Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
НЕЛИНЕЙНАЯМЕХАНИКА
Под редакциейВ.М. Матросова, В.В. Румянцева,А.В. Карапетяна
МоскваФИЗМАТЛИТ2001
УДК 531ffИздание осуществлено при поддержке
ББК 22.2F* др И Российского фонда фундаментальных
Н49 JJ исследований по проекту 00-01-14035
Нелинейная механика/ Под ред. В.М. Матросова, В.В. Румянцева, А.В. Карапетяна. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 432 с. - ISBN 5-9221-0091-2.
Книга содержит обзорные и оригинальные статьи ведущих российских ученых по основным разделам нелинейной механики. Излагаются вопросы составления и анализа уравнений движения механических систем, вопросы корректности основных моделей механики, вопросы интегрируемости и детерминированного хаоса, вопросы устойчивости и теории возмущений. Рассматриваются разнообразные конкретные механические системы.
Для специалистов по нелинейной механике, студентов и аспирантов.
ISBN 5-9221-0091-2ISBN 5-9221-0091-2© ФИЗМАТЛИТ, 2001© ФИЗМАТЛИТ, 2001
ISBN 5-9221-0091-2
ISBN 5-9221-0091-2
© ФИЗМАТЛИТ, 2001
© ФИЗМАТЛИТ, 2001
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга содержит обзорные и оригинальные статьи ведущих российских ученых по основным разделам нелинейной механики. Излагаются вопросы составления и анализа уравнений движения механических систем с различными связями (в том числе и с односторонними с учетом ударных явлений), в различных силовых полях (в том числе при наличии сил сухого трения). Обсуждаются вопросы корректности тех или иных моделей механики, вопросы интегрируемости и детерминированного хаоса, вопросы устойчивости и теории возмущений. Исследуются разнообразные конкретные механические системы: задача трех тел с учетом их несферичности или упругости, задачи динамики космических аппаратов, задачи динамики твердых тел в различных силовых полях (в том числе с учетом ударных взаимодействий и сил сухого трения), задача динамики твердого тела со струнным приводом, орбитальные тросовые системы и т. д.
Исследования по нелинейной механике интенсивно ведутся как в России, так и за рубежом. Авторы статей, составляющих сборник, занимают ведущее место в мире в этой области.
В статьях используются и развиваются оригинальные результаты авторов, нашедшие отображение в публикациях в ведущих отечественных и зарубежных журналах и в выступлениях авторов на многочисленных международных и всероссийских конгрессах, съездах и симпозиумах. Подавляющее большинство авторов тома является руководителями проектов РФФИ, Федеральной целевой программы «Интеграция», программы “Российские университеты — фундаментальные направления”, МИФ, ИНТАС и др.
В.М. Матросов, В.В. Румянцев, А.В. Карапетян
ОБ ОБЩИХ УРАВНЕНИЯХ ДИНАМИКИ
В. В. Румянцев
Известно, что одним из основных понятий аналитической механики Лагранжа является понятие виртуальных (возможных) перемещений, определяемых наложенными на механическую систему связями. Виртуальные перемещения образуют группу, знание свойств которой позволяет устанавливать законы движения систем.
Связь дифферециальных уравнений движения с группой виртуальных перемещений наиболее полно установил А. Пуанкаре [1], выведя новые уравнения движения систем, стесненных стационарными связями, основанные на применении групп Ли. Из уравнений Пуанкаре следуют как частные случаи уравнения Лагранжа второго рода и уравнения Эйлера движения твердого тела.
Немного позже [1] были опубликованы работы [30] Л. Больцмана и [31] Г. Гамеля, содержащие вывод уравнений движения в квазикоординатах, пригодные как для голономных, так и для неголономных систем и обобщающие уравнения Лагранжа и Эйлера. Эти уравнения впоследствии довольно широко применялись, но их связь с уравнениями Пуанкаре долгое время не усматривалась.
В цикле работ [3-6] Н.Г. Четаев обобщил уравнения Пуанкаре на случаи нестационарных связей и зависимых координат, привел уравнения Пуанкаре к каноническому виду и разработал теорию их интегрирования, а также ввел важное понятие циклических перемещений и дал обобщение уравнений Рауса. Этими работами создан, по существу, новый раздел аналитической механики, основанный на уравнениях Пуанкаре-Четаева.
Прекрасные результаты Пуанкаре и Четаева разрабатывались и обобщались во многих работах [7-23]. В частности, уравнения Пуанкаре и Четаева были применены для систем с бесконечным числом степеней свободы и распространены на неголономные системы. Дано также обобщение этих уравнений на замкнутые системы преобразований, когда структурные коэффициенты переменны. Показано, что обобщенные уравнения Пуанкаре и Четаева включают уравнения движения как в независимых, так и в зависимых переменных, как в голономных, так и в неголономных координатах (квазикоординатах) для голономных и для неголономных систем, и в этом смысле являются общими уравнениями аналитической динамики.
Данная работа представляет собою введение в теорию этих уравнений и их применений для решения задач механики.
© В.В. Румянцев, 2001
В основном она представляет собою сокращенный перевод на русский язык (с небольшими дополнениями) лекций [45] автора.
Выполняя приятный долг, автор выражает глубокую благодарность О.А. Водопьяновой за качественный компьютерный набор рукописи этой работы.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ по проекту 96-01-00261 и фонда А. Гумбольдта.
Обобщенные уравнения Пуанкаре
Определяющие координаты, параметризация связей. Рассмотрим голономную механическую систему с к степенями свободы. Предположим, что для любого момента времени t положение системы задается определяющими координатами х^ (г = 1,..., п ^ к) [6]
г„ = гД, жъ ...,ж„), v = l,...,N,
где г^ — радиус-вектор точки с массой mv. Когда п = к. переменные х^ являются независимыми лагранжевыми координатами, а когда п > > к они являются зависимыми или избыточными координатами, подчиненными связям, выражаемым интегрируемой системой дифференциальных уравнений
Лз = aij(t,xi,... ,xn)xi + а^0(^Ж1... а) = 0, j = к + 1,..., п,
rank(a^) = п — к. х^ = dxi/dt. Здесь и далее производится суммирование по повторяющимся индексам.
Введение избыточных координат полезно в ряде случаев для упрощения выражений кинематических и динамических величин [25].
Для симметрии и краткости условимся обозначать t = х^ xq = 1, при этом предыдущие уравнения можно записать в виде
rjj = aij(x)xi = 0, г = 0,1,..., n, j = к + 1,..., п. (1-1)
где х = (ж0,Ж1,... ,жп).
Достаточные условия интегрируемости уравнений (1.1) имеют, как известно [26], вид
да^г 8ах
_ 7 = _ 7 , г, s = 0,1,..., тг, з = к + 1,..., п. (1.2) 8xs 8хт
Дополним уравнения (1.1) произвольно выбранными линейными формами
= asdxAxi, s = 0,1,... г = 0,1,..., п.
згу )3)
ЛО — 1? ^Ог — ^Ой
независимыми одна от другой и по отношению к формам (1.1), так что det (aij) ф 0, (гД = 0,1,..., п), где б^э — символ Кронекера.
Разрешая уравнения (1.1) и (1.3) относительно ж^ получаем параметрическое представление связей
Xi = bis(x)r]s, s = 0, l,...,fc, i = 0, l,...,n, bOs=6Os, (1.4)
причем asibir = aiTbsi = 5sr.
Система операторов, параметры Пуанкаре. Параметризация (1.4) позволяет построить замкнутую систему инфинитезимальных линейных операторов
xsf = bis-^, 8 = 0,1,..., к,(1.5)
определяющих виртуальные и действительные перемещения системы
6f = cjrXrf, r = l,...,k, df = T)sXsfdt1 s = 0, !,...,&,(1.6)
соответственно, где шт = ат^х^5х^ (г = 1,..., п, г = 1,..., к) и i)s являются параметрами виртуальных и действительных перемещений, введенными Пуанкаре [1].
Система операторов (1.5) является замкнутой системой в том смысле, что ее коммутатор (скобка Пуассона) имеет вид
[Xr, Х8^ / = XTXsf - XsXTf = CXmf. Tn^s = ^V...K (1.7) где структурные коэффициенты определяются формулами
m / 9amj 9атг\, 9bjs dbjr\
Crs =)blsbjr "amj \"bls ’(1.8)
z, j = 0,1,..., n,
причем c™ = —c™ (m, r, s = 0,1,..., к). Правая часть равенства (1.7) есть линейная комбинация операторов (1.5), поэтому сам коммутатор
является дифференциальным оператором первого порядка.
Свойства коммутатора [6, 27]; он:
билинеен —
\аХа + ЬХ^ Х7] / = (аХа + ЬХ^ XJ - Х^ (аХа + ЬХ^ / =
= aXaX^f + bXpX^J - oX^Xaf - bX^Xpf = a [X«, X7] + b \X^ X7] /, где а и b — постоянные;
антисимметричен —
Vxaix3v = -Vx^xav,
удовлетворяет тождеству Якоби —
+ [х^,[х7,ха]1 + [х7,[ха,х^]] =0.
Билинейность и антисимметричность коммутатора очевидны, тождество Якоби доказывается просто.
Система (1.5) представляет собою инфинитезимальную группу, коммутатор которой удовлетворяет свойствам 1)-3) [6].
Так как операторы Xi/,..., X^f образуют инфинитезимальную df группу виртуальных перемещений и не содержат производную —, а dt
v , dfdfdf
Xof = -Д7 +выводим, что Л0,Ла f не будет содержать —,
dtdxidt
и, следовательно, с^а = 0 (а = 1,... к). Группа Xi,..., Х^ является подгруппой инфинитезимальной группы Xq, Xi, ..., Х^ действитель
ных перемещений.
Отметим, что надлежащим выбором произвольных форм (1.3) можно упростить замкнутую систему (1.5) и получить инфинитезимальную группу Ли (алгебру Ли), для которой все С«3^3,^ = = 0,1,..., к) являются постоянными.
Пример 1.2.1 [6]. Предположим, что для системы (1.1)
det ||drs|| + 0, г, s = к + 1,...,
тогда
Xj = bja^a + 6j0,3 = к + 1, . . . , П.
Если положить туо = 1, т]а = ха (а = 1,..., к^ то, дифференцируя f^t^ Xi,..., хп\ получаем
l_dfdb_df df9П
dt dt dx^ dt dxj \dxa ^a dxj ) '
отсюда следуют выражения операторов
df9^df9^df
df
9^
df
9^
/ — дИ bj.
9ха
a = 1,..., к, з = к + 1,..., n.
Следовательно, \Xa^Xp\ = 0 и все c^ = 0 (a, P^ = 0,1,..., к). Полагая ша = 5xa (a = 1,..., k^ имеем
5f = waXaf, [Xa.X^\f = 0, a, p = 1,..., k.
Система операторов Xaf образует подгруппу группы Ли операторов действительных перемещений Xq/, Xi/, ..., X^f.
Подчеркнем, что и Пуанкаре, и Четаев рассматривали лишь случай постоянных структурных коэффициентов с^ = const, когда операторы Xsf образуют группу Ли (алгебру Ли). Однако в общем случае замкнутой системы (1.5) структурные коэффициенты с^ будут,
вообще говоря, переменными c^^t^xY и этот случай не исключается далее из нашего рассмотрения.
Отметим, что если уравнения (1.3) являются интегрируемыми, подобно уравнениям (1.1), т. е. условия (1.2) удовлетворяются также для 3 = 1,..., к, то существуют функции вида тг5 = тг5(ж), удовлетворяющие (1.3), которые могут служить новыми определяющими координатами, причем т]8 = к8 (s = 1,..., к\ и
Stts _8i]s_8xj_dxj_
гхгл •^si )глгл^is*
8xi8х^8ixsoqs
В этом случае система операторов (1.5) является абелевой группой функций
v , , 8f df.
Xsf — bis—— = -—, s = 0,l,. ..,k, г = 0,1,...,п, ux^ 5
для которой все коэффициенты с™ = 0 (m, г, s = 0,1,..., к).
Если же уравнения (1.3) не являются интегрируемыми, то величины тг5(ж) как функции времени и переменных не существуют, однако символы 7TS удобно вводить в рассмотрение под названием квазикоординат, используя условные обозначения для квазискоростей т]8 = к8 и для дифференциалов квазикоординат dms = r]sdt, а также для «частных производных по квазикоординатам» и для обратных соотношений
df, dfdf8f
^— = bis — ,— = asi — , г = 0,1,...,п, s = 0,l,. ..,k. (1.9)
8тг8 8х^8x48tts
При этом операторы (1.5) могут быть представлены в виде
8 f
XJ=-P s = O,l,...,k,(1.10)
8
с коммутатором (1.7), который принимает вид
IX х i f —8884
где в общем с™ ^ 0.
Если связи голономны и операции дифференцирования d и варьи
рования 5 перестановочны, то [6]
- бтц ++ СгОаШа I Xifdt = 0.
Так как функция / произвольна, получаем соотношения
^ - <5% = с’г?/гш8+ c’ows, i,r,s = l,...,fc,(1.11)
первоначально установленные Пуанкаре для случая, когда с(Д = 0.
Отметим, что соотношение (1.11) подобно выражению для билинейного коварианта или внешней производной формы шг = Ujdxj
dcji(Sx) — ScJi(dx) = duji(5x) — 5r]idt,
принимая во внимание (1.1), (1-4), (1.6) и (1.8).
Выражения для коэффициентов сгТ8 проще получать из (1.11), чем использовать общие формулы (1.8) [25].
Обобщенные уравнения Пуанкаре. Пуанкаре [1] и Четаев [3-5] использовали принцип Гамильтона для вывода уравнений движения, тогда как Четаев [6] использовал также принцип Даламбера- Лагранжа в его традиционной форме
(тД^ - ЕД • 5rv = 0, v = 1,..., N.(1.12)
Мы используем принцип Даламбера-Лагранжа в определяющих координатах [6]
(1-13)(1-13)d 8L8L\.
(1-13)
(1-13)
3773зQi М = 0, г = 1,...,п, dt oxioxi/
Эту 9х{Эту 9х{где L(t,x,x) = T(t,x,x) + U^x) — функция Лагранжа, T^t^x^x) —
Эту 9х{
Эту 9х{
кинетическая энергия, U(t, ж) — силовая функция, Qi = F* • обобщенная непотенциальная сила, х = (жх,..., xn}.
Согласно (1.5) и (1.6) имеем соотношения
Sxi = wsXsXi = wsbisi г = 1,..., n, s = 1,... Д, вследствие которых в силу произвольности ш8 из(1.13) следуют обобщенные уравнения движения Маджи [28]
(1-14)(1-14)d 8L9L\7
(1-14)
(1-14)
Д7 о • Д Qi ) ^is — 0,8 — 1, . . . Д.
dt OXiOXi/
Используя (1.4), выразим функцию Лагранжа в виде равенства L*(t, ж,Д = L^t^x^x^ дифференцируя которую и учитывая (1.3), получаем соотношения [29]
8L _ 81?8L _ 81?81? /8amj 8am0\
о . — Д ^тйД — "Д"Г дI —“ bjrTJr 4" —- I ,
Oxi 8т]т 8xi 8xi 8т]т у 8xi8xi J
d 8Ldt 8xid 8Ldt 8xid / 8L* \! 8L* / 8ami ЭотД
d 8Ldt 8xi
d 8Ldt 8xi
dt \8т)т) тг 8т)т \ 8xj8t / ’
г, j = 1,..., n, г = 0,1,... Д.
Подстановка этих соотношений в (1.14) приводит к обобщенным уравнениям Пуанкаре
d 817m8I7m8L*1
37^—= crSa—Лг + cq^—+XSL + QS, m,r,s = l,...,fc, (1.15) at O-ns 9-qm9-qm
где Q* = Qibis. Структурные коэффициенты
C0s —C0s —8а-тл \ 7 7^Г )bisbjl8а-тл \ 7 7^Г )bisbjlг^з = 1,..., п,г^з = 1,..., п,8amj8xi8amj8xi8а-тг \ 7. 8dmQ8dmi8xj ) j0 8xi 8t8а-тг \ 7. 8dmQ8dmi8xj ) j0 8xi 8tbisbis(1.16)(1.16)
C0s —
C0s —
8а-тл \ 7 7
^Г )bisbjl
8а-тл \ 7 7
^Г )bisbjl
г^з = 1,..., п,
г^з = 1,..., п,
8amj8xi
8amj8xi
8а-тг \ 7. 8dmQ8dmi
8xj ) j0 8xi 8t
8а-тг \ 7. 8dmQ8dmi
8xj ) j0 8xi 8t
bis
bis
(1.16)
(1.16)
представляются равенствами (1.8) при явном выделении переменной t = х0.
Уравнения (1.15) вместе с уравнениями (1.4) образуют совместную систему к + п дифференциальных уравнений движения первого порядка каждое с таким же числом неизвестных щ,..., ту^, яд,..., жп. Отметим, что уравнения (1.15) в избыточных координатах не содержат реакций связей (1.1) и имеют один и тот же внешний вид как в независимых координатах (п = к^ так и в зависимых координатах (п > к).
Обобщенные уравнения Пуанкаре (1.15) содержат как частные случаи:
— уравнения, выведенные Четаевым [3] в случаях с™ = const, Q* = = 0: уравнения, данные Пуанкаре [11 для случаев п = к. Xq = 8/dt. с^ = 0,с™= const, Q* = 0(г, s=1,..., к);
— уравненияЛагранжавторогорода
d 9L8L. _ 1,
dt 8xi8xi
.8
когда п = к, Т)8 = xs, Х8 = —— и все с™ = 0;
8xs
— обобщенные уравнения Больцмана-Гамеля (см. [30, 31]) в квазикоординатах 7Г s
d 817dt дк8d 817dt дк8_ т. 9L*-С^Т9кт_ т. 9L*-С^Т9кт817817Экт ЭТГ8817817Экт ЭТГ8m^r^s = 1,..., к^ (1.17)m^r^s = 1,..., к^ (1.17)
d 817
dt дк8
d 817
dt дк8
_ т. 9L*
-С^Т9кт
_ т. 9L*
-С^Т9кт
817817
Экт ЭТГ8
817817
Экт ЭТГ8
m^r^s = 1,..., к^ (1.17)
m^r^s = 1,..., к^ (1.17)
где L* = L*(t^xi^..., жп, 7?1,... ^к^\ причем предполагается, что уравнения (1.3) неинтегрируемы, а операторы (1.5) имеют вид (1.10).
Уравнения (1.17) имеют единую форму уравнений Больцмана в случае зависимых координат (после исключения неопределенных коэффициентов) и уравнений Больцмана-Гамеля в случае независимых
координат. В частности, уравнения Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижной точки следуют из уравнений (1.17).
Уравнения (1.15) содержат также как частный случай обобщенные уравнения Лагранжа в зависимых координатах [21]. В самом деле, предположим, что связи (1.1) представлены дифференциальными уравнениями
rjj = Xj — bja(t,x)xa — bj(t,x) = 0, q = 1,...,A;, j = k + 1,..., n,
(1-18) образующими полностью интегрируемую систему. В качестве параметров действительных и виртуальных перемещений примем тщ = ха и ша = 5ха соответственно. Используя (1.18), найдем операторы группы (1.5)
X°f ~ Xaf ~ dXa+bjadxj’ ( 9) коммутатор которых уничтожается вследствие интегрируемости уравнений (1.18). Следовательно, все структурные постоянные группы (1-19) с^ = 0 (а, Р^ s = = 0,1,..., А;), т. е. операторы (1.19) образуют абелеву группу. Уравнения Пуанкаре (1.15) в этом случае принимают вид
d 8L*dt дтщd 8L*dt дтщ-XaL*=Q^-XaL*=Q^а = !,...,£, L* = L*(t^x-^... ,xn,xi,..., ж&)а = !,...,£, L* = L*(t^x-^... ,xn,xi,..., ж&)
d 8L*dt дтщ
d 8L*dt дтщ
-XaL*=Q^
-XaL*=Q^
а = !,...,£, L* = L*(t^x-^... ,xn,xi,..., ж&)
а = !,...,£, L* = L*(t^x-^... ,xn,xi,..., ж&)
или, учитывая (1.18), вид
(1-20)(1-20)d 8L* 8L* b 8L*dt Эха Эха за 8xj
(1-20)
(1-20)
Уравнения (1.20), (1.18) образуют систему диференциальных уравнений порядка п + к с таким же числом неизвестных яд,..., хП1 яд,...
Уравнения (1.20) являются обобщенными уравнениями Лагранжа в зависимых (избыточных) координатах; они не содержат реакций связей (1.18). Эти уравнения более удобны, чем уравнения Лагранжа первого рода со множителями Xj
dt dxi 8х^ г зг 31 dtdxj 8xj 33’(1.21)
L = L^t, яд,..., жп, яд,... xn^
порядок которых 2n > n + А:, рассматриваемых вместе с уравнениями (1.18), порядок которых равен к. Правда, уравнения (1.21) и (1.18) позволяют определять не только яд,... ,жп, но также и Xj (j = = к + 1,..., п), и вместе с ними реакции связей (1.18), но для больших п они не удобны. Можно показать, однако, что исключение Xj из уравнений (1.21) приводит к уравнениям (1.20).
Пример 1.3.1 [6]. Подобно изменяемое тело (Д.Н. Зейлигер [32]).
Предположим, что центр тяжести О тела является началом подвижной системы координат ОЖ1Ж2Ж3. Пусть а^ суть координаты точки О в неподвижной системе координат 0x1^2 жз, а Р1? — косинус угла между неподвижной осью Xi и подвижной осью Хк- Координатами частиц т тела являются
Xi = сц + PiXk, г = 1, 2, 3.
Примем фР^Хк за определяющие координаты, при этом
d(li^Зк/эЗ^3^ /эЗ Щ^Зка 2
= 1Г = г3“ = |"3‘' -at = А -r3'-'
Если а — скорость лучистого расширения, то dxk/dt = ахк (к = = 1,2,3). Полагая / = f(t,cp Р^Хк\ находим
dt дР дар^РудЗр1 93piPq\d3pi Э3р4) +
ЭЗр 83pЭЗр 83pz/ = 1,2,...z/ = 1,2,...
ЭЗр 83p
ЭЗр 83p
z/ = 1,2,...
z/ = 1,2,...
За параметры действительных перемещений примем величины Ui (г = 1,2,3), р, g, г, а, тогда операторами группы Ли действительных перемещений подобно изменяемого тела будут
8л 9
—Ai = —. г = 1,2,3,
atoai
х 83?^ 83р^ Y 83р^ 83^^ 2 831^ 83^'
_9 д д 1
Ф = xv — h yv — h zv — , v = 1, 2,...
UXV oyv u%v
Подгруппа виртуальных перемещений Л^, X, У, Z, Ф состоит из трех подгрупп, а именно подгруппы поступательных перемещений Л^, [Л^, Ар = 0 (ip = 1, 2, 3), подгруппы вращений X, У, Z со свойством
[X, У] = Z, [У, Z] = X, \Z, X] = У
и из подгруппы лучистого расширения Ф. Эти подгруппы перестановочны между собой в том смысле, что
\Ai.Xp =0, [А,ф] =0, [ХЙФ] =0, ip = 1,2,3.
Кинетическая энергия в случае, когда оси координат х^ являются главными осями инерции, равна
Т = у К ++ Ы|) + 1 (Лр2 + В92 + Сг^ + |Jo»2,
где Л, В, С — главные моменты инерции по отношению к осям Ж1,Ж2,жз, Jq — момент инерции относительно точки (ХМ — масса тела.
Уравнениями Пуанкаре являются
М^ = АХ (г = 1,2,3), у Ар = (В - C)qr + XU, CLLCLL
Mq = (С - A)rp + YU, Mr = (A - B)pq + ZU, (1.22) CLLCLL
^ = ф(г + У),
где U — силовая функция.
Так как
ФЛ = I $„-Ну^-h zv— I mv ^ + г2) = 2m„ (у2 + г2) = 2Л, у oxv oyv/
ФВ = 2B, ФС = 2С, ФТо = 2J0,
то
Ф(Т) = Ар2 + Bq2 + Ст2 + J0Q2,
и последнее из уравнений (1.22) становится
— Jo<t = Ар2 Т Bq2 + Ст2 Т Jqq2 Т Ф^и^
где Ф(1Г) — вириал. Эти уравнения были установлены профессором Д.Н. Зейлигером [32].
Первые интегралы уравнений Пуанкаре. Циклические перемещения. При определенных условиях уравнения Пуанкаре (1.15) имеют некоторые первые интегралы.
Если
X0 = l-t, С^ = О, у=0, Q*TH=O, i,s^l,...,k,(1.23)
то уравнения (1.15) имеют обобщенный интеграл энергии [6]
L* = const,(1-24)
ОШ
получаемый умножением уравнений (1.15) на ту^ и сложением результатов.
Если L* = L^ + Ly + Lq, где L* обозначают однородные формы переменных ту^ степени s (s = 2,1,0), то равенство (1.24) имеет вид
L* - L* = h = const.L* - L* = h = const.(1-25)(1-25)
L* - L* = h = const.
L* - L* = h = const.
(1-25)
(1-25)
Интеграл (1.24) представляет собою обобщение интеграла кинетической энергии. Его частные случаи хорошо известны: 1) интеграл Якоби, 2) обычный интеграл кинетической энергии.
Отметим, что условия (1.23) выполняются, если все nso = b8o = 0 в уравнениях (1.3) и (1.4), тогда как коэффициенты a8i и b8i явно не зависят от времени, как и функция L* (яд,... ,xn,r]i ... ^т)^.
Четаев [5, 6] ввел важное понятие циклического перемещения. Рассматривая случай отсутствия непотенциальных сил Q* он назвал циклическими перемещениями Х^^г = г + 1,...,&) перемещения, удовлетворяющие условиям:
1)[Ха,Х^] = 0, с^ = 0, а, 8 = 0,1,...,/с; ^XiL* = 0. (1.26)
(1-27)(1-27)Если циклические перемещения существуют, то уравнения (1.15) имеют первые интегралы
(1-27)
(1-27)
—— = bi = const, г = г + 1,..., к. отв
С помощью (1.27) параметры туг+1,... ,ту^ можно выразить в виде функций t, ж, щ,..., туг, 6r+i,..., 6& и образовать обобщенную функцию Рауса
R(t, Ж1,..., ж„, 7/1,..., туг, Ьг+1,R(t, Ж1,..., ж„, 7/1,..., туг, Ьг+1,(1-28)(1-28), А т* ЭЬ*..,bk) = L - тц——.8тц
R(t, Ж1,..., ж„, 7/1,..., туг, Ьг+1,
R(t, Ж1,..., ж„, 7/1,..., туг, Ьг+1,
(1-28)
(1-28)
Используя равенства
XSR = XSL\ XaR = Q, s — 1,..., г,
8R8L*8R,7
==-^, а = г+ !,...,&,
8т}88т]88Ьа
можем записать уравнения (1.15) при Q* = 0 для нециклических перемещений в виде обобщенных уравнений Рауса
d dR s OR 7, s dR 7, n
at Этл" Эти ++ Coidr)s + c°ibj + XiR’
i^ a^ s = 1,..., r, j = r + 1,..., k^
после интегрирования которых величины т]а определяются соотношениями
=a = r +(1.30)
Элементарные интегралы вида (1.27) были впервые даны Чаплыгиным [33] (см. также работы [11-13] Богоявленского).
Замечания [5, 6]. 1) Интегралы, соответствующие циклическим координатам или циклическим перемещениям, являются линейными по отношению к скоростям или линейными по отношению к параметрам т]а действительных перемещений;
2) возможно дать некоторые обобщения циклических перемещений.
Обобщенные уравнения Якоби—Уиттекера. Сравнивая условия (1.23) и (1.26), легко видеть, что оператор Xq = d/dt удовлетворяет условиям (1.26), т. е. его можно рассматривать как оператор циклического перемещения, которому отвечает интеграл энергии.
Действительно, если представить уравнения Пуанкаре в параметрической форме [34], когда время t = xq и координаты жДг = 1,..., п) рассматриваются как переменные ха (а = 0,1,..., ri), независимые одни от других, но стесненные дифференциальными связями (1.1) и выражаемые непрерывными дифференцируемыми функциями некоторого параметра г,ха = ха^т\ то интеграл энергии параметрических уравнений Пуанкаре с лагранжианом L*(x^, ris^x^ х^ = dt/dr, будет отвечать переменной xq.
Используя интеграл энергии, можно понизить порядок системы уравнений определением из интеграла энергии переменной
Жо = f =
и построением функции Рауса
\ др*
R^i^s,^ = L*$qR^i^s,^ = L*$qТ]з )= —^sx'o,(1.31)
R^i^s,^ = L*$q
R^i^s,^ = L*$q
в правой части которой переменная х'о заменена функцией (р(х^ r]s,h).
Параметрические уравнения Рауса с т = t принимают вид уравнений Пуанкаре (1.15), в которых все с^ = 0, Q* = 0.
Если одну из переменных тг5, скажем, тгх, принять за параметр т, мы можем получить из интеграла энергии
41 = ii = 1 = i(>'(_xi,r]'r,h?), г = 2,..., к,
, dRrт]г f dt1
где т) = —— = —, t = —— = —, и, подставив в (1.31), получить dRyЦ1 dRyТ)у
функцию Рауса
Легко видеть [29], что имеют место равенства
Ж8L* Ж1 8L*.7
,-5— = — -5—, г = 1,...,п, г = 2,...,к,
ВЛтBxiTjy OXi
подставив которые в (1.17) для s = 2,... к и при всех с^ = Q* = = 0, получим обобщенные уравнения Якоби-Уиттекера (см. [35, 29]) в квазикоординатах
(1.33)(1.33)J_dB^ _ m ,Ж_ ЭК' d^i дг)8 Cts11t drfm + <Ъ8 ’
(1.33)
(1.33)
Если мы положим в (1.3) 771 = Ху (тогда [31] с^ = 0), уравнения (1.33) примут вид
m^r, s = 2,... ^к.m^r, s = 2,... ^к.(1-34)(1-34)d Ж т Ж . Жdxy 8^ TS Эл’т ,т 8^;
m^r, s = 2,... ^к.
m^r, s = 2,... ^к.
(1-34)
(1-34)
Как отмечено в §1.2, когда уравнения (1.3) являются интегрируемыми, переменные тг5 могут служить новыми определяющими координатами. Тогда все с™ = 0 и уравнения (1.34) принимают вид уравнений Якоби-Уиттекера.
Уравнения (1.34) в общем случае должны исследоваться вместе с уравнениями связей (1.4), переписанными в виде
ж' = bigT]^ i = 2,...,n,8 = 2,...,к.(1.35)
Уравнения (1.34) и (1.35) можно рассматривать как уравнения движения новой динамической системы с к — 1 степенями свободы, для которой R’ является кинетическим потенциалом, ^ — параметрами действительных перемещений, тогда как ху играет роль времени как независимая переменная. Зависимость ад от времени устанавливается квадратурой [29].
Обобщенные уравнения Четаева
Канонические уравнения Четаева. Н. Четаев [3-6] преобразовал уравнения Пуанкаре к каноническому виду введением вместо т]8 и L*(t, ж, 77) новых переменных ys и функции Н* (t, ж, у^ определенных уравнениями
8L*
= s = l,..., к, H*(t,x,y) = ysr]s — L*(t,x,rf),(2.1)
из которых следуют равенства
хж = -х8ь\s = l,...,к.
оу8
d^L*ЭЛгдЛвd^L*ЭЛгдЛвПреобразование (2.1) представляет собою преобразование Лежандра,
d^L*ЭЛгдЛв
d^L*ЭЛгдЛв
при условиипри условии^ 0 (г, s — 1,..., к\ Так как
при условии
при условии
8L* 8L дач ,.8L
Уб ~~ "ЭтГ -~9кИтГ ~ Pibis’ П® ~~ asjXj’ Pi ~~ 8к’ Ulis иОуг UI/8
очевидно, что имеет место в случае б^о = 0 (г = 1,..., п) равенство
H*(t, х^ у) = pibisasjXj — L(A, ж, ж) = H(tD х^р\
принимая во внимание формулу a8jbi8 = Sij.
Подставив (2.1), (2.2) в уравнения Пуанкаре (1.15), получим канонические уравнения Четаева
^=C—yTO+Cym-XsH*+Q*s, T)s = —, m,r, s = 1,... ,к. dt 8yT8ys
(2.3)
Эти уравнения должны исследоваться в общем случае вместе с уравнениями (1.4), посредством которых второй группе уравнений (2.3) можно дать другой вид [6]
dxidtdxidtЭН*8ysЭН*8ysг = 1,..., п.г = 1,..., п.(2-4)(2-4)
dxidt
dxidt
ЭН*8ys
ЭН*8ys
г = 1,..., п.
г = 1,..., п.
(2-4)
(2-4)
Обобщенные уравнения Четаева содержат как частные случаи:
уравнения, данные Четаевым [4] в случаях с™ = const, Q™ = 0;
канонические уравнения Гамильтона
dQiЭНdPiЭН
dtУ Pidtt/Q^
когда переменные ж^ являются независимыми лагранжевыми координатами (п = &), тогда как группа (1.5) сводится к перестановочным преобразованиям, причем лагранжевы обобщенные скорости ж^ принимаются за параметры ту действительных перемещений, переменные Жг,Рг будут каноническими переменными и H(t^p) — классической функцией Гамильтона;
обобщенные уравнения Гамильтона в избыточных переменных [21]
M=_9IP_b. 91Г dx8 = ЭН*
dt Эх8 38 dxj 81 dt Эу8 '
s = 1,..., &, у = к + 1,..., щ
div8 _ ЭН* dt 8ys ’div8 _ ЭН* dt 8ys ’— канонические уравнения Больцмана-Гамеля в квазикоординатах [21]
div8 _ ЭН* dt 8ys ’
div8 _ ЭН* dt 8ys ’
dt " rs Эуг Ут + ОбУт Этг8 + ^s’
m,r, s = 1,... ,k.
2 Под ред. B.M. Матросова и др.
При условиях
ВВ Н*
^0 = ^, со» — О, ХоН*=О, Q* =0, By
эквивалентных условиям (1.23), уравнения (2.3) имеют интеграл энергии
Я*(ж1,...,жп,щ,...,^) = const.
Когда существуют при условии (1.26) циклические перемещения Ха (а = г + 1,..., к\ уравнения (2.3) при Q* = О допускают интегралы
Ца = Рои = г +
подобные интегралам (1.27) уравнений (1.15). Для нециклических перемещений Хг уравнения (2.3) принимают вид уравнений
dt pi дур Vs + pi дур’
ЭН*,
ту = ——, z,p, s = 1,..., г, а = г + 1,...
эквивалентных обобщенным уравнениям Рауса (1.29), где
Н* = Н*^, Ж1, . . . ,У!, ..., уг, Зт+Ъ ...,3к\
После интегрирования уравнений (2.5) переменные т]а определя- ВН*,7 х
ются уравнениями т]а = ^ (а = г + 1,..., к).
Используя интеграл энергии, можно понизить порядок уравнений Четаева на два. Действительно, разрешим интеграл Н*(х,у) + h = О относительно переменной у^^ так что
У1 +К(хг,.. .Ж„,У2, • ■ • ,Vk,h) = 0.
Рассмотрим (1.34)Рассмотрим (1.34)ЭК'ЭК'ЭУгЭУгК(х, y'r, h) = yVTlV — Й (ж, у(, h\г = 2,... ,k,К(х, y'r, h) = yVTlV — Й (ж, у(, h\г = 2,... ,k,преобразования Лежандра для уравнений (1.33) и
Рассмотрим (1.34)
Рассмотрим (1.34)
ЭК'
ЭК'
ЭУг
ЭУг
К(х, y'r, h) = yVTlV — Й (ж, у(, h\г = 2,... ,k,
К(х, y'r, h) = yVTlV — Й (ж, у(, h\г = 2,... ,k,
откуда получаем равенства
ХТК = -ХТЙ,ХТК = -ХТЙ,■Пт =■Пт =ЭК ду'г'ЭК ду'г'
ХТК = -ХТЙ,
ХТК = -ХТЙ,
■Пт =
■Пт =
ЭК ду'г'
ЭК ду'г'
Используя эти равенства, мы можем записать в виде обобщенных уравнений Уиттекера [29] уравнения (1.33)
</ти ts8Vt
и уравнения (1.34)
ЭК
8tvs ’
dt dir i
_ эк
ан d'Ki
= 0, m, r, s = 2,.
(2-6)
ЭК
dt
_ ЭК
dh
= 0, m, r, s = 2,.
. . , A).
dX1 TS0VT
Э-к8 ’
dxi
d$i
(2-7) Последние из уравнений (2.6) и (2.7) можно отделить от остальных уравнений, так как первые 2(A) — 1) уравнений не содержат А, тогда как h = const. Следовательно, первые 2(A) — 1) уравнений (2.6) или (2.7) можно рассматривать как уравнения движения приведенной системы с А) — 1 степенями свободы [29].
Пример 2.1.1. Выведем каноническую форму для уравнений (1.22) Зейлигера (см. пример 1.3.1). Введем переменные
ЭЬ*Уг = т;— = Мгц, г = 1,2,3,ЭЬ*Уг = т;— = Мгц, г = 1,2,3,ЭЬ* ,ЭЬ* „ЭЬ* ,ЭЬ* „
ЭЬ*
Уг = т;— = Мгц, г = 1,2,3,
ЭЬ*
Уг = т;— = Мгц, г = 1,2,3,
ЭЬ* ,ЭЬ* „
ЭЬ* ,ЭЬ* „
at- „ ж = ^ = Ст’at- „ ж = ^ = Ст’dL* тУ7 — Щ оаdL* тУ7 — Щ оа
at- „ ж = ^ = Ст’
at- „ ж = ^ = Ст’
dL* т
У7 — Щ оа
dL* т
У7 — Щ оа
получим
Уь Убq=B' т=сУь Убq=B' т=с_ У7“ J0’_ У7“ J0’1 Ут2 Jo1 Ут2 JoУг •1 л пУ4
Уь Уб
q=B' т=с
Уь Уб
q=B' т=с
_ У7
“ J0’
_ У7
“ J0’
1 Ут
2 Jo
1 Ут
2 Jo
— , г = 1,2,3, р = —, МА
Каноническая форма для уравнений (1.22) имеет вид
^Уг АП '10 9^4 в-С
— = ЛУ., = 1,2,3, — =Щ
dys С —АА —В_
= "л^УбУ4 + YU’ = ~ав~у^ + zu' (2-8)
^1 = ^ + ^ + ^ + ^+ФС/
dt A B C Jo '
Канонические уравнения Четаева являются уравнениями Гамильтонова типа в неканонических переменных. В этом параграфе будем предполагать, что Q* = 0 в уравнениях (2.3), и все Ь^ = 0 (г = 1,...,п) в уравнениях (1.4); тогда Хо = d/dt, с8ао = 0 (о, s = 1,..., А)).
Определим обобщенную скобку Пуассона гладких функций f(t,x,y) и cp^x^y) равенством
Эр9уаЭр9уаdf9уаdf9уаdf 9фdyi 9уа Узdf 9фdyi 9уа Узi^o^s = 1,..., к. (2.9)i^o^s = 1,..., к. (2.9)
Эр9уа
Эр9уа
df9уа
df9уа
df 9ф
dyi 9уа Уз
df 9ф
dyi 9уа Уз
i^o^s = 1,..., к. (2.9)
i^o^s = 1,..., к. (2.9)
В частном случае канонических переменных х^ у^ = dL/dxi (г =
= 1, 2,..., п = к\ когда система операторов (1.5) приводится к перестановочной группе, формула (2.9) приводит к классической скобке Пуассона
(2.10)(2.10)_ df_d(£_ _ df_d^£_’V dxi dyt dyidxi' '
(2.10)
(2.10)
Это обстоятельство является причиной выбора знака в (2.9), в отличие от определения Четаева [3-5] скобки Пуассона с противоположным знаком в правой части. Используя (2.10), мы можем записать канонические уравнения Гамильтона , как хорошо известно, в виде
(2.U)(2.U). _ ЭНх^х^Н)$i"9y?
(2.U)
(2.U)
yi = (yi,H). _ ЭН
Уг dxi ’
где H(t,x,y) — классическая функция Гамильтона.
Обобщенные скобки Пуассона обладают теми же свойствами, что и классические скобки Пуассона, именно [27, 36] они являются:
антисимметричными — U^P) = — (^/Ь
билинейными —
(Л ^1^1 + ^2^2) = ^1(Л ^1) + А2(/, ^2) (^ Е й);
удовлетворяют тождеству Якоби
((Л у), ^ + ((у, ФУ f,) + ((^, /), ф) = 0;
следуют правилу Лейбница
(/1/г, ф) = /1(/2,У>) + /2(/1,У).
Пусть f(t, х, у) = const является первым интегралом канонических уравнений (2.3). Тогда, используя определение (2.9), имеем тождество
= Xof + (f,H*) = 0.= Xof + (f,H*) = 0.dl = d£ dlT f,d£(s dW dt dC dya aI^ dya \Cia dyi
= Xof + (f,H*) = 0.
= Xof + (f,H*) = 0.
(2-12)
Справедливо следующее обобщение теоремы Пуассона [3-5]: если (р^^х^у) = а и ^(t^x^y) = b являются двумя первыми интегралами
уравнений (2.3), то (у), ^) = с будет третьим первым интегралом этих уравнений; а^Ъ^с — произвольные постоянные.
Докажем теперь, что канонические уравнения Четаева (2.3) и (2.4) могут быть выражены в виде
^^ = (у^Н*\=г = 1,...Д, J = l,...,n, (2.13)
dVi ЭН* 9ут 9уаdVi ЭН* 9ут 9уагде H* (t^ x^y) есть обобщенная функция Гамильтона (2.1). Действительно, по определению (2.9)
dVi ЭН* 9ут 9уа
dVi ЭН* 9ут 9уа
(№, н*) = ^хаУг - ^хан* + <г 9уа 9уа
s 9Н*
— XLH + са^ у8.
/8н*9Xj m 8 9Xj 8Н*8Н*
(xj^H ) — XaXj ХаН + су8 — Хах^
8Уа8Уа9уг 9уа 9уа J
(2.14) так как Xayi = 0, Эу^)Эуа = 5^ 9xj/dya = 0 вследствие независимости переменных Xj от уа (i, а, г = 1,... Д, j = 1,..., п) и, наоборот, и вследствие независимости уа^ б^а — символ Кронекера.
Сравнивая правые части уравнений (2.3) и (2.4) с формулами (2.14), убеждаемся в справедливости (2.13). Это доказывает, что канонические уравнения Четаева являются гамильтоновыми уравнениями в неканонических переменных. Уравнения такого вида, которые зачастую более удобны, чем уравнения Гамильтона в канонических переменных, изучаются в современной теории гамильтоновых систем [27, 37, 38]. Следовательно, для таких систем справедливы результаты Четаева [3-6].
.3. Различные формы принципа наименьшего действия Гамильтона. Принцип Гамильтона является важным принципом ме
ханики голономных систем с идеальными связями.
Предположим, что действительные положения Pg и Pi системы в моменты Тд и Н известны для некоторого движения; r^ (v = 1,..., TV) являются функциями времени, удовлетворяющими связям и для t = = Tg, и Т = р имеют значения, соответствующие положениям Pg и Pi. Пусть rv + бгр будут некоторыми функциями Т, которые достаточно близки к г^ удовлетворяют уравнениям связей и для t = Tg и t = = Ti принимают те же самые значения, что и г^. Следовательно, §rv являются виртуальными перемещениями, уничтожающимися при t = = Tg И t = Ti.
Для вывода принципа Гамильтона проинтегрируем выражение (1.12) принципа Даламбера-Лагранжа по времени в пределах от Тд до Т1- Имеем
d8rv~аГ = 5гd8rv~аГ = 5г/ Г2 \
d8rv
~аГ = 5г
d8rv
~аГ = 5г
mvrv • Sr v = 5 I mv -^ I = ST,
где Т — кинетическая энергия системы, и мы получаем ti
J(ST + Fp • Srp) dt = 0, ш8 = 0 при t = t0,ti. (2.15) to
Выражение (2.15) представляет собою принцип Гамильтона- Остроградского для общего случая заданных сил F^.
Когда силы Fp имеют силовую функцию [7, F^ = grad [7, то Fp • 6rv = 6U и (2.15) принимает вид вариационного принципа Гамильтона
J(ТU) dt = 6 J L* dt = 0, ws = О при t = t0,t!.(2.16)
Более строгое исследование показывает, что j L* dt имеет мини- to мум, если интервал времени ti — to достаточно мал.
Для систем, подчиненных идеальным голономным связям и потенциальным силам принцип Гамильтона (2.16) можно представить во второй (Пуанкаре) форме [6]
ti
61(у8т]8 — Н*) dt = 0, ш8 = 0 при t = to,ti, (2.17) to
когда ш8 и 6у8 (s = 1,... Д) произвольны и независимы внутри интервала (to,t^«
Канонические уравнения Четаева (2.3) при Q* = 0 могут быть выведены из принципа (2.17), принимая во внимание уравнения (1.11):
Выражение вне интеграла равно нулю вследствие условий в конечных точках. Так как по предположению ш8 и 5ys независимы и произвольны внутри интервала (^оД1), мы получаем уравнения (2.3) для случая Q* = 0.
Для частного случая, когда функция Лагранжа имеет вид
L*(t, ж, ц) = A(t, ж, ц) + —/(t, ж), /(^,ж)е(72,(2.18)
принцип Гамильтона (2.16) эквивалентен принципу
ti
5 j^Kdt = OD ш8 = 0 при t = toDtiD(2.19)
так как
Следовательно, прибавление (вычитание) слагаемого / к функции Лагранжа L*(t, х^ т^ не влияет на вид уравнений Пуанкаре (1.15). Это утверждение аналогично данному Парсом [39] для уравнений Лагранжа. Аналогично вторая форма принципа Гамильтона (2.17) эквивалентна виду
5 J(YST)S — К) dt = 0, ш8 = 0 при t =(2.20)
to
где
ЭК
Ys = —, K(.t,i,Y)-Y,T)8-X = H4t,$^ + Xof, s = l,...,k. Эт]8
Поэтому уравнения Четаева (2.3) эквивалентны уравнениям
dt TS8Yr m + Os m8YS' (2.21)
m.r.s= 1,... Д.
Примером функции вида (2.18) может служить функция Лагранжа для относительного движения голономной системы по отношению к подвижной системе координат, движение которой задано [25, 39].
Главная функция Гамильтона или функция действия.
Теорема Якоби. Функцией действия называется функция [6]
V(t, Ж1,..., ж„; to, Ж?,..., ж“) = L* dt = / (ysT]s - Н*) dt, (2.22)
где интегрирование производится вдоль действительной траектории механической системы. Из определения (2.22) получаем
5V = wsXsV + uj°sX°sY = №« - УМ +5V = wsXsV + uj°sX°sY = №« - УМ +dt,dt,
5V = wsXsV + uj°sX°sY = №« - УМ +
5V = wsXsV + uj°sX°sY = №« - УМ +
dt,
dt,
где cjg обозначают параметры начальной вариации траектории, Х° — инфинитезимальные операторы Ха, когда в последние подставлены tо, х®. Интеграл в последнем равенстве уничтожается согласно уравнениям (2.3) (при Q* = 0), вследствие чего
(2.23)(2.23)8V = wsXsV + ш^Х^У = ysws - у^.
(2.23)
(2.23)
Сравнение коэффициентов при одних и тех же произвольных ш8, с^ приводит к равенствам
(2.24)(2.24)XsV = ys, X°sV = -y°s, s = l,..., к.
(2.24)
(2.24)
Если функция действия известна, то уравнения (2.24) решают задачу динамики. Вторая группа уравнений (2.24) определяет в неявной форме закон движения.
Найдем полную производную по времени от функции действия:
— = X0V Р t]sXsV = L*,dt
илиилиX0V + ЛзУз - L* = 0.X0V + ЛзУз - L* = 0.
или
или
X0V + ЛзУз - L* = 0.
X0V + ЛзУз - L* = 0.
Это соотношение согласно равенствам (2.24) дает дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка для функции действия
(2.25)(2.25)Х0У + Я*(t, хг,..., хп, ХгУ,..., ХкУ) = 0.
(2.25)
(2.25)
Следовательно, функция действия является одним из полных интегралов обобщенного уравнения Гамильтона-Якоби (2.25).
И наоборот, если известен полный интеграл
уравнения (2.25), то решение канонических уравнений (2.3) (при всех Q* = 0) определяется системой
=bj, ys=XsV, j = l,...,n, s = l,...,k,(2.26)
где aj^bj — произвольные постоянные.
В самом деле, продифференцируем первую группу уравнений (2.26) по времени
dtdaj dxrdaj dt ’’’’
Затем подставим полный интеграл в уравнение (2.25) и возьмем производную по aj от полученного тождества. Имеем
dajdt dajdxr \ т 8ys
г, j = 1,... ,п, s = 1,..., к.
Так как для полного интеграла функциональный определитель
82V82V8xj дщ8xj дщ/0,/0,
82V
82V
8xj дщ
8xj дщ
/0,
/0,
то две последние системы имеют единственное решение
dxT v 8Н*117
—— = Xqxt + ——Х8хТ1 г = 1,..., п, s = 1,..., к. dt8ys
Следовательно, хТ1 найденные из (2.26), удовлетворяют каноническим уравнениям (2.4). Дифференцируя теперь вторую группу равенств (2.26), находим
^ = ^" = ^о№Г) + ЛаХа(Х8У) = 4xPv + ХДХ0У) ++ ^ «SX0V + Xs(XaV)) + XSH* - XSH* =
=+ ^sVP - X8H* +
+ Xs(x0V + H*(t,x1,...,xn,X1V,...,XkV')y
Тем самым доказана обобщенная теорема Якоби.
На первый взгляд, первая группа интегралов (2.26) дает общее решение системы (2.3), (2.4), зависящее от 2п произвольных постоянных а^ Ьи тогда как порядок системы равен к + п. Однако в действительности решение будет зависеть только от к + п постоянных. В самом деле, связи, наложенные на систему, выражаются вполне интегрируемой системой уравнений (1.1), которую можно привести к виду с/Ф^ = = 0 (j = к + 1,..., п). Согласно (1.6) эти равенства дают соотношения
Х5Ф7-= 0, s = О,1,..., к, j = /c + l,...,n.
Поэтому мы можем прибавить члены Cj Фj с произвольными Cj = const к полному интегралу уравнений (2.25). Следовательно, из п существенных постоянных щ,..., ап, из которых ни одна не является аддитивной, п — к постоянных будут постоянными с^+1,..., сп, так что полный интеграл будет иметь следующую структуру
V = Иф,Ж1, . . . ,ЖП,Щ, . . . ,(Zfe) + Qj^j + nn+i,
(2.27)
d(«i,... ,ак) ‘
Функция W названа Четаевым главной частью полного интеграла. Из (2.27) следует, что интегралы (2.26) можно записать в виде
-— = "х— = уа = XaV = XaW, -— = Ф? = 9аа даада5 33(2.28)
а = 1,..., к, у = к + 1,... ,п.
Третья группа интегралов (2.28) относится к определению постоянных bj голономных связей, и когда последние добавлены к первой группе интегралов (2.28), решение полностью определится:
жг = ж^Ц,«1,... ,ак,Ь1,... ,bk,bk+1,... ,6„), г = 1,... ,п, причем вторая группа интегралов (2.28) определяет величины yQ (а = = !,...,£).
Интересно сравнить обобщенную теорему Якоби, установленную Четаевым, с теоремой Суслова [36, гл. ХЫП]. Суслов рассмотрел уравнения Гамильтона со множителями Xj^ союзные уравнениям (1.21) и вместо (2.25) получил уравнение в частных производных [36, формула (43.25)]
dt 3 dtdt 3 dtBV9V\ п=0,UX\ихп)BV9V\ п=0,UX\ихп)(2.29)(2.29)
dt 3 dt
dt 3 dt
BV9V\ п
=0,
UX\ихп)
BV9V\ п
=0,
UX\ихп)
(2.29)
(2.29)
где fj(t,x) = Cj — проинтегрированные уравнения связей (1.1), Л7- = — / Xj dt являются импульсивными множителями связей. Он
доказал, что если известен полный интеграл уравнений (2.29), то равенства
dV 7 dV ,,
оа8ох8ох8
являются интегралами уравнений Гамильтона, союзных уравнениям (1.21). Исключив импульсивные множители с помощью продифференцированных уравнений связей, Суслов получил уравнения вида (2.25), приняв во внимание (1.1) и интегралы (2.26), подобно тому, как исключение Ау из уравнений (1.21) приводит к уравнениям (1.20).
Соотношение (2.23) для вариации функции действия V позволяет установить относительный интегральный инвариант [5]. В самом деле, рассмотрим некоторый замкнутый путь Со виртуальных перемещений cjg в момент to, который в момент t займет положение С. Интегрирование формулы (2.23) при однозначной функции действия дает
ССо
Таким образом линейная форма Q = у8ш8 определяет главный относительный интегральный инвариант динамики.
Соотношение (2.23) позволяет также установить канонические уравнения движения. Действительно, пусть момент t бесконечно близок к начальному моменту to^ t = to + dt, тогда V = L*dt и
о М ,.0 dys ,.
Us=ws- -Tj-dt, ys=ys- —dt.LLLLLL
Соотношение (2.23) с точностью до величин второго порядка относительно dt дает равенство
е т * 7,( dujs dys А
oL dt = ys ——dt.
V dt dt 5 У
Сокращая на dt и вводя в рассмотрение функцию Гамильтона Н* = = UsVs — А*. находим соотношение
/ ЭН* А (dy8 р3А
(оу8 + ( — - С^ур - с^у3 + XSH 1 ш8 = 0,
из которого следуют канонические уравнения (2.3) в виду произвольности 5у8 и ш8.
Пример 2.4.1. Рассмотрим пример 134 Суслова в его обозначениях [36]: две тяжелые частицы с массами т^ (М = mi + m2) и координатами yi, Zi (i = 1, 2) движутся в вертикальной плоскости Оуz с осью Оz, направленной по вертикали вверх, подчиненные связям
miyi + miyi = 0, (yi - y2)(yi - У2) + (zi - z2)(zi - i2) = 0.
Положение системы определяется координатами ус zc центра масс ,^1-^2
и величинами 77 = у^ — т/2 и Р = arctg, в которых проинтегрированные уравнения связей имеют вид
Ус = Щ = const, 77 sec ф = С2 = const.
Функция Лагранжа равна
L =+ 2М sec2 ф^ + 27?Wtg^ + 7?Vsec2 ф) - Mgzc.
Если принять величины zc и ф за параметры Лз (з = 1,2) действительных перемещений, а величины ус^с^ф за определяющие координаты xi (г = 1,..., 4), то в уравнениях вида (1.4) ненулевыми коэффициентами bis будут 621 = 1, 5з2 = = — Л^Р^ ^42 = 1, так что операторы (1.5) имеют вид
дддд
0 = д? 1 = dV 2 =
Принимая во внимание выражение т) = — дф^ф^ получаем
М ,22-22
L = — zc + 2М Л sec у> - Mgzc.
Уравнения (1.20) имеют вид
zc = -g, ф = 0,
и мы получаем
ф = л3^ +Л4, ц = с2 cos (A3t + Л4),ф = л3^ +Л4, ц = с2 cos (A3t + Л4),^2
ф = л3^ +Л4, ц = с2 cos (A3t + Л4),
ф = л3^ +Л4, ц = с2 cos (A3t + Л4),
Ус = Щ, Zc = -— +ЛП + Л2,
где Л1,..., Л4 — произвольные постоянные интегрирования. 777,1777,2 9.99.
В переменных (2.1) 7/1 = Mzc^ g^ = ———g ф sec ф функция
Гамильтона
У12МУ12ММ cos2 ф 9
У12М
У12М
5— У2 + Mgz.
2 777,1777,2 Т]
а уравнение (2.25) есть
ЭУ 1дГ + 2ЭУ 1дГ + 21 (dvV М cos2y)/dy — — ^ I — М \dzc) mim2 л2 у Эф1 (dvV М cos2y)/dy — — ^ I — М \dzc) mim2 л2 у ЭфЭУЭУ+ Mgzc = 0.+ Mgzc = 0.
ЭУ 1
дГ + 2
ЭУ 1
дГ + 2
1 (dvV М cos2y)/dy — — ^ I — М \dzc) mim2 л2 у Эф
1 (dvV М cos2y)/dy — — ^ I — М \dzc) mim2 л2 у Эф
ЭУ
ЭУ
+ Mgzc = 0.
+ Mgzc = 0.
Полный интеграл этого уравнения равен [36]
2ai +2ai +Мmim^Мmim^3/23/22Mg2Mg
2ai +
2ai +
Мmim^
Мmim^
3/2
3/2
2Mg
2Mg
+ л(а3(р + п4) sec (р + а$.
Динамика неголономных систем
Обобщенные уравнения Пуанкаре и Четаева для неголономных систем. Уравнения Пуанкаре, подобно уравнениям Больцмана-Гамеля, применимы для описания движения голономных и неголономных систем. Эта задача была уже исследована в работах [14-17], как и в работах [21-23], где уравнения Четаева были рассмотрены в этом смысле.
Следует, однако, подчеркнуть, что система операторов виртуальных перемещений не является замкнутой системой для неголономных систем [16, 17], вследствие чего приходится использовать операторы соответствующих голономных систем, получаемых из неголономных систем мысленным отбрасыванием неинтегрируемых связей.
Мы будем рассматривать случай неголономной системы с I степенями свободы в определяющих координатах Xi (i = 1,..., п), стесненных как интегрируемыми уравнениями
T]j = aji^Xi = 0, rank (пц) = п — к,(3-1)
так и неинтегрируемыми уравнениями
да = аа^х^х^ = 0, rank ^аа^ = к — Ц а = I + 1,..., к. (3.2)
Выберем произвольно линейные дифференциальные формы
T)s = asi(x)xi, s = 0,1,...,Z, aoi = бОь(3.3)
независимые одни от других, а также от форм (3.1) и (3.2) так, что det (aji) ^ 0, г, у = 0,1,..., п.
В частности, можно принять обобщенные скорости х8 за параметры д8 (s = 1,... ,Z).
Решение уравнений (3.1)-(3.3) приводит к выражениям
xt = bis(x)rjs, г = 0, l,...,n, s = 0,1,..., Z, bi0 = 5i0.(3.4)
Для соответствующей голономной системы с к степенями свободы, получаемой мысленным отбрасыванием неинтегрируемых связей
т. е. полагая ра ф 0 (а = I + 1,... Д), вместо (3.4) получаем выражения
Xi = bir(x)r]r, г = 0,1,...,п, г = 0,1,..., к, (3-5)
и строим замкнутую систему операторов (1.5).
Так как параметры виртуальных перемещений ша = 0, когда связи (3.2) имеют место, из принципа Даламбера-Лагранжа (1.13) мы выводим уравнения движения неголономной системы в виде (1.15)
d ЭЬ*m ЭЬ*тЭ17
dt uT]s 8nm 8nm(3.6)
r, s = 1,..., Z, m = 1,... Д,
число которых меньше числа уравнений (1.15) на к — I. Структурные коэффициенты с™, как и прежде, даются формулами (1.17), в которых, однако, индексы г, s = 0,1,..., Z. К уравнениям (3.6) нужно добавить уравнения (3.4), в результате чего получаем совместную систему I + п уравнений движения с таким же числом неизвестных Ж1,...,ЖП,Щ,...,Ц/.
Отметим, что функция L^(t^x^r]^ фигурирующая в уравнениях (3.6), построена для соответствующей голономной системы, вследствие чего уравнения связей ра = 0 (а = I + 1,... Д) могут быть приняты во внимание только после составления уравнений (3.6) [25, 31, 40].
Замечание. Уравнения (3.6), когда Q* = 0, эквивалентны уравнениям (3.14) [14] и (1.13) [15], но внешне несколько проще последних вследствие выбора параметров р^ уничтожающихся в силу уравнений неинтегриреумых связей (3.2).
В случаях, когда обобщенные скорости х8 (s = 1,..., Z) приняты за параметры т]8 (3.3), т. е. когда asi = 5 8i(i = 1,..., п), все структурные коэффициенты с™ = 0 для m < Z [31] и уравнения (3.6) принимают вид
d dL* m8L*. m8L*
dt dxs " Cts dnm Xr + C°s Эт1т^ 8 +Qs’(3.7)
r, s = 1,..., Z, m = I + 1,... Д,
где L* = L*(t,xi,... ,xH,xi,... ,xt,r)l+i,... ,т]к\
Если в функции Б*(£,ж,ц) в уравнениях (3.6) заменить кинетическую энергию Т*(£, ж, щ,..., т/Д соответствующей голономной системы кинетической энергией 0(£, ж, щ,..., ц/) неголономной системы со связями (3.2), уравнения (3.6) примут вид уравнений (5.5) [21]
d( 8Т*\
Tf^- = ^ + С^^Г + (^^ + ^ аГ + Xs(e + ^ + Q-
Ш, Г, 8 = 1, . . . , Z, р = Z + 1, . . . Д,
(3-8)
(8Т*\ЭТ*
где —— обозначают выражения —— при ps = 0 (р, s = Z +1,..., к).
\ 9рР /Эрр
С помощью преобразования Лежандра (2.1) уравнения движения неголономной системы (3.6) преобразуются к виду канонических уравнений Четаева
dys m8H* m vЭН*
— Crs Um + ^slim XSH + Q , ps —,
dt 8yT8ys
к которым следует присоединить уравнения связей (3.2) и соотношения (3.4), записанные в виде
—— = О, а = I + 1,..., к,—— = О, а = I + 1,..., к,dxi _8Н*dt u 8pjdxi _8Н*dt u 8pj(3.10)(3.10)
—— = О, а = I + 1,..., к,
—— = О, а = I + 1,..., к,
dxi _8Н*
dt u 8pj
dxi _8Н*
dt u 8pj
(3.10)
(3.10)
г = 1,..., 77, у = 0,1,... , I.
Уравнения (3.9) и (3.10) образуют совместную сиситему п + к + I уравнений с таким же числом неизвестных яд,..., хп, у^ ... ,у^, pi,... ... ^pi. Уравнения (3.9) и (3.10) при Q* = 0 и п = к принимают вид уравнений (7Л7)-(7Л0) [40].
Канонические уравнения движения неголономной системы, эквивалентные уравнениям (3.8), имеют вид
dps dtdps dtЭН* m Эуг +C°SЭН* m Эуг +C°S-XSH*+Q*,-XSH*+Q*,ЭН* \ ПУГдуг + °V \ Эт]р
dps dt
dps dt
ЭН* m Эуг +C°S
ЭН* m Эуг +C°S
-XSH*+Q*,
-XSH*+Q*,
ps = —,777, Г, 8 = 1, . . . , I, Ц = Z + 1, . . . ,/с,
9ps
(ЗЛ1) где Н* (t, х, р) = ysps - 0 -U.
Пример 3.1.1. Исходя из уравнений (3.7), выведем уравнения Воронца [41] для системы с лагранжевыми координатами яд,...,жп и неголономными связями
xs = asi(t, х)ар + aso(tD x\ z = l,...,Z, s = I + 1,..., n. (3.12)
Положим pi = x^ xq = t, xq = 1, ps = xs — asiXi (i = 0,1,..., Z, s = = I + 1,..., n\ t. e. Xi = pi, xs = ps + o^siPi- Согласно (3.2), (3.3) имеем равенства
^"ij — ^i-j — ^ij ? dis — big — 0, i, j — 0, 1, . . . , Z,
bsi — CLsi — O^-sii dSr — bSr — dSri S,T — Z 4" 1, . . . , 77,
так что структурные коэффициенты (1.19) принимают вид
„ 9o,Ti 9q,ta 9o,Ti 9q,ta . .,
(3.13)(3.13)Cii = ~8x- "ЭаГ + ~дх^акз"дж^ак” г’3 = 1^--Л,
(3.13)
(3.13)
к^т = I + 1,... .п.к^т = I + 1,... .п.тdotridot^Qdotridot^Q
к^т = I + 1,... .п.
к^т = I + 1,... .п.
С°г dtdxiЭх к ak°Эх к акг"
Учитывая (3.12) и (3.13), заключаем, что уравнения (3.7) принимают вид уравнений Воронца [41]
d д@ _ 9(0 + U) dt Эх^ dxid д@ _ 9(0 + U) dt Эх^ dxid^pU^ ( T . tJ9LV
d д@ _ 9(0 + U) dt Эх^ dxi
d д@ _ 9(0 + U) dt Эх^ dxi
+ QXt + (cji$j + C0i) J + Qs )
i,j = l,...,l, r = Z + 1,..., n,
..I3'14)
где 0 = 0(t, xi,..., xn, xi,..., xi) обозначает выражение кинетической энергии T(t, яд,..., хп^ яд,..., хп) после замены xs (s = = Z + 1,..., п) правыми частями уравнений (3.12). Уравнения (3.14) и (3.12) образуют совместную систему п уравнений.
Каноническая форма уравнений Воронца (3.14) имеет вид
dyi _ dH*dH*dt9xi9хтdyi _ dH*dH*dt9xi9хтdxj _ dH*dt dyi 1dxj _ dH*dt dyi 1iDj = lD...JD r = Z + 1,..., n,iDj = lD...JD r = Z + 1,..., n,(3.15)(3.15)
dyi _ dH*dH*
dt9xi9хт
dyi _ dH*dH*
dt9xi9хт
dxj _ dH*
dt dyi 1
dxj _ dH*
dt dyi 1
iDj = lD...JD r = Z + 1,..., n,
iDj = lD...JD r = Z + 1,..., n,
(3.15)
(3.15)
гДе IB = ^p Н*^хъ... ,xn,yb.. . .y^ = yiXi - 0 - U.
В частном случае, когда функции Т^ ж1, • • •, ЖЬ ^1, • • •, ^п), U(t, Ж1,..., xi\ ari(t^x-y^... ^xi\ Qs^t^xx^... ^х^ не зависят явно от координат xs (s = Z + 1,...,п), уравнения (3.14) принимают вид замкнутой системы уравнений Чаплыгина [42]
d 90 _ 9(0 + U) dt dxi 9xid 90 _ 9(0 + U) dt dxi 9xi(3.16)(3.16)
d 90 _ 9(0 + U) dt dxi 9xi
d 90 _ 9(0 + U) dt dxi 9xi
(3.16)
(3.16)
i^j = l^...^k г = Z + 1,..., n,
где
r 9aTidarj r9aTi9aT^
dxj9xi D Ог9t9xi
Каноническая форма уравнений Чаплыгина (3.16) получается из уравнений (3.15)
dyj = ЭН*dt 9xidyj = ЭН*dt 9xif г ЭН* \ Г 9TVVJi 8yj +Co<) (ажJ +Qi’f г ЭН* \ Г 9TVVJi 8yj +Co<) (ажJ +Qi’dxt _ ЭН^"dt - "8^' (3.17)dxt _ ЭН^"dt - "8^' (3.17)
dyj = ЭН*dt 9xi
dyj = ЭН*dt 9xi
f г ЭН* \ Г 9TV
VJi 8yj +Co<) (ажJ +Qi’
f г ЭН* \ Г 9TV
VJi 8yj +Co<) (ажJ +Qi’
dxt _ ЭН^
"dt - "8^' (3.17)
dxt _ ЭН^
"dt - "8^' (3.17)
i,j = l,...,l, r = l + l,---,n.
В случае независимости aTi от времени t и при аго = 0 коэффициенты с^ = 0 и уравнения (3.17) принимают вид уравнений (7.22) [40].
Определение реакций связей. Идея метода Четаева [6] определения реакций связей заключается в том, что заданные активные силы дополняют одной или несколькими интересующими нас реакциями, понимая систему свободной от связей, порождающих выделенные реакции. Для освобожденной таким образом системы, имеющей на одну или несколько степеней свободы больше исходной, вводят в рассмотрение дополнительные координаты, изменения которых дают освобожденные перемещения; вычисляют новые кинетическую энергию и обобщенные силы и составляют уравнения движения, сравнение которых с исходными уравнениями позволяет определить реакции.
Применим эту идею для определения реакций неголономных связей (3.2). Мысленно освободим систему от этих связей, заменяя их воздействие на систему реакциями Ri (г = 1,... ,п), в результате будем иметь голономную систему, уравнения движения которой будут уравнениями вида (1.15)
d 817 dt 8t]sd 817 dt 8t]s8Т*
d 817 dt 8t]s
d 817 dt 8t]s
(3.18)(3.18)= с—П, + С— + XSL* + q: + Ьг8кг,
(3.18)
(3.18)
s = 1,... Д, г = 1,...,п.
Так как связи (3.2) предполагаются идеальными, работа их реакций на виртуальных перемещениях равна нулю
Ri5xi = Ribi^g = 0, % = 1,..., щ у = 1,... J.
В силу произвольности Шд отсюда следуют равенства [17]
^^=0, j = l,...,Z,(3.19)
вследствие которых первые I уравнений движения «освобожденной» системы (3.18) совпадают с уравнениями (3.6) неголономной системы со связями (3.2). Остальные k — I уравнений (1.15)
d 817 Т 817 r 8178177 17
7,о— СазЛа о + c0s о ++ Qs + ^isRi^ S — Z + 1, . . . , ^,
dt 8^88т]г orp 8tvs
(3.20) вместе с Z уравнениями (3.19) при условиях (3.2) позволяют определить реакции R^ предполагая det (bis) Ф 0.
Пример 3.2.1. Пластинка с лезвием на наклонной плоскости [40].
Пусть твердое тело в форме пластинки опирается на плоскость тремя ножками, две из которых могут скользить без трения по плоскости, а третья оканчивается острым полу круговым лезвием, жестко соединенным с пластинкой. Предполагается, что точка опоры лезвия может свободно двигаться по плоскости вдоль касательной к лезвию,
3 Под ред. В.М. Матросова и др.
но не может передвигаться в перпендикулярном направлении; проекция центра тяжести пластинки на плоскость пусть совпадает с точкой опоры А лезвия.
Обозначим через ж, у координаты точки А в системе координат, жестко связанной с наклонной плоскостью (ось ж направлена вдоль линии наклона вниз), у? — угол между осью ж и касательной к лезвию. В этих координатах функция Лагранжа и неголономная связь имеют вид
L = - (ж2 + у2) + -А:2^2 + #xsina? ^з = ^ sin ф — у cos ^ = О,
где к — радиус инерции, масса т = 1, а — угол наклона к горизонту. Согласно уравнениям (1.4), (1.5), (1.7) имеем
ж = ?7i cos у? — туз sin у), у = тух sin ф + 773 cos у?, ф = 772,(3.21)
88888
Xi = cos^— +sin^ — , Х2 = —, Х3 = -sin^— + cos^ — , 8х8у8ф8х8у
[ХЬХ2] = -Х3, [Хх,Х3] = О, [Х3,Х2] = Xv
Обобщенная функция Лагранжа
L = 2^1 +^з) + -к ц2 + #ж8ша.
Для нашего примера уравнения (3.7), (3.2), (3.21) принимают вид
T]i = у sin a cos ф^ ту2 = О, ^з = 0, ж = 771 cos ф^ т/= 771 sin у?, и их общее решение есть [17]
g sin а .
771 = С ЧSin ф, д2 = Ш = const, ф = фо + wt^ С = const,
С , .. х 9 sin а
ж = жд Ч(sin(Z) — sm^0) Н;—(cos 2 92 0 — cos2g9),
ш4ш2
С ,х g sin а.g sin а
У = 9о 4(cos^o - cosy?) + . 9 (sin2^0 - sin2^) Ч1.
Из уравнений вида (3.19), (3.20)
Ri cos ф 4- R2 sin ф = 0, R^ = 0,
—Ri sin ф + R2 cos ф = g sin a sin ф + 9192
получаем
Ri = —(^ sin cisin^ + 771772) sin^, R^ = (g sin a sin ф + 9192) сойф.
Эквивалентность уравнений Пуанкаре различным видам уравнений движения. Ранее [14—16] прямыми вычислениями была показана эквивалентность уравнений Пуанкаре движения неголономных систем уравнениям Чаплыгина, Аппеля, Гамеля, Вольтерры, Ферреса и некоторым другим уравнениям. Эквивалентность уравнений движения в квазикоординатах уравнениям Аппеля, а также уравнениям Чаплыгина была доказана в [40] выводом этих групп уравнений из принципа Даламбера-Лагранжа. Уравнения Воронца выведены из уравнений Пуанкаре (5.6) в [21] (см. пример 3.1.1).
Покажем, что уравнения Пуанкаре эквивалентны некоторым другим видам уравнений движения неголономных систем.
Маджи [28] показал, что уравнения Аппеля и Вольтерры следуют из установленных им уравнений. Маджи рассмотрел механическую систему с координатами жДг = 1,..., тг), стесненную линейными связями, которые могут быть как голономными, так и неголономными, явно зависящими или не зависящими от времени. При разрешении уравнений связей относительно Xi он представил последние в виде (3.4); величины r]s (у него обозначены через es), названы характеристиками движения рассмотренной системы, где
dxi 9xi9лз 9t)s ’dxi 9xi9лз 9t)s ’s = 1,... J = п — m.s = 1,... J = п — m.
dxi 9xi
9лз 9t)s ’
dxi 9xi
9лз 9t)s ’
s = 1,... J = п — m.
s = 1,... J = п — m.
d ЭТdt Эт]гd ЭТdt Эт]гПерейдя к выводу уравнений Вольтерры, Маджи проебразовал свои уравнения вида (1.14) (в которых вместо L фигурирует кинетическая энергия Т, тогда как Qi обозначают все активные силы, приложенные к системе) к виду
d ЭТdt Эт]г
d ЭТdt Эт]г
^Pb„^ r = l,...,Z, Pr — Qibir. (3.22) dt oxi oxi
Вольтерра [43] рассмотрел систему из TV точечных масс, скорости которых в декартовых координатах связаны с характеристиками движения соотношениями вида (3.4)
^г = bisT)SD г = 1,..., 37V, s = 1,..., Z,
где bis = bis(xi^..., x^nY В этом случае уравнения Маджи (3.22) принимают вид уравнений Вольтерры
ссd ЭТdt Эт]гd ЭТdt Эт]г= CrsVkVs + Рт,= CrsVkVs + Рт,k^ s = 1,..., Z,k^ s = 1,..., Z,(к) =m.b ^Ь. ts 11Ьгигк g^ ,(к) =m.b ^Ь. ts 11Ьгигк g^ ,mi = mi+i = mi+2, i, j = 1,.. .,37V,mi = mi+i = mi+2, i, j = 1,.. .,37V,
с
с
d ЭТdt Эт]г
d ЭТdt Эт]г
= CrsVkVs + Рт,
= CrsVkVs + Рт,
k^ s = 1,..., Z,
k^ s = 1,..., Z,
(к) =m.b ^Ь. ts 11Ьгигк g^ ,
(к) =m.b ^Ь. ts 11Ьгигк g^ ,
mi = mi+i = mi+2, i, j = 1,.. .,37V,
mi = mi+i = mi+2, i, j = 1,.. .,37V,
где T(xi,..., x^Nd — кинетическая энергия.
Не приводя данного Маджи вывода уравнений Аппеля из уравнений (1.14), отметим, что их проще вывести непосредственно из уравнений (1.12). Дифференцируя уравнения (3.4) по времени, имеем Xi = = bisr]s + ..., где многоточие обозначает члены, не содержащие т]8.
Отсюда находим, что —— = bi8, в результате чего получаем из (1.12) Sils
уравнения Аппеля
^=П5, s =(3.23)
9лз
а 1-2где S = -m^r^а 1-2где S = -m^r^— энергия ускорений,— энергия ускорений,сила, отнесенная к квазикоординате тг5сила, отнесенная к квазикоординате тг5П5 = [40].П5 = [40].F;, • bsv — обобщеннаяF;, • bsv — обобщеннаяПокажем наконец, что уравнения Кейна [44] эквивалентны уравнениям Пуанкаре. Согласно (1.6) 5rv = ш8Х8гр (и = 1,...,7V, s = = !,...,/). Подстановка этих выражений в (1.12) приводит к уравПокажем наконец, что уравнения Кейна [44] эквивалентны уравнениям Пуанкаре. Согласно (1.6) 5rv = ш8Х8гр (и = 1,...,7V, s = = !,...,/). Подстановка этих выражений в (1.12) приводит к уравнениям движения виданениям движения вида
а 1-2
где S = -m^r^
а 1-2
где S = -m^r^
— энергия ускорений,
— энергия ускорений,
сила, отнесенная к квазикоординате тг5
сила, отнесенная к квазикоординате тг5
П5 = [40].
П5 = [40].
F;, • bsv — обобщенная
F;, • bsv — обобщенная
Покажем наконец, что уравнения Кейна [44] эквивалентны уравнениям Пуанкаре. Согласно (1.6) 5rv = ш8Х8гр (и = 1,...,7V, s = = !,...,/). Подстановка этих выражений в (1.12) приводит к урав
Покажем наконец, что уравнения Кейна [44] эквивалентны уравнениям Пуанкаре. Согласно (1.6) 5rv = ш8Х8гр (и = 1,...,7V, s = = !,...,/). Подстановка этих выражений в (1.12) приводит к урав
нениям движения вида
нениям движения вида
TTtv^v * А/^г,, — Fv • X^,, s — 1,..., I.(3.24)
Для системы с лагранжевыми координатами qz, стесненной неин- тегрируемыми связями
Qj = bjs(t, q)qs -\-bj(t,q), j = I + 1,..., n, s = 1,..., I,
и операторами (1.5) вида
df dqsdf dqs9f
df dqs
df dqs
Эд/
уравнения (3.24) совпадают с уравнениями Кейна (19) [44]
MK'qs =0, s = l,...,Z,
которые, следовательно, эквивалентны уравнениям Пуанкаре.
Список литературы
Poincare Н. Sur une forme nonvelle des equations de la mecanique// C. R. Acad. sci. Paris. - 1901. - V. 132. - P. 369-371.
Poincare H. Sur la precession des corps deformables// Bull. Astronomique. — 1910. — V. 27. — P. 321-356.
ChetayevN. Sur la equations de Poincare// C. R. Acad. sci. Paris. — 1927. - V. 185. - P. 1577-1578.
Cetajev N. Sur les equations de Poincare// Докл. АН СССР. — 1928. — № 7. - C. 103-104.
ЧетаевН.Г. Об уравнениях Пуанкаре// ПММ. — 1941. — Т. 5, вып. 2. - С. 253-262.
ЧетаевН.Г. Уравнения Пуанкаре// Теоретическая механика. — М.: Наука, 1987. - С. 287-322.
Ш у р о в а К. Е. Варьирование уравнений Пуанкаре// ПММ. — 1953. — Т. 17, вып. 1. - С. 123-124; 1954. - Т. 18, вып. 3. - С. 384.
Ш у р о в а К.Е. Основной инвариант уравнений в вариациях// Вести. МГУ. Сер. математики, механики, астрономии, физики. — 1958. — № 3. - С. 47-49.
Румянцев В.В. Об уравнениях движения твердого тела с полостью, наполненной жидкостью// ПММ. — 1955. — Т. 19, вып. 1. — С. 3-12.
Аминов М.Ш. Построение групп возможных перемещений// Тр. Межвуз. конф, по прикладной теории устойчивости движения и аналитической механике. — Казань: КАИ, 1962. — С. 21-30.
Богоявленский А.А. Циклические перемещения для обобщенного интеграла площадей// ПММ. — 1961. — Т. 25, вып. 4. — С. 774-777.
Богоявленский А.А. Теоремы взаимодействия частей механической системы// ПММ. — 1966. — Т. 30, вып. 1. — С. 203-208.
Богоявленский А.А. Свойства возможных перемещений для теорем взаимодействия частей механической системы// ПММ. — Т. 31, вып. 2. - С. 377-384.
Фам Гуен. Об уравнениях движения неголономных механических систем в переменных Пуанкаре-Четаева// ПММ. — 1967. — Т. 31, вып. 2. - С. 253-259.
Фам Гуен. К уравнениям движения неголономных механических систем в переменных Пуанкаре-Четаева// ПММ. — 1968. — Т. 32, вып. 5. - С. 804-814.
Фам Гуен. Об одной форме уравнений движения механических систем// ПММ. - 1969. - Т. 33, вып. 3. - С. 397-402.
МархашовЛ.М. Об уравнениях Пуанкаре и Пуанкаре-Четаева// ПММ. - 1985. - Т. 49, вып. 1. — С. 43-55.
МархашовЛ.М. Об одном обобщении канонической формы уравнений Пуанкаре// ПММ. — 1987. — Т. 51, вып. 1. — С. 157-160.
Мархашов Л.М. Об одном замечании Пуанкаре// ПММ. — 1987. — Т. 51, вып. 5. - С. 724-734.
МархашовЛ.М. О частных решениях уравнений движения и их устойчивости// Изв. АН СССР. МТТ. — 1987. — №6. — С. 26-32.
Румянцев В.В. Об уравнениях Пуанкаре-Четаева// ПММ. — 1994. - Т. 58, вып. 3. - С. 3-16.
Румянцев В.В. Об уравнениях Пуанкаре-Четаева// Докл. РАН. — 1994. - Т. 338, № 1. - С. 51-53.
Румянцев В.В. Общие уравнения аналитической динамики// ПММ. - 1996. - Т. 60, вып. 6. — С. 917-928.
Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. — М.: ИЛ., 1947.
Лурье А.И. Аналитическая механика. — М.: Физматгиз, 1961. — 824 с.
Ла Валле Пуссен Ш.Ж. Курс анализа бесконечно малых. Т. 2.— М.-Л.: Гостехиздах, 1933. — 469 с.
Арнольд В.И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1989. — 472 с.
Maggi G. A. Da alcune nuove forma della equazioni della dinamica applicabile ai sistemi anolonomi// Atti della Reale Acad. Naz. dei Lincei. Rend. Cl. fis. e math. Ser. 5. — 1901. — V. 10, № 2. — P. 287-291.
Уиттекер E.T. Аналитическая динамика. — М.-Л.: ОНТИ, 1937. — 500 с.
Boltzmann L. Uher die Form der Lagrange’schen Gleichungen fur nicht holonome, generalisierte Koordinaten// Sitzungsb. der Wiener Akad. der Wissenschaften. Math.-Naturwiss. KI. — 1902. — Bd. 140, h. 1-2. — S. 1603-1614.
Hamel G. Die Lagrange-Eulerschen Gleichungen der Mechanik// Z. Math, und Phys. — 1904. — Bd. 50. — S. 1-57.
ЗейлигерД.H. Теория движения подобно-изменяемого тела. — Казань, 1892.
Чаплыгин С.А. О некотором возможном обобщении теоремы площадей с применением к задаче о катании шаров. Собр. соч. Т. 1. — М.-Л.: Гостехиздат, 1948. — С. 26-56.
Rumyantsev V. V. Parametric examination of dynamical nonholonomic systems and two problems of dynamics// Differential Equations: Qualitative Theory. 2nd Colloq. V. 2. — Amsterdam: Horth Holland, 1987. - P. 883-919.
Якоби К. Лекции по динамике. — Л.-М.: Гостехиздат, 1936. — 270 с.
Суслов Г.К. Теоретическая механика. — М.-Л.: Гостехиздат, 1946. — 655 с.
Marsden J.E. Lectures on Mechanics. London Math. Soc. Lecture Note Series, 174. — Cambridge: Cambridge University Press, 1992. — 272 p.
Арнольд В.И., Козлов В.В., НейштадтА.И. Математические аспекты классической и небесной механики// Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 3. - М.: ВИНИТИ, 1985. - 304 с.
Парс Л.А. Аналитическая динамика. — М.: Наука, 1971. — 635 с.
Н е й м а р к Ю. И., Ф у ф а е в Н. А. Динамика неголономных систем. — М.: Наука, 1967. — 519 с.
Воронец П.В. Об уравнениях движения для неголономных систем// Мат. сб. - 1902. - Т. 22, вып. 4. - С. 659-686.
Чаплыгин С.А. О движении тяжелого тела вращения по горизонтальной плоскости. Собр. соч. Т. 1. — М.-Л.: Гостехиздат, 1948. — С. 57-75.
Volterra V. Sopra una classe di equazioni dinamiche// Atti della R. Accad. delle sci. di Torino. — 1897. — T. 33. — P. 451-475.
Kane T.R. Dynamics of nonholonomic systems// Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Meeh. - 1961. - V. 28, № 4. - P. 574-578.
Rumyantsev V.V. The general equations of analytical dynamics// Modern Methods of Analytical Mechanics and their Applications. CISM. Courses and Lectures, № 387/ Eds V. Rumyantsev, A. Karapetyan. — Wien-New York: Springer, 1998. — P. 1-54.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМТВЕРДЫХ ТЕЛ С ТРЕНИЕМ
В.М. Матросов, И.А. Финогенко
В обзоре излагается разработанная авторами [2-10] аналитическая динамика систем твердых тел с кулоновым трением в одностепенных ползунах, шарнирах и других кинематических парах. При описании движений в таких системах могут возникать трудности, связанные с возможностью «несуществования или неединственности» движений, открытые более 100 лет назад П. Пенлеве [1]. Указаны пути преодоления этих трудностей.
Уравнения движения
Дана механическая система с к степенями свободы, стесненная го- лономными (вообще говоря, удерживающими, нестационарными) идеальными связями с силами трения скольжения, добавляемыми к активным силам. Уравнения ее движения могут быть записаны в форме Лагранжа
d дТа dt dq1d дТа dt dq1(1)(1)
d дТа dt dq1
d дТа dt dq1
(1)
(1)
где q1^ = dq1j dt — обобщенные скорости, Ta — кинетическая энергия системы в движении относительно инерциальной системы координат, представляющая сумму Та = Т + Ту + То положительно определенной квадратичной формы Т обобщенных скоростей в некоторой области изменения переменных (t, g)
г=1 j = l
линейной формы обобщенных скоростей
к
Т1 =q^q1
г=1
и функции То = T^t, q). Функции aij(t, q^ сц^ q\ T^t, q) предполагаются непрерывно-дифференцируемыми по совокупности аргументов в области определения из пространства R^1.
Qi = Qf(t, q, q) + Qf (t, q, q, q)
— обобщенные силы, действующие на систему, состоящие из активных сил и сил трения.
Вводятся обозначения: q = (g1, ..., qk\ q = (g1, ..., qk\ q = (g1, ... ... ,qk\ Q = (Qi,..., Qk) — векторы обобщенных координат, скоростей, ускорений и сил; после преобразований уравнения (1) записываются в виде
At^ q)q = g(t, q, q) + QA(t, q, g) + QT(t, q, q, q). (2)
Здесь A(t, q) — матрица коэффициентов квадратичной формы обобщенных скоростей с определителем det A(t, q) > 0 при любых (t,q) в некоторой области из Д^^1; QA(t,q,q) включают потенциальные силы, силы радиальной коррекции, силы сопротивления демпферов и среды, g(t, q, q) описывает обобщенные гироскопические силы и переносные силы инерции, Qj(t,q,q,q) — обобщенные силы трения скольжения.
Обощенные силы трения скольжения
Рассматриваются два случая.
^^0(s = l,...,^, 1<Ад <Аф
Согласно законам Кулона обобщенные силы трения скольжения Qj выражаются формулами (см. [11])
Q^1 = -fs\Ns\sgn q\ s = l,...,k*,
где /s(t, qs Dqs) — коэффициенты трения и |7Vs(t, q, q, q)\ — модули нормальных реакций в точках соприкосновения трущихся тел.
Модули нормальных реакций определяются из уравнений Лагранжа с множителями Ay, (j = 1,..., к*, к* ^ к*) для системы с кинетической энергией Та* и дополнительными обобщенными координатами q* = (q^ ... ^qk ), получающейся из исходной после мысленного освобождения ее от связей q^ = 0,..., qk = 0 (щ = щ = 0), вызывающих искомые реакции (см. [12]). При этом
" d dTQ _dt Эф" d dTQ _dt Эф' ВТ'"а—д - QjVt,q,q^q,q*)1*oq*.' ВТ'"а—д - QjVt,q,q^q,q*)1*oq*.-I q*=O,q*=O,q*=O-I q*=O,q*=O,q*=O
" d dTQ _dt Эф
" d dTQ _dt Эф
' ВТ'
"а—д - QjVt,q,q^q,q*)
1*oq*.
' ВТ'
"а—д - QjVt,q,q^q,q*)
1*oq*.
-I q*=O,q*=O,q*=O
-I q*=O,q*=O,q*=O
к
= 52 ak+j i (^ «’ °)^ - 9*3 (t, q, g) - Qj (t, g, g) (j = 1,... ,k*\ i=l
Тогда |7VS| = | As | при скольжении со скоростью q® по поверхности q® = = 0, s = 1,..., к', 0 < к' < к*^ |7VS| = ^/а^ + А?,, если Ns получается от сложения взаимно ортогональных реакций гладких связей q* = = 0, q* = 0 с модулями |Aj |, | Aj/1, s = А/+1,..., к^ j'. j = V + 1,..., к* при вращении тела вокруг оси q3 = 0, q3 = 0 или при скольжении точки по пространственной кривой.
Функции |7VS| непрерывны по q. а при |7VS| ф 0 непрерывнодифференцируемы по q.
q® = 0.
Полагаем q® = 0 и вычисляем обобщенную силу трения скольжения при относительном покое
Q^°(t,q,q,q) = ^ а^^^ 9Q^ “ [^(^, 9, d) + Q„ (^ Q^ d)k’=o-
j=l,jys
Если выполняется неравенство
то полагаемто полагаемIQr°(i,g,d,d)l < Л°(^)|МД Q,d,d)|.j*=g*=o,
то полагаем
то полагаем
Qi(t, q, q, q) = Q™^, q, q, q).
В противном случае предположение о q® = 0 отбрасывается и считается
Q^t^q,^^ = Л(г,<ДО)|7УД,д,4,д)^п Q™(t,q,q,q).
(Тогда в действительном движении системы q® ф 0, так как при q® = 0 получили бы |О^°| = fs\Ns\qS=qS=Ol где /f — коэффициенты трения покоя. Далее предполагается, что fs^t^q®) = fs^t^q®^)-)
В общем случае обобщенные силы трения скольжения имеют вид
'-fs(M%qs)\Ns(t,q^^^q®, если q® 0,
/s(i,Qs,O)|^(t,g, g,g)|sgn Q™(t, q, q, q), если qs = 0,
Q^ (t, q, q, q) = <Q^ (t, q, q, q) = <\Ql°(t,q,q,<i)\ > fs^^q^Ws^t^^iq^q^o,
Q^ (t, q, q, q) = <
Q^ (t, q, q, q) = <
Q^°(t, q, q, q), если qs = 0,\Ql°(.t,q,q,q)\ ^ fs^^ qs)Ws(t, q, q, d)|^=o-(3)
Представление уравнений движения (2) с силами трения в форме (3) придает парадоксам Пэнлеве чисто математический характер, связанный с неразрешимостью или неоднозначной разрешимостью уравнений движения относительно обобщенных ускорений. Возникает задача об их однозначной разрешимости.
Пример (двойной маятник с Кулоновым трением в шарнирах). Рассматривается двойной маятник (рис. 1) состоящий из стержня
длинной Zi подвешенного в цилиндрическом шарнире Oi, в котором действует момент кулонова трения М^ , и стержня длинной Z2 подвешенного к концу первого стержня с помощью цилиндрического шарнира А в котором также действует момент кулонова трения MJ . Кроме трения на стержни маятника действуют силы веса Pi, Р2 стержней и моменты Му, М^ других активных сил.
При освобождении системы от связей с трением (см. рис. 2) полу-
Рис. 2
чаем следующее.
Обобщенные координаты: щ, q2 — углы поворота тел,
93=^10,94=2/10, 9s = ^A, Q6=yA-
Кинетическая энергия:
1 6
= 2 53 ai-j^(ll^ Q^QiQj (aij = aji\ ij=l
Обобщенные силы:
Qi = М^ + М^ + М^ - (у + Р2^ k sin<21 - уу sin(gi + g2),
Q2 = М^ + М^ - —Р sin(gi + qA
Qs = Pl + P‘2 + N1$^ Q4 = Ny^ Q$ = P2 P ^2ж, Об = ^2?/,
№ = V<+<’ 6 = 1,2).
Дифференциальные уравнения движения в форме Лагранжа при учете связей:
[«у (91,92)97 + I -g—qi + у—92 ) 91 - 2 X "a^qiqi ~
j = lх7г,j = l
227 = 17 = 1da^j .da^j ."о—^ + "о—^2oqidq2da^j .da^j ."о—^ + "о—^2oqidq222М = !М = !Модули реакций связей:Модули реакций связей:R| =R| =|W2| =|W2| =^«д • • ГЛ^«д • • ГЛ, ^32 -2 Р DV , f, ^«42 . 2«3 2 92 + — 92 — Pl — ^2 I + I «42 92 + 92 . oq^/\ oq^, ^32 -2 Р DV , f, ^«42 . 2«3 2 92 + — 92 — Pl — ^2 I + I «42 92 + 92 . oq^/\ oq^21 V221 V2, ^«51 .2\- I ^tt61 . 2«5191 +—91 — P2 I + I «6191 +—91dqiJ V ^91, ^«51 .2\- I ^tt61 . 2«5191 +—91 — P2 I + I «6191 +—91dqiJ V ^9121 V221 V2Обобщенные силы трения относительного покоя:Обобщенные силы трения относительного покоя:Qi° = «1292 + “^ 9*22—Му— М^ Р ( ™ Н Р2 ) ZisinQiH—- sin((/i+(/2), dq^уQi° = «1292 + “^ 9*22—Му— М^ Р ( ™ Н Р2 ) ZisinQiH—- sin((/i+(/2), dq^у
2
2
7 = 1
7 = 1
da^j .da^j .
"о—^ + "о—^2
oqidq2
da^j .da^j .
"о—^ + "о—^2
oqidq2
2
2
М = !
М = !
Модули реакций связей:
Модули реакций связей:
R| =
R| =
|W2| =
|W2| =
^«д • • ГЛ
^«д • • ГЛ
, ^32 -2 Р DV , f, ^«42 . 2
«3 2 92 + — 92 — Pl — ^2 I + I «42 92 + 92 . oq^/\ oq^
, ^32 -2 Р DV , f, ^«42 . 2
«3 2 92 + — 92 — Pl — ^2 I + I «42 92 + 92 . oq^/\ oq^
21 V2
21 V2
, ^«51 .2\- I ^tt61 . 2
«5191 +—91 — P2 I + I «6191 +—91
dqiJ V ^91
, ^«51 .2\- I ^tt61 . 2
«5191 +—91 — P2 I + I «6191 +—91
dqiJ V ^91
21 V2
21 V2
Обобщенные силы трения относительного покоя:
Обобщенные силы трения относительного покоя:
Qi° = «1292 + “^ 9*22—Му— М^ Р ( ™ Н Р2 ) ZisinQiH—- sin((/i+(/2), dq^у
Qi° = «1292 + “^ 9*22—Му— М^ Р ( ™ Н Р2 ) ZisinQiH—- sin((/i+(/2), dq^у
Г>То _•• I ^«21 -2,1 ^йц . 2 Л,А , ^<2 • / . \
Q2 — «2191 + д 91 + ^ д^ 91 — М2 Н— sm(gi+g2).
Моменты сил трения Кулона:
' -/i |М(q, 92, 92)1 Sgn Qi, если gi ^ О,
„Л|М(9,92,9г)| sgnQ^0 (д, д2,92), если gi = 0 и
Qf°(9,92,92) > /1|М(9, 92, 9г)|,
.<2? (9,92, 92), если 9! = 0 и |Qf° (д, q2,92I < Л|М(9,92,9г)|,
2(9,91,91)1 sgn92, если q2 ^ О,
„/2|М(9,91,9i)| sgnQ^°(g,9i,gi), если д2 = 0 и
Q2° (9, 91,91) > /1 |М (9, 91,91)1,
<Q?°(9,9i,9i), если g2 = 0 и |Q2°(9,9i,9i| < /г|М(9,91,91)1-
Преобразование уравнений движения
Обозначается
М(9) = {s е (1,...,^) : qs = 0},
М(^,9,9,9) = {s € ^(q) : |Q^°(t, 9, 9, 9)1 < fs(t, qs, 0)|M(i, 9, 9, 9)1}- Рассмотрим систему уравнений
'Ei=i «si(i,9)94 = Ql°(t,q,q,q') +9s(t,q,q') + Qf(t,q,q),
s e Ao(t,9,9,9),
ELi «si(i, 9)9l = /s(i,9s,0)|^(t,9,9,9)| sgn Q^°(t, q, q, 9) +
<+9s(i,9,9) + <2^(i,9,9), s e M(9)\M(^, 9, 9, 9),
Et=i «si(i,9)9’ = -/s(^,9s,9s)|M(^,9,9,9)| sgn qs +
+ 9s(.t, q, 9) + Qt(t, q, q), s e (1,..., A:J\M(g),
<Ei=i dsi^t^^q1 = gs(.t,q,q) + Q^t,q, q), s = k* + 1, • • •, k.
(4)
Лемма. Если
(5)(5)Mt,qs,O)
(5)
(5)
для всех s 6 Л^(^\Ло(^ Q, <Л <7)> (^Q?^^) Е £1 х Rk : \Ns(t^ q^ q^ q)\ ^ 0, то уравнения движения (2) эквивалентны уравнениям (4).
Правые части уравнений (4) непрерывны по q. Учитывая, что диагональные элементы симметричной, положительно определенной матрицы A^t, q) — положительные числа, заключаем, что неравенства (5) выполняются всегда, если \Ns(t1 q^ q^ q)\ не зависят от qs или для малых fs.
Условия разрешимости уравнений движенияотносительно q
Уравнения динамики преобразуются к виду
(6)(6)q = F(t,q,q,q\
(6)
(6)
Для разрешимости уравнения (6) относительно q применяется принцип сжимающих отображений. Через * обозначается обратная матрица к [Л(£, #)](&*), где [Л(£, #)](&*) есть подматрица матрицы A(t, q^ полученная из нее вычеркиванием первых к* строк и столбцов; 7 = y(t, q, q), 0 ^ 7 < 1 — непрерывная функция.
Условия сжимаемости функции F относительно q могут быть записаны в виде: для всех s, v = 1,..., к^ (t^q^ ср q) E Q X Rk таких, что VNs^q^cpq^ ф 0 выполняется неравенство
7^33 к^ ’
(7)
где es = +1 или es = — 1 и asv = 0, если s = v^ asv = 1, если s ^ v.
При выполнении неравенства (7) в области Q существует функция G, которая является единственным решением (относительно q) уравнений (4) и они могут быть записана в форме
(8)(8)q=G^q,q\
(8)
(8)
Под правосторонним решением задачи Коши уравнений (8), определенным на некотором промежутке [to 7 а\ понимается непрерывная, дифференцируемая справа функция ^q^t\q^\ удовлетворяющая
(9)(9)D+q^ = g(t), D+q(t) = G(t, q(ty q^t)),9(^o) = 9o,9(^o) = 9o-
(9)
(9)
Решения уравнений движения понимаются, как правосторонние решения задачи (9).
Основные свойства уравнений движения
При выполнении неравенств (5) и (7) для х = (q, q), / = (Gi,G), где Gi(t, ж) = ф уравнения движения запишутся в виде
х = /(t, xY(10)
Пусть
Цб^) = {ж' = (g',g'): 4s' = °, если зеЯ, /s|7Vs| > |Qf°|;
qs,Ql° С о, если 8 е Я, fs\Ns\ С |ОГ°|}, П
где значение q в выражениях для |7VS| и Q^° считается равным G(t,q,qY Если N\x) = 0, то считаем Г(ж) = R?k.
Лемма 1. Пусть выполняются нераветства (5) и (7). Тогда в каждой точке (t, ж) 6 Q выполняются следующие условия.
Функция f локально ограничена.
Функция KtV) непрерывна в точке (t,x) вдоль множества Г(£, ж) справа относительно Т, т. е. для любого б > 0 существует 5 = 5(e,t,x) > 0 такое, что
||/(i, ж) —/(t', ж')|| < е
для всех (tV) Е 8§^"Цх\ х’ Е T(t,xY
/(t, х) Е Г(£, xY
В некоторой окрестности S§(t,x) определена вещественнозначная^ непрерывная, липшицевая по х’ равномерно относительно tf функция У^^^Т ,х') такая, что
V{t^ V, xY > о, VkM (t', x'V^x' Е r(t, xY
и если I\t,x) ^ R?k, то существуют числа a = a(t,x) > 0, 5 = = S(t,x) > 0 такие, что
D*+V(t^X^') < -a
для всех (t^x') E S§(t,xY xf T(t,xY
Отметим, что в каждой точке (t, х) Е Q, для которой Г(ф,х) = = R?k, функция / непрерывна справа относительно t'Y а условия 3 и 4 становятся тривиальными.
Существование правосторонних решений
Исследование уравнений движения основано на использовании леммы 1. Поэтому в дальнейшем считаем выполненными неравенства (5) и (7), которые обеспечивают разрешимость уравнений движения
относительно обобщенных ускорений и необходимые свойства этих уравнений в явной форме (8) или, эквивалентно, в форме (10).
Пусть А > 0 — некоторое число. Непрерывная, дифференцируемая справа функция a^(t), определенная на [to, Н) называется А-решением уравнения (10), если для всех t Е [to,ti) выполняется
||7?+жд(0 - f(t,x^W)\\ < А.
Существование решений основывается на следующих двух леммах.
Лемма 2. Для любого начального состояния (to, жо) Е Q и Ао > > 0 срществрют числа ц > 0, 5 > 0, ty > 0 такие, что ||/(t, ж)|| ^ ^ ц для всех (t,x) Е 8§(Д,хо) и для любого А Е (0, Ао) срществрет Ak-решение хДД) рравнения (1), определенное на промежртке [to, ti) и рдовлетворяющее жд(^) = ^о, ^д(^) Е Sg^t^xo) для ecext Е [to>Н)-
Лемма 3. Преть Д^ -д- +0 и последовательность ^-решений хДб) равномерно сходится на промежртке [to,ti) ^ фрикции x(t) такой, что x(t) Е Q для всех t Е [to, ti). Тогда x(t) — решение рравнения (1).
Теорема 1. Для любого начального состояния (to,£o) Е Q срществрет локальное решение рравнения (1). Правая производная D+x(t) любого решения рравнения (1) является фрикцией, непрерывной справа.
Так как любое решение является A-решением для любого А > 0, то из леммы 2 вытекает
Следствие 1. Равномерный на промежртке [to,ti) предел x(t) последовательности решений такой, что x(t) Е Q для всех t Е Е [to,ti), является решением рравнений движения.
Свойства решений
Понятия продолжения решения, непродолжимого решения, правого максимального промежутка существования используются в обычном смысле.
Теорема 2. Любое решение с начальными рсловиями ^,х^ Е Q может быть продолжено на правый максимальный промежрток ср- ществования [to, си)- Любое непродолжимое решение x(t) стремится к границе множества Q при t ш, т. е. для любого компактного множества К С Q срществрет точка t-к Е (to,k>) такая, что x(t) К для всех t Е ^к^\
Теорема 3. Преть множество ^t^) = {ж: (to,х) Е Q} непрсто, А С H(to) — компактное множество и все решения x(t) с начальными рсловиями x(to) Е А срществрют на промежртке [to, а). Тогда для любого ti Е (to, а) отрезок интегральной воронки множества А, лежащий в полосе to С t ^ ti, является компактным множеством. Множество всех решений с начальными рсловиями из А, сржен- ных на отрезок [to, ti], является компактом в пространстве C[to,ti]
непрерывных на [to, ti] функций с топологией равномерной сходимости.
Без предположения о единственности решений справедлива следующая
Теорема 4. Пусть все решения с начальными условиями (to,xo) 6 Q существуют на [to, а). Тогда для любых О 0 и б 6 Е (to, а) существует 5 > 0 такое, что для любых x’q таких, что
(^о,Жд) е Q, Пято - Жд || < ^(12)
каждое решение жД) с начальным условием х'(to) = Жд может быть продолжено на правый максимальный промежуток существования [to, си'), ш? > ^ь п существует решение x(t) с начальным условием x(to) = xq такое, что (для продолжения решения х*(Т^ выполняется
||жД) - Ж^)|| < 6
для всех t Е [to, ti].
Если через Н(хг0) С С [to, й] обозначить множество всех решений с начальными условиями (to, ^0)7 суженных на отрезок [to, ti], то из теорем 3, 4 вытекает, что для каждого значения Xq достаточно близкого к ж о множество Н(хг0) не пусто и компактно, а многозначное отображение х?0 -Д- Н(х'о) — полунепрерывно сверху в точке х^.
Следствие 2. Пусть уравнение динамики обладает правой единственностью, x(t) — решение с начальными условиями (1q,xq) Е Е Q и с правым максимальным промежутком существования [to, си). Тогда для любых е > 0 и ti Е (to, си) существует 5 > 0 такое, что что для любых х'о, удовлетворяющих условиям
(*о,^о) Е Q, ||ж0 - Xq || < 5,(13)
каждое решение x'(t) с начальным условием ж'(to) = х'о может быть продолжено на правый максимальный промежуток существования [to,си'), ш’ > ti, и (для продолжения решения x'(t^ выполняется
||ж'(0 - ж(0|| < б
для всех t Е [to, ti].
Следствие 3. Пусть уравнение динамики обладает правой единственностью, (to,£o) С Q, хпо Е $о и x(t) — решение, определенное на правом максимальном промежутке существования [to,си) с начальным условием x(t^ = xq. Тогда для любого ti Е (to,си) на отрезке [to,ti], начиная с некоторого номера, определена и равномерно сходится к x(t) последовательность решений xn(t) уравнения (1) с начальными условиями xn(to) = хно.
Следствия 2 и 3 при условии правой единственности уравнений динамики дают непрерывную зависимость решений от начальных состояний.
Принцип инвариантности и притяжение
Рассматривается автономное уравнение движения
ж = /(ж)(14)
с функцией /: Q —> R?k, определенной в области Q С R?k.
Теорема 5. Пусть К^^ — ш-предельное множество решения x(t). Тогда множество Л = Л+(ж) П Q полуивариантно^ т. е. для любой точки b 6 Л сугцествует решение y(t) уравнения (14) с начальным условием у^Т) = 6, определенное на правом максимальном промежутке [0, си), такое^ что y(t) 6 Л для всех t 6 [0,си).
Через w(x) обозначается произвольная функция с неотрицательными значениями, определенная в области Q.
Пусть E(w = 0) = {ж Е Q: w(x) = 0}.
Теорема 6. Пусть x(t) — непродолжимое решение и V:Q -д- -Д- R?k — локально липшицевая функция такая^ что D*+V(x) ^ ^ — w(x) на [09си). Тогда
Л+(ж) ПН С E(w = 0).
Теорема 7. Пусть для уравнения (14) и некоторого множества М С Q сугцествует конечный набор локально липшицевых функций V^x\ 0 г TV, таких^ что для всех х Е П
D*^V0(x) ^ —w(x)^
и для любого х Е Е(ии = 0)\М сугцествует функция V^ 1 г TV, такая^ что
ВД=0,£»*+К(ж)^0.
Тогда для любого непродолжимого решения x(t) выполняется
АЛ^П^сМ.(15)
При этом
A+(x)cTHUdQ(16)
и справедливы утверждения:
либо ||х(Т)|| -4* +оо, либо x(t) слабо стремится к множеству М U 9Q при t ш^
либо x(t) неограничено^ либо x(t) стремится к множеству М U 9Q при t ш^
если М U 9Q = 0, то ||х(Т)|| -д- +оо при t ш.
4 Под ред. В.М. Матросова и др.
Для каждого ж € Q обозначается
!
w(x),если х Е
h если 9С1.
Будем говорить, что функция У (ж) непрерывна вплоть до границы, если для каждой точки х Е 8П существует конечный предел Пшж/^Ж)Ж/Е^ V^х’У Функцию / назовем локально ограниченной на границе, если для любой точки х Е 9Q функция / ограничена на пересечении некоторой окрестности х с множеством Q.
Теорема 8. Пусть Vq(x) — непрерывная вплоть до границы локально липшецевая функция такая, что
D^V0(x) < -w(x)(17)
для всех х Е Cl и f — локально ограниченная на границе функция. Тогда
А+(ж) С E(w = 0)
для любого решения, определенного при всех t ^ 0.
Теорема 9. Пусть М С Cl — некоторое множество, Vo (ж) — локально липшицевая, непрерывная вплоть до границы функция, для которой выполняется неравенство (17).
Предположим, что / локально ограничена на границе и в некоторой окрестности множества Q определены непрерывно дифференцируемые функции V^x\ 1 ^ i < N, со свойством; для любого х Е Е E(w = 0)\ М существует функция Vi такая, что Vi(x) = 0 и выполняется
D^V^x^ ф 0, если х Е (E(w = 0) П С1)\М,
(grad ТДж),/(ж)) > 0 для всех f(x), если х Е (Е(ш = 0 П 8С1)\М,
(18)
где f(x) означают предельные значения функции / в точке х.
Тогда для любого решения x(t), определенного для всех t ^ 0, выполняется
А+Д)сМ.(19)
При этом;
либо ||x(t)|| -4* +оо, либо x(t) слабо стремится к множеству М при t -4 +оо;
либо x(t) неограничено, либо x(t) стремится к множеству М при t -4 +оо;
если М = 0, то ||x(t)|| -4 +оо при t -д- +оо.
Пример. Рассматривается плоская механическая система состоящая из поршня В массой mi, движущегося с трением по прямолинейной трубке Ох, наклоненной к горизонту под углом а,0^а<тг/2
и рассматриваемого как материаольная точка с координатой ж = д1, и тяжелого абсолютно твердого тела массы 777,2, вращающегося с трением вокруг цилиндрического шарнира, установленного на поршне, имеющего расстояние г от шарнира до центра масс С и момент инерции Jc относительно центра масс. Угол 3 отклонения ВС от нормали к Ох, направленной вниз, принимается за q2. Коэффициенты трения fi в поршне и /2 в шарнире считаются постоянными, т = 777,1+777,2, J = = Jc + 777,2г2. Сопротивлением среды пренебрегаем.
Уравнения движения системы в форме Лагранжа имеют вид
!
тх + 777,2г cos 33 — т^гЗ2 sin 3 — mg sin а +,
777,2г cos Вх + J3 = —m2gr sin(a + 3) + Q^ •
Модули нормальных реакций
|7Vi| = |тт7,2^(/3 sin /3 + З2 cos 3) + mg cos a|,
IW2I = 777,2 [(ж + т*3 cos 3 — r32sin3 + g sin a)2 +
+ (тД sin3 + тЗ2 cos 3 "V g cos a)2]1/2.
Обобщенные силы трения при равновесии относительно каждой из обобщенных координат х, 3
Q^° = т^гф cos 3 — Р sin3) + mg sin а (ж = 0, х = 0),
Q^° = т^гф cos 3 "V д sin(a + 3)) (3 — 0,3 — 0).
Достаточными условиями разрешимости уравнений (20) относительно ускорений и существования правосторонних решений являются неравенства
777,27"(| COS^| + /1| Sin^|) < т/2,
m2r(\cos 3\ + /2) < <7/2,(21)
777,2^/2(1 cos^l + I sin^l) < J (2.
Множество положений равновесия имеет вид
М = ^q,qY х = 0, 3 = 0, /1 > tga, /2 ^ r| sin(a + ^)|}.
За основную функцию Ляпунова Уд возьмем энергию системы
Уд = Т + П = 1/2(тж2 + 2т2тхЗ cos 3 + J З2^ +
+ тдх sin а + т2дгф — cos(a + 3)\
Из анализа системы легко определяются вспомогательные функции Ляпунова
Vi = х, V2=3, Уз = гЗ2 + д cos(a + 3\ ^4 = sin(a + 3)
и функция
W = /1|М|И + /2|ЛГ21|^| = -n+Vo-
Тогда для уравнений (20) справедлива теорема о притяжении, из которой вытекает дихотомичность системы.
Устойчивость
К постановке задачи. Рассматривается автономное уравнение движения в форме
ж = f^Y(22)
где х = ^qY / = (Gi,G), Gi = q.
Для каждой точки х Е fl (как и ранее) обозначается
Г = Г(ж) = {ж' = (q',q') е R^'. q’s = 0, если seN, Js\Ns\ > |Qf°|;
q'sQ? < 0, если s E Я, fs\Ns\ < |Q™|, |^| + 0},
где Я = Я^ = {s e (i,..., k*Y qs = o}.
Обозначается
S5 = ^(ж) = {ж' e Q: ||ж - ж'|| < 5}, Q^ = П^(ж) = Ss(x) П Г(ж).
Если N = 0 или |7VS | = 0 для всех s E ЛГ, то считаем Г = R2k.
Приведем свойства функции /.
Л е м м а 4. В каждой точке ж 6 Q выполняются свойства:
функция / является локально ограниченной;
функция / непрерывна вдоль множества Г (ж), т. е. для любого 6 > 0 существует 5 = д(е,х) > 0 такое, что для всех х’ Е П^(ж) выполняется
||/(ж)-/(ж')|| <е;
/(ж) Е Г(ж);
существует локально липшицевая функция Vx:R?k R1, такая, что
> 0; Vx^ = о О ж' е Г(ж)(23)
и, если Г(ж) ^ R?k, то существуют числа а = а^ > 0 и 5 = д(х) > > 0 такие, что
D+V^x') < -о(24)
для всех х’ Е 5^(ж)\Г(ж).
Из (22), (23) вытекает, что для любого ж Е Q при соответствующем выборе числа 5 > 0 множество П^(ж) обладает свойством абсолютного сектора, а именно: траектория любого решения с начальным условием ж(0) Е П^(ж) остается в П^(ж) для всех t 0, при которых ж(^) Е Е ^(ж). Чтобы указывать на это свойство множества П^(ж), будем
называть его абсолютным сектором, порожденным множеством Г (ж) или, кратко, — Г-сектором с вершиной ж и радиусом 5, всегда при этом имея ввиду, что для числа 5 > 0 выполняется условие (1.6). Для случая Г (ж) = R?k выполняется ПДж) = 5Дж) и радиусом считается произвольное положительное число. Если же Г(ж) 7^ R?k и 5 > 0 — радиус Г-сектора, то любое число 5' 6 (0, 5) также является радиусом сектора, порожденного тем же самым множеством Г (ж).
Общие свойства решений.
Утверждение. 1. Для любого начального условия жо Е Q существует локальное решение.
Любое решение ж(Д является R-правосторонним, т. е. правая производная D+x(t) является непрерывной справа функцией.
Предел ж(Д любой равномерно на [ОДД сходящейся последовательности решений является решением (1) при условии, что x(t) Е Е Q для всех t Е [ОДД.
Любое решение ж(Д может быть продолжено на правый максимальный промежуток существования [О,сД. При этом либо ш = = +оо, либо ио < +оо и ж(Д стремится к границе множества Q при t со.
Для любого решения ж(Д множество Л+(ж)ПП полуинвариантно, где Л+(ж) — ио-предельное множество решения x(t).
Теоремы об устойчивости. Для множества М С Н2к и числа Р > 0 через М^ обозначается ^-окрестность множества М.
Предполагается, что М С Q — компактное множество, удовлетворяющее для каждого ж Е М условию
М С Г(ж).
Последнее включение выполняется всегда, если М — множество положений равновесия уравнений движения.
Лемма 5. Для любого е > 0 существует бо Е (0, б), конечный набор Г-секторов £2<^(жД с вершинами в точках Xi Е М и радиусами Si Е (0, б) и числа Xi Е (О, 5Д, г = 1,..., п, такие, что
М С {иПд. (жД: г = 1,..., п}
и любое решение ж(Д обладает свойством; если
(ж(0) Е ПдДжД ПЛГД Л (Vt Е [ОДД, ж(Д Е Ме^
для некоторого индекса г Е (1,..., п) и промежутка [ОД*) (конечного или бесконечного), то
\/t Е [О, Д) ж(Д Е {иГ^ДжД, г = 1,..., п}.
Лемма 6. Для любого т > 0 и для любого конечного покрытия множества М Г-секторами Пд. (жД, г Е I = (1,..., т), существуют
то 6 (0, г) u 5g > О такие, что любое решение х(б) обладает свойством
ж(О) е М5° => ж(т0) е {ША;(ж;): г е I}.(25)
Для вещественнозначной функции V, определенной в некоторой окрестности множества М, и числа у обозначим E^V < < 7) = {ж: V(ж) < 7}.
Теорема 10. Пусть в некоторой окрестности Мр, р > 0, множества М определена неотрицательная локально липшицевая функция У (ж) со свойствами:
у (ж) = Оож е М'
для любого Г-сектора П^(ж) с вершиной х Е М и радиусом 5 < р выполняется D^V^x')0 для всех х’ Е С1§(х).
Тогда для любых е > 0 и т > 0 существуют 5 > 0 и конечное покрытие множества М Г-секторами Q^ (жД ж^ Е М, г = 1,..., п, такие, что любое решение ж(^) с начальным условием
ж(о) е м5
определено для всех t ^ 0 и удовлетворяет условиям
Ж^ 0 ж№ Е М\(26)
^t т ж(^) Е {иП^(ж^): г Е (1,..., п)}.(27)
В теореме 10 утверждается не только устойчивость множества М (т. е. ж(о) е м8 Mt о, ж(0 е меу но выполнение условия (27), из которого вытекает, что функция V^x^t^ является невозрастающей для всех t ^ т вдоль любого решения ж(^) с начальным условием ж(0) Е Мб. Последнее вместе с принципом инвариантности может быть использовано для доказательства асимптотической устойчивости множества М.
Теорема 11. Пусть выполняются условия теоремы 10 об устойчивости и, дополнительно, D^V^x') < 0 для всех х’ Е С1§(х)\М.
Тогда М асимптотически устойчиво.
Теорема 12. Пусть выполняются условия теоремы 10 об устойчивости и, дополнительно, множество {ж Е Мр: D^V^ = = 0)^Г\Мр не содержит замкнутых полуинвариантных множеств, непересекающихся с М и принадлежащих какому-либо покрытию множества М Г-секторами с вершинами в М.
Тогда множество М асимптотически устойчиво.
Если же условие 2 теоремы 10 заменить на
) для любого Г-сектора ПДж) с вершиной х Е М и радиусом 5 < < р выполняется D^^V^x’^0 для всех х’ Е П^(ж);
то при том же самом дополнительном предположении множество М неустойчиво.
Теорема 13. Пусть М — устойчивое, компактное множество положений равновесия такое, что некоторая его окрестность Мр не содержит положений равновесия, не принадлежащих М. Предположим, что на множестве Мр определены локально липши- цевые функции V^x\ г = 1,... ,т, такие, что для любого Г-сектора ЮДж) с вершиной х Е М и радиусом 5 6 (0,р) выполняются условия;
D^V^x'^ ^ 0 для всех х’ 6 Q^(x) и г = 1,..., т*,
Й.8^ П Е С {ж: ж = (g, q\ q = 0}, где Е = {ПЯ(Г>*Щ = 0): г е £ (1,...,т)}.
Тогда М асимптотически устойчиво.
Пример. Рассматривается плоская механическая система состоящая из поршня В массой ту, движущегося с трением по горизонтальной прямолинейной трубке Ох и рассматриваемого как материаоль- ная точка с координатой х = q1, и тяжелого абсолютно твердого тела массы 777,2, вращающегося с трением вокруг цилиндрического шарнира, установленного на поршне, имеющего расстояние r от шарнира до центра масс С и момент инерции Те относительно центра масс. Угол 3 отклонения ВС от нормали к Ох, направленной вниз, принимается за q2. Предполагается, что вдоль Ох действует сила упругости пружины с коэффициентом упругости с и точкой ненапряженного состояния х = 0. Коэффициенты трения fy в поршне и /2 в шарнире считаются ПОСТОЯННЫМИ, 777, = 777,1 + 777,2, J = Jc Т т^.
Уравнения движения в форме Лагранжа, модули нормальных реакций и силы трения при относительном покое записываются в виде
тх + т^т cos 33 = т^тЗ2 sin 3 — сх + Qf,
(28) т^т cos Зх + J3 = —т^дт sin 3 + Q^,
|М| = Зп^тф sin3 + З2 cos/5) + тд\,
|^2 I = 777,2 [(ж + тЗ cos 3 ~ Т^ЗтрУ + (тЗ 8Ш 3 + ^З2 COS 3 + g)2]1/2,
Qf 0 = т^гф cos В — З2 sin3) + сх (х = 0, х = 0),
Q^° = т^т^х cos 3 + 9 sin3) Ф = 0,3 = 0).
Достаточными условиями разрешимости уравнений относительно q = (х, 3) являются неравенства
т^г^ cos^| + /i| sin^|) < 777,612/2,m2r(\cos^| + /2) < Jeiy)^,(29)
777,2^/2(1 cos^l + I sin^l) < J/2.
Эти же неравенства обеспечивают существование правосторонних решений и их свойства.
Множество положений равновесия имеет вид
М = {(q,qy. х = 0, 3 = 0, fymg с|ж|, /2 r\sin^|}.
Будем предполагать, что /2/г < 1- В этом случае М представляет собой совокупность прямоугольников на плоскости (ж, РУ Определим Ри из уловий: sin^/^ = /2/^? О < Ри < тг/2 и положим хи = fimg/c. Множество Ми = {(q,q) ^ М; |ж|ж^, \Р\ Ри^ будем называть
нижней зоной застоя. Обозначим
Wi = < (о,|ж| <
m25r(cos/3Zz - cos/3), |/3| > Ри,
О,|/3| < ри,
Т = ^(тх2+ 2m2rxPcosP + Jp2), V = T + WT +W2,
wi = Л1М1И, w2 =/2|^||/3|.
Функция V является положительно определенной относительно множества Ми в некоторой достаточно малой его окрестности.
Множества Г для точек (жо, Ро, жо- Ро) = (Qo?do) £ Miz и значения правой производной D^V в силу системы на каждом Г-секторе Q^t/Oido) описываются следующим образом (все возможные случаи):
|жо| < хы |А| < Ри ((gtbdo) — внутренняя точка прямоугольника МиУ Тогда
Г(9о, 9о) = {(9, q>.x = 0,p = 0}, D+V = 0;
|ж0| < хи, |/30| = Ри или |/30| < Ри, ko| = хи (стороны прямоугольника Ми без вершин). Тогда
Г(9о,9о) = {(9,9): х = 0, РРо < 0},
-w2,|/3| > Ри,
-w2 + m2gr\sin/3||/3|, |^| < Plz,
или соответственно
Г(9о,9о) = {(9,9): Р = 0, хх0 < 0},
D+V _\х\>хи,
[-W1 + с|ж||ж|, |ж| < Хи",
|жо| — хи, |/?о| — Ри (вершины прямоугольника Ми). Тогда
Г(9о,9о) = {(9,9): РРо < 0, хх0 < 0},
I—Wi — W2,
-Wi - W2 + с|ж||ж|,
-Wi - w2 + тп2дт\sin^||^|,
-wi - w2 + с|ж||ж| + т^дтр sin^||^|,
1Я > Зи, \х\ > Хи Н < хи, \3\ > Зи\3\ < Зи, И > Хи\3\ < Зи, и С Хи1Я > Зи, \х\ > Хи Н < хи, \3\ > Зи\3\ < Зи, И > Хи\3\ < Зи, и С ХиТаким образом, имеем девять возможных видов для множеств Г и в пределах каждого Г-сектора обобщенные скорости х, 3 либо обращаются в нуль, либо сохраняют знаки, обратные знакам ж о и Зо соответственно. Учитывая это, можно показать, что в пределах каждого Г-сектора выполняется D^V ^ 0 и справедлива теорема об устойчивости.
1Я > Зи, \х\ > Хи Н < хи, \3\ > Зи
\3\ < Зи, И > Хи
\3\ < Зи, и С Хи
1Я > Зи, \х\ > Хи Н < хи, \3\ > Зи
\3\ < Зи, И > Хи
\3\ < Зи, и С Хи
Асимптотическуя устойчивость Ми устанавливается с использованием вспомогательных функций Vi = ж2/2, V2 = /32/2.
§10. Теоремы сведения
Точечная устойчивость. Уравнение движения рассматривается в виде
x = G(x,x)(30)
(в этом параграфе обобщенные координаты, скорости и ускорения обозначены х, х и х соответственно).
Изучается точечная устойчивость внутренних положений равновесия, которая может обеспечиваться структурой уравнений без каких-либо дополнительных предположений. В общем же случае исследование устойчивости или неустойчивости внутренних положений равновесия сводится к изучению соответствующих свойств некоторой новой системы уравнений, полученной из исходной, которая имеет меньшую размерность и допускает применение хорошо разработанных методов теории устойчивости, поскольку лишена факторов, затрудняющих изучение исходной системы (неразрешенность относительно старших производных, разрывность правых частей уравнений). При определенных условиях доказана теорема об устойчивости относительной границы множества положений равновесия, как необходимом и достаточном условии устойчивости всего этого множества.
Множество положений равновесия имеет вид
М = {(ж,0) Е Q:/s(xs,0)K(x,0,0)| > |Qs(x,0)|, s = 1,...,Ад;
Qs(ж, 0) = 0, s = Ад,..., kY
Определение. Положения равновесия (ж,0), для которых fs|7VS| > |QS| для всех s = l,...,k* называются внутренними. Множество всех внутренних положений равновесия уравнения (30) обозначается М°.
Введем обозначения:
к.
Положив в исходных уравнениях движения х8 = 0, s = 1,... к*. отбросив первые три группы уравнений и добавив к четвертой группе условия Xs = 0, s = 1,..., к^. получим соотношения
(х8 = 0 (s = 1,..., к*),
<(31)
+ l «si^W = <95(ж,Ж0*) (в = к* + 1,...,к\
Будем рассматривать (31), как систему дифференциальных уравнений с фазовыми переменными в пространстве вД-к* ^ которыми, чтобы не проводить переобозначения и подчеркивать связь с уравнениями движения, будем считать (ж, ж*). Положениями равновесия для системы (31) будут точки
(ж, 0*) =
к —к*
где ж удовлетворяет равенствам Qs(x, 0) = 0, (s = к* + 1,..., к). Множество всех положений равновесия уравнений (31) обозначается М*. Очевидно, если (жд,0) положение равновесия уравнений движения, то (жо, 0*) — положение равновесия уравнений (31). Обратное, вообще говоря, неверно. Например, если к = к*. то вторая группа уравнений (31) отсутствует и М* = Нк.
Будем говорить, что положение равновесия (жо,О) Е М устойчиво асимптотически почти мгновенно по переменным жг, г = 1,..., к*. если для любых 6 > 0 и т > 0 существует 5 > 0 такое, что любое решение (ж(£),ж(£)) уравнения (30) с начальным условием
(ж(0),ж(0)) Е 5^(жо,О)
существует и удовлетворяет
(ж(£),ж(£)) Е 5б(жо,О) для всех t ^ 0;
жг(£) = 0 для всех t ^ т, г = 1,..., к*.
Лемма 6. Устойчивое внутреннее положение равновесия уравнения (30) является устойчивым асимптотически почти мгновенно по переменным ж1,..., хк*.
Теорема 14. Для устойчивости внутреннего положения равновесия (жо,О) Е М° необходима и достаточна устойчивость соответствующего ему положения равновесия (жо,О*) Е М*.
Приведем равносильную формулировку теоремы 14.
Теорема 15. Для неустойчивости внутреннего положения равновесия (жо,О) 6 М° необходима и достаточна неустойчивость соответствующего ему положения равновесия (жо,О*) Е М*.
Следствие 7. Если в уравнениях движения к = к*, то любое внутреннее положение равновесия (жо,О) уравнений движения устойчиво асимптотически почти мгновенно по переменным ж1,... ... Дк. В этом случае система сведения имеет вид
ж'= О, г = 1,...,к.
Замечание. В связи с уравнениями (31) отметим, что в них можно отбросить первую группу уравнений хг = 0, г = 1, ...,&*, а во второй группе считать Д...,жк* вещественными параметрами. Такой подход равносилен используемому здесь, но нуждается в дополнительных обозначениях, определениях и неудобен при доказательствах. Но в конкретных задачах он может применяться и оказаться более простым. В тех же ситуациях, когда функции Qs(x, ж), s = к* + 1,..., к, не зависят от ж1,..., хк*, первая группа уравнений из системы (31) играет формальную роль.
Устойчивость границы множества положений равновесия. Предполагатся, что к = к*. Через М^ор и ЭМ обозначается топологическая внутренность и граница множества М относительно подпространства L = {(ж, ж): х8 = 0, s = 1,..., kY
Т е о р е м а 16. Если 0 и С М^то МД = М^ и любое компактное множество К С A4t°op является устойчивым. При этом для любого т > 0 существует 5 > 0 такое^ что для любого решения z(t) = (ж(£),ж(£)) уравнения (1) с начальным условием
^(0) Е Кб° (32) выполняется
zW е м°ор (33)
для всех t т.
Теорема 17. Пусть множество М С П компактно, М^ор ^ 0 и М^ор С М°. Тогда М^ор = 7И° и для устойчивости множества М необходима и достаточна устойчивость ЭМ.
Пример 1 (пример Пэнлеве). Рассматриваются две материальные точки единичной массы, связанные невесомым стержнем длины г > 0. Одна из них скользит с трением по неподвижной горизонтальной прямой Ох и имеет координату ж, другая движется без внешнего сопротивления в вертикальной плоскости Оху под действием силы тяжести у. Ось Оу направлена вниз, 6 — угол отклонения стержня от
положительного направления оси Ох по часовой стрелке. Коэффициент трения /1 > 0 считается постоянным. Уравнения движения имеют вид
(34)(34)2х — г sin 00 = г О2 cos 0 + Qf, —г sin Ox + r20 = тд cos 0.
(34)
(34)
Здесь |7Vi | = \r(0 cos 0 — 02 sin#) — 2g|, Q^ = —r (OsinO + 02 cos#),
Г{1}, x-^f{l}, x-^ ЮГ°К/1|МЬ
0, x ^ 0,0, x ^ 0,0,(^0)V(± = 0, |Qf°| >/11^x1,0,(^0)V(± = 0, |Qf°| >/11^x1,z.
0, x ^ 0,
0, x ^ 0,
0,(^0)V(± = 0, |Qf°| >/11^x1,
0,(^0)V(± = 0, |Qf°| >/11^x1,
Функция Q^ (сила трения) в уравнениях (34) определяется по формуле
М + 0,
Qi = AIMI sgn Qf°, Я / 0, Яо = 0,<-/l|M| Sgn ж, Я=0.
Условием разрешимости уравнений (34) относительно (ж, #) является неравенство
Множеством положений равновесия уравнений будет
М = {(ж, #,0,0): cos# = 0}.
Так как для каждой точки из М выполняется /i|7Vi| = 2 fig > 0 и Q^° = 0, то, в соответствии с принятым определением, все положения равновесия уравнений (34) являются внутренними. Уравнениями (31) (сведения) для (34) будут
(36)(36)х = 0,
(36)
(36)
г0 = д cos 0
(первое уравнение играет формальную роль)
Пример 2. Линейный осциллятор при наличии сухого трения.
(37)(37)тх = — kx + Q^,
(37)
(37)
где х — смещение тела с массой т по горизонтальной оси Ох под действием упругой силы пружины с коэффициентом упругости к. Здесь
|^i| = 1, QT° = ^ж7 коэффициент трения / > 0 считается постоянным, множеством положений равновесия будет
М = {(ж, 0): |ж| < fmg/k}.
Согласно принятому определению имеем
М° = {(ж,0): |ж| < fmg/k}.
Очевидно, М° = Mt°op и поэтому устойчивость множества М равносильна устойчивости граничных положений равновесия (концов отрезка покоя).
Развернутое изложение приведенных выше результатов и доказательство всех утверждений опубликовано в статьях авторов в журналах [2-10].
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 00-01-00293.
Список литературы
ПэнлевеП. Лекции о трении. — М.: Гостехиздат, 1954.
М а т р о с о в В. М., ФиногенкоИ.А. О разрешимости уравнений движения механических систем с трением скольжения// ПММ. — 1994. - Т. 58, вып. 6. - С. 1-13.
М атросов В.М., ФиногенкоИ.А. О свойствах правосторонних решений уравнений динамики механических систем с трением скольжения// Докл. РАН. — 1995. — Т. 343, № 1. — С. 53-56.
М атросов В.М., ФиногенкоИ.А. О правосторонних решениях дифференциальных уравнений динамики механических систем с трением скольжения// ПММ. — 1995. — Т. 59, вып. 6. — С. 877-886.
Матросов В.М., Финогенко И.А. О существовании правосторонних решений дифференциальных уравнений динамики механических систем с сухим трением// Дифференц. уравнения. — 1996. — Т. 32, № 2. - С. 185-192.
М а т р о с о в В. М., ФиногенкоИ.А. К теории дифференциальных уравнений, возникающих в динамике систем с трением. I, II// Дифференц. уравнения. — 1996. — Т. 32, № 5. — С. 606-614; Т. 2, № 6. — С. 769-773.
М атросов В.М., ФиногенкоИ.А. О принципе инвариантности и притягивающих множествах для автономных систем// Доклады РАН. - 1996. - Т. 349, № 1. - С. 46-48.
Матросов В.М., Финогенко И.А. О притяжении для автономных механических систем с трением скольжения// ПММ. — 1998. — Т. 62, вып. I. - С. 100-120.
М а т р о с о в В. М., ФиногенкоИ.А. Об устойчивости множества положений равновесия автономных систем с трением скольжения/ / ПММ. - 1998. - Т. 62, вып. 6.
М атросов В. М., ФиногенкоИ.А. On stability of the equilibrium points for autonomous system with dry friction// 1998.
Аппель И. Теоретическая механика. T. 2. — М.: Физматгиз, 1960.
Лурье А.И. Аналитическая механика. — М.: Физматгиз, 1961.
ИНВАРИАНТНЫЕ МНОЖЕСТВАМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
А. В. Карапетян
Обсуждается проблема существования и устойчивости инвариантных множеств механических систем (в частности, стационарных движений и относительных равновесий).
Проблема существования устойчивых стационарных движений (нульмерных инвариантных множеств) впервые была исследована в [1]. Действительно, известная теория Рауса [1-15] дает не только условия устойчивости стационарных движений консервативных механических систем с первыми интегралами, но и метод определения таких движений. Этот метод был распространен на случай определения не только устойчивых стационарных движений [2, 7] и на случай диссипативных систем с первыми интегралами [12-15].
Более того, теория Рауса была модифицирована для изучения проблемы существования и устойчивости инвариантных множеств динамических систем с невозрастающей функцией и первыми интегралами [7, 14] (в частности, консервативных и диссипативных механических систем с симметрией [16-19]).
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 99-01-00785 и Федеральной целевой программы «Интеграция».
Механические системы с циклическимикоординатами
Введение. Рассмотрим механическую систему с п степенями свободы, описываемую обобщенными координатами q Е R71 и скоростями q Е Rn ^ = ^’ [0, +°°)^ • Пусть Т = - (A(q)q, q) — кинетическая энергия, V(q) — потенциальная энергия и Q(q, q) — неконсервативные обобщенные силы (A(q) Е С2 — положительно определенная симметричная п х n-матрица, V(q) Е C2:R™ -Л R, Q(q, q) Е Е Cx:Rn х Rn —> Rn). Если Q(q, 0) = 0, (Q,q) С 0, то обобщенные силы Q являются диссипативными. Здесь и далее (.,.) — скалярное произведение.
© А.В. Карапетян, 2001
Уравнения движения системы можно записать в форме Лагранжа
ddL dL
Ь Qt(1-1)
dt dq dq
где L = T — V — лагранжиан системы. Если Q — диссипативные силы, то уравнения (1.1) допускают уравнение энергии
(1-2)(1-2)^ = (Q,q)<0,
(1-2)
(1-2)
где Н = Т+ У — полная механическая энергия системы. В этом случае Н — невозрастающая функция. Если (Q, q) = О (в частности, Q т. то уравнения (1.1) допускают интеграл энергии
(1.3)(1.3)Н = h = const.
(1.3)
(1.3)
В последнем случае механическая система называется консервативной.
Предположим, что кинетическая и потенциальная энергии, а также обобщенные диссипативные силы не зависят от некоторых обобщенных координат s Е Rfc и обобщенные силы, отвечающие этим координатам, отсутствуют:
T = T(r,r,s), У = У(г), Q = Qw(r,r)eRm (1.4)
(г € Rm, s G Rfc, т + к = п). Координаты г и s называются позиционными и циклическими соответственно.
Уравнения Лагранжа (1.1) системы с циклическими координатами имеют следующий вид:
(1.5)(1.5)(1.6)(1.6)d дТдТ dVd дТ
(1.5)
(1.5)
(1.6)
(1.6)
=1_ QVm). dt dr dr drdt ds
Очевидно, уравнения (1.5) допускают к первых интегралов
р = —— = с = const (с Е Rfc).ds
Разобьем п х n-матрицу А на m х m-матрицу Amm, m х Ахматрицу Хтк, к х m-матрицу A^m = A^k и к х Ахматрицу А^^ (символ Т обозначает транспонирование), так что
Т — 2 [(■^■mmi*) г) + (Am^s, г) + (A^mr,s) + (A^^s, s)]. (IT)
Тогда первые интегралы (1.6) можно записать в виде
Введем функцию Рауса
R = R(r, г, с) = (L - (s, с))* = R2 + Ri + Ro,
^2 = | (M(r)r, г), RT = (gc(r), г), Ro = -K(r);
■M — -^-mm -^-mk^-fok ^-kmi gc — ^"Tnk-^-^^ C> Vc — V + — (A^ C, c) . Индекс * означает, что соответствующее выражение получено исключением величин s из выражения (•) с помощью формул
s = А^(с-Akmr),Д9)
вытекающих из (1.8).
£dR = 9R (т) dt 8r dr ’£dR = 9R (т) dt 8r dr ’(1-10)(1.11)(1-10)(1.11)Таким образом, уравнения (1.5) можно представить в виде
£dR = 9R (т) dt 8r dr ’
£dR = 9R (т) dt 8r dr ’
(1-10)
(1.11)
(1-10)
(1.11)
с = О,с = О,. 8R
с = О,
с = О,
s = ——-
8с
(уравнений Рауса). Уравнения (1.10) можно рассматривать независимо от уравнений (1.11) и представить в виде
d 8R2 dt drd 8R2 dt dr8R2dr8R2dr8VCdr8VCdr(1-12)(1-12)
d 8R2 dt dr
d 8R2 dt dr
8R2dr
8R2dr
8VCdr
8VCdr
(1-12)
(1-12)
Уравнения (1.12) можно рассматривать как уравнения движения в форме Лагранжа некоторой механической системы с т степенями свободы. Переменные г суть обобщенные координаты этой системы, R2 — кинетическая энергия, Vc — потенциальная энергия, Gcr и Q(m) — обобщенные гироскопические и диссипативные силы соответственно. Такая система называется приведенной, a Vc — приведенным потенциалом [2]. Приведенная система допускает невозрастающую функцтю Н* = Нс = R2-VVC, так как dHc/dt = ^^т\ г) < 0, или, в консервативном случае, когда (Q(m\r) = 0, первый интеграл Якоби Нс = const.
Стационарные движения. Приведенная система допускает положения равновесия
г = г°, г = О,(1.13)
если г^ удовлетворяют уравнениям
8VC „
= 0.dr
Равновесия (1.13) приведенной системы соответствуют стационарным движениям исходной системы с циклическими координатами (см. (1.9))
г = г°, г = О, s = s°(f) = s°£ + s°, s = s° = А^(г°)с (1.15)
(s° € Rfe). Таким образом, справедлива
Теорема 1.1. Если приведенный потенциал К (г) принимает стационарное значение в точке г^, то соотношения (1.15) представляют стационарное движение системы.
Теорема 1.1 была предложена Раусом [1, 2]. Отметим, что движения (1.15) могут быть названы стационарными, потому что они доставляют стационарное значение полной механической энергии Н при условиях (1.6).
Замечание 1.1. Точка г^ и соответствующее ей стационарное движение (1.15) зависят от параметров с. Это означает, что стационарные движения (1.15) образуют некоторое семейство.
Замечание 1.2. Приведенный потенциал Vc даже при фиксированных значениях параметров с может принимать стационарные значения не только в точке г®, но, вообще говоря, и в некоторых других точках rj, г2, ... (система (1.14) может иметь несколько решений). Эти точки и соответствующие им стационарные движения также зависят от параметров с и образуют соттветствующие семейства.
Замечание 1.3. Все стационарные движения системы могут быть представлены в пространстве Rm х R? (г Е Rm, с Е RA) как поверхности г = г°(с), г1 (с), г2(с),... Эти поверхности могут иметь (для специальных значений с*) общие точки, которые называются точками бифуркации (по Пуанкаре). Отметим, что если гг(с*) = = г7 (с*) = г* (г ^ j\ то
detdetdr2dr2= 0.= 0.
det
det
dr2
dr2
= 0.
= 0.
Теорема 1.2. Если приведенный потенциал принимает локально строгий минимум в точке г®, то стационарное движение (1.15) устойчиво по отношению к переменным г, г, s.
Теорема 1.2 была доказана Л. Сальвадори в [8] (для консервативных систем; см. также [9-11]) и в [12, 13] (для диссипативных систем).
Отметим, что стационарное движение (1.15) всегда неустойчиво по отношению к циклическим координатам s, потому что для возмущенных движений (г = r(t), s = s(t)) в общем случае s(0) ^ s^.
Замечание 1.4. Если
detdet7^0,7^0,Гд2К]Гд2к]
det
det
7^0,
7^0,
_ „= det _ „
_JoL_
5 Под ред. B.M. Матросова и др.
то число отрицательных собственных значений матрицы [д2Кс/дг2]0 есть indd2Vc или степень неустойчивости Пуанкаре соответствующего стационарного движения (1.15). Если степень неустойчивости Пуанкаре стационарного движения (1.15) равна нулю, то все собственные значения матрицы [d2Kc/dr2]0 положительны и приведенный потенциал Vc имеет строгий локальный минимум в точке г®. Если степень неустойчивости Пуанкаре стационарного движения (1.15) нечетна, то det [32Ус/Зг2]0 < 0.
Теорема 1.3. Если степенъ неустойчивости Пуанкаре стационарного движения (1.15) нечетна^ то оно неустойчиво.
Теорема 1.3 была доказана Кельвином [20] (для линейных систем) и Четаевым [21] (в общем случае).
Теоремы 1.1-1.3 справедливы как для диссипативных, так и для консервативных механических систем. Следующие две теоремы справедливы только для диссипативных механических систем.
Замечание 1.5. Если диссипативные силы Q^m^ таковы, что (Q(m),r) = о только при г = 0, то функция Нс сохраняет свое начальное значение только в равновесиях приведенной системы. Это означает, что полная механическая энергия Н исходной механической системы с циклическими координатами сохраняет свое начальное значение только на стационарных движениях. В этом случае будем говорить,что силы Q(m) обладают полной диссипацией по отношению к позиционным обобщенным скоростям.
Теорема 1.4. Если приведенный потенциал принимает локалъ- но строгий минимум при фиксированных значениях с° параметров с в точке г° (с°), эта точка изолирована от других стационарных точек г1, г2,... приведенного потенциала (если они вообще существуют), а диссипативные силы обладают полной диссипацией по отношению к позиционным скоростям, то соответствующее этим параметрам с° стационарное движение (1.15) устойчиво и любое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному, стремится к некоторому стационарному движению (1.15), соответствующему возмущенным значениям параметров с, при t +оо.
Теорема 1.5. Если приведенный потенциал принимает стационарное значение, которое не является даже нестрогим минимумом, при фиксированных значениях с° параметров с в точке г° (с°), эта точка изолирована от других стационарных точек г1, г2,... приведенного потенциала (если они вообще существуют), а диссипативные силы обладают полной диссипацией по отношению к позиционным скоростям, то соответствующее этим параметрам с° стационарное движение (1.15) неустойчиво.
Теоремы 1.4 и 1.5 были доказаны В.В. Румянцевым [11] и Л. Саль- вадори [12] (см. также [20-22]).
Замечание 1.6. Если степень неустойчивости Пуанкаре стационарного движения четна, то это стационарное движение может быть
устойчивым (гироскопическая стабилизация [20, 22]) при отсутствии диссипативных сил с полной диссипацией, но всегда неустойчиво при действии таких сил. Таким образом, гироскопическая стабилизация носит временный характер и разрушается диссипативными силами. Если степень неустойчивости Пуанкаре равна нулю, то стационарное движение устойчиво в вековом смысле (см. теоремы 1.2-1.5).
Относительные равновесия. Рассмотрим механическую систему с циклическими координатами (см. (1.4)) и предположим, что s = ш = const на всех движениях системы (w Е R?). Это означает, что действуют управляющие силы Q£fc\r, г) Е C:Rm х Rm —> R\ сохраняющие начальные значения ы циклических скоростей s. Эти силы определяются соотношениями
(^) =QLfc)(r,r),(1-16)
причем позиционные переменные гиг удовлетворяют уравнениям
^ = ^ + Q(m)(1Л7)
at or or
(см. (1.1)). Здесь
Л = (Ь)д=ш = Л2 + Ai + Ад,
Л2 = | (Amm(r)r, г), Ai = (gcu(r), г), Ао = -К,(г),g4r) = Amk(r)w, ^(r) = У(г) - | (A^(r)w, ш).
Таким образом, уравнения (1.16) можно рассматривать как уравнения движения в форме Лагранжа некоторой механической системы с т степенями свободы. Переменные г суть обобщенные координаты этой системы, Л2 — ее кинетическая энергия, Уш — потенциальная энергия, G^r и Q(m) — обобщенные гироскопические и диссипативные силы. Такая система называется ограниченной, а Уш — измененным потенциалом [3, 10, 23-26]. Ограниченная система допускает невозрастающую функцию Нш = Л2 + Т^ или, в консервативном случае, когда (qC™)^) = 0, первый интеграл Якоби Нш = const.
Очевидно, уравнения (1.17) ограниченной системы имеют ту же структуру, что и уравнения (1.12) приведенной системы. Имеется лишь одно существенное различие: параметры ш не возмущаются в исходной системе, тогда как параметры с могут возмущаться в исходной системе с циклическими координатами.
Ограниченная система (1.17) допускает положения равновесия
если г^ удовлетворяют уравнениям
oror(1-19)
or
or
Эти равновесия ограниченной системы (1.17) соответствуют относительным равновесиям исходной системы с управляющими силами
г = г^, г = О, s = o^ + s°, s = w (s°eRfc). (1.20) Аналогично предыдущему пункту справедливы следующие результаты.
Теорема 1.6. Если измененный потенциал %, (г) принимает стационарное значение в некоторой точке г^, то соотношения (1.20) представляют некоторое относителъное равновесие системы.
Теорема 1.7. Если измененный потенциал принимает локально строгий минимум в точке г®, то относителъное равновесие (1.20) устойчиво.
Теорема 1.8. Если степень неустойчивости Пуанкаре относительного равновесия (1.20) нечетна^ то оно неустойчиво.
Теорема 1.9. Если измененный потенциал принимает локально строгий минимум в точке г®, эта точка изолирована от других стационарных точек г^, г^,... измененного потенциала (если эти точки вообще существуют) и диссипативные силы обладают полной диссипацией по отношению к позиционным скоростям^ то относителъное равновесие (1.20) асимптотически устойчиво.
Теорема 1.10. Если измененный потенциал принимает стационарное значение, которое не является даже нестрогим минимумом, в точке г®, эта точка изолирована от других стационарных точек г^, г^, ... измененного потенциала (если эти точки вообще существуют) и диссипативные силы обладают полной дисспацией по отношению к позиционным скоростям, то относителъное равновесие (1.20) неустойчиво.
Отметим, что устойчивость, асимптотическая устойчивость и неустойчивость в теоремах 1.7-1.10 следует понимать по отношению к переменным гиг. Очевидно, замечания 1.1-1.6 распространяются и на относительные равновесия.
Соответствие относительных равновесий и стационарных движений и соотношения между условиями их устойчивости. Очевидно, приведенный потенциал Vc отличается от измененного Уш. Однако задачи определения стационарных движений (см. (1.14)) и относительных равновесий (см. (1.19)) систем с циклическими координатами в некотором смысле эквивалентны. Точнее, справедлива
Теорема 1.11. Для любых с постоянных циклических интегралов (для любых ш постоянных циклических скоростей) существуют постоянные ш (постоянные с), такие, что решения системы (1.19) совпадают с решениями системы (1.14).
Теорема 1.11 была доказана М. Паскаль [23] и С.Я. Степановым [24] (см. также [3, 10, 25]).
Отметим, что соответствие постоянных с (ы) и из (с) дается соотношением (см. (1.19))
c = Afefc(r°)w (ш = А^(г“)с). (1.21)
Таким образом, при условиях (1.21) г^ = г^ (г® = г®), где г^ и г^ — решения уравнений (1.14) и (1.19) соответственно.
Между условиями устойчивости стационарных движений и относительных равновесий такого полного соответствия нет. Точнее, справедливы следующие результаты.
Теорема 1.12. Если измененный потенциал Уш имеет строгий локальный минимум в точке г®, то приведенный потенциал Vc имеет строгий локальный минимум в точке г^ = г^ при условиях (1.21).
Теорема 1.12 была доказана М. Паскаль [23] и С.Я. Степановым [24] (см. также [3, 10, 25]).
Таким образом, если относительное равновесие устойчиво в вековом смысле, то соответствующее стационарное движение также устойчиво в вековом смысле. Однако стационарное движение может быть устойчивым в вековом смысле, даже если соответствующее ему относительное равновесие неустойчиво.
Будем называть стационарное движение (относительное равновесие) тривиальным, если г^ (г®) не зависят от с (ы). Отметим, что тривиальные стационарные движения отвечают тривиальным относительным равновесиям и наоборот.
Теорема 1.13. Степени неустойчивости тривиальных стационарных двиснсений и соответствующих им тривиальных относительных равновесий совпадают.
Теорема 1.13 была доказана А.В. Карапетяном и С.Я. Степановым [26].
Следствие. Условия вековой устойчивости невыроснсденных (det [S2KC)CU/dr2] ^ О) тривиальных стационарных двиснсений и соответствующих им тривиальных относительных равновесий совпадают.
Динамические системы с первыми интегралами
Введение. Результаты, приведенные выше, не инвариантны по отношению к выбору обобщенных координат. Более того, они относятся только к стационарным движениям и относительным равновесиям, которые представляют собой нульмерные инвариантные множества. Рассмотрим общие динамические системы (в частности, механические), описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями
(2-1)(2-1)x = f(x).
(2-1)
(2-1)
Здесь х G X С R71 — n-вектор фазовых переменных, х = dx/dt^ t Е Е [0;+оо), f(x) eC^X^R^.
Пусть x^t; х°) — решение уравнений (2.1) с начальными условиями х(0; х°) = х° Е X (t = 0 можно выбрать в качестве начального момента времени, поскольку уравнения (2.1) не зависят явно от времени). Это решение соответствует некоторому движению рассматриваемой системы, поэтому будем называть его движением x(t; х°) системы.
Определение 2.1. Множество Xq С X называется инвариантным множеством системы, если x(t; х°) Е Xq для всех Q 0 и произвольного х° Е Xq.
Замечание 2.1. Если dimXo = 0, то Xq = {х0}, где х° Е X — неподвижная точка системы (2.1) (f(x°) = 0), т. е. x(t;x°) = х° — установившееся движение системы.
Замечание 2.2. Если dimX0 = d > 0 (d < п), то Xo = {x E E X:y?o(x) = 0}, где <p(x) E (Д:Х —> Rn-d. Движения системы на инвариантном множестве Xq удовлетворяют уравнениям
X = f(x)| , .
v 71у?о(ж)=О и зависят от времени.
Замечание 2.3 [7]. Если множество {х Е Х:у?о(х) = 0} представляет собой инвариантное множество системы, то
Если выполняются последние соотношения и
то {х Е X: у?о(х) = 0} — инвариантное множество системы.
Определение 2.2. Функция U(x) Е Сх:Х —> R называется невозрастающей в силу системы, если dU/dt = (grad U, f) ^ О для всех x E X. Функция U(x) E Сг:Х R называется первым интегралом системы, если dU/dt = (grad U, f) = 0.
Определение 2.3. Компактное инвариантное множество Xq системы устойчиво, если для любого сколь угодно малого положительного числа s существует положительное число 5, такое что dist(x(t; х*); Хо) < е для всех t 0 и произвольного х* Е X, удовлетворяющего условию dist(x*;Xo) < 5; в частности, установившееся движение x(t; х°) = х° устойчиво, если для любого сколь угодно малого положительного числа s существует положительное число 5, такое что ||x(t;x*) — х°|| < е для всех Q0h произвольного х* Е X, удовлетворяющего условию ||х* — х°|| < 6; в противном случае Xq
их0 — неустойчивые инвариантное множество и установившееся движение соответственно.
Здесь и далее dist(x; Хо) = min ||х — у ||; ||х|| — норма вектора х.
УЕХО
Определение 2.4. Движение х(£;х°) системы устойчиво по отношению к функциям у(х) е С: X Rm (m < п), если для любого сколь угодно малого положительного числа s существует положительное число 5, такое что ||у (х(Дх*)) — у (х(^;х0)) || < £ для всех ^ ^ О и произвольного х* 6 X, удовлетворяющего условию ||х* — х°|| < 5; иначе движение х(ф; х°) неустойчиво по отношению к функциям у(х).
Определение 2.5. Компактное инвариантное множество! Xq асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и
limt—> + ооlimt—> + ооdist (x(f; х*); Хо) = О,dist (x(f; х*); Хо) = О,
limt—> + оо
limt—> + оо
dist (x(f; х*); Хо) = О,
dist (x(f; х*); Хо) = О,
где dist(x*;Xo) < 5; в частности, движение х(£;х°) асимптотически устойчиво по отношению к функциям у(х), если оно устойчиво по отношению к этим функциям и lim ||у (х(^; х*)) — у (х(^; х0)) || = О, где ||х* — х°|| <5 (д — некоторое положительное число).
Инвариантные множества. Рассмотрим динамическую систему (2.1) и предположим, что она допускает невозрастающую функцию Uq(x) Е С2:Х —> R и к первых интегралов U(x) Е С2:Х —> R\ (к < п).
Будем говорить, что функция Uq(x) принимает невырожденное стационарное значение на некотором множестве Xq С X для фиксированных значений первых интегралов U(x) = с (с Е Rfc), если Xq — максимальное связанное подмножество множества {х Е X: 5Uq\u=c = = 0}h52[70|l/=c^О для х Е Хо.
Теорема 2.1 [14]. Если невозрастающая функция Uq(x) система принимает невырожденное стационарное значение на некотором множестве Хо для фиксированных значений первых интегралов U (х) = с системы^ то Xq — инвариантное множество этой системы.
Доказательство. Пусть функция ТТДх) принимает стационарное значение на множестве Xq для фиксированных значений с° первых интегралов U(x) = с. Тогда это множество определяется соотношениями
3W _ ЭП0 d(A, U)
(2.3)(2.3)Эх Эх Эх
(2.3)
(2.3)
где W = Uo + (A, (U — с0)) = ИДх; А), А Е Rfc — вектор неопределенных множителей Лагранжа.
Рассмотрим скалярное произведение левой части (2.2) с правой частью (2.1) и учтем соотношения I ——, f I = О (U = с — первые интегралы): (grad Uq, f)x0 = 0. Это означает, что (grad Uq, f) принимает максимальное значение на множестве Хд ((grad Uq, f) СО)- Таким образом,
э_(эио Л = № f +dfMэ_(эио Л = № f +dfMдх у дх 1 ) дх2 дх дхдх у дх 1 ) дх2 дх дх(2-4)(2-4)на множестве Хд.
э_(эио Л = № f +dfM
э_(эио Л = № f +dfM
дх у дх 1 ) дх2 дх дх
дх у дх 1 ) дх2 дх дх
(2-4)
(2-4)
С другой стороны, (grad U, f) = 0. Следовательно,
д (8В \ d2U п df 9U
— I . f I =f 4
дх \ дх / Эх2 Эх Эх
(2-5)(2-5)при всех х 6 X. Итак (см. (2.4) и (2.5))
(2-5)
(2-5)
д /дТУ\ f\ = d4Jo f d^VU) f _ df dW
дх \ Эх ) ' ) Эх2 Эх2дх дх
на множестве Хд.
Учитывая тождество (gradU,f) = 0 и условие 52[Тд|^=со ^ 0 для х 6 Хд, заключаем, что Хд ((2.2), (2.3)) — инвариантное множество системы согласно замечанию 2.3.
Следствие 2.1. Если первый интеграл Uq(x) принимает невырожденное стационарное значение на некотором множестве Хо С С X при фиксированных значениях других первых интегралов, то Хд — инвариантное множество системы.
Доказательство. Если Uq(x) — первый интеграл, то
(grad[70,f) = 0
и следовательно L7g(x) — невозрастающая функция. Таким образом, применима теорема 2.1 (см. также [7]).
Замечание 2.4. Движения системы, лежащие на множестве Хд, зависят от времени и совпадают с установившимися, только если dim Хд = 0. Тем не менее эти движения можно назвать стационарными поскольку они доставляют стационарное значение невозрастающей функции на фиксированных уровнях первых интегралов.
Замечание 2.5. Инвариантное множество Хд, доставляющее функции Uq стационарное значение при фиксированных постоянных первых интегралов U = с, зависит от этих постоянных. Это означает, что инвариантные множества Хд образуют семейство Хд(с). Очевидно, функция Uq не убывает на всех множествах этого семейства, поскольку (grad Uq, f) = 0 для всех х Е Хд(с).
Замечание 2.6. Функция Uq(x) (даже при фиксированных значениях первых интегралов U(x) = с) может принимать стационарное
значение не только на множестве Xq но, вообще говоря, и на других множествах Xi, Х2,... (система (2.2), (2.3) может иметь несколько решений). Множества Xi, Х2,... соответствуют одним и тем же значениям первых интегралов (по предположению), но, вообще говоря, различным значениям этой функции. Эти множества также зависят от постоянных с и образуют некоторые семейства инвариантных множеств Xi(c), Х2(с),... Очевидно, (grad По, f) = 0 для всех х 6 6 Xq U Xi U Х2 ...
Замечание 2.7. Семейства инвариантных множеств Хо(с), Xi(c), Х2(с),... могут иметь различные размерности и (при некоторых значениях с*) общие точки. Такие точки называются точками бифуркации (по Пуанкаре). Объединение этих семейств Х(с) = = Х0(с) U ХДс) U Х2(с)... представляет в пространстве X х RA‘ (х Е X, с Е R?) некоторую самопересекающуюся поверхность (диаграмму Пуанкаре).
Устойчивость инвариантных множеств.
Теорема 2.2 [14]. Если невозрастающая функция По(х) принимает локально строгое минимальное значение при фиксированных значениях с° первых интегралов U(x) = с на некотором компактном множестве Х0(с°), то Х0(с°) — устойчивое инвариантное множество системы и любое стационарное движение х(£;х°) (х° Е Е Хо(с0)) устойчиво по отношению к dist(x; Xq(c0)).
Доказательство. Отметим, что в формулировке теоремы 2.2 нет условия невырожденности функции Uq на множестве Xq(c°). Поэтому сначала нужно доказать, что множество Xq(c°), доставляющее минимум невозрастающей функции, является инвариантным.
Предположим, что функция По принимает минимальное значение шо(с°) на множестве Xq(c°). Рассмотрим некоторое движение х(£; х°) системы с начальными условиями х(0;х°) = х° Е Xq(c°) (очевидно, U(x°) = с°). Тогда
C/o(x(t; х0)) < m0(c°), (2.6)
поскольку Uq(x) — невозрастающая функция. С другой стороны, величина Шо(с°) соответствует строгому минимуму функции Uq при U(x) = с°. Следовательно
Мх^х°У) >mo(c°). (2.7)
Итак, (см. (2.6) и (2.7)) Uq^x^x0)) = mo(c°) и х(£;х°) Е Х0(с°), поскольку именно множество Xq(c°) доставляет значение шо(с°) функции Uq(x) при U(x) = с°. Это означает, что Xq(c°) — инвариантное множество системы.
Рассмотрим множество
(2.8)(2.8){х Е X: dist(x; Х0(с0)) = Д С X
(2.8)
(2.8)
для некоторого достаточно малого положительного числа е. Множество Xq(c°) компактно, поэтому множество (2.8) тоже компактно и функция Uq(x) — mg (с°) всегда ограничена снизу на этом множестве. Это означает, что существует положительное число щ, такое что Uo(x) — 77io(c°) > —о"1 на множестве (2.8). Если переменные х удовлетворяют соотношениям
U(x) = с°,(2.9)
то Со(х) — шо(с°) ^ сг2 > 0 на множестве (2.8), поскольку при условиях (2.9) функция Uq(x) принимает строго минимальное значение то(с°) на множестве Xq(c°). По непрерывности существуют положительные числа а^ и сг4, такие что из неравенства ||U(x) — Со|| < оз следует неравенство t/o(x) — ttio(c0) > сг4. Далее, выбирая положительное число ц < сг3/сг4, получим, что функция
W = W - m0(c0)) + ||U(x) - с°||
на множестве (2.8) ограничена снизу положительным числом сг (сг < < пнп(сгз — ркуу; pta^Y По этому числу сг можно найти положительное число 5 такое, что область
dist(x,X0(c0)) < 5(2.10)
будет целиком лежать внутри области ИДх) < сг, которая целиком лежит внутри области
dist(x, Х0(с0)) < е.(2.11)
Функция W(х) не возрастает в этой области, поскольку
dW dU° ( ATT
Таким образом, любое возмущенное движение системы с начальными условиями в области (2.10) не покинет области W < сг и значит области (2.11). Следовательно, Xq(c°) — устойчивое инвариантное множество и любое движение х(£,х°) С Xq(c°) устойчиво по отношению к dist(x, Х0(с0)).
Следствие 2.2. Если первый интеграл СТДх) принимает ло- калъно строгий минимум или максимум при фиксированных значениях с° других первых интегралов U(x) = с на некотором компактном множестве Xq(c°), то Xq(c°) — устойчивое инвариантное множество и любое стационарное движение х(^, х°) (х° 6 Хо(с°)) устойчиво по отношению к dist(x, Xq(c0)).
Доказательство. Если Uq(x) — первый интеграл, то Uq(x) и — По(х) — невозрастающие функции. При условиях следствия 2.2 одна
из них принимает локально строгий минимум на множестве Xq(c°). Таким образом, применима теорема 2.2.
Отметим, что приведенное доказательство теоремы 2.2 представляет собой модификацию доказательства теоремы 1.2 для диссипативного случая, данного Л. Сальвадори (см. [12, 13]).
Степень неустойчивости Пуанкаре. Функция ?7о(х) имеет локально строгий минимум [не имеет даже нестрогого минимума] при фиксированных значениях с° первых интегралов U(x) = с на множествеХ0(с°) = {х е Х:^0(х) = 0}(^0(х) ЕСх:Х^ R^;d = = dimX0(c0)), если вторая вариация функции W = Uq + (A, (U — с0)) положительно определена по отношению к вариациям отклонений фазовых переменных £ = ——ох от этого множества может при-
V Jvo=O
нимать отрицательные значения в некоторой окрестности этого множества] на линейном многообразии 5U = 0:
52ЩХо(со);А°(с0))52ЩХо(со);А°(с0))> О5U(Xo(c°))=O> О5U(Xo(c°))=OV^:0 < Н^Н < 5V^:0 < Н^Н < 5
52ЩХо(со);А°(с0))
52ЩХо(со);А°(с0))
> О
5U(Xo(c°))=O
> О
5U(Xo(c°))=O
V^:0 < Н^Н < 5
V^:0 < Н^Н < 5
3^ (О<||€||<^^2^(Хо(со);А°(с0))<0
.5U(Xo(c°))=O.
(5 — некоторое положительное число). Эта вторая вариация может быть представлена в виде -(Qo^?^)? где ту G "R,n-d-k и Qo — (n — d — k) х (n — d — /с)-матрица (n = dimx,d = dimX0(c°),/c = = dim U). Индекс этой квадратичной формы называется степенью неустойчивости Пуанкаре: если степень неустойчивости Пуанкаре равна [не равна] нулю, то функция Uq(x) имеет локально строгий минимум [не имеет даже нестрогого минимума] при фиксированных значениях с° первых интегралов U(x) = с на множестве Xq(c°).
£ =£ =Рассмотрим случай, когда dimX0 = 0: Х0(с) = {х°(с)}, где х°(с) — семейство стационарных движений системы (f(x°(c)) = 0). Пусть £ = = 5х = х — х°(с°), тогда линеаризованная система уравнений возмущенного движения имеет вид
£ =
£ =
(2.12)
Вторая вариация функции W и линейное многообразие 5U = 0 имеют
соответственно видсоответственно вид£ = о.£ = о.(2.13)(2.13)(2-14)(2-14)
соответственно вид
соответственно вид
£ = о.
£ = о.
(2.13)
(2.13)
(2-14)
(2-14)
Здесь и далее (*)о(’)®=®°(с0)’
Замечание 2.8. Квадратичная форма (2.13) представляет собой невозрастающую функцию, а линейные формы (2.14) — первые интегралы линейной системы (2.12).
Линейная система (2.12) и квадратичная форма (2.13) на линейном многообразии (2.14) могут быть представлены, соответственно, в виде
Л = Рот/,(2.15)
|(Qo^»?)(2-16)
(dimт/ = dim£ — dimU = n — к). Квадратичная форма (2.16) не возрастает вдоль решений системы (2.15): (QoPqt/,t/) ^ 0. Из последнего неравенства следует
(Qo(-Po)t/,7/) >0.(2.17)
Предположим, что detPo 7^ 0, det Qo < 0, тогда detQo( —Ро) > 0 (см. (2.17)) и следовательно det(—Pq) < 0. Таким образом, характеристическое уравнение (I — единичная матрица)
%М = det(b - Ро) = 0(2.18)
системы (2.15) имеет положительный корень, поскольку
х(0) = det(-P0) < 0, х(+о°) =
Это означает, что характеристическое уравнение z^xW = 0 системы (2.12) имеет положительный корень.
Теорема 2.3 [27, 28]. Если степени неустойчивости Пуанкаре /Sf \
стационарного движения х°(с°) нечетна и rank ( —— ) = п — к. то
это стационарное движение неустойчиво.
Доказательство. При условиях теоремы 2.3 detPo 7^ 0, по- /df \
скольку rank ——= rankPo, и det Qo < 0, поскольку степень
Wx/o
неустойчивости Пуанкаре нечетна. Следовательно, характеристическое уравнение линеаризованной системы уравнений возмущенного движения имеет положительный корень. Таким образом, невозмущенное движение неустойчиво согласно теореме Ляпунова о неустойчивости по первому приближению [5].
Замечание 2.9. Формулировка теоремы 2.3 не зависит от условия, является ли функция Uq(x) невозрастающей или первым интегралом.
Устойчивость инвариантных множеств в случае, когда Uo(x) — невозрастающая функция. Теоремы 2.1-2.3 справедливы и в случае, когда Uq(x) — первый интеграл (см. следствия 2.1, 2.2 и
замечание 2.9). Следующие две теоремы справедливы только в случае, когда СТДх) — невозрастающая функция.
Теорема 2.4 [14]. Если невозрастающая функция Uq(x) принимает локально строгий минимум при фиксированных значениях с° первых интегралов U(x) = с на некотором компактном множестве Х0(с°) и сохраняет свое начальное значение в некоторой окрестности этого множества только на семействе Xq(c), то Х0(с°) — устойчивое инвариантное множество и любое возмущенное движение системы^ достаточно близкое к множеству Xq(c°), асимптотически стремится к множеству Х0(с), соответствующему возмущенным значениям постоянных с, при t -4* +оо.
Доказательство. Заметим, что при дополнительном условии теоремы 2.4 (по сравнению с теоремой 2.2) множество Xq(c°) изолировано от других инвариантных множеств Xi, Х2,..., если они вообще существуют.
Как и ранее, предположим, что функция Uq(x) принимает минимальное значение шо(с°) на множестве Xq(c°). Согласно теореме 2.2 Xq(c°) — устойчивое инвариантное множество и любое движение х(£,х°) С Хо(с°) устойчиво по отношению к dist (x,Xq(c0)). Поэтому любое возмущенное движение x(f) не покидает области (2.11) для любого достаточно малого положительного числа е, если в начальный момент времени dist(x(0), Xq(c0)) < 5 (см. (2.10)).
Функция Uq(x) сохраняет свое начальное значение в некоторой окрестности множества Xq(c°) только на семействе Xq(c). Следовательно, положительное число г можно выбрать столь малым, что область (2.11) не будет содержать точек других инвариантных множеств Хх,Х2,..., если эти множества вообще существуют (как было показано, функция dUo/dt = (gradC^f) обращается в нуль на всех этих множествах). Функция Uo(x(t)) стремится (как невозрастающая в области (2.11)) к некоторому пределу uq, оставаясь все время не меньше этого предела:
[70(х№) и0. (2.19)
Допустим, что некоторое возмущенное движение x(t) не стремится к некоторому множеству Хо(с), соответствующему возмущенным значениям первых интегралов U(x) = с. Тогда существует последовательность точек
хр = х(рт) (р = Р1,Р2, . . . ; Р1 < Р2 < • • • ; Т = const > 0), (2.20) такая, что dist(xp, Xq(c0)) ^ у, где у — некоторое положительное число. Очевидно, в ограниченной области (2.11) можно выбрать подпоследовательность точек
хч = х(дт) (q=pqi,pq2,...; 91 <92 (2-21) сходящуюся к некоторой точке х*, причем (по непрерывности)
ТМх*1) = ио, dist(x*, Х0(с0)) ^ 7. (2.22)
Рассмотрим теперь движения х*(£) = x(f, х*) и xq(t) = x(t^xq^ исходящие в начальный момент времени из точек х* и xq соответственно. Поскольку х* удовлетворяет соотношениям (2.22) и —^ = 0 только при х Е Хо(с) (в области (2.11)), то существует момент t* такой, что
17о(х*СМ) =^ < п0.(2.23)
Последовательность {х9} сходится к точке х*, поэтому (по непрерывной зависимости решений от начальных условий на конечном интервале времени)
||x*(t*) - x9(t*)|| < a Vg > gja)
для любого положительного числа а. Тогда (по непрерывности)
|г/0(х9(^)) - г70(х*(^)) | < /3 Vg > q*^ = g*(a(/3)) = q*^
для любого положительного числа р. Выбирая Р < и^ — и^ имеем U^xqpb^ < и* + Р < ng. Используя групповое свойство решений автономных дифференциальных уравнений xq(t*) = x(t* + qt), последнее неравенство можно представить в виде
U0(x(E + дт)) < По \/q> q*,(2.24)
что противоречит соотношению (2.19).
Таким образом, любое возмущенное движение x(t^ достаточно близкое к инвариантному множеству Хо(с°), (см. (2.11)) стремится к одному из инвариантных множеств Хо(с) при t -^ +оо.
Теорема 2.5 [14]. Если невозрастающая функция Uq(x) принимает невырожденное стационарное значение^ которое не является даже нестрогим минимумом^ при фиксированных значениях с° первых интегралов U(x) = с на некотором компактном множестве Х0(с°) и сохраняет свое начальное значение в некоторой окрестности этого множества только на семействе Хо(с), то Хо(с°) — неустойчивое инвариантное множество.
Доказательство. Отметим, что Xq(c°) — инвариантное множество согласно теореме 2.1. Пусть функция Uq(x) принимает стационарное значение то(с°) на множестве Xq(c°) при U(x) = с° и это значение не является минимумом. Тогда функция Uq^x) — mo(c°) может принимать отрицательные значения на множестве (2.9).
Рассмотрим некоторое возмущенное движение x(t) с начальными условиями, удовлетворяющими соотношениям
L7o(x(O)) < m0(c°), dist(x(0), Х0(с0)) < 5,U(x(0)) = с°,
где 5 — произвольное достаточно малое чило. Тогда
dist(x(O),Xo(c0)) > 0 (2.25)
поскольку иначе х(0) G Xq(c°) и [7q(x(0)) = mo(c°).
Допустим, что х(^) принадлежит области (2.11), где е — достаточно малое положительное число, при всех t. Как и ранее, выберем е столь малым, чтобы область (2.11) не содержала точек других инвариантных множеств Xi.Xo,..., если они вообще существуют. Тогда dlMx(t))/dt < 0.
Функция Uo(x(t)) ограничена в области (2.11) и стремится к некоторому пределу, оставаясь все время не меньше него (см. (2.19)). Как и ранее (поскольку x(t) £ Xq(c°), см. (2.25)) существует последовательность точек, аналогичная (2.20), удовлетворяющая соотношению dist(xp, Xq(c0)) ^ у, где у — некоторое конечное положительное число. В ограниченной области из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность, аналогичную (2.21), которая сходится к некоторой точке х*, удовлетворяющей соотношениям
Г0(х*) = «о, dist(x*, Х0(с0)) 7.
Рассмотрим теперь движения x*(t) и xq(t^ исходящие в начальный момент из точек х* и xq соответственно. Очевидно (х* Xq(c0)), существует момент ^*, такой что выполняется соотношение (2.23). Тогда, повторяя приведенные выше рассуждения (см. доказательство теоремы 2.4), получим неравенство (2.24), которое противоречит соотношению (2.19).
Таким образом, предположение о том, что движение x(t) не покидает области (2.11), не справедливо. Это означает, что инвариантное множество Xq(c°) неустойчиво.
Замечание 2.10. Из приведенного доказательства следует, что стационарное движение x°(t) С Xq(c°) неустойчиво по отношению к dist(x, Хо(с0)) (при условиях теоремы 2.5), если существует момент ^о, такой что область ||х — х°(^о)|| < р содержит точки х, удовлетворяющие соотношениям t/o(x) — шо(с°) < 0 (для любого сколь угодно малого числа р). В частности, все движения х° С Xq(c°) неустойчивы по отношению к dist(x, Xq(c0)), если невозрастающая функция имеет локально строгий максимум на множестве Xq(c°) при фиксированных значениях с° первых интегралов и сохраняет свое начальное значение в некоторой окрестности этого множества только на семействе Хо(с).
Отметим, что данные доказательства теорем 2.4 и 2.5 представляют собой модификации доказательств теорем Барбашина- Красовского и Красовского соответственно [22].
Механические системы с симметрией
Инвариантные множества стационарных движений. В механических системах невозрастающая функция и первые интегралы обычно имеют специальный вид (см., например, первый пара-
граф). В этом параграфе рассматриваются диссипативные (в частности, консервативные) механические системы с /^-параметрической группой симметрий. Пусть v Е Rn и г Е М С Rm — квазискорости (в частности, импульсы или обобщенные скорости) и существенные координаты системы соответственно, М — конфигурационное пространство существенных координат; dimM ^ п.
Полная механическая энергия системы может быть представлена в виде
= |(A(r)v,v) + V(r).(3.1)
Здесь А (г) — положительно определенная п х n-матрица (А (г) ЕС2) кинетической энергии, У (г) Е С2:М —> R — потенциальная энергия системы. Очевидно, полная механическая энергия в диссипативном случае — невозрастающая функция (в консервативном случае — первый интеграл).
Первые интегралы, соответствующие группе симметрий, могут быть представлены в виде
U(v; г) = BT(r)v = с = const (с Е Rfc).(3.2)
Здесь В (г) — п х /с-матрица интегралов Нётер (В (г) Е С2; rank В = к).
Принимая во внимание специальный вид функции (3.1) и интегралов (3.2), задачу отыскания стационарных значений полной механической энергии на фиксированных уровнях интегралов Нётер можно решать в два этапа. Действительно, функция (3.1) от переменных v и г при условиях (3.2) принимает стационарное значение по этим переменным, если и только если она принимает минимальное значение по квазискоростям v при условиях (3.2) и этот минимум, зависящий от координат г, принимает стационарное значение по этим координатам при условии, что г Е М.
Найдем тш[7о|^_с = К (г). Рассмотрим функцию
W = U0-Qe (U-с)),
переменным v при фиксированныхпеременным v при фиксированныхгде А Е Rfc — вектор неопределенных множителей Лагранжа, и вы-
переменным v при фиксированных
переменным v при фиксированных
пишем условия ее минимума по постоянных с:
8W ,_—— = Av - ВА = 0,8v8W ,_—— = Av - ВА = 0,8v8W "эх8W "эх(3.3)(3.3)
8W ,_
—— = Av - ВА = 0,
8v
8W ,_
—— = Av - ВА = 0,
8v
8W "эх
8W "эх
(3.3)
(3.3)
(3.4)(3.5)(3.4)(3.5)Vc(r) = V+I^A^B) 1с,с).Vc(r) = V+I^A^B) 1с,с).
(3.4)
(3.5)
(3.4)
(3.5)
Vc(r) = V+I^A^B) 1с,с).
Vc(r) = V+I^A^B) 1с,с).
Решая систему (3.3), находим
v = A ХВ(ВТА ХВ) 1c = vc(r),
Функция К(г) называется эффективным потенциалом [16-19]. Очевидно, эффективный потенциал зависит от переменных г 6 М и параметров с 6 RA Отметим, что если г — обобщенные (т. е. независимые) позиционные координаты, a v = (г, s), где s — обобщенные циклические координаты, то эффективный потенциал (3.5) совпадает с приведенным потенциалом, введенным в первом параграфе.
Теорем а 3.1 [18, 19]. Если эффективный потенциал принимает невырожденное стационарное значение на некотором множестве Мо С М, то Мо — инвариантное множество в пространстве конфигураций М, а
No = Мо х {v е Rn: v = vc(r), г Е Мо} С М х Rn (3.6)
— инвариантное множество системы в фазовом пространстве М х Rn.
Доказательство. При условиях теоремы 3.1 невозрастающая функция 3.1 принимает невырожденное стационарное значение на фиксированных уровнях первых интегралов (3.2) на множестве No и теорема 3.1 следует из теоремы 2.1.
Замечание 3.1. Множество Mq С М и соответствующее ему множество Nq С М х Rn зависят от параметров с. Эффективный потенциал может принимать стационарные значения при фиксированных с не только на множестве Mq , но и на некоторых других множествах Mi,М2,... Эти множества и соответствующие им множества Ni, N2,... тоже зависят от параметров с. Полная механическая энергия системы не убывает на множестве N = NqUNiUN2... Движения системы г = r(t),v = v^t^ лежащие на множестве N, можно назвать стационарными, поскольку они доставляют стационарные значения невозрастающей функции на фиксированных уровнях первых интегралов.
Замечание 3.2. Если М = Rm, то чтобы найти инвариантные множества нужно решать систему dVc/dr = 0. Если же М = {г Е Е Rm: ^(г) = 0}, где ^(r) Е С1: Rm Rm“^ (ц = dimM), то нужно решать систему dWc/dr = 0, ^(г) = 0, где VEc(r) = Vc + (у, ^) и v — ц-вектор неопределенных множителей Лагранжа.
Устойчивость инвариантных множеств стационарных движений.
Теорем а 3.2 [18, 19]. Если эффективный потенциал принимает локально строгий минимум при фиксированных значениях с° параметров с на некотором компактном множестве М0(с°) С М, то Мо(с°) — устойчивое инвариантное в пространстве конфигураций множество^ a N0(c°) — устойчивое инвариантное в фазовом пространстве множество системы.
Доказательство. Теорема 3.2 следует из теоремы 2.2 поскольку компактное множество N0(c°) доставляет невозрастающей функции (3.1) локально строгий минимум при фиксированных значениях с° первых интегралов (3.2).
6 Под ред. В.М. Матросова и др.
Рассмотрим случай, когда dimM0 = 0, т. е. М0(с) = {г°(с)}. Тогда (см. (3.6)) dimNo = 0, т. е. N0(c) = {r°(c); v°(c)}, где v°(c) = = v^(r°(c)) (см. (3.4)). Это означает, что система допускает стационарное движение г = r°;v = v°. В частности, если v = (г, s), где г и s — позиционные и циклические координаты соответственно, то v° = (0,s°) и стационарные движения г = r°, v = v° совпадают с рассмотренными в первом параграфе.
Уравнения движения системы, описываемой фазовыми переменными г и v, могут быть представлены в виде
г = F(r)v, v = f(r; v).г = F(r)v, v = f(r; v).(3.7)(3.7)
г = F(r)v, v = f(r; v).
г = F(r)v, v = f(r; v).
(3.7)
(3.7)
Здесь F(r) ЕС1 — т х n-матрица и f(r;v) Е СХ:М х Rn —> Rn, причем F(r°)v° = 0 и f(r°;v°) = 0 поскольку {r°; v0} — стационарное движение системы (3.7).
Пусть х = г — г°, у = v — v°, тогда линеаризованная система уравнений возмущенного движения имеет вид
(3.8)(3.8)
(3.8)
(3.8)
dFv drdfdrdFv drdfdr(3-9)(3-9)Здесь Sq — (т + n) х (т + п)-матрица вида
dFv dr
df
dr
dFv dr
df
dr
(3-9)
(3-9)
df
dv / о
Из теоремы 2.3 следует
Теорем а 3.3. Если степень неустойчивости Пуанкаре стационарного движения нечетна и rank So = п — k+щ то оно неустойчиво.
Отметим, что если М = Rm, то ц = т (см. замечание 3.2).
Теоремы 3.1-3.3 справедливы как для диссипативных систем, так и для консервативных. Следующие две теоремы справедливы только для диссипативных систем.
Теорем а 3.4 [18, 19]. Если эффективный потенциал принимает локально строгий минимум при фиксированных значениях с° параметров с на некотором компактном множестве Mq(c°) С М и полная механическая энергия сохраняет свое начальное значение только на семействе N0(c) инвариантных множеств (в некоторой окрестности множества No (с0)), то Nq(c°) — устойчивое инвариантное множество и любое возмущенное движение, достаточно близкое к множеству Nq(c°), стремится к множеству No (с), соответствующему возмущенным значениям параметров с, при t —> +оо.
Теорем а 3.5 [18, 19]. Если эффективный потенциал принимает невырожденное стационарное значение, которое не является даже
нестрогим минимумом^ при фиксированных значениях с° параметров с на некотором компактном множестве М0(с°) С М и полная механическая энергия сохраняет свое начальное значение только на семействе инвариантных множеств No (с) (в некоторой окрестности множества Ng (с0)), то N0(c°) — неустойчивое инвариантное множество.
Теоремы 3.4 и 3.5 следуют из теорем 2.4 и 2.5 соответственно.
Очевидно, если полная механическая энергия сохраняет свое начальное значение только на множестве N = NgUNiUN2..., то дополнительное условие теорем 3.4 и 3.5 (помимо условий минимума или отсутствия минимума) выполняется для изолированных (при фиксированных значениях параметров с) инвариантных множеств.
Замечание 3.3. Инвариантные множества N^(c°) и Nj(c°) (i / j) изолированы одно от другого, если и только если множества Мфс°) и МДс°) изолированы одно от другого (см. (3.6)).
Замечание 3.4. Индекс второй вариации полной механической энергии на линейном многообразии 5U = 0 равен индексу второй вариации эффективного потенциала. Поэтому степень неустойчивости Пуанкаре инвариантного множества Ng(c°) равна ind52yco(Mo(c0)) (г е М).
Замечание 3.5. Инвариантные множества Ng (с), Ni(c), N2(c), ... могут быть представлены в пространстве Rn х М х R? (v 6 Rn,r 6 М,с 6 Rfc) как некоторые поверхности. Инвариантные (в пространстве конфигураций) множества Mg (с), Mi (с), М2 (с), ... также могут быть представлены в пространстве М х Rfc (г Е М, с Е Rfc). Согласно замечаниям 3.3 и 3.4 последние поверхности можно рассматривать как диаграммы Пуанкаре.
Замечание 3.6. Согласно определению эффективного потенциала K(r) ^ ^o(v5r) С ^7 гДе ^ — начальное значение полной механической энергии. Поэтому неравенство K(r) С ^ определяет в пространстве конфигураций область возможности движения при данных значениях с постоянных первых интегралов и данного начального значения h полной механической энергии. Топологический тип этих областей изменяется на поверхностях (с; h) Е Е, где Е = Eg U Ei U Е2 ...,
Es = {(с; /1) е RA х R: h = /is(c) = K(Ms(c))} (s = 0,1, 2,...).
Для консервативных систем с симметрией [16, 17] все точки пространства (с; h) инвариантны. Для диссипативных систем возможны два случая [19]. Если точка Р(ср; hp) Е Е, то она инвариантна в этом пространстве. Если точка Q(cq; hq) ^ Е, то она может эволюционировать вдоль прямой с = сд, асимптотически стремясь к некоторой точке Q(cq;/zg) (hq < hq\ и она необходимо эволюционирует, если dU^fd! = = 0 только при (v; г) Е N. Более того, в последнем случае Q Е Е. Поверхность Е в пространстве (с; h) представляет диаграмму Смейла.
Инвариантные множества относительных равновесий и их устойчивость. Предположим, что на систему действуют управляющие силы, обеспечивающие выполнение соотношений
(BTA1B)1Bv = ш = const (w е Rfe) (3.10)
на всех движениях системы, а не только на стационарных, рассмотренных в предыдущем пункте этого параграфа.
Введем измененный потенциал системы, связанной соотношениями (3.10):
к, = |(ВтА-1Вш,ш). (3.11)
Аналогично предыдущему имеем
Теорема 3.6. Если измененный потенциал принимает невырожденное стационарное значение на некотором множестве Мо С М, то Мо — инвариантное в пространстве конфигураций М множество и
No = Мо х {v е Rn: v = у„(г), г е Мо} С М х Rn, (3.12)
где vcu(r) = А-1Вы — инвариантное в фазовом пространстве ограниченной системы множество.
Очевидно, множества Мо и No зависят от параметров ar. Мо = = Mq(w), Nq = No(t^). Аналогично пункту 1.3 будем называть движения ограниченной системы, лежащие на инвариантном множестве, относительными равновесиями. См. также замечание 3.2 с заменой Ус на Уш.
Теорема 3.7. Если измененный потенциал Уш(г) принимает локально строгий минимум на некотором компактном множестве М0(ы) С М, то М0(ы) — устойчивое инвариантное в пространстве конфигураций множество^ a N0(a>) — устойчивое инвариантное в фазовом простанстве ограниченной системы множество.
Теорема 3.8. Если dimM0 = 0 (М0(ы) = {г°(ы)}), степень неустойчивости Пуанкаре относительного равновесия {г = r0(w),v = = v°(cj) = v^r0)} нечетна и ранг (п — & + m) х (п — & + т)-матрицы линеаризовано ой системы уравнений возмущенного движения ограниченной системы равен n — k + щ то это относительное равновесие неустойчиво.
Теорема 3.9. Если измененный потенциал Уш(г) принимает локально строгий минимум на некотором компактном множестве Mo(w) С М и полная механическая система ограниченной системы сохраняет свое начальное значение только на множестве No (о;) (в некоторой окрестности этого множества) то N0(a;) — асимптотически устойчивое инвариантное множество ограниченной системы.
Теорема 3.10. Если измененный потенциал ТС (г) принимает невырожденное стационарное значение^ которое не является даже нестрогим минимумом, на некотором компактном множестве
М0(ы) С М и полная, механическая энергия ограниченной системы сохраняет свое начальное значение только на множестве Ng (о?) (в некоторой окрестности этого множества) , то Ng (о?) — неустойчивое инвариантное множество ограниченной системы.
Соответствие инвариантных множеств относительных равновесий и стационарных движений и соотношения между условиями их устойчивости. Рассмотрим общий случай, когда М = {г Е Rm:^(r) = 0} (см. замечание 3.2), тогда множества Мд(с) и Мо(ш) определяются соответственно из уравнений
^ = 0, ^(г) = 0^=0, ^(г) = 0^ = 0, ^(г) = 0^=0, ^(г) = 0^ = ¥0 + ^,^), (Wu) = ¥u) + (v,^^ = ¥0 + ^,^), (Wu) = ¥u) + (v,^(3.13)(3-14)(3.13)(3-14)
^ = 0, ^(г) = 0
^=0, ^(г) = 0
^ = 0, ^(г) = 0
^=0, ^(г) = 0
^ = ¥0 + ^,^), (Wu) = ¥u) + (v,^
^ = ¥0 + ^,^), (Wu) = ¥u) + (v,^
(3.13)
(3-14)
(3.13)
(3-14)
(в обоих случаях v — д-мерный вектор неопределенных множителей Лагранжа; д = dimM).Теоре м а 3.11 [29]. Для любого набора с постоянных интегралов Нетер (3.2) (для любого набора ш постоянных ограничений (3.10)) существует набор постоянных ш (набор постоянных с) такой, что решение системы (3.14) совпадает с решением системы (3.13): М0(ш) = М0(с).Доказательство. Пусть Мд (с) и у0 (с) — решение системы (3.13):Э¥ЭС д(-ф,и),+ 7Г + ДД = °’^ = °’ ЗЛ5отот orдля г G Мо(с) и v = i/°(c). Здесь С = -(D-1c,c), D = ВТА-1В.Положимш = (В^А^В^с.(3.16)(в обоих случаях v — д-мерный вектор неопределенных множителей Лагранжа; д = dimM).Теоре м а 3.11 [29]. Для любого набора с постоянных интегралов Нетер (3.2) (для любого набора ш постоянных ограничений (3.10)) существует набор постоянных ш (набор постоянных с) такой, что решение системы (3.14) совпадает с решением системы (3.13): М0(ш) = М0(с).Доказательство. Пусть Мд (с) и у0 (с) — решение системы (3.13):Э¥ЭС д(-ф,и),+ 7Г + ДД = °’^ = °’ ЗЛ5отот orдля г G Мо(с) и v = i/°(c). Здесь С = -(D-1c,c), D = ВТА-1В.Положимш = (В^А^В^с.(3.16)Рассмотрим теперь систему (3.14), из которой определяются Mq(w) и v°(w):Рассмотрим теперь систему (3.14), из которой определяются Mq(w) и v°(w):dV dQ дбф.и) Н 7 = 0 dr dr drdV dQ дбф.и) Н 7 = 0 dr dr dr*ф = 0.*ф = 0.(3.17)(3.17)Здесь Q = -(Dw,w). Принимая во внимание очевидное тождествоЗдесь Q = -(Dw,w). Принимая во внимание очевидное тождествоd(DD-1) = 0, представим второе слагаемое в первом уравнении си- drстемы (3.17) в видеd(DD-1) = 0, представим второе слагаемое в первом уравнении си- drстемы (3.17) в виде?=Ddr?=DdrdQ-1drdQ-1drD.D.Используя соотношение (3.16), заключаем, что Mg (с) и у0 (с) удовлетворяют системе (3.17). Следовательно, Mg (az) = Мд (с) и v°(w) = = у0 (с) (при условии (3.16)). Аналогично доказывается, что еслиИспользуя соотношение (3.16), заключаем, что Mg (с) и у0 (с) удовлетворяют системе (3.17). Следовательно, Mg (az) = Мд (с) и v°(w) = = у0 (с) (при условии (3.16)). Аналогично доказывается, что если
(в обоих случаях v — д-мерный вектор неопределенных множителей Лагранжа; д = dimM).
Теоре м а 3.11 [29]. Для любого набора с постоянных интегралов Нетер (3.2) (для любого набора ш постоянных ограничений (3.10)) существует набор постоянных ш (набор постоянных с) такой, что решение системы (3.14) совпадает с решением системы (3.13): М0(ш) = М0(с).
Доказательство. Пусть Мд (с) и у0 (с) — решение системы (3.13):
Э¥ЭС д(-ф,и),
+ 7Г + ДД = °’^ = °’ ЗЛ5
отот or
для г G Мо(с) и v = i/°(c). Здесь С = -(D-1c,c), D = ВТА-1В.
Положим
ш = (В^А^В^с.(3.16)
(в обоих случаях v — д-мерный вектор неопределенных множителей Лагранжа; д = dimM).
Теоре м а 3.11 [29]. Для любого набора с постоянных интегралов Нетер (3.2) (для любого набора ш постоянных ограничений (3.10)) существует набор постоянных ш (набор постоянных с) такой, что решение системы (3.14) совпадает с решением системы (3.13): М0(ш) = М0(с).
Доказательство. Пусть Мд (с) и у0 (с) — решение системы (3.13):
Э¥ЭС д(-ф,и),
+ 7Г + ДД = °’^ = °’ ЗЛ5
отот or
для г G Мо(с) и v = i/°(c). Здесь С = -(D-1c,c), D = ВТА-1В.
Положим
ш = (В^А^В^с.(3.16)
Рассмотрим теперь систему (3.14), из которой определяются Mq(w) и v°(w):
Рассмотрим теперь систему (3.14), из которой определяются Mq(w) и v°(w):
dV dQ дбф.и) Н 7 = 0 dr dr dr
dV dQ дбф.и) Н 7 = 0 dr dr dr
*ф = 0.
*ф = 0.
(3.17)
(3.17)
Здесь Q = -(Dw,w). Принимая во внимание очевидное тождество
Здесь Q = -(Dw,w). Принимая во внимание очевидное тождество
d(DD-1)
= 0, представим второе слагаемое в первом уравнении си- dr
стемы (3.17) в виде
d(DD-1)
= 0, представим второе слагаемое в первом уравнении си- dr
стемы (3.17) в виде
?=Ddr
?=Ddr
dQ-1dr
dQ-1dr
D.
D.
Используя соотношение (3.16), заключаем, что Mg (с) и у0 (с) удовлетворяют системе (3.17). Следовательно, Mg (az) = Мд (с) и v°(w) = = у0 (с) (при условии (3.16)). Аналогично доказывается, что если
Используя соотношение (3.16), заключаем, что Mg (с) и у0 (с) удовлетворяют системе (3.17). Следовательно, Mg (az) = Мд (с) и v°(w) = = у0 (с) (при условии (3.16)). Аналогично доказывается, что если
М0(ы) и v°(w) — решение системы (3.17), то М0(с) = М0(ы) и у0 (с) = ^(ы), где Мо(с) и у0 (с) — решение системы (3.15) при условии
(3.18)(3.18)с = (В^А^В^ы.
(3.18)
(3.18)
Теорема 3.12 [29]. Если измененный потенциал Уы принимает локально строгий минимум на множестве Mq(w), то эффективный потенциал Vc имеет локально строгий минимум на множестве Мо(с) при условии, что с и ш удовлетворяют соотношениям (3.16)
((3.18)).
Доказательство. Пусть выполнены условия (3.16) ((3.18)). Тогда Mq(c) = Mq(w) = Мд. При этом
(Ус(г) - К(Мо)) - (к,(г) - К,(Мо)) = C-Co + i2-i2o =
(3.19)(3.19)= ^(D-1 - Dg 1)с,с) + ^((D - D0)w,w) =
(3.19)
(3.19)
= — ((D„D 1Do — 2Dq T D)cd, u/) =
= | ((D-^Dq - D))w, (Do - D)w) > 0.
Следовательно, (K(r) — K(M0)) > (ИДг) — ИДМо)), т. e. если K>(r) > >Vw(M0),to Vc(r)> K(M0).
Следствие 3.1. Если инвариантное множество относительных равновесий устойчиво в вековом смысле, то соответствующее инвариантное множество стационарных движений также устойчиво в вековом смысле.
Отметим, что обратное утверждение в общем случае несправедливо: стационарные движения могут быть устойчивыми в вековом смысле, даже если соответствующие им относительные равновесия неустойчивы.
Назовем инвариантное множество Mg (с) (Мд(ю)) тривиальным, если М0(с) (М0(ш)) не зависит от с (от ш\ Очевидно (см. (3.15) и (3.17)), тривиальные инвариантные множества Мд (с) и Мд(ш) удовлетворяют уравнениям
(3.20)
т. е. всегда совпадают: Мд (с) = М0(ы) = Мо. При этом
тождественно по с и ш соответственно.
Теорем а 3.13 [29]. Степени неустойчивости тривиальных инвариантных множеств стационарных движений и относительных равновесий всегда совпадают.
Доказательство очевидным образом следует из соотношений (ЗЛ9)-(3.21).
Следствие 3.2. Условия вековой устойчивости невырожденных (£2К,сс(Мо) + 0) тривиальных инвариантных множеств стационарных движений и относительных равновесий всегда совпадают.
Замечание 3.7. Степень неустойчивости нетривиального инвариантного множества Мд (с) не превышает степени неустойчивости соответствующего инвариантного множества Мд(ш), но может быть и меньше последнего.
Замечание 3.8. Если v = (г,s), где г и s — позиционные и циклические обобщенные координаты, то представленные здесь результаты совпадают с результатами, изложенными в первом параграфе (см. п. 1.4).
Список литературы
Routh E.J. A Treatise on the Stability of a Given State of Motion. — London: MacMillan and Co., 1877.
R о u t h E. J. The Advanced Part of a Treatise on the Dynamics of a System of Rigid Bodies. — London: MacMillan and Co., 1884.
Poincare H. Snr 1’equilibre d’une masse fluide animee d’un mouvement de rotation// Acta Math. — 1885. — V. 7. — P. 259-380.
Ляпунов A.M. О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости. — Харьков: Изд. харьковского мат. общ-ва, 1892.
Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. — Изд. харьковского мат. общ-ва, 1888.
Volterra V. Sur la theorie des variations des latitudes// Acta Math. — 1899. - V. 22. - P. 257-273.
Levi-CivitaT. Sur la recherche des solutions particulieres des systemes differentiels et sur les mouvements stationnaires// Prace Math. Fis. — 1906. - V. 17. - P. 1-140
Salvador! L. Un osservazione su di un criteria di stabilita del Routh// Rend. Accad. Sci. Fis. Math. Napoli (IV). — 1953. — V. 20. — P. 267-272.
ПожарицкийГ.К. О построении функции Ляпунова из интегралов уравнений возмущенного движения// ПММ. — 1958. — Т. 22. — С. 145-154
Румянцев В.В. Об устойчивости равномерных вращений механических систем// Изв. АН СССР, ОТН, Механика, Машиностроение. — 1962. - Вып. 6. - С. 113-121.
Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений// ПММ. - 1966. - Т. 30. - С. 922-923.
Salvador! L. Sull’estensione a! sistemi dissipativi del criterio di stabilita del Routh// Ric.mat. — 1966. — V. 15. — P. 162-167.
Salvador! L. Un osservazione su di un criteria di stabilita del movimento// Mathematiche. — 1969. — V. 24. — P. 218-239.
Karapetyan A.V. The Routh Theorem and its Extensoins// Colloq.
Math. Soc. Janos Bolyai, 53: Qualitative Theory of Differential Equations. — Amsterdam, New York: North Holland, 1990. — P. 271-290.
Karapetyan A.V., Rumyantsev V.V. Stability of Conservative and Dissipative Systems// Appl. Meeh. Soviet Reviews, 1: Stability and Anal. Meeh. — New York: Hemisphere, 1990. — P. 3-144.
Smale S. Topology and mechanics// Invent. Math. — 1970. — V. 10. — P. 305-311; 1970. V. 11. - P. 45-64.
AbrahamR., Marsden J. Foundations of Mechanics. — New York, Amsterdam: Benjamin, 1978.
Карапетян А.В. Инвариантные множества механических систем с симметрией// Вычисл. мат. и информ. — М.: ВЦ РАН, 1996. — С. 74-86.
Карапетян А.В. Первые интегралы, инвариантные множества и бифуркации в диссипативных системах// Регулярная и хаотическая динамика. - 1997. - Т. 2. - С. 75-80.
То ms о nW., Tait Р. Treatise on Natural Phylosophy. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1879.
ЧетаевН.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. — М.: Изд-во АН СССР, 1962.
Красовский Н.Н. Некоторые задачи устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959.
Pascal М. Sur la recherche des mouvements stationnaires dans les systemes ayant des variables cyclic// Celest. Meeh. — 1975. — V. 12. — P. 337-358.
Степанов С.Я. О соотношении условий устойчивости при трех различных режимах циклических движений в системе// Пробл. анал. мех., теор. уст-ти и упр-ния. Т. 2. — Казань: КАИ, 1976. — С. 303-308.
Hagedorn Р. On the stability of steady motions in free and restricted dynamical systems// Trans. ASME. J. Appl. Meeh. — 1979. — V. 46. — P. 427-432.
К арапетян A.B., Степанов С.Я. О соотношении условий устойчивости стационарных движений свободных систем и относительных равновесий ограниченных систем// Сб. научно-метод. статей по теор. мех. Т. 20. - М.: Изд. МИИ, 1990. - С. 31-37.
РубановскийВ.Н. О бифуркации и устойчивости стационарных движений// Теор. и прил. мех. — 1974. — Т. 5. — С. 67-79.
Козлов В.В. О степени неустойчивости// ПММ. — 1993. — Т. 57. — С. 14-19.
Карапетян А.В., Степанов С.Я. Стационарные движения и относительные равновесия механических систем с симметрией// ПММ. — 1996. - Т. 60. - С. 736-743.
Карапетян А.В. Устойчивость стационарных движений. — М.: УРСС, 1998.
ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВАДЛЯ СИЛЬНО НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В. В. Козлов, С.Д. Фурта
Целью настоящей работы является дать краткий обзор работ, опубликованных авторами за последние 17 лет и посвященных построению решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности неэлементарной особой точки. Предполагается, что эти решения имеют неэкспоненциальную асимптотику. Основная идея предлагаемой техники тесно связана с первым методом Ляпунова и заключается в следующем: на первом шаге необходимо выделить соответствующее укорочение исходной системы, затем найти частное решение укороченной системы и, наконец, достроить это решение до частного решения полной системы при помощи некоторых рядов. Авторы показывают, как работает данный сценарий для различных классов динамических объектов.
Рассмотрим некоторый класс динамических систем, которые могут быть описаны при помощи гладкого векторного поля т/(ж), имеющего положение равновесия в начале координат х = О
х = v^x\ х Е Rn, z/(0) = 0.(1)
При помощи первого метода Ляпунова можно построить частное решение или семейство частных решений системы дифференциальных уравнений (1), стремящихся к положению равновесия х = 0 при t —> +оо или t —> — оо в виде некоторых рядов. Поведение указанных траекторий динамических систем содержит много полезной информации о структуре фазового портрета в малой окрестности начала х = 0. В частности, существование траектории, стремящейся к некоторому положению равновесия при t —> — оо влечет неустойчивость этого положения равновесия.
Суть классического, «квазилинейного» варианта первого метода Ляпунова состоит в следующем.
Пусть А = — (0) — матрица Якоби векторного поля v^x\ вычисленная в положении равновесия. Предположим, что характеристическое уравнение системы первого приближения
det (А - AJ) = 0(2)
© В.В. Козлов, С.Д. Фурта, 2001
имеет р корней Ai,...,Ap с положительными (отрицательными) действительными частями. Тогда система уравнений (1) обладает р-параметрическим семейством решений, стремящихся к началу координат при t —> +оо (t -Л — оо). Эти решения могут быть разложены в следующие ряды [1]:
+ оо
= 52 + •-•+jPXPW (3)
Здесь Д + ... + ip ^ 1, и коэффициенты ^n,... jp полиномиально зависят от времени t и от р произвольных параметров, значения которых, для того чтобы обеспечить сходимость рядов (3), должны быть достаточно малыми. Первая частичная сумма (3) (Д + ... + jp = 1) является, очевидно, линейной комбинацией частных решений «укороченной» линейной системы
ж = Лж. (4)
Однако необходимо заметить, что в общем случае формулы (3) дают выражения для комплексных решений системы (1). Для построения действительных решений нужно воспользоваться более сложными и громоздкими формулами.
Итак, первый метод Ляпунова в его классической квазилинейной постановке состоит из трех последовательных шагов.
Сначала необходимо упростить исследуемую систему путем отбрасывания некоторых членов и получить так называемую укороченную или упрощенную систему, являющуюся в рассмотренном выше случае линейной.
Найти в явном виде частное решение или семейство частных решений укороченной системы.
Достроить найденное решение или семейство решений укороченной системы до частного решения или семейства частных решений полной системы при помощи некоторых рядов.
Перед тем как ввести понятие сильно нелинейных систем и перейти к углубленному изучению предмета, рассмотрим несколько примеров применения классического варианта первого метода Ляпунова. Если характеристическое уравнение (2) имеет корни, не лежащие на мнимой оси, система (1) обладает решениями со специфическими асимптотическими свойствами. Следовательно, чрезвычайно полезно знать, существуют ли такие корни, не вычисляя их. Сформулируем несколько результатов, которые в квазилинейном случае являются почти тривиальными.
Пример 1. Сформулируем одну гипотезу, принадлежащую В. Тену [2]. Пусть начало координат ж = 0 является изолированным положением равновесия системы (1), размерность фазового пространства п нечетна, и рассматриваемое векторное поле обладает инвариантной мерой с гладкой плотностью р(ж) (div(pzx) = 0, р > 0). При данных предположениях начало координат ж = 0 неустойчиво как «в
прошлом», так и «в будущем». Следует заметить, что сформулированная гипотеза неверна для бесконечно-дифференцируемых векторных полей и инвариантных мер (существует соответствующий контрпример [2]). Но в аналитическом случае она представляется правдоподобной.
Если det Л ^ О, положение равновесия х = 0 изолировано. В этом случае достаточно просто доказать, что trA = 0, и уравнение (2) обязано иметь корни как с положительной, так и отрицательной вещественной частью (для четномерного пространства это неверно!).
Пример 2. Рассмотрим градиентную систему
с гармоническим потенциалом ^ф^х^ = 0), для которого х = 0 является критической точкой.
Тогда положение равновесия системы (5) х = 0 является неустойчивым как «в прошлом», так и «в будущем». Заметим сперва, что если мы разложим потенциал ф(х) в ряд Маклорена по однородным формам х; ф(х) = ф2^ж) + ^зМ + • • •, то каждая из этих форм допускает как положительные, так и отрицательные значения, поскольку эти формы являются гармоническими функциями (Ду>Цж) = 0, к = = 2,3,...).
Представляя квадратичную часть потенциала в виде ^2(^) = = (1/2)(Лж,ж), Лт = Л ((•, •) — стандартное скалярное произведение в Вп), мы можем просто доказать, что trA = 0, и если Л ^ 0, характеристическое уравнение (2) имеет положительные и отрицательные действительные корни.
2. Перейдем к основному объекту наших исследований. Обычно сильно нелинейными называют системы [3, 4], если характер поведения их траекторий в малой окрестности положения равновесия не определяется исключительно системой первого приближения. В соответствии с этой терминологией системы, обладающие неэкспоненциальными асимптотическими траекториями, т. е. стремящимися к положению равновесия при t —> +оо или t —> —ос, но неэкспоненциально по времени, могут быть отнесены к сильно нелинейным. С другой стороны, фазовый портрет гладкой системы дифференциальных уравнений в малой окрестности равновесия топологически сопряжен фазовому портрету его линейной части, если линейное приближение не имеет корней характеристического уравнения с нулевой вещественной частью (теорема Гробмана-Хартмана). Следовательно, непрерывные динамические системы, у которых характеристическое уравнение системы линейного приближения имеет нулевые или чисто мнимые корни также могут быть отнесены к сильно нелинейным.
Сначала сконцентрируем наше внимание на так называемом «суперкритическом» случае, когда Л является нильпотентным оператором. Центральное понятие, которое мы введем в этом пункте — понятие полуквазиоднородного векторного поля.
Определение 1. Пусть S = diag(si,..., зп) — диагональная матрица с положительными диагональными элементами. Введем следующее обозначение: Xs = diag(AS1,..., А5™). Пусть, далее, т — натуральное число, т ^ 1. Будем говорить, что векторное поле = z/m(x) является квазиоднородным степени т с показателями si,..., sn, если для любых ж Е Вп, А > 0 выполнено равенство
^(А5ж) =(6)
Полезно отметить, что если v^x^ квазиоднородное векторное поле, то система (1) инвариантна относительно следующего преобразования t -Е ц-1£, х -Е yGx, где матрица G = aS, а = l/(m — 1). Следовательно, (6) может быть переписано в виде
vm(nGx) = p,G+Ivm(x\(7)
Равенство (7) может рассматриваться как обобщенное определение квазиоднородного векторного поля для произвольной матрицы G с собственными значениями в правой полуплоскости, где под цс подразумевается следующая матричная экспонента цс = exp(Glog/z). В этом случае степень т играет формальную роль.
Определение 2. Векторное поле v(x) называется полуквазиод- нородным, если оно может быть представлено в виде формальной суммы квазиоднородных полиномов г(ж) = ^^Lq Ут^^х^ таким образом, что для всех членов этой суммы выполнены равенства
Vm+k EG$^ =Vm+kEY(8)
В принципе а может быть любым действительным положительным числом. Любое гладкое векторное поле с «тривиальной» линейной частью может быть представлено в полуквазиоднородной форме. Эта цель может быть достигнута при помощи техники многогранников Ньютона. Однако надо иметь ввиду, что это представление не единственное. Рассмотрим два простых примера.
Пример 3. Система дифференциальных уравнений
•2•3
ЯД = х2, Х2 = Хг
квазиоднородна степени т = 3 с показателями si = 2, S2 = l. С другой стороны, она является полуоднородной, т. е. полуквазиоднородной для равных si = 82 = 1 и m = 2. В этом случае укороченная система записывается как
Xi = х^, Х2 = 0.
Пример 4. Система уравнений
±1 = (х^ + Я^Х6^! — ^2)7 ^2 = (^1 + Х2)(аХ2 + bxi),
разумеется, однородная степени т = 3. С другой стороны, она квази- однородна относительно квазиоднородной структуры с недиагональной матрицей
/1/25 \
V V2/
где 5 — свободный параметр.
Далее, любая система вида
^1 = (р + ф(р)Каж1 - Ьх^У х2 = (р + ф^РЖахз + 6хД,
где р = х^ + ^2 и ф(р) = О (р) при р —> 0, полуквазиоднородна.
Системы уравнений, матрицы системы линейного приближения которых нильпотентны, могут быть изучены при помощи программы первого метода Ляпунова, описанной в п. 1.
Представить исходную системы уравнений как полуквазиодно- родную и выделить из нее квазиоднородное укорочение, соответствующее введенной структуре.
Построить частное решение укороченной системы в виде
ж(0Д) = (±£)-°с, сёГ.(9)
Достроить решение (9) укороченной системы до частного решения полной системы в виде ряда
^(t) = (±t)-G^^(log(±t))(±t)-“fe, ж0 = с, (10) к=0
где х^ — полиномиальные вектор-функции. Здесь знак + используется, если мы интересуемся асимптотикой решений полной системы (1) при t -л +оо, и « —», если t —сю. Ниже мы ограничимся преимущественно случаем t —> +оо, если не оговорено противное.
Рассмотрим последовательно эти три шага.
На самом деле первый этап был уже описан выше. Используя технику многогранников Ньютона [5], мы можем найти укороченную ква- зиоднородную систему уравнений
x = vm(x\(11)
Второй шаг состоит в нахождении действительного вектора св (9). Очевидно, что этот вектор должен удовлетворять следующему равенству
vm(c) = ^Gc.(12)
Проблема нахождения данного вектора с формальной точки зрения напоминает соответствующую линейную алгебраическую задачу о собственных векторах. В линейном случае собственный вектор может быть найден явно. Это отнюдь не так в рассматриваемом нелинейном случае. Тем не менее приводимое ниже утверждение говорит о
том, что при довольно слабых ограничениях на векторное поле vm(x)
вектор с всегда существует.
Лемма 1. Пусть х = 0 — единственное положение равновесия векторного ноля vm(x\ (vm(x) + 0 при х ф 0).
Тогда:
если индекс векторного ноля G-1vm(x) является четным числом (например, если vm(x) — однородное векторное поле четной степени т), существуют как «положительные», так и «отрицательные» собственные векторы;
если размерность фазового пространства п нечетна, существует либо «положительный», либо «отрицательный» собственный вектор.
Ниже мы используем последнее утверждение для обсуждения сформулированной выше гипотезы о неустойчивости положений равновесия векторных полей с инвариантной мерой.
Доказательство этой леммы может быть найдено в [3, 4].
Если v(x^ — градиентное векторное поле с гармоническим потенциалом ф, для которого х = 0 — вырожденная критическая точка, два первых шага первого метода Ляпунова могут быть выполнены следующим образом. Пусть разложение Маклорена функции ^(ж) начинается с членов порядка т + 1, т ^ 2, ф(х) = ^m+i(x) + фт^А^ + • • • Тогда укороченная однородная система имеет вид
. дфт+1 хж = —(ж).
ох
Однородная форма ^m+i(x) также гармонична и может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Система (13) обладает прямолинейным частным решением
Ж(о) (t) = ct", а = 1/(т — 1),(14)
которое стремится к положению равновесия х = 0 при t —У +оо. Вектор с удовлетворяет равенству с = |с|е, где е доставляет абсолютный максимум а однородной форме фт^х(^ на единичной сфере Sn-1, и |с| = (а/[(т + 1)а])а. Подобным же образом может быть найдено частное решение (13), стремящееся к положению равновесия при t — ос. Для его построения мы должны использовать вектор, доставляющий форме ^ш+1(ж) абсолютный минимум на сфере Sn-1.
Что касается третьего шага, если существует частное решение укороченной системы (11) указанного вида, мы всегда можем достроить это решение до частного решения полной системы (1) при помощи рядов (10). Для того чтобы найти все коэффициенты рядов (10), можно воспользоваться следующей рекуррентной процедурой. Для простоты рассмотрим случай знака + в соответствующих формулах. Для начала перейдем к «медленному» логарифмическому времени т = logt. Подставляя ряды (10) в систему уравнений (1), получим бесконечную цепочку линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и полиномиальными правыми частями:
^ - Kkxk = фк(т\ат
Здесь ф^, к = 1,2,..., являются полиномиальными функциями «предыдущих» коэффициентов xq^ ..., х^-х и К^ = ак! + К^ где К — так называемая матрица Ковалевской
K = G+^(c).(16)
Система (15) всегда имеет полиномиальное частное решение. Следовательно, ряды (10) могут быть построены полностью.
Что касается сходимости рядов (10), то в общем случае мы можем лишь утверждать, что всегда существует бесконечно дифференцируемое на некотором бесконечном полуинтервале [Т, +оо) частное решение (1), для которого (10) будет асимптотическим разложением [3, 4, 6]. Доказательство этого факта основано на применении абстрактной теоремы о неявной функции. Тем не менее, если векторное поле v^ аналитично, и если — 1 — единственное собственное значение матрицы Ковалевской вида —ак, к = 1,2,..., указанные ряды сходятся на бесконечном полуинтервале [Т, +оо), и, более того, мы можем построить бесконечно-листную риманову поверхность, на куске которой соответствующее решение (1) голоморфно [6]. Более точно, необходимое решение может быть получено в виде ряда
+ оо
= t"G^2yksk, Уо = с,(17)
к=0
сходящегося внутри малого комплексного диска |s| ^ sq, где s = s(t) — функция, обратная к t(s) = s1-m — era-1 logs, а сг — некоторый действительный параметр.
Следует заметить, что — 1 всегда является собственным значением матрицы Ковалевской К в соответствии с леммой из [7].
Итак, имеет место
Т е о рема 1. Если укороченная система (11) имеет частное решение (9), полная система (1) имеет частное решение x(t) -л 0 при t —>■ +оо или t —> —ос, для которого (10) является асимптотическим разложением.
Рассмотрим теперь несколько примеров.
Пример 5. Мы можем частично доказать гипотезу, сформулированную в п.1.
Теорема 2. Пусть размерность фазового пространства п системы (1) нечетна, и v^ — аналитическое векторное поле с нильпотентной линейной частью, обладающее инвариантной мерой с аналитической плотностью. Если существует квазиоднородная структура такая, что начало координат х = 0 является изолированным положением равновесия укороченного поля нтфх\ то положение равновесия х = 0 полной системы (1) неустойчиво как «в прошлом», так и «в будущем».
Используя лемму 1, мы можем легко доказать сформулированную теорему. Действительно, в соответствии с леммой 1 существует или
«положительный» или «отрицательный» собственный вектор задачи (12). Следовательно, существует частное решение x(t) полной системы уравнений (1), стремящееся к началу координат х = 0 либо при t +оо либо при t —у —ос. Это означает, что х = 0 неустойчиво либо «в прошлом» либо «в будущем». Однако поскольку система (1) обладает инвариантной мерой, неустойчивость «в будущем» влечет за собой неустойчивость «в прошлом» и наоборот, неустойчивость «в прошлом» влечет неустойчивость «в будущем».
Пример 6. Рассмотрим теперь градиентную систему (5) с гармоническим потенциалом. Имеет место
Т е о рема 3. Положение равновесия х = 0 любой градиентной системы с непостоянным гармоническим потенциалом ^(ж) неустойчиво как «в прошлом», так и «в будущем».
Доказательство. Рассмотрим разложение в ряд Маклорена потенциала системы ^(ж) = ф^х^ + ... Если данное разложение начинается с формы второго порядка, данное утверждение может быть доказано лишь на основе уравнений первого приближения, как это было сделано в п.1. Поэтому мы ограничимся более сложным случаем, когда разложение Маклорена начинается с однородной формы порядка т + 1, т ^ 2. Тогда это разложение будет иметь вид ^(ж) = = y?m+i(x) + ... Как уже было показано, укороченная система (13) обладает двумя прямолинейными частными решениями, стремящимися к нулю при t —> +оо и при t ^ — ос, которые могут быть достроены до решений полной системы (5) с теми же асимптотическими свойствами, что влечет за собой «двухстороннюю» неустойчивость.
Пример 7. Частный случай обращения теоремы Лагранжа- Дирихле об устойчивости положения равновесия механических систем и теорема Ирншоу о неустойчивости равновесия точечного заряда в электростатическом поле.
Рассмотрим механическую систему, описываемую при помощи следующих гамильтоновых дифференциальных уравнений
ВЫ вн
Р=-^^р\ МёГхГ, (18)
где H(q,p) — аналитическая функция вида H(q,p) = (1/2) (K(q)p,p)-\- -VU(qY Здесь К^ — положительно определенная матрица коэффициентов кинетической энергии системы (без ограничения общности мы можем предположить, что К^ = I), U(q) — потенциальная энергия системы. Если q = 0 — критическая точка потенциальной энергии, начало координат в фазовом пространстве q = р = 0 — положение равновесия рассматриваемой системы. Теорема Лагранжа-Дирихле [1] утверждает, что данное положение равновесия устойчиво, если q = = 0 — точка строгого минимума U^q\ Естественно возникает следующий вопрос. Будет ли тривиальное положение равновесия неустойчивым, если U(q) не имеет минимума в точке q = 0? Положительный ответ на этот вопрос был дан недавно В.П. Паламодовым [8], полностью доказавшим данное утверждение для аналитического случая.
Мы представим здесь простое доказательство более слабого результата.
Теорема4. Рассмотрим разложение Маклорена потенциальной энергии в положении равновесия U(q) = Um_^i(q) + • • •, т 1. Тогда если первая нетривиальная форма Um^i(q) не имеет минимума^ положение равновесия q = р = 0 неустойчиво [4, 9].
Следует отметить, что в силу обратимости по времени уравнений (18) эта неустойчивость «двухсторонняя».
Доказательство. Случай т = 1 легко исследуется лишь при помощи уравнений первого приближения. Пусть разложение Маклорена функции U(q) начинается с членов порядка, большего двух. Тогда рассматривая квазиоднородную структуру посредством следующей положительно определенной диагональной матрицы G = = diag(2a,..., 2а, (т + 1)а,..., (т + 1)а), а = l/(m — 1), мы можем получить укороченную систему уравнений
q = p. р =
для полной системы (18).
Если условия теоремы 4 выполняются, квазиоднородная укороченная система (19) допускает частное решение вида Q(o)(^) = ct-2°^ P(o)W = —2ас^-^т+1^, где вектор с Е Rn параллелен единичному вектору е, доставляющему форме Um^i(q) минимум —а, а > 0, на единичной сфере Sn-1. Длина вектора с может быть вычислена как |с| = (а/[(т + 1)а])а. Следовательно, полная система (18) имеет частное решение (ц(Др(фУ) (0, 0) при t —У +оо. Это приводит к неустойчивости «в прошлом» и соответственно «в будущем».
Уравнения движения точечного заряда в электростатическом поле также имеют форму (18), где п = 3, K(q) = I, и U(q) — гармоническая функция. Все формы в разложении Маклорена потенциала электростатического поля U(q) знакопеременны. Следовательно, чтобы доказать теорему Ирншоу, достаточно сослаться на теорему 4.
Пример 8. В конце этого пункта мы рассмотрим расширение ляпуновского критерия неустойчивости тривиальных положений равновесия систем дифференциальных уравнений с нильпотентной линейной частью [3, 4]. Ляпунов исследовал только случай п = 2. Мы рассмотрим случай более высокой коразмерности, когда п > 2.
Запишем рассматриваемую систему дифференциальных уравнений следующим образом
$i = ж^+1 + ..., г = 1,..., п — 1, хп = ах2 + ..., (20) где многоточия означают совокупность нелинейных членов, из которых выделен лишь моном ах2 в последнем уравнении.
Точки показывают, каким образом система (20) может быть укорочена. Действительно, укороченная система квазиоднородна относительно структуры с диагональной матрицей G = diag(n,n + 1,... ... , 2п — 1). Эта укороченная система имеет частное решение в виде
7 Под ред. В.М. Матросова и др.
«искривленного луча» x^.(t) = сД (п+г т\ г = 1,...,п, если а ^ 0.
Здесь ^ = ( —1)п+г 1———. Это решение может быть
а^п — I)!)2
достроено до частного решения полной системы (20), стремящегося к тривиальному положению равновесия при t —> +оо. Это означает неустойчивость «в прошлом». Решение (20), стремящееся к положению равновесия при t — ос может быть построено аналогичным образом. Следовательно, неустойчивость «в будущем» также имеет место. Приводимые рассуждения верны при г ^ 2.
Если, тем не менее, а = 0, исходная система уравнений должна быть переписана следующим образом
^г — ^г+1 Т • • • ?±„-1 = жп + Ьа?1 + ...,^г — ^г+1 Т • • • ?±„-1 = жп + Ьа?1 + ...,г = 1,..., п — 2, ж„ = 2сЖ1Ж2 + • • •г = 1,..., п — 2, ж„ = 2сЖ1Ж2 + • • •(21)(21)
^г — ^г+1 Т • • • ?
±„-1 = жп + Ьа?1 + ...,
^г — ^г+1 Т • • • ?
±„-1 = жп + Ьа?1 + ...,
г = 1,..., п — 2, ж„ = 2сЖ1Ж2 + • • •
г = 1,..., п — 2, ж„ = 2сЖ1Ж2 + • • •
(21)
(21)
Пренебрегая всеми нелинейными членами, обозначенными многоточиями, получим квазиоднородную систему уравнений, ассоциированную с матрицей G = diag(n — 1, п,..., 2п — 2) (здесь мы должны предположить, что п ^ 3). Эта система имеет частное решение вида ауоу (^) = с^-(п+г-2), г = 1,..., п, если b + с 0,
_ / (2п — 3)! V
С” " С рЬ + с)(п-2)! J
Как и ранее, это решение может быть достроено до частного решения полной системы (21), которое будет стремиться к положению равновесия при t —> +оо. В этом случае положение равновесия неустойчиво «в прошлом». С другой стороны, можно построить частное решение системы (21), которое стремилось бы к началу координат при t —> — оо, что означало бы «неустойчивость в прошлом».
Перейдем теперь к случаю, когда характеристическое уравнение (2) имеет нулевые корни. В этом пункте мы ограничимся рассмотрением случая чисто мнимых корней (2). Матрица системы линейного приближения Л может быть представлена в виде суммы Л = D + J, где D диагонализируема, a J нильпотентна. Тогда исходную систему (1) можно переписать в виде
(22)(22)ж = Dx + и(х),
(22)
(22)
где и(х) = Jx + ..., а многоточие означает совокупность нелинейных членов.
Следующий шаг заключается в приведении системы (22) к нормальной форме Пуанкаре. Выполним формальное преобразование, представимое в виде формального ряда х = у + ^Yp^y^ где Yp(y) —
Первый метод Ляпунова для сильно нелинейных систем уравнений 99 однородные векторные формы степени р ^ 2. После этого система (22) приобретает вид
y = Dy + w(y),(23)
где w(y) = Jy +
Напомним следующее определение. Говорят, что система (23) записана в нормальной форме Пуанкаре, если exp(Z>t)w(?/) = w(exp(Z)f)?/) (см., например, [10]). Таким образом мы можем использовать следующую конструкцию. После следующего линейного неавтономного обратимого преобразования у = exp(I?£)z система (23) принимает вид
i = w(z),(24)
где формальное векторное поле w(^) имеет нильпотентную линейную часть.
Таким образом, мы оказываемся в ситуации предыдущего пункта и можем применить описанную там схему. Однако, хотя в общем случае проблема нахождения собственных векторов (12) разрешима для диагональных матриц G, возникающих при применении метода многогранников Ньютона, в конкретных критических случаях это не так, и приходится использовать более сложную технику.
Пусть система (24) обладает no < п независимыми линейными полупростыми полями симметрии DjZ, j = 1,...,по с диагонализируемыми матрицами Dp Пусть также G является диагональной матрицей, определяющей квазиоднородную структуру, полученную при помощи техники многогранников Ньютона, коммутирующей со всеми матрицами линейных полей симметрии (GDj = DjG, j = l,...,no). Пусть система уравнений
г = wm(z)(25)
является квазиоднородным укорочением для (24). Является верным следующее утверждение.
Лемма 3 [4]. Семейство матриц G§ = G + 52™= 1 8jDp где 5 = = (5i 7 * * * 7 5По) — набор произвольных действительных параметров, определяет квазиоднородную структуру, относительно которой система (25) квазиоднородна, полная система (24) полуквазиоднородна, и (25) является ее укорочением.
Например, в качестве матрицы, задающей квазиоднородную структуру, можно использовать матрицу G§ = G + 5D, 5 G R. Используя данный подход, мы можем получить частные решения укороченной системы не только в виде «искривленного луча», но также решения в виде «закрученных лучей».
В отличие от (9) искомые частные решения системы (25) в общем случае имеют следующую форму:
Л°)^) = (^Г°5с = exp(-51og(±t)D)(±t)-Gc.(26)
Последующие шаги аналогичны уже описанным. Следовательно, искомое формальное частное решение нормальной формы (23) представимо в виде рядов
+ оо
у(^) = exp(D^-G,5 1og(±t))y2yfe(1°g(±^))(±^)”“fe’ Уо = с- (27) к=0
Тем не менее, мы должны иметь ввиду, что нормализующее преобразование, как правило, расходится, и поскольку система (23) представляет собой лишь формальную систему дифференциальных уравнений, ряды (27) являются только формальными рядами. Однако, используя частичную нормализацию и некоторую модификацию абстрактной теоремы о неявной функции, мы можем доказать, что частичные суммы ряда (27) с достаточно большими номерами хорошо аппроксимируют частные решения системы, нормализованной до достаточно высокого порядка, стремящиеся к тривиальному положению равновесия при t +оо или t —оо.
Имеет мест следующий результат.
Т е о рема 5 [4, П]. Если укороченная система (25) имеет частное решение в виде (26), то исходная система дифференциальных уравнений (22) обладает частным решением x(t) 0 при t +оо или t -Л —оо.
Пример 9. Неэкспоненциальные асимптотические решения общих систем дифференциальных уравнений с дополнительным резонансом между частотами 1:1 и непростыми элементарными делителями.
Рассмотрим четырехмерную систему дифференциальных уравнений, для которой характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни Ацз = ±V—1 ^? ^2,4 = ±V-1 ^ с недиагонализируемой матрицей системы первого приближения.
Устойчивость тривиального положения равновесия рассматриваемой системы изучалось в [11].
Пусть у = (^/1,^27^37^4) — фазовый вектор нормализованной системы. Диагонализируемая часть матрицы системы первого приближения может быть представлена в виде
/0-ш00\
ш000
•(28)
000-шVJ
\00w0/
(25), записывается [12] как(25), записывается [12] какУкороченная система, аналогичная
(25), записывается [12] как
(25), записывается [12] как
21 = 22,z2 = (azi - 6z3)(zi + Z3),
23 = 24,Z4 = (bzi + a23)(zi + 23),
а.Ь — действительные параметры системы. Здесь для проведения «укорочения» системы используется диагональная матрица G = = diag(l,2,l,2).
Очевидно, что матрица G коммутирует с матрицей D. и мы можем применить описанную выше процедуру. Упомянутый алгоритм приводит к поиску частных решений системы (29) в следующем виде:
^(о)х to = t~1 (щ cos 5ш log t — С3 sin 5ш log t),
^(o)2 to = ^2 (c2 cos Sw log t — C4 sin 6ш log t) ^(o)3 (t) = t1 (щ sin 6ш log t + c3 cos 5ш log t),
^(o)4 to = ^-2(c2 sinolog/; + C4 cos бш log£).
Решения вида (30) образуют следующее однопараметрическое семейство щ = pcos#, с^ = p(5sin# — cos#), С3 = psin#, C4 = = — p(5 cos# + sin#) Здесь # — параметр данного семейства, а величины р, 5 должны быть определены дополнительно. Они удовлетворяют системе алгебраических уравнений
ар2 + -2 = 0, 3^ - Ър2 = 0. (31)
Условия разрешимости системы (31), совпадающие с условиями неустойчивости тривиального положения равновесия, могут быть представлены в комплексной форме [12]
w — |w|, w = n + V^16. (32)
Если неравенство (32) выполнено, исходная система уравнений обладает однопараметрическим семейством решений, стремящимся к положению равновесия при t -Д- +оо. Можно также доказать существование решений, стремящихся к положению равновесия при t — ос.
Результаты, аналогичные общей теореме 5, для гамильтоновых систем уравнений в случае конкретных резонансов были получены А.П. Маркеевым [13].
Следует отметить ряд осложнений, возникающих, когда некоторые корни характеристического уравнения (2) не лежат на мнимой оси. В этом случае мы можем спроектировать рассматриваемую систему на инвариантное центральное многообразие. После этого может быть формально применена описанная выше процедура. Однако центральное многообразие может иметь лишь конечный порядок гладкости. В этом случае ряды (27) остаются только формальными рядами, и вопрос существования неэкспоненциальных асимптотических решений требует более тщательного анализа.
Исследуем ситуацию, которая может быть охарактеризована как сингулярная. Это означает, что мы можем построить ряды типа (10), но они будут расходиться в большинстве случаев даже при аналитических правых частях рассматриваемых уравнений. Классический пример такого рода принадлежит Эйлеру.
Пример 10. Рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений.
±1 = —Ж1 + Ж2, ^2 = —^2- (33)
Система (33) имеет частное решение яд^) = e-t J^^ s-1es ds, x^(t) = t-1 -Д (0,0) при t -Д — exo, что, конечно, означает неустойчивость. Функция xi(t) может быть разложена в степенной ряд по обратным степеням времени t. Этот ряд имеет вид xi(t) = = 52^2 х(к — l)\t-k и, разумеется, расходится.
Причина этого явления может быть объяснена с двух различных точек зрения. Во-первых, подобные неэкспоненциальные асимптотические решения лежат на центральных многообразиях, которые в большинстве случаев не аналитичны. Во-вторых, вводя некоторый малый параметр (соответствующий квазиоднородной шкале, ассоциированной с первыми нетривиальными членами построенных рядов) в рассматриваемую систему, мы можем получить сингулярно возмущенную систему, теряющую некоторые производные при обнулении малого параметра. В любом случае явление подобного рода связано с «взаимодействием» переменных, отвечающих 13 нулевым и ненулевым корням характеристического уравнения. Получаемые ряды являются асимптотическими рядами для требуемых частных решений, но прямое использование техники абстрактной теоремы о неявной функции в данной ситуации невозможно. Для доказательства факта асимптотичности построенных рядов необходимо применять теорию, принадлежащую А.Н. Кузнецову [14, 15]. Грубо говоря, эта теория утверждает, что если гладкая система дифференциальных уравнений обладает формальным решением в виде рядов (10), то она обладает «настоящим» гладким решением для которого (10) дает асимптотическое разложение.
Этот результат неприменим, однако, в случае когда матрица G не диагона льна. Следовательно, указанная техника не позволяет «отлавливать» «закрученные» частные неэкспоненциальные решения, появляющиеся при наличии чисто мнимых корней характеристического уравнения.
Обсудим теперь первую причину расходимости рядов (10), связанную с неаналитичностью центрального многообразия. Можно привести следующее утверждение.
Л е м м а 4 [4]. Пусть характеристическое уравнение системы (1) имеет hq < п нулевых корней. (Здесь не предполагается, что остальные корни должны иметь ненулевые вещественные части. Они только должны быть не равны нулю.) Тогда система (1) может быть переписана следующим образом;
у = Ay + Bz + f(y,z), z = Jz + g(y, z), (y^z) G Rni x Rn°, (34) где y,z — ni- и п^-мерные векторы (nx = п — hq), А — невырожденная пх х пх-матрица, J — нильпотентная п^ х п^ -матрица, В — пх х по -матрица, а вектор-функции f,g обозначают совокупность нелинейных членов.
Существует формальное инвариантное многообразие у = y^z), где ф может быть представлено в виде формальных степенных рядов, такое, что спроектированная на это многообразие система (34) принимает вид
z = Jz + h\z\ (35)
h^ обозначает степенные ряды, изображающие нелинейные члены.
Теперь мы можем применить к системе (35) процедуру, описанную в п. 2 и, следовательно, построить формальное решение системы (34). Применение упомянутой выше теоремы А.Н. Кузнецова дает нам «настоящее» решение.
Этот подход может быть также реализован при изучении систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производных.
F^x, х) = 0, ж Е Г, F(0, 0) = 0. (36)
Рассмотрим в пространстве Rn квазиоднородную структуру, ассоциированную с матрицей G. Эта структура может быть поднята до структуры пространства R2n, ассоциированной с блочной матрицей block(G, G + I). Предполагается, что после преобразования х pGx, х нэ рР^х исходная система (36) приобретет вид Fm(x, ж) + о(ца:) = 0, а = l/(m — 1) при /1^0. Тогда система (36) называется полуквази- однородной. В «укороченной» системе
Ет(хД) = 0 (37)
при этом могут исчезнуть некоторые производные, и (37) может представлять собой систему дифференциально-алгебраических или даже алгебраических уравнений.
Для простоты рассмотрим случай асимптотического поведения решений системы (36) на +оо. Эта ситуация отвечает знаку + в (10). Мы можем искать решение системы (37) в «традиционной» форме (9) и затем стараться продолжить их до рядов (10). Для того, чтобы вычислить все коэффициенты рядов (10), необходимо на каждом /с-м шаге вместо системы (15) решить систему
А—+ Bkxk = фк^Т\ (38) ат
Ар 8F
Здесь А = —^(c,-Gc\, Вк = -A(akl ^GU ~^(c,-GcY Если 8х 8х
det А ^ 0, эта процедура практически не отличается от описанной в п. 2. Но в случае вырожденности этой матрицы мы должны аккуратно проверять условия разрешимости системы (38) на каждом шаге в классе полиномиальных функций. Если полная цепочка уравнений (38) оказывается разрешимой, мы можем полностью построить ряды (10) и применить теорию Кузнецова.
Пример 10 может быть исследован с этих двух различных точек зрения. Во-первых, система уравнений (33) имеет центральное многообразие
Ж1 = 9з(ж2) =-ехр (-—) [
Следовательно, частное решение второго уравнения системы (33) x2(f) = t-1 может быть поднято до частного решения полной системы следующим образом: жД^) = (p^x^t^. Во-вторых, используя квазиоднородную шкалу яд н> pxi, х2 рх2, х\ р?х^, х2 р2х2 и подставляя в оба уравнения р = 0, получим следующую систему дифференциально-алгебраических уравнений
Ж2 — Ж1 = 0, Х2 = — ^2,(39)
обладающую частным решением x^^t) = ^(0)2W = £-1, которое может быть продолжено до решения полной системы (33).
Как можно видеть, производная яд в (39) потеряна. Описанная конструкция приложима также и к «возмущенной» системе, полученной из (33) добавлением соответствующих нелинейных членов
яд = -жх + яд + /(яд, яд), х2 = -^2 + /(яд, яд), (40)
где /1 начинается с членов второго порядка, в то время как /2 — с членов третьего порядка.
Коэффициенты соответствующих рядов для системы (40) могут быть найдены из следующей цепочки уравнений
- B2k = МИ,+ (1 - k)x2k = ф2к(т\ (41)
ат
Система (41) очевидно разрешима для любых полиномов фгк^фзк- Менее тривиальный пример использования описанной техники связан с проблемой обращения теоремы Лагранжа-Дирихле сформулированной в п. 2.
Пример 11. Рассмотрим гамильтонову систему уравнений (18), когда U^q) не имеет минимума в точке q = 0. Как обычно, запишем разложение Маклорена потенциальной энергии U(q) = = U2 (q) + Umw (q) +..., т ^ 2. Пусть вторая вариация потенциальной энергии в критической точке q = 0 положительно полуопределена, т. е. вектор обобщенных координат q может быть представлен в виде 9 = (9(0),9(1)), qW € R"°, qW € В"1, no < тц пу = п — по, так что П2^°\ q^) = (1/2) (Л^1),^1)), где А — положительно определенная симметрическая zii х пх-матрица. Эта матрица может быть приведена к диагональному виду А ~ diag (cj^, ..., ш^ ^ где ш^,..., шП1 —
частоты малых колебаний системы. Обозначим сужение однородной формы Um^-i(q) на плоскость q^ = 0 через Kn+i (ф0))-
Имеет место следующее утверждение о неустойчивости.
Теорема 6 [4, 16]. Если форма Ут^-у не имеет минимума, положение равновесия q = р = 0 системы (18) неустойчиво.
Доказательство. Мы наметим лишь основные шаги этого доказательства. С формальной точки зрения система (18) может рассматриваться как неразрешенная относительно производных. Используя следующую квазиоднородную шкалу q О p2aq, р О р^^^р, а = = l/(m — 1) и подставляя в уравнения у = 0, получаем «укороченную» систему
q^ = р<°\ = _^±1(9(O),9(D), AqW = 0. (42) oqW
Если условия теоремы 6 выполнены, система (42) имеет очевидное частное решение q^(t) = с^-2", q^(f) = 0, р^(£) = —^act-^^1^, p[^№ = 0, с 6 Rn°. Вектор с параллелен единичному вектору е, на котором форма Кп+1 достигает минимума на единичной сфере Sn°-1. Легко показать, что система уравнений, которой удовлетворяют высшие коэффициенты соответствующих рядов, разрешима. Применяя цитируемые результаты [14, 15], можно доказать существование частных решений (18) ^(ф),р(ф)) -д- (0,0) при t -д- +оо. Это означает неустойчивость «в прошлом». Вследствие обратимости уравнений (18) по времени тривиальное положение равновесия неустойчиво «в будущем».
Рассмотрим несколько неожиданное приложение описанного выше первого метода Ляпунова для одного класса дифференциальных уравнений с запаздыванием. Пусть дана система функциональнодифференциальных уравнений
х^ = f(x(t), x(t - Н),.. •, x(t - Д)), (43)
такая что х^ = 0 является ее тривиальным частным решением (/(0, 0,..., 0) = 0). Здесь ty,... ,ts — действительные положительные постоянные.
Более того, предположим, что характеристическое уравнение для системы (43) имеет лишь нулевые корни. Для этого достаточно частного случая мы найдем достаточные условия неустойчивости при помощи построения частного решения (43) х^ -Д- 0 при t -Д- — оо. Поскольку характеристическое уравнение не имеет корней с положительной или отрицательной вещественной частью, можно предположить, что существует конечномерное центральное многообразие, притягивающее решения (43) суперэкспоненциально (на этот факт обратил внимание авторов Дж. Хейл, см. также [17]). С другой стороны, после проекции на указанное центральное многообразие редуцированная конечномерная система имеет только нулевые корни характеристического уравнения системы первого приближения, и мы можем
ожидать, что требуемое решение обладает степенными асимптотическими свойствами. Мы, тем не менее, попробуем найти достаточные условия существования асимптотического решения, не используя технику построения центрального многообразия.
Введем для простоты следующие обозначения x^(t) = ж(£), x^(f) = x^t — ^i),..., x(s\t) = x^t — tsy Будем говорить, что система (43) квазиоднородна относительно структуры, ассоциированной с матрицей G и обозначим ее как
^W = fmWY Х^ - UY ...,x(t- ts)Y (44)
если после следующего преобразования t О /Г1! х^ О pGx(°\ х^ нэ pGx^, ..., х^ нэ pGx^ она остается инвариантной.
Если же после указанного преобразования правые части системы (43) принимают вид формальных степенных рядов по степеням ц“, где а = l/(m — 1), т. е. х^ = fm(x(tY x^t — Н), • • •, x^t — ts^ + o^paY будем говорить, что система (43) полуквазиоднородна. Система (44) называется при этом квазиоднородным укорочением системы (43).
Проблема состоит в том, что укороченная система (44) не имеет в общем случае частных решений вида (9) или (26). Поэтому мы должны прибегнуть к дальнейшим упрощениям. Полагая все запаздывания равными нулю, получим другую укороченную систему, но уже обыкновенных дифференциальных уравнений
ж = 9т^ = fm&X, . . . ,х\ (45)
Грубо говоря, можно показать, что система функциональнодифференциальных уравнений (43) наследует свойства неустойчивости системы обыкновенных дифференциальных уравнений (45). Более точно, имеет место следующий результат.
Теорема 7 [18]. Если укороченная система (45) имеет частное решение (9) со знаком «+» в (9), то полная система уравнений (43) имеет частное решение x(t) -Д- 0 при t — ос, для которого ряды (10) со знаком «—» дают асимптотическое разложение, и три- виалъное решение неустойчиво.
Формальный аспект доказательства основан на том простом факте, что если решение х^ может быть разложено в ряды (10), все его сдвиги x^t — Н), • • •, x(t — t^) могут быть переразложены в аналогичные ряды с тем же самым главным членом. Для того, чтобы доказать, что ряды (10) являются асимптотическим разложением для некоторого фактического решения, нужно использовать технику абстрактной теоремы о неявной функции. Полезно заметить, что в случае произвольного знака запаздываний (например, для систем опережающего типа) ряды типа (10) тоже могут быть формально построены, но теорема о неявной функции в этой ситуации неприменима, и не представляется возможным заключить, описывают ли они какое-либо «настоящее» решение рассматриваемой системы.
Рассмотрим одно интересное приложение теоремы 7.
Пример 12 [18]. Взрывная неустойчивость в логистических уравнениях.
Следующая система уравнений
Ni(t) — Ni^H +/S^'^aijNj^t - ttj)\ i —(46)
представляет собой весьма популярную модель, описывающую различные процессы, протекающие в самых различных областях, она используется в биологии, экологии, экономике и т. д. Например, при помощи (46) можно описать взаимодействие популяций в некоторой экосистеме, где N^t) — число особей в популяции г-го вида в момент времени С (сц^ — постоянная матрица которая в данной модели, как правило, предполагается кососимметричной ^a^j > 0 означает, что г-й вид размножается за счет J-го вида, в то время как в противном случае численность г-го вида сокращается под воздействием особей j-ro вида), к^ — разница между рождаемостью и смертностью г-го вида, если он предоставлен самому себе, а коэффициенты Д > 0 являются параметрами, характеризующими тот факт, что воспроизводство одного «хищника» обычно связано с исчезновением более, чем одной «жертвы». Поскольку число особей в популяции влияет на рождаемость вида с некоторым запаздыванием, постоянные tij положительны. В действительности имеет смысл рассматривать систему (46) только для неотрицательных значений N^ г = 1,... ,п. Свойства решений системы (46) впервые изучались Вольтерра без учета запаздываний [19], в последствии он рассматривал вопрос влияния эффекта запаздывания на рождаемость в популяции, но немного в иной форме, чем в (46). Следует отметить, что предельный случай к^ = 0, г = 1,...,п для систем вида (46) практически не рассматривался. Исключение составляют лишь немногое работы, например, [20], где уравнения (46) при условии ^ = 0, г = 1,..., n, ^j = 0, г, j = 1,..., п, и нулевых запаздываниях использовались для анализа динамики занятости в различных отраслях производства. Авторы работы [20] предполагали, что компоненты матрицы (сцз) удовлетворяют условиям a^j > 0, г,у = 1,... ,тг, г ф j. ац < 0, г = 1,... ,п. Очевидно, что для других важных прикладных задач коэффициенты а^ могут подчиняться другому набору требований.
Нашей задачей будет нахождение условий, достаточных для существования положительных асимптотических решений N^t) —> 0, г = 1,..., п, при t -Д- — (X) системы уравнений
Ni(t) ^^Ni^^aijNjit-tij),(47)
j=l
для tij > 0, г^ у = 1,..., и.
Соответствующая система обыкновенных дифференциальных
уравнений такова:
(48)(48)Nt = ^ rNi У atjNj, г = 1,..., n.
(48)
(48)
Найдем условия существования положительного решения системы (48) вида N^. = c^-t)-1, с^ > 0, г = 1,...,п, t < 0. Это решение существует, если следующая система линейных алгебраических уравнений
^atjCj = ^, г = 1,...,п, (49) j=i
допускает положительное решение.
В соответствии с теоремой 7 это означает, что система (47) имеет положительное решение N^t^ 0 при t -+ — оо. Поскольку уравнения (47) инвариантны относительно сдвигов по времени t О t — Т, существование положительного решения системы (49) влечет за собой неустойчивость тривиального положения равновесия системы (47). Эта неустойчивость имеет взрывной характер. Решения прекращают свое существования или уходят в бесконечность за конечное время. Это означает, что существует режим в рассматриваемой экосистеме такой, что все популяции, весьма малые по численности в начальный момент времени, начинают одновременно очень быстро расти.
Последний объект, который будет рассмотрен в этой статье — это инвариантные кривые аналитических отображений. Задача может быть поставлена следующим образом. Рассмотрим дискретную динамическую систему
(50)(50)ж (р+1) = / (ж<р)), р е Z,
(50)
(50)
ассоциированную с отображением /:Rn -+ Вп, аналитическим в окрестности начала координат х = 0.
Пусть х = 0 —неподвижная точка этого отображения, и / — диффеоморфизм в малой окрестности этой точки, т. е. det Л 0, Л = ^(0). Для того, чтобы исследовать поведение системы (50) в окрестности неподвижной точки, полезно найти локально инвариантные кривые данного отображения, т. е. некоторые гладкие вектор- функции x(s), ж: (0, so) Kn, sq достаточно мало, lims^+o ^(Д = 0 такие, что
(51)(51)/СФ)) = ж(А(е)),
(51)
(51)
где A(s) — гладкая функция, А: (0, sq) —> (O,sq), определяющая пере- параметризацию кривой x(s), lims^+o ^(s) = 0-
Тогда мы можем достаточно просто найти траекторию динамической системы (50), лежащую на данной инвариантной кривой
(52)(52)ж(р) ЭС (s(p)) ,5(р+1)^(Др))’ Р ^-
(52)
(52)
Данные кривые могут быть получены при помощи первого метода Ляпунова. Рассмотрим сперва ситуацию, когда существуют корни характеристического уравнения
det(A - AI) = 0,(53)
лежащие строго внутри или снаружи единичного круга в комплексной плоскости.
Для простоты рассмотрим случай действительных корней. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 8 [21]. Пусть существует действительный корень А, 0 < |А| < 1, характеристического уравнения (53) такой, что для любого другого корня ц уравнения (53) выполнены следующие условия нерезонансности
p^Xk, fceN\{l},(54)
тогда существует аналитическая инвариантная кривая /, которая может быть представлена в виде сходящегося степенного ряда
x(s) = s^xksk.(55)
k=0
Если, тем не менее, существуют корни ц (53), для которых
ц = Хк,(56)
то существует кривая класса СК-1, представимая при помощи асимптотического ряда
4aj = yy^i°g Н)А(57)
к=0
где К — наименьшее натуральное число, для которого имеет место резонанс (56), и х^ - полиномиальные вектор-функции.
И в том и в другом случаях функция перепараметризации A(s) имеет весьма простой вид A(s) = As вне зависимости от того, выполнено ли соотношение (54), или имеет место резонанс (56), и xq = = с, где с — собственный вектор матрицы А с собственным значением А.
Опустим доказательство сформулированной теоремы.
Ряды типа (55) или (57) могут быть построены аналогичным образом в комплексном случае (А Е С), однако если нас интересуют действительные кривые, соответствующие разложения будут более громоздкими.
Противоположный случай |А| > 1 также может быть исследован. Для этого теорему 8 нужно применить к отображению /-1, обратному отображению /.
Перейдем к рассмотрению более деликатной ситуации. Предположим, что редукция системы к центральному многообразию уже проведена. Это означает, что все корни характеристического уравнения (53) лежат на единичной окружности. Разумеется, центральное многообразие может иметь лишь конечный класс гладкости [10], но мы рассмотрим лишь формальный аспект проблемы. Точнее, мы рассмотрим процедуру построения инвариантных кривых в виде некоторых формальных рядов. Для этой цели вполне достаточно предположить, что / представима в виде формальных рядов Маклорена.
Отображение / можно переписать следующим образом
/(ж) = Dx + /(ж),(58)
где матрица D диагонализируема
D ~ diag (exp (V^lpi) , • • •, exp (-/Лрп)) ,
Ръ...^Рп — некоторые действительные числа, /(ж) = Jx + ..., J — нильпотентная матрица, и многоточие означает совокупность нелинейных членов.
Отображение в виде (58) должно быть приведено к нормальной форме при помощи формальной замены х = у + ^ Yp(y), где Yp(y) — однородные вектор-формы порядка р ^ 2. Тогда мы получим новое отображение
9^ = Dy + р(у),(59)
д^ = ^У + • • • такое, что для любого положительного ст g^D^y) = = D^g^yY Следующий шаг состоит в рассмотрении отображения
= ^ + ^(^)?(60)
где Цх) = П"хд^\
Это отображение может быть получено из (59) при помощи замены у = D-1z.
Линейная часть векторного поля h(A нильпотентна, поэтому мы можем попробовать переписать это отображение в полуквази- однородной форме К^ = 51Д0 ^т+ь^У так что hm+k (Xs х) = — Xs+^m+k-1^Ihm+k(xy S — диагональная матрица, получаемая вследствие применения техники многогранников Ньютона. Введем также обозначение а = l/(m — 1).
Пусть квазиоднородное укорочение Нт(А векторного поля h(г) таково, что существует действительный ненулевой вектор с, удовлетворяющий условиям нелинейной задачи поиска собственных векторов
МА = —Ge.(61)
Теорема 9 [21]. Пусть существует действительный ненулевой вектор с, такой что выполнено соотношение (61). Тогда формальное
отображение (59) имеет инвариантную кривую, которая может быть представлена в виде рядов
y(s) Ds± mss^2yk(logs)sk, у0 = с, s > О, (62) к=О
где у к — полиномиальные вектор-функции, и функция Х(з) в (51) имеет вид
A(s) = 8 (1 + s^-1)”" .(63)
Здесь коэффициенты у^ также могут быть последовательно вычислены как частные решения некоторых линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и полиномиальными правыми частями. Вопрос сходимости или асимптотичности рядов (62) нетривиален. Для того чтобы доказать, что частная сумма ряда (62) является хорошим приближением для инвариантной кривой частично нормализованного отображения, мы также должны применить абстрактную теорему о неявной функции, но в более сложном варианте, чем в случае обыкновенных дифференциальных уравнений.
Если мы рассмотрим формальную динамическую систему, порожденную отображением (59)
У(р+1) = 9 (У(Р)) , рЕА(64)
то достаточно просто построить формальную траекторию (64), стремящуюся к неподвижной точке у = 0 при неограниченном возрастании числа итераций р.
Действительно, поскольку функция перепараметризации A(s) имеет достаточно простую форму (63), можно записать з^ =
= lp+ (S(o)J ), и после подстановки последнего выражения
в (62), получим
У^ = Dpp"“s ^ ^(logp)p-“\ у*0 = с.(65)
к=0
Можно также получить выражения для траекторий, стремящихся к неподвижной точке при р —> — оо. Для этого надо обратить исходное отображение и применить полученный выше результат.
Пример 12. Рассмотрим автоморфизм двумерной плоскости, для которого начало координат яд = х^ = 0 является неподвижной точ- / 2тг >—\ кой, и собственные значения линейной части равны exp I ± — V I I •
Частичная нормальная форма этого отображения имеет вид [12]
/ 2я’ cos —. 2тг\.™ у/ 2я’ cos —. 2тг\.™ у. 2тг\
/ 2я
’ cos —
. 2тг
\.™ у
/ 2я
’ cos —
. 2тг
\.™ у
ЦУ1,У2) =ЦУ1,У2) =sm T I fyA/ « (У1 - У^ + 2&У1У2 \
ЦУ1,У2) =
ЦУ1,У2) =
os — I \у2/\-2ayiy2 + Ь (з/i - У2)/
3(66)
а,Ь — действительные параметры.
при s -Л +0,(67)2тг\при s -Л +0,(67)2тг\С использованием теоремы 9 можно доказать, что если а2 + 52 ^ О, отображение (66) имеет инвариантную кривую / 2тг . 2тг\ cos3?/Му01+О(1))
при s -Л +0,
(67)
2тг\
при s -Л +0,
(67)
2тг\
\ sin— cos— / V 2 v 77 v 3s 3s / где 2тЛ. /6
y01 = r cos I - - — I , y^ = r sin I -
г = \А(ДЙДД cos 6 = -, sin 6 = -. гг
Асимптотическое представление (67) показывает, что соответствующая траектория динамической системы, ассоциированная с отображением (66) имеет вид
' 2тгр . 2тгр
Р 1 (yoi +о(1))s(y02 + o(l))Р 1 (yoi +о(1))s(y02 + o(l))cos— sin
Р 1 (yoi +о(1))s(y02 + o(l))
Р 1 (yoi +о(1))s(y02 + o(l))
33
. 2тгр2тгр
sin cos
33
Можно также доказать, что рассматриваемая динамическая система имеет траекторию, стремящуюся к неподвижной точке при р —сю, что означает неустойчивость этой критической точки.
Таким образом мы рассмотрели несколько весьма различных объектов динамической природы. Как можно видеть, основные идеи первого метода Ляпунова позволяют изучать поведение траекторий в окрестности неподвижной точки также и в критических случаях для всех этих объектов.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ по проекту 99-01-0196.
Список литературы
Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. — Харьков: Издание харьк. мат. об-ва, 1892. — 250 с.
Козлов В.В., Т р е щ е в Д. В. О неустойчивости изолированных равновесии динамических систем с инвариантной мерой в нечетномерном пространстве// Мат. заметки. — 1999. — Т. 65, вып. 5.
Козлов В.В., ФуртаС.Д. Первый метод Ляпунова для сильно нелинейных систем// ПММ. — 1996. — Т. 60, вып. 1. — С. 10-22.
Козлов В.В., ФуртаС.Д. Асимптотики решений сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений. — М.: Изд-во МГУ, 1996. — 244 с.
Б р ю н о А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1979. — 255 с.
Козлов В.В., ФуртаС.Д. О решениях систем дифференциальных уравнений с обобщенно-степенной асимптотикой// Мат. заметки. — 1995. - Т. 58, вып. 6. - С. 851-861.
Y о s h i d а Н. Necessary conditions for the existence of algebraic first integrals I, II// Celest. Meeh. - 1983. - V. 31. - P. 363-379, 381-399.
PalamodovV.P. Stability of motion and algebraic geometry// American Math. Soc. Trans. (2). — 1995. — V. 168. — P. 5-20.
Козлов B.B., П а л ам о д о в В.П. Об асимптотических решениях уравнений классической механики// Докл. АН СССР. — 1982. — Т. 263, № 2. - С. 285-289.
ChowS.N., Hale J.К. Methods of Bifurcations Theory. V. 251 of «Grundlehren der mathematischen Wissenschaften». — New York-Heidelberg: Springer-Ver lag, 1982.
ФуртаС.Д. Об асимптотических решениях систем дифференциальных уравнений в случае чисто мнимых собственных значений// Диф- ференц. уравн. — 1990. — Т. 26, № 8. — С. 1348-1351.
Хазин Л.Г., ШнольЭ.Э. Устойчивость критических положений равновесия. — Пущино: ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1985.
МаркеевА.П. Резонансы и асимптотические траектории в системах Гамильтона// ПММ. — 1990. — Т. 54, вып. 2. — С. 207-212.
Кузнецов А.Н. Дифференцируемые решения вырождающихся систем обыкновенных уравнений// Функц. анализ и его прилож. — 1972. - Т. 6, № 2. - С. 41-51.
Кузнецов А.Н. О существовании входящих в особую точку решений автономной системы, обладающей автономным решением// Функц. анал. и его прилож. — 1989. — Т. 23, № 4. — С. 63-74.
Козлов В.В. Асимптотические движения и проблема обращения теоремы Лагранжа-Дирихле// ПММ. — 1986. — Т. 50, вып. 6. — С. 928-937.
Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1984.
Фурта С.Д. Об асимптотических решениях систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в некоторых критических случаях// Мат. сборник. — 1993. — Т. 184, № 2. — С. 43-56.
ВольтерраВ. Математическая теория борьбы за существование. — М.: Наука, 1976.
Karakostas G., Gyoril. Global stability in job systems// J. Math. Anal. Appl. - 1988. - V. 131. - P. 85-96.
Ф у p т а С. Д. Инвариантные кривые дискретных динамических систем в окрестности положения равновесия/ / Регулярная и хаотическая динамика. Спец, выпуск, посвященный 60-летию В.П. Арнольда. — 1997. — Т. 2, № 3/4. - С. 156-169.
8 Под ред. В.М. Матросова и др.
УСТОЙЧИВОСТЬГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
А.П. Маркеев
Введение
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида
Дал ЭН dp. ЭН ,, х
Систему уравнений (1) называют гамильтоновой системой, а функцию Н — функцией Гамильтона.
Пусть Н аналитична в окрестности точки qj = pj = 0 (j = 1,2,... ... , п), являющейся положением равновесия системы, и
Н = Н2 + Я3 + Н4 + ... + Нк + ... ,(2)
где Нк — формы степени к относительно qj pj, коэффициенты которых постоянны или 2тг-периодичны по Г К рассмотрению системы (1) приводят многие задачи об устойчивости положений равновесия и периодических движений материальных систем в потенциальном поле сил.
Решение вопроса об устойчивости по Ляпунову решения qj = pj = = 0 (далее будем иногда говорить «об устойчивости системы (1)») зависит от свойств функции Гамильтона. Если система (1) автономна, то функция Н будет ее первым интегралом и может быть принята за функцию Ляпунова V при решении задачи об устойчивости движения [1]. Если функция Н будет знакоопределенной, то система (1) устойчива. Если же система (1) не автономна или автономна, но п ^ 2, и Н не является знакоопределенной функцией, то задача об устойчивости становится весьма сложной. Для системы (1) справедлива теорема Лиувилля о сохранении фазового объема, поэтому в ней невозможна асимптотическая устойчивость, а устойчивость может быть лишь тогда, когда характеристические показатели системы с гамильтонианом Н2 будут чисто мнимыми. Так что задача об устойчивости системы (1) относится к критическому в смысле Ляпунова случаю и ее решение требует учета нелинейных членов в разложении правых частей системы (1) в ряды.
© А.П. Маркеев, 2001
Весьма обширные (хотя в основном нестрогие) исследования влияния нелинейностей в правых частях системы (1) на поведение ее решений вблизи начала координат были проведены еще в конце XIX — начале XX века Кортевегом [2] и Ветом [3-5]. Они, в частности, показали, что устойчивое в первом (линейном) приближении решение ^з = Рэ = 0 может стать неустойчивым при учете нелинейностей в правых частях системы (1). В работах Т. Леви-Чивита [6-8] содержится ряд строгих результатов по устойчивости периодических движений системы (1), когда она автономна и п = 2. В этих же работах содержится приложение общетеоретических выводов к доказательству неустойчивости резонансных орбит астероидов.
В 1939 г. Н.Е. Кочин [9] исследовал устойчивость вихревых цепочек Кармана. Задача была приведена к рассмотрению автономной системы (1) при п = 2 для случая, когда две частоты малых колебаний системы совпадают. Исследование в [9] выполнено при помощи второго метода Ляпунова.
Решающим толчком к интенсивному развитию теории устойчивости гамильтоновых систем послужили фундаментальные работы А.Н. Колмогорова [10, 11] середины 50-х годов, а также работы В.И. Арнольда [12] и Ю. Мозера [13], вышедшие в свет в начале 60-х годов. Главные достижения в теории устойчивости гамильтоновых систем и ее приложениях за последние десятилетия получены в трудах отечественных ученых. Ниже излагаются основные результаты, полученные к настоящему времени.
О методе нормальных форм Пуанкаре
Одим из основных технических приемов при исследовании системы (1) является разработанный еще в 1879 г. метод нормальных форм Пуанкаре [14], который в последние десятилетия нашел широкое применение в разнообразных нелинейных задачах [15]. Сущность метода нормальных форм Пуанкаре в задаче об устойчивости системы (1) состоит в том, что при помощи близкого к тождественному канонического преобразования qj^Pj -^ q^-P] функция Гамильтона (2) приводится к некоторой простейшей (нормальной) форме. Соответствующая ей каноническая система дифференциальных уравнений существенно упрощается, что значительно облегчает ее исследование. Нормальная форма функции Гамильтона будет различной в резонансном и нерезонансном случаях.
Пусть tidj (j = 1, 2,..., п) — чисто мнимые характеристические показатели линеаризованной системы (1). Говорят, что имеет место однократный резонанс порядка к. если вещественные числа o"j связаны целочисленным (резонансным) соотношением
midi + т2(У2 + • • • + тп = N, (3)
где сумма модулей целых чисел т3 равна к. a N — произвольное целое число. Если dj связаны не одним, а несколькими резонансными соот-
ношениями, то говорят, что имеет место кратный резонанс. В случае автономной системы (1) число N в (3) следует считать равным нулю.
В задаче об устойчивости системы (1) резонансные и нерезонансные случаи рассматриваются отдельно. Это вызвано не только техникой исследования, основанной на предварительном упрощении системы (1) при помощи нормализующего преобразования, но и сущностью самой задачи. Например [16], гамильтонова система,устойчивая в первом приближении, при отсутствии резонанса сохраняет устойчивость в любом (конечном) сколь угодно высоком нелинейном приближении.
Первый этап нормализации состоит в приведении к нормальной форме квадратичной части гамильтониана Н^. К настоящему времени созданы [17-20] эффективнные конструктивные алгоритмы нормализации для любой функции Я2- Задача построения нормализующего преобразования сведена к нахождению собственных и присоединенных векторов матрицы линеаризованной системы (1) или (в случае периодической системы) ее матрицы монодромии.
Дальнейшая нелинейная нормализация может быть осуществлена либо при помощи классического преобразования Биркгофа [21], либо при помощи сравнительно нового метода Депри-Хори или его модификаций [22]. Для неавтономной системы оказался эффективным [17] метод точечных отображений, основанный на приближенном решении уравнения Гамильтона-Якоби вблизи точки qj = pj = 0. Нелинейная нормализация последовательно упрощает (или даже уничтожает совсем) члены третьей, четвертой и т. д. степеней в разложении (2). При этом нормальная форма членов степени £ в преобразованной функции Гамильтона будет зависеть от наличия или отсутствия резонансов (3) до порядка £ включительно.
В конкретных задачах механики нормализацию чаще всего приходится проводить на компьютере. Сейчас существуют [23] такие, ориентированные на использование компьютера, алгоритмы нормализации, что на их входе достаточно задать только коэффициенты разложения (2) исходной функции Гамильтона, а на выходе получить коэффициенты ее нормальной формы.
По коэффициентам нормальной формы функции Гамильтона, на основании соответствующих теорем, полученных к настоящему времени для резонансных и нерезонансных случаев, можно сделать те или иные выводы об устойчивости системы (1).
Устойчивость для большинства начальныхусловий
Пусть система (1) автономна, устойчива в первом приближении и нет резонансов до четвертого порядка включительно. Тогда нормализованная до членов четвертого порядка функция Гамильтона (2) может быть представлена в виде
(4)(4)Н^0\п,... ,гп) + Я^^п,... ,rn,y?i,... ,у?„),
(4)
(4)
гдегде
где
где
Н^ = СГ1Г1 + <т2Г2 НН ОНТН + У^ aijTiTj,(5)
^3 = 1
а функция Н^ имеет порядок, не меньший пятого относительно q* = = у/2г]sin ф^ р^ = ^2^- cos ф^ и 2тг-периодична по фу^..., фп.
Если при Ту = Т2 = • • • = тп = 0 выполнено хотя бы одно из условий
Dn = detDn = detaWЭт^дтзaWЭт^дтз(6)(6)Dn^y = detDn^y = det/84^ Эт^Этз дН^\ 9т 3/84^ Эт^Этз дН^\ 9т 3дН^ \ЭпдН^ \Эп7^0,7^0,(7)(7)
Dn = det
Dn = det
aW
Эт^дтз
aW
Эт^дтз
(6)
(6)
Dn^y = det
Dn^y = det
/84^ Эт^Этз дН^
\ 9т 3
/84^ Эт^Этз дН^
\ 9т 3
дН^ \
Эп
дН^ \
Эп
7^0,
7^0,
(7)
(7)
то система (1) устойчива для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий [12].
В случае двух степеней свободы при выполнении неравенства (7) имеет место устойчивость по Ляпунову (теорема Арнольда-Мозера [24]). Отметим еще, что если система (1) неавтономна, то условие ее устойчивости для большинства начальных условий сводится к неравенству (6).
Из устойчивости для большинства начальных условий не следует устойчивость по Ляпунову. В [25] построен пример гамильтоновой системы, устойчивой для большинства начальных условий, но неустойчивой по Ляпунову. Подобное явление получило название диффузии Арнольда. В построенном в [25] примере диффузия очень слабая: время, в течение которого Tj(t) находится вблизи г^(0), экспоненциально растет при линейном убывании возмущения.
Но диффузия Арнольда не обязательно всегда экспоненциальна. Она может быть очень сильной. В фазовом пространстве в дополнении к упомянутому «большинству начальных условий», для которого имеет место устойчивость, могут существовать «каналы сверхпроводимости», по которым траектория может довольно быстро уходить от начала координат. Это видно из следующего простого примера [17]. Пусть п = 3 и
Н^ = СТуТу - О"2Т2 + СГ3Г3 + Г1(т3 - Г2) + Г2Гз,
Н^ = Ту^л/'Й^^фу + 2ф2 + ^з),2(7! - 2(Т2 + (Тз = О (o-j > 0).
Условие (7) выполняется, так как D4 = (ст! + сг2)2 ^ 0. Тем не менее, имеет место неустойчивость, что следует из существования частного решения
2у?1+2у?2+</’з = tv, r^t) = r2(t) = 2r3(t) = 2r3(0)[l - 6rf/2(0)t] ' .
Этот пример и другие известные примеры с быстрой диффузией Арнольда представляют собой исключение из правила. Как показано Н.Н. Нехорошевым [26-28], в общем случае диффузия (если она существует) является экспоненциальной.
Формальная устойчивость. Оценка времениустойчивости
Ю. Мозер ввел понятие формальной устойчивости системы (1). Она называется формально устойчивой, если существует степенной ряд, возможно расходящийся
G = Gk(qi,... ,g„,pi,... ,pn,t) + Gk+i(qi,... ,qn,pi,... ,pn,t) + ...,
который формально является определенно-положительным интегралом с периодом 2тг по t. Другими словами, все коэффициенты степенного ряда
_ Э^ЭН^х ЭС
V 0Qj Qpj 8pj dqj /91
должны обращаться в нуль и С к ^ 0, причем С к = 0 только при qj = = ^ = 0 [16].
Наличие формальной устойчивости означает, что неустойчивость по Ляпунову (если она существует) не обнаруживается при учете в разложении (2) форм Нк до сколь угодно большого (но конечного) порядка. При наличии формальной устойчивости, если и существуют траектории системы (1), далеко уходящие от начала координат, то движение по ним происходит очень медленно. Наиболее точные из всех известных оценки времени ухода содержатся в работе Н.Н. Нехо- рошева [28]. Из устойчивости по Ляпунову следует формальная устойчивость. Обратное утверждение не доказано.
Приведем некоторые условия формальной устойчивости. Пусть характеристические показатели ticjj — чисто мнимые и в системе отсутствуют резонансы до второго порядка включительно. Квадратичнная форма Я2 из (2) тогда может быть записана в следующей нормальной форме:
н2 =+ <т2г2 НЬ<ТпГп,(8)
где знаки величин ст^ определяются в процессе линейной нормализации. Ю. Мозер показал [16], что если входящие в (8) величины dj при
целых неотрицательных mj удовлетворяют условиям отсутствия резонансов любого порядка
miai + т2сг2 + ... + mncrn + N (mj ^ 0, mi + m2 + .. Лтп > 0), (9) то имеет место формальная устойчивость.
Условие (9) формальной устойчивости является довольно слабым, так как в нем не содержится информация о нелинейных членах в уравнениях (1), а ограничения на величины dj довольно сильные.
Пусть в системе (1) отстствуют все резонансы до четвертого порядка включительно. Тогда функция Гамильтона (2) может быть приведена к виду (4), где в рассматриваемом случае неавтономной системы (1) функция Н^ будет 2тг-периодической по I. Дж. Глимм [29] доказал формальную устойчивость при условии, что квадратичная форма ^2d j=i aijrirj является знакоопределенной. Более общий результат получен А.Д. Брюно [30]: система (1) формально устойчива при отсутствии резонансов до четвертого порядка включительно и при дополнительном требовании выполнения неравенства
^^ агз1г1з 0
М = 1
при I = (Д, Г2, • • • ,Д) ^ 0 и принадлежащем пересечению квадранта mj ^ 0 и линейной оболочки множества, образованного всеми целочисленными векторами с компонентами, являющимися решениями уравнения
midi + т2сг2 + ... + тпсгп = N (Im^ + |т2| + ... + \тп\ ^ 5).
в [17] для систем с двумя и тремя степенями свободы получено несколько легко проверяемых достаточных условий формальной устойчивости, отличных от условий Дж. Глимма и А.Д. Брюно.
Н.Н. Нехорошев [26-28] изучал задачу об устойчивости гамильтоновых систем, близких к интегрируемым. Для задачи об устойчивости системы (1) из его результатов можно, в частности, получить следующие выводы. (Формулируем их для автономной системы (1), для 2тг-периодической по t системы формулировки будут аналогичны).
Пусть характеристические показатели tidj линеаризованной системы (1) — чисто мнимые и в системе нет резонансов до порядка к включительно. Тогда нормализующим преобразованием функция Гамильтона (2) может быть приведена к виду
H = H^\l) + H(q\p*). (10)
Здесь Н^ — многочлен переменных Д, Д,..., 1п степени не выше целой части числа к/2 , 2Д = qj*2 У Pj*\ а Н — сходящийся ряд по степеням Qj*^Pj* начинающийся с членов не ниже (к-\- 1)-го порядка.
В статье [28] получена следующая теорема. Пусть в (10) функция Н^ — крутая в окрестности точки Д = 1^ = ... = 1П = 0. Тогда существуют константы а > 0 и b > 0, зависящие от коэффициентов многочлена HW и обладающие такими свойствами. Пусть выполняется неравенство
2
(11)
и q^t\p^t^3 = 1,2, ...,п) — произвольное решение системы (1) с начальными значениями Qj(O), рДО), достаточно близкое к точке qj = Pj = 0- Обозначим через б величину ||1(0)||^-1^2, где ||1|| = = VIFHITTTT+I^. Тогда
ПОД- 1(0)11 <еь(12)
при всех t из интервала (0,Т), где
T=lexpG)-(1з)
Из этой теоремы следует справедливость экспоненциально зависящей от расстояния до точки qj = pj = 0 в начальный момент оценки времени, в течение которого траектория системы (1) будет лежать в малой окрестности решения qj = Pj = 0. Достаточным условием справедливости оценки (12), (13) является крутизна функции Н^ в (10) и отсутствие резонансов порядка к и ниже. При этом зависящая от Н^ величина b и порядок резонанса к удовлетворяют неравенству (11).
Непосредственная проверка условий крутизны сложна, поэтому определение крутой функции здесь не приводится. Некоторые достаточные условия крутизны получены в [27, 28]. Для случая двух и трех степеней свободы эти условия являются также достаточными условиями формальной устойчивости соответствующей системы (1). Н.Н. Нехорошевым показано также, что функции «общего положения» являются крутыми [26].
Устойчивость при наличии резонанса
Резонансы (3) могут сделать устойчивую в линейном приближении систему (1) неустойчивой, если в ее правых частях учесть нелинейные относительно qj^Pj члены, причем наиболее важны резонансы до четвертого порядка включительно. Задача об устойчивости гамильтоновых систем при наличии резонанса исследована к настоящему времени весьма подробно. Обзор результатов, полученных до 1979 года приведен в [31], более поздние работы упомянуты ниже.
Суть метода исследования устойчивости при наличии резонанса состоит в следующем [17]. При фиксированной соизмеримости характеристических показателей (3) нормализующим преобразованием ти-
па преобразования Биркгофа в функции Гамильтона (2) уничтожаются все нерезонансные члены порядка, не превосходящего порядок резонанса. Если нормализованная часть функции Гамильтона окажется невырожденной, то, в зависимости от знака некоторого выражения, имеют место два взаимоисключающих друг друга случая: 1) устойчивость по Ляпунову (главным образом только для автономной системы (1) при п = 2 или для неавтономной при п = 1) или формальная устойчивость, 2)неустойчивость по Ляпунову.
Устойчивость доказывается, как правило, при помощи теоремы Мозера об инвариантных кривых отображений, сохраняющих площадь [13], а формальная устойчивость — построением формального знакоопределенного интеграла. Неустойчивость доказывается при помощи теоремы и функций Четаева, знакоопределенность которых требуется не во всей сферической окрестности начала координат, а лишь в секторе, связанном с некоторым исключительным направлением в фазовом пространстве.
Приведем здесь основные результаты о неустойчивости при однократном резонансе третьего и четвертого порядка [17, 32]. Если в системе нет резонансов до второго порядка включительно, но есть один резонанс третьего пордяка (3), где mj — целые неотрицательнае числа, то нормализованная до членов третьего порядка включительно функция Гамильтона (2) может быть записана в такой форме:
Н = сгхп + сг2г2 + ... + (Тпгп +
+ аг^1/2г^2/2 ... t^I2 cos[(mi^i + m2^2 + ... + mn^n) - Nt\ +
+ O((ri + r2 + ... + r„)2),
(14) где a — постоянный коэффициент. Если а ^ 0, то система (1) неустойчива. Пусть теперь величины а^ не связаны ни одним из резонансов до третьего порядка включительно, но удовлетворяют одному из резонансных соотношений (3) при целых неотрицательных mj , сумма которых равна четырем (резонанс четвертого порядка). Тогда функция Гамильтона (2) может быть приведена к виду
Н = (Tin + сг2г2 + ... + аптп + Е(г1,г2, ... ,гп) +
+ G(ri,r2,...,rn,^i,y>2,...,y’n,i) +O((ri + г2 + ... + г„)5/2),
(15) где F — квадратичная форма переменных ri, г2,..., гп с постоянными коэффициентами, а
G = Pr^^r™2^2 ... r™”/2 cos[(mi^i + m2y>2 + ... + mntpn) - Nt\
(3 — const).
При выполнении неравенства
> |E(mx, m2,..., mn)|(16)
система (1) неустойчива.
Если система (1) автономна, то сформулированные утверждения о неустойчивости остаются в силе; надо только в резонансном соотношении (3) и нормальной форме функции Гамильтона положить N = 0. Если n = 1 и система неавтономна или она автономна и п = 2, то при выполнении неравенства (16) с обратным знаком имеет место устойчивость по Ляпунову.
В работах А.Г. Сокольского [20, 33] (см. также [31]), А.М. Ковалева и А.Н. Чудненко [31], А.П. Иванова и А.Г. Сокольского [18, 19] во всех подробностях рассмотрена задача об устойчивости системы (1) при наличии резонансов первого и второго порядков. Трудности исследования устойчивости при резонансах низших порядков связаны с особеннностями процедуры линейной и нелинейной нормализации, с большим количеством принципиально различных под случаев, в каждом из которых задача об устойчивости решается своим техническим приемом. Отличительной особенностью этих задач является также то, что в некоторых под случаях движение, неустойчивое в линейном приближении, становится устойчивым при учете нелинейностей в правых частях системы (1). С прикладной точки зрения резонансы низших порядков приобретают особенно большое значение в связи с известной проблемой безопасности границ областей устойчивости, так как во многих прикладных задачах в пространстве параметров эти резонансы отвечают границам областей устойчивости линеаризованной системы.
Кратным резонансам пока уделялось немного внимания. Помимо работ, упомянутых в [31], отметим только работу В.Э. Жавнерчика [34], в которой для автономной системы (1) рассмотрены всевозможные случаи двукратного резонанса третьего порядка и в качестве примера доказана неустойчивость относительного равновесия спутника — твердого тела на круговой орбите при значениях его моментов инерции, соответствующих двукратному резонансу.
В статьях [35-40] исследована задача о существовании движений, асимптотических к неустойчивому равновесию или периодическому движению гамильтоновой системы в случае резонанса. Показано, что неустойчивость при резонансе тесно связана с существоаанием траекторий, асимптотических к траектории невозмущенного движения. В частности, условия устойчивости гамильтоновых систем с одной и двумя степенями свободы эквивалентны условиям отсутствия асим- тотических траекторий.
В работах [41-50] содержится детальное исследование связи между нелинейной неустойчивостью устойчивых в линейном приближении периодических движений (в частности, равновесий), существованием асимптотических к ним траекторий, наличием стохастической компоненты движения и ограниченностью траекторий системы в окрестности ее неустойчивого движения. Отправной точкой этого исследования была гипотеза о том, что вышеупомянутые асимптотические траектории в действительности являются гомоклиническими двоякоасимптотическими траекториями, которые разрушаются при наличии возмущений. Анализ поведения этих двоякоасимптотических траекто-
рий при учете в разложении функции Гамильтона членов достаточно высокой (четвертой, пятой, шестой) степени относительно возмущенных координат и импульсов позволил для систем с одной и двумя степенями свободы дать подробный анализ нелинейных колебаний в конечной (а не бесконечно малой) окрестности невозмущенного движения. Во многих случаях такой анализ дал возможность показать ограниченность траекторий возмущенного движения и получить оценку размеров области их ограниченности.
Об обращении теоремы Лагранжа
Проблема устойчивости систем вида (1) возникла раньше самих уравнений Гамильтона. Так, основная теорема об устойчивости положения равновесия консервативной системы была сформулирована еще Ж. Лагранжем в его «Аналитической механике» в конце XVIII-ro века. Эта теорема утверждает, что если в положении равновесия потенциальная энергия имеет строгий локальный минимум, то это положение равновесия устойчиво. Общее доказательство этой теоремы дал Лежен-Дирихле около ста пятидесяти лет назад.
В работе В.В. Румянцева [51] содержится обобщение теоремы Лагранжа: если в окрестности положения равновесия потенциальная энергия П(щ,..., qn) консервативной системы определенноположительна относительно переменных q^ (г = l,2,...,m;m ^ п), то положение равновесия устойчиво по отношению к переменным Qi(i = 1,2, ...,m), qj(j = 1,2, ...,n).
Давно известна гипотеза, состоящая в том, что если в изолированном положении равновесия потенциальная энергия не имеет локального минимума, то это положение равновесия неустойчиво. Эта гипотеза не получила еще строгого математического подтверждения. Некоторые частные случаи были рассмотрены еще А.М. Ляпуновым [52] и Н.Г. Четаевым [53]. Обзор результатов по устойчивости равновесия консервативных систем содержится в монографиях [54, 55].
А.Г. Сокольский [20] применил свои результаты по устойчивости гамильтоновых систем в случае нулевых характеристических показателей к задаче об устойчивости консервативной системы с двумя степенями свободы и подтвердил некоторые результаты П. Хагедорна [56, 57], В.П. Паламодова [58], В. Койтера [59], М.А. Балитинова [60], полученные ранее без применения техники нормальных форм Пуанкаре.
Некоторые обобщения
Глубокое развитие получила задача об устойчивости стационарных движений голономных систем с циклическими координатами. Не имея возможности подробно остановиться на анализе многочисленных теоретических и прикладных исследований в этой задаче, отметим только,что основные результаты и обзоры исследований систем с циклическими координатами содержатся в работах В.В. Румянцева [60-
65], А.В. Карапетяна [66], В.Н. Рубановского и С.Я. Степанова [67-69], статье Г.К. Пожарицкого [70], монографиях А.Я. Савченко [71], Н. Руша и др. [54], А.В. Карапетяна и В.В. Румянцева [55], А.В. Карапетяна [72], в исследованиях А.М. Ковалева и А.Я. Савченнко [73], в работах С. А. Беликова [74] и А.Н. Чудненко [75].
Если в системе (1) функция Гамильтона будет условно-периодической по Г то задача об устойчивости станет крайне сложной. Это связано с тем, что применение метода нормальных форм требует анализа устойчивости и нормализации линеаризованной системы (1), которая будет иметь условно-периодические коэффициенты, а аналога теоремы Флоке-Ляпунова о приводимости систем с периодическими коэффициентами к системе с постоянными коэффициентами для условнопериодических систем нет.
В.Н. Фомин [76] исследовал устойчивость линейной системы (1) с условно-периодическими коэффициентами в случае, когда она содержит малый параметр и при нулевом значении которого переходит в систему с постоянными коэффициентами. В [76] при исследовании устойчивости применена комбинация метода усреднения и метода оценки характеристических чисел решений усредненных уравнений с помощью некоторых квадратичных форм — функций Ляпунова и получены области неустойчивости, являющиеся аналогами областей параметрического резонанса в случае периодической системы (1).
Вообще говоря, для произвольных линейных систем с условнопериодическими коэффициентами приводимость может не иметь места. Однако, как показал Г.А. Красинский [77], уравнения в вариациях, соответствующие условно-периодическим движениям гамильтоновых систем, построенным с помощью метода А.Н. Колмогорова и его модификаций, всегда приводимы, причем матрица соответствующей линейной замены переменных имеет условно-периодические коэффициенты, а сама замена будет канонической. Следовательно, в этом случае можно надеяться на успешный анализ устойчивости нелинейной системы методом нормальных форм Пуанкаре.
Приложения
Теория устойчивости гамильтоновых систем еще далека от завершения. Основная еще не решенная проблема — это проблема устойчивости многомерных систем. Она остается актуальной, несмотря на существенные принципиальные достижения в попытках ее решения. Однако достигнутый уровень теории устойчивости гамильтоновых систем уже дал возможность решить ряд трудных задач об устойчивости движения в классической и небесной механике. Перечислим некоторые из них.
Подробно рассмотрена устойчивость треугольных лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел в наиболее важных для приложений в космодинамике случаях: в плоской круговой задаче, в пространственной круговой, в плоской эллиптической и в пространственной эллиптической; в плоской круговой задаче получены
исчерпывающие результаты [17, 78]. Исследована устойчивость точек либрации в окрестности вращающегося гравитирующего эллипсоида [79, 80]. Значительное продвижение достигнуто в решении задачи об устойчивости лапласовых решений неограниченной задачи трех тел [81-85].
Решен ряд задач об устойчивости движения различного типа мятников: математического и сферического маятников с вибрирующим подвесом [42, 47, 86-89], упругого маятника (материальная точка на невесомой пружине) [90], материальной точки на идеальной нити [91]. В частности, в статье [86] дано полное решение задачи об устойчивости относительного равновесия на вертикали математического маятника, точка подвеса которого совершает вертикальные гармонические колебания произвольной частоты и амплитуды.
Исследована орбитальная устойчивость периодических движений в некоторых механических системах с соударениями. Подробная библиография работ приведена в статье [92]. В задаче об устойчивости перманентного вращения тела вокруг вертикали при наличии его соударений с абсолютно гладкой горизонтальной плоскостью обнаружена [93] своеобразная «квантованность» областей устойчивости и неустойчивости по высоте подскока тела над плоскостью.
Исследована устойчивость регулярных прецессий динамически симметричного спутника на круговой орбите; дан анализ устойчивости плоских колебаний спутника — твердого тела на эллиптической орбите произвольного эксцентриситета; рассмотрена устойчивость движения динамически симметричного спутника, когда его ось симметрии перпендикулярна плоскости эллиптической орбиты центра масс; исследована устойчивость плоских вращений спутника и плоских колебаний произвольной амплитуды на круговой орбите; получены новые результаты в задаче об устойчивости относительного равновесия спутника с трехосным эллипсоидом инерции. Подробная библиография приведена в [31, 94]. В [95] указаны такие случаи, когда относительное равновесие спутника устойчиво в линейном приближении, есть устойчивость для большинства начальных условий, а на самом деле это равновесие неустойчиво по Ляпунову. Это — пример конкретной задачи механики, в которой установлено существование диффузии Арнольда (правда, эта диффузия не является экпоненци- альной).
Список литературы
Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения// Собр. соч. Т. 2. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956. — С. 7-263.
KortewegD.J. Sur certaines vibrations d‘orde superieur et d‘intensite anomale// Arch. Neerl. sci. exactes et natur. Ser. 2. — 1898. — T. 1. — S. 229-260.
Beth H. J.E. Les oscillations autour d‘une position d‘equilibre dans le cas d‘existence d‘une relation lineaire simple entre les nombres vibratoires// Arch. Neerl. sci. exactes et natur. Ser. 2. — 1910. — T. 15. — S. 246-283.
BethH.J.E. Les oscillations autour d‘une position d‘equilibre dans le
cas d‘existence d‘une relation lineaire simple entre les nombres vibratoires (suite)// Arch. Neerl. sei. exactes et natur. Ser. ЗА. — 1912. — T. 1. — S. 185-213.
BethH.J.E. The oscillations about a position of equilibrium where a simple linear relation exists between the frequencies of the principal vibrations// Phil. Mag. Ser. 6. — 1913. — V. 26. — P. 268-324.
Levi-CivitaT. Sorpa alcuni criteri di instabilita// Ann. mat. pura ed appl. Ser. 3a. — 1901. — T. 5. — P. 221-308.
Levi-CivitaT. Traiettorie singolari ed urti nel problema ristretto dei tre corpi// Ann. mat. pura ed appl. Ser. 3a. — 1903. — № 1. T. 9. — P. 1-32.
Levi-CivitaT. Condition du choc dans le probleme restreint des trois corps// C. r. Acad. sci. — 1903. — T. 135, № 82/84. — P. 221-223.
Кочин H.E. О неустойчивости вихревых цепочек Кармана// Докл. АН СССР. — 1939. — Т. 24, № 1. — С. 18-22.
Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона// Докл. АН СССР. — 1954. — Т. 98, № 4. — С. 527-530.
Колмогоров А.Н. Общая теория динамических систем и классическая механика// Международный математический конгресс в Амстердаме, 1954 г. — М.: Физматгиз, 1961. — С. 187-208.
Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике// Успехи мат. наук. — 1963. — Т. 18, вып. 6. — С. 91-192.
Мозер Ю. О кривых, инвариантных при отображениях кольца, сохраняющих площадь// Математика. Период, сб. перев. ин. статей. — 1962. — Т. 6, вып. 5. — С. 51-67.
Poincare Н. Sur les proprietes des fonctions definies par les equations aux differences partielles. — Paris: Gauthier-Villars, 1879. — 93 p.
Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа. — М.: Наука, 1979. - 253 с.
М о s е г J. New aspects in the theory of stability of Hamiltonian systems// Comm. Pure Appl. Math. — 1958. — V. 11, № 1. — P. 81-114.
Маркеев A.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. — М.: Наука, 1978. — 312 с.
Иванов А.П., Сокольский А.Г. Об устойчивости неавтономной гамильтоновой системы при резонансе второго порядка// Прикл. мат. и мех. — 1980. — Т. 44, № 5. — С. 811-822.
Иванов А.И., Сокольский А.Г. Об устойчивости неавтономной гамильтоновой системы при параметрическом резонансе основного типа/ / Прикл. мат. и мех. — 1980. — Т. 44, № 6. — С. 963-970.
Сокольский А.Г. Об устойчивости автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в случае нулевых частот// Прикл. мат. и мех. — 1981. — Т. 45, № 3. — С. 441-449.
БиркгофДж.Д. Динамические системы. — М.-Л.: Гостехиздат, 1941. — 320 с.
ДжакальяГ.Е. О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. — М.: Наука, 1979. — 319 с.
Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Некоторые вычислительные алгоритмы нормализации гамильтоновых систем. — М., 1976. — (Препр./ Ин-та прикл. мат. АН СССР.; № 31).
Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. — М.: Мир, 1973. — 167 с.
Арнольд В.И. О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы// Докл. АН СССР. — 1964. — Т. 156, № 1. — С. 9-12.
Нехорошев Н.Н. Устойчивые оценки снизу для гладких отображений и для градиентов гладких функций// Матем. сб. — 1973. — Т. 90, вып. 3. — С. 432-478.
Нехорошев Н.Н. Метод последовательных канонических замен переменных. Добавление к книге [24]. — С. 150-164.
Нехорошев Н.Н. Экспоненциальная оценка времени устойчивости гамильтоновых систем, близких к интегрируемым// Успехи мат. наук. — 1977. — Т. 32, вып. 6. — С. 5-66.
G 1 i m m J. Formal stability of Hamiltonian systems// Comm. Pure Appl. Math. — 1964. — V. 17, № 4. — P. 509-526.
Брюно А.Д. О формальной устойчивости систем Гамильтона// Матем. заметки. — 1967. — Т. 1, № 3. — С. 325-330.
Куницын А.Л., МаркеевА.П. Устойчивость в резонансных случаях/ / Итоги науки и техники. Сер. Общая механика. Т. 4. — М.: ВИНИТИ, 1979. — С. 58-139.
Веретенников В. Г., МаркеевА.П. Исследование устойчивости нелинейных систем. — М.: Изд-во МАИ, 1979. — 95 с.
Сокольский А.Г. Об устойчивости гамильтоновых систем при резонансе первого порядка// Проблемы устойчивости движения, аналитической механики и управления движением. — Новосибирск: Наука, 1979. - С. 63-68.
ЖавнерчикВ.Э. К вопросу об устойчивости при наличии многократного резонанса нечетного порядка// Прикл. мат. и мех. — 1980. — Т. 44, вып. 6. — С. 971-976.
МерманГ.А. Асимптотические решения канонической системы с одной степенью свободы в случае нулевых характеристических показателей// Бюлл. Ин-та теорет. астрон. — 1964. — Т. 9, № 6. — С. 394-424.
МаркеевА.П., Щербина Г. А. О движениях, асимптотических к треугольным точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел// Прикл. мат. и мех. — 1987. — Т. 51, вып. 3. — С. 355-362.
М а р к е е в А.П., Щербина Г. А. О движениях спутника, асимптотических к его эксцентриситетным колебаниям// Изв. АН СССР. МТТ. — 1987. — № 4. — С. 3-10.
МаркеевА.П. Асимптотические траектории и устойчивость периодических движений автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы// Прикл. мат. и мех. — 1988. — Т. 52, вып. 3. — С. 363-371.
МаркеевА.П. Резонансы и асимптотические траектории в системах Гамильтона// Прикл. мат. и мех. — 1990. — Т. 54, вып. 2. — С. 207-212.
Бардин Б.С. Об асимптотических решениях гамильтоновых систем при резонансе первого порядка// Прикл. мат. и мех. — 1991. — Т. 55, вып. 4. — С. 587-593.
МаркеевА.П. Резонанс третьего порядка в гамильтоновой системе с одной степенью свободы// Прикл. мат. и мех. — 1994. — Т. 58, вып. 5. — С. 37-48.
МаркеевА.П. О поведении нелинейной гамильтоновой системы с одной степенью свободы на границе области параметрического резонанса/ / Прикл. мат. и мех. — 1995. — Т. 59, вып. 4. — С. 569-580.
МаркеевА.П. Параметрический резонанс и нелинейные колебания тяжелого твердого тела в окрестности его плоских вращений// Изв. РАН. МТТ. - 1995. - № 5. - С. 34-44.
МаркеевА.П. О критическом случае резонанса четвертого порядка в гамильтоновой системе с одной степенью свободы// Прикл. мат. и мех. — 1997. — Т. 61, вып. 3. — С. 369-376.
МаркеевА.П. О критическом случае пары нулевых корней в гамиль-
тоновой системе с двумя степенями свободы// Прикл. мат. и мех. — 1998. — Т. 62, вып. 3. — С. 372-382.
Маркеев А.П. Об устойчивости и нелинейных колебаниях гамильтоновой системы в одном резонансном случае// Изв. РАН. МТТ. — 1998. — № 4. — С. 38-49.
Холостова О.В. О движении гамильтоновой системы с одной степенью свободы при резонансе в вынужденных колебаниях// Изв. РАН. — 1996. - № 3. - С. 167-175.
Холостова О.В. Параметрический резонанс в задаче о нелинейных колебаниях спутника на эллиптической орбите// Космич. исслед. — 1996. — Т. 34, № 3. — С. 312-316.
Холостова О.В. О нелинейных колебаниях спутника при резонансе третьего порядка// Прикл. мат. и мех. — 1997. — Т. 61, вып. 4. — С. 556-565.
Холостова О.В. О нелинейных колебаниях гамильтоновой системы с одной степенью свободы при резонансе четвертого порядка// Прикл. мат. и мех. — 1998. — Т. 62, вып. 6. — С. 957-967.
Румянцев В.В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных// Вестник Моск, ун-та. Сер. матем., механ., астрон., физ., хим. — 1957. — № 4. — С. 9-16.
Ляпунов А.М. О неустойчивости равновесия в некоторых случаях, когда функция сил не есть максимум// Собр. соч. Т. 2. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956. — С. 391-400.
Четаев Н.Г. О неустойчивости равновесия в некоторых случаях, когда функция сил не есть максимум// Прикл. мат. и мех. — 1952. — Т. 16, вып. 1. — С. 89-93.
Р у ш Н., А бет сП., ЛалуаМ. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. — М.: Мир, 1980. — 300 с.
Карапетян А.В., Румянцев В.В. Устойчивость консервативных и диссипативных систем// Итоги науки и техники. Сер. Общая механика. Т. 6. — М.: ВИНИТИ, 1983. — 132 с.
Хагедорн И. Обращение теорем устойчивости Лагранжа-Дирихле и Рауса// Механика. Период, сб. перев. ин. статей. — 1972. — №5. — С. 3-36.
Hagedorn Р. Uber die Instabilitat Konservativer systeme mit giroskopischen Kraften// Arch, for Rat. Meeh, and Anal. — 1975. — B. 58, № 1. — P. 1-9.
Паламодов В.П. Об устойчивости равновесия в потенциальном поле// Функциональный анализ и его приложения. — 1977. — Т. 11, № 4. — С. 42-55.
KoiterW.T. On the instability of equilibrium in the absense of a minimum of the potential energy// Proc. Konikl. Nederl. Akademie van Wetenschappen. Ser. B. — 1965. — B. 68, № 3. — P. 107-113.
Балитинов M.A. О неустойчивости положения равновесия гамильтоновой системы// Прикл. мат. и мех. — 1978. — Т. 42, вып. 3. — С. 557-562.
Румянцев В.В. Об устойчивости равномерных вращений механических систем// Изв. АН СССР. Отд. техн. н. Механ. и машиностроение. — 1962. — № 6. — С. 113-121.
Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений// Прикл. мат. и мех. — 1966. — Т. 30, вып. 5. — С. 922-933.
Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений спутников. - М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1967. - 141 с.
Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений// Прикл.
мат. и мех. — 1968. — Т. 32, вып. 3. — С. 504-508.
Румянцев В.В. О влиянии гироскопических сил на устойчивость стационарного движения// Прикл. мат. и мех. — 1975. — Т. 39, вып. 6. — С. 963-973.
Карапетян А.В. Об обращении теоремы Рауса// Вести. Моск, ун-та. Матем., мех. — 1975. -№ 4. - С. 109-113.
Рубановский В.Н., Степанов С. Я. О теореме Рауса и методе Четаева построения функций Ляпунова из интегралов движения/ / Прикл. мат. и мех. — 1969. — Т. 33, № 5. — С. 904-912.
РубановскийВ.Н. О бифуркации и устойчивости стационарных движений// Теоретична и прилежна механика. — 1974. — Т. 5, № 1. — С. 67-79.
Степанов С.Я. О соотношеннии условий устойчивости циклических движений в системе// Проблемы аналитической механики, теории устойчивости и упраления . Труды Второй Четаевской конференции. Т. 2. - Казань: 1976. - С. 303-307.
ПожарицкийГ.К. О неустойчивости движения консервативных го- лономных систем// Прикл. мат. и мех. — 1956. — Т. 20, № 3. — С. 429-433.
Савченко А.Я. Устойчивость стационарных движений механических систем. — Киев: Паукова думка, 1977. — 160 с.
Карапетян А.В. Устойчивость стационарных движений. — М.: Эди- ториал УРСС, 1998. — 165 с.
Ковалев А.М., Савченко А.Я. Устойчивость стационарных движений гамильтоновых систем при наличии резонанса четвертого порядка// Механика твердого тела. Вып. 9. — Киев: Паукова думка, 1977. — С. 40-44.
Беликов С.А. Задачи об устойчивости перманентнных вращений твердого тела в центральном ньютоновском поле сил: Автореф. дисс. ... канд. физ.-мат. наук. — Л., 1979.
ЧудненкоА.Н. Устойчивость стационарных движений гамильтоновых систем с приложениями к динамике твердого тела: Автореф. дисс. ... канд. физ.-мат. наук. — Донецк: Ин-т прикл. мат. и мех. АН УССР, 1979.
Фомин В.Н. О динамической неустойчивости линейных систем с почти периодическими коэффициентами// Докл. АН СССР. — 1968. — Т. 178, № 1. — С. 43-46.
КрасинскийГ.А. Квазипериодические решения первого сорта в плоской задаче N тел// Труды ин-та теоретич. астрон. АН СССР. Вып. 3. — Л.: Наука, 1969. — С. 105-168.
Сокольский А.Г. Исследоание устойчивости стационарных, периодических и условно-периодических решений гамильтоновых систем в некоторых задачах небесной механики: Автореф. дисс. ... докт. физ.-наук. — М.: МАИ им. С. Орджоникидзе, 1981.
Zhuravlev S.G. Stability of libration points of a rotating triaxial ellipsoid// Celest. Meeh. — 1972. — V. 6, № 3.
Журавлев С.Г. Об устойчивости точек либрации врвщающегося трехосного эллипсоида в прстранственном случае// Астрон. ж. — 1974. — Т. 51, № 6. — С. 1330-1334.
Ку nit sy n A.L. On the stability of Laplaces solutions of the unrestricted three body problem// Celest. Meeh. — 1974. - № 9. - P. 471-481.
Куницын А. Л., T x а й В. H. О неустойчивости лапласовых решений неограниченной задачи трех тел// Письма в Астрон. ж. — 1977. — Т. 3, № 8. - С. 376-380.
9 Под ред. В.М. Матросова и др.
Тх ай В.Н. Об устойчивости постоянных лапласовых решений неограниченной задачи трех тел// Прикл. мат. и мех. — 1978. — Т. 42, вып. 6. — С. 1026-1032.
Тхай В.Н. Об устойчивости лапласовых решений неограниченной задачи трех тел// Письма в Астрон. ж. — 1979. — Т. 5, № 6. — С. 486-488.
Иванов А.П. Исследование устойчивости постоянных лагранжевых решений неограниченной задачи трех тел// Прикл. мат. и мех. — 1979. - Т. 43, вып. 5. - С. 787-795.
Бардин Б.С., Маркеев А.П. Об устойчивости равновесия маятника при вертикальных колебаниях точки подвеса// Прикл. мат. и мех. — 1995. — Т. 59, вып. 6. — С. 922-929.
Холостова О.В. Некоторые задачи о движении маятника при горизонтальных вибрациях точки подвеса// Прикл. мат. и мех. — 1995. — Т. 59, вып. 4. — С. 581-589.
Холостова О.В. Об устойчивости периодических движений маятника с горизонтально вибрирующей точкой подвеса// Изв. РАН. МТТ. — 1997. - № 4. - С. 35-39.
Маркеев А.П. О динамике сферического маятника с вибрирующим подвесом// Прикл. мат. и мех. — 1999. — Т. 63, вып. 2. — С. 213-219.
МаркеевА.П., Чеховская Т.Н. О колебаниях упругого маятника// Изв. РАН. МТТ. — 1998. — № 2. — С. 18-26.
Маркеев А.П. О колебаниях материальной точки, подвешенной на идеальной нити// Прикл. мат. и мех. — 1996. — Т. 60, вып. 2. — С. 240-249.
Маркеев А.П. Об устойчивости движения твердого тела при наличии соударений с горизонтальной плоскостью// Изв. РАН. МТТ. — 1997. — № 5. — С. 32-40.
Маркеев А.П. Об устойчивости вращения твердого тела вокруг вертикали при наличии соударений с горизонтальной плоскостью/ / Прикл. мат. и мех. — 1984. — Т. 48, вып. 3. — С. 363-369.
Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников// Итоги науки и техники. Сер. Исследование космического пространства. Т. 11. — М.: ВИНИТИ, 1978. — 222 с.
Маркеев А.П., Сокольский А.Г. К задаче об устойчивости относительного равновесия спутника на круговой орбите// Космич. ис- след. - 1975. - Т. 13, № 2. - С. 139-145.
ОБРАТИМЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
В.Н. Тхай
Показано, что основные модели классической и небесной механики принадлежат к классу обратимых механических систем. С этих позиций анализируются известные факты и показана возможность получения новых выводов в классических задачах.
1. Вводные замечания. В настоящей работе механические системы рассматриваются как простейший класс линейно обратимых систем. Такой взгляд позволяет более глубоко осмыслить известные факты и получить новые результаты в ряде классических задач механики.
Четыре обстоятельства делают такое рассмотрение обоснованным. Во-первых, параллельное существование голономной и неголономной механики. Во-вторых, использование квазикоординат в механике. В третьих, создание в последние два десятилетия обратимой КАМ- теории, параллельной КАМ-теории гамильтоновых систем. И самое главное, в четвертых, обратимостью, заложенной в ньютоновой механике.
Простейшим примером обратимой системы в механике является уравнение Ньютона движения свободной материальной точки под действием силы, зависящей только от координат. Это уравнение не меняет своего вида при замене времени t на противоположное —t. Аналогично обратимы уравнения движения голономной механической системы, стесненной стационарными геометрическими связями, если обобщенные силы зависят только от координат. Для такой системы при замене t на — t обобщенные скорости q заменяются на — q , и система инвариантна относительно преобразования F: (^q,q) —> (—Cq, — q). Тогда F2 — тождественное отображение.
Сделаем следующий шаг. Пусть х — вектор фазового пространства динамической системы, и эта система инвариантна относительно преобразования F:(^,x) —> (—С Gx) , где G — некоторое отображение фазового пространства, причем G2 = Id (тождественное преобразование). Такая система называется обратимой. В случае линейного оператора G, когда G2 = I — единичная матрица, имеем линейно обратимую систему. Последняя система в подходящих переменных записывается в виде
(1.1)(1.1)й = U(u,v), v = V(u,v);u е R?,v е Rn,U(u, -v) = -U(u, v), V(u, -v) = V(u, -v)
(1.1)
(1.1)
© В.Н. Тхай, 2001
(I и п — число собственных значений матрицы G, равных +1 и — 1 соответственно). Очевидно, для такой записи достаточно перейти к пространству собственных векторов оператора G .
Оказывается, в механических системах всегда I ^ п. В этом случае систему (1.1) назовем обратимой механической системой.
Множество неподвижных точек отображения G, для которого х = = Gx , называется неподвижным множеством обратимой системы. Для обратимой механической системы неподвижное множество совпадает с гиперплоскостью М = {u, v: v = 0}.
Каждое из решений системы (1.1), имеющее общую точку с М , будет симметричным относительно М. Действительно, система (1.1) вместе с решением u = (^(^),v = ^(t) имеет также решение и = = tp^—t^v = —^(—f). Эти решения совпадают, если v(0) = 0. В случае двукратного пересечения траекторией гиперплоскости М имеем симметричное периодическое движение.
Отметим, что здесь прослеживается тесная связь с методом фазовой плоскости для консервативной системы с одной степенью свободы. Последняя, очевидно, является обратимой механической системой.
Удивительно, но ни в одном руководстве по теоретической механике не уделено сколь-либо серьезное внимание свойству обратимости. Иное дело — в небесной механике.
Л. Эйлер [1] был первый, кто указал на симметрию (здесь имеется в виду линейная обратимость) во введенной им в рассмотрение знаменитой ограниченной задачи трех тел. Он переходит в окрестность одной из найденных им коллинеарных точек либрации и строит периодическое решение в виде тригонометрических рядов, причем абсцисса задается косинусами, а ордината — синусами. Иными словами, в работе Л. Эйлера впервые построены симметричные периодические движения в обратимой механической системе. При более внимательном рассмотрении оказывается, что построенные движения образуют семейство от одного существенного параметра и представляет собой локальное ляпуновское семейство периодических движений обратимой системы. Отметим, что теоретическое осмысление данного факта для обратимой системы произошло только два столетия спустя [2,3].
Идеи Эйлера по теории движения Луны положены Хиллом [4] в основу его работ по фундаментальной теории движения Луны. Хилл, как и Эйлер, пользуется прямоугольной геоцентрической эклиптической системой координат, равномерно вращающейся с угловой скоростью, равной среднему движению Солнца п. Ось абсцисс направлена по прямой, соединяющей Землю и Солнце. В этих координатах дифференциальные уравнения задачи Хилла имеют вид
. кх 2
х — 2шу 4—- = Зп ж,
г) + 2пж 4—- = О
(г — расстояние от Луны до Земли, к — коэффициент, равный сумме масс Земли и Луны, умноженный на постоянную тяготения).
Можно видеть, что уравнения каждого из преобразованийМожно видеть, что уравнения каждого из преобразований(1.2) инвариантны относительно(1.2) инвариантны относительно(t,x,x,y,y)(t,x,x,y,y)Га)(б)Га)(б)(-t,x, -X, -у,у), ^-t,-x,x,y,-y\(-t,x, -X, -у,у), ^-t,-x,x,y,-y\
Можно видеть, что уравнения каждого из преобразований
Можно видеть, что уравнения каждого из преобразований
(1.2) инвариантны относительно
(1.2) инвариантны относительно
(t,x,x,y,y)
(t,x,x,y,y)
Га)
(б)
Га)
(б)
(-t,x, -X, -у,у), ^-t,-x,x,y,-y\
(-t,x, -X, -у,у), ^-t,-x,x,y,-y\
т. е. неподвижное множество в фазовом пространстве состоит из двух гиперплоскостей: Mi = {ж, у, х, у: у = 0, х = 0} и М2 = {ж, у. х,у:х = = О^у = 0}. Поэтому система (1.2) может иметь два семейства симметричных относительно соответственно Mi и М2, периодических движений. Пересечение этих множеств непусто и представляет семейство, симметричное как относительно Mi, так и относительно М2 . Именно это семейство и строит Хилл, представляя решение тригонометрическими рядами из нечетных гармоник. При этом, как у Эйлера, координата ж есть ряд из косинусов, а координата у — ряд из синусов.
А.М. Ляпунов [5] обосновал сходимость рядов Хилла и в то же время предложил свой метод решения задачи Хилла. Построенные им орбиты также симметричны относительно обеих гиперплоскостей Mi И ]М2»
Выше можно говорить о «неосознанном» использовании свойства обратимости. Однако история задачи трех тел дает примеры того, что без учета свойства обратимости принципиально не удается построить периодические орбиты. Кстати, важность условий симметрии в этой задаче отмечал Биркгоф [6].
А. Пуанкаре назвал периодические решения ограниченной круговой задачи трех тел, рождающиеся из эллиптических решений предельной задачи — задачи двух тел, периодическими решениями второго сорта [7]. При этом он указал на существование симметричных семейств. Однако доказательства их существования [7-9], использующие только условие периодичности, были ошибочны [10-12].
Первое корректное доказательство существования симметричных семейств дал Уно [13], который использовал условие симметрии в прямоугольных координатах. Другие доказательства [14, 15] также используют симметрию ( в полярных координатах и элементах Делоне соответственно). Фактически эти авторы применяли теорему Хейнбокела-Страбла [16].
Отметим, что симметричными являются решения Пуанкаре всех трех сортов в ограниченной задаче трех тел. Свойство обратимости позволяет провести построение всех симметричных орбит в ограниченной задаче трех тел [17-19].
Перейдем теперь к общим уравнениям аналитической механики.
Голономные и неголономные системы. Рассмотрим механическую систему, стесненную идеальными стационарными связями, положение которой определяется I обобщенными координатами щ,... ... , ф. Пусть движение системы, помимо голономных связей, подчинено I — п неинтегрируемым соотношениям вида
Bai(q)dgi Нh Ba;(q)d® = 0 (а = 1,..., I - п),(2.1)
причем rank | |Saj-(q| | = I — п. Тогда число независимых вариаций 5q равно n ^ Z , а равенство I = п имеет место для голономной системы.
Запишем уравнения движения рассматриваемой механической системы, пригодные для описания как голономной, так и неголоном- ной системы. В качестве таких уравнений можно выбрать уравнения движения в квазикоординатах тгх,..., тгп, определяемых п линейными дифференциальными формами
I
d7TS = ^Cs/g)^- (s = l,...,n).(2.2)
j=i
Тогда квазискорости ттд,..., тгп (тг= атг/ш) равны
I
тг8='^2^Csj(q)qj (& = !,...,/),(2.3)
j=i
а соотношения (2.1), (2.3) позволяют выразить обобщенные скорости q через квазискорости
Qk = ^2bks(q) тг8 (к = 1,...,/).(2.4)
5 = 1
Понятно, что в частном случае за квазикоординаты тгх,..., ип можно выбрать обобщенные координаты щ,... ,qn. В этом случае соотношения (2.4) фактически представляют результат разрешения (2.1) относительно последних I — п скоростей.
Пусть Qi,... ,Qi — обобщенные силы, действующие на систему. Тогда уравнения движения имеют вид [20].
(s = l,...,n),(2.5)
\OTV8) U7Vs^ = 1
где через T* обозначена кинетическая энергия Т системы, в которой вместо обобщенных скоростей q подставлены квазискорости по формулам (2.4), а остальные члены определяются формулами
8Т* - 7 А 9Т*
_V^V^8T ( 8bkj(q) / х 8bks(qA Л9sj-tA'i8qkV 8чр 6psQ 8чр Ьрк^)’ ( 6)
I
П5 — ^ ^ Qk^ks (q) •
k = l
Уравнения (2.5) вместе с уравнениями (2.4) представляют собой замкнутую систему п + I дифференциальных уравнений первого порядка для определения величин щ,..., ф, ти,..., тгп.
d ЭТ ЭТ dt Эд8 Эд8d ЭТ ЭТ dt Эд8 Эд8's, S = 1, . . . , 72.'s, S = 1, . . . , 72.(2-7)(2-7)Уравнения Лагранжа движения голономной механической системы, стесненной стационарными геометрическими связями, получим в случае отсутствия неинтегрируемых связей (2.1) и единичной матрицы ЦС^Н.
d ЭТ ЭТ dt Эд8 Эд8
d ЭТ ЭТ dt Эд8 Эд8
's, S = 1, . . . , 72.
's, S = 1, . . . , 72.
(2-7)
(2-7)
В случае, когда за квазикоординаты выбраны координаты щ,..., Qn, имеем уравнения движения неголономной системы в форме Воронца [21-23]
d ЭЕd ЭЕdt 8gsdt 8gsЭЕЭд8ЭЕЭд8у —8дк к=п+1у —8дк к=п+1
d ЭЕ
d ЭЕ
dt 8gs
dt 8gs
ЭЕ
Эд8
ЭЕ
Эд8
у —
8дк к=п+1
у —
8дк к=п+1
/ v QftbsK,-) 8 — 1,..., 72,
2!2!^Tsr(q)Mn ©к = У ^(q)^,^Tsr(q)Mn ©к = У ^(q)^,
2!
2!
^Tsr(q)Mn ©к = У ^(q)^,
^Tsr(q)Mn ©к = У ^(q)^,
-АкхЬкзЬхт-) (2-8)
A^xbxji
db^gЭдхdb^gЭдх^b^g 8bKr
db^gЭдх
db^gЭдх
8gT 8gs
*2Т — А8т(ц)д8дт.
Если кинетическая энергия, обобщенные силы Qi,..., Оь а также коэффициенты неголономных связей (2.1) не зависят от I — п последних координат, то уравнение (2.8) можно рассматривать [24] независимо от уравнений связей. В этом случае получим уравнения движения неголономных систем Чаплыгина.
d 8Еd 8Еdt дд.dt дд.ЭЕЭд,ЭЕЭд,^Цквт^Ч^т 4" Qs, 8 — 1, . . . , 72,= п+1Г = + 1(2-9)^Цквт^Ч^т 4" Qs, 8 — 1, . . . , 72,= п+1Г = + 1(2-9)ЭЬК88bKrf^Ksr — щщ •8gT 8gsЭЬК88bKrf^Ksr — щщ •8gT 8gs
d 8Е
d 8Е
dt дд.
dt дд.
ЭЕ
Эд,
ЭЕ
Эд,
^Цквт^Ч^т 4" Qs, 8 — 1, . . . , 72,
= п+1Г = + 1(2-9)
^Цквт^Ч^т 4" Qs, 8 — 1, . . . , 72,
= п+1Г = + 1(2-9)
ЭЬК88bKr
f^Ksr — щщ •
8gT 8gs
ЭЬК88bKr
f^Ksr — щщ •
8gT 8gs
Обобщенные силы Qk являются в общем случае функциями обобщенных координат, скоростей и времени t. В случае выполнения условий
Qk(q,q,t) = <Mq, -q, -t), k = i,...,l, (2.10)
имеем также
IIs(q, тг, t) = ns(q, — тг, — s = l,...,n,(2.11)
и система (2.4), (2.5) инвариантна относительно замены (^, q, тг) на (—Cq7 — тг) . Следовательно, рассматриваемая неавтономная система обладает свойством линейной обратимости.
Условия (2.10) носят достаточно общий характер, и им удовлетворяют различные силы, известные в механике. Так, в случае зависимости сил Qk только от обобщенных координат, имеем потенциальные и неконсервативные позиционные силы. Условия (2.10) выполняются также для сил, определяемых четными функциями по скоростям и не зависящих явно от времени.
8SЭдг8SЭдгДругой способ описания движения механической системы с идеальными стационарными связями, пригодный как для голономной, так и неголономной, системы, дают уравнения Аппеля [25]
8S
Эдг
8S
Эдг
(2-12)(2-12)8S8qn,
(2-12)
(2-12)
где S — энергия ускорений
25 = Asr(q)qsqr
в которой ускорения Qn+i,... .qi выражены через первые п ускорений посредством уравнений связи (2.1)
(2.13)(2.13)ул ул dbKj fa faд^ул ул dbKj fa faд^qK = ^^4^3,
(2.13)
(2.13)
ул ул dbKj fa faд^
ул ул dbKj fa faд^
qK = ^b^q^qj +
Система (2.12) является линейной по ускорениям щ7...7дп и содержит силы, квадратичные по скоростям щ,... ,qn. Имеем замкнутую систему (2.12), (2.13) порядка n + I относительно переменных щ,..., q^ щ,..., qm которая совпадает с уравнениями Воронца. При выполнении условий (2.10) эта система инвариантна относительно замены (Cq,q) на (—Cq7—q)-
Таким образом, в случае, когда обобщенные силы удовлетворяют условиям (2.10), общие уравнения аналитической механики обладают
свойством линейной обратимости. Если к тому же эти силы не зависят явно от времени, то имеем обратимую механическую систему.
Положения равновесия и стационарные движения обратимых механических систем. Среди частных решений системы (1.1) будем различать: а) положения равновесия (и = и0 = const, v = = 0), б) стационарные движения (u = u(t),v = v° = const ^ 0), в) симметричные решения (u = u(t),v = v(t),v(t*) = 0), г) симметричные периодические решения (u = u(t),v = v^t^v^ti^ = 0,^i ^ t^.
Положения равновесия хорошо изучены. Привести даже простой перечень работ по этому вопросу здесь не представляется возможным. Укажем только, что в окрестности положения равновесия и голоном- ная, и неголономная системы обладают общими свойствами, в частности, для них справедлива обратимая КАМ-теория.
В механике имеется принятое понятие стационарного движения, отдельное для голономной и неголономной системы [24]. В каждом из этих случаев это понятие совпадает с понятием стационарного движения для обратимой механической системы (1.1).
На стационарных движениях имеем
V(u(t),v*) = О, v* = const + О,
а функция п(£) удовлетворяет уравнению
u(t) = V(u(t),v*).
Поэтому стационарные движения образуют инвариантное многообразие S+ = {u, v: и = u(t),v = v*}. В силу линейной обратимости, наряду с многообразием S+, обязательно имеется инвариантное многообразие S = {u, v: и = и(—t),v = — v*}. В фазовом пространстве (и, v) многообразия S+ и S симметричны относительно неподвижного множества М = {u, v: v = 0}.
Окрестности многообразий S+ и S определяются следующими выводами.
. Если в окрестности S± имеется периодическое (условнопериодическое) движение, то в окрестности S^ обязательно имеется периодическое (условно-периодическое) движение.
. Каждому решению, асимптотическому к многообразию S± при t —> +oo(t —> —сю), отвечает асимптотическое к многообразию S^ при £ —> — оо(^ +оо) решение.
. Если S± асимптотически устойчиво при t —> +оо ( в том числе, по части переменных), то S^ неустойчиво при росте t , и все траектории (соответствующая часть траекторий) являются уходящими.
. Если обратимая механическая система обладает инвариантной мерой, то многообразия 8^ и S± устойчивы и неустойчивы одновременно оба, а асимптотическая устойчивость невозможна.
Выводы 1° — 3° очевидны с точки зрения строения глобального фазового портрета системы (1.1). В случае инвариантной меры, из теоремы Пуанкаре о возвращении выводится возможность устойчивости
на всей временной оси, а в случае неустойчивости — существование траекторий, уходящих как при росте £, так и при уменьшении t. Отсюда следует свойство 4°.
Из свойства 3° выводится тот факт, что при локальном рассмотрении окрестностей S^ и S= диссипативные (ускоряющие) силы действуют (появляются) локально, несмотря на их отсутствие в исходной обратимой механической системе. Такая ситуация имеет место, например, в задаче о кельтском камне [25]. Однако, как это следует из 3°, зависимость свойства устойчивости от знака квазискорости на стационарном движении является общим для неголономных систем, независимо от того, какая форма уравнений при этом выбрана. Если, конечно, стационарное движение не вырождается в положение равновесия, принадлежащее какому-либо (может быть, неочевидному) неподвижному множеству.
Тяжелое твердое тело с одной неподвижной точкой. Уравнения Эйлера-Пуассона представляют собой замкнутую систему дифференциальных уравнений, описывающих движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки
Ар + (С - B^qr = F(z072 - Уо7з),
Bq+ (А- С)гр = Р(ж07з - Zo7i),
Ст + (В - A)pq = P(yo7i - ж07г),(4.1)
71 + 97з - Г72 = 0,72 + Г71 - р^з = О,
7з + Р72 - 971 = 0.
Здесь А, В, С — главные центральные моменты инерции, Жо,ро7^о — координаты центра масс в связанных осях, 71,72773 — косинусы единичного вектора вертикали, направленного вверх, Р = = mg — произведение массы тела на ускорение свободного падения.
Система (4.1) является обратимой механической системой (1.1) с векторами и = (71,727 7з)Т7 v = (,P?QiT)T и неподвижным множеством М = {71, 72, 7з, р, q, г: р = q = г = 0}; Т — означает транспонирование. В общем случае других неподвижных множеств нет.
Пусть ро = 0. Тогда система (4.1), наряду с неподвижным множеством М, имеет также неподвижное множество Mi = {71, 72, 73, р, q. г: 72 = 0, g = 0}. В этом случае в системе (4.1) можно положить и = = (71,737Р7 r)T7 v = (727 q)T- Уравнения Эйлера-Пуассона имеют положение равновесия, принадлежащее неподвижному множеству Mi
71 = since, 72 = 0, 7з = cos се,р = ш sin се, q = 0, г = ш cos се,
(А — C)w2 sin2ce + 2P(zq since — жо cos се) = 0,'
ш = const.
На этом решении углы Эйлера равны
р = тг/2,9 = се, ^ = wt + фо (фо = const),
ф = 0,9 = 0, ф = ш
и равновесие (4.2) представляет собой перманентное вращение вокруг вертикали. Движение твердого тела в окрестности указанного перманентного вращения полностью определяется поведением обратимой механической системы (4.1) при ро = 0 в окрестности равновесия (4.2).
Отметим, что для неподвижного множества М решение (4.2) является стационарным движением. Тем не менее, это не приводит к неоднозначным трактовкам принятых понятий, если рассматривать совокупность всех неподвижных множеств обратимой системы.
Всякое движение тяжелого твердого тела, на котором вектор мгновенной угловой скорости, по крайней мере, дважды обращается в нуль, будет периодическим и представляет собой колебательное движение. При ро = 0 наличие неподвижного множества Mi позволяет говорить о существовании «нетривиальных» симметричных периодических движений. На таких движениях 7i(£), 7з Д)? Р^А rW являются четными функциями времени, в то время как 72(^7 q(t) — нечетные функции £, причем
72^1,2) = 0, ДНд) = О,
а период Г = 2Д — 711 Д 0. Представляя функции 71Д), 72^)7 ТзД)? p(t^ q^t^ r(t) рядами Фурье, можно построить и классифицировать все симметричные относительно Mi периодические движения твердого тела. Такими движениями являются, например, регулярные прецессии в случаях Эйлера-Пуансо и Лагранжа-Пуассона.
Оказывается, интегралы уравнений (4.1) позволяют провести корректное сведение системы (4.1) к периодической системе второго порядка. При ро = 0 полученная система будет обратимой. Поэтому реализация программы систематического исследования периодических движений с использованием метода [19] представляется вполне реальной.
В 1947 г. Гриоли [26] (см. также [27]) обнаружил регулярные прецессии несимметричного твердого тела. Для этих решений ось собственного вращения составляет с осью прецессии угол тг/2, однако ось прецессии не совпадает с вертикалью, образуя с ней угол Р^ причем
cos/3 =
(п — скорость прецессии, равная скорости собственного вращения, I — расстояние до центра масс). Такие прецессии возможны для тела, координаты центра масс которого и моменты инерции удовлетворяют условиям
хол/В - С = А - В. Ро = О. А> В>С.
Приведем явные выражения, описывающие регулярные прецессии
Гриоли
п ,х.п ,х
р = у(Жо — ^0 cost), Q = nSlRT, Ц = у + Xq COS ,
71 = -[Czq cos г + (В - С)ж0 sin2 r],
72 2
72 = j^ [(^0 + ^o) sinT - Д - C)xozo sin T cost],
7з = -^\Ax0 cost + (A - B)z0 sin t],
2 __/о
U - B)(B - C) + (А- В + C)2’T
(s — постоянная времени, умноженная на тг). Видно, что вектор и = (71,7з,р, г)т состоит из четных функций, а вектор и = (72,q)T из нечетных функций т. Значит, решение Гриоли является симметричным относительно неподвижного множества Mi. Поэтому в окрестности прецессии Гриоли движение твердого тела описывается 2тг-периодической по т, обратимой системой. Следовательно, строение этой окрестности будет типичным для локальной обратимой КАМ-теории.
Отметим, что вопрос об устойчивости прецессии Гриоли до сих пор остается открытым. Эта проблема решается приведением уравнений Эйлера-Пуассона к периодической обратимой системе второго порядка и использованием результатов по устойчивости [28] систем такого класса. Результаты будут изложены в отдельной работе.
Тяжелое твердое тело на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. Уравнения движения в этой задаче можно вывести, например, в форме уравнений Воронца. Наряду с этим используются уравнения, выводимые из общих теорем динамики. Так в работе [29] А.В. Карапетян получил замкнутую систему уравнений
0w + шх (0-w) = mgrX7—mrx [wxr + wxr + wx(wxr)], z .
7 + L(JX7=O,'
описывающих задачу.
Здесь 777, — масса тела, ш = (ш^ш^шзуг — вектор мгновенной угловой скорости тела, д — ускорение свободного падения, 0 — центральный тензор инерции тела, 7 = (71,72,73)^ — единичный вектор вертикали, восстановленный в точке контакта и направленный вверх. Связь между векторами гид устанавливается с помощью уравнения поверхности тела; если это уравнение записано в виде /(г) = 0, то
7 = - grad/(г)/| grad /(г)|.
Реакция опорной плоскости вычисляется [29] по формуле
R = 777,517 — ш[^ х г + ш х г+ ш х (ш х г)]
и движение будет без подскока, если R • 7 ^ 0.
Система уравнений (5.1) является обратимой механической системой (1.1) с векторами u = 7,v = ш. и одномерное многообразие перманентных вращений вокруг вертикали [29] относится в общем случае к стационарным движениям, ибо на этих движениях
71 = 72 = 0, 7з = 1, Ш1 = ш^ = 0, из = cj(const) (5-2)
(для простоты рассматривается случай, когда одна из главных центральных осей инерции тела в одном из двух противоположных направлений ортогональна поверхности тела). Следовательно, в общем случае свойство устойчивости вращения зависит от направления вращения [29].
Отметим, что из свойства обратимости немедленно следует, что, наряду с обнаруженным в [29] периодическим движением, немедленно следует существование еще одного такого движения, симметричного относительно гиперплоскости ш = 0.
В случае, когда производная fx(x, у, г) является нечетной функцией по ж , система (5.1) имеет еще одно неподвижное множество Mi = = {71,72,7з, ^1, ^2, ^з: 71 = 0,^1 = 0}. В этом можно убедиться, выписывая скалярные уравнения для 71,72,7з, ^1, ^2, ^з и принимая во внимание, что переменная 71 меняет знак на противоположный вместе с ж. Указанный случай реализуется, например, для однородного эллипсоида, и в этой задаче имеются, дополнительно к неподвижному множеству М = ^ш:ш = 0}, еще три неподвижных множества Mj = {71,72,73,^1,^2,^3:77 = 0,^ = 0},J = 1,2,3.
В случае существования М^ частное решение (5.2) принадлежит Мт и, следовательно, является положением равновесия обратимой механической системы. Отсюда немедленно выводится ряд результатов о поведении системы (5.1) в окрестности частного решения (5.2). Например, невозможность асимптотической устойчивости, независимость условий устойчивости от направления вращения, существование ляпуновских семейств периодических движений и т. и.
Если функция /г(ж, у. г) обращается в нуль вместе с г, то система (5.1) допускает частное решение — качение в главной плоскости ху^ которое описывается системой
\С + т(ж2 + у2)]шз = т{у(?2Ж - 71У) - г(жж + уу)},
71 - 72W3 = 0, 72 + 71W3 = 0, (5.3) ад = Ш2 = 0, 7з = 0 (г = 0)
(А, В, С — главные центральные моменты инерции). Эта система линейно обратима с двумя неподвижными множествами М^ = = {71,72,^3: ^з = 0} и М2 = {71,72,^3: 71 = 72}- Поэтому все движения системы (5.3) являются периодическими, симметричными при Ш3 ^ 0 относительно М^ (качение в одном направлении) и относительно М£, если олз может обратиться в нуль (колебание в
главной плоскости). В обоих случаях периодичность следует из того факта, что любое движение системы (5.3), по крайней мере, дважды пересекает одно из неподвижных множеств М^ или М^.
В исходной системе (5.1) имеется неподвижное множество М, которое в (5.3) имеет вид М^. Поэтому строение окрестности колебаний в достаточно полной мере ясно из локальной обратимой К АМ-теории. То же самое справедливо и для окрестности качений в одном направлении, если (5.1) допускает одно из неподвижных множеств Mi или М2.
Неограниченная задача трех тел. А.М. Ляпунов [30] вывел уравнения движения неограниченной задачи трех тел, используя в качестве части независимых переменных квазискорости шх^^ш^. Если ввести подвижную систему координат с началом в точке Pg, принять за ось абсцисс Рд^ — направление, идущее от точки Pg к точке Pi, за ось ординат, ось P^yq — направление, перпендикулярное Pg кв плоскости треугольника PgPiP2, а ось Р^( дополняет систему до правой, то сщ,^?^ суть проекции мгновенной угловой скорости ш триэдра на оси Р^к^ PqT]^ Р^( соответственно. Эти величины связаны с углами Эйлера — долготой Q, наклонностью I и углом собственного вращения Ф известными кинематическими соотношениями
071 = sin Ф sin IQ + cos Ф1,
ш<2 = cos Ф sin IQ — sin Ф1,
из = cos IQ + Ф.
В качестве остальных переменных Ляпунов сохраняет раусовы величины ri, Г2, — Две стороны PgPi и РдР2 треугольника РдР1Р2, образованного телами Pg, Pi, Р2, и угол между этими сторонами.
В результате выведены уравнения движения системы из трех материальных точек Pg, Pi и Р2, в которой тела Pt и Pj взаимодействуют с силой Р(т^^ являющейся произвольной функцией взаимного расстояния Tij
^1(^2 + ^з) + /(М) + Mi)F(ti) +
+ /7H2[P(r2) cos + P(r3) cos^i] = О,
—-I(r2w3) + ПШ1Ш2 + /M2[F(г2) sinф - F(r3)sin0i] = О, тх at
1 d , о \„
(6.1)(6.1)— -77(^2) - П^з = О, Тх at
(6.1)
(6.1)
^(ш^2 + W32) + /(Mj + M2)F(r2) +
+ /Mi[F(ri) созф + F(r3) cos<^2] = 0,
— -77(^3) + T2W1W2 + /^i[F(r3) sin^ -F(n)sin^] = 0, Г2 at
— ^(г2ш2)-r2Wi^3 =0.
Здесь Mj — масса тела Р^ f — постоянная, r^j = т^ (i,j = 0,1, 2; г ^ з\ а величины ифс^, W3 определяются формулами
Шх = ш 1 cos ф + Ш2 sin ^, Ш2 = — wi sin ф + W2 cos ф^^3 — Ш3 + ф.
Уравнения Рауса-Ляпунова (6.1) образуют обратимую механическую систему девятого порядка относительно переменных Г1,Г2,^? ^Ъ^Ф^ ^1^2^3 С неподвижным множеством {ri, Т2^ ф. П, 1*21 Ф- ^1? Ш2^ шз- йтф = 0, ri = 0, т*2 = О, Ш2 = 0}. В самом деле, при замене t на —t и (^,^2) на (—^,—^2) из (6.2) имеем: (шф ш^ , ^3) —> (шф —uj^ujIY При такой замене уравнения (6.1) сохраняют свой вид. Кроме того, из 2тг-периодичности системы (6.1) по ф выводим, что на неподвижном множестве sin^ = 0.
На множестве п = {п, Г2, ф^ Г1, Г2? Ф) 1<Л, Ш2^ ^3- ^Ф = 0, Ш2 = 0} имеем
cos ^ = 1, sin^x = 0, sin ф2 = 0,
cost^i = ±1, cos (^2 = pl, CJl = 0
или.
cos ^ = 1- sin^i = 0, sin (^2 = 0,costal = 1, COS (^2 = 1, ^i = 0
причем во всех случаях тела Р^ Pi, Р2 образуют прямую. Если целая траектория принадлежит П, то эта траектория описывается системой ^ - п4 + /(Мо + M^F^ + fM^Fln) + Fin - r2)] = 0, ^ - r2w| + /(Mo + M^F^ + f M^Fln) ~ Fin ~ r2)] = 0, (6.3) -4(r^3) = 0,^(r2w3) = 0
CL LCL L
(рассматривается случай, когда ф = 0, ri > T2Y Из последних двух уравнений имеем тх = СТ2 (с = const, с > 1), и система (6.3) совместна, если при некоторых с > 1 выполнено условие
(Мо + М1)Р(сг2) + М2[Р(г2) + Р((с - r2Y =дх
= [(Мо + М2^Р^ + МгР(сГ2) - MxF^c - 1)г2)].1 ,
В этом случае имеем консервативную систему с одной степенью свободы. При степенном законе Е(г) = тп последняя имеет вид
?2 —= 0; а^ф = const, а > 0, ф > 0
и при любом п допускает положения равновесия, а при п > — 3 также и периодические движения. Имеем коллинеарные точки либрации,
обнаруженные впервые Эйлером [1]. Из принадлежности равновесий неподвижному множеству М следует, что строение их окрестностей в достаточно полной мере ясно из локальной обратимой КАМ-теории.
Отметим, что в случае степенного закона условие (6.4) сводится к существованию корня с > 1 уравнения
(Мо + МуК + М2{1 + (с - l)n] = V(M0 + М2) + М^ - (с - 1)п]}с.
Система дифференциальных уравнений (6.1) имеет еще одно неподвижное множество {п, г2, ^, ?д, г2, ^, сщ, с<;2, с^з: ?д = 0,г2 = 0, ^ = = 0,сщ = 0,cj2 = O,CJ3 = 0}. В этом случае в системе вида (1.1) имеем I < n(Z = 3,п = 6); получим «нетипичную» обратимую механическую систему. Однако в рассматриваемой системе (6.1) множество, на котором Cui = 0,cj2 = 0, является инвариантным и описывает плоскую задачу. В последней величина с^з является угловой скоростью изменения циклической переменной — угла у?, а приведенная система уравнений Рауса является обратимой механической системой (1.1). В случае степенного закона функция Рауса имеет вид [31]
R = r2 + r2F2 + F1 _-1)(6.4)
(г — корень квадратный из половины полярного момента инерции, деленного на массу всей системы, Fj — форма порядка j относительно скоростей, j = 0,1,2). Неподвижное множество системы (6.4) совпадает с гиперплоскостью М = {г, г/, ^, г, С = 0(mod7r), г = О, у = 0}; у — натуральный логарифм отношения r2/ri двух сторон треугольника. Система (6.4) является обратимой механической системой (1.1) уже с I = п = 3.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проектам 00-15-96150, 00-01-00122.
Список литературы
Euler L. Considerations de motu corporum coelestium// Novi Comm. Acad. Sei. Petrop. — 1766. — T. 11. — P. 544.
Брюно А.Д. Аналитическая форма обыкновенных дифференциальных уравнений// Тр. Моск. мат. о-ва. — 1971. — Т. 25. — С. 119-262; 1972. — Т. 26. — С. 199-239.
Devaney R.L. Reversible diffeomorthisms and flows// Trans. Amer. Math. Soc. - 1976. - V. 218. - P. 89-113.
Hill G.W. Researches in the lunar theory// Amer. J. Math. — 1878. — V. 1. — P. 5-26, 129-147, 245-260.
Ляпунов A.M. О рядах, предложенных Хиллом для представления движения Луны// Собр. соч. Т. 1. — М.: Изд-во АН СССР, 1954. — С. 418-476.
Birkhoff G.D. The restricted problem of three bodies// Rend. Circ. mat. Palermo. — 1915. — V. 39. — P. 1-115.
Пуанкаре А. Избр. тр. Новые методы небесной механики. Т. 2. — М.: Наука, 1971. - 771 с.
SchwarzchildK. Uber eine Klasse periodischez Losungen des Dreikorperproblems// Astron. Nachr. — 1898. — B. 147, № 2 (3506). — S. 17-24; № 18 (3522). - S. 289-298.
Зигель К.Л. Лекции по небесной механике. — M.: Изд-во иностр, лит-ры, 1959. — 300 с.
Stackel Р. Periodische Losungen zweiter bein Dreikorperproblem// Iber. Lt. Math. Ver. — 1919. — B. 28. — S. 180-181.
WintnerA. Uber eine Revision der Sort entheorie des restringierten Dreikorper problems// Sitzungshez. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig. — 1930. — B. 82. - S. 3-56.
WintnerA. Grandlagen einer Genealogie der periodische Bahnen in restringierten Dreikorperproblem// Math. Ztschr. — 1931. — B. 34, № 3. — S. 321-402
Uno T. Recherches sur les solutions periodioues dans les probleme restreint des trois corps// Jap.J. Astron, and geophys. — 1937. — V. 15, № 1/2. — P. 149-191
ArenstorfR.F. Periodic solutions of the restricted three body problem represententing analitic continuations of the Keplerian elliptic motions// Amer. J. Math. — 1963. — V. 85, № 1. — P. 27-35.
BarrarR.B. Existence of the peridic orbits of the second kind in the restricted problem of three bodies// Astron. J. — 1965. — V. 70, № 1. — P. 3-4.
Heibockel J.H., Struble R.A. Periodic solutions for defferential systems with symmetries// J. Soc. Industr. Appl. Math. — 1965. — V. 13, № 2. — P. 425-440.
СебехейВ. Теория орбит. — M.: Наука, 1982. — 656 с.
SchanzleA.F. Horseshoe-shaped orbits in Jupiter-Sun restricted problem// Astron. J. — 1967. — V. 72, № 2. — P. 149-157.
Тхай B.H. Неподвижные множества и симметричные периодические движения обратимых механических систем// ПММ. — 1996. — Т. 60, вып. 6. — С. 959-971.
М е р к и н Д. Р. Гироскопические системы. — М.: Наука, 1974. — 344 с.
Воронец П.В. Об одном преобразовании уравнений динамики. — Киев: Тип. Ун-та Св. Владимира, 1901. — 14 с.
Воронец П.В. Об уравнениях движения неголономных систем// Ма- тем. сб. — 1901. — Т. 22, вып. 4. — С. 659-686.
Воронец П.В. Уравнения движения твердого тела, катящегося без скольжения по горизонтальной плоскости. — Киев: Тип. Ун-та Св. Владимира, 1903. — 152 с.
Карапетян А.В., Румянцев В.В. Устойчивость консервативных и диссипативных систем// Итоги науки и техники. Общая механика. Т. 6. — М.: ВИНИТИ, 1983. — 132 с.
Аппель И. Теоретическая механика. Т. 2. — М.: Физматгиз, 1960. — 488 с.
Grioli G. Asistenza е determinazione delle precesioni regolari dinamicamente possibili per solido pesante assimmetrico// Annali Matem. pura di applicata. Ser. 4. — 1947. — V. 26. — P. 44-74.
Гуляев М.П. О новом частном решении уравнений движения твердого тела, имеющего неподвижную точку// Вест. МГУ. Мат. механ. — 1955. — № 3. — С. 15-21.
Бибиков Ю.Н. Многочастотные нелинейные колебания и их бифуркации. — Л.: ЛГУ, 1991. — 144 с.
10 Под ред. В.М. Матросова и др.
Карапетян А.В. Бифуркация Хопфа в задаче о движении тяжелого твердого тела по шероховатой плоскости// Изв. АН СССР. Механ. тв. тела. — 1985. — № 2. — С. 19-24.
Ляпунов А.М. Об устойчивости движения в одном частном случае задачи о трех телах// Собр. соч. Т. 1. — М.: Изд-во АН СССР, 1954. — С. 327-401.
Тхай В.Н. Исследование плоской неограниченной задачи трех тел// ПММ. — 1996. — Т. 60, вып. 3. — С. 355-374.
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫИССЛЕДОВАНИЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХСИСТЕМ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
С. В. Болотин
Введение
Обычно доказательства неинтегрируемости и хаотического поведения гамильтоновых систем основаны на построении трансверсальных гомоклинических траекторий к гиперболическим положениям равновесия или периодическим траекториям. Как правило, доказать существование таких траекторий удается только для систем, близких к интегрируемым, когда можно применить один из методов теории возмущений, например основанный на интеграле Пуанкаре-Мельникова [21]. Если в системе нет малого параметра, то методы теории возмущений неприменимы. Тогда приходится использовать непертурбационные методы, одним из которых является вариационный метод. В настоящей работе подход, основанный на вариационных принципах механики, проиллюстрирован на простейшем случае автономных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. По поводу других классов систем см., например, [1, 2, 6, 9, 10, 12, 16, 25-28] и библиографии в этих работах.
Рассмотрим гамильтонову систему с двумя степенями свободы и конфигурационным пространством М, являющимся гладким двумерным многообразием. Предположим, что функция Гамильтона Н = = H(q,p) на фазовом пространстве принадлежит классу С3, является строго выпуклой по импульсу р, т. е. матрица Hpp(q,p) положительно определена, и H(q^p) сю при \\р\\ —> оо.
При указанных условиях все уровни энергии Е^ = ^Н = h^ компактны, если М компактно. В некомпактном случае потребуется дополнительное условие полноты, которое будет сформулировано в дальнейшем.
Основным примером являются натуральные гамильтоновы системы, для которых
Я = Я2(д,р) + Я1(д,р) + Я0(д),(1)
где Н^ является однородным полиномом по р и квадратичная форма H^q^t) положительно определена.
© С.В. Болотин, 2001
Преобразование Лежандра позволяет определить функцию Лагранжа
L(9,g,t) = max((p,g) - H(q,p,t)\р
Основным инструментом в вариационных методах классической механики является функционал действия Гамильтона на множестве кривых у: [a, b\ М класса С1:
Ц^)= [ LhWaW)dt.(2)
J а
Однако, в автономном случае, оказывается удобнее использовать функционал действия Мопертюи-Якоби, который является ограничением функционала действия Гамильтона на множество кривых, параметризованных специальным образом. Удобство принципа Мопертюи-Якоби состоит в том, что он сводит задачи механики к задачам геометрии.
Положим V(q) = Н^ 0). Зафиксируем энергию Н = h и определим метрику Якоби Fh(q,q) в области М^ = {V < К\ по формуле
Fh(.q,q) = max{(p,g) | H(q,p) = /г}, q € Mh.(3)
р
Эта функция выпукла и однородна первой степени по скорости ф так что она является финслеровой метрикой в области М^. Метрика Якоби вырождается на границе дМ^. Для необратимых систем метрика Якоби необратима: F^^q, —q) ф Fh{q^q). Например, для системы с гамильтонианом (1) и лагранжианом
4q,q) = L^q) + L-^q) + L^q),(4)
метрика Якоби имеет вид
Fh(q, 9) = 2V(h + Fo^^q, g) + L^(q, q). (5)
Согласно принципу Мопертюи-Лагранжа-Якоби, если у: [а, 6] -Л -Л М^ — траектория системы с энергией h. то она является геодезической линией метрики Якоби, т. е. экстремалью функционала действия Мопертюи-Якоби
(6)
на множестве кривых у: [и, 6] -Л М с фиксированными граничными точками. Обратно, любая экстремаль функционала J^ в области Мн после подходящей перепараметризации становится траекторией гамильтоновой системы с энергией h.
Связь функционала действия Мопертюи-Якоби (6) с функционалом действия Гамильтона (2) дается неравенством
< 1^А-ЦЪ-а\
которое превращается в равенство, если у параметризована таким образом, что энергия равна h.
Без ограничения общности можно предполагать, что max У = 0. Если h > 0, то М^ = 714", так что Е^ — финслерова метрика на М. Таким образом, изучение гамильтоновой системы на уровне энергии Н = h > 0 сводится к исследованию геодезического потока финслеровой метрики Е^.
Обозначим через у (714") эйлерову характеристику поверхности М.
Теорема 1. Если эйлерова характеристика х(7И) < 0 и энергия h > 0, то топологическая энтропия ограничения системы на уровень энергии ^^ положительна.
Положительность топологической энтропии означает, грубо говоря, что система имеет хаотические траектории.
Для натуральных систем с Н = Н^ + Н^ теорема вытекает из результатов Катка [19]. При тех же условиях, Козлов [20] доказал неинтегрируемость системы. В случае двух степеней свободы, положительность топологической энтропии влечет неинтегрируемость.
В общем случае, доказательство теоремы можно провести, например, так. Принцип Мопертюи сводит задачу к финслеровой геометрии. Используя эту редукцию, можно доказать, следуя Морсу [23], существование бесконечного числа минимальных замкнутых геодезических, и бесконечного числа минимальных геодезических, гомоклинических к этим минимальным геодезическим [4]. В силу условия на топологию 714", эти гомоклинические геодезические топологически трансверсальные. Отсюда вытекает положительность топологической энтропии.
Пример. Плоская ограниченная задача многих тел. Пусть точки щ,... ,qn закреплены в плоскости, вращающейся вокруг центра 0, а частица движется под действием сил их гравитационного притяжения. Тогда функция V имеет вид
Преобразование Леви-Чивита позволяет избавиться от особенностей потенциала. При этом конфигурационное пространство М оказывается поверхностью с эйлеровой характеристикой 2 — п. Следовательно, при п ^ 3 и положительной постоянной Якоби, система имеет хаотические траектории [4].
Таким образом, при %(7И) < 0 и h > 0, сложное поведение траекторий системы вызвано топологией конфигурационного пространства. Однако большинство физически интересных гамильтоновых систем интегрируемы при некоторых значениях параметров, а значит не могут иметь топологически сложное конфигурационное пространство:
х(М) ^ 0. Тогда не существует чисто топологических препятствий к интегрируемости, так что для доказательства существования хаотических траекторий требуются дополнительные условия. При h ^ 0 чисто топологических препятствий к интегрируемости также не существует.
В данной работе обсуждается простейший случай, когда x(Af) ^ 0. Для случая х(7И) > 0 (М — сфера, или проективная плоскость, или плоскость) существует много интегрируемых гамильтоновых систем, так что достаточные условия для хаотического поведения траекторий с необходимостью являются более сложными [5].
Предположим, что потенциальная энергия V имеет строгий невырожденный максимум в точке q^ Е М. причем точка го = (^оД) является положением равновесия, т. е. Hp(q^0) = 0.
Для обратимой системы точка максимума V всегда положение равновесия, однако в общем случае это дополнительное условие. Например, для квадратичного гамильтониана (1), это условие означает, что Hi(q0,p) = 0.
Положения равновесия, удовлетворяющие указанным условиям, всегда являются гиперболическими, т. е. их характеристические показатели не лежат на мнимой оси. Возможны два случая:
(SF) Положение равновесия типа седло-фокус, т. е. характеристические показатели ±А ± ги, А, ш > 0, комплексные.
Положение равновесия типа седло, т. е. характеристические показатели ±Ai,±A2 вещественны: 0 < Ai ^ А2. Будем предполагать для простоты, что Ai ф А2. Для обратимых систем всегда имеет место случай (S).
Обозначим через Ws и Wu устойчивое и неустойчивое многообразия положения равновесия. Они состоят из траекторий гамильтоновой системы в фазовом пространстве, асимптотических к го при t -Е ±оо соответственно. При некоторых условиях, с помощью вариационных методов, можно доказать существование траекторий, двоякоасимптотических (гомоклинических) к го [1, 2]. Пусть 7 С Ws П Wu — одна из таких траекторий. В случае общего положения, траектория 7 является трансверсальной, т. е. многообразия Ws и Wu пересекаются вдоль 7 под ненулевым углом.
Как показал Деваней [18], для автономных систем, существование трансверсальной гомоклинической траектории к положению равновесия, в общем случае, не влечет сложного поведения траекторий системы, и, в частности, ее неинтегрируемости. Действительно, для седлового положения равновесия даже с четырьмя трансверсальными гомоклиническими траекториями возможна интегрируемость системы [18]. Сначала обсудим более простой случай положения равновесия типа седло-фокус.
В случае (SF) Деваней [17] доказал, что если существует трансверсальная гомоклиническая траектория, то система имеет хаотические траектории на нулевом уровне энергии Eq. Оказывается, что хаотические траектории существуют без предположения трансверсальности. Это было доказано Буффони и Сере [12] для аналитических гамильтоновых систем на торе. Ниже будет дано доказательство для произ-
вольных систем, удовлетворяющих (SF).
Положения равновесия типа седло—фокус
При h = 0 метрика Якоби вырождается в единственной точке q^. Пусть d — расстояние на М^ задаваемое функционалом J = Jo;
d^a, b) = inf{J(7) | 7 E C^QO, 1], M), 7(0) = a, 7(1) = 5}.(7)
Это расстояние удовлетворяет аксиомам метрического пространства, за исключением симметрии: в общем случае d^a^ b) ф d(b, а). В некомпактном случае нам понадобится дополнительное условие полноты. Пусть метрика d полна, т. е. замкнутые шары {q Е М | d(q, Qo) С с} и ^q Е М | d(qoD q) ^ с} компактны для всех с > 0.
Пусть положение равновесия имеет тип (SF).
Теорема 2. Если эйлерова характеристика х(М) ^ 0, то существует бесконечное число гомоклинических траекторий к положению равновесия zq. Существуют таксисе хаотические траектории на Ео, и топологическая энтропия системы на Ео положительна.
Эта теорема представляет собой обобщение теоремы Буффони и Сере [12], где рассматривался аналитический случай и предполагалось, что М = Т2. Доказательство, которое будет приведено, отлично от доказательства в [12]. Вместо принципа Гамильтона будет использован вариационный принцип Мопертюи-Якоби.
Напомним, что в теории метрических пространств с несимметричной метрикой, можно определить длину 0 ^ J(x) ^ +°° Для любой ориентированной непрерывной кривой 7 Е С°([0,1],М) по формуле
0 — to < Н < * * * < ^п — 10 — to < Н < * * * < ^п — 1Л?) = sup { ^</(7Л-1), 7Л))г = 1
0 — to < Н < * * * < ^п — 1
0 — to < Н < * * * < ^п — 1
Пусть П С С°([0,1], М) — множество кривых 7, непостоянных ни на каком интервале и спрямляемых, так что «/(7) < сю. Поскольку длина «/(у) не зависит от перепараметризации кривой, естественно рассматривать функционал J на множестве ориентированных непа- раметризованных кривых. Таким образом, кривые, отличающиеся только параметризацией, отождествляются. Пусть П — соответствующее факторпространство. Каждый элемент множества П можно единственным образом представить в виде кривой 7: [0,1] —> М^ параметризованной пропорционально длине дуги, так что Т(7|[ад]) = = J(x)(b — а) для всех 0 < а < b < 1. Таким образом, П С С°([0,1], М). Наделим П соответствующей топологией.
Функционал J полунепрерывен снизу на П, и для любого с > 0, множество
пс = {7 е п I Л7) < с}
компактно в С^ топологии [31].
Пусть тг: М М — универсальное накрытие многообразия М. Поднимем метрику Якоби на М. Соответствующее расстояние на М также будет обозначаться через d. Кривая 7: [0,1] —> М называется минимальной, если ее поднятие 7: [ОД] ^ М минимизирует расстояние d между любой парой точек: J(y) = (/(7(0), 7(1)). Любая минимальная кривая является геодезической метрики Якоби везде, кроме точки qo, где метрика вырождается.
Условие полноты влечет, что метрика d полна на М, т. е. любое ограниченное замкнутое множество компактно. Отсюда вытекает, что любые две точки a, b Е М можно соединить минимальной кривой. Минимальные кривые, проходящие через qo, являются траекториями гамильтоновой системы, асимптотическими к положению равновесия Qo- Отсюда вытекает следующее утверждение.
Лемма 1. Любые dee точки a,b Е М можно соединить минимальной кривой у из заданного гомотопического класса. Кривая у является либо траекторией нулевой энергии, либо цепочкой траекторий нулевой энергии a U 71 U ... U уп U 8, где а является траекторией, начинающейся в точке а и асимптотической к qo при t -Д +оо, 8 является траекторией, асимптотической к qo при t -Д —ос и заканчивающейся в точке Ь, а кривые yi являются траекториями движений, двоякоасимптотических к положению равновесия q^.
Пусть Q С П — множество петель с началом в точке q^. Множество связных компонент множества Q отождествляется с фундаментальной группой тгДМ, q^.
Следствие 1. Существуют мультипликативные образующие Q^ С Q группы 7Ti(M,q0) такие, что минимум J на Q^ достигается на множестве минимальных гомоклиник из Q^ которое непусто и компактно.
Положим с^ = minQ. J. Тогда существует 5 > 0, такое, что множество
= {? е ^ | J(7) < а + 5} компактно.
Для построения хаотических траекторий удобно модифицировать функциональное пространство Q. Пусть У — маленькая окружность вокруг точки qo, и
г = {7 е п | 7(о),7(1) е £}. (8)
Определим функционал G на Г по формуле
G(7) = J(7) + d(qo,<Oy) + d(<V),qo\
Отметим, что d(qo,q) = Su(q) и d(q,qo) = — Ss(q), где Ss,u — производящие функции устойчивого и неустойчивого многообразий Ws,u положения равновесия q^.
Пусть С С Г — множество кривых, таких, что их продолжения до кривых из Q принадлежат Qz. Из следствия 1 вытекает
Следствие 2. Пусть 5 > 0 достаточно мало. Тогда множество гД5 = {7 е г, I G(7) < g + 5}
компактно и существует окрестность W точки q^ такая, что П W = 0 для всех Е 1Д+5. Множества Xi = {7(0) | 7 6 1Д+5} и
Yi = {7(1) | 7 Е Г^+5} непусты, компактны, и не равны У.
Доказательство. Все утверждения очевидны, кроме, может быть, последнего. Достаточно показать, что Zi = {7(0) | 7 Е Г^} 7^ У. Множество Г^ состоит из сегментов минимальных гомоклиник, которые однозначно определяются точкой 7(0) Е У. Согласно топологическому предположению, группа тгДМ, до) имеет по крайней мере две мультипликативные образующие Q^ и ^-j- Поскольку Z^n Zj = 0, оба множества не могут быть равны У.
До сих пор предположение (SF) не использовалось. Предположим теперь, что оно выполнено. Чтобы склеить цепочку минимальных гомоклинических траекторий в хаотические траектории, понадобится следующая лемма. Согласно лемме Шильникова [30], для любых двух точек х, у Е U и достаточно большого т ^ Т > 0, существует единственная траектория 7: [0, т] —> U, соединяющая эти точки, причем 7 — функция класса С1 от х,у,т. Действие траектории 7 имеет вид
J^ = S^^ - S8^ + e-XTs(x, у, т),(9)
где функция s класса С1 равномерно ограничена при т ос.
Пусть h(x, у, т) — энергия траектории 7, соединяющей точки х,у Е Е У при 0 ^ t ^ т.
Л е м м а 2. Существует положительная функция h^.Y? -л R, функции hv.Y2 х [Т,+оо) -Л R/2ttZ и h2:Y2 х \Т, +оо) -Л R такие, что
h(x,y,r) = е~Хт(/г0(ж,у) cos(hi(x,y,T) + шт) + Н2(х,у,т)),(10)
где Жу)Эт и h^ равномерно стремятся к нулю при т ос.
Похожее, но менее точное утверждение использовалось в [17, 12].
Уравнение h(x, у, т) = 0 в целом невозможно разрешить относительно т: тогда т будет многозначной функцией на У2. Чтобы т стало однозначной функцией, требуется ограничить ее на односвязную область. При больших т уравнение (10) влечет:
Следствие 3. Пусть А, В С У — интервалы, не совпадающие с У. Тогда существует последовательность непрерывно дифференцируемых функций гп: А х В R, п ^ К, где К не зависит от А, В, такая, что h(x,y,rn(x,y)) = 0. При п ос, гп ос как 2ттп/ш равномерно на А х В.
Согласно уравнению (9)
Sn(x, у) = 5(ж, у, т^х, у)) -4- бДж) - Ss(y) при п -> оо, (11)
равномерно на А х В. В частности, для каждого г, получаем последовательности S^.Y^ х Хг R.
Доказательство теоремы 2. Сначала будет доказано существование бесконечного числа гомоклинических траекторий. Возьмем конечную последовательность ^ik^=i гомотопических классов и последовательность целых чисел {пД^Д1, п^ ^ К. Определим функционал ф на множестве
к=1
по формуле
NN—1
^(7i,---,7tv) = YJ^ + 52 -^(Wr^+itO)) + к = 1к = 1
Поскольку функционал ф полунепрерывен снизу на компактном множестве, он достигает минимума. Остается показать, что точка минимума соответствует гомоклинической траектории, близкой к цепочке минимальных гомоклинических траекторий.
Функционал ф имеет вид
N
= 52(G(7fc) + ^(7к-1,7А:,7к+1)),
к = 1
где, согласно (11), фк —^ 0 при К —> сю. Из следствия 2 вытекает, что, при больших К. точки минимума функции ф принадлежат внутренности пространства Z. Таким образом, они являются критическими точками функции ф на Z. По формуле первой вариации функционала действия, критические точки соответствуют гомоклиническим траекториям, при условии, что вектора уДО) и —7Д1) направлены наружу X. Это так, поскольку при малых 5 > 0 множество Г^+5 является малой окрестностью множества гомоклинических траекторий Г^.
Хаотические траектории получаются в пределе N —> сю. Подробности опустим.
Случай седлового положения равновесия
Для седловых положений равновесия теорема 2 неверна. Действительно, интегрируемая система двух несвязанных математических маятников удовлетворяет всем условиям теоремы, кроме (SF). Эта система имеет 4 трансверсальные минимальные гомоклинические траектории к верхнему положению равновесия.
Таким образом, в седловом случае, для существования хаотических траекторий требуются дополнительные условия. Достаточные условия были получены Тураевым и Шильниковым [29]. В этой работе показано, что если существуют 3 трансверсальные гомоклинические траектории к седловому положению равновесия с различными характеристическими показателями, и если они не принадлежат сильно устойчивому Wss С Ws или сильно неустойчивому Wnn С Wu многообразиям, соответствующим большим по модулю собственным числам ±Л2, то гамильтонова система имеет хаотические траектории. Следующая теорема является вариационным аналогом этого результата. Вместо предположения о существовании нескольких трансверсальных гомоклинических траекторий будет сделано предположение геометрического характера.
Для определенности пусть М ориентировано и х(М) = 0 (случай x(Af) < 0 проще). Тогда М - тор или цилиндр. Пусть Л — простой гомотопический класс замкнутых кривых у: [0,1] —> М 7(0) = 7(1), а Q С Л — подмножество замкнутых кривых, проходящих через точку Qo:
О = {? € Л | 7(0) = 7(1) = д0}.
Предположим, что выполнено условие (S) и, в некомпактном случае, также предположение полноты. Наложим дополнительное условие
(12)(12)с = inf J > с = inf J.
(12)
(12)
QЛ
Теорема 3. Существует 5 > 0 такое^ что выполнено по крайней мере одно из следующих утверждений:
система имеет хаотические траектории на каждом уровне энергии 5Д с энергией 0 < h < 5;
система имеет хаотические траектории на каждом уровне энергии ^h с энергией —S<h<Q.
В большинстве случаев теорема 3 имеет место одновременно при НЕ (ОД) и h Е (—5,0). Это вытекает из предложения 2, которое содержит уточнение теоремы. В случае обратимых систем утверждение теоремы 3 всегда выполнено при h Е (—5, 0). Условие (12) предложено в [5] для натуральных систем на торе.
Следствие 4 [5, 7]. В аналитическом случае система не имеет аналитических первых интегралов^ независимых от интеграла энергии Н.
Если М топологически устроено более сложно, чем тор, т. е. х(М) < 0, то теорема 3 справедлива без условия (12).
Доказательство теоремы 3 для аналитических натуральных систем можно получить, используя результаты работы [5]. Это доказательство не проходит в гладком случае. Приводимое ниже доказательство теоремы 3 следует [9].
Обозначим через Q^, k Е N, множество кривых в М, гомотопных кривым из Q, пройденным к раз. Тогда с^ = infQfc J ^ кс.
Предложение 1. При условии (12) существует n 6 N такое, что Ск < кс для всех к > п и множество минимальных гомоклинических траекторий в Q& непусто и компактно.
Доказательство основано на существовании самопересечений у кривых из Qfc и следует идеям Морса [23]. Существенно используется то, что система имеет две степени свободы.
Существование бесконечного числа минимальных гомоклинических траекторий было установлено Калдироли и Джинджином [14] для задачи о движении точки в R2 под действием силы с потенциалом, имеющим особенность. Это частный случай предложения 1, когда М — цилиндр. В аналитическом случае можно доказать существование бесконечного числа трансверсальных гомоклинических траекторий [7].
Теорема 3 может быть уточнена. Оказывается, что отображение Пуанкаре системы на инвариантном подмножестве в Е^ полусопряже- но топологической цепи Маркова произвольного порядка. Конструкция состоит в следующем.
Возьмем конечное множество ^D^^^k связных компонент множества минимальных гомоклинических траекторий в гомотопических классах Q^ с условием к > п, не содержащих гомоклиник из Wss и Wnn. Пусть ИД и ИД — связные компоненты множеств Ws \ W88 и Wu \ Wuu. Положим сг(к) = ±1 в зависимости от принадлежности гомоклинических траекторий из D^ множествам ИД. Аналогично, положим т(к) = ±1 при условии, что гомоклиники из Dк принадлежат ИД. Тогда имеет место
Предложение 2. Существует 5 > 0, такое, что для любого h 6 (—5,5) \ {0} отображение Пуанкаре на ^h имеет инвариантное подмножество, на котором оно полусопряжено топологической цепи Маркова над К со следующей матрицей переходов А:
< 0’^W.-rtiV h>0.< 0’^W.-rtiV h>0.(13)(13)
< 0’
^W.-rtiV h>0.
< 0’
^W.-rtiV h>0.
(13)
(13)
Если все числа ст (к), т(к), к 6 К, совпадают, то матрица А нетривиальна только при h < 0. Если ст (к) ^ т(Д для всех к, j, то матрица А нетривиальна только при h > 0. В случае обратимых систем, ст (—к) = = т(к\
Пример. Рассмотрим двойной математический маятник со звеньями длины h,l2^ и массами ту,т^. Пусть Qi,Q2 — углы между звеньями и вертикалью. Конфигурационным пространством является тор Т2 = R2/2ttZ2, а функция Лагранжа имеет вид L = Т — V, где Ц91, <72,91,92)A(mi ^m^qX + ^2^92 +m2W2cos(gi - 92)9192, r(gi,g2)=(mi + m2)gli(cosq1 - 1) + m2gl2(cos q2 - 1).
Точка максимума потенциальной энергии есть 0 = (0,0) € Т2. Пусть Л — гомотопический класс замкнутой кривой уд: [0,2тг] —> Т2, уо(^) =
= (£ Д + тг). Действие Мопертюи-Якоби кривой 70 — эллиптический интеграл
7(7о) = / ^V-Vlt^ + ^T^t^ + TvAA^dt < Jo
2ir^2g(mil^ + m^k - У2)(И + m^k + m^Y
Можно показать [7], что для соответствующего класса Q кривых, проходящих через О,
inf > ^m2Vg(max{Zi,Z2})3/2.
TeQо
Из теоремы 3 вытекает
Следствие 5. Двойной маятник имеет хаотические траектории на ^^ при 0 < \h\ <5, если
^{т^ + тДк ~ ^)2)((t71i + m^k + гпДД < 32m2(max{Zi, Z2})3.
Условие следствия 5 весьма ограничительное. Делая оценки более тщательно, можно получить лучшее условие.
Неинтегрируемость физического двойного маятника специального вида впервые доказана Буровым [13] с помощью метода Пуанкаре- Мельникова. Метод Бурова не работает для двойного математического маятника. Недавно метод Пуанкаре-Мельникова применен Моау- ро и Негрини [24] для двойного математического маятника в пределе h ос и mi —> 0.
Доказательство предложения 2 аналогично доказательству теоремы 2. Разница в том, что теперь, вообще говоря, невозможно соединить пару точек окружности Б траекторией нулевой энергии: приходится брать значение энергии положительным или отрицательным. Начнем с аналога леммы 2.
Кривые Wuu С Wu и Wss С W8 проектируются на кривые As’u в конфигурационном пространстве М. Эти кривые делят окружность Б на открытые дуги S± and Б±.
Лемма 3. Существует функция Zig класса С1 на Б2, такая, что ho > 0 на множестве (Б^ х Ё^) U (£1 х Б^) и ho < 0 на множестве (5Д х Б^) U (SI х Б^), причем функция h на множестве Б2 х \Т, ос) имеет вид
h(x,y,r) = e"X1T(h0(x,y) + МЖ>У>Т))>
где функция hi Е С1 (Б2 х [Г, сю)) является С1 равномерно малой при болъших т.
Аналог леммы 3, по-видимому, использовался (без явной формулировки) при доказательстве теоремы Тураева и Шильникова [29].
Пусть А С (S \ А5) х (S \ А") — компактное связное множество. Тогда для всех (ж, у) Е А функция 1щфщ у) отграничена от нуля. Следовательно, функция h(x, у,т) монотонна по т при достаточно больших т. Решая уравнение h = h^x^y^r} относительно т, получим функцию т = тн^у^ при условии, что знак h выбран соответствующим образом. Получим следующее утверждение:
Предложение 3. Существует 5 > 0, такое^ что для всех h Е Е (—5,0) при А С (S^ х S^) U (St х Si) и для всех h Е (0,5) при А С (S^ х Si) U (St х S“) выполняются условия;
для всех (х, у) Е А существует единственная траектория энергии h в области Щ соединяющая точки х и у при 0 t ть(х, у),
тн(х^у) является функцией класса С1 на мноэюестве А и ть, ос при h 0;
действие fh^x^y) = S(х, уЛн(х, у)) этой траектории является функцией класса С1 на мноэюестве А и fh{x,y) — Ss(x) + Su(y) равномерно при h л 0.
Доказательство предложения 2. Используя предложения 1 и 3, доказательство можно провести в точности как доказательство теоремы 2. Разберем, например, случай малого h > 0. Пусть Г — функциональное пространство, задаваемое формулой (8), а Гг С Г — подмножество, соответствующее гомотопическому классу Qi, г > п. Возьмем конечное множество Dj С Q^-), 3 ^ К- связных компонент множества гомоклинических траекторий. Пусть 5 > 0 достаточно мало. Для любого j Е К обозначим через Zj связную компоненту множества Г^)+^, содержащую множество Dj. Возьмем произвольную TV-периодическую последовательность ^jk^kez^ такую, что ДД)т(Д+1) < 0. Тогда множества {7(1) Е S | ^ Е Zjk} и {7(0) Е Е S | 7 Е Zjk+1} лежат по разные стороны кривой А.
Для выбранного h Е (0, 5) определим функционал фн на множестве
N
^ = П z^
k = l
по формуле
N
ФнОл - • • An) = У/ЛЫ+ A(7fc(l),7fc+i(0))),7^+l=71•
k = l
Так же, как при доказательстве теоремы 2, из предложения 3 вытекает, что при малых h > 0 функционал фн имеет минимум во внутренности множества Z. Этот минимум соответствует периодической траектории энергии /г, близкой к цепочке N гомоклинических траекторий. В пределе 7V ос получаются хаотические траектории, соответствующие заданной траектории ^jk^kez топологической цепи Маркова.
Случай h < 0 аналогичен.
Хаотические траектории с произвольнойэнергией
В предыдущем разделе было доказано существование хаотических траекторий для значений энергии, близких к максимуму потенциальной энергии V. При условии, более сильном чем условие (12), можно рассматривать произвольные значения энергии. В данном разделе будет сформулирован без доказательства один результат, доказанный в [11]. Для простоты ограничимся случаем обратимых систем на торе М. Тогда метрика Мопертюи-Якоби обратима.
Следует различать случаи разных знаков энергии. В случае h > > 0 метрика Якоби является финслеровой метрикой на М. Случай /г близкого к нулю, когда метрика Якоби вырождается в единственной точке, рассмотрен в предыдущем разделе. При h < 0 метрика Якоби корректно определена только в области {V < /г}.
При h > 0 пусть Р — любая точка конфигурационного пространства. При h = 0 пусть Р — точка максимума потенциальной энергии V. При h < 0 положим Р = {ж Е М | У (ж) ^ /г}. Будем предполагать для простоты, что множество Р гомеоморфно диску.
Все три случая будут рассматриваться одновременно. При h ^ ^ 0 продолжим метрику F^ до вырожденной метрики на М1 полагая Fh(q^ Q) = 0 при q Е Р. Пусть J — функционал действия, соответствующий метрике «Д, a d — соответствующая функция расстояния на М. Тогда d(x^ у) = 0 для всех х^у Е Р.
Возьмем, как и раньше, простой гомотопический класс Л замкнутых кривых в М и соответствующий класс Q С Л кривых, проходящих через множество Р. Если имеет место условие (12), то J имеет минимум на Q, соответствующий периодической траектории энергии К.
Теперь будет сделано геометрическое предположение, более сильное, чем (12).
Теорема 4. Пусть b — нижняя грань функционала действия J на множестве простых замкнутых кривых^ не принадлежащих гомотопическому классу Q (или обратному). Если с — с > 26, то существуют хаотические траектории с энергией h.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 99-01-00953 и ИНТАС, проект 97-10771.
Список литературы
Болотин С.В. Либрационные движения обратимых динамических систем// Вести. Моск, ун-та., Матем. Механ. — 1978. — Вып. 6. — С. 72-77.
Болотин С.В. Существование гомоклинических движений// Вестник МГУ, Матем. Механ. — 1983. — Вып. 6. — С. 98-103.
Болотин С.В. Вариационные методы построения хаотических движений в динамике твердого тела// ПММ. — 1992. — Т. 56. — С. 230-239.
Болотин С.В. Двоякоасимптотические траектории минимальных геодезических// Вестник МГУ, Матем. Механ. — 1992. — Вып. 1. —
С. 92-96.
Bolotin S.V. Variational criteria for nonintegrability and chaos in Hamiltonian systems// Hamiltonian Systems: Integrability and Chaotic Behavior 1994, NATO ASI Series V. 331, 173-179, Plenum Press.
Bolotin S.V. Homoclinic orbits to invariant tori of Hamiltonian systems// Amer. Math. Soc. Transl., Ser. 2. — 1995. — V. 168. — P. 21-90.
Bolotin S.V., NegriniP. Variational criteria for nonintegrability// Russian Journal of Mathematical Physics. — 1998. — V. 5. — P. 415-439.
Bolotin S.V., Rabinowitz P.H. A variational construction of chaotic trajectories for a Hamiltonian system on a torus// Bollettino U.M.I. 1998 (8) 1-B. - P. 479-500.
Bolotin S.V., Rabinowitz P.H. A variational construction of chaotic trajectories for a reversible Hamiltonian system// Journ. Diff. Eqn. — 1998. - V. 48. - P. 365-387.
Bolotin S.V., Rabinowitz P.H. Heteroclinic geodesics for a class of manifolds with symmetry// Regular and Chaotic Dynamics. — 1998. — V. 3. - P. 49-62.
Bolotin S.V., Rabinowitz P.H. Chaotic trajectories for a system on a torus, в печати (2000).
Buffoni В., SereE. A global condition for quasi-random behavior in a class of conservative systems// Comm, in Pure and Appl. Math. — 1996. — V. 49. - P. 285-305.
Буров А.А. Несуществование дополнительного интеграла в задаче о плоском тяжелом двойном маятнике// ПММ. — 1986. — Т. 50. — С. 168-171.
Caldiroli Р., Jeanjean L. Homoclinics and heteroclinics for a class of conservative singular dynamical systems. — 1996. — (Preprint).
Coti ZelatiV., Ekelandl., SereE. A variational approach to homoclinic orbits in Hamiltonian systems// Math. Ann. — 1990. — V. 288. - P. 133-160.
Coti ZelatiV., Rabinowitz P.H. Homoclinic orbits for second order Hamiltonian systems posessing superquadratic potentials// J. Amer. Math. Soc. - 1992. - V. 4. - P. 693-727.
Devaney R.L. Homoclinic orbits in Hamiltonian systems// J. Differ. Equat. - 1976. - V. 21. - P. 431-438.
Devaney R.L. Transversal homoclinic orbits in an integrable system// Amer. J. Math. - 1978. - V. 100. - P. 631-642.
К a t о k A. Entropy and closed geodesics// Ergod. Th. and Dynam. Syst. — 1982. - V. 2. - P. 339-367.
Козлов В.В. Топологические препятствия к интегрируемости натуральных механических систем// Докл. АН СССР. — 1979. — Т. 249. — С. 1299-1302.
Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике// УМН. — 1983. — Т. 38. — С. 3-67.
Козлов В.В. Вариационное исчисление в целом и классическая механика// УМН. - 1985. - Т. 40. - С. 33-60.
М о г s е М. A fundamental class of geodesics in any closed surface of genus greater than one// Trans. Amer. Math. Soc. — 1924. — V. 26. — P. 25-61.
МоауроВ.,НегриниП. Хаос для двойного математического маятника// ПММ. - 1998. - Т. 62. — С. 827-830.
Rabinowitz P.H. Heteroclinics for a Hamiltonian system of double pendulum type// Top. Math, in Nonlin. Analysis. — 1997. — V. 9. — P. 41-76.
Rabinowitz P.H. A note on a Hamiltonian system of double pendulum
type// Topics in Nonlinear Analysis, PNLDE series #35. — 1999. — P. 571-584.
Sere E. Existence of infinitely many homoclinics in Hamiltonian systems// Math. Z. — 1992. — V. 209. — P. 27-42.
Sere E. Looking for the Bernoulli shift// Ann. Inst. H. Poincare, Anal. Non Lineaire. — 1993. — V. 10. — P. 561-590.
Тураев Д.В., Шильников Л.П. О гамильтоновых системах с гомоклиническими кривыми седла// Докл. АН СССР. — 1989. — Т. 304. — С. 811-814.
Шильников Л.П. О проблеме Пуанкаре-Биркгофа// Матем. Сборник. - 1967. - Т. 3. - С. 353-371.
Янг Дж. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. — М.: Мир, 1974.
11 Под ред. В.М. Матросова и др.
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙИНТЕГРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
РЕЗОНАНСНЫХ СИСТЕМ
Ф. Журавлев
Постановка проблемы. Рассматриваются квазилинейные колебательные системы вида
Aq + Bq = eQ^ q, q),
где А и В — симметрические положительно определенные п х п- матрицы, q — вектор размерности п, правая часть представляет собой возмущение, что формализуется присутствием малого параметра е. Без ограничения общности матрица А может считаться единичной, а матрица В — диагональной.
Если возмущение отсутствует (s = 0), то любая траектория рассматриваемой системы в конфигурационном пространстве является всюду плотной в многомерном параллелепипеде, если собственные частоты несоизмеримы (нерезонансный случай). Если же какой-либо резонанс имеет место, то существует подпространство, в котором любая траектория представляет собой замкнутую кривую. Такие кривые называются фигурами Лиссажу. Они неустойчивы по отношению к исчезающе малым возмущениям: либо исчезают совсем, либо переходят в фигуры иной формы.
По отношению к этим неустойчивым траекториям в дальнейшем ставятся следующие три задачи: 1) дать описание тех эволюции, которые претерпевает фигура при появлении возмущений; 2) выполнить классификацию внешних возмущений по признаку вызываемой ими эволюции; 3) построить управление, обеспечивающее устойчивость заданной фигуры.
Как выяснится в дальнейшем, множество эволюций неустойчивых интегральных многообразий резонансных систем обладает групповыми свойствами, и учет этого обстоятельства делает более эффективным и глубоким анализ всей проблемы в целом.
Будут рассматриваться только главные резонансы, т. е. резонансы, имеющие при заданной кратности наименьший порядок. Это соответствует наличию кратных частот собственных колебаний в невозмущенной системе (s = 0), причем у неё имеется собственное подпространство, соответствующее кратному корню, в котором любые
© В.Ф. Журавлев, 2001
траектории представляют собой эллипсы, лежащие в некотором линейном двумерном многообразии. В случае кратности, равной двум, это многообразие совпадает с самим собственным подпространством.
Существует только четыре типа инфинитезимальных эволюций этого эллипса при возмущениях: изменение главных полуосей, изменение ориентации осей эллипса по отношению к базису пространства (будем называть эту эволюцию прецессией формы), изменение скорости движения изображающей точки по эллипсу (вариация частоты колебаний), наконец, превращение эллипса в фигуру, которую нельзя получить в результате эволюций первых трех типов (будем называть этот тип эволюции разрушением формы).
Геометрические и алгебраические свойства приведённых типов эволюции зависят принципиальным образом от размерности собственного подпространства, в котором эти эволюции происходят, поэтому они должны изучаться для каждого значения кратности собственной частоты отдельно. Ниже, в качестве примера, рассматривается случай двукратного корня.
Случай двукратной собственной частоты. В этом случае из системы Aq + Bq = eQ можно выделить следующую подсистему
Qi + Qi = sQi(t, q, q), г = 1, 2,
в которой выполним замену фазовых переменных (щ, q^. ф, q^ — (xi, Ж2, жз, Ж4) по формулам
q = (Е cos t, Е sin t^x^ q = (—E sin t, E cos t^x^
где E = I 1 — единичная матрица.
Выполненная замена представляет собой метод вариации произвольных постоянных Лагранжа, в котором вновь вводимые переменные связываются дополнительным условием
(Е cos t, Е sin t)x = 0.
Совместно с полученным в силу исходной системы уравнением
(—Е sin t, Е cos t)x = eQ = e
получаем систему, из которой можно явно выразить х:
X = ЕX = ЕЕ cos tЕ sintЕ cos tЕ sint—SsinfЕ cos t—SsinfЕ cos t—EsintE cost—EsintE costQiQ2QiQ2
X = Е
X = Е
Е cos t
Е sint
Е cos t
Е sint
—Ssinf
Е cos t
—Ssinf
Е cos t
—Esint
E cost
—Esint
E cost
Qi
Q2
Qi
Q2
Написанная система содержит при правой части множителем малый параметр и в соответствии с теорией возмущений может быть осред- нена по явно входящему времени:
—SsintEcost—SsintEcostQ1ChQ1Chdt.dt.
—SsintEcost
—SsintEcost
Q1
Ch
Q1
Ch
dt.
dt.
Заметим, что подсистема ср + Qi = eQl (г = 1,2) связана со всеми остальными уравнениями системы Aq^Bq = sQ, однако, если правые части Qt(t^ q) линейны по всем переменным q и ф то осредненные уравнения зависят только от переменных ж.
Если s = 0, то в системе ж = sX(x) решениями являются ж = const и в конфигурационном пространстве исходной системы траектория q = (Е cos t, Е sin t^x является эллипсом. Таким образом, каждая точка фазового пространства х определяет конкретную эллиптическую траекторию в пространстве q.
Важнейшими характеристиками движения по эллиптической траектории являются энергия колебаний, момент количества движения и угол наклона большой полуоси эллипса к оси q-^.
Удвоенное значение энергии колебаний совпадает с квадратом нормы вектора х: q2 + q^ + q2 + q2 = x2 + x^ + x2 + x2 = x2. Момент количества движения относительно начала координат К = q^q2 — q2qi пропорционален площади описываемого эллипса и поэтому иначе называется квадратурой. В переменных х он выражается так: К = = Ж1Ж4 - ж2ж3.
Для нахождения связи ориентации эллипса с переменными х подвергнем вектор q ортогональному преобразованию, совмещающему его большую полуось с осью qv-
/ cos# sin#\ /xi cost + Ж3 sint\ /acos(t + r)\sin# cos#/ \x2 cos t + X4 sin \&sin(t + T)/
В этом соотношении неизвестными являются: искомый угол, большая и малая полуоси эллипса а и b и сдвиг временной фазы т. Приравнивая коэффициенты при cost и sint, получаем четыре уравнения для нахождения этих неизвестных. Из этих уравнений легко исключаются а и 6, после чего из двух уравнений исключается т. Оставшееся уравнение позволяет найти
cos 2# = =, sin 2# = =.
Vk^Tk2 V^ek2
Наряду с х2 и К появились две новые квадратичные формы
Кг = |(ж^ - ^2 + X2 - X2), К2 = Ж1Ж2 + Ж3Ж4.
Среди всех эллиптических траекторий есть вырожденные траектории двух типов. Это либо отрезки прямой, либо окружности. В случае отрезка прямой равна нулю квадратура
К = Ж1Ж4 — ж2жз = 0.
В случае окружности переменные х^, связаны условием х^ = = Х4 и х2 = — жз, либо Xi = — Х4 и х2 = жз, которые замену q = = (Scost, Ssint)x превращают в группу вращений (я?1,ж2) —> (qi7 Q2)-
Оба последних условия можно объединить в одно
L = (яд ± ж4)2 + (ж2 =F ж3)2 = ж2 ± 2К = 0.
Многообразия вырожденных форм. Локальный эволюционный базис. В фазовом пространстве х уравнение К = = ж 1Ж4 — Х2Х3 определяет трехмерную коническую поверхность, каждой точке которой в пространстве конфигураций q соответствуют прямолинейные колебания. Уравнение L = ж2 ± 2 К = 0 содержит две компоненты L = ж2 + 2К = 0 и L = ж2 — 2К = 0. Каждой точке этого многообразия в пространстве q соответствуют движения по окружностям. Все остальные точки пространства х , не принадлежащие ни этому конусу, ни многообразию L определяют в пространстве q эллиптические траектории.
Любая траектория в системе х = Х(ж) определяет эволюцию эллиптической траектории в пространстве q, которую можно разложить на четыре элементарных эволюции: изменение амплитуды колебаний ж2, изменение квадратуры К. изменение ориентации большой полуоси эллипса, определяемой углом 9 по отношению к оси Qi, и изменение скорости движения изображающей точки по эллиптической траектории. Квадрат амплитуды пропорционален энергии колебаний, квадратура пропорциональна площади описываемого эллипса и равна моменту количества движения точки относительно центра, изменение угла 9 называется прецессией эллиптической формы, а скорость движения изображающей точки по эллипсу определяет частоту колебаний.
В каждой точке фазового пространства х каждой элементарной эволюции соответствует определённое направление изменения х.
Для построения вектора направления, определяющего изменение амплитуды, подействуем на q группой подобия
<1 = (l + /z)q = (1 + Щ<1 = (l + /z)q = (1 + ЩХу cos t + х^ sin t\ /х'у cos t + Ж3 sin tx2 cos t + x4 sin tj ^2 cos t + xz3 sin t
<1 = (l + /z)q = (1 + Щ
<1 = (l + /z)q = (1 + Щ
Отсюда следует
x’y = (1 + ц)хь х^ = (1 + ц)х2, Жз = (1 + ц)^з,х’4 = (1 + ц)х4.
То есть группа подобия в конфигурационном пространстве индуцирует группу подобия и в фазовом пространстве, а искомое направление задается вектором
dx',
61 = —= (Ж1,Ж2,Жз,Ж4) .
м=0
Направление изменения квадратуры определяется нормалью к конусу К = ХуХ4 — х2х^
dIT. ,.гр
62 == (^4, -^3, -^2,^1) •
dx
Если х Е К = 0, то это направление представляет собой направление наискорейшего разрушения прямолинейной формы колебаний.
Для выяснения направления, определяющего прецессию, подействуем на q = (Е cost, Ssint)x ортогональной группой q qf; q' = Tq. где матрица Т имеет вид матрицы вращения
Т =Т =cos а— sin аcos а— sin аsin аcos аsin аcos а
Т =
Т =
cos а
— sin а
cos а
— sin а
sin а
cos а
sin а
cos а
Ортогональная группа в конфигурационном пространстве индуцирует ортогональную группу в фазовом пространстве, которую можно вычислить так:
Tq = Т(Е cos t^ Е smt)x =
/ cos а\— sin а/ cos а\— sin а(x'x cos t + Ж3 sin t x’^ cos t + Ж4 sin t(x'x cos t + Ж3 sin t x’^ cos t + Ж4 sin tsincA /хх cos t + Х3 sinf cos a/ \^2 cos t + X4 sin t
/ cos а
\— sin а
/ cos а
\— sin а
(x'x cos t + Ж3 sin t x’^ cos t + Ж4 sin t
(x'x cos t + Ж3 sin t x’^ cos t + Ж4 sin t
Отсюда и находится связь xf с х:
х'х = хх cos а + х2 sin а,
х^ = —хх sin а + х2 cos а,
Д = Х3 cos а + Х4 sin а,
Д = — Х3 sin а + Х4 cos а.
dx’63 =dx’63 =Эта ортогональная группа определяет в пространстве х векторное поле
dx’
63 =
dx’
63 =
= (ж2, -жьж4, -ж3)г
Q = 0
Наконец, для построения направления определяющего изменение частоты следует подействовать на q = (Е cos t, Е sin t)x группой трансляций по времени t —> tf = t + т:
хх cos(t + т) + хз sin(t + т)\[ x’x cos t + Ж3 sin t
x2 cos(t + t) + x4 sin(t + r)yy^2 cos t + xr4 sin t
Отсюда и находим индуцированную в пространстве х группу
х'у = хх cos т + хз sin т,
^2 = х2 COS Т + Х4 sin Т,
Ж3 = — хх sin т + хз cos т,
Ж4 = — х2 sin Т + Х4 cos т.
Таким образом, группа трансляций по времени индуцирует в фазовом пространству группу вращений, определяющую следующее векторное поле
е4 = —= (ж3,ж4, -жъ -ж2)т.
т=0
Итак, базис локальных инфинитезимальных эволюций таков:
где, напомним, ei — направление изменения амплитуды, е2 — направление изменения квадратуры, ез — направление прецессии, 64 — направление вариации частоты.
Алгебра локальных эволюций. Отметим важнейшие свойства построенного базиса. Рассмотрим матрицу, составленную из его векторов:
А = (ei,e2,e3,e4).
Свойство 1. Определитель матрицы А равен
А = det А = (х2 — ^2 + Ж3 — ж2)2 + 4(ж1Ж2 + ^з^)2 = 4(А2 + К^.
Свойство 2. Матрица скалярных произведений базисных векторов (матрица Грама) имеет вид:
АТА =АТА =\(е4 • ei)\(е4 • ei)/ж22А0° )2Ах20000х2-2К\ 00—2Кх2 //ж22А0° )2Ах20000х2-2К\ 00—2Кх2 /(ei • е4)\(е4 • е4)/(ei • е4)\(е4 • е4)/
АТА =
АТА =
\(е4 • ei)
\(е4 • ei)
/ж2
2А
0
° )
2А
х2
0
0
0
0
х2
-2К
\ 0
0
—2К
х2 /
/ж2
2А
0
° )
2А
х2
0
0
0
0
х2
-2К
\ 0
0
—2К
х2 /
(ei • е4)\
(е4 • е4)/
(ei • е4)\
(е4 • е4)/
Определитель матрицы Грама
det Ат А = А2 = (ж4 - 4JC2)2 = (ж2 - 2/С2)2(ж2 + 2JC2)2 = L2 L\.
Как следует из вида матрицы Грама, эволюционный базис ортогонален на конусе К = 0 и вырожден на L = 0:
бе1ЛтЛ| =т8, det АТА1 = 0.I —(JI Lj— U
Свойство 3. Рассматриваемый эволюционный базис порождает четырехпараметрическую коммутативную (абелеву) группу Ли, представление которой в группу автоморфизмов R4 совпадает с максимальной коммутативной подгруппой группы GL(4,R).
Действительно, векторные поля еДж) порождают четыре однопараметрические группы с операторами
тт Э Э Э Э = Xi-к ж2-к ж3-к ж4-—,
0X1 их^ 0X30X4
тт д д д д
U2 = Ж4-Хз-ж2-к Х1-—,
0X10X20X30X4
тт д д д д
Из = ж2-Xi-к ж4-^3 —,
0X10X20X30X4
тт д д д д
Щ = Ж3-h Ж4-Ж1-Ж2^—.
0X10X20X30X4
Их коммутаторы равны нулю для любых гД: \Ui^U^\ = 0.
Свойство 4 (глобальные эволюции конуса К = 0 вдоль векторных полей e^Y Вычисления показывают, что:
UiK = 2K, ЩК = т\ ИзК = ^ U4K = ^.
Это означает, что К является инвариантом двух групп вращения U3 и U4 и инвариантным многообразием группы подобия.
Что касается группы Х^ определяющей эволюцию разрушения прямолинейной формы колебаний, то поскольку U2X2 = 4К. имеем
/т2\1
к' = e^U2TK = 1 ± rU2 + —rU2 ± ... К = Jfch2r ± -ж2 sh2T. \2!у2
При т оо многообразие
19
К ch 2т ± -х2 sh 2т = 02
стремится к многообразию 2К zk ж2, т. е. к многообразию круговых траекторий L = 0.
Свойство 5. Базис е^ является неголономным. Из четырех векторных полей только два потенциальны
dSdK
61 dx"62 dx "
где S = (1/2) (ж2 + ^2 + ж2 + ж2 — 1) определяет сферу единичного радиуса: 5 = 0.
Классификация возмущений. Естественно начать анализ действующих в системе q^ + Qi = eQi (i = 1,2) возмущений Qi с линейных по координатам и скоростям сил
Произвольная матрица позиционных сил Р и произвольная матрица R скоростных сил могут быть единственным образом разложены на симметрическую и кососимметрическую части. В свою очередь, симметрические части этих матриц могут быть единственным образом разложены на скалярную матрицу и на матрицу с нулевым следом. В результате получаем для матриц Р и R следующие представления:
Р = С + Н + N, R = D + G + Г,
в которых
/cos 2а sin 2а
\sin 2а — cos 2а?/cos 2/3 sin 2/3 'у sin 2/3 — cos 2/3
Полученные шесть типов сил Q имеют следующие наименования: Cq — потенциальные силы сферического типа; Hq — потенциальные силы гиперболического типа; Nq — в литературе встречается несколько названий для этих сил: циркулярные силы, псевдогироскопиче- ские, собственно неконсервативные силы, силы радиальной коррекции; Dq — диссипативные силы сферического типа, если d < 0; Cq — скоростные силы гиперболического типа; Tq — гироскопические силы.
Симметрические матрицы Н и G, имеющие нулевой след, называются девиаторами.
Коэффициенты h и д определяют нормы девиаторов гиперболических сил, а углы а и /3 ориентацию главных осей жесткости и демпфирования относительно осей qy и до
выполним отображение всех перечисленных сил в правые части системы х = еХ^х\ пользуясь формулой
01011f—Esmt\fQA
0
1
0
1
—I)dt, E =I
2тг Уоу Ecost J\Q2/\0
а также имея ввиду замену
q = (Е cos f E sin t)x; q = (—E sin f E cos t^x.
В результате получается следующее:
Cq: Х(ж) = ^с(—ж3, —ж4, Xi, ж2)т,
Hq: Х(х) = -h [(—жз, ж4, Xi, — х^cos 2а + (—х^ —х^ ж2, xi)Tsin 2а],
Nq: Х(ж) = -п(—ж4, жз, ж2, —Xi)T,
Dq: Х(х) = -d(xi^X2^X3^X4)T
Gq = ^д [(ад, —ад, ад, —ад)т cos 2/3 + (ад, ад, ад, ад)т sin2/3] , Гд = ^Щ -жь ж4, -кз)Т
Теперь для того, чтобы выяснить, какую эволюцию формы колебаний вызывают все эти силы, достаточно спроектировать их на векторы эволюционного базиса е^.
Если нас интересует локальная эволюция прямолинейной формы колебаний, то в силу ортогональности базиса ei на конусе К = 0, при вычислении проекций достаточно брать скалярные произведения найденных выше векторов Х(ж) с векторами е^.
Вне конуса базис е^ не ортогонален и для проектирования на него необходимо воспользоваться формулой Х^ = (1/||ж||)АХе(ж). Откуда Хе = ДЦЛ-1 JC. Для вычисления обратной матрицы А-1 воспользуемся равенством АтА = М, откуда А-1 = МА Ат. Матрица, обратная матрице Грама, легко вычисляется
/ ж2 -2К00 \
-2Кж200
00ж2 2К
,А = ж4 - 4JC2
\ 00 2К ж2/
Результаты такого проектирования сведем в таблицу, предварительно разделив Хе на ||ж||:
Cq
Hq
Nq
Dq
Gq
Гд
61
0
sin 2(0 — а)
Va
0
d
2
gX cos2(6 — 2VA
0
62
0
/гж2 .
= sin 2(6 — а)
2VA V 7
n
-2
0
-^ cos 2(0-^)
0
ез
0
Kh,
— cos 2(6, — а
Va
0
0
2VA
2
2
64
с
2
/гж2
= cos 2(6 — m
2\/ДV7
0
0
^r sin 2(0-/3)
0
Из приведенной таблицы следует, что к чистым эволюциям формы колебаний приводят четыре типа сил из шести: диссипативные (или ускоряющие) силы Dq приводят только к изменению амплитуды; циркулярные силы Nq приводят только к накоплению квадратуры; гироскопические силы приводят только к прецессии формы колебаний;
потенциальные силы сферического типа приводят только к изменению частоты.
Если возникает задача управления формой колебаний, то именно эти силы и следует выбирать для управления соответствующими эволюциями формы.
Гиперболические силы Hq и Gq в общем случае приводят сразу ко всем типам эволюции формы. Однако, если рассматриваемая форма прямолинейная (К = 0), то позиционные гиперболические силы приводят к разрушению этой формы и к изменению частоты, а скоростные гиперболические силы приводят к изменению амплитуды и к прецессии формы.
При этом интенсивность изменения эволюции в случае гиперболических сил зависит от ориентации формы по отношению к осям соответствующего девиатора. Например, если прямолинейная форма колебаний ориентирована вдоль одной из главных осей жесткости (0 = = а), то такое возмущение вызывает только изменение частоты.
Задача стабилизации формы колебаний. Рассмотрим задачу стабилизации прямолинейной формы колебаний. Такая задача может, например, возникнуть для маятника Фуко. В этом случае прямолинейная форма колебаний служит тем отсчетным многообразием, относительно которого измеряется вращение основания маятника в инерциальном пространстве. При этом требуется, чтобы форма колебаний не изменяла своей амплитуды и не разрушалась. Прецессия должна определяться только вращением основания.
Выполнение этих требований достигается введением обратных связей по амплитуде и квадратуре. Законы, по которым формируются обратные связи, должны удовлетворять следующим условиям.
Асимптотическая устойчивость отсчетного многообразия.
Инвариантность по отношению к группе вращений в плоскости
Отсутствие интерференции каналов управления.
Инвариантность по отношению к фазовому потоку невозмущенной системы q + q = 0.
Инвариантность по отношению к трансляции по времени.
Первые два требования диктуются самой целью использования прямолинейной формы колебаний в качестве отсчетного многообразия. Три других определяют качество управления. Если, например, управление по амплитуде и квадратуре вызывает прецессию формы (интерференция каналов), то это определяет погрешность в измерении вращения основания.
Инвариантность по отношению к фазовому потоку невозмущенной системы удобна тем, что управление зависит не от быстрых переменных, а от медленных.
Наконец, инвариантность по отношению к t означает, что свойства прибора со временем не изменяются.
Для того, чтобы управление удовлетворяло условию инвариантности по отношению к группе вращений оно должно зависеть только от инвариантов этой группы. Группа вращений имеет три независимых инварианта первого порядка Iq = q^ + q^-Дх = di + d^ ^з = Q1Q2 — Q2Q1-
Инвариантность по отношению к фазовому потоку невозмущенной системы требует, чтобы выписанные инварианты были бы одновременно и первыми интегралами системы q + q = 0. У этой системы тоже три независимых первых интеграла
Е = -До + Л), К = J2, L = qTq2 + Q1Q2-
Таким образом, условию инвариантности по отношению к группе вращений удовлетворяют два первых интеграла: энергия Е и квадратура К.
В соответствии с полученной выше таблицей для управления амплитудой при отсутствии интерференции каналов можно пользоваться только силами Dq. Стабилизированной амплитуде колебаний соответствует значение энергии, которое мы обозначим через Eq.
Для реализации простейшей обратной связи по амплитуде достаточно коэффициент cZ, входящий в скалярную матрицу D, выбрать равным d = e^Eq — Е).
Для управления квадратурой, не вызывая никаких других эволюций формы, необходимо пользоваться циркулярными силами, выбрав в простейшем случае коэффициент п равным п = цК.
В результате получаем следующие уравнения управляемого маятника Фуко
51 + Qi = —е(Е — Eo)qi + pKq2l
Q2 + q2 = s(E - Eo)q2 - ^Kq^
в которых Е = (l/2)(gi + q^ + ql + q^ и К = gig2 - 9291-
Получена система нелинейных уравнений, являющаяся двумерным аналогом уравнения В ан-дер-Поля.
Выписанным уравнениям в переменных q соответствуют уравнения в переменных ж:
2ж = —eSei — цКе2
(без ограничения общности здесь мы положили Eq = 1/2).
Эта система четвертого порядка легко сводится к системе второго порядка относительно S и К. Действительно, имеем
28 = 2^-ж = -sS(ei • ei) - pK(ei • е2).dx
Аналогично, дифференцируя К. получаем
• dK
2К = 2 ——х = -е8(с2 • ci) - цК(е2 • е2). dx
Ранее было получено, что (ei • е2) = 2К (см. матрицу Грама). Кроме того, (ei • ei) = (е2 • е2) = ж2 = 25 + 1. В результате находим
25 = -65(25 + 1) -2цК2,
Прямолинейные колебания фиксированной амплитуды в исходной системе будут асимптотически устойчивы, если асимптотически
устойчива точка S = К = 0 в полученной системе. Для этого достаточно, чтобы s > 0 и ц > 0. Фазовый портрет этой системы изображен на рис. 1 для случая е = р.
Список литературы
Ж у р а в л е в В.Ф. Управляемый маятник Фуко как модель одного класса свободных гироскопов// Изв. РАН. МТТ. — 1997. — № 6. — С. 27-35.
О 1 ver Р. J. Applications of Lie Groups to Differential Equations. — Berlin: Springer, 1986.
ОБ УТОЧНЕНИИ ПРЕДЕЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙМЕХАНИКИ
И. В. Новожилов
Разнесение спектра собственных значений механических систем дает возможность формировать приближенные математические модели, описывающие порознь низкочастотные и высокочастотные составляющие движения. Эти приближенные математические модели могут быть обоснованы предельным переходом к нулевому значению надлежащего малого параметра. По традиции, восходящей к А.Н. Тихонову, здесь малый параметр вводится как отношение «малой» и «большой» парциальных постоянных времени системы и обозначается буквой ц.
Уточнения следующих ц,ц2,... порядков получаются при помощи итерационных процедур, предложенных А.Б. Васильевой [1]. При этом, чтобы построить данное по ц приближение, необходимо знать приближения всех предшествующих этапов. Таким образом, уточнение, например, порядка ц удваивает число используемых уравнений. Совокупный набор этих уравнений уже трудно трактовать как уточненную динамическую систему, тем более, если ее предполагается использовать в реальном времени, к примеру, в составе имитационнотренажерного комплекса.
Ниже излагается способ формирования уточненных порядка ц приближенных математических моделей движения, когда эти модели сохраняют структуру исходной динамической системы и не требуют использования итерационных процедур.
Поясним методику на простейшем примере. Рассмотрим уравнения движения линейного колебательного звена под действием медленного возмущения.
Здесь Т — размерное время, X — обобщенная координата, V — скорость, М — масса, К — жесткость, R — коэффициент трения, F — возмущающая сила, Т^ — характерное время возмущения.
© И.В. Новожилов, 2001
Нормализуем систему (1), сделав замену
ТXt = —, х = —-,ТXt = —, х = —-,и =и =(2)(2)
ТX
t = —, х = —-,
ТX
t = —, х = —-,
и =
и =
(2)
(2)
и выбирая характерные величины Т*, Х^ У*, F* так, чтобы t, Ы>М/1 не превосходили значений порядка единицы.
Класс движения, на котором производится нормализация, определим допущениями:
Возмущение «медленное»: Ту <С Т^. Здесь Ту = (М/К^2 — собственная постоянная времени звена.
Начальные возмущения системы (1) таковы, что «быстрые» оставляющие движения с характерными амплитудами порядка |Х(0) |, |Х(0)|/71 , являются величинами порядка квазистатических отклонений F*/K.
Исследователя интересуют «медленные» составляющие движения, развивающиеся на больших временах Т ~ Т^.
Рис. 1Рис. 1
Рис. 1
Рис. 1
Качественная картина переходного процесса изображена на рис. 1. Тогда в (2) следует взять [2].
^=Т2, X^ = F^K, V^ = X^Ty,
и (1) перейдет в
М^ =-2<у-ж + /(<),у(0) =
атV *
1С(0) = —,
д = Т!/Т2«1, ^^RfKTv
Система (3) — сингулярно возмущенная. Ее приближенное решение отыскивается в виде разложений А.Б. Васильевой [1].
(4)(4)к=0
(4)
(4)
k=0
где x^^ty v^(t) — коэффициенты разложения по медленному времени t = Т/Т^^ а х^Уг\ г^^(т) — по быстрому, «погранслойному» времени т = Т/Ту = t/ц.
Ограничимся далее построением только медленных, «внепогран- слойных», составляющих разложения (4).
Для членов нулевого по ц порядка из (3), (4) имеем
О = -2<у(0) - ж(0) + /(<),0 = vW.
Из (5) вытекает очевидное квазистатическое приближение задачи x№=JW.(6)
Для членов первого по ц порядка, в соответствии с [1], получим из (3), (4)
= -2^^^ - ж^\
Ограничимся проделанными итерациями и построим по (4), (5), (6)
Ж(1) = х№ + p,xw = f(t) +(8)
Выражение (8) вне пограничного слоя приближает решение системы (3) с погрешностью порядка ц2 [1].
Построим теперь «одношаговое» приближение такой же точности.
Умножим уравнения из (7) на ц и сложим почленно с уравнениями из (5). Добавим слагаемое второго порядка малости p?dx^/dt в левую часть второго из полученных соотношений. Результатом этих
выкладок будет
— = -2< (й(0) + ри^Л - (ж(0) + рх^Л + /(f),
f (dx^ dx^X / (0)(1)х(9)
Опустим в силу (5) левую часть в первом уравнении из (9) и введем обозначения
х = х^ + цх^\ й = й^ + pv^.(10)
Система (9) примет вид
0 =-2£v-5 + /(t),=(П)
или, после исключения переменной й,
+ $ = fX).(12)
Уравнения (9) эквивалентны исходной системе (3) с точностью до квадратичных по ц членов. Поэтому два первых внепогранслойных члена разложений для (3) и (9) совпадают. А тогда и уравнения (11) или (12), если дополнить их начальным условием
согласованным с (6), (7), (10), определят решение системы (3) с такой же квадратичной погрешностью.
Интересно, что приближение (12) может быть получено без использования разложений вида (4) — непосредственно за счет надлежащей нормализации исходных уравнений.
В соответствии с [1], переходный процесс внутри погранслоя для систем типа (3.) удовлетворяет оценкам
^(^(т)!, |v(fe) (т) | < ае"Хт, т = Т/Ти
где а, А — положительные константы. За время пограничного слоя, оцениваемого величиной t ~ — ц1п ц, рассогласования x(tY v(t) в (4) от их медленных составляющих становятся величинами порядка ц. Поэтому скорость высокочастотной составляющей вне погранслоя оценивается величиной pX^/Ti совпадающей с оценкой скорости X^jT^ для медленной составляющей (см. рис. 1). Выберем любую из этих оценок в качестве V*. Сместим начало отсчета времени Т системы (1)
12 Под ред. В.М. Матросова и др.
за пределы погранслоя — Т2р1пр. Выберем для (1) начальные условия, согласованные с новым классом движения
X (0) - F (0) /К = 0 ^ , V (0) - F' (0) (К = 0 Щ).
Нормализация системы (1) для такого класса движения приводит
ее к виду
(13)(13)9 duz х dx
(13)
(13)
р2— = -2(llV - X + f (t),^7=у-
CLLCLL
Вырождение по р? — наименьшему из иерархического набора [2] малых параметров ц и р? системы (13) приводит ее к (12).
Аналогичные рассуждения проведем применительно к общей схеме уравнений с разделенными скоростями движений. Запишем систему уравнений с двумя составляющими движения, сильно разнесенным по своим скоростям [1].
Здесь г, у — векторы произвольной размерности, парциальные постоянные времени 71, Т^ сильно разнятся по своим величинам (71 < Т2), правые части уравнений зависят от медленного времени
Т/Т,.
Выделяя медленные составляющие движения, развивающиеся на временах порядка Т ^ Т^^ выберем при нормализации времени Т* = Т^. Тогда (14) примет сингулярно возмущенную форму
Будем, как в п. 1, отыскивать приближенное решение системы (15) только по внепогранслойной части разложенияБудем, как в п. 1, отыскивать приближенное решение системы (15) только по внепогранслойной части разложения
Будем, как в п. 1, отыскивать приближенное решение системы (15) только по внепогранслойной части разложения
Будем, как в п. 1, отыскивать приближенное решение системы (15) только по внепогранслойной части разложения
(16)
Подставим (16) в (15). Для членов разложения, зависящих от t, имеем [1]
ц^ (Д°) + цД1) + .. .)=Z (Д°) + pz^ + ..., у^ + ру^ + ..., t, ц) , 7 (у(°) + ру№ + ...) —у (г (°) + p^W + ..., у(°) + ру№ + ...,t,p) .
Приравнивая в (17) члены нулевого порядка, получим предельную модель
(1S)(1S)О = Я (^0\y(0\t, о) ,
(1S)
(1S)
= Y Ц »™(0) = »,.
Предельными переходами такого типа в [3] обосновываются предельные модели абсолютно твердого тела, неголономной связи, прецессионная модель гироскопии и т. д.
Уточним на порядок предельную модель (18). Так же, как в п. 1, заменим (17) системой, эквивалентной ей с точностью до членов второго по ц порядка. Для разнообразия, переход проделаем иначе, чем в п. 1.
Отбросим в первом уравнении (17) слагаемое p^dz^/dt и все члены порядка выше второго по ц в остальных слагаемых системы. Введем, как в (10), обозначения
(19)(19)(20)(20)% = z(0) + М2(1), У = У(о) + МУ1
(19)
(19)
(20)
(20)
Система (17) перейдет в
dz^
^ = 1а) Цмм)-
Здесь Z^^Y^ — первые два члена разложений правых частей (16) по явно входящему аргументу ц.
dzW
Пусть слагаемое ц ^ в (20) вычислено по (18) как явная функция времени. Пусть начальное условие для переменной у из (20) определено по (19)
^ОНу^+^До),^ОНу^+^До),(21)(21)
^ОНу^+^До),
^ОНу^+^До),
(21)
(21)
где у^^О),?/1)^) вычисляются согласно [1]. Тогда внепогранслойные разложения нулевой и первой по ц степеней для (17) и (20) совпадают.
Тем самым, система (20) определяет в виде замкнутой системы уравнений приближенную математическую модель, описывающую движение вне погранслоя с точностью, на порядок большей, нежели предельная модель (18).
Структура уточненной приближенной модели может быть изменена, когда уравнения быстрых движений описываются уравнениями второго порядка, типа уравнений Лагранжа-Максвелла.В этом случае вектор быстрых переменных z из (15) слагается из векторов х
конфигурационных переменных иг — скоростей их изменения: гт =
При нормализации такой системы, проведенной по аналогии с (2), система (15) будет иметь вид
du _ ,х dx
dy dtdy dt= Y (г, ж, г/, t, ц),= Y (г, ж, г/, t, ц),(22)(22)
dy dt
dy dt
= Y (г, ж, г/, t, ц),
= Y (г, ж, г/, t, ц),
(22)
(22)
где ц <С 1 — отношение парциальных постоянных времени быстрых и медленных составляющих движения.
Обратим внимание на второе уравнение из (22). Составим для него уравнение вида (17)
d ^dtd ^dt(х^ + рх^ + . . .)(х^ + рх^ + . . .)= и^ + ри^ + . . .= и^ + ри^ + . . .
d ^dt
d ^dt
(х^ + рх^ + . . .)
(х^ + рх^ + . . .)
= и^ + ри^ + . . .
= и^ + ри^ + . . .
В нулевом приближении отсюда следует и^ = 0. В уравнении следующего приближения сохраним теперь квадратичное по ц слагаемое dx^^
р? . Введем обозначения ,подобные (19),
ж = ж^0) + цж^\ и = и^ + р^Т\ У = У^ + РУ^ •
Тогда (22) порождает следующую замкнутую систему уравнений, эквивалентную ей с точностью до квадратичных по ц членов.
(23)(23)0 = Z(1) (v, ж, у, i, Jti),^^V,
(23)
(23)
^=Y (v,x,y,t,n).
Начальные условия для (23), вообще говоря, следовало бы вычислять, как (21). Однако в задачах, не требующих уточненного исследования зависимости поведения системы от начальных условий, когда начальное положение определяется на некотором множестве, уточнение ц^ЧО) в (21) может не вычисляться и для (23) может быть принято ж(0) = жо, 5(0) = Z/o- Погрешность предлагаемых уточненных предельных математических моделей вида (11), (20), (23) определяется, как сказано выше, тем, что разложения их решений нулевой и первой степени по ц совпадают с разложением для (3) и (15), (22). Интервалы времени, на которых гарантируется указанная асимптотическая погрешность , могут быть различными: конечными, асимптотически большими и бесконечными. Соответствующие условия на вид исходной системы оговорены в [4].
Приведем ряд примеров, демонстрирующих работоспособность предлагаемой методики.
Рассмотрим задачу о двойном маятнике из [3]. Его схема представлена на рис 2.
Исходные уравнения движения имеют вид
+ 12Q2) = -Р<8ШФ2 - Я2П2,
(24)(24)^№1 = -Кг (Ф, - Ф2) - Нг Д1 - П2),
(24)
(24)
^ = ^1,dT ’^ = ^1,dT ’dT 2dT 2
^ = ^1,dT ’
^ = ^1,dT ’
dT 2
dT 2
углы отклонения от равновесного положения и угловые скорости тел;углы отклонения от равновесного положения и угловые скорости тел;
углы отклонения от равновесного положения и угловые скорости тел;
углы отклонения от равновесного положения и угловые скорости тел;
Здесь Ji, J2; Ф1, Ф2; ^17 ^2 — осевые моменты инерции тел 1 и 2,
PC — общая маятниковость относительно шарнира О2 ( в предположении, что центр масс тела 1 совпадает с шарниром (91); Ki,Ri — коэффициенты жесткости и трения внутренних сил взаимодействия, R2 — коэффициент внешнего трения. Предположим, что вязкоупругие силы взаимодействия между телами системы обладают существенно большей жесткостью, нежели внешние для системы силы.
К1Ж2 = РС. Ri>R2-
Проделаем в (24) замену переменных
Qi = Q2 + ^7 Ф1 = ^2 + А,где A, U — быстрые переменные: дефор-мация и скорость деформации в зазоре.
Нормализуем систему в новых переменных
1 г1 — Т’ 12 Ф2 — 11
r A Q2 U
A*Щ
для класса движения, в котором колебания тела 2 велики (Ф* = 1), моменты инерции тел имеют одинаковый порядок (I* = I2), жесткость упругих сил существенно больше коэффициента восстановления за счет маятниковости (Ki ^> K2Y Оценим парциальные постоянные времени системы. Постоянную времени Т2 медленных колебаний за счет маятниковости оценим соотношением Т^ = /2/^27 постоянную времени Ti быстрых колебаний тела 1 за счет упругости оценим соотношением Ту = Ii/Ki. При К2 <^ Ki имеем Т1/Т2 <^ 1. Оценим
характерные парциальные угловые скорости системы по переменным Q27 U соотношениями Q* = Ф*/Т2^ U* = А*/71. Будем считать моменты маятниковости и моменты сил упругого взаимодействия величинами одного порядка (AiA* = К2Ф*). Выберем за характерное время Г, = Т2.
Нормализованные уравнения системы принимают форму [3].
duj2
—— = - sin ф2 - 2£2^2 + £ + 2^, at
ц— = zi (sinф2 + 2(2ш2) — (1 + zi) (5 + 2^izz),(25)
dф2d5
Здесь fi = Т\/Т2 <^ 1, а £i, £2 — безразмерные коэффициенты демпфирования.
Моделью нулевого по ц приближения для (25) будет [3]
= - sin^0) - 2<2Д0) + S^ + 2<1Й(°),
О = zi (sinф^ + 2<2^0)) - (1 + и) (5(0) + 2<1й(0)) ,(26)
,т(о)
й(0) _ Q
Здесь 5^ + 2(дй0) — реакция в зазоре. После ее исключения в ( 26 ) получим
уравнение абсолютно жесткого маятника с суммарным моментом инерции.
Построим для (25) уравнения вида (23) уточненной модели
dw2-_-_
——- = - sin ф2 - 2(2ш2 + 5 + 2£хп, dt
О = zi (sin ф2 + 2^21^2) — (1 + и) (^ + 2(^1 п) ,(28)
dt~
Исключив в двух первых уравнениях (28) комбинацию переменных 5 + 2^1 п, получим уравнение, в точности совпадающее с уравнением (27) нулевого приближения.
Отсюда следует, что предельная модель абсолютно твердого тела (26) дает приближение исходной задачи не с погрешностью ц, как
можно было бы судить по предельному переходу от (25) к (26), а с 2
погрешностью порядка ц — на порядок меньшей.
Аналогичный вывод, вытекающий из структуры сингулярно возмущенных уравнений механической системы большой жесткости, можно сделать и для произвольной механической системы из гл.VI в [3].
Эффекты первого по ц порядка малости учитываются уточненной моделью (28) при описании деформации 5. (Пользуясь возможностью, хотелось бы предупредить о необходимости исправления в [3] опечаток.)
Рассмотрим уравнения продольного движения самолета, записанные в традиционном виде [5].
м^ = -мд™6 + р-^,
dT2(2g)
(m“a + m5z5++,
CCJ-\VV CL-L /
AXndY• Add Г.« A
= Vcos0,— = Vsm0,—^й„-d = 6^a.
Здесь M — масса самолета, X, У — координаты центра масс, V — его скорость, Р — тяга двигателя, р — плотность воздуха, 0. а, th 5 — углы возвышения траектории, атаки, тангажа, поворота руля высоты, Izz, S^b — момент инерции, характерные площадь и линейный размер, сж, с^, ш“,... — выражения для аэродинамических характеристик. Будем считать М, Izz = const, поскольку далее рассматривается движение на временах, существенно меньших полного времени полета, когда изменением массы за счет выгорания топлива можно пренебречь. Примем также для простоты р = const. Случай М, 1^ р 7^ const приведен в [3].
Уравнения (29) записаны в следующих предположениях: Земля плоская, самолет жесткий, ось двигателя совпадает с продольной осью, в выражениях аэродинамических коэффициентов оставлены линейные и квадратичные по углу атаки члены.
Исключим в (29) переменную а = h — 0; разрешим систему относительно dQ^/dT, dO/dT, d-d/dT и проведем нормализацию полученной системы уравнений
(30)(30)
(30)
(30)
Относительно угловых переменных 0, а, -#, 5 считаем, что они измеряются в радианной мере и принимают значения порядка единицы. При этом 0. а^ д. 5 не нуждаются в нормализации.
Зададимся характерными значениями Т^К,--- в (30). Выберем К, К, X* , Y* величинами порядка максимальных значений абсолютных величин соответствующих переменных для рассматриваемого типа самолета и режима полета. Будем считать характерные значения аэродинамических сил и тяги величинами порядка веса самолета. Тогда pV*S/2 = Р* = Мд. Значение Q* получим из грубой оценки, даваемой упрощенным уравнением
При т“ ~ 1 постоянная времени этого колебательного звена оценивается выражением
2 = 2L, = Мг^ = г;
1 pV^Sb Mgb gb’
где г* — центральный радиус инерции. Тогда при ~ 1, в качестве характерной угловой скорости тангажных колебаний можно принять Q* = 1/Т1. Выберем Т* = Т^ = V*/g — порядка характерного времени фугоидных колебаний.
Указанная нормализация системы (29) приводит ее к сингулярно возмущенной форме [3]
= -sm0 р - и сжdt
= _ cos д dtу
(31)(31)Р~^ = ^2 {Ш“ (^ ” ^) + ТП^ + ^m^Z + Ш/) ^1— —
(31)
(31)
— m^ [— cos 0 + г2с“ Qd — 0)] — |.
doc х а
= Ажг cos и, dt х '
Здесь
TiTibь” кт? S2 ” удч -Ц£ьbь” кт? S2 ” удч -Ц£ь(32)(32)
Ti
Ti
bь
” кт? S2 ” удч -Ц£ь
bь
” кт? S2 ” удч -Ц£ь
(32)
(32)
Для широкого диапазона характерных значений параметров самолета и скоростей К от 102 м/с до 103 м/с получаются следующие оценки
[3] величин в (32):
р ~ КГ1 4- 10"2,£1 ~ 10"2 4- 10"3,£2 ~ 10"3 4- 10"5.
Поэтому при построении приближений для (31) будем считать малые параметры /i,si величинами одного порядка малости, a S2 — на порядок по ц меньшей величиной. Необходимость удержания слагаемого с Si дополнительно определяется тем, что множителем при si в (31) стоит коэффициент (m^z + т“) , достигающий значений порядка нескольких десятков.
Получим для (31) приближенную модель нулевого по ц порядка, полагая ц, Si,S2 = 0.
— = — sin 9^ + р — at
- cosflW +,
0 = (tfW - 0(о)) + m6z5,ш1^ = 0,(33)
_ д ^(0)0(0)_ х 5(0) । 0(0)
dt' dt у’
^(О) = 0(О) + -(О),
Уточненной моделью вида (23) для (31) будет
—- = -sm9 ^р - и сж, at
_ cos 9 _|_ ^2С« (^ _0\
__(34)
0 = т“ (5 — 0) + m5z6 + (m^- + m“) ei^, p^ = wz,
dx— dy———
-— = Aureos — = Ayrsin^, -d = 9 + a. dt x ' dt y '
На рис. 3 приведены результаты расчета величины скорости г при изменении угла руля высоты по закону 5 = 5о(1 + 0,1) sint.
Движение, представленное на рис. 3, начинается с режима установившегося полета при го = 1.5, 9^ = 0, «о = 0.074, сжо = 0.03, Ро = = 0.135 и значении 5о = 0.15, обеспечивающем это движение. Величины параметров самолета приняты следующими: с“ = 6, ш“ = = —2, m^z + т^ = —25, Si = 0.02. В качестве малого параметра
принята величина ц = 0.2, что отвечает размерной скорости полета порядка 200 км/час.
Цифрой 1 на рис. 3 отмечен график, построенный по модели (31), цифрой 2 — модели нулевого порядка (33), цифрой 3 — модели первого порядка (34).
Сравнение результатов показывает, что разница между графиками 1, 2 и графиками 1, 3 отвечает порядкам ц и ц2 ожидаемых асимптоти
ческих погрешностей. Повышение точности модели (34) по сравнению с моделью (33) весьма существенно.
Приведенные примеры показывают, что формирование уточненной модели оказывается полезным, особенно при «больших» значениях малого параметра. В качестве еще одного примера можно было бы вкратце сослаться на [6]. Построение уточ
ненной модели позволило здесь уловить эффект первого по ц поряд
ка — структурную неустойчивость движения, что терялось моделью нулевого приближения [7].
Внепогранслойные приближения вида (17), так сказать, переводят на каждом шаге итераций сингулярные возмущения ^dz/dt в разряд заданных функций времени. Поэтому разложения (16) совпадают здесь по структуре с разложениями типа Пуанкаре. Отсюда видно, что уточненные модели первого приближения можно строить
и в регулярно возмущенном случае, если рассматриваемая система — с разделяющимися по скоростям переменными.
dz drdz dr= Z(z,y,T,n),= Z(z,y,T,n),— = pY (z, у, t, p),y0,ат— = pY (z, у, t, p),y0,атц = Ty/T^ <C 1.ц = Ty/T^ <C 1.(35)(35)Пусть исследователя системы (14) интересуют движения, развивающиеся на малых временах Т ^ Ту. Тогда при нормализации системы следует взять Т* = 75, что приводит ее к виду
dz dr
dz dr
= Z(z,y,T,n),
= Z(z,y,T,n),
— = pY (z, у, t, p),y0,
ат
— = pY (z, у, t, p),y0,
ат
ц = Ty/T^ <C 1.
ц = Ty/T^ <C 1.
(35)
(35)
В (35) теперь т = T/Ту = t/ii — быстрое безразмерное время. В отличие от (14), правые части (35) могут зависеть явно от быстрого времени Т/Ту ^ что уже не приводит к появлению особенности 1/ц.
Система (35) — регулярно возмущенная, если рассматривать ее на конечных временах т ~ 1. Будем отыскивать ее решение в виде разложения Пуанкаре, считая выполненными все необходимые для
этого условия [3].
% = z^(т) + pZ^)^ + ..., у = у^(г) + я/1) (т) + . . .(36)
Подставим в соответствии с процедурой Пуанкаре (36) в (35)
ат \/
= Z (г^ (т) + Ц^1) (г) + ..., у^ (т) + цу^ (г) + ..., г, ц) ,
(y(°)(T) + /iyW(T) + ...) =(37)
= ^У (г(0) (т) + pZW (г) + ..., у^ (т) + pyw (т) + ..., г, /ф z^(0) + juz(1)(o) += z0,
У^(0) + я/До) + ... = у0.
Как и ранее, заменим систему (37) другой, отличающейся от нее квадратичными и более высокого порядка по ц членами
Д™(г) + ^т(г)) =
+ p,Zi (^zw(t) + pz{1\r),yw(r),T^ ,(3g)
(у(0)(т) + //у^Дт)) = pYo ^°\t^Y рг^\т\у^\т\т^ ,z(o)(O) + pz^tO) += z0,
y(o)(O) + pyw(0") + ... = y0.
Здесь Z^°\ Z^XY^ — коэффициенты разложения правых частей в (35) по явно входящему аргументу ц. Обозначим
24 = z^ + Ц^Х у = у^^цу^.(39)
Учтем, что в силу уравнений (37) будет г^°\0) = го, у^(т) = = у^ (0) = уо^ г^^ (0) = у^ (0) = 0 для k = 1, 2,...
Тогда система (38) перейдет в
^ = Zw (z, у, т) + ^Z(1) (г, Уо,т), z(0) = z0,
^ = pY0 (г,у0,т), у(О) = уо. ат^ = pY0 (г,у0,т), у(О) = уо. ат'(40)
^ = pY0 (г,у0,т), у(О) = уо. ат
^ = pY0 (г,у0,т), у(О) = уо. ат
Разложение типа Пуанкаре для системы (40) с точностью до двух первых членов по ц совпадает с разложением для (37). Система (40) определяет уточненное на порядок по сравнению с нулевым (39) приближение за один шаг, а не двумя шагами последовательных приближений Пуанкаре. Наконец, система (40) проще исходной (35).
Приведем примеры применения этой методики.
Уравнение Дюффинга
(41)(41)x + x = sx3, х(0) = хо; £ <С 1.
(41)
(41)
Начальная скорость здесь принята нулевой для упрощения выкладок. Точкой обозначено дифференцирование по времени т.
Приближенное решение для (41) будем сначала отыскивать в виде разложения Пуанкаре
х = х^^ + ех^\т) + ...х = х^^ + ех^\т) + ...(42)(42)
х = х^^ + ех^\т) + ...
х = х^^ + ех^\т) + ...
(42)
(42)
Подставив (42) в (41), получим для членов нулевого порядка
х^0) + х^0) = 0,х^°\0) = хо(43)
и для первого
х^1^ + х^ = (х^)3,х^(0) = 0.(44)
Подставив решение уравнения (43)
х^ = х0 cost(45)
в (44), получим
х(1) + х^ = (х^)3 (0.75cost + 0.25cosЗт).(46)
Первое слагаемое в правой части (46) порождает так называемую секулярную составляющую решения
А 3 о .
х\ ’ = -хпт8шт
88
второе — составляющие тройной гармоники.
Ограничившись вычислением двух членов разложения (42), имеем
^(1) — 37q^(1) — 37q+ ...+ ...(47)(47)
^(1) — 37q
^(1) — 37q
+ ...
+ ...
(47)
(47)
Многоточиями обозначена здесь третья гармоника решения.
Вид решения (47) уже перед несколькими поколениями преподавателей теории колебаний ставит задачу — объяснить «парадокс»: появление растущих во времени членов первого по s порядка в решении консервативной задачи (41).
Парадокс, естественно, кажущийся. Приведем выражение (47) к форме
жд) = a cos (г + а) + ...
а = ar с tanа = ar с tan(48)(48)
а = ar с tan
а = ar с tan
(48)
(48)
3а = et-Xq + О (s3). Отсюда 83а = et-Xq + О (s3). Отсюда 8где а — «амплитуда», а а — сдвиг фазы этой составляющей решения.
3
а = et-Xq + О (s3). Отсюда 8
3
а = et-Xq + О (s3). Отсюда 8
Для е <^ 1,т ~ 1 имеем а = |ж0| + О (е3)
видно, что решение (47) определяет амплитуду с ожидаемой по методу Пуанкаре погрешностью О (s2) , и описывает линейно растущее
расхождение по фазе между точным, «неизохронным», решением системы (41) и ее нулевым приближением (45) с погрешностью О (s3).
Такой же результат можно получить при помощи уточненной модели первого приближения. Для этого предварительно требуется привести исходную систему (41) к виду (35) — с разделяющимися по скоростям переменными. Проделаем это традиционным переходом ко
вращающейся системе координат
х = асо$ф1 х = -и = — a sin ф.(49)
Замена (49) переводит (41) в
(sin292 — 0.5 sin 4^),а(0) = п0 = |^о|
а,<50>
— = —1 + е-cl2 1 + - cos 2ф + - cos4(^ , (ДО) = 0.
ат8\33/
Система (50) имеет структуру (35). Запишем для нее уравнения уточненной модели первого приближения типа (40)
da Щ ~— = — е-^- (sin2(^ — 0.5 sin4ф)da Щ ~— = — е-^- (sin2(^ — 0.5 sin4ф)ДО) = п0,ДО) = п0,дф дтдф дт.3 2-1 + г-а0 О.3 2-1 + г-а0 О4411(51)(51)1 + - cos 2ф + - cos 4ф 1 ,1 + - cos 2ф + - cos 4ф 1 ,^(0) = 0.^(0) = 0.
da Щ ~
— = — е-^- (sin2(^ — 0.5 sin4ф)
da Щ ~
— = — е-^- (sin2(^ — 0.5 sin4ф)
ДО) = п0,
ДО) = п0,
дф дт
дф дт
.3 2
-1 + г-а0 О
.3 2
-1 + г-а0 О
4
4
1
1
(51)
(51)
1 + - cos 2ф + - cos 4ф 1 ,
1 + - cos 2ф + - cos 4ф 1 ,
^(0) = 0.
^(0) = 0.
Из (51) видно, что с погрешностью, не большей (9(s2), амплитуда а не имеет, как и в (48), линейно растущих во времени составляющих, и фаза ф имеет такой же, как в (48), линейно растущий со временем сдвиг по отношению к фазе решения (45).
Уточненная модель угловых движений самолета. Рассмотрим уравнения движения самолета (29) из и. 4 на временах Т ~ Ту. При нормализации (30) выберем Т* = Ту. Тогда быстрым безразмерным временем будет т = Т/Ту, а вместо (31) получим
— = д (-sin# + р - г cxV
ат х7
= Ц cos—,
ат Lj
= ^2 /т« (^ — #) + т^§+ т^ Еу — -
1(52)
— m“ [— cos 9 + г2с“ (-# — #)] — |,
= [iXxd cos 9^= wzi
dTdT 9dT
д = 9 Т а, ц =< 1.
42
Система (52) имеет структуру (35). Уравнения нулевого приближения для нее имеют традиционный вид
du^d9^dx^dy^
-^=0,"^=0’"^=0’=0’
dTdTdTdT
^ = ?X [< ^W _ ^(0)) + m^ ,^__ = 40)
Начальные условия системы (53) нулевого по Пуанкаре приближения совпадают с начальными условиями исходной системы (52). Поэтому г^0^ = г0,#(°) = 90.
Запишем теперь уравнения вида (40) для уточненной модели [3].
— = ц sin 90 + р - иосх (а)) ,
^ = — [—COS^o + VgCy f^-Уо)] ,dT Do Iy \/J
dujzdTdujzdTdx dxdx dx($ - 6*) + m65 + (m^z + m“) £y —($ - 6*) + m65 + (m^z + m“) £y —= pAxDo cos9o,= pAxDo cos9o,— = дА^гобшб'о,— = дА^гобшб'о,(54)(54)dd dTdd dTd = 9 + a.d = 9 + a.
dujzdT
dujzdT
dx dx
dx dx
($ - 6*) + m65 + (m^z + m“) £y —
($ - 6*) + m65 + (m^z + m“) £y —
= pAxDo cos9o,
= pAxDo cos9o,
— = дА^гобшб'о,
— = дА^гобшб'о,
(54)
(54)
dd dT
dd dT
d = 9 + a.
d = 9 + a.
Система (54) проще исходной (52). Ее первое уравнение слабо связано с остальными — лишь через квадратичную зависимость коэффициента лобового сопротивления сж от угла атаки а. При полете с малыми углами атаки а ~ ц ~ 0.1 в этом уравнении с погрешностью О(р?) можно принять сж(а) = const. Тогда первое уравнение отщепляется полностью, интегрируется и дает г = г(т). Остальные уравнения из (54) по структуре схожи с уравнениями короткопериодического углового движения самолета в [5], полученными из качественных соображений.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 98-01-00961.
Автор благодарен П.А. Кручинину за обсуждение и помощь.
Список литературы
В а с и л ь е в а А. Б., Б у т у з о в В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. — М.: Высшая школа, 1990.
Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных// Мат. сб. — 1952. — Т. 31 (73), № 3. - С. 575-586.
Новожилов И.В. Фракционный анализ. — М.: Изд. мех-мат. ф-та МГУ, 1995.
Кузьмина Р.П. Метод малого параметра для сингулярно возмущенных уравнений. — М.: Изд. МГУ, 1993.
БюшгенсГ.С., Студнев Р.В. Аэродинамика самолета. Динамика продольного и бокового движения. — М.: Машиностроение, 1979.
К о и ы л о в И. А., Новожилов И. В. Модель поперечных колебаний железнодорожного поезда// Изв. РАН, МТТ. — 1998. — К2 2. — С. 27-35.
НеймаркЮ.И., ФуфаевН.А. Динамика неголономных систем. — М.: Наука, 1967.
ОБ ОСТРОВАХ УСТОЙЧИВОСТИ вОБЛАСТИ ПЕРЕХОДОВ ЧЕРЕЗСЕПАРАТРИСУ
А.И. Нейштадт, В.В. Сидоренко, Д.В. Третдев
Введение
Рассмотрим гамильтонову систему с одной степенью свободы, за
висящую от параметра, медленно периодически изменяющегося со
временем. Пусть при каждом фиксированном значении параметра на
фазовом портрете системы имеется сепаратриса (рис. 1). При медленном изменении параметра фазовые точки могут пересекать сепаратрису. При движении вдали от сепаратрисы система имеет приближенный интеграл — адиабатический инвариант [1]. При переходе через узкую окрестность сепаратрисы значение адиабатического инварианта вдоль траектории
испытывает малый скачок. Асимптотическая формула для этого скачка получена в [2] для случая перехода через сепаратрису маятни
ка в медленно изменяющемся поле тяжести, и в [3, 4] — для общего случая гамильтоновой системы с одной степенью свободы. Малое изменение начальных условий приводит к большому относительному
изменению величины скачка адиабатического инварианта. Поэтому скачок целесообразно трактовать как случайный. При периодическом изменении параметра фазовые точки пересекают сепаратрису многократно. Численные эксперименты показывают, что накопление
результатов скачков при таких многократных переходах приводит к диффузии адиабатического инварианта и хаотическому поведению системы [5]. Эти явления важны для многих задач (в частности, для теории происхождения люков Кирквуда в поясе астероидов [6, 7], для описания движения заряженных частиц в хвосте магнитосферы Земли [8]).
© А.И. Нейштадт, В.В. Сидоренко, Д.В. Трещев, 2001
Долгое время считалось, что движение большинства фазовых точек, пересекающих сепаратрису, хаотическое, а общая мера островов регулярного движения (островов устойчивости), если они и существуют, мала вместе с е; здесь е — скорость изменения параметра задачи, О < е <С 1. В [9] показано, что мера каждого индивидуального острова устойчивости оценивается сверху величиной порядка е. Однако затем в [10] было показано, что если задача обладает определенными свойствами симметрии, то в случае общего положения система в области переходов через сепаратрису имеет много, ~ 1/е, устойчивых периодических решений, и для каждого такого решения мера острова устойчивости — величина порядка е. Поэтому суммарная мера островов устойчивости оказывается величиной порядка 1. (Во многих задачах эта величина порядка 1 оказывается все же малой, порядка 1%-2% от общей меры области переходов через сепаратрису; из-за этого, по- видимому, острова так долго не обнаруживались в численных экспериментах) .
В [10] строились решения периода или равного периоду изменения параметра, или вдвое большего. При этом подход [10] не различал этих решений, из-за чего на систему приходилось накладывать дополнительные ограничения: симметрия требовалась не только от невозмущенной системы, но и от возмущения. В настоящей работе условия симметрии накладываются на невозмущенную систему: достаточно требовать, чтобы движения по сепаратрисам на рис. 1 были симметричны друг другу. Доказано, что в случае общего положения система имеет ~ 1/е устойчивых периодических решений периода, равного периоду изменения параметра. Для каждого из этих периодических решений мера окружающего его острова устойчивости ограничена снизу величиной порядка е^ так что суммарная мера островов устойчивости оказывается величиной порядка 1.
Формулировка результата
Гамильтониан рассматриваемой задачи имеет вид Е = E^p^q^T^ где p^q — сопряженные канонические переменные, т = st — медленное время, 0<е<1, и^ - 2тг-периодическая функция т. Предполагается, что функция Е гладкая, класса С°°.
Предполагаются выполненными следующие условия.
Для всех т фазовый портрет невозмущенной (т = const) задачи имеет вид, показанный на рис. 1. Седловая особая точка С = С(т) на рис. 1 невырождена. Сепаратрисы Zi и Z2 делят фазовый портрет на области Gi, С2, G3; G{ = СДт), г = 1,2,3; lj = Ij(t^ j = 1,2. Ниже считаем, что гамильтониан Е нормирован условием: Е = 0 в точке С (и, значит, на сепаратрисах).
(Б) Площади Si^M областей Сщ2 совпадают:
■ад = s2(r) = s^.
Периоды Т1?2(/г,т) невозмущенного движения по траекториям Е = h в областях Gi)2 близки при малых h: Т^И^т^ — Т^И^т^ = о(1).
13 Под ред. В.М. Матросова и др.
(Согласно [3], Д = —a In \h\ + bi + O(h In \h\\ Так что должно быть bi = 62).
(Г) Функция S(t) имеет минимум при т = 0, максимум при т = = тм Е (0, 2тг), и не имеет других критических точек:
= 0(т)0 для т mod 2тг {0,т^}.
ат
Обозначим Smjn и Smax минимальное и максимальное значения S соответственно.
Пусть I = I(p,q,T) — «действие» невозмущенной (т = const) задачи (поделенная на 2тг площадь, ограниченная траекторией, проходящей через точку (p^q)Y Функция I разрывна на сепаратрисе. Определим функцию i(p,q,T):
если (p,q) € Gi,2(t), то Цр,д,т) = Цр,д,тУ
если (p,q) € G3(r), то I(p,q,P = Цр^р/Э:,
если (р,д) € Zi(t) U I2M U С(т), то I(p,q,p = 5(т)/2тг.
Функция I непрерывна (в отличие от I).
Величина I — адиабатический инвариант: при движении вдали от сепаратрис невозмущенной задачи на временах порядка 1/s ее значение вдоль траектории испытывает лишь колебания порядка s [1]; при переходе траектории через узкую окрестность сепаратрисы значение I изменяется для большинства начальных условий на величину О (sins) [11]. Приближение: I = const вдоль траектории, называется адиабатическим приближением.
Пусть 5 — наперед заданная постоянная, удовлетворяющая условиям 0 < 5 < (Smax — ^min)/^ а в остальном произвольная. В областях
{р,9,т: 2тг/> Smax + Л и {р,д,т: 2тг/< 5min - 5}
переходы через сепаратрису не происходят, и адиабатическое приближение является вечным: при достаточно малом s эти области заполнены, с точностью до остатка малой меры, инвариантными торами задачи, близкими к торам I = const [12]. В области {р, q, т: Smjn + 5 < < 2тг! < Smax — 5} происходят многократные переходы через сепаратрису, численные эксперименты указывают на наличие диффузии адиабатического инварианта и хаотической динамики. Рассмотрим отображение последования Пуанкаре плоскости {т = 0 mod 2тг}.
Теорема. При условиях общности положения отображение Пуанкаре имеет в кольце
УрЛ,т; 8т^ +5 <2тгЦр,д,0^< Smax-61
больше Ср (е устойчивых неподвижных точек. Каждая из этих неподвижных точек окружена островом устойчивости площади большей С^е.
Следствие. Суммарная площадь островов устойчивости больше С^1.
Здесь Ci > 0 — постоянные, т. е. величины, не зависящие от е. Нужные для справедливости теоремы условия общности положения указаны ниже, в и.и. 5, 6.
Указанным в теореме неподвижным точкам отображения Пуанкаре соответствуют устойчивые периодические решения периода 2 л/е исходной задачи. Поведение системы вдоль этих решений следующее: фазовая точка начинает движение при т = 0 в области G3, затем пересекает сепаратрису, попадает в область Gy или G^^ затем вновь пересекает сепаратрису и возвращается в G3.
Замечание. В доказательстве теоремы (и. 5) рассматриваются по отдельности неподвижные точки, соответствующие периодическим решениям, проходящим через область Gy и проходящим через область G^. Для каждого из этих двух типов движений доказывается, что число неподвижных точек больше const /е.
Доказательство теоремы приводится в и.и. 5, 6. Оно использует явные асимптотические формулы для отображения Пуанкаре, основанные на результатах [3, 4, 13] и приведенные в п. 4.
Предварительные сведения
Улучшенное адиабатическое приближение. Пусть I = = I(p, q,t), р = p(pD q. т) mod 2л — переменные действие-угол [1] невозмущенной (т = const) задачи. «Действие» I определено выше, в п. 2, а «угол» ср = р(р^т) — это угловая переменная на траектории невозмущенной задачи, проходящей через точку (р, q). В невозмущенном движении р изменяется равномерно. «Угол» ср отсчитывается от какой-нибудь кривой, трансверсальной невозмущенным траекториям. Переменные действие-угол определяются отдельно внутри каждой их областей Gj. Замена переменных (р, q) (I, р) — каноническая. Изменение переменных I, р в возмущенном (т = е Д 0) движении описывается гамильтоновой системой с гамильтонианом
^ = ^о(1,т)+£^(1,р,т).(3.1)
Здесь Fq(I, т) — это старый гамильтониан Е^ выраженный через новые переменные. Если угол р отсчитывается от какой-нибудь прямой q = = const, то справедлива формула [14]
_1 Г/8Е/8Е\\8Е0
Fy =/( —))dp, шо = —-.(3.2)
^о Jo 8т \ Эт / /81
Угловые скобки (•) обозначают усреднение по фазе р.
Сделаем <9(е)-близкую к тождественной каноническую замену переменных (I, р) нэ (Д V0 такую, что в новых переменных члены первого порядка по е в гамильтониане не содержат угловой переменной -ф. Эта замена переменных — стандартная в теории систем с медленно
изменяющимися параметрами (см., например, [15]). В новых переменных гамильтониан принимает вид
F^F^t^V^H^UTt.F F1^{F1).(3.3)
Если угол р отсчитывается от прямой q = const, то для Б\ справедлива формула [3]
Г(ГЛ^. (3.4)
ш о У о2тг / Эт
Переменная J определена неоднозначно. Ниже мы примем (ср. [3])
1 Гт (Т \ ЭЕ
J = Др^т) = I + ей, и = Др, д,т) = — / I — — t ] —— dt. (3.5) 2тг J0 \ 2 J дт
Здесь интеграл берется вдоль невозмущенной траектории, проходящей через точку (р, q), Т = 2ir/u)o — период этой траектории, и время t отсчитывается от момента прохождения через точку (р, q). Этот выбор J определен условием (и) = 0.
Рассмотрим движение фазовой точки с начальным условием t = = 0, J = Jq7 Ф = Фо- Приближение
J = Jo, ф = фо Н— / (^o(J? т) + еиДД г)) dr, bJx = dFi/dJ (3.6) £ Jo
называется улучшенным адиабатическим приближением. Это приближение получается отбрасыванием последнего члена (порядка е2) в гамильтониане (3.3). Улучшенное адиабатическое приближение определяет изменение J, ф (и, следовательно, I, р) на временах порядка 1/е с точностью О(е2) и 0(e) соответственно, если движение происходит вдали от сепаратрисы. Величина J называется улучшенным адиабатическим инвариантом. В дальнейшем удобно использовать величину J = Др^т), совпадающую с J в областях Gi и 62 и равную J/2 в области G^-
Предварительное описание движения и новые переменные. Обозначим
63 = {р, q: ^тщ + 5/2 < 2тг J(p, q, 0) < Smax — 5/2}.
Для большинства начальных (при t = 0) условий из G^ справедливо следующее описание движения на временах порядка 1/е [11] («большинство» обозначает здесь все начальные условия за исключением множества меры О(ег) для любого наперед заданного г).
Для t = 0 имеем j = J°, ф = ф°. Обозначим т^ корни уравнения S(r) = J°/2tt, т_ Е (О^тм) и т+ Е фгмч^У Корни т^ определены
однозначно ввиду условия Г п.2. Положим 0^ = 0(т^). Тогда 0_ > О и 0+ < 0.
После перехода через сепаратрису фазовая точка захватывается в область Gn j = 1 либо j = 2. Точка впервые пересекает ось Сх (рис. 1) в области Gj вблизи точки С в момент медленного времени т = т_ + О(е 1ns). (Оси Оху на рис. 1 — это главные оси для седловой точки С\ Обозначим h^ значение энергии Е при первом пересечении оси Сх вблизи точки С в области Gj и введем у^ = 1 — |Д^°^/е©_ |.
В момент т = тм фазовая точка находится в области Gj. Обозначим соответствующее значение величины j через J^.
Затем фазовая точка начинает опять приближаться к сепаратрисе. В некоторый момент времени т = т+ + О (sins) фазовая точка в последний раз попадает на ось Сх вблизи точки С перед уходом из области Gj. Обозначим соответствующее значение энергии через h^ и введем -q^ = l/Z^/sO+l.
В момент т = 2тг фазовая точка находится в области G^. Обозначим соответствующие значения J и ф через J^ и ф^.
Затем фазовая точка опять начинает приближаться к сепаратрисе, пересекает ее и захватывается в область G^ I = 1 или I = 2. Точка впервые пересекает ось Сх вблизи точки С в области Gi в момент медленного времени т = т_ + 2тг + (9(sins). Обозначим соответствующее значение энергии через h^ и введем т^ = 1 — |//2)/s0_|.
Отображение Пуанкаре
Симплектическое отображение М : (Л^Уф^) фЛ^Уф^У — это отображение Пуанкаре для рассматриваемой задачи. Его устойчивым неподвижным точкам соответствуют устойчивые периодические решения периода 2tt/s исходной задачи. Удобно искать такие неподвижные точки в других переменных, а именно для отображения Т: У^Ул^Уз^ и^Ул^ЛУ В неподвижных точках матрицы Якоби для М иТ сопряжены. В частности, определитель матрицы Якоби для Т в неподвижной точке равен 1 (поскольку соответствующий определитель равен 1 для симплектического отображения Мф
Отображение Т является композицией двух отображений: Т = = т^ о т^У
(ДУтД J), Т^ДЛУтД,.;) E^\^3Y
Из результатов [3, 4, 13] вытекают следующие формулы для Т^к\ Предположим, что
ц^°\т]^ Е [cf1,1 - cf1].(4.1)
Тогда
' Л^ = J^ — (2тг) —^(i—©— 1п(2 бштгту^) +
<+ (2^)"1s(dJ-_ - (/3,-/2) + O(s3/2 Ins), (4.2)
< p^F = {t/°) + s-^^(J(1\s)} + <9(s1/3 ln1/3 s),
' Л^ = j^ — (2^)-1sa+0+ ln(2 бштгту^1)) +
<+ s(2tt) 1 ((Zy+— (/3^/2) + (9(s3/2 In s),(4-3)
< Л^ = W^ + e-1^2(j^\^ + O^3 ln1/3 s),
I = j, если 0 < {Д-'фДТ^,s) + 77^^)/2} < 1/2,
l ф j, если 1/2 < {Д^'фДТ^, s) + т/1))^} < 1.
Здесь фигурные скобки { •} обозначают дробную часть, а± = а(т±), dj^ = °МТ±)7 3 = 1? 2, 3,(/3 = с/х +(/2. Величина а дается формулой
а = 1/V-^7 гДе v — гессиан Е в точке С. Величины фд определяются как главные члены разложений (ср. [3])
2тги(р, q,r) = dj + O(V№ I^D^
где и дается формулой (3.5), точка (р, q) находится на оси Сх (рис. 1) в области Gj вблизи С. Далее
Ф^Де) = 2- f ^\j,T)+£^\j,T))dT,
Ф2(Т, s) = - (^ш^\л,т^-V еш^\л,т^ dx,
где c<Jq^ и uj^ даются соотношениями со^ = dF^/dl, ш^ = dF^/dl, Fi = (Fi), и Tq7 Fi должны быть вычислены для области Gj. Условия (4.1) надо понимать индуктивно: если р^ Е [с^1,1 — с^-1], и величина р^\ вычисленная согласно (4.2), принадлежит отрезку [с^1,1 — с^1], то выполнено соотношение (4.2), и аналогично для величины р^ и соотношения (4.3).
§ 5. Устойчивые в линейном приближении решения
Уравнения для устойчивых неподвижных точек. Устойчивым в линейном приближении периодическим решениям исходной задачи периода 2тг/е соответствуют устойчивые в линейном
Об островах -устойчивости в области переходов через сепаратрису 199 приближении неподвижные точки отображения Т. Эти точки определяются системой условий
j^=j№,1^3,(5.1)
|trT| < 2.(5.2)
Ниже индекс j считаем фиксированным (j = 1 или j = 2). Обозначим Ф^ = Ф1. Положим
з = 0,1,2;(5.3)
£-1^^’^ = ^(e^e),7fc(^,0) =7g(e£), к =1,2;
а±®± = T^ttq-i-, ^j,± — ^з,±/2 = dz27rd±.
Предположим, что пара (^°\т7^0^) = (^л) соответствует неподвижной точке отображения Т. Перепишем уравнения (5.1), используя формулы (4.1)-(4.3), обозначения (5.3), и пренебрегая членами
О^е1^3 In1/3 е):
а_ ln(2 sin тгту) + d_ = о+ ln(2 sin тгл^) + cZ+,(5.4)
Л^ — Л + 71а- 1п(2 зттпу) + 71^- = ^-1Ф1(^7^) m°d 1,(5.5)
Л — ту^1) = е-1Ф2(^,е) mod 1,(5.6)
Л^ + е-1Ф2(^, s) € (0,1) mod 2,(5.7)
»?^(1) е - с?1)-(5.8)
Условие устойчивости |trT| < 2 с использованием формул (4.2), (4.3) записывается в виде (опять пренебрегаем членами O^s1^ In1/3 s)):
-4 < Q < 0,(5.9)
Q = (У2 - У1)(72 + 71) - У2У17271,. 1П.
(5.10)
Уу = Q_7rctg7r?7, У2 = а_^7Г С^ТГЛ^ .
Точная система условий для устойчивого периодического решения получается из (5.4)-(5.10) добавлением членов О^1/3 In1/3 s), которые можно дифференцировать по е^7 л? Л^ без изменения порядка их малости. Ниже найдены невырожденные решения системы (5.4)-(5.10). По теореме о неявной функции при достаточно малом е каждому такому решению соответствует решение точной системы.
Существование устойчивых неподвижных точек. Будем предполагать выполненным следующее условие общности положения.
У1. Найдется интервал значений I, в котором
71°(1).72°(1)^о,^(<n/<nwo.
Ниже рассматриваются значения е£ из интервала, определяемого условием У1.
ц(1)1ц(1)1ВВЗамечание. Можно показать, что неравенства из условия У1 заведомо выполнены вблизи границы области переходов через сепаратрису. Поэтому условие У1 заведомо выполнено, если постоянная 5 в п.2 z выбрана достаточно малой.
ц(1)
1
ц(1)
1
В
В
Будем рассматривать случай а_ In 2 + d_ > сщ In 2 + d^, 7? + 7° < < 0, 7172 < 0 (другие случаи рассматриваются аналогично). Множество точек, (77,77^^) € (0,1) х (0,1), удовлетворяющих условию (5.4), показано на рис. 2.
Пусть А и В — точки с ко ординатами (77*, 1/2) и (0,1) соот- 1^ ветственно (см. рис. 2), где 77* =
= Tr-1arcsin(2^a+-a^^a” .e(d+-d-)/a-^.
Рассмотрим условие (5.9) на кривой АВ. В точке А имеем щ > 0 и 7/2 = 0, следовательно, Q > 0. В точке В имеем щ = +оо, 7/2 = — ос и Q = — (X). Следовательно, на кривой АВ имеется интервал L = L(e£Y на котором выполнено условие (5.5). Если постоянная щ достаточно велика, то условие (5.8) также выполнено на L(e£).
(5.11)(5.11)Будем искать решения системы
(5.11)
(5.11)
т/С1) _ 77 ^оа_ in(2 sin 7Г7/) + 7i d_ = е-1Ф1(^, s) mod 2, (5.12)
77 — rj^ = £-1Ф2(^, s) mod 2, (5.13)
Если тройка (77, т]^\ £) удовлетворяет (5.11)-(5.13), то она удовлетворяет и (5.4)-(5.10). Условие (5.7) оказывается при этом выполненным потому, что, ввиду (5.13), т)^ + б-1 Ф2(^\ е) = 77 mod 2 и 77 € (0,1). Выполнение остальных условий (5.4)-(5.10) — следствие определения множества Ь(е£) и условий (5.12), (5.13).
Система (5.11)-(5.13) допускает следующее геометрическое описание. На торе Т2 = {(51,52) mod 2} рассмотрим кривую Л(е£), являющуюся образом кривой Ь(е^) при отображении (77,77^^) (si,S2) = = (т/^1^ — 77 + 71 а_ ln(2 sinтгт/)+7id_, 77 — 77^х^), определяемом левыми частями равенств (5.12), (5.13). Рассмотрим на Т2 также точку
£-1Ф(^,г) = (е-1Ф1(^, е^ £-1Ф2(^, s)) mod 2. Когда £ меняется, то кривая Л(е£) движется по тору медленно, а точка е-1Ф — быстро, с медленно меняющимся вектором скорости ^(е^е) = = (7i(s£> s)> 72(^7 £))• Решениям системы (5.11)-(5.13) соответствуют моменты «времени» £, когда точка £-1Ф(е£,е) пересекает кривую лю.
Из условия У1 (и. 5.2) следует, что найдется 1С такое, что отношение 71 №)/72 №) иррационально. Тогда в интервале £ Е Е (1С — с^1/^, 1с + с^1/^) на каждом отрезке «времени» £ длины С3 точка £-1Ф(^,£) по меньшей мере один раз трансверсально пересечет движущуюся кривую Л(е,£). Это следует из близости траектории точки к всюду плотной на торе обмотке с иррациональным угловым коэффициентом 71 №)/72 №) и из трансверсальности кривой Л(1С) вектору (7? (Л:), 72^)) хотя бы в одной точке. Последнее вытекает из того, что Л(1С) — не отрезок прямой.
Таким образом, существует больше, чем с^с^1 (е — 1 > С^1 (е точек пересечения. Каждой точке пересечения соответствует устойчивая в линейном приближении неподвижная точка отображения Пуанкаре.
§ 6. Острова устойчивости
Пусть £г, цг, ц^1) — какое-нибудь из найденных в п. 5.2 решений системы (5.11)-(5.13). Запишем отображение Т и. 5.1 в переменных < = £ ~ £г? ^7 разложим его правые части по е^ считая £ ~ 1, и пренебрежем членами □ (г1/3 In1/3 е\ Получим не содержащее малого параметра е отображение, зависящее от 1Т = е^^ т]г, т^К как от параметров. Это отображение имеет неподвижную точку С, = 0, ц = цг, устойчивую в линейном приближении. Согласно теории Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМ), при выполнении некоторых условий (отсутствие резонансов до 4-го порядка включительно, отличие от нуля коэффициента в нормальной форме отображения) неподвижная точка окружена островом устойчивости (см., например, [15]). Эти условия теории КАМ применительно к рассматриваемому отображению можно записать в виде одного условия f(Ir, Пг- Цг^) 7^ 0, где / — непрерывная функция. Будем считать выполненным следующее условие общности положения.
У2. Найдутся I*, щ, ц*1), (щ, ц^) Е ЦТ*) такие, что /(/*7Щ7^^)
°' 1
Тогда при I близких к L. |1 — Д| < с^1, на кривой L(I) имеется отрезок, на котором выполнено |/(1, ц, т/1))] > с^-1. Не ограничивая общности, можно считать, что этот отрезок — вся кривая
L(I) (иначе уменьшим ИД)). Согласно теории КАМ, при \1Т — Д| <
/ -1-
< с4 площадь острова устойчивости, содержащего неподвижную точку ( = 0, т] = т]т, оценивается снизу величиной с^1. При добавлении к отображению отброшенных ранее членов □ (г1/3 In1/3 £) большинство инвариантных кривых из острова устойчивости не разрушается. Поэтому для полного отображения площадь острова устойчивости оценивается снизу величиной с^1^. Возвращаясь от переменных Д ц к исходным переменным £, ц, получаем, что площадь острова устойчивости оценивается снизу величиной С^'б, что и требовалось.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (97-01-00350, 96-15-97229, 96-15-9685) и ИНТАС (97-10771).
Список литературы
Арнольд В.И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1978.
Тимофеев А.В. К вопросу о постоянстве адиабатического инварианта при изменении характера движения// ЖЭТФ. — 1978. — Т. 75, № 10. - С. 1303-1308.
НейштадтА.И. Об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису// Физика плазмы. — 1986. — Т. 12, вып. 8. — С. 992-1000.
CaryJ.R., EscandeD.F., Tennyson J.L. Adiabatic invariant change due to separatrix crossing// Phys. Rev. A. — 1986. — V. 34, № 5. — P. 4256-4275.
BruhwillerD.L., CaryJ.R. Diffusion of particles in a slowly modulated wave// Physica D. — 1989. — V. 40, № 2. — P. 265-282.
Wisdom J. A perturbative treatment of motion near 3/1 commensurability// Icarus. — 1983. — V. 56, № 1. — P. 51-74.
НейштадтА.И. Скачки адиабатического инварианта при переходах через сепаратрису и происхождение люка Кирквуда 3:1// Докл. АН СССР. — 1987. — Т. 295, № 1. — С. 47-50.
В и с hnе г J., Z е 1 епу i L. М. Regular and chaotic charged particle motion in magnetotilelike field reversals. I// J.Geophys. Res. — 1989. — V. 94. N A9. — P. 11821-11843.
ElskensY., EscandeD.F. Slowly pulsating separatrices sweep homoclinic tangles where islands must be small: an extension of classical adiabatic theory// Nonlinearity. — 1991. — V. 4, № 3. — P. 615-668.
Neishtadt A.I., Sidorenko V.V., TreschevD.V. Stable periodic motions in the problem of passage through a separatrix// Chaos. — 1997. — V. 7, № 1. — P. 2-11.
НейштадтА.И. О переходе через сепаратрису в резонансной задаче с медленно изменяющимся параметром// Прикл. мат. и мех. — 1975. — Т. 39, вып. 4. — С. 621-632.
Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости в классической и небесной механике// Успехи мат. наук. — 1963. — Т. 18,
вып. 6. — С. 91-192.
Cary J.R., ScodjeR.T. Phase change between separatrix crossings// Physica D. - 1989. - V. 36, № 2. - P. 287-316.
СлуцкинА.А. О движении одномерного нелинейного осциллятора в адиабатических условиях// ЖЭТФ. — 1963. — Т. 45, вып. 4. — С. 978-988.
Арнольд В.И., Козлов В.В., НейштадтА.И. Математические аспекты классической и небесной механики// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Соврем, пробл. математики. Фундам. направл. Т. 5. — ВИНИТИ, 1985.
ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКИХБИЛЛИАРДОВ
В. Белецкий
Динамическую систему, описываемую уравнениями движения материальной точки с ударным выходом на одностороннюю связь, назовем динамическим биллиардом. Частным случаем является классический кинематический биллиард, когда на материальную точку не действуют никакие силы и ее траектория определяется только ударными выходами на связь, а отрезок траектории между двумя последовательными ударами есть прямолинейное движение с постоянной скоростью. В общем случае динамического биллиарда движение материальной точки определяется не только ударами, но и действующими на точку силовыми полями [1].
В последние годы автор и его коллеги занимались некоторыми прикладными задачами динамических биллиардов [2-10]. В настоящей статье дается краткий обзор этих исследований. Эти исследования проводились при финансовой поддержке Фонда фон Гумбольдта (Германия, 1993-94 гг, 1998 г) и грантов INTAS Я9 94-644, РФФИ Я9 9501-00308, РФФИ Я^ 98-01-00940, INTAS Я^ 99-01096.
Биллиард в однородном гравитационномполе [2, 4]
Рассмотрим плоское движение точечной массы в однородном поле тяготения внутри вертикально стоящего круга. Примем, что удар точки с граничной окружностью абсолютно упругий. Эта модель полностью эквивалентна другой модели: материальной точке, подвешенной в однородном поле тяготения на идеальной гибкой нерастяжимой нити с условием, что при выходе на связь происходит абсолютно упругий удар (рис. 1).
Уравнения движения рассматриваемой задачи имеют вид
- = -е;|r| < 1; v+= v_ - 2(v_n)n;(1)
RV/nX
Здесь R и V соответственно радиус-вектор и скорость точечной массы; Т — текущее (размерное) время; I — длина нити в натянутом состоянии (т. е. радиус граничной окружности); д — величина постоянного ускорения силы тяжести в однородном гравитационном поле;
© В.В. Белецкий, 2001
Рис. 1. Динамический биллиардРис. 1. Динамический биллиард
Рис. 1. Динамический биллиард
Рис. 1. Динамический биллиард
е — единичный вектор вертикального направления; v^ и v_ — безразмерные вектор-скорости непосредственно перед и после удара; п = = —г*/|г*| — внутренняя нормаль к граничной окружности, взятая в точке г* выхода на связь (в точке удара).
В точке подвеса нити (в центре окружности) поместим начало О системы координат Оху, где х — горизонтальная, у — вертикальная ось (направленная вертикально вверх, рис. 1). Пусть а — угол, отсчитываемый от отрицательного направления оси у до радиуса-вектора
г; тогдаг; тогдаг =г =г sin а '—т cos аг sin а '—т cos а/ г sin а + г cos аа ' \—т cos а -V т sin аа/ г sin а + г cos аа ' \—т cos а -V т sin аа(3)(3)
г; тогда
г; тогда
г =
г =
г sin а '
—т cos а
г sin а '
—т cos а
/ г sin а + г cos аа ' \—т cos а -V т sin аа
/ г sin а + г cos аа ' \—т cos а -V т sin аа
(3)
(3)
его энергия:его энергия:Ввиду абсолютной упругости удара все время движения сохраняется
его энергия:
его энергия:
(4)(4)1 2 ।7
(4)
(4)
--U +y = h.
В работах [2, 4] были построены многозвенные периодические траектории задачи (1) и исследована их устойчивость ( в линейном приближении [11]). Для глобального анализа фазовых траекторий был реализован следующий метод точечных отображений: при фиксированном значении константы h энергии вычислялись фазовые координаты (ащ) в моменты выхода на связь (г = 1). Это позволило получить фазовые портреты задачи с регулярными и хаотическими траекториями и проследить эволюцию фазовых портретов с изменением уровня энергии. Степень хаотизации траекторий оценивалась вычислением экспонент Ляпунова [12]. Численная реализация указанного метода точечных изображений облегчается тем фактом, что задача (1) является кусочно-интегрируемой. Вся траектория склеивается из дуг параболических траекторий движения точки в однородном поле тяготения; переход с одной параболы на другую происходит в момент удара.
Отметим, что аналогичный подход был использован в [13], только в этой работе рассматривалось движение точки между двумя наклонными друг к другу плоскостями. Отсылая за деталями алгоритмов к [2, 4], опишем полученные результаты.
Каждое периодическое движение принадлежит однопараметрическому множеству. Параметром является либо начальное значение qq угла а при г = 1 (тогда константа энергии h, = h^a^ является функцией qq), либо значение константы энергии /г, если на всем рассматриваемом множестве значение а о фиксировано.
На рис. 2 на плоскости параметров (a, h) нанесены кривые, каждая из которых отвечает одному из множеств периодических движений. Индексация кривых проведена по следующему правилу: первая
।।।।।।
0306090120150
a(deg)
Рис. 2. Диаграмма периодических траекторий и их устойчивость
Рис. 3, а. Однозвенная и двухзвенные периодические траектории (1.1; 2.1;
2.2)
Рис. 3, с. Четырехзвенная и шестизвенная периодические траектории (4.1; 6.1)Рис. 3, с. Четырехзвенная и шестизвенная периодические траектории (4.1; 6.1)
Рис. 3, с. Четырехзвенная и шестизвенная периодические траектории (4.1; 6.1)
Рис. 3, с. Четырехзвенная и шестизвенная периодические траектории (4.1; 6.1)
цифра — число звеньев на данной периодической траектории; вторая цифра — просто порядковый номер траектории с данным числом звеньев. Устойчивым траекториям отвечают сплошные линии, неустойчивым — пунктирные; кружочками отмечены некоторые из точек бифуркации. Нанесена (жирным пунктиром) также кривая, ограничивающая область возможных движений. На рис. 3, п, 6, с изображены примеры некоторых траекторий. Слева на этих рисунках — вид траекторий в конфигурационном пространстве, справа — их точечные отображения в фазовом пространстве. При этом, если траектория устойчива, ее точечное отображение дается вместе с малой ее окрестностью; если неустойчива, то точечное отображение траектории дается крестиками.
Возвращаясь к рис. 2, видим, что из устойчивых траекторий в рассматриваемой области параметров «наиболее вероятны» траектории 1.1, 2.1, 2.2, 3.1, 4.1, 6.1 — именно этом траекториям на рис. 2 соответствуют наибольшие отрезки сплошных линий. Эти траектории в
14 Под ред. В.М. Матросова и др.
основном и определяют вид фазового портрета при заданном h.
Рассмотрим свойства этих траекторий. Введем обозначения и символы: а = а, b = —г; U — символ узлов траекторий (значений параметров в начале каждого звена на граничной окружности); St — символ устойчивости, 3 — символ существования; А — символ свойств траектории. Тогда выбранные траектории и их свойства описываются так:
Вертикальный подскок без удара о верхнюю точку граничной окружности (рис. 3, а, 1.1):
U\ Uq = (ад = 0, по = 0; Ьо ^ 0 — параметр);
а = 0, -1 < h < 1;
St: устойчивость при — 1 < h < —0.5, и неустойчивость при — 0.5 < < h < 1 [14, 1].
А: а) высота устойчивого подскока не превосходит значения у = = Утах = 0.5;
множество 1.1 — единственное множество однозвенных траекторий;
значение h = —0.625 — бифуркационное, порождающее множество устойчивых трехзвенных траекторий (рис. 3, 6, 3.1); и множество неустойчивых трехзвенных траекторий 3.2. (Траектория 3.2, симметричная относительно оси ординат, состоит из двух параболических дуг («птичка»), крайние точки которой соединены третьей параболической дугой).
значение h = —0.75 — бифуркационное, порождающее множество устойчивых четырехзвенных траекторий 4.1 (рис. 3, с, 4.1) и множество неустойчивых четырехзвенных траекторий 4.2. (Траектории 4.2 имеют ИЗ-образный вид и состоят из двух симметрично относительно оси ординат расположенных вер
тикальных отрезков, у которых точки пересечения с гранич
ной окружностью соединены дугой симметричной относительно оси ординат параболой).
Существует всего три множества двухзвенных периодических траекторий. Опишем два из них.
Вертикальный подскок с ударом о верхнюю точку граничной окружности (рис. 3, а, 2.1):
U: Uq = (ад = 0, ао = 0; 6g Ф 0 — параметр); Ui = (од = тг, &i = 0;
bi = УЙ - 4);
а = тг, h > 1;
St: неустойчивость при 1 < h < 1.25, устойчивость при h > 1.25.
Движение вдоль дуги параболы, симметричное относительно оси у (рис. 3, а, 2.2):
U: Uq = (ад — параметр, а0 = 0; 6g =); Ui = (ai = — ag,
^COS ag
«1 = 0; 61 = &o);
7Г1
3: 0 < a < —, h =cosag; (—0.5 < h < oo);
7Г7Г11— кроме ag = - arccos— кроме ag = - arccos2’2 cosa077
7Г
7Г
1
1
— кроме ag = - arccos
— кроме ag = - arccos
St: устойчивость при 0 < ag <
= од 25° 55', неустойчивость при
А: а) Период движения Т = 4^008«о;
значение «о = ад — бифуркационное, порождающее четырехзвенные траектории 4.6 [2, 4].
значение ад = тг/4 — бифуркационное, порождающее двухзвенные траектории 2.3. [2, 4].
Двухзвенная траектория 2.3 имеет вид «лунного месяца», составленного из двух парабол, симметричных относительно оси р (рис. 3, 6, 2.3). Свойства этой траектории см. [2, 4].
Из множеств трехзвенных траекторий рассмотрим здесь только множества 3.1 и 3.4 (остальные — см. первоисточники [2, 4]).
Несимметричная h-образная траектория (рис. 3, 6, 3.1):
U: Uq = (ад — параметр, а = dg; b = 6g); Ui = (ag = ai, а = щ; b = 6Д; U2 = ^2 = ад, a2 = —01; 62 = 61).
Способ вычисления всех параметров по заданному ад указан в [4].
0 < а0 < 122° (-0.625 < h < 0.989);
St; устойчивость при 0 < ад < 42° (—0.625 < h < —0.347), неустойчивость при а0 > 42° (Л > —0.347).
А: а) Существует зеркально симметричное (относительно оси р) множество таких траекторий. Поэтому в картине точечных отображений архипелаг островов, соответствующий этим двум траекториям (прямой и зеркальной), состоит из шести остро
вов.
Ь) Такие траектории формально существуют и при а > 122°, но вертикальный отрезок выходит за граничную окружность. ЗА. Симметричный относительно оси р трергольник с вершиной в верхней точке граничной окрржности (рис. 3, 6, 3.4):
U: способ вычисления узлов указан в [4];
тгтг ДО — д/2.
- < а0 < -, (to 1.073 < h < оо);
р а, = 48°33'16" (1.4803< ад < а*.р а, = 48°33'16" (1.4803< ад < а*.4а о
р а, = 48°33'16" (1.4803
< ад < а*.
р а, = 48°33'16" (1.4803
< ад < а*.
St;St;устойчивость при — < а* < ао < < h < сю); неустойчивость при —
St;
St;
А: При ад = тг/4 треугольник вырождается в «лунный серп» 2.3, верхняя парабола которого касается верхней точки граничной окружности. При ад тг/З имеем h —> сю и треугольник стре
мится к равностороннему треугольнику классического кинематического кругового биллиарда. Скорость прохождения траектории стремится к бесконечной.
Из четырехзвенных периодических траекторий рассмотрим здесь только одну: 4.1. (В [4] рассмотрено шесть четырехзвенных периодических траекторий).
«Птичка» (рис. 3, с, 4.1):
U; Uq = (ад — параметр, ад = 0; 6 = 1/V2); Ui = («1 = 0, ai =
= —6osinao; by = V2 — 6qcosqo); ^2 = (^2 = ~ <Ть а2 = 0; ^2 = ^о); Из = («з = 0, аз = —di; 63 = 61).
0 < а» < тг; h = - — cosa0, (—0.75 < h < 1.25);
St*, устойчивость при 0 <2тг чивость при — < «оSt*, устойчивость при 0 <2тг чивость при — < «о2тг
St*, устойчивость при 0 <
2тг чивость при — < «о
St*, устойчивость при 0 <
2тг чивость при — < «о
—h arcsin 24—h arcsin 2414Г20', (-0.2514Г20', (-0.25qo < —, (—0.75 < h < —0.25); неустой-
—h arcsin 24
—h arcsin 24
14Г20', (-0.25
14Г20', (-0.25
«о«о< h < 1.031); устойчивость при — + arcsin— (1.031 < h < 1.25);
«о
«о
А: а) Все траектории изохронны с периодом Т = 4/V2;
При «о ^ 0 траектории стремятся к однозвенной устойчивой траектории 1.1 с h = —0.75.
При «о ^ тг все траектории стремятся к двухзвенной траектории 2.1 со значением h = 1.25, граничным между неустойчивыми (Л < 1.25) и устойчивыми (Л > 1.25) траекториями 2.1.
Из других периодических траекторий отметим одно множество шестизвенных траекторий.
Симметричные относительно оси у траектории, состоящие из трех параболических дуг (рис. 3, с, 6.1):
Они устойчивы при 0 < «о < 62°. В бифуркационной точке qq ~ 53° 17' (рис. 2) рождаются два семейства (устойчивых и неустойчивых) двенадцатизвенных траекторий.
Проведенный анализ позволяет качественно представить вид фа-
Рис. 4. Точечные отображения: фазовый портрет для h = —0.625Рис. 4. Точечные отображения: фазовый портрет для h = —0.625
Рис. 4. Точечные отображения: фазовый портрет для h = —0.625
Рис. 4. Точечные отображения: фазовый портрет для h = —0.625
зовых портретов задачи при каждом фиксированном уровне энергии.Например, из рис. 2 следует, что, например при h ^ —0.6 фазовыйпортрет должен определяться суперпозицией устойчивых движений1.1, 4.1, 6.1, что и наблюдается на рис. 4, на котором представлена
Рис. 5. Точечные отображения: фазовый портрет для h = —0.5
Рис. 6. Точечные отображения: фазовый портрет для h = —0.4
численная реализация точечных отображений на уровне энергии h = —0.625. На этом рисунке хорошо виден «остров регулярности» с центром в однозвенном периодическом движении. Каждая линия уровня вокруг этого центра отвечает некоторому условнопериодическому движению. Видны также архипелаги, отвечающие четырех-, шести-, восьмизвенным периодическим движениям.
Отметим высокую степень регулярности этого фазового портрета. Хаотических слоев практически не наблюдается (они есть, но ничтож-
Рис. 7. Точечные отображения: фазовый портрет для h = 0
Рис. 8. Экспонента Ляпунова для h = 0
но тонки). Граница фазового портрета на рис. 4 (как и на последующих фазовых портретах) отвечает обычному маятниковому движению точки на натянутой нити (без схода со связи)при заданном уровне энергии h.
На рис. 5 — фазовый портрет при р = —0.5. Здесь уже существенно развиты хаотические движения, особенно хаотический слой, охватывающий архипелаги 4.1 и 6.1. (Архипелаги индексируются теми же индексами, что и отвечающие им периодические движения). Среди архипелагов мелких островов, окружающих центральный остров 1.1, отметим архипелаг из шести островов, три из которых отвечают h- образному трехзвенному периодическому движению 3.1, а три других — зеркально-симметричному движению.
На рис. 6 фазовая картина при h = —0.4; хаотические слои слились в хаотическое море, в котором разбросаны острова регулярных устойчивых движений, среди которых доминируют архипелаги 2.2 и 4.1.
При h = 0.0 (рис. 7) — сильная хаотизация, видны лишь острова архипелага 2.2 (на грани бифуркации в архипелаг 2.3). Вычисления максимального значения Хтаж экспоненты Ляпунова [12] для этого случая приведено на рис. 8, на котором по абсциссе отложен десятичный логарифм количества п отображений, а по ординате — текущая величина экспоненты Ляпунова ХтаЖ1 точное значение которой получается при п ^ ос. Видим, что для регулярных движений, как и должно быть, Хтаж -^ 0; для хаотического моря предельное значение Хтаж ~ 0.591, что означает довольно сильную хаотизацию. При увеличении h от h = 0 до /г = 1 хаотизация растет.
Как видно из рис. 2, при h ~ 1 вообще нет «серьезных» устойчивых периодических движений, что означает высокую степень хаотизации
Рис. 9. Точечные отображения: фазовый портрет для h = 2
при данном уровне энергии. Отметим, что движение на натянутой нити при h = 1 без схода со связи — это движение по сепаратриссе, разделяющей колебательные и вращательные движения математического маятника.
Дальнейшее увеличение h ведет к уменьшению хаотизации и увеличению регулярности. На рис. 9 представлен фазовый портрет при h = 2. Картина определяется в основном архипелагами 2.1 и 3.4. При стремлении /г ^ ос фазовая картина стремится к серии горизонтальных прямых (что отвечает классическому кинематическому круговому биллиарду Биркгофа). Однако архипелаг 2.1 не исчезает ни при каком конечном значении /г, а только утоньшается с ростом h. Впрочем, это же замечание относится и к архипелагу 3.4, только он с ростом h «быстрее» утоньшается и как бы исчезает при значениях /г, при которых архипелаг 2.1 еще хорошо наблюдаем.
Некоторые замечания. Движение маятника по окружности т = = 1, т = 0 вдоль интегральной кривой
(5)(5)(6)(6)-о2 — cos а = h 2
(5)
(5)
(6)
(6)
возможно лишь при выполнении условия натяжения нити
о2 + cos а > 0 .
На фазовом портрете (рис. 10), отвечающем траекториям (5), область нарушения условия (6) заштрихована. Возможны без схода со связи колебательные движения при — 1 < h < 0 и вращательные при h > 1.5.
Рис. 10. Фазовый портрет и области схода со связиРис. 10. Фазовый портрет и области схода со связи
Рис. 10. Фазовый портрет и области схода со связи
Рис. 10. Фазовый портрет и области схода со связи
Рис. 11. Периодические траектории смешанного типаРис. 11. Периодические траектории смешанного типа
Рис. 11. Периодические траектории смешанного типа
Рис. 11. Периодические траектории смешанного типа
При 0 < h < 1.5 неизбежен сход со связи. В рассматриваемом случае абсолютно упругого последующего выхода на связь, может оказаться, что траектория будет периодической, состоящей из дуг окружности и парабол. Рис. 11 предоставляет примеры таких траекторий. По-видимому, они всегда неустойчивы.
Если удар при выходе на связь абсолютно неупругий, и исходная энергия движения лежит в интервале 0 < h < 1.5, то возможна эволюция движения. А именно, обозначим через ho энергию до удара и через hT — после удара. Тогда [4]
hr- h0 - ^^ (1 - ^ .(7)
Зависимость hT(ho) согласно (7) изображена на рис. 12. Видно, что либо Ь д 0 за бесконечное количество ударов (и предельноеЗависимость hT(ho) согласно (7) изображена на рис. 12. Видно, что либо Ь д 0 за бесконечное количество ударов (и предельноеРис. 12. Абсолютно неупругий удар. Зависимость энергии hT после удараРис. 12. Абсолютно неупругий удар. Зависимость энергии hT после удараот энергии ho до удараот энергии ho до удара
Зависимость hT(ho) согласно (7) изображена на рис. 12. Видно, что либо Ь д 0 за бесконечное количество ударов (и предельное
Зависимость hT(ho) согласно (7) изображена на рис. 12. Видно, что либо Ь д 0 за бесконечное количество ударов (и предельное
Рис. 12. Абсолютно неупругий удар. Зависимость энергии hT после удара
Рис. 12. Абсолютно неупругий удар. Зависимость энергии hT после удара
от энергии ho до удара
от энергии ho до удара
движение тогда — колебание с амплитудой тг/2), либо за конечное количество ударов h выходит на какое либо значение из интервала -0.982 С h < 0.
§ 2. Орбитальная связка двух тел какдинамический биллиард [3, 5, 8, 9]
Рассмотрим относительное движение на орбите двух точечных масс (т^ то), соединенных невесомой гибкой нерастяжимой нитью
Рис. 13. Орбитальная связкаРис. 13. Орбитальная связкас ударными выходами на связь. Такая проблема была поставлена и изучалась еще в 1969 году [15, 16] как простая модель динамики орбитальной тросовой системы (например, динамики космического зонда и спутника, соединенных тросом). Эту модель можно трактовать как некий динамический биллиард. Будем рассматривать плоскую задачу.
Рис. 13. Орбитальная связка
Рис. 13. Орбитальная связка
Пусть центр масс О системы (т^то) движется по кеплеровой круговой орбите (рис. 13). Свяжем с центром масс орбитальную систему координат О^р^ где ось
ОЕ, направлена по касательной к круговой орбите в сторону движе
р = гр = гm + moImom + moImo(8)(8)ния, ось Ор — по направлению радиуса-вектора центра масс О. Пусть I — длина нити, си о — угловая скорость орбитального движения центра масс. Введем безразмерное время т = wot и безразмерные координаты р(^л) и скорости v(£, ц) точки m формулами
р = г
р = г
m + moImo
m + moImo
(8)
(8)
где р и V — размерные координаты и скорости. Уравнения движения тогда имеют вид
ё + 2^ = 0, т? - 2£ - Зт; = 0, У = ^2 + ту2 < 1.(9)
Здесь точки означают производные по безразмерному времени, (—2ц, 2£) — компоненты кориолисовых сил, (0, Зц) — компоненты суммы сил гироскопических и гравитационного градиента.
К (9) следует присовокупить условие абсолютно-упругого (по постановке) выхода на связь р = 1.Это условие связывает величину скорости v+ и v_ перед и после удара, как это было уже выписано в (1).
Уравнения (9) с учетом условия (1) абсолютно-упругого выхода на связь обладают интегралом энергии
(10)(10)Рассматриваемая задача, как и задача (1) — кусочно интегрируема, что облегчает исследование. В качестве примера на рис. 14 приведеноРассматриваемая задача, как и задача (1) — кусочно интегрируема, что облегчает исследование. В качестве примера на рис. 14 приведеноhh/г=-1.0 Т=1.20/г=-1.0 Т=1.20h=™0.5 Т=1.46h=™0.5 Т=1.460™0™h=0.6 Т=2.90h=0.6 Т=2.90h=0.7 Т=4.30h=0.7 Т=4.30/1=0.0 Т=1.83/1=0.0 Т=1.83/1=0.5 Т=2.56/1=0.5 Т=2.56/г=™2.0 Т=0.73Zi=-L5 Т=0.95/г=™2.0 Т=0.73Zi=-L5 Т=0.95
(10)
(10)
Рассматриваемая задача, как и задача (1) — кусочно интегрируема, что облегчает исследование. В качестве примера на рис. 14 приведено
Рассматриваемая задача, как и задача (1) — кусочно интегрируема, что облегчает исследование. В качестве примера на рис. 14 приведено
h
h
/г=-1.0 Т=1.20
/г=-1.0 Т=1.20
h=™0.5 Т=1.46
h=™0.5 Т=1.46
0™
0™
h=0.6 Т=2.90
h=0.6 Т=2.90
h=0.7 Т=4.30
h=0.7 Т=4.30
/1=0.0 Т=1.83
/1=0.0 Т=1.83
/1=0.5 Т=2.56
/1=0.5 Т=2.56
/г=™2.0 Т=0.73
Zi=-L5 Т=0.95
/г=™2.0 Т=0.73
Zi=-L5 Т=0.95
Рис. 14. Семейство однозвенных траекторий семейство однозвенных периодических траекторий (сосчитанных по аналитическим формулам [3, 5]). Вдоль семейства указаны значения энергии h и периода Т (периоду орбитального движения соответствует Т = 2тг). Существует и зеркально отраженное относительно оси абсцисс семейство. В работе [17] показано, что все эти траектории устойчивы во всей области h ^ 0.71 своего существования.
Фазовое пространство задачи (9) — четырехмерное. Однако, в моменты ударов известна одна координата (р = 1) и при фиксированном значении константы энергии h фазовое пространство сводится к двумерному. Это позволяет использовать метод точечного отображения для построения фазовых портретов задачи.
Введем угол а отсчитанный от направления движения центра масс системы против часовой стрелки (т. е. против направления движения центра масс — рис. 13). В качестве двумерного фазового пространства в моменты ударов выберем фазовую плоскость (а, а). Фазовые
портреты в этой плоскости и их эволюция при изменении энергии h приведены на нижеследующих рисунках (где также изображены в конфигурационном пространстве (£, ц) некоторые периодические траектории) .
В интервале — 3 ^ h ^ — 2 значений константы энергии движение носит колебательный характер и обладает высокой степенью регулярности. Важнейшее периодическое движение — однозвенное, изображенное на рис. 14. На фазовом портрете ему отвечает устойчивая точка («центр»). С ростом h регулярность все более и более теряется. В области — 2 ^ h ^ 0 возникают и увеличиваются с ростом h хаотические слои; архипелаги островов многозвенных траекторий возникают и исчезают в хаотическом море, но всегда существует устойчивое однозвенное периодическое движение. Пример — на рис. 15 (Л = —0.75).
В области 0 ^ h ^ 1 еще существуют колебательные движения, но можно видеть и переход к вращательным движениям. Пример — на рис. 16 (Л = 0.6). При h > 1 господствуют только хаотические и регулярные вращательные движения (рис 17, h = 2.5). Интересно, что прямые вращения (а < 0) в основном регулярны, а обратные (а > 0) в основном хаотичны. Анализ показывает, что этот эффект — результат действия кориолисовых сил.
При больших значениях h фазовый портрет фактически весь состоит из регулярных траекторий и его вид определяется двумя — устойчивым и неустойчивым — двухзвенными периодическими движениями (рис. 18, h = 25). При /г ос вся картина стремится к множеству горизонтальных прямых линий, что (как и в случае биллиарда в однородном поле) отвечает классическому кинематическому круговому биллиарду Биркгофа.
В работе [16] было обнаружено счетное множество безударных периодических движений, состоящее из из дуг связного и свободного движений (сход со связи и выход на связь происходят безударно). Начальные данные сд? од и период Т такого движения удовлетворяют системе трансцедентных уравнений [3, 5, 18]:
Т tg— = CtgQ0Т tg— = CtgQ0ОД . 2сд — 3 ’ОД . 2сд — 3 ’Т2Т21= -CtgQo1= -CtgQo1 - 2d02 — од1 - 2d02 — од
Т tg— = CtgQ0
Т tg— = CtgQ0
ОД . 2сд — 3 ’
ОД . 2сд — 3 ’
Т
2
Т
2
1
= -CtgQo
1
= -CtgQo
1 - 2d0
2 — од
1 - 2d0
2 — од
(И)(12)(И)(12)□д — 2а + 3 sin2 сд = 0
(И)
(12)
(И)
(12)
с константой энергии
h = од — 3 sin2 сд .
Два решения системы (11) дают (приближенно)
qW = 0.566, do = 1.3706 , Т = 2.9028, h = 1.058,
(2) I (В
Qq = тг + Qq , остальные параметры те же, что и в первом решении.
Начальные данные остальных решений хорошо вычисляются по приближенным формулам
Т = 2тгп — а0 ; “о ~ Д- ; h« -\ 2 ’ и = 1,2,3...(13)
бтгп12тг2п2
Рис. 15. Фазовый портрет и трехзвенная траектория; h = —0.75
(Для второго подсемейства имеем «о = тг + 1/бтгп). С точностью до пяти знаков после запятой формулы (11) и (13) дают одно и то же.
Нг = -0.00844; h2 = -0.00211; h3 = -0.00094; h4 = -0.00053...
Вид описываемых траекторий приведен в [16, 3, 5].
В работе [16] было рассмотрено движение связки тел при абсолютно неупругом ударе и показано, что в процессе ударной эволюции дви-
Рис. 16. Фазовый портрет и шестизвенная траектория; h = 0.6
жения безударные периодические траектории (11) достижимы. Однако вероятность этих событий оценивалась как нулевая. В работе [18] на основе результатов работы [19] показано, что эта вероятность отлична от нуля, хотя и очень мала (~ 10-7). В той же работе [16] показано, что если первоначальная энергия (12) связного движения лежит в интервале —0.5 < h < 4, то система в процессе неизбежного схода со связи и ударного (абсолютно-неупругий удар) выхода на связь может эволюционировать так, что за бесконечное количество ударов выйдет
а2а2
а
2
а
2
Рис. 17. Фазовый портрет и четырехзвенная траектория; h = 2.5
на предельный цикл периодических колебаний с амплитудой 65°55,/ и значением h = —0.5. Но возможно также, что система за конечное число ударов выйдет на одно из периодических колебаний с любым значением h из интервала —1.85 < h < —0.5. Соответствующие амплитуды колебаний лежат интервале от 48° до 65°55,/.
В работах [8, 9] рассмотрено влияние аэродинамических сил давления на динамику орбитальной связки тел. Вместо уравнений (9) и интеграла (10) будут иметь место уравнения и интеграл
£ + 2т) + а = 0 , 77-2^- 377 = 0, ^ + т?2 < 1;(14)
Рис. 18. Фазовый портрет и двухзвенные траектории: слева — устойчивая, справа — неустойчивая; h = 25Рис. 18. Фазовый портрет и двухзвенные траектории: слева — устойчивая, справа — неустойчивая; h = 25
Рис. 18. Фазовый портрет и двухзвенные траектории: слева — устойчивая, справа — неустойчивая; h = 25
Рис. 18. Фазовый портрет и двухзвенные траектории: слева — устойчивая, справа — неустойчивая; h = 25
(15)(15)£2 + т)2 - З//2 + 2п£ = h.
(15)
(15)
Новый постоянный параметр «а» описывает влияние аэродинамического давления.
На рис. 19 — пример фазового портрета этой задачи с абсолютно упругим ударом при выходе на связь (вверху). Центр регулярности отвечает устойчивой петлеобразной, горизонтально расположенной, однозвенной периодической траектории. Центры архипелага из пяти островов отвечают устойчивой пятизвенной периодической траектории, изображенной внизу. Значения параметров: а = 2.0, h = —1.0.
Рис. 19. Влияние аэродинамики: фазовый портрет и пятизвенная траектория
Видно, что аэродинамика несет совсем новое качество траекторий: периодические траектории как бы «сдуты» аэродинамическим напором. Отметим, что если в чисто гравитационном (без аэродинамики, а = 0) случае существует только одно семейство (два подсемейства) однозвенных петлеобразных периодических траекторий с «носиком» в точке (£ = 0, ц = 1) или в точке (£ = 0, ц = — 1) [3, 5], то с учетом аэродинамики (а ^ 0) таких семейств оказывается два. Первое из этих
15 Под ред. В.М. Матросова и др.
а = 0.005, п = 3
Рис. 20. Влияние аэродинамики: безударные траектории семейств — косорасположенная петля с «носиком», координаты которого ^о, ^0) €0+^0 = 1 расположены на «левой» полуокружности, так что параметр £о может иметь любое значение на интервале — 1 С €0 С ^ 0; второе семейство — «горизонтальные» петли с «носиком» в точке (£ = — 1, ту = 0). В [8] приводятся аналитические формулы для этих периодических решений и исследована область их существования.
При наличии аэродинамики тоже существуют семейства безударных движений (однако, найденные семейства не являются продолжением по параметру «а» семейств (11), (13)). При малых «о, ^ эти параметры и период Т движения на семействе периодических безударных движений связаны соотношениями
. а 2суа2суп mх
«о ~—; ^ П7г + arctg; Т ^ 4—, п = 1, 2, 3,... (16)
2паа
На рис. 20 изображены некоторые из таких безударных траекторий.
§ 3. Задача Хилла как динамический биллиард[6, 7]
В книге [23] при исследовании двуногой ходьбы и бега (прыжков) показано, что при V < у/дН энергетически выгодно ходить, а при V > > у/дН энергетически выгодно бежать (прыгать). Здесь V — скорость передвижения, Н — расстояние от ценра масс аппарата (или человека) до поверхности в момент опоры на нее, д — ускорение силы тяжести. Критическое значение У, получаемое превращением этих неравенств в равенства, имеет значения (при Н = 1 м) на Земле ~ 11.3 км/час, на Луне ~ 4.6 км/час. Скорость нормальной ходьбы человека по Земле 4.5-5 км/час. С такой скоростью ходить по Луне невыгодно энергетически. Поэтому Нейл Армстронг передвигался по Луне прыжками. Ему так легче было.
Тем более энергетически невыгодно «ходить» по поверхности малого естественного небесного тела, например, по поверхности спутника Марса (Фобос или Деймос). Лучше прыгать.
Существуют проекты, по которым поверхность спутника Марса — Фобоса может быть исследована с помощью прыгающего аппарата. Как движется такой аппарат под действием полей тяготения Марса и Фобоса? В работах [6, 7] предложена следующая модельная постановка этой задачи.
Известно, что Фобос (как и второй спутник Марса — Деймос) постоянно ориентирован на Марс, подобно тому, как Луна постоянно ориентирована на Землю. Иначе говоря, поверхность Фобоса неподвижна в орбитальной системе координат (9^, где О — центр масс Фобоса, движущийся по круговой орбите радиуса т вокруг Марса. Ситуацию на рис. 13 можно привести к рассматриваемой, если считать, что связывающая нить отсутствует, масса m пренебрежимо мала по сравнению с массой mg Фобоса (m << mg) и потому точка mg и совпадает с началом О системы координат О^д. Поверхность Фобоса упрощенно примем сферической (в рассматриваемой здесь плоской задаче эта поверхность — окружность). Рассматривая движение точки вблизи этой поверхности, естественно предположить, что ее расстояние р от центра масс Фобоса существенно меньше радиуса т орбиты Фобоса (р << г) и тогда уравнения движения точки m описываются классическими уравнениями задачи Хилла, которые приведем здесь в безразмерной форме
С +2т? = “3^2 + ^2)3/2’ »? -3 ^2 + ^2)3/2 ' (17)
Левая часть уравнений нам уже знакома по предыдущей задаче, а правая часть описывает ньютоновское притяжение к Фобосу. Штрихи означают производные по безразмерному времени т = cjgt, где сгд — угловая скорость орбитального движения Фобоса. Обезразмеривание
координат проведено по расстоянию р* от центра Фобоса до точки либрации задачи Хилла:
(18)
Здесь Цф и цм — массы, соответственно, Фобоса и Марса. Существенным отличием рассматриваемой задачи от классической задачи Хилла является наличие односторонней связи
(19)(19)^ + ^2 > R2 ,
(19)
(19)
где R — безразмерное значение радиуса сферического «Фобоса». (На самом деле вместо Марса-Фобоса можно иметь ввиду любую другую систему планета — естественный ее спутник).
В предыдущих разделах 1 и 2 односторонняя связь запрещала движение вне некоторой сферы, а в рассматриваемой задаче запрещено движение внутри некоторой сферы.
v+ = v_ — 2(nv_)n.v+ = v_ — 2(nv_)n.(20)(20)Выход на связь (знак равенства в (19)) будем, как и раньше, считать в общем случае ударным, подчиненным закону абсолютно упругого соударения
v+ = v_ — 2(nv_)n.
v+ = v_ — 2(nv_)n.
(20)
(20)
Здесь v_ и v+ — безразмерные вектор скорости до и после удара, п — нормаль к поверхности.
Таким образом, предметом исследования являются условия (17), (19), (20). В отличие от задач, рассмотренных в разделах 1 и 2, уравнения (17) аналитически не интегрируемы и приходится использовать численные методы их интегрирования. Однако уравнения (17) совместно с условиями (19) и (20) обладают первым интегралом (интеграл энергии Якоби):
З//2 +З//2 +V^2 + ч2V^2 + ч2= -J,= -J,(21)(21)
З//2 +
З//2 +
V^2 + ч2
V^2 + ч2
= -J,
= -J,
(21)
(21)
определяющим область возможного движения через значение константы Якоби «J»:
(22)
Знак равенства в (22) определяет границы области возможного движения — так называемые «поверхности нулевой скорости». Совместное рассмотрение неравенств (17) и (19) позволяет классифицировать типы движения, допускаемые в исследуемой двухпараметрической задаче (параметры R1 J). На рис. 21 приведено соответствующее разбиение плоскости (R^ J\ а именно:
J <9, J < 6/R — совместное выполнение этих двух неравенств определяет множество, вообще говоря, неограниченных траекторий с ударом или ударами о любую точку сферы.
Рис. 21. Разбиение плоскости параметров по типам траекторий
9 < J < 6/R — ограниченные движения вблизи поверхности сферы с ударами о любую точку сферы.
J > 6/R + 3R2. Достижение поверхности сферы (и удары об нее) заведомо невозможны.
6/R < J < 9 и 6/R + 3R2 > J > 9 при R > 1 — совместное выполнение этих двух условий определяет множество, вообще говоря, неограниченных траекторий с ударом или ударами о поверхность сферы лишь в «полярных» областях.
J >9, 6/R < J < 6/Д + ЗД2 — ограниченные движения вблизи поверхности сферы с ударами лишь в «полярных» областях.
«Полярными» областями здесь названы окрестности «полюсов» — точек на сфере с координатами £ = 0, т] = ±7?.
Построенный методом точечных отображений фазовый портрет в полярной области (окрестность точки с координатами £ = О, т] = +Д) изображена на рис. 22. Приняты значения параметров R = 2/3, J = = 9.5, что отвечает области 5 на рис. 21. Угловая координата ф1 отложенная по оси абсцисс, отсчитывается от оси р в сторону, противоположную орбитальному движению спутника («Фобоса»). Хаотическая траектория, отвечающая хаотическому «морю» на рис. 22 не выходит за пределы некоторой «полярной шапки», отклоняясь от полюса не более, чем на 55°. Видны многочисленные архипелаги регулярных движений внутри хаотического моря (образованного точками одной единственной хаотической траектории). Центральная точка рисунка соответствует устойчивому «прыжку на месте» — петлеобразной траектории. Серия таких траекторий изображена на рис. 23. Отметим, что картина отображений на рис. 22 не симметрична относительно оси абсцисс. Это — следствие действия сил Кориолиса. Например, для того, чтобы подпрыгнуть на месте, аппарат (или космонавт) должен подпрыгнуть на самом деле чуть-чуть вперед по направлению движения спутника («Фобоса») по орбите.
На рисунках 24-27 приведены результаты расчетов для значений параметров из области 2 на рис. 21. Траектории могут охватывать
01
Рис. 22. Полярные траектории: точечные отображения R = 0.667, J = 9.5
Рис. 23. Однозвенные траектории подскока на месте
всю поверхность спутника. При больших значениях параметра J регулярность сохраняется лишь в обскоках поверхности в направлении,
Рис. 24. Точечные отображения: фазовый портрет R = 0.5, J = 11.5
Рис. 25. Точечные отображения: фазовый портрет Д = 0.5, J = 9.8
обратном орбитальному движению, а движения в прямом направлении хаотизируются (рис. 25: R = 0.5, J = 9.8). Хотя, как видно из рис. 25, внутри хаотического моря могут образовываться архипелаги регулярных движений в прямом направлении. На рис. 25, а изображена устойчивая восьмизвенная периодическая траектория, отвечающая центрам восьмиостровного архипелага на рис. 25. «Прыжки на месте»
Рис. 25, а. Восьмизвенная траектория; R = 0.5, J = 9.8
Рис. 26. Полная хаотизация в части фазового пространства R = 0.5, J = 9.0
остаются устойчивыми, их окрестности — регулярны, но при дальнейшем уменьшении параметра J хаотизируются и эти области фазового пространства. Предельная ситуация на границе области 2 на рис. 21
иллюстрируется рисунком 26 (R = 0.5, J = 9.0).
Отметим, что если параметры J, R взяты из областей 1 и (или) 4 рис. 21, то траектория аппарата может содержать много подскоков вдоль поверхности в прямом и обратном направлении, но после конечного (пусть — большого) числа подскоков — аппарат все же улетит неограниченно далеко от поверхности [6]. Пример такой траектории
Рис. 27. Траектория частичного обскока поверхности Фобоса с последующим уходом в сторону Марса; R ^ 0.6, J = 8.3
(со значением параметров R ^ 0.6; J = 8.3) приведен на рис. 27. Жирные боковые линии на этом рисунке — границы области (22) возможного движения.
Связное движение. Проанализируем возможности связного движения по дуге окружности, получаемой превращением неравенства (19) в равенство. (Нижеследующие результаты, полученные автором и О.П. Салимовой, докладывались на конференции [20], но опубликованы не были.) Уравнения движения, интеграл энергии и условие связности движения тогда имеют вид
фм + 3 sin ф cos ф = 0 ,(23)
ф'2 - 3 cos2 ф = h ,(24)
3 ф'2 -2^ + 3 cos2 ф - — < 0 .(25)
Фазовые траектории (24) вместе с областями связного движения (25) изображены на рис. 28-32. Форма области связного движения зависит от параметра R:
Рис. 28. Фазовые траектории движения по поверхности. R3 = 2.0
Рис. 29. Фазовые траектории движения по поверхности R3 = 1.5
R3 > 3/2 + (V3 — I)2 ~ 1.183 (рис. 28-29). Связное движение возможно только ограниченное время. В некоторый конечный момент времени точка обязательно сойдет со связи.
3/2 + (V3 — I)2 > R3 > 1 (рис. 30 - 31) — возможны неограниченные по времени связные движения, а именно обход поверхности спутника (окружности) в направлении, обратном направлению орбитального движения спутника (ф' > 0).
3)1>Я3>3/2 + (V3 + I)2 ~ 0.317 (рис. 32). Возможны неогра-
Рис. 30. Фазовые траектории движения по поверхности R3 = 1.18
Рис. 31. Фазовые траектории движения по поверхности R3 = 1.0
ниченные по времени связные движения:
обход поверхности в направлении, обратном направлению орбитального движения;
колебания в окрестностях «полюсов» поверхности.
4) 3/2 + (V3 + I)2 ^ R3. Кроме двух типов а) и Ь) неограниченных по времени связных движений, указанных в предыдущем пункте, появляется третий тип: с) неограниченный по времени обход поверхности в направлении орбитального движения (фг < 0).
Рис. 32. Фазовые траектории движения по поверхности R3 = 0.32
Рис. 33. Точечные отображения в задаче «Маятник Хилла»
Маятник Хилла. Пусть спутник планеты («Фобос») моделируется материальной точкой конечной массы и к нему гибкой нерастяжимой невесомой нитью привязана материальная точка пренебрежимо малой массы. Тогда уравнения свободного движения этой точки суть уравнения Хилла (17), связного движения — уравнение (23), но условия односторонней связи (19) и (25) должны быть записаны с противоположными знаками. Назовем такую систему маятником Хилла. Параметр R в этой задаче имеет смысл обезразмеренной длины нити. Такая задача имеет практический интерес как модель динамики космического зонда, привязанного тросом к естественному спутнику планеты.
Рассмотрим сначала задачу связного движения в рамках соотношений (23)-(25), где знак неравенства (25) изменен на противоположный. Заметим, что подобная задача рассматривалась ранее в [21-22] в рамках ограниченной круговой задачи трех тел; «маятник Хилла» представляет собой упрощенный вариант постановки проблемы.
На рисунках 28-32 затененные области теперь представляют собой зоны схода со связи. При 7? ^ ос формально приходим к задаче, впервые изученной в [15]. При значениях R > 1 возможны всегда связные колебания или вращения маятника, но существует диапазон энергий h. обеспечивающих неизбежный сход со связи. При R < 1 отсутствуют всегда связные колебательные движения маятника Хилла; существуют лишь всегда связные вращательные движения при достаточно больших значениях h.
Если изначальное движение свободное согласно уравнениям (17), а выход на связь абсолютно упругий согласно условию (20), то фазовый портрет строится тем же способом точечных отображений в моменты удара. Пример такого фазового портрета — на рис. 33. В хаотическом море взвешены архипелаги островов регулярных (условнопериодических) движений. Центры этих архипелагов отвечают устойчивым периодическим траекториям. Две из них — однозвенная и пятизвенная — показаны на рис. 34 и 35.
В заключение отметим интересный феномен [10]. Динамический биллиард на плоскости можно отобразить с сохранением всех его
Рис. 34. Однозвенная траектория
свойств на некоторый кинематический биллиард на поверхности, на которой точка движется свободно, без воздействия каких-либо сил. Траектория ее движения состоит из отрезков геодезических. В [10] такая возможность показана для динамических биллиардов в постоянном и ньютоновском полях сил.
Список литературы
Козлов В.В., ТрещевД.В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. — Изд-во Московского Университета, 1991. - 168 с.
Beletsky V.V. Regulare und chaotische Bewegung starrer Korper. — Teubner Verlag, Stuttgart, 1995. — 148 s.
Белецкий В. В., Панкова Д. В. Связка двух тел на орбите как динамический биллиард. — 1995. — 32 с. — (Препр. Ин-та прикл. мат. им. М.В. Келдыша РАН; № 7).
Beletsky V.V., Kasatkin G.V., Starostin E.L. The Pendulum as a Dynamical Billiard// Chaos, Solitons and Fractals. — 1996. — V. 7, № 8. — P. 1145-1178.
Beletsky V.V., Pankova D.V. Connected bodies in the orbit as dynamic billiard// Регулярная и хаотическая динамика. — 1996. — № 1. - С. 87-103.
Белецкий В.В., Салимова О.И. Задача Хилла как динамический биллиард// Регулярная и хаотическая динамика. — 1996. — Т. 1, № 2. — С. 47-58.
Beletsky V.V., Salimova О.Р. Hill’s Problem as dynamical billiard// Proced. IUTAM Symposium IDC, ed. Van Campen, Culver Publ, 1996. — 10 p.
Белецкий B.B., Воронцова В. Л., КофЛ.М., ПанковаД.В. Влияние аэродинамики на относительное движение орбитальной связки двух тел. Часть 1. Регулярные движения. — 1996. — 32 с. — (Препр. Ин-та прикл. мат. им. М.В. Келдыша РАН; № 38).
Белецкий В. В., Панкова Д. В. Влияние аэродинамики на относительное движение орбитальной связки двух тел. Часть 2. Хаотические и регулярные движения. — 1996. — 27 с. — (Препр. Ин-та прикл. мат. им. М.В. Келдыша РАН; № 40).
Белецкий В-В., КугушевЕ.И., Старостин Е.Л. Свободные многообразия динамических биллиардов// Регулярная и хаотическая динамика. — 1997. — Т. 2, № 3/4. — С. 62-71.
Арнольд В.И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1974. — 432 с.
Лихтенберг А., Либерман М. А. Регулярная и стохастическая динамика. Перевод с англ, под ред. Б.В. Чирикова. — М.: Мир, 1984. — 528 с.
Lehtihet Н.Е., Miller B.N. Numerical study of a billiard in a gravitational field// Physica D. — 1986. — V. 21. — P. 93-104.
Иванов А. П., M a p к e e в А. П. О динамике систем с односторонними связями// ПММ. — 1984. — Т. 48, вып. 4. — С. 632-636.
Белецкий В.В., Новикова Е.Т. Об относительном движении связки двух тел на орбите// «Космические исследования». — 1969. — Т. 7, вып. 3. - С. 377-384.
Белецкий В.В. Об относительном движении связки двух тел на орбите, II// «Космические исследования». — 1969. — Т. 7, вып. 6. — С. 827-840.
Белецкий В.В., Касаткин Г.В. Связка двух тел на орбите. Устойчивость однозвенных периодических траекторий// Известия Тульского Гос. Университета, серия Математика, Механика, Информатика, Т. 2, вып. 2 — Механика. — Тула, 1996. — стр. 17-22.
Иванов А. И., Б а з и я н А. Б. Исследование асимптотических движений связки двух тел на круговой орбите/ / Космические исследования. - 1995. - Т. 33, № 5. - С. 485-490.
Иванов А.И. О безударных движениях в системах с неудерживающими связями// ПММ. — 1992. — Т. 56, вып. 1. — С. 3.
Beletsky V.V., Starostin E.L. Regular and Chaotic Trajectories of Dynamical Billiards// International Conference: Nonlinearity, Bifurcation, Chaos: the Doors to the Future (ICNBC’96). Lodz-Dobieszkow, 16-18. September, 1996.
Белецкий В. В.,Левин Е.М. Механика лунной тросовой системы// Космические исследования. — 1982. — Т. XX, вып. 5. — С. 760-765.
Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем. — М.: Наука, 1990. — 330 с.
Белецкий В.В. Двуногая ходьба — модельные задачи динамики и управления. — М.: Наука, 1984. — 286 с.
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЙС СОУДАРЕНИЯМИ
А.П. Иванов
Введение. Одним из естественных и распространенных источников нелинейности в механических системах являются соударения составляющих их тел. При этом развиваются значительные и кратковременные ударные силы, отсутствующие на интервалах времени между соударениями. Ввиду специфического характера таких сил системы с ударами часто относят к числу силъно нелинейнъ1Х^ имея в виду невозможность хотя бы грубой их аппроксимации посредством некоторой линейной системы.
Для иллюстрации данного тезиса рассмотрим пример мяча, падающего с некоторой высоты на твердую горизонтальную поверхность и упруго отскакивающего от нее после соударения. Данную систему в промежутках между ударами можно считать линейной, пренебрегая аэродинамическим сопротивлением. Несмотря на это, движение с ударами заведомо нелинейно, так как период зависит от амплитуды колебаний: высота подскока мяча пропорциональна квадрату его максимальной скорости, а продолжительность полета пропорциональна этой скорости.
С практической точки зрения, соударения могут использоваться для создания больших усилий без существенных энергетических затрат: например, при забивке гвоздей и свай, ковке и дроблении, в теннисе и футболе, при игре на пианино и т. и. С другой стороны, удары в зазорах различных механизмов, в тросовых системах, столкновения труб теплообменных агрегатов ядерных реакторов друг с другом и с опорой пт. и. — весьма нежелательны, так как они могут привести к серьезным поломкам и авариям.
В динамике соударение твердых тел рассматривается как возникновение мгновенного импульса, при попытке проникновения разных тел друг в друга. Пусть q 6 Rn — обобщенные координаты системы, тогда диапазон их изменения ограничен, как правило, неравенствами вида
Л(ч) > 0 (г = 1,...к), (1) выражающими имеющиеся односторонние связи (так, в вышеупомянутом примере расстояние от центра мяча до опоры не меньше его радиуса). Такие связи не оказывают никакого влияния на движение, пока неравенства (1) выполнены в строгом смысле. Будем считать,
© А.П. Иванов, 2001
что такое (свободное) движение описывается уравнениями
q = F(^ q, q), F(t + 2я) = F(t)(2)
Допустим, что в некоторый момент времени tf одно из неравенств (1) обращается в равенство «с ненулевой скоростью», т. е.
A(qO = 0, A(q(i'- 0)) = (grad/^q^'-0)) < 0.(3)
Очевидно, что сохранение неравенств (1) при t > tf противоречит непрерывности обобщенных скоростей q. Это противоречие допускает двоякое разрешение. Первый путь состоит в отказе от абсолютной жесткости ограничений: допускаются нарушения неравенств (1), но они сопровождаются появлением в уравнениях (2) дополнительных слагаемых, выражающих реакции связей. Такой подход систематически изложен в монографии [32], примеры его использования можно найти в [75-77] и др.
Альтернативный метод связан с отказом от непрерывности ф что с физической точки зрения означает мгновенность соударения и абсолютную жесткость связей. Изменение переменных в момент t’ описывается уравнениями
q+ = q , q+= q"+i(q,q"), q± = q(t'±o), ^ = q(t'±o). (4)
Первая проблема, с которой приходится сталкиваться при изучении систем обсуждаемого типа, состоит в выборе подходящей формулы для ударного импульса I. Эта задача выходит за рамки динамики и не может в принципе иметь универсального решения, поскольку соударения элементарных частиц, биллиардных шаров или астероидов сопровождаются неодинаковыми физическими процессами. Теоретические исследования ударных взаимодействий проводятся уже более трех с половиной веков, в результате разработаны основные подходы к проблеме и методы ее решения (см. [8, 14, 24, 28, 38, 39] и др.). Один из таких методов связан с предельным переходом от вышеупомянутой модели неабсолютно жестких связей [31, 32].
Важно отметить, что соударения твердых тел, связанных с другими телами, обладают специфическими свойствами и не сводятся к соударениям свободных твердых тел [23-25]. В частности, при кратном ударе, когда одновременно обращаются в равенства сразу несколько неравенств (2), корректное определение функции I(q, q-), вообще говоря, невозможно.
Другое замечание касается обобщения формулы (4) на случай сколь угодно малой начальной скорости сближения соударяемых тел l/^h ПРИ этом возрастает роль «обычных сил» F(f, q, q), и импульс I следует считать зависящим также от обобщенных ускорений: I = I(q,q,q) (см. [22, 24]).
Ниже мы будем считать дифференциально-разностные уравнения (2), (4) заданными. Предметом обсуждения являются периодические
16 Под ред. В.М. Матросова и др.
движения с ударами, их устойчивость и характер зависимости от параметров.
Составление уравнений движения. Уравнения (2), (4) описывают основные два типа движений рассматриваемой механической системы со связями (1): безударные «перелеты» и соударения. Недостаток такого описания состоит в разнотипности уравнений: одно из них дифференциальное, другое — разностное. Априори, существуют два способа унификации: переход к дифференциальной либо к разностной форме. Традиционным является второй из этих способов, ассоциирующийся с построением точечных отображений типа отображений Пуанкаре ([9, 29, 37, 44, 67, 81] и др.) При этом, как правило, в качестве сечения выбирают поверхность удара (предполагается, что система подчинена единственной односторонней связи)
/(ч) = о. (5)
Данное сечение не всегда удовлетворяет требованиям, предъявляемым к сечениям Пуанкаре, поскольку отдельные орбиты могут касаться его или не иметь с ним общих точек. Это обуславливает дополнительные трудности при анализе таких систем, связанные с необходимостью различать особенности поведения самой динамической системы и артефакты, вызванные «неправильностью» сечения. Тем не менее, сечение по поверхности удара с успехом применялось для решения таких задач, в которых возврат траектории на поверхность (5) гарантируется видом уравнений (2) — так называемый метод «припа- совывания» ([5, 29, 33, 37, 61] и др.).
Другой тип сечения не связан со спецификой системы (1)-(3) и представляет собой стандартное сечение Пуанкаре
t = 0 (mod 2тг). (6)
Преимущество такого сечения по сравнению с предыдущим обусловлено его глобальным характером. С другой стороны, отображение (6) разрывно в точках поверхности /(q) = 0, что несколько обесценивает это преимущество. Тем не менее, данное (стробоскопическое) отображение удобно для исследования окрестности периодических движений (см. ниже).
Заметим, что даже в простейших примерах, когда уравнения (2) линейны, построение отображения Пуанкаре в явной форме, как правило, невозможно, так как для определения момента ударов приходится решать трансцендентные уравнения. Поэтому иногда применяют упрощенные модели, заменяя реальный момент удара на приближенный (см. [33, 61]).
Альтернативный способ построения универсальных уравнений движения систем с ударами связан с переходом к дифференциальной форме. Журавлевым были предложены [10-12] негладкие замены переменных, позволяющий применять для анализа систем с ударами методы усреднения. Этот метод получил развитие в работах автора [15] (совместно с Маркеевым), [16, 17, 21, 24]. В частности, показана
возможность в консервативном случае построить уравнения в гамильтоновой форме, что позволило применять к исследованию некоторые результаты КАМ-теории.
Метод негладких замен переменных можно применять и в сочетании с отображениями Пуанкаре: при этом разрывы отображений устраняются, что делает их удобными для использовании стандартных аналитических и численных подходов [21].
Устойчивость периодических движений с невырожденными соударениями. Периодические движения являются простейшим типом движений в системах с ударами, поэтому их теория разработана с наибольшей полнотой. Кроме того, ввиду практической важности таких движений они широко исследовались при помощи экспериментальных и численных методов (см. [60, 71, 73, 77, 79], и др.) Приближенные методы анализа виброударных систем описаны в [5, 6]. Мы обсудим ниже точные аналитические методы исследования периодических движений с ударами.
Первая проблема состоит в построении периодических движений. Обычный метод ее решения связан к переходу к отображению Пуанкаре и отысканию его неподвижных точек. Для этого используются либо топологические методы (теоремы Брауэра и Банаха), либо асимптотические методы типа метода малого параметра Пуанкаре. Обзор методов построения периодических решений гладких систем можно найти в [53].
В случае, когда уравнения (2) линейны, для построения периодических движений можно использовать частотные и частотно-временные методы. Подробный обзор такого подхода приведен в [2].
Запишем систему (2), (4) в виде
x = G(£,x), Д(£,х) > 0, х+ = х-+1(х-), х = (q.q) Е Н2п, (7)
Прежде чем обсудить методы исследования устойчивости, коснемся кратко специфики понятия устойчивости в системах с ударами. Имеется два подхода к его определению. Первый из них связан к переходу к неподвижным точкам отображения Пуанкаре. Такой метод является наиболее распространенным, и принято считать, что устойчивость (ляпуновская или асимптотическая) неподвижной точки отображения эквивалентна устойчивости соответствующей периодической траектории х*(^). Оказывается, что в системах с несколькими ударными парами это условие недостаточно, так как здесь может отсутствовать непрерывная зависимость решения от начальных условий. Соответствующий пример построен в [24].
Второй подход основан на обобщении обычных определений устойчивости (асимптотической, орбитальной и пр.) на разрывные траектории: выполнение неравенства ||ж(£) — ж* (t) || < е требуется для значений времени вне s-окрестностей точек разрыва [4, 59]. Неудобство такого определения проявляется при рассмотрении движений со многими ударами (число которых теоретически может быть бесконечным на конечном интервале времени). Более естественны, на наш взгляд, следующие определения, связанное с построением s-окрестности пе-
риодической траектории не в фазовом, а в расширенном фазовом пространстве [24].
Определение 1. Разрывное решение х*(^) системы (7), (4) будем называть устойчивым, если интегральная кривая Т = (^,х*(^)) в расширенном фазовом пространстве является устойчивым множеством. Иными словами, для любого с > 0 найдется 8 > 0, такое, что для каждого другого решения х(^), удовлетворяющего условию d* ((t°,x(t°)), Т) < 8 имеем d* ((f,x(f)), Т) < 6 для всех t t°. Здесь d* обозначает расстояние между точками расширенного фазового пространства (в евклидовой метрике).
Определение 2. Разрывное решение x*(t) системы (7), (4) будем называть притягивающим, если интегральная кривая Т представляет собой притягивающее множество в расширенном фазовом пространстве. Иными словами, найдется 8 > 0, такое, что для каждого другого решения x^t\ такого что d* ((^°, х(^°)), Т) < 8 имеем d* ((f, x(t)), Т) О при t +оо.
Определение 3. Разрывное решение x*(t) системы (7), (4) будем называть асимптотически устойчивым, если оно устойчивое и притягивающее в смысле определений 1 и 2.
Отличие данных определений от классических состоит в том, что возмущенное решение x(t) сравнивается со значениями х* на некотором малом интервале времени. Тем самым асинхронность ударов не свидетельствует о неустойчивости. Кроме того, можно показать, что для непрерывных траекторий определения 1-3 эквивалентны классическим.
Несмотря на имеющиеся различия между упомянутыми определениями, они являются скорее исключением, чем правилом: при наличии некоторых ограничений на вид периодических орбит определения становятся эквивалентными. Один из таких обширных классов составляют невъфоснсденние движения, для которых число соударений на любом конечном промежутке времени конечно и каждое из них охватывает лишь одну из ударных пар; кроме того, для каждой из связей (1) величина /f + /f ни при каком t не обращается в нуль. Последнее ограничение означает отсутствие как участков непрерывного контакта, так и безударных касаний составляющих систему тел.
Эффективный метод исследования устойчивости невырожденных движений связан с линеаризацией уравнений (7) и построением уравнений в вариациях
X(W)= A(t)X(W),X(W)= A(t)X(W),Х^О’^о)— Е, А(^) —Х^О’^о)— Е, А(^) —дхдх(8)(8)
X(W)= A(t)X(W),
X(W)= A(t)X(W),
Х^О’^о)— Е, А(^) —
Х^О’^о)— Е, А(^) —
дх
дх
(8)
(8)
где Е — единичная матрица.
В гладких системах матрица Якоби А(^) и решение системы (8) непрерывно дифференцируемы, и по теореме Пуанкаре
y(0=x(W)y(to) + o(l|y(to)||), у = х-х*.(9)
В случае, если функция G разрывна на некоторой поверхности в фазовом пространстве, формула (9) остается справедливой для траек-
торий, трансверсально пересекающих поверхности разрыва (условие невырожденности). В моменты таких пересечений фундаментальная матрица решений Х(^оД) меняется скачком [1, 45]. Данный результат использовался в [63] для построения характеристического уравнения системы с ударами, приведенной к дифференциальной форме.
Оказывается, что формула (9) остается справедливой и для невырожденных движений с ударами, описываемых дифференциальноразностной системой (2), (4), причем матрица фундаментальных решений Х(^) терпит разрывы в те моменты времени, когда исследуемая траектория х* испытывает удары. Данный результат несложно получить путем непосредственных расчетов, и он широко использовался многими авторами при решении конкретных задач. Общие формулы, описывающие приращения матрицы X при ударах, приведены в работах [24, 63, 66] и представлены ниже.
Теорема 1. Пусть х* (f) — невырожденное решенне системы (7), определенное при t ^ to и испытывающее удары в моменты t^t^... Тогда при t > to справедлива формула (9). При t ф ^ матрица X удовлетворяет уравнению (8), а в моменты t^ она изменяется скачком в соответствии с формулой
Х+ = jx-,
(10) Е + Ix+y-^G" - G+) ® grad/, + У"ТХ(С" ® grad/,),
G^ G(t',x*(t'± 0)), У =-(grad/^G^x^t'))), Ь = ^ •
Здесь знак «0» обозначает внешнее произведение векторов: a 0b = На^Д.
Доказательство. Для возмущенного движения момент соударения не совпадает с б: он равен t' + Xt и определяется из уравнения
/(х^' + А^ + у^' + А^О.(11)
При невырожденных ударах Xt = О(||?/о 11)• В интервале t Е (^, t' -EXt) имеем х* ^ G+, х ~ G, откуда и следует скачкообразное изменение вариации у = х — х*. Определив А^, можно получить формулу (10) (см. [24]).
Примеры. 1. Для системы с единственной степенью свободы, односторонней связью q ^ 0 с ударами вида q^ = q~ + I(q-) расчеты по формуле (10) приводят к такому результату:
(1 + ЕГ о \
\(F+- (1 + Г)Е")/Г l + F/-
В частности, принимая гипотезу Ньютона, имеем I = — (1 + e)q , откуда Г = I/q~ = — (1 + е).
2. Для системы с п степенями свободы и идеальной односторонней связью щ ^ 0 в качестве фазовых переменных удобно взять х = = (щ, ф, ^Ру), где pj — обобщенный импульс (j = 2,...,п). Для матрицы удара получаем такое выражение [24]:
/1 +1/^
(^+-(1 + 1>2-)Д2- 3=(+ — ^3 )/ж2
00...0\
1 + 1'0...0
01...0
V ^-е^!^ о о I/
Исходя из Теоремы 1, можно предложить следующий метод исследования устойчивости по первому приближению невырожденного периодического движения с ударами x*(t\ Линеаризуем систему (7) и будем строить решение линейного дифференциального матричного уравнения (8) с разрывами в моменты ударов tj в соответствии с формулой (10). Тогда матрица
Z = X(t0 + ^N, 1'КШЖ1 ^к-1Ш-1 • • • У1Х(Д До) (12)
представляет собой линейную часть отображения Пуанкаре в окрестности неподвижной точки.
Характеристическое уравнение имеет вид
det ||Z—рЕД = 0.(13)
Из общих результатов следует такое утверждение.
Теорема 2. Если все корни уравнения (13) но абсолютной величине меньше единицы^ то невырожденное периодическое движение с ударами х*(^) асимптотически устойчиво. Если хотя бы один из этих корней по модулю больше единицы^ то движение неустойчиво.
Возможен и критический случай, когда часть (или все) корней характеристического уравнения по модулю равны единице, а остальные по модулю меньше единицы. При этом сформулированное утверждение не применимо, и требуются иные критерии устойчивости. Один из важных частных случаев составляют консервативные системы с ударами (например, биллиарды): их можно описать гамильтоновыми дифференциальными уравнениям [15] или симплектическими отображениями. Это дает возможность использовать для анализа устойчивости результаты КАМ-теории [16, 32, 35, 34].
Примеры исследования устойчивости невырожденных периодических движений в конкретных системах с ударами можно найти в [5, 24, 29, 30, 32, 75, 76] и др.
Традиционные аналитические методы можно применять также для исследования характера зависимости невырожденных периодических движений от параметров. Для этого достаточно заметить,
что наличие достаточной гладкости функций G,I обеспечивает и соответствующую гладкость отображения Пуанкаре в окрестности неподвижной точки [3]. Следовательно, основные бифуркации периодических движений с невырожденными ударами не отличаются от соответствующих бифуркаций систем с гладкими траекториями.
Движения с касаниями ограничителя. Одна из наиболее интересных особенностей систем с соударениями связана с существованием движений, включающих касания тел. В отличие от (3), такие касания удовлетворяют условиям
//q(t'))=O, ШО>0. (14)
Изменяя начальные условия в окрестности движения с касанием, можно получить как трактории, испытывающие вблизи момента t’ удар, так и траектории, для которых fj > 0. Действительно, уравнение (11) относительно △£ при учете (14) имеет квадратичную особенность.
Отсюда следует, что описанный в предыдущем параграфе алгоритм исследования устойчивости и бифуркаций неприменим, так как отображение Пуанкаре в окрестности неподвижной точки недифференцируемо. Это отображение подробно изучалось в работах [67, 68] (для случая одной степени свободы) и [57] (для случая нескольких степеней свободы). Nordmark показал [67], что в окрестности неподвижной точки можно ввести локальные координаты у, ф таким образом, что отображение примет вид
х = (А1 + А2)х + ^ + О(х,^)2, Ф = -А1А2^(1 + О(х,^)), если х > о,
X =-BV^+V' + CKV-X, ^Л Ф = г2А1А2Д1 + О(х, ^))> если х < о,
(15) где Лц2 — корни характеристического уравнения, составленного для безударной части окрестности, В > 0, а г — ньютоновский коэффициент восстановления при ударе (в наших обозначениях г = = — (91/д^)(0,0) - 1).
На первый взгляд, наличие квадратного корня из возмущения предопределяет неустойчивость отображения (15). Однако, Nordmark обнаружил (не приводя строгого математического доказательства) один случай устойчивости: Ai^ 6 (0,1) (в других случаях имеет место неустойчивость). При этом оказывается, что любая траектория в окрестности неподвижной точки не более двух раз испытывает удар (т. е. попадает на сечении в область у < 0), а затем она лежит в области притяжения с безударной стороны у > 0.
Fredriksson, Nordmark [57] сформулировали также достаточные условия устойчивости движения с касанием в многомерной системе: они сводятся к проверке счетного числа неравенств, гарантирующих, что возмущенное движение попадает в область притяжения на безударной части окрестности неподвижной точки.
Большой интерес вызывает динамика системы в окрестности касания при изменении некоторых ее параметров. Например, нефтяные
танки в тихую погоду покачиваются на волнах, не задевая друг друга. С ростом волнения амплитуда колебаний увеличивается, что в конце концов может привести к соударениям. В данной ситуации такое поведение весьма нежелательно, так как таит в себе опасность пожара. Поэтому эту систему следует проектировать таким образом, чтобы устойчивые движения с ударами были невозможны.
Выход системы (2), (4) из области существования устойчивого периодического безударного движения называют бифуркацией касания (grazing bifurcation). Значительное число работ, посвященных этому явлению, скорее показывают его сложность, нежели возможности эффективного анализа ([22, 24, 41-43, 46, 49, 50-52, 54, 56-58, 62, 64, 65, 67-70, 81] и др.).
Вполне изучена бифуркация касания лишь в автономной системе с одной степенью свободы ([24]). В этом простейшем случае один из корней характеристического уравнения равен единице, а второй, определяющий устойчивость периодического движения, равен определителю матрицы (12) и может быть вычислен на основании теоремы Лиувилля. Учитывая невозрастание энергии при ударе, можно констатировать, что удары в автономной системе являются стабилизирующим фактором. В результате бифуркации касания (орбитально) устойчивое безударное движение перейдет в (орбитально) устойчивое ударное движение. Несмотря на вырожденный характер такой системы, она может служить моделью колебаний в набегающем потоке воздуха или жидкости (см. [72]).
В системе с периодической зависимостью от времени, одной степенью свободы и односторонней связью щ ^ 0 имеется, по-видимому, бесконечное множество различных сценариев бифуркации касания. При этом первоочередную роль играет знак элемента Z12 матрицы монодромии Z, вычисленной по формуле (12) при значениях параметров, непосредственно предшествующих бифуркации (в автономном случае этот элемент всегда равен нулю).
Если ^12 < 0, то типичным поведением является исчезновение периодического решения по сценарию бифуркации «седло-узел.» Если ^12 > 0, то периодическое движение сохраняется, но теряет устойчивость (см. [24]).
При учете неабсолютной жесткости связи можно разложить бифуркацию касания на последовательность стандартных бифуркаций неподвижных точек гладких отображений. Так, вышеупомянутая потеря устойчивости сопровождается бифуркацией удвоения периода. Рождающиеся в результате устойчивые решения двойного периода в свою очередь либо сливаются с неустойчивыми решениями того же периода и исчезают, либо проходят через удвоение периода и т. д. В случае, когда имеется бесконено много удвоений периода, движение принимает хаотический характер.
Данные теоретические выводы подтверждаются результатами моделирования [55, 68, 72] и экспериментами [78].
В системах с несколькими степенями свободы усложнение возможных сценариев бифуркации касания происходит за счет добавления «в меню» бифуркации Неймарка-Сэккера, в результате которой дан-
ное периодическое решение теряет устойчивость и рождается условнопериодическое движение. Здесь, как и в случае одной степени свободы, следует различать два основных случая в зависимости от вида матрицы Z.
Если произведение определителя матрицы Z- — Е на алгебраическое дополнение к элементу этой матрицы, стоящему на пересечении второй строки и первого столбца, положительно, то в общем случае в результате бифуркации касания периодическое движение исчезает («седло-узел»). При обратном знаке этого произведения движение сохраняется, но теряет устойчивость [24].
Примеры исследования бифуркации касания в системах с несколькими степенями свободы можно найти в [58, 63, 64].
Движения с кратными соударениями. Другой тип движений, который не поддается стандартным методам анализа, характеризуется наличием одновременных соударений нескольких твердых тел. Спецификой таких кратных ударов является сверхчувствительность к начальным условиям: изменение последних на величину порядка контактных дефораций приводит в общем случае к значительному изменению ударного импульса [18, 23]. Такое поведение свидетельствует о неустойчивости движений с кратными ударами.
Имеется, однако, и исключительный случай кратного удара, когда ударный импульс непрерывно зависит от начальных условий. С формальной точки зрения, он характеризуется попарной ортогональностью связей (1) в метрике Якоби, что с механической точки зрения означает, что ударный импульс в каждой из ударных пар зависит только от текущего состояния этой пары. Ортогональности можно добиться двумя способами: либо за счет точной настройки параметров системы, либо за счет исключения жестких связей между различными ударными парами [23].
К примеру, при падении «гантели» (пары одинаковых шаров, скрепленных жестким стержнем) на пол одновременный удар шаров об опору произойдет, если стержень горизонтален. По соображениям симметрии после отскока горизонтальное положение стержня сохранится. В общем случае такого результата достичь практически невозможно, так как малые начальные погрешности приведут к неодновременному удару шаров (незаметному на глаз) и к заметно несимметричному отскоку. Первый из вышеупомянутых способов состоит в подборе длины соединительного стержня таким образом, чтобы выполнялись условия центра удара. Второй способ заключается в замене жесткого стержня упругой пружиной.
Допустим, что условия ортогональности выполнены и в системе (7) имеется периодическое движение, включающее кратные удары. Не ограничивая общности, будем для краткости считать, что в момент t’ происходит одновременный удар о две связи Д ^ 0 и /2 ^ 0. Попытаемся применить метод, описанный в разделе 3. При построении отображения Пуанкаре в окрестности неподвижной точки, соответствующей периодическому движению с кратными ударами, мы приходим к необходимости учета трех возможностей: для возмущенного движения удары о связи могут происходить как одновременно
если х 6 СД, если х е СД, если ^(х) = 0.если х 6 СД, если х е СД, если ^(х) = 0.(на множестве возмущений нулевой меры), так и поочередно (два варианта очередности). Окрестность неподвижной точки разделяется некоторой гладкой поверхностью ^(х) = 0, соответствующей кратному удару в возмущенном движении, на две области С/ДтДх) > 0 и ^“^(х) < 0, в которых отображение Пуанкаре у> описывается разными формулами [26]:
если х 6 СД, если х е СД, если ^(х) = 0.
если х 6 СД, если х е СД, если ^(х) = 0.
(16)
При этом каждая из компонент pj непрерывно дифференцируема, а само отображение р — непрерывно, но не дифференцируемо.
Возникает соблазн линеаризовать каждую из компонент pj и сделать вывод об устойчивости периодического движения на основании собственных значений полученных линейных отображений Ар К сожалению, такая идея оказывается малопродуктивной: в [26] построены примеры неустойчивого отображения с устойчивыми компонентами и устойчивого отображения с неустойчивыми компонентами. Доказано следующее.
Теорема 3. 1. Пусть нормы всех матриц Aj(j = 1,2,3) (по отношению к некоторой норме в В?п) меньше единицы. Тогда неподвижная точка отображения (16) асимптотически устойчива.
Если хотя бы одно из отображений Ai, А^ имеет собственное значение^ большее единицы^ причем соответствующий собственный вектор не лежит в касательной плоскости к поверхности ф(х) = 0, построенной в неподвижной точке^ то последняя неустойчива.
В дополнение к этому, в [26] получен критерий устойчивости для одного частного случая отображения р.
Вопрос о характере зависимости движений с кратными ударами от параметров остается открытым. Данная проблема относится к так называемым С-бифуркациям [44]. В [41-44] рассмотрены некоторые случаи поведения неподвижной точки отображения (16) при изменении параметра ц в предположении, что для значений ц < 0 такая точка существует в области СД, а при ц = 0 она попадает на поверхность ^(х) = 0. Полученные результаты вывести ряд необходимых условий структурной устойчивости^ т. е. сохранения локальной топологической структуры фазового портрета при достаточно малых ц > 0.
Обозначим Ххд(р) определитель матрицы Ai^ — рЕ (характеристический многочлен). Если выполнено одно из условий xi(l)X2(l) < 0 или уД—1)х2(~ 1) < 0, то движение с кратными ударами структурно неустойчиво. Заметим, что данные неравенства означают наличие у матриц Ац2 действительных собственных значений, по модулю больших единицы: в первом случае нечетно суммарное число таких значений (для обеих матриц), больших единицы, во втором случае нечетно суммарное число собственных значений, меньших — 1.
Приведем новый результат, относящийся к бифуркации периодического движения, включающего удар любой кратности.
Теорема 4. Пусть выполнены достаточные условия асимптотической устойчивости неподвижной точки х = 0 кусочно-гладкого отображения, приведенные в первой части теоремы 3. Тогда система структурно устойчива, т. е. при достаточно малых непрерывно дифференцируемых возмущениях правых частей в окрестности начала координат отображение р имеет единственную неподвижную точку, непрерывно зависящую от этих возмущений и переходящую в нуль при их исчезновении.
Доказательство данного утверждения основано на применении теоремы Банаха о сжатых отображениях. По предположению, р представляет собой сжатое отображение некоторой окрестности начала координат в себя. Очевидно, это свойство сохранится и при достаточно малых возмущениях, откуда и следует сформулированный результат.
В качестве примера приведем движение двух одинаковых шариков, связанных пружинкой и подскакивающих на двух горизонтальных опорах, совершающих синхронные колебания вдоль вертикали [13, 26]. Если длина пружины в ненапряженном состоянии равна расстоянию между опорами, то существуют периодические движения, для которых расстояние между шарами не изменяется (они одновременно соударяются с опорами, т. е. имеет место двойной удар). При выполнении определенных соотношений эти движения устойчивы. Допустим теперь, что расстояние между опорами слегка отличается от длины ненапряженнной пружины. Можно показать, что при этом периодическое движение сохраняется, хотя расстояние между шарами будет переменным. Более того, по соображениям симметрии удары шаров об опоры по-прежнему будут одновременными, хотя скорости подлета будут различными.
Движения с участками скольжения. Особый тип движений в системе со связями (1) характеризуется наличием интервалов времени, на которых одна или более таких связей включены, что соответствует непрерывному контакту составляющих систему твердых тел. Если для некоторого периодического движения этот контакт сохраняется во все время, причем реакция связи отлична от нуля, то при исследовании устойчивости возможностью ослабления связи можно пренебречь [16]. Гораздо сложнее для анализа движения, включающие как интервалы контакта, так и интервалы ослабления связи.
Допустим, что односторонняя связь описывается неравенством щ ^ 0. Тогда контакту соответствует равенство Щ = 0, необходимое условие выполнения которого на некотором интервале времени имеет вид Ei ^ 0 (при этом к правой части первого из уравнений (2) добавляется реакция связи Ri = —ЕД. Если с течением времени знак величины F^ меняется с минуса на плюс, происходит ослабление связи. Последующий переход к участку скольжения (если он имеет место) сопровождается в общим случае ударами, число которых зависит от вида функции I в соотношениях (4).
В частности, при использовании ньютоновского коэффициента
восстановления е Е (0,1) имеется бесконечная последовательность затухающих ударов, промежутки времени между которыми образуют последовательность, эквивалентную геометрической прогрессии со знаменателем е [36, 40, 48]. При этом теорема 1 оказывается неприменимой для построения характеристической матрицы, так как бесконечное произведение матриц вида (10) может расходиться [24]. В этом случае точное вычисление этой матрицы для системы с двумя или более степенями свободы, по-видимому, невозможно.
Для пластического удара q^ = 0, и переход от свободного полета к участку скольжения сопровождается единственным ударом в области Fi < 0. Существуют и модели удара, в котором пластическому удару предшествует конечное число упругих соударений с убывающими коэффициентами восстановления. В этих случаях теорема 1 остается справедливой, что дает возможность применять к анализу теорему 2.
Заметим, что в системах с одной степенью свободы наличие у периодического движения участка скольжения гарантирует его асимптотическую устойчивость. Действительно, возмущенная траектория может отличаться от невозмущенной лишь до первого участка скольжения, а затем они сливаются. В системах с несколькими степенями свободы из наличия участка скольжения следует, что характеристическое уравнение (13) имеет два нулевых корня. Поэтому проверка условий теоремы 2 связана с вычислением остальных 2п — 2 корней.
Практический интерес представляют движения, в которых переход от перелета к скольжению происходит без удара. Основы теории таких движений разработаны в [19], а примеры исследования конкретных систем приведены в [7, 20, 24, 27, 74]. В частности, выявлена специфическая особенность периодических безударных движений в случае, когда система (2) консервативна и имеет две степени свободы: они полуустойчивы, т. е. обладают одновременно как областью притяжения, так и областью отталкивания.
Заключение. Подводя итог данному далекому от полноты обзору можно сказать, что имеется довольно обширный класс периодических движений с невырожденными ударами, для исследования которых можно применять стандартные метода анализа, используемые в гладких системах. Наиболее известным из них является метод линеаризации, позволяющий сделать вывод об устойчивости и возможных бифуркациях на основе вычисления собственной значений определяющей матрицы.
Наряду с этим, имеются различные случаи вырождения, которые отнюдь не являются артефактами, а весьма часто встречаются на практике. В каждом таком случае требуется разработка специальных подходов, и современный этап развития теории устойчивости и бифуркаций движений с вырожденными ударами можно характеризовать как начальный. Растущий интерес ученых разных стран к задачам такого рода и поддержка со стороны научных фондов, включая Российский фонд фундаментальных исследований (проекты 93-013-17228, 96-01-01440, 99-01-00281 и др. и INTAS (проект 96-2138), позволяет рассчитывать на скорый прогресс в этой области нелинейных колебаний.
Список литературы
Айзерман М. А., Гантмахер Ф. Р. Об устойчивости периодических движений// ПММ. — 1958. — Т. 22, вып. 6. — С. 750-758.
Асташев В.К., КрупенинВ.Л. Волны в распределенных и дискретных виброударных системах и сильно нелинейных средах// Проблемы машиностроения и надежности машин. — 1998. — Вып. 5. — С. 13-30.
Ахметов М.У., ПерестюкН.А. Дифференциальные свойства решений и интегральных поверхностей нелинейных импульсных систем/ / Дифференциальные уравнения. — 1992. — 28(4). — С. 555-566.
Ахметов М.У., ПерестюкН.А. Периодические и почти периодические решения сильно нелинейных импульсных систем// ПММ. — 1992. - Т. 56, вып. 6. - С. 926-934.
Бабицкий В.И. Теория виброударных систем: Приближенные методы. — М.: Наука, 1978. — 352 с.
Бабицкий В.И., КрупенинВ.Л. Колебания в сильно нелинейных системах. — М.: Наука, 1985. — 320 с.
Белецкий В.В. Об относительном движении связки двуз тед на орбите. Часть 2// Космич.исслед. — 1969. — Т. 7. К2 6. — С. 827-840.
Голдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяемых тел. — М.: Стройиздат, 1965. — 448 с.
Горбиков С.П. Особенности строения фазового пространства динамических систем с ударными взаимодействиями// Изв.АН СССР. Сер. МТТ. - 1987. - Я2 3. - С. 23-26.
Журавлев В.Ф. Метод анализа виброударных систем при помощи специальных функций// Изв. АН СССР. Сер. МТТ. — 1976. — Я2 2. — С. 43-46.
Ж у р а в л е в В. Ф. Исследование некоторых виброударных систем методом негладких преобразований// Изв. АН СССР. Сер. МТТ. — 1977. - Я2 6. - С. 24-28.
Журавлев В.Ф. Уравнения движения механических систем с идеальными односторонними связями// ПММ. — 1978. — Т. 42, вып. 5. — С. 781-788.
Ж у р а в л е в В.Ф., К л и м о в Д. М. Прикладные методы в теории колебаний. — М.: Наука, 1988. — 326 с.
ЗукасДж.А., НиколасТ., СвифтХ.Ф., ГрещукЛ.Б., Курран Д.Р. Динамика удара. — М.: Мир, 1985. — 296 с.
Иванов А.П.,Маркеев А.П. О динамике систем с односторонними связями// ПММ. — 1984. — Т. 48, вып. 4. — С. 632-636.
Иванов А. П. Об устойчивости в системах с неудерживающими связями// ПММ. - 1984. - Т. 48, вып. 5. - С. 725-732.
Иванов А. П. О периодических движениях тяжелого симметричного твердого тела с ударами о горизонтальную плоскость// Изв.АН СССР. Сер. МТТ. - 1985. - Я2 2. - С. 30-35.
Иванов А.П. Об ударах в системе с несколькими неудерживающими связями// ПММ. — 1987. — Т. 51, вып. 4. — С. 559-566.
Иванов А. П. О безударных движениях в системах с неудерживающими связями// ПММ. — 1992. — Т. 56, вып. 1. — С. 3-15.
Иванов А. П. О безударных прыжках неоднородного колеса. 1. Случай гладкой опоры// Изв.АН СССР. Сер. МТТ. — 1992. — Я2 1. —
С. 25-31.
Иванов А.П. Аналитические методы в теории виброударных систем/ / ПММ. — 1993. — Т. 57, вып. 2. — С. 5-21.
Иванов А.П. О динамике систем в окрестности касательного удара// ПММ. - 1994. - Т. 58, вып. 3. — С. 63-70.
Иванов А.П. О кратном ударе// ПММ. — 1995. — Т. 59, вып. 6. — С. 930-946.
Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. — М.: Международная программа образования, 1997. — 336 с.
Иванов А.П. К задаче о стесненном ударе// ПММ. — 1997. — Т. 61, вып. 3. — С. 355-368.
Иванов А.П. Об устойчивости периодических решений разрывных систем, пересекающих несколько поверхностей пазрыва// ПММ. — 1998. - Т. 62, вып. 5. - С. 732-742.
Иванов А. И., Б а з и я н А. Б. Исследование асимптотических движений связки двух тел на круговой орбите// Космич. исслед. — 1995. — Т. 33, № 5. - С. 485-490.
Кильчевский Н.А. Динамическое контактное сжатие твердых тел. Удар. — Киев: Паукова думка, 1976. — 319 с.
Кобринский А.Е., Кобринский А.А. Виброударные системы. — М.: Наука, 1973. - 592 с.
Кобринский А.А., Кобринский А.Е. Двумерные виброударные системы. — М.: Наука, 1981. — 335 с.
Козлов В.В. Конструктивный метод обоснования теории систем с неудерживающими связями// ПММ. — 1988. — Т. 52, вып. 6. — С. 883-894.
Козлов В.В., ТрещёвД.В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. — Изд-во МГУ, 1991. — 168 с.
Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. — М.: Мир, 1984. — 528 с.
Марке ев А. А. Об устойчивости плоского периодического движения твердого тела между параллельными стенками// Изв.РАН, МТТ. — 1995. -№ 1. - С. 22-24.
МаркеевА.А. Об устойчивости перманентного вращения тела с неудерживающей связью// Вестник МГУ. Математика, механика. — 1992. -№ 3. - С. 48-54.
Нагаев Р.Ф. Механические процессы с повторными затухающими соударениями. — М.: Наука, 1985. — 200 с.
Н е й м а р к Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1972. — 471 с.
ПановкоЯ.Г. Введение в теорию механического удара. — М.: Наука, 1977. - 232 с.
Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел. Т. 1. — М.:Наука, 1983. — 463 с.
Ф е д о с е н к о Ю. С., Фейгин М.И. Периодические движения виброударника, включающие участок скользящего режима// ПММ. — 1971. - Т. 35, вып. 5. - С. 892-898.
Фейгин М.И. Удвоение периода колебаний при С-бифуркациях в кусочно непрерывных системах// ПММ. — 1970. — Т. 34, вып. 5. — С. 861-869.
Фейгин М.И. О рождении семейств субгармонических режимов в кусочно непрерывной системе// ПММ. — 1974. — Т. 38, вып. 5. — С. 810-818.
Фейгин М.И. О поведении динамических систем вблизи границ обл а-
сти существования периодических движений// ПММ. — 1977. — Т. 41, вып. 4. - С. 628-636.
Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. — М.: Наука, 1994. — 285 с.
Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985. — 224 с.
Bishop S.R., Тhоmрsоn М.G., FoaleS. Prediction of period-1 impacts in a driven beam// Proc.Roy.Soc.London A. — 1996. — 452. — P. 2579-2592.
Brogliato B. Nonsmooth Impact Mechanics. /Lecture Notes in Control and Information Sciences, 220. — London: Spinger-Verlag, 1996. — 400 p.
В u d d C., Dux F. Chattering and related behaviour in impact oscillator// Phil. Trans. Royal Soc. London. — 1994. — V. 347 A, № 1683. — P. 365-389.
Budd C.,Dux F. Intermittency in impact oscillators close to resonance// Nonlinearity. - 1994. - V. 7. - P. 1191-1224.
BuddC., D u x F. The effect of frequency and clearance variations on single-degree-of-freedom impact oscillator// J.Sound and Vibrations. — 1995. - V. 184, № 3. - P. 475-502.
ChinW., OttE., NusseH.E., Grebogi C. Grazing bifurcation in impact oscillators// Phys.Review E. — 1994. — V. 50, № 6. — P. 4427-4444.
ChinW., OttE., NusseH.E., Grebogi C. Universal behaviour of impact oscillators near grazing incidence// Phys.Letters A, May. — 1995. — 201. - P. 197-204.
Farkas M. Periodic Motions. (Ser. Appl. Math. Sciences, V. 104). — N.Y.: Springer-Verlag, 1994. — 577 p.
FoaleS. Analytical determination of bifurcations in an impact// Proc. Roy. Soc. Lond. Ser. A. - 1994. - V. 347. - P. 353-364.
FoaleS., Bishop S.R. Dynamical complexities of forced impacting systems// Proc. Roy. Soc. Lond. Ser. A. — 1992. — V. 338. — P. 547-556.
FoaleS., Bishop S.R. Bifurcations in Impact Oscillator// Nonlinear Dynamics. — 1994. — V. 6. — P. 285.
Fredriksson M.H., NordmarkA.B. Bifurcations caused by grazing incidence in amany degrees of freedom impact oscillator// Proc.R.Soc.Lond. - 1997. - V. 453. - P. 1261-1276.
Fredriksson M.H. Grazing bifurcation in multibody systems// Nonlinear analysis. Theory, Methods & Applications. — 1997. — V. 30, № 7. - P. 4475-4483.
G aj ewsky K., Radziszevsky B. On the stability of impact systems// Bull, of the Polish Academy of Sciences, Technical Sc. — 1987. — V. 35, № 3-4. - P. 183-188.
Guckenheimer J., Holmes P.J. Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields. — N.Y. et al.: Springer-Verlag, 1983. - 453 p.
Holmes P.J. The Dynamics of repeated impacts with a sinusoidally vibrating table// J. Sound and Vibrations. — 1982. — V. 84, № 2. — P. 173-189.
Ivanov A.P. Stabilization of an impact oscillator near grazing incidence owing to resonance// J. Sound and Vibrations. — 1993. — V. 162, № 3. — P. 562-565.
Ivanov A.P. Impact Oscillations: Linear Theory of Stability and Bifurcations// J.Sound and Vibrations. — 1994. — V. 178, № 3. — P. 361-378.
Ivanov A.P. Bifurcations associated with grazing collisions// Nonlinear
Dynamics: New Theoretical and Applied Results. — Berlin: Akademie Verlag, 1995. - P. 67-91.
Ivanov A.P. Bifurcations in impact systems// Chaos, Solitons and Fractals. - 1996. - V. 7, № 10. - P. 1615-1634.
Mil Iler P.C. Calculation of Lyapunov Exponenets for Dynamic Systems with Discontinuities// Chaos, Solitons & Fractals. — 1995. — V. 5, № 9. — P. 1671-1681.
Nordmark A.B. Non-periodic motion caused by grazing incidence in an impact oscillator// J.Sound and Vibration. — 1991. — V. 145, № 2. — P. 279-297.
Nordmark A.B. Effects due to low velocity impact in mechanical oscillators// Int.J.of Bifurcation and Chaos, 2. — 1992. — P. 597-605.
Nordmark A.B. Universal limit mapping in grazing bifurcation// Phys.Review E. - 1997. - 55(1). - P. 266-270.
NusseH.E., OttE., Yorke J.A. Border-collision bifurcations: A possible explanation for observed bifurcation phenomena// Phys.Review E. - 1994. - 49(2). - P. 1073-1076.
PeterkaF. Uvod do kmitani mechanickych soustav s vnutrnimi razy. — Praha: Vydala Academia, nakl. CSAV, 1981. — 271 c.
Peterka F. Dynamics of impact motions of a beam between stops and of a spherical pendulum in a channel with a flow of liquid// Advances in Meeh. - 1992. - V. 15, № 3-4. - P. 93-121.
Pfeiffer F., Glocker Ch. Multibody dynamics with unilateral contacts. — N.Y.: Wiley, 1996. — 317 p.
Schiehlen W., G a о J. Simulation des StoBfreien Hiipfens// ZAMM. — 1989. - V. 69, № 5. - S. 302-303.
Shaw S.W., Holmes P.J. A periodically forced impact oscillator with large dissipation// ASME J. of Appl. Meeh. — 1983. — V. 50. — P. 849-857.
ShawS.W., Holmes P.J. A periodically forced piecewise linear oscillator// J. of Sound and Vibrations. — 1983. — V. 90. — P. 129-155.
T h о m p s о n J.M.T. Complex dynamics of compliant off-shore structures// Proc.R.Soc.London, A387. — 1983. — P. 407-427.
Thompson M.G., Bishop S.R., Foale S. An experimental study of low velocity impacts// Machine Vibrations. — 1994. — V. 3. — P. 10-17.
Tufillaro N.B., Albano A.B. Chaotic dynamics of a bouncing ball/// Am.J.Phys. - 1986. - V. 54, № 10. - P. 939-944.
Whiston G.S. Global dynamics of vibro-impacting linear oscillator// J.Sound Vibr. - 1987. - V. 118. — P. 395-429.
Whiston G.S. Singularities in Vibro-Impact Dynamics// J. Sound and Vibrations. - 1992. - V. 152, № 3. - P. 427-460.
нелокальный анализДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙАСИНХРОННОЙ МАШИНЫ
Г.А. Леонов, Н.В. Кондратьева, Ф.Ф. Родюков,А.И. Шепелявый
Для системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику асинхронного двигателя в случаях постоянного и линейно зависящего от угловой скорости момента внешней нагрузки, с помощью качественной теории дифференциальных уравнений и прямого метода Ляпунова получены условия дихотомичности, статической, динамической и глобальной асимптотической устойчивости. Проведено сравнение полученных результатов с известными результатами в инженерной практике.
Введение. При исследовании статической устойчивости асинхронного двигателя на практике часто используется лишь его статическая механическая характеристика, из которой при пренебрежении сопротивлением статорных обмоток получается широко известная формула Клосса. Хотя такой подход хорошо согласуется с практикой эксплуатации асинхронного двигателя, математически он нестрог [112].
В предлагаемой статье исследуется устойчивость асинхронного двигателя на основе его полной математической модели в виде системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений шестого порядка, которая описывает динамику асинхронного двигателя в общепринятых идеализирующих представлениях, подробно изложенных, например, в [1, с. 128-131; 2, с. 142-156; 3, с. 28-36]. Основными из таких представлений являются, во-первых, предположение об идентичности характера электромагнитного поля в любом поперечном сечении идеализированной физической модели асинхронного двигателя при принебрежении торцевыми эффектами (гипотеза плоской модели), и во-вторых, предположение о возможности описания взаимодействия электромагнитных процессов в обмотках статора и ротора машины с помощью двух симметричных линейных электрических цепей.
Для проведения нелокального анализа такой математической модели потребовался специальный выбор системы подвижных координат (обобщенное преобразование Парка) и специальный выбор ги-
© Г.А. Леонов, Н.В. Кондратьева, Ф.Ф. Родюков, А.И. Шепелявый, 2001
17 Под ред. В.М. Матросова и др.
бридных переменных (квазитоки и квазипотокосцепления статорных обмоток), что позволило исходную систему дифференциальных уравнений свести к автономной системе пятого порядка. Для этой системы были построены функции Ляпунова, с помощью которых в различных случаях устанавливаются условия дихотомичности, диссипативности, глобальной устойчивости, а также оцениваются области притяжения устойчивых состояний равновесия (динамическая устойчивость). Эти результаты сравниваются с выводами, получаемыми с помощью традиционного инженерного подхода при анализе динамики асинхронного двигателя путем замораживания части переменных и использования для расчетов статической механической характеристики.
Математическая модель. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
Ls -у. + RsatLs -у. + Rsatia + иМ — (Д COS7 - iT3 sin7)ia + иМ — (Д COS7 - iT3 sin7)= —um sin ust,= —um sin ust,(d _ \ I Ls — + Rs ) \ dt /(d _ \ I Ls — + Rs ) \ dt /sin 7 + ^5 cos 7)sin 7 + ^5 cos 7)— am coscust,— am coscust,
Ls -у. + Rsat
Ls -у. + Rsat
ia + иМ — (Д COS7 - iT3 sin7)
ia + иМ — (Д COS7 - iT3 sin7)
= —um sin ust,
= —um sin ust,
(d _ \ I Ls — + Rs ) \ dt /
(d _ \ I Ls — + Rs ) \ dt /
sin 7 + ^5 cos 7)
sin 7 + ^5 cos 7)
— am coscust,
— am coscust,
(2.1)(2.1)М -^j\~isa sin7 + ip cos 7) +М -^j\~isa sin7 + ip cos 7) += 0,= 0,
(2.1)
(2.1)
М -^j\~isa sin7 + ip cos 7) +
М -^j\~isa sin7 + ip cos 7) +
= 0,
= 0,
М у (i^ cos 7 + ip sin 7) + (дД + Д.) гТа = О,CLL\ CLL/
Ту = МУУУр - fpi^ cos7 - (ДД + iTpisp) sin 7] - MH.
Здесь переменные isa ,1^, i^ .i^ — токи статорных и роторных обмоток, 7 — угол поворота ротора; параметры Rs, Ls, Rr, Lr — сопротивления и индуктивности соответствующих обмоток, М — амплитудное значение взаимоиндуктивности между ними, J — момент инерции ротора асинхронного двигателя; ш8 = 2тг/, /, ит — частота и амплитуда подводимого к статорным обмоткам напряжения, Мн — момент нагрузки на валу асинхронного двигателя, t — текущее время, и — параметр, отражающий степень влияния электромагнитных процессов в роторе на процессы в обмотках статора. Уравнения (2.1) с точностью до обозначений совпадают с уравнениями (8 — 1в), (8 — 2г) [1, с. 360].
Для дальнейших преобразований уравнений (2.1) потребуются выражения для потокосцеплений обмоток. Для случая неявнополюсной электрической машины, каковой является и асинхронный двигатель, эти потокосцепления можно получить из формул [1,(3 — 3а)-(3 — Зг), с. 133] с учетом выражений для индуктивностей [1, (3 — 40)-(3 — 49),
с. 143]. В принятых выше обозначениях они имеют вид
Фа =+ хМ(гга cos 7 - гт9 sin 7),
^ = L5^ + xM(^sin7 + ^cos7),
(2.2)
= Мфа cos 7 + ^ sin 7) + £ Д,фр = М(-г® sin7 + ip COS7) + Lrip.
Уравнения (2.1) и потокосцепления (2.2) записаны в так называемых фазных координатах а — р. Для математического исследования они неудобны, но допускают для упрощения формы записи неголо- номное преобразование координат, носящее имя Парка [3]. Для случая асинхронного двигателя оно может быть записано с помощью вспомогательных ортогональных осей и — г, вращающихся с произвольной угловой скоростью и составляющих с магнитной осью фазы а статора асинхронного двигателя угол у^. Такое преобразование приведено, например, в [1, с. 234, 235] и в наших обозначениях имеет вид
С = ^а C^^k SHiy^,
г® = -г® sin7fc + ip cos7fe,
< = i« cos(7k - 7) + ip sin(7fc - 7),
= -i-a sin(7fc - 7) + ip cos(7fe - 7);
Фи = Фа cos 7fc + фр sin 7fe,
Ф" = -Фа sin7k + Фр COS7fc,
(2-3)
Фи = Фа cos(7fe - 7) + фр sin(7fc - 7),
Фи = -Фа sin(7fc - 7) + Фр cos(7fc - 7);
Uu = sin UJst COSy^ + COS Wst siny^) = —Um $т(ш81 — y^),Uy = um(sin cjst sin у& + cos cjst cos уД = um cos(ujst — уД.
Эти преобразования означают, что от реальных (фазных) переменных, записанных в двух ортогональных системах координат, одна из которых жестко связана со статором асинхронного двигателя, а другая — с его ротором, осуществляется переход к проекциям этих переменных (к квазипеременным) на одни и те же ортогональные оси и — v. В этих осях в квазитоках и квазипотокосцеплениях уравнения (2.1) и выражения (2.2) принимают вид:
Rs^u - фкО + Кз1ихМФ-и - 7fc*0 = -Mmsin(ws^ - 7Ц
Ls^i8v + 7feO + Rsisv + xM^ + ^кФф) = umcos(wgt - ^кф
••(2-4)
Wu - (7fe - 7)^1 + Rri-^ + LT\iTu - (ук ~ 7)^] = 0,
M\is„ + ^k ~ 7KJ + Rriu + L^ + (фк ~ 7)C] = °,
Ж =~ мн;
(2-5)(2-5)Ф1 = Lsisu +xMi^, < = L,i^zMi;,ru = Mi*u + Lriru, < = Mit + Lrt;.
(2-5)
(2-5)
В уравнениях (2.4) и формулах (2.5) перейдем к безразмерной форме записи, введя безразмерное синхронное время т, скольжение s, безразмерные переменные, параметры и момент нагрузки по формулам
где ц — коэффициент электромагнитного рассеяния в воздушном зазоре асинхронного двигателя.
Тогда, опуская над безразмерными величинами черту, уравнения
и соотношения (2.5) запишем в виде
< - 7Ж + еХ + х^ - 7fe^) = - sin(r - 7Ц^ + W„ + е»^ + x^ - ^^ = cos(r - 7Ц
(1 - m)K - (7fe - 1 + «К] + етгти + гти - Vik - 1 + sK = 0,(2.6)
(1 - мЖ + (7fc - 1 + s)»®] + eX + ^ + (7fe - 1 + sX = 0,
8 = -^№-ГЛЬМ
Фи = С + xiTu1 Х = ^ + Ж,
Фи = 6 - P-Yu + ^, Фи = ^ - рК + iu,
где точка над переменной означает дифференцирование по синхронному времени т.
Напомним, что в (2.6), (2.7) переменные фи = фи(т), фу = ф^т), iu = Цт\ iv = гу(т) — квазипотокосцепления и квазитоки соответствующих обмоток, s = s(t) — скольжение, т. е. относительная разность угловых скоростей вращений ротора и магнитного поля статора, т — безразмерное время (угол поворота магнитного поля статора); параметры е8, ет — сопротивления статорных и роторных обмоток, ц — коэффициент электромагнитного рассеяния в воздушном зазоре, 5 —
электромеханическая постоянная, обратно пропорциональная моменту инерции ротора; ^^ — угол поворота осей и — и Мн — момент внешней нагрузки на валу ротора.
Положим в (2.6) у^ = т, т. е. перейдем к так называемым синхронным осям координат х — у (синхронно вращающимся с магнитным полем статора)
^ - ^ + е«С + х^ - iy) = О,
+ £siy + x^iy + г£) = 1,
(1 - рЖх ~ Ж) + £rC + С - siy = 0,(2.8)
(1 - p?)(iy + s?®) + eTiy + iy + s»£ = 0,
s =-§\(Ж - ЖЖ MhV
ФхФу ^у + ^у,,.
Фх = ^ - рК + ггх, фу = 6 - Р^У + Фу2 9
Наиболее удобной для дальнейших исследований форма записи уравнений (2.8) становится, если перейти в них к квазитокам статорных и квазипотокосцеплениям роторных обмоток, исключив из них квазитоки роторных обмоток с помощью выражений (2.9):
Фх=Фх-(3-рЖ Фу = Фу ~ ~ Ж-
Проделав такую операцию, придем к уравнениям асинхронного двигателя в так называемых гибридных переменных, в которых вместо квазитоков i^iy введем новые переменные х^у по формулам
зс = р'Фх +Жх, У = р'Фу + хфу, //'= 1 - х(1-Д (2.10)
Тогда уравнения (2.8) примут вид
х = — а’х + у +
,,(2.11)
у = -asy - х + ха8фу + 1,
С = -а'тФх + зфу + <4(1 - м)ж,
фу = Ж<y-s< + <(1- Лу,(2.12)
s = -^<фтту ~ фух) - Мн\,
где а’8 = Esjр’ а’т = ETjр’.
Формулировка основных результатов. Рассмотрим автономную систему
х = /(ж), х е Rn.(3.1)
Приведем некоторые определения.
Определение 3.1. Точку р Е Rn называют стационарной точкой (точкой покоя, состоянием равновесия) системы (3.1), если ж(£) = = р является решением этой системы. Множество всех стационарных точек называют стационарным множеством.
Определение 3.2. Будем говорить, что система (3.1) дихото- мична, если любое ограниченное при t > 0 решение стремится при t —> +оо к стационарному множеству.
Определение 3.3. Будем называть систему (3.1) диссипативной, если все ее решения бесконечно продолжимы вправо и существует такое число R > 0, что для любого решения x(t,xo) этой системы с начальным условием ж(О,жо) = xq выполнено соотношение
lim \x(t, жо)| < R.
t—^-|-оо
Из определения 3.3 следует, что для каждого решения x(t,xo) системы (3.1) существует момент времени ТЖо такой, что
|ж(^,ж0)|<Д при t>T$0,
т. е. начиная с момента ТЖо, траектория x(t, жо) расположена в шаре радиуса R.
Определение 3.4. Систему (3.1) будем называть глобально асимптотически устойчивой, если любое решение этой системы стремится при t —> +оо к некоторому состоянию равновесия.
С помощью замены переменных
у - оЦ1 - р) ’у - оЦ1 - р) ’ж + g'sy - 10^.(1 — ц) ’ж + g'sy - 10^.(1 — ц) ’•фу =•фу =У - а'8х0^.(1 — ц)У - а'8х0^.(1 — ц)(3-2)(3-2)
у - оЦ1 - р) ’
у - оЦ1 - р) ’
ж + g'sy - 1
0^.(1 — ц) ’
ж + g'sy - 1
0^.(1 — ц) ’
•фу =
•фу =
У - а'8х0^.(1 — ц)
У - а'8х0^.(1 — ц)
(3-2)
(3-2)
приведем систему (2.11), (2.12) к более удобному для исследования следующему виду
Фх = -а8фх + фу + ха8х,
фу = -а8фу -фх + ха8у,
х = — аТх + sy + аг(1 — ц)фж + 1,(3-3)
у = -аТу - sx + аг(1 - ц)фу,
s = 5\атЪу + а^Ъ^ - рф(фху - фух) + Мн\
Здесь приняты обозначения
х = х, у = у, as = а’8, ат = а’т,
MH = MHl Ь=.
Введем обозначения
«0=2[1 + «г(1 - Л],
(3-4)(3-4)А* = min{as — а0, ат — qq}, Ai G [0, А*],Wi^x,^y,x,y) = I (-ф^+фу) + I xas(x2 + у2),
(3-4)
(3-4)
8A(«r — qq — A)
Теорема 3.1. Для, любого решения фх^Дуф^^х^^уф)^^) системы (3.3) существует число Ту > 0 такое^ что для всех t ^ Ту имеют место неравенства
Ф^) + ^ W < 2хГъ х2ф) + у2Д < — •(3.5)
«8
Доказательство. Докажем, что для любого решения ^(^7 фу(ф)^ x(t), у(^^ s(t) системы (3.3) имеет место неравенство
^т^ИД^ДД ^у(ДЛДУ^)) < Х-Г1.(3.6)
Действительно,
TTi + 2АоИ/1 — — (ад — AqXV^ + Фу) — хафаТ — Ао)(ж2 + ?/2) ++ XQS[1 + Qr(l - рУДФхХ + фуу) + XQsQr(l - р)х <
< -ха8Дт - Ао)< -ха8Дт - Ао)QT — АдQT — Ад
< -ха8Дт - Ао)
< -ха8Дт - Ао)
QT — Ад
QT — Ад
+xas[l + аг(1 - /1)]а/ж2 + у2 • Д2+^у<
< -xas(ar - Ао)< -xas(ar - Ао)«г(1 - Л I22(аг — Ад)_«г(1 - Л I22(аг — Ад)_а^(1 — р)2а^(1 — р)2Дат - А0)2Дат - А0)2+ [1 + «г(1 — р)"\АВ^+ [1 + «г(1 — р)"\АВ^
< -xas(ar - Ао)
< -xas(ar - Ао)
«г(1 - Л I22(аг — Ад)_
«г(1 - Л I22(аг — Ад)_
а^(1 — р)2
а^(1 — р)2
Дат - А0)2
Дат - А0)2
+ [1 + «г(1 — р)"\АВ^
+ [1 + «г(1 — р)"\АВ^
где
в = ДД^; • ДДД.
Итак,
ж + 2А01И < х “Д^ Д + Тл2 + В2)[1 + аг(1 - д)] =
4(аг - До) 2
QSQ^(1 — рУ4(аг — Ад)QSQ^(1 — рУ4(аг — Ад)+ 2а0ТТ1.+ 2а0ТТ1.
QSQ^(1 — рУ4(аг — Ад)
QSQ^(1 — рУ4(аг — Ад)
+ 2а0ТТ1.
+ 2а0ТТ1.
или
Ж + 2ДЖ с 2Д1Г1.(3.7)
где Дх = До — «о- Из (3.7) имеем соотношение
(Ж - хГД* + 2Д1(Ж - Х1Г1) С 0.
из которого следует, что при всех t ^ 0 выполнено неравенство
ИД^ДД^Д^Ду^)) - хГ1 <
< [И^1(^(0),^у(0),Л0),у(0)) - xlW"2^.
Отсюда следует (3.6). Теорема 3.1 доказана.
Введем обозначения
W^^y) = I ^ + Фу),
V2Fiasг2 — 7, Д2 Е (0,Qs],
где Г1 определяется в (3.4).
Теорема 3.2. Для любого решения ^x(t),^y(t), x(t),y(t), s(t) системы (3.3) существует число Т^ такое, что для всех t ^ Т^ справедливо неравенство
^(Д < ^2. |Д(Д < ^2.(3.8)
Доказательство. Докажем, что для любого решения системы (3.3) имеет место неравенство
ДДДДфД) < хГ2.(3.9)
В силу (3.3) и (3.5) имеем, что при всех t ^ Ту справедлива оценка
W2 + 2A2W2 = -(as - А2)(^ + фу) + ха8)фжх + фуу) <
< ха8 Д1 А-фу • \/ж2 А-у2 < xa8J^- • V2^ = 2хА2Г2-ДУг-
Отсюда имеем соотношение
-^= + x2Vw^ хХ2г2, ^t^Tv 2у
или
(ч/Ж-хГ2), + А2(Д¥2-хГ2) <0.(3.10)
Легко видеть, что из (3.10) следуют оценка (3.9) и соотношения (3.8) при всех t ^ Т2. Теорема 3.2 доказана.
Теоремы 3.1 и 3.2 в известной степени позволяют при изучении устойчивости асинхронной машины вместо исходной системы (3.3) использовать более простую систему вида
фх = —а8фх + фу,
Фу <МФу ФэС1
х = — arx + sy + аг(1 — р)фх + 1, у = -ату - SX + аг(1 - р)фу,(3.12)
S = -5\атЬу + а^(1 - уф(фху ~ фух) + MhY
Система (3.11), (3.12) является нулевым приближением системы (3.3) по малому регулярному параметру и.
В настоящей статье исследуется устойчивость системы (3.11), (3.12) в двух случаях: в случае постоянного момента Мн внешней нагрузки и в случае, когда момент Мн линейно зависит от угловой скорости ротора, т. е. Мн = ^7-
Теорема 3.3. Пусть Мн = const. Тогда имеют место следующие утверждения:
если
0 < Мн < min /(3.13)
о J
то система (3.11), (3.12) дихотомична;
если Мн = 0, то система (3.11), (3.12) устойчива в целому
если
b <Мн<^(3.14)
то все решения системы (3.11), (3.12) неограничены.
Теорема 3.4. Пусть Мн = ^(1 — s), к = const. Тогда если
0 < к5 Заг(3.15)
то система (3.11), (3.12) глобально асимптотически устойчива.
Исследование модели третьего порядка. Рассмотрим систему
ж = —аТх + sy + 1,
у = -ату - sx,(4.1)
s = 8\атЪу + МНУ
Отметим, что структура системы (4.1) аналогична структуре хорошо известной системы Лоренца [17]. Это обстоятельство позволяет провести нелокальный анализ этой системы с помощью функций Ляпунова, рассмотренных в [18].
Теорема 4.1. Пусть Мн = const. Тогда имеют место следую- сцие утверждения:
если
О <МН< min Л,(4.2)
то система (4.1) дихотомична*,
если Мн = 0, то система (4.1) устойчива в целом',
если
то все решения системы (4.1) неограничены.
Доказательство. Замена переменных
er = s, г] = —vaTy + 7, z = — аТх — as + 1(4-4)
приводит систему (4.1) к виду
а = у, т] = —агр + vaz — р^а\
.1(4-5)
z = —aTzстр — ар.v
Здесь
^(сг) = — аист2 + ист — ат^,
Ч(4.6)
^/ = Шн, u = 5b, а=—.v 7
ати
При условии (4.2) стационарное множество А системы (4.5) состоит из двух точек, устойчивой Oi и седловой О2:
Введем функцию
И = у 2 + 2 ^ + J v^ d<T-<71
Для решений x^t?) = ^<y^t\y^t\ z^t^ системы (4.5) имеет место соотношение
У1(ж(£)) = — arv2z2(t) — г/сг(^)ц(^)г(^) —
(4-7)(4-7)— av2T)(t)z(t) — aTT]2(t) + vcr(t)T)(t)z(t) —
(4-7)
(4-7)
- WN^k^ + W^YHP = -а^кр -
— av2y^z^ — aTv2z2^t\
Нетрудно убедиться в том, что при условии (4.2) в силу критерия Сильвестра [13] квадратичная форма в правой части (4.7) является определенно отрицательной. Поэтому из (4.7) следует, что функция V1 не возрастает по t на некотором (т, +оо) вдоль любой траектории системы (4.5). Отсюда для любой ограниченной траектории x(t^ жд) в силу ограниченности функции V(x(t, жд)) получаем существование конечного lim УДж(£, жд)) = L.
t—^-|-оо
Из ограниченности траектории ж(^, жд) следует, что множество Q cj-предельных точек точки жд не пусто. Пусть у Е Q. Известно [14], что траектория x(t,y) Е Q при всех t Е R1. Поэтому V^x^y)) = L для любого t Е R1. Используя (4.7), получим тождества y^t^y) = О и zt^y) = 0. Из (4.5) и y^t^y) = 0 получаем, что а^Цу^ = const. Следовательно, Q С А. Это включение и изолированность точек А доказывает утверждение 1) теоремы.
В случае Мн = 0 (у = 0) стационарное множество системы (4.5) состоит из единственной точки (0, 0, 0), ^(сг) = ver. Функция Ki имеет v2 9 у2 v 9•
вид Vi = — z + — + — ст , Д С 0, причем Vi = 0 на множестве, не содержащем целых траекторий, кроме стационарной точки (0,0,0), т. е. выполнены условия теоремы Барбашина-Красовского [15, 16] и система (4.5) устойчива в целом.
Предположим, что выполнено условие (4.2) и X(t) — ограниченное решение системы (4.5). Условие (4.2) — частный случай условия (4.1). Поэтому, как было показано в п. 1), Х^ стремится к одному из состояний равновесия. Однако при условии (4.2) стационарное множество системы (4.5) пусто. Получили противоречие, которое доказывает утверждение 3) теоремы.
Для продолжения исследования устойчивости системы (4.1) докажем лемму, являющуюся аналогом теоремы Барбашина-Красовского [15, 16].
Рассмотрим систему
(4.8)(4.8)ж = /(ж), жеи", /еС1.
(4.8)
(4.8)
Л е м м а 4.1. Пусть неограниченное положительно инвариантное множество G системы (4.8) содержит только одну стационарную точку р этой системы. Пусть в фазовом пространстве системы (4.8) определена функция и, удовлетворяющая следующим условиям;
и(х) > 0 для любого х Е G, х ^ р;
у(р) = 0;
й(х) ^ 0 для всех х Е G*,
множество {ж: и(х) = 0} не содержит целых траекторий, кроме стационарных точек*,
Нтж(жп) = +сю для любой последовательности {жп} такой, что |жп| —> ос при п ос и хп Е G при всех п.
Тогда любая траектория x(t,xo) системы (4.8) такая, что xq Е Е G стремится при t +сю к точке р.
Доказательство. Рассмотрим траекторию x(t, жд) точки жд Е Е G при t > 0. В силу свойств ж и положительной инвариантности множества G x^t,x^ Е Gx = {ж: Дж) ^ ж(жд)} П G при всех t > 0.
Докажем ограниченность множества Gx- Предположим противное. Пусть {жп} — последовательность точек хп таких, что при любом п хп Е Gx и Ит|жп| = сю при п сю. Тогда Нт Джп) Джд), что противоречит условию 5) леммы.
Таким образом, Gx — ограниченное положительно инвариантное множество, причем р Е Gx и Gx не содержит других стационарных точек.
Рассмотрим траекторию ж(^,жд) точки жд Е Gx при t > 0. В силу условия 3) леммы и свойств множества Gx функция Дж(£, жд)) не возрастает и ограничена на (0,+сю). Поэтому при t -4 +сю существует конечный предел lim v(x(t, жд)) = L.
Траектория ж(^,жд) ограничена на (0,+сю), поэтому множество Q ее (^-предельных точек не пусто. Пусть q Е Q. Известно [14], что траектория x(t,q) Е Q при всех t Е R1. Поэтому Д(ж(£, q)) = L и следовательно, Дж(£,д)) = 0. В силу условия 4) леммы x(t,q) = р. Тогда р = q. Лемма 4.1 доказана.
Используя преобразование координат (4.4), запишем функцию Vx в координатах и параметрах системы (4.1) с учётом обозначений (4.6)
8181
81
81
Отметим, что аг /ат /,
S1 = (7х = — Vvz - 4у2,82 = (Т2 = —v2 - 4д2
\/\
(4-9)
Введем функцию
2222^2 2^2 2
2
2
2
2
^2 2
^2 2
и множестваи множестваDo = {X: W^ < Г},А 2Vi(X) <р2, з<з2},D2 = U- 2Н(Х)<р2, s>s^,D3 = {X: 2W(X) < Г, s < si},D4 = {X: 2W(X) < Г, s > s2}.Do = {X: W^ < Г},А 2Vi(X) <р2, з<з2},D2 = U- 2Н(Х)<р2, s>s^,D3 = {X: 2W(X) < Г, s < si},D4 = {X: 2W(X) < Г, s > s2}.
и множества
и множества
Do = {X: W^ < Г},А 2Vi(X) <р2, з<з2},D2 = U- 2Н(Х)<р2, s>s^,D3 = {X: 2W(X) < Г, s < si},D4 = {X: 2W(X) < Г, s > s2}.
Do = {X: W^ < Г},А 2Vi(X) <р2, з<з2},D2 = U- 2Н(Х)<р2, s>s^,D3 = {X: 2W(X) < Г, s < si},D4 = {X: 2W(X) < Г, s > s2}.
гдегде
где
где
Теорема 4.2. Пусть Мн = const, выполнено условие (4.2) и усло
г Рог°~5"ьг Рог°~5"ь(4.10)(4.10)вие
г Рог°~5"ь
г Рог°~5"ь
(4.10)
(4.10)
Тогда^ если Г = Г§/2, то справедливы следующие утверждения:
множество Gx = Dx |J Вг содержится в области притяжения устойчивого состояния равновесия системы (4.1);
для любого решения X^t^X^ = ^х^Х^у^Х^з^Х^ системы
такого^ что Хо 6 G2 = D^ Q D4 выполнено соотношение
limt—^-|-ооlimt—^-|-ооs(t,X0) = +00.s(t,X0) = +00.(4.11)(4.11)
lim
t—^-|-оо
lim
t—^-|-оо
s(t,X0) = +00.
s(t,X0) = +00.
(4.11)
(4.11)
lim W(x(f), y(t)) ^ Г.lim W(x(f), y(t)) ^ Г.(4.12)(4.12)Доказательство. Докажем, что множество Do положительно инвариантно для решений системы (4.1). Для этого покажем, что для любого решения Х^ = ^x^t\y^t\ s^t^ системы (4.1) имеет место неравенство
lim W(x(f), y(t)) ^ Г.
lim W(x(f), y(t)) ^ Г.
(4.12)
(4.12)
Действительно,
ТУ + 2АТУ = -аг2(аг-А)ж2 + аг2жТУ + 2АТУ = -аг2(аг-А)ж2 + аг2жаг2(аг — А) у2аг2(аг — А) у24(аг - А)4(аг - А)= 2АГ.= 2АГ.
ТУ + 2АТУ = -аг2(аг-А)ж2 + аг2ж
ТУ + 2АТУ = -аг2(аг-А)ж2 + аг2ж
аг2(аг — А) у2
аг2(аг — А) у2
4(аг - А)
4(аг - А)
= 2АГ.
= 2АГ.
ПоэтомуПоэтому
Поэтому
Поэтому
(W - Г)* + 2А(ТУ - Г) < 0,
откуда следует, что при всех t ^ 0
WHt),W)) - Г < [МЦ(0),у(0)) - Г]е-2А‘,
т. е. (4.12) выполнено. Из (4.12) следует положительная инвариантность множества Dq.
Докажем, что множества Dy и D2 положительно инвариантны для решений системы (4.1), причем Dy входит в область притяжения точ
(4.13)(4.13)(4-14)(4-14)
(4.13)
(4.13)
(4-14)
(4-14)
ки Оу. Очевидно, что существуют точки s = S3 и s = S4 такие, что S3 < Si , S4 > S2 (рис. 4.1) и
8284
J (p(s) ds = j (p(s) ds = 0.
S381
Поверхности уровня функции Vy определяются уравнениями
1 _\ 2
— ) + и2а^(у — и)2 = Ф(з, С),
где Ф(5,С) — однопараметрическое семейство функций
Ф(8,С) = С-2 j
81
изображенное на рис. 4.1.
Нетрудно убедиться в том, что для функций (4.14) имеют место следующие утверждения:
Ф(бх,0) = Ф(«4,0) = 0, Ф(б,0) < 0 при всех х Е R^lsi, S4};
при любом С < 0 существует единственный нуль s = s функции Ф(5, С), Ф(5, С) < 0 на (—ос, s) и Ф(5, С) > 0 на (s, +00);
при условии 0 < С < ро функция Ф($, С) имеет три нуля: si, s2, S3, причем si < s2 < s3 и Ф(5, 0) < 0 на (—00, si) |J(^2? S3), Ф(5, С) > 0 на (si, s2) U(^3, +00);
Ф(53,ро) = Ф(52,ц0) = о, Ф(5,р0) < о Ф(5,р0) < о на (-oo,s3), Ф(5,р0) > о на (s3, s2) U(s2, +00).
при любом С>ро функция Ф(5,С) имеет единственный нуль s и Ф(5,С)<0 на (—oo,s), Ф(5,С) > 0 на (s, +00).
В соответствии с приведенными утверждениями поверхности (4.13):
вырождаются в точки s = Si и s = S4;
расположены в полупространстве s > S4 и гомеоморфны конусам;
расположены в части фазового пространства S3 < s < s2 и в полупространстве s > s2, гомеоморфны эллипсоидам и конусами соответственно;
представляют поверхность, проходящую через седловую особую точку, состоящую из 2-х частей, гомеоморфных эллипсоиду и конусу соответственно;
расположены в фазовом пространстве s > S3, гомеоморфны конусам.
Таким образом, область Dy ограничена замкнутой частью поверхности Ф(5,рд2) и содержит устойчивую стационарную точку Оу. При условии (4.2) Vy ^ 0, причём Vy < 0 во всех точках ЭВу^ кроме точек
ОгОг/ aTb — Мн§^ у а^Ъ/ aTb — Мн§^ у а^ЪМн атЬ 1Мн атЬ 1г = 1,2.г = 1,2.
Ог
Ог
/ aTb — Мн§^ у а^Ъ
/ aTb — Мн§^ у а^Ъ
Мн атЬ 1
Мн атЬ 1
г = 1,2.
г = 1,2.
Отсюда в силу непрерывной зависимости решений от начальных данных следует положительная инвариантность множества Dy. Поскольку для Dy выполнены условия леммы 4.1, Dy входит в область притяжения точки Оу.
Границей области D^ является разомкнутая неограниченная часть поверхности Ф(5,ро2)- Множество D2 содержит только такие поверхности Ф(5,С) уровня V2, у которых С < р^2. Во всех точках 8D2 выполнено V2 < 0. Поэтому множество D^ положительно инвариантно.
Рассмотрим сечение Si и S3 множеств Dy и D3 плоскостью s = si
с v 2 2/ as2 \. 2 2/\2 / 2
Si = < X: v а х+ v сц\у — а) < р^ I\OLqp J
S3 = {X: а2х2 + а2у2 < 2Г, s = si}.
При условии (4.10) существует Г = Гд/2 такое, что круг S3 изнутри касается границы круга Si в некоторой точке К (рис. 4.2).
Тогда имеем включение S3 С Si С Dy, из которого вследствие
положительной инвариантности множеств Do и Dy получаем поло
жительную инвариантность множества Gy.
Итак, Gy — положительно инвариантное множество, причем Gy
содержит только одну стационарную точку системы (4.1) — точку Оу.
Рис. 4.2Рис. 4.2Для функции г2 в области Gy выполнены условия 1)-5) леммы 4.1. Действительно, Vy > 0 во всех точках области Gy, кроме точки Оу, где Vy = 0, т. е. выполнены условия 1) и 2). Из (4.7) имеем условия 3) и 4). Далее, легко видеть, что
Рис. 4.2
Рис. 4.2
lim / ip^ ds = +00.
s^-oc J S1
Поэтому выполнено условие 5) леммы 4.1. Следовательно, любая траектория X^t,X^ системы (4.1) такая, что Xq Е Gy, стремится к точке Оу. Утверждение 1) теоремы доказано.
Из положительной инвариантности множеств Do и Dy и того фак
та, что во всех точках границы 9G-2 множества G^ имеют место нера
венства Vy < 0 и W < 0, следует положительная инвариантность множества G^. Очевидно, что G^ — неограниченное по з множество, причем G^ не содержит стационарных точек. Поэтому для любой траектории X(t,Xo) такой, что Xq Е G^, выполнено соотношение (4.11). Теорема 4.2 доказана.
0 < к8 < Заг+10 < к8 < Заг+1(4-15)(4-15)Т е о рема 4.3. Пусть Мн = ^(1 — s), к = const. Тогда, если
0 < к8 < Заг+1
0 < к8 < Заг+1
(4-15)
(4-15)
то система (4.1) глобально асимптотически устойчива. Доказательство. Замена переменных
х = —аТх + 1, у = ату, s = s
при сохранении прежних обозначений переменных приводит систему (4.1) к виду
х = — атх + sy,
у = -ату + s - хз,(4.16)
s = — vy — US + к,
где v = Sb, к = нб.
Введем функцию
и обозначение
= (^-2^(1-^ к2
3 8А(аг — А) 8А(к-А)’
где А 6 [0, Ло], Ад = min{ar,^}, и покажем что для любого решения системы (4.16) имеет место оценка
Н^ Wb^X^ Хо) < Г3.(4.17)
Действительно,
W3 + 2AW3 = —оц-ж2 + ar(l — v^x — ^s2 + ks + Ax2 +
(gr — 2A)(1 — z/)(gr — 2A)(1 — z/)+ A(1 — z/)2 — 2A(1 — u)x + Xy2 + As2 = — (ar — A)x2 + (ar — 2A)(1 — z/)x—
(gr — 2A)(1 — z/)
(gr — 2A)(1 — z/)
— (к — A)s2 + fts — (ar — X^y2 = (ar — A)
KSKS- X^y2 =- X^y2 =— A) x2 —— A) x2 —(gr — 2A)(1 — z/)(gr — 2A)(1 — z/)i 2i 2^aT — A) i 2^aT — A) i 2(gr — 2А)2(1 — z/)24^ат — А)(gr — 2А)2(1 — z/)24^ат — А)2(k-A)_2(k-A)_к24(^ — A)к24(^ — A)- («г - A)y2- («г - A)y2-2A)2(1-z/)2 4^ат — А)-2A)2(1-z/)2 4^ат — А)к2а^Г™'1' |4л8)к2а^Г™'1' |4л8)
KS
KS
- X^y2 =
- X^y2 =
— A) x2 —
— A) x2 —
(gr — 2A)(1 — z/)
(gr — 2A)(1 — z/)
i 2
i 2
^aT — A) i 2
^aT — A) i 2
(gr — 2А)2(1 — z/)24^ат — А)
(gr — 2А)2(1 — z/)24^ат — А)
2(k-A)_
2(k-A)_
к2
4(^ — A)
к2
4(^ — A)
- («г - A)y2
- («г - A)y2
-2A)2(1-z/)2 4^ат — А)
-2A)2(1-z/)2 4^ат — А)
к2
а^Г™'1' |4л8)
к2
а^Г™'1' |4л8)
Итак, оценка (4.17) доказана. Из (4.17) получаем оценку
W3(X(t,Af0)) - Г3 < [Wa№) - Г3] e"2At,
Отсюда следует диссипативность системы (4.16), а значит, и системы (4-1).
Используя замену переменных
ст = s, ц = — vy — ks + ^, z = х(s — s2),(4.19)
приведем систему (4.16) к виду
18 Под ред. В.М. Матросова и др.
а = q, q = — (аг + к)у + vcrz — ф(сг),а = q, q = — (аг + к)у + vcrz — ф(сг),./2я;1\ftz = — arz + I\ cryq,\aTvv /aTv./2я;1\ftz = — arz + I\ cryq,\aTvv /aTv(4.20)(4.20)где ф(сг) = — (03 — ст) + (агк + v^cr — агк.Стационарное множество системы состоит из одной, двух или трех точек.Введем функциюгде ф(сг) = — (03 — ст) + (агк + v^cr — агк.Стационарное множество системы состоит из одной, двух или трех точек.Введем функцию(4.21)(4.21)ООи вычислим производную функции У2 в силу системы (4.20)и вычислим производную функции У2 в силу системы (4.20)•QrZ72 2^2 =~ат — 2к•QrZ72 2^2 =~ат — 2к.р 2к.р 2кcyqz —cyqz —qz — (ar + к)р2 + vcrqz — ^(cr^q + aT — 2ftqz — (ar + к)р2 + vcrqz — ^(cr^q + aT — 2ft(4.22)(4.22)+ W)t) =^-x+ W)t) =^-xvkar — 2ftvkar — 2ftqz — (aT + ^)q2-qz — (aT + ^)q2-
а = q, q = — (аг + к)у + vcrz — ф(сг),
а = q, q = — (аг + к)у + vcrz — ф(сг),
./2я;1\ft
z = — arz + I\ cryq,
\aTvv /aTv
./2я;1\ft
z = — arz + I\ cryq,
\aTvv /aTv
(4.20)
(4.20)
где ф(сг) = — (03 — ст) + (агк + v^cr — агк.
Стационарное множество системы состоит из одной, двух или трех точек.
Введем функцию
где ф(сг) = — (03 — ст) + (агк + v^cr — агк.
Стационарное множество системы состоит из одной, двух или трех точек.
Введем функцию
(4.21)
(4.21)
О
О
и вычислим производную функции У2 в силу системы (4.20)
и вычислим производную функции У2 в силу системы (4.20)
•QrZ72 2
^2 =~
ат — 2к
•QrZ72 2
^2 =~
ат — 2к
.р 2к
.р 2к
cyqz —
cyqz —
qz — (ar + к)р2 + vcrqz — ^(cr^q + aT — 2ft
qz — (ar + к)р2 + vcrqz — ^(cr^q + aT — 2ft
(4.22)
(4.22)
+ W)t) =^-x
+ W)t) =^-x
vk
ar — 2ft
vk
ar — 2ft
qz — (aT + ^)q2-
qz — (aT + ^)q2-
При выполнении условий (4.15) квадратичная форма в правой части (4.22) является определенно отрицательной. Повторяя рассуждение, проведенные при доказательстве теоремы 4.1 после получения соотношения (4.7), приходим к выводу о дихотомичности системы (4.16).
Из диссипативности и дихотомичности следует глобальная асимптотическая устойчивость системы (4.1). Теорема 4.3 доказана.
Доказательство теорем 3.3, 3.4. Рассмотрим систему (3.11), (3.12).
Доказательство теоремы 3.3. При условии (3.13) стационарное множество системы (3.11), (3.12) состоит из двух точек, устойчивой О о и седловой (9i: О ДО, 0, х^, yi, sj, i = 0,1.
атSi
a2 + s2a; + s2
So,l = "тД6 T “ 4MH ) •
Пусть траектория X(t,p) системы (3.11), (3.12) ограничена на (0, + сю). Тогда множество Пр cj-предельных точек точки р не пусто.
Пусть q Е Qp, q = (^),z = 1,...,5. В силу асимптотической устойчивости линейной системы (3.11) qi = q2 = 0.
Введем множество Ф = {X = X(t,qY t Е R1}. Известно [14], что Ф С Qp, т. е. все точки траектории X(t,q) являются cj-предельными для точки р. Очевидно, система (3.11), (3.12) на множестве Ф может быть представлена в виде (4.1)
В силу теоремы 4.1 функция Их (ж) не возрастает по t на некотором (т,+оо). Отсюда и из ограниченности V^X^qY) следует существование конечных пределов
lira УДХ^,^)) = LX,
(5.1) ^m^V^X^q)) = U.V 7
Из ограниченности траектории X^q^ следует, что существует qw — cj-предельная точка траектории X^qY Как отмечалось выше, траектория
Х^,^) £ ^q ПРИ всех t Е R1 (Qq — cj-предельное множество точки qY Поэтому K(X(t, q^ = Li при всех t Е R1. Тогда, используя (4.5) и (4.7), получим тождества т)(1^ш) = 0, z^q^ = 0. Из (4.5) и т](1^ш) = 0 следует, что сг(1^ш) = const. Итак, lim X(Lq) = щ, где ci — стационарная точка.
Аналогичные рассуждения приводят к тому, что lim X(t^q) = = С2, где С2 — стационарная точка.
В случае у = 0 щ = С2 и справедливость утверждения теоремы очевидна. В случае у > 0, если щ = С2, то теорема доказана. Если щ ф С2, то X(t^q) — двоякоасимптотическая (гетероклиническая) траектория, выходящая из седла О2 и входящая в устойчивую стационарную точку Oi. Пусть q Е Ф. Это означает, что существует последовательность {tn}, tn +ос, такая, что lim X(tn^p) = ф т. е.
tn —Уоо
для любого е > 0 существует N, такое, что при всех п > N выполнено неравенство
Ц(^,Р) - 9| <
Тогда в силу непрерывной зависимости решений от начальных данных имеем соотношение
lim X(tn,p) = Ov
Отсюда следует, что q = Oi. Итак, Qp С А, т. е. Qp состоит из изолированных точек. Теорема 3.3 доказана.
Доказательство теоремы 3.4. В условиях теоремы стационарное множество системы (3.11), (3.12) может состоять из одной, двух или трех точек.
На множестве Ф, введенном при доказательстве теоремы 3.3, система (3.11), (3.12) может быть записана в виде (4.16).
Повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 3.3, приходим к выводу о дихотомичности системы (3.11), (3.12).
- а2(1 - р^-фж < 2А^[^Ж, ^у)- а2(1 - р^-фж < 2А^[^Ж, ^у)(ж, s)Hx(x, s)T - (у, s)Hy(y, s)T.(ж, s)Hx(x, s)T - (у, s)Hy(y, s)T.ЗдесьЗдесьНжНжууarz/(l - р)фх\2v^aT — А)arz/(l — ц)фу\2arz/(l - р)фх\2v^aT — А)arz/(l — ц)фу\2QrZ/(l - Ц)фж\2Ai2QrZ/(l - Ц)фу\2А]QrZ/(l - Ц)фж\2Ai2QrZ/(l - Ц)фу\2А]
- а2(1 - р^-фж < 2А^[^Ж, ^у)
- а2(1 - р^-фж < 2А^[^Ж, ^у)
(ж, s)Hx(x, s)T - (у, s)Hy(y, s)T.
(ж, s)Hx(x, s)T - (у, s)Hy(y, s)T.
Здесь
Здесь
Нж
Нж
у
у
arz/(l - р)фх
\2
v^aT — А)
arz/(l — ц)фу
\2
arz/(l - р)фх
\2
v^aT — А)
arz/(l — ц)фу
\2
QrZ/(l - Ц)фж\
2
Ai
2
QrZ/(l - Ц)фу\
2
А]
QrZ/(l - Ц)фж\
2
Ai
2
QrZ/(l - Ц)фу\
2
А]
276 Г.А. Леонов, Н.В. Кондратьева, Ф.Ф. Родюков, А.И. Шепелявый Докажем диссипативность системы (3.11), (3.12) (при Мн =
= к(1 — s)). Замена переменных
= -аг^ж + 1, у = агу,(5.2)
при сохранении обозначений переменных х, s приводит систему (3.11), (3.12) к виду
Фх = ~<МФх Фу,
.(5.3)
Фу — О^зФу Фх,
х = — аТх + sy — аг(1 — ц)фж, у = —ату — s + sx + аД1 — ц)фу,(5-4)
8 = -Vy + QrZ/(l - цХфжу + фуХ - фу) + К - KS. Введем функцию
w4 =(ж2 + у2) + | S2 - ж.
Докажем, что для любого решения Хфф = (^i(t), ^(t), ^(t), y(t), s(t)) системы (5.3), (5.4) имеет место неравенство
t^W4(X(t)) < Г4,(5.5)
где Г4 — некоторая постоянная,
ИД + 2АИД = — [(аг — А)ж2 + (ar — 2А + аг(1 — ц)(1 + и)фжх^ —
- [(аг - А)у2 - ar(l + z/)(l - p^ylA - [(“г - A)s2 - (к - vp2^s\ -
— v(ar — А)ж2 — arv(l — р)фух8 + -^- s2 —
- А)у2 - arv(l - р)фхзу + у s2
5.65.68А(аг - А)+
5.6
5.6
“Х1 - М)2(1 + ^Уфу (к - о^гД - мЖ)2 аД -
+ 8А(аг - А) + 8А(к - А2)+ 2А’
А = Ai + А2, Ai > О, А2 > О, А Е [О, Ao], Aq = min{аг. к^.
Тогда
, , „ _ Ац/(аг - A) a2z/2(l - цУ^
det4’
В силу асимптотической устойчивости системы (5.3) существует число М > 0 такое, что
|^ж(^)| С Me-CXst.^(t)! Me~ast при всех t > 0.
Легко видеть, что существует число Т > 0 такое, что при всех t ^ Т выполнено
det Hx(t) > 0, dctTf^) > 0.
Отсюда и из (5.6) следует, что при всех t ^ Т выполнено соотношение
W4 + 2AW4 < 2Хф^У(5.7)
где ^(t) = 1рУМе-азУ Me~ast). Очевидно, что существует конечный предел Г4 = lim ф(1). Следовательно, существуют числа ко и Ао > А такие, что
<0 = Г4 + koe"2Xot.
Поэтому из (5.5) и (5.6) получаем оценку
ИДАД) - Г4 < Т4 Д(0)) e"2At + -^Ет U"^ - е""0*) , «о ~ ЗА
откуда следует (5.5).
Из оценки (5.5) и асимптотической устойчивости линейной системы (5.3) следует диссипативность системы (3.11), (3.12).
Из дихотомичности и диссипативности системы (3.11), (3.12) следует ее глобальная асимптотическая устойчивость. Теорема 3.4 доказана.
Устойчивость одномерной модели. Очевидно, что отщепленные уравнения (3.11) для квазипотокосцеплений статорных обмоток асинхронного двигателя глобально устойчивы и имеют стационарное решение
< = 0, ^=0.
Поэтому, следуя общепринятому квазистационарному подходу, на практике часто для исследования полных расщепленных уравнений (3.11), (3.12) в уравнения (3.12) подставляют стационарное решение системы (3.11).
Таким образом, для исследования асинхронного двигателя на устойчивость получают систему (4.1).
Малость параметра 5 (он обратно пропорционален моменту инерции ротора) лежит в основе упомянутого выше инженерного подхода к упрощению системы (4.1) при изучении колебаний ротора асинхронного двигателя и его устойчивости. Этот подход состоит в замораживании медленной механической переменной з в уравнениях для быстрых электрических переменных х, у и переходе в последнем из уравнений (4.1) к значению у в стационарном режиме, т. е. к уравнению
(6Л)
\ а2 + s2 /
В установившемся режиме из (4.1) и (6.1) получаем
Мн-Мн-arbsа^, + s2arbsа^, + s2(6-2)(6-2)
Мн-
Мн-
arbsа^, + s2
arbsа^, + s2
(6-2)
(6-2)
Это — общепринятая статическая механическая характеристика асинхронного двигателя. Из нее следует, что электромагнитный момент достигает максимального М^ах значения при s = sKp = аТ. Это значение s также общепринято и по ГОСТу имеет обозначение sKp и дается в техническом паспорте каждого асинхронного двигателя.
Отношение
(6.3)(6.3)Мн 2ssKp2
(6.3)
(6.3)
” s2p + s2 “ 8^р । 8
8 8Кр
носит название формулы Клосса и широко используется на практике
для расчетов асинхронного двигателя.
Рассмотрим уравнение (6.1).
Теорема 6.1. Пусть Мн = const. Уравнение (6.1): 1) устойчиво в целом, если Мн = 0; 2) дихотомично, если 0 < Мн < Ъ/2, 3) имеет единственное полуустойчивое состояние равновесия, если Мн = Ъ/^ 4) не имеет ограниченных решений, если Мн > b/2.
ние устойчиво в целом.2) Пусть 0 < Мн < Ъ/2. Состояния равновесия: s = si и s = 82, устойчивое и неустойчивое. Функции и^ = ^8 — 8^2, г = 1, 2, позволяютние устойчиво в целом.2) Пусть 0 < Мн < Ъ/2. Состояния равновесия: s = si и s = 82, устойчивое и неустойчивое. Функции и^ = ^8 — 8^2, г = 1, 2, позволяютДоказательство. 1) Пусть Мн = 0. Точка s = 0 — единственная стационарная точка уравнения (6.1). Функция и = - s2 вдоль любой траектории имеет отрицательную производную. Поэтому уравне
ние устойчиво в целом.
2) Пусть 0 < Мн < Ъ/2. Состояния равновесия: s = si и s = 82, устойчивое и неустойчивое. Функции и^ = ^8 — 8^2, г = 1, 2, позволяют
ние устойчиво в целом.
2) Пусть 0 < Мн < Ъ/2. Состояния равновесия: s = si и s = 82, устойчивое и неустойчивое. Функции и^ = ^8 — 8^2, г = 1, 2, позволяют
установить, что интервал (—00,52) есть область притяжения состояния равновесия s = si и что любая траектория s(t,so), где sq > 52 уходит на бесконечность (рис. 6.1).
Пусть Мн = 6/2. Уравнение (6.1) имеет единственную стационарную точку s = ат, областью притяжения которой является интервал (—оо,аг). Любая траектория s(t, so), где sq > ат уходит на бесконечность (рис. 6.1). (Функция Ляпунова и = (s — а^.)
Пусть Мн > Ъ/2. Уравнение (6.1) не имеет стационарных точек. Производная функции г = s2 положительна вдоль любой траектории.
Теорема 6.2. Пусть Мн = k(l — s), где k = const, к > 0. Уравнение (6.1): 1) устойчиво в целом, если стационарное множество состоит из одной точки*, 2) дихотомично, если стационарных точек две*, 3) глобально асимптотически устойчиво, если стационарное множество состоит из трех точек (рис. 6.2).
Доказательство теоремы 6.2 проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 6.1 с использованием функций Ляпунова того же вида.
В случае 1) областью притяжения точки sq является вся фазо-
вая прямая (—оо,+оо). В случае 2) область притяжения устойчивого состояния равновесия s = si есть интервал (—00,52). Состояние равновесия s = S2 полу устойчиво. В случае 3) стационарные точки si и S3 устойчивы и имеют области притяжения (—00, S2) и (52, +00) соответственно. Стационарная точка §2 является неустойчивой.
Список литературы
У а й т Д., В у д с о н Г. Электромеханическое преобразование энергии. — М., 1964. — 528 с.
Львович А.Ю., Родюков Ф.Ф. Уравнения электрических машин. — СПб.: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 1997. — 271 с.
Горев А.А. Переходные процессы синхронной машины. — Л.: Наука, 1985. - 502 с.
Глебов И.А. Научные основы проектирования систем возбуждения мощных синхронных машин. — Л.: Наука. Ленингр. отд-ние, 1988. — 332 с.
Соколов М.М. и др. Электромагнитные переходные процессы в асинхронном электроприводе. — М., 1967. — 201 с.
Брускин Д.Э., ЗороховичА.Е., Хвостов В.С. Электрические машины. Ч. 1, 2. — М., 1979.
Ушаков Е.И. Статическая устойчивость электрических систем. — Новосибирск, 1988. — 273 с.
КравчикА.Э. и др. Асинхронные двигатели серии 4А: Справочник. — М.: 1982. — 504 с.
АндерсонП., Фуад А. Управление энергосистемами и устойчивость. - М., 1980. - 568 с.
Tricomi F. Integrazione di unequazione differenziale presentatisi in elec- trotechnica// Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. Sci. Phys. Mat. — 1933. — V. 2, № 2.
Stoker J.J. Nonlinear vibrations. Interscience. — N. Y., 1950.
Копылов Н.П. Математическое моделирование электрических машин. — М., 1984. — 318 с.
Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М., 1954.
НемыцкийВ.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М.-Л., 1947.
БарбашинЕ.А. Введение в теорию устойчивости. — М., 1967.
БарбашинЕ.А. Функции Ляпунова. — М., 1970.
Странные аттракторы/ Под ред. Я.Г. Синая, Л.П. Шильникова. — М., Мир, 1981.
Леонов Г. А. О глобальной устойчивости системы Лоренца// ПММ. — 1983. — Т. 47, вып. 5.
О СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЯХ ТЕЛАНА СТРУННОМ ПОДВЕСЕ
С. А. Мирер, В.А. Саричев
Изложены основные результаты, полученные авторами при исследовании стационарных движений твердого тела, подвешенного на безынерционной нерастяжимой струне (стержне) к неподвижному основанию. Обсуждаются принципы классификации механических систем по числу и свойствам возможных в них стационарных режимов типа перманентного вращения и регулярной прецессии. Проанализированы все предельные режимы системы при неограниченном росте угловой скорости.
Введение
Работа посвящена анализу стационарных движений твердого тела, подвешенного на стержне. Начало изучению таких движений положили эксперименты с быстровращающимися телами, проводимые под руководством М. А. Лаврентьева. В продолженных позже теоретических и экспериментальных исследованиях киевской школы, возглавляемой А.Ю. Ишлииским, были обнаружены интересные закономерности поведения систем. Среди них, например, любопытное явление, когда наряду с устойчивым тривиальным режимом существуют также устойчивые конические режимы, рожденные из тривиального.
При увеличении угловой скорости вращения системы был обнаружен режим, для которого главная центральная ось инерции тела почти совпадает с неподвижной вертикалью и совмещается с ней тем точнее, чем выше угловая скорость системы. Это свойство системы явилось основой метода динамической балансировки быстровращаю- щихся тел, который особенно эффективен при балансировке крупногабаритных конструкций (например, роторов турбин).
Варьирование постановок задачи, например, учет различных ограничений на тело, точку подвеса, упругие свойства струны или стержня, рассмотрение вместо стержня цепочки стержней, соединенных шарнирами Гука, фактически заложили основу нового раздела динамики твердого тела [10].
Следует подчеркнуть, что движению твердого тела на струнном подвесе посвящено огромное число работ, в том числе основополагающие работы А.Ю. Ишлинского, В.В. Румянцева и их многочисленных
© С.А. Мирер, В.А. Сарычев, 2001
учеников и последователей. Настоящая работа ни в коей мере не претендует на сколь-нибудь полное описание всех результатов, полученных в данной области, тем более, что подобные обзоры, правда также далеко не полные, уже существуют (см., например, [9]). По-видимому, наиболее глубоко и подробно данная проблематика рассмотрена в [10].
В настоящей работе основное внимание уделяется поиску стационарных движений твердого тела на струне и подводится итог десятилетних исследований этой проблемы в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. Авторы считают своим приятным долгом отметить значительный вклад в решение отдельных задач аспирантов МФТИ А.В. Исакова и С.А. Одинцовой.
Пусть твердое тело тами инерции А^ В^ СПусть твердое тело тами инерции А^ В^ СТвердое тело на струнном приводе
Пусть твердое тело тами инерции А^ В^ С
Пусть твердое тело тами инерции А^ В^ С
массы т с главными центральными момен- соединено в точке Оз с помощью идеального сферического шарнира с недеформируемым невесомым стержнем (или нескру- чивающейся нерастяжимой струной, которая предпо
лагается всегда натянутой). Другой конец стержня
Уравнения движения тела на струне имеют видУравнения движения тела на струне имеют вид(струны) также при помощи идеального шарнира прикреплен к неподвижному основанию в точке Oi (рис. 1). Расстояние между центром масс тела G и точкой крепления к стержню О2 обозначим а, длину стержня — I.
Уравнения движения тела на струне имеют вид
Уравнения движения тела на струне имеют вид
(1)(1)mr = mg + Т,
(1)
(1)
К = а х Т.
Здесь г = OiG = — (GO2 + O2Oi) = — (а +1), Т — сила реакции струны, К — кинетический момент тела относительно его центра масс (точки G). Первое уравнение (1) описывает движение центра масс, второе — движение относительно центра масс. Общий анализ уравнений (1) содержится в работе В.В. Румянцева [18], где, в частности, показано, что в системе существуют интегралы энергии и площадей
(2)(2)mr2 + (си, Jeu) + 2mgl cos 9 = const,(r x mr + К) z° = const.
(2)
(2)
Здесь J — центральный тензор инерции тела, си — вектор абсолютной угловой скорости тела, z° — единичный вектор вдоль восходящей вертикали (оси OiZq), 6 — угол между z° и а.
Если тело обладает динамической симметрией и Оз принадлежит оси симметрии, то существует еще один интеграл движения, выражающий постоянство проекции угловой скорости тела на ось симметрии.
В частном случае, когда точка крепления к струне О2 и центр масс тела G совпадают, а = 0 и уравнения (1) разделяются. При этом центр масс движется как сферический маятник, а движение вокруг центра масс происходит точно так же, как в случае Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Если длина струны равна нулю, то имеет место случай движения тела с неподвижной точкой.
Введем следующие правые прямоугольные системы координат.
OiXqYqZq — абсолютная система координат, ось OiZ0 направлена вертикально вверх.
OiXYZ — система координат, вращающаяся вокруг оси O^Z 11Oi^o; плоскость 01YZ постоянно содержит струну.
GXqYqZq — система координат с началом в центре масс тела и осями, параллельными соответствующим осям абсолютной системы координат OiXqYqZq.
Gxyz — система координат, связанная с телом; ось Gz направлена в точку О^-
Положение связанной с телом системы координат Gxyz относительно абсолютной определим классическими углами Эйлера — пре- цесии ^, нутации 9 и собственного вращения р (рис. 2). Положение струны относительно абсолютной системы координат определим двумя углами — 0 и а, которые фактически являются углами прецессии и нутации для струны.
Заметим, что угол нутации тела 9 (угол наклона вектора а к восходящей вертикали) принимает значения из интервала (—тг,тг]. Что касается угла наклона стержня (струны) а, то при подвесе тела на стрежне а 6 [0, тг], а при подвесе на струне а 6 [0, тг/2). Уменьшение интервала возможных значений а в последнем случае связано с тем, что необходимое при а > тг/2 напряжение в струне, противодействующее ее сжатию, возникнуть не может. На этот факт указано, например, в [15].
Будем исследовать стационарные движения тела на струнном подвесе вида
Q = Q0, ^ = ^0, ^ = ^0, ^ = ^0, Ф = ^0- (3)
В [17] показано, что в случае осесимметричного тела, прикрепленного к струне в точке на оси симметрии, система (1) допускает стационарные решения (3) двух типов. Для первого типа имеют место соотношения
фо = 0, 0о = Фо- (4)
При этом, очевидно, тело и струна вращаются вокруг вертикальной оси как единое целое, а во вращающейся вместе со струной системе координат тело и струна находятся в положении равновесия. Поэтому такое движение можно назвать относительным равновесием. Заметим, что такие движения возможны для систем произвольной конфигурации, а не только для осесимметричных тел. Часто, вслед за В.В. Румянцевым, такие движения называют перманентными вращениями. Вообще говоря, термины перманентное вращение и относителъное равновесие не совпадают и каждый из них подразумевает специфическую постановку задачи [16]. Понятие перманентное вращение означает вращение системы как целого при постоянном значении проекции кинетического момента тела на вертикаль; относителъное равновесие также означает вращение системы вокруг вертикали как целого, но теперь постоянной должна быть угловая скорость. Заметим, что указанное различие становится существенным только при исследовании устойчивости. На этапе поиска стационарных движений оно никакой роли не играет, поскольку сводится лишь к различию параметров, в которых проводится рассмотрение. Строго говоря, настоящая работа посвящена анализу относительных равновесий системы тело на струне, но поскольку мы здесь ограничиваемся только поиском стационарных решений и не исследуем их
устойчивость, то для нас перманентное вращение и относительное
равновесие означает одно и то же.
Если тело осесимметричное и точка крепления к струне принадлежит оси симметрии, то возможен второй тип стационарных вращений, для которого фо ф 0. Заметим, что в этом случае, как и для перманентных вращений, должно выполняться условие Д = фо^ означающее, что струна и ось симметрии тела (ось Gz) вращаются вокруг вертикали как единое целое с постоянной угловой скоростью. Условие фо ф 0 означает, что тело, кроме того, равномерно вращается вокруг своей оси симметрии. Иными словами, движение тела представляет собой суперпозицию двух равномерных вращений — вращения оси симметрии вместе со струной вокруг вертикали со скоростью фо и собственного вращения вокруг оси симметрии со скоростью фо- Такое движение называется регулярной прецессией.
Поскольку для обоих типов стационарных движений выполняется
условие г = — cj2p, где р — вектор, G (рис. 3), ш = Ро = фо — угловая скорость вращения системы вокруг вертикали, то первое уравнение (1) можно преобразовать к виду
т (g + cj2p) + Т = 0,(5)
откуда следует, что векторы g, р и Т компланарны, и, следовательно, точки 01, О2 и G принадлежат вертикальной плоскости, содержащей струну. Таким образом, центр масс тела и струна лежат в одной плоскости, которая проходит через неподвижную вертикаль O\Z и вращается вокруг нее с постоянной скоростью ш.
Интересное свойство рассматриваемой механической системы заключается в том, что при
направленный от оси OiZq к точкенаправленный от оси OiZq к точкеувеличении угловой скорости одна из главных центральных осей инерции тела стремится совместиться с неподвижной вертикалью OiZq. Это явление, впервые обнаруженное экспериментально, описано в [13]. Его подробное теоретическое исследование проведено в [5, 6], где в линейном приближении получена оценка отклонения оси инерции тела от вертикали при больших ш, а также описана установка для динамической балансировки тел.
направленный от оси OiZq к точке
направленный от оси OiZq к точке
Эффект самобалансировки быстровращающихся тел легко объяснить (см., например, [18]). Если ш -Д- ос, то из (5) следует, что р 0 (поскольку сила реакции струны Т, естественно, остается конечной), т. е. центр масс тела стремится занять положение на неподвижной
вертикали. Второе уравнение (1) с учетом того, что К = си х К, принимает вид
ш х К = а х Т. (6)
и, поскольку правая часть (6) не может неограниченно расти, векторы си и К при о; —> оо стремятся стать коллинеарными. А это в общем случае возможно только при совпадении одной из главных центральных осей инерции тела с вектором его угловой скорости, т. е. с вертикалью.
Уравнения (5), (6) не поддаются аналитическому решению. Поэтому в самом общем случае исследован лишь один тип перманентных вращений, для которого главная центральная ось инерции тела вертикальна и обращается вокруг OiZg [7]. Для такого типа движения показано, что струна и центр масс тела должны находиться на одной прямой. Заметим, что в [7] рассматривается более общая постановка задачи — верхний конец струны крепится на вращающейся горизонтальной штанге, т. е. отстоит от неподвижного основания на некоторое расстояние. Однако приведенный выше результат остается справедливым и при традиционном способе крепления, показанном на рис. 1.
Редукция задачи о перманентных вращениях
В некоторых специальных случаях расположения точки О^ задача о перманентных вращениях произвольного тела сводится к исследованию перманентных вращений осесимметричного тела. Введем систему Gx*y*z\ оси которой направлены вдоль главных центральных осей инерции тела, а при выборе направлений связанных осей Gx и Gy (которые пока не были определены) потребуем, чтобы ось Gx принадлежала плоскости Gx*y*. Определим положение Gxyz относительно Gx*y*z* углами у и 5 (рис. 4). Из условия выбора плоскости GYZ^ а
также учитывая, что Oi, О?, G принадлежат одной плоскости (обозначим эту плоскость W), получаем, что плоскость W совпадает с
О стационарных движениях тела на струнном подвесе 287 плоскостью GY Z и содержит GZ. Следовательно, ориентация системы координат Gxyz относительно GXYZ по-прежнему определяется двумя углами, причем в качестве одного из них можно использовать уже введенный угол 0, а другой обозначим через s.
В проекциях на оси системы координат O^XYZ уравнение (5) принимает вид
cj2 (Z sin а + a sin 6) cos а — g sin а = 0,(7)
а уравнение (6) эквивалентно системе
^23^2 + mga sin 6 — таш2 (Z sin а + a sin 6) cos 6 = О,W = 0,|8)
где J^j — элементы тензора инерции J. Учитывая
«723 = — Ас^гСз! — ВС22С32 — С^ЗСЗЗ,71з=-7кцс31 - Вс12с32 - Сс13сзз,
и выражения для направляющих косинусов c^j между осями систем координат OiXYZ и Gx*y*z*^
сц = cos 7 cos s — cos 5 sin 7 sins,
ci2 = — sin 7 cos s — cos 5 cos 7 sin s,
C13 = sin 5 sins,
C21 = cos 7 cos 6 sin s + cos 5 sin 7 cos 6 cos s — sin 5 sin 7 sin 0.
C22 = — sin 7 cos 6 sin s + cos 5 cos 7 cos 6 cos s — sin 5 cos 7 sin 0.
C23 = — sin 5 cos 6 cos s — cos 5 sin 0.
C31 = cos 7 sin 6 sin e + cos 5 sin 7 sin 6 cos e + sin 5 sin 7 cos 0,
C32 = — sin 7 sin 6 sin £ + cos 5 cos 7 sin 6 cos s + sin 5 cos 7 cos 0.
C33 = — sin 5 sin 6 cos s + cos 5 cos 0.
преобразуем (8) к виду
(A — В)ш2 C21C31 + (С — В)ш2 С23С33 +
+ та [и2 (Z sin а + a sin 0) cos 0 — д sin 0] = 0, (9) (Л — В)сцСз1 + (С — В)схзСзз = 0.
При этом используется свойство ортогональности матрицы 11 Cij 11.
Рассмотрим сначала случай, когда точка О2 лежит в главной центральной плоскости инерции тела; пусть для определенности это пл ос-
кость Gy*z*. Тогда 7 = 0, (при этом, вообще говоря, 5 ^ 0) и уравнения (9) принимают вид
(А — В)ш2 sin 9 cos 9 sin2 е +
+(С — В)ш2 (sin 6 cos 9 cos е + cos 5 sin 9) (sin 6 sin 9 cos e — cos 5 cos 9) +
+ таш2 (Z sin a + a sin 9) cos 9 — mga sin 9 = 0, (A — B) sin 9 sin e cos e —
— (C — B) sin 6 sin s(sin 6 sin 9 cos e — cos 5 cos 9) = 0.
(10)
При анализе (7), (10) можно выделить три случая:
(А - В) + (В -С) sin2 5 = 0,sins 0;(11)
(А - В) + (В -С) sin2 6^ 0, sins 0;(12)
sins = 0.(13)
Пусть имеет место (11). Тогда уравнения (7), (10) эквивалентны системе
ш2 (Z sin а + a sin 9) cos а — д sin а = 0,cos £ = mga sin 9/ш2 (С — В) sin 5 cos 5,cos 9 = 0,
т. е. в этом случае прямая GO^ горизонтальна (0g = ^^/2), а угол а находится из уравнения
ш2 (Z sin а + a sin 0g) cos а = д sin а.
Если имеет место (12), то уравнения (7), (10) можно привести к виду
ш2 U sin а + a sin 9) cos а — q sin а = 0,
(14)
ш2 \mal sin а + (D + та2) sin 0] cos 9 — mga sin 9 = 0,
coss = Actg#,(15)
где
D_ (A-B)(A-C) x_ (B -C)sin5cos5
(A - B)(B - C) sin2 5 ’” (A-B)(B-C) sin2 5 '
Система уравнений (14) аналогична системе, определяющей перманентные вращения осесимметричного тела с точкой подвеса на оси симметрии.
В последнем случае, когда имеет место условие (13), означающее совпадение плоскостей W и Gy* z\ система (10) приводится к виду
cj2 Q sin а + a sin 9^ cos a — g sin а = 0,
таш2(I sin а + a sin 9) cos 9 + | (B — C)^2 sin 2(9 + 8) —(1$)
— mga sin# = 0,
где а = asign(coss), 9 = #sign(coss). Уравнения (16) определяют стационарные движения осесимметричного тела, подвешенного в точке, не принадлежащей оси симметрии.
В случае, когда точка О2 принадлежит главной центральной оси симметрии, имеем у = 0 и 5 = 0. Тогда условия существования перманентных вращений принимают вид
ш2 (I sin а + a sin 9) cos а — g sin а = 0,
{ [(А — В) sin2 s + (В — С)] sin 9 +^^
+ ma(l sin а + a sin 9)} ш2 cos 9 — mga sin 9 = 0,
(А — В) sin 9 sin s cos s = 0.
Одним из решений (17) является а = 9 = 0. Соответствующие вращения, для которых струна и GO2 вертикальны, называются тривиальными и существуют в системе тогда и только тогда, когда точка О2 принадлежит главной центральной оси инерции. Если sin 9 ф 0, а также А ^ В, то s = тг/с/2, к = 0,1,... и уравнения (17) приводятся к виду, аналогичному (14), где
D = (А — В) sin2 s + (В — С).
При этом плоскости W и Gy*z* совпадают и, следовательно, ось Gx* перпендикулярна плоскости ИЛ Последний результат отмечен в [15, 16].
Случай осесимметричного тела со смещеннымподвесом
Перейдем к рассмотрению случая осесимметричного тела, прикрепленного к струне в точке, смещенной от оси симметрии. Согласно [11] для такой механической системы существует два типа перманентных вращений.
В первом случае ось симметрии тела горизонтальна и протыкает плоскость W в точке G. При движении ось симметрии тела касается некоторой окружности, находящейся в горизонтальной плоскости, с
19 Под ред. В.М. Матросова и др.
центром на неподвижной вертикали. При любом ш > д/(а-\-Г) sin 5 существуют два таких симметричных движения. Заметим, что данный тип перманентных вращений есть частный случай упомянутых выше движений произвольного тела при вертикальном расположении главной центральной оси инерции (см. [7]).
Во втором случае ось симметрии тела принадлежит плоскости ИЛ Этот тип аналогичен случаю 3 предыдущего раздела (условие (11)) для произвольного тела, когда точка О2 принадлежит главной центральной плоскости инерции. Условия существования перманентных вращений при этом имеют вид, аналогичный (16).
Уравнения (16) не допускают полного аналитического исследования. Однако анализ некоторых типов стационарных движений, существующих в ограниченном диапазоне углов 0 < а^б < тг/2, был проведен в [12]. Эта работа интересна еще и графическим (точнее графо-аналитическим) методом, впервые предложенным в [2] и позже применявшимся многими авторами. Анализ уравнений стационарных движений в переменных а, 3^ ф^ 9. р приводит к необходимости рассмотрения режимов четырех типов:
3 — Ф = 0,р = тг/2;3.3 — Ф —V — ^/2;
3 — Ф = 0,р = Зтг/2;4.3 ~ Ф = тсР = Зтг/2.
При этом уравнения для а и 9 для каждого из режимов 1-4 отличаются только знаками слагаемых. Например, для режима 1 уравнения имеют вид
Е vЕ v= -1 , ,2= -1 , ,2U =U =x(v + рх)x(v + рх)(к + а^х — pV 1 — Фф (18)(к + а^х — pV 1 — Фф (18)
Е v
Е v
= -1 , ,2
= -1 , ,2
U =
U =
x(v + рх)
x(v + рх)
(к + а^х — pV 1 — Фф (18)
(к + а^х — pV 1 — Фф (18)
где х = sin 9, у = sin а и
а А —СА-Сд
к=-. а =—cos 2d, р =— sind cos d, //=——.
Imatmat
Далее применяется графический метод, суть которого состоит в исследовании зависимости от параметров каждой из функций (18) в виде кривых х = /\фу. к,ф пу = f2^x^ ст. р) в плоскости (ж, уф Точки (ж, у) пересечения кривых определяют значения а, 9 стационарных движений при данных значениях параметров. Анализ эволюции кривых и точек их пересечения при изменении параметров дает возможность построить параметрические кривые перманентных вращений в плоскости (х^уф а также зависимости углов а, 9 от угловой скорости ш вращения системы. На рис. 5 показаны типы стационарных движений 1-4 и для каждого типа приведены полученные в [12] зависимости афФ) и 9фФф Из рис. 5 видно в частности, что типы 2 и 3 переходят друг в друга при
/ / ,\ 1/2w* = I - V1 -•
\9/
Следует отметить, что в задаче о стационарных движениях твердого тела, подвешенного на струне, наиболее наглядным и легко интерпретируемым является рассмотрение эволюции движений в зависимости от угловой скорости ш вращения системы. Кстати, и при экспериментальном исследовании движения тела на струнном приводе такой подход является наиболее естественным [13]. При этом неизбежно возникает вопрос о типах конических движений, существующих при достаточно больших значениях ш. Назовем их предельными. Изучение предельных движений в зависимости от значений параметров дает новое знание о поведении системы, иногда приводит к обнаружению
19*19*Рис. 5(1, 2). ат = arcsinpРис. 5(1, 2). ат = arcsinp
19*
19*
Рис. 5(1, 2). ат = arcsinp
Рис. 5(1, 2). ат = arcsinp
33Рис. 5(3, 4). «2 = arcsin(/^cos5), аз = arcsin(^ sin 5), а4 = arcsine, 0* = arcsin(cos^)Рис. 5(3, 4). «2 = arcsin(/^cos5), аз = arcsin(^ sin 5), а4 = arcsine, 0* = arcsin(cos^)
3
3
Рис. 5(3, 4). «2 = arcsin(/^cos5), аз = arcsin(^ sin 5), а4 = arcsine, 0* = arcsin(cos^)
Рис. 5(3, 4). «2 = arcsin(/^cos5), аз = arcsin(^ sin 5), а4 = arcsine, 0* = arcsin(cos^)
интересных эффектов. Так существование предельных вращений, к которым асимптотически стремятся режимы 3 и 4 при ш —> сю, лежит в основе метода динамической балансировки. Для режима 4 при ш —> сю ось симметрии тела совмещается с неподвижной вертикалью. Для режима типа 3 с вертикалью совмещается перпендикуляр к оси симметрии.
Изучение предельных движений представляет особый интерес в случае, когда полное исследование стационарных движений провести не удается, что, в частности, имеет место в рассматриваемой задаче о стационарных вращениях тела, прикрепленного к струне в точке, смещенной от главной центральной оси инерции. Следуя [14], рассмотрим более подробно вопрос о предельных режимах данной механической системы.
Предельные движения системы со смещеннымподвесом
Итак, пусть точка подвеса О2 осесимметричного тела не принадлежит оси симметрии (рис. 6). Уравнения перманентных вращений такой системы имеют вид [11]
ш2 (Z sin а + a sin 9) cos а — g sin а = О
(19)= mga sin 0 .(19)= mga sin 0 .таш2 (Z sin а + a sin 9) cos 9 +
(19)
= mga sin 0 .
(19)
= mga sin 0 .
+ |(Л - С^ш2 sin 2(5 + 9)
В данной задаче угол 5 между прямой O^G и осью симметрии тела удобно считать изменяющимся в интервале [0, тг/2] и всегда положи
тельным, независимо от того, находится ли точка О^ выше оси симметрии или ниже. Чтобы различать эти случаи, будем отсчитывать 5 от прямой O^G против часовой стрелки. Если при этом окажется, что 5 > тг/2, то перейдем к рассмотрению положения системы через
полпериода. Тогда 5 будет лежать в требуемом диапазоне, но а и 9 придется заменить на ™а и 9. Это означает, что теперь уже и а и 9 необходимо считать изменяющимися в интервале (—тг, тг].
Вводя безразмерные параметры
w2 / А-С\w2 А-С .
^i = — и 4,^2 =sin 2d ,
(20)(20)(21)(21)6 ‘в26 ‘в2д у тд /д та
(20)
(20)
(21)
(21)
6 ‘в2
6 ‘в2
ш2А™СшЧ
дз =cos 2d ,^4 = ,
д тад
преобразуем систему (19) к виду
[(^i — гз) sin 9 + ^4 sin a] cos а = sin а ,(^i sin 9 + ^4 sin а) cos 9 + ^2 cos 29 = sin 9
и после исключения а получим одно уравнение относительно и =
[2^in(l — п2) + ^2 (и4 — би2 + 1) — 2и^? + I)]2 •
• | [2^in(l — п2) + ^2 (и4 — би2 + 1) — 2n(n2 + I)]2 + (и2 — I)2} —
— г2(и4 — I)2 [2^n(l — и2) + г2 (и4 — би2 + 1) — 2n(n2 + 1)]2 = 0 ,
(22)
левая часть которого представляет собой полином 16 степени относительно и. Это означает, что уравнение (22) может иметь не более 16 решений, а механическая система не более 16 стационарных движений. При этом пока трудно сказать, существуют ли механические системы, для которых реализуются все 16 решений (для этого, очевидно, все 16 решений полинома должны быть действительны). Анализ уравнения (22) при больших ш позволяет получить ответ на поставленный вопрос.
Введем малый параметр s = 1/ш2 и обозначим
г = 1,2,3,4.(23)
Будем искать решение и в виде ряда
11 = Uq 4“ ЕИ^ 4” • • •(24)
Величина ng должна удовлетворять одному из следующих трех уравнений:
(25)(26)(27)(25)(26)(27)2г°м0(1 - Uq) + г° («о “ бмд + 1) + г°(1 - Uq) = 0,
(25)
(26)
(27)
(25)
(26)
(27)
2г°м0(1 - Uq) + г° («о _ бмд + 1) - г°(1 - Uq) = 0,
2^u0(l - «о) + 4 (uq - 6t*o + 1) = 0.
Из системы (21) при ш —> сю можно получить, что ад = ^/2 для движений, определяемых уравнением (25), «о =тг/2. если ио удо
влетворяет (26), и
.2ug(2° — 2§)2^ — 2§ .
sin а0 = -2 о” =б^ sm уо(28)
(1 + wgM
для ng, удовлетворяющего (27).
Начнем с исследования уравнения (27). Можно показать, что оно эквивалентно уравнению
tg 26*О + tg25 = 0,
четыре корня которого удовлетворяют равенствам
#*3) + 5 = 0, ^2)+5 = тг/2, Д’+5=-7г/2. (29)
При этом, согласно (28),
(30)(30)Sin «о = у sin t/0 ,
(30)
(30)
т. е. в нулевом приближении центр масс лежит на оси вращения системы. Выражения (29) и (30) означают существование стационарных вращений, для которых при неограниченном увеличении ш одна из главных центральных осей инерции тела совмещается с неподвижной вертикалью.
Вернемся к уравнению (27) и запишем четыре его решения в виде
у ± Д2 +4z3 ± Дз +422
uo± =z, f± = •(31)
222
Здесь и далее для удобства верхний индекс «О» у параметров 2^ опущен.
Заметим, что решения п+(г+), п+(п_), п_(п+), п_(г_) соответствуют #оХ\ $^\ 9^\ 9^\ причем
п+(г+) > 1,0 < п+(г_) < 1,п_(г±) = — 1/п+(г±).(32)
Поправки первого приближения иу определяются из уравнения
Д««1+Д[2Д-гзЬ(1-^)]2Д1-^Г1 j
где a, b зависят от пд, 2^ (их выражения не приводятся в силу громоздкости). В случае
Д1 + w2)2 - [2Д - z3H2 > о,(34)
когда уравнение (33) имеет действительные решения ni, существует 8 типов перманентных вращений, сгруппированных в четыре пары, определяемых выражениями (29) или им эквивалентными (31). При этом два перманентных вращения, образующие пару, отличаются величинами поправок ni и знаком cos ад (рис. 7).
Для исследования неравенства (34) перепишем его в виде
(1 + По) - 2По.^4.(1 + По) - 2По.^4.(1 + по) + 2по.^4,(1 + по) + 2по.^4,0.(35)0.(35)
(1 + По) - 2По
.^4.
(1 + По) - 2По
.^4.
(1 + по) + 2по
.^4,
(1 + по) + 2по
.^4,
0.(35)
0.(35)
(36)(37)(36)(37)Рис. 8следующий результат. Неравенство выполняется одновременно и для решения п+(п+) и для решения п+(п_) приРис. 8следующий результат. Неравенство выполняется одновременно и для решения п+(п+) и для решения п+(п_) при
(36)
(37)
(36)
(37)
Рис. 8
следующий результат. Неравенство выполняется одновременно и для решения п+(п+) и для решения п+(п_) при
Рис. 8
следующий результат. Неравенство выполняется одновременно и для решения п+(п+) и для решения п+(п_) при
Поскольку (^i — гз)/^4 = а/1 > 0, то (35) равносильно неравенству
(1 + По) — 2по > О,
если по > 0, или неравенству
(1 + По) + 2по > О,
если по < 0. Заметим также, что если для пд выполняется условие (36), то для — 1/пд выполняется условие (37). А если учесть, что для величин (31) имеет место (32), то достаточно потребовать выполнения (36) только для положительных пд, т. е. для нДп^) и пДп-). Опуская довольно утомительное решение неравенства (36), приведем
Соответствующая область в плоскости параметров (zi — ^з)/^4? ^з/^2 заштрихована на рис. 8. Здесь существуют все 8 типов перманентных вращений, изображенных на рис. 7.
Перейдем к рассмотрению уравнений (25) и (26), переписав их в виде
(^2 - ^4)^0 - 2^1 По - бго^о + 2^1 По + (z2 + г4) = 0,(38)
(z2 + ^4)^0 - 2^iПд - 6z0Hq + 2zin0 + (z2 - г4) = 0.(39)
Заметим, что если по — корень уравнения (38), то — 1/по — корень уравнения (39). Поэтому ограничимся исследованием только уравнения (38). Анализируя знаки функции
F^u^ = (г2 - г4)пд - 2ziHq - 6z2Hq + 2zin0 + (z2 + г4) (40) в точках ng = 0, ±1 и при по —> ±оо, можно убедиться, что уравнение (38) всегда имеет по крайней мере два действительных корня. Для существования второй пары действительных корней критическим является момент ее вырождения в один двукратный корень, что имеет место при одновременном выполнении условий F = 0 и F^o = 0, т. е. на кривой
(41)(41)
(41)
(41)
разграничивающей на рис. 9 области существования четырех (в заштрихованной части) и двух корней уравнения (38). Вместе с пря-
Рис. 9Рис. 9
Рис. 9
Рис. 9
мыми ^2/^4 = =Ы данная кривая разделяет плоскость параметров (^1/^4 1 ^2/^4) на области 1-8, в которых функция (40) имеет различное число нулей хотя бы на одном из интервалов
(42)(42)и < — 1,— 1 < и < 0, 0 < и < 1, и > 1
(42)
(42)
или, переходя к 0, на одном из интервалов
™тг < 9 < —тг/2,™тг/2<9<0, 0 < 0 < тг/2, тг/2 < 0 < тг. (43)
Качественный вид графиков функции (40) показан на рис. 10. Нули функции F. попадающие в разные интервалы (42), в совокупности
Рис. 10
с «о определяют разные типы движений. На рис. 11 слева (справа) изображены все типы перманентных вращений для «о = ^/2 («о = = —тг/2). Причем для равновесных конфигураций, изображенных на одном уровне, имеет место соотношение
|Уо(ао = тг/2) - 60(а0 = -тг/2)| = тг.
Для механической системы со значениями параметров из областей 1 и 8 в каждом из интервалов (43) будет находиться по одному корню, а все предельные режимы будут различных типов (показанных на рис. 8). В областях 2, 4, 5, 7 общее количество предельных режимов, определяемых уравнениями (38) и (39), будет также 8, но из них какие-либо две пары однотипны.
Рис. 11
Итак, показано, что если физические параметры системы таковы, что соответствующая им точка в четырехмерном пространстве параметров
/ 21~23 , f3 , 21 , 22 \ (44)
принадлежит области, являющейся декартовым произведением заштрихованных областей на рис. 8, 9, то можно гарантировать
Рис. 12. I = 1 м, г = 0.45 м, а = 0.22 м, б = 0.77
существование 16 стационарных движений при достаточно больших ш. Если, кроме того, l^/^l > 1, то все 16 предельных стационарных режимов будут разных типов.
Вообще говоря, пользуясь полученными результатами, можно для системы с произвольными физическими параметрами указать количество и типы перманентных вращений при достаточно больших ш. Однако, следует иметь ввиду, что параметры (44), через которые выражено решение задачи, не являются независимыми. Между ними существует очевидная связь
гх - г3 гх г3 г2гх - г3 гх г3 г2^4^422^4 ’^4^422^4 ’(45)(45)
гх - г3 гх г3 г2
гх - г3 гх г3 г2
^4^422^4 ’
^4^422^4 ’
(45)
(45)
т. е. реальную систему определяет не любая точка пространства (44), а только принадлежащая гиперплоскости (45). Этот факт существенно затрудняет решение обратной задачи, а именно, определение параметров механической системы, имеющей желаемые типы предельных конических режимов. Для перехода от четырехмерных к трехмерным областям необходимо решить систему трех довольно сложных неравенств, что пока не удается сделать. В то же время во многих за-
дачах, вероятно, достаточно работать с подмножествами областей на рис. 8, 9, в которых, по сравнению с точными областями, отброшены некоторые участки ради получения более простого описания их границ. Если перейти к такому подмножеству хотя бы для одной из двух плоскостей параметров, т. е. заменить область, заштрихованную на рис. 8, полосой или область на рис. 9 прямоугольником (точнее, дополнением к прямоугольнику), то переход от четырех зависимых параметров к трем независимым происходит автоматически.
Для иллюстрации приведем пример реальной механической системы, которая при больших ш может совершать 16 различных стационарных движений типа перманентного вращения. Подвесим на струне длиной 1 м однородный диск радиуса 45 см и толщиной 2.8 см. Пусть а = 2 см, 5 = 0.77 рад (струна крепится к диску на его торцевой поверхности, см. рис. 12). Для такой системы параметры гр (у всех размерность — с2) принимают значения
4 = -0.006, г2 = -0.129, г2 = -0.008, г2 = 0.102,
т. е. соответствующая точка в пространстве параметров (44) принадлежит заштрихованной области на рис. 8 и области 8 на рис. 9. Следовательно, система должна допускать 16 стационарных режимов, что и было подтверждено расчетами.
На рис. 13, где представлены полученные численно зависимости 9 и а от скорости вращения системы, видно, что начиная со скорости около 32.5 оборотов в минуту действительно существуют 16 различных перманентных вращений.
Предельные движения осесимметричного телас подвесом на оси симметрии
Рассмотрим теперь осесимметричное тело (А = В ^ С\ прикрепленное к струне (стержню) в точке на оси симметрии, и исследуем все возможные предельные движения типа перманентного вращения и регулярной прецессии, обращая внимание в первую очередь на области их существования и характер эволюции при изменении параметров системы.
Заметим, что поскольку перманентное вращение осесимметричного тела представляет собой частный случай регулярной прецессии, можно ограничиться анализом регулярных прецессий. При этом все результаты, относящиеся к перманентным вращениям, будут автоматически получаться, если скорость собственного вращения тела положить равной нулю.
Уравнения, описывающие регулярные прецессии, имеют вид [21]
тш21(1 sin а + a sin 9) cos а — mgl sin а = 0,
\ma(J sin a + a sin 9) + (A — C) sin 9^ u? cos 9 — (46)
— (mga + СшП) sin 9 = 0.
Здесь появляется дополнительный параметр Q = 92, угловая скорость собственного вращения тела.
Введем введем малый параметр s = 1/cu, обозначим
Z zСП
q= - (> 0), <7 = — (7^ 0), к = - (> 0), v = дmat/mag
и перепишем систему (46) в виде
n(sin а + к sin 0А cos а — е2 sin а = 0,
(47)
^[sin а + (к + ст) sin У] cos 0 — s(s + v) sin 0 = 0.
Будем искать характеризующие стационарные движения углы а и 0 в виде рядов по степеням е
CY = ад 4" EQi + S^Q^ + • • • , У = Уд + £@1 4" Е^О^ 4" • • •(48)
Подставляя (48) в (47) и приравнивая члены сев нулевой, первой и второй степенях, получим следующие три системы уравнений:
(sin ад + К sin Уд) COS ад = 0,[sin ад + (к + ст) sin Уд] COS Уд = 0;
ах cos 2ад + k(9i cos Уд cos ад — ai sin Уд sin ад) = 0,(50)
(к + а)Ух cos 2У0 + (ai cos а0 cos Уд — Ух sin а0 sin Уд) = — sin Уд ;(51)
К ^2 cos Уд cos ад — а2 sin ад sin Уд —
—- sin Уд cos ад — Ух ах sin ад cos Уд ) +(52)
+ а2 cos 2ад — ах sin 2ад = - sin ад, q
(к + О") ^@2 COS 2Уд — о2 sin 2Уд) + а2 COS ад COS Уд —
У2 sin Уд sin ад^ sin ад COS Уд —(53)
ахУх COS ад sin Уд = - (z/Уд COS Уд + sin Уд) .
Из них нетрудно определить три пары коэффициентов в разложениях (48).
Система уравнений (49) имеет четыре нетривиальных решения:
а0 = тг/2, Уо = тг/2;2. а0 = тг/2, Уд = —тг/2;
ад = тг/2, sin Уд = — 1/(к + ст); 4. sin ад = /^, Уд = —тг/2.
Значения параметров, при которых существует решение 3, должны удовлетворять неравенству \к + сг| > 1. Для решения 4 должно быть к < 1. Из уравнения (50), учитывая равенство cos#ocosao = 0, справедливое для решений (54), легко получить, что при к ^ 1 для всех предельных режимов (54) имеет место «1=0. Случай к = 1 нуждается в дополнительном рассмотрении.
Подставляя (54) в уравнение (51) и разрешая его относительно ^i, получаем
(56)(56)Для определения ненулевых поправок к предельному значению «о воспользуемся (52). В результате получим
(56)
(56)
z/2
~—- COS «о 2qcrz
Знаки первых ненулевых поправок «2, #1 определяют характер эволюции стационарного режима при асимптотическом стремлении его к соответствующему предельному движению. На рис. 14 в плоскости (ст, к) для случаев прямой и обратной прецессии (положительных и отрицательных z/) изображены области существования предельных движений (54) и показан характер их эволюции при cj—>оо. Заметим, что для решения 4 знак «2 отличается для быстрых и медленных собственных вращений, т. е. в зависимости от того, выполнено или нет неравенство
22д<72
Z7 >,.
V1 — ^2
В заштрихованных областях решений типа 3 и 4 не существует.
Как уже отмечалось выше, невозможность создания в струне напряжения на сжатие приводит к тому, что при подвесе тела на струне допустимы только такие стационарные движения, при которых точка крепления тела к струне расположена ниже точки крепления струны к неподвижному основанию. В случае подвеса тела на стержне такого ограничения нет. Поэтому все стационарные движения рассматриваемой системы можно разбить на два класса. Одни режимы возможны и для стержня, и для струны, другие только для стержня. То же самое, естественно, относится и к предельным режимам. На рис. 14 обычное изображение подвеса означает, что соответствующий тип стационарного движения возможен в любом случае. Перевернутый подвес указывает на то, что данный режим имеет место только в случае стержня.
20 Под ред. В.М. Матросова и др.
Рассмотрим теперь перманентные вращения, как частный случай регулярных прецессий при v = 0. Тогда сами предельные решения (54) останутся без изменения, однако все поправки первого порядка (55) для угла 0 обратятся в нуль. Это означает, что для выяснения характера эволюции стационарных вращений при ш —> сю необходимо дополнительно получить поправки второго порядка #2- Воспользовавшись (53) и учитывая, что в данном случае для всех решений (54) «1 =
¥>0 (прямая прецессия)¥>0 (прямая прецессия)¥<0 (обратная прецессия)¥<0 (обратная прецессия)
¥>0 (прямая прецессия)
¥>0 (прямая прецессия)
¥<0 (обратная прецессия)
¥<0 (обратная прецессия)
Рис. 14(3)Рис. 14(3)
Рис. 14(3)
Рис. 14(3)
= #i=0, cos «о cos #0 = 0, получаем:
Что касается поправки второго порядка для а, то, как видно из (56), она изменится только для решения 4:
4.4.°2 q(l - к2) *°2 q(l - к2) *(58)(58)
4.
4.
°2 q(l - к2) *
°2 q(l - к2) *
(58)
(58)
Полученные для перманентных вращений результаты представлены на рис. 15 в виде, аналогичном рис. 14. При этом следует обратить внимание на одну особенность режима 2. Поскольку для этого режима «2 и #2 являются величинами одного порядка, характер эволюции стационарного движения при ш —> сю зависит от соотношения между ними, которое изменяется на прямой сг = 0. Это соотношение определяет, будет ли ось симметрии тела находиться выше или ниже струны при асимптотическом приближении к предельному решению.
Медленные ст собственные вращения
Быстрые собственные вращения
стоянию невесомости) и в качестве малого параметра s взять 1/^, то выражения (54) и характер стремления к предельным режимам не изменится.
Перманентные вращения. Классификация систем
Этот и следующий разделы данного обзора посвящены построению классификации механических систем «тело на струне (стержне)» в том смысле, что в пространстве параметров системы выделяются такие области, где возможны определенные наборы стационарных движений, перманентных вращений или регулярных прецессий, причем
стационарные движения отличаются определенными качественными свойствами и характером их эволюции.
Сначала рассмотрим перманентные вращения осесимметричного тела, подвешенного в точке на оси симметрии. Следует заметить, что этот случай исследован в литературе наиболее глубоко. Поскольку для перманентных вращений в самом общем случае точки Oi, О 2 и G принадлежат вертикальной плоскости W, в данном случае вся ось симметрии GO2 находится в плоскости W. И, следовательно, стационарные движения полностью определяются двумя углами а и 0.
х Условия существования перманентных вращений имеют вид (14), где XD = А — С. Впервые эти условия
\были получены в [4], где, кроме то-
\го, путем линеаризации уравнений
/у*в окрестности тривиального режима
//были найдены бифуркационные зна-
Iчения угловой скорости (для случая
23 вытянутого тела), т. е. такие значе-
рис 16ния ^7 ПРИ которых от тривиального
режима ответвляются режимы типа 2 и 3 (рис. 16). Режимы 2 и 3 — единственные нетривиальные, существующие в диапазоне углов 0 < а < тг/2, — тг/2 < 0 < тг/2.
Случай перманентных вращений вытянутого тела исследовался в том же диапазоне углов и в других ранних работах [2, 8]. В цикле более поздних публикаций [1, 14, 16] ограничений уже меньше, однако они еще есть: либо не рассматривается диапазон углов тг/2 < а < тг [1], либо исследуется снова только вытянутое тело [16], либо имеет место и то и другое [14].
В [19, 20] проведен полный анализ перманентных вращений осесимметричного тела, прикрепленного к стержню в точке на оси симметрии. В [19] исследование проводилось с использованием безразмерных параметров
Z 2А — Са
q = -ш ст = — ,^ = т
дmolI
и вспомогательного параметра £ = (Z sin а + a sin 0)/Z sin а, равного от-
ношению расстояния от точки G до оси OyZ к расстоянию от О^ до □1Z. Этот параметр впервые был введен в [23]. Тогда условия существования перманентных вращений приводятся к виду
<Д cos а = 1,
(59)(59)(£ — 1) sin а = к sin 9.
(59)
(59)
^(^ — 1) cos а = [(/t + сг)£ — ст] cos 9.
Перед тем, как воспользоваться уже известным графоаналитическим методом, в [19] был проведен тщательный поиск допустимых интервалов изменения £, соответствующих каждому типу решений
I.0 < а < тг/2,-тг/2 <1 9 < тг/2;II.0 < а < тг/2,тг/2 <9 < Зтг/2;III.тг/2 < Q < 7Г,-тг/2<9 < тг/2;IV.7г/2 < Q < 7Г,тг/2 <: 9 < Зтг/2.I.0 < а < тг/2,-тг/2 <1 9 < тг/2;II.0 < а < тг/2,тг/2 <9 < Зтг/2;III.тг/2 < Q < 7Г,-тг/2<9 < тг/2;IV.7г/2 < Q < 7Г,тг/2 <: 9 < Зтг/2.(60)(60)
I.
0 < а < тг/2,
-тг/2 <
1 9 < тг/2;
II.
0 < а < тг/2,
тг/2 <
9 < Зтг/2;
III.
тг/2 < Q < 7Г,
-тг/2
<9 < тг/2;
IV.
7г/2 < Q < 7Г,
тг/2 <
: 9 < Зтг/2.
I.
0 < а < тг/2,
-тг/2 <
1 9 < тг/2;
II.
0 < а < тг/2,
тг/2 <
9 < Зтг/2;
III.
тг/2 < Q < 7Г,
-тг/2
<9 < тг/2;
IV.
7г/2 < Q < 7Г,
тг/2 <
: 9 < Зтг/2.
(60)
(60)
В результате плоскость параметров (ле, ст) была разбита на ряд областей, каждой из которых соответствует вполне определенный интервал допустимых значений £, отвечающих какому-либо из конических режимов (60). Только после такого предварительного анализа можно было быть уверенным, что результаты, полученные графоаналитическим методом [12], будут полны, т. е. никакие ветви не будут пропущены. Каждой области в плоскости (к, а) соответствует свой тип картины параметрических кривых в плоскости (sin#, sin а). Однако полученное разбиение еще не позволяет отделить случаи различного взаимного расположения ветвей графиков a(q\ 9(q\ Для построения такого дополнительного разбиения были численно исследованы соотношения между бифуркационными значениями q^. Окончательный вид разбиения, а также более детальное описание метода его построения, приведены в [19]. Отметим, что в [19] впервые был обнаружен характер бифуркации ветви 2 (см. рис. 17, где приведен пример зависимотей a^q\ 9^ при к = 0.387, ст = 1.222). Следует подчеркнуть, что достоинством способа представления результатов в [19] является его наглядность: абсциссой графиков на рис. 17 фактически является угловая скорость стационарного вращения ш (q пропорционально ш2).
В [20] аналогичная классификация была построена другим методом с использованием безразмерных параметров
(Z 2$1 = — ш9(Z 2$1 = — ш912Ж2 = -Ш , 912Ж2 = -Ш , 9А-С 2Жз =ш . тдаА-С 2Жз =ш . тда(61)(61)
(Z 2
$1 = — ш
9
(Z 2
$1 = — ш
9
12
Ж2 = -Ш , 9
12
Ж2 = -Ш , 9
А-С 2
Жз =ш . тда
А-С 2
Жз =ш . тда
(61)
(61)
При этом полученные результаты уже не столь наглядны и труднее поддаются механической интерпретации, однако сам метод решения
Рис. 17. к = 0.387, а = 1.222Рис. 17. к = 0.387, а = 1.222
Рис. 17. к = 0.387, а = 1.222
Рис. 17. к = 0.387, а = 1.222
проще и, как будет показано в следующем разделе, допускает естественное обобщение на более сложный случай регулярных прецессий. Рассмотрим подробнее метод исследования, предложенный в [20].
Записав условия существования перманентных вращений с использованием безразмерных параметров (61) [20],
(62)(62)(яд sin 0 + яд sin a) cos а — sin а = 0,
(62)
(62)
[(яд + яд) sin 9 + яд sin а] cos 9 — sin 9 = 0,
и исключив из них а, получим одно уравнение
(63)(63)2 _ [1 - (Ж1 - ЖзМ2 [(1 - «2)(1 - Ж3и)2 + U2]
(63)
(63)
и2(1 — ж3к)2
относительно и = cos 9.
прямой ^2 = const. На рис. 18 впрямой ^2 = const. На рис. 18 вЕсли теперь построить график функции x^cos^) при фиксированных яд, жз, то с его помощью очень удобно определять количество решений системы (62) при любом значении х^. Число решений равно
прямой ^2 = const. На рис. 18 в
прямой ^2 = const. На рис. 18 в
числу точек пересечения графика качестве примера показаны график Х^и) при Х1 = 6, Хз = = 1 и прямая ж2 = 8. Легко видно, что при таких значениях параметров в системе существует 6 перманентных вращений. По графику можно также установить, как меняется число перманентных вращений при изменении х^ от О до ос. Характер этого изменения будет определяться качественным видом графика, под которым
здесь понимается число и взаимное расположение нулей и точек разрыва, а также взаимное расположение значений х^ в экстремальных точках функции (63) и в граничных точках ее области определения, т. е. при и = ±1.
Таким образом, задача классификации механических систем сводится к задаче разбиения плоскости параметров (ж1,жз) на области одинакового качественного вида зависимостей ядМ на отрезке [—1,1]. Разбиение проводилось в три этапа. На первом этапе выделяются области, в которых число и взаимное расположение нулей и точек разрыва функции одно и то же. Шесть таких областей образуются делением плоскости двух безразмерных параметров (xi, жз) прямыми хз = ±1 и Xi + хз = ±1. На втором этапе анализируется возможность существования внутренних экстремумов функции (63). Для этого исследуется необходимое условие экстремума dx^Jdu = 0, которое после несложных преобразований приводит к соотношениям
(64)(64)(65)(65)- (ад + х^и = О
(64)
(64)
(65)
(65)
ИЛИ
(1 - ж3и)3(ж3и3 - 1)ж3и4(3 — Зж3и + ж|и2)
Экстремум, определяемый выражением (64), совпадает с нулем функции (63) при и = 1/(ад + хз) и поэтому ничего нового не дает. Анализируя зависимость (65), получаем границы разбиения, определяющие области существования экстремумов на непрерывных участках гра-
фика, которым принадлежат точки и = — 1 или и = 1:
Г 1\1Ж3 + 1
яд = яД-Мз) = -1 - ж3/2|о
ж3(ж| + Зж3 + 3)
= яД1,яД = 1 - Ж3 +/ ^ 9 1 , оА’
яДжз - Зж3 + 3)
яд = шахяДп, я?з).
Здесь яд = шахяд(п,я:з) — найденное численно значение яд, при котором имеет место внутренний максимум кривой (65) при фиксированном Ж3.
На третьем этапе разбиения в плоскости (xi, Ж3) выделяются области, где величины яд в точках
и = ±1, и = Argextr(x2)и = ±1, и = Argextr(x2)(66)(66)
и = ±1, и = Argextr(x2)
и = ±1, и = Argextr(x2)
(66)
(66)
упорядочены определенным образом. Здесь Argextr(x2) обозначает значение и, при котором справедливо (63), т. е. яд экстремально. Границами третьего этапа будут линии упорядочивания, на которых значения яд в каких-либо двух точках (66) совпадают. Для построения этих линий были рассмотрены зависимости яд (яд, яд, п) при фиксированных яд во всех точках (66). Для граничных точек и = ±1 это соответственно, графики функций
Рис. 20
которые в [20] названы конечными прямыми. Зависимости ^2(^1), отвечающие точкам и = Arg extr(x2) (они названы экстремальными кривыми), были получены численно путем исключения и из (63) и (65). Кривые третьего этапа z/, 5, у, д (рис. 19) были построены также численно путем нахождения точек пересечения конечных и экстремальных кривых при различных х^. Области, на которые разбивается
плоскость безразмерных параметров (яд, #з), нумеруются следующим образом: первая цифра указывает на номер области после первого этапа разбиения; цифра после точки отвечает номеру подобласти после второго этапа; последняя буква соответствует номеру подобласти, получающейся в результате проведения третьего этапа разбиения. Качественный вид графиков ж2 (и) для всех двадцати областей представлен на рис. 20. Каждый из них иллюстрирует характер изменения числа и типов перманентных вращений механической системы с параметрами из соответствующей области рис. 19. Изложенный подход позволяет достаточно просто перейти от случая подвеса тела на стержне к случаю подвеса на струне. Для этого необходимо потребовать выполнения условия cos а > 0.
Регулярные прецессии. Классификация систем
В [17] указано на существование второго типа стационарных движений осесимметричного тела, подвешенного в точке на оси симметрии. Это регулярные прецессии, отличающиеся от перманентных вращений наличием дополнитеьного собственного вращения тела относи- тельноего оси симметрии.
Первой в исследовании этого класса движений можно считать работу [22], в которой рассматривается подвешенный на струне осесимметричный гиростат — тело с установленным внутри него статически и динамически уравновешенным маховиком. Точка подвеса гиростата расположена на оси симметрии, с которой также совпадает ось маховика. Случай регулярных прецессий получается при условии равенства нулю динамических характеристик корпуса, т. е. при совпадении всего гиростата с маховиком. В [22] показано существование интегралов энергии, площадей, а также проекции кинетического момента гиростата на ось симметрии. Показано существование режимов типа 2 и 3 в интервале углов 0 < а < тг/2, — тг/2 < 9 < тг/2.
В [3, 21] проведено полное исследование регулярных прецессий тела на стержне. В [3] применен графоаналитический метод исследования [12]. Анализируются условия бифуркации, которые можно интерпретировать как условия касания в плоскости (sin#, sin а) кривых, описываемых уравнениями регулярных прецессий
тш21(1 sin a + a sin#) cos а — mgl sin а = 0,
\ma(J sin a + a sin 9) + (A — C) sin #] ш2 cos 9 —(67)
— (mga + СшС1) sin 9 = 0.
Бифуркационные кривые в плоскости параметров
д . ,*( д СП\ (а А-С\"Х
v = — sign^cosa), к = — н-- Н—
mwal /mat /
ограничивают области существования определенного количества стационарных режимов при одних и тех же ш и Q (угловых скоростях
прецессии и собственного вращения соответственно). В зависимости от значений п/Z, [п/Z + (А — С)/(mal^-1 исследованы различные типы бифуркационных картин.
В [21] при анализе регулярных прецессий был применен подход, разработанный в [20]. При этом к параметрам Хг (61) добавляется еще один безразмерный параметр Т = СшП/(тда^ а исследуемая функция принимает в этом случае вид
(68)(68)2 _ \Т - (Ж1 + жзМ2 [(1 - и^Т - х3иУ + и2]
(68)
(68)
2(Т — ar3w)2u2
Ясно, что разбиение плоскости (xi,x3) зависит от величины дополнительного параметра Т. В силу свойства х^и, Т, Xi, х^ = = х^—и^—Т^ху^х^ можно ограничиться рассмотрением только положительных Т. Разбиение вновь проводится в три этапа. На первом этапе получаются прямые х^ + Х3 = ±Т, хз = ±Т; на втором этапе анализируется условие существования экстремума dx\jdu = 0, откуда следуют выражения
Т — (а?1 + х^и = 0, (69)
ж3п4(3 — Зж3п + Ж3П2)
Как и в [20], равенство (69) отвечает нулевому значению х^ и поэтому интереса не представляет. Исследование равенства (70) позволяет получить уравнения кривых, ограничивающих области существования внутренних экстремумов функции. Таким образом, после второго этапа разбиения добавляются следующие кривые:
а:= Ж1(-1,ж3) =;
/3:=Ж1(1,Жз) =Т-Жз + -^^^
Xi = maxxi(n, ж3) ;
д: яд = min яд (п, ж3).
Кривая у строится численно; кривая д получается аналогично 7 из значений яд, отвечающих точкам минимума функции (69) при фиксированном Х3. Эта кривая отделяет область, в которой на одной из ветвей функции (68), проходящей через нуль, одновременно имеют место два внутренних экстремума — максимум и минимум (см. рис. 21, где показан качественный вид функции х^ в области между кривыми 77 и /3).
Заметим, что вид картины разбиения после двух этапов качественно меняется в точках Т = 0, 2-3/2, 1, так как при этом меняется взаимное расположение точек ±(Т — Т1/3) и ±Т на оси Х3. Существенно взаимное расположение именно этих точек, так как прямые Х3 = ±(Т — Т1/3) служат асимптотами кривых а и (3.
Рис. 21
На третьем этапе разбиение проводится по признаку различного взаимного расположения значений функции (68)в точках (66). По сравнению с [20], здесь исследование картин конечных и экстремальных кривых в плоскости (ж1,жз) значительно усложняется. Анализ проводится отдельно для каждого из следующих случаев:
Л) 0 < Т < 2"3/2; В) 2"3/2 < Т < 1; С) 1 < Т.
Линии третьего этапа разбиения ц, /у, £, s, тг, к, 5, £, у> представляют собой геометрическое место точек яд, Ж3, где х\ — ордината точки пересечения соответствующих кривых, построенных при фиксированном х^. Заметим, что в случае В) в зависимости от величины параметра Т возможно три типа картин разбиения. Рис. 22 справедлив для Т Е (0.5,1). Если Т Е (То, 0.5), где Т^ — некоторое число, принадлежащее интервалу (2-3/2, 0.5), то асимптоты х^ = ±Т — 1 кривых ц) и 5 выходят за пределы отрезка [—Г,Т]. Если Т Е (2-3/2,Т0), то точка пересечения кривых к, 5, 0 также выходит за пределы [—Т, Т].
В задаче о регулярных прецессиях, также как и в случае перма-
Рис. 23. Xi = 8, Х3 = -0.43
нентных вращений, не представляет труда отделить режимы, возможные только в случае подвеса тела на стержне, от режимов, имеющих место при использовании как стержня, так и струны [21]. На рис. 23 в качестве примера изображены три графика х^ (п) при одних и тех же значениях яд, х^ и разных Т. Ветви, имеющие место только в случае подвеса тела на стержне, изображены пунктирными линиями.
Заключение
В работе рассмотрены результаты исследования задачи о стационарных движениях твердого тела, подвешенного на стержне. В силу сложности условий существования стационарных движений случаи, в которых на динамические характеристики тела и расположение точки подвеса не наложено жестких ограничений, исследованы лишь частично. Для этих случаев показано существование режима, когда какая-либо главная центральная ось инерции тела вертикальна и обращается вокруг неподвижной вертикали, а также конических режимов, при которых точки (91, О2, G все время принадлежат вращающейся вертикальной плоскости. Для некоторых конических режимов предельным при больших ш является положение, когда какая-либо главная центральная ось инерции тела совпадает с неподвижной вертикалью.
В специальных случаях подвеса, а именно, когда точка О^ лежит в главной центральной плоскости инерции тела, задача о стационарных движениях сводится к исследованию перманентных вращений подвешенного на струне осесимметричного тела, точка подвеса которого смещена от оси симметрии. Для такой системы известны предельные при щ оо типы режимов.
Если же точка подвеса (92 принадлежит главной центральной оси инерции тела, задача об исследовании стационарных движений в общем случае сводится к рассмотрению стационарных движений осесимметричного тела с точкой подвеса на оси симметрии.
Последняя задача изучена достаточно глубоко. Исследованы как тривиальные, так и конические режимы, построены классификации механических систем в зависимости от количества и типа стационарных движений, исследованы бифуркационные картины стационарных движений для случаев подвеса на струне и стержне как вытянутого, так и сплюснутого тела. Почти столь же подробно изучены и регулярные прецессии, возможные только лишь в последней из упомянутых систем.
Вместе с тем, следует отметить, что в задаче о стационарных вращениях твердого тела, подвешенного на струне, остается еще целый ряд нерешенных вопросов.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 96-01-00782) и Португальского фонда по науке и технике (Программа PRAXIS XXI, проект 3/3.1/СТАЕ/1942/95).
Список литературы
АгареваО.Ю. О перманентных вращениях осесимметричного твердого тела, подвешенного на струне// Вести. Моск, университета. Сер.1. Математика. — 1987, К2 6. — С. 45-51.
Бугаенко Г.О., В е л игодский Г.Г. Формы динамического равно-
весия одной механической системы// Уч. зап. Черкасского пед. института. Серия физ.-мат. наук. — 1963, Т. 17. — С. 21-37.
Гу редкий В. В., Добринская Т. А. О регулярных прецессионных движениях осесимметричного твердого тела на шарнирно-стержневом подвесе// Изв. АН СССР, МТТ. - 1987. - № 5. - С. 19-27.
ИшлинскийА.Ю. Пример бифуркации, не приводящей к появлению неустойчивых форм стационарного движения// ДАН СССР. — 1957. - Я2 1. - С. 47-49.
Ишлинский А.Ю., Малашенко С.В., Стороженко В. А. ид р. Метод балансировки вращающихся тел на струнном приводе// Изв. АН СССР, МТТ. - 1979. - № 5. - С. 3-18.
Ишлинский А.Ю., Малашенко С.В., Стороженко В. А. ид р. Об одном методе динамической балансировки быстровращающихся тел. — М., 1980. — 45 с. — (Препр. Ин-та проблем механики АН СССР; № 80.146).
Ишлинский А.Ю., Малашенко С.В., Стороженко В. А. ид р. О стационарных движениях подвешенного на струне твердого тела при вертикальном расположении одной из его главных центральных осей инерции// Изв. АН СССР, МТТ. — 1980. — Я2 2. — С. 34-45.
ИшлинскийА.Ю., М а л ашенк о С. В., ТемченкоМ.Е. О разветвлении устойчивых положений динамического равновесия одной механической системы// Изв. АН СССР, ОТН. — 1958. — К2 8. — С. 53-61.
ИшлинскийА.Ю., Стороженко В. А., ТемченкоМ.Е. Динамика быстровращающихся на струне твердых тел и некоторые смежные вопросы (обзор)// Прикладная механика. — 1994. — Т. 30, Я2 8. — С. 3-30.
Ишлинский А.Ю., Стороженко В.А., Темченко М.Е. Вращение твердого тела на струне и смежные задачи. — М., Наука, 1991. — 335 с.
Ишлинский А.Ю., Стороженко В. А., ТемченкоМ.Е. О движении осесимметричного твердого тела, подвешенного на струне// Известия АН СССР, МТТ. - 1979. - Я2 6. - С. 3-16.
ИшлинскийА.Ю., Стороженко В. А., ТемченкоМ.Е. О стационарных движениях вращающегося на струне осесимметричного твердого тела// Динамика и устойчивость управляемых систем. — Киев: Институт математики АН УССР, 1977. — С. 3-20.
Малашенко С.В. Некоторые экспериментальные исследования, относящиеся к вращению тел// ПМТФ. — 1960. — Я2 3. — С. 205-211.
М и р е р С. А., Одинцова С. А., Сарычев В. А. Предельные стационарные режимы твердого тела на струнном подвесе// ПММ. — 1989. — Т. 53, Вып. 1. - С. 38-44.
НозадзеГ.Т. Об устойчивости и бифуркации положений относительного равновесия твердого тела, подвешенного на струне// Известия АН СССР, МТТ. - 1984. - Я2 3. - С. 22-29.
РубановскийВ.Н. Ветвление и устойчивость перманентных вращений и относительных равновесий тела, подвешенного на стержне// ПММ. - 1987. - Т. 51, Вып. 3. — С. 382-389.
РубановскийВ.Н., Румянцев В.В. О стационарных движениях тяжелого симметричного твердого тела, подвешенного на струне// Изв. АН СССР, МТТ. - 1985. - Я2 5. - С. 3-7.
Румянцев В.В. К динамике твердого тела, подвешенного на струне// Изв. АН СССР, МТТ. - 1983. - Я2 4. - С. 5-15.
Сарычев В. А., Мир ер С. А., Исаков А.В. Положения относительного равновесия осесимметричного твердого тела, подвешенного
21 Под ред. В.М. Матросова и др.
на стержне. — 1987. — 36 с. — (Препр. Ин-та Прикладной математики АН СССР; № 94).
Сарычев В.А., Мирер С.А., Одинцова С.А. Перманентные вращения осесимметричного тела на стержне. Классификация систем. — 1987. — 24 с. — (Препр. Ин-та прикл. мат. АН СССР; К2 140).
Сарычев В.А., Мирер С.А., Одинцова С.А. Регулярные прецессии осесимметричного тела на стержне. Классификация систем. — 1987. — 28 с. — (Препр. Ин-та прикл. мат. АН СССР; К2 170).
СкимельВ.Н. О движении гиростата, подвешенного на струне// Труды межвуз. конф, по прикл. теории устойчивости движения и аналитической механике. — Казань, 1962. — С. 118-122.
Стороженко В.А. Об устойчивости одной из форм стационарного движения продолговатого тела вращения, подвешенного на струне// Изв. АН СССР, МТТ. - 1983. - Я2 4. - С. 32-40.
Стороженко В.А., Темченко М.Е. Полная картина стационарных движений осесимметричного твердого тела// Аналитические методы исследования динамики и устойчивости сложных систем. — Киев, 1982. - С. 111-136.
ВЕТВЛЕНИЕ И НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВАНЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В.А. Самсонов
Многие объекты и, соответственно, их механико-математические модели содержат параметры (массы элементов и их размеры, установочные углы и пр.). Таким образом, исследователь имеет дело с некоторым многообразием моделей, которое определенным образом параметризовано. Проведение параметрического анализа изучаемых свойств движения объектов занимает значительную часть содержательной работы механика. Такой анализ позволяет установить классификацию свойств и закономерности их зависимости от параметров. Некоторые из обсуждаемых ниже свойств нелинейных механических систем связаны с вопросами ветвления решений алгебраических уравнений.
§ 1. Критические системы
Предположим, что нелинейная автономная голопомпая связь, наложенная па совокупность материальных точек, имеет вид
ЖуЛ = о,(i.i)
где координаты х^ у и функция / могут быть, вообще говоря, векторными величинами, а параметр £ — скаляр.
Эту связь можно интерпретировать, как неявное задание в пространстве х. у. £ функциональной зависимости — поверхности 5л I = = <^(ж, у). Сечение поверхности Е плоскостью £ = const выделяет конфигурационное многообразие S^ исследуемой механической системы.
Выделим такие системы, для которых функция (р[х,у) имеет критическую точку О {ж*,?/*}, т. е.
у*) = 0,= 0.(1.2)
То значение параметра, для которого
= 1* = tp^x^yA
© В.А. Самсонов, 2001
назовем критическим. При £ = £^ значения ж*, ?/* удовлетворяют уравнению (1.1) связи, т. е. точка О при 1 = 1* соответствует допустимому положению системы. Это положение является особим^ так как уравнение возможных перемещений
а-5ж+ = 0 ох оу
в этой точке вырождается.
Возможны ситуации, при которых I* соответствует изолированному максимуму (минимуму) функции (р^х^уУ В этих случаях при I 1* — О (I —> I* + 0) конфигурационное многообразие S^ механической системы вырождается в единственную точку О. значение I* является предельным для параметра ^, а значения параметра ^, превышающие I* (или I < £*У не реализуемы (можно сказать, что механическая система не продолжима по параметру £ через его предельное значение £*У
Наиболее интересен другой случай, когда точка О является седловой точкой функции (р^уУ В этом случае система «существует» как при I < I*, так и при £ > I*, но при £ = £* ее конфигурационное многообразие обладает самопересечением. Поэтому назовем и саму механическую систему при £ = £* тоже критической.
Отметим также, что изменение параметра £, очевидно, вызывает эволюцию многообразия S(iy но «прохождение» параметром своего критического значения вызывает «катастрофическую» перестройку конфигурационного многообразия. Вообще говоря, сама механическая система при этом изменяет свои свойства.
Первая особенность критической системы — невозможность выбора обобщенных лагранжевых координат на многообразии 8(£*) (естественно, что в окрестности точки О невозможен выбор даже локальных координат).
Предположим, что критическая система находится в начальном состоянии покоя в положении О. Если это положение не является положением равновесия, то возникает вопрос: по какой из ветвей многообразия S(£*) будет происходить последующее движение системы?
Рационального ответа на этот вопрос нет. Либо нам придется смириться с очевидным нарушением принципа детерминированности в этом случае, либо, наоборот, для «спасения» этого принципа принять «соглашение» и считать положение О особенным равновесием системы. Любой из этих выходов с практической точки зрения не сулит никаких неприятностей, поскольку само событие представляется маловероятным.
Предыдущий вопрос имеет естественное продолжение. Система «входит» в положение О по некоторой ветви многообразия S(£*) с некоторой отличной от нуля скоростью. Какую из ветвей система выберет для своего дальнейшего движения?
Представляется естественным использовать для поиска ответа на этот вопрос фундаментальный закон механики — закон инерции. Иначе говоря, движение системы продолжится таким образом, чтобы скорости ее точек изменялись непрерывно! Это вносит определенность
Ветвление и некоторые свойства нелинейных механических систем 325 в выбор ветви для последующего движения и в случае одномерного многообразия позволяет считать, что в точке О пересекаются две траектории критической системы.
Сравним теперь траектории критической системы с траекториями «близких» систем при li = 1* — £ и I2 = 1* +s. В соответствии с известными положениями теории ветвления решений нелинейных уравнений многообразие S^^ при изменении параметра «распадается» на непересекающиеся части Si, S2, причем пара Si (1 — s), S2 (1 — е) совсем не «похожа» на пару Si(^ + eY $2^ + s). Налицо кардинальная перестройка, которую вполне можно назвать «катастрофической», конфигурационного многообразия при прохождении параметром £ своего критического значения £*.
Из этого обстоятельства вытекают несколько следствий. Во- первых, связь (1.1) задает два конфигурационных многообразия при £ ^ £*. Одно из них соответствует заданной конфигурации изучаемого механизма, а другое, вообще говоря, соответствует другому механизму. Вторую систему назовем сопряженной.
Во-вторых, Si(£* — Ди Si(£* + Д при е —> О образуют два предельных множества, не совпадающих между собой и состоящих из кусков различных траекторий критической системы. Следовательно, предельная траектория механической системы при 1 1* — 0(1* + 0) не совпадает с траекторией критической (предельной) системы.
Предположим теперь, что критическая система консервативна, и ее особое положение О является минимумом потенциальной энергии по отношению к возмущениям, принадлежащим как одной траектории из S(l*), так и другой.
Следовательно, точка О отвечает устойчивому равновесию критической системы, и ее малые колебания около этого равновесия представляют собой малые колебания. Однако частота этих колебаний, вообще говоря, зависит от той траектории, по которой возбуждено движение. Иными словами, критическая система может обладать двумя формами и двумя частотами малых колебаний (но не их суперпозицией!).
Примечание. Автору кажется, что последнее свойство должно быть известно специалистам по теории машин и механизмов.
Отмеченные особенности механических систем, зависящих от параметра, вносят некоторые дополнения в классическую теорию Пуанкаре бифуркации равновесия консервативных механических систем.
Дополнение 1. Максимум (или минимум) функции П(ж, у) , существующий на Si(l) при £ < 1*, непродолжим по параметру через особую точку О, если в ней он «сливается» с минимумом (соответственно, максимумом) функции П на S^Y
Дополнение 2. Одноименные экстремумы функции П(ж,у}, существующие на Si(l), S2W при £<£* и сливающиеся в точке О при 1 = 1*, сохраняются на обоих многообразиях и при 1 > 1*.
Пример. Пусть (рис. 1) кривошип РА (|РА| = г) может вращаться вокруг неподвижной оси Р, а поршень С может совершать возвратно-поступательное движение вдоль неподвижной прямой Рх.
Рис. 1
Кривошип РА и поршень С соединены шатуном АВ (|ЛВ| = у) с помощью цилиндрических шарниров А^ В. Будем считать все элементы механизма абсолютно твердыми телами. Положение кривошипа определим углом а между отрезком РА и осью Рх. Положение поршня зададим координатой хв точки В. Для задания положения шатуна АВ используем величину хв и угол Р между линиями АВ и Рх (рис. 1).
Обсуждаемая система, как известно, голономна, так как величины а^Р^хв связаны очевидными геометрическими соотношениями хв = т cos а + X cos 3^
£sma = smP^ £ = r/x-(1.2)
Поскольку величина хв однозначно определяется углами а, В. а связь (1.2) не содержит величины ж в, то конфигурационное многооб-
Рис. 2
разие S системы удобно изображать на плоскости а, Р, точнее, на квадрате П: {—тг < а ^ 7г, — тг < Р ^ тг} (рис. 2). При 0 < I < 1 многообразие Si качественно изображается штрих-пунктирной кривой NKN'. При 1 < £ — многообразие Si имеет вид пунктирной кривой МКМ'.
Налицо кардинальное изменение формы конфигурационного многообразия Si при «прохождении» параметром £ значения I* = 1.
Наконец, при «критическом» значении £* = 1 многообразие 8^£^ состоит из трех отрезков: а = Р^а -V Р = тг, а + Р = —тг, причем два последних являются продолжением друг друга вследствие 2тг- периодичности системы как по а, так и по р.
Выбор лагранжевой обобщенной координаты q. Очевидно, что при £ < 1 следует принять q = а, а при £ > 1, наоборот, q = р. Очевидно также, что при £ = 1 обобщенной лагранжевой координаты нет (хотя многообразие S остается одномерным).
Траектории «критической» системы. При £ = 1 существуют два особых положения системы — первое О: а = Р = тг /2 и второе О1: а = Р = —тг/2. «Особость» их состоит в том, что система может «покинуть» их по двум совершенно разным траекториям а = Р и а + Р = тг или а + Р = — тг. Налицо неопределенность выбора траектории, если движение начинается из состояния покоя в одном из этих положений, не являющемся положением равновесия.
Предположим теперь, что движение начинается из некоторого неособого положения и в особую точку — для определенности О — изображающая точка «входит» с ненулевой скоростью. Если движение происходило по отрезку МО. то скорость поршня С во все время движения равна нулю, если же по КО) то скорость поршня отлична от нуля. Тогда, очевидно, продолжение движения «через» особую точку О определяется свойством инерции, т. е. в первом случае по ON, а во втором — по ОН. Таким образом, для почти всех начальных условий отрезки К’ R) MN U М’ N' следует считать целыми траекториями критической системы.
Предельные свойства. Обратимся теперь к случаю £ < 1 и выделим «предельную траекторию» при I —> 1 — О (слева). Изображение на рис. 2 позволяет принять в качестве «предельной» для траектории NfKN ломаную N'O'ON. В то же время в случае I —> 1 + О (справа) «предельная траектория» имеет вид ломаной М'О'ОМ. Таким образом, «предельная траектория», вообще говоря, не совпадает с траекторией критической (т. е. предельной) системы. Это означает, что попытки изучения траекторий критических (предельных, вырожденных) систем путем построения предельных переходов в траекториях невырожденных систем могут оказаться некорректными.
Малые колебания «критической системы». Предположим, что наш механизм находится в однородном поле тяжести с ускорением д^ которое направлено ортогонально линии Ох (вниз на рис. 1). Очевидно, что в этом случае особое положение а = Р = тг/2 является устойчивым положением равновесия механизма. Но частота малых колебаний около этого положения равновесия, очевидно, зависит от того, остается поршень С на месте или нет.
Считая для простоты стержни невесомыми, поместим в шарнир А материальную точку массы т. Тогда первая частота Ai совпадает с частотой математического маятника длины г = у, а для второй имеем А2 = тд/^т + 47И)], где М — масса поршня.
Бифуркация положений равновесия. Изобразим картину распределения положений равновесия нашего механизма на плоскости а^ (рис. 3). Нетрудно видеть, что в условиях и. г) при I < 1 положение равновесия а = тг/2 устойчиво (на рис. 3 отмечено значком +), а а = —тг/2, наоборот, неустойчиво (отмечено значком —).
При ^ > 1 картина равновесий и распределение свойства устойчивости (рис. 3) не соответствует, очевидно, положениям теории Пуанкаре.
В п. 6 этому дано объяснение. С одной стороны, координата а при I > 1 уже не может играть роль обобщенной лагранжевой, так как
она изменяется в ограниченных пределах (как раз в полосе —тг/2 < < а < тг/2. С другой стороны, второй, как бы соседний одноименный экстремум потенциальной энергии (например, в полосе тг/2 < а < < тг принадлежит уже многообразию S^ сопряженного механизма, у которого поршень С располагается слева от точки Р.
Для того, чтобы завершить иллюстрацию положений и. 6, будем считать, что однородное поле тяжести действует лишь на стержень РА вдоль оси Рх. В этом случае при I > 1 связь (1.2) определяет не только механизм, изображенный на рис. 1 (нижний), но и «сопряженную» систему (верхнюю), для которой ползун С расположен «над» точкой Р. Распределение равновесий изображено на рис. 4.
Таким образом, мы видим, что механические системы, конфигурационное пространство которых может испытывать катастрофическую перестройку, и сопутствующие этому критические системы обладают рядом любопытных свойств.
Множество возможных установившихсядвижений систем с псевдоциклическимикоординатами
Дадим здесь описание некоторого геометрического образа, который также обладает свойством ветвления, и присущ почти всякой практически интересной системе с псевдоциклическими координатами. Этот образ служит ее своеобразной характеристикой.
Системы с псевдоциклическими координатами.
Описание. Пусть среди обобщенных координат q7 (г = 1,... ... , п) механической системы с голономными стационарными связями имеются координаты qj (j = г + 1,..., п; г < п^ которые не входят явным образом в выражение для кинетической энергии Т системы, т. е.
дТ1
= 0, з = г + !,..., п.
Предположим также, что действующие на систему силы также не зависят от координат qj. Такие координаты ниже будем называть псевдоциклическими^ а остальные q^ (г = I,..., г) — позиционными.
Для сокращения записи, наряду со скалярными, будем использовать матричные обозначения. Символом q обозначим матрицу-столбец из позиционных координат, щ ш — матрицы-столбцы из позиционных и псевдоциклических скоростей.
Будем считать, что рассматриваемая система гироскопически не связана, т. е. кинетическая энергия имеет вид:
Т = 0.5 qTA^q + 0.5 штВ^ш.
Здесь символами A^qY B(q) обозначены симметрические положительно-определенные матрицы, элементы которых зависят от позиционных координат. Символом Т обозначено транспонирование.
В дальнейшем потребуются также отдельные элементы введенных матриц
А — II^гз 111 А^ — 11Щх,..., а7Т 11, В — ||b^j 11, Bk — 11bkl,..., bkn_T 11.
Предположим, что обобщенные силы, отвечающие позиционным координатам, заданы и представляют собой сумму потенциальных сил,
производных от силовой функции U^q\ и диссипативных сил, обращающихся в нуль при q = 0.
Qt = ^7 + Qid{q,q), Q»9to,o) = o.
Обобщенные силы F^ (к = l,...,n — г), отвечающие псев- доциклическим координатам Qr+^, будем считать заданными или подлежащими выбору (управляющими) в зависимости от уточнений в постановках последующих задач. В любом случае эти силы представляют собой некоторые функции позиционных координат q. скоростей q и ш. т. е.
Fk = Fk(q,q,w).
Очевидно, что в том случае, когда F^ = 0, координата qr+k циклическая.
Иногда для сокращения будут употребляться символы
Уравнения движения. Уравнения движения механических систем, в том числе и рассматриваемых здесь, могут быть записаны в различных формах, удобных для того или иного конкретного исследования. Для некоторых задач удобны уравнения движения в форме уравнений Лагранжа. Для позиционных координат
^А^ - 0.5FQ[TAq + шт Вш) = Qt-(2-1.1)
Для псевдоциклических
Bk^=Fk.(2.1.2)
Иногда используются уравнения движения в форме уравнений Рауса. Введем обобщенные импульсы
ЭТ,
р= — = Вш.(2.1.
ОШ
Отсюда имеем ш = ВАр.
В переменных q. р уравнения движения принимают вид
(Adj - ^-bF^qTAq - р^р) = Qt,(2.1.4)
р = Fр = F(2.1.5)
р = F
р = F
Простая форма векторного уравнения (2.1.5) оказывается весьма удобной для качественного анализа. Функции Fk в уравнении (2.1.5) зависят от q. q, р. Для сокращения записи примем, что
= F(q,q,w(q,p^.
Установившиеся движения системы.
Уравнения установившихся движений. Допустим, что при некоторых начальных условиях система совершает установившееся движение, в течение которого позиционные координаты и псевдоци- клические скорости сохраняют свои начальные значения
g(f) = q^t^ = const, ш^Е) = w(fo) = const.(2.2.1)
Для того чтобы система дифференциальных уравнений (2.1.1), (2.1.2) допускала частные решения вида (2.2.1) нужно, чтобы имела решение система алгебраических уравнений
8 , т х 9Uz х
0.5 —(штВш) - — = 0,(2.2.2)
8qtdqt
Fk = 0.(2.2.3)
Допустим, что силы Fk заданы в виде явных функций от д, ф ш. Тогда возможен следующий путь решения системы (2.2.2), (2.2.3). Рассматривая подсистему (2.2.2), как уравнения относительно q с параметрами ш, получим ее решение
q = JH.(2-2.4)
Затем подставим (2.2.4) в (2.2.3) и получим замкнутую систему относительно ш
(2-2.5)
Решив уравнения (2.2.5), получим значения псевдоциклических скоростей в установившемся движении, а с помощью (2.2.4) определим и значения позиционных координат. Отметим, что решение (2.2.4) может оказаться многозначным. Тогда возможны различные установившиеся движения системы, для которых значения псевдоциклических скоростей одинаковы, а значения позиционных координат различны. Допустим теперь, что силы Ек — управляющие. Одной из целей выбора Ек служит обеспечение условий осуществимости установившегося движения с некоторыми заданными значениями сид вектора псевдоциклических скоростей. Причем в качестве рабочего режима может назначаться любая точка ад из некоторой области Qo пространства Q = {сД. Понятно, что и в этом случае необходима информация о решении (2.2.4), поскольку она даст представление о возможных значениях позиционных координат в установившемся движении с заданными псевдоциклическими скоростями.
Замечание. Обычно в выборе сил Е^ имеется либо произвол, либо некоторая условность или неопределенность. В то же время подсистема (2.2.2) определена надежней. Поэтому другая последовательность анализа системы уравнений (2.2.2), (2.2.3), вообще говоря, непродуктивна.
Геометрическая интерпретация. Дадим геометрическую интерпретацию уравнению (2.2.2), следуя, в основном, работам [1, 2, 7, 8]. Уравнения (2.2.2) определяют в n-мерном пространстве переменных Q, со множество Р возможных установившихся движений системы. При определенных свойствах (условия гладкости плюс условия, отрицающие некоторые тождества) это множество состоит из счетного числа компонент Ре, представимых в виде однозначных непрерывных функций
д = /е(Д, е = 1,2,...
область определения Qe которых имеет размерность п — г или меньше. В дальнейших рассуждениях будем учитывать лишь те компоненты множества Р, для которых dimQe = п — г. Нередко среди компонент множества Р имеются такие, для которых функция /е не зависит от оц,... ,wn_r. Это имеет место, если при некотором значении q = qo выполняются следующие равенства
(2.2.6)(2.2.6)ди 8bk) 0
(2.2.6)
(2.2.6)
dqi 9qt '
Очевидно, что при выполнении условий (2.2.6) уравнения (2.2.2) имеют решение q = qo при любых значениях o>i,..., шп_Т. Установившиеся движения такого типа назовем тривиалъными. Остальные — существенными.
Отдельные компоненты множества Р могут пересекаться между собой по некоторым подмножествам (линиям) L. На линиях пересечения происходит ветвление решения системы уравнения (2.2.2) и по необходимости обращается в нуль ее якобиан
|W||=0, W = -I q,wEL|W||=0, W = -I q,wEL—— (В + 0.5штВД OqiOqs—— (В + 0.5штВД OqiOqs(2.2.7)(2.2.7)
|W||=0, W = -
I q,wEL
|W||=0, W = -
I q,wEL
—— (В + 0.5штВД OqiOqs
—— (В + 0.5штВД OqiOqs
(2.2.7)
(2.2.7)
Обычно условие (1.2.7) выполняется лишь в точках ветвления и не выполнятся в других точках множества Р. Это позволяет ввести дополнительную характеристику для элементов множества Р.
Обозначим через v число отрицательных собственных чисел матрицы W. Предположим, что компонента Ре разделена на две связные части Pei, Ре2 линией L. Поскольку на L обращается в нуль по крайней мере одно из собственных чисел матрицы W то вполне может оказаться, что число v примет различные значения в каждой из частей Pei и Ре2- В то же время, для всех точек одной части это число одинаково. Поэтому целесообразно различать компоненты множества Р не только по признаку однозначности функции /, но и по
Ветвление и некоторые свойства, нелинейных механических систем 333 соответствующему значению числа v. которое в дальнейшем будем именовать индексом. Связную однозначную компоненту множества Р назовем листом Ре. если никакие ее внутренние точки не являются точками ветвления решения уравнений (2.2.2) и во всех точках этой компоненты одно и то же значение индекса и.
В некоторых задачах число, аналогичное введенному здесь индексу, называется степенью неустойчивости или числом отрицательных коэффициентов Пуанкаре.
Итак, в описании множества Р входит перечень его листов Ре с указанием соответствующих индексов ve. Этот набор поверхностей можно считать геометрической характеристой системы с псевдоцикличе- скими координатами. При любом выборе сил F каждому возможному установившемуся движению системы соответствует некоторая точка множества Р.
Отметим некоторые известные свойства геометрического образа Р. Типовая, или, как ее чаще называют, «грубая» форма ветвления такова, что на линии L соединяются лишь два листа Ре и Pe+i множества Р и проекция I этой линии на пространство Q является границей наложенных друг на друга областей определения функций /е и /е+1. Иначе говоря, если П = (q-^w-f) — некоторая точка линии L, a Qi — малая окрестность проекции Щ точки П на пространство Q (рис. 5), то область Qi разделена линией £ на две части Пц, Q12. Если ш Е Пц
(на рис. 5 Пц заштрихована), то существуют две непрерывные функции К(ш) и /2(^)7 /1 ^ /27 являющиеся решением уравнений (2.2.2) и такие, что
lim /i(w) = lim /2(ш) = qv
Если же ш Е Qi27 то не существует ни одного решения уравнений (2.2.2), обладающего указанным предельным свойством.
Для того, чтобы решение уравнений (2.2.2) имело более сложную форму ветвления, необходим более высокий порядок вырождения системы, чем простое обращение в нуль ее якобиана (специальные значения параметров, свойство симметрии и т. д.).
Например, уравнение
(q - kico)(q - к^ш^ = С, ki ^ к^
при С > 0 имеет два однозначных решения, ветвления нет (рис. 6, а). При С < 0 его решение имеет два типовых ветвления в точках ш^ и
Рис. 6. С > 0 (а); С < 0 (5); С = 0 (в)
Ш2 (рис. 6, 5), а при С = 0 решение состоит из двух пересекающихся прямых, в точке q = со = 0 имеем особую форму ветвления (рис. 6, в).
Допустим, что функция р^о?) обладает симметрией по неизвестной q, q = 0 — тривиальное решение уравнения ^(д, си) = 0, и функция (^ аналитична. Тогда при малых q это уравнение представимо в виде
д“(а(ш) + b^q^ + ...) = О,
где а(со^ Ь(со) — соответствующие производные функции р. Видно, что ветвление тривиального решения q = 0 может происходить лишь
в точках, где а(ш) = 0, и, если в этих точках Ь(ш) ф 0, то дополнительные решения имеют вид
В этом случае в точке ветвления обращается в нуль не только dpjdq^ но и, по крайней мере, д2<^/д^2. А более высокий порядок вырождения может привести и к еще более сложным формам ветвления. Эти примеры показывают, что на листе тривиальных установившихся движений возможны лишь особые формы ветвления.
Области Qe могут быть ограниченными и неограниченными. Часть их границ состоит из проекций линии L на Q. Эти участки границы можно включить в одну из областей Qe. Кроме того, возможны такие участки £* границы области Qe, точки которых не принадлежат ни этой области, ни другой. Это бывает в тех случаях, когда
lim |/е(^)| ос, е L
Уравнения установившихся двиснсений в переменных Рауса. Нетрудно видеть, что на установившемся движении (2.2.1) сохраняют свои начальные значения псевдоциклические импульсы р. Поэтому уравнения (2.2.2) могут быть заменены на эквивалентные
(2.2.8)(2.2.8)д
(2.2.8)
(2.2.8)
- — (и -О^В^р) = 0,8qt
в которых параметрами служат импульсы р. Эти уравнения полностью совпадают с уравнениями для стационарных движений систем с циклическими координатами [2,8].
Уравнения (2.2.8) определяют в n-мерном пространстве переменных q^p множество Р* возможных установившихся движений, которое представляет собой деформированное в соответствии с преобразованием (2.1.3) множество Р.
Характерные свойства множества Р’ те же, что и у множества Р. Следует отметить, что количество листов множества Р* может не совпадать с числом листов множества Р, поскольку теперь в точках ветвления (на линии L^ обращается в нуль якобиан
W’ =W’ =д2 , т 1 х
W’ =
W’ =
—— (О.бр^-^-Г) oq^uqs
Индексом v'e листа Ре следует считать количество отрицательных собственных чисел матрицы W’.
Отметим, что использование в качестве переменных импульсов иногда приводит к появлению особенностей в уравнениях движения
и, соответственно, в уравнениях (2.2.8). Это происходит в случае систем, обладающих так называемыми вырожденными стационарными движениями [3]. Для таких систем при некоторых значениях позиционных координат q = q выполняется равенство
Щ(д)|=О.(2.2.9)
Особенно любопытно преобразование множества Р в Р' , когда q = = q является тривиальным решением уравнений (2.2.2).
Условие (2.2.9) противоречит, казалось бы, естественному требованию положительной определенности матрицы В, однако это условие выполняется для некоторых механических объектов (см. и. 3)
Пример. В качестве примера опишем множество возможных установившихся движений физического маятника, горизонтальная ось качания О О' которого может поворачиваться вокруг вертикальной оси NNf. В работе [8] описано такое множество в переменных Рауса.
Рассматриваемая система (рис. 7, а) имеет две степени свободы: поворот оси качания вокруг оси NNf на угол ф и поворот тела вокруг оси качания на угол 1?. Обобщенная сила F — момент привода, вращающего рамку вокруг оси NN\ причем
р = Р^Дф).
Для простоты примем, что оси ОО* и NN' пересекаются в точке О. оси ОО’ и OG (G — центр тяжести тела) — главные оси эллипсоида инерции тела для точки О. При этих предположениях
2Т = 1^ + (bsirii/2 + lacos^V-
Здесь ш = ф. m — масса, а Д, Д, Д — соответствующие моменты инерции тела. Координата ф — псевдоциклическая, а d — позиционная.
Силовая функция силы тяжести
U = mga cos d а = |OG|
Система уравнений (2.2.2) превращается в одно уравнение
mga sin d — (Д — I^^2 sin d cos d = 0.
Это уравнение имеет ветви тривиальных решений
d = Дтг, к = 0, ±1,...
и ветви существенных решений
d = Агссо8[т^а/сс;2(Д — Д)],
Рис. 7. Ь > /3 (б)- Ь < /з (в)Рис. 7. Ь > /3 (б)- Ь < /з (в)
Рис. 7. Ь > /3 (б)- Ь < /з (в)
Рис. 7. Ь > /3 (б)- Ь < /з (в)
которые пересекаются с соответствующей ветвью тривиальных решений при ш = ш* где
тда = ^(^ - Ii\
Ограничимся описанием только той части множества Р, для которой О ^ 1^ ^ тг. Она содержит четыре листа. При 1-2 > /з семейство тривиальных движений ^ = О состоит из двух листов — Pi (0 ^ ш <ш^ с индексом vi = 0 и Р2^ш > ш*) с индексом V2 = 1, кроме того, имеется лист Р3 существенных движений при и > и*, индекс которого 7/3 = 0, и лист Р4 тривиальных движений -# = тг с индексом 1/4 = 1 (рис. 7, б).
При I2 < /3 имеем лист Pi движений $ = 0(щ = 0). Движения $ = = тг образуют два листа — Р2(0 ^ ш < w^ V2 = 1) и Р^ш > ш^ 1/4 = 0). Лист Р3 существенных движений имеет индекс v^ = 1 (рис. 7, в).
Множество Р* построенное в [8], имеет следующее качественное отличие от множества Р. При I3 > 4/3/2 существенные движения составляют два листа — Р^и^ = 0 и Р/т/ = 1 (рис. 8). Таким образом,
22 Под ред. В.М. Матросова и др.
при 1^ > 4/312 множество Р* имеет в интересующей нас области пять листов, а множество Р — четыре.
Очевидно, что ветвления, происходящие в точках (0, о;*) на рис. 7, 5, (тг,ш*) на рис. 7, в и (тг,р**) на рис. 8, особые. Ветвление в т. ^i^p*) на рис. 8 — типовое или «грубое».
Случай двух псевдоциклических координат. Далеко не всегда удается построить такое наглядное изображение множества Р, как в изложенном примере. Непреодолимые трудности возникают при попытках изображения поверхностей уже при п = 4. Это обстоятельство заставляет искать другие формы геометрического представления множества Р.
Существует довольно широкий круг объектов техники, моделируемых механической системой с двумя псевдоциклическими координатами. Один из них обсуждается в качестве приложения результатов теории в настоящей работе. Поскольку каждый лист множества Р для таких систем имеет размерность два, то появляется возможность построения карты этого листа, дающей представление о рельефе поверхности. Такой способ изображения позволяет дать достаточно наглядную интерпретацию множеству Р, особенно в случае невысокой размерности вектора позиционных координат.
Карта на плоскости псевдоциклических скоростей. Наиболее просто строится карта для системы с одной позиционной координатой. Система (2.2.2) превращается в одно уравнение вида
^(^11(9)^! + 2^1^2^12(9) + ^2^22(9) + 2П) = 0. (1.3.1)
Каждый лист представляет собой поверхность
9 = /в(^1,^2).
На плоскости параметров ш-^ со 2 можно изобразить семейство линий уровня этой поверхнсти ^(^1, ^2) = const, которые и образуют карту. Нетрудно видеть, что каждая из линий уровня представляет собой кривую второго порядка. Естественно, линии уровня одного листа не
пересекаются между собой. Тем не менее, нетрудно себе представить, что некоторые линии /(сс^ ^з) = Q* и f^w-y^w^ = щ*, определяемые уравнением (2.3.1), пересекаются между собой. Это означает, что, по крайней мере, одна из них разными своими участками принадлежит различным листам множества Р.
В случае двух позиционных координат на карте необходимо построить два семейства линий уровня
Q1 = /е1(^17 ^2)742 = /е2(^1, шфф
Подобное построение также осуществляется довольно просто, поскольку залание обоих позиционных координат определяет точку на плоскости шу^ ш^ являющуюся пересечением двух кривых второго порядка.
При необходимости на карте может быть размещена и другая информация об установившихся движениях, например, о распределении их полной энергии в виде линий уровня функции
Де(Ш1,Ш2) = WTB(fe)w - U.
Карта на плоскости псевдоуиклических импульсов. Изображение рельефа листа поверхности Р* на плоскости импульсов щ, р^ осуществляется также построением линий уровня, которые в случае одной позиционной координаты являются кривыми второго порядка
^(РуЬуу* + 2piP2^12* +^2^22* — 2П) = 0.(1.3.2)
Здесь bis* — коэффициенты матрицы В-1.
Ряд задач требует также указания на карте, кроме линий /е(р1,Р2) = const, дополнительной информации о распределении скоростей шу^ ш^ или о линиях, на которых выполяются определенные соотношения между скоростями. Может оказаться полезной и информация об энергии установившихся движений.
Использование карты для выделения установившихся дви- снсений. Будем рассматривать лишь такие силы Fдля которых не только F(q^ q^ ш) ф 0, но и Р^е(шф 0, ш) ф 0 ни на какой из /е. Второй этап поиска установившихся движений — решение уравнений (2.2.5) — можно провести геометрическим или графическим путем. Такая возможность особенно ценна в тех случаях, когда информация о силах F имеет качественный характер. На плоскость шу^ ш^ наносятся кривые, определяемые уравнениями
Fi(/e(wi,w2),0,wi,w2) = 0,(2 3 3)
-F2(/e(Wl, Ш2), 0, Ш1,Ш2) = 0.
Точки пересечения построенных кривых служат образами установившихся движений (рис. 9). Качественное построение кривых (2.3.3) об-
Рис. 9Ш2Рис. 9Ш2Рис. 10 легчается, в частности, тем обстоятельством, что они, как правило, не имеют самопересечений.В некоторых задачах силы Еу и Е^ порождаются одним и тем же силовым фактором и имеют следующую структуруРис. 10 легчается, в частности, тем обстоятельством, что они, как правило, не имеют самопересечений.В некоторых задачах силы Еу и Е^ порождаются одним и тем же силовым фактором и имеют следующую структуру
Рис. 9
Ш2
Рис. 9
Ш2
Рис. 10 легчается, в частности, тем обстоятельством, что они, как правило, не имеют самопересечений.
В некоторых задачах силы Еу и Е^ порождаются одним и тем же силовым фактором и имеют следующую структуру
Рис. 10 легчается, в частности, тем обстоятельством, что они, как правило, не имеют самопересечений.
В некоторых задачах силы Еу и Е^ порождаются одним и тем же силовым фактором и имеют следующую структуру
Fj = F(_q,q,W>j(q).
(2.3.4)(2.3.4)Очевидно, что в этом случае система имеет семейство установившихся движений, изображаемое на плоскости сщ, ш^ (рис. 10) ветвями кривой
(2.3.4)
(2.3.4)
-^(/(^1, ^2)7 0, сщ, ^2) — о.
Кроме того, возможны установившиеся движения, изображаемые кривой
/(^1,^2) = q*
если существует такое щ, что
^i(q*) = p^q*) = 0.
Аналогичное построение проводится и на плоскости импульсов Р17 Р^-
Множество возможных установившихсядвижений осесимметричного тела
В настоящем разделе проводится построение и описание множества Р* для твердого тела с неподвижной точкой. Множество стационарных движений подобных объектов изучалось и ранее [2, 7, 8]. Тем не менее, построение карт соответствующих множеств представляет интерес, как форма их геометрической интерпретации. Построенная здесь карта используется в разделе 4 при решении задач о нестационарных переходах.
Рассмотрим задачу о регулярных прецессиях осесимметричного тела, закрепленного в некоторой точке О его оси симметрии О %. Положение тела определим тремя углами Эйлера: ^ — угол нутации, угол между осью О г и некоторой неподвижной осью О(; ф — угол прецессии, угол поворота плоскости Oz( вокруг оси О(; р — угол собственного вращения тела вокруг оси Oz.
Кинетическая энергия тела имеет вид
Т = ^[Л^2 + Д^2 sin2 ^ + Ц(ф + V7 cos ^)2].
Очевидно, что координаты р, ф — псевдоциклические, а ^ — позиционная. Обозначим ф = шх^ ф = ш^.
Предположим, что действующая на тело потенциальная сила имеет силовую функцию Ифдф зависящую лишь от угла нутации ^. Относительно функции U($) будем предполагать, что она непрерывна, дифференцируема дважды, четна и имеет экстремумы при $ = 0 и ^ = тг, т. е.
U?(0) = и?(тт) = 0.
Проведем описание множества Р' установившихся движений такого тела — регулярных прецессий и перманентных вращений. Запишем уравнение установившихся движений в параметрах шх, ш^
[(J3 - А)с<;2 cos^ + J3^i^2] sin^ + UrQiP) = 0.
Видно, что построение карты его решений на плоскости шх^ш^ не представляет особого труда [12].
Для описания множества Р* введем импульсы
ЭТ
и = = J3(^2 + ^1 cos^),
8Т
V = — = 1з((л)2 + Шх cos ^) COS ^ + 1хШх sin2 ^.
UUJx
Разрешив эти уравнения относительно ш^ш^ получим
v — и cosи
^1 =• 2 п ’^2 =- ^1 COS^.
Il 8Ш2 ^/з
Тогда уравнение установившихся движений в переменных и, v примет вид
_ u-w = о.(ЗД)
Il sin
Уравнение (3.1.1) допускает частные решения А = 0 или ^ = тг, отвечающие тривиальным перманентным вращениям тела, не при всяких значениях параметров. Как нетрудно проверить, решение А = О существует лишь при и = г, а решение ^ = тг — при и = —v. «Исчезновение» листов тривиальных установившихся движений ^ = 0 и ^ = тг при преобразовании множества Р в Р' происходит из-за того, что
|В| = Jisin2tf| =0.
1^ = 0,7Г
Опишем теперь множество регулярных прецессий тела (sin^ ^ 0). Допустим, что функция UQ$) монотонна на (0, тг), например, возрастающая, и построим карту поверхности ^ = /(п,г), определяемой уравнением (3.1). Линия уровня /(и,г) = ^* = const — гипербола (рис. 11) с асимптотами
и = г cos ^*, г = и cos ^*
которые монотонно «раскрываются» при увеличении $. Поскольку U’(д) > 0, то каждая ветвь гиперболы пересекает прямую и = v. Для того, чтобы выяснить, могут ли различные линии уровня пересекаться между собой, надо проследить за перемещением их вершин при изменении ^. Подставив в (3.1) и = г, имеем
у2 == ф
sin ^
Видно, что в том случае, когда функция Ф(^) монотонна (а она может только убывать, так как Ф(тг) = 0), гиперболы, отвечающие различным значениям ^, не пересекаются между собой. Функция Ф(^) может иметь предел при 0
Фо = lim Ф«
Тогда вершины гипербол при ^ ^ 0 имеют предельную точку и = г = = у^ (рис. 11). Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Утверждение 1. Если U (^) — возрастающая функция на (0, тг), а Ф(^) — убывающая, то множество Р' регулярных прецессий тела (О < д < тг) состоит из двух листов Р^ и Р^
^1 = {^ + г > 0}\{u — v = О, и > VM
Q2 = {^ + v < 0}\{п — v = О, и < — VM
Понятно, что индексы обоих листов равны, и ^ = ^ = 0. Чтобы убедиться в этом, достаточно вычислить VK(^*), где U"^*) = = 0 (sin^* ^ 0), при и = v
х 9— cos — cos
W(d^ = г2^> 0.
Ii sin д*
Нетрудно видеть, что совокупность тривиальных перманентных вращений д = 0, д = тг состоит либо из линий ветвления (Li = = {п + г = 0}, £2,3 = {и = щи2 > Фо}) множества Р*, либо из изолированного множества размерности один {п = и, и2 < Фо}.
Если же Нпщ^о Ф(^) = сю, то вся совокупность установившихся движений А = 0 является изолированным множеством размерности один и не представляет интереса.
Например, для тяжелого тела
U = —Па cost?, U' = Па sin
Ф(^) = аШ^! + cos^f, Фо = 4аШх.
Если функция U(^) имеет более сложный характер, то и само множество Р’ и карты его листов будут выглядеть сложнее. Однако при любом виде функции U^ характер карты в области и2 + г2 >> max# Ф(^) одинаков. Здесь либо г ^ ucos^, если |п| > |г|, либо и rcos^, если |г| > |гф
Опишем распределение угловых скоростей шх ш2 на карте (рис. 11). Вдоль ветви линии уровня ^ = const шх монотонно изменяется от 0 до ±оо. Угловая скорость ш2 изменяется на одних линиях монотонно, а на других — немонотонно. Кроме тривиальных перманентных вращений ^ = 0, ^ = тг имеется совокупность перманентных вращений и среди прецессий (ш2 = 0,sin^ ф 0).
Части плоскости (и, г), в которых |п| > |г|, и2 ^ тахФ(^) назовем областями «медленных» прецессий, поскольку здесь сщ ~ 0. Те части, в которых 1^1 > |гф г2 ^ тахФ(^), представляют собой области «быстрых» прецессий. Здесь
г/ 11 \
Шх^и — - — .(3.2)
ПОзП /
Отметим, что среди «быстрых» прецессий всегда имеется перманентное вращение тела вокруг оси О( (ш2 = 0). На этом движении мйО, ^ ~ тг/2. В частном случае, когда С7(тг/2) = 0, два последних равенства превращаются в точные (и = 0, ^ = тг/2).
Вообще же, если при некотором ^* выполняется равенство
^(^) = о,
то существует перманентное вращение тела и в области «медленных прецессий». Ось Oz тела в таком движении составляет угол ^* с осью О(, а угловая скорость прецессии обращается в нуль (сщ = 0).
Замечание. В некоторых особых случаях оказывается, что
lira U'W ф 0.
В этих случаях линии уровня при ^ ^ 0 по-прежнему приближаются к линии и = г, но из уравнения установившихся движений (3.1), которое можно переписать в виде
—12Шх cos ^ + ишх + U* ^/ sin ^ = 0
следует, что lim Ш1 = ос
при любом конечном значении импульса и.
Использование информации о множествах Р'
Построение и описание геометрических образов типа множеств Р и Р' и само по себе представляет достаточно интересную задачу. Однако в нашем случае информация о свойствах этих множеств помогает при решении более сложных задач.
Для систем с псевдоциклическими координатами возможна (и иногда целесообразна) постановка специфической задачи о стабилизации [9, 13] заданного установившегося движения («рабочего режима») с помощью только управляющих сил Р^ отвечающих псевдоцикличе- ским координатам. Оказывается, например, что движение нестабили- зируемо, если оно принадлежит листу тривиальных с ненулевым значением индекса. Серия результатов исследований изложена в [17, 18, 20, 21].
Некоторые листы множества Р' можно использовать для описания квазистационарных движений механической системы [10]. Квазирегу- лярные прецессии тяжелого гироскопа в кардановом подвесе обсуждались в [12]. Переходным движениям типа почти круговых прецессий ротора на гибком валу посвящены работы [10, 11]. В [16, 19] методика квазистационарных движений использовалась для оценки характера движения тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью.
Однако наиболее выразительные (с точки зрения автора) результаты эта методика принесла в задаче о движении волчка по горизонтальной плоскости с трением [14]. По этой причине автор и ограничился в настоящей работе изложением этой задачи.
Движение волчка по плоскости с трением
Необычное поведение волчка «тип-топ» (или «китайского» волчка) привлекло внимание механиков еще с прошлого века. В середине XX века этот объект снова стал предметом оживленной полемики в литературе. Только в промежуток с 1952 по 1956 г. ему посвящено около пятнадцати публикаций различных зарубежных авторов, исследования которых позволили идентифицировать трение скольжения как основную причину, вызывающую подъем центра тяжести волчка. Однако во всех публикациях приводились либо качественные соображения, либо результаты локального анализа, пригодные лишь на коротких временах движения. В последующие годы к этим работам добавилось около десятка публикаций. В 1963 г. вышла работа Контенсу [4], в которой поставлена задача об устойчивости вращения волчка вокруг вертикальной оси симметрии в линейной постановке. Хотя здесь
были допущены и некорректная замена [15] «сухого» трения на «вязкое», и необоснованная гипотеза о постоянстве угловой скорости вращения волчка, все же следует отметить, что в этой работе впервые за рубежом полностью проанализировано решение составленных уравнений движения и дана характеристика влияния различных параметров волчка. Однако уже в работе В.В. Румянцева [6] дано строгое решение этой же задачи в полной, нелинейной постановке для некоторых типов зависимости силы трения от фазовых переменных. Наконец, в работе И.М. Миндлина [5] показано, что при кулоновом трении вращение волчка всегда устойчиво, но в тех случаях, когда для «вязкого» трения оно неустойчиво, размеры области «застоя» убывают с увеличением угловой скорости, т. е. практически вращение неустойчиво по отношению к конечным возмущениям. Кроме того, вызывает сомнение приемлемость гипотезы кулонова трения между поверхностью волчка и опорной плоскостью Несколько слов об этом будет сказано ниже, при обсуждении экспериментов с волчками, проведенных с участием автора.
Необходимо указать также недавнюю работу Кейна и Левинсона [22], в которой приводятся результаты численного интегрирования уравнений движения сферического волчка при той же гипотезе о кулоновом характере трения.
Автору не удалось обнаружить в литературе упоминаний об анализе движения по поверхности с трением волчков каких-либо иных форм, кроме сферической.
Очевидная сложность задачи побудила автора дать единообразное описание хотя бы части траекторий движения волчков различных форм и затем проверить результаты анализа экспериментами.
Уравнения движения. Рассмотрим тяжелое осесимметричное тело, находящееся на горизонтальной плоскости и касающееся ее единственной точкой Р своей поверхности (рис. 12).
Предположим, что центр тяжести G волчка лежит на оси Gz его симметрии, которая представляет собой и ось симметрии центрального эллипсоида инерции
Л = W 1з-
Будем считать, что в точке Р к телу приложена со стороны плоскости не только вертикальная сила ^, но и горизонтальная сила трения Т^, направленная в сторону, противоположную скорости Vp точки Р. И эвристические соображения и экспериментальные факты говорят о том, что перечисленные силы не исчерпывают всего взаимодействия волчка с другими объектами. Во-первых, существует влияние воздуха, которое может оказаться главным для очень легких волчков. Во-вторых, силы трения распределены (для реальных волчков) по некоторой, хотя и малой, площадке контакта. Поэтому они могут приводиться к силе и моменту, причем сила может оказаться и не горизонтальной. Тем не менее, в дальнейших рассуждениях будет учитываться действие горизонтальной сосредоточенной силы трения, как второго (после силы тяжести) по степени влияния силового фактора. Учет других факторов типа трения о воздух или трения качения необходим тогда, когда по той или иной причине прекратится скольжение
Рис. 12
тела Vp = 0 (или VP ~ О).
Введем неподвижную систему координат £i Ц1С1, ось £1 которой направлена вертикально вверх. Кроме того, направим ось G( по вертикали вверх, ось Gz по оси симметрии тела, горизонтальную ось Gx ортогонально осям ( и z (по линии узлов), горизонтальную ось Gy ортогонально осям £ и ж, ось Gy ортогонально плоскости xz.
За обобщенные координаты примем координаты £,ю^Лю центра тяжести волчка и углы Эйлера: Л — угол zG( (угол нутации или поклона), ф — угол поворота плоскости z( вокруг вертикали (угол прецессии) , ср — угол поворота тела в осях хуz (угол собственного вращения. Координата (ю центра тяжести, очевидно, представляет собой некоторую функцию угла поклона, определяемую формой волчка
<1G = ./W
Кинетическая энергия тела имеет вид
Т = ^[Л^2 + Л^2 sin2 $ + ^з(^ + ф cos ?9)2 + m//2^2 + m^G + my^cY
Очевидно, что координаты у?, ф^ю^ Лю — псевдоциклические, а координата Л — позиционная. Введем обозначения: ур(Л), zp^), ЛрО^ CpW — координаты точки Р; Vx^V^ — проекции абсолютной
(5.1.1)(5.1.1)(5.1.2)(5.1.2)скорости точки G на оси ж,щ ЕЖ1ЕЛ — проекции силы трения на те же оси. Запишем уравнения движения тела. Уравнения движения центра тяжести
(5.1.1)
(5.1.1)
(5.1.2)
(5.1.2)
14 + фУл = —Еж, Ул — фУж = —Ел.тт
Уравнения движения относительно центра тяжести
й = Mz, 7) = М^
Т-V COS тУ) (v - и COS тУ) „
1^ + m(/' (тУ)тУ) + mgf += Мж.
11 sin тУ
Здесь Мж, Mz, М^ — проекции момента силы трения относительно точки G. Псевдоциклические импульсы и, v представляют собой проекции момента количества движения тела относительно точки G на оси г и ф Переменные и, v связаны с угловыми скоростями ф^ ф следующими формулами
(5.1.3)(5.1.3)• и — и cos тУ .7/•.
(5.1.3)
(5.1.3)
^ = т ♦ 2 а ’^ = — - т/;со8тУ.
11 Sin тУI3
Для интегрирования уравнений (5.1.1), (5.1.2) необходимо представить величины Е^Е^ Мж, М^, Mz в виде функций от фазовых координат. Однако сделать это не просто, так как в настоящее время трудно указать надежную, универсальную и обозримую формулу для трения скольжения. В настоящем исследовании ограничимся следующим схематическим представлением
Гж = -|ТЖ| sgnГрж, Fn = -|Д| sgn Vpn,
Мх =-\Тп\(Р sgnVPl), М2 =-\Tx\yPsgnVpx, (5.1.4)
М( = - \Тх\т)р sgnVPx
не конкретизируя вида функций ТЖ.ТЛ.
Проекции Урж^ Урл скорости точки Р, определяющие знаки в формулах (5.1.4), связаны с фазовыми координатами следующим образом:
г — т/cos тУ
УРж = Уж + фур + ^Ур = К + Уру + гР.—-—,
I31181ПТУ
Урл = УЛ + Ср^.
Напомним еще раз, что уравнения (5.1.1), (5.1.2) записаны лишь для таких движений тела, при которых имеет место скольжение (Ур ^ 0). Когда скольжение прекращается, т. е. Ур = 0, в уравнениях движения следует учитывать другие диссипативные факторы —
трение о воздух, трение верчения и качения. Кроме того, при движении без проскальзывания записанные уравнения следует решать при дополнительной связи Vp = 0, определяя силы трения 7^,7^, как реакции этой неголономной связи (правда, лишь в случае силы «сухого» трения).
Квазистационарные движения. Будем считать силы трения малыми. Тогда переменные и, v будут медленно изменяться со временем. Среди траекторий движения волчка имеется семейство таких, на которых и угол $ его наклона меняется также медленно. Поскольку эти траектории «проходят» вблизи листа поверхности Р\ то для получения последнего положим Тж = Т^ = О
К + Nn = О, % - ^ = О,
7 = 0, 7 = 0,
т q ।^2q ।. (м - V COST?) (г - COST?)
711У + mj 17 + mj j 17 + mg j 4о = 0.
7i sin 7
Нетрудно видеть, что эта система имеет семейство установившихся движений, на которых 7 = const, и уравнения которых с точностью до обозначений совпадает с уравнением (3.1), Следовательно, при соответствующих ограничениях на силу трения волчок может совершать квазистационарные движения, описываемые уравнениями
М= — |Т$|ур(т?) sgn Vp$,
у = -irj’lfW sgnVp„,у = -irj’lfW sgnVp„,(5.2.1)(5.2.1)
у = -irj’lfW sgnVp„,
у = -irj’lfW sgnVp„,
(5.2.1)
(5.2.1)
т? = т?*(и,г>),
где т?*(и, и) — решение уравнения (3.1) при UQd) = — f^gm.
Отметим, что форма траектории квазистационарных движений волчка на карте не зависит от вида функции Тж, так как система уравнений (5.2.1) приводится к одному уравнению
3^ = — = cost?*(u,v) + sim?*(u, г)^^*^.(5.2.2)
аи уРУрКУ*)
Кроме того, в это уравнение не входят моменты инерции тела.
Если учесть, что все траектории имеют в точке пересечения ими линий уровня 7* (i/,i;) = const одинаковый наклон, то качественное их построение на карте может быть совершено без особого труда для волчка практически любой формы.
Однако для определения направления движения изображающей точки по этим траекториям необходимо проинтегрировать уравнения (5.1.1) движения центра тяжести.
На «медленных» прецессиях ^ ^ 0, и эти уравнения содержат дополнительный малый параметр. В первом приближении имеем
dVxdudVxdu1урОМ'1урОМ'(5.2.3)(5.2.3)
dVxdu
dVxdu
1урОМ'
1урОМ'
(5.2.3)
(5.2.3)
Поскольку на «медленных» прецессиях cos^* % t’/u. то и уравнение (5.2.2) тоже упрощается и интегрируется в квадратурах
[—dd = \пи.(5.2.4)
J
Изменение угла поклона волчка будет продолжаться до тех пор, пока не обратится в нуль скорость т. Р (Урх = 0), т. е. пока не прекратится скольжение.
На «быстрых» прецессиях уравнения (5.1.1) содержат большой параметр ф. Это позволяет сконструировать из двух переменных Ух^ Ул дополнительно одну медленную переменную — типа амплитуды — и одну угловую переменную, по которой можно произвести осреднение. Ясно, что осредненные уравнения допускают частное решение, на котором обращается в нуль амплитуда и которое в исходных переменных имеет вид
Уж и Ул и 0.
Кроме того, на «быстрых» прецессиях cos^* ^ и/и, что позволяет свести уравнение (5.2.2) к простой квадратуре
J Zp cos2 d — Ур cos v sin V
Изменение угла d не происходит, если обращается в нуль скорость точки Р или (в области «быстрых» прецессий)
Iiyp(d) cos d + l3Zp(d) sin d = 0.(5.2.6)
Решения алгебраического уравнения (5.2.6) делят область «быстрых» прецессий на части, в каждой из которых свое направление движения изображающей точки вдоль траекторий уравнения (5.2.2). При определении этого направления необходимо учесть, что при d = = тг/2
sgn й = - sgn Урж = - sgn zP (тг/2).
Если ^р(тг/2) < 0, то й\^_^^ > 0 и d < 0.
Если zpPv/2) > 0, то< 0 и d > 0.
Отметим, что в обоих случаях знак d таков, что центр тяжести волчка поднимается. Анализ движения волчков конкретных форм удобней проводить не по формулам (5.2.4), (5.2.5), а путем геометрического построения на карте.
Анализ движения некоторых волчков.
Волчок сферической формы. Рассмотрим волчок сферической формы (рис. 13, а\ Исследование его поможет описать начальную ста
дию переворота «китайского» волчка, когда последний еще опирается на сферическую часть своей поверхности.
В рассматриваемом случае имеем
Ур = i^sin^, т]р = — nsin^
и уравнение (5.2.2) имеет интеграл
Rv + аи = const.(5.3.1)
Уравнение (5.2.6) принимает вид
R(Ii — J3) cos ^ = nJ3.(5.3.2)
Предположим, чтоПредположим, чтоah> R^h-^ah> R^h-^
Предположим, что
Предположим, что
ah> R^h-^
ah> R^h-^
Тогда уравнение (5.3.2) не имеет решения. Изображающая точка, двигаясь по прямой (5.3.1), пересекает всю область «быстрых» прецессий. Так как и > 0, то она движется от ^ = тг («нижнее» расположение центра тяжести) до ^ = 0 («верхнее» расположение) (рис. 13, б). Волчок совершает переворот.
Пусть
Ji > J3, а > 0, а1з < Н^ — /з).
Уравнение (5.3.2) при этих условиях имеет решение ^i < тг/2. Это значение угла поклона волчка является финальным для квазистаци- онарных движений в области «быстрых» прецессий (рис. 13, в). Если начальный поклон достаточно велик ^(^о) > ^1, т0 центр тяжести волчка поднимается, а если ^(^о) < ^i, то центр тяжести волчка опускается.
Если для параметров волчка выполняются условия
Is > Ih а > 0, а1з < Rfa —
то уравнение (5.3.2) имеет решение ^2 > тг/2. В этом случае на ква- зистационарных движениях с начальным поклоном ^(^о) > ^2 угол б увеличивается, а центр тяжести волчка опускается (рис. 13, г). При 6(to) < 62 поклон уменьшается, а центр тяжести волчка поднимается до своего верхнего положения.
Приведенные выше условия, определяющие характер квазистацио- нарных движений, совпадают с известными условиями устойчивости или неустойчивости соответствующего вращения волчка ([4, 6]) вокруг вертикальной оси симметрии с большой угловой скоростью.
Волчок с опорой на «ребро». Для волчка, имеющего круговое ребро (рис. 14, а\ при опоре на ребро имеем
zp = — h = const, ур = г = const.
Уравнение (5.2.2) в области «быстрых» прецессий имеет вид
и легко интегрируется. Его интегральные кривые — гиперболы ry^2 — ^2 + hu = const(5.3.3)
качественно изображены на рис. 14, б.
Уравнение (5.2.6) в рассматриваемом случае имеет решение
т?з = arctg <7;-(5.3.4)
Каждая из гипербол (5.3.3) разделена точкой ^3 на две части с различным направлением движения изображающей точки. Нетрудно
Рис. 14
установить, что движение волчка с поклоном ^з является финальным для всех квазистационарных движений в области «быстрых» прецессий. Отметим, что на этом режиме движения центр тяжести волчка
Рис. 15. Л < 13 (а); 11 > 1з (б)
расположен всегда выше центра О ребра, однако расположение точек Р и G относительно оси G( зависит от распределения масс тела. Если при Ji < 1з эти точки находятся по разные стороны от линии G(^ то при 11 > 1з — по одну сторону (рис. 15).
Отметим, что для рассматриваемого случая фазовые траектории в области «медленных» прецессий также могут быть получены в аналитическом виде.
Волчок со сферическим сегментом. Пусть поверхность волчка имеет сферический сегмент, оканчивающийся ребром. Такой волчок при 'б < 'б опирается на сферическую часть своей поверхности, а при б > б — на ребро.
Совмещая траектории движения при опоре на ребро с траекториями движения при опоре на сферическую часть, приходим к следующим выводам.
23 Под ред. В.М. Матросова и др.
Пусть Д > Д. Если 7з|ф < R(Ii — Д), т0 существует лишь один режим прецессии-качения тела (с опорой на ребро или на сферическую часть), и этот режим — финальный для всех траекторий в области «быстрых» прецессий. Если al^ > R(Ii — /3), то все движения выходят в окрестность режима вращения тела вокруг вертикальной оси симметрии с опорой на сферу. Центр тяжести тела занимает в этом движении наиболее высокое положение.
Пусть теперь Д > Д. Финальным режимом может быть как режим прецессии-качения на ребре, так и режим вращения вокруг вертикали с опорой на сферическую часть. В последнем движении центр тяжести тела может занимать и нижнее положение, и верхнее.
Определенный интерес представляет волчок-линза, поверхность которого образована двумя сферическими сегментами, в частном случае, когда центр тяжести лежит в плоскости ребра (Л = 0). Среди движений такого волчка существует режим вращения вокруг вертикального диаметра ребра, который служит финальным для ква- зистационарных движений с начальными условиями во всей области «быстрых» прецессий или в ее части.
Влияние вторичных факторов. Предыдущий анализ показал, что движение волчка со скольжением изменяется таким образом, чтобы скольжение прекратилось. Но выше уже отмечалось, что на волчок действуют и другие диссипативные силы. Поэтому даже качение сопровождается потерей энергии, хотя и менее интенсивной. Следовательно, к движению изображающей точки вдоль построенных выше кривых необходимо добавить ее медленное смещение в сторону начала координат, к области движения с конечными угловыми скоростями. Это обстоятельство дает основание относиться к множествам финальных движений в области «быстрых» прецессий ^ = ^1,^ = = Д, как к траекториям квазистационарных движений волчка под действием трения качения или трения о воздух. Поклон волчка на этом этапе остается почти постоянным, пока изображающая точка не войдет в область движения с конечными скоростями. Для того, чтобы представить себе характер дальнейшего изменения угла Д необходимо продолжить линии прецессий-качений в эту область.
Для сферы условие существования прецессий-качения имеет вид
1з(а + R cos Дг = u(I^R cos2 ^ + Д 77 sin2 ^ + I^a cos Д. (5.3.5)
Это уравнение следует рассматривать вместе с уравнением (5.2.1). Зададим некоторое значение угла 7?. Если прямая (5.3.5) имеет пересечение с гиперболой (5.2.1), то точка пересечения определит параметры режима прецессии-качения с выбранным значением угла поклона. Отметим, что при ^ = тг/2 такое пересечение всегда существует. Это помогает установить, что, если линия качения существует в области «быстрых» прецессий, то при продолжении в область движений с конечными угловыми скоростями угол поклона вдоль нее увеличивается при Д > Д и уменьшается при Д < Д. Если условия качения не выполняются в области «быстрых» прецессий, то кривая прецессий- качений лежит целиком в области движений с конечными угловыми
скоростями и соединяет две некоторые точки прямых и = и. и = — v.
Сопоставим эти выводы с результатами и. 3. В случае Д > Д торможение волчка на режиме прецессии-качения будет сопровождаться опусканием его центра тяжести.
Интересным будет поведение волчка-линзы. Режим вращения вокруг вертикального диаметра ребра отвечает максимальному подъему центра тяжести. Оно устойчиво лишь при достаточно больших значениях параметра г и с его уменьшением траектория квазиста- ционарного движения подходит к границе области своего существования. Дальнейшее поведение волчка не охватывается проведенным выше анализом. И лишь соображения симметрии позволяют считать равновероятными «падения» волчка на любой бок.
Волчок со сферическим сегментом может выйти в режим прецессии-качения с опорой на ребро. Дальнейшее торможение может сопровождаться как переходом опоры на сферическую часть, так и опрокидыванием волчка. Естественно ожидать, что в процессе торможения центр волчка опускается от положений, изображенных на рис. 15.
Остановимся несколько подробнее на случае волчка, опирающегося на ребро. Уравнение для семейства прецессий-качения в этом случае имеет вид
и h v — и cos ^_
г= 0.
Д Д sin
Его можно привести к виду
—т sin $ — г Д cos ^) = ^2 sin2 б — rh cos ^ sin Il h
из чего вытекает, что и —> 0 при 0.
Для случая Д < Д семейство прецессий-качения изображено на рис. 16, а. а для случая Д > Д — на рис. 16, б. Видно, что при Д < Д лишь при сравнительно слабой закрутке волчка с почти вертикальной осью симметрии (область этих начальных условий заштрихована на рис. 16, а) он остановится, опираясь на торец. При закрутке с достаточно большой начальной скоростью волчок обязательно упадет набок.
В случае Д > Д (рис. 16, б) почти при любых условиях начальной закрутки волчок остановится, опираясь на торец (^ = 0).
Для угловой скорости прецессии волчка имеем уравнение
т _• Lb, sin б — Ivr cos б
-Цф2 cos б + иф = —Д.
sin б
Видно, что ^ ^ оо при б —> 0 для любых значений и (в том числе и при и —> 0). Это означает, что скорость перемещения точки Р контакта волчка и плоскости должна возрастать на конечной фазе движения. Это особенно любопытное свойство движения, так как абсолютная угловая скорость волчка уменьшается из-за диссипации энергии.
Рис. 16. 13 < 11 (а); 1з > 11 (б)Рис. 16. 13 < 11 (а); 1з > 11 (б)
Рис. 16. 13 < 11 (а); 1з > 11 (б)
Рис. 16. 13 < 11 (а); 1з > 11 (б)
Понятно, что таким свойством обладают не только тела с ребром, но и гладкие тела, имеющие плоскую круговую опорную грань (торовидные, допускающие опору на окружность).
Волчок с жидкостью. Рассмотрим теперь волчок, опирающийся на круговое ребро и имеющий полость, целиком заполненную вязкой жидкостью. Будем считать, что размеры полости или плотность жидкости настолько малы, что относительное движение жидкости мало искажает карту множества возможных установившихся движений. Предположим также, что характерное время установления относительного движения жидкости намного меньше характерного времени изменения угла поклона волчка на квазистационарном движении. В этих предположениях уравнения квазистационарных движений волчка в области «быстрых» прецессий имеют вид
б = -т\Тж\£&пУРж + NZ,
v = — \ГЖ | (г cos д — h sin д) sgn VPx ,(4.3.6)
cos d = u/v.
Здесь Nz — момент относительно оси % сил, приложенных к телу со стороны жидкости.
Поведение волчка зависит от соотношения между Nz и моментом силы трения. Естественно ожидать, что Nz растет с увеличением угловой скорости вращения тела, в то время, как величина силы трения скольжения слабо зависит от скорости скольжения. Подберем параметры волчка таким образом, чтобы равенство
Ш = г|Тж| при д = #3 = arctg
выполнялось в области «быстрых» прецессий.
При ^ = тг/2 имеем ф = 0, следовательно, жидкость может вращаться с телом как единое целое, и 7Уг(тг/2) = 7Уг(0) = 0. Кроме того, знак Nz определяется таким образом, что движение происходит в сторону уменьшения полной энергии.
При Д > J3 имеем Nz < 0. Тогда область «быстрых» прецессий разбивается (рис. 17, а) на две части линиями I и II.
На линии I выполняется равенство
N2 = r\Tx\sgn VPx,
а на линии II — ^ = ^з, и тело совершает прецессию-качение. В области Qi имеем й > 0, а в области ГД — ^ < 0, причем если на линии I й = 0, то при пересечении линии II знак й меняется на противоположный из-за смены направления силы трения.
Область ГД, в свою очередь, разбита на две части. Траектории, начинающиеся в ГД1, выходят на линию J, а начинающиеся в ГД2 — на линию II. Траектории из области ГД выходят на линию II. Таким образом, на одних траекториях угол поклона изменяется монотонно
Рис. 17
от своего начального значения до ^3, а на других — сначала увеличивается до некоторого ^таж > ^3, а затем уменьшается до ^3.
Линия II является особой траекторией системы (4.3.6) (типа скользящего режима). Поскольку движение по этой линии вызывается (рис. 17, б) моментом Мт силы трения «покоя», то следует ожидать заметного сокращения времени торможения волчка с жидкостью по сравнению со временем торможения такого же твердого волчка.
Эксперимент. В результате анализа установлены некоторые закономерности поведения оси волчка. Для проверки выводов были проведены эксперименты с волчками следующих форм: сфера, в том числе и «китайский» волчок, цилиндр, сферический сегмент, волчок- линза.
Качественный эксперимент. На первом этапе не предъявлялось высоких требований к качеству изготовления волчков (правильности формы, центровка и т. и.). Все волчки запускались вручную. Начальное положение оси волчка было близким к вертикали. Как правило,
центр тяжести волчка получал при запуске некоторую начальную скорость. Конечно, подобные начальные условия были довольно далеки от начальных условий квазистационарных движений.
Тем не менее, отмеченные в результате анализа тенденции движения довольно четко проявлялись в экспериментах.
Центр тяжести волчка, ось которого совершает «быструю» прецессию, практически останавливался и снова приобретал некоторую скорость лишь в последней стадии движения, когда угловая скорость вращения волчка заметно падала.
В конце первой стадии движения, протекавшей в относительно короткий отрезок времени, устанавливался предсказанный режим прецессии или вращения. На этой стадии для некоторых волчков могли возникать и колебания оси волчка (при особенно неудачных начальных условиях).
На второй стадии, в основном, происходило значительно более медленное монотонное изменение поклона оси прецессирующего волчка. Эта стадия движения длилась значительно дольше первой, что, видимо, объясняется меньшей интенсивностью силовых факторов, вызывающих изменение движения.
Лишь в заключительной стадии движения изменение поклона волчка приобретало выраженный колебательный характер.
Движение волчка сферической формы или со сферическим сегментом находится в качественном соответствии с теоретическими результатами. В некоторых случаях это соответствие удалось проверить направленным изменением распределения масс.
Волчок-линза при закрутке вокруг оси симметрии с опорой на один сферический участок через некоторое время поднимается на ребро, а после торможения может оказаться перевернутым.
Движение некоторых типов волчков со сферическим сегментом, до некоторого момента относительно плавное, иногда прерывается довольно резким поворотом оси волчка. По-видимому, это свидетельствует о том, что траектория квазистационарного движения подошла к границе своего существования, и движение превратилось в нестационарное.
В эксперименте проявилось еще одно несоответствие с теорией. «Мелкому» сферическому сегменту не удается «перевернуться» через ребро. Это можно объяснить тем, что для такого переворота нужна слишком высокая угловая скорость закрутки, а в этом случае становится заметным влияние воздуха. В качестве контрольного эксперимента осуществлялась закрутка сегмента вокруг вертикальной оси ребра, после чего сегмент падал сферической частью кверху, что соответствует теории.
Волчок в форме цилиндра позволяет более четко иллюстрировать все свойства движения тела с опорой на ребро. Если для него 1^ > Ц, то он успокаивается на торце независимо от положения при закрутке. Если же Ц > Д, то цилиндр всегда «падает» на бок в конце движения.
Когда цилиндр останавливается, опираясь на торец, то на последней стадии движения заметно увеличивается угловая скорость перемещения точки контакта по ребру, хотя сам цилиндр как бы «замирает»
и лишь покачивается относительно вертикали (что соответствует теоретическим выводам с Д х. ноичО).
Количественный эксперимент). Для количественного сравнения результатов анализа и экспериментальных данных был выбран волчок в форме цилиндра. Цель эксперимента состояла в измерении угла поклона оси волчка на режиме прецессии-качения (вторая стадия движения) и в сопоставлении измеренного значения с вычисленным по формуле (5.3.4)
9г113 + 4^ к h
==—’ h=—.(5.4.1)
his 6hг
При подготовке эксперимента необходимо было, во-первых, выбрать способ надежного определения угла поклона, и, во-вторых, обеспечить единообразные начальные условия движения по углу поклона и возможность изменения в широком диапазоне угловой скорости закрутки волчка.
Были оценены возможности фотосъемки для фиксации параметров движения волчка. Оказалось, что кажущиеся контуры волчка на самом деле представляют собой блики, и их расположение существенно зависит от расположения осветителей. При фотосъемке в стробоскопическом освещении оказалось довольно трудно «поймать» и удержать волчок в нужном положении (в профиль) фото.
И.Г. Жестков предложил определять наклон волчка по радиусу окружности, описываемой точкой контакта Р, а траекторию точки Р «записывать» с помощью копировальной бумаги. Радиус траектории цилиндрического волчка со следующими значениями параметров: 2г £3 15мм,2/г £3 30мм, измеренный по экспериментальной записи
ri £3 9мм. Решение простой геометрической задачи об угле наклона оси % при условии неподвижности точки G приводит к следующему значению для tg ^3:
tg^3 = 1.55.
Вычисления по формуле (5.4.1) приводят к значению
tg^ = 1.58,
которое хорошо согласуется с экспериментальным.
Отметим также, что радиус траектории точки Р на второй фазе движения волчка не зависит от начальной угловой скорости закрутки при изменении ее в диапазоне от 1000 до 10000 об/мин.
Запуск волчка осуществлялся с помощью электродвигателя через небольшое отверстие в опорной плоскости. Закрутка волчка происходила около вертикальной оси симметрии, что обеспечивало неплохое соответствие начальных условий движения начальным условиям ка- зистационарных движений. Кроме того, использование электродвигателя позволило обеспечить изменение в широком диапазоне угловой скорости волчка.
Отдельного описания заслуживают эксперименты с волчком, содержащим жидкость. Уже при первой же попытке эксперимента с полостью довольно малого объема (отношение веса жидкости к весу тела ~ 0,1) было обнаружено заметное сокращение длительности второй фазы движения волчка по сравнению с твердыми волчками (~ в 5 раз). Однако получить траектории, выходящие из области Q21 (рис. 17а) не удалось. Наверное, величина момента сил вязкости была слишком малой.
Для второй попытки был изготовлен волчок с другим соотношением веса тела к весу жидкости — ~ 2. При угловой скорости начальной закрутки ш ~ 1000 об/мин волчка его поклон монотонно увеличивается на первой фазе до некоторого значения ^7, а затем, на второй фазе движения, гораздо медленнее до ^ = тг/2. При большей начальной угловой скорости поклон волчка на первой фазе носит немонотонный характер, что соответствует теоретическому результату.
Необходимо отметить, что поверхность волчков, да и сама опорная плоскость не вполне ровные. Это приводит к тому, что быстрое вращение волчка сопровождается кратковременными нарушениями контакта с плоскостью, которые легко регистрируются по характерному звуку («дребезг»). Это ставит под сомнение правомерность использования любой простой модели трения в обсуждаемой задаче (не только модели кулонова трения). В этих условиях трудно надеяться на построение точной и надежной модели для силы трения. И математическое обоснование существования множества квазистационарных движений в условиях неопределенности модели — тоже далеко не простая задача. Однако экспериментальное подтверждение теоретических выводов служит достаточным оправданием методики квазистационарных движений в рассмотренной задаче. К тому же довольно трудно указать какой-либо другой метод анализа, который позволил бы с такой же легкостью и наглядностью получить столь подробную информацию о свойствах движения волчка.
Работа выполнена при частичной поддержке ФЦП «Интеграция» и программы «Университеты России».
Список литературы
Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений спутников. - М.: ВЦ АН СССР, 1967. - 70 с.
Рубановский В.Н., Самсонов В. А. Устойчивость стационарных движений (в примерах и задачах). — М.: Наука, 1988. — 304 с.
ИртеговВ.Д. О бифуркации и устойчивости стационарных движений/ / 3-е респ, совещ. по пр. динамике твердого тела. — Донецк, 1981.
КонтенсуП. Связь между трением скольжения и трением верчения и ее учет в теории волчка// Проблемы гироскопии. — М.: Мир, 1967.
МиндлинИ.М. Об устойчивости движения волчка на горизонтальной плоскости при действии сухого трения скольжения// Инж. журн. — Т. V, вып. 2.
Румянцев В.В. Об устойчивости движения гиростатов некоторого вида// ПММ. — 1958. — Т. 22, вып. 3.
Румянцев В.В. Об устойчивости движения гироскопа в кардановом подвесе// ПММ. — 1958. — Т. 22, вып. 3.
Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений// ПММ. — 1966. — Т. 30, вып. 5.
Румянцев В.В. Об управлении и стабилизации систем с циклическими координатами// ПММ. — 1972. — Т. 36, вып. 6.
Самсонов В.А. О квазистационарных движениях механических систем// Изв. АН СССР, МТТ. - 1978. - Вып. 1.
Самсонов В.А. К теории движения ротора на гибком валу// Проблемы устойчивости движения, аналитической механики и управления движением. — Новосибирск: Наука, 1979.
Самсонов В.А. О стационарных движениях тяжелого симметричного гироскопа в невесомом кардановом подвесе// Сб. науч.-метод, статей по теоретич. механике. Вып. 9. — М.: Высшая школа, 1979.
Самсонов В.А. О стабилизируемости установившихся движений систем с псевдоциклическими координатами// ПММ. — 1981. — Т. 45, вып. 3. - С. 512-520.
Самсонов В.А. Качественный анализ задачи о движении волчка по плоскости с трением// Изв. АН СССР, МТТ. — 1981. — Вып. 5.
Самсонов В.А. О трении при скольжении и верчении тела// Вестник Моск, ун-та, сер. 1, Мат. и мех. — 1981. — Вып. 2.
Самсонов В. А., Филиппов В. В. О квазистационарных движениях твердого тела с маловязкой жидкостью// Устойчивость движения. — Новосибирск: Наука, 1985. — С. 82-86.
Клоков А.С., Самсонов В.А. О стабилизируемости тривиальных установившихся движений гироскопически связанных систем с псевдоциклическими координатами// ПММ. — 1985. — Т. 49, вып. 2. — С. 199-202
СалминаМ.А., Самсонов В.А. К теории регулятора вращения// Вестник МГУ. Сер. мат.,мех. — 1989. — Вып. 6. — С. 70-73.
К аз м е р ч у к И.М., Самсонов В. А. О квазистационарных движениях волчка с жидким наполнением// М. Изв. РАН МТТ. — 1996. — № 2. - С. 32-36.
Каленова В. И., Морозов В. М., С а л м и н а М. А. Управляемость и наблюдаемость в задаче стабилизации механических систем с циклическими координатами// ПММ. — 1992. — Т. 56.
Лилов Л., Самсонов В.А. О стабилизации систем с циклическими координатами// Сб. докладов 1-й конференции по механике (Прага, 1987, 29.06-03.07) Прага-Братислава. — 1987. — Т. 2. — С. 24-27.
Kane Т.Н., Levinson D.A. A realistic solution of the symmetric top problem// Trans. ASME. J. Appl. Meeh. — 1978. — V. 45, № 4.
ЭВОЛЮЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬВ ПЛАНЕТНОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ
М.М. Хапаев
Введение
Классическая планетная задача трех тел состоит в изучении движения двух планет около массивного центрального гравитирующего тела — солнца, при этом и планенты и центральное тело считаются материальными точками. В системе имеется малый параметр /ii, имеющий смысл отношения массы планеты к массе солнца цх и 101. В задаче трех тел трудами Пуанкаре, Тиссерана и других классиков развит аппрат канонических переменных. В реальной системе эксцентриситеты е и наклонности г эллипсов, вблизи которых происходит движение для Юпитера и Сатурна ~ 10-1. Важнейшим вопросом является устойчивость по полуосям эллипсов L и по е и г. Если эти величины будут изменяться существенно, это будет означать, что конфигурация системы претерпевает значительные изменения, что повлияет на климат и на движение других тел. По угловым переменным: по аномалиям, описывающим положение тел на орбите, по углам, задающим плоскость эллипса, такой устойчивости может и не быть. Она и не изучается.
Возмущающая функция в задаче трех тел представляет степенной ряд по степеням эксцентриситетов и наклонностей и одновременно ряд Фурье по комбинационным фазам. Основная трудность связана с тем, что комбинационные частоты, зависящие от полуосей L для некоторых значений параметров L, е, г обращются в 0 и соотвтствую- щий член ряда перестает осциллировать. В этом и состоит известная проблема малых знаменателей.
В точечной модели задачи трех тел принципиально отсутствует диссипация. Однако в реальной системе тела не являются точками и отношение размеров планеты к расстоянию до центрального тела //2 имеет примерно тот же порядок, что и цх- Реальные планеты, например, Юпитер и Сатурн представляют собой сплюснутые эллипсоиды вращения, оси вращения которых наклонены к плоскости орбиты. Отношение полярного радиуса планеты к экваториальному имеет величину ~ 0.9, синус угла наклона оси ~ 0.9. Таким образом, планета представляет собой несимметричное относительно центра тело. В связи с этим фактом в процессе движения по орбите появляется вариация
© М.М. Хапаев, 2001
гравитации, обусловленная также взаимной ориентацией наклоненной оси вращения и эллиптической орбиты. Считается, что ось вращения планеты сохраняется в пространстве. Это означает, что планета принимается жидким телом. Если принять планету твердым телом, то указанная вариация силы притяжения приведет к появлению прецессии, но этого не наблюдается.
В жидком теле под влиянием переменной силы притяжения возникают вязкие течения, которые и определяют диссипацию в системе. Поэтому такая модель может быть названа гидродинамической моделью планет. Эффект учитывается путем введения дополнительных членов в возмущающую функцию [1].
С гидродинамической моделью планет естественным образом связаны две задачи. Первая задача состоит в изучении эволюционного изменения L, е, г под влиянием несиметричной планеты, если в начале эти величины не считаются малыми. Вторая задача — изучение устойчивости системы с малыми эксцентриситетами и наклонностями. Решение этих задач составит объяснение малости в и г в реальной системе.
Эволюция планетной системы
В начале изучим влияние формы планеты и центрального гравитирующего тела на параметры орбиты планеты. Будем предполагать, что планета или центральное гравитирующее тело имеют форму сжатого эллипсоида вращения, однородного по плотности. Предполагается, что наклон оси вращения сохраняется.
Систему координат хлрг выберем так, чтобы плоскость (ж, у) совпадала с неподвижной плоскостью. Координаты центрального тела (х^у^ z\ единичный вектор, напрвленный вдоль оси вращения планеты, имеет координаты (0, sin ^, cos ^). Эксцентриситеты обоих гравитирующих тел ец и е„, где е^ = ^ - г^) /а^, е^ = (а^ - гД /а^, Оц, ап — экваториальный радиус, гц, гп — полярный, индекс «ц» соответствует центральному телу, «п» — планете. Воспользуемся разложением R по сферическим функциям [3], где оставим только члены порядка ( — ) . Будем пользоваться общепринятыми обозначениями \ т /.
для элементов орбиты: а — полуось, в — эксцентриситет, г — наклонность, ш — угловое расстояние перицентра от узла, Q — долгота узла, г — истинная аномалия, тг = ш + Q, г — радиус-вектор. Обозначим
Сц = —— ( — ), сп = —— \ — V М = М^М^ pq — начальное зна- 5 • 2 \ро /5-2 \ро /
чение р. Добавка к возмущающей функции, обусловленная формой планеты и центрального тела имеет вид [2]
R = Мро | Д \с^ + сн (ж2 + у2 cos2 0 - yzsm20^ - Сц Д °п 1 . (1)
Здесь опущены члены порядка sin4 Р и предполагается, что сц > > с„ sin4 /3.
Приведем здесь уравнения для оскулирующих элементов эллиптической орбиты в форме Лагранжа [3], где в качестве независимой переменной выбрана истинная аномалия:
da 2 8R 9с— =г
du па2 Эе
(3)(3)de _ W^P2 ЭН 2 еуТ^2 1 ЭН 2 du па2е Этт 1 + V1 — е2 тга2 Эе
(3)
(3)
dicosec гЭН 2du па2 V1 — е2 ЭПdicosec гЭН 2du па2 V1 — е2 ЭПtan(z'/2)nn2Vl — е2tan(z'/2)nn2Vl — е2г2г2(4)(4)
dicosec гЭН 2
du па2 V1 — е2 ЭП
dicosec гЭН 2
du па2 V1 — е2 ЭП
tan(z'/2)nn2Vl — е2
tan(z'/2)nn2Vl — е2
г2
г2
(4)
(4)
d?L cosec г 9R 9
С = —т
duпа2 Vi c2 9г
dir tg(z/2) 9R 2 V1 — е2 9R 2 с— = —v -pv
du na2Vl — e2 9i na2e 9e
de_ ^dR 2 tg(z/2) 9R 2 eVl - e2 \ 9R du na 9a na2Vl - e2 9i 1 + V1 - e2 na2 de
Здесь c = r2u — интеграл площадей. Все переменные а, е, z, Q, тг, е медленные, малый параметр имеет смысл квадрата отношения размера тел к расстоянию между ними.
Опишем весьма трудоемкую процедуру усреднения по аномалии и уравнений Лагранжа на примере уравнения (2). Чтобы составить производную 8R/de, следует дифференцировать R по ж, г/, z и далее переменные ж, г/, z\
(8)(8)х = г (cos и cos Q — sin и sin Q cos г),у = г (cos и sin Q + sin и cos Q cos г),z = r (sin и sin г)
(8)
(8)
по г и u использовать известные производные (3)
Эг не sin г Эи aP^A. — е2 Эе т/1 _ е2 ’ Эет2 '
а так же выражение для г = р/ (1 + в cos и).
Таким образом, в периодической по и правой части уравнения (2) требуется выделить постоянную составляющую ряда Фурье. Запишем
2 Ж. 2 .Г г
среднее от г -т— с точностью до сп sin г, усреднение будем обозначать Эе
чертой сверху:
9дК — 2 f 3(—5) ае9дК — 2 f 3(—5) ае"3. „. 2 .
9дК — 2 f 3(—5) ае
9дК — 2 f 3(—5) ае
-сце sin 2а; sin г — 5
— сПе sin2 Р sin 2тг — sin гспе sin 23 sin(2o; + Q)] +
ae ЗеС]ae ЗеС]уТ^Р2^уТ^Р2^[— sin2 Р sin 2тг — sin 2Р sin г sin Q cos 2а;] +^^[— sin2 Р sin 2тг — sin 2Р sin г sin Q cos 2а;] +^^
ae ЗеС]
ae ЗеС]
уТ^Р2^
уТ^Р2^
[— sin2 Р sin 2тг — sin 2Р sin г sin Q cos 2а;] +^^
[— sin2 Р sin 2тг — sin 2Р sin г sin Q cos 2а;] +^^
2 ЭК Мр^аеде р22 ЭК Мр^аеде р2+ сп sin2 Р+ сп sin2 Р— cos 2Q cos 2а; — - cos 2(Q — а;)— cos 2Q cos 2а; — - cos 2(Q — а;)(И)(И)
2 ЭК Мр^аеде р2
2 ЭК Мр^аеде р2
+ сп sin2 Р
+ сп sin2 Р
— cos 2Q cos 2а; — - cos 2(Q — а;)
— cos 2Q cos 2а; — - cos 2(Q — а;)
(И)
(И)
3.3 . е2п2
—-—сп [— sin2 Р sin 2тг + sin г sin 2Р sin(Q + 2а;)] +
3 • 3 • e2n2 r . 2 • •1
—-— у 1 — е2 sm % sm 2а; > ,
J
28R гр.
а также среднее по углу и от выражения г ——. Хаким образом, полу- Эе
чим
3. 2
—3 (Сц + сп) + -сц sin г cos 2а; +
+ сп sin г sin 2Р+ сп sin г sin 2Р159
+ сп sin г sin 2Р
+ сп sin г sin 2Р
— cos 2а; cos Q + - cos(2o;
42
Произведем усреднение по и уравнений (4), (5). Прежде всего отме- 9 (ЭК ж\
тим, что в (4) имеется т —Н —— и это выражение в среднем \ Этт де J
равно 0. Последнее легко установить, учитывая, что
дт не sin г диа? VV — е2
Этт V1 — е2 ’ Эттг2
9Q Мр20 . _ (1 ( х с— = sin 2г S - (сц - сп)
ди р(2
+ сп cos Q+ сп cos Qsin2 Р cos Q — - sin 2p)+- sin 2P tg гsin2 Р cos Q — - sin 2p)+- sin 2P tg гcosec гnn2 V1 — e2 ’(12)cosec гnn2 V1 — e2 ’(12)
+ сп cos Q
+ сп cos Q
sin2 Р cos Q — - sin 2p)+- sin 2P tg г
sin2 Р cos Q — - sin 2p)+- sin 2P tg г
cosec г
nn2 V1 — e2 ’
(12)
cosec г
nn2 V1 — e2 ’
(12)
. з J1 sin q sin 2/3 sin 2г —
U Ujj] a ^-111 “ “ Dill ^/V Dill tit
( — 1) cosec г nn2Vl — e2( — 1) cosec г nn2Vl — e2(13)(13)8и p (4
( — 1) cosec г nn2Vl — e2
( — 1) cosec г nn2Vl — e2
(13)
(13)
— sin2 3 sin2
Уравнения (2)-(7) с усредненным по и правыми частями определяют эволюционное изменение параметров орбиты под влиянием указанной несимметрии в распределении масс взаимодействующих тел на ассимптотически большом отрезке времени порядка 1/сц, 1/сп. Однако представляется возможным выделить некоторые интересные ситуации, для которых удается качественно выявить тенденцию изменения параметра орбиты.
Существенно, что знаки правых частей усредненных уравнений (12)—(13) зависят только от переменных Q (долгота угла) и г (наклонность), это позволяет проследить эволюцию названных переменных на фазовой плоскости (z,Q). Правая часть уравнения (12) есть квадратный трехчлен относительно cos Q, запишем корни выражения
cos Q =cos Q =1 Г1"7 smsin2 3 [ 41 Г1"7 smsin2 3 [ 423 (tg г — 1/2) ± sin2 2/3 (tg г — 1/2) — 70 sin2 323 (tg г — 1/2) ± sin2 2/3 (tg г — 1/2) — 70 sin2 3
cos Q =
cos Q =
1 Г1
"7 sm
sin2 3 [ 4
1 Г1
"7 sm
sin2 3 [ 4
23 (tg г — 1/2) ± sin2 2/3 (tg г — 1/2) — 70 sin2 3
23 (tg г — 1/2) ± sin2 2/3 (tg г — 1/2) — 70 sin2 3
1 70=21 70=2
1 70=2
1 70=2
(14)
Ясно, что существует область изменения параметров 8. 7о и переменной г, когда имеются корни, не превышающие по абсолютной величине 1. Один из корней расположен на возрастающей ветви cosQ, другой на убывающей; при этом один устойчив, другой нет. Рассмотрим ситуацию, когда устойчивый корень лежит на отрезке [0, тг/2] и наклонность г мала (sin 2г > sin(z/2)), тогда в правой части уравнения (12) преобладает первое слагаемое, содержащее sinQ0 > 0; это означает, что знак правой части (12) отрицательный и величина г убывает. Для больших г преобладает второе слагаемое, содержащее sin 2Q, знак которого отрицателен, тогда г возрастает, пока такой режим не разрушится.
Выпишем теперь усредненные уравнения (3), (6) для эксцентриситета е; при этом учтем, что первое слагаемое в (3) содержит е-1, а второе е, кроме того, как отмечалось,
2Дй_ 29Д
Г 8тт Г де"поэтому оставим только первое, преобладающее при малых е слагае-мое, т. е. выражение (10) со знаком минус:
de V1 - е2 8R Q da 2 8R Qс у = 2—сХ- = ^^-т
du naze 8е du па 8е
Запишем также усредненное уравнение для угла тг:
(16)(16)dir V1 — е2 ЭН 9du па2е ое
(16)
(16)
В выражении (10) сохраним только члены первого порядка по эксцентриситету е, считая, что е < 1, тогда уравнения (15)—(16) примут следующий вид (уравнение (15) для полуоси а записывается аналогично уравнению для е):
с^_м^1_Эи р2 пас^_м^1_Эи р2 па3 (сц + сп) +3 (сц + сп) +
с^_м^1_
Эи р2 па
с^_м^1_
Эи р2 па
3 (сц + сп) +
3 (сц + сп) +
3+ сц - sin2 % cos 2ш + сп sin2 Р3+ сц - sin2 % cos 2ш + сп sin2 Р— cos 2Q cos 2ш — - cos 2(Q —— cos 2Q cos 2ш — - cos 2(Q —
3
+ сц - sin2 % cos 2ш + сп sin2 Р
3
+ сц - sin2 % cos 2ш + сп sin2 Р
— cos 2Q cos 2ш — - cos 2(Q —
— cos 2Q cos 2ш — - cos 2(Q —
+ сп sin г sin 2/5+ сп sin г sin 2/5"15911
+ сп sin г sin 2/5
+ сп sin г sin 2/5
— cos 2ш cos Q 4—cos(2cj — Q) >, 42J J
(17)
de ° dude ° du]\dp2 e f 931
de ° du
de ° du
Q 0 cn < — sin2 Psin 2(cj + Q)H—sin 2P sin % sin 2cccos Q > .
p2na ( 22J
(18)
И для уравнений (3) и (6), т. е. полученных усреднением уравнений (17) и (18), оказывается возможным провести анализ на фазовой плоскости (е, тг) или (e,cj), если параметры системы допускают асимтоти- чески устойчивый режим Q = Qo, описанный выше.
Поделим уравнение (18) на (17), составим производную de/du или, если Q ~ Qo, de/doj. В уравнении (18) будем считать, что справа слагаемое 3 (сц + сп) больше остальных слагаемых, содержащих sin2 г, sin2 Р и т. д. При этом разложим правую часть по степеням сп sin2 Р j 3 (сц + сп), сц sin2 if 3 (сц + сп) и т. д., сохранив только члены первого порядка; получим
де _9 с2дш е16(сц + сп)2де _9 с2дш е16(сц + сп)2— — sin2 г sin2 Р sin 2Q0 —— — sin2 г sin2 Р sin 2Q0 —
де _9 с2
дш е16(сц + сп)2
де _9 с2
дш е16(сц + сп)2
— — sin2 г sin2 Р sin 2Q0 —
— — sin2 г sin2 Р sin 2Q0 —
7/5
(19)(19)— - sin4 Р sin 4Q0 + sin2 P sin 2P sin г ( — - sin Qo
(19)
(19)
7\
— cos Qo — cos 3Qq + - sin 3Qq ) + sin2 г sin2 2P sin 2Qq
+ A cos 2ш + В sin 2ш.
Направление эволюции эксцентриситета е (и аналогично полуоси а) определяется знаком суммы, содержащей Qg в уравнении (19). Слагаемые a cos 2ш и 6 sin 2сс при интегрировании по периоду дают 0 и определяют осцилляции с частотой угла ш.
Отметим сразу же, что эволюция а и е определяется сплюснутостью планеты и центрального тела, хотя она возможна и при сц = 0. Здесь также можно выделить ситуации, когда е убывает. Для этого будем считать наклонность г малой, тогда в (19) будет преобладать у
второе слагаемое — - sin4 ф sin 4Qg • При этом в (14) параметры системы могут быть такими, что sin 4Qg < 0 и эволюция е будет проходить в сторону убывания.
Таким образом, построена математическая модель, описывающая эволюционное изменение параметров орбиты планеты под влиянием сплюснутости планеты и центрального тела при условии сохранения направления оси вращения планеты в пространстве. Указаны конкретные особенности модели, объясняющие малость наклонностей и эксцентриситетов в реальной системе. Существенно, что факторы, действующие в построенной модели, будут действовать и в присутствии третьего тела, т. е. в задаче трех тел.
Устойчивость в задаче трех тел
Обратимся теперь к изучению устойчивости в планетной задаче трех тел в рамках предложенной модели, учитывающей размеры и форму планет и сохранение наклона оси вращения планет в пространстве. Будем считать эксцентриситеты и наклонности планет малыми (~ Ю1), как в реальной системе.
Запишем в этом случае поправку к силовой функции с точностью до е2 в следующем виде:
JI2F2 = -ц2 (1/ Lq) аА (—0.25 + 0.75 cos2 ф sin2 ^) (1 + Зе cos г) (20)
здесь А — постоянная, Lg — величина полуоси, которая и исследуется на устойчивость, ф = г + тг + кд, тг — долгота перигелия, а кд — постоянная фаза, определяющая ориентацию наклоненного вектора момента количества движения планеты относительно неподвижной плоскости, кд будет выбрано ниже.
В дальнейшем мы будем пользоваться каноническими переменными Пуанкаре [4]. L = тпдГМфсц (а — большая полуось, т — масса планеты, М— масса Солнца), Г = L (1 — д/(1 — е2)), Z = (L —Г)(1 —cos г) (г — наклонность), у = —тг, Z = —Q — долгота узла. Индекс 1 будем относить к одной планете, индекс 2 — к другой. Эксцентрические и облические переменные вместе будем обозначать буквой р, соответствующие углы обозначим через ш. Функция Гамильтона этой систе-
мы тогда с учетом поправки (20) примет вид
^Го + цД+/72F2, Fn = Mj2L^ ^М^Ц) \(21)
где Mi и М^ — постоянные, pFi — возмущающая функция.
д = ^л(£)г^Щ3^ cos(feA + H, ^^ = ^р^I22)
здесь к и р —целочисленные векторы, 2^ > р^.
Введем также среднюю аномалию М и А = М + 2тг, получим
(23)(23)cos 2^ = cos 2(А — тг — ко) +
(23)
(23)
+ 2е [cos(3A — 4тг — 2к0) — cos(A — 2к0)],
cos2 ф cos и =cos2 ф cos и =cos(A — 2тг) + cos(3A — 4тг — 2к0) —
cos2 ф cos и =
cos2 ф cos и =
— cos(A — ко)— cos(A — ко)3- cos23- cos2(4А — бтг — 2kq) — cos 2(А — тг — ко) —(4А — бтг — 2kq) — cos 2(А — тг — ко) —(24)(24)
— cos(A — ко)
— cos(A — ко)
3
- cos
2
3
- cos
2
(4А — бтг — 2kq) — cos 2(А — тг — ко) —
(4А — бтг — 2kq) — cos 2(А — тг — ко) —
(24)
(24)
(25)(26)Оценку(25)(26)Оценкуkini(L') + к2п2(Ц = 0,kini(L') + к2п2(Ц = 0,ULiULi(МА\Mi)(МА\Mi)1/31/3-кАк2 /-кАк2 /1/31/3
(25)
(26)
Оценку
(25)
(26)
Оценку
kini(L') + к2п2(Ц = 0,
kini(L') + к2п2(Ц = 0,
U
Li
U
Li
(МА\Mi)
(МА\Mi)
1/3
1/3
-кАк2 /
-кАк2 /
1/3
1/3
— 1 + cos(2A — 4тг) — - cos(2tt — 2к0)
Точечная модель допускает интеграл площадей
I — Li + L^ — Г1 Г2 ^i —
Запишем канонические уравнения движения
dL_d£dp_№d\_ 8Fduj__ №
dt ЭХ 'dt Эш'dt dL'dt dp
В этих уравнениях только фазы А — быстрые переменные,
малых знаменателей купфХф + к^п^Ьф где п = dF^/dL^ в уравнениях (26) будем производить так же, как в работе [5]. Поскольку функция F + pFi -А-р^^ является интегралом движения, интегральная кривая на плоскости L остается вблизи кривой Fq(L) = Fq(^o)- Исследовать на устойчивость будем только по переменным L^ для переменных р используем интеграл (25). Будем исследовать на устойчивость точку То7 лежащую на пересечении кривой Fq(L) = Tq(То) и резонансного луча
24 Под ред. В.М. Матросова и др.
по переменной ж, которая отсчитывается по касательной к кривой Fq(L) = Fq^Lq) в точке Lq- Исследование на устойчивость будет состоять в построении для системы (7) возмущенной функции Ляпунова
(28)(28)X = Vo + ЦЩ 4- Ц2^2 + Ц3^3.
(28)
(28)
которая удовлетворяет условиям теоремы 1 работы [6] В качестве невозмущенной функции Ляпунова выберем vq = |ж| + \I — То |, поскольку неочевидно, что величина (25) будет интегралом системы (26). Продифференцируем функцию (28) в силу уравнений (26), отбрасывая члены более высокого порядка, чем цД2; последовательно определим щ,Т2,т3 и обнаружим отрицательность среднего v.
Из ряда dF^/dX выделим все члены, резонансные линии которых лежат в 2е-окрестности точки L^ и отнесем их к Н£ (см. [5]). Оставшиеся осцилляционные члены будем обозначать волнистой чертой над знаком функции, члены, принадлежащие к^ отнесем к осцилляцион- ным членам. Выберем некоторое е>0ит]>0(т]<е)исг< 1/2(s —ц). Потребуем, чтобы функция щ удовлетворяла при ц < |ж| < е уравнению
дщ Г 8F0 "ЭХ "эьдщ Г 8F0 "ЭХ "эьdvi 8Fi lh L "sr".dvi 8Fi lh L "sr".дщ Г 9Fy dZдщ Г 9Fy dZЭх 8F\ = Sg^dLdTЭх 8F\ = Sg^dLdTAt2 SF,(29)At2 SF,(29)
дщ Г 8F0 "ЭХ "эь
дщ Г 8F0 "ЭХ "эь
dvi 8Fi lh L "sr".
dvi 8Fi lh L "sr".
дщ Г 9Fy dZ
дщ Г 9Fy dZ
Эх 8F\ = Sg^dLdT
Эх 8F\ = Sg^dLdT
At2 SF,
(29)
At2 SF,
(29)
где 9Д1/9Г и dF^/dZ описывают вековые возмущения в классической теории вековых возмущений, они не содержат А и квадратичные относительно эксцентриситетов и наклонностей, справа чертой обозначен член, не содержащий А. После интегрирования вдоль траекторий вековых возмущений получим щ = Ф1 + Д2/ц2Ф1, где Ф1 содержит знаменатели порядка s, ц, а Ф1 имеет множитель р2 /ц, поскольку скорость изменения вековых возмущений порядка ц.
Пусть теперь V2 определяется из уравнения, коэффициенты левой части уравнения (29), а правая часть ф = ф’ + ф” + ф’” состоит из следующих членов:
, _ дФх 8FT 9Ф1 8F^9Ф1 8FT
~ ~dL~dX ~ ^X~dL + ~дГ~д^ ~х
ЭФ1 ЭРг 5Ф1 ЭЕг ЭФ1 dFi v 7 “ а7 9Г + "dZ"”dz dz dZ ’
легко показать, что вследствие гамильтоновости системы все члены ф зависят от А.
ф" = 2sgn(J - /0)ф" = 2sgn(J - /0)/ ЭЕЧ( ЭХ/ ЭЕЧ( ЭХЭЁ2d'-уЭЁ2d'-ур?1р?1
ф" = 2sgn(J - /0)
ф" = 2sgn(J - /0)
/ ЭЕЧ
( ЭХ
/ ЭЕЧ
( ЭХ
ЭЁ2d'-у
ЭЁ2d'-у
р?1
р?1
здесь взаимно уничтожились члены cos (2 А+27 + 2^9)? остались только такие, для которых ^ Р + ^2 к-
’ р? 84 5Г + аг 84
здесь члены ЭЕ^/ЭТ порядка 2 отнесены в левую часть уравнения (29), такие же члены порядка 4, т. е. e\i4 и выше отнесены к R^ учитывая что Фх также имеет множитель е2. Это возможно сделать, если допустить, что е4^4 < ц. Пока \I — Iq\ < s, e2L и z2L, AL величины порядка е и последнее допущение связывает величины ц и е. Выделив, как и выше, резонансные слагаемые в Re. найдем Г2, состоящую из и^ х^ и и^ соответственно.
Рассмотрим основное слагаемое в г, дающее отрицательное среднее:
цц2цц2М ЭЕ^ 8Г 8^М ЭЕ^ 8Г 8^дх 1= —Д? sgnx^^ • 2 • -аАА^ cos2 (2А + 27).дх 1= —Д? sgnx^^ • 2 • -аАА^ cos2 (2А + 27).(33)(33)
цц2
цц2
М ЭЕ^ 8Г 8^
М ЭЕ^ 8Г 8^
дх 1
= —Д? sgnx^^ • 2 • -аАА^ cos2 (2А + 27).
дх 1
= —Д? sgnx^^ • 2 • -аАА^ cos2 (2А + 27).
(33)
(33)
В самом деле: F2 согласно (20), (23) и (24) содержит только одно слагаемое, для которого имеет место свойство (22), что обязательно выполняется для Fi, следовательно, только произведение (23) дает постоянную составляющую отрицательного знака при надлежащем выборе /^оМ = тг/4приж > ц > 0). Все остальные слагаемые вида
на е2 меньше (33).на е2 меньше (33)._2ММ _2ММ
на е2 меньше (33).
на е2 меньше (33).
Рассмотрим теперь
8v' 8Рг8v' 8Fx8^ 8F1
“ "8X ~8L~8L "дХдГ ~дч ", x
34 dv^ dFi 8^'2 dFi 8V2 9Fi
~ ~&4~&T + ~8Z~dT ~ ~8z"dZ‘
Здесь могут появиться медленные колебания (не содержащие А), но такие композиции образуются из сомножителей, удовлетворяющих условию (22), поэтому и результат также удовлетворяет условию Pi + Р2 Ерз + Р4 = 0. Чтобы скомпенсировать такие члены, определим гз из уравнения
дг3 / 8FA 8из / 8FA
—— I ———- 4—-— I ——- = медленно осциллирующие члены.
\ 8Г )\ 8Z)
Только для эксцентрических членов для двух планет, если pi +рз = = 0, то p^giEp^g^ ф 0, так как ду и д^ — корни векового уравнения в теории вековых возмущений, различные и действительные. Только для облических переменных из условия (pi +794) = 0 следует (р^ +794)^0 = = 0, соответствующие гармоники содержат знак sin и обращаются в
нуль, так как угловая скорость перемещения узла по плоскости Лапласа одинакова для обеих планет. Аналогично и для смешанной композиции знаменатель у гз отличен от нуля и имеет порядок 1/ц, отсюда и гз ~ 1/ц. Очевидно, члены, связанные с гз имеют порядок выше ц3(е2, г2), откуда следует, что они меньше среднего (33). Легко установить малость следующих выражений по сравнению с членом (33):
_2 Г Э< dFt Э-i^ dFt dv% dFi 1
b + ar w ~ a? ar ] ’1 ’
медленные гармоники содержат здесь множители е и г в степени не ниже 2. Это же относится к выражению вида (36), но содержащему ДА
Согласно оценке, полученной в работе [5], наименьшее к. которым определяется величина резонансных членов в ПЕ. имеет порядок к-1 = O(s), т. е. растет с убыванием е весьма быстро. Таким образом, все условия теоремы 1 [5, 6] об устойчивости выполняются: среднее (36) в кольце ц < |ж| < е строго отрицательно; все неосциллирующие слагаемые в г по порядку величины меньше среднего. В соответствии с теоремой точка Lq устойчива на неограниченном интервале времени по переменным L, по полуосям. Попутно доказано и сохранение интеграла площадей J, откуда следует устойчивость по эксцентриситетам и наклонностям.
В работе [7] было обращено внимание на то, что планеты солнечной системы образуют группы, связанные резонансными соотношениями. Это явление становится понятным, если в группе имеется планета сплюснутая и обладающая заметным наклоном оси вращения. Тогда эта планета играет стабилизирующую роль, а обмен энергией наиболее интенсивен при резонансе.
В заключение еще раз отметим, что путем усреднения в первой части статьи установлено, что имеются такие траектории в гидродинамической модели трех тел, вдоль которых происходит уменьшение эксцентриситетов и наклонностей до некоторого достаточно малого уровня. Далее доказана устойчивость по полуосям, эксцентриситетам в и наклонностям г, когда е и г малы.
Список литературы
Хапаев М.М. Об исследовании на устойчивость в задаче трех тел на основе гидродинамической модели планет// ДАН СССР. — 1976. — Т. 231, № 5. — С. 1092-1095.
Хапаев М. М. Об эволюции планетных орбит// ДАН СССР. — 1990. — Т. 312, № 3. — С. 599-603.
ДубошинГ.Н. Небесная Механика. — М.: Наука, 1975.
Poincare Н. Les Methodes Nouvelles de la Mecanique Celeste, I—III. — Paris, 1892, 1893, 1899.
Хапаев М.М. Об устойчивости в задаче трех тел// ДАН СССР. — 1970. — Т. 195, № 2. — С. 300-302.
Хапаев М.М. Обобщение второго метода Ляпунова// Дифференциальные уравнения. — 1973. — Т. 9, К2 11. — С. 2020-2028.
Molchanov А. М. The resonant structure of the solar system// Icarus — Intern. J. of the Solar System. — 1968. — V. 8, № 2.
ПРИМЕНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХМЕТОДОВ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ КИССЛЕДОВАНИЮ НЕУПРАВЛЯЕМОГОУГЛОВОГО ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХАППАРАТОВ В АТМОСФЕРЕ
В.А. Ярошевский, А.В. Бобылев
Использование асимптотических методов нелинейной механики при исследовании углового движения космических летательных аппаратов (КА) на этапе входа в атмосферу позволяет сократить время выполнения расчетов на несколько порядков и, в ряде случаев, получить несложные аналитические формулы, описывающие изменение параметров движения КА в процессе спуска.
В докладе описываются некоторые из результатов, полученных в ЦАГИ в ходе проработки объектов российской космической техники, при этом выделяются режимы движения КА, представляющие большой практический интерес.
Рассмотрим плоское угловое движение неуправляемого осесимметричного космического аппарата на начальном этапе входа в плотные слои атмосферы (рис. 1). В разреженных слоях атмосферы, где
Рис. 1
аэродинамическими силами и моментами можно пренебречь, КА совершает свободное вращение (кувыркание) с экваториальной угловой скоростью cj^o ПРИ нулевой осевой угловой скорости шжо = 0. Затем
© В.А. Ярошевский, А.В. Бобылев, 2001
по мере возрастания плотности атмосферы р в процессе спуска, при скорости V и угле наклона траектории 9. практически совпадающими со скоростью входа в атмосферу Vg и углом входа в атмосферу 9 о [1], вращательное движение КА переходит в колебательное.
Приближенное уравнение движения КА на рассматриваемом этапе полета имеет вид:
d2a mz(a)SlpV2
"dd? = 2Д ’( )
где а — угол атаки КА, S, Z, Iz — характерные площадь, длина и экваториальный момент инерции КА, mz(a) — безразмерная характеристика экваториального аэродинамического момента.
Если mz = 0 при а = 0 и а = тг, причем, т^^ < 0, т^(тг) > О, то значения а = 0 и а = тг соответствуют условиям устойчивого и неустойчивого равновесия КА.
При определенных условиях в процессе входа в атмосферу может реализоваться так называемый режим зависания КА вблизи положения неустойчивого равновесия, когда угол атаки в течение длительного времени сохраняет значения, близкие к тг, после чего происходит переход к колебаниям около положения устойчивого равновесия а = О с повышенной амплитудой.
Как правило, в случае плоского движения КА можно считать начальное значение угла атаки ад в плотных слоях атмосферы, фиксируемое в определенный момент времени tg, случайной величиной, равномерно распределенной на интервале [—тг, тг ]. При данном ад амплитуда колебаний угла атаки ат в плотных слоях атмосферы, фиксируемая при t = t^^ зависит от ад, причем эта зависимость включает пик, соответствующий условиям попадания КА в режим зависания при некотором ад = а.
Представляет интерес исследовать форму указанного пика как численным, так и аналитическим путем. Некоторые оценки были получены в [2] для пилообразной моментной характеристики т^а) = m“ arcsin(sinа), где т^ < 0. Используя допущение об экспоненциальной модели плотности атмосферы р = pg е-Х^Н-Н°\ Тогда с учетом допущений о постоянных значениях 9 « 9 о и V « Vg, обоснованных в [1, 2], получим, что скоростной напор q = pV2 (^ является экспоненциальной функцией времени. В итоге уравнение (1) приобретает вид
^+a2e2b4(a) = 0,(2)
где а2 = —m^SlV^p^H^e^^l^Iz не зависит от выбранного значения Н^^Ъ = AVb| sin0О|/2, /г(а) = arcsin(sin а).
Преобразуем уравнение (2), используя замену переменных ж = а ы
= к виду
d2a 1 da _
а = 0
dtz х dx
при |а| <при |а| <ТГ2ТГ2или к видуили к видуd22\adt2d22\adt21 dAa .+ - —Да = О,х dx1 dAa .+ - —Да = О,х dx(4)(4)
при |а| <
при |а| <
ТГ
2
ТГ
2
или к виду
или к виду
d22\adt2
d22\adt2
1 dAa .
+ - —Да = О,
х dx
1 dAa .
+ - —Да = О,
х dx
(4)
(4)
где Да = а — тг при а > тг/2, Да = а + тг при а < —тг/2.
(5)(6)(5)(6)Соответственно, решения уравнений (3), (4) записываются через функции Бесселя [3]:
(5)
(6)
(5)
(6)
а = С11о (ж) + С^ЛЦж),Да = С310(ж) + С4К^х\
Ограничимся вначале случаем lozq = 0, тогда полному зависанию КА в положении неустойчивого равновесия соответствует начальное значение ао = тг, и решение уравнения (4) а = тг. При значении ао = = тг—дср, где дер — малая положительная величина, реализуется режим зависания, длительность которого возрастает по мере уменьшения 5(р. Угол атаки на интервале [жо, жх] монотонно уменьшается от тг — 5 ср до тг/2, а затем совершает колебания с уменьшающейся амплитудой. Решение уравнения (2) при ж ^ ад совпадает с решением (6) и записывается в виде
а0 = тг - 5^10(ж), (7)
при этомпри этомЖ1 = arcloЖ1 = arclo(8)(8)
при этом
при этом
Ж1 = arclo
Ж1 = arclo
(8)
(8)
(arclo(u) — функция обратная к 1о(и)\
Если 5р > О.1тг, то амплитуда колебаний при ж ^ жх не превышает тг/2, поэтому решение уравнения (2) при ж ^ Ж1 совпадает с решением (5), а константы Ст, С^ легко определяются при сращивании решений (5) и (6).
Однако наибольший интерес представляет случай 6 ср < О.1тг, когда амплитуда колебаний угла атаки превосходит тг/2 при ж > жх. Здесь для определения амплитуды колебаний можно попытаться применить приближенный закон сохранения интеграла действия, адиабатического инварианта ([4, 5, 2])
d(t, a) da to const,(9)
где d(t, а) — решение уравнения (2) при замороженном времени. Поскольку а = тг/2 при t = Н (ж = жх), получим
Подставляя (10) в (9) найдем
2^7Г2^7Гarctgarctg7Г2^7Г2^.da1 da1 dx vbxx dt.da1 da1 dx vbxx dt1 -1 -2a[7Г2a[7ГArthArth2ai7Г2ai7Г(11)(11)
2^
7Г
2^
7Г
arctg
arctg
7Г
2^
7Г
2^
.da1 da
1 dx vbxx dt
.da1 da
1 dx vbxx dt
1 -
1 -
2a[
7Г
2a[
7Г
Arth
Arth
2ai
7Г
2ai
7Г
(11)
(11)
Xi определяется из соотношения (8).
4Ы « ^= у2тгЖ14Ы « ^= у2тгЖ1При достаточно малых 5 ср и, соответственно, достаточно больших Xi справедливы формулы
4Ы « ^= у2тгЖ1
4Ы « ^= у2тгЖ1
(12)
(13)(13)^Ж1/о\
(13)
(13)
у 2тгЖ1 у8ж1)
а^Д ~ 1 1
/0(ж1) ~2ж1"
Отсюда получим
(14)
Используя соотношения (8) и (12), можно убедиться, что при малых бр справедлива грубая оценка
/ 7Г \1Г / 7Г \1/ 7Г \
(15)(15)Ж1 ~ In ( — ) + - In 2тг/п ( — ) to In I — ) .
(15)
(15)
\2op/2\2оц)/ J\2оц)/
В итоге приближенное выражение для интеграла действия при t = = Н (ж = Ж1) приобретает вид
При достаточно больших х амплитуда колебаний угла атаки ат становится меньшей тг/2, и интеграл действия определяется формулой
a^t^a^da = aebt т =bx — a^.(17)
Предполагая, что интеграл действия не изменяется при t = Н (ж = = жД, приравнивая (6) и (17), получим:
Для проверки приближенной формулы (18) результаты расчета по этой формуле сравнивались с результатами численного решения урав-
Рис. 2
нения (2). При этом вычислялись значения функции Xpik^\ определяющей значения амплитуды в соответствии с формулой (см. [1]):
«... =(19)
Сопоставление результатов (рис. 2) указывает на приемлемую точность формулы (18). В случае синусоидальной характеристики h(a) = = since пиковые значения амплитуды снижаются примерно на 5%. Для нее можно принять, что
Xp^ 225Jln(-^).(20)
Как было показано в [2], в случае, когда выполняется неравенство
2^^ о
A Vo | sin 0о |
с вероятностью, близкой к единице, можно использовать правило сохранения интеграла действия (9) на всей траектории полета и непосредственно приравнять начальное значение интеграла действия при отсутствии аэродинамического момента
J = 2тгсс;^о(22)
к (17), откуда следует ([5]), что
^V^^o2v^Va ebtVx^V^^o2v^Va ebtVx(23)(23)
^V^^o2v^
Va ebtVx
^V^^o2v^
Va ebtVx
(23)
(23)
При промежуточных значениях ц амплитуда определяется формулой
VxVx(24)(24)
Vx
Vx
(24)
(24)
где функция xLS^^P1) имеет бесконечный пик при 5<р = ао — а О и является четной по 5р\ так что ее достаточно определить при 0 < < 5 ср < тг. Следует отметить, что при немалых ц и при немалых
5 ср эта функция оказывается близкой к 2 ^//7, а в достаточно малой окрестности 5(р = 0 повторяет поведение функции Хр1^Ч^ = Х^^О), причем эта окрестность тем меньше, чем больше ц.
Исходя из этого, можно аппроксимировать указанную функцию в окрестности 5<р = 0 простейшей формулой
x(W) ~ -/х|АМ~+4м,(25)
точность которой иллюстрируется рис. 3.
Закон сохранения интеграла действия при больших ц может быть использован и для исследования движения осесимметричного КА, обладающего двумя устойчивыми балансировочными углами атаки а = 0° и а = 180° и неустойчивым балансировочным углом атаки а = а*. В этом случае угол атаки в плотных слоях атмосферы попадает в окрестность а = 0° с вероятностью Pi и в окрестность а = 180° с вероятностью Р2, где совершает колебательное движение. При этом фазовая картина а (а) вначале может быть односвязной, а затем разделиться на две области. В [6] получены формулы для определения указанных вероятностей, которые приобретают очень простой вид в
случае плоского движения:
mz(ai)dai da.mz(ai)dai da.(26)(26)
mz(ai)dai da.
mz(ai)dai da.
(26)
(26)
А + Л = 1,
где mz(a) — безразмерная характеристика экваториального момента.
Интересно отметить, что в другом предельном случае ц <С 1 указанные вероятности составляют
Pi = —, Р2 =
7Г ’7Г
В практически интересном случае, когда разность я — а* мала, значение Р-2 существенно уменьшается с ростом начальной экваториальной угловой скорости (см. рис. 4).
Одним из наиболее интересных явлений механики является известный эффект синхронизации колебаний нелинейной системы [7]. В частности, он ярко проявляется в небесной механике, например, угловое движение Луны около центра масс синхронизировано с движением ее центра масс относительно Земли. Этот же эффект возникает в ряде случаев при спуске в атмосферу неуправляемого тела, близкого к осесимметричному: осевая угловая скорость шж в течение более или менее длительного промежутка времени отслеживает резонансную угловую скорость шЖТ(1).
Поддерживание такого «режима резонансного вращения» иногда становится возможным даже при очень малых нарушениях аэродинамической и весовой симметрии. Поэтому при проектировании космических аппаратов или искусственных спутников, рассчитанных на неуправляемый спуск в атмосфере Земли или других планет, приходится считаться с возможностью возникновения резонансного режима и изучать основные закономерности, связанные с ним.
Однако анализ условий возникновения и длительного существования этого режима оказывается весьма сложным даже при допущении о линейной зависимости аэродинамических характеристик от пространственного угла атаки, и тем более с учетом нелинейности таких характеристик.
При решении задач, связанных с исследованием резонансных режимов, возникает необходимость анализа системы уравнений следующего вида ([1]):
= /(ж) А-ед^х^у(27)
^=еЦх,фУ(28)
Здесь д и h — функции, периодические по ^ с периодом 2тг, ж и h — векторы, s — параметр малости.
Угол ф может играть роль сдвига фазы между внешним периодическим возмущением и функцией, описывающей собственные колебания системы. Тогда околорезонансные режимы характеризуются медленным изменением фазы ф^ что соответствует нахождению изображающей точки (вектора ж) вблизи поверхности /(ж) = 0. Представим себе траекторию ж(^) в фазовом пространстве (жх,..., жп), которая приближается к поверхности f^x). В этой ситуации возможны 2 случая. В первом случае (прохождение через резонанс) траектория «пронзает» эту поверхность и удаляется от нее. Во втором случае (захват в резонансный режим) траектория деформируется и на длительном участке располагается вблизи поверхности /(ж) = 0.
В [2] проанализированы условия возможности захвата движения в резонансный режим, которые имеют вид
тах<Дж, ф) пнп<Дж, ф) < 0,(29)
где <p = ELiH;h^^Y
(30)(31)(30)(31)Для анализа устойчивости режима применяется метод ВКБ ([1]). «Главное» условие устойчивости записывается в виде
(30)
(31)
(30)
(31)
причем ф* определяется из соотношения ^(ж,^*) = 0.
Вариация 5ф совершает колебания с частотой ш^ =
В [1] получено условие, при котором амплитуда вариации 5ф затухает. Выписанное соотношение (29) является необходимым условием
возможности возникновения резонансного режима, который, вообще говоря, реализуется лишь в определенном диапазоне значений начальной фазы фо.
Для иллюстрации можно сослаться на движение физического маятника, обладающего вязким трением, под действием постоянного момента. Вводя безразмерное время т, можно записать уравнение движения такого маятника в виде
(32)(32)сРфdф .
(32)
(32)
-—^- + а — + sin^ = Ц. ат2ат
При |ц| > 1 всегда реализуется вращательное движение маятника. Переход к колебательному движению, эквивалентный условию захвата в резонанс, возможно лишь при |ц| = |sin^| < 1. Исследования показали ([8]), что переход к колебательному движению происходит при всех значениях начальной фазы фо- если а > аст(фф где аст
при малых ф. Согласно расчетам авторов, зависимость псг(^) хорошо аппроксимируется формулой
(33)(33)аст^ ~ 0.76ф.
(33)
(33)
При а < аст(ф) переход к колебательному движению реализуется лишь для определенного диапазона значений фо^ равномерно распределенных в интервале [0, 2тг]. Таким образом, размер диапазона определяет вероятность захвата движения в резонансный режим.
В [1, 9-11] приведены результаты расчетов, относящихся к захвату в резонанс КА с малой асимметрией. Угловое движение устойчивого осесимметрияного КА под действием аэродинамического момента при небольших углах нутации (пространственный угол атаки) представляет собой сумму медленной и быстрой прецессии: в плоскости углов
атаки и скольжения им отвечает «быстрое» и «медленное» движение соответственно.
Установлено ([9]), что захват КА в резонансный режим определяется в основном «медленным» движением и происходит при осевой угловой скорости
= ш,
где М“
7^’(34)
производная эквато-
риального момента по пространственному углу атаки оц 1^ 1ж < < I — экваториальный и осевой моменты инерции КА.
Восходящая ветвь кривой шжт^1\ построенная для типичной траектории спуска, изображена на рис. 5, при этом возможен захват движения в резонанс (^о = 298°) и прохождение через резонанс (^о = = 297°).
Результаты расчетов, приведенные в [11], относятся к гипотетическому КА, обладающего малой асимметрией, характеризуемой значением М^ ^ 0, производной осевого момента по углу скольжения. Начальные условия в разреженных слоях атмосферы задаются углами <^i, ^2, ^з (рис. 6).
При ^1 = 0, <^2 7^ 0 реализуется «медленное» движение с постоянным пространственным углом атаки «о = <^2 (направление кинетического момента Qo совпадает с направлением вектора скорости У) и
Рис. 7. (pi = 0°
Применение асимптотических методов нелинейной механики 383 постоянной осевой угловой скорости Сс;ж0- Начальная фаза фо определяется углом поворота экваториальной плоскости осесимметричного КА относительно плоскости, содержащей ось КА и вектор скорости.
Типичные результаты расчетов изображены на рис. 7. Заштрихованная область значений фо соответствует захвату движения КА в резонанс на восходящей ветви кривой шХТфф который определялся условием увеличения угловой скорости шх фф по крайней мере в 2 раза. Как видно, захват в резонанс возможен при «о > 8°, что примерно согласуется с условием (27). С другой стороны, даже при увеличении о0
Vo, град.Vo, град.400 -400 -Ф1= 0°Ф1= 0°Рис. 9. уч = 40°Рис. 9. уч = 40°
Vo, град.
Vo, град.
400 -
400 -
Ф1= 0°
Ф1= 0°
Рис. 9. уч = 40°
Рис. 9. уч = 40°
до больших значений сохраняется сужающийся диапазон 360° — А^о? для которого захват в резонанс не реализуется.
Этот факт интересен в том смысле, что при наличии асимметрии, обеспечивающей выполнение условия (27) с большим запасом, захват движения КА в резонанс не гарантируется.
В работе [10] приведены также результаты, иллюстрирующие влияние «быстрого» движения на возможность захвата в резонанс. «Быстрое» движение КА возбуждается в том случае, когда направление кинетического момента отличается от направления вектора скорости на угол уд. При этом существенными становятся две равномерно распределенные начальные фазы: фо и р^. Для определения вероятности захвата КА в резонансный режим можно проводить расчеты для нескольких фиксированных значений рз и затем осреднять величину диапазона А^о- Результаты расчетов показали, что при малых углах pi < 20° вероятность захвата движения КА в резонанс «в среднем» не меняется (рис. 8), но при увеличении угла pi до 40° уменьшается (рис. 9).
Список литературы
ЯрошевскийВ.А. Движение неуправляемого тела в атмосфере. — М: Машиностроение, 1978.
Воейков В.В., Ярошевский В.А. Исследование плоского неуправляемого движения около центра масс аппарата, снижающегося в плотные слои атмосферы// Труды ЦАГИ, 1961.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. — М: Наука, 1970.
Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е.М. Механика. — М: Физматгиз, 1958.
КузмакГ.Е. Динамика неуправляемого движения летательного аппарата при входе в атмосферу. — М: Наука, 1970.
Воейков В.В., Ярошевский В.А. О вероятности стабилизации тела вращения на больших углах атаки при спуске в атмосфере// Ученые записки ЦАГИ. — 1972. — Т. 3, № 2.
БлехманВ.В. Синхронизация динамических систем. — М: Наука, 1971.
Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. — М: Наука, 1990.
Шилов А.А., Гоман М.Г. Резонансные режимы пространственного неуправляемого движения аппаратов на участке входа в атмосферу// Труды ЦАГИ. — 1975. — Вып. 1624.
Бобылев А.В., Ярошевский В. А. О возможности нарушения статической устойчивости асимметричного тела вращения в околорезо- нансном режиме// Ученые записки ЦАГИ. — 1982. — Т. XIII, № 5.
Бобылев А.В., Ярошевский В.А. Оценка условий захвата в режим резонансного вращения неуправляемого тела при спуске в атмосфере// Космические исследования.
ЭВОЛЮЦИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОУПРУГОГОШАРА В ОГРАНИЧЕННОЙ КРУГОВОЙ
ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ
В.Г. Вильке, А.В. Шатина
Задача трех тел является модельной задачей в небесной механике, исследование которой позволяет объяснить ряд механических явлений в Солнечной системе. В некоторых моделях используется ограниченная круговая или эллиптическая задача трех тел, когда два массивных тел движутся по заданным кеплеровским орбитам в поле сил взаимного притяжения, а третье тело мало, не влияет на движение первых двух и движется в гравитационном поле, порожденном первыми двумя телами. В этих задачах тела рассматриваются как материальные точки.
Ниже исследуется ограниченная круговая задача трех тел, когда третье малое тело предполагается сферически симметричным и деформируемым, его центр масс движется в плоскости круговых орбит двух первых тел, а вращение вокруг центра масс происходит вокруг нормали к плоскости движения центра масс. Существенным обстоятельством, влияющим на эволюцию движения малой сферически симметричной деформируемой планеты является рассеяние энергии при ее деформациях, что приводит к эволюции ее орбиты и угловой скорости вращения. Поскольку предполагается, что массы двух тел (для Солнечной системы это могут быть Солнце и Юпитер) относятся как один к /I, (/i <С 1), то эволюция движения деформируемой планеты разбивается на два этапа. На первом этапе «быстрой» эволюции орбита деформируемой планеты стремится к круговой с центром в массивном теле, а ее вращение совпадает с орбитальным (режим гравитационной стабилизации, резонанс 1:1). При этом планета оказывается деформированной (сплюснутой по полюсам и вытянутой вдоль радиуса, соединяющего планету с массивным телом) [1, 2]. На втором этапе «медленной» эволюции учитывается влияние планеты с массой /I, что приводит к эволюции круговой орбиты деформируемой планеты. Согласно полученным ниже уравнениям, описывающим эволюцию круговой орбиты, ее радиус стремится к радиусу тела массы р ,т. е. он возрастает, если деформируемое тело находится внутри орбиты тела массы /1, или убывает в противном случае. На конечном этапе медленной эволюции, когда орбиты деформируемой планеты и тела массы р становятся близкими, возможен захват деформируемой планеты пла
© В.Г. Вильке, А.В. Шатина, 2001
25 Под ред. В.М. Матросова и др.
нетой с массой ц и образование двойной планеты по типу Земля-Луна. В Солнечной системе это обстоятельство подтверждается наличием значительного количества спутников у Юпитера и Сатурна.
Постановка задачи, уравнения движения. Пусть две материальные точки Mi и М^ массы которых равны единице и д (д <С 1), описывают круговые орбиты под действием сил ньютоновского притяжения вокруг общего центра масс О в плоскости ОХ1Х2. Пусть ОМ^ = Ь. ОМу = рЪ. а угол а между осью ОХ^ и ОМ^ меняется по закону а = сиз(1 + д)-1, ш^ = /6-3, где / — гравитационная постоянная (рис. 1). Далее, предположим, что центр масс С вязкоупругого
деформируемого однородного шара массы т и плотности р движется в плоскости ОХ1Х2. Пусть R — радиус-вектор точки С, а угол р определяет переход от осей Кенига СХ1Х2 к осям Сад яд «интегральным» образом связанным с деформируемым шаром [1]. Положения точек шара определим так
Им = R + О(^)(г + н(гД)),
(cos р — sin р О sin рcos рО
О 01
Здесь V = {г: | г | < го} — область в Е3^ занимаемая недеформи- рованным шаром радиуса tq. Кроме того, обозначим М\С = Ri = = R + д^е, М^С = R2 = R ^е, е = (cosa, since, 0) — единичный вектор отрезка МуМ^ Ф — угол между ОМ^ и ОС. Кинетическая энергия шара и потенциальная энергия гравитационных сил представляются функционалами
Т = | f {R + О[е3 х(г + u)]y> + Ouppdx,(2)
pk ^/{[Rfe + O(r + u)]2} T^dxpk ^/{[Rfe + O(r + u)]2} T^dxП — П1 + П2,
pk ^/{[Rfe + O(r + u)]2} T^dx
pk ^/{[Rfe + O(r + u)]2} T^dx
Щ = -
V
R^ = R + g2b2 + 2gRb cos Ф, R^ = R2 + b2 — 2Rb cos Ф,Що = Щ^Х’ ^ = 1,2, e3 = (0,0,1).
В выражении потенциальной энергии (3) отброшены члены порядка малости R-4 и выше (считается, что отношение b/R имеет нулевой порядок малости),а также члены, содержащие и2. К потенциальной энергии следует добавить потенциальную энергию деформаций упругого шара S[u], соответствующую классической теории упругости малых деформаций [1]. Будем предполагать, что наинизшая частота собственных колебаний шара много больше угловых скоростей шз и Ф. Это означает, что при соответствующем выборе масштабов размерных величин числовое значение модуля упругости материала шара Е будет велико, а параметр е = Е-1 — мал.
Уравнения движения запишем в форме уравнений Рауса для канонических переменных, определяющих движение центра масс шара и его вращение вокруг оси Ох^ и уравнений Лагранжа в частных производных для перемещений u(r,f), которые после затухания собственных колебаний из-за наличия диссипативных сил будут пропорциональны малому параметру е. С этой целью используем канонические переменные Делоне (L^GJ^g) и Андуайе (I, <р\ Имеем
J = V фТ = Т3з[и]^ + G^ R = Т^ — То + S[u],
Gu = j'[(r + u)xu]pdxe3, J33[u] = jyeax^ + u^pdx, VV
T2 = ^mR? + I .ТззМД, T» = ^l ^Ах' (4)
/[ru-^O-'Rto.^^RM.u)]^-
k=i Кк J
29
г u —(е3, r)(e3, u^pdx, А = -тг$.
Величины, входящие в соотношения (3), выразим через канонические переменные согласно равенствам
G2е + cos #
m2/(l + еcos#) ’1 + ecos#’(6)
е2 = 1 — G2/L2, l = w — е sin w, Ф = # + g — a.
Здесь e — эксцентриситет орбиты центра масс, ^l,w — истинная, средняя и эксцентрическая аномалии соответственно, д — долгота перигея.
Уравнения движения запишем в виде канонических уравнений
. атгр% =10Qi. атгр% =10Qi. атгqz =’9pi. атгqz =’9piр = <I,L,G\ q = (^Д#)р = <I,L,G\ q = (^Д#)(7)(7)
. атг
р% =1
0Qi
. атг
р% =1
0Qi
. атг
qz =’
9pi
. атг
qz =’
9pi
р = <I,L,G\ q = (^Д#)
р = <I,L,G\ q = (^Д#)
(7)
(7)
и вариационного принципа Д’Аламбера-Лагранжа
dйЕ + V иЕ + V ^1) + dtdйЕ + V иЕ + V ^1) + dtAiAiJu+A2 rot JuJu+A2 rot Judx = 0,dx = 0,VJu,VJu,
d
йЕ + V иЕ + V ^1) + dt
d
йЕ + V иЕ + V ^1) + dt
Ai
Ai
Ju+A2 rot Ju
Ju+A2 rot Ju
dx = 0,
dx = 0,
VJu,
VJu,
где £)[u] = x^M — функционал диссипативных сил, a Ai(f), A2(f) — неопределенные множители Лагранжа, порожденные условиями (1). Используя симметрию области У, получим следующие следствия из соотношений (8) (см. [1])
5 u = а = const Va Е Е3 ^ Ai = 0,
5 и = а х г, а = const Va Е Е3 ^ А2 = 0.
Уравнения в частных производных, которые получаются из принципа (8), становятся линейными, соответствуют линейной теории вязкоупругости малых деформаций и записываются в форме
2
(9)(9)£VE[U1 +ХЩ] + 52^pfRk3[r-3(O-1Rfe0,^O-^fco] - fc=i
(9)
(9)
i2i
- 52l[r -(e3’r) ез] + ^p[e3 x r] = 0.
Решение системы уравнений (9) должно быть найдено с учетом динамического граничного условия — равенства нулю напряжений на поверхности шара.
Так как производная I в соответствующем каноническом уравнении (7) пропорциональна параметру е, то последний член в уравнении (9) можно отбросить, поскольку параметр е мал, а все остальные члены в уравнении (9) не содержат этот параметр.
Если принять е = ц = 0, то получим классическую задачу Кеплера-Ньютона о движении твердого симметричного шара в центральном ньютоновском поле. Уравнения (7) в этом случае имеют ВИД . . . .
= g = 0 ф = Ш1, 1 = Ш2
g = О, Ш1 = IA Ш2 = m3/2L 3.
Если принять е = 0, ц ф 0, то будем иметь ограниченную круговую задачу трех тел, а уравнения (7) представятся в форме
/ = О,Ф = ^ь/ = О,Ф = ^ь. экI — ^2 + у^т. экI — ^2 + у^т• ЭКG=^aT . эк 9 = 9эс"• ЭКG=^aT . эк 9 = 9эс"(11)(11)
/ = О,
Ф = ^ь
/ = О,
Ф = ^ь
. эк
I — ^2 + у^т
. эк
I — ^2 + у^т
• ЭК
G=^aT . эк 9 = 9эс"
• ЭК
G=^aT . эк 9 = 9эс"
(11)
(11)
Если принять е ф 0, ц = 0, то система уравнений (7,9) будет описывать эволюцию движения вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил [1,2].
Наконец, полная система уравнений (7,9), когда е ^ 0, ц ^ 0, позволяет определить эволюцию движения вязкоупругого шара в ограниченной круговой задаче трех тел.
Переменные действие в задачах, описываемых уравнениями (10) и (11), не эволюционируют, так как речь идет о гамильтоновых системах. Эволюция этих переменных будет иметь место только в случае упругого шара при учете вязких сил. Наличие двух малых параметров е и ц позволяет утверждать, что эта эволюция разбивается на два этапа, соответствующих быстрой эволюции со скоростью е% и медленной эволюции, происходящей со скоростью уец. Быстрая эволюция, согласно результатам работы [2] , имеет в качестве предела стационарное движение, когда центр масс деформированного шара движется по круговой орбите, а его угловая скорость равна орбитальной. На этапе медленной эволюции происходят медленные изменения радиуса круговой орбиты.
Эволюция движения вязкоупругого шара в центральном поле сил. В работе [2] получены векторные уравнения описывающие эволюцию движения центра масс и вращения вокруг центра масс вязкоупругого шара в случае пространственной задачи, когда в процессе движения эволюционирует орбита (ее форма и положение в пространстве и момент количеств движения). Ниже исследуются уравнения, описывающие эволюцию в канонических переменных Делоне-Андуайе в плоском случае, когда плоскость орбиты центра
масс остается неподвижной , а вектор момента количеств движения ортогонален к ней. Для этого положим в уравнениях (7,9) ц = 0 и найдем
• _ 577,ю• _ 577,ю а _ 577,ю
5^ ’Э1 ’дд '
.577,ю;. 577,ю.577,ю
= +, = ч + 7Г 9=^с’
„„г<91119и11 Ог /, т
eV5[u! +х^1-^- +х^2-^-] = /эш1[г-(е3,г)е3] -
- ЛЯ^г-З^^В-о^О^Ко], Ro^RT?1, (12)
^10 = ^/[ги-3(О-^0,г)(О-^0,и)]с/ж -
V
-сщ y^rxu] е3 pdx - ш^ yi[ru-(e3,r)(e3,u)]pdx + В[и]. VV
Здесь е3 — орт оси Ох^.
Последнее уравнение в системе (12) соответствует первому приближению асимптотического метода с малым параметром е или процедуре метода усреднения [1]. В правой части этого уравнения все канонические переменные согласно асимптотическому методу определяются решением невозмущенной задачи (10), а сама она представляется в форме
/3 cos2 3 — 1В2 = I 3 cos Р sin Р\ о/3 cos2 3 — 1В2 = I 3 cos Р sin Р\ о^(^ршу r +l/3pw2Bi г +pfR 3В2г,^(^ршу r +l/3pw2Bi г +pfR 3В2г,3 cos Р sin Р3 sin2 Р — 103 cos Р sin Р3 sin2 Р — 10Bi = diag{l, 1, -2},Bi = diag{l, 1, -2},
/3 cos2 3 — 1
В2 = I 3 cos Р sin Р
\ о
/3 cos2 3 — 1
В2 = I 3 cos Р sin Р
\ о
^(^ршу r +l/3pw2Bi г +pfR 3В2г,
^(^ршу r +l/3pw2Bi г +pfR 3В2г,
3 cos Р sin Р
3 sin2 Р — 1
0
3 cos Р sin Р
3 sin2 Р — 1
0
Bi = diag{l, 1, -2},
Bi = diag{l, 1, -2},
tr Bi = tr В2 = 0,tr Bi = tr В2 = 0,Р = ^^д-р.Р = ^^д-р.
tr Bi = tr В2 = 0,
tr Bi = tr В2 = 0,
Р = ^^д-р.
Р = ^^д-р.
Решение последнего уравнения системы (12) согласно [1,3] найдем в виде
5\Х^2— I ихзо,Э1 /5\Х^2— I ихзо,Э1 /ui — un + Ui2 + uX3, Ui3 ^1 — x^iui — un + Ui2 + uX3, Ui3 ^1 — x^i5
5\Х^2— I ихзо,Э1 /
5\Х^2— I ихзо,Э1 /
ui — un + Ui2 + uX3, Ui3 ^1 — x^i
ui — un + Ui2 + uX3, Ui3 ^1 — x^i
Эр
sVB[un] = 2/3pcj2 г un = -2/3pcj2(di г2 d2) г,
sVB[ui2] = 1/Зр^2Вх г =^(13)
ui2 = l/3p^2[(Zi(Bi r,r)r+(n2 г2+п3)В1 г],
sVB[ui30] = pfR~3B2 г ^>
U130 = Р/В-3[П1(В2 г, г) г+(п2 г2 +п3)В2 г]. Здесь еЕ /1
£VE[U] = -5(I77j (гт^™-'и+Ди
_ (1 + ^)(1 -2^) -j^zEfcWI
12(4 - 3z/)’22(4 - 3z/)’
_ 1 + v _(2 + p)(1 + z/)_ (2z/+ 3)(1 +p)rQ
“ 5z/ + 7’ “2 “5z/ + 7’ й3 “5z/ + 7’
где E, v — модуль упругости и коэффициент Пуассона материала шара. При определении перемещений точек однородного упругого шара в поле потенциальных сил линейно зависящих от расстояния до центра шара использовалось динамическое граничное условие ап = 0 — равенство нулю напряжений на поверхности шара. Выражение для и13 представлено первыми членами ряда по степеням у при условиях |%^11 ^ 1? 1x^21 ^ 1- Заметим, что функции Пц и и12 не зависят от
времени.
Далее следует подставить функцию u = s щ в правые части оставшихся уравнений (12), вычислить интегралы по сферической области V и согласно асимптотическому методу произвести усреднение по быстрым переменным I и ф. Опуская достаточно громоздкие вычисления и сохраняя исходные обозначения, запишем усредненные уравнения для переменных действие в виде
/ = eA^I. L, G\ L = eA^I. L, G\ G = eA^G L, G\
^2 = -18xA4.D Л^2 = -18xA4.D ЛА = —Л3 = 18ур2Дг>А = —Л3 = 18ур2Дг>^2^245 45 Л /9 3+ — e + —в I — O7i I 1 + Зе + -в I816 /\8 /45 45 Л /9 3+ — e + —в I — O7i I 1 + Зе + -в I816 /\8 /1212255 4185 6 5 о8168255 4185 6 5 о8168" fLVwAg)" fLVwAg)31 2 Te31 2 Te(14)(14)15154545/^15 о 45 45 --“Л+у6 +-e +-e/^15 о 45 45 --“Л+у6 +-e +-e,6,6
^2 = -18xA4.D Л
^2 = -18xA4.D Л
А = —Л3 = 18ур2Дг>
А = —Л3 = 18ур2Дг>
^2
^2
45 45 Л /9 3
+ — e + —в I — O7i I 1 + Зе + -в I
816 /\8 /
45 45 Л /9 3
+ — e + —в I — O7i I 1 + Зе + -в I
816 /\8 /
12
12
255 4185 6 5 о
8168
255 4185 6 5 о
8168
" fLV
wAg)
" fLV
wAg)
31 2 Te
31 2 Te
(14)
(14)
15
15
45
45
/^15 о 45 45 -
-“Л+у6 +-e +-e
/^15 о 45 45 -
-“Л+у6 +-e +-e
,6
,6
4тггд(1 + iv)(9v + 13)
105(5z/ + 7)
Уравнения (14) имеют первый интеграл G +J = Go — закон сохранения момента количеств движения в проекции на ось ОХ3. Этот интеграл существует и для точных неусредненных уравнений, поскольку движение деформируемого шара происходит в центральном поле сил. Стационарные точки уравнений (14), когда I = L = G = 0 могут существовать, если эксцентриситет орбиты е = 0. В самом деле, полагая Ai = Л2 = 0 и исключая из выражений стоящих в квадратных скобках 071 и Ш2^ получим уравнение относительно эксцентриситета
д-4д-431 2255 4185 65 А
д-4
д-4
—е2 4е4 4е 4—е I =
2+ 8+ 16+ 8 /
А 15 2 45 45 6\2
= 114е2 4е4 4
\ + 2+ 8+ 16 /
которое имеет единственный действительный корень е = 0. Отсюда следует, что в стационарном движении орбита центра масс деформированного шара круговая, а его угловая скорость совпадает с орбитальной (сщ =0^2). Далее получим стационарные значения I и G из условий
G + I = G„. L^^gV^-G.. (15)
Было показано [2], что уравнения (15) имеют в зависимости от величины Go либо два решения Gi, G^, если Go > (4/3) G* = = (4/3)(3Am3У2)1 /4, либо одно решение G*, если Go = (4/3) G*, либо ни одного решения, если Go < (4/3) G*.
В случае двух решений радиусы орбит R^ = G^m-2/-1, k = 1,2, и устойчивым оказывается движение соответствующее наибольшему радиусу орбиты. Это суждение легко получить из уравнений в вариациях для системы (14)
£1 = -&£1 = -&16^1 + (|-19)^216^1 + (|-19)^29£i + (f-Д,9£i + (f-Д,k = ISsyp2^^^ 1 > 0,(16)^ = 8L, ^2 = 8G.k = ISsyp2^^^ 1 > 0,(16)^ = 8L, ^2 = 8G.
£1 = -&
£1 = -&
16^1 + (|-19)^2
16^1 + (|-19)^2
9£i + (f-Д,
9£i + (f-Д,
k = ISsyp2^^^ 1 > 0,
(16)
^ = 8L, ^2 = 8G.
k = ISsyp2^^^ 1 > 0,
(16)
^ = 8L, ^2 = 8G.
Величины G и J в уравнениях (16) соответствуют стационарным режимам, т. е. G = Gi или G2, a J = m3f2AG^3 или m^pAG^3 соответственно. Определяя решение уравнений (16) в виде £1 = = Gi exp(ku)t), £2 = G2 exp(kwt), где Gi, G2 — произвольные постоянные, получим для w характеристическое уравнение
w2 + w + 4 J + 7 3J = 0,
корни которого равны гщ = —7, W2 = 3 — G/I. Из соотношений (15) следует, что корень G2 > G* и G/I > 3, а значит, движение с большим радиусом орбиты устойчиво, так как оба корня характеристического уравнения отрицательны. Для орбиты с меньшим радиусом величина Gi < G*, G/I < Зи корень W2 положителен, что свидетельствует о неустойчивости этого стационарного движения.
Эволюция круговой орбиты. Эволюционный процесс, описанный в п. 2, происходит со скоростью порядка sy. В результате орбита вязкоупругого шара становится круговой. Одновременно с этим процессом в полной системе имеют место более медленные эволюционные процессы, связанные малым параметром ц. Предположим, что быстрая эволюция «закончилась» и орбита центра масс шара стала почти круговой.
Лемма 1. Система уравнений (7) имеет в качестве решений класс круговых орбит, когда эксцентриситет е = 0.
Рассмотрим разность
(17)(17)(ЭК ЭК\ d^i d^i \ Эд 91 ) ^ Эд Э1
(17)
(17)
и покажем, что правая часть уравнения (17) равна нулю, если в = 0. Зависимость /С от I и д проявляется через ДиФ=^+^— а. Тогда
ЭК ЭК _ ЭК (ЭФ 9Ф\ 9K9R"9^ ” "ЭГ - ЭФ \9д~ ~dR~dl'
Далее согласно (6) имеем
ЭН G2esm0 00 sin^ (е + cos^)esin^ 90
91m2/(l + е cos ^)2 dZ 71 + ecos^ (1 + ecos^)2 91
. Эш Эш ,x_i ЭФ ЭО ЭФ
= SUI™1>1'^ = (1-==»=^)- ,g^g,, g^L
При е = 0 получим
Z = W = 7?,Z = W = 7?,dwHidwHiЭФ _дФ дФ _BRHi “Hi ” Hi “ °’ HiЭФ _дФ дФ _BRHi “Hi ” Hi “ °’ Hi(18)(18)
Z = W = 7?,
Z = W = 7?,
dw
Hi
dw
Hi
ЭФ _дФ дФ _BR
Hi “Hi ” Hi “ °’ Hi
ЭФ _дФ дФ _BR
Hi “Hi ” Hi “ °’ Hi
(18)
(18)
Поскольку Ri зависит от I и д через переменные R, Ф, (3, то
BRiBRy _ dRi Р ЭФ 5Ф\ BR^ 3 В9 ар\ BR^BR
ПдаГ - "d5" \Hi ~Hi) + Пр" \Hi ~Hi) ~ Hr Hi"
Далее заметим, что
93_9^_9Ф_9Ф
Эд 91 Эд Э1
и согласно (18) получим
9RX dRy =
Эд 911
что и доказывает лемму 1.
В дальнейшем будем предполагать, что в начальный момент G(0) = Т(0), и возмущенное движение, описываемое уравнениями (7,9), принадлежит классу круговых орбит центра масс деформированного шара. Поскольку переменные Делоне вырождаются в случае нулевого эксцентриситета, то удобно в этой ситуации использовать канонические переменные Пуанкаре Л, Г, А, 7 определяемые соотношениями [4]
(19)(19)Л = L, Г = L - G. А = I + д. ^ =-д.
(19)
(19)
Для класса круговых орбит Г(2) = 0 и далее
/2ГГ2"_ (Л - Г)2 Л2 z х
е = V^r - 7^’ R = 2 ^1 , 5V = ^7-20
V Л Л2m2/(l + ecos^)т2 f
Используя соотношения (19),(20), получим функционал Рауса (5), оставляя в его выражении члены нулевого и первого порядка малости по ц. В результате найдем
J2 m3/2 I2 m If
к = м -- w J” |U1 - я /[г XU161 ^ +
V
+ £[и] + Я[Д(Л),^,Ф,и],
H = F0 + / (FlTu) ~~ ГЛ(£0,гЯ^,и) +
+ (€о, U) (€1, г)] - Et (^, г) (^, u) ^dx,
Я = О"1 Ro = (cos /3, sin /3,0),(21)
^ = О-1 е = (cos(/3 — Ф), sin(/3 — Ф), 0),
Fo = bfi, /1 = Aw2(gcosФ - р),q — b/R, р = (1 — 2gcos Ф + g2)-1/2,Fi = Zig + pki, ho = pw2, hi = pw2(p3 — 3g cos Ф),F2=Po+pPi, до = 3рш1, gi = Зрш^р5 - 5gcosФ),F3 = pf3, /3 = 3p^g(l - p5), 0 = X-p, Ф = A — a,F4 = p/4, f4 = 3pw^pb, Ш2=т3р\-а, Ro = R-R-1-
Уравнения движения представим в виде
• _ дН _ дН ■ дН _ дН 8Н
0 = W2 - wi + ^1 A^wiJA1^ + A”1 J[r xu\e3pdx, (22) V
А8Н1
Ф — и2 — W3(l + ц) + уд-,— —
и далее
21
eV5[ui +xui] = -рш2 г +-рш^В1 г +В3 г,в3 г = -Fi г +г2(е0,г) е0 +^з[(€0,г)€1 +(€i,г)е0]+^^i,е ^, (23)В^ = В^ tr В3 = —3Bi + В2 + 2В3 cos Ф + F4 = 0.
В уравнении (23) функция и(гД) принята равной su17 что позволит в дальнейшем сохранить в уравнениях (22) члены порядка г. Если в уравнении (23) принять у = 0 и найти согласно (13) функцию
(24)(24)и10, удовлетворяющую полученному уравнению, то решение уравнения (23) примет вид
(24)
(24)
М1=(1 + Х^) "io(M) « u10 -хйю,
если х|й10| < 1. Функция и10 не должна зависить от г. Тогда при определении производной й10 следует использовать уравнения (22), в которых необходимо положить s = 0, т. е.
/ = О,/ = О,к ЭК .к
/ = О,
/ = О,
(25)(25)Л = "мдф’ 0 =+
(25)
(25)
iШз ЭК
ф = ш2 - тЬ
1 + м дЛ
После подстановки функции (24) в функционалы, содержащиеся в правых частях уравнений (22), получим стандартную систему уравнений асимптотического метода с малым параметром ц, когда параметр s зафиксирован. Переменные J, Л являются медленными, а переменные /3, Ф — быстрыми.
Уравнения (22), (23) при ц = О описывают эволюцию движения, ранее рассмотренную в п.2, но только в классе круговых орбит. Как отмечалось выше, эта эволюция происходит со скоростью порядка х£ и имеет в качестве аттрактора стационарное вращение — гравитационно-стабилизированное вращение деформированного шара по круговой орбите. Примем это движение за невозмущенное. Тогда переменная /3 становится медленной и остается одна быстрая переменная Ф, по которой будут представлены соответствующие ряды Фурье.
Согласно асимптотическому методу решение задачи будем искать в виде [1]
(7, Л,/3) — Jk + /^^^(J, ^) + ..., j^ — цА-ук^^-V ... к — 1,2,3,
Ф = ^ + ^T4i(J,^) + • • •, ф = ш + цВ1(3) + ...,
J = (Т1, ^27 ^3)7 ^ = ^2(^2) — ^37 ^3 = Qj/b3^^.
(26)
Прежде чем подставить соотношения (26) в уравнения движения (22) докажем ряд лемм, облегчающих вычисления интегралов по шару в правых частях уравнений (22).
Лемма 2. Если u = — c(dy г2 +(/2) Г7 то
J rudx = 3cDi, ^(Р, r)(Q, nW = cDi(P, Q),
VV
Di = ^оЧ1 - 20»
где с^ Р и Q не зависят от г.
Лемма 3. Если u = c[«i(Br, г) + (а2 г2 -\-аз)В г], где В — симметричная матрица с нулевым следом^ то
J rudx = O, ^Р, r)(Q’ и)^х = сВ2(ВР, Q),
VV
_ 4тгго(1 + v^v + 13)2 “105(5i/ + 7)’
где с, В, Р и Q не зависят от г.
Доказательство лемм 2 и 3 проводится путем непосредственных вычислений интегралов по шару.
Л е м м а 4. Для функций u(r), представленных в леммах 2 и 3,
^[г х u] е3 dx = J(жi^2 — x2ui)dx = 0, и = (ui, и2, иД VV
Лемма 4 очевидна для функции и из леммы 2 в силу сферической симметрии, а для функции и из леммы 3 получим
У(п2Ж1 - U1X2)^ = СI[ У^ Ь^х^Хд(х2Х1 - Xix2)ai +
VV гд = ^
(
3\ 3
а2 У^ Х^ + а^ I УУ^жуХ! - bijXjX2)\dx = 0, В^ = (6^).
г=1/ г=1
Используя леммы 2, 3, 4 и решение уравнения (23), представленное согласно (13) в виде
Uj = ( 1 -х4 ) {|/)WiMBir,r)r Да2г2+а3)В1Г-
X dij 3(27)
- *2^ г2 +d2) г] + ai (В3 г, г) г +(а2 г2 +а3)В3 г},
/ = 2exD2/ = 2exD2вычислим интегралы по шару в правых частях уравнений (22) и получим уравнения
/ = 2exD2
/ = 2exD2
^2 УФ ^3 ^н ^ + ^4 sin ^ cos ^^ +
+ F3 sin Ф —— - —— + F4 sin Ф —— cos Ф +
\ УФ ЭФ I\ 8ФдФ
- 3F3F4 cos Ф - 2Fj - FM Ф* + {F^ + 4F2F3 cos Ф +
+ 2^2^4 с°8 2Ф + 4Р3Р4 cos Ф + 4^ + F^ } /3* +
-^2 Sin Ф —— +cos Ф + F3 sin Ф — —- +
fdF2 dF3 \) •
+ F4 sin Ф -—- cos Ф + r
;9F0 а Г 941 991 9
Л —+ д-^2-Рз cos Ф + -F2 + F3 + -F4 +
/11\41 99 1
+ F^F4 ( — + — COS 2Ф ) + ~-^з-^4 cos Ф + — F^ COS Ф z —
- exD2 | -2F2 ^ (F3 sin Ф + F4 sin Ф cos Ф) + |H
i аФз аФ аФ
2 (9F2y9F29F4 fl
9+ «I яаС о +СО8 2Ф
1 21 23 \ дФ / дФ дФ \3
1 2
1 2
dF^.2 ГафзсозФ)
ЭФЭФ—-^^F4 sin 2Ф + -ЭФ3
ЭФ
ЭФ
49F39F2, n/aF3V 5 a(F3 cos Ф) aF4 JJF, . ,
о^^С08ф + 2^”2^Г'8шф-
дФ дФ\ дФ /3 дФ дФ дФ
2 aF29aF4 dF3
+ 9 Fa "м sin ф - ^a - 2^3^4 COS Ф + —- —- cos Ф + з аФэф аФ
+ уф F3 sinФ + — f y$ j >Ф* + 2< F2 + 3F2F3 cos Ф +
dF>dF3
+ —— (F3 sin Ф + F4 sin Ф cos Ф) + F2F4 cos 2Ф + —— sin Ф(F4 — F2) + дФдФ
dF) • f 2 OF OF
+ 2F32 + F3F4 cos Ф - —^ sin Ф(F2 cos Ф + F3) >/3* + < - —| —- + аФj [ з аФ ал
9F29F3 9F2dF4fl 1. ^(9F3
+ 9 77F"ял” cosф + 7F""ял” ( с + о cos2Ф ) “ 2F2 smф ( "ял” +
з эф алаФ ал \ 6 2/\ ал
9F4 ж+ —Г" COS Фал9F4 ж+ —Г" COS Фал2 a(F3 COS Ф) a(F3 COS Ф) 4 dF3 9F22 a(F3 COS Ф) a(F3 COS Ф) 4 dF3 9F2з алз алЭФЭФз эф алз эф алСОбФ +СОбФ +
9F4 ж
+ —Г" COS Фал
9F4 ж
+ —Г" COS Фал
2 a(F3 COS Ф) a(F3 COS Ф) 4 dF3 9F2
2 a(F3 COS Ф) a(F3 COS Ф) 4 dF3 9F2
з ал
з ал
ЭФ
ЭФ
з эф ал
з эф ал
СОбФ +
СОбФ +
9F39F3 4aF4д(F3cosФ) 2 dF2 .1 dF4 a(F3 cos Ф)
эф алз ал эфз 3 ал з эф ал
9F49F39F49F2 fl 1„л\2aF4dF4);"
+ эф ал cos + эф ал (6+ 2СО82Ф) + з эф эх }л* ’
•/т8F0 ш3 Л Л д(Н - Е^
Ф = ~1”;Н ^△i,^△i =
U = EUiU = EUiЛ3 УЛ 1 + ц8 А
U = EUi
U = EUi
3 — ^дз + “ 4 “ е^2’ £^2 — ш4 Д^гп^Л (28)
В уравнениях (28) производные Ф*, Л*, /3* определяются из уравнений (25). Подставив соотношения (26) в уравнения (28) и приравняв члены при нулевой степени рц получим уравнения невозмущенного движения, описывающие стационарное движение гравитационно- стабилизированного деформированного шара на круговой орбите
(29)(29)J1 — 0,^2—0,— ^2(^2) — ^3 + ^△10?
(29)
(29)
Л = ^2(^2) - ^1(Л) + ДАю - А2о).
Величины Аю и А20 являются нулевыми приближениями по ц в Ai, А2 и равны с точностью до членов порядка s величинам
Аю = бр2^^ ^(^i З- 661)2)^2?
А20 — р2^1Л 1А20 — р2^1Л 12'
А20 — р2^1Л 1
А20 — р2^1Л 1
—Wi(2I?i + О 2} + W2D2
Примем в качестве начальных условий движения Ji (0) и J2 (0) такими, что 7з(0) = 0 в силу уравнений (29). Величина ^(0) может быть выбрана произвольно, a Jy (0) тогда будет определяться из условия J3 = 0 в уравнениях (29). Это движение соответствует режиму гравитационной стабилизации деформированного шара на круговой орбите. Далее, рассматривая члены, содержащие первую степень ц в уравнениях для J и Л, получим равенства
Лц += -геЮгДЗЛ/ззт^ + /48Ш^СО8^)ш -
ф( оф
2 / 5/18(л)2Эшу
\OJ20J28Jy
pu^hx + -50/3 cos Ф + -gogi +pu^hx + -50/3 cos Ф + -gogi +Д М2 _ 8h8 Г
pu^hx + -50/3 cos Ф + -gogi +
pu^hx + -50/3 cos Ф + -gogi +
Лю 3 — ш —+ sD^ —
+ 5oA(| + |сов2Ф+ 5oA(| + |сов2Фф офоф
+ 5oA(| + |сов2Ф
+ 5oA(| + |сов2Ф
+ *2exD2 (50/7 (/3 sin V’ + /4 sin ф cos ф)ш -l 9ф
Рис. 2Рис. 2
Рис. 2
Рис. 2
Ац и А12 найдем из (30) выражения
^11 = — ^12 = ^Х^з^о \7
(31)
2cj2[(p3 — 2)qcos^ + р — qZp3]^.
Средние значения в (31) выражаются через полные эллиптические интегралы и их производные. Уравнения, описывающие медленную эволюцию переменных J и Л в первом приближении по /д имеют вид
Л = -Л = Збгх/^-Ог^рД - gcos^))*-(32)
Преобразуем уравнение (32), заметив, что
/^V/31.2g.3/2 /7
9=—, у = 75т, q =7-Л,ш-2 = д'\Т5-
\шз) J2 mVfbJ2V
В результате получим
9 = Exw(зз)
«(g) = (7(1 - дсозф^ф.
Функция a(q) найдена численным методом и представлена на рис. 2, а для q < 1 и на рис. 2, б для q > 1. При q = 1 полные
эллиптические интегралы при подсчете среднего расходятся. Так как q = —bR~2R, то при R > b производная R < 0, а при R < b R > 0. Это означает, что круговые орбиты деформированного вязкоупругого шара приближаются к орбите тела массы ц. В процессе этого приближения угловая скорость и 2 стремится к угловой скорости с^з и переменная Ф перестает быть быстрой, что не позволяет использовать принятую выше схему асимптотического метода. На рис. 3 представлены графики функции q = q(t) полученные в результате интегрирования уравнения (33) в предположении, что коэффициент ехцп = 1. Если начальные условия движения g(0) > 1 (внутренние планеты), то q убывает и стремится к единице (рис. 3, а^ а если начальное условие таково, что g(0) < 1 (внешние планеты), то q возрастает и также стремится к единице. Следует отметить, что при приближении к единице скорость эволюции увеличивается и стремится к бесконечности, так как соответствующий эллиптический интеграл в правой части уравнения (33) становится расходящимся при q = 1.
Если Ш2 и шз близки друг к другу, то это означает, что деформированный шар в процессе движения по орбите периодически сближается с телом массы ц, и возникает проблема их взаимного захвата с образованием двойной планетной системы на подобии системы Земля-Луна. В Солнечной системе примером подобной ситуации может служить система Солнце и Юпитер, а деформируемые планеты — многочисленные спутники Юпитера, прежившие в процессе эволюции своих орбитальных движений вокруг Солнца захват Юпитером. Эти же соображения могут быть отнесены к системе Солнце-Сатурн с многочисленными спутниками у последнего.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ по проекту 99-01-00253.
Список литературы
ВилькеВ.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы. Ч. 1, 2. — Изд-во Механ.-матем.фак-та МГУ, 1997.
ВилькеВ.Г. Движение вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил//ПММ. — 1980. — Т. 44. — С. 395-402.
Л я в А. Математическая теория упругости. — М.-Л.: ОНТИ, 1935. — 676 с.
Субботин М.Ф. Курс небесной механики. Т. 2. — М.-Л.: ОНТИ, 1937. - 404 с.
26 Под ред. В.М. Матросова и др.
устойчивость и стабилизация
ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ
ОРБИТАЛЬНОЙ ТРОСОВОЙ СИСТЕМЫ
М.К. Набиуллин
Исследованию динамики сложных космических систем относительно центра масс в ньютоновском центральном поле сил под воздействием моментов различной физической природы посвящено большое количество работ как в нашей стране, так и за рубежом (см. например, библиографии, приведенные в монографиях В.В. Белецкого, Н.Н. Моисеева и В.В. Румянцева, В.В. Румянцева, В.Г. Демина, в обзорах В.М. Морозова, R.E. Roberson’a, В.А. Сарычева, М.З. Литвина-Седого, S.K. Shrivastava, B.J. Modi).
В последнее время в связи с потребностями развития космической техники и космических полетов, тенденцией увеличения размеров орбитальных систем и уменьшения их жесткости и рядом других факторов, в частности, с повышенными требованиями к точности ориентации составных космических аппаратов относительно инерциальной или орбитальной системы координат, стали весьма актуальными проблемы нелинейной динамики, устойчивости и стабилизации составных космических систем с учетом упругости и деформируемости их отдельных конструкций. Такими конструкциями являются, например, выдвижные штанги, упругие стержни передающих антенн, упругие пластины панелей солнечных батарей, антенны, упругие кольца радиоантенн, гибкие тросы, упругие топливные баки с жидким наполнителем и т. и. Обширная библиография приведена в работах А.П. Алпатова, П.А. Белоножко и др., В.В. Горбунцова и др., В.В. Белецкого и Е.М. Левина, Г.Л. Дегтярева и Т.К. Сиразетдинова, Л.В. Докучаева, Д.М. Климова и А.П. Маркеева, Л.К. Лилова, В.Н. Рубанов- ского, Т.К. Сиразетдинова, Ф.Л. Черноусько, Н.Н. Болотника и др., Misra А.К., ModiV.J. Как отмечено в работе R.E. Roberson’a, деформируемость конструкций, нежесткость космических аппаратов оказывают влияние на проектирование систем управления ими, и эти факторы, весьма значительные сегодня, могут стать еще более важными в будущем, поскольку конструкция космических аппаратов все более усложняется.
Первые исследования стационарных движений сложных механических систем, в том числе, упругих спутников, и их устойчивости начаты в работах В.В. Румянцева, его учеников и последователей. Решение задач устойчивости и стабилизации стационарных движений упругих
©М.К. Набиуллин, 2001
спутников может быть эффективно осуществлено методом функций Ляпунова или на основе теоремы Рауса-Ляпунова, распространенных на системы с распределенными параметрами (А.М. Ляпунов, Н.Г. Че- таев, П.А. Кузьмин, Н.Н. Красовский, В.В. Румянцев, В.М. Матросов, В.И. Зубов, А.А. Мовчан, Т.К. Сиразетдинов). При решении этих задач возникают математические трудности, связанные с построением функционалов Ляпунова и проверкой их знакоопределенности. Если уравнения движения допускают первые интегралы, то построение функционала Ляпунова осуществляется по методу Н.Г. Четаева в виде связки первых интегралов. Проверка знакоопределенности функционалов, в том числе при ограничениях, содержащих конечномерные переменные и распределенные параметры, по заданной метрике представляет трудную и не решенную задачу.
В данной работе рассматривается задача стабилизации положения равновесия орбитальной тросовой системы (ОТС) при помощи одностепенных гироскопических стабилизаторов — статически и динамически уравновешенных симметричных маховиков. ОТС состоит из тела-носителя с маховиками и присоединенного к нему на длинном весомом тросе зонда-спутника. Зонд-спутник считается материальной точкой, трос — гибкой нитью, не испытывающей сопротивления на изгиб и кручение. Предполагается, что центр масс тела-носителя с маховиками (первый случай) и орбитальной тросовой системы (второй случай) совершает движение по известной кеплеровской круговой орбите в ньютоновском центральном поле сил. Найдены частные решения нелинейных дифференциальных уравнений с обыкновенными и частными производными, соответствующие положениям равновесия ОТС в орбитальной системе координат. Главные центральные оси ОТС коллинеарны осям орбитальной системы координат. Трос с зондом расположен вдоль радиуса орбиты и направлен в сторону притягивающего центра (первый и второй случаи). Трос с зондом расположен вдоль радиуса орбиты и направлен в сторону противоположную от притягивающего центра (первый и второй случаи).
Методом функционалов Ляпунова получены достаточные условия устойчивости указанных положений равновесия и синтезировано активное управление, приложенное к телу-носителю, обеспечивающее стабилизацию положения равновесия ОТС в первом случае.
Вопросы нелинейной динамики, устойчивости, колебаний и управления различных типов орбитальных тросовых систем на круговой и эллиптической орбитах под воздействием аэродинамических, магнитных сил, а также сил тяги, приложенных к телу-носителю, изучались многими авторами [1-8]. В работах [9-11] исследовалась устойчивость положения равновесия ОТС. Результаты сопоставлены с известными.
Уравнения движения
Введем следующие системы осей координат (рис. 1, рис. 2).
OaXaYaZa — неподвижная система осей координат с началом в центре притяжения Оа.
Охух^х^ — орбитальная система осей координат с началом в центре масс О спутника с маховиками (спутник-гиростата); ось 0x2 —
Рис. 1Рис. 1направлена вдоль радиуса орои- ты; ось Oxi — по нормали к плоскости орбиты; ось Ох^ — ортогональна осям (9ж1 и Ох-2 и направлена в сторону движения центра масс О.
Рис. 1
Рис. 1
Оу1У2Уз ~ система осей координат, неизменно связанная с корпусом несущего тела. Оси Oyi^ Оу?, Оу % являются главными центральными осями эллипсоида инерции, построенного для центра масс системы абсолютно твердых тел.
ОкХкУк^к — системы осей координат, жестко связанные с маховиками, ОСИ Хк^Ук^к (& = = 1,2,..., N) которых являются
главными центральными осями эллипсоидов инерции, построенных для их неподвижных центров Ок- Единичные векторы осей системы Ояда^з обозначим через е®, а осей ОУ1У2У3 — es(s = 1,2,3). Их
Уа
Рис. 2взаимное положение определим направляющими косинусами а^8 == а^з^г = 1,2,3), зависящими известным образом от самолетныхуглов Крылова-Эйлера ф^у [12]:
Qu = cos 9 cos у?,«12 = — cos 9 sin у?,«13 = sin 9,
«21 = cos ф sin р + sin ф sin 6 cos р,
«22 = со^ф cos р — sin^ sin^sin^,(1.1)
«23 = — sin Ф COS 6^ «33 = cos ф cos 6^
«31 = sin ф sin p — cos ф sin 6 cos p^
«32 = sin ф cos p + cos ф sin 6 sin p^
Углы ф^р называются углами рысканья, тангажа, крена.
Ориентацию оси динамической симметрии O^z^ к-го маховика в системе координат Oyvy^ys зададим направляющими косинусами /^13 7/^23 7/^за- Угол собственного вращения маховика вокруг оси O^z^ обозначим через у^ (к = 1, 2,..., N).
Обозначим через АфФф а^ ^з) точку крепления к корпусу тяжелого весомого троса плотности р и длины I. Положение произвольной точки Р троса и зонда В массы тр в системе координат Оу-^Уз определим векторами
з
Г = O^ = ^Tjeb г, =a^ + uj(s,t),(1.2)
1=1
3
Oi = об = ^Tjpej, rj3 = а°+ uj3(l,t)(1.3)
1=1
U = 1,2,3).
Здесь s — дуговая координата точки Р, отсчитываемая от точки О.
Кинетическая энергия рассматриваемой механической системы при движении центра масс спутника-гиростата О по круговой орбите радиуса Но с угловой скоростью pi = шо = (ц/Pg)1^2 равна выражению
ф•1
Та = Т + ш0Д0езp(Qxr+r)ds+woRoe3^Qxr+r) + -WoRo (1.4)
Jo2
Кинетическая энергия Т вычисляется по формуле
^^У^Р^У p(Qxr+r)2ds +i=1°(1.5)
1 _.1 N3
+ 2т/з(^ х Tp^rpf + "У Cfe7^ + У2№-
к=1г=1
Здесь Ai, А2, A3 — главные центральные моменты инерции спутника- гиростата для центра О; Q — вектор абсолютной угловой скорости корпуса ОТС, проекции которого на оси у^у^уз равны Qi,Q2,^3- Вектор Q можно записать в следующем виде:
зз
Q = cj + eiCJ0, =е® = ^(1.6)
г = 1г = 1
где w — вектор угловой скорости корпуса относительно орбитальной системы координат Ояда^з. Величины
N
к^^СоХз (г = 1,2,3)(1.7)
к=1
суть проекции суммы относительных кинетических моментов маховиков на оси уг.у^Уз-
Приближенное выражение силовой функции гравитационных сил записывается в виде
иа =- д У2 ( / p^ds + mpTip \d2i + U, (1.8)
Ko \ Jo/
133 Л
U = 2^0 ^^ Ад 2^0 ^^ А^О^О^(1*9)
где p — гравитационная постоянная; g = p/R^ — ускорение силы тяжести на расстоянии Ro = ОаО от притягивающего центра. Компоненты тензора инерции ОТС, построенного для точки О. вычисляются по формулам
Ai = A+/ р( ^2^ - rf\ds + тД ^Т^д - г^ ),(1.10)
Aij = - pTiTjds - mpTipTjp,(z, j = 1,2,3; г ^ j),(1.11)
JO
где Аг (г = 1,2,3) определяются равенствами
N
А = Л° + 52 VAk + (Ск - АкЗЗ^.(1.12)
к=1
Через А^ обозначены компоненты тензора инерции, построенного для центра масс спутника-гиростата с присоединенными к корпусу
массами, равными массам маховиков и сосредоточенными в их центрах масс Ок (к = 1,2, ...,1V); С к и Ак — осевой и экваторальный моменты инерции к-го маховика.
Составим кинетический потенциал:
La — Ta-VUa — Т -\-U -VLap +^0^063
-дУ\[ prids + mpTipa^A + +шоМКо. (1.13) ^i v°/ К°
Здесь Lap определяется выражением
La.p — ^0^0е3La.p — ^0^0е3х г + T^ds + тр(ш х гр + гр)х г + T^ds + тр(ш х гр + гр)(1-14)(1-14)
La.p — ^0^0е3
La.p — ^0^0е3
х г + T^ds + тр(ш х гр + гр)
х г + T^ds + тр(ш х гр + гр)
(1-14)
(1-14)
(1.16)(1.16)L = TyU,L = TyU,2d —* 0 ^0^0е32d —* 0 ^0^0е3(1-17)(1-17)- 9 57 ( / Р7^8 + mf3Trtpa-2i I = 0,г=1 ^О/- 9 57 ( / Р7^8 + mf3Trtpa-2i I = 0,г=1 ^О/
(1.16)
(1.16)
L = TyU,
L = TyU,
2d —* 0 ^0^0е3
2d —* 0 ^0^0е3
(1-17)
(1-17)
- 9 57 ( / Р7^8 + mf3Trtpa-2i I = 0,г=1 ^О/
- 9 57 ( / Р7^8 + mf3Trtpa-2i I = 0,г=1 ^О/
Можно показать, что разность слагаемых, входящих в (1.13) и содержащих си§Ло и #7 тождественно равна нулю. С точностью до постоянных слагаемых цМ) Rq + oj^MRq из (1.13) будем иметь
(1-15)(1-15)La — L + Lap^
(1-15)
(1-15)
где кинетическая энергия Т и силовая функция вычисляются по формулам (1.5) и (1.9).
Вывод дифференциальных уравнений движения ОТС основан на обобщенном принципе Гамильтона-Остроградского с учетом нерастя- жимости троса
W = ^ + т'Х + г'| - 1 = 0(' = ^) •(1.18)
Эти уравнения записываются в виде
9 (8L8La0\ P8L 8Lap\
(1-19)(1-19)8t (% + 8qt )(а® + 8Qi )”Q
(1-19)
(1-19)
(г = l,2,3,...,fc + 3; к = 1,2,..., N), Qi = ^,6,^,^.
d (dLdLaA( dLdLa0\д AArA _
at \OTiori /yuTiori /ds \ os /
d ( dL , dLaA/ dL , dL^X/ odrA
dt \9ri3 dfi0 )\drip dr^ )\ ds / s=z гр’ ’
где T°(s,t) — натяжение троса.
Утверждение. Справедливы тождества
d (dLa0\ dLa0d (dLa0\ dLa0dt \ dtpdt \ dtp8qi8qi= 0,= 0,(Ql = ^7^2 = 9, Q3 = ^),(Ql = ^7^2 = 9, Q3 = ^),
d (dLa0\ dLa0
d (dLa0\ dLa0
dt \ dtp
dt \ dtp
8qi
8qi
= 0,
= 0,
(Ql = ^7^2 = 9, Q3 = ^),
(Ql = ^7^2 = 9, Q3 = ^),
8 / 9La0 \ dLa0 dt \ dvi ) Эту8 / 9La0 \ dLa0 dt \ dvi ) Эту= 0, (г = 1,2,3),= 0, (г = 1,2,3),8 /dLa0 dt \ dri08 /dLa0 dt \ dri09La0 _9ri0 -9La0 _9ri0 -
8 / 9La0 \ dLa0 dt \ dvi ) Эту
8 / 9La0 \ dLa0 dt \ dvi ) Эту
= 0, (г = 1,2,3),
= 0, (г = 1,2,3),
8 /dLa0 dt \ dri0
8 /dLa0 dt \ dri0
9La0 _
9ri0 -
9La0 _
9ri0 -
Данное утверждение доказывается путем надлежащих выкладок и с использованием кинематических соотношений Пуассона
ё° + (П-wo) хе“ = 0, е^ = ^ацв5 (г = 1,2,3),(1.22)
1=1
Шо — ^0^1 — ^о(^11ё1 + 0^1262 + ^1363).
Учитывая это утверждение, из (1.19)-(1.21) получим уравнения Лагранжа второго рода с кинетическим потенциалом (1.16)
8 / 8L \ 8Ldt \%/ dQi
(г = 1, 2, 3,... Д + 3; k = 1, 2,..., N), д = \Д9^ 7fc},(1.23)
(1-24)(1-24)(1-25)(1-25)d / dL\ dL d
(1-24)
(1-24)
(1-25)
(1-25)
dt \ dr г / dr^ dsd / dL \ dL /dt \dri0 у dri0 \
где Qi (г = 1, 2, 3,... Д + 3; к = 1,2,..., TV) — обобщенные силы Fi^Fip (г = 1,2,3) — проекции равнодействующей всех внешних сил негравитационной природы.
Уравнения (1.23), соответствующие обобщенным координатам qx = = ^?^2 = ^7^з = ^7 как показано в работах [9-11], могут быть преобразованы и записаны в квазискоростях Qi, Q27 ^з-
Вращательное движение ОТС относительно центра масс О спутника-гиростата в квазискоростях Qi,Q2,^3 описывается уравнениями
d дТ дТ дТ dU dU «22 7V Му. (12 3) (1.
dt д\ Дд\ 1*2до.22до.23
Здесь
дТ•
до” = 52 ^З^г + kj +
dUда2]dUда2]3
dUда2]
dUда2]
= -^^АчаУ (j = 1,2,3), г = 1
г/1) = / р^тз - farads + mp^grap - тзрТзрУ Jo
Остальные два уравнения получаются из (1.26) циклической перестановкой индексов 1,2,3 у величин Qi, Q27 ^з5 П, ^27 ^з? Гъ ^27 Гз; ^1/3 7 ^2/37 ^3/37 г1/37 г2/37 ^3/з; и вторых индексов — у величин а217 а225 а23- Циклическую перестановку будем обозначать записью (123). Развернутая запись вращательного движения относительно центра масс спутника с маховиками и деформируемыми элементами приведены в [9]. Систему замыкают соотношения
Q^ = Щ + ^о«ь, ^1 = Ф cos 6 cos tp + 6 sin рц (1-27)
^2 = ~Ф cos 6 sin (р + 6 cos ^, шз = ф sin 6 + ф^
либо кинематические соотношения Пуассона (1.22)
Уравнения движения маховиков относительно корпуса имеют вид
d 3
«ьД^ + Е^з)^,(1.28)
8 = 1
где Qk (к = 1,..., N) — полный регулирующий момент на валу ротора, отчитываемый в том же направлении, что и его угловая скорость ф^. Момент Q^ складывается из активного (электромагнитного) момента двигателя стабилизатора Q3^ и полного момента сопротивлений на оси ротора Qc^ [13]:
Qk = Qak 4" Qck фк = 1, . . . , TV),
Движение троса и зонда описывается следующими дифференциальными уравнениями:
р[й1 + 2(Q2^3 - ^3^2) + П2Г3 - Ц3Г2 - Ту (Q2 + ^з) + T2^L^2 + r3QiQ2] =
= ^(T°7r) + A+F1’(123) ^0<8<1А^^ (1.29)
^/з[^1/3 + 2(Q2n3/3 - ^3^2/3) + ^2^3/3^3^2/3 ™ ^1/з(^2 + ^з) + ^2/3^1 ^2 +
+ /1/3 + Гщ,8 = 1+ /1/3 + Гщ,8 = 1(123) (1.30)(123) (1.30)
+ /1/3 + Гщ,
8 = 1
+ /1/3 + Гщ,
8 = 1
(123) (1.30)
(123) (1.30)
где fj, fjp (j = 1, 2, 3) — проекции гравитационных сил, действующих на трос и зонд, на оси yj (j = 1, 2, 3):
з
fj = -pw^Tj + 3wopa2> 52 ria2i'
3
fjp = -mpWoTjp + 3wompa2j 52 т^а^,
U = 1,2,3).
Внешними силами F^F^ и моментами М^ (г = 1,2,3) могут быть силы и моменты активного управления; диссипативные, аэродинамические, электромагнитные силы, силы светового давления и их моменты [2, 3].
Уравнения (1.29), (1.30) нужно рассматривать совместно с условием нерастяжимости троса (1.18). Перемещения Uj (j = 1, 2, 3) должны удовлетворять геометрическим граничным условиям
(1.31)(1.31)ui(0,t) = n2(0,t) = и3(0,^) = 0.
(1.31)
(1.31)
Уравнение мощности. Обобщенный интегралЯкоби
Уравнения (1.19)-(1.21) совместно с условиями (1.18) и (1.31) допускают следующее соотношение [9, 11]
=+ Я = ТГ + П;(2.1)
г = 1
Кинетическая энергия ОТС в относительном движении вычисляется по формуле
л1/1
Тг = 2 У А>^ +2 Р^А8 + 2тр^’
г=1
(2.3)(2.3)и = (ш X Т + г),V/3 = (^ X гр + ТpY
(2.3)
(2.3)
Потенциальная энергия гравитационных и центробежных сил и относительных кинетических моментов маховиков имеет вид
1 31 3П = — 2^° 52 ^U^l^lj — 2^0 52 ^гг +1 31 3П = — 2^° 52 ^U^l^lj — 2^0 52 ^гг +33 Л2^0 52 ^j^i^j — ^033 Л2^0 52 ^j^i^j — ^035 у ^2^12•2=135 у ^2^12•2=1(2.4)(2.4)
1 31 3
П = — 2^° 52 ^U^l^lj — 2^0 52 ^гг +
1 31 3
П = — 2^° 52 ^U^l^lj — 2^0 52 ^гг +
33 Л
2^0 52 ^j^i^j — ^0
33 Л
2^0 52 ^j^i^j — ^0
3
5 у ^2^12•
2=1
3
5 у ^2^12•
2=1
(2.4)
(2.4)
Суммарная мощность моментов Mi и сил F^Fip (г = 1,2,3) определяется соотношением
3 л ✓с\
7Vi — ^ ^ ( JMiUJi Т I pFiUids Т тпрЕ^рй^р ).(2.5)
2=1
Предположим, что ki = const (г = 1,2,3), TVi = 0. Тогда из (2.1) следует обобщенный интеграл типа Якоби
Н = Тг + П = const,(2.6)
где ТГ,П имеют вид (2.2), (2.3) и (2.4).
з
Продифференцируем по t слагаемое — cjq 52 ^2^12 > входящее в (2.1)
2=1
и (2.4), и перенесем его производную в правую часть равенства (2.1). Затем вместо ац^ ki подставим их значения, определяемые из уравнений (1.22) и (1.28), и проведем несложные вычисления. Будем иметь
^ ^^(МО-тДМ + М, Н1=Т1г+П1,(2.7)
= 1
х3 л1 / Г\
Т1Г = 2 52^^ + 2 ( P^ds + m^)^(2-8)
= 1
Пх = — 2^0 52 ^ij^H^ij — U(2.9)
к=1/
Здесь г, пр определяются формулой (2.3); силовая функция U — выражением (1.9); моменты инерции А^ (г = 1,2,3) — соотношением
—Mf (г = 1,2,3) — моменты активного управления, приложенные к корпусу и создаваемые маховиками. Они имеют вид
-M^-^Qk(3^\(2.10)
&=1
Величины т^ (г = 1,2,3) определяются равенствами
m° = Wo(fc2«i3 - ^з«1г), m° = w0(fc3a!ii - fci«i3),
m° = w0(^i«i2 - k^ctu)-m° = w0(^i«i2 - k^ctu)-(2.11)(2.11)
m° = w0(^i«i2 - k^ctu)-
m° = w0(^i«i2 - k^ctu)-
(2.11)
(2.11)
Прямолинейные формы равновесия троса
Предположим, что М^ = Е^ = Е^р = 0, ki = const (г = 1,2,3). Тогда дифференциальные уравнения (1.26), (1.29), (1.30) при краевых условиях (1.31) будут допускать три класса решений, когда главные центральные оси уз^у^ Уз спутника-гиростата коллинеарны осям Ж1,Ж2,жз орбитальной системы координат. Существуют положения равновесия, когда 1) трос с зондом направлен вдоль радиуса орбиты, 2) трос с зондом направлен по касательной к орбите, 3) трос с зондом ортогонален плоскости орбиты.
Решение 1.
^0 = ^0 = ^0 = 0,а^1 = ^22 = ^33 =
ay = 0,(i,j = 1,2,3; г + ]\
г1 = гз = °,^2 = а2 + м2 = т(а +«);
Q0 = Q0 = 0, Q° = ш0;
fc2 = &з = 0.(3.1)
Натяжение троса определяется формулой
Т° = -ш^р^а0 + Z)2 - (а0 + s)2] + Зс^тДа0 + I) > 0.(3.2)
Величина k\ остается произвольной.
Трос с зондом расположен вдоль радиуса орбиты и направлен в сторону притягивающего центра (г® = — а—з) или в противоположную сторону (г2 = а + s).
Решение 2.
-фо = во = ^0 = о, 4 = «22 = «33 = 1,
аО = °, (м = 1> 2,3; г ^ з\
г? = rS = 0, Го = aS + По = ±(а° + s);
УД q!} = 0, у = w0;
fc2 = &з = 0.(3.4)
Проекция кинетического момента маховиков ку на нормаль к плоскости орбиты остается произвольной величиной. Натяжение троса равно нулю (Т° = 0).
Записанным решениям соответствуют четыре положения равновесия ОТС в орбитальной системе координат Оху^ х^х^ когда главные центральные оси у^ коллинеарны осям х^ (г = 1,2,3) соответственно.
Решение 3.
^0 = 00 = 1^0 = 0, «и = «22 = «33 =
а^О, кМ = 1,2,3; г + j),
r2 = г3 = 0, т^ = а° + и° = ±(а° + s);
У = У = 0,^ = w0;
fc2 = fc3 = 0.(3.5)
Кинетический момент Ад остается произвольной величиной.
Трос с зондом ортогонален плоскости орбиты, однако натяжение троса в области 0 ^ s ^ I
Т° = -|^gp[(a + s)2 - (а + Z)2] - ш^тр^а + I) < 0(3.6)
в этом случае получается отрицательным. Данное положение равновесия заведомо неустойчиво.
Достаточные условия устойчивости
Для исследования устойчивости положения равновесия ОТС (2.12), (2.13) построим модифицированный функционал Ляпунова- Четаева
V = H-H0 + Ht°^2r'^ds + У [pW2ds, (4.1) г=1
где Но — значение интеграла (2.6) вдоль решения (2.15); Т° определяется формулой (2.13); W дается соотношением (1.18); А — неопределенный множитель Лагранжа, имеющий размерность квадрата угловой скорости.
Очевидно, что К(0) = 0. Непосредственным вычислением нетрудно убедиться, что первая вариация (4.1) равна нулю в силу решения (3.1), (3.2). Следовательно, установление знакоопределенности и
непрерывности функционала (4.1) сводится к исследованию его второй вариации 52V.
Сохраним прежние обозначения для отклонений переменных от их значений в невозмущенном движении (3.1), (3.2). Тогда будем иметь
У2 = 2ТГ+П2.(4.2)
Функционал П2 равен выражению
п2 = а^-ф2 + a^^2 + а°з^2 + бш^ ^ pr^ads + трт^т^ -
-8wq у? (J pr^ds + трГзрГ!^ + шо J P^i ^rlW+
+тэш^рр - Зг^) + 52 / T°r'^ds + \j pr'X(4.3)
(п = ui; rip = uip; i = 1,2,3).
Здесь коэффициенты a^a^ ^33 принимают значения
an = 3^0 (^33 — ^22)7a22 = ^0(^11 — ^33) + ^0^1,
азз = 4^o (^11 — ^22) 4" ^0^1?(4-4)
A11 = ^1 + AhA^2 = ^2,^-33 = ^-3 + Ah(4-5)
Io = pr^ ds + mpr^p = / p^a + s^ds + mp^a + l^.(4.6)
JoJo
Установление положительной определенности функционала П2 нетривиально, так как в функционал (4.3) входят отрицательные слагаемые — 3cJq ^ pT^ds^ —^ш^трт^р и он зависит от конечномерных переменных ^, 9^ р^ rip^ г^р^ г^р и распределенных параметров T^s^t^T1 i^ (г = 1,2,3). Наличие указанных членов требует дальнейшего преобразования этого функционала и решения ряда вариационных задач. В противном случае положительная определенность функционала (4.3) не может быть установлена.
Для того, чтобы в функционале (4.3) появились члены типа J pr^ds, mpipp (г = 1,2,3) с положительными знаками, рассмотрим вспомогательные вариационные задачи. Найти минимумы функционалов
f
Ф1 = Тп/У, /11 = Е / prfds,(4.7)
г=1
Гц = |wq 52 [ Р^р2 - r^yfds,
Фг = TW^1,/22 = 52 Wr?/3>
г=1
Т22 = Зш^э 52 / ТУ8 • т3,
Фз = Тзз/з^1, /33 = j pr^ds + mprlp,Т33 = / r'Als.
(4-8)(4-9)(4.Ю)(4.11)(4.12)(4-8)(4-9)(4.Ю)(4.11)(4.12)в пространстве С^^ состоящем из всех функций, заданных в области 0 ^ s ^ L имеющих непрерывные частные производные до второго рода включительно по переменной з и удовлетворяющих условиям (1.31).
(4-8)
(4-9)
(4.Ю)
(4.11)
(4.12)
(4-8)
(4-9)
(4.Ю)
(4.11)
(4.12)
Приравнивая нулю первые вариации функционалов Ф1, Ф2, Фз, получим дифференциальные уравнения и естественные граничные условия для отыскания собственных значений и собственных функций.
323220 dz20 dz+ ае2^ = 0,+ ае2^ = 0,г°г0'2/3г°г0'2/3а0 + s а°^Га0 + s а°^Г(4.13)(4.13)Из 5Ф1 = 0 будем иметь уравнение Лежандра первого рода и естественное граничное условие
3
2
3
2
2
0 dz
2
0 dz
+ ае2^ = 0,
+ ае2^ = 0,
г°
г0
'2/3
г°
г0
'2/3
а0 + s а°^Г
а0 + s а°^Г
(4.13)
(4.13)
(0 < г < 1)
dTj"dTj"(г = 1,2,3).(г = 1,2,3).(4-14)(4-14)
dTj"
dTj"
(г = 1,2,3).
(г = 1,2,3).
(4-14)
(4-14)
Здесь ж2 — квадрат частоты колебаний троса.
Из кинематических граничных условий ^(0) = 0 (г = 1,2,3) следует, что п° = 0; в результате получим г = s/l.
Краевая задача (4.13), (4.14) имеет решение
1
^п = 3cJ0(2n — 1), ип = Рп = 2Лп ^ — ^) ’(4.15)
ГН (JLZ
где Рп — стандартизированные многочлены Лежандра для нечетных степеней п = 1, 3, 5,... При п = 1 получаем
и из (4.7) будем иметь оценку
(4-16)(4-16)^п — Тц — ае^/п — Тц — Зш^ц 0.
(4-16)
(4-16)
Приравнивая нулю первую вариацию (4.9), получаем следующую краевую задачу:
3wQZ 7 2 = ^’as23wQZ 7 2 = ^’as2(4.17)(4.17)Зт^Шд! (— ^т^г^ = 0 (г = 1,2).
3wQZ 7 2 = ^’as2
3wQZ 7 2 = ^’as2
(4.17)
(4.17)
V / 8 = 1
Решение задачи (4.17) имеет вид
ri = ui = cis, ае = Зш^ (г = 1, 2),(4-18)
где щ — постоянная интегрирования.
На основе (4.18) получим оценку
^22 = ^22 — Зе/22 = ^22 — 3cJq/22 ^ 0.(4.19)
Из равенства 5Фз = 0 получаем краевую задачу вида
^4г + к^тз = 0, Зц/ (^)- ж^тзр = 0,(4.20)
du\^ do J I
Задача (4.20) допускает решение
^з = ^з = Asinks (0 < s < Z),(4-21)
где
к = $М1/2 и ае = ——,(4.22)
А — произвольная постоянная интегрирования.
Подставим решение (4.21) в естественное краевое условие. С учетом (4.22) будем иметь трансцендентное уравнение частот
ctgzv — П\Р = 0,ctgzv — П\Р = 0,трП1 = ,тттрП1 = ,ттv = kl.v = kl.(4.23)(4.23)
ctgzv — П\Р = 0,
ctgzv — П\Р = 0,
тр
П1 = ,
тт
тр
П1 = ,
тт
v = kl.
v = kl.
(4.23)
(4.23)
Корни уравнения (4.23) могут быть найдены, например, как пересечение пучка прямых с тригонометрической функцией, т. е.
У = nvA у = ctgz/.У = nvA у = ctgz/.(4.24)(4.24)
У = nvA у = ctgz/.
У = nvA у = ctgz/.
(4.24)
(4.24)
Построив графики функций (4.24), заметим, что уравнение (4.23) имеет счетное множество корней. Обозначим наименьший из них через щ, а соответствующее ему значение ае через aei.
Устойчивости и стабилизация полоаюений равновесия Тогда из (4.11), (4.12) будем иметь соотношение
Г / 22 ( Г 22 А
(4.25)(4.26)(4.27)(4.28)(4.25)(4.26)(4.27)(4.28)и з ds — гег I pu3ds + тризр I ^ О, где
(4.25)
(4.26)
(4.27)
(4.28)
(4.25)
(4.26)
(4.27)
(4.28)
ж2 = Х
Умножим (4.25) на Зи^т^к С учетом (4.26) получим
Зш^тр! J и ^ds — Зш^тр!^ ^^ u^ds + три^^ 0.
Обозначив эту разность через zj, перепишем (4.27) в виде
Далее, как и в работах [8-11], введем интегральные характеристики формулами
У23 = У psu3ds, У21 = У psuids.(4.29)
Эти характеристики можно трактовать как некоторые центробежные моменты инерции в орбитальной системе координат Ох 1^2X3, поскольку их структура и размерность соответствуют таковым. Однако назвать их моментами инерции в обычном смысле, принятом в механике, нельзя.
Применим к (4.29) неравенство Коши-Буняковского. Будем иметь
У21 - Ли У Puids < 0,У23 - loi У pulds < О, (4.30)
где
Д1 = -ТПт12
— момент инерции троса относительно осей Х1,хз в положении равновесия ОТО.
Умножим неравенства (4.30) на минус единицу и обозначим полученные разности новыми переменными г^, гj
/01 У pu^ds - у^ 0,zj = loi У pulds - У23 0.(4.31)
27 Под ред. В.М. Матросова и др.
Пусть
^2 = ( / pu^ds j .(4.32)
Тогда функционал (4.3) в переменных ф^б ^р^ ^г^У^^У^г^гр^ ^а (^ = = 1, 2, 3) запишется в виде квадратичной формы
П2 = а^ф2 + а^б2 + 4^2 + Sw^nJ^y^ - ^фу^з +
+ Зсс^тДпхг/2 — l)^2^ — вш^т^физр + Зсгуг^ +
+ 4^о^о11г1 + 4^о/О11^21 + 8^о^^/21 +(4.33)
3
+ 4w2m5(w2/3 + 21ри13) + г2 + ^4-
Согласно критерию Сильвестра, условия положительной определенности квадратичной формы имеют вид
«и ——Ли — 3cjqIq227 >(4.34)
а22 > О, (I33 — 4cjg > 0.(4.35)
Подставим в коэффициенты (4.4) п^, а^ ^зз значения моментов инерции (4.5), (4.6). Получим следующие неравенства:
(4.36)
ПЛ^дплгд - 1
Hi — Аз 4—- > 0; Ai — А^ + —— > 0.(4.37)
^о4cj0
Здесь
П, = ^.(4.38)
32тт
Для реальных параметров троса и зонда масса зонда тр значительно больше массы троса и величина ni >> 1. Разности ni?/2 — 1 и niz/| — 2 всегда будут положительными.
Неравенства (4.36), (4.37) являются достаточными условиями устойчивости положений равновесия (3.1), (3.2) ОТС.
При Iqi = 0, Iq2 = 0 неравенства (4.36), (4.37) переходят в критерии устойчивости положения равновесия спутника-гиростата и спутника без маховиков (Ад = к^ = кз = 0), полученные в работах В.В. Румянцева [17] и В.В. Белецкого [16] (Ад = к^ = кз = 0).
При выполнении неравенств (4.36), (4.37) функционал (4.1) определенно-положителен и непрерывен по метрикам
(4.39)(4.39)li — Pi + Р2, Ро — А + Т^з,
(4.39)
(4.39)
где
(4.40)
(4.41)
(4.42)
На основе теорем [14, 15, 17] делаем вывод, что неравенства (4.36), (4.37) являются достаточными условиями устойчивости положений равновесия (3.1), (3.2) космической орбитальной тросовой системы по метрикам р^ и р^.
Из полученных достаточных условий устойчивости (4.36), (4.37) следует вывод, что трос с зондом, расположенный вдоль радиуса орбиты, оказывает стабилизирующее влияние на положение равновесия (3.1), (3.2).
§ 5. Стабилизация положения равновесия ОТС
В дальнейшем будем предполагать, что в системе имеется три маховика, неизменные оси вращения которых расположены параллельно осям у^ (г = 1, 2, 3).
Дифференциальные уравнения движения (1.21)-(1.25) или (1.26)(1.30) при краевых условиях (1.31) допускают решения, соответствующие положениям равновесия тросовой системы в орбитальной системе координат.
Решение 1.
Q? = ш0 = (м/Яо)1/2, Q° = Q° = 0;(5.1)
-фо = во = ^0 = о, а“г = а°2 = «33 = 1,о^з = 0; (м = 1,2,3; г j),
Mi = мз = М1/3 = мз/з = о, г2 = т(а + 0;(5.2)
^2 — ^з — 0’71 — 7н = const;(5.3)
F^ = М® = Q^ = Mt = 0 (г = 1, 2, 3).
Натяжение троса вычисляется по формуле
^(s) = у772 - «2) + Мт31,(5.4)
(0 < s < Z).
Этому решению соответствуют прямолинейные формы троса с зондом. Зонд с тросом расположен вдоль радиуса орбиты и направлен в сторону притягивающего центра (u® = — s, п^ = —Ц г 2 = — s — Г) или В противоположную сторону (^2 = S, U^ = Ц г2 = s + Г).
Главные центральные оси инерции спутника с «замороженными» маховиками у^у^уз коллинеарны осям Ж1,Ж2,жз соответственно.
Равенства (5.3) означают, что маховики, оси которых параллельны осям у2. уз- в положении равновесия не вращаются, а маховик, ось которого ортогональна плоскости орбиты, вращается с постоян- нои «номинальной» угловой скоростью у^.
Кроме указанных двух решений уравнения движения допускают еще два решения, когда трос с зондом направлен по касательной к орбите в сторону движения центра масс О и противоположно вектору скорости центра масс ОТС. Оси у^ y2l уз совпадают с осями Xi, ^2, Х3.
Рассмотрим функционал
У1 = Т1Г + Щ + / тоу^+ЦГ W2ds + ny. (5.5) Jo .=1° Jo
Здесь W, 7ir, Hi, ТЬ определяются формулами (1.18), (2.8), (2.9), (3.2) соответственно. Величина П^, имеет вид
з
Пу = - у (aau + <№- + ai«3i),(5.6)
г=1
где Ci^gi^ai (г = 1,2,3) некоторые постоянные коэффициенты усиления.
Построим функционал как разность Vi и Г^0, т. е.
V = Ут - У]0.(5.7)
В равенстве (5.7) через У^ обозначено значение функционала (5.5) вдоль решения (5.1)-(5.4).
Нетрудно заметить, что У1 отличается от У наличием слагаемого П^ и отсутствием кинетических моментов маховиков кг (г = 1,2,3) в выражении Hi. Очевидно, что К(0) = 0 и 6V = 0 вдоль решения (5.1)-(5.4), т. е. установление положительной определенности и непрерывности функционала (5.7) сводится к исследованию его второй вариации
У2 = 2Т1т^П2.(5.8)
Повторяя рассуждения и выкладки, приведенные в п. 4, получим неравенства
(5-9)(5-9)(5.10)(5.11)(5.10)(5.11)4 А д-I U1V^ " 1 + г " 2 ,л.
(5-9)
(5-9)
(5.10)
(5.11)
(5.10)
(5.11)
^4-3 — ^.2 + ^01о1" ^02о7 + 7—2 >
U\VyП1^ — 1 3cJq
>11 — ^3 42 > О’^0
Ai - А2 + —> О,
где величины ТоьЛ^71! вычисляются по формулам (4.38), коэффициенты к^^ко^ к^ определяются равенствами
^=^2 + ^3, к6 = С1Уаг, к^ = д^ У ст. (5.12)
При выполнении этих неравенств (5.9)-(5.11) функционал (5.7) определенно-положителен и непрерывен по метрикам pi,po7 которые заданы равенствами (4.39)-(4.42).
Вычислим производную по времени от функционала (4.1) в силу уравнений возмущенного движения, и потребуем, чтобы V была равна функционалу
33 / Г\
W° = - ^2bfWipbipii^ds + mipbipdtp A,(5.13)
i=li=l'
где Ь^Ь^Ь^р (г = 1,2,3) — некоторые положительные постоянные. Будем иметь
Подставим вместо asi (з^г = 1,2,3) их значения, определяемые через кинематические соотношения Пуассона (1.12), и соберем коэффициенты при из^и^йг^й^йгр^й^р (г = 1,2,3). Тогда при условиях (4.3) и Mi = 0 получим выражения для моментов, приложенных к корпусу О ТС, и силы, приложенные к тросу с зондом, в виде
-М^ = —Qi = -Ь1Ш1 + y2a23 - «3032 - сцДгс^з - fean), (5.15)
—М^ = —Q2 = —Ь2ш2 — ciais + a3a3i — шо(/с3ац — /ciai3),
-М^ = — Q3 = -Ь3Ш3 + С1О12 - 92021 - Шо(^1012 - ^«11),(5.16)
Ft ~ b^pU^ Ftp = Ь^рНгЗ ^ ~ 1,2,3).
В линейном приближении, т. е. с точностью до членов выше второго порядка малости, эти моменты принимают более простой вид
М^ = -Ьрф - крф (к^ = д2 + а^У(5.17)
М2° = -Ь26 - коО + cjq^i^ (кд = щ + а^У
М3 = -Ь^ф - к^ср + ^o^i^(^ = ci + д2у
Предположим, что диссипативный функционал R удовлетворяет неравенствам
-b^Py < -2R < -b^Pv(5.18)
Тогда, очевидно, что W0 определенно-отрицателен и непрерывен по метрике Pi. Согласно теоремам [15, 9, 11] неравенства (5.9)-(5Л1), (5.18) являются достаточными условиями устойчивости положения равновесия (ЗЛ)-(З.З) по метрикам pi,po (4.39) и асимптотической устойчивости по метрике Pi (4.40).
В дальнейшем, при установлении знакоопределенности и непрерывности функционала Ляпунова и его производной по времени, будут использованы оценки билинейных форм. Пусть задана билиней
ная форма 52 52 bsvXsYv с вещественными ограниченными коэффи-
S = 1 Z7 = l
циентами. Тогда для нее имеет место следующая оценка
Е ыим < - Е 1М(Ж1 - Ж1)2 +
+ Е 1М(“Ж + 02Yp < ba2p! + Ь02р2,(5.19)
где b = max{&max |5SI/|, nmax|5szy|}, 2аР = 1; Pi = 52 Х^ P^ = k8^k8^8 = 1
к
= E Y2.
Z7 = l
Следуя работе [18], рассмотрим второй билинейный функционал
Wi =-ф——+9—^ + ^==+/pUj-^ds + щд—^ , (5.20)
Эф 99 Эр f^VJр Эгид р х ’
где Vi,Vip определяются формулами (2.3).
Применим к нему неравенства вида (5.7). Тогда получим
|Ж| < 01Р, (А = const > 0).(5.21)
Вычислим производную Wi в силу системы уравнений (1.10)-(1.15). Будем иметь
Ж = 2ТХг - П2 + П3 + Ф.(5.22)
Здесь Т1Г,П2 определяются формулами (2.2) и (4.7), (4.39); П3 — билинейный функционал скоростей ^, й^ й^ и координат ^, 9. р^ и^ ицр (^ = 1,2,3); Ф — функционал, содержащий указанные скорости и
координаты в степенях не ниже третьей, причем limУ 0.
Р1
На основании оценок, аналогичных (5.7), после несложных выкладок будем иметь
П7! q^Pi — «2Р3 Т Ф(5.23)
(«1 = const > 0, а2 = const > 0).
Из (4.4) и (5.8) составим функционал Ляпунова-Четаева
^ = V + £WT (0 < s = const << 1).(5.24)
Нетрудно показать, что выбором достаточно малого s > 0 функционал (5.24) может быть сделан определенно-положительным и непрерывным по метрикам ру и ро, т- е.
а^р^ ^i° С 5?Ро (&? = const > 0, 6? = const > 0),(5.25)
а его производная по времени
I^0 = У + сТУ < ТУ0 + s(aiPi — а2Р3) + еФ < —ср (с = const > 0)
— определенно-отрицательной по метрике ро = Pi + Рз = pi при выполнении неравенств (5.9)—(5.11) и при замене в этих неравенствах величину ае^ на эе^2 = ае^(1 — s). Будем считать, что такая подстановка сделана, а условия (5.9)—(5.11) с ае^ переписывать не будем. Эти условия согласно теоремам [15, 9, 11] являются достаточными условиями асимптотической устойчивости положения равновесия (5.1)-(5.3) по метрике р = ро-
При отсутствии троса с зондом (5.9)—(5.11) переходят в достаточные условия устойчивости по части переменных [19].
Очевидно, что выполнение неравенств (5.9)—(5.11) (с ае^ ) приложением активного управления к корпусу ОТС всегда может быть обеспечено, т. е. положение равновесия (3.1)-(3.3) стабилизировано до асимптотической устойчивости.
Условия устойчивости положений равновесияОТ С, когда ее центр масс движетсяпо круговой орбите
В этом параграфе рассматриваются вопросы устойчивости положений равновесия орбитальной тросовой системы в предположении, что движение ее центра масс С происходит по известной кеплеровской орбите.
Введем дополнительно следующие системы осей координат.
Oxyz — система подвижных осей, неизменно связанных с корпусом несущего тела и имеющих начало О в центре масс спутника с маховиками.
Су^у^Уз — система с началом в центре масс С ОТС и осями Уг^^Уз^ параллельными осям x^z соответственно.
СЖ1Ж2Ж3 — орбитальная система координат.
В этом случае положение произвольной точки троса р и зонда В определится следующими радиус-векторами
з
г = О^ = ^2т5е°р Tj = a°j+Uj - pcj,(6.1)
1=1
3
гр = O^ = ^rjpej, rjp ^а° +uj0 - pcj, (6.2)
где rcj(j = 1,2,3) — координаты центра масс С ОТС в системе осей координат Oxyz и имеют вид
Mpcj= / р(а^ + Uj)ds + тр(а® + Ujp), (j = 1,2,3)(6.3)
Jo
Очевидно, равенства (6.1), (6.2) отличаются от (1.2), (1.3) наличием в них слагаемых pcj{] = 1, 2, 3).
Компоненты A^j (гО = 1,2,3) тензора инерции системы, построенного для центра масс С ОТС, вычисляются по формулам
г зз
Ai = Ai+ рС^А^ - ^W + mipC^2^p - r^p) +
з<6
+- p2ci) (z = 1,2,3);
3/ p\
Atj = -mpciPcj - 5Д / prjTids - mpriTj ) (z,j = 1,2,3; i + j).
Здесь т — масса спутника с маховиками; А^ (г = 1,2,3) — его главные центральные моменты инерции.
Движение ОТС описывается дифференциальными уравнениями (1.10)-(1.15)
A11Q1 + 4112^2 + ^413^3 + 4111^1 4" Л12^2 + Л-хз^з + (Л33 — Л.22)^2^3 — — Л12^11^1з 4" A13Q1Q2 4" ^23(^2 — ^з) 4" ^^^ 4" Q2^(3) — ^зг^2^ = = — (^1 + ^3^2 — &2^з) + 3(^о[(Лзз — A22)ci22^23 — Л12С121^23 4" 4" Л1зС121^22 4- А2з(с122 — а2з)] 4" М^ (123)
4112^1 + ^22^2 + ^4-23^3 + 4112^1 4" Л-22^2 + Л-23^3 + (^4-11 — ^4-Зз)^1^3 + + 4112^2^3 4" А1з(^2 — ^1) — 41.23^1^2 4" v^ 4" QszV1) — QizV3) = = —(^2 + ^1^3 — &з^1) + 3cjq[(Ah — Азз)а21«23 + ^.12^22^23 4
4- А1з(а2з — а21) — ^4.23^21^22] 4- М^; (123)
^13^1 + ^4-23^2 + ^4-33^3 + 4113^1 4- A23Q2 + Лзз$2з + (Л-22 — Лц)^1^2 + 4" ^12(^1 — ^2) 4" Л13^з 4" ^23^1^3) 4" z>(3) + QizV2) — ^2^^^ = = — (^3 + ^2^1 — /^1^2) + 3^о[(Л22 — Ац)а21«22 + ^12(^21 — а22) — — А13а22^23 4- ^-23^21^23] 4- М^ (123)
33P^l + 2(Q2r3 — ^3^2) 4" ^2^3 — ^3^2 — ^1 (^2 4" ^) 4" Г2^1^2 4" rgQiQg] —
3
3
А
8s
3- тршопр + 3ojompa2i^ri0a2i3- тршопр + 3ojompa2i^ri0a2iтр\г1р + 2(П2г3/з - П3Г2/3) + О2Г3/3 - fV2fl - np^l + П3) + г2/?О1О2 +
3
- тршопр + 3ojompa2i^ri0a2i
3
- тршопр + 3ojompa2i^ri0a2i
8тч
+ ^3/3^1^з] = — р8s
33р\?2 4" 2(^зГ1 — ЮДз) + Q3T1 — П1Гз — ^2(^3 + ^1) + Гз^2^3 + Г1^2^1] —
3
3
8
8s
+ ^^2^1] = -Т0^+ ^^2^1] = -Т0^р[г3 + 2(Qir2 — ^2^ 1) ~I- ^21 ^2 ^2^ 1 — гз(^1 4" -2|) + rif23Qi + r2Q3Q2] —р[г3 + 2(Qir2 — ^2^ 1) ~I- ^21 ^2 ^2^ 1 — гз(^1 4" -2|) + rif23Qi + r2Q3Q2] —mp\r3p + 2(Qir2^ - ^Пр) + Oir2/3 - ^пр - r3p^ + Q2) + П^Пз^х +mp\r3p + 2(Qir2^ - ^Пр) + Oir2/3 - ^пр - r3p^ + Q2) + П^Пз^х +
+ ^^2^1] = -Т0^
+ ^^2^1] = -Т0^
р[г3 + 2(Qir2 — ^2^ 1) ~I- ^21 ^2 ^2^ 1 — гз(^1 4" -2|) + rif23Qi + r2Q3Q2] —
р[г3 + 2(Qir2 — ^2^ 1) ~I- ^21 ^2 ^2^ 1 — гз(^1 4" -2|) + rif23Qi + r2Q3Q2] —
mp\r3p + 2(Qir2^ - ^Пр) + Oir2/3 - ^пр - r3p^ + Q2) + П^Пз^х +
mp\r3p + 2(Qir2^ - ^Пр) + Oir2/3 - ^пр - r3p^ + Q2) + П^Пз^х +
тр\т2р + 2(Q3rw - Ю1Г3/з) + Озп^ - П1Г30 - т2р^ + Q^) + r3/3Q2Q3 +
3
- трШуТ2р + Зш^ТПра^ Т»За2г, 8=11 = 1
+ W2] = -т0^+ W2] = -т0^з
+ W2] = -т0^
+ W2] = -т0^
- трШцТ3р + Зшотра^^т^а^,
S=l1=1
при д = 0 и (6.1)-(6.4). Не будем их переписывать. В других обозначениях эти уравнения приведены в работе [10]. Эти уравнения движения допускают частные решения
П° = П° = о, п? = ^ = ш0 = ^/R^(6.5)
/ = уо о = 0 Qo = Qo = Qo = !'/'XXОО'
сДз=^ (ij = 1,2,3; г ^j),
Mi = ыз = ы1/з = ^зр = О, u2 = Т5> ^зр = Т^
а® = ^з = 0,^2 = Та7 ^2 = ^з = 0.
Кинетический момент маховиков, направленный по нормали к плоскости орбиты ki^ остается произвольной величиной.
Натяжение троса при и^ = — s определяется формулой
^° = 2^о[(^+ а + Рс2)2 — (s + a + Pc2)2] + ЗШоТПр(а +1 + р°с^ > 0, (6.6)
Рс2 = - I р(а + s)ds - mp(a + I) < 0,(6.7)
И при U2 = 8 — формулой
Т° = -рс02 [(Z + а - р^У - (. + а - p^f\ + w.mp {a^l-p^>^ (6.8)
Нетрудно заметить, что натяжения, определяемые выражениями (6.6) и (6.8), положительны и равны по величине.
Записанным решениям соответствуют положения равновесия орбитальной тросовой системы. Ее главные центральные оси инерции 2/1? Z/2? 2/з коллинеарны осям Ж1,Ж2,жз соответственно. Трос с зондом раположен вдоль радиуса орбиты и направлен в сторону притягивающего центра (n2 = — s) или противоположную сторону (г/2 = s).
Уравнения движения допускают и другие решения, которым соответствуют положения равновесия ОТС; при этом трос с зондом расположен вдоль касательной к орбите в сторону движения центра масс или в противоположную, при этом натяжение троса равно нулю.
(6.10)(6.10)(6.11)(6.11)(6.12)(6.12)Пусть а + Рс2 = 0. Тогда достаточными условиями устойчивости прямолинейной формы равновесия троса с зондом (6.5)-(6.9) по метрикам (4.47) будут неравенства
(6.10)
(6.10)
(6.11)
(6.11)
(6.12)
(6.12)
^.з — Аз + Jqi21” ^°22Г + тРс2 > 0;
Л1 - А3 + — > 0;
Ai - А2 + -^- + ml2 4ш0Ai - А2 + -^- + ml2 4ш03(l + si+5i)4 Т 3si Т 3^1
Ai - А2 + -^- + ml2 4ш0
Ai - А2 + -^- + ml2 4ш0
таТ 1 X т9 / / 1 т 7
где Si = << 1; di = —- << 1; m = pl -— масса троса.
mm
Из полученных неравенств следует, что трос с зондом оказывает стабилизирующее влияние на положение равновесия (6.5)-(6.9). Ранее этот результат для случая (6.5) (г/2 = —з) и (6.6), (6.7) был получен в работе [10].
При р^ = 0, Si = 51 = 0 из (6.10)-(6.12) получим условия В.В. Румянцева [17], а при Ад = 0 — В.В. Белецкого [16].
Комментарии
Задача о колебаниях висящей тяжелой цепи с грузом на свободном конце изучалась Даниилом Бернулли (1732) [12, 20-22]. Вертикальное положение равновесия тяжелой цепи с грузом устойчиво по энергетическим метрикам.
Вопросы нелинейной динамики, устойчивости и стабилизации орбитальных систем, содержащих одномерные деформируемые элементы в виде стержней, гибкой нити и троса, рассматривались в работах многих авторов как в нашей стране, так и за рубежом. Результаты этих исследований содержатся в обзорах В.А. Сарычева [1], Л.В. Докучаева [23], В.Н. Рубановского [24]; в монографиях В.Г. Вильке [25], Г.Л. Дегтярева и Т.К. Сиразетдинова [26], Л.В. Докучаева [27], а также в [9, И]; в работах L.Meirovich’a [28], В.Г. Демина и Ю.Г. Мар-
кова [29], В.М. Морозова и В.Н. Рубановского [30], В.А. Самсонова и Н.В. Белецкой [31] и др.
Нелинейная динамика, колебания и устойчивость круговой формы гибкой нити, орбитальной тросовой системы, кольца изучались в ряде публикаций (П.А. Кузьмин [32, 33], Н.Е. Болотина и В.Г. Вильке [5], В.Ф. Журавлев и Д.М. Климов [34], Д.М. Климов и А.П. Маркеев [35], В.В. Белецкий и Е.М. Левин [2], Ю.А. Сидоров и В.В. Сидоренко [36] и др.
Изложенные в данной работе результаты являются новыми и отличаются от результатов приведенных выше работ.
Работа частично финансировалась РФФИ по проекту 00-01-00730.
Список литературы
Сарычев В.А. Исследование космического пространства. Т. 2. — М.: ВИНИТИ, 1978. — 223 с.
Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем. — М.: Наука, 1990. — 336 с.
М i s г а А. К., М о d i V. J. A survey on the dynamics and control of tether Satellite systems// Tethers in Space: Proc. Int. Conf. Arlington. Va. Sept. 17-19. 1986. San Diego (Calif.). 1987. — P. 667-719.
Сарычев В.А. и др. Некоторые особенности нелинейных колебаний нерастяжимой нити в плоскости круговой орбиты. — М., 1989. — 26 с. — (Препр./ АН СССР. Ин-т прикл. мат.; 35).
Болотина Н.Е., Вильке В.Г. Об устойчивости положений равновесия гибкой тяжелой нити, привязанной к спутнику на круговой орбите/ / Космич. исслед. — 1978. — Т. 16, вып. 4. — С. 621-626.
К л и м о в С. И., Пи в о в ар о в М. Л., Алексеева Е. Н. и д р. Использование тросовых систем для фундаментальных исследований магнитосферы. Динамика раскрытия и функционирования тросовой системы// Космич. исслед. — 1996. — Т. 34, Т. 1. — С. 106-109.
Сидоренко В.В. Эволюция быстрых вращений орбитальной тросовой системы// Космические исследования. — 1995. — Т. 33. — С. 36-39.
С а д о в Ю. А. Равновесные конфигурации орбитальной тросовой системы с учетом сопротивления атмосферы// Космич. исслед. — 1996. — Т. 34. Т. 1. — С. 73-80.
Набиуллин М.К. Стационарные движение и устойчивость упругих спутников. — Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1990. — 217 с.
Набиуллин М.К. Вращательное движение и устойчивость положения равновесия орбитальной тросовой системы// Изв. РАН. МТТ. — 1992. — № 6. — С. 3-12.
Nabiullin М.К.Stationary Motions and Stability of Flexible Satellites. Advanced Series in Mathematical Sciene and Engineering. — USA, Atlanta: Word Federation Publishers Company, 1996. — P. 290.
Лурье А. И. Аналитическая механика. — M.: Физматгиз, 1961. — 824 с. 13. РаушенбахБ.В., Токарь Е.Н. Управление ориентацией космических аппаратов. — М.: Наука, 1974. — 600 с.
ЯнкеЕ., ЭмдеФ., Л е ш Ф. Специальные функции. — М.: Наука, 1977. - 342 с.
Сиразетдинов Т. К. Устойчивость систем с распределенными параметрами. — Новосибирск: Наука, Сиб.отд-ние, 1987. — 231 с.
Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. — М.: Наука, 1965. — 416 с.
Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений спутников. — М.: Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1967. — 142 с.
Матросов В. М. Об устойчивости движения// ПММ. — 1962. — Т. 26, вып. 5. — С. 885-895.
Р у м я н ц е в В. В., ОзинарерА.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. — М.: Наука, 1987. — 256 с.
Раус Э. Дж. Динамика системы твердых тел. Т. 2. — М.: Наука, 1983. — 544 с.
М е р к и н Д. Р. Введение в механику гибкой нити.
Л аврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
Докучаев Л.Б. Нелинейная динамика упругих летательных аппаратов/ / Итоги науки и техники. Общаая механика. Т. 5. — М.: ВИНИТИ, 1983. - С. 135-198.
РубановскийВ.Н. Устойчивость установившихся движений сложных механических систем// Там же. — С. 62-134.
ВилькеВ.Г. Аналитические и качественные методы механики механических систем с бесконечным числом свободы. — М.: Изд-во МГУ, 1986. - 192 с.
Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами. — М.: Машиностроение, 1986. — 214 с.
Докучаев Л.В. Нелинейная динамика летательных аппаратов с деформируемыми элементами. — М.: Машиностроение, 1987. — 231 с.
Meirovich L. Liapunov stability analysis of hibrid dymamical systems in the neighbourhood of nontrivial equilibrium// AIAA Y. — 1974. — V. 12.
Демин В.Г., Марков Ю. Г., М и н я е в Н. С. О движении спутника, несущего вязкоупругую штангу с грузом на конце на круговой орбите// Космич.исслед. — 1988. — Т. 26, вып. 3. — С. 366-373.
Морозов В.М., Рубановкий В.Н. Некоторые задачи об устойчивости стационарных движений твердого тела с деформируемыми элементами// Научн. тр. Ин-та мех. Моск, ун-та. — 1973. — № 32. — С. 109-164.
С а м с о н о в В. А., Белецкая Н.В. К задаче об устойчиости относительного равновесия твердого тела с упругими штангами// Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем. Новосибирск: Науки. Сиб.отделение. 1987. — С. 206-210.
Кузьмин П.А. Об устойчивости круговой формы гибкой нити// Тр. КАИ. — 1948. — Вып. 20. — С. 69-91.
Кузьмин И.А. Устойчивость круговой формы нити, имеющей счетное множество степеней свободы// Там же. — 1949. — Вып. 22. — С. 3-15.
Журавлев В.Ф., Климов Д.М., Волновой твердотельный гирок- ском. — М.: Наука, 1985. — 126 с.
К л и м о в Д. М., М а р к е е в Л. П. Нелинейные задачи динамики круп-
негабаритных ксмических конструкций. — М., 1990. — 36 с. — (Препр./ АН СССР. Ин-т проблем механики; № 449).
Садов Ю.А., Сидоренко В.В. Равновесные конфигурации упругого кольца в плоскости круговой орбиты// Космич.исслед. — 1986. — Т. 7 24, № 5. - С. 659-667.
Набиуллин М.К. Некоторые вопросы асимптотической устойчивости гиростата с деформируемыми стержнями/ / Прямой метод в теории устойчивости и его приложения. Новосибирск: Сиб. отд-ние. 1981. — С. 165-179.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
В.В. Румянцев. Об общих уравнениях динамики 4
В.М. Матросов, И.А. Финогенко. Аналитическая динамика систем твердых тел с трением 39
А.В. Карапетян. Инвариантные множества механических систем .62
В.В. Козлов, С.Д. Фурта. Первый метод Ляпунова для сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений 89
А.П. Маркеев. Устойчивость гамильтоновых систем114
В.Н. Тхай. Обратимые механические системы131
С.В. Болотин. Вариационные методы исследования гамильтоновых систем с двумя степенями свободы147
Ф. Журавлев. Теория возмущений интегральных многообразий резонансных систем162
И.В. Новожилов. Об уточнении предельных моделей механики . . 174
А.И. Нейштадт, В.В. Сидоренко, Д.В. Трещев. Об островах устойчивости в области переходов через сепаратрису192
Белецкий. Прикладные задачи динамических биллиардов . . 204
А.П. Иванов. Устойчивость движений с соударениями240
Г.А. Леонов, Н.В. Кондратьева, Ф.Ф. Родюков, А.И. Шепелявый.
Нелокальный анализ дифференциальных уравнений асинхронной машины257
С.А. Мирер, В.А. Сарычев. О стационарных движениях тела на струнном подвесе281
В.А. Самсонов. Ветвление и некоторые свойства нелинейных механических систем323
М.М. Ханаев. Эволюция и устойчивость в планетной задаче трех тел362
В.А. Ярошевский, А.В. Бобылев. Применение асимптотических методов нелинейной механики к исследованию неуправляемого углового движения летательных аппаратов в атмосфере373
В.Г. Вильке, А.В. Шатина. Эволюция движения вязкоупругого шара в ограниченной круговой задаче трех тел385
М.К. Набиуллин. Устойчивость и стабилизация положений равновесия орбитальной тросовой системы402
Научное издание
НЕЛИНЕЙНАЯ МЕХАНИКА
Под редакцией
В.М. Матросова, В.В. Румянцева, А.В. Карапетяна
Оригинал-макет А.Г. Токарева
Иллюстрации и оформление А. А. Логунова
ЛР X9 071930 от 06.07.99. Подписано в печать 26.03.01.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 27. Уч.-изд. л. 29,7. Тираж 400 экз. Заказ X9
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»
117864 Москва, Профсоюзная ул., 90
Отпечатано с готовых диапозитивовв ППП «Типография «Наука»121099 Москва, Шубинский пер., 6