Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора .7
Предисловие 9
Условные обозначения ..12
Введение .... 13
Постановка задачи13
Примеры сложных систем (13). 1.2. Характерные черты сложных систем (17). 1.3. Общее определение устойчивости сложной системы (18). 1.4. Определение устойчивости при постоянно действующих связях подсистем (21).
Функции Ляпунова и уравнения сравнения ....24
Основные понятия и теоремы метода функций Ляпунова (24). 2.2. Определение векторной функции Ляпунова (28). 2.3. Системы сравнения (30).
Глава /. Исследование устойчивости сложных систем обыкновенных дифференциальных уравнений33
Оценки вспомогательных функций на решениях возмущенных систем дифференциальных уравнений ...34
Леммы об оценке вспомогательной функции (34).
Случай классических возмущений (37). 3.3. Оценки для сложных систем с однотипными подсистемами (40).
Оценки изменения решений сложной системы ...42
Вспомогательная лемма (42). 4.2. Оценки отклонения решений свободных и взаимодействующих подсистем (43). 4.3. Системы с малым параметром (47).
Влияние связей на устойчивость сложной системы, полученной объединением обособленных подсистем 49
Связи, ограниченные в каждый момент времени (49). 5.2. Влияние связей, ограниченных в среднем (53). 5.3. Приложение теорем Н. Г. Четаева о влиянии новой связи (54).
Общие теоремы об устойчивости и оценке решений возмущенных систем 55
Теорема об устойчивости сложно возмущенной системы (55). 6.2. Оценки решений на конечном интервале (63).
Исследование устойчивости в конечном за ограниченный промежуток времени сложной системы с однотипными подсистемами 67
Устойчивость на конечном интервале обособленной
подсистемы (67). 7.2. Условия устойчивости связанных подсистем (71).
Устойчивость движения в конечном по отдельным заданным координатам72
Предварительные сведения (73). 8.2. Теоремы об устойчивости (75).
Условия устойчивости сложной системы с неполной информацией о функциях связей подсистем ....78
Теоремы об устойчивости (78). 9.2. Устойчивость по координатам обособленной подсистемы (81).
Условия устойчивости сложных систем с асимптотически устойчивыми подсистемами 84
Идея Ф. Н. Бейли (84). 10.2. Сложные системы с нелинейно связанными линейными асимптотически устойчивыми подсистемами (92)10.3. Случай внутренних
подсистем линейных и нестационарных (96). 10.4. Нелинейные системы (98).
Об устойчивости сложной системы с нейтрально устойчивыми подсистемами100
Теорема о равномерной устойчивости (101). 11.2.
Оценки функций связей на конечном интервале (102).
Нелинейные системы с особенным линейным приближением (104). 11.4. Специальный особенный случай (111). 11.5. Устойчивость в развивавшихся сис
темах (114).
Применение многоуровневых систем сравнения .. 116
Сложные стационарные системы (116). 12.2. Равномерная устойчивость (122).
Вопросы для исследования123
Глава //. Исследование устойчивости решений систем, содержащих малый параметр 125
Постановка задачи 126
Оценки вспомогательных функций вдоль решений сложных систем с параметром129
Идея расширения основной системы (129). 14.2.
Оценки изменения вспомогательных функций (130).
Метод возмущений и функции Ляпунова .... 135
Построение вспомогательной системы (136).
Построение функций Ляпунова для асимптотически устойчивого решения невозмущенной системы (138).
Квазилинейные системы (140). 15.4. Построение функций Ляпунова в критических случаях (141).
Построение функций Ляпунова для последующих приближений (144). 15.6. Построение полиномиальных решений (147). 15.7. Построение функций Ляпунова в специальном критическом случае (149).
Функции Ляпунова и устойчивость линейных нестационарных систем 157
Общее решение матричного дифференциального уравнения Ляпунова (157). 16.2. Функция Ляпунова для линейной нестационарной системы с малым параметром (159). 16.3. Функция Ляпунова для линейной системы дифференциальных уравнений с периодическими
коэффициентами (161). 16.4. Условия конечной устойчивости линейной системы (162) 16.5 Коэффициенты функции Ляпунова для псевдолинейной системы (163).
Рекуррентные алгоритмы построения решений систем дифференциальных уравнений с переменными коэффици
ентами 165
Применение степенных рядов (165). 17.2. Применение интегрирующих слагаемых (167). 17.3. Применение вспомогательных функций (172). 17.4. Нелинейные системы (176).180
Устойчивость решения сложно возмущенной системы 18.1. Теоремы об устойчивости на бесконечном интервале времени (180). 18.2. Системы с малыми возмущениями (182). 18.3. Стационарные системы с развивающимися возмущениями (183). 18.4. Оценки решений на заданном интервале (187).
О неустойчивости взаимодействующей подсистемы в сложной системе190
Определения сильной и слабой неустойчивости взаимодействующей подсистемы (190). 19.2. Теорема о неустойчивости (191). 19.3. Условия неустойчивости подсистемы с развивающимися связями (195). 19.4. Теорема о |х-неустойчивости взаимодействующей подсистемы (197).
0 применимости усредненных уравнений при исследовании устойчивости точных решений нестационарных систем 、199
Теорема Н. Г. Четаева (199). 20.2. Общий случай нелинейной системы (202).
Область притяжения решений усредненных уравнений 205 21.1. Теорема Н. Н. Боголюбова (206). 21.2. Область асимптотической устойчивости усредненных уравнений (208).
Теоремы об устойчивости стандартной системы при постоянно действующих возмущениях217
Леммы об оценке расстояния между решениями (210). 22.2. Теорема об устойчивости (213). 22.3. Аддитивно возмущенные стандартные системы (217).
Квазиустойчивость и устойчивость по Ляпунову систем
с малым параметром218
Обозначения и определения (219). 23.2. Теорема об устойчивости связанных стандартных систем (222).
Устойчивость и периодические движения нелинейных систем со слабым взаимодействием226
Построение векторной функции Ляпунова (226).
Нетривиальные примеры (228). 24.3. О применении средних вдоль решений порождающей системы (231). 24.4. Расчет периодических решений (234). 24.5. Нелинейное уравнение Релея (236).
Качественное исследование поведения систем слабосвязанных осцилляторов 237
Две общие теоремы о системах (24.13) (237).
Слабосвязанные системы второго порядка <239).
Система двух связанных осцилляторов (242).
Система грех связанных осцилляторов (249).
Условия устойчивости двухроторного гирокомпаса с успокоителями колебаний 257
Теорема об устойчивости по части переменных (258).
Условия устойчивости гирокомпаса (260).
Деформация свойств движений под действием интегральных возмущений 264
Интегральные возмущения линейных стационарных систем (264). 27.2. Случай линейной нестационарной системы (267). 27.3. О структуре области допусти
мых параметров интегральных связей (270). Вопросы для исследования272
Глава ///. Исследование сложных систем с разнородными подсистемами 273
Предварительные замечания274
Математическое описание сложной системы с разнородными подсистемами (274). 28.2. Применение дифференциальных форм (276). 28.3. Построение возмущенных функционалов Ляпунова (277).
Условия отсутствия замкнутых многообразий решений в многомерных стационарных системах280
Критерий Дюлака (282). 29.2. Критерий Пуанкаре (284).
Исследование устойчивости сложной системы с запаздываниями 285
Предварительные сведения (286). 30.2. Задача о конечной устойчивости систем с последействием (288).
Теоремы об устойчивости и неустойчивости в конечном систем с последействием (289). 30.4. Системы с запаздываниями в связях (292).
Исследогание устойчивости решений конечноразностных уравнений 297
Постановка задачи (297). 31.2. Теоремы об устойчивости (298). 31.3. Декомпозиция систем разностных уравнений (303). 31.4. Достаточные условия устойчивости s-й подсистемы (308). 31.5. Численно-аналитический алгоритм синтеза устойчивых систем регулирования (209). 31.6. Устойчивость в произведении пространств (311).
Об устойчивости по Четаеву сложных систем со случайными параметрами 312
Постановка задачи (312). 32.2. Вспомогательные леммы (313). 32.3. Определения и теоремы о конечной устойчивости (314). 32.4. Детерминированные системы со случайным взаимодействием (323).
Алгоритмизация оценки параметров моделей обособленных подсистем 225
Задачи исследования (325). 33.2. Принцип пакетного входа (326). 33.3. Линейные нестационарные системы (330). 33.4. Некоторые частные случаи (335).
Оценка коэффициента демпфирования в системе второго порядка (342).
Вопросы для исследования 345
Литература 346
ОТ РЕДАКТОРА
Современные задачи устойчивости процессов, изучаемых в физике, технике, экономике и биологии, сопряжены с необходимостью учета многих факторов, действующих на системы при их функционировании. Это «действие» проявляется в разрывности и нестационарности динамического режима систем, статистическом характере изменения структурных свойств агрегатов, наличии параметрических и внешних возмущений, появлении неинтегрируемых (неголономных) связей, дискретности и т. д. Исследование таких систем требует как совершенствования качественных и аналитических методов, так и создания достаточно простых математических моделей изучаемых процессов. Все эти пути имеют одну цель — получение содержательных результатов анализа и синтеза соответствующих систем дифференциальных уравнений. Поэтому большой интерес представляют исследования, направленные на создание проблемно-ориентированных методов качественного и численно-аналитического анализа организованного множества структурных элементов, связанных между собой для реализации определенных процессов. Результаты такого рода исследований содержит настоящая монография. В ней изложены результаты исследования динамики и устойчивости возмущенных параметрически и внешним образом систем, а также больших систем, полученных объединением обособленных подсистем (в книге принят термин «сложные системы》)，описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, системами с малым параметром, последействием, случайными функциями и дискретностью.
Аппаратом исследования является второй метод Ляпунова и систематическое применение дифференциальных (теорема Чаплыгина— Важевского) и интегральных неравенств. При изучении ряда конкретных задач устойчивости и идентификации систем применяется метод возмущений и параметрические разложения. Проведенные исследования охватывают как вопросы устойчивости по Ляпунову, так и устойчивости в конечном на ограниченном интервале времени. Общие результаты иллюстрируются модельными примерами и решением ряда задач устойчивости гирогоризснткомпасов, связанных осцилляторов и других систем колебательного типа. При этом реализуется общая идея
качественного исследования процессов, заключающаяся в расширении первоначальной системы и отыскании некоторого общего интегрального многообразия.
Значительный интерес представляют рассмотренные в книге примеры н вопросы для исследования.
В целом монография А. А. Мартынюка представляет собой существенно нсвый вклад в теорию и практику применения качественных методов в исследовании сложных систем Ее издание, несомненно, принесет большую пользу широкому кругу исследователей, работающих в упомянутой области.
Академик АН УССР
Ю.力.Митропольский
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория устойчивости движения, созданная в трудах великого русского ученого-математика и механика А. М. Ляпунова, нашла многочисленные применения в самых различных задачах физики, техники, ядерной энергетики, математической кибернетики, биологии. После опубликования в 1892 г. сочинения А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения» важнейшие результаты по теории устойчивости движения получены, в основном, советскими математиками.
В первоначальной постановке вопрос об устойчивости нулевого решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений
dx
-由 ° = fs('，％i‘ • • • ‘ ”几)，s = 1, 2, • • • , 〃，(1)
где ft (/,修，..，xn) — степенные ряды переменных t,修，,xn, сходящиеся в окрестности ха=0, s=l, 2,..., п, решался А. М Ляпуновым двумя созданными им методами* методом разложения решений системы (1) в ряды специального вида и методом вспомогательных функций。(力 *i, ..., Хп), которые вместе со своими производными по / в силу уравнений (1)
S=1
обладают некоторыми свойствами как функции точки (力尤卜...，хп). Если такие функции удается построить, те подходящие условия, которым они должны удовлетворять, дают достаточные, а также необходимые и достаточные условия различных типов устойчивости нуле» вс го решения системы (1).
В общем случае болыиинство методов качественного анализа свойств решений системы дифференциальных уравнений (1) могут быть сведены в следующую схему. По системе уравнений (1) строится вспомогательная система дифференциальных уравнений
警=“，〃，%)⑵
такая, что расширенная система (1), (2) имеет интегральное многообразие, определяемое уравнением
屮(力 U,%)=0. (3)
Фактическое построение системы (2) и уравнений интегрального многообразия (3) связано с решением уравнений в частных производных первого порядка. Такого рода уравнения могут быть решены, если исходная система (1) или ее часть интегрируются в замкнутой форме. В ряде случаев вспомогательную систему (2) можно построить с правой частью W, не содержащей 力.Получающаяся при этом система уравнений
黑=%«") ⑷
должна быть в каком-то смысле проще для исследования, чем исходная. Например, размерность вектора и меньше, чем размерность вектора %; система (4) может не содержать явно времени или правая часть системы (4) в том или ином смысле мала по норме. В частном случае уравнения (3) могут определять замену переменных % на и. Построение одной или нескольких функций (вектор-функций) Ляпунова для системы (1) является одной из возможных реализаций метода расширения первоначальной системы.
Данная книга представляет собой попытку разработки изложенной общей идеи применительно к сложно возмущенным и сложным системам обыкновенных дифференциальных уравнений, а также системам уравнений с малым параметром. Некоторые результаты переносятся также на системы уравнений с запаздываниями и разностные уравнения.
Первая глава содержит методы исследования задачи устойчивости сложной системы обыкновенных дифференциальных уравнений Здесь установлены сценки вспомогательных скалярных и векторных функций Ляпунова вдоль решений возмущенных и взаимодействующих подсистем, на основе которых получены условия устойчивости на заданном конечном и неограниченном интервале времени. При этом свойство устойчивости нулевого решения исходной системы тесно связывается со свойством верхних (нижних) решений уравнений (систем) сравнения (2) или (4). Взаимодействующие подсистемы изучены при различных предположениях как о свойствах их решений (устойчивость, неустойчивость, асимптотическая устойчивость), так и различных свойствах функций связи между ними.
Во второй главе изучаются системы с малым параметром. На Основе второго метода Ляпунова для векторной функции в сочетании с принципом сравнения С. А. Чаплыгина проводится качественное исследование свойств решений сложно возмущенных и слабо взанмо
действующих подсистем и устанавливаются оценки движения исходных систем на основе усредненных уравнений. Исследования основаны на фактическом построении функций Ляпунова методом возмущений, включая критические случаи. Рассмотрены системы осцилляторов при нестационарном нелинейном взаимодействии, найдены условия устойчивости гирогоризонткомпаса, оборудованнсго гидродинамическими демпферами, а также рассмотрены вопросы устойчивости линейных интегрально-возмущенных систем, содержащих параметр.
Третья глава содержит исследования сложных систем уравнений с разнородными подсистемами. Здесь установлены оценки параметров систем, устойчивых на конечном интервале и содержащих запаздывания, дискретное время, а также случайные параметры. Для оценки параметров моделей (идентификация) обособленных взаимодействую, щих подсистем сформулирован принцип пакетного входа, состоящий в последовательном наблюдении выхода (s— 1) модели при заданном входном воздействии на s-ю модель. Для некоторых видов входных воздействий (степенные ряды, полиномы) задача оценки параметров сведена к решению систем алгебраических уравнений. Способ иллюстрируется на примере оценки параметров некоторых моделей колебательных систем.
Отдельные результаты, содержащиеся в настоящей книге, опубликованы в статьях [12, 16, 20, 27, 53—67, 69, 70]; часть результатов публикуется впервые. Наряду с этим в книгу включены некоторые результаты исследований советских и зарубежных авторов, что отмечено ссылкой на первоисточник.
В заключение автор выражает глубокую признательность академику АН УССР Ю. А. Митропольскому за ряд полезных советов и замечаний, использованных в процессе работы над рукописью, а также члену-корреспонденту АН УССР И. Н. Коваленко и Е. Л. Тонкову за большую помощь, оказанную при окончательной подготовке рукописи к изданию.
Автор благодарит Н. В. Азбелева, Ю. С. Богданова, К. Г. Валеева, В. И. Зубова, В. М. Старжинского и М. М. Хапаева, принявших участие в обсуждении отдельных результатов и книги в целом. Их замечания и ценные советы помогли значительно улучшить изложение материала-
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
丿。—множество значений (f ： 0《％ < + со);
几 U J。一 множество значений (/ : 0《f < а);
分 U 〃 — множество значений С ： %《Z《％ + Г);
丿 U J『一множество значений (/：(《£《 /2);
Jr — множество значений « ： %《/ < % + 7)； 1
II х II = (S%2)2 — евклидова норма,
Q (”)— множество (х :\\ х\\<^ Н, И = const или Н = оо); р (九，М)——расстояние от точки % до множества М, 「力，Г\ ——конечные области в евклидовом пространстве Е九； 化4 — граница области Гл,
dg ——граница цепи } (х「...，无九)степени р, х$ = (%!，...,九,)一вектор размерности q;
Г (%, .. ,(pw) — определитель Г рама；
V = (〃],... , и^) — векторная функция Ляпунова; "R, т) — множество точек ((V, т) || V |< R, / 才叫; 喙n(0 = min (и (厶％) при Их |К Л);
项ax(0 = max (и (/,%) при ||% || < X),
dk,d (0 = sup (и «,%, у) при|М II《3z£ D);
噜刀(/) = sup (и &у, 2)прии € Г^\Г6,Z € О);
матрица Якоби;матрица Якоби;一F号一F号Y — квантор общности, а — квантор существования; V — или;
матрица Якоби;
матрица Якоби;
一F号
一F号
М — оператор усреднения по 力 t
(,)—символ скалярного произведения; int G ——внутренняя часть G .
ВВЕДЕНИЕ
Постановка задачи
В последние годы внимание большого числа математиков и. механиков сосредоточено на изучении широкого круга проблем, связанных с анализом и синтезом «сложных систем» (употребляется еще термин «больших систем», «крупномасштабных систем»). Отсутствие строгого определения сложной системы порождает определенную многословность в ее описании, которая относится в той или иной ситуации к разряду сложных. Понятно также, что причисление конкретной системы к разряду сложных носит условный характер и определяется во многом средствами исследования и их математическим обеспечением. Рассмотрим некоторые примеры сложных систем, образованных из большого числа взаимосвязанных и взаимодействующих между собой относительно простых подсистем.
Примеры сложных систем.
Пример 1.1. Пусть имеется гол оном на я материальная система, несущая тело и состоящая из свободного твердого тела 尸。.Предположим, что это тело имеет полость, целиком или частично наполненную идеальной однородной несжимаемой жидкостью плотности р「Пусть также с телом Р° связаны упругие тела с плотностью р2 и yv некоторых других твердых тел и материальных точек.
Уравнения движения рассматриваемой системы имеют вид
翳+ o)XQ = K, (к =(1.1)
^f- + <*)XG+v0XQ = L=工小国^f- + <*)XG+v0XQ = L=工小国(1.2)(1.2)
^f- + <*)XG+v0XQ = L=工小国
^f- + <*)XG+v0XQ = L=工小国
(1.2)
(1.2)
- "3— h①① = ' F_ . —Ls = z, dt dq $' s工JP
M +(o X v = F — — grad p в области q,
/\ 叫 dp2 @Рз
(1・5)(1・5)(1・6)(1・6)P2+ "X丫丿=P?F + 石;+ 瓦 + 瓦 в области т2,
(1・5)
(1・5)
(1・6)
(1・6)
6g = -^ os, 6g = -^г 6Т в области %,
к которым присовокупляются динамические граничные условия
Р = Ро+2% на S,
cos 0 — —— на Z,(1.7)
Рп = % на S2.
Здесь приняты следующие обозначения: рд = р1п1 + р2п2 + p3ng — плотность упругих напряжений на площадке с внешней нормалью, з
п = £ 〃3$, К и L — главный вектор и главный момент всех прило- S=1
женных к системе активных сил относительно точки О, являющейся началом прямоугольной декардовой системы координат Ох^^х^ жестко связанной с телом 戶。и совпадающей с центром масс тела Р°; F и F九——плотности массовых и внешних поверхностных сил, действующих на упругое тело и жидкость; 2〃 ——средняя кривизна поверхности жидкости; 0 ——краевой угол на линии / пересечения свободной поверхности S жидкости со стенками полости о, % " % — области пространства; %1工2%3 — занятые в данный момент жидкостью и упругим телом； U = U (е.., s) — внутренняя энергия, отнесенная к единице упругого GUдА
тела; Т =而 или s = ~^г — абсолютная температура; А=А (汕,Г)「 свободная энергия;
眦 2j Ox? dxy
(i, / = 1, 2, 3) — компоненты тензора деформации； Q — количество движения; G — момент количества движения системы относительно точки О；
Q = grad%E = Mv©
G = gra%E = rcXMvQ + 8・s 十工 3团工； v
vc = v0 + <*>xrc + rc — вектор скорости центра масс; Е — кинетическая энергия системы, равная
E = у Mvg + Mv0-(a)xrn) + 彳(0.8•⑴ + v0 • ^ 加炉” +
M =二 ％ — масса системы; rc = дГ 2j mvrv~РадиУс'вект0Р центра vV
масс системы относительно точки О； 6 — тензор инерции системы для точки 。； V。 и со ——векторы скорости точки О и мгновенной угловой
скорости тела Р°; rv — вектор скорости точки Pv.
Динамические уравнения (1.1)——(1.5), уравнения неразрывности
div г = 0, -^- + div (р2г) = О,уравнения состоянияди дАPH=P2~^ = P2HJ
и уравнения притока тепла
dq = Tds
вместе с граничными условиями (1.7) образуют замкнутую систему нелинейных уравнений (обыкновенных и в частных производных) движения сложной системы. Подробный вывод этих уравнений имеется в работе В. В. Румянцева [98].
Пример 1.2 [9]. Рассмотрим систему управления полетом самолетов крупного аэродрома. Весьма упрощенная схема этой системы пирведена на рис. 1. В ее состав входят система дальнего обнаружения и управления, состоящая из радиолокационной станции дальнего обнаружения, аппаратура съема данных, вычислительное устройство, аппаратура отображения информации (табло, экраны и т. д.), аппаратура выдачи информации наземным системам и обмен информацией с бортом самолета 10].
В процессе функционирования системы данные о самолетах, полученные от радиолокатора дальнего обнаружения, поступают в вычислительное устройство и соответствующим образом обрабатываются. С помощью системы многоканальной дальней связи с бортом самолета устанавливается двусторонняя радиосвязь. Поступающая информация позволяет произвести отсев самолетов, следующих в другие аэропорты. Сведения о таких самолетах дальнейшей обработке не подвергаются; в случае необходимости радиосвязь может служить для передачи на борт метеорологических и топографических данных, сведений о радиомаяках и т. д. Информация о самолетах, следующих в данный аэропорт, подлежит дальнейшей обработке и передаче другим наземным системам. В первую очередь эта информация поступает в систему диспетчеризации и обрабатывается в центральном вычислительном устройстве. Здесь определяется порядок посадки каждого самолета, выделяется соответствующая посадочная полоса и канал многоканальной системы слепой посадки и
г
I
L
бортоваяаппаратура.
самолета
Система диспетчеризации
[ратура \ ^Артодра^е-1 ^\ния ин форj \мации/
Центральное вычислительное ус- трой- стбо
%истема дальнего \ 1 Система мноаокинапьйё^
—L обнирумениа . । дальней связи । y— I и управления 一黑一
самолетов
Радиолокационный передатчик
система 】
1 1 слепой посадка и взлета i
\Радиолокацион-
\ный передатчик
\Родиолокоцион- ' нмй приемник
Ра ди о-передатчик
Радио-приемник
Коммутатор
Станция передачи команды
Радиолокационный лередатчик
Аппаратура выдачи команд
Кппаратурасъе- маданнь/хиввО' да 夕 бычислител^ hqr уЕрайапЬо
Аппаратураввода данных 6вы числительноеуст口 ойстЗо
вычисли - тельное ус- тройстбо
Рис. 1.
Аппаратура съема данных U ввоОа в бычи- слительное устройство
Вь/числительноеустройство
GnnFx(ратураотогУважения)\информа47〃2
:丨 Аппаратира । "ТТ выдачи инфор - •
I I мации наземные т
системам 1
J卜
Коммутатор
Аппаратурообмене инфор-1нацией с бортомсамопето I
взлета самолетов. Последняя имеет радиолокационную станцию аэродромного обзора, вычислительное устройство с аппаратурой ввода данных и систему передачи команд на борт самолета. По команде системы диспетчеризации информация об определенном самолете от системы дальнего* обнаружения передается в соответствующий канал системы слепой посадки. Дальнейшая разработка информации производится в этой системе. Посадочные характеристики непрерывно передаются на борт самолета и фиксируются специальными (например, стрелочными) приборами. Совмещение в каждый момент времени (при помощи органов управления самолетом) соответствующих стрелок обеспечивает движение самолета по закону, выработанному вычислительным устройством, и успешную его посадку. Таким образом, система слепой посадки вместе с бортовыми стрелочными приборами и пилотом (или автопилотом) представляет собой замкнутый контур управления с обратной связью, осуществляемой через радиолокатор аэродромного обзора.
К разряду сложных систем относятся также [9, 44] система городского транспорта, производственный процесс, информационная система, управление химическим производством или известная иерархическая (многоуровневая) система управления с помощью ЭЦВМ металлургическими заводами Спенсера (Англия).
Характерные черты сложных систем. В большинстве практически интересных случаев сложные системы обладают переменной структурой, нелинейными звеньями, неголономными связями, возмущениями стохастической природы как параметрическими, так и внешними. В общем сложность той или иной системы определяется совокупностью признаков.
Следуя [44], к таким характерным признакам отнесем:
многомерность;
многообразие структуры системы (сети, деревья, иерархические структуры и т. д.);
многосвязанность элементов системы (взаимосвязь подсистем в одном уровне и между различными уровнями иерархии);
многообразие природы элементов (машины, автоматы, люди-операторы);
многократность изменения состава и состояния системы (переменность структуры, связей и состава системы);
многокритериальность систем (различие локальных критериев для подсистем и глобального критерия для системы в целом, противоречивость их);
многоплановость в научном отношении.
Эти обстоятельства зачастую приводят к непреодолимым трудностям на пути практического решения задачи анализа сложной системы. Поэтому возникает ряд направлений, связанных с приведением систем к более простым и соада-
нием таких методов анализа, которые наиболее сильно за- висили бы от особых свойств или структурных особенностей анализируемых систем.
Известными методами, учитывающими эти особенности, являются метод Крона—Стюарда [42], метод итеративного агрегирования (замена исходной системы другой с меньшим числом переменных), а также прямые методы численного решения. Достоинства и недостатки этих методов отмечаются в работе [44].
Прежде чем перейти к строгой формулировке задачи, являющейся предметом исследования в настоящей работе, отметим, что задача анализа устойчивости движения сложных систем по частям является составной частью общей теории сложных систем и поэтому предлагаемые исследования рассматриваются нами как попытка создания необходимого рабочего аппарата для решения важнейших практических задач в этом направлении.
Общее определение устойчивости сложной системы. Рассмотрим поведение сложной системы S в фазовом пространстве Е・ Пусть множество X содержится в Е.
Если задан закон, согласно которому любому элементу р£Х соответствует вещественное число и(р), ip говорят, что на X и Е задан функционал и(р)・
Предположим, что движение сложной системы S определяется некоторым набором параметров или конституэнт а, принадлежащих пространству параметров А. Если изменение состояния системы S на Ja характеризовать функцией г (/, а), то при фиксированном f ^Ja z (Г, a) £ Е. Рассмотрим пространство ОТ непрерывных функций, состоящее из кусков траекторий г(/, а), получающихся при фиксированном т0《т) и изменяющемся а©4 Чтобы оценить качество движения системы S, введем однопараметрическое семейство действительных функционалов FT (a) = FT [z (/, a), /《т]・ Очевидно, при закрепленном значении выражение FT (а) определит вещественную функцию вещественного аргумента т. При фиксированном т значение функционала 3(а) характеризует движение системы S до момента т.
Рассмотрим множество 卷 действительных непрерывных на Ja функций. Пусть В — система подмножеств этого множества, образующая а-алгебру. Напомним, что система В называется a-алгеброй, если 容 £В и, кроме того, операции пересечения, объединения и взятия дополнения к пространству & совершаемые над элементами класса В, не выво-
дят из класса В. Для каждого множества В£3 определим совокупность By (В) непересекающихся подмножеств В, определяемую параметром 呷・ Пусть вместе с любой последовательностью непересекающихся множеств Bv (В), содержащихся в любом фиксированном множестве В, их объединение U &(В), пересечение П8у(В) и дополнение B\BV (В)
V V
принадлежат В.
Аналогично проделанному для множества 昌 определим Л как систему подмножеств параметров А. Для каждого множества А£А определим совокупность Av(А) непересекающихся подмножеств А, определяемую параметром у.
Предположим； что и Л является а-алгеброй. Счетноаддитивную меру 卩 функционала FT [z (Л а), /《р определим на минимальной а-алгебре, соответствующей а-алгебрам множеств В и А.
Определение /./. Сложная система совершает устойчивое движение относительно (В, {Bv}, A, {Av}, Fx (а), е0, Ja), если для любого 0< е < е0 < 1 и любого множества В£3 можно найти множество А£А такое, что для каждого At ^АВ(А) существует Bt ^ ВД1 (В), удовлетворяющее условию
N {(% к (力 a), f《硝 £ В；} > 1-е (1.8)
при всех а £ А】и т^ Ja.
Здесь в качестве параметра для набора совокупностей {Av} выступают множества В из В, а параметрами для {8J являются множества из Ав.
Грубо говоря, смысл этого определения состоит в том, что мера некоторого свойства движения сложной системы S на заранее заданном интервале не меньше наперед заданной величины.
Замечание /・/・ Определение устойчивости функционирования сложной системы, рассматривая последнюю как существенно стохастическую, дано в [34 и 9, с. 249]. При этом неравенство вида (1.8) носит вероятностный смысл.
Замечание 7.2. Все определения различных понятий устойчивости, рассматриваемых далее в книге, можно получить из определения 1.1, выбирая соответствующим образом «атрибуты» этих определений, обусловленные их «окраской». Чтобы не загромождать изложение, не будем каждый раз повторять эти выкладки, отметив лишь, что несмотря на
некоторую громоздкость, определение 1.1 содержит не более понятий, чем различные частные определения.
Если условие (1.8) не выполняется, будем говорить, что сложная система функционирует неустойчиво.
Объектом исследования в настоящей работе являются системы дифференциальных уравнений
嘗=Х(/, “&%),《,%)),(1.9)
где х£Еп, вектор-функция р (/, х) определяет параметрические возмущения, которые могут быть известными функциями % с известными оценками || р (/, %) || при ||х|| < ", / > %. Относительно г (厶 ％) предполагается, что эти функции описывают постоянно действующие возмущения, являются малыми и для них известны только некоторые оценки.
Наряду с системой (1.9) рассматривается «невозмущенная» система
% = X(t,x,p°"3(1.Ю)
которая может быть как детерминированной, так и стохастической в зависимости от природы связей и математической модели, принятой для описания реально действующей системы.
Предполагаем, что в некоторой области Q (Я, т)
||%||<〃，/ >т (0<//<оо, т>0)(1.11)
выполнены условия существования и единственности решений х (/, /0, х0) систем (1.9) и (1.10), принимающих значение х0 при i = %, %o£Q()(》i)= Q(〃)，и для систем (1.9), (1.10) точка % = 0 является положением равновесия.
Остановимся кратко на интерпретации записи уравнений, описывающих функционирование рассматриваемых систем в виде
箒=Х(/,х,р (/,%), F(tf ^),(1.12)
т
где %£Е〃, х$£Ег§, причем ^rs = n9 вектор-функция
Fs (^, %) = & (Л Х「・・，Xs_i，Xs+i，・・・，х/ осуществляет взаимосвязь подсистем. Необходимость рассмотрения систем дифференциальных уравнений (1.9) или (1.12) обычно зави-
сит от физического смысла задачи и характера ее математической модели.
Если сложная система (1.12) состоит из взаимосвязанных простых подсистем, то, полагая, например,
F(t^ = и (0 и р (厶 ％)曰 0, у =九(х(0, /), где 彳(/)—々-мерный вектор состояния, и (/) — р-мерный вектор входа и у (t) — g-мерный вектор выхода, ее можно записать в виде —
嘗=Х(九元 0, 〃(/)),
一(М3)
у ==九(％ (/), /)•
Если известно множество подсистем Sit Z = 1, 2, ..., m, тогда, определяя сложную систему как соединение подсистем, входной вектор i-й подсистемы представляется в виде
т
“,=^^ В(出订 + Gj〃，i = 1, 2,. • •, m, (1.14)
где u. — вектор входа i-й подсистемы,勿一выходной вектор /-й подсистемы, и — внешний входной вектор, В炉 G,——постоянные матрицы. Матрица
/В八…Вм、
В = I • • • • J
характеризует структуру внутренних связей сложной системы. Отметим, что при таком способе объединения подсистем предполагается, что модели отдельных переходных систем не подвергаются воздействию различных типов соединений. Это предположение может быть оправдано для большого числа физически связанных систем.
Определение устойчивости при постоянно действующих связях подсистем. Рассмотрим систему (1.12), предположив, что 尸(/, %) суть функции связи подсистем как параметрические, так и внешние. В качестве пространства параметров Л выберем совокупность двух множеств: пространства началь-
ных состояний системы (1.12), совпадающих с£, и пространства ограниченных (в том или ином смысле) связей F (厶 ％).
Определим в произведении ExJ。замкнутое множество М такое, что его сечение М (q) гиперплоскостью / = q при любом тхС А не пусто в £. При непрерывной на Ja и J。функции х (/) функция р (х (/), М (/)) непрерывна и сечение MG (/0) множества MQ—M(\ fi0, Qo = £хТ0 гиперплоскостью / = % не пусто в &и左 при любом t0^TQi где Г。一 множество начальных моментов времени /0.
Отметим, что
р(X(/),м(0) = inf (II%(/) —х°|| ：X℃M(/))обозначает расстояние от точки %£Е до множества М (/):
М (0а = {% ： % £ 皖；р (% (f), М (/)) < а},
а—окрестность множества М (0 в £*, М (/)а — замыкание М (f)° в Е.
Предположим, что функция
g(/, а) = sup (II 尸(/,х) II： %G 而而。)
суммируема на любом интервале JT и」«・
В множестве Л зафиксируем некоторую точку а0 с координатами (%, %), где % принадлежит пространству начальных состояний, а；——пространству ограниченных связей F ©х)・ В качестве Fx выберем
FT {% & %):/《£/,т£ JT} = р (% & %), М (/))•
Пусть совокупность В состоит из всевозможных множеств Ва неотрицательных действительных функций {F, t £ J「} вида
Ве = {%:%<8,工£厶 6> 0}.
Очевидно, В® и В0 при 齿 > 02 и, кроме того, В； = [0, 0) для всех t^JT. Предположим, что совокупность % (В) не зависит от Аг и состоит из одного множества В:
%(В)={В}・
Примем, что совокупность Л состоит из всевозможных множеств 4 и 4 вида
"，={%: p (" (厶0 "。"m а。"< 4(* Q}，
4,=侬：и 尸(/, »| < 4(0,匂,% еЖ/}.(1.15)
Совокупность Лй (Л) = {Л} для всех В £8. Теперь из определения 1.1 получим определение устойчивости множества М (0 при ограниченных связях F (/,%)・
Определение /・2. А) множество М и Еп (относительно сложной системы (1.12)) устойчиво при ограниченных связях малых в каждый момент, если для любого 0 существуют такие б】(0, /0) и 62 (0, у, что при любом а；, удовлетворяющем условию
f>(x^a^M(t^<b{ (GJ^(1.16)
и"
^(/^IK Sa(9，U.^€W)ao
для решения х 佐，/0,的)с 尤° £ % и Е
р (х (/, /0, х0), М (/)) < 0 при всех / > 4；(1.17)
Б) М равномерно по /0, устойчиво при ограниченных связях малых в каждый момент, если выполняется условие А) определения 1.2 и 6卜 62, независящими от /0;
В) М устойчиво при ограниченных связях малых в среднем (соответственно интегрально), если для любого 0 < 0, /()€ Т существуют такие 3】(0,幻 и 62 (0,幻，что при (1.16) имеет место (1.17), лишь только
中
j g (s, 0) tls C 62 при t £ Ja
соответственно j g (/, 6)成《6?);
Г) M устойчиво равномерно (по %) при ограниченных
связях малых в среднем (соответственно интегрально), если справедливо условие В) определения 1.2 и 3卜 62, не
зависящими от /0.
Если в системе уравнений (1.12) функции F (/, %) входят аддитивно и являются функциями постоянно действующих возмущений, то определение 1.2 (А—Г) суть определения В. М. Матросова [79], обобщающие соответствующие определения И. Г. Малкина, X. Л. Массера, Г. Н. Дубошина, В. Е. Гермаидзе и Н. Н. Красовского, С. И. Горшина и др. (см. [79]).
Из общего определения 1.1 можно получить определения различных типов конечной устойчивости (仇，Л, /0, Т, || . 1| )-устойчивости) в детерминированной и стохастической постановке [57, 61], устойчивости движения относительно части переменных [63] и др.
Функции Ляпунова и уравнения сравнения
В этом параграфе приведем некоторые вспомогательные для дальнейшего изложения сведения о методе качественного исследования поведения интегральных кривых системы дифференциальных уравнений без непосредственного их построения. Этот подход восходит к трудам А. Пуанкаре [90] и получил гениальное воплощение в классическом сочинении А. М. Ляпунова [501.
Прежде всего отметим, что одним из направлений развития метода функций Ляпунова (прямого метода [112] исследования устойчивости), активно разрабатываемых в последние годы, является направление, связанное с применением нескольких функций и дифференциальных неравенств типа неравенств С. А. Чаплыгина [109] (теорема Т. Важевского [131]), в сочетании с принципом сравнения с решением скалярного уравнения сравнения. Отметим здесь работы [1, 30, 39, 48, 81, 83, 121, 128], в которых были выяснены границы применимости теоремы С. А. Чаплыгина и предложена общая идея применения дифференциальных неравенств в теории устойчивости движения. В последствии [121] был разработан принцип сравнения со скалярной функцией (функционалом) Ляпунова, с помощью которого получаются многие, ранее установленные, теоремы метода функций Ляпунова. В работах В. М. Матросова [76— 79] разработан принцип сравнения с использованием вектор-функции Ляпунова, удовлетворяющей некоторому дифференциальному неравенству типа неравенства С. А. Чаплыгина. Весьма подробный обзор работ по этому и примыкающим вопросам читатель найдет в работах [74, 75, 127].
Напомним, что в качестве функций Ляпунова рассматриваются некоторые функции v(t, хх, ...» хп), вещественные, однозначные и непрерывные в области (1.11) при всяком t >/0, а также уничтожающиеся при %i = х2 = ... = хп = =0; т. е. V (力 0)三 0, что решает вопрос об устойчивости решений рассматриваемой системы.
・ Основные понятия и теоремы метода функций Ляпунова. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
= ХМ%】，.・・，xn), s = 1, 2, , . п, (2.1)
в которой, функции Xs не зависят от времени /, удовлетворяют условию Xs (0, . . ., 0) = 0 и предположениям, обес- 24
печивающим существование и единственность ее решений в области £2(", и). В этой же области рассмотрим функцию w (%) — 3(打,...,%п)・ Предположим, что функция з(6 имеет в области Q непрерывные частные производные.
Функция w (х) называется определенно-положительной в области 0, если ⑷(0) = 0 и ⑷(%)〉0 при всех х #= 0, % £ Q. Если же выполняется неравенство w (%) < 0, то функция w(x) называется определенно отрицательной.
Если в области Q всюду имеет место неравенство w (%) > > 0 или w (х)《 0, то функция w (х) называется знакопостоянной, причем в первом случае функция называется знакоположительной. Если функция w принимает в области Q значения как положительного, так и отрицательного знака, то в этом случае w (%) называется знакопеременной.
Применение функций Ляпунова позволяет исследовать малые окрестности начала координат. Исследование конечной устойчивости движения требует изучения движения в конечных областях фазового пространства. С этой целью вводится следующее понятие.
Функцию Ляпунова w (%) назовем локально большой, если при заданной оценке Л для любого с (0 < с < 4) существует положительное число г такое, что вне сферы (х, х)2 =『2 ИМеет место неравенство w (%)〉с.
Например, функция х2
является локально большой при 4=1. В этом случае поверхности уровня 5 = с замкнуты, ограничены для 0<с<1 и не ограничены при с〉1.
Если А = со, то локально большая функция Ляпунова 5 (х) становится бесконечно большой по определению Барбашина-Красовско- го [5]. Очевидно, всякая бесконечно большая функция w (%) является локально большой.
Для исследования устойчивости неавтономных систем
署= Х(/,%), X(f,0) = 0 (2.2)
применяются нестационарные функции Ляпунова и 侑 打,・・・ ...,хп) = V (/, %), непрерывно дифференцируемые или удовлетворяющие условию Липшица в некоторой конечной области фазового пространства Е и обращающиеся в нуль
в начале координат. Функция 。(厶 %) называется знакопостоянной, если всюду в области Q при /》" имеет место неравенство и (/, х) > 0 или ” (Л %)《0..
Функция у (/, х) называется знакоопределенной, если существует определенно- положительная функция з(%) такая, что при / > /0 имеет место неравенство и(厶 ％)》ш(х) или и (/, %)《一w (%).
Функция у (/, х) называется локально большой, если при заданной оценке Л для любого с (0 < с < 4) при /0 > 0 существует положительное число г (", с) такое, что вне сферы (х, %)? = г2 имеет место неравенство и (厶 х) > с при всех 2》fо [63]. Локально большая функция и (/, %) называется определенно-положительной в области R, если существует локально большая, определенно-положительная функция w (%) такая, что выполняется неравенство
у (力 ％) > ⑪(％), % £ F/ и R ("), / > %・
Пусть система (2.2) имеет единственное решение х 亿 /0, %。)，определенное при ^ > /0 и х0 С %• Если функция V (t) = V (厶 ％ (力 /0,凡))имеет производную по /, то говорят, что функция V (f, %) дифференцируема в силу системы (2.2) вдоль выбранного решения, и обозначают
п
/=1 J
При решении конкретных задач часто применяются вспомогательные функции в виде квадратичных форм переменных %], .・.,хп и их полные производные, взятые в силу рассматриваемых уравнений.
В связи с этим отметим, что функция
с зависящими от / коэффициентами @订,непрерывными и ограниченными при f €)а , является определенно-положительной, если выполняются неравенства Сильвестра, а именно:
%1 (/)••• “1S (0
> fe (s = 1, 2, . . ., и； й = const〉0).
“SS (f)
Приведем теперь определения устойчивости нулевого решения системы (2.2), следуя [40, с. 9].
Определение 2./・ Решение % = 0 системы уравнений (2.2) называется устойчивым, если для любого числа 8 > 0 можно указать число 6 > 0 такое, что выполняется неравенство
II % (Л %, %) || < 8 при всех t》} если только
1| %0 II < 6.
В противном случае нулевое решение системы (2.2) неустойчиво.
Определение 2.2. Решение х = 0 системы уравнений (2.2) асимптотически устойчиво в области G& пространства {xf} и лежит в области притяжения точки % = 0, если наряду с выполнением условий определения 2.1 выполняются условия
lim % (厶 /0, %) = 0 при f оо
%(/, 4, %)£「при f X
для всех начальных данных % € G& Здесь Г — некоторая область, лежащая в Q (/7) и определенная конкретными условиями задачи.
Сформулируем теоремы, установленные А. М. Ляпуновым.
Теорема об устойчивости [50, с. 82]. Пусть выполняются следующие условиям
Г. Для системы (2.2) в области (1.11) существует определенно-положительная {определенно-отрицательная} функция и (/, %).
2°. Полная производная функции и (厶 ％) удовлетворяет неравенству 黑《° 端》0).
Тогда нулевое решение системы (2.2) устойчиво.
Примечание к теореме об устойчивости. Нулевое решение системы (2.2) будет асимптотически устойчивым, если выполняются условия теоремы об устойчивости и, кроме того, производная в силу системы определенно-отрицательная, а функция V (/, %) допускает бесконечно малый высший предел.
Первая теорема Ляпунова о неустойчивости [50, с. 87]. Пусть выполняются следующие условия.
Г. Для системы (2.2) в области (1.11) существует определенно-положительная (определенно-отрицательная), допускающая бесконечно малый высший предел, функция V (/, х).
2°. Для каждого сколь угодно малого положительно- 2。т]〉0 при /Ат функция V (Л %) может принять при ||х|| < Т)знак, совпадающий со знаком ^-.
Тогда нулевое решение системы (2.2) неустойчиво.
Вторая теорема Ляпунова о неустойчивости [50, с. 92].
Пусть выполняются следующие условия.
1°. Для системы (2.2) существует ограниченная функция V (Л %) при достаточно малом II % || и / > т.
2°. Полная производная функции ％) приводится к виду
^~ =入и + 叫(2.3)
где X — положительная постоянная, а 侬(％)》0.
3°. Для каждого сколь угодно малого положительного П〉0 при t > t функция V (厶 ％) может принять при ||%|| < ц знак, совпадающий со знаком w.
Тогда нулевое решение системы (2.2) неустойчиво.
Эти теоремы составляют основное содержание второго метода А. М. Ляпунова в его первоначальной форме.
Далее понадобится еще одна теорема о неустойчивости, полученная Н. Г. Четаевым [112] (см. также [93, с. 71]).
Теорема Четаева о неустойчивости. Пусть задана автономная система
嘗= 〃%), х^Еп(2.4)
и выполняются следующие условия.
1°. Функции и (%) и (ух (х), / (х)) положительны 6 области Q], еде Qx—подмножество в шаре ||%|| = Н・
2°. и (%) = 0 на & П 屯2，где Q2 обозначает дополнение к ^ в ^х\\ < Н (Q], Q? соответственно связаны с ^ и 02)，_
3°. % = 0 принадлежит fix П Q2, / (0) = 0.
Тогда нулевое решение системы (2.4) неустойчиво.
Определение векторной функции Ляпунова. Рассматривается система дифференциальных уравнений
"^~ = X» (厶 ％i，• • •, %п), % == 1, 2, . . •,几) (2.5)
допускающая нулевое решение %» = 0. Рассмотрим совокупность вещественных функций
% (/, х), s = 1, 2, . . ., m, vs (Л 0) = 0,(2.6)
дифференцируемых по всем аргументам в области R (", т) и объединенных в вектор V = (% (/, %),・..，。小优，％))• Определим норму вектора R формулой
II V (Л х) И = I ^ (/, х) I + ... + I vm (/, %) I
и сформулируем следующее определение.
Функция V (力 ％) допускает в области G (%, т)
||V(/,%)||<"o, f >%
высший предел, бесконечно малый в точке % = 0, если существует непрерывная функция W (х), удовлетворяющая условиям
|| V (/, %) II《步(х) при x^G (%, т),
где W (0) = 0.
Если удастся установить, что в силу уравнений (2.5) IIV (/, х (/)) II -> 0 при ff 8, то отсюда будет следовать свойство асимптотической устойчивости нулевого реше ия системы (2.5). Из ограниченности || V (/, х (/)) || при / > 0 следует ограниченность || х (/) || для решений % (/) системы (2.5). Если же для некоторого 8 > 0 и любого Q〉0 найдутся такие %, %, /0》0, || % || < 6, что для некоторого /〉/о будет выполнено неравенство || V (/, х (/)) || > е для некоторого решения % (/) системы (2.5), то нулевое решение системы (2.5) будет неустойчивым.
Предположим, что производные функции vs (/, %) в силу системы (2.5) могут быть представлены в виде
(九%(£)) c
—%= 5 优，V (/, % (/))) + 〃 (力 ％ (/)),
s = 1, 2, . . ., m,(2.7)
где функции & 0, V) непрерывны и обращаются в нуль при V = 0. Если при произвольных непрерывных функциях UsQ, х), обеспечивающих существование и единственность решений системы (2.7) и удовлетворяющих неравенствам
& (/, %) « U№ %) < % 优，х), 1《s « zn, (2.8)
где us (/, х) и % (厶 ％)——некоторые заданные функции, нулевое решение системы (2.7) является* устойчивым (неустойчивым), то функцию V (f, %) с компонентами % (厶 ％) будем называть вектор-функцией Ляпунова.
Устойчивость нулевого решения системы dy ，成=q (九弘‘ • • • ‘ У A、1《s《加’(2.9)
не должна зависеть от возмущений Us (/, %) при ограничениях вида (2.8).
Замечание 2.1. Термин «векторная функция Ляпунова» введен Р. Беллманом [117]. Мажорирующие функции С8 (/, V) в неравенстве (2.7) предполагаются неубывающими по 、 %_「 %+1， •・・
...,и^. Напомним, что функцию С8 (九 V) называют неубывающей по %%_[, %+],•・・,0加,если для любых (f, и), (f, и) таких,
что
4《4%т & 4-1，%+i《万屮％《W， имеет место неравенство
С$ & S《С§ (/, V), s = 1, 2, ги.
Предполагается еще, что существует 1《/《/и такое, что сумма £ % (/, %) определенно-положительная.
S=1
Системы сравнения. Мажорирующую функцию С (Л V) будем считать определенной в открытой области A uQm(”)X Jo.
Пусть в системе уравнений (2.9) функции С ^ (力 у) определены в некоторой открытой области А (т+ 1)-мерного пространства и при любом s=l, 2, .... tn функция С8 (/, у) является неубывающей по (%,・• •, ys_v ys^v . . ., у/・ При этом через каждую точку 优°, %)£А проходит одно верхнее у (力 % %) и одно нижнее у (Л % %) решение системы (2.9) относительно этой точки и интервала [/0, а).
Пусть на интервале [/0, а) (0 < а < оо) заданы непрерывно дифференцируемые функции 屮】Q),・・.,屮加(f) такие, что 电(fj =骋 при f = %・
Если
号-《С$ (f,屮],・・・，％) v< £ Л» то
Если
dW
》Cs (f‘ *фр • • %) V，G J a'
TO 电(%)>% (乙厶 ％)v^4-
Эта теорема установлена Т. Важевским [131] и широко используется в теории устойчивости движения (см., например, [71—80]).
Рассмотрим вектор т] (/) =(%(/),••・，刀加伍))с компонентами *qs (/), непрерывным при всех / g Ja.
В системе
dy
= С§ (九 У】+У т + %)，s = 1, 2,/и,(2.10)
относительно функций С8 (/, и) предположим, что они монотонно возрастающие по ир . . ., us_v us+1, . . ., ит (сокращенно и), где и = у+ ^.
Скажем, что функция С8 (/, и) называется монотонно возрастающей по ир . . ., 〃$_口 〃s+n •・•‘ 〃加,если для любых и, и таких, что при
〃]< 〃1，%-】< “S-1‘ "s+l < “s+l‘ • • "加 < “zn‘ имеет место неравенство
。8 (*' 〃)< Cg (/,〃)，S = 1 , 2, 加.
Лемма 2.1. Пусть при всех t ^ t0
"伍)《D⑴ 十 У c (s, "(s)) ds 十 ^ (心，(2.11)
где и (/) и т) (/)——непрерывные при всех /》% функции 〃 С(/, и) — монотонно возрастающая по и* и непрерывная по / функция. Тогда
〃Q)《r)(/)+%(f,%,%)(2.12)
при всех /》/°, где у (/, %, %) — верхнее решение системы сравнения (2-10), обращающееся 6 % = у (/0) при / = %•
В связи с оценкой (2.12) имеются работы [126, 121, с.40].
Глава /
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В настоящей главе содержится некоторое развитие второго метода А. М. Ляпунова и его применение в сочетании с принципом сравнения при исследовании устойчивости движения сложно возмущенных и составных систем, обыкновенных дифференциальных уравнений. Развитие состоит в получении новых оценок вспомогательных функций на траекториях возмущенных систем дифференциальных уравнений и их применении к решению вопросов качественного поведения сложных систем с однотипными подсистемами. В основе этого подхода лежат идеи А. М. Ляпунова [50], С. А. Чаплыгина [109], Т. Важевского [131] о дифференциальных неравенствах и некоторые интегральные неравенства [121].
В начале главы (§ 3) устанавливаются оценки вспомогательных функций (скалярных и векторных) на решениях возмущенных систем дифференциальных уравнений и решениях сложных систем с однотипными подсистемами. Эти оценки систематически используются в этой и следующих главах. Некоторые простейшие оценки изменения решений сложной системы рассматриваются в § 4. В § 5 выясняются условия, которые обеспечивают существование определенного типа устойчивости при объединении обособленных подсистем в сложную систему. Здесь рассматриваются связи, ограниченные в каждый момент времени и в среднем.
Наиболее общая теорема об устойчивости сложно возмущенной системы (возмущения параметрические и внешние) формулируется в § 6. Развитый в этом параграфе способ применяется при исследовании устойчивости в конечном сложных систем с однотипными подсистемами (§ 7), а также устойчивости по отдельным заданным координатам (§ 8, 9).
Наибольший по объему § 10 посвящен изучению сложных систем с асимптотически устойчивыми подсистемами.
33333 - 4-761
33
33
В § 11 исследуются возмущенные и сложные системы в случае только устойчивости невозмущенных систем (свободных подсистем). Вводятся новые понятия развивающихся возмущений, которые в гл. II используются при решении вопроса об устойчивости слабо взаимодействующих подсистем с развивающимися связями. Второй метод Ляпунова здесь применяется с систематическим использованием второй производной вспомогательной функции.
В заключительном § 12 предлагается применять при решении вопросов об устойчивости вспомогательные функции агрегатов переменных обособленных подсистем.
Оценки вспомогательных функцийна решениях возмущенных системдифференциальных уравнений
В этом параграфе устанавливаются оценки вспомогательных функций (скалярных и векторных) на решениях возмущенных систем. При этом как и обычно о возмущениях предполагается, что они в том или ином смысле малы. Полученные оценки применяются далее для исследования устойчивости решений соответствующих систем дифференциальных уравнений. Важно отметить, что влияние малых возмущающих сил на устойчивость движения механических систем впервые исследовано Н. Г. Четаевым еще в 1935— 36 гг. (см. [112]; а также обзор В. В. Румянцева в [82]).
Леммы об оценке вспомогательной функции. Рассмотрим две системы дифференциальных уравнений
号=X (f, %, р (/, х), г (/, %)),
警=X(f,%,%, %)•
Вектор-функции р (/, %) м г (力 ％) имеют смысл возмущений параметрических и внешних. Обозначим
R (Л 无,〃 г) = X (/,招 р (Л %), г (/, %))X (/, х> %, т°)
возмущения правой части системы (1.10). Если в выражении функции R (/, х, ", г) вместо переменных % (входящих как в р, так и г) подставить решение х (f) системы (1.10) при / = =4, обращающееся в /, то над выражением, в котором выполнена эта операция, будем ставить черту сверху.
Лемма 3・1・ Пусть выполняются следующее условия.
Г. Существуют функции q (f, %) > 0, • • •, vm (九 ％) > О, непрерывные и имеющие непрерывные частные производные по переменным (九 ％) £R (Я, т).
2@. В области (1.11) выполняются неравенства
帚 + 涼' 'X (f, x, p0,r0) & С,侑 V) (3.1)
где С (/, V)——непрерывные по f 〃 монотонно возрастающие по V функции, определенные в области А.
3°. Существуют интегралы
М (力 ％，%)= ) —^——R (厶 % (/)，p，Г)山，s = 12 …，加,
(3.2)
вычисленные вдоль решения х (/) системы (1.10), обращающегося 6 % при / = /0.
4°. Существуют постоянные М8 (Я) и интегрируемая на 厶 функция Л (0 такие, что
DvDv x)
一方一R (力 x, p, r)^— R (力 X, p")《Mg(H)h ")
(3.3) и интеграл
\h(s)ds(3.4)
ограничен при 石《f < 8・
5°. Существует верхнее решение / (/, /0,如)системы сравнения
% = С 储у + Т (3% х0)+ и (0),(3.5)
где о (/) = (% 0),・・・，％ (/));%(/)= М В) У 八(s) ds при начальных условиях (/0, f/0) G А.
При выполнении перечисленных условий для функций %(厶％) вдоль решения х (/) возмущенной системы (1.9), для которого v8 (/0, х0)《％$, справедливы оценки
q 侑 % (0) 《 近 匕 % %)+ £ 占 %，%)+。帛 0) (3・6) при всех f > % s = 1, 2,... ,/n.
3*35
Очевидно, что оценку (3.6) можно получить и для функции
т
и (/, %) = £ % (厶 ％)аналогнтно предыдущему： s=l
и (f，х (/))《у & % %) + 7 (/, % х°) +。(0(3.7)
при всех t > % где у (/, %, у。)一 верхнее решение скалярного уравнения сравнения
鲁=С 也 y + T(t, %, %)十 а (0)
при
7 (力%%)=) z京R (т, X (Т), р, г) dq to s=l
о (/) = М (Я) j 似s) dst М (") = const〉0.
to
Доказательство. Учитывая условия (3.1) — (3.4), для полной производной функции vs (厶 ％) получим оценку
dvo сDv (厶
才《Q (f, V) +R (f, %, P") + Ms (〃) h (/), (3.8)
выполняющуюся при всех / > %・
Образуем с помощью вектор-функции С (厶》)систему сравнения
黑=С&,у + Т© %, %) + @ (/))・(3.9)
В силу условия 5^ на J& обеспечено существование ее верхнего решения у (厶 *), %) при
У = Vmax ^0 — 7 0，%%)— О(%)・(3・10)
Из (3.8) вытекает
% (/, х (/)) « % (%, %) + J [С6 (т, V)] ат + Т№ %, %) + j (/)・
(З.И)
Отсюда в силу леммы 2.1 получаем оценки (3.6).
Случай классических возмущений. Рассмотрим приложение леммы 3.1 к классическим возмущенным системам
* = X(f,x) + R(t,x),(3.12)
где X — n-мерная вектор-функция, определенная в области (1.11), R (/, х) -—постоянно действующие возмущения. Предполагается, что решение системы (3.12) существует и единственно при t Ja и xQ Qo-
Будем различать два случая возмущений.
Случай /. Функции R (/, х) практически неизвестны. Относительно их предполагается лишь, что они удовлетворяют общим условиям, обеспечивающим существование единственного решения системы (3.12), достаточно малы и R (力 0) =/= 0 при х = 0. Это соответствует случаю классических постоянно действующих возмущений [52, с. 301; 82, с. 51].
Случай //. Функции R & %)——суть известные функции переменных х^ ... t хп быть может более высокого порядка по сравнению с X (/, %) и R (厶 0) = 0. Кроме того, существует постоянная M^>Q такая, что [| R (f, %)[[<〃 равномерно относительно t £ [/0, оо).
Следствие 3・/. Пусть для невозмущенной системы
岑=Х0,%),(3.13)
соответствующей (3.12), существуют скалярные функции V (厶 ％) и С (厶 и), где V (厶 ％) определенно положительна С (/, у) непрерывна по /, монотонно возрастает по и н удовлетворяет следующим условиям.
Г. В области (1.11)
警 + ^^ X 侑 ％)《С (Л и)・(3.14)
Существует интеграл
,
(3.15)(3.15)T^^x^^^^^Rit, x)dt
(3.15)
(3.15)
вдоль решения % = %(/) невозмущенной системы (3.13) (力(^о) = %о，%о * 0).
3°. Существуют постоянная М (//) и интегрируемая на JT функция h (f) такие, что
^^Rd%)-^5^/?^,%)《M(H)h©
и интеграл a (t) = М(Н) ^h(t) dt на Ja ограничен.
署=5厶!/+7(/4/)+0(办署=5厶!/+7(/4/)+0(办(3.16)(3.16)4®. Существует верхнее решение /(力厶％) уравнения сравнения
署=5厶!/+7(/4/)+0(办
署=5厶!/+7(/4/)+0(办
(3.16)
(3.16)
принимающее значение % при / = /0, где
У о =哈ах(%)— 7(%"(р %о)— ° «о)，
При выполнении перечисленных условий вдоль решения % (/) возмущенной системы (3.12) для функции и (/, %) справедлива оценка
v(t9x f))《，&：,%) +T(t /Рх0) + о(/)(3.17)
при всех / > /0, лишь только и (/0, /)《％• Остановимся теперь на случае I.
Следствие 3.2. Пусть существуют функции и (/, %) и С (力 и), указанные в следствии 3.1, и выполняется неравенство (3.14).
Если интеграл
o(f)=M("i) jA(f)成(3.18)
ограничен, где
M("i) = sup(。犷 I при ||%||《"'
а уравнение сравнения
* = Cg + u©)(3.19)
при (%, %) £ А имеет верхнее решение у (/, %,如) при всех / > /0 и и (/(), х0)《Уо» то для функции и(/, %) справедлива оценка
0(/, % (/))《0(厶儿，如 +0(/) W > 小
При исследовании возмущенных систем (3.12) и других задач, сводящихся к этому виду систем, наряду с системами (уравнениями) сравнения (3.16) применяются возмущенные системы (уравнения) сравнения (см. [76, 79] и др.)
М = С%!/) + М(匕)g(f,u),(3.20)
где
g(/,o) = sup(||R (厶 ％) ||:%£М^°)・
Приведем следующее утверждение.
Лемма 3.2. Пусть выполняются следующие условия.
Г. Существует вектор-функция сравнения V (/, х) для невозмущенной системы (3.13).
2°.
專 + 上察 X (/，х)《G (/, V) (3.21)
〃р〃(％, %) Е а。’ (％，%) € А・
3°. Решение х (/, /0, х0) системы (3.12) и верхнее решение у (力 %, %) системы сравнения (3.20) определены на Г =怖,т). Тогда
V(/, %(/))《％(/,%, %)(3.22)
пр〃 всех f£7\ лишь только
V (",%)《％•(3.23)
Доказательство более общего утверждения приводится в работе [76].
Рассмотрим некоторые примеры, иллюстрирующие применение приведенных лемм. Для простоты будем рассматривать скалярные функции и (Л %).
Пример 3.1. Пусть задана система dx Л dy 协
где 儿卩一действительные числа. Для функции и « — х^
dv
М ==一仇+阳刘=(A +n)а
Уравнение сравнения (3.5) примет вид dy ч = С (f, y)t
где С (/, у)=(九十卩)у. Пусть % = — %% (%% > 0), тогда
〃厶%那)=一 %"仅+闺"T" и, следовательно,
и (% ⑴,U(/))《力《,%,%)
при всех t 0а，
Пример 3.2. Рассмотрим возмущенную систему
鲁=%2 + R &%]，％)，*^ = — %] —о(或一1)尤2 • (3.24)
Для функции " (хр %2)= Х1 + ^2 получим
翁=2%]R (/, Хр %2)— 2^2(xi — 1)・(3.25)
Пусть
2/R (/, хр 々)《2о (Xj + 名)+ 2а%2 (%； — 1)，
(F %) С ◎(〃])•
При этом выражение (3.25) принимает вид dv с
и аналогично предыдущему находим
。(/ С)，%2«))《О"，％ %)，
где一
/(<，%，%) = 11 % 俨产 J"・
Оценки для сложных систем с однотипными подсистемами. Рассмотрим теперь сложную систему dx
^^ = /s 侑 x$) + 尸$('，X],…，x§—], Xs_|_p ..., xj s = 1, 2,…，ш,
(3.26) с однотипными подсистемами, где
т*
Xs£E「s，工厶=九，q = dim%s， s=l
и предположим, что ее решение существует и единственно в области Qj (Я, т).
Рассмотрим векторную функцию Ляпунова
V (/, х) = (% (厶 X]),. •., % (f, x〃j), 40
обладающую в некоторой окрестности невозмущенного движения следующими свойствами:
寸 + fs (厶 &)《G(力 V)，(3・27)
II v (力明I《q 心 II2,2 % & x) > G h ll2> (3.28)
S=1
где % q〉0・
Предположим также, что в области (Гл \ F J х JT dx
вдоль решения систем 才=/s (/, xs), s = 1, 2,... ,m, при xs (Zo) = x? существуют интегралы
①s (f，％，％)= j ^У^ & G，彳山.(3.29)
Лемма 3.3. Пусть выполняются следующие условия.
1 °. Существует векторная функция Ляпунова, обладающая свойствами (3.27), (3.28).
2°, Существуют интегралы (3.29) 6 области
(Г*л \ Г J X % и Q (//) X J。•
3°・ Существуют постоянные MS(H) и интегрируемая на J функция ф (0 таковы, что
-^&依%)——&俏X)《低(")中(力
и интегралы
о(/)=展(〃)j ф (s)ds
ограничены 〃р〃 t^JT.
4°. При / > ： (%£%) существует верхнее решение
У (厶 %，％) системы сравнения
岑=С0,у+①(厶厶修)+。(/)),(3.30)
принимающее значение у* при t =八，еде 財=(у» ・.・，у) с компонентами
У严咐max &)- Ф1(f 1，4, %)-0(川，
Уm =* max 侑)-①仅(4，/0, %)一0他 ^^
При выполнении перечисленных условий для компонент % (九X),・••,%(/, х» на решениях xs (0 подсистем сложной системы (3.26) имеют место оценки при всех / > /х
% 侑 xs (/))《厶(力 /, %) + Ф5 (/, %, %) + °s (f),(3.31)
лишь только % (%, х?)《f/汕
Доказательство этого утверждения проводится аналогично предыдущему с использованием леммы 2.1.
Оценки (3.6), (3.17), (3.31) находят применение для динамического анализа классических систем с постоянно действующими возмущениями, систем с последействием, с неполной информацией и особенно сложных систем управления. При исследовании последних появляется возможность эффективного учета взаимовлияния в многомасштабной системе независимых подсистем при подключении или отключении фиксированной подсистемы.
Оценки изменениярешений сложной системы
В этом параграфе устанавливается изменение решений многомерной системы при изменении начальных условий и некоторых ограничениях на функции связи подсистем. Эти оценки используются далее при решении вопроса о сохранении устойчивости при переходе от обособленных подсистем к сложной системе. Самостоятельный интерес они могут представлять при оценке движения индивидуальных подсистем, составляющих систему достаточно большой размерности.
Вспомогательная лемма. Приведем вначале следующую лемму.
Лемма 4.1 [3]. Пусть и (/) — непрерывная функция, удовлетворяющая при f〉" неравенству
О < и (0 < б + j (г) + Lu (s))由， (4.1)
где 6, т), L — постоянные и 6 > 0, п > °， Ь > 0. Тогда справедливо неравенство
〃(/)< +(е"-'“ — 1) + 鲍・(4.2)
Доказательство. При / = /0 неравенство (4.2) очевидно. При /〉％, если только разность / — /0 Достаточно мала, справедливость оценки (4.2) следует из непрерывности функции 〃(/)• Предположим теперь, что в момент / = г неравенство (4.2) нарушается, т. е. превращается в равенство. Из (4.1) при / = т получим
"⑺ < 6 + j 卜 + L肾(J(i)一 1)+ 毘击.
Интегрируя выражение в правой части неравенства, получаем
и(^<^(『(—"一 1)+ &D,
что противоречит выбору значения т. Лемма доказана.
Оценки отклонения решений свободных и взаимодействующих подсистем. Перейдем теперь к вопросу оценки изменения решения сложной системы
警=Х&%,尸&%),(4.3)
где xQEnf вектор-функция X (/,%,〃) имеет ограниченные частные производные & / = 1,2,/п) в области Q(〃,
т), функции 尸(厶 ％)=(尸1 (f, x),... , Fm (f, %)) именуются связями, причем Fs (/, x) не зависит от xs G ^s- Сокращенно далее х обозначает (/xs_p 么+卩•・・，#J Предположим, что связи 尸 0, х) малы, и представим правую часть системы (4.3) в виде
X(f,%F(/3) = X(f,%0) + ^| 尸&》+・・・
Учитывая это, систему (4.3) можно аппроксимиров ать приближению системой
冷=Х(九％,O)+Q(fj)(4.4)
с аддитивно входящими функциями связей Q (/,%). Здесь 尸(/；)•
Предполагается, что система
罂=X (/, у, 0) представима в виде
~^ =八(/，У$)， s=l,2, ・・・，〃z(4.4)
Следовательно, систему (4.4) можно переписать так:
丁 = %(f，Xs)+ Qs(f,x), s = 1, 2,... ,m.(4.5)
Пусть в области
11%11《〃，I国 <"，/>т выполняется неравенство
||X(Q,尸侑 ^)-Х(/,у,0)||《
《LII% — у|| + IIQ (/, %)II，L〉0 — const, (4?6) и связи подсистем Q (/, х) ограничены постоянной т] = const〉0 IIQ(/U)II《4(4・7)
Здесь и далее при рассмотрении сложных систем (4.5), состоящих из подсистем обыкновенных дифференциальных уравнений (4.4), норма вектора х определяется формулой
II % II =
где ||Xsl| — евклидова норма вектора х$£Е%・
Рассмотрим теперь решение у (/, /0, х0) системы (4.3) и решение х (/, /0, х0) системы (4.4). Пусть начальные условия, определяющие эти решения, удовлетворяют неравенству
11/一片11<九・(4.8)
Теорема 4.1. Пусть выполняются условия (4.7)— (4.8), тогда при fо《/《% + Т имеет место оценка
II x(t)-y (/) II《+ [е“т°)-U + M〃f).(4.9)
Доказательство. Представим уравнения (4.3) и (4.4) в виде интегральных уравнений
/〜
% С) = %о + j X (f, %,尸(厶 ％) df,
у (0 = % + J X (it yt O)dt»
Отсюда в силу условий (4.6)——(4.7) нетрудно найти
Wx^-yiOWO. + ^^ + LWx^^y^Wjdt.
Оценка (4.9) следует теперь из леммы 4.1.
Отметим случай, имеющий место в реальных составных системах, когда 入=0 н 乳 # 0. При этом оценка (4.9) принимает вид
ll%e)—y(/)ll《£(e"f—l)・(4・10)
Из этой оценки следует, что для заданного постоянного Л можно подобрать такие ограничения на функции связи подсистем (величина т] > 0), что на отрезке /0 < / < /0 + Т будет выполняться условие
\\x(t)^y(t)\\<A.(4.11)
В частности, если функции связи Q (/, %) непрерывно зависят от некоторых параметров 0 € R то оценка (4.11) указывает на возможность «управления» отклонением решения подсистемы надлежащим выбором параметров 0 из допустимого множества Ф.
Предположим теперь, что функции связи подсистем подчинены оценке вида
||F(/,xj||4M||x||, М «const > 0(4.12)
и нулевое решение системы (4・4‘) устойчиво, т. е. удовлетворяет неравенству
IIУ (Л z0> ^о)II < е' ПРИ всех / > /0,(4.13)
лишь только II у01| < 6\ е' — сколь угодно малое положительное число.
Теорема 4.2. Если выполняются условия (4.6), (4.12), (4.13), то на интервале времени tQ^t <tQ + T имеет место оценка
II % ⑺ Т ⑺ II《^г ［产+L)(F 一 1］(4.14)
при одинаковых начальных условиях для решений х (/, /0, %о) “ У (厶 /о，%о) •
Доказательство. Как и выше, нетрудно получить неравенство
II x(t)-y (0||《f ［LИ x(t)^y 优)И + МII% (0 К ］必・(4.15)
Учитывая, что
11%(31《心(川1 + 心(0一(/川，(4.16)
а также условие (4.13) из (4.15), находим
II 尤⑴ 一 9 (ОН & j W +(M+L) ||x (f) - у (0||］山・(4.17)
Теперь оценка (4.14) следует из неравенства (4.17), к которому следует применить лемму 4.1.
Замечание 4./. Легко повторить выкладки теорем 4.1 и 4.2 для систем (4.4) и (4.5):
-^а = f§ (厶 хJ + Q§ (厶 ％), s = 1 > 2, • • • , /п,(4.18)
и
祟=%3(4・19)
Полученные при этом оценки будут характеризовать отклонение решений свободной фиксированной и соответствующей ей взаимодействующей подсистем.
Системы с малым параметром. Рассмотрим сложную систему, содержащую малый параметр
^=А^х + Н((.х) + ^^^^\(4.20)
幫=B(t)y +叫©х,у),(4.21)
где % — n-мерный вектор,(i — малый параметр, Н (/, х)—小 мерная вектор-функция, удовлетворяющая условию Липшица по х с константой A。и непрерывная по f. Функции связи 尸 1 и 尸2 удовлетворяют условиям Липшица:
|( 尸 1 伍,居 y)-禹(力 %、力 II《L J X - %‘ II + % IW - / lb (4 22丿
II f2(九 X，外一尸2(力 %‘，川 П《4 II % — %' II + 4 I® 一 /11.
Пусть также при % = у = 0 функции 尸】，F2, И ограничены: II尸工,0,0)||《%, |1%(九0，0)11《%，ll"(f，0,0)ll《%，(4，23) а для фундаментальных матриц Md, t) и N2 (/, т) подсистем 雾=4(g，(4.24)
%=B(f)y(4.25)
имеют место оценки
II生(力哄I = 1, II%2优，叫I « CL"气〉0,。> 1,f>т>0)・ Пусть % (/, /0, %) — решение подсистемы (4. 24). Обозначим иерез у (/, 4, х (т)) решение дифференциального уравнения
华=3 (f) y + 叫(力 土(力，力 У 伉)=% •(4.26)
Уравнение (4.26) эквивалентно интегральному уравнению
У (f，％，％ ⑼=%2 侑 ％) % + 可牝佑 S)尸2 (S，£ (s)，У (s)曲， “(4.27)
I з которого нетрудно получить ряд оценок для решения У (Л %, % (т)).
Пусть теперь Ь2^з #= 0, ^ > 厶()•
Тогда при % ⑴ w О
1也优,%, 0) IY СII y. II 6-厶。’ + m I em厶/‘，厶6 =九 T N 1也.
Следовательно,
У (Л У^ 0) G D с: £п,(4.28)
где D — некоторая ограниченная область и у (/, %, 0) про- должимо по / на Ja. Это обстоятельство понадобится при исследовании частичной устойчивости двухроторного гирокомпаса с успокоителями колебаний.
Пусть далее % (/) — решение полного уравнения (4.20) и при всех т《/ справедлива оценка
II%(/)—%(/)И《g(t)・
Как и выше из уравнения (4.27) получаем такую оценку:
IIУ 侑弘 % (0) 一 У (力弘£(£)) 11《с6-" II 火一% II +
+ \li\CL3^e-L^q(s)ds.о
В частном случае, если
||%(T)-£(t)||《Qe"f и
X — L — J |л I С"〉0, имеем
IIУ 侑 0,无优))一у (/, 0,х (/)) И < I |х I C%Q (九一L — I 卩 I CL/т. Пусть
II 尸2 (厶爲 0) II《a II X \f (n > 0, a — const) и
心(叫1《心。1f
九—nL — I 卩 I C厶4〉。•
Тогда для у (/, 0,尤(/)) справедлива оценка
||//&0,х(0) IKInlCa仇一泣— iNlcLjThiR
Приведенные неравенства позволяют оценить поведение решений подсистем в зависимости от изменения функций связи и структурных элементов самой сложной системы.
Влияние связей на устойчивостьсложной системы, полученной объединениемобособленных подсистем
Исследования, приведенные в этом параграфе, посвящены выяснению вопроса о свойствах решения сложной системы, полученной при объединении индивидуальных подсистем функциями связи, подчиненными различным ограничениям, встречающимся в реальных системах.
Связи, ограниченные в каждый момент времени. Рассмотрим системы
* (厶 y)，(5.1)
今=fs e，Xs)+Qs«，名，S= 1,2,.. .,/n,(5・2)
где x$ £ E「, вектор-функции fs и Qs подчинены ограничениям, обеспечивающим существование единственных решений этих систем при х§ %) = х?, у§ (%) = у?・
Приведем определение устойчивости системы (5.1) при наличии связей, ограниченных в каждый момент времени.
Определение 5J. Невозмущенное движение системы (5.1) называется устойчивым при наложении функций связи Q (Л х), если для всякого положительного е существуют такие числа %(£)〉0 и т]2 (е)〉0，что всякое решение уравнений (5.2) с начальными значениями, удовлетворяющими неравенству
11%11<П1(е)
при наличии связей Q (/, %), подчиненных в области D оценкеIIQ (九力 II < %(£),
удовлетворяет при всех / > /0 неравенству
11%(”|О
Следующая теорема оценивает влияние ограниченных в
49494 - 4-761
49
49
каждый момент времени функций связи на обособленные подсистемы.
Теорема 5.1. Пусть выполняются следующие условия
1°. Для подсистем (5. 1) существуют функции 力(/, х)》0, • •・，％ (/, xw) > 0 〃 функция V (/, х)
% (/, х)十・• • + % (Л х/ определенно-положительная.
m
2°. Полная производная функции £ % 0' х) 6 силу
S=1
ограниченыограниченысистемы (5.1) onределенно-отрицательная.
ограничены
ограничены
3°. В области Q (〃，т) слагаемые 工
s=l постоянными Ms > 0, s = 1, 2,..., m.
Тогда нулевое решение сложной системы (5. 1) устойчиво при наложении достаточно малых связей, ограничен- ных в каждый момент времени.
Доказательство. Зададим произвольное число е > О и найдем другое число
九=inf 回 0, к) + ・・・ + vtn (/, х/ при II х II = е, f > %］・
Подберем число % (е) так, чтобы
т
Е 4(/, х) < X при II Xs II < «п» г > b (5.3)
Рассмотрим теперь вдоль решений xs (/, %, х", s = 1, 2,...
...,m, систем (5.1), выходящих из области || х° || < т)р из-
т
менение функции Е % 侑 х)
s=l
Согласно второму условию теоремы 5.1
£ ［寡 +■E^%('，xj］《—^(54)
т
Учитывая (5.4) длп полной производной функции £ vs (力 xs),
$=«i
в силу системы (5.2) имеем выражение
寄《一好+叱QsG，й
S=1
Отсюда в силу условия 3° теоремы 5.1 легко найти оценку
т
■J《一依+ £М IIQ$(/，»"•
S=1
Теперь выберем %(£)таким, что в области q《||х||《8 вдоль решений х§ (厶 4，х) функция d(/,x) будет убывать, т. е.
罂 < —6, 6 = const > 0.
Легко видеть, что эта оценка будет иметь место, если
n2 (8)=(胪-6 (工也).
Следовательно»
и 伉 ％ (0) <и (%, %) — 6 伍一Q
вдоль всяких решений xs 僧 %, х》в кольце % « || х ||《е.
Предположим теперь, что существуют решения xs (/, /0» х°) такие, что ||х?|| < % ⑻ и || хД/р/0, х^) || > 8 для некоторого 厶 > fo・ При этом в силу непрерывности решений х$ (/) найдется значение % < % < ：, при котором
II 力(％ Ар %о)II = £•
Тогда получим неравенство
V (/, х (/)) > X при / > &(5.5)
которое противоречит (5.3) и (5.5). Это противоречие показывает, что траектории х$ (/, %, х°), начинающиеся в области || xgу < % ⑻,остаются в области ||х|| < 8 при всех / > 小
Теорема доказана.*
.* Теорема 5.1 является теоремой И. Г. Малкина [51] для сложной системы, состоящей из подсистем с малыми в каждый момент времени объединяющими связями.
Если же подсистемы с вырожденными функциями связи равномерно по /0 асимптотически устойчивы, то имеет место следующее утверждение.-
Теорема 5.2. Пусть выполняются следующие условия.
Г. Невозмущенное движение системы (5. 1) экспоненциально устойчиво, т.е・ существуют постоянные е\ а, 8 > 1 такие, что при || yQ || < А/ имеет место
IIУ (/) II《£‘ Н IIУ ⑺ II《规7—a(i)・(5.6)
2®. Правые части систем (4. 3), (4.4) удовлетворяют неравенству (4. 6).
Тогда существует М。> 0 — const такое, что при любых связях Q (/, х), удов лет воряющих неравенству
HQMIKM И х||, МСТИ。，(5.7)
равномерная асимптотическая устойчивость сложной системы (5.1) сохраняется.
Доказательство. Покажем, что существует М〉0, при котором сложная система (5.1) равномерно по /о асимптотически устойчива, если невозмущенное движение обособленных подсистем обладает этим типом устойчивости.
Пусть при f = f° > 0 начальные значения % (幻= =у (幻=%0 удовлетворяют условию |( х01| <九'，где у (/)— решение, продолжаемое на всю полуось / > /0, и удовлетворяет условию (5.6). Согласно теореме 4.2 об оценке отклонения решений следует, что пока !|х|| < ", в некоторой окрестности точки /0 справедливо неравенство
II ^)-у (ОН < 等г一 1]
при одинаковых начальных условиях.
Пусть теперь для произвольного 0 < 8х < 8 < // справедливо неравенство || у (/) || < -^ , а величины Т = ^ 1п4В и М настолько малы, что выполняется неравенство
爲…力一y.
Учитывая (5.6) и полагая £‘《 备,для некоторого 友〉" из неравенства е = ||%(匕)II < |悟(％) || + ||%(匕)一У (* || находим
8 = || X (/х) И < у +< 8.
Полученное противоречие показывает, что при /0 + Т《 《f《办 + T + т имееt место оценка
11%传)1|<^-山+烏=矗.
Продолжая рассматривать решение %(/) на интервалах длины [% +〃 (户 + т), % + (九 + 1) (Г + т)], заметим, что если II % 仇)II < 昜，то при / = % +〃 (Т +1) решение % (/) лежит в е/2л-окрестности точ и х = 0. Это и доказывает равномерную по /0 асимп готическую устойчивость решения х = 0 сложной системы (5.2).
Влияние связей, ограниченных в среднем. Приведем теперь определение устойчивости сложной системы (5.1) при наличии связей Q (/, %), малых в среднем.
Определение 52 Невозмущенное движение % = 0 сложной системы (5.1) будем называть устойчивым при наличии связей, ограниченных в среднем, если для любой пары чисел 8 > 0 и Т > 0 можно указать два таких числа 6 > 0 и т]〉0, что при выполнении неравенства
t+T
J 屮(s) ds < Т],где 屮(/)——непрерывная функция, удовлетвори огцая условию
IIQ (Л х) |( < ср (/), % £ Q, каждое решение %(/,%,%) системы (5.2) с начальными дан- ными К xG I/ < 6 удовлетворяет неравенству
1| % (九 /()' %о)Н < в
При всех f > Ь
Замечание 5.1. Это определение является обобщением определения 5.1, сформулированного на основе определения И. Г. Малкина [51], в том смысле, что движение, устойчивое при наличии связей, ограниченных в среднем, тем более устойчиво при наличии связей, ограниченных в каждый момент времени.
Теорема 5.3. Если невозмуа^енное движение % = 0 сложной системы (5.1) асимптотически устойчиво равномерно по х0 и /0, то невозмущенное движение % = 0 сложной системы (5.2) будет устойчиво 枕р〃 наложении связей, ограниченных е среднем.
Доказательство этой теоремы проводится аналогично имеющемуся доказательству теоремы об устойчивости при постоянно действующих возмущениях, ограниченных в среднем [18].
Приложение георем Н. Г. Четаева о влиянии новой связи. Пусть %v обозначают значения нормальных координат системы. При малых ||xv|| новую связь можно записать уравнением
2= ° "加 2=。，(5.8)
v=lv=l
где постоянные Av не все нули, а 6%」一возможные вариации нормальных координат. Уравнения движения системы со связями (5.8) могут быть записаны в виде
e(入+认+卩4曲=0， v=l
откуда
+ 入v"v + 卩"v =。，v = 1, 2,.・.，九， (5.9)
где 卩——неопределенный множитель.
Из (5.9) видно, что если 4V = 0 для некоторых xv, то уравнения движения будут сохранять свой вид. Влиянию новой связи будут подвергнуты те координаты, для которых Ду * 0. Найдем характеристические показатели для координат xv, стесненных новой связью. Пусть
% = В』кт н 卩=MeU-м , тогда из (5.9) и уравнения связи (5.8) находим
与(％ —九)+ 4M = 0, v = 1,2,. <. ,n и
Из этих соотношений получаем
/仇)三工九「％ = 0,v=l
В это выражение входят лишь те значения %、…入 из 九у, которым отвечают отличные от нуля постоянные {”•
Функция /0) при изменении 九 на интервалах (九屮，А^ ) будет переходить от положительных значений к отрицательным, и, следовательно, / (X) будет иметь по крайней мере один корень. Исходя из этого, на основе результатов Н. Г. Четаева [112] сформулируем следующие утверждения.
Теорема 5.4. Если начальное положение равновесия композиции систем устойчиво, то при наложении новой связи устойчивость будет сохраняться.
Теорема 5.5. Если начальное положение равновесия композиции свободных подсистем имеет степень неустойчивости, больше 1 (число неположительных Xv), то при наложении одной новой связи неустойчивость положения равновесия сохраняется.
Теорема 5.6. Если начальное положение равновесия композиции свободных подсистем имеет степень неустойчивости, равную / (т. е. число неположительных Xv равно /), то наложением одной подходящей новой связи положение равновесия может быть упрочнено.
Общие теоремы об устойчивостии оценке решений возмущенных систем
В настоящем параграфе приведены две общие теоремы об устойчивости возмущенных систем дифференциальных уравнений. Вопрос об устойчивости в теореме 6.1 связан с фактом поведения верхнего решения системы сравнения; в теореме 6.2 — с наличием количественных ограничений на изменение верхнего решения соответствующей системы сравнения. Теорема 6.2 дает возможность эффективно исследовать системы на заданном интервале времени при конечных начальных и последующих возмущениях.
Теорема об устойчивости сложно возмущенной системы. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в векторной форме
崇=Х@,х,р (/, х), г (力 х)). (6.1)
Предположим, что функции р/ (/, х) определены и непрерывны в области В (1 + fe)-меркого пространства Е1+л. Функции rL принадлежат семейству суммируемых функций {九} и могут рассматриваться как постоянно действующие возмущения.
В качестве «невозмущенной» системы, соответствующе й (6.1), будем рассматривать систему уравнений
嘗= Х(/,%,р。，％),(6 ⑵
где %£{р» (厶 ％)} и ^0€kz(/»x)} фиксированные элементы, причем % = (р01,..., %J и % = (%i，• • •,
Систему (6.2) будем рассматривать при возмущениях
R (Л %, р") = X (九 х, р 侑 х), г (Л %)) — X (/, х, Ро"о), (6.3) относительно которых далее примем некоторые соглашения, учитывающие характер зависимости от р и г.
С системой (6.2) рассмотрим векторную функцию Ляпунова
V(Л %,%,%) = (% • • •, %),(6・4)
компоненты которой %(/,%, %, %) учитывают зависимость от р0 и %・ Если при каждом наборе р0, г0 из {円(/,%)}, {rz (/, х)} векторная функция (6.4) будет обладать в силу системы (6.1) нужными свойствами, то задача об устойчивости будет решена.
Мажорирующую вектор-функцию C(/,V) рассмотрим в области
||V||<%, >0,(6.5)
где
"i〉R= sup (||V(Лх,р0,r0)II при %£{丛佑％)}, (x，t)tQi(H,x)
%£ 亿侑 ％)})•
Пусть в области Q(//,r) выполняются неравенства
等 +芻Х(厶爲Ро，%)《Q侑V), s= l,2,・・・，m,《6・6) где С8 (九 V) — непрерывные по f н монотонно возрастающие по V.
Предположим, что функции R (Л х, р, г) непрерывно дифференцируемы по р и г. Тогда с точностью до линейно входящих р (厶 ％) и г 优,х) их можно представить в виде
R (Л %, р,厂)=屏储居 0, г) + 匕(/, х, р, 0) +，
+ p (九%) +齊 Г (/, %) + ...
Обозначим
"s= supпри po€{pj» Р^{г^8=^2,...,т9
И
鵰T)(愕Lj心)+果I /仏HI
при p(f,x)£{pj, r 优,％)£"/})•
Пусть 凡(厶 ％, p, 0) и R，(Л %, 0") таковы, что имеют место оценки
\\RP (Л%，Р，О) ||<(р(/),(6・7)
^Rr (Л^О, И ^<^(t)(6.8)
при всех / А % и % £ С (Я), где функции 屮(/) и 屮(/) интегрируемы на любом конечном интервале.
Этим обеспечивается существование интегралов
0S (t)^yMs^(r)dxf(6.9)
备
々(f) = yMs J x|)(t) dr,(6.10)
которые используются далее при построении систем сравнения. Учитывая выражения (6.6)—(6.10), образуем возмущенную систему сравнения
黑=С优，加+ "⑴，(6.11)
где
"优)=9(分+x优)，
8© =(4(f), ・••，％《))， x(f) = (%(f), •・・，％(/)) (6.12)
суть функции, интегрируемые на каждом конечном интервале.' '
Введем обозначения
J 11"⑺『血J 11"⑺『血丫产'関 11〃 (削，Vi = sup ( [| и (r)|| dr,/叶1\l/2
J 11"⑺『血
J 11"⑺『血
Наряду с системой (6.11) будем рассматривать соответствующую ей невозмущенную систему сравнения
黑=e侑办(6.13)
Определение 6・/・ Нулевое решение у = 0 системы сравнения (6.13) называется устойчивым относительно %,.・.,у при 芻》0, • • •, у, > 0, 1 < Z < т, при постоянно действу, ющих возмущениях, если для любого е > 0 можно подобрать положительные числа у и 6 такие, что для решения системы (6.11) имеет место неравенство
1也侑%%)1|<0(6. m)
при / > /0, как только || у° || < 6 при у?》0 н выполняется одно из условий
a) Yo《》 б) %《у, в) & « Y- (6.15)
В зависимости от выполнения одного из неравенств (6.15) будем говорить, что нулевое решение системы сравнения устойчиво при постоянно действующих возмущениях, ограниченных (случай а), ограниченных в среднем (случай б) и ограниченных в среднем квадратичном (случай в).
Пример 6.1. Пусть правая часть системы (6.11) в окрестности точки у = 0 такова, что имеет смысл выражение
■^■ = P(t)y + C^ y) + u(t)t(6.16)
где Р (/) — (m х т)-действигельная матрица с непрерывными на каждом конечном интервале элементами, вектор-функция С(/, у) такова, что в области А и Qm
II 彦& у) II《厶 I" II，厶〉0 —const.(6.17)
Обозначим ^ (f, т) матрицу Коши линейной части системы сравнения (6.16):
黑=Р⑴协(6.18)
и предположим, что
II 2 & т) II《B「a(f(6.19)
где (а. В) — положительные постоянные, не зависящие от т.
Лемма 6.1. Для нормы решения у (/, /0, у^) системы сравнения (6. 16) имеет место оценка
IIУ 仏 ％ 州!I & В (①I ⑺ + Ф2 (0),(6.20)
где
① I a) =「/]% II,9；>0 ……成 >0,
Ф2 (0 =「統 § 幽 〃 (s) ds,
о
九=a — BL.
Доказательство. В силу условия (6.19) оценки (6.20) получаются из эквивалентного уравнению (6.16) интегрального уравнения
У & % У} == 乂 & %) % + j 2 (S, %) © (s, y)+u (S)] d£fo
①2«）《差;①2（f）《 [Y』・①2«）《差;①2（f）《 [Y』・(6.21)(6.21)一 Напомним попутно, что для функции Ф2 (0 известны [4] следующие оценки:
①2«）《差;①2（f）《 [Y』・
①2«）《差;①2（f）《 [Y』・
(6.21)
(6.21)
Теорема 6.1 (об устойчивости возмущенной системы сравнения). Пусть в 晚окрестности точки g = 0 выполнено условие (6.17) 〃 имеет место оценка (6.19). причем постоянные а, В и L связаны соотношением
X « a —^ BL〉0.
Тогда решение /(J % %) системы сравнения (6. 16) при 阴> 0,,.. •・•，成 > ° “ II 川 1|《肃 будет удовлетворять неравенству ]\ у (t, /0, 9°)II < е 叩〃缈е% /》% лить только будет иметь место одна из оценок
Y0 < 15 %
h V 壶 0(1 if
е / 2Х \1/2 厶 %< 2В(If).
(6.22)
Доказательство теоремы получается на основе оценки (6.20) нормы решения У (L %, %) и неравенств (6.21).
Теорема 6.2. Пусть в области Q (Н, т) существуют функции vs (Л х, р0, г0), обладающие такими свойствами.
Г. Функции 以侑％,Pg,%) > 0, 1《/《团 и функция tn
V (厶х,Ро，%) = Е 4侑爲%，％) определенно-положительная, допускающая бесконечно малый высший предел и имеющая ограниченные частные производные | ^-|《 々 < оо.
2°. В области Q (Я, т) выполняются неравенства (6. 6).
3°. При возмущениях и (/) (ограниченных, ограниченных в среднем, ограниченных s среднем квадратичном) решение у (/, %, %) системы сравнения (6. 11) устойчиво относительно Уъ• • * ^ УI 枕р〃 У； >。, • • •，У? >。・
Тогда нулевое решение системы (6.1) устойчиво при огра- ничейных, ограниченных в среднем, ограниченных в среднем квадратичном постоянно действующих возмущениях.
Доказательство проведем для случая ограниченных возмущений. Пусть существуют функции %, и, С (/, V), указанные в условиях Г, 2° теоремы 6.2 и решение у (/, /0, z/0) системы (6.12) устойчиво относительно yv • * • ,yt при условии 贺 > 0,・• •，必 > 0 и возмущениях T (t) и а (/). Для заданного Л (0 < Л < Я) в силу 1° условия теоремы получим
0 < inf (二 ％ (f, х, pq при II % И《4 t > %) & с,
и, следовательно, для любого е (Д) такого, что
® И) < inf (二 ％ 侑居 ％"о)ПРИ М % II《4 f > °)，
имеет место
II х II < Л при / > 0 и 2 vs (^» %，％，％)V 8-
Так как 弘…•，勿 устойчиво при возмущениях и (/), то по е(Л) и для /0 > 0 найдутся 储伯，/。)и ?(% %) такие, что
工也(/，％‘ У^\<^ S=1
для всех / > /0, лишь только
£1£1《6，У?>оН ? s=l
Учитывая условия 2° теоремы 6. 2 и применяя теорему Ва- жевского для возмущенных систем сравнения, получаем
% (/，％ (/，G 如)Ро, ％)< Е «，小 ％)ПРИ всех / > %
Предположив теперь, что при /* справедливо равенство Ц х (尸,％, х0) У = 4 при ZW %, /*) — неравенство || х 优,", х0) К < Л, получим
2 %(% % 优，％，％о)%，％)« £ I 工(厶力 Уо)1< & (6.23) S=1S=1
Но тогда согласно выбору е имеем || х 們小 х0) || < 4 что противоречит сделанному предположению. Это и доказывает теорему. Аналогично доказываются и два других случая устойчивости.
Пример 6.2. Рассмотрим систему (3.12). При C(f, и) = —依 получим
黑=一胪+m8&0),(6.24)
где
М = sup (J 霊 J при х £ Щ7)0r, f > 0) и
g (f, a) = sup (I) R (/, %) И при % £ M (f)。).
Очевидно, если
11 R & %) II < 6?,
то решение у (/) уравнения (6.24) устойчиво при постоянно действующих возмущениях малых в каждый момент, если
j g(S, и)击《% при f £ 4，
то устойчиво при постоянно действующих возмущениях малых в среднем и, наконец, если'
+8
J g&。)出《6》
то устойчиво интегрально.
В силу условий теоремы 6.2 находим, что нулевое решение системы (3.12) обладает соответствующим типом устойчивости при постоянно действующих возмущениях малых в каждый момент в среднем или интегрально.
Продолжим пример 6.1, воспользовавшись оценкой (6.20) в нера
венстве (6.23). Полагая R》|| = ± | % I, получим
s=l
Е 4(/，爲 Ро〃о)《8 (① I (f) + Ф2 (/)).(6. 25)
Если теперь воспользоваться условиями теоремы 6.1 и оценками (6.21), то получим из' (6. 25)
I
% (7, %, Pq> о)《в> I = 1, 2,..., т,
и, следовательно, || х (厶％ х0) К А при всех t > %.
Таким образом, условия 1°, 2° теоремы 6.2 совместно с условиями теоремы 6.1 обеспечивают устойчивость решения % = 0 возмущенной системы (6.2).
Рассмотрим еще теорему, основанную на оценке (6.25).
Теорема 6.3. Пусть в ^-окрестности точки у = 0 выполнены условия (6,17), (6.19), соотношение
九=а — 8L〉0
и одно из неравенств
a) Yo < Р ^ ^>
6)HCpgLO-L)，
в)『p^yyr—T)，
где 0 < р< 1; О < 6 < -^ . Тогда существует положитель
ное число Т такое, что при f〉Т 〃 ||%|| <б,川 > 0, • • • —•，芻 > 0 решение у (/, /0, %) уравнения сравнения (6.16) удовлетворяет неравенству || у (/, /0, %) || < 6.
Для доказательства теоремы достаточно положить Т >
воспользоваться оценкой (6.20).воспользоваться оценкой (6.20).〉，4п 3 二 и при f〉Т A 1--p
воспользоваться оценкой (6.20).
воспользоваться оценкой (6.20).
Как и выше, совместное выполнение условий 1°, 2° теоремы 6.2 и теоремы 6.3 обеспечивают диссипативную устойчивость нулевого решения возмущенной системы.
Оценки решений на коневом интервале. Рассмотрим конечные области Гл и Гк в Еп и определим значения Vmax (0 И Vmi п(0 формулами
Vmax (0 = max (V (九 ％) при 11% II《入),
Vmin 优)=min (V (/, %) при II % ||《4)・(6.26)
При этом предполагаем, что X < Л и。「入 П(ЗГЛ = 0.
Теорема 6. 4. Пусть выполняются следующие условия.
1°. Существуют локально большие функции ys (Л %, р0, г0), обладающие свойствами vs > 0, 心функция “(/, %, р。，/•/ =
=£ % 侑 居 ％"о)непрерывно-дифференцируемая.
В области (Гл\Гх) х JT выполняются неравенства (6.6).
3°. Существуют интегралы
'$ (力，о, *о)= j 2^X (/, х, pg, гq) df, s = 1' 2,..., ш,
、—(6.27)
вдоль решений % 优)системы (6. 2) при х (/0) = х0.
4°. Существует интегрируемая на JT функция 九(力 и постоянные Ms (//) такие, при которых справедливо неравенство
I京R侑居p")一爲x(f,%毋,%)］《也(")九(/),
и интегралы
as {t)=Ms (H)^h^dt ограниченье
5°. Верхнее решение у (f, %, %) системы сравнения (3.5) при начальных значениях (/0, %) £ А, где % =(必• • •，у》， %》。，
贝=% aх 能)一兀(%，%，%)- % 备)，S = 1,2,..•，加， удовлетворяет неравенствам
У&侑 ％，％)< 唸比(%)— Т§© %, %) - % (f)(6. 28)
при всех t^JTi s = 1,2,... ,m.
При выполнении перечисленных условий для заданных 九,4)т решение х (/) системы (6.1), начавшееся в области у %。[I < 儿 будет удовлетворять оценке || % (厶 %, x0) II < Л при всех t^JT.
Доказательство. В силу условий теоремы 3.1 для % (厶 х (/)) вдоль решений системы (6.2) имеем оценку
% (力尤⑴，P^r^《"(厶 ％, %) + Т§ (f, /0, x0) + q(')，
s = 1,2,..., m,(6.29)
при всех t^JT. Пусть теперь при \| xQ || < ^ на JT существует /*, при котором II % (/*, %, %) || = Л и при / g [/0, /*) II % (厶 0 %) II < 4 Тогда в момент ” как следует из (6.28) и (6.29), должно быть
% (尸,% (尸，%，%) %，%) <唸g(产)，1《s《他
Это неравенство не выполняется при определении V^^n (О согласно (6.26) и, следовательно, t%JT^
Этим теорема доказана.
Отметим, что если функции р (/, х) = 0, г (/, х) — неизвестные и входят аддитивно, то для решения вопроса об устойчивости следует воспользоваться оценкой (3.17) из следствия 3.1 либо леммой 3.2 и, соответственно, системой сравнения (3.20).
Рассмотрим систему уравнений возмущенного движения 嘗= X(f,x)+R(f,%),(6.30)
где %£% X и R обеспечивают существование единственного решения х (") при х (%) £ Qo (") в области
||%||《〃，〃〉4 tQ^t<tQ+T. (6.31)
Изложим некоторые теоремы о (X, Л, /0, ^-устойчивости систем (6. 30), основанные на методе скалярной функции Ляпунова и ее количественных оценках в областях 耳 и Гд, где, как и выше, 0 < X < Л — заданные числа. Наряду с системой (6.30) рассмотрим невозмущенную систему
警=Х(厶 х)(6.32)
и сформулируем некоторые утверждения.
Теорема 6.5. Пусть выполнены следующие условия.
1°. Для системы (6.32) существует локально большая, непрерывная и дифференцируемая функция и (厶 х).
2°. Полная производная по / функции и (/, %) 6 силу 4е・ возмущенной системы (6.32) неположительная:
岑十坦雲^(仃)《。
6 области ||х|| <Л, % V /《％ + 7\
3°. Существуют интегрируемая на JT функция ?(/) и постоянная у° такие, что 6 области || х|| < Д
l|R(f，%)||《Y(f)，，Y(s)ds《％& —Q，%〉G・
4°. В области ^х\{ < AttQJT частные производные функции и (力 ％) ограничены, т. е.
Ц-^^-Ц <м (М = const > 0).
5°. Справедливо неравенство
max и (/ %) + Му0Т < min и 优,х).
11*19||х||=А
Тогда невозмущенное движение (%, 4, %, Т}-устойчиво при суммируемых возмущениях.
Теорема 6.6. Пус пь
выполняются условия Г ——4® теоремы 6.5;
функция V (/, х) такова, что 6 области (Гл\ I\) х X JT выполняется неравенство
edeedeшах о llxjl^X 备《?0』?шах о llxjl^X 备《?0』?外 ％)£%% +П・外 ％)£%% +П・(厶 ％) + М * Y (s) ds < min v 侑 x),/1ИМЛ
ede
ede
шах о llxjl^X 备《?0』?
шах о llxjl^X 备《?0』?
外 ％)£%% +П・
外 ％)£%% +П・
Тогда невозмущенное движение равномерно (九，/,%, Т)・ устойчиво при суммируемых возмущениях, т. е・(%, Л, % 71)- устойчиво для любого 右^/厂
Обозначим [15]
6=。骗/署+峥X(仃))
%々雜\借+啥 gWto+Г
Теорема 6,7. Пусть
1) выполняются условия Г — 4° теоремы 6.5;
2)б〉0 〃 справедливо неравенство
min V (力无)一max v (L, %) > [о. + Л4у0] Г.
l|xJJ=A11剧1=先
力03片7
Тогда невозмущенное движение системы (6.30) (九,Л,力,Т)-устойчиво при суммируемых возмущениях.
Теорема 6.8. Пусть
ыполняются условия Г — 4® теоремы 6.5;
2)。2〉° 〃 справедливо неравенство
|М|=Лt.wiwto+T|М|=Лt.wiwto+T〃％Н=х<h0Wh*T〃％Н=х<h0Wh*Tmin V (厶 х) — max v (/, %)〉[a2 + MyQ] 7\
|М|=Лt.wiwto+T
|М|=Лt.wiwto+T
〃％Н=х<h0Wh*T
〃％Н=х<h0Wh*T
Тогда невозмущенное движение равномерно (X, А,友，Т)・ устойчиво при суммируемых возмущениях.
Доказательства теорем 6.5—6.8 однотипны и приводятся методом, широко используемым в монографии [68] и настоящей книге.
Замечание 6./. Теоремы 6.5—6.8 в сочетании со способом построения функции Ляпунова, развитым в § 15—16, позволяют эффективно осуществить численное решение задачи о (九，4, ^0» ^-устойчивости при суммируемых возмущениях систем (6.30).
Исследование устойчивости в конечномза ограниченный промежуток времени сложной системыс однотипными подсистемами
Г5?и исследовании конечной устойчивости сложной системы (3.32) предположим, что решения xs (/), s = 1, 2,... …，/и подсистем существуют и единственны в рассматриваемых конечных областях фазового пространства Ег^ а вспомогательные функции, рассматриваемые при этом, являются локально большими.
Устойчивость на конечном интервале обособленной подсистемы. Сложные системы (3. 26) исследуем с помощью локально большой функции %(f, х/, х右 £ £勺，соответствующей свободной Ьй подсистеме
新=九(/闻(7.1)
из совокупности (3.26).
Аналогично теореме 6.4 доказывается следующее утверждение.
Теорема 7.1. Пусть выполняются следующие условия.
1°. Для fe-й подсистемы, (7.1) существуют функции vk 伍，хJ > 0 “ Ck 优，％), непрерывные по t и монотонно возрастающие по vh\ а также существует интеграл
①为侑片，%)= J鶴•尸式/，3山，t^Jr. (7.2)
2°• В области「％、『“ выполняется неравенство
du. Dv.
^^ "Dx^k (力 X/ « Ck (/, %).
3°. Существуют постоянная Mh (Н) и интегрируемая на JT функция hk (/) такие, что
I箒冗仏一釵而I《修出)4(0 и интеграл
ok(t)^Mk(H)^hk(t)dt ограничен.
4°. Верхнее решение zk (/, %, z》уравнения сравнения
寸=以(//+r侑%,% +。^))(7.3)
с начальным значением
若=唯皿(幻- 0%，6 %)-%(心 удовлетворяет неравенству
& (f，4, W) < 喷H (f) - 0 (力力 %) 一。左(f)(7.4)
при всех 十％
При выполнении перечисленных условий k-я взаимодействующая подсистема
昔= ik(t，Q+Fh(t,x)(7.5)
(从，%, J ^-устойчива.
Установим условия равномерной по tQ (%,力紹尸^, Jr) -устойчивости подсистемы (7.5).
Определение 7」. При заданных оценках 厶炉4々，型，丿丁 подсистема (7.5) называется равномерно по % (\, ДЛ, FJ, J^ устойчивой, если для всякого решения xh (/), начинающегося в области
II4(%)II <%,
при связях IIFk(Л х) II < ^ Nt^JTa^D выполняется неравенство
11\(0||<яА
при всех /£(А，Т1・ 68
Теорема 72 Если выполняются условия Г и 3° теоремы 7.1 и верхнее решение 気储％，吟 уравнения (7.3) с начальным условием
Z；=憶ах ⑷ 一 R 临 R，％)— 外(%)，
где t{ £ JT удовлетворяет неравенству
刃& %喲 < 蹴ё 0) 一 0 &八%) 一%优)(7.6)
при всех t> h^WJ»,团。fe-я подсистема (7.5) равномерно относительно% (九论，4炉尸畐 J^устойчиваt
Доказательство. Пусть решение xh (t) начинается в области Г%: И х£ || < 九也・ Покажем, что при выполнении условий теоремы 7.2 не существует значения t2^JT при котором К х片(%) II = 4・
Пусть для % < % < % и некоторого а& £ (\, А^ норма || xk (%) II достигает значение аЛ и
4>1Х (0 ||>а左
при всех t^if^t^ Согласно лемме 3.3 получим оценку
% (f, Хй (/))《zk (f, t^ 空)+ ①也(厶 ％, %) + о也(/), (7.7)
справедливую при всех tQJ『
Учитывая неравенство (7.6), из оценки (7.7) получаем
^Amin 伍2)《Vk (力 ХЛ &))《Z左 ％, % %)+
+ 0(22，%)+。的<嗡*)・(7.8)
Откуда вновь находим, что
1|х*)||*4・
Таким образом || х^ 0) || < Ah при всех / > ^ g Jr и теорема доказана.
Определение 7.2. При заданных оценках величин (%, Вй, J?) подсистема (7. 5) квазирасширяюще (从,纥，)丁) -устой- чнва，если для всякого решения xk (t) с начальным значе- нием || xk (Q К < ХЛ найдется t{ QJTt начиная с которого II Xq (О II < Bk при всех значениях / g (厶,% + Г].
Теорема 7.3, Пусть выполняются условия 1° и 3° теоремы 7.1 и следующие условия.
Г. Существуют функции vk (Л х/ и С (厶 ％), указанные в теореме 7.2, и существует интеграл (7.2).
2°. Максимальное решение 公伍，小理)уравнения сравнения (7.3) с начальным условием
при t £Jt удовлетворяет неравенству
Za(4 + Т，А，z》< и，3п (% + 7)—①а 优о +
十 7, %, %)— 戏(％ +「)・(7.9)
3°. При всех х也 G Г” имеет место оценка
Vk «О + Г X» > ^fmin 备 +「)•(7・ I。)
Тогда k-я подсистема (7.5) (Хл, Вл, F°, J^квазирасши- ряюще устойчива.
Доказательство. Покажем, что для любого решения xft (/) подсистемы (7.5), выходящего из области || хА (/0) ||< < 九а， при выполнении условий теоремы 7.3 имеет место оценка || х^ (^0 + Г) || < Bk. Предположим обратное, что при II Xh (/0) К < Kh существует 友 g 丿丁，при котором || х£&) ||=8不 II 乂卜(0II > Bh при всех / £ 玲，% + Т], где t{ £ 丿尸
Согласно лемме 3.3 и первому условию теоремы 7.3 находим оценку
限(Lx^f))《入侑匕,破)+①后(力晶%0) + %(%), (7.11) справедливую при всех /£[%,% + 7]・ Из неравенств (7.9), (7.11) следует, что
。爲口(％ + Т)《％ &。+ Т，Ха (/° + 7))《
《工备 +「，4,4)+ Ф, (% +「《, ％) +
+ о*о + Т)0 旣 “& +「)・
Полученное противоречие доказывает теорему.
Определение 7.3. При заданных оценках \, ВЛ, JT (\ > > 纥)подсистема (7,5) квазисжимающе (%, 8炉 /г)-устойчива,
если для любого решения х走(/) при условии || хЛ (%) || < 从 существует значение ^^J такое, что
11^(011 <В,
при всех / > /p (/, %)£/Г.
Аналогично предыдущему доказывается такое утверждение.
Теорема 7.4. Пусть выполняются следующие условия.
Г. Существуют функции vk (/, хЛ), С (/,%), указанные 6 лемме 3.3, и интеграл (7.2).
2£ При всех t^ JT и х也白 Гв^ выполняется неравенство 2° из теоремы 7.1.—
3°. Верхнее решение zk (/, tv ^) уравнения сравнения (7.3) с начальным условием 磔=磅來也(％)—①а(厶 b %o)一 —外(看)nPu % £ % удовлетворяет условиям
"(% + 7, 小 ")< %m也备 + 7)一 ①h(% + 7, % %)-
一 ％ (% + 7)；
Zk(% + ^» ^0» zj < yf min 色 + 7)—①论(％ 十 7"(P %)—
—%(/()+ 7)；
"=噜也备)一① h (^0, ^0, %)- %(4)■
4®. При всех x& G Г1% имеет место оценка
vk "о + Т，х也(％ + Т)) >。薦in (% + D・
Тогда A-я подсистема (7.5) квазисжимающе устойчива.
Условия устойчивости связанных подсистем. Закончим этот параграф изучением всей совокупности подсистем (7.5). С этой целью в пространстве Еп введем норму
/ 加\1/2
Ikll = I 2II Xs II2 j , где II х$ II — норма вектора х5 в Ers.
Q,=卜 11%11<*}Q,=卜 11%11<*}Cs 匸 const > 0 .Cs 匸 const > 0 .Обозначим Qc область в пространстве £п, определяемую формулой
Q,=卜 11%11<*}
Q,=卜 11%11<*}
Cs 匸 const > 0 .
Cs 匸 const > 0 .
Определение 7.4. При заданных оценках Q^%, Qsx, JT сложная система (7.5) (Qsx, Qsx, «7г)-устойчивая и область Q2X лежит в области притяжения точки % = 0 в Е%, если для всякого решения %(/), начинающегося в области
(
т\ 1/2 /п
8=1/S=1
выполняется условие
(т\ 1/2 m
£1区优)i12 S=1/S=1
где Xs, Л8, s = 1, 2,・.・,m ——числа, фигурирующие в определении конечной устойчивости подсистем.
Нетрудно заметить, что если все фиксированные подсистемы (7.5) (hk, А^ «/г)-устойчивы, то сложная система (7.5) Q” Qez，'/устойчива.
Замечание 7.1. Аналогично можно найти условия квазирасши- ряющейся (сжимающейся) (Q^%, Q^, /^-устойчивости сложной системы (7.5) на основе анализа обособленных подсистем.
Примеры конкретного построения векторных систем сравнения вида (7.3) и условия конечной устойчивости сложных систем в которых подсистемы «ежемгновенно» гурвицевы, можно найти в монографии [68, с. 37—40].
Замечание 7.2. Теоремы о 仇，Л, R°, /^-устойчивости системы (3.12) при различных предположениях о свойствах полной производной скалярной функции v (f, %) в силу невозмущенной системы, включая случай нейтральной устойчивости невозмущенной системы, являются более глубокими по сравнению с теоремами об устойчивости при постоянно действующих возмущениях, в которых фигурируют только оценки вида || R (/, %) ||< 口(“-const〉0), и поэтому требуют более полного знания системы (3.12) и возмущений R (/, х), оказывающих постоянное воздействие на систему (3.13). Отсутствие ограничений на grad %。(кроме непрерывности) (см. теоремы об устойчивости из статьи [132]) позволяет применить установленные нами теоремы при исследование некоторых специальных систем, встречающихся в теории автоматического регулирования.
Устойчивость движения в конечномпо отдельным заданным координатам
2 этом параграфе исследуется устойчивость в конечном за ограниченный промежуток времени относительно отдельных заданных координат. Необходимость в таких но
следованиях возникает во многих прикладных задачах. Примером могут быть задачи динамического анализа, крупномасштабных систем, содержащих циклические координаты, неголономных систем, сложных систем с разнородными подсистемами и т. п. Здесь излагается общий метод исследования задач такого рода в плане дальнейшего развития некоторых предыдущих результатов.
Постановка задачи о частичной устойчивости принадлежит А. М. Ляпунову [49]. Первые результаты в этой задаче получены В. В. Румянцевым [99]. Обзор современного состояния вопроса имеется в статье [86]. Отметим еще, что необходимость разработки самостоятельного метода исследования конечной устойчивости по отдельным заданным координатам связана с тем, что такого рода устойчивость не может быть сведена к исследованию устойчивости ни компактного, ни замкнутого множеств, для которых развиты соответствующие теории.
Предварительные сведения. Рассмотрим уравнения возмущенного движения
dx
d： = Х$ (f, %,..., Xn), s = 1,2,.. &, м, (8.1)
где xs ——вещественные переменные, характеризующие отклонение системы от невозмущенного движения, Xs (/, xlv . ., /) ^-вещественные функции, определенные и непрерывные при всех значениях / > 0 в некоторой области G пространства {%}, содержащей точку xs = 0.
Обозначим переменные %,・・・，/ через 电(1《/《田，а остальные т =几—k переменных — через 耳・
Перепишем систему (8.1) в виде
d也
=匕(大屮u ...,屯,W],...，gj
(8.2)
= Z/ (/,乱,.• .，三卅屮[,...，我).
Будем предполагать, что решение 九⑴ системы (8.1) существует в области Gp(гр), ^^D и продолжимо на полуось [0, оо) по &j€D・ Кроме того, предполагаем, что решение 匀⑴ остается ограниченным при / > 0.
Области Gp 仲)и D предположим следующими:
% =» 仲；II 屮 II < р};。= {占：IIЕII < 8} н Ei・
Определение 8. J. При заданных оценках (X, Л, Jr) система (8.2) «устойчива, если для всякого решения 仲⑴， 5(f)), начинающегося в области
II屮佐川 e九，&仇)ёА выполняется неравенство
II 屮(f)||< 4 E(f)£O y/£%・
Чтобы применить метод функций Ляпунова для исследования конечной устойчивости по координатам г|), определим вспомогательную функцию, локально большую по этим переменным [63].
Определение 8.2. Функцию и(/,叭三)назовем локально большой относительно переменных г|)(локально г|)-большой), если при заданном Л для любого с £(0,4) существует положительное число А такое, что вне сферы Е* = А2 имеет место неравенство и (力 2, Е)〉с при />" и всех 三£/)・
Обозначим
黑卜署+(8，3)
o(f)⑸由，t^Jv(8.4)
где JT = [%, % + T) и М — постоянная, определяемая из условия
Функция(р(/) интегрируема на любом конечном интервале Ju% и такова, что при 屮£Gp, g£D выполняется неравенство
||Z(/,“, g)||<q)(O.
Аналогично предыдущему для функции и(厶屮，日 устанавливается оценка на решениях сис1емы (8.2).
Лемма 8.1. Пусть длч системы (8.2) существует 〃о・ кально ^-большая определенно-положительная по 屮 функ- ция V (/, гр, Е) и непрерывная монотонно возрастающая при
всех t^JT по v функция С (厶 о). Пусть существует верхнее решение у (/, /0, у^ уравнения сравнения
嘗=C(f,"。⑼(8.5)
при начальных значениях (/0,у。), где t{^JT “
% =。阴鱼)一。(/。)，屮"八% Е£D
Тогда если выполняется дифференциальное неравенство
警卜e(8.6)
при всех tq% 屮 £ Г^'Г*” &£ С, то вдоль решения (屮(/))Е ⑴)имеет место оценка
。色"(9*(方)){7(，0，弘)+0伍).(8.7)
Доказательство. При обозначениях (8.3) — (8.5) и условии (8.6) нетрудно найти оценку
糸《Се，и) + М(р(/)・(8.8)
Интегрируя неравенство (8.8) и применяя лемму 2.1, получаем оценку (8.7).
Теоремы об устойчивости. Рассмотрим теперь вопрос о конечной устойчивости движения по отношению к отдельным координатам.
Введем обозначения
曲？ (0 = sup (у (/,取 Е) при II 少 II V 儿 Е £ D),
企;？伍)=inf (у 0,也 Е) при II гр И = X, Е£ D),
或，(0 = sup (у (/,取 § при I件 И = 4 其。)，
优° ⑴=sup (и (/,取 Ю при г|)€П\Г6, Е £ О).
Сформулируем следующую теорему.
Теорема 8.1. Система (8.2) ^-устойчива в конечном на ограниченном интервале, если существуют функции и (f,就 己)〃 С (/, и), указанные 6 лемме 8.1, и выполняются следующие условия.
1°- Неравенство (8.6) выполняется в области рЕГ^'Г%, 立0 при t^JT u j£D
2@. Верхнее решение уравнения (8.5) с начальным 34a・ чением % = 0ap (/0) — о (%) удовлетворяет неравенству
7 优“0)<*f(f)一0&)(8.9)
при всех t£J『
Доказательство. Пусть решение %(/) выходит из области II 屮(J| < 儿 瓦€。н предположим, что в некоторый момент g JT норма решения 屮(/) достигла значения А, т. е. II 屮(4)II =4 Проследим за изменением функции и (/,”，& вдоль решения (гр (/), ^ (/)) из условий теоремы 8.1 на основании леммы 8.1 получаем
и (厶少(力，5(0)《У (力 ％，%) + о (0 Y% £ Jr
Отсюда согласно условию (8.9) находим
唱D8 <。(%，2(*,自 8)《7(4, %，%) < 瑞° (%)•
Полученное противоречие показывает, что tx £ JTi а это и доказывает теорему.
Определение 8・3・ При заданных оценках (X, Л,丿丁) система (8.2) равномерно по 匕^丿了 ^-устойчива, если для всякого решения (屮(/),&(/)), начинающегося в области
I件佐)11 <九，三⑷。
выполняется неравенство
I件(川1<4 &⑴£0叫£厶％《/£%・
Теорема 8.2. Система (8.2) равномерно ^-устойчива относительно 0, Л, J》,если существуют функции и (/, г|), Е) u С (/, у), указанные в лемме 8.1 “ выполняются следую- щие условия.
Г. Неравенство (8.6) имеет место 6 области г|)СГл\Гх， 己£ О при всех t^JT.
2°. Верхнее решение {/(%/「у】) уравнения сравнения (8.5) с начальным условием у、=圖?(厶)一о (%) для любого 厶£丿丁 удовлетворяет неравенству (8.9) при всех /〉小 "4)E分
Доказательство аналогично предыдущему.
Следующее определение более полно учитывает свойства г|)-устойчивых решений систем (8.2).
Определение 84 При заданных оценках (儿8,丿丁)(fi< X) система (8.2) квазисжимающе 1|)-устойчива, если для всякого решения 仲0), Е(/)), начинающегося в области
и(и и <^ 貝%) е,
найдется такое t{ g Jr, что
I仲⑴ II <5, EQ)£D W〉：，厶厶 £%•
Теорема 8.3. Система (8.2) квазисжимающе ^устойчива, если для нее существуют функции и 侑 取 Е) 〃 С (厶 и), указанные 6 лемме 8.1, и выполняются следующие условия, _ Г. Неравенство (8.6； имеет место 6 области 屮£ еГ\д\1\, E£jD при всех /£」т・
2°. Верхнее решение y(t, tvy^ уравнения сравнения (8.5) с начальным условием ух = 囁d (匕)—° &)д儿я любого t^JT удовлетворяет неравенствам
У 鱼 + 7,%,弘) <。落D鱼 + 7) 一。施 + T)；
У 施 + 八 ％，吟。(%) —。О < ^(t.+T)-o(tQ + T), а также
5% + 7,"备 + T)，三(% + 7))> 啥/优 。+n
6 области 268, l^D.
Доказательство. Пусть решение х (/) выходит из области |[ % И < X, g0 g D л пусть || 屮备 + Т) || > В. Согласно первому условию теоремы и леммы 8.1 имеем
и侑少(0,己(0)《у (力％, yj + о (0 V’ £丿т・
Учитывая условия а) и б) теоремы 8.3, находим
哨产(％ + 7)《。(%，% (% + П)《У^. +Т^^У1 ++0(% + 7)<吧г(" + T)■
Из этого неравенс!ва следует, что || 屮(% + ?)([< В.
Пусть теперь решение %(/) начинается в области 屮。€ £吃，Eo£D И I伸备+ 7)11〉B 仇〉в)・ При t^t. + T выполняется условие 噌｝ (/0 + Т) V и (/0 + Т, % (% +「))• Однако из условий Г и 2° теоремы 8.3 и леммы 8.1 получаем:
啥产(％ + 7)《и % + 7, % (% +，))《У (% + Т, %，弘)+
+。备+ 7) V 啥L (%+「)・
Полученное противоречие доказывает теорему.
Других теорем об ip-устойчивости в конечном решении системы (8.2) приводить не будем. В следующем параграфе изложим применение этого способа к исследованию конечной устойчивости многокомпонентных систем с неполной информацией о функциях связи подсистем.
Условия устойчивости сложной системы с неполной информацией о функциях связей подсистем
Продолжим исследования устойчивости сложных систем в том случае, когда для функции связей подсистем известны лишь оценки. Это соответствует ситуации, когда сложная система функционирует в режиме подключения или отключения новых блоков подсистем, причем для структурных изменений функций связей известны только оценки. Будем рассматривать сложную систему
竇=X(/,%0)+Q 侑》(9.1)
и соответствующую ей при Q(/,%)曰 0 систему
缁= X(f,%,0).(9.2)
Здесь x^En, X (力 ％, 0)——小мерная вектор-функция. Предполагается, что решение %(/) = % (Л /0, х0) системы (9.2) существует и единственно на Q(")xJa, где при любом наборе начальных значений х0 g Qo £ Q.
Построение условий устойчивости основано на предположении о существовании непрерывно-дифференцируемых функций Ляпунова для системы (9.2).
Теоремы об устойчивости. Имеет место следующее утверждение.
Теорема 9.1. Пусть выполняются следующие условия.
Г. Для системы (9.1) существует векторная функция Ля унова V (/,%)•
2°. Существуют непрерывные по / и неубывающие по V функции С$(/, V) такие, что полные производные функций и$(/, %) в силу системы (9.1) удэвлгтворяют дифференциальным неравенствам
dv Dv
寸+扶Х(厶居0)《q (厶V)(9.3)
6 трубке (х, /) £ (ГЛ\ГХ) X JT при всех s = 1,2,・•・，/и.
3°. Существуют также непрерывные функции 自伍)，… • • •, ^m (0 辽 постоянная о > 0 такие, что || Q (/, %) ||《 《о при % £ Q (Я)
J協 Q(f,矶卜电(DIIQWII(9・4)
6 области (%, f)£Sx%・ Здесь S = ГЛ\Г%.
4°. Существует верхнее решение ~у (/, /0, у^ системы сравнения
黑=C(t,y)+h(t)G(9.5)
с начальным условием y^s = оМах('о)九Р〃 всех /£」「，уОоз- летворяющее неравенству
У (厶力 ％) < Vgin «)Y，€ 丿广(96)
Тогда при любых связях Q (/,%), удовлетворяющих оценке ||Q(f,%)||《o, система (9.1) (X, Л, a, J^-устойчива.
Для доказательства теоремы покажем, что при выполнении условий теоремы 9.1 предположение о существовании 伏 ％ при котором II х (/j) || = 4, не состоятельно. Итак, пусть решение %(/) = % (/, /0, %) начинается в области Гх при t /0. Предположим, что связи Q (/, %) удовлетворяют неравенству || Q (/,^j || С a, ?£Q("), где /£ 厶||%色，％, %) || = 4
В силу непрерывности решения х(/) имеем
II % (Л } х0) II < А Y/ £ % 幻・
Из выражения do. dvo Dva .〜
才匚寸 + 旨(X 伍，%，0)+ Q % %))，(9.7)
учитывая (9.3), получим
dvaDv 〜
飞厂《。8 (/，V) + »g^Q (/, %), s « 1, 2,..., /п.(9.8)
Отсюда, учитывая (9.4), находим
穿《&伍,V)+瓦(f)||Q(f，H|，s = l,2,・・•，九(9.9)
Для компонент и8 (/, х) находим
vs (/, х (0) < у. (/, /0, у0) при всех / > /0, t^JT. (9.10) где
羽=%(心・
Для значения / =友 из четвертого условия теоремы 9.1 получаем неравенство
九(厶力羽) < "备in (^i)» 5 ra 1,2,..., /71.(9.11)
Из неравенств (9.10) и (9.11) находим, что в момент f =友%色，%(/1))〈嗑》1)・
Эго неравенство противоречит определению。糸门(‘)％ следовательно, предположение о существовании tx С при котором ||% (%) И = 4, ошибочно. Повторяя рассуждения для любого /€<7т，находим, что ||х(/А,/0,х0)|| < Л, лишь только II х0 II < ^ и IIQ (厶 ％) || < а. Осуществляя теперь предельный переход, находим, что || % (厶 /0, х0) || < Л ^ £)т・
Этим теорема доказана.
Определение 9./・ Сложная система (9.2) называется равномерно устойчивой относительно количеств X, Л, о, JT (X, <4), если для всякого решения х (/, /0, х0), где rQJT при II х0 II < ^ и IIQ (f, %) || < а, выполняется условие
1(х(/,ntx^<A v2>G 0，T)£厶-
Теорема 9・2. Пусть выполняются следующие условия.
Г. Существуют функции V (/, х) и С (/, V), указанные в теореме 9.1.
2°. Неравенство (9.3) выполняется в области (tt x)^Jf х x『Z力
3°. Выполняется условие (9.4) равномерно по / £ 丿广
4° ・ При любом т £ J? максимальное решение у (/, % %) уравнения сравнения (9.5) с начальным условием у^ = =и*ах('о)У^летворяет неравенству
7(/,叫 У) < 喻也(D，V% £ S % + К・
Тогда система (9.2) равномерно 仇,Л, о, J^устойчива по /0.
Доказательство теоремы аналогично предыдущему.
Устойчивость по координатам обособленной подсистемы. Применим теперь методику п. 9.1 к исследованию устойчивости сложной системы (3.26) по переменным первой подсистемы
今=厶侑X)+ /(/,* х^Егг (9.12)
嘗=/2(f,Z)+ 尸2(力心)•
Здесь символом z обозначен вектор
Z = (%2, •一，")
Рассмотрим вспомогательную функцию рх (/, xlt г), локально большую, непрерывно-дифференцируемую, и непрерывную монотонно возрастающую по ^ функцию С (力 办).Предположим, что производная
%修仙闻(9.13)
удовлетворяет неравенству
尤+ Tx： 九侑х)《С仏％)(9.14)
в области || X] II < 力],z £ Епт/ /£*/「，D n En一「,・
81816 — 4-761
81
81
Обозначим
M = s%P(聞M = s%P(聞при X[£l\j zgDпри X[£l\j zgD
M = s%P(聞
M = s%P(聞
при X[£l\j zgD
при X[£l\j zgD
и предположим, что существуют интегрируемые функции (р(0 и o(f) такие, что
1亿优，2)"《屮(/)(9.15)
и
m，Xi，z)||《o(f)(9.16)
При всех t £ Jr, где F =(尸】(厶 х),尸?(厶 z))・
Теперь для полной производной функции и(厶％, z) в силу системы (9.12) можем получить оценку
号~《С (f,⑴ + Му (0,(9.17|
где
у (0 = Ф (0 +。(f)・
Приведем следующее определение.
Определение 9.2, Сложную систему (9.2) будем называть квазирасширяюще устойчивой по координатам первой подсистемы относительно заданнь1Х чисел %, 4,丄，%《4, если для решения %(/)=(х〔(/), z 优))，начинающегося в области IIX? II < %, z° £ D, существует значение / £ Jv начиная с которого имеет место неравенство
||х《)||<4，z⑴ £О
при всех / С (^1» % + С・
Теорема 9.3. Пусть выполняются следующие условия.
Г. Существуют функции ^ (/, хх, z) и 2 (/,%)・
2°. Выполняется условие
*+ "产厶侑х)《c优,编 (9.18)
6 области ||х/| <々，2£。，££厶 а также существует интеграл
〃 (f) = М j у (s) ds, / £厶
3®. Верхнее решение уравнения сравнения
普 ^C(t9y + u(t))(9.19)
с начальными значениями (%,%)£А, где t}^JTty{= =喻"1)— “(%)такое。, что
у (% + Т,小弘)< v^^. + Т)-и 气 + 7)，
У (% + Т《，叱?(Q-u %))〈喻/(% +「)一
一〃偽 + T),(9.20)
где 叫北(f) = sup (%(/,%, z) при x】£1\、1\」z£。).
4®. При всех X]2F&, z^D 〃 / = % + T
% (厶 x】,z)> 嗑/(/)•(9.21)
При выполнении перечисленных условий сложная система (9.12) квазирасширяюще устойчива по первой под・ системе относительно количеств ^, Лр JT.
Доказательетво. Пусtь траектория у(/)=(/优),7(/)) системы (9.1) начинается в области || хг (^0) || < X,马^。 и норма решения первой подсистемы такова, что || х】饱 + 7)|| > > Av При этом найдется 匕 £ JT такое, при котором IIX] &) II = 4
В силу условия 2 теоремы 9.3 имеем
% 优,X]e),马(力)《力(力 0疚)+ 〃 (/) WGJr (9.22)
Далее из условия (9.19) и (9.20) следует
嘘？ (" + 7)《％ (% + 7, хр z)《乡(Л %, %) +
+ "备+ T)V吧/鱼+ ?).
Полученное противоречие показывает, что при t=ta + T 1|/仇 + 7)||<4.
Пусть теперь траектория х(/) начинается в области X1 (%) £ %\1\, %g°・
Предположим, как и гыше, что || х〔偽 + 7) || > Лр тогда при t^t^ + T
。备;F 备 + T)^vx (% + T, xp z)・(9.23)
Из неравенства (9.22) и условий (9.21) получаем
"备‘？(％ + Т)《％(4 + Т, %, z) 4 У 仇 + Т, %，У\) 一^u^T)<v^(t^T).
Полученное противоречие доказываег теорему.
Замечание 9./・ В том случае, когда функции связей подсистем 尸§ (厶 X],・•.，х§—[, х$+「...，х^)
удовлетворяют во всем пространстве Еп условию
где ls(0 — интегрируемые функции на J「，взаимовлияние подсистем оценивается функцией
Т$ (0 = ^в р8 (т)^т.(9.24)
Условия устойчивости сложных систем с асимптотически устойчивыми подсистемами
В этом параграфе применяется метод исследования сложной системы, основанный на применении векторной функции Ляпунова в соответствии с идеей Ф. Н. Бейли [115, 116] и дальнейшим ее развитием.
Отметим, что озаглавленные системы исследованы к настоящему времени наиболее полно. Среди работ, в которых исследовались такого рода системы, отметим работы [4, 28, 64, 68, 75]. Обзор состояния вопроса по этим и другим работам имеется в статьях [74, 75, 127]. Следует отметить, что идейной основой этого подхода можно считать теорему И. Г. Малкина [51] об устойчивости при постоянно действующих возмущениях.
Идея Ф. Н. Бейли. Пусть задана сложная система dx
不=f s (^» x$) + F§ @, %), s = 1, 2, •・・，加， (10.1) решение которой 弟(力=(х} (0, • • ^хт 传))существует и единственно при х；®0 на любом конечном интервале %х§£%・ 84
Предположим, что для каждой индивидуальной подсистемы
^ =%(/,х)(10 ⑵
найдена функция vs (Л xs), удовлетворяющая оценкам, характерным для квадратичных форм [40]
% II Xs『《 % & Xs)《％ II Х$『，
/^~^ %(' %)《~ % II х$『，(10.3)
Условия (10.3) будут выполняться, если нулевое решение каждой из подсистем (10.2) является экспоненциально устойчивым, т. е. существуют такие положительные постоянные а и В, при которых выполняется неравенство
II% 侑％X?) II《3|| X?IIехр(— a(f — %))(10.4)
при всех /》％.
Далее предполагается, что условие (10.4) выполняется и, следовательно, существуют функции %(f, xs), s = =1, 2, . . . , /и, для которых имеют место неравенства (10.3) (см. [40]).
Пример 10. 1. Классом сложных нелинейных систем, для которых нулевое решение является экспоненциально устойчивым, является класс, для которого можно подобрать симметричные матрицы % имеющие положительные собственгые числа и такие, что матрицы
(%勖+。為/==、2%
имеют отрицательные собственные числа 入(/, xg), удовлетворяющие при всех / > /0 и ХдС£「неравенствам %< — у(Y=const〉0) (см. [40, с. 109]).
Приведем теперь лемм ы, потребующиеся далее.
Лемма 10.1. Пусть А (/) есть матрица с неотрицательными недиагональными элементами. Если %(/,%,%)
удовлетворяет неравенству
肾《4(%)%,(10.5)
а у (/, /0, л;。) 一 решение уравнения
% = Ау, у (Q = л；。，(Ю.6)
加。при всех f > % имеет место неравенство
%('，％，％)《//«，％，％)•(Ю-7)
Здесь выполнение неравенства х < у понимается компонентно, т. е. х1 & у1 для всех f = 1, 2,.. . ,п.
Лемма 10.2. Ес>ш а〉0, b > 0, %〉1,出=4 (1 — ^)〉
> 0, то при z > 0 справедливо неравенство
一碗2 +加《—^ ?2 +詣， (10.8)
Продолжим изучение системы (10.1), предполагая, что связи Ps 侑 ％) могут быть представлены в виде
т
尸s 伉 ％) = 2 % (力")X/，(10・9)
HI(/險 s)и обозначим-II % & %) II
% = sup ―『一，
где R = R (〃, т): II x II <//,/> т.
Имеет место следующее утверждение [28].
Теорема ЮЛ. Пусть выполняются условия.
Г. Для каждой индивидуальной подсистемы существуют функции %(/, х§), удовлетворяющие оценкам (10.3).
2°. Функции связи подсистем Fs (/, х) имеют вид (10.9).
3°. Нулевое решение системы сравнения
^^Ру.(10.10)
где у — т-мерный вектор, Р — (т хт)-матрица с элементами
叩〃 s=/,
%尸I * 2з『羚s)…叩〃 s#,,%尸I * 2з『羚s)…叩〃 s#,,(10.11)(10.11)
%尸I * 2з
『羚s)…叩〃 s#,,
%尸I * 2з
『羚s)…叩〃 s#,,
(10.11)
(10.11)
асимптотически устойчиво.
Тогда нулевое решение сложной системы (10.1) асимптотически устойчиво 6 целом.
Доказательство. Вычислив производную от и$ в силу s-й подсистемы совокупности (10.1), будем иметь
j/ т
d《一4з1|х」|2+%]|х」|2 19(5)11
J(注 S)
Отсюда, применяя лемму 10.2, получим следующую
оценку: mт
/=1Ml(/*s)
Повторяя теперь выкладки для каждого 1《s《加 и рассматривая вектор V (/, %) как функцию с компонентами и” •・・，%, получаем неравенство
dV %dV %《PV・《PV・(10.13)(10.13)
dV %
dV %
《PV・
《PV・
(10.13)
(10.13)
При выполнении условий (10.3) можно указ ать такую функцию а (II х II), что
V(/,x)>a(||x||), где а (г) — возрастающая функция /•£ [0, А].
По условию теоремы решение у = 0 системы сравнения (10.10) асимптотически устойчиво, и, следовательно, существует т)(8,/q) > 0 такое, что из условия || у。|| < П следует IIУ (力 ％ У^<а (е), a lim 7 (厶 b %) = 0.
В силу оценки 10.7 находим последовательность нера- венств а (II % ⑴ II)《V (/, х (/))《|| у (/, /0, %) ||< а ®・ Отсюда имеем || 力优)|| < сГха (в) = 8, || х01| < 6.
Этим доказана устойчивость решения % = 0 системы (10.1).
Асимптотическая устойчивость решения % = 0 следует из неравенства
l|x(f)ll《Qi (V)
и тех фактов, что V (/,尤(/))《у (/, %, %) и функция 4 (г) возрастающая.
В случае, если р^ = 固 =2, лемма 10.2 и теорема 10.1 соответствуют лемме и теореме Ф. Бейли из работы [115]. Приведем теорему этой работы.
Теорема 10.2. Пусть выполняются следующие условия, 1°. Условие 1° теоремы 10.1.
2°. Функции связи Fs (/, х) имеют вид
冗(％ х)=工 С$/1 X/ II，% — const./=l(/*s)
3°. Нулевое решение у = 0 системы сравнения (10.13) с матрицей Р
при S =# /при S =# /(10.14)(10.14)т
при S =# /
при S =# /
(10.14)
(10.14)
珊 2 11 112
2csз&1
асимптотически устойчиво, Гогда нулевое решение системы (10.1) асимптотически устойчиво.
Рассмотрим теперь некоторые примеры 14, 87].
Пример 10.2. Пусть имеется сложная система
(10.15)(10.15)洋=X (X) +尸12协
(10.15)
(10.15)
*=У匂)+尸2俨， 04
где x и g — векторы, вообще говоря, разной размерности, X (0) =У (0)= 0.
Матрица Р, фигурирующая в теореме 10.2, имеет вид
Условие Рауса ——Гурвица, обеспечивающее устойчивость решения системы (10.15), запишется так：Условие Рауса ——Гурвица, обеспечивающее устойчивость решения системы (10.15), запишется так：С31з2)/С11C32、/2С41c42〈С21c22)С31з2)/С11C32、/2С41c42〈С21c22)11^21 1111Г12||.11^21 1111Г12||.Пример 10.3. Исследуем устойчивость продольного движения самолета. Уравнения возмущенного движения самолета 】 二 "'Пример 10.3. Исследуем устойчивость продольного движения самолета. Уравнения возмущенного движения самолета 】 二 "'представлены в видепредставлены в видемогут бы/ьмогут бы/ьгдегде•— = 一 Р®% +。, 1《s《4,(10.16)4s=lPs〉0, r〉0, %<0, f(0)=0,。〃。)〉0・(10.17)•— = 一 Р®% +。, 1《s《4,(10.16)4s=lPs〉0, r〉0, %<0, f(0)=0,。〃。)〉0・(10.17)Систему (10.16) декомпозируем на две подсистемы — первуюСистему (10.16) декомпозируем на две подсистемы — первую吊=—PJr吊=—PJrdx1Г = -р2%，dx1Г = -р2%，(10.18)(10.18)帚= — Рз%帚= — Рз%dx六T产4dx六T产4и будем считать, что Р】《р? « Р3《Р4» и вторуюи будем считать, что Р】《р? « Р3《Р4» и вторую
Условие Рауса ——Гурвица, обеспечивающее устойчивость решения системы (10.15), запишется так：
Условие Рауса ——Гурвица, обеспечивающее устойчивость решения системы (10.15), запишется так：
С31з2)/С11C32、/2
С41c42〈С21c22)
С31з2)/С11C32、/2
С41c42〈С21c22)
11^21 1111Г12||.
11^21 1111Г12||.
Пример 10.3. Исследуем устойчивость продольного движения самолета. Уравнения возмущенного движения самолета 】 二 "'
Пример 10.3. Исследуем устойчивость продольного движения самолета. Уравнения возмущенного движения самолета 】 二 "'
представлены в виде
представлены в виде
могут бы/ь
могут бы/ь
где
где
•— = 一 Р®% +。, 1《s《4,
(10.16)
4
s=l
Ps〉0, r〉0, %<0, f(0)=0,。〃。)〉0・(10.17)
•— = 一 Р®% +。, 1《s《4,
(10.16)
4
s=l
Ps〉0, r〉0, %<0, f(0)=0,。〃。)〉0・(10.17)
Систему (10.16) декомпозируем на две подсистемы — первую
Систему (10.16) декомпозируем на две подсистемы — первую
吊=—PJr
吊=—PJr
dx
1Г = -р2%，
dx
1Г = -р2%，
(10.18)
(10.18)
帚= — Рз%
帚= — Рз%
dx
六T产4
dx
六T产4
и будем считать, что Р】《р? « Р3《Р4» и вторую
и будем считать, что Р】《р? « Р3《Р4» и вторую
Для подсистемы (10.18) и (10.19) выполняются условия существования для них функций и】и и?, удовлетворяющих оценкам (10.3). В качестве таких функций можно взять
4
s«=l
При этом константы с^ (/ = 1, 2, 3, 4; s = 1, 2) принимают значение с” =。21 = с , %] = 2c Р], с^ = 2с ,
Матрицы 尸21，尸12 имеют соответственно вид
(В1，?2} В3$4)(В1，?2} В3$4)
(В1，?2} В3$4)
(В1，?2} В3$4)
\1/2
и, следовательно, || F21 || = 2, [| 尸]? Il=( ^ ^s I • Матрица Р имеет вид
p = [ 2产(限)"2p = [ 2产(限)"2
p = [ 2产(限)"2
p = [ 2产(限)"2
46, Обозначив L =±-, достаточное условие устойчивости движения
W
системы (10.16) выразим неравенством
(10.20)(10.20)4
(10.20)
(10.20)
S«1
Сравнивая это условие с условием устойчивости, полученным в [47]:
£ 碎＜1 Е =」+Bh 论=1,2,3,4,(10.21)
自 "2了一р办
нетрудно заметить, что неравенство (10.20) дает в пространстве параметров системы (10.16) новые области устойчивости по сравнению с условием (10.21).
Пример 10. 4. Получим условия устойчивости системы регулирования с одной нелинейностью. Пусть задана система
где у ^ (%・•・，уп^) — S + 1)-мерный вектор, В»(п + 1)Х (九 + 1)— устойчивая матрица; С——(м + 1)・мерннй единичный вектор-столбец; d* —(九 + 1)・мерная вектор-строка и
f(0)= 0, а/(а) >0, 0<а/(а) < 论и.(10.23)
Предположим, что среди характеристических корней матрицы В имеется один действительный (— р^), Рп>0, а остальные — с отрицательными вещественными частями. При этом линейным неособым преобразованием систему (10.22) можно привести к виду
—^ Ах+ bf (а),
竇=—р“а 一 " (и) + £ %%,(Ю.24)
rie А — устойчивая (nxn)-матрица, Ь — n-мерный вектор-столбец; г, а» •・.,ос^ ——действительные числа. Теперь систему (10.24) разделим на две подсистемы
^=4х(10.25)
и
奮=-р 腔—/7(0).(10.26)
Выполняя выкладки теоремы 10.2 для функций % = (R%, х) н % = =*2~ 叫 соответствующих этим подсистемам, и предполагая, что
1/(а)|<^|а|,
- "(°)。+ ° £ %/ <а]|а|| |]х]|,
S=1
получаем условия устойчивости системы (10.22):
1Т<7 и р1Т<7 и р
1Т
<
7 и р
1Т
<
7 и р
。餡1"『11a|『炉61Pzi
2°31Р/“2%i '
Сложные системы с нелинейно связанными линейными асимптотически устойчивыми подсистемами. Рассмотрим сложную систему
dx
■5/ = "sXs + 尸s(Х[, • • • , xs-l* Xs+1» • • • * xj (10.27) где As — устойчивые (rs x г5)-матрицы s = 1,2,... ,m.
Предположим, что связи подсистем 尸§(х) подчинены во всем пространстве Еп ограничениям
HsWIK 2 限IXII,(10.28)
走==1仇県s)где lsk — неотрицательные числа.
Обратимся к независимым подсистемам
dx。 „
"=4§х§, s = 1,2,.・・，т.(10.29)
Из того, что матрицы As устойчивые, следует существование матриц Bs определенно-положительных и симметричных, которые разрешают уравнения Ляпунова
力；& + BsAs = 一 Gs, s = 1,2,..., /п,(10.30)
где Gs — любая определенно-положительная симметричная матрица.
Отметим попутно одно решение матричного уравнения Ляпунова, которое может оказаться полезным при рассмотрении подсистем (10.29) не очень высокой размерности. Предположим, что матрицы As имеют простые элементарные делители и их собственные значения 入「...，九飞 такие, что Re Ху ＜； 0, / = 1, 2,.. . , rg. При этом решение матричного уравнения Ляпунова имеет вид
где С「= 口尸]亿 /= 1, 2,…，々)一матрица Вандермонда, & = =[^sft] = C*GsCs,Xft—комплексно-сопряженные характеристические числа матрицы As при фиксированном s.
Очевидно, функции q = (Bsxs, xs) с матрицей Bs будут удовлетворять оценкам
4 mmi《人 maxIMlR (1°・31)
где Xsmin и 人 max 一 наименьшие и наибольшие характеристичные числа матриц 3$, 1《s《 加・
Далее, так как
垣 4% = —• (Gsxs, xs),
Ру咸 Qs《一Nsmaxhs%Ру咸 Qs《一Nsmaxhs%(10.32)(10.32)
Ру
咸 Qs《一Nsmaxhs%
Ру
咸 Qs《一Nsmaxhs%
(10.32)
(10.32)
где [I, x — максимальное характеристичное число матрицы Gs・ Dv
Оценку для -^ получим следующим образом:
и, следовательно,и, следовательно,Dv II葭《2隰iiieii，Dv II葭《2隰iiieii，(10.33)(10.33)и окончательнои окончательноDv l|肃《2人"区|卜Dv l|肃《2人"区|卜
и, следовательно,
и, следовательно,
Dv II
葭《2隰iiieii，
Dv II
葭《2隰iiieii，
(10.33)
(10.33)
и окончательно
и окончательно
Dv l|
肃《2人"区|卜
Dv l|
肃《2人"区|卜
Теорема 10.3. Пусть выполняются условия.
Г. Для каждой подсистемы с вырожденными функции яма связей существуют функции vs (xs), удовлетворяющие условиям (10.31) — (10.33).
2°. Функции связи Fs во всем пространстве Еп удовлетворяют неравенству (10. 8).
34 Система сравнения
где у — т-мерный вектор ментамигде у — т-мерный вектор ментами“ P — (тхпг)-матрица с эле-“ P — (тхпг)-матрица с эле-
где у — т-мерный вектор ментами
где у — т-мерный вектор ментами
“ P — (тхпг)-матрица с эле-
“ P — (тхпг)-матрица с эле-
卩s max2% max卩s max2% max財財
卩s max2% max
卩s max2% max
財
財
Ns max%? minNs max%? minm也=1(左#s)m也=1(左#s)(10.34)(10.34)
Ns max%? min
Ns max%? min
m
也=1(左#s)
m
也=1(左#s)
(10.34)
(10.34)
асимптотически устойчива.
Тогда нулевое решение сложной системы (10.27) асимптотически устойчиво 6 целом.
Доказательство. Чтобы получить здесь неравенство
《PV,V = (%%),(10.35)
рассмотрим производную компоненты %, соответствующую s-й подсистеме, и применим лемму 10.2 при р. « ^ « 2.
Нетрудно показать справедливость оценки
标一号 lg||2 + 2标一号 lg||2 + 2卩 smax卩 smax
标一号 lg||2 + 2
标一号 lg||2 + 2
卩 smax
卩 smax
из которой, применяя неравенство Шварца, получаем m m
叫 /% mln „ I ° k max、Л ” P %
% « — 2Л% + 2 —~& * Г-' 八s max卩s m in /min
I 辰=1 k+s
Собирая оценки, полученные для vs при 1《s S /и, в одну, имеем неравенство (10.35). Дальнейшее доказательство совпадает с доказательством теоремы 10.1.
Напомним, что матрица Р в неравенстве (10.35) будет обладать свойством позитивности (Р > 0,，取 /), если и только если выполняются условия Севастьянова-Котел янского
p"…匕5
(-l)S у%〉0・
р р…
Рассмотрим теперь некоторые примеры.
Пример 10.5. Пусть задана сложная система
帚=Л1х1 + 戶 1 (%)，
讃=&马+f2(%)，(10・36)
где векторы хх и х2 имеют размерность G н %，戶^ (0)=尸& (0) = 0,
II 厶(4川《71141b
13 (%1川《% ll\ll-
Пусть С = Е , 1《s《2, где Е§ — единичные матрицы соответствующей размерности. Тогда % = % = 1 и матрица Р имеет вид
записываетсязаписываетсяУсловие устойчивости Рауса-Гурвица системы (10.36)
записывается
записывается
% mln% min〉16%^ mir/^ max耳2% Г
Пример 10.6. Исследуем устойчивость сложной системы с нелинейностями специального вида
dx
"="产1 + %尸 1(%)，气=°产Т
(10.37)
寸=4% + 外尸2(%% а2 = %F
где Лв，s = l,2,— устойчивые матрицы размером гхХгх и г2Хг2 соответственно; 0 < & (%) % < 耳о；; 0 < 厶(°2)% < 论唸纟 и % — векторы размерности г^ и %, % — векторы размерности га.
Для независимых подсистем
построим функции % (де, и %(%)в виде квадратичных форм
% (%i)= (В产 1，Q
%("2)=(综%2, %%
которые будут удовлетворять неравенствам, характерным для квгдр а- тичных форм с константами си =入 mIn,吻斗 max，旬=L %(= =2% max，。12 u% min» c22 =% max» %1 =〔，C|2=2%2 max，「区^ % min* 入 smax (S === 1, 2)—наименьшее и наибольшее собственные числа матриц В^ и В2； при этом G& = Е§ (6 = 1, 2).
Матрица Р принимает вид
/ I JM%||2 IG 叫
Р _ I 2% max入2 min
I 2 入;max U % II? U %『磅 — ['% m|x2%mj«
Теперь достаточное условие устойчивости системы (10.37) запишется так:
% ml“2 min >^ max^ max И %『II % I户呜『II %『喇・
Случай внутренних подсистем линейных и нестационарных. Рассмотрим сложную систему
奈=4 B)xs + &唸 1《s《加，(10.38)
в которой элементы 磷)0) матриц 4 суть функции, ограниченные и непрерывные при / g Ja. Предположим, что подсистемы
帚= 40)х$(Ю.39)
экспоненциально устойчивы. При этом существуют квадратичные формы
% 0,х§) = (8$ (f)x§, xs), 1《s《加，(10.40)
с ограниченными матрицами 3$ (/), зависящими от t.
Функции (10.40) будут удовлетворять оценкам
Мп (川阅F《％(优)& \max ⑴ MR (Ю.41)
где 人mg (О и \max (0 ——наименьшие и наибольшие корни характеристических уравнений
det (Bs (Z) — XES) = 0, s = 1,2,... ,/п, для каждого значения независимой переменной f・ Пусть для каждого значения независимой переменной / справедливо соотношение
dB (f)
夂(/)丄优)+8雜)4(/)+-^ = 一%，s=12…附，(10.42)
где Hs — постоянные определенно-положительные матрицы.
Пусть psmin и %ах 一наименьшие и наибольшие собственные числа матриц 方$, s = 1,2,... ,/п. Тогда известно, что
(&Xs，Xs)> 卩sminllxJR(10・43)
В качестве Hs можно взять, например, Es — единичную матрицу размером г& х %
Для полной производной функции vs (/,xs) в силу s-й подсистемы (10.38) имеем
dvDv 〜
於《一%/x尸+友尸。(//)(10.44)
и
J缥产卜2%』х』・(Ю.45)
Предполагая, как и выше, что функции связей F8 (/,х) удовлетворяют во всем пространстве Еп условию
т
阮点)||《2&・(/)11х儿(10・46)
s,i=gj)
где lSj (/) — неотрицательные функции при всех значениях независимой переменной / для (10.44), получим оценку
弟《一 ％in llx$『+ 2\max||xs|| 2& ⑴ llXj%
s J=1(S 中/)
Далее находим
s = 1,2,.. м т.
Отсюда в силу неравенства Шварца следует неравенство
統弋"2昌*0)鷗・s,/=ls^/
(S#/)
Резюмируем изложенное следующей теоремой.
Теорема 10.4. Пусть выполняются следующие условия.
1°. 〃閥 свободных нестационарные подсистем сложной системы (10.38) существуют функции у8 (/,х8), s= 1,2,♦一 •・・，/п, удовлетворяющие оценкам (10.41), (10.42).
2°. Функции связи подсистем Fs (/, х) удовлетворяют условию (10.46).
(10.47)(10.47)3°. Нулевое решение системы сравнения с переменными коэффициентами
(10.47)
(10.47)
где у — т-мерный вектор “ P(f) — (/и х /и)- матрица с элементами
I 一金也" 拉p〃々=s,
厶it) 〃川也*S, I Hsmin^min 丸#$
асимптотически устойчиво.
Тогда нулевое решение сложной системы (10.38) асимптотически устойчиво.
Нелинейные системы. Рассмотрим теперь класс сложных систем, у которых подсистемы линейного приближения удовлетворяют условию Г теоремы 10.4:
dx〜
戈=4 (0 х8 + 厶 &х$) + 尸М»,(10.48)
где fs (厶х$) — сходящиеся ряды в области 1|\-^|| |f —川 <5
содержащие х5 в степени выше второй.
Вычислив полную производную функции и$ (/,xs), в силу системы (10.48) получаем
duDuDu 〜
寸《一卩see ||xj俨 + 而5 f$ (仇)+ E 尸$ &%)• (10.49)
Очевидно, чтобы воспользоваться схемой доказательств предыдущих теорем, необходимо слагаемое Dvs/DKs(fs (/,xs)) оценить в неравенстве (10.49).
Введем функцию
掰&Xs)||
Rs 肃弋(B：(f)x£? 1《s《团，
где Г. — область, в которой определена s-я подсистема.
В области ГА имеет место оценка
除厶&х)卜& ("м11%『・(1°・50)
Учитывая (10.50) для и§, получаем неравенства
dv(卩smin — &(')九smax )
常《一П Vs +
at4%тах
+2+2(%3k他^；й，(%3k他^；й，
+2
+2
(%3k他^；й，
(%3k他^；й，
Аналогично предыдущему доказывается теперь следующая теорема.
Теорема 10.5. Пусть
/) выполняются первое и второе условия теоремы 10.4;
нулевое решение системы сравнения (10.47), в которой матрица Р (/) содержит элементы
при fe = $, при k^sfпри fe = $, при k^sf
при fe = $, при k^sf
при fe = $, при k^sf
асимптотически устойчиво. Тогда нулевое решение сложной системы (10.48) асимптотически устойчиво.
Метод, рассмотренный в этом параграфе, основан на «слишком достаточных» условиях устойчивости индивидуальных подсистем, обеспечиваемых наличием условий (10.3). В направлении ослабления этих условий выполнена работа [28], где рассматриваются следующие оценки Для %& х$):
&1限『《％ (f，Xs)《4网厶一&dJ = Gs (力Xs)Xs，
号 + ^^ fs(f，x)《一%4 g・ (10.51)
Здесь CsV С$2，汽,1 < s С /и, — некоторые положительные постоянные, Gs (Z,xs) — матрица размерности г& х %・ Применяя оценки (10.51).к системе (ЮЛ), в которой связи 尸式/^;) имеют вид (10.9), система сравнения у = Ру будет иметь матрицу Р с элементами
(10.52)(10.52)
(10.52)
(10.52)
где
方=sup!!竺睡М%1Ы> ,
Msk учитывают оценку
Постоянные ag用 удовлетворяют условию 7Й* = 4a您. Условия устойчивости системы (10.1) с помощью системы сравнения у = Ру с матрицей (10.52) формулируются аналогично приведенным выше.
Об устойчивости сложной системы с нейтрально устойчивыми подсистемами
Во многих практических задачах, связанных с анализом сложных систем, возникает вопрос об ограничениях, которым следует подчинить связи подсистем, не изменяющих качества системы при подключении к ней или отключении отдельных подсистем, обладающих свойством только устойчивости» В настоящем параграфе этот вопрос исследуется с помощью векторной функции Ляпунова и принципа сравнения с решением скалярного уравнения в случае устойчивости по Ляпунову и с помощью применения теоремы 6.4 в случае конечной устойчивости по Четаеву.
Теорема о равномерной устойчивости. Определим векторную функцию (% /,х),.,. ,^ш (/,/)) и рассмотрим выражение
V (/,%) = vs (/,%), / = 1,2,・•.(11.1)
S=1
Пусть 乙(九 х) > 0, а V (/, %) — определенно-положительная функция, допускающая бесконечно малый высший предел.
Теорема 11.1. Пусть выполняются следующие условия.
1°. Для свободных подсистем системы (10.2) существует векторная функция Ляпунова и сумма (11.1) удовлетворяет условию
и (/,х) > a (lk||),(1L2)
где а (г) (а (0) = 0) — непрерывная, монотонно возрастающая функция при /•£[()阖.
2®. 8 области ||х|| < Л, / > /0 функция и 0,х) удовлетво^ ряет условию Липшица с константой L > 0
к(Лx)一。依/)1《l假一川.
3°. Сумма полных производных компонент ^,,.. ,и7n в силу свободных подсистем системы (10.2) неположительная. т. е.
f像+挈小)《。.U3)
s=* 1
4°. Существуют интегрируемая функция(p(f) 〃 функция у (г) (типа функции а (г)) такие, что
II尸(*|1《屮⑴Y3I)，
j(p (s)ds< + 8.
Тогда нулевое решение сложной системы (10.1) устойчиво равномерно относительно Zo.
Доказательство. Согласно (11.3) находим, что
凉 + F~ Х(/,招0) + F (//)《L^ (0? (||x||).
Так как ||x|| » сГх (y(/,x)), следовательно, 加[Dv(ttx) __.〜，
舒十 Dx X (f/,0) + 尸(Z,x)《L(p ⑴ у(сГ ® (/，%))).
Рассмотрим теперь' уравнение сравнения [119]
^ = 〃Р(/)Р(У), У(4) = %£А,(Н.4)
где Р (У) = ?(〃-&))・ В силу (11.4)
，备 "+8
и полуось у = 0 уравнения сравнения (11.4) устойчива равномерно по /0. С другой стороны,
〃 (11% (ОН)《。优，尤(0)《У (爲必о)，
где у (%，%，%) = %• Так как у = 0 устойчиво из условий теоремы, то существует такое п ⑻ >°，ч^о из у (/охо) < т] следует и (/,%)< а (е) при всех / >/0.
В силу условия (11.2) ||х (/)|| < “一(〃 ⑻)=е при всех t〉％ равномерно по /0. Теорема доказана.
Оценки функций связей на конечном интервале. Рассмотрим теперь вопрос об оценке функций связи между устойчивыми подсистемами в случае конечной устойчивости на ограниченном интервале.
Теорема 11.2. Пусть выполняются следующие условия.
Г. В области (Гл \ГХ) х Jr с= Q (Я.т) выполняются ус・ ловия Г— 3° теоремы 11.1.
2°. На каждом конечном интервале J a JT существует интеграл
t tn一"
①优0,力%0)= j E -計~尸(力尤)df,(11.5)
f. S=1
который вычисляется на решениях xs (/) независимых подсистем сложной системы (10.2) при х$(%) = х?, l《s《m・
3°. Существуют постоянные М,Л0 > 0 и интегрируемая функция Л (0 такие, что
X 5尸(厶%) 一 Z勺F依)V s=ls==lI
《附(”)/l(f)
и
\ h (0 ds《% (% — 友)・
4°. Значение ①(/J。,％), определяемое формулой (11.5), удовлетворяет неравенству
(D(%fo)+M% 色一4)< 吸 П色)一唸 aх"("6)
при всех (f ],fj £ J?,芍〉f].
Тогда система (10.1) устойчива в конечном на ограниченном интервале.
Доказательство. Пусть решение %(/)системы (10.1) выходит из области ||%。|| < 九.Проследим за изменением вспомогательной функции (11.1), получим
関《£绛*戶(/,3(117)
3=1
Принимая во внимание обозначение (11.5) из (11.7), находим оценку
。(/,% (0)《и (}%) + Ф (單о,%) + MhQ (/ — /0), (11.8)
имеющую место при всех / А%, /£%
Пусть при t = t±^JT норма решения %(f) достигает значения 4 т. е. ^x(t^ = Л. Усиливая оценку (11.8), найдем
。也/色)) < 吟aх@)+ ①% %，%。，)+m%& 一 幻・("6)
Отсюда в силу (11.6) имеем неравенство
иеm介))<吸mg).
Это неравенство опровергает предположение, что Н 友 £ % и% при котором ||х (^)11 =s А и, следовательно,九百/т・
Теорема доказана.
Замечание //./. Эти теоремы позволяют рассмотреть ситуацию, при которой среди обособленных подсистем
dx
发=%(務)，s = 1,2,.…m, x8 £ %,
могут быть такие, что
啓 +d父'也 〃а,x，> % (刍》0 - const)
и
dv Dv
京+fix-% (…-const).
В этом случае вопрос об устойчивости по Ляпунову системы (3.26) решает теорема 11.1, а устойчивости по Четаеву—теорема 11.2 при дополнительном ограничении 工々/ + £ 9「《。，где 1《〃十 /"《m.
/=1Г=1
Нелинейные системы с особенным линейным приближением. Рассмотрим две n-мерные системы
学=4(/)%(НЛО)
и
%=A©y + R 仏 у),(И.Н)
где % £ £п, А (/) — матрица с непрерывными на каждом конечном интервале элементами. Вектор-функция R (/, у)-— заданная функция переменных /, у. содержащая у в степени выше первой. Предположим, что нулевое решение системы (11.10) устойчиво и, более того, известна ее матрица Коши ^ (力 t) = U (/) и—(т), где U (/) — фундаментальная матрица системы (11.10). В силу предположения об устойчивости системы (11.10) для нее существует такая определенно-положительная квадратичная форма и (/, х), при которой
^+ - ^(И.12)
В силу устойчивости системы (11.10) матрица Коши ограничена: IIN (力 т) ||《zn при всех Z > т, /и > 0 — const [6].
При х (%) = у (/0) оценка расстояния между решениями х(/) и у (t) систем (11.10), (11.11) дается в следующей лемме.
Лемма 11.3. Пусть выполняются условия
система (11.10) устойчива, /и. е. по заданному е' можно указать 6’ такое, что 〃р〃 ||х01| < 6Z для всех / > /0 имеет место ||х (/) || < 8Z и для разрешающей мет- рицы N 色 т) имеет место оценка || ^ (厶 т) || < /и < оо；
вектор-функция R 优，у) такова, что
||R(力 y)1|《m1|川|，M=const〉0.
Тогда для расстояния между решениями систем (11.10) и (11.11) имеет место неравенство
||У(/)-%(/)11《门产一1) ОРЗ)
на любом конечном интервале %《f《f()+ 2/, /〉0—const-
Доказательство. Из исходных уравнений при х0=у0 находим
№(f)-%(川I《，l1N(力初1||R(% 力]|也
Отсюда, учитывая второе условие леммы 11.3 и то, что [团YMI+||у—"II，получим
心(/)—%(£) |] 4 J Р(Л t)||M(||x|| + ||r/ —х||)dr.
Далее, в силу условия 1° леммы 11.3 имеем
IIУ 伍)一％ (0II《J (加 МУ +тМ\у^—х (т) II)dr,
где m = const > 0 такое, что || ^(/, т) || < zn < оо, f》т.
Применяя к этому неравенству лемму 4.1, получим оценку (11.13).
Теорема 11.3. Пусть выполняются следующие условия.
1°. Система (11.10) устойчива и это обеспечивается существованием определенно-положительной квадратичной формы и (/, х) такой, что выполняется условие (11,12).
2°. Существует интеграл
6 0,}/) = ]"^^-/?伯切山
вдоль рещения х(/) системы (11.10), обращающегося в 尤° * 0 при t = /0.
3°・ В сколь угодно малой окрестности точки х0 = 0 равномерно по (х0,幻 выполняется условие
①&6%)<-6(2-g,6>0-const, V/ > /0-
4°. Существуют интегрируемая на J функция о (/) постоянная а0 и неубывающая функция % (a), lim х (а) = О, а-»0
таковы, что
jo(f)df《Oo& — &),%〉小
При выполнении перечисленных условий существует такое значение MOf что как только
IIR (厶 У) II《М || УII при всех f》％(11.14)
где М < Л1о, то решение системы (11.11) устойчиво по Ляпунову.
Доказательство. По заданному числу 0<е<〃 введем в рассмотрение другое число 0<е' <е. В силу устойчивости системы (11.10) можно указать такое 6Z > 0, что как только ||х0|| < 6Z будет выполняться неравенство ||х(/) ||<8Z при всех / > /0 > 0. Заданному &' поставим в соответствие число с так, чтобы S,-окрестность точки % = 0 лежала внутри множества
Gc = {% ：。(力 ％)《с}, Sc и int Gc, с = const > 0.
Очевидно, всегда можно подобрать такое q£(0, с), что G%uMg，uSg・ Пусть решение у © начинается в области Gc^ т. е. ||%||<5'・ Вдоль этого решения скорость изменения функции и (/, у) определяется выражением
芻《『Rd，办
Отсюда нетрудно найти изменение самой функции
U (厶 у (0)《и (b，W) + 卜W醫"RG У (0)立(11.15)
В силу условий 2° и 4° теоремы 11.3 находим оценку второго слагаемого в выражении (11.15):
j _P,p)L R (/, у (/))山《① 0, 4, %) +
十，%(119(/)一力(/川)。(/)必・(H.16)
Выберем М в неравенстве (11.14) так, чтобы на интервале %《f《fo + 2/ выполнялось неравенство
|1у(/)||<11^(01Н11у(0-х(/) ||<8.(11.17)
Из оценок (11.13) и (11.17) следует, что для этого достаточно взять
М < "1 =亲 In 戸
В силу условия 4° теоремы 11.3 значение М2 подберем так, чтобы
x(y [产招一1])00 < 弘(11.18)
Выбрав теперь Мо = min (Mv Л12), получим, что при Л4<Л40 имеет место || у (/) || < е на интервале %《f《 办 + 2/ и интеграл в правой части выражения (11.15) отрицателен. Действительно, в силу условия 3° теоремы 11.3 и оценки (11.18) имеем
J ■^^■^■R (力 у)山 <—m(f—/0)+4(/—幻 <—4^—‘0)
при всех 办《/《% + 2/. Таким образом,
。侑 У (0) 《。偽，У (公)一专(方 一 4)(11.19)
и тогда найдется значение 友 £ [/0, /0 + 21], при котором 。(力 У(9) будет убывать и, следовательно, решение g(f) пересечет поверхность и =内 снаружи внутрь. В силу равномерности всех оценок по (%, х0) решение у (/) при всех f А % будет оставаться в области || z/Ц < в, пересекая сколько угодно раз поверхность и = q. Этим теорема доказана.
Замечание 112 Развитый в этом пункте метод исследования устойчивости может быть распространен на n-мерные системы нелинейных дифференциальных уравнений 警= 〃/,%),(11.20)
M=f©y)+R©y),(H.21)
где f и R — известные функции переменных (/, у), вектор- функция / (力 ％) удовлетворяет условиям Липшица, a R (/, у)—— условию
IIR (九 у) II《МIIУII，М = const〉0.
Теорема 11.4. Пусть выполняются следдюище условия.
Г. Существует определенно-положительная функция у (/, х), допускающая бесконечно малый высший предел
芻+卫嘿& №尤)《0, (%，f)EQ(",T).
2°. Вдоль решения x(f) системы (11.20), принимающем значение х0 при f = Zo, существует интеграл
①信h 卫胱R储少此
3°. Существуют интегрируемая функция u(f), постоянная о。и неубывающая функция % (a), limy (а) = 0, та- а->0 ковы, что
—^ R (/，у)-书卢 RG，g)|《％ (II9」* II)。(0
f а (0 dt《о。(％ — /i),片 > &・
4®. Вектор-функция R (/, у) обеспечивает существование непрерывного решения у (/) системы (11.21) при у(%)п =%0%0 “ удовлетворяет условию (11.14).
5°. Равномерно относительно /0, х0 при все% f > 4 выполняется условие
Ф (厶 /о* % < — 6(/ —匕)，6〉0 — const.
При выполнении перечисленных условий можно указать такое М。，что при М < Мо в неравенстве (11.14) нулевое решение системы (11.21) устойчиво по Ляпунову.
Замечание 〃.3. Условие 1° теоремы 11.4 можно ослабить, потребовав существования знакопостоянных функций ^1 > 0, ..., ^т > 0 таких, что лишь функция и = £ % (/, %) s=l определенно-положительная и допускает бесконечно малый высший предел. Видоизменение условий теоремы 11.4 при этом очевидно, и приводить их не будем.
Замечание 11.4. Построение функции и (/, %) для системы (3.13) или (11.10) подчас сталкивается с непреодолимыми трудностями, в то же время может быть построена 8-точная функция Ляпунова [68], т. е. функция в виде конечного отрезка ряда
и(/, %)=必侑 х) + vx (/, х) + ... + um (/, х) + ... , (11.22)
где ?小(/, х) — однородная форма /n-й степени относительно хр ... , хп. Для систем (11.10) рекуррентные формулы построения такого рода форм легко получаются на основе способа В. И. Зубова' [31, с. 100]. Сходимость ряда (11.22) при достаточно малых \xs\ следует из результатов [50]. В частном случае (см. §15) последующие приближения vm (Л х) могут быть квадратичными формами, матрицы которых вычисляются из рекуррентных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Сформулируем теорему, обосновывающую применение приближенной функции Ляпунова при исследовании устойчивости систем (11.11).
Теорема 11.5. Пусть выполняются следующие условия.
1°・ Существует определенно-положитглъная, допускающая бесконечно высший предел, функция %(/,%)・
2°. 5 области Q (”, т) выполняется условие
т
/=0
3°. Вдэль решений системы (11.10)
R (f, у) dt = O для 0 < fe < /и — 1
u
①m (Л %，尤о) = J R (Л у) dt * 0.
4°. Существуют неубывающая функция % (a), lim % (а)=0 а->0
“ интегрируемая на J функция о (/) и постоянная а0 > 0 таковы, что
т乙Dy /«=0т乙Dy /«=0т
т
乙Dy /«=0
т
乙Dy /«=0
R储虱一£р^~ R@、у)《％ (II у —% II)。(力， /=о
J u(f) dt & о。& —幻.
5°. В сколь угодно малой окрестности точки х = О, как только || % II〉у(Y < 〃), то у/》/0
①m (力 А)，%о) < — 6 (f — /0), 3〉0 — const
равномерно no (%,加)£ Qo.
Тогда для заданного 8 > 0 можно указать X > О, Мо > 0 такое, что как только ||х0|| < X, то ||у(/)||<е, / > /0 〃Р〃 любых R(f, у), удовлетворяющих оценке
И (Л У)||《М®|，М<М0.
Доказательство теоремы 11.4 проводится аналогично доказательству теоремы 11.3, поэтому в деталях повторять его не будем. Укажем лишь полученные оценки для функции V (/, у (/)) вдоль решения системы (11.11).
Для функции (11.22) имеем
т8
号=£号R©У) + S用十号(4(/)什r侑“))!•
(11.23)
Первое слагаемое в правой части неравенства (11.23) оценивается как и выше в теореме 11.4. Для второго слагаемого имеет место следующая ситуация. В силу непрерывности функции V (/, у) ограниченности R (/, у) и устойчивости системы (11.10), учитывая сходимость ряда (11.22) в любой ограниченной области G ： {|| а: || < ^, /0 < / С /0 + 2/}, для
всякого 0〉0 можно указать такое у > 0, что как только ||у||<?(Р^о, 2/,//), то
£ [" + -р7 (% (9 % + R (Л у))] & 01团|・
Учитывая, что ||у||《||%|| + ||У —% II，получим при Р < р°, где§
° = 3 [£ + Jd'mM — 1)]'
справедливость оценки
Е [粤+將低е’д)+"(/)4)] т- /=т4"1
Выбором Mi < М)можно добиться того, что
хе"*,—]])%*
Тогда, учитывая условия теоремы 11.4, найдем
Отсюда и вытекает справедливость утверждения теоремы 11.5.
Специальный особенный случай. Далее, относительно правых частей систем дифференциальных уравнений (11.20), (11.21) будем предполагать, что 力(/, %) определены, непрерывно дифференцируемы, а производные 胃"ограничены в области
||%||<〃； f》t (т > 0). (11.24)
Функции R 侑 у) — заданные и обеспечивают существование единственного решения системы (11.20) с начальными значениями (Zo, х0) g Йо cz Q. Системы (11.20) и (11.21) допускают невозмущенное движение х == 0, т. е.力侑 0)三 &优,0)三 0. С системой (11.20) свяжем непрерывные в Q (//, т) функции и (/, х), имеющие частные производные по х1э..., xn, t первого
и второго порядков. Функции и (厶 %), а также их первые [50] и вторые [71] производные в силу системы (11.20)
di dt Dx 『("'"丿，
"dt 十 Dx 刃
непрерывны в Q (", т) и уничтожаются при х = 0:
V (/, 0)曰 0, V 优，0)曰 0, V (/, 0)三 0.
Условимся говорить, что для системы (11.20) имеет место специальный особенный случай общей задачи об устойчивости движения, если уравнения (11.20) таковы, что
1)丄樓包/(/,%) +罂《0 при /А%; (11.25)
2)丄嘿》f优,％) + *《0 при всех /》小 (11.26)
В пространстве переменных хр ..., хп в области ||х ||</7 рассмотрим уравнения и 0, %) = %, представляющие собой некоторые подвижные поверхности [112, с. 18]. Через начало координат, где предполагается xs = 0 (1 < s < и), проходит поверхность и (/, %j= 0. Следовательно, при lim %= ° поверх- 也->8
ности V (/, %) = % ограничивают стягивающиеся к нулю окрестности.
Интеграл
Ф 优,} %) - J 岑”R (/, %) dt (11.27)
рассматривается вдоль решений %(/) системы (11.20) с начальным значением х0 £ jx: и (/, х) < %}, х0 * 0.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 11.6. Пусть
существует определенно-положительная функция V (/, х), первая и вторая производные которой в силу уравнений возмущенного движения (11,20) удовлетворяют (11.25), (11.26);
выражения dv/dl, Dv/Dx, Dv/Dx ограниченье
в области численно достаточно малых значений переменных %8 выполняется условие
①侑0%) <-6(/一公，6 > О-const
при всех / А /о；
существуют интегрируемая на J функция а (/), постоянная а0 > 0 и неубывающая функция % (а). Нт % (а)=О а->0
такие, что
缥3R&y)一2智»Rgx)《"(心一也)。©
，о (/) df《。0 (% —幻 ％〉片
В этих предположениях невозмущенное движение системы (11.12) устойчиво 6 следующем смысле: для любого в > 0 (0 < в < Я) существует два таких числа 2i (в) > О и т]0(8)> 0, что из неравенств
ll//(UII<^
IIR伉力II <п vf>6 \\у\\<^ где п《％ (в), вытекает неравенство
IIУ (ОН < в при всех f > %, lim || у (f) || = 0.
f->8
Доказательство. Принимая во внимание (11.27), согласно условий теоремы 11.5 аналогично доказательству теоремы 11.3 нетрудно найти оценку
黑 < —^ (^ —幻 V» >А)，(11.28)
справедливую при всех / А "•
ИЗИЗВ силу того, что функция V (6 х)—определенно-положительная, а ее производная (11.28)—строго отрицательная, векторное поле системы (11.21), направленное внутрь, и х(/, /0, /) не покинут области ||х||< е при х0£{х : || х0|К ^}- Более того, и (厶 ％ (/)) -> 0 при f f 8 и % f 0・ Следовательно, И у (/) II 0 при ff8・
ИЗ
ИЗ
8 - 4-761
11.5. Устойчивость в развивающихся системах. В ряде прикладных задач, связанных с техническим прогрессом, представляет интерес следующая задача. Поведение механической системы описывается автономной системой нелинейных дифференциальных уравнений
d： = /§ ("1，・・•，"》s=l,2,・・・，九，(11.29)
где /К%, ・・・,/)——функции, заданные в £九,вещественные и непрерывно дифференцируемые. Эта система имеет единственное положение равновесия % = 0, т. е.
%(%[,••・,х^ Ц=о 三"s = 1,2, ... , и.
При f = fо А 0 система начинает движение с устойчивого состояния равновесия х =^ 0, т, е. выполняется, например, условие
^Bf & О,
где•
Для любого t> tQ система подвергается действию возмущающих сил R§ (/, %], •・・,%几),удовлетворяющих условиям
Rs (/(),%[,・•♦ » %〃)三 °, s = 1, 2, ♦・・，〃；
(11.30)
R» (f, %[,・・・,Xrt) |%s=o 三 & s = 1, 2,.・・,/i.
Возмущения R6 (/, %» ・・・,％Q, удовлетворяющие условиям (11.30) и предположению ограниченности вместе с частными производными з^К будем называть развивающимися.
Таким образом, поведение системы при / > /0 описывается системой дифференциальных уравнений
警=f(%)+R(f,%),(Н-31)
учитывающих ее изменяющуюся структуру.
Требуется найти условия устойчивости решения х = 0 системы (11.29) при развивающихся возмущениях (11.30).
Решение этой задачи проведем вторым методом Ляпунова с использованием производных вспомогательной функ-
И4
ции v (%) выше первого порядка. Справедливо утверждение.
Теорема 11.7. Пусть
для системы (11.29) существует определенно-поло- жительная функция Ляпунова и (%);
6 области Q (")
察/(水о)
вне сколь угодно малой окрестности точки %? = О
^.(f^ + R^x))^
6 области ◎(") выражения 農,>^ ограничены, т. е. существуют постоянные Л1 > 0, ^>0 такие, что 6 Q (Н) выполнены неравенства
и выполняются условия (11.30).
При выполнении перечисленных условий система (11.29) устойчива в следующем смысле: для любого 8 > 0 (0 < 8<Я) существуют такие два числа %(8)и 出(叫 чт)из неравенств
II % (Q II < % ⑹，
||R(f, %)|| < %(е) при ||х|| <8, /〉％ вытекает неравенство
II х (/) II < е при всех t》%・
Доказательство. В силу определенной положительности функции V (х) существует такое положительное число Л1 (叫 что и (%) < 加 на сфере Н (%) и и (%)〉/п на сфере 〃⑻，где tn — точная нижняя граница значений и (х) на поверхности сферы Н(8). Рассмотрим траекторию системы (11.31), начинающуюся в области ||%||<%(е), и допустим, что эта траектория попадает в кольцо %《II % II《& Из соотношения
^ =黑G 3+R也»儿=卜+ j您0 (%) + R (J %))或
находим
黑《j ^^)(‘⑴+ R (& ""或《0.
Отсюда
и (х (/))《и (/)•
Следовательно, производная -—- функции и(х) не возрастает вдоль любой траектории системы (11.31) в кольце г)1《||х||9 и поэтому ни одна траектория не достигнет поверхности |[х|| =8. Теорема доказана.
Применение многоуровневых систем сравнения
Построение систем сравнения при исследовании устойчивости систем высокого порядка является, по-видимому, одним из наиболее эффективных путей преодоления больших трудностей, встречающихся при непосредственном применении к ним классических методов исследования. Учитывая, что многие сложные системы в действительности являются составными системами (т. е. системами, состоящими из большого числа соединенных между собой относительно простых подсистем), были предложены способы [42, 115, 124] анализа систем на основе исследования подсистем и их взаимных связей.
При исследовании асимптотической устойчивости в большом (см. [40]) получил распространение метод Ф. Н. Бейли, о котором уже шла речь в § 10.
В этом параграфе предлагается схема построения систем сравнения на основе некоторых аппроксимационных процедур. В предложенной схеме процесс итераций получения последующих систем сравнения (более высоких уровней) можно продолжить и, таким образом, с помощью конечного итерационного процесса построить систему сравнения заранее заданого порядка. Для простоты изложения построение выполнено для первой итерации.
Сложные стационарные системы. Пусть задана система
=%(Х], • • • , х「) + Fs (Хр ...» х$_], х$+], • • • , Xg),(12・1) 116
где Xs £ Е，，f§ и F「вектор-функции соответствующей размерности. Предположим, что при х? £ Q。решение xs (/)= =х§ (f, %, х§ существует и единственно при f £ J「・
Рассмотрим вещественные функции 例(х),・•・，0n (х), определенные и непрерывные в области
||х|| <Н9 Н> 0 — const, где
1|х|| =(工 f/xs ||2^ •
Для совокупности этих функций вгедем норму
IIФ (%) II = I 屮1(X)|+ IФ2 (х2) I + •. • + I %, (х) |・
Рассматривая функции(ps (xs), будем предполагать, что
IIФМ \\>а(\\х\^(12.2)
где а (г) — непрерывная, монотонно возрастающая функция г € [0,龙],Л > 0 ——const, обращающаяся в нуль при г = 0.
По заданным (ps (xs) подберем некоторые произвольные функции “s (Хи • • • ， х^) так, чтобы совместно с произвольными постоянными %/ > 0 удовлетворялись соотношения
£人号=%i屮 1 + • • • + %加屮加 + 电(Ху …，xw), (12.3) к
где 电(X],・・・,xm) суть функции переменных хр ... , хт, обращающиеся в нуль при обращении в нуль этих переменных.
С учетом (12.3) производная вектора <р == ((рр ...» ф^) в силу системы (12.1) примет вид
字=£ %屮/・ + Gs (Ху ・・•，x J 1《s《zn, (12.4) i
где
G& (x“ •・・，x/ = £ 尸/(X],・•・，х/ 諄 + R (Ху •・・,x/・/«1'
Отметим, что функции Ф8, 1《s《т, удовлетворяющие уравнени - ям (12.3), можно выбрать линейно независимыми в любой области ◎' U Q Известным условием линейной независимости элементов ср】，...，屮山 на Q' является условие
Г (Фг . . ., <рт) == det I j 兴屮咨。丨 ¥= О,
где о — лебегова мера множества ◎' и Q.
В подпространстве Вг и В, образованном линейными комбинациями срр ,屮加,определим оператор R равенством
R% мG$(X], • • • , xm).
Далее следует определить элементы й^ матрицы "' так, чтобы т
Rr =工4用 + 3s(X]，• • •，х/ (12.5) и при этом
II6 (х) ||g,f min,(12.6)
где
/ m \l/21|3(6限=j工添R.
При условии согласованности норм в области Q для вектора 6 (х) можно указать число L > 0 такое, что равномерно по справедлива оценка
||д(х) ||<Л||ф(х)||,(12.7)
где К ср Л — евклидова норма.
Теперь система (12.4) с учетом (12.5) приводится к виду
器=Х%%・+ 4(X1，Xjl《s《m,(12・8)
7=1
где hs. = %. + %•
Напомним, что множество всех значений (%, х?), для которых решение х8 (/) системы (12.1) устойчиво по Ляпунову и удовлетворяет условию
2 II х$ (/' %’ X?) II ~> О при f ОО, S=1
называется областью асимптотической устойчивости (область Л). Применительно к системе (12.8) область А есть область значений (%,而°), для которых ф (0 — устойчиво по Ляпунову И II Ф (х (/)) |1 -> 0 при f т 8.
Теорема 12.1. Пусть система
(12.9)(12.9)黑="协
(12.9)
(12.9)
где у £ Е^ Н = (% + 吟)，имеет асимптотически устойчивое нулевое решение. При этом для функций 6s (хр ... , х^) можно указать такой высший предел А (х), что при II61| < А (%) система (12.8) и вслед за ней система (12.1) будут иметь асимптота чески устойчивое в целом решение.
Доказательство. В силу предположений о системе (12.9) существует функция у(фр ...» ф^) определенно-положительная и определенная в области, не меньшей области определения функций Фу • • •，屮加 такая, что
где w (ф) — определенно-отрицательная функция
оу (ср) < — а (Р) < 0 при И ф /| > Р > 0.
Легко видеть, что если А (%) выбрать в виде
А /、 乂 (хг • • •» хт) I (Ф) I с 丿
Д(X)= i与,0《乂《歹，
то
舞(〃屮+ 6) < — ах < О, II Ф (I > Р > 0.
Следовательно, найдена такая функция и((р), что
0《u (屮)《+ 8,(恥，•..，中加)£ В',
и (<Р)f + 8, (ср】…・，ср/ f М* и А\А9
полная производная которой определенно-отрицательная. Но тогда в области Q' для любого 8 > 0 можно указать 6 > 0 такое, что || 屮(/) ||< 8 у^ > %, как только |](р0|| < 6. Действи-
тельно, из оценки (12.2) имеем || х (/) || < a~1 (|| <р (f) ||) = s у/ > /0, если только ||(р01| < б. Теорема доказана.
Теорема 12.2. Пусть для матрицы Комш системы (12.9) имеет место оценка
М 侑砌|《BL(i,(12.10)
где В и а — положительные постоянные, независящие от т. Если выполнена оценка (12.7) и неравенство *
X = а — BL > 0,(12.11)
то нулевое решение системы (12.1) асимптотически устойчиво.
Доказательство» При выполнении условий теоремы нетрудно найти, что
II中优川《№11成闻71叫
а в силу (12.2) получаем
Ь(/)11《аТ (II Ф (О II)
при всех t А ". Отсюда, учитывая неравенство (12.11), и следует утверждение теоремы.
Рассмотрим систему
п
-^ = £ %/Х/ + Х$(X?・・・，xj(12.12)
/=1
Пусть в результате декомпозиции система (12.12) представлена в виде
-^» = 4% + % (ХрХ?,…，х$т，x$+i…・，xQ’ (12.13) где % £ Е「§, £内=必 力8 —('$ * %)・матрнцы, вектор-функции Fg (%) учитывают перекрестные связи независимых подсистем
*=&х&(12.14)
и функции Х$(X]….，X/.
Пусть все корни уравнений
det(4 —九4)= °，s = 1, 2,・・・，m, имеют отрицательные действительные части.
Зададим функции(ps (*), как решения систем уравнений в частных производных вида (12.3)
£ дГ(%工％ + • • • + aiM = 4% + 九(％xQ，(12.15)
удовлетворяющие условию (12.2).
Отметим, что если 屮§ (*)三 0, то @§ определяются из системы (см. [52, с. 63 — 65])
fs -
£ ^" ^aj^i ^+ ajm^n)=入瓦(12.16)
при соответствующих предположениях о корнях 0$ уравнений det (Cs 一 吗)=О,
где Cg ——матрицы, элементы которых суть постоянные, являющиеся линейными комбинациями элементов матриц %
В данном случае функции G$ имеют вид
08 (х)=工詣*尸丿(xj +屮$内…・，(12.17)
В случае гильбертова подпространства В' пространства 8 можно указать систему чисел hjy (s, / = 1, 2, ... , m) таких, что величина
т
I G§ — Е %唄1《s《т,
7=1
будет минимальной. В этом случае
G§ — £ 閥 ％ Е ) = 0, 1《s《т,/
где любой элемент гиперплоскости Е，состоящий из линейно независимых элементов ①丁. Но тогда 九% определяются как решение неоднородной системы
喝(Фв» Фу) =(4，фу), 1《s《т, /-0
где
仰8, Ф；) = J屮$旳也
(G$，中)=j G§,中.dx.Qz
Вспомогательная система (12.13) принимает вид
等=£"/ + “(%), l《s《m,(12.18)
/=1
где
% =明 + %%
при минимальной невязке
4 = 4 — £ 明中 j •
Известно, что компоненты вектора 6 (х) с помощью определителя Грама выражаются формулой
Г ((р^ ...
Для однородной системы, соответствующей (12.18), рассмотрим квадратичную форму Ляпунова у (ф) = (Лф, ср), матрица которой 4 вычисляется из уравнения Ляпунова
C^A + AC = — G(12.19)
по формуле
А = - f /%*成，X* = 4А = - f /%*成，X* = 4(12.20)(12.20)
А = - f /%*成，X* = 4
А = - f /%*成，X* = 4
(12.20)
(12.20)
где С ——комплексно сопряженная с С матрица.
12.2. Равномерная устойчивость. Вопрос о равномерной асимптотической устойчивости системы (12.18) и, следовательно, (12.12) решает следующая теорема.
Теорема 12.3. Пусть выполняются следующие условия.
1°. Нулевое решение системы
(12.21)
равномерно асимптота чески устойчиво с функциями az (X), bz (X) u t(%)・
2°. Существуют функции。^(入),Ьф (X), для которых, при г > 0 и 0 < X < г выполняются неравенства 生仇)< < % 仇)< 入 & b2 (X) < 外(X), а также у (г) такова, что
V [%(力 <(2t 的 ^^)-1 min ]：，)：：[),
(%)一％ (入)丿
где L〉0〃 4P仇)，外仇)，a2(X), Ьг(^ иу(г)—функции, строго возрастающие при X £ [0, rj и обращающиеся в нуль при 九=О, т(Х) — положительная функция.
3°. При / > О и II(р|| < г имеет место оценка || 6(%) ||《 《Y [% 4)】равномерно по % £ Q' и С・
При выполнении перечисленных условий нулевое решение системы (12.12) равномерно по /0 асимптотически устойчиво.
Доказательство. Пусть г(/, 0 г0) и(р(/, %(р0) —решения систем (12.21) с начальными условиями z° =屮°, II(р0 II < г. Пусть также || z (f) || < bz (X) на интервале /0《 《/《4 + t (入)，что возможно по условиям теоремы. Тогда
1!T(/)1Ie1|2(0 11+11中(/)一2(川1《% 仇)+
+ 2Y [% 仏)]Т0)成厶m)<%(入)(12.22)
и, следовательно,
II (? (川y % (九)
при всех /0 ^ / < /0 + т (X). Из цепочки неравенств
II 屮ё + t (切 II《II 屮仇 + T (X)) И + II T (/о + T 仇))一
一 z (% + Tа)II《%仇)+ 2? [%仇)]т仇)X絃内储< %仇)，
(12.23)
условий 2° и 3° теоремы 12.3 и неравенств (12.22) и (12.23) следует теперь, что решение системы (12.18) равномерно по /0 асимптотически устойчиво. Учитывая, что норма вектора ф удовлетворяет условию (12.2), находим, что нулевое решение системы (12.12) равномерно по /0 асимптотически устойчиво. Теорема доказана.
Вопросы для исследования
Построить конечные области притяжения с помощью теоремы 6.2 Для задачи Лурье (рассмотреть стационарный и нестационарный случаи).
Провести исследование устойчивости системы (11.11) на основе теоремы 11.3 при различных предположениях о системе (11.10).
Исследовать устойчивость решения систем вида (11.11) методом векторной функции Ляпунова с возмущениями R«, 9)=，Q"— о
—T)g(T)dt в случае устойчивости (неустойчивости) соответствующей системы сравнения, Q(f) — матричное ядро.
Для систем вида (11.11) построить коэффициентные критерии конечной устойчивости по Четаеву [112] на основе экстремальных свойств пучка квадратичных форм, построенных по алгоритмам § 15—16.
Получить условия структурной устойчивости линейных и нелинейных систем при развивающихся возмущениях.
Г лава II
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙСИСТЕМ, СОДЕРЖАЩИХ МАЛЫЙ ПАРАМЕТР
Многие задачи физики и техники формализуются математическими моделями, описание которых осуществляется с помощью систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих малый или большой положительный параметр. Вхождение положительного параметра в систему дифференциальных уравнений может быть различным в зависимости от существа и природы исследуемой задачи. Математические методы исследования такого ряда систем содержатся в трудах (8, 11, 17, 22, 84, 85, 93]. В общем этим системам посвящено большое число специальных научных исследований и учебных пособий, часть из которых приведены в обзоре В. М. Волосова в книге [82]. В этой главе вопросы качественного поведения систем с малым параметром рассматриваются в соответствии с общим подходом работы, основанным на идеях второго метода Ляпунова и принципа сравнения Чаплыгина-. Более детально здесь исследуются вопросы качественного поведения решений систем, содержащих малый параметр, систем, содержащих постоянно действующие возмущения в правой части соответствующих дифференциальных уравнений, многокомпонентных периодических систем и даются некоторые приложения общих методов к решению конкретных задач.
По параграфам главы материал располагается следующим образом. В § 13 дана постановка задачи об устойчивости систем с постоянно действующими возмущениями и приводится анализ различия понятия устойчивости по Ляпунову и устойчивости систем с параметром. Теоремы об устойчивости такого рода систем основаны на оценках вспомогательной функции и (/, х) на траекториях возмущенной системы дифференциальных уравнений, которые приведены в § 14. В § 15—17 разработан алгоритм построения функций Ляпунова для широкого класса систем и указаны
приближенные аналитические решения этих систем. Далее, в § 18, 19 доказана теорема об устойчивости системы с возмущениями сложного характера, при которых имеется малый параметр и установлены условия неустойчивости взаимодействующей подсистемы. В § 20 сформулированы условия применимости усредненных уравнений при исследовании нестационарных систем. В § 21 производится оценка притяжения решений усредненных уравнений. Стандартные системы с малыми возмущениями исследованы в § 22 в предположении, что для усредненной системы существует функция Ляпунова, производная которой в силу этой системы тождественно равна нулю. Вопрос об устойчивости положения равновесия связанных стандартных систем решен в § 23 на основе рассмотрения квазиустойчивости подсистем. Применение одной теоремы этого параграфа иллюстрируется на примере системы регулирования, для которой получен конкретный критерий устойчивости движения. В § 24 исследуются решения нелинейных систем со слабым взаимодействием. Эти теоремы могут оказаться полезными при исследовании переходных процессов в крупномасштабных составных системах. В § 25 осуществлено детальное исследование качественного поведения решений систем осцилляторов со слабым нелинейным взаимодействием. В § 26 проводится исследование устойчивости движения двухроторного гирокомпаса, оборудованного двумя успокоителями колебаний.
В заключительном § 27 рассмотрены вопросы деформации свойств движений под действием интегральных возмущений.
Постановка задачи
В предыдущей главе была изучена задача об устойчивости сложной системы обыкновенных дифференциальных уравнений при различных предположениях о подсистемах соответствующих «невозмущенных» систем. Методы первой главы могут быть распространены на системы, содержащие малый параметр. Специфика этих систем (наличие малого параметра) позволяет произвести эффективное исследование соответствующих систем сравнения с помощью хорошо развитых методов нелинейной механики.
Прежде всего приведем определение сложной системы, содержащей малый параметр.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений 号■ = Х(/, х, р(/, х),財(f, х)),(13.1)
где х и X—точки n-мерного пространства,卩——малый положительный параметр, называется сложной системой дифференциальных уравнений с малым параметром. Здесь правые части X (/, х, р,財)определены в области С (/У, т,卩°) и таковы, что ее решение %(/) = % (/, %, xj с х。£ Qo ("J, /0 £ 4 существует и единственно на，ПРИ 卩 < №• В общем случае правые части уравнений возмущенного движения (13.1) по отношению к / не периодичны. К системам вида (13.1) приводя гея многие важные технические задачи, в связи с чем они стали привлекать внимание исследователей.
В настоящей главе в основном исследуется задача об устойчивости сложно-возмущенных и сложных систем, содержащих малый параметр. Ввиду того, что решение этой задачи использует методику, основанную на методе функций Ляпунова, этой проблеме посвящены § 15, 16, в которых применяются идеи метода возмущений и дается решение вопроса для некоторых классов нестационарных систем.
Относительно функций р (f, х) и г (厶 ％), входящих в правую часть системы (13.1), предполагается, что функции р (厶 ％) известным образом содержат координаты % (если не указаны особо другие условия), р (力 0) w 0, а для функций г (/, %) известны оценки [1051
II，(力%) II <八⑴Jh(s)由《饱& 一幻，/2 > /D % с а(")，
где h (0 — интегрируемая функция на J. Вообще говоря, функции г (/, %) при % = 0 не обращаются в нуль.
Таким образом, функции 厂(力 ％) (как и в системе (1.9)) имеют смысл постоянно действующих возмущений. Понятие устойчивости нулевого решения систем, содержащих малый параметр 卩〉0, может, в общем случае, отличаться от понятия устойчивости по Ляпунову системы обыкновенных ^дифференциальных уравнений, или других понятий устойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений,
Пленим различие некоторых понятий устойчивости на приме-
Пример 13.1. Исследуем устойчивость нулевого решения системы дифференциальных уравнений
望=m（出-由，号= / + m勺（13.2）
Для полной производной функции Ляпунова
%（%） = ~2~ （岩十”今 + "1*2，。《N < 1, получим выражение
》П一城一"：+。（咼.
При достаточно малых 卩 эта производная определенно-отри дательная. Несмотря на это при р, = 0 нулевое решение системы （13.2） неустойчиво по Ляпунову. Все же для любого А<^Нг можно указать такие 入 и 卩°〉О （Х< Л）, что если xf0 + 岩° < 九，то при всех f》О будет иметь место неравенство 君（/） + 域（f）《4 лишь только p,<jx0.
Отметим, что устойчивость в Мм приближении по 卩 также отличается от устойчивости по Ляпунову.
Пример. 13.2. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
-^ -―卩%: + 卩（%1 + ^2）» / j"=一卩* + "2（*2 + *：），（13.3）
Нулевое решение системы （13.3） при 卩 #= 0 неустойчиво по Ляпунову, но устойчиво в первом приближении при 卩〉0.
Таким образом, для системы дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр, наряду с определением устойчивости Ляпунова имеет место следующее определение: для любого 0 < 4 V 〃1 можно указать числа X > 0, |л° > 0 и значение /0 > 0 такие, что решение, выходящее из области ||%||《X （Л,友）при всех / > 友，будет оставаться в области ||х|| < А при любых 卩 < р,0 （Л, /0）.
В этом случае термин «устойчивость» применительно к системам （13.1） будем сопровождать символом 卩（|1-устой- чивость）, что и будет указывать на существующую зависимость свойств решений от малого параметра 卩・
Если в приведенном определении X и |л° можно выбрать независимыми от ^0, （x-устойчивость будет равномерной ПО /q.
Оценки вспомогательных функцийвдоль решений сложных систем с параметром
В этом параграфе анонсируется общая схема исследо^ вания сложных систем с параметром и устанавливаются оценки изменения вспомогательных функций вдоль решений сложных систем. Не лишним будет отметить, что прогресс в обобщении метода функций Ляпунова по существу связан с привлечением новых идей, позволивших получить оценки этих функций вдоль решений рассматриваемых систем. Эту мысль иллюстрируют результаты работ [52, с. 301; 30, с. 161; 105, 63, 76 — 79]. Упомянутые оценки здесь связаны с понятием верхнего (нижнего) решений специальных систем сравнения.
Идея расширения основной системы. Общую схему качественного исследования систем дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр, можно представить следующим образом. Наряду с системой (13.1) рассматривается вспомогательная система уравнений
際=步(e,乂匕卩)(14.1)
такая, что расширенная система (13.1), (14.1) имеет интегральное многообразие, определяемое уравнением
屮 0, %,匕卩)=0,卩《％.(14.2)
Исследование интегрального многообразия (14.2) при соответствующих предположениях о правой части системы (14.1) позволяет судить о поведении решений исходной системы (13.1) на основе анализа свойств нулевого решения вспомогательной системы (14.1).
Приведем примеры, иллюстрирующие сказанное.
Пример 14.1 [50]. Положив в системе (13.1)卩=1, р (/, х)=0, г (G х) = 0, запишем ее в виде
号= Х©х\ к£Еп. Х& 0)=0.(14.3)
В качестве вспомогательной системы уравнений (14.1) выступает полная производная функции Ляпунова и (/, х) в силу системы (14.3):
-j厂=^ (/, X),
исследование которой и решает вопрос о поведении ее нулевого решения.
9 — 4-761129
Пример 14.2. Пусть V = (^,...,如)—векторная функция Ляпунова [71]. Вопрос о поведении решений системы (14.3) решается путем исследования системы сравнения
-= С (力 У, %),(14・4)
at
построенной для исходной системы (14.3).
Рассмотрим подробнее этот случай. Положим V =力，где 力一 неотрицательная функция, определенная в ограниченной области G (R). Оценив в системе (14.1) влияние х, в области Q (Я) получим неравенство -
粤《呼(f，S小)，(14.5)
at
заданное в области G (R) X Jo. Оценку изменения решения 力(f, yOi) дифференциального неравенства (14.5), как уже отмечалось в первой главе, можно выразить через верхнее (нижнее) решение мажорирующего (14.5) уравнения сравнения
С & 协卩)，％ € Аatи
в виде
%(/, %],卩)《7(/, %,卩)，н<%,(14.6)
где / С 4.
Перейдем теперь к непосредственному построению оценок изменения вспомогательных функций вдоль решений сложной системы (13.1).
Оценки изменения вспомогательных функций. Предположим, что правая часть системы (13.1) имеет вид
X (/, %, р (/, %), |хг (/, %)) = X (/, х, р°, [л/*о)+
+ X (/, х, р 侑 х), 0) + X (Л х, 0, м (/, х)).(14.7)
В частности, если функции р (/, х) и г (/, х) входят аддитивно в систему (13.1), то последняя имеет правую часть вида (14.7)
嘗=f 侑 ％) + р (f, %) + 財(/, %).(14.8)
Предположим, для «невозмущенной» системы
r~ = X & %, %, к%)(14.9)
существование непрерывно-дифференцируемой функции V (/, х), допускающей ограниченные частные производные, и функции С (/, у), непрерывной по t и монотонно возрастающей по V, С (/, 0) = 0.
Лемма 14.1. Пусть выполняются следующие условия.
1°. Существуют функции и (/, х) и С (/, и)，указанные выше,
2°. Имеет место неравенство
史新上 + 怨2 X (/, X,后，"J《e (/,。) (14.10)
при всех / £ 厶 II II < 扭.
3°. Существует интеграл
7(5，%) = J 吗#^Х (/,%(/), р^х(1))^) di. (14.11)
который вычисляется на решениях системы (14.9) 〃р〃 尤(％)=尤(Г
4°. В области Q (”, т) выполняются оценки
|^^-1 < М, у X (/, х, 0, ^г (/, х)) И < й (/), (14.12)
一/嗯包X侑%, p (Л盼,0) |4^(p⑴
“ существует интеграл
。(f,卩)=J (|xM/i (/) + 尼屮 7)) df, M, h = const > 0 (14.13)
на любом конечном интервале J и J& при 卩 < 卩°.
5°. При t^J^ и р < р，0 существует верхнее решение у (九 %, У^ уравнения сравнения
署=С(/, у +7(/, /0, %) +。侑田) (14.14)
%р〃 начальном значении у (%) = у。£ А・
Тогда вдоль решения %(/) системы (13.1) такого, что и (%，％(%))《％ 8м функции V (Л х) имеет место оценка
и (/, х (0)《力(厶 ％, %) + Т (f, %, %) + а (力卩) (14.15)
при всех / £ 人 “ N < 卩°・
Доказательство. Вычислим производную функции V (/, х) вдоль траектории системы (13.1)
岑=系 + 然包X (力 х, р 侑 х), Иг (f, %))• (14.16)
Принимая во внимание (14.7)—(14.13), получаем
署《С(/, и) + 端*Х@,匕 р侑％), 0) + ИМй (0 + Л(р(О.
(14.17)
Интегрируя это неравенство от значения f = % и принимая во внимание условия 3°, 4° леммы 14.1, находим
и (/, % (/))《№о, % (Q) + j с(S, и) ds + Г (4,力 ％) + о (f,")・ “(14.18)
Составим теперь уравнение сравнения (14.14), которое по условию 5е леммы 14.1 имеет верхнее решение у (/, /0, х0) при
% =孤/ &)-「&，厶 ％)—。何，卩)G A, (14.19) гле.—
。副(0 = sup (и (厶 х) при %£，、“)•
Применяя к неравенству (14.18) лемму 2.1, получаем оценку (14.15).
Замечание 14.1. Оценку вида (14.15) можно получить для случая векторной функции V (£, %) аналогично приведенному выше и учитывая результаты § 3・
Рассмотрим теперь систему (14.8), в которой ^г (/, х)= =R (厶 х,似 и предположим, что при 卩=0 и р (/, х) = 0 для нее существует функция u(f, х), указанная в лемме 14.1 и такая, что
嘗+銀"小)м0.(14・20)
Следствие 14.1. Пусть
выполняется условие 1° леммы 14.1；
в области Q(〃，т) имеет место тождество (14.20)；
при 0 < р. < »' в области Q (〃，т) справедливо неравенство
券戶R(f,匕似《M(f,u)；
в области Q (扭,т) выполняется оценка
I 弊"Р (/，х) — 怨Y)P(G) I《初(/)，
существуют интегралы
Tp^^x^^^^p^x^dh
и优)=j々屮(0 df・
Тогда для функции и (/, х) на решениях % (/), удовлетворяющих условию v(/0, % (%))《//(), возмущенной системы (14.1) имеет место оценка
и(/, х (/)) & у (力 ％, %) +7р(/, %, %) +。(/), (14.21) где у (/, /0, у。)一 верхнее решение уравнения сравнения
箒=n(:储什7\ (力 4,%)+”))(14.22)
с правой частью, пропорциональной малому параметру 因 при % =哪/(Q-M g，% % 一。(川0,小% Доказательство следствия 14.1 аналогично предыдущему. Замечание 14.2. При практическом использовании следствия 14.1 для отыскания решения уравнения (14.22) могут применяться методы, разработанные в нелинейной механике [8,84].
Положим в (14.8) р (/, х) s 0 и рассмотрим систему
箒="力%)+以(О(14.23)
в области R (Я, т,(л°). 133
Лемма 14.2. Пусть в области Q(〃，т,卩°) существует вектор-функция сравнения V (/, х) u (Zo, х0) G £2С, (/0, %)£А, 人=[°，а)胃丿°, и < Н° 加倣〃仇 что V (/0, %)《弥.Некоторое решение %(/,厶 ％) и верхнее решение у (/, /0, у^ системы сравнения
^-С^ у)^^Мё{1, а),(14.24)
где
g (/,。)= sup (И г(/, %) II при % £ W)0), определены на Ja при 卩 < 卩°・ Тогда для вектор-функции Сравнения имеет место оценка
V^x^ t^x^^it, /0, у^ (14.25)
при всех /£厶卩 V №•
Доказательство легко получить на основе результатов работ [76, 79].
Лемма 14.3. Пусть в области Q (", т) выполняются следующие условия.
1°. Имеет место неравенство
黑 + 丄壊包 f(/，х)《С (/, и).(14.26)
2°. Существуем среднее [17, 105]
% (6 %)=喪Ji j卫卷包《，х)弘 (14.27) где предельный переход осуществляется равномерно относительно (% /0,) W3 области Q (Я, т).
3°. Выполняется неравенство
I端立，(/, *)- 当竺山)I榔(f)
6 области Q(H, т).
4°. При t^Ja и 卩 <卩° существует верхнее решение у (/, %, у。) скалярного уравнения сравнения
^ = C(tiy + ^t) + a(t))t (14.28)
где
П (0 = I% + 乂 ⑼ G — %)，lim x (/) = О,
，->8
% =暗6”(Q — pi (%)—。(%Ж
При выполнении перечисленных условий для вспомогательной функции V (/, х) на решениях х (/) системы (14.23), для которой v (/0, х (%))《％, имее；п место оценка
и(/, %(/))《7(九 /0, %) + р)(/) + а(/)(14.29)
при в ех f “ Р < Н°-
Доказательство. Учитывая, что
J-5^^-厂(厶 ％) 〃 =[恥 + 乂 (/)] (/ — %), из неравенства
。G，尤(/))《v 隔,％) + J C (s, v) ds + 屮)伍)+ о (Z)to
получим оценку (14.29), примелиз к нему лемму 2.1 при % =川務国)一出1 (心一。(%)е a.
Полученные оценки позволяют получить условия устойчивости рассматриваемых систем, а также многокомпонентных систем со слабым взаимодействием.
Метод возмущений и функции Ляпунова
Ж- Л. Лагранж и П. С. Лаплас исключительно много труда и времени уделили вопросам теории возмущений. Подробный перечень мемуаров, относящихся сюда, имеется в [45, с. 67; 122].
Строгое обоснование и дальнейшее развитие этого метода было дано А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым [90, 50]. В настоящее время метод возмущений получил широкое распространение и находит новые области эффективного приложения (см. [114, с. 248]).
В настоящем параграфе указываются некоторые возможности этого метода в решении вопросов устойчивости систем, содержащих малый параметр, и вопроса построе-
ния функций Ляпунова. Результаты, излагаемые в этом параграфе, опубликованы в статье [12].
Построение вспомогательной системы. Пусть си
стема уравнений возмущенного движения (14.1) имеет вид
告=£ 咻(S)，(15・1)
%=о
где 卩〉0 — малый параметр, fk (九 ％) — достаточное число раз дифференцируемые функции при / > 0,尤 £Q(H). Ряд в правой части (15.1) предполагается [ авномерно сходящимся относительно (/, %) £ Q (АГ, т) при 卩《 卩°.
Предположим, что порождающая система
^ =%(/，%)(15.2)
полностью интегрируема и имеет решение
%(/)=卜九 т, %(т)),(15.3)
удовлетворяющее очегидному групповому свойству
Е(G 厶 ％ (т)) = Е (т, s, Е (s, /, % (т))).(15.4)
Найдем вектор-функцию V (/, %) в виде ряда
V = % (厶 ％) + иФ〔(九 ％) + dw (/, %) + ・・・， (15.5) удовлетворяющую системе уравнений
^ = % (力 V, %) + "% (/, V, %) + 卩2叭(九 v, %) + ... (15.6)
Вектор-функции Wk(tt V, %) предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми по всем аргументам. Дифференцируя равенство (15.5) по / в силу системы (15.1) и исключая вектор V с помощью (15.5), придем к рекуррентной системе уравнений с частными производи ыми первого порядка:
fF —^—%上,%)=з0(力%(九%), %),(15.7)
舛(厶X) D^h (厶%) Tr-+f-fo(G)=
=。%2 * 仏 %)4- Gk (/, X),々а1.
Вектор % имеет х^компоненты, i|)s-компоненты вектора 屮. Через Gh (/, х) обозначены выражения, зависящие от /, х и от векторов Wjf, х),吃 0, г|)0 (/, х), х), 2 = 0, 1, . . . , Л —1, и их частных производных.
Осуществим в уравнениях (15.7) замену переменных, полагая
х = Е& 0, у),叫& В (Л 0, у))三① а (/, у)・
Тогда уравнения (15.7) примут более простой вид:
寸=丸(f,包,貝f,0,力)，(15.8)
雪=竺。^^6+ 伉(/,£(/,。,")，
Если первая система (15.8) для Фо интегрируется в замкнутой форме, то и все последующие системы (15.8) могут быть проинтегрированы, так как однородная часть этих систем является уравнениями в вариациях для первой системы (15.8). Итак, показано, что возможность построения формального ряда (15.5) для V (力 ％) зависит от разрешимости системы (15.2) и первой системы (15.8) при фиксированных значениях у.
Рассмотрим более простой случай, когда в правую часть системы (15.6) вектор V не входит. В этом случае системы (15.7) могут быть последовательно решены, если известен способ интегрирования системы уравнений с частными производными
+ 丄端^ /0 (/, X)= W (/, х).(15.9)
После замены переменных
% = ЕЗ 0,力屮侑己侑 0,у))=Ф(Лу)
придем к простой системе дифференциальных уравнений
専認=w(t,三(£, 0, //)), которая имеет общее решение
Ф(^ У)-^ (т, ЕЗ 0, у)) dr + С (у).(15.10)
а
Здесь компонентами вектора С (у) являются произвольные дифференцируемые функции. Возвращаясь к старым переменным с помощью формул у == ^ (0, /, %), г|)(/, у) = =①(f, W (Л 0, у)) и учитывая свойство (15.4) при s = О, получим общее решение системы (15.9)
*(九 ％)=、渺"，占(％ Z, x))dr + c^ (0, /, %))•(15.11)
Следовательно, если вектор-функция WQ (/, V. %) не зависит явно от V, то при заданной правой части системы (15.6) всегда можно построить V (/, %).
Замечание 15.1. Если системы уравнений (15.1), (15.5), (15.6) записать в виде
-^-=『0(/，％) + 卩尸(%，%, N),
V = W(f,相同， 务=取«,%, *卩)，
то при заданной вектор-функции F (/, %, V,卩)вектор-функция 屮«, %,卩) удовлетворяет системе интегральных уравнений
t
屮 «,力，卩)=f 呼(т,屮(т, Е (т, f, %),卩)，g (т,力 х),卩)dr — о t
—j " (/, g 税小),")f 3 自 ",力 x),卩)dt + C (г0, f, %)), о
которую можно решать приближенно с помощью метода последовательных приближений.
Построение функций Ляпунова для асимптотически устойчивого решения невозмущенной системы. Пусть fk (/, 0) s 0, fe = 1,2,..., тогда система (15.1) допускает нулевое решение. Предположим, что порождающая система (15.2) имеет равномерно экспоненциально устойчивое решение х = 0, т. е. при t > t》0 || х (т) || < 6 (6 > 0) для решения (15.3) выполнено неравенство
|| g (/, л: (т), т) || 4 a IIх (т) И ехр {—X (/ — т)}, a > 1.(15.12)
В этом случае уравнение с частными производными
^+Dv^f^x}^w^x}(15.13)
имеет решение вида (15.10)
V (/, х) = — ^ ш(т, Е(* 九 ％)) dr. (15.14)
Пусть функция ш (/, %) дифференцируема по х при ||х|| <б, /》0, интегрируема по / и допускает бесконечно малый высший предел. В силу условия (15.12) несобственный интеграл (15.14) сходится равномерно по х и Л Из формулы (15.14) видно, что функция и (%, %) определенно-положительная, допускающая бесконечно малый высший предел.
Из формулы (15.14) следует существование функции Ляпунова V (/, %). Фактически, с помощью аналогичной формулы доказывалось существование функции Ляпунова в работе [521.
Рассмотрим некоторые частные случаи использования формулы (15.14). Для асимптотически устойчивой системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
матрица А имеет все собственные числа с отрицательными вещественными частями. Пусть ® (%)——определенно-положительная квадратичная форма
侬(％)二(Вх, х).
Функция Ляпунова v (%), удовлетворяющая уравнению
券F Ах = —w (х),
найдется из (15.14) в виде определенно-положительной квадратичной формы
。(%) = (j eAUBeAtdtx, %)・(15.15)
Формула (15.15) приводится в работе [31]. Если ® (/, %)— определенно-положительная квадратичная форма, допускающая бесконечно малый высший предел
з 侑 ％) = С 0)招 ％)，а II %『《® (厶 ％)《В И % ||2, а > О,
то функция Ляпунова и (/, х), удовлетворяющая уравнению
等 + ^Й^ /% = - 5(厶盼，
определяется по формуле
(15.16)(15.16)и (/, %) = ( , е"*Р (/ + т) eAxdix, %)・
(15.16)
(15.16)
Квазилинейные системы. Часто встречаются системы вида
^ = Ax + iiF (/, х), F(t, 0) = 0,(15.17)
которые при 卩=0 асимптотически устойчивы. Пусть компоненты вектора 尸(/, %) ограничены вместе с частными производными первого порядка при || % || <//, />0. Для отыскания условий устойчивости и области притяжения обычно строится функция у0 (%) для заданной определенноположительной функции w (%) из уравнения
— Ах = — w (х).
Затем полученную функцию v0 (%) используют для системы (15.17) при р, =# 0. Из результатов замечания 15.1 следует, что в качестве функции Ляпунова v (厶 %) в первом приближении получим функцию
и(/, %) = % (%) + 叫 侑 х),(15.18)
где использовано обозначение
% (/, %) == f S (/ + т, J%) d* S (力 ％) м 空？ F (f, %).
При дифференцировании u(f,x) в силу системы (15.17) найдем
警=-9(%) +卩2 —叁2尸(力%).
Пример 15.1. Для системы дифференциальных уравнений
祭=一% 十 y + 卩/, 黑=-%一，+ 財3 (15.19)
при 卩=0 можно взять функцию Ляпунова % (х, у) = %?十 у2. Уточненная функция Ляпунова, полученная по формуле (15.18), примет вид и (X, y)=炉+员+卩(伞公+ ； 司+ 需%献一｝状++ 力.
(15.20)
Система (15.19) при 卩=0 асимптотически устойчива и, следовательно, в силу теоремы Ляпунова вопрос об устойчивости полной системы (15.19) решается по первому приближению. Функция (15.20) позволяет оценить более точно область устойчивости системы (15.19).
Построение функций Ляпунова в критических случаях. Пусть система (15.1) допускает нулевое решение % = 0, которое является устойчивым решением порождающей системы (15.2). Предположим теперь, что это решение не является асимптотически устойчивым, т. е. имеет место критический случай. При этом, в общем случае, непреодолимые затруднения возникают при построении функций Ляпунова уже в нулевом приближении. Рассмотрим далее один из наиболее простых случаев. Пусть из множества всех решений системы (15.2) можно выделить два интегральных многообразия Мъ М2, определяемых нелинейными проекторами Р", % (т)):
Pi(G % (т)) + Р2(G % ⑼=无(т), II % (т) Л < 6,
(15.21)
Р1 (% Pl(G % «))) =Р1(G % (т)), Р2(G Р2(G % «))) =「2 (т，% (т)), p1(3Р2 0 % (叨)=。，p2(G Р1 ① Y (工)))=0-
Пусть % (f)£Mi при Р] ", % (т))=0, %(/)£〃2 при Р2 (т> % (工))=。・ Предполагаем, что на интегральном многообразии Мг решение % = 0 является равномерно экспоненциально устойчивым, т. е. при Рг (т, х (т)) == 0 выполнено условие (15.12). Если || % (т) II < 6, & (% % (т)) = 0，то соответствующее решение & (/, т, % (т)) предполагается ограниченным при всех Л т > 0. Уравнение (15.13) с частными производными уже может иметь неограниченное при всех / > 0 решение при знакоопределенной функции 侬(f, %), так как интеграл (15.14) расходится. Наложим на знакопостоянную неотрицательную функцию w (力 х) условие*
侬(力A (Л %))三0,侬(力A (Л %))三0,(15.22)(15.22)
侬(力A (Л %))三0,
侬(力A (Л %))三0,
(15.22)
(15.22)
т. е. на решениях х (/) ^ М2 функция з (/,%«)) обращается в нуль. Аналогично, на знакопостоянную неотрицательную функцию С (у) наложим условие
0(2(0, у))三0・(15.23)
Как следует из свойств (15.21), для выполнения условий (15.22), (15.23) достаточно взять две определенноположительные функции w *(/, у), С* (у) и положить
切(/,%)三侬*侑尸2(厶％)), С(У)=С*(2(0,У)) (15.24)
Из предыдущего следует, что в качестве функции Ляпунова vQ (/, х), удовлетворяющей уравнению
飞厂h历— h储X)= 一5(厶%),
можно взять функцию
% (/, %)=『13(% Е (т, Z, х)) dt + С (W (0, /, %)) М
=；叫(т, Р2 (т, g (т,厶 х))) dt + С* (А (О, Е (О, /, %)))・ (15.25) i
Эта формула особенно упрощается для системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
午=4c(15.26)
Пусть Pv Р2 — проекторы матрицы 4
Pi =Pi =壶勺（e。 一/厂%p,г/壶勺（e。 一/厂%p,г/= 1,2.= 1,2.
Pi =
Pi =
壶勺（e。 一/厂%p,г/
壶勺（e。 一/厂%p,г/
= 1,2.
= 1,2.
Пусть контур 1\ охватывает спектр матрицы Л, лежащий на мнимой оси, а контур Г2 — остальную часть спектра, лежащую в левой полуплоскости Rep < 0. Возьмем две произвольные определенно-положительные функции 叫(/, х), С*(у). Функция Ляпунова находится по формуле (15.25)
V^, %) = j 9* 伍 + G P^Axx) dT 十 C* (%e 吗力(15.27) о
Пример 15.2. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
Характеристическими показателями являются числа 0, —4. Находим вспомогательные матрицы
М- A)~'dp = (I 署)，(15.28)
期=2
Ip4-4|=e
Возьмем две определенно-положительные функции
侬*(х)曰 С*(%)=х： + х| ・
Из формулы (15.27), ^учитывая (15.28), (15.29), находим функцию Ляпунова
% ⑶=728(2q — 4尸 + Тб(2%i + x2)2» ~^ ""Тб'(2q — /В co знакопостоянной производной.
Замечание 15.2. При рассмотрении системы (15.2) полезна предварительная замена переменных, разделяющая решения, принадлежащие разным многообразиям Mlf М2. Для этого переходим к новым переменным
力=屮步(Р2 (/,%)), % =屮§ (Р](厶 х))> / = 1, 2,, m〔； s = 1,2,...,加2,
где /И], % — размерности интегральных многообразий 財i，М2. Предполагаем, что функции у)(/, х), ,?s (f, х) независимые.
Замечание 15,3. В задачах механики для гамильтоновых систем в случае устойчивости многообразие Мг имеет нулевое измерение и функция Ляпунова и (/, х) имеет вид
и (厶 х) = С (^ (0, /, х)), т. е. является интегралом системы (15.2). Один из простейших приемов состоит в выборе функции С ®) в виде
С (У) ^= у]+ . + y^t
что указано в работе [89].
Замечание 154 Укажем способ отыскания нелинейных проекторов Р/ (т, % “))(15.21) для квазилинейной системы
dx .
—^ A (t)x + 卩尸(£, %),尸 & 0) = 0.(15.30)
Предположим, что при 卩=0 система (15.30) имеет матрицу Грина G (/, т). Матрица G & т) определяется как решение уравнения
dG (f,t)dG (f,t)=4 (f) G (f, т) + 七打=4 (f) G (f, т) + 七打(15.31)(15.31)
dG (f,t)
dG (f,t)
=4 (f) G (f, т) + 七打
=4 (f) G (f, т) + 七打
(15.31)
(15.31)
где 舐一мера Дирака, сосредоточенная в точке т, а уравнение (15.31) понимается в смысле теории распределений.
Предположим, что
II G (/, т)||<ехр{-0,5Хр-т|},九〉0.
Введем нелинейный оператор Грина "(/, и, %«)) как ограниченное при /, т А 0 решение векторного уравнения
迦项-=Л (0 Я (/, т, х ⑴)+ М (厶 ”(f, т, х (т)))十 ％ (т) бт.
(15.32)
Если оператор Грина Н (^, т, х (т)) существует, то он удовлетворяет следующим условиям:
1)亜色 毛⑶)=Л (0 Я (/, т, х (т)) + 卩尸(厶"(/, т, х “)))при
泾Т;
2) Я (т + 0, т, х (т)) — Н (т — 0, т, х (т)) = х (т).
С помощью оператора Грина G (/, т) запишем решение системы (16.36)
Н (/, т, х (т)) = G (/, т) % (т) + 卩，G (f, s)尸(s, H (s, т, х (т))) ds. (15.33) о
Если вектор-функция 尸 & %) интегрируема по t и удовлетворяет условию Липшица по х:
II 尸& 勺)一尸(力 x2) ||<L И 弓 一 x2 II,(15.34)
то при достаточно малом 卩。для 卩 < 卩。решение системы интегральных уравнений (15.33) может быть найдено с помощью метода последовательных приближений. Можно показать, что в качестве pi0 можно взять число 0,25 А 力―1 厶.После отыскания нелинейного оператора Грина Н (/, т, х (т)) находим нелинейные проекторы (15.21)
Р] (т, х (т)) = — " (т — 0, т, % (т)), Р? “，％ (А) = " (т +。，т, % “))• (15.35)
Если система (15.1) имеет вид (15.30), то можно приближенно построить проекторы (15.21) с помощью предварительной замены переменных
у = ехр (—0,5%) %.
Построение функций Ляпунова для последующих приближений. В предыдущем пункте был указан способ построения функции Ляпунова в нулевом приближении
по формуле (15.25), в которую входят две произвольные функции 5* (f, х), С* (у). В этом пункте излагается метод малого параметра для построения функций Ляпунова при исследовании устойчивости в высших приближениях.
Ищется функция Ляпунова и (/, х) для системы (15,1) в виде разложения
V(/, х) = и。(/, х) + 卩q (/, %) + р,2и (/,%) + ・・・ (15.36) в предположении, что система (15.1) допускает нулевое решение и нулевое решение порождающей системы (15.2) устойчиво. Вычислим производную функции V (/, %) в силу системы (15.1):
em号+ ?^ 2附5@%))=一宮%(厶%)，g* k—Q 's=0/左=0
где wk (f, x), vk (/, x) — функции, подлежащие определению. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 卩， придем к рекуррентной системе уравнений с частными произ* водными
дил Dvn (/, х)
寸 Н——乐一/0 (厶 ％) = —%(/，%)，(15.38)
等 + 吐礬丄九也 х)必(t, х)=—吗(/,%), «= 1,2,.
.(15.39)
где введено обозначение
电侑%)= 工生萨±貝a»)，々 = L2,... S=1
Предполагаем, что имеет место критический случай, т. е. для порождающей системы (15.2) решение % = 0 не является асимптотически устойчивым. Вопрос о решении уравнения (15.38) рассматривался в предыдущем пункте. Пусть найдена дифференцируемая, положительно определенная функция % (/, %) по формуле (15.25), где g (/, %) получена по формуле (15.24) и удовлетворяет условию
% 侑尸］(/, х)) w0.(15.40)
Для того чтобы остальные уравнения (15.39) имели ограниченные при / > 0 решения vh (/, х), достаточно, чтобы наряду с (15,40) выполнились условия
侬卜依％)三一屯(f,尸］(f, x)),々=1, 2,・・・(15.41)
Действительно, при этом неоднородная часть уравнений (15.38) — (15.39) удовлетворяет условию (15.22), так как в силу (15.21)
我也 Pi&Pi侑x))) 一电(厶々伉X))三
三我(力%(力%))-*(厶Pi «，%))三0・
При этом получим функции vk (/, х),々=1, 2,・・・,в виде
8
”(厶力)==，叫(Т, %(G 占(т, f, х)))—恥(т, Е (% 厶 ％))］ dt.
”(15.42)
Произвольное слагаемое в формуле (15.42) полагается равным нулю.
Пусть при некотором h = N функция
嗚侑 ％) = % (/, х) + “侬］(/,%) + ・・・ + 卩％N (厶 ％) (15.43)
является определенно-положительной. Возьмем функцию Ляпунова
勿(厶 ％) = % (厶 ％) + 卩％ (/,%) + ・・・+ 卩^4V (/, x). (15.44)
Из способа построения функций vk (厶 ％) следует, что
-^р =х) + 0 (р.^1).
В этом случае решение % = 0 системы (15.1) устойчиво в ^-м приближении, если функция
k=0\6=0/
определенно-положительная.
Построение полиномиальных решений. В работе [14] указаны необходимые и достаточные условия существования полиномиальных решений системы линейных дифференциальных уравнений с частными производными
^Lax-B^{x)^F(x).(15.45)
где А, В — постоянные матрицы, F (х) — вектор с полиномиальными относительно проекций %i, • • * , хт компонентами. Укажем способ отыскания полиномиального решения Ф (х), т. е. вектора Ф (%) с полиномиальными относительно 力.・・,%加 компонентами.
Рассмотрим вспомогательную систему уравнений
需 + ^Г-凡 一 W & ^-р (办 (15・46)
Используя замену переменных
% = е*Л 屮(Л e"Z) = S 优，у), приходим к более простой системе уравнений 更步^BS(t9y)=F(eAly)9
которая имеет частное решение
S(f,y) = j*"DF，％)dt・о
Обратная замена переменных определяет частное решение системы (15.46)
屮(/, %)=『『} («т%)dx.(15.47)
о
Представим это решение в виде разложения
屮('，％)=££ 屯〃⑴产微(％ = 0),(15.48)
左=о 〃=о
где все показатели 电 различны. В силу конечности суммы и линейной независимости функций ехр {а/}, вектор-функция
%(J %)= £ ^Оп(%)产
м=0
является решением системы (15.46). Это выражение будем называть средним членом разложения (15.48) и будем обозначать символом
(^ (/,%)) = 2 %(%)「%=0
Операцию отыскания среднего члена назовем осреднением. В частном случае, когда i = 0, Re &《0, придем к известной формуле
〈屮 7, х)) = lim ； f 屮(f, %)或.
Достаточные условия для существования полиномиального решения системы (15.45) дает следующая теорема.
Теорема 15.1. Если выполнено условие
(eBtP(e^Atx))^0,(15.49)
то система уравнений (15.45) с полиномиальной правой частью 尸(％) имеет полиномиальное решение
e-"%)加).(15.50)
о
Доказательство. Так как средний член подынтегрального выражения в (15.50) равен нулю, то средний член р (/, %) не зависит от / и поэтому является стационарным решением системы (15.46), т. е. удовлетворяет системе уравнений (15.45). Это доказывает теорему.
Замечание 15.5. Условие (15.49) более общее, чем условие, указанное А. М. Ляпуновым [50, т. II, с. 109]. А именно: условие (15.49) будет выполнено, если собственные числа %, ..., % матрицы 4 и собственные числа 01，・・・,Р матрицы В удовлетворяют неравенствам
0j *电出+…+々m%0j *电出+…+々m%m
0j *电出+…+々m%
0j *电出+…+々m%
r；外=0, 1,2,・.・；工勺〉
S=1
Обратное неверно, что видно из следующего примера.
Пример 15.3. Ищем полиномиальное решение уравнения
Условие (15.51) не выполнено. По формуле (15.50) находим
ф (х) == ( j [(%]COS т ——X2sin т)а —居 sin t + -v2cos т)2]浜〉= о，
=〈匕(%；—君)sin 2f + XjXgCos 2/ — %产2〉= — xix2-
Замечание 156 Решение уравнений с частными производными
^^L Ах = / (х)(15.52)
находится по формуле, получаемой из (15.50)：
①(%) =〈，/1 (「吗 dt).
6
С помощью этой формулы можно доказать следующий результат.
Пусть / (х) — отрицательно определенная квадратичная форма. Если матрица Л имеет q собственных чисел с отрицательной вещественной частью и tn ——q собственных чисел с положительной вещественной частью и существует решение ф (х) уравнения (15.52) в виде квадратичной формы, то сигнатург этой формы равна 2 q — т.
Аналогичный результат имеет место и для квадратичных эрмитовых форм.
Построение функций Ляпунова в специальном критическом случае. Рассмотрим устойчивость нулевого решения системы дифференциальных уравнений
黑=Pu+^Fn (Z,u),(15.53)
%=2
где компоненты вектора 尸几",〃)■— однородные многочлены степени п относительно переменных 〃】,...,〃爪, объединенных в вектор и с ограниченными при f > 0 коэффициентами. Предположим, что степенные ряды, определяющие правую часть системы (15.53), сходятся при ||и|| < б(6>0) и ограничены:
2 尸n(f, 〃)<m (/>0, ||u||<6),
/1=2
а матрица P имеет несколько собственных чисел с нулевой вещественной частью, которым соответствуют простые эле-
ментарные делители. Остальные собственные числа матрицы Р имеют отрицательные вещественные части. Сделаем неособенную замену переменных
% =卩p1"，y =nр2" (II〉°)
такую, что система (15.53) примет вид более удобный для последующих вычислений
88
^ = /% + £ 政(Л X,力黑=Bf/ + £(хЧ(/, х, у).
(15.54)
Здесь 4 — матрица, собственные числа которой имеют нулевую вещественную часть. Матрица В имеет собственные числа с отрицательными вещественными частями. Компоненты векторов Gs (/, х,(/), Hs (f, %, у) являются однородными многочленами относительно проекций векторов %, у степени s + 1 с ограниченными при всех / А 0 коэффициентами. Для заданных а 〉 О, b 〉 0 существует такое Уо〉0, что при всех 卩《卩° ряды в правых частях системы (15.54) сходятся при ||即《а, ||у|| < Ь.
Произведем формальную замену переменных в системе (15.54),
8
% = Z + Е 犷电优,z, у), у = у, (15.55) s=l
где z, у удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
ОО8
令=4z + £ CQs (f, z),备=切 + X 眼s C Z,力(15.56) S=JS=1
Здесь 电 侑 z, у), Qs (f, z), P§ (f, z, y) — полиномиальные векторы измерения s + 1, т. е. компоненты этих векторов являются однородными многочленами степени s + 1 • Осуществляя замену, придем к рекуррентной системе уравнений с частными производными для определения векторов 2s 优，z, у):
У" + —— ВУ 一 4电0，z, У) +
+ QsR, z) = 4 优，z, g), s=l,2,…，(15.57)
где 七8 优，2, У)——коэффициенты при j? в разложении
2心(力z,1/)三2因5 (力z + d 2广屯(6 z,力у) 一 s=ls=ln=l
D恥 &z,g) DiD恥 &z,g) Di£QQU，z)-S=1£QQU，z)-S=1
D恥 &z,g) Di
D恥 &z,g) Di
£QQU，z)-
S=1
£QQU，z)-
S=1
—X ^ 叫『"X Q"s (力 Z + £ ^n (厶 Z, у), у S=1S=1\ n=l
Векторы P& (/, z, у) находятся из разложений
COОО/8\
阳s(厶 z, y) = e 卩M 厶 Z + 2 d屮〃(厶 z, у\у\. s=ls=l\«=1/
Покажем, что в уравнениях (15.67) можно выбрать полиномиальные векторы Q (f, z) так, чтобы эти уравнения имели полиномиальное решение 屮$ (f, z, у) при заданной правой части L§ (/, z, у).
Действительно, возьмем
Qs(厶 z) = Ls(f,z, 0), s = 1,2,...(15.58)
Отыскивая частное решение системы (15.57) аналогично решению системы (15.46), получим
屮式厶 z, у)=廿(У [厶(т, /(J),产f) 一 а
一4亿/(1), 0)] dr.
За счет выбора Qs (/, z) в (15.58) интеграл будет сходящимся при замене а на + оо. Замена переменной интегрирования приводит к следующему выражению для 屮§ 优，z, у):
电侑 z, у) = — j e~Ax[L8 (/ + т, eA\ eBxy)— о
l&("7 e"2o)]弘(15.59)
Выберем некоторое натуральное число N. В системе (15.56) ограничимся членами до порядка 卩“一‘ включительно. Пусть для системы уравнений
併=4+£ nQ(厶 z)(15.60)
нулевое решение является асимптотически устойчивым при 卩 < Рч， что устанавливается с помощью определенноположительной функции Ляпунова:
% (/> Z,田=U]o(Z)+ 卩о” (%, z) +…+ pt%N—1 (力 z), (15.61)
где Um (z)'— определенно-положительная квадратичная форма. Предполагаем, что производная этой функции в силу системы (15.СО) удовлетворяет условию
—d% (:蜀里三з](/, z,似 > 卩"屮⑵ > 0,(15.62)
где ср (z) — некоторая определенно-положительная функция измерения 2V + 1. При этих предположениях из устойчивости нулевого решения системы
NT
令 Вz + £ nQ (f, z) + Kg & z) (15.63)
$=i
при 卩=0 следует устойчивость нулевого решения системы (15.63), где при достаточно малом значении 卩〉0 компоненты вектора G (/, z) являются многочленами N・ro порядка и выше с ограниченными при / > 0 коэффициентами. Преобразуем теперь другую систему уравнений
% = By+£$PsQ,z,y)(15.64)
S=1
с помощью замены переменных
U = 9 + W 卩①s 俏 z)(15.65)
S=1 к виду
% =历1 + £ CM(/, & n)十『X(/, z, % 脸
S=1
где для векторов N8 (/, z, tj) выполняю гея условия
%8(/，z, 0)三о s= 1,2, ・・•，2V—1,(15.66)
а* вектор N* (/, z, т],卩) имеет голоморфные при ||z||《а, 11r)11《仇 I р I < 1% компоненты при достаточно малом значении 出〉0・ Для отыскания векторов Ф3(/, Т)) получим рекуррентную систему уравнений с частными производными
°①8仏z, n)di°①8仏z, n)di++。①8 (/，Z, n)。①8 (/，Z, n)Az — ВФ8 (/, z, т])=Az — ВФ8 (/, z, т])=
°①8仏z, n)di
°①8仏z, n)di
+
+
。①8 (/，Z, n)
。①8 (/，Z, n)
Az — ВФ8 (/, z, т])=
Az — ВФ8 (/, z, т])=
= Rs&, z, a —悪(厶 z,叫 s = 1, 2,..., Л^ — 1, (15.67)
где R (/, z, T)) — известный полиномиальный вектор.
Выберем вектор N& (厶 z, п) из условия
М G, z,叫=R$ (厶 z, Т))—凡(乙 z, 0), s = 1, 2,・・・，N — 1.
Ясно, что при выборе NgQ^z, 3 условия (15.67) будут выполнены. При этом система (15.67) имеет частное решение
①$ & z) = j『UR & e"«r)z, 0) dt
Найдем теперь другую функцию у2 (/, z, п，卩)в виде разложения.
% (/, z、п，似=%о 01) + 卩％1 (/, z, Т)) + •・•十
+ ^~^2,^1 (Л П),(15.68)
производная которой в силу системы (15.60) и системы
N—1
絹=В] + £ м'М С，Z, Т])(15.69)
S=1
принимает вид
d%n
№ = 一 Оъ切+炉冗侑2, T],卩).
Здесь функция л (/, z, n，卩) является полиномом степени N + 1 относительно z, % 卩 с ограниченными при /》0 коэффициентами.
Дифференцируя (15.68), приходим к уравнениям относительно функций %:
Wo") 口、
———Вт] == — (т],咽
"^^"57"""+ "D^ ^+^(^» z，叫=0, s = l, 2,..., N—1.
Из первой системы следует, что функция у20(Т)) является положительно определенной квадратичной формой. Аналогично предыдущему находим решение
и2k (/，Z, П)=，冗 8(G е"( J)z, /(J%) dt =
=J л (т + Л е"% е"т)) dr.
При этом несобственные интегралы сходятся, так как все функции л8 (/, z, т]) обращаются тождественно в нуль при Т)= 0. Точнее функции л8 (力 z, tj), а следовательно, и функции v2k (厶 z, т]) являются многочленами степени не ниже второй относительно проекций вектора “•
Сделаем в системе (15.54) замену переменных:
N—«1/N—1—s\
% = Z + 工 UK (厶 z, Г) + 2 卩也(厶 z)), s==l\々=1/
(15.70)
N-\
U = n + E炉Q侑z)・
S=1
В силу выбора векторов Ts (/, z, у), ФЛ (/, z) придем к системе дифференциальных уравнений вида
嘗=4z + X ^Q^ z) +『& (Л z, 4 唸
(15.71)
“一1
^L = вт] + J 卩叱侑 & 口) + 卩N%(力 Z, 7 似.
Здесь Ri, R2 -— векторы, голоморфные относительно проекций векторов 2, т), разложение которых в степенные ряды начинается с членов измерения Л^ + 1. Покажем, что
V (/, % т],卩)=% (厶 z,卩)+ % (力 z, T),卩) (15.72)
является функцией Ляпунова для системы (15.71). Дифференцируя эту функцию, получим в силу выбора функций w{(厶 z, р) равенство
一^ =叫储 z,y) + (т], П)— N「(厶 z, % 卩)・(15.73)
Полиномиальный остаточный член имеет выражение
Dv (/, z, п，卩)
Г (/, Z, n，卩)三一Ri(/,為/也)+
Dv (/, z, n，P) _、
+，R2(l為n,n)，
Все слагаемые, входящие в него, имеют измерение не ниже ^ + 2 относительно проекций векторов г, т]. Эти слагаемые можно разбить на две суммы. К первой сумме 厶(/, z, % 卩) отнесем слагаемые, линейные относительно проекций вектора 斗 Они будут иметь измерение не ниже N + 1 относительно проекций вектора z и при достаточно малых значениях ||т)|| будет выполнено неравенство
Ф ⑵〉厶优,z, T),似，z * 0・(15.74)
Остальные слагаемые, образующие сумму г2 (Л z, Т),卩)， имеют измерение не ниже второго относительно проекций вектора 刀 и поэтому при достаточно малом значении 卩〉О будет выполнено неравенство
0b П)〉『「2(% 名 ％ 脸刀 К 0・(15.75)
Из неравенств (15.62), (15.74), (15.75) вытекает определенная положительность правой части равенства (15.73). Этот вывод окончательно доказывает устойчивость нулевого решения системы (15.54).
Почти дословным повторением предыдущего будет построение функции Ляпунова для доказательства неустойчивости нулевого решения системы (15.54), если неустой-
чивость нулевого решения системы (15.60) определяется с помощью полиномиальной относительно z функции Ляпунова “(f, z,卩)，принимающей положительные значения в любой окрестности точки z = 0 при р, > 0 и имеющей определенно-положительную производную в силу системы (15.60) вида
寸=% (/, z,卩)> ^(p (z) > 0.
Здесь предполагается, что 屮(z) — onределенно-положи- тельная функция измерения 2V + 1. Окончательный результат можно сформулировать в виде теоремы.
Теорема 15.2. Пусть для системы (15.53) отделены критические переменные z с помощью замены вида (15.55). Если асимптотическая устойчивость (неустойчивость} нулевого решения вспомогательной системы
N-1
^=4+EdQ*z) +『R ⑵(卩〉о)
не зависит при достаточно малом 卩〉0 от выбора полиномиального вектора R (z), компоненты которого являются многочленами от проекций вектора z и содержат члены измерения не ниже N , 1, то нулевое решение системы (15.53) асимптотически устойчиво (неустойчиво).
Замечание 15.7. Установление факта устойчивости или неустойчивости системы (15.53) значительно проще, чем построение функций Ляпунова. Для построения функций Ляпунова следует использовать сразу более сложную замену:
% = z+2|?w，z,叫，^^^ + 2^^» ^,S=1 S=1
Аналогичные замены использовались ранее в более простых случаях в работах [36, 52].
Замечание 15.8. В простейших критических случаях, рассмотренных А. М. Ляпуновым [50], система (15.60) сводится к уравнению первого порядка
警=gn# + g〃+i#+i + • • •
А. М. Ляпунов ограничивается отысканием первого ненулевого коэффициента g^. Например, если п ——нечетное число и 0, то имеем случай асимптотической устойчивости.
Функции Ляпунова и устойчивостьлинейных нестационарных систем
Вопрос построения функций Ляпунова для озаглавленных систем давно привлекает внимание исследователей. Среди работ, посвященных решению этой задачи, отметим работы [40, 46, 92, 112].
В настоящем параграфе, следуя [68] и § 15, предлагаются выражения функций Ляпунова для классов нестационарных линейных систем в виде квадратичных форм, матрицы которых эффективно вычисляются.
Общее решение матричного дифференциального уравнения Ляпунова. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
警=p(/)招(16.1)
где х £ £п, 尸(0 -— ограниченная матрица /г 义 /г с определенными и непрерывными элементами для t Q J^ .
Из первой теоремы А. М. Ляпунова об устойчивости движения и известной теоремы обращения К. П. Персидского следует, что необходимым и достаточным условием устойчивости нулевого решения системы (16.1) является существование положительно определенной квадратичной формы V (/, х), полная производная которой по / в силу системы (16.1) тождественно равна нулю (см. [40, с. 551).
В связи с этим возникает две задачи: во-первых, указать для систем (16.1) с устойчивым нулевым решением алгоритм построения функций Ляпунова и (/, %) и, во- вторых, указать коэффициентные условия устойч ивости нулевого решения.
Будем искать функцию Ляпунова в виде скалярного произведения。& %) = (В (/) %, %), где В (/) — вещественная матрица порядка п, зависящая от t・
Нетрудно найти, что ее производная в силу системы (16.1) имеет вид
罂=([需+ С8+8叩，%)•Об»)
Предположим, что
(匿 + Р*В + 叫招%卜一 (С(/) х, %),(16.3)
где С (f) — определенно-положительная при / £ Ja наперед заданная матрица. Из (16.3) легко найти, что
^ = —Р*В—ВР — С©・^ = —Р*В—ВР — С©・(16.4)(16.4)
^ = —Р*В—ВР — С©・
^ = —Р*В—ВР — С©・
(16.4)
(16.4)
Положим В (0) = Во и обозначим Ф (/, s) фундаментальную матрицу системы, присоединенной к (16.1):
Из (16.4) находим
t
В(0 =Ф 侑 0) В0Ф* (0, f)—，①(Л s) C(s) O*(s, 0 ds. (16.5)
о
Формулой (16.5) выражается общее решение матричного дифференциального уравнения Ляпунова (16.4). При соответствующих предположениях о свойствах решений системы (16.1) форма и (/, %) с матрицей 8 (f) является определенно-положительной. Из формулы (16.5) получим ряд следствий.
Следствие 16 J. Пусть выполняются условия:
Во = О, где О — нулевая матрица;
С (/) — определенно-положительная при / £ 几 матрица. Тогда
(16.6)(16.6)В(0 = —уф 侑 s) C(s) Ф*(5, 0 ds. о
(16.6)
(16.6)
Следствие /6.2. Пусть выполняются условия:
区=О, где О -— нулевая матрица;
С (f) = Е (Е — единичная матрица).
Тогда на основе формулы (16.6) имеем
и (力 ％) = — j II Ф* (s, /) х ||2 ds,(16.7)
о
где ||・]['— евклидова норма.
Слеоствие 16.3. Пусть выполняются условия:
8。= Е
С (f) = О при всех f > 0.
Тогда из (16.5) находим
В(/) = Ф(^, 0) Ф*(0, /)
(16.8)
и
у(/,х) =|[Ф*(0, /)%『•
Очевидно при этом v (f, х) > 0 и。(/, х) == 0.^
Функция Ляпунова для линейной нестационарной системы с мал им параметром. Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений
警=(力 +МО)尤，II尸(/)11《R / >0, (16.9)
где А — постоянная матрица,卩一малый параметр. При 卩=0 система (16.9) предполагается асимптотически устойчивой. Пусть ^ (/, т, р.) — фундаментальная нормированная при f = t матрица, удовлетворяющая матричному уравнению
N (厶 t, и) = е"'т)+ и j е“ J)尸③ N® 工屮)ds・
Матрицу N (/, t,卩)можно найти в виде матричного ряда по степеням 卩：
N^ x^^^N^, т),(16.10)
й=0
乂 (f,力=/(J),%* (f, t) = j /(I)尸⑶ Nk (s, T) ds.
Для данной определенно-положительной функции w (%) функция Ляпунова и (/, %), удовлетворяющая уравнению
智旦+ 与严 g + 卩尸⑴)x = 一5的，
найдется из формулы
8
。(厶 ％) = j 侬(N (t,f,卩)，％) dr. (16.11) t
Этим способом можно построить функцию V (/, %) с любой степенью точности. В частности, этот способ дополняет способ построения функций Ляпунова для системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, предложенный Н. Г. Четаевым.
Пример 16.1. Рассмотрим систему уравнений [112, с. 198] при a 1
-^L = (_ _|_ + 卩 cos 2“ ％】+ (1 —戸 sin 2/) %(16.12)
уравнений*уравнений*登> =(―1 —卩 sin 2f) 4 十(―g — "os 2,%
уравнений*
уравнений*
При 卩=0 получим интегрируемую систему линейных с постоянными коэффициентами
Находим матрицу NQ (/, т) в (16.10)
В。& т) = d(£-t)В。& т) = d(£-t)°\— sin (/ + т)°\— sin (/ + т)一 sin (/ + T) 一cos (/ + T)一 sin (/ + T) 一cos (/ + T)
В。& т) = d(£-t)
В。& т) = d(£-t)
°\— sin (/ + т)
°\— sin (/ + т)
一 sin (/ + T) 一cos (/ + T)
一 sin (/ + T) 一cos (/ + T)
Из формул (16.10) получим следующую матрицу:
М(/,М(/,、？ “ J COS (/ + т)、？ “ J COS (/ + т)—sin (/ + т)'—cos (/ + т)(—sin (/ + т)'—cos (/ + т)(
М(/,
М(/,
、？ “ J COS (/ + т)
、？ “ J COS (/ + т)
—sin (/ + т)'
—cos (/ + т)(
—sin (/ + т)'
—cos (/ + т)(
Выберем функцию w (х) = xj + ^- ^3 формулы (16.11), отбрасывая члены второго порядка и выше огнозительно 卩，получим
V (/, %) = %； (1 + 2卩 cos 2/) — 4卩x产2 sin 2/ + 岩(1 — 2卩 cos 2/).
Найдем производную этой функции Ляпунова по времени в силу уравнений (16.12)
"£；%)- = — з(/, %), w (f, х) = (1 — 4*2)(%； + 岩).
Функция v (/, %) определенно-положительна при | 卩 | < 0,5. При | pi |〉0,5 функция w (/, %) опрэделенно-отрицательна и по теореме Ляпунова нулевое решение системы (16.12) неустойчиво. При | 卩 | = 0,5 侬(/, %) = 0, поэтому имеем интеграл и (/, %) = с. Замена переменных
% = a sin / + % cos 厶 ％ =尤1 cos / — Z] sin/
приводит систему (16.12) к системе с постоянными коэффициентами
导=_(；+4r字=卜一；卜，
Из нее видно, что при | 卩 | = 0,5 система (16.12) устойчива.
Интересно отметить, что характеристическими показателями переменной матрицы коэффициентов системы (16.12)
(
—} + D cos 2/1 — у sin %A
—1 —• у sin 袭一歹一H cos 21/
являются постоянные величины
М,2 == — 0,5 土 МЗ — 1.
Например, при ц = 1 система (16.12) неустойчивая, хотя характеристические показатели %, Х2 отрицательные. Следовательно, пример Н. Г. Четаева еще раз подтверждает, что для системы с переменными коэффициентами нельзя использовать многие методы, разработанные для уравнений с постоянными коэффициентами.
Функция Ляпунова для линейной системы диф> ференциальных уравнений с периодическими коэффициент тами. Пусть нулевое решение системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
令=Л(/)х, A(t + T)^A(f)(16.13)
асимптотически устойчиво. Для определенно-положительной квадратичной формы
⑺侑 ％)= £(/)%,», c(f + T)^C^ функцию Ляпунова у (/, г), удовлетворяющую уравнению
можно найти в виде квадратичной формы
V (f, х) = (В (/) х, х), B(t+T)^B (0.(16.14)
Симметрическая матрица В (/) определяется по формуле
В (0 = 2(М*)”О(/)〃"， 0«)= j N* (т + /,/) х左=0о
X C(t + D"(t + f, f)d*(16.15)
где N (/, т) — фундаментальная матрица решений системы (16.13), нормированная при f = t, М = 2 (Т, 0)・
11 — 4-761⑹
Условия конечной устойчивости линейной системы. Рассмотрим систему (16.1) и укажем условия (九,А, %, Т)-устойчивости ее нулевого решения [15].
Пусть построена^ функция и 忆 х) = (В ") х, х), где
B(f) =(D(力 0) Ф*(0, 0
п ее полная производная в силу системы (16.1) тождественно равна нулю, т. е.
器 + 4* (办 В (f) + В (/) 4 ⑴三 0(16.16)
при В (0) = Е.
Нулевое решение системы (16.1) будет 仇，Л, } Т)・ устойчивым, если наряду с условием (16.16) выполняется неравенство
max V (/0, х) < min и 侑 х).
Нулевое решение системы (16.1) будет & 4 %, Т)-устойчивым гавномерно по /0, есл( при 尤 £?力\「丄 выполняется неравенство
^max W < ^min(0 囱沁， где
唸ах ◎ u maX 9 俏力)npИ II % II =也
磽m 〃)= min 9(力 ％)ПРИ ll^ll = 4)
и при всех fg，T имеет место (16.16).
Пусть % (/), / = 1, 2, .. . , п, — корни характеристического уравнения
det (В 0) — осЕ) = 0.
Вычислив
Amin =耳in(% (力•・•，练(/))，
И
Ащах = max (%(/),・・・,а^ (/)),
нетрудно установить, что
min о(/, х) = А Л2, max 。(厶 ％) = AmaxV.
脏|[二4 代〃mtn Ikllf,任"max
Отсюда условия (X, 4 ", ^-устойчивости и равномерной (X, А, /0, ^-устойчивости нулевого решения системы (16.1) имеют соответственно вид
%2 < AminX2
ИАтахХ2< Ат/・
Коэффициенты функции Ляпунова для псевдо- линейной системы. Рассмотрим систему
-^ = Ф (/> х) х,'(16.17)
где матрйца-функция Ф (〃 ％) определяется соотношениями
vs+…v泌=7
①。⑴=(碎(/))；，①评伍)=3俨(明，
Vh = (%A・・・§ %h)・
Приведем к виду (16.17) нелинейные системы, в которых правые части — действительные непрерывные функции переменных (力 х), аналитические относительно хх, . . ., хп в области Q (//, т). Неоднозначность в общем коэффициентов ①『应优)следует из неоднозначности представления нелинейной системы к виду (16.17). Из [15, 133) имеем утверждение.
Теорема 16.1. Чтобы невозмущенное движение системы (16.17) было 仇,А, /(), ТУустойчиво, необходимо и достаточно выполнение следующих условий.
1°. Для системы (16.17) существует обобщенная квадратичная форма
и (/, %) = (К (厶 х) х, х), К* 三 К・ (16.18)
2°. В области Q (",</「) выполняется уравнение
吗，")+工[①铀 嚟 ") + К①+①к=0 (16 .⑼
при начальном условии
К (%, %) ^ Е,(16.20)
еде индекс / за скобкой означает^ что берется j-я компонента стоящего 6 скобке вектора, О — нулевая и Е — единичная матрицы,
3°. В области ||х|| •< Л, /£瓦小 + 口 выполняется неравенство
max V (/0, х) < min v (/, х).
IWi«x嗎疗4
Нетрудно найти, что уравнению (16.19) с начальным условием (16.20) удовлетворяет матричная функция
К (/, %) = К。(9 + £ КМ厶 %),К* 三 К, (16.21)
где
"侑》=2К叫/)%产...匕吟
VU?+…+т
Ко н К?° (0 удовлетворяют счетной системе уравнений
翳+%①о +①/° = О,
-*： X)+ £ [①国, “%* + к&①。 + ①及=G& G，X),
日也》1,(16.22)
Ga(/,x) = — £{t [①囤,%产+%一意+①及J.
При этом Kq (Q =旦 К俨)(Q = °，^》1 и ряд (16.21) сходится абсолютно и равномерно по крайней мере в области
II X II < Г — 8,
где е > 0 — сколь угодно мялая величина, г — гарантированный радиус сходимости рядов Ляпунова по степеням произвольной постоянной.
Решение первого из уравнений системы (16.22) находится как и в п. 16.1 через известную фундаментальную матрицу для системы, присоединенной к системе
罂=①о (О У-
Решение последующих уравнений системы (16.22) существенно использует понятие среднего члена, которое введено в предыдущем параграфе.
Сделаем несколько заключительных замечаний.
Приведенные рекуррентные формулы вычисления функций Ляпунова легко программируются на ЦВМ и построение функций Ляпунова может быть проведено с любой заранее назначенной точностью.
Функции Ляпунова с матрицей в виде сходящихся рядов в достаточно малой окрестности начала координат допускают аналитическое продолжение вдоль любого луча, исходящего из начала координат вплоть до границы области устойчивости соответствующей системы.
Рассматривая семейство поверхностей
vv (/, х)=—卩 (卩=const > 0), v == 0, 1, 2,, можно сколь угодно точно приблизиться к границе области устойчивости в пространстве параметров данных систем.
Рекуррентные алгоритмы построениярешений систем дифференциальных уравненийс переменными коэффициентами
В этом параграфе предлагаются приемы построения решений систем дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
Основные результаты этого параграфа содержатся в работах [65, 68].
Применение степенных рядов. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
一力~ == ^j Рsj (，) хj,s = 1, 2, • • . , 〃•(17.1)
Предположим, что заданы начальные условия
% (%)=%：, s = 1, 2,・・•，п, (17.2)
а коэффициенты psl(f) в окрестности f =右 допускают разложения
Рsj О = ^sjm dg(17.3)
m=0
где а$/т — известные постоянные; ряды справа сходятся в некотором ! нтервале JT = %
Теорема 17.1. Если в системе (17.1) коэффициенты %/优)таковы, что ряды (17.3) сходятся при всех t^ JT, то решение &(/) задачи (17.1), (17.2) представимо рядом
& (/ с§о + ^^ Qm (/%)7 s == 1 ,• 2,- . • . ^ Zlj
m=l
сходящимся при всех tQJT^ Jr, q коэффициенты csm выражаются no рекуррентной системе формул
% п 吟 J +1 = m3〔£ tas/mC/ml| »(17・4)
где/
^sirr^im^ =气*・团 + asl\Cim-i + • • • + %勿県
(/, s == 1, 2, • •・，rz; tn == 0, 1, 2,・・•)，
через начальные значения (17.2) и параметры системы
r i
Доказательство теоремы имеется в монографии [68].
Пример 17.1 Рассмотрим нестационарную систему
%^ = — (f + 3 — N) %т+ (f + 1) 4，
导=一 (f + 2) %] + (f + 卩)％， N〉0， (17.Г)
(17.5)(17.5)при начальных условиях
(17.5)
(17.5)
х；(0)= 1,4(0) =
Формула (17.4) принимает вид
%,加+1 =加+1 IE [%加%"卜
где
%0 =N_3, aш == - 1, %1L0 при 论)1;
%2。= 1'%2i = l, %2a三 0 при 论＞1;
a210=-2，%11 = -1' %掠三 ° "РИ 々〉1；
a22。=n,%21=1，%2丸三 ° 叩"々〉L
Легко видеть, что
^ =(砌1(卩一2)匕
%月=(用厂1 (卩一2产 и, окончательно,
勺(f) = 1 + ("一2) f +.•.+*一叫
女(17.6)
%⑺=1 +(卩一2) / + •・• + 乂气К /+…三e(D'・
Ряды (17.6) сходятся при всех f ^ Уа и являются решением системы (17. И) при начальных условиях (17.5), в чем легко убедитьсй непосредственной подстановкой.
Применение интегрирующих слагаемых. Продолжим построение решений линейных систем с переменными параметрами специального вида [65].
Пусть задана система
?+〃(/)" +"(/)% = 0,(17.7)
где
m (0 = diag (加]()・・・,% ⑺)，^ (0 =(々/ (9)3日.
Элементы матрицы М (0 предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми функциями. Диагональные элементы матрицы ^ (/) — такжг, дважды непрерывно дифференцируемы функции на любом конечном интервале JT и 厶 а остальные — интегрируемые для всех / g Jr Представляя матрицу ^(/) в виде = ^1(/) +М(f), где N*© = =diag (% (f),・・・,几九(/)), N* (f) — матрица с интегрируемыми элементами fgсистему (17.7) представим так:
^ + М ⑺；+ М (f)x = М ⑴乂 (17.8) где ^2 (/) = — ^ (/).
Для исследования системы (17.8) вводятся интегрирую щие слагаемые
◊ &）=屮（0 乙（0-4（^（о 4（о）2 +
+ $е (/)£「《)&(/),(17.9)
где
厶(0 =響-]/}/) - ”/)，(17・10)
Образуем матрицу
П (0 = diag (%(/)，・・・,% (/))，
и к обеим частям системы (17.8) прибавим слагаемое 刀(/)尤:
?+ м (f) ； + (М (f) + Г] (0)尤=s (f) % + м ⑴)X. (17 11)
Лемма 17.1. Решение однородной системы, соответствующей (17.11):
у + М^)у + М) + ^у^^(17.12)
имеет вид
у^С^^+С^ (О,(17.13)
где.
4 ⑴=diag (ф, (/)尸〃⑴,/⑴尸/u …，%(0Fm ⑴)，(17.14)
(17.15)(17.16)(17.17)(17.18)(17.15)(17.16)(17.17)(17.18)⑦(/) = exp (―京 J / (б dt) L尸* (/),
(17.15)
(17.16)
(17.17)
(17.18)
(17.15)
(17.16)
(17.17)
(17.18)
俏(г) — nz (т) dt ,俏(г) — nz (т) dt ,尸н⑴=exp尸н⑴=exp
俏(г) — nz (т) dt ,
俏(г) — nz (т) dt ,
尸н⑴=exp
尸н⑴=exp
%(f)=&(/)；%")%?⑴丸о
J == (C“, C* ・..,C加)/ = 1, 2.
Доказательство леммы 17,1 осуществляется непосредственной проверкой.
Пользуясь формулой (17.13) и методом вариации произвольных постоянных, систему (17.11) преобразуем к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода:
% С) = У (0 + 21 (0 j Z2 (т) [^2 (т) + TJ ⑼％ (т)也一 О
—Z2(f)，Z1") м«) + n Wl ^ W ^-(17.19)
о
Представим матрицы z】(/) и z2 (/) в виде zi(f) = 〃(f)瓦(％ &(/) = 〃(/)%«)， где
" (/) = diag (7 (f),…，②⑴)，分(f) = diag(尸八(方),・..,尸m0)), / = 1,2.
Тогда уравнение (17.19) принимает вид
力⑴=У (0 + 〃⑴ j 〃 G) S (/, т) [N2 (t) + n ⑼ x (т) dx, .0
(17.20)
где элементы диагональной матрицы S (力 т) суть выраженияS)(/, т) = А» (т)尸21 (0 — Fn (0 %± (6 £ = 1, 2,・・・，п.
Наряду с (17.11) рассмотрим вспомогательную систему
х + M(t)x + (乂工(f) + Г) (0) % = Е (М (f) + П ⑴)X, (17.21) в которой е > 0 — вспомогательный параметр.
Решение системы (17.21) будем искать в виде разложений по степеням параметра 8：
х(0 = 2(0-(17.22)
т=0
Подставляя это выражение в (17.21) и приравнивая члены при одинаковых степенях 8, получим рекуррентную систему векторно-матричных дифференциальных уравнений:
厶[x(0)J = 0,
L [%⑴]=p(f)%吗
l[%？ = P0)…),
где
L [%?= * + M (О ?v) + 阳⑴ + i](川产，
Р(/) = М(9 + п(/)・
Положив в (17.22) е = 1, получим систему (17.11) и соответственно ряд (17.22) в виде
х(0 = £%(")(/)・(17.23)
т=0
Положим
(°) = У^ 无(0)=% (х<^ (0) = х(/) (0) =0, /= 1, 2,.. .,п)
(17.24)
Пользуясь формулой (17.20) и начальными условиями (17.24), запишем решение рекуррентных уравнений (17.22) в виде
t
х(1) (0 =〃(£)§〃 (т) S (厶工)Р (т) х(0) (т) dr, о
(17.25)
尤(V)(f) = 〃(f) J 〃 (т) S (力 т) Р (т)(т) dx.
о
Докажем, что ряд (17.23) сходится равномерно. В системе (17.25) перейдем к оценке по норме. Пусть
IIУ (0 II《м (力。0〉。一 const, «(/) = £ Q (f) (17.26) 2=1
в интервале 厶・ Тогда будем иметь
II х(0) (0 ||<а0ф(/), ||х(1) (/) ||<зд (/)й(0，(17.27)
II %")(О II《两屮 0)黑Q-, гдеt
办) = jll而(相Ills(厶叫III尸⑺II加.
6
Следовательно, для нормы членов ряда (17.23) мажорантным будет
旬屮(9 / + 工"• /» 卜 / = (1,1,..1).
./71=1J
Отсюда для нормы суммы ряда (17.23) имеем оценку £% (向(/)卜 аоф (0 ехр (ы (/)).
Остаточный член ряда (17.23) оценивается так: 工尤⑺(О II < ад (0 ехр仅(力一工>^^ 'm=hw=l
Ряд (17.23) сходится к своей сумме со скоростью, не меньшей —
%"дМ〃《乂2 < °°»/17 по\
仇一1)!仅 一％)' Ф <
Следовательно, имеет место утверждение.
Теорема 17.2. Пусть выполняется условие (17.26) и
и < у2 < оо те %
ф《М<8 y/g Ja.
Тогда при начальных условиях (17.24) ряд (17.23) будет абсолютно и равномерно сходящимся в интервале 7a “ скорость его сходимости к своей сумме оценивается выражением (17.28).
Замечание 17.1. Изложенный метод построения решения системы
17.7) может быть применен к системе
х + 4 (/) л + В (/) л == О,
где Л (/) и 8 (/) имеют квазидиагональную структуру Л (0 = diag (&(/), & (О…” Лт (О), В (0 = diag (8](f), В? (/),・・・，Bm (/)),
причем Ar (/) и 8, (/), г = 1, •・・,m, —матрицы порядка 九，X nf такого вида:
% (/)1000 О
О аг (/)1 О О О
О 0000% (/)
勿(/)100... ОО
О ьг (/) . 10... О О
Оо00Оbr(t)
Применение вспомогательных функций. Исследуем теперь систему
e(%成+小9入。/)%)=0・(17.29)
p=i
С этой целью введем замену переменных по формуле
力(f) = L(»(f)-i/2y(f),(17.30)
где—
L 回(f) = о 回(0 exp (— m(0 0，i = /」,
。但)(0 = 3 {[一 输(0 + /й в)? + 4ю2 ⑴]i + 2忘8①(a)},
(17.31)
①(a) = с 二万 j co (т) dr, c > b.b
В выражение о伏)(/), k = 1, 2,.. ., п, входят функции ①人(f), являющиеся собственными частотами, определяемыми из уравнений
det (L(W尸 * (-恤伍)о? + 电(0 s + % ⑼)=0,
и вспомогательные функции /и (/), производные которых определяются из равенства
о但)(0 = 2 加(а) М1 + /п 0) ехр (加(/) i) по формулам
忘(0 = "、%：⑷，з(а)*0.
Осуществив в системе (17.29) замену (17.30), получим
2 LU'⑴出(0 У+ 仇(0 -旬(/))£> (0 以(加 + U7・32)
+ cp(t)y]^^L；1/2(t)y)p(t)y,p=i
где
%(%)= %(%)[т^1 «)乙⑴-T(厶〔⑴ Lp © +
+ }%(/)£”(/) %(/)]・
Для сокращения записи введем обозначения Qp (/):
Qp ⑴=12% (f)—屮]⑺ ％ (3 % ⑴ +
+ 屮厂⑺ ”(0 [厶丁 (0 Lp (/) — bp (/)(1 + % (/))],где фр(0, р = 1, 2, . , . , n,'— нормальные функции, яв-ляющиеся нетривиальными решениями некоторых системалгебраических уравнений (фундаментальные функции).
Лемма 17.2. Решения однородной системы
2 4"2 «)【％(/)^ + (匕⑴ 一 ％ ⑴)厶7(/)4 ⑺ у +
2+(%(/) +Qp(f))川=0,(17.33)
соответствующие нормальным колебаниям, имеют вид
Ур (0 = Фр ⑴ exp “ j % (т) dt) ,(17.34)
ade Фр (/), р = 1,2,..., п,——фундаментальные функции, удовлетворяющие системе алгебраических уравнений
2 {- °р ⑺炉 + ibP (/)① + 喙(/)} ФР (0 = 0. (17.35) "=1
Доказ-ательство. Утверждение леммы 17.2 следует непосредственно после подстановки выражений (17.34) в уравнение (17.33).
Далее систему (17.33) представим так:
Л (/) y + B(t)y+C(t)y = 0,(17.36)
где
У = (%，•••，%)，
(17.37) 4 (0 = «Г" (0 % (/),・・・,(0 ап (0),
В (/)=(厶「"2 (0 + (仇⑴ 一 S ⑺)LF1 (/) Zp
L丁/2(0 + (bn (0 一。九(0)厶厂(0in (/)),C(/) = &(f) + Q(f),
Q (/) = (j⑴Q]⑺,・・・,j⑴Qn纵
& ⑴=(L」/2 (/) &(£),・.・, L/1/2 ⑴ & (/))・
Наряду с системой (17.36) рассмотрим вспомогательную систему
A(t)y + B(t)y + C(t)y = ^D (/)//,(17.38)
где
D(/) =(D(f) + Q(/),①(f) = (L”2(/)%(f),.・.,L”2 ⑴(⑴).
Как и выше, решение системы (17.38) будем искать в виде векторного ряда по сгепеням параметра 8
{/(/) = £e%g(/)・(17.39)
ги=О
Подставляя (17.39) в (17.38), получим рекуррентную систему дифференциальных уравнений
"严]=0,
厶心⑴］=0（沙）,厶心⑴］=0（沙）,(17.40)(17.40)
厶心⑴］=0（沙）,
厶心⑴］=0（沙）,
(17.40)
(17.40)
厶［严］=0⑴丿f.
где
厶[y^] A (/)%")+ В (0 ?v) + C (f)严).
Положив в (17.38) 8=1, приходим к системе (17.32), решение которой принимает вид
У (9 = £ 9 ⑺(％(1741)
m=0
Положим
У® (0) =九，加(0) = %, 0/S (0)=严(0) = 0, /> 1).
(17.42)
Пользуясь формулами (17.34) и начальными условиями (17.42), решения рекуррентной системы (17.40) представим в виде
у® (/)="(/),
屮)(/) = JS(/,t)Q(W(。)⑴dt,
・・・・： (17.43)
驴v) (/) = j S (f, T)Q «) d”T)(T)dT,
ozZ " J⑴/⑴一%(叫⑴
^i(0 и И2 (/) — частные решения системы (17.33), построен- нне из Ур ⑦ и которые, в свою очередь, вычисляются по формулам (17.34).
Теорема 17.3, Пусть выполняются условия
1)IIУ⑼ II《。0，% — const,
2) IIS (Л т) О(т) II《瓦优)中 > 0.
Тогда ряд (17.41) сходится равномерно и абсолютно для всех tW%.
Доказательство теоремы 17.3. аналогично доказательству теоремы 17.2.
Нелинейные системы. Пусть задана система
8 + Р (f) В + Q (/) % = f 俏 х),(17.44)
х (。)= %, % (0) == %o， где
/&х) =(А(/，%)，・・•/(/，%))，
Р(0 = diag 仇(/),・・•，必(/)), Q (0 = diag (%«),•••,% (/))•
Прибавляя к обеим частям уравнения (17.44) выражение
一费” +'（/）%，
где
А©МОА©МОdiagdiagW0W0
А©МО
А©МО
diag
diag
W0
W0
получимполучимL(f) = diag&(/),・・・,4 (/)),
получим
получим
х+(Р(0 一黑丿x+(Q(/) + L⑴)х = ф(/,х,х), (17.45)
где
Ф (Л х, х) = / (Л х) + L (/) х —々2 «； х.
Пусть в области
|| х — % II《瓦 || х 一 ％о II《瓦，0《Z《а вектор-функция 屮 удовлетворяет условию
IIФ (Л х, х) — ф (/, у, у) |1《N (0 II % —川卜(17.46) Выполняя операции дифференцирования в левой части равенства
仅 1 (т) + 財⑴)dT -~ exp
kx (т) dt
X
с
X
万
х exp 口 々2 (т) dr
什屮
(17.47)
и приравнивая коэффициенты полученного выражения к соответствующим коэффициентам уравнения (17.45), найдем
自优)=一击一 /p2 (/) 一 4 (Q ⑴ + 厶(/)), 后P(/) + Hp2(/)-4(q(讨匸⑴)
Из соотношения (17.47) легко получим выражение для %(/):
-代2")九 -f©(o)do世1仏)+也2(%))感
%(f)%(f)y(f) + J J。。上 xоо
%(f)
%(f)
гдегдеX ф (а,х(а), х (о)) dodqX ф (а,х(а), х (о)) dodq(17.48)(17.48)
где
где
X ф (а,х(а), х (о)) dodq
X ф (а,х(а), х (о)) dodq
(17.48)
(17.48)
—,2(t)dT—‘瓦“巾t — 0[(o)do
у (/) = xQe °+ e °& + k (0) s)，e 0 do,
о
Фо = ф (。, ％, %)•
Теперь искомое решение системы (17.44) построим согласно равенству (17,48) по следующей формуле:
—,瓦(t)dt . - ^(0)^0( J(瓦伍)+hd))d入
今 G) = 5 (/) + e ° p ° j e°X
оо
x 叭。，乙-I 9)，Zi 9))丸do.(17.49)
Есл& у (/)——фундаментальная матрица однородной системы, соответствующей (17.44), то равенство (17.48) будет удовлетворено, если в обеих частях выражения (17.49) принять % = у (/), т. е.
t(о
一,爲")火 t -рI(Г)^г t "3(九)+爲内)4入
У^=Уг + е 0“。 fe°x
оо
X ф(о, у (а),р (a)) dido.
Из выражений (17.48) и (17.49) находим /ТI
-他")dt -，2(0"。仲1伍)+姮伍))队
匕(/)《丿「° p°х
о0
X N (о) %_i (/) Mod%(17.50)
где % (/) = I历一x И и j (f) = II7 — J II представляют еобой погрешности n-го приближения.
Лемма 17.3. Пусть функции (р(/) и гр (/) положительны vf £ (0, а] Тогда справедливо неравенство
ооj еф(т,г|)(т) dt & 評⑴ j гр (т) dx (17.51)
о
о
о
при всех /£(0, а].
В справедливости леммы можно убедиться путем сравнения дифференциалов выражений, находящихся в каждой части неравенства (17.51). Согласно лемме 17.3 неравенство (17.50) примет вид (рассмотрим сначала случай, когда 財 и Е вещественные)
Sn (/)《М)еSn (/)《М)е%_i«) dtdcF,%_i«) dtdcF,(17.52)(17.52)
Sn (/)《М)е
Sn (/)《М)е
%_i«) dtdcF,
%_i«) dtdcF,
(17.52)
(17.52)
где 左=月 + А，"о = maxN (/)•
Пусть 0《е。《Л1・ Тогда, определяя последовательно из (17.52) 8р . • efe,. . найдем
%(/)《需爲+物+嚼+…
…十器牀門，(I7")
ИЛИ
%«)«為Lf(17.54)
где 8 = (0 + l)/i・。
Легко видим из вышеизложенного, что случай, когда k комплексное, исследуется точно также и получается неравенство вида (17.54). Из неравенств (17.53) и (17.54) следует, что для всех t g 人，％ — 0，когда п ~＞ оо, т. е. 修f£«).
Отметим следующий случай, важный в приложениях. Если коэффициент k (или его вещественная часть) положительный, то при 九一＞ 8 выражение в квадратных скобках неравенства (17.53) стремится к нулю и для % (/) будет иметь место такая оценка:
力(/)《〃(*)“・(17-55)
Следовательно, если
々〉0, 乂＜必，(17,56)
то можно построить асимптотическое решение заданной системы (17.44), а погрешность этого решения оценивается неравенством (17.55).
Пример 17.2. Определить решения уравнения
% + (5е—” 十 2) % +е-4% = а cos W —
~ (亲 + 氐一"+ 4"尸”)％ — ~^ К + ；(17.57)
в области [ % [《1.
В качестве вспомогательной функции выбираем
l(/) Н万й氣+ 5ef +今.
Тогда
^ (/) = max I 屮(厶 %, %) I а } + 2e~3
屮(L) = a cos(0/ + (g + 2е~"") x —善公 +爲
也="^ (1 + 5e—')・
Из N н 左 видно, что условие (17.56) выполняется и формула (17.49) для уравнения (17.56) примет видИз N н 左 видно, что условие (17.56) выполняется и формула (17.49) для уравнения (17.56) примет вид
Из N н 左 видно, что условие (17.56) выполняется и формула (17.49) для уравнения (17.56) примет вид
Из N н 左 видно, что условие (17.56) выполняется и формула (17.49) для уравнения (17.56) примет вид
Начиная в нулевого приближения %'°), можно найти 力⑴，.…％"), используя для этого формулу (17.58).
Погрешность приближений имеет вид
%《〃(*)•(17.59)
Оценивая погрешности по неравенству (17.59), первого, второго и третьего приближений находим, что в пределах | % | V 1 £】=23%, 8г = 9%, £3 = 5%.
Устойчивость решениясложно возмущенной системы
В настоящем параграфе формулируются условия устойчивости озаглавленных систем. Методы построения функций Ляпунова, изложенные в § 15, 16, в сочетании со способами построения решений некоторых нестационарных систем § 17 позволяют осуществить практическое применение общих теорем этого параграфа для широкого класса возмущенных и сложных систем.
Теоремы об усюйчивости на бесконечном интервале времени. Рассмотрим систему (13.1) и соответствующую ей невозмущенную систему (14.9). Имеет место утверждение*
Теорема 18.1. Пусть выполняются следующие условия. Г. Для шевозмущенной» системы
嘗=Х(厶爲/Ду。)(18.1)
существуют функции s > °，…，％ > 0 такие, что функ- ГП
ция 少=工 ％ (/,居卩)及Р〃 卩《向(卩］=const > 0) опреде- s=l
ленно-положительна и имеет ограниченные частные про- изводные.
2°. Выполняются неравенства
dv Dv
—^- Н飞X (/, %, р。，p/о)《С$ (/, V), s = 1,2,...,〃，
(18.2) где Cs (/, V)——непрерывная по / функция, монотонно возрастающая по V.
3°. Существуют интегралы
北(厶 ％, %,卩)=J "В? "‘ X (/, % (/), р, “)必，(18.3) которые вычисляются вдоль решения х (/) невозмущенной системы (18.1) при х (幻=/£◎ (//),
X (力 ％ (f), р,卩广)=X (力爲 p (/, %),財(/, %))—
—X (/, %, /А 財°), |1 > 0.(18.4)
4@・ Относительно y{Q > 0,.. ., ^0 > 0 при ^ < ^2 (出=const > 0) верхнее решение у (/,力 у^ системы сравнения
嘗=С (力 У + Т 优,/0, %,卩)+ G (厶 и,卩))，(18.5) ade
G (厶0，卩)=(Gi (/,0,n)，• •.,G九 (/,0,n))，
°8 (Л 5 卩)=sup С 將 X (/, %, р, р/)—
,一五j~ X (/, %, р,財)卜％ £Л4 (/) ),(18.6)
устойчиво (соответственно равномерно по /0 устойчиво) при возмущениях ограниченных, ограниченных в среднем или ограниченных в среднем квадратичном.
Тогда при любом 卩 £ [0, 阿],где 阿 = min (内，g2), нулевое решение системы (13.1) ^-устойчиво (соответственно равномерно по /0 ^-устойчиво) при возмущениях ограниченных, ограниченных в среднем, ограниченных в среднем квадратичном.
Доказательство теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 6.2. Отличительной особенностью является то, что выбором 卩《卩0 ограничивается «возмущение» в правой части системы сравнения (18.5) вектора у. Функции G (/, а,卩)в зависимости от типа «обобщенных» возмущений предполагаются такими, что выполняется одно из условий:
И X (力 ％, р,財)И & б2 при х £ М (/)а, / £
j G (s,卩,。)ds《G ПРИ f € 几；
j G (f, a, “)dt《62.
Из условий теоремы следует, что при наличии функций 4, С$，существовании интегралов (18.3) решение вопроса об устойчивости исходной системы связано с изучением этого свойства решений для уравнения сравнения (18.5) относительно ^ > 0, . . . , > 0 (т < п).
В связи с этим весьма важно иметь эффективные методы исследования устойчивости систем сравнения (18.5) или получающихся из них систем в зависимости от свойств исходной системы (13.1). Для некоторых систем сравнения такие методы могут быть основаны на общих результатах теории устойчивости при постоянно действующих возмущениях (см. [75] и обзор В. В. Румянцева в книге [82]).
Системы с малыми возмущениями. Предположим, что в системе (14.8) р (^ х) = 0 и функции 卩 г (Л %) суть произвольные функции координат, не обращающиеся в нуль при % = 0, входящие аддитивно в правую часть системы
-^- = / (/, х) + 財(力 ％)
(18.7)
и обеспечивающие совместно с / (/, %) существование единст венного решения при % EQ。，/ > т > 0.
Системы (18.7) и другие, содержащие слагаемые, пропорциональные малому параметру или его высшим степеням, изучались А. Пуанкаре, И. Г. Малкиным, Г, В. Каменковым и др.
Применяя теорему 18.1 к системе (18.7), получим следующее утверждение.
Теорема 18.2. Пусть выполняются следующие условия, 1°, Для системы
嘗= f(3)(18.8)
существуют функции 5 > 0,…，％ >。 “ G (厶 V), s= 1, 2, . . ., n, указанные 6 условии 1° теоремы 18.1.
2°. В области Q (/7, т) выполняются неравенства
dv Dv (t.
帚&%)《&(/, V), s=(18.9)
3°. При 卩《(л。 относительно yl > 0,..., ym > 0 верхнее решение у (f, %, %) системы сравнения
^ = С (tf у) + [ilg (/, а), I = const > 0,(18.10)
где
g(/, о) = sup( ||/•(力 ％) И при х^М (/)а),(18.11)
устойчиво (соответственно равномерно по /0 устойчиво) при постоянно действующих возмущениях, ограниченных в каждый момент времени, ограниченных в среднем или интегрально.
Тогда при 卩 < 卩。нулевое решение системы (18.7) устойчиво (соответственно равномерно по /0 устойчиво} при постоянно действующих возмущениях, ограниченных в каждый момент времени, ограниченных в среднем или интегрально.
Доказательство теоремы основано на оценке (14.25) леммы 14.2.
18・3・ Стационарные системы с развивающимися возмущениями. Рассмотрим систему
管= /(%)+M(G),(18.12)
где функции / (%) определены и непрерывно диф4)еренци- руемы, а их производные df (%)/0х ограничены в области Q (Я), / (0)三三 0 и R (Л 0)三 0 при N =# 0, т. е. система (18.12) допускает нулевое решение х = 0. В области Q (") рассмотрим вещественные функции и (%), имеющие в R (Я) непрерывные частные производные первого и второго порядка [50, 711:
и 三号=[^ (f j W + 卩R,(力 %)),(18.13)
/=1
и 三-^ =工 ^-(乙(%) + 卩R/ (厶 %))•(18.14)
/=1
На невозмущенном движении % = 0 функции и, и, и уничтожаются, т. е.
V (0) = 0, и (0) = 0, V (0)三 0.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 18.3. Для того чтобы решение % = 0 автономной системы
岩= /(%), 〃0) = 0(18.15)
было устойчиво при постоянно действующих возмущениях R (/, %) (R(/,0)#：0), достаточно, чтобы существовала определенно-положительная функция у (х), полная производная которой в силу системы (18.15) определенно отри- цателъная.
Исследуем вопрос об устойчивости системы (18.15) при следующих предположениях. Правые части системы (18.15) возмущаются известными силами ^R (/, %) такими, что в начальный момент времени / = /0 > 0 функции R (/, %) обращаются в нуль тождественно； движение системы (18.15) при / = /0 начинается из устойчивого состояния равновесия
工居/®・・•,％)《о (18.16)
R. ПОИ t = /0
R &, %)三 0 при х £ Q (〃).
Проинтегрировав выражение (18.14) от /0 до /, получим
华=机-+ Je合"胞+阳⑻切由•(18.18)
—° to j=]
Принимая во внимание условия (18.16), (18.17), находим оценку
^~《\，瑞储(")+叫® %))ds・
Пусть теперь при всех / > /0 и ц < ^0
工嘉①(х)+卩R(O)《°・(1&19)
Тогда при ограниченных выражениях |^~ | < Л1 и любых возмущениях R (/,%), удовлетворяющих (18.17), получаем
Очевидно при 卩 < 固 имеем о(м(/))《о(%о)・
Резюмируем изложенное следующей теоремой.
Теорема 18.4. Пусть
для системы (18.15) существует определенно-положительная функция V (х) и имеет место условие (18.16)；
выражения dv/dx и dv/dx ограничены в области Q(〃)；
вне сколь угодно малой окрестности точки х = О имеет место неравенство (18.19) при веек / > /0;
возмущения R (/, х) непрерывны по %£R(") и удовлетворяют условию (18.17) при / = /().
При выполнении перечисленных условий решение х = О системы (18.15) ^-устойчиво при развивающихся возмущениях.
Перейдем теперь к более тонкому случаю поставленной задачи. А именно: предположим, что в области значен ий переменных 无£Q(")
•° W о, V 7 и ofl > ^ ха& Hdil Опзк (иАтпоюки
(笈 £1)© —7)f" -》^
Хмнэпо ихиен ониАскзн '£•[[ iqwsdoai 兆DqiraLesexoH ndu Э1Чннэ1Гэао(1и 'ихКеютаа hwbhhohow -£И HWHEQir09aH Э KBdOLQOU -Ogi04E91E£BMOtf
•勿eend ndu пуоэътиогиитэп оэпьпоиюН-^ (£i'8【) ^^^^^ 0 = » axvamad %%9<Ж2〃 xiQuudvonhdddu nnuauvoum wd〃
力 £1 iQWddoaiu @ апноизб voiuduwoui49 (g
!°; < ? хээд ndu (°; — 7)g —〉(°% *°;'?) ф ooiuouddvddu иэгиэитои
-799 0 = x mwiu muoomuoadyo riovvw о^догИ g〃oyj энэ (^
"7<%7—勺。0》》⑺ о J
n
(忆 *I)
(;)о(||%~//||)Х> R，?)右冬工—(/?，?)为今工
OWh l1Q90yiVlU
ОУ
с0=(ю) X 1Щ[ '(к)% нпНунбф Hv^o/vmgfiah %()<；% тттшэои
'(,)о 竹勿力з/什砒 / т wwaMnd^diuuri гиэ/зошээУпвэ (g
也=7 勿d〃 (//) °у Э °^ этэътс oz描sDwmmdu
*(ЗГ81)^wdwono (;) % vnmmdd quo® ъогиэ^эпът 軍qdoiuox
'7P (x '?)七岩 W f =(吸吗 7)Ф
vvdsdium шэНдгиээ^Иэ 亿
•(02*81)а/жж硏勿 歹8i mradoaiu (i atwouofi yoiuamvoum (j ягиэНи s 81 zwjdoa丄
(02*81)(02*81)•0》（¥）/考工 • u•0》（¥）/考工 • u
(02*81)
(02*81)
•0》（¥）/考工 • u
•0》（¥）/考工 • u
Интегрируя (18.22), получаем у/ > О
V (х (tf О, %。))《^- * + и (几)，(18.23)
Так как || % (/, О, х°) || < 6' при всех / > 0 и функция и (х) определенно-положительная, то v (% (九 0, х。)) > Р > 0. Левая часть неравенства (18.23) при /-> оо стремится к—оо. Полученное противоречие показывает, что || х (力 0, %) || -> 0 при /-> оо. Это доказывает теорему.
18・4, Оценки решений на заданном интервале. Рассмотрим n-мерную систему
* = f",x) + nR (Л х) + Н (f, х),(18.24)
в которой р, > 0 — малый параметр, вектор-функции /(/,х), R (/, х) и Н (厶 ％) обеспечивают локальное существование непрерывного решения х (/) в области Q (，, J?) и Q (/7, /«) при любом наборе вещественных значений (/0, х0) из области Q]uQ(〃d).
Наряду с системой (18.24) будем рассматривать невозмущенную систему (18.8).
Теорема 18.6. Система (18.24) (X, Д, /?°, J^-устойчива, если существуют функции ^ > 0,..., ут > 0 〃 Cs (/, V), указанные в теореме 18.1, и выполняются следующее условия.
1°. В области Гл cz Q (//) при всех t^JT имеют место неравенства
dv Dv (t.
号f侑％)《Cs(/,V),l《s《加•(18.25)
2°. В области Гл х JT существуют интегралы
Т8 (/, /0, х0) = J—^■—■"(力 ％)df, 1《s《加，(18.26) * о
которые вычисляются на решении %(/) системы (18.8), принимающим значение х0^Й0 W 几Р〃 f = %，х0^= 0.
3°. В области Q (〃, Jr) выполняются условия
《必 ^H(tyx) \\<h(t)9
причем интегралы
5 (/) = М8 ^ h (s) ds, Ms = const〉О,
ограничены при всех / g JTi
существуют постоянные Ls (Q) > 0 и такая функция (р(/), что
Du (厶 ％)Dd (/, %)
汝丄Rd%)——占丄 RR，»《L(Q)<p(/)，(18・27) причем
t
q С)=卩人 &)［屮 6)心，s = 1, 2, • •・,加,
ограничены при ££厶 卩《рЛ
4°. При pt < р,0 и t^JT существует верхнее решение у (Л %, %) системы сравнения
罂=。(/, У + 以偽,厶几)+ 2 (Л N))，(18.28)
где
2 优,n)+。1(/), (%必)g4 (18.29) которое при начальном значении
Уо =尹(Q —卩7(%，力 ％)— 2 (力耻 А (18.30) удсвлетворяет неравенству
y 侑 % У0)< ^工⑴一"(厶% %) 一 Е 优。,卩)(18.31)
при всех t^JT и р < |л°.
Доказательство. В заданной области Гл в силу ограничений на функцию v (/, х) существует такая функция ® (х), что V (/, %) > 酬(％) при всех / £ J?, % £ Гл. Подходящим выбором с〉0 можно достигнуть того, чтобы поверхность w(x) = с целиком содержалась в области Гл и не имела с границей 0「人 области Гл общих точек. Выпустим теперь решение х 伍)системы (18.1) из области || х01| < X,
「九 и {% :如(％)《с} и предположим, что на заданном интервале 厶 существует момент /* £ %, в который || х (/*) || = А. Это может произойти не иначе как поел3 пересечения поверхности V (/р х) = с — о, 0 < 2а < с (здесь tx《/* £ J7).
Для компонент vs вспомогательной функции и (力 х) вдоль решений системы (18.24) согласно (18.25) получим оценку
才《а (厶 V)+ 卩—r &/)+—н(/, %)・
(18.32)
Интегрируя неравенство (18.32) и учитывая (18.26), (18.27), получим
4(九%(切工4备，%)+ JC (/，V)d/ +n北(厶3%)+出(九林)，
Ks^m.(18.33)
Согласно лемме 2.1 для функций q(f,x ⑴)имеем оценки
Vs (/，% (0)《Уз (/，6 %) + 財S (/，6%) +，6 优,卩)，(18.34)
выполняющиеся при Fcex t^JT и ц < |л°.
При выполнении неравенства (18.31) в момент /欠分 из (18.34) находим
%(/,%(/ , /(), %。))< 5 min(f ), S = 1, 2,..., ш. (18.35)
Неравенство (18.35) противоречит определению yfmin (0 = =min (% (/, х) при II % JI《Л) и, следовательно, /* g JT, т. е. на интервале заданной длительности JT решение системы (18.24), выходящее из области Гх, не покинет области Гл. Этим теорема доказана.
О неустойчивости взаимодействующей подсистемы В сложной системе
Структура сложной системы во многом обусловлена существом процессов, протекающих в обособленных подсистемах, взаимодействующих друг с другом. В общем случае среди взаимодействующих подсистем имеются такие, которые «сами по себе» (т. е. будучи обособленными) являются неустойчивыми или наоборот сильно (например, экспоненциально) устойчивыми. Наконец, в сложной системе могут быть подсистемы обоих отмеченнцх выше типов. В этом параграфе установлены условия неустойчивости взаимодействующей подсистемы, если свободная подсистема неустойчива.
Определения сильной и слабой неустойчивости взаимодействующей подсистемы. Рассмотрим 々-ю взаимодействующую подсистему
dx
4 优，xj + 卩乙(九 X],・・Xj, x^+i，・・・,xj (19.1) где Xr £ Er^ fk и Pk — вектор-функции соответствующей размерности.
Определение 19.1. Невозмущенное движение й-й подсистемы (19.1) называется сильно неустойчивым при постоянно действующих связях Fk (厶 хр .. ., х^—, х^+1,.. ., х/, если существуют Д > 0 и /* > 0 такие, что для любых 6 > 0, 卩 < 卩。 найдутся интегрируемая функция hk (/) и достаточно малое число Л^, что при (/*, х》
|因(4)||<6(19 ⑵
всегда найдется решение, которое при некотором значении ^ > /* будет удовлетворять неравенству
||хМ/】)||>/(19.3)
при любых связях 尸а (/,%), как бы ни выбирались, лишь бы удовлетворяли в области Q (〃, т) неравенству
11g(/为11<拆(/)，《&⑸心《怨(% 一川 (19.4) при любом % > 厶.
Может оказаться, что среди допустимых связей Fk (/, л) существует такая связь Fk (Л х), что при 卩 < %, выполнении условия (19.2) и неравенств
II凡(/4)11 <%(/)，\hk^dt<^-^
имеет место оценка || xh (/) || < Л при всех / > /0 и сколь угодно малом Л > 0, если только || % (/*) || < 6. При этом будем называть невозмущенное движение подсистемы (19.1) слабо неустойчивым. Следовательно, при постоянно действующих связях Fh (/, х) g {F} неустойчивость подсистемы (19.1) может быть слабой либо сильной.
Теорема о неустойчивости. Метод решения задачи о неустойчивости взаимодействующей подсистемы основан на применении идей Ляпунова и Чаплыгина в форме принципа сравнения с вектор-функцией Ляпунова. Рассмотрим вначале вспомогательную систему
du
昂=Cs(九弘，•…Ут) + мМ/ (力。)，1,2,. . .,m, (19.5)
где / (/, а) учитывают связи подсистемы (19.1):
f (Л о) = sup (И 尸卜(f, x) И при 鼠£ ЛГ^°)・
Со свободной 辰й подсистемой
粤=%(/，/), /£Е,(19.6)
свяжем вещественные функции s 侑 xft),..., vm (f, х/ onpc*. деленные и непрерывные в области Q (夕,т) со своими произ
водными по времени, причем vs (/, 0) = vs (/, 0) = 0. Для совокупности функций (%...,%) введем норму || V || =雋| + … • • • + I % 1・ Функции Cs (/, %,•・・,уJ неубывающие по (弘，・・・，必一1，丸+1，• • •，％) = У в области G (R, т).
На основе определения из статьи [71] сформулируем следующее определение.
Определение 19.2. Нулевое решение системы
d%
df — G (%，弘，•，・，УQ, s = 1,2,.. ., /л, (19.7)
сильно -；- у, неустойчиво при наличии связей ограниченных, ограниченных в среднем или ограниненньлх интегрально, если для любых положительных чисел 6Р е, у0, ^0, удовлетворяющих условиям 0<6i<e《y<；R,h достаточно малом ц >0 найдутся положительное число Т g J。н точка х? (|| ^ || < 6) такие, что всякое решение у (%, %,%) системы (19.5) с начальными условиями
4。u ^s (/q> %%)’ s = 1,2,...,力，(19.8)
%£/о при всех значениях / g [Zo, /0 + Т] остается в G и удовлетворяет условиям
У[ ('о + П ^10* * •，? %г0)〉е» I 弘0 I + • • • + I g欣 I《§
при любых связях Fk (/, х), удовлетворяющих в области Q (”, т) одному из таких неравенств:
а) %《Y； б) %《у; в) %《％(19.9
где
% = sup f (/, а),% = sup С / (力 а) dr,
% = sup (J f(T, a) dt)・
В зависимости от условий а), б), в) будем различать сильную + у】 неустойчивость при наличии связей, ограниченных в каждый момент (случай а), ограниченных в среднем (случай б) или интегрально ограниченных (слу・ ча^ в).
1еорема 19.1. Пусть выполняются следующие условия,
Г. Для подсистемы (19.6) существуют функции %, • •・，От，причем % (/, х/ допускает бесконечно малый высший предел.
2°. В области G (R, т) выполняются неравенства
争+£^^2九侑”>Q(f,V), s= l,2,...,/n, (19.10)
где Cs — суть функции, неубывающие по 协
31 8 области 6 (/?, т) выполняются условия
—ff^— pk (^^) = ^sf (^ ^)» s = 1, 2,. . m, (19.11)
где as = const〉0.
4°. Нулевое решение системы (19.5) при ц < ц° сильно + у± неустойчиво при наличии связей ограниченных, ограниченных 6 среднем или ограниченных интегрально.
Тогда возмущенное движение 岳力 подсистемы (19.1) сильно неустойчиво при связях ограниченных, ограниченных в среднем или ограниченных интегрально.
Доказательство. Отметим вначале следующий факт.
Лемма 19.1. Если для функции 力侑*/ выполняются условия (19.10), (19.11), причем %()= %(%，х趴 mo при всех / > /()
%(/f(f))>弘&%必0),(19.12)
где у{(九 %, //[J ——нижнее решение уравнения сравнения "=C(t,弘)+卩仪 J (九 о),弘 °〉0.(19.13)
В силу условия 1° теоремы 19.1 для любого достаточно малого е G (0, R) можно указато "。("。< R) такое, что S (九 X。《е лишь только I] хА II < "° для всех / > 0. Теорема 19.1 будет доказана, если будет установлено, что при выполнении ее условий найдется значение 乙 > /； такое, что будет справедливо неравенство (19.3) при условии (19.2) и любых связях Fk (/, х), как бы они не выбирались, лишь бы удовлетворяли неравенству (19.4), или одному из неравенств (19.9). Предположим обратное. Пусть при выполнении условий теоремы 19.1 решение х^(2) устойчиво при наличии связей Pk (/,%), удовлетворяющих в области Q (//, т) условиям (19.4), т.е. II х也(九小 х°) II < А при всех t > % Определив % = %(% 戮 выбором достаточно малого 6 > 0 можно достигнуть того, что
mт
0<工也0 1<工山色，¥)1<8，(19.14)
S=1S=1
как только II х^ II < 6.
В силу условия 4° теоремы 19.1 найдутся точка Т и J。， значение & и || х° || С 6 такие, что решение у (九 %, %) системы (19.5) при |ы < |i0 и / g [0 4 + Г] будет оставаться в области G, а у】(% + Т,找，%) > е при любом выборе связей Fh 也注 удовлетворяющих одному из условий (19.9). В силу леммы 19.1 получаем для всех s = 1,2,...,/〃
4 & 4 传))> % 优 V(p 州’t £ J г(19.15)
Из неравенства (19.15) для s(f, х^(/)), учитывая (19.12), получаем
% «о + 7, х& (% + 7 , /°, х》) > 幺(％ + 7\ /°,欧)〉е>
что согласно выбору е означает ||хЛ (% + Т, %, х» || >//°>Л.] Полученное противоречие доказывает теорему.
Замечание 19.1. Теорема 19.1, переформулированная для систем с постоянно действующими возмущениями (R (力 0)弟 0)
dx
万=f & %) + 卩R (f, %),(19.16)
при 卩=1 содержит теоремы 2.2 и 2.3 из статьи С. И. Горшина [21 и совпадает с теоремой В. М. Матросова [79]. При R (/, %)三 0 является модификацией теоремы Н. Г. Четаева о неустойчивости [112] и содержит обе классические теоремы А. М. Ляпунова [50]:
С (f, V)=加(0 ф (V),屮(V)〉0 при V = 0,
где m(t)^Q и J т (/) dt == ©о. о
Полезным признаком устойчивости й-й взаимодействующей подсистемы (19.1) при 卩 = 1 является следующий.
Теорема 19.2. Если нулевое решение ^-й свободной подсистемы (19.6) равномерно и асимптотически устойчиво по Ляпунову и сходимость решений к нулю равномерная относительно начальных значений, то нулевое решение подсистемы (19.1) будет равномерно устойчивым при наличии связей ограниченных (случай а), ограниченных 6 среднем (случай б), ограниченных интегрально (случай в).
Утверждение теоремы 19.2 в случае а) следует из более общей теоремы 2.4 С. И. Горшина [21]. Два других случая легко доказываются.
Как уже отмечалось в § 18, конкретные условия неустойчивости подсистемы (14.1) связаны с исследованием неустойчивости уравнений (систем) сравнения вида (19.13), (19.5). В случае cs (/, V)三 0 в условии (19,10) вопрос о_не- устойчивости уравнения一
穿=^lf(tto)
решается условием
而(f (t a) di = oo
при卩《Uo・
Условия неустойчивости подсистемы с развивающимися связями. Продолжим исследование 々-й подсистемы (19.1) при некоторых дополнительных предположениях о связях Fk (/, х). А именно: будем считать, что в начальный момент времени /0 > 0 々-я подсистема не взаимодействует с другими подсистемами, т. е. Fk (Zo, Хр...^^, xfe+1,...,xm)s0. Такие связи будем называть развивающимися.
Теорема 19.3. Пусть выполняются следующие условия.
°. Для подсистемы (18.6) существует ограниченная функция vh (/, xQ, имеющая ограниченные частные произ- водные по %], ・・・,％s a / первого и второго порядков 血(厶0)=质侑0)=0).〜
• Функции 人(厶 xj U F总(f, %)(尸a (/, X], ••・，Хц, x^+y... ・・・,xn)w0 при / = %) определены, непрерывно дифферент цируемы, а их производные и ограничены 6 об- ласти Q (Я, т).''
。. При / > %
~0t Т 历^ 厶(XxJwO, Xh£C (Н)・
4°. Существует положительная постоянная о такая, уто в области значений xk^Q (Я)
计鲁+判;"厶(/, xJ卜=叫(A xj.
13*'195
5°. В области Q (//, т) t • С Dv. (/, х,) с 〜 J ―乐&(/, x) dt =吗(Л х),
где wh 侑 ％) — знакопостоянная функция или wk (厶 ％)三 0.
6°. При сколь угодно малом Я > 0 в области Q(", t) найдутся точки хл, для которых vk (力 xft) имеет знак "优，办
Тогда невозмущенное движение 々•立 взаимодействующей подсистемы (19.1) неустойчиво.
Доказательство. При выполнении условий Г ——5Q теоремы 19.3 для производной функции vh (Z, xft) из выражения
dvb Dv, (/, хь) °п ~
= 丁 h丞仇&xj +R& (6 %))
находим
才=Qvk (/, x J + N叫优，x)・(19.17)
Отсюда в силу условия 6° теоремы 19.3* для системы (19.1) выполняются все условия второй теоремы А. М. Ляпунова [50, с. 921 о неустойчивости. Из (19.17) получим
% (力X, (0)=严10)卩j 。-0(г)叫(力X)由+然(力XJ.
Если теперь wk (/, х) знакопостоянно (wh (/, x) >0), то для взаимодействующей подсистемы (19«2) при сколь угодно малых I] х? || можно принять % (/0, х»〉0 и тогда
%(£，4(/))>%%,х；)е"У)・(19.18)
Если же wk (/, х) = 0, то в выражении (19.18) будем иметь знак равенства при произвольном знаке х». Однако, как и в первом случае, в силу ограниченности %(厶 х» и положительности о условие (19.18) приводит к противоречию, устранить которое можно лишь, допустив существование значения ，> %, при котором перестанут действовать свойства функций vk (/, xk) и wh (t х). Теорема доказана.
Рассмотрим вместо условия 4° более общее условие, А именно сформулируем следующую теорему.
Теорема 19.4. Пусть
выполняются условия Г — 3° теоремы 19.3;
существует непрерывная по / функция С (/, и0, неубывающая по vki и при / > /0 выполняется оценка
![今 +fk r xj 由》C (f, %);
существует постоянная ал = const > 0 а при /> /0
J °"了点Fh侑》山=為М¥ (九0)；
нулевое решение уравнения
при р, < р,0 сильно +pi неустойчиво при наличии развивающихся связей ограниченных, ограниченных 6 среднем или ограниченных интегрально.
Тогда невозмущенное движение k-й подсистемы (19.1) сильно неустойчиво при развивающихся связях ограниченных. ограниченных 6 среднему ограниченных интегрально.
Доказательство. При выполнении условий I)-«—3) теоремы 19.4 для вспомогательной функции %(力 xQ имеет место оценка
^->C(tiv^ + akMQiif(ti0)(19.19)
при всех f > " и [х < [х0. Рассматривая нижнее решение 幺(f，%，％) уравнения сравнения
箒=C(f,g) + ahM°由也 и),(19.20)
аналогично доказательству теоремы 19.1 приводится дальнейшее доказательство настоящей теоремы.
19・4・ Теорема о(Л-неустойчивости взаимодействующей подсистемы. В этом пункте изложим способ эффективного учета взаимодействующей обособленной подсистемы и установим условия неустойчивости ее нулевого решения. Для
подсистемы (19.1) множество точек х^, удовлетворяющих условиям
%(/，xQ〉0, Ха£Е%
будем называть областью %〉0, а поверхность vh (/, х0=О— ее границей.
Теорема 19.5. Пусть
выполняются Г — 3° теоремы 19.3;
условие 2) теоремы 19.4 выполняется при С (厶 ％)三0;
вдоль решений ys (/, /0, х°), s = 1, 2,..., zn, независим мых подсистем интеграл
①(厶｝ %0)= J —设—— &伍，以)山g h
ограничен при всех / ^ Ja;
существует неубывающая функция %(a), lim у (а)=0 а->0
а интегрируемая на Ja функция а (/) такие, что
Du. (/, х.)Dv. (/, X,) „,
fr工 Fk 优,xj 一 一^% (九 %)《X (II %—% II)0优),
，a (0 dt《a0 (% —匕)，勾〉&，
где yft — решение подсистемы (19.6);
при всех / > /0 в области vk 0, х^) > 0 справедливо неравенство
①(力糸 ％) >6(/ 一 /0), 6 = const > 0.
При выполнении перечисленных условий нулевое решение подсистемы (19.1) ^-неустойчиво при развивающихся связях.
Доказательство. Как и выше, при выполнении условий 1) — 4) теоремы 19.5 для производной функции % (f, xft) получаем оценку
今 >Ф^^х^+ f%(f|x^-yj.) оА (0 dt. (19.21)
Согласно условию 5) теоремы из (19.21) получаем неравенство
dvk (ttxk (0)§
^〉万('—^о)» 3 = const〉0,
из которого следует, что vh (Л xk (Z)) при /->оо неограни- чено возрастает. Полученное противоречие (функция vA (Z, xft) ограничена по условию теоремы) указывает, что существует значение 广 > /0, при котором решение х^ (/) покинет область (J xj| < е при любых х? £ Е%, vk (%, х»〉0 и р < Теорема доказана.
Замечание 19.2. Если среднее «о+Т •
HmT £&(力尤)山=中綜%0)
существует и является знакоопределенным относительно %：,•••,%% то условие 5) теоремы 19.5 может быть заменено условием ср (幻 ％о)> б, 6 = const > 0 в области 仆(f, xfe)>0.
Обратим внимание, что <р (/, х0) зависит от полного вектора (xj,..., х®,..., х^), но знакоопределенность требуется относительно вектора х& (начального значения решений хк (/) 也-й подсистемы).
О применимости усредненных уравненийпри исследовании устойчивости точных решенийнестационарных систем
Н. Г. Четаев предложил прием исследования устойчивости периодического решения, состоящий в замене периодических коэффициентов постоянными осредненными за один период. Этот метод Н. Г. Четаева получил развитие и применение [35] при решении многих практических задач. В настоящем параграфе излагаются общие теоремы об устойчивости точных решений, основанные на применении вспомогательных функций Ляпунова для усредненных уравнений.
Теорема Н. Г. Четаева [112]. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений возмущенного движения
戈=Е Psr 伍)％г，s = 1,2, •・・，n, (20.1)
где psr(t)— периодические, непрерывные функции вещественного переменного t с одним и тем же периодом со. Предположим, что
%//)=% +呪R)，(20・2)
где csr = const, 厶一периодические функции /, ц > 0 — малый параметр, причем
(0
% = 4" I Ps「(f)力，S"= 1,2, ・.・，〃・(20.3)
о
Наряду с системой (20.1) рассмотрим систему
dx 4
万-=工 Cs% s = 1, 2, ..., и, (20.4)
которая описывает, вообще говоря, другое движение, чем система (20.1). Все Же устойчивость или неустойчивость решений системы (20.4) сопровождает устойчивость или неустойчивость системы (20.1) при малых значениях 卩・ В связи с этим важно знать, когда такая подмена уравнений дает возможность исследовать задачу об устойчивости движения изучаемой системы с переменными коэффициентами. Для независимых решений x“(f) системы (20.1) начальные условия можно выбрать в виде
xsr(°)6sr (s,r= 1,2, ・・・，％),(20.5)
где 6sr — символ Кронекера.
Характеристичезкое уравнение системы (20.4) будет
D 0) = det (С —入Е) =з 0.
С помощью системы линейно независимых решений 尤^ (f) уравнений (20.4) ^-е приближение решений xsr (/) уравнений (20.1) по методу Пикара определяется формулой
噂)(f) = 3 +，£ Psi (т) 4尸)(力 d* 々 > 1・0 /=1
Характеристическое уравнение й-го приближения
D (х) = det (х (з) — ""£) = 0,(20.6)
где
尤伊)@)=尤!? ®), s, г = 1, 2,.. * ,n.
Уравнение с постоянными коэффициентами в Л-м приближении имеет вид
* = £ 粵，RO?
ml где (I) n 0，= 1
а характеристическое уравнение этой системы
D (九伏))=det (С® — Kk)E) = 0.(20.8)
Связь между корнями %『；••，％'『 уравнений (20.8) и (20.6) устанавливается соотношением
乂頁—1 =(о緡)，s = 1,2,・・•，儿(20.9)
Если для любых целых неотрицательных чисел %,…，тп, имеющих в сумме 2, выражение 加訓"+ • • • +m满$)
не обращается в нуль, то для системы (20.7) можно указать квадратичную форму
2。产£%"Г(九=忆)(2。・10)
s,r=l
такую, что
£(甯*4-..+嘿4)要=叶+，..+片・(20.11)
В силу исходной системы (20.1) производная функции vh имеет вид
券=£ bsiPirxsx,(20.12)
Форма (20.12) определенно-положительна, если найдется такое число “° (“° > 0), что вещественная квадратичная форма с периодическими коэффициентами
證一沖(咛 +•・• + &)= Е bsSPir-^XsXr r，s"=l
положительна. Это будет всегда, когда определитель ||碍|| будет иметь главные диагональные миноры, удовлетворяющие условиям
Ai =1 置)|〉0,& =>0,...,Дп>0,
где
唠=；£【％(Pis-М?)+ bsl(Pir + 闆勿=或)，卩
Можем резюмировать изложенное следующей теоремой.
Теорема 20.1. Если дифференциальные уравнения (20.7) таковы, что можно указать форму (20.1", разрешающую уравнение (20.11), а ее полная производная (20.12) будет определенно-положительна, то асимптотической устойчивости (неустойчивости) нулевого решения в уравнениях (20.7) будет соответствовать асимптотическая устойчивость (неустойчивость) исходных уравнений (20.1) с перио- дическ им и коэффиц иентам и.
Общий случай нелинейной системы. Пусть возмущенное движение описывается системой дифференциальных уравнений
(20.13)(20.13)4? = х(/,»,
(20.13)
(20.13)
где х, X — точки n-мерного пространства Еп. Введем обозначение [84]
М{Х(/,х)} = /0(х),(20.14)
где М ——оператор усреднения при постоянных х или оператор усреднения по явно содержащемуся времени, и систему уравнений (20.13) представим в виде
矍= fo(x)+AX0,x),(20.15)
где АХ (/, %) = X & х) — М {Х (/,%)}・ t
С усредненной системой
矍=%(%)(20.16)
свяжем векторную функцию V (%)=(以(％),・・・,vm (х)), определенную в области G(R):
||V||<R, R = sup(||V|| при %«("))•
Функции ДХ (Л х) и множество М (/) предположим такими, что для любого и функция
Д & о) = sup (И АХ (Л х)||:х£ 砌°)
суммируема на любом отрезке 7\ и 〃). При этом задам об устойчивости системы (20.13) решается исследованием системы (20.16) при наличии функций АХ (/, х), которые можно интерпретировать как постоянно действующие возмущения. Условия малости этих функций совместно с некоторыми условиями на полную производную вектор- функции V (%) обеспечивают устойчивость нулевого решения системы (20.13). Будем рассматривать устойчивость множества М (/) относительно уравнения (20.13) [80].
Определение 20./・ Множество М (/) устойчиво относительно уравнения (20.13), если для любых & н /° существуют 6х(е,/0), 62(е,/0) такие, что р (х (/, /0, х0), М (/)) < е при всех / > /0 для любого решения %(力毎/) с х0СЙ0,
Ро (^о» М('о))< 5] (& %)
уравнения (20.15), для которого
||АХ(/,%)||《б2 при %g砌。，f>%.(20.17)
Определение 202 Множество М (/) равномерно устойчиво относительно уравнения (20.13), если выполняются все условия определения 20.1 с 6】и 62, не зависящими от b
Определение- 20.3. Множество Л1 (Z) устойчиво относительно уравнения (20.13) при функциях АХ (力 х), малых в среднем (соответственно интегрально), если для любых
е и ^0 существуют постоянные бх и 62 такие, что р (% (% %, %), М (0)<8 при всех f》％ для любого решения х (/, /0, %) с
р (%о, М (/0)) < 3]仇,е) уравнения (20.15), для которого
屮
J Д (s, о) ds《62 при / > /0(20.18)
^соответственно j Д (力 о) dt 《62^ .(20.19)
Определение 20.4. Множество М (/) равномерно устойчиво относительно уравнения (20.13), если выполняются все условия определения 20.3 с 6Х и 62, не зависящими от /().
Основываясь на результатах статьи [79], сформулируем следующую теорему.
Теорема 20.2. Пусть выполняются следующие условия.
Г. Для системы (20.16) существует векторная функция Ляпунова V = (^ (х),• ,vm 向)， удовлетворяющая
условию Липшица по х в области М° с константой I П , /т).
2°. Компоненты вектор-функции V (%) определенно- положительны относительно М.
3°. Выполняются неравенства
Dv (х)
-^rf^<Cs^ s = l,2,・・・，加，(20.20)
где С8 (V) удовлетворяет условию В ижевского.
4°. Относительно % > 0,・・・,%九 > 0 решение у (/, %, у°) системы сравнения
窮=C(y) +，A(f,o)(20.21)
устойчиво (соответственно равномерно устойчиво) при функциях М (/), удовлетворяющих одному из неравенств (20.17)— (20.19).
Тогда множество М (0 устойчиво (соответственно рав・ номерно устойчиво} в смысле определения 20.1 относительно уравнения (20.13), 204
Доказательство. В силу условий теоремы 20.2 нетрудно найти, что
警《C(V) + /sup(HAX^^IHxgW)0).
Применяя лемму В. М. Матросова [76] к возмущенной системе сравнения (20.21), получаем оценку
Vs(tf х (/))《у s@，% f/g)» s = 1,2,..., m, имеющую место при всех f g J(x・ Дальнейшее доказательство приводится стандартным для данной книги методом.
Теорема 20.3. Пусть выполнены, условия,
1°. Условия 1°, 2° теоремы 20.2.
2°. Имеет место неравенство, противоположное по смыслу неравенству (20.20).
3°. Относительно z/x > 0, . . . , у/ 0 решение у (/, %, %) системы сравнения (20.21) сильно + у、неустойчиво при функциях АХ (/, х), удовлетворяющих одному из неравенств (20.17) — (20.19).
Тогда множество М (f) сильно неустойчиво относительно системы (20.13) при наличии функций АХ (/, х), удовлетворяющих одному из неравенств (20.17) — (20.19).
Доказательство теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 18.1.
Теоремы 20.2, 20.3 позволяют в общем случае нелинейной системы обосновать применимость метода усреднения системы при анализе устойчивости (неустойчивости) решений исходной системы.
Замечание 20.1. В том случае, когда надлежит установить оценки решений системы (20.13) на конечном интервале, нужно воспользоваться результатами п. 6.2 или §8 в случае устойчивости в конечном по отдельным заданным координатам. Пример такого применения приводится в следующем параграфе при исследовании стандартных систем.
Область притяжения решенийусредненных уравнений
Получившие широкое распространение стандартные системы исследованы в настоящее время достаточно полно 【8, 11, 22, 84] с помощью метода усреднения [84], асимптотических методов нелинейной механики, метода интеграль-
ных многообразий и других. В настоящем параграфе установлены условия существования области асимптотической устойчивости А точных решений стандартной системы на основе усредненных уравнений.
Теорема Н. Н. Боголюбова. Рассмотрим вещественную систему дифференциальных уравнений
.号=对侑居卩)，(21.1)
где % ——n-мерный вектор 0 < р. < р.0 и f — функция, отображающая множество
В 偽卩)={(/，х, н) ： 0 < р. < р,0, — оо < / < оо, II % К < ^} в пространство £л.
Теорема 21.1. Предположим, что в области В 伏，卩) выполняются условия.
°, f ограничена и имеет ограниченные первые производные по %.
2°. f почти периодична по / равномерно по % для каждого фиксированного 卩.
Рассмотрим также усредненную систему уравнений
雾=端阳，(21.2)
где
% 阳二吋{f(f,x,O)}・
Пусть |0 -— постоянное решение уравнения (21.2), которое вместе со своей а-окрестностью лежит в множестве В (А) = {х : ||х II < Л}, и пусть для системы уравнений (21.2) существует такая определенно-положительная функция Ляпунова у0(В)» "加。
幾匣启®=啰阳，(21.3)
где w 位)——некоторая определенно-отрицательная функция. Пусть задано некоторое достаточно малое число р > 0 и пусть ^ (/) — решение уравнения (21.2), причем 1 (0)g В (^), которое вместе со своей о-окрестнсстью остается в В 但) для всех / > 0 кроме того,
缪С)=Л・
При этих условиях мы можем заключить, что для любого т］〉° существует 卩*, 0 < jx* < рД такое, что для всех О < |и < pi* решение х (/,)л) уравнения (21.1) с начальными значениями х (О, р) = ^ (0) удовлетворяет условию II х (Л N)— & /) II < П при всех / > 0.
Кроме того, существует п-мерная вектор-функция х(/, р), непрерывная по t и \i, почти периодическая по f, которая является решением уравнения (21.1) и такая、чпго
lim И х (/,卩)一瓦 II = 0, lim||%(f,卩)一£(/,卩)|| = 0.
Условие существования функции Ляпунова % (Е) усредненной системы, удовлетворяющей условию (21.3), обеспечивает здесь отрицательность действительных частей корней системы уравнения в вариациях, соответствующей (21.2). Это условие фигурирует в стандартных формулировках теоремы 21.1, восходящих к трудам Н. Н. Боголюбова.
Установим теперь множество начальных условий усредненной системы (21.2), при которых все решения стремятся к частному асимптотически устойчивому постоянному решению при /-> оо. Как известно, множество таких начальных условий называется областью притяжения постоянного решения 占。уравнения (21.2) и определяет так:
A^^{z^En- lim И g (/, г)-g01|=0},f 8
где & (f, z) — решения уравнения (21.2) с начальным условием & (0, z) = z・
Из теоремы 21.1 непосредственно следует.
Теорема 21.2. Пусть До cz Л (g0) — замкнутое инвариантное подмножествэ множества А &), причем граница Ло находится внутри множества 4 (瓦).Тогда для любого заданного Т)> 0 существует Q〉0 такое, что для всех Н，0 < Н < Н*» 6% решения системы (21.1) с начальным условием 8 Ло для любого /og Ja остаются внутри области размером т) множества AQ во в е последующие 加^艙厅奴 времени /:
加II力《‘％，％，卩)一^(厶 H)II = 0, IknII%(/, /0,%,卩)—g0U<T|4
Из теоремы 21.2 следует, что решения системы (21.1) с начальными условиями, лежащими в замкнутом инва-
риантном подмножестве Ло области притяжения устойчивых постоянных решений усредненной системы (21.2), остаются достаточно близкими к этому множеству и в пределе стремятся к почти периодическому движению, лежащему вблизи постоянного решения усредненных уравнений.
Область асимптотической устойчивости усредненных уравнений. Принимая во внимание условия теоремы 21.1, систему (21.1) представим в виде
^ =喻(%) +n毋侑居")，(214)
где вектор Д/ 亿 ％,卩)учитывает осцилляционные члены.
Теорема 21.3. Пусть система усредненных уравнений (21.2) имеет асимптотически устойчивое нулевое решение, обладающее некоторой областью асимптотической устой- новости А (Ео)・ Тогда можно указать такое значение 阿〉0 и такой высший предел f (%) функций А/ (/, х,卩)，что при 卩 < 卩°, ||Afll< 7(х) система (21.1) будет иметь асимпто^ тически устойчивое нулевое решение с той же областью асимптотической устойчивости A (So).
Доказательство. При выполнении условий теоремы для системы (21.2) существует функция Ляпунова % (Е), обладающая свойствами
卩 瓦 『о (&)=⑪(&)，И < Но»
где @ (Е) — определенно-отрицательная, непрерывно дифференцируемая функция
。匾,•••，&)<-а(3)<0(21.5)
при
£ 寻 >3〉о，
более того,
%(Ю + 8 при(вр...,gn)->M*e^\x%.
Для полной производной функции %(&) в силу системы (21.4) имеем
窑=侬位)+ N D^fL毋(厶爲卩)・(21・6)
Для второго слагаемого в выражении （21.6）, применяя неравенство Буняковского, получим
i^^x^^y i（^）2vi（A厶•（力%卩））2 <
/=1j=l J /=1
（幫，
где / （%）——высший предел функций А/ （/, х,卩）при / > 0.
Выберем № так, чтобы при всех 卩 < 卩°
20（/,...，%）1侬（自）1,20（/,...，%）1侬（自）1,世/^『（%）］/工
2
0（/,...，%）1侬（自）1,
2
0（/,...，%）1侬（自）1,
где к （%i，・• • ，%九）《^- • Нетрудно видеть, что 卩° можно определить выражением
Но тогда в силу неравенстваНо тогда в силу неравенства
Но тогда в силу неравенства
Но тогда в силу неравенства
dv
才〈侬（х） + к （%, •・•，今）I 侬（%） I
и условия （21.5） находим, что при 卩 < 卩°
祟 ⑹ <0 при 工財〉В〉0・（217）
Таким образом, имеем определенно-положительную функцию % 隽）такую, что при 卩 < 卩。
o<^o（gl,...，u<°° &,・・・，&）d，
% &，•・•，&） f + 8 при （*・・・，歸 f ЛГ £ A\A （汕
14 — 4-7612Q9
в то время, как ее полная производная — функция определенно-отрицательная. Отсюда ясно, что А (^)) является областью асимптотической устойчивости системы (21.1). Теорема доказана.
Замечание 2/./. Если область { &) совпадает со всем пространством, то нулевое решение стандартной системы (21.1) будет асимптотически устойчивым в целом.
Замечание 2/.2. Для стандартной системы
dx
必=財(九%)⑵.8)
с правой частью, не имеющей среднего значения, можно ввести систему
号=啖阳，
в которой правая часть определяется с помощью оператора S^ (f):
т тА—1Х1
о о 1 о
也=0, 1,..., S^ (f) = f (т), являющегося аналогом 々-кратного суммирования рядов по Чезаро, в виде
S$8] (/(/,%)) = %(%),
если этот предел существует равномерно по % € С (，). После этого систему (21.8) можно представить в виде (21.4) и осуществить как и выше расчет области устойчивости точных решений системы (21.8).
Теоремы об устойчивости стандартной системы при постоянно действующих возмущениях
В этом параграфе исследуются стандартные системы только с устойчивыми усредненными уравнениями и устанавливаются условия устойчивости на конечном интервале при соответствующих ограничениях на верхнее решение стандартной системы уравнений сравнения.
Леммы об оценке расстояния между решениями. Установим оценку расстояния между решениями рассматриваемых систем. Пусть задана стандартная система с постоянно действующими возмущениями
雾=5(厶%R (仆儿(22.1)
где х £ Е〃， (1 > 0 — малый параметр, R (Л х) — постоянно действующие возмущения, (R (力 0) #= 0) — вектор-функции, X (/, х, R) обеспечивают существование решения в области С(〃")：
II%|| < ", / А т (т А 0), н< Но- (22.2)
Наряду с системой (22.1) будем рассматривать две системы: первую систему — систему без возмущений
号=卩x优,%,0),(22.3)
вторую — соответствующую ей усредненную систему
■§ = %(&，(22.4)
решение которой & (/) принимает при / = /0 значение х0 и ^ (^о) = ^о* Здесь
/0®=М{Х(/, I, 0)}.(22.5)
Оценим теперь расстояние между решениями систем (22.1) и (22.3) и (22.1), (22.4).
Приведем предварительно следующую формулировку леммы Грону- олла-Беллмана [6], встречающуюся в статье [96].
Лемма 22.1. Пусть при %《t & Т непрерывная функция и if) удовлетворяет неравенству
t
〃 (/)《f⑴+ с f 〃⑴也
где / (/) непрерывна на 也，Т]. Тогда
"⑴《f ⑴ + с "⑴ e"D而..(22.6)
В частности, если / (f) имеет непрерывную производную, то
U(0 < /(0 戸—切 + V ⑴ e«T)dT・(22.7)
Доказательство. Легко видеть, что t
"。⑴= 〃f)+ e " (T) £ё-幻也
является решением интегрального уравнения
淤(/)= /(/) + с у u° (т) dT・
Неравенство (22.6) будет доказано, если установить, что
N (0 = 〃。⑴一〃(/)》0. Очевидно,
N (t)》c \ N (т) dt・
Ввиду того, что т
N е》С \ N ⑺ dT], можем записать
t тt
% «) А с? j \ N (п) dx\dx = с2 J (/ — т) ^ (т) dr.
Продолжая процесс замены, под интегралом N (^) на с I У ⑴)dr]
Получим
(0》f « - т)"Т "⑴ dr, n=l,2, 3, (〃一1)! J
Переходя в этом неравенстве к пределу при п -> оо, получим N (D》0, что и требовалось. Неравенство (22.7) получается интегрированием по частям.
Л,емма 22.2. Пусть при "《/《/()+ Т 〃力 € Q (〃) выполняются неравенства
IIX & 爲 R) — X (f,元 0)||《J II % -土 И + И R & x)||,(22.8)
II R & %)|[ < 厂⑴，p(0 dt《％ (% — /1), % > G・(22.9)
Тогда для расстояния между решениями систем (22.1) 〃 (28.3) при одинаковых начальных условиях имеет место оценка
II % ⑴-^ (31《協(0呻 一 1)(22.10)
для всех, 4《/《'о + 7.
Доказательство. Из уравнений (22.1), (22.3) получаем t
||х(/)- Г(/)||《卩，II х & %(/), R & % (/)))- х(/,7(/), о)|| dt.
(22.11)
Учитывая условия (22.8), (22.9), из неравенства (22.11) находим
II %(0 -^ (f)l| W 卩/ J II % «) —2 (Oil 出 + Mo « — 幻・
Применяя к этому неравенству лемму 22.1, получаем оценку (22.10).
Аналогично устанавливается оценка расстояния между решениями систем (22.1) и (22.4).
Лемма 22.3. Пусть %р〃 石《/《％ + Т
правая часть усредненной системы в области Q (Я) удовлетворяет условию Липшица
lU0(x)-/0(g)||<N1||x~g||；(22.12)
существуют интегрируемая функция т (0 и постоянная /и。〉0 такие, что
II X (/, %, R) — f° (х)||《И R (f, х)|| + zn (0，(22.13)
J 加(0 df《加。(％ -S % > 匕，(22.14)
на любом конечном интервале J и J「
Тогда для расстояния между решениями систем (22.1) 〃 (22.4) при одинаковых начальных условиях, имеет место оценка
II % ⑴一貝削|《亠 j (評MT - 1)(22.15)
для всех tQ^ t^tQ + Т.
Теорема об устойчивости. Сформулируем сначала следующее определение.
Невозмущенное движение (тривиальное решение % = 0) стандартной системы (22.3) называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях, если для всякого положительного 4 существуют положительное число 九， Интегрируемая функция г (/) и постоянная % такие, что
всякое решение уравнения (22.1) с начальными значениями % при f = /°
1|х(/о)1|<Я-
при произвольных R (/, х), удовлетворяющих в области Q (〃，т) на любом конечном интервале [&, /2] неравенствам
l1RG，»ll<r(f),，ГG)由《%偽 一幻，
удовлетворяет при всех f > % и 卩 < 卩° неравенству
II % (圳 С4
Отметим, что это определение близко по форме определению И. Г. Малкина [51], но отличается от него ограничениями на постоянно действующие возмущения и наличием условия * < [х°. Оба эти обстоятельства связаны со спецификой системы (22.1) (см. § 13).
Предположим теперь, что усредненная система (22.4) имеет функцию Ляпунова такую, что при 卩《 卩。
卩喂丸@《0・(22.16)
Введем среднее 屮。(%, %》по формуле 厶+T -
%备，%)= 1加71( £h1^Х(/,£«),0)因(22.17)
Т->эо J Dx
где % (/)— решение невозмущенной системы, удовлетворяющее условию х (/0) = х0 #= 0. В силу [105] имеем утверждение.
Теорема 22.1. Пусть выполняются следующие условия.
1°. Для усредненной системы (22.4) существует функция Ляпунова % (g), удовлетворяющая условию (22.16).
2°. Постоянно действующие возмущения R (/, %) удовлетворяют условию (22.9).
3°. Равномерно относительно (/0, %) в области Q (〃，т) существует знакоопределен ное относительно %?, • • • , х? среднее (22.17) и вне сколь угодно малой окрестности точки % = 0 выполняется неравенство
屮о (%，%) < — & < 0(5 = const > 0).(22.18)
4°. Существуют интегрируемая функция а(/), постоянная а0 > 0 и неубывающая функция % (а), Пт % (а) =О$ а->0
такие, что при / > 0 и % £ Q (〃) выполняются условия
I "髭殳 X (Л х, R)—空当 X (力 х, 0) j < % (|| x — x II)а (/),
(22.19)
j о (/) dt《а0 72— /1),/2 > /1,
на любом конечном интервале J.
При выполнении перечисленных условий решение х (/) системы (22.1) будет ^-устойчивым при постоянно действующих возмущениях.
Доказательство. По заданному числу 4£(0, ") выберем число %i £ (0, Л). В силу устойчивости по Ляпунову усредненной системы (22.4) можно указать такое 儿 < 4, что при II g (/0)1| < % для всех / > /0 будет иметь место неравенство II * (А|| < 4・
По способу Ляпунова заданному 4工 поставим в соответствие число с так, чтобы ^-окрестность точки % = 0 лежала внутри поверхности
Gc = {尤：％WЕ» %(х)《с}, с = const > 0,
и, кроме того, Gc и % = {х: ||х|| < А).
Пусть решение % (/) системы (22.1) начинается в области ||х || 之九「 Вдоль этого решения рассмотрим поведение функций о (/)=%(%(/))• В силу системы (22.1) имеем неравенство
号《卩喰 X(t,x,R 也 х» (22.20)
Интегрируя это соотношение от /0 до /, находим
u(f)《«fo) + Nj^X(f,%,R(f,»)M и偽)>0・
'(22.21)
В силу того, что
% (%(幻)《如，%£a, достаточно найти условие убывания интеграла в правой части гоотношения (22.21).
С этой целью составим соотношение
X (/, х, R) di =X (/, х, R) di =X (/, х, 0) d/ +X (/, х, 0) d/ +
X (/, х, R) di =
X (/, х, R) di =
X (/, х, 0) d/ +
X (/, х, 0) d/ +
(22.22)(22.22)+ J ［袈X优，居R） 一鹽X （f,三0）］弘
(22.22)
(22.22)
По определению среднего (22.17) существует [84] функция х (/) такая, что lim х (/) = 0 и t->8
、將х© х, 0)出=优一％)叫(小 ％) + X(/)]• (22.23)
Оценку для у (/) будем строить при fо《f《f° + 2L, где L настолько большое, чго
I 乂 (训 < 4г ПРИ f〉办 + LI 乂 (训 < 4г ПРИ f〉办 + L(22.24)(22.24)
I 乂 (训 < 4г ПРИ f〉办 + L
I 乂 (训 < 4г ПРИ f〉办 + L
(22.24)
(22.24)
Интеграл от разности в выражении (22.22) оценим так, чтобы решение х (/) не покинуло области Гл и Q (〃) и чтобы интеграл в левой части выражения (22.21) был отрицателен на интервале % + 厶《f《 办 + 2L. Выбором параметра ^ можно достигнуть того, что
||х(0-Ь(/)||<Л-Л1(22.25)
при 卩<卩[н ££」2厶・ 0з оценки (22.15) следует, чго для этого достаточно взять
H<h =(2LM 厂"п [用丄 + "> С - 4)二 (22.26)
В силу четвертого условия теоремы 22.1 определим значение р，2 > 0 так, чтобы
% (含[产配—1]k。《阴(22.27)
Определив теперь 的=min (内，ц2)> получим при 卩 < 阿 неравенство |优(/)||<Д для всех /°《/《 厶 + 2 厶.
Таким образом, интеграл в правой части (22.21) отрицателен. Действительно, собирая оценки (22.23), (22.24), (22.27) из соотношения (22.22), находим
j X (f,居 R) dt < - (/ -公号•
Интегральная кривая % (/) после пересечения поверхности Vq = с при |Л < р0 остается в области ||х|| < Л. В силу отрицательности указанного интеграла найдется значение &, 办 < 乙 < /о + 2，начиная с которого и (/) будет убывать вдоль решения х(/) и, следовательно, кривая х(/) пересечет поверхность vQ = с снаружи внутрь. В силу равномерности всех оценок по (/0< х0) в области Q (〃，т) кривая х (/) может любое число раз покидать поверхность v0 = с или входить в нее, оставаясь в области ||х || < Л при всех / > 0. В силу оценки для V теорема доказана.
Аддитивно возмущенные стандартные системы.
Рассмотрим n-мерную систему
^^^ ^ ^) + ^ (^ ^(22.28)
Вектор-функция R (/, %) является неизвестной функцией координат %, но такой, что при всех t^JT и %£Q(") справедливо неравенство
IIR (Л砌< Г (0，р (0出《% (为一幻，为 > 友，
для любых (/р /2) ^ Jr, где г (/)——интегрируемая функция на J.
Теорема 22.2. Пусть выполняются следующие условия. Г. Для системы
警=叫仆)
существуют функции 力(/, х) > 0, . . . , vm (/, х) > 0 та- к〃е, что функция и = £ q (九 ％) — непрерывно дифференци- s=l
руема а допускает ограниченные частные производные.
2°. При 卩《卩о u (%,/)£◎ (〃，т) выполняются неравенства
帚+卩一+/(%，%)《n以(力V),
ade &(/, V) удовлетворяет условию Важевского.
3°. Существует интеграл и(/)=М，厂(s) ds u
io
ID： I《Л1, Л4 = const〉0.
4°. Существует верхнее решение у (/, %, %) стандартной системы сравнения
黑=卩С侑у + о (/))
при у (%, %, у。) = % 〃 卩《卩°，которое при всех t^JT удовлетворяет неравенству
7s «，％，％)<u*m(/)-%«)' s= 1, 2,/и.
Тогда для любого Л > 0 можно указать 九(4) и 卩。=卩。(4) такие, что решение %(/), начавшееся в области ||х0|| < ^> удовлетворяет оценке || х (/)|| < А при всех t^JT 〃卩 < Ho-
Доказательство теоремы 22.2 основано на оценке (14.15) из леммы 14.1 для вспомогательной функции о(/, х) на решениях возмущенной системы.
Квазиустойчивость и устойчивость по Ляпунову систем с малым параметром
Понятие квазиустойчивости решений, введенное К. П. Персидским [88] (см. также [72—73]), естественным образом возникает при исследовании связанных систем. Это понятие оказывается также полезным при исследовании устойчивости по части переменных [73] и исследовании сложных систем с запаздываниями в функциях связи подсистем [69]. В этом параграфе получены условия устойчивости озаглавленных систем при различных предположениях о свойствах независимых подсистем.
Обозначения и определения. Пусть задана система связанных стандартных уравнений
警=^色招生优,居切)，(23.1)
黑=財(f, y,尸2侑%，亦、(23⑵
где х, Х^Ег и у, У ^Er. р — малый параметр, а правые части подсистем (23.1) и (23.2) определены в области
◎ (〃, т) = {(%, у,/): ||%|| < 从 ||川1<〃，^>т}, непрерывны по / и удовлетворяют условиям
IIX (Л х, Л) — X (/, х, 0)||《М В % — х|| + И Л 优,х, у)||,
(23.3)
II Г (Л //,尸 J 一 У 侑 У，0)||《乂 Цу -% "И F找,х, у)||・
(23.4)
Здесь X (/, х, 0)
и Y (Л у、0) — правые
части независимых
подсистем
寡=|лХ (/, %, 0),
(23.5)
鲁=m(方,7,0),
(23.6)
которые являются стандартными подсистемами с вырожденными функциями связей. Относительно функций связей 尸 1 и 尸％ будем предполагать, что они, вообще говоря, неизвестны, но известны их оценки в виде
II储侑爲//)11 < %⑴，J j (0出《中色一 ％), (23.7)
II尸2(厶居川I < %优)，f % О山《域也一 Q, (23.8)
где。工(/) и % (9 — некоторые интегрируемые функции на каждом конечном ингервале Ju%, а 研，og〉0—константы.
С системами (23.5) и (23.6) свяжем две совокупности вещественных функций:
V (/,7)=(力(f,方，...，%侑分)，Q3 9)
V (厶 g)=依仏 g),...,(/,勿，
определенных и непрерывных в области G (R, т) вместе со своими производными, взятыми в силу уравнений (23.1) и (23.2) соответственно. Будем предполагать, что vs (/, 0) = О и vs (/, 0)=0 и рассматривать функции С$(/, V,z) в области
11Vlic 自，||z||<〃，/》0,(23.10)
где
自〉々=sup (IIVII при (z, /) £ Q (〃, ", t)),
условившись, что Cs (/, 0, 0) = 0, s = 1, 2, . . . , /п + mf.
Пусть 刀(/) — непрерывная дифференцируемая ^-мерная вектор-функция. Рассмотрим подсистему (23.1), построенную с помощью этой вектор-функции:
^= MX(G,T](f)),(23.11)
и соответствующую ей вспомогательную систему уравнений
^ = ^С^ ^^(23.12)
где LGEw
Определим функцию 屮(4) по заданной определенно-положительной функции V (х) (V (0) == 0, IV (х)|《田 при ||х|| < // формулой
% ⑷=inf (V (%) при 4《|| % II《〃)
или q)2 (Л) = sup (V (%) при II х II С 4)•
В соответствии с определениями в [88, 73] введем следующие определения.
Определение 23.1. Нулевое решение 4 = 0 называется квазиустойчивым в силу системы (23.12) относительно 装,… • • • , G (2 W 恤)при функции ф (Л), если для любых положительных чисел А < 7/ и /0 найдутся такие положительные числа а (Л, /0) (а < ф (Л)) и 卩。(Л, /0), чю для любой непрерывно дифференцируемой при / > /0 функции п (£) такой, что ||п(£)||<а, любое решение ^ (/) системы (23.12) с начальными условиями || С (/0)||《а определено и удовлетворяет неравенству
& 优)| + …+ I 备(91 < 9 ⑷ при /а/0,卩<阿，и И n (加С4
Определение 23.2. Нулевое решение 4 = 0 (/ > 0) называется квазиустойчивым равномерно по /0, если в определении 23.1 можно выбрать числа а и р°, не зависящие от /0
Определение 23.3. Нулевое решение g = 0 (/ > 0) называется асимптотически квазиустойчивым в силу системы (23.12) относительно ^,...,装(/《加0 при функции ф (Д), если оно квазиустойчиво и для любых положительных чисел Д, /0, В (В < Л < //, В < ф (4)) найдутся такие положительные числа а (4/о) (а < Л, а < ф (Л)) и значение 卩°(4%), что для любой * непрерывно дифференцируемой функции п(/)， удовлетворяющей условиям ||т] (/0)|| W а,佃(加 < % при />/0, и любого решения 白伍)системы (23.12) с начальными данными IIС (4)|| < а найдется положительное число Т такое, что С (0 определено при / £ 庆，оо) и р < |л° и выполняются неравенства
g⑼+・・・+1好⑼<屮⑷при />/0?
心(f)1+・・・+丨电(削<3 при t>t0+T.
Определение 234 Нулевое решение 4 = 0 (/ > 0) называется асимптотически квазиустойчивым в силу системы (23.12) относительно 0 ・• •，^ (/《加)при функции 屮(Л) равномерно по *, %,小 если оно квазиустойчиво равномерно по % и для любых положительных чисел 4, 5 (3 < 4 < ", В<(р (Л)) найдутся положительные числа а (4), Г (Л, В), (а < Л, < ф (Л)) и значение 卩°(4) такие, что для любого /0 > 0 и любой непрерывно дифференцируемой функции Н(/), удовлетворяющей условию
IIП 佐)11《％ II п (/)|| < Л при / > }
любое решение ^ (/) системы (23.12) с начальными данными IIС (^о)Ц《а определено при 卩 < 卩° н удовлетворяет неравенствам
Ki (01 + • • • + IК ⑼ < 屮(％) при /》/0,偽(削+・・・ + |&(/)|<5 при f >办+ 丁・
Далее будем рассматривать системы (23.11), (23.12), принимая во внимание, что все изложенное можно построить и для систем, соответствующих (23.2).
Теперь потребуется следующий результат К. П. Персидского [88].
Если положения равновесия подсистем (23.1), (23.2) квазиустойчивы, то общее положение равновесия х = у =0 в пространстве Ех х Еу устойчиво по Ляпунову.
На основе этой теоремы исследование устойчивости связанной системы сводится к исследованию квазиустойчивости нулевого решения индивидуальных подсистем.
Теорема об устойчивости связанных стандартных систем. Сформулируем теперь несколько предложений об устойчивости системы (23.1), (23.2).
Теорема 23.1. Пусть выполняются следдющие условия.
1°. Для систем (23.5), (23.6) существуют вектор-функ- ции
V (/, х) = (% (/, х), • . . , х)т, (/, х)),
V (Л у) = (% (/, y)t %” (Л у))
таковы, что
% 优,К + % (力分 + • • • + %, (Л х) >V (х),
% (厶7) + % (厶7) +…+ %，，(力力》V (办， где V (%) 〃 V (у)——определенно-положительные функции.
2°. Полные производные компонент функций V (/, %) и V (/, у) в силу подсистем (23.1), (23.2) приводятся ^ виду
帚 & Ks (力 V (/, х), Л (/, х, у)),(23.13)
du.
帚《jiC； (/, V (厶 у), & (九 ％，//))•(23.14)
3°. Функции Cs и Cj (1 М s《/и', 1 < / < nf) неубывающие по внедиагональным элементам V (/, х) “ V (/, у).
4°. Решения С = 0 и 査=0 систем сравнения
А = ис(Л С，п(О)，(23.15)
= "С (厶 J % (0)(23.16)
квазиустойчивы (соответственно асимптотически квази- устойчивы) относительно &, •…工卅,g；，・・・黑"拉р〃 функциях__
屮](Л) = inf [V 0 при A < ||x|| 4 "],
% (4) = inf [V (7) при 4《I历 II《"]•
Тогда положение равновесия % = у = 0 системы (23.1), (23.2) устойчиво (соотве/пственно асимптотически устой- чиво). — —
Если при этом функции V (/, х) и V (/, у) не зависят от выбора вектор-функций т)(0 и % (/), допускают бесконечно малый высший предел и квазиустойчивость систем сравнения (24.15), (24.16), указанная в 4° теоремы равномерна по /0 (соответственно асимптотическая квазиустойчивость равномерна по 1, С；, /0, т), г]), то устойчивость точки % = у = О будет равномерной по /0 (соответственно асимптотическая устойчивость будет равномерной по (%, %, %))・
Доказательство. Будем рассматривать подсистему (23.1). Пусть выполняются условия 1°"—4° теоремы и задано произвольное положительное число Л < //. В силу условий 1°, 4° имеем
О < % (Л) = inf (V (%) при 4《|| х ||《/У) < й и, следовательно,
||х|| < Л при Р&) <(р1 (Л).
По заданным числам 4 н% можно указать число а(Д, /0) и значение |л° (Л, %) такие, что при любой непрерывно дифференцируемой функции Т)(/) в неравенстве || Fx (/, %, »|| < < П (/) при / > /0, (х, у) £ Q (", "), такой, что || т)偽)[| & а любое решение ^ (/, /0, Со) системы сравнения (23.15) с начальными данными II 第 II « a (Ci > 0, . . . , *‘》0) определено и удовлетворяет неравенству | 马(厶 0 匕J| +... • • • + 丨鶴侑 ％，务)1 <Ф0) в любом отрезке 外产],в котором IIТ)(/)|| < Л и |л <(1°.
Покажем, что не существует 疝广(|| х* ||《自广〉％) та・ ких, что \\x(t\tQix^\\ = At \\x(t,tQix^<A при /£%,门 и卩e卩。(4 4).
Предположим обратное. В силу условия 3° теоремы из неравенств (23.13), (23.14) и уравнений (23.15) и (23.16) находим * (f, х (f, J,、％?)《Cs (Л С；, %) при / £ 庆,Г + М) и 卩 < Н°，哥s = % (%，％；) (А/ — достаточно малое).
Но тогда
/n， 加，
“(％ (厶％ %))《£ %侑％，吟《£ I応优，％，qi<恥И) s=l S=1
при / £ [%,门 и 卩 < “°. Отсюда получаем || х (/, % х*)|| < Л при / € [/0, /*] и “< 卢 н, в частности, || х (/*, /0, х*)|| < Л, что противоречит сделанному предположению. Полученное противоречие доказывает устойчивость первой подсистемы. Аналогично устанавливается устойчивость второй подсистемы.
Асимптотическая устойчивость связанной системы легко устанавливается с помощью функции V (厶招力=V (/, х)十 + V (厶办
Замечание 23./. На основе результатов § 19 могут быть установлены условия неустойчивости взаимодействующей подсистемы путем рассмотрения сильной квазинеустойчивости систем сравнения. Останавливаться подробно на этом не будем.
Отметим некоторые случаи, возникающие при исследовании систем вида (23.1), (23.2). Для определенности будем рассматривать систему
Пусть система
dx
М =卩X (/, х, 0) такова, что
才 +Х(/, X, 0)《一论*l《s《加'，(23.17)
или
卩饗厶售)《°，1《s《W,(23.18)
гдеf0(l)=M{X (/,0)}
и %0—s-я компонента вектор-функции усредненной подсистемы
不=% (E)・
В случае неравенства (23.17) вопрос об ограничениях на функции связи 尸 1 (Л х, у), при которых имеет место квазиустойчивость решения системы (23.1), решается на основе обобщения теоремы И. Г. Малкина [51] (рассматривается векторная функция Ляпунова) об устойчивости при постоянно действующих возмущениях. При наличии неравенства (23.18) следует воспользоваться теоремой 22.1 при исследовании квазиустойчивости подсистем.
Пример 23.1. Исследуем устойчивость следующей связанной системы регулирования:
dx
Z м (f, х) + & (f, х, у) f (о),(23.19)
do
= (4，%) — %f (о),
穿=рУ (f, у) + 尸2 (厶爲 У) 〃Р)，
7f = (/2, У) — cj (p)・7f = (/2, У) — cj (p)・(23.20)(23.20)
7f = (/2, У) — cj (p)・
7f = (/2, У) — cj (p)・
(23.20)
(23.20)
В подсистеме (23.19) & (/, %, у) — непрерывная ограниченная вектор- функция, осуществляющая связь подсистем;乙——постоянный ^-мерный вектор; о, р и &,出 ——скаляры; f (п) — непрерывная функция, обладающая свойством
±8
(/ (о) d(r = +00.
Аналогичное содержание имеют 戶2 (厶 尤，У) и ^i-мерный постоянный вектор /2.
Рассмотрим подсистему (23.19) и предположим, что для усредненной системы
*^" = %)(Е)(23.21)
существует такая постоянная определенно-положительная матрица В, что в области 己 £ Q (Н)
ФоВ + В% = — g + G2),(23.22)
где
1
ф0=，票侬)de, o<0<i,6
и Gi и G2 — произвольные определенно-положительные матрицы.
Для этой подсистемы рассмотрим функцию
% (%, а) = (8%, х) + j f (о) do.(23.23)
о
Очевидно, функция и0 (х, а) -> оо при || х ||2 + а2 ->оо и является определен но -положительной. Для полной производной функции (23.23) в силу подсистемы (23.19) получим выражение
誉=n(x* [①弱 + 5Ф0] x + 28Ax (/, x)力-
一 G产(а) + 2f (о)卩与(f, %, g) + ；厶『％,(23.24)
где вектор-функция АХ (/, х) учитывает осциляционные члены.
15-4-761225
(23.25)(23.25)(23.26)(23.26)(23.27)(23.27)max х€йmax х€й|8АХ«,尤)炉 I|8АХ«,尤)炉 I(23.28)(23.28)Следовательно, полная производная, (23.25) будет отрицательной, если квадратичная формаСледовательно, полная производная, (23.25) будет отрицательной, если квадратичная формаопределенно-определенно-")+4■巾")+4■巾
(23.25)
(23.25)
(23.26)
(23.26)
(23.27)
(23.27)
max х€й
max х€й
|8АХ«,尤)炉 I
|8АХ«,尤)炉 I
(23.28)
(23.28)
Следовательно, полная производная, (23.25) будет отрицательной, если квадратичная форма
Следовательно, полная производная, (23.25) будет отрицательной, если квадратичная форма
определенно-
определенно-
")+4■巾
")+4■巾
Учитывая (23.22) и полагая 刀(f) = Ff (/, %, у), находим
万-=—(GiX, x) — (G/, x) + 2"8AX (2, x) x* —
一 q尸(o) + 2/(°)pn ⑴ + ± / j x.
Нетрудно проверить, что
凱
если ①;В + ВФ0 = — G] н
IR (01 <
2』x⑻ 卄
где 7?(/)—некоторая функция, оценивающая выражение
определен но-положительная относительно %],... , %“，f(о)・ Это будет иметь место, если
4 > max [砌⑴ + 4" / J Gf^n «)+ g 厶]• (23-29)
Таким образом, при выполнении условий (23.27) и (23.29) полная производная функция и。(х, о) в силу системы (23.19) определенноотрицательная. Это обеспечивает квазиустойчивость подсистемы (23.19). Аналогично устанавливается квазиустойчивость подсистемы (23.20) и на основе теоремы К. П. Персидского устойчивость связанной системы регулирования при любых с < д= min (% 饱)・
Устойчивость и периодические движениянелинейных систем со слабым взаимодействием
В этом параграфе исследуются слабосвязанные системы в предположении только устойчивости (неустойчивости) подсистем с вырожденными функциями связей.
Построение векторной функции Ляпунова. Часто встречаются системы, которые в первом приближении ока-
зываются независимыми [59]. Предположим, что система
= fs (/, xs) + 卩尸§ (厶 X],・・•，х/, s = 1, 2,(24」)
где вектор xs £ £rs, устойчива при 卩=0. Следовательно, существуют определенно-положительные, допускающие бесконечно малые высшие пределы функции Ляпунова % (厶 х§) такие, что
Предположим, что правые части системы (24.1) полиномиальные относительно проекций вектора % =(打，,…xm). Будем искать переменные vs (/, %) в виде разложений
q (% %) = %о С’ х§) + 卩41 (%, %) + 卩2内2 (厶 ％) + • • • , (24.2) удовлетворяющих системе дифференциальных уравнений
穿=叫I (V) + 了吗? (V) + n3g3 (V) + ... (24.3)
Для отыскания функций v8j (/, x) получим систему линейных дифференциальных уравнений с частными производными
挈 + 工竺f'〃(/，х) = %(V) +gsj仏 X). (24.4) r=l r
Здесь gs,优,％) — известные функции. Если за счет выбора ограниченных при / > 0 функций w8j (V) можно обеспечить существование ограниченного решения vsj (/, %) уравнений (24.4), то осуществимо построение разложений (24.2), (24.3). В частности, всегда можно подобрать функции % (V), обеспечивающие существование ограниченных при / > 0 решений уравнений (24.4), если любой алгебраический относительно х интеграл системы (24.1) при р = 0 полиномиально выражается через интегралы
%()('，х§), s == 1, 2, ... , /П-.
Ограничиваясь конечным числом членов в разложении (24.2), придем к системе уравнений вида (24.3), исследование устойчивости которой можно осуществить с помощью построения одной векторной функции Ляпунова V (/, 〃 ％).
15*997
Нетривиальные примеры.
Пример 24.1. Для системы дифференциальных уравнений
dx,, £ ,
h =喙% +n&1 (刁，9亦 ,(24.5)
dyb,
山 =—%4 + 財h2("〃 力)(厶也=1,2, • • •, g), где все частоты % рационально независимы, возьмем векторную функцию Ляпунова с компонентами
%о =宕 + 够(А; = 1, 2, ..., ^).(24.6)
Уравнение (24.4) примет простой вид
Zj- -^ \为 j =、/ (V) + g^ (瑞0(24.7)
Здесь переменные 勺,％ объединены в векторы х, у. Легко доказывается, что любой полиномиальный, не зависящий от / интеграл системы (24.5) при р, = 0 является полиномом от функций (24.6). Поэтому уравнение (24.7) всегда имеет полиномиальное решение при соответствующем выборе функций 5hj(V). Следовательно, для переменных
% = W + 瑰 + 叫 1 "，У) + М%2 3 9)+ …
можно за счет выбора функций vk. (х, у) построить систему дифференциальных уравнений
黑=n%")+炉% (V)+...
Этот вывод совпадает с результатом Г. В. Каменкова [36]. Аналогичный результат получится, если в правые части системы
證=3孤 + н/hl & xf 少，
dy,.
= — ^hXk + 財A2 (厶 %" У j)(也，j = 12 . •・，q)，
входят тригонометрические многочлены от / с частотами % рационально несоизмеримыми с частотами coft.
Пример 24. 2. Рассмотрим систему уравнений
В = ^Г 才=—з产]+ 卩o)Fj2y2 cos 加，
(24.8)
才 =0V2' 号 =「①2马+卩0V也产2 81П Vt-
Для преобразования системы удобнее перейти к переменным
Z］ = q + %, а?；%-%, z3 = х2 + iy2. Z4 = q — %・
Отыскивая компоненты функции Ляпунова в виде
% =平2 + 卩屮 1 & гг г2, %, г4) + 卩2%(/, zr %, г3, %) + ・..，
% = Z3Z4 + n% & 4, 2寸 2寸 z3 + 卩2% (厶厶,z* %,•
придем к системе дифференциальных уравнений
半=1am+ 0 (卩3), * =卩2叫w+ 0(n3),
где
a I!++
32 ［夕 + 2й)1 + 2й)2 V — 2й)1 —*• 2о)2
11
+ v + 2а)! — 2о2 + V — 2о)1 + 2耽 '
Следовательно, при достаточно малых значениях 卩〉0 нулевое решение системы (24.8) устойчиво при a < 0 и неустойчиво при a〉О, Замечание 24.1. В наиболее интересном и еще мало изученном случае, когда частоты ①在 в системе (24.5) рационально зависимы, вместо системы (24.3) придем к более сложной системе
N
替=工 М ［吗/ (V) + hki (/, x)L(24.9)
/=1
где функции hki & х) являются интегралами системы (24.1) при 卩=0. Один из возможных способов преодоления затруднений сосюит во введении новых полиномиальных интегралов vM (/, х), k = q + \/,
таких, что любой полиномиальный интеграл системы
-J = & (厶 x；j)» 论 R L 2,..・，m,(24.10)
может быть выражен полиномиально через интегралы % (/, х). Но при этом интегралы у&0(/, %) могут оказаться зависимыми, и дополненную новыми дифференциальными уравнениями систему (24.9) следует рассматривать на некотором интегральном многообразии измерения меньше /. Другой путь состоит в оценке членов 力^(力 х), выраженных через функции от V.
Пример 24.3. Исследуем устойчивость нулевого решения системы уравнений второго порядка:
誉"+ 8吗鲁+ / = 0,崇-+ 8Ь片等■ + / = 0■(24.11)
Перейдем к новым переменным
Zi = / +，夕1 , г2 = Xi — i _L ,方=% + I f^， 内atat
Введем вспомогательные функции
% = 2*2 + 吗（Z） + …，％ = 2324 + 吗（Z） + • • •,
для которых с помощью выбора функций q）j （Z） получим систему дифференциальных уравнений
* = “ [一 4%% + R, zj + （z2z3）2] + О 储），
（24.12）
~ =nьI- 4、% +（2也尸+ （中3沟+。（卩2）。
Так как имеет место неравенство
-2%%《（z*4）2 +（Уз）2 & 2%%,
го систему уравнений （24.12） можно записать в виде
等=—4吗％ [1 + В +。（卩2）, 1 П I《05
寸=一4加i% [ 1 + 电 +。（"2）, at
из которого вытекает устойчивость нулевого решения системы （24.11） при а〉0, b〉0 н достаточно малом значении 卩〉0. В общем случае введем новые переменные
% =部4赤呻з （Z）十…，％ = z?% +卩也（Z） + •・•，
которые будем называть переменными связи между различными формами колебаний. Расширенная система （24.12） примет вид
粤=na（一4県2 +病+壮）+0（必），
•^ =卩b f- 4%% +硯十就）+ G （的；
du
才=n（吗+加1） （% - 2内）+0（卩2）,
e = !! （加2 + 加 1）（雰-2"4） + О （卩2）. 04
Устойчивость нулевого решения этой системы надо рассматривать на интегральном многообразии с уравнением [14]
ид -и3u4 = 0.
Используя это уравнение для понижения порядка, придем к системе третьего порядка с медленно изменяющимися переменными
食=М 鳍2 — би止2)+ О (Н),学=© (41 - 6呼2)+。(*)， dtdt
令=-n(加2 +切1) E +0也2),Ё=^(S +。4)■
Пусть a〉b, b < 0. Замена переменных
q = a〃i，w =—加2， E = J/ — -—2~ П，— ^ab^t = т
приводит эту систему к более простому виду
塩=[哦一+ 0(卩)，塩 =["№ - 們 +0(卩)， 或ат
dr] 1
石=石["1- "2]П + 0(0； wio>0» %。>"%》°，
Из рассмотрения интегральных кривых уравнений первого приближения следует устойчивость нулевого решения системы в октанте 〃i > 0, 〃2 > °，П > °・ Следовательно, нулевое решение системы (24.11) устойчиво в первом приближении при ab <； 0.
О применении средних вдоль решений порождающей системы. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
警=m力%) + 鹏(f,%),(24.13)
где x^Q(H)t /(/,%) удовлетворяет условию Липшица по х^Й (Я) и непрерывно по / на любом конечном интервале J, X (f, %) — известные функции (力 %) и обращающиеся в нуль при % = 0. Так что система (24.13) имеет положение равновесия % = 0.
Предположим, что для порождающей системы, соответствующей (24.13), известна определенно-положительная, допускающая бесконечно малый высший предел, функция V (力 х) и ее решение
%(/) = &(/, т,х(т))・(24.14)
Укажем некоторые условия, при которых средние [17, 105]
屮о(%，％)= ^「1 f 嗚丛 X (/, & (/, t, % (т))) dt (24.15) to
не будут зна коопределенными функциями относительно
Теорема 24.1. Пусть
для порождающей системы
существует определенно-положительная допускающая бесконечно малый высший предел функция и (/, %);
2)亲 + 雙需* f 储 %)《° 6 области Q (H, т);
порождающая система имеет интегральное многообразие решений, экспоненциально стремящихся & нулю.
Тогда среднее (24.15) не будет знакоопределенной функцией относительно тех значений (斗,...,x^t й < п, которые порождают интегральное многообразие решений, экспоненциально стремящихся к нулю.
В связи с этим рассмотрим некоторые примеры.
Пример 24.4. Исследуем устойчивость нулевого решения системы
_^!^1=卩%2 + 卩%%；,^1 = _ «T2_卩嬪.(24.16)
dtdt
При 卩=0 получим линейную систему
"зт 二 Ах, А =(
которая имеет функцию Ляпунова и。(％) = %； + %；.
Методом, развитым в § 16, построим функцию Ляпунова в виде разложения
и (х) = х J + х| + 叫(х) + 炉旳(%)十…
Дифференцируя ее по ^ в силу системы (24.16) и полагая
不 =е 叫(%)=-卩叫(х)—卩2畋(х)十・・・,
придем к системе уравнений
2%2 ^ ®0 ,
-^1 %2 + 2b%打2 - 2%i%2 =吗，
Введем проекторы матрицы А, соответствующие 入^ = 0,入？ = — 1:
/1 0\ с /0р1=(о о)，2 = (о J・
Дифференциальное уравнение с частными производными
имеет частное ограниченное решение, если взять w(x)=屮仍产)，
т. е. положить %? =0・ Используя это, найдем
侬 1 (х) = 0, vl (х) = 2%i*2 — 2"：%2，
电(%) = 2 (ь一a) %： 一 2庐%，，内=君一3Ь%開.
Полагая ^ = 3, получим функцию Ляпунова
и (%) = %； + %々 + 卩(2x^2 — 2bx%) + 卩2 (x| — 3凋磅.
Дифференцируя эту функцию в силу уравнений (24.16), найдем
-号 > 卷[2 + 2N2 (b - a) Xj + 6卩3ь%/2 + 6内而%:] +
+ 隐4 [2 (a — b) (1 —卩)+ 2戍* + 6卩匕(a — b) %&】•
Из этого выражения видно, что нулевое решение системы (24.16) асимптотически устойчиво при | 卩J< L если а〉Ь.
Система (24.16) при 卩=0 имеет интегральное многообразие решений, экспоненциально стремящихся к нулю. Следовательно, средние “А(''%)'也=L 2 могутоказаться незнакоопределенными функ
циями.
При исследовании устойчивости стандартных систем [84] неравенство в условии 2) теоремы 24.1 обращается в тождество. Покажем, что и в этом случае среднее (24.15) может оказаться функцией незнакоопределенной.
Пример 24.5. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
= ji (%j sin / + xf cos /), -^1 = —卩*2，卩〉°・(24.17)
При 卩=0 система имеет функцию Ляпунова % (х) = %； + л^ Вычисляя среднее 屮° согласно (24 15), находим
% (%, %[, %?) ^ Иш L〔 f (2*[ sin / + 2%； cos / — 2君)成=—2%：. Т->8 у
Полученное среднее значение <р0 не является знакоопределенной функцией.
Указанным в § 16 способом находим функцию Ляпунова
о (/, %) = х| + 岩 + 卩(2岩 cos / — 2*： sin /) +
+ № 储 cos 2f — 3斗 sin 2f — 2君 cos 2f),(24.18)
производная которой в силу (24.17) имеет вид
备=-2卩名-2得:+0(*)
Следовательно, нулевое решение системы (24.17) устойчиво во втором приближении. Естественно, что для v (f, х) можно найти и следующие приближения.
Расчет периодических решений. Изложим идею построения периодических решений на основе метода Г, В. Каменкова [36] и идей работы [104].
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида
併=—М + NX】 (%, у) + lx? (%, у) + ・・・，
(24.19)
黑=旣+ 陷(X, у) + 附2 (居у) +・・・，
где р, > 0 — малый параметр; Хо 匕—однородные полиномы относительно переменных хи у. Пусть 无=у = 0— единственная особая точка системы (24.19).
Рассмотрим функцию
и (%, у) = % + 叫(%, у)十世乜(%,外 + ・・・，(24,20)
где % = %2 + у2 и последующие приближения vk (х, у) определяются из системы уравнений (24.4), так как
^^〃z)wO, "z)=( ^^^〃z)wO, "z)=( ^(24.21)(24.21)
^^〃z)wO, "z)=( ^
^^〃z)wO, "z)=( ^
(24.21)
(24.21)
Известно, что каждому постоянному значению величины и в фазовой плоскости отвечает замкнутая кривая (рис. ^) Пусть мы имеем две кривые, отвечающие с】и с2 <с「Пред
положим, что вычислением надлежащего значения vh(xt у) мы добились того, что производные функции и(х, у), вычисленные при о = q и V = =q, в силу уравнений (24.19) имеют разные знаки. Это означает, что решение системы (24.19) пересекают внешний контур снаружи внутрь и внутренний изнутри наружу (см. рис. 2). Тогда по теореме Бендиксона между этими контурами лежит по крайней
мере один такой замкнутый контур с= с*, который является предельным циклом системы уравнений (24.19).
При выполнении условия (24.21) при нахождении предельного цикла можно воспользоваться средними (24.15), если последние окажутся знакоопределенными функциями относительно %；,用.Действительно, пусть в системе
члены при 卩2 и выше равны нулю. Тогда
dvn 「DvDv
WF =卩[万2X1 (%, У)+ ^ У1 a，y)
н, следовательно,
% (% (О» У (0) = % % Уо)+ »J (工^ X] + -g~ У1) d/.
Если среднее
屮о (/，如)=г吧 L j (MX + 鲁 Гь dt0/
определенно-положительное относительно хоуо, то при 卩 < < |i° может оказаться, что
电)(％，％) >巾〉0(24.22)
при (х^у^Ме где М& — множество всех точек пространства, расстояние от каждой из которых до начала координат строго меньше 8 и
屮о(%，%)<-&< 0 (24.23)
всюду на дополнении множества М& до всего £2- При этом в слой толщиной 2 8 будет происходить «выброс» траекторий системы (24.19) изнутри области и 《% — 8 и из вне области и > v0 + е. Тогда, как указывалось выше, по теореме Бендиксона между этими контурами имеется по крайней мере один предельный цикл. В некоторых случаях такой цикл может быть обнаружен на основе решения уравнения
屮о (%，九)=0・ (24.24)
Приведем простой пример, иллюстрирующий сказан ное.
Нелинейное уравнение Ре лея. В связи с аккустичными явлениями и установившимися колебаниями представляет интерес уравнение Релея
学+/一警十4■朗］+*=0，"。■学+/一警十4■朗］+*=0，"。■(24.25)(24.25)
学+/一警十4■朗］+*=0，"。■
学+/一警十4■朗］+*=0，"。■
(24.25)
(24.25)
Рассмотрим вместо уравнения (24.25) систему
管=协 黑=-% 一"（1 + 4"外），（24，26）
Линейное приближение
dx万=孙dx万=孙=—* + 財=—* + 財
dx
万=孙
dx
万=孙
=—* + 財
=—* + 財
этой системы имеет единственную критическую точку х= у= 0, начало координат которой всегда неустойчиво и представляет собой при 卩> 2 узел и фокус при 卩々 2.
Положим теперь в системе (24.26)卩=0 н рассмотрим функцию Ц)(居 У)= %’ + 沙習・ Полная производная этой функции в силу порождающей системы, соответствующей (24.26), тождественно равна нулю. Учитывая, что решение этой порождающей системы имеет вид
x (0 = % cos / + y° sin f,
9 (/) = — % sin / + yQ cos f, %, % 卡 0, среднее 屮° (%，％)，вычисленное по формуле (24.15), запишется так:
屮о (先,9о)= 22 — (* + *)2 •(24.27)
Согласно (24.24) из выражения (24.27) получаем известный результат для уравнения Релея — уравнение предельного цикла:
"^十足=2，
Качественное исследование поведениясистем слабосвязанных осцилляторов
В этом параграфе исследуется поведение решений озаглавленных систем в окрестности положения равновесия в зависимости от знака произведения ненулевых начальных условий. Результаты настоящего параграфа изложены в работах [20, 58].
Две общие теоремы о системах (24.13).
Теорема 25.1. Пусть справедливы следующие условия.
Р. Существуют знакопостоянные функции 力(f, %) А т
> 0, . . . , 0m (/，％) > ° 辽 функция V (力 ％)=工 ％ (/, X), О%・ ределенно-положительная и допускающая бесконечно малый высший предел.
2°. Условие
выполняется 6 области Q (", т), содержащей точку х = 0.
3°. Сумма частных производных >^ непрерывна по % 6 области С (") равномерно по 0 ^ / < оо.
4°. Функции X(/, %) непрерывны по х£С(") равномерно относительно / 6 промежутке 0《f < 8 и ограничены константой М.
5®. Равномерно относительно (/0, х0) ^Й (//, т) существует среднее
中二Dv
屮("，x0)= J犯TJ，涼Х(/,Е(/"о, %)) dt,
знакоопределе иное относительно х^ ,х^.
6°. Вне сколь угодно малой окрестности точки % = 0 выполняется строгое неравенство
屮(А)，/) < — 3? < О.
При выполнении перечисленных условий нулевое решение системы (24.13) ^-устойчиво.
В качестве функций s и % в примерах 24.4 и 24.5 могут быть выбраны функции
=4(%+%)2， ^=4 (巧-%)2，
которые удовлетворяют условию и】> 0, v2 > 0. Функция и = t^i + и2 = х] + Х1 определенно-положительная. Тем самым условие 1° теоремы 25 позволяет привлечь более широкий класс вспомогательных функций, пригодных для исследования систем (24.13), а условие 5° исключает те системы, для которых вопрос о 卩-устойчивости при выполнении условий теоремы 25.1 оставался бы открытым.
Аналогично может быть сформулирована теорема о ц-устойчивости системы (24.13) при использовании функции V (力 ％) в виде
и (/, %) = и° Q, %) + 叫(Л х) + Н2^2 (^, ^) + • • •
Замечание 25.1. Условие 5° теоремы нельзя ослабить до требования лишь существования среднего (ро(хо) с /и-знакопостоянными функциями, указанными в условии Г, или с одной функцией 。(勿 х), определенно-положительной и допускающей бесконечно малый высший предел. В частности, в этом убеждает пример 24.5.
Теорема 25.2. Пусть
выполняется условие 1° теоремы 25.1;
6 области Q(Н, т) имеется подобласть, 6 которой
f (Л X)= ^VS (/, х) > 0;
5=1
условие
£[g + Sfd ')А。
S=1
выполняется в сколь угодно малой окрестности точки х = О,
выполняются условия 3° —5° теоремы 25.1;
в области значений (/0, х0), для которых и (/0, х0) > > а2, среднее 屮° 佐,％) > 62, 8 = const > 0.
При выполнении перечисленных условий точка % = 0 системы (24.13) ^-неустойчива.
Замечание 25.2. При исследовании слабосвязанных систем в качестве функций s(f, х), ..., Vm(tf х) могут быть выбраны знакопостоянные функции s(f, %i), ..., Um(f, %m), где 九 $£上飞，зависящие от меньшего числа переменных таких, что лишь функция v(i, х)= т
= Е"& *" определенно-положительная, допускающая бесконечно S=1
малый высший предел.
Основоположными для теоремы 25.1 и 25.2 являются некоторые обобщающие результаты работ [104—106]. Настоящие формулировки ослабляют некоторые условия теорем о системах (24.13) из работ [105, 106].
Слабосвязанные системы второго порядка. Рассмотрим динамическую систему с функцией Гамильтона:
N
"=4工｛(才)+唠照一阙(%» • • • , %n，%i，• • • , %Л/)・ 左=1
Система дифференциальных уравнений, соответствующая этому гамильтониану, имеет вид
о・・
号（看》.号（看》.■J^ F %4 = н/ (xi»• • •,尤м %],...,无)，(25.1)
号（看》.
号（看》.
где |л〉0—малый параметр и f (х, %)= Предположим, что
/(%)= % /(%) =绰(25 ⑵
и в области Q (Н, т) решение /(f) системы (25.1) существует и единственно при / £ 厶•
При 卩=0 система (25.1) распадается на N независимых подсистем второго порядка
(25.3)(25.3)поряд-поряд-方^ +①阻=0,左=1,2, ・・.,М
(25.3)
(25.3)
поряд-
поряд-
которая эквивалентна системе 2^ уравнений первого ка
(25.4)
近2N-1虑2n2
Рассматривая определенно-положительную функцию
% =e(①総I +脸), 左=1% =e(①総I +脸), 左=1(25.5)(25.5)
% =e(①総I +脸), 左=1
% =e(①総I +脸), 左=1
(25.5)
(25.5)
находим
-s符
饗 f⑵ WO, f(Z)=饗 f⑵ WO, f(Z)=(25.6)(25.6)
饗 f⑵ WO, f(Z)=
饗 f⑵ WO, f(Z)=
(25.6)
(25.6)
Z2N一* 2n—]
Система (25.4) имеет решение
(25.7)(25.7)Z21 =卷I cos %f + / sin %f, ^ = 一 z?i% sin %f + Z^ cos %f, %2-l (%)= Z?I，z涂施)=z^ .
(25.7)
(25.7)
Положив 爆(招 *) = ^Х{.. .x^j ^+1 ... XN cos vmZ,
(25.8)(25.8)рассмотрим систему дифференциальных уравнений d%2m—1
(25.8)
(25.8)
才 =/得П7 +"嗯%%2加-】马计1 • • •乐COS Vintt
/и —• 1 * 2, •. •, N.
Здесь 味 ％, m = 1,2,..., W, — постоянные параметры.
Средние 崎)(％,%), определяемые формулой (24.15), имеют вид
2磽中
屮俨(％，％)= 1加\ (p (%, %/) cos 3力，(25.9)
где
Ф &, % /) = 口 М$ + М sin (2(о/ + %);左=i
a,b.
В силу того что вдоль решений системы (25.8)
t
% 伪(0) = % (%) + 卩 j 袈 f (/, x, %) df,
тогда, если
N
фо (%，%)= 2 蝴(6 %)< — & < о, (25.10) s==[
при 卩 < % интеграл в правой част убывает, начиная с некоторого значения / ^ [/0, /0 4- 2L] и, следовательно, %(%(/)), убывая, стягивает соответствующие решения в окрестность точки % = 0 при всех / > 晶
Если же при некотором а > 0 в области
* = {%:% (х) > а}
сумма средних Фо (/0,修)удовлетворяет неравенству
Фо(^хо)>6(а)>О,(25 И)
то vQ (х (/)) возрастает, увлекая и решение %(/) системы
Система двух связанных осцилляторов. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений двух слабосвязанных осцилляторов:
-^ = — 0)咨| + ^^х^^ cos V/,
(25.12) dx
dx
= - (0新3 +卩嗚% 也"3 COS v2/.
Среднее 屮$)(/0, %) для первой подсистемы имеет вид
叫)(%,/) == lim 7一 I ф (а, 6, с, d, /) cos v/Л, (25.13) ООЛ
to где
Ф (а,瓦 с, d, ^) = — [(ас + М) cos 2 (铀一则)'+
+ (― ас + bd) cos 2 (叫 +(o2) + (ad — be) sin 2 (叫一甸 < +
+ (ad + be) sin 2((o1 + 吗)力，
忆吋，小烟，，П生豊，d =眼叫.
Возможными ситуациями, при которых 屮俨(片,巧)* О, будут следующие.
При » = 2|(0] — %| могут представиться два случая:
а) если(о, =/=со2=й=О, тогда
屮俨(％ /)=等依 + 匕d);(25.14)
б) если(0] = % =И= 0, тогда
曲D (% %)=哨 Qc + 川).
(25.15)
II. При % = 2((0] +%)нмеем
峭)(% %)=导(一网+ь办
(25.16)
Для второй подсистемы среднее 屮伊(%, %) имеет вид
崂)优о, %) н Jim -^- , ＜р (а,伉 c,d, f) cos "必・(25.17)
Среднее (24.20) будет отлично от нуля в следующих ситуациях.
)・ При % = 2|(0| —(о21，как и выше, имеем два случая:
если со廿 со?卢 °，тогда
峭)鱼，％)=学依+*);(25.18)
если о)】=吗：/： 0, тогда 峭)(％,%)= ^(ас + bd)• (25.19)
При v2 = 2 ((0[ + со?) и ①[=% 力 ° имеем
喏)(％ %)= f~ (一 ас + 川)・(25.20)
Средние (25.14), (25.15) и (25 18), (25.19) будут определенно-положительными, если
8^^ [(喈—斗2*)(増一噌啕+4cog烟%岡＞0-
Или, окончательно,
(増—坤2叫)(用2 -喈啕 + /ко]%%""*： ＞。・(25.21)
С целью сокращения записи введем обозначения Р =等
%з
н а =彳
Предположим, что начальные значения %?, 1《s《4, не нулевые. Получим условия определенной положительности 屮俨 и 屮*)в следующих трех случаях.
%==% = 21叫一%1，
» = % = 2 (со】+ 电)・
HL » +、》» = 2丨吗一o)2|, v2 = 2(со】+ %)
либо наоборот.
Случай I. Анализируя выражение (25.21)
一珞2(%02 -繆碱3 +亿色斗力歌脚+
+噂储-喈碱〉о,(25.22)
относительно з】нетрудно установить следующее.
Пусть 叶 и 灣 имеют один и тот же знак (т. е. а > 0), тогда (25.22) будет выполняться, если
при 0 <(о2 < I р I значение(0j удовлетворяет условиям
(25.23)(25.23)成一啾>2 / / W +做.x4 + ^3®2 铀 a %?+х無2 '
(25.23)
(25.23)
при (о2 = I р I и 野；〉0 значение % положительно, при % = I р| и 刈用 < 0 значение 叫 отрицательно;
/ + %3(02SiVa%： —轟%/ + %3(02SiVa%： —轟%(25.24)(25.24)при (о2 > I р I значение ①]удовлетворяет одному из неравенств
/ + %3(02
SiVa%： —轟%
/ + %3(02
SiVa%： —轟%
(25.24)
(25.24)
или
则〉一则〉一存一%扣2 a岩+啕铀存一%扣2 a岩+啕铀(25.25)(25.25)
则〉一
则〉一
存一%扣2 a岩+啕铀
存一%扣2 a岩+啕铀
(25.25)
(25.25)
Если же х® и х° — величины противоположных знаков, (т. е. a < 0), то условия (25.23)——(25.25) положительности средних принимают такой вид:
а') при 0 < 0)! < I р I значение g должно удовлетворять условиям
(25.23х)(25.23х)君+君①2 //君一%扣2 .
(25.23х)
(25.23х)
a # -啾)2例a*+爲①2 ,
6‘)при о% = I § I и х^〉0 значение 叫 < 0, при о)2 =丨 Р 丨 и 尤瓢:< 0 значение со1 > 0;
в') при о)2 =丨 РI значение 耽 удовлетворяет одному из неравенств
01<^а4^ИЛИ01>а4+^. (25.24Э
%4 十 *3①2*4 ~* %3①2
Средние значения 啾】)и 必?)будут отрицательны, если знаки неравенств в (25.23), (25. 4) соответственно поменять на прогивоположные. На рис. 3, а, б представлены в координатах g и 恤 области положи!ельности и отрицательности средних “f)и 处2). Учитывая, что задача имеет физический смысл только при значениях coj > 0 и(о2 > 0, в первом
квадранте построены области значений параметров притяжения и отталкивания решений связанных осцилляторов (25.12). Если %；%弼用 > 0, то на рис. 3, а видно, что обласгь параметров отталкивания решений от положения равновесия представляет собой область, заключенную между двумя гиперболами, пересекающими оси координат。网 и О(о2 соответственно в точках (|а|, 0) и (0, | р|). Область притяжения — две области, расположенные в полуполосах: первая
вторая
侬2>|61, 0 <(*)!< — I a I pj-pp^ .
В случае, когда одно из начальных условий имеет знак, противоположный остальным, области параметров притяжения и отталкивания представлены на рис. 3, б.
Случай IL В этом случае знаки 屮俨 и 屮俨 совпадают со знаком выражения ——ас + bd н определенная положитель-
ность средних обеспечивается условием —ас + М > 0 или, учитывая обозначения a, ft, q d:
一(呼2 -若2岬)(%,2 -制2呜)+ 4(0曲24彩业: >。■(25.26)
Аналогично предыдущему находим, что если %? н 罔一 величины одного знака (т. е. а > 0), то (25.26) будет выполняться в трех случаях:
а) при 0 <(о2 < I р I значение ①工 удовлетворяет одному из неравенства) при 0 <(о2 < I р I значение ①工 удовлетворяет одному из неравенствилиили君+ %如2#一招吗耽Aa/%;君+ %如2#一招吗耽Aa/%;(25.27)(25.27)(25.28)(25.28)
а) при 0 <(о2 < I р I значение ①工 удовлетворяет одному из неравенств
а) при 0 <(о2 < I р I значение ①工 удовлетворяет одному из неравенств
или
или
君+ %如2
#一招吗耽Aa/%;
君+ %如2
#一招吗耽Aa/%;
(25.27)
(25.27)
(25.28)
(25.28)
при со?=丨 ВI и %歌;〉0 значение 叫 положительно, при со? = IВI и %泌 < 0 значение(о1 отрицательно;
при о)2〉丨 Р 丨 значение o)i удовлетворяет неравенствам
%? - %駆2 // 碎+百电%? - %駆2 // 碎+百电(25.29)(25.29)
%? - %駆2 // 碎+百电
%? - %駆2 // 碎+百电
(25.29)
(25.29)
Если же %； и %у имеют противоположные знаки (т. е. а < 0),
то условия положительности средних принимают вид:
а') при 0 <(о2 < I р I значение ^ должно удовлетворять
одному из неравенств
илиили89乔%89乔%(25.30)(25.30)* + 吻 2 他…班再；；* + 吻 2 他…班再；；(25.31)(25.31)
или
или
89乔%
89乔%
(25.30)
(25.30)
* + 吻 2 他…班再；；
* + 吻 2 他…班再；；
(25.31)
(25.31)
6‘)при 0严 |01 и 若%,>0 значение 4 должно быть отрицательным,
при(о2 = I р I и 期用 < 0 значение 吗 должно быть положительным;
в') при(о2 > I р I значение 耽 должно лежать в границах
5/=丽＜"a秆丽.
(25.29)
Чтобы получить условия отрицательности средних, достаточно в неравенствах (25.27) 一 (25.29) поменять знак неравенства на обратный. На рис. 4, а, б представлены соответствующие области параметров притяжения и отталкивания решений для случаев 困禺用％: >0 и 斗礎％；%：<
Рис. 4
Случай III (рис. 5, а). Область отталкивания решений полной системы при 斗礎盟用〉0 ограничена четырьмя гиперболами, характеризующими области отталкивания решений каждой из подсистем, и получается наложением областей рис. 3, а и 4, а. При этом не существует значений параметров системы, обеспечивающих одновременно отрицательность средних при ©j > 0 и о)2 > 0-
Область притяжения всей системы, когда одно из начальных значений имеет знак, противоположный остальным, получаем аналогично. Положим теперь Фо =咽)+咽*
Возможными ситуациями, при которых Фо 用 0, будут следующие:
1)峭色，%方0；
2)屮俨备,％*0；
3) wf)(%, %)抬 о Н 屮伊(％ х0)方 0 одновременно.
Исследование первых двух случаев не дает ничего нового по сравнению с рассмотренными ранее. Области значений параметров притяжения решений совпадают с построенными для % = 口 = 21 晒一о)2 丨 и » = % = 2 (со】+ со。и представлены на рис. 3, а, б и 4, а, 6.
Предположим теперь, что одновременно 屮旷)=/= 0 н 崂)卢0・ Тогда для v1 = v2 = 21 й)£ —(о21 области притяжения и отталкивания представлены на рис. 3, а, 6, а для v^ = v?= =2 ®i + со?) — на рис. 4, а, 6・
Рассмотрим под обнее случай % 耍匕.
Пусть % = 21 铀一(о21, v2 = 2(5 + о?)，0)! =/=(о2 =И= О-
Рис. 5
Тогда согласно (24.7) и (24.19)
①0 = ^ [(叫一碱ае + (叫+啕匕用，
откуда, учитывая обозначения а,仇 ％ d, получим условие положительности Фо
(со?—碱侬2 — 4储)(%Т —球硝+
+ 4坤粒b?(o& (哨 + 碱)> °-(25.32)
Пусть呼耍0, 1《s《4・
Тогда выражение (25.32) можно переписать в виде
(о)2 — а)2) (а2 —(ор (Р2 —(ор + 4офо)№2(叫 + 吗)〉。・(25.33)
Анализ выражения (25.33), проведенный на ЗВМ позволил получить кривые, представленные на рис. 5,а, 6・ При этом случаю 沖苏用刃 > 0 соответствует рис. 6,а, а случаю %；刈%；%； < 0—-рис. 5,6. Область параметров притяжения на рис. 5,а, отмеченная штриховкой с наклоном вправо, представляет собой объединение трех областей: области, примыкающей к оси 0(и2 на интервале (0, | Р|) и огра- 948
ниченной справа дугой кривой корней уравнения (25.33), области, примыкающей к оси 0 ©i при ①丄〉| а | и ограниченной сверху кривой корней уравнения (25.33), почти совпадающей с гиперболой
向同一 %
и области, лежащей выше кривой корней уравнения (25.33), имеющей две асимптоты.
На рис. 5, б область параметров притяжения представляет собой первый квадрант, за исключением областей, определяемых аналогично предыдущему с той лишь разницей, что ① 1 и ①2 меняются ролями.
Пусть теперь % = 2 (со】+ со2), v2 = 21 仰一铀 I，① 力 0)2 * 0.
Тогда
①о = q [(—峭 + ^ac + (叫 + o)2)bd]-
Отсюда, учитывая обозначения а,匕，с, d, получим условие положительности Фо в виде
(明一碱(咸一砰嘴)(%? 一 a：『啕一
—^x^gxJWjCOj (叫 + 碱 < 0・(25.34)
При %?耍 0, s= 1, 2, 3, 4, (25.34) принимает вид
(o)i — о)2)(а2 — о)1)(р2 —①之)—4aP(oi(i)2 (o)i 十 о)2)< 0. (25.35)
Если 中*b? > 0, то представление об области в пространстве параметров (coj,(о2), при значениях которых решения системы притягиваются, дает рис. 5, б, на котором области отталкивания становятся областями притяжения и наоборот. Если одно из начальных условий имеет знак, противоположный остальным, то для получения областей притяжения и отталкивания достаточно на рис. 5, а области отталкивания считать областями пригяжения и наоборот.
4. Система трех связанных осцилляторов. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений трех слабосвязанных осцилляторов:
% ax?
В = " В = 一叫々十因DR/Zr/cos%/;
d% dx尤=“帚:dx. dxAH = %，Hd% dx尤=“帚:dx. dxAH = %，H一喝/+卩吗%/2%3%4%5COS"一喝/+卩吗%/2%3%4%5COS"X sin (2о3/ + ф3),X sin (2о3/ + ф3),(25.37)(25.37)** -殯-1碱** -殯-1碱,耳П唸一端,,耳П唸一端,
d% dx
尤=“帚:
dx. dxA
H = %，H
d% dx
尤=“帚:
dx. dxA
H = %，H
一喝/+卩吗%/2%3%4%5COS"
一喝/+卩吗%/2%3%4%5COS"
X sin (2о3/ + ф3),
X sin (2о3/ + ф3),
(25.37)
(25.37)
** -殯-1碱
** -殯-1碱
,耳П唸一端,
,耳П唸一端,
-①凯3 + 卩①凯也%3%5%6 cos v2Z; (25.36)
с начальными условиями 乙(0) = %, 0 (1《s《6)・ Здесь 0 < I 卩 I《1 一 малый параметр； %,竺 ——постоянные параметры.
Средние 端)，崂)и 屮俨，определяемые формулой (24.15), имеют вид
W (%，％)=胆第［屮(％，％ ')cos 义1此 s = 1, 2, 3,
где.
3
①(成也,力= Пm碌+州名m(20/ + (р) sin (2(oJ +色)X
Возможными ситуациями, п и которых 必$)耍 0, s = 1, 2, 3, будут следующие.
При v8 =» 2 I (Oi +(о3 + (|)3 I , 0)з * 0)1 + 0)2，
если 0)! СОд, 0)2*38，то
W(% ^0)==—。必％ + 哂％ — %%% + 匕也％)；(25.38)
если (о】в j и(0g 抬 со8, то
屮俨(%，无0)= 4■党口 M破 + 此［sin (% +ф2 + Фз)++ sin (-% 十中2 + 屮3)1 == 4"①%(a1°3 + 4%)，
если со? = % и Ш1 ^ д，то
з
屮俨（%，%）=；戒「I М磁 + 銀［sin （ср】+ ⑵—Фз）+ 舐=1
+ sin ® —屮2 + 屮3）］ = т ①乳 &@3 + %%）；
если g）i = о? = °Ъ，то
з
崎）（％ ^о）= 4 0s П /磽 + 毋［sin （% + 屮2 — ％）+
+ sin （―% + а + 屮3）+ sin （ср】一％ + 恥）1 =
=^ 所（"%a3 + 初 2% + 国磅3 + 3""3）■
При v5 = 21 —0）1 + o）2 + g I，① 1 拊 ^2 六 g， если со】#= со?，耽 力 g，то
з
屮俨（％ ^о）= 4 ^ П /碌工К s” （一％ + % + 屮з）=
T * （一b№a3 + 哂% + %哂 +b也%）；
если （о】н 02）©J 方 g, то
з
屮伊（％，％）=；明 П M破 4■皖 Isin J б + % + 屮 з）+
+ sin （p -①2 + Фз）1 ^ 4 *%（a自 + "仇）；
если ©! = o）jp ①1 声①掣 то
3
中华（力%）= 4•鹤n/礎+州［sin（R + % 一93）+
+ sin （—% + 恥 + 屮3）］ = т 吒4（卅3 + "%）；
если со】==о）25=5 то
3
峭（%, %） = ^ 8； П /礎 + 毋[Sin （Q * 6 —屮3）+ 月=1
+ sin （-% + 中2 + ①3）+ sin （恥一屮2 + 屮3）1 =
=^ ①式a"2% + 砧203 + %%% + 3Ь也%）•
При V2 = 21 g — и% + ①3 丨，@2，°h + 耽 имеем
時）（％，Xq） = lim f П 丿破 + 毋｛sin [4 （% —吗）f + J о I
+ 屮1 + 屮2 —屮3】+ sin [4 （—CO] + 0）2）f — Ф1 + 屮2 + 中з1 +
+ sin @1 —屮2 + 屮3）｝山；
если ^^^2 и о2#= о3, то з
W）（% %о）= ^ 叫 П /* +婷 sin （恥一屮2 + 屮3）=
=^吒仇q2& -a也能 + %%b3 + "匕也）；
если @1 = со? и ①2 市 铀，то 3
軟）（％ xo）= Z шв П1/磁十州【sin （―ср】+ % + 屮J +
+ sin @1 —屮2<+ 屮 3）] = 4■①色（44 + “％）；
если 包 # о? и 82 = g，то
з
，崂）（％ %о）=；再 П P& + * Isin @ +ф2 — %）+
+ sin（Ф1 — % 十 ф3）1 = 4" з；Ь[ （“2% + %匕3）；
если сох =(о2 = и%, то
帽)(%, % = 4■囲(％出a3 + %%а3 + 力&%+36也%).
При vs = 2 (со】+ 仰 + ①卩
з
轉)(％，％) = — ； К П /片 + % sin (q)t + 恥 + Ф3)=
=一；* (%a2"3 + Q也a3 + %a2% 一 4%%)•
Следовательно, Фо (/0, х0) будет отлично от нуля, если
среднее 屮$)鳥,х0)片 0,
среднее 崂)(％, х0)抬 О,
среднее 帽)(％ %)卢 О,
2Х).и 屮р, либо 崂)и 與з* либо 2P и 屮肾)не равны нулю одновременно;
д)揖D 卢 О,屮$2)* о, -ф(з)ф о одновременно.
Рассмотрим подробнее случай, когда все не обращающиеся в нуль средние *ф$)(% %。) определяются выражением (25.37), т. е. если 屮俨(％,%())片 0, vs = 21(о1 +(о2 —(о31, g * °h + 仰，Sj 力 g，32 力①з・ Тогда условие положитель- з
ности ①° =工必§)(%, % примет вид
b1a2% +a*203 - %a2% + 瓦瓦%〉°，(25.39)
откуда, обозначив
%]%
получаем
a(Oj(p2 一 (03(72 - СОз) + 00)2 @2 -若)(展 - (Оз)-
—Y% 俨一叫)(乎一碱 + 4аРусо1ш2ш3〉0. (25.40)
Анализ выражения (25.40) дает следующие результаты. Обозначив
получим, что Фо (/0, %) при у > О
положительно при
(ад + 0g)(竄卩一Sig) > 0 и 0 <q)3 < & или
(а(о2 + P(Oi) (осР — со】％) < 0 и(о8 > 03;
обращается в нуль при
g = g;
отрицательно (имеет место устойчивость) при
(ag + P«i) («Р — 3步2)> 0 и(о3>со3 или
(а% + §80 似卩——Si%) < 0 и 0 <(о3 < 铀.
Для у <0 имеют место следующие возможности:
среднее Фо 偽，％ > 0 при
(竄铀 + %h) @6 —恤网)> 0,0 < и% < g
или
(асо2 + P^i) («Р — si%) < 0, g〉@з；
среднее Фо = 0 при(о8 = со3;
среднее Фо < 0 при
(а% + P«i) («Р —①迎2)〉°，%〉g или
(аша + 阿0 (оф — со/?) < °, 0 <ш3 < ш3.
Области положительности и отрицательности Фо (/0, х0) строим в пространстве Охуг, где
%%%
а， 〉 ру，
причем области притяжения и отталкивания решения системы трех слабосвязанных осцилляторов находятся для 7>0
в первом октанте для а > 0, р > 0,
во втором октанте для а < 0, р > 0,
в третьем октанте для а < 0, р < 0,
в четвертом октанте для а > О, Р < 0; для у < 0
в пятом октанте для а > 0, р > О,
в шестом октанте для а < 0, Р > О,
в седьмом октанте для а < 0, р < О,
в восьмом октанте для а > О, Р < О,
Рис. 6
и ограничиваются поверхностями, на которых Фо (/0, %) обращается в нуль. Уравнения этих поверхностей:
z = у~^——поверхность I,
z 在才—поверхность П・
Поверхность II представлена на рис. 6. Легко показать, что она представляет собой двухполостный гипер-
болоид вращения, направляющие косинусы оси вращения которого рзвны —g-, -g」一飞一， причем гиперболоид пересекает свою ось вращения в точках
р ( /3 Уз /з \ р 尸 /з MG)
Чтобы дать представление об областях притяжения и отталкивания системы (25.35), построим их в пересечении
Рис. 7Рис. 8Рис. 7Рис. 8
Рис. 7Рис. 8
Рис. 7Рис. 8
пространства Oxyz пучком плоскостей у =力％, проходящих через ось Oz. На рис. 7-—9 изображены в координатах O£z области положительности и отрицательности Фо (/0, %о) при различных значениях 財 причем ось。£
направлена вдоль линии пересечения плоскости сечения у =々％ н координатной плоскости Оху таким образом, что кратчайший поворот от оси Ок до оси ОН совершается в положительном направлении. Сплошной (линия I) изображена линия пересечения поверхности I с плоскостью у = =々居 пунктирной (линия II) —линия пересечения поверхности II с той же плоскостью.
Для 々〉0 соответствующая картина представлена на рис. 7. Области устойчивости находятся над линией I и под линией II. Линия II проходит через нуль в точках %’ = =± J 尸 j 1, линия I имеет в этих же точках вертикаль-
точка £ = +точка £ = +устремляется кустремляется кные асимптоты. При 也f 0 или 论->8 (т. е. плоскость у = kx «стремится» к координатной плоскости Oxyz или Оуг)
точка £ = +
точка £ = +
устремляется к
устремляется к
+ оо (соответственно к — оо), линия I «стремится» к прямой z =* х\ а линия II ——к положению гиперболы г =——g.
При дальнейшем вращении плоскости сечения у = kx в положительном направлении k принимает значения —оо < < А < — 1. Здесь линия I имеет максимум в точке / = =М々d L и минимум в точке £ = — #纟 扌丿.При %'f+8 линия I приближается к оси Oxf сверху, а при %’ т—оо — снизу. Кривая II имеет наклонную асимп- тоту г =二二=х .
M庐十1优+i)
При увеличении k наименьший угол между асимптотой и осью Ох' увеличивается, и при 左—1 — 0 асимптота стремится к положению оси Oz・ Кривая I при hf — \ стремится к положению оси О%', обласгь притяжения — к полуплоскости z〉0, область отталкивания — к полу плоской и z < 0.
При дальнейшем повороте плоскости у = kx и увеличении k (— 1 < 力< 0) получаем картину, изображенную на рис. 9. Она представляет собой зеркальное отражение относительно оси Oz рис. 8.
Условия устойчивостидвухроторного гирокомпаса с успокоителями колебаний
В этом параграфе исследуется устойчивость движения чувствительного элемента пространственного гирогоризонт-, компаса, снабженного двумя успокоителями колебаний [16]. Поведение такой системы описывается системой дифференциальных уравнений шестого порядка с переменными коэффициентами.
Посредством декомпозиций исходной системы на две подсистемы найдены условия устойчивости исходной системы в зависимости от фактора перетекания жидкости в успокоителях,
Теорема об устойчивости по части переменных. Рассматривается система уравнений
^-^A(t)x + ^F^ х, у),(26.1)
併=У (厶 х, у),
где |х > 0 — малый параметр, xf Gp (%), у RD、Л (/) — матрица с непрерывными элементами на каждом конечном интервале J『,у — m-мерный вектор, вектор-функции 尸(九 х, у) и У (/, х, у) удовлетворяют условиям Липшица с константами Ls (1《s《4),
1! 尸(Л 爲 g)一f 伶 犬，力 И《厶 II % - %‘ 1| + L2 II g — "I，
II у 侑•％ у) — У (Л М 力 II《玛 и % — / II + 厶心 一 / II.
(26.2)
Функции F (/, %, у) и У (/, х, у) предположим ограниченными при % = у = О：
II尸(Л 0, 0) И《Л!】，|| У (/, 0, 0) И & 此.(26.3)
Обозначим че ез 己(/, /0, %) решение системы
器= 4(/)%，(26.4)
обращающееся в х0 при /=/()・ Из уравнения
黑=У (f, у, % (/,必 ％。))(26.5)
находим
У© 厶 ％) = % +，У (s, Z/(s),三(s, /0, %))ds・ (26.6)
Пусть 己=0 и tQ = 0, тогда из (26.6) в силу (26.2), (26.3) находим
IIУ 侑 0, gj (I С И у. II + j (喝 + % I卜侑 ％, 0) И) df,
откуда
IIУ (Л 0,%)||《鲁(戸一 1)十|也广
при всех / > 0.
Отсюда следует, что на любом конечном интервале /и 丿“ У (九 0, Уо) принадлежит некоторой ограниченной области D.
Предположим, что решение ± = 0 системы (26.4) устойчиво по Ляпунову. При этом существует определенноположительная квадратичная форма по переменным %, удовлетворяющая условию
A缢包/⑴%《0.(26.7)
Для полной производной функции V (厶 х) в силу системы (26.1) найдем
嘗3丄需包尸(力招办 (26・8)
Учет второй подсистемы из совокупности (26.1) осуществляется прямой подстановкой ее решений в первую подсистему.
Далее рассматривается среднее
т
% (0, %, %)=「吧「-［丄嘿立尸(厶爲у(/，°，у^力，(26期 где интеграл вычисляется вдоль решения х =三(/, /0, х0) системы (26.4), обращающегося в х。при / == /0 == 0, x0^Gp (х), и решения у (勿 0, yj с начальным условием % £ D.
Имеет место следующее предложение.
Теорема 26.1. Пусть выполняются условия.
1°. Подсистема (26.4) устойчива по Ляпунову.
2°. Существует определенно-положительная квадратичная форма V (/, %).
3°. Существует знакоопределенное по % среднее (26.9) “ вне сколь угодно малой окрестности точки % = 0, y^D
屮о(°，％，％) <~б2, S = const > 0.(26.10)
При выполнении перечисленных условий для всякого е〉0 можно указать 6 (е) и 阿⑻ такие, что любое решение (х (/), у (/)) начальными условиями из области || х01| < 6, % € ° 切〃 ％ (f) £ О и 卩 < & (в) для всех / > 0 удовлетворяем неравенству |1 % (/) || < е.
Доказательство. Аналогично предыдущему (см. § 18) при выполнении услозий теоремы 26.1 следует устойчивость уравнения сравнения без главной части
嘗=0*5(/, 9)
при С (/, О, С。) g D. Отсюда без труда устанавливается факт устойчивости по переменным % системы уравнений (25.1).
Условия устойчивости гирокомпаса. Система дифференциальных уравнений возмущенного движения чувствительного элемента пространственного гирогоризонт- компаса, снабженного двумя идентичными успокоителями колебаний (северо-южным и восточно-западным), имеет вид [16]
才=剪 + а% +
k = — W%1 + Q%3 + % "V %5 + 8露％，
H = —Q%2 —%，
寸==—Q% + vx3 + %w%，(26.11)
V = Fn p・T / —%”2 _ 尸/5 — 7 尸№匕
%=尸或3% 一尸£%3~尸典+"£十"，
%2 =0，%=% * = ^у^0，%2 =0，%=% * = ^у^0，Напомним, что здесь
%2 =0，%=% * = ^у^0，
%2 =0，%=% * = ^у^0，
%i =
%5 =厶，％6 =儲，®N = ""Р7~， % = ~^7"，
причем % и 8£ — малые параметры.
В общем случае V и Q являются некоторыми известными функциями времени. Остальные коэффициенты системы являются постоянными величинами.
Полагая для определенности 8^ =月&尸 рассмотрим систему (26.11) при е£ = 0, В этом случае она распадается “> низкого порядка:
на две
подсистемы
е 1 f 2 / 3’ 4 ол或或或d或力以山
vx2 + Q&,
—С/ + %
(26.12)
学=尸n*-.T-% 一尸N%2 一"2%5一尸N-^CP，
爵=尸諸 V X1 —尸/з —尸/б + -у 尸 J• (26.13)
Известно, что уравнения (26.12) интегрируются в замкнутой форме. Функция Ляпунова для этой системы, производная которой равна нулю, может быть выбрана в
виде
(26.14)
Полученное А. Ю. Ишлинским [33] решение системы (26.12) преобразуем к виду
%,)(/) = sin (v/ + 屮 J cos 0 (/) + sin (v/ + 屮?)sin 6 (0，
4°)(/) = — sin (号 wf + 电^-j cos 0 (/) 一
(26.15)(26.15)—Sin 卜/ + 屮2 —■^■卜in 0(')， %弟)(9 = sin 卜/ + 屮]^ si11 8 ⑴_
(26.15)
(26.15)
—sin 卜 + 屮2 ——у-) cos 0 (0， 耳0)(/) = — sin (yt + 5) sin 0 (0 +
+ sin卜+屮2 —子丿cos 0 (/)・
Здесь
£（о）焉（о）
(26.16)(26.16)e（/）= j с（T）dt.
(26.16)
(26.16)
о
Решение (26.15) рассматривается как нулевое приближение решения исходной системы (26.11).
Подставив значения х^} (/), 1《i《4 в систему (26.13), приходим к двум линейным уравнениям первого порядка с решениями
五(/) = e^F\^FN ^^j/N"sin (vt + 5) cos 0 (t)十
+ sin (vx + 屮2)sin 8 (t)] dt + ,尸私"x
о
X sin 卜T + Wi — -^-) cos 0 (r) + sin 卜т + 屮2 —备)X
+ sin (vr + 屮2)sin 0 ⑼ dt + J 尸£。尸曰+ sin (vr + 屮2)sin 0 ⑼ dt + J 尸£。尸曰—sin (vr + I% ——sin (vr + I% —X sin 9 ^dx-^FN-jeFNR (т) V(t) dt + x5 (0)1, (26.17) %6(0 = ‘一尸'[j v 尸図")e""sin (vr + 屮])cos 6 (t) +
+ sin (vr + 屮2)sin 0 ⑼ dt + J 尸£。尸曰
+ sin (vr + 屮2)sin 0 ⑼ dt + J 尸£。尸曰
—sin (vr + I% —
—sin (vr + I% —
о
—-~j sin 0 (t) + sin《I； + % ——y-j cos 6 ⑴]dt +
Компонешы F6 (/, х, у), s = 1, 2,...» 6 функции F (/, х,у) имеют вид
生=必见(力储=^-整(f)+c(%)/(〃
e3三0, F4 = V%e (/),尸5三尸6三0.
Среднее
74
屮о (0, %，％) = ^T~{ J (S 翁 尸№矶必(26.18) о /=1/
при движении корабля по параллели с постоянной скоростью
(Q = (/sin(p + ^-tg(p; 0 (/) = %； 0 = 0)
имеет вид
FM ［制+(声一燎)］
"。=_"［胤+ (” + "］［用十w一⑵丁 一
3总Q? +尸^2
一［得十" + Q尸］［爲+ "一出2］ .
Условия устойчивости системы (26.11), сформулированные в теореме 26.1, сводятся к требованию выполнения неравенства
［用+ W + CW ［專 + (w 一 QW 十
3尸訳2十尸旣2
照 + " + 02］照+ （"一4鬥），
которое выполняется в предположении FE > 0, FN > 0 при
緩<^+尸乳(26.19)
"宀一就得嚣仁寫
Из неравенства (26.19) при & 三 0 получаются известные условия устойчивости движения гирокомпаса ［33］; условия (26.20) являются новыми и учитывают гидродинамику демпферов прибора.
§ 27. Деформация свойств движенийпод действием интегральных возмущений
В этом параграфе выясняются условия, при которых интегральные возмущения деформируют свойства движений невозмущенных систем на противоположные.
Нелинейные системы с интегральным взаимодействием исследуются с целью определения структуры области допустимых параметров функций связи, обеспечивающих отрицательность некоторых средних значений вдоль связей взаимодействующих подсистем.
27Л. Интегральные возмущения линейных стационарных систем. Пусть нулевое решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
黑=网(27.1)
неустойчиво. Предполагаем, что все характеристичные числа матрицы Л просты и отличны от нуля, так что матрица А имеет обратную: Д~1. Наряду с системой (27.1) рассмотрим возмущенную систему
警=/% + 九,3(/ —s)%(s)由， (27.2) о
где X > 0 — большой параметр, В (/) — п х п-матричное ядро, непрерывное на Jo- Укажем условия, при выполнении которых нулевое решение системы (27.2) устойчиво по Ляпунову.
Умножим левую и правую часть равенства (27,2) слева на А-】и обозначим
% —九 j Q(f —s)%(s)ds = z(f), /АО, (27.3) о
где Q(f) = _?Г\в(/)・ С помощью резольвенты Г (/) матричного ядра Q(/) решение уравнения (27.3) можно представить в виде
t
%(f) = z(/)+九 J I? (f — s,九)z(s) ds, Z》0,(27.4)
где
r (/, X)=工#-七, (/)./=i
Предполагая дифференцируемость Г (/,九)на 厶 и учитывая, чго 万 =/z, из (27.4) получаем
* = & —H(0,A)z —叶1(/—s,A)z⑸厶，/》0. (27.5) б
Так как Г (0,九)=——4~!B (0), ю окончательно получаем систему интегро-дифференциальных уравнений
嘗=〃仇)z —九 jT(/-s,九)z(s)df, />0, (27.6) о
где Н@) = 4 +VT% (0).
Обозначим U (/,九)фундаментальную матрицу системы
% = H2z, />0(27.7)
и Ф (/, 0, %) = U (力九)U~i (0,、)一 матрицу Коши, являющуюся решением матричной задачи Коши
樂=〃的X, Х(0)=Е,(27.8)
где Е — единичная матрица. Для решения системы (27.6), удовлетворяющего условию z &) = z。，справедлива формула
t s
z (f)=①(/, 0, %) z°—九 j j®(s, 0, X)r(s — т, %) z ⑹ drds. (27.9) о о
Предположим существование таких постоянных М > 0, а > 0, при которых выполнено неравенство
IIФ (/, 0,冷 II С Me~at при всех /》0.(27.10)
Следовательно, система (27.7) экспоненциально устойчива. Это свойство решений системы (27.7) можно обеспечить выбором такого значения 入］> 0, что при всех % < 儿】вещест-
венные части о» всех корней 隹(X), i = 1,2,...,〃，уравнения det (Н (九)一卩七)=0 были отрицательны.
В силу (27.10) для нормы вектора z(f) получим оценку
II z (011《瓦-『I2。II + NB j J LII г (S- T,力III z(T)|| dsdx.о 0
(27.11)
Здесь норма || z || определяется равенством || z || = £ 12々 |. Норма матрицы Л =伍々力，согласованная с введенной нормой вектора, определяется формулой
пп п%
Il“II = 2 包/ = £ £ II t и的口‘乱 j=l々=1 /==1/=j1
где 勾一j-й столбец матрицы А.
Введем функцию m(/) = eaf ^z(t) ||. Легко видеть, что
t S .
m (/) С В II ^GII + ХВ j J e-as А『(s — т, Z) || 〃z (s) dsdt. о о
Отсюда, предполагая, что
м= J||r(/,X)||^<oo,(27.12)
о
получаем
||z(3|W3||Zo|d”(27.13)
где р (九)=人ВМ ——а. Выберем Х2 > 0 так, чтобы при всех 九 < 大2
Ш4—сс = р仇)<0・(27.14)
Тогда в силу (27.13) из соотношения (27.14) получим оценку II % (/) II《В И % II (е-р(м + Xj||r(s,九)|| е-Р(心勺.(27・ 15) Далее в неравенстве (27.15) полагаем, что X < Хо = = min 仇и 九2)・ Легко проверить, что предположение о непрерывной дифференцируемости Г (/,九)по / равносильно
предположению о непрерывной дифференцируемости ядра В (/). Из вышеизложенного вытекает следующее утверждение.
Теорема 27.1. Пусть выполняются следующие условия.
Г. Нулевое решение системы (27.1) неустойчиво.
2°. Все характеристические числа матрицы А простые 〃 отличные от нуля,
3°. При всех / > 0 матричное ядро В (力 непрерывно дифференцируемо.
4°. Существует такое число Хо > 0, что при всех значениях 入 < 储 матрица Коши Ф (f, X, 0) уравнения (27.8) удовлетворяет оценке (27.10) и выполняется неравенство (27.14).
5°. Выполняется условие (27.12) и одно из неравенств: о) J И Г (s, X) у ds < оо,
||Г(ЛХ)||<го<оо
или
6)II Г (Л Х)||->0 при оо.
Тогда при X < Хо нулевое решение системы (27.2) устойчиво (условия 5°, о, б) или асимптотически устойчиво (условие 5°, б) по Ляпунову.
Утверждение теоремы следует непосредственно из оценки (27.15).
Случай линейной нестационарной системы. Рассмотрим линейную нестационарную систему
集= А(/)у,(27.16)
где у £ Eg А (/)—непрерывная на Jo матрица n х п. Пусть нулевое решение системы (27.16) неустойчиво. Наряду с системой (27.16) рассмотрим возмущенную систему
嘗=4 优)％ + % J 8 优,工)％ (Qd% (27.17) о
где В (/, т)——(п х /г)-матрица с непрерывными при / > т > 0 элементами. Как и в п. 27.1 введем выражение
% —九J Q (厶 s) % (s)由=2 (/),(27.18)
о
с помощью которого получим интегро-дифференциальную систему
^- = // (/Д) - X j* rf (/, т) г (т) dr, (27.19)
6
где
Н© 入)=4(f) +L4T (f)3(f, /),
Г/ (/, т) — резольвента матричного ядра Q (/, s) = — Л^1 (/) х X 8(/, s).
Рассмотрим систему
令="(力入)z, z (0) = z°・(27.20)
Пусть Ф (/, 0,入)一матрица Коши системы уравнений
芳= 〃(/,%) X, Х(0)=Е(27.21)
Предположим существование чисел В > 1, а > 0 и^〉。 таких, что
II Ф (/, 0,明I《 反-國 при всех /》0(27.22)
и А/ <^ A/工.
Соотношение (27.19) представим в интегральной форме
t S.
о 0Далее, учитывая (27.22), находим t sо 0Далее, учитывая (27.22), находим t s(27.23)(27.23)2 (/) = Ф (/, 0, X) z0 — X j J Ф (s, 0,九)rt (s, т) z (s) dsda
о 0
Далее, учитывая (27.22), находим t s
о 0
Далее, учитывая (27.22), находим t s
(27.23)
(27.23)
IIZ (f) II « Be~^ II z° II + W J j e-as || ff (s, t) || || z (s) || dsdx,о 0
(27.24)
Предположим, что
Mo=f 11匕(力砌1出<8(27.25)
о
при всех / > т > 0. Назначим Z2 > 0 такое, чтобы при Х<Х2 WM0 一 а = Ро 仇)< 0.(27.26)
При этом, как и выше, получаем оценку
l|x(OII<B|ko||l|x(OII<B|ko||0—Ро仇)sds) •(27.27)0—Ро仇)sds) •(27.27)
l|x(OII<B|ko||
l|x(OII<B|ko||
0—Ро仇)sds) •
(27.27)
0—Ро仇)sds) •
(27.27)
В неравенстве (27,27) полагаем X < Хо = min &, Х2).
Теорема 27.2. Пусть выполняются следующие условия.
1°. Нулевое решение системы (27.16) неустойчиво.
2°. Матрица А (/) имеет обратную А— ") 〃 непрерывна вместе с ней на 厶.
3°. Резольвента Г{ (/, т) непрерывно дифференцируема no f при / > т > 0.
4°. Существует 九о〉0 такое, что при % < Хо матрица Kotuu системы (27.20) удовлетворяет условию (27.21) “ выполняется неравенство (27.25).
5°. Выполняется условие (27.25).
6°. Выполняются условия
а)(р(/) = j|| rf(s,T)||e~^)sds «財 < 8;
о
6)(p(f)f 0 при /-> oo.
То^а при < %о нулевое решение системы (27.17) устойчиво (условие 6°, а) или асимптотически устойчиво (случай 6°, б) по Ляпунову.
Замечание 27.1. Условие 4° теорем 27.1, 27.2 по существу означает, что системы (27.8), (27.20) экспоненциально устойчивы. В случае системы (27.8) это означает, что полином Р (В) = det ф£ — Н (X)) асимптотически устойчив.
Напомним, что полином Р ф) называется асимптотически устойчивым, если все его корни имеют строго отрицательные вещественные части. Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости полинома даются теоремой Рауса <—Гурвица [112]. Условия устойчивости систем (27.2) и (27.17) можно получить и при более сильных условиях относительно систем (27.8), (27.20). Такие условия при 九=1 содержатся в работе [32].
Укажем теперь в эффективных терминах некоторые условия асимптотической устойчивости системы (27.20), С этой целью (27.20) представим в виде
等=【％ 3)+3(/$)] N,(27.28)
где
儿仇)=lim 丁7 С (Л (/) + 九 /Т«) в (/, 0) df,J «о
а матрица В (/,入)характеризует отклонение матрицы %'仇)от матрицы Н (/, X).
Теорема 27.3. Пусть при всех / > 0 и 入《入° выполнено неравенство || exp HQ (九)/|| С М ехр (——а/). Если найдутся такие /х > /0 〃 е > 0, что при / > /х 〃九《% справедливо неравенство || В (/, X) || < е < 告，то система (27.20) асимптотически устойчива.
Теорема 27.3 является теоремой А. М. Ляпунова [50], сформулированной для системы (27.20).
Введем функцию
/6(2 И Яо (X) ||)fe ,
fe=0
где 6 > 0 -— некоторое число, при котором характеристический полином матрицы Яо (X) + ЗЕ асимптотически устойчив. *
Пусть Мо -~- наибольшее значение функции С (/) на полуоси J. Если теперь при достаточно больших / и 《九о выполнено неравенство
||В(/Д)||<е<6(2М*г\
то система (27.20) асимптотически устойчива.
Если В (/,入)f 0 при f f оо и характеристический полином матрицы Н° (X) при А, < Хо асимптотически устойчив, то система (27.20) асимптотически устойчива.
Доказательства приведенных утверждений можно провести на основе результатов монографии [103, с. 32—36].
О структуре области допустимых параметров интегральных связей. Рассмотрим систему интегрально связанных подсистем
+ =厶(厶 х§) + " Bs(T, x, 6) x$ ⑴ ат, s = 1, 2,. . m.
°(27.29)
Здесь х§ £ Е— функции 厶(九 xs) непрерывны по / и удовлетворяют условию Липшица по %, Bs (/, х「•. ., xs_p xs+1,... ..xm) — суть функции f£Ja, х§ £◎(〃)，н 0£8 (В — допустимое множество параметров). Предположим, что прд X = 0 для систем (27.29) существуют такие функции vs (/, х$) > 0, что и (/, %) = Е % (/, xs)——функция определенно-по-
S
ложительная, допускающая бесконечно малый высший предел.
Ограничимся для простоты случаем s =二 1, 2 и предположим, что
粤 +厶(/，х)《0.(27.30)
Учитывая (27.30) для функции vs (/, xs (/)) вдоль решений xs (/) с начальными условиями х?, получим оценки
4 (f, xs (0)《吧 + 入 J '党里 j Bs 稣 x, P) xs(T]) dx]dx.$ о
Существование и знакоопределенность среднего fo+T工
lim L f，尊+L f及稣^, p) 人⑺阳必=电优。, %, 0)
играет существенную роль при качественном исследовании свойств решений системы (27.29).
Пусть 当(0) и 丛(5) — области, где
屯备,％，₽)<-銀；屮2 鱼，％，РХ-岭 (27.31)
Введем в рассмотрение Ла операцию [95], определяемую формулой
^1m2三г修仲1 +屮2 _ k即 +喝一2硼也),
(27.32) где а = а (х, у)——произвольная функция, удовлетворяющая условиям — 1 < а < 1； а (%, у) = а (у, х) = а (х, у)=а (у, %)・ При а = 0 из (27.32) имеем
屮小帥2 =屮I+屮2 - /明+%。
Если операцию извлечения квадратного корня заменить операцией взятия модуля, то при а = 1 из (27.32) получаем
电4屮2 m }(屮1 +电2 - I电一电21)■
Недифференцируемость этой операции можно устранить, умножив |х| на /, т. е. введя операцию у = Mod^x三 = \х\хт^Ст.
Определим область В (а, 0) с помощью неравенства
24“屯 <-S2 (-1 <а< 1). (27.33)
Область В (а, р), определяемая с помощью неравенства (27.33), является областью допустимых параметров связей, обеспечивающих одновременное выполнение условий (27.31).
Вопросы для исследования
Применить развитый в § 16 алгоритм построения функций Ляпунова и получить условия устойчивости в задаче трех тел.
Алгоритмизовать процесс исследования устойчивости на основе результатов § 15 и 17 при выполнении условий для систем, оговоренных в этих параграфах.
Развить способ § 16 построения функции Ляпунова и исследовать резонансные случаи в линейных канонических системах.
Установить принцип сравнения с функционалом Ляпунова, выраженным в виде разложения по степеням малого параметра.
Построить области притяжения решений в задаче о пространственных движениях твердого тела.
Развить алгоритм построения периодических решений на основе двусторонних приближений Чаплыгина и метода построения функций Ляпунова (§ 16) для соответствующих классов систем.
Получить условия, при которых система (27.17) неустойчива, в то время как система (27.16) устойчива. Естественность такой постановки доставляет пример системы
或г + 1I f十1
о
при X = 1 (см. [32]).
Г лава 〃/
ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНЫХ СИСТЕМС РАЗНОРОДНЫМИ ПОДСИСТЕМАМИ
В этой главе рассматриваются вопросы качественного поведения решений озаглавленных систем с подсистемами, содержащими распределенные параметры запаздывания и случайные функции. Рассмотрен также случай дискретных систем. В заключение главы рассматривается вопрос оценки параметров моделей обособленных подсистем сложной системы на примере систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Сформулированный при этом принцип пакетного входа нашел применение при построении и исследовании автономных инверторов модуляционного типа с повышенным качеством выходной энергии [102].
В главе принят следующий порядок изложения: в § 28 приводится общий вид дифференциальных уравнений, описывающих движение системы с разнородными подсистемами и анонсируется идея применения дифференциальных форм при исследовании систем, индуцирующих общую систему [31] в метрическом линейном нормированном пространстве, в § 29 эта идея применяется для исследования замкнутых многообразий решений многомерных динамических систем, в § 30 проводится исследование конечной устойчивости за ограниченный промежуток времени общего вида систем с последействием и исследуется устойчивость по Ляпунову систем, связанных нелинейных дифференциальных уравнений с запаздываниями, в § 31 исследованы аналогичные вопросы для разностных уравнений, в § 32 рассмотрены системы со случайными марковскими процессами и установлены теоремы об устойчивости по вероятности систем на конечном интервале времени, в § 33 приведены алгоритмы оценки параметров моделей обособленной подсистемы и подробно рассмотрен класс линейных нестационарных систем.
Некоторые вопросы, изучаемые в настоящей главе, рассматривались также в работах [7, 9, 44, 74, 108, 125].
Предварительные замечания
28.1. Математическое описание сложной системы с разнородными подсистемами. Приведенные уравнения (1.1)—— (1.5) совместно с уравнениями неразрывности, состояния и притока тепла и граничными условиями (1.7) — суть уравнения возмущенного движения сложной системы с разнородными подсистемами. Таким образом, в общем случае, т взаимосвязанных подсистем различной природы могут быть описаны следующими системами уравнений [74].
1°. Конечной (или счетной) системой обыкновенных дифференциальных уравнений
飞~ = X (/, хр %),(28.1)
где fGЛ« [0, оо),占ЕЕ】，％€%, %(%)£凡ug, X (厶 xp %) U X E] x и】f E]・
2°. Системой интегро-дифференциальных уравнений
等=У仇,乙% 〃2)+ j К仇，厶内"，%)如，(28⑵ где
% g 七2，穴 Q и E3,〃2 € “2，P & S U £*3’
у (%) € 席 U £*2，У, К ： Jo * & X 七3 X 〃2 f 七4 •
3°, Системой параболических уравнений с сильно эллиптическим оператором
+ 1工](/，9，現-停，办 叱产,味)，(28・3)
I = 1, 2,・・・，〃Е—[・
Здесь—
%т (力 g)=九m-i (办 g R，Ут— (/，0 = °
при
g Е Q \ Q,，W 4。= % + °°)» %i (厶 0)€ e*i，
Ет-i ~ 4(Q)，"歹(力 0)： 7 义七3，
Путем введения подходящих функциональных пространств £ц уравнения каждой 卩・И подсистемы сводятся к обыкновенному дифференциальному уравнению в функциональном пространстве 品・ В свою очередь из такого рода подсистем можно получить замкнутую систему дифференциальных уравнений
字= №，%(/))(28.4)
в произведении пространств Е = Е{ х Е2 х ... X Ет.
Оператор X (/, % (/)) в системе (28.4), вообще говоря, неограничен. Предположим, что выполняются условия существования решения % (/, /0, %) на промежутке Т = [/0> т) с;
при%备)g/uE.
Предположим, что совокупность систем дифференциальных уравнений (28.1) — (28.3) индуцируют некоторую общую [31] систему.
Напомним [31], что в метрическом пространстве Ф задана общая система, если определено двупараметрическое семейство 尸;преобразований R на себя, обладающее следующими свойствами:
для любого р € R н % > 0 определено множество 尸[(р) U А при / > % 尸；о(Р)не пусто;
HqS) f Р при ' f % + о；
для любого элемента % € 尸].(Р)определено множество Fj(pJ такое, что'
尸 j(Р0 = Fl。(Р)при / > & Р] £ 尸;。(р).
Множество М называется инвариантным по отношению к общей системе, если из р£М следует, что F；°(p)uM при любом f>%. Здесь через 尸[(р) обозначена траектория движения.
Введем понятие замкнутого инвариантного многообразия решений общей системы, расположенной в метрическом пространстве.
18*275
Применение дифференциальных форм [56]. Предположим, что на многообразии 赏 и R определена топология n-мерных сингулярных кубов. На р-мерных цепях
У (%, ・・・，/)=工£ ⑴…/"% А .. • А х/р (28.5) рассмотрим дифференциальные формы
р-й степени, где 。①—множество систем индексов {/р ...
• • •»/ J
Определение 28.1. Замкнутым инвариантным многообразием (поверхностью решений общей системы) будем называть границу (или дифференциал) р + 1-мерной цепи
(хр ...»хп), определенной на многообразии Ж.
Напомним, что границей (дифференциалом) р-мерной цепи называется (р — 1)-мерная цепь
dj(z，・・・，％) = £ а" d (弓]A- • - А 刁 J
где
d ("力 /\ …/\ *%)= 2 % 八•一八打s 八"加2 A • • • A X/Р • c=i
Лемма 28.1. Если общая система такова, что для нее существует дифференциальная форма со* обращающаяся е нуль на любых (р + 1)^мерных цепях g"+i (汽，・•・ • ••,%〃), а ее внешняя производная do/ не обращается 8 нуль всюду на ЯП, то у нее не существует замкнутых многообразий решений.
Доказательство. В соответствии с определением введем следующее обозначение:
猊р = а/】.(28.6)
Далее предположим, что условия леммы 28.1 выполняются и существует замкнутое многообразие решений общей системы. Принимая во внимание обозначение (28.6), обобщенную формулу Стокса [100] запишем в виде
J М=，如J(28.7)
d；叶1 口叶1
При выполнении условий леммы 28.1 имеем
У d(o"=#0 всюду на ОТ(28.8)
и
J о)р = 0 всюду на }+】£ Ж (28.9) 呼
в силу формулы Стокса (28.7) и свойства двойственности между векторами и формами, а также формами и их внешними производными одновременное выполнение условий (28.8) и (28.9) невозможно. Полученное противоречие доказывает лемму 28.1.
Построение возмущенных функционалов Ляпунова. Предложенный в § 16 способ построения функций Ляпунова применим к исследованию устойчивости решений систем уравнений с частными производными.
Пример 28.1. Исследуем устойчивость нулевого решения системы дифференциальных уравнений [12]
л
工护.=N欧(0 + h J u (力s) ds,о
(28.10) 包铝L=池呼L+ 〃»%(f), "(厶0)0="a几)=0.
Совершим замену переменных
x (0 = г (0 + 卩4〃(f, s), 〃(f, s) = 〃(f, s),
где A — некоторый оператор над функциями от s, заданными на (0,л]. Пусть z (/) — решение дифференциального уравнения
dz (0
——=卩az (0 + 卢r.(28.11)
Осуществляя замену, получим
a == a — Л/ (s), R == aAu (f, s),
где оператор А удовлетворяет уравнению
/ д2и (f, s) f
4 ~^?= ) 〃 & s) ds, и (/, 0) = и (/, л) — 0.
6
Решая это уравнение с помощью разложения и (/, s) в ряд Фурье, получим явное выражение для Л:
Au (f, s)Au (f, s)7工О Л«17工О Л«1-4 sin (2々一1) t ~л (2Л — I)3-4 sin (2々一1) t ~л (2Л — I)3и (/, т) dr.и (/, т) dr.
Au (f, s)
Au (f, s)
7工
О Л«1
7工
О Л«1
-4 sin (2々一1) t ~л (2Л — I)3
-4 sin (2々一1) t ~л (2Л — I)3
и (/, т) dr.
и (/, т) dr.
т. е. при выполнении неравенстват. е. при выполнении неравенстваСледовательно, нулевое решение системы (28.10) устойчиво в первом приближении, если а < 0,
т. е. при выполнении неравенства
т. е. при выполнении неравенства
4 sin (2Л~1)т4 sin (2Л~1)тЯ СОа< 4/($) as — J £О А=1
4 sin (2Л~1)т
4 sin (2Л~1)т
Построим при а < 0 в первом приближении функционал Ляпунова и для системы (28.10). Сделаем в уравнении
замену переменных
и (f, s) = у (/, s) + ф (s) z (0， Ф (0) == ф (л) = 0,
где функция ф (s) удовлетворяет уравнению
…ds产 + / (s) + И(/(s) — На) 4屮⑹一«НФ ⑹=0. (28.12)
Это уравнение можно решать обычными методами. В частности, если / (s) s sin s, получим
Ф (s) = (1 + 卩)(1 + 绰)т (卩 + sin s).
В общем случае дифференциальное уравнение (28.12) приводится к интегральному:
ф (s) = -~ j (Л — т) ф (т) dt — j (s — к) W (т) dt,оо
где
Л 8
,с s 4sin侬一1),、，
①⑴三〃叫一hаФ (t)一"(/ (T) - hа) J 2j门(2也二1资"中(""，
б I
Это уравнение может быть решено с помощью метода последовательных приближений. Для у (/, s) получим интегро-дифференциальное уравнение
0 & s) = О”,&义-—卩(〃s) — рхх屮(s))X
0 A^l0 A^l4 sin (2力一1)几 n (2论一1)34 sin (2力一1)几 n (2论一1)3у (厶T)成.у (厶T)成.(28.13)(28.13)
0 A^l
0 A^l
4 sin (2力一1)几 n (2论一1)3
4 sin (2力一1)几 n (2论一1)3
у (厶T)成.
у (厶T)成.
(28.13)
(28.13)
Для системы уравнений (28.11), (28.13) имеем определенно-положи тельный функционал
л
и (z, д) = z2 + j д2 “, s)由・
о
Переходя к переменным системы (28.10), получим определенноположительный функционал Ляпунова
гЛ соп2
(- о k=\-
лл ©олл ©оОО А=1ОО А=14 sin (2也一1) t 6(2力一I f4 sin (2也一1) t 6(2力一I f[2"（厶吗丸一屮（s）x（f） ds.[2"（厶吗丸一屮（s）x（f） ds.
лл ©о
лл ©о
ОО А=1
ОО А=1
4 sin (2也一1) t 6(2力一I f
4 sin (2也一1) t 6(2力一I f
[2
"（厶吗丸一屮（s）x（f） ds.
[2
"（厶吗丸一屮（s）x（f） ds.
Замечание 28./. Построение функционалов Ляпунова для уравнений с частными производными можно осуществить с помощью внешних дифференциальных &)рм [123]. Возможность применения аппарата дифференциальных форм к анализу систем с частными производными (включая системы Пфаффа) отмечалась в статье [56].
Замечание 28.2. Метод дифференциальных неравенств, используемый в гл. I, II, имеет эффективное применение и при исследовании устойчивости систем с частными производными.
Пример 28.2 [94]. Пусть в ограниченной области G пространства Еп с границей Г = dG задано уравнение
力=Lu + / (/> х, “)，(f, %) С 丿° X G, 〃 |p = 0,и (0, %) = 9 (х),
где f — возмущение эллиптического оператора L〃 в области G. Предположим, что в области G выполняется неравенство
f uLudx《—入,〃切无，〃 |p = 0
QG
при некотором 入〉0.
Рассмотрим функцию и (/, 〃)= |] 〃 (/, х) ||, где
II 〃 II = М(“, “), (〃，v) = J uvdxt
и предположим, что для некоторого 0<丫<"<8,后<入 при II II *С V» ' > ° возмущения удовлетворяют оценке
||〃/,x,〃)||《^||"||+W(/)||〃|『+a, а>0 и
j产但一九)W(S)ds<8. о
Тогда для любого положительного е《у при
■СО1-1/2
||(р|| <6 = 8~а +仪j尹仇一笛屮⑶ds 0-
для функции v (厶 и) имеет место оценка
и«, 〃“))《ее但—团(28.14)
При любом t С 卩о, к).
Уравнение сравнения при этом является уравнением Бернулли：
普=初 +「а版屮⑹"+a, у (0)= 6〉0.
Условие устойчивости из неравенства (28.14) следует очевидным образом.
§ 29. Условия отсутствиязамкнутых многообразий решенийв многомерных стационарных системах
В этом параграфе лемма 28.1 применяется для исследования стационарных многомерных систем
dx..
^ = Х( (Хр • • •, %〃)，i = 1,2, •. •,(29.1)
правые части которых Xt—достаточное число раз дифференцируемые функции. Предполагается, что на промежутке Ja решение х (/) системы (29.1) существует и единственно.
Опр делим в области Gn и Еп цепь р как совокупность точек, зависящих от р-парамегров у”. • • ，^炉 В этом лу^ае координагы хр ... ,хп точки sgG〃 суть функции этих пара* метров
*1 =巾(必，• • •，％),
%2 =з2 仅1，%),
(29.2)
/ = % (%，…，％)・
Составим матрицу
0电d屮2^n
刊1强 0% »^ур^Ур …"^7"1% x2 ...xn
которая характеризует взаиморасположение векторного поля X (х) и векторов % = (-^- , • • •, ^-)，1《s《р.
(29.3)(29.3)Легко видеть, что направление векторного поля X (х) и векторов z$ суть касательные к гиперповерхности (29.2). Так как при этом Х(х) и z§ линейно зависимы, то любой из определителей °,[…％*， 1《八< • • • V，叶1《”，матрицы А удовлетворяет условию
(29.3)
(29.3)
Divip+i = °*
Определим теперь некоторую класса С1 функцию В. / (%) в области Gn и составим дифференциальную форму
寸=工％ …jp+Jx) D/卜 yd財 A . *. A ^. (29.4) Г(о
Простые преобразования дифференциальную форму (29.4) приводят к виду
2 2 (一产人…
"V …</叶1 m=l
(29.5)
...A d%m A • • • A dx.,
где 《人》означает пропуск этого индекса.
Следовательно, в силу (29.3) дифференциальная форма (29.4) или (29,5) обращается в нуль на цепи 仪
Критерий Дюлака. Имеет место следующее предложение.
Теорема 29.1. Если для многомерной системы (29.1) мэжно указать в области G^ функцию В (х) класса С1 такую, что дивергенция вектора ВХ в области Gn
def П 万
div(BX) = J； ^-(ВХ)>0(29.6)
или
div(8X)《0(29.7)
(при этом знак равенства допускается лишь на множестве точек меры нуль), то 6 области G^ многомерная система (29.1) не имеет замкнутых многообразий решений.
Доказательство. Исходя из леммы 28.1, вычислим для дифференциальной формы о/, определенной выражением (29.5) (о/ = 0 на У), внешнюю производную de/ на Ж
ds'= 2斗…/叶](%) dx,]八.••八 d%/p , (29.8)
"&<••</叶 i
где
〜p+1 nг "+1
%♦•%+«)= £ £(—i)“N sign"伉-厂)义m=lr=l_0=1
a^m
义/叶m ⑴ X，(X],, %))] •(29.9)
При р = п — r из формулы (29.9) находим
'"…/叶1(")= £ ^7 (4…也⑴xГ(%],.•.，%))
и, следовательно, для дифференциальной формы
do/ = div (ЗХ) dx1 Л • • • Л dxp
выполняется условие(ор = ri^"1. Но так как ①。〜】=0 на 於I, то J 尸=0.
По формуле Стокса имеем
,(oi = ,dd・(29.10)
釈 Р一1*
Однако ввиду того, что произведение 如八.••八厶产 0 как элемент объема, a div(BX) по условию теоремы 29.1 сохраняет знак, то j daf =/= 0. Но это противоречит теореме
Стокса в форме (29.10).
Полученное противоречие доказывает теорему.
Следствие 29.1. (Критерий Дюлака [21 для односвязной области). Пусть
矍=p(招办系=Q(x，S (29.11)
—аналитическая динамическая система, О — некоторая односвязная область, входящая в область определения системы (29.11). Если существует определенная в области G функция В (х, у) класса С1 такая, что
^(ВР)+击做)>。 или
■^(硏+备(版)《0
(при этом знак равенства допускается на множестве, состоящем из конечного числа отдельных точек и гладких кривых), то в области G не существует простых замкнутых кривых, составленных из траекторий системы (29.11).
Из теоремы 29.1 получим обобщенный критерий Бендик- сона. Пусть функция В (хь ・.・,%〃) представляет собой первый интеграл системы (29.1).
Теорема 29.2. Если для многомерной системы (29.1) существует первый интеграл
8 (力1，♦ • •,力J,образующий при изменяющемся Л семейство односвязныхповерхностей, и каждая простая замкнутая линия, пол-ностью лежащая &а поверхности В (хх, . . . , хл) = й,ограничивает конечную ее часть и выполняется условие
div X (%) = £ 备 X (%) > 0(29.12)
или
div X (х)《О
(при этом знак равенства допускается лишь на множестве точек меры нуль), то система (29.1) не имеет замкнутых (п—\)-мерных многообразий решений.
Доказательство. Теорема 29.2 является следствием теоремы 29.1.
Следствие 292 (Критерий В, Б. Демидовича [120].) Пусть в системе
等=Р(招 у, * 备=Q 的 у, z),备=R (х, у⑵(29.13)
правые части Р (х, у, z), Q (х, у, z), R (х, у, z) определены и непрерывно дифференцируемы в односвязной области G3.
Если система (29.13) имеет первый интеграл
Н (х, y,z,)=九
и при изменяющемся 0 < Л < оо образуется семейство простых связных поверхностей, каждая простая замкнутая, полностью лежащая на поверхности Н (х, у, z)= 九'， линия ограничивает конечную часть этой поверхности, кроме того, в области G3 выполняется условие
divf三~^Р(居//,z) + 击Q(居g,z), + 备R(爲y,z)A°
или
div F《0, где
尸= A + Q/ + S
и (i, j, k) •единичные векторы (при этом знак равенства допускается лишь на множестве точек области G3 меры нуль), то система (29.13) не имеет проходящих во всей области G3 замкнутых кривых решения.
Критерий Пуанкаре. Установим теперь критерий, обобщающий результат А. Пуанкаре [90].
Рассмотрим дифференциальную форму конкретного вида и предположим
壮=d^[ = 2 %...府(%)d%i Л A d”，(29.14)
где Q/]/ (x) — некоторые функции класса С1.
Пусть в Gn cz Ml существуют аналитические функции 隔・・・mp3)，гда
1《m] < m2 < • • • <m"+1《九；a = 1,2, • • •, e； e=引(九一ph•
Теорема 29.3. Если для многомерной системы (29.1)ж)ж- но указать 6 области Gn функции 僞]...加夕(%) класса С1, при которых определитель
%・• j =N (sign р产—)僞・・宀⑴％ (%,…,G) сохраняет постоянный знак、m. e.
signa — const,(29.15)
за исключением особых точек, то 6 области G〃 и ЯП не со держится замкнутых многообразий решений системы (29.1)
^Доказательство. Выполняя преобразования, аналогичные проведенным в теореме 29.1, и применяя лемму 28.1, нетрудно убедиться в справедливости теоремы 29.3.
Следствие 29.3. Для системы (29.11) из условия (29.15) вытекает классический критерий А. Пуанкаре отсутствия замкнутых траекторий на плоскости. Так как в этом случае
。=& (%，力[Q]P (爲切 + Q；Q ® 加J，
то условие (29.15) означает, что
sign (Q]P[ (х, у) + Q^ Q (%，У))科2(%，У)— const
везде на G2, за исключением особых точек.
Исследование устойчивостисложной системы с запаздываниями
Задачи устойчивости систем с последействием были предметом ряда исследований [29, 40, 41, 54, 92, 113] и других. В результате проведенных исследований установлено, что формулировки основных теорем А, М, Ляпунова
почти не изменяются, если систему обыкновенных дифференциальных уравнений заменить системой уравнений с запаздываниями. Все же приемы такого перенесения оказались малоплодотворными. В работе [92] было дано более эффективное развитие метода функций А. М. Ляпунова, однако необратимость предложенных теорем лишала их главного достоинства — универсальности. Специфика систем с последействием обнаруживается путем использования вместо вспомогательных функций функционалов Ляпунова. Этим методом в работах [40, 41] были получены общие теоремы об устойчивости систем с последействием и их обращение.
В настоящем параграфе исследуются озаглавленные системы на устойчивость в конечном за ограниченный промежуток времени, а также в случае наличия запаздываний в функциях связи подсистем.•
Предварительные сведения. Рассмотрим систему с последействием общего вида
奪=% (/, хД/ + 齿…・,％ (f + ")” = 1,2,・・•，小(30.1)
и предположим, что правые части X? (/,% (9),・・・,％〃(&)) определены на кусочно-непрерывных функциях xz (й) аргумента 仇 который изменяется в пределах ——т《 0《0
(т = const > 0).
Введем обозначения
11% (9)IF = sup (I £ (仔)| при 1《i《n),(30.2)
—t《仆《0,
сохраняя символ ||x|| без индекса для обозначения нормы вектора х в арифметическом пространстве. Предположим, что X, удовлетворяет условию Липшица, т. е.
||Х 0,盼一X 侑 £)|| < L ||х — %'||, L = const > 0,
где X (厶 ％) = (Xp ..., X), и как обычно предполагаем, что X](力 ％(")) = 0 при %・(9) м0,，= 1,2, ♦••,〃；/ = 12 …簿; —т《9 «0・
При выполнении перечисленных условий решение (обозначим его через х (х0 (^0), /0,0» 鶴&―叫°]) системы (30.1) существует при начальной кусочно-непрерывной функции
%0伪)E {/,•(%)}, j = 1,2, ••・，〃； ％£[—T, 0]・ Эти решения будут продолжимы для всех тех / > /0, у которых кривая х (х0 (д0), /0,0) остается в области
||х (^)|Г <" (” = const > 0).(30.3)
Пусть на отрезке [—т,0] определены непрерывные век- тор-функции х (") с компонентами {% (9),・• •, ％〃 (&)}• При каждом фиксированном / > /0 на непрерывных вектор- функциях х (fl*) g С ([ — т,0], Е) определяется функционал у И, / (0)]三”力％ (9)]・
Приведем следующие определения [40].
Определение 30.1. Функционал。上,％(")], определенный на непрерывной вектор-функции х (fl*) g С ([—т, 0], Е〃) при
賤⑼|「<〃о("о<"),(30.4)
называется определенно-положительным в области (30.4), если можно указать непрерывную функцию з (г)〉0 при г #= 0, удовлетворяющую условию
”九 X ⑼]> w (||х||),(30.5)
и если ”f,0] =0.
Определение 302 Функционал и [力 х (О)] допускает в области (30.4) бесконечно малый высший предел, если можно указать непрерывную функцию W (г), удовлетворяющую условиям
。[/,占⑼,•..,/⑼]《W (假⑼1『)，取(0) = 0.(30.6)
Подставим в функционал v [/, x{ (^),..., xn (0)] вектор- функцию (々(％(J, %,4 + 仆))，％(・)£C([—т,0), Ej определяющую элемент траектории, соответствующий моменту времени t > ". При этом функция
5(/) =。[厶巧饱⑼,％ t + ^.^.分(％ ⑼,％ % + 切](30.7)
есть функция времени.
Величина
千沙(•空土粤二""Hm sup {(0 [x (/ (.), %,
А—+0 \ZU/ Af+0(30.8)
t + M + ^ t + M]-v 1%(X。(・)，} /0 + 切，/]) /Д/}
называется верхним производным числом для функции v(t). Эту величину будем обозначать символом ( lim sup 令底〔丿
которой вычисляетсякоторой вычисляетсягде индекс (30.1) обозначает номер систем, вдоль траектории Ди пРеДел в
которой вычисляется
которой вычисляется
Величина этого предела называется определенно-отрицательной в области (30.4), если можно указать непрерывную функцию wx(r), удовлетворяющую условиям (臨严窑工《一吗(假("。也)，｝ ‘ +啲(30.9)
g(0)=0 и g(r)〉0 при r#=0,// %(/ (•), %,t + ^)||Т<Я, f > 0.
Величина lim sup -^- играет роль производной -^- в силу уравнений (30.1).
Определение 30.3, Функционал 以匕 хх(^),.. .,хЛ (")] называется нижним производным функционалом от функционала V [/, х (^)] в силу системы (30.1), если при подстановке в этот функционал любого решения х (х0 (А*。)，"，f) системы (30.1) из области (30.2) справедливо соотношение
(lim SUP 4rLn =以也% (%0 (备)，b 0L
Задача о конечной устойчивости систем с последействием. Сформулируем теперь постановку задачи о (X, Л, /0, Т, II - ^-устойчивости для уравнений с последействием. Важность такой задачи для уравнений (30.1), как и для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, определяется рядом технических вопросов, при решении которых величины X, А, /0, Т и ||.|| заранее фиксируются.
Определение 30.4. Нулевое решение системы 30.1 называется & Л, %, Т, К. ||) -устойчивым, если для решения % (%о (%),%,/) с начальной функцией х0 (%) из области
Мо (爲)1『〈九 (30.10)
(30.11)(30.11)выполняется неравенство
(30.11)
(30.11)
1你(/(我)工/)1f<4 для всех f £ [%, Г].
Определение 30.5. Нулевое решение системы (30.1) называется (儿 Л, %, 7, II • II)-неустойчивым, если для решения %(%也),4,» с начальными функциями из области
11% (爲)11 Y 九
существует момент времени 匕 £ [%, 7] такой, что
11%(%0&)，片，川1F=4(30.12)
Теоремы об устойчивости и неустойчивости в конечном систем с последействием. Прежде чем переходить к формулировке соответствующих теорем, при заданных и Л (Л < Л) определим
唯(0 = inf (у Q, х ⑼]при Цх (切产=4),吸р 优)=sup 9 Z 尤⑼]при ||х (&)]『=Л).
Теорема 30.1. Пусть система (30.1) такова, что существуют функционал и [% % (О')] и интегрируемая функция ср (0, определенные на интервале [/0, /0 + Т] и такие, что нижний производный функционал 以卩，％(仆)]удовлетворяет условиям
Г. q 伉 х (8)] < ф (0 для всех % ⑼ £ 匕\1\, (30.13)
2。・ j(p (s)由 < 捅,(%) — 爲色),％〉％(30.14)
тогда решение х = 0 仇,4 %, Г, ||-||) -устойчиво.
Доказательство. Пусть х(х(^), /0, /) — траектория системы (30.1) и существует %〉4 такое, что
11% &, %(。),幻产=4
Тогда существует момент времени & < %, при котором m(%⑼,%,幻I]=九友g论"。+ e，匕 <%
Можем записать
。[% (令)，4, %】="%笛0)，4 JJ +
b(30.15)
+ \vl[x ⑼，％, fJ df・
В силу условия (30.13) и определения с^р (/) получим
"%(8),勾<鸣Р(4)+，出6)由(30.16)
и в силу (30.14)
以%⑼,%]<唯闯・(30.17)
Из (30.17) следует ||х (х (-&), /0, /2)||т =/= Л, что противоречит первоначальным предположениям о /2. Следовательно, ‘2^% и IIх (% (°Х，6 俨 <А для всех /^[/0, Т]. Теорема доказана.
Определим количества
inf V [Л, Т] = inf V [/, х (9)],
产(0川=4低也，?]
sup и [X,, T] = sup и 也 ％ (仆)]
1|х(«-)||<Х,低口0, Г]
и сформулируем следствие теоремы 30.1.
Следствие 30./・ Невозмущенное движение системы (30.1) (儿 Л, %, Т, |[・||) -устойчиво, если существует функционал V (/, х ⑹)，указанный в теореме 30.1,屮(f)三 0 и выполняется неравенство
sup и Е Г] < inf V [4 Т] в области ||% (О)||《А.
Замечание 30.1. В формулировке теоремы 30.1 и ее следствии 30.1 требование определенной положительности функционала 咽 ％(")] и условие。口, О]=0 могут не выполняться. Это, разумеется, недопустимо в случае исследования устойчивости систем (30.1) по Ляпунову.
Теорема 30.2. Если для системы (30.1) существуют функционал и функция 卩(0, указанные в теореме (30.1), а также Y < 4 〃 выполняются условия
г. q 乩 ％ (^)] < 卩(/), X ⑼ £ ГЛ\Г?, Zg J;
2c. у 卩(s) ds《啥/ (%)—吧p (匕)‘ ％〉4；
30. ”f, % 纷)]《吸p (0,%⑼ g ГХ\Г?,
mo решение % = 0 системы (30.1) (Л, у, /0, Т, || *||) -устойчиво.
Доказательство теоремы подобно доказательству предыдущей теоремы и на нем останавливаться не будем, а докажем теорему о неустойчивости 166], аналогичную теореме Н. Г. Четаева [112].“
Теорема 30.3. Система (30.1) будет (九,4办7』・||)•修啰加妳 чива, если существуют функционал ^[х(^),П» интегрируемая функция 屮(f) v/ £ J и 分 “ у < 儿 Tl < Т и множества Q, ①(力屮⑴：_
c =「八%
Ф(0 = {X ⑼:”% 纣),t]〉唸(/)}, t £ JTi
где i|)(/) = Q П Ф ©—связное u непустое для / £ 丿厶屮(友 + +『J f] ЗГЛ = 0, такие, что
% [%(2),/]〉卩(/) для всех t^Jv
%限屮(f);(30.18)
существует 尢о ⑼ g 屮(/) 丫《|| x0 (出 |1 V 九 такие, что
f叱Г !
J Н («) ds > ^р (td + T^—v [х0 (^), Zo],
J 卩(S)由〉％ &) — V 风⑼,/0];(30.19)
и [x ⑼,％ + TJ《吸p (片 + TJ при всех
% 砌 £▽(% +「)•(30.20)
Доказательство. Рассмотрим траекторию х(х(^),/0, 0 такую, что % 饱(9)"о, %) = % 纣)£ 屮(%). Пусть % 5%， % +「1】—первый момент времени такой, что v[x (9),%, t^ =%(%)•
Предположим, что || % (% (&),", f)俨 < А для всех / £ 佐, 友).Тогда
〃％ %国⑼，Л】〉％ (%)(30.21)
и мы получаем противоречие с существованием /2. Следовательно, 。伉％纷)]〉唯р(/) при всех f£®4 + 7]・ Озсюда следует || % (% (令)，％")产 < Л для всех t £ 也，/0 + Г] и тогда %(% &)，％/)亡屮⑴ при всех /£%
Предположим, что || х (х0 (-&), /0, /) ||х < А при всех /£[% % + Tj・ Тогда
。也 + 7；, % (% ⑼,/0, % + Т)]> 嗑х (% + 7), (30.22) что противоречит предположению (30. 20), и первоначальное предположение относительно х (х0 (-&), /0, /) неверно. Следовательно, существует gH%, %+Tj такое, что
II % (尤о (出,^о» %) 1「= 4
т. е. система (30. 1) неустойчива в конечном.
Условия устойчивости и неустойчивости систем с последействием, полученные с помощью функции Ляпунова, имеются в [68].
Системы с запаздываниями в связях. Исследуется устойчивость сложных систем с запаздываниями в связях с помощью функций Ляпунова укороченных систем при наличии ограничений на связи [69].
Пусть задана система dx.
丁 =% — %(/)),・・-%(/ — %(/))),
i = 1,2,..., /и,
学=工(力弘，…，%，占(/-m (力…•出修一2 (/)))，
s == 1, 2, ■ * •, 〃.
В дальнейшем для краткости будем ее записывать в виде 警=X (/, %, и (' — т «)))，
(30,23) 黑=и, % (/ — у/))).
Вектор-функция X (/, х, у), зависящая от (tnnr + 1)-го аргумента, непрерывна по / и удовлетворяет условию Липшица по х и z/ (равномерно относительно /):
IIX (/,招 у) — X (/, х°, у0) И &
(30.24)
c^(||%-^||+1)1/-1/0(().
Аналогичному условию удовлетворяет вектор-функция У (厶 y，讣
《％ (К у-уЧ + У-^ II)，4,4 = const〉0. (30.25)
Будем считать условия (30. 24), (30. 25) выполненными в области
Q (Н,", т) = {(/, х, у):|| х И ^/7,0 у И < Я,/ > т}.
Пусть функции ((/), определенные при / > а, Неотрицательные, непрерывные и ограниченные: 弓 Q) & т° (т0 = =const〉0).
Основная начальная задача для связанных систем (30.23) ставится следующим образом. Пусть даны /0 > « и системы непрерывных функций
恥(0，f £【％’ 心'％]，，= 1,2,
办(/)，/ £佈一 *幻，s== 1,2,
Требуется найти системы непрерывных функций
*i (%)，/ > 'о，力==1,2,..., /72；
% (/), / > %, S = 1,2,..., ^,
удовлетворяющие условиям
%(G = r(3, \\у\\<н
и первой подсистеме из (30. 23), а также условиям
У5^ = ^^ II^IK^
и второй подсистеме из (30. 23), причем если / —弓优)《％, то у8 (/ ——т； (/)) в правой части первой подсистемы (30. 23) должно заменяться на 电优一乙(/)) и 勺 0 一 丐(0) в правой части вюрой подсистемы (30.23) должно заменяться на 恥优-丐(切.
Из результатов [113] следует, что если | Ф1 (/) | + ... ♦••+1 屮加(/)I + I屯(/)丨 + • • • + I ②(/)1 <", ТО начальная задача при сделанных предположениях имеет единственное решение, определенное в некоторой правой полуокрестности то!*ки /0. В дальнейшем предполагается, что решение (х (/),
£/(/)), определенное начальными функциями (ф (/), ^ (/)) (в любой момент /0), удовлетворяющими неравенству
21也(川+工1电⑴1е6е"21也(川+工1电⑴1е6е"『1『1ЛЛS=1S=1
21也(川+工1电⑴1е6е"
21也(川+工1电⑴1е6е"
『1
『1
Л
Л
S=1
S=1
при достаточно малых 3, продолжаемо на всю полуось / >/0-
Пусть Т)⑴=у (/ — % (/)) £ 額紋 С (/) = % (/ — *•(/)) £ 窥加 где Жп и 期加一 пространства функций {//(•)}, {%(•)} с нормами
1历(/ — % (0) IIх = .sup^(| ysf I при / — т. (/)《％, s = 1, 2…•/), ||%(f — t/(f))IF = sup (I xz/1 при / — *•(/)《％, i=l, 2,... ,m).
Предположим, что вектор-функции 刀(/) и С (/) непрерывны и удовлетворяют условиям
Нп(0|1<^ ииоп<я.
Наряду с системой (30.23) рассмотрим вспомогательные системы
嘗= X(f,x川⑼(30.26)
и，
鲁=Y5，乳 t)).(30.27)
Обозначим через Ох и Оу начала координат пространств £\ и £*2，а через 0 — начало координат £\ х Е2.
Условимся говорить, что точка Ох подсистемы (30.26) квазиустойчива, если для достаточно малого £ < " и fо > t существует положительное число 6 (е, %) < 8 такое, что любое решение подсистемы х (/) удовлетворяет условию || х(/) ||<8 для всякого %《£《/[ с начальными функциями 屮(/), удовлетворяющими при 2 = /0 неравенству
IIФ (%) II <，f £ [% — т, %]‘
если в любом интервале f()《/《友
1也(川10 и н(0|I<6.
Аналогично определяется квазиустойчивость точки (4 другой подсистемы.
Устойчивость по Ляпунову связанной системы (30.23) решается теперь теоремой К. Персидского для системы с запаздываниями.
Принимая в подсистеме (30.26) т] (/) = 0, рассмотрим систему
警= Х(/,居 0),(30.28)
и, полагая g(f) = 0, систему
黑=У(力协 0).(30.29)
Теорема 30.4. Пусть выполняются следующие условия.
1°. Для подсистем (30.28) и (30.29) существуют опреде- ленно-положительные квадратичные формы и (%) = (Дх, %) 〃 и (у) = (By, у) таковы, что их производные в силу укороченных систем (30.28) и (30.29) — определенно^отрица- тельные функции, т. е.
и (%)《wx (х),吗(х) =(4%,尤)，(30.30)
i(p)《吗з(办 吗(切=(B{yty)t (30.31)
где 4工 〃 В】一положительно определенные симметрические матрицы.
2°. Существуют частные производные
DX (/, х, w) DY & х, и)
济 ' К '
нормы которых в области Q (Я, Н, т) достаточно малы. Тогда точка О для системы (30.23) устойчива по Ляпунову.
Доказательство. Как и выше, для решения вопроса об устойчивости по Ляпунову системы (30.23) достаточно показать квазиустойчивость подсистем. Рассмотрим первую подсистему. Перепишем ее в виде
警=X (/, %, 0) + R(f, %, у (/ — 〃/))),
(30.32) где
Ri = X«,x,//(f-t(/))-X«,%,0)・
С помощью теоремы о среднем получаем последовательность оценок
II х 优,X, 〃) 一 X (/, X, 0) II = || u _^£iyiM II《<н«нf空户•卜心II 。,
где
o = sup (产斗产 D，о<0<1. а，х,и)ещт,н,н)
Отсюда для нормы вектора R* (厶 х, “) получим оценку ||&俏居 “)II《о||〃||,
(30.33) t >，о，s £ [% t, f。].
Таким образом, систему (30.32) можно считать возмущенной по отношению к системе (30.28), возмущения которой подчинены ограничениям (30.33). Дальнейшее доказательство теоремы проводится с использованием идеи доказательства теоремы И. Г. Малкина об устойчивости при постоянно действующих возмущениях [51].
Аналогично доказывается квазиустойчивость точки Оу. На основе теоремы К. Персидского [881 заключаем об устойчивости точки О системы (30.23).
Теорема 30.5. Если точки ОхиОу укороченных подсистем равномерно асимптотически устойчивы, то точки Ох и Оу квазиустойчивы при постоянно действующих связях, содержащих запаздывания.
Доказательство этой теоремы проводится путем применения леммы Ю. М・ Репина к уравнениям (30.26), (30.27), преобразованными в интегральные, учитывая результаты § 5 (см. [96]).
、 Замечание ЗОЛ. Аналогично тому, как проведены оценки взаимодействия подсистем обыкновенных дифференциальных уравнений (см. § 6, 19), можно провести анализ систем с последействием.
При построении решений на конечном интервале независимых подсистем, содержащих запаздывания, эффективными могут оказаться методы параметрического представления решения по степеням преобразованного аргумента (см. [31, 68, 90]) или в простейшем случае степенные разложения.
Исследование устойчивостирешений конечноразностных уравнений
Постановка задачи. Предположим, что задана система разностных уравнений
х[т] =Н (х[т ~ l],m— 1), m =团°,加。+ 1,・・・，团° +^,
(31.1)
где х ——n-мерный вектор, Н — n-мерная вектор-функция. Значение 他 £ 厶,где Jm = [mQi 加。+ mN] = {m0, /п0 + 1,... ...,m0 + 加汽}・ Наряду с интервалом Jm рассмотрим открытый интервал 厶=[%, % 十 加戸，т.е. {mQ, m0 + т^ = »={/n0,/n0+ 1,.. .ttnQ + mN— 1}. В общем случае правые части системы (31. 1) зависят от некоторых конструктивных параметров системы Рр ..., рг
В пространстве Еп определим евклидову норму вектора 尤 и рассмотрим области Гл, Г%, 「&\九=ГЛ\Г%.
Введем в рассмотрение функцию v[m, х], локально большую, заданную в Гл х 〃 +
Определение 31.1. Функция v[tn,x] называется локально большой, если при заданном 0 < Л < оо существует с〉О такое, что поверхности уровня v [m, х] = с замкнутые и содержат в себе область Гл при m^Jm.
Определим некоторые количественные оценки функции v[tn^xY
嗑х(加)=max (и»,x] при ||x|| < Я),
吟in(加)=min (и【丸 ％】 ПР" II % II < 九)，
и猛[m] = max (v [m, x] при X < ||x|| < Л),
吟il 闸=min (v [m, x] при X < ||x|| < Л),(31.2)
*护勺向 н max (v [m, x] при Л < ||x|| <Д +a), v^,A [tn] = min (”/n, x] при A<||x||< Л + a), 噌萨° 制】==max 仅 pn, x] при Л — a< ||x|l < Л), 吸'fa 阿=min (v [色 x] при Л — a < ||x|| < Л).
В области Гл X Jm определим первую разность функции v[mfx] вдоль решения х [т] системы (31. 1):
Av [т, х] = V [m + 1, х (m + 1)] —v[fn,x(tri)]. (31.3)
Выражение (31. 3) можно представить в виде
Av [т, х] = V”他,х (m)] Дх(т) +v[tn + l,x (m + 1)]—
гдеи\zu [m,尤]=гдеи\zu [m,尤]=—v [tn, х (tri)],(31.4)
где
и
\zu [m,尤]=
где
и
\zu [m,尤]=
Дх (m) = x (/n + 1)—x (m)(31.5)
и [m+L %】(加 + 1)] — - и [/n + 1, %】 (m)]、
% (/n 十 1) — %i (m)
v [m + 1, . .., xn (m + 1)] — v [m + 1,.. ., xn (m)]
%n W+l) —%九(m)J
(31.6)
Остановимся теперь на связи, существующей между областями Гл, Г^, областью допустимых параметров Ф системы и свойствами движения % (т) системы (31.1).
Предположим, что заданы области Гл и Ф. Требуется определить область 1\. Этот случай включает в себя классическое определение устойчивости при рассмотрении неограниченного интервала времени и встречается при анализе реально функционирующих систем.
Заданы области 1\ и Ф. Требуется определить область Гл, которую не покидают решения х (т) при tn^Jm. Такой случай может представиться тогда, когда по заданному множеству начальных отклонений при анализе данной системы требуется определить состояние этой системы в момент /и* ^Jm.
Заданы области 1\ и Гл. Требуется определить множество Ф. Такие задачи возникают при синтезе реальных систем, причем область Гл определяется качеством синтезируемой системы, а Гх техническими условиями ее работы.
Теоремы об устойчивости. Поставленная в п. 31.1 задача об устойчивости системы (31.1) может быть эффективно решена при помощи второго метода Ляпунова [50, 125].
Найдем условия устойчивости системы (31.1) согласно определению локально большой функции Ляпунова.
Определение 31.2. При заданных оценках X, А нулевое решение системы (31.1)仇,Д, /и0, т^)-устойчиво, если для всякого решения % (т), начинающегося в области
II ^(m0) И <Х,(31.7)
справедливо неравенство
II % (m) II <4 (Х<Л)(31.8)
при всех tn^Jm.
Теорема 31. 1. Пусть выполняются условия.
Г. Для системы (31.1) существует локально боль- тая функция v[m,х], ограниченная при всех m^Jmu x(m) с действительными значениями.
2°. Существует функция ср (т) с действительными значениями при mQJm и ограниченная при fn^Jm.
3°. конечная разность Дх (т) удовлетворяет условию || Дх (т) И < /不"=/, о > 2 при всех т £ Jm.
4е. Первая разность функции v [т, х] такова, что Ди [т,х] < ф (т) при всех m^Jyx^ ?/、“•
5°. Имеет место оценка
加2一1
£中3)《吸，片先[тJ - 。^У [叫]
при всех /Пу 加? £ 厶，加2〉mr
Тогда нулевое решение системы (31.1) (%, Л, т0,加川)・ устойчиво.
Док азате л ьство. Предположим, что решение х [т] системы (31. 1) начинается в области || х (m0) || < X. Пусть существует значение % £ % при котором || х (%) || > 4 Тогда найдется значение 恤口 恤一1, m2^Jm, при котором l| % (加2)II <4
Предположим, что решение х (тр) такое, что || х (tn^ ||<А, тогда существует значение 加】=加「+ 1,叫 £ 厶，такое, что ||%(?1)||>九・ Учитывая условие 3° теоремы 31. 1 для значений 恤 м 恤 в цепочке неравенств
то < тР < mi < т2 < %，
найдем
^^h(m)||<X + Z и
4 — 2《II % 依2)II < 4
из соотношения
以m, X [m]]= "恤,x (%)] + e Au [瓦 x (初，月=加1
m0 < //ij < m < /л?，
Учитывая определение ^+/Л [m], по формулам (31. 2) в силу условия 4° теоремы 31. 1 найдем
mt—l
V[tn2,x(tn^]<v^l[tn{]+ £屮但)・(31.9)
々=生
Из неравенства (31.9) и условия 5° теоремы 31.1 находим
以加2，%(m2)】 < 吸脅т【九2]■
Это неравенство противоречит определению 吧 ”т [矶 а полученное в предположении существования тр, при котором ||x(tnp)|| > Л, показывает, что тр ^ Jm. Теорема доказана.
Определение 31.3. При заданных оценках 入，А,В,т°, mN (Ji <： Л < В) нулевое решение системы (31. 1) квази- сжимающе (Z, Д, В, иг。，m^-устойчиво (при этом X < Д < В), если для нормы всякого решения х (т), начинающегося в области F九,выполняются такие условия.
Г. II х (т) || < В при всех m £ Jm.
2°. Существует значение tnp £ [m0, m0 + tnN] такое, что II х (т)|| < А при всех m £ [勺,mp + mJ.
Теорема 31.2. Пусть для системы (311) выполняются следующие условия.
Г. Существует функция и[т, х], указанная в теореме 31.1, а также функции 汕(加)и(p2 (tri) действительными значениями при m^Jmi ограниченные на Jm.
2Q. конечная разность Дх (/п) удовлетворяет условию
II Ах (加)И < ^^ = Z, а > 2, m £ J® 8 —九>。・
3®. Первая разность функции v[tnfx] в области ГВ\ГХ удовлетворяет неравенству
Au [т, х (т)] < ф, (т) при всех т £ Jm.
4°. Первая разность функции и 制,х] в области^B\rB_z удовлетворяет условию
Аи [/и, % (/n)] <(р2(т) при всех т £ Jm.
5®. Выполняются неравенства
a) 2 R (期<啕十的2]一吟#'"mJ k—m^
при всех (tnv /п2) m2 >
m^mN-^\
6)2中2但)<鳴"网+纵】一吸й[初 fe=^3
Тогда нулевое решение системы (31.1) квазисжимающе устойчиво.
Доказательство. В силу условий Г — 3° и 5Q, а) теоремы 31.2 система (31.1) устойчива относительно количеств (%, В, т^ т^) по теореме 31.1. Предположим теперь, что для траектории х(т) с начальным условием ||х(т0)||<Х существует значение mr^Jmt начиная с которого выполняется условие II х (т) || > Л у/п£ тг.т^ + mN]. В силу второго условия существует m8 = mr — 1,入£>, для которого
4 一y 11%(加3川< Р-
Из соотношения
〃％ + 加др X (/И。+ tn^] = U [%, % (飞)]+
+ E Au 饱 ％(舟],/П3 < m0 + mN
в силу определения ^4-1 [т] получим
и % + 团川,％ (хп。+ mJ]《v^ [加3] +
+ e Au 肉% (初.
Далее из неравенства
%+mN一1
и [m0 + mN> % (恤 + m^] < 嗑Q / [%] + £ % 3)
и условий 4° и 5®, б) теоремы 31.2 находим
u [/ +m№ % (%+m用 < 吸金% +加"， в то время как
4《||х(% +加n)II < В.
Таким образом, существует tn^J^ такое, что
II% (m) II < А ут £ [加4,团4 + 加"•
Этим теорема доказана.
Определение 3/4. При заданных оценках Л, Л, В, tn^ mN нулевое решение системы (31.1) сжимающе (Z, 4 В,恤,/неустойчиво, если для нормы всякого решения % (/и) с начальными значениями х(т()), удовлетворяющими неравенству
1|%(团0)II <^， выполняются условия
нулевое решение устойчиво относительно количеств
®В,& mN
существует значение 加口£ [т。,加° + т%】' начиная с которого И % (加)|| <4 при всех т^ \т^т^ +fnN].
Теорема 31.3. Пусть для системы (31.1) выполняются следующие условия.
尸・ Существуют функции v [т, х] и(p1 (/n),(р2 (т), указанные е теореме 31.2.
. Конечная разность Дх (/п) удовлетворяет условию mХ (力川 <^^ =厶。>2,加 eJg 4> 厶
. Первая разность функции и【加，％] s области ГВ\ГХ удовлетворяет условию
А”т, % (т)] < 恥(m) vm £ 〃•
. Первая разность функции v[m, х] е области Г5\ГЛ_; удовлетворяет условию
Дс/ [т, х (m)] <(р2 (m) Y加 €〃•
. Выполняются неравенства
£屮1(例《嘴8-"m2] 一吟+厶"加1]， k=mt
(mx, m2) G Jm,加2〉加i；
%+加n-1
2屮23)«磽‘」叫+ m自 -哈FmJ a=加1
(叫 <mQ + mJ;
m^mN-\
b) e92优)《磽"m+叫一鸣勺吸]■
При выполнении перечисленных условий система сжимаю- ще (X, А, В,恤 тыУустойчива.
Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательствам теорем 31.1 и 31.2.
Декомпозиция систем разностных уравнений. Изложенные в п. 31.2 теоремы об устойчивости системы (31.1) эффективно решают вопрос об устойчивости на конечном интервале при наличии подходящей функции Ляпунова V [т, х]. Проблема построения функции Ляпунова для систем разностных уравнений высокого порядка все еще остается трудной задачей и целесообразно иметь подходы к решению вопроса об устойчивости, основанные на знании функций Ляпунова, соответствующих системам меньшей размерности.
Предположим, что система (31.1) декомпозирована на ряд подсистем
х$ [m] = Н& [tn + 1, х§ (ш + 1)] + 尸8 [加 + 1, % (加 + 1)]・
(31.10)
Здесь
?(m + 1) = (Xi (m + 1),・・・，XsT (/n + 1), Xs+i (加 + 1),・・•
...,xr (m + 1)) и
1^Г8 ="，x$ £ E心.
S=1
Функции Fs осуществляют связь подсистем
xs[m] = H8[m+ l,xs(m+ 1)], l《s《r, (31.11)
на которые распадается система (31.10) при обращении в нуль функций связи.
Вспомогательную функцию и$ [т, х] будем связывать теперь с s-й подсистемой (31.11). Найдем условия, при которых полная s-я подсистема из совокупности (31.10) устойчива в смысле следующего определения.
Определение 31.5. При заданных оценках Xs, As,\i^m^ 加％ (人《4)нулевое решение s-й подсистемы (Xs, Л5,(xs, т^ m^-устойчиво, если для всякой траектории х$(т) выполняются условия
l|xs(m0) И <4 и
IIxs(m)II < Л5 vm£4
при постоянно действующих связях подсистем Fs, подчиненных условию
II工 [加，爹(加)1 Н < &，т £ 厶，% 6 °，
где D — область изменения вектора %•
Используем соотношение
q [m, xs(/n)] = vs [mp x$ (%)] + 工厶先风(轨同 + k=ml
+ 2(V%[也 4(例],冗伏,%伏))(31.12)
k—mt
В выражении (31.12) суммируются скалярные произведения векторов, Au”s 一 первая разность функции Ля- 304
пунова, соответствующей s-й подсистеме при вырожденных функциях связи.
Теорема 31.4. Пусть выполняются следующие условия.
1°. Конечная разность Ах§(/п) удовлетворяет неравенству
II Ах$ (m) II < 寺丄=/, о > 2, m^Jm.
2®. Для s/ подсистемы из совокупности (31.11) существуют локально большая функция Ляпунова v8 [ги, х$] и ограниченная функция (ps(/n) такие, что первая разность функции us(m, xj удовлетворяет условию
А% [ги, xj <(ps (m), m £ 〃, xs £ Гл \ I\・
3°. Существует ограниченная функция р$(/и) такая, что
IIV4【％ Xs】II < Р,(向，力 £ 厶，х$ £
4\ Функции связи подсистем Fs удовлетворяют условию
[1匕(m，^) II < ^
5®. Имеет место неравенство
/Mj—1
£ (恥色)+ 0р,伏))《/4-/师2]一 d才'"/1 k~tni
при всех (tn^ m2) g Jm.
При выполнении перечисленных условий нулевое решение s/ подсистемы из совокупности (31.10) (%, As,卩§, 恤， mN)-ycmod4ueo.
Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 31.1, и по этой причине здесь не приводится.
Определение 3/.6・ При заданных оценках \, Л8, Bs, ps, m0< tnN (%《％s《В) нулевое решение s-й подсистемы квази- сжимающе устойчиво относительно (%, 4$, Bs,步$, m0, m^), если
II х8 (^0)]| <Л5;〜
|1尸5[m,？(加)]1| e &,莢0；
нулевое решение (儿，&，卩s，加°，т#)・устойдиво;
существует mp g Jm, начиная с которого ||х$(/и) ||<4・
Теорема 31.5. Пусть выполняются следующие условия.
Г. Конечная разность Axs (m) удовлетворяет неравенству
А
II Ах$ (т) || < $ °~ 二=厶 и > 2, m g Jg
2°. Для s-й подсистемы из совокупности (31 11) суще^ ствуют локально большая функция vs [加,х§ ；m)] и ограниченные ф нкции (pls (m), <р2s(团)侬&〃6， 4mo первая разность функции vs [m, xs (т)] удовлетворяет условиям
Au% pn, x$]《Фа (向 § области ?鼻\?箱
A%[m,xJ《屮2s (加)§ области %、「&—z・
3°. Существуют ограниченные функции pls(/n), p2s (m) такие, что
||\74[m也(力川1《p]式加)，加g(，x3r殳\「%；
IIV% [m, % (砌 И 4 р2s (加)，团 £ 厶，х, 6 VB^\VA ^.
4°. Выполняются неравенства
2@s但)+ 出限⑼《噴"I[也]一必『/], 也=加]
(mvtn^^Jm,m2〉例1；
2 [孤他)+ 也p2s 3)]《噜'4 к + m£ —
Тогда s-я подсистема из совокупности (31.10) квазисжимающе устойчива.
Теорема доказывается аналогично теореме 31.2.
Определение 31.7. При зада шых оценках \, Л5, В<,卩,,/п0, mN ( & < %《В) нулевое решение s-й подсистемы сжима- юще устойчиво, если
||Х8(%)』<Л；
||Fs[/n,x(m)]|| <|As;
нулевое решение xs (tn) устойчиво относительно (%, 8$, 也，加0，^N)；
существует такое значение /пр£ J, что
II xs(m) \\<As,加£(加紋加o + 加仆
Теорема 31.6. Пусть выполняются следующие условия.
. Конечная разность Axs (zn) удовлетворяет неравенству
8 一大
||ЛхДт)||<^-^ = /, а>2,以〉厶加£厶・
2°. Для s-u подсистемы из совокупности (31.1) существуют локально большая функция vs ［т, xs］ и ограниченные функции(pIs (m) и(p2s (m) такие, что первая разность функции vs удовлетворяет условиям
а) А% 向,\(m)］< ср* (/и) ym £ 厶,％ £ %、％
6)a% ［加,Xs (加)］ < 92s(m)V加 g (，Xs 6 rВ5\rЛS_f
3°. Существуют ограниченные функции pls (m) u p2s (m) таковы, что
IIV% ［m, xj || < pls(/n) в области ГВ \Г^, tn £ 厶；
IIV% ［m, xj II < p2s (加)8 области Гв \Гл _р tn g 人・
4° Выполняются неравенства
£ ®5 他)+ ^s(k)］《嚼 Ai ［询一 a=办
-J才勺矶加］,m2€厶，加2〉/；
2 ［中2s 他)+ 0P2s 优)］ < 嘴4制0 + 铀J 一
k~m^
-g"【加4］，加4 £厶，m4 < % +mN； %+mn-1
2 ［中2s (田+nsP2s (切《鸣勺% +以］一 月=%
При выполнении перечисленных условий s•兄 подсистема из совокупности (31.10) сжимают^ устойчива относительно количеств (%,纥,』s，卩S' mo» 加N)・
Теорема доказывается аналогично теореме 31.3.
.4. Достаточные условия устойчивости s-й подсистемы. Будем предполагать, что правые части s-й подсистемы из совокупности (31.11) таковы, что разностное уравнение можно представить в виде
xs [m] = P^s [m — 1] + X [m — 1, ^ [m — 1],…,％ 制一切， '(31.13) где Ps ——постоянная матрица, Xs ——вектор-функция, компоненты X],. •・,Xrs которой ——абсолютно сходящиеся ряды, начинающиеся с членов не ниже второго порядка относительно 看，...，%大。
Рассмотрим линейную систему
х§ (加)=Psxs (т — 1)(31.14)
и предположим, что корни характеристического уравнения
det|R —入旦I =0(31.15)
удовлетворяют условию |九/ < 1, j = 1, 2, /. . , q. При этом наперед заданной знакоопределенной матрице Cs соответствует единственная знакоопределенная матрица Bs, разрешающая уравнение
p；BFs-Bs = -Cs・(31.16)
• В этом случае решение матричного уравнения (31.16) можно представить так:
=(G；L Efe； G「・(31 •⑺
Здесь G「一 матрица Вандермонда вида
胃T|I = G「(i,/= 1,2…./J;
入上 н 九j ——комплексно сопряженные характеристические числа уравнения (31.15), || %j II = % — матрица вида
Для квадратичной формы
4(Xs) - (&Xs, xs)(31.18)
первая разность
(3L19)
в силу s-й подсистемы (31.13). Здесь %,加_] имеет вид
%m_i = X* (/И — 1)邑” 一CJ X (m - 1),(31.20)
где
|2x* (m-l)P^BsXs + X；BsXs\
Za 閣:x* (/n-l)x(/n~l)・
Из выражения (31.19) следует, что первая разность A^s (%) будет убывать при m > /п0 в области Гл^ если форма %*](%) будет определенно-отрицательной.
На основании критерия Сильвестра получаем, что us tn_{ (х) будет определенно -отрицательной, если
(-坟％〉0,左=1,2…・з，(31.21)
где Д| — главные диагональные миноры формы (31.20). Резюмируем теперь изложенное следующей теоремой. Теорема 31.7. Пусть выполняются условия.
1°. Для s-u подсистемы (31.14) существует определенно-положительная квадратичная форма (31.18).
2°. 8 области F& выполняются неравенства (31.21).
Тогда s-兄 подсистема из совокупности (31.13) устойчива относительно количеств 九§, Л8 (^8 < Д8) на неограниченном интервале [/п。, + оо).
Численно-аналитический алгоритм синтеза устойчивых систем регулирования. Сформулируем предварительно одно предложение об использовании 7?-функций в задаче об устойчивости движения [68]. Пусть имеется совокупность неравенств
4 (В) < 0, Д2 (₽) > 0,..., (- 1)%入(В)〉0. (31.22)
Найдем в множестве Ф хотя бы один набор параметров Р，при котором выполняются все неравенства (31.22). Для решения этой задачи построим 7?-функцию на основе операции R-конъюнкцин 〃八1U = 〃 + и — ]/〃2 + 风
Согласно неравенствам (31.22) получаем
R [А (р)] = ((- 4 (р) Л & (Р)) /м— % (В)) лг..
...ДЛ- 1)%А(В))・
Учитывая соотношение эквивалентности
{§ : (一 1)А (В)〉0, i = 1, 2,・・・，公 8 {р ： R [Д (р)] > 0}, вытекающее из общих свойств R-функций, получаем следующее утверждение.
Лемма 31.1. Если в области ① существует точка Р* — (Р*, • • •, Р*), 8 которой выполняется условие
R [А (Р*)]〉е (£〉0 — const),
то в этой 宛е точке выполняются все неравенства (31.22).
Рассмотрим случай простых характеристических чисел %,. •・,九飞 матрицы Ps в Еекторно-матричном дифференциальном уравнении
dx,
尤=P/s + 硼(о), о = YX$・ (31.24)
В этом случае характерист ическое уравнение имеет вид
a* 仇)=口 (九-")/=ia* 仇)=口 (九-")/=i1 «产2萨一）1 «产2萨一）产）产）XXyF (^hA' (%)yF (^hA' (%)(31.25)(31.25)
a* 仇)=口 (九-")/=i
a* 仇)=口 (九-")/=i
1 «产2萨一）
1 «产2萨一）
产）
产）
X
X
yF (^h
A' (%)
yF (^h
A' (%)
(31.25)
(31.25)
где 儿一корни характеристического уравнения А (九)= =det (Xх Е ——Р$), а 尸(九)——присоединенная матрица для (九 N-PJ.
Уравнение (31.24) преобразуется к виду
pN + p%i + ・・・+p： = 0,(31.26)
где V = у』и р\ — вещественные коэффициенты.
Для асимптотической устойчивости линейной системы регулирования необходимо и достаточно, чтобы все корни
зю
уравнения (31.26) лежали слева от мнимой оси, а это, в свою очередь, обеспечивается неравенствами Гурвица
4(р)〉0,・・・，А〃(р)〉О, %〉О, 4〉。 или
4(р)<о,・・・А(В)〉о, р；<о, р；<о.
Если pg①,то, применяя метод /?-функций, задача о выборе параметров устойчивых систем регулирования сводится к выделению области ①'，в которой
R [Д (р)] >8 (е〉0 — const).(31.27)
Практическое применение сформулированного критерия синтеза устойчивой системы в виде (31.27) связано с вычислением максимума функции R [А (Р)] на допустимом множестве методами поиска максимума функций многих переменных [29].
Устойчивость в произведении пространств. Пусть s-я подсистема из совокупности (31.10) имеет начало координат Oxs (s = 1,2,..., m) и определена в области Qs (Н, 〃)• Тогда вся система (31.1) имеет начало координат Ox】X X Ох2 х ... X Ох- и задана в произведении пространств Й1 X Й2 X ... X Й-.'
Определение 3/.8. При заданных оценках Xs, As, т^ mN нулевое решение композиции систем (31.10) устойчиво относительно (久廿闻乂…乂际，「Ах^х…У. если всякое Реше~ ние х(т) с начальными значениями из области 1\]Х®х...х九蒞 остается в области 1\山…><^ при всех 加£厶.
Теорема 31.8. Пусть выполняются условия.
Г. Для каждой подсистемы ||xs(m)|| < /s, mg Jm, s = 1,2,…，m.
2°. Каждая подсистема устойчива относительно количеств
他，4, 4s + '$—,],加°，mJ %《"s，s == 1,2,..., m.
Тогда система (31.1) устойчива относительно количеств(%ХМХ...Х^，%Х42Х.・.Х^' 外'
Доказательство. Пусть решение %(т) системы (31.1) начинается в области Г, 寸 ⑺一 Зафиксируем ре-
шение хл(т)生й подсистемы и предположим, что 3叫€4, при котором II х也(加)|| > %. По условию теоремы || х#〃) || < < /Л, |1 ХЛ (m) II < ЛЛ + %, IIX» (m) || < 4・ Следовательно, II х^ (т) || < Ak 丫加 £ Jm. Повторяя эти рассуждения для каждой подсистемы и учитывая второе условие теоремы 31.8, получим, что II х$ (m) || < As, s = 1,2, • •・,/л, и, следовательно, при всех 团£厶，x(tn)^A^A^
Аналогично доказываются теоремы о квазисжатой и сжатой устойчивости разностной системы в произведении пространств.
Об устойчивости по Четаевусложных систем со случайными параметрами
В этом параграфе рассматриваются задачи конечной устойчивости сложных систем, содержащих параметры, являющиеся случайными функциями времени. Изложенное основывается на применении принципа сравнения с решением скалярного уравнения.
Постановка задачи. Пусть имеются дифференциальные уравнения возмущенного движения [38]
當=№%，//(/))， (32.1)
где % — n-мерный вектор обобщенных координат, f — вектор-функция, компоненты которой непрерывны по всем аргументам и удовлетворяют условиям Липшица по переменным % в области G 乂 J“
Пусть функция у (/), описывающая случайный марковский процесс, является однородной марковской цепью с конечным числом состояний, т. е. у (/) может принимать в каждый момент времени одно значение у. из конечного множества У(У?…，У), пРичем вероятность р〃(А/) смены значений у^у^ за время А/ удовлетворяет условию
%(△/) = %& +О Q),
где символ О (Д/) обозначает малую величину более высокого порядка, чем А/. Будем предполагать, что Д (/, О, У«)) =0,央匕 /£%・
Как и в [38] решением системы (32.1) будем называть (п + 1)-мерную случайную функцию {%(%%,%,%), у (Л /0, %，％)}，реализации которой {#(/,%,%,%), У'С，％,%,%) удовлетворяют уравнениям (32.1). В связи с уравнениями (32.1) будем рассматривать скалярную функцию v(ttxt у), определенную и непрерывно дифференцируемую в области G и обращающуюся в нуль при х = 0. Символом М 伸(出,・.・ ...,aj ар ..., а/В】 будем обозначать математическое ожидание функции г|)(ар ... ,ап) случайных величин ар ... •. ., ап при условиях 卩,которые могут представлять собой некоторую совокупность равенств, неравенств или каких- либо других условий. В соответствии с этим, выражение *
М [V (/, х (/), у (f); x$h у©1х© = J, y(t)=叩(далее для сокращения записи обозначается М [и (/)]) пред-ставляет собой математическое ожидание случайной функции
” (Л % 怎 т, Г], /), у (т), т, /)) при / > т
вдоль решения {% (/), у (/)}, порожденного начальными условиями % = &, у = П при / = т.
Далее будут использоваться следующие обозначения:m3 ["(f)] = min 便①⑼，И % 1|==儿呎 y),Mmax [V (/)] = max (M [v (/)], II % II = 4 乡 £У)・
В соответствии с определением 2.4 работы [38] производную dM [V {t)]/dt функ ции М [v (/)] в силу уравнений (32.1) в* точке 点 т], т) будем вычислять по формуле
国嶋(力=lim ^_(м[^(х (/), 1/(/)^)；
Надлежит выяснить условия, при которых решение {% (0» У (0} системы (32.1) устойчиво в конечном на ограниченном интервале времени.
Вспомогательные леммы. Приведем две леммы о дифференциальном неравенстве для математического ожидания случайной функции Ляпунова. Пусть функция С (/, у) задана на множестве £\ и скалярное уравнение 罂=С 0, У), У (%) = % £ А(32.2)
имеет верхнее решение у (/, /0, у^, обращающееся в 如 при / = /0. При этом С (Л у) монотонно возрастает по у при
Лемма 32.1. Пусть существуют непрерывно-дифферен- цируемая локально большая функция Ляпунова v (/, х, у) и функция С (/, у) таковы, что выполняется неравзнство
竺醤"《C(f,MW(/)])(32.3)
при всех (/, %) £ % х Гл, y^Y.
Пусть (%(2, у (/)) — траектория системы (32.1), х (/0, %, %) = %, а у (/, t^y^——верхнее решение уравнения (32.2). Тогда при % = М^ах [и (%)] имеет место неравенство
MW(3《7&M*x【u(%)],%)(32.4)
при t^JT, лишь только М[у (/0)]《％・
Лемма 32.2. Пусть существуют функции v (/,х, //), С(/, у), указанные в лгмме 32.1, и выполняется неравзнство
^^<С(ЛМ[^(/)])(32.5)
при всех (/, х) £ JT х Гл, у£『・ Пусть (%(/), у (/)) —траектория системы (32.1) и % (%, %，%) = %, 〃 у (Л t^y^ — верхнее ре шение уравнения (32.2).
Тогда при % = 〃黑也(％)] имеет место неравенство
М^(/)]<^(/,М^х[^/0)],/0)(32.6)
при всех t^JT, лишь только М [v (/0)] < у^
Леммы доказываются на основе общей формулировки принципа сравнения.
Определения и теоремы о конечной устойчивости [57]. Сформулируем необходимое определение.
Определение 32.7. При заданных оценках 九,Д, Jr, р (О < р < 1) систему (32.1) будем называть (九，Я,办，р)- устойчивой по вероятности, если для любого решения системы (32.1), которое в момент f = f() начинается в области
II Ло II < X,九 > А(р, Л),
при всех / £ 厶 будет выполняться условие
К (II 尤(%； %，%，%) II < Л) > 1 —р.
Приведем теорему.
Теорема 32.1. Пусть выполняются следующие условия.
1°. Существуют функции v (/, х,у) и С (/, у), указан^ ные в лемме 32.1.
2Q. Выполняется неравенство (32.5) 6 области (/,%) ^丿才义
X-\1;._
3°. Верхнее решение у (/0, /, у^ уравнения (32.2) при у (/1) = Mmax [V (6)], Л £ Jt удовлетворяет условию
5(/，M*x(fi)/)《M；^ ①⑺]
〃р〃 всех /〉％, t QJ「
Тогда система (32.1) устойчива по вероятности относительно величин (X, 4 JT, р).
Доказательство. Пусть назначены количества X, Д, р > 0 и задан интервал JT = 论,tQ + Т]. В виду того, что функция V (/, х, у)——непрерывно-дифференцируемая и локально большая, существует а > 0 такое, что вне сферы 工代=炉 имеет место неравенство
v(t,x, г/) > с(0 < с < Л), /£% у£У・
Выбором с； дос!игнем того, что
supu(f, X, у) < pcv ®「(32.6)
лишь только II х0 II < X и чтобы поверхность и(/,х,у) = с；
содержалась внутри области Гл.
Реализация решения (№(/),严 ⑴)порождает реализацию vp (/) случайной функции 〃(/；%, у) с соответствующим распределением вероятностей. Будем рассматривать те значения t £ Jr, для которых т'р)< Т, где
工⑺=sup (/: / £ 厶 И % (/; х0, %, /0) || ^Гл) (32.7) и
Предположим, что реализация решения (%(° (0,严(0) для / > т") не существует и »')(/) = с； при / > Значение t"* определенное выражением (32.7), является моментом выхода решения (% (/), у (/)) из заданной области Гд. Так как
Р,付(6 х, у) < <)《Р( (II х (/) У < Д),(32.8)
то для доказательства теоремы 32.1 достаточно показать, что для реализации решения (х (/), у (/)), начинающегося в области II %。II < 九，% t К при всех t^J7 выполняется условие
Pz(^(/,x, у)<с^> 1 -р.(32.9)
Будем предполагать, что реализации (^р\ у(р)) решения (х (/), у (0), наминающегося в области ||x(Q|| < ^, y^Y. определены при / < т叫 Пусть решение (х (/), у (/)) выходит из области И% II < X, %£У・ Предположим, что в момент % € % выполняется условие
Pf (II %(%； %，％' %)II = 4) > 1 — Р»
• •Р/(亦)(Q <с；)《1-р・(32.10)
При этом должно существовать значение / £ JT такое, что
Р/ ( II X 优I； %，%，%) II =九)> 1 —卩
В силу второго условия теоремы 32.1 и согласно лемме 32.2 имеем
^^]<у^ m3x 川幻]/)
для всех t £ J/〉％.
Согласно третьему условию теоремы имеем
М [V (为)]< у (Л М*х [V 修)],幻《M；L [и (%)]• (32.11)
Неравенства (32.6) и (32.11) противоречат существованию /2, при котором выполняется условие (32.10). Теорема доказана.
Приведем теперь формулировки других теорем об устойчивости по вероятности системы (32.1), опуская их доказательства в силу того, что при незначительных изменениях и дополнениях они повторяют доказательство теоремы 32.1.
Определение 32.2. При заданных оценках X, В,.7г,р (X > В) систему (32.1) будем называть квазирасширяюще (X, В, Jr, р)-устойчивой по вероятности, если для всякого решения системы (32.1), начинающегося в области || х01| < X, %£У, существует значение 厶 такое, что
已(11%化%，%，%)11<8)> 1 一p
при всех t £ (&, % + Т].
Теорема 32.2. Пусть выполняются следующие условия.
1°. Условие 1° теоремы 32.1
2°. Неравенство (32.5) выполняется 6 области (/, х), где f £ %, % £ {%： II % II < 5} =「в и Гл.
3°. Верхнее решение у (Л t^ У^ уравнения (32.2) с начальным значением у (幻=мМах 口(幻]удовлетворяет неравенству
У (% + т，М*ах [” (Л)])《M*in [v (/о 十叨・
4°. Имеет место оценка
M[u(fo + T)]>M%n [у(^о + Л]
при всех у ^Y, х^В.
Тогда система (32.1) квази растиряюще (X, 3, J「р)・ устойчива по вероятности.
Определение 32.3・ При заданных оценках X, Д, В, J『р (В < X < Д) и р > 0 систему (32.1) будем называть расши- ряюще (儿 В, JT, р)-устойчивой по вероятности, если она (X, 4, JTt р)-устойчива и квазирасширяюще (X, В, Jr, р)-устой- чива по вероятности.
Теорема 32.3. Пусть выполняются следующие условия 1°. Имеет место условие 1° теоремы 32.1.
2°. В области & х) g JT х Гл\Гх выполняется неравенство (32.5).
3°. Верхнее решение y(f, %, %) уравнения (32.2) аако- во, что
а) Р (Л М^х [V (Л)], /1)《M*n [V (Л)], t £ Jr；
б)力他 + Т, ММх ® (6)],幻 & M*n W (% + T)]， Л £ J・
4°. Выполняется оценка
М [V (/о + Г)] > М几[V % + Т)], % £ Гд\Г5.
Тогда система (32.1) расширяюще (X, Л, В, JT, ^-устойчива по вероятности.
Определение 324 При заданных оценках 儿 В, % Р (X《В) система (32.1) называется квазисжимающе (X, 3, Jr,p)- устойчивой по вероятности, если для всякого решения системы (32.1) с начальными условиями из области ||х01| < Л, y^Y существует t{^JT такое, что
pt(Wx^^y^^IKfi)> i—Р
при всех /£ 佐，％ + Т]・
Теорема 32.4. Пусть система (32.1) такова, что
выполняются условия Г “ 2° теоремы 32.3 в об4〃с・ niii (/, х), % w「厶\»「”，£，т；
верхнее решение у (/, /0, у^ уравнения (32.2) таково, что выполняются оценки
p (/о + т, m厶т(幻],垃《mМ m 笹 + T)l，
У(% + Т, м逮A W(GD《м篇 е 佈 + Т)]；
при всех х G Гв\Гл
Ме(% + Т)]>М*п 切(％+ 7%
Тогда система (32.1)квази сжима юще 6, В, J『р)・
устойчива по вероятности.
Определение 32.5, При заданных оценках 人，A,B,J「p и р > 0 система (32.1) называется сжимающе (X, В, Д, J7,p)- устойчивой по вероятности, если она (X, Д, J z, р)-устойчива и квазисжимающе (X, Bt JT, р)-устойчива по вероятности.
Теорема 32.5. Пусть система (32.1) такова, что
выполняются условия Г и 2° теоремы 32.1 6 о5лас- (厶 %) е JТ x「在\"；
верхнее решение уравнения (32.2) таково, что
а) у (/, М3х [V (/!)])《М黑[и (/)], t>th (^Д)е 厶，
б)у 优。+ т, м為х m(л)1)《м3 ①倘 + T)]，/1 € «Л
в) У 备 + 7, М；У m (/0)D « м：Е W《+ 7)];
при х£ Гл\Гх
мт(/о + 7)1>м3 [V(% + »•
Тогда система (32.1) сжимающе (X, Д, В, JT, ^-устойчива по вероятности.
Пример 32.1*. Пусть имеется твердое тело с тремя плоскостями симметрии, полностью погруженное в безграничную несжимающую жидкость, покоящуюся на бесконечности. Считаем, что главные оси инерции тела совпадают с главными осями инерции поверхности тела для присоединенных масс. Дифференциал ьные уравнения рассмотрим относительно главных осей инерции тела, начало которых совпадает с центральной точкой для присоединенных масс. Эту систему обозначим через Oxyz. При таком выборе осей дифференциальные уравнения возмущенного движения тела имеют вид
_ ^+а г /п4-у — m + a 小*7ЯТ 06 十 34 ^г+т % % + %%,
В — С + |Л — vВ — С + |Л — v8 一 Y8 一 YА+К %% + 4 +九А+К %% + 4 +九З3 + 鹤，З3 + 鹤，(32.12)(32.12)
В — С + |Л — v
В — С + |Л — v
8 一 Y
8 一 Y
А+К %% + 4 +九
А+К %% + 4 +九
З3 + 鹤，
З3 + 鹤，
(32.12)
(32.12)
Y - a e - А + V -九Y - a
TTiT 〃产 3 + —mi4/ + b+7 44 + %%，
a — 6A — В + 九—|Лa — 0
C + v V2 十 С + ” Х4Х5 + С + JX产2・
Это движение соответствует невозмущенному движению тела в жидкости с постоянной скоростью «о, направленной вдоль оси Ох. Здесь т ——масса тела; а, В, 丫 ——присоединенные массы для тела;九，卩，v —— присоединенные моменты инерции для тела; 4, В, С ——моменты инерции для присоединенных масс тела; хх, . . . , хб ——проекции угловой скорости вращения тела на оси системы координат 0%yz; 〃口 碗，〃з，％— случайные параметры рассматриваемой системы.
Примем следующие численные значения параметров системы (32.12):
т = 200, a = 75, В = 50, Y = 25,力 + 九=800, 8 + 卩=500,
(32.13)
С —{- V = 400, % === 12, 〃] = 〃з = у (/),〃2 === 〃4 === 2,1,
Исследован совместно с А. Г. Бойко.
где g (/) описывает случайный марковский процесс. Причем вероятность %j(Af) смены значений*wl -> w; (w1 = — 1,1, w2 = 一 L°8, 〃з = — 1,12) за время А/ удовлетворяет условию
,2
^1 ^22 = ^зз 1 А' + 0(А)
Р21 = % = &2 = &1 = “3 =。32 =可削 + °(А')・
При условиях (32.13) система (32.12) принимает вид
d 九in о
~jf~ = ТГ%% — ~уГ "з”5 十 У ⑴ xv
dxn
-^- = OS%% - 13,2% — 1，ь产6 - 2,1%2,
%4410
7Т = T % + 丁%产5 一 万
= A. %5% + 击 %2“3 + У ⑴ %T
■^ = - 1,2X3 - 4" %Л - 击 %产3 - 2,1%
才="I % + - j "4% + 1V "产2・
Рассмотрим вспомогательную систему
翁=(У (0 + 1) J,皆~ = — 13,2% - 1,1%
& =华 ％ % 牛=匂《) + 1)勺О〉14)
万- = - 1,2%3 _ 1/看万~ =44十%
и построим квадратичную форму
。(爲 У) = (В(У)居 ％)
согласно уравнению [38]
缈4亍@_ = —(%,%)+ 工 р.. [у (х, t?) — и (х, г?)].(32.15)
Приравнивая коэффициенты справа и слева при 尤»%, в уравнениях (32.15), находим
2и (х, (?) =+ — 88 —名 + "ЗЗ"君 + 期 +
+ ^^ 吟 + 209,375務 + 31,875%2%6 + ^^飞冲，
2〃 (爲〃 2) = 12,5xj + 2^^■君 + 12,5%： +
+ 2QJ 君 + 209,375x| + 31,875%2%6 + 一^ 一%3%5，(32.16)
2。(％ (?)=書 # + ^^^- X； + 装 *3 +*4 +
41870 „~ о,2080
+ 297一卷 + 209,375君 + 31,875%2-^6 ^ 99 "3"5.
Канонический вид функции 2〃 (х, 〃)будет следующий:
(z,浦):10z； + 10,504必 + 210,646(/2 + 10z：十+ 10,760z| + 141,822^2;
(z, 〃2): 12,5z； + 10,504zT + 210,646z； +
2u (z, 〃)= {+ 12,5z： + 10,760zj + 141,822z|;
25
(z, 〃3):丁 z； + 10,504z| + 210,646z| +
95
+ 丁 z： + 10,760z| + 14L822Z*
Вычислим теперь производную по времени от математического ожидания функции и (х, “) согласно исходной системе
3
也號"=-(%,%)+ £ ри 也 а, 〃')一 〃 а, 〃')] г
一20（% "）+ '"捲"）尸（力,
где 尸(х) — вектор, компоненты которого содержат нелинейные состав* ляющие системы (32.12).
Нетрудно получить оценку
dM [v (/)]0,5.
近《一无"(x, x) — 2v (x, 〃)+ 35,108 I x31.
Определив функцию & (х, и) формулой
"、"(居")
也(爲")=mm(/)「
получим неравенство
32一，32一，2 min 〃(％,〃)max v (x, w)
3
2一，
3
2一，
T《max v (x, w) & '(% “)《min v (x, w)
откуда 23
3 M [v (/)]《и (%, 〃)《万 M [o (0].
Известно, что
M 也(01 Hmlx《(%，%)《M " (/)]卩K，
где Nmax’ Nmin — соответственно максимальное и минимальное собственные числа матрицы квадратичной формы ”(％, 〃)• В данном случае 25
卩max = 1°5,323,卩向门=飞•
Учитывая оценку для (%, %) н и (%, “), получим
dM 烏组《4,127 (М [и (0])3/2- 1,334М [и (/)]・(32.17)
Наряду с неравенством (32.17) рассмотрим соотвеiствующую ему скалярную задачу (32.2). Имеем
(32.18)(32.18)雾=的 3/2 __ ®
(32.18)
(32.18)
а = 4,127076; b = 1,333597
и
У (幻= М%ах【〃(¥，〃)】•(32.19)
Выполняя замену z = ^一^ в уравнении (32.18) и интегрируя его при (32.19), находим
,(力 0，%) = ^.(32.20)
(Mmax也(3江‘十今/
Теперь второе условие теоремы 32.1 принимает вид
二< м3 ® Q]， t〉Q
M猛e0)]ё寸十曰『
Решение (32.20) позволяет получить достаточные условия других типов устойчивости системы (32.12) на основе теорем 32.2—32.5.
Детерминированные системы со случайным взаимодействием. Пусть х§ = 0 решение независимых подсистем
才=厶(厶 Xs), 1 < s < m.(32.21)
Наряду с уравнениями (32.21) рассмотрим систему
华=厶侑 xj + 凡仏 %, 3),(32.22)
где Rs (/, x；(о) — функции связи подсистем (32.21) таковы, что решение системы (32.22) существует и единственно.
Предположим еще, что случайные процессы
Q (f, S)= sup 丨 Rs (/, х, со) I， 1《s《加，
X имеют конечное математическое ожидание.
Теорема 32.6. Пусть выполняются следующие условия.
Г. Для системы (32.21) существуют функции 少式力 xs)> т
> 0,..., vm (Лх8) > 0 такие, что 工以(厶 х§) — функция определенно-положительная.
2°. Для любого 6 > 0 в области {|] % ||〉3} X {/》/0} выполняются неравенства
Dv (f, х)
戈+ —fs(f,Xs)《Q(f,V), l《s《m・ (32.23)
3°. Полуось p = 0 6 силу системы сравнения
黑=e(/,幻+以"1(/，3)(32.24)
устойчива (равномерно устойчива} при случайных возмущениях, малых в каждый момент, в среднем или интегрально.
21*323
Тогда решение xs = О (1 < s < m) системы (32.21) устойчиво (равномерно устойчиво) при случайных взаимодействиях, малых в каждый момент, в среднем или интегрально.
Доказательство теоремы не приводим из-за его аналогии другим доказательствам, имеющимся в книге. Отметим некоторые следствия теоремы 32.6.
Следствие 32.1 ([107], теорема 6,1). Пусть выполняются гакие условия:
s = 1;
и】—определенно- положительная t\ (f, 0) = 0;
в области {|| х|| > 6} х {/》/0} выполняется неравенство (32.23), где Cj (/, V) = — %%, %〉。・
Тогда решение 尤】=0 системы
备= /1&х)+ &(/,%(о)(32.25)
устойчиво для / > fо при малых случайных возмущениях.
Следствие 32.2 ([107], теорема 6.2). Пусть выполнены условия следствия 32.1, где С, (/, V) = — %・
Возмущения R (/, х, со) имеют вид
R(f,%,(o) = o(f,%) & (力 со)(32.26、
и процесс Е (Л со) удовлетворяет такому условию: для любого е > 0 существует у〉0 такое, что при "《s « f
Мexp卜 pg(〃,®)I da} « "т)・
Тогда решение jq = 0 уравнения (32.25) устойчиво для / А /о при случайных возмущениях (32.26), малых в каждый момент.
Можно показать, что и многие другие известные теоремы об устойчивости систем (32.25) следуют из теоремы 32.6, на чем останавливаться не будем.
Отметим, что исследования конечной устойчивости си・ стем со случайными параметрами методом, отличным от предложенного, были предметом изложения в монографии [118].
Алгоритмизация оценки параметровмоделей обособленных подсистем
параграфе определяется понятие пакета входов и дается правило (принцип пакет-параграфе определяется понятие пакета входов и дается правило (принцип пакет-Рис. 10Рис. 10В задачах проектирования сложных систем, рассмотренных в гл. I——II, представляет интерес вопрос об оценке параметров соответствующих моделей подсистем при заданных входных и выходных данных подсистемы [9]. В этом
параграфе определяется понятие пакета входов и дается правило (принцип пакет-
параграфе определяется понятие пакета входов и дается правило (принцип пакет-
Рис. 10
Рис. 10
Рис. 11
процесса, сводится к задаче построения решения рекуррентных систем линейных алгебраических уравнений.
Задачи исследования. Рассмотрим s-ю подсистему, представленную на рис. 10. Предположим, что в подсистеме (s — 1) определены параметры и известно, что ее выход у (0，являющийся входом для s-й подсистемы в процессе функционирования, образует некоторую совокупность входов 2 [ Y] для s-й подсистемы. Пусть также известно, что для (s + 1)-подсистемы допустимыми являются входные воздействия % (/) из некоторой совокупности 屮[X], которая образована из выходов s-й подсистемы. При этом приходим к следующей задаче.
Заданы совокупности входов и соответствующих выходов s-й подсистемы. Надлежит определить математическое описание этой подсистемы (ее модель).
В зависимости от объема априорных данных эта проблема может быть разделена на две: проблему идентификации абсолютно неизвестного объекта (проблему «черного ящика» [108]) и проблему идентификации объекта с неко* торыми априори известными данными (проблему «серого ящика» [108]). В этом случае при известном, например,
виде уравнений рассматриваемая проблема может интерпретироваться так.
Каким образом сформировать вектор-параметр q£Q s-й подсистемы
令~ = X (力 х, q, у),
(33.1) у =九(％, /)
или функцию X, чтобы она обращала некоторую совокупность изменяемых входов 屮[У] в наперед заданную совокупность выходов 2 [X]? В общем случае проблема идентификации s-й подсистемы может быть представлена схемой рис. 11. Здесь необходимо рассмотреть [7]
определение структуры модели (т. е. выбрать вид дифференциальных уравнений модели) и произвести локализацию неизвестных параметров;
выбрать функцию качества для оценки степени совпадения реакции модели и реальной системы на одно и то же входное возмущение;
выбрать алгоритм или стратегию для настройки параметров, минимизирующих различие реакции модели и реальной s-й подсистемы согласно выбранному критерию.
Функцию качества можно выбрать как функцию сравнения одного или многих компонент векторов % н z. В предположении, что % н z имеют одну и ту же размерность, функцию качества можно представить в форме
г
J (7, q) = , (% — г)*Г (% - z)山，(33.3)
6
где 取(% <— z) — соответствующая весовая матрица. Вопрос об оптимальном выборе искомого параметра q* решается путем минимизации функционала (33.3):
J(7\ g*) = min </ (Г,办托Q
Принцип пакетного входа. Введем некоторые определения, необходимые для дальнейшего [53]. Пусть (成(D)；±=i—квадратная матрица с элементами yf (/), с греки которой являются линейно независимыми. Предположим,
что y?(f) принимают значения из некоторой допустимой совокупности входов {у (/)} и таковы, что
sup max \y^(t) \ < oo,(33.4)
у^{у\ f
sup vrai sup I (f/$)” (f) J < 8, v = 1, 2,..., fe,
“?€{* t&yT
где v — порядок производной функции входа yf (/).
Из дополнительной информации об s-й подсистеме примем соглашение, что ее порядок равен q・
Определение 33.1. Пакетом входов будем называть прямоугольную матрицу 屮[У] с элементами gy(f), удовлетворяющими условиями (33.4) и образующими в матрице ^[У] линейно независимые строки.
В частном случае, элементы у? (/) могут быть степенными рядами, полиномами или другими функциями. Применение пакетов с элементами той или иной природы связано с существом рассматриваемой задачи, так как каждый из них имеет свои преимущества и недостатки.
Таким образом, если структура модели s-й подсистемы идентифицируется системой дифференциальных уравнений вида (33.1), (33.2), то имеем следующее дифференциальное включение:
警 £ X Q, %, у, д*), у = h{x, /)(33.5)
при 尤 G2[X], р€2[У], q* £ Q・ При выполнении условий существования и единственности решений систем дифференциальных уравнений
^ = X(t^,y\ /),屮=1,2, ・・・，％,(33.6)
каждому вектору входа у^^ [Y] соответствует единственный векюр выхода x^g^ [Л]. Очевидно и обратное: для каждого %" £ 屮[X] существует yw ^^ [Y] такое, что имеет место дифференциальное включение (33.5), т. е.
屮因於2Х].
Рассмотрим теперь псевдолинейную систему
警=尸&%)%(33.7)
с неопределенной матрицей Р(/,х), реализующей дифференциальное включение
警 一p&%м£仲Н，(33.8)
если
%£屮因.
Предположим, что | / — % | < 1 и будем искать элементы р0 (/, х) матрицы Р (/, х) в виде разложений
% (f,无)=£ Pi/m(' — ^0)m, Pijm =(砌 'Rtjtn
m=0
с неопределенными коэффициентами 欠〃加・
Если
у^m，у1(/)= £%”％)、％ =(制尸％m=0
а также
%(/)7[Х],
где.
球(tj^^cLit-t^ 4n =(向厂%%,
m=0
то Rimp определяются из бесконечной системы рекуррентных линейных алгебраических уравнений
£ £( / )RtjikRmT—i =就仙一1—d%,加=0, 1,2,
(33.9)
‘加L卜占%，9=1,2,…
Систему (33.9) представим в другом виде:
2〔Pi/т%】=">落+1 — %，屮=1, 2,・・・"$, /=1
путем введения обозначений
^Pijnf^n} = Pij{f^m + Pi“c£m-1 + …+ Pijnf^^
+1.=(m+ l)c%+i。
Пусть /и = 0, тогда, полагая по очереди t = 1, 2,..., 〃, получаем & систем алгебраических уравнений 〃・го порядка:
£ Pi/o端=4 —端(ср = 1,2,..., rs),
£ Pii^Q =喝一樓(屮=I 2,…"J,
7=1
из которых при det I % I =# 0 последовательно определяем р® (i, j = 1, 2,. • • "J.
По коэффициентам 。，川,р./р ... восстанавливаются элементы pf/ (/, х) матрицы Р (Лх).
Сформулируем теперь достаточные условия ограниченности функций Н (厶 х), где
Н(厶 ％) = Р(/, %)х.
Так как х? — сходящиеся ряды по условию задачи, то функции Я ограничены, если сходятся ряды
Р^^)-^Рцт^-^т (i，/=l,2,...,n). (33.10)
Посгроим определители
1 р..Л010 p〃・Q
“2= Pl7o 0 1 0
Pi" Р“о ° 1
Согласно теореме Шура о сходимости, ряды (33.10) будут сходящимися и sup max I ср..(/, х) I < 1, если Л..., |/-г0:<1 *еп(") /1
Aj/2, •・• — все положительные или при некоторых числах s« имеют место неравенства
А% > 0, •.•,n廿8n〉0,A忆+］什］=…=0.
Таким образом, проблема восстановления правой части системы (33.7) в классе голоморфных функций при пакет- 329
ном степенном входе сводится к алгебраической проблеме, состоящей в построении решения счетной последовательности конечных рекуррентных систем алгебраических уравнений.
Это утверждение будем называть принципом пакетного степенного входа.
Линейные нестационарные системы. Пусть имеется линейная нестационарная система [70]
看=A^x + B(t)uy(33.11)
где t £ J?, у=С (/) х, х — гг-мерный вектор состояния системы, 〃(/)——вектор входных воздействий (управлений) размерности m (вход), у (/) — вектор измеряемых переменных размерности 力 (вектор выхода), Л, В, С — переменные матрицы соответственно размерностей пхп, п xm, kxn, m<n, k^n. Матрицы В (/) и С (/) заданы, элементы матрицы Л (/) требуется определить.
Для простоты рассуждений ограничимся случаем 〃 =庚, где / > 1 — целое число.
Допустим, что х (/), у (/), и (/) и элементы матриц В (/), С (/) являются голоморфными функциями в окресгности точки / = /0:
* = 2%(f-%『，5(/) = f乩(/一疗， s=0s=0
〃 =^^ "s (/，o)s，С^ = ^С8^-^\(33.12)
s=0s=0
p = E f/s(/—犷・ s=0
Будем искать элементы матрицы Л 传)в виде степенного ряда
4(f) = £%(/-幻 s.(33.13)
s=0
Из (33.11) в силу (33.12) получим рекуррентную формулу
(S + 1) %+1 =£(ДЛ* + %У/(33」4)
m=Q
Формула (33.14) позволяет выразить х§ через х0 и коэффициенты разложений Л (/), В (/) и 〃(/) по степеням (/—/0)：
=/0*0 + b()〃0,=/0*0 + b()〃0,%2 = } (Ио + 4)尤о + 8。〃1 + 0ОВО + В】) ％],%2 = } (Ио + 4)尤о + 8。〃1 + 0ОВО + В】) ％],%з = g {[} ^о Ио + 4) + 44 + 4】％о + 绕〃2 ++ (% ^о^о + &) 〃i + [} 4 (4稣 + 8J + Л1В0 + B2j wo| •%з = g {[} ^о Ио + 4) + 44 + 4】％о + 绕〃2 ++ (% ^о^о + &) 〃i + [} 4 (4稣 + 8J + Л1В0 + B2j wo| •Докажем справедливость соотношения乙=!(乩％ + GJ, s = 1, 2,・・・，(33.15)гдеs—1Hs = 4-1 + £』As-l-mHjn，m=l s—1s—2G§ = £ 8m〃s—1—m+ 工 $ — 1 — /n 4nGs—1—/и・(33.16) m=0m=0Выразив %§+1 нз (33.14), с помощью соотношений (33.15), (33.16) получим sx .. = —— F) =зs+1 s 1' s—m ms—m nvm=0Докажем справедливость соотношения乙=!(乩％ + GJ, s = 1, 2,・・・，(33.15)гдеs—1Hs = 4-1 + £』As-l-mHjn，m=l s—1s—2G§ = £ 8m〃s—1—m+ 工 $ — 1 — /n 4nGs—1—/и・(33.16) m=0m=0Выразив %§+1 нз (33.14), с помощью соотношений (33.15), (33.16) получим sx .. = —— F) =зs+1 s 1' s—m ms—m nvm=0W (” m%0 + Gm)+ 4%o + £ Bs-mUmm=0'W (” m%0 + Gm)+ 4%o + £ Bs-mUmm=0'=Tpr [仏 + £ 44 4-加"小。+ ± 4" As^m +=Tpr [仏 + £ 44 4-加"小。+ ± 4" As^m +m=lm=ls+e8s一m"zn=Qs+e8s一m"zn=Qm=lm=ls—1ss+ix0+£三^小65一加+ EBmUs^rn\ =s—1ss+ix0+£三^小65一加+ EBmUs^rn\ =m=Qm=Qm=0m=0
=/0*0 + b()〃0,
=/0*0 + b()〃0,
%2 = } (Ио + 4)尤о + 8。〃1 + 0ОВО + В】) ％],
%2 = } (Ио + 4)尤о + 8。〃1 + 0ОВО + В】) ％],
%з = g {[} ^о Ио + 4) + 44 + 4】％о + 绕〃2 +
+ (% ^о^о + &) 〃i + [} 4 (4稣 + 8J + Л1В0 + B2j wo| •
%з = g {[} ^о Ио + 4) + 44 + 4】％о + 绕〃2 +
+ (% ^о^о + &) 〃i + [} 4 (4稣 + 8J + Л1В0 + B2j wo| •
Докажем справедливость соотношения
乙=!(乩％ + GJ, s = 1, 2,・・・，(33.15)
где
s—1
Hs = 4-1 + £』As-l-mHjn，
m=l s—1s—2
G§ = £ 8m〃s—1—m+ 工 $ — 1 — /n 4nGs—1—/и・(33.16) m=0m=0
Выразив %§+1 нз (33.14), с помощью соотношений (33.15), (33.16) получим s
x .. = —— F) =з
s+1 s 1' s—m ms—m nv
m=0
Докажем справедливость соотношения
乙=!(乩％ + GJ, s = 1, 2,・・・，(33.15)
где
s—1
Hs = 4-1 + £』As-l-mHjn，
m=l s—1s—2
G§ = £ 8m〃s—1—m+ 工 $ — 1 — /n 4nGs—1—/и・(33.16) m=0m=0
Выразив %§+1 нз (33.14), с помощью соотношений (33.15), (33.16) получим s
x .. = —— F) =з
s+1 s 1' s—m ms—m nv
m=0
W (” m%0 + Gm)+ 4%o + £ Bs-mUm
m=0'
W (” m%0 + Gm)+ 4%o + £ Bs-mUm
m=0'
=Tpr [仏 + £ 44 4-加"小。+ ± 4" As^m +
=Tpr [仏 + £ 44 4-加"小。+ ± 4" As^m +
m=l
m=l
s
+e8s一m"zn=Q
s
+e8s一m"zn=Q
m=l
m=l
s—1s
s+ix0+£三^小65一加+ EBmUs^rn\ =
s—1s
s+ix0+£三^小65一加+ EBmUs^rn\ =
m=Q
m=Q
m=0
m=0
^ s + j ("叶 1%о + Gs+1),
что и требовалось доказать..
Нетрудно видеть, что в соотношении (33.16) Hs зависит от матриц Лр i = 0, 1, 2,・・・,4s—i， включительно. Обозначим это сокращенно так:
乩=Н^А^..^ 4_ J 三 4 (4曰・(33.17)
Аналогично получим
Gs = G ©ер Вег 佝口) (33.18) и, наконец,
xs = xs(хо» 〃67Г=Т» 4,g_i, В^г=т)・(33・ 19)
Выразим коэффициенты разложения вектора выхода у (/) через % и коэффициенты разложений и (/), Л (/), В (/), С (/). Подставив разложения (33.12) во второе из соотношений (33.11) и принимая во внимание выражение (33.15), получим
У 0 =С0"0，
У\ = (Ct + С0Д)尤о 十 с%%，У\ = (Ct + С0Д)尤о 十 с%%，• (33.20)• (33.20)
У\ = (Ct + С0Д)尤о 十 с%%，
У\ = (Ct + С0Д)尤о 十 с%%，
• (33.20)
• (33.20)
Первые I уравнений системы (33.20) будем рассматривать как систему Ik = п линейных алгебраических уравнений относительно п составляющих вектора х0:
(33.21)(33.21)У = °о%о + D、
(33.21)
(33.21)
1де—
u = colon 仇,为,…® 一),
00 =Со\& + Со4Z-1100 =Со\& + Со4Z-11D =D =(33.22)(33.22)
00 =
Со\
& + Со4
Z-1
1
00 =
Со\
& + Со4
Z-1
1
D =
D =
(33.22)
(33.22)
При det Do #= 0 система (33.21) разрешима относительно ,%: x^D^y—D^D,(33.23)
откуда, учитывая обозначения (33.21), (33.18), (33.19), находим
хо = хо(^oJ=T» С^ТТТ，А^ТТТ，В^^р 〃^^)・(33・24)
Выражения для х0 подставим в следующие из уравнений (33.20):
ys +E7-zVo)+
'加=1/
s
+ E^Csf%z，m—\
или, с учетом (33.24) и (33.16), найдем
丸=Cs + 4" C(A-1 + £ ； (Cs_m + 4"1) Hm X
X xo匂市Г， &,/_1，&"-2 » ^oT^T» 〃^TPT)+
+ 工』G-Kn ("而=? В而刁"而=])•(33.25)
m=i
Положив в выражении (33.25) s =厶 получим 论=? уравнений с /и2 неизвестными элементами матриц Ло, Av ...
一 Для определения элементов матриц Ло, /^ . . . , 4/_i воспользуемся методом п. 33.2. При этом вход связывается с выходом следующими дифференциальными уравнениями:
*=4屮+ 3"屮，
(33.26) yw =叁屮，
где ср = 1,2,..., г; 〃ф и у屮 ——соответствующие столбцы матриц 屮[U] н х|)[У]. В соотношении (33.26) матрицы Л, В, С представим в виде разложений по степеням (/ ——Zo), tQJa.
Для 〃“(/)£ 屮[U] и "° 伍)£ 屮[У] выражения (33.25) принимают вид
於=Q + ； с(Ат + £ ； gsf + V с°4f—J "俏卜
X xo (y^TT，Qt=T，4^7=P B^^ ，“0"—2)T
+ £』Cs^mGni(Ao^' B^^, “6^=1)，s A /• (33.27)
Уравнение (33.27) является линейным относительно элементов матрицы 4s-i и нелинейным алгебраическим относительно элементов матриц 4°, Лх,...,』s-2・
Пусть г = /и, т. е. имеем In входов. Тогда для каждого s =厶 / + 1,... получаем kin = и2 уравнений относительно неизвестных элементов матриц Ло, Лх,..., 4s_i, причем первые I — 1 ма1риц Ло, Дх,..., Д/_2 могут быть выбраны произвольно, остальные, начиная с 4/_i, определяются из систем линейных алгебраических уравнений (33.27).
Определим теперь г таким образом, чтобы при s = / из уравнений (33.27) можно было определить Ло, Alt..., Л/-ь Для этого необходимо иметь /п2 уравнений, т. е. следует положить г = 0〃. Теперь при s = / определяем первые I коэффициентов разложения А (/), каждое последующее у3 дает еще /и2 уравнений и и2 неизвестных, т. е. полученная система является переопределенной.
Возникает вопрос, каким должно быть минимальное значение г, чтобы систему можно было однозначно идентифицировать. (Как было сказано выше, при г = и/ такую идентификацию однозначно провести нельзя, а при г = Z2n полученная система уже на втором шаге (s = / + 1) оказывается переопределенной.) Очевидно, таким значением является г = и/ + 1. Действительно, пусть s принимает значения s = /, / +1,・・・" + д (всего q + 1 значений). Определим q так, чтобы система, полученная применением 厂=应 + 1 входов и g + 1 коэффициентов разложения у^ (^) (у% у%】,… •••，%_” была определенной. При этом количество неизвестных будет и2 (/ + ^), а уравнений —k(q + 1)(山+ 1)= =-р (п/ + 1)(9 + 1). Приравнивая эти два количества, получим g =(山+ 1) (/ — 1)—厶
Таким образом, придавая s значения s =厶 / + 1,... ...,(nZ + 1) (Z ——1), получаем нелинейную систему п2 (nl + + 1) (/——1) алгебраических уравнений относительно n2 (nl + + 1)(/ ——1) неизвестных элементов матриц До, Лх,... ...,/l(n/4-i)(/-i)-i. Каждое следующее значение у8 дает еще 几* + Г Уравнений и и2 неизвестных, т. е. система, полученная таким образом, оказывается переопределенной на q + 2 =应(/ + 1) + 1 шаге.
Каждый из двух описанных способов выбора числа входов в пакете имеет свои преимущества. Второй способ (г = nZ + 1) позволяет ограничиться меньшим числом входов, зато для определения первых коэффициентов разложения функции Л (0 в ряд Тейлора требует привлечения значительного количества высших коэффициентов разложения выхода, что может отрицательно сказываться на точности определения Л (/) (с ростом номера s относительная погрешность Ьу$ будет увеличиваться в связи с уменьшением ys). Первый же способ (г = /2п) для определения первых коэффициентов А (/) требует минимальное количество высших коэффициентов разложения выхода, но связан со значительным увеличением пакета степенных входов. Решая задачу идентификации, надо рассматривать каждый из этих способов применительно к данному случаю. При этом могут быть и промежуточные решения 〃/ + 1《Г《/2〃.
Вопрос выбора количества входов в пакете степенных входов рассматривался для случая, когда все элементы матрицы А (0 подлежат определению. Если же некоторые из них известны заранее, то выбор числа входов должен быть скорректирован соответствующим образом (например, уменьшено число входов).
Из вышеизложенного следует, что для идентификации нестационарных систем невозможно использовать разложения входов и выходов в ряд Тейлора в нескольких точках отрезка [/0, /0 + Т], так как в этом случае необходимо вычислять в тех же точках коэффициенты разложений А (/), в то же время аппарат степенных входов (пакетов) позволяет решать эти задачи без особых затруднений.
Некоторые частные случаи.
Пусть / = 1, т. е. матрица С(/) имеет размеры и X и и, кроме того, /0 выбрано таким образом, что det С (%田О, а так как C()= C(Q, то и det Со ^ 0, т. е. матрица 仇―
квадратная неособенная. В этом случае, очевидно, должно быть г = /г (ф = 1, 2,... ,п) и, следовательно, пакет входов н пакет выходов оказываются квадратными матрицами. Для определения х0 достаточно одного уравнения yQ ==原°, откуда, учитывая, что det Со 声 0, получим 大° = С^1^ или, принимая, чю % — элемент пакета выходов,
潦=4嚼・
Подставляя выражение для %у в соотношение (33.27), получим рекуррентные уравнения для определения матриц 4$:
匕=Cs + V С^1 + S ^ (Cs-/« + V ^S^l^m X
Lm—l」
义 c『％+ £ ； C.mGm，s > 1,(33.28)
где Ys и Us определяются равенствами
叫s = £〃(f-fj,屮团=2匕(Ij・ snO$=0
Найдем из уравнения (33.28) A8 (при условии det Уог?^): 4 = 6+1)$［化+内?
s_
一 Cs+1 — £』(G+1—m + £万 C(/s-m) Hm . (33.29) m=l
Выражения (33.29) позволяют последовательно определить матрицы As при s = 0, 1, 2,...
Рекуррентные соотношения для определения А8 можно также получить, не прибегая к помощи уравнения (33.27).
Действительно, пользуясь вторым из соотношений (33.1), получим
S
m=0
откуда при условии det Со=/=О легко определить х8:
Докажем справедливость следующего соотношения:
“S = С。I Е 尸出S-"/=0“S = С。I Е 尸出S-"/=0(33.30)(33.30)
“S = С。I Е 尸出S-"
/=0
“S = С。I Е 尸出S-"
/=0
(33.30)
(33.30)
где F。= Е, а последующие значения Fj определяются рекуррентной формулой
巳・=—£ Gj—Ft，Gi = CiC^1.
f=0
В самом деле,
丸 一 £ CmXs~m丸 一 £ CmXs~m
丸 一 £ CmXs~m
丸 一 £ CmXs~m
/ss—m\
= С0\Уз — ^°т^Р1У
\ m=l /=0/
rss—m
=c「尸m + £(一图)e _/•力
L771=1/=0
GJi—/ 勿=
=^о X^^s-r У г/=о=^о X^^s-r У г/=о
=^о X^^s-r У г/=о
=^о X^^s-r У г/=о
Итак, формула (33.30) доказана.
Подставив в первое из соотношений (33.1) разложения х(/), и (0，4(/) и В (/) в виде рядов, получим
(S + 1)V1 = 2 {А^-т + BmUs^
m—0
откуда легко получить рекуррентную формулу для определения 力8：
4% н (s + 1)*屮一BSUQ 一 2 (Amxs_m + 成〃Sf )・(33.31)
m=0
Соотношение (33.31) после подстановки в него %$，определенного формулой (33.30), принимает вид
s+l
44% = (s + 1)с「£ 尸必—&% —
/=о
s—I г/S—m、
(33.32)(33.32)-工(0「Е尸必+B/i
(33.32)
(33.32)
m=0 L'/==0/
Для определения матриц 4s воспользуемся пакетом степенных входов при г = п. Тогда в выражении (33.32) вместо векторов %, и8 (s > 0) следует записать матрицы У$, Us. Предположив, что det Ко^О, YQ — Y (/) — начальное значение выхода, из (33.32) легко получим рекуррентную формулу для определения As：
/аm\/аm\-2卜e-2卜e
/аm\
/аm\
-2卜e
-2卜e
Покажем, что условие det 匕 # 0 можно всегда удовлетворить.
Предположим, что матрица А построена. Тогда связь между пакетами входов и выходов можно записать следующим образом:
嘗屮[X]=力屮[X] + 8屮[U],(33.33)
屮»]=&()因.(33.34)
Подставляя в (33.33) разложения ^[Х] и 屮[U], получим
Xs『=+ £(4Af + BJ/sf)=
=/ (X°, 4H в必 Ur), s > 0.(33.35)
Выражение (33.34) после подстановки в него выражения (33.35) примет вид
匕=Е CiXm=g(X()MjT^，Bei，U*i，С", 5=1,2,..., /п=0
а при s = О
У。= сохо,
откуда Хо = C^Yq и, следовательно,
匕=似外』Е" В^^, Ueu С荻)，s = 1,2,…
Таким образом, при любой матрице 4 (f) наблюдаемый вектор-выход у(/) определяется с точностью до начального значения и, следовательно, матрицу начальных значений пакета выходов Y (/0) = У。можно выбирать произвольно, а значит и так, чтобы det Yq #=0. В частности, если принять Уо = С (/0) = Со, формула (33.32) несколько упростится и примет вид
4 = (s +1)с『£ 尸*s+it — bsuq —/=0
尸У s—m—j j + BmUs—m •
Предположим, заранее известно, что матрица А систе мы (33.1) постоянна. Если матрица В также постоянна, то соотношения (33.16) запишутся следующим образом：
% = 4, 4M =4 4%
Gi =统"0，Gs+i =区"8 H ~ 4G$, или в явном виде
% =寻可题
s—1
& =(s—1)!公f — B/m，
m=0
где s = 1, 2,・・・
Найденные Н3 и Gs подставим в (33.15) и получим
(33.36)(33.36)
(33.36)
(33.36)
Пусть в соотношенииПусть в соотношенииу =Сх матрица С(/)=工Cs(/ — %)$ s=0
Пусть в соотношении
Пусть в соотношении
имеет размеры k х п (々《〃). Используя (33.36) и разложение у© в степенной ряд, находим
(33.37)(33.37)
(33.37)
(33.37)
Выбираем число I наименьшим, для которого kl > п» и рассматриваем первые I равенств из (33.37) как систему линейных алгебраических уравнений относительно вектора %, имеющую число уравнений, не меньше числа неизвестных:
У ~ "%о + D, где'
с。 、
IО
CRU。
m=lg0丿
(матрицы DQ и D имеют размеры 瓦 X %)• Из последней системы уравнений находим 仆：
Хо = Di g — Dq Df
где матрицы Do, D и вектор у получаются из матриц Do, D и вектора у вычеркиванием одних и тех же 瓦一九 строк. Найденное значение х0 подставляем в выражения для последующих у/
SГ/н— 1-
%=£ Csf』朗0丁2-方丁仿)+工j!阁+%〃， /п=0I./=0-
(33.38)
s = /, / +1, / + 2,...
Далее решение задачи можно осуществить различными способами.
■ Способ /. Для каждого фиксированного s выражение (33.38) представляет собой систему 尼 нелинейных алгебраических уравнений относительно п2 неизвестных элементов матрицы Ло. Чтобы получить достаточное количество уравнений, необходимо и достаточно воспользоваться пакетом степенных входов при числе входов г, где г определяется как минимальное целое число, удовлетворяющее условию kr > п2. При этом уравнение (33.38) примет вид
I] 「m—1-
匕=£ Cj 幽1 РГ1? + 而0) + £ /!掰T—BoS m=0./=0.
(из всех коэффициентов разложения 屮[У] выбираем Y( как имеющий наименьший номер s при s > /).
Способ //. Определим элементы матрицы Ло, пользуясь единственным входом и решая систему уравнений, составленную из (33.38) при s = /, / + 1,Z + г, где г определяется как наибольшее целое число, удовлетворяющее условию kr < п2.
Способ III. Для определения Ло рассматривается только коэффициент разложения у (/) с номером / (у(), а достаточное количество уравнений набирается за счет разложения входа “ (/), выхода у (0 и матрицы С (/) в различных точках отрезка 偽，/0 十 Т], число которых равно г, где г определяется как и в случае /.
Оценка коэффициента демпфирования в системе второго порядка. В качестве примера рассмотрим колебания маятника длины / и массы т. На точку подвеса маятника действует сила, составляющие которой по вертикали и горизонтали соответственно равны mV (/) и mH (/). При этом уравнение, описывающее движение маятника, имеет вид
m『6 + C(t)b + tnl[g + V (/)] sin 6=mlH (f) cos 0, (33.39)
где С (/) — коэффициент сопротивления маятника (переменная величи- на),8 =力
Обозначим
/ =①。’/2 == 2(OqZ(Т), Т З。/,
^" = 一 %& (矶 ^^ =综%⑴，(3340)
Учитывая обозначения (33.40), уравнение (33-39) перепишем в виде
0 +2z (т)Ь + [1- %& ⑴]sin 0 = HQf2 (т) cos 9, (3341)
где "而•
Рассмотрим колебание маятника на конечном промежутке времени 〔’о' 'о +「I и предположим, что "°, Vo ——величины порядка £《1, а z (т) и решение уравнения (33.41) представляются соответственно рядами
z (т) = z° 十 Z] + Z? + .. •,
8 (T) = "1 +〃2 +"3 + • • •，
где z0 — величина порядка 1; z】и и± — порядка 8； z2 и и2 — порядка 82 И Т. Д.
После элементарных преобразований получим уравнения для первого, второго и т. д. приближений:
"1 + 々j% + % = "(/2，
% + 2%% + 2z& 十〃2 =匕〃Ji，(3342)
% + 2V3 + 2“产2 十 2zA + %=У(ЛЛ+ ^~Т /咐2,
Рассмотрим подробнее уравнение первого приближения. Предположим； что требуется определить первое приближение т122о0г0 коэффициента сопротивления маятника таким образом, чтобы заданным 342
возмущениям Hq^ соответствовали вполне определенные с точностью до величин порядка е колебания маятника 〃i (т). При этом наблюдению доступен только угол отклонения маятника 〃】(т), но не 〃】(т).
Обозначим 勺=х1, % =炉，等 %(Т)= 〃，У =炉・ Тогда уравнение первого приближения наблюдаемого движения маятника таково:
炉=—炉一2Zo%2 + w, у = х1.炉=—炉一2Zo%2 + w, у = х1.(33.43)(33.43)
炉=—炉一2Zo%2 + w, у = х1.
炉=—炉一2Zo%2 + w, у = х1.
(33.43)
(33.43)
Здесь матрицы В и С имеют вид
8=(；), С = (1,0),а в матрице 4 требуется определить единственный элемент
Согласно изложенному ранее, определяем х0 по формуле (33.23):
^о = ^о 1 ^ 一 D),
гдегде
где
где
Таким образом, х0 = w =(
Подставив найденное выражение для х0 в (33.25), получим
吗屮O + Qq,
или, учитывая, что s > / = 2,
S-1
s% = C。£±4…%(：°) + 备% (33.44) m=l1
Соотношение (33.44) является алгебраическим уравнением относи
тельно элементов матриц Ло, Alt ... , А$—2・ Следовательно, при s = 2
получаем уравнение для определения а。, каждое следующее ys дает еще одно уравнение и еще одно неизвестное а〜Таким образом, для определения а (/) можно ограничиться единственным входом. Положим для определенности
“ (т) = sin 也尹， у (т) = sin 32T + 丫),
где
.1.. 2л
& =才，也2 = L Y =—.
Разлагая и (т) и у (т) в ряд Маклорена в окрестности т0 = 0, получи м
毎=0，"汰+1=(一坟42左+1(2儿+ I"，
恤=(—1)(2Л)! 2，恤=(—1)(2Л)! 2，仮+1 == (— Di 2 ⑵! + 1)!仮+1 == (— Di 2 ⑵! + 1)!
恤=(—1)(2Л)! 2，
恤=(—1)(2Л)! 2，
仮+1 == (— Di 2 ⑵! + 1)!
仮+1 == (— Di 2 ⑵! + 1)!
Полагая s = 2, 3, 4,... , по формулам (33.44) и (33.16) последовательно определяем о。，а? а2，. •・ При s = 2 из соотношения
Таким образом, если возмущению (входу)Таким образом, если возмущению (входу)т"о% = 8U = е sin-j-т"о% = 8U = е sin-j-
Таким образом, если возмущению (входу)
Таким образом, если возмущению (входу)
т
"о% = 8U = е sin-j-
т
"о% = 8U = е sin-j-
порядка е2 колебанияпорядка е2 колебанияотвечают определенные с точностью до величин маятника
порядка е2 колебания
порядка е2 колебания
./ , 2л \
го коэффициент сопротивления маятника с той же точностью имеет вид
(33.45)(33.45)C(f) = - mgG f - 享 m * + 需"f j+ …)
(33.45)
(33.45)
Применение ЭВМ позволило определить следующие коэффициенты разложения а (т) в степенной ряд:
% = 0; “1 = 0,5; % = — °，866; @3 = 1,745; % = —3,311;
% = 6,334; % = I?」 и т. д. до % •
Легко установить, что полученный ряд сходится при значениях О V т《万 или, переходя к переменной t:
уу М 今уу М 今(33.46)(33.46)
уу М 今
уу М 今
(33.46)
(33.46)
Рассмотрим, как влияет точность определения коэффициента демпфирования на точность оценки параметров колебаний маятника.
Если считать а (т) 4 а⑴(т) = "о = 0, то решение уравнения первого приближения наблюдаемого движения маятника имеет вид
49 т5 64-5!49 т5 64-5!
49 т5 64-5!
49 т5 64-5!
или в свернутом виде
416 т
-[5 sin т + -J5 sin Т.
При 0 < т《万 относительная погрешность первого приближения
y'D меньше 1,15%.
Полагая а (т) а а^ (т) = а。+ а^и, определяем соответствующее решение уравнения движения маятника
1т1т不赢也不赢也
1т
1т
不赢也
不赢也
При 0 < т < 万 относительная погрешность второго приближения меньше 0,08%.
Таким образом, в зависимости от того, с какой степенью точности необходимо получать движения маятника, следует выбирать число членов разложения коэффициента демпфирования (33.45).
Вопросы для исследования
Развить метод построения функционалов Ляпунова для систем с последействием и систем с распределенными параметрами путем использования метода возмущений.
Сформулировать принцип сравнения для стохастической вектор- функции Ляпунова и получить условия устойчивости множеств неизолированных положений равновесия систем со случайными параметрами.
Развить аналитический метод исследования устойчивости сложных стохастических систем на основе способа укрупнения случайных процессов и принципа сравнения Чаплыгина — Важевского — Матросова.
ЛИТЕРАТУРА
Азбелев Н. В. О границах применимости теоремы Чаплыгина о дифференциальных неравенствах.——Математический сборник, 1956, 39 (81), 2.
Андронов А. А. и др. Качественная теория динамических систем. «Наука», М., 1966.
Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости движения. «Наука», М., 1967.
Барбашин Е. А. Функции Ляпунова.《Наука》，М., 1970.
Барбашин Е. А., Красовский Н. Н. Об устойчивости движения в целом.— ДАН СССР, 1952, 86, 3.
Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. ИЛ, М., 1954.
Б и к е й Г. А. Идентификация систем. Введение и обзор.——Механика (сб. переводов), 1972, 3 : 133.
Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., С а - мойленко А. М. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. «Наукова думка», К., 1969.
Бусленко Н. П., Калашников В. В., К о в а лен - к о И. Н. Лекции по теории сложных систем. «Советское радио», М., 1973.
Бусленко Н. П. Сложные системы и машинная математика.— Вестник АН СССР, 1967, 4.
Валеев К・ Г., Жаутыков О. А. Бесконечные системы дифференциальных уравнений. «Наука», Алма-Ата, 1974.
Валеев К. Г.» Мартынюк А. А. Применение метода возмущений в задаче построения функций Ляпунова.——В кн.: Математическая физика, 17. «Наукова думка», К., 1975.
Валеев К・ Г., Мисак В. В. Исследование колебаний нелинейных систем.——Прикладная механика, 1973, 9, 2.
Валеев К・ Г. Об одной теореме Ляпунова.——В кн.: Математическая физика, 9. «Наукова думка», К., 1971.
Ван Д а н ь - ч ж и, Степанов С. Я. Численное исследование устойчивости на конечном интервале времени.— ЖВМ и МФ, 1974, 14, 2.
Василенко В. П., Мартынюк А. А., Я н ишев - с к и й А. П. Об устойчивости движения по заданным координатам двухроторного гирокомпаса с успокоителями.— В кн.: Математическая физика, 16. «Наукова думка», К., 1974.
Волосов В. М. О методе усреднения.— ДАН СССР, 1961, 137, 1.
Гермаидзе В. Е., Красовский Н. Н. Об устойчивости при постоянно действующих возмущениях.——ПММ, 1957, 21, 6.
Горбунов А. Д. Об одном методе получения оценок решений системы обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений.——Вестник Моск, ун-та. Сер. физ.-матем. и естеств. наук, 1950, 10.
Г о й с а JI. Н., Мартынюк А. А. Исследование систем осцилляторов со слабым взаимодействием в окрестности особой точки.— В кн.: Математическая физика, 15. «Наукова думка», К., 1974.
Г о р ш и н С. И. Второй метод Ляпунова в применении к устойчивости при постоянно действующих возмущениях. — Тр. семинара-симпозиума «Второй метод Ляпунова и его применение в энергетике». Ч. 1. СО «Наука», Новосибирск, 1966.
Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Новые качественные методы в небесной механике. «Наука», М., 1971.
Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. «Наука», М., 1967.
Д у б о ш и н Г. Н. К вопросу об устойчивости движения относительно постоянно действующих возмущений.——Тр. Астрономического ин-та, 1940, 14, 1.
Д ы х м а н Е. И. О принципе сведения.— Изв. АН КазССР. Сер. мат. мех., 1950, 7, 4.
Е р у г и н Н. П. О периодических решениях дифференциальных уравнений.— ПММ, 1956, 20, 1.
Задорожный В. Ф., Мартынюк А. А. О решении общей задачи агрегирования как проблемы моментов.— В кн.: Математическая физика, 14. «Наукова думка», К., 1973.
Земляков А. С. К вопросу построения систем сравнения.— Тр. Казанского авиационного ин-та, 1972, 144.
Зубов В. И. Лекции по теории управления. Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1972.
Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. «Судпромгиз», Л., 1959.
Зубов В. И. Методы А. М. Ляпунова и их применение. Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1957.
Иманалиев М., Ведь Ю. А. Интегральные возмущения в теории устойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений.— Zagadn. drgan. nielin., 1973, 14.
Ишлинский А. Ю. Механика гироскопических систем. Изд-во АН СССР, М., 1963.
Калашников В. В. О понятии устойчивости функционирования сложных систем.——В кн.: Большие информационно управляющие системы. Изд. МДНТП, М., 1969.
Калинин С. В. Устойчивость периодических движений в критических случаях. Изд-во Моск, ун-та, М., 1972.
Каменков Г. В. Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика. «Наука», М., 1971.
Карачаров К. А., П и л ю т и к А. Г. Введение в техническую теорию устойчивости движения. ГИФМЛ, М., 1962.
Кац И. Я., Красовский Н. Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами.— ПММ, 1960, 24, 5.
Кордуняну К. Применение дифференциальных неравенств в теории устойчивости.——Analele Stiintifice ale univ. «А1. i. Cusa» din Iasi, 1960, Sec. 1, 6 1.
Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. Физматгиз, М., 1959.
Красовский Н.. Н. О применении метода функций Ляпунова для уравнений с запаздыванием.——ПММ, 1956, 20, 2.
Крон Г. Исследование сложных систем по частям. Диакоптика (I ер. с англ.). «Наука», М., 1972.
Кузьмин П. А. Устойчивость при параметрических возмущениях.—ПММ, 1957, 21, 1.
Кухтенко А. И. Основные задачи теории управления сложными системами.— В кн.: Сложные системы управления. Изд. Ин-та кибернетики АН УССР, К., 1968, 1.
Лагранж Ж. Л. Сборник статей к 200-летию со дня рождения. Изд-во АН СССР, М.—Л.» 1937.
Лебедев А. А. Об одном методе построения функций Ляпунова.— ПММ, 1957, 21, 1.
Летов А. М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. Физматгиз, М., 1962.
Лузин Н. Н. О методе приближенного интегрирования академика С. А. Чаплыгина.— Избр. труды. Т. 3. Изд-во АН СССР, М., 1959.
Ляпунов А. М. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения.——Математический сборник, 1893, 17, 2 (см. также Ляпунов А. М.— Собр. соч. Т. II. Изд-во АН СССР, М.—〃.，1956).
Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения.— Собр. соч. Т. II. Изд-во АН СССР, М., 1956.:
Малкин И. Г. Об устойчивости при постоянно действующих возмущениях.— ПММ, 1944, 8, 3.
Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. «Наука», М., 1966.
Мартинюк А. А. Принцип пакетного степеневого входу.— ДАН УРСР, сер. А, 1970, 9.
Мартинюк А. А. Про 仇，А, ^0, 7, ||-||)-спйк1сть систем i3 зап!зненнями.— ДАН УРСР, сер. А, 1969, 2.
Мартинюк А. А. Про ст!йк!сть стандартно! системи з по- спйно д1ючими збуреннями.— ДАН УРСР, сер. А, 1973, 5.
Мартинюк А. А. Про В1дсутн1сть замкнених МварЕнтних многовнд1в багатовим1рних систем.— ДАН УРСР, сер. А, 1970, 2.
Мартинюк А. А. Ст1йк1сть систем з випадковими параметрами на ск1нченному 1нтервал1 i диференщальн! HepiBHOCTi.— ДАН УРСР, сер. А, 1971, 5.
Мартынюк А. А. Качественные исследования поведения слабосвязанных осцилляторов в окрестности положения равновесия.—— Прикладная механика, 1973, 9, 7.
Мартынюк А. А. Метод усреднения в теории устойчивости движения.——Zagadn. drgan. nielin., 1973, 14.
Мартынюк А. А. Об устойчивости систем при розвиваю- щихся возмущениях. — ДАН УССР, сер. А, 1975, 7.
Мартынюк А. А. Метод усреднения и принцип сравнения в технической теории устойчивости движения.——Прикладная механика, 1971, 7, 9.
Мартынюк А. А. О неустойчивости положения равновесия многомерной системы, состоящей из нейтрально неустойчивых подсистем.—Прикладная механика, 1972, 8, 6.
63.64.65.66.67.68.69.70.71.72.73.74.75.63.64.65.66.67.68.69.70.71.72.73.74.75.Мартынюк А. А. О технической устойчивости движения относительно отдельных заданных координат.——Прикладная механика, 1972, 8, 3.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
Мартынюк А. А. О технической устойчивости сложных систем.— В кн・： Кибернетика и вычислительная техника, 15. «Науко- ва думка», К., 1972.
Мартынюк А. А., Р и з у н В. И. Об устойчивости решений слабосвязанных систем.——В кн.: Математическая физика, 18. «На- укова думка», К・，1975.
Мартынюк А. А. Теорема о неустойчивости в конечном систем с последействием.— В кн.: Дифференциально разностные уравнения. Изд. Института математики АН УССР, К., 1971.
Мартынюк А. А. Теорема типа теорем Ляпунова об устойчивости многомерной системы.— УМЖ, 1972, 24, 4.
Мартынюк А. А. Техническая устойчивость в динамике. «Техн1ка», К・，1973.
Мартынюк А. А. Устойчивость связанных систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.—— Автоматика, 1973, 1.
Мартынюк А. А., Г о й с а JI. Н. Об идентификации нестационарных наблюдаемых систем.— Автоматика, 1974, 6.
Матросов В. М. К теории устойчивости движения.——ПММ, 1962, 26, 6.
Матросов В. М. К теории устойчивости движения.—— Тр. Казанского авиационного ин-та. Математика, механика, 1963, 80.
Матросов В. М. К теории устойчивости движения.— Тр. Межвузовской конференции по прикладной теории устойчивости движения и аналитической механике, Казань, 1964.
Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова в анализе сложных систем с распределенными параметрами.— Автоматика и телемеханика, 1973, 1.
Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова в системах с обратной связью.——Автоматика и телемеханика, 1972, 9.
Матросов В. М. Принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова, I.— Дифференциальные уравнения, 1968, 4, 8.
Матросов В. М. Принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова, II.— Дифференциальные уравнения, 1968, 4, 10.
Матросов В. М. Принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова, III.— Дифференциальные уравнения, 1969, 5, 7.
Матросов В. М. Принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова, IV.— Дифференциальные уравнения, 1965, 5, 12.
М а т р о с о в В. М. Развитие метода функций Ляпунова в теории устойчивости.——Тр. II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Т. I. «Наука», М., 1965.
Мельников Г. И. Некоторые вопросы прямого метода Ляпунова.— ДАН СССР, 1956, ПО, 3.
Механика в СССР за 50 лет. Т. I. «Наука», М., 1968.
Миллионщиков В. М. К теории дифференциальных уравнений 近 =/（%, /） в локально выпуклых пространствах.— ДАН СССР, 1960, 131, 3.
Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. «Наукова думка», К., 1971.
Моисеев И. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. «Наука», М., 1969.
Озиранер А. С., Румянцев В. В. Метод функций Ляпунова в задаче об устойчивости движения относительно части переменных.— ПММ, 1972, 36, 2.
Пионтковский А. А., Рутковская Л. Д. Исследование некоторых задач теории устойчивости с помощью метода векторной функции Ляпунова.——Автоматика и телемеханика, 1967, 10.I
Персидский К. П. Некоторые критические случаи счетных систем.— Изв. АН КазССР. Сер. матем. и мех., 1951, 5.
Пожарицкий Г. К・ О построении функций Ляпунова из интегралов уравнений возмущенного движения.——ПММ, 1958, 22, 2.
Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Гостехиздат, М., 1947.
П л и с с В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. «Наука», М.—Л, 1964.
Разумихин Б. С. Об устойчивости систем с запаздываниями.— ПММ, 1956, 20, 4.
Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. «Наука», М., 1971.
Рахматуллина Л. Ф. К вопросу об устойчивости решения нелинейного уравнения теплопроводности.——ПММ, 1961, 25, 3.
Р в а ч е в В. Л. Методы алгебры логики в математической физике. «Наукова думка», К., 1974.
Репин Ю. М. Об устойчивости решений уравнений с запаздывающим аргументом.— ПММ, 1957, 21, 2.
Румянцев В. В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения.— В кн.: Механика в СССР за 50 лет. T.I. «Наука», М., 1968.
Румянцев В. В. Некоторые задачи динамики сложных систем.— В кн.: Проблемы прикладной математики и механики. «Наука», М., 1971.
Р у м я н ц е в В. В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных.— Вестник Моск, ун-та, 1957, 4.
Спивак М. Математический анализ на многообразиях. «Мир», М., 1968.
Старжинский В. М. К теории нелинейных колебаний. Изд-во Моск, ун-та, М., 1970—1972, I—III.
Т о н к а л ь В. Е. Теория, методы построения и исследование автономных инверторов модуляционного типа с повышенным качеством выходной энергии.— Автореферат докторской диссертации, К., 1974.
Тонков Е. Л. Устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. Моск, ин-та химического машиностроения, М., 1972.
X а п а е в М. М. Об исследовании на устойчивость в теории нелинейных колебаний.——Математические заметки, 1968, 3, 3.
X а п а е в М. М. Об одной теореме типа Ляпунова.— ДАН СССР, 1967, 176, 6.
X а п а е в M. M. О неустойчивости при постоянно действующих возмущениях.— ДАН СССР, 1968, 178, 1.
Хасьминский Р. 3. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. «Наука», М., 1969.*
Цыпкин Я. 3. Процессы регулирования с адаптацией. «Наука», М., 1969.
Чаплыгин С. А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. ГИТТЛ, М., 1950.
ПО. Ч е т а е в Н. Г. О некоторых вопросах, относящихся к задаче об устойчивости неустановившихся движений.——ПММ, 1960, 24, 1.
Ч е т а е в Н. Г. Устойчивость движения. Изд. 2-е. Гостехиздат, М., 1956.，
Ч е т а е в Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналити ческой механике. Изд-во АН СССР, М., 1962.
ИЗ. Эльсгольц Л. Э. Устойчивость решений дифференциальноразностных уравнений.— УМН, 1954, 9, 4.
Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. «Наука», М., 1972..
Bailey F. N. The appl. of Lyapunov's sec. meth, to interc. system.— J. Soc. Industr. Appl. Math., 1965 (1966), A3, 3.
Bailey F. N. Vector Lyapunov Funct. for a Class of Interc. Systems.— Proc. Nat. Electron. Conf., 1965, 21.
Bellman R. Vector Lyapunov Funct.— J. Soc. Industr. and Appl. Math., Ser. A, Control, 1962, 1, 1.
В о g u s z W. Stateczno§6 Techniczna. Warszawa, 1972.
Corduneanu C. Sur la stab. part.— Rev. Roum. math, pur. appl., 1964, IX, 3.
Demidovitsch V. B. Eine Verallgemeinerung des Kriteriums von Bendixon.— Zeitschrift fiir angewandte Mathematik und Me- chanik, 1966, 46, 2.
Lakshmikantham V.» Leela S. Diff, and int. ineq.— In: Theory and Appl. Acad. Press, N. Y., 1969, 1.
L a p 1 a s e P. S. Meehanique seleste. Paris, 1825.
L i n Y. H., К i n n e n E., F г i e d 1 у J. C. Const, of Liapunov funct. for PDE using ex ter. diff, forms.— In: 14th Joint Automat. Cont. Conf. (Columbus. Ohio, 1973). Prepr. techn. pap., N. Y., 1973.
M a s s e r a J. L. Contr. to stab, theory.— Ann. Math., 1956, 64, 1.
Michel A. N., W u S. H. Stability of discrete systems over a finite of time.— Int. J. Control, 1969, 9, 6.
Rao M. R. M. Upper and lower bounds of the norm, of sol. of nonlinear Vol terra int. equations.—In: Proc. Nat. Acad. Scs. (India), 1963, 33, 2.
§ i 1 j a k D. D. Stability of large-scale systems.— Proc. IFAC 5th World Congr., 1972. Party. S. I. s. a., C-32 (1—c—32)11.
Stokes A. The appl. of a fixed-point theorem to a var. of nonlinear stab, probl.— Proc. Nat. Acad. Sci., 1959, 45, 2.
T s о k о s С. P., Leela S. Contr. syst. and fin. time stab.— Not. com. de Math, 1969, 22.
T s о к о s G. Р., Rao R. М. Finite time stab, of contr. syst. and int. ineq.— Bui. inst. Politehnic din Iasi, 1969, 15 (19), 1—2.
W a z e w s к i T. Si st. des equat. et des ineq. diff, ordin. aux deux, memb. et leurs a ppi.— Ann. Soc. Polon. Math., 1950, 23.
Weiss L., Infante E. F. Finite Time Stab, under Pert.
Fore, and on Prod. Spac. IEEE Trans. Aut. Contr., 1967, AC-12, 1.
Weiss L., Infante E. F. On the stab, of syst. defined over a finite time int.— Proc, of the Nat. Acad, of Sci., 1965, 54, 1.
Weiss L. On uniform and nonun. finite-time stab.— IEEE Trans. Aut. Contr., 1969； 14, 3.
Анатолий Андреевич Мартынюк
УСТОЙЧИВОСТЬДВИЖЕНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
Печатается по постановлению ученого совета Института математики АН УССР
Редактор И. М. Гладких. Художественный редактор Н. /7. Антонюк. Оформ-ление художника В. П. Мазниченко. Технический редактор Б. А. Пиковская.Корректоры А. И. Разбицкая, Л. Г. Бузиашеили.
Сдано в набор 15.XI 1974 г. Подписано к печати 4.V 1975 г. БФ 02575.Зак. 4-761. Изд. № 268. Тираж 2С00. Бумага №”，84Х108%2. Печ. физ.листов 11,0. Условн. печ. листов 18,48. Учетно-изд. листов 17,97. Цена2 руб. 04 коп.
Издательство «Наукова думка>, Киев, Репина, 3.
Киевская книжная типография научной книги Республиканского производственного объединения «Полиграфкнига> Госкомиздата УССР, Киев, Репина, 4.
二，—:二W：
УСТОЙЧИВОСТЬДВИЖЕНИЯСЛОЖНЫХ СИСТЕМ
АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССРОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
А. А. МАРТЫНЮК
УСТОЙЧИВОСТЬДВИЖЕНИЯСЛОЖНЫХ СИСТЕМ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКОВА ДУМКА»
КИЕВ - 1975
УДК 531.36
Монография посвящена разделу теории устойчивости движения, возникшему в последние годы в связи с новыми пот ревностями анализа больших систем. Изложены результаты, полученные при исследовании устойчивости движения сложных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, систем уравнений, содержащих малый параметр, а также запаздывания и случайные функции. Изучаются вопросы устойчивости при сложных возмущениях, а также вопросы устойчивости взаимодействующих подсистем. Исследуется задача идентификации (оценки параметров) обособленных подсистем.
Книга рассчитана на математиков и механиков, специализирующихся в области теории устойчивости движения, мо кет быть использована аспирантами и студентами вузов.
Ответственный редакторакадемик АН УССР Ю. 4 Митропольский
Рецензенты:
чл.-кср. АН УССР И. Н. Коваленко,д-р физ.-мат. наук 〃. 8. Азбелев,д-р физ.-мат. наук 4 Л1. Самойленко
__ 20203—202m 欣21(04)-75 8-74__ 20203—202m 欣21(04)-75 8-74Редакция математики й кибернетики
__ 20203—202
m 欣21(04)-75 8-74
__ 20203—202
m 欣21(04)-75 8-74
© Издательство «Наукова думка», 1975 г.