые части вместо д (Т) и д(Т) можно подставить соответственно до и до- Это приводит к двум алгебраическим относительно до и д0 уравнениям:

д0 ад - cos к*Т) - ад =

= ^ (С* sin ад — S* sin аду адм*(6-22)

д0 sin ад + ■ °—- ° ад — cos к^Т) =

= 4 (С* cos ад + 5* sin аду

в которых для краткости введены обозначеният

£*=^(5)^008/^,

О

Т(6.23)

^ = j <2®e^sin^^.о

Из уравнений (6.22) находим значения до и до и, вернувшись к первому из выражений (6.21), получаем окончательное решение задачи:

e-hT

^ ак* (1—2ehT cos М/Г -(- е2^) ‘^

X {[^(С* sinker — S* соз/г*Г) + SJ cosk*t ++ ад (с* cos ад + s* sin ад) — с*] sin ад +

+ i J е ©e-h(t"^sin к* ^ - ^ ^- <6-24> о

Уравнение (6.24) описывает закон движения системы в интервале времени [0, Т]. Этот закон затем повторяется в следующих интервалах времени: [7\ 2Т], [2Т, ЗТ] и т. д. Если построен график функции (6.24), то смещением его на период, два периода и т. д. получим графики движения для следующих (или предыдущих) интервалов времени.

В частном случае, когда трение в системе отсутствует, т. е. h = 0, выражение (6.24) переходит в ранее найденное выражение (5.33).

Пример 6.3. Найти движение, которое вызывается действием односторонних периодических импульсов 8. Период импульсов Т и значения коэффициентов а, b и с будем считать заданными.

Совместив начало отсчета времени с моментом, наступающим сразу после приложения какого-либо импульса, получим по формулам (6.23), как в примере 5.6, С* = 8, S* = 0. При этом выражение (6.24) приобретает вид

Sg-HT-t) [sin k* (у _ ;) + efiTsin к*д

4 — ак* (1 -2ehT cos к*Т + е2ЛГ)

При малом отношении периода Т импульсов к собственному периоду 2л!к* (высокочастотное возбуждение) зависимость q^ имеет вид, показанный на рпс. 6.5, а; при этом за один период Т

успевает осуществиться лишь часть одного цикла свободных колебаний и роль вязкого трения относительно невелика. В противоположном случае, когда указанное отношение периодов велико (низкочастотное возбуждение), зависимость ?(«) подобна показанной на рис. 6.5, б. Здесь за один период Т происходит более одного цикла свободных колебаний и становится заметной роль вязкого трения.

Особенно важен случай резонанса, когда период Т импульсов в целое число раз больше периода 2л/А:# свободных колебаний. Обозначив указанное число буквой г, имеем Т = 2пг/к*. В этом случае sink*/' = 0, cos/г*? = 1 движение описывается выражением

Se~м sin k^t

9 ак* (1 — е—КГУ

Вспомнив, что однократный импульс вызывает движение

г = 1. Зависимость коэффициента сов <о = 2л/Г к собственной час случая Л/А = 0,1.г = 1. Зависимость коэффициента сов <о = 2л/Г к собственной час случая Л/А = 0,1.вызываемого периодическими и же выражением, но с дополнительным коэффициентом:19-9ii-e-kT-Множитель 1/(1 — в-лт) характеризует влияние повторений ударов. Для этого множителя приближенно можно записать11 к*Р 1 _ е~КГ * hi — 2nrh'Отсюда, между прочим, видно, что самым опасным является первый резонанс, когда от отношения частоты импуль- те к* показана на рис. 6.6 длявызываемого периодическими и же выражением, но с дополнительным коэффициентом:19-9ii-e-kT-Множитель 1/(1 — в-лт) характеризует влияние повторений ударов. Для этого множителя приближенно можно записать11 к*Р 1 _ е~КГ * hi — 2nrh'Отсюда, между прочим, видно, что самым опасным является первый резонанс, когда от отношения частоты импуль- те к* показана на рис. 6.6 для

г = 1. Зависимость коэффициента сов <о = 2л/Г к собственной час случая Л/А = 0,1.

г = 1. Зависимость коэффициента сов <о = 2л/Г к собственной час случая Л/А = 0,1.

вызываемого периодическими и же выражением, но с дополнительным коэффициентом:

1

9-9ii-e-kT-

Множитель 1/(1 — в-лт) характеризует влияние повторений ударов. Для этого множителя приближенно можно записать

11 к*

Р 1 _ е~КГ * hi — 2nrh'

Отсюда, между прочим, видно, что самым опасным является первый резонанс, когда от отношения частоты импуль- те к* показана на рис. 6.6 для

вызываемого периодическими и же выражением, но с дополнительным коэффициентом:

1

9-9ii-e-kT-

Множитель 1/(1 — в-лт) характеризует влияние повторений ударов. Для этого множителя приближенно можно записать

11 к*

Р 1 _ е~КГ * hi — 2nrh'

Отсюда, между прочим, видно, что самым опасным является первый резонанс, когда от отношения частоты импуль- те к* показана на рис. 6.6 для

Комплексная форма решения. При анализе установившихся вынужденных колебаний часто пользуются понятиями комплексных величин — комплексной обобщенной силы Q и комплексного обобщенного перемещения (комплексной координаты) q. Хотя комплексная форма записи может показаться несколько искусственной, но она очень удобна, в частности, тем, что любые линейные операции над функциями типа гармонических колебаний (дифференцирование, интегрирование, решение линейных уравнений и т. д.) выполняются гораздо проще, когда эти функции представляются не в виде синусов и косинусов, а в комплексной форме в виде экспонент (показательных функций).

Переход к комплексной форме может выполняться по- разному. Например, при гармоническом возбуждении колебаний и надлежащем выборе начала отсчета времени гармоническую вынуждающую силу можно описать выражением Q = Н sin tot (такой выбор начала отсчета времени не обязателен; ниже будут рассмотрены иные варианты). Далее вводится комплексная вынуждающая сила Q = He“‘‘t, мнимая часть которой равна заданной вынуждающей силе; Im Q = Q (е™‘ = cos tot + isin tot), и комплексное перемещение q, мнимая часть которого

представляет собой искомую обобщенную координату: Img = g. Таким образом, дифференциальное уравнение (6.2) можно переписать в виде

Im (aq -|- bq ф- cq) = Im (Де1®),

а отсюда — перейти к уравнению, связывающему комплексные величины q и (?*):

aq -|- bq ф- cq = Не*®*»(6.25)

Частное решение этого уравнения имеет вид

q = Ле™'.(6.26)

Подставляя (6.26) в (6.25) и сокращая на общий множитель еш‘, получаем уравнение относительно комплексной амплитуды Л, из которого находим

Л =у.(6.27

с — бко

Знаменатель правой части

с = с — аю2 + iba(6.28)

называется комплексной динамической жесткостью. Таким образом, комплексная амплитуда вынужденных колебаний равна отношению амплитуды гармонической вынуждающей силы и комплексной динамической жесткости системы. Величина, обратная комплексной динамической жесткости

W =(6.29)

с — ato -f- ibto

представляет собой частотную характеристику (комплексную динамическую податливость) системы. Как видно, частотная характеристика системы определяет комплексную амплитуду вынужденных колебаний при единичной амплитуде вынуждающей силы.

Комплексная амплитуда (6.27) может быть представлена также в виде экспоненты. Для этого нужно прежде всего освободиться от мнимости в знаменателе, умножив числитель и знаменатель (6.27) на выражение с —аю2 — — iba. Тогда получится

Н [(с —асо2) — Zb<o]

“ (С-О<о2)2 + (6Ю)2‘

Отсюда непосредственно следует, что

А = Ае"^,(6.30)

где

А = I А | = -у-==, у = arctg Г——J. (6.31)

У (с — аю2)2 + (Ьш)2И — a® J

Таким образом, согласно (6.26) и (6.30) комплексное перемещение определяется в виде

q = Ле™1 =Ле''ш1-‘\(6.32)

а его мнимая часть, т. е. искомое перемещение,— в виде

q = A sin(toi — у).(6.33)

Естественно, полученные результаты совпадают с полученными выше (см. выражения (6.7) и (6.8)).

Принятый выше выбор начала отсчета времени, конечно, не имеет принципиального значения. Так, при другом специальном выборе начала отсчета времени ту же вынуждающую силу можно записать в виде Q = = Heos at. Тогда комплексные величины вводятся так, чтобы было Q = Re Q. q = Re q. Для этих величин вновь получится уравнение (6.25)) и останутся справедливыми все соотношения (6.26) — (6.32); лишь вместо (6.33) естественно получится

q = A cos (ю/ — v).

Наконец, если начало отсчета времени принято произвольно, то вынуждающая сила представляется в виде Яз1п(ю<+ср). Вместо уравнения (6.25) будет

aq -|- bq + cq=He^tot+($'>

и вместо частного решения (6.26) нужно принять q = Де««»‘+<р).

При этом опять окажутся справедливыми выражения (6.27) — (6.31), но вместо (6.32) получим

а вместо (6.33) —

q = A sin (of + q> — 4) •

Как и должно было получиться, общие характеристики колебаний (амплитуда, частота) совпадают с тем, что было найдено выше для случая, когда вынуждающая сила записывалась в виде Hsin tot.

Комплексная форма удобна и при анализе действия произвольной периодической вынуждающей силы, которую можно представить в виде разложения в ряд Фурье (5.23). В данном случае к комплексной форме удобно перейти несколько иначе, чем это было сделано выше.

В каждый член ряда (5.23) подставим

COS ntot = -^- (б”1®* _^ g-гпшг^ sin nto^ _ _^_ ^intot — е-гпЮ1у

Тогда после перегруппировки слагаемых вынуждающая сила запишется в виде

q (о=4 + 2 4 [<G" -гя") е”ю<++ш^ е'1пюч- П=1

(6.34)

Входящую сюда сумму можно представить в виде двух сумм. Первую из них запишем в виде 2 Bneinat, где Вп =

П=1

100 **

= -^-(Gn — Шп\ а вторую — в виде 2 B*e-tntot, где В* =

П=1

= -у (Gn ф- iHn). Заменив вторую сумму эквивалентным

выражением 2 В*егпю{, придадим всему разложению п=—1

(6.34) компактную форму

2 В^®^(6.35)

П=—со

в которой2?п =в которой2?п =~2~ (Gn — Ш^ при п > 0;

в которой

2?п =

в которой

2?п =

-2~ Goпри п = 0;

~2* (^П + Ш^ при п < 0.

Отметим, что каждое из слагаемых 2?пе,пш' — комплексная величина (кроме вещественного слагаемого So), но сумма любой пары слагаемых с номерами п и — п — вещественна. Соответственно вещественна и вся сумма (6.35). Совокупность величин I2SJ представляет амплитудный спектр силы <?(£)-

Опираясь на представление (6.35), запишем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

aq ф- bq -ф cq = 2 SneinM((6.36)

П = —ОО

и будем разыскивать его решение в виде

q = 2 Лneinш,.(6.37)

П = —ОО

Подставляя (6.37) в (6.36) и почленно приравнивая коэффициенты при одинаковых членах е"1”', входящих в обе части равенства, найдем комплексные амплитуды

3n = BnWn.(6.38)

Здесь

” с — a (jito^ + ibn®

— частотная характеристика, подобная (6.29), но с заменой со на пю. Окончательно имеем

q = 2 BnWue™^.(6.40)

П=—ОО

Отметим, что здесь, как и в (6.36), каждому слагаемому номера п соответствует комплексно сопряженное слагаемое номера —п, так что сумма любой такой пары слагаемых вещественна.

Совокупность величин |2S„IFn| образует амплитудный спектр перемещения g(i)- Сопоставляя (6.35) и (6.40),

можно условно сказать, что амплитудный спектр перемещений «равен» амплитудному спектру вынуждающей силы, «умноженному» на частотную характеристику системы. Так как частотная характеристика зависит от номера п, то соотношения между амплитудами гармоник перемещения отличаются (чаще всего, существенно отличаются) от соотношений между амплитудами гармоник

О г 46810121416

а

Рис. 6.7

вынуждающей силы. Естественно, что, как правило, особенно значительными оказываются амплитуды тех гармоник перемещения, частота которых близка к собственной частоте системы.

Один из примеров такого рода показан на рис. 6.7, который относится к случаю, когда на систему с собственной частотой к действует периодическая вынуждающая сила с периодом 8л/&. Частоты гармоник этой силы равны -у! у; -^-; к\ -^-..., т. е. частота четвертой гармоники совпадает с собственной частотой системы. На рис. 6.7, а показаны амплитуды гармоник вынуждающей силы, а на рис. 6.7, б—амплитуды гармоник перемещения.

Таким образом, переход к комплексной форме создает определенные удобства, при анализе колебаний, вызывав-

мых не только гармонической, но и произвольной периодической вынуждающей силой. Более того, комплексная форма также позволяет успешно изучать колебания, вызываемые действием непериодических вынуждающих сил Q(t). Такую силу можно представить в виде интеграла Фурье

Q(t) = J (со)ei(0<cZco,(6.41)

который можно рассматривать как обобщение суммы дискретных слагаемых, данной в выражении (6.35). В (6.41) сила <2(0 представлена совокупностью элементарных гармонических составляющих со всеми частотами, непрерывно распределенными в бесконечных пределах [—оо, °о], причем малому интервалу частот от со до со + dto соответствует элементарная гармоническая составляющая с амплитудой F(to)d®. Соответственно сказанному, ^(со) можно рассматривать как непрерывный амплитудный спектр силы Q(t). Для него справедливо выражение

= J Q^^dt,(6.42)

которое называется преобразованием Фурье или фуръе- образом функции <2(0- Фурье-образ ^(со)—комплексная функция частоты:

F(co) = ^(co) + iS(co),(6.43)

в которой Л (со) и 5(со)—вещественные функции частоты. Поскольку Q(t)— вещественная функция, то из (6.42) следует, что

Л (со) = I Q (t) cos tot dt, В (to) = —| Q (<)sin tot dt,

(6.44)

а интеграл Фурье (6.41) для Q(t) принимает вид

Q (t) = 2 J Л (co) cos tot dto — 2 J В (co) sin tot d®. (6.45) о0

Согласно (6.38) элементарная вынуждающая сила F(to)eiBt dto вызывает колебания той же частоты, а их

амплитуда равна F(со)^(со)с/со. Следовательно, колебания, вызываемые всеми элементарными воздействиями, т. е. заданной вынуждающей силой QW, определяются в виде интеграла

д^ = J F (со) W (со) eiat d®,(6.46)

где ТУ (со)—частотная характеристика (6.29), которая в данном случае является непрерывной функцией частоты. Однако перемещение gif) также можно представить в виде, аналогичном (6.41):

q(f) = J / (со) eiat d®,(6-47)

где /(со)—амплитудный спектр перемещения. Сопоставляя выражения (6.46) и (6.47), видим, что

/(®) = У(со)ТК(®).(6.48)

Таким образом, можно сказать, что амплитудный спектр перемещения равен амплитудному спектру вынуждающей силы, умноженному на частотную характеристику системы.

Рассмотрим пример. Положим, что на линейную систему с одной степенью свободы, начиная с момента t = 0, действует произвольная вынуждающая сила Q(t), исчезающая в некоторые! заданный момент Т, так что при t> Т сила равна нулю. Как будет происходить движение системы после исчезновения силы, т. е. при t > Т?

Перемещения системы при t> Т можно определить с помощью (5.19) в виде

т

q = 4k^® sin к ^ ~ ^ ^ = О

ГТТ

= ^ sin kt J Q (£) cos k^ d^ — cos kt J Q (g) sin k^, de. . L оо-

Так как при i<0 и t>T сила Q(f) равна нулю, то последнее выражение можно записать, формально расширив

пределы интегрирования:

Ч =Ч =-Д- sin kt-Д- sin ktQ © cos ItE, с/| — cos ktQ © cos ItE, с/| — cos ktJ q©sini^a^J q©sini^a^

Ч =

Ч =

-Д- sin kt

-Д- sin kt

Q © cos ItE, с/| — cos kt

Q © cos ItE, с/| — cos kt

J q©sini^a^

J q©sini^a^

Согласно (6.48) можно записать

g = ^ [A (A) sin kt + В © cos кЦ.

Здесь Л (к) и В (к)—составляющие амплитудного спектра вынуждающей силы, соответствующие частоте со = к. Амплитуда колебаний величины q^ определяется выражением

5тах = ^ /ЛЩ^ = ^ 1 F (к) |.(6.49)

Отсюда видно, что при любой вынуждающей силе амплитуда «остаточных» колебаний зависит только от модуля величины ^(®) при о = к.

Влияние нелинейно-вязкого трения при гармонической вынуждающей силе. Замкнутое решение задачи о вынужденных колебаниях при произвольных нелинейных силах трения затруднительно даже в простейшем случае действия моногармонической вынуждающей силы, когда дифференциальное уравнение движения имеет вид

ад + B(q) + cq = Н cos rot.(6.50)

Для приближенного решения этого уравнения воспользуемся методом, энергетического баланса, т. е. заменим заданную нелинейную силу 7?(д) эквивалентной в энергетическом отношении линейной силой boq; коэффициент Ьо будем разыскивать из условия равенства работ, совершаемых обеими силами за один период:

тт

^ B(q) qdt = ^ b0 qq dt.(6.51)

66

Далее приближенно примем, что и в общем случае нелинейного трения стационарный колебательный процесс описывается, как в случае линейного трения, выражением

q = A sin(wt — 7).(6.52)

При этом уравнение энергетического баланса (6.51) можно записывать для полупериода колебаний, в течение ко-

торого скорость (а вместе с этим и сила 7?) не меняет знак. Подставив (6.52) в (6.51), найдем л

— J Я (— Лю sin 1])) Л sin ip dip = -у Л2юЬ0, (6.53) о

Отсюда следует формула, определяющая коэффициент линейного трения:я2 J 7? (— Лш sin ip) sin ip dip(6.54)Отсюда следует формула, определяющая коэффициент линейного трения:я2 J 7? (— Лш sin ip) sin ip dip(6.54)где ф= ю£ — f. эквивалентный

Отсюда следует формула, определяющая коэффициент линейного трения:

я

2 J 7? (— Лш sin ip) sin ip dip

(6.54)

Отсюда следует формула, определяющая коэффициент линейного трения:

я

2 J 7? (— Лш sin ip) sin ip dip

(6.54)

Пусть, например, сила трения задана нелинейной зависимостью (2.17). При этом

7?(g)=6^1n-1

и числитель выражения (6.54) равен

^ ЛЛ/2

2 J 6(— Лю sin tp)"sin ip~dip = — 4Anbton j sinn+I ip dip. оо

Входящий сюда интеграл был выше обозначен через I (см. § 2, (2.20)), так что окончательно получаем

Ь^^СЛюГ1.(6.55)

Аналогично можно определить эквивалентный коэффициент Ьо и в других случаях нелинейного трения.

задаче вы- подставивзадаче вы- подставив(6.56)(6.56)После того как коэффициент Ьо найден, задача сводится к рассмотрению эквивалентной линейной системы, движение которой определяется дифференциальным уравнением (6.4). Запишем соответствующее этой ражение (6.9) для амплитуды колебаний, А = Ьо/2а и с — акЧ

задаче вы- подставив

задаче вы- подставив

(6.56)

(6.56)

Здесь неизвестная амплитуда Л входит не только в левую часть равенства, но и в правую его часть, так как коэффициент Ьо зависит от той же амплитуды Л. В связи с этим соотношение (6.56) следует рассматривать не как формулу, а как уравнение для определения амплитуды Л.

Для построения резонансной кривой удобнее разрешить уравнение (6.56) относительно <и,к:

_2LY_2i . т2

2<№ / а2 '\Ас ) '

а затем, задаваясь значениями А, вычислять Ьо(^1) и определять соответствующие отношения го{к.

Для определения резонансной амплитуды положим в (6.56) и = к; тогда уравнение примет вид

W)=^

В частности, если коэффициент Ьо определяется форму- 1 " Г лН

лой (6.55), можно найти А = -^ у -^у> например, при п = 2 (Z = 0,667) получим А = -’^5 ^

Нужно отметить, что в рассматриваемых задачах амплитуда вынужденных колебаний непропорциональ- н а амплитуде силы.

Влияние гистерезиса. То же соотношение энергетического баланса может быть положено в основу исследования вынужденных колебаний при наличии «частотно-независимого» гистерезиса. Для этого нужно приравнять площадь петли гистерезиса, определяемую формулой (2.43)

Q = aA"^

работе, совершаемой за один период эквивалентной силой линейного трения. Эта работа вдвое больше правой части соотношения (6.53), вычисленной для полупериода, так что получаем равенство

аЛл+1 = лЛ2соЬо.

Отсюда находим коэффициент эквивалентного линейного трения в виде

и уравнение (6.56) принимает вид

Решение этого нелинейного алгебраического уравнения несложно при значениях и = 0 (сухое трение) и п = 2; для вычислений при иных значениях п удобнее пользоваться обратной зависимостью

<о¥<о¥

<о

¥

<о

¥

Для резонансных условий (т = А) из (6.57) сразу находим Л = V кН!а,.

Отметим, что гистерезисную силу трения при незатухающих гармонических колебаниях удобно описывать

соотношением

RSign ^<6,58)

(эллиптическая петля гистерезиса — см. рис. 6.8), которое соответствует выражению (2.43) для рассеиваемой за один цикл энергии. Если воспользоваться выражением

то можно найти установившиеся вынужденные колебания, не прибегая к методу энергетического бабанса, непосредственно из дифференциального уравнения движения

" . а4" ". Г. q1 .

+ А2^ = -^- sin mt. (6.59)

Это, казалось бы, сложное, нелинейное уравнение имеет весьма простое точное решение

q = Л sin (mt — 7).(6.60)

Для определения Л и 7 подставим решение (6.60) в уравнение (6.59), получим

— Лт2 sin (mt — 7) + -^- cos (mt — 7)

+ Ак2 sin (mt — 7) = ^- sin mt. (6.61)

Второй член в левой части записан без множителя sign q, так как нужная для уравнения смена знака силы тре-

ния (при изменении знака скорости) здесь обеспечивается изменением знака косинуса. Преобразуя соотношение (6.61), получаем

I Л 7 22 \, ОС Л . Н 1 .,

Л (к2 — ю2) cos у Чsin уsin tot —

L1 ла ' а J

—(А2 — со2) sin у — ^- cos yj cos tot = 0.

Для тождественного выполнения этого равенства необходимо, чтобы выражения, стоящие в квадратных скобках, были порознь равны нулю, т. е.

Л (к2 — со2) cos у + -^- sin у = -^,

Л (А2 — со2) sin у^j- cos у = 0.

Отсюда находим

Л =— — — , tg у --

(02V /КАП-Чала (Л2-о2)

с +1”V

(6.62)

Заметим, что первое из соотношений (6.62) совпадает с ранее найденным соотношением (6.57).

Случайные колебания*). Всюду выше было принято, что вынуждающие силы заданы как детерминированные функции времени. Такая постановка задач теории вынужденных колебаний приемлема, когда случайные составляющие внешних сил (практически всегда неизбежные) относительно малы по сравнению с основными, детерминированными составляющими. Но в ряде прикладных задач весьма значительные вынуждающие силы в принципе не поддаются удовлетворительному детерминистическому описанию и должны считаться случайными функциями времени. Таковы, например, нагрузки на рабочие органы многих строительных и сельскохозяйственных машин, ветровые нагрузки на здания и инженерные сооружения и т. п. Со случайными функциями времени приходится иметь дело и в некоторых задачах о кинема-

♦) Предполагается, что читатель знаком с основными понятиями теории вероятностей.

тическом возбуждении, например при анализе колебаний автомобиля, движущегося по неровной дороге, или при расчетах конструкций на сейсмические нагрузки.

Теория случайных вынужденных колебаний посвящена решению задач следующих четырех типов:

отыскание вероятностных характеристик движения системы по заданным вероятностным характеристикам внешнего воздействия (прямая задача);

отыскание вероятностных характеристик внешних воздействий по известным (экспериментально найденным) вероятностным характеристикам вибраций (обратная задача);

определение свойств системы (ее оператора и параметров) по известным (экспериментально найденным) вероятностным характеристикам на входе и выходе системы (задача идентификации);

синтез систем, обладающих заданными свойствами по отношению к некоторому классу внешних воздействий (задача синтеза, часто являющаяся задачей оптимизации).

Очень коротко остановимся на первой задаче применительно к вынужденным колебаниям линейной механической системы с одной степенью свободы.

В практических условиях случайные вынуждающие силы нередко обнаруживают определенную однородность относительно времени, они колеблются около среднего неизменного значения, причем ни их средняя амплитуда, ни общий характер заметных изменений во времени не претерпевают. Однородны во времени и некоторые виды случайного кинематического возбуждения, как, например, воздействие неровностей дороги на движущийся по ней автомобиль, конечно, при условии, что на большом протяжении качество покрытия остается практически неизменным, а автомобиль движется с постоянной скоростью.

Такие воздействия с постоянными вероятностными характеристиками относятся к категории стационарных случайных процессов. В эту категорию входят и результаты таких воздействий, т. е. вызванные ими колебания механических систем (имеются в виду колебания около устойчивого состояния равновесия).

Из стационарной случайной функции, описывающей вынуждающую силу, всегда можно выделить и вычесть ее математическое ожидание, постоянное вследствие стаЮ Я, Г. Панов ко

ционарности функции; после этого рассматривается переменный «остаток»— центрированная случайная функция Q(t). Выразительной характеристикой ее свойств служит корреляционная функция — математическое ожидание произведения Q(t)Q(t + т), сомножители которого относятся к двум моментам времени, разделенным промежутком т. Эта функция оценивает степень зависимости между «сечениями» случайной функции в различные моменты времени. Если случайная функция действительно стационарна, то результаты вычислений не могут зависеть от выбора момента времени t, а будут зависеть только от абсолютной величины |т|.

В практических случаях корреляционную функцию Aq(x) получают путем обработки данных натурных наблюдений и часто представляют в виде несложных аналитических выражений типа

£>е-“1т', Пе~аЛ De'^cos^t, De^ cosp

с соответственно подобранными значениями параметров D, а, р. Отметим, что в ходе такой обработки контролируется сама стационарность изучаемого процесса — по признаку независимости математического ожидания произведений Q (£) Q (t + т) от выбора значений t. Разумеется, что для заведомо стационарного случайного процесса корреляционную функцию можно определять как математическое ожидание произведения Q (0) Q (г). Значение корреляционной функции при т = 0 представляет собой математическое ожидание квадрата стационарной случайной функции, т. е. ее дисперсию ^<,(0) = D.

При обсуждении детерминированных задач теории вынужденных колебаний в п. 5 § 5 и п. 5 § 6 колебательный процесс был представлен в виде суммы гармонических колебаний различных частот. Распределение амплитуд по различным частотам (дискретный или непрерывный амплитудный спектр) дает возможность судить о том, какого рода колебания доминируют в рассматриваемом процессе, какова его внутренняя структура. Такие спектральные представления могут относиться и к вынуждающей силе, и к координате системы Q^.

Аналогично этому стационарный случайный процесс также может быть описан суммой гармонических составляющих, но их амплитуды будут случайными величина-

ми. Спектром стационарной случайной функции принято называть распределение дисперсий по всем частотам. Если спектр непрерывный, то его описывают функцией 5 (со)—спектральной плотностью дисперсии стационарной случайной функции (часто слово «дисперсия» в этом наименовании опускают). Между спектральной плотностью 5(со) и корреляционной функцией ^(т) существуют соотношения

/с (т) = J 5 (ю) cos cor dm,(6.63)

о

(6.64)(6.64)S (y^ — 2-^ к (r) cos cor dx,о

(6.64)

(6.64)

определяющие прямое и обратное косинус-преобразова- ния Фурье.

Если в (6.63) положить т = 0, то для дисперсии стационарной случайной функции получится

(6.65)(6.65)D = к (0) = J S (со) dto.о

(6.65)

(6.65)

Таким образом, если корреляционная функция /се(т) известна (задана, найдена), то по выражению (6.64) находится спектральная плотность 5Q(co) и можно перейти к определению колебаний механической системы, вызванных действием случайной силы. Здесь основным является соотношение

5д(ю) = IW5y(co),5д(ю) = IW5y(co),(6.66)(6.66)

5д(ю) = IW5y(co),

5д(ю) = IW5y(co),

(6.66)

(6.66)

связывающее спектральную плотность колебаний системы 5д(со) со спектральной плотностью вынуждающей силы. В этом соотношении W — частотная характеристика системы, которая для силового возбуждения была дана выше выражением (6.29), так что

(6.67)(6.67)W р = 1.

(6.67)

(6.67)

(с — асо2)2 + (Ьсо)2

in*

После вычисления ^(ю) по выражению (6.66) можно найти дисперсию обобщенной координаты

Dq = J Sq (со) da,(6.68)

о

и, наконец, среднеквадратическое значение величины q: oq = W,.(6.69)

Системы с одной степенью свободы при нелинейной восстанавливающей силе

Основные понятия. Нелинейность восстанавливающей силы существенно осложняет анализ колебаний, и в этом параграфе будет рассмотрено действие только гармонической вынуждающей силы; даже в этом наиболее простом случае приходится довольствоваться приближенным решением задачи. Характеристику нелинейной восстанавливающей силы будем считать симметричной:

f^^-f^,(7.1)

а силы трения — отсутствующими.

При синусоидальном возбуждении дифференциальное уравнение движения имеет вид

aq + F(q)= Hsinat.(7.2)

Необходимо сразу отметить, что функция

g = ^sin®t,(7.3)

описывающая закон движения линейных систем, в данном случае не является точным решением задачи; если подставить (7.3) в уравнение (7.2), то оно не может быть тождественно удовлетворено ни при каком значении А. Естественно ожидать, что решение будет содержать также высшие гармоники с частотами 2®, 3®, ..., а возможно, и низшие гармоники с частотами ®/2, м/3, ...; ниже мы убедимся, что это в самом деле так. Колебания с высшими по отношению ю частотами называются супергармоническими, колебания с низшими частотами — субгармоническими, а колебания с частотой м — основными.

В первом приближении можно ограничиться исследованием только основных колебаний: они чаще всего наиболее важны; этому посвящен следующий п. 2. Даль-

нейшие уточнения можно получить, исследуя супергармонические колебания (см. п. 3) и субгармонические колебания (см. п. 4).

Основные колебания. Для нахождения основных колебаний приближенно примем закон движения в виде (7.3) и воспользуемся методом гармонического баланса (см. выше стр. 69—70). Образуем периодическую функцию F (Л sin cot) и, разложив ее в ряд Фурье, ограничимся учетом одного первого члена:

F(Л sin cot) « by sin cot.(7.4)

Здесь b\ определяется выражением (3.18). Подставив выражение (7.3) в первый член уравнения (7.2) и выражение (7.4)—во второй член того яге уравнения, получим приближенное соотношение

2Л

— а Лю2 + "^ j* Р (Л sin ip) sin ip Лф = Н, (7.5) о

из которого можно определить амплитуду Л.

Пусть, например, характеристика восстанавливающей силы имеет вид

F^=coq + ^.(7.6)

Прежде всего находим

2Л

[ F (Л sin ф) sin ф йф = о

2Л

3

(с0 Л sin ip + М3 8™3 ^)s™ tp ^ = лс0Л + лрЛ3. о

При этом уравнение (7.5) принимает форму

(7.7)(7.7)Л — + т — л2 =И Лео3.

(7.7)

(7.7)

( а 1 4 а / а 1

Для выявления качественных свойств решения кубического уравнения (7.7) можно воспользоваться графическим способом; по своей наглядности он, пожалуй, превосходит аналитическое решение.

Построим график зависимости левой части от амплитуды Л (см. кривую Рл(Л) на рис. 7.1, а), а также прямую РЯ(Л), соответствующую правой части; если часто-

га со невелика, то прямая Рп пересечет кривую Рл в одной точке, абсцисса которой А\ является единственным вещественным корнем уравнения (7.7). С увеличением частоты со угол наклона прямой к оси абсцисс будет возрастать, а значение корня Ai— увеличиваться-. Наконец, при достаточно большом значении со = со* прямая Рп коснется кривой Рл в третьем квадранте (рис. 7.1, б),

Рис. 7.1

а при дальнейшем увеличении со будет пересекать кривую Рл в трех точках (рис. 7.1, в).

Соответственно уравнение (7.8) при со>со* будет иметь три вещественных корня: Ai, А^ А3. Изменение значений этих корней при постепенном увеличении частоты со показано на рис. 7.2, я; здесь же штриховой линией показана скелетная кривая, выражающая связь между частотой и амплитудой свободных колебаний той же системы.

Полученная амплитудно-частотная зависимость напоминает резонансную кривую для линейной системы, однако резонансный пик несколько «деформирован» соответственно искривлению скелетной линии при жесткой характеристике. Для системы с мягкой характеристикой амплитудно-частотная зависимость имеет вид, подобный рис. 7.2, б.

Хотя полученное решение приближенное, однако оно дает, по крайней мере качественно, верное представление об изменении амплитуды вынужденных колебаний с изменением их частоты: при достаточно больших значениях частоты вынуждающей силы решение становится неоднозначным и одному значению частоты соответствует три значения амплитуды А колебаний.

Дополнительные исследования (см. ниже § 9) показывают, что из трех возможных режимов движения при со > со*

g =vli sincoi, q = Иг sin cot, g=243sincot, (7.8) устойчивы первый и второй, а третий режим неустойчив,— сколь угодно малые возмущения этого режима приводят движение системы к первому или второму режиму. В связи с этим физически осуществимы только первый и второй стационарные режимы.

Если постепенно увеличивать от нуля частоту со, то амплитуды увеличиваются, следуя ветви / (см. рис. 7.2, а).

Если при некотором значении частоты со = со i система испытывает достаточно большое мгновенное возмущение, то происходит «срыв» амплитуды на ветвь 11 (точки п и п'). Если затем продолжать постепенное увеличение частоты со, то амплитуда колебаний будет уменьшаться, следуя кривой 11. Если же после срыва амплитуд частоту со уменьшать, то будет происходить плавное возрастание амплитуды до точки п". При дальнейшем уменьшении частоты амплитуда резко увеличивается (точка п"

на ветви Z) и затем вновь постепенно уменьшается, следуя ветви I.

Другое, также приближенное, решение можно получить по способу прямой линеаризации. Согласно этому приближенному способу (см. § 3) нелинейная характеристика F (q) заменяется эквивалентной линейной, так что дифференциальное уравнение (7.2) сразу принимает вид

aq + cq = Н sin tot.(7.9)

Величина с определяется так, как это было пояснено в § 3, по формуле (3.16); важно отметить, что в данном случае она не является параметром системы, а зависит от амплитуды колебаний. Амплитуда стационарной части решения линейного дифференциального уравнения (7.9), как известно, имеет вид

А=—Н—.(7.10)

с — асо

Так как с зависит от амплитуды А, то соотношение (7.10) следует рассматривать как уравнение для определения А. Так, при характеристике (7.6) находим по формуле (3.16)

А

С = 7 1^ + ^^5,3 ^ = со + -^->о

и (7.10) приобретает вид, подобный (7.7):

а(Со + |₽а2) = 4- + л“2-

Графическое решение этого уравнения в принципе совпадает с данным выше для уравнения (7.7).

Если в системе имеется трение, то обе ветви кривых смыкаются, как показано на рис. 7.2, в. При постепенном возрастании частоты становится неизбежным срыв амплитуд при со = сог; в случаях постепенного уменьшения частоты, которое начинается при достаточно больших ее значениях, срыв амплитуд происходит при со = соь

Супергармонические колебания. Для того чтобы отразить в решении супергармонические колебания, вновь воспользуемся методом гармонического баланса и положим (для случая симметричной характеристики восстанавливающей силы)

q = Ai sin at + A3 sin 3co£ + ... + A, sin stot. (7.И)

В первый член дифференциального уравнения (7.2) подставим (7.11), а во второй член вместо функции

F(Ai sin tot + Л3 sin Зи/ 4-... + Л, sin smt)

подставим s первых членов ее разложения в ряд Фурье 7^ (Л i sin tot + Л3 sin Зи/ + ... + Л8 sin smt') «

« 61 sin rot + 63 sin 3mt 4-... 4- 6, sin smt, (7.12) коэффициенты которого

т

Г

br = у I F (Лх sin rot + Л3 sin Зи/ + • • • о

... + Л8 sin sat) sin rat dt (r = 1, 2, . .., s) (7.13)

нелинейно зависят от всех амплитуд Л], Л3, ..., А,.

Таким образом, подстановка (7.11) в дифференциальное уравнение (7.2) приводит к соотношению

—Л!и2а sin tot — 9Л3и2а sin Зи/ — ... + 6] (Лц Л3, ...) X

X sin и/+ 63(Л], Л3, .. ,)sin Зи/ + ... = 77sin и/. (7.14)

Для тождественного выполнения этого равенства нужно приравнять коэффициенты при каждой из гармоник sin и/, sin Зи/, ..., sinsn/, содержащихся в левой и правой частях (7.14):

—Лщи2 + 61 (Л 1, Л3, ..., Л8) = 77,

—9Л3аи2 + 63(Л 1, Л3, ..., Л,) = 0,(7.15)

—52Л8аи2 + 65 (Л 1, Л3, ..., Л„) = 0.

Из нелинейных уравнений (7.15) можно найти значения амплитуд Л1, Лз, ..., Л8.

Пусть, например, характеристика силы имеет вид (7.6). Ограничиваясь двумя первыми членами суммы (7.12), имеем

F (q) « с0(Л 1 sin ait + Л3 sin Зи/)+ Р(Л1 sin tot + Л3 sin Зи/)3.

Далее, по формулам (7.13) находим

by = ^ol^j + -т--|- (Л3 — АуА3 + 2Л1Л3)11

b3 = кд Л3 4- -т- у (— Л3 -[- 6Л3Ла 4- ЗЛд) .о.

(*о = с/а) и уравнения (7.15) принимают вид

(^о — ®2) А + -^ у (^i — ^i^3 + 2^з^1) — —, ..(7.16)

^ - 9®2) Л3 + 4| - А ^ + 2ЛМз + ^) = 0.

Положив в первом уравнении £ = 0, приближенно найдем выражение для амплитуды основных колебаний:

А - Н

Сохранив в последних скобках второго уравнения (7.16) только основное слагаемое —у^и также приближенно получим амплитуду супергармонических колебаний

А =

4а (к^ - 9со2) 1

т. е. малую величину порядка р. Если подставить найденные первые приближения в отброшенные члены уравнения (7.16), то получим улучшенные значения Ai и Аз, причем поправка для Ад будет иметь порядок £, а поправка для Аз — порядок р2. Этот процесс последовательных приближений можно продолжить и далее.

Важно отметить, что амплитуда супергармонических колебаний А3 мала сравнительно с амплитудой Ai основных колебаний (конечно, при условии, что не мала разность /с2 — 9®2).

Субгармонические колебания. Ограничимся случаем симметричной характеристики восстанавливающей силы вида (7.6) и для нахождения амплитуд субгармонических колебаний снова воспользуемся методом гармонического баланса.

Положим, что основную гармонику с частотой со вынуждающей силы сопровождает субгармоника с частотой ®/3:

q = А^ sin tot + Л1/3 sin ^-.(7.18)

Функция F ^i sin rot + Л1/3 sin ^-) имеет период 6л/о, втрое больший основного периода Т. Разлагая ее в ряд

Фурье и ограничиваясь двумя первыми членами, найдем

F ^Лх sin rot + A^g sin -3-) = ^i/з sin -у- + ^ sin tot, (7.19)

где

зт

&1/з = "^ J F ( A sin tot + Л1/3 sin ^ ^ sin -^ dt,

зт(7-20)

&i = з|г ^ ^^ sin tot + Л1/3 sin -^J sin <Щ dt. о

Далее подставляем (7.18) и (7.19) в уравнение (7.2); сравнивая коэффициенты гармоники и субгармоники в правых и левых частях, приходим к двум нелинейным уравнениям.

При характеристике (7.6) эти уравнения имеют вид (^о — ю2) А + ^ ■“ (ЗЛ® + 6Л1/3Л1 — Л^/з) = ^-,

2(7-21)

^0g~j А/3 'b "4"|" (^1/3 А 1/3^1 + ЗЛ^Л^з) = 0.

Приближенное значение для амплитуды Л] найдем из первого уравнения (7.21), положив в нем ^=0:

Л - Н

Далее, предположив, что Л i/3 =/=(), представим второе уравнение (7.21) в виде

^1/з — ^1/з^1 + 2ЛХ -|gyp= 0.

Отсюда следует выражение амплитуды субгармонических колебаний

Л, ^i/з - 2Л, ^i/з - 2to2 - ^ а 727Л2р‘to2 - ^ а 727Л2р‘(7.23)(7.23)

Л, ^i/з - 2

Л, ^i/з - 2

to2 - ^ а 7

27Л2р‘

to2 - ^ а 7

27Л2р‘

(7.23)

(7.23)

Отметим, что при ^ > 0 для вещественности решения необходимо выполнение условия

“>з‘./> + #4^.“>з‘./> + #4^.(7.24)(7.24)

“>з‘./> + #4^.

“>з‘./> + #4^.

(7.24)

(7.24)

т. е. субгармонические колебания возможны лишь при достаточно больших (относительно основной частоты свободных колебаний) частотах возбуждения. Если Р < О, знак неравенства в (7.24) должен быть изменен на обратный.

С учетом (7.22) приближенно получим

1/32а(^-ш2) [ ~ Г27Я2РJ

(7.25)

Исходя из первых приближений (7.22) и (7.25), можно получить с помощью основных уравнений (7.21) дальнейшие уточнения значений амплитуд колебаний Л[ и Л1/3.

На рис. 7.3 показаны зависимости амплитуд колебаний Л1 и Л 1/з от частоты со вынуждающей силы.

Таким образом, субгармонические колебания в системах с жесткой (мягкой) характеристикой возможны

лишь при достаточно больших (достаточно малых) значениях частоты со вынуждающей силы; однако если субгармонические колебания возникают, то их амплитуды могут значительно превосходить амплитуды основных колебаний, происходящих с частотой со.

В наших выкладках мы не учитывали действие сил трения; более подробный анализ показывает, что эти силы не только уменьшают амплитуды субгармонических колебаний, но способны — при их достаточной интенсивности — полностью подавить субгармонические колебания.

Способ поэтапного интегрирования для кусочно-линейных систем. В отличие от ранее рассмотренных в этом

параграфе случаев задача о вынужденных колебаниях систем с кусочно-линейными характеристиками в принципе допускает точное решение, которое соответствует сказанному в § 3, где речь шла о свободных колебаниях. Здесь, при анализе вынужденных колебаний также нужно поочередно решить ряд линейных задач, соответствующих прямым участкам характеристики, расположенным

Ь,Ь,Hs'mtwt+y)Hs'mtwt+y)

Ь,

Ь,

Hs'mtwt+y)

Hs'mtwt+y)

а

между точками перелома. Для определения постоянных интегрирования служат условия перехода от этапа к этапу, а также условия периодичности.

Проследим применение этого способа на случае вынужденных колебаний системы, показанной на рис. 7.4, а. Эта виброударная система (модель Русакова — Хариевича) состоит из груза 1, упругого элемента 2 и одностороннего ограничителя 3, установленного с зазором Ь. На груз действует гармоническая вынуждающая сила, которая вызывает колебания, достаточно значительные для того, чтобы происходили удары груза об ограничитель.

Отсчет перемещений груза будем вести от положения, в котором пружина не деформирована. Начало отсчета времени совместим с моментом непосредственно после какого-либо удара груза об ограничитель. При этом гармоническую вынуждающую силу запишем в виде И sin (cot + 4), полагая Я и со известными, а начальную фазу 7 неизвестной. Кусочно-линейная характеристика этой системы состоит из двух полупрямых (рис. 7.4,6).

Примем, что при ударе груза об ограничитель скорость груза мгновенно меняется, следуя соотношению

х(0)=-Ях(-О),(7.26)

где R — коэффициент восстановления-, аргумент (—0) означает момент времени, непосредственно предшествующий удару.

Не рассматривая всех возможных движений, исследуем возможность существования строго периодического режима периода Т, равного периоду 2л/со вынуждающей силы. Еще до составления и решения уравнений задачи можно ожидать, что движение будет происходить в общих чертах так, как показано на рис. 7.4, в; через равные промежутки времени Т происходят удары об ограничитель, сопровождаемые сменой знака скорости.

Рассмотрим один период движения, в начале которого х^ = -Ь.(7.27)

Кроме того, можно записать следующие условия периодичности:

ж(П = ж(0),(7.28)

х(Г-0) = х(-0).(7.29)

Условия (7.28), (7.29) вместе с условием (7.27) позволяют найти все постоянные, которые войдут в решение задачи. Исключим скорость я(—0) из (7.26) с помощью соотношения (7.29); тогда получится связь между скоростями в начале периода и в его конце (т. е. непосредственно перед следующим ударом):

х(0)= —7?x(jT —0).(7.30)

Решение основного дифференциального уравнения, записанного для интервала движения между двумя ударами,

тпх + сх = Н sin(coi + ц'),

имеет вид

х = Cxsin. ktС2 cos kt(7-31)

.m \k — co )

Отсюда следует, что скорость меняется по закону

х = CJc cos kt - С2к sin kt + Яю• (7-32)

Из условий (7.27), (7.28) и (7.30) находим

Сх smkT-Y С2 cos кТ += -Ь,

m\k—to )

г , Н® cos у _

= - 7? [С^ cos кТ - С^к sin кТ + -^21^±?1 m \к — to )

В этих трех уравнениях содержатся три неизвестные величины: постоянные Ci и С 2, а также начальная фаза у вынуждающей силы. Пусть, например, b = 0; тогда, учитывая, что sin(co71 + у) = sin 7, cos(co7’ +y) = cos у, после решения уравнений найдем

18 7 — (1 _ Д) ctS 2 к ’

Р _Н Ай^ кТ

m \к — ю ) р _Я sin у

m \к — ю )

Теперь можно записать закон движения, справедливый для интервала времени 0 < t < Т (на других интервалах времени движение полностью повторяется):

х =х =Нm {к2 — to2)Нm {к2 — to2)sin (coi + 7) — sin 7 cos kt —sin (coi + 7) — sin 7 cos kt —

х =

х =

Нm {к2 — to2)

Нm {к2 — to2)

sin (coi + 7) — sin 7 cos kt —

sin (coi + 7) — sin 7 cos kt —

— sin 7 sin kt tg —^-

Конечно, приведенное исследование колебаний вибро- ударной системы недостаточно полно. Во-первых, формальная возможность режима колебаний с периодом Т еще не означает его физической осуществимости — для этого необходимо, чтобы такой режим был устойчивым. Во-вторых, в подобных системах наряду с изученным режимом возможны периодические режимы с периодами вдвое, втрое и т. д. большими (субгармоники), и следовало бы также исследовать их существование и устойчивость. Именно так ставятся и решаются задачи о работе различных виброударных механизмов.

Линейные системы с несколькими степенями свободы

Общие уравнения. Если на линейную колебательную систему без трения с s степенями свободы действуют внешние силы, являющиеся заданными функциями времени, то уравнения Лагранжа принимают вид

+ = (/ = 12, ...,»), (8.1)

й 4 9Чз 94j 3

где Qj = Qj^t) — обобщенные вынуждающие силы, соответствующие избранным обобщенным координатам q5. Пользуясь общими выражениями (4.2) для кинетической и потенциальной энергии, приходим согласно (8.1) к следующей системе дифференциальных уравнений:

8

2 (ajhqh + c3hqO = Q, и = 1,2,..., s). (8.2) fe=i

Если обобщенные координаты выбраны так, что кинетическая энергия представляется канонической формой (4.6), то а^ = 0 при / Ф к, и система уравнений (8.2) упрощается:

<ЧЧ) + S Cjkqu = Qi U =1,2,..., s). (8.3) h=l

К этим уравнениям, каждое из которых содержит по одному обобщенному ускорению, можно прийти с помощью прямого способа, не пользуясь уравнениями Лагранжа.

Если при соответствующем выборе обобщенных координат к канонической форме приводится потенциальная энергия (сд = 0 при ^Фк), то уравнения (8.2) принимают вид

S <Ч1Яь + с,д3 = Qi Q = 1,2,..., s). (8.4) Й=1

Каждое из уравнений (8.4) содержит по одной обобщенной координате; эти уравнения можно получить непосредственно по обратному способу.

Ниже мы остановимся на некоторых важных типах зависимостей обобщенных вынуждающих сил Qi^ от времени.

Действие вынуждающих сил, изменяющихся по гармоническому закону; непосредственное решение. Предположим, что обобщенные вынуждающие силы изменяются по гармоническому закону

Qj = Н* sin (cof + б,)(/ = 1, 2, ..., s),(8.5)

т. e. имеют одинаковые частоты, но различные амплитуды и фазы. Вместо (8.5) можно записать:

Q5 = Н* cos 6j sin tot + H* sin 6,- cos tot. (8.6)

Далее, можно разделить задачу на две задачи: одна из них относится к случаю действия синусоидальных вынуждающих сил

Qi = Hisin.tot(8.7)

(здесь принято обозначение Hj = Н* cos б;), а вторая — к случаю действия косинусоидальных вынуждающих сил

Qi = Gjcos mt(8.8)

(где Gj = Н* sin 6,). Эти задачи совершенно однотипны, поэтому ограничимся случаем действия синусоидальных сил (8.7). Тогда уравнения (8.2) запишутся так:

2 каМи + с^ = Н5 sin tot (/ = 1,2,..., s). (8.9) й=о

Установившееся движение будем разыскивать в виде

<7,-= Л,-sin со £ (/ = 1, 2, ..., s).(8.10)

В этой записи видно, что все обобщенные координаты изменяются с единой частотой, равной частоте вынуждающих сил.

Подставляя (8.10) в дифференциальные уравнения (8.9), приходим к следующей системе алгебраических уравнений для определения амплитуд колебаний А,:

^(cjh — to2ajh)Ah = Hj (/= 1, 2, . ,.,s).(8.11)

К такой же системе можно прийти, если в (8.9) ввести правые части Я^е™' и разыскивать решение в виде q, = = Л,е,и‘.

И Я. Г. Пановко

Решение системы уравнений (8.11) имеет вид

Л = 4 (7 = 1,2, ....5).(8.12)

Здесь D — определитель, составленный из коэффициентов системы (8.11),

D =D =СИ-а11“2 C12-ai2“2C21~a21“2 C22-V2СИ-а11“2 C12-ai2“2C21~a21“2 C22-V2ciS-ai5®2C2S ®2S^ciS-ai5®2C2S ®2S^(8.13)(8.13)CS1 aslM CS2 as2MCS1 aslM CS2 as2MCss — assco2Css — assco2

D =

D =

СИ-а11“2 C12-ai2“2

C21~a21“2 C22-V2

СИ-а11“2 C12-ai2“2

C21~a21“2 C22-V2

ciS-ai5®2

C2S ®2S^

ciS-ai5®2

C2S ®2S^

(8.13)

(8.13)

CS1 aslM CS2 as2M

CS1 aslM CS2 as2M

Css — assco2

Css — assco2

и Д, — определитель, который получается из D путем замены /-го столбца правыми частями системы (8.11). Совокупность значений Л; определяет форму вынужденных колебаний, т. е. конфигурацию системы при ее наибольшем отклонении от состояния равновесия.

Если сравнить полученный определитель D (8.13) с частотным определителем (4.29), то можно заметить, что опп совпадают при <о = к. Но в этом случае определитель D обращается в нуль, так как именно из этого условия были найдены собственные частоты к\, к^ ..., к8.

Однако если D = 0, а А,- Ф 0, то, как это видно из формулы (8.12), все амплитуды Л^ становятся неограниченными, т. е. возникает резонанс. Таким образом, можно сказать, что резонанс наступает при совпадении частоты вынуждающей силы с любой из собственных частот.

Возможны и противоположные случаи, когда при определенных значениях со обращаются в нуль некоторые определители А, (при этом Z)=#0). Тогда амплитуды Л,- соответствующих координат qs оказываются равными нулю, что свидетельствует об отсутствии колебаний по этим координатам. Это явление называется антирезонансом.

Остановимся подробнее на случае системы с двумя степенями свободы. Из уравнений (8.11) можно получить следующие формулы для амплитуд Л1 и Л г:

Л ^1(С22-а22м2)-Я2(С12-а12Ю2) (С11-аПю2)(С22-а22Ю2)-(С12-а12Ю2)2’ ,

(С11 - "11Ю2) (С22 - "22“2) - (С12 * "12Ю2)2 '

Положим, далее, что надлежащим выбором координат достигнуто выполнение равенств «12 = «21 = 0 и, кроме того, задано Яг = 0.

При этих условиях выражения (8.14) принимают вид л _я1(с22"а22м2)

1

2(Cll“aUw2)(C22-a22w2)-CL '

Условие]

(tn — a12co2) (с22 — а22со2) — с^ = 0(8.16)

определяет два резонансных значения частоты возмущающей силы; они равны собственным частотам к\ и кг рассматриваемой системы с двумя степенями свободы.

Условие

С22 — Й22й)2 = 0(8.17)

определяет частоту антирезонанса. При этой частоте колебания, соответствующие первой координате, полностью отсутствуют, а наибольшее значение второй координаты согласно (8.15) равно

В этом результате содержится интересная возможность практической борьбы с колебаниями; ею пользуются в некоторых областях техники. Допустим, что имеется некоторая система с одной степенью свободы, подверженная действию гармонической вынуждающей силы. Усложнив систему путем добавления дополнительной массы на упругой связи и подчинив значения жесткости и массы дополнительной части условию (8.17), можно добиться устранения вибраций основной части системы; в этом случае дополнительная часть системы называется динамическим гасителем колебаний (динамическим виброгасителем).

Следует иметь в виду, что такой гаситель эффективен лишь при строгом постоянстве частоты ы возмущающей силы; в противном случае он может оказаться даже вредным. Для смягчения этого недостатка обычно вводят в систему динамического гасителя силы трения, 11*

которые делают гаситель «в среднем» полезным в достаточно широком диапазоне частот со.

H^sinaitH^sinaitРис. 8.1Рис. 8.1Пример 8.1. На левый груз системы с двумя степенями свободы (рис. 8.1) действует гармоническая вынуждающая сила /7isin<o(, Найти, при каких соотношениях массы т2 правого груза и коэффициента жесткости с2 правое! пружины исчезают колебания левого груза, т. е. правый груз оказывается динамическим гасителем колебаний. Коэффициент жесткости ci левой пружины и масса mi левого груза заданы.

H^sinait

H^sinait

Рис. 8.1

Рис. 8.1

Принимая за обобщенные координаты отклоне

ния xi и я2 грузов от положения равновесия, составляем дифференциальные уравнения движения:

Hi sin tot — c^i + с2(ж2 — ^i) = тД, —с2(ж2 —$i) = т2.т2.

Приводя эти уравнения к форме (8.3) тД + (С1 + Сг)^! — с2ж2 = Hi sin tot, т2х2 — c2$i + с2х2 = О, устанавливаем:

Ou = m-i,«12 = «21 = 0,«22 = т2,

Си = Ci + с2, С12 = с21 = — с2, с22 = с2.

Согласно условию (8.17) должно быть с2 — т2со2 = О, т. е. искомое соотношение (условие настройки динамического гасителя) имеет вид

и не зависит от значений щ и mi. На рис. 8.2 показано изменение амплитуд Ai и А2 в зависимости от частоты со возмущающей силы. При построении графиков было принято Hi = 10 Н, ci = с2 = = 10 Н/см, mi = т2 = 1000 кг. При этом собственные частоты равны Яд = 0,618 с-1, &2 = 1,618 с-1, а соответствующая антирезонансу частота равна 1 с-1.

Пример 8.2. Найти амплитуды колебаний сосредоточенных грузов, связанных с двухопорной упругой балкой (рис. 8.3, я). Массы грузов одинаковые и равны т, жесткость EJ сечения балки постоянная. На средний груз действует вынуждающая сила Н sin tot.

Дифференциальные уравнения движения систем этого типа удобнее составлять с помощью обратного способа. Приняв за обобщенные координаты yi, у2, уэ — отклонения грузов от положений

равновесия,— имеем

У1 — —^1У16ц — т,гУ^\г — тзУз61з + Н sin оЯб12,

У2 = —^1^1621 ^2^2^22 — ^3^/3623 + И sin 0)622,

Уз ~ —?^1У16з1 — ^2^'2632 —' ^зузбзз + И sin ы£бз2т

где 6jj — коэффициенты влияния (единичные перемещения); не

задерживаясь на их вычислении, приведем сразу окончательные значения:

®11 = ^33 — р >^12 — ®21 — ^23 " ^32 ~ р ’

243 о о _51_

у2 “ Р ’ 613 “ б31 - Р ’

где р = 9 • 1296SJ/Z3. С учетом этих значений, а также равенств тх = т2 = т3 = т дифференциальные уравнения приобретают вид

75myi + 117ту2 + 51ту3 + ^ух = 117Я sin cot,

117myi + 243ту2 + 117ту3 + Ру2 = 24327 sin cot,

Mmyt + 117ту2 + 75туз + py3 = 11777sin cot.

Теперь можно составить уравнения (8.11) для определения амплитуд колебаний:

■ (Р — 75mw2)/li — 117тсо2Л2 — 51тсо2Л3 = 117/7,

—И/тоМ + (Р — 243тм2)Л2- 117пги2Л3 = 243Я,

—51тсо2Л; — 117ти2Л3 + (Р — 75тсо2)Л3 = 117Я;

отсюда находим

л = л _н 117

3₽ 1 - 369а + 3240а2 ’

_ и 243 — 3240а

= "р" 1 — 369а + 3240а2 ’

где а = тсо2/р. Как видно, амплитуды колебаний зависят от характерного параметра а, меняющегося с изменением частоты возбуж-

дения. При од = 0,00278 и а2 = 0,11111 знаменатели найденных выражений обращаются в нуль, т. е. амплитуды колебаний становятся неограниченными (резонансные состояния, когда частота возбуждения совпадает с какой-либо собственной частотой рассматри

ваемой системы). На рис. 8.3, б — з показаны формы изогнутой оси балки при Я/р = 1 и нескольких значениях параметра а (так как при изменении а значения Д1 и Д2 изменяются на несколько

порядков, кривые построены в различных масштабах). Кривая на рис. б построена для а = 0 (статическое нагружение). По форме от пее мало отличается кривая на рис. в, относящаяся к сравнительно небольшому значению параметра а. Кривая на рис. г построена для околорезопансных условий и близка к первой собственной форме. Кривая на рис. д относится к «межрезопапсным» условиям ai < 0,005 < a2; здесь нужно отметить, что перемещения находятся в противофазе с вынуждающей силой (подобно зарезонансным режимам систем с одной степенью свободы). Кривая на рис. е соответствует антирезонансу (при a = 0,075 значение Л2 обращается в нуль). На рис. ж показана кривая для частоты, немного меньшей, чем вторая собственная частота, а кривая на рис. з — для частоты, несколько превосходящей вторую собственную частоту. Можно показать, что при дальнейшем возрастании параметра а изогнутая ось в принципе будет такой, как на рис. з.

Действие произвольных вынуждающих сил; разложение по собственным формам. В случаях, когда вынуждающие силы изменяются не по гармоническому закону, целесообразен переход к нормальным ^главным) координатам. При этом вместо системы дифференциальных уравнений (8.2) или систем (8.3) и (8.4) получается система независимых дифференциальных уравнений

4,+ ^ = ^ (/ = 1,2, ...,s),(8.18)

в которой щ — нормальные координаты, &, — собственные частоты, Qj — приведенные обобщенные силы. После того как образована система (8.18), дальнейшее решение сводится к исследованию колебаний ряда независимых систем с одной степенью свободы (см. и. 4 § 5).

Пусть обобщенные координаты первоначально приняты таким образом, что исходная система дифференциальных уравнений записывается в виде (8.3). Для требуемого перехода к системе (8.18) нужно предварительно найти собственные частоты к; и коэффициенты собственных форм Хгь Далее положим

9г = 2 XriX\v(8.19)

Тогда (8.3) запишется в виде-

«7 2 ХЦ1Ъ + 2 сзт 2 ХнЩ = Qj- (8.20) г—1г=11—1

Изменим порядок суммирования во втором слагаемом:

Т]г ^'r^rb

г=1г=1г=1г=1

и заметим, что входящая сюда сумма по г согласно (4.46) равна

S

r=l

Теперь уравнения (8.20) принимают вид

а; 2 *я (гр + ^щ) = Qi-(8.21)

Умножим каждое из этих равенств на xjm и затем сложим их:

2 "^imO-i 2 ^Я (^1 “Ь ^-гЩ) — 2 Qj^jmi 5=1. г=15=1

ИЛИ

2 (л*^щ) 2 ®j^7i^Jm = 2 Qi^jm- (8.22)

i=i5=15=1

Согласно свойству ортогональности собственных функций (4.65) равны нулю все входящие в левую часть суммы по /, кроме той, в которой индекс г совпадает с индексом иг. Поэтому (8.22) можно записать в виде

(Цтп 4“ ^тЦтп) 2 ^i^im " 2 Q5'^im-

5 = 15=1

Окончательно получаем дифференциальные уравнения в нормальных координатах

Цт + ктЧт = Qm (m = 1, 2, . ... s),(8.23)

где

2

Qrn = (m = 1,2, . .., s) (8.24)

2 ^m 5=1

есть приведенные вынуждаюи^ие силы.

Если обобщенные координаты были выбраны так, что исходные дифференциальные уравнения записываются в виде (8.4), то аналогично можно прийти к (8.23),

§ 8. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 169 причем

кт 2 ^"з™Qm^^f1•(8.25)

= 1

Таким образом, составлению уравнений (8.21) должно предшествовать определение собственных форм, т. е. коэффициентов х>, и собственных частот кт; затем образуются выражения (8.24) или (8.25), и задача сводится к интегрированию независимых уравнений (8.23), каждое из которых описывает движение некоторой системы с одной степенью свободы. После интегрирования этих уравнений можно получить выражения для первоначально выбранных обобщенных координат qr с помощью соотношений (8.19).

Пример 8.3. На левый груз рассмотренной ранее системы с двумя степенями свободы (рис. 8.1) действует вынуждающая сила

<21 = ^(1-6-»')

(Я и а — заданные постоянные). Найти движение системы.

Для этой системы при ci = с2 = с, m, = m2 = m в §4 было найдено

fc2 = 0,382^-, Ц = 2,618^,х21 = 1,618,х22 = —0,618.

По формуле (8.24) находим приведенные вынуждающие силы:

„<2,0,278Я

<2* =1Г = L(i-e-a<),

m-)-m.l,6182т

(1 _ е-^у(1 _ е-^у,Q.0,727Я

(1 _ е-^у

(1 _ е-^у

' 2 т -|- m-0,6183™

Теперь образуем оба уравнения (8.23):

ц + 0,382 -L т] =(1 -

Ц2 + 2,618 — Щ = -^^- (1 - е-“9.2да 2 да 4'

Решение этих уравнений находим с помощью выражения (5.19):

0,2787^ Г 1_ , Pt

’ll =с 1 -- Т^Г (sin ki< + Pi cos М

0,222Я Г 1,

ч,-^—[*-17^= “ -TTpi^S' + P,™^)

Здесь Pi = «//щ pa = a//t2. Наконец, согласно (8.19) находим

'2'2НсНс/ 0,278V + PJ/ 0,278V + PJ0,2780,278(sin kJ 4- [^ cos к^ —(sin kJ 4- [^ cos к^ —И.^’V^" И22112 = ТИ.^’V^" И22112 = Т0,312 —0,312 —0,722 \1 + 0 J0,722ра1 + Р|0,449и-р? "0,722 \1 + 0 J0,722ра1 + Р|0,449и-р? "e~“f —(sin kJ + Р2 cos *2г)0-137 \ f _!+PUe~“f —(sin kJ + Р2 cos *2г)0-137 \ f _!+PU

'2

'2

Н

с

Н

с

/ 0,278

V + PJ

/ 0,278

V + PJ

0,278

0,278

(sin kJ 4- [^ cos к^ —

(sin kJ 4- [^ cos к^ —

И.

^’V^" И22112 = Т

И.

^’V^" И22112 = Т

0,312 —

0,312 —

0,722 \

1 + 0 J

0,722ра

1 + Р|

0,449

и-р? "

0,722 \

1 + 0 J

0,722ра

1 + Р|

0,449

и-р? "

e~“f —

(sin kJ + Р2 cos *2г)

0-137 \ f _

!+PU

e~“f —

(sin kJ + Р2 cos *2г)

0-137 \ f _

!+PU

(sin kJ + Р2 cos kJ)(sin kJ + Р2 cos kJ)0,449„0,137

(sin kJ + Р2 cos kJ)

(sin kJ + Р2 cos kJ)

TTfl(,in -‘ + р-"а *‘) + 7tpI

Действие периодических вынуждающих сил. В случаях, когда действующие на систему вынуждающие силы изменяются по периодическому закону, возможны два пути решения задачи — в сущности те же, что и для систем с одной степенью свободы.

Первый путь основан на разложении периодических вынуждающих сил в ряды Фурье; после такого разложения определяются гармонические движения, вызываемые отдельными гармониками сил (см. выше и. 2 настоящего параграфа), и найденные результаты надлежащим образом складываются.

Второй путь основан на предварительном переходе к нормальным координатам, как это было изложено в п. 3 этого параграфа. Это приводит к ряду задач о колебаниях систем с одной степенью свободы и позволяет получить решения в замкнутой форме, как это было изложено в § 5, п. 5.

Хотя в расчетной практике чаще идут по первому пути (например, при исследовании крутильных колебаний валов двигателей внутреннего сгорания), однако иногда предпочтительнее может оказаться второй путь, особенно в тех случаях, когда тригонометрические ряды, в которые разложены вынуждающие силы, медленно сходятся.

Глава III

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Общие понятия

Основное дифференциальное уравнение. В рассмотренных выше задачах о колебаниях действующие силы можно было отнести к одной из трех категорий: позиционные (в частности, восстанавливающие) силы, зависящие только от обобщенных координат ^; диссипативные силы, определяемые обобщенными скоростями д,; вынуждающие силы, являющиеся заданными функциями времени t.

Однако существуют силы более сложной природы, в частности нестационарные позиционные силы, которые зависят от координат д,, а также от времени t (в явном виде):

Qi = Qi(r, 9% • . q=, t) (/= 1, 2, .. ., s), (9.1) и притом так, что их невозможно представить в виде суммы двух слагаемых, одно из которых зависит только от координат, а другое — только от времени.

Ограничимся рассмотрением линейных систем с одной степенью свободы, когда при малых отклонениях от положения равновесия обобщенная сила определяется выражением

Q = -cq,(9.2)

причем, в отличие от случаев действия стационарных восстанавливающих сил, параметр c = c(Q является функцией времени.

Дифференциальное уравнение движения

aq-Y c^q = 0(9.3)

содержит переменный коэффициент и описывает параметрические колебания.

Как мы увидим ниже, свойства движения, описываемого уравнением (9.3), существенно отличаются от свойств свободных колебаний, определяемых дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Важное значение имеют нередко встречающиеся в приложениях случаи периодического изменения параметра, когда

(9.4)(9.4)с(^ + Г) = с(О.

(9.4)

(9.4)

Рис. 9.1Рис. 9.1Соответствующие этим случаям колебания называются параметрически возбуждаемыми или, короче, параметрическими. Решением дифференциального уравнения (9.3) при условии (9.4) мы займемся ниже, но уже здесь отметим, что амплитуды параметрических колебаний — в зависимости от значений постоянных системы — либо остаются ограниченными, лпбо возрастают во времени. Очевидную опасность представляют колебания с возрастающими амплитудами; это явление называют параметрическим резонансом. По некоторым признакам, о кото

Рис. 9.1

Рис. 9.1

рых будет сказано ниже, параметрический резонанс существенно отличается от «обычного» резонанса и в определенном смысле опаснее последнего.

Параметрические колебания около положения равновесия. Прежде чем обратиться к решению дифференциального уравнения (9.3) и исследованию возможности параметрического резонанса, рассмотрим некоторые простые механические системы, колебания которых являются параметрическими; в этих случаях часто параметрическими называют и сами системы.

В качестве первого примера рассмотрим симметричную абсолютно жесткую балку длиной 2Z со средней шарнирно неподвижной опорой и двумя упругими опорами на концах. Коэффициенты жесткости упругих опор одинаковы и равны со (рис. 9.1). К балке приложена переменная горизонтальная сила Р(£), заданная в виде периодической функции времени. В положении равновесия ось балки горизонтальна. При малых отклонениях балки от положения равновесия (см. штриховую линию

движения точки подвеса.движения точки подвеса.2 длиной I, показан2 длиной I, показан

движения точки подвеса.

движения точки подвеса.

2 длиной I, показан

2 длиной I, показан

на рисунке) на нее действует момент сил упругости —соф^2 и момент продольной силы P^tpl; полный момент, представляющий собой обобщенную силу в данной задаче,

М = — [со? — P(t) ] q)Z,

оказывается функцией координаты ф и времени t. Соответствующее дифференциальное уравнение движения имеет вид

— [c0Z —/>(f)^ = 7ф

(где I — момент инерции балки относительно оси вращения), или

cl-PW

ф + ■ 0 у- 4ф = 0.

Оно относится к типу (9.3).

Другим примером может служить маятник с колеблющейся по вертикали точкой подвеса (рис. 9.2, а). Пусть I — длина маятника, т— масса груза, у = у(О—

заданный периодический закон Дифференциальное уравнение малых относительных колебаний маятника имеет вид

(—mg — ту) йр = тР^

(—ту — переносная сила инерции), или

ф ф. g +^ W ф = 0;(9.5)

как видно, эта система также относится к типу параметрических.

В качестве третьего приме-

ра рассмотрим вертикальный безмассовый упругий стержень

ный на рис. 9.2, б. С концом стержня связан сосредото

ченный груз 4. Верхней опорой служит неподвижный шарнир 1, а нижней опорой служит втулка 3 с коротким подшипником. Если считать подшипник шарнирной опорой и пренебречь влиянием силы тяжести груза, то коэффициент изгибной жесткости балки определяется

формулой теории сопротивления материалов ^EJ с =

Z (Z — s)2

где s — расстояние между опорами.

Втулке задано периодическое движение около некоторого среднего положения, определяемого расстоянием $о. Состоянию равновесия соответствует положение груза на вертикали и прямолинейная форма оси стержня.

При возмущении этого состояния груз отклоняется в сторону, ось балки изгибается, и последующее движение груза описывается дифференциальным уравнением

ж +ж +3EJml [Z — s (Z)]23EJml [Z — s (Z)]2Ж = О,Ж = О,(9-6)(9-6)

ж +

ж +

3EJml [Z — s (Z)]2

3EJml [Z — s (Z)]2

Ж = О,

Ж = О,

(9-6)

(9-6)

которое также относится к рассматриваемому здесь типу.

Исследование решений подобных дифференциальных уравнений позволит судить об устойчивости состояния равновесия, около которого происходят колебания. Если параметрически возбуждаемые колебания постепенно затухают (или по крайней мере не имеют тенденции к возрастанию), то состояние равновесия следует признать устойчивым; если же колебания происходят с возрастающими амплитудами (параметрический резонанс), то состояние равновесия неустойчиво. Поэтому в подобных случаях самым важным является выяснение основной тенденции параметрических колебаний.

Параметрические колебания около стационарного режима движения. К необходимости исследовать свойства решений дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами приводят также задачи об устойчивости стационарных режимов движения. Обычно дело сводится к следующему.

Допустим, что после решения некоторой задачи о движении механической системы найден режим движения, описываемый функцией q = q(t'). Для исследования устойчивости этого режима необходимо предположить, что он каким-либо образом нарушен и возмущенное движение описывается функцией q + 67, близкой к функции 7(<); здесь 67 (Z)—вариация функции q^, т. е. отклонение системы от исследуемого режима движения. Если функция 67 с течением времени возрастает, то исследуемый режим 7 = 7(Z) неустойчив; в случае постепенного затухания функции 67 режим q = q^ устойчив.

Как оказывается, для функции бд^ в ряде случаев можно получить дифференциальное уравнение типа (9.3). Характер решения этого уравнения позволяет сделать заключение об устойчивости режима движения 9 = 9(0-

Поясним сказанное примером из области вынужденных колебаний систем с нелинейной восстанавливающей силой (см. гл. II, § 7). Дифференциальное уравнение колебаний такой системы имеет вид

aq + F^=QW, (9.7)

причем F(q) и Q(f)—заданные функции координаты и времени. Как мы знаем, решение этого уравнения может быть неоднозначным и возможно существование нескольких стационарных режимов с различными амплитудами

9i = 9i(0, 92 = 92(0, 9з = 9з(0-

Так как среди этих режимов физически осуществимы только устойчивые режимы, то полное решение задачи о вынужденных колебаниях должно содержать не только выяснение (точное или приближенное) возможных режимов, но и анализ их устойчивости.

Для исследования устойчивости какого-либо из найденных режимов, например режима 9i=9i(0, предположим, что он каким-либо образом возмущен и, следовательно, движение системы будет описываться суммой 91 + 691; здесь второе слагаемое, 691, представляет собой возмущение функции 91.

Об устойчивости стационарного режима 91 = 91 (0 можно судить по характеру изменения во времени возмущения 691. Если выяснится, что при t ^- °° возмущение 691 ->- 0 или остается ограниченным, то возмущенное движение будет стремиться к стационарному режиму или оставаться вблизи него; следовательно, последний устойчив. Если же при I ^ °о вариация 691 неограниченно возрастает, то исследуемый стационарный режим не- устойчпв.

Решение 91 (0 должно удовлетворять дифференциальному уравнению (9.7):

aqxFF (91)= Q(ty, (9.8) но тому же дифференциальному уравнению (9.7) должна удовлетворять также функция 91 + 69ц

aqi + <1691 + E(9i + 691)= Q^t).

Рассматривая малые величины 691, мы можем принять

где штрих обозначает дифференцирование по координате 9ь т. е.

aqi + a6qx + F (71) + F' (91)6^1 = QW- (9-9)

Вычитая уравнение (9.8) из уравнения (9.9), получим abqx+F'^bqy = 0.(9.10)

Но так как qx представляет некоторую известную функцию времени (стационарный режим), то и F' (91) также является функцией времени, т. е. дифференциальное уравнение (9.10) есть уравнение типа (9.3).

Пусть, например,

Г^=^>д\ Q (Г) = Н sin mt, и необходимо исследовать устойчивость стационарного режима

qx = А1 sin tot,

который был найден в § 7 гл. II.

В данном случае

F\q) = 3pg2 = 3p^isin2 tot

и для вариации стационарного режима получим дифференциальное уравнение

abq + (SpHjsin2 tot) 6q = 0,(9.11)

полностью соответствующее уравнению (9.3).

Рис. 9.3

В следующих двух параграфах будут рассмотрены решения дифференциальных уравнений типа (9.3), которое запишем в виде

q-Vk2(t)q = 0.(9.12)

Однако сразу отметим, что интегрирование этого уравне-

ния при произвольной периодической функции кг^ весьма сложно. Поэтому ниже мы остановимся только на двух относительно простых случаях, когда изменение параметра следует периодическому кусочно-постоянному закону либо закону синуса (в обоих случаях с дополнительным постоянным слагаемым — см. рис. 9.3).

§10. Параметрическое возбуждение по периодическому кусочно-постоянному закону

Колебания при отсутствии трения. Рассмотрим случай, соответствующий случаю рис. 9.3, а. При этом дифференциальное уравнение (9.12) принимает вид

9 + &о (1 ± Р-) ? = 0,(10.1)

где ц = №,кб-

Ввиду того что в течение каждого полупериода TI2 = = л//с0 дифференциальное уравнение имеет постоянные коэффициенты, можно воспользоваться способом припа- совывания.

Рассмотрим какой-либо период Т изменения коэффициента А:2 и совместим с началом этого периода начало отсчета времени. В первом полупериоде, когда 0 < t < <Т/2, дифференциальное уравнение (10.1) имеет вид

91 +/со (1-1-Р) 91 = 0,(10.2)

а во втором полупериоде Tj2<t<T соответственно будет

93 + ^о (1 ~ р) 9а = °-(Ю.З)

Дифференциальные уравнения (10.2) и (10.3) с постоянными коэффициентами имеют решения

91 = С’1 sin k\t + D\ cos kit,

(10.4)

92 = 02 sin k2t + D2 cos k2t,

причем k\ = A-qVI + p, k2 = k^V — p. В этих решениях содержатся четыре постоянные, Ci, Di, С2, D2, для определения которых необходимы четыре условия. Два условия относятся к моменту времени t = 7/2, общему для обоих полупериодов; в указанный момент должно быть

12 Я, Г. Нановко

Это дает следующие соотношения: к ТкТкТк Г

Су sin—|- Dy cos 4,— = С2 sin -4>—Ь D2 cos —,

/ к ГкТ\ / кТ. кТ\

к. С, cos —Dy sin -4- = 4 С» cos -4D., sin -4- I.

(10.6)

Запишем еще два соотношения:

(ЮЛ)(ЮЛ)^1(0)=?2(7,)) ^i(O) = »2(Т’),

(ЮЛ)

(ЮЛ)

в которых А — некоторое, пока неизвестное число. Соотношениями (10.7) утверждается, что по истечении рассматриваемого периода обобщённая координата и обобщенная скорость изменяются в А раз. Соответственно этому движение в следующем периоде начнется при измененных в А раз начальных условиях, т. е. будет повторять движение в рассматриваемом периоде, но в измененном в А раз масштабе.

Если |А| > 1, то колебания в каждом следующем периоде будут усиливаться, а если |А1 < 1, то они будут постепенно затухать. Таким образом, устойчивость или неустойчивость системы определяется значением модуля А.

Подставив решения (10.4) в соотношения (10.7), получим

ADi = C2sin kiT A-Di cos kiT, НО 8) ХС\к\ = Ciki cos к^Т — Diki sin kiT.

Система уравнений (10.6) и (10.8) однородна относительно постоянных Ci, Dj, Ci, Di и имеет отличные от нуля решения только в том случае, если равен нулю определитель, составленный из ее коэффициентов:

Sin —у к1г4 cos0kJ.Sin —у к1г4 cos0kJ.cos—— ку sin- 2—X0cos—— ку sin- 2—X04747

Sin —

у к1г

4 cos

0kJ.

Sin —

у к1г

4 cos

0kJ.

cos—

— ку sin- 2—

X

0

cos—

— ку sin- 2—

X

0

— sin —<j-— cos —2~

— к2 cos —2“ к^ sin —<5—

— sin 47— cos 47

— к2 cos 47 к^ sin 47

Развернув определитель, получим следующее квадрат

(10.9)(10.9)ное уравнение:

(10.9)

(10.9)

А2 - 2ЛА + 1 = 0,

в котором для краткости обозначено

. кТ кТ ^ + ^2, кТ . к т

А = COS COS sin -4- Sill А- =

22^^1^2“

= cos ла V4 + р cos ла ]/Ч — р —

, 1sin ла ]/Ч + psin ла ]Л1—р, (10.10) V 1-р2

причем а =/со7’/(2л) есть отношение среднего значения &о собственной частоты к частоте пульсации параметра. Корни уравнения (10.9) следующие:

Xi = Л - УЛ2 - 1, Х2 = Л +УЛ2-1.(10.11)

Для того чтобы числа Xi и Х2 были вещественными, как это предполагается по смыслу решаемой задачи, должно быть

|Л|>1,(10.12)

е. либо Л > 1, либо Л < —1. Но в обоих этих случаях модуль одного из корней (10.11) больше единицы:

если Л > 1, то Х2 > 1;

если Л < —1, то IXi I > 1.

Отсюда следует, что если выполнено неравенство (10.12), то колебания будут с каждым новым периодом увеличиваться. Неравенство представляет собой не только условие вещественности множителя X, но одновременно и условие возникновения параметрического резонанса.

Так как значение Л зависит от двух постоянных системы а и р, то их значения полностью определяют устойчивость системы.

На рис. 10.1 представлена построенная с помощью условия (10.12) диаграмма устойчивости, по осям которой отложены значения 4а2 и 2ра2. В незаштрихован- ных областях значения параметров аир таковы, что условие (10.12) выполняется, т. е. система неустойчива. Заштрихованные области диаграммы соответствуют устойчивым состояниям системы. С помощью такой диаграммы можно сразу судить об устойчивости по данным значениям аир без всяких дополнительных вычислений.

Прежде всего обратим внимание па те зоны областей неустойчивости, которые расположены вблизи горизон- 12*

тальной оси, т. е. соответствуют малым значениям параметра р. Как видно, в этих зонах 4а2 ~ и2, т. е.

а»^ (и = 1, 2, ...)а»^ (и = 1, 2, ...)(10.13)(10.13)

а»^ (и = 1, 2, ...)

а»^ (и = 1, 2, ...)

(10.13)

(10.13)

То ясе можно найти из (10.10), положив р = 0. В самом деле,

Л = cos2 ла — sin2 ла^ cos 2ла,

Рис. 10.1Рис. 10.1

Рис. 10.1

Рис. 10.1

метрического резонанса, возможно при условии, что аргумент 2ла удовлетворяет равенству

2ла — лп (п = 1, 2, ...),

из которого также следует соотношение (10.13).

Таким образом, если выполняется условие (10.13), то параметрический резонанс возникает при сколь угодно малой глубине пульсации. При этом основное значение имеет случай га=1, когда а = 1/2, т. е. когда среднее значение собственной частоты вдвое меньше частоты параметрического возбуждения.

При значительной глубине пульсации и заметном отличии ц от нуля параметрический резонанс возникает в целых областях значений а, расположенных вблизи значений (10.13); чем больше заданное значение ц, тем шире эти области. По этой причине отстройка от парамет-

ВОЗБУЖДЕНИЕ ПО КУСОЧНО-ПОСТОЯННОМУ ЗАКОНУ 181 рпческого резонанса труднее, чем от обычного резонанса; параметрический резонанс более опасен, чем обычный, еще и по той причине, что линейное демпфирование (которое выше вообще не учитывалось) лишь несколько суживает области неустойчивости, но неспособно ограничить возрастание -амплитуд колебаний в этих областях).

Пример 10.1, Груз 1 массы т упруго подвешен на цилиндрической витой пружине 2 длиной I; коэффициент жесткости пружины равен с. Разрезная втулка 3 периодически обжимает верхнюю часть пружины так, что длительность каждого обжима t# равна длительности интервала между двумя последовательными обжимами. Длина деформируемой части пружины при обжиме мало отличается от длины I (рис. 10.2). Найти наименьшее значение I*, при котором возникает параметрический резонанс.

Рис. 10.2Рис. 10.2Замечая, что период изменения жесткости Т = 2t#, и учитывая малость глубины пульсации, запишем условие параметрического резонанса (10.13):

Рис. 10.2

Рис. 10.2

-а = каТ/(2л) = «/2 (п = 1, 2, ...).

Подставляя сюда кц = T/c/zn, Т =2^, находим

наименьшее значение Ц соответствует it = 1:

т. е. вчетверо меньше периода свободных колебаний груза.

Влияние линейного трения. При наличии вязкого трения вместо дифференциального уравнения (10.1) имеем

q ф- 2hq -|- 14 (1 ± р) q 0,(10.14)

в котором по-прежнему ^ = ^, где Ъ — коэффициент вязкости, а — инерционный коэффициент. Рассуждая, как п в п. 1, запишем решение для обоих полупериодов:

/*г— М •7 * «• т-ч —Л/7

sin kxt D^e

q^ — c2e sin k^t + D^e cos k^t,

где

к* = VVy — k2 = 1^(1 + ц) A-g— Д2,

к* = Ук22-№ = У^-^к^-к2.

Условия в момент t = TI2 имеют вид

или

к*Тк*Тк*Тк*Т

Су sin -^—р Dy cos -j- = С2 sin -|—Н D2 cos -|-, (10.15)

/к*Т*к*Т\ ( клТ

Су | — к sin —i/c^cos I — Dy I h cos

*4t\/ k*T *к*т\

+ ky sin -~- I = C2 I — к sin -|—H k2 cos -|- I —

/ k*T * k*T\

— S„ к cos —-4- k- sin .

Далее составляем два условия типа (10.7):

т. е.

kDy e”hT (С2 sin к2Т + S2 cos к*Т\

к (Сук*у — ОукУ-= e~hT [С2 (— к sin к*Т + к2 cos к* Т) —

— S2 (к cos к\Т к* sin к*Т^. (10.16)

Четыре уравнения (10.15) и (10.16) образуют систему, однородную относительно постоянных Ci, Di, С^ Da", отличные от нуля решения соответствуют случаю, когда равен нулю определитель, составленный из коэффициентов системы, развернув который, придем, аналогично (10.9), к квадратному уравнению

^-2Ахк^Вх =0.(10.17)

В каждом конкретном случае по заданным значениям ко, ц, к, Т можно вычислить значения Ai и В\, а затем определить корни %i и ка квадратного уравнения (10.17). Признаком неустойчивости служит вещественность кор-

ней и неравенство IXI > 1 для наибольшего по модулю корня.

Не останавливаясь на подобном исследовании корней, заметим, что для их вещественности (т. е. для неустойчивости системы) необходимо выполнение условия

Mil>VBI;(10.18)

более жесткого, чем условие |Л| > 1, полученное выше для случая отсутствия трения. В частности, при h > 0 и р 0 условие (10.18) ле выполняется, т. е. параметрический резонанс невозможен. Это означает, что для возникновения параметрического резонанса необходима некоторая, достаточно большая, глубина пульсации щ В целом трение оказывает стабилизирующее действие и приводит к некоторому сужению областей не- устойчивости.

Параметрическое возбуждение

по закону синуса

Общие сведения. Этот случай изменения параметра иллюстрирован на рис. 9.3, б. Соответствующее дифференциальное уравнение движения запишем в виде

q + кд (1 — р cos at) q = 0.(11.1)

Как и в § 10, здесь ко —среднее значение собственной частоты, ц — относительная глубина пульсации переменного коэффициента. Дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами (11.1) называется уравнением Матье. Обычно это уравнение записывают в форме 4-4- + (а — 2е cos 2т) q = 0,(11.2)

Дт

к которой можно прийти, положив в уравнении (11.1) ю< = 2т, Хо = ^, -и = ^’(И-3)

Решениями уравнения (11.2) служат специальные функции, называемые функциями Матье, свойства которых подробно изучены. Как и в случае рассмотренного в § 10 параметрического возбуждения, эти решения могут быть или ограниченными, или неограниченно возрастающими. Выделение соответствующих этим случаям областей параметров а и е приводит к диаграмме устойчивости, кото-

рая дана в готовом виде на рис. 11.1 (диаграмма Айн- са— Стретта)-, она сходна с диаграммой устойчивости, изображенной на рис. 10.1. Границам между областями устойчивости и неустойчивости соответствуют периодические движения. Диаграмма устойчивости симметрична

относительно оси а, так как знак е в уравнении (11.2) пе имеет значения.

Если дифференциальное уравнение задачи приведено к форме (11.2), то по данным значениям а и е с помощью диаграммы устойчивости можно сразу сделать заключение об устойчивости или неустойчивости системы. Как и выше, речь может идти либо об устойчивости состояния равновесия (у — отклонение от этого состояния), либо об устойчивости некоторого основного движения (в этом случае под q следует понимать вариацию координаты).

Для приближенного определения границ между областями устойчивости и неустойчивости в плоскости параметров а, е может быть применен способ гармонического баланса. На границах первой области неустойчивости движение должно быть периодическим, причем период, как мы видели в § 10, вдвое больше периода изменения параметра. Но период изменения параметра в уравнении (11.2) равен л, так что указанное движение имеет период 2л и его можно представить в виде ряда q = А\ sin т + В, cos т + Лз sin Зт + Вз cos Зт + ...(11.4)

Ограничиваясь первыми двумя членами, подставим их

сумму в уравнение (11.2); приравнивая нулю коэффициенты при sin т и cos т, получаем два однородных уравнения

(а—е—1)Л1 = 0, (а + е—1)51 = 0,(11.5)

из которых следуют уравнения обеих границ:

апр = 1 + е, 0^= = ! — е.(11.6)

Эти уравнения можно уточнить, принимая во внимание большее число членов ряда (11.4).

Приведем без вывода более точные уравнения для первых четырех областей неустойчивости, обозначая значения а на границах га-й области неустойчивости через пр лег,

„пр 1 2 I 7 ,.4

«о —2'128

„пр — 1 I р1_р21 Р31I

йх - 1 + е8 е64 81536е + . ..,

„r-i-s-^+^-n^-...,

«!" = 4 + ^=-^(11.7)

.лев / In, 5*

12 8138248 —

а"Р — 9 I A g2 ! А е3 13

" ' 1 161 64 1 20480 г • •

ЛСВ н I 1 О 1 Q I 13 д

“3 =9 + 168"~ 64 8 + 20480 8 —

В заключение заметим, что не учтенное здесь вязкое трение несколько суживает границы областей неустойчивости, подобно тому как это было пояснено в § 10.

Примеры.

Пример 11.1. Найти условия устойчивости вертикального состояния равновесия обращенного маятника (рис. 11.2,), если точка его подвеса гармонически колеблется около среднего положения по закону у = A cos mt с частотой со и амплитудой А. Длина маятника равпа I.

Понятно, что при неподвижной опоре обращенный маятник неустойчив; однако, как мы сейчас увидим, колебания опорной точки могут придать устойчивость такому маятнику. Составляя дифференциальное уравнение относительного движения, необходимо учесть перепоспую силу инерции —ту = mA со2 cos cot. Ее момент составляет —тДсо2/г[ cos wf, п уравнение моментов запишется в форме '

mgltp — тЛсаЧф cos tot = сп/2ф,

т. е.

( g Ato2 А

Ф + I — — + —у cos со< I ф = 0.

Для приведения уравнения к виду (11.2) положим

4g2А

2т=со#, а = — е = —

Как видно, в нашем примере оба параметра а и е отрицательные. Знак е вообще роли не играет (об этом уже говорилось выше), и главной особенностью рассматриваемой системы является

отрицательность величины а. Как видно из диаграммы устойчивости на рис. 11.1, устойчивость возможна и при отрицательных значениях а; действительно, каждому значению е отвечает некоторая, довольно узкая область значений а < 0. в пределах которой состояние равновесия устойчиво. Согласно (11.7) эти значения лежат в инвервале ЯцР < а < а^, т. е.

(рис. 11.3). При малых амплитудах колебаний А, т. е. малых значениях параметра 8, правое неравенство удовлетворяется при любых отрицательных значениях а и практически остается лишь 1 2

одно неравенство а > —-ту е , т. е.

MlMlА 22 ЕА 22 Е

Ml

Ml

А 22 Е

А 22 Е

Подставляя сюда выражения а и е, получим условие устойчивости в виде

Лы > l'2gl.

Это неравенство определяет нижний уровень максимальной скорости Ato колебаний точки подвеса, который обеспечивает устойчивость опрокинутого маятника; как видно, указанная скорость долж-

на превышать скорость свободного падения тела с высоты, равной длине маятника.

Пример 11.2. Исследовать устойчивость режимов стационарно движения

q = At sin tot (i = 1, 2, 3)

в системе с нелинейной восстанавливающей силой F(q) = Pg3.

Дифференциальное уравнение относительно вариации 6g было составлено выше (см. (9.11)). Запишем его в виде

6g + (ЗаЛ? sin2 coi) 6g = О,

8 =8 =ЗаЛ?4ш2 "ЗаЛ?4ш2 "где коэффициент а равен коэффициенту р, разделенному на инерционный коэффициент системы. Для того чтобы привести уравнение к форме (11.2), нужно положить

8 =

8 =

ЗаЛ?

4ш2 "

ЗаЛ?

4ш2 "

ЗаЛ-tot = т, а =2и2

Таким образом, в данном случае а = 2е и на диаграмме устойчивости всевозможные пары значений а 8 лежат на луче, который 1

выходит из начала координат под углом arctg-g- к оси (см. схему на рис. 11.4), Поочередная подстановка значений Л1, Л2 и Л3 в

Рис. 11.4Рис. 11.4

Рис. 11.4

Рис. 11.4

выражении а и е приводит к расположению точек, показанному на рис. 11.4, т. е. точки Л1 и Л2 соответствуют устойчивым, а точка Л3 — неустойчивым решениям. Этим подтверждается сказанное в § 7 относительно устойчивости найденных там решений на различных ветвях резонансной кривой.

Глава IV

УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ

И АВТОКОЛЕБАНИЯ

Устойчивость состояний равновесия

Вступительные замечания. Вопросов устойчивости состояний равновесия мы уже касались в главе I (см. стр. 35—40, 44), но поскольку она была посвящена свободным колебаниям, мы рассматривали только такие системы, в которых отсутствует приток энергии при их движении вблизи положения равновесия.

В настоящем параграфе рассматриваются более сложные случаи, относящиеся к автономным системам, при движении которых возможен приток энергии извне. Эти случаи связаны с конкретными ситуациями, которые несмотря на свой частный характер можно считать достаточно типичными. В каждой из рассмотренных здесь задач выделяется один «ответственный» параметр, от которого зависит устойчивость или неустойчивость соответствующей механической системы, и задача сводится к определению критического значения этого параметра, при котором устойчивость сменяется неустойчивостью. Во всех изучаемых здесь случаях рассматриваются только малые отклонения системы от состояния равновесия, т. е. анализируются линейные задачи,— этого достаточно для того, чтобы судить о тенденциях возмущенного движения и тем самым сделать заключение об устойчивости (или неустойчивости) «в малом».

Сначала, в п. 2, на двух примерах обсуждаются вопросы устойчивости систем с одной степенью свободы, связанные с аэроупругой неусточивостью типа дивергенции и действием сил «отрицательного» трения. Эти примеры позволяют выявить особые точки фазовой плос-

кости двух ранее не упоминавшихся типов — неустойчивый узел и неустойчивый фокус.

В и. 3 рассматривается устойчивость систем с двумя степенями свободы без трения. Первый случай относится к аэроупругой неустойчивости типа флаттер, а второй случай — к устойчивости вращающегося вала с эксцентрично насаженным диском. В этих случаях задача сводится к анализу знаков вещественных частей корней биквадратного характеристического уравнения и поэтому относительно проста.

Рис. 12.1Рис. 12.1Несколько сложнее решается вопрос об устойчивости систем с двумя степенями свободы при наличии трения, который приводит к анализу знаков вещественных частей корней полного уравнения четвертой степени. В п. 4 сначала приводится используемый в подобных случаях критерий Рауса — Гурвица, а затем рассматривается конкретный пример (задача Циглера).

Рис. 12.1

Рис. 12.1

Системы с одной степенью свободы.

Задача о дивергенции. Рассмотрим жесткую тонкую пластинку, упруго опертую вдоль левого края и шарнирно опертую вдоль правого края. Пластинка находится в

потоке газа (жидкости), скорость и которого направлена вдоль срединной плоскости пластинки в невозмущенном состоянии равновесия (рис. 12.1). В этом положении аэродинамические силы равны нулю (если пренебречь весьма малой силой трения потока о поверхность пластинки) и пластинка находится в равновесии под действием силы тяжести и реакций опор. Найти критическую скорость потока.

При отклонении пластинки возникают аэродинамические давления, зависящие от угла отклонения ф. Соответствующие количественные закономерности устанавливаются в аэрогидродинамике: мы приведем их в готовом виде. Равнодействующую давлений можно разложить на составляющие ^лобовое сопротивление и подъемную силу')

X^k^l^ Y = k^l^,(12.1)

здесь к„ ку — постоянные аэродинамические коэффициен-

ты, р — плотность газа, I — размер пластинки вдоль потока (перпендикулярный плоскости рисунка размер принят равным единице). Точка приложения равнодействующей аэродинамических давлений находится на расстоянии Ъ от оси шарнира, которое приближенно будем считать не зависящим от угла ср. Момент сил, возникающих при отклонении пластинки относительно оси шарнира, равен

М = -c0Z2q) + X6q) + Уб, где со — коэффициент жесткости упругой опоры. Подставляя сюда (12.1), получаем

М = — с0/2ф + кх ^- Ы^ 4- ку^- Ыдр.

Обозначим через I момент инерции пластинки относительно оси шарнира; тогда дифференциальным уравнением движения будет

/ф + ^с01 — ку^~Ь^ /ср = 0

(слагаемое, определяющее момент силы X, опущено как имеющее второй порядок малости).

Условие устойчивости имеет видс01-кх^-Ъ>0,а критическое значение скорости равно/2сТфь'<12'2)

отсюда, в частности, можно видеть, что с увеличением коэффициента жесткости упругой опоры критическая скорость увеличивается. Задачи этого типа относятся к теории аэрогидроупругости', рассмотренное явление потери устойчивости называется дивергенцией, а выражение (12.2) определяет скорость дивергенции. В приведенном решении явление существенно схематизировано.

«Отрицательное трение». Всюду выше, где учитывалось наличие зависящих от скоростей сил, мы считали эти силы диссипативными1, будучи направленными противоположно соответствующим скоростям, они способствуют демпфированию колебаний. Однако в некоторых механических системах развиваются силы, также завися-

щие от скоростей, но совпадающие с ними по направлению. Такие силы оказывают дестабилизирующее действие и способствуют раскачке колебаний, а не их демпфированию; иногда силы этого типа называют силами «отрицательного трения».

Прежде всего остановимся на формальной стороне вопроса и положим, что кроме восстанавливающих сил действуют силы, линейно зависящие от скорости и совпадающие с ней по направлению. Тогда вместо (2.6) имеем дифференциальное уравнение

(12-3)(12-3)aq — bq + cq = 0

(12-3)

(12-3)

(b>OY При прежних обозначениях

= K - = к\ --№=к^ 2а аа

решение дифференциального уравнения (12.3) запишется, подобно (2.9), в форме

., ( q — q И

q = е у~^—~ sin k*t -|- q0 cos k.^t^,

где постоянные интегрирования выражены через начальные возмущения. Отсюда видно, что при сколь угодно малых начальных везмущениях до и до возникнут колебания, амплитуды которых будут возрастать по показательному закону (рис. 12.2, а), т. е. состояние равновесия системы неустойчиво. На рис. 12.2, б показана фазовая диаграмма; в этом случае состоянию равновесия соответствует особая точка типа неустойчивый фокус. При весьма большом трении (большем критического) фазовая диаграмма принимает вид, показанный на рис. 12,2, в; начало координат представляет собой особую точку типа неустойчивый узел.

Примером механической системы, в которой при колебаниях может возникнуть сила отрицательного трения, служит система, показанная на рис. 12.3, а. Она состоит из тела 1, упруго закрепленного на пружинах 2, и барабана 3, который прижат к телу и вращается с постоянной угловой скоростью. Между барабаном и телом действует сила сухого трения R, характеристика которой показана на рис. 12.3, б. В отличие от обычной схематизации, эта характеристика отражает реально наблюдаемое влияние значения скорости скольжения на значение

силы трения. Отметим, что в первом квадранте характеристика состоит из двух участков: падающего при О < v < и* и восходящего при и > и *.

Рис. 12.3Рис. 12.3

Рис. 12.3

Рис. 12.3

Пусть скорость скольжения при покое тела 1 равна По! ей соответствует сила трения Ro. Из уравнения равновесия

Ro — схо = О

можно определить укорочение пружин в равновесном состоянии системы:

xo = Ro!c.(12.4)

Рассмотрим теперь движение тела около этого состояния равновесия и обозначим через ж дополнительное перемещение тела. При этом скорость скольжения перестает быть постоянной величиной и выражается разностью

V = Vq — X,

которая определяет также переменную силу трения R, отличающуюся от номинального значения Ro. При малых колебаниях, когда скорость х мала по сравнению с и0, можно принять

R = R0-R'x (^ = ^|J(12.5)

Дифференциальное уравнение движения тела запишется в виде

R — с (ж0 + ж) = тх, или, с учетом (12.4) и (12.5),

тх + Rox + сж ~ 0.(12.6)

Отсюда видно, что при v>>v*, когда 7?0>0, колебания будут затухающими; если же и<О*, то 7?0<0и уравнение (12.6) принимает вид (12.3). Таким образом, если к0>у*, то ■ состояние равновесия устойчиво; если же у0<у*,то после любого сколь угодно малого возмущения в системе происходит самовозбуждение колебаний.

Следует иметь в виду, что наше решение определяет лишь начальную тенденцию возмущенного движения. С возрастанием амплитуд колебаний линеаризованное представление силы трения (12.5) будет становиться все менее точным, и для полного анализа всего последующего процесса необходимо учитывать действительную нелинейность силы трения; об этом см. ниже §13.

Системы с двумя степенями свободы без трения.

Исследование устойчивости состояний равновесия механических систем с несколькими степенями свободы также состоит в изучении свойств возмущенного движения, т. е. того движения, которое будет происходить после произвольного сколь угодно малого нарушения состояния равновесия. Названные свойства определяются видом 13 я. Г. Пановко

корней соответствующего характеристического уравнения. Если среди корней X = а + i^ имеется хотя бы один с положительной вещественной частью а>0, то отвечающее ему движение будет «уводить» систему от состояния равновесия — либо монотонно (если р = 0), либо в виде нарастающих колебаний (если Р^О). Поэтому исследования устойчивости рассматриваемых ниже систем с двумя степенями свободы сводятся к анализу знаков вещественных частей корней.

а) Задача о флаттере. В и. 2а была рассмотрена воз

можность дивергенции пластинки в потоке газа, причем

принималось, что пластинка шарнирно закреплена вдоль одного края, а вдоль другого края она упруго оперта (см. выше рис. 12.1). При упругом опирании обоих краев (рис. 12.4) появляется еще одна опасность возникновения неустойчивости, связанная с неконсервативными

свойствами рассматриваемой системы с двумя степенями свободы.

Обозначим: z/(t)—перемещение центра тяжести пластинки, cp(t)—угол поворота пластинки, Ci и сг—коэффициенты жесткости упругих опор, ml2/12 — момент инерции пластинки относительно оси, проходящей через центр тяжести пластинки перпендикулярно плоскости чертежа, I — длина пластинки вдоль потока, Ъ — расстояние от точки приложения подъемной силы

2

У = ^/<Р

до правого края,

РЧ = <4 у НРЧ = <4 у Н

РЧ = <4 у Н

РЧ = <4 у Н

— упругие силы реакции.

Дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид

— Ry — R^ 4- У = т2Л

-^17 4' ^ауФ 2"/12"

Подставляя сюда выражения для У, Ri и R2, получаем однородную систему

,у + сиу + с12ф = О,

ф + С21у + С22ф = О,

в которой

„ С1 + С2

11 m ’12 2m m2’

ml ’ml ’C22C223(н+л)m3(н+л)m2+ 6-^(Z-26).ml ^2+ 6-^(Z-26).ml ^

ml ’

ml ’

C22

C22

3(н+л)m

3(н+л)m

2

+ 6-^(Z-26).

ml ^

2

+ 6-^(Z-26).

ml ^

Сразу отметим, что неравенство С12 ^ c2i служит признаком неконсервативности системы; ниже мы непосредственно убедимся в том, что энергия рассматриваемой системы может с течением времени убывать (при малых скоростях потока) или возрастать (при достаточно больших скоростях потока). Принимая частное решение системы (12.7) в виде

y = AteM, ф = А2ем, получаем

Л1 (А2 + Си) + A2ci2 = О,А1С21 + Л 2 (А2 + С22) = 0;

отсюда следует характеристическое уравнение

+ С11С12

С21^ + С22

т. е.

А4 + А2(Сц + С22)+ СцС22 — С12С21 = 0.

Таким образом, корни характеристического уравнения имеют вид

^1,2,3,4 ==

(12.8)

Если разность сцс22 — С12С21 отрицательная, то один из корней (соответствующий двум знакам плюс) оказывается вещественным и положительным; отвечающее это- 13*

му корню движение представляет собой апериодический монотонный уход системы от положения равновесия. Следовательно, это положение — неустойчивое.

Если же эта разность положительная и удовлетворяет неравенству

сис22 ^та^гт I 2) ’

то корни (12.8) оказываются комплексными:

М = а + гр, Хг = а — гр, %з = —а + гр, л4 = —а — гр,

где аир — положительные и вещественные. Первой паре этих корней соответствует движение

у = Ипех1' + Л12Л* = Bxettt sin (P>f + yj,

<p = Л21Лг + Л22Л' = Вгеа1 sin фг + у2),

т. е. колебания с монотонно возрастающими амплитудами. Отсюда ясно, что в рассматриваемом случае состояние равновесия также неустойчиво.

Таким образом, для того чтобы рассматриваемая система после возмущения оставалась в окрестности положения равновесия (что и принимается здесь за признак

Рис. 12.5Рис. 12.5

Рис. 12.5

Рис. 12.5

УСТОЙЧИВОСТИ), Необходимо, Чтобы раЗПОСТЬ СЦС22 — С12С21 удовлетворяла двум неравенствам:

ООС11С22С12С21 < I 2/С11С22С12С21 < I 2/(12.9)(12.9)

О

О

С11С22С12С21 < I 2/

С11С22С12С21 < I 2/

(12.9)

(12.9)

При нарушении первого неравенства возникает дивергенция (рис. 12.5, а), а при нарушении второго неравен-

ства — колебания с возрастающими амплитудами (рис. 12.5, б); такие колебания называются флаттером.

Границам области устойчивости соответствуют знаки равенств в (12.9). Если подставить в (12.9) выражения су, то можно найти два критических значения скорости, которая служит параметром, определяющим устойчивость:

скорость дивергенции

yd) = ] / —LA

V ^v^b-n-Vc^

и скорость флаттера

^ = 2^ = 2

^ = 2

^ = 2

Отметим, что при малых жесткостях правой опоры, / I , \ (1)

когда с2 < с, —— 1 , критическая скорость ккр оказывается мнимой, т. е. дивергенция невозможна. Если, па- иротив, жесткость левой опоры меньше жесткости правой опоры, то мнимым становится выражение критической скорости Укр, т. е. невозможен флаттер.

Флаттер представляет реальную опасность для многих конструкций, находящихся в потоке жидкости или газа (крыло или хвостовое оперение самолета, обшивка летательного аппарата, лопатка турбины и т. п.).

б) Устойчивость вращающегося вала. Рассмотрим систему, состоящую из вертикального упругого безынерционного вала 1, с серединой которого жестко связан эксцентрично насаженный диск 2, обладающий горизонтальной плоскостью симметрии. Вал с диском вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью со (рис. 12.6, а).

Введем координатную систему xyz, равномерно вращающуюся вокруг оси недеформированного вала с угловой скоростью со. Ось ж совместим с осью недеформированного вала, ось у направим параллельно эксцентриситету е = АС (Л — центр сечения вала, С—центр тяжести диска), а ось a— перпендикулярно осям х и у; орты осей у и z обозначим через i и j соответственно,— см. рис. 12.6, б. При таком выборе подвижной координатной

системы относительное движение диска, обусловленное изгибом вала, окажется поступательным.

Исследуем это относительное движение, обозначив: г — радиус-вектор центра тяжести диска С, х, у, z — декартовы координаты точки С в подвижной координатной системе, р — радиус-вектор точки крепления А диска к валу (при этом р + е = г), с— коэффициент жесткости

Рис. 12.6

вала (для изображенной схемы с = 48EJjl3, где EJ — из- гибная жесткость сечения вала, I—его длина).

При составлении дифференциальных уравнений относительного движения центра диска С нужно учесть силу упругости вала —ср, переносную силу инерции — mwc и кориолисову силу инерции —mwc. Сила упругости приложена в точке А, а обе силы инерции — в точке С.

Силу упругости можно записать в виде

— ср = —ст + се = —с [ (у — е) j + zk].

Переносная сила инерции равна

—т^е = mah = m(o2(yj + zk).

Для кориолисовой силы инерции последовательно получим:

—mwc = 2m (vr X 6)Д = 2m [ (yj + zk) X coi] =

= 2mco (zj — yk).

Проекции этих сил на осп подвижной координатной системы даны в следующей таблице:

Силы

Проекции сил

на ось у

на ось г

Сила упругости

Переносная сила инерции

Кориолисова сила инерции

—с (у — е) т(£?у 2mtoz

—сг m<o2z ■—Imtoy

Соответственно данным таблицы дифференциальные уравнения относительного движения центра диска С имеют вид

ту = —с (у — е)+ та2у + 2mcoz, тх = —cz + mto2z — 2тгоу.

Подставив сюда к2 = с]т (к — собственная частота поперечных колебаний невращающейся системы), получим при со к

У - 2ыг + (к2 -а>2)у = к2е,(12 10)

х + 2йщ + (й2- (o2)z = 0.1 ‘ '

Эта неоднородная система уравнений допускает решение

У* =е-I’ z* = 0; ему соответствует неизменный во 1 — <о /к

времени изгиб вала во вращающейся плоскости ху. Для того чтобы исследовать устойчивость этого режима, предположим, что он каким-либо образом был нарушен и возникло возмущенное движение, описываемое функциями.

У = У* + Y, z=Z,

где У(0 и Z(£)—малые отклонения от режима, устойчивость которого исследуется. Подставив у, z в (12.10), получим систему уравнений, которая при учете выражений у* и z* приводится к однородному виду

У — 2ы2+(к2 — о2) У = 0,Z + 2соУ У (к2 — o2)Z = 0.

Полагая, как и выше

У-А^'1, Z = A2e",

получаем однородную относительно Л[ и Л2 систему уравнений:

ЛД2- 2юЛ2Х + (^2 — со2) Л1 = 0,

Л2Х2 + 2(оЛД + (^2~ й2)Л2 = 0.

Она имеет отличные от нуля корни только в том случае, когда равен нулю определитель

/с2 _ о,2 -|- х2 - 2оА = 0.

2мХ Г2 — со"" Л- Х“

в результате получим характеристическое уравнение (к2 — со2 + А2)2+(2юХ)2 = 0.

При к '* со все корни характеристического уравнения мнимые1:

Х1,2,3,4 = ± (к ± со) I.

Это означает, что при к ^ со система устойчива: после любого начального возмущения она будет совершать гармонические колебания с частотами к + со и к—со (нужно отметить, что эти частоты отличаются от собственной частоты колебаний невращающейся системы). Лишь в особом случае, когда со = к, возникает нулевой (двойной) корень, которому соответствует неустойчивость системы. Впрочем, с приближением угловой, скорости со к значению к само значение у* неограниченно возрастает. Угловую скорость со = к называют критической скоростью; некоторый диапазон значений угловой скорости, близких к критическому значению, в эксплуатационных условиях «запрещается». Важно, что ири со > к система вновь устойчива!

Системы с двумя степенями свободы с трением. В обоих рассмотренных в и. 3 примерах характеристическое уравнение оказалось биквадратным и найти его корни было легко. В более сложных случаях, например для полного уравнения четвертой степени, определение корней оказывается гораздо более трудной задачей. Однако для суждения о знаках вещественных частей корней нет необходимости решать характеристическое уравнение,— Раус и Гурвиц указали условия, которым должны удовлетворять коэффициенты характеристического уравнения, для того чтобы вещественные части всех корней были отрицательными; приведем условия Рауса—Гурвица без вывода.

Пусть характеристическое уравнение записано в виде bo?? + biV~' + b2Xn~2 + ... + bn = 0;

для того, чтобы среди его корней не было ни одного с положительной вещественной частью, необходимо и до

статочно выполнение неравенств

0, .. .0, .. .0.0.Ь0>0, ^>0,

0, .. .

0, .. .

0.

0.

61 6з 6о 62 о ьу 0 Ьо61 6з 6о 62 о ьу 0 ЬоV" 0

61 6з 6о 62 о ьу 0 Ьо

61 6з 6о 62 о ьу 0 Ьо

V- о6з‘" 0

6„

В частности, для характеристического уравнения третьей степени условия Рауса—Гурвица имеют вид

Ь0>0, bi > 0, 62 > 0, Рз>0,

bib2 - b0b5 > 0,

а для уравнения четвертой степени — вид

Ьо > 0, by > 0, Ь2 > 0, &з > 0, Ь4 > 0,

ЪгЪ2Ь3 — Ь0Ьз — b2b4>0.ЪгЪ2Ь3 — Ь0Ьз — b2b4>0.(12.12)(12.12)

ЪгЪ2Ь3 — Ь0Ьз — b2b4>0.

ЪгЪ2Ь3 — Ь0Ьз — b2b4>0.

(12.12)

(12.12)

В качестве примера рассмотрим плоскую систему типа двойного маятника (рис. 12.7) с вязкоупругими шар

нирами в точках 0 и 1. Массу системы будем считать сосредоточенной в точках 1 и 2. В точке 2 на систему действует «следящая» сила Р, направление которой совпадает с осью стержня 1—2 при любых отклонениях системы. Обозначим: b и с — коэффициенты вязкости и жесткости шарниров, mi = 2т и т2 = т — массы, сосредоточенные в точках 1 и 2, I — длина каждого из стерж

ней, epi и ф2 — углы отклонения стержней от положения равновесия, принимаемые за обобщенные координаты. Силы тяжести для упрощения задачи учитывать не будем.

В данном случае условия Рауса— Гурвица (12.12) приводят к следующим неравенствам:

1)6>0; ^Р<^А~^

Первое и четвертое неравенства выполняются автоматически, а из двух остальных неравенств более жестким является третье. Оно позволяет найти критическое значение силы

п 41 с , 1 6

кр - 18 Т +

и если 6 = 0, то Рку = 1,464 c/Z.

В заключение отметим, что если бы в данной задаче с самого начала положить b = 0. и определять критическую силу подобно тому, как это было сделано в п. 3 (из анализа биквадратного уравнения), то для критической силы получится иное (неверное) значение

Ркр = 2,086-^-.

Это несоответствие составляет содержание так называемого парадокса Циглера, на обсуждение которого мы здесь останавливаться не будем.

§13. Стационарные режимы и предельные циклы

Общие понятия. Для суждения об устойчивости состояний равновесия выше мы пользовались линеаризованными уравнениями, описывающими малые движения в окрестности этих состояний. Такой анализ позволяет уловить начальные тенденции возмущенных движений, но — в случаях неустойчивости — не позволяет проследить дальнейшее развитие процесса движения при возрастании отклонений.

Исследование движения «в большом» в принципе невозможно с помощью линеаризованных уравнений: нелинейные члены уравнений, будучи пренебрежимо малыми при малых отклонениях системы от состояния равновесия, начинают играть все более заметную роль при увеличении отклонений; при этом вид нелинейности существенно влияет на развитие процесса с возрастанием вре-

В данном случае условия Рауса — Гурвица (12.12) приводят к следующим неравенствам:

1)6>0; 2^Р<^^ + ^^;

Первое и четвертое неравенства выполняются автоматически, а из двух остальных неравенств более жестким является третье. Оно позволяет найти критическое значение силы

р 41 с , 1 Ь

кр - 28 Т + "2"

и если 6 = 0, то Ркр = 1,464 сЦ.

В заключение отметим, что если бы в данной задаче с самого начала положить Ъ = 0 и определять критическую силу подобно тому, как это было сделано в и. 3 (из анализа биквадратного уравнения), то для критической силы получится иное (неверное) значение

Ркр = 2,086^-.

Это несоответствие составляет содержание так называемого парадокса Циглера, на обсуждение которого мы здесь останавливаться не будем.

§13. Стационарные режимы и предельные циклы

Общие понятия. Для суждения об устойчивости состояний равновесия выше мы пользовались линеаризованными уравнениями, описывающими малые движения в окрестности этих состояний. Такой анализ позволяет уловить начальные тенденции возмущенных движений, но — в случаях неустойчивости — не позволяет проследить дальнейшее развитие процесса движения при возрастании отклонений.

Исследование движения «в большом» в принципе невозможно с помощью линеаризованных уравнений: нелинейные члены уравнений, будучи пренебрежимо малыми при малых отклонениях системы от состояния равновесия, начинают играть все оолее заметную роль при увеличении отклонений; при этом вид нелинейности существенно влияет на развитие процесса с возрастанием вре-

нием, когда характеристика трения нейной функцией скоростинием, когда характеристика трения нейной функцией скорости

нием, когда характеристика трения нейной функцией скорости

нием, когда характеристика трения нейной функцией скорости

мени. В частности, во многих случаях возрастание колебаний постепенно замедляется и движение стремится к

некоторому стационарному режиму — режиму автоколебаний. В общих чертах природу этого явления можно понять с помощью качественных соображений, не прибегая

к количественному исследованию.

Рассмотрим, например, колебательную систему с тре

описывается нели-

Rkq^=—bxq A-bsq?l (рис. 13.1, а). Дифференциальное уравнение движения (уравнение Рэлея) имеет вид

aq — b\q + b^q3 + cq = О

(13.1)

(a>0, bi >0, &з>0, c>0).

При малых отклонениях от состояния равновесия основное значение имеет линейный член силы трения,который в данном случае оказывает дестабилизирующее действие; из-за этого состояние равновесия неустойчиво, и сколь угодно малые начальные возмущения вызовут постепенно возрастающие колебания (об этом см. выше в связи с уравнением (12.3)). Но при этом будет увеличиваться д о м и ф и- рующее влияние кубического члена, так что рост колебаний станет замедляться и движение будет стре-

Рис. 13.1миться к режиму автоколе

баний, характеризуемому постоянным значением амплитуды; в целом движение будет развиваться так, как это показано на рис. 13.1, б. При достаточно больших начальных возмущениях рассматриваемой системы демпфирующее действие кубического члена вначале окажется значительнее, чем дестабилизирующее действие линейного члена, т. е. колебания

Рис. 13.2Рис. 13.2

Рис. 13.2

Рис. 13.2

в начале процесса будут затухать. Однако с уменьшением колебаний относительное влияние кубического члена будет также убывать, т. е. движение станет стремиться к тому же стационарному режиму, который характеризуется балансом противоположных влияний (рис. 13.1, в).

Эти два случая движения удобно иллюстрировать на фазовой плоскости (рис. 13.2, а). Кривая I соответствует движению, возникающему после малых начальных возмущений, кривая II — движению, начинающемуся после значительных возмущений; обе эти кривые описывают переходный процесс. Замкнутая кривая Л, к которой неограниченно приближаются кривые типа I и II, описывает стационарный режим автоколебаний и является устойчивым предельным циклом. Вообще устойчивыми предельными циклами называются изолированные замкнутые

фазовые траектории, к которым неограниченно приближаются все расположенные в их окрестности другие фазовые траектории.

Сопоставляя демпфирующие и дестабилизирующие влияния, мы, в сущности, имели в виду постепенное изменение энергии системы вследствие работы, совершаемой различными составляющими силы трения. Дестабилизирующие слагаемые совершают положительную работу и увеличивают энергию системы, а демпфирующие слагаемые совершают отрицательную работу, т. е. уменьшают энергию системы. На рис. 13.2, б схематически показаны вклады обоих слагаемых, рассчитанные

за один период: Е+ — приращение энергии, вызываемое действием линейного слагаемого силы трения, Е- — абсолютное значение изменения энергии, вызываемого действием кубического слагаемого силы трепня. Как видно,эти вклады, и притом в неодинаковой мере, зависят от ампйИ- туды колебаний. При малых амплитудах имеет место нерй-

венство Е+ > Е-, т. е. происходит приток энергии в систему и амплитуды возрастают, пока не будет достигнут стационарный режим, характеризуемый амплитудой Лст. Если вследствие больших начальных возмущений колебания начинаются с амплитудами, большими чем ЛС1, то разность Е+ — Е_ отрицательная, и колебания убывают, стремясь к тому же стационарному режиму. Возможные тенденции движения показаны стрелками под осью абсцисс.

Такими же свойствами обладает и система, описываемая дифференциальным уравнением Вандер Поля g-ptl-^g + ^O(13.2)

(ц— постоянная). Положим, что после некоторого малого начального возмущения начинаются колебания с малыми амплитудами. Пока колебания малы и выполняется неравенство д2 < 1, второе слагаемое уравнения (13.2) оказывает, по-видимому, дестабилизирующее действие, и колебания будут возрастать. Но с их увеличением указанное неравенство станет нарушаться и коэффициент при д будет положительным в тех интервалах времени, в которых д2 > 1. В этих интервалах времени второе слагаемое левой части (13.2) будет оказывать демпфирующее влияние. При дальнейшем возрастании колебаний демпфирующее действие будет увеличиваться и движение системы станет приближаться к стационарному режиму, которому соответствует взаимная компенсация дестабилизирующего и демпфирующего влияний. В целом процесс установления будет протекать соответственно рис. 13.1, б и е, а также рис. 13.2, а и б.

Подобные случаи, когда возрастание колебаний происходит после сколь угодно малых начальных возмущений состояния равновесия, называются случаями мягкого самовозбуждения.

Наряду с этим существуют системы с противоположными свойствами. Такова, например, система, описываемая дифференциальным уравнением

ад + бщ — bag2 + cq = Q(13.3)

(а>0, b\ > 0, б3 > 0, с>0). Здесь знаки слагаемых силы трения противоположны знакам в уравнении (13.1). Поэтому если начальные возмущения малы, то колебания будут затухать (начало координат является устойчивым фокусом), но если начальные возмущения достаточ-

но велики, то амплитуды колебаний будут неограниченно увеличиваться. В этом случае фазовая диаграмма имеет вид, показанный на рис. 13.3, а. Здесь также существует предельный цикл Л, однако он неустойчив, так как все окрестные фазовые траектории удаляются от

него — либо внутрь, к началу координат, либо вовне (в зависимости от расположения начальной изображающей точки). Эти траектории на рис. 13.3, а обозначены цифрами / и II. Вообще неустойчивыми предельными циклами называются такие изолированные замкнутые фазовые траектории, от которых удаляются все расположенные в их окрестности другие фазовые траектории.

Кривые, характеризующие приток энергии Е+ и энергетические потери Е_, показаны на рис. 13.3, б; здесь же стрелками показаны тенденции движения при различных амплитудах колебаний. Такая система может служить примером системы с жестким самовозбуждением, поскольку возрастающие колебания возникают лишь после Достаточно больших начальных возмущений.

В более сложных случаях возможно существование нескольких предельных циклов. Так, для системы, описываемой дифференциальным уравнением

aq — btq + bsq?' — b^ + cq = 0 (13.4)

(a>0, &i>0, 63 > 0, &5 > 0, c>0), фазовая диаграмма имеет вид, показанный на рис. 13.4, а, а энергетические кривые даны на рис. 13.4, б.

Во всех рассмотренных случаях можно заметить ч е- редование устойчивых и неустойчивых стационарных состояний: на рис. 13.2, а неустойчивая особая точка окружена устойчивым предельным циклом, на рис. 13.3, а устойчивая особая точка окружена неустойчивым предельным циклом, на рис. 13.4, а неустойчивая особая точка окружена устойчивым циклом Аг, который в свою очередь располагается внутри неустойчивого предельного цикла А2 (для последнего случая на рис. 13.4, б показаны энергетические кривые). Можно сказать, что устойчивые состояния равновесия и устойчивые предельные циклы притягивают к себе лежащие в их окрестностях фазовые траектории и по этому существенному признаку называются аттракторами (от английского глагола to attract—притягивать). Ниже, в § 16 будет рассмотрен аттрактор иного рода со столь удивительными свойствами, что его называют странным аттрактором.

Каждому аттрактору на фазовой плоскости соответствует определенная область притяжения, причем границами между этими областями служат неустойчивые предельные циклы (иногда такие циклы, а также неустойчивые состояния равновесия называют репеллерами — от английского глагола to repel — отталкивать). Эта картина подобна тому, как на земной поверхности границы между бассейнами рек проходят по линиям водораздела.

При простой структуре фазовой диаграммы, когда существует единственный аттрактор — устойчивое состояние равновесия как на рис. 2.3, или устойчивый предельный цикл как на рис. 13.3 — его областью притяжения служит вся фазовая плоскость. В более сложных случаях стремление возмущенного движения к тому или иному аттрактору зависит от того, в какой из областей притяжения оказалась изображающая точка при начальном возмущении. Так, для системы с двумя предельными циклами (рис. 13.4) часть фазовой плоскости, расположенная внутри неустойчивого предельного цикла А2, яв-

§ 13. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ 209 ляется областью притяжения к аттрактору Лц а часть фазовой плоскости, расположенную вне предельного цикла Лг, можно считать областью притяжения к бесконечности.

Изложенные представления относятся к автономным системам с одной степенью свободы, но могут быть распространены на более сложные системы путем перехода от фазовой плоскости к фазовому пространству более высокой размерности. В частности, для неавтономных систем с одной степенью свободы пользуются представлением о трехмерном фазовом пространстве, причем координатами изображающей точки служат величины q, q и t. Фазовое пространство для автономной системы с двумя степенями свободы оказывается четырехмерным и т. д. Конечно, в этих и еще более сложных случаях представления о фазовых диаграммах лишаются простоты и наглядности, которыми обладают эти диаграммы на фазовой плоскости.

Дальнейшее содержание настоящего параграфа посвящено способам определения стационарных режимов; анализ устойчивости (неустойчивости) таких режимов, т. е. выделение аттракторов и репеллеров, рассматривается в следующем параграфе.

Способ поэтапного интегрирования для кусочнолинейных систем. Как мы видели выше, в нелинейных системах с кусочно-линейными характеристиками удобно разделить весь процесс движения на последовательность интервалов, в каждом из которых дифференциальное уравнение линейно и легко решается в замкнутом виде. Тогда задача сводится к последовательному решению нескольких дифференциальных уравнений и п р и- пасовыванию найденных решений путем согласования значений координаты и скорости на границах интервалов.

В качестве первого примера рассмотрим систему с вязким трением, на которую в моменты прохождения через положение равновесия с положительной скоростью (9 = 0, q > 0) действуют мгновенные импульсы S, направленные в сторону движения (см., например, рис. 0.2, б). В промежутках времени между двумя последовательными импульсами движение системы описывается дифференциальным уравнением (2.6), решение которого примем в форме (2.7). Входящие сюда постоянные определяются условиями в начало рассматриваемого

•14 Ч Г ТТанлпт.*п

и-го промежутка q (0) = 0, q (0) = qp.

Ci = g+/к*,C.2 = 0.

Таким образом, для q и q имеем

9 =е-ыsin k^V,

..(13.5)

9 = q+e~M [cosk^t — (&/&*) sin k^t].

В последний момент перед приложением очередного (и+1)-го импульса, т. е. при 1=2я!к*, обобщенная скорость равна

л— г-т л+р~2лА/^*

"п+1 "п

Следовательно, непосредственно после приложения следующего импульса

С1 = ^+1 + ™ q+e-^№* + ^-.(13.6)

В стационарном режиме, т. е. при движении по предельному циклу, ДОЛЖНО быть q^+1 = Чр из этого условия периодичности следует выражение для обобщенной скорости сразу после приложения любого из мгновенных импульсов:

•+ = S

q а (1 _ е-2ЛЛ/Л*)-

Соответственно для обобщенной координаты находим

9тах ^ ак* (1 - е-2лй/А*) •

Энергия, рассеиваемая в рассмотренной системе за время свободного движения между двумя последовательными импульсами, мгновенно восполняется благодаря скачку скорости в момент приложения импульса.

Сходными автоколебательными свойствами обладает система, в которой наряду с обычной силой вязкого трения действует сила отрицательного кулонова трения. Характеристика трения показана на рис. 13.5, а, так что дифференциальное уравнение движения имеет вид

aq + bq — Resign q + cq = 0.(13.7)

Здесь причиной самовозбуждения колебаний служит отрицательная сила кулонова трения. При малых отклонениях системы от состояния равновесия влияние указанной силы значительнее демпфирующего влияния силы вязкого трения и состояние равновесия неустойчиво. Однако при дальнейшем развитии колебаний эти влияния сравняются и установится стационарный режим автоколебаний (рис. 13.1,6). После большого начального

отклонения (рис. 13.1, е) постепенно устанавливается тот же стационарный режим.

Рассмотрим какой-либо интервал процесса, в котором координата убывает (см. на рис. 13.5, б интервал, отмеченный числами 0 и 1/2); на этом интервале дифференциальное уравнение (13.7) принимает форму

aq + bq + cq = — Ro,

и его решение при начальных условиях qo=Ao, qQ = О имеет вид

9 =+ -Л) e-ht fcos kJ + sin kj\ —

\L /\/С

Далее находим скорость

/ R \А-2

q = — Ло e~ht—— sin kJ

*

(обозначения соответствуют принятым в §2). В точке 1/2 скорость обращается в нуль, и этому моменту соответствует равенство

к Jiji — л,

причем координата q принимает значение

q = Av^ — — Aoe—лЦц.^.(13.8)

На следующем интервале времени 1/2 — 1 скорость положительная, и из уравнения (13.7) имеем

aq + bq + cq = Rq.(13.9)

Для этого интервала времени при смещенном в точку 1/2 начале отсчета получим

q =e~ht [cos кЛ + sin \

\С /

[R \7.2

q = — Л,/2 е~м — sin k».t.

*

В состоянии 1, когда qx = О,

координата q равна лЛ R (Л^

q = А = - Л1/2^ +

Подставив сюда выражение (13.8), найдем связь между Двумя последовательными положительными отклонениями:

2Лк д /_5/?\2

(13.10)(13.10)А = Аие + -Ц1-|-е,

(13.10)

(13.10)

причем длительность одного цикла (период автоколебаний) составляет 2л//;Ф. В стационарном режиме должно быть Ах = ЛО = ЛСТ. Отсюда находим

(13.11)(13.11)_(1+£^Н_2

(13.11)

(13.11)

ст — с ! _ е-2л№*>

При малых значениях отношения h/к* можно принять

Лст =Лст =2Л^,лс/i,2Л^,лс/i,

Лст =

Лст =

2Л^,лс/i,

2Л^,лс/i,

В качестве третьего примера рассмотрим систему, показанную на рис. 13.6, а. Она состоит из равномерно движущегося ведущего звена 7, приводящего через пружину 2 в движение груз 3. Между грузом и поверх-

иостыо, по которой он скользит, развивается сила сухого трения; характеристика трения имеет вид, показанный на рис. 13.6,6, и схематически отражает известное из экспериментов различие между предельной силой трения покоя и силой трения движения.

Введем обозначения: по— скорость ведущего звена, с — коэффициент жесткости пружины, т — масса груза,

Rk

ао

Рис. 13.6

к=-Ус!т, Ri — предельная сила трения покоя, Rz— сила трепня движения.

Очевидно, возможно такое движение рассматриваемой системы, при котором скорость груза 3 также равна н0. При этом пружина 2 сжата постоянной силой Р, равной силе трения движения Rz. Однако, как мы убедимся, этот режим может оказаться неустойчивым и при определенных обстоятельствах около него возникают автоколебания.

Если скорость По мала, то какое-либо случайное препятствие может оказаться достаточным для остановки груза на некоторое конечное время.

Ведущее звено, продолжая движение вправо, будет сжимать пружину до тех пор, пока сила сжатия Р не сравняется с силой трепня покоя R\. Лишь после этого произойдет срыв груза, причем сила трения мгновенно уменьшится до значения Rz- Но сила сжатия пружины в первый момент начавшегося движения будет по-прежнему равна Rt, и, следовательно, равновесие сил, действующих на груз, нарушится.

Совместим с моментом срыва начало отсчета времени t—0 и заметим, что в этот момент равны нулю как координата ж, так и скорость х:

ж(0) = 0, х(0) = 0(13.12)

(отсчет перемещений будем вести от места остановки груза).

Рассмотрим теперь процесс последующего движения. К некоторому моменту времени t > О длина пружины изменится на отрезок х — vnt и соответственно сила упругости пружины уменьшится до значения

P(t) = Ri — с^х — vot).P(t) = Ri — с^х — vot).(13.13)(13.13)

P(t) = Ri — с^х — vot).

P(t) = Ri — с^х — vot).

(13.13)

(13.13)

Таким образом, дифференциальное уравнение движения груза запишется в виде

Rx — с (х — not) — Ri = м, или

х к-х = k2uBt -|— .

Решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (13.12), имеет вид

х = vBtpsin/rf-,'——- (1 — cos kt). (13.14)

Первое слагаемое правой части выражает равномерное движение со скоростью ведущего звена, а остальные слагаемые — дополнительные колебания груза.

Скорость груза меняется по закону

•к (R — R )

х = v0 — ц, cos kt -]—-— sin kt

и в некоторый момент времени может вновь обратиться в нуль. Условие новой остановки груза приводит к уравнению

к (R — R ) .v0 — г?0 cos ktx -)— sin kt1 = 0,

в котором f| — время от момента срыва до момента новой остановки. Введем безразмерный параметр

k^-R,)

Теперь условие остановки принимает вид

a sin kt\ = cos kt\ — 1.

Решив это уравнение, найдем

sin^ =—»i cos ktL = -—^-.(13.15)

11 + а211 + а2 v '

Модули полученных выражений всегда меньше единицы, так что из (13.15) всегда следует вещественное значение tx. Получив это значение t\, можно по формуле (13.14) определить координату х груза в момент новой остановки, т. е. путь, пройденный грузом за время t\;

жг = ^ой ~ д" sin кЧ +(1 — cos А^) = и^ + —

С учетом выражений (13.15) найдем по соотношению (13.13) силу сжатия пружины в момент остановки:

Р (ti) = 2R, — Ri.

Отсюда видно, что P(ti')<R1 (так как R2<R^. Следовательно, после остановки груз некоторое время будет оставаться па месте, пока сила сжатия пружины вновь не достигнет значения предельной силы трения покоя. После этого произойдет новый срыв груза и начнется следующий цикл, полностью совпадающий с предыдущим. Таким образом, рассматриваемый процесс представляет собой стационарные автоколебания.

За время, в течение которого груз покоится, сила сжатия постепенно возрастает па величину

^P = Rl-PM = 2<R1-R2)1

и соответствующее дополнительное укорочение пружины составит

сс *

Зтой же величине равен путь, пройденный ведущим звеном за время остановки груза. Следовательно, длительность состояния покоя груза равна

/2 - — = 2а(13 16)

(Тот же результат можно найти из условия Vo(^i + t^ — = хх, выражающего равенство перемещений груза и ведущего звена за один полный цикл рассматриваемого процесса.)

Таким образом, период автоколебаний определяется формулой

Т = tX + Z2,

для пользования которой сначала нужно найти ti из выражений (13.15), а затем t^ из формулы (13.16).

Чем меньше скорость ведущего звена, тем более резко выражен процесс автоколебаний. Действительно, при малых значениях По безразмерный параметр а становится весьма большим и из выражения (13.15) следует приближенно

sin kt, -> 0, cos kt, ->■ — 1, т. е. Л = 111 к

Соответственно (13.16) это приводит к следующей формуле для периода автоколебаний:

Т =Т =л + 2<х к 'л + 2<х к '

Т =

Т =

л + 2<х к '

л + 2<х к '

Здесь ясно видно, что роль второго слагаемого в числителе возрастает с уменьшением скорости По-

Законы движения при двух различных малых значениях по графически показаны па рис. 13.7, а; на

Гис. 13.7Гис. 13.7

Гис. 13.7

Гис. 13.7

рис. 13.7, б показаны соответствующие законы изменения скорости. С уменьшением скорости период автоколебаний растет.

Метод энергетического баланса. Этот метод, которым мы пользовались при исследовании свободных колебаний систем с нелинейным трением (п. 2 § 2) позволяет получить приближенное решение задачи о стационарных автоколебаниях квазилинейных систем, движение которых описывается дифференциальным уравнением

q + код = / to, qVq + код = / to, qV(13.17)(13.17)

q + код = / to, qV

q + код = / to, qV

(13.17)

(13.17)

Здесь, как указывалось, Цд, д)—функция, состоящая из малых нелинейных членов. Поскольку эти члены малы, естественно принять к = ко и искать решение в виде

д = Л cos(^ — ф),(13.18)

где Лиф — постоянные. В этой записи существенно предположение о том, что частота автоколебаний к равна собственной частоте линеаризованной системы. Выражение (13.18) не может строго удовлетворить уравнению (13.17): этому мешает правая часть Цд, д), которая после подстановки (13.18) принимает вид

/ V^ — ф) = / М cos (kot — ф), — Ак0 sin (kot — ф)] (13.19)

и тождественно в нуль не обращается. После умножения на инерционный коэффициент а правая часть будет представлять собой некоторую неуравновешенную силу. В соответствии с основной идеей энергетического метода потребуем, чтобы работа этой силы за период 2л/А10 равнялась нулю. Работа силы а/* на элементарном перемещении dg равна a/* dg = af^g dt. При учете соотношений (13.18) и (13.19) условие энергетического баланса запишется в виде

2Л/ЙО

— аАк0 ^ / [Л cos (kyt — ф), — Ак0 sin (^01 — ф)] X о

X sin(/c0/— ф)<Й = 0. (13.20) Обозначив

kot — ф = ф,

2Л

Ф (Л) = — f / (Л cos ф, — Ак0 sin ф) эшф t/ф, (13.21) 6

получим условие для определения стационарной амплитуды автоколебаний в виде *)

Ф(Л) = 0.(13.22)

В качестве примера найдем амплитуду автоколебаний для системы, описываемой дифференциальным урав-

неиисм (13.7); выше эта задача была точно решена способом поэтапного интегрирования (припасовывания).

В данном случае

/(7- 7) = — у? г "у" sign,?

и

/ (A cos гр, — Ак0 sin ip)/ (A cos гр, — Ак0 sin ip)^0a^0asin ip 4- -p sign (— sin ip),sin ip 4- -p sign (— sin ip),

/ (A cos гр, — Ак0 sin ip)

/ (A cos гр, — Ак0 sin ip)

^0a

^0a

sin ip 4- -p sign (— sin ip),

sin ip 4- -p sign (— sin ip),

t. e.

/ (4 cos ip, — Ak0 sin ip) =/ (4 cos ip, — Ak0 sin ip) =Согласно формуле (13.21)г лСогласно формуле (13.21)г лФЦ) = -ФЦ) = -2Л2ЛAbb .—Sin Ф — у приAbb • Дп sin Ф + у принаходимAbb .—Sin Ф — у приAbb • Дп sin Ф + у принаходим0<ф<л,0<ф<л,л <Ф<2л.л <Ф<2л.С(АЬк •,I sin ф^1 sin ф а^ - оС(АЬк •,I sin ф^1 sin ф а^ - оГ / 4№R )I—^-2-sin ф 4~-у J sin ф (/ф л■Г / 4№R )I—^-2-sin ф 4~-у J sin ф (/ф л■л 46^ал 46^а4Вп+ V’ (13.23)4Вп+ V’ (13.23)

/ (4 cos ip, — Ak0 sin ip) =

/ (4 cos ip, — Ak0 sin ip) =

Согласно формуле (13.21)г л

Согласно формуле (13.21)г л

ФЦ) = -

ФЦ) = -

2Л

2Л

Abb .

—Sin Ф — у при

Abb • Дп sin Ф + у при

находим

Abb .

—Sin Ф — у при

Abb • Дп sin Ф + у при

находим

0<ф<л,

0<ф<л,

л <Ф<2л.

л <Ф<2л.

С(АЬк •,

I sin ф^1 sin ф а^ - о

С(АЬк •,

I sin ф^1 sin ф а^ - о

Г / 4№R )

I—^-2-sin ф 4~-у J sin ф (/ф л■

Г / 4№R )

I—^-2-sin ф 4~-у J sin ф (/ф л■

л 46^а

л 46^а

4Вп

+ V’ (13.23)

4Вп

+ V’ (13.23)

Теперь из условия (13.22) находим для амплитуды автоколебаний прежнее выражение (13.11).

Метод малого параметра. Как и в методе медленно меняющихся амплитуд, нужно прежде всего выделить из заданной функции F^q, д) линейную часть и представить основное дифференциальное уравнение в виде

q 4- ktq = ^Ь q^(13.24)

Для квазилинейных систем нелинейную функцию /(д, 4) можно представить в виде ц/*(д, у), где ц—заведомо малый параметр. Однако в подобных случаях можно поступить и по-иному—формально ввести в правую часть (13.24) множитель ц = 1 и записать уравнение (13.24) в виде

q + ^q =Q)-(13.25)

Тогда в последующих выкладках буква ц будет служить лишь «сигналом малости» того сомножителя, около ко-

торого она стоит; если в этих выкладках возникнут степени буквы ц (т. е. ц2, ц3 и т. д.), то они будут как бы отмечать величины второго, третьего и т. д. порядков малости. Разумеется, что при таком формальном введении параметра ц в окончательных результатах нужно вновь положить ц = 1.

Согласно основной идее рассматриваемого метода, решение уравнения (13.25) ищется в виде ряда по степеням малого параметра ц

9(<) = 9о(О + M7i(0 + ц27г(0 + • • ■,(13.26)

в котором 7о(О, 71(0, 7з(0, ••• — пока неизвестные функции. Поскольку частота искомого процесса движения, обозначенная ниже через к, может не совпадать с собственной частотой линеаризованной системы ко, принимается аналогичное разложение

ку = к2 ф- цу1 ц2у2 . ..,(13.27)

где 7ь 72 — постоянные, также пока неизвестные.

Теперь выражения (13.26) и (13.27) подставляются в обе части основного уравнения (13.25). Слагаемые полученного равенства будут пропорциональны различным степеням малого параметра щ и следовательно, после группировки слагаемых равенству можно придать вид

Z)0+pDi+ц2/)2+... = 0.(13.28)

Здесь Do, Dx, D2...— некоторые комплексы выражений, не содержащие малого параметра. Так как соотношение (13.28) должно выполняться при любом значении щ необходимо, чтобы порознь равнялись нулю Do, D\, D2...

При этом получается система уравнений следующего вида:

7о + ^о7 = 0,

7i + ^o7i = ^i (7о ^ 7о №Ь(13.29)

72 + ^д2 = р2 ЫО, 71Ш

Конкретный вид выражений Р\, Р2, ... зависит от того, какова заданная функция /(<?, д); конечно, в развернутые выражения Р\, Р^, . .., войдут также постоянные

Далее последовательно, одно за другим, решаются уравнения (13.29), причем постоянные yi, уг, • •. определяются из условия отсутствия в решениях вековых (резонансных) членов, т. е. таких, которые содержат время t вне знаков тригонометрических функций; те же условия позволяют также найти и амплитуду автоколебаний.

Не останавливаясь па обсуждении выкладок в общем случае, обратимся к задаче об автоколебаниях системы, описываемой уравнением Ван дер Поля (13.2), которое запишем в виде

9 + 9 = м(1-92)9-(13.30)

Отметим, что в данном случае /-о ~ В поэтому коэффициент при q в левой части уравнения (13.30) нужно представить в виде (13.27):

=/с2 + цу 1 + Ц2У2 + . . .

Ограничиваясь учетом слагаемых до первого порядка малости, подставим в (13.30)

1 = /с2+цу1, q — qo-V^qy.(13.31)

При этом получится

(9о + цщ) + (/с2 + цу 1) (q0 + Р71) =

= ц[1 ~(9о+ М91)2] (до+ М-91),

или, объединяя члены одного порядка малости,

(90 + &29о) + М (91 + ^у + Yi9o — 9о + 9о9о) + • • • = 0,

(13.32)

где многоточие обозначает слагаемые второго и высших порядков малости. Из (13.32) получаем уравнения вида (13.29):

9о + ^9о = 0,(13.33)

91 + ^39i = — Т19о + 9о — 9о9о-(13.34)

Будем вести отсчет времени от момента, когда координата q максимальна; искомую амплитуду автоколебаний обозначим через А. В начальный момент скорость q равна нулю, так что можно записать ^(0) = И, 9(0) = 0, пли,

согласно второму соотношению (13.31),

<?о(О) + pgi (0) = Л,

ФД0) + Й1(0) = 0.

Для того чтобы и эти соотношения удовлетворялись при любых значениях р,, должно быть

до(О) = Л, ?о(О) = О,(13.35)

9i(0)=0, д!(0) = 0.(13.36)

Теперь можно записать решение уравнения (13.33), удовлетворяющее начальным условиям (13.35),

qo = Л cos kt,(13.37)

и затем перейти к уравнению (13.34), которое с учетом (13.37) получает вид

qx + Vqx = — 71Л cos kt — Ак sin kt + А^к sin kt cos2 kt.

Сделав замену sin kt cos2 kt = (sin kt -|- sin 3/cZ), окончательно имеем

4i + k4i =

= — у] Л cos kt — Ак (1) sin kt -]—— sin 3kt. (13.38)

Для того чтобы в решении этого уравнения отсутствовали вековые слагаемые, необходимо, чтобы коэффициенты при cos kt и sin kt равнялись нулю. Первое условие дает 71 = 0; согласно (13.27) получаем, что к1 = к^ = 1, т. е. в данном случае частота автоколебаний совпадает с собственной частотой линеаризованной системы. Теперь л А^к п

из второго условия 1= и находим амплитуду ав

токолебаний Л = 2.

Следует обратить внимание на то, что полученная амплитуда оказалась не зависящей от малого параметра ц, входящего в заданное уравнение (13.30). Однако отсюда не следует, что его значение вообще несущественно для рассматриваемой системы. Значение ц определяет быстроту приближения системы к движению по предельному циклу — чем больше ц, тем быстрее происходит это приближение. Кроме того, значепие ц влияет и па подробности движения по предельному циклу.

В самом деле, из (13.38) при начальных условиях (13.36) можно найти

^ (3 sin kt — sin ЗкГ).

Следовательно, с учетом (13.37), получаем

нА3

q = qQ + р^ = A cos kt 4- P s™ ^ — s™ ^^)’

t. e. движение зависит от значения ц.

§14. Переходные процессы и устойчивость стационарных режимов

Вступительные замечания. Для анализа переходных процессов также могут быть применены изложенные выше методы; в частности, для кусочно-линейных систем целесообразно использовать способ поэтапного интегрирования, а для нелинейных систем со слабой нелинейностью — энергетический метод или метод медленно меняющихся амплитуд.

Получаемые с помощью указанных методов результаты полезны еще и в том отношении, что они позволяют исследовать устойчивость стационарных режимов.

Способ поэтапного интегрирования для кусочнолинейных систем. Идея способа была пояснена выше, а особенности применения к задачам исследования переходных процессов можно проследить на примере системы, описываемой дифференциальным уравнением (13.7).

Не повторяя прежних выкладок, примем в качестве исходного соотношение (13.10), которое связывает две последовательные амплитуды Ио и Аь

В §13 при нахождении стационарных режимов амплитуды полагались неизменными, однако здесь при определении переходного процесса необходимо учитывать различие между ними.

Введем обозначения

« = ^е-л№* _|_ 1)2, р = е-2лМк»;(14.1)

тогда для любой n-й амплитуды можно записать

Ап = ^An_v + aRo/c.(14.2)

С помощью последнего рекуррентного соотношения можно найти любую амплитуду через предыдущую и, если потребуется, оцепить быстроту приближения переходного процесса к стационарному режиму.

Решение может быть существенно упрощено, если, как и выше (см. § 2, и. 2), вместо дискретной совокупности ординат рассматривать непрерывную функцию Л(£) (огибающую). Для такого перехода нужно заменить конечную разность АЛ = ЛП — Л„_1 выраженном

. . 2л dAАЛ = -.ТГ-at

Тогда с помощью (14.2) получим дифференциальное уравнение для верхней огибающей

2л ДА т »х * t

После интегрирования найдем при начальном условии Л = Л (0) при t = 0

Л = Л (0)2— е-й*«1-3)/(2л) .4о—, (14 3)

L W(1 — Р) с J‘ (1-3) с’ ';

или, с учетом выражения (13.11),

Л = [Л (0) - Лст] e-wu-to/№ + лст.

При достаточно малых значениях коэффициента вязкого трения к/к* можно принять а » 4, р ~ 1 —2л/г//с*. При этом получится

Л=[Л(0)-ЛС1]е-'“ + Лст,(14.4)

где согласно (13.11)

Лст = 2Я0/с*/(лс/г).(14.5)

Для того чтобы убедиться в достаточно высокой точности последних выражений, рассмотрим пример, положив, что hik* = 0,05. В таблице представлены безразмерные значения первых 15 амплитуд, вычисленных по рекуррентной формуле (14.2) и по приближенному уравнению (14.4) (для того чтобы найти амплитуды Л„, нужно внесенные в таблицу числа умножить на величину 7?о/с). Значение Л(0) полагалось равным нулю, а значения ЛСт, соответствующие и ->- °°, определялись по выражениям (13.11) и (14.5).

Номер амплитуды п

Значение безразмерной амплитуды cA^/R,

по формуле (14.2)

по уравнению (14.4)

0

0

0

1

3,440

3,433

2

5,952

5,940

3

7,787

7,771

4

9,127

9,109

5

10,106

10,086

6

10,821

10,799

7

11,344

11,320

8

11,725

11,701

9

12,003

11,979

10

12,207

12,182

11

12,356

12,331

12

12,464

12,439

13

12,544

12,518

14

12,602

12,576

15

12,644

12,618

ОО

12,758

12,732

Метод энергетического баланса. При нахождении стационарных режимов в § 13 мы исходили из того, что сила а/* совершает за один период работу, равную нулю. Здесь при исследовании переходных процессов необходимо учесть, что энергия системы за период изменяется, так как работа силы af* отлична от нуля; вместо (13.20) имеем

2л/к0

— аАк0 С / [ Л cos (7сог — ф), — Ак0 sin (kat — ф)] X о

X sin (kot — ф) dt = АП. (14.6)

Здесь левая часть представляет собой работу названной силы за один период, а правая часть — приращение энергии системы за то же время. Это приращение можно определить по выражению

№ = ^I1-^L«cAAa.

Подставляя его в уравнение энергетического баланса (14.6) и пользуясь формулой (13.21), получим

АЛ =(14.7)

0

принятьпринятьБудем рассматривать зависимость Л='Л(7) как непрерывную функцию времени; тогда можно приближенно

принять

принять

V-дл = -^

2лdt

Вместо (14.7) получим дифференциальное уравнение

(14.8)(14.8)dA _ Ф(Л)dt — 2л/с0 5

(14.8)

(14.8)

совпадающее с укороченным уравнением (2.41). Интегрируя это дифференциальное уравнение при начальном условии А = А (0) при t = 0, найдем уравнение огибающей.

В качестве примера найдем переходный процесс для системы, рассмотренной в п. 2. В данном случае по формуле (13.21) находим

лб/с 47?

Ф (Л) =5- Л + —

' 'а 'а

и дифференциальное уравнение (14.8) приобретает вид dA _ ^ — пЬ^А dt 2пк0а *

Отсюда после интегрирования следует прежний результат (14.5), справедливый для случаев малого трения.

Метод медленно меняющихся амплитуд. Для определения переходного процесса по этому методу непосредственно используются выведенные в § 2 укороченные уравнения (2.41).

В качестве примера рассмотрим уравнение Ван дер Поля (13.30):

g + g = p(l-g2)g.

По первому из уравнений (2.42) находим

2Л

Ф (Л) = — ц J (1 — Л2 cos2 ф) (— A sin ф) sin ф с/ф = о

- улЛ ^1L (14.9)

Теперь составляем уравнение (2.41):

Я. Г. Пановко

и интегрируем его при начальном условии Л = Ло при t — 0:

А = 2Ло(|4-^|е-м/ + ^о)“1/2-

Отсюда видно, как с течением времени амплитуда от начального значения Ао постепенно приближается к стационарному значению А = 2 (см. также стр. 221).

Полученное выражение достаточно полно характеризует переходный процесс и, в частности, темп его приближения к стационарному режиму. Поэтому обычно опускают исследование изменения фазы ср (впрочем, это сделать совсем не трудно; в рассматриваемой задаче можно найти, что ф =■ 0).

Метод точечных отображений. Примеры, разобранные в пп. 2—4, показывают, что для описания колебательных процессов в системах с одной степенью свободы не обязательно знать закон движения 9 = <?((); практически достаточны рекуррентные соотношения между последовательными амплитудами (см., например, (14.2)). Как мы видели, для того чтобы связать значения двух последовательных амплитуд, нужно выделить типовой промежуток времени, на концах которого отклонения системы достигают максимума, и скорости равны нулю. Далее изучается движение на этом промежутке времени и определяется амплитуда А в конце промежутка через амплитуду А в начале, т. е. образуется соотношение

Л = /(Л), (14.10) которое можно рассматривать как функциональную зависимость А от А. Для зависимости (14.2) график (14.10) показан на рис. 14.1, а. В данном случае график представляет собой прямую, потому что на типовом промежутке времени движение механической системы описывается линейными дифференциальными уравнениями. В более общем случае график (14.10) оказывается криволинейным, как это показано на рис. 14.1, б.

Для того чтобы найти амплитуду стационарного режима колебаний (соответствующего предельному циклу), нужно в (14.10) положить А= А и решить уравнение

А^ЦАу (14.11)

Графическое решение этого уравнения показано на рис. 14.1,в. Здесь кроме графика правой части (14.11), соответствующего рис. 14.1, б, проведена биссектриса ко-

ординатного угла, служащая графиком левой части (14.11). Абсцисса Аст точки пересечения определяет искомую амплитуду стационарного режима.

Такие графики позволяют не только найти амплитуду стационарного режима, по и найти переходный процесс. Для этого пользуются построением Кенигса — Ламерея,

Рис. 14.1

которое состоит в следующем. Задавшись первоначальным значением амплитуды Ао, нужно отложить его на оси абсцисс, а затем построить ломаную Ao, Ai, Вх, Аг, В 2, ..., как это показано на рис. 14.1, г для случая, когда начальное отклонение мало (Ао<Аст). Как видно, эта ломаная в конце концов приводит к точке пересечения графиков — стационарному режиму. Можно убедиться, что если Ао > Аст, то переходный процесс постепенно приближается к тому же стационарному режиму.

Устойчивость стационарных режимов. Каждый из разобранных выше способов определения переходных процессов дает непосредственную возможность выяснить устойчивость (неустойчивость) стационарного режима или состояния равновесия.

Прежде всего остановимся на системе с нелинейным трением, характеристика которого показана на рис. 13.5, а. Для этой системы стационарная амплитуда определяется выражением (13.11) в виде АС1 — а/?о/[с(1 — Р) ], а пе-

228 ГЛ, IV, УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ

реходный процесс — соотношением (14.2). Для того чтобы проверить устойчивость стационарного режима, положим, что он некоторым образом нарушен, так что амплитуда колебаний приобрела значение ЛС1 + До, где До — начальное возмущение стационарной амплитуды. Тогда (14.2) можно записать в виде

ЛСт + Д1 ^ Р (Лст + До) + аЯо/с,

где Д1 — возмущение последующей амплитуды. В дальнейшем движении амплитуды колебаний будут подчиняться соотношению

Лст + Д„ = р(Лст + Дп-1) + аДо/с, (14.12)

в котором Дп-1 и Д„ — два последовательных значения возмущения амплитуды. Из (14.12) находим

Дп =| рДп-ь

Отсюда видно, что поскольку ^ < 1, то Д„<Д„-1; убывание возмущений означает, что стационарный режим устойчив.

Если для той же системы решение найдено методом точечных отображений, то об устойчивости стационарного режима можно судить с помощью построения Кениг- са—Ламерея (см. рис. 14.2) в окрестности абсциссы Лст.

Здесь непосредственно видно, что возмущенное движение постепенно приближается к движению по предельному циклу.

Для системы с двумя продельными циклами (см. рис. 13.4, а) построение Кенигса — Ламерея в принципе

выглядит, как показано на рис. 14.3. Вид ломаных отчетливо обнаруживает устойчивость первого стационарного режима и неустойчивость второго.

В некоторых случаях имеет смысл изучать не последовательность амплитуд, а последовательность (также дискретную) максимальных значений скорости, такую, как, например, была найдена выше в виде (13.6). Применительно к этой зависимости возмущенное движение будет описываться соотношением

д+ + Дп = (^+ + Ап-1) e-2IlftA* A-S/a,

в котором Д„-1 и Д„ — последовательные значения возмущения скорости q*. Учитывая найденное выше значение q*, из записанного соотношения следует

Д„ = Дп-^-2^/^.

т. е. Д„ < Дп—i — стационарный режим устойчив.

Если стационарный режим найден энергетическим методом или методом Ван дер Поля из условия Ф(Л) = 0 (см. выражение (2.42)), то наряду с этим режимом нужно рассмотреть возмущенный режим, т. е. смежное движение, характеризуемое амплитудами ЛСТ + 6Л; здесь 6Л — вариация амплитуды, являющаяся некоторой функцией времени. Характер изменения 6Л с течением времени позволяет судить об устойчивости исследуемого режима. Поскольку возмущенный режим описывается соотношением (14.8),—конечно, с заменой А на Лст + 6Л,— имеем

А(ЛСТ + 6Л) = -^^±М_,(14.13)

Заметим, что

А(лст + бЛ)=^

Ф(Лст + бЛ)« Ф(ЛС1)+Ф'(ЛСТ)6Л =Ф'(Лст)бЛ,

поскольку Ф (Лст) = 0.

Таким образом, соотношение (14.13) принимает вид й(6Л) = Ф' (Лст) 6Л dt2nkQ *

Отсюда окончательно находим

Ф^Лст)*

6Л = бЛоб^Г,

где 6ЛО — начальное возмущение амплитуды стационарного режима. Если

Ф'(Лст)<0,(14.14)

то возмущения амплитуды будут асимптотически стремиться к нулю, т. е. движение будет приближаться к нарушенному стационарному режиму и последний является устойчивым. Если же Ф'(Лст)>0, то возмущения будут возрастать с течением времени и движение будет все больше отклоняться от исследуемого стационарного режима; в этом случае стационарный режим неустойчив.

Таким образом, соотношение (14.14) представляет собой условие устойчивости стационарного режима.

Так, например, для системы, описываемой уравнением Ван дер Поля (13.30), было найдено выражение Ф(Л) в (3\

1 —Л2I; при

Л = Лст = 2 имеем Ф' (2) = — 2рл < 0, т. е. условие устойчивости (14.14) выполнено — найденный предельный цикл устойчив. Иной результат получится, если дифференциальное уравнение движения механической системы имеет вид

aq — bq + 7?osign q + cq = 0.(14.15)

В отличие от условий примера, рассмотренного в начале п. 2 § 13 (см. уравнение (13.5)), в данном случае дестабилизирующей является сила отрицательного вязкого трения, а сила кулонова трения демпфирует колебания.

Приводя уравнение (14.15) к виду (2.32), получим

=sign q.

Теперь по первой из формул (2.42) находим

_ ,п.Ък 47?

Ф(Л) =2- Л2.

' ' аа

Приравняв этот результат нулю, определим амплитуду стационарных автоколебаний:

А — —°Лст - лЬк"

Однако этот режим неустойчивый, так как производная Ф'(Лст) не удовлетворяет условию (14.14):

При любом возмущении такого стационарного режима система либо будет стремиться к устойчивому в малом состоянию равновесия (Л->0), либо неограниченно удаляться от стационарного режима (Л-> °°)—в зависимости от знака начального возмущения.

Явления синхронизации

Вступительные замечания. Всюду выше в этой главе обсуждались явления, происходящие в автономных системах, когда движение происходит под действием сил, зависящих только от самого движения. Определенный интерес представляют свойства движения автоколебательной системы, если на нее действует некоторая заданная вынуждающая сила.

Рассматривая ниже в п. 2 случай действия гармонической вынуждающей силы, мы установим, что при достаточной близости периодов вынуждающей силы и автоколебаний происходит синхронизация — движение происходит с периодом вынуждающей силы, а автоколебательная составляющая движения оказывается как бы и о д а в л е-н- н о й; существенно, что синхронизация происходит при сколь угодно малой амплитуде вынуждающей силы. Иногда явление синхронизации называют захватыванием.

В и. 3 мы рассмотрим иной важный случай синхронизации, когда вынуждающая сила действует не на автоколебательную систему, а на нелинейную систему, способную совершать «убегающие» движения.

Синхронизация квазилинейной автоколебательной системы. Рассмотрим случай, когда на квазилинейную автоколебательную систему с одной степенью свободы действует гармоническая вынуждающая сила, причем частота со силы близка к собственной частоте &о линеаризованной системы. Дифференциальное уравнение задачи имеет вид.

7) + -^sintoZ.(15.1)

Поставим задачу определения условий существования периодических движений с частотой возмущающей силы ю.

Для того чтобы воспользоваться ранее полученными соотношениями, введем коэффициент расстройки

е = До_-1,(15.2)

о2

т. е. примем

&о = to2 (1 + е), считая, что значение 8 мало по сравнению с единицей. Теперь можно переписать уравнение (15.1) в виде q + ti?q = / (g, g) — sto^q + ^ sin ©tj (15.3)

и, пользуясь основной идеей метода медленно меняющихся амплитуд, вновь будем разыскивать решение в виде (2.34), учитывая прежнее условие (2.35). При этом мы придем к соотношениям типа (2.39), но — соответственно правой части уравнения (15.3)— они будут иметь несколько иной вид:

Л = — — / [Л cos (®t — ср), — Лю sin (tot — ф)] sin (®t — ф)ф-

-р.

+ его Л sin (of — ф) cos (cot — ф) — — sin rot sin (cot — ф),

Ф = -^- / [ Л cos (mt — ф), — Лю sin (mt — ф)] cos (mt — ф) —

p

— 8(0 COS2 (tot — ф) + ^^ 8™ to< C0S (^ — ф)

Соответственно вместо укороченных уравнений типа (2.41) получится

\ Ф (Л) Р cos ф2л(02а(0 ’

• Ф (Л) ей) Р sin ф( • )

Ф ~ 2лЛ(о — 2 + 2аЛ(0 '

В рассматриваемом случае стационарного режима обе эти производные должны быть равны нулю:

Ф(Л)/>созф пФ (Л)ею , Рзтф__п /^ г; к\

2л(0 2аю — U’ 2лЛсо2 2аЛсо —

Наибольший интерес представляет значение амплитуды Л. Для его определения исключим фазу ф из уравнений (15.5); тогда получим

/ —р \2

Ф2 (Л) + [Y (Л) - лЛ(02е]2 = (•(15-6)

График получаемой отсюда зависимости Л = Л(е) иногда называют резонансной кривой.

Вернемся к первому примеру п. 2 § 13, когда на систему действует вынуждающая сила Р sin tot, частота которой близка к собственной частоте линеаризованной си-

Рис. 15.1Рис. 15.1

Рис. 15.1

Рис. 15.1

стемы. В соответствии с (13.7) (см. также рис. 13.5, а) для этой системы

Hq, q) = -^q -v^-signq,.

и по формулам (2.42) находим

ф(Л) = -^-Л+^-,

Т (Л) = 0.

Следовательно, соотношение (15.6) принимает вид

^ _ ^ л Г + (лЛсо2е)2 = (—У.

Удобно ввести безразмерные величины р _ р д д л^и) р р л Е* ~ е 6 ’А 4rq ’4В&.

Тогда получим

(1 - А^ + М)2 = PV

1 ± ]/^(1+^)2-е21 ± ]/^(1+^)2-е2л*л*Отсюда находим

1 ± ]/^(1+^)2-е2

1 ± ]/^(1+^)2-е2

л*

л*

.2

'♦

На рис. 15.1 показаны графики зависимостей безразмерной амплитуды Л* от параметра расстройки к* при

трех значениях безразмерной силы: Р* = 0,5; 1; 2. Заштрихованной области соответствуют неустойчивые решения, когда синхронизация не осуществляется (само исследование устойчивости здесь опущено).

Синхронизация маятника. Рассмотрим маятник с вертикально колеблющейся точкой подвеса (см. рис. 9.2, а), движение которой задано законом

у — Л sin rot. (15.7)

В главе III мы исследовали малые колебания такого маятника около положения равновесия; в частности, отмечалось, что в этой системе нижнее положение равновесия может оказаться неустойчивым, а верхнее положение — устойчивым.

Здесь мы не будем заниматься изучением малых колебаний, а исследуем возможность непрерывного вращения маятника, поддерживаемого колебаниями оси. Вращение со средней угловой скоростью со, равной частоте колебаний оси, и представляет явление синхронизации в рассматриваемой системе: возмущающее воздействие (колебания оси) «навязывает» свой ритм движению системы.

Таким образом, предполагаемый стационарный синхронизированный режим описывается законом

<p = wt — а, (15.8)

где <р — угол отклонения маятника, а — начальный сдвиг фаз.

Обратимся к составлению дифференциального уравнения относительного движения, а затем с помощью этого уравнения выясним, возможен ли режим движения (15.8). В уравнение моментов относительно колеблющейся оси введем момент силы тяжести —mgl sin ср и момент линейного трения —Ъ^. Кроме того, в уравнение моментов следует ввести также момент переносной силы инерции. Эта сила и является причиной синхронизации; она направлена по вертикали, и ее проекция на ось у равна

—ту = тАю2 sin cot.

Момент переносной силы инерции относительно оси маятника составляет тЛ co2Z sin ср sin cot. Таким образом, дифференциальное уравнение относительного движения

маятника запишется в виде

mtz^ = — mgl sin ср — 5ср + т/1ю2/ sin ср sin tot. (15.9)

Для проверки возможности синхронизированного вращения маятника попробуем подставить (15.8) в дифференциальное уравнение (15.9):

ml sin(®Z — а) (Лю2 sin tot — g^) = bto. (15.10) Так как здесь левая часть переменна, а правая часть постоянна, то полученное соотношение тождественно не удовлетворяется. Это означает, что функция (15.8) не является точным решением дифференциального уравнения (15.9), т. е. что равномерное вращение маятника невозможно.

Однако можно принять (15.8) в качестве приближенного решения задачи и, отказавшись от требования о тождественном выполнении равенства (15.9), ограничиться более слабым требованием о выполнении его в среднем. Именно в этом можно видеть применение той же идеи, которая лежит в основе метода медленно меняющихся амплитуд. Найдя среднее значение левой части соотношения (15.10)

2л/й)

mlto . ,. . . „ .. , mlAu?

— 1 sin (ю< — а.) (Лю2 sin tot — g)dt = —z— cos a,

0

приравняем его правой части того же соотношения. После этого получим

cos се = -.(15.11)

Выражение (15.11) позволяет найти сдвиг фаз; но еще более важно, что из этого выражения следует условие синхронизации (захватывания)

Как видно, чем больше дебаланс маятника ml и максимальная скорость Лю колебаний оси маятника, тем легче осуществляется синхронизация. Важный фактор, который может воспрепятствовать синхронизации,— это трение в системе, характеризуемое коэффициентом Ь; чем больше трение, тем труднее достигается синхронизация.

§ 16. Странные аттракторы

Генераторы стохастичности. До недавнего времени считалось, что единственной причиной случайных колебаний механических систем служат те или иные внешние («входные») воздействия — случайные вынуждающие силы (см., например, стр. 144—148), случайное кинематическое возбуждение, случайное изменение параметров системы в процессе ее движения и т. п. При этом механическая система представляется как некий трансформатор стохастичности, преобразующий случайность на входе в случайность на выходе; полагается как бы очевидным, что с исчезновением случайности на входе и стремлением к нулю дисперсии входного воздействия исчезает случайность и на выходе, а дисперсия на выходе также стремится к нулю. Соответственно изучение случайных колебаний сводится к определению связи между вероятностными характеристиками выхода с вероятностными характеристиками входа (см., например, соотношение (6.66))).

Однако совсем недавно выяснилось, что иногда случайные колебания могут происходить в полностью детерминированных механических системах, которые таким образом оказываются уже не трансформаторами, а генераторами стохастичности. Колебания в таких системах непредсказуемы в точном смысле этого слова, но допускают описание с помощью вероятностных характеристик.

Возникновение стохастичности в детерминированной системе — поразительный факт, возможность которого трудно согласуется с традиционными представлениями. Тем не менее эта возможность твердо установлена как средствами строгой теории, так и убедительными экспериментами; выяснено также, в каких случаях механическая система может оказаться генератором стохастичности (отметим, в частности, что генераторы стохастичности — это всегда нелинейные системы, но, разумеется, не любые). Обнаружение генераторов стохастичности по его значению для науки и практики справедливо уподобляют открытию регулярных автоколебаний.

С появлением нового понятия несколько расширились представления о типах аттракторов в фазовом пространстве. Прежде считалось, что в фазовом пространстве любой динамической (в частности механической) системы могут существовать аттракторы только двух описанных выше типов — устойчивые особые точки (устойчивый фокус, устойчивый узел) и устойчивые предельные циклы. Теперь установлено, что наряду с ними в некоторых случаях существуют аттракторы особого рода — не точки или линии, а некоторые сплошные зоны фазового пространства, к которым притягиваются фазовые траектории, находящиеся в окрестности таких зон; эти зоны принято называть странными, аттракторами.

Фазовые траектории, начинающиеся в области притяжения странного аттрактора, постепенно приближаются к нему, причем изображающая точка, попав в зону странного аттрактора, далее уже не выходит из нее, по вместо повторяющегося движения, типичного для предельного цикла, совершает в этой зоне хаотическое движение, лишенное свойства повторяемости. В понятии странного аттрактора причудливо сочетаются свойства неустойчивости и устойчивости. С одной стороны, движение изображающей точки в зоне странного аттрактора неустойчиво, с другой стороны, условно можно сказать, что система в зоне странного аттрактора обладает свойством устойчивости в целом: если после некоторого начального возмущения изображающая точка вышла за пределы странного аттрактора, но остается в области его притяжения, то фазовая траектория вернется в эти пределы (тем более, если изображающая точка после начального возмущения не выведена за пределы странного аттрактора, то она и далее будет оставаться в этих пределах).

Дальнейшее изложение посвящено разбору конкретных примеров.

В п. 2 рассматривается простейший и весьма наглядный пример, когда странный аттрактор обнаруживается на фазовой плоскости; в некотором смысле — это исключительный случай, потому что, как правило, странные аттракторы возможны при условии, что фазовое пространство системы имеет размерность не менее трех.

В п. 3 приводятся примеры странных аттракторов в трехмерном фазовом пространстве (для неавтономных систем с одной степенью свободы).

Хаотический осциллятор Неймарка. В § 13 (стр. 209) была рассмотрена предельно упрощенная модель часов — упругая система с вязким трением, автоколебательные свойства которой определяются действием мгновенных конечных импульсов, прикладываемых к системе в моменты ее прохождения через положение равновесия с положительной скоростью. Рассматриваемый здесь аттрактор Неймарка возможен применительно к упругой системе, обладающей противоположными свойствами — ее движение сопровождается действием непрерывной силы отрицательного вязкого трения и конечных мгновенных импульсов, направленных против движения. Импульсы прикладываются в моменты, когда система подходит к положению q =■ 0 с достаточно большой положительной скоростью q^ v (v — заданное значение скорости, знаки «+» и «—» п другие обозначения соответствуют сказанному в § 13).

Так как при q~ < и импульсы не возникают, то, после сколь угодно малого начального возмущения состояния равновесия, под действием отрицательного трения будут происходить разрастающиеся колебания, причем q«+i = = qne№h,h*(здесь h>0 соответствует дифференциальному уравнению q — 2h,q + k2q = 0 для системы с отрицательным трением). Разрастание колебаний будет происходить до тех пор, пока в конце некоторого n-го цикла колебаний скорость дй достигнет значения и (или превзойдет это значение). Тогда на систему воздействует импульс S, и скорость мгновенно уменьшится до значения

qi = q« — Sia,

которое окажется начальным для последующего (н+ 1)-го цикла. В конце (н+1)-го цикла скорость станет равной

_ ' + 2nh/fe,

7П+1 ЧП

При достаточно большом значении импульса S этот результат окажется меньшим, чем и, т. е. вновь возникнет описанный выше процесс разрастания колебаний в отсутствие демпфирующих импульсов, который будет происходить до тех пор, пока q~ < и. После того как будет выполнено условие q- ^ и, произойдет повое скачкообразное уменьшение скорости и т. д. В целом можно ожидать, что установится процесс, внешне напоминающий

б и е н и я, когда этапы возрастания амплитуд чередуются с этапами их убывания. Как будет показано на численном примере, эти представления верпы, но обнаруживаемые в системе «биения» не обладают свойством периодичности.

Отметим, что в рассматриваемой системе возможен стационарный режим движения (предельный цикл), которому соответствует равенство <7n+i = Чп = 9ст Подставляя сюда найденные выше выражения, найдем

a {e^h^ - 1) ‘

Однако этот предельный цикл неустойчив, в чем можно убедиться, в частности, с помощью построения Кенигса — Ламерея. То же построение позволит обнаружить и странный аттрактор в рассматриваемой системе. Для этой цели будем исходить из точечного преобразования

qq‘ + 2Л/1/Й* Ч с‘ + 2Л/1/Й* Ч с^ при q > V,^ при q > V,' + 2ЛА/Й* ч с' + 2ЛА/Й* ч спри q «Си,при q «Си,

q

q

‘ + 2Л/1/Й* Ч с

‘ + 2Л/1/Й* Ч с

^ при q > V,

^ при q > V,

' + 2ЛА/Й* ч с

' + 2ЛА/Й* ч с

при q «Си,

при q «Си,

которое показано на рис. 16.1, а. Здесь предположено, что импульс S достаточно большой и точка С (соответствующая неустойчивому стационарному режиму) расположена выше точки Л, т. е. q^ > и. (Отметим, что при малых значениях S точка С может оказаться ниже точки А, по в этом случае странный аттрактор не существует.) На рис. 16.1, б буквой D отмечено произвольно принятое начальное значение скорости q и показан первый (восходящий) марш лестницы Кенигса — Ламерея DE. На рис. 16.1, в показан следующий (нисходящий) марш лестницы Кенигса — Ламерея ЕЕ, и в общих чертах становится ясным дальнейшее развитие процесса колебаний с последовательным чередованием маршей вверх — вниз, однако подчеркнем, что такое чередование не означает установление периодического процесса и что значения q не могут быть меньше ординаты точки В и больше ординаты точки А. Соответственно этому зона странного аттрактора определяется шестиугольником, заштрихованным на рис. 16.1,г, а область его притяжения располагается в промежутке значений 0 < q < ^С1, Если движение

системы начинается вне отмеченной зоны притяжения, когда начальная скорость превосходит значение ^ст, то ступени лестницы Кенигса — Ламерея будут неограниченно уходить вправо вверх.

Иллюстрируем сказанное прямыми вычислениями для случая, когда /1/^=0,01517, р = 2 м/с, 5/а = 0,21 м/с.

Рис. 16.1Рис. 16.1

Рис. 16.1

Рис. 16.1

При этих данных координаты точек, лежащих в зоне странного аттрактора, находятся в пределах от 1,79 м/с (уровень нижней границы зоны) до 2 м/с (уровень верхней границы зоны); теми же числовыми пределами ограничены значения абсцисс названных точек. Точка С, определяющая неустойчивый предельный цикл, расположена относительно близко к зоне странного аттрактора, обе ее координаты равны 2,1 м/с. В качестве начального значения скорости qo принято 1,6 м/с. В таблице приводятся результаты вычислений пятидесяти последовательных значений скорости q*. Хотя вычисления выполнялись с точностью до десяти знаков после запятой, для эконо-

мии места в таблицу внесены значения q+ после округления до трех знаков после запятой. Из-за этого значения при п = 2, 3, .. ., 7 выглядят совпадающими со зна

п

г;

п

9 71

п

in

п

п

а

1

1,760

I и

1,967

21

1,987

31

1,807

41

1,836

2

1,936

12

1,954

22

1,976

32

1,988

42

1,810

3

1,920

13

1,939

23

1,963

33

1,977

43

1,991

4

1,9021

14

1,923

24

1,950

34

1,965

44

1,980

5

1,882

15

1,906

25

1,935

35

1,951

45

1,968,

6

1,860

16

1,886

26

1,918

36

1,936

46

1,955.

7

1,836

17

1,865

27

1,900

37

1,920

47

1,940

8

1,809

18

1,842

28

1,880

38

1,902

48

1,924

9

1,990

19

1,816

29

1,858

39

1,882

49

1,906

10

1,979

20

1,997

30

1,833

40

1,860

50

1,887

чениями при п = 36, 37, ..., 41. В действительности этого совпадения нет. (Подробнее об этом см. вп. 4.) Углубленное изучение этого аттрактора показывает, что при t -* °° марши лестницы Кенигса — Ламерея плотно заполняют всю заштрихованную на рис. 16.1, г зону.

Фазовую диаграмму рассматриваемой системы можно представить себе, если взять за основу изображенную на рис. 13.4, а фазовую диаграмму автоколебательной системы и заменить здесь линию А (устойчивый предельный цикл) кольцевой зоной конечной толщины.

Прежде всего отметим, что начало координат на фазовой плоскости — неустойчивый фокус. Главная отличительная особенность фазовой диаграммы — упомянутая кольцевая зона, которая и является странным аттрактором. Наконец, существенным элементом фазовой диаграммы является неустойчивый предельный цикл — замкнутая линия, окружающая в некотором поколении зону странного аттрактора (см. кривую Лг на рис. 13.4, а) и служащая границей области притяжения к странному аттрактору. Фазовые траектории, начинающиеся внутри этой области, не только притягиваются к странному аттрактору, но, можно сказать, «втягиваются» в него. Оказавшись внутри зоны странного аттрактора, изображающая точка не выходит из нее и далее совершает здесь хаотическое движение. Если после достаточно большого возмущения начальная изображающая точка оказалась за 16 Я, I, Пановко

пределами названной области притяжения, то фазовая траектория будет раскручиваться, все больше удаляясь от границы области.

При малой толщине кольцевой зоны (и соответственно малых размерах шестиугольника на рис. 16.1,-г) свойства системы будут близки к свойствам «обычной» автоколебательной системы, которой соответствует рис. 13.4, а.

Примеры странных аттракторов в неавтономных системах. На рис. 16.2, а показан сжатый, потерявщий устойчивость упругий стержень, па который действует в поперечном направлении вынуждающая сила Р sin mt. Если амплитуда этой силы мала, то стержень будет совершать малые колебания около показанного на рисунке изогнутого положения. В противоположность этому, если амплитуда силы весьма значительна, то установятся большие колебания — такие, что в течение одного цикла стержень будет проходить все три положения равновесия: 1) изображенное на рисунке сплошной линией; 2) положение, симметричное первому (при прогибе стержня вверх); 3) среднее положение, отмеченное па рисунке штриховой

Psinwt

линией. Обнаружено, что в некотором промежутке значений Pi < Р < Р2 колебания носят хаотический характер, а в фазовом пространстве системы существует странный аттрактор (при Р>Р2 колебания вновь приобретают упорядоченный характер). Эти результаты не только были найдены путем вычислений, но получили подтверждение на специальной экспериментальной установке (см. [33]).

Совершенно теми же свойствами обладает система, показанная на рис. 16.2, б. Упругая пружина в изображен-

ном на рисунке недеформированном состоянии имеет длину I, большую к, так что система обладает тремя положениями равновесия. Система испытывает действие мгновенных импульсов 5, прикладываемых к грузу с периодом Т. Дифференциальное уравнение движения груза вдоль горизонтальной направляющей имеет вид

тх + кх + с (а — ж)тх + кх + с (а — ж).V (a— if + ^.V (a— if + ^-11= 2 sb^t-nTY-11= 2 sb^t-nTY

тх + кх + с (а — ж)

тх + кх + с (а — ж)

.V (a— if + ^

.V (a— if + ^

-11= 2 sb^t-nTY

-11= 2 sb^t-nTY

(16.1)

Здесь обозначено: тп — масса груза, х — его координата, отсчитываемая от изображенного на рис. 16.2, б положения равновесия, к — коэффициент линейного трения между грузом и направляющей, с — коэффициент жесткости пружины, a = VZ2 —/г2— проекция размера / на горизонтальное направление.

Отметим, что при малых отклонениях груза от положения равновесия, когда х < а, уравнение допускает линеаризацию и принимает вид

mx + кх -|g- = J^S6(t — пТу

Подробный анализ здижения после решения дифференциального уравнения (16.1) на ЭВМ приводит к следующим заключениям. При малых значениях S происходят малые колебания вблизи показанного на рисунке положения равновесия, затем в некотором диапазоне значений S колебания носят хаотический характер, а при еще больших значениях импульса вновь устанавливаются периодические колебания, но очень большой амплитуды.

Еще один пример системы, в фазовом пространстве которой возможен странный аттрактор, показан на рис. 16.2, в. Она представляет собой свободно вращающийся на оси массивный ротор, к фиксированной точке которого с заданным периодом Т прикладываются горизонтальные мгновенные конечные импульсы S. Пусть непосредственно перед и-м ударом положение ударяемой точки определяется углом ф„, а угловая скорость ротора равна ю„. Вследствие приложения импульса угловая скорость приобретает мгновенное приращение (SR/I) 81пф„ (/-момент инерции ротора относительно оси вращения) и перед 16*

(п+1)-м ударом состояние ротора будет определяться углом фп+i и угловой скоростью co„+i:

Ф„+1 = ф„ + ton+iT, ю„+1 = Юп + (SR/I) sin ф„. '

С помощью этих рекуррентных соотношений можно проследить развитие процесса во времени. Как установлено, в определенном (довольно узком) диапазоне значений SR/I значения и„ образуют хаотическую последовательность, причем хаотизации движения не могут помешать силы трения, хотя соответствующий диапазон значений SR/I окажется несколько иным.

Заключительные замечания. Среди различных способов выявления странных аттракторов в конкретных динамических системах одним из основных следует считать численное интегрирование соответствующих дифференциальных уравнений. Именно так были получены результаты, приведенные в табл, на с. 240. Там было отмечено, что вычисления производились с точностью до десятого знака после запятой, но для большей компактности представленной таблицы в нее внесены значения скорости, округленные до третьего знака. При этом особо подчеркивалось, что совпадение некоторых табличных значений скорости (например, при п = 7 и п = 41)—лишь кажущиеся и поэтому последующие значения скорости (в том же примере начиная с п = 8 и п = 42) расходятся уже в третьем знаке. Тем самым обнаруживается некая неупорядоченность движения, которую можно трактовать как признак хаотичности и наличия странного аттрактора (разумеется, это признак недостаточно убедителен, хотя бы потому, что вычислениями охвачены лишь первые пятьдесят шагов процесса).

Допустим теперь, что в процессе вычислений какие-то два значения скорости при п = щ и п = тгг точно совпали. Тогда движение на интервале между шагами щ и па представляет собой некий, возможно весьма длительный цикл, который затем будет повторяться. Такая повторяемость, казалось бы, свидетельствует об упорядоченности и отсутствии хаоса. Однако когда вычисления выполняются с конечным числом знаков, то раньше или позже совпадение обязательно произойдет. Так, например, при неизменном значении целой части результата и учете девяти знаков после запятой можно получить не более десяти различных результатов, следовательно, совпадение неизбежно произойдет не позже чем через миллиард

§ 16. СТРАННЫЕ АТТРАКТОРЫ 245

шагов. Таким образом, при вычислениях на ЭВМ всякое движение рассматриваемого типа формально выглядит как упорядоченный процесс. Нужно предупредить читателя, что к этому заключению следует относиться с осторожностью. С практической точки зрения колебательное движение, цикличность которого обнаруживается лишь после десятков или сотен миллионов шагов, естественно трактовать как случайный процесс. С теоретической же точки зрения существование цикла вообще остается недоказанным из-за ограниченной точности вычислений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Среди многих книг, специально посвященных общим вопросам теории механических колебаний, в первую очередь следует отметить:-

Бабаков И. М. Теория колебаний.— 2-е изд.— М.: Наука, 1965.

Бидерман В. Л. Теория механических колебаний.— М.: Высшая школа, 1980.

Мигулин В. В., Медведев В. И., Му с те ль Е. Р., Парыгин В. Н. Основы теории колебаний.— М.: Наука, 1988.

Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний,— 2-е изд. М.: Наука, 1964,

Этим вопросам посвящены также переводные книги:

Ден Г а р т о г Дж. П. Механические колебания.— 2-е изд,— М.: Физматгиз, 1960.

Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле.— М.: Наука, 1967.

К и н Н. Тонг. Теория механических колебаний.— М.: Наука, 1963.

Ц з е Ф. С., Морзе И. Е., Хинкл Р. Т. Механические колебания.— М.: Машиностроение, 1966.

Проблемам нелинейных колебаний специально посвящены книги:

Л н д р о н о в А. А., В и т т А. А., X а й к и н С. Э. Теория колебаний.— 2-е изд.— М.: Физматгиз, 1959.

Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебании.— М.: Физматгиз, 1963.

И. Булгаков Б. В. Колебания,—М.: Гостехпздат, 1954 (значительная часть книги относится к проблемам линейных колебаний).

Б у т е н и н Н. В., Н е й м а р к 10. И., Ф у ф а е в Н. А. Введение в теорию нелинейных колебаний,— 2-е изд,— М.: Наука, 1987.

Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний.— М.: Гостехиздат, 1956.

Митропольский Ю. А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебании.— М.: Наука, 1964.

Более краткое изложение этой темы можно найти в книгах:

Б л а к ь е р О. Анализ нелинейных систем/Пер. с англ,— М.: Мир, 1969.

Бутенин Н. В. Элементы теории нелинейных колебаний.— Л.: Судпромгиз, 1962.

Каннингхэм В. Введение в теорию нелинейных систем/Пер. с англ,— М,: Энергоиздат, 1962.

Теодорчик К. Ф. Автоколебательные системы.— 3-е изд.— М.: Наука, 1965,

X а я с и Т. Нелинейные колебания в физических системах.— М.: Мир, 1968.

Вопросы, связанные с параметрическими колебаниями и дина- мической неустойчивостью колебательных систем, изложены в книгах:

Б о л о т и н В. В. Динамическая устойчивость упругих систем.— М.: Гостехиздат, 1956.

Б о л о т и н В. В. Неконсервативные задачи упругой устойчивости.— М.: Физматгиз, 1961.

Другим современным задачам теории нелинейных колебаний посвящены книги:

Шмидт Г. Параметрические колебания,— М.: Мир, 1978.

Б л е х м а н И. И. Синхронизация в природе и технике.— М.: Наука, 1981.

Вульфсон И. И., К о л о в с к и й М. 3. Нелинейные задачи динамики машин,—Л.: Машиностроение, 1968.

Ганиев Р. Ф., Кононенко В. О. Колебания твердых тел.— М.: Наука, 1976.

Коловский М. 3. Нелинейная теория виброзащитных систем,— М.: Наука, 1966.

Кононенко В. О. Колебательные системы с ограниченным возбуждением,— М.: Наука, 1964.

Проблемы случайных колебаний разбираются в книгах:

Болотин В. В. Случайные колебания упругих систем.— М.: Наука, 1979.

Светлицкий В. А. Случайные колебания.— М.: Машиностроение, 1976.

Случайные колебания/Пер. с англ. Под ред. С. Крендел- ла,— М.: Мир, 1967.

О странных аттракторах см. [3], а также в книгах:

Н е й м а р к Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания.— М.: Наука, 1986.

Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн.— М.: Наука, 1984.

Ш у с т е р Г. Детерминированный хаос/Пер. с англ.— М.: Мир, 1988.

Общим вопросам теории механических колебаний, а также различным практическим аспектам проблемы вибраций посвящен шеститомный справочник:

Вибрация в технике/Под ред. В. Н. Челомея,— М.: Машиностроение, 1979.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Автоколебания 10

— стационарные 215

Автоколебательные системы 17

Автопараметрические системы

10

Амплитуда 26.

— комплексная 133

Амплитудно-частотная характеристика 107

Амплитудный спектр 136, 137

Антирезонанс 162

Аттрактор 208

— странный 208, 236—244

Аэрогидроупругость 190

Балочная система 81

Биения 86

Вековой член 109

Вектор собственный 89

Виброгаситель динамический

163

Вибротранспортировка 8

Возбуждение кинематическое 9

Восстанавливающие силы 5

Вынуждающие силы 9, 101

Вынужденные колебания 8, 101

Гамма-функция 47

Гаситель колебаний динамический 163

Генераторы стохастичности 235

Гистерезис 54, 142

Главные координаты 77, 167

Граничные условия 30

Движение относительное 104, 105’

Декремент логарифмический 43

Детерминированные функции времени 144

Диаграмма Айнса — Стретта 184

— устойчивости 179

— фазовая 20

Дивергенция 188

Динамическая жесткость 107

■комплексная 133

Динамический гаситель колебаний 163

Диссипативная функция Рэлея 41

Диссипативные силы 17, 190

Дифференциальное уравнение для огибающей 48

Добротность (системы) 124

Единичные перемещения 78

— реакции 79

Жесткое самовозбуждение 207

Жесткость динамическая комплексная 133

— отрицательная 36

Задача идентификации 145

— обратная 145

— о дивергенции 189

— о флаттере 194

— оптимизации 145

— прямая 145

— синтеза 145

— Циглера 189, 202

Закон сохранения энергии 60

Затухание критическое 44

Затухающие колебания 42

Захватывание 231

Значение критическое параметра 36

— собственное матрицы 89

Изгибные колебания 30

Изображающая точка 18

Импульсная реакция 111

Импульсы периодические 131

Инерционный коэффициент 23

Интеграл Фурье 138

Интегральное квадратическое уклонение 68

Интегрирование поэтапное 63,

156

Каноническая форма 76

Квадратическое трение 49

Квазиупругая характеристика 58

Квазиупругий коэффициент 24

Кинематические граничные условия 30

Кинематическое возбуждение 9

Колебания вынужденные 8

— затухающие 42

— изгибные 30

— моногармонические 107

— основные 148

— параметрические 10

— продольные 33

— свободные 8

— субгармонические 148, 154

— супергармонические 148, 152

— установившиеся вынужденные 107

Комплексная амплитуда 133

— динамическая жесткость 133

— — податливость 133

— обобщенная сила 132

Комплексное обобщенное перемещение 132

Координатные функции 14

Координаты главные 77, 167

— нормальные 77

Корреляционная функция 146

Коэффициент влияния для перемещений 78

— восстановления 158

— динамичности 107, 124

— инерционный 23

— квазиупругий 24

— обобщенный вязкости 41

жесткости 24

— передачи силы 127

— расстройки 231

— собственных форм 87

— эквивалентный линейного трения 141

Кривая скелетная 150

Критерий Рауса — Гурвица 201

— Сильвестра 73

Критическая угловая скорость 200

Критическое затухание 44

— значение параметра 36

Кулоново трение 49

Линеаризация прямая 67

Лобовое сопротивление 189

Логарифмический декремент 43

Масса обобщенная 23

— приведенная 23

Математическое ожидание 145

Матрица депфирования 99

— жесткости 89

— инерции 89

Метод гармонического баланса 69

— малого параметра 218

— медленно меняющихся амплитуд 50, 225

— Рэлея 14, 29—35

точечных отображений 226

энергетического баланса 46, 140, 216, 224

Модель Русакова — Харкевича 157

Моногармонические колебания 107

Мягкое самовозбуждение 206

Нестационарные позиционные силы 171

Неустойчивый предельный цикл 207

— узел 189, 191

— фокус 189, 191

Нормальные координаты 77, 167

Область притяжения 208

Обобщенная масса 23

сила линейного трения 40

Обобщенные вынуждающие силы 15

позиционные силы 15

силы трения 16

Обобщенный коэффициент вязкости 41

жесткости 24

Обратный способ составления системы уравнений 74

Однородная система 82

Ортогональность собственных

форм 89

Основной способ составления

системы уравнений 75

Особые точки 21

Осциллятор хаотический Ней-

марка 236

Относительное движение 104, 105

Отрицательная жесткость 36

«Отрицательное трение» 180

Парадокс Циглера 203

Параметрические колебания 9

Параметрический резонанс 10,

172

Перемещения единичные 78

Переходный процесс 205

Период колебаний 26

Периодические импульсы 131

Периодическое изменение параметра 172

Петля гистерезиса 54

Плоскость фазовая 18

Плотность спектральная 147

Подъемная сила 189

Портрет фазовый 20

Построение Кенигса — Ламерея 227, 228

Поэтапное интегрирование 156

Преобразование Фурье 138

Приведенная масса 23

Приведенные вынуждающие

силы 167

Припасовывание 63, 209

Продольные колебания 33

Процесс переходный 205

Прямая линеаризация 64

Прямой способ составления системы уравнений 74

Реакции единичные 79

Реакция импульсная 111

Режим стационарный 211

Резонанс 109, 131

— параметрический 10, 172

Репеллер 208

Ротационное движение 60

Самовозбуждение 193

— жесткое 207

— мягкое 206

Свободные колебания 8

Седло 40

Сила кулонова трения 49

обобщенная линейного трения 40

подъемная 189

чисто кубическая 65

Силовые граничные условия 30

Силы восстанавливающие 15

— вынуждающие 9

— диссипативные 17, 190

— нестационарные позиционные 171

обобщенные вынуждающие 15

— приведенные вынуждающие 167

смешанного характера 17

Система балочная 81

однородная 82

Системы автоколебательные 17

Скелетная кривая 150

Скорость дивергенции 190, 197

критическая 200

— флаттера 197

Собственная форма 87

— частота 26

Собственное значение 89

Собственный вектор 89

Сопротивление лобовое 189

Спектр собственных частот 83

Спектральная плотность 147

Способ построения системы уравнений обратный 74

—— основной 75

—прямой 74

— поэтапного интегрирования 63, 156, 209

прямой линеаризации 67

Способы приближенного определения частоты свободных колебаний 66

Среднеквадратическое значение 148

Стационарные случайные функции 145

Стационарный режим 211

неустойчивый 227

— устойчивый 227

Странный аттрактор 208, 236— 244

Субгармоника 154

Субгармонические колебания 148, 154

Супергармонические колебания 148, 152

Точка изображающая 18

Точки особые 21

Траектория фазовая 18, 39

Трение квадратическое 49

— кулоново 49

— линейное 40

— «отрицательное» 190

Угловая частота 26

Узел неустойчивый 189, 191

— устойчивый 44

Уклонение интегральное квадратичное 68

Уравнение в конечных разностях 481

— Ван дер Поля 220

— дифференциальное для огибающей 48

— Лагранжа 75

— Матье 183

— Рэлея 204

— частотное 83

Условие синхронизации 235

1—устойчивости 230

Условия граничные 30

— кинематические граничные 30

— начальные 63

— перехода 63

— периодичности 63, 118, 210

— силовые граничные 30

Устойчивость вращающегося вала 197

— равновесия 35

— стационарных режимов 222, 227

Устойчивый предельный цикл 205

■— узел 44, 237

— фокус 44, 237

Фазовая диаграмма 20

— плоскость 18

— траектория 18, 39

Фазовый портрет 20

Флаттер 194

Фокус неустойчивый 189, 191

— устойчивый 44

Форма вынужденных колебаний

166’_

— каноническая кинетической энергии 76

— — потенциальной энергии 76

— решения комплексная 132

— собственная 87

Функции времени детерминированные 144

случайные 144

— координатные 14

— Матье 183

Функция диссипативная Рэлея

41

— корреляционная 146

— центрированная 146

Фурье интеграл 138

— преобразование 138

Хаотический осциллятор Ней- марка 236

Характеристика амплитудночастотная 107

— жесткости 58

— квазиупругая 58

— частотная 133'

Центрированная функция 146

Цикл предельный 205

неустойчивый 207

устойчивый 205

Частота собственная 26

— угловая 26

Частотная характеристика 133

Частотное уравнение 83

Эйлеров интеграл второго рода 47

Эквивалентный коэффициент линейного трения 141

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 71. Общие задачи и содержание теории (7). 2. Составление механической модели; ограничение числа степеней свободы (10). 3. Составление механической модели; силы, действующие при колебаниях (14). 4. Понятие о фаВведение 71. Общие задачи и содержание теории (7). 2. Составление механической модели; ограничение числа степеней свободы (10). 3. Составление механической модели; силы, действующие при колебаниях (14). 4. Понятие о фаПредисловие 5

Введение 7

1. Общие задачи и содержание теории (7). 2. Составление механической модели; ограничение числа степеней свободы (10). 3. Составление механической модели; силы, действующие при колебаниях (14). 4. Понятие о фа

Введение 7

1. Общие задачи и содержание теории (7). 2. Составление механической модели; ограничение числа степеней свободы (10). 3. Составление механической модели; силы, действующие при колебаниях (14). 4. Понятие о фа

зовой плоскости (18).

Глава I. Свободные колебания22

Линейные системы с одной степенью свободы при отсутствии трения22

Основное дифференциальное уравнение и его решение (22). 2. Метод Рэлея (29). 3. Зависимость устойчивости равновесия от коэффициента жесткости (35).

Системы с одной степенью свободы при наличии линейной восстанавливающей силы и трения ..40

Линейное трение (40). 2. Нелинейное трение (45).

Гистерезисное трение (54). 4. Ударное демпфирование (55).

Системы с одной степенью свободы при нелинейной восстанавливающей силе57

Общие понятия (57). 2. Точные решения (58). 3. Приближенные способы (66).

Линейные системы с несколькими степенями свободы 72

Способы составления дифференциальных уравнений движения (72). 2. Решение системы дифференциальных уравнений (82). 3. Собственные формы (86). 4. Ортогональность собственных форм (89). 5. Роль начальных условий (92). 6. Случаи кратных и нулевых корней (94).

Влияние трения (98).

Глава II. Вынужденные колебания101

Линейные системы с одной степенью свободы при отсутствии трения101

Основное уравнение при силовом возбуждении (101).

Случаи кинематического возбуждения (103). 3. Действие гармонической вынуждающей силы (106). 4. Действие произвольной вынуждающей силы (110). 5. Действие периодической вынуждающей силы (116).

Системы с одной степенью свободы при наличии линейной восстанавливающей силы и трения ..122

Действие гармонической вынуждающей силы (122).

Действие произвольной вынуждающей силы (127).

Действие периодической вынуждающей силы (128).

Комплексная форма решения (132). 5. Влияние нелинейно-вязкого трения при гармонической вынуждающей силе (140). 6. Влияние гистерезиса (142). 7. Случайные колебания (144).

Системы с одной степенью свободы при нелинейной восстанавливающей силе148

Основные понятия (148). 2. Основные колебания (149).

Супергармонические колебания (152). 4. Субгармонические колебания (154). 5. Способ поэтапного интегрирования для кусочно-линейных систем (156).

Линейные системы с несколькими степенями свободы 160

Общие уравнения (160). 2. Действие вынуждающих сил, изменяющихся по гармоническому закону; непосредственное решение (161). 3. Действие произвольных вынуждающих сил; разложение по собственным формам (167). 4. Действие периодических вынуждающих сил (170).

Глава III. Параметрические колебания171

Общие понятия171

1; Основное дифференциальное уравнение (171). 2. Параметрические колебания около положения равновесия (172). 3. Параметрические колебания около стационарного режима движения (174).

Параметрическое возбуждение по периодическому кусочно-постоянному закону177

Колебания при отсутствии трения (177). 2. Влияние линейного трения (181).

Параметрическое возбуждение по закону синуса 183

1. Общие сведения (183). 2. Примеры (185).

Глава IV. Устойчивость состояний равновесия и автоколебания ..188

Устойчивость состояний равновесия188

Вступительные замечания (188). 2. Системы с одной степенью свободы (189). 3. Системы с двумя степенями свободы без трения (193). 4. Системы с двумя степенями свободы с трением (200).

Стационарные режимы и предельные циклы ..203

Общие понятия (203). 2. Способ поэтапного интегрирования для кусочно-линейных систем (209). 3. Метод энергетического баланса (216). 4. Метод малого параметра (218).

Переходные процессы и устойчивость стационарных режимов222

Вступительные замечания (222). 2. Способ поэтапного интегрирования для кусочно-линейных систем (222).

Метод энергетического баланса (224). 4. Метод медленно меняющихся амплитуд (225). 5. Метод точечных отображений (226). 6. Устойчивость стационарных режимов (227).

Явления синхронизации231

Вступительные замечания (231). 2. Синхронизация квазилинейной автоколебательной системы (231). 3. Синхронизация маятника (234).

Странные аттракторы236

Генераторы стохастичности (236). 2. Хаотический осциллятор Неймарка (238). 3. Примеры странных аттракторов в неавтономных системах (242).

Список литературы 246

Предметный указатель249

*) При немонотонных зависимостях Р(?) и больших начальных возмущениях может оказаться, что обобщенная скорость в нуль никогда не обращается. Так, например, если находящемуся

В случае нулевых начальных условий, полагая д(0) = 0, ^(0) = 0, получаем

Я.Г.Пановко