Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ГЛАВА 1
УРАВНЕНИЯ НЬЮТОНА И ЛАГРАНЖА
Лекция 1. Скалярные, векторные и тензорные поляв евклидовом пространстве
Начнем с изложения основных матеметических понятий, используемых в курсе механики.
Многообразие. Координаты. Первичным понятием геометрии является понятие точки. Рассмотрим пространство М, которое состоит из точек. Каждой точке Р некоторого подмножества U Е М поставим в соответствие п вещественных чисел (:ri,:r2,... , жп) = х, называемых локальными координатами. Соответсвие Р —> х должно быть взаимно однозначным отображением множества точек из U на подмножество N координатного пострантва Rn; в этом случае пишут х = фФУ Тройку (U, фф) называют координатной картой на М. Иногда одной карты недостаточно для введения координат всех точек на М. Тогда вводят еще одну или несколько карт так, чтобы каждая точка из М была изображена хотя бы на одной карте. Если (Г, ф, М), ф ’ ф ’ N') — две перекрывающиеся карты на М, то можно установить связь между двумя множествами координат из пересечения U и U’. Эта связь является взаимно однозначной: положим х = фФ) и х / = фЧРУ отображение области V = = фф HU1) координатного пространства Rn на область V1 = фУиоиг) и его обращение У' ^ У определяются функциями
О-1)
Предполагается, что эти функции непрерывны и определенное число раз дифференцируемы. Тогда карты называются согласованными. На рис. 1.1 схематически изображены согласованные карты.
Говорят, что на множестве М задана структура дифференгуируемого многообразия, если М снабжено конечным или счетным набором согласованных карт, которые вместе покрывают все М [8—10].
Обычное трехмерное пространство образует трехмерное точечное многообразие. Введем декартову систему координат. Каждой точке Р соответствует набор координат х = (ж, у, л). Если мы положим х = уд фу х1 = ф^Р'У то получается связь между х и х\ которую называют преобразованием координат. Например, преобразование от декартовых координат яд = х, ж^ = у, хз = ж к цилиндрическим координатам ж^ = р, ж2 = У? жз = 2 определяется соотношением
Ж = рСО8у), у = psiny), 2 = 2.
Преобразование от декартовых координат к сферическим х{ = г, х^ = 0,
х^ = ф имеет вид
х = г sin 6 cos ф, у = г sind sin ф, z = rcos0.
Евклидово пространство. Структура многообразия определяется заданием «расстояния» между парой точек. Пусть хп и хп + dxn — ко-
Рис. 1.1Рис. 1.1
Рис. 1.1
Рис. 1.1
ординаты двух точек Pi и F2. Точечное многообразие называется римановым пространством, если расстояние между ними задано выражением
ОН = g,ikkpdxidxk.ОН = g,ikkpdxidxk.(1.2)(1.2)
ОН = g,ikkpdxidxk.
ОН = g,ikkpdxidxk.
(1.2)
(1.2)
Матрица gik симметрична, все се собственные значения положительны. Набор функций g^(x) называется римановой метрикой [8 МО].
Если gik = §ik, то точечное многообразие называется евклидовым пространством. В этом случае
(ds)2 = (dx)2 + (d^/)2 + (d^)2 .(1.3)
При преобразовании координат (1.1) из (1.3) следует
Ц8У = dxndxn = ^^^jdxpxk .
В новых координатах евклидова метрика задается матрицей
Эхп дхп
дх- дх'к '
Для цилиндрических координат
(ds)2 = (dp)2 + p2(d<p)2 + (d2)2 .
Для сферических координат
(ds)2 = (dr)2 + r2(dd)2 + r2 sin2 O^pf •
Преобразование (1.1) называется движением данной метрики, если
Рассмотрим движение, являющееся линейным преобразованием и оставляющее неподвижным начало координат. Оно задается матрицей Л: хп = К^х^ . Из (1.4) получаем равенство
^ni ^nk = ^ik?=
из которого следует, что матрица Л является ортогональной: Л™ = КТ. Обратное преобразование имеет вид
®к = ^кгЛп •(1-6)
Движение метрики в случае det Л = 1 называют собственным..
Матрица Л задаст поворот пространства как целого вокруг некоторой оси, проходящей через начало координат. При этом форма г2 = ж2 + у2 + + ж2 остается инвариантной ^.
Векторы в евклидовом пространстве. Изобразим несколько направленных отрезков. Прежде чем объявлять их векторами, научимся математическому описанию стрелок. С этой целью введем прямоугольную систему координат, оси х и у которой лежат в плоскости листа, а ось 2 проведена перпендикулярно плоскости. Положительное направление оси 2 выбирается по правилу буравчика: буравчик движется в положительном направлении оси 2, если его вращать против направления движения часовой стрелки — ОТ ОСИ X к оси у.
Поставим теперь в соответствие стрелке а тройку чисел а = (аж, ау, az) по правилу: число пж равно разности ж-координат конца и начала стрелки, число ау равно разности р-координат конца и начала стрелки, ... Повторяя эту процедуру для каждой стрелки, получим множество V элементов
а = (ах, ау, az), Ъ = (Ьх, ЬуЛгк с =.
Способ, с помощью которого можно задать упорядоченные тройки чисел, зависит от конкретной задачи. Например, изучается распределение трех признаков организмов или каких-то предметов. Наличию признака соответствует число 1, а отсутствию — 0. Мы получим множество элементов а = (0, 0, 0), b = (0, 1, 1), ... , которые можно рассматривать как представление направленных отрезков в декартовом трехмерном пространстве признаков.
Упорядоченные наборы чисел (нс обязательно троек чисел) возникают естественным образом при описании химических реакций, численности хищников и их жертв и т.д.
Для любых двух элементов а, b Е V определим элемент с Е V, называемый суммой, по правилу
сж — а,ж д- Ьж , Су — Q-y + by , cz — az + bz 5
для каждого элемента а Е V и произвольного числа А определим элемент с = Ла Е V по правилу сж = Апж, су = Хау, cz = Xaz. Введенные над тройками элементов операции удовлетворяют следующим условиям:
Г) а + b = b + а;
(а + Ь) + с = а + (Ь + с);
существует такой элемент О Е V, чтоО + а = а для любого элемента а Е V;
для любого элемента а Е V существует элемент —а Е V такой, что а + (-а) = 0 ;
А(а + Ь) = Аа + АЬ ;
А (да) = (Ад) а;
(А + д)а = А а Д- да ■
1 • а = а для любого а Е V .
В общем случае множество элементов V называют линейным пространством, а сами элементы — векторами х\ если операции сложения и умножения элементов на число удовлетворяют условиям 1—8. Векторное исчисление впервые было изложено Д. Максвеллом в 1873 г. в связи с необходимостью «перевода» результатов экспериментальных работ М. Фарадея на язык математических символов. Благодаря этой работе векторный анализ стал разделом математики. Американский физик-теоретик Уиллард Дж. Гиббс в 1879-84 гг. создал ставший классическим курс векторного анализа. Одновременно в 1882-85 гг. английский физик-теоретик О. Хевисайд развил векторный метод Максвелла в электродинамике. С 1891 г. он опубликовал серию статей — первый напечатанный курс векторного анализа.
Абсолютная величина (длина) вектора а определяется выражением |а| = (а + а^ Та2)1/2. В дальнейшем абсолютную величину вектора а будем обозначать той же буквой: п=|а|. Три числа пж, ау, az называют проекциями (от лат. projectio — бросание вперед) вектора на оси х, у, %.
Если два вектора равны друг другу, т. е. ma = F, то это означает, что выполняются три условия:
тах = ЕЖ1 тау = Fy, maz = Fz .
Заметим, что если а = Ь, то векторы лежат на параллельных прямых и имеют одинаковую величину: а = Ь. Очевидно, что понятия «больше», «меньше» применимы только к величинам векторов, но не к самим векторам.
Единичный вектор е. Абсолютная величина этого вектора равна единице. Если вектор а параллелен вектору е, то его можно представить в виде а = не.
Вычитание векторов. Разность d = а — b векторов а и b можно определить как результат сложения векторов а и —Ь. Вектор d = (аж — ЬЖ7 ау — ™ byi az — bz).
Пример 1.1. Упругое столкновение частицы с плоскостью. До столкновения скорость частицы vm = (—3, 2, 0); после столкновения скорость частицы vout = (3, 2, 0). Приращение скорости Av = vout^vm = (6, 0, 0) направлено перпендикулярно плоскости (рис. 1.2).
Скалярное произведение векторов. Из двух векторов а и b можно образовать скаляр ажЬж + ayby + azbz. Это выражение называется скалярным произведением векторов и обозначается одним из символов а • b, ab. Следовательно,
ab — ажbx + a^yby -4- a<zbz. (1.6)
В тензорных обозначениях ab = anbn. Если а = Ь, то аа = ст. Скалярное произведение вектора а на самого себя часто обозначают символом а2 : а? = а2.
Из (1.6) следует, что скалярное произведение векторов а и Ь, изображенных на рис 1.3, равно
ab = a cos a b cos Д + a sin a b sin Д = ab cos (а — Д).
Здесь а — 3 — угол между векторами а и Ь. Если а • b = 0, то векто
ры а и b взаимно перпендикулярны. Квадрат вектора с = а + b можно представить в виде с2 = о2 + 2аЬ + Ьл
Векторное произведение векторов. Из двух векторов а и b можно образовать новый вектор с по правилу
сж — nybz Су — н^ож a<xbz^ cz — &xby о,уЬж. (1.7) Этот вектор называется векторным произведением векторов а и b и обозначается одним из символов1) а х b или [ab]: с = [аЬ].
Для более компактной записи компонент вектора с введем символ — тензор Леви-Чивита £ад7, полагая [12] £123 = 1,
1,1,о,о,если перестановка а, Д, 7 ^ 1, 2, 3 четна, если перестановка срЗл 1, 2, 3 нечетна, если любая пара индексов совпадает.если перестановка а, Д, 7 ^ 1, 2, 3 четна, если перестановка срЗл 1, 2, 3 нечетна, если любая пара индексов совпадает.
1,
1,
о,
о,
если перестановка а, Д, 7 ^ 1, 2, 3 четна, если перестановка срЗл 1, 2, 3 нечетна, если любая пара индексов совпадает.
если перестановка а, Д, 7 ^ 1, 2, 3 четна, если перестановка срЗл 1, 2, 3 нечетна, если любая пара индексов совпадает.
Поэтому (1.7) можно записать в тензорной форме:
(1.8)(1.8)Са,Е оф^ОфЬ^ '
(1.8)
(1.8)
Например, с3 = £321^1 + £3120-1^2 = «1&2 - «2^1.
Приведем менее формальное представление тензора Леви-Чивита:
ei[ejefc] = sijk (i, j, к = 1, 2, 3).(1.9)
Заметим, что величины £ад7 меняют знак при перестановке любых двух ИНДеКСОВ. £аД7 — ^Дад — ^адД-
Сворачивая по одному, двум и трем парам индексов, получим формулы [12]
ЕаЗл^а '3 'л = ^аа Арр ? ^аД^ДаД
^аЗл^а' Зл —Г ^аЗл^аЗл — ° ■
Пример 1.2. Пусть с = [ab]. Докажем, что ас = Ьс = 0 , т.е. вектор с перпендикулярен векторам а и Ь. Образуем свертку (1.8) с аа: ааса = А^Ъ^ , где Л7 = £аз^аааз . Далее, заменяя а <н 3, запишем еа,ру^сх ^3 — е р (х^^ з ^сх * Следовательно, Г17 — г17 у А.^ — 0 .
Задача 1.3. Даны три единичных вектора еп (п = 1, 2, 3), нс лежащие в одной плоскости. Показать, что векторы а3 = [е^], ао = = е3 + е2 , а3 = е3 — е2 взаимно перпендикулярны.
Скалярное и векторное поля на многообразии. Прежде всего рассмотрим скалярное поле на многообразии М, т. с. функцию f(P) на М, принимающую действительные значения. Если f(P) задана во всех точках Р Е М, то с каждой картой связана функция /(х) = /(жх,... , жп), определяемая соотношениями /(х) = f(P3 = ф(Р'3 Если (С, pD 2V), (С\ фЗ Nr) —две карты, то связь между соответствующими функциями /
и f на перекрытии двух карт имеет вид
/(х)=/'(х'),(1.11)
где х = р(Р), х' = р'ф) . Если воспользоваться (1.1), то это соотношение становится тождеством по дц, ... , хп или по х^ ... , х^ : функции / и ф принимают одно и тоже значение в данной точке.
Скалярное поле на М определяют как множество функций /(...) увязанных с каждой картой, а соотношение между двумя функциями на перекрытии соответствующих карт выражается законом преобразования (1.11).
Градиент (от лат. gradiens — шагающий) скалярной функции / описывается набором трех функций (обозначается grad /, v/ ™и 5//Эх). На карте (С, р. N), х = (ж, у, ж),
9LJ9j_9j_9h
9ха \9хГ ду^ Эх) '
Пример 1.3. 1. Найдем градиент функции / (х) = |х| :
Э|х| ==== жа | | = 2L
дха дха 2|х| Эха |х| af3 |х||х|
Градиент центрального скалярного поля U(x) = g(r), г = |х|, найдем как производную сложной функции:
w =—
9г Эх дт |х|
Векторное поле. Пусть ф р, N), (_U\ р\ Nr) —две карты. Говорят, что на многообразии М задано векторное поле, если в каждой точке Р Е Е М задан набор функций, причем с каждой картой связан один набор V(x) = №(х),Ш У3(х)), V'(x') = №'(х'), WY ЭД. На перекрытии двух карт два соответствующих набора связаны законом преобразования:
V^ = ^-V^xY(1.12)
При преобразовании (1.5)
Уфх) = КтфДхф(1.13)
Дивергенцией векторного поля divV называется скалярная величина [10,11]
Э¥а dvx
div V =Н.
дха Эх ду Эх
термин «набла» — так назывался похожий потермин «набла» — так назывался похожий пох^ Максвелл ввел для символа. V форме контур ассирийской арфы.
термин «набла» — так назывался похожий по
термин «набла» — так назывался похожий по
Ротором, или вихрем, векторного поля называется вектор с компонентами [12, 13]
5К ду ’5К ду ’В тензорных обозначенияхВ тензорных обозначениях(rot V)„ = [VV]Q(rot V)„ = [VV]Q_ эр"^Эхр '_ эр"^Эхр '(Э¥г Э¥у д¥х dVz ак \ ду dz 1 dz Эх ' Эх
5К ду ’
5К ду ’
В тензорных обозначениях
В тензорных обозначениях
(rot V)„ = [VV]Q
(rot V)„ = [VV]Q
_ эр
"^Эхр '
_ эр
"^Эхр '
Пример 1.4. 1. divx = 3.
div/A=-^-^a = 2£^a+/^=AV/ + /divA. оха оха оха
rot/А = [V/A] + /rot А. Действительно, (rot/A)a =
Г + /^) = [V/A]a + / (rot А)а .
OXg\OXgOXg )
..ЭЕ^
(CV)E = VCE — [CrotE]. В тензорных обозначениях С/ =
ЭЕг ЭЕкЭхкЭхгЭЕг ЭЕкЭхкЭхгЭСкЕк( ЭЕгЭЕк
ЭЕг ЭЕк
ЭхкЭхг
ЭЕг ЭЕк
ЭхкЭхг
Эх^у ОХкОХ^
Формула Тейлора. Разложение скалярного поля /(г) в ряд Тейлора в точке R имеет вид [13]
Л/(R + х) = /(R) + ха ЛМ +
\1a2/(R).
+ Т'^ГпрЕ, + ■ • ■ (1Л4)
Пример 1.5. Потенциальная энергия взаи
модействия неподвижного однородного шара и
Рис. 1.4частицы U^ = ™о/т, а = GMm. Пусть
R — радиус-вектор некоторой точки на поверхности Земли (рис. 1.4). Полагая г = R + х , находим
_ 1 _ э 1 ( 1 а2 1 t
|R + x| ” R + Х“ЛГК + ТаХ@ ЭЕаЭН0К + "'"
Поскольку
д 1 _ _Ra d2 1 _ _8„з oRgR0dRa R - R3’ 9RadRp R - R3 R5 ’
имеем ряд Тейлора:
(1.15)(1.15)11xR 1 Г x2(xR)2"
(1.15)
(1.15)
R + x R Д32 Я3Д5
В новых переменных x потенциальная энергия
(xR)2”(xR)2”mg о
(xR)2”
(xR)2”
Я2Я2П(х) = ™т gR ™ mgx — ™Г ™х" + 3
Я2
Я2
где g = ™(GM/S3)R, g = 9,8M/c2.
Тензоры в евклидовом пространстве. Тензором второго ранга (или тензорным полем) называется объект, задаваемый набором девяти функций Tik (х) в системе координат х , которые при собственном преобразовании (1.5) преобразуются по правилу [8]
ТЩх') =(1.16)
где T^v (х') — числовая запись тензора в координатах х'.
Тензорная алгебра. 1. Свертка (след или трек). Из компонент тензора Тц. можно образовать скаляр — след тензора
Sp Tik = Тпп = Тц + Т^ + Т33.
Умножение. Если заданы два тензора ТА и gik , то их произведением будет тензор четвертого ранга Nikmn = Tik gmn . Свертка по индексам к и m приводит к тензору второго ранга Nin = Tikgkn- Скалярное произведение двух векторов ciibi является операцией вычисления тензора Т^к = ^i^k •
Тензор Sik называется симметричным, если Sik = Ski - У симметричного тензора имеется шесть независимых компонент.
Антисимметричный тензор удовлетворяет условию А^ = ™А^ . Поэтому все его диагональные элементы равны нулю. Остаются три независимые компоненты, которым можно поставить в соответствие вектор [10]
С-п — "^nikAik •0-17)
При дискретном преобразовании — отражении, состоящем в изменении знака всех координат, компоненты обычного вектора меняют знак. Такие векторы называются полярными [10]. Компоненты вектора (1.17) при отражении не меняют знак. Такие векторы называют аксиальными.
Двукратная свертка симметричного и антисимметричного тензоров SinAni — 0 .
Произвольный тензор Тр. можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров: Tik = Sik + Т^к ,
Sik = 2 Шк + Ткг), Т^к = - (Tik Tki).
Далее вычислим след Saa = Таа и преобразуем Sik к виду Sik = Т°^кЛ
T° = |sPT, Цк = sik-^5ikSpT.
Очевидно, Sp Ts = 0 . В результате мы получили разложение тензора Tik на неприводимые части:
Tik = Т%к^Цк +рк.(1.18)
Диагонализация матрицы [14, 16, 67, 79]. Приведем квадратичную форму F = GikXiXk к каноническому виду. Для этого произведем преобразование системы координат Xi = Uimx^ где U — ортогональная матрица. В новых координатах F = GikUimx'mUknx'n или F = = (U-1GU)mnx^x^. Квадратная матрица может быть приведена к жордановой нормальной форме: U™XGU = J. Пусть собственные значения Аш
матрицы G различны. Тогда матрица U приводит матрицу G к диагональному виду: Jmn = Хт6тп. В новых координатах матрица G^ = = (G™GG)mn = Хп5тп имеет диагональную форму. Следовательно, имеем задачу на собственные значения GU = XU. Условие существования нетривиального решения приводит к уравнению det (G — AI) = = 0, решение которого — собственные значения Хт (т = 1,2,...) матрицы G. Подставляя последовательно значения Хп в уравнение GV = = АУ , получим собственные векторы щцп) матрицы G , пропорциональные константам Сп , которые можно фиксировать условием нормировки Гт^НО =тп - Очевидно, что Gfcsv£(m)vs(n) = А„5тап . Собственные векторы щцш) являются столбцами матрицы L^n.
Отмстим, что собственные значения нс зависят от выбора системы координат. Две комбинации собственных значении представляют собой инварианты: определитель g = det G = det С = AiA2 ... и след матрицы Sp G = Sp Gf = Ai + A2 + .
Используя полученные равенства, можно представить определитель в виде
g = exp(SplnG).
Действительно, согласно правилу вычисления функции от матрицы имеем и-1 f(G)U = fp^GU).
В специальной системе координат
иЖи = j , и^рср = рр.
Тогда последовательно находим
Sp In G = Sp[G(ln 1)0™^ = Spin J = ln(AiA2 ...) = Ing.
Полагая G = exp A , получим еще одно полезное соотношение: det exp А = = exp(Sp Л) .
Разложение определителя в ряд. Пусть матрица Т = G + eV , £ <С 1. Представим Т в виде
Т = G(IAeG™1¥).
Тогда
Si’EX; ПSi’EX; Пdet Т = det G det(J + £ G ХУ) =
Si’EX; П
Si’EX; П
= g= g= g exp[Sp In (I + sG 1 ¥)] = g exp
= g
= g
получим приращение
det (G + dG) - det G = Sp [(dG)G"1] det G.
Следовательно,
§=gSp№G-1Y(1.19)
at\ at /
Лекция 2. Кинематика
Ньютоновская механика описывает движение системы бесструктурных точечных частиц в трехмерном евклидовом пространстве [16]. Частным случаем такой системы является твердое тело — система частиц, расстояния между котороми постоянны. Если размеры твердого тела существенно меньше характерных масштабов движения, то можно ввести понятие материальной точки, т.е. тела, размерами которого можно пренебречь. В дальнейшем не будем делать различия между терминами материальная точка и частица.
Система отсчета. Представьте себе, что в ограниченной области пространства мы построили тело отсчета в виде трех взаимно перпендикулярных стержней, пересекающихся в точке О . Зададим на каждом стержне единицу масштаба и положительное направление, превратив их в координатные оси ж, у^ % . Тогда говорят, что в пространстве задана система координат [17]. Проекции точки пространства, в которой находится частица, на оси ж, у, % определяют три числа, называемые координатами частицы.
Тело отсчета вместе с помещенными на него часами образуют систему отсчета.
Галилеево пространство. Важнейшее понятие механики — со™ бытие — определяется координатами и моментом времени, в которое оно произошло. Как определить, где и когда происходит событие? Закрепим на теле отсчета часы. С помощью световых сигналов можно синхронизировать друг с другом любое количество часов, находящихся в разных точках пространства. Положение события в пространстве определяется координатами частицы. Его положение во времени принимается равным моменту времени, которое показывают часы, расположенные в месте нахождения частицы. Расстояние si2 между двумя одновременными событиями (жх, ух, 2i, t) и (ж2, У2. ^2, t) определяется выражением
812 = [($2 - ®1)2 + (у2 - У1)2 + «2 - Z1)2]1/2 .
Совокупность событий называется галилеевым пространством [8, 16]. Кривую в этом пространстве называют мировой линией. Она проходит через все события, происходящие с частицей, и позволяет проследить ее пространственно-временную «историю».
В нерелятивистской механике физическое пространство-время является пространством Галилея.
Кинематика. Начальным этапом изучения движения тела является установление способов задания положения тела в пространстве и определение характеристик движения — траектории, скорости, укорения. Этот раздел механики называется кинематикой (от греч. kinematos — движение). Кинематика дает возможность описать движение, не занимаясь выяснением причины его возникновения. Наиболее типичные в этом смысле задачи кинематики относятся к теории машин и механизмов: изучаются траектории различных звеньев машин, возможность преобразования одного типа движения в другой, создание движений с заданными свойствами и т.д.
Базисные векторы. Пусть ei, е2, е3 —система трех линейно независимых единичных векторов. Если а — произвольный вектор, то существует соотношение Axei + А2е2 + А3е3 + Ада = 0, причем не все константы равны нулю, и, в частности, Ад ^ 0. Таким образом, а можно записать как линейную суперпозицию:
а — ^ ^ опсп.
п=1,2,3
Говорят, что векторы еп образуют базис или координатную систему, а числа ап — компоненты а в этой системе. Векторы еп называют базисными. Ортонормированные базисные векторы удовлетворяют условию e^ej = 6ij . В этом случае вектор а можно представить в виде
а = У (ае„)е„.(2.1)
п=1,2, 3
Угловая скорость одного базиса относительно другого. Пусть в одной точке заданы два ортогональных базиса е^ и еп , причем базис е^ изменяет ориентацию относительно неподвижного базиса еп :
е/(^) =S^(t)em. (2.2)
Очевидно, что коэффициенты yni = Stn = е'еп образуют элементы матрицы направляющих косинусов— это /г -я компонента е/ в нештрихованной системе. Поскольку e/ej = SimemSjnen , то
бгэ -Simsjm = SimSK.(2.3)
Следовательно, S™1 = ST , матрица S — ортогональная.
Преобразование, обратное (2.2), имеет вид
^mj^j = ^mj^Nen = ет ет = 8т^ .(2.4)
Дифференцируем (2.2) по времени и, учитывая (2.4), находим
de^ dSjm dSjm р f f f
Таким образом, производная по времени является линейным оператором, действие которого определяется тензором угловой скорости
, j dSim сгр
Шгз1
Покажем, что сой =. С этой целью, дифференцируя условие ортого
нальности (2.3) SST = 1, получим соотношение
dSjm -j ( cdSjm -j ( cdSmj dSjmdSmj dSjmdtdtdtdtcl I лcl I л
dSjm -j ( c
dSjm -j ( c
dSmj dSjm
dSmj dSjm
dt
dt
dt
dt
cl I л
cl I л
из которого следует, что ujk = —ш^ . Очевидно, что диагональные элементы ш^ равны нулю. Следовательно, антисимметричный тензор сой имеет три независимых элемента. В этом случае говорят, что тензор сой дуален вектору угловой скорости, компоненты которого определяются по правилу (1.17):
(2.6)(2.6), _ 1 /
(2.6)
(2.6)
s ^sij^ij '
Следовательно,
/ 1 dSim -j^s - 2£sij"/ 1 dSim -j^s - 2£sij"(2.7)(2.7)
/ 1 dSim -j
^s - 2£sij"
/ 1 dSim -j
^s - 2£sij"
(2.7)
(2.7)
Представим далее (2.5) в терминах Шд . С этой целью заменим в (2.6) индексы г, j лк, п , образуем свертку с Eijs и учтем (1.10):
£ijs^s — ^ijs^skn^kn —.
Теперь из (2.5), учитывая (1.9), находим
^ ^ijs^sGj — £jsi(Msej — (еДе5 • ejo;s)ej — (еДщеД)е^- .
В результате получим
(2.8) в базисе(2.8) в базисе(2.9)(2.9)do
(2.8) в базисе
(2.8) в базисе
(2.9)
(2.9)
где to = ш'е'. Для того чтобы найти компоненты вектора ш еп , воспользуемся тензорным законом преобразования:
_ С С I _ с с ^^im qT _ qT ^in
Компоненты вектора угловой скорости
— ^Е skn^kn — "^sknPki ^.
Из (2.2), (2.8) следует полезное соотношение:
dSjm г п
Два вращающихся базиса. В теории гироскопов приходится вводить несколько вращающихся базисов. Пусть е^ — неподвижный базис, e^(t), e^(t) —два подвижных базиса. Матрица S^ определяет переход от базиса е^ к базису е^ (t) , матрица R^ — переход от базиса e^d(t) к базису e^(t). Тогда Р^ = Д^с6) S^a^ —матрица преобразования базиса е^ в базис е^с^ (t) . Обозначим из — тензор угловой скорости базиса e^(t) относительно базиса е^ , —тензор угловой
скорости базиса е(с) (t) относительно базиса е^ , шЬа — тензор угловой скорости базиса e^(t) относительно базиса е^ . Вычисляя производную, получим
РТ Р = ST RT (RS + RS).
Согласно определению, = Рт Р, = ST S — компоненты тензоров в базисе e^(f), ш^ = RT R компоненты тензора в базисе е ^ (t) . Следовательно,
= STu)^ S + .
«Абсолютная» угловая скорость базиса е^ (t) равна сумме угловой скорости базиса е^ (t) относительно базиса е^ (t) и «абсолютной» угловой скорости базиса е^ (t) . Компоненты вектора угловой скорости
, .(са) Г (cb) с с । , Ла) 1
^s ' ~~ 2 °skn р .
Частица в пространстве. Положение частицы в пространстве определяется ее радиусом-вектором г = r(t) . Траекторией называется кривая в пространстве, по которой движется частица. Производная dvjdt = v называется мгновенной скоростью, а вторая производная d^r/dt2 = а — ускорением. Обычно в механике производную по времени, следуя Ньютону, обозначают точкой Ч Вектор ст = 1/2[гц] называют секторной скоростью.
Скорость и ускорение в декартовых координатах. Выберем в качестве базиса векторы
ТогдаТогдаеж = (1, 0, 0), еу = (0, 1, 0), е, = (0, 0, 1) .
Тогда
Тогда
г = жеж + уеу -^(ж, у, z),
г = жеж + уеу + iez ->г = (ж, гр д), г = жеж + уеу + zez ™» г = (ж, гр 2).
Пример 2.1. Нить перекинута через вертикальную стенку и прикреплена к частице. Нить тянут со скоростью и. Найти скорость частицы (рис. 2.1).
Координата частицы ж(t) = h ctga , длина нити /(t) = h/ sin а , где h —высота стены. Очевидно, что / = — и .
Следовательно,
7 cos а .
А —— а = и, sin а '
.. ои
х ™—х— =.
sin а cos а
х^ В начале XIX в. борьба молодых кембриджских математиков с засильем старой школы приняла, в соответствии с английскими традициями, характер борьбы за обозначения. Они создали группу «деистов» (применявших обозначения «d» по Лейбницу) в противовес университетскому dotage (применение точек). Здесь игра слов: деизм — религия разума, dotage — старческое слабоумие [18].
Скорость и ускорение в цилиндрических координатах. Преобразование от декартовых координат ж, р, 2 к цилиндрическим р, 97, z' задается соотношениями (рис. 2.2)
ж = р cos 97, у = р sin99, z = z'.
Базис цилиндрической системы координат е( = ер , е^ = еф ,= ez ,
связан с декартовым базисом соотношением (2.2), где
(
cos ф sin ф 0\
— sin99 cos 97 0 ] .
О 01/
Вычисляя согласно (2.9) величину ш^ = S^ Sin , получим
ш =ш =COS фsin ф0COS фsin ф0— sin 99COS ф0— sin 99COS ф00\01/0\01/— sin 99— cos (р 0— sin 99— cos (р 0COS ф — sin (р 0COS ф — sin (р 00\/090\0 ] ф=I —ф00.0/\000/0\/090\0 ] ф=I —ф00.0/\000/
ш =
ш =
COS фsin ф0
COS фsin ф0
— sin 99
COS ф0
— sin 99
COS ф0
0\
0
1/
0\
0
1/
— sin 99
— cos (р 0
— sin 99
— cos (р 0
COS ф — sin (р 0
COS ф — sin (р 0
0\/090\
0 ] ф=I —ф00.
0/\000/
0\/090\
0 ] ф=I —ф00.
0/\000/
Следовательно, из = фе% , ёр = ^[е^ер] = феф , ёф = 93[е2е^] = —фер .
Далее последовательно находим
г = рер + 0 • еф + zez ,
Г = рер + рер + ze, = рер + рфер + 2ег = (р, рф, z),
г = \ РФ . ™ Ф. 2 L\р at )
Пример 2.2. Частица движется в плоскости z = 0 по траектории р = р(ф) с постоянной проекцией секторной скорости az = а^ . Найти ускорение.
Поскольку az = 1/2р2^ , то ф -компонента ускорения равна нулю. Далее находим
. 2сг0. dp .,2(70 п
V = —, Р = -рР = Р — = -^йр2dpр2
р = ™2а0 - р = - -
ap=p- рф2ap=p- рф22<702<702 Г/12 Г/111
ap=p- рф2
ap=p- рф2
2<70
2<70
2 Г/1
2 Г/1
1
1
Если частица движется по эллипсу
р=р(1 +s cosy?)™1,
то
_ /2п0\21
\ р } р
Естественные координаты. Рассмотрим пространственную кривую г = r(s), заданную в параметрической форме, где s — длина дуги. Скорость частицы, движущейся по кривой,
. dr .
Поскольку |dr| = ds , то можно ввести единичный вектор
dr
направленный по касатальной к кривой. Следовательно, г = sei . Повторно дифференцируя, найдем ускорение:
.2 dei
г = sei + sei = sei + s —— ds
21u
Учитывая, что ef = 1, ex = 0 , введем единичный вектор ds deid?r
e2 = R—™ =,
dsds2
где R — радиус кривизны. Величину k = R™1 называют кривизной пространственной кривой. Ускорение частицы приобретает вид
(2.11)(2.11)s2
(2.11)
(2.11)
r = sei +■
Д(8)
Единичный вектор бинормали определяется соотношением е3 = [eie2] .
Найдем угловую скорость ортогонального базиса еДА= 1, 2, 3). Имеем
desdsdesdsdeiИГ2 + eilTdeiИГ2 + eilTde2de2dsds[e2e3]^[e2e3]^
desds
desds
dei
ИГ2 + eilT
dei
ИГ2 + eilT
de2
de2
ds
ds
[e2e3]^
[e2e3]^
/de2 \/de2 \/de2
= ез e2—— — e2 e3—— = —e2 e3—-
\ds )\ds J\ds
Dde2„„
Величина х = ед—™ называется кручением пространственной кривой ds
[19, 20]. Следовательно, —= —хе2 . Далее, находим ds
de2dsde2ds= хез — kei .= хез — kei .deg
de2ds
de2ds
= хез — kei .
= хез — kei .
e3 —ds
Окончательно получаем [8]
(2.12)(2.12)ёЛ = [шеЛ], w = s(ke3 + хеЦ .
(2.12)
(2.12)
Эти уравнения называются формулами Френе. По известным кривизне и кручению можно восстановить кривую в пространстве.
Лекция 3. Законы Ньютона
Огромное влияние на развитие науки оказал величайший древнегреческий ученый и философ Аристотель (384-322 гг. до н.э.). Он был учеником Платона (427-348 гг. до н.э.), который, в свою очередь учился у Сократа (469-399 гг. до н.э.). Аристотель создал теорию познания, формальную логику, теорию поэзии, механику, описательную биологию и физиологию.
Повседневный опыт создает впечатление, что движение тела с постоянной скоростью требует определенных усилий. В механике Аристотеля этот вывод получил теоретическое обоснование. Он сформулировал принцип «природа боится пустоты», т.е. пространство заполнено материей, которая оказывает сопротивление движению тел. Поэтому для движения с постоянной скоростью необходимо приложить силу; прекращается действие сил — прекращается движение. Авторитет Аристотеля в Древнем мире и в Средние века был настолько велик, что почти две тысячи лет его механика не вызывала сомнений. Эпоха Великих географических открытий, начавшаяся в XVI в., привела к быстрому развитию оптики, астрономии и механики. Однако нужны были значительные усилия, чтобы преодолеть сложившиеся догмы и взглянуть на проблему движения но-новому.
Первый шаг в этом направлении сделал Галилео Галилей (1564— 1642 гг). Положив в основу своих исследований экспериментальные факты, Галилей разрушил механику Аристотеля и заложил фундамент научного подхода к изучению физических явлений. Соединение принципов научного мышления и опыта сделало Галилея «отцом» современной физики [21]. Он утверждал, что «любая скорость, сообщенная телу, устойчиво сохраняется до тех пор, пока нет никаких причин к возникновению торможения или ускорения» [21, 22]. Позднее И. Ньютон, родившийся в год смерти Галилея, сформулировал закон, который теперь понимают как утверждение о существовании инерциальных систем отсчета.
Инерциальные системы отсчета. Система отсчета называется локально инерциальной, если по отношению к ней пространство является однородным и изотропным, а время однородным. В инерциальной системе отсчета
тело, не взаимодействующее с другими телами, покоится или движется с постоянной скоростью. Утверждение о существовании таких систем представляет собой первый закон Ньютона.
Силы в механике. В настоящее время все многообразие взаимодействия материи относят к трем классам: сильному, электромагнитно™ слабому и гравитационному. В простейшей форме движения материи — механической — проявляются лишь электромагнитное и гравитационное взаимодействия. При движении различных тел обнаруживается одна общая особенность — движение тела с не равным нулю ускорением обусловлено его взаимодействием с другими телами или с электромагнитным полем. Для количественной характеристики этого взаимодействия вводят понятие силы. Сила, действующая на данное тело, является векторной величиной, характеризующей его взаимодействие с другими телами или электромагнитным полем. Все силы, кроме сил инерции, удовлетворяют этому определению. Можно условно выделить три класса сил.
Силы, действующие на нейтральное или заряженное тело, находя™ щееся в электромагнитном поле. Соответствующая группа задач относится к электромеханике.
Сила, действующая на элементарную частицу зарядом е , движущуюся в электромагнитном поле [12], равна
F(r, г, С = еЕ(г, С + -[г, B(r, , (3.1) . , , с ' ' ' '
где Е — напряженность электрического поля, В — вектор индукции магнитного поля. Второй член в (3.1) называют силой Лоренца. Электромагнитное поле создается внешними токами и зарядами и определяется решением уравнений Максвелла. Если наша частица не оказывает существенного влияния на распределение токов и зарядов, то Е и В являются известными функциями координат и времени.
Силы, действующие на расстоянии. Это электромагнитные и гравитационные силы.
Электромагнитные силы. Для описания взаимодействия заряженных частиц необходимо рассматривать частицы и поле как самостоятельную систему с бесконечным числом собственных «степеней свободы». Поэтому невозможно строгое введение сил взаимодействия частиц, не содержащее полевых переменных. Однако если скорость частиц и <С с, то удается с точностью до величин (и/с)2 исключить полевые переменные [12]. В нулевом приближении сила, действующая на частицу а со стороны частицы b, определяется законом Кулона:
Ръ За, гб) = -е«еь, _г |3 , (3.2)
где еа, еь — заряды частиц а и b. Напомним, что зарядом называется характеристика внутреннего свойства частиц, определяющая «интенсивность» электромагнитного взаимодействия. Выражение (3.2) соответствует приближению, не учитывающему эффект запаздывания: сила, действующая на частицу а в момент времени t, зависит от положения частицы b тот же
момент времени. В следующем приближении выражение F^ содержит члены, зависящие от скоростей частиц.
Гравитационные силы. Согласно закону всемирнрго тяготения, открытому И. Ньютоном в 1665, 1666 гг., сила, действующая на частицу а со стороны частицы Ъ, равна
F^(ra, г6) = Статър—Цт-. (3.3) |Гб - гв|°
После создания общей теории относительности выражение (3.3) было получено А. Эйнштейном (1916 г.) в приближении и < с . Последующие члены в правой части (3.3) содержат величины (и/с)2 [12, 23].
Силы реакции и трения, возникающие при соприкосновении твердых тел. Это силы электромагнитного происхождения. Они приложены в точках контакта. При скольжении сила реакции образует некоторый угол к касательной плоскости в точке контакта тел. Силы реакции часто называют пассивными силами, поскольку они могут быть найдены только в процессе интегрирования уравнений движения.
Трение — неизбежное следствие молекулярной структуры твердых тел. Оно обусловлено последовательными образованием и разрывом молекулярных связей в зонах микроконтактов. Сложность описания возникающих на молекулярном уровне электромагнитных явлений затрудняет создание теории трения. Поэтому силы трения вводятся на основе феноменологического подхода.
Таким образом, все силы в механике «немеханического» происхождения. Для их определения необходимо использовать электродинамику и теорию тяготения.
Второй закон Ньютона. В 1687 г. И. Ньютон (1643-1727 гг.) опубликовал фундаментальный труд «Матаметические начала натуральной философии», который надолго превратил механику в эталон науки. Второй закон Ньютона устанавливает связь между массой частицы, ее ускорением и приложенной к ней силой в инерциальной системе отсчета:
тата = Fa(rb... ,rN ; Г1,... ,rjv Д), а = 1,... , N . (3.4)
Масса (от лат. massa — глыба, кусок) — одна из характеристик внутреннего состояния частицы, определяющая ее инерционные свойства и гравитационное взаимодействие. Система (3.4) содержит 32V уравнений, ТУ — число частиц системы.
Основной задачей механики системы частиц является решение уравнений движения (3.4) с начальными условиями ra(tg) = rag , Га(М = гао • Общее решение системы (3.4) имеет вид
га = £а(С1,С-2, C6N, t),
где С — произвольные константы, которые необходимо определить из уравнений
ГаО = fa(Ci, . . . , ^о)? ГаО = ^а(С1, . . . , ^о) •
В результате получим решение, удовлетворяющее начальным условиям:
Га = гДгЦд, . • • , Г^о; По,, Пуд, t). (3.5)
Третий закон Ньютона. При взаимодействии двух тел сила Еаь, действующая на тело а со стороны тела b, равна по величине и противоположна по направлению силе F^ , действующей на тело Ъ со стороны тела а :
Fa6 = ™Fba. (3.6) Из (3.2) и (3.3) следует, что кулоновские и гравитационные силы (полученные в приближении и <^ с) удовлетворяют третьему закону Ньютона (3.6).
Принцип относительности Галилея. Пусть К — инерциальная система отсчета в галилеевом пространстве ж, у, z, t. Перейдем в систему К' с координатами х\ у\ z\ t'. Преобразование координат зададим функциями
ж» = SyaXp + uat + da, t = t' Г to , (3.7) где ua, da, to —действительные постоянные, Sya —произвольная действительная ортогональная матрица, параметризуемая тремя постоянными углами. Временная координата имеет абсолютный смысл и изменяется лишь при сдвиге начала отсчета времени. Преобразование (3.7) образует 10-параметрическую группу всех преобразований галилеева пространства. Система К', движущаяся согласно (3.7) с постоянной скоростью относительно системы К , также будет инерциальной.
В 1636 г. Галилей сформулировал утверждение: во всех инерциальных системах законы механики одинаковы. Это и есть галилеева относительность. Отсюда следует, что никакими механическими опытами нальзя определить, покоится данная система или движется с постоянной скоростью, — все инерциальные системы равноправны. В этом заключается важное объективное содержание принципа относительности, выражающее материальное единство мира.
Принцип относительности налагает ограничения на структуру уравнений (3.4): они должны быть ковариантны относительно группы преобразований (3.7), т. е. иметь одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета. Нетрудно проверить, что правая часть (3.4) может зависеть лишь от относительных координат и скоростей [16]:
Fa(ri,..., гдг,; Г1,...,гдЩ = У2га6(гь -гй, rb -та,р (3.8) ЬУа
Таким образом, второй закон Ньютона для замкнутой системы N частиц имеет вид
тата = ^ Fa6(r6 - гй, r6 - гй, О ■ (3.9) ЬУа
Заметим, что существует множество преобразований, относительно которых уравнения (3.9) нековариантны. Например, они не сохраняют свою
Ковариантность (от лат. со — совместно и varians — изменяющийся) — термин, введенный английским математиком Д.Д. Сильвестром (1814—1897 гг.)
форму, если перейти к ускоренной или вращающейся координатным системам, т. е. если допустить, что и и Sap зависят от времени.
Приближение внешнего поля. Рассмотрим систему, состоящую из N+Ne частиц, и предположим, что подсистема, содержащая N частиц, не оказывает существенного влияния на движение другой подсистемы. Тогда уравнения движения можно представить в виде
NNe
таг« = У Fat + У Рас, a = 1, 2,... , N, (3.10) b-pac^a
Ne
тсгс~^¥сЪ, c = 1, 2,... , Ne.(3.11)
b^c
После решения уравнений (3.11) второе слагаемое в (3.10) является известной функцией времени, координат и скоростей частиц, принадлежащих первой подсистеме. Уравнение (ЗЛО) приобретает вид
N
тага = УгаЬ + ra,t),(3.12)
b^a
где F^xt(ra, ra, t) — внешняя сила, равная сумме сил, действующих на частицу а со стороны частиц подсистемы, движение которых известно.
Лекция 4. Импульс, момент импульса, потенциальная энергия. Законы изменения динамических переменных
Закон изменения импульса системы. Р. Декарт ввел вектор шг, который назвал количеством движения. Сейчас эту величину называют импульсом (от лат. impulsus — побуждение, толчок). Импульсом системы N частиц является вектор
Р = Утага.(4.1)
Производная импульса системы по времени равна сумме внешних сил, дейсвующих на систему. Действительно, согласно (4.1), (3.12)
P = ^mara = ^Fa6 + ^Fr‘.
аа,Ьа
Поскольку Fa6 = -F6a ,
у Pat = 2 .(Pat + Pta) = о ,
а,Ьа,Ь
откуда
Р = У>Г-(4.2)
Следовательно, импульс замкнутой системы сохраняется: Р = Ро .
Если импульс системы Р = 0 , то гворят, что она. как целое покоится.
Например, для неподвижного атома, водорода. me ve + mpvp = 0 .
Можно найти инерциальную систему отсчета. К', в которой импульс системы Р' = J2 тл'а равен нулю. Такая система, называется системой
центра, масс (СЦМ). Найдем ее скорость и относительно системы К . Поскольку va = u + v^ , то Р = mu + Р^ где m — сумма, масс всех частиц системы. Полагая Р1 = 0, находим
и = — ^ и = — У' тага .(4.3)
тт
Правая часть (4.3) может быть представлена, в виде полной производной от выражения
R = — Р тага ,(4.4)
которое определяет радиус-вектор точки, называемой центром масс системы.
Закон изменения момента импульса системы. Моментом импульса. частицы называется вектор Ма = [га ■ тга] . Момент импульса, системы N частиц
м = УУГ“ ■ т<Г ■(4.5)
Из (4.5) и (3.12) имеем
м = УТ» • таГа] = У2[ëЫб] +
аа Уа
Поскольку в силу (3.6)
52[raFa6] = | УУ [гаГа6] + [r6F6a]) = | УУга - r6)Fa6] = 0,
то производная по времени момента, импульса, системы равна, моменту внешних сил:
м = y>a . maFH-(4.6)
Если система, замкнута, то момент импульса, сохраняется: М = Мд .
Закон изменения кинетической энергии. Кинетической энергией системы называется сумма, кинетических энергий частиц:
= 52 1тЛ •(4-7)
Из (4.7) и (3.12) находим
т = ^ ma(rara) = ууа6га + У F,f'r„ .(4.8)
аа,Ьа
Таким образом, производная кинетической энергии по времени равна, мощности сил, действующих на. частицы системы.
4.4. Потенциальная энергия взаимодействия частиц. Преобразуем первый член в правой части (4.8), подставляя выражения ¥аь из (3.2), (3.3):4.4. Потенциальная энергия взаимодействия частиц. Преобразуем первый член в правой части (4.8), подставляя выражения ¥аь из (3.2), (3.3):Z ^йЬ^а — 2 ^ ZO^ab^a + ^ba^b) — 2 ^ Z ^ав ^а ^) — а,Ьа,Ьа,ЬZ ^йЬ^а — 2 ^ ZO^ab^a + ^ba^b) — 2 ^ Z ^ав ^а ^) — а,Ьа,Ьа,ЬЕ^а^Ь|гб - Га|3 а,о 11Е^а^Ь|гб - Га|3 а,о 11- ГЬ)(Га - Ь) -- ГЬ)(Га - Ь) -1 V - с татъ ^Л |гь-га|3 а,6111 V - с татъ ^Л |гь-га|3 а,611- Гб)(Г - гь)- Гб)(Г - гь)d 1 ^^ еаеьdt2 G |га - г6|а,6 11d 1 ^^ еаеьdt2 G |га - г6|а,6 11d 1 Gmamb+ dt^Tb 1г“ -Гь1'd 1 Gmamb+ dt^Tb 1г“ -Гь1'(4.9)(4.9)Здесь мы учли, что г2 = г2 , тт = гг . Введем функцииЗдесь мы учли, что г2 = г2 , тт = гг . Введем функцииЛЛ», Ть) =ЛЛ», Ть) =^а^Ь|га -Г6|’^а^Ь|га -Г6|’и^Ч-Uab Vи^Ч-Uab Vп) = -п) = -GmambК - n|GmambК - n|
4.4. Потенциальная энергия взаимодействия частиц. Преобразуем первый член в правой части (4.8), подставляя выражения ¥аь из (3.2), (3.3):
4.4. Потенциальная энергия взаимодействия частиц. Преобразуем первый член в правой части (4.8), подставляя выражения ¥аь из (3.2), (3.3):
Z ^йЬ^а — 2 ^ ZO^ab^a + ^ba^b) — 2 ^ Z ^ав ^а ^) — а,Ьа,Ьа,Ь
Z ^йЬ^а — 2 ^ ZO^ab^a + ^ba^b) — 2 ^ Z ^ав ^а ^) — а,Ьа,Ьа,Ь
Е^а^Ь
|гб - Га|3 а,о 11
Е^а^Ь
|гб - Га|3 а,о 11
- ГЬ)(Га - Ь) -
- ГЬ)(Га - Ь) -
1 V - с татъ ^Л |гь-га|3 а,611
1 V - с татъ ^Л |гь-га|3 а,611
- Гб)(Г - гь)
- Гб)(Г - гь)
d 1 ^^ еаеьdt2 G |га - г6|а,6 11
d 1 ^^ еаеьdt2 G |га - г6|а,6 11
d 1 Gmamb
+ dt^Tb 1г“ -Гь1'
d 1 Gmamb
+ dt^Tb 1г“ -Гь1'
(4.9)
(4.9)
Здесь мы учли, что г2 = г2 , тт = гг . Введем функции
Здесь мы учли, что г2 = г2 , тт = гг . Введем функции
ЛЛ», Ть) =
ЛЛ», Ть) =
^а^Ь
|га -Г6|’
^а^Ь
|га -Г6|’
и^Ч-
Uab V
и^Ч-
Uab V
п) = -
п) = -
Gmamb
К - n|
Gmamb
К - n|
которые называют, соответственно, потенциальной энергией электростатического взаимодействия и потенциальной энергией гравитационного взаимодействия частиц а и b . Тогда. (4.8) можно представить в виде [24]
^Т + и^+ U^) = ^ ММ-(4-Ю)
Здесь U^G^i, ..., гту) — потенциальная энергия электростатического взаимодействия, iG^ri, ..., rjy) — потенциальная энергия гравитационного взаимодействия всех частиц системы:
и^ = 1V —2 G кь -г арои^ = 1V —2 G кь -г аро(4.11)(4.11)^(7) _ к у^ Стать
и^ = 1V —
2 G кь -г аро
и^ = 1V —
2 G кь -г аро
(4.11)
(4.11)
2 |гЬ — га|а^Ь 11
Величину Т ли^ ЛИ^^ называют внутренней энергией системы. Соотношение (4.10) выражает важнейшую теорему механики: производная внутренней энергии равна мощности внешних сил. Если система, замкнута, то внутренняя энергия сохраняется.
Введение потенциальной энергии оказалось возможным благодаря тому, что силы (3.2), (3.3) являются консервативными;
rotaFab(ra, гь) = 0,—^=0.(4.12)
ot
В соответствии с (4.12), (4.11)
FM = F™ =
с 8тс 1 с 8тс
Действительно,
apb 11
GmcmbGmcmb(Гб - Гс) =(Гб - Гс) =
Gmcmb
Gmcmb
(Гб - Гс) =
(Гб - Гс) =
= V Gmamcp—^ .
Из (4.9) следует, что элементарная работа, всех сил ¥аЬ
6 А = ^ Fob (drа - drb) = -dU, где U = U^ + U^ . a>b
Работа, совершаемая силами ¥ab и ¥ba парного взаимодействия на. произвольных траекториях та = та^ и ть = rb(t), зависит только от начального и конечного положения частиц а и b .
Закон сохранения полной энергии. Предположим, что внешние силы можно представить в виде F®xt = ™8Uext)Эта , где [Jext(ri,...
гту, t) —потенциальная энергия взаимодействия системы с внешними телами:
Тогда, преобразуя правую часть (4.10), получим
VFr = _у ^‘f ^Ду^ех^
2^ " "2^ Эта а dt 2^ * +
“°° +yvu^ = -dyr + rr
а dt dt *
Из (4.10) следует равенство
Лext
-дт + и + и^ = dtat
Величина. Е = Т + U + Uext называется полной энергией системы частиц, находящихся во внешнем поле. Таким образом, закон изменения полной энергии имеет вид
(4.13)(4.13)QUextdt *
(4.13)
(4.13)
Если внешние силы не зависят явно от времени, то полная энергия сохраняется:
Т ГП EUext = constТ ГП EUext = const(4.14)(4.14)
Т ГП EUext = const
Т ГП EUext = const
(4.14)
(4.14)
В такой форме закон сохранения полной энергии был получен в 1847 г. немецким ученым Г. Гельмгольцем (1821—1894 гг). Имея в виду переход
от (4.8) к (4.13), М. Планк писал: «Как ни незначительным нам кажется это переобразование — перспектива, которую оно открывает во всех областях физики, чрезвычайно велика, ибо возможность его обобщения для любых физических явлений природы легко бросается в глаза».
Уравнение Мещерского. Рассмотрим движение тела, переменной массы m(t) . Изменение массы тела, может быть обусловлено испарением, абляцией, выбросами вещества, или конденсацией пара, захватом частиц и т.д.
Пусть т^, v(t) — масса, и скорость тела, в момент времени 1;тЛ + Am, v + Av — те же величины в момент времени t + At; масса. (—Am) имеет скорость с . Приращение импульса, системы
АР = (m + Am)(v + Av) + (—Am)c — mv zz mAv — (c — v)Am. Разность с' = c — v является скоростью массы (-Am) относительно тела. Из (4.2) следует уравнение
mr = me' + Fext,(4.15)
полученное русским математиком И.В. Мещерским в 1897 г. Для получения замкнутой системы уравнение (4.15), содержащее четыре неизвестные величины г и m, должно быть дополнено еще одним уравнением вида. /(г, г,ш) = 0. В ракетодинамике систему (4.15) дополняют условием экстремума, функционала, оптимизирующего расход топлива, время полета. и т.д.
Пример 4.1. Оценим скорость сгорания топлива, при старте системы «Saturn-5»-«Apollo-l 1», доставившей 20 июля 1969 г. первых астронавтов на. Луну. Начальная масса, то = 2950 т, скорость истечения с1 = 2,6 х х103 м/с. Пять двигателей первой ступени развивали тягу Fq = 3,4-107 И. Расход топлива.
|т|^ = 13000 кг/с.
Пример 4.2. Однородная цепь сложена, в кучу так, что несколько ее звеньев свешиваются с края стола. В начальный момент скорость цепи равна, нулю. Найдем ускорение цепи.
Направим ось z вертикально вниз, начало координат расположим на. уровне поверхности стола. Пусть z — координата, нижнего конца, цепи — точки A, z — проекция скорости точки А. Масса, движущейся части цепи т z . Полагая в (4.15) с = 0, получим уравнение dz z
Умножая обе части (/) на. zz , найдем первый интеграл
|(^)2-|gX=C.(2)
Рассмотрим частный случай, соответствующий начальным условиям ;Д0) = 0, 2(0) = 0 : первоначальная длина, свисающей части цепи ничтожно мала. Согласно начальным условиям С = 0. Из (2) находим 22 = = 2 g ^/3. Дифференцируя по времени, получим ускорение движущейся
части цепи z = g /3 — ускорение цепи в три раза, меньше ускорения свободного падения.
Приведем другой интересный результат. Однородная цепь АВ массой М висит вертикально, касаясь концом В поверхности пола. Цепь отпускают. В момент падения конца. А на. пол вес цепи равен ЗМ g [25].
Теорема вириала (от нем. virial — сила). Если движение системы присходит в ограниченной области пространства, то существует соотношение, связывающее средние по времени значения кинетической энергии и вириала. Клазиуса
^ra^Fa6 + FrY
а Ь
Теорема, вириала. позволяет найти «глобальные» условия удержания системы частиц в конечной области пространства.
Умножим обе части уравнения (3.12) на. та и, учитывая, что гг =
d2 .
= - —г г" — г" , получим
at,2
2dH 52 У тГа = УЛ + УгД®1. (4.16) ааа^Ъа
Произведем усреднение по достаточно большому интервалу времени в соответствии с определением:
Г = Ji™ ^Г = Ji™ ^./ЛИ-./ЛИ-Тогда, из (4.16) имеем теорему вириала:Тогда, из (4.16) имеем теорему вириала:(4.17)(4.17)
Г = Ji™ ^
Г = Ji™ ^
./ЛИ-
./ЛИ-
Тогда, из (4.16) имеем теорему вириала:
Тогда, из (4.16) имеем теорему вириала:
(4.17)
(4.17)
Пример 4.3. В 1870 г. Р. Клазиус предложил очень сильный метод получения уравнения состояния газа, в тепловом равновесии. Внешние силы, действующие со стороны стенок сосуда, объемом V, создают давление р:
= -podSr = -р dV div г = -^pV .
Левая часть (4Л7) равна. ^k^TN (кв — постоянная Больцмана). Преобразуя аналогично (4.9) оставшийся член, получим [26]
pV = kBTN-HVrab6pV = kBTN-HVrab6dUab ЭтаЪdUab ЭтаЪ(4.18)(4.18)
pV = kBTN-HVrab
6
pV = kBTN-HVrab
6
dUab ЭтаЪ
dUab ЭтаЪ
(4.18)
(4.18)
где таь = г^ — га . Энергия взаимодействия молекул зависит от электронных состояний [27]. В качестве потенциальной энергии взаимодействия двухатомных молекул, находящихся в основном состоянии, часто используют модель Леннарда-Джонса: иаЬ(таЬ) = /(|га6|),
- / X 12/(г)=^о-\ г у- / X 12/(г)=^о-\ г у(4.19)
- / X 12
/(г)=^о-
\ г у
- / X 12
/(г)=^о-
\ г у
где По —глубина потенциальной ямы, го —расстояние, на котором /(г) обращается в нуль. Пренебрегая в (4.18) взаимодействием молекул, получим уравнение состояния идеального газа.
Лекция 5. Движение свободной частицы во внешнем поле
Здесь мы рассмотрим важный частный случай, когда, частица, взаимодействует с системой, движение которой можно считать заданным. Тогда, говорят о движении частицы во внешнем поле. В этом случае уравнение (3.12) принимает вид
mr = F(r, г, t). (5.1)
Начальные условия: г(0) = г0 , г (0) = г о .
Для произвольных функций F(r, г, t) система, трех уравнений (5.1) неразрешима, в аналитическом виде. Поэтому ограничимся рассмотрением частных случаев.
Искусство интегрирования состоит в нахождении первых интегралов. Первым интеграл ом называется функция /(г, г, t), остающаяся постоянной на. траекториях системы: /(г, г, I) = const.
Одномерное движение в консервативном поле. Пусть
F = -dU /дг; [/(г) = У (ж). Из (5.1) находим
(5.2)(5.2)д¥„
(5.2)
(5.2)
тх = ту = 0, mz = 0.дх
Первые интегралы у = у0 , 2 = 2о позволяют получить решение: у = yot + у о , z = zot + z0 . Умножая первое уравнение системы (5.2)
.. д¥тхх + ж—™ =ох.. д¥тхх + ж—™ =охd tmr х _ — + ЫЧ =0.d tmr х _ — + ЫЧ =0.dtdtна. х, получим
.. д¥тхх + ж—™ =ох
.. д¥тхх + ж—™ =ох
d tmr х _ — + ЫЧ =0.
d tmr х _ — + ЫЧ =0.
dt
dt
Следовательно, существует еще один интеграл:
-у- + V (ж) = Е, Е=+ V (ж0),(5.3)
который представляет собой уже уравнение первого порядка. Получим его решение методом разделения переменных. Пусть ж0 > 0 . Тогда.
ж = J-(E-¥(x¥ ,(5.4)
V т'
откуда.
-1
dx = t.(5.5)
Поскольку ж2 > 0, то область движения по х -координате определяется условием Е ^ V (ж) . Точки, в которых Е = У (ж), называются точками поворота, т.к. в них скорость обращается в нуль.
Рассмотрим в качестве примера, потенциальное поле Эккарта [13]:
где Уо > Ух > 0, Ур > 0 (рис. 5.1). Если Е = —Ер < 0, то уравнению Е = У (ж) удовлетворяют две точки — ах и а^ — определяющие
sh kx, получимsh kx, получимsh А?ж =sh А?ж =Ур — Ер ЕрУр — Ер Ерsin cut,sin cut,
sh kx, получим
sh kx, получим
sh А?ж =
sh А?ж =
Ур — Ер Ер
Ур — Ер Ер
sin cut,
sin cut,
границы движения: а^ ^ ж ^ ах. Движение является, как говорят, финитным, поскольку происходит в ограниченной области пространства. Если Е = Ех , то разрешенная область движения —сю < ж хх является инфинитной. При Е = Е^ > Уо частица движется во всем пространстве.
Рассмотрим случай симметричной ямы (рис. 5.2). Положим Ух = Уо = 0 ,
Уо
=(5.6)
СГГ КХ
Пусть Е = — Eq < 0, ж(0) = О, ж(0) = ж0 . Вычислим интеграл (5.5):
’ ch kx dx 1 Гт ' d sh kx
. xZ-Soch^ + W ” k \ T J VV0 -Eo- E0sh2 ж "
00
Переходя к переменной ^ =
Частица, движется в потенциальной яме в области |ж| ^ a, ch2 ka = = Ур/Ер . Финитное движение является нелинейными периодическими колебаниями с периодом Т = 2л/со . Из (5.5) следует, что период можно найти независимо:
х-ДЯ г
Т = 2Т = 2-(E-V(x) т-(E-V(x) тdx, E = V(xn).dx, E = V(xn).(5-7)(5-7)
Т = 2
Т = 2
-(E-V(x) т
-(E-V(x) т
dx, E = V(xn).
dx, E = V(xn).
(5-7)
(5-7)
Зависимость периода, от полной энергии приводит к неизохронности колебаний.
Рассмотрим движение у дна. ямы, полагая Е = —Vb + s , £ ^ Vb . В этом случае kx С 1,~ —Vb (1 — к2ж2 + ...). Из (5.5) найдем x(f) . Одна
ко, поскольку V(ж) — полином не выше второй степени, удобнее вернуться к уравнению (5.3):
^тх2 — Vb + Vok2x2 + ... = Е.
Дифференцируя, находим уравнение тх + 2П0^2ж = 0. Следовательно,
х = —smwot, wo = к\ .
woV т
Пусть ж(0) = —L, ж(0) = го , Ем тго/2. Найдем промежуток времени Т , за который частица достигнет точки х = Е, удовлетворяющей условию кЕ Д> 1. Переходя к переменной ^ = ^Е/(Е + Vb)]1/2 sh кх и вводя обозначения 9 = \Е)^Е + Vb)]1/2 sh kL, т = к^Ут^ЕУ^2 = = 1 / кхо , получим
(1+^2)172+^^L(1 Л'"-»”71 д'- (5.8)где At = т In —< 0.(1+^2)172+^^L(1 Л'"-»”71 д'- (5.8)где At = т In —< 0..1 /г+е.1 /г+е9,
(1+^2)172+^^L
(1 Л'"-»”71 д'- (5.8)
где At = т In —< 0.
(1+^2)172+^^L
(1 Л'"-»”71 д'- (5.8)
где At = т In —< 0.
.1 /г+е
.1 /г+е
Первое слагаемое определяет время движения частицы в отсутствие поля. Второе слагаемое обусловлено взаимодействием частицы и поля. Поэтому конечное время «запаздывания» At удобно представить как разность двух расходящихся интегралов:
Их$ЦЕ - У)]1/2 - ^тВ^Д.Их$ЦЕ - У)]1/2 - ^тВ^Д.ЕС1
Их$ЦЕ - У)]1/2 - ^тВ^Д.
Их$ЦЕ - У)]1/2 - ^тВ^Д.
At = 2^, G = lim
ЭЕ
Движение заряда в электромагнитном поле. В этом случае уравнение (5.1) принимает согласно (3.1) вид
mr = eE(r, t) + ™ [г • B(r, t)].(5.9)
Умножая обе части на. т , получим закон изменения кинетической энергии:
d тт2d тт2= еЕг.= еЕг.(5.10)(5.10)
d тт2
d тт2
= еЕг.
= еЕг.
(5.10)
(5.10)
Правая часть (5.10) — мощность силы, с которой действует на. заряд электрическое поле. Работа, силы Лоренца, над зарядом равна, нулю. Если
электрическое поле не зависит от времени, то Е = — V^ , где ^(г) — потенциал электрического поля. Из (5.10) находим интеграл энергии:
(5.11)(5.11)-тг2 + е^(г) = Е,
(5.11)
(5.11)
где е^(г) = Пех\т) — потенциальная энергия взаимодейсвия заряда, с внешним полем.
Пример 5.1. Протон движется в неоднородном постоянном магнитном поле В = (0, 0, B0ch”2 ку), образующем магнитную стенку, параллельную оси ж . Начальные условия: г(0) = (0, — ос, 0), г (0) = = (0, по, 0) . Найти условия прохождения протона, сквозь магнитную стенку.
Уравнения движения:
еВ0
ж = ^;о,У =12/’ z = ^ ш =•
кукутс
Из третьего уравнения следует, что ^(t) = 0 , а. из первого находим интеграл
— ж — —th ку \ = 0 ж = — (1 + th ку).
dt \ к )к
Подставляя ж, 2 в интеграл энергии ж2 + у2+22 = Hq , получим уравнение
• 22У = ^0 ”• 22У = ^0 ”+ th ку)2.
• 22
У = ^0 ”
• 22
У = ^0 ”
Поскольку 0 ^ /(у) ^ (2ш/к)2, то при по < ^ш/к существует точка, остановки — протон отразится от стенки. При по > 2си/к протон пройдет сквозь магнитную стенку.
Пример 5.2. Электрон движется в постоянном однородном магнитном поле В = (0, В, 0) и электрическом поле квадрупольного конденсате / 2I т°
тора, потенциал которого р = ^ту(л — у ) . Наити решение уравнении движения; г(0) = (0, уо, 0), г(0) = (0, 0, п0) •
Из уравнения тг = во^р — — [гВ] получим систему:
т ™ О2еДУ U Upт ™ О2еДУ U Upу = —П|т/, 2 = -шру = —П|т/, 2 = -шр
т ™ О2
еДУ U Up
т ™ О2
еДУ U Up
у = —П|т/, 2 = -шр
у = —П|т/, 2 = -шр
(/)(/)(2)(2)№№
(/)
(/)
(2)
(2)
№
№
где ш = е^В/тс, О| = е^и^/та2 . Из второго уравнения находим y^t) =
= у о cos ^2^ . Из третьего уравнения находим интеграл
2 + шж = по •
Теперь первое уравнения приобретает вид
х + (си2 — П|)ж = СЭПо.
Пусть сп2 — По—^!>0. Тогда, решение (2)
си .
Ж = По(1 - COS Hit).
Подставляя (3) в (7), получим уравнение
х 27 х 2
• I ^2 А . / А 0 4
2™ — V0 +— Vo COS ИД .
у Их у у Их у
Интегрируя, находим
/ гл \ 29
_^ ^ + ^ sm .
Движение частицы в центрально-симметричном поле. Потенциальная энергия взаимодействия П(г) = U(r) . В этом случае сила, действующая на. частицу, равна.
_ dU dU dr dU г
дт дт дт дт т
Найдем первые интегралы. Умножая уравнение движения
dU
ТГЬТ = — —-
дт
на. г , получим интеграл энергии
-тг2 + Щт) = Е .
Далее, вычисляя производную момента, импульса.
М = ш[гг] = -М = ш[гг] = -т отт от
М = ш[гг] = -
М = ш[гг] = -
т от
т от
находим еще три интеграла. М = Мо . Умножая обе части этого соотношения на. г, получим уравнение плоскости, перпендикулярной вектору Мо и проходящей через начало координат:
Мог = 0.
Четыре интеграла, позволяют полностью проинтегрировать уравнения движения. В общем случае переменные разделяются только в сферической системе координат.
Пусть г(0) = г0 , г(0) = v0 . Если ось % декартовой системы координат выбрать параллельно вектору Мо , то z(t) = 0 . Сферическая координата. 9(f) = л/2 . Первые интегралы можно записать в виде
™(г2 + г2у>2) + Н(г) = Е , (5.12)
тт^ф = Мо .(5.13)
Исключая ф из (5.12), получим уравнение
Дт2 ++1Л.Ц = Е,(5.14)
описывающее движение по координате г ^ 0 в поле с эффективной потенциальной энергией
(5.15)(5.16)(5.15)(5.16)(5.13), (5.15)(5.17)(5.13), (5.15)(5.17)Второе слагаемое в последнем выражении называют центробежной энергией. Область допустимых значений г определяется неравенством Е ^ Пэф . Условие Е = Пэф^ , соответствующее г = 0, определяет точки поворота траектории, в которых функция г(£) изменяет сигнатуру. Если г(0) > 0, то, разрешая (5.14) относительно г , получим
(5.15)
(5.16)
(5.15)
(5.16)
(5.13), (5.15)
(5.17)
(5.13), (5.15)
(5.17)
2” ^эфИ)2” ^эфИ)Ш/2dr = t Г Со .Ш/2dr = t Г Со .Разделяя переменные г и Е найдем решение в квадратуре:
2
” ^эфИ)
2
” ^эфИ)
Ш/2
dr = t Г Со .
Ш/2
dr = t Г Со .
Далее, записывая ф в виде ф = (dp/dr)r , найдем из
2”(^ ” ^эфИ)2”(^ ” ^эфИ)-1/2dr ЕС.-1/2dr ЕС.уравнение траектории:
2
”(^ ” ^эфИ)
2
”(^ ” ^эфИ)
-1/2
dr ЕС.
-1/2
dr ЕС.
Соотношения (5.16), (5.17) представляют собой закон движения частицы в параметрической форме.
Лекция 6. Задача Кеплера
f dMf dMU (г) = -GmU (г) = -GmПотенциальная энергия взаимодействия однородного шара и частицы. Энергия взаимодействия имеет вид
f dM
f dM
U (г) = -Gm
U (г) = -Gm
RU (г) = —Gmp d^2RU (г) = —Gmp d^2где ^, г — радиусы-векторы элементарной массы шара dM и частицы (рис. 6.1); М, R — масса и радиус шара. В сферической системе координат с полярной осью, направленной по вектору г , имеем
R
U (г) = —Gmp d^2
R
U (г) = —Gmp d^2
2тт
d9 sin 9 dp[r2 + ^2 — Лф cos#]-1/2 =
= -Gmp— d££[r +V=^B?.
Г JVO
0
Если г > R, то ^ < r, \r — ^| = г — ,
R
(6.1)(6.2)(6.1)(6.2)\2тг Г 24л/?3 GmM
(6.1)
(6.2)
(6.1)
(6.2)
U^C = —Gmp— d£2G = —Gmp =.
r Jorr
0
В случае г < R
rR
x2л Г ff 1 GmM G г2 \
и (г) = -Gmp— d^2^ + ^ 2 ^r =—- 3 - -Л .
г уJ J 2R у у
Ог
Итак, U^x^ ip 2) = У (г), г = д/ж2 +1/2 + 2 2 . На рис. 6.2 изображен график функции У (г) :
У (г) =У (г) =GmMGmMGmM2RGmM2RО ^ г ^ Я,О ^ г ^ Я,
У (г) =
У (г) =
GmM
GmM
GmM
2R
GmM
2R
О ^ г ^ Я,
О ^ г ^ Я,
г
Если плотность шара является сферически симметричной функцией
Рис. 6.2Рис. 6.2
Рис. 6.2
Рис. 6.2
координат, то поле не отличается от поля точечной массы. Этот результат принадлежит И. Ньютону. Позднее Дж. Бирхгоф заметил, что симметрично пульсирующее тело создает поле, также не отличающееся от поля точечной массы.
Первые интегралы. Рассмотрим движение частицы в приближении внешнего поля. (Условия применимости этого приближения будут обсуждаться в лекции 10.)
Поместим начало координат в центр Земли. Сила, действующая на частицу в поле (6.1), равна
_ dU dU дт аг
F = -— = - —— =дт дт дт т
а = GMm = mgR2.
Уравнение движения имеет вид
шт = —а — .(6.3)
Сохраняются полная энергия и момент импульса.
В 1799 г. французский физик и математик П.С. Лаплас (1749-1827 гг.) открыл еще три интеграла, которые отражают скрытую симметрию задачи
Кеплера. Образуем векторное произведение (6.3) с М :
гМ = гМ т rMo =^Т1Г
Учитывая, что г2 = г2 , г г = тт , получим
Следовательно, сохраняется вектор, который будем называть вектором Лапласа;
1г
е = -[гМ0] —- .(6.4)
ат’
Очевидно, бМ0 = 0, те. вектор Лапласа лежит в плоскости траектории. Найдем величину вектора 8 :
б2 = — Т2 МлгМ0 - + 1 = — Г2 Мд + 1 =
а^а т а^та т
тг2а\ 2 Мд2т ) та2тг2а\ 2 Мд2т ) та2Ж 16.5)та2’Ж 16.5)та2’
тг2а\ 2 Мд
2т ) та2
тг2а\ 2 Мд
2т ) та2
Ж 16.5)та2’
Ж 16.5)та2’
Мо2где р =таМо2где р =таУмножим далее (6.4) на г :
Мо2
где р =
та
Мо2
где р =
та
11мо
ет = — гМо г — т =— т = р — г,
ата'
Обозначая через ф угол между векторами биг, найдем уравнение траектории:
(6.6)(6.6)Р
(6.6)
(6.6)
1 + е cos ф
Из курса аналитической геометрии известно, что (6.6) — уравнение конического сечения, где р — параметр, е — экцентриситет. Следовательно, вектор Лапласа параллелен оси симметрии траектории частицы.
Решение задачи Кеплера. Поскольку U(г) = V(г), то в общем случае решение уравнений движения возможно только в сферических координатах г, 9, ф : х = г sin 9 cos ф, у = г sin 9 sin ф, z = г cos 9 . Наличие дополнительного специфического для задачи Кеплера интеграла (6.4) приводит к тому, что уравнения (6.3) могут быть решены в параболических координатах [28] и, v, ф :
х = Vmjcos ф, у = y/wsin^, z = 1/2(ц — -и).
Используя начальные условия r(0) = г0 , r(0) = v0 , выберем ось z параллельно вектору Мо , ось х — по вектору 8 . Обозначим через ф угол между радиусом-вектором частицы и осью х . Тогда интегралы энергии и момента импульса приобретают вид
™шг2 + ^шг2^2 ™ , (6.7)
Переменные г, р в (6.7), (6.8) разделяются, поскольку, исключая р из (6.7), можно найти уравнение
ггИ 2шт2И 2шт2QТ 'QТ '(6.9)(6.9)Г4ф(г) =Г4ф(г) =
г
г
И 2шт2
И 2шт2
Q
Т '
Q
Т '
(6.9)
(6.9)
Г4ф(г) =
Г4ф(г) =
Уравнение траектории непосредственно следует из (6.8), (6.9):
dp Mq 2 /.dp Mq 2 /.1 -1/21 -1/2dr тт2dr тт2(6.10)(6.10)
dp Mq 2 /.
dp Mq 2 /.
1 -1/2
1 -1/2
dr тт2
dr тт2
(6.10)
(6.10)
траекторией является парабола, а при Е > 0 (б > 1) частица движется потраекторией является парабола, а при Е > 0 (б > 1) частица движется по
траекторией является парабола, а при Е > 0 (б > 1) частица движется по
траекторией является парабола, а при Е > 0 (б > 1) частица движется по
Значения г , при которых Е = Пэф(г), определяют границы области дви
жения — окружности в плоскости ху,
в каждой точке которых скорость частицы направлена по касательной. Функция ЕУф (^) достигает наименьшего значения —тсЕ/2Мо при г = Мр (та = р . Анализ изф^ позволяет сделать вывод, что при Е = Оэф(р) траекторией является окружность. Этот же результат следует из (6.6), поскольку 6 = 0. При условии Е^Ф (р) < Е < 0, соответствующем значениям 6 < 1, траектории — эллипсы — лежат в кольце гр т га (рис. 6.3),
Р М А
Гр ==<z(l-e),
га == а(1 +£),
где а —длина большой полуоси эллипса.
Значениям Е ^ 0 соответствуют инфинитные траектории. При Е = 0 (б = 1)
гиперболе. Если Мо = 0 , то траектория — прямая линия.
Движение по эллипсу. Поскольку р(гр) = 0 , то из (6.10) находим уравнение траектории
ты? (м° —V] L/A—
= — arcsin= — arcsinMqTUTMqTUTa \ /2Е_cT_\ 1/2Ло) + A^)a \ /2Е_cT_\ 1/2Ло) + A^). 1= arcsin -6 r₽. 1= arcsin -6 r₽7Г27Г2t m M§ \mr Mq )\mr Mq )
= — arcsin
= — arcsin
Mq
TUT
Mq
TUT
a \ /2Е_cT_\ 1/2
Ло) + A^)
a \ /2Е_cT_\ 1/2
Ло) + A^)
. 1
= arcsin -
6 r₽
. 1
= arcsin -
6 r₽
7Г
2
7Г
2
совпадающее с (6.6). Здесь Е = —Ео < 0 . Длина большой полуоси эллипса
ь , \ р" = 2 ';1 * Г"5 = —ь , \ р" = 2 ';1 * Г"5 = —аЖ "аЖ "(6.12)(6.12)
ь , \ р
" = 2 ';1 * Г"5 = —
ь , \ р
" = 2 ';1 * Г"5 = —
а
Ж "
а
Ж "
(6.12)
(6.12)
Используя основное свойство эллипса, найдем длину малой полуоси
Ь = ^ГНУНр = -^=Ь = ^ГНУНр = -^=МоV2mE^МоV2mE^
Ь = ^ГНУНр = -^=
Ь = ^ГНУНр = -^=
Мо
V2mE^
Мо
V2mE^
2E0 Г/ a V2m \2E0)2E0 Г/ a V2m \2E0)2Е0М^ mo?2Е0М^ mo?
2E0 Г/ a V2m \2E0)
2E0 Г/ a V2m \2E0)
2Е0М^ mo?
2Е0М^ mo?
Период обращения Т по эллиптической орбите можно найти из (6.8), интегрируя в пределах 0 t Т :
2тг
Мр гр ^ Г 72 / \
—Т = - dpT .
2m 2 J
о
Поскольку площадь эллипса равна тшЬ, то
Г = 2тг/сщ
ш = Мо (mob = у/ (а/та3).
Для спутников Земли период можно представить в виде
T = TqIqIr\ Tq = 2^\/R/g = 84, Змии.
Найдем теперь T^t) . Предварительно преобразуем уравнение (6.9):
2 2Sq / 2А
= —т Нт—
m у Eq 2mEq J
Разделяя переменные, находим
Этот интеграл вычисляется в терминах элементарных функций [29]. В результате получается неявная зависимость г (t) . Удобную форму решения можно получить, вводя вспомогательный параметр ^ соотношением
г = а(1 — е cos^).(6.13)
Тогда интеграл приводится к виду
wt = ^ — ssin^.(6.14)
Соотношение (6.14), определяющее зависимость ^(t), называетсяурав™ пением АМофл. Параметр ^ имеет наглядный геометрический смысл. Введем
декартовы координаты с началом в фокусе F эллипса и изобразим окружность радиуса ОР = а с началом в центре эллипса (рис. 6.4). Из (6.6), (6.12), (6.13) имеемх = г cos 92 = - (р — г) = -[а(1 — s2) — а(1 — scos^)] = acos^ — as,ss’декартовы координаты с началом в фокусе F эллипса и изобразим окружность радиуса ОР = а с началом в центре эллипса (рис. 6.4). Из (6.6), (6.12), (6.13) имеемх = г cos 92 = - (р — г) = -[а(1 — s2) — а(1 — scos^)] = acos^ — as,ss’у = r sin ф = \/ г2 — х2 = b sin £.у = r sin ф = \/ г2 — х2 = b sin £.Отметим, что поскольку ОF = а — гр = as, то ^ — угол М'ОР . Исключая с помощью (6.13) г, получимОтметим, что поскольку ОF = а — гр = as, то ^ — угол М'ОР . Исключая с помощью (6.13) г, получимcos ф =cos ф =COS ^ — S1 — s cos ’COS ^ — S1 — s cos ’V1 — s2 sin^V1 — s2 sin^1 — s cos ^1 — s cos ^В небесной механике параметр ^ называют эксцентрической аномалией, аВ небесной механике параметр ^ называют эксцентрической аномалией, а(6.15)(6.15)угол ф — истинной аномалией [30].Рис. 6.4В координатах (сЛ,г/а) графикфункции г /а — укороченная циклоида или трохоида — кривая, котоугол ф — истинной аномалией [30].Рис. 6.4В координатах (сЛ,г/а) графикфункции г /а — укороченная циклоида или трохоида — кривая, которую описывает точка, расположенная на расстоянии s от центра колеса единичного радиуса, движущегося без проскальзывания по плоскости.рую описывает точка, расположенная на расстоянии s от центра колеса единичного радиуса, движущегося без проскальзывания по плоскости.6.5. Траектория частицы в пространстве. Пусть г(0) = г0, г(0) = = v0 — начальные положение и скорость частицы. Вектор Мо = m[rovo]6.5. Траектория частицы в пространстве. Пусть г(0) = г0, г(0) = = v0 — начальные положение и скорость частицы. Вектор Мо = m[rovo]перпендикулярен плоскости, в которой движется частица. Ориентация вектора Лапласа в этой плоскости определяется углом фо на Рис- 6.5. Представим (6.4) в виде [7]перпендикулярен плоскости, в которой движется частица. Ориентация вектора Лапласа в этой плоскости определяется углом фо на Рис- 6.5. Представим (6.4) в виде [7]6 =6 =г0Гог0Го(r0V0)^V0, (6.16)т*оЧ(r0V0)^V0, (6.16)т*оЧРис. 6.5Рис. 6.5
декартовы координаты с началом в фокусе F эллипса и изобразим окружность радиуса ОР = а с началом в центре эллипса (рис. 6.4). Из (6.6), (6.12), (6.13) имеем
х = г cos 92 = - (р — г) = -[а(1 — s2) — а(1 — scos^)] = acos^ — as,
ss’
декартовы координаты с началом в фокусе F эллипса и изобразим окружность радиуса ОР = а с началом в центре эллипса (рис. 6.4). Из (6.6), (6.12), (6.13) имеем
х = г cos 92 = - (р — г) = -[а(1 — s2) — а(1 — scos^)] = acos^ — as,
ss’
у = r sin ф = \/ г2 — х2 = b sin £.
у = r sin ф = \/ г2 — х2 = b sin £.
Отметим, что поскольку ОF = а — гр = as, то ^ — угол М'ОР . Исключая с помощью (6.13) г, получим
Отметим, что поскольку ОF = а — гр = as, то ^ — угол М'ОР . Исключая с помощью (6.13) г, получим
cos ф =
cos ф =
COS ^ — S
1 — s cos ’
COS ^ — S
1 — s cos ’
V1 — s2 sin^
V1 — s2 sin^
1 — s cos ^
1 — s cos ^
В небесной механике параметр ^ называют эксцентрической аномалией, а
В небесной механике параметр ^ называют эксцентрической аномалией, а
(6.15)
(6.15)
угол ф — истинной аномалией [30].Рис. 6.4
В координатах (сЛ,г/а) график
функции г /а — укороченная циклоида или трохоида — кривая, кото
угол ф — истинной аномалией [30].Рис. 6.4
В координатах (сЛ,г/а) график
функции г /а — укороченная циклоида или трохоида — кривая, кото
рую описывает точка, расположенная на расстоянии s от центра колеса единичного радиуса, движущегося без проскальзывания по плоскости.
рую описывает точка, расположенная на расстоянии s от центра колеса единичного радиуса, движущегося без проскальзывания по плоскости.
6.5. Траектория частицы в пространстве. Пусть г(0) = г0, г(0) = = v0 — начальные положение и скорость частицы. Вектор Мо = m[rovo]
6.5. Траектория частицы в пространстве. Пусть г(0) = г0, г(0) = = v0 — начальные положение и скорость частицы. Вектор Мо = m[rovo]
перпендикулярен плоскости, в которой движется частица. Ориентация вектора Лапласа в этой плоскости определяется углом фо на Рис- 6.5. Представим (6.4) в виде [7]
перпендикулярен плоскости, в которой движется частица. Ориентация вектора Лапласа в этой плоскости определяется углом фо на Рис- 6.5. Представим (6.4) в виде [7]
6 =
6 =
г0
Го
г0
Го
(r0V0)
^V0, (6.16)
т*оЧ
(r0V0)
^V0, (6.16)
т*оЧ
Рис. 6.5
Рис. 6.5
где щ = (о/шго)1/2 —местная первая космическая скорость. Из (6.16) имеем
1к
(6.17)(6.17)cos фо = - (к sin2 7 — 1), sin ф0 = — — sin 2у,s’2s
(6.17)
(6.17)
s2 = 1 — (2 — к) к sin2 7.
Введем ортогональные базисные векторы ei = s/s, е2 = [e3ei], е3 = = Мо /Мо . Тогда радиус-вектор частицы
(6.18)(6.18)r(t) = a(cos£ — s)ei + 6sin£e2 .
(6.18)
(6.18)
Ориентацию базиса еп относительно произвольной системы координат удобно задать тремя углами Эйлера (см. лекцию 21).
Пример 6.1. Падение с «низкой» орбиты. Космическому аппарату (КА) на высоте h ^ R сообщили начальную скорость н0 = щД — 5) параллельно поверхности Земли, -ui = (gR2/r0y/2 , r0=R + h, 5>0. Эксцентриситет эллипса s = 1 — /2 , / = и0 /ир, параметр р = г0/2 , большая полуось а = то,(1-НУ Начальная точка траектории является апогеем: r(t0) = г0 , ^(t0) = СУо) = ^ ^о = тг (рис. 6.6). Найдем интервал времени падения КА на поверхность Земли.
Решение. 1. Полагая в уравнении эллипса фД + Atm) = 2тг, г (to + Atm) = R, получим условие, при котором КА приземлится в перигее на поверхности Земли: (1 + г0/Я)/2 = 2 или 5 to h)4R. Далее, подставляя в уравнение Кеплера £(t0+Atm) = 2тг, получим ш(10Г + Atm) = 2тг: Atm = Т/2 .
Найдем условие приземления в точке ф(10 + Ati) = Зтг/2 : R = р
или /2 = R/tq , 5 to h/2R.
Рис. 6.6Рис. 6.6Пусть в точке приземления фД + т) = = ^ Г Зт , Зт ^ 1 • Космический аппарат падает по «короткой» дуге эллипса:
Рис. 6.6
Рис. 6.6
R = р(1 - £COS РР -4 (1 - /2) COS (Зт =
= l-r0p/R^ 32m = 2fh/£R.
В этом случае /<1(1 + Лг/НрО. Максимальное смещение по длине большого круга хт = -u0(hr0/2g,eRyO .
В интервале времени t0 ^ t ^ t0 + т угловая координата ф(1) = тг + /3(t), уравнение траектории /3 = /[(г0 — У/ет^2 . Найдем теперь функцию r(t) . Поскольку ^(t) — -тг<1,то cos ^(t) = -1 + ^(At)2/2 + ...
Из уравнения Кеплера находим значение производной в начальной точке: £0 = ^/(1 + Д . Исходя из параметрического представления r(t) = = а(1 — е cos Д, получим явную функцию времени:
гр =г0 - sa^(Af)2/2 + ... = Го - g^(Ai)2/2 + ...,
где g^ = ge^R/ip)2 . Интервал времени падения на поверхность Земли т = (г0/Я)(2Ь/gs)1//2 . При но ^ '^1 получим тривиальное решение At to (2h/ g)1/2 . Полезно найти величину gэф из закона сохранения полной энергии:
шт2/2 = Е Г mg R2/г ™ mgR2p/2r2.
Дифференцируя по времени, получим
Г =-gfi2/r2+gr2p/r3, r(r0) = -g^.
Пример 6.2. 1. Пусть н0 = '^1 ■ Тогда k = 1, s = cosy, созфо = = — cosy, sin-г/?о = ™ sin у . Следовательно, фо = тг + у .
Пусть во = VTux . В этом случае к = 2, е = 1, cos фо = = — cos 27, sin фо = — sin 27, фо = тг + 27 .
Орбитальные полеты. Среди великих достижении XX в. особое место занимает создание космических кораблей. Четвертого октября 1957 г. в Советском Союзе был запущен первый в мире исскуственный спутник Земли (ИСЗ) (масса 83,6 кг, высота перигея hp = 228 км, высота апогея Ьа = 947 км). Тридцать первого января 1958 г. выведен на орбиту американский спутник «Эксплорер-1» (масса 14 кг, hp = 360 км, ha = = 2530 км). Этот полет подтвердил гипотезу Дж. Ван Аллена о существовании радиационных поясов Земли Ч
Возмущенное движение спутников. Вследствие возмущений траектория ИСЗ существенно изменяется за конечный промежуток времени. В этом случае для расчета траектории используют приближенный метод, предполагая, что в течение периода обращения спутник движется по эллипсу, а параметры, определяющие его размеры и ориентацию в пространстве, изменяются адиабатически медленно: | МТ | С | М |, |sT|<s, |ЁТ|<|Е|.
Пусть F(r, г, t) — возмущающая сила. Тогда из второго закона Ньютона:
mr = —а -^ + F (г, г, 1ф(6.19)
находим
Ё = ¥ф M = [rF],(6.20)
ае = — [FM] + [гМ] = 2r(rF) - r(rF) - F(rr).(6.21)
Влияние несферичности Земли. Наиболее существенное возмущение орбит спутников обусловлено сплюснутостью Земли у полюсов — ее полярный радиус на 21 км короче экваториального. Вследствие этого потенциальная энергия приобретает вид [32-34]
- 3 (nr,(6.22)
где п — единичный вектор, параллельный оси вращения Земли, к = = 3,2732-10-3. Плоскость орбиты, ориентация которой определяется вектором М , непрерывно вращается вокруг вектора п . Этот эффект используется при запуске синхронно-солнечных спутников, предназначенных для изучения природных ресурсов Земли. Съемка осуществляется приемниками инфракрасного излучения. Для неискаженного восстановления изображения в условных цветах необходимы постоянные условия освещенности. Однако движение Земли вокруг Солнца приводит к перемещению
1) Каждый год на орбитах появляются более ста аппаратов. Срок их службы ограничен и они, как и последние ступени ракет-носителей, становятся космическим мусором. Сейчас отслеживаются 9000 объектов, представляющих серьезную опасность для действующих станций.
орбиты через терминатор — линию разграничения дня и ночи. Подбором угла наклона плоскости орбиты можно добиться того, чтобы прецессия орбиты компенсировала эффект движения Земли. В этом случае освещенность различных участков Земли зависит только от широты и времени года.
На форму траектории спутника влияют также неоднородности в распределении плотности планеты. Области с повышенной плотностью на Луне получили название масконов (сокращение от mass concentration). За двенадцать часов масконы превратили эллиптическую орбиту «Аполлона» в круговую.
Влияние притяжений Луны и Солнца. Наиболее сильно влияние Луны и Солнца проявляется для спутника на полярной орбите, почти перпендикулярной плоскости эклиптики. Если апогей находится за орбитой Луны, то возможно полное разрушение орбиты. Шестого октября 1959 г. станция Луна-3 обогнула Луну и стала спутником Земли с апогеем ha = 480000 км и перигеем hp = 47500 км, период Т = 15 сут. Апогей с каждым оборотом возрастал, а перигей уменьшался. Через полгода, после 11 оборотов, станция вошла в земную атмосферу и сгорела [34].
Геостационарный спутник движется по круговой экваториальной орбите с периодом Т = 24 ч. Поэтому он постоянно находится на расстоянии 35786 км над определенной точкой поверхности Земли. Три таких спутника, расположенные в вершинах правильного треугольника, обеспечивают глобальную радиосвязь. Стационарные спутники снабжаются корректирующими двигателями для компенсации влияния Луны, Солнца и несферичности Земли.
Влияние атмосферы. Сила сопротивления разреженной атмосферы определяется выражением Fc = —pS\r |r, где р — плотность атмосферы, S — площадь поперечного сечения спутника. С каждым оборотом апогей и перигей снижаются, причем перигей опускается медленней, чем апогей. Орбита приближается к круговой. Критической является траектория на высотах 110 А120 км. Далее она круто изгибается, и спутник, попадая в плотные слои атмосферы, сгорает. На высоте h = 120 км р = = Ю-8 кг/м3. Полагая S = 1 м2, получим Fc = 0,62 Н. Отношение возмущающего ускорения к ускорению, создаваемому силой тяжести, составляет т™1 pS^R + h) = 6,5 ■ 10-4 . На высоте h = 20 км р = = 0,06 кг/м 3 , Fc = 378 Тс. Здесь возникает ударная волна, образование которой приводит к потерям полной энергии. Поскольку скорость спутника в 25 раз превышает скорость звука, то на его лобовой части образуется слой плазмы с температурой 7 А 9 тыс. градусов. Для обеспечения безопасности космонавтов используется способ теплозащиты, получивший название абляционного (от лат. ablatio — устранение). Лобовая часть покрывается пластмассой, которая плавится и испаряется, поглощая тепло и уменьшая поток теплоты внутрь космического аппарата.
Парадокс спутника. [6, 34, 35]. Последняя ступень ракеты-носителя по размерам значительно больше, чем спутник. Казалось, что поскольку ракета испытывает большее сопротивление, то ее скорость окажется
меньше скорости спутника. Однако наблюдатели обнаружили, что ракета значительно опережает спутник. Для объяснения этого парадокса воспользуемся законом изменения полной энергии. Полагая Fc = ™k^ г , получим Е = — k г2 . Поскольку для орбит, близких к круговым, Е ~ —то2^ , то то = -Ско . Это уравнение объясняет наблюдаемый эффект, так как для ракеты отношение к)т больше, чем для спутника.
Влияние давления солнечного света. Сила давления сообщает спутнику массой 100 кг, площадью S = 1 м2 ускорение 3 • 10-6 см/с2 . В 1960 г. в США для ретрансляции радиосигналов был запущен на круговую орбиту высотой 1600 км спутник «Эхо-1». Он представлял собой сферический баллон массой 68 кг, диаметром 30 м. За год его орбита эволюционировала от круговой к эллиптической (hp = 900 км, ha = 220 км) и снова к круговой меньшего радиуса. Спутник вошел в атмосферу в мае 1968 г. [34].
Спутник, свободный от сноса. На спутник действуют два типа сил: гравитационные и поверхностные. В отсутствие поверхностных сил спутник должен двигаться по траектории, называемой геодезической. Если внутрь пологого корпуса поместить пробное тело, то оно будет двигаться по геодезической траектории. Как заставить спутник повторить движение тела? С этой целью на оболочке размещают газовые двигатели и датчики, корректирующие ее положение так, чтобы тело всегда оставалось в центре масс спутника. Первый такой спутник «Triad-1» запущен в США (1972 г). Это устройство представляло собой развитие модели искусственной планеты, предложенной К. Шварцшильдом. Небольшой уход спутника с геодезической траектории (200 м/мес) позволяет ставить вопрос о проверке эффектов теории тяготения [36]. Для обычных спутников суточная поправка составляет сотни метров.
Коррекция траектории. Для перевода космического аппарата на новую орбиту используются корректирующие двигатели. При орбитальном маневре кораблю сообщают приращение скорости v v' = v + Av в точке г . Теперь положение орбиты в пространстве определяется вектором момента М' и вектором Лапласса е*:
,, г а 1/ ^vAv г(гAv)(rv) А
М = М + m г Av , е = 6 + 2—- + -—v/ Av + ...
Пусть в точке г аппарат получил тангенциальное приращение скорос- / Аг \
ти v v = v М + — I . Вектор Лапласа новой траектории
. Аг/ г
£ = 6 + 2— £ + - г у г
Учитывая, что а = —а^Е, найдем приращение большой полуоси эллипса:
.. да . да ЭЕ v.
Ка = Av — = Av — — - = — аАг.dv ЭЕ до -и а
Приращение периода
4 ВТ 3 Ап
АТ = Av — = -Т— .
dv 2 а
Пример 6.3. Движение в космосе с малой тягой. В отличие от обычных реактивных двигателе! плазменные или ионные двигатели развивают силу тяги F С m g, слишком малую для старта с поверхности Земли. Однако при старте с околоземной орбиты двигатель малой тяги может разогнать корабль до гиперболической скорости. Рассмотрим характерные особенности траектории разгона.
Пусть реактивная сила F = fv/u направлена по касательной к траектории, / —константа, а = f /m^g . В момент времени t = 0 ракета стартует с круговой орбиты радиусом го . Начальная скорость щ = ^а/ттД1^ , а = mgR2. Значение полной энергии Т(0) < 0. Согласно (6.20), (6.21) имеем уравнения
Ё = /и, (/)
М = М-,(2)
2а
аг = [vM] —.(3)
Из (2) следует, что траектория лежит в плоскости, перпендикулярной вектору М(0). Из (7) получим уравнение
г
тий + о — = fu.(4)
Поскольку / < mg, то ракета начинает движение по спиралеобразной кривой: на каждом витке скорость и расстояние до центра Земли связаны соотношением
г2 а_. гz х
т— = ——^2тии = —а—.(5)
Подставляя т в (4), получим уравнение
й = —а,(6)
из которого следует «новый парадокс»: величина скорости ракеты уменьшается. Период обращения
z х 2тгг 2тгаz
Тр = = —(7)
возрастает. Здесь необходимо учесть, что согласно уравнению (7) полная энергия возрастает и при некотором значении t = tp обратится в нуль. Величина скорости вр = n(tp) в этот момент времени достигнет наименьшего значения ир = Да/тиГр)1^2 , тр = r(tp) . При значениях t > tp скорость ракеты возрастает и она удаляется от Земли по квазигиперболической траектории. Из (6) находим
u(t) = Ui — at, 0 t < tp.(8)
Численные расчеты показали, что при а = 1 мм/с 2 значение E(tp) = О достигается через 80,8 сут. на расстоянии 554 700 км; скорость гр = = 3 км/с .
Для оценки величины гр запишем уравнение (4) в виде
. сх
V Н- COS 7 = П,тт2'
где 7 — угол между скоростью и радиусом-вектором. Полагая 7(tp) = = 0, cos 7 to 1/2, r(tp) = Гр, получим значения гр = (а/2тп)1//2 , и2 = 2(_2аа/тУ^2 . Согласно (5), tp to (17 - ср)/а.
Найдем теперь полное число витков N в интервале времени разгона ракеты 0 t tp :
N =N =' dt' dtоВычисляя интеграл, получим1 Til ,N = — — 77 - С) = 8тгапк 1оВычисляя интеграл, получим1 Til ,N = — — 77 - С) = 8тгапк 1N = — 2тга с оN = — 2тга с о(г । — at)3dt.(г । — at)3dt.187г187г/ О \ 2tt Vo)/ О \ 2tt Vo)0,04- f—)a Vo)0,04- f—)a Vo)
N =
N =
' dt
' dt
о
Вычисляя интеграл, получим
1 Til ,
N = — — 77 - С) = 8тгапк 1
о
Вычисляя интеграл, получим
1 Til ,
N = — — 77 - С) = 8тгапк 1
N = — 2тга с о
N = — 2тга с о
(г । — at)3dt.
(г । — at)3dt.
1
87г
1
87г
/ О \ 2
tt Vo)
/ О \ 2
tt Vo)
0,04- f—)a Vo)
0,04- f—)a Vo)
Значительно легче осуществить полет под действием малой радиальной тяги. В этом случае обнаружены весьма интересные особенности траектории ракеты [33, 34].
Лекция 7. Уравнения Лагранжа
Лагранжиан, функционал действия. Рассмотрим систему N частиц. В зависимости от симметрии взаимодействия может оказаться более удобным выбор не декартовых, а каких-либо других координат gi, g2, • • • ? Qsn • Их называют обобщенными координатами, а их производные gi, дд? , Q3N —обобщенными скоростями.
Выразим декартовы координаты частиц через обобщенные координаты:
Га = fa(91, 92,О= 1,2,
Скорость частицы будет иметь вид
кинетическая энергия системы частиц
TVq) = 2= 2 Z^ma^) ai^qaq3 = 21^a^qaq^
Охоцимский Д.Е. Исследование движения в центральном поле под действием постоянного касательного ускорения. Космические исследования. 1964. Т. 2. №6.
1^а{31^а{3дрдр maaqa Эдр •дрдр maaqa Эдр •
1^а{3
1^а{3
дрдр maaqa Эдр •
дрдр maaqa Эдр •
Потенциальная энергия системы, П = II(ri,... ,гту), в новых переменных U = Р(дь д2, ... , q3N) .
Пусть система переходит из положения Pi = да^1) в положение Р^ = = qa^t^ за время 72 — Н . Закон движения qa^ неизвестен. Рассмотрим дважды дифференцируемые кривые 7 : qa (t), р ^ t ^ р , соединяющие точки Pi и Р2 . Каждой кривой 7 поставим в соответствие определенное число по правилу
t2
^Ы = dtpq,q),(7.1)
tl
pq,q) = T(q,q)-U(q). (7.2)
Функция P(g, g), зависящая только от 37V координат и 37V скоростей, называется лагранжианом или функцией Лагранжа, а интеграл (7.1) — действием. Согласно определению, действие является функционалом [8, 13,37].
Принцип Гамильтона-Остроградского (или принцип наименьшего действия). Этот принцип позволяет дать наиболее общий вывод уравнения движения механических систем.
Принцип наименьшего действия состоит в том, что при переходе системы из положения Pi в положение Р^ частицы движутся по таким кривым, для которых действие имеет экстремум. Для того, чтобы найти экстремум, необходимо испытать всевозможные функции qa (t), соединяющие Pi и Р2 . Этот подход нереален. Однако можно использовать одно из свойств экстремальности: если удалиться от экстремума на величину первого порядка малости г , то функционал отклонится на величину второго порядка малости в2 [38].
Пусть (7.1) достигает экстремума на некоторых кривых 7: qa = qa (t) . Найдем, как изменится значение S'[7] при замене кривых 7 кривыми у’: q’a = q« W + еЛа to •> где Ла ^ — любые гладкие кривые, также идущие из Pi в Р2 ; Ла^Л) — Ла^^ ™ 0, е< 1. Приращение функционала можно записать в виде
Г
AS [7]= dtL(q + 07, q + ei]) - dtL(q.q) =
t2
f , 9L dL .
= e dt{ -— r)a + ^r- i]a
J \oqa oqa
1212Интегрируя второй член по частям, имеем
12
12
г \ Л 9L d 9L\ 9L
AS 7 = в dt — ]pa + £—T]a
J \oqa dt oqa) oqa
Условие экстремума функционала приобретает видd 9L 9L лm =’ « = 1,, ЗЖdt oqa oqaУсловие экстремума функционала приобретает видd 9L 9L лm =’ « = 1,, ЗЖdt oqa oqa(7.3)(7.3)Система ЗУ уравнений второго порядка называется уравнениями Лагранжа, ра = 9L/9qa — обобщенным импульсом , 9L/9qa — обобщенной силой.Пример 7.1. Рассмотрим систему, состоящую из двух частиц. Выберем в качестве обобщенных координат декартовы координаты жу, уу, zyСистема ЗУ уравнений второго порядка называется уравнениями Лагранжа, ра = 9L/9qa — обобщенным импульсом , 9L/9qa — обобщенной силой.Пример 7.1. Рассмотрим систему, состоящую из двух частиц. Выберем в качестве обобщенных координат декартовы координаты жу, уу, zyчастицы массой mi и координаты ж2, у2, 22 частицы массой гранжиан системычастицы массой mi и координаты ж2, у2, 22 частицы массой гранжиан системыт2 . Ла-т2 . Ла-11Дгъ r2, fl, f2) = jmxf^ + |m2f| +Дгъ r2, fl, f2) = jmxf^ + |m2f| +22Gmym^|г2 -Г1|*Gmym^|г2 -Г1|*(7.4)(7.4)Уравнения Лагранжаd 9L dt ЭгnУравнения Лагранжаd 9L dt Эгn9L9r п ’ П9L9r п ’ П= 1, 2,= 1, 2,
Условие экстремума функционала приобретает вид
d 9L 9L л
m =’ « = 1,, ЗЖ
dt oqa oqa
Условие экстремума функционала приобретает вид
d 9L 9L л
m =’ « = 1,, ЗЖ
dt oqa oqa
(7.3)
(7.3)
Система ЗУ уравнений второго порядка называется уравнениями Лагранжа, ра = 9L/9qa — обобщенным импульсом , 9L/9qa — обобщенной силой.
Пример 7.1. Рассмотрим систему, состоящую из двух частиц. Выберем в качестве обобщенных координат декартовы координаты жу, уу, zy
Система ЗУ уравнений второго порядка называется уравнениями Лагранжа, ра = 9L/9qa — обобщенным импульсом , 9L/9qa — обобщенной силой.
Пример 7.1. Рассмотрим систему, состоящую из двух частиц. Выберем в качестве обобщенных координат декартовы координаты жу, уу, zy
частицы массой mi и координаты ж2, у2, 22 частицы массой гранжиан системы
частицы массой mi и координаты ж2, у2, 22 частицы массой гранжиан системы
т2 . Ла-
т2 . Ла-
1
1
Дгъ r2, fl, f2) = jmxf^ + |m2f| +
Дгъ r2, fl, f2) = jmxf^ + |m2f| +
2
2
Gmym^
|г2 -Г1|*
Gmym^
|г2 -Г1|*
(7.4)
(7.4)
Уравнения Лагранжа
d 9L dt Эгn
Уравнения Лагранжа
d 9L dt Эгn
9L
9r п ’ П
9L
9r п ’ П
= 1, 2,
= 1, 2,
приводят к системе шести связанных уравнении:
(7.5)(7.5)Г 2 Г!..Г 2 Г!
(7.5)
(7.5)
Ш1Г1 =ш2г2 = ™Gmxm2
Г2 - Г1 3Г2 - Г1 3
Решение этой задачи, получившей название задачи двух тел, будет обсуждаться в лекции 9.
В современной теоретической физике уравнения Лагранжа приобрели огромное значение, далеко выходящее за пределы механики. Уравнения Максвелла, Эйнштейна и Шредингера единым образом следуют из вариационного принципа для соответствующего функционала.
Замечание 1. При переходе от координат qa к другим координатам q'a с помощью преобразования qa = Фа^Чм -? dw) уравнения движения
сохраняют форму (7.3).
Замечание 2. Уравнения Лагранжа не изменяются при преобразовании L U = cL , где с — постоянная величина.
Замечание 3. Уравнения (7.3) остаются неизменными при замене лагранжиана L L':
(7-6)(7-6)L^q, Г Ч = Цд, q) + 4fU, Ц.at
(7-6)
(7-6)
Действительно, поскольку
dt 9t 9qy
- md 9f
то в левой части (7.3) появится слагаемое — -— , а в правой — слагае- dt 9qa
9 df
мое - . Таким образом, уравнения движения не изменяются, если к
9qa dt
лагранжиану добавить полную производную функции, зависящей от координат и времени. В частности, для произвольной функции р(t) преобразование L —> L' = L + p(t) не изменяет уравнений Лагранжа.
Первые интегралы. Координата qa называется циклической, если лагранжиан не зависит от qa .В этом случае дЬ/дца = 0, а обобщенный импульс сохраняется:
8L
—- = const.
8q[a
Введем динамическую величину
H(q, q) = qa^~ - L,(7.7)
8qa
называемую обобщенной энергией. Учитывая уравнения Лагранжа, находим
• 8L . d 8LН — Qa Q .4” Qa J, Q .dqa dt dqa• 8L . d 8LН — Qa Q .4” Qa J, Q .dqa dt dqa8L8L . 8L .. 8L
• 8L . d 8L
Н — Qa Q .4” Qa J, Q .
dqa dt dqa
• 8L . d 8L
Н — Qa Q .4” Qa J, Q .
dqa dt dqa
dtdqa dqH" ■ “ dt" ( )
Таким образом, если лагранжиан не зависит явно от времени, то обобщенная энергия сохраняется:
Теорема Нетер. В современной теоретической физике фундаментальную роль играет теорема, установленная в 1918 г. немецким математиком Эмми Нетер [39-41]. Эта теорема определяет связь преобразований симметрии — преобразований координат и времени, оставляющих инвариантным действие, — с законами сохранения соответствующих динамических переменных.
В классической механике действие инвариантно относительно преобразований (3.7). Параметрическая симметрия порождает десять сохраняющихся величин и соответствующих законов сохранения: энергии (1), импульса (3), момента импульса (3) и скорости центра масс системы частиц (3).
Теорема Нетер. Каждому s -параметрическому преобразованию (зависящему от s постоянных параметров) координат и времени, обращающему в нуль вариацию действия, соответсвует s сохраняющихся динамических величин.
Рассмотрим бесконечно малое преобразование координат:
Ча q'a = Ча + Ма, Ма = ^(9)^,
где 5Х^ — независимые параметры преобразования. При этом вариация функции qa^
Ла = Qa - Qa = Та^6Х3.(7.9)
Если преобразование (7.9) не меняет действия, то первая вариация действия должна быть равна нулю : 5S = 0 , где
t-2t-2f/ 8LdL\f( 8LJ\8qa8qa)J\8qat-2t-2f/ 8LdL\f( 8LJ\8qa8qa)J\8qad 9L\dt 9qa Jd 9L\dt 9qa Jt2Ла +11t2Ла +11dt— dtdt— dt( 8L\ 8qa( 8L\ 8qa
t-2t-2
f/ 8LdL\f( 8L
J\8qa8qa)J\8qa
t-2t-2
f/ 8LdL\f( 8L
J\8qa8qa)J\8qa
d 9L\dt 9qa J
d 9L\dt 9qa J
t2
Ла +
11
t2
Ла +
11
dt— dt
dt— dt
( 8L
\ 8qa
( 8L
\ 8qa
Далее, учитывая уравнения Лагранжа, находим
65 - U^f^^W-J dt \8qa J
Приравнивая к нулю коэффициенты при независимых параметрах, приходим к сохраняющимся величинам:
4^таЭ = о Лгта0 = Ср.(7.10)
dt 8qa8qa
Пример 7.2. Рассмотрим систему N частиц и произведем частное преобразование (7.9):
жа ” Жа + ^Хт ^Жа ” 5da + еа^5т1рХ^ а = 1, . . . , N, а = 1, 2, 3.
Пусть 5п = 0, Ja^O. Поскольку Т^ = да^ , то из (7.10) имеем
£таха = Ро.
Закон сохранения импульса системы является следствием однородности пространства — лагранжиан инвариантен относительно параллельного переноса системы как целого в пространстве.
Положим 5п ф 0, 5а = 0 . В этом случае Т^ = £аИж^ • Поскольку жа£а^ж^ = £^а'ж^жа •> то из (7.10) находим сохраняющуюся величину:
УУга[ха ■ ха] = Мо.
Закон сохранения момента импульса системы является следствием изотропии пространства — лагранжиан инвариантен относительно поворота системы как целого в пространстве.
Преобразование масштаба. Если действие не изменяется при преобразовании Аж“ = х^ 5 А , то согласно теореме Нетер сохраняется величина
ИЛИ С = ^2 TllaXaVaИЛИ С = ^2 TllaXaVa
ИЛИ С = ^2 TllaXaVa
ИЛИ С = ^2 TllaXaVa
Дифференцируя по времени, получим более сильное, чем теорема вириа- ла (4.18), утверждение:
о = 52 тЛ + £ х<таЬ.
Движение системы во внешнем поле. Пусть механическая система состоит из двух частей А и В [28, 40]. Функция Лагранжа полной системы
Lab^A^ Qb^ qA. to) = Ia^A, to) + Ib^Qb, to) + Iab^A. Qb, to. to)- (7Л1)
Если подсистема А не оказывает существенного влияния на движение системы В , то координаты qB приближенно подчиняются уравнениям (см. (3.11))
(7.12)(7.12)d 91в _ 91в_dt 9qB 9qB *
(7.12)
(7.12)
Вторая группа уравнений d 91а91а91ав
dt 8qA8qA8qA
совпадает с уравнениями Лагранжа, порождаемыми лагранжианом
LAqAl qA, t) = lpqA, qp + IabUa, А, <МЧЛвЧЯ (7.13) где qsP —решение уравнений (7.12).
Пример 7.3. Ограниченная задача двух тел. Предположим, что масса частицы т^ ^ mi, и представим лагранжиан (7.4) в виде (7.11), полагая
,1-2 ,1-2 , Gmim2
/л = ~т2г2, 1в = ^mi^, 1АВ = ।г.
22|Г2 — Г11
Найдем решение уравнений (7 Л 2) mri = 0: ri = с + vt. Очевидно, в этом приближении не выполняется закон сохранения импульса системы. Лагранжиан (7.13) приобретает вид
Тх 1.9 Gm^m^
Далее удобно перейти к переменной г : r2 = ri + г (рис. 7.1). В новых переменных
т.х т2п2.
(г, г) = ъ(г, г) +^+ m2vr,
.х 1.2 , Gmim2
L(r, г) = ™m2r Н2г
Благодаря свойству (7.6) два последних слагаемых в Ел (г, г) не дают вклада в уравнения движения. Лагранжиан L приводит к уравнению (6.3) задачи Кеплера. Переходя к сфериче
ским координатам г, 9^ р, запишем лагранжиан задачи Кеплера
Г = -m(r2 + г292 + г2 sin2 Оф^А + —.
2г
Обобщенный импульс mr2 sin2 9ф , соответствующий координате р , сохраняется:
(Г)(Г)mr2 sin2 9ф = М%.
(Г)
(Г)
Постоянная Mz — проекция момента импульса на ось г . Другой интеграл следует из (7.8):
™(г2 + г2 О2 + г2 sin2 9ф2) — — = Е.(2)
Уравнения Лагранжа по координате 9 имеют вид
^-тг29 = mr2 sin 9 cos 9ф2.(3)
dt'
Подставим ф из (/) в (3):
dM2cos9 М2 81
dtmr2 sin3 9 2mr2 89 sin2 9
и, умножая обе части на mr29 , получим первый интеграл:
^mr20f Л^ = М2.(7)
sin 9'
Здесь М — величина момента импульса. Исключая ф, 9 из (2), найдем следующее уравнение:
mr2М2а
— + ^ф(г) = Е, иэфр =(5)
22mr2г
Получим решение системы (Г), (4), (5), предполагая, что г(0) > > 0, 0(0) < 0, (ДО) > 0. Пусть плоскость орбиты пересекает плоскость 2 = 0 по прямой О£ , образующей угол qx с осью ж . Угол между вектором Лапласа и прямой О£ обозначим q^ . Полагая АД = М cos g2 , из (Г), (4) имеем
о
(6)(6)' d ctg q^ ctg 9
(6)
(6)
j2 V1 ■ (ct§ 92 ctg ey
Из (6) следует, что ctg </2 ctg 6 = sin (y — Qi). Далее, из (9), (5) находим
dr Л_ Лр-у ^rтт^ mdr Л_ Лр-у ^rтт^ m1-1/21-1/2
dr Л_ Лр-у ^rтт^ m
dr Л_ Лр-у ^rтт^ m
1-1/2
1-1/2
о
"Г21 ”1/2
- sin 9d9 (sin2 9 - cos2 Q2)- ^з- (7)
тг/2
Произведя замену переменной cos 0 = sin g2 sin -ф , найдем значение интеграла в правой части, равное —ф. Оставшийся интеграл совпадает с (6.11). В результате из (7) находим
г = р[1 + scos (^ - дз)]™1-
Лагранжиан заряженной частицы в заданном электромагнитном поле. Для того чтобы придать уравнениям движения (5.9) лагранжеву форму, построим лагранжиан
Цг, г, t) = |mr2 - ^o6(r, г, t).(7.14)
Здесь обобщения потенциальная энергия
Поб(г, г, = e^(r, f\ -- тК(т, ty(7.15)
где ф^ К — скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля, 1 Ж
Е =—-—- — Vw, В = rot А.(7.16)
С dt'
Потенциалы однородных постоянных электрического и магнитного полей равны [12]
у = -Ег, А = |[Вг].(7.17)
Обобщенный импульс
дГ . е А z х Ра == ™Ха + - АДг, I).
охаС
Уравнения Лагранжа
d ( . е А \дфе . ЭА
— mza + - Аа = -е-— + -г-—(7.18)
at \ с )дхас дха
можно представить в форме второго закона Ньютона:
тг = еЕ+-[гВ].(7 Л 9)
с'
Действительно, из (7.18) следует выражение
дюе . дАве (дАадАа . \
тха = -е-— + ™хэ™+ -—хэ =
ОХаС ОХаС \ ot0X3)
f др 1 дАа \ е ( дАв дАа \
_+ с dt J с(дха дхр Г9" ' ™
Поскольку, согласно (7.16),
_ ЭАа _
ОХа охр
Sap-ЛрВ^ = [гВ]а , то (7.20) совпадает с (7.19). Заметим, что правая a9Uoed9U^ п
часть (7.19) может быть представлена в виде — _+ —. Вектор
'ar at аг
обобщенного момента импульса
М =М =(. е
М =
М =
г mr Н— А
\ с
Обобщенная энергия определяется соотношением (7.4):
. /. е\тх2е. . mx2z х
= ха тха + - Аа —+ еюхА =+ ею. (7.21)
\ су 2с2'
При движении частицы в однородных постоянных полях, задаваемых потенциалами (7.17),
р = шг + ™[Вг], р = еЕ + ™ [гВ],
М = [гр], М = е[гЕ] - ™ [В[гг]],
1
Н = - mr" — еЕг.
2
Хорошо известно, что одному и тому же полю могут соответствовать различные потенциалы [12]. Производя в (7.16) замену
^^' = ^+1А A^A' = A-V/,(7.22)
с at
где / — произвольная функция координат и времени, находим, что Е и В не изменяются. Эта симметрия, называемая калибровочной инвариантностью, представляет собой фундаментальный закон природы [12]. Описанная неоднозначность потенциалов позволяет, в частности, обратить скалярный потециал в нуль. Пусть ф = —Ег, А = 0. Полагая в (7.22) / = cEr t, получим ф ’ = 0, А' = —с Е t.
Вектор-потенциал магнитного поля соленоида. Пусть длина соленоида существенно больше радиуса R. Тогда компоненты вектор-потенциала А(х) в цилиндрических координатах имеют вид Ар = Az = 0 , А^р) = (1/2)Вр, р < R; Аф(р) = BR2/2р, р> R. Поскольку, В =
= rot А, то В0= 0,. Следовательно, Bz = В,
рр 8р-
р < R ; Bz = 0 , р > R . Сила Лоренца действует на заряд только в области, где В ^ 0 . Вне соленоида магнитное поле не должно влиять на движение заряда. Однако в 1960 г. был обнаружен эффект, предсказанный Аароновым и Бомом: соленоид, помещенный между двумя щелями в экране, через которые пропускали пучок электронов, влиял на распределение плотности
электронов за экраном. Этот эффект обусловлен квантовыми свойствами заряженных частиц и изменением структуры вакуума полем внутри соленоида.
Лекция 8. Движение относительнонеинерциальных систем отсчета
Во многих случаях для упрощения решения задачи или в целях практических приложений удобно рассматривать движение тел относительно неинерциальной системы отсчета. Здесь рассмотрено движение одной частицы во внешнем поле. Более содержательные задачи приведены в лекциях 9, 12, 13.
Лагранжиан частицы в инерциальной системе
L(r, г) = ^ - а(г).(8.1)
Введем систему отсчета К/, движущуюся поступательно относительно инерциальной системы К: ориентация базисных векторов е^ системы К1 остается неизменной относительно базисных векторов еп системы К. Следовательно ё^ = ёп = 0. Радиусы-векторы частицы г = хпеп, г/ = ж^е^ связаны соотношением г = R + г/. Дифференцируя последнее равенство, находим г = и + г', где и — скорость системы К/. Поскольку ё^ = ёп = 0, то хп = и^ + х^ .
Функция Лагранжа (8.1) после замены переменных приобретает вид
х тт'2 mu2
L(r , г , t) = —-1 -h mur - H(R + г ).
Преобразуем скалярное произведение:
иг = ™ UE — ИГ ,dt'
и опустим в лагранжиане функцию времени и полную производную. Тогда лагранжиан
(8.2)
Поб(г/, t) = U(Ж + г') + mwr^
где w(t) = й —ускорение системы К'. Уравнения Лагранжа:
, аи
ж =- mw .(8.3)
от!'’
Если эти уравнения отождествить со вторым законом Ньютона, то величину F = -mw следует интерпретировать как силу инерции, действующую на каждую частицу в однородном поле, эквивалентном полю тяготения.
Введем теперь систему К*, которая имеет общее начало с системой К . однако базисные векторы е^ вращаются относительно нее с угловой скоростью О: e^(t) = Anm(t)em . Радиус-вектор частицы г = = жпеп = х1^ ; х^ = Кыжп • Дифференцируя г = х*^ , находим г = = xj^ + х^ё^ . Согласно (2.8) ё^ = [Ое^] . Следовательно,
г = ж^е^ + [Or].(8.4)
Учитывая (2.1), найдем компоненты г в системе К'\
ге/ = ж/ + [Qjej • ж^] е/ = ж/ +
ге^ — жпепе^ — Л^пжп , Q^ — ^^г — ^ЧгЛп ■
Подставляя (8.4) в (8.1), получим лагранжиан
L’ = у ж'2 + m£ijkx^ + ^ [П^ж/2 - (П'ж')2] - U^). (8.5)
Обобщенный импульс
, ЭЬ'Рз Эх', ЭЬ'Рз Эх'= тЦЦ + esjkfl'xkY= тЦЦ + esjkfl'xkY
, ЭЬ'
Рз Эх'
, ЭЬ'
Рз Эх'
= тЦЦ + esjkfl'xkY
= тЦЦ + esjkfl'xkY
£ £L£ dt ЭхД£ £L£ dt ЭхДЭЬ'Эх’ЭЬ'Эх’8UЭх' *(8.6)8UЭх' *(8.6)
£ £L£ dt ЭхД
£ £L£ dt ЭхД
ЭЬ'
Эх’
ЭЬ'
Эх’
8U
Эх' *
(8.6)
8U
Эх' *
(8.6)
Очевидно, что р = mr = p^e^. Уравнения Лагранжа приобретают вид
тх'8 = -те^ДЭ-х^ - 2m€sjk^jXk + m^U^Xg - (П/жДП^] -
Обычно уравнения движения (8.6) записывают в более компактной форме, вводя обозначения v' = х-£ , Of = О/е/ , где е/ — «постоянные» единичные орты. Тогда (8.6) приобретает вид
mv' = -m[O'r'] - 2m[О'v'] - mfO'fO'r']] - — ^Д- .(8.7)
Если это уравнение сопоставить второму закону Ньютона, то три слагаемых в правой части можно связать с силами инерции. Вектор —2m[Q,v/] называют силой Кориолиса. вектор —mfQ'fQ'r']] — центробежной силой. Лагранжиан, соответствующий уравнению (8.7):
L* =^+ m,[Q/r,]v/ + ™ [О'г']2 — [Дг^ .(8.8)
Обобщенная энергия, равная
h = v^L-l' = ДК - у[^'г']2 +(8.9)
отличается от полной энергии на слагаемое, называемое центробежной энергией.
Пример 8.1. Две системы координат связаны преобразованием х^ = = А^пхп > где
Л =Л =cos cut— sin cut Оcos cut— sin cut Оsin cutcoscut0sin cutcoscut00\° I1/0\° I1/
Л =
Л =
cos cut
— sin cut О
cos cut
— sin cut О
sin cutcoscut0
sin cutcoscut0
0\
° I
1/
0\
° I
1/
(рис. 8.1). Найдем решение уравнения движения (8.7) свободной частицы. Поскольку О/ = (0, 0, си), то
х/= ^шу'Г ти?х\ у1 = ^иих* + и?у\ z' = 0.
Очевидно, что z' = e^Tcpt. Введя комплексную координату и = х' Лгу', получим уравнение й + 2гшй — си2 и = 0. Будем искать решение в виде и ~ ~ е-ш . Характеристическое уравнение имеет кратные корни Ai^ = си . Следовательно, общее решение п = (Д + Вуе^гш1, где А = q + гс^ , В = di + w2 ,
х/ = Re и = (ci + ept) coscut + (с2 + u2t) sin cut,yf = Im и = — (ci + Dpt) sin cut + +(c2 + Dpt) coscut.
Решение уравнения (8.6) имеет вид х^ = Кктхт- , где хт — ст + + Dmt — закон движения свободной частицы в инерциальной системе
отсчета.
Пример 8.2. Космический лифт. Предположим, что на экваторе возведена конструкция, в которой действует лифт. Найдем высоту, на которой скорость груза массой m станет равной местным первой и второй космическим скоростям.
На груз действуют сила натяжения каната N, сила тяжести и центробежная сила
рис 8инерции. Если груз находится на расстоянии
' "г от центра Земли, то N = my^R/r)2 —
— шсф2т >1ли 2у _ ^^^^j^ — г), гдс ш угловая скорость вращения Земли, rCT = [gR2/си2]1/3 — радиус орбиты геостационарного спутника (гст = 6,7Д = 42164 км). Если г < гст , то для подъ
ема с постоянной скоростью к грузу необходимо приложить силу N = = mg(R/r)2 — mcu2r, направленную вертикально вверх. Величина скорости груза в инерциальной системе отсчета с = шт . На расстоянии гст от центра Земли N = 0: груз приобретет скорость пст = шгст , рав
ную местной первой космической скорости. Если его нс удерживать, то он будет неподвижен относительно лифта. При подъеме груза на расстояние г > гст центробежная сила становится больше силы притяжения — груз необходимо удерживать. Из закона сохранения полной энергии найдем величину расстояния т2 , на котором груз приобретет местную вторую космическую скорость m(cur2)2/2 — m^R2 jr^ =0 + 0, r2 =
= 21/3гст , г2 = 53123 км; если его освободить, то он навсегда покинет Землю. Вот еще одна возможность запуска космических аппаратов.
Энтузиастом этой идеи выступает известный писатель-фантаст Артур Кларк. Сейчас он проживает на Цейлоне и уже нашел там место для привязки лифта. Конструкцию для лифта надо строить с крыши. Со стационарного спутника выпускают два троса — вверх и вниз. Затем подбирают их длину так, чтобы в процессе увеличения длины тросов вся система вращалась как целое с угловой скоростью си . После зацепления нижнего конца за Землю можно заняться устройством лифта. Основная трудность — отсутствие материала необходимой прочности.
ГЛАВА 2ГЛАВА 2ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦЛекция 9. Система N частицЛекция 9. Система N частиц9.1. Лагранжиан системы Ж частиц. Впервые задача N тел поставлена И. Ньютоном: в момент времени t = to известны положения и скорости частиц; необходимо найти положения частиц в любой момент времени. Уже при N = 3 уравнения движения неразрешимы в квадратурах, несмотря на то, что в задаче N тел известны десять интегралов. Последующие достижения в решении проблемы связаны с использованием ЭВМ [33, 42] и применением приближенных методов исследования: теории возмущений и метода усреднения [30, 43].Лагранжиан системы N частиц9.1. Лагранжиан системы Ж частиц. Впервые задача N тел поставлена И. Ньютоном: в момент времени t = to известны положения и скорости частиц; необходимо найти положения частиц в любой момент времени. Уже при N = 3 уравнения движения неразрешимы в квадратурах, несмотря на то, что в задаче N тел известны десять интегралов. Последующие достижения в решении проблемы связаны с использованием ЭВМ [33, 42] и применением приближенных методов исследования: теории возмущений и метода усреднения [30, 43].Лагранжиан системы N частицЦт1,. ..,rN, Г1, ... ,en) = У *ИЛа - ^(Г1) . . . ,Гдг), (9.1)Цт1,. ..,rN, Г1, ... ,en) = У *ИЛа - ^(Г1) . . . ,Гдг), (9.1)тт,\ G mambа 1 Ь |тт,\ G mambа 1 Ь |Из уравнений ЛагранжаИз уравнений Лагранжа(9.2)(9.3)(9.2)(9.3)следует, что радиус-вектор центра масс R удовлетворяет уравнению R = = 0. Согласно (7.7) обобщенная энергиядтаследует, что радиус-вектор центра масс R удовлетворяет уравнению R = = 0. Согласно (7.7) обобщенная энергиядтасовпадает с внутренней энергией системы. Поскольку BL/Bt = 0, то Н = = const = W:совпадает с внутренней энергией системы. Поскольку BL/Bt = 0, то Н = = const = W:И7 = | УИ7 = | УG mamb2 |га - г6| *G mamb2 |га - г6| *
ГЛАВА 2
ГЛАВА 2
ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ
ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ
Лекция 9. Система N частиц
Лекция 9. Система N частиц
9.1. Лагранжиан системы Ж частиц. Впервые задача N тел поставлена И. Ньютоном: в момент времени t = to известны положения и скорости частиц; необходимо найти положения частиц в любой момент времени. Уже при N = 3 уравнения движения неразрешимы в квадратурах, несмотря на то, что в задаче N тел известны десять интегралов. Последующие достижения в решении проблемы связаны с использованием ЭВМ [33, 42] и применением приближенных методов исследования: теории возмущений и метода усреднения [30, 43].
Лагранжиан системы N частиц
9.1. Лагранжиан системы Ж частиц. Впервые задача N тел поставлена И. Ньютоном: в момент времени t = to известны положения и скорости частиц; необходимо найти положения частиц в любой момент времени. Уже при N = 3 уравнения движения неразрешимы в квадратурах, несмотря на то, что в задаче N тел известны десять интегралов. Последующие достижения в решении проблемы связаны с использованием ЭВМ [33, 42] и применением приближенных методов исследования: теории возмущений и метода усреднения [30, 43].
Лагранжиан системы N частиц
Цт1,. ..,rN, Г1, ... ,en) = У *ИЛа - ^(Г1) . . . ,Гдг), (9.1)
Цт1,. ..,rN, Г1, ... ,en) = У *ИЛа - ^(Г1) . . . ,Гдг), (9.1)
тт,\ G mamb
а 1 Ь |
тт,\ G mamb
а 1 Ь |
Из уравнений Лагранжа
Из уравнений Лагранжа
(9.2)
(9.3)
(9.2)
(9.3)
следует, что радиус-вектор центра масс R удовлетворяет уравнению R = = 0. Согласно (7.7) обобщенная энергия
дта
следует, что радиус-вектор центра масс R удовлетворяет уравнению R = = 0. Согласно (7.7) обобщенная энергия
дта
совпадает с внутренней энергией системы. Поскольку BL/Bt = 0, то Н = = const = W:
совпадает с внутренней энергией системы. Поскольку BL/Bt = 0, то Н = = const = W:
И7 = | У
И7 = | У
G mamb
2 |га - г6| *
G mamb
2 |га - г6| *
Перейдем в систему центра масс, полагая га = R + г^. Поскольку ^таГ^ = 0, то кинетическую энергию системы можно представить в виде
т = гт^2 + |Ета^2 ’т = гт^2 + |Ета^2 ’(9.4)(9.4)
т = гт^2 + |Ета^2 ’
т = гт^2 + |Ета^2 ’
(9.4)
(9.4)
где m — масса системы. Второй член в (9.4) — «собственная» кинетическая энергия частиц в системе центра масс, относительно которой система частиц как целое покоится.
Пример 9.1. Оценим внутреннюю энергию Метагалактики — так называется видимая часть Вселенной, содержащая ~ 1020 звезд. Наблюдения показывают, что 1) Метагалактика в среднем однородна, 2) Метагалактика нестационарна — скопления галактик разбегаются друг от друга со скоростями, пропорциональными расстоянию между ними и одинаковыми по всем направлениям. В 1929 г. Э. Хаббл установил, что относительная скорость гаЬ двух любых галактик а и b определяется линейной зависимостью: vab = Hrab, где таЬ = ть ™ та, vab = vb - va. Коэффициент Хаббла Н по современным измерениям составляет от 70 до 75 км/с Мне [44].
Внутренняя энергия Метагалактики
G mamb2 " таЪG mamb2 " таЪПусть Метагалактика занимает жаровой объем радиусом а, в котором заключены Галактики массой М. Учитывая соотношение J2mav^ = 0,представим внутреннюю энергию Метагалактики в видеПусть Метагалактика занимает жаровой объем радиусом а, в котором заключены Галактики массой М. Учитывая соотношение J2mav^ = 0,представим внутреннюю энергию Метагалактики в видеМ/\2 G шаП1.Ь^ = У X mamb^a -n^ — у "VTМ/\2 G шаП1.Ь^ = У X mamb^a -n^ — у "VTДля оценки кинетической энергии относительного движения воспользуемся законом Хаббла:Для оценки кинетической энергии относительного движения воспользуемся законом Хаббла:Потенциальная энергия взаимодействия веществаПотенциальная энергия взаимодействия веществаmambabmambab' m dm' m dm' 4тгрг2 dr 4тг ог 3' 4тгрг2 dr 4тг ог 3оотрУ г _ з м2трУ г _ з м2Следовательно,Следовательно,W =W =ЗМа25ЗМа25= ^GMa25= ^GMa25
G mamb
2 " таЪ
G mamb
2 " таЪ
Пусть Метагалактика занимает жаровой объем радиусом а, в котором заключены Галактики массой М. Учитывая соотношение J2mav^ = 0,
представим внутреннюю энергию Метагалактики в виде
Пусть Метагалактика занимает жаровой объем радиусом а, в котором заключены Галактики массой М. Учитывая соотношение J2mav^ = 0,
представим внутреннюю энергию Метагалактики в виде
М/\2 G шаП1.Ь
^ = У X mamb^a -n^ — у "VT
М/\2 G шаП1.Ь
^ = У X mamb^a -n^ — у "VT
Для оценки кинетической энергии относительного движения воспользуемся законом Хаббла:
Для оценки кинетической энергии относительного движения воспользуемся законом Хаббла:
Потенциальная энергия взаимодействия вещества
Потенциальная энергия взаимодействия вещества
mamb
ab
mamb
ab
' m dm
' m dm
' 4тгрг2 dr 4тг о
г 3
' 4тгрг2 dr 4тг о
г 3
о
о
трУ г _ з м2
трУ г _ з м2
Следовательно,
Следовательно,
W =
W =
ЗМа2
5
ЗМа2
5
= ^GMa2
5
= ^GMa2
5
Согласно теореме о вириале для гравитационных систем, движущихся внутри конечного объема, (Г) = — 1/2(L/), W = — (Г) < 0.
Если плотность Метагалактики р меньше критического значения ркр = = ЗЯ2/^G 1 СТ29 г/см3, то W > 0: процесс расширения продолжается неограниченно. Если же р > рКр, то W < 0 и расширение должно в будущем смениться сжатием.
Лагранжевы движения. В 1772 г. Ж. Лагранж нашел решение за™ дачи трех тел, предполагая, что равнодействующая сил, приложенных к каждой частице, проходит через центр масс С, а их величины пропорциональны расстоянию от С. Эта ситуация соответствует известной теореме статики о трех силах (одна из них — во вращающейся системе отсчета — центробежная сила инерции). Покажем, что в этом случае каждая частица движется по коническому сечению, причем в любой момент времени частицы находятся в вершинах правильного треугольника [30, 35].
Переходя в (9.3) к системе центра масс (ra = R + г^), получим уравнение движения частицы mi:
mirl = Ст^тп^ 2 У 1 + Стрт-з 3 о 1.
1 12113
Полагая = ri3 = а и учитывая соотношение ^тат'а = 0, получим
тхт\ = ^Стрт т- = т-х + т-^ + m3.
Вторая часть утверждения доказана.
Из определения центра масс следует, что ^тат'а = -тт^ — Щ2Г12 ™
— шзг^з = 0. Возводя в квадрат последнее равенство, имеем тп2^ = = (т-2 + тпхтпз + т|)а2. Следовательно,
-аГ1(Ш2 + 'Ш2'Ш3 + т/ !
т1Г = —Gm^M -^-, М =-%—.
(тх + т2 + т3)
Лагранж показал, что начальные скорости должны составлять один и тот же угол с прямой, соединяющей частицы с центром масс; величины начальных скоростей пропорциональны расстояниям до центра масс. Тогда каждая частица будет двигаться по коническому сечению, а расстояния между частицами всегда будут образовывать правильный треугольник.
Лагранж получил еще одно точное решение задачи трех тел, рассматривая движения частиц, расположенных на одной прямой, вращающейся вокруг центра масс.
Уравнения движения в относительных координатах. Введем обозначение таь = г^ — га. Масса системы m = mi + • • • + тп^. Существует несколько замен переменных, позволяющих учесть равномерное прямолинейное движение системы как целого. Произведем следующую замену: ri,..., R, Г12,..., yxn, где R — радиус-вектор центра масс.
Введем вектор г^, соединяющий центр масс с частицей mi. Тогда га = = R+ri+rla. Поскольку ''^‘^= о, то г'х = -тч ^amaria.
Кинетическая энергия системы частиц
та ,2
Подставляя сюда г^, получим
. ГП - о 1 /v—л . \—л ГПа .9, х
г =TR “2^(Ето»Ч + Е^Г1-(9-5)
Поскольку ть — та = ria — Tib, то потенциальная энергия в новых переменных
ттч\ G тат.ь
U (г12,...,гцу) => i(9.6)
2 Г1а - Г16
a,b 11
Лагранжиан системы L' = Т' — U'. Уравнения Лагранжа имеют вид
mnrln - —Vmaria =, п = 2,..., N. (9.7)
mдт1п
Из (9.7) следует соотношение
учитывая которое, получим
ШпГы = OTi^ШпГы = OTi^‘П1.п v^ QU'Ш1 дГ1с *‘П1.п v^ QU'Ш1 дГ1с *(9.8)(9.8)ПоколькуПокольку
ШпГы = OTi^
ШпГы = OTi^
‘П1.п v^ QU'
Ш1 дГ1с *
‘П1.п v^ QU'
Ш1 дГ1с *
(9.8)
(9.8)
Покольку
Покольку
тото= — Gm i m с ^- + G У^ m а т.,= — Gm i m с ^- + G У^ m а т.,3 ’3 ’эи*8т1сэи*8т1сN= -G^ mvmJ^.С=21N= -G^ mvmJ^.С=21
то
то
= — Gm i m с ^- + G У^ m а т.,
= — Gm i m с ^- + G У^ m а т.,
3 ’
3 ’
эи*
8т1с
эи*
8т1с
N
= -G^ mvmJ^.
С=21
N
= -G^ mvmJ^.
С=21
Выделяя из последней суммы слагаемое с с = п, из (9.8) получимВыделяя из последней суммы слагаемое с с = п, из (9.8) получимmnri„ = -Gmn(m„ + mi)^ + G Y' татЛ- ^Г й^„ V|r1Q-rln|3 r?Qmnri„ = -Gmn(m„ + mi)^ + G Y' татЛ- ^Г й^„ V|r1Q-rln|3 r?Q(9.9)(9.9)После решения этой системы уравнений находим г^. Сделаем два замеча-После решения этой системы уравнений находим г^. Сделаем два замеча-Рис. 9.1Рис. 9.1mn/mi нс превосходит 10™3 больше массы Земли).mn/mi нс превосходит 10™3 больше массы Земли).НИЯ.Уравнение (9.9) можно представить в соответствии с (7.3) в видеот1нДля системы, состоящей только из двух частиц mi и m2, последний член в (9.9) равен нулю. Поэтому если mi >> т-2,..., тлх то он играет роль возмущающей силы, создаваемой частицами тц (г ^ = п) в уравнении кеплерова движения частицы тп. В планетной системе mi — масса Солнца. Отношение г для Юпитера (его масса в 318 разНИЯ.Уравнение (9.9) можно представить в соответствии с (7.3) в видеот1нДля системы, состоящей только из двух частиц mi и m2, последний член в (9.9) равен нулю. Поэтому если mi >> т-2,..., тлх то он играет роль возмущающей силы, создаваемой частицами тц (г ^ = п) в уравнении кеплерова движения частицы тп. В планетной системе mi — масса Солнца. Отношение г для Юпитера (его масса в 318 раз9.4. Задача трех тел. В этом случае лагранжиан системы9.4. Задача трех тел. В этом случае лагранжиан системыLf = ™R2Lf = ™R2mi mi + m3 .9 m3 mi + m.^ .9mi mi + m3 .9 m3 mi + m.^ .9т2т3 . .E12E13 +mт2т3 . .E12E13 +m
Выделяя из последней суммы слагаемое с с = п, из (9.8) получим
Выделяя из последней суммы слагаемое с с = п, из (9.8) получим
mnri„ = -Gmn(m„ + mi)^ + G Y' татЛ- ^
Г й^„ V|r1Q-rln|3 r?Q
mnri„ = -Gmn(m„ + mi)^ + G Y' татЛ- ^
Г й^„ V|r1Q-rln|3 r?Q
(9.9)
(9.9)
После решения этой системы уравнений находим г^. Сделаем два замеча-
После решения этой системы уравнений находим г^. Сделаем два замеча-
Рис. 9.1
Рис. 9.1
mn/mi нс превосходит 10™3 больше массы Земли).
mn/mi нс превосходит 10™3 больше массы Земли).
НИЯ.
Уравнение (9.9) можно представить в соответствии с (7.3) в виде
от1н
Для системы, состоящей только из двух частиц mi и m2, последний член в (9.9) равен нулю. Поэтому если mi >> т-2,..., тлх то он играет роль возмущающей силы, создаваемой частицами тц (г ^ = п) в уравнении кеплерова движения частицы тп. В планетной системе mi — масса Солнца. Отношение г для Юпитера (его масса в 318 раз
НИЯ.
Уравнение (9.9) можно представить в соответствии с (7.3) в виде
от1н
Для системы, состоящей только из двух частиц mi и m2, последний член в (9.9) равен нулю. Поэтому если mi >> т-2,..., тлх то он играет роль возмущающей силы, создаваемой частицами тц (г ^ = п) в уравнении кеплерова движения частицы тп. В планетной системе mi — масса Солнца. Отношение г для Юпитера (его масса в 318 раз
9.4. Задача трех тел. В этом случае лагранжиан системы
9.4. Задача трех тел. В этом случае лагранжиан системы
Lf = ™R2
Lf = ™R2
mi mi + m3 .9 m3 mi + m.^ .9
mi mi + m3 .9 m3 mi + m.^ .9
т2т3 . .
E12E13 +
m
т2т3 . .
E12E13 +
m
(9J0)
П2Пз|Г12-Г13|
Уравнения движения (9.9) принимают вид
Г12 = ™G(mi + m2)^p + Gm.3 Г -—^—,(9.11)
П2\|т1з™Г12|3 Ч3 )
Е13 = ^G^m.x + m3)^ + Gm^ ( 7—^—-(9.12)
Ч3V|ri2—Г1з|3 Ч2 I
Векторы Е12, Г1з, R, соответствующие обобщенным координатам, изображены на рис. 9.1.
Переменные Якоби. Уравнения Лагранжа можно упростить, если исключить в лагранжиане не диагональные члены вида m.am.bViavib. С этой целью удобно перейти к переменным Якоби, которые вводятся следующим образом: пусть q2 = ei2 ; дз — вектор, соединяющий центр масс
частиц mi и т^ с m3, q4 — вектор, соединяющий центр масс частиц mi, т2, тз с частицей т.4 и т.д. Радиус-вектор центра масс системы qi = R.
Лекция 10. Задача двух тел
Наиболее простая система состоит из двух частиц. Однако ее исследование важно по двум причинам. Во-первых, как правило, задача двух тел может быть решена в терминах известных функций. Это делает ее «пробным камнем» для утверждений новых теорий. Во-вторых, такое решение можно принять как нулевое приближение при изучении TV-частичных систем.
ЮЛ. Лагранжиан и уравнения движения. Обобщенные координаты ri и г2, в которых записан лагранжиан (7.4) задачи двух тел, обладают тем недостатком, что переменные щ и г2 нс разделяются. Удобно перейти к новым переменным:
(10.1)(10.1)/Л 2/Л 2г = г2 - гь R = ™(Ш1Г1 + m.^r^Y т. = m.i + m2 . ' т' '
(10.1)
(10.1)
/Л 2
/Л 2
Рис. ЮЛРис. ЮЛm.i—г.т(10.2)m.i—г.т(10.2)По рис. 10.1 находим замену:
Рис. ЮЛ
Рис. ЮЛ
m.i
—г.
т
(10.2)
m.i
—г.
т
(10.2)
'^2
ri = Rг, r2 = R + т
В новых переменных кинетическая энергия Т=^« + ^ = ^Н2 + ^г2,
(10.3)
где 1.1 = mim.2/(m<i +т2) —приведенная масса системы. Очевидно, что г = г2 — — ri — относительная скорость. Первое
слагаемое в (10.3) — кинетическая энергия системы как целого, второе — кинетическая энергия относительного движения. Учитывая (10.2), найдем
момент импульса системы:
М = [rrmiri] + [r2-m,2r2] = m,[R-R] +^[гг].(10.4)
Поскольку потенциальная энергия П(г1,г2) = U(r), то в новых переменных лагранжиан
ЦгД1К) = уК2 + ^г2-У(г).(10.5)
Уравнения Лагранжа
d Э£ ЭЛ £ ЭЕ _ ЭЕdt ЭЮ 5R ’ dt dr dr
приобретают видприобретают вид/1Г = ™/1Г = ™ЭПЭт ’ЭПЭт ’(10.6)(10.6)
приобретают вид
приобретают вид
/1Г = ™
/1Г = ™
ЭП
Эт ’
ЭП
Эт ’
(10.6)
(10.6)
mR = 0. Интегрируя, находим R = С + VE
к
Пример 10.1. Пусть H(ri,r2) = — 2^Гз Г1^2' ®3 следует уравнение рт = —кт, решение которого
r(t) = A cos wt + В sin wt, w = \/к( р.
Общее решение
ri (^) = С + V^ — (A cos wt + В sin wt),
г2 (t) = С + V£ + —^ (A cos cut + В sin wt)
зависит от двенадцати постоянных. Выберем начальные условия так, чтобы частицы двигались по окружностям радиусов (т2/т)п и (mi/m)a:
П(О) =а, г2(0) = а, шшП(О) =а, г2(0) = а, шшri(0) =v0 , г2(0) = —v0 ,ri(0) =v0 , г2(0) = —v0 ,mmTHTH
П(О) =а, г2(0) = а, шш
П(О) =а, г2(0) = а, шш
ri(0) =v0 , г2(0) = —v0 ,
ri(0) =v0 , г2(0) = —v0 ,
m
m
TH
TH
причем voa = 0, го = wa. В этом случае С = 0, V = 0, А = а, В = vq/w,
ZШ2 /V0 .\
П и) =a cos wt + — sin wt ,m xw /
r2 U) =a cos wt E — sin wtm xw
Движение в системе центра масс (СЦМ). Перейдем в СЦМ, движущуюся со скоростью V. Учитывая (10.6),
находим, что здесь сохраняются момент импульса. и полная энергия:
^[г-г]=М0, Д2+и^=Е.(10.7)
Эта уравнения описывают движение фиктивно! частицы массой р с радиусом-вектором т(к). Ес называют ^-точкой. Положение реальных частиц связано с т(£) соотношени
ями г^ = — (m2/m)r, Г2 = (mi/m)r.
Пример 10.2. Пусть 1Цг) = —оф\ Проведя в (6.7), (6.8) замену
m ™э р, получим решение уравнений (10.7) как решение задачи Кеплера.
На. рис. 10.2 изображены траектории частиц mi и т2 и ^ч-точки в случае Е < 0,m2 < mi.
Первая космическая скорость. Предположим, что частица, mi— однородный шар радиусом а. Начальные условия выбраны так, что центр шара. С т2Ш1
и частица, т2 описывают окружности радиусов — а, — а, находясь на. тт
расстоянии а друг от друга. Величину скорости их относительного движения найдем из уравнения (10.6):
Для Земли а = 6371 км, а = m2gn2, mi ^> m2, nj ~ = 7,91 км/с.
Вторая космическая скорость нц — наименьшее значение скорости, которую нужно сообщить частице mi (находящейся на. поверхности шара) относительно шара, для того, чтобы они разошлись на. бесконечно большое расстояние. Используя закон сохранения полной энергии (10.7), находим
2Уп а2Уп а
2Уп а
2Уп а
Приближение внешнего поля. Это переход к представлению о движении частицы т2 в поле тяжести, создаваемом частицей mi — однородным шаром массой mi. Пусть pi, р2, Ti, Т2, U — импульсы, кинетические энергии и потенциальная энергия взаимодействия шара, и частицы в момент времени t. Из законов сохранения импульса, и полной энергии системы находим
(10.8)(10.8)(10.9)(10.9)Pl + Р2 = P'l + Р2 ,
(10.8)
(10.8)
(10.9)
(10.9)
Ч + чч + и = Т' + Ч + и’.
Штрихом отмечены указанные величины в момент времени tf. Обозначая через q = р2 — Р2 = Pi — Pi импульс, переданный частице т2, представим (10.9) в виде
1о2
^-S2 = -ATb ATi = —pxq+^,mi2 m
где Е2 = Т2 + U. Если в процессе взаимодействия выполняются условия | АТД <^( |ЕД, |E7>L то изменением состояния частицы mi можно пренебречь. В этом случае говорят, что частица, mi играет роль источника, внешнего поля, в котором движется частица. т2. Вместо (10.8), (10.9) имеем
Р2 = Р2 + q, Е2 = Е2 .(10.10)
Следует помнить, что законы сохранения (10.10) выполняются приближенно. Если нс учитывать это обстоятельство, то можно прийти к множеству парадоксов. Рассмотрим один из них.
Пусть частица. т2 движется по вертикали вблизи поверхности Земли. В начальный момент времени v2(0) = 0. Из закона, сохранения энергии находим
0 + m2дh = ™™m2 2 + m2gh! —= V 2g^h , Л/г = h — h'.
Перейдем теперь в систему отсчета, движущуюся со скоростью и = V 2дЫг по направлению к поверхности Земли. Из законов сохранения энергии получим
™^-( V2#Л/г)2 + m^gh = 0 + m^gh! —Л/г = 0 .
Абсурдность этого результата. — следствие нарушения условий приме
10.4. Система Земля-Луна в поле тяготения Солнца. Рассмотрим10.4. Система Земля-Луна в поле тяготения Солнца. Рассмотримнимости законов сохранения (10.10).
10.4. Система Земля-Луна в поле тяготения Солнца. Рассмотрим
10.4. Система Земля-Луна в поле тяготения Солнца. Рассмотрим
Рис. 10.3Рис. 10.3систему трех тел массами mi, m2, mg, причем mg ^> > W, m2.
Рис. 10.3
Рис. 10.3
В инерциальной системе отсчета, с началом в точке О радиусы-векторы частиц равны г1? г2, г0 (рис. 10.3). Построим лагранжиан системы в переменных Якоби, производя замену г1? г2, г0 г, R, 1, где R — вектор, идущий от частицы mg к центру масс системы частиц mi ит2, 1 — радиус- вектор центра, масс всей системы. По рис. 10.3 находим
т , ш0т2т0mi
г 1 = 1 + — Rг , г2 = 1 + — R Нг ,
МтМт
г° = 1 — — R, М = mi + т2 + mg , т = mi + т2.
Кинетическая энергия системы
Потенциальная энергия
гг/т> \ Gmim2 СпитоGm2m0 /1Л11А
U( R, г ) =-.-—-—г — 1-—-—г. (10.11)
г |R—(m2/m)r||R+(mi/m)r|'
Поскольку R ;> г, то, учитывая разложение в ряд Тейлора, функции |R+x|™x (см. (1.15)), получим
А Gmim2 Gmmg G/лто [ 3(rR)2 г2 ] (
( ’ r)~ гR+-"
Лагранжиан системы L = Т — U. Уравнения Лагранжа: 1 = 0,
-„ R Gpm® 8 Г 3(rR)2 г2 ]
MoR = -Gmm0 — + —^— —(10.U)
/if = -Gm^ ™ + Gpmo/if = -Gm^ ™ + Gpmo3(rR)RЯ53(rR)RЯ5(10.13)(10.13)
/if = -Gm^ ™ + Gpmo
/if = -Gm^ ™ + Gpmo
3(rR)RЯ5
3(rR)RЯ5
(10.13)
(10.13)
Пренебрегая в (10.12) вторым членом, заключаем, что радиус-вектор системы Земля-Луна описывает кеплерову траекторию. В этом приближении уравнение (10.13) порождается лагранжианом
/г ,2 Gmim2 Gp.m0Ьзл(г, г, i) = - г +-+ —/г ,2 Gmim2 Gp.m0Ьзл(г, г, i) = - г +-+ —' 3(rR)2Л5' 3(rR)2Л5R3R3(10.14)(10.14)
/г ,2 Gmim2 Gp.m0
Ьзл(г, г, i) = - г +-+ —
/г ,2 Gmim2 Gp.m0
Ьзл(г, г, i) = - г +-+ —
' 3(rR)2Л5
' 3(rR)2Л5
R3
R3
(10.14)
(10.14)
~ 3,33 ■ 105, ^11~ 3,33 ■ 105, ^11где R = R(i) — известная функция времени. Обращаясь к уравнению
~ 3,33 ■ 105, ^
11
~ 3,33 ■ 105, ^
11
2,56 • 10 3; отношение2,56 • 10 3; отношениезаметим, что т^/т
2,56 • 10 3; отношение
2,56 • 10 3; отношение
второго члена, к первому в правой части ~ ^шд/тДг/Я)3 = 0,011. Эта.
величина, является наибольшей по сравнению с аналогичным отношением
для других планет и их спутников.
Основные особенности движения Луны вызваны возмущающим влиянием Солнца. Анализ решения уравнения (10.13) показал, что если орбиту Луны расположить перпендикулярно плоское™ эклиптики, то за. 55 оборотов (за. 4,5 года.) перигеи орбиты достигнет поверхности Земли [33]. Следует, однако, учесть, что Луна, является телом конечных размеров и может быть ранее разорвана, гравитационными силами при достижении предела Роша, равного трем радиусам Земли. Предел Роша. — расстояние, на. котором сила, действующая на. «половинку» Луны со стороны Земли, начинает превосходить силу притяжения другой «половинкой» Луны [16, 45].
Пример 10.3. Один из методов обнаружения иных планетных систем основан на. исследовании периодического смещения линии поглощения в спектре звезды. Если у о — частота, излучения неподвижным источником, то источник, движущийся со скоростью vg = dr о / dt излучает в направлении п электромагнитную волну частотой
у' = z/g/(l — nvg/c) « z/q + ^v, Ку = у^УуУ cMyndM,) dtY
Амплитуда, вариаций частоты составляет 2у^т ( cMyGmo j Ry ^ .
Гравитационная рогатка. Двойная звезда, массы компонент которой шх и шз, налетает на. черную дыру массой mg. В результате захвата, «дырой» звезды массой шх вторая звезда, приобретает скорость V2. Покажем, что величина. V2 намного больше скорости двойной звезды.
Происходит «реакция» шх2 + ш0 —> moi +ш2. Обычно mx, т^ <^( mg. Рассмотрим процесс столкновения в системе покоя черной дыры. Скорость
двойной звезды — и. До столкновения двойная звезда, находилась на. бе- конечно большом расстоянии от черной дыры. Поэтому полная энергия системы равна, сумме тХ2п2/2 — ЛХ2 кинетической энергии двойной звезды и полной энергии относительного движения ЕХ2 = — ДХ2, где ДХ2 — энергия связи. После столкновения полная энергия системы при достаточно большом расстоянии между новыми объектами равна. ш2н2/2 + Еш, где Еох = — Дох — полная энергия связанной системы черная дыра-звезда массой шх. Из закона, сохранения полной энергии получим уравнение
шХ2п2т^
из которого следует, что кинетическая энергия звезды массой ш2 равна.
т2н2 _ тХ2п2
—2— - —2-
Энергия СВЯЗИ звезды И черной дыры До1 ^ ^12- Поэтому г2 ^ и.
Движение двух зарядов во внешнем поле. В качестве системы рассмотрим атом водорода. Пусть шх, е — масса, и заряд протона, ш2, —е — масса, и заряд электрона.
Атом водорода в однородном электрическом поле. Потенциальная энергия атома. П(гх, г2) = -еЕгх + еЕг2 - е2/| г2 - гх | , где Е — напряженность элекТрИческого поля После замены переменных (10.2) получим лагранжиан
L( г, R, г, R) = — R2 + ™ г2 НеЕг.
2 2г
Поскольку mR = 0, то наличие однородного поля нс влияет на. движение центра, масс атома. Уравнения Лагранжа.
рт = — е2 ™ — еЕ
могут быть решены только в параболических координатах.
Атом водорода в квадрупольном конденсаторе с потенциалом ф = = (Уо/2п2)(ж2 — у2). Потенциальная энергия атома.
Щг1, г2 ) = ^[(ж2 - у2) - (ф - У2)] - , 6 г ।|г2 гХ|
Х(К.г) = §Х(К.г) = §после замены (10.2) приобретает вид
Х(К.г) = §
Х(К.г) = §
-2(Я1Ж-Я2у)-(ж2-у2).
тJ г
Из уравнений Лагранжа.
Я1 - О2ж = 0, Н2 += 0, Лз = о, Q2 =,
та2 '
х н- Оп(Я1 + кх) = О, г А = о, р т°р
, е2 У , п1(П , 1 \ л 02 еУ0, Ш1 -т2
у +т + ^0(R2 + ку) = О, По = —у, к =р г6ра2т
следует, что закон движения центра, масс зависит от характера относительного движения электрона, и протона. Заметим, что в мазерах на. аммиаке пространственное разделение атомов, находящихся в основном и возбужденном состояниях, осуществляется пропусканием пучка, молекул аммиака, через квадрупольный конденсатор.
Лекция И. Упругое рассеяние частиц
Большую часть информации о природе взаимодействия элементарных частиц получают с помощью ускорителей в результате анализа, процессов столкновений. Сейчас общепризнано, что изучение элементарных частиц представляет прямой, а. возможно, и единственный путь к пониманию фундаментальных законов Природы. Однако нс менее важны проблемы построения моделей ядер или многоэлектронных систем, в частности биомолекул. В связи с этим задачей теории является получение характеристик потенциальной энергии взаимодействия многочастичных систем по данным рассеяния.
Поскольку ядра, и молекулы являются типично квантовыми объектами, то задача, должна, быть рассмотрена, только в рамках квантовой теории. Тем нс мснсс при определенных условиях становится возможным описание рассеяния в терминах величин, ассоциированных с движением по классическим траекториям.
.1. Кинематика упругого рассеяния. Предположим, что при t -л ——сю скороста бесструктурных частиц равны v™, v™. Это означает, что при t = — оо траектории частиц приближаются к прямым линиям. В терминах переменной г = г2 — щ при t —^ — ос радиус-вектор /т-точки асимптотически приближается к функции г111 = b + vmt, где bv111 = = 0, v111 = v2n — v™. Постоянный вектор b называют прицельным параметром. Величина, b равна, расстоянию между прямыми линиями, по которым двигались бы частицы в отсутствии взаимодействия. После столкновения при t оо скорости частиц равны vf111 и v™1. Это означает, что радиус-вектор r(t) асимптотически приближается к функции r0Llt = = c + v0LltT Траектории rin(t) и r0Llt(t), являющиеся прямыми линиями, называются входящими и выходящими асимптотами. В случае упругого рассеяния величина, относительной скороста в in- и out-состояниях сохраняется: | v m | = | v out | = v. Процесс упругого рассеяния можно представить как преобразование
у111 v°ut = nv ?(И-1)
где п — единичный вектор, определяющий кинематику рассеяния.
Пусть и — скорость центра, масс. Тогда, скорости частиц до рассеяния
— vln V.jn m ’— vln V.jn m ’Ш1mШ1m
— vln V.jn m ’
— vln V.jn m ’
Ш1m
Ш1m
Согласно (11.1) скороста частиц после рассеяния
outШ21= u,m 'outШ21= u,m 'V out _ u + ^H vn ,mV out _ u + ^H vn ,m
outШ2
1= u,
m '
outШ2
1= u,
m '
V out _ u + ^H vn ,m
V out _ u + ^H vn ,m
Импульсы частиц после рассеяния
р °Llt = miu — ^nn ,р °Llt = miu — ^nn ,р ®ut = Ш2П + ^Ш1 .р ®ut = Ш2П + ^Ш1 .(Н.2)(Н.2)
р °Llt = miu — ^nn ,
р °Llt = miu — ^nn ,
р ®ut = Ш2П + ^Ш1 .
р ®ut = Ш2П + ^Ш1 .
(Н.2)
(Н.2)
Угол рассеяния 9 в СЦМ дастся соотношением
у ш у out цу mcos 9 =-— =.
Вектор q = P2Ut — p™ = м(^п — vm) определяет импульс, передаваемы! частице m2 частицей ту. Его величина, q = 2^v sin (^/2).
Рассмотрим рассеяние в случае, когда, частица, mi до столкновения покоилась: vxm = О, v™ = v2. Из (11.2) следует
pfut = ^v2 - рг^Т P2Llt = ^v2 + №n ,(11.3)
где к = m2/mi. Кинетическая энергия частиц после рассеяния в лабораторной системе
т out = (^ГТ = К v2 _ cos У) = 42tу2 sin2 ;2mi miт2
/ ou.t\ 2,\ 2
Tout = №.2) =^ (/,2 + 2/SCOS6I + 1) .
2ш2\ ш /
На. рис. 11.1 а, б изображен процесс рассеяния (случай отталкивания)На. рис. 11.1 а, б изображен процесс рассеяния (случай отталкивания)
На. рис. 11.1 а, б изображен процесс рассеяния (случай отталкивания)
На. рис. 11.1 а, б изображен процесс рассеяния (случай отталкивания)
соответственно в СЦМ и в лабораторной системе, где 91 и 92 — углы рассеяния мишени и частицы ш2. На. рис. 11.2 изображены импульсы частиц. Найдем соотношения между ^i, 92 и 9.
В сферической системе координат с полярной осью г, параллельной вектору V, из (11.3) следует
Piut cos 9i = pv2(1 — cos 9), p®ut sin 9i = pu2 sin 9 ,P^ COS ^2 = M^2 (/t: + COS 9) , p^ sin ^2 = РЛ sin 9,
следовательно,
(H.4)(H.4)0i0i7Г27Г2£2'£2'Из этих соотношений найдем угол разлета. ^12 = 9у + 9 р.Из этих соотношений найдем угол разлета. ^12 = 9у + 9 р.A sin 9
(H.4)
(H.4)
0i
0i
7Г
2
7Г
2
£
2'
£
2'
Из этих соотношений найдем угол разлета. ^12 = 9у + 9 р.
Из этих соотношений найдем угол разлета. ^12 = 9у + 9 р.
+ п Ш2 + /Щ 9 tg^l2 = Ctg- .
т2 — пр 2
Очевидно, что при mi = m2 угол ^12 = л/2. Разрешим (11.4) относительно cos^:
cos#p2 = — A; sin2 #2±cos#2 у 1 - A2 sin2 92 .
(1L5)
Из (11.5) следует, что при k > 1 существует предельный угол рассеяния 92т (sin 92т = = к™1), соответствующий углу рассеяния
#2 в СЦМ 9т = тг/2 + 92т. Следовательно, при к > 1 углу рассеяния 92 соответствуют два. угла, рассеяния в СЦМ. При к < 1 угол 9 является однозначной функцией 92: cos 9 =
= —к sin2 ^2 + cos ^2 \Л ™ ^2 sin2 92 . Если к «С Ц то #29.
Из (11.3) находим
(рр - //v2)2 = (№)2 , (p20Ut - кргр = (/w2)2 .
Таким образом, геометрическим местом концов векторов рf 2 является сфера, радиусом /1^2. На. рис. 11.2 изображены импульсы pfut и р^ при к > 1.
11.2. Динамическая теория рассеяния. Вектор п, определяющий согласно (11.1) процесс рассеяния, зависит от b и vm. Введем систему координат с началом в центре масс и осью г, параллельной вектору vm. В этой системе
b = (b cos Д, 6 sin Д, 0), v111 = (0, 0, г), п = (sin^ cos 92, sin^ sin 92, cos^),
где 9 — полярный, ф — азимутальный угол вектора, п в сферической
системе координат с полярной осью z. Зависимость b = Ь(^, ф) определяется из решения уравнения фт = —8П/8г с начальным условием т(1 ——сю) = b + vm t.
Если Эп/ЭЗ ^ О, то 3 ^ ф. В этом случае рассеяние обладает азимутальной симметрией.
Найдем соотношение, связывающее векторы b и п при рассеянии частиц с потенциальной энергией взаимодействия П(гх, г2) = = U (г). Из уравнений движения находим первые интегралы (10.7). В соответствии с начальными условиями
Мо = ^[bv], Е = ^ г’ .
Поскольку Мог = 0, то траектория лежит в плоскости векторов b и v. По этой причине Ф = 3- Введем в этой плоскости полярные координаты г, х- Значению х — 0 соответству
ет входящая асимптота. Функция г (х) убывает с ростом х Д° тех П0Р^ тюка.
не достигнет минимального значения rmin = го при х = Хо. где радиальная составляющая скорости обратится в нуль. Значению х = ^Хо соответствует выходящая асимптота. Обе асимптоты расположены симметрично относительно прямой, проходящей через начало координат и ближайшую к нему точку траектории. В зависимости от величины прицельного параметра. b возможны значения хо в интервале (0, 2тг). Наблюдаемый угол рассеяния 9, по определению измеряемый в интервале (0, тг), равен 9 = = |тг — 2хо | - На. рис. 11.3 изображены входящие и выходящие асимптоты в случае потенциальной энергии Леннарда-Джонса (4.19). Значению bi соответствует отталкивание, а. значению 62 — притяжение. Разделяя в (10.7) переменные, согласно (5.17) получим
' фЬи Г 2 /ги2(фЬи)2
„ Ф?2 \ф 2^фг2
То
(11.6)(11.6)Следовательно,
(11.6)
(11.6)
m ™х/2— br™2drЕm ™х/2— br™2drЕ(П.7)
m ™х/2
— br™2dr
Е
m ™х/2
— br™2dr
Е
Пример 11.1.
Пусть U (г) — с/т2 .С помощью подстановки т = s™1 находим
Положим
up =up =Г-Со, т<Р[ 0 , г > R.Г-Со, т<Р[ 0 , г > R.
up =
up =
Г-Со, т<Р
[ 0 , г > R.
Г-Со, т<Р
[ 0 , г > R.
Ипользуя обозначения рис. 11.4, запишем закон сохранения момента, импульса:
sin а = nsin/3, п =sin а = nsin/3, п =bsin а = — . Rbsin а = — . R
sin а = nsin/3, п =
sin а = nsin/3, п =
b
sin а = — . R
b
sin а = — . R
Рис. 11.4Рис. 11.4
Рис. 11.4
Рис. 11.4
Из (11.6) находим
Угол рассеяния 9 = 2 (а — /3).
Энергия взаимодействия нейтронов с ядром
Рис. 11.5
Положим Е = Uq/2. Из (11.6) получим
bdsbds1212+ arcsin cos а+ arcsin cos а80
bds
bds
1
2
1
2
+ arcsin cos а
+ arcsin cos а
Хо = а +
1/Л
Отсюда находим хо = л/2 + «/2 (рис. 11.5). Угол рассеяния 9 = a, sin 9 = = b/R. Рассеяние частиц с энергией Е = Uq/2 обладает замечательной особенностью: все частицы независимо от значения прицельного параметра фокусируются в одной точке на границе ядра. Аналогичная система в оптике называется линзой Лунеберга.
Сечение рассеяния реакции pi + Р2 —> Pi + Р2- В настоящее время исследование столкновений электронов и тяжелых частиц с атомами и молекулами составляет целую область физики, называемую столкновительной спектроскопией (collision spectroscopy). Задачей теории является получение характеристик энергии взаимодействия частиц для построения моделей многоэлектронных систем по данным рассеяния — анализу дифференциального сечения рассеяния.
В начальном состоянии г имеем два пучка частиц, плотности которых равны Hi и п2; скорости частиц — vi и v2, относительная скорость частиц v = V2 — vi. Для определения сечения рассеяния сталкивающихся частиц необходимо перейти в систему покоя одной из частиц, например, частицы с индексом «1». В этой системе скорость второй частицы V12 = V2 — vi = v, плотность потока сталкивающихся частиц j = n2V2i = n2V.
Рассмотрим определенный канал реакции — рассеяние, который обозначим буквой /. Пусть dWij — дифференциальная вероятность того, что при столкновении частиц произойдут переходы i f из начального состояния в конечное за интервал времени Т. Чтобы получить характеристику процесса взаимодействия частиц, не зависящую от их плотности, объема и времени Т, нужно разделить вероятность рассеяния на плотность потока частиц. Определенная таким образом величина da = = dWif / (прсТ) называется дифференциальным сечением рассеяния. Размерность А а — [м2].
Сечение принято измерять в специальных единицах — барнах (от англ, barn — амбар): 16 = Ю™24 см2. Какое отношение имеет амбар к рассеянию частиц? Радиус протона и 0ДЗ-10-12 см, площадь поперечного сечения составляет 0,05 барн. Сечение 1 барн — объясняют физики — такая же большая величина, как амбар в нашей жизни.
Отметим, что направляющие косинусы вектора п в системе покоя одной из частиц и в СЦМ совпадают. Поэтому сечение можно представить в виде плотности дифференциального распределения сечения рассеяния частиц массой m2 в элемент телесного угла dO = sin 9 d9dp в направлении вектора n: da = аф^ р) dO.
Общее число переходов в объеме V в течение времениТ Kvif = = dW^/niK = uniir^daVT. Следовательно, при переходах i ^ f из
начального состояния в конечное частицы эффективно взаимодействуют в пределах площадки da, расположенной перпендикулярно относительной скорости частиц.
Упругое рассеяние. Предположим, что плотности пучков настолько малы, что можно пренебречь многократным рассеянием. В случае упругого рассеяния переход из состояния vin в состояние vout определяется ветвями неоднозначной функции Ь(9), неявно зависящей от потенциальной энергии взаимодействия частиц. Если пренебречь квантовомеханическими эффектами, то дифференциальное сечение упругого рассеяния в СЦМ можно представить в терминах якобиана перехода переменных b(9), Р 9, р:
da = b db dp = а(Е, 9, p^d cos 9 dp,
УЕ, 0, р) = 1УЕ, 0, р) = 1Э(Ь‘2(Е, врЗ)д (cos 9, р)Э(Ь‘2(Е, врЗ)д (cos 9, р)
УЕ, 0, р) = 1
УЕ, 0, р) = 1
Э(Ь‘2(Е, врЗ)д (cos 9, р)
Э(Ь‘2(Е, врЗ)д (cos 9, р)
где Е = ри2/2. Если потенциальная энергия взаимодействия частиц ^(гь г2) = /(|г2 - гД), то Р = р :
ар, 0) = |ар, 0) = |дрЕ, 0)dcos0дрЕ, 0)dcos0(П.8)(П.8)
ар, 0) = |
ар, 0) = |
дрЕ, 0)dcos0
дрЕ, 0)dcos0
(П.8)
(П.8)
Полное сечение рассеяния <т(Е) можно найти из (11.8) путемин- тегрирования по телесному углу Отметим, что математический аппарат квантовой теории рассяния приводит к выражению для сечения арЕ^ в форме интегралов по фазовому объему рассеянных частиц в терминах интегралов:
= У ^р'Лр'ЕЧрт +Р2 - р'1 - рЭ X
х б pi + Е2 - Е{ - Е'^
содержащих дельта-функции Дирака, явно учитывающие закон сохранения энергии-импульса. Действительно, в СЦМ
2
Pi + р2 = 0, р2 = —р^ = р\ Ei + Е^ = Е, Е^ + Е^ =
Первая 5-функция устраняется интегрированием по d^pP дифференциал d3p2 = р'2 dp' dO. Интегрирование по dp* тривиально благодаря свойству 5-функции:
§0^ = 'LL ^Z 2^ /Оп)=0, п = 1,
Теперь можно перейти к дифференциальному сечению одной из частиц в любой инерциальной системе отсчета. Эта процедура эквивалентна вычислению якобиана перехода к новым переменным.
Дифференциальные распределения в лабораторной системе. Пусть в этой системе pi = 0, р2 = mpv. Найдем дифференциальное сечение рассеяния частиц мишени в лабораторной системе. После интегрирования по d3p2 остается 5-функция, аргумент которой обращается в нуль при значении р^ = 2ро cos 0i. В результате интегрирования
d3p^d3p25^ (р2 - Pi - Рг)5(^2 - Е{ - Е^ =
р'3 dp^ dOidр'3 dp^ dOidе2-^-2m iе2-^-2m i(Р1-рГ"2Ш‘2„(Р1-рГ"2Ш‘2„= 4ир2= 4ир2dOi | cos 0i |dOi | cos 0i |
р'3 dp^ dOid
р'3 dp^ dOid
е2-^-
2m i
е2-^-
2m i
(Р1-рГ"
2Ш‘2„
(Р1-рГ"
2Ш‘2„
= 4ир2
= 4ир2
dOi | cos 0i |
dOi | cos 0i |
получим сечение da/d cos#i = 4| cos 0i |cr(E, 26*i). Здесь мы учли, что в СЦМ угол рассеяния частицы mi равен тг — 0. Поскольку 0 = тг — 2#i, то а(Е, тг — 0) = ^(Е, 201Y
Пример 11.2. Прямая задача —рассеяние а-частиц на атомных ядрах. Пусть mi, Ze (m2, 2е)—масса и заряд ядра (о-частицы). Потенциальная энергия взаимодействия U = a/r, а = 2Ze2. Учитывая значение интеграла (6.11), из (11.7) находим
0 = тг — 2 arccos2ЪЕ0 = тг — 2 arccos2ЪЕ
0 = тг — 2 arccos
2ЪЕ
0 = тг — 2 arccos
2ЪЕ
Разрешая это соотношение относительно Ь, имеем
7 а 0 а= 2Б Ctg 2 = 2S7 а 0 а= 2Б Ctg 2 = 2S1 + cos 0 \1 — cos 0 )1 + cos 0 \1 — cos 0 )1/21/2
7 а 0 а
= 2Б Ctg 2 = 2S
7 а 0 а
= 2Б Ctg 2 = 2S
1 + cos 0 \
1 — cos 0 )
1 + cos 0 \
1 — cos 0 )
1/2
1/2
Подставляя b в (11.8), получим формулу Резерфорда:
1 sin4(6,/2)1 sin4(6,/2)
1 sin4(6,/2)
1 sin4(6,/2)
где q = 2ри sin 6*/2.
Обратная задача рассеяния. Эксперименты по рассеянию позволяют найти функцию а^Е, 0). Можно ли, зная а^Е, 0\ определить U (г)?
Из определения сечения (11.8) имеем
Ь2 = 2 de sin УД#, Е).ОЬ2 = 2 de sin УД#, Е).О(1L9)(1L9)
Ь2 = 2 de sin УД#, Е).
О
Ь2 = 2 de sin УД#, Е).
О
(1L9)
(1L9)
Обратная функция 9(b, Е) в общем случае многозначна: одному значению 9 соответствуют несколько траекторий с различными прицельными параметрами. Правильный учет вкладов всех ветвей в сечение рассеяния возможен только в рамках квантовой механики. Здесь проявляется квантовая интерференция потоков, происходящих от траекторий с различными прицельными параметрами, но рассеивемых на один и тот же угол. Эта особенность рассеяния наиболее существенна в окрестности значений Ь, соответствующих максимумам и нулям функции 9(b, Е). Возникает сложная осцилляторная структура сечений, описывающая эффекты сияния и атомной радуги [46].
Ограничимся наиболее простым случаем восстановления монотонного поля U (Ер удовлетворяющего в случае отталкивающего потенциала условиям
(НЛО)(НЛО)lim U (г)0 .
(НЛО)
(НЛО)
Учитывая, чтоде [47]Учитывая, чтоде [47]= тг/2, представим (11.7) в ви-= тг/2, представим (11.7) в ви-УЬ, Е) =УЬ, Е) =ЕЕdrdr
Учитывая, что
де [47]
Учитывая, что
де [47]
= тг/2, представим (11.7) в ви-
= тг/2, представим (11.7) в ви-
УЬ, Е) =
УЬ, Е) =
Е
Е
dr
dr
ь
Поскольку го неявно зависит от Ь, то удобно перейти к переменной z:
22z = г22z = г1 _ ДМ"Е1 _ ДМ"Е(11.11)(11.11)
22
z = г
22
z = г
1 _ ДМ"
Е
1 _ ДМ"
Е
(11.11)
(11.11)
Преимущество новой переменной в том, что теперь пределы интегрирования по dz явно зависят от Ь, а именно г(оо) = оо, z(tq) = b. Функция ц принимает вид
Е) =ьЕ) =ьdz(z2 - 62)1/2 ^F(z, Е) ,dz ''
Е) =
ь
Е) =
ь
где F = 1п(г(о, E^/z). Интегрируя по частям и учитывая (11.10), имеем
чХ Е) — -чХ Е) — -dz (z2 - Ь2) 1//2 zF^z, Е).dz (z2 - Ь2) 1//2 zF^z, Е).(ИЛЗ)(ИЛЗ)
чХ Е) — -
чХ Е) — -
dz (z2 - Ь2) 1//2 zF^z, Е).
dz (z2 - Ь2) 1//2 zF^z, Е).
(ИЛЗ)
(ИЛЗ)
ь
Соотношение (ИЛЗ) является интегральным уравнением Абеля, которое может быть решено следующим методом [48]. Умножим (ИЛЗ) на ЬД>2 ™t2^xF и проинтегрируем по db в пределах от t до бесконечности:
Здесь мы учли значение интеграла
Ж2
dx — ж)™“(ж — хДД”1 = ™г™™ ,0 < а < 1.
JSill П 7Г ■
Ж1
Следовательно,
dtdtbr] (Ь, Е)Vb2 — Fbr] (Ь, Е)Vb2 — Fо
dt
dt
br] (Ь, Е)
Vb2 — F
br] (Ь, Е)
Vb2 — F
ЕХ Е) = — 7VL
Поскольку гДЬ = оо, Е) = 0, то, интегрируя по частям, получим
F(C Е) =F(C Е) =2 £7rt dt2 £7rt dtаь^-ГГжJ dbаь^-ГГжJ db2 f2 fttdi] 1 dbdi] 1 db
F(C Е) =
F(C Е) =
2 £
7rt dt
2 £
7rt dt
аь^-ГГж
J db
аь^-ГГж
J db
2 f
2 f
t
t
di] 1 db
di] 1 db
Учитывая, что 0 = 2dr]/db, находим
7Г7Гdbdb0(b, E)Vb2 -12"0(b, E)Vb2 -12"(11.14)(11.14)
7Г
7Г
db
db
0(b, E)Vb2 -12"
0(b, E)Vb2 -12"
(11.14)
(11.14)
Теперь мы легко вычислим иЦ\ Определяя из (11.14) F(t, Е), получим параметрическое представление решения обратной задачи рассеяния:
r = zeFC’E\ UX = Е(1-е”2РС’Е)\
Полагая w = \Л - ир/Е, найдем неявную зависимость
w = ехрw = ехр9(Ь, Е) Vb2 — r2w29(Ь, Е) Vb2 — r2w2
w = ехр
w = ехр
9(Ь, Е) Vb2 — r2w2
9(Ь, Е) Vb2 — r2w2
а тем самым и U (г) [28].
Рассеяние на малые углы. Рассмотрим подробнее восстановление U^r) по данным рассеяния при высоких энергиях Е |П(г)|. В этом случае из (11.11X (11.12) находим
Г = ZГ = Z1 +1 +up2Еup2ЕdodoЬ_ ЁЬ_ ЁЕС,ЕС,dz dUz2 — b2 dzdz dUz2 — b2 dz(11.15)(11.15)
Г = Z
Г = Z
1 +
1 +
up
2Е
up
2Е
do
do
Ь_ Ё
Ь_ Ё
ЕС,
ЕС,
dz dU
z2 — b2 dz
dz dU
z2 — b2 dz
(11.15)
(11.15)
Формула (11.14) непосредственно определяет
ОО
up ~ - [ ^ 1^ , Тр = Евр EY (11.16) л J yb2 ™ т2
Из (11.16) следует весьма важный вывод о том, что в пределе высоких энергий b является функцией автомодельной (или масштабной) переменной т = Е6. В этом случае (11.9) можно представить в виде
ер —ер —-мн,-мн,/о(т) = Jim 2 6* sin 6 а(9у Е)./о(т) = Jim 2 6* sin 6 а(9у Е).(11.17)(11.17)
ер —
ер —
-мн,
-мн,
/о(т) = Jim 2 6* sin 6 а(9у Е).
/о(т) = Jim 2 6* sin 6 а(9у Е).
(11.17)
(11.17)
Функция /о (т) имеет универсальный характер, поскольку может быть построена на основе всех данных рассеяния, соответствующих широкому интервалу энергий. Определяя функцию г(6), обратную (11.17), из (11.16) найдем потенциальную энергию взаимодействия частиц.
ПримерП.З. Восстановим потенциальную энергию взаимодействия «-частиц и ядер, используя данные рассеяния при малых углах: «(б1, Е) =а2 Е2/т4.Из (11.17), (11.16) находим
„ z х 2«2о?МН = -^, Н = -^,„ z х 2«2о?МН = -^, Н = -^,9up = -7Г9up = -7Гdb —= ™™b \/b2 ™ г2 тdb —= ™™b \/b2 ™ г2 т
„ z х 2«2о?
МН = -^, Н = -^,
„ z х 2«2о?
МН = -^, Н = -^,
9
up = -
7Г
9
up = -
7Г
db —= ™™
b \/b2 ™ г2 т
db —= ™™
b \/b2 ™ г2 т
Условие классичности рассеяния. Для того, чтобы говорить о классическом рассеянии на угол 9 при значении прицельного параметра Ь, необходимо, чтобы квантовомеханические неопределенности этих величин были малы: Аб <^ К ^9 <П 9. Неопределенность угла рассеяния Аб*
Ар/р связана с неопределенностью прицельного параметра Ар Аб > И. Следовательно, условие классичности рассеяния
^9^9ПП—г > рАбЬрПП—г > рАбЬр(11.18)(11.18)
^9
^9
ПП
—г > рАбЬр
ПП
—г > рАбЬр
(11.18)
(11.18)
В то же время классический угол рассеяния в приближении малых углов 9 и Кр^ /р, где Арj_ — приращение поперечной к скорости составляющей импульса. Имеем
Др± Еу ДЕЕ At и^
р р Тат р
Подставляя 9 в (11.18), получим |П(б) | ^> Ги/b. Таким образом, для полей U а/ГД убывающих быстрее, чем кулоновское поле, это неравенство нарушается при значении б ~ бо = («//и;)1/^™^, для которого Аб* ^ | 9 |. Для параметров b > Ьо классическое описание рассеяния невозможно [49].
В качестве модели короткодействующего потенциала рассмотрим взаимодействие точечных частиц с упругими шариками радиусом а. В этом случае прицельный параметр и угол рассеяния связаны соотношением b = a cos 9/ 2. Полное сечение at = тга2 равно площади поперечного сечения шарика. Этот результат не согласуется с экспериментальными измерениями полного сечения рассеяния частиц на ядрах. Правильный ответ дают вычисления по методу квантовой механики: at = 2 тга2. Рассеяние частиц описывается волновой функцией, которая представляет суперпозицию двух слагаемых. Одно из них описывает отражение от шарика и дает в сечение вклад, равный тга2. Другое — тенеобразую- щее — появляется в силу того, что за шариком возникает область тени, в которой вероятность найти частицу мала. Интерференция падающей волны с тенеобразующей волной и приводит к появлению области тени. Вклад этого слагаемого в сечение равен тга2. Полное сечение at = 2тга2. Следует отметить, что подобный результат был получен Г.А. Ми в 1908 г. при вычислении сечения рассеяния света на шариках задолго до создания квантовой механики. Именно дифракционное отклонение на малые углы 9 < Х/а, где А = И/р, приводит к дополнительному вкладу в сечение рассеяния. В этой области дифференциальное сечение рассеяния а (9) имеет острый максимум. Однако при больших углах 9 > X/а сечение рассеяния стремится к классическому пределу а (9) = а2/4. Какой же результат получит экспериментатор, наблюдая упругое рассеяние частиц с импульсами р = 1 ГэВ/c на шаре радиусом а = 1 см? Ответ: at = тга2, а не 2тга2. Дело в том, что за шаром рассеянная волна формируется
на расстояниях I а/6 = а2/А. Поскольку А ~ 1,2 • 10™15 см, то I ~ 1010 км, т.е. измерения для подтверждения теории придется проводить на расстояниях, превышающих астрономические. Поэтому эксперимент, в котором исключены малые углы, приводит к классическому значению сечения. Однако при рассеянии на ядрах (А а, I А) классическая теория неприменима.
Рассеяние тождественных частиц. Следует отметить, что сечение рассеяния заряженных частиц, вычисленное в рамках квантовой механики, сопадает с сечением, полученным в примере 11.2. Однако, положив в формуле Резерфорда mi = m2, получим сечение рассеяния одинаковых частиц, которое не согласуется с экспериментальными данными. В рамках классической механики невозможно описание систем тождественных частиц. Только в квантовой механике разработан математический аппарат для анализа систем многих частиц — бозонов (частиц с целым спином) и фермионов (частиц с полу целым спином). Тождественность частиц проявляется в несиловом, так называемом обменном взаимодействии. Так, согласно теории вероятность обнаружить два фермиона с одинаковыми значениями проекций спина на расстоянии s = |r2 — 14 | уменьшается до нуля при s -л 0.
Рассмотрим, например, фермионы — ядра 3Не и бозоны — ядра 4 Не. Поскольку заряды ядер одинаковы, то в классической теории сечения упругого рассеяния процессов 3Не + 3Не, 3Не + 4 Не, 4 Не + 4Не должны лишь слегка отличаться из-за различия в массах ядер. Однако установлено, что при столкновении двух пучков ядер 4Не вероятность рассеяния на угол 90 ° в четыре раза больше, чем при столкновении ядер 3Не и 4Не. В другом эксперименте вероятность рассеяния на 90 ° при столкновении пучков ядер 3Не согласно теории оказалась равной нулю.
Лекция 12. Ограниченная задача трех тел
При решении проблемы космонавтики и астрономии важную роль играет так называемая ограниченная задача трех тел. Рассматривается система трех частиц массами mi,m2,m3, причем масса одной из них, m3 <^С mi, m2. Если пренебречь ускорениями, которые сообщает легкая частица двум массивным частицам, то они будут двигаться по кеплеровым траекториям. Задача состоит в интегрировании уравнений движения частицы массой m3, движущейся во внешнем гравитационном поле, создаваемом частицами mi и m2. Примерами ограниченной задачи трех тел являются Солнце-планета-комета, Земля-Луна-спутник ит.д.
Лагранжиан ограниченной задачи трех тел. Пусть в инерциальной системе отсчета с началом в точке О радиусы-векторы частиц ri, Г2, г3. Перейдем к переменным Г12, R, г, где R — радиус-вектор
центра масс частиц mi и т^ (рис. 12.1):
_ m2_ mi_
П = Кг12, г2 = КНr12, r3 = R + г; mi2 = mi+m2. Ш12Ш12
Кинетическая энергия системы
у = ^ R2 + ^ f|2 + !|л f2 + m3Rr, М = mi + ш2 + т3.
В соответствии с принятым приближением представим лагранжиан системы в виде (7.11): ГАв = 1а -Ив + 1ав, где
/ ™ Ш3 .2, _ М • 2Д12 2 , г "МШ2
U — — г ,1В — — к + — r12 + G —
222Г12
тI Ш2Г1 п I Ш1Г1
1ав = m3Rr + Gm3mi r12 + г + G m3m2г12 + г .
I Ш12II Ш12I
Уравнения (7.12):
(12Л)(12Л)■■г12
(12Л)
(12Л)
R = О, Д12Г12 = -Gmim2 —
имеют решение R = С + Vt, ri2 = С№- Лагранжиан (7.13), описываимеют решение R = С + Vt, ri2 = С№- Лагранжиан (7.13), описываГ |2
имеют решение R = С + Vt, ri2 = С№- Лагранжиан (7.13), описыва
имеют решение R = С + Vt, ri2 = С№- Лагранжиан (7.13), описыва
ющий движение частицы т3 в инерциальной системе отсчета с началом в центре масс частиц mi и m2, приобретает вид
Цг, г, t) = ^r2 t\ (12.2)
G(r, t) = ™G m3mi IС + г I -
I Ш12 I
-Gm3m2C + r •
I Ш12 I
”ис-В (12.2), соответствии co свойством (7.6), опу
щено слагаемое в m3Vr в 1ав- Далее мы будем использовать лагранжиан (12.2) для решения ряда задач небесной меха
ники.
Ограниченная круговая задача трех тел. В 1834 г. немецкому математику К.Г. Якоби удалось получить первый интеграл уравнения движения. Пусть вектор ^ описывает окружность радиусом /, вращаясь с угловой скоростью О. Перейдем в систему отсчета К\ вращающуюся с угловой скоростью О. Ось Д направим по вектору О, а ось х’
совместим с вектором ^t\ Произведя в (12.2) замену (8.4), запишем лагранжиан (8.5) (опуская штрихи и полагая шз = ш):
L' = — (ж2 + у2 + д2) + тО(ху — ух) — U(x, у, г),(12.3)
W,V, Ц = -^ (Л+у2)-
mmiтт2
(12.4)(12.4) _—^^_ (Д ,ZZZZZZZZZZZZZZ, V (ж - Ж1)2 + у2 + z2 у/(ж - ж2)2 + у2 + ^
(12.4)
(12.4)
т2 ,mi 2Ш12
жх —ж2 = ц П = G тГ2т12О
Поскольку ЭЕ'/81 = 0, то обобщенная энергия (8.9) сохраняется:
Е = ^(ж2 + у2 + Л) + U(ж, у, г).
Полагая ж = у = z = 0, получим уравнение поверхности Е = U(x, у, z), определяющей границы области пространства, в которой может двигаться частица т. Эту проблему впервые поставил американский астроном Дж.В. Хилл в 1877 г.
Точки либрации (от лат. libra — весы). Найдем координаты точек, в которых сумма сил тяготения и центробежной силы, действующих на частицу, равна нулю:
(12.5)(12.5)ЭЕdUЭЕ
(12.5)
(12.5)
-^ = 0, —
ихоуOZ
Эти точки, определяющие положения относительного равновесия (во вращающейся системе отсчета), называются точками либрации. Очевидно, что решение системы (12.5) представляет частный случай лагранжевых движений трех тел (см. (9.2)). Подставляя в (12.5) производные
1 8Uж - Ж1 _ ж - ж2
— = ™Гг ж + Gmi о h G m2 о—
ш ЭхгДт5з
1 ди 2уу
— ^— =-И ^ + Gmi —+Gm2—, m Эут^т£3
ЭЕzz
Пз = ЛПз = Л— ■—- = G Шх ™™з™ + G ш2 , m dz
Пз = Л
Пз = Л
X - Ж1)2 + у2 + Z2,Г23 = У(ж - Ж2)2 + У2 + Z2,
получим координаты точек либрации двух типов [30, 35].
-77112 рт + ТПх-77112 рт + ТПх= 0.= 0.«Коллинеарные» точки Li, L^ L3 находятся на оси х и определяются корнями уравнения
-77112 рт + ТПх
-77112 рт + ТПх
= 0.
= 0.
IIQ З- 77^2 II о
|ж™Ж1|'5|Ж™Ж2|
Если m^jm^ = к«С1, то координаты точек Li, L^, L3 образуют последовательность (рис. 12.2):
«Треугольная» точка. L4 с координатами
mi — т2 I«3
®0 = X, Уо = ^"Ц20 = 0 (Г13 = г23 = I).
^1222
Координаты точки Т5— (ж0, — У®, 0) (рис. 12.2). В окрестности точки L4 обобщенная потенциальная энергия
U^x, у, г) = Щх0, у0, Zo) - — [fell(ж -ж0)2 +
+ 2fel2(ж - хоХу - Уо) + fe’22(y - Уо)2] + у Ю2 X + • • ■, (12.6)
Л _ 3 с.2 L _ 7711 - 7772 3«32_ 92
47771244
Рис. 12.2Рис. 12.2
Рис. 12.2
Рис. 12.2
Переходя к переменным— жпо, запишем уравнения Лагранжа:
ж' - 2Qy' - knx' - kv2y' = 0,(12.7)
у' + 2Qi' -kV2x' - k^y' = 0,(12.8)
z1 + П2г' = 0 z' = Ceos (fit + 7).(12.9)
Найдем условие существования ограниченных решений системы (12.7), (12-8): ж' = Re ппе гМ (и = 1, 2). Характеристическое уравнение (А2 + + ^и) (А2 + ^22) — (4О2А2 + &22) = 0 представим в виде
А4 _ П2 д2 +4А4 _ П2 д2 +47TZ17TZ2"Чз7TZ17TZ2"ЧзQ4 =0.Q4 =0.
А4 _ П2 д2 +
4
А4 _ П2 д2 +
4
7TZ17TZ2
"Чз
7TZ17TZ2
"Чз
Q4 =0.
Q4 =0.
Собственные значения
О2 2Л1’2 - тО2 2Л1’2 - т(1± /1-27^4XV mh /(1± /1-27^4XV mh /
О2 2
Л1’2 - т
О2 2
Л1’2 - т
(1± /1-27^4XV mh /
(1± /1-27^4XV mh /
действительны при условии 27?пх?П2 < (mi + ?п2)2. Полагая m2/mx2 = к,
получим условие устойчивости в виде [30]
В системе Солнце-Юпитер (к = 0,001) известны две гуппы астероидов: «греки» — в окрестности точки L4 и «троянцы» — в окрестности точки L^. Вблизи треугольных точек в системе Земля-Луна польский астроном К. Кордылевский обнаружил скопление метеорной пыли (1961 г.).
.4. Вклад Луны в ускорение свободного падения. Пусть mi, т^ являются массами Земли и Луны. Перейдем в систему отсчета, с началом в центре Земли. С этой целью произведем в (12.2) замену переменных г -л Г13: -—^- ^ + г = Г1з (рис. 12.3). Имеем
™12
\ 2
• 2 _ -2• 2 _ -2^2 2 \ о Ш2 2 -
• 2 _ -2
• 2 _ -2
с -2<Г13.
Ш12Ш12Ш12
Ш12
Ш12
Учитывая (12.1), находим
d (t А £ d (ё \ t Л т1т2 СПЗ
Подставим г2 в (12.2) и опустим функцию времени и полную производную. В результате получим лагранжиан
Цг13, ri3, 0 = у Чз ~ п (г1з, О,
mmi/1<г13
П (Г1з, t) = GGmm2 т-:^-
Гтз\ 5-Г13€
(12.10)(12.10)(12.11)(12.11)/ хmmiП(пз, t) ~ -G- ?"13/ хmmiП(пз, t) ~ -G- ?"13Gmm2 Г ЗД13<Г _ £132 L е еGmm2 Г ЗД13<Г _ £132 L е е(12.12)(12.12)Предположим, что частица, движется в области Из <$( £. Учитывая разложение в ряд Тейлора. (1.15), найдем
(12.10)
(12.10)
(12.11)
(12.11)
/ хmmi
П(пз, t) ~ -G- ?"13
/ хmmi
П(пз, t) ~ -G- ?"13
Gmm2 Г ЗД13<Г _ £13
2 L е е
Gmm2 Г ЗД13<Г _ £13
2 L е е
(12.12)
(12.12)
Вклад Луны в обобщенную потенциальную энергию можно представить в виде
П (г13, t) = -Gh тф (ri3, t),Оз
У2 / Gm 2 \а^з V F) 'У2 / Gm 2 \а^з V F) 'где ф^фф t) — приливный потенциал, ф(?Г t) = — Ea^(t) хаХфу Еар
У2 / Gm 2 \а^з V F) '
У2 / Gm 2 \а^з V F) '
В общей теории аналогом величины Еар является тензор Римана, описывающий кривизну пространства-времени [50].
Уравнения Лагранжа, имеют вид
(12ЛЗ)(12ЛЗ)Г13 , п Г 3(г13£ХГ13"
(12ЛЗ)
(12ЛЗ)
ШГ13 =—h Gmm^_—— .
ЧзL €5€ J
Пусть а — радиус-вектор некоторой точки на. поверхности Земли (рис. 12.4). Полагая щз = а + г, |г| <$( а, ограничимся в (12.13) приближением однородного поля:
шт = ?ngo + ?nAg + ... ,
go = -Gmx Л>go = -Gmx Л>Ag = Gm2Ag = Gm2"3(a4K"3(a4KaГaГЭф ЭаЭф Эа
go = -Gmx Л>
go = -Gmx Л>
Ag = Gm2
Ag = Gm2
"3(a4K
"3(a4K
a
Г
a
Г
Эф Эа
Эф Эа
В точках поверхности Земли, лежащих на. прямой, перпендикулярной вектору ^, величина ускорения свободного падения g с^ go+G?n2a/^3. В точке А на. поверхности, обращенной к Луне, и в точке С на. противоположной стороне Земли величина, g одинакова: g^^ = go — ^Gm^a/^3. Относительное изменение силы тяжести Ag/g ^ (m2/mi) (а/^)3 = 5,3-10™8. Ничтожное различие в ускорении свободного падения приводит к повышению уровня воды в точках А и С. В результате суточного вращения Земли
вокруг своей оси двугорбая водяная поверхность перемещается. Это и есть приливы [51].
Сила, трения, действующая со стороны воды на. земную поверхность,
приводит к торможению вращения Земли. Угловая скорость вращения уменьшается — продолжительность суток возрастает. Приливное воздействие Луны приводит также к деформации Земли как упругого тела. Когда-то породы Луны были в расплавленном состоянии. Приливное трение замедляло вращение Луны и теперь она. обращена, к Земле одной стороной.
Угловая скорость вращения Земли превышает угловую скорость Луны на. орбите. Поэтому из-за. трения приливный выступ достигает максимума, нс в точке на. прямой, соединяющей центры Земли и Луны, а. в точке, смещенной в направ
лении вращения Земли. Болес того, из-за.
различия наклонов плоскости земного экватора. (23°) и плоскости орбиты Луны (5°) к эклиптике, вращение Земли выносит приливный выступ
из плоскости орбиты. Гравитационное взаимодействие Земли и Луны ста
новится асимметричным относительно прямой, соединяющей их центры. В результате возникают моменты сил, действующих на. оба. тела. Кинетическая энергия вращения Земли переходит в тепло и полную энергию орбитального движения Луны — расстояние между Луной и Землей воз
растает.
Лекция 13. Межпланетные полеты
Солнечная система. Первые запечатленные наблюдения за. движением Солнца, на. фоне звездного неба, относятся к эпохе IV- III тыс. до и. э. В III тыс. до н. э. шумерские астрономы определяли начало нового года. — день весеннего равноденствия — по вступлению Солнца, в созвездие Тельца. В этот день плоскость экватора, совпадает с плоскостью эклиптики. Интересно, что контур созвездия Тельца, похожий на. букву А, послужил прообразом первой буквы алфавитов большинства, языков индоевропейской группы. Почти за. 2000 лет точка, весеннего равноденствия сместилась навстречу видимому перемещению Солнца, и во II в. до н. э. оказалась в созвездии Овна. Сейчас она. находится в созвездии Рыб, передвигаясь ежегодно на. 50, 26 . Поэтому Солнце, последовательно проходя через все созвездия Зодиака, вернется к исходному положению через 26000 лет. Это явление обнаружил величайший астроном древности Гиппарх (II в. до н. э.) и назвал его прецессией — предварение равноденствий.
Происхождение прецессии объяснил И. Ньютон. Смена, сезонов вызвана. обращением Земли вокруг Солнца, и наклоном ее оси к плоскости эклиптики на. 23,5°. Из-за того, что Земля сплюснута, у полюсов, моменты сил, действующих на. нее со стороны Солнца, и Луны, приводят к вращению оси вокруг нормали к плоскости эклиптики с периодом 26000 лет.
Человека, всегда, поражал беспредельный мир небесных светил — эта. грандиозная лаборатория, открытая для любознательного ума. Звезды казались неподвижными друг относительно друга, а. группа, состоящая из пяти светил (Меркурии, Венера, Марс, Юпитер, Сатурн), перемещалась на. фоне звезд, описывая петли и зигзаги. Отсюда, и название — планета, (от греч. planLtLs — блуждающая). Изучение движений планет и создание моделей, объясняющих их перемещение, сыграли решающую роль в развитии астрономии.
По Аристотелю, Земля является центром мира, вокруг которого вращаются сферы с планетами и звездами. В 250 г. до и. э. Аристарх Самосский высказал гипотезу, согласно которой Земля имеет форму шара, вращается вокруг своей оси и движется вокруг Солнца. Однако эти идеи явно противоречили обыденным представлениям своего времени и нс сыгрыли заметной роли в античной науке.
Наибольшее распространение получила, геоцентрическая теория движения планет, развитая Птолемеем (150 г. до н. э.) на. основе схем, известных античным астрономам. Хуже всего в системе Птолемея оказалось то, что она. была, достаточно точно подогнана, под известные данные наблюдений и во многих отношениях оказалась неуязвимой для опровержения [52].
После III — IV вв. античная астрономия приходит в упадок. Только в XIII в. начинается возрождение и утверждение идей Аристотеля в рамках христианской религии. Одновременно возрастает политическая, экономическая, культурная и научная активность общества, получившая в XIV столетии название Ренессанса. (Возрождения). С началом эпохи Великих географических открытий (X. Колумб, 1492; Ф. Магеллан, 1519-1521 ) пришлось отбросить представление о Земле как о плоском круге. Несостоятельность многих положений Аристотеля привела, к развитию новых идей.
В 1543 г. выходит знаменитое сочинение Н. Коперника. (1473 - 1543), в котором впервые в истории астрономии дана, правильная схема, строения Солнечной системы [53]. Определены относительные расстояния от планет до Солнца, периоды обращения планет, получило объяснение петлеобразное видимое движение планет. В 1605 г. И. Кеплер открыл два. закона, описывающих движение планет. Еще более десяти лет потребовалось для установления третьего закона. (1618 - 1619). В 1609 году Г. Галилей впервые направил на. небо телескоп. Он обнаружил фазы Венеры, лунные горы, пятна, на. Солнце. Открытие спутников Юпитера, опровергло утверждение о Земле как о единственном центре вращения [54].
В 1679 г. И. Ньютон убедился, что если тело движется по коническому
сечению под действием силы, направленной к фокусу, то величина, силы должна, изменяться обратно пропорционально квадрату расстояния от фокуса. Для доказательства, этого утверждения он воспользовался техникой дифференцирования. Прямую задачу решил в 1710 г. И. Бернулли. Существует ряд предположений относительно того, почему сам Ньютон нс использовал метод интегрирования. Возникла, даже дискуссия на. тему: доказал ли Ньютон, что из закона, всемирного тяготения следуют законы Кеплера. [55, 56]?
Первым подтверждением закона, всемирного тяготения было предсказание возвращения кометы Галлея. Ес появление отмечалось задолго до нашей эры. Английский астроном Э. Галлей подметил сходство в описании хвостов комет 1531, 1607 и 1682 гг. Он предсказал возвращение кометы через 76 лет в 1758 г. Правда, из-за. возмущения, вносимого в се траекторию Юпитером и Сатурном, комета. Галлея запоздала, и появилась в 1759 г
В 1781 г. В. Гершелем была, открыта, новая планета. Солнечной системы. Ее назвали Ураном. Обнаруженные в 1787 г. два. е- спутника, позволили определить массу Урана. В 1801 г. итальянский астроном Дж. Пиацци обнаружил первый астероид (от грсч. asteroid — звездоподобный) — так назвали небольшие планеты размерами от 200 до 800 км. За. два. века, наблюдений открыто 18 000 астероидов. Точные орбиты известны для почти 5 000 астероидов. Большинство этих орбит лежат между орбитами Марса, и Юпитера. — это так нызываемый главный пояс астероидов. Средние расстояния от Солнца, лежат между 2,1 и 3,3 а.е. Преобладающее возмущение на. движение астероидов оказывает Юпитер — существуют области пространства, в которых сгущения или зазоры в их распределении связаны с резонансным отношением периодов вращения астероидов и Юпитера.
К 1820 г. были установлены элементы эллиптической орбиты Урана. Однако последующие наблюдения расходились с данными теоретических расчетов. Английский астроном Д. Адамс и французский астроном У Ле- верье независимо в 1845 — 1846 гг. предположили, что траектория Урана, возмущается неизвестной планетой и предсказали ее положение. Открытие в сентябре 1846 г. немецкими астрономами И. Галле и Г. д‘Аррсстом новой планеты — ее назвали Нептун — явилось триумфом небесной механики. История астрономии еще нс знала, подобных примеров [57].
Наиболее трудной проблемой небесной механики оказалось несоответствие между теоретическим и наблюдаемым перемещениями перигелия Меркурия. Предположения о возмущении, вносимом неизвестной планетой, нс подтвердилось. Только в 1916г этот эффект получил объяснение в рамках созданной А. Эйнштейном общей теории относительности. Согласно Эйнштейну, смещение перигелия Меркурия обусловлено заметным искривлением пространства-времени в окрестности Солнца.
После уточнения масс всех планет все же остались небольшие расхождения теории с наблюдаемым положением Урана. Преемник Неверье А. Гайо и американский астроном П. Ловелл в 1908-1915 гг. «вычислили» новую планету. Через 15 лет она. была, открыта, американским
астрономом К. Томбо [57] и названа Плутоном.
Наша Галактика и Вселенная. Любопытно, что только в двадцатые годы нашего столетия развеялось эгоцентрическое заблуждение человека, относительно его места, во Вселенной. Это произошло благодаря тому, что были найдены способы определения расстояния до очень удаленных звезд. Солнечная система. — ничтожная часть нашей звездной системы, называемой Галактикой (от греч. galaxias — молочный). Она. содержит 100 млрд, звезд, распределенных в центральном ядре и отходящих от него спиральных ветвях, расположенных в плоском слое толщиной ^10 св. лет. Центр Галактики находится в созвездии Стрельца. Радиус Галактики составляет 50 000 св. лет, причем Солнце отстоит от центра, на. 30 000 св. лет. С Земли Галактика, предстает в виде Млечного Пути — совокупности звезд, наблюдаемых в главной плоскости. В полосе Зодиака, (от греч. zodiakos kyklos — звериный круг), перпендикулярной плоскости эклиптики, расположены 12 зодиакальных созвездий. Галактика. вращается. Период обращения Солнечной системы ^ 225 млн. лет) неофициально назван «космическим годом».
В 1926 г. Хаббл обнаружил звездные системы, находящиеся вне Млечного Пути. Полученное Хабблом доказательство внегалактической природы этих систем явилось выдающимся событием в истории астрономии. Оказалось, что галактики часто встречаются группами, образующими устойчивую систему. Наша. Галактика, входит в одну из таких систем, названную Местной группой. В Местной группе, содержащей 24 члена, Галактика. Андромеда. — самая крупная, а. наша. Галактика. — вторая по величине. Расстояние между ними оценивается в 2,2 млн. световых лет.
Сейчас количество доступных наблюдению внегалактических объектов составляет порядка 100 млн. Спектральные линии излучения всех галактик, кроме членов Местной группы, смещены в красную сторону, причем, чем дальше расположена, галактика, тем больше ее красное смещение. Отсюда, следует, что Беленная в целом расширяется. Хаббл установил линейную зависимость между расстоянием и скоростью удаления [44]. В 1960 г. поиск далеких космических объектов привел к удивительным результатам — был открыт новый класс объектов, самых далеких из всех известных; скорость их удаления достигала, более половины скорости света. Эти объекты назвали квазарами (сокр. от quasi-stellar radiosource — квазизвездный источник радиоизлучения). Ближайший яркий квазар 3C273 находится по разным оценкам на. расстоянии от 1,5 до 3 млрд. св. лет. Светимость яркого квазара, может внезапно в 1000 раз превысить светимость нормальной галактики, причем основная часть энергии излучается из области, размерами всего нескольких световых месяцев. Остаются непонятными процессы, приводящие к такому выделению энергии, соответствующей возгоранию примерно 10 млн. звезд в секунду. Согласно одной из гипотез мощное излучение квазаров возникает благодаря разогреву вещества, перетекающего от звезды-сверхгиганта. к черной дыре. Черная дыра. — компактный, сверхплотный объект,
который ничто, включая свет, не может покинуть. Она. возникает в результате гравитационного сжатия звезды, в недрах которой угасли термоядерные реакции, до размеров, меньших rg = 2GM/c2( М — масса звезды). Одним из признаков черной дыры было бы обнаружение области с высокой концентрацией звезд. Наблюдения со спутника, в телескоп «Хаббл» позволяют предположить, что в центре туманности Андромеды находится сверхмассивная черная дыра. Другое явление связано с возможным наблюдением быстро движущихся звезд, отброшенных от черной дыры благодаря эффекту «гравитационной рогатки». Если двойная звезда. приблизится к черной дыре, то один ее компонент захватывается на. орбиту вокруг черной дыры, а. другой — выбрасывается со скоростью до 10 000 км/с.
Исходя из наблюдаемых скоростей расширения Вселенной можно предположить, что 12 млрд, лет назад все первоначальное вещество должно было находиться в сверхплотном состоянии в области размером 10~33 см. Этот размер соответствует времени ю™43 с с момента, начала расширения. Будет ли Вселенная расширяться вечно или она. в конце концов снова, сожмется — одна, из фундаментальных проблем астрофизики.
С началом космической эры, когда, появилась возможность проводить наблюдения с помощью спутников, пилотируемых и автоматических станций, наши представления о Вселенной существенно изменились [59, 60]. Невозможно перечислить все множество результатов, полученных на. основе космических исследований. Приведем лишь краткий обзор, посвященный межпланетным полетам.
Полеты к Луне. Четырнадцатого сентября 1959 г. советская автоматическая станция «Луна-2» достигла, поверхности Луны. Это был первый перелет с Земли на. другое небесное тело. В октябре того же года. «Луна-3» совершила, облет Луны и передала, изображение ее обратной невидимой стороны. Третьего февраля 1966 г. впервые осуществлена. мягкая посадка, на. поверхность Луны советской станции «Луна-9». В сентябре 1970 г. станция «Луна-16» совершила, рейс Земля-Луна-Земля.
В 1969™ 1972 гг. предприняты шесть успешных американских экспедиций по программе «Аполлон». В каждой участвовали три астронавта: двое совершали посадку на. Луну, а. третий оставался в основном блоке. Луна, оказалась стерильной, на. ней нс обнаружено никаких форм жизни.
Анализ лунных пород показал, что возраст Луны и Земли одинаков: ~ 4, 5 млрд. лет. Луна, имеет расплавленное ядро, мантию и кору. Обнаружены области с повышенной плотностью — масконы. Тектонические процессы в недрах Луны закончились: конечная стадия лунной истории — состояние покоя. Вопрос о происхождении Луны остался нерешенным. В лунных породах чаще, чем в земных, встречаются металлы с высокой температурой плавления. Возможно, она. образовалась в более высокотемпературных условиях, чем Земля. Любая теория се происхождения должна, также объяснить различие в плотностях Луны (^3,36 г/см3) и Земли (^5, 56 г/см3).
Полеты к Венере. В настоящее время исследование внеземных миров возможно с помощью автоматических межпланетных станций (АМС). В результате пролета. 14 декабря 1962 г. станции «Маринер-2» на. расстоянии 35 тыс. км от Венеры было установлено, что период вращения планеты (243 сут.) больше, чем период вращения вокруг Солнца. (224,7 сут.), т.е. на. Венере день длиннее года. Другая интересная аномалия — Венера, вращается вокруг оси в направлении, обратном по отношению к Земле и большинству планет. В1966 г. станция «Венера-3» достигла, поверхности, осуществив первый полет АМС на. другую планету. В 1967 г. анализ данных, полученных станцией «Венера-4», показал, что атмосфера, планеты состоит из углекислого газа. — этот факт явился фундаментальным открытием в физике планет. «Венера-7», запущенная в августе 1970 г, передала, информацию о давлении 9 МПа. (такое давление на. Земле создаст вода. на. глубине 0,8 км) и температуре 475 ° (при которой кипят свинец и цинк).
Полеты к Марсу. Эти полеты начались с 1961 г. Четырнадцатого ноября 1971 г. АМС «Маринер-9» была, успешно выведена, на. орбиту вокруг Марса, и стала, первым искусственным спутником планеты. Впервые мягкая посадка, на. Марс была, осуществлена. 2 декабря 1971 г. станцией «Марс-3», запущенной в мае 1971 г Наиболее удивительным оказалось разнообразие отдельных его районов; наряду с огромными потухшими вулканами (Олимп, высота. 27 км) существуют большие — до 2000 км в поперечнике — котловины. Атмосфера, состоит из углекислого газа, давление у поверхности в сто раз меньше земного.
Получены фотогафии двух спутников Марса. — Фобоса, и Деймоса. Фобос по форме напоминает картофелину размером 27 х 20 км со впадинами и выступом, всегда, обращенным к Марсу. Уникальная особенность Фобоса. — наличие системы параллельных борозд, покрывающих более половины поверхности. Возможная причина, образования борозд — гравитационное растяжение приливными силами.
Космический вояж к дальним планетам [34, 61, 62]. В августе и сентябре 1977 г. начался полет АМС «Вояджер-2» и «Вояджер-1». Пятого марта. 1979 г. «Вояджер-1» пролетел на. расстоянии 286 000 км от Юпитера. — самой загадочной и самой большой планеты Солнечной системы (масса, в 318 раз больше массы Земли). Анализ изображения планеты и спутников привел к поразительным открытиям. Прежде всего, у Юпитера, обнаружено кольцо на. расстоянии 3/4 радиуса, от центра, планеты. Поскольку граница предела. Роша, находится на. расстоянии 2,4Я то, по-видимому, кольцо образовалось в результате разрушения спутника, приливными силами. Получены уникальные снимки непрерывно изменяющегося облачного покрова, планеты. Неподвижным осталось Большое Красное пятно — гигантское возмущение (24 х 40 тыс. км), впервые описанное более 300 лет назад Р. Гуком. На. спутнике Ио обнаружены активно действующие вулканы — единственные вулканы внеземного происхождения.
Двенадцатого ноября 1980 г. «Вояджер-1» прошел на. расстоянии 124 200 км от поверхности Сатурна. Открыты два. спутника, не имеющие аналогов в Солнечной системе, — они находятся на почти одинаковых орбитах и раз в четыре года, «обмениваются» траекториями. Сближение со спутником Сатурна. Титаном — основной целью полета. — сделало достижение Урана, невозможным; аппарат ушел в отдаленные районы Солнечной системы. Другой аппарат «Вояджер-2» совершил 9 июля 1979 г. пролет Юпитера, а. 25 августа. 1981г. — пролет Сатурна. Изображения, переданные двумя аппаратами, обнаружили тонкую структуру колец Сатурна. — каждое из них состоит из тысяч отдельных узких полосок (шириной в несколько километров), образованных частицами льда, и пыли размерами до 10 см, в которые погружены глыбы размерами порядка. 15 м. Система колец представляет чрезвычайно динамическое образование — удалось наблюдать распространяющиеся по спирали волны плотности. Самый главный сюрприз — совершенно невероятная структура, кольца. F шириной 200 км с внешней границей, лежащей на. расстоянии 2,3 7?. На. снимках можно различить локальные утолщения и отдельные «нити», местами переплетенные, местами параллельные друг другу. Кольцо находится между орбитами двух маленьких спутников — гравитационных пастухов кольца.
После сближения с Юпитером и Сатурном программа полета, была, завершена. Тем не менее, учитывая уникальное расположение планет, которое бывает один раз в 180 лет, удалось направить «Вояджер-2» к Урану. Исследования спутников планеты были связаны с огромными трудностями — низкой освещенностью почти на. границе солнечной системы и быстрым (немногим более суток) пролетом Урана. Кратковременность сближения обусловлена необычной геометрией системы Урана, который как бы «лежит на. боку», — спутники вращаются вокруг оси, расположенной в плоскости эклиптики. В январе 1986 г. «Вояджер-2» прошел на. расстоянии 81 000 км от облачного покрова. Урана.
Было открыто одно новое кольцо и 10 его спутников (теперь их 15), невидимых с Земли из-за. малых размеров. Системы колец и спутников Урана, и Сатурна, обнаружили поразительное сходство: несколько крупных спутников на. удаленных орбитах и множество мелких, примыкающих к кольцам с внешней стороны. Этот переход находится вблизи предела. Роша. [62].
Траектория станции прошла, на. расстоянии 18 260 км от ближайшего к Урану спутника. — Миранды. Положение станции на. расстоянии почти 3 млрд, км от Земли определялось с точностью до 25 км. Рельеф Миранды ошеломил ученых. На. снимках видны борозды, длина, которых сравнима. с радиусом спутника, равным 241 км. Наиболее интересная область, получившая название Шеврон, имеет форму трапеции. Резко выделяется угол, окаймляющий борозду глубиной 20 км — самое гигантское ущелье во всей Солнечной системе.
Изменив траекторию под действием Урана, «Вояджер-2» воспользовался преимуществом, которое представляет парад планет, и взял курс
на Нептун. В августе 1989 г, через 12 лет после запуска, он прошел под облачным покровом Нептуна. Управляющие сигналы «запаздывали» на четыре часа шесть минут, проходя расстояние 4,5 млрд. км. У давно известного спутника—Тритона — обнаружены характерные признаки планеты — магнитное поле и атмосфера. Фотокамеры поймали изображения шести спутников и пяти колец, окружающих Нептун. Огромная штормовая система, получившая название Великого Темного Пятна, отмечена в его южном полушарии. К 2015 г. «Вояджер-2» подойдет к границе Солнечной системы. Пеленгация аппарата позволит получить новые данные о распределении полей тяготения. Этот посланец любознательных землян в 296 000-е годы пройдет в пределах 4,3 светового года от Сириуса. Шансы очень малы, но может быть кто-то обнаружит молчаливого странника и захочет узнать, кто же его послал.
Сфера действия. При вычислении траектории космического аппарата (КА) необходимо учитывать силы, действующие на него со стороны Солнца и планет. Однако даже
Рис. 13.1Рис. 13.1ограниченная круговая задача трех тел не имеет аналитического решения. Поэтому в астродинамике получило развитие множество приближенных методов расчета траекторий КА. Рассмотрим один из них, ипользующий понятие сферы действия.
Рис. 13.1
Рис. 13.1
Пусть КА массой т движется
в гравитационном поле, создаваемом
Солнцем и Землей массами mi и т^ (рис 13.1). Поместим начало системы отсчета на Солнце. Тогда из (9.12) получим уравнение движения КА:
(13-1)(13-1)X Г13 . л /Г12 - Г13Г12
(13-1)
(13-1)
Пз = -G (mi + m) + G m2 .iq - -ъ-
ч3 \h2-r13|3 «2
Представим его в виде
Г13 = W13 + Awi3 , Awi3 = w23 - w2l,
Г13Г12 - Г13r23
W13 -G mi w23 = G m2 ,iq = -G m2
П3|Г12-Г1з|3T§3
w2i = -Gm2
Г21
Если |Awi3|<^|wi3|, то KA движется по кеплеровой траектории; wi3 является основным, a Акц3 —возмущающим ускорением. В нашем случае П2 = 149 600 • 103 км, G mi = 1,327 • 1011 км3/с2, G т2 = 3,986 • 105 км3/с2. Вектор Awi3 равен разности ускорения w23, сообщаемого Землей аппарату, и ускорения w2i, сообщаемого Землей Солнцу.
Пусть КА находится на отрезке Солнце-Земля на расстоянии г23 = = 1 500 000 км от Земли. Тогда wi3 = 6,05 • ICC6 км/с2, w23 = 1,77 х х НГ7 км/с2, w2i = 1,78 • 10™11 км/с2. Поскольку |Awi3/wi3| 0,03, то Земля не оказывает заметного влияния на траекторию, которая является коническим сечением с фокусом в центре Солнца.
Представим теперь, что КА находится на расстоянии г23 = 500000 км от Земли [34]. Тогда wi3 = 5,97 • КС6 км/с2, w23 = 1, 594 • КС6 км/с2, w2i = = 1,7-10™11 км/с2. Поскольку |Awi3/wi3| 0,267, то Земля оказывает заметное влияние на траекторию КА. В этом случае попробуем рассмотреть движение КА в системе отсчета с началом в центре Земли. Вместо (13.1), произведя замену индексов 1^2, получим уравнение
m ।\ ^*23 . /-у f ^*21^*23^*21 \
r23 = -G m + m2 -y+Gmi .(13.2)
^23Vk21-r23|3)
Представим его в виде
Г23 = w23 + Aw23, Aw23 = w13 - w12,
^*23^*13С2
w23 ~ -Gm2 ==, W13 = —Gmi ==, w12 = —Gmi ==. ty»Oty»Oty»O
'23'13'12
Полагая r23 = 500 000 км, находим w23 = 1,594-10 6 км/с2, wi3 = = 5,97 • IO-6 км/с2, wi2 = 5,93 • IO-6 км/с2. Следовательно |Aw23| =Полагая r23 = 500 000 км, находим w23 = 1,594-10 6 км/с2, wi3 = = 5,97 • IO-6 км/с2, wi2 = 5,93 • IO-6 км/с2. Следовательно |Aw23| == 0,04 • 10 6 км/с2,= 0,04 • 10 6 км/с2,Aw23Aw23w23w23= 0,025. Положим теперь r23 = 1 500 000 км.= 0,025. Положим теперь r23 = 1 500 000 км.Тогда w23 = 1,77-10 7 км/с2,Тогда w23 = 1,77-10 7 км/с2,wi3wi3x 10 6 км/с2. В этом случаеx 10 6 км/с2. В этом случаеAw23w23Aw23w23= 6,05-10 6 км/с2, wi2 = 5,93 x - 0,678.= 6,05-10 6 км/с2, wi2 = 5,93 x - 0,678.Приведенные оценки позволяют понять, что отношение |Awi3/wi3|Приведенные оценки позволяют понять, что отношение |Awi3/wi3|характеризует величину возмущения геоцентрической кеплеровой траектории Землей, а отношение | Aw23/w231 — величину возмущения геоцентрической кеплеровой траектории Солнцем. Условиехарактеризует величину возмущения геоцентрической кеплеровой траектории Землей, а отношение | Aw23/w231 — величину возмущения геоцентрической кеплеровой траектории Солнцем. УсловиеAw23w23Aw23w23Awi3Wi3Awi3Wi3(13.3)(13.3)
Полагая r23 = 500 000 км, находим w23 = 1,594-10 6 км/с2, wi3 = = 5,97 • IO-6 км/с2, wi2 = 5,93 • IO-6 км/с2. Следовательно |Aw23| =
Полагая r23 = 500 000 км, находим w23 = 1,594-10 6 км/с2, wi3 = = 5,97 • IO-6 км/с2, wi2 = 5,93 • IO-6 км/с2. Следовательно |Aw23| =
= 0,04 • 10 6 км/с2,
= 0,04 • 10 6 км/с2,
Aw23
Aw23
w23
w23
= 0,025. Положим теперь r23 = 1 500 000 км.
= 0,025. Положим теперь r23 = 1 500 000 км.
Тогда w23 = 1,77-10 7 км/с2,
Тогда w23 = 1,77-10 7 км/с2,
wi3
wi3
x 10 6 км/с2. В этом случае
x 10 6 км/с2. В этом случае
Aw23
w23
Aw23
w23
= 6,05-10 6 км/с2, wi2 = 5,93 x - 0,678.
= 6,05-10 6 км/с2, wi2 = 5,93 x - 0,678.
Приведенные оценки позволяют понять, что отношение |Awi3/wi3|
Приведенные оценки позволяют понять, что отношение |Awi3/wi3|
характеризует величину возмущения геоцентрической кеплеровой траектории Землей, а отношение | Aw23/w231 — величину возмущения геоцентрической кеплеровой траектории Солнцем. Условие
характеризует величину возмущения геоцентрической кеплеровой траектории Землей, а отношение | Aw23/w231 — величину возмущения геоцентрической кеплеровой траектории Солнцем. Условие
Aw23
w23
Aw23
w23
Awi3
Wi3
Awi3
Wi3
(13.3)
(13.3)
определяет уравнение поверхности, разделяющей две области пространства, в которых частица движется по различным кеплеровым траекториям. При переходе через поверхность траектории необходимо «сшить». Разрешая (13.3) относительно г23 = г(^, ^), получим уравнение поверхности (в сферических координатах), которая называется сферой действия тела с меньшей массой т2 относительно тела с большей массой mi.
Поскольку m2 < mi, то г <С г^. Учитывая разложение (1.15):
A w23 = G mi -—ОТ23A w23 = G mi -—ОТ231|Г21Г23|1|Г21Г23|1*211*231 211*211*231 21
A w23 = G mi -—
ОТ23
A w23 = G mi -—
ОТ23
1
|Г21Г23|
1
|Г21Г23|
1*211*23
1 21
1*211*23
1 21
получим из (13.3) уравнениеполучим из (13.3) уравнениеGmi Э2 дг23Gmi Э2 дг233(г21Г23)2 _ г|3 "53Z21Z21J3(г21Г23)2 _ г|3 "53Z21Z21J
получим из (13.3) уравнение
получим из (13.3) уравнение
Gmi Э
2 дг23
Gmi Э
2 дг23
3(г21Г23)2 _ г|3 "53
Z21Z21J
3(г21Г23)2 _ г|3 "53
Z21Z21J
г2 Tillm2 г^гг2 Tillm2 г^гЗг21Зг21(г21г)'21(г21г)'21m2г2 mi ’m2г2 mi ’
г2 Till
m2 г^г
г2 Till
m2 г^г
Зг21
Зг21
(г21г)
'21
(г21г)
'21
m2
г2 mi ’
m2
г2 mi ’
которое определяет поверхность, близкую к сфере радиусом
Радиус сферы действия Луны относительно Земли s = 66 000 км, радиусы действия некоторых планет относительно Солнца указаны в приведенной ниже таблице [34].
Меркурий
Венера
Земля
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Млн. км
0,112
0,615
0,925
0,579
48,1
54,6
52,0
Вторая космическая скорость. Если телу сообщить скорость пц = (2 g Я)1/2 (гц = 11,186 км/с относительно Земли), то его полная энергия обращается в нуль. Эту скорость называют второй космической скоростью. Очевидно, что Гц = ^2гь
Можно ли утверждать, что на бесконечно большом расстоянии от Земли скорость тела станет равной нулю? Оказывается — нет, поскольку радиус сферы действия Земли s = 924 820 км. На расстояниях г > > s основной силой, действующей на тело, является сила притяжения Солнца — влиянием Земли на движение тела в этой области можно пренебречь. Если телу на поверхности Земли сообщить вторую космическую скорость, то скорость тела на расстоянии s от нее окажется равной cs = = (2gi?2/s)1/2 = 0,926 км/с. Если скорости Земли и тела коллинеарны, то скорость тела относительно Солнца на 0,926 км/с больше скорости Земли относительно Солнца (р = 29, 785 км/с). Следовательно, тело станет спутником Солнца. Афелий его эллиптической орбиты будет находиться за Солнцем на расстоянии 21 млн. км от орбиты Земли.
Третья космическая скорость. Найдем наименьшую скорость, которую необходимо сообщить КА, для того, чтобы он покинул Солнечную систему.
Обозначим через v^ скорость тела г относительно тела к. Очевидно, v^ = vij + Vjb Введем обозначения А, 3, С соответственно для космического аппарата, Земли и Солнца. Рассмотрим вначале движение аппарата от места старта на поверхности Земли до пересечения со сферой действия Земли. Из закона сохранения полной энергии получим
где гЗдз — скорость аппарата на расстоянии sg от центра Земли. Обычно пользуются приближенной формулой:
Дз = УАЗ + 2gJ?31 - —- «АЗ + 2ё Д3-
Перейдем далее в гелиоцентрическую систему, в которой Земля движется со скоростью где = V® тс/ ^зс = 29, 785 км/с; скорость аппарата в этой системе
VAC = VA3 + V3C-
Для того, чтобы аппарат покинул Солнечную систему, его скорость должна удовлетворять условию
Поскольку гзе — где, то t^c = V2r3c = 42,122 км/с. Предполагая, что векторы Узе и у'аз коллинеарны, получим из (13.4) третью космическую скорость*.
i’A3 = t(V2 - I)2 «У + 2g Лз]1/2 =
= У(12,337)2 + (11,18б)2 = 16,653 км/с.
Четв-ртая космическая скорость. Если на границе сферы действия Земли УдС = 0, то аппарат упадет на Солнце. Поскольку Уд3 = = -v3C) то
^аз = у ^|с + 2g Дз = 31,816 км/с.
Эту скорость иногда называют четвертой космической скоростью.
Гомановская траектория перелета. Полет с Земли на другие планты можно разделить на три фазы: 1) полет в области сферы действия Земли, 2) полет в поле тяготения Солнца до границы сферы действия планеты, 3) движение в области сферы действия планеты.
Рассмотрим упрощенную модель траектории, предполагая, что орбиты всех планет являются круговыми и расположены в плоскости эклиптики. Романовской переходной орбитой называют гелиоцентрическую траекторию, касающуюся орбит Земли и планеты. Такие орбиты обеспечивают перелет максимального груза с наименьшими затратами топлива [34].
Рассмотрим перелет на внешнюю планету — Марс, период обращения которого равен 686,96 сут. Приведенные ниже расчеты имеют характер оценок, поскольку орбита Марса имеет значительный эсцентриситет (е = = 0,093), причем оси орбит Земли и Марса не совпадают. Более того, плоскость орбиты Марса образует с плоскостью эклиптики угол 1,85°.
Траектория перелета на Марс (рис. 13.2) образует половину эллипса с большой полуосью а = 1/2 (тмс + '^зсХ причем точка 2 является перигелием, а точка 5 — афелием, тмс = 227,941 млн. км. Поскольку взаимное расположение Земли и Марса меняется, то моменты старта для движения
по половине эллипса ограничены интервалом времени, называемым «окном» . (На рис. 13.2 2 — Земля и аппарат в начальный момент времени, 3 — Марс в начальный момент времени, 4 — аппарат проходит 553 миллиона км за 237 дней, 5 — Марс и аппарат в конечный момент времени (перигелий для Марса, афелий для аппарата), 6 — Земля в конечный момент времени.)
Найдем величину скорости Дкс, которую должен иметь аппарат на границе сферы действия Земли для того, чтобы достичь Марса. Используя закон сохранения полной энергии:
1 /22 V АС1 /22 V АСГзсГзса2а ’а2а ’
1 /2
2 V АС
1 /2
2 V АС
Гзс
Гзс
а
2а ’
а
2а ’
получим гелиоцентрическую скорость выхода
2гмс гмс + гзс2гмс гмс + гзс= 32, 729 км/с .= 32, 729 км/с .
2гмс гмс + гзс
2гмс гмс + гзс
= 32, 729 км/с .
= 32, 729 км/с .
Следовательно, геоцентрическая скорость выхода из сферы действия Земли г аз = 2,945 км/с. Из (13.4) найдем начальную скорость аппарата:
ГАЗ —ГАЗ —2гмсГМС + ГЗС2гмсГМС + ГЗСУзс + 2ёдзУзс + 2ёдз1/21/2= 11,567 км/с .= 11,567 км/с .
ГАЗ —
ГАЗ —
2гмс
ГМС + ГЗС
2гмс
ГМС + ГЗС
Узс + 2ёдз
Узс + 2ёдз
1/2
1/2
= 11,567 км/с .
= 11,567 км/с .
гз \ У2
Учитывая, что То = 2тг I ность перелета:а \ Gmc )Учитывая, что То = 2тг I ность перелета:а \ Gmc )То4^2То4^2гмс + г3сГЗСгмс + г3сГЗС= 259 сут.= 259 сут.зс I = 365, 256 сут, найдем продолжитель- Gmc /
Учитывая, что То = 2тг I ность перелета:
а \ Gmc )
Учитывая, что То = 2тг I ность перелета:
а \ Gmc )
То4^2
То4^2
гмс + г3с
ГЗС
гмс + г3с
ГЗС
= 259 сут.
= 259 сут.
Движение аппарата внутри сферы действия планеты-цели. Скорость Марса на круговой орбите
Гмс =Гмс =/Gmc/ гзс юл /
Гмс =
Гмс =
л /= где 1 /= 24,129 км/с.
V тмс V гмс
Скорость аппарата гвх в точке 5 можно найти из закона сохранения момента импульса: гвхгмс = ГдСгзс, откуда
Гзс 2гмс/
гвх = гзс\ = 21,48 км/с.
Гмс V Гмс + Гзс
Следовательно, скорость подлета гвх меньше орбитальной скорости Марса— Марс догоняет космический аппарат. Величина входной скорости аппарата относительно Марса гам = гвх—гмс равна 2,649 км/с. Заметим, что для реальной траектории гвх = 5,7 км/с. Сравним ее со второй космической скоростью на границе сферы действия Марса Гц = V ^Gm^fsw Учитывая значения гравитационного параметра Gm^ = 4, 282 • 104 км3/с2 и радиуса сферы действия sjm = 0, 579 млн. км, получим Гц = 0,385 км/с. Следовательно, внутри сферы действия Марса аппарат движется по гиперболе. Включая тормозной двигатель, можно перевести аппарат на орбиту спутника Марса.
Облет планеты как способ увеличения гелиоцентрической скорости [31, 34]. Поля тяготения массивных планет — Юпитера и Сатурна — можно использовать для разгона аппарата при полете к удаленным планетам или для отбрасывания его к центру Солнечной системы.
Внешняя по отношению к Земле планета догоняет аппарат, движущийся по эллиптической траектории перелета. Поэтому траектория аппарата внутри сферы действия любой планеты всегда является гиперболой. Эта ситуация в терминах задачи двух тел соответствует рассеянию частиц.
Пусть величина скорости аппарата относительно планеты Гап меньше значения гпс- В системе отсчета, связанной с планетой, скорость аппарата
на границе сферы действия vm = vah = vac~ vnc- После облета планеты скорость аппарата на границе сферы действия vout = v^n = v^c — vnc ■ Угол рассеяния — угол 0 между векторами vm и vout определяется соотношением
tg(6l/2) = ^7, r = rin = rout,
rmro
приведенным в примере 11.2, где а = Gmmn, b — прицельный параметр. Аппарат после облета получает приращение скорости Ауап = v out — v m = = vA - vac.
Производя коррекцию прицельного параметра, можно изменить направление скорости vout в пределах 0 ^ ^ ^ #тах. При достаточно
Рис. 13.3Рис. 13.3
Рис. 13.3
Рис. 13.3
малом значении прицельного параметра можно было бы изменить направление скорости почти на противоположное. Вместе с тем, наименьшее значение b = bmin должно соответствовать траектории, касающейся точки, которая находится на пересечении оси симметрии траектории и границы атмосферы планеты на расстоянии гр, равном приблизительно радиусу планеты R. На рис. 13.3 изображен облет внешней планеты, когда она догоняет аппарат. Из законов сохранения полной энергии и момента импульса имеем систему:
GmmnRGmmnRmv2 _ mil
Gmmn
R
Gmmn
R
+0 = —
22
mbmmv = mRvp.
Исключая tip. находим
^min — R^min — R
^min — R
^min — R
/ Gmn \ 1/2
——. Следовательно,
8 2 xV^TT <
Величина приращения скорости
д о . ^тах 217 [Ж
Д17 = 211 8Ш = -
21 + Ж2
достигает максимального значения
Avmax = vi при г? = гч; Ртах =
На границе сферы действия величина гелиоцентрической скорости выхода аппарата может существенно превысить значение 17ш. Двигаясь по новой траектории, аппарат может достичь следующей планеты. Например, при полете американской станции «Пионер-11» к Сатурну был использован гравитационный удар в поле тяготения Юпитера. «Вояджер-2» разгоняли по очереди Юпитер, Сатурн и Уран. Полет к Урану по гоманов- ской траектории продолжался бы 1 б лет, а к Нептуну — 30 лет. Подходящая для такого разгона аппарата конфигурация внешних планет ожидается в 2155 г. цукнеп
ГЛАВА 3
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖАСИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ
Лекция 14. Уравнения Лагранжа 1-го рода
Голономные связи. Рассмотрим систему N частиц, положение которой определяется 3N координатами х^уд, za (а = 1, 2,..., ^). Если в произвольно выбранный момент времени t координаты и скорости частиц связаны определенными условиями, то система является несвободной. В этом случае говорят, что на систему наложены связи. Согласно определению, введенному Г. Герцем, связи называют голономными, если координаты частиц удовлетворяют k (k < 3N) уравнениям вида [63]
/a(ri, rw, t) =0, Ct = 1, 2,..., к .(14.1)
Теперь для задания положения системы достаточно определить 3^ — к координат. Остальные к координат можно найти из уравнений (14.1). Голономные связи, ограничивающие положения частиц, реализуются макроскопическими недеформируемыми конструкциями: оболочками, стержнями, плоскостями и т.д.
Пример 14.1.
Пусть частицы системы перемещаются по движущейся поверхности Ф (ж, у, ж, f) = 0. Тогда уравнения связи имеют вид (14.1):
^(гй^) = 0, а^Х^...^.(14.2)
В частном случае движения частиц по плоскости ф(г, t) = nr — ddt\ где n — единичный вектор, перпендикулярный плоскости, d(t) — расстояние от плоскости до начала координат.
Пусть система состоит из двух частиц, закрепленных на концах тонкого стержня постоянной длины I. Уравнение связи имеет вид
l^-r^Z.(14.3)
Голономные связи (14.1) налагают также ограничения и на скорости частиц. Поскольку на траекториях системы та = ra(t), из (14.1) следует
. I 77 ЛI, I /I 4 4
Пример 14.2.
Для системы ^ частиц, подчиняющихся уравнениям связей (14.2), имеем
Эф Эф
^га + ^=0, а=1,...,^(14.5)
Мы видим, что компонента скорости частицы а, перпендикулярная поверхности, совпадает с нормальной компонентой скорости поверхности. Действительно, вводя орт
ПИ -| grad |
перпендикулярный поверхности в точке г, запишем нормальную составляющую скорости частицы гп(г) и нормальную компоненту скорости поверхности — (Эф/dt) | grad 99 |—1. Условие равенства этих компонент приводит к уравнению (14.5).
Если расстояние между двумя частицами постоянно, то, дифференцируя уравнение связи (г2 — ri)2 = Z2, находим гц = r2r, г = r2 — щ. Следовательно, проекции скоростей частиц на ось, проходящую через обе частицы, должны быть одинаковы.
Очевидно, что уравнения связи накладывают ограничения и на ускорения частиц. Вычисляя полную производную по времени, из (14.4) находим
д2/а д2/д2/„д/а
Q QQQ QQ Xa^ — 0.(14.6)
9t Эхам,ot"Эхаи, oxbvЭхам,
Силы реакции. Пусть Fa — результирующая сила, действующая на частицу массой та со стороны других частиц системы. Реализация уравнений связи (14.1), ограничивающих возможные значения координат, приводит к появлению дополнительных сил, действующих на частицы системы. Эти силы называют реакциями связей. Обозначим силу реакции, приложенную к частице массой т^ через Жа. Тогда уравнение движения частицы массой та должно иметь вид
тата = ¥алЖа, a =(14.7)
Это уравнение является следствием принципа Д’Аламбера (1743 г.), согласно которому сумма активных сил Fa, сил реакции Жо и «силы» —тага равна нулю. Таким образом, имеем систему 3N + к уравнений (14.1) и (14.7), содержащую 3N координат та, и 3N компонент Жа. Поскольку к < 3N, то задача является неопределенной. Далее мы получим решение уравнений (14.1), (14.7) в предположении, что связи являются идеальными. Для того, чтобы ввести идеальные связи, познакомимся вначале с понятием виртуальные перемещения.
Виртуальные перемещения. Уравнения (14.1) задают многообразие положений системы N частиц на некоторой поверхности в пространстве 3^ измерений. Введем векторы Jra (а = 1, 2, ..., N), касательные
к многообразию положений, соотношением
VM^5ra=0, а = 1, 2,(14.8)
Набор векторов 5r i, 5г2, ..., 5rjy называют виртуальными перемещениями. Из (14.8) следует, что 3N — к виртуальных перемещений могут быть выбраны произвольно, а к остальных будут функциями 3N — к независимых перемещений.
Согласно определению (14.8) виртуальные перемещения нс связаны с реальным движением системы [64]. Ниже мы увидим, что виртуальные перемещения являются изохронными вариациями координат. Тем нс мснсс отмстим, что действительные перемещения dra = та dt за время dt удовлетворяют, в соответствии с (14.4), уравнениям
Е^^ + ^^о, « =<14-9)
Если связи стационарны, wdfa/dt = 0. В этом случае действительные перемещения принадлежат множеству виртуальных.
Рассмотрим, например, движение частицы по плоскости nr — d^€) = 0. Согласно (14.8) имеем п5г = 0. Следовательно, виртуальные перемещения связаны, по существу, с возможными положениями частицы, допускаемыми связями в момент времени I.
Идеальные связи. Если сумма элементарных работ всех сил реакций на виртуальных перемещениях равна нулю, то связи называют идеальными:
N
^Ка5та=0.(14.10)
а=1
Метод неопределенных множителей Лагранжа. Соотношения (14.8) и (14.10) позволяют найти 3N — к уравнений, которые вместе с (14.1), (14.7) позволяют полностью определить движение системы частиц. Действительно, разрешим систему (14.8) относительно к зависимых виртуальных перемещений. Подставляя найденное выражение в (14.10), получим линейную суперпозицию независимых виртуальных перемещений. Приравнивая к нулю коэффициенты при независимых перемещениях, найдем 3N — к уравнений. Вместе с системой (14.1), (14.8) будем иметь 6N уравнений и 6N неизвестных функций ra, Ra (а = 1, 2, ..., N).
Пример 14.3. Рассмотрим движение частицы по плоскости. Уравнение связи (14.1) имеет вид
/(г, t)=0, /(г, i) = nr - dtp
Уравнение движения (14.7):
тх = mg + R.
Система (14.8), (14.10) имеет вид
П1 дх + п%бу + пз 6z = 0, Ri дх + R^dy + R3 dz = 0.(/)
Исключая dz, получим
Ri - R3 — )+ | R2 - R3 — ) Sy = 0.
\Из /
Следовательно,
Ri R^ R^Hi n2 ^3 *
Обозначая это отношение через А (так называемый множитель Лагранжа), имеем
тх = mg + An, nr — d(t) = 0.
Далее дифференцируем дважды уравнение связи nr = d и исключаем г, используя уравнения движения. В результате получим R = Ап, где А = = md — mgn. Уравнения движения приобретают вид
г = dn + [n [gn] ].
Интегрируя, находим
I2r(i) = dn + С2 + Cii + [n [gn] ] —.
Постоянные интегрирования удовлетворяют условиям Cin = 0, С2П = 0.
Наиболее рациональная техника решения системы (14.8), (14.10) состоит в использовании множителя Лагранжа А. Образуем комбинацию
Ждг St = 0^ (R - An) Jr = 0 от
-л (Ri - Arii) дх + (Я2 - Ап2) бу + (R3 - Апз) 5z = 0. (2)
Выберем множитель А так, чтобы коэффициент при зависимом виртуальном перемещении 5z обратить в нуль: R3 = Апз. Тогда в (2) останутся члены с независимыми перемещениями. Коэффициенты при них должны быть равны нулю: Ri = Ani, Я2 = An2 —R = AV/.
Следуя методу неопределенных множителей Лагранжа, рассмотренному в примере 14.3, построим линейную комбинацию:
V RaJra-V Aa^Jra = 0.(14.11)
Выберем к множителей Аа так, чтобы обратить в нуль коэффициенты при к зависимых перемещениях. Тогда в (14Л1) останутся слагаемые с независимыми 3N — к виртуальными перемещениями. Таким путем находим выражение для сил реакций:
R« = EA«§Ti14-12)
Теперь уравнения (14.7) и (14Л):
mara = Fa + Va = 1,(14.13)
« 9т«
fa (гъ ..., r^, t) = 0, а = 1, ... , к ,(14Л4)
образуют полную систему 3^ + к уравнений относительно 3^ функций г a и к функций Аа.
Интегрирование этой системы удобно начинать с определения множителей Ха. С этой целью, подставляя (14ЛЗ)в(14.6), найдем Ха как функции координат, скоростей и времени. Подставляя затем Aa(r, г, t) в (14.13), получим систему 3N уравнений относительно 3N неизвестных функций.
Закон изменения полной энергии. Предположим, что силы, действующие на каждую частицу системы, потенциальны. Тогда
П(г1, ..., tn, t) = У Е7аь(|га - гь|) + У Ip (ra, t\ a.,bа
Умножим скалярно каждое уравнение (14ЛЗ) на fa. Вычисляя сумму по всем частицам, имеем
Учитывая (14.4), находим
Правая часть (14.15) содержит мощность сил реакции. Заметим, что уравнения (14.13), (14.15) являются следствием условия идеальности связей (14.10). Мы приходим к выводу, что при условии ЭП/dt = 0 полная энергия сохраняется только в случае стационарных связей.
Пример 14.4. Две частицы масс mi и т2 закреплены на концах стержня длины I массы m <; mi, пр. Эта система движется в однородном поле тяжести. Найдем решение уравнений движения и силы реакций.
Отмстим, что переход от реального упругого стержня к модели твердого тела может быть обоснован в рамках квантовой механики. Величина силы реакции имеет конечное значение при жесткости стержня к —^ ос и удлинении А/ 0, если величина работы внешних сил меньше разности энергий возбужденного и основного состояний. В этом случае говорят о «замороженных» степенях свободы.
Из (14.15), (14.16) получим систему уравнений:
/ = (г2 - Г1)2 - Z2 = 0, (7)
тД = —2А(г2 - г» + mig,(2)
т2г2 = 2А(г2 - г» + m2g.(3)
Перейдем к новым координатам г2, щ гс, г = r2 — ri где гс — радиус-вектор центра масс. Тогда из (7)-(3) получим систему:
(4)(5)(6)(4)(5)(6)Гс = g,г2 = Z2,рг = 2 Аг.
(4)
(5)
(6)
(4)
(5)
(6)
Найдем решение уравнений (5), (6). Дифференцируя уравнение связи, находим
(7)(5)(7)(5)гг = 0,г2 + гг = 0.
(7)
(5)
(7)
(5)
Образуем скалярное произведение правой и левой частей (6) с г и учтем (7). Тогда получим закон сохранения кинетической энергии относительного движения:
= 4Агг = 0, г2 =м dt’°’
где v0 = г(0) — начальное значение относительной скорости частиц. Согласно (7) г0 v0 = 0, где г0 = г(0).
Подставляя (б) в (5), получаем 2А = —р^/Г)2. Теперь из (б) следует уравнение
(9)
Решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид
(10)(10)r(t) = r0 cos иЛ Аsin иЛ.
(10)
(10)
Поскольку r(t) — вектор постоянной длины, то он должен удовлетворять уравнению г = [сиг]. Следовательно шг0 = 0, угловая скорость системы си = [rgVo]//2. Силы реакции Ri = —R2 = рш2г.
Пример 14.5. Математический маятник. Рассмотрим движение частицы по окружности, расположенной в вертикальной плоскости. Поскольку любая кривая является линией пересечения двух поверхностей, систему (14.13), (14.14) удобно записать в таких координатах, для которых постоянные значения двух координат определяют заданные поверхности. Вводя
n=-mgl cos фn=-mgl cos фРис. 14.1Рис. 14.1
n=-mgl cos ф
n=-mgl cos ф
Рис. 14.1
Рис. 14.1
цилиндрические координаты с началом в центре окружности радиусом /, имеем уравнения связи
(П(ПЛ = р -1 = о, /2 = ^ = 0.
(П
(П
Азимутальный угол ф отсчитывается от оси ж, направленной вертикально вниз (рис. 14.1). Учитывая, что в цилиндрических координатах V/ =
\эР’ рдр" az r цилиндрической системы координат:\эР’ рдр" az r цилиндрической системы координат:= I —, - —, — ), получим уравнения (14.13) в проекциях на орты
\эР’ рдр" az r цилиндрической системы координат:
\эР’ рдр" az r цилиндрической системы координат:
т(р — рф") = mg cos ф + Ai, — РФ — — т^ sin ф, mz = А2.
' р at'
Из (7), (2) находим
Ai = —mg cos ф — m/ф2, ф + ш^ sin ф = О, А2 = О, cjq = \Pl* ^
Умножая второе уравнение (3) на интегрирующий множитель ф, получим уравнение
Ф2 2Еcosy) = ^Ф2 2Еcosy) = ^(4)(4)
Ф2 2Е
cosy) = ^
Ф2 2Е
cosy) = ^
(4)
(4)
которое является следствием закона сохранения полной энергии (14.15), где П(^) = —mgl cos ф. Если \Е\ ^ mg/, то область движения определяется неравенством cos ф Ср —E/mgl. В случае Е > mgl частица движется по окружности в одном направлении. Исключая ф, находим
.2Е
Ai = —3mg cos ф — —
Пусть ^(0) = 0, 0(0) = ш^а. Тогда Е = —mgl + (т/Т) ш^а?Р. Из(4) находим
w^t =оw^t =оdфа2 — 4 sin2 (ф/Т)dфа2 — 4 sin2 (ф/Т)(5)(5)
w^t =
о
w^t =
о
dф
а2 — 4 sin2 (ф/Т)
dф
а2 — 4 sin2 (ф/Т)
(5)
(5)
При а < 1 область движения \ф\ ^ а определяется неравенством cos ф Ср —Е/т.иг^Р = 1 — а?/2. Полагая в (5) sin(^/2) ^/2, находим Ф = a sin шфУ Величина а играет роль амплитуды линейных колебаний.
Представим теперь решение (5) в терминах эллиптической функции Якоби sn(£, кф которая определяется как функция, обратная по отношению к интегралу [29, бб- 68]:
sn Л к)оsn Л к)оdui(1 — w2)(l — к2иФ^dui(1 — w2)(l — к2иФ^(6)(6)
sn Л к)
о
sn Л к)
о
dui
(1 — w2)(l — к2иФ^
dui
(1 — w2)(l — к2иФ^
(6)
(6)
Здесь к — постоянная, называемая модулем эллиптических функций; 0 < к < 1 (см. приложение). На рис. 14.2 изображен график функции sn (^, к) при некоторых значениях модуля к.
Пусть а < 2. Производя в (5) замену sin (ф/Т) = (а/2) w, имеем
OJ()t ™OJ()t ™dwdwОО^/(1 ™ w2)(l — (a2/4)w2)^/(1 ™ w2)(l — (a2/4)w2)(7)(7)
OJ()t ™
OJ()t ™
dw
dw
О
О
^/(1 ™ w2)(l — (a2/4)w2)
^/(1 ™ w2)(l — (a2/4)w2)
(7)
(7)
Следовательно, w = sn (шоС а/2\к = а/2,
(5)(5)ра( а
(5)
(5)
Sill — = — sn ( ШсЕ -
22V и ’ 2
Максимальное значение угла р определяется условием sin (^m/2) = а/2.
Рис. 14.2Рис. 14.2
Рис. 14.2
Рис. 14.2
Полагая а/2 = sin (а/2), находим рт = а. Период нелинейных колебаний Т = 4К/шо зависит от значения полной энергии Е; К (а/2) — полный эллиптический интеграл.
На рис. 14.3 изображены графики функции р = ^(0? € “ шоС при начальных условиях, приведенных в таблице.
а
а
а °
К (ti/2)
2тг"1К(а/2)
0,6
0,63
36°
1,61
1,03
V2
тг/2
90°
1,85
1,18
2тг/3
120°
2,16
1,38
1,97
2,79
160°
3,15
2,01
Пусть а = 2. Тогда из (7) находим
11 + w . р
UJ^t = - In ¥ Sin — = tnedot
21 — w 2
Очевидно, что p -л тг при t оо.
Пусть а > 2. Производя в (7) подстановку w = (2/a)w \ находим
. Р2\
gm = sn ш0С _.
2\ 2 a J
Принцип Д’Аламбера-Лагранжа. Умножим каждое уравнение (14.13) на Jrа и просуммируем все уравнения. Согласно (14.10) члены, содержащие силы реакции, обратятся в нуль. Мы получим соотношение
У (mara-Fa)Jra = 0,(14.16)
которое необходимо дополнить системой (14.8):
У ^Jrfl = 0, a = l, ...Д.(14.17)
Уравнение (14.16) называют обгцим уравнением механики. Система (14.16), (14.17) является формулировкой принципа Д’Аламбера-Лагранжа для систем с голономными связями [65]. Если принять его в качестве основного принципа механики, то из (14.16), (14.17) получим уравнения движения (14.13). Действительно, вводя множители Лагранжа, образуем линейную комбинацию:
У (mara - Fa) 3ra - У Aa Л^ 5ra = о,
Далее, выбором к множителей Ха обратим в нуль коэффициенты при к зависимых виртуальных перемещениях. После этого шага сумма представляет собой линейную комбинацию независимых виртуальных перемещений. Коэффициенты при них должны быть равны нулю. В результате получим уравнение (14.13).
Неголономные связи. Эти связи ограничивают нс только положение частиц системы, но и скорости частиц. Уравнения неголономных связей имеют вид
г2, • • •, гдд i*i, г2, • • •, гдд ^) = 0, а =, к^ < ЗЖ (14.18)
В общем случае (14.18) невозможно привести к виду (14.1). Поэтому неголономные связи называют иногда неинтсгрируемыми. Ограничимся далее рассмотрением связей (14.18), линейных по скоростям.
Предположим, что система N частиц подчинена ki голономным связям (14.1) и ко неголономным связям, линейным по скоростям:
/а(гх, .. • , rN, <) = О, 0=1, ...,&х,(14.19)
^«ЗаДх, . . rN, t)ra +РДГ1, . . . , TN, t) = О, P = 1, ..., k2,
a(14.20)
причем к-i + к-2 < 3N. Определим виртуальные перемещения соотношениями
521™ = °’ 52 г» 5г«= °-а аа
Предположим, что связи являются идеальными. Тогда, используя метод множителей Лагранжа, получим уравнения
‘ТП-аТа = Fa + ^^у™™ + 52(14.21)
а=1 а
где а = 1, 2, ..., N. Дважды дифференцируя (14.19), (14.20) по времени, исключим вторые производные с помощью (14.21). В результате найдем систему уравнений относительно множителей Аа и рр. Подставляя Аа(гъ . . . , TN, fl, . . . , TN, t), Цд(гЪ . . . , TN, Г!,...,^,^) в (14.21), получим систему 3N уравнений относительно функций га, а = = 1, 2,..., N. Наиболее рациональный подход к исследованию этой системы состоит в замене декартовых координат независимыми координатами. В целом метод решения системы (14.19)- (14.21) оказывается весьма громоздким. По этой причине желательно с самого начала иметь уравнения, описывающие систему в терминах независимых координат. Впервые этот подход был предложен Жозефом Луи Лагранжем в 1788 г. в его выдающемся труде «Аналитическая механика».
Лекция 15. Уравнения Лагранжав независимых координатах
Обобщенные координаты. Рассмотрим систему N частиц, координаты которых удовлетворяют к уравнениям:
Д(гх, г2, ..., rN, 1) = 0, а = 1,(15.1)
В этом случае система обладает ЗУ — к степенями свободы. Введем s = = 3N — к новых независимых координат q^ (р = 1, 2, ..., s) соотношениями
ra = га{41, ■ ■ ■, 4s, Ц, а = 1, ...,N,(15.2)
согласованными с уравнениями связей (15.1); в результате подстановки (15.2) в (15.1) мы получим тождество. Поскольку некоторые из координат q^ могут быть безразмерными, независимые координаты называют обобщенными. Дифференцируя (15.2), найдем скорости частиц:
r!1 = —ql,+—. й = 1, ...,Х(15.3)
OQpOt
которые являются функциями обобщенных координат q^ и обобщенных скоростей ([р.
Уравнения Лагранжа второго рода. Введение обобщенных координат позволяет выразить виртуальные перемещения частиц Jra (а = = 1, ..., У) в терминах независимых виртуальных перемещений обобщенных координат:
Jra = -2^a.(15.4)
Подставляя (15.2), (15.4) в уравнение Д’Аламбера-Лагранжа (14.20), получим соотношение
дг dra \
; , тата -Fa -—oqa = 0.
а \/
Поскольку коэффициенты при независимых виртуальных перемещениях должны обратиться в нуль, то
У тага - V Fa = 0, a = 1, ..., s. (15.5) „ oqaoqa
Используя соотношения
Эта _ Эта d дга _ digdqa 8qa ’ dt 8qa 8qa ’
которые следуют из (15.3), преобразуем (15.5):
ЕЕтаГатаГа8га8га8qa8qaЛЛ • <ЕЛ _ • d 9га а dt \ Г° 8qa ) Га dt 8qaЛЛ • <ЕЛ _ • d 9га а dt \ Г° 8qa ) Га dt 8qa
Е
Е
таГа
таГа
8га
8га
8qa
8qa
ЛЛ • <ЕЛ _ • d 9га а dt \ Г° 8qa ) Га dt 8qa
ЛЛ • <ЕЛ _ • d 9га а dt \ Г° 8qa ) Га dt 8qa
дТ9qa‘дТ9qa‘(15.6)(15.6)
дТ
9qa‘
дТ
9qa‘
(15.6)
(15.6)
d /. Эга \ . Эга d ЭТdt \Г“ 8qa ) Га dqa _ dt 6qa
Здесь T(q, ср t) — кинетическая энергия системы:
T(q, = | У
Учитывая (15.3), находим, что кинетическая энергия является суммой трех однородных форм:
T\q, q, t) = ^ a,a0(q, t)qaq9 + ba(q, t)qa + cp, f),(15.7)
Е
Эга дгаЭга dra8ra 8ra
Предположим далее, что Fa представляет собой сумму потенциальных и непотенциальных сил:
Fa(rb ..., rNl t) = -Ц^ + Ga(rb ... ? rw, t).
Тогда величина. ^2 ^a(9ra/8qo?p называемая обобщенной силой, принимает вид а
ТЛ^ = ~^<^(15.8)
UCh, Qs, t) = n(ri(q, t), rN(q, t), t), Qa = 52 Ga ^-.
Введем функцию Лагранжа, (или лагранжиан) системы:
Uq.q.t)=T^q.t)™U^t).(15.9)
В результате подстановки (15.6), (15.8) в (15.5) получим уравнение Лагранжа. второго рода:
3+“ Ж == С -(15.10)
с1х(jQq/
Систему (15ЛО) обычно называют уравнениями Лагранжа.
Решение системы s дифференциальных уравнений второго порядка. (15ЛО) содержит 2s произвольных постоянных, которые зависят от начальных значений qa(0) = qao, qa(0) = qao. Задавая начальные условия ra(0) = ra0, ra(0) = Гао, получим из (15.2), (15.3) систему относительно величин qa0, qao-
Обобщенные импульс и энергия. Обобщенный импульс, соответствующий координате qa, равен
ЭЬ
Ра = ту™ •^Qa
Уравнения (15.10) являются, очевидно, законом изменения обобщенного импульса:
Ра = дh Qa-(15.1 1)
^Qa
Введем величину, аналогичную полной энергии системы. С этой целью образуем свертку (15.10) с qa:
. . 9L ..
PaQa — о Qa Т QaQa^^Qa
и преобразуем полученное соотношение:
d , . x .. dL dL dL.
^ \PaQa) PaQa — ^ r^ ^^ Qa + QaQa-
(15.12)(15.12)Следовательно, закон изменения динамической величины
(15.12)
(15.12)
нЦь q, t) =
^Qa
называемой обобщенной энергией, имеет вид
dH _ ^эь .dt dt +Qaqa-dH _ ^эь .dt dt +Qaqa-(15.13)(15.13)
dH _ ^эь .
dt dt +Qaqa-
dH _ ^эь .
dt dt +Qaqa-
(15.13)
(15.13)
Слагаемое QaQa представляет собой мощность, потребляемую системой в момент времени t в результате действия непотенциальных сил. Следуя определению Н, подставим в (15.12) L = Т — U и учтем, что аар = ора. Обобщенная энергия определяется выражением
H(q, q,Q = ^ (Lpq, t)qaqp - c(q, Ц + U(q, t\
Заметим, что H ^ T Л U.
Принцип Гамильтона (1834 г.). Предположим, что непотенциальные силы отсутствуют. Тогда, из (15.10) получим уравнения Лагранжа, в стандартной форме:
(15.14)(15.14)d ЭЬ 9Ldt dqa dqa
(15.14)
(15.14)
Решение этих уравнении определяет кривую qa = qa (ty соединяющую две точки Ра и Рь с координатами qa(ta) и qa(tb).
Согласно приведенному выше доказательству, система. (15.14) получена.
из уравнения Д’Аламбера-Лагранжа:
d ЭР ЭР \dt dqa 9qa )d ЭР ЭР \dt dqa 9qa )8q« = 0.8q« = 0.(15.15)(15.15)
d ЭР ЭР \dt dqa 9qa )
d ЭР ЭР \dt dqa 9qa )
8q« = 0.
8q« = 0.
(15.15)
(15.15)
Покажем, что уравнение (15 Л 4) следует также из принципа. Гамильтона: если функционал
I[g] = dt Р(ср ср t)I[g] = dt Р(ср ср t)(15Л6)(15Л6)
I[g] = dt Р(ср ср t)
I[g] = dt Р(ср ср t)
(15Л6)
(15Л6)
достигает экстремума, на. некоторой кривой, соединяющей точки Ра и Рь, то вдоль этой кривой выполняются уравнения Лагранжа. (15 Л 4).
Пусть ра = Ра(У) — любая гладкая функция, такая, что Ра^а) = 0, pa(tb) = 0. Рассмотрим семейство кривых q^ = qa^ + ^а(^), близких к кривой qa(t) при малых е и проходящих через точки Ра и Рь. Поскольку первая вариация функционала.
ЭРЭР
51 =51 =£Т]а + ет]( dqadqa
51 =
51 =
должна, обратиться в нуль, то после интегрирования по частям находим
п ? , г dL d dL]
0 = Е dt -— —- -11а.
OQcy dt C/Qq,
Отсюда, следует уравнение (15 Л 4).
Сделаем два. замечания.
Функция е ра (£) является изохронной вариацией qa (t): е ра ^ = = q'a^ — qa^ty Следовательно, виртуальные перемещения в уравнении (15Л5) имеют смысл изохронных вариаций: 5qa(t) = е T]a(ty
Принцип Гамильтона. 51 = 0 справедлив только для систем с голо- номными идеальными связями.
.5. Движение в неинерциальной системе отсчета. Введем систему К У движущуюся поступательно относительно инерциальной системы К со скоростью u(t) и вращающуюся с угловой скоростью O(t). Перейдем к обобщенным координатам и запишем кинетическую и потенциальную энергии системы частиц в терминах qa и qa. В соответствии с (8.2), (8.7)
лагранжиан системы имеет вид Lpy ср t) = T(q, су t) — U^typ q, t^ где
^Об(9, q, Ц = u(q, Ц + 52 maura(gi, ..., qs, t) -
- 52 ma[fira]ro - | 52 ma[^ra]2- (15.17)
Здесь векторы xapy t), rapb q, t) определяются формулами (15.2), (15.3).
Пример 15.1. Маятник с движущейся точкой подвеса. Тонкий стержень АВ движется в вертикальной плоскости вокруг оси, проходящей через точку Л. На другом конце стержня закреплена, частица. Ось перемещается в вертикальном направлении по закону s = s(t). Найдем лагранжиан и уравнение Лагранжа, маятника.
Поместим начало координат в точку А. Ось -у направим вверх по вертикали, а. ось х расположим в плоскости движения стержня. Пусть обобщенная координата, р — угол отклонения стержня от вертикали, I — длина, стержня. Тогда, х = I sin р, у = —I cos р, z = 0. Пренебрегая массой стержня, найдем кинетическую энергию частицы: Т = (1/2)тРр2. Обобщенная потенциальная энергия П(г) = —mgr + mwr, где w = (0, s, 0). Следовательно, U(p, t) = —m(g + s)l cos p. Лагранжиан системы
L^p^ p^ t) = '™ l2p2 + m(g + s)/ cos p.(1)
Уравнение Лагранжа:
К + s p + sin p = 0.(2)
Обобщенная энергия H = (m/2) l2p2 + U(p, t) не сохраняется, посколь- • d3 s
ку H = — ТП —р I cos р.
Пример 15.2. Найдем решение уравнений маятника. Фуко в окрестности положения равновесия.
Пусть I — длина, маятника. Расположим точку подвеса, на. расстоянии I от поверхности Земли. Ось z направим по вертикали вверх, а. ось х — по меридиану к полюсу. Уравнение связи имеет вид
/ = Л + у2 + Ц - У - /2 = 0,(7)
угловая скорость вращения Земли О = (О cos 0, 0, О sin 0), 0— широта, точки подвеса, 0 > 0. Выберем в качестве обобщенных координат декартовы координаты ж, у и разрешим (1) относительно ж, ограничиваясь учетом величин (ж/Z)2, (y/l)2: ж = (1/2/)(ж2 + у2). С той же точностью находим [Or]f = [гг]О сх О sin 0(ху ™ ух). Пренебрегая вкладом
центробежной энергии, из (15.17) получим
у) = "^ Г + у2) - тП sin (ХУ - уГ (Д
Лагранжиан маятника. L = (т/2)(ж2 + у2) — Уоб(ж, у\ Уравнения Лагранжа:
х — 20 sin 0 у + шрх = 0, у + 20 sin 0 х + Л^у = О,
где Wq = g/Z. Вводя комплексную переменную и = х + iy, получим уравнение и + 2Ш sin 0 й + со^и = 0, решение которого
и = их exp [—zAi^] + и^ ехр [—zA2t],
Ai — u)x. А2 = —w2, сщ,2 = [wq + О2 sin2 0]1/2 ± О sin 0 % ш0 ± О sin 0.
Пусть г(0) = (ж0, 0, 0), v(0) = 0. Тогда mi = м2 = ж0/2,
x(t) = хо cos (tO sin 0) cos ЛоЛ(3)
y(t) = —x0 sin (tO sin 0) cos (ш01).(4)
Пусть w0T = 2тш, где T = 2тг/0 = 24 ч, п — целое число. Вращение Земли можно рассматривать как результат циклического медленного изменения параметра, внешнего по отношению к маятнику. Сохраняет ли маятник «память» о вращении Земли? Полагая в (3), (4) t = Т, находим х(Т) = хо cos (2тг sin 0), у(Т) = —хо sin (2тг sin 0). Следовательно, через 24 ч маятник нс возвращается в исходное положение — плоскость качаний будет смещена, на. угол 2тг sin 0, называемый углом Ханнея [69].
Лекция 16. Движение частицы по поверхности
По существу, тема, этой лекции — введение в дифференциальную геометрию и тензорный анализ.
Координаты на поверхности. Пусть частица, подчиняется го- лономной связи F(x, у^ z) = 0, которая задаст уравнение поверхности. Введем в качестве обобщенных координат криволинейные координаты на. поверхности q\ q2 (гауссовы параметры) соотношениями ха = = xn^qx q2) (n = 1, 2, 3), обращающими уравнение связи в тождество Г(хп(р\ q2)) = 0. Очевидно, что
А = 1 2. дхп'
Пусть Р^ — однопараметрическое множество точек на. поверхности, принадлежащее кривой, задаваемой на. некоторой карте функциями qa = qa(t) а = 1, 2. Скорость частицы в евклидовом трехмерном пространстве
Эх
х=—9Л=еЛ9Л.(16.1)
dqA
Введем вектор п, перпендикулярный к поверхности:
П = 2= [eie2],(16.2)
g = [eie2]2 = е^ - (eie2)2 =
j Ох\ j ОХ \ ох ох \ох ох
\dqO ЛР )\1Лд^) =cetg’ ^v = "d^^-
Отметим, что е2 = gn, е^ = g22, eie2 = g12, n2 = 1. Из (16.1), (16.2) получаем nx = 0: касательные ко всем линиям, лежащим на. поверхности и проходящим через выбранную на. ней точку, находятся в одной плоскости. Эта. плоскость называется касательной плоскостью. Векторы, касающиеся поверхности в данной неособой точке, образуют двумерное пространство с локальным базисом еЛ (А = 1, 2). Координатами вектора, скорости гЛ в этом базисе служат величины q\ q2 : гм = (q\ q2).
На. другой карте с координатами q м та же кривая описывается функциями q^ = q^(tY Компоненты вектора, скорости г М = (д1, q2\ На. перекрытии двух карт связь между двумя множествами координат определяется функциями перехода.
qi1q2\(16.3)
или q м = q^qY При этом
dg^ _ dg^ d£dt 8qv dt ’
т.е. мы имеем формулу преобразования компонент вектора, при замене координат:
Эа
(16.4) 8qv'
Векторные и тензорные поля на многообразии. Напомним, что двумерное многообразие есть множество точек поверхности вместе с конечным или счетным множеством согласованных двумерных карт, покрывающих всю поверхность [8, 70, 71].
В криволинейных координатах необходимо различать два. вида, векторов: контравариантные и ковариантные.
Контравариантное векторное поле на. многообразии определяют как множество наборов двух функций А11^ (р = 1, 2), причем закон преобразования
ТГ = ^АЧд)(16-5)
выполняется для любых двух таких наборов на. перекрытии соответствующих карт.
В качестве примера, контравариантного векторного поля рассмотрим градиент скалярного поля. На. двух картах градиент состоит из частных производных функций /(g) и / (д), а именно
Если на. перекрытии двух карт взаимно однозначные отображения точек поверхности описываются функциями (16.3), то согласно правилам дифференцирования из (16.4) получим
УМ _ W dgv8q^ 8qv dq^ "
Таким образом, связь между наборами функций В^ (д) и В (д) на. перекрытии двух координатных карт выражается равенством
Bp) = —Bv(gY(16.6)
Ковариантным векторным полем на. многообразии называют набор функций ВДр\ которые при замене координат g g преобразуются по закону (16.6). Векторы этого типа, иногда, называют ковекторами. Рассмотренные два. вида, векторов называют тензорами первого ранга.
Приведем формулы преобразования тензоров второго ранга:
а.) контравариантный тензор
dq^ oqv
ковариантный тензор
9 Эда Эр
смешанный тензор
Алгебраические операции над тензорами — внешнее умножение и свертка.—определяются так же, как и в евклидовом пространстве (см. лекцию 1).
Сделаем два. замечания.
Координаты qa нс являются компонентами вектора, поскольку они не преобразуются по закону (16.5) (за. исключением случая линейных преобразований).
Символ Кронекера, является смешанным тензором, поскольку
_ 9qa 6qv _ 9qa dq^
Пример 16.1. Найдем закон преобразования вектора Са = Аа,э Вр:
с” -Т-в. ЖХХА-В. - в, - СВ р 8q^ 9qv Qq^ 7 dq^dq^
Метрика на поверхности. Пусть задана, кривая q^ = q^t) на. поверхности хп = x^q1 , q2). Поскольку поверхность лежит в трехмерном евклидовом пространстве, то квадрат элемента, длины ds кривой равен
ds2 = dxudxu = ^Д Д; dq^ dqv.
dq^ oqu
Это равенство записывается в виде
ds2 = ^(q^dq^ dqv ,(16.7)
(16.8)(16.8), . дхп дхп
(16.8)
(16.8)
где g^ = gVM,. Выражение (16.7) представляет собой квадратичную форму на. касательных векторах dq^1; се называют первой квадратичной формой поверхности [8]. Поскольку элемент длины нс должен зависеть от выбора, системы координат, то величины gMZ/ преобразуются при замене координат по тензорному закону. Этот тензор положительно определен teu^11^ > 0) для любого ненулевого вектора, о^. Набор функций gMZ/, обладающих перечисленными свойствами, называют метрическим тензором, а. квадратичную форму (16.7) —римановой метрикой. Метрика, задаст скалярное произведение двух векторов в одной точке:
ab = ^ЖК, а2 = ^ЖХ .
Угол 0 (0 < 0 < тг) между векторами ам и bv в точке с координатой q определяется соотношением
cos 6 =cos 6 =Va?V№Va?V№
cos 6 =
cos 6 =
Va?V№
Va?V№
Обозначим определитель матрицы ^v (q) через g (см. формулу (16.2)). Функция g(g) нс образует скалярного поля, поскольку се значение в данной точке многообразия зависит от системы координат. Обозначим dq^1 fdqa = К^; тогда.
= pppp^ = ^PvppPP
&N = (AT)^ ёЩ^ЛД,. Следовательно, g = (det A)2g,
(16-9)(16-9)g = (det A) 2g.
(16-9)
(16-9)
Объект, преобразующийся по закону (16.9), называется скалярной плотностью с весом —2.
Поднятие и опускание индексов. Если гм — любой вектор, то ковсктор va = ga^ г^ — внутреннее произведение ga^ и г^ — рассматривается как другое представление rM; говорят, что га получен из о^3 опусканием индекса. Для обращения этой операции — поднятия индекса — введем матрицу ga/3 = g™1^, обратную к ga/3:
(16.10)(16.10)ав „ да
(16.10)
(16.10)
g g^M ~ дм •
Из (16.10) находим элементы матрицы gp = g 1 Э§/Э§ар:
gn = ^<Д2 = g21 = _gl2 22 = gll
g ’g ’g
Набор функций gp (q) представляет собой контравариантный тензор второго ранга. Для доказательства этого утверждения запишем преобразование смешанного тензора:
-x = 8q^P^9(и)
v dqa Эр й К" 9q“ 6 8qS ^АЧ’'
Следовательно,
9qS g VQ) g Vq)
Используя тензор ga/3, можно получить вектор и^ = g^A их поднятием индекса, у гд. Точно так же можно поднять или опустить индекс любого тензора, например Cj3^ = g^^ Сат = gag С^.
Вектор а связан со своими контравариантными компонентами соотношением а = амед, где ед — базисные векторы. Произведение а^ = а2 определяет скалярную величину — квадрат длины вектора. [8].
Геодезические кривые. Вернемся к изучению движения частицы по поверхности. Предположим, что частица, находится в потенциальном поле П = П(ж, у, z). В точках поверхности потенциальная энергия 1Цр\ q2) = П(х = х((Д q2)). Квадрат скорости хпхп = ^^vq^qv. Следовательно, в обобщенных координатах лагранжиан
Цд, q^^vWV -u^qY
au_dqa "au_dqa "Уравнения Лагранжа, имеют вид
au_
dqa "
au_
dqa "
dt 2 №«vq +^aq )2 Qq« q q
Учитывая симметричность тензора. gMZ/, представим уравнение в виде
(16.11)(16.11)
(16.11)
(16.11)
(16.12)(16.12),= 1 / Э^ац Э^ду d^v \
(16.12)
(16.12)
a,llv 2 \ dqv dq*1 9q“ J
Величины Ta^v называют символами Кристоффеля. Образуем свертку (16.11) с gAa и, вводя символы Г^ = gAaTa5 получим окончательно уравнение движения:
+= 6-(16.13)
Здесь /А = gA“ /а — контравариантные составляющие ковектора /а = = -dU/dqa:
f1 = g-1(g22/i - gi-2hY f = g-1(-gi2/i + gub).
Если внешнее поле отсутствует (U = 0), то кривая, удовлетворяющая уравнению
qX + ryq^ qv = 0,(16.14)
называется геодезической.
Интересно проследить, как уравнение (16Л1) связано с уравнением Лагранжа, первого рода:
mr = -——h A0VF .
or
Подставляя г = д^ед, получим
т I q^e^ +q11 qu I =—+ A0VF. (16.15)
\oqv J от
Умножая (16.15) на еа и учитывая соотношения
апапэи8qa ’эи8qa ’eaVF = 0,eaVF = 0,
ап
ап
эи
8qa ’
эи
8qa ’
eaVF = 0,
eaVF = 0,
имеем уравнение
т бс^Ж +e«^Pqtlqv\oqvт бс^Ж +e«^Pqtlqv\oqvdU8qa 'dU8qa '
т бс^Ж +e«^Pqtlqv
\oqv
т бс^Ж +e«^Pqtlqv
\oqv
dU
8qa '
dU
8qa '
Сопоставляя с (16.11), заключаем, что Т^ ^ = ea(8e^/8qv). Поскольку
gAagAa/ др_ \ / def \ А = А = ( ЛГ\ д2хп \dxj\dxj’ ^6\Эхп ) dq^dq1-'
gAa
gAa
(16.16)
Пример 16.2. Найдем геодезические на поверхности с метрикой gn = 1, g22 = exp (З&д1), gi2 = 0, к — постоянная величина. Проще всего воспользоваться лагранжианом. Полагая q1 = и, q2 = г, имеем
L = у (гг + е2к Ру
Первые интегралы имеют вид
й2 + e2kut? = а2, е2ЫЛ = Ь,
— ти = тике tr ри- кое = с, dt
где а, Ь, с — константы. Если b = 0, то частное решение системы х = гд, и = по + ct. Исключая и, й, получим уравнение (с + kW)2 + be = а2, решение которого v(t) = (кЬ)™г\_™с + th (kat + а) ]. Далее находим и = = к™1 In [ |b/tt|ch (kat + а) ]. В новых координатах ж = к™1е™ки, у = г траекторией частицы является окружность
гАд2ж^™ дхп 8q^8qvгАд2ж^™ дхп 8q^8qvЛокально-геодезическая система координат. Найдем закон преобразования величин Txpv(q) при переходе в систему координат ср. Исходя из определения (16.16), имеем
гАд2ж^
™ дхп 8q^8qv
гАд2ж^
™ дхп 8q^8qv
8qx dq^ 8 к 8хп 8qd \dq^ 8xn dq^ \ 8qd 8qv )
8qx dq^ к 82xn 8qa 8qd 8xn 82qd \ dq^ 8xn \8qa8qd 8q^ 8qv + 8qd dq^dq1' ) *
Снова используя определение (16.16), найдем
(16.17)(16.17)рА ,-х = Эдх 8д“ Эд0Эдх Э^д”
(16.17)
(16.17)
^q) Эда Oq^ dgvЭд" Эд^еЛК ’
Таким образом, символы Кристоффеля не образуют тензора третьего ранга. Это обстоятельство дает возможность выбрать систему координат^, в которой все Г ^ обращаются в нуль в заданной точке дм = аЛ Такая система координат называется локально-геодезической. Более того, можно преобразовать q11 при помощи ортогональной матрицы так, чтобы метрический тензор в точке а11 был равен 5^. В этом случае новые координаты близки к евклидовым. Отклонение метрического тензора от 5^ в окрестности точки а11 отражает неевклидовый характер геометрии.
Пусть q^ = аЛ — произвольная точка, q11 — соответствующие геодезические координаты. Произведем вблизи этой точки преобразования
^=аЧГ-1Ц.Да)^ + ...,(16.18)
д' = д' - К + 1 Ц^а)^ - ард — a)k + ...(16.19)
Тогда
/Q2qa \/ ддХх
\ ЭдТ д^ддЛ аУдд" J а "
и согласно (16.17)все ГЛД Р (а) обращаются в нуль. В локально-геодезической системе координат решение уравнения (16.14) имеет вид q^ = тЛ1, где тЛ — постоянный вектор. Таким образом, системы геодезических координат в окрестности точки играют роль инерциальных систем.
Ковариантное дифференцирование. Если некоторое соотношение, содержащее тензорные величины, справедливо в какой-нибудь одной координатной карте, то оно справедливо во всех координатных картах. Рассмотрим производную векторного поля Т^ = dA11 /dqy. Поскольку Пд'(g) = (8q^/9qa)Aa(q), то
ЭА11 d^q^ 9q^dq^ ЭАа dq13
"др - ЭдаЭд9 "dp'q’ + Эр Эд9 "др"
Таким образом, объекты Т^ = (QA^/dq17) и Т^ = фАа jQq^ не являются тензорами. Для того чтобы правильно определить операцию ковариантного дифференцирования, воспользуемся принципом эквивалентности: тензор, определенный в геодезических координатах, является тензором в любых других координатах. Обозначим ковариантную
производную символом ^уА11. В геодезических координатах (Уд А а)а = = фА /dq^)a. Преобразуем этот тензор в исходную систему координат:
fv8 У 8 ) = [ Л! 8 ( Д А " =
v а у dqa dqv Qq^ j dqa dqv \ Qq^ ) a
_ 8 A118q^ 82qa д
_ 8qv + 8qa 8qv8q^ '
Учитывая формулы преобразования (16.18), (16.19), находим значение ковариантной производной в точке аГ системы координат q11:
Ч А Рзж =+ гул*3.
8qv 1
Поскольку аГ — произвольная точка, то это равенство справедливо в любой точке системы координат q11. Аналогичным путем найдем ковариантную производную ковектора:
V Д =рД д
Операцию ковариантного дифференцирования часто обозначают точкой с запятой: V^A^ = А%. Обычную частную производную обозначают символом 8yA^=8A^/8qv или A%=8A^/8qv. Если tiT^q)—векторное поле, то свертку ковариантной производной тензора Т°А-" и вектора и11 называют производной тензора по направлению u : ^иТ°А = и^Т^А'". Полагая и равным одному из базисных векторов, имеем ^е^Т°А‘" = _ Xvrpa3--- — тар...
Пусть H^q) — вектор, касательный к некоторой кривой q11 = q^tY Говорят, что тензор Т°А" параллельно переносится вдоль этой кривой, если= 0.
В том случае, когда переносится сам касательный вектор и, т. е. VuiC = 0, кривая является геодезической. Полагая в уравнении
—— и + Г^,при = 0
вектор uM(q(i)) = q^, получим уравнение (16.14).
Нетрудно показать, что метрический тензор ведет себя по отношению к ковариантному дифференцированию как константа:
^^v = 9a^)p,v ™ Г^а, g^p ™Г^а^д,д = 8a^)p,v ™ ^v,p,a ™ ^p,,va = 0.
Следовательно, УдЕ^ = V^g^^VY = gMa ^з¥а.
Тензор кривизны. Операции ковариантного дифференцирования неперестановочны. Для векторного поля А11 ^ имеем
7^аЛ" = Х^Ж + РЦРП = Э9^ЭаА^ + Г^Л") +
+ рцэж + г^) - гу + гул^).
Найдем коммутатор операторов (Уд Va — ^о^з^АД После сокращений получим
(Уд Va - ^^ =,
- Э9Т^а + Г^ГД - ЦД^. (16.20)
Тензор четвертого ранга Я^а//3 называется тензором кривизны или тензором Римана [70, 71]. В случае плоской поверхности метрический тензор ^р не зависит от координат. Следовательно, все Г^ = 0, а потому и R^ap = 0. В общей теории относительности отличие тензора Римана от нуля указывает на искривление пространства-времени.
Из (16.20) следуют свойства симметрии тензора Р^иаЗ = ^^^^«3*
Rpva3 — Rvpa3 — Rpv3a 7 Rpva3 — Ra3py
Свернем тензор R^va3 по двум индексам. Очевидно, R^^3 =0, R^vaa = = 0. Произведя свертку по первому и третьему индексам, получим RV3 = = Р^з. Этот тензор называется тензором Риччи. Двойная свертка тензора Римана Р = ДАр^з = Р^ называется скалярной кривизной [8, 12].
В случае пространства двух измерений, т.е. для поверхности, тензор Римана имеет лишь одну независимую компоненту [8]. Учитывая соотношения симметрии, представим тензор Римана в виде
Rpva3 — ^pa^v3 ^pP^va^R •
Вычисляя скалярную кривизну:
R = R«p = (g «4 - g“X)^ = (4 - ж = 2^
находим К = R/2. Поэтому в любой системе координат
Рриоф = (^ра^ДЗ ™^hP^v<a^p^*(16.21)
Очевидно, Я1212 = (R/2) detg.
Пример 16.3. Найдем скалярную кривизну поверхности с метрикой glx = 1, g22 = ехр^&д1), gi2 = g2i = 0. Отличны от нуля два коэффициента: Гх22 = — к”1 ехр^&д1) и Г221 = к™1. Следовательно, Я1212 = ™к™2 ехр(2/^д1), Я = ™2к™2. Мы имеем поверхность постоянной отрицательной кривизны. Величину К — RJ2 называют гауссовой кривизной.
Тензор внешней кривизны. Векторы еь е2 и и образуют ортогональный базис в R3. Представим тензор Римана в терминах тензора внешней кривизны:
G оф —G оф —8еа dq13 '8еа dq13 '(16.22)(16.22)
G оф —
G оф —
8еа dq13 '
8еа dq13 '
(16.22)
(16.22)
Поскольку п2 = 1, neQ = 0, то
дп _пП eV ° ’дп _пП eV ° ’Эи деаЭд^ П Эд^Эи деаЭд^ П Эд^
дп _п
П eV ° ’
дп _п
П eV ° ’
Эи деа
Эд^ П Эд^
Эи деа
Эд^ П Эд^
Учитывая эти соотношения и определения е^ 8eMJ8g^ = g^^F^, е^е^ = = gp, представим производные базисных векторов в виде разложения по базису
Qq3 +Qqaaev-
Из условий совместности 9a9yeu, = 9y9aeu, получим
В^З = g^g^ - G^Gva,(16.23)
daGgv - dgGav = TxavGx3 ~ OpXa.(16.24)
Соотношение (16.23) называется уравнением Гаусса, а (16.24) — соотношением Петерсона-Кадацци. Из (16.23) находим Я1212 = det G. Следовательно, R = 2 det G/ det g.
Пример 16.4. Найдем гауссову кривизну поверхности ж = /(ж, у).
Введем гауссовы координаты ж = д\ у = д2. Ортогональный базис
ei =ei =П =П =
ei =
ei =
П =
П =
31 _3L Г к-1/2 dq1 ’ dq2’ Р
Метрический тензор и определитель
df df _.8fdf
одг одкодг одг
В соответствии с определением (16.22) тензор внешней кривизны Gp = = (d2 f /Эдг Эдп) g™1/2. Гауссова кривизна К = det ^Э‘2 f /Эдг Эдп) g™2. Этот результат мы используем в лекции 25 для анализа устойчивости двумерного движения частицы.
Расхождение геодезических. Рассмотрим семейство геодезических дИ = дд,(С s), где параметр s нумерует отдельные кривые. Введем вектор
Эд11
5^ =^ds, 'if =
'08 '
соединяющий на бесконечно близких геодезических две точки с одинаковыми значениями момента времени t. Найдем относительное ускорение двух частиц, движущихся по близким геодезическим: q^ = q^t), 9^2) = ^ + Л115s. Производная вектора Sq^ в точках кривой q^t) по направлению вектора скорости гЛ
Относительное ускорение
Г)2 ЛгЛ
-^ = v^0^a1f)3S.
Учитывая соотношения
«“хж = т,ахж, (Х0Ха - ХсХзХ =
имеем
у0ХэЦаХ„1Л = ^Хр^ХЖ) = уРХр^ХЖ ^^ч“ХрХЖ =
= рХр»аХЖ + «Р^ХаХрС1 - vPrfVR^.
Производя в первом слагаемом замену индексов а ^ Д найдем сумму первых двух слагаемых тДХ/ аД^ХДтЛ^ которая в силу уравнения геодезической гЛХДгЛ = 0 равна нулю. Следовательно,
В2тДDt2В2тДDt2
В2тД
Dt2
В2тД
Dt2
Мы видим, что две частицы, движущиеся по близким геодезическим, будут смещаться относительно друг друга.
ГЛАВА 4
ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Лекция 17. Свободные колебания
По существу, все механические системы описываются нелинейными уравнениями. Для исследования поведения систем в окрестности положения равновесия применяют метод линеаризации уравнений движения: поведение системы приближенно описывается линейными уравнениями. Если положение равновесия устойчиво, то движение системы называют линейными колебаниями. Этот вид движения широко распространен в природе и технике.
Одномерные колебания. Рассмотрим систему с одной степенью свободы. Лагранжиан системы
q) = |.(17.1)
Уравнение движения
8U fq2\dG
tg№ = -t + E" т(17-2>
atoq \ 2 J aq
интегрируется в квадратурах.
Произведем линеаризацию этого уравнения. Найдем вначале возможные положения равновесия gieq, g2eq? • • • из условия равенства нулю обобщенной силы: —ЭИ /8q = 0.
Точки, в которых (82U/82q)eq > 0, называются положениями устойчивого равновесия. Рассмотрим движение системы в окрестности положения устойчивого равновесия q = с. Полагая q = с + ж, разложим (17.1) в ряд Тейлора. Тогда получим новый лагранжиан
/(ж, х) = |/(ж, х) = |G^ + хG^ + х17(c) + х17(c) + хdG' dq , ' эи к 9qdG' dq , ' эи к 9q,2,22!2!•2•2э2и dq2э2и dq2ж3 7 d3UзГ V 5^"ж3 7 d3UзГ V 5^"
/(ж, х) = |
/(ж, х) = |
G^ + х
G^ + х
17(c) + х
17(c) + х
dG' dq , ' эи к 9q
dG' dq , ' эи к 9q
,2
,2
2!
2!
•2
•2
э2и dq2
э2и dq2
ж3 7 d3U
зГ V 5^"
ж3 7 d3U
зГ V 5^"
Введем обозначения т = G(c), к = Л2и/Эд2)с > 0 и ограничимся членами, квадратичными по скоростям и координатам:
/(ж, ж) = ™ ж2 - ™ ж2.(17.3)
Уравнения Лагранжа имеют вид
£ !Ldt Эх£ !Ldt Эх—> тих = —кх.Эх—> тих = —кх.Эх
£ !Ldt Эх
£ !Ldt Эх
—> тих = —кх.
Эх
—> тих = —кх.
Эх
Полагая Wq = k/m, получим уравнение гармонического осциллятора:
(17.4)(17.4)х + w^x = 0.
(17.4)
(17.4)
Общее решение уравнения (17.4) представляет собой суперпозицию двух линейно независимых решений cos wot и sin wot:
х = Ci cos wot + C^ sin wot.
Вместо постоянных Ci и C^ часто вводят амплитуду а и фазу а соотношениями
Ci = a cos а, С^ = —a sin а.
Решение приобретает вид х = a cos (wot + а).
Периодическая функция /(£) с периодом Г = 2tt/wo должна удовлетворять тождеству f(t) = f(t + Т) в интервале — ос < ^ < ос. Очевидно, последнее условие является очень сильным, поскольку для реальных систем оно никогда не выполняется. Поэтому колебаниями называют движения системы, удовлетворяющие условию хД = x(t + Т) для всех t в интервале Д, ^-ИДС^Т, где to — момент времени, в который заданы начальные координата хД) = жд и скорость системы т(0) = г?о-
Замечание. Термин «малые колебания» некорректно отражает эволюцию системы, которая описывается функцией хД. Значения координаты и скорости в окрестности устойчивого положения равновесия будут «малыми», если достаточно малы их начальные значения. Более точно, если полная энергия Е меньше значения потенциальной энергии в ближайшем к координате q = с локальном максимуме функции U(q) при q = qm. Однако, оставаясь «малой» в области Kq = \qm — с|, координата х удовлетворяет нелинейному уравнению, описывающему нелинейные колебания. Поэтому термин «линейные колебания» наиболее точно соответствует движению системы у дна потенциальной ямы, где функция хД удовлетворяет линейному уравнению (17.4). Важно отметить, что эволюция исходной системы описывается нелинейными уравнениями.
Для геометрической интерпретации используют понятие фазовой плоскости (фазового пространства) х, х, точки которой условно изображают состояние системы. Кривую в фазовом пространстве, изображающую, как изменяется со временем t состояние системы, называют фазовой траекторией. Множество фазовых траекторий называют фазовым портретом системы. Исключая из соотношений
х = a cos (шо^ + Д , х = —аа?о sin (wot + Д
переменную t, получим уравнения фазовых траектории в виде семейства эллипсов
(17-5)(17-5)
(17-5)
(17-5)
с центром в точке (0, 0). Очевидно, (17.5) — следствие закона сохранения полной энергии:
£ = ^2 + |ж2. (1?6)
Отметим, что решение этой задачи в рамках квантовой механики приводит к дискретным значениям полной энергии Еп = Д(п + 1/2) (п = = 0, 1, 2, ...).
Пример17.1. В реальной ситуации потенциальная энергия зависит от параметров, входящих в уравнения связей. Рассмотрим движение частицы, которая может перемещаться по гладкой горизонтальной прямой. Частица прикреплена к одному концу пружины, другой конец пружины закреплен на
Рис. 17.1Рис. 17.1
Рис. 17.1
Рис. 17.1
расстоянии К от прямой (рис. 17.1 а). Найдем частоту линейных колебаний в окрестности положений устойчивого равновесия.
Выберем начало координат оси q в точке пересечения прямой и перпендикуляра, проведенного через точку закрепления пружины. Потенциальная энергия частицы
Ь г,1 2
= 2 [ + "*"+1/2 — ^° ] ,
— = 0, kq\l - l0(h'2 + q2)= 0.— = 0, kq\l - l0(h'2 + q2)= 0.где к — жесткость пружины, /о — длина пружины в ненапряженном состоянии. Положения равновесия qeq определяются корнями уравнения
— = 0, kq\l - l0(h'2 + q2)= 0.
— = 0, kq\l - l0(h'2 + q2)= 0.
(7)
Если К > /0? то единственны! корень q = 0 соответствует устойчивому положению равновесия [d2U /dq2)^ = ^(1 — Zo/^)- В случае h < 10 имеем три решения:
\ аЧ J 1,3\ Ш /
Теперь возможны два симметричных положения равновесия (рис. XIА б). Когда мы изменяем параметр К, то при переходе от значений h > Zq к значениям h < Zo положение равновесия qeq = 0 становится неустойчивым. Возникающую неустойчивость можно назвать неустойчивостью, нарушающей симметрию: частица может оказаться в левой или правой локальной потенциальной яме. При движении в окрестности точки qeq = qi дна ямы с полной энергией Е < (k/2)(h — Z0)2
, 1 — И2
q(t) = qi Л a cos (Wit Л aV w‘i = к 0 . (2)
Отметим, что потенциальная энергия взаимодействия U^q) — симметричная функция: U (q) = U (—q). Однако решение этого уравнения не обладает симметрией взаимодействия.
Диаграмма положений равновесия qeq(hf изображенная на рис. 17.1 в, имеет форму вилки. Поэтому явление потери устойчивости в точке q = О и возникновение двух устойчивых положений равновесия при переходе параметра К через критическое значение h = Iq называют бифуркацией (от англ, bifurcation — раздвоение). Обычно термин бифуркация употребляется в широком смысле для обозначения качественных перестроек системы при изменении управляющих параметров.
Осциллятор в среде с линейным трением. При движении тела в среде возрастает кинетическая энергия среды, возникают акустические волны, происходит изменение термодинамического состояния как среды, так и тела. Таким образом, задача о движении тела в среде лежит вне рамок механики [28, 73]. Однако при малой скорости тела достаточно ограничиться феноменологическим подходом, добавляя в правую часть (17.2) диссипативную функцию F(q, q) = ™b(q)q. В приближении линейных колебаний b(q)q ~ b(c)х. Следовательно, вместо (17.4) имеем уравнение
х + дТ + ШдЖ = 0, (17.7)
где 7 = b(c)/m. Решение уравнения (17.7) определяется корнями характеристического уравнения Л2+7Л + Шд = 0. Если Wq > (7/2)2, то имеем два комплексных корня: Ai,2 = ™(т/2) T'Z^, ^ = V^o ™ (т/^)2- В этом
случае решение (17.7)
(17.8)(17.8)х = ае 11 ^ cos (fit + а)
(17.8)
(17.8)
описывает затухающие колебания. Очевидно, функция ж^ — непероди- ческая. Из (17.7) следует закон изменения полной энергии:
(17.9)(17.9)Ё = —ту ж2.
(17.9)
(17.9)
Правая часть (17.9) представляет собой мощность силы трения F= —туж2.
В наиболее важном случае 2шо > у имеем fi ~ шо,
х = ае™1"^2 cos (wot + а), х = — auc^e-^2 sin (wot + а),
Среднее за. «период» То = 2тг/шо значение мощности силы трения
Важнейшая характеристика, затухающего осциллятора.—добротность Q — определяется соотношением [74]
_ (F)w0 _ wo
1Ю1 " 7'
Величину т = 1 /у, равную интервалу времени, за. которое энергия уменьшается в е раз, называют временем жизни осциллятора.
Фазовый портрет линейного осциллятора. Представим уравнение (17.7) в виде системы первого порядка, относительно фазовых переменных ж, р = х:
х = р, р——рр — ш^х.(17.10)
Исключая переменную t, получим уравнение фазовой траектории:
9 х9 х(17.10а)(17.10а)dpdx
9 х
9 х
(17.10а)
(17.10а)
Положение равновесия (ж = 0, р = 0) называют неподвижной или особой точкой уравнений (17.10).
Проведем элементарное исследование траекторий р = р(х) и определим характер особой точки (0,0) в соответствии с терминологией, предложенной одним из гигантов математической мысли — Анри Пуанкаре (1854-1912 гг.).
Положим р = zx, где z^ — новая неизвестная функция. Тогда.
dpdzdz(Wn\ 1
= "г™ X + Z —>■ ”7” = -7 Hh Z ] —
dxdxdx\ z) x
Мы получим уравнение с разделяющимися переменными:
z dz(2'+ 7/2)2™ Аz dz(2'+ 7/2)2™ Аdx х ’dx х ’(17.11)(17.11)
z dz
(2'+ 7/2)2™ А
z dz
(2'+ 7/2)2™ А
dx х ’
dx х ’
(17.11)
(17.11)
Пусть А = — И2 < 0. Вычисляя интеграл, находим
2р + 7жОх2р + 7жОх+ ln С‘\+ ln С‘\1 ОО О \2 7
2р + 7жОх
2р + 7жОх
+ ln С‘\
+ ln С‘\
ш (р + 7рж += — arctg
где С — постоянная.
Если 7 ^ 0, то фазовые кривые будут приближаться к особой точке, которую называют устойчивым узлом [75-78]. На. рис. 17.2 а стрелка, показывает эволюцию состояния осциллятора. Когда, dp/dx > 0, изображающая
Рис. 17.2Рис. 17.2
Рис. 17.2
Рис. 17.2
точка, движется по фазовой траектории слева, направо, при dp/dx < 0 — в обратном направлении.
Если 7 = 0, то р2 + ШдЖ2 = С2. Фазовые траектории — семейство концентрических эллипсов (рис. 17.2 б). Особую точку называют центром.
Пусть А = 0: шо = 7/2. Интегрируя (17.11), находим
V А 22 /V А 22 /^Х^р + ух^Х^р + ух+ 1п С2.+ 1п С2.
V А 2
2 /
V А 2
2 /
^Х
^р + ух
^Х
^р + ух
+ 1п С2.
+ 1п С2.
Фазовые траектории изображены на. рис. 17.2 в. Одна, из них — прямая линия р = — (7/2) ж. Движение приобретает апериодический характер. Колебания прекращаются; возможно движение, допускающее не более одного перехода, через положение равновесия. При расчете подвески автомобиля выбирают именно этот вариант [78]. Такую систему называют критически демпфированной, а. особую точку — вырожденным узлом.
dzdx^р — Xixp1> - Ах(р - А2ж)А2 °’dzdx^р — Xixp1> - Ах(р - А2ж)А2 °’Пусть А > 0. Преобразуя (17.11), получим
dzdx^р — Xixp1
> - Ах(р - А2ж)А2 °’
dzdx^р — Xixp1
> - Ах(р - А2ж)А2 °’
z — Ai z — А2
где Ai;2 = (™(1/2) =F VA) < 0. Фазовые траектории изображены на. рис. 17.2 г. Две из них — прямые линиии: р = А1Ж, р = А2Ж. Траектории становятся все более крутыми, величина, скорости очень быстро убывает. Такая система, называется сильно демпфированной. Особую точку называют устойчивым узлом.
Положим теперь в (17.10а.) ш^ = 0. Ось х состоит из особых точек. Фазовые кривые р = —ух + С изображены на. рис. 17.2 д. Полагая 7 = 0, шо = 0, имеем р = С (рис. 17.2 г).
Система с 8 степенями свободы. Рассмотрим систему с лагранжианом общего вида:
L(q, q) = I Gin^Mn - U^ - ¥^ф, г = 1, - - -, s.
Положения равновесия определяются из системы уравнений: ЭП/dqk = 0, к = 1, 2, s.
Рассмотрим одно из возможных положений равновесия qm = ст. Перейдем к новым переменным qm -л хт, полагая qm = ст + хт, и разложим функцию L^q, q) в ряд Тейлора, в окрестности qm = ст, qm = 0. В новых переменных лагранжиан
U (с) + хпU (с) + хп119П\9qn ) с9П\9qn ) с+ З^гХ+ З^гХ92U А9qt9qu ) с92U А9qt9qu ) сТг (с) + ХпТг (с) + Хп
U (с) + хп
U (с) + хп
1
1
9П\
9qn ) с
9П\
9qn ) с
+ З^гХ
+ З^гХ
92U А
9qt9qu ) с
92U А
9qt9qu ) с
Тг (с) + Хп
Тг (с) + Хп
Оставляя в /(ж, ж) квадратичные формы координат и скоростей, получим
(17.12)(17.12)1 . .1
(17.12)
(17.12)
2 §тжгжп — ^
&гп — G^^C^&гп — G^^C^kinkinэ2 и л руд) c\dQn /э2 и л руд) c\dQn /
&гп — G^^C^
&гп — G^^C^
kin
kin
э2 и л руд
) c\dQn /
э2 и л руд
) c\dQn /
Учитывая соотношения dxi/dxm = 5im, dxi/dxm = 5im и симметрич
ность матриц gin = gm, ktn = knu запишем уравнения Лагранжа:
£ dldt dxm£ dldt dxmdldxTldldxTl
£ dl
dt dxm
£ dl
dt dxm
dl
dxTl
dl
dxTl
Здесь Fmn = Amn — Anm — антисимметричная матрица. Величину fn = = Fmnxn называют гироскопической силой. Очевидно, мощность, развиваемая гироскопической СИЛОЙ, Р = fnAn = FnmXmXn = 0 .
Замечание. Лагранжиан (17.12) можно преобразовать к симметричной форме, добавляя полную производную:
1 dAinXiXn 1
2 dt2
Линейные колебания консервативной системы. Рассмотрим консервативную систему, которая в окрестности положения равновесия описывается лагранжианом
/(ж, ж) — 2 ^гп^г^п ^kinXiXn-(17.13)
Уравнения Лагранжа, имеют вид
§тпУ 4- kmnx — 0.§тпУ 4- kmnx — 0.(17Л4)(17Л4)
§тпУ 4- kmnx — 0.
§тпУ 4- kmnx — 0.
(17Л4)
(17Л4)
Будем искать решение системы линейных уравнений (17 Л 4) в виде
(17.15)
где ин — постоянные величины. Подставляя хп в (17Л4), получим систему алгебраических уравнений:
(А‘ gmn 4- kmn) ^п = 0, тп = 1, ..., в.(17.16)
Для того, чтобы система, имела, нетривиальное решение, се определитель должен обращаться в нуль: det | A2gmn + kmn\ = 0. Это уравнение можно упростить, введя матрицу gm=gy, обратную матрице gmi: gmigm =
ётп “Ь ^тп — ^‘ ^mi^in “Ь ётгё Uj
Поскольку det gmi ^ 0, то
det |д4„ +е„| = 0,(17.17)
где кгп = gv^n. Отсюда, находим s вещественных корней У и 2s значений Хц.
В линейной алгебре система. (17.16) связана, с задачей на. собственные значения. Корни А2^ называют собственными значениями матрицы к; набор чисел г/цу, удовлетворяющий уравнению
(A^g^n + ^шп) ип^ = 0,(17.18)
называют собственным вектором матрицы к, принадлежащим собственному значению А2. В случае невырожденных матриц g и к возможны значения А2 = ^2 > О и А2 = —ш2 < 0. Следовательно, частные решения (17.15) имеют вид
^"т(Г ^^И^)^ ^т(Г (^А1 ^0$ ^4 4" В ц sin bJ^t).
Общее решение уравнений (17.14) является линейной суперпозицией частных решений:
xm(t) =h um^Ci ch(^t + уД 4h um^aj cos (ujjt + ay) + ...
(17.19)
Очевидно, при kit >> 1 решения экспоненциально растут. Мы приходим к выводу, что линейные уравнения (17.14) непригодны для описания движения в интервале t к^1.
Условия существования ограниченных решений. Напомним определение положительно определенной функции. Пусть функция ¥ = = V(z), % = (21, ..., zn) непрерывна, вместе со своими частными производными первого порядка, в окрестности D точки z = с. Функцию V^ назовем положительно определенной в области D, если [67]
а) УМ>0, z^c, б) V(c) = B (17.20)
Поскольку кинетическая энергия системы положительна, то функция Т(х) = (l/2)gmn^m^n положительно определена. В общем случае критерий существования положительно определенной квадратичной формы V^ = Vmnzmzn установлен в 1852 г. Дж. Сильвестром [79,80]. Необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты ¥&& (к = 1, 2, ...) и главные миноры матрицы Vmm были положительными:
Си ¥12¥21 14 2Си ¥12¥21 14 2> о,> о,¥ц ¥12 С.3 ¥21 14 2 ¥23 ¥31 14 2 ¥з 3¥ц ¥12 С.3 ¥21 14 2 ¥23 ¥31 14 2 ¥з 3> о, ...> о, ...(17.21)(17.21)
Си ¥12
¥21 14 2
Си ¥12
¥21 14 2
> о,
> о,
¥ц ¥12 С.3 ¥21 14 2 ¥23 ¥31 14 2 ¥з 3
¥ц ¥12 С.3 ¥21 14 2 ¥23 ¥31 14 2 ¥з 3
> о, ...
> о, ...
(17.21)
(17.21)
Тогда. Sp¥ > 0. Если потенциальная энергия в (17.13) представляет собой положительно определенную форму, то 2 s корней уравнения (17.16) будут чисто мнимыми и попарно сопряженными, а. решение системы (17.14) ограничено.
Обратимся теперь к уравнениям (17.17), (17.18). Пусть все корни уравнения (17.17) различны. Умножим (17.18) на. ит^ и образуем свертку по индексу ш:
(A^g^ + Ьтп) итуь^ин^ = 0.(17.22)
Производя замену индексов р ^э и и учитывая симметричность матриц g и к, найдем
(A^gmn + ктп)= 0.(17.23)
Вычитая (17.22) из (17.23), имеем
(А^ — ^L) ^тп^т^^п^ — ^’
Следовательно, Wm^n^ = 0 придых/и ^т^ит^ип^ ^0 при р = и. Поскольку gmn — положительно определенная матрица, то можно ввести нормировку собственных векторов соотношением
^тп ^тдС^ЛЛ ™ ^uv(17.24)
Тогда, из (17.23) следует, что
^тп^т^^ЛЛ — ^Uv*(17.25)
Таким образом, если потенциальная энергия представляет собой положительно определенную функцию, то все собственные значения имеют вид А2М = —сэ2^ < 0; шм(д = 1, ..., s) называют собственными частотами. В этом случае решение уравнений (17.14) приобретает вид
жт = У иго(м)аА1 cos СМ + аД(17.26)
где 2s постоянных а^ и а^ определяются из начальных условий.
Движение системы является суперпозицией независимых гармонических движений, происходящих одновременно. Эти гармонические движения называются нормальными колебаниями или нормальными модами (либо просто модами). Определенная мода, характеризуется собственной частотой шИ и пространственной конфигурацией системы, задаваемой вектором ит^у Для возбуждения фиксированной моды необходимо выбрать специальные начальные условия.
Пример 17.2. Найдем решения системы с лагранжианом
Е(ж, ж) = — жп — — 7?ШПЖШЖП, Ш, 72- = 1, 2,
Rmn = Rnm- Ищем решения уравнений Лагранжа.
+ Rmn^n — О+ Rmn^n — О(П(П
+ Rmn^n — О
+ Rmn^n — О
(П
(П
в виде хп = ипем. Вектор ип удовлетворяет системе алгебраических уравнений:
(А2 + Rn) Ui + R12I-I2 — 0, 1^21^1 + (А" + R22) ^2 — 0.(2)
Условие det |А27 + Я| = 0 приводит к уравнению А4 + А2 SpS + det R = = 0. Следовательно,
О)О)A^i = 1 [-Sp R Т У (Sp RY - 4 det д] .
О)
О)
Если det R < 0, то А2 > 0, А2 < 0. Решение уравнений (У) имеет вид (17.19).
Если матрица. R положительно определена., то согласно (17.21) det R > 0. Следовательно, А2 х = -Шд,
^2,1 = 1 [Sp R ± У(8рД)2 -4 det д] .
1^2,1-21^2,1-2Извлекая корень, получим
1
^2,1-2
1
^2,1-2
^/sp Я + 2 Vdet Й ± y^Sp ТУ — 2 Vdet Й
Если R22 > Rn > 0, то при R12 = 0 осцилляторы независимы и
колеблются с частотами Qi = VR11 < П2 = V^22- Интересно отмс
тить, что связь осцилляторов приводит к увеличению расстояния между собственными частотами сщ, щу сщ < Hi < О2 < ^2-
Найдем теперь решения уравнения (2). Полагая А2 = ^w2, Hi = а, получим U2 = аЯ12(сс12 — R22 )-1- Полагая А2 = ^w22, U2 = Ь, найдем щ = bRi2(w2 ™ Rn)™1. Имеем два. собственных вектора:
(4)(4)
(4)
(4)
Параметризуем решения (4), вводя угол 7 соотношением tg 7 = 2Я12 х х (R22 ™ Rn'T1. Тогда.
ш2 - R22” ^227
Фиксируя нормировку соотношением (17.24): tim(^tim(v) = 6pv, получим а = cos (7/2), b = cos (7/2). Собственные векторы приобретают вид
cos (1/2) \/sin (7/2)
— sin (7/2)/' \cos (7/2)
Общее решение (7):
хх = ах cos (7/2) cos (шЦ + од) + a^ sin (7/2) cos ^w^t + 07),
ж2 = —ax sin (7/2) cos (шЦ + ад) + a2 cos (7/2) cos (w2t + a2).
Замечание. В общем случае уравнения, описывающие поведение неконсервативной системы с двумя степенями свободы в отсутствие сил трения, имеют форму (7). Однако теперь Д12 ^ Я21- Из (3) следует, что условие 4 det R > (Sp 77)2 приводит к комплексным значениям А2д. Возникают колебания с возрастающими амплитудами, называемые флаттером. Для того, чтобы система, оставалась в окрестности положения равновесия, матрица. R должна, удовлетворять неравенствам
8рЯ>0, 0 < 4 det Я < (8рЯ)2.
Биения. Если собственные частоты системы принадлежат к относительно узкому интервалу частот, то суперпозицию колебаний (17.26) можно представить как квазигармоническое колебание с медленно изменяющимися амплитудой и фазой, называемое биением [81].
Рассмотрим биения в системе, которая состоит из двух нейтральных атомов, обладающих дипольными моментами. В качестве модели атома, выберем осциллятор, образованный неподвижным «центром» положительного заряда. е и «центром» отрицательного заряда. —е . Частота, колебаний изоли
рованного диполя равна, wq. Центры положительных зарядов расположены на. расстоянии R, радиусы-векторы «центров» отрицательных зарядов равны соответственно щ и Ж + г2 (рис. 17.3). Энергия взаимодействия атомов
.. е2 е2е2е2
С-вз(г1, Г2) = — - |R_ri| - |R + r2| + |R + r2 -Г1| ■
Пусть R > гх, г2 . Тогда, в первом приближении следует учесть диполь- дипольное взаимодействие. Разлагая /^(ri, г2) в ряд Тейлора, имеем
^вз(Г1, Г2) = ^ [Г1Г2 - 3(гщ)(г2п)] + . . . , п = Ж/R. Лагранжиан системы
L=^^1+^-^ ^ + г2) - mfi2 [Г1Г2 - 3(г1п)(г2п)], где Q2 ^е^тВА Уравнения Лагранжа имеют вид
fl + ШдГ1 + О2[г2 - Зп(г2п)] = О,
г2 + WqT2 + Q2[ri - 3n(rin)] = О.
Выбирая ось z параллельно вектору п, получим три системы уравнений:
21 + Wq2'i — 2П222 = О, A + WqXi + О2ж2 = О, -ух + WqT/i + О?у2 = О,21 + Wq2'i — 2П222 = О, A + WqXi + О2ж2 = О, -ух + WqT/i + О?у2 = О,22 + Wq22 - 2Q22i = О X 2 + Wq^2 + llAl = 0.i/2 + Wq7/2 + П2Т/1 = О22 + Wq22 - 2Q22i = О X 2 + Wq^2 + llAl = 0.i/2 + Wq7/2 + П2Т/1 = О(17.27)(17.27)
21 + Wq2'i — 2П222 = О, A + WqXi + О2ж2 = О, -ух + WqT/i + О?у2 = О,
21 + Wq2'i — 2П222 = О, A + WqXi + О2ж2 = О, -ух + WqT/i + О?у2 = О,
22 + Wq22 - 2Q22i = О X 2 + Wq^2 + llAl = 0.
i/2 + Wq7/2 + П2Т/1 = О
22 + Wq22 - 2Q22i = О X 2 + Wq^2 + llAl = 0.
i/2 + Wq7/2 + П2Т/1 = О
(17.27)
(17.27)
Найдем решение уравнений (17.27). Используя обозначения примера. 17.2, имеем Иц = Я22 = шЦ, Bi2 = Ам = -2Q2, 7 = —тг/2, w2?1 = ^о 2^2,
2'1^22'1^21V21V2ti-i cos (wit 4™ ад) 4™ ^/2ti-i cos (wit 4™ ад) 4™ ^/2а2 cos (w2t 4- а2).а2 cos (w2t 4- а2).
2'1
^2
2'1
^2
1
V2
1
V2
ti-i cos (wit 4™ ад) 4™ ^/2
ti-i cos (wit 4™ ад) 4™ ^/2
а2 cos (w2t 4- а2).
а2 cos (w2t 4- а2).
Поскольку wq ^ О, то wi;2 ~ wo ± O2/wq. Эффект биений будет наибольшим, если сд ~ а2. Для того, чтобы возбудить обе моды, зададим начальные условия:
2'1(0) = 0, 22(0) = а, 21(0) = 22(0) = 0.
Тогда, ад = а2 = 0, ai = а2 = а(\Д. Полагая w2;i = wcp ± шт, wcp = = (1/2) (wi + w2) = wq, wm = (1/2) (w2 — wi) = Q2/wq, получим квази- гармонические колебания:
/^i(t) sin wqA
= Л J(1728)
\A2^ sin wot/'
с амплитудами Ai(t) = a sin wmt, A2(t) = acoswmt Величина. wm представляет собой частоту модуляции. Представление решения в виде (17.28) имеет смысл только при адиабатически медленном изменении функции Ап (t) — величина, приращения Ап (t) за. период Т = 2тг/wq должна, быть мала, по сравнению с | Ап (t) |: | Ап (t) | С w01Ап |. Если возбуждены только продольные колебания, то хп^ = уп^ = 0. Полная энергия первого и второго диполей
Wт'^о ,.2 _ ^0 Д2 (.X
2 ^тг 2 ^тг —2
Подставляя An(t), находим
1_92О2
^1,2 = -^o(l=Fcos w6t), Ео =, Шб = 2шш =,
22cJq
где Шб = w2 W1 — частота, биений. Диполи периодически обмениваются энергией с частотой биений.
Нормальные координаты. Найдем преобразование к новым переменным ж -л %, хп = /п(2), в терминах которых лагранжиан является суммой квадратичных форм: каждая из них соответствует определенной моде. Из (17.26) следует, что искомая замена, переменных должна, иметь вид
(17.29)(17.29)жп — l\nvzv.
(17.29)
(17.29)
(17.30)(17.30)Здесь ^nv — матрица, столбцами которой являютя собственные векторы: ^nv = ип^у В соответствии с (17.24), (17.25)
(17.30)
(17.30)
^тттАтрАпр — ^р., kmnl\.mpl\.np — ЬЦСЦр.
Подставляя (17.29) в (17.13) и учитывая (17.30), получим новый лагранжиан:
Л (2, 2) — ^ ^тп1\тц1\пр%ц%р ^ ктп1\тц1ХПр2,ц2,р —^‘р^р^р)'
(17.31)
Новые переменные Zp называют нормальными координатами или коллективными переменными. Они описывают движение системы как движение совокупности новых невзаимодействующих «осцилляторов», представляющих собой определенные пространственные структуры. Эта. интерпретация нормальных мод приобретает глубокий смысл при квантовомеханическом подходе к исследованию многочастичных систем.
Лекция 18. Вынужденные колебания
Одномерные колебания. Рассмотрим систему с одной степенью свободы, на. которую действуют неоднородные переменные силы. В этом случае движение системы в окрестности положения устойчивого равновесия называют вынужденными колебаниями.
Потенциальная энергия взаимодействия системы с внешними телами U = Uext(q, t) удовлетворяет условиям
lini U^Hq. t) = 0, lini LPAq. t) = 0.
Лагранжиан системы во внешнем поле
Ш q, Ц = ^G(q)q2 - U(q) - lP4q,(18.1)
Положение равновесия невозмущенной системы определяется уравнением dU /dq = 0. Пусть q = с — положение устойчивого равновесия. Полагая q = с + х, разложим Uext(q, t) в ряд Тейлора:
/жр^Х т2 /д2ТТех1\
и-Чс + х, t) =+ х (—).
В приближении однородного ПОЛЯ
Uex\c + х, t) = ™xF(fy F(t) = ™ —■(18.2)
Используя обозначения, введенные в лекции 17, запишем лагранжиан, описывающий вынужденные линейные колебания рассматриваемой системы:
1(х, х, t) = ^ ж2 — ™ ж2 + xF(f).(18.3)
Уравнения Лагранжа имеют вид
mx + kx = F(t).(18.4)
Рассматриваемая система по существу является открытой, так как обычно взаимодействует со средой — другой системой с весьма большим, практически бесконечным, числом степеней свободы. Ес называют термостатом. Если термостат находится в равновесном состоянии, то взаимодействие системы и термостата приводит к необратимым процессам. Часть мощности, передаваемой от внешнего источника, расходуется на увеличение полной энергии термостата. Имеется несколько подходов к описанию подобных ситуаций. Здесь мы учтем взаимодействие системы с термостатом введением в правую часть (18.4) диссипативной силы Fg = —тух, где у-1 — время релаксации свободной системы. Такой подход приводит к уравнению
х + уж + ШпХ = — F(f).(18.5)
m
Это уравнение может быть решено несколькими различными методами. Наибольший интерес представляет построение решения в терминах функций Грина, которые широко используются в последующих разделах курса теоретической физики — в квантовой механике, электродинамике, статистической физике ит. д.
Запаздывающая функция Грина. Двухвременная функция Грина G(t, t') удовлетворяет уравнению
-F + ^W0G = 5(t-t4(18.6)
LLLLLL
с начальными условиями
G(t = tr - 0, tf) = 0, G(t = tf - 0, tf) = 0.
Здесь введено обозначение f(t — 0) = lim f(t — s), 5(f) — дираковская дельта-функция.
Поскольку (18.6) является уравнением с постоянными коэффициентами, то функция Грина зависит только от разности аргументов t — t'. Подставляя в (18.6) фурье-разложения
су t')= fs^t-t') = [
получим
g(cc) = (Шу ™™ гуш)™1 = ™(ш - од)-1^ - Ll^)™1
• 7• 7(18.7)(18.7)
• 7
• 7
(18.7)
(18.7)
Теперь G(f t') можно вычислить с помощью теоремы о вычетах. Траектории полюсов ^1,2(7) в комплексной плоскости ш = ш ' + гш ” показаны на рис. 18.1. Важно отмстить, что полюсы всегда лежат в нижней полуплоскости [82]. Функция g(cc) аналитична в верхней полуплоскости, по этой причине G (t, tf) обращается в нуль при t < t ’.
Действительно, при t < t' реальная часть —iuj(t — tf) , равная w”(t — V), отрицательна в верхней полуплоскости, где согласно лемме Жордана можно замкнуть контур интегрирования. Ес
ли t > t', контур интегрирования замыкается в нижней полуплоскости. Тогда получаем
G(f, Г) =-2тгг ^2 Tes^le-^t-t') = а=1,2
Следовательно, в случае 2шо > у
СЦ,Л = -—^7- = ец-ппц-л, (18.8)
J 2тг (Ш^Ш1)(Ш^Ш2)
1, г > О, О, т < О,1, г > О, О, т < О,D^ = ^ sin qT; 0^ =
1, г > О, О, т < О,
1, г > О, О, т < О,
где ^(т) — разрывная функция Хевисайда. Заметим, что функция D(t) удовлетворяет однородному уравнению с начальными условиями D(0) = = О, Ь^ = 1.
Обратимся теперь к решению уравнения (18.5). Зададим начальные условия: ж (to) = жо, x(t0) = ж0. В момент времени te > t0 включается взаимодействие с внешним полем: F = 0 при t < te; F = F(t) при t>te. Общее решение (18.5) можно представить в виде
х^ = Z)(t - t0)x0 + 7D(t - t0)x0F
+ D(t-t0)x0+ —G(t-t'X(t'Y (18.9) J m
to
Результирующее движение представляет собой суперпозицию колебаний двух типов: свободных и вынужденных колебаний. При вычислении скорости х следует учесть, что 9^1™!^ = S^t^t’Y G^-tY = 9{t-t f)D(t—t ').
Верхний предел интегрирования в (18.9), по существу, равен t. Это означает, что отклик системы в момент времени t зависит от значения силы F(t'Y действующей в предущие моменты. Полученный результат согласуется с условием причинности: следствие нс может предшествовать причине.
Энергия, потребляемая системой. Выберем начальные условия в виде ж (to) = 0 , ж (to) = 0, te = to. Мощность, потребляемая системой,
P(t) = F(f)x = F(t)P(t) = F(f)x = F(t)(18.10)(18.10)' fit.1 .
P(t) = F(f)x = F(t)
P(t) = F(f)x = F(t)
(18.10)
(18.10)
— G(t, t’W’YJ m
to
dt’ G^Y t^F^F^t’Ydt’ G^Y t^F^F^t’YПредположим, что взаимодейсвие с внешним полем «включается» в момент времени to -4- —00, и определим приращение полной энергии, обусловленное действием силы:
dt’ G^Y t^F^F^t’Y
dt’ G^Y t^F^F^t’Y
(18.11)
Если функция F(i) достаточно гладкая и интеграл J dt\ ^(01 сходится,
то F^ можно представить в виде интеграла Фурье:
F^= [ ™Ж^ ЕшF^= [ ™Ж^ Еш
F^= [ ™Ж^ Еш
F^= [ ™Ж^ Еш
Вследствие вещественности функции F(t) очевидно, что Р_ш —F*.
Подставляя в (18.11) фурье-разложение функции Грина (18.8), получим
^Е=-г [ Л^иаёПЕ:Еш^Е=-г [ Л^иаёПЕ:Еш1 '2лгт о1 '2лгт оdww[g(w) - §*(иУЕ*Еш.dww[g(w) - §*(иУЕ*Еш.
^Е=-г [ Л^иаёПЕ:Еш
^Е=-г [ Л^иаёПЕ:Еш
1 '
2лгт о
1 '
2лгт о
dww[g(w) - §*(иУЕ*Еш.
dww[g(w) - §*(иУЕ*Еш.
Учитывая (18.7), находим
Img(w) = ^, Д = (wq - w2)2+72ш2.
Таким образом, приращение энергии
ДЕ = —Л 771ДЕ = —Л 771J — а?У + у^и? оJ — а?У + у^и? о(18.12)(18.12)
ДЕ = —
Л 771
ДЕ = —
Л 771
J — а?У + у^и? о
J — а?У + у^и? о
(18.12)
(18.12)
Если затухание отсутствует, то, используя соотношение [82]
lim Im —-:—7^ о иу — и/ — гушlim Im —-:—7^ о иу — и/ — гушГ7^hm7^0 ^Ш2 — UJ2)2 + у2Ш2Г7^hm7^0 ^Ш2 — UJ2)2 + у2Ш2= ттбуу= ттбуу
lim Im —-:—
7^ о иу — и/ — гуш
lim Im —-:—
7^ о иу — и/ — гуш
Г7^
hm
7^0 ^Ш2 — UJ2)2 + у2Ш2
Г7^
hm
7^0 ^Ш2 — UJ2)2 + у2Ш2
= ттбуу
= ттбуу
получим приращение полной энергии:
А£=Э^=Э1(",™'"12-А£=Э^=Э1(",™'"12-(18.13)(18.13)
А£=Э^=Э1(",™'"12-
А£=Э^=Э1(",™'"12-
(18.13)
(18.13)
Этот же результат справедлив и в том случае, когда ширина спектра внешней силы в (18.12) велика по сравнению с у. Если ширина спектра существенно превышает величину шо, т.е. время действия силы т -С ау\ то
I2ДЕ = —,2m'I2ДЕ = —,2m'I =I =dtF(tYdtF(tY(18.14)(18.14)
I2ДЕ = —,2m'
I2ДЕ = —,2m'
I =
I =
dtF(tY
dtF(tY
(18.14)
(18.14)
Для монохроматического поля F(t) = Fq cos uaet приращение энергии (18.12) пропорционально времени взаимодействия 2Т, которое значительно превышает характерные времена иу1, ц^1; поэтому можно считать,
что 2Т -4 ос. В этом случае следует перейти к определению среднего значения мощности, потребляемой системой [83]. Учитывая значение интеграла
т
1 I fI2
Jim — I dt ехр[—г(ше — uj)1\ | = 2тг(5(сс — цу),
-Т
получим из (18.12) среднюю мощность:
ср2Т 2m Ц2 - w2)2 + 72w2 ’( 8" 5)
Пример 18.1. Сила, действующая на незатухающий осциллятор (рис. 18.2),
F(t) = Fo [/ (/ + Т/2) - / (z - Т/2)], /(Z) = [1 + е^»]-1.
В момент времени tQ -4В момент времени tQ -4—ос осциллятор покоился в начале координат
В момент времени tQ -4
В момент времени tQ -4
в положении равновесия. Найдем приращение полной энергии в результате действия внешней силы. Учитывая значение интеграла
.p-iwp
dte^Jp+p^ = гот—
получим
F _ sin 4Т/2)ш — 2тгтго ,. ,8П(7ГШТ)F _ sin 4Т/2)ш — 2тгтго ,. ,8П(7ГШТ)△F =△F =^HF^ [sin CqT/2)12ТП [ 811(7ГШот)^HF^ [sin CqT/2)12ТП [ 811(7ГШот)
F _ sin 4Т/2)ш — 2тгтго ,. ,
8П(7ГШТ)
F _ sin 4Т/2)ш — 2тгтго ,. ,
8П(7ГШТ)
△F =
△F =
^HF^ [sin CqT/2)12
ТП [ 811(7ГШот)
^HF^ [sin CqT/2)12
ТП [ 811(7ГШот)
Рассмотрим два частных случая.
Плавный фронт импульса силы (си^т >* 1). В этом случае передача энергии экспоненциально мала:
ДЕ ~ ЛМ sin2 ЗЕ е-2™отп2
Импульс силы с крутым фронтом (ии^т <^ 1). В этом случае f(t) га га 9(f). Передача энергии
^E га^E га£тп£тпsin2sin2сиоТсиоТ
^E га
^E га
£
тп
£
тп
sin2
sin2
сиоТ
сиоТ
Если ии^Т <С 1, то /ХЕ га 1Ц2т, Io = F0T, F(f) га Io5(f).
.4. Резонанс. Переходный и установившийся режимы. Выберем начальные условия в виде x(t0) = 0, x(t0) = О, t0 < 0. Исследуем отклик системы (18.9) в случае внешней силы
F(f) =F(f) =о, t < о, t > т,
F(f) =
F(f) =
Т,Т,Fq cos cut, 0 t
Т,
Т,
Т>у™1. Три первых слагаемых в (18.9) экспоненциально убывают со временем. Через промежуток времени |t ™ to| > 7™1 основной вклад даст последнее слагаемое. В интервале 0 < t < Т
х® = 27 RemHх® = 27 RemHt
х® = 27 RemH
х® = 27 RemH
dt' е~О/-ЖЛ sin Q(Z _ t')=
0
JoreJ^^iJ^i-—— Re 2ти[ ш ™ Ш1JoreJ^^iJ^i-—— Re 2ти[ ш ™ Ш1LU — CU^LU — CU^(18.16)(18.16)
JoreJ^^iJ^i
-—— Re
2ти[ ш ™ Ш1
JoreJ^^iJ^i
-—— Re
2ти[ ш ™ Ш1
LU — CU^
LU — CU^
(18.16)
(18.16)
Установившийся режим колебаний. При 7™1 < t < Т решение (18.16) представляет собой незатухающие колебания с частотой внешней силы:
хШ = — Re = — Re gW)e гш1 = С cos (cut +
тп (си — CU1)(CU — CU2) m
(18.17)
= — । g(w)| = Т 1.
cosy? = Re j£j| = (wg -w2)|g(w)|, sin у? = - Im |-£ = -7w|gH|. Функцию С(ии) называютамплитудно-частотнойхарактеристикой,т^- фик функции С(ии) — резонансной кривой. Функция С(ии) достигает
максимума при резонансной частоте ш = шт,
(7(шт) —(7(шт) —Fpтп^шт *Fpтп^шт *
(7(шт) —
(7(шт) —
Fpтп^шт *
Fpтп^шт *
Рис. 18.3Рис. 18.3си =си =1 + (2<9е/шо)1 + (2<9е/шо)dEх .+ F^x,dEх .+ F^x,mx? тайх2+ 022mx? тайх2+ 022
Рис. 18.3
Рис. 18.3
си =
си =
1 + (2<9е/шо)
1 + (2<9е/шо)
dEх .
+ F^x,
dEх .
+ F^x,
mx? тайх2
+ 0
22
mx? тайх2
+ 0
22
На рис. 18.3 изображены графики функций С (о) и ф(ш).
Наибольший интерес представляют колебания с малым затуханием, когда 7 < ш0. В этом случае шт ~ ш0. Шириной резонансной кривой называют интервал частот \ш — шо|, в пределах которого значение амплитуды нс опускается ниже величины (1/ V2) С(w^):
G^coq + Аш) — -/= C(cu0Y
Учитывая, что ш2 — ш§ сз 2шо Аш, находим | Аш| = 7.
При ш < ш0 С(ш) ~ (7/шо) С(шт) ^ С(шт). Еще слабее отклик системы при значениях частоты ш > шт: С(ш) ~ (7Ш0/Ш2) С(шт)
G (шт).
При частотах ш = ш0 + е, близких к собственной частоте ш0, для
которых ш + ш0 « 2ш0, резонансную кривую можно представить в виде
Резонансом (от лат. resonans — отзываюсь) называется избирательный отклик колебательной системы на периодическое воздействие внешней силы с частотой, близкой к собственной частоте.
Открытые в последнее время новые
резонансные явления в механических,
гидродинамических, атомных и ядерных системах играют исключительную
роль в современных теоретических и экспериментальных исследованиях. Умножая (18.5) на тх, получим закон изменения полной энергии:
В установившемся режиме сумма средних значений мощности внешней силы
(pext^ == _ 1 рошС sin
и мощности сил трения
равна нулю. Вследствие этого среднее значение полной энергии поддерживается на постоянном уровне: (Е) = (ш/4) С12^ + ш^У
Пример 18.2. Изложим общий метод вычисления интеграла в решении (18.9) в случае установившегося режима колебаний. Пусть F(t) = = /(t) cos ш1. «Амплитуда» силы удовлетворяет условию \df / dt\ <^Сш|/|.
Переходя к новой переменной т = t — t \ получим
xUy = Re — mxUy = Re — mtoto= Re ™= Re ™dTG^fd-odTG^fd-o
xUy = Re — m
xUy = Re — m
to
to
= Re ™
= Re ™
dTG^fd-o
dTG^fd-o
Поскольку в интервале 0 < t < Т величина t — to ^> у-1, то верхний предел можно положить равным +ос и учесть, что основной вклад в интеграл дают значения шт <$С 1. В результате получим
e-iwt x(f) = Reme-iwt x(f) = RemйтсуУшти^-тЬ..Д =йтсуУшти^-тЬ..Д =
e-iwt x(f) = Re
m
e-iwt x(f) = Re
m
йтсуУшти^-тЬ..Д =
йтсуУшти^-тЬ..Д =
= C(f) cos \ш! + ^(^)] + ...= C(f) cos \ш! + ^(^)] + ...р iwt Г/ Лу. X .
= C(f) cos \ш! + ^(^)] + ...
= C(f) cos \ш! + ^(^)] + ...
= Re- ЩШ + г у / + ...m (\дш)
Функции C(t) и ф(1) определены соотношениями (18.17), в которых следует произвести замену Fo -4- f(ty
Переходный режим. Пусть у <^ ш0, О ~ шо. Исследуем поведение x(f) в том случае, когда ш находится в окрестности резонансной частоты: ш = шо + s, |<s| <^ шо- Тогда в интервале 0 < t < Т основной вклад в (18.16) дает первый член:
Fn 1 - е^^/2+г^. .
x(t) = — Re. е tujt = A(F cos (ш1 + a(tYY
v 7 2тпш0 eFiy/2v 7 v v
A^ =A^ =Fp2тшоFp2тшо1 — 2e 7^/2cosst + e1 — 2e 7^/2cosst + es2 + (y/2)2s2 + (y/2)2
A^ =
A^ =
Fp
2тшо
Fp
2тшо
1 — 2e 7^/2cosst + e
1 — 2e 7^/2cosst + e
s2 + (y/2)2
s2 + (y/2)2
В рассматриваемом приближении |dA/dt| <^ шА, |da/dt| <^ ш\а\ — приращения функций A^Y и «(^) за период 2т/ш достаточно малы. В этом случае решение уравнения (18.5) является квазипериодической функцией
с адиабатически медленно изменяющимися «амплитудой» А^ и «фазой» a(t). Это представление, как говорят физики-теоретики, — аналог
Рис. 18.4
«слегка искривленой» прямой линии. На рис. 18.4 изображены графики A (t) при различных значениях е и 7. Исследуем три частных случая:
7 = 0, s 0. Тогда
Fo . st sin -— ;
7 / 0, е = 0;
A(f) = -^_(1-е-7</2).
7 = 0, £ = 0;
Область t ^ Т. Интегрируя (18.9) в пределах 0 ^ t ^ Т, получим затухающие колебания:
x(t) = D^t - Т) х(Т) + ^D^t - Т) х(Т) + D(t - Г) х(Т) «
to е-Л-Т№ д^ cos [Woi +
Колебания связанных систем. Рассмотрим консервативную систему с s степнями свободы, взаимодействующую с внешним полем. Лагранжиан свободной системы имеет вид (17.13). Очевидно, что в приближении однородного поля потенциальная энергия взаимодейсвия системы с внешним полем
/ЭГ/ехА
U^c + ж, t) = -ж„ Рп(Ц, Fn = - I —— I .
\) с
Аналогично (18.3) получим лагранжиан системы:
/(ж, Ж, t) — ~ ^in^iFn ^ ^гп^г^п + «^г Fi^t).(18.18)
Взаимодействие с термостатом приводит в линейном приближении к появлению сил трения. Эти силы можно представить в виде производной от квадратичной формы:
Fгрг(^) — ^^ , ? R — 2 гтг^г^тг i(18.19)
называемой диссипативной функцией Рэлея [73]. Матрица коэффициентов симметрична: утп = упт.
Уравнения движения имеют вид
dR
&тЛп 4™ kmnxn = Fm . .(18.20)
Очевидно, что для определения вынужденных колебаний необходимо перейти к нормальным координатам. В соответствии с (17.29), (17.30) х^ =
L(z, z, t) = 1(У+ zafQ(t),(18.21)
где fa(t) = Fi^ia. В новых переменных диссипативная функция
Г'(^) == lin^ia^n^-
Уравнения Лагранжа имеют вид
d dL dL dr2.
di эц " эГц = ZpL +=
В ЧаСТНОМ Случае ^mn — ygmn> 'Та/З — ^y^ap.
Zu + ^Zp, + ш^Зр, =д = 1,(18.22)
Это уравнение совпадает c (18.5). Функция Грина уравнения (18.22)
е-7т/2
GQ Д Г) = ец - t') Da(t -t'V Ба{т) = —— sin иат,
Ua = у^и^^тТ^Р". Решение уравнения (18.22)
t
г^)=а^е ^/2г^)=а^е ^/2cos (wMZ + а^ + dt' G^t - t1) ^(t1).
г^)=а^е ^/2
г^)=а^е ^/2
to
Амплитуда, и фаза, определяются начальными условиями 2м(^о), ^(^о), (^ = gmnAmMxn). Таким образом, решение уравнения (18.20)
^m^t) — в ^тц,€1ц, cos (w^t + Op) + dt ^m^^n^ G ^t t ) Fn(t ).
toto
to
to
(18.23)
Вклад каждой моды зависит от соотношений между компонентами си- лыF„(^) [84].
Пример18.2. Лагранжиан двумерной системы
х, t) = ™ хч - у UinXiXn + х2
Un=u22=^, t/12 = F21 =-4Q2,
F(t) = Fo cos wt, ^ > 0. Найдем решение уравнений движения в установившемся режиме.
Из уравнения (—А2Зтп + Umn)un = 0 получим собственные частоты А^х = ср ± 2Q2, собственные векторы и матрицу Amp = ti-^^y.
В установившемся режиме t — to Л> V™1- Произведем в интеграле (18.23) замену t — t' = т и заменим предел интегрирования t — to на. оо. В результате находимВ установившемся режиме t — to Л> V™1- Произведем в интеграле (18.23) замену t — t' = т и заменим предел интегрирования t — to на. оо. В результате находимxm X ~ Rc F0 е '"*dT^^G^e^.xm X ~ Rc F0 е '"*dT^^G^e^.Следовательно,Следовательно,FF Reл2 ™2m (А2 — со2 — гуш)(А| — со2 — гуси)FF Reл2 ™2m (А2 — со2 — гуш)(А| — со2 — гуси)e™iujte™iujt= Ci cos (wt + ух),= Ci cos (wt + ух),, /Г), p A2 + A2 - 2cj2 - 2i7CJ22 2m 6 (A2 — w2 — г^ш^^Х^ — иЛ — г^ш^, /Г), p A2 + A2 - 2cj2 - 2i7CJ22 2m 6 (A2 — w2 — г^ш^^Х^ — иЛ — г^ш^e 1Mt =c2cos(ut + ^f2).e 1Mt =c2cos(ut + ^f2).
В установившемся режиме t — to Л> V™1- Произведем в интеграле (18.23) замену t — t' = т и заменим предел интегрирования t — to на. оо. В результате находим
В установившемся режиме t — to Л> V™1- Произведем в интеграле (18.23) замену t — t' = т и заменим предел интегрирования t — to на. оо. В результате находим
xm X ~ Rc F0 е '"*dT^^G^e^.
xm X ~ Rc F0 е '"*dT^^G^e^.
Следовательно,
Следовательно,
FF Reл2 ™
2m (А2 — со2 — гуш)(А| — со2 — гуси)
FF Reл2 ™
2m (А2 — со2 — гуш)(А| — со2 — гуси)
e™iujt
e™iujt
= Ci cos (wt + ух),
= Ci cos (wt + ух),
, /Г), p A2 + A2 - 2cj2 - 2i7CJ
22 2m 6 (A2 — w2 — г^ш^^Х^ — иЛ — г^ш^
, /Г), p A2 + A2 - 2cj2 - 2i7CJ
22 2m 6 (A2 — w2 — г^ш^^Х^ — иЛ — г^ш^
e 1Mt =c2cos(ut + ^f2).
e 1Mt =c2cos(ut + ^f2).
Амплитуды колебаний Ci (си) и (72 (си) определяют две резонансные кривые. Отношение амплитуд
С1Н
СЛЩ [(Д2 + Д2 - 2^2)2 + 472Ш2]1/2 "
Если ш^>Л2, то Cr/C^^l. Для частот cu^Ai отношение (71/(72 < 1; для частот си, находящихся в пределах Ai < си < Л2, величина. (71/(72 ^ 1. Мы имеем полосовой фильтр, ослабляющий влияние внешней силы частотой си, лежащей вне интервала. (Ai, А2) [81].
Лекция 19. Общие свойства нелинейных систем
Нелинейные системы. Большинство задач теоретической и математической физики приводят к нелинейным уравнениям [85-93]. Консервативные системы с одной степенью свободы всегда, интегрируемы. В предыдущих лекциях мы получили решения одномерных нелинейных систем частицы в поле Эккарта. (см. лекцию 5) и математического маятника, (см. лекцию 14), которые демонстрируют типичные свойства, нелинейных колебаний: 1) периодическое решение, разложенное в ряд Фурье, содержит бесконечное число гармоник основной частоты, 2) период колебаний зависит от полной энергии.
Системы с несколькими степенями свободы, как правило, неитегриру- емы. Исключение составляют системы, обладающие определенными симметриями, с каждой из которых связан первый интеграл. Это обстоятельство позволило, например, найти решение задачи Кеплера, (см. лекцию 6). Однако в настоящее время нет общих методов, позволяющих найти первые интегралы; нс существует и общего метода, интегрирования нелинейных систем. Любопытно отмстить, что известны случаи, когда, удалось догадаться о существовании скрытого интеграла, при помощи численного эксперимента. Болес того, использование ЭВМ в значительной мерс способствовало пониманию характерных особенностей поведения существенно нелинейных систем [93].
Тема, настоящей лекции — введение в качественную теорию дифференциальных уравнений. В 1882 г. А. Пуанкаре развил новое представление о том, что значит решить дифференциальное уравнение [94]. Он писал: « ... именно с качественной стороны должна, начинаться теория всякой функции, и вот почему в первую очередь возникает следующая задача: построить кривые, определяемые дифференциальным уравнением. Это качественное изучение; когда, оно будет проделано полностью, то принесет самую большую пользу численному анализу функций. Впрочем, это качественное изучение и само по себе будет иметь первостепенный интерес. Различные и чрезвычайно важные вопросы анализа, и механики могут быть сведены к нему».
19.2. Нелинейные системы на плоскости. Особенно полно разработана. качественная теория двумерных систем уравнений [77, 94^97]:
У1 = /1(жъ 372), Ж2 = /2(^1, ж2).
(19.1)
Поскольку функции /п(ж1, ж2) нс зависят от времени, то говорят, что система, автономна. Систему называют неавтономной, если dfn/dt ^ 0. Уравнения вида. (19.1) возникают на. промежуточных этапах решения нелинейных уравнений второго порядка:
у = f^x, У),
(19.2)
или имеют самостоятельное значение при построении математических моделей различных процессов. Например, быстрое сокращение мышечного волокна, сердца, а. затем быстрое возвращение к прежнему расслабленному состоянию описывается уравнениями
ЕХХ = ^1 — 37^ — Ж2,372 = Ж1 — атю,
(19.3)
где 371—длина, волокна, 372 —- электрохимический потенциал [78]. С другой стороны, полагая в (19.2) х = 371, ж = 372, получим систему ти
па. (19.1):
371 = 372,372 = /(371, 372).
(19.4)
В лекции 25 будут рассмотрены уравнения механики в гамильтоновой форме в виде системы четного числа, уравнений первого порядка. В случае двумерной системы уравнения Гамильтона, имеют вид
где 17 = Н(х, р)—гамильтониан системы. Полагая для сравнения х = 371, р = 372, получим из (19.1), (19.5) соотношение <9/1/<9з71 + <9/2<9з72 = 0. В этом случае Н (х, р) — интеграл движения:
Далее в лекции 30 будут показано, что уравнения (19.1) можно представить как гамильтонову подсистему в пространстве В4 с гамильтонианом h ^pnfn(x):
Синэргетика. В прикладных задачах важны ситуации, в которых переменные ад, х^ описывают медленную и быструю подсистемы. В этом случае уравнения (19.1) имеют вид
яд = кпхх + Fitx-i, ж2), ^2 = -7^2 + ^2(^1, Ж2), (19.1а)
где у > 0, у ^> |^ц |. Эволюция быстрой подсистемы начинается с переходного процесса, длительностью т2 7™1 <^( ti l^nl™1. Далее эволюция системы описывается уравнениями (19.1а), в которых можно положить $2 = 0:
хч = кцх-i + Fx(xx, ж2), 0 = ™уж2 + F2(^i, x^Y
Из второго уравнения находим ж2 = ^(^i). Подстановка. ж2 в первое уравнение позволяет существенно упростить задачу:
Л = кцХ! + НЩ)-
Описанный метод, основанный на. выделении характерных временных масштабов, называют адиабатическим исключением переменной х^. Этот подход впервые предложен Г. Хакеном [72]. Мы приходим к выводу, что поведение системы определяется эволюцией медленной подсистемы. Медленная подсистема, управляет быстрой. Именно поэтому переменную х-х называют параметром порядка.
В многомерных системах можно выделить небольшое число медленных переменных, к которым подстраиваются все остальные. Болес того, во многих случаях удастся получить решения вида. хн^ = F^t, Y^^Y Yn = n/at (ti = 1, ..., s). Такие решения получили название автомодельных, или самоподобных. Для эволюции системы характерны «забывание» начальных условий и формирование структур, определяемых функциями YYYnY Простые структуры объединяются в различные типы сложных структур, которым можно сопоставить собственные векторы нелинейной системы уравнений. Такие решения нс могут существовать в окрестности состояний равновесия, поскольку диссипативный процесс, связанный с рассеянием энергии, уничтожает всякую упорядоченность. Новые когерентные структуры возникают в состояниях, далеких от равновесия в открытых системах, и стабилизируются в результате обмена, энергией с внешней средой. Таким образом, неравновесность может быть источником упорядоченности, или самоорганизации. Такую упорядоченность бельгийский ученый И. Пригожин назвал диссипативной структурой [98-101]. В 70-е годы было установлено, что явление самоорганизации широко распространено в гидродинамике, химии, биологии, астрофизике. Процессы, приводящие к образованию структур, встречаются также и в других областях науки: экологии, социологии, экономике и т.д. Г. Хакен предложил назвать теорию самоорганизации синэргетикой (дословно — теорией совместного действия) [72, 102]. Общий подход к явлениям, совершенно различным по своей природе, несомненно, приведет к созданию единой науки об окружающем нас мире.
Устойчивость по Ляпунову. Точки хн = ап, в которых правые части уравнений (19.1) обращаются в нуль:
/1(01,02)= о, /2(01,02) = о,
называют особыми, или неподвижными точками [67, 78, 94-96]. В случае механической системы (19.2) особые точки, удовлетворяющие в соответствии с (19.4) уравнениям а^ = 0, f^ai, 0) = 0, совпадают с положениями равновесия.
Нас интересует поведение решений (19.1) с начальными условиями жп(0) = хпо, близкими к значениям хп = ап.
Создатель теории устойчивости А.М. Ляпунов (1857-1920 гг.) в работе, изданной в 1892 г., развил два. различных метода, исследования устойчивости [102].
Особая точка. ап называется устойчивой по Ляпунову, если для любого заданного е > 0 существует такое 77(e), что при условии |жп0 — ап\ < 77(e) будет выполняться неравенство |жп(£) — ап\ <е для всех t, 0 < t < 00.
Если имеется по крайней мере одна, траектория, нс удовлетворяющая этим условиям, то особая точка, называется неустойчивой.
Особая точка, называется асимптотически устойчивой в смысле Ляпунова, если она. устойчива, и, кроме того, ^lim xn(t) = ап.
функция Ляпунова. Анализ устойчивости основан на. построении специальной функции — функции Ляпунова. [79, 103-105].
Положительно определенная в окрестности D точки х = 0 функция V (ж) называется функцией Ляпунова, если в области D полная производная по времени вдоль траектории системы dV/dt < 0:
^ = ^Ежп = ^Е/„ = И/(ж), Ж(ж)<0. (19.6) dt охп охп
Геометрический смысл функции V(x). Если ввести координату д, то уравнение z = У (ад, х^ определяет поверхность в пространстве хч, х^. z. Линии уровня У (ад, Х2) = Ck, ^ = 1, ..., s, представляют собой семейство замкнутых кривых, окружающих начало координат. Известны следующие два. утверждения.
Теорема Ляпунова об устойчивости. Если в некоторой окрестности D положения равновесия ж = 0 существует функция Ляпунова. У (а?), то движение устойчиво в области D.
Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если в некоторой окрестности D положения равновесия х = 0 существует функция Ляпунова, такая, что функция —dV/dt положительно определена в D, то положение равновесия асимптотически устойчиво.
К сожалению, неизвестны общие методы построения функций Ляпунова, но во многих случаях их можно «угадать». Условия устойчивости, следующие из двух теорем, являются достаточными и при неудачном выборе
функции Ляпунова, могут привести к слишком сильным ограничениям на. параметры системы. Достоинства, метода. Ляпунова, в том, что исследование устойчивости нс связано с проблемой интегрирования уравнений (19Л).
Пример 19Л. Очевидно, теоремы Ляпунова, справедливы и для многомерных систем. Исследуем устойчивость положения равновесия консервативной системы с s степенями свободы:
эиQk =OQkэиQk =OQkи = ищ, qs).и = ищ, qs).
эи
Qk =
OQk
эи
Qk =
OQk
и = ищ, qs).
и = ищ, qs).
Полагая qk = х^Лк = Рь получим систему 2 s уравнений первого порядка:
. эиРк =. эиРк =$к — Рк •$к — Рк •
. эи
Рк =
. эи
Рк =
$к — Рк •
$к — Рк •
В качестве функции Ляпунова, можно испытать обобщенную энергию
Я(ж, р) = у + , хЩ
Пусть потенциальная энергия имеет изолированный минимум при хп = 0. Тогда. U (ж) — положительно определенная функция. Следовательно, Н также является положительно определенной функций. Поскольку Н = 0, то положение равновесия рк = 0, х-к = 0 (к = 1, ..., s) устойчиво (в смысле Ляпунова). Это утверждение было сформулировано Лагранжем и позднее доказано Дирихле.
Устойчивость по линейному приближению. Любая точка, фазовой плоскости, нс являющаяся неподвижной, называется обыкновенной точкой. В окрестности обыкновенной точки решение (19Л) устроено очень просто. В ней можно выделить специальную окрестность — трубку траекторий, образованную траекториями системы. Траектории входят в трубку на. одном се торце и выходят на. другом. Вблизи особых точек решения устроены намного сложней. Ни одна, из траекторий, начинающаяся в обыкновенной точке, нс может прийти в особую точку за. конечное время.
Исследуем устойчивость системы (19.1) в окрестности особой точки. Пусть хп = ап — одна, из особых точек системы (19.1). Введем локальные координаты zn = хп — ап, разложим fn(x) в ряд Тейлора, и ограничимся линейным приближением. Тогда, получим систему уравнений:
(19.7)(19.7)2т — kmnz1
(19.7)
(19.7)
где постоянная матрица. kmTi = (afm/dx^a. Заметим, что для гамильтоновых систем (19.5) в линейном приближении
Я(ж, р) =--у-ж2 +(19.8)
где к0 = ки = -к^.
Простые системы. Линейную систему (19.7) называют простой, если матрица. ктп неособая: det к ^ 0, и, следовательно, ктп нс имеет нулевых собственных значений. Тогда, единственным решением уравнений kmnzn = 0 является zn = 0 (n = 1, 2), и система. (19.7) имеет единственную изолированную неподвижную точку в начале координат. Нас будет интересовать фазовый портрет линейной системы (19.7) и устойчивость особой точки z = 0. В лекции 17 мы рассмотрели уравнения (17ЛО), эквивалентные системе (19.7), где дх = ж, z^ = р с элементами матрицы
ки = 0,А12 = 1,^21 = ™^о?^22 =
и нашли фазовые траектории в области Sp к = —у < 0, det к = Шд > 0 (рисЛ9Л),
Sp Ат = к-ц + к-22, det А = кцк22 - &Х2&2Х-
Здесь уравнения (19.7) будут решены другим способом в результате приведения матрицы ктп к жордановой форме.
Классификация особых точек на плоскости. Перейдем к новым координатам z -л К; zm = Tmnz^ в которых матрица. ктп имеет жордановую форму: I = Т^кТ [67, 79]. Из (19.7) находим
Ррр
mj р —7imnj ?
С = M-в9 л
Тип жордановского блока, зависит от собственных значений матрицы ктп, удовлетворяющих уравнению det |AJij — кр\ = 0: А2 — SpAA + det к = 0,
A2i1 = |spfc± Vd,(19.10)
D = ^ (Sp к)2 — det к.
Особая точка, устойчива, если действительные части корней характеристического уравнения отрицательны [79].
Критерий устойчивости. В общем случае квадратной матрицы порядка. п характеристическое уравнение можно записать в виде
аоХп + di Ап 1 + • ■ • + ап— 1А + ап = 0.
Необходимое и достаточное условие того, что корни имеют отрицательные вещественные части, дается критерием Раусса-Гурвица [79]: все коффици- енты и все главные миноры матрицы Гурвица:
△1 — О1,△1 — О1,△2△2Hi а3Но ^2Hi а3Но ^2Д3 —Д3 —«1Но0«1Но0н3«2«1н3«2«1^504аз^504аз^т — ат^.^т — ат^.
△1 — О1,
△1 — О1,
△2
△2
Hi а3
Но ^2
Hi а3
Но ^2
Д3 —
Д3 —
«1
Но
0
«1
Но
0
н3
«2
«1
н3
«2
«1
^5
04
аз
^5
04
аз
^т — ат^.
^т — ат^.
должны быть положительными. Этот критерий, полученный А. Гурвицем в 1895 г, является обобщением теоремы Э. Раусса (1877 г.) [79].
Используя критерий Рауса-Гурвица, можно установить условия, при которых корни уравнения n-го порядка, лежат в левой полуплоскости комплексного параметра. А. Здесь эти условия сводятся к неравенствам Sp^ < < 0, det к > 0. Найдем фазовый портрет системы (19.7) для значений элементов матрицы ктп, удовлетворяющих условиям —оо < Sp^ < оо, — оо < det к < оо.
Рассмотрим вначале случай различных собственных значений Ai, А2.
Пусть det к < 0. В этом случае D = а2 > 0; корни (19.10) — действительные и разных знаков. Из курса, высшей алгебры известно, что столбцами матрицы Ттм являются собственные векторы ит^ (д = 1, 2) уравнения ктнин = Хит;
(^11 — А) 0-1 + ^12^2 — 0,^21^1 + (^22 — А) П-2 — 0.
Полагая А = Ai, А2, получим
/ ^12 \/ ^12 \.
wm(T) I х I ? Mm(2) I х I •(19.11)
' yAi —' уА2 — кц j
Следовательно, Тт^ — ^тЛр ^ij — Af^j,
Ai — кц А2 — кц) '2^i2(7o \&ц — Ai ^12
где сг0 = А2 — Ai. Уравнения (19.9), 2^ = Xnz^ определяют траектории в фазовом пространстве 2/, 22:
^ = (71€^, 4 = C^ew.(19.12)
Фазовые кривые являются гиперболами. Особую точку называют седлом (рис. 19.1). На. осях координат лежат асимптоты гипербол, называемые сепаратрисами. Они также являются фазовыми траекториями.
Решение системы (19.7) — zm = ТтнС. Пусть 2m(0) = sm. Из уравнения sm = Ттт1Ст находим Сп = T~)sk. Следовательно, zn(t) = Ттп T^eXntSk. Вводя оператор эволюции системы Kmk(t) = = Ттп T^eXnt, получим решение (19.7) в виде
-^-т^) — ^тк ))%к (0) ,-^-т^) — ^тк ))%к (0) ,(19.13)(19.13)
-^-т^) — ^тк ))%к (0) ,
-^-т^) — ^тк ))%к (0) ,
(19.13)
(19.13)
л=2_2 пол=2_2 по(А2 -МеА1ЧА1-М^ ™Мех^™ех^)
л=2_
2 по
л=2_
2 по
™k^eXlt-(Ai ™кц) eAlt - (А2 ™кц) eX2t
Пусть det ^>0, D>0. Если Sp^<0, то оба. корня отрицательны. Решение (19.12) определяет семейство парабол. Особая точка. — устойчивый узел. Если Sp к > 0, то оба. корня положительны. Особая точка. — неустойчивый узел.
Пример 19.2. Для иллюстрации явления самоорганизации рассмотрим систему (19.7) в случае &22 = —7 < 0, 7> |^и|, D > 0. Из (19.10)
находим
Ai -=Ai -=det ^^12^21
Ai -=
Ai -=
А2 = ^и н
77
Если начальные условия заданы при t = 0, то решение zm = Tmnzfn в интервале t у™1 имеет вид
21 = ^12С2еЛ2^22 = ^^21 (72еЛ2^.
7
В соответствии с методом адиабатического исключения (см. второе уравнение системы (19.7)) 22 = (^2i /7)21: быстрая подсистема мгновенно, без запаздывания, следует за. медленной подсистемой.
Пусть D = 0. Имеем действительные кратные корни Ai = А2 = = Ар и два. одинаковых собственных вектора. В простейшем случае ктп = = Ag^mn особая точка, соответствует узлу специального вида, который называют дикритическим узлом. Пусть ктп ^ Хобтп . Тогда.матрицу ктп нельзя привести к диагональному виду. В этом случае столбцы матрицы преобразования Тшд = ет^ представляют векторы, удовлетворяющие уравнениям [67, 79]
ктгГп(1) ApCmyy ктпеп^ ^0^-ш(2) Т 6TOyy
Из этой системы находим
Следовательно,
1
кп — Ар ki2
I^T^kT^
Решение уравнений (19.9)
имеет видимеет вид22 — Ар2222 — Ар2221 = Ар 2'/ + ^12д2)
имеет вид
имеет вид
22 — Ар22
22 — Ар22
2/ = (Ci + ^2C2t) еЛ^ 22z = (72еЛ<
Особая точка. — вырожденный узел, устойчивый или неустойчивый в зависимости от знака. Ар (рис. 19.1).
det^
Седло
Рис. 19.1
Лекция 19. Общие свойства нелинейных систем
Пусть D = ™сгд < 0. Имеем два комплексно-сопряженных корня: A2,i = (1/2) Sp^' ± го^. Из (19.11) получим два собственных вектора. Используя решение системы (19.9):
Э = Аем, zi = АМЕ А =
zx = a expzx = a expcos (a^t + a),cos (a^t + a),находим решение системы (19.7): zm = Тт^ z^, Tm^ = ит^у
zx = a exp
zx = a exp
cos (a^t + a),
cos (a^t + a),
z^ = a expz^ = a exp17,- Sp A: - kn17,- Sp A: - kn(19.14)
z^ = a exp
z^ = a exp
17,
- Sp A: - kn
17,
- Sp A: - kn
cos (a07 + a) — cr0 sin (a07 + a)
Если Sp k < 0, то особая точка — устойчивый фокус; при Sp k > 0 особая точка — неустойчивый фокус. Значению Sp к = 0 соответствует особая точка, называемая центром (см. рис. 19.1).
Непростые системы. В этом случае det к = 0 и кроме zn = 0 система имеет другие неподвижные точки. Если Sp к = 0, ктп ^ 0, то все точки оси zx являются неподвижными, Ai = А 2 = 0. На рис. 19.1 изображены фазовые портреты в случае Sp к = к^. Если ктп — нулевая матрица, то вся плоскость zx, 22 заполнена неподвижными точками.
Сделаем несколько замечаний.
Для стандартных гамильтоновых систем (19.8) возможны только седла и центр.
Устойчивый узел, вырожденный узел и фокус асимптотически устойчивы; центр — устойчивая особая точка.
Координаты 2^ определяют положение точки относительно базиса, образованного собственными векторами. В старых координатах zn фазовый портрет будет искажен, однако сохранит качественное поведение решения z^ty Две системы уравнений (19.7) и (19.9) называют линейно эквивалентными, если существует взаимно однозначное соответствие z = = Tz' фазовых портретов систем.
Решение (19.7) в виде (19.13) описывает все возможные типы фазовых траекторий, в том числе и вырожденные.
Фазовые портреты нелинейной системы и ее линеаризации эквивалентны только в том случае, если особая точка нс является центром [78].
Пример 19.3. Рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля:
х — е (1 — ж2/с2) х + ш^х = 0, е > 0,
которое описывает осциллятор с нелинейным трением. Полагая х = хх, х + sF(x) = Ж2, F(x) = ж3/Зс2 — ж, получим систему:
Ж1 = Ж2 - еГ^ХхУ Ж2 = -WgXi,(7)
имеющую неподвижную точку жх = О, ж2 = 0. Линеаризация (7) приводит к уравнениям вида (19.7):
ДЦ = ж2 + ЕХщ Ж2 = -CJqXi(2)
с элементами матрицы ku = s, ki2 = 1, Дщ = ™Цу к^ = 0. Поскольку Sp к = £ > 0, det к = ш^, то, используя критерии Рауса-Гурвица, заключаем, что особая точка неустойчива [79]. Если 2шо > е, то особая точка — неустойчивый фокус.
Для исследования устойчивости воспользуемся теоремой Ляпунова. Образуем положительно определенную функцию, соответствующую обобщенной энергии:
V^xx. х^ = ^/2 + Wq ж^/2.
Учитывая (2), находим
V = Ж2Ж2 + UJ^XxXx = ЕШ^Х^ > 0.
Однако, используя нелинейную систему (/), имеем
/\
Следовательно, область устойчивости лежит в области хх > лДс. Мы видим, что для определения устойчивости линейное приближение непригодно. Возникает вопрос об эволюции траектории. В нашем случае решение при I -л оо приближается к замкнутой траектории, называемой предельным циклом (см. пример 20Л).
Предельный цикл. Замкнутая траектория называется предельным циклом, если она изолирована от всех остальных замкнутых траекторий, точнее, предельный цикл является единственной траекторией, заключенной в трубчатой окрестности. Циклы являются предельными траекториями и могут быть трех видов.
Устойчивый предельный цикл или аттрактор (от англ, attract — притягивать) — кривая, на которую при t —оо с обеих сторон навиваются траектории. Траектории, соответствующие различным начальным условиям, приближаются к одной и той же периодической траектории. В трехмерных системах возникает более сложный аттрактор — кривая, обвивающая поверхность, напоминающую бублик, — тор.
Неустойчивый предельный цикл (илирепеллер) — кривая, от которой при t -л оо с обеих сторон удаляются траектории.
Полуустойчивый предельный цикл— кривая, на которую при t -л оо траектории навиваются с одной стороны и удаляются с другой стороны.
Графическое построение интегральных кривых
МЫхь Х2)
— =С, F(x1,x2) = C; F(xb ж2 =
dxi/1(жъж2
дает возможность обнаружить предельный цикл. Известны также условия (критерий Пуанкаре^Бендиксона), при которых невозможен предельный цикл: если в односвязной области D выражение div f = d/i /8xi +8/2 /8x2 имеет постоянный знак, то в D нс существует замкнутых траекторий. Действительно, предположим, что 7 — замкнутая кривая в D. Согласно теореме Гаусса
dxi 6x2Ddxi 6x2D+8xi 8x2 /+8xi 8x2 /= о(/1 dx2 ™ hdxxY= о(/1 dx2 ™ hdxxY(19.15)(19.15)
dxi 6x2
D
dxi 6x2
D
+
8xi 8x2 /
+
8xi 8x2 /
= о(/1 dx2 ™ hdxxY
= о(/1 dx2 ™ hdxxY
(19.15)
(19.15)
Поскольку, в силу системы (/), правая часть (19.15) равна нулю, то div f — знакопеременная функция. Заметим, что в случае осциллятора Вандер-Поля, рассмотренного в примере 19.3, правая часть (19.15) имеет вид
о (Ji dx2 — h dxi) = о [У + 6WqF(xi)xi] dt.
Это преобразование может быть использовано для построения функции Ляпунова многомерных систем.
Бифуркация. Как правило, функции fn^x^ х^ в правой части уравнений (19.1) содержат параметры, описывающие влияние внешних условий на систему. Пусть нам известно решение (19.1) при определенном значении параметра е. Найдем такое значение во, что при малом отклонении от него (в = во + Ав) поведение системы качественно меняется. Если такое значение существует, говорят, что система (19.1) имеет точку бифуркации при в = во, а изменение фазового портрета называют бифуркацией. В качестве простого примера найдем точку бифуркации линейной системы (19.7), полагая кц = в, &12 = fei = 0, ^22 = —с < 0. Поскольку Sp к = е — с, det к = —вс, то при в < 0 особая точка — устойчивый узел, а для любого в > 0 — седло. Система претерпевает бифуркацию при в = 0.
Бифуркация Хопфа. В нелинейных системах изменение параметра может привести к существенной перестройке фазового портрета — в окрестности особой точки может возникнуть предельный цикл.
Пусть в новых переменных г, ф : Xi = г cos ф, Х2 = г sin ф, система (19.1) имеет вид
г = ег ™ г\ ф = Wq > 0.
Интегрируя эту или линеаризованную систему, находим, что при в < 0 особая точка — устойчивый фокус. Когда в становится положительным, г > 0 при г < V^ и особая точка теряет устойчивость. С другой стороны, поскольку г < 0 при г > ^/в, то траектория стремится к предельному циклу т(£) = ^в, ф(1) = wot Г фо. В случае обратного изменения параметра в предельный цикл исчезает при в = 0.
Превращение устойчивого фокуса при прохождении е через нуль в неустойчивый фокус, окруженный предельным циклом, называют бифуркацией Хопфа. Самая впечатляющая особенность этого перехода — перестройка фазового портрета — возникает при сколь угодно малом изменении управляющего параметра е. Возможно, аналогичный механизм лежит в основе такого метода воздействия на биологическую систему человека, как иглоукалывание.
Анализ бифуркаций — сложная задача, но в некоторых случаях удастся упростить проблему. Французский математик Ренс Тома создал классификацию решений уравнений
эищ, • ■ •, Ж„)Эхпэищ, • ■ •, Ж„)ЭхпП = 1, . . . , S,П = 1, . . . , S,
эищ, • ■ •, Ж„)Эхп
эищ, • ■ •, Ж„)Эхп
П = 1, . . . , S,
П = 1, . . . , S,
по точкам, в которых изменяется устойчивость стационарных состояний. Эти точки Тома назвал «множеством катастроф» [110, 111].
Бифуркация удвоения периода. В трехмерных системах возможны новые бифуркации, анализ которых удобно провести методом сечения Пуанкаре. Выберем в фазовом пространстве ж, у, z поверхность z = p(x, у). Тогда координаты рп = (хп, уп) и рп+1 = (жп+ъ упщ1) двух последовательных пересечений траектории с поверхностью могут быть связаны соотношением рпщ1 = F(pn). Оператор F определяется в результате интегрирования уравнений движения и задаст отображение Пуанкаре. Периодическому движению соответствует неподвижная точка ро = F(p0)-
В диссипативных системах фазовый объем в среднем сжимается. Рассмотрим случай, когда множество точек пересечения поверхности траекториями оказывается почти одномерным и его можно приближенно аппроксимировать линией. Отображение Пуанкаре становится одномерным преобразованием xn+i = f^XnY Многие многомерные диссипативные системы можно свести к одномерным отображениям.
Ограничимся «простейшим» интересным случаем, когда /(ж) = = Аж(1 — ж) [109, 112-114]:
^п+1 — АЖП(1 ^п)*(19.16)
Отображение (19.16) было введено еще в 1845 г. для описания эволюции популяции в среде с ограниченным запасом пищи; хп — значение относительной численности в дискретный момент времени t = пт, п = = 1, 2 [113, 114].
Функция /(ж) имеет максимум, равный А/4, при ж = 1/2. Исследуем решение на отрезке [0,1] при изменении параметра А между значениями А = 0 и А = 4.
Неподвижные точки отображения / находятся из условия а = /(а): а0 = 0, ах = 1 — А”1. Устойчивость неподвижных точек ж = а определим из линеаризованного отображения (19.16). Подставляя хп = а + zn
в (19.16), имеем cn+i ~ f'(a)zn:
zn = [f\a)]nz0, /'(ж) = А(1-2Ж).
Точка а устойчива, если |/'(п)| < 1- Поскольку /'(по) = А, /'(«i) = = 2 — А, то в интервале А < 1 устойчива только точка а0. При А = = 1 происходит бифуркация: точка а0 теряет устойчивость. Если 1 < < А < 3, то «о — неустойчивая, а «1 — устойчивая точка. При А = 2 последовательность хп -л 1/2, п^>1. В случае 1<А<3 при достаточно больших п решение (19.16) хп -л «1 (рис. 19.2). В этом можно убедиться,
Рис. 19.2Рис. 19.2
Рис. 19.2
Рис. 19.2
заменяя (19.16) дифференциальным уравнением. Полагая xn^i — хп = = ж(пт + т) — х(пт) ^тх, имеем
ж = — ж(1 — А 1ж = — ж(1 — А 1«1ж(^о) ехр \е(1 —
ж = — ж(1 — А 1
ж = — ж(1 — А 1
«1 + x(f0)[expe(f - f0) - 1] ’
где е= (А — l)^1. Очевидно, при А< 1 x(t) -л 0.
Рассмотрим область А > 3. Поскольку |/'(ai)| = |2 — А| больше единицы, то «1 теряет устойчивость. Теперь реализуется качественно новое решение (19.16), такое, что при достаточно больших k X2k+i Ьь х^к -л Ъ^, к = 0, 1, 2, ... (рис. 19.3). Значения bi^ b^ определяются системой уравнений:
Ь2 = /(Ь1), b^J^Y(19.17)
Из (19.17) следует, что числа bi, b^ удовлетворяют уравнению
ъ = ЫЬк /2(ж) Л(/(Л = АЧ(1-Д[1-АД1-Д].(19.18)
Очевидно, двумя корнями уравнения четвертого порядка (19.18) являются значения Ьз = «о , 64 = «1 • Поэтому можно записать тождество
/2(2) - г — -)\z{z - <ч)(^2 + Mz + Я).(19.19)
Для вычисления коэффициентов М, N воспользуемся соотношениями 22 = /(21), 21 = /(22),
<(2)d^zQ df(z)
dz dzi dz '’ 1
В неподвижной точке z = zi = Z2 = а имеем (df2/dz')a = (df (dz^.
Вычисляя производную от обеих частей (19.19) и полагая z = «о, «1, находим ^ = (А + 1)/А2, М = —(А + 1)/А и новые корни
Ьгщ = —[А + 1 =F V(^ + Ю(^ 3)Ь
Проследим возникновение точек bi, b^ при переходе А через значение А = 3. Вначале отмстим, что в неподвижной точке «1 отображения /2 величина |/2(ai)l = (2 ™ А)2 меньше единицы в интервале 1 < А < 3 и больше единицы при А>3. Следовательно, график // = /2(ж) пересекает прямую у = х в точках а0? «1 при 1 < А < 3 ив точках а0? «i, 62 при А > 3. Члены подпоследовательностей ж2&+1, х^ь генерируются через промежуток времени 2т. В этом случае говорят, что отображение имеет устойчивый цикл 21 с периодом 2. Переход от неподвижной точки с устойчивым циклом 2° к циклу 21 произошел в результате бифуркации,
которая получила название бифуркацииудвоения периода. Главная причина удвоения периода — равенство производных /2 (ж) в точках bi, b^. Действительно, полагая в (19.20) 2 = 2'2=61, 21=62; 2 = 22 = 62, 2'1=61, находим /2(61) = f^Qb^ = /'(6i)/'(62) = (А + 1)(А - 3) - 1. Чтобы понять, что происходит при дальнейшем росте А, заметим, что Л^) имеет минимум при 2m = 1 / 2 и два максимума при 21, = (1 /2) (1 =р V^ — ^/ А). При увеличении А минимум функции /2 понижается и производная в точках 61, 62 возрастает. При значении А = Ao, Ao = V5 + 1, неподвижные точки совпадают с экстремальными значениями /2 : 61 = хт = 1/2, 62 = 22. После достижения значения А2 = 1 + V6 = 3,45 наклон кривой // в точках 61 и 62 достигает единицы. При дальнейшем увеличении А обе неподвижные точки становятся неустойчивыми. За бифуркационным значением А2 = \/б + 1 = 3,45 возникает 22-цикл с периодом 4: реализуется решение щ, Ж4^+1 —с3, Ж4^+2 —С2, Ж4^+3 —С4, причем «1=/(«з)? «з = /(«2)? «2 = /(«4)? «4 = /(«1) [93]. Таким образом, произошло второе удвоение периода. Снова увеличиваем А до А3 = 3, 54, когда каждая точка расщепляется на две и возникает устойчивый 23-цикл. Последовательность бифуркаций удвоения периода кончается при конечном значении А = Ас, Ас = 3, 5699, причем период цикла стремится к бесконечности, а поведение системы становится апериодическим.
Отображения /(ж), имеющие плавный максимум, в котором вторая производная, подобно (19.16), отрицательна, подчиняются определенным закономерностям. Пусть As — значение параметра, при котором период удваивается s-й раз. Тогда оказывается, что последовательность As геометрически сходится к Ас: Ас — As ~ 5™8. Наиболее впечатляющей особенностью различных систем, испытывающих удвоение периода, явилось то, что значение 5, впервые вычисленное Фейгенбаумом, одинаково и равно универсальному числу 5 = 4,6692016 ... Аналогичный результат был получен и для процесса расщепления устойчивых точек: расстояние ds от точки ж = 1/2 до ближайшей к ней неподвижной точки на 2s-цикле подчиняется закону ds+i = ™огМ8, где а —универсальное число, равное 2,503 ...
Переход к хаосу. Для выяснения существенных особенностей эволюции систем широко используется анализ Фурье. Введем «импульсную» функцию g(f), принимающую значение g(0) = 1 и спадающую до нуля в окрестности А£ С т. Тогда последовательность хп после А-й итерации представляет собой значения функции
при 1 = 'пт. Разлагая x(t) в интеграл Фурье, имеем
x(t) =— хше х(ш) = dt х^егш1 = g^ хфу А), (19.21)
А) = Хквгшк\
к=1
где g^ ^ Nt— компонента фурье-функции g(t). Спектральную плотность последовательности определим соотношением [109]
19
P(w) = lira Ыж(ш, А)| .(19.22)
IN
Для того, чтобы выявить связь между значениями х^ в разные моменты времени, введем корреляционную функцию:
Ф^ = lim -Ф^ = lim -Ntdt'x^) x^t' + t) =0Ntdt'x^) x^t' + t) =0TTTTduP^ coswt.оduP^ coswt.о(19.23)(19.23)
Ф^ = lim -
Ф^ = lim -
Nt
dt'x^) x^t' + t) =
0
Nt
dt'x^) x^t' + t) =
0
TT
TT
duP^ coswt.
о
duP^ coswt.
о
(19.23)
(19.23)
Например, для периодического процесса x(t) = С cosUt, ф{1) = = (C/2)cosQt Аналогичным образом убеждаемся, что процесс х^ = = Су cos fM + С2 cos О2^ снова приводит к осциллирующей незатухающей корреляционной функции с максимумами на частотах Ох, О2. Нерегулярное поведение системы проявляется в экспоненциальном затухании корреляций: ф(1) ~ ехр(—wc|f|), где шс —ширина спектра x(t). Для случайных процессов ф(1) ~ 52 ck^(t — С); хаотическое поведение системы характеризуется непрерывным спектром.
Спектральные характеристики отображения (19.16) подробно исследованы. Оказалось, что при увеличении А от единицы до четырех поведение системы становится как бы стохастическим: нс представляется возможным обнаружить какую-нибудь закономерность в распределении значений хп. При малых N еще можно обнаружить некую упорядоченность, однако при N ^> 1 корреляции совершенно исчезают.
В области 1 <А< 3 спектральная плотность (19.22) имеет резкий пик при ш = 0. При 3 < А < 3,45 в спектре появляются два максимума: при си = ссо, ссо/2 (ссо = 2тг/т). Если А лежит в области 3,45 <А^ 3,54, то Р(ш) имеет максимумы при значениях си = cjq, cuq/4, сэо/2, Зсио/4. При А = Ас число спектральных линий становится бесконечно большим. За этим значением лежат области хаоса.
Детерминированный хаос. Отображение (19.16) в области А > > А с становится довольно сложным. Покажем, что при А = 4 отображение порождает хаотическую последовательность итераций. В этом случае точное решение (19.16)
(19.24)(19.24)= sin2 7Г0п = | (1 — COS27T^n),
(19.24)
(19.24)
где 6п = 2п90. Добавление целого числа к 6п приводит к тому же значению хп. Поэтому для исследования свойств последовательности (19.24)
достаточно использовать двоичное представление начального значения 9^ в интервале 0 < 9 о 1:
90 = ^av^u = 0,aia2a3..., (19.25) г/=1
где av принимает значения 0 или 1. При Оо < 1/2 имеем «1 = О, а при 9о > 1/2 — «1 = 1. Умножение на 2 означает удаление первого знака после запятой и сдвиг оставшейся последовательности цифр влево. Эта операция называется сдвигом Бернулли. Первая итерация даст число О, «2^з • • •, вторая — 0, «з«4 • • • и т.д.
Существуют особые решения (19.24) — периодические с любым периодом. Например, полагая 90 = 1/5, получим циклическое поведение с периодом 2, при 9о = 1/3 имеем фиксированную точку жп = 3/4. Однако почти для всех случайно выбранных 90 (или ж0 ) множество хп равномерно распределено между 0 и 1.
Отметим три замечательных свойства последовательности хп.
Переменная хп при больших п чрезвычайно чувствительна к точности задания начального значения 90. Предположим, что два числа 90 и 9д различаются на величину е С 1. Тогда после n-й итерации разница между ними увеличивается до значения 2пе.
Последовательность хп бесконечное число раз приближается к любой заданной точке ж = а, 0 < a < 1. В этом случае говорят, что система является эргодической. Для механических систем Л. Больцман в 70-е годы прошлого века предложил эргодическую гипотезу: фазовая траектория системы с течением времени проходит через любую точку поверхности постоянной энергии.
Последовательность хп обладает теми же статистическими свойствами, что и последовательность подбрасывания монеты. По двоичному представлению (19.25) нетрудно определить, в какой «половинке» единичного интервала окажется число 9п; если в левой части, то 9п = = 0,0«п+2«п+з • • • ? если в правой, 9п = 0,1«п+2 • • • Для произвольной последовательности подбрасывания монеты РОРРОРОО... мы всегда можем найти точку 9^ реализующую эту последовательность: 9^ = = 10110100... (Р^- 1, 0^0).
Эти особенности отображения (19.24) позволяют понять возникновение хаотического движения в детерминированной системе, описываемой уравнением (19.16). Прежде всего, необходимо определить понятие случайности. Согласно теории сложности алгоритма случайная последовательность «1«2 • • • не может быть «сжата» — нс существует правила вычисления последовательности, которое было бы короче, чем ее копирование. Иными словами, последовательность закодирована необратимо, и единственный способ восстановить последовательность — предъявить ее копию. Цифры в таких последовательностях невычислимы, а значит, непредсказуемы [115]. С другой стороны, если набор цифр «1«2 • • • не является случайным, то ошибка в начальных данных экспоненциально растет.
Начальные условия, заданные с точностью полностью забываются через N итераций. В нехаотических системах ошибка проявляется нс так быстро. Таким образом, сильная чувствительность системы к точности задания начальных условий ведет к непредсказуемости решений на больших временах. Такое движение системы называют хаотическим, или детерминированным хаосом. Его синонимы — стохастичность, нерегулярность. По мере хаотизации движения наряду с резкими спектральными линиями в (19.22) появляется непрерывный по частоте фон. В этом случае решение при Ас < А < 4 представляет области регулярного периодического движения, случайно прерываемые областями хаотических всплесков. Такой вид поведения называется перемежаемостью. При полном хаосе спектральная плотность (19.22) обладает чисто непрерывным спектром, а корреляционная функция (19.23) убывает по экспоненциальному закону.
Фейнгенбаумский переход наблюдался в многочисленных экспериментах [ 114]. В частности, режим стохастических колебаний возникал в результате бифуркационных переходов в последовательном контуре с нелинейной емкостью — варикапом. Другой пример — вынужденное комбинационное рассеяние в модели, описываемой уравнениями [91, 253]
f 1 + 71^Т + = -^Ж1Ж2 + ен cos UHt + ес cos Uct,
-mi
•• -2 2
Ж2 + 72^*2 + W2X2 = ^Xv
Полученные результаты дают основание связать появление шумовых составляющих Xi (t), х2 (£) нс с шумами накачки или приборов, а с хаотическим откликом на регулярное внешнее воздействие [116].
Система Лоренца. Возникает вопрос: возможно ли хаотическое поведение реальных динамических систем в ограниченной области фазового пространства? В системах с одной степенью свободы хаотическое движение невозможно. Действительно, стохастичность возникает при перепутывании и расходимости траекторий. Однако, в силу того что фазовые траектории не пересекаются, единственно возможными аттракторами в ограниченной области являются предельные циклы и неподвижные точки. Ситуация меняется в случае трехмерного фазового пространства (система с 1,5 степенями свободы). До недавнего времени никто, например, нс сомневался в том, что в принципе можно достичь точного прогноза погоды, обработав достаточное количество информации. От этого подхода пришлось отказаться благодаря поразительному открытию: детерминированные системы с малым числом степеней свободы ведут себя хаотически, причем случайное поведение имеет принципиальный характер — от него нельзя избавиться, собирая больше информации. Здесь случайный процесс определяется вероятностью того, что динамическая переменная может принять любое значение из некоторой области фазового пространства.
В 1963 г. американски! метеоролог Э. Лоренц получил систему уравнений:
Г = /п(жп ж2, ж3): ту = -пау Г аж2, ..7(19.26)
Ж2 = ™ж2 + ТЖх - Ж1Ж3, Жз = ™ОЖз + Ж1Ж2,
приближенно описывающую двумерную термоконвекцию с целью использования непериодического решения стохастического типа, для долгосрочного прогноза, погоды [119].
При г < 1 система (19.26) имеет одну устойчивую неподвижную точку О = (0, 0, 0). При г > 1 точка. О становится неустойчивой и появляются еще две неподвижные, симметрично расположенные точки Li^ = (±s, Гз, г — 1), я = [6 (г — I)]1/2, устойчивые для значений а < b Г 1. Если же а > b + 1, то при г > гсг, гсг = п((т + b + 3)/(п — b — 1), они становятся неустойчивыми. Лоренц интегрировал уравнение (19.26) при а = 10, 6 = 8/3 (гсг to 24,74) и надкритическом значении г = 28. Оказалось, что каждая траектория приходит в окрестность одной из точек Li или Г2, описывает вокруг нее несколько раскручивающихся петель, отходит от нес на. достаточно большое расстояние, переходит в окрестность другой точки, описывает непредсказуемое количество петель и снова, переходит в окрестность первой точки. Последовательность этих переходов происходит на. устойчивом множестве — аттракторе Лоренца — в незатухающем хаотическом режиме, весьма, чувствительном к неопределенности задания начальных условий.
В приложении к метеорологии Лоренц назвал этот общий эффект непредсказуемости «эффектом бабочки» — ураган в Техасе может возникнуть в результате взмаха, крыльев бабочки в Бразилии. Идеальное измерение определило бы точку в фазовом прстранстве, но реальное измерение порождает неопределенность ДУо в задании начальных данных. Истинное начальное состояние может быть где угодно внутри малого элемента, фазового объема. ДУо. Предсказание становится невозможным: конечное состояние может оказаться в любой точке аттрактора. Однако в хаотических системах проявляются закономерности там, где раньше их никто нс предвидел.
Странный аттрактор. В хаотических системах возникновение случайности связано с новой геометрической структурой — странным аттрактором. В качестве критерия, позволяющего определить существование в динамической системе странного аттрактора, можно использовать свойство гиперболичности. Наглядно гиперболичность представляет собой комбинацию растяжения фазового объема, в одном направлении и сжатия в другом. Растяжение приводит к стохастичности, сжатие необходимо, чтобы траектории оставались в ограниченной области фазового пространства. Растяжение и сжатие систематически устраняют начальную информацию: при экпоненциальном разбегании траекторий возрастает неопределенность, обусловленная неопределенностью ДУо, при сжатии сближаются далеко отстоящие траектории и стирается различие в начальных данных.
Странный аттрактор представляет собой замкнутое множество точек в конечной области фазового пространства. В то же время согласно теореме Лиувилля [120] любой конечный объем V = J d3x системы (19.26) экспоненциально сжимается:
V = d3xdwf Г = -(1 + <7 + Ь)К (19.27)
Это означает, что при t ™э ос объем аттрактора в трехмерном пространстве стремится к нулю. С другой стороны, хаотические траектории нс могут существовать на. двумерной поверхности. Представление о разбегании траекторий и стремлении к нулю фазового объема, кажется, на. первый взгляд, парадоксальным — с увеличением относительного расстояния между траекториями поток остается в ограниченной области пространства, хотя его объем равен нулю. Оказалось, что странный аттрактор представляет собой множество точек, нс являющееся подмногообразием фазового пространства. Аттрактор является фракталом — объектом дробной размерности. Размерность аттрактора. Лоренца, равна. 2,06.
Размерность Хаусдорфа. Фракталы. Обычная топологическая размерность кривой d = 1, поверхности— d = 2 ит.д. Рассмотрим множество точек в я-мерном пространстве. Мы хотим накрыть это множество наименьшим числом N(e) s-мерных кубиков с ребрами длиной е. Если множество представляет собой равномерное распределение большого количества. точек вдоль некоторой линии (s = 1), то число квадратиков, покрывающих линию N(e) и 1/е или N(e) и 1/ed , где D = 1. Взяв логарифм отношения, получим D = In [7V(s) / In (1/s)].
Если изобразить теперь траекторию броуновской частицы, то через конечный промежуток времени эта. траектория будет неотличима, от плоскости. В качестве другого примера, рассмотрим попытку измерить длину береговой линии Норвегии [254]. Пусть квадратные ячейки сетки имеют размеры £ х £s е <$С 1. Если бы береговая линия имела, вполне определенную длину Ln, то число ячеек N(e), необходимых для покрытия береговой линии на. карте, должно было быть обратно пропорционально е, а. величина. L^ = sN^ при уменьшении е должна, стремиться к постоянной величине — длине линии Ln. Однако наши ожидания расходятся с реальностью. Измеренная длина, описывается приближенной формулой L(e) = = В = 1,52, т.е. в этом случае N(e) = С/ed . Отмстим, что для береговой линии Великобритании D = 1,3; для берега. Южной Африки D = 1. Для обычной кривой С = Ln, D = 1.
По определению немецкого матстатика. Ф. Хаусдорфа. (1868-1942) размерность множества.
В = lim In , ,) х. (19.28) Е —^0 W
Размерность, введенная Хаусдорфом, отражает степень сложности структуры множества, в s-мерном пространстве. Одномерные и двумерные
множества, представляют собой части трехмерного пространства, у которых один или два. характерных размера, очень «малы».
Пример 19.4. Кривая Кох. Построим триадное множество, введенное Хельгой фон Кох в 1904 г. Начнем с отрезка, длиной 1. Разделим его на. три равные части, выбросим средний отрезок и добавим два. отрезка, длиной 1/3 каждый. Длина, всей кривой первого поколения из четырех звеньев — 4/3 (рис. 19.4а). Повторим эту операцию на. каждом звене — получим кривую второго поколения из 16 звеньев длиной 1/9 каждый; длина, всей кривой — (4/3)2 (рис. 19.4 0. В пределе при большом числе операций получим непрерывную кривую конечной ширины. Определим размерность кривой Кох [257].
На. первом шаге число квадратиков, необходимых для покрытия всех звеньев Ni(e) = 4, si = 1/3; на. k-м шаге Кк(е) = 4fe, Ek = (l/3)fc. Согласно (19.28) размерность
D =D =ln4feIn 3feln4feIn 3feIn 4ызIn 4ыз= 1,26185...= 1,26185...
D =
D =
ln4fe
In 3fe
ln4fe
In 3fe
In 4
ыз
In 4
ыз
= 1,26185...
= 1,26185...
Мы имеем непрерывную кривую с ненулевой «площадью».
Фракталы. Термин фрактал был введен американским математиком Бенуа. Мандельбротом в 1975 г. Он предложил назвать фракталом множество, дробная размерность которого больше топологической D > d. Все фракталы обладают общим свойством: с увеличением масштаба, выявляется все большее число одних и тех же повторяющихся структур, образующих красивую микроскопическую структуру [121, 254-257]. В целом фрактал может выглядеть как пейзаж, натюрморт или произведение абстрактного искусства. Сам Мандельброт, изучая цены на. хлопок за. 60 лет, обнаружил одинаковые конфигурации кривых ежедневных, месячных и годовых цен.
Фрактал — геометрический объект, который можно задать набором ограниченного числа, операций. Здесь открываются уникальные возможности фрактальной геометрии. Достаточно ввести несколько параметров, задающих правила, копирования изображения точек в масштабе, уменьшающемся с каждым шагом, чтобы получить множество, описание которого обычными методами потребовало бы сотни тысяч чисел. Кодирование с помощью фрактальных алгоритмов позволит существенно уменьшить время передачи информации. Особенно интересна, и важна, задача, построения трехмерных представлений фракталов для создания моделей эрозии почв, разломов и трещин в земной коре, береговой линии, облаков и т.д.
Мандельброт пишет: «Ученые с немалым удивлением и восторгом уяснят для себя, что многие и многие формы, которые они до сих пор вынуждены были характеризовать как зернистые, гидратоподобные, ветвистые, ворсистые морщинистые и т.п., отныне могут изучаться и описываться в строгих количественных терминах».
Хаос в динамических системах. В последние годы стало ясно, что «нехаотические системы столь же редкая вещь, как птичье молоко, хотя наше физическое понимание природы и опирается в основном на.
п = 0
их изучение» (Дж. Форд, [115]). Это обстоятельство имеет далеко идущие последствия во многих областях науки. Удалось найти странный аттрактор в большом числе радиотехнических цепей и механических установок; в пространственно связанных нелинейных системах, например, в моделях перехода, от ламинарного течения к турбулентному, химических реакциях, моделях сердца, генетической изменчивости и образовании биологических структур. Сейчас появилось много других задач, в которых проявляются хаотические режимы. Даже рождение блестящей мысли, возможно, скрывает за. собой хаотический процесс. С этой точки зрения хаос представляет нам механизм для проявления свободной воли в мире, который управляется детерминированными законами [122].
Лекция 20. Нелинейные колебания
20.1. Решение нелинейных уравнений методом усреднения. Рассмотрим уравнение
х + w^x = еДх, х, t), е < 1,(20.1)
описывающее нелинейные колебания системы с одной степенью свободы. Поскольку (20.1) не интегрируется в квадратурах, то приходится использовать приближенные методы исследования. Простейший из них — линеаризация уравнения — дает ограниченное представление об эволюции системы, нс содержащее информации о множестве новых типов движения, принципиально невозможных в линейных системах. В настоящее время известны несколько подходов к исследованию нелинейных колебаний, основы которых были разработаны Дж. Рэлеем, Г. Дуффингом, Б. Ван-дер-Полем, Л. И. Мандельштамом, Н. Д. Папалекси, А. А. Андроновым. Наиболее общий метод исследований нелинейных колебаний развит Н. М. Крыловым, Н. Н. Боголюбовым [123]. Значительный объем исследований был выполнен Ю. А. Митропольским, Н. Н. Моисеевым, В. М. Волосовым и другими математиками [124™ 12 8]. Новые методы оказались весьма, плодотворными для анализа, слабонелинейных систем [ 129™ 133]. Здесь мы рассмотрим один из вариантов метода, усреднения для решения уравнения (20.1). Предполагается, что /0 при t ±оо.
В соответствии с методом Лагранжа, вариации постоянных произведем замену переменных х, х ™э Л, Л*, вводя одновременно комплексное представление координаты и скорости:
х = | Ае™гш°1 + к.с., х = Ае™гш°1 + к.с. (20.2)
Из (20.2) следует уравнение
Подставляя х в (20.1), имеем
+ ^ A*eiwot = eF(A, A*, wot; Ц. (20.4)
В новых переменных уравнение (20.1) эквивалентно системе первого порядка:
А = — eiMatF(A, А*, wof, Ц, А* = e^otF^A, А*, wot; Е
(20.5)
Здесь F — функция /, в которой произведена, замена, переменных (20.2): F(A, А*, ш01- t) = /(x(t), i(t), t). Правые части (20.5) содержат осциллирующие и медленные переменные. Сущность метода, усреднения состоит в том, чтобы разделить быстрые и медленные переменные и получить из (20.5) уравнение, описывающее эволюцию медленных переменных.
Будем искать решение (20.5) в виде разложения
А = ^еАД^(20.6)
в котором функцию подчиним уравнению
ё = егЧt) + £2у2Е, Г О) + ■ ■ -(20.7)
Функции Ап, хп подлежат определению, причем х-ДС С? £) изменяется адиабатически медленно: |dnn/(9t| <; cuo|vn|. Последнее условие означает, что приращение функции щД^, £*, t) за. период То = ^/^q существенно меньше величины ХцНИМ- Подставляя (20.6) в (20.2), получим решение (20.1):
аД) = 1 К + eAi^, ЕЛ)+ KiMot + К.С.,(20.8)
ЛЕ = К + СИ) + ■ •+ к.с.
Будем называть решение уравнения (20.1) в виде разложения хп (Д s) = = ^ЕкфМ^ асимптотическим рядом, если для любых фиксированных п и t
lim в”п[жД) - xn(t. s)] = 0.
Для любых фиксированных e и t асимптотический ряд расходится: |x(t)™ — хп(А в)| ^ ос, н ^ ос. Последовательные приближения хп(А в) вначале приближаются к x(tY но для п, больших некоторого значения по(е), погрешность неограниченно растет. Поэтому если (20.8) — асимптотический ряд, то для наилучшей аппроксимации следует ограничиться вычислением лишь по(е) первых членов разложения. Точное и приближенное
решения, совпадающие при t = tos будут асимптотически близки на конечном интервале 1t — to | в™1. В этом случае решение называют равномерно пригодным на. интервале (t — to).
Из (20.6), (20.7) находим
.i:::=
\ ot)
= £ I Щ j + F I ™—-14 +14 + 14 H—— ) + ... (20.9)
\ ot J \ot J
Подставим (20.6) в F(A, А*, шоЦ t) и, разлагая F в ряд по степеням в:
OFdF
0А, А*, шЛ; t) = F^, е, wot; t) + £ — Al + — A* \ о Aо A*
получим из (20.5), (20.9) в первом приближении по параметру е соотношение
ггч + е —^ = — eiwotF^ ^, Wt; t).(20.10)
0t Шо'
Функция F(^ ^*, Dot; t) является 2л-периодической по аргументу Dot и может быть разложена, в ряд Фурье:
F^, С, wot; t)=5 Fn^, С;
Произведем усреднение правой части (20.10) за. период То с единственной целью выделить слагаемое, изменяющееся адиабатически медленно:
t-vrt-vrdteiuotne e,wot; о = ^, елуdteiuotne e,wot; о = ^, елу
t-vr
t-vr
dteiuotne e,wot; о = ^, елу
dteiuotne e,wot; о = ^, елу
Дальнейшая процедура, является характерной особенностью метода, усреднения— полагая гц = (г/сс0)Ф(6 €*, t), из (20.10), (20.7) находим
AiAiггdt\.eiwotF^, E,wot; 1)-Ф^, ГЛ)],dt\.eiwotF^, E,wot; 1)-Ф^, ГЛ)],
Ai
Ai
г
г
dt\.eiwotF^, E,wot; 1)-Ф^, ГЛ)],
dt\.eiwotF^, E,wot; 1)-Ф^, ГЛ)],
Ограничимся первым приближением метода усреднения. Из (20.8) находим
(20.12)(20.12)ж = Rc^e Wo^ ж = Rc (™гш0^е гш°1у
(20.12)
(20.12)
Действительно, из (20.11) следует, что за. время |t — to| ~ в-1 функции и Ai получают конечные приращения s°. Поэтому нс имеет смысла, сохранять член еА^ в (20.12).
Рассмотрим некоторые частные случаи.
Пусть P//3t| < ш0|/|. Тогда. Ф(£, f, t) ее ЕДУ. £*, ty
(20.13)(20.13)U-fx^ еду
(20.13)
(20.13)
В ряде задач удобно использовать действительные переменные. Производя в (20.13) замену = ае~га, получим вместо (20.13) два. уравнения:
е2ттшое2ттшо2ттдД УД. х. t) sin^,о2ттдД УД. х. t) sin^,о.£а = — Екашо.£а = — Екашо2тт(1Д УД. Ж, Д COS ^502тт(1Д УД. Ж, Д COS ^50(20.14)(20.14)
е
2ттшо
е
2ттшо
2тт
дД УД. х. t) sin^,
о
2тт
дД УД. х. t) sin^,
о
.£
а = —
Екашо
.£
а = —
Екашо
2тт
(1Д УД. Ж, Д COS ^5
0
2тт
(1Д УД. Ж, Д COS ^5
0
(20.14)
(20.14)
где х = a cos Д, х= —ашо sin Д, Д = шо! -\- а. Система (20.14) совпадает с уравнениями первого приближения метода. Крылова-Боголюбова [123]. Приведем некоторые справочные данные: (cos2 ^) = 1/2, (cos4 ^) = 3/8, (cos2 V7 sin2 Д^ = 1/8, (cos6^) = 5/16, (cos8 ^) = 35/128.
Предположим, что /(ж, х. Д — периодическая функция с периодом Т = 2л(из. Тогда.
F^, С, Ц = ^Fns(e £*)е^("шо+^)\(20.15)
Усредняя (20.15) за. период То, находим
= ^е-15"1ЕП8^, С),(20.16)
где числа, п, s удовлетворяют условию \6п\ ^( шо, 6п = (п — 1)wq + sw.
Если ш > ш0, то Ф(^, У*, t) = 0.
Пример 20.1. Осциллятор Ван-дер-Поля. Вернемся к уравнению
рассмотренному в примере 19.3. Полагая в (20.14)
/ а2 '
£f(x, х, t) = ™еашо sin^ М- cos2
получим
• 1 (1 а‘"=2£" Г V• 1 (1 а‘"=2£" Г Vd = 0.d = 0.(2)(2)
• 1 (1 а‘"=2£" Г V
• 1 (1 а‘"=2£" Г V
d = 0.
d = 0.
(2)
(2)
Из (2) следует, что
a(t) = aQeet^a(t) = aQeet^'2I™1/2'2I™1/2а = ад.а = ад.
a(t) = aQeet^
a(t) = aQeet^
'2I™1/2
'2I™1/2
а = ад.
а = ад.
При I ^ е™1 имеем предельны! цикл: a(t) = 2с, а = «о, $(t) = = 2сcos (wot + ao)-
Уравнение (1) описывает автоколебательную систему, представляющую ламповый генератор на. триоде с контуром в сеточной или анодной цепях [76, 84, 123].
Автоколебания. Этот термин, введенный в 1928 г. А. А. Андроновым, обозначает незатухающие колебания нелинейной диссипативной системы, в которой потери энергии компенсируются постоянным потоком энергии от внешнего источника. В отличие от собственных и вынужденных колебаний амплитуда, автоколебаний определяется параметрами самой системы. В стационарном режиме фазовый портрет автоколебаний представляет собой предельный цикл.
В простейших автоколебательных системах участвуют три компонента: колебательная система, механизм обратной связи, регулирующий поток энергии от источника, энергии, и существенно нелинейный ограничитель амплитуды колебаний.
Рассмотрим призму квадратного сечения, обдуваемую потоком воздуха.
Рис. 20.1Рис. 20.1
Рис. 20.1
Рис. 20.1
со скоростью v (рис. 20.1). Призма, опирается на. пружины, соединена, с амортизатором и может перемещаться только в вертикальном направлении
под прямым углом к ветру. При скорости ветра, относительно призмы уд возникает вертикальная составляющая силы Fx = (1 / 2) pv2 S С (ф), р — плотность воздуха, S — площадь фронтальной поверхности. На. основании графика экспериментальной зависимости 0(99) (tg92 = i/n) можно представить Fx в виде степенного ряда. [90]:
pv2Spv2S
pv2S
pv2S
Пусть и —жесткость пружин, F^p = —тх —сила, действующая на. призму со стороны амортизатора. Представим уравнение движения призмы тх + хх = —гх + Fx в видеПусть и —жесткость пружин, F^p = —тх —сила, действующая на. призму со стороны амортизатора. Представим уравнение движения призмы тх + хх = —гх + Fx в видех + ш^х = gх + ш^х = gшшооmmС з ( ж\( ж\ ^7 ( ж\с7 +’pv2SC2т9 = ^Г- "« = 7sc-(211.17)С з ( ж\( ж\ ^7 ( ж\с7 +’pv2SC2т9 = ^Г- "« = 7sc-(211.17)В линейном приближении начальное возмущение будет затухать при п < по- При х > по положение равновесия х = 0 становится неустойчивым, х^ экспоненциально растет. Однако влияние нелинейных членов в (20.17) приводит к появлению предельного цикла, конечной амплитуды. В первом приближении метода усреднения х = acos^. Из (20.14) находим а = 0,В линейном приближении начальное возмущение будет затухать при п < по- При х > по положение равновесия х = 0 становится неустойчивым, х^ экспоненциально растет. Однако влияние нелинейных членов в (20.17) приводит к появлению предельного цикла, конечной амплитуды. В первом приближении метода усреднения х = acos^. Из (20.14) находим а = 0,ga Г/ поЭЗС3 /шоа\2 5Cs /шо«\4 З5С7 /шо«\6ЛЛ/ Л77 кЛЛ) "^ЛЛкЛ/ ” 64С кЛ/ "(20.18)ga Г/ поЭЗС3 /шоа\2 5Cs /шо«\4 З5С7 /шо«\6ЛЛ/ Л77 кЛЛ) "^ЛЛкЛ/ ” 64С кЛ/ "(20.18)Амплитуда, автоколебаний определяется стационарным решением а = а(п) уравнения а = 0:Амплитуда, автоколебаний определяется стационарным решением а = а(п) уравнения а = 0:по\ 3(7з /шоа\2 5Сз /шо«\4 З5С7 v7 = 4С7 к ЛГ) к ЛГ) + 64Спо\ 3(7з /шоа\2 5Сз /шо«\4 З5С7 v7 = 4С7 к ЛГ) к ЛГ) + 64Сшоа\ 6и /шоа\ 6и /(20.19)(20.19)При п ^> по левая часть (20.19) стремится к единице. Поэтому функция а(п) имеет асимптоту а(п) = const п, проходящую через начало координат (рис. 20.2).Значению а = 0 соответствует неустойчивое состояние, поскольку да/да > 0 при а = 0. Полагая С5 = С7 = - • • = 0, исследуем вначале область, в которой наклон (7(92) убывает:При п ^> по левая часть (20.19) стремится к единице. Поэтому функция а(п) имеет асимптоту а(п) = const п, проходящую через начало координат (рис. 20.2).Значению а = 0 соответствует неустойчивое состояние, поскольку да/да > 0 при а = 0. Полагая С5 = С7 = - • • = 0, исследуем вначале область, в которой наклон (7(92) убывает:
Пусть и —жесткость пружин, F^p = —тх —сила, действующая на. призму со стороны амортизатора. Представим уравнение движения призмы тх + хх = —гх + Fx в виде
Пусть и —жесткость пружин, F^p = —тх —сила, действующая на. призму со стороны амортизатора. Представим уравнение движения призмы тх + хх = —гх + Fx в виде
х + ш^х = g
х + ш^х = g
ш
ш
о
о
m
m
С з ( ж\( ж\ ^7 ( ж\
с7 +’
pv2SC2т
9 = ^Г- "« = 7sc-
(211.17)
С з ( ж\( ж\ ^7 ( ж\
с7 +’
pv2SC2т
9 = ^Г- "« = 7sc-
(211.17)
В линейном приближении начальное возмущение будет затухать при п < по- При х > по положение равновесия х = 0 становится неустойчивым, х^ экспоненциально растет. Однако влияние нелинейных членов в (20.17) приводит к появлению предельного цикла, конечной амплитуды. В первом приближении метода усреднения х = acos^. Из (20.14) находим а = 0,
В линейном приближении начальное возмущение будет затухать при п < по- При х > по положение равновесия х = 0 становится неустойчивым, х^ экспоненциально растет. Однако влияние нелинейных членов в (20.17) приводит к появлению предельного цикла, конечной амплитуды. В первом приближении метода усреднения х = acos^. Из (20.14) находим а = 0,
ga Г/ поЭЗС3 /шоа\2 5Cs /шо«\4 З5С7 /шо«\6
ЛЛ/ Л77 кЛЛ) "^ЛЛкЛ/ ” 64С кЛ/ "
(20.18)
ga Г/ поЭЗС3 /шоа\2 5Cs /шо«\4 З5С7 /шо«\6
ЛЛ/ Л77 кЛЛ) "^ЛЛкЛ/ ” 64С кЛ/ "
(20.18)
Амплитуда, автоколебаний определяется стационарным решением а = а(п) уравнения а = 0:
Амплитуда, автоколебаний определяется стационарным решением а = а(п) уравнения а = 0:
по\ 3(7з /шоа\2 5Сз /шо«\4 З5С7 v7 = 4С7 к ЛГ) к ЛГ) + 64С
по\ 3(7з /шоа\2 5Сз /шо«\4 З5С7 v7 = 4С7 к ЛГ) к ЛГ) + 64С
шоа\ 6
и /
шоа\ 6
и /
(20.19)
(20.19)
При п ^> по левая часть (20.19) стремится к единице. Поэтому функция а(п) имеет асимптоту а(п) = const п, проходящую через начало координат (рис. 20.2).
Значению а = 0 соответствует неустойчивое состояние, поскольку да/да > 0 при а = 0. Полагая С5 = С7 = - • • = 0, исследуем вначале область, в которой наклон (7(92) убывает:
При п ^> по левая часть (20.19) стремится к единице. Поэтому функция а(п) имеет асимптоту а(п) = const п, проходящую через начало координат (рис. 20.2).
Значению а = 0 соответствует неустойчивое состояние, поскольку да/да > 0 при а = 0. Полагая С5 = С7 = - • • = 0, исследуем вначале область, в которой наклон (7(92) убывает:
а2 Л) =а2 Л) =4С /tзсЯ?”1"-""1'4С /tзсЯ?”1"-""1'
а2 Л) =
а2 Л) =
4С /t
зсЯ?”1"-""1'
4С /t
зсЯ?”1"-""1'
8а 8а8 а"'8 а8а 8а8 а"'8 а--|"(у - уо).--|"(у - уо).Для анализа, устойчивости этого решения линеаризуем уравнение (20.18): а = а (г) + z.
8а 8а
8 а"'8 а
8а 8а
8 а"'8 а
--|"(у - уо).
--|"(у - уо).
Следовательно, при и > г?о возникает бифуркация Хопфа. с устойчивым
предельным циклом. Из анализа, экспериментальных данных, приведенных
на. рис. 20.2, следует, что в области 1 < a/vq < < 2 существуют три предельных цикла. Оценивая знак производной 8а/8а, можно заключить, что один из них — неустойчивый предельный цикл — лежит в области, ограниченной двумя устойчивыми предельными циклами. На. рис. 20.2 устойчивые циклы обозначены непрерывной кривой, неустойчивые — штриховой кривой. Гистерезис проявляется в скачке амплитуды при медленном изменении скорости ветра.
Рассмотренная неустойчивость называет
ся галопированием по одной моде. Другой механизм аэроупругой неустойчивости — вихревой резонанс — обусловлен периодическим отрывом вихрей от упругой конструкции при обтекании ветром постоянного напора. Наиболее впечатляющий пример — автоколебания подвесного моста. Такома. в США, который из-за. аэроупругих вибраций разрушился в 1940 г. всего лишь через четыре месяца, после окончания строительства. [134].
Вынужденная синхронизация или «захватывание частоты». Для автоколебательных систем с несколькими степенями свободы характерны явления конкуренции мод и синхронизация колебаний [76, 84]. Здесь мы исследуем частный случай синхронизации — установление автоколебаний с частотой, равной частоте внешнего высоко стабильного генератора. гармонических колебаний. Еще одним интересным примером является человеческое сердце: синхронизация частоты его биений синусовым узлом или внешним генератором импульсов.
Рассмотрим неавтономный генера
тор с контуром в цепи сетки и индуктивной обратной связью (рис. 20.3). Пусть М — коэффициент взаимоиндукции, 1а —сила, анодного тока, L, R —индуктивность и сопротивление контура, Сск = ц — переменное напряжение на. конденсаторе емкостью С, I — сила. тока, в контуре. Сеточным током пренебрегаем. Используя законы Кирхгофа, получим уравнения
LI + и + Ш = MIa + E(t\ Сй = I,
к которым следует добавить соотношение Ia = (81а/8и) й, где S(w) = = д1а/ди = So — S^u2 — крутизна, триода. Исключая Ia, I, запишем уравнение
LCu + VRC - MSQu> + и = Ц1)?
и - 7 12V иби - 7 12V ибй + WqU = ш^ЕЦ\й + WqU = ш^ЕЦ\(20.20)(20.20)которое удобно представить в форме уравнения Ван-дер-Поля:
и - 7 12
V иб
и - 7 12
V иб
й + WqU = ш^ЕЦ\
й + WqU = ш^ЕЦ\
(20.20)
(20.20)
_ 1_ MS0 R 2 _7
Ы ' LC I. U°^ MS2^'
Пусть 8(t) = So cos Ш, 7 < wo- В режиме синхронизации решение (20.20) должно иметь вид w(t) = а0 cos (Ot + а0), где «о, «о — постоянные величины. Реализация этого эффекта, обусловленного нелинейностью системы, позволяет управлять процессом генерации автоколебаний частотой О, равной частоте внешнего стабильного генератора, слабого сигнала. Наша, задача. — определить области устойчивости стационарного решения с постоянными амплитудой и фазой. Вводя расстройку ^ = Wg — Q2, представим (20.20) в виде
й + О2 и = е/, ef = —£п + 7 I 1 — — ) и + WgSg cos Ot.\ no /
Из (20.14) находим систему:
. 7 Л а А .
а = — 1 ——лу а— sin а.
(20.21)(20.21)2 \4а7 2Q '
(20.21)
(20.21)
а = -—— cos а.
20 2Оа
Полагая а = ад, а = ао и исключая ад, получим уранение резонансной
кривой р = р^е):
X1 -р)2 Не2р = е2,
_ «о 2(ш0 - О) 2 _ So Wg(20.22)
4но ’7'07’ С2и0 7'0
Изменяя параметр е, получим семейство резонансных кривых. Точки на. кривой определяют амплитуду автоколебаний при фиксированном значении е в зависимости от расстройки.
Из (20.22) следует, что резонансная кривая лежит в области, удовлетворяющей условию е2 ^ р(1 — р)2. Функция р(1 — р)2 имеет локальный максимум, равный 4/27 при р = 1/3. Следовательно, в случае е2 < 4/27 существуют две ветви резонансной кривой, а. при е2 > 4/27 — только одна, ветвь (рис. 20.4).
Найдем теперь условие устойчивости резонансных кривых, линеаризуя
Рис. 20.4
уравнения (20.21) в окрестности а = а0, а = а0. Полагая а = а0 + + яд, а = а0 + ^2, получим систему: хт = к^х^,
ки=Е1-эд, 42 = -^, ^21 = ^, k^Vi-pYZ^1 L^1 LZ
Характеристическое уравнение имеет вид А2 + рА + q = 0, где
р = -Sp к = у(2р - 1), q = det к = ^^ [(1 - Зр)(1 ™ р) + е2].
Область устойчивости определяется неравенствами р > 0, q > 0: р > 1/2, (1 ™ Зр)(1 ™ р) + е2 >0.
Кривая q = 0 представляет собой эллипс. Найдем резонансную кривую, касающуюся этого эллипса. Дифференцируя (20.22) и д(р) = 0 по р, получим систему:
1 — 4р + Зр" + е^ 4” 2е£ р = 0, —2 4~ Зр 4~ ее :=: 0, определяющую координату точки касания е1 = 0: £К = 1/V3, рк = 2/3. Из (20.22) находим е2 = 8/27.
Граница, области устойчивости выделена, на. рис. 20.4 утолщенной линией. Для слабого сигнала, е < 1 область синхронизации лежит в окрестности точки р = 1, |е| е. Для сильного — область синхронизации определяется условиями р > 1/2, р(1 — р)2 + е2р > 8/27.
Система с медленно изменяющимися параметрами. Найдем асимптотическое решение уравнения
определяющего эволюцию некоторой системы с одним или несколькими управляющими параметрами An(t), п = 1, 2,... Пусть G(t) >0, k(t) >0. Тогда величина. w(t) = ^k(t)/G^1^2 играет роль мгновенной частоты; T(t) = 2тг/си(£) — мгновенный период. Предположим далее, что функции G^t^ k(t) изменяются адиабатически медленно: |G|<CwG; |^|<Сси/о Поскольку |ш| « ш2, то поведение системы характеризуется малым параметром адиабатичности еа = |ш|/ш2.
Приближенное решение уравнения (20.23) при е = 0 впервые было получено в 1837 г. независимо Ж. Лиувиллем и Дж. Грином:
(20.24)(20.24)
(20.24)
(20.24)
где ф = dtw^t\ еа << 1 [135]. Будем искать решение (20.23) в ви
де (20.24). Из (20.24) получим уравнение
В -В -В d(G^\2Gw dt )В d(G^\2Gw dt )е + к.с. = 0.е + к.с. = 0.
В -
В -
В d(G^\
2Gw dt )
В d(G^\
2Gw dt )
е + к.с. = 0.
е + к.с. = 0.
Подставляя х в (20.23), найдем еще одно уравнение:
г2г2(в + ^ ^^Л e"iv + к.с. = -^F^B, В*, t^
г
2
г
2
\ 2Gw dt )VGuj
где F(B, В*, ф; t) — функция Q(x, х, t), в которой произведена замена. (20.24). Исключая из полученных уравнений В*, имеем
В = -4=е^ЛВ. В*. ^ Ц + —Г^2в*е2Х(20.25)
JCkL2Gw dtv
В первом приближении метода, усреднения
2тт
2тгд/Сш . о2тгд/Сш . оdфF(B, В\ ф; 1)е^dфF(B, В\ ф; 1)е^Переходя к действительным переменным В, В* ^Ъ, 0: В = be г^, получимПереходя к действительным переменным В, В* ^Ъ, 0: В = be г^, получим2'kVGu)2'kVGu)2ттАф Q(x, ^) ^) sin (ф + 3)^ о2ттАф Q(x, ^) ^) sin (ф + 3)^ о(20.26)(20.26)е2nbVGw .ое2nbVGw .оdфQ^x^ х^ t) cos (ф + /3),dфQ^x^ х^ t) cos (ф + /3),
2тгд/Сш . о
2тгд/Сш . о
dфF(B, В\ ф; 1)е^
dфF(B, В\ ф; 1)е^
Переходя к действительным переменным В, В* ^Ъ, 0: В = be г^, получим
Переходя к действительным переменным В, В* ^Ъ, 0: В = be г^, получим
2'kVGu)
2'kVGu)
2тт
Аф Q(x, ^) ^) sin (ф + 3)^ о
2тт
Аф Q(x, ^) ^) sin (ф + 3)^ о
(20.26)
(20.26)
е
2nbVGw .
о
е
2nbVGw .
о
dфQ^x^ х^ t) cos (ф + /3),
dфQ^x^ х^ t) cos (ф + /3),
х =х =cos (ф Г 3Ycos (ф Г 3Y-V3Y-V3Y(2027)(2027)
х =
х =
cos (ф Г 3Y
cos (ф Г 3Y
-V3Y
-V3Y
(2027)
(2027)
Пример 202. Длина математического маятника l(t) = lo + ut, и<П <Пл/д1. Найдем решение уравнения движения в окрестности положения равновесия.
Пусть 9 — угол отклонения нити от вертикали. Скорость частицы v2 = = l2rl292, потенциальная энергия U(9) = —mgl cos 9 ~ —mgl(l — 92/2\ Лагранжиан системы
.а2а2
L(9^ 9, t) = ml2 —— ^gl —
приводит к уравнению движения
Г1Ч)+д19 = 0.(7)
Поскольку выполняется условие адиабатически медленного изменения ш = \fgjl (|2| << ш2), то решение имеет вид (2027). Из (20.26) находим b = 0, 3 = 0. Следовательно, b = Ьо, 3 = Зо,
6W +6W +(2)(2)"2 /'
6W +
6W +
(2)
(2)
cos ™V9^о + ut) + Зо •
Уравнение (I) имеет точное решение в терминах функций Бесселя и Неймана. [29]. Переходя к переменной I, получим
dl ( ex = 2 ajxdl ( ex = 2 ajx^9 dl/ 2^9 dl/ 2+49=°’и2 '+49=°’и2 'gZ) + BNi (—\/gi)\иgZ) + BNi (—\/gi)\и(3)(3)
dl ( ex = 2 ajx
dl ( ex = 2 ajx
^9 dl
/ 2
^9 dl
/ 2
+49=°’
и2 '
+49=°’
и2 '
gZ) + BNi (—\/gi)\и
gZ) + BNi (—\/gi)\и
(3)
(3)
2
Тогда решение (3) совпадаете (2).
Адиабатические инварианты. Полагая в (2023) eQ = 0, получим уравнение осциллятора, с медленно изменяющимися параметрами. В первом приближении метода, усреднения (Ь = Ьо, 3 = Зо) пол™ ная энергия
EX = GX^+kX^ = ^т*(20.28)
Следовательно, в пределах точности используемого решения (20.27) сохраняется величина. E{t)/w {t), имеющая размерность постоянной Планка. Величины, сохраняющиеся при медленном изменении параметров системы, называются адиабатическими инвариантами. На. интервалах времени, значительно превышающих характерное время медленных изменений в системе, адиабатические инварианты не сохраняются [28, 109, 136].
Соотношению (20.28) можно придать наглядный геометрический смысл. Введем импульс р = Gx и вычислим величину, называемую действием:
2тт
Г dp G1 9Е
I = — opdx сэ —ж" = - Е = —.(20.29)
2тг Г J 2тг си2 0си'7
о
Интеграл в (20.29) — площадь, охватываемая замкнутой траекторией в фазовой плоскости ж^р. В квантовомеханической интерпретации величина. I/ Н определяет число п квантовых состояний с энергиями, не превышающими значения Еп = hun [49]. В этом аспекте представляет интерес статья Я. Б. Зельдовича. «Как квантовая механика, позволяет понять классическую механику?» [137].
С адиабатическими инвариантами систем с несколькими степенями свободы связаны многочисленные приложения классической и квантовой физики [138—140]. Новый метод вычисления адиабатических инвариантов изложен в лекции 31 [141].
Параметрический резонанс в нелинейной системе. Рассмотрим нелинейный осциллятор с переменными параметрами, описываемый уравнением
ж + (wg — h cos ujt)x = ^ ж3.(20.30)
Наибольший интерес представляет резонансный случай си 2cuq. Введем расстройку б = wq ™ си/2, |J| <С ссо- Полагая в (20.1) ef = hx cos wt + + {kQ /3!)ж3, получим из (20.11) в первом приближении метода, усреднения
Eik\^
где а = Л/(4ш0), к = ко/{16шо). Для исключения коэффициента, явно зависящего от времени, произведем замену ^ = регб1:
ц = —idp + lap* + г/^|ц|2ц.(20.31)
Рассмотрим предварительно два. частных случая.
Ангармонический осциллятор. Пусть h = 0, д = 0, ко = Wg. Тогда. (20.30) — уравнение математического маятника, х + cugsinx = 0 в приближении sin ж ~ ж- ж3/31 Полагая ^ = ае™га, находим решение: а = ад, а = ™{шо/16)ад1 + ад.
= а0 cos\54a0t + «о],О(«о) = ш0 (1 - ^|) .
Частота, зависит от амплитуды колебаний.
Параметрический резонанс. Пусть iy = 0. Полагая в (20.31) Т] = = 21 + гг^, получим систему вида. (19.7): 2Ш = kmnzny ku = k^ = = 0, ^12 = о Г б, /^21 = о - 5. Если б2 > а2, то det А = б2 - о2 > 0. Решение (19.14) этой системы ограничено. В случае б2 < о2 величина. det А: = —п2 < 0, и2 = а2 — б2. Решение системы в соответствии с (19.11) имеет вид
ЛчЛ _ /о + б а + А /С16-ПЛу 22/ ™ \п / у C2Cnt у ■
Общее решение (20.30) хф) = 21 cos (wt/2) + 22 sin (wt/2). Таким образом, если си лежит в интервале
2^0 — -< си < 2cuq + -,(20.32)
ZUJqZUJq
то положение равновесия становится неустойчивым. Это явление называется параметрическим резонансом (см. лекцию 29).
Рассмотрим теперь общий случай. Полагая в (20.31) т] = VHe™^, получим систему, которую удобно представить в гамильтоновой форме:
• ЭН ; ЭН
I =, Ф =
ЭфЭ1(20.33)
Нфф I) = (5 - a cos 2ф)1 ^kl2.
Система (20.33) имеет первый интеграл Нфф ф) = С. Легко убедиться, что величина. I ограничена. — наличие нелинейного члена, в (20.30) приводит к ограниченности решения. Это обстоятельство обусловлено тем, что с ростом амплитуды уменьшается частота, колебаний и нарушается условие синхронизма. (20.32).
Благодаря существованию первого интеграла, система. (20.33) интегрируема. Ограничимся определением стационарного решения, полагая -\/21 = = по, ф = фо. Из (20.33) имеем
sin 2-^0 = 0, д — ст cos 2^0 ™ ка^ = 0.
В случае |J| < а находим фо = =Ьтг/2, а^ = (сг + б)/к. Решение уравнения (20.30) хф) = =ра0 sin (си^/2). При резонансной частоте си = 2сио амплитуда колебаний а^ = 4h/ко.
Многомерные системы. Рассмотрим систему
Жщ "V Г.тпхГ1 — ьт/тф, хрЖщ "V Г.тпхГ1 — ьт/тф, хрст 1.ст 1.(20.34)(20.34)
Жщ "V Г.тпхГ1 — ьт/тф, хр
Жщ "V Г.тпхГ1 — ьт/тф, хр
ст 1.
ст 1.
(20.34)
(20.34)
Для того, чтобы найти решение системы методом усреднения, перейдем к новым переменным х -н z: хт = Ттцгц. Здесь Т — матрица, приводящая матрицу К к жордановой форме: Т-1КТ = J. Умножая обе части (20.34) на. Т, имеем
^р, Jpv^n — Ty?TnfTn(Tz, Tz)bm.
В случае некратных корней J^v = Х^б^, А^ > 0 — собственные значения матрицы К.
Ищем решение 2Д в виде
Zp = КеАрв-1^,Zp = -Кег\рАрв"гХЛ.
В первом приближении метода, усреднения
Ар = ^р=аре"^,б=ец9ДЬ Г),
Здесь Fm(^ ^*, t) —вектор-функция /(ж, ж), в аргументах которой произведена. замена.
жш = КеТШр,^е ' м ,^тп — Re iTm^ Хц, ^^ 6 '.
ГЛАВА 5
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Лекция 21. Кинематика и динамические переменные твердого тела
Координаты твердого тела. Твердым телом в механике называют систему N материальных частиц., расстояние между которыми постоянны: |га — г^| = саь. Наличие связей уменьшает число степеней свободы от 3N до шести. Действительно, выберем три произвольные частицы, не лежащие на. одной прямой. Поскольку мы имеем три уравнения связи, то остаются шесть независимых координат. Положение других N — 3 точек определяется из условий связи.
Каким же образом шесть функций могут однозначно определить положение твердого тела, в пространстве? Введем две декартовые системы координат: инерциальную К с базисом ei, е2, е3 и движущуюся систему координат К’, базис ко/торой е^, ©2, ед жестко связан с твердым телом
( а Г' а^2 \ (рис. 21.1). Начало движущейся системы коор- \ динат К* можно совместить с любой точкой О’ \) твердого тела. Пусть радиус-вектор г ст соединя-
е а / / V ^ei У ет начал0 координат О, О’ двух систем. Ориен- /тацию осей системы К’ относительно системы
У >К зададим матрицей направляющих косинусов:
У\О е?
=(21.1)
Рис 21 1 ‘ 'Согласно (2.3) условие ортогональности матри
цы S приводит к шести соотношениям, связывающим элементы Sim- Следовательно, элементы Sim могут быть выражены в терминах трех независимых параметров. В частности, этими параметрами могут быть углы Эйлера, Депри, Брайнта-Картана, параметры Эйлера, и т.д. [15, 142-148].
Рассмотрим произвольную точку а твердого тела. Ее положение в базисе е^ определяется постоянными координатами ж^, Ж2, х3. Вектор, соединяющий начало координат О1 с точкой а, г1 = ж^е^. Радиус-вектор точки а в неподвижной системе отсчета.
(21.2)(21.2)г = ГО' + г' = го- + х^е'п
(21.2)
(21.2)
определяется тремя функциями г ст и тремя переменными, в качестве которых выберем углы Эйлера.
Углы Эйлера. Совершим параллельный перенос базиса. еп в точку 02 В исходном положении базис е^ совпадает с базисом еп. Пространственная ориентация базиса, е^, жестко связанного с телом, определяется в
результате трех последовательных поворотов на углы р^ 9^ ^, задаваемых матрицами А, В, С:
е^ = Snjep S = СВ А.
Напомним соглашение., в соответствии с которым угол поворота, возрастает при вращении в направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки.
Первый поворот выполняется вокруг оси z на угол р (рис. 21.2). Ось х переходит в новое положение О^. Прямую О^ называют линией узлов. Второй поворот на. угол 9 вокруг оси О'^ переводит ось z промежуточного базиса, в конечное состояние О' zr. Третий поворот на. угол ф вокруг оси ОС’ приводит к конечной ориентации базиса, (рис. 21.3). Характерной особенностью введения углов Эйлера, является последовательность (3, 1, 3) индексов осей поворотов. Матрицы Л, В, С соответственно равны
cos р sin р 0\/1— sin р cos р 0,0001/ \0cos р sin р 0\/1— sin р cos р 0,0001/ \00 0 \ / cos^ sin ф О'cos 9 sin 9 , — sin ^ cos ф 0— sin# cos 9/ \ 0 0 1,
cos р sin р 0\/1
— sin р cos р 0,0
001/ \0
cos р sin р 0\/1
— sin р cos р 0,0
001/ \0
Далее найдем матрицу S:
СуСф8 уС"9 ФS-фСфС-фС-О Sф.^9 ^фСуСф8 уС"9 ФS-фСфС-фС-О Sф.^9 ^фСрвф + 8уС0Сф8р8ф Т СрСд Сф§9^^Срвф + 8уС0Сф8р8ф Т СрСд Сф§9^^8 у 8 9Ср 8 gсе8 у 8 9Ср 8 gсе(21.3)(21.3)
СуСф8 уС"9 Ф
S-фСфС-фС-О Sф
.^9 ^ф
СуСф8 уС"9 Ф
S-фСфС-фС-О Sф
.^9 ^ф
Срвф + 8уС0Сф8р8ф Т СрСд Сф§9^^
Срвф + 8уС0Сф8р8ф Т СрСд Сф§9^^
8 у 8 9
Ср 8 gсе
8 у 8 9
Ср 8 gсе
(21.3)
(21.3)
Здесь использованы сокращенные обозначения: с^, с#, сф для cos^, cos^, cos р и sp, eg, 8ф для sin^, sin^, sin р. Отметим, что при 9 = 0 матрица. S = СА = А(ркф\
ххРис. 21.2Рис. 21.2Рис. 21.3Рис. 21.3
х
х
Рис. 21.2
Рис. 21.2
Рис. 21.3
Рис. 21.3
Угловая скорость. Во второй лекции мы нашли производную орта, е • (t) подвижного базиса:
(21-4)(21-4)ё'гР = ACL
(21-4)
(21-4)
Поскольку базис е • жестко связан с твердым телом, то ш является вектором угловой скорости. Компоненты вектора, ш в подвижном базисе определяются формулой (2.6):
/ ^// A qT/ ^// A qT(21.5)(21.5)
/ ^// A qT
/ ^// A qT
(21.5)
(21.5)
Подставляя S = СВ А в (21.5), получим тензор
А = рВА + СВА + СВЗ)АТВТСТ = w'w + Jw + w'P, 'О _ р рт Чу) _ р 6. рТ рт
JVC — С В ■ А АТ Вт Ст— ъаг^гзкЗ •
Найдем вначале матрицы ССТ, ВВТ, ААТ:
0 ф (Л/0о0\/ о ф 0\
^00,0о0 L-^00.
ооо/\о-9о)\ о о о/
^2° = ф,= />СО8 0,^2° = ф,= />СО8 0,= <9sin^,= 9сойф,= <9sin^,= 9сойф,После умножения матриц получим отличные от нуля элементы антисимметричных тензоров:
^2° = ф,
= />СО8 0,
^2° = ф,
= />СО8 0,
= <9sin^,= 9сойф,
= <9sin^,= 9сойф,
= —фсо$ф sin <9,= Ф sin ф sin 9.
Компоненты вектора, угловой скорости в системе координат, жестко связанной с твердым телом:
cj( = се?2з = 9 cos ф + ф sin ф sin <9,
ш2 = Ш31 =8^П Ф + Ф cos Ф 8^П ^?(21.6)
LUg = Ц2 = ф + ф cos 9.
Если ввести орт е^ = Л2пеп, направленный по линии узлов, то
ш = фе3 + 9е^ + феф(21.7)
Компоненты ф, 9, Ф называются соответственно угловыми скоростями прецессии, нутации и собственного вращения.
Полезно найти компоненты векторам в неподвижном базисе еп, определяемые формулой (2.9а):
= ^suv^^ ШММ = ^р,а^р0ШаР ~ ^ piaSvpSamSmp = S^Sap.
Отличные от нуля элементы тензора, ш = ш^ + ш^9^ 1-ш^ равны
cos <9, д/^ = ф sin 9 cos р^ w1^ = ^ sin <9 sin^,w'^ = —^sin^, w'^ = 9cosp, cC^ = P-
Следовательно, компоненты угловой скорости
wi = ^23 = Ф sin <9 sin p + 9 cos p^
cu2 = ^31 = —^ sin 9 cos p + 9 sin p,(21.8)
CJ3 = W12 = ф cos 9 Л p.
Скорость и ускорение частиц твердого тела. Дифференцируя (21.2), получим, учитывая (21.4), скорость точки а
г = го- + х'„ё^ = го- + 4[yen] = То- + W. (21.9)
Ускорение точки
г = го' + М^г']] + [wr'].
Мгновенная ось вращения. Согласно (21.9) скорость точки а можно представить двумя выражениями
Va=Vc + [wrca], Va = Vp + [шГра],
где С и Р — точки, в которых находятся начала подвижных базисов. Следовательно, скорости точек Р и С связаны соотношением
vp = vc + [шгор].(21.10)
Очевидно, wva = w vc: проекции скоростей всех точек тела. на. направление вектора, ш одинаковы. Если при определенном выборе точки С в некоторый момент времени wvp = 0, то всегда, можно найти такую точку F, скорость которой vp = 0:
0 = vcP^cpY(21.11)
Точка. Р может оказаться и вне объема, тела. Скорость какой-либо точки
va = [шгра].
Движение твердого тела, представляет собой чистое вращение вокруг оси, проходящей через точку Р и параллельной вектору uj. Эту ось называют
мгновенной осью вращения. Из (21.11) найдем вектор тср. перпендикулярный угловой скорости:
[wvc] = [Цожср] TCP = [cdvcj/ш2.
На. рис. 21.4 изображен конус, катящийся по плоскости без проскальзывания; его вершина, шарнирно закреплена, на. высоте, равной радиусу основания а. Угол раствора, конуса. — 2а. Мгновенной осью вращения является прямая, проходящая через неподвижные точки образующей АВ. Если точка. С —центр масс, то АС = (3/4) А О. Из (21.11) следует, что величина, скорости центра, масс
(21.12)(21.12)3
(21.12)
(21.12)
и с = ш г ср, тср — р a cos а.
Чистое качение. Если движущееся твердое тело соприкасается с некоторой поверхностью, то число степеней свободы уменьшается.
Рис. 21.4Рис. 21.4При чистом качении относительные скорости соприкасающихся точек тела, и поверхности равны нулю. Это условие выражается уравнениями связи вида. (14.18), содержащими обобщенные скорости и координаты.
Рис. 21.4
Рис. 21.4
А Рассмотрим качение шара, по неподвижной горизонтальной плоскости. Пусть Р — точка, соприкосновения шара и плоскости, С —центр масс. При чистом качении (vp = 0) имеем уравнение связи (21.11). Запишем его в явном виде, в системе координат с осью д, направленной вертикально вверх: 0 = хс — аш^, 0 = ус Г
Гашж^ 0 = 2р, где а —радиус шара. Последнее уравнение интегрируется и дает голономную связь др ™ а = 0. Подставляя из (21.8) шж, шу, получим две неголономные дифференциальные связи:
0 = же + а(Ф sin 9 cos р — 9 sin 99),
0 = у с + Q-^ sin 9 Аир Г 9 cos 99).
Динамические переменные. Поскольку в механике твердое тело представляет собой ограниченный объем не де формируемой сплошной среды, то во всех формулах, относящихся к системе N частиц, мы должны произвести замену символа, суммирования по массам частиц интегралом:
У^ шо • • • d3x' р(х', у\ С) • • • = dm ...
Обозначим буквой R радиус-вектор центра, масс тела. Учитывая (21.2),
находим
R= —тR= —тdm г =dm г =1т1тdm (гО/ + г') = гО/ + R\dm (гО/ + г') = гО/ + R\R' = —тR' = —тdm г'.dm г'.
R= —
т
R= —
т
dm г =
dm г =
1
т
1
т
dm (гО/ + г') = гО/ + R\
dm (гО/ + г') = гО/ + R\
R' = —
т
R' = —
т
dm г'.
dm г'.
Если начало О' подвижной системы масс помещено в центр масс, то R' = = 0, го/ = R.
Импульс твердого тела
(21.13)(21.13)Р = dmr = dm (го' + [w?]) = тгси + m^R'].
(21.13)
(21.13)
Помещая начало О1 подвижной системы координат в центр масс, находим Р = mR.
Момент импульса. Согласно определению
М =
= [гоо Р] + m[R( го'] + dm [г'[сиг']]. (21.14)
Полагая го' = R, имеем
(21.15)(21.15)М = m[R, R] + м<с\ М^) = dm [r'[wr']].
(21.15)
(21.15)
Вектор М(С) является моментом импульса тела относительно центра масс или, как говорят, собственным моментом. Компоненты векторов МЛ^ и сс в подвижном базисе связаны наиболее простым соотношением:
АД = (м(С)еа) = dmpM2-х'Мр^ =1аМ^(21.16)
1«з —1«з —dm(_Tj26a3 - ж'^).dm(_Tj26a3 - ж'^).(21.17)(21.17)
1«з —
1«з —
dm(_Tj26a3 - ж'^).
dm(_Tj26a3 - ж'^).
(21.17)
(21.17)
Тензор 1аз называется тензором моментов инерции или просто тензором инерции в системе координат с началом в центре масс.
Кинетическая энергия
dm (го- + г')2 = — Го- + mro- [wR'] + -dm (го- + г')2 = — Го- + mro- [wR'] + -dm^r']2. (21.18)dm^r']2. (21.18)
dm (го- + г')2 = — Го- + mro- [wR'] + -
dm (го- + г')2 = — Го- + mro- [wR'] + -
dm^r']2. (21.18)
dm^r']2. (21.18)
Полагая го' = R, имеем
T=yR2 + | dm [wr']2.
Второе слагаемое, представляющее кинетическую энергию движения тела, относительно центра, масс, можно представить в виде
Следовательно, кинетическая энергия твердого тела.
(21.19)(21.19)1ар
(21.19)
(21.19)
Тензор инерции. 1. Из определения (21.17) следует, что тензор инерции тела, аддитивен по отношению к частям, из которых оно состоит. Для тела, состоящего из частей А, В,, получим
(21.20)(21.20)Ilk (А + В + . . . ) — Дк (^4) + Дк (S) + . . .
(21.20)
(21.20)
Тензор 1{к симметричен: 1^ = 1^. Поэтому он может быть приведен к диагональному виду путем поворота, системы координат к главным осям инерции ж ж, в которых тензор 1^ имеет вид 1^ = Л^^ (см. лекцию 1).
Найдем соотношение, связывающее тензор
ДА) _ДА) _dm ^аГ -Xa$pdm ^аГ -Xa$p
ДА) _
ДА) _
dm ^аГ -Xa$p
dm ^аГ -Xa$p
ДА) 1ц —ДА) 1ц —dmp+zP Д =dmp+zP Д =dmxy, Д =dmxy, Д =dm xz.dm xz.
ДА) 1ц —
ДА) 1ц —
dmp+zP Д =
dmp+zP Д =
dmxy, Д =
dmxy, Д =
dm xz.
dm xz.
определенный по отношению к системе координат с началом в точке А, с тензором 1ар, определенным по отношению к системе координат, образованной параллельным переносом в центр масс. Если А^ = с, то г = с + И,
^т[<Ь/з(с + г^ Дс + ^Дс + яЩ],
Гр = трХр -саср) + 1ар.
(21.21)
Перечисленные свойства, тензора, инерции су
Рис. 21.5щественно упрощают вычисление элемен
тов 1аЗ •
Пример 21.1. Найдем тензор инерции тонкостенной полусферы массой т, радиусом а в системе координат с началом в центре инерции (рис. 21.5). С этой целью вычислим вначале тензор 1^:
J21—J21—dm ух, I^ = dm^^^Y /2^ =dm ух, I^ = dm^^^Y /2^ =dm yz,dm yz,1^ = — dmzx,1^ = — dmzx,Л = ~ dmzy, 42 = dm^^rpyЛ = ~ dmzy, 42 = dm^^rpy
J21—
J21—
dm ух, I^ = dm^^^Y /2^ =
dm ух, I^ = dm^^^Y /2^ =
dm yz,
dm yz,
1^ = — dmzx,
1^ = — dmzx,
Л = ~ dmzy, 42 = dm^^rpy
Л = ~ dmzy, 42 = dm^^rpy
В силу свойства (21.20) ЛуР^ = ^42^m^ и область интегрирования можно распространить на. всю сферу. Вследствие симметрии сферы не диагональные элементы равны нулю. Далее учтем очевидные соотношения:
Следовательно,
й2 = 1^ = 42 = || ^та2 = ^та2.2, a Jо
Найдем теперь вектор с = (0, 0, с):
тг/22тг
с =с =о dS z = — sin 0 d0 dp a cos 0 = -.
с =
с =
2?ш2 J 2лJJr2
оо
Окончательно из (21.21) получим
9\ 2/и = /22 = ^ma - m9\ 2/и = /22 = ^ma - m°2= — ma ,°2= — ma ,Т ^2/зз = ™ma .Т ^2/зз = ™ma .
9\ 2
/и = /22 = ^ma - m
9\ 2
/и = /22 = ^ma - m
°2
= — ma ,
°2
= — ma ,
Т ^2/зз = ™ma .
Т ^2/зз = ™ma .
Твердое тело с одной неподвижной точкой. Пусть О’ — неподвижная точка, твердого тела. В этом случае число степеней свободы равно трем. Совмещая точку О с точкой О’, получим из (21.13), (21.14), (21.18) динамические переменные
Р = m[wR],Р = m[wR],М= dm [г^сиН]],М= dm [г^сиН]],2 г2 гdm [сиг']2.dm [сиг']2.
Р = m[wR],
Р = m[wR],
М= dm [г^сиН]],
М= dm [г^сиН]],
2 г
2 г
dm [сиг']2.
dm [сиг']2.
В координатах подвижного базиса.
(21.22)(21.22)Р=РЛ< М = М^е'п, T=^HPP'mPРЛ = mEnskZX. М^ = 40)4.
(21.22)
(21.22)
Здесь 1^ — тензор инерции в системе координат с началом в неподвижной точке.
Лекция 22. Уравнения Эйлера
Система, уравнений, описывающая движение твердого тела, должна, содержать шесть независимых уравнений. Поскольку твердое тело является системой частиц, то согласно (4.2), (4.6) импульс и момент импульса, подчиняются уравнениям
N
P = £foi(22.1а)
а=1 N
M = ^[raFa].(22.16)
a=l
Можно различать два. вида, сил, действующих на. твердое тело. К первому относятся силы, действующие на. каждый элемент dm массы тела. Эти силы называют массовыми. Ко второму виду относят силы, возникающие при взаимодействии частиц поверхности тела, с другими телами или внешней средой. Эти силы называют силами реакции.
Равновесие твердого тела. Необходимым и достаточным условием того, чтобы твердое тело находилось в покое, является система, уравнений:
NN
£Fa=0’ £№1=0-(22.2)
В этом случае сумма, моментов сил не зависит от выбора, начала, координат. Действительно, сместим начало координат на. вектор ОО' = с: г = с + г'. Тогда.
£№] = [с £ *y| + £№] = £№].
Равнодействующая сила. Силы Fi, F2, F3,..., приложенные к твердому телу, имеют равнодействующую силу F = Fi + F2 + F3 +..., если ее момент относительно произвольной точки О равен сумме моментов сил относительно той же точки О. Это определение имеет конструктивный характер и позволяет получить три уравнения для определения положения точки приложения равнодействующей силы F.
Пара сил. Силы F3 =—F2 = Fq, приложенные к твердому телу, называют парой сил. Их сумма, равна, нулю. Момент пары сил отличен от нуля. Согласно определению, пара, сил не имеет равнодействующей.
Уравнения Эйлера. Совместим точку О’ с центром масс и перейдем к описанию движения тела, в терминах переменных R и эйлеровых углов an = (р, 0, ДУ Подставляя Р = mR, га = R + r'a в (22.1 а), получим
mR = F(R, a„), F = ^ Fa(R + <).(22.3)
Мы видим, что равнодействующая сил, действующих на. твердое тело F(R, ап), зависит от шести переменных. Для получения полной системы уравнений подставим (21.15) в (22.1 б):
m[RR] + m[RR] + М^ = ^[RFa(R + <)] + ^KFJR + <)].
Учитывая (22.3), найдем уравнение
N
= L(C)(R, a„), Ь<с) = У [<Fa(R + <)].(22.4)
a=l
Здесь lY0)^ «п) — сумма, моментов (относительно центра, масс) всех сил, действующих на. тело.
Запишем теперь (22.3), (22.4) в координатах подвижного базиса: R = = i^e^ ^ = F^e’^. Вычислим производную
R = й'е' + пП^еП = й'е' +
11 11II L ill11 11М J J 1 П/ J
и умножим обе части (22.3) на. е'. В результате получим
тЦ( + eijkWjtp = РЦН^ ап).(22.5)
Обратимся теперь к уравнению (22.4). Полагая М*^ = M^e'n, 1/°) = = L'ne(v имеем
М'Х + MX = М'Х += М'пе'п + Wv мьЛ\ = ЦУп-
11111111111I LIII1111L J J 1 hj fv 11111
Умножая обе части на. е •, получим
(22.6)(22.6)^-г F 6ijkWjMk — L^Rn^ ап\
(22.6)
(22.6)
Пусть базисные векторы подвижного базиса, направлены по главным осям инерции: Rs = RSis^ М- = IisFs = Д^-Из (22.6) получим три уравнения:
11(14 + (/3 — /2)^2Ш3 — ^П
I2W2 + (Д — /з)шдШ^ = L^(22.6а)
^3^3 + (^2 — Л)^1^2 = ^з-
Система. (22.6а.) называется уравнениями Эйлера. Согласно (21.6) компоненты угловой скорости выражаются в терминах углов Эйлера, и их производных. Шесть уравнений (22.5) и (22.6) образуют полную систему уравнений, описывающих движение твердого тела.
Пример 22.1.1. Шар движется без проскальзывания по горизонталь
ной плоскости, вращающейся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью О. Найдем закон движения центра, масс R(t) и угловую скорость w^ty
Тензор инерции шара, радиусом а равен Д8 = I5tSl I = (2/5)ma2. Следовательно, М^ = 1ш. Введем вектор е, перпендикулярный к плос
кости, и вектор г, соединяющий начало координат с точкой Р касания
шара, и плоскости: О = Qe, R = r + ае (рис. 22.1). Уравнение свя
Рис. 22.1Рис. 22.1= [Or], vq = г, rep = —ае,= [Or], vq = г, rep = —ае,mr = Т,(/)mr = Т,(/)Iw = —п[еТ].(2)Iw = —п[еТ].(2)зи /(R) = eR = 0 приводит к уменьшению числа, степеней свободы от шести до пяти и возникновению нормальной силы реакции Ле. Силу реакции N, приложенную в точке F, представим в виде N = Ле + + Т, Те = 0. Уравнения (22.3), (22.4) приобретают вид 0 = mg + Ле, Л = —mge = = mg,
Рис. 22.1
Рис. 22.1
= [Or], vq = г, rep = —ае,
= [Or], vq = г, rep = —ае,
mr = Т,(/)
mr = Т,(/)
Iw = —п[еТ].(2)
Iw = —п[еТ].(2)
Очевидно, наличие связи привело к системе из пяти уравнений. Полагая в (21.10) vp = дополним систему (/) условием отсутствия
скольжения в точке касания:
№№[Or] = г — а [сие].
№
№
Исключим вначале из уравнений (7), (2) силу реакции Т. С этой целью после дифференцирования (3) используем уравнения (7), (2):
г.11 m о2 г гA ma2 Л m
Or = г + а еш = —Т е еТ = — Ц— Т.
т 7ту 7 )
2.
Следовательно, Т = - т[Ог]. Подставляя Т в (7), (2), имеем уравнения
(И(И25
(И
(И
Г =№, ш = — fir.
((а
Отметим, что первое уравнение совпадает с уравнением движения заряженной частицы в однородном магнитном поле. Выберем начальные условия г(0) = (ж0, 0, 0), г(0) = (0, Ож0, 0), щ(0) = 0. Из уравнений (4) находим
72572Л
О)О)- ж0 cos у™ 2 ж°" 2 Ж° 8Ш 7°/ ’
О)
О)
5ж05ж022
5ж0
5ж0
cos - Qi — 1, sin - Qi, 0
77
Следовательно, шар движется по окружности радиусом 7/2|жо|. Подставляя (5) в (21.8), получим систему уравнений первого порядка, относительно углов Эйлера.
Пример 22.1.2. Переход скольжения шара, в качение по неподвижной шероховатой плоскости.
Пусть u(t) — скорость точки шара. F, касающейся плоскости. Тогда, сила, трения скольжения Т = —pmgep, где р —коэффициент трения скольжения, ер = и/и — единичный вектор. Систему уравнений движения:
mr = Т,(7)
= —а[еТ],(2)
дополним соотношением
и= г — а[ше],(3)
связывающим скорости точекС и Р. Теперь продифференцируем (3)
и преобразуем правую часть, используя уравнения (/), (2) также, как в предыдущем примере. В результате имеем уравнение
й =-(7^g/2)ep.
Начальное значение и(0) = и0. Образуя скалярное произведение (4) с вектором и, получим уравнение
(5) dt22 ’
решение которого
2izn / х
ЦЦ = и0—, 0<£^8, t8 = -—; ЦЦ=0, t > t8. 2( pg
В момент времени ts скольжение шара, переходит в качение. Из уравнений (4), (5) следует, что ер — постоянный вектор:
йй
1Г = м-и^ = 0’ ер"
По
-> с = —.
IZO
Теперь уравнения (7), (2) приобретают вид
г = -pgC,
(6)
.g
(7)
^ = ecL
2 а
Очевидно, w^e = const, w(t)c = const. В интервале времени 0 ^ t ^ ts
решение уравнений (б), (7)
«£) = r(0)+v(0)f —(8)
w(t) = w(0) + ^^[ec]L(9)
7а
Направим ось z параллельно вектору е. Пусть в начальный момент времени г(0) = 0, v(0) = (щ, ^2, 0), П2 > 0, ш(0) = (ьД, ЬД, Ь’з), ЬД = Vx/a. Тогда и(0) = (0, гд + сода, 0), с = (0, 1, 0). Отметим, что при движении шара без проскальзывания гд + ^ха = 0. Поэтому шар начинает скользить. Из (5), (Р) получим
ж(£) = их^ y(f) = v2f,
шжД) = Шх ™шиГ) = ^’2,= ш3.
В интервале времени 0 ^ t ^ ts шар движется по параболе. Полагая щ/to) = = 0, находим to = ^//vg, ^ж(^о) = ^i — 5гь/2а — шар по-прежнему скользит по плоскости. В момент времени ts значения скоростей
-\\ _ 5и2 - 2Ш1О
^XS — ^хДз) — ^1 1— ^УД8) —у ?
_2wia - 5v2
7а
При t ^ t8 выполняется соотношение чд + шжа = 0 — шар движется без проскальзывания с постоянной скоростью v = (гд, Юу8^ 0). Если начальное значение угловой скорости ид > 5^2/2а, то ts > to, су8 < 0; при значениях t > to шар скользит в отрицательном направлении оси по параболе, а при переходе в режим качения движется по прямой — игроки в биллиард знают, как заставить шар вернуться назад. При гд = 0 шар движется по оси у в обратном направлении, так же как «закрученный» обруч на соревнованиях по художественной гимнастике.
Рассматривая движение твердого тела, можно наблюдать новые, уникальные эффекты. Сильное впечатление производят особенности движения кельтского камня. Эти камни имеют форму вытянутого эллипсоида. Если раскрутить камень относительно нормали к плоскости в точке контакта, то его движение будет зависеть от направления начальной угловой скорости. Например, при закрутке в направлении движения часовой стрелки камень вращается «нормально». При закрутке в противоположном направлении угловая скорость уменьшается до нуля и камень начинает вращаться в направлении движения часовой стрелки. Если камень наклонить, а затем отпустить, то его колебательное движение переходит во вращательное [275].
Движение твердого тела с одной закрепленной точкой. В этом случае тело имеет три степени свободы. Сила реакции приложена в точке
закрепления. В приближении однородного поля тяготения момент силы тяжести
L =L =dm [r'g] = m[R/g].dm [r'g] = m[R/g].
L =
L =
dm [r'g] = m[R/g].
dm [r'g] = m[R/g].
Подставляя M из (21.22) в (22.16), получим
МЛ += me^R'p ^ .(22.7)
Полная система уравнении должна содержать соотношения (21.6), связывающие угловую скорость и углы Эйлера. Образуем свертку (21.5) с EuvsSvn И учтем (1.10):
£ p^vs^v-n^ 8 — £pvsSim ^ £ sop^ а$3 — ^pp^vn — SpmSmvSvn.
(22.8)(22.8)Поскольку S^vSvn = дтп, то
(22.8)
(22.8)
^рп — £ ррз^рцЛз*
Эта система уравнений называется уравнениями Пуассона.
Пусть g = — ge3. Поскольку е3 = 573е^, то g^ = — gS73. Запишем полную систему уравнений:
IoZa + £ар^шр1^ш^, — т g Еар^R^S^3,(22.7а)
(22.8а)(22.8а)8д.3 — £ pPS^vB^s*
(22.8а)
(22.8а)
Для интегрирования системы (22.7), (22.8) достаточно найти четыре независимых интеграла [146]. Известны три нс содержащих явно время интеграла.
Образуем свертку (22.7а) с иУа и, учитывая (22.8а), получим
4 |йЛ = ~тёеа0МЛУ^ = -тёКрЕ^а^Л
Следовательно, имеем интеграл полной энергии:
раЛ +m^R'l3S03= Е.раЛ +m^R'l3S03= Е.(22.9)(22.9)
раЛ +m^R'l3S03= Е.
раЛ +m^R'l3S03= Е.
(22.9)
(22.9)
Из (22.8) следует очевидный интеграл S^S^ = 1. Далее, образуем свертку (22.7 а) с Sa3, свертку (22.8 а) с Ip£J^ и сложим полученные выражения:
IaZaSa3 4" IpW^Sд,3 — £ap^yUJ^I^UJ^Sa3 4"y£p,vsSv3^s — ^'
В результате находим интеграл
Следовательно, сохраняется проекция момента импульса на ось z.
Случай Л. Эйлера (1758): R/ = О или g = 0. Образуя свертку (22.7а) с laW^, получим интеграл (1аш^)2 = М§, который является следствием уравнений М = 0. Существование четвертого интеграла позволяет найти решение уравнений движения в терминах эллиптических функций [146].
Пример 22.2. Найти решение уравнений движения свободного симметричного волчка. Пусть Д = Д = I > 13. Из (22.7а) следуют уравнения
(7)(2)О)(7)(2)О)М -(I- 13)Лм'3 = О,lZ2 + U - 1з>3Л1 = °’Ь^з = 0.
(7)
(2)
О)
(7)
(2)
О)
Поставим следующие начальные условия:
^(0) = i/40) = 0, 6>(О)=6>о, ^(О)=^о, ^о = О, ^(0)=^.
Из (20.6) находим ш^О) = аур ощ = 0, CJ02 = 920 sin #0, ^оз = Фо Э + фо cos 9о. Выбранные начальные условия соответствуют заданию вектора Мо, компоненты которого в подвижном базисе М^(0) = 0, М-^О) = = 1шо2? M2W = ^з^оз- Полагая в соответствии с рис. 22.2 М^(0) = = 0, М^О) = MgSinyg, М^О) = MgCOSyg, ПОЛуЧИМ
(4)(4)М’д2 — Мд sinyo, 13^’ОЗ — Мд COS уд.
(4)
(4)
Компоненты вектора Мд в неподвижном базисе: Mi=0,M2 = cos^gM^ — — sin О0М3 = — Мд sill (^д — уд), М3 = sin OqM^ + COS О0М3 = Мд COS (^д — — уд). Не ограничивая общности, положим уд = 0о (рис. 22.3).
Рис. 22.2Рис. 22.2Рис. 22.3Рис. 22.3
Рис. 22.2
Рис. 22.2
Рис. 22.3
Рис. 22.3
Тогда из (4) находим
фО = —, фо = Шоз - фо COS Оо = Mo cos Оо у ™ у = Ш03 т— = V-1Мз1
Из уравнения (3) следует, что Ц = с^оз-Подставляя Ц в (/), (2), получим систему
ш^ — риф = О, сёо Т ниф = 0.
Общее решение, содержащее две константы А и В:
Ц = A cos pt + В sin pt, иф = — A sin pt + В cos pt.
В силу начальных условий А = 0, В = шо2^
Ц = М)2 sill Pt, сф = Ь’02 COS Pt.
Мы приходим к выводу, что сохраняется величина проекции угловой скорости на плоскость, перпендикулярную к оси волчка: ь’02 = ^шф^шф. Величина угловой скорости также сохраняется: аг = Wq. Поскольку М3 = = Мо cos 9 = /з^оз, то в соответствии С (4) 9(f) = 6о.
Перейдем теперь к решению кинематических уравнений Пуассона, записанных в форме (21.6):
ф sin ф sin Оо = ь’о2 sin pt, ф cos ф sin 9о = ь’02 cos pt,ф cosOo + ф = а?03.
Учитывая (4), находим ф = фо, ф = фо- Наблюдаемое движение оси волчка определяется вектором
Оз = sin 0 sin ф ex — sin 9 cos ф е2 + cos 9 е3,
который находим из (21.3).
Случай Ж. Лагранжа (1775): симметричный волчок в поле тяжести. Пусть It = I2 = I > I3, Ri = Ro = 0, Яз = I. Тогда из (22.7а) находим 1зШз =0:
I3(^ + ^cos^) = Мф(22.11)
Далее запишем интеграл (22.10). Учитывая (21.3), найдем Si3 = sin ф sin 0, S23 =cos^ sin^, S33=cos^ и, подставляя ш'п из (21.6), получим
Из (22.11), (22.10 а) следует, что
. _ М3- М^иV ■ Z(1 -u2) ’. _ М3- М^иV ■ Z(1 -u2) ’V3 1V3 1М^ ™ М^и1(1 -и2) ’М^ ™ М^и1(1 -и2) ’(22.12)(22.12)
. _ М3- М^иV ■ Z(1 -u2) ’
. _ М3- М^иV ■ Z(1 -u2) ’
V3 1
V3 1
М^ ™ М^и1(1 -и2) ’
М^ ™ М^и1(1 -и2) ’
(22.12)
(22.12)
где и = cos 0. Учитывая (21.22), (22.11), запишем кинетическую энергию волчка:
Т = й(Д2 + ШГ + ^з^2 = 1Г + sin2 у) + Е_ ZоZ X/Z13
и интеграл энергии (22.9):
- (#2 + ф" sin2 6ч +—h т g Zcos 0 = Е. (22.9 а)
z \)21з
Подставляя (22.12) в (22.9 а), найдем
м2 = Ефф Е‘ =(22.13)
91
F^ = ^Е' - mglti^l - м2) - —(М3 - M^uf.(22.14)
Поставим начальные условия: ^(0) = фф) = 0, 0(0) = ^о, ^(0) = = фо. ^(0) = 0, ^(0) = фо, из которых следует М{(0) = 0, М^О) = = 1шо2, Мд(0) = /з^оз- Полагая М^О) = Mosiny, Мд(0) = M0cosy, найдем Мо и у, М3 = Мо cos ф — у), Е' = mgZcos^o + sin2 у.
Полагая е = 2Im gZ/Мд , представим Е(гф в виде
(22.15)(22.15)(22.16)(22.16)Ефф = - (J™^ (и ™ м1)[м - ^20 + s(l - гГ)],щ = cos^o, ^20 = cos (^0 — 2у).
(22.15)
(22.15)
(22.16)
(22.16)
Очевидно, Е(гф обращается в нуль в трех точках:
и = mi, м2,з = ^С1 У V1 ™ 4е(м2о ™ е)],
причем — 1 ^ Mi ^ и ^ м2 ^ 1, м3 > 1 при условии 1 ^ 4е(м2о — в). Область движения по углу 0: ^2 ^ ^ ^ ^о- Запишем (22.15) в виде
/ Мо \ 2
м2 = I — I еф - mi)(m - м2)(м - м3)
и преобразуем (22.17), вводя переменную
Из (22.17) находим уравнение
4w2 = р2(1 — w2)(l —
решением которого является эллиптический синус (см. пример 14.5). Поскольку w(0)=0, w(0)>0, то
pt 'dw
2. ^/(1 — w2)(l — k2w2)
Следовательно, w(t) = sn(pt/2),
u^t) = iii + (^2 — Mi)sn2 ( ту J •(22.18)
Период движения (4/p) ЕС Рассмотрим некоторые частные случаи.
Свободный волчок. Положим g = 0. Тогда е = 0, mi = cos0o, и^ = = cos (0о — 2у), и3 ~ е™1, р = Mq/I. Модуль эллиптического интеграла к = 0, поэтому sn £ = sin^, К = тг/2. Решение (22.8) приобретает вид
— 111) Sill" — = -(^1 + По) —) COS cut =
= cos (0O — 7) cos p — sin (0O — 7) sin p cos ut^ си = Mo/I.
Волчок движется в области 0q — 2р ^ 0 ^ 0О. Это решение можно независимо получить из (22.15): дифференцируя, получим уравнение осциллятора. Если р(0)=0, то 7 = 0, n(t) = cos0o, p(t) = O, ^(^) = М0//з-
Спящий волчок. Положим р = 0о = 0. В этом случае ui = U20 = = 1, F^u) = — (M0//)2(l — u)2[e(l + и) — 1]. Исследуем устойчивость волчка. Полагая и = 1 —ж, ж^(1, разложим F^u) в ряд Тейлора: F^u) = = — (Мо//)2(1 — 2е)х2 + ... Следовательно, колебания по углу 0 будут устойчивы при условии 2е < 1 (Мд > 41т^1\
Быстрый волчок. Предположим, что £ ^( 1. В этом случае кинетическая энергия вращения волчка велика по сравнению с потенциальной энергией. Из (22.16) получим ^2 ~ ^20 ™ е(1 ™ ^1о)? мзМы видим, что
нижняя граница по углу 0 увеличивается на величину ^ £ по сравнению со случаем свободного волчка. Поэтому функцию F(pi) можно аппроксимировать выражением
Рф --уф)- Ы20 + е(1 - Изо)].
Подставим F^ в (22.13). После дифференцирования по времени получим уравнение
ДмД2 ММЛ\ , х
общее решение которого имеет вид
и = A cos cut + В sin cut + ~br + ^i)-
Поскольку m(0) = mi, м(0)=0, то
м(£) = | (м2 + mi) - | (м2 - mi) cosud.
Запишем решение в случае 7 = 0. Тогда м2о = cos do, м(^) = cos do — ™ sin2 ^о(1 — cos ш1\
TW =™ coswt).
Таким образом, при £ <; 1 возникает движение по углу 0 — нутация и прецессия вокруг вертикальной оси. Вследствие трения в точке закрепления нутации быстро затухают и волчок движется со средней скоростью прецессии (Д') = mgl/MQ. Такое движение волчка называют псевдорегулярной прецессией.
Случай С. В. Ковалевской (1888): /х = /2 = 2/3, R’x ф 0, Rk = Я3 = 0. Система (22.7а), (22.8а) будет иметь вид
2ш^ —= 0, 2шо + Циф = ^33, W3 = ™kS23^(22.19)
S13 = W3S23 — иф8зз, S23 = иф8зз — Ь’з^з, S33 = Со’обхз — Со’^оз,
(22.20)
где k = т g R'x /1^. Найдем четвертый интеграл. Из (22.19) имеем
2 —- Ш-1 UA di 1 -2 —- Ш-1 UA di 1 -— (ш^ — шФ^ — —кш^Ззз + 2ш^Си’2ССз,
2 —- Ш-1 UA di 1 -
2 —- Ш-1 UA di 1 -
™си’з(о4 ™ Шо ) + кшх8зз.
Учитывая (22.20), получим
^(^’1 —™ кЗгз) = ь’з(2ь{ш2 — к32зф
■^{2F1F2 — к32з) = ^^3(^1 ™™ к81з).
Из последних уравнений следует интеграл
(Л - Л - kStif + (2wH - kS^f = с.
Существование четырех интегралов позволяет найти решение задачи в квадратурах [146-148].
Движение тела с неподвижной осью. Совместим начало О и О1 двух базисов. Пусть ось вращения совпадает с ортами е^=е^ : ш = 0eL Радиус-вектор центра масс R = ге3. Скорость центра масс R = гё3 = = г[ше'3] = гОе^, момент импульса М = М^е^, М^ = Imn^m = 91по. Из (22.5), (22.6) получим систему уравнений:
ттё = F^ 0 = F^ -mr^ = F3,(22.21)
112^ + ^I32 = 4, Ы = L^ W ™ ^Ж = 4-(22.22)
Пример 22.3. Однородный тонкий стержень АВ движется в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку А. Найдем закон движения и силы реакции, действующие со стороны оси (рис. 22.4 а).
Пусть m, I — масса и длина стержня. Тогда г = 1/2, /^ = 1^ = = 1, I = mP/2>, Iik=0, i^k,
g'i = — gsin#, g2 = 0, g3 = gcos0, [Rmg] = -m^l/2^.
Из (22.21), (22.22) получим систему:
m^6 = N3 ™ m^An.9, 0 = Ж?W
™mLo" = N3 + mgeos^,(2)
(3)(3)19 = --mg sin#.
(3)
(3)
Из последнего уравнения следует интеграл
и решениеи решениеd9 [Id9 [I™192 — т g ^ cos 9 = Е.
и решение
и решение
d9 [I
d9 [I
• I М"1/2
Е + т g - cos 9 j
После определения 9^ найдем силы реакции
№ = т g sin 9 ( 1 —= ^Г sin 9, N!> = О,
1\41 )4“
N^ = —т g cos 9 — т-92.
Из (4) следует интересная особенность: сила реакции имеет компоненту N^. В случае математического маятника длиной //2 величина Ж3=0.
Удар стержня о преграду. Центр удара. Закрепим тонкий прут параллельно оси вращения стержня, пересекающим ось z в точке К на расстоянии г к = h от оси (рис. 22.4 б). В начальный момент времени стержень АВ отклонен на угол 9 = —9q. При ударе по пруту на стержень действует сила Т = (—Г, 0, 0) со стороны прута; момент силы М = (0, —Th^ 0). Полагая 9 = 0 в уравнениях (7), (3), получим систему уравнений:
| ml9 = N[—T,
19 = —hT,
из которой находим N^=T(1 — mlh/2Bp При значении h = 2I/ml = 21 /3 поперечная компонента силы реакции обращается в нуль. В этом случае точка К называется центром удара. Вращающиеся ударные устройства (маятниковые копры, курки ружей и т.д.) конструируются так, чтобы точка К была по отношению к оси вращения центром удара.
Оси Резаля. Для описания ориентации осесимметричного тела удобно использовать «проскальзывающий» базис. Направим орт п3 = е'3 по оси симметрии. Он образует угол 9 с осью z. Другой орт ni совместим с линией узлов. Он образует угол р с осью ж неподвижного базиса. Третий орт п2 = [п3П1]. Полагая в матрице (21.3) ^ = 0, получим
n3 = sin 9 sin pei — sin 9 cos pe^ + cos 9e3, (22.23 a) щ = cos pei + sin peo. (22.23 6)
Далее находим
(22.23 в)(22.23 в)n2 = — cos 0 sin pei + cos 0 cos pe^ + sin 6e3.
(22.23 в)
(22.23 в)
Угловую скорость подвижного базиса обозначим О. Поскольку вращение подвижного базиса нс связано с изменением угла ф, то полагая в (21.6) ^ = 0, ^ = 0, получим проекции П и ш на орты базиса па (А = 1, 2, 3):
(22.24)(22.24)О = ф, (^sin^, рш^9ф и) = (Hi, О2, О3 + фф
(22.24)
(22.24)
Совместим точку О’ с центром масс тела. В координатах подвижного базиса па имеем P = mR, R = nana, М(с^=Мапа, Ма = 1ааРа. Из (22.3), (22.4) получим систему уравнений:
(22.25)(22.26)(22.25)(22.26)тйа + meap^Optp = Fa,Ма + еар^Ор М^ = La,
(22.25)
(22.26)
(22.25)
(22.26)
где Fa = Fna, La = Lna — проекция суммы сил и суммы моментов сил
на оси Рсзаля.
проходит ось СО, располо- Другой конец оси шарнирнопроходит ось СО, располо- Другой конец оси шарнирноПример 22.4. Через центр диска С женная перпендикулярно к его плоскости.
проходит ось СО, располо- Другой конец оси шарнирно
проходит ось СО, располо- Другой конец оси шарнирно
Рис. 22.4направлена параллельно мгно-Рис. 22.4направлена параллельно мгно-закреплен в точке, находящейся на расстоянии, равном радиусу диска от горизонтальной шероховатости плоскости, по которой диск катится без проскальзывания с постоянной угловой скоростью. Найдем силы реакции связей в точках шарнирного закрепления и касания диска с плоскостью.
Рис. 22.4
направлена параллельно мгно-
Рис. 22.4
направлена параллельно мгно-
На рис. 22.5 Р — точка соприкосновения диска с плоскостью, длина ОС = I, радиус диска РС = а; Т, N — силы реакции. Пусть угловая скорость вращения оси диска равна По. Угловая скорость диска ш венной оси вращения РО. Следовательно,
0 = Поп2, ш = Поп2 + Ш3П3, ш3 = ™(Z/a)Oo, R = /пз,R = Z[On3] = Ш0П1, R = ™ШдП3.
Из (22.25) получим уравнения
0 = М, 0 = ™mg + T + ^2, -mlfl20 = N3.(7)
Поскольку М = Ш0Т12 + /2^3П3,
L = /[n3mg] + [О^Т] = (mg™ Г) /пъ
то из (22.26) следует уравнение
Оо^з-Ь = Цт^™Т).(2)
Из (/), (2) находим 2Vi=0,
О2О2
N2 = -/3А Яз = -т/< Т = mg+/3Aа’а
Заметим, что вследствие вращения системы вокруг оси п2, возникает пара сил =Ы3ш3Поп2, приложенных в точках Р и О. Сила 13ш3Поп2, приложенная в точке Р, обусловлена дополнительным к статическому давлением диска на плоскость. Этот эффект используется для размельчения твердых материалов в дробильных мельницах.
Гироскопический момент. Назовем гироскопом тело с главными моментами инерции 1Х = 12 ^ 13, вращающееся вокруг оси симметрии, закрепленной на неподвижном или движущемся объекте. Существует большое число устройств, которые содержат быстровращающиеся элементы — гироскопы: турбины на теплоходах, колеса машин и вагонов, винт самолета и т.д. В общем случае положение подвижного объекта как твердого тела определяется координатами центра масс и углами Эйлера. При движении объекта изменяется и ориентация осей Резаля, поскольку подшипники, на которых укреплена ось гироскопа, жестко связаны с объектом.
Запишем теперь уравнения (22.25), (22.26) в приближении заданного движения объекта. Направим орт п3 по оси гироскопа и предположим, что угловая скорость собственного вращения \-ф\ ^>|П|, |Л|<^|ПЛ|. В этом случае М%М0п3, М0 = 1зШз, шз иф (0). Тогда из (22.25), (22.26) имеем
m[OR] = mg + N, [ОМ] = L,(22.27 а, б)
где N — сила реакции подшипников, L — момент сил реакции. Сумма моментов сил Lg, действующих со стороны оси гироскопа на подшипники,
называется гироскопическим моментом. Следовательно, Lg = —L.
Пример 22.5. Ось ротора турбины расположена вдоль оси корабля и закреплена двумя подшипниками в точках а и b на расстоянии I друг от друга (рис. 22.6). Найдем силы давления на подшипники при движении корабля.
Момент сил реакций Na и N&, действующих на ось турбины, L = (//2)[n3(N^ — Na)]. Поскольку М =
= Моп3, то из (22.27) получим систему уравнений:
(7)(7)m[OR] = mg+Nb + Na, О =™
(7)
(7)
из которой находим
= l/2(m[OR] - mg ± 2М0О//). (2)
Сила давления на подшипники Р^а = —N^a. Из (7) можно сделать общий вывод: если к оси быстрого гироскопа приложить пару сил, то гироскоп начинает вращаться с угловой скоростью, направленной по прямой, параллельной силам. Рассмотрим два случая.
Корабль выполняет поворот по окружности радиусом R с угловой скоростью О = Пп2. Подставляяв (2) R = Rni, R = R[Qni] = —Q7?n3, получим
Na = (-тП2Д/2, mg/2 - Нш^ХЦ, 0),N6 = (-mQ2 Л/2, m g /2 + J3wfi/Z, 0).
Гироскопический момент Lg = [MO] = ™I3cuOni, создаваемый парой сил давления на подшипники, приводит к смещению носа корабля вверх и кормы вниз. Аналогичный эффект возникает при плоском развороте одновинтового самолета.
В разделе физики, известном как «Физики шутят», упоминается о розыгрыше, автором которого был выдающийся американский физик-экспериментатор Роберт Вуд. Перед поездкой он укрепил в чемодане гироскоп. Вышел из вагона, запустил гироскоп с помощью ремня и подозвал носильщика. Когда они огибали угол, чемодан стал разворачиваться в вертикальной плоскости и вырвался из рук испуганного носильщика.
Найдем гироскопический момент и силы давления, возникающие при килевой качке с угловой скоростью О = Q(t)ni. Полагая в (2) R = 0, получим
NJt) = ^^A mg/2, 0),Nb(t) = (13шП//, mg/2, 0).
Гироскопический момент Lg(t) = [МО] = 13шПп2 порождает вынужденные колебания оси корабля в горизонтальной плоскости.
Лекция 23. Уравнения Лагранжа
Движение свободного твердого тела. Совместим начало подвижной системы отсчета с центром масс. Ориентация базисных векторов е'(7) = Stm(t)em определяется углами Эйлера. Выберем в качестве обобщенных координат радиус-вектор центра масс R и три угла Эйлера. Согласно (21.19) кинетическая энергия Т = T(R, ап, ап). Потенциальная энергия U = C(R, ап). Например, энергия взаимодействия тела с
однородным шаром массой М
U^K, а„) = -GM [ —^U^K, а„) = -GM [ —^(23.1)(23.1)
U^K, а„) = -GM [ —^
U^K, а„) = -GM [ —^
(23.1)
(23.1)
где dm = p(vr)d3x\ p(rr) — плотность тела.
Лагранжиан твердого тела
L(R, ап, R, Д„) = у R2 + | Inpu^ - U(R, а„).(23.2)
Совмещая базисные векторы подвижного базиса с главными осями инерции, имеем
(23.3)(23.4 а, б)(23.3)(23.4 а, б)L = | mR2 + 11кГк - U(R, ар.
(23.3)
(23.4 а, б)
(23.3)
(23.4 а, б)
Уравнения Лагранжа £Э£^ЭГ_ d дБ _ дБ dt УН 9R’ dt Эап Эап
образуют систему шести связанных уравнений.
Обобщенные импульсы и силы. Обсудим вначале физический смысл обобщенных импульсов ЭГ/Эап = дТ/дап, где Т = Дси^/2. Поскольку ad = иое?ь то из (21.7) имеем
X = у(е3е0 + КчГ) + ^WkY(23-5)
ЭТ ЭТ ЭЛ, т, х
Эф " дш'п Эф - /"ш»(езе") -- Ме3.
Аналогичным путем получим
(23.6)(23.6)9ТЭТ ,
(23.6)
(23.6)
—г = Мег, —r = MeL
эе 4 эф
Таким образом, обобщенные импульсы являются проекциями момента импульса на векторы ез, е^ и е^.
Найдем теперь приращение потенциальной энергии при бесконечно малом повороте твердого тела:
^(R, «„) = £ Z7a(R + г'), ДГЭЛ «») = У ^2 Дг'.
Момент силы относительно центра масс
Т (С) = _ у- Г / 9Ua
^ а дг' '
Поскольку Агд = [wr^] At = [е3гД Кф + [e^HJ А^ + [е^гД АД, то
-Ж = L^egAy + 1/сЦ АУ + ^е'зМ-
Следовательно, производные потенциальной энергии по углам Эйлера
-|^=Цс)е3, ЛУ=1Ж Л^^с^(23?)
ЭфЭиЭф
равны соответственно проекциям момента сил на векторы е3, е^, еД Заметим, что последнее уравнение системы (22.6а) имеет форму уравнения Лагранжа:
£ ЭТ ЭТ _ Ш
di Эф 9-ф Эф '( ’ }
Действительно, поскольку
Яе/Уе/
то из (23.5) находим
—= Де3[еоеД + ^еДеоеД + Дез[езеп] = Мезел] = en[we3L
^ = InOn^ = 1пШ'пе>^ = M[o,e'] = -[wMH.
Следовательно, учитывая (23.6), (23.7), из (23.8) получим
Mei = Mi +-цм;) = lPV
Обобщенная энергия. Поскольку dL/dt = 0, то уравнения Лагранжа имеют первый интеграл
УК 9ап
Учитывая (23.5), получим соотношение
. ЭЬ . ЭТ-ЭТ .. ЭТ . ,
ЭТЭТ
Следовательно,
Но = ™mR" + ^I^uj1^ + 1ДК, auy
Движение твердого тела с одной неподвижной точкой в однородном поле тяжести (случай Лагранжа). Наличие связей уменьшает число степеней свободы. В качестве обобщенных координат выберем углы Эйлера. Для симметричного волчка лагранжиан
L = ^О2 Г ф2 sin2 0) + ”^ФФ + ф cos#)2 - mgl cos 9.(23.10)
Обобщенные импульсы ЭГ/Эф, dL/дф сохраняются (см. (22.10а), (22.11)). Следствием условия dL/dt является интеграл энергии (22.9а).
Плоскопараллельное качение твердого тела. При качении твердого тела по некоторой поверхности скорость точки касания равна нулю. Пусть Р —точка касания, С —центр масс. В соответствии с (21.10) получим условия
(23.11)(23.11)0 = R + [wrcp],
(23.11)
(23.11)
которые являются уравнениями связи. В общем случае (23.11) нельзя проинтегрировать и получить соотношения между Rn и оп, позволяющие
Рис. 23.1Рис. 23.1ввести обобщенные координаты в количестве, равном числу степеней свободы. В частном случае плоскопараллельного движения ш = фе твердое тело имеет одну степень свободы.
Рис. 23.1
Рис. 23.1
Пример 23.1. Одна из половинок тонкостенной полусферы массой ш, радиусом а находится на шероховатой горизонтальной плоскости. Найти лагранжиан и частоту колебаний в окрестности положения равновесия.
Выберем обобщенную координату — угол р между осью с и отрезком ОС, соединяющим
геометрический центр и центр масс (рис. 23.1). Угловая скорость uj = = (0, ф, 0). Обозначая ОС = с, PC = г, из (23.11) получим R2 = = ф2т\ т2 = а2 + с2 — 2accosp. Потенциальная энергия полусферы U =
= -mgc cos р. Лагранжиан системы
Т\/99\ • 9^22 . 9
ф) = — ДР +— Zac cos р)ф" ++ ттг g с cos р.
В окрестности положения равновесия 9?eq = 0 лагранжиан
Решение уравнения движения р = В cos (wt + Д),
mgc
m(a - с)2 + 122 '
Поскольку с = а/2, 1^2 = (5/12)ша2 (см. пример 21.1), то ш2 = = (3/4) g /а. Пусть 99(0) = 990, ^(0) = 0, тогда р = р0 coswt. Из (23.11) находим
Ri = —a f 1 — 2 cos ^) ^’ ^2=0, R3 = — ™ sin рр.
Следовательно, Ri = —ар + (а/2) sinр + apo, R2 = 0, R3 = (а/2) cosр. Из уравнения mR = mg + N найдем силу реакции. Чистое качение реализуется при условии |2Vi | ^ ^^з|, где р — коэффициент скольжения.
Пример 23.2. Гироскопическая стабилизация. На рис. 23.2 изображен вагон монорельсовой дороги. Устойчивость вагона обеспечивается
гироскопом на кардановом подвесе с осью ротора, закрепленной на рамке, которая может вращаться вокруг оси, жестко связанной с корпусом вагона.
Следует отметить, что термины кардан, карданов подвес и формула Кардано для корней кубического уравнения связаны с именем выдающегося итальянского математика Джероламо Кардано (1501—1576 гг.).
Наша система имеет три степени свободы. Пусть п^ — базисные векторы неподвижной системы отсчета (k = 1, 2, 3). Обозначим через р угол поворота вагона вокруг (!)
оси-рельса, а через ец — единичные векто
ры, направленные параллельно главным осям
инерции вагона (n = 1, 2, 3). Две системы ортов связаны преобразованием вращения:
е^ = — sin^ns + cos(/?ni, е^ = n2, е^ = cosing + sin^ni.
Вычисляя производную ёп\ получим соотношение ё^ = [о/^е^], из которого найдем компоненты угловой скорости вагона:
= 0, сэ^ = Ф? ^з^ = 0-(1)
Ориентацию рамки относительно вагона задают базисные векторы е^\ повернутые на угол 9;
е(2) - е(1)е(2) - cos + sinе(2) - - sin + cos
43^— 43^^43 2 CUb ^^2Olli (/Vg ^43g— bill ^^2CDb l/43g.
В результате вычисления производно! ё^ = [w^^e^2^], получим компоненты угловой скорости рамки:
Сид —,
ш^ = w?^ cos 9 + ш^ sin 9.(2)
шр^ = Шд1^ cos^ — сэ^ sin^.
Угол поворота ротора относительно рамки обозначим ф. Преобразование поворота базиса, жестко связанного с ротором, имеет вид
(з)/ (2) , . , (2)(1). / (2) ,/ (2)(3)(2)
е-^ ■ = cos фе\ } + sin фе2 , е^ = — sin фе\ у + cos фе2 ■ , eg = eg ■.
Теперь имеем ё^3) = [ш^^е^3^]: компоненты угловой скорости ротора cos^ + си^ sin?/g
= ^2^ cos V7 - ^i^ sin'?/?,(3)
CUg — ф + CUg .
Из (/)-(3) находим
= 9, (J? = ^cos^, Шд2^ = ^^sin^,
сэ^ = 9 cos ф + ф cos 9 sin ф, = ф cos 9 cos ф — 9 sin ф^ш^ = ф — фвт9.
Отметим, что углы ф, 9, ф представляют собой эйлеровы углы поворотов вокруг осей 2, 1,3.
Пусть 1^ = I — момент инерции вагона, 1^ = 1^ = 1^\ 1^ = = Г — главные моменты инерции рамки, l^p = Ц р 1Д’ = 1ф2 = = /(з) — главные моменты инерции ротора. Кинетическая энергия системы
К = 1ф2/2 + I^VO2 + фф sin 9f^/2 + Ik24p)c^9fl2 +
+ I^^p2 + (^cos^)2]/2 + Ig0^^ — ^sin^)2/2.
Найдем теперь потенциальную энергию системы. Пусть ш, шз — массы вагона и ротора, /, /2 — расстояния от рельса до центра масс вагона и оси рамки, s — расстояние от оси рамки до центра масс ротора. Полагая g = — g п3, получим потенциальную энергию системы:
U = (ml + тД2) gn3e^ + m3sgn3e^3) =
= (ml + тз12) g cos ф + m^s g cos ф cos 9.
Лагранжиан системы L = К — U. Поскольку1^ <С I, I^3^
то можно пренебречь кинетической энергией рамки. Очевидно, сохраняется проекция момента М3 = 1^ фф — Ф siR ^Y Уравнения Лагранжа:
™ (1ф + I^3^ ф cos2 0 — М3 sin 0) =
= (т/ + 7713/2) g sin ф + mgs g sin ф cos 9, (4)
™(J^9) = —1^ф" cos 9 sin 9 — M3^cos^ + m3s geos ф sin#. (5)
Линеаризуя систему (4), (5) в окрестности положения равновесия 9?eq = О, 9ец = 0, получим
113Фм39 = т0Ь^ф,
1^9 = —М3ф + m3s^9.
Здесь 11з = 1л1^3ф moL = ml Лтз!^ Лтзв, то = т + тз. Из решения характеристической системы следует, что положение равновесия устойчиво при условиях
М3 > 113т38£ +s > 0.
Следовательно, центр масс ротора должен находится выше оси подвижной рамки.
Движение твердого тела относительно неинерциальной системы отсчета, вращающейся с угловой скоростью O(t). Пусть па —базисные векторы неподвижной системы координат, em(t) = А^^п^ — базисные векторы неинерциальной системы координат, вращающейся с угловой скоростью О:
^т = [Оет], АШ^П^ = [Оеш], Г1ц = О(ЕЦ = Simk^ms^sk *
Расположим начало системы координат с базисными векторами е'фФу жестко связанными с твердым телом, в центре масс тела. Ориентация системы координат относительно неинерциальной системы определяется матрицей St^Xi), параметризованной углами Эйлера ап(ф, 9, ф):
ег(^) = ^ггп^е^^ф [^eJ = ^im^mj^j = ^гт^тп-
Здесь а)(ап? ап) —угловая скорость тела в базисе e^t). Отсюда получаем
^i — SimCm + Sim^m — [(^ “Ь О)О ]?;.
Радиус-вектор произвольной точки а тела г' = ж^е^, х!t = 0. Радиус- вектор точки а
г = И + г' = Riei + х^еф
Скорость точки а
г = pet + Дг[^ег] + ЖТ = Riei + [^Щ + [(ш + ^)г3
Обозначая v = Rmem, найдем кинетическую энергию тела:
T=y(v + [*W + ^T=y(v + [*W + ^dm [w + О, г']2.dm [w + О, г']2.
T=y(v + [*W + ^
T=y(v + [*W + ^
dm [w + О, г']2.
dm [w + О, г']2.
dmxf2n,dmxf2n,Iot3 — ("^ !^ 1пп^аЗIot3 — ("^ !^ 1пп^аЗdm {xfaxfp),dm {xfaxfp),
dmxf2n,
dmxf2n,
Iot3 — ("^ !^ 1пп^аЗ
Iot3 — ("^ !^ 1пп^аЗ
dm {xfaxfp),
dm {xfaxfp),
Последнее слагаемое можно записать в терминах тензора инерции. Лагранжиан твердого тела
■L^R-ni °Г Rm «п) —
™ ™(v + [OR])" + -Itk(^' + W)i(ujf + О)к — U(Rn, ап, t)
представим в виде
L —+ Мур^Мк — ^об,
Uo6 = -mv[QR] - у [OR]2 - WX - ™1гкП?Я + U(Rn, an, t).
Здесь иУп = П'п = Oe^.
Космический аппарат (KA) в ньютоновом поле тяготения [151]. Предположим, что размеры твердого тела a «С | R|, где R — радиус- вектор центра масс. В этом случае подынтегральное выражение в (23.1) можно разложить в ряд Тейлора (см. (L15)):
11 xR 1 /3(xR)2х2 \
|R + x| = R ” "Тё + 2 V Л5Rs) +
Подставляя х = x'ne'n в (23.1), запишем потенциальную энергию в виде
П(К ап) = -П(К ап) = -GMm GM Па3КаКэR, ™R^
П(К ап) = -
П(К ап) = -
D«3 —D«3 —dm^x^xp) ™х,2п6а3^
D«3 —
D«3 —
где R’a = Re^ = SapRp, Da^ —тензор квадрупольного момента масс, который можно связать с тензором инерции тела. Используя соотношения
Inn ™ Ill + ^22 + ^зз — 2
представим Dap в виде
Da3 — ^пп^аЗ ^^аЗ*
Следовательно,
тттGMmGM( R'^R'g Inn\
C(R, an) — R 2 V^a^ R5 R3 ) '(23.12)
Очевидно, для KA в виде однородного шара (1ар = 1§аз, 1аа = 31) второе слагаемое равно нулю.
Движение КА относительно центра масс. Обозначим чего)„
рез а.п углы Эйлера, определяющие ориентацию подвижной системы относительно инерциальной системы с базисными векторами их; радиус- вектор центра масс R = R^np Лагранжиан КА
(23ЛЗ)
Уравнения Лагранжа (23.4а) приобретают вид
mR^^ = -GMm -^- -
пR3
^GM2R^^GM2R^(р(П) р(П) \
^GM2R^
^GM2R^
3nI otp 3V pB*
‘(23 Л 4)
Для реальных KA отношение второго слагаемого к первому « (а/R,)2 «С С 1. Поэтому движение КА (неизменных размеров) относительно центра масс незначительно влияет на характер траектории. Пренебрегая вторым членом, получим решение R = R(t), где R(t) — закон движения по кеплеровой траектории. Опуская в (23.13) слагаемые, явно зависящие от времени, получим лагранжиан движения КА относительно центра масс:
L^Ua^ а^ Р = -I ,w(OUO) - 52Л / »S(O)S(O) АЛАА
Далее удобно перейти в систему отсчета, базисные векторы которой еш вращаются с угловой скоростью O(t) вектора Ж/R, em = Am^(t)n^. Углы Эйлера ап задают ориентацию подвижного базиса: e-(t) = Я:шеш = = УгШАш^п^, S^ = SA. В новых координатах
1з Rf
L(an, an, f) = - Ia9V + Q')a(u>' + ^Ц - - GMIa9 Ж-P (23.15)
Здесь R’a = Re^. Учитывая соотношения ап(ЭГ/Эап) = ш^ЭГ/Эш^, получим обобщенную энергию относительного движения:
Н(ап, О^т ^) = ^Iap^aUJр + Uo6^n^ Ф?(23.16)
1Ч Rf R’
lWni Ц = --1а^ф'9 + - GMIa9
Если центр масс движется по окружности, то dL/dt = 0; обобщенная энергия сохраняется.
Пример 23.3. Центр масс осесимметричного спутника движется по круговой орбите с угловой скоростью О = Qn3. Очевидно, О2R3 = GM. Пусть е3 = n3, R = —Rei. Поскольку ш + О = (^ + Q)e3 + 9е^ + ^3, то в выражении для кинетической энергии (23.10) следует произвести замену ф ™э ф + И. Потенциальная энергия
Вычисляя компоненты Rfn = Re^ = —Reiefn = —RSni с помощью (21.3), находим
3Q2ооооо
1Цап) = ~[I(cos2 ф + sin2 ф cos2 9) + I3 sin2 ф sin2 9^ =
Лагранжиан (23 Л 5), описывающий относительное движение,
Цап, а„) = | [У2 + (у + Q)2 sin2 6>] + у [-0 + (у + fi) cos#]2 - U^anY
Используя первый интеграл 1^ф + И) cos 9 + 13Ц = М^, запишем два уравнения Лагранжа:
+ И) sin2 9 + Mo cos 9А = (I — I3) sin 2<^sin2 9,
at2 '
ЗО2
19 = Уфф + И) cos 9 ™ М^_ф + И) sin^ + (I I3) sin2 <^sin 29.
Полагая ф, 9, ф равными постоянным величинам, найдем уравнения, определяющие положение равновесия sin2 9о sin2 2<^о = 0,
sin6>o[(I I3)Q cos ^о (1 + 3 sin2 ф^ф ™ 13Цо] = 0
и одновременно — соотношения между начальными условиями, при которых реализуется стационарное движение. Положим ^0 = 0 и рассмотрим движение в окрестное™ р = 0 = тг/2 с начальными условиями
9(0) = тг/2, 9(0) = 90, ^(0) = л/2, ^(0) = фо, ф^ = 0, ^(0) = 0.
Полагая р = л/2 + яд, 9 = л/2 + х2, получим систему:
Ixi = —ЗП2(Г — /3) Xi. 1x2 = — П2(4/ — 31з) х2,—ж2П + ф = 0
и решение
Фо ., ^о .,,90Q ,.
Х1 = 81ПСЩ£, Х2 = 81ПШ2£, Ф = —— СО8Ш2£),
СЩU)2U)^'
/ Г \ V2/3/ \ V2
= а/зо (1 ~ у) ’ ш2 = 2щ 1 - уЫ •
При I ^> 1з частота колебаний в плоскости орбиты wi = а/ЗП, частота колебаний в плоскости, перпендикулярной плоское™ орбиты, Ш2 = 20. Заметим, что возмущения в этой плоскости приводят к вращению спутника вокруг оси симметрии.
Гравилет. Представим КА в виде гантели массой ш, образованной двумя одинаковыми шарами, центры которых находятся на расстоянии 1(f) друг от друга. Главные моменты инерции 1ц = 122 = И? = = (m/4)l2(fp /зз = 0. Радиус-вектор центр масс гантели R(f) описывает эллипс. Базисный орт ех направим по радиус-вектору. Предположим далее, что ось гантели параллельна базисному вектору е3 = пз, угловая скорость центра масс O(f) = Ое3. Согласно (23.12) потенциальная энергия гантели
U(R,fj = -a/R + aP^/SR3 + ... ,
где а = GMm. Сила, действующая на КА:
f(R,f) = -(аК/Я3)[1
Следовательно, величина силы, действующей на тело конечных размеров, меньше силы, действующей на материальную точку той же массы. Это обстоятельство позволило предсказать новый эффект — в результате периодического изменения распре деления массы внутри космического корабля появляется возможность увеличить полную энергию КА и целенаправленно изменять параметры кеплерового эллипса [33]. Действительно, в случае гантели неизменной длины работа силы тяжести за период обращения равна нулю. Если в интервале времени, когда выполняется условие fv > 0, длина гантели равна нулю, а в течение остальной части периода, когда fv < 0,
длина гантели максимальна, то в результате работы внутренних сил полная энергия гантели Е возрастает. Значению Е = 0 соответствует вторая космическая скорость. Появляется возможность покинуть сферу действия планеты. Этот эффект возможен только в неоднородном поле тяготения.
Сила, «возмущающая» кеплеров эллипс:
F(R, t) = ЗаНЦ^.OILF(R, t) = ЗаНЦ^.OIL(23.17)(23.17)
F(R, t) = ЗаНЦ^.
OIL
F(R, t) = ЗаНЦ^.
OIL
(23.17)
(23.17)
Учитывая (6.14), (6.18), в обозначениях п. 23.5 запишем
R(f) = а(1 — scos^)ei, R(f) = sin^ei + ROe2.
Подставляя (23.17) в (6.20), (6.21), получим уравнения, определяющие эволюцию параметров эллипса:
М = 0,М = 0,у BmR4 у G2у BmR4 у G2змд2^\BmR5 )змд2^\BmR5 )[№ - хп2],[№ - хп2],(23.18)(23.18)
М = 0,
М = 0,
у BmR4 у G2
у BmR4 у G2
змд2^\
BmR5 )
змд2^\
BmR5 )
[№ - хп2],
[№ - хп2],
(23.18)
(23.18)
8 Я4\ та" /
В соответствии с проведенным анализом функция /(f) должна быть периодической. Положим
0<t<T/2,0<t<T/2,T/2<t< Т,T/2<t< Т,(23.19)(23.19)
0<t<T/2,
0<t<T/2,
T/2<t< Т,
T/2<t< Т,
(23.19)
(23.19)
где Т = 2тг/Q. Подставляя (16.18), (23.19) в (23.18), усредним правую часть по периоду:
Ё = - tJ оЁ = - tJ оd^ (1 - е cos ^Я =d^ (1 - е cos ^Я =2тг dt Ё = —
Ё = - tJ о
Ё = - tJ о
d^ (1 - е cos ^Я =
d^ (1 - е cos ^Я =
о
За 2 Qe Г sin _ а/gQ е(3 + е2)8 ^2тга3^(1 —ecos^)4 8тга3 (1 — s2)3
о
Производя замену переменных Е, е ^ а:
арМ3
E=-V' 01 = 12’ ^= ’
2а 1 — е2 та.
получим уравнение
аа Ё Г^
(4а — р) Ё» ™ р 4тгр3 V ш ’
а(0) = «о - При ^ 5> То = 2л(шад/а)1/2 получим асимптотику решения:
Т -9ЛтР
\Р X р J\р IpJV
где Т (f) — период обращения по «расширяющейся» эллиптической орбите с полуосями а ~ £2, b ~ t. Вектор Лапласа смещается на угол ™э л/2.
Возрастание полной энергии, являющееся следствием параметрического резонанса, подобно увеличению амплитуды колебаний при периодическом изменении положения центра масс человека на качелях.
Лекция 24. Электромеханика
Электрическое и магнитное поля индуцируют в жидких и твердых телах (проводниках, диэлектриках и магнетиках) токи, дипольный и магнитный моменты. В результате взаимодействия наведенных моментов с неоднородным переменным полем на жидкость или твердое тело действуют электромагнитные силы. Появляются качественно новые возможности управления движением тел [258, 259]. Такие задачи возникают во многих областях современной техники и технологии — при создании бесконтактных опор, новых видов транспорта, устройств для сепарации, транспортировки и упаковки деталей, очистки воды от диэлектрических примесей — нефти, мазута и пр. [260]. Другое направление исследований связано с созданием систем пассивной и активной стабилизации спутников, тросовых космических систем в режимах тяги или генерации электроэнергии в магнитном поле Земли [258]. В рамках релятивистской электромеханики показано, что черная дыра, вращающаяся в магнитном поле, играет роль батареи, преобразующей энергию вращения в массу покоя и энергию выбросов в магнитосфере квазаров и активных ядрах галактик.
Последние работы открыли новую перспективную область исследований, связанную с разработкой микро- и мезоустройств (от греч. mesos - средний, промежуточный) для научных и прикладных целей: микромоторов, микроманипуляторов для управления дисководом или конструктивными элементами роботов, микронасосов, микроцентрифуг, датчиков ускорения. Широко ведутся работы в области ферродинамики по созданию приборов и устройств, использующих содержащие ферромагнитные частицы жидкости, движущиеся в электромагнитом поле.
Квазистационарные поля и токи. Мы ограничимся рассмотрением движущихся проводников, которые являются элементами электрических цепей. С точки зрения электродинамики сплошной среды причиной возникновения тока является электрическое поле. Уравнение j(f, х) = = (гЕ^Ц х) устанавливает соотношение между плотностью тока в некоторой точке и напряженностью электрического поля в той же точке; постоянная а представляет собой удельную проводимость материала проводника. В дальнейшем мы будем рассматривать токи в тонких проводах —
линейные токи. В этом случае характер распределения плотности тока по поперечному сечению проводника становится несущественным. Поэтому можно ввести понятие силы тока: при интегрировании по объему проводника следует произвести замену j(f, x)d¥ ™э I^dX где 1^ —полный ток, протекающий по проводнику. Изменение тока в различных участках проводника происходит нс мгновенно, а через промежуток времени //г, где I — размер цепи, г — скорость распространения электромагнитного поля. Мы будем предполагать, что величина I /и мала по сравнению с характерным временем изменения поля: l/v^T. Это означает, что мы пренебрегаем эффектами запаздывания, связанными с конечностью величины скорости распространения поля. Поля и токи, удовлетворяющие условию I <^( пТ, называются квазистационарными [152, 153]. Если E(f, х) — периодическая функция с периодом Т, то I <; А, где А = иТ — длина электромагнитной волны, распространяющейся вдоль проводника. Именно в этом случае можно ввести понятия сосредоточенных емкостей и индуктивностей.
Уравнения электромагнитного поля в среде имеют вид (в СИ)
rotE = -8B/8t, div В = 0, (24.1 а, б)
rotH=j + dD/dC divD = р, (24.1 в, г)
где В = до(Н + М) — индукция магнитного поля, D = воЕ + Р — электрическая индукция, Е, Н —векторы напряженности электрического и магнитного полей, Р, М — плотности дипольного и магнитного моментов среды, р и j — плотное™ свободных зарядов и токов, во = 1/ (4л^) — электрическая постоянная (к = 9 • 109Н • м2/Кл), до = 4л • 10™7Н/А2 — магнитная постоянная; во До = с”2. Размерности: [Е] =В/м, [В] =Тл, [В] = А/м, [до] = Тл • м/А = Гн/м, [а] =1/0м-м. В СИ размерности пар [сВ, В], [Е, сВ^ и [cP, М] одинаковы.
Уравнения Максвелла для полей в среде представляют собой систему шести независимых дифференциальных уравнений относительно двенадцати компонент пар векторов Е, В и D, Н. Для того чтобы система уравнения поля стала замкнутой, необходимо дополнить се так называемыми м атериалъными уравнениями, которые связывают векторы D, Н и Е, В. В случае достаточно слабых полей в изотропной немагнитной среде материальные уравнения имеют вид D = ввоЕ, В = ддоН. Здесь в ид — безразмерные коэффициенты электрической и магнитной проница- емостей. Для диа- и парамагнетиков д % 1.
Функция Лагранжа электромеханической системы линейных проводников. В случае квазистационарных токов вторым слагаемым в уравнении (24.1 в) можно пренебречь. В этом приближении divj = 0.
Рассмотрим электрическую цепь, содержащую резисторы, конденсаторы с подвижными пластинами, катушки с переменной индуктивностью и генераторы напряжения, соединенные с подвижными или неподвижными проводниками. Для анализа электромеханической системы используем
лагранжев формализм. В качестве обобщенных координат, определяющих положение проводника а в пространстве, выберем радиус-вектор центра масс R^ и углы Эйлера a^(n = 1,2,3).
На участках проводников, соединяющих соседние узлы, зададим произвольно положительные направления. Функция Qa(t\ определяемая как количество заряда, протекшего через поперечное сечение проводника а в положительном направлении за интервал времени [0, f], играет роль обобщенной координаты, связанной с обобщенной скоростью — силой тока 1а — соотношением Qa = 1а.
Энергия магнитного поля, создаваемого системой линейных проводников, может быть представлена в виде [151, 152]
Wm = | j ВН dV = | 52 Lab(qai qb, t)QaQb, (24.2)
где Qa = (R(°\ ЛЭ, Laa — коэффициенты самоиндукции проводника a, Lab = Lba — коэффициент взаимной индукции проводников а и Ь. Отмстим, что Um можно представить в виде
LaaQ& + LabQaQb-
аа>Ъ
Величина
Ф„ = 51Л.ЛГ<24"3)
ь
является потоком магнитной индукции через поверхность, ограниченную контуром проводника а. В частном случае из (24.2) можно выделить вклад энергии внешнего магнитного поля индукцией Bext(t, г):
^/еМ =^/еМ =dVHBext = 52 Qa^Xq», tb Ф^а, t) = O<ZSaBext.dVHBext = 52 Qa^Xq», tb Ф^а, t) = O<ZSaBext.(24.4)(24.4)
^/еМ =
^/еМ =
dVHBext = 52 Qa^Xq», tb Ф^а, t) = O<ZSaBext.
dVHBext = 52 Qa^Xq», tb Ф^а, t) = O<ZSaBext.
(24.4)
(24.4)
Отмстим, что при вычислении потока магнитной индукции следует выбрать ориентированную выпуклую поверхность, опирающуюся на контур, включающий проводник. Введение вектора внешней нормали автоматически задаст положительное направление на контуре.
Энергия электрического поля вне проводников [152, 154]
We =We =dV£0E2/2 = | 52 c;pqa, qb, t^QaQb,dV£0E2/2 = | 52 c;pqa, qb, t^QaQb,(24.5)(24.5)
We =
We =
dV£0E2/2 = | 52 c;pqa, qb, t^QaQb,
dV£0E2/2 = | 52 c;pqa, qb, t^QaQb,
(24.5)
(24.5)
где Саь — симметричная матрица коэффициентов электростатической индукции.
Функция Лагранжа электромеханической системы
” 2 Lab^qai Qbi t)QaQb ” ab ^а^ db? t^QaQb а,bар
+ 52ОаФех,(9«Л) + £мех, (24.6)
где ZMex(^ q, 7) — лагранжиан подвижных элементов схемы. Отметим, что энергия магнитного поля играет роль «кинетической» энергии, энергия электрического поля — «потенциальной» энергии. При выборе обобщенных координат и токов следует учесть, что заряд изолированной части цепи сохраняется и в каждом узле выполняется условие соленоидальности токов.
Уравнения Лагранжа. Джоулевы потери, связанные с выделением количества теплоты в проводнике, учитываются введением в уравнения Лагранжа обобщенной силы, равной —QR (R — сопротивление резистора), а действие сторонних источников тока — введением обобщенной силы £ (£) (£ — электродвижущая сила источника напряжения):
^^T-^ = -^ + f«№-I24-7)
dQa
Подставляя (24.6) в (24.7), имеем
р Е pL«M ^Qb + Е ГъЧй, ^Qb + QaRa = ЕР - ГР (24.8) ' bb
Другая группа уравнений Лагранжа описывает эволюцию механических переменных. Для проводника с (с = 1, 2, ...) имеем уравнение
£PUex_dUex=pLeeQl VdL<»AA ЭСр Q"c
dt 8qc dqc 8qc 2^ d9= ' *’ 9ck
-r^QcQb + Qe 9qe . (24.9)
Мы имеем самосогласованную систему уравнений, описывающих эволюцию механического и электрического состояний электромеханической системы. В соответствии с (24.3) правую часть (24.9) можно записать в виде соответствующей компоненты обобщенной силы, действующей на проводник с номером с:
Fc =Fc =2 Bqc с Bqc 9qc2 Bqc с Bqc 9qc9СД1 Ql9qc 29СД1 Ql9qc 2-Еb-ЕbдСр9qcдСр9qcQcQb-QcQb-
Fc =
Fc =
2 Bqc с Bqc 9qc
2 Bqc с Bqc 9qc
9СД1 Ql
9qc 2
9СД1 Ql
9qc 2
-Е
b
-Е
b
дСр9qc
дСр9qc
QcQb-
QcQb-
Пример 24.1. Система с подвижными контурами. Вычислим последнее слагаемое 8^ = ™d^exX (dt в правой часта уравнения (24.8), представляющее собой ЭДС электромагнитной индукции.
Радиус-вектор произвольной точки движущегося проводника г = R + + г', скорость точки
v(f) = R + [шг'],
магнитный поток внешнего поля
ФеМ = dSB(f, R + r').ФеМ = dSB(f, R + r').(2)(2)
ФеМ = dSB(f, R + r').
ФеМ = dSB(f, R + r').
(2)
(2)
Для того чтобы вычислить производную интеграла по движущейся поверхности, перейдем к координатам подвижного базиса С = ж'е\ : dS = = C^dS^. После замены переменных получим
dФextdtdФextdtdS'kS(0)dS'kS(0)елв + e'kелв + e'kэвэв\dtOX^i уэвэв\dtOX^i у
dФextdt
dФextdt
dS'k
S(0)
dS'k
S(0)
елв + e'k
елв + e'k
эвэв\
dtOX^i у
эвэв\
dtOX^i у
Поскольку Ck = [о^], то
dS.dS.^феМdt
dS.
dS.
Далее отмстим, что первый и третий члены в подынтегральном выражении можно преобразовать, используя соотношение
10t [vB]^—^inm^n^mks^kBs—$п(лВп ^n^iY
Согласно уравнению (24.1 б) дивергенция индукции дпВп = 0. Учитывая уравнения (24.1), найдем значения 8nUi = eimnwm, BndnVi = = [wB]i, Эп^п = 0. Следовательно, rot[vB] = [ыВ] — «пдВ/Эхп,
dtdtdSS(t)dSS(t)ЭВatЭВatrot [vB]rot [vB]О)О)
dt
dt
dS
S(t)
dS
S(t)
ЭВat
ЭВat
rot [vB]
rot [vB]
О)
О)
Подставляя частную производную индукции из уравнения (24.1 а), получим
^фбЧdt^фбЧdtdSrot (Е + [vB]).SWdSrot (Е + [vB]).SW(О(О
^фбЧdt
^фбЧdt
dSrot (Е + [vB]).
SW
dSrot (Е + [vB]).
SW
(О
(О
Следовательно, ЭДС индукции
Лфех!atЛфех!atdSrotE',s^dSrotE',s^(5)(5)
Лфех!at
Лфех!at
dSrotE',
s^
dSrotE',
s^
(5)
(5)
Е' = Е + [vB].
Используя теорему Стокса, запишем этот результат в виде интеграла по контуру:
8^ = о ЛЕ'.
с
Мы приходим к выводу, что Е' — напряженность электрического поля, измеренная движущимся наблюдателем. Этот результат согласуется с преобразованием Лоренца напряженностей полей в случае нерелятивистских скоростей х<ГДр поскольку уравнения Максвелла удовлетворяют принципу относительности Эйнштейна (см. лекцию 32).
Отмстим, что из (3) следует выражение для ЭДС индукции в виде
£Р =£Р =dS— + odl[(R + [wr'])B].dS— + odl[(R + [wr'])B].
£Р =
£Р =
dS— + odl[(R + [wr'])B].
dS— + odl[(R + [wr'])B].
SW
Сила Ампера и момент силы Ампера. Покажем, что производная Zd$ext/dR в (24.9) является силой Ампера, действующей на проводник:
Fa =1Fa =1Уфех19RУфех19R= /о[<ЛВ].= /о[<ЛВ].(24.10)(24.10)
Fa =1
Fa =1
Уфех1
9R
Уфех1
9R
= /о[<ЛВ].
= /о[<ЛВ].
(24.10)
(24.10)
Запишем производную потока:
х = R + х\х = R + х\552 - [ дд dBj(t,x) дхт dRjг Эхт BRj 1
х = R + х\
х = R + х\
и перейдем от интеграла по поверхности к интегралу по контуру, используя
равенство
IW Яв]ш — ^mnk^nicdSi — dS^ rx • с/ ЖОХ
Здесь мы учли, что div В = дВ^/дх^ = 0. Далее, согласно теореме Стокса, заменим оператор [dSV] вектором dl. Тогда получим соотношение (24.10).
Теперь покажем, что выражение 18Ф/8ап является проекцией момента силы Ампера на базисные векторы ni = е3, п2 = е^, п3 = е'3, введеные в лекции 21 для задания углов Эйлера «1 = р, «о = 6, а3 = Д:
LnmLnmуф extуф extL =/«[r^dlB]].L =/«[r^dlB]].(24.11)(24.11)
Lnm
Lnm
уф ext
уф ext
L =/«[r^dlB]].
L =/«[r^dlB]].
(24.11)
(24.11)
Действительно, поскольку д^к1дат = [nmey, то в приближении ква- зинеоднородного поля
УФ ext 8otmУФ ext 8otmdS [nmB(R)] = [dSB]nm.dS [nmB(R)] = [dSB]nm.s^s^s^s^
УФ ext 8otm
УФ ext 8otm
dS [nmB(R)] = [dSB]nm.
dS [nmB(R)] = [dSB]nm.
s^s^
s^s^
Перейдем от интеграла по поверхности к интегралу по контуру, используя равенство
[г [dlB]]m — £тпк£kic^ndliBс — dlmxnBn dlnxnBt
Согласно теореме Стокса заменим в (24.11) вектор dlm оператором [dSV]m = emckdSc8k. В том же приближении получим [r'[dlB]]m —> [dSB]m.
Магнитный момент проводника с током. Силу Ампера и момент силы Ампера можно представить в терминах магнитного момента проводника:
_ 1 рт - ^_ 1 рт - ^
_ 1 рт - ^
_ 1 рт - ^
С этой целью запишем вклад в энергию магнитного поля, обусловленный внешним полем:
И^1 = /Фех^) = IИ^1 = /Фех^) = IdSB(<, R + r') =dSB(<, R + r') =
И^1 = /Фех^) = I
И^1 = /Фех^) = I
dSB(<, R + r') =
dSB(<, R + r') =
= I= IdSt \вр, rhp!^ + ...=Oitk
= I
= I
S(t)
Первое слагаемое равно pmB(C R). Преобразуем второе слагаемое, используя тождество
<lSix'k = ^dSiP ~ dSkp') + ^OS^'k + dSki'^ =
— £пн[г dS]n + ^dSndri(xixk).
Вводя тороидальный дипольный момент
dm — Idm — I[r^S],[r^S],
dm — I
dm — I
[r^S],
[r^S],
получим «кинетическую» энергию взаимодействия:
Wp = pmB(£, R) + ldmrotB.
Если ограничиться приближением квазинеоднородного поля, то сила Ампера Ед = pidBi/УК. Компоненты момента силы Ампера
ЯЖех1 Же, В)
Lnm = —^- = р'кД^ = P>me']В = [PmB]nm L = [рВ].
Закон изменения обобщенной энергии. Запишем закон изменения энергии электромеханической цепи. По общим правилам найдем обобщенную энергию: Н = Не + Нмех,
НеQ а • В X Ваь^Ра^ t^QaQb
a
+ 2 ^^ Cab (qaj Qb, t)QaQb-
HMex = V ~ LMex.(24.12)
Учитывая уравнения (24.8), (24.9), получим закон изменения обобщенной энергии:
Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих преимущества лагранжевой формы описания электрических цепей с закрепленными и подвижными элементами.
Пример 24.2. Двухпроводная проводящая линия подключена к источнику напряжения. Вдоль линии может двигаться проводящая перемычка. Вся система находится в однородном магнитном поле. Найдем скорость перемычки.
Предположим, что проводники расположены в горизонтальной плоскости, а вектор магнитной индукции направлен по вертикали (рис. 24.1). Пусть т — масса перемычки длиной /, сопротивлением R. Индукция магнитного поля В. Для вычисления потока магнитной индукции необходимо ввести вектор п, перпендикулярный плоскости контура. Задание п одновременно определяет положительное направление на контуре по правилу буравчика (показано направленной линией на рис. 24.1). Введем обобщенные координаты: Q — заряд, прошедший за интервал времени t через фиксированное сечение проводника в положительном направлении, ж — декартова координата левого торца перемычки. Лагранжиан системы
L = -L(x)Q2 + -шж2 + BlxQ^
где L^ — коэффициент самоиндукции замкнутого контура. Уравнения Лагранжа имеют вид
тх =BIQ,(Г)
2 ах'
4 LQ + Blx = ™QR + 8.(2)
at'
Рассмотрим два случая.
1. Поток магнитно! индукции внешнего поля значительно превышает
Рис. 24.1Рис. 24.1
Рис. 24.1
Рис. 24.1
поток LQ собственного магнитного поля тока. Подставляя Q из (2) в (7), получим уравнение
тх + х = гц ттх + х = гц тmRmRВ2Г^ и вгВ2Г^ и вг
тх + х = гц т
тх + х = гц т
mR
mR
В2Г^ и вг
В2Г^ и вг
Пусть ж(0) = ио- Тогда решение системы (7), (2)
x(t) = и В (по -Q(t) =- СуЩГ^
К
Очевидно, х = и, Q = 0 — скорость перемычки и сила тока при установившемся движении..
Пусть 8 = 0. Тогда х = о0е™1^т, Q = ™о0(В1/Н)е™1^т. Скорость перемычки убывает, поскольку согласно (2) возникает индукционный ток, а на перемычку согласно (/) действует сила Ампера BIQ. Количество теплоты, рассеиваемое в перемычке:
, А 9ТПОп
dt Q^R =
4 Дж2 + иЛ = -q2h + qs,
где W = (1/2)LQ2 — энергия магнитного поля тока, текущего по контуру. Если £ > QR, то перемычка движется в результате действия сил давления, создаваемого магнитным полем. Эта система — так называемый «рельсотрон» — хорошо известна уже десятки лет. Представим (7) в виде
№№dW
№
№
тх = —-—.dx
Пусть р — объемная плотность энергии магнитного поля. Тогда dW/dx = = pS, где S — площадь бокового сечения перемычки. Из (3) находим ускорение: а = pS/m. Величину m/S называют эффективной толщиной. Положим m/S = 102 кг/м2, р = 400 атм. При таких условиях а = 4 х х 105 м/с2 = 4 ■ 104 g. Скорость v = 10 км/с достигается на длине s = = 125 м. Время разгона ^ 2,5 • 10-2 с. Перемычка массой m = 2 кг
Рис. 24.2Рис. 24.2приобретает энергию 100 МДж. В американской программе СОИ предполагается использование рельсотрона в качестве кинетического оружия, способного уничтожить объекты космического базирования путем механического разрушения [155].
Рис. 24.2
Рис. 24.2
Пример 24.3. Движение пластины конденсатора. В схеме на рис. 24.2. электрическая цепь образована конденсатором, резистором и батареей с ЭДС, равной V. Конденсатор представляет собой две плоских пластины площадью S, скрепленные двумя пружи
нами. Нижняя пластина закреплена. Конденсатор помещают во внешнее поле напряженностью Eext = G(t), G = (0, 0, G), потенциал которого рехМ ^) = ™G^Z.
Положение верхней подвижной пластины конденсатора массой т опре-
деляется значением координаты z на числовой оси с началом на нижней пластине. Положительное направление тока на рис. 24.2 указано стрелкой. Лагранжиан системы
L = mz2/2 — И^
и = кН - Zo)2 + Орф) + Qv^t, 0 =
= кС — Zo)2 + mgz + Q^zpeoS — QGz.
Уравнения Лагранжа имеют вид
mz = —2кД — /0)2 - тпд — Q2/2e0S + QG,0 = ™Qz/e0S rGzrV ™ QR.
Пластина в положении равновесия. Полагая 2 = 0, <2 = 0, получим систему уравнений:
0 = —2fc(z - Ip - mg- Q~/2г08 + QG, 0 = -Qz,e0S + Gz + V.
Равновесные значения координат и заряда можно найти приближенными методами или численным рассчетом на компьютере.
Теперь получим закон изменения полной энергии. Согласно (24.12) имеем
dH/dt = -QzdG/dt + QV - Q2R, Н = map + U(zY
Здесь Н — полная энергия системы.
Пример 24.4. Электромагнит. В конструкции многих электротехнических устройств входят магнитные цепи — совокупность ферромагнитных тел, через которые проходят и замыкаются силовые линии магнитной индукции. Неразветвленная магнитная цепь является основой устройства с подвижным якорем — электромагнита, изображенного на рис. 24.3. Сердечник выполнен из стали в виде цилиндрического стержня сечением S, якорь представляет собой пластинку массой т. Обмотка сердечника электромагнита, содержащая N витков, подключена к генератору напряжения с ЭДС, равной 8. Сопротивление цепи — R. Получим полную систему уравнений электромагнита и найдем силу, действующую на пластинку (S = 1 В, R = 0,5 Ом, N = 125, S = 10-4 м2, длина средней линии магнитопроводов — сердечника и якоря — I = 30 см).
Рис. 24.3Рис. 24.3Положение пластинки определяется координатой ж — толщиной зазора между пластинкой и сердечником. Положительное направление на контуре цепи обозначено стрелкой, сила тока в цепи — Q — I. Лагранжиан системы (24.6)
Рис. 24.3
Рис. 24.3
L = тх2/2 + L(x)Q2/2 + т gx, (Г)
где Дж) — индуктивность электромагнита с воздушным зазором. Для определения Л (ж) необходимо найти энергию магнитного поля электромагнита Um = LI2 /2. Это — задача электродинамики сплошных сред.
Пусть Н, В — напряженность и
индукция магнитного поля в стали, Но — напряженность поля в зазоре. Величина индукции данного сорта стали зависит от напряженности поля: В = f(H\ где f(H) — известная функция. Энергия магнитного поля электромагнита
ит = Op^BHlS + 2®^0Я02).ит = Op^BHlS + 2®^0Я02).(2)(2)
ит = Op^BHlS + 2®^0Я02).
ит = Op^BHlS + 2®^0Я02).
(2)
(2)
Интегрируя уравнение (24.1 в) по контуру силовой линии, получим закон М аксвелла-Ампера:
(3)(3)о ЛИ = IN.
(3)
(3)
Пренебрегая краевыми эффектами, найдем из (3) соотношение
HI + 2Яож = IN.(4)
Поскольку на поверхности раздела сердечник-якорь нормальная к поверхности стали компонента вектора В в сердечнике и якоре непрерывна, то В = Го Hq. Следовательно, имеем два уравнения для определения В и Н:
ГоН1 + 2хВ(Н) = роЖ В = /(Я).(5)
Положим х = 0. Тогда I = IS, L = в/R = 2 A, H = ILn Н8 = eN/RI = = 1000 А/м. Из графика функции f(H) для электротехнической стали 1511 найдем значение индукции Bs = ДНд): В8 = 1,5 Тл, и коэффициента магнитной проницаемости: р8 = В8/р0Н8 = 1200. При х ф 0 магнитная индукция в воздушном зазоре в р8 раз больше индукции в отсутствии стального сердечника. Поэтому в уравнении (4) можно положить В to to р8р0Н. В этом приближении из (5) получим
В = p,8p,0INI (Z + Ix^sY(6)
Подставляя ЦоНо = В в (2) и учитывая (4), находим
Um = (ВЗруШ + 2жЯ0) = (BSIN/^ = Ь(Щ2/2,
Цр = p,sp,0N2S/(l + ^x^sY
Теперь можно получить полную систему уравнений, описывающих электромагнит с подвижным якорем:
md2x/dt2 = mg + (Г2/2)dL/dx^(7)
dlL/dt = ™IRaS.(8)
Из уравнений (7), (S) следует закон изменения полной энергии системы:
dE/ dt = 81 — I2R, Е = то2/2 — mgx + L(x)I2/2.
Со стороны магнитного поля на якорь действует сила F = (Еж, 0,0), Fx = dUm/dx = {I2/2)dL/dx. которую полезно представить в виде Ех = = -B2S/p0. Подставляя значения х = 0, В = В8, 1/р0 = 8 • 105 А2/Н, получим Яж(0) = —180 Н, при х = 1 см Fx = —27 мН.
Нейтральная частица в электромагнитном поле.
Металлическая частица в электрическом поле. Внешнее электрическое поле индуцирует на поверхности проводника распределение поверхностных зарядов плотностью а (г), которое в первом приближении определяет электрический дипольный момент проводника ре, pe(R, ап) = = / dS^Fc^R + г'), ап — углы Эйлера. Сила, действующая на элемент поверхности dS незаряженного проводника, находящегося во внешнем поле, dF = aGdS/2, где G — нормальная компонента внешнего поля в окрестности элемента dS. Полная сила, действующая на незаряженный проводник в однородном поле равна нулю. В неоднородном поле на проводник действует сила J^(R) = pe9G/ЭНг. В квазинеоднородном поле компоненты момента являются линейными функциями компонент поля: Pi = a^G^V, где с^ —тензор поляризуемости проводника, V —объем проводника. Следовательно, энергия взаимодействия проводника с внешним полем
Ue = -aikGiGkV/2.Ue = -aikGiGkV/2.(24.13)(24.13)
Ue = -aikGiGkV/2.
Ue = -aikGiGkV/2.
(24.13)
(24.13)
Определение коэффициентов а^ — проблема электродинамики сплошных сред. В случае сферы а = 3sonG, с^ = ot6ik, « = Зво- Энергия взаимодействия сферы с внешним полем Ue (R) = —27rso&3G2(R), а — радиус сферы [152, 242].
Частица в электрическом и магнитном полях. В общем случае сила, действующая на нейтральную частицу в квазинеоднородных электрическом и магнитном полях
(24.14)(24.14)4(R) = pe9G/9xi + 1.1ортЭН/Эхг,
(24.14)
(24.14)
где G, Н —напряженности электрического и магнитного внешних полей, Ре, Pm — электрический и магнитный дипольные моменты частицы.
Коэффициенты поляризуемости частицы. Для диэлектрического шара радиусом а коэффициент а = 3s0[(s - l)/(s + 2)]. Если шар состоит из «магнито-мягкого» ферромагнетика, то вектор плотности маг
нитного момента параллелен вектору напряженности магнитного поля.
Начальный участок кривой зависимости намагниченности от величины
3(/z - 1)р + 23(/z - 1)р + 2напряженности магнитного поля линеен. Поэтому для слабых полей
3(/z - 1)р + 2
3(/z - 1)р + 2
Pm —Pm —HV, р — магнитная проницаемость материала [260].
Pm —
Pm —
Твердое неферромагнитное тело в магнитном поле. Внешнее поле индуцирует в диа- и парамагнетиках плотность тока j(t, х), которую можно представить в терминах плотности магнитного момента: j = rot m. Энергия взаимодействия проводника с внешним магнитным полем индукцией В = rot А имеет вид
W(t, R,g) = — d3x ^(t, x')A(t, R + x') = — d3x' m(t, x')B(t, R + x^.
В приближении квазинеоднородного внешнего поля W(t, R, ап) = = —р^В(Д R) + ..., где р^ — магнитный момент проводника:
d3 х?т(Д х^ = |d3 х?т(Д х^ = |d3 х^х' j(t, х^].d3 х^х' j(t, х^].
d3 х?т(Д х^ = |
d3 х?т(Д х^ = |
d3 х^х' j(t, х^].
d3 х^х' j(t, х^].
Полагая
Р(та) = pVkXanY
Вк(Д ^ ftn) = e^(an)B(t, R) = Sfcm(an)Bm(t, R),
получим
W^t, R, an) = -p\Skm^T?)Bm^ R).
Здесь p' k — компоненты магнитного момента в системе покоя проводника.
Сила и момент силы, действующие на проводник в магнитном поле
(24.15 а)(24.15 а)R, <Ы - dR - р кЗкЖД - Р( 9
(24.15 а)
(24.15 а)
Mp1R,as) = -^=p,kr^Bi = nsPW хв. (24.156) OQ-s(JOts
Последнее равенство следует из соотношения ^ г = —Skm£mji(^s)j, где етр — тензор Леви-Чивита, ni = е3, п3 = е^, п2 = е^ — орт, направленный по линии узлов. Угловая скорость твердого тела О = nsdas/dt.
Вычисление магнитного момента представляет собой задачу электродинамики движущихся проводников. Из решения уравнений Максвелла следует линейное соотношение р^^ш) = Гы^Ь^^Г/ ро между фурье- образами магнитного момента р'к(ш) и магнитной индукции Ь'п^ = = В'р, R(f), аДХ
hUP = d-tb'nX exp^iut1),hUP = d-tb'nX exp^iut1),(24.16)(24.16)
hUP = d-tb'nX exp^iut1),
hUP = d-tb'nX exp^iut1),
(24.16)
(24.16)
Гкп(ш) — тензор магнитной поляризуемости нс ферромагнитного проводника, V — объем проводника [152]. Магнитный момент, характеризующий отклик проводника на внешнее поле:
р'кр = -р'кр = -, , _ , ..dbUt1 dt Gkn(t ™ t)., , _ , ..dbUt1 dt Gkn(t ™ t).(24.17)(24.17)
р'кр = -
р'кр = -
, , _ , ..dbUt1 dt Gkn(t ™ t).
, , _ , ..dbUt1 dt Gkn(t ™ t).
(24.17)
(24.17)
можно представить в терминах запаздывающей функции Грина:
G,„(t) = ГG,„(t) = Гdw Gknip ехр[—i(w + гО)т],dw Gknip ехр[—i(w + гО)т],(24.18)(24.18)
G,„(t) = Г
G,„(t) = Г
dw Gknip ехр[—i(w + гО)т],
dw Gknip ехр[—i(w + гО)т],
(24.18)
(24.18)
Gkn^ = pkn^W/U'^M'O^ удовлетворяющей условию причинности: GkJ<G) = 0 при т < 0. Производная функции b'n^ = Smn^as^t^ х xB^t.^t^ в (24.17) равна
dt - snm^\m, V - gt + QR^ dt [ЛВ].(24.19)
Согласно (24.17), (24.19) магнитный момент проводника [261]
рЭР = Skip'k = -рЭР = Skip'k = -dt' Skpt)GkTp - t'PnmXWmXYdt' Skpt)GkTp - t'PnmXWmXY(24.20)(24.20)
рЭР = Skip'k = -
рЭР = Skip'k = -
dt' Skpt)GkTp - t'PnmXWmXY
dt' Skpt)GkTp - t'PnmXWmXY
(24.20)
(24.20)
Соотношение (24.20) представляет собой интегро-дифференциальное уравнение Кирхгофа.
Пример 24.5 Нс ферромагнитный проводящий шар радиусом а движется по горизонтальной плоскости в постоянном однородном магнитном поле с индукцией В. Найдем решение уравнений движения в случае 6 > а, где 6 — глубина скин-слоя.
Тензор магнитной поляризуемости шара
33.— - - etg g - 1 q- q33.— - - etg g - 1 q- qq = ка = (1 + i)rpq = ка = (1 + i)rp
33.
— - - etg g - 1 q- q
33.
— - - etg g - 1 q- q
q = ка = (1 + i)rp
q = ка = (1 + i)rp
где к = (гшроа)1^2р = а/6, 6 = (^осгси/2) х/2 — глубина скин-слоя, ст — проводимость материала шара [152]. Фурье-трансформанта функции Грина (24.19)
Gкп — G §кп ?Gкп — G §кп ?G(w) =G(w) =аУшроаУшро
Gкп — G §кп ?
Gкп — G §кп ?
G(w) =
G(w) =
аУ
шро
аУ
шро
Рассмотрим движение шара с угловой скоростью О, соответствующей приближению 5^ а или р <^ 1. В этом случае можно разложить а (си) в ряд Тейлора и представить G(w) аппроксимантой Паде в виде рациональной дроби:
^11020^о
в широкой области частот до значений ш 2/(^zocra2). Функция Z представляет собой импеданс шара, а величины гр и L — эффективные сопротивление и индуктивность; размерности [г0] = Ом-м-4, [L] = Гн-м-4. Используя теорию вычетов, получим функцию Грина (24.19):
Gkn = 6kn^e~roT/L,
где 9^ — функция Хевисайда. Отметим, что в этом приближении магнитный момент шара удовлетворяет уравнению Кирхгофа [261]:
dWdt ’dWdt ’Т dp' ,
dW
dt ’
dW
dt ’
где правая часть играет роль ЭДС индукции. При условиигде правая часть играет роль ЭДС индукции. При условииЛ/dtЛ/dtl^'kol^'koL -г- + гор =at
где правая часть играет роль ЭДС индукции. При условии
где правая часть играет роль ЭДС индукции. При условии
Л/dt
Л/dt
l^'ko
l^'ko
основной вклад в интеграл (24.20) вносит окрестность точки t’ = t. Полагая в (24.20) t* = t — т, 8^(1') to Snm(t), V(d) to V^, получим магнитный
момент в виде
Pi toPi todrC^Y^drC^Y^Р = 2юв1.ГоР = 2юв1.Го
Pi to
Pi to
drC^Y^
drC^Y^
Р = 2юв1.
Го
Р = 2юв1.
Го
В однородном поле сила Ампера равна нулю, момент силы Ампера М = = [рВ]. Пусть шар движется без проскальзывания. Радиус-вектор центра масс R = г + ае, е — орт, перпендикулярный плоскости (см. рис. 22.1). Дополним уравнения движения шара
mr = T, Ш = а[еТ] + [рВ],(1), (2)
где I = 2та2 /5, условием качения без проскальзывания:
0 = г - а[Ое],(3)
Т — горизонтальная компонента силы реакции. Дифференцируем (3) и преобразуем правую часть, используя уравнения (1), (2). В результате находим m та г г Т = е рВ .
та2 L п
Пусть вектор магнитной индукции В = Be перпендикулярен плоскости. Тогда
Т =Т—ТВр Т = -^[Ле].(4)
та" + 1/ атр
Подставляя Т в (1), (2), получим систему
тг = —а[Ое],(5)
тО = —[е[Ое]],(6)
где т = Чта2тр (ЬВ2.
Поставим начальные условия 0(0) = Оз0е + О^0, v(0) = v0, v0 = = а[О^0е]. Из (б) следует первый интеграл О30 = Ое. После подстановки O(t) = Озое + Ot(t) получим из (6) уравнение, решение которого
O^(t) = О<0 ехр(—^/т). Из (5) найдем скорость центра масс шара: v(t) = = v0 exp(—t/т). Следовательно, шар катится по отрезку прямой
r(t) = r(0) + vot(1 - e
Магнитный момент и касательная компонента силы реакции
Вр = v0е vат0Вр = v0е vат0Т =v0 еТ =v0 е
В
р = v0е vат0
В
р = v0е vат0
Т =v0 е
Т =v0 е
Условие качения Т < pmg приобретает вид р > —, где р— коэффициент трения.
dKdtdKdtОтмстим, что из (1)Ц4) следует закон изменения кинетической энергии К (t):
dKdt
dKdt
= ~К = - mr2 Н— Ш2 = —тпа2О,‘! Н— ma2Qon.
221015
Следовательно, за время движения в шаре выделяется количество джоулева тепла
dtp2 г0 = ^та2^.
О
ГЛАВА б
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Лекция 25. Уравнения Гамильтона
Мы начинаем изучение самого плодотворного метода теоретической физики — гамильтонова формализма [8, 15, 16, 28, 40, 156, 262]. В современной физике гамильтоновы системы занимают весьма важное место. С одной стороны, они описывают практически все явления, изучаемые в классических теориях; гамильтонов формализм является основой квантовой механики и теорий вторично-квантовых полей [15, 156—158]. С другой стороны, теория канонических преобразовании позволяет развить универсальные методы получения точных и приближенных решений систем нелинейных уравнений.
Знаменитая система канонических уравнений введена ирландским физиком и математиком У. Гамильтоном в 1834 г. [159]. Оценивая его вклад в развитие теоретической физики Поль Дирак — один из создателей квантовой теории — писал: «Гамильтон был, по-видимому, наделен каким-то удивительным даром проникать в самую суть — удивительнейшим даром из тех, которыми когда-либо обладал математик. Он нашел для уравнений механики такую форму записи, значение которой суждено было понять лишь спустя столетие» [160].
Преобразование Лежандра. Пусть / = / (и) — выпуклая функция, d2 f /dv2 > 0. Мы хотим перейти к новой независимой переменной р = df /dv. Возникает вопрос — как построить такую функцию h(pY чтобы ее полный дифференциал dh ~ dp. Преобразованием Лежандра функции /(и) называется новая функция h^pY которая является огибающей семейства прямых Е(р, и) = vp™ ДЕр Уравнение огибающей h(р) = = Е(р, п(р)), где п(р) определяется из условия р = df /dv. Дифференциал dh = tfpyip. Функцию ДЕ) называют производящей функцией преобразования. Обычно преобразование Лежандра производят в дифференциальной форме:
df(E) = pdv = d/рД — vdp d/pv — Д = vdp. (25.1)
При фиксированном р и при и = п(р) имеем /(и) = ри — h(pY Поэтому преобразование Лежандра инволютивно — его квадрат равен тождественному преобразованию. Действительно, найдем огибающую семейства прямых б(щ р) = pv — h(pY Из условия и = dh/dp находим р = = Р«), G«, Р^)) = fW [16].
Пример 25.1. Пусть /(и) = —mc2(l — г^/с2)1/2. Тогда Е(р, и) = = пр + шс2(1 — и2/с2)1/2, р = шп(1 — и2/с2)™1/2, V = рс(т2с2 +Р2)™1/2. Преобразование Лежандра h(p) = c^m2c2 + р2.
Гамильтониан. Пусть L {х, х, t) — лагранжиан системы с s степенями свободы, хп хп — обобщенные координаты и скорости (п = = 1, ..., s). Наша задача — перейти к новым независимым переменным х^ рп = дГ/дхп и функции Н(ж,р, 1\ являющейся преобразованием Лежандра лагранжиана L {х, х, t). Предполагая, что квадратичная форма (82L/8xm8xn)dxmdxn положительно определена, произведем преобразование Лежандра по переменным хп : Е = рпхп — L{х, х, fy
(25.2)(25.2)dL(x, х, t)
(25.2)
(25.2)
Рп = НТохп
Лагранжиан называют невырожденным, или несингулярным, если определитель Гессе
det ——^- оХру^охdet ——^- оХру^ох/0./0.
det ——^- оХру^ох
det ——^- оХру^ох
/0.
/0.
В этом случае согласно теореме о неявной функции соотношение рп = = дЕ/дхп разрешимо относительно хп = vn(ap р, t). Преобразованием Лежандра функции Г (ж, х, t) по хп является функция
Нфу р, t) — [Рп^п Л(ж, ж, ^)]ж=-у(ж,р, t) ?(25.3)
которую называют функцией Гамильтона или гамильтонианом.
Пример 25.2. Задача Кеплера. Найдем гамильтониан частицы, движущейся в гравитационном поле. Лагранжиан в сферических координатах Хх = Г, Х^ = 9^ хз = р
L = — (г2 + г2#2 + г2 sin2 0р) + —
2г
получен в примере 7.3. Разрешая уравнения (25.2):
Рх = mr, р2 = то, рз = шт2 sin2 9ф
. Piг = — т. Piг = — тотносительно обобщенных скоростей, находим
. Pi
г = — т
. Pi
г = — т
6 = Р2 * = Рзшт2 ’ шт2 sin2 9
Гамильтониан задачи Кеплера получим из (25.3):
х Pi РьРз«
+ 2mr2 sin2 0 ~
Канонические уравнения. Проведем переход от s уравнений Лагранжа второго порядка
РпРпдБЭхпдБЭхп. ЭГ
Рп
Рп
дБ
Эхп
дБ
Эхп
Рп = ОХп
к уравнениям относительно независимых переменных хП1рп. Полный дифференциал
dH =dH =ЭН \1(ЭН \1
dH =
dH =
dxn +dpn +
ох^ +\+
p=constX / x = const
Учитывая (25.3), находим
эн
дхп
9 <•ГА
= д—VPkXk - М дхп
= рк
Эхк дхп
ЭЬ дхп
_ ЭЬ_ дхк
Эхк _ дхп
ЭЬ.
ЭН .
дхк
дхк
ЭН _
-— = ж„ + pk Эрп
Эрп
Эхк
Эрп
— хп
8t
dt"
Следовательно, система уравнений Лагранжа эквивалентна системе 2s уравнений первого порядка:
• ЭН . ЭН 1
$n = о—, Рп =—, n = l,(25.4)
ЭрпЭхп
известных как уравнения Гамильтона (или канонические уравнения). Пространство с координатами ж, р называют фазовым пространством, а пару координат хп и рп — канонически сопряженными. Решение системы (25.4) зависит от 2s постоянных: хп = жп(сх, C2S, t), рп = = Рп(С1, . . . , C2s, t).
Первые интегралы. 1. Если ЭН/дха = 0, то координата ха называется циклической. В этом случае сохраняется импульс ра = с.
На траекториях системы (25.4) функция po(t) = Н(х, р^ t) удовлетворяет уравнению
(25.5)(25.5)фо ЭЯ д^. ЭЯ^. ЭН_dt 9t дхпЖп дрп^п 91 "
(25.5)
(25.5)
Если ЭН/dt = 0, то Н{х, р^ I) = со —первый интеграл.
Пример 25.3. Частица в электромагнитном поле. Согласно (7Л4), (7.15) лагранжиан
Е(ж, ж, I) =Е(ж, ж, I) =—х — еркрц t) + -хА(х, 1).
Е(ж, ж, I) =
Е(ж, ж, I) =
2с
Из (25.2) находим рп = тхп + -АпЙп = vn = — \рпАп ). Гамиль- 'ст \ с /
тониан (25.3)
H{x,p,t) = — (рА) + ер.2т \ с )
Шесть уравнений движения (25.4):
1 / е— \Рп ™ -т \ с1 / е— \Рп ™ -т \ се /ед ЭАкдр
1 / е— \Рп ™ -т \ с
1 / е— \Рп ™ -т \ с
-1р--А\ -^—-е—, тс \ с /к охп дхп
эквивалентны трем уравнениям второго порядка. Действительно, дифференцируя жп, находим
. ЭАп \
ТПХп — рп — I — хк + I .
с \ oxk at J
Подставляя рп и учитывая соотношения
9Ak_9M_eR 1 ЭАпЭр
глгл° Tlk 8 8 ,гл,гл
дхп ох кс atохп
получим
ТПХп — вЕп + ~8nks^к Вs.с
Системы со связями в фазовом пространстве. Если определитель Гессе равен нулю, то при приведении лагранжевых уравнений к гамильтонову виду возникают трудности, связанные с тем, что уравнения (25.2) неразрешимы относительно скоростей или некоторые импульсы тождественно равны нулю [158]. В таком случае существуют соотношения вида ф(х^ р^ t) = = 0, играющие роль связей в фазовом пространстве. Метод приведения систем со связями к гамильтонову виду впервые развил Дирак в работе, посвященной гамильтоновой формулировке классической теории тяготения [161163]. Электромагнитное, гравитационное и калибровочное поля являются бесконечномерными аналогами конечномерной механической системы с равным нулю определителем Гессе.
Функционал уравнений Гамильтона. Введем лагранжиан, зависящей от координат ж, р и скоростей х, р:
1{х, р; х, р, t) = рпхп — Н{х, р^ t),(25.6)
и рассмотрим гладкие кривые хп = хп(1\ рп = рп(Эр соединяющие точку xn(ta\ Pn^ta) и точку х^ь^, p™(tbY Каждой кривой поставим в соответствие функционал
Цх, р] = dt \ркхк - Н(х, р, t)].(25.7)
Уравнения Лагранжа-Эйлера для функционала (25.7) совпадают с уравнениями Гамильтона:
d а/ _ а/. _ эн
dt дхп дхп ^пдхп
ЭН
dt дрп дрп Хп Эрп‘
Следуя Швингеру [164], можно представить лагранжиан (25.6) в виде
IsP Р, х, р, t) = Цх, X, t) - | \Рп -- «рх, р, t)).
(25.6а)
Скобки Пуассона. Введем операцию, которую называют скобкой Пуассона (СП) функции А = Л (ж, р, t) и В = В (ж, р, ty.
[А К] - £П=1[А К] - £П=1(25.8)(25.8)ЭА ЭАЭА ЭВ
[А К] - £
П=1
[А К] - £
П=1
(25.8)
(25.8)
дхп дрпЭрп 9хп
Основные свойства скобок Пуассона СП следуют из определения (25.8).
Линейность (Ai, А2 —константы):
[Ах Лх + А2Л2, В] = Ai [Лх, В] + А2 [ Л2, В].
Кососимметричность: [Л, В] = —[В, Л].
Правила Лейбница: [Л1Л2, В] = Л1[Л2, В] + Л2[Л1, В],
n ЭА
№ F., ..., FNY в]^ — [Fk, BY
k=l
Тождество Якоби:
[[Л, В]С] + [[В, С]Л] + [[С, Л]В] = 0.(25.9)
Важнейшую роль играют фундаментальные скобки Пуассона:
[жт, рп] — ^тт |Лт? *^п] — 0, [Pm, Рп\ — 0-(25ЛО)
В частности, СП (25.8) может быть представлена в терминах фундаментальных СП:
[Л, В] = -—[ж„дхп[Л, В] = -—[ж„дхпЛдВ ЭА, ЭВхМ + я\Хп, Рк\^— +их^ охп др^
[Л, В] = -—[ж„дхп
[Л, В] = -—[ж„дхп
ЭАГЭВЭАГЭВ
+ Рп, Хк — + — Рп, Рк. дрпдхк дрпЭрк
Введение СП позволяет представить уравнения механики в компактной, симметричной форме. Уравнения Гамильтона (25.4) принимают вид
(25Л1)(25Л1)Хп — [^П; Н] ,Рп — [Рп, В].
(25Л1)
(25Л1)
Пусть В(ж,р, t) — произвольная функция координат фазового пространства и времени, жп = хп(х\ р\ ty рп = Рп(х\ р\ t) —решение системы (25.11), ж^, р^ — постоянные интегрирования. На траекториях системы
В(ж, р, t) = $(t) — функция переменной 1. Ее производная в силу системы (25.11) равна
d$ _ 9F9F . ЭЕ ._
dt9t9хпЭр^™
9F9F г9F Y9F
=+ ж я + — Pn, Н = — + В, В .
9tдхпЭрп9t
Таким образом, для произвольной динамической величины F(x^ р^ t) на траекториях системы (25.11)
dF 9F
(25.12)
Мы видим, что первый интеграл D{x, р, t) = С системы (25.11) удовлетворяет уравнению
^ + р,Н]=0.(25.13)
Пример 25.4. Гамильтониан задачи Кеплера имеет вид Н(х, р) = = Н(хъ рЬ/(ж2, Р2, Рз)). Поскольку
9f/9tHL H] = [f, f](dH/df) = Q,
то /(ж2, Р2, Рз) = С — первый интеграл. Из (25.13) также следует, что Н(ж, р) = Е^ рз = Сз —первые интегралы.
Пример 25.5. Найдем решение системы (25.11) с гамильтонианом
Н^Х, р, t) = Н^фу^Хх, рх\ ps(xs, ps\ t).
В соответствии с (25.13)
9фк гm
— +щ= 0.
Следовательно, р^(ж^, р^ = С к — первые интегралы. Разрешая это соотношение относительно рк. имеем рк = ^к(хк^ CkY Подставляя рк в уравнение рк = —дН/дхк, получим решение в квадратуре:
J ЭСк J ЭСк
Теорема Пуассона. Если А^ В — первые интегралы системы (25.11), то функция С = [Л, В] —тоже первый интеграл.
Скобка Пуассона сопоставляет каждой паре функций Л, В на фазовом пространстве новую функцию С = [Л, В]. Найдем полную производную
С{х^ р, t) на траекториях системы (25.11):
c = ltlA> в] + р, вущ.
Используя тождество Якоби (25.9) [[Л, В]Н] = -[[В, Н]Л]-[[Н, Л]В] = = [[Л, Н]В] + [Л[В, Н]], имеем
С= ^ + VA,HYB + Л, Ц + [В, Я] = [Л, В] + [Л, В].С= ^ + VA,HYB + Л, Ц + [В, Я] = [Л, В] + [Л, В].ЭВЭВdtdt
С= ^ + VA,HYB + Л, Ц + [В, Я] = [Л, В] + [Л, В].
С= ^ + VA,HYB + Л, Ц + [В, Я] = [Л, В] + [Л, В].
ЭВ
ЭВ
dt
dt
С учетом полученного соотношения становится очевидным доказательство теоремы Пуассона. Применение этой теоремы позволяет в некоторых случаях получить новые интегралы движения.
Расширенное фазовое пространство. Систему (25Л) можно свести к автономной, если увеличить число неизвестных функций. Рассмотрим расширенное фазовое пространство с координатами t, хп, ро, рп и введем функционал, аналогичный (25.7):
(25.14)(25.14)Тъ
(25.14)
(25.14)
Ж Хп, Ро, Рп) =
где т —параметр, В = Н(ж, р, t)—ро —новый гамильтониан. Уравнения Лагранжа-Эйлера:
dxnЭВ dt dpnЭВdpoЭВ
drдрп ’dr'drдхп'dr9т
имеют форму автономной системы [8]. Если ЭН[9t = 0, то время является циклической координатой, а импульс ро сохраняется.
Интегрируемость гамильтоновых систем [16, 144, 165-167]. В XIX веке система уравнений считалась интегрируемой, если решение можно было получить с помощью алгебраических операций и квадратур — вычислений интегралов известных функций. Одновременно велись поиски условий интегрируемости систем [142]. Этот подход развивается и сейчас в классических и квантовых теориях поля [86, 168, 169].
В 1855 г. Ж. Лиувилль доказал теорему, согласно которой для интегрирования гамильтоновых систем с 8 степенями свободы достаточно иметь s первых интегралов 7Э, В, ..., Fs удовлетворяющих условиям
[Fn, F^ = 0, n, k = 1, 2, ..., s.
Говорят, что функции Fn, F^ находятся в инволюции. Системы с полным набором интегралов в инволюции называют вполне интегрируемыми'. если система с гамильтонианом Н = Н{хрр) имеет s первых интегралов Fi = Н, F^ ..., Fs в инволюции, то ее можно проинтегрировать в
квадратурах. Однако после работ Пуанкаре стало ясно, что динамические системы общего вида (25.11) не имеют кроме гамильтониана никаких других интегралов. В таких системах траектории не лежат на многообразиях меньшего чем s — 1 числа измерений. Возникают хаотические траектории, занимающие конечный объем фазового пространства, а их распределение
среди регулярных траекторий оказывается всюду плотным.
В ставшей классической работе астрономов М. Хенона и К. Хейлеса (1964 г.) изучалось плоское движение звезды в окрестности положений равновесия, порождаемое гамильтонианом [109, 114, 115]
Н = Р^р + К(Ж1, х2),
У(Ж1, Ж2) =/2 + Жр2 - ЖрЗ.
(25.15)
Этот же гамильтониан описывает ге-_,
wРис. 25.1
нерацию второй гармоники в среде
с квадратичной нелинейностью [6] и колебания протонов в синхрофазотроне [131].
Пример 25.6. Динамический хаос в гамильтоновых системах. Кри
терий отрицательной кривизны. Каноническая система Хенона-Хейлеса:
Рп = -ЭУ/дх„, ж„ = рп, п= 1, 2,
эквивалентна уравнению второго порядка
хп = ™8У/Эхп.(Г)
Особые точки системы определяются условием 8V/dxn = 0:
8V/8xi = xi + 2ж1Ж2 = 0, ЭУ/Эх2 = х2 + ж? — х^ = 0.
Отсюда находим четыре экстремальные точки О, А, В, С и значения потенциальной энергии в этих точках
О: хг = 0,
х2 = 0,
У = 0;
A: Ху = 0,
х2 = 1,
У = 1/6;
В: тц = Vs/2,
ж2 = -1/2,
У = 1/6;
С: xi = -V3/2,
ж2 = -1/2,
У = 1/6.
Можно проверить, что А, В, С являются точками типа седло, точка О — центр. В трехмерном пространстве xi, х2, хз =У(ж1; ж2) область внутри треугольника на рис. 25.1 представляет собой впадину, дно которой
находится в точке О. Вокруг этой впадины расположены три долины и три склона, примыкающие к сторонам равностороннего треугольника АВС.
Большое число критериев стохастичности основано на оценке скорости разбегания первоначально близких траекторий. Пусть хп^ — решение системы. Исследуем девиацию (от лат. deviatio — уклонение) двух близких траекторий xn(t) и хп^ + ^n(t). Линеаризованные уравнения для функции дп(£) представляют собой неавтономную систему:
Zm + ^nXzn = 0, Кгопр = (Э2 V/dxmdxn). (2)
Если искать решение (2) в приближении Лиувилля-Грина (20.25), то необходимо привести матрицу А к диагональной форме. Согласно п. 1.8 имеем уравнение U™1 KU = А2/. Собственные значения А2 матрицы А определяются корнями уравнения det |А — A2Z| = 0:
А4 ™ A2 SpA + det А = 0, (5)
где SpA = 2, det А = 1 — 4(ж2 + х^ = с. Из (5) находим (A2)i;2 = 1 ± zb л/Х ™ С.
При с > 0 решения ограничены. При с < 0 решение содержит экспоненциально растущий множитель. Расстояние между первоначально близкими траекториями экспоненциально возрастает. Отметим, что кривизна поверхности хз = V(xi, ж2) пропорциональна с (см. пример 16.4). Это наблюдение позволяет предположить, что области регулярного и хаотического движений разделены кривой нулевой кривизны [263]. Значению с = 0 соответствует окружность ж2 + ж2 = 1/4. Полагая Ху = (1/2) cos 99, ж2 = = (1/2) sin ф, получим параметрическое представление потенциальной энергии на окружности
V (ф) = - 1 + cos2 ф sin ф — - sin3 ф .8 3
Функция 1/(99) имеет минимальное значение У^щ = 1/12 при значении ^min = тг/2, т.е. вточке Ху = 0, ж2 = 1/2. Поскольку Н(х, р) = Е является первым интегралом, то траектории лежат в трехмерном объеме четырехмерного фазового пространства. Если движение регулярно, то траектории будут пересекать двумерную поверхность Ху = 0 (сечение Пуанкаре) по некоторой кривой. При Е = 1/12 эти кривые — замкнутые и непрерывные траектории — лежат на двумерных поверхностях. Значению Е = 1/8 соответствует переход от порядка к хаосу. При Е = 1/6 почти все пары траектории, исходящие из близких точек (ж2, р2), экспоненциально расходятся. Стохастические траектории — обычное явление в гамильтоновой динамике [109].
Фазовый поток. Развитие геометрических идей преобразило современную математику. Возникли новые понятия — дифференцируемые многообразия, расслоенное пространство, алгебра Ли, группы Ли, векторы
как операторы дифференцирования, внешние формы, тензоры как линейные операторы на векторах и формах. Такое соединение понятий анализа и геометрии привело к созданию нового аналитического аппарата (дифференциальное исчисление форм, производная Ли, интегралы от форм и т. д.), играющего важную роль в приложениях анализа [8, 16, 50, 70, 71]. В настоящее время методы современной дифференциальной геометрии широко используются в теоретической физике. В результате нетривиальных приложений геометрии и топологии был решен ряд проблем в квантовой теории поля, теории относительности, динамике диссипативных систем [ 168—171 ]. Новые математические формулировки известных физических теорий играют существенную роль в понимании геометрической природы изучаемых объектов. С другой стороны, введение абстрактных пространств становится необходимым в теориях турбулентности, фазовых переходов, элементарных частиц.
Введем новые координаты
(X,..., х8, рЛ = (2!, z2, ..., г2$-1, 22s)(25.16)
и антисимметричную матрицу
/а0...0\
0(7. ..0
со =.
\00...Л
На ее диагонали выстроены 2 х 2-матрицы с элементами ац = о^ = 0, (712 = —<72i = 1, det иотп = 1;= шТ = —ш. В новых координатах
СП (25.8) приобретают форму
г 49А ЭВ
[А, В]=итп — —.(25.17)
Фундаментальные СП
— 1? • ■ • ? 2§.(25.18)
В новых переменных уравнения Гамильтона имеют вид градиентной системы [8, 17]:
= штп оШ ™ 1, . . . , 2s,(25.19)
где H(z, t) = Н(х, р^ t). Пусть Н = H^z\ Тогда правая часть автономной системы (25.19) представляет 25-мерное векторное поле Fm = = штп (dH/dzn). Решение системы (25.19) zn = zn(z\ t) с начальными условиями гп(0) = z’n определяет интегральную кривую векторного поля:
(25.19 а)(25.19 а)— Fm^z^.
(25.19 а)
(25.19 а)
Фазовым потоком называют однопараметрическую группу преобразований
(25.20)(25.20)
(25.20)
(25.20)
Формула (25.20) задает отображение z1 ™э g^^), для которого Fm есть поле скоростей.
(25.21)(25.21)Если D(z, t) = С — первый интеграл, то (25.13) приобретает форму уравнения непрерывности:
(25.21)
(25.21)
ut ozm
Теорема Лиувилля. Состояние системы определяется точкой в фазовом пространстве. Пусть Мо — ограниченная область фазового пространства, Mt — область, в которую переходит Мо при отображении (25.20); Го, Tt — объемы этих областей. Покажем, что
(25.22)(25.22)drtГЭЕт
(25.22)
(25.22)
сП? я—’
atJozm
Mt
2s
где Г^ = J dr, dr = ]Д dza. Производя замену переменных 2 ™э z':
Mt
dr = JdT0, dr0 = П dz'Q, J = det A, Kmk = -^,«=1M
имеем
Tt =MoTt =ModrgJ —> —7 — at JModrgJ —> —7 — at JModr0J =Mtdr0J =MtdTjM.dTjM.
Tt =
Mo
Tt =
Mo
drgJ —> —7 — at J
Mo
drgJ —> —7 — at J
Mo
dr0J =
Mt
dr0J =
Mt
dTjM.
dTjM.
В теореме Лиувилля утверждается, что фазовый объем сохраняется. Согласно (1.19) производная определителя
(25.23)(25.23)j — jkmkKkm.
(25.23)
(25.23)
Далее, дифференцируя (25.19а) по zk, найдем линейное уравнение, которому удовлетворяет матрица. Якоби Ат&:
(25.24)(25.24)d 9zm _ ЭЕт 8zj •_ 8Fm
(25.24)
(25.24)
at 8zk O^i8zt
Подставляя (25.24) в (25.23), получимПодставляя (25.24) в (25.23), получимлу (25.22). Поскольку штп = ™шпт, толу (25.22). Поскольку штп = ™шпт, тоj = JdFm/ dzm и формуj = JdFm/ dzm и форму
Подставляя (25.24) в (25.23), получим
Подставляя (25.24) в (25.23), получим
лу (25.22). Поскольку штп = ™шпт, то
лу (25.22). Поскольку штп = ™шпт, то
j = JdFm/ dzm и форму
j = JdFm/ dzm и форму
ЭЕт _ ЭМ
— штопozmо zmo zn
и гамильтонова, система, сохраняет фазовый объем Г^ = Го. Динамическую величину Tt называют интегральным инвариантом.. Интегральные инварианты разной размерности впервые введены А. Пуанкаре [173].
Пример 25.7. Найдем условия, которым должна, удовлетворять функция D = D(t, 2), если С = $ 6ГВ(Ц 2) — интегральный инвариант. Учитывая полученные выше соотношения, имеем
С =С =dr0 2-DJ =atdr0 2-DJ =atdTJ~1^DJ =dtdTJ~1^DJ =dtdtdt
С =
С =
dr0 2-DJ =at
dr0 2-DJ =at
dTJ~1^DJ =dt
dTJ~1^DJ =dt
dt
dt
Следовательно, функция D(t, ^) удовлетворяет уравнению (25.21).
Обобщенные гамильтоновы системы. В общем случае матрица, ш зависит от координат: си = O(z). В этом случае выполняются условия 1-3 п. 25.5, а. тождество Якоби имеет вид
ЭОтпЭО^эорт
OZiOZiOZi
В частности, Отп = Cmlzb Изучение систем с более сложной зависимостью СП только начинается.
Лекция 26. Канонические преобразования
Настоящая лекция посвящена, центральному разделу гамильтонова, формализма. — теории канонических преобразований. В отличие от лагражева формализма, роль которого сводится лишь к выводу уравнений движения, гамильтонов подход позволяет, в принципе, получить решение как каноническое преобразование, не обращаясь непосредственно к уравнениям. В реальной ситуации приходится использовать приближенные методы теории канонических преобразований, изложенные в лекциях 27-31.
Метод вариации канонических постоянных. Пусть 21, ... ..., 2os — координаты фазового пространства, Н = H(z, t) — гамильтониан. В общем случае система. (25.19)
= [^mi 77(2, t^(26.1)
не интегрируема. Представим Н в виде Н = Но + АН, где Но = Но (2, t) — гамильтониан системы
Ли = ^т, H0(z, t)],(26.2)
имеющей решение zm = zm(z\ t). Здесь z' = (z^ ..., 2^) —постоянные интегрирования. В соответствии с методом Лагранжа, вариации постоянных ищем решение (26.1) в виде zm = zm^z\t\ t). Из (26.1) находим
6zm dzm ЭН
ПосколькуПосколькутото8zm _ ЭНргх. ^ШП гх 1utОdzm _8^Н"9ё"Ги^ШтиГГ"8zm _ ЭНргх. ^ШП гх 1utОdzm _8^Н"9ё"Ги^ШтиГГ"(26.3)(26.3)
Поскольку
Поскольку
то
то
8zm _ ЭНр
гх. ^ШП гх 1
utО
dzm _8^Н
"9ё"Ги^ШтиГГ"
8zm _ ЭНр
гх. ^ШП гх 1
utО
dzm _8^Н
"9ё"Ги^ШтиГГ"
(26.3)
(26.3)
Предположим, что detG 1 ^ О, где Gm^ = 8zm/8z'n. Умножая (26.3) на. матрицу Якоби G^m = dz^/dz^ получим систему:
_ЭКИ
2 к — кт^тп •
(26.4)(26.4)Если матрица. Якоби удовлетворяет условию
(26.4)
(26.4)
Gkm^mjGj^ — ^кр
то
Gkm^mn = ^kiG,2^ = UJ^ ~Qp q^ AH.
Матрица. G называется в этом случае симплектической, а. замена, переменных z ™э z' — каноническим преобразованием. Новые переменные z^ удовлетворяют уравнениям Гамильтона:
_ 8НГ« t)
Zk - ^ki ее
где H'(z\ t) = АЯ(ф', By t) —новый гамильтониан.
Запишем это уравнение в терминах скобок Пуассона, которые определим аналогично (25.8), заменяя z -ч- z$;
z^^H^z^t^ ^ = 1, ...,2s,(26.5а.)
Эр'Сдхр<26-56)
Вследствие условия (26.4) сохраняются фундаментальные СП:
(26-6)
Аналогичным путем находим
[^т(^"ОУг' == [^?тг ? ^j]^?(26.7 а)
[^г? Pk\xPpf — ^ik •>[^г? ^/сЗжУр' — 0, \Pia Pkjx^p1 — 0.(26.76)
Таким образом, преобразование координат является каноническим, если сохраняются скобки Пуассона.
Сделаем несколько замечаний.
В лагранжевом формализме допустимы только преобразования координат. Класс канонических преобразовании существенно шире, поскольку координаты жп и импульсы рп являются равноправными независимыми переменными.
Метод вариации постоянных лежит вне рамок лагранжевого формализма.
Каноническое преобразование позволяет исключить из гамильтониана члены, дающие наибольший вклад в решения.
Пример 26.1. Лагранжиан осциллятора, взаимодействующего с внешним полем,
L(ap ap t) = ™тг — -шси2ж2 — LKap t)
приводит к уравнению второго порядка, типа. (20.1):
1х 9U
х + Хх = — f(x,=
тох
Вводя импульс р = тар получим из (25.3) гамильтониан
Я(ж,+ ^ X2 + U(x, f).(/)
Пусть Но = р2/2т + (1/2)шш2ж2. Тогда, уравнения (26.2) имеют вид
ж = —,р = —шси2ж.(2)
Представим решение (2) как замену переменных ж, р х\ р', удовлетворяющую (26.7 б):
х = \cos (cut + ж7), р = — V2шсир/ sin (cut + х'). N тех'
Новый гамильтониан Н'(х\ р', t) = U (ж (ж7, р\ t), t). Уравнения Гамильтона. имеет вид
., BHr 3U ЗхХ (
„ ЭН' ди дх „ ЛК . , ,х
Р = -^"7" = -^- 7-7 = ~f\ — sin И+ 2:).
ох1 ох ох/ V шеи
Произведем в (7) каноническое преобразование к комплексным координатам и импульсам ж, р х! = ср р' = ш*:
х = \+ a*eiMtV р =- Хем).
V 2mcu’у 2
Новый гамильтониан Н\а^ га*, t) = U(x(a, га*, t), t). Уравнения Гамильтона. (см. (20.5)) имеют вид
. ЭН'.эи Эх 1^
а = — = —гт:— = Ч ;:е ,
Эш* Эх да*C^mw
ЭН'ЭС Эх 1
» =Л" = ^ /^е
дадх дау2тпхс
Производящие функции канонических преобразований. Пусть на. расширенном фазовом пространстве М задана, структура, дифференцируемого многообразия; (zn, t), (z'n, tf)—локальные координаты в двух картах, п = 1, ..., 2s. Положим t = t'. На. перекрытии двух карт связь между координатами— zn = z^z^ ..., z^ t) или
Xn = жДж^ p', t), pn = Pn(x\ pz, t), n = 1, ..., s. (26.8)
Якобиан преобразования z ™э z' отличен от нуля: det Gmn ^ 0, Gmn = = dz^/dzn. Подставляя (26.8) в (25.7), получим новый функционал:
и
/[z] ч I[z'] = l'(.z', z1, ty
vy, z', t) = \pnxn - H^x, p, f)]z=z(z,>t) =
- 11 (^+Г + VI ■|26-91
Нетрудно убедиться, что уравнения Лагранжа-Эйлера нс имеют канонической формы (26.5). Выбирая определенным образом замену переменных (26.8), можно получить новый лагранжиан в виде
l'(Z, z', t) = р'пх'п - Н'У, р', t) + -^FV, р\ t),(26.10)
где H(x\p\t\ F(x\p\t) — известные функции. Теперь уравнения Лагранжа-Эйлера, имеют форму уравнений Гамильтона. (26.5), И1 = = Н^х1 р', 1) —новый гамильтониан. Соответствующая замена переменных ж, р ж^ рг является каноническим преобразованием (КП). Следовательно, интегрирование системы (26.1) сводится к алгебраической проблеме отыскания КП, обращающего новый гамильтониан Нг (zr, I) в нуль. В этом случае ж^, р'п — постоянные величины. Если ж^ = хп (0), р'п = = Рп(0), то решение (26.8) является каноническим преобразованием начальных условий. Однако в общем случае гамильтоновы системы нс интегрируемы. Поэтому можно попытаться найти такое КП, что гамильтониан Н1 будет в каком-то смысле мал, и получить решение уравнений (26.5)
методами теории возмущений. Возникает вопрос: как найти гамильтониан Н\ описывающий эволюцию штрихованных переменных? Этого можно достичь, подбирая замену переменных, удовлетворяющую условию каноничности (26.7). После подстановки 2 = z(z\ t) в (26.9) получим лагранжиан в виде (26.10). Другой метод, позволяющий найти преобразование (26.8) и новый гамильтониан Н1, связан с использованием производящих функций.
Пример 26.2. Лагранжиан осциллятора, с переменной «массой» и «жесткостью»
Ьфр ж, t) = ™m(t)x2 — -k(t)x3
мильтонианмильтонианприводит к уравнению типа. (20.23). Поскольку импульс р = тх, то га
мильтониан
мильтониан
кmкmхР2тпш2оо
к
m
к
m
Н(х, р,Ц=-Н——х‘,
2 m2
Произведем КП ж, р —> ж7, р7:
р = — -\/2тшр^ sin (р + ж7),р = — -\/2тшр^ sin (р + ж7),р = dt(jj(t).р = dt(jj(t).
р = — -\/2тшр^ sin (р + ж7),
р = — -\/2тшр^ sin (р + ж7),
р = dt(jj(t).
р = dt(jj(t).
Подставляя ж, р в (26.9), согласно (26.10) находим
Н (ж , р , t) = — --— sin2(р + ж ), F = ™-р sin2(р + ж ).
аТZ
Канонические уравнения имеют вид
.1 din шеи . _. din шеи
ж = — -—-8ш2(р + ж), р =—-соб2(р + ж).
z ахах
Производящая функция Fi = ^(ж, ж7, £).Из (26.8) можно найтир'п = = рЦж, ж7, t) и выразить функцию F(x\ р\ t) в (26.10) как функцию старых и новых координат: Fi(ay х\ t) = F(xf, р7(ж, ж7, t), t). Тогда. (26.10) можно представить в виде
dFi
= РпХп - р'пх'п + (Н' - Я).(26.11)
Сравнивая это выражение с (25.1), приходим к выводу, что Fi = Fi (ж, ж7, t) является производящей функцией преобразования Лежандра, от переменных жп, ж^ к переменным рп, Рп- Поскольку
Ж. Ж.,dt Bt Эхп Хп Эх'п
то в соответствии (26.11) функция Fl(ж, ж7, I) задаст каноническое пре-
образование соотношениями
hV.pS t) =hV.pS t) =BFX,9F1Рп = ^,Рп = ™^Т^ВхпВх'пBFX,9F1Рп = ^,Рп = ™^Т^ВхпВх'пгг/ЭЕ1(х, х', t)а,гг/ЭЕ1(х, х', t)а,(26.12)(26.13)(26.12)(26.13)
hV.pS t) =
hV.pS t) =
BFX,9F1
Рп = ^,Рп = ™^Т^
ВхпВх'п
BFX,9F1
Рп = ^,Рп = ™^Т^
ВхпВх'п
гг/ЭЕ1(х, х', t)
а,
гг/ЭЕ1(х, х', t)
а,
(26.12)
(26.13)
(26.12)
(26.13)
Условие разрешимости второго уравнения (26.12): det ^Fi/Qx^x^) ^ 0.
Из рассмотренных выше примеров можно заключить, что новые координаты и импульсы не имеют своего первоначального смысла, в частности, переменные xfn не являются пространственными координатами; различие между координатами и импульсами становится несущественно. Выбирая, например, Fi(x, х\ t) = х^х^, получим рп = х^, р'п = -хп, Н\х’, р\ t) = = H(—pY х\ t). Роли координат и импульсов поменялись.
Пример 26.3. Возвращаясь к примеру 26.2, рассмотрим производящую функцию
\ ТПСл) оt \
Еху х ,t) = —+ x )•
Согласно (26.12)
р = —тсиж tg (р + x'Y р' = ^тихх" cos™2 (р + х'У
Отсюда, получим приведенную в примере 26.2 замену переменных. Далее находим
8Fi 1 draw о / ,х 1 о о,х
— =--——ж" tg(y? + x ) --mw"x" cos HyExY
жStжStВ новых переменных Нфу р, t)\z=z^pp = шр',
ж
St
ж
St
1 р dmu .,
; SUL 2(р Г X ) ™ Шр .
2 mu d-t
Новый гамильтониан совпадает с полученным в примере 26.2.
Производящая функция F^ = F^x^ р\ t). Иногда более удобно использовать производящую функцию, выбирая за. независимые переменные старые координаты и новые импульсы. Произведем преобразование Лежандра, записывая (26 Л1) в виде
= Pni-n + <р'п + К - н).
Выражение F^x^ р\ t) = Fi(x, жДж, р\ t\ t) Г р^х’^х^ pY t) является производящей функцией. Поскольку
dt Bt 3xnXn др'п^п'
то КП х, р ж', р' определяется соотношениями
Н’(х\ р\ t) =Н’(х\ р\ t) =ЭЕ. , ЭЕ.д$пЭрпЭЕ. , ЭЕ.д$пЭрптdF2(x, р1, ЦЩх, р, t) +^тdF2(x, р1, ЦЩх, р, t) +^(26.14)(26.15)(26.14)(26.15)
Н’(х\ р\ t) =
Н’(х\ р\ t) =
ЭЕ. , ЭЕ.
д$пЭрп
ЭЕ. , ЭЕ.
д$пЭрп
тdF2(x, р1, Ц
Щх, р, t) +^
тdF2(x, р1, Ц
Щх, р, t) +^
(26.14)
(26.15)
(26.14)
(26.15)
Условие разрешимости системы (26.14) — det^F/dp'pXn) ^ 0.
Пример 26.4. Гамильтониан частицы Н^х, р, t) = р2/2т. Произведем КП, порождаемое функцией
/2
F^x, р', Ц = р'х -
2 т
Из (26.14), (26.15) следует, что х = х' -б (р'/т\к р = р\ Н\х\ р\ t) = 0. Производящая функция Fi(x, х\ t) = (Е. — х'р'^р.^рЦж^ц^ принимает вид
РЦх, х', Ц = ^(х - х'У.
В теории канонических преобразований используют еще два. типа, производящих функций, которые можно получить преобразованием Лежандра, функция F3 = F3(p, ж', t) порождает КП ж, р ж^ рЕ
(26.16)(26.16)(26.17)(26.17)_ ЭЕ3 , _ ЭЕ3
(26.16)
(26.16)
(26.17)
(26.17)
8Рпджп
а функция F4 = Я(р, р'Я) —
ЭР4 , ЭР4
жп ™ ™ п ? Хп ™ п ! *
8Рп8р'п
Заметим, что приведение уравнений Гамильтона, к возможно более простому виду определяется удачным выбором канонического преобразования. Если новый гамильтониан зависит только от импульсов: Н\ЕI) = f(p'), то уравнения Гамильтона. (26.5) немедленно интегрируются:
Рп = 0, < = II" Рп = Рп, Жп = 11г1 + Жп-
В этом случае решение является КП ж^ рг ™э ж^, рн, обращающим новый гамильтониан Н” (хп р'\ t) в нуль.
Пример 26.5. Частица, движется по поверхности отрицательной кривизны с координатами -и, о, в которых метрика, (ds)2 = (dw)2 + exp(2/cw)(d'r2) (см. пример 16.2). В новых переменных Ж1 = к™хе™ых^ = -и метрика, приводится к конформному виду (ds)2 = (kxi) ™2 [(dжl )2 + (dx.)^, называемому метрикой модели Клейна, геометрии Лобачевского [8]. Гамильтониан
частицы Н = (кх1У(р^ Гр^Урт. Произведем КП:
Ж1 = ch ^Xi, ax = Жо + ™™™th kx\, kp'2kp'2U)
Pl = -pyhkp, P2=P2-
В новых переменных гамильтониан Н' = р^/^ш, р^ = р", х^ = х" + + № /™У.
Линейные канонические преобразования. Линейные КП фазового пространства. У —> z = Az' называются симплектическими, если А является матрицей, удовлетворяющей условию (26.4).
Исследование устойчивости по линейному приближению. Пусть zn = ^п — особая точка, системы (26Л) с гамильтонианом И = H(z). Полагая zn = ап + cn, разложим H(z) в ряд Тейлора:
1/ д2 Н
Н(а + О — Н(а) + — HijViVj + ... ,Hij = {dz.dz
Очевидно, что Н^ = Нр. Уравнения Гамильтона, имеют вид
ЭНЭекЭНЭек
ЭН
Эек
ЭН
Эек
Поскольку шН — постоянная матрица, то решение
(26.18)(26.18)'Ут^ — ^тп (^)^п 7
(26.18)
(26.18)
А-тпУ) = (expшН1)тпvn = Гп(0).
Докажем, что Атп — симплектическая матрица. Имеем
Аш = ^^ у(рН)пш = У2 ™у^(Нш)п = шехр(Нш1\ п=0п=0
А 1 = ехр(™шН1), (Л х)т = ехр(—НТштt) = ехр(Нш1).
Следовательно, Аш = ш(А^1)т, что и требовалось доказать. Учитывая, что det ш = 1, находим (det А)2 = 1.
Пусть s = l. Для вычисления матричной экспоненты найдем собственные значения матрицы шН: det (сиН — XI) =0. Если а2 = Н^™ НцН12 > > 0, то Ао, 1 = Гст. Введем проекционные операторы
Р1 = -2-ун -\2ik P2 = r^H-xjY
Очевидно, что Р{ = Pi, Р^ = Р2, Р1Р2 = Р2Р1 = 0, Pi + Р2 = L
Поскольку изН = AiFi + Х^Р^ то
Н22 sh atН22 sh atА = ехр(шНЦ = V - (XiPi + Х2Р2у = У - ^Рх + Х^Р-О = -^^ п!-^^ w.
Н22 sh at
Н22 sh at
= eMPi + ewP2 = -.
a I -Яц sh at a ch at — Hx^ sh at I
Эта. матрица, совпадает с (19.13), если учесть, что кц = —к^ = Fi2, Ац2 = = Я22, /с21 = —Яц. В случае Н^ ™ НцН^ = ™<т^ < 0 в матричных элементах А следует произвести замену ст ™э шо. Если Н^ = ЯцЯ22, то
А =А =—Hxxt 1 — Hx^t—Hxxt 1 — Hx^t/1 + Hx^t1Ы \
А =
А =
—Hxxt 1 — Hx^t
—Hxxt 1 — Hx^t
Каноническое преобразование к вращающейся системе отсчета. Гамильтониан частицы, движущейся в однородном поле тяжести, равен
Произведем КП ж, р ™э х\ р\ порождаемое производящей функцией F2(ж, р\ t) = Sp^p^Xa, р, а = 1, 2, 3, ST = S™1. Из (26.14) находим
Pq ” дха - SliaP^ Хр - Эр'9 -
Поскольку S™1 = ST, то xv = Spvxfp. Вычислим вклад производящей функции в (26.15): (dF2/Эй) = 8^ар^ха. Новый гамильтониан
Н\х^ p\t) = ^ S^vP^SavP^ ™ mgv S3vx0 +
+ S^p^SvaX^ = ^РаРа ™ т^6 Х^ + fi^^4?
где g^ = S^^g^, Q^ = SpaSva. Поскольку вектор угловой скорости U’s связан с тензором О^ соотношением (2.6): О^ = EpVSUfs, то
я'(Г,р', 4 = ^-т^ЛМ£р-»Л6Х.
.4. Диагонализация гамильтониана. В квантовой теории широко используются канонические преобразования для вычисления собственных значении гамильтониана, методом диагонализации [174-176]. Решение аналогичной задачи в гамильтоновой механике должно иметь вид Я (ж, р) =
— Х-пР-пХ^.
Рассмотрим систему с тремя степенями свободы — электрон, движу
щейся в электромагнитном поле ловушки Пен- нинга. Скалярный и векторный потенциалы поля
А(х) = ж, 0).
Потенциал <р(х) удовлетворяет уравнению Лапласа, и может быть реализован системой гиперболических электродов, изображенных
на. рис. 26Л: двумя концевыми поверхностями 2 г2 = р2 + В2 с потенциалом р = —П/2 и поверхностью р2 = 2г2 + В2 с потенциалом р = U /2, р2 = х2 + у2.
Произведем КП х, р -э х\ ри.Произведем КП х, р -э х\ ри.(26 Л 9)(26 Л 9)Введем следующие обозначения: заряд электрона, е = —во, О = = eQB/тр из2 = 2е^И (тВ2. Переходя к переменным ж = х^ у = ж2, г = тз, запишем гамильтониан (см. пример 25.3):
Произведем КП х, р -э х\ ри.
Произведем КП х, р -э х\ ри.
(26 Л 9)
(26 Л 9)
(26.20)
В новых переменных гамильтониан
Н = —Р1Р2 + —№ ™РГхХ - шъррх^ m42
где Д2 = П2 ™ 2ш| > 0. Часть членов имеет диагональный вид. Для полной диагонализации гамильтониана, совершим КП x’n, р'п т^ = ап, р" =
х^ = "™у===+ а*\х^ = —^=((2* + «2), ^з = аз?
. vmA ““ СтА(26.21)
р\ = -СтА^а* — «2), Ро = — -VmA(ai — «о), Рз = Шз-
Теперь новый гамильтониан является квадратично! диагональной формой: ОД
Н = cdia*ai - си2«2а2 + шза^аз, иц72 = — ± — •(26.22)
Учитывая значение СП \аП1 а^] = —i5nk, запишем уравнения Гамильтона:
6Нп
^п — [^п? Н ] — ^2а*— ^п( ^) ап*
Решения этих уравнений
сц = дДе™гШ11^\ а2 = ^Т2егш^^ а3 = л/Тзв^1^
(26.23)
представлены как КП к новым постоянным координатам аП1 га^ -л рП1 I. Подставляя (26.21), (26.23) в (26.20), получим
Х1Х1х2 =х2 =cos (edit + yi) + Vb COS (ed2t - y2)j ,
Х1
Х1
х2 =
х2 =
sin (edit + <pi) + V^2 sin (u^t
Pi =Pi =sin (edit + <pi) — V ^2 sin (pj2tsin (edit + <pi) — V ^2 sin (pj2t(26.24)(26.24)
Pi =
Pi =
sin (edit + <pi) — V ^2 sin (pj2t
sin (edit + <pi) — V ^2 sin (pj2t
(26.24)
(26.24)
Р2 =Р2 =cos (edit + yi) - Vb cos (ed2t - y2)j ,
Р2 =
Р2 =
/ 2/3z
X3 = x cos(ed3t + ^3), p3 = у 2?пш3/з sin (cd3t + <p3).
V ШШз
Нетрудно заметить, что сохраняются СП, вычисленные по переменным фн, 1п. Полная энергия электрона. Е = ujiIi — ш212 + W3I3.
Ловушка. Пеннинга. является уникальным экспериментальным прибором [177, 178]. Локализация электрона, в ловушке в течение нескольких суток позволила, провести эксперимент по сверхточному определению аномального магнитного момента, электрона. [179]. Параметры ловушки: R = = 0,335 см, U = 9, 2 В, В = 18,3 кГс. В этом случае tdi ~ О - ш|/2П, ш2 ™ сэз/2П; числовые значения соответственно равны
Cdi
= 51206 МГц, = 34,464 кГц, = 59,41 МГц.
2тг2тг2тг
Ловушка, является прибором, в котором возникает индуцированное излучение нерелятивистских электронов (см. п. 28.6).
.5. Операторная форма канонических преобразований. Переход к операторной формулировке КП позволяет описать динамические переменные наиболее компактным образом. Однако за. простои формой записи скрыты более сложные по сравнению с обычными правила, обращения с операторными величинами [ 18 L 182].
Производная Ли. Представим СП (25.17) функций A^z’, t), В^А, t) в операторной форме:
[Л^, Bp B(zf, t)] = LBA,
LB = Bm0mi Bm = штп0пВ, 0n = 0 / 0zn.
Оператор LB называют производной Ли. В операторной форме свойства. СП приобретают следующий вид.
Линейность:
LB(XiAi + А2Л2) = А11>вЛ1 + X2LBA2.
Кососимметричность:
LBA=—ГдВ.
Правило Лейбница:
Л_уЛ1Л2 = Л1Л^дЛ2 4" Л.2Л_вЛ1.
Тождество Якоби:
LcLBA 4" LBLAC 4" LALcB = 0.
Пример 26.6. Докажем тождество Якоби. Образуем коммутатор операторов:
^LBLA L АГВ)С = (^Вт0тАп0п Am0mBn0n^C =
= (Bm0mAn - Am0mB^0nC = ([Лп, В] + [л, впжс =
= шпаА[Л, В\9пС = 1рА^С = -LC\A, В].
В результате имеем тождество Якоби в операторной форме.
Преобразование динамических переменных. При достаточно широких предположениях о функции s(B) можно построить операторы
0
К=штп — —, L° = l,(26.25)
и = expLs = V Хц.(26.26)
-т'
п=0
Легко проверить следующие свойства. [172]:ДДА^ + A2G) = A^F + A2L^G,Легко проверить следующие свойства. [172]:ДДА^ + A2G) = A^F + A2L^G,L’^FG = ^CknpksFHLpkG),k=0G^ ^C^pF, LpkGU k=0из которых получаемL’^FG = ^CknpksFHLpkG),k=0G^ ^C^pF, LpkGU k=0из которых получаемG(AiF + A2G) = Ai UF + A2GG,G(AiF + A2G) = Ai UF + A2GG,U(FG) = (UF)(UG^ U[F, G]^ = pF, UG]Z'. (2621)U(FG) = (UF)(UG^ U[F, G]^ = pF, UG]Z'. (2621)Произведем преобразование координат z = zP, t): z = U z‘, и покажем, что UFP) = Fp. Для вычисления UFP) введем вспомогательный параметр е заменой U -л U£ = exp eLs, z -л ye = Up (прием, широко используемый в квантовой механике). Очевидно, уо = ^А У1 = Л РР = = Fp. Разложим Fpe в ряд Тейлора, около точки 6 = 0:Произведем преобразование координат z = zP, t): z = U z‘, и покажем, что UFP) = Fp. Для вычисления UFP) введем вспомогательный параметр е заменой U -л U£ = exp eLs, z -л ye = Up (прием, широко используемый в квантовой механике). Очевидно, уо = ^А У1 = Л РР = = Fp. Разложим Fpe в ряд Тейлора, около точки 6 = 0:00сп/ рп те хf6О Г \F(ys) = У-г"TVЛп!V "е J ff-000сп/ рп те хf6О Г \F(ys) = У-г"TVЛп!V "е J ff-0(26.28)(26.28)Далее находимДалее находим8Уе тЛё =8Уе тЛё =8Уе8УеЭПзРЭеЭПзРЭеПовторим эту процедуру п раз:Повторим эту процедуру п раз:ЛГЫ =ЛГЫ =ЭепЭепЬЛЛ) =ЬЛЛ) =V 9еп )Е=0V 9еп )Е=0
Легко проверить следующие свойства. [172]:
ДДА^ + A2G) = A^F + A2L^G,
Легко проверить следующие свойства. [172]:
ДДА^ + A2G) = A^F + A2L^G,
L’^FG = ^CknpksFHLpkG),k=0
G^ ^C^pF, LpkGU k=0
из которых получаем
L’^FG = ^CknpksFHLpkG),k=0
G^ ^C^pF, LpkGU k=0
из которых получаем
G(AiF + A2G) = Ai UF + A2GG,
G(AiF + A2G) = Ai UF + A2GG,
U(FG) = (UF)(UG^ U[F, G]^ = pF, UG]Z'. (2621)
U(FG) = (UF)(UG^ U[F, G]^ = pF, UG]Z'. (2621)
Произведем преобразование координат z = zP, t): z = U z‘, и покажем, что UFP) = Fp. Для вычисления UFP) введем вспомогательный параметр е заменой U -л U£ = exp eLs, z -л ye = Up (прием, широко используемый в квантовой механике). Очевидно, уо = ^А У1 = Л РР = = Fp. Разложим Fpe в ряд Тейлора, около точки 6 = 0:
Произведем преобразование координат z = zP, t): z = U z‘, и покажем, что UFP) = Fp. Для вычисления UFP) введем вспомогательный параметр е заменой U -л U£ = exp eLs, z -л ye = Up (прием, широко используемый в квантовой механике). Очевидно, уо = ^А У1 = Л РР = = Fp. Разложим Fpe в ряд Тейлора, около точки 6 = 0:
00сп/ рп те х
f6О Г \
F(ys) = У-г"TV
Лп!V "е J ff-0
00сп/ рп те х
f6О Г \
F(ys) = У-г"TV
Лп!V "е J ff-0
(26.28)
(26.28)
Далее находим
Далее находим
8Уе т
Лё =
8Уе т
Лё =
8Уе
8Уе
ЭПзР
Эе
ЭПзР
Эе
Повторим эту процедуру п раз:
Повторим эту процедуру п раз:
ЛГЫ =
ЛГЫ =
Эеп
Эеп
ЬЛЛ) =
ЬЛЛ) =
V 9еп )Е=0
V 9еп )Е=0
Полагая в (26.28) 6 = 1, получим искомое соотношение:
А'(Г = У А Ь»РЛ = IWY(26.29)
nA
п=0
Тогда. (26.27) принимает вид
ирц'рл = рдецу UWY G{P]Z' = \fzy
Из последнего соотношения в случае У(б/) = z’m, G(zf) = z^ имеем штп = \zm, бп]2:/. Следовательно, преобразование z = Uz’ является
каноническим. Динамическая переменная Е^ в новых координатах — Е’^Е^ = Е^Е^ — определяется формулой (26.29):
ПР -EpV" ГР. ГШ ■ ■ ■ ]s(^)].(26.30)
n=0
Пример 26.7. 1. Преобразование Бирхгофа. Гамильтониан системы Н = Но + V,
Н0 = ХрХ, V= ^ ЛтпР™.^.
Найдем КП, которое исключает из гамильтониана кубические члены р [16, 19].
Произведем КП z = (ж, р) пЕ = (д, тг), генерируемое функциейs(У). Согласно (26.30)
= Н(р + \Н(р,+ | рЦр, ф')]ф')] + ■ ■ •
Генератор преобразования z -р Е = (д,тг), пропорциональный малой величине р, выберем в виде s = PmnE^qE Собирая члены одного порядка, получим
, S, S+ ...(7)
, S
, S
Далее имеем
[Но, s] + V = (Хутп(т - n) + pmn^mqn.
Полагая утп = А-1(п — m)_1pmn, находим новый гамильтониан:
НЧР = x-n-q +1 ^wmq\ 'ikKq'] н— =
71 ^ ПТ Sт I т, 1 „ I „ 1
= ^q + ^Г ПтпПквТТ + q ++ . . .
А п — т
Замена, переменных:
X = q + [g, s] + ... = q + vEEa тк~Х18 + • ■ ■,
p = тг + [тг, s] + ... = 7Г ™- ^q8™1 + ...
Преобразование Фрелиха. Гамильтониан системы Н = Но + У, з
Но = '^^шпа^гап, V = ea^aoa^ + е^аойхаз.
п=1
Произведем КП z = (а, ш*) -л zf = (с, %с*\ исключающее члены ^ е. Выберем генератор в виде s = грс^с^сз + к.с. Используя значение СП [с*, с^ = 16пк, имеем
[Я0, s] + V = {7Д2 -- Шз) + Е*}С1СзСз + к.с.
Полагая 7 = — (шз — wi — ш3)-1£*, получим
= 1 [ес*с2Сз + к.с., «7С1С2СЗ + к.с.] =
С+. .2|с1|2|с2|2 + (|с2|2-|с1|2)|сз|2
= 9 Е7[С1С2С3, С1С2С3] + К.С. = |£| .
ZUJ^ — Ш1 — Шз
Аналогичное преобразование предложил в 1950 г. Фрелих в теории сверхпроводимости. Координаты «1, «2 относятся к электронам, п3 — к фононам. Если |с3| С |ci|, |сзЬ то гамильтониан H^z1) описывает взаимодействие между электронами, приводящее к их «спариванию».
В резонансном случае, когда. Ш2 = Ш1 + ш3, возникает «малый знаменатель», препятствующий упрощению гамильтониана. [183]. В этом случае следует произвести КП а, га* Л tp, I: ап = -\/Т^exp (™iwnt — гфи\ Полагая е = еое™га, получим гамильтониан в новых переменных:
h = 260 Vh ^ Д cos ^ф^ ™ Фх — Фз +
Выбирая производящую функцию
F^^i I') = Ф111 + фз^з + (^2 - ф1 ™ фз + об)1^
получим согласно (26.14) КП ф, I -л ф', Г:
ф'2 = Ф1 + 2-2 + Фз - а, Фз=Фз,
13-1'3-1'2
и новый гамильтониан
/г' = геоу/д] - ИрГа - Д)с°8 Ф2-
Очевидно, Д = Ci, Д = (7з, h' = Со —первые интегралы, аналогичные соотношениям Менли-Роу в теории трехволновых взаимодействий [76],
Д + Д = Ci, /1 — /3 = Ci — С3, Д + Д = С3.
Решение уравнений движения выражается в терминах эллиптических функций.
Канонические преобразования в классической теории магнитного резонанса. Среднее значение магнитного момента, или спина. S удовлетворяет уравнению
= №(26.31)
где О(£) = —уВ, В — вектор магнитной индукции, у — постоянная. Уравнение (26.31) можно представить в гамильтоновой форме, используя подход Швингера, установившего связь между оператором момента, импульса, и спаренными операторами «рождения» и «уничтожения», которые можно ввести при рассмотрении двух гармонических осцилляторов.
Пусть ^ — двумерный спинор-столбец с компонентами «1, а^, ^+ — = (а^ aS\ оу —матрицы Паули (k = 1, 2, 3) [49, 158, 162, 194]. Определим компоненты вектора. S соотношениями 8 к = (1/2)^+сг^ ^:
Si = |(«1«2 + аУУ S2 = 2(а*д2-a*til), S3 = ^a*tai -
(26.32)
Введем теперь «координаты» и «импульсы» лу = а^, рк = га^ (к = = 1, 2) с фундаментальной скобкой Пуассона [лу, р^] = 8^. Поскольку СП [S';,, Sj^ = EtjkSk. то уравнение (26.31) приобретает гамильтонову форму dS/dt = [S, Н] с гамильтонианом Н = OS [276].
Спин находится в магнитном поле с индукцией B(t) = Во + Bp(t), Во = (О, О, Ьо\ Вр = b(coscct, — sinc^C 0)/(f), f(t) = 0 при t < 0, t > т; f(t) = 1 при 0 ^ t ^ т. Гамильтониан частицы
Я = -| [а^аз^е^4 + аЯлУе^1 + (^«1 - а^Л)] , 0^ f О,
(26.33)
где По = уЬ0, Ор = yb.
Найдем решение уравнений движения спина, в случае резонанса ш = = По- Произведем вначале КП а q: а^ = qiewt^\ а^ = q^e™1^2, порождаемое ПФ
Е^сц iq*, t) = iq^e1^2 F.
Новый гамильтониан не зависит явно от времени:
Я' = Я+^ Н'=-^qXq2* qPxY
Следующее КП q с:
приводит гамильтониан к диагонально! форме Н’ -э h,
(26.34)
Решение канонических уравнений, порождаемых гамильтонианом (26.34),
С1 = ЪХ(ЛЛ\ С2 =(26.35)
где bi = (1 + СуЛ^/у ь2 = (1 — С)1/,2е-,/3/2, С и 3 — постоянные. В новых переменных вектор спина.
^ = (1 — С2)1/2 cos (£у + ЗУ SC = -(1 - С2)1/2 sin (Qpt + ЗУ S’3 = С.
(26.36)
Переходя в (26.32) к переменным а -л с, получим решение канонических уравнений S(t) в интервале 0 < t < г:
51 = S'3 coscut + So sin cot, S2 = — S3 sin cot + So coscut, S3 = —Sp
(26.37)
Отметим, что КП а -л с задает преобразование к новому базису п^ -л п^, в котором вектор В направлен по орту П3. Компоненты угловой скорости в новом базисе Q^ = По = 0, Оз = —Qp соответствуют эффективной индукции В' = (0, 0, bPY
Пусть S(0) = (0, 0, 1). Тогда, из (26.36), (26.37) находим S' (0) = = (-1, 0, О),С7 = О,^ = тг,
Si = - cos npt, Si = sin Opt, S3 = 0.(26.38)
Следовательно, компоненты вектора. S(t) в интервале времени 0 ^ t ^ т соответственно равны
Si(t) = sin Opt sin O0t, 82(f) = sin Opt cos OqC 83(f) = cos Opt.
(26.39)
Скалярное произведение SBP = 0 — вектор S вращается вокруг оси S с угловой скоростью Ор, оставаясь ориентированным перпендикулярно вектору Bp(t).
Рассмотрим два. случая:
« тлимпульс ». Если переменное поле включено в интервале т, удовлетворяющем условию ОрТ = тг, то ^(т) = (1, 0, 0), S(t) = (0, 0, — 1). При t ^ т имеем Si(t) = 0, 82(f) = 0, 83(1) = — 1. Резонансный «тг-импульс» переворачивает спин;
« девяностоградусный импульс». Если переменное поле включено в интервале т, удовлетворяющем условию Орт = л/2, то S'(t) = (0, 1,0). При t ^ т после выключения переменного поля спин прецессирует в плоскости, перпендикулярной вектору Во:
Si(t) = S^t) = sinQoC 82(1) =S2 = cosOoC S3(t) = Si = 0.
В результате возникает переменный магнитный поток, который наводит ЭДС индукции в катушке, содержащей образец из исследуемого материала.
Лекция 27. Уравнение Гамильтона-Якоби
Полный интеграл. Уникальная особенность канонических преобразований состоит в том, что, в принципе, можно получить решение системы алгебраическим способом, угадав преобразование к новым переменным ж, р -э х\ р7 в которых гамильтониан Н' = 0. Тогда. х\ р' — произвольные постоянные, а. КП х, р -э Л р‘ является решением уравнений Гамильтона. Путь к строгому решению этой задачи нашли У. Гамильтон и К. Якоби. Полагая, например, в (26.15) Н' = 0 и заменяя в гамильтониане импульсы в соответствии с (26.14) частными производными рп = = ЭР / Эх п , получим уравнение
/ЭРЭР \ЭР
— t + —= 0,(27.1)
уoxiох8 уdt
где F — неизвестная функция координат и времени. Это уравнение называют уравнением Гамильтона-Якоби. Следовательно, для определения производящей функции КП необходимо найти решение (27.1) вида. F = = Ро^х, р\ €у где pf — постоянные.
Уравнение (27.1) является частным случаем нелинейного уравнения с частными производными первого порядка:
/ЭР ЭРЭР\
G к ХЪ ..., xs, F, — —, ..., — = 0,(27.2)
уdt Эх1dx8 у
не содержащим искомой функции F и разрешенным относительно dF/dt. Теория уравнений (27.2) в достаточной степени разработана. [69, 184-186]. Для решения поставленной выше задачи необходимо, как показал Якоби, найти полный интеграл. Полным интегралом уравнения (27.1) называют решение этого уравнения, зависящее от s + 1 произвольных постоянных. Поскольку уравнение (27.1) не содержит функцию F, то одна, из постоянных содержится в полном интеграле аддитивным образом:
F = SX яд, ..., х8, ад, ..., ад) + «о-(27.3)
Характеристическая система. Если F^x, t) — решение (27.1), то поверхность F = F(x, t) в пространстве переменных яд, ..., х8? t называется интегральной поверхностью уравнения (27.1). Рассмотрим некоторую кривую хп = xn(t) в пространстве яд, ..., х8, t и решение Ф(£) = = Е(х(Эу t) на. этой кривой. Подставляя F = F(x, t) в (27.1), получим тождество, которое продифференцируем по жр
д2РэдЭН д2Р_
и*"оп—~~ ^*(27.4)
OtOXОХ^ОРнUXnUX^
Если касательную к кривой выбрать так, чтобы хп = dH/dpn, то (27.4) можно представить в виде
ЭркЭрк _ _ эн, _
Э1Хп дхпдхр
Система, уравнений
. эн
^Рк =•
ОХ к
. ЭН .ЭН
хп — Т ? Рп — — т ?
Эрпдхп
п = 1, ..., s,(27.5)
совпадающая с (25.4), называется характеристической системой уравнения (27.1).
Теорема Якоби. Эта. теорема, устанавливает связь между полным интегралом (27.3) и решением характеристической системы (27.5): если F = 8(1, х, а) —полный интеграл (27.2) уравнения Гамильтона-Якоби, удовлетворяющий условию det(92 8/9хт9хп) ^ О, то общее решение уравнений (27.5) определяется соотношениями
(27.6 a)(27.66)(27.6 a)(27.66)Э888
(27.6 a)
(27.66)
(27.6 a)
(27.66)
Pk — о ? Pk —,
8xk8ak
k = 1, 2, s,
в которых Д — новые произвольные постоянные. Из уравнений (27.66) можно найти хп = хп(3, а, 1). Подставляя хп в (27.6 а), получим рп = -Рп(Х Ц
Для доказательства, теоремы необходимо убедиться в том, что (27.6 а), (27.66) представляют интегралы канонической системы (27.5).
Действительно, подставляя в (27.1) полный интеграл (27.3), получим тождество
8S 88 \8х-1 ’’ Эх s)8S 88 \8х-1 ’’ Эх s)(27.7)(27.7)Э8(
8S 88 \
8х-1 ’’ Эх s)
8S 88 \
8х-1 ’’ Эх s)
(27.7)
(27.7)
пгт + Я .
81\
Дифференцируя (27.7) по ат и учитывая (27.5), имеем
Э28ЭН Э28Э28.Э28d 98
_|_ _|_ гр .
819akдрп Эхпдорdidc^ Эхпдорdi Эа^
Далее, дифференцируя (27.7) по х^, находим
Э2892 S
dtdxk Эхр Эрп ЭхпЭхр
Э28..Э28dtdxkЭхнЭхрЭ28..Э28dtdxkЭхнЭхр£di£di
Э28..Э28
dtdxkЭхнЭхр
Э28..Э28
dtdxkЭхнЭхр
£di
£di
чем доказательство и завершается.
Таким образом, задача интегрирования системы (27.5) эквивалентна нахождению полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби.
Выберем постоянные величины ап в качестве новых импульсов р^, а постоянные /Зп отождествим с новыми координатами ж^ (n = 1, ..., s). Тогда функция F2(x, р\ t) = 8(1, ж, р') является искомо! производящей функцией КП ж, р ™э ж\ р1, обращающего новый гамильтониан в нуль.
Рассмотрим несколько методов нахождения полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби и построения производящих функций КП.
Метод разделения переменных. Сущность метода состоит в приведении уравнения с частными производными к системе независимых уравнений с обыкновенными производными. Реализация этого метода возможна лишь при определенном выборе обобщенных координат, учитывающем симметрии гамильтониана относительно группы преобразований фазового пространства. Если определенная симметрия обнаружена, то в результате канонического преобразования можно получить первые интегралы фа(ха, Ра) = «а- В случае полного разделения переменных гамильтониан имеет вид (см. пример 25.5)
Н = Н^Жи рЖ ..., ips(xs, рЖ t).(27.8)
Будем искать полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби в виде
s = ёоР + е рп^п\
77—1
Подставляя F = 8 в (27.1), получим уравнение
НН• • • , фз• • • , фз(27.9)(27.9)
Н
Н
• • • , фз
• • • , фз
(27.9)
(27.9)
Поскольку ф^ж^ рп) —первые интегралы, то уравнение (27.9) эквивалентно системе
фпфп— оп,— оп,п = 1, . . . , S,п = 1, . . . , S,(27.10)(27.10)Разрешая (27.10) относительно производных, имеемРазрешая (27.10) относительно производных, имеемdFT dжтdFT dжтё„Жп, а»!ё„Жп, а»!8 = — dt H(ai, ..., aSl8 = — dt H(ai, ..., aSlt) + Et) + EДХпбпЖп, «ЖДХпбпЖп, «Ж
фп
фп
— оп,
— оп,
п = 1, . . . , S,
п = 1, . . . , S,
(27.10)
(27.10)
Разрешая (27.10) относительно производных, имеем
Разрешая (27.10) относительно производных, имеем
dFT dжт
dFT dжт
ё„Жп, а»!
ё„Жп, а»!
8 = — dt H(ai, ..., aSl
8 = — dt H(ai, ..., aSl
t) + E
t) + E
ДХпбпЖп, «Ж
ДХпбпЖп, «Ж
Согласно теореме Якоби получим из (27.6 а), (27.66) решение канонической системы (27.5), приведенное в примере 25.5. Это решение можно
представить как КП к постоянным импульсам и координатам, порождаемое производящей функцией Ез(хц р\ t) = S(t, хц а = p’Y
Если гамильтониан не зависит явно от времени, то полный интеграл уравнения (27.9) приобретает вид
(27.11)(27.12)(27.11)(27.12)S = —ТЦод, ..., as)t + W(лц, ..., xSl ад, ..., as),
(27.11)
(27.12)
(27.11)
(27.12)
Отождествим постоянные ап с новыми импульсами р^ и выберем в качестве производящей функции Е^ц р^ укороченное действие W ^хц а = p'Y Е^ц р^ = W^p'Y Тогда КП х, р х\р\ определяемое формулами (26.14), нс зависит от времени. Новый гамильтониан (26.15) Н'(ж\ рУ = Н(рУ ... yp^Y
Замечание 1. Почти все интегрируемые задачи механики описываются гамильтонианами типа
Н = Н(жь рЬ у?2(ж2, р2), • ■ • , ЧрРаХ • • • , ЧМ®», Ps^-
Поскольку ха и t являются циклическими переменными, то полный интеграл можно искать в виде
S = -aot + ааха + ^ КММ
где функции Еп определяются из уравнений
фпфпdFTdFTп — 2, ..., а — 1, а + 1, ..., s,п — 2, ..., а — 1, а + 1, ..., s,(27.13а)(27.13а)/ dFiИ ХЪ , а2, • • • , Ра(«д), •/ dFiИ ХЪ , а2, • • • , Ра(«д), •™ а0 = 0.™ а0 = 0.(27.136)(27.136)Например, гамильтониан осциллятора\ Р2 .2ну р) = ^ +■2 т2Уравнение Гамильтона-Якоби имеет видНапример, гамильтониан осциллятора\ Р2 .2ну р) = ^ +■2 т2Уравнение Гамильтона-Якоби имеет вид(27.14)(27.14)1 / as \2 тш2 2m \ дх /21 / as \2 тш2 2m \ дх /2asatasatИщем полный интеграл в виде S = ™Et + Ж(л). Функция Ж(л) удовлетворяет уравнению (27.136):Ищем полный интеграл в виде S = ™Et + Ж(л). Функция Ж(л) удовлетворяет уравнению (27.136):12m12mэту \2Эх /эту \2Эх /тш2тш2
фп
фп
dFT
dFT
п — 2, ..., а — 1, а + 1, ..., s,
п — 2, ..., а — 1, а + 1, ..., s,
(27.13а)
(27.13а)
/ dFi
И ХЪ , а2, • • • , Ра(«д), •
/ dFi
И ХЪ , а2, • • • , Ра(«д), •
™ а0 = 0.
™ а0 = 0.
(27.136)
(27.136)
Например, гамильтониан осциллятора
\ Р2 .2
ну р) = ^ +■
2 т2
Уравнение Гамильтона-Якоби имеет вид
Например, гамильтониан осциллятора
\ Р2 .2
ну р) = ^ +■
2 т2
Уравнение Гамильтона-Якоби имеет вид
(27.14)
(27.14)
1 / as \2 тш2 2m \ дх /2
1 / as \2 тш2 2m \ дх /2
asat
asat
Ищем полный интеграл в виде S = ™Et + Ж(л). Функция Ж(л) удовлетворяет уравнению (27.136):
Ищем полный интеграл в виде S = ™Et + Ж(л). Функция Ж(л) удовлетворяет уравнению (27.136):
1
2m
1
2m
эту \2
Эх /
эту \2
Эх /
тш2
тш2
Следовательно, полный интегралСледовательно, полный интегралS(t. х, Е) = -Etr W^x, Е^S(t. х, Е) = -Etr W^x, Е^
Следовательно, полный интеграл
Следовательно, полный интеграл
S(t. х, Е) = -Etr W^x, Е^
S(t. х, Е) = -Etr W^x, Е^
(27.15)
Интеграл вычисляется с помощью подстановки х = у^Е/тЕ2 sin р;
W(x, Е) = ЕW(x, Е) = ЕфГ 72 Еdp cos р = —офГ 72 Еdp cos р = —ор + | sin 2рр + | sin 2р
W(x, Е) = Е
W(x, Е) = Е
ф
Г 72 Е
dp cos р = —
о
ф
Г 72 Е
dp cos р = —
о
р + | sin 2р
р + | sin 2р
Решение уравнений (27.5)Решение уравнений (27.5)8Sf т dx8 — о , t + /3 = —: =9ЕJ ^2т (Е - тш2х2/2)8Sf т dx8 — о , t + /3 = —: =9ЕJ ^2т (Е - тш2х2/2)1.— arcsin хW1.— arcsin хW
Решение уравнений (27.5)
Решение уравнений (27.5)
8Sf т dx
8 — о , t + /3 = —: =
9ЕJ ^2т (Е - тш2х2/2)
8Sf т dx
8 — о , t + /3 = —: =
9ЕJ ^2т (Е - тш2х2/2)
1.
— arcsin х
W
1.
— arcsin х
W
sin \ш(1 + /3)], тш2 sin \ш(1 + /3)], тш2Р ™ 5т ™ V^^ cos М^ + ^*Р ™ 5т ™ V^^ cos М^ + ^*
sin \ш(1 + /3)], тш2
sin \ш(1 + /3)], тш2
Р ™ 5т ™ V^^ cos М^ + ^*
Р ™ 5т ™ V^^ cos М^ + ^*
Из полученных соотношений видно, что в качестве производящей функции можно выбрать S или W.
Пример 27.1. Гамильтониан частицы, движущейся по поверхности отрицательной кривизны Н = (кх1У(р2 + р^(2.т. Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби:
(ЬчГ2т(ЬчГ2тдж1 /\9ж2/ dtдж1 /\9ж2/ dtU)U)
(ЬчГ
2т
(ЬчГ
2т
дж1 /\9ж2/ dt
дж1 /\9ж2/ dt
U)
U)
ищем в виде S = ™Et + р^х^ + Fi(ti). Из (1) получим уравнение с обыкновенными производными:
= Е.= Е.dFi\\
= Е.
= Е.
2т2т-j— +Р 2 dxi J
2т
2т
Полагая Е —р'^^т, получим полный интеграл:
о
Согласно теореме Якоби решение уравнений движения определяется
формулами (27.6 а), (27.66):
А = W W + 31др х т
' dxр 1
1 , 1 + Щ - № = — In ,
2/;1 - Щ - № ’
где N = (p'2/p'1)kxi. Разрешая первое соотношение относительно жх, получим решение, приведенное в примере 26.5.
Замечание 2. В общем случае переменные в уравнении Гамильтона- Якоби нс разделяются. Предположим, что гамильтониан удастся представить в виде Н(хц р, t) = Н0(хц р, t) + ДН(ж, р, t), где Но —гамильтониан интегрируемой системы канонических уравнений. Тогда можно найти полный интеграл уравнения
И f98
Но жх, ..., ж8, -—, ...
\ОЛ1
9S \
(7 л s у
98 „
Н—— о
dt
и произвести КП л, р ™э х\ рХ порождаемое производящей функцией. В соответствии с (26.15) новый гамильтониан
НЧх\р\ 7) =
(н0 + ДЯ+^)\9t;
= ДН(ж, р, £)|г=г(г,1() z=z(z', t)
определяет эволюцию штрихованных переменных. Для решения канонических уравнений необходимо использовать методы возмущений, изложенные в лекциях 28 и 29.
27.4. Переменные действие-угол. Очевидно, что выбор постоянных ап в качестве новых импульсов р'п в производящей функции F2(x, р') = = Ж (л, а = pz) является произвольным; можно выбрать любые s величин 1п = In(<W •«s)- Разрешая эти s уравнений, получим ап =
= an(Ii, ..., ISY Тогда производящая функция
Г2(х, Л =W(x. а(1))
в соответствии с (26, 14) определяет КП
aw aw
Рп- э$ ’ Vn - ai
к новым координатам р и импульсам I. В новых переменных гамильтониан зависит только от импульсов Н'(х\ р1) = ЦГр Из уравнений Гамильтона находим
= я т ’ Ж = 0 In = I n, pi = up(I )t Г р i,(27.17)
где и<^ = дк/дЦ. Решение уравнений движения является КП р, I —>
Удобно выбрать функции Ц (а) специальным образом. Пусть на координатной плоскости хр pi 2s-McpHoro фазового пространства траектория удовлетворяет условиям
$i(t) = x-i^t + Ti\ pi(t) = Pitt Г Tt) или Pi(xi0) =Pi(xi0 + А^).
В первом случае траектория — замкнутая периодическая кривая. Во втором — движение в плоскости ту, pi соответствует вращению. Введем теперь новые импульсы, называемые действиями [16, 28, 187]:
т 1 f 7 If 9W(x, а) 71 х
li = — opidx.i = — оdx.i.(27.18)
2л J2л J ox-i'
Интеграл берется вдоль замкнутой кривой ^. Импульс 1^ имеет размерность постоянной Планка, совпадающую с размерностью действия или момента количества движения. Поэтому координата pi — безразмерная величина, соответствующая угловой переменной. Величина ир(1^ в (27.17) имеет размерность частоты.
Из (27.12) следует, что Ж (ж, а(1)) — многозначная функция на кривых pi. При обходе замкнутой кривой ^р приращение Д^Ж равно площади, ограниченной уц Д^Ж = 2лЖ Приращение рi за период KiPi = ™ OiTi. С другой стороны
Г Э2ЖГ Э2Жл f , IM, I Xw dp^ — О _ dx-i — О _J J 9xiJ ul^x-iл f , IM, I Xw dp^ — О _ dx-i — О _J J 9xiJ ul^x-i.9d$i = — dlk.9d$i = — dlk£ dW ,, со dxi — 2лщ^. J UX-i£ dW ,, со dxi — 2лщ^. J UX-i7г7г
Г Э2Ж
Г Э2Ж
л f , IM, I Xw dp^ — О _ dx-i — О _
J J 9xiJ ul^x-i
л f , IM, I Xw dp^ — О _ dx-i — О _
J J 9xiJ ul^x-i
.9
d$i = — dlk
.9
d$i = — dlk
£ dW ,, с
о dxi — 2лщ^. J UX-i
£ dW ,, с
о dxi — 2лщ^. J UX-i
7г
7г
Следовательно, постоянная Wi — частота колебаний. Если все частоты несоизмеримы, то det t9u)il9I^ = det {д2к/dlidl^)0 [16].
Найдем импульс I для гармонического осциллятора. Из (27.15), (27.18) имеем
I = — () dx 2тг ТI = — () dx 2тг Т2тг
I = — () dx 2тг Т
I = — () dx 2тг Т
Г ,2 Е
dp cos р = — .
J
о
Следовательно, производящая функция
F^x. I) =F^x. I) =dxdx
F^x. I) =
F^x. I) =
dx
dx
Учитывая (26.14), (26.15) находим
sin ф, р = л/ 2тиЯ cos ф.
В новых переменных гамильтониан (27.14) Н\ф^ I) = ш1.
Переменные действие-угол существенно облегчают исследование системы, близкой к интегрируемой, с гамильтонианом
Н^ I) = Н0(П + ^Чф, I), е « 1,
где Но—гамильтониан невозмущенной задачи, еУ(ф, I)—возмущение, являющееся 2тг-периодической функцией угловых переменных [16, 109]. Более того, большой класс нелинейных уравнений с частыми производными можно представить как гамильтоновы системы с континуальным числом степеней свободы. Введение переменных действие-угол позволило представить основной метод решения таких уравнений (метод обратной задачи рассеяния) как каноническое преобразование [188-192].
Пример 27.2. Движение частицы описывается гамильтонианом
(О(Ор2 с д
(О
(О
2т 4Х
Произведем КП к переменным действие-угол. Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби S = ™Et rW(x, Е),
W^x, Е) =W^x, Е) =1/41/4О)О)
W^x, Е) =
W^x, Е) =
1/4
1/4
О)
О)
Введем новый импульс (27.18) — действие
I = — odx2тг ТI = — odx2тг ТссО)О)оо
I = — odx
2тг Т
I = — odx
2тг Т
с
с
О)
О)
о
о
Учитывая тождество
проинтегрируем (3) по частям и с помощью подстановки ^2 = 1 — z2 залижем результат в терминах полного эллиптического интеграла (см. приложение):
2 f2 fdzdzз j з j ффз j з j фф
2 f
2 f
dz
dz
з j з j фф
з j з j фф
где К (1/^/2) ~ 1,85. Следовательно,где К (1/^/2) ~ 1,85. Следовательно,1 = аЕ^\1 = аЕ^\4^2ш Зле1/44^2ш Зле1/4К.К.
где К (1/^/2) ~ 1,85. Следовательно,
где К (1/^/2) ~ 1,85. Следовательно,
1 = аЕ^\
1 = аЕ^\
4^2ш Зле1/4
4^2ш Зле1/4
К.
К.
Подставляя Е в (2), найдем производящую функцию КП ж, р ^ ф, Г. F^x^ I) = Ж (ж, Е^\ Из (27.16) после приведения интеграла к нормальной лежандровой форме получим
_д^2_ Гт ЭЕ ^_ тг Г dE /11 2\ 1/2
^Ги^Ге!)! J рГЕТр^Гк J y(i -е) \2 + 2^ /’
ж/жож/жо
2КJ2 Н\1/3
ж = ж0 сп ср, Жо = Ург -.
лс1/4
Далее находим
2/3 2К , 2К
snф dnф.л л
В новых переменных гамильтониан ЦГ) = ^(аУ^3. Частота колебаний
al 3
Полезно убедиться, что СП [ж, р]^,/ = 1.
27.5. Метод характеристик. Пусть хп = хп(хУрУ1У рп = = р^х-У рУ t) — решение уравнений (27.5), являющееся КП к постоянным значениям xln^ р'п; F(x, t)—решение уравнения (27.1). Рассматривая F (ж, t) на траекториях системы (27.5), находим функцию Ду х-У рУ = = F(x(xy рУ ty ty Дифференцируя /, получим
dfЭЕЭЕ . ТТ .х
=+ —Жп = +рпхп = / ж , р , t .
dtotохп
Здесь Цх\ рУ t) = Е(х(х-У рУ ty х(хУ рУ ty ty где L(x, ж, t) — лагранжиан. Определим из системы уравнений хп = хп(хУрУ t) значение р'п = 7гп(хУ х, t), соответствующее траектории, выходящей из точки х.у с импульсом лп и проходящей через точку хп в фиксированной момент времени 1. Функция F = f(t, х-У л(ж/, ж, ty удовлетворяет уравнению (27.1). Если х-У р’ — значения координат и импульсов в момент времени t = 0, то производящая функция КП
t
Р1(ж, х-У У = dt' Цх.у л(ж', ж, ty t'y
о
Пример 27.3. Гамильтониан осциллятора с переменной частотой Н(хц р, t) = p2/2 + (l/2)w(t)x2 (см. п. 31.3). Найдем производящую функцию (27.19). Уравнения (27.5) эквиваленты уравнению второго порядка х + w^x = 0. Пусть Mi(t), U‘2^ — линейно независимые решения с вронскианом, равным единице: ппЪ ™ ^2^1 = 1,
щ(0) = 1, п2(0) = 0, йДО) = 0, й2 (0) = 1.
Тогда решение (27.5)
х = гн^х/ Уи2^р', р = й-х^х/ Tl^^V
является КП к постоянным координатам и импульсам. Поскольку Г^ц х, t) = ж2/2 — (1/2) w(t) ж2, то после интегрирования по частям находим
t
dt (х2 — шж2) = ххdt (х2 — шж2) = ххdt (х + шж)ж = рх — р'х/.dt (х + шж)ж = рх — р'х/.(1)(1)
dt (х2 — шж2) = хх
dt (х2 — шж2) = хх
dt (х + шж)ж = рх — р'х/.
dt (х + шж)ж = рх — р'х/.
(1)
(1)
Следовательно, f(t, х\ р’^ = (1/2)[рх — р'х'). Подставляя в (7) значение р' = ^^(ж — tiixJ\ имеем
Е1[хц х\ t) =(й2х2 — 2хх/ + М1Ж/2).
2п2
Пусть w(t) = 0. Тогда Mi (t) = l,n2(t) = t, F[x, x\ t) = ^ (x — х'У.
Пусть w(t) = си2. В этом случае Mi = coscut, м2 = cu™1 sin cut,
Fi(ж, x’, t) = Ш [(ж2 + ж/2) coscut — 2жжП.
v 72 sin cut7J
Метод Фока. Рассмотрим частицу в консервативном поле U = = U (х). Поскольку в общем случае переменные в уравнении Гамильтона- Якоби нс разделяются, то необходимо использовать приближенные методы интегрирования уравнений (27.5). В 1937 г. В.А. Фок предложил новый метод интегрирования, основанный на приближенном решении уравнений (27.1) [193].
Ищем решение (27.1) в виде F = Fi(x, х\ t),
Ч(х, х', t) = ^Я + У OG^x, х'),^ = х-х'.(27.20)
Подставляя (27.20) в (27.1), получим систему рекуррентных уравнений:
(27.21)(27.21)(п + ^а^а^^п — Fn,
(27.21)
(27.21)
R1 = -U(x\ R2 = 0, R3 = --L(VGi)2,...
Следуя Фоку, запишем тождество
1
Л(х)Л(х)ds ^snA(xf + ^s^
Л(х)
Л(х)
J ds '
о
учитывая которое, получим решение (27.21):
Gn(x, х') = ds sn 1Rn(x' + s^ =
о
! ”-(Ч^*Ч^) (27.22)
-1
Очевидно, выполняется соотношение взаимности Fi (х, xf, t) = Fi (x1, x, t).
Пример 27.4. Движение в однородном поле U(x) = —mgx. В этом случае
1
^(х, х', i) =^(х, х', i) =227)2 g(x + x^ mg2t37)2 g(x + x^ mg2t3Ряд (27.20) обрывается и мы имеем точное решение уравнения Гамильтона-Якоби:
^(х, х', i) =
^(х, х', i) =
2
2
7)2 g(x + x^ mg2t3
7)2 g(x + x^ mg2t3
24
Задача Коши. Рассмотрим задачу Коши для уравнения Гамильтона-Якоби:
(27.23)(27.23)2-(vs)2 + a(x) + ^| = o.
(27.23)
(27.23)
2mat
При начальном значении t = 0 известна функция So(x) = S(x, 0). Необходимо найти S(x, ty t ^ 0. Характеристическая система (27.5) тх = = р, р = —ХШ эквивалентна уравнению тх = —VH. Интегрируя (27.5), находим х = х(х\ р\ ty р = р(х\ р\ t\ Решение задачи Коши на траектории частицы S(x(x\ р^ t^ t) = /(t, х\ рЗ имеет вид
t
(27.24)(27.24)f(t, х\ р') = S^x^ + dtf l(x\ pz, t).
(27.24)
(27.24)
о
Здесь Z(x\ p\ t) — функция Лагранжа, в которой произведена замена переменных х = х(х\ р^ t). Решение канонических уравнении определяет траекторию частицы, выходящей из точки х' с импульсом р' в момент времени t = 0. Из начальных условий следует, что в точке х1 вектор pz
имеет определенное значение: р' = n(x/), n(x) = VSq. Из системы уравнений
х = х(х\ р' = n(x/), t)(27.25)
найдем координату точки х' = q(x, ty из которой выходит траектория, проходящая в фиксированный момент времени t через точку с координатой х. Следовательно, решение задачи Коши
^(х, t) = jp, q(x, t), n(q(x, t^.(27.26)
Замечание. Поскольку p'a = — (dF^/dxp, то условие p' = dSo(x')/dx' и уравнение (27.25) можно записать в виде
Яф
— = 0, Ф(х, xz, t) = Fi(x, х', t) + So^y (27.27)
Тогда решение задачи Коши эквивалентно вычислению экстремального значения функции Ф(х, х\ t). Из условия экстремума функции Ф(х, х\ t) непосредственно следует значение xf = q(x, ty Решение задачи Коши
S(x, t) = Ф(х, q(x, tY t).(27.28)
Пример 27.5. Найдем решение задачи Коши в случае U(x) = О, бЦх) = -р0х2 pR.
Решение 1. Решение характеристической системы (27.5) х = х' + + (p7m)t, р = р'. Из (27.24) находим
/2/2
X Р
Поскольку р' = —p^x^Ry то уравнение (27.25) принимает вид х = = х* — (pot/mF)x/. Следовательно, х' = q, q = х(1 — (pot/mRY™1. Решение задачи Коши
v У 2R l^(pot/mRy
Решение!. Поскольку Fi(x, х\ t) = ^т)ИУх — х^2, то
/2
ф(х, Х Л) = ^ (х - X )2 - Ро —.
Из условия (27.27) находим х1 = q, а затем — решение задачи Коши.
Задача Коши — нахождение по начальным данным решения уравнения с частными производными—естественным образом возникает при определении напряженности электрического и магнитного полей Е(х, t),B(x, ty поля скоростей v(x, t) в гидродинамике, поля температур Т(х, t) и т.д. Возникает вопрос: какой физической величине соответствует функция, удовлетворяющая уравнению Гамильтона-Якоби? Ответ на него стал возможным только после создания квантовой механики.
Классическая механика и квантовая механика. На карте «физических наук», представленной в декартовых осях v/c^Sjli (о —скорость частицы, S — действие, с — скорость света, Л — постоянная Планка), механика занимает область о/с <^ 1, S/h ^> 1. Она граничит с квантовой механикой (область о/с <Г 1, S/h С 1) и теорией относительности (область v/с ^ 1, S/h >> 1). Примениение методов квантовой механики оказалось поразительно успешным в решении многих проблем атомной физики. Ес основные положения принципиально отличаются от представлений классической механики. Состояние системы частиц описывается комплексной волновой функцией ^(х, t), динамическим переменным сопоставляются операторы, наблюдаемые величины могут принимать дискретные значения, отсутствуют понятия силы, траектории и т. д. Материя может проявлять как волновые, так и корпускулярные свойства.
Наиболее сильное впечатление производят квантовые интерференционные явления. Об одном из них, эффекте Ааронова-Бома, мы упоминали в лекции 7: интерференционная картина первоначально расщепленных, а затем сведенных пучков электронов зависит от напряженности магнитного поля соленоида в области, недоступной для электронов. Это — типичный пример «нс силового» с точки зрения классической теории взаимодействия. Другой пример: вследствие принципа Паули вероятность обнаружить два фермиона в одной точке пространства равно нулю. Эту новую закономерность бессмысленно пытаться объяснить введением новых сил отталкивания. Однако при известных условиях квантовые эффекты могут стать несущественными в описании поведения частиц [49, 137].
Проследим, каким образом происходит предельный переход в уравнении Шредингера
ih^ = н^г Н = - — А + Щх)(27.29)
Ot ''
к классическому описанию [195, 264, 265]. Будем искать частное решение (27.29) вида
^(х, t) = а(х, t) exp^(х, t) = а(х, t) exp^S(X, t)^S(X, t)(27.30)(27.30)
^(х, t) = а(х, t) exp
^(х, t) = а(х, t) exp
^S(X, t)
^S(X, t)
(27.30)
(27.30)
где а и S — первые члены разложения амплитуды и фазы в ряд по степеням h. Учитывая величины Л°, Л:
гП^- = (гП^-а^Л eiS/h ^^^ = у^а^Да^ду8,\dt \ dt dt)v7'
Й2А^ ~ p^VaVS - a(VS)2 + гПаА8у8/п,
из (27.29) получим
1ЯЧ
_lvsf+u(x!+_=lL
Л + AS + — VaVS = 0 -4- ^ + div — а2 = 0.(27.32)
dt 2т тdt т'
Мы видим, что (27.31) — уравнение Гамильтона-Якоби, а (27.32) имеет форму уравнения непрерывности. Таким образом, функция Л^б^х, t) является фазой волновой функции, а2 — плотностью вероятности нахождения частицы в точке с координатой х в момент времени t.
Поверхность S(x, t) = const определяет положение фронта волновой функции в момент времени t. Разлагая S(x, t) в ряд Тейлора в точке (ж0, ^о):
ЭЯ
S(x, t) = S(x0, t0) + (ж - x0)a —- + (t - t0) — + ... , C7 tLOT
можно сделать вывод, что в малой окрестности х0 и для малых интервалов \t — t0| волну можно рассматривать как плоскую, причем волновой вектор к и частота си равны, соответственно, к = р/Л, ш = 77/Л, р = VS, И =-ЛЯ/до
Задача Коши. Представляет интерес сопоставить решение задачи Коши в квантовой и классической теориях. В и. 27.7 решена задача Коши для уравнения (27.31):
S(x, t) = Ф(х, g(x, t), t).
Найдем вначале решение задачи Коши для уравнения (27.32), а затем перейдем к ее решению в рамках квазиклассического приближения (27.30) квантовой теории.
Пусть п(х, 0) = «о(х), S(x, 0) = So(x). На траекториях частицы функция
А(х', t) = а(х(х', n, tT t) удовлетворяет уравнению
dAдада. да1„а. А
— = — + —X = — + — VaVS = -—AS = divp.
atatЭх otm2m2m
Преобразуем правую часть, вводя матрицу Якоби Amn = 5жт/5ж^ и определитель J(x1, t) = get A:
_ дрт дх'п _•1 _ J
dlvp “ дх'п ~
Следовательно,
Решение задачи Коши a(x, t) = А(д(х, t), t),
a0 (д(х, t^
a(x, t) = (27.33)
Пусть ^(х, 0) — известная функция координат. Тогда, используя функцию Грина G(x, t; х^ 0) уравнения (27.29):
(27.34)(27.34)/^^ ™ н \ G(x, t; х\ 0) = ih5(t) S^\x - х'),
(27.34)
(27.34)
запишем решение [ 194]
6(t^ ^(x^ t) =6(t^ ^(x^ t) =d3 x'G(x, t; x\ 0)^(x\ 0).d3 x'G(x, t; x\ 0)^(x\ 0).(27.35)(27.35)
6(t^ ^(x^ t) =
6(t^ ^(x^ t) =
d3 x'G(x, t; x\ 0)^(x\ 0).
d3 x'G(x, t; x\ 0)^(x\ 0).
(27.35)
(27.35)
В случае U(x) =0 решение уравнения (27.34)
G(x, t; х \ 0) = г/гG(x, t; х \ 0) = г/г' d4k exp ^—ikot + ik(x — x ')]t (2тг)4 hk0 — k2h? /2т + ie
G(x, t; х \ 0) = г/г
G(x, t; х \ 0) = г/г
/\ 3/2- 8W (s^T))/\ 3/2- 8W (s^T)), 2 exp ^(x-x), 2 exp ^(x-x). (27.36). (27.36)
/\ 3/2
- 8W (s^T))
/\ 3/2
- 8W (s^T))
, 2 exp ^(x-x)
, 2 exp ^(x-x)
. (27.36)
. (27.36)
Очевидно, при i -> 0 в соответствии с (27.35)
G(x^ t; x'0)53(x — x').
В квазиклассическом приближении, которое мы использовали при переходе от (27.29) к (27.31), (27.32), функция Грина
G(KB)(x, t; х', 0) = ШуНтиЪГГ’-^^ ехр[(г/Гг)Щх,х', 0]»
где Fi(x^x\ t) — производящая функция, N(x^xf^ t) — функция, удовлетворяющая уравнению (27.32):
р сцу ^у;^ = о.
dt
Покажем, что N^p х\ t) = det U, иар = ™d2Fi/dxadxfp [193]. Для этого достаточно вычислить частную производную определителя dN/dt. Учитывая соотношения
9FX8pk dH
Ukp--^-,—--pkUk9,
9Ua0 = 82H = -Э^ркОкУ 8Ukp = 8Ua0 dtЭхаЭхрдха ’ ЭхаЭх к ’
получим
dNdUapдркик1з,ТдркdN
-х- =N -^уиРа = -NUpa ——^ = -TV Pk — = -div(TVp).
utOtOXaOX]^OX]^
Отметим, что для квадратичных потенциалов квазиклассическая и точная функции Грина совпадают [195].
Найдем теперь решение задачи Коши в квазиклассическом приближении квантовой механики. Согласно (27.30) начальное состояние ^(х, 0) = = а0(х)ехр^ So(x)].
Из (27.35) получим решение при t > 0:
^(х, t) = (2тгг^)"3/2 d3x'7V1/2(x, х', <)е<^ф<х’х'’<)«0(х'), (27.37)
гдеФ(х, x\ t) = Fi(x, x\ t)+So(xr). Для того, чтобы получить квазиклас- сическое приближение, вычислим интеграл (27.37) методом стационарной фазы [195, 198, 242]. Стационарную точку найдем из условия 8ф)8х’ = 0.
Разлагая Ф(х, хД.) в ряд Тейлора в точке х' = q(x, t), имеем
Ф(х, х', t) = Ф(х, q(x, t), t) + (1/2)(ж' - q^x’ - q)^ap + ... ,
где фар = 82Ф / 8xfa8xfp. Ограничиваясь квадратичным разложением, получим
^(кв)(х, i) re (2ttz/i<) 3/2^1/2(x, q(x, i), t)a0(q(x, i)) x
Поскольку фар — симметричная матрица, то ее можно привести к диагональному виду. Тогда преобразованием вращения координат интеграл приводится к произведению трех однократных интегралов Гаусса. Результат интегрирования можно записать в виде ^тл/й)3/2/)™1/2^, q(x, 0, 0, где D(x^ q(x, t), t) = det ф.
Следовательно,
/кв)(х, 0 = а(х,
, х х , х , , XX \К(х. q(x, tY ЬД1^2
S(x, 0 = Ф(х, q(x, 0, 0, а(х, 0 = «o(q(x, t))' '
Jlz (J L J
Преобразуя отношение детерминантов
£>(х, д(х, 0, 0 _ фЦрф--пГ2Г1 ~ 1 ^Г1 - к ( А А
N(x, q(x, 0, t) det(dp'a/дхС6 dx'v Q х, , ,
получим амплитуду, совпадающую с классическим решением (27.33).
Пример 27.6. Волновая функция свободной частицы в начальный момент времени представляет пакет гауссовой формы [195]:
^’(х, 0) = (тгЯ2) 3/4ехр^’(х, 0) = (тгЯ2) 3/4ехр(х-Ь)22Я2(х-Ь)22Я2г+ тРохйг+ тРохй
^’(х, 0) = (тгЯ2) 3/4ехр
^’(х, 0) = (тгЯ2) 3/4ехр
(х-Ь)22Я2
(х-Ь)22Я2
г
+ тРохй
г
+ тРохй
Найдем квазиклассическое решение задачи Коши ?ДквДх, t).
Подставляя ^’(х, 0) и функцию Грина G^KB\x, t; х\ 0) в (27.35), найдем фазу подынтегрального выражения:
Ф(х, х', t) = Fi(x, х', t) +S0(x) = ^(х-х')2 +Рох'.
Стационарную точку получим из условия
5Ф т z,, хРо^
— =- —(х-х )+р0 = 0->x=q(x,t), q = x.
oxf tm
Далее находим
д2Ф92Fi _ т/т\3
Эх^Эх^дхадх^ t\ t / "
Значение фазы в точке экстремума S(x^ t) = —Eot + Рох, Ео = рЦ2т, поскольку tM^Qx^Qx’^ = J = 1. Следовательно, квазиклассическое решение представляет собой функцию
^(кв)(х, t) =
= (тгД2)™3/4 ехр[—(х — b — p^t/m)2/2R2 + грох/Л — iEot/E\ (7)
с амплитудой п(х, t) = n0(q(x, V)) и фазой S(x, t) = Ф(ж, q(x, t), t)-
Из (/) следует, что плотность вероятности найти частицу в элементарном объеме |^’^(х, 7)|2 имеет максимум, движущийся по классической траектории x(t) = b + poV7n со скоростью ро/т. Решение имеет форму волнового пакета постоянного размера. Однако функция ?Дкв\хД) существенно отличается от точного решения. Вычисляя гауссовы интегралы в (27.35), получим
Г(х, i) =
= (тг£2Я2)-3/4 ехр[— (х — b — pot/тУ/2еН2 + грох/1г — iEot/li], (2) где е = 1 + Щт, т = тН2/1г. Плотность вероятности
1^(х, <)|2 =
= [тгЯ2(1 + Г/т2)]-3/2 ехр[-(х - b - p0i/m)2/(l + Г/т2)Л2].
Следовательно, волновой пакет, первоначально локализованный в объеме
Я3, занимает при t > т объем V ^ (Rt/т)3 = (ht/mR)3. Этот результат согласуется с соотношением неопределенностей: начальная неопределенность величины импульса Др h/R приводит к «расползанию» размеров за время t до величины tAp/m ^ ht/mR [82]. Для электрона, локализованного в области R 10™8 см, величина т 10™16 с. Для «классической» частицы массой m = 1 г, локализованной в области R^IO™4 см, характерное время расплывания пакета т 300 млрд. лет.
Уравнение Гамильтона-Якоби в р -представлении. Произведем КП х^ р х\ р!, порождаемое производящей функцией F^^p^ х\ t) или F4(p, pf, t). В случае F = ^(р, р\ t) имеем формулы (26.16):
ЭЕ4 , ЭЕ4
Эрпдр'п
Полагая Я' = 0 и заменяя в гамильтониане Н координаты производными хп = —dF/dpn, получим уравнение
( ЭЕЭЕ\OF
Н , ..., -, pi, .. -, pg, t + — = 0,(27.38)
\ dpivPs/ot
где рт t— независимые переменные. Уравнение (27.38) называют уравнением Гамильтона-Якоби в р-представлении [6]. Например, уравнение (27.38) для задачи Кеплера имеет вид
р2 аЭЕ
—1— о.
2mPF/9P|81
Если в полном интеграле уравнения (27.38) F = F(p, с, t) мы отождествим произвольные постоянные с с новыми импульсами р\ то получим производящую функцию КП ^(р, Р^ t).
Элементы гамильтоновой оптики. Если ограничиться проблемой определения траектории, то можно использовать для этой цели укороченное действие. Пусть гамильтониан нс зависит явно от времени. Тогда полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби следует искать в виде
S = ^EtyW^
Функция W удовлетворяет уравнению
Н(х, р = 6W) - Е = 0.(27.39)
Перейдем к представлению, определяющему уравнение траектории в параметрической форме хп = fnM, где и — параметр. С этой целью по методу Фока [193] введем параметр и и заменим уравнение (27.39) уравнением
aw
А(х)—+Я(х, р) - 5 = 0,
где А(х) — произвольная функция координат, р = dW /Эх. Запишем это уравнение в стандартной форме с новым гамильтонианом Д(х, р):
8W1
—+ Я(х, р)=0, Цх, р) = —— (Я(ж, р) -Е\ диА(х)
Полный интеграл W(x) = F(x, х^ и) должен удовлетворять условию dF/du = 0 или h(x, р) = 0. Уравнение траектории в параметрической форме определяется соотношениями
Характеристическая система имеет гамильтонову форму:
пирпduduпирпdududUдхпdUдхп
пирп
dudu
пирп
dudu
dUдхп
dUдхп
Очевидно, первый интеграл системы h(x, р) = С. Система канонических уравнений должна быть эквивалентна уравнению (27.39) на поверхности Д(х, р) = 0. Для этого достаточно, чтобы начальные условия жп0 = = жп(ио), Р™о = Рп^Г^ удовлетворяли алгебраическому уравнению Цх0, ро) = 0.
Пусть Н(х^ р) = р2/2т + [/(ж).
Полагая А = 1, получим гамильтониан
р) = £- - Ж - иу
Каноническая система
dxndudxnduРп dp.Рп dp.
dxndu
dxndu
Рп dp.
Рп dp.
совпадает со стандартной системой; параметр и играет роль времени.
Полагая Л = п(х)/т, п(х) = \2т(Е — (J)]1/2, получим гамильтониан
Каноническая система
имеет первый интеграл р2 = п2. Следовательно, dpn/du = дп/дхп, |dx/diz| = 1, т.е. du = ds — элемент дуги траектории. Уравнения второго порядка
d dxдп
ds dsox
совпадают с уравнениями лучевой оптики, где п(х) — коэффициент преломления изотропной прозрачной среды [152]. Впервые на аналогию классической механики и оптики указал в 1828 г. Гамильтон.
Единичный вектор е3 = d^/ds, касательный к траектории луча, связан с радиусом кривизны R соотношением Rd^i/ds = 02. Вычисляя скобки Пуассона:
deik гм _ 1 /£\9п
j — [е1Ъ? “'J — , Wkm ^Xk^-Xs) р ч
STLО g
получим
(n/R)2 = (Vn)2 — (eiVn)2 = (d^/ds x Vn)2.
Третий орт трехгранника Фрейе е3 = ei х е2. Кручение луча и определяется соотношением и = e2de3/ds.
Отметим, что уравнения Максвелла нс содержат коэффициентов преломления. Отклик среды на электромагнитное поле учитывается введением тензоров диэлектрической и магнитной проницаемостсй. Однако, если искать решение уравнений Максвелла в весьма грубом приближении геометрической оптики, то два коэффициента преломления появляются благодаря условию существования нетривиального решения системы однородных уравнений. В изотропной однородной среде коэффициенты преломления волн двух различных поляризаций совпадают. В этом случае решение уравнений Максвелла имеет вид (в СИ)
Е = e2n(x) cos^r Н = ЙМ^ А =Ж(х),
■•с
где Е, Н — напряженности электрического и магнитного полей, ио — частота волны, k = V^ = (си/с)р — волновой вектор, ро — магнитная постоянная. В оптике функцию У’ называют эйконалом. Амплитуда а(х) и фаза ф удовлетворяют уравнениям, аналогичным (27.31), (27.32):
(¥Ж)2 = n2(x), div(a2VW) = 0.
Вектор Пойнтинга S = [ЕН] определяет интенсивность волны вдоль луча J(x) = сеупс?. Поскольку S = Лр/сцо = J(x)ei, то интенсивность можно найти из уравнения div (Je3) = 0.
Семейства лучей и фронты. В классической механике еще можно говорить о луче как о траектории частицы, однако в оптике лучи представляют собой математический объект — семейство кривых, ортогональных к фронту волны Ж (ж, s) = const.
Отметим, что полагая в (27.40) А = 1R (т. получим гамильтониан h = р2/2п2 — 1/2. В этом случае параметр и равен значению эйконала на траектории луча.
Лекция 28. Каноническая теория возмущений
Построение формальных рядов. Большинство задач математической и теоретической физики нс поддаются точному решению. Поэтому в реальной ситуации для интегрирования системы дифференциальных уравнений приходится использовать приближенные аналитические
или численные методы. Используем один из них — теорию возмущений — для решения системы 2 s уравнений:
= \z^ Я<Х ^V И = 1,/2s.(28.1)
Фундаментальные скобки Пуассона [z^, zv"\ =
Представим H(z, t) в таком виде Н = Но + h, чтобы уравнения
■% = [£м, НоД, t)](28.2)
имели точное решение z^ = %Д/, t). Координаты z^ удовлетворяют системе (26.5):
z^^H'^.t^(28.3)
с гамильтонианом H\z\ t) = h^z^z^ Д t). Решение этой системы z^ = = /Ди^ t) является КП z^ ™э и^ = /Д1Д к постоянным координатам и новому гамильтониану, равному нулю.
Наша задача — получить решение (28.3) в форме итерационного процесса, обобщающего в гамильтоновом формализме метод последовательных приближений Пикара [67]. Предварительно докажем лемму.
Лемма. Пусть ^1) = /(хД^), А — функция класса С1 на выпуклом множестве М. Тогда
t
М о = ДУ, t) + jdH [f^, о, н'ду, ЫЦ, (28.4)
где введено обозначение гД = /Д1аД z^ = /Д1\
Доказательство. Очевидно,что в силу системы (28.3)
^ "11Д^"1к" W1’н'^ tx^zV
Теперь из тождества
фУ) -= dti Д/
to
следует соотношение (28.4).
Перейдем к решению уравнения (28.3). Полагая в (28.4) f^z^t) = = ДД), получим нелинейное интегральное уравнение Вольтерры [48]:
t
atY \УД), Н'Д'ДУ S)]z-(ti),(28.5)
to
эквивалентное (28.3). Построим далее систему уравнений для функций Гр(Щ) (tn ? П ? • • • , tn).
^(^(й; Щ = [^Эь Wi, йЖ;,
^(2)(й; й, Щ = [[Щ2, H'(z2, t1)]H'(z2, йЖ^ , где первый аргумент отражает неявную зависимость ж ^ = % ^(ta), а последующие — явную зависимость гамильтонианов от времени. Учитывая (28.4), получим цепочку уравнений:
t
to
г^Щ й) = г^Щ, Й) + а^т^Щ, Й, Щ,
to
т^Щ; Н, Щ = г ^Щу-, h, й) + ан-г^Щ, й, й, й),
to
Следовательно,
” ^ ^о +^1 [^ ПОЧ Н (.с о, Й)]г^ +
Мы имеем формальное решение уравнения (28.3). Скобки Пуассона вычисляются по переменным % ^о), взятым в момент времени t0.
Найдем теперь аналогичную форму для решения исходного уравнения (28.1). Полагая в (28.4) f(^^ t) =.с(.с/, t), получим уравнение
О, <) + ati [z^z^, t), Ц%У'У1 щ^ йЖ',,to
эквивалентное уравнению
Построим далее уравнения для функций Яд^)^, t; ti, ..., tn):
Д1(1)(А, t; £1) =t),
Н^2)р, t- H, t2) = [[2^(22, t), Ырг^, H), tyh(z(2 2, t2), ^)]z^,
Учитывая (28.4), получим цепочку уравнений:
t
2^(2', t) = zpz'o, t) + dti R^p, t; H),
to
^(1) (^ ^’ ^) — ^л(1) (^ь ^ ^) + ^2 ^KT (^ ^ ^ ^2X • ■ *
to
Следовательно, решение (28.1) представляет собой ряд
t
2р = гДг'д, t) +2р = гДг'д, t) +^1 ^(Zg, ^Л(2(2'0, Н), Н)]^ +
2р = гДг'д, t) +
2р = гДг'д, t) +
to
+ dti dt2 [[^(^0^ t^h^%^ tiY ti^hlz^^ t2^ t^\z'Q + • • • (28.6)
оо 1^=°t0оо 1^=°t0dt2 ..todt2 ..toВведем в целях компактной записи обозначения 2Д = гд(г q, t), г^а = = гд(гд, to), z^o = z^(to). Тогда решение (28.6) уравнения (28.1) можно представить в виде
оо 1
^=°t0
оо 1
^=°t0
dt2 ..
to
dt2 ..
to
dtn [. . . ^Zy,, K^Zx, П )]^'(^2 i ^2)] • • • h.^n ? tn^z ’Qi
to
(28.7)
причем СП вычисляются по переменным 2 q .
Подынтегральное выражение удобно записать в операторной форме:
(28.8)
Ht-Z = ш<х9Ht-Z = ш<х9d)h(2a, ta(8г'pgd)h(2a, ta(8г'pgди^ aQди^ aQ
Ht-Z = ш<х9
Ht-Z = ш<х9
d)h(2a, ta(8г'pg
d)h(2a, ta(8г'pg
д
и^ aQ
д
и^ aQ
Область интегрирования в (28.8) ограничена условиями t0 ^ И ^ ^ ta ^ ta^i (а ^ п). Это ограничение можно устранить введением хронологического оператора Дайсона Р, который, действуя на произведение операторов, располагает их в хронологическом порядке:
рХщХщ. ..Хщ = ХуХщ • ■ -XtP tk> ■ ■ ■ > tj > н
Тогда (28.8) можно преобразовать к виду
11(1^ Zp,11(1^ Zp,(28.9)(28.9)р = Р expр = Р expОтмстим, что впервые хронологический оператор ввел выдающийся итальянский математик В. Вольтсрра [79].Покажем эквивалентность форм (28.8) и (28.9) для члена ряда с ин-Отмстим, что впервые хронологический оператор ввел выдающийся итальянский математик В. Вольтсрра [79].Покажем эквивалентность форм (28.8) и (28.9) для члена ряда с ин-в правой части можно рассматривать как двойной интеграл по заштрихованной области, в то время как область интегрирования во втором интеграле J2 — незаштрихованный треугольник. Изменим во втором интеграле J2 порядок интегрирования, а затем произведем замену р ^ р. Имеемв правой части можно рассматривать как двойной интеграл по заштрихованной области, в то время как область интегрирования во втором интеграле J2 — незаштрихованный треугольник. Изменим во втором интеграле J2 порядок интегрирования, а затем произведем замену р ^ р. Имеемttdpdpdp жжу =dp жжу =tdptotdptodt^h^Zh^O =todt^h^Zh^O =to
11(1^ Zp,
11(1^ Zp,
(28.9)
(28.9)
р = Р exp
р = Р exp
Отмстим, что впервые хронологический оператор ввел выдающийся итальянский математик В. Вольтсрра [79].
Покажем эквивалентность форм (28.8) и (28.9) для члена ряда с ин-
Отмстим, что впервые хронологический оператор ввел выдающийся итальянский математик В. Вольтсрра [79].
Покажем эквивалентность форм (28.8) и (28.9) для члена ряда с ин-
в правой части можно рассматривать как двойной интеграл по заштрихованной области, в то время как область интегрирования во втором интеграле J2 — незаштрихованный треугольник. Изменим во втором интеграле J2 порядок интегрирования, а затем произведем замену р ^ р. Имеем
в правой части можно рассматривать как двойной интеграл по заштрихованной области, в то время как область интегрирования во втором интеграле J2 — незаштрихованный треугольник. Изменим во втором интеграле J2 порядок интегрирования, а затем произведем замену р ^ р. Имеем
t
t
dp
dp
dp жжу =
dp жжу =
t
dp
to
t
dp
to
dt^h^Zh^O =
to
dt^h^Zh^O =
to
Произвольная динамическая величина F = F^f) удовлетворяет в силу системы (28.1) уравнению
dFdtdFdt
dFdt
dFdt
Решение этого уравнения также может быть представлено в одной из форм (28.7), (28.8) или (28.9), например,
dtidtidt2 - - -dt2 - - -
dti
dti
dt2 - - -
dt2 - - -
tototo
to
to
dtn [... \F(z, f), h(zi, t!)]h(z2, £2)] • ■ AMz-n, tn)]. (28.10) to
Структура ряда теории возмущений. При вычислении второго члена рядов (28.7) или (28.10) возникают СП вида
[.Л.(2Д, taV B^Zf)^ t^)] = 7—[^да? П/b] ?
О%НаOZvb
которые можно представить в терминах запаздывающих функций Грина:
^ар^си tb*-; о) = ~^^а П)[Пш? ^рЬ^р(28.11)
где z^t^ = z^. При вычислении высших приближений возникают многовременные функции Грина, которые представляют суперпозицию мультискобок Пуассона.
Заметим, что в качестве гамильтониана нулевого приближения можно взять Но = 0. Если гамильтониан Н не зависит от времени, то в этом случае решение (28.7) уравнения (28.1) приобретает форму ряда Тейлора = 0):
t2
zu = z ио + [г мО’ H(z 0)]t + [[г д0, H^z 0)]Н(г о)]•(28.12)
Пример 28.1. Найдем приближенное решение уравнения
У По (ж). ЭЩх, t)
тх =—™ + Q^x. t), Q^x. t) =——,
oxox
порождаемого гамильтонианом
Н=Н1ЦхН1% t).
2т
Представим Н в виде Н = Но + h,
н0 = Г + и0О), к^иОоУ
и предположим, что известно решение уравнений (28.2): х = х^х \ р\ t), р = р(х\ р1, t). Полагаяв (28.7) z^, = ж, гр = х = х(х'о, Pq, t\ получим
ж = Ж(0) + Ж(Х) + Ж(2) + . ■ •, где Ж(0) = ж — решение невозмущенного
^аД)^аД)уравнения,
^аД)
^аД)
ati ж, жх —
J0X1
to
Согласно (28.11)
w^-»^ = »» -УДУw^-»^ = »» -УДУЭх Oxiдр'о Эх'0Эх Oxiдр'о Эх'0
w^-»^ = »» -УДУ
w^-»^ = »» -УДУ
Эх Oxiдр'о Эх'0
Эх Oxiдр'о Эх'0
следовательно, решение
Ж(1)Ю = -Ж(1)Ю = -г ,, ..эид, to
Ж(1)Ю = -
Ж(1)Ю = -
dti G(t, Н; ж0, p0)—
to
Нетрудно показать, что функции ^i(t) = Ox/Oxq, ^to = Эх/Эр^ являются линейно независимыми решениями уравнения
™£ + £™£ + £Эх2Эх2= 0,= 0,
™£ + £
™£ + £
Эх2
Эх2
= 0,
= 0,
а функция Грина — решением уравнения
mG + G -ц \ ох2mG + G -ц \ ох2= 5Ц - ij.= 5Ц - ij.
mG + G -ц \ ох2
mG + G -ц \ ох2
= 5Ц - ij.
= 5Ц - ij.
Пример 28.2. Найдем решение уравнений, порождаемых гамильтонианом Н = рх2. Каноническая система (28.1) имеет вид
х = ж2, р = —2рх.х = ж2, р = —2рх.(7)(7)
х = ж2, р = —2рх.
х = ж2, р = —2рх.
(7)
(7)
Положим в (28.12) г^ = х, z1^ = Жд и учтем значения СП:
[ж, рх2^ = х2,[ж2, рх2^ = 2! ж3,[2! ж3, рх2^ = 3! ж4, ...
В результате имеем
(2)(2)х = х '0 Л х '^t Л х ^t2 + ...
(2)
(2)
Положим теперь z^ = р, ^ ^0 = р q и вычислим СП
[р, рж2] = ™2рж,[2рж, рж2] = ™2рх2,[рж2, рж2] = 0.
Следовательно, р = Ро(1 — ж^)2. Ряд (2) сходится в области |ж^| < < 1 и представляет собой функцию x(t) = Жд(1 ™ж^)™х, являющуюся точным решением первого уравнения (/). Точкам = 1/^q, зависящая от начальных условий, называется подвижной особенностью.
Условия существования решения. Скорость сходимости ряда (28.7) существенно зависит от выбора гамильтониана нулевого приближения Н^_ Иногда ряд удастся суммировать, т.с. представить в терминах известных функций. В некоторых случаях ряд оказывается асимптотическим. Для суммирования таких рядов можно использовать методы Падс и Бореля, которые позволяют восстановить решение (28.1) в определенном интервале t по нескольким первым членам и асимптотике при п оо [162, 199].
Теоремы существования и единственности позволяют исследовать глобальное и локальное поведение решения (28.7) уравнения (28.1). Особый интерес представляют решения, определенные в конечной области ^-пространства [86], и исследование поведения в окрестности сингулярностей решения и особых точек правой части (28.1).
При доказательстве теорем существования используют принцип сжатых отображений для исследования сходимости ряда по норме [48] и его модификации — метод мажорантных рядов Коши [146] или метод аппроксимирующих гамильтонианов [200]. Сущность этих методов состоите том, что удастся получить решение в конечном виде, мажорирующее ряд (28.7). Выбор мажоранты определяется конкретными особенностями гамильтониана.
Интегрирование уравнений движения. Обычно решение интегрируемых систем в квадратурах позволяет найти неявную зависимость координат от времени. Для получения явной зависимости координат от времени необходимо использовать приближенные методы.
Рассмотрим задачу Кеплера. Ес решение (6.13)-(6.15) представлено в параметрической форме. Найдем r(t), используя каноническую теорию возмущений.
Гамильтониан задачи Кеплера
Н^.р) =+ иу\ и(р = -~, г = |х|.
2тг
Выберем гамильтониан нулевого приближения Но =0. Вычисляя СП
тг3
" Эи н _ УИ р^ _ а, / Р^ _ ЗЩхр)\ _8х/] 8xp8xv т т \г3 г5 / 1
и полагая в (28.12) г^ = х^ 2^0 = (ж^, р'п), получим
_ , , Р'ц , а х'ц Н а (р'ц Зх'цУ'р^Х Н _ т т г'6 2!т2J 3!
= -Ui^x'p. + u^tV (28.13)
г* = |х'|, wi(t) и2^ — два линейно независимые решения уравнений движения тх^ = —ажд/|х|3:
a t2= 1щтг 21a t2= 1щтг 21^2^) = —t -т^2^) = —t -тЗа х/р/ I3 т2 г'3 3!a I2 m2rf3 3!За х/р/ I3 т2 г'3 3!a I2 m2rf3 3!
a t2
= 1щ
тг 21
a t2
= 1щ
тг 21
^2^) = —t -т
^2^) = —t -т
За х/р/ I3 т2 г'3 3!
a I2 m2rf3 3!
За х/р/ I3 т2 г'3 3!
a I2 m2rf3 3!
t+ dtiоt+ dtiо+ [Жд, ж^х]+ [Жд, ж^х]52Я(Ж1) ,1 ЭН(ж2)Эх3252Я(Ж1) ,1 ЭН(ж2)Эх32+(28.14)+(28.14)
t
+ dti
о
t
+ dti
о
+ [Жд, ж^х]
+ [Жд, ж^х]
52Я(Ж1) ,1 ЭН(ж2)
Эх32
52Я(Ж1) ,1 ЭН(ж2)
Эх32
+(28.14)
+(28.14)
Ряды, представляющие решение, быстро сходятся и могут быть использованы при определении элементов орбит космических аппаратов [30].
Выберем гамильтониан Яо = р2 (2m. Тогда ж^ = ж^ + ^p^jm^t. Ри = PV Гамильтониан Я^х, zp \ t) = —а/|х' + р^/ш)!™1. Полагая в (28.7) z^ = х^ z^ = х^ = х‘ ^ -Кр1 ^lmY получим
, frr - i - i dU(жх) dU(ж2)
J L9xvl Эха2
о
Поскольку [Жд, Ж^х] = T(t — П)^1/, ТО
= XUQ + P HO ” ™ a dtl0= XUQ + P HO ” ™ a dtl0t - <i _Дю_+рЩ1ЛД m |x^+p^!/7n|3t - <i _Дю_+рЩ1ЛД m |x^+p^!/7n|3
= XUQ + P HO ” ™ a dtl
0
= XUQ + P HO ” ™ a dtl
0
t - <i _Дю_+рЩ1ЛД m |x^+p^!/7n|3
t - <i _Дю_+рЩ1ЛД m |x^+p^!/7n|3
Свобода в выборе гамильтониана нулевого приближения открывает широкие возможности построения приближенных решений, отличающихся различной скоростью сходимости.
Реакция системы на внешнее возмущение. Рассмотрим систему, состояние которой определяется фазовыми координатами Zp, = = (жх, рх? - • • ? жп, pnY Конкретно термин «система» может относиться к заряженным или нейтральным частицам, электрическим цепям, популяциям бактерий и т.д. Полный гамильтониан, описывающий систему Я частиц и ее взаимодействие с внешним полем,
H^z. t) = H0(z) + H^z, t), Ях = B^E^tY (28.15)
Предположим, что известно решение уравнений движения z^ = Zp^z\ t\ порождаемых гамильтонианом Я0(г). Эволюция штрихованных переменных обусловлена гамильтонианом Hi(z(z\ t), t)i zr = z\z^ t). Общее
решение представим в виде КП z^t) = Kt-pz1^ где Л^о—оператор эволюции.
Предположим, что при to ™э —ос возмущение отсутствует. Это предположение известно как адиабатическая гипотеза. Для его реализации гамильтониан взаимодействия умножают на множитель вида ехр(—e|t|), а затем после всех вычислений берется предел £ ™э 0.
37V= ndxk dpk-k 1(28.16)37V= ndxk dpk-k 1(28.16)Неполнота начальных данных заставляет вводить статистическое описание. Система описывается совокупностью точек фазового пространства г^о — чистых состояний, каждое из которых характеризуется статистическим весом. Пусть начальные состояния распределены с плотностью вероятности Do(z'o) = D(z^ to). Распределение состояний системы в момент времени t определяется плотностью вероятности [201,202]
37V
= ndxk dpk-
k 1(28.16)
37V
= ndxk dpk-
k 1(28.16)
D(z, О = dTOpD(z'o, t0)6[z - At_to2:o],
Производя замену переменных Zq = Л^^щ получим
D(z, t) = dV(yi)D(Kt0™tK t0)S(z - -u) = Nto-tD(z, t0).
Отсюда следует, что функция D(z, t) подчиняется уравнению Лиувилля:
(28.17)(28.17)£ ! [«. т _ о.
(28.17)
(28.17)
Величина D^z^ t)dV(z) представляет собой вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии, в котором фазовые координаты частицы а (а = 1, ..., N) лежат в бесконечно малом объеме dxadpa в окрестности точки (ха, ра). Очевидно, J dV(z)D(z^ t) = = 1. Среднее значение микроскопической динамической переменной F^z) определяется выражением [203-205]
(F) = dT^F^D^z, t).(F) = dT^F^D^z, t).(28.18)(28.18)
(F) = dT^F^D^z, t).
(F) = dT^F^D^z, t).
(28.18)
(28.18)
где D^z^ t) — решение задачи Коши для уравнения (28 Л 7). Подставляя (28.16) в (28.18), получим эквивалентное представление среднего значения, в котором зависимость от времени перенесена на усредняемую величину:
(F) =(F) =dr(z)F(z) сП?У0)П0СУМг - z(t)) = агУо)РОР)ПоСГ
(F) =
(F) =
(28.19)
где ^(t) = ^'(zq, t^ t). С нашей точки зрения это представление даст большие преимущества, поскольку для вычисления F(z(t)) можно непосредственно использовать каноническую теорию возмущений (28.10) или непертурбативный подход, основанный на методе усреднения.
Полагая в (28.10) h = Hi , F — Fa, найдем согласно (28.19)
= №)о + dt1 G^t - t^E^ + ... (28.20)
Здесь Gap(t — tf) — запаздывающая двухврсмснная функция Грина:
g^ - л = -e^t - f'HVFaWo. t)\ вм4 t!W'0K
зависящая вследствие усреднения с равновесной функцией Do (г q) только от разности t — tr. Соотношение (28.20) для линейной реакции системы называется формулой Кубо [204].
Спонтанное и индуцированное излучение классических систем. Из решения уравнений Максвелла с заданной плотностью тока можно найти напряженности полей, создаваемых заряженными частицами, и интенсивность спонтанного (от лат. spontaneus — самопроизвольный) излучения электромагнитных волн. Для того чтобы учесть эффекты взаимодействия частиц с полем, и найти, в частности, интенсивность индуцированного излучения, необходимо рассматривать частицы и электромагнитное поле как единую систему.
В регулярной электродинамической структуре, стенки которой совпадают с поверхностями криволинейной ортогональной системы координат, можно возбудить счетное число собственных волн, отличающихся пространственной конфигурацией электромагнитного поля и собственными частотами [94, 180]. Различные типы волн называют модами. Потенциалы поля излучения р^ x) = Ao(t^ х), A(t,x) можно представить в терминах однокомпонентных потенциалов Герца W^ и W^, описывающих два типа волн [6]:
АЩ х) = divW4 Mt, х) = +rotw(m). ' ■ ■ с at
Потенциалы Герца удовлетворяют однородным волновым уравнениям, которые следуют из уравнений Максвелла в отсутствии токов, и граничным условиям.
Эволюция системы частицы-поле определяется решением самосогласованных уравнений движения и уравнений Максвелла. Если разложить потенциалы по собственным функциям однородных уравнений, то гамильтониан системы можно представить в виде суммы гамильтонианов частиц Нр, поля Hf и взаимодействия частиц с полем Hmt:
Htot — Hp(q) + Hf + Нцд^ф
Гамильтониан электромагнитного поля
= ^ ^ UJn(ln(ln.
(п)
Здесь q — совокупность канонических координат частиц, ап — коэффициенты разложения потенциалов по собственным функциям, п — набор собственных чисел. Переменные а^, ш^ играют роль канонических координат и импульсов, фундаментальные СП [аш, ш*] = Smn. Каноническое преобразование а^, а^ су, с^: а^ = су exp (^iw^t), порождаемое производящей функцией
F2(a, ic\ t) = i^c*^"^
исключает Ну из полного гамильтониана. Новый гамильтониан
Н = Hp(q) + Hpq, ck exp Ушк1\ ck exp (M^))-
Отметим, что в квантовой электродинамике координате а соответствует оператор уничтожения фотона, координате а* — оператор рождения фотона.
Подставляя в (28.10) Н и любую динамическую переменную F, по
лучим решение канонических уравнений в виде ряда. Отмстим, что гамильтониан Н нс описывает непосредственно кулоновское взаимодействие. Однако ряд теории возмущений содержит члены ~ е2, е4, ..., соответствующие кулоновскому взаимодействию во всех порядках по е2 — как и в квантовой электродинамике взаимодействие частиц реализуется «виртуальным» электромагнитным полем.
При взаимодействии частицы с полем резонатора возможено индуцированное поглощение
Рис 28 9или излУчение^ которое принципиально отлича-
'стся от спонтанного излучения — направление
распространения, поляризация, частота и фаза излучаемой волны полно
стью тождественны характеристикам волны резонатора.
Для генерации вынужденного высокочастотного излучения используют пучок электронов, движущийся в резонаторе во внешнем электромагнитном поле.
Найдем мощность излучения электронов в модифицированной ловушке Пеннинга (рис. 26.1), в которой поверхность бокового электрода гофрирована (от фр. gaufrer — складчатая поверхность) и разделяет р пар резонаторов. Сечение поверхности в виде гофры изображено на рис. 28.2. В этой периодической структуре могут распространяться медленные волны, эффективно взаимодействующие с электронами.
Рассмотрим излучение «магнитной» волны, длина которой А значительно больше расстояния между резонаторами. В этом случае потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа. В цилиндрических координатах г, 9, z потенциал Герца W^771) = (0, 0, Ж), скалярий и векторный потенциалы
SW5VT
=Аб = ™^ Д2: = 0.
г о9or
В резонаторах образуются стоячие волны. В одномодовом приближении частное решение волнового уравнения в области 0 < г ^ R представляет собой медленную стоячую волну частотой ш, поджатую к поверхности г = R:
W ~ Re[/ exp zwt)], / = (R/р) {r/R)p sin (p#) sin [(7г/2Д) (z + R^.
Здесь опущен множитель, учитывающий угловые размеры резонаторов.
Ограничимся рассмотрением случая плоского движения электронов в области \z\ ^R, полагая / = (R/p)(r / R)p sin p9. Далее удобно перейти к декартовым компонентам
Аж = Ат cos 9 — А@ sin 9, Ау = Ат sin 9 Л Aq cos 9
и представить вектор-потенциал в виде
Аж(^, г, 9) = (^тге2 /шУУ^уА^У, 9) exp(-iwt) + к.с.],(28.21)
Ayt, г, 9) = ^ттс2 /шУУ^уА^Ущ 9) exp(-iujt) + к.с.],
А^ = yjRy^ sin [(р - 1) 9\. А^ = -YIWsin [(р - 1) У].
(28.22)
Постоянная У, представляющая собой эффективный объем резонатора, определяется из условия
Угловые скобки обозначают усреднение по времени; область интегрирования ограничена рабочим объемом резонатора.
Энергия электромагнитного поля
По = шс*о(28.23)
Переменные с, гс* играют роль канонических координат и импульсов, фундаментальные СП [с, гс*] = 1.
Гамильтониан, описывающий эволюцию системы N электронов и поля,
N 12
н = 57 7Г~ [pa + — Aext(xa) + — A(i, ха)] -eo[y>ext(xa) + Ao(i, ха)].
Здесь ф^^Х Aext(x) — потенциалы статического поля ловушки, которые с достаточной точностью совпадают с приведенными в п. 26.4 лекции 26.
Потенциалы поля излучения будем искать в виде (28.21), предполагая, что коэффициенты с, с* зависят от времени.
Найдем приращение энергии поля Ро в рамках канонической теории возмущений. Для этого представим гамильтониан Н в виде Н — Но -V А
Л1 = ^/^ [₽« + eoAext(xa)]2 - eoyext(xa),
2
h = Г —vaA(t, xa) + -^-A2(i, xa),z—' czme2
a=l
mva = pa + eoAext(xa). Решение уравнений, порождаемых гамильтонианом Но, представляет собой КП х = x(t, х', р'), Р = р(^, х\ р^, которое позволяет исключить вклад Но в полный гамильтониан Н. В результате КП (26.24) х, р —)► х', р' —)► фп, 1п новый гамильтониан/г'(^ с, с*, фп, ДД представляет собой функцию h, в которой следует произвести замену переменных. Эволюция полевых и штрихованных переменных определяется гамильтонианом
/ 2 х 1/2N
h1 м ео I —) (сМ* ехр (—г си/;)+к.с.), М* = vaA.^ (ra, 9aY
Энергия поля излучения. Полагая в (28.10) F = Pq, h = h' и ограничиваясь величинами ~ вд, получим
tttl
AFq = dti [Jg, h/(H)] + dtxd^2 [[i^o? ^ 4^1 )]^ 4^)] + • • • ? (28.24)
tototo
[Fo, h ЧП)] = ^k M(ti^c* exp (шП) + k.c.,
[[Po, 1гр1>УЛ\ = шкУМЧОМЧМ -
™YM(tiY M*(t2)]cc*} exp(iw(ti — F)) +k.c.,
где к = ео(2тг/шП)1/2.
Можно устранить ограничение области интегрирования, используя соотношения
t tit t
dti dF(T(H)T*(F)+к.с.) = dp dp ReT(H)T*(F), (28.25)
thtt
dti dt2(\T(ti^ Т*ДД - k.c.) = % dti dt2 Im\T(tiY Т*ДД.
totototo
Отметим, что СП вычисляются по значениям переменных при t = to. Для сопоставления с экпериментальными данными необходимо усреднить (28.24) по начальному распределению электронов и возможным реализациям поля излучения (28.21). В результате усреднения приращение энергии поля (28.24) приобретает вид
(ДРо) = ^(ДРо) = ^t
(ДРо) = ^
(ДРо) = ^
dti d£2{ Re(M(H W*(£2)) exp (ico(ti - t2^ + to
+ Im([M(Zi), M*(t2)]cc*) exp (i w(ti — t2))}.
Поскольку результат усреднения квадратичных величин зависит только от разности координат ti — t2, можно ввести двухвременные функции Грина:
СДй - М = -6 Д - t2^ Wto, МД<
(28.26)
С8Д - М
Статистические свойства электромагнитного поля резонатора характеризуются корреляционной функцией Дш) = (с с*) [208].
Переходя к переменным Н,2 = ^±т/2, получим среднюю мощность излучения в виде
dPn 2тгвп г х х т
(28.27)(28.27)-^7 = {Regs(w) - J(w)ImgjM},
(28.27)
(28.27)
&,$м =&,$м =(28.28)
&,$м =
&,$м =
Величина, э 0 введена для того, чтобы согласно (18.7) полюсы g^s(co) соответствовали запаздывающей функции Грина. Первое слагаемое в (28.27) — мощность спонтанного излучения, второе — мощность вынужденного излучения или поглощения.
Вычислим теперь фурье-образы (28.28) функций СДД и СДт) в (28.27). Предварительно отметим, что согласно (28.22)
А^р - 1рМ =А^р - 1рМ =RRР™1Р™1
А^р - 1рМ =
А^р - 1рМ =
R
R
Р™1
Р™1
ж + гуRж + гуRvA(m) = Re (ж + гу^АР - гА^ ^ = Не (ж + гу)
ж + гу
R
ж + гу
R
Для упрощения счета, зададим начальные условия, при которых /2 > Д. Тогда, подставляя ж и у из (26.4), получим
vA^ to С £[Т2Х exp (-isw^it + isn^ip^ -
- isnnipi) + Т22 exp (—is oo^t + isn22^2)],
С = (1Д^Т22 = upI^Y Т21 = wj^1^2!^2,
^22 = P^2?^21 = (P — 1)^2 + ^1-
Здесь коэффициенты n22 = p, ^21 = (p~ 1L ^11 = 1; индекс s принимает значения ±1.
Среднее по фазам произведения в (28.26)
(МД)М*Д)) = NC2^Tlke™isuj^K
Согласно определению СП
[ J 8<ра \ В1а) В1а \ Эфа)
Учитывая периодичность А и В по угловым переменным, имеем [206]
([А, В]) = Д U^y
Bia \ Вфа [
Следовательно, среднее по фазам СП
(VMXW*M = -INC2 Vs (nlk Г- -пу1Д pke-isy»T. \011012 )
Используя фурье-прсдставлсние ^-функции:
2 л J м + г s ’2 л J м + г s ’
2 л J м + г s ’
2 л J м + г s ’
из (28.26), (28.28) получим
gz w = -НС >s mfe —- - n2k 2k .
\ BIi BI2 J w™su)2kK%e
gs(w) ^iNC2^gs(w) ^iNC2^rp2±2krp2±2kUJ — S U)2k 4~ i £UJ — S U)2k 4~ i £
gs(w) ^iNC2^
gs(w) ^iNC2^
rp2±2k
rp2±2k
UJ — S U)2k 4~ i £
UJ — S U)2k 4~ i £
После вычисления суммы по индексу s имеем
TfJ(^-O+2zsM™1,TfJ(^-O+2zsM™1,= -2NC‘2w2k \TiikA- -п2к Л-
TfJ(^-O+2zsM™1,
TfJ(^-O+2zsM™1,
(2829)
gs(w) = 2iNC2 wpyw2 - W2fe) + 2гешГ1.
Для того, чтобы учесть эффекты, обусловленные столкновениями электронов с молекулами воздуха, в резонаторе, необходимо усреднять (2826) с функцией распределения по «времени жизни» электрона. Эта. операция соответствует замене е конечной величиной 7/2, где 7™1—среднее время жизни электрона. В результате получим необходимые для вычисления мощности излучения (2826) соотношения:
M(w2 - 7fe) +«w]“1 = Нш)7 -ш^к)‘2 + (7W)2]"1,(28.30)
Re г^ш2 - ш^ + г 7 со]™1 = (7 со) [(со2 - co|fe)2 + (7 со)2]™1.
Теперь, подставляя (2829) в (2827), окончательно получим мощность спонтанного излучения:
dPOs 2тге^
—р..6.ы-
у С T2fe(7^ )[(^у С T2fe(7^ )[(^2 \2 I /\21 —1
у С T2fe(7^ )[(^
у С T2fe(7^ )[(^
]
и вынужденного излучения:
dP0i 2тге^4тге^ 2
=Im = у С JHhww^x
Х (уП1к^ + П‘2к- ЛК + (7^)2]-1. (28.31)
Мы приходим к выводу, что в резонаторе реализуется мазерный эффект— возникает индуцированное излучение на. частоте со22 = рсо2, мощность которого
dPo3w-2^ 2тгеЩ 2 2 (at у mV К у R у
А^ = (212/тА)1/2. Излучение частотой СО21 = (р — 1)^2 + ^1 поглощается при условии (р ™ 1)212 > 11. В случае гладкого резонатора, ^р = 1) вынужденное излучение на. частоте Ш2 рассмотрено в рамках классической и квантовой теорий [209-211 ].
Отмстим, что при условии 11 > 12 возникает индуцированное излучение на. частоте cji2 = (р — 1) coi + со2 ^> ^2-
Подставляя F = хЛЛ yaU2 (а = 1, 2, ... 2V) из (26.24) в (28.10), получим решение уравнений движения в виде ряда, содержащего вклады кулоновского взаимодействия электронов пучка, и взаимодействия электронов с полем резонатора.
Лекция 29. Метод усреднения канонических систем
Секулярные члены. Каноническая теория возмущений позволяет получить решение уравнений Гамильтона, для тех значений t, которые лежат в области т сходимости ряда. (28.7). Однако в реальной ситуации приходится ограничиваться вычислением конечного числа, членов ряда. Обрывая процесс последовательных приближений, мы получим решение, область применимости которого ограничена, отрезком, меньшим т. Представить решение для всех t Е т конечным числом слагаемых нс удастся.
Рассмотрим уравнение Дуффинга:
(29.1)
эквивалентное канонической системе с гамильтонианом Н = Но + 1ц
НМ р) = — Е—х, h =.
Решение уравнения (29.1) выражается в терминах эллиптических функций. В случае Н(х, р) = Е, Е < 3wg/2s, хЛ—периодическая функция с периодом Г:
/3"
x(f) = 2 а - М2 сп (miWq£ + а),
Mi wo \ Mi у ’2 I у 3 Wg у
где К — полный эллиптический интеграл. Если е <К. 1, то частота, колебаний w = 2тг/Т се ш0(1 - еЕ/Вш^ + ...).
Пусть Е^Зш^/2е. Найдем решение (29.1), используя каноническую теорию возмущений. Нормализующее КП
х = cos (wq^ + x'Y Р — — V^oP1 s^n + х^
приводит гамильтониан к виду Н'(х\ р \ ^) = (™swq/4!):t4(x/, р\ t). Полагая в (28.7) х^ = х, получим решение уравнения (29.1):
t
хЛ = $Л + ^1 \х(ЦЛ Ж(Н)] ™уТ о
Ж(1)<3)Ж(1)<3)1— - COS41— - COS43(wo^ + ф3(wo^ + ф
Ж(1)<3)
Ж(1)<3)
1
— - COS
4
1
— - COS
4
3(wo^ + ф
3(wo^ + ф
где = ^21 jw^ cos(clV + ^), I = рЧ^Х Ф = ^(0), [ж(£), ж(Н)] = = (—1/luq) sinwo(t — ti). Вычисляя интеграл, получим x(t) = х (0) + ^(i) +
+ ..., х(0) = УЦ,
з
sin (wo^ + ^) + - cos (wq^ + Ф^ —
Мы видим, что в решении появляется слагаемое t sin^Qt+p), называемое секулярным членом. Очевидно, \х^/xpX ^ £Я ^> 1 при w^t ^> 1.
Возникновение секулярного члена, обусловлено следующей причиной. Каноническая теория возмущений является гамильтоновой формой метода. последовательных приближений Пикара. [6, 120]. Представим реше
ние (29.1) в виде х = ^2 ж(фЧХ ГДС Ж(Ф ~ £П- Функция ж^) удойно '''
влетворяет уравнению гармонического осциллятора:
, see2 /21\3^
х^ + ^о:Г(Х) = —J [3 cos (ш01 + ф) + cos3(w0^ + ^)],
правая часть которого играет роль вынуждающей силы. Наличие резонансного слагаемого с частотой шо приводит к линейному росту «амплитуды» колебаний. Если в (29.2) ограничиться конечным числом членов, то область применимости полученного решения wyt Ф 1. Однако, несмотря на. то что в высших приближениях возникают слагаемые ~ 19\ ряд (29.2) сходится для произвольных значений t. Еще в 1882 г. Линдстедт заметил, что при o^t <С 1 решение можно представить в виде
®№ =®№ =COSCOS^0^0t + фt + фЕ192Е1923/2(1 + ...) cos 33/2(1 + ...) cos 3^0^0
®№ =
®№ =
COS
COS
^0
^0
t + ф
t + ф
Е
192
Е
192
3/2
(1 + ...) cos 3
3/2
(1 + ...) cos 3
^0
^0
и аналитически продолжить в область w^t > 1. Поэтому, суммируя в (29.2) подпоследовательности, содержащие секулярные члены, можно получить равномерно пригодное решение. Того же результата, проще достичь, используя метод усреднения гамильтоновых систем.
Методы усреднения гамильтоновых систем. Основой метода, является КП к переменным, эволюция которых определяется интервалом времени, существенно превышающим характерный период движения невозмущенной системы. Они получили название медленных переменных. Во многих модификациях метода, усреднение понимается как процедура, исключения из гамильтониана быстроосциллирующих слагаемых. Новый
гамильтониан содержит медленные переменные и порождает интегрируемую систему. Первый вариант метода, усреднения гамильтоновых систем был развит Пуанкаре (1886) и Цейпелем (1916). Основная трудность метода. — отсутствие алгоритма, построения замены переменных — связана, с использованием производящих функций, зависящих от старых и новых координат. Эта. проблема, была, решена. Хори (1966) введением канонических преобразований, порождаемых производящими функциями Ли. Изложение методов усреднения гамильтоновых систем содержится в работах [ 109, 127, 128, 172, 173, 212]. В рассматриваемом здесь подходе вначале строится почти тождественное КП, порождаемое фиктивным гамильтонианом, роль которого аналогична, генератору Ли. Затем одновременно выделяются преобразования к медленным переменным и гамильтониан, определяющий эволюцию медленных переменных.
Каноническое преобразование к медленным переменным. Рассмотрим каноническую систему
iM = [^,HM],(29.3)
с гамильтонианом Н(д, f) = H0(z) К ^H(z, t). Каноническое преобразование д = д(д/, t\ порождаемое решением системы
= [^, Но«(29.4)
позволяет исключить Но(^ из полного гамильтониана. Н(д, f). Эволюция штрихованных переменных определяется каноническими уравнениями
=(29.5)
Новый гамильтониан еЦг\ £) = АЯ(ф', t\ t\ где е — неотрицательный параметр, введение которого — удобный прием, позволяющий получить КП, обладающее заданными свойствами. Наша, задача. — найти решение уравнений (29.5) как каноническое преобразование z1 = д^м, t) к новым медленным координатам -иа = (д, тг) и гамильтониан sKtyp э), определяющий их эволюцию:
= [п^, eK(-u, э)], ц = 1, ..., 2s.(29.6)
Система. (29.6) обычно существенно проще исходной, так как не содержит явно времени.
Пусть д/ = д^м, t) — искомое КП. Представим его как решение системы уравнений, порождаемых неизвестной функцией eW^1, t, s), которая играет роль гамильтониана:
У = vy, eW, t, £)].(29.7)
Согласно теории канонических преобразований координаты и^ удовлетворяют уравнению
eR^ii, t. е) = \еЦ%! , t) ™ eW(z\ k е^^'Л^еУ (29.9)
Определенным выбором функции eW^Y t, s) можно добиться того, чтобы гамильтониан eR(-u, к е) нс зависел явно от времени. Тогда, мы получим замену д/ -л -и и гамильтониан eR(jp k s) = eK^-u^ eY
Из условия eR(jp e, £) = eK(-u, s) следует, что функция eW(z\ k s) должна, содержать постоянную и переменную составляющие:
eW(zY k s) = eS(z\ k s) + eC(^\ eY(29.10)
Для определения функций eS и eC наложим следующие два. условия.
Функция eS компенсирует зависящую явно от времени часть гамильтониана. и одновременно дает вклад в замену R -л -и.
Функция еС уничтожает в замене R -л и постоянные слагаемые, которые привели бы к возникновению секулярных членов, и одновременно дает вклад в гамильтониан гК^зу eY В этом заключается основной принцип интегрирования методом усреднения [6].
Пусть функция /(w, k) = /о('^) + f~(ip tY Введем оператор усреднения М, действующий на. функцию /(щ f) по правилу Мf (и, f) = = fo(uY Переменную составляющую функции /(w, к) обозначим символом VfYty k) = f^(u, tY Vf = / — Mf. Тогда, условия, определяющие функцию eW(z\ k eY имеют вид
VeRYu. k s) = 0,(29.11)
(29.12)(29.12)Мка^ k s) = 0, a = 1, ..., 2s.
(29.12)
(29.12)
Для реализации условий (29.11), (29.12) необходимо найти решение (29.7) и произвести замену к -л -и в гамильтониане еЦк, £) и в функции eWIk, k eY которая неизвестна, и в то же время определяет искомую замену. Эта. нереальная на. первый взгляд задача, осуществляется соотношениями (28.7), (28.10). Предполагая, что неизвестная пока, функция EWkk k s) может быть представлена, в виде ряда.
eW, I- Е = ^enWnE', I).eW, I- Е = ^enWnE', I).(29.13)(29.13)
eW, I- Е = ^enWnE', I).
eW, I- Е = ^enWnE', I).
(29.13)
(29.13)
получим из (28.7) решение (29.7):
(29.14)(29.14)Д(-и, t, е) = У2е”4„(м, О,
(29.14)
(29.14)
х [.. .[uQ, WkEm H^Wk2(u, . .yVkpu, tp^.
Здесь символ (n) обозначает суммирование по всем наборам неотрицательных целых чисел kt таких, что кх + к^ + • ■ • + кр = п. Аналогичным
образом из (28.10) получим гамильтониан (29.9) в новых переменных:
гШу, s) = У^ зпЛп(н, t\гШу, s) = У^ зпЛп(н, t\(29.15)(29.15)
гШу, s) = У^ зпЛп(н, t\
гШу, s) = У^ зпЛп(н, t\
(29.15)
(29.15)
ti
оO”1)оO”1)dt^ • •
оO”1)
оO”1)
о
-EEWs(u, tWkP'u, ti) YWkpu, t2) ]•■• ]Wkp(-u, tp) ].
Подставляя (29.14), (29.15) в (29.11), (29.12), получим рекуррентные соотношения для функций Wn+i и Wn (п ^ 1), которые позволяют определить замену переменных z' = z^u^ t, s) и гамильтониан
еК^и, 0 = ^ еПК^
во всех порядках.
Найдем несколько первых членов разложений (29.14) и (29.15). Представим в соответствии с (29.10), (29.13) Wn(z\ t) в виде Wn(z\ t) = = Sn(z\ t) + Cn(z') и введем обозначения [123]
УДи, t) = dtf^(u,t), f = dtf(u,tY
В низшем приближении До = иа,
zZ = dt\ua, Ж('Щ £)L Ri = Ци, £) — Ж(и, tY
Из (29.11) находим Vh(u. t) = Si, Ri = Mh, а из (29.12) следует, что Ci = 0 и
Ж(и, t) = сц-и, tY К1М = МЦи, tY
В следующем порядке имеем
^«2 = dt(\ua, TV2(t)] + [k, TVk^i)]!^^^)]),
r2 = k - W14Y TK1 (t)] - w2(tY
Из (29.11) находим S2 = [A^i, TVi], Учитывая соотношение
[[uQ, ту^ж] = | ^ [k, ^i]^i] +1 [««[^1, ж]],
из (29.12) получим С'2 = -(l/2)M[Wi, Ж]- Следовательно,
я2 = |м[Ж, Ж],
да2 = Л^иДКх, Vh{u, f)]] +У[[па, VhApp t^Vhipjy H)D-
Далее можно последовательно определить коэффициенты разложения ^п и Rn в высших порядках.
Итак, решение системы (29.5) имеет вид
(29.16)(29.16)^ = иа + s dt [иа, Vh(u, £)] + ... ,
(29.16)
(29.16)
где медленные переменные иа удовлетворяют уравнению (29.6) с гамиль
тонианом
еЬЦсц э) = М^еЦсц ^) + ™ ^^(м, t\еЬЦсц э) = М^еЦсц ^) + ™ ^^(м, t\dtVh(u, f) + ...dtVh(u, f) + ...(29.17)(29.17)
еЬЦсц э) = М^еЦсц ^) + ™ ^^(м, t\
еЬЦсц э) = М^еЦсц ^) + ™ ^^(м, t\
dtVh(u, f) + ...
dtVh(u, f) + ...
(29.17)
(29.17)
Замена, переменных в произвольной динамической величине F^ осуществляется соотношением
(29.18)(29.18)F^ = F^z^u, t^ + \_F(z(u, t^Y dtVh(ip f)] + ...
(29.18)
(29.18)
Полагая F^ = дм, получим решение уравнения (29.3).
Сделаем несколько замечаний.
тdt' f{u, t’\тdt' f{u, t’\(29.19)(29.19)Если решение уравнений (29.4) определяет финитные периодические движения с частотами сщ, k = 1, ..., s, то оператор усреднения М соответствует операции выделения средних значений:
т
dt' f{u, t’\
т
dt' f{u, t’\
(29.19)
(29.19)
М f (и, Н = lim —
J V 7 Т^сю Т
о
Поскольку функция /(и, t) = eh(u, t) + ... может быть представлена. s-кратным рядом Фурье, то результат вычисления (29.19) существенно зависит от величины (пш) = пхШх + п2ш2 + * • • + п8ш8, где rik = 0, ±1, ±2, ... Резонансный ((пси) = 0) и нерезонансный ((пси)
ш^ к = 1, 2, ..., s) случаи рассматриваются единым методом. Приведенный алгоритм позволяет исследовать поведение системы в окрестности резонанса, когда. |(пш)| <^Шк, к = 1, ..., s. В этом случае следует предварительно произвести КП д^ = F^F\ t\ заменяющее медленную составляющую гамильтониана. sh(z\ t) постоянной величиной.
Анализ условий, определяющих функцию eW(z\ t\ позволяет сделать весьма, важный вывод: роль процедуры усреднения состоит только в
том, чтобы исключить секулярные слагаемые в замене переменных z' и. В этом смысле можно развить новый подход к решению систем с апериодическими степенями свободы, переопределяя оператор М таким образом, чтобы избежать появления секулярных членов [6].
Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение метода усреднения для решения систем нелинейных уравнений.
Локализация энергии в нелинейной системе. В теории линейных колебаний хорошо известно явление биения — периодический обмен энергией двух осцилляторов. Роль осцилляторов могут играть две молекулы или молекула и электромагнитное поле. Если в начальный момент времени первый осциллятор неподвижен, а второй возбужден, то через интервал времени, обратно пропорциональный коэффициенту взаимодействия, энергия второго осциллятора перейдет к первому. Учет ангармоничности приводит к подавлению эффекта биений — теперь только малая часть энергии второго осциллятора участвует в обмене [213].
Рассмотрим два связанных ангармонических осциллятора. Гамильтониан системы представим в виде Н = Но + АН,
я0 =+ | ЛИ = fc12xix2 - 2 (^ + ху.
Произведем КП хп, рп х'п, р'п\
1~2рГ
Ж» = \—- COS (wot + х\Х Рп = -V^oPn sin (wot + ap.
V
Новый гамильтониан sh{z\ t) представим в виде ряда Фурье:
eh = 2oVpip2 cos (Л - Л) -Ур! + pl) + У Ние~тш°\
n=±2,±4
а = ki2/2uo, ц = A/16wq, Н-п = Н*. Перейдем к медленным переменным х\ р' ™э p^ I. Ограничимся решением в первом приближении метода усреднения. Из (29.16), (29.17) находим х^ = р^ = /п,
еК = 2ар1т12 cos (<^i - у?2) - -нф + ij).
Найдем решение системы (29.6). Совершим предварительно КП
Ид = | (7Г1 ± тг2),у2)1 = 91 ± q2.
В новых переменных гамильтониан
£ К' =— л| COS 2^2 ” 2
Уравнения движения приобретают вид
91 = /^9cos292 - W? 92 =,^^cos2g2 - №, (29.20а)
V ^1 - Л$V^i ™ ^2
лх = 0, л2 = 2а^ж2 — л| sin 2д2-(29.206)
Очевидно, что Л1 = С, еК' = Со — первые интегралы.
Пусть вначале первый осциллятор неподвижен, а второй смежен от положения равновесия на величину а. Полагая ^2(0) = 0, 12(0) = Шоа2 (2, ^1(0) = л/2, 11(0) = 0, находим начальные условия для системы (29.20): 92,1(0) = Тл/4, л2д (0) = Шоа2/2 = /0- Учитывая значения первых интегралов С = 1о, Со = —pl^ запишем систему:
тг2 = 2о-Д7ДДДп2д2, a^jр -р cos2g2 - ^.Р + 7Г2) = “Ло-
Исключая д2, имеем уравнение
*2 = /(^2), /(тг) = -УШ - р) (тг2 - I5 +.(29.21)
Решение (29.21) существенно зависит от соотношения между величинами /о, ^7 9
Пусть р = 0, те. имеется два связанных линейных осциллятора. Тогда g2,i = 0, /(л) = ™4п2(л2
— Iq). Область изменения |л21 ^ /о (рис. 29.1 а). Из (29.21) находим л2 = = ™ V/^)? тг2 = Iq cos 2at. Полная энергия осцилляторов
Еу 1 (t) =шоЬ, i W = | ^о(1 ± cos 2at).
Поскольку 92,i(^) = Т7г/4, то ад = = ™а sin at sin wqC ж2 = a cos at cos uot. Осцилляторы обмениваются энергией с частотой биения 2а.
Пусть ^ = 2а(pIo = 1. В этом случае /(л) = -т/2л2(л2 - 1^\ Область изменения л2 уменьшается:
0 ^ л2 ^ /0 (рис. 29.1 б). Интегрируя (29.21), находим л2(^) = Zoch™1^^^,
S2,i№ = |Wo/o(l±ch Д/о^)-
При t > (plo) 1 оба осциллятора имеют одинаковые амплитуды.
При условии ^ < 1 область допустимых значений ограничена неравенствами Ji тго 1о, /1 = /о(1 ~~ £2)1/2 (рис. 29.1 в). Если 1, то /1 ~ 2q(1 — Е?/2). Максимальное значение энергии первого осциллятора
^1тах= 2 Шо(^О ” Л) — ^ Ш01()^ CJqIq.
В этом случае первый осциллятор практически нс возбуждается. Подстановкой л2 = loti решение (29.21):
1
T)Iot =/ Аи, ^'2 = 1 - €2,
выражается в терминах эллиптических функций л 2 = I^dn^pl^t^ £) (см. приложение). Энергия осцилляторов
E2,i = |wob[l ±dnO/o^, 01-
Частота биений равна лт^/К, где К — полный эллиптический интеграл.
Пример 29.1. Резонансное взаимодействие осцилляторов. В нелинейной оптике хорошо изучен процесс генерации второй гармоники, т.е.
Рис. 29.2Рис. 29.2
Рис. 29.2
Рис. 29.2
возбуждения волны частотой 2ш волной частоты ш [76, 152]. В качестве модели связанных нелинейных осцилляторов рассмотрим пружинный маятник, колеблющейся в вертикальной плоскости (рис. 29.2 а). Обобщенные координаты — I и ф, где I — расстояние от точки подвеса до частицы массой ш, ф — угол отклонения пружины от вертикали.
эид!эид!= —т g cos ф + х (I — Zo) = О,= —т g cos ф + х (I — Zo) = О,Потенциальная энергия системы П(/, 99) = —m g I cos ф + х/2 (Z — /0)2• Положение равновесия определяется условиями
эид!
эид!
= —т g cos ф + х (I — Zo) = О,
= —т g cos ф + х (I — Zo) = О,
9U 1А
"7™™ = т, g I sin ф = О,Оф'
из которых находим I = Б, L = Zo + m g /ж, р = 0.
Перейдем к координатам ад, ад, полагая I = Б(1 + ад), р = ад, и запишем лагранжиан, опуская постоянный коэффициент шБ2:
Б(а:, а:) = |[а:2 + (1 + ад)2а:2] — П(ад, ад),
mg+ Бадmg+ Бадgх
mg
+ Бад
mg
+ Бад
П(ад, ад) = --(1 + ад)созад + ——
Определим далее импульсы рх = ад, р^ = (1 + ад)2ад. Гамильтониан системы
Pi . Рз22(1 +ад)2Pi . Рз22(1 +ад)2+ П(ад, ад).+ П(ад, ад).(/)(/)
Pi . Рз
22(1 +ад)2
Pi . Рз
22(1 +ад)2
+ П(ад, ад).
+ П(ад, ад).
(/)
(/)
Разложим П (ад, ад) в ряд, ограничиваясь учетом кубической нелинейности:
П(ад, ад) = П(0, 0) + | [w2 а:2 + wf (1 + ад )ж| ] + ...,
где ш2 = х/т, им = g /Б. В этом приближении гамильтониан (/) имеет вид Н = Но + АН,
Но= 2Р»+ХН = (-р^+рМ ач. (2)
Пусть ид = 2ир шо = ш. Произведем КП а:, р м х\ р':
Рп- - V^WnPV sin put + Д).Рп- - V^WnPV sin put + Д).О)О)
Рп- - V^WnPV sin put + Д).
Рп- - V^WnPV sin put + Д).
О)
О)
Новый гамильтониан приобретает вид
eh = р2 V^Pit™^ sin2(wt + аД) + cos2(cat + х^ cos (2wt + a:^).
Произведем КП к медленным переменным х\ р' м 0, I. В первом приближении метода усреднения из (29.16), (29.17) получим
я;к=^п, р'п = 1п, еК = ст12\/йсо8(2б2 - 9г),
где ст = 3^^/4. Очевидно, еК = Со —первый интеграл. Для определения другого интеграла произведем КП 9, I м д, тг, порождаемое производящей функцией
Н2ф. 7Г) = фХ - 02)7^ + (2^2 - 0!)^.
Из (26.14) находим
qx = 0х ™ 02 7 д2 = 202 ™ 9х.11 = 7Г1 - л2,12 = 2л2 - Л1.
Поскольку новый гамильтониан
еК' = о"(2тг2 - tt^Vm - ^2 cos 72,
то яд = С — первый интеграл. Возвращаясь к старым переменным, запишем систему уравнений:
Л = —<7/2 V^i sin (2^2 — $1), 2/1+/2 = С, <7/2 V^cos (2^2 — ^1) = ^о?
из которой находим
irKh), пп-<тЧр-at а)
Предположим, что вначале первая мода нс возбуждена: ад (0) = 0, /1(0) = 0, ж2(0) = «2, /2(0) = 0. В этом случае
1о2
/1(0) = 0, ^(0) =0, /2(0) = -ша|, 62(0) = 0, (7о = О, С =
Из рис. 29.2 6 видно, что Ii(t) изменяется в области 0 ^ /1 ^ С/2.
Интегрируя уравнение (4), находим
J1№ = 2 th2J2(t) = Cch-2
Следовательно, энергия переходит из основной моды частотой ш в первую моду частоты 2ш. Через интервал времени ^8/Зша2 маятник колеблется в вертикальном положении.
Предположим, что вначале возбуждены обе моды: /1(0) = ша2, /2 (0) = ша| /2, «1 <^( «2. Из рис. 29.2 в видно, что в этом случае происходит периодический обмен энергией между двумя модами колебаний.
В случае /1(0) ^> /2(0) можно воспользоваться приближением, полагая ад = В cos (cut + 7), где В и у — постоянные. Тогда мы имеем маятник переменой длины.
Параметрический резонанс. Найдем решение уравнения осциллятора с переменной частотой
5 + (wq + k cos uct)z = 0,(29.22)
где к <С uJq, ш « 2шо. Замена переменных tot = 2s, р = (2шо/ш)2, v = 2к/ш2, a:(s) = ^(2s/w) преобразует (29.22) к стандартной форме уравнения Матье [16,66, 130, 131,214,215,239,270]:
d2x/ds2 + (р + 2ncos2s)a: = 0.(29.23)
Гамильтониан, приводящий к уравнению Матье,
Н(х, р, s) = р2/2 + (р + 2v cos 2s)a:2/2.
Для нахождения приближенного решения в области р ^ X произведем КП ж, р -л а, ia*:
ж=2=(а + а*), р =
и представим гамильтониан в виде Н = Hq + АН,
Но = (1 + v cos2s)a*a,
ZXH = ™ (р — Х)аа* + ™ (р — 1 + 2v cos2s)(a2 + а*2).
Отмстим, что СП [а, а*] = —г. В первом приближении решение уравнений, порождаемых гамильтонианом Но, представляет собой КП к новым переменным а, ia* -л Д, iA*:
da г ,da _х
— = а, Но или — = —+ vcos2s)a. dsds '
Следовательно, а = А ехр[—is — i(v/2) sin 2s].
Учитывая соотношения, следующие из теории функций Бесселя:
ехр(—Hsin2s) = У^ Jn^ ехр(—2ms),
. . id.
cos 2s exp[^msin 2s] = — — exp(^m sin 2s),
запишем гамильтониан АН в новых переменных:
еК\А, iA*, t) =
= ™ У2 Jn(vHp - 1 + 2п) ехр[-2г(п + l)s]A2 + к.с. + | (р - 1)Д*Д.
В первом приближении метода усреднения остается слагаемое с номером п = — 1. Поскольку J™x^ = ™Jx^v\ то
(29.24)(29.24)еК = 5А*А + ^ у(Л2 + Л*2),
(29.24)
(29.24)
а=
Найдем решение уравнений, порождаемых гамильтонианом (29.24). С этой целью произведем вначале КП Д, iA* g, тг: А = (д + Н)/\/2, где д, л — координата и импульс. Это преобразование приводит (29.24) к гамильтониану гармонического осциллятора:
(29.25)(29.25)eN = | [(5 - п)л2 + (5 + п)д2].
(29.25)
(29.25)
На этом этапе решение уравнения (29.23) имеет вид
= geos7 + тг sin7, 7 = s+—sin2s.(29.26)
Медленные переменные удовлетворяют уравнениям
- п)тг,= -(§ + a^q.(29.27)
asas
Пусть 52 < а2. В этом случае система (29.27) имеет два собственных вектора:
1 / 1 АГТаГ§
^1 =Ь и2 = у— , г = —————,
\™туV 2т \т)п
соответствующих собственным значениям Ai^ = =to, ^ = (Т ~~ Д2)1/2. Каноническое преобразование q, тг q\ лА
q = -Tv + 7Г'),+ Г
приводит гамильтониан (29.25) к диагональной форме: е№ = nTq1. Следовательно, q’ = goexp(ns), л' = лоехр(—ns). Полагая (Х!тГ^ = = (2а/пТ2 cos а, (г)1//2 = (2а/пГ^ sin а, получим экспоненциально возрастающее решение (29.26):
.(а \.
x(s) =[exp(ns) cos (7 + a)go + exp(—ns) sin (7 — а)ло].
Пусть §2 > а2. Собственные векторы системы (29.27)
1 / 1 \1 fX\D аГ5
щ = ,—L ^2 = ,—L к = л ,
V2RV2R \iRJ Ao
соответствуют собственным значениям Ai;2 = =Ь^Ао, Ao = (82 — n2)1/2. Каноническое преобразование
VV
приводит гамильтониан (29.25) к диагональной форме: eN? = Aqcc*. Следовательно, с = со ехр(—zAqs). В этом случае решение уравнения (29.23) ограничено.
Условие 52 = а2 или |^ч — 11 = | (3 — р) Ji (п) | задает на плоскости pv границы областей, разделяющих в окрестности р 1 устойчивые и неустойчивые решения. В теории уравнения Матье установлено, что каждой точке
в заштрихованной области на рис. 29.3 соответствуют ограниченные решения уравнения (29.23). Граничные кривые пересекают ось р при значениях р = 1, 4, 9, ... [270]. Отмстим, что при значениях и «С 1 Jx^ = = (z//2)(l-z/2/8+. ..), (3 — р) Jx^ и v. В обозначениях уравнения (29.22) неустойчивое, экспоненциально возрастающее решение реализуется при условии |ш — 2шо| < kj^w^. Это явление называют параметрическим резонансом.
Система в быстроосциллирующем поле. Гамильтониан системы с s степенями свободы
H^z, t) = Но(^ t) + N(z, t).(29.28)
Рис. 29.3Рис. 29.3Пусть w — характерная частота изменения функции N(z, t\ То — характерный временной масштаб траекторий za = za^z\ t\ порожденных гамильтонианом Hq(z, t); ш^Т^1. Тогда отклик системы на высокочастотное возмущение представляет малую добавку к решению za = za(z\ t) (см. лекцию 18). Поэтому для анализа движения системы можно применить метод усреднения. Условие w Ту1 позволяет воспользоваться специфическими особенностями интегралов, содержащих бы
Рис. 29.3
Рис. 29.3
строе сциллирующие функции [216]. Представим функцию N(z3) в виде
N(z, t) = У^ а^ (z) cos Wkt + У2 to s^nkk
Поскольку Wk ^ Tg™1, to можно вычислить интеграл VN^^u^ t), t) в (29.17), не имея явного выражения функции z = z^u^ t). Интегрируя по частям, получим приближенную формулу:
dtN(z, t) =(а^ sin Wkt — а^ cos w^t) +
k
+ Y^cos Wkt sinWkt) (29.29)
с погрешностью w^3. Если p^! — ш^2| ^> 2тг/То, то после усреднения (29.17) найдем функцию, зависящую от z: еК(и) м S(z\
- E 4”) + Eн» + ■ й,ло’ к кк,Х к
Полагая в (29.18) F = zp„ получим решение канонических уравнений с гамильтонианом (29.28):
Zb = zp(u, t) + dti [zp(u, t), z„(u, П)] ——-———- + ...
JOZy \ll, )
0
Движение системы представляет собой перемещение вдоль кривой, осциллирующей с частотой си в небольшой окрестности плавной траектории. Если Н0(г t) = (1/2) g^pcp^ + Ифу By то
У 1 аср эср у 4^2 дха ЭхрУ 1 аср эср у 4^2 дха Эхр^РОО дар дар^РОО дар дарpf 4ш? дха Эх в ' А, к’pf 4ш? дха Эх в ' А, к’
У 1 аср эср у 4^2 дха Эхр
У 1 аср эср у 4^2 дха Эхр
^РОО дар дар
^РОО дар дар
pf 4ш? дха Эх в ' А, к’
pf 4ш? дха Эх в ' А, к’
В этом случае плавная траектория определяется гамильтонианом Н = = Но + S:
HR, t) = | g“9(х^РсРр + С7эф(ж, О,
иэух, t) = U^x, о + У^иэух, t) = U^x, о + У^gyOO ЗоР даРgyOO ЗоР даР(29.31)(29.31)4ш^ дха Эху4ш^ дха Эху
иэух, t) = U^x, о + У^
иэух, t) = U^x, о + У^
gyOO ЗоР даР
gyOO ЗоР даР
(29.31)
(29.31)
4ш^ дха Эху
4ш^ дха Эху
Если комбинационные частоты Icj^—СЩ;2|2 л/То, то результат усред
нения (29.17) можно представить в более общей форме:
х 1 х И 1 dN f , 92V \
Вклад в Пэф(ж, t) слагаемого, квадратичного по амплитудам внешнего возмущения, существенно изменяет поведение невозмущенной системы в окрестности особых точек.
Пример 29.2. Маятник Капицы [217-219]. Однородный тонкий стержень АВ движется в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку А. Ось совершает вертикальные колебания по закону s(t) = a cos ujt, lj^>ljo, wo — собственная частота линейных колебаний маятника. Найдем гамильтониан, описывающий плавную траекторию, и положения равновесия маятника.
1/22’3 ’1/22’3 ’Используя обозначения примера 15.1, запишем кинетическую и потенциальную энергии:
1/2
2’3 ’
1/2
2’3 ’
U = — m(g —асэ2 cos wf) - cos p.
Поскольку импульс p = 1ф, то гамильтониан H = Ho + N,
TT КM 12,,
Ho = — — m g - cos p, = - m,a ш I cos uat cos p.
Следовательно, эффективная потенциальная энергия
Оф = т g -Оф = т g -— COS ф + SHE ф
Оф = т g -
Оф = т g -
\41ш0 )
Wq = mgZ/2Z. Из уравнения dU^/дф = 0 найдем положения равновесия: Фх =0, фз = л, cos фз^ = —£, = (41шо/Заш)2/2. Если < 1, то в окрестности фз = тг возникает потенциальная яма:
а2 Офэуа2 Офэуmgl2^mgl2^
а2 Оф
эу
а2 Оф
эу
mgl2^
mgl2^
Ее глубина
М^з)-Оф0) = ^(1-02-
При значениях полной энергии Е, лежащих в интервале Сэф(л) < Е < < иэф(фз\ можно наблюдать устойчивые колебания в окрестности положения равновесия ф = л.
Мы рассмотрели принципиально новое явление, которое получило название динамической устойчивости. Аналогичный эффект позволил открыть принцип жесткой фокусировки, положенный в основу работы современных ускорителей элементарных частиц [220].
Заряженная частица в высокочастотном поле. Электроны движутся в резонаторе в статическом электромагнитном поле, заданном потенциалами (/?ext(x) и Aext(x), и переменном электромагнитном поле резонатора. Резонатор представляет собой пространство, ограниченное металлической поверхностью, совпадающей с координатными поверхностями криволинейной ортогональной системы координат qn (п = 1, 2, 3). Декартовы и криволинейные координаты связаны соотношениями ха = = /а (91, 92, 9з)- Структура поля в резонаторе определяется решениями уравнений Максвелла. Рассмотрим резонатор, в котором могут быть возбуждены стоячие волны поперечно-электрического или поперечно-магнитного типов [152, 154, 266]. Благодаря граничным условиям на проводящих поверхностях собственные частоты резонатора оказываются дискретными: ш = шх(п); индекс А = е; ш означает тип волны, и — набор дискретных собственных чисел.
Рассмотрим в качестве реального примера прямоугольный резонатор, ограниченный плоскостями в области 0 ^ х ^ а, 0 ^ у ^ Ь, 0 ^ z ^ с. Практический интерес представляет стоячая ТЕ-волна [266]. Потенциал Герца волны
W(m) = (0, 0, lOA)(x, п)),
х ткх пеку . ккг
х, п) cos cos —sin cos ихЦ a b с
где си = wmn^, wmnk = стг[(т/н)2 + (п/Ь)2 + (fc/c)2]1/2 — возможные частоты волн при заданных размерах резонатора, m, п, к. = 0, 1, 2,... Вектор-потенциал
A^(t, х) =rotW(m) = (^, -^, о) ,\ оу ох /
скалярный потенциал Ао = 0, напряженности электрического и магнитного полей волны
1 К^т^
E(i, х) =—, H(f, х) = rot А(™\
7 с
Пусть в резонаторе возбуждена волна ТЕ^х. Вектор-потенциал и напряженность электрического поля
АХ У = СА^Х) cos wt, A<m3x) = (0, А, 0),
. 7Г . 7ГХ .7Г2
А = — SillSill —,
а а с
EX х) = СЕ^та^ sinwf, E(m) = (0, —, 0), ''' с ''
где ш = сщоь С — константа.
Запишем гамильтониан электрона
Н = [р + — Aext(x) + — A(t, х)1 eO99ext(x)2т L сс А
в форме (29.28): Н = Но + N,
Но = — р + - Aext(x) - e0y6Xt(x),
2V = ^vA(t, х) + е° A2(t, х), mv = р + —Aext(x).
с ' 2тт '’с
«Медленная» компонента траектории определяется гамильтонианом (29.17):
Н(х, р) = Но +Н(х, р) = Но +\2\2N^ dtiN(x^ р^ ti)N^ dtiN(x^ р^ ti)
Н(х, р) = Но +
Н(х, р) = Но +
\2
\2
N^ dtiN(x^ р^ ti)
N^ dtiN(x^ р^ ti)
Отсюда находим
Н(х, р) = Но +Н(х, р) = Но +(eoCA^WT4тс2(eoCA^WT4тс2
Н(х, р) = Но +
Н(х, р) = Но +
(eoCA^WT
4тс2
(eoCA^WT
4тс2
Этот результат можно представить в более общем виде [221-223].
Н(х, р) = Н0(х, р) +Н(х, р) = Н0(х, р) +е22mе22mх 2 dt Е(х, t) jх 2 dt Е(х, t) j
Н(х, р) = Н0(х, р) +
Н(х, р) = Н0(х, р) +
е2
2m
е2
2m
х 2 dt Е(х, t) j
х 2 dt Е(х, t) j
Лекция 30. Метод удвоения переменных
Гамильтониан нелинейной системы первого порядка. Рассмотрим систему s нелинейных уравнений:
(30.1)
Введем пространство R2s с координатами 2^ = ж^, Zkys — Pk, в котором определена скобка Пуассона функций A^z, t^ B(z. t):
riо 9^9^ Q / 0
VA8zm Oz^
(E — единичная s-мерная матрица) и гамильтониан [6, 172, 224]:
Н(ж, р, t) = pnfn(x, t).(30.2)
Первая группа уравнений Гамильтона совпадает с (ЗОЛ), а вторая группа уравнений
(30.3)(30.3). _ 9Л
(30.3)
(30.3)
Рт — Рп о
0хт
является ассоциированной системой, линейной относительно импульсов.
Если Г (ж, t) — произвольная динамическая величина, то в силу системы (30.1)
(30.4)(30.4)dFOFOF . dFOF
(30.4)
(30.4)
+= 757 + 4 ^
dtOt0xn dtOt
Решение системы (ЗОЛ), (30.3) является КП жп = хп(х\ t), рп = = pn(x\ р\ Оц обращающим новый гамильтониан в нуль. Как и в стандартном формализме, решение можно представить как КП, порождаемое одной из производящих функций. Например, функция ЕЛе р\ ^ является полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби:
OS OS
Ot 0хп
в котором произвольные постоянные выбраны в качестве новых импульсов.
Метод удвоения переменных позволяет привести к гамильтоновой форме системы уравнений, полученные феноменологически и не являющиеся экстремалями какой-либо вариационной задачи. Особый интерес представляют уравнения, описывающие химические реакции, различные экономические или экологические системы. После приведения к гамильтоновой форме решение уравнений может быть найдено методами интегрирования гамильтоновых систем.
Пример ЗОЛ. Уравнение Риккати:
х + ж2 + w(t) = 0
можно представить в гамильтоново! форме с гамильтонианом Н(ж, р, t) = = —р(х2 + w). Из (30.3) следует уравнение р = 2рх. Подстановка х = = q/q преобразует исходное уравнение в линейное: q + w(t)q = 0. Пусть Hi (t), U2 (t) — два линейно независимых решения с вронскианом Н1й2 — — -uyui = 1. Найдем производящую функцию КП х, р ^ х\ р’:
Мр. х, t) = -Мр. х, t) = -й1 + й2ж/«1 + П2ж'й1 + й2ж/«1 + П2ж'
Мр. х, t) = -
Мр. х, t) = -
й1 + й2ж/
«1 + П2ж'
й1 + й2ж/
«1 + П2ж'
9Е3_р dt9Е3_р dt+ w(t)+ w(t)ii'i + й2ж/11-1 + 11-2x1 ’ii'i + й2ж/11-1 + 11-2x1 ’р = р1^! + н^х1)2.р = р1^! + н^х1)2.
9Е3
_р dt
9Е3
_р dt
+ w(t)
+ w(t)
ii'i + й2ж/
11-1 + 11-2x1 ’
ii'i + й2ж/
11-1 + 11-2x1 ’
р = р1^! + н^х1)2.
р = р1^! + н^х1)2.
которая является полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби в р-представлении (27.38):
= 0.
В соответствии с (26.16) находим
Очевидно, [ж, р\жур- =1. Новый гамильтониан равен нулю.
Обращение интегралов. Как правило, решение x(t) интегрируемых уравнений механики определяется в неявной форме:
(30.5)(30.5)t =
(30.5)
(30.5)
о
Функция x(t) удовлетворяет уравнению (30.1) с гамильтонианом (30.2): i = fM, Щх,р^рНх\
Найдем ж(^), используя каноническую теорию возмущений. Выберем гамильтониан нулевого приближения Но = 0. Из (28.12) получим
ж = ж' + [ж', р'1УЭ + [[ж', рХЛУУНхУ — + •
/(ж')-. (30.6)
'ПЛ
Пример 30.2. Найдем функцию Якоби — эллиптический синус ж = = sn(t, к). В этом случае / = л/(1 — ж2)(1 — к2х2) (см. приложение). Из (30.6) имеем
ж = ж/ + f(x')t — ж^1 + к2 — 2/с2ж^) ™ — (1 + к2 — 6k2x^)f(xr) — + ...
Поскольку sn(0, к) = 0, то, полагая ж’ = 0, получим известное разложение [29]:
sn(t, к') = t - (1 + к2') — + (1 + 14fc2 + к4) — + ...
Пусть F^ — произвольная функция координат, удовлетворяющая уравнению (30.4). Тогда в соответствии с (28.10)
,2
= ну) + w\ p'fW + [[ЯГ), p'f кЛУКЛА - +...
Если /(ж) = 1, то имеем ряд Тейлора функции Е^ж' + Ер
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Рассмотрим задачу об определении корней ж = ж^ алгебраического или трансцендентного уравнения р^ж^ t) = 0.
Предполагая, что выполнено условие существования неявной функции ж = ж(£), получим
Следовательно,
x = f(x, t\ /ЧЛ) = -^(^)■(30.7)
С/ L \ С/ /
Если известно решение ж = ж^ уравнения р(ж^ t) = 0 в некоторой точке t = to, то решение задачи Коши ж(£0) = ж^ для уравнения (30.7) является одним из корней уравнения р(ж, t) = 0 [225]. Переходя к фазовому пространству ж, р, запишем гамильтониан Н = pf (жt). Таким образом, для определения корней алгебраических или трансцендентных уравнений необходимо найти решение канонической системы в виде ж = = ж(£). Заметим, что в случае р(ж^ t) = t — Е(ж) решение поставленной задачи позволяет найти функцию ж(£), обратную F(t).
Пример 30.3. Найдем корни уравнения р(ж, t) = ж2 — 2ж — t = 0, используя канонический формализм.
Положим t = 0. Тогда рассматриваемое уравнение имеет два решения: ж^ = 0, 2. Из (30.7) находим
Используя (30.6), получим
_ , t 1 Г 1 г
+ 2(а7 — 1)8 (х1 — I)3 ~*~ 16 (х1 — I)5
Полагая х' = ж^ — 0, получим первый корень:
Z о 10
Полагая ж = ж2 ' = 2, найдем второй корень:
^2 (i) = 2+ -- — + — ++ «1 + t.
Z о
Усреднение слабонелинейных систем [226]. Найдем методом усреднения решение уравнения
ж + се^^ж = 6/(ж, ж, t),(30.8а)
Полагая ж = Ж1, ж = Ж2, запишем систему:
Ж1=Ж2, Ж2 = ^ШдЖ1 + 6/(Ж1, Ж2, t).(30.8 5)
Рассмотрим далее важную для практических приложений более общую систему:
Тт — k-m-n^t^X^ 4" Е fm^li *^2i ^), ^Т 'И — 1, 2,(30.9)
порождаемую гамильтонианом
Н(ж, р, t) = kmn(t>mXn +EPm/m(^l, Ж2, t\ (30.10)
Преобразование гамильтониана к более «простой» форме называют нормализацией. Нормальные формы в окрестности особых точек подробно исследовал Дж. Бирхгоф [16, 227]. Произведем линейное КП ж, р -х ж', р’, диагонализирующее форму ктпртхп. Выберем производящую функцию в виде
Ш р', i) =
Искомая замена переменных:
^s ™ 9^' Жу ~ ^ ^s = ^^Р г xk™^kpxv (30.11)
Потребуем, чтобы выполнялось равенство
ksnPs$n = ksnASjlAnvp ^ж^ = Х^р^х^.
Тогда
Ь атх \™ X Л™1
Очевидно, что A"^v = ит^ — матрица, столбцами которой являются собственные векторы ит^ системы ктпип = Хит, соответствующие собственным значениям уравнения det |^шп — A5mn| = 0.
Предположим, что а2 = det к —
> 0. Тогда> 0. ТогдаЛ1,2 = | Spfe т ia.
> 0. Тогда
> 0. Тогда
Собственные векторы
_1/ ^12 А_1/ ^12 А
U - М ’- ж U -W
Заметим, что столбцами матрицы А^ = t)m^ являются собственные векторы
— ^/^2 — Р11\^/А1 — Р11\
' 'у^°"Р12 \ ™^12 /' 'у^<7р12 \ ™^12 /
ассоциированно! системы —к^Оп = Хот с собственными значениями А1Д = ™А1,2-
В новых переменных гамильтониан принимает вид Н' = Н® + AH', Но = ШцР^Х^ <71,2 = =F<7,
ДЯ' = ^Spkp'^p +ЕА^ррт(Арх'„, Л^ЧГ 0 + APp'ppxV
(30.12)
(30.13)(30.13)Далее исключим составляющую гамильтониана Н^ совершая КП ж^, Жз Рь Р2 а\ ф\ Р\ J/:
(30.13)
(30.13)
где -ф = dt ст + р’. Здесь аф ф1 — амплитуда и фаза — основные переменные в методе Крылова-Боголюбова. Из (30.11) находим, что в новых переменных решение уравнений (30.9) имеет вид
ж2 = ™ж2 = ™ст sin фст sin ф™SpP - Ри™SpP - Риcos фcos ф(30.14)(30.14)
ж2 = ™
ж2 = ™
ст sin ф
ст sin ф
™SpP - Ри
™SpP - Ри
cos ф
cos ф
(30.14)
(30.14)
Новый гамильтониан
ек^аф фф рф 1ф ф = КНфхфаф фф t\ рфаф фф рф 1ф 1ф 1ф
Ограничимся далее уравнениями первого приближения метода усреднения, изложенного в лекции 29.
Представим функцию fпАх^К р, 1^ х^сц р, Оу t) в виде разложения в ряд Фурье:
(30.15)(30.15)efmUi, x2,t) = Тгт8(а, ^е мф-
(30.15)
(30.15)
Подставляя (30.15) в (30.12), получим гамильтониан
eh = ™Sp ka'p' +eh = ™Sp ka'p' +(s-lN(s-lN
eh = ™Sp ka'p' +
eh = ™Sp ka'p' +
(s-lN
(s-lN
+ 2 А^'р' + И1) ^n(i) (^-Ц!) + ^Му6 "г^)+к.сЗ. (30.16)
Предположим, что коэффициенты матрицы ктп изменяются адиабатически медленно: |fcTOn| <^С IcrA:^^ |. Тогда в соответствии с (29.16) получим в первом приближении метода усреднения а' = а, р' = р, р' ^р^ Г — I. Гамильтониан (29.17), определяющий эволюцию медленных переменных,
еК = -Sp кар +еК = -Sp кар +Р+гО (Гртеа-Л)е (s ^А +Р+гО (Гртеа-Л)е (s ^А +
еК = -Sp кар +
еК = -Sp кар +
Р+гО (Гртеа-Л)е (s ^А +
Р+гО (Гртеа-Л)е (s ^А +
+ pap + il) vnW(-unW +к.сТ. (30.17)
Вернемся к уравнению (30.8 а), полагая в (30.9) кц = 0, fci2 = 1, fei = = — Wq, £22 = 0, /i = 0, /2 = /, о = ш0. В соответствии с (30.14) имеем
ааЖ1 = — cosЖ1 = — cosж 2 = — a^cvosin^,ж 2 = — a^cvosin^,с =с =dt а + р.dt а + р.
а
а
Ж1 = — cos
Ж1 = — cos
ж 2 = — a^cvosin^,
ж 2 = — a^cvosin^,
с =
с =
dt а + р.
dt а + р.
Пример 30.4. Осциллятор с медленно изменяющейся частотой | Wo | <^ Оо (см. п. 20.4). Рассмотрим уравнение xWAAk = 0. Полагая / = 0, получим из (30.17) еК = 0. Решение имеет вид
аV^o (^)аV^o (^)coscosdt u)o(t) + рdt u)o(t) + р
а
V^o (^)
а
V^o (^)
cos
cos
dt u)o(t) + р
dt u)o(t) + р
Пример 30.5. Осциллятор Ван-дер-Поля описывается уравнением (30.8а) с правой частью е/(ж, ж) = у(1 — ж2/с2)ж(см. примеры 19.3, 20.1). В этом случае коэффициенты разложения (30.15)
а2 \. Пищ а2
4ш0с2/24ш0с2
Усредненный гамильтониан (30.17)
еК = — ар (1 —2\еК = — ар (1 —2\.2.24ш0с24ш0с2
еК = — ар (1 —2\
еК = — ар (1 —2\
.2
.2
4ш0с2
4ш0с2
Из уравнении а = [а, sKy ф = [уд £^]:
а2 \.зз Ь ^ = 0, 4ш0с2 уа2 \.зз Ь ^ = 0, 4ш0с2 у
а2 \.
зз Ь ^ = 0, 4ш0с2 у
а2 \.
зз Ь ^ = 0, 4ш0с2 у
находим
а = «(Щ7^2а = «(Щ7^21 +1 +4cuqc24cuqc2-1)-1)-1/2-1/2ф = фо-ф = фо-
а = «(Щ7^2
а = «(Щ7^2
1 +
1 +
4cuqc2
4cuqc2
-1)
-1)
-1/2
-1/2
ф = фо-
ф = фо-
Если у > О, то при t >> 7 1 имеем предельный цикл а = 2су43о: ж = = 2сcos (wot -V фоУ
Линейные сингулярно-возмущенные уравнения. Рассмотрим задачу Коши ЦО) = 0, ЦО) = v для уравнения
бй + й + н = 0, б<1.(30.18)
При 6 = 0 уравнение становится вырожденным: й + и = 0. Общее решение (30.18)
1е ) £
Поскольку б<1, то А2 — — 1, Ai = 1 — 1/е. Решение задачи Коши
Ц£) = ”—(eX2t — еАЦ — еЦс^1 — е1^£'У (30.19) А2 ™ Ai
Уравнения с малым параметром при старшей производной называют сингулярно-возмуъценными. Смысл этого термина становится понятным при анализе решения (30.19).
Функция и^ достигает максимума при t ~ —б1пб. В области t > s основной вклад в (30.19) дает решение вырожденного уравнения, которое близко к (30.19) всюду, за исключением малой окрестности t 0. Из (30.19) видно, что при t<6 оба слагаемых должны давать одинаковый вклад в решение, чтобы удовлетворить начальным условиям. Величина этой области — пограничного слоя — определяется первым линейно независимым решением. Таким образом, возмущение Ей вырожденного уравнения приводит к тому, что в интервале t < s решение скачком изменяется ОТ нуля ДО £0.
Системы сингулярно-возмущенных уравнений встречаются в механике, релятивистской теории поля, в гидродинамике вязкой жидкости и магнитной гидродинамике. Трудности решения подобных систем явились причиной
создания множества приближенных методов [127, 228-230]. Гамильтонов подход в теории сингулярно-возмущенных уравнений существенно упрощает вычисления, поскольку необходимость оставаться в группе движении кососимметричной метрики позволяет построить единый алгоритм решения [232, 233].
Рассмотрим вначале линейное уравнение
eq + b^q + c^q = 0, е < 1.(30.20)
Полагая q = ж, Eq + bq = у, получим систему:
еж = у — Ьх, у = (Ь — с)х.(30.21)
(30.22)(30.22)Введем пространство Ж4 с координатами ж, у импульсами р, тг, симп- лектической структурой и гамильтонианом
(30.22)
(30.22)
Н = - р^у — Ьх) + тг^Ь —£
При е = 0 система (30.21) становится вырожденной. Определяя из первого уравнения ж = у/b, получим уравнение у = (Ь — с)у/Ь. Решение вырожденной системы
у = Ье^.
соответствует медленному движению с характерным временем Т: т(Т) - 1.
Структура гамильтониана (30.22) показывает, что первое приближение должно определяться составляющей Но полного гамильтониана Н = = Но + АН,
Но = - р(у — Ьх\ АН = (Ь — с)тгх.
Соответствующие канонические уравнения
еж = у — Ьх, у = 0,(30.23)
Ер = Ьр, Е7Г = —РЕр = Ьр, Е7Г = —Р(30.24)(30.24)
Ер = Ьр, Е7Г = —Р
Ер = Ьр, Е7Г = —Р
(30.24)
(30.24)
существенно проще исходной системы (30.21). Решение системы (30.23), (30.24): у = ^,
х=(хГ — dte^Ae\ J /х=(хГ — dte^Ae\ J /y(t) = е 1 dtb(t),y(t) = е 1 dtb(t),р = р’е1^,р = р’е1^,ЕЕ
х=(хГ — dte^Ae\ J /
х=(хГ — dte^Ae\ J /
y(t) = е 1 dtb(t),
y(t) = е 1 dtb(t),
р = р’е1^,
р = р’е1^,
Е
Е
Интегрируя по частям:Интегрируя по частям:е 1е 1die^Hdie^H_3L 1 мн = ML еу^ dtb_3L 1 мн = ML еу^ dtbdt ™(Гdt ™(Г
Интегрируя по частям:
Интегрируя по частям:
е 1
е 1
die^H
die^H
_3L 1 мн = ML еу^ dtb
_3L 1 мн = ML еу^ dtb
dt ™
(Г
dt ™
(Г
, Ц Г ,, 7 d b+ £ I £ ^ е7
о3 / J dt о3
получим
х = х1;=е1М + ...(30.25а)
оо'
Заметим,что х -л у/b при е ™л 0. Эволюция ad ^xL.y1 .р1 ,М) переменных определяется гамильтонианом Н' = Hq + ^Н',
Hq = ^ ^ ° bdy' ™ р'ж'), АН' = ^—^^тг'х'е™1 — р’у’М +
Решение уравнений, порождаемых гамильтонианом Н^:
имеет форму КП:
х1 = хмЬ^ет, у1 = унЪМт, р’ = рнЪМт, тС = lA^eM
На этом этапе канонических преобразовании решение системы (30.21)
х =+ уме™т. у = 1/^М(30.256)
Пример 30.6. Применим изложенный метод к решению уравнения (30.18), полагая в (30.20), (30.21) b = с = 1: ех = у — х. у = х. Исключая t, запишем уравнение интегральной кривой (ж — y){dy/dx) = ex. При £ М 1 для всех точек (ж, у), исключая точки, близкие к кривой у = = ж, поле направлений горизонтально. Следовательно, интегральная кривая, идущая из произвольной точки, удаленной от кривой у = ж, должна представлять почти горизонтальную линию, которая по мере приближения к этой кривой изгибается и совпадает с ней (рис. 30.1 б).
В соответствии с поставленной выше задачей Коши ж(0) = 0, ^/(0) = ev. Проследим, как с каждым шагом решения (30.25а), (30.256) приближаются к точному решению (30.19).
После первого шага ж = х1 е™1 Iе + у', у = у1. Решение задачи Коши x(t) = еж(1 — е™1^е'\ у = st)
представлено на. рис. ЗОЛ а криво! 1. Функция х^ правильно описывает быстрое движение в небольшой окрестности t < е. Однако уже второе приближение приводит к общему решению (30.256):
х = х” ^™г!Е + у”е™1у = y"e-t
из которого следует (30 Л 9). Заметим, что гамильтониан
Нп = AHV« t^ t) = ™7гнхне21™1/£ + p"y"e~2t+t/E
описывает эволюцию переменных z". Полагая в (28.7) бд = х^1\ h = = Нп, получим высшие приближения.
Рис. ЗОЛ
Система общего вида [233]. Построим второе приближение для системы
(30.26а)(30.266)(30.26а)(30.266)ех = /(ж, у),е < 1,
(30.26а)
(30.266)
(30.26а)
(30.266)
У =У)-
При s = 0 система. (30.26а, б) становится вырожденной. В общем случае уравнение /(ж, у) = 0 имеет несколько действительных корней ж = = ха(у), а = 1, 2, ..., в различных областях Ga переменной у. Подставляя ж в (30.266), получим уравнение
(30.27)(30.27)у = чРоХХ у).
(30.27)
(30.27)
Решение вырожденной системы у = ya!.!), х = ха^уа^1^ соответствует медленному движению по кривой /(ж, у) = 0.
Составляющая Но полного гамильтониана. Н = Но Г АН,
Но = ~р/(ж, у), АН = тгр(ж, у),
порождает систему:
ЕЖ = /(ж, у), У = О,ЕЖ = /(ж, у), У = О,(30.28)(30.28)(30.29)(30.29)
ЕЖ = /(ж, у), У = О,
ЕЖ = /(ж, у), У = О,
(30.28)
(30.28)
(30.29)
(30.29)
После интегрирования (30.28)
(30.30)(30.30)у = у', Ж = куц у', f; £),
(30.30)
(30.30)
уравнения (30.29) — линейная система. Учитывая соотношение
ЭК ЭК
” dt Эх1 Эх Эх1 ’
получим решение р = р'(Ж/дхг) 1 первого уравнения системы (30.29). Далее, интегрируя по частям, находим
Таким образом, мы имеем КП 2 = %^’ 3Y Подставляя z(z\ t) в Z\H(pytY получим гамильтониан Н' = H'^Y^Y описывающий эволюцию штрихованных переменных.
Представим Н* в виде Н* = Н^ АН' и ограничимся, как и в предыдущем параграфе, отысканием гамильтониана Н^, определяющего второе приближение. Предварительно отмстим, что в области Ga
lini R^Y yY t; е) = lini R^Y yY t* e) = жа^уг\
Наложим требование, согласно которому переменные жY у' определяют медленное движение в окрестности кривой ж = жа^уУ Тогда, достаточно ограничиться приближением
Гамильтониан Н^ приобретает вид
Подставляя в (30.30) решение системы
у' = ipyay\ у', t),(30.32а)
i (ГВ\ $J/ ж = Жа(у')i (ГВ\ $J/ ж = Жа(у')(30.326)(30.326)
i (ГВ
\ $J/ ж = Жа(у')
i (ГВ
\ $J/ ж = Жа(у')
(30.326)
(30.326)
получим в каждой области Ga равномерно пригодное общее решение системы (30.26) во втором приближении. Заметим, что уравнение (30.32 а) совпадаете (30.27).
Пример 30.7. Найдем приближенное решение уравнения Ван-дер- Поля:
eq - (1 - q2)q + q = 0, е < 1.(1)
Положим q = х, eq + F(q) = у, F = q3/3 — q. Тогда. (Г) эквивалентно системе
ex = у — F(x), у = —xex = у — F(x), у = —x(2)(2)
ex = у — F(x), у = —x
ex = у — F(x), у = —x
(2)
(2)
с гамильтонианом Н = pf(x^ у)/е + тг^(ж), где / = у — F(x\ р = —х.
Исключая t, запишем уравнения интегральной кривой: \_у — F(x)] ™™ = = —ех. При е <С. 1 для всех точек (ж, у) (исключая точки, близкие к кривой у = F(x)) поле направлений горизонтально. Если начальное
положение определяется точкой Sположение определяется точкой S(рис. 30.2), то происходит быстрое(рис. 30.2), то происходит быстрое
положение определяется точкой S
положение определяется точкой S
(рис. 30.2), то происходит быстрое
(рис. 30.2), то происходит быстрое
(поскольку \х\ ^ 1, х < 0) перемещение по горизонтали к внешнему участку (|ж| > 1) кубической параболы у = F(x), а. затем медленное движение к точке В. После достижения точки В(1, —2/3) происходит быстрый скачок в точку С, затем последует медленное движение в области —2 х — 1 по кривой у = F(x) до точки Р(^1, 2/3) и снова, скачок в точку Л(2, 2/3) [111]. Далее система, совершает циклическое движение по контуру ABCDA. Период автоколебаний приближенно
определяется выражением
= 3™21п2- 1,614.= 3™21п2- 1,614.-2/31
= 3™21п2- 1,614.
= 3™21п2- 1,614.
Т ~ -2 [ — = 2 f dx
2/32
Рассмотрим вырожденную систему. В области —2/3 ^ у ^ 2/3 уравнение у = F(x) имеет три действительных корня xa^yY а = 1, 2, 3. При у < —2/3 остается корень x^YuY а при у > 2/3 — действительный корень хз(у\ Найдем решение системы (2). Для упрощения вычислений рассмотрим начальное состояние, удовлетворяющее условию у > —2/3, х > x^^yY Тогда, /(ж, у) можно представить в виде
у) = -(ж - ж3)(жз - 1) - (ж - Жз)2Жз + ...
Интегрируя уравнения (30.28), (30.29), получим
Очевидно, [ж, р] = 1. Поскольку th ^ ~ 1 при % ~ 3, то (3) описывает быстрое движение системы.
Найдем теперь жз(^), х’(Эр Гамильтониан (30.31)
Но = —к'хзУ") + 2 / ■(4)
Ж3 1
Для решения системы (30.32) удобно произвести КП yY тГ ^ ж3(р'), рз:
V = F(x3), р3=е-—,
Эхз
порождаемое производящей функцией F3^3, тг^ = ™F(xз)7г,. В новых переменных гамильтониан (4)
_ РзЖз р'х'°Жз — 1 Жз — 1
приводит к системе
.Жз.,ж'
Ж3221 ’
Жз — 1Жз ™ 1
из которой находим
//
In |ж31 ™= t + х”. ж/ = —.
2Жз
Лекция 31. Гамильтонова теория специальных функций
Гамильтонова форма линейного уравнения второго порядка. Многие проблемы теоретической и математической физики приводят к линейному уравнению второго порядка, с переменными коэффициентами [13, 154, 184, 185]:
I Пр I си„ = 0.I Пр I си„ = 0.(31.1)(31.1)
I Пр I си„ = 0.
I Пр I си„ = 0.
(31.1)
(31.1)
Частные решения уравнения (31.1) получили название специальных функций. К ним относятся гипергеометрические функции, ортогональные полиномы, сферические и цилиндрические функции [234-237].
Запишем уравнение (31.1) в лагранжевой форме. Умножим (31.1) на. неопределенный множитель А (г):
ddrddrdXA dq . _ dq . _
d
dr
d
dr
+ AB + A(7g = 0, dT dTdT
*'4 -*'4 -и, полагая
*'4 -
*'4 -
— АЛ = ХВ А = Л 1 ехр dr
получим уравнение
d . .dq 1ат атпорождаемое лагранжианомd . .dq 1ат атпорождаемое лагранжианомш(т) = АЛ, к(т) = А (7,ш(т) = АЛ, к(т) = А (7,(31.2)(31.2)
d . .dq 1
ат ат
порождаемое лагранжианом
d . .dq 1
ат ат
порождаемое лагранжианом
ш(т) = АЛ, к(т) = А (7,
ш(т) = АЛ, к(т) = А (7,
(31.2)
(31.2)
L =L =2 х
L =
L =
” 2
В терминах механики лагранжиан L описывает движение частицы переменной массы, связанной с пружиной переменной жесткости.
Вводя импульс T = mdq/dT, получим гамильтониан
(3L3)(3L3)
(3L3)
(3L3)
Уравнения Гамильтона.dqdir— = Vq, h , — dTdTУравнения Гамильтона.dqdir— = Vq, h , — dTdTdq itdirdT m ’ dTdq itdirdT m ’ dTkqkqявляются решением вариационной задачи для функционала.являются решением вариационной задачи для функционала.
Уравнения Гамильтона.
dqdir
— = Vq, h , — dTdT
Уравнения Гамильтона.
dqdir
— = Vq, h , — dTdT
dq itdir
dT m ’ dT
dq itdir
dT m ’ dT
kq
kq
являются решением вариационной задачи для функционала.
являются решением вариационной задачи для функционала.
T2I[q, tt] =T2I[q, tt] =dT т — h(q^ тг, т) .drdT т — h(q^ тг, т) .dr(31.4)(31.4)
T2
I[q, tt] =
T2
I[q, tt] =
dT т — h(q^ тг, т) .dr
dT т — h(q^ тг, т) .dr
(31.4)
(31.4)
Пример 31.1. В настоящей лекции для иллюстрации приложений гамильтоновой теории специальных функций выбраны функции Бесселя. Цилиндрические функции g(r) = Z^t) удовлетворяют уравнению
В этом случае А = 1, В = т \ С = 3" — ю2/т2 А = т,
Цд,^т) = - + -
Преобразование аргумента т -л t : т = т(Ц. Производя в (31.4) замену д(т(1У) = Q^tY ^^т^) = PW найдем новый гамильтониан:
WK Р, h = тЦд, -к, У =+ ^Q\(31.5)
М(Ц = шт™1, x(t) = кт.
Вычисление коэффициентов МЦ), х^ существенно упрощается, если задать преобразование т t в дифференциальной форме: т = /(т).
Пример 31.2. Перейдем в уравнении для цилиндрических функций к новому аргументу t, полагая т = е1: т = т. Новый гамильтониан
R(Q, Р, =
Функция Q^ = Zv^3e3 удовлетворяет уравнению
Q + Ц32е21 ™ p2)Q = 0.
Нормализация гамильтониана. Произведем КП Q, Р -л хрр, порождаемое функцией
F2(Q,P, t) = VmpQ-Imq2.
Из формул (26.14), (26.15) имеем
Новый гамильтониан
/ х 1 <Р , , г 1, Л 2 Я
U)X = -X Т^ InM — - I — 1пМ ) + —- = 2 dH 4 \dt ) м
(31.8)
Канонические уравнения ж = р, р = -ш эквивалентны уравнению
(31.9)(31.9)ж + т^ж = О,
(31.9)
(31.9)
не содержащему первой производно! функции ж. Замена. (31.6) является обобщением преобразования Уиттекера [239]. Полагая в (31.5) т = 1, находим М^ = АЛ, q = Q, тг = F,
q = ж exp I --q = ж exp I --1 г1 г' В \Р ” ^ I ехр' В \Р ” ^ I ехр1 г1 г22*3*3(31.10)(31.10), х 1 d В 1 ГВУ С Ы +Т, х 1 d В 1 ГВУ С Ы +Т(31.11)(31.11)
q = ж exp I --
q = ж exp I --
1 г
1 г
' В \
Р ” ^ I ехр
' В \
Р ” ^ I ехр
1 г
1 г
2
2
*3
*3
(31.10)
(31.10)
, х 1 d В 1 ГВУ С Ы +Т
, х 1 d В 1 ГВУ С Ы +Т
(31.11)
(31.11)
Пример 31.3. 1. Произведем преобразование Уиттекера, для цилиндрических функций. Полагая т = t в уравнении (1) примера. 31.1, получим z , хг ( ж \ z чр2 — 1 /4
чХ = Vt’ = ^ V 2t) ’= Г■
Положим теперь т = 2л/т: т = t2. В этом случае М = ^j^, М = 1/2. Из (31.6), (31.8) находим
10^ = 4/3V10^ = 4/3VДог — 1/4
10^ = 4/3V
10^ = 4/3V
I2
Преобразование Лиувилля-Грина [135]. Пусть w(t) имеет простой нуль при I = 0, причем w(t) ^ 0 при t ^ 0. Произведем КП ж, р ж\ р\ порождаемое функцией [6, 240]
^1(ж, ж , t) =—
о
Из формул (26.14), (26.15) находим
х ;4 w 1х ;4 w 1
х ;4 w 1
х ;4 w 1
Старый гамильтониан (31.7) в новых переменных равен Vwp'. Если выполняется неравенство (w)2 С |w|3, то (31.12а) представляет собой решение уравнения (31.9) в приближении Лиувилля-Грина (см. п. 20.4). В области t < 0 замена, переменных реализуется функцией
Из (26.14) имеем
о
(31.126)(31.126)х = ^рД-ш)-1/4 ch^ +
(31.126)
(31.126)
t
В теоретической физике решение (31.12) называют приближением ВКБ на. основании работ Г. Вентцеля (1926 г), Г. Крамерса (1926 г.) и Л. Бриллюэна. (1926 г.), в которых были установлены формулы, связывающие осциллирующие и экспоненциальные решения в точке t = 0. Аналогичные формулы были также получены Г. Джеффрисом в 1924 г.
Преобразование Беклунда [141]. Найдем условия, при которых КП, порождаемое функцией
Fi(x, х\ t) = ™ [а(^)ж2 — ^Ь^хх' + с^х'"^(31.13)
сохраняет форму уравнения (31.9). Учитывая (26.12), получим
х = b^^cx' + pz), р = ^(еЯ + ap'Y(31.14)
х1 = b-1(ax — р), pz = Ь”х(—еж + cpz),
в = ас — Ь2. Новый гамильтониан Н' = Hq + ДЯ',
Яд =(а2 + ™у2 +(е2 + сУ^х'2 + (ае + cw)p'x\ (31.15)
2b"2b"b"'
ХН' = ^- = Ар'2 + А? (ас2 - 2bbc + сСу2 + Д (ас - ЬЦр'х1. ot 2b"2b"b"
Для того, чтобы гамильтониан Н' сохранял форму Н, необходимо выбрать коэффициент при р/2 равным 1/2, а при р^х*—равным нулю:
a2KwKa = b2, b = b(c — a\(31.17)
В результате имеем
/2/ 2
Н'(х\ р', t) = ™—h w'^t)= w + a2 — c2+d + с. (31.18)
Очевидно, что х’ + w1 (t)x' = 0. Форминвариантные преобразования известны для некоторых нелинейных уравнений в частных производных и называются преобразованиями Беклунда. [241]. Они позволяют получать новые решения, используя частные (даже тривиальные) решения.
Пример 31.4. Пусть w(t) = —А2 — U(t), w'(t) = —А2 — U'(t), b2 = = s2 - Л2 > 0. Из (31.17), (31.18) находим систему:
а2 - U + а = s2, -U' =+ 2d.
Полагая U'(f) = 0, получим тривиальное уравнение х* — А2 ж' = 0 него решение х’ = пхв™м + п^1. Тогда, исключая U, имеем
. о о2s2
а = а" ™ s" -Л а = —s th st, U =~—.
ch" st
Следовательно, решение более сложного уравнения
определяется преобразованием Беклунда. (31.14).
Высшие ВКБ-приближения. Асимптотическое решение (31.12) определяет первое приближение ВКБ, широко используемое в теоретической физике [49, 152, 242, 264, 265]. Получим высшие ВКБ-приближения, используя метод последовательных диагонализаций гамильтониана. [141].
Пусть w(t) имеет простой нуль в точке t = 0, причем w(t) ^ 0 при t 0. Произведем диагонализацию гамильтониана. (31.7) каноническим преобразованием х, р -Л хх, Рх, полагая в (31.15) а = гш1/2, b = г^ш1/4, с = г. В новых переменных гамильтониан (31.7) приобретает диагональную форму: Ню = —ггс^рхЖь Мы имеем КП
х = 2™1^2w™1^4(xx — ipi)^ р = ^Й™1^2!^4^! + ipxY (31.19) порождаемое производящей функцией
Fi(x, Xi, t) = ™ (w1^2x2 ™ 2У2гс1/4хЖ1 + ж2).
Вклад производящей функции в новый гамильтониан A Hi = —г(ш/8ш) х х(р2+ж2). Следовательно, эволюция переменных xi,pi определяется гамильтонианом
(31.20)(31.20)/х.1/9\
(31.20)
(31.20)
ИЦ®!, Pi, t) = -ZW1/^!®! ~ g ~ (X + Ч)-
Если |w| <С |w3/2|, то вторым слагаемым можно пренебречь. Гамильтониан Ню = —шФ^рхХх порождает уравнения
яд = —гшх/2Ж1, pi = шФ^рх,
решение которых
t
хх = Vle™^, pi = iV7e^, ф = dt^w + р
о
является КП хх, Рх -л ф р к переменным действие-угол. Подставляя xippi в (31.19), получим решение в первом приближении метода ВКБ:
х = VHw-1/4 cos ф, р = — V^Jw1^4 sin ф. (31.21)
Неравенство |w| <$С |ш3/2| соответствует условию адиабатически медленного изменения функции w = ^гф которая играет роль мгновенной частоты. Записывая его в терминах up получим |й| О2 —условие того, что приращение шф) за. период мало по сравнению с шф).
Приближенное решение (31.21) заведомо неприменимо в окрестности t ~ 0, поскольку здесь гиф) = w^t. Определим окрестность ф в которой еще можно использовать (31.21): \t\ > |w01/,3|. В окрестности t 0 исходное уравнение (31.9) имеет вид х Г w^tx = 0. Решением этого уравнения являются функции Эйри.
Обычно для построения высших приближений исходят из уравнений для р, I, порождаемых гамильтонианом
Однако в гамильтоновом формализме существует уникальная возможность получить n-е приближение, не используя предыдущие приближения. С этой целью диагонализируем гамильтониан (31.20), совершая КП Ж1, pi -л хъ рр.
хх = жо ch 6 - р 2 sh 6, рх = ™хо sh 6 + р о ch 9, (31.22)
порождаемое однопараметрической производящей функцией типа (31.13), где а = с = — cth 6, b = — sh™1 0;
^1(жь ^2, t) = - -^- (ch 0х^ - 2x1^2 + ch 0хУ\
Новый гамильтониан Н2 = Н2о + АН2,
Н2о — гН2о — гw1/2 sh 0 ch 0 — — (ch2 0 + sh2 0Aw1/2 sh 0 ch 0 — — (ch2 0 + sh2 0A(p! +^1) -(p! +^1) -
Н2о — г
Н2о — г
w1/2 sh 0 ch 0 — — (ch2 0 + sh2 0A
w1/2 sh 0 ch 0 — — (ch2 0 + sh2 0A
(p! +^1) -
(p! +^1) -
w1/,2(ch2 0 + sh2 0) — ^ sh 6* ch 0 p2x2,
л 9F1 h 22 a
AH2 = — = ™(p2™x2y
Сущность метода состоит в том, что необходимо, как на первом этапе, обратить в нуль коэффициенты при р^ и ж2 в гамильтониане H2q. Поскольку ch2 0 + sh2 0 = ch 2 0, то следует положить
(3123)(3123), _ си1 w
(3123)
(3123)
th 2си = - —.
V w '4 w
Одновременно находим
А2 = у - cj2 , Н20 = ™гХ2р 2х2 .А2 = у - cj2 , Н20 = ™гХ2р 2х2 .ch 2 0 = —^,sh 2 0 =,
А2 = у - cj2 , Н20 = ™гХ2р 2х2 .
А2 = у - cj2 , Н20 = ™гХ2р 2х2 .
А2 'А2 '
Дифференцируя (3123), получим
2 0 d ш • w d uj w d wch2 2 0 dt V^j ™^2A2 dt y/w 8A2 dt w3/2
Следовательно, гамильтониан
H2(x2,p2, t) = -iX2p2x2 + ^(p2 -xl).(31.24)
Используя соотношение
ch2 9. sh2 0 = - (ch 2 0 ± 1) = -± 1
'2 v7 2 V A2
получим из (31.19), (3121) явную форму КП:
х = 2-1/2w-1/4[(ch 0 + i sh 6*)ж2 — z(ch 0 ™ i sh ^Jp^].
Диагонализация гамильтониана (31.24) линейным КП может быть неограниченно продолжена. Если ограничиться вторым шагом, то решение уравнений, порождаемых гамильтонианом Н2о = —гА2р2^2-
t
х2 = Vle-pх2 = Vle-pР2 = v/de1^ ф = dt
х2 = Vle-p
х2 = Vle-p
о
Для получения третьего приближения следует произвести КП
ж2 = -3=^е-«зХз _ ie^p^, р, = - Л=(е"^3х3 + ге^3рз),
порождаемое производящей функцией
Д(^2, Жз, Ф = |(ж|2\/2e”^3x2x3 + е™2<3ж|).
Заметим, что n-е приближение возникает в результате перехода к базису, вращающемуся с комплексной угловой скоростью.
Пример 31.5. Найдем асимптотику функции Бесселя ЛрЦЗлр при значениях Рт > и, v ^> 1. Для этого рассмотрим одно из множества уравнений, приводящих к цилиндрическим функциям:
q + ^ е^1 - v^q = 0.(7)
Выберем в качестве двух линейно независимых решений (7) функции Бесселя Jv^ и Неймана МД^), вронскиан которых равен 2/л^. Тогда решение можно представить как КП
Р)Р)qp = \^^1С1'+и2Р'^ р = ^(ЯР + и2ру
Р)
Р)
где ui(f) = ЖЗе1), и2(Ц = КГЦЗр.
Приближенное решение q^ в области Ре1 > v определяется формулой (31.21). Представим (31.21) в виде (2), совершая КП р^ I -э q\ р1: л/М cos р + л/4) = q1, —\/2I sin (p + л/4) = p1. В результате подстановки имеем
q = w 1/4q = w 1/4q1 + sinq1 + sinP)P)
q = w 1/4
q = w 1/4
q1 + sin
q1 + sin
P)
P)
где w(7) = p^e^1 — z/2, p^e^10 — z/2 = 0. Вычисляя интеграл с помощью замены т = e2t, находим
t
'. Z7 ЛИ
dt фго = у Р т2 ™ vz Г v arcsin — — —.
to
Сопоставляя (2) и (3), заключаем, что
.^Д2Т2 — ^2^.^Д2Т2 — ^2^
.^Д2Т2 — ^2^
.^Д2Т2 — ^2^
V Л /1
+parcsm /р+_
Асимптотика функции Бесселя при Рт > v, v > 1 [243]
Jv(Pt) —>Jv(Pt) —>4^2т24^2т2'V2'V2(А(А
Jv(Pt) —>
Jv(Pt) —>
4^2т2
4^2т2
'V2
'V2
(А
(А
Решение в окрестности обыкновенной точки. Предположим, что функция w(t) является аналитической в точке t = 0. В этом случае t = 0 —обыкновенная точка уравнения (31.9) [239].
Выберем гамильтониан нулевого приближения Но = 0. Тогда х = = х\ р = р*. Полагая в (28.7) Хр = ж, р, х^ = х^р^, получим решение уравнения (31.9):
'о ^1о'о ^1оdt2w(t2) - Ро dtiооdt2w(t2) - Ро dtiооdip w^t^h + • • •оdip w^t^h + • • •о(31.25)(31.25)
'о ^1
о
'о ^1
о
dt2w(t2) - Ро dti
оо
dt2w(t2) - Ро dti
оо
dip w^t^h + • • •
о
dip w^t^h + • • •
о
(31.25)
(31.25)
Пример 31.6. Функции Эйри. Найдем решение уравнения х — tx = 0. Из (31.25) имеем [244]
ж = Жо + рА + ®о 3113 + Ро f/4 + жо [р6 + ■ =
= и^х'д +и2(фо- (/)
Здесь wi(t), U2(t) — два линейно независимых решения, которые можно представить в терминах модифицированных функций Бесселя [245]:
= 1 + ^ Г + - + ■ ■ ■ = 3"1/Зг (-) Vt/-i/3 (у3/2) ,
99.3/1\/9\
i + Д f +- 3 v-Г [1] VII,„ Ур .
Аналогичным образом найдем р = й1Жд + й^р^. Полученное решение является КП ж, р -9 хг0, рг0. Действительно, wi(0) = й2(0) = 1, йх(О) = = п2(0) = 0; вронскиан решений равен единице. Следовательно, [ж, р] = = П1й2 - п2й1 = 1.
Другая пара решении может быть получена линейным КП Жд, р g
0 — 1/6/ 1 \
(2)(2)2 у 7ТУ О J
(2)
(2)
о 1/6/ 9\
^о = ^Г | (-Ж" + ^р").
2 У Л у О /
Поскольку ГПоскольку Гх = Фу)хм + рУ)рн:х = Фу)хм + рУ)рн:2тг?з’2тг?з’то [жд, pg] = 1. Из (1), (2) находимто [жд, pg] = 1. Из (1), (2) находим
Поскольку Г
Поскольку Г
х = Фу)хм + рУ)рн:
х = Фу)хм + рУ)рн:
2тг
?з’
2тг
?з’
то [жд, pg] = 1. Из (1), (2) находим
то [жд, pg] = 1. Из (1), (2) находим
а ¥Л t ф(б = у-а ¥Л t ф(б = у-/™1/3/™1/32 е) \2 е)t 2 е) \( £ ^/2 \ _ j / 2 3/2 \=// 2 з/2 \\3}/3 \3 yj V Зтг 1/3 \3} '2 е) \2 е)t 2 е) \( £ ^/2 \ _ j / 2 3/2 \=// 2 з/2 \\3}/3 \3 yj V Зтг 1/3 \3} 'vW-P ['-Д1 р+'-п (Г'2)vW-P ['-Д1 р+'-п (Г'2)где /бу/з — функция Макдональда [29, 234]; Ф(^) называют функцией Эйри, рУ) — присоединенной функцией Эйри. При t < 0 аналитическое продолжение приводит к выражению [246]где /бу/з — функция Макдональда [29, 234]; Ф(^) называют функцией Эйри, рУ) — присоединенной функцией Эйри. При t < 0 аналитическое продолжение приводит к выражению [246]
а ¥Л t ф(б = у-
а ¥Л t ф(б = у-
/™1/3
/™1/3
2 е) \2 е)t 2 е) \
( £ ^/2 \ _ j / 2 3/2 \=// 2 з/2 \
\3}/3 \3 yj V Зтг 1/3 \3} '
2 е) \2 е)t 2 е) \
( £ ^/2 \ _ j / 2 3/2 \=// 2 з/2 \
\3}/3 \3 yj V Зтг 1/3 \3} '
vW-P ['-Д1 р+'-п (Г'2)
vW-P ['-Д1 р+'-п (Г'2)
где /бу/з — функция Макдональда [29, 234]; Ф(^) называют функцией Эйри, рУ) — присоединенной функцией Эйри. При t < 0 аналитическое продолжение приводит к выражению [246]
где /бу/з — функция Макдональда [29, 234]; Ф(^) называют функцией Эйри, рУ) — присоединенной функцией Эйри. При t < 0 аналитическое продолжение приводит к выражению [246]
График функции Ф(^) изображен нарис 31
рис. 31.1. Функция Эйри естественным
образом возникает в теории дифракции волн, описывая переход от тени к освещенной области.
Решение в окрестности регулярной особой (или правильной) точки. Пусть функция w(t) удовлетворяет в точке t = 0 условиям Фукса [238,239]:
wp = ^^fX, Kt) = ^F,Xwp = ^^fX, Kt) = ^F,X(31.26)(31.26)
wp = ^^fX, Kt) = ^F,X
wp = ^^fX, Kt) = ^F,X
(31.26)
(31.26)
Представим гамильтониан (31.7) в виде Н = Но 3- /,
яо = у + |ж2’ хн=г-щух.
Решение уравнении
.. к
х = р, р — —-ж
является КП х, р -э х\ рк
х = Хх х! + х^р Y р = щ х* + х^р' • Пусть 4& < 1. В этом случае
tx^Iх*21/1
хх = —ж2 = —ст = А2 Аь А2 д = ™к. (31.27)
Va V^’2 V 4
Гамильтониан, определяющий эволюцию штрихованных переменных, равен H'^Y р\ t) = (1/2)/(£)ж2(ж', pY tY Полагая в (28.7) х^ = ж, z^ = = ж(жо,РоЗ), получим решение уравнения (31.9) [224]:
х = x(t) ™х = x(t) ™dtx g(^ й )/(йМй) + dtxооdtx g(^ й )/(йМй) + dtxоо^2 g(^ tiWi)g(tb М хX КЫХЫ + ... (31.28)^2 g(^ tiWi)g(tb М хX КЫХЫ + ... (31.28)
х = x(t) ™
х = x(t) ™
dtx g(^ й )/(йМй) + dtx
оо
dtx g(^ й )/(йМй) + dtx
оо
^2 g(^ tiWi)g(tb М х
X КЫХЫ + ... (31.28)
^2 g(^ tiWi)g(tb М х
X КЫХЫ + ... (31.28)
Здесь
ХМ = «1(X)X + V2(ta)p'o,
G(t, t/) = 0(t ™ Г) g(^? ^) — функция Грина невозмущенного уравнения
Gr(k/t2)G = 6(t™try
Если а = V1 ™ 4^ нс равно целому числу, то ряд содержит интегралы вида
V“'^- = ^>^тт^- " = L2-
о
Интегрируя (31.28), находим
x(_t) = wi(t)xQ + n2(t)po,(31.29)
/0017 жт0017 т? л-т-Уп\
V2o- \ G Di^m) Di(m)Di(m + n) "I’
\ m=lm, n=ly v7/
(31.30)
где Di('m,) = m^Xx — 1 + mY Второе линейно независимое решение следует после замены 1^2. Если V1 ™ 4^ — целое положительное число, то функция их (t) содержит члены In Г
Пример 31.7. Найдем решение уравнения для функции Бесселя. В примере 31.3.1 показано, что х = VtZv(3t) удовлетворяет уравнению (31.9). Представим w(t) в виде (31.26), где к = 1/4 — zv2, /(t) = 3^ •
В соответствии с (31.27) Л2д = 1/2 ± v. Пусть V1 ™ 4^ = 2|z/| нс равно целому числу. Поскольку Fm = З^т^ то из (31.30) находим
^1,2 to =^1,2 to =imV i i mV
^1,2 to =
^1,2 to =
1 T v ( 2 J + 2! (1 =p p)(2 я2 0 \ 2 /
Согласно определению функций Бесселя
Л (Ж) =Л (Ж) =3V2 /3V2 /Еп=0Еп=0(-1)"п! Г(?7 + 1 + п)(-1)"п! Г(?7 + 1 + п)2п2пГ(1 + О Vi "Г(1 + О Vi "2i/2i/
Л (Ж) =
Л (Ж) =
3V
2 /
3V
2 /
Е
п=0
Е
п=0
(-1)"
п! Г(?7 + 1 + п)
(-1)"
п! Г(?7 + 1 + п)
2п
2п
Г(1 + О Vi "
Г(1 + О Vi "
2i/
2i/
Исследование асимптотических разложений. В справочниках по специальным функциям приведены, как правило, значения функций в ограниченной области параметров и аргументов. Поэтому приходится использовать асимптотические разложения.
Гамильтониан первого приближения выберем так, чтобы он включал члены, дающие наибольший вклад в рассматриваемой области параметров и аргументов. Следующие члены разложения можно найти, используя каноническую теорию возмущений или метод усреднения.
Пример 31.8. Применим метод усреднения для построения решения уравнения Бесселя в области 3^ ^ м ^ 1 • Сохраняя обозначения, введенные в примере 31.3, запишем гамильтониан (31.7) в виде Н = Но + АН,
Решением уравнений, порождаемых Но, является КП х = ДДО X х cos (/3t + ф’\ р = —у/^ЗГ sin (to ^ф’З В соответствии с (29.5) новый гамильтониан eh = (кГ/3"^) cos2(to + Ф*\ Поскольку
кГ~ кГ
eVh =cos2ЦЛ + V, eVh~ —— sm2(pt + y\
23tz43
то в первом приближении метода усреднения
ф'=ф, Г=1, еК = —.
Полагая в (29.18) F = ж, получим решение (31.9) в виде
Решение уравнении (29.6): I = Iq, ф = —к)^^ + фо- Произведем КП Фо, 1о "^ х\ р\ соответствующее переходу к стандартной нормировке функций Бесселя: \/2Icos (ф + а) = х\ —\/2Isin (ф + а) = р’, а = = (л/2) (у +1/2). В результате подстановки находим х = Hi ^х* + п2 ^р',
1к\Xк\
1к\fк\
Следовательно, при pt 3> v, z/ > 1 асимптотика функции Бесселя
/1" п~ ( х \ ( X \
Аналогичное выражение было получено в примере 31.5.
ГЛАВА 7
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
Лекция 32. Заряд в электромагнитном поле
Пространство Минковского. Напомним вначале основные понятия специальной теории относительности [ 12,247,248]. Рассмотрим пространство М, состоящее из точек, называемых событиями. Каждой точке поставим в соответствие четыре числа хм* = (ж0, ж1, ж2, ж3)—локальные координаты события. Координаты ж1 = ж, ж2 = у, ж3 = ж определяют положение точки в декартовой системе координат. Первая координата ж0 = ct, где с — скорость света, t — момент времени, отсчитываемый по часам, помещенным в точку (ж, у, ж).
Предположим, что на множестве М задана структура дифференцируемого многообразия (см. лекцию 1). На перекрытии двух карт связь между двумя множествами координат х^ и х'^ (р = 0, 1, 2, 3) определяется функциями перехода: ж^' = ж^ж0, ж1, ж2, ж3).
Скалярное поле на М — функция /(ж), для которой на перекрытии двух карт выполняется соотношение /'(ж7) = /(ж).
Контравариантное векторное поле на многообразии определяется как множество наборов четырех функций А^(х) (р = 0, 1, 2, 3), удовлетворяющих закону преобразования
(32.1)
OX v
Ковариантное векторное поле определяется набором функций ^(ж), которые при замене координат ж^ ж^' преобразуются по правилу
Аналогичным образом определяются контравариантные, ковариантные и смешанные тензоры произвольного ранга.
Метрический тензор. Введем симметричный тензор g^, который позволяет сопоставить каждой паре векторов А^(ж), В^(х) скалярное поле по правилу s(x) = £^А^ВА Скалярное произведение векторов АИ\ Bv определяют соотношением
AB=g^A^B".(32.2)
Каждому вектору Ац' можно сопоставить вещественнозначную функцию А А = А2 = g^ A^AV, называемую его нормой или квадратом «длины».
Пространство М с метрикой g^ называется пространством Минковского, если в нем существует глобальная система координат (покрывающая
все М), в которой g^ —матрица вида g^ = diag(l, — 1, — 1, — 1). Следовательно, скалярное произведение
АВ = А0 В0 - АВ.(32.3)
Норма вектора А2 = (А0)2 — А2 может быть положительной, отрицательной или нулем. Очевидно, что g^ — ковариантный тензор. Его называют метрическим тензором в связи с определением пространственновременного интервала ds между событиями х^ и х^ + dx^:
б/s2 = g^ dx^ dxv, ds2 = (cdt)2 - (dx)2.(32.4)
Обозначим через g^ элементы матрицы, обратной к g^: ^v ^va = 5аГ Величины g^ = diag(l, — 1, — 1, — 1) представляют собой компоненты контравариантного тензора второго ранга.
Если Vм — вектор, то, образуя внутреннее произведение va = ga/3 А3, получим ковариантный вектор или ковектор va = (п°, — v), иа = (по, v).
Аналогичным образом можно поднять индекс у вектора или тензора, используя тензор ^А va = g^v^. Скалярное произведение векторов приобретает вид
АВ = g„„ А^В" = А^ = А°В0 + А^ + А2В2 + А3В3.
Преобразование Лоренца. Рассмотрим однородное преобразование координат
ж ж"1 = V,/.(32.5)
Если матрица перехода дж^/дж17 = Mv удовлетворяет условию
g^A^aA^y = ga/3, ATgA = g,
то преобразование (32.5) называют преобразованием Лоренца. В соответствии с (32.1) закон преобразования 4-вектора имеет вид
А^) = М\А^хУ(32.6)
Следовательно, скалярное произведение (32.2) инвариантно относительно преобразования Лоренца: АВ = А’В*. Очевидно, интервал между событиями (32.4) также инвариантен:
(cdt)2 — (dx)2 = (cdt1)2 — (dx1)2.(32.7)
Если ds2 > 0, то интервал называют времениподобным, а в случае ds2 < < О — пространственноподобным. Значению ds2 = О соответствует светоподобный интервал.
В релятивистской физике реальное пространство-время в ограниченной области М является пространством Минковского. Координаты хц' в
определенной карте соответствуют событию в инерциальной системе отсчета К, а координаты х,ц — событию в инерциальной системе отсчета К1, движущейся относительно К со скоростью v. Любое однородное преобразование Лоренца может быть представлено в виде обычного пространственного поворота (21 Л) и поворота пространственно-временных осей. Последнее преобразование называют бу стом (от англ, booster — ускоритель). Матрица АЛр, соответствующая бусту, имеет вид
Ад = 7, л° = Ад = ”nk 17, А1 = 5гк + (7 - 1>{Пк,
где Л к = 1, 2, 3; v = цп — скорость движущейся системы отсчета К’, 7 = (1 ™ п2/^)™1/2. Следовательно, преобразование Лоренца имеет вид
х = х' + п [(7 - 1)(пх') + pvt^ , ct = 7 \ct' + - nx'] .(32.8)
Вводя параметр а соотношением v/c = thep получим преобразование в виде
х = х' + n [(ch а — 1) (nx') + c^sha] , ct = ct1 ch a + nx' sh a.
Два последовательных преобразования вдоль направления п с параметрами «1 и «2 эквивалентны преобразованию с параметром qi2 = 04+07 — групповое свойство преобразования Лоренца.
Пример 32Л. Частица движется в плоскости z = 0 по окружности радиусом Я:
х^ = Я sin uet^ y(t) = Я(1 — cos cut).
В момент времени t = 0 скорость частицы v = (шЯ, 0, 0). Найдем уравнение траектории в системе К1, движущейся со скоростью v.
Из (32.8) получим формулы преобразования Лоренца:
/( V X ,( и2 .
ct = 7 letх -л иЛ = 7 сЛ- sin wt \ с )\
x1 = p(x — vt) = 7Я(зтш^ — wt)^ y1 = у = Я(1 — cos wt).
Для частиц, движущихся co скоростью v ^ с, величина 7 ^> 1. В интервале лабораторного времени t, удовлетворяющего условию 7tu|t| 1, имеем t' f 1 + 7 у2ш2^2 7 у 6
072
Уравнение траектории: у1 = (Я/272)(б72|ж'|/Я)2/3. Производная dy1 /dx1 имеет разрыв.
Четырехмерные скорость и импульс частицы. В трехмерном формализме положение частицы определяется тремя функциями хп = = хн^ (n = 1, 2, 3). Скорость частицы v = dx/dt. В системе отсчета К', связанной с частицей, dx1 = dy1 = dz1 = 0. Из (32.7) находим, что инвариантный пространственно-временной интервал в системе покоя частицы принимает вид
ds = cdtf = cdt\ 1 —V тds = cdtf = cdt\ 1 —V т(32.9)(32.9)
ds = cdtf = cdt\ 1 —
V т
ds = cdtf = cdt\ 1 —
V т
(32.9)
(32.9)
Время, отсчитываемое по «часам», движущимся вместе с частицей, называют собственным временем.
В пространстве Минковского кривую, по которой движется частица, можно задать в параметрической форме хР = хР(т\ где т, вообще говоря, — произвольный параметр. Определим четырехмерную скорость (4- скорость) частицы соотношением иР = dxP/dr. Удобно выбрать в качестве параметра т инвариантное собственное время частицы. Полагая в (32.9) 8 = т, имеем dr = dt-\/l — v2/с2. Тогда 4-скорость
dx° dxdr 1 drdx° dxdr 1 dry/l^Pjc2)' У1-п2/с2)y/l^Pjc2)' У1-п2/с2)
dx° dxdr 1 dr
dx° dxdr 1 dr
y/l^Pjc2)' У1-п2/с2)
y/l^Pjc2)' У1-п2/с2)
Квадрат 4-скорости iz^iz^ = с2. Ускорение частицы
Далее производную по параметру т будем обозначать точкой: нР = Г1, w^ _ ^и = хГ Дифференцируя и2 = с2, находим
ий = 0, й2 + ий = 0.
Введем 4-импульс свободной частицы соотношением
р^ = тшРр^ = тшР■^1 — V2/с2) 1— V2/с2)■^1 — V2/с2) 1— V2/с2)mv
р^ = тшР
р^ = тшР
■^1 — V2/с2) 1— V2/с2)
■^1 — V2/с2) 1— V2/с2)
где m — масса покоя частицы или просто масса [250]. Для квадрата 4-импульса имеем р^р^ = т2с2. Контравариантные компоненты 4-импульса р ^ = (Т/с, р) представляют собой релятивистскую энергию и трехмерный импульс:
8 =,=, р =,=.(32.10)
а/1 - и2/с2^/1 - и2/с2
Очевидно, что v = рс2/8. В системе покоя частицы р^ = (тс, 0). Квадрат 4-импульса (8/с)2 — р2с2 = (тс2)2, т.е. масса частицы представляет собой инвариант.
Сделаем важное замечание. Означает ли утверждение об эквивалентности массы и энергии то, что они сходны по-существу? Нет, не означает. Масса — инвариант, энергия — динамическая характеристика состояния частицы совсем другой природы: в качестве временной компоненты 4-импульса энергия зависит от выбора системы отсчета. Взаимосвязь массы и энергии имеет смысл только в системе покоя частицы. По этой причине понятие «массы» т ^\ — г2/с2)1/2, зависящей от скорости, лишено какого-либо содержания.
Масса системы невзаимодействующих частиц. Формулы (32.10) применимы к любой системе N частиц, причем по известным 4-импульсам частиц р^ можно определить массу системы [12]. Рассмотрим две частицы с массами mi и т2; 4-импульс системы р^ = р^ Лр^* £ = £1 Л 82. Р = Pi + Р2 Кинематически две частицы эквивалентны одной частице с энергией £, импульсом р, скоростью v = рс2/£ и инвариантной массой М = (ррр^/с2)1/2.
В системе покоя частицы mi имеем р^ = (mi с, 0),Р2 = ^£2) с^2\ М = ^т2 + 2£2mi/c2 + т^.
В системе центра масс
и I ^10 тч А( ^20 тч А 2т>2 с2 2 4
Pi — I° ) ’ Р2 ™ Iс Ро — о10 — т1с .
Раскрывая 4-произведение (pi + Р2УР1Ц в СЦМ и в системе покоя первой частицы, получим уравнение М£ю = mi (miс2 + £2), из которого находим
4) = (mi с2)24) = (mi с2)2Ро =Ро =miP2МmiP2М
4) = (mi с2)2
4) = (mi с2)2
Ро =
Ро =
miP2
М
miP2
М
Раскрывая также 4-произведение (pi + Р2УР2^ получим
М£2о = (т2с)" + £2mi, £ю + £20 = Мр.
Нерелятивистское приближение. В лабораторной системе £п to mnc2 + + mny2/2, Pn to mnvn.
, „ о /х о р /-.оТП\ТГ12
Мк to (mi + m2)c" + MV1 V2)-^ =
2mi + m2
Отметим, что каждая из частиц mi и m2 может быть рассмотрена как составная [251].
Рождение новых частиц. Рассмотрим процесс рождения частиц с массами та, т^... при столкновении двух частиц массы mi ит2. Если рождаются две частицы массы mi и т2, то процесс столкновения называется упругим. При неупругих столкновениях могут рождаться новые частицы.
Законы сохранения энергии и импульса
£ 1 + £ 2 = £ а + £ b + • • • , Pl + Р2 = Ра + Pb + • • •
выполняются независимо от характера столкновений. Условием реализации реакции является неравенство
М ^ тж тж = та + тъ + ...
Из этого условия можно найти значение пороговой энергии, т.е. наименьшее значение кинетической энергии сталкивающихся частиц, при котором рождаются частицы общей массой тж. При М = тж все родившиеся частицы неподвижны в системе отсчета, движущейся со скоростью v.
Рождение антипротона в реакции р + р = Зр + р.
Столкновение с неподвижной мишенью. Если первая частица покоится, то в лабораторной системе отсчета £i = mi с2, pi = 0, £2 = т2С2ГТь. Инвариантная масса удовлетворяет неравенству
М = V(w + т2у + 2miTb/c2 та + тъ + ... ,
из которого находим пороговую энергию рождения частиц:
TLTL^ Т/;пор,^ Т/;пор,Тт — с2 -1- Loop — сТт — с2 -1- Loop — с^ТПа + ТПЬ + ...)2 - (mi + ТП2У^ТПа + ТПЬ + ...)2 - (mi + ТП2У2m 12m 1
TL
TL
^ Т/;пор,
^ Т/;пор,
Тт — с2 -1- Loop — с
Тт — с2 -1- Loop — с
^ТПа + ТПЬ + ...)2 - (mi + ТП2У
^ТПа + ТПЬ + ...)2 - (mi + ТП2У
2m 1
2m 1
В нашем случае массы всех частиц одинаковы и равны массе протона тр. Следовательно,
Тьтюр — бШрС^.
Подставляя значение трс2 = 0,938 ГэВ, получим ТьИОр = 5,628 ГэВ. При значении Tl = Тыюр масса сталкивающихся протонов М = 4тр.
Столкновение встречных пучков. Рассмотрим столкновение одинаковых частиц, импульсы которых удовлетворяют условию pi + Р2 = 0. Полагая mi = m2 = то, £1 = £2 = тп^с? + То, получим значение массы М = 2 (то + Т0/с2). Из условия рождения новых частиц следует неравенство
2 ш0 + —
Tq пор —
В случае реакции рождения пары протон-антипротон получим критерий рождения: То > Т0пОр = трс2 = 0,938 ГэВ. При значении То = Т0пОр инвариантная масса М = 4шр. Таким образом, для рождения четырех частиц в первом случае необходимо разогнать один протон до энергии Ть = = 6шрс2, а во втором — каждый протон до энергии То = трс2. Выигрыш очевиден, поскольку в первом случае энергия 4шрс2 бесполезно переходит
в энергию центра масс системы и в процессе взаимодействия протонов не изменяется.
Специально для детектирования реакции рождения пары протон-антипротон был построен ускоритель в Беркли (США) — «беватрон» с энергией пучка протонов 6,3 ГэВ. Антипротон был открыт в 1955 г. ( Нобелевская премия, 1959 г.).
Пример 32.2. Ускорители на встречных пучках. Рассмотрим столкновение частиц равных масс mi = т^ = т, движущихся навстречу друг другу; импульсы частиц р^> = (£/с р), р^ = (8/У —р). Кинетическая энергия частицы — Г. Найдем кинетическую энергию относительного движения частиц:
Tr = тс2(хТ — 1), 7г = —
где ty — скорость одной из частиц в системе покоя другой частицы. Для этого запишем инвариант р ip 2 = (Мс)2 /2 — (тс)2 в системе покоя первой частицы. Полагая р^ = (тс, 0), р^ — (8г/у рг), 8Т = тс2уГ, получим pip 2 = угт2с2,
гр Р 1Р 222
Тг =тс = :2тс .т2 т
В лабораторной системе Мс2 = 2 (Г Уте2). Следовательно, Tr = 4Т + у2Т2/тс2.
Мы получили чрезвычайно важный результат. В ньютоновой механике всегда Tr = 4Т\ т.е. возможен лишь четырехкратный выигрыш в энергии при использовании встречных пучков частиц. В релятивистском случае, когда Г ^> тс2, получаем существенное увеличение энергии: Тт to 2Т2 ((me2) ^> 41.
Самый большой синхрофазотрон — «Тэватрон» Фермиевской национальной ускорительной лаборатории в Батавии (США) разгоняет пучки встречных пучков протонов и антипротонов до энергии Т = 1 ТэВ (1 ТэВ = = 1012 эВ). Поскольку масса протона т^ = 938,2796 МэВ/c2, то этот ускоритель эквивалентен обычному с энергией одного пучка Д 2 х х!03 ТэВ.
Отметим, что соотношение Tr = 4Т + 2Т2 (тс2 можно получить из условия инвариантности массы М:
Л2тТг_ /Т\
\ (2т)- +9 = 2 I т + ™ ) .
Vе- \с- )
Пример 323. Кинематика упругого рассеяния частиц. Вернемся к задаче рассеяния, изложенной в лекции 11. Законы сохранения энергии и импульса можно записать в виде закона сохранения 4-импульса:
Пусть в лабораторной системе р^ = (mi с, 0), р^ = (^/с, Р2). Найдем соотношение, связывающее угол рассеяния 6 в СЦМ и угол рассеяния налетающей частицы 62. Для того, чтобы исключить 4-импульс частицы mi, перепишем (/) в виде
Р1 ' Р2 Р 2 ~ Р 1
и возведем обе части в квадрат. Поскольку р^р w = р^р1^ = (тпс)2, то
Р2Р2 = (m2c)2 +Р1Р2-PiP^(2)
В лабораторной системе pip2 = mi£2, pip2 = т^Е^. В СЦМ |Ро1 = = |р0|, 8 '0 = ^по, поэтому
Р2Р2 = (m2c)2 +Ро(! - cos#).(3)
Подставляя эти выражения в (2), находим
"mi
С другой стороны, в лабораторной системе P2P 2 = £2^ Uc2™? 2Р2 cos ^2. Следовательно, из (3) получим
COS (Г = \£ 2(^2 + mi с2) - £2wc2 - (m2c2)2]/Р2Р2С2.
Из (4) следует, что в процессе рассеяния энергия первой частицы-мишени приобретает наибольшее значение при 0 = л: отношение минимального значения кинетической энергии налетающей частицы после столкновения к значению кинетической энергии до столкновения
8 2 - т2с2 _ (m2 - тЦ2 £2 — m2 с2м2
Предположим, что m2 <С mi. Согласно классической механике легкая частица может передать мишени небольшую часть энергии Т^ « 4(mi/m2)T2 <С <С Т2. Ситуация меняется в случае релятивистских энергий: если Т2 ^ mi с2, то отношение (5) может быть порядка 1/3 [12].
Рассеяние тождественных частиц тх = т^ = т. В классической механике угол между импульсами рассеянных частиц #12 = л/2. В лабораторной системе минимальный угол разлета частиц 6^ определяется соотношением cos^ = Т2ЦТ2 + 4тс2\ При Т2 <С тс2 имеем классический предел.
Электромагнитное поле. Только после создания теории относительности стало ясно, что электрическое и магнитное поля представляют собой две формы единого электромагнитного поля, которое характеризуется 4-потенциалом Д^(ж). Шесть величин, определяющих векторы
напряженностей электрического Е и магнитного В полей, являются компонентами тензора электромагнитного поля
ОХЦОХЦЭМ_ Эх„ ’ЭМ_ Эх„ ’(32.11)(32.11)
ОХЦ
ОХЦ
ЭМ_ Эх„ ’
ЭМ_ Эх„ ’
(32.11)
(32.11)
Еп = Гп0, Вп = AenklFki^ П) kJ = 1з2,3.(32.12)
При преобразованиях Лоренца (32.5) тензор F^v преобразуется по закону
Е,1ИХх^ =
В частности, если выполнить преобразование (32.8) и учесть (32.12), то получим
Е7 = (Еп)п + 7 ^[n[En]] + - [vB]
В7 = (Вп)п + у ( [п[Вп]1 + - [vE]
\с
Можно проверить, что F^VFV^ = 2(Е2 — В2) —инвариант.
Пример 32.4. В лабораторной системе Е = О, В ^ 0. В системе отсчета, движущейся со скоростью v = гп,
Е7 = 7 р в] , В7 = (Вп)п + 7[п[Вп]].
В наиболее интересном случае, когда (пВ) = 0, v с, имеем Е7 е^ 7[пВ], В7 = 7В: в системе К1 векторы Е7, В7,п, взаимно перпендикулярны, причем Е1 с± В1. Структура полей подобна плоской волне.
Лагранжиан и уравнения движения. Рассмотрим движение частицы массой т, зарядом е в электромагнитном поле (32.11). Функционал, который приводит к правильным уравнениям движения:
mF = ™F^(x)xv, р = 0, 1, 2, 3,(32.13)
имеет вид
I = dTLQip х),
где функция Лагранжа
ото
Цх, х) = хаха ™ ™ Ааха ™.(32Л4)
Уравнения Лагранжа
d dL 8L
=О2Л5а)
dr ох^ox
d (— тхр ат Vd (— тхр ат Vе+ -е+ -ссе ЭАа .с Эх^ Хе ЭАа .с Эх^ ХЭАаЭх^ЭАаЭх^ЭА^\OX q/ у(32.156)ЭА^\OX q/ у(32.156)
d (
— тхр ат V
d (
— тхр ат V
е
+ -
е
+ -
с
с
е ЭАа .
с Эх^ Х
е ЭАа .
с Эх^ Х
ЭАа
Эх^
ЭАа
Эх^
ЭА^\
OX q/ у
(32.156)
ЭА^\
OX q/ у
(32.156)
совпадают с уравнениями (32.13). Образуя свертку обеих частей (32.13)
вd
с Г: тх^хи = ™F^vxuxv -г — mFL = 0, получим первый интег- сdr'
рал х^хЛ = const. Нас будут интересовать такие решения хА = хДт), для которых const = с2. Для реализации этого условия необходимо, чтобы выполнялось равенство иРи^ = с2, где и^ = х ДО) — начальная 4-скорость частицы.
В трехмерной форме лагранжиан (32.14) имеет вид
то х • е д . тс2
L = -— (х" - сЧ^ - е Aot + - Ах.
2с 2
Полагая в (32.156) ^ = 0, 1, 2, 3, получим
те2! = еЕх,(32.16а)
mx = eEt + - [хВ],(32.166)
_1 ЗА_1 ЗАЭА0Эх ’ЭА0Эх ’В = rot А.В = rot А.(32.17)(32.17)
_1 ЗА
_1 ЗА
ЭА0
Эх ’
ЭА0
Эх ’
В = rot А.
В = rot А.
(32.17)
(32.17)
Поскольку met = ти^ = 8/с, то (32.16а) представляет собой закон изменения кинетической энергии: £ = еЕх. Полагая в (32.15а) /.i = 0, получим закон изменения полной энергии:
(32.18)(32.18)d ,5Ао • е ЭА .
(32.18)
(32.18)
— (£ + еА0) = е —™ ^ - - — х. drut с ot
Пример 32.5. Движение в кулоновом поле. (Релятивистская задача Кеплера.) Электрон взаимодействует с протоном, который движется с постоянной 4-скоростью tF по прямой хДт) = Ъ^ F tFr. Заряд электрона е = —ед. Электромагнитное поле, создаваемое протоном, определяется запаздывающим 4-потенциалом Льенара-Вихерта [12, 38]:
Здесь (^г^г^)1^ — инвариантное расстояние от протона до точки наблюдения. Лагранжиан системы
т.во .. и
L =+ ^д^ру
В системе покоя протона и? = (с, 0) 4-потенциал совпадает с кулоновским потенциалом. Помещая протон в начало координат, запишем лагранжиан в трехмерной форме:
TTt , 9 *9. 9\ CCq •
L = - —(сГ -х2) + — t
2'г
В сферической системе координат
L =(г2 + т262 + г2 sin У2 у2 - с2Г) + ^i.
Поскольку dL/dt = 0, то dL/di = const = —Н,
2 • еврН = me t —.
г
Учитывая соотношение с2 = c2t2 — х2, получим закон сохранения полной энергии:
wx2 _ Н ее0 _1 /евр\2 _1_ 2 4х
2 тс? т 2тс2 \ г / 2тс2 тп с v
Очевидно, что сохраняется момент импульса и проекция момента на ось z:
Mz == тг2 sin^2O.
Оф
2mm2mmН евр тс? гН евр тс? гПолагая 6 = л/2, получим закон сохранения полной энергии в виде
2mm
2mm
Н евр тс? г
Н евр тс? г
Отметим, что это решение имеет смысл при условии (евр/с)2 < М2.
В нерелятивистском приближении Я" = тс2 ^Е, Е ^ тс2 эффективная потенциальная энергия ЯЭф(г) совпадает с (6.9).
Пример 32.6. Движение частицы в двумерной ловушке Пауля — гиперболическом волноводе. Открытый волновод образован двумя парами металлических поверхностей: -у2 = х2 — R2/2 и у2 = ж2 + Я2/2, к которым приложено напряжение с постоянной и высокочастотной составляющими (рис. 32.1). Основная ТЕМ-волна, которую можно возбудить в
волноводе, имеет критическую частоту, равную нулю, и распространяется со скоростью света в вакууме [266].
Решение уравнений Максвелла, удовлетворяющее граничным условиям на поверхностях волновода, можно представить в терминах 4-потенциала:
(Г)(Г)= пм[(е(1)ж)2 - Ч^х^А^Т"-
(Г)
(Г)
В лабораторной системе
еу = (0, 1, 0, 0), е^2) = (0, 0, 1, 0), nA = (1, 0, 0, 1), ^ = ^ п",
где ш — постоянная величина, G(kx) — произвольная функция. Очевид-
Рис. 32.1Рис. 32.1но, 4-потенциал удовлетворяет условию Лоренца: д^А^ = 0; Л2 = 0. Напряженности электрического и магнитного полей (32.17) соответственно равны
Рис. 32.1
Рис. 32.1
Е = Г^_х, у, Q)G{kx), 2<2’
В = - —(у, ж, ОХЯкх).
Отметим, что Е2-В2 = ЕВ = 0. Уникальная особенность рассматриваемой открытой системы состоит в том, что
конфигурации поля основной волны и поля в статическом случае совпадают [266]. В случае движения пучка нерелятивистских частиц эта электродинамическая система, предложенная В. Паулем (Нобелевская премия, 1989 г), позволила создать масс-спектрометр высокого разрешения [267-269].
тх = tGypyrKz \ с )тх = tGypyrKz \ с )У)У)Подставляя в (32.16а), (32.166) напряженности поля (2), получим систему:
тх = tGypyr
Kz \ с )
тх = tGypyr
Kz \ с )
У)
У)
ту = ^ \'cj ^^
2е
2е
тсЧ =-^ (xi -yy)G(y).(6)
Начальные условия —t(0) = 0, х(0) = (жо, '//о, 0), i(O) = uq, х(0) = и. Из уравнений (5), (б) находим первый интеграл:
. z t--=6,(7)
С
где g = (ио “ ^^/с — константа. Следовательно, на траекториях t — z/c = = g т, ф(т) = kx = ш gr. Тривиальный первый интеграл системы (З)-(б)
/ Л2 -2-2-22
(ct) — х — у — Z = с .
Из уравнений (7), (3) находим
(9)(Ю)(П)(12)(9)(Ю)(П)(12)• g 1 Л ж2 + 'У2 \
(9)
(Ю)
(П)
(12)
(9)
(Ю)
(П)
(12)
2 + 2gV с2 р
z = g _ 1 К ж2 + у2 \с 22 g \ с2 /
Подставляя (7) в (3) и (4), получим уравнения
Пусть С(ф) = Уд + У cos ф. Переходя в (11), (12) к безразмерным переменным s = ф(т)/2, а = BecVo/^gR2), b = 4ecV/(u^gR2), получим уравнения
d?n
+ (а + 2bcos2s)n = 0,(13)
™ (а + 2bcos2s)u = 0,(14)
которые представляют собой частные случаи уравнения Матье:
+ (р + 2v cos 2s)M = 0.(15)
ds^
Для реализации движения частицы необходимо, чтобы решения удовлетворяли условиям |ж(т)| < Rj'V^^ |i/(t)| < Rj'\/2. Из теории функций Матье известны два класса решений — ограниченные и неограниченные [270, 271]. Области устойчивости и неустойчивости решений в плоскости параметров (р = а-^v = b) и (р = ™а^ v = ™b) разделены семейством симметричных кривых р = /^ (v) (см. рис. 29.3). Отметим, что параметры а
и b в уравнениях (13), (14) лежат на. прямой // = (Wo(V)v в областях v ^ 0 и v ^ 0. Ограниченное решение уравнения (15) существует в первой области устойчивости, которая лежит справа, от кривой //со(^) и ограничена кривыми рС1^) и p-sid) = Pci(™v). Эта. область изображена. на. рис. 32.2. В нашей задаче представляют интерес только тс значения
параметров а и Ь, для которых одновременно устойчивы решения уравнений (13), (14).
Для анализа, общей области устойчивости произведем преобразование инверсии относительно оси и и найдем множество значений параметров, на. которых области устойчивости решений уравнений (13), (14) перекрываются. Общая область устойчивости в плоскости (//, и) ограничена. на. рис. 32.2 криволинейным треугольником с вершинами в точках (0, 0), (ас, Ъс), (0, Ът), где ас = 0,237, Ьс = 0,706, Ьт = 0,92.
Отмстим, что в ультрарслятивистском случае, т.с. при пг ^ с, \хх\, \vy\ <С ip, g и mc2/2£, £ — начальная энергия. Изменяя отношение Ро/И в интервале 0 < Vq/P < ad^bc = 0,168, можно управлять размерами области пересечения рабочей прямой с зоной устойчивости, а. изменяя частоту, можно пропускать через волновод электроны в ограниченном интервале энергий [272-274].
Заряд в плосковолновом поле. Рассмотрим движение заряда, во внешнем поле, задаваемом 4-потенциалом
А^(х) = И(ф)ер', ф = кх.
В специальной системе
ед = (0, 1, 0, 0), кЛ = —п^, пд = (1, 0, 0, 1), кх = wt — —. сс
Тензор электромагнитного поля
Fuv_ kp^.
Пусть /1(99) = — (c/w)g9?. Тензор F^ = —(с/w) gf^F Из (32.12) следует, что векторы напряженности Е = (g, 0, 0), В = (0, g, 0) соответствуют постоянному скрещенному полю.
Положим h(p) = —b cos р. В этом случае тензор F^ = b sin pf^ определяет линейно-поляризованную волну.
Очевидно, что п2 = 0, е2 = — 1, пе = 0. Эти соотношения существенно упрощают интегрирование уравнении движения (13).
Выберем начальные условия в виде жд(0) = 0, Тд(0) = пм. Запишем уравнения движения в форме (32.15а):
Аd-TАd-Tтж +тж +^4- с др^4- с дреж.еж.(32.19)(32.19)
А
d-T
А
d-T
тж +
тж +
^4- с др
^4- с др
еж.
еж.
(32.19)
(32.19)
Образуя свертку (32.19) с к ^, найдем первый интеграл к ж = ке. Следовательно, р = ке, р = кот. Умножив (32.19) на. ед, получим еще один интеграл:
d /. е \ о1 .
— теж — - /г = 0еж = — h(p) + ее.
dr \ с )тс
Исключим затем еж из (32.19):
dd.Tdd.T' . и е 7 ,Л е 1 и dh ( е 1 'тж - he от = -к^ — ( — h + ее. с ) с др \тс .
dd.T
dd.T
Интегрируя, находим
2m2 с2 ке2m2 с2 кеТр = е^ — — he + — к — h + тс тс ке
2m2 с2 ке
2m2 с2 ке
Удобно 4-скорость представить в терминах постоянного тензора. f^ = = к ^е v — e^kv. Учитывая, что
pava = kF ее -е^ке, f ^ fvaF = к^ке,
получим
ehe2h2
^ = г,^+J^va+rvfvav^(3220)
тс ке2т^с^ (кер
В квантовой электродинамике важную роль играет изучение процессов взаимодействия ультрарелятивистских частиц, движущихся во внешних полях. В этом случае в системе покоя частицы любое слабооднороднос поле близко к скрещенному (см. пример 32.4). Наиболее впечатляющим оказалось то, что результаты расчетов в скрещенном поле, записанные в инвариантном виде, определяют характеристики тех же процессов в произвольных полях.
Пусть h(p) = ™ар. На. траектории р(т) = кет. Интегрируя (32.20), получим параметрическое представление решения уравнений движения:
2тсЬтхсг
Уравнения Гамильтона. Величину
9L . е А
P/Z == ^Жд + - Лд
Эхс
называют обобщенным импульсом. Для перехода, к уравнениям Гамильтона, введем пространство R8 с координатами х д, р ^ и построим лагранжиан Швингера, (см. 25.6а):
1 /е \2
1(х, р, х, р) = L(x, х) + — \р-тх — -А\ = —рх — Н(х, pV2т Vс )
H^p^-L-O-^Xmc^2
2т \ с /2
Теперь уравнения Лагранжа-Эйлера по переменным ж, р приобретают форму уравнений Гамильтона:
d Э1 _ Э1 . _ SH
dx Эх ЭхЭх
d 81 Э1 . „ ЭН
------- = —^ ^ и —_
dx др дрдр
Введем скобки Пуассона, функции Л(ж, р, т), В(ж, р, т) соотношением
R1 -9В 9А 9В
’ Эр а Эха дха дра'
Фундаментальные СП [ж ^, р р] = — g ^v. Уравнения Гамильтона, в терминах СП имеют вид
= \ж^, нт = — (p--aV •(32.22)
т \ с ) '
Ри = \рц, Я] = |жа |Т-.(32.23)
Покажем, что уравнение (32 Л 3) имеет гамильтонову форму. Для этого вычислим СП:
[тж^, т = (р™ ™ лГ =тЛ 7гП =\ с /с
Далее находим
тхГ = [[шжд, Н]Н] = [тгд, Н] =
= К, Г 2Г = ®= -F^xv.
Этгр с т с
Система. (32.22), (32.23) имеет первый интеграл Я(ж, р) = const. Если начальные данные ж^(0), рДО) удовлетворяют условию Я(ж(0), р(0)) = 0, то const = 0. Следовательно, на траекториях системы (32.22), (32.23) Н(ж, р) = 0.
Канонические преобразования. Используя методы теории канонических преобразовании, изложенные в лекции 26, можно получить производящие функции, порождающие замену переменных ж, р -л х\ р'.
Производящая функция Fx = F(x, х\ т). Предположим, что КП задано в неявном виде уравнениями
Ри =Р(М Л О, ррр'ЛЛА
и потребуем, чтобы новый лагранжиан имел вид V^x\ р\ т) = ~р'х' — — Н'(х\р\т). Тогда, должно выполняться соотношение, аналогичное (26.10):
dFi
—рх — Н(х, р) = —р’х’ — Hf(x\ р \ т) + ——,(32.24)
ат'
где Fx = Fi (ж, х1, О — производящая функция КП. Поскольку
dF^ _ 8ЕХЭТ. ЭРг
drЭтЭхЛ + дх'Л
то, полагая
(32.25)(32.25)_ 9Fi , _ УЯ
(32.25)
(32.25)
р^-^Эх^’ р^-эх'^1
получим
Н'^х', р \ т) = ( Н(х, р) +Н'^х', р \ т) = ( Н(х, р) +dFx(x, х\ т)дтdFx(x, х\ т)дтi рЗ т)Р=рЛ2р' ,т)i рЗ т)Р=рЛ2р' ,т)
Н'^х', р \ т) = ( Н(х, р) +
Н'^х', р \ т) = ( Н(х, р) +
dFx(x, х\ т)дт
dFx(x, х\ т)дт
i рЗ т)
Р=рЛ2р' ,т)
i рЗ т)
Р=рЛ2р' ,т)
Производящая функция F^ = F2(x, р\ т). Произведем преобразование Лежандра, функции Fi(x, х\ т\ переходя к независимым переменным ж д ир^ = dFx/dxlPj. Из (32.24) имеем
-р'х') = -рх-р'х1 + -ну
ат
Следовательно, Fx —р'х' = F^x, р', т),
^2 = 9£k . 9fldF^
дтЭт Эхдр'
Каноническое преобразование ж, р -л х', р' определяется соотношениями
0F2dF2Эхдр0F2dF2Эхдр(32.26)(32.26)
0F2dF2
Эхдр
0F2dF2
Эхдр
(32.26)
(32.26)
Новый гамильтонианНовый гамильтонианнЧх',р', т) = Я(ж, р) +нЧх',р', т) = Я(ж, р) +ЭР2(ж, р', т)ЭтЭР2(ж, р', т)ЭтХ = х(Р , р' , 7") p=pPLpLГХ = х(Р , р' , 7") p=pPLpLГ(32.27)(32.27)
Новый гамильтониан
Новый гамильтониан
нЧх',р', т) = Я(ж, р) +
нЧх',р', т) = Я(ж, р) +
ЭР2(ж, р', т)Эт
ЭР2(ж, р', т)Эт
Х = х(Р , р' , 7") p=pPLpLГ
Х = х(Р , р' , 7") p=pPLpLГ
(32.27)
(32.27)
Пример 32.7. Произведем КП, порождаемое призводящей функци
ей F^^x, р') = —р'х + - А (ж). Из (32.26) находим жд = ж/Д, р^ = р^ — е ЭХ „ С
——. Новый гамильтониан
с Эх*1
гг,/ ,1 / , е . Д“ тс". ЭХ
Н (ж„рХ = р- Л) +——. Л =Л„ + -—.
v ! 2т V с )2 ' м ' дх^
Пусть А^ = — шре^, tp = kx, А = | сир(ех\ Тогда
AV-aAV-a™е^р + ^ (еиФ + кнеж)™е^р + ^ (еиФ + кнеж)
AV-a
AV-a
™е^р + ^ (еиФ + кнеж)
™е^р + ^ (еиФ + кнеж)
Уравнение Гамильтона-Якоби. Произведем КП ж, р -г ж', р', обращающее новый гамильтониан в нуль. Тогда, из (32.27) получим уравнение с частными производными:
(32.28)(32.28)8F1 ( 8Fе . А ( 8Fе . .А тс2
(32.28)
(32.28)
Эт 2т \дх^ с ) \Эхс )2
Полный интеграл (32.28) F = F^x^, Сц, г) + Со должен удовлетворять условию 8F)8t = 0 [193]. Выбирая постоянные С^ = р^ в качестве новых импульсов, получим производящую функцию ^2(ж, р\ т).
Например, при движении в плосковолновом поле с 4-потенциалом Лд = h^e^ полный интеграл можно искать в виде
F^x, р \ т) = -р'х +F^x, р \ т) = -р'х +т + w(p),т + w(p),
F^x, р \ т) = -р'х +
F^x, р \ т) = -р'х +
т + w(p),
т + w(p),
где р'2 = т2с2. Поскольку ЭГ/дхР = —р^ + (dw/dp)k^, то уравнение (32.28) принимает вид
2kpf — = -2-р'Л +dp с с2
Следовательно, производящая функция КП
х1 Г тА е2 А
Г- Ж, Р , Т = -р х+ — Т+-— dp -2-р А + — А" .
12m2 у 2kp' J \ с с2 )
Решение уравнении движения (32.22), (32.23) следует из (32.26).
Заметим, что изложенные в лекциях 28 и 29 методы возмущений позволяют получить решение уравнении движения (32.22), (32.23) в форме, наиболее удобной для приложений в классической и квантовой электродинамике [6].
Пример 32.8. Найдем решение уравнений движения (32.22), (32.23), используя каноническую теорию возмущений. Полагая в (28.12)= ж д
и заменяя I ^ т, имеем
т2т3
Xс\
где им = [Г Н^х', р')] = — 1р'АО'^ , m х с/ д
й, = [[[<, Я]Я]Я] =+ ^Р^иа.
Заметим, что для однородных полей из (/) следует решение (32.13) в / е \
виде матричной экспоненты: ж = ехр — Ft ш В случае скрещенного х тс )
поля (У) совпадает с решением, полученным в п. 32.7.
Пример 32.9. Ускорение протонов в синхрофазотроне. Пусть напряженность постоянного однородного магнитного поля В = (О, О, —В). Из уравнений (32.16а) следует, что сохраняется кинетическая энергия протона. Если начальная скорость v(0) = vo перпендикулярна, вектору В, то траектория представляет собой окружность, по которой протон вращается с угловой скоростью шр = (0, 0, шр), шр > 0. Радиус окружности R зависит от начального значения скорости. Из (32.166) получим уравнение трн2 j R = eBv/c, из которого найдем соотношение между величинами импульса, р = три, энергии 8 = тс2р и радиусом:
р = - eBR, 8 = [(me2)2 + (eBR)2^2.
Угловая скорость шр = v/R или шр = есВ/8.
Теперь можно обсудить принцип работы синхрофазотрона. — наиболее современного циклического резонансного ускорителя, предложенного в 1943 г. профессором Бирмингемского университетам. Олифантом. Высокочастотное поле ускоряет протоны в одном или нескольких промежутках, расположенных на. орбите. Протоны движутся по окружности постоянного радиуса. R. Для сохранения постоянного значения радиуса, напряженность магнитного поля при увеличении энергии должна, возрастать. Рост энергии частиц обеспечивается тем, что частота, высокочастотного напряжения ш совпадает с частотой вращения по орбите шр. Однако в отличии от электронов, для которых скорость г = с[1 — ^тс?(8)2]х/2 близка.
к скорости света, уже при небольшой кинетической энергии (г = 0,98с при Т = 2 МэВ) и частота, обращения ше = v/R практически постоянна, скорость протонов становится постоянной лишь при гораздо больших значениях энергии (г = 0,98с при Т = 4 ГэВ). Следовательно, для сохранения резонанса, ш = шр частота, ускоряющего поля ш должна, быть связана, с законом нарастания напряженности магнитного поля соотношением
есВ
У(тс2)2 + (еВНу
Автофазировка. Разработка, ускорителей современного типа, началась с анализа, механизма, автофазировки. Поскольку кинетическая энергия — возрастающая функция времени, то соотношение шр = ш может выполняться только в том случае, когда, ш и В также являются функциями времени. Пусть выполняется условие резонанса. шр = ш для частицы, проходящей через ускоряющий промежуток в момент времени to. Прирост кинетической энергии при прохождении зазора. AT ~ eV sin^o, где 9 о — равновесное значение фазы, при которой частица, попадает в зазор, V — разность потенциалов между электродами зазора. Для нерезонансных частиц это условие нс выполняется. Оказалось, что фазы частиц, пришедших к зазору в некотором интервале фаз в окрестности равновесной фазы, при последующих прохождениях зазора, совершают колебания в окрестности значения 9 о (область захвата). Механизм автофазировки приводит к тому, что при достаточно медленном возрастании величин ш и В энергия частиц, находящихся в области захвата, автоматически принимает значение, близкое к резонансному, т.с. все эти частицы ускоряются.
Механизм автофазировки был независимо открыт в 1944 г. советским физиком В.И. Векслером ив 1945 г. американским физиком Э. Мак-Милланом. Первая машина, такого типа. — космотрон на. 3 ГэВ (Брукхейвен, США) была, запущена, в 1952 г. Синхрофазотрон с максимальной энергией протонов 6,3 ГэВ, получивший название бсватрон (1953 г, Беркли, США), был специально создан для детектирования пары протон-антипротон. В 1956 г. был открыт антинейтрон, в 1965 г. получено первое антиядро — антидейтрон — связанное состояние антипротона, и антинейтрона.
Жесткая фокусировка. Дальнейшее увеличение энергии связано с применением новых методов фокусировки частиц. Например, для достижения энергии 10 ГэВ, протон совершает 4,5 млн оборотов, проходя путь, в 2,5 раза, больший, чем расстояние от Земли до Луны. Поэтому необходимо обеспечить такую устойчивость пучка, чтобы небольшие отклонения от равновесной орбиты нс приводили бы к потере частиц. В 1950 г. греком Н. Кристофилосом и, независимо, в 1952 г. американцами Е. Курантом, М. Ливингстоном и Г. Снайдером был открыт новый тип магнитной фокусировки, получившей название сильной или жесткой фокусировки. Они предложили собрать магнит в виде периодически чередующихся секторов, каждый из которых фокусирует частицы по одной поперечной к скорости координате и дефокусирует по другой. В результате возникает эффективная
фокусировка, по радиальному и вертикальному направлениям. Значительно сокращается стоимость магнита, и системы питания. Именно это открытие сделало возможным создание синхрофазотронов на. сверхбольшие энергии.
Рассмотрим движение протона, в синхрофазотроне, используя метод усреднения канонических систем. Ограничимся анализом ускорения и фазовых колебаний, нс учитывая проблем фокусировки. Протон движется в переменном однородном магнитном поле и ускоряется в электрическом поле, создаваемым электродами, расположенными в плоскости ж = 0.
Гамильтониан протона, взаимодействующего с электромагнитным полем (32.21),
2m 2 2m L сc J
Здесь А (Д х) = (A(t, х), 0, 0) —вектор-потенциал электрического поля, АШ(Д х) — вектор-потенциал магнитного поля,
Am(t, х) =0), АЦ, х) = 2- dtpfp) sin g(t),
t
gW = dtiw(tiY
о
где 5(x) — дельта-функция Дирака.
Представим гамильтониан Н в виде Н = Но + h,
[р - - АтЦ, х)]2,(2)
у 2m 2 / 2m с
h и -vAm(f, х),(3)
С
mv = р — - Ат(Д х). Произведем вначале КП Д ро -л t\ р^:
t =+ро=р'о,№
тс
порождаемое ПФ
Новый гамильтониан (32.27)
Я' = —[р--АтД х)]22 mс
формально совпадает с «поперечной» частью гамильтониана (26.19). Для того чтобы ввести координаты центра, окружности и координаты, описывающие движение протона, по окружности, произведем КП (26.19) ж, у, р^, Ру ^ ^пч Рп*
X =X =1 /(жХ + ж2),1 /(жХ + ж2),У = -^«2 "Ж1)’У = -^«2 "Ж1)’(5)(5)
X =
X =
1 /
(жХ + ж2),
1 /
(жХ + ж2),
У = -^«2 "Ж1)’
У = -^«2 "Ж1)’
(5)
(5)
рж =М Ру =М
и КП хп, рп -У ж^, р^, порождаемое ПФ
^(ж^, Рш т) = ^(ггьГЬ/^хгх^Ф^Г^2^
Ф = Аг П(т),
где П(т) = еВ^/тс, t = t* + р'^т/тс. Из (32.26) получим замену переменных:
жх = -7=^1 ехр(-гр) - гр2К ж2 = “т=[4 - Vx^WrVv ушиуши
pi = --л/шП^р^ ехр(гр) + х^, р^ = ™ VmO[zp2 + х^ ехр(-гр)].
Переходя к действительным каноническим переменным ж^ = V^i х х ехр(—гфп\ pfn = zVZi ехр(грп) (n = 1, 2), получим из (4)Ц6) параметрическое представление траектории протона:
У =У =COS (ф + ф1) + Vb cosp2],COS (ф + ф1) + Vb cosp2],sin (р + pi)sin (р + pi)V^2 sinp2].V^2 sinp2].(7)(7)
У =
У =
COS (ф + ф1) + Vb cosp2],
COS (ф + ф1) + Vb cosp2],
sin (р + pi)
sin (р + pi)
V^2 sinp2].
V^2 sinp2].
(7)
(7)
Очевидно, что (2Ii /mH)х/2—радиус окружности, (г cos р2, ™r sin р2, 0) — координаты центра, окружности, г = (2^/шП)1/2. Каноническое преобразование (б), (7) позволяет исключить вклад гамильтониана. Но в полный гамильтониан. Новые переменные 1п, фп удовлетворяют каноническим уравнениям с гамильтонианом (32.27), который представляет собой вклад производной ПФ:
Jf^ = ™™™^f1f2)1/2 sjn ^х + ^2).
Поскольку среднее за. период Т = 2л/О значение гамильтониана. Н^ равно нулю, то эволюция медленных переменных определяется гамильтонианом (3), в котором следует произвести замену переменных (4), (7). Полагая
в (3) z = 0, /(2) = 1, получим
h! = — жд(х) sin g(r),h! = — жд(х) sin g(r),(8)(8)
h! = — жд(х) sin g(r),
h! = — жд(х) sin g(r),
(8)
(8)
тt'
2011Г .Г
sin (ф + pi), g(r) = dTUjpolmcA- dtw(tV
ооООТПI,
о
о
О
О
Производная медленной переменной ро удовлетворяет уравнению
./1ЭЫ\ ldhf eV ч./1ЭЫ\ ldhf eV ч(Я(Я
./1ЭЫ\ ldhf eV ч
./1ЭЫ\ ldhf eV ч
(Я
(Я
Учитывая правила, обращения с д-функцией, вычислим интеграл:
1 '7\о1 '7\оdVdV1 УЛс ЭЕ1 УЛс ЭЕер О у-—\2лсп=1,2ер О у-—\2лсп=1,2sin wnI sin w„ Isin wnI sin w„ Icos (wn + 6),cos (wn + 6),0 =0 =dT'^x medT'^x me006*o = dtw(t) — фх-о6*o = dtw(t) — фх-оЗдесь wn — корни уравнения VK cos w + д/Л cos ф^ = 0.Пусть центр окружности находится в окрестности начала, координат. Тогда. I2 С Ii, cos ш to 0, up = тг/2, ш2 = Зл/2. Обозначая энергию протона. £ = рос, получим из (Р) уравнениеЗдесь wn — корни уравнения VK cos w + д/Л cos ф^ = 0.Пусть центр окружности находится в окрестности начала, координат. Тогда. I2 С Ii, cos ш to 0, up = тг/2, ш2 = Зл/2. Обозначая энергию протона. £ = рос, получим из (Р) уравнениес eV0 . пс = — sin 0.с eV0 . пс = — sin 0.В этом же приближении находим 1х = {—дЬ'/дфх}, фх = фЫ(ЭХх^ илиВ этом же приближении находим 1х = {—дЬ'/дфх}, фх = фЫ(ЭХх^ илиf eVPo • a • alx = sinO, фх = 0.тг mef eVPo • a • alx = sinO, фх = 0.тг me(Л)(Л)Равновесная энергия 8o(t), связанная с частотой генератора, соотношением w(t) = U^€)mc2)8^t\ удовлетворяет уравнению, следующему из (/0):Равновесная энергия 8o(t), связанная с частотой генератора, соотношением w(t) = U^€)mc2)8^t\ удовлетворяет уравнению, следующему из (/0):с eV0 • п to = Sill do ■с eV0 • п to = Sill do ■(Л)(Л)Поскольку радиус орбиты R = (211/тП)1/2, тоПоскольку радиус орбиты R = (211/тП)1/2, то-• т йе£0 (V . . Я2 dBR~ I1-I1- = —у— sin 6>о - — —Ume1 \ 7Г2c di-• т йе£0 (V . . Я2 dBR~ I1-I1- = —у— sin 6>о - — —Ume1 \ 7Г2c di
1 '
7\о
1 '
7\о
dV
dV
1 УЛ
с ЭЕ
1 УЛ
с ЭЕ
ер О у-—\
2лс
п=1,2
ер О у-—\
2лс
п=1,2
sin wn
I sin w„ I
sin wn
I sin w„ I
cos (wn + 6),
cos (wn + 6),
0 =
0 =
dT'^x me
dT'^x me
0
0
6*o = dtw(t) — фх-о
6*o = dtw(t) — фх-о
Здесь wn — корни уравнения VK cos w + д/Л cos ф^ = 0.
Пусть центр окружности находится в окрестности начала, координат. Тогда. I2 С Ii, cos ш to 0, up = тг/2, ш2 = Зл/2. Обозначая энергию протона. £ = рос, получим из (Р) уравнение
Здесь wn — корни уравнения VK cos w + д/Л cos ф^ = 0.
Пусть центр окружности находится в окрестности начала, координат. Тогда. I2 С Ii, cos ш to 0, up = тг/2, ш2 = Зл/2. Обозначая энергию протона. £ = рос, получим из (Р) уравнение
с eV0 . п
с = — sin 0.
с eV0 . п
с = — sin 0.
В этом же приближении находим 1х = {—дЬ'/дфх}, фх = фЫ(ЭХх^ или
В этом же приближении находим 1х = {—дЬ'/дфх}, фх = фЫ(ЭХх^ или
f eVPo • a • a
lx = sinO, фх = 0.
тг me
f eVPo • a • a
lx = sinO, фх = 0.
тг me
(Л)
(Л)
Равновесная энергия 8o(t), связанная с частотой генератора, соотношением w(t) = U^€)mc2)8^t\ удовлетворяет уравнению, следующему из (/0):
Равновесная энергия 8o(t), связанная с частотой генератора, соотношением w(t) = U^€)mc2)8^t\ удовлетворяет уравнению, следующему из (/0):
с eV0 • п to = Sill do ■
с eV0 • п to = Sill do ■
(Л)
(Л)
Поскольку радиус орбиты R = (211/тП)1/2, то
Поскольку радиус орбиты R = (211/тП)1/2, то
-• т йе£0 (V . . Я2 dB
R~ I1-I1- = —у— sin 6>о - — —
Ume1 \ 7Г2c di
-• т йе£0 (V . . Я2 dB
R~ I1-I1- = —у— sin 6>о - — —
Ume1 \ 7Г2c di
Следовательно, для сохранения постоянного значения радиуса, орбиты напряженность магнитного поля должна, возрастать по линейному закону со скоростью dB/dt = (2сП/кВ2) sin^o-
Уравнение фазовых колебаний. Поскольку 9^1 = 0, то производная фазы
(13)(13)9 = А(£-£оУтг
(13)
(13)
Из (фОуЧфЗ) получим уравнение
dx шdx швУП С А «АХ~ (sill У — Sill Но), лтс^вУП С А «АХ~ (sill У — Sill Но), лтс^(14)(14)
dx ш
dx ш
вУП С А «АХ
~ (sill У — Sill Но), лтс^
вУП С А «АХ
~ (sill У — Sill Но), лтс^
(14)
(14)
В окрестности равновесной фазы sin 0 = sin 0q + (0 — do) cos Go- Протоны, для которых выполняется условие cos 60 < 0, находятся в области захвата, и ускоряются высокочастотным полем генератора, в режиме нормальной работы синхрофазоторона.
Ковариантная теория возмущений в классической электродинамике. Существенную часть курсов классической электродинамики составляют разделы, посвященные вычислению радиационных процессов, к которым относятся излучение частиц, движущихся во внешних полях, рассеяние частиц и рассеяние электромагнитных волн. Можно заметить, что все расчеты основываются на. использовании потенциала. Лиенара- Вихерта, представляющего собой решение уравнения для 4-потенциала, в приближении заданного 4-тока. [12, 3 8, 153, 247, 248]. Поэтому отсутствует анализ индуцированных процессов и эффектов высших порядков. С другой стороны, гамильтонов формализм позволяет получить решение уравнений на. основе теории канонических преобразований, не обращаясь непосредственно к уравнениям. В частности, в рамках канонической теории возмущений, изложенной в лекции 28, можно вычислить любую экспериментально измеряемую динамическую характеристику процесса, в релятивистской ковариантной форме. Кроме упрощения всех вычислений, теория является универсальной в том смысле, что эволюция динамических переменных, обусловленная взаимодействием частиц и поля, определяется единым образом в терминах запаздывающих функций Грина. Результат вычислений, как и в фейнмановской теории возмущений в квантовой электродинамики, имеет форму ряда, по степеням е2, каждый член которого связан с соответствующим спонтанным или индуцированным процессом [6].
Приложение. Эллиптические функции
Подробные сведения о свойствах эллиптических функции можно найти в работах [29, 66-68]. Эллиптические функции зависят от переменной % и вещественного параметра, (модуля) /с, который удовлетворяет условию О k 1. Дополнительный модуль к' = (1 — /с2)1/2. Здесь мы перечислим основные свойства, эллиптических функций 8п(д, к), сп(д, к), dn(д, к) (или сокращенно зп(д), сп(д), dn(д)) в действительной области переменной д. Эллиптические функции определяются как функции, обратные по отношению к интегралам, представленным в лежандровой нормальной форме:
= л[(1-Г)(Г2 + к2Лр/2 =
1
dn z
При к 0 имеем
sn (д, к) -л sin д, сп (д, к) -л cos д, dn (д, к) 1,
а. при к -л 1
sn (д, к) -л th д, сп (д, к) -л ch™1 д, dn (д, к) -л ch™1 д. Область изменения:
— 1 ^ sn д ^ 1,— 1 ^ sn д ^ 1,— 1 сп д1,к' < dn д 1.— 1 сп д1,к' < dn д 1.
— 1 ^ sn д ^ 1,
— 1 ^ sn д ^ 1,
— 1 сп д1,к' < dn д 1.
— 1 сп д1,к' < dn д 1.
Функции sn д и спд— периодические с периодом 4К. а. функция Ьпд— периодическая с периодом 2К, где К — полный эллиптический интеграл, 1тг/2
К^ = dt [(1 - 12)(1 - кЧ^Ж = d6(l - к2 sin2 0рЛ
Оо
Приближенные значения
4
, 41
—> In — =
к12к
4(1 + &)
1™к
Справедливы формулы
S11 (д + 2К) = — 8ПД,
сп(д + 2К) = —спд,
, Т,х спд z т,х к Эп д , ,к
8п(д + А) = -, Сп(д + А) =, Ьп(д + А) = -.
dn дdn дdn д
Основные соотношения: sn2 д + сп2 д = 1, к2 sn2 д + бп2д = 1, dsii^ , dem, ddii^ .
—-— =спдбпд, —-— = —snдdnд, —-— = —к зпдспд. ададад
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Образованный ученый. - М.: Наука, 1979.
Капица П. Л. Эксперимент. Теория. Практика. - М.: Наука, 1981.
Ишлинский А. Ю. Механика. Идеи, задачи, приложения. - М.: Наука, 1985.
Павленко Ю. Г Методологические вопросы в курсе теоретической механи- ки//История и методология естественных наук. Вып. Физика. - М.: Изд-во Моск, ун-та, 1988. С. 44.
Космодемьянский А. А. Теоретическая механика и современная техника. - М.: Просвещение, 1969.
Павленко Ю. Г Гамильтоновы методы в электродинамике и в квантовой механике. ^М.: Изд-во Моск, ун-та, 1985.
Павленко Ю. Г Задачи по теоретической механике. - М.: Изд-во Моск, унта, 1988.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т Современная геометрия. - М.: Наука, 1979.
Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметричные пространства. - М.: Мир, 1964.
Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. - М.: Мир, 1970.
Головина Л. И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. - М.: Наука, 1979.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М Теория поля. - М.: Наука, 1973.
Морс Ф. М., Фешбах Г Методы теоретической физики. Т. 1, 2. - М.: Наука, 1960.
Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы физики. - М.: Атомиздат, 1972.
Голдстейн Г Классическая механика. - М.: Наука, 1975.
Арнольд В. И. Математические методы классической механики. - М.: Наука, 1989.
Тейлор Э., Уилер Дж. Физика пространства - времени. -М.: Мир, 1971.
СтройкД. Я. История математики. Краткий очерк. - М.: Наука, 1964.
Татаринов Я. В. Лекции по классической механике. - М.: Изд-во Моск, унта, 1984.
Бюшгенс С. С. Дифференциальная геометрия. -М.: ГИТТЛ, 1940.
Липсон Г Великие эксперименты в физике. - М.: Мир, 1972.
Кириллин В. А. Страницы истории науки и техники. - М.: Наука, 1986.
Вейнберг С. Гравитация и космология. - М.: Мир. 1975.
Терлецкий Я. П. Теоретическая механика. - М.: Изд-во Университета дружбы народов. 1987.
Пановко Я. Г. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1985.
КубоР. Статическая механика. -М.: Мир, 1967. С. 163, 23 7.
Хир К. Статическая механика, кинетическая теория и стохастические процессы. -М.: Мир, 1976.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М Механика. -М.: Наука, 1973.
Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Наука, 1971.
Рой А. Движение по орбитам. -М.: Мир, 1981.
Охоцимский Д. Е. Динамика космических полетов. - М.: Изд. Моск, ун-та. 1968.
Демин В. Г Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения. -М.: Наука, 1968.
Белецкий В. В. Очерки о движении космических тел. - М.: Наука. 1978.
Левантовский В. И. Механика космического полета. - М.: Наука, 1980
Балк М. Б. Элементы динамики космического полета. - М.: Наука. 1965.
Коноплева Н. П. Гравитационные эксперименты в космосе // УФН. Т. 123, вып. 4. С. 537.
Ахиезер Н. И. Лекции по вариационному исчислению. - М.: ГИТТЛ, 1955.
Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 6. - М.: Мир, 1977, с. 94.
Штер Эмми. Инвариантные вариационные задачи//Вариационные причины механики. -М.: Физматгиз, 1959. С. 611— 630.
Медведев Б. В. Начала теоретической физики. -М.: Наука, 1977.
Добронравов В. В. Основы аналитической механики. - М.: Высш, школа, 1976.
Поттер Д. Вычислительные методы в физике. - М.: Мир. 1975.
Себехей В. Теория орбит. - М.: Наука, 1982.
Саслау У. Гравитационная физика звездных и галактических систем. - М.: Мир, 1989.
Демин В. Г. Судьба Солнечной системы. - М.: Наука, 1969.
Никитин Е. Е., Овчинникова М. Я. Интерференционные явления в атомном рассеянии // УФН. 1971. Т. 104, вып. 3. С. 379 - 412.
Buck U. Inversion of molecular scattering date П Rev. Mod. Phys. 1974. V. 46, № 2. P. 369 - 389.
Трикоми Ф. Интегральные уравнения. -M.: ИЛ, 1960.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. - М.: Наука, 1974.
Мизнер И., Торн К, Уиллер Дж. Гравитация. Т. 1-3. -М.: Мир, 1977.
Мельхиор П. Земные приливы. - М.: Мир, 1968.
Ньютон Р. Преступление Клавдия Птолемея. - М.: Наука, 1985.
Рябов Ю. А. Движения небесных тел. - М.: Наука, 1988.
Шмутцер Э., Шютц В. Галилео Галилей. - М.: Мир, 1987.
Вейнсток Р. Разоблачение вековой легенды: “Математические начала натуральной философии” Ньютона и орбиты при движении в поле центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния П Физика за рубежом. Сер. Б. Преподавание. -М.: Мир, 1984. С. 178 - 207.
Арнольд В. И. Гюйгенс и Барроу. Ньютон и Гук. - М.: Наука, 1989.
Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Поиски и открытия планет. - М.: Наука, 1984.
Физика космоса. Маленькая энциклопедия. -М.: Сов. энциклопедия, 1989.
Гэтланд К. Космическая техника. Иллюстрированная энциклопедия. - М.: Мир, 1986.
Маров М. Я. Планеты Солнечной системы. - М.: Наука, 1986.
Рэзер Р., Маклафлин У, Вулф Д. Инженерное обеспечение встречи космического аппарата «Вояджер-2» с планетой Уран // В мире науки. 1987. № 1. С. 26.
КузиД., Эспозито Л. Кольца Урана Н В мире науки. 1987. № 9. С. 26.
Ингерсолл Э Планета Уран // В мире науки. 1987. № 3. С. 16.
Аппель П. Теоретическая механика. Динамика системы. Аналитическая механика. Т. 2. -М.: ГИФМЛ, 1960. С. 267.
Петкевич. В. В. Теоретическая механика. -М.: Наука. 1981.
Лагранж Ж. Аналитическая механика. Т. 1, 2. - М.; Л.: Гостехиздат, 1950.
Джеффрис Г, Свирлс Б. Методы математической физики. Вып. 3. -М.: Мир, 1970. С. 300.
Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука. 1985.
Янке Е., Эмде Ф., Л-ш Ф. Специальные функции. -М.: Наука. 1968.
Берри М Геометрическая фаза // В мире науки. 1989. № 2. С. 14 - 21.
Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. - М.: Мир, 1984. С. 115.
Шутц Б. Геометрические методы математической физики. - М.: Наука, 1984.
Хакен Г Синэргетика. -М.: Мир. 1980.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М Статистическая механика. - М.: Наука, 1979.
С. 401.
Киттель Ч, Найт У., Рудерман М Механика. -М.: Наука, 1971. С. 238.
Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1984.
Рабинович М. И., Трубецкой Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. -М.: Наука, 1984.
Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. -М.: Гостехтеориздат, 1947.
Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Мир, 1986.
Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. -М.: Гостехиздат, 1953.
Беллман Р. Введение в теорию матриц. - М.: Наука, 1969.
Крауфорд Ф. Волны. -М.: Наука, 1974.
Нуссенцвейг X. М. Причинность и дисперсионные соотношения. - М.: Мир, 1976.
Борн М., Вольф Э. Основы оптики. - М.: Наука, 1973. С. 456.
Мигулин В. В., Медведев В. И., Мустелъ Е. Р, Парыгин В. Н. Основы теории колебаний. -М.: Наука, 1988.
Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С. Математическое моделирование в биофизике. -М.: Наука, 1975.
Филиппов А. Т Нетривиальные решения нелинейных задач теории поля//Фи- зика элементарных частиц и атомного ядра. 1980. Т. 11, вып. 3. С. 735.
Глейзер Е. Е., Должанский Ф. В., Обухов А. М. Системы гидродинамического типа и их применение. - М.: Наука, 1981.
Полак Л. С., Михайлов А. С Самоорганизация в неравновесных физикохимических системах. - М.: Наука, 1983.
Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. -М.: Мир, 1983.
Томпсон Дж. М. Т Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. - М.: Мир, 1985.
Клышко Д. Н. Физические основы квантовой электроники. - М.: Наука, 1986. С. 137.
Заславский Г М., Сагдеев Р. 3. Ведение в нелинейную физику. - М.: Наука, 1988.
Компьютеры и нелинейные уравнения. Информатика и современное естествознание (Сер. Кибернетика - неограниченные возможности и возможные ограничения). -Мл Наука, 1988.
Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. - М.: Гостехиздат, 1947.
Андронов А. А., Леонтович Е. А., Майер А. Г, Гордон И. И. Качественная теория динамических систем. - Мл Наука, 1966.
Рейсиг Р., Сансоне Г, Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. -Мл Наука, 1974.
Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. - Мл Наука, 1979.
Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флюктуации. - Мл Мир, 1973.
Николис Г, Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. - Мл Мир, 1979.
Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах. - Мл Мир, 1979.
Пригожин И. От существующего к возникающему. - Мл Наука, 1985.
Хакен Г Синэргетика. Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. - Мл Мир, 1985.
Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. - Мл Гостехиздат, 1950.
Ла-Саллъ Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. -Мл Мир, 1964.
Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. - Мл Наука, 1987.
Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. -Мл Мир, 1980.
Посс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркации. - М.: Мир, 1983.
Арнольд В. И. Особенности, бифуркации и катастрофы П УМН. 1983. Т. 141, вып. 3. С. 569.
Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. - Мл Мир, 1984.
НО. Постон Т, Стьюарт И. Теория катастроф и е'6 приложения. - Мл Мир, 1980.
Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. Т. 1.2. - Мл Мир, 1984.
Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем // УФН. 1983. Т. 141. вып. 2. С. 343.
Каданов Л. П. Пути к хаосу // Физика за рубежом. Сер. А. Исследования. Мл Мир, 1985. С. 9.
Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. - Мл Мир, 1988.
Форд Дж. Случаен ли исход бросания монеты? П Физика за рубежом. Сер. А. Исследования. - Мл Мир, 1984. С. 186.
Голубков А. Л., Макаров В. А., Матвеева А. В. Генерация субгармоник и хаос в классической осцилляторной модели вынужденного комбинационного рассеяния П Изв. высш. учеб, заведений. Радиофизика. 1989. Т. 32. № 6. С. 780-782.
Орнстейн Д. Эргодическая теория, случайность и динамические системы. - М.: Мир, 1978.
Борн М. Является ли классическая механика действительно детерминистской? // Физика в жизни моего поколения. - Мл ИЛ, 1963. С. 285.
Lorenz Е. N. Atmos. Sci. V. 20. Р. 130, 1963.
Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение // Странные аттракторы. -М.: Мир, 1981.
Карташов А. И., Рождественский Б. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. - М.: Наука, 1986. С. 160.
Зельдович. Я. Б., Соколов Д. Д. Фрактали, подобие, промежуточная асимптотика //УФН. 1985. Т. 146, вып. 3. С. 493.
Кратчфилд Д., Фармер Дж., Паккрд Н, Шоу Р. Хаос // В мире науке. 1987. №2. С. 16-28.*
Боголюбов Н. И., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. -М.: Наука, 1963.
Моисеев Н. И. Асимптотические методы нелинейной механики. - М.: Наука, 1969.
Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: На- укова думка, 1971.
Волосов В. М., Моргунов Б. Н. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. - М.: Изд-во Моск, ун-та. 1971.
Найфэ А. Введение в методы возмущений. - М.: Мир, 1984.
Гребеников Е. А. Метод усреднения в прикладных задачах. - М.: Наука, 1986.
Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. - М.: Мир, 1969.
Хаяси Т Нелинейные колебания в физических системах. - М.: Мир. 1968.
Блакьер О. Анализ нелинейных систем. - М.: Мир, 1969.
Блехман И. И. Синхронизация в природе и технике. - М.: Наука, 1981.
Тондл А. Нелинейные колебания механических систем. - М.: Мир, 1973.
Бишоп Р. Колебания. -М.: Наука, 1979. С. 102.
Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. - М.: Наука, 1978. С. 241.
Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных уравнений. - М.: Наука, 1978. С. 156.
Парадоксов П. Как квантовая механика позволяет понять классическую механику? // УФН. 1966. Т. 89, вып. 4. С. 707.
Крускал М. Адиабатические инварианты. - М.: ИЛ, 1962.
Нортроп Т Адиабатическая теория движения заряженных частиц. - М.: Атомиздат, 1967.
Бакай А. С., Степановский Ю. Н. Адиабатические инварианты. Киев: Наукова думка, 1981.
Павленко Ю. Г, Афиногенов Ю. А., Зеленский С. И. Построение коротковолновых асимптотик методом последовательных диагонализаций М Вести. Моск, ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 1988. Т. 29, № 5. С. 29.
Уиттекер Е. Т Аналитическая динамика. М.; Л.: ОНТИ, 1937.
Мак-Миллан В. Д. Динамика твердого тела. - М.: ИЛ, 1951.
Леви-Чивита Т, Амальди У Курс теоретической механики. Т. 1, 2. -М.: ИЛ, 1951.
Парс Л. Аналитическая динамика. - М.: Наука, 1971.
Архангельский Ю. А. Аналитическая динамика твердого тела. - М.: Наука. 1977.
Горр Г В., Кудряшова Л. В., Степанова Л. А. Классические задачи динамики твердого тела. Киев: Наукова думка, 1978.
Фоменко А. Т Симплектическая геометрия. - М.: Изд-во Моск, ун-та. 1988.
Виттенбург И. Динамика систем твердых тел. - М.: Мир, 1980.
Николаи Е. Л. Теоретическая механика. Т 2. - М.: ГИФМЛ, 1958. С. 269.
Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. - М.: Изд-во Моск, ун-та, 1975.
Ландау Л. Д, Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. - М.: Наука. 1982.
Левин В. Г, Вдовин Ю. Л., Мямлин В. А. Курс теоретической физики. Т. 2. -М.: ГИФМЛ, 1962. С. 65.
Рамо С., Уиннери Дж. Поля и волны в современной радиотехнике. - М.; Л.: ГИТТЛ, 1948.
Космическое оружие: дилемма безопасности/Под ред. Е. П. Велихова, Р. 3. Сагдеева, А. Л. Кокошина. -М.: Мир, 1986. С. 51.
Д тер. Хаар. Основы гамильтоновой механики. -М.: Наука, 1974.
Макки Дж. Лекции по математическим основам квантовой механики. - М.: Мир, 1965.
Дирак П. Л. М. Лекции по квантовой механике. - М.: Мир. 1968.
Полак Л. С. Уильям Гамильтон. -М.: Наука, 1993.
Дирак И. Л. М. Пути физики. -М.: Энергоатомиздат, 1983. С. 12.
Коноплева Н. П., Попов В Н. Калибровочные поля. - М.: Атомиздат, 1980. С. 157.
Ициксон К, ЗюберЖ.-Б. Квантовая теория поля. Т. 2. -М.: Мир, 1984.
ГитманД. М., Тютин И. В. Каноническое квантование полей со связями. - М.: Наука, 1986.
Швингер Ю. Частицы. Источники. Поля. Т. 2. - М.: Мир, 1976. С. 473.
Якоби К Лекции по динамике. - М.; Л.: ОНТИ, 1936.
Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. - М.: Мир, 1973.
Козлов В. В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике // УМН. 1983. Т. 38, вып. 1. С. 3.
Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А И. Математические аспекты классической и небесной механике П Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т 3. -М.: ВИНИТИ, 1985. С. 5.
Трофимив В. В., Фоменко А. Т Геометрия скобок Пуассона и методы интегрирования по Лиувиллю систем на симметрических пространствах П Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Т. 29. - М.: ВИНИТИ, 1986. С. 3.
Палис Ж., Ди Мелу В., Геометрическая теория динамических систем. Введение. - М.: Мир. 1986.
Хокинг С. У. Пространственно-временная пена // Геометрические идеи в фи- зике/Под ред. Ю. И. Манина. -М.: Мир, 1983. С. 47.
Джакалья Г Е. О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. - М.: Наука. 1979.
Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Т. 1,2. Избранные труды. - М.: Наука. 1971 - 1972.
Давыдов А. С. Квантовая механика. -М.: Наука, 1973. С. 227.
Марч Н., Янг У, Сампантхар С. Проблема многих тел в квантовой механике. -М.: Мир, 1969. С. 344.
Боголюбов Н. И. Избранные труды. Т. 2. Киев: Наукова думка, 1970. С. 473.
Миногин В. Г. Моноионный осциллятор с радиационным охлаждением // УФН. 1982. Т. 137, вып. 1. С. 173.
Тошек И. Э. Атомные частицы в ловушках П УФН. 1989. Т. 15 8. вып. 3. С. 451.
Филд Дж., Пикассо Э., Комбли Ф. Проверка фундаментальных физических теорий в опытах со свободными заряженными частицами П УФН. 1979. Т. 127, вып. 4. С. 5 5 3 - 592.
Соколов А. А., Павленко Ю. Г Новый метод определения магнитного момента электрона//ЯФ. 1977. Т. 26, вып. 3. С. 1058.
КиржницД. А. Полевые методы теории многих частиц. - М.: Атомиздат, 1963. С. 318.
Лъюиселл У. Излучение и шумы в квантовой электронике. - М.: Наука, 1972.
Арнольд В. И. Малые знаменатели 3. Малые знаменатели и проблемы устойчивости в классической и небесной механике П УМН. 1963. Т. 18, № 6. С. 81.
Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физике. Ч. 2. Л.; - М.: ОНТИ, 1957.
Курант Р. Уравнения с частными производными. - М.: Мир, 1964.
Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 4. Ч. 2. -М.: Наука, 1981.
Борн М. Лекции по атомной механике. Т. 1. Киев: ОНТИ, 1934.
Захаров В. Е., Фаддеев Л. Д. Уравнение Кортевега-де-Фриза - вполне интегрируемая гамильтонова система П Функциональный анализ и его приложения. 1971. Т. 5, №4. С. 18.
Новиков С. П. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де-Фриза. 1 // Функциональный анализ и его приложения. 1974. Т. 8, № 3. С. 54.
Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. И., Питаевский Л. И. Теория солитонов. Метод обратной задачи. - М.: Наука, 1980.
Фаддеев Л. Д. Гамильтонова интерпретация обратного преобразования рассеяния // Солитоны/Под ред. С. П. Новикова. - М.: Мир, 1983. С. 363.
Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. - М.: Мир, 1987. С. 75.*
Фок В. А. Работы по квантовой теории поля.-М.: Л.: Изд-во ЛГУ, 1957. С. 141.
Быржен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. Т. 1. - М.: Наука, 1978. С. 88.
Фейнман Р, Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. - М.: Мир. 1968.
Копсон Э. Т Асимптотические разложения. -М.: Мир, 1966. С. 46.
Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. Г 1. - М.: Мир. 1978.
Маслов В. П. Асимптотические методы и теория возмущений. - М.: Наука, 1988.
Казаков Д. И., Ширков Д. В. Суммирование асимптотических рядов в квантовой теории поля. Дубна: ОИЯИ, 1980.
Боголюбов Н. Н. (мл.), Садовников Б. И. Некоторые вопросы статистической механики. - М.: Высшая школа, 1975.
Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической механи- ке//Избранные труды. Киев: Наукова думка, 1970. Т. 2. С. 99.
Ахиезер А. И., Пелетминский С. В. Методы статистической физики. - М.: Наука, 1977.
Пригожин И. Неравновесная статистическая механика. -М.: Мир, 1964.
Зубарев Д. Н. Неравновесная статистическая термодинамика. - М.: Наука. 1971.
Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. Т. 1. - М.: Мир, 1978. С. 76.
Боголюбов Н. Н. Об уравнениях Фоккера - Планка//Избранные труды. Киев: Наукова думка, 1970. Т. 2. С. 14.
By Т Ю., Омура Т Квантовая теория рассеяния. - М.: Наука, 1969. С. 412.
Перина Я. Когерентность света. -М.: Мир, 1974.
Павленко Ю. Г, Гальцов Д. В. Классическое рассмотрение индуцированного излучения электронов в скрещенных полях // Изв. высш. учеб, заведений. Радиофизика. 1966. Т. 9. С. 1232.
Павленко Ю. Г Индуцированное излучение электрона в скрещенных полях //ЖЭТФ. 1966. Т. 50, вып. 5. С. 1285.
Павленко Ю. Г, Соколов А. А. Вынужденное и индуцированное излучение в скрещенных полях // Оптика и спектроскопия. 1967. Т. 22, вып. 1. С. 3.
Бурштейн Э. Л., Соловьев Л. С. Гамильтониан усредненного движения//ДАН СССР. 1961. Т. 139. № 4. С. 855.
Овчинников А. А., Эргам ан П. С. О локализации колебательной энергии при высоких уровнях возбуждения колебательного экситона М УФН 1982. Т. 138, вып. 2. С. 289.
Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. - М.: Наука, 1972.
Арнольд В. И. Замечания о теории возмущений для задач типа Матье П УМН. 1983. Т. 38, № 4. С. 89.
Зельдович Я. Б., Мышкис А. Д. Элементы прикладной математики. -М.: Наука, 1972. С. 79.
Капица П. Л. Маятник с вибрирующим подвесом П УФН. 1951. Т. 21. вып. 5. С. 7.
Капица П. Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса//ЖЭТФ. 1951. Т. 21, вып. 5. С. 588.
Блехман И. И. Что может вибрация? - М.: Наука. 1988.
Ливингстон М. С. Ускорители. -М.: ИЛ, 1956.
Миллер М. А. Движение заряженных частиц в высокочастотных электромагнитных полях // Известия высш. учеб, заведений. Радиофизика. 1958. Т 1, вып. 1. С. 110.
Гапонов А. В., Миллер М. А. О потенциальных ямах для заряженных частиц в высокочастотном электромагнитном поле П ЖЭТФ. 1958. Т. 34, вып. 1. С. 242.
Гапонов А. В., Миллер М. А. Об использовании движущихся высокочастотных потенциальных ям для ускорения заряженных частиц П ЖЭТФ. 1958. Т. 34, вып. 3. С. 751.
Павленко Ю. Г, Зеленский С. И. Интегрирование негамильтоновых систем методом удвоения переменных // Вести. Моск, ун-та. Сер. Физика. Астрономия. 1987. Т. 28, №1. С. 8.
Моденов В. П. Дифференциально-параметрический метод П ДАН СССР. 1987. Т. 296, № 3. С. 536.
Павленко Ю. Г, Зеленский С. И. Гамильтонова форма усреднения систем общего вида П Вычислительные комплексы и моделирование сложных систем. - М.: Изд-во МГУ, 1989. С. 199.
Бирхгоф Дж. Динамические системы. -М.: Гостехиздат, 1941.
Коул Дж. Методы возмущений в прикладной механике. - М.: Мир, 1972.
Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно-возмущенных уравнений. -М.: Наука, 1973.
Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. - М.: Мир, 1967.
Мищенко Е. Ф., Розов Н. X. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. - М.: Наука, 1975.
Павленко Ю. Г О методах интегрирования гамильтоновых систем // Вести.
Моск, ун-та. Сер. Физика. Астрономия. 1984. Т. 25, № 5. С. 35.
Павленко Ю. Г, Зеленский С. И. Гамильтонов алгоритм решения сингулярновозмущенных уравнений И Программное оборудование и вопросы принятия решений. - М.: Изд-во Моск, ун-та, 1988. С. 224.
Ватсон Дж. Теория бесселевых функций. Т. 1, 2. -М.: ИЛ, 1949.
Кратцер Л., Франц В. Трансцендентные функции. -М.: ИЛ, 1963.
Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. М.: Физматгиз, 1963.
Бейтмен Г, ЭрдейиЛ. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. - М.: Наука, 1965.
Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. -М.: ИЛ, 1962.
Уиттекер 9. Т, Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. - М.: Физматгиз, 1963.
Павленко Ю. Г. Метод канонических преобразований в задаче потенциального рассеяния // Вести. Моск, ун-та. Сер. Физика. Астрономия. 1984. Т. 5. № 1. С. 28.
Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. - М.: Мир. 1977.
Маслов В. И, Федорюк М. В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. -М.: Наука, 1976.
Соколов Л. Л., Мурадян Р. М., Арутюнян В. М. Развитие приближенного метода ВКБ // Вести. Моск, ун-та. Сер. Физика. Астрономия. 1959. № 4. С. 61: № 6. С. 64.
Павленко Ю. Г Новый метод исследования асимптотических разложений // Вестн. Моск, ун-та. Сер. Физика. Астрономия. 1982. Т. 33, № 2. С. 61.
Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. - М.: ОГИЗ, 1947. С. 52.
Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. - М.: ИЛ, 1957. С. 93.
Пановский В., Филлипс М. Классическая электродинамика. - М.: ГИФМЛ. 1963.
Джексон Дж. Классическая теория поля. -М.: Мир. 1965.
Лейтман А., Пресс В., Прайс Р, Тюкольски С. Сборник задач по теории относительности и гравитации. - М.: Мир, 1979.
Окунь Л. Б. Понятие массы // УФН. 1989. Т. 158, вып. 3. С. 511.
Бюклинг Е., Каянти К. Кинематика элементарных частиц. - М.: Мир, 1975.
Павленко Ю. Г. Поляризация релятивистских частиц в плосковолновых полях // ЯФ. 1978. Т. 28, вып. 1 (7). С. 156.
Мун Ф. Хаотические колебания. -М.: Мир, 1990.
Mandelbrot В. В. The Fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman. New York. 1983.
Mandelbrot B.B. Fractals, Form, Chance, and Dimention. W.H. Freeman. San Francisco. 1977.
Фракталы в физике. Под ред. Л. Пьетронеро, Э. Тозатти. - М.: Мир, 1988.
Федер Е. Фракталы. -М.: Мир, 1991.
Белецкий В.В., Хентов А.А. Вращательное движение намагниченного спутника. -М.: Наука, 1985.
Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем. - М.: Наука, 1990.
Мартыненко ЮТ. Движение твердого тела в электрических и магнитных полях. -М.: Наука, 1988.
Розенцвейг Р. Феррогидродинамика. -М.: Мир, 1989.
Павленко Ю.Г, Петров Ю.М. Лагранжевы уравнения движения массивного проводника в магнитном поле. Изв. Вузов. Физика, 1994. №7. С.63.
Павленко Ю.Г, Петров Ю.М. Об одном механизме формирования потенциальных ям для неферромагнитного проводника в переменном магнитном поле. Изв. Вузов. Физика, 1994. №9. С.93.
Павленко Ю.Г, Петров Ю.М. Лагранжиан массивного проводника в квази- стационарном поле. Вести. Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика. Механика, 1995. №3. С. 48.
Павленко Ю.Г, Бакшеев А.И. Автоколебания проводника в высокочастотном магнитном поле. Изв. Вузов. Физика, 2001. №1. С.59.
Переломов А.М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. -М.: Наука, 1980.
Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю. и др. Стохастическая ядерная динамика. ЭЧАЯ. 1989. Т. 20. вып. 4. С. 878.
Маслов В.П. Асимптотические методы решения псевдодиференциальных уравнений. -М.: Наука, 1987.
МасловВ.П. Асимптотические методы теории возмущений. -М.: Наука, 1988.
Гольдштейн Л.Д., Зернов Н.В. Электромагнитные поля и волны. Москва: Сов. Радио, 1956. С.517.
Пауль В. Электромагнитные ловушки для заряженных и нейтральных частиц. //УФК 1990. Т. 169. Вып. 12. С. 109.
Dawson Р.П. Quadrupole Mass Spectrometry and its Application. Amsterdam: Elsevier. 1976.
PradipK. Ghosh. Ion Traps. Clarendon PRESS. OXFORD. 1995. The international series of monographs on physics.
Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матье. - М.: ИЛ. 1953.
Стретт МД. Функции Ламе, Матье и родственные им функции в физике и технике. Харьков, Киев. ГНТИ Украины. 1935.
Павленко Ю.Г, Наумов НД. Релятивистская частица в квадрупольном волноводе. //ЖТФ. 1997. Т. 67. № 7, С. 98.
Павленко Ю.Г, Наумов НД. Интегрируемая гамильтонова система - релятивистская частица в поле бегущей неоднородной волны . // Вестник Моск, ун-та. сер. 1. Математика. Механика. 1998. №1. С. 42.
Павленко Ю.Г Новый класс решений уравнения Дирака. // ТМФ. 1999. Т. 120. №2, С. 315.'
Маркеев А.П. Динамика твердого тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. -М.: Наука, 1992.
Павленко Ю.Г Локализация и излучение частиц магнитной ловушкой. ЖТФ. 2000. Т 70. вып. 2. С. 2 5.
Учебное издание
ПАВЛЕНКО Юрий Григорьевич
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Редактор О. А. ПенинаОригинал-макет: В. И. ШутовОформление переплета: А. А. Логунов
ЛР №071930 от 06.07.99
Подписано в печать 15.05.02. Формат 60x90/16Бумага офсетная № 1. Печать офсетная
Усл. печ. л. 24,5. Уч.-изд. л. 25. Тираж 3000 экз.
Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»
117864 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП «Московскаятипография № 6» Министерства РФ по делам печати,телерадиовещания и средств массовых коммуникаций109088 Москва, Ж-88, Южнопортовая ул., 24
ISBN 5-9221-0241-9
9785922 102414
1.9. Производная определителя. Пусть g = det G —определитель матрицы G , dG — приращение элементов матрицы G при приращении
di некоторого параметра t. Из цепочки соотношений
det (G + dG) = det [/ + (dG)Gp G = det [/ + (dG) G"1] det G «
В точках, удовлетворяющих условию V F ^ 0, векторы еЛ = 8x/8qx
В случае w <С V^ можно воспользоваться асимптотиками цилиндрических
функций Zs(x) при х*Л>8 [29]:
2. Электромагнитная ускоряющая система. Положим В = 0. Из (/), (2) следует закон изменения полной энергии:
УДК 531(07)
П12 ББК 22.31
Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 392 с. - ISBN 5-9221-0241-9.
Цель учебника — изложить фундаментальные принципы и методы теоретической механики, научить читателя активно применять современный математический аппарат для решения конкретных задач динамики, подготовить к анализу широкого круга проблем, изучаемых в курсе теоретической физики. Основное внимание уделено исследованию классических и современных задач механики в рамках лагранжева и гамильтонова подходов, методам «гамильтонизации» систем нелинейных уравнений и новым методам интегрирования канонических систем.
Для студентов физических и механико-математических факультетов университетов, студентов втузов, обучающихся по специальностям «Механика» и «Прикладная математика», преподавателей и аспирантов.
Рецензенты:
заведующий кафедрой теоретической механики факультетафизико-математических и естественных наук Российскогоуниверситета дружбы народов профессор
Р.Г. Мухарлямов
профессор кафедры теоретической физики физического факультетаМосковского государственного университета им. М.В. Ломоносова
В.Р. Халилов
ISBN 5-9221-0241-9ISBN 5-9221-0241-9© ФИЗМАТЛИТ, 2002
ISBN 5-9221-0241-9
ISBN 5-9221-0241-9
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ....................................7
ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ НЬЮТОНА И ЛАГРАНЖА ..........9
Лекция 1. Скалярные, векторные и тензорные поля в евклидовом пространстве .................................9
Многообразие. Координаты. Евклидово пространство. Векторы в евклидовом пространстве. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Скалярное и векторное поля на многообразии. Тензоры в евклидовом пространстве. Диагонализация матрицы Производная определителя.
Лекция 2. Кинематика .......................... 19
Система отсчета. Галилеево пространство. Кинематика. Базисные векторы. Угловая скорость одного базиса относительно другого. Два вращающихся базиса. Частица в пространстве. Скорость и ускорение в декартовых координатах. Скорость и ускорение в цилиндрических координатах. Естественные координаты.
Лекция 3. Законы Ньютона ....................... 25
Инерциальные системы отсчета. Силы в механике. Второй закон Ньютона.
Третий закон Ньютона. Принцип относительности Галилея. Приближение внешнего поля.
Лекция 4. Импульс, момент импульса, потенциальная энергия. Законы изменения динамических переменных .............. 29 Закон изменения импульса системы. Закон изменения момента импульса системы. Закон изменения кинетической энергии. Потенциальная энергия взаимодействия частиц Закон сохранения полной энергии. Уравнение Мещерского. Теорема вириала.
Лекция 5. Движение свободной частицы во внешнем поле . . . . . 35 Одномерное движение в консервативном поле. Движение заряда в электромагнитном поле. Движение частицы в центрально-симметричном поле.
Лекция 6. Задача Кеплера ........................ 40
Потенциальная энергия взаимодействия однородного шара и частицы. Первые интегралы. Решение задачи Кеплера. Движение по эллипсу. Траектория частицы в пространстве. Орбитальные полеты. Коррекция траектории.
Лекция 7, Уравнения Лагранжа ..................... 51
Лагранжиан, функционал действия. Принцип Гамильтона-Остроградского (или принцип наименьшего действия) Первые интегралы. Теорема Нетер. Движение системы во внешнем поле. Лагранжиан заряженной частицы в заданном электромагнитном поле. Вектор-потенциал магнитного поля соленоида.
Лекция 8. Движение относительно неинерциальных систем отсчета ..................... 60 Лагранжиан частицы в поступательно движущейся системе отсчета и во вращающейся системе отсчета.
ГЛАВА 2. ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ .............. 64
Лекция 9. Система АГ частиц ...................... 64 Лагранжиан системы N частиц. Лагранжевы движения. Уравнения движения в относительных координатах. Задача трех тел. Переменные Якоби.
Лекция 10. Задача двух тел ........................ 69
Лагранжиан и уравнения движения. Движение в системе центра масс (СЦМ).
Приближение внешнего поля. Система Земля-Луна в поле тяготения Солнца. Гравитационная рогатка. Движение двух зарядов во внешнем поле.
Лекция И. Упругое рассеяние частиц .................. 75
Кинематика упругого рассеяния. Динамическая теория рассеяния. Сечение рассеяния реакции pi + Р2 Pi + Р2- Упругое рассеяние. Дифференциальные распределения в лабораторной системе. Обратная задача рассеяния. Условие классичности рассеяния. Рассеяние тождественных частиц.
Лекция 12. Ограниченная задача трех тел ................ 87 Лагранжиан ограниченной задачи трех тел. Ограниченная круговая задача трех тел. Точки либрации. Вклад Луны в ускорение свободного падения.
Лекция 13. Межпланетные полеты .................... 93
Солнечная система. Наша Галактика и Вселенная. Полеты к Луне. Полеты к Венере. Полеты к Марсу. Космический вояж к дальним планетам. Сфера действия. Вторая космическая скорость. Третья космическая скорость. Четвёртая космическая скорость. Гомановская траектория перелета. Движение аппарата внутри сферы действия планеты-цели.
ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ . . . 108
Лекция 14. Уравнения Лагранжа 1-го рода ............... 108 Голономные связи. Силы реакции. Виртуальные перемещения. Идеальные связи. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Закон изменения полной энергии. Принцип Д’Аламбера-Лагранжа. Неголономные связи.
Лекция 15. Уравнения Лагранжа в независимых координатах .118
Обобщенные координаты. Уравнения Лагранжа второго рода. Обобщенные импульс и энергия. Принцип Гамильтона. Движение в неинерциальной системе отсчета.
Лекция 16. Движение частицы по поверхности ............. 124
Координаты на поверхности. Векторные и тензорные поля на многообразии.
Метрика на поверхности. Поднятие и опускание индексов. Геодезические кривые. Локально-геодезическая система координат. Ковариантное дифференцирование. Тензор кривизны. Тензор внешней кривизны. Расхождение геодезических.
ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ...... 136
Лекция 17. Свободные колебания ..................... 136 Одномерные колебания. Осциллятор в среде с линейным трением. Фазовый портрет линейного осциллятора. Система с s степенями свободы. Линейные колебания консервативной системы. Условия существования ограниченных решений. Биения. Нормальные координаты.
Лекция 18. Вынужденные колебания ................... 149
Одномерные колебания. Запаздывающая функция Грина. Энергия, потребляемая системой. Резонанс. Переходный и установившийся режимы. Колебания связанных систем.
Лекция 19. Общие свойства нелинейных систем ............ 161
Нелинейные системы. Нелинейные системы на плоскости. Синэргетика. Устойчивость по Ляпунову. Функция Ляпунова. Устойчивость по линейному приближению. Предельный цикл. Бифуркация. Бифуркация Хопфа. Бифуркация удвоения периода. Переход к хаосу. Детерминированный хаос. Система Лорен-
ца. Странный аттрактор. Размерность Хаусдорфа. Фракталы. Хаос в динамических системах.
Лекция 20. Нелинейные колебания .................... 184
Решение нелинейных уравнений методом усреднения. Автоколебания. Вынужденная синхронизация. Система с медленно изменяющимися параметрами. Адиабатические инварианты. Параметрический резонанс в нелинейной системе. Многомерные системы.
ГЛАВА 5. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА198
Лекция 21. Кинематика и динамические переменные твердого тела 198
Координаты твердого тела. Углы Эйлера. Угловая скорость. Скорость и ускорение частиц твердого тела. Мгновенная ось вращения. Чистое качение. Динамические переменные. Тензор инерции. Твердое тело с одной неподвижной точкой.
Лекция 22. Уравнения Эйлера ...................... 206
Равновесие твердого тела. Уравнения Эйлера. Движение твердого тела с одной закрепленной точкой. Движение тела с неподвижной осью. Оси Резаля. Гироскопический момент.
Лекция 23. Уравнения Лагранжа .....................221
Движение свободного твердого тела. Обобщенные импульсы и силы. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой в однородном поле тяжести (случай Лагранжа). Плоскопараллельное качение твердого тела. Движение твердого тела относительно неинерциальной системы отсчета, вращающейся с угловой скоростью O(t). Космический аппарат (КА) в ньютоновом поле тяготения. Движение КА относительно центра масс. Гравилет.
Лекция 24. Электромеханика ....................... 233
Квазистационарные поля и токи. Функция Лагранжа электромеханической системы линейных проводников. Уравнения Лагранжа. Сила Ампера и момент силы Ампера. Магнитный момент проводника с током. Закон изменения обобщенной энергии. Нейтральная частица в электромагнитном поле. Твердое неферромагнитное тело в магнитном поле.
ГЛАВА 6. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ............... 250
Лекция 25. Уравнения Гамильтона .................... 250
Преобразование Лежандра. Гамильтониан. Канонические уравнения. Функ
ционал уравнений Гамильтона. Скобки Пуассона. Теорема Пуассона. Расширенное фазовое пространство. Интегрируемость гамильтоновых систем. Фазовый поток. Теорема Лиувилля.
Лекция 26. Канонические преобразования ............... 261
Метод вариации канонических постоянных Производящие функции канонических преобразований Линейные канонические преобразования. Диагонализация гамильтониана. Операторная форма канонических преобразований. Канонические преобразования в классической теории магнитного резонанса.
Лекция 27. Уравнение Гамильтона-Якоби ............... 278
Полный интеграл. Теорема Якоби. Метод разделения переменных. Переменные действие-угол. Метод характеристик. Метод Фока. Задача Коши. Классическая механика и квантовая механика. Уравнение Гамильтона-Якоби вр - представлении. Элементы гамильтоновой оптики.
Лекция 28. Каноническая теория возмущений ............. 297
Построение формальных рядов. Структура ряда теории возмущений. Условия существования решения. Интегрирование уравнений движения. Реакция системы
на внешнее возмущение. Спонтанное и индуцированное излучение классических систем.
Лекция 29. Метод усреднения канонических систем .......... 314
Секулярные члены. Методы усреднения гамильтоновых систем. Каноническое преобразование к медленным переменным. Локализация энергии в нелинейной системе. Параметрический резонанс. Система в быстроосциллирующем поле.
Заряженная частица в высокочастотном поле.
Лекция 30. Метод удвоения переменных ................. 331
Гамильтониан нелинейной системы первого порядка. Обращение интегралов.
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Усреднение слабонелинейных систем. Линейные сингулярно-возмущенные уравнения. Система общего вида.
Лекция 31. Гамильтонова теория специальных функций ....... 344
Гамильтонова форма линейного уравнения второго порядка. Преобразование аргумента. Нормализация гамильтониана. Преобразование Лиувилля-Грина. Преобразование Беклунда. Высшие В КБ-приближения. Решение в окрестности обыкновенной точки. Решение в окрестности регулярной особой (или правильной) точки. Исследование асимптотических разложений.
ГЛАВА 7. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА .............. 357
Лекция 32. Заряд в электромагнитном поле ............... 357 Пространство Минковского. Преобразование Лоренца. Четырехмерные скорость и импульс частицы. Масса системы невзаимодействующих частиц. Электромагнитное поле. Лагранжиан и уравнения движения. Заряд в плосковолновом поле. Уравнения Гамильтона. Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби. Ковариантная теория возмущений в классической электродинамике.
Приложение. Эллиптические функции. ....................381
Список литературы. ................................ 382
Предисловие ко второму изданию
Трагедия науки —
в умерщвлении прекрасной теории мерзким фактом.
Томас Гексли
Как правило, подлинная научная теория не может со временем не обнаружить своей несостоятельности, а точнее, ограниченности области применимости. «Мерзкий факт» заставляет ученых создать новую теорию, в рамках которой он получает теоретическое обоснование. Так возникли теория относительности, квантовая теория, открывшие новый этап в познании закономерностей природы. Однако при определенных условиях релятивистские и квантовые эффекты могут оказаться несущественными в описании поведения частиц. Стало ясно, что область применимости классической механики ограничена. Эта особенность является признаком любой научной теории: знания, завоеванные человечеством, не отметаются новой теорией. Классическая механика по-прежнему остается важнейшим разделом естествознания и техники.
В основу этой книги положен курс лекций, который в течение ряда лет читался студентам физического факультета Московского государственного университета. Теоретическая механика излагается как первый раздел курса теоретической физики, изучаемого студентами университетов. Предлагаемый курс теоретической механики существенно отличается от существующих учебников в трех аспектах: 1) активно используется аппарат и методы математической физики; 2) значительно расширено изложение гамильтонова формализма, представленного как мощный математический аппарат для решения широкого круга задач; 3) в книгу включены более 100 примеров, иллюстрирующих реальные прикладные проблемы механики и физики. Выбор примеров в сильной степени продиктован научными интересами автора.
Первое издание «Лекций» опубликовано издательством МГУ в 1991 г. При подготовке второго издания были исправлены замеченные опечатки в тексте и формулах. Написаны новые пункты: 1.9, 2.6, 6.8, 9.5, 10.5, 11.3, 11.6, 16.9, 19.13, 19.15, 20.7, 22.6, 25.8, 26.6, 27.8, 27.10, 28.6, 29.5, 29.7, 32.4,32.6,32.10, 32.11 и новые примеры (17). Заново написана лекция 24 — «Электромеханика». По пожеланиям читателей увеличен объем лекции «Релятивистская механика».
Первые две главы посвящены уравнениям Ньютона и Лагранжа и вполне традиционны по содержанию. Лекция 16, посвященная движению частицы по поверхности произвольной кривизны, представляет собой введение в общий тензорный анализ. В четвертой главе при изучении линейных
колебаний используется аппарат функции Грина. Излагается метод усреднения для анализа нелинейных колебаний. В примерах рассмотрены системы, в которых проявляются характерные особенности нелинейной физики. В лекциях пятой главы рассмотрены проблема гироскопической стабилизации, движение волчка в случаях Эйлера, Лагранжа, Ковалевской и развит лагранжев подход к анализу движения твердого тела в ньютоновом поле тяготения.
Шестая глава посвящена важнейшему разделу механики — гамильтонову формализму. Основная цель этого раздела — представить математические аспекты гамильтоновой динамики как мощный аппарат решения широкого круга задач механики, физики и прикладной математики. В лагранжевом подходе проблема решения уравнений лежит вне рамок лагранжева формализма. Положение меняется в гамильтоновом подходе, который позволяет получить решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. Вся информация об эволюции системы содержится в одной функции — гамильтониане; в результате канонического преобразования можно получить новый гамильтониан, который в определенном смысле «мал». Более того, поскольку все операции ограничены рамками группы движения кососимметричной метрики, то удается создать универсальные алгоритмы построения приближенных решений. В рамках гамильтонова подхода изложены теория специальных функций, каноническая теория возмущений, метод усреднения нелинейных систем, методы анализа движения системы в быстропеременном внешнем поле и т.д. Особый интерес представляет лекция 30, в которой развит метод Дирака удвоения переменных, позволяющий представить в гамильтоновой форме систему нелинейных уравнений общего вида и получить решения уравнений, описывающих сингулярно-возмущенные системы, решения алгебраических и трансцендентных уравнений, разрешить проблему обращения интегралов и т.д. В лекции 32 приведено решение задачи о движении релятивистской частицы в гиперболическом волноводе, представляющей интерес для проблемы сепарации частиц по энергии и удельному заряду. В рамках канонического формализма рассмотрена задача о движении протонов в синхрофазотроне.
Предлагаемые «Лекции» вместе с книгой автора «Задачи по теоретической механике» (ФИЗМАТЛИТ, 2002 г), содержащей решения более 5 5 0 задач, представляют собой единое руководство по теоретической механике. Надеюсь, что эти книги окажутся полезными не только для студентов, но и для профессионалов в области механики и прикладной математики.
Пользуюсь возможностью выразить свою благодарность Марии Николаевне Андреевой за интерес к моей работе. Я признателен заведующему кафедрой теоретической механики Университета дружбы народов профессору Р.Г. Мухарлямову и профессору кафедры теоретической физики физического факультета Московского государственного университета В.Р. Халилову за конструктивные замечания, сделанные при чтении рукописи. Я хочу поблагодарить О. А. Пенину и В.И. Шутова за помощь в работе над книгой.
ЮТ. Павленко